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- Überlege dir, an welcher Achse der Einheitskreis gespiegelt wird, wenn der Kosinuswert gleich bleiben soll. - Nutze die Periodizität (\(\pm 360^\circ\)) oder die Symmetrie zur x-Achse (\(\cos(\alpha) = \cos(-\alpha)\)). - Prüfe am Ende, ob dein gefundener Winkel im geforderten Bereich liegt.

1. Für den Kosinus gilt die Symmetrie \(\cos(\alpha) = \cos(360^\circ - \alpha)\). 2. Zu a): \(\beta = 360^\circ - 130^\circ = 230^\circ\). Da \(230^\circ\) im Intervall liegt und ungleich \(130^\circ\) ist, ist dies die Lösung. 3. Zu b): \(\beta = 360^\circ - 310^\circ = 50^\circ\). Da \(50^\circ\) im Intervall liegt und ungleich \(310^\circ\) ist, ist dies die Lösung. 4. Zu c): Zunächst ist \(\cos(-45^\circ) = \cos(45^\circ)\). Da \(45^\circ\) im Intervall liegt und ungleich \(-45^\circ\) ist, ist \(\beta_1 = 45^\circ\) eine Lösung. Ebenso gilt \(\cos(-45^\circ) = \cos(315^\circ)\). Da \(-45^\circ\) nicht im Intervall liegt, sind hier sogar beide Werte (\(45^\circ\) und \(315^\circ\)) als Antwort für \(\beta\) möglich.

a) \(\beta = 230^\circ\) b) \(\beta = 50^\circ\) c) \(\beta = 45^\circ\) (oder \(\beta = 315^\circ\))

- An welchen Stellen am Einheitskreis ist der x-Wert genau \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)? - Erinnere dich an die Symmetrie der Kosinusfunktion an der x-Achse. - Wie viele Lösungen erwartest du innerhalb einer vollen Umdrehung (\(2\pi\))? - Welcher bekannte Winkel gehört zum Wert \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)?

1. Identifikation der ersten Lösung im ersten Quadranten durch Kenntnis der Standardwerte oder Anwendung der Umkehrfunktion: \(x_1 = \frac{\pi}{4}\). 2. Nutzung der Symmetrie der Kosinusfunktion (\(\cos(x) = \cos(2\pi - x)\)), um die zweite Lösung im vierten Quadranten zu bestimmen: \(x_2 = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}\).

\(x_1 = \frac{\pi}{4}\) und \(x_2 = \frac{7\pi}{4}\)

- Welche Werte liefert die Kosinusfunktion am Einheitskreis für die x-Koordinate? - Erinnere dich an den Verlauf des Graphen der Kosinusfunktion. - Gibt es einen Zusammenhang zwischen den höchsten und tiefsten Punkten des Graphen und dem Wertebereich? - Wie oft erreicht die Funktion innerhalb einer vollen Periode ihren tiefsten Punkt?

1. Bestimmung der Extrema: Der größte Funktionswert (Maximum) der Kosinusfunktion ist \(1\), der kleinste Funktionswert (Minimum) ist \(-1\). 2. Angabe des Wertebereichs: Da die Funktion stetig zwischen diesen Werten schwankt, umfasst der Wertebereich alle reellen Zahlen von \(-1\) bis \(1\), also \(\mathbb{W} = [-1; 1]\). 3. Berechnung der Minimalstellen im Intervall \([0; 2\pi]\): Die Gleichung \(\cos(x) = -1\) wird im vorgegebenen Intervall nur für \(x = \pi\) gelöst.

a) Das Maximum ist \(1\), das Minimum ist \(-1\). b) \(\mathbb{W} = [-1; 1]\) c) \(x = \pi\)

- Überlege dir, an welcher Stelle (x-Koordinate oder y-Koordinate) man den Kosinuswert am Einheitskreis abliest. - Skizziere die Lage der Winkel im Einheitskreis. In welchen Quadranten ist der Kosinus negativ, in welchen positiv? - Erinnere dich an markante Werte wie \(0\), \(1\) und \(-1\). - Je weiter links ein Punkt auf dem Einheitskreis liegt, desto kleiner ist sein Kosinuswert.

1. Berechnung oder Bestimmung der Kosinuswerte für die gegebenen Winkel im Einheitskreis: \(\cos(180^\circ) = -1\) \(\cos(210^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0{,}866\) \(\cos(120^\circ) = -0{,}5\) \(\cos(270^\circ) = 0\) \(\cos(300^\circ) = 0{,}5\) \(\cos(20^\circ) \approx 0{,}940\) 2. Sortieren der Werte in aufsteigender Folge: \(-1 < -0{,}866 < -0{,}5 < 0 < 0{,}5 < 0{,}940\). 3. Zuordnung der Buchstaben: \(180^\circ\) (P), \(210^\circ\) (R), \(120^\circ\) (I), \(270^\circ\) (S), \(300^\circ\) (M), \(20^\circ\) (A).

Das Lösungswort lautet PRISMA.

- Bestimme zuerst, welcher Winkel im Bereich von \(0^\circ\) bis \(360^\circ\) denselben Kosinuswert hat wie \(\alpha\). - Erinnere dich an die Symmetrieeigenschaften am Einheitskreis oder am Graphen der Kosinusfunktion. - Es werden alle Winkel im Intervall gesucht, also achte darauf, keinen zu vergessen.

1. Reduktion auf das Grundintervall mittels Periodizität: \(\cos(\alpha) = \cos(\alpha + k \cdot 360^\circ)\). 2. Zu a): \(500^\circ - 360^\circ = 140^\circ\). Somit ist \(x_1 = 140^\circ\) die erste Lösung im Intervall. Die zweite Lösung ergibt sich durch die Symmetrie \(\cos(x) = \cos(360^\circ - x)\) zu \(x_2 = 360^\circ - 140^\circ = 220^\circ\). 3. Zu b): \(-70^\circ + 360^\circ = 290^\circ\). Somit ist \(x_1 = 290^\circ\) eine Lösung im Intervall. Wegen \(\cos(-70^\circ) = \cos(70^\circ)\) ist \(x_2 = 70^\circ\) die zweite Lösung im Intervall.

a) \(x \in \{140^\circ; 220^\circ\}\) b) \(x \in \{70^\circ; 290^\circ\}\)

- Welchen Wert liefert die Umkehrfunktion des Kosinus für eine negative Zahl? - Skizziere den Kosinusgraphen oder den Einheitskreis. Wo liegt der zweite Winkel mit derselben \(x\)-Koordinate? - Nutze die Periodizität oder die Achsensymmetrie zur \(x\)-Achse im Einheitskreis, um den zweiten Wert zu berechnen. - Stelle sicher, dass dein Taschenrechner auf das Bogenmaß (RAD) eingestellt ist.

1. Bestimmung des ersten Wertes über die Arkuskosinus-Funktion: \(x_1 = \arccos(-0{,}65) \approx 2{,}2782\). 2. Anwendung der Symmetrie der Kosinusfunktion (\(\cos(x) = \cos(2\pi - x)\)), um die zweite Lösung im Intervall \([0; 2\pi)\) zu finden: \(x_2 = 2\pi - x_1 \approx 6{,}2832 - 2{,}2782 = 4{,}0050\). 3. Prüfung der Lage im Intervall und Rundung der Werte: \(x_1 \approx 2{,}28\) und \(x_2 \approx 4{,}01\).

\(x_1 \approx 2{,}28\); \(x_2 \approx 4{,}01\)

- Erinnere dich an die Definition von geraden Funktionen. Was bedeutet das für die Spiegelung an der \(y\)-Achse? - Wo erreicht die Kosinusfunktion ihre Extremwerte? Jede dieser Stellen markiert eine Symmetrieachse. - Suche die Stellen, an denen der Graph die \(x\)-Achse schneidet, um die Symmetriezentren zu finden. - Beachte die Grenzen der angegebenen Intervalle genau.

1. Nachweis der Achsensymmetrie: Die Bedingung für Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse lautet \(g(-x) = g(x)\). Für die Kosinusfunktion gilt die Identität \(\cos(-x) = \cos(x)\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), womit die Symmetrie zur Geraden \(x = 0\) (der \(y\)-Achse) nachgewiesen ist. 2. Bestimmung der Symmetrieachsen: Die Kosinusfunktion besitzt Symmetrieachsen an allen Stellen, an denen ein Maximum oder Minimum vorliegt. Dies ist bei \(x = k \cdot \pi\) für \(k \in \mathbb{Z}\) der Fall. Im Intervall \([0; 3\pi]\) sind dies die Geraden \(x = 0\), \(x = \pi\), \(x = 2\pi\) und \(x = 3\pi\). 3. Bestimmung der Symmetriezentren: Die Symmetriezentren der Kosinusfunktion liegen in ihren Nullstellen auf der \(x\)-Achse, also bei \(x = \frac{\pi}{2} + k \cdot \pi\). Im Intervall \([0; 2\pi]\) ergeben sich die Punkte \((\frac{\pi}{2}|0)\) (für \(k=0\)) und \((\frac{3\pi}{2}|0)\) (für \(k=1\)).

a) Es gilt \(g(-x) = \cos(-x) = \cos(x) = g(x)\), daher ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. b) \(x = 0\), \(x = \pi\), \(x = 2\pi\) und \(x = 3\pi\). c) \(S_1(\frac{\pi}{2}|0)\) und \(S_2(\frac{3\pi}{2}|0)\).

- Überlege dir, wo die Winkel im Einheitskreis liegen. - Welche Koordinate am Einheitskreis entspricht dem Kosinuswert? - Erinnere dich an die exakten Werte für Standardwinkel wie \(0\), \(\frac{\pi}{4}\) oder \(\frac{\pi}{2}\). - Achte darauf, ob nach einer aufsteigenden oder absteigenden Reihenfolge gefragt ist.

1. Bestimmung der Kosinuswerte am Einheitskreis: \(\cos(\pi) = -1\) \(\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0{,}87\) \(\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -0{,}5\) \(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}71\) \(\cos(0) = 1\) 2. Aufsteigende Sortierung der Werte: \(-1 < -0{,}87 < -0{,}5 < 0{,}71 < 1\). 3. Zuordnung der Buchstaben ergibt das Wort STERN.

STERN

- Versuche zuerst, die Gleichung so umzustellen, dass \(\cos(x)\) alleine auf einer Seite steht. - In welchen Quadranten des Einheitskreises ist der Kosinuswert negativ? - Bestimme zuerst den Winkel im ersten Quadranten, dessen Kosinus \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) ist, und spiegele diesen dann in die entsprechenden Quadranten. - Überlege dir, wie man von einem Winkel im ersten Quadranten auf die zugehörigen Winkel im zweiten und dritten Quadranten schließt.

1. Isolieren des Kosinus-Ausdrucks durch Subtraktion von \(\sqrt{3}\) und Division durch \(2\): \(\cos(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). 2. Bestimmung des Referenzwinkels \(\alpha\) im ersten Quadranten für den Betrag \(\frac{\sqrt{3}}{2}\): \(\alpha = \frac{\pi}{6}\). 3. Da der Kosinuswert negativ ist, müssen die Lösungen im zweiten und dritten Quadranten liegen. 4. Berechnung der Lösungen: \(x_1 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}\) und \(x_2 = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}\).

\(x_1 = \frac{5\pi}{6}\) und \(x_2 = \frac{7\pi}{6}\)

- Wann ist am Einheitskreis die x-Koordinate gleich Null? - In welchen Abständen wiederholen sich die Nullstellen bei einer Kosinusfunktion? - Überprüfe systematisch, welche Werte der Form \(\frac{\pi}{2} + k \cdot \pi\) in das gesuchte Intervall fallen. - Achte darauf, sowohl positive als auch negative Vielfache der Periodizität zu betrachten.

1. Identifikation der Basisnullstellen: Im Intervall \([0; 2\pi]\) schneidet der Graph der Kosinusfunktion die x-Achse bei \(x_1 = \frac{\pi}{2}\) und \(x_2 = \frac{3\pi}{2}\). 2. Anwendung der Periodizität: Weitere Nullstellen ergeben sich durch Addition oder Subtraktion von Vielfachen der Periodenlänge \(2\pi\) oder durch das Wissen, dass Nullstellen alle \(\pi\) auftreten (\(x_k = \frac{\pi}{2} + k \cdot \pi\)). 3. Prüfung des Intervalls \([-2\pi; 3\pi]\): Für \(k = -2\): \(x = -1{,}5\pi = -\frac{3\pi}{2}\) Für \(k = -1\): \(x = -0{,}5\pi = -\frac{\pi}{2}\) Für \(k = 0\): \(x = 0{,}5\pi = \frac{\pi}{2}\) Für \(k = 1\): \(x = 1{,}5\pi = \frac{3\pi}{2}\) Für \(k = 2\): \(x = 2{,}5\pi = \frac{5\pi}{2}\) 4. Zählung: Es liegen insgesamt \(5\) Nullstellen in diesem Intervall.

a) \(x = \frac{\pi}{2}\) und \(x = \frac{3\pi}{2}\) b) \(x \in \{-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}\}\) c) Es sind \(5\) Nullstellen.

- Wie lautet die erste positive Nullstelle der Kosinusfunktion? - Wie weit liegen benachbarte Nullstellen auseinander? - Nutze die Periodizität oder die allgemeine Bildungsforschrift für die Nullstellen. - Was muss gelten, damit ein Wert in der Form \(\frac{\pi}{2} + k \cdot \pi\) geschrieben werden kann?

1. Die Nullstellen der Kosinusfunktion sind gegeben durch \(x = \frac{\pi}{2} + k \cdot \pi\) für \(k \in \mathbb{Z}\). 2. Um Nullstellen größer als \(2\pi\) (entspricht \(\frac{4}{2}\pi\)) zu finden, wählt man z. B. \(k = 2, 3, 4, 5, 6\). Dies ergibt: \(\frac{5}{2}\pi, \frac{7}{2}\pi, \frac{9}{2}\pi, \frac{11}{2}\pi, \frac{13}{2}\pi\). 3. Zur Prüfung von \(x = -\frac{7}{2}\pi\) setzt man den Wert in die allgemeine Form ein: \(-\frac{7}{2}\pi = \frac{1}{2}\pi + k\pi\). Subtraktion von \(\frac{1}{2}\pi\) führt zu \(-4\pi = k\pi\), also \(k = -4\). 4. Da \(k\) eine ganze Zahl ist, ist \(x = -\frac{7}{2}\pi\) eine Nullstelle. Alternativ zeigt die Periodizität: \(\cos(-3{,}5\pi) = \cos(-3{,}5\pi + 4\pi) = \cos(0{,}5\pi) = 0\).

a) z. B. \(\frac{5}{2}\pi; \frac{7}{2}\pi; \frac{9}{2}\pi; \frac{11}{2}\pi; \frac{13}{2}\pi\) b) Ja, es ist eine Nullstelle, da \(-\frac{7}{2}\pi = \frac{\pi}{2} - 4\pi\) gilt.

- In welchem Bereich zwischen \(0^\circ\) und \(360^\circ\) werden die \(x\)-Koordinaten auf dem Einheitskreis kleiner, wenn der Winkel größer wird? - Überlege, bei welchen Winkeln der Kosinus seinen maximalen und seinen minimalen Wert annimmt. - Was bedeutet „streng monoton fallend“ für den Vergleich von zwei Werten? - In welches der in a) gefundenen Intervalle fallen die Werte \(110^\circ\) und \(160^\circ\)?

1. Analyse des Verlaufs der Kosinusfunktion: Im Intervall \([0^\circ; 360^\circ]\) startet die Funktion bei \(1\) (\(x = 0^\circ\)), sinkt bis auf \(-1\) (\(x = 180^\circ\)) und steigt danach wieder auf \(1\) (\(x = 360^\circ\)). Somit ist sie in \([0^\circ; 180^\circ]\) streng monoton fallend und in \([180^\circ; 360^\circ]\) streng monoton steigend. 2. Anwendung auf den Vergleich: Die Winkel \(110^\circ\) und \(160^\circ\) liegen beide im Intervall \([0^\circ; 180^\circ]\). Da die Funktion in diesem Bereich streng monoton fallend ist, führt ein größerer Eingabewert zu einem kleineren Funktionswert. Wegen \(110^\circ < 160^\circ\) folgt daraus \(\cos(110^\circ) > \cos(160^\circ)\). Die Aussage ist wahr.

a) Streng monoton fallend im Intervall \([0^\circ; 180^\circ]\); streng monoton steigend im Intervall \([180^\circ; 360^\circ]\). b) Die Aussage ist wahr. Da beide Winkel im Intervall \([0^\circ; 180^\circ]\) liegen, in dem die Kosinusfunktion streng monoton fällt, gilt für \(110^\circ < 160^\circ\), dass \(\cos(110^\circ) > \cos(160^\circ)\).

- Isoliere zuerst den Kosinusausdruck auf einer Seite der Gleichung. - In welchen Quadranten des Einheitskreises ist der Kosinuswert negativ? - Wie hängen die Lösungen im positiven Bereich mit denen im negativen Bereich aufgrund der Achsensymmetrie der Kosinusfunktion zusammen? - Stelle sicher, dass alle deine gefundenen Werte innerhalb der vorgegebenen Grenzen liegen.

1. Division der Gleichung durch \(2\) ergibt \(\cos(x) = -\frac{1}{2}\sqrt{3}\). 2. Bestimmung der Basislösungen im Standardintervall \([0; 2\pi]\): Da \(\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) ist, liegen die Lösungen für den negativen Wert im zweiten und dritten Quadranten: \(x_1 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}\) und \(x_2 = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}\). 3. Bestimmung der Lösungen im negativen Teil des Intervalls \([-2\pi; 0]\) durch Subtraktion der Periode \(2\pi\): \(x_3 = \frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{7\pi}{6}\) und \(x_4 = \frac{7\pi}{6} - 2\pi = -\frac{5\pi}{6}\). 4. Die Lösungsmenge umfasst alle vier gefundenen Werte im Bereich \([-2\pi; 2\pi]\).

\(L = \{ -\frac{7\pi}{6}; -\frac{5\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}; \frac{7\pi}{6} \}\)

- Nutze die Symmetrien am Einheitskreis (z. B. \(\cos(\alpha) = \cos(360^\circ - \alpha)\) oder \(\cos(180^\circ + \alpha) = -\cos(\alpha)\)). - In welchem Quadranten ist der Kosinuswert positiv, in welchem negativ? - Vergleiche die Abstände der Winkel zu den Achsen oder zu den Werten \(0^\circ, 90^\circ, 180^\circ, 270^\circ\). - Ein Winkel, der näher an der x-Achse liegt (\(0^\circ\) oder \(180^\circ\)), hat einen größeren Betrag des Kosinuswerts.

1. Analyse der Quadranten: \(40^\circ\) liegt im I. Quadranten (\(\cos > 0\)), \(130^\circ\) im II. Quadranten (\(\cos < 0\)), \(220^\circ\) im III. Quadranten (\(\cos < 0\)) und \(310^\circ\) im IV. Quadranten (\(\cos > 0\)). 2. Vergleich der Beträge: \(40^\circ\) und \(220^\circ\) (da \(220^\circ = 180^\circ + 40^\circ\)) haben denselben Betrag des Kosinus, nämlich \(|\cos(40^\circ)| = |\cos(220^\circ)|\). Da \(\cos(40^\circ) > 0\) und \(\cos(220^\circ) < 0\), folgt \(\cos(40^\circ) = 0{,}77\) und \(\cos(220^\circ) = -0{,}77\). 3. Entsprechend für \(130^\circ\) und \(310^\circ\): Es gilt \(130^\circ = 180^\circ - 50^\circ\) und \(310^\circ = 360^\circ - 50^\circ\). Beide haben den Betrag \(|\cos(50^\circ)|\). Da \(\cos(310^\circ) > 0\) und \(\cos(130^\circ) < 0\), folgt \(\cos(310^\circ) = 0{,}64\) und \(\cos(130^\circ) = -0{,}64\).

\(\cos(40^\circ) = 0{,}77\); \(\cos(130^\circ) = -0{,}64\); \(\cos(220^\circ) = -0{,}77\); \(\cos(310^\circ) = 0{,}64\)

- Was passiert mit der Periodenlänge, wenn der Winkel mit einem Faktor kleiner als 1 multipliziert wird? - Erinnere dich an die Symmetrie der Kosinusfunktion am Einheitskreis oder am Graphen. - Es hilft oft, zuerst die Lösungen für einen einfachen Platzhalter (z. B. \(x\)) zu finden und erst danach nach \(\alpha\) aufzulösen. - Prüfe am Ende systematisch, welche der berechneten Werte noch innerhalb der Grenzen \(-360^\circ\) und \(720^\circ\) liegen.

1. Bestimmung der Basislösungen für das Argument \(x = 0{,}5\alpha\): \(\cos(x) = -0{,}5\) ergibt \(x_1 = 120^\circ\) und \(x_2 = 240^\circ\) (oder \(x_2 = -120^\circ\)). 2. Berechnung der entsprechenden Winkel für \(\alpha\): \(\alpha_1 = 2 \cdot 120^\circ = 240^\circ\) und \(\alpha_2 = 2 \cdot 240^\circ = 480^\circ\). 3. Bestimmung der kleinsten Periode der Funktion \(f(\alpha) = \cos(0{,}5\alpha)\): \(p = \frac{360^\circ}{0{,}5} = 720^\circ\). 4. Überprüfung weiterer Lösungen durch Addition/Subtraktion der Periode \(720^\circ\): \(\alpha_1 - 720^\circ = -480^\circ\) (außerhalb), \(\alpha_2 - 720^\circ = -240^\circ\) (innerhalb). \(\alpha_1 + 720^\circ = 960^\circ\) (außerhalb). 5. Zusammenfassung der Lösungen im Intervall \([-360^\circ; 720^\circ]\): \(-240^\circ\), \(240^\circ\) und \(480^\circ\).

\(\alpha \in \{-240^\circ; 240^\circ; 480^\circ\}\)

- Isoliere zuerst den Kosinusausdruck auf einer Seite der Gleichung. - Nutze eine Substitution, um die Gleichung übersichtlicher zu machen. - Bedenke, dass die Kosinusfunktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist. - Wie verändert der Faktor 3 die Anzahl der Lösungen innerhalb eines festen Intervalls im Vergleich zur normalen Kosinusfunktion? - Achte darauf, alle Lösungen durch Berücksichtigung der Periodizität im erweiterten Intervall der Hilfsvariablen zu finden.

1. Division der Gleichung durch 2 führt auf \(\cos(3x) = -0{,}7071\). 2. Bestimmung des Winkels \(z = 3x\) mittels Arkuskosinus ergibt \(z \approx 135^\circ\). Aufgrund der Symmetrie der Kosinusfunktion ist auch \(z \approx -135^\circ\) eine Lösung im Bereich einer Periode. 3. Da \(x\) im Intervall \([-180^\circ; 180^\circ]\) liegt, muss \(z = 3x\) im Intervall \([-540^\circ; 540^\circ]\) untersucht werden. 4. Durch Addition/Subtraktion von Vielfachen der Periode (\(360^\circ\)) ergeben sich für \(z\) folgende Werte: \(-495^\circ, -225^\circ, -135^\circ, 135^\circ, 225^\circ, 495^\circ\). 5. Division der \(z\)-Werte durch 3 ergibt die Lösungen für \(x\): \(-165^\circ, -75^\circ, -45^\circ, 45^\circ, 75^\circ, 165^\circ\).

Die Lösungen sind \(x \in \{-165^\circ; -75^\circ; -45^\circ; 45^\circ; 75^\circ; 165^\circ\}\).

- Isoliere zuerst den Kosinus-Ausdruck auf einer Seite der Gleichung. - Wie hängen zwei Lösungen der Kosinusfunktion innerhalb einer Periode zusammen? - Wie groß ist die Periode der Kosinusfunktion? - Überlege dir, wie viele Perioden in das Intervall von \(-2\pi\) bis \(4\pi\) passen.

1. Umformen der Gleichung zu \(\cos(x) = 0{,}6\). 2. Berechnung des ersten Wertes: \(x_1 = \arccos(0{,}6) \approx 0{,}93\). 3. Bestimmung des zweiten Wertes in der ersten Periode durch Symmetrie: \(x_2 = 2\pi - 0{,}9273 \approx 5{,}36\). Damit ist Teil a) gelöst. 4. Erweiterung auf das Intervall \([-2\pi; 4\pi]\) durch Addition/Subtraktion von \(2\pi \approx 6{,}28\). 5. Für \(k = -1\): \(x_1 - 2\pi \approx -5{,}36\) und \(x_2 - 2\pi \approx -0{,}93\). 6. Für \(k = 1\): \(x_1 + 2\pi \approx 7{,}21\) und \(x_2 + 2\pi \approx 11{,}64\). 7. Alle berechneten Werte (\(-5{,}36; -0{,}93; 0{,}93; 5{,}36; 7{,}21; 11{,}64\)) liegen im Intervall \([-6{,}28; 12{,}57]\).

a) \(L = \{0{,}93; 5{,}36\}\) b) \(L = \{-5{,}36; -0{,}93; 0{,}93; 5{,}36; 7{,}21; 11{,}64\}\)

- Bestimme zuerst die beiden Lösungen im Standardbereich von \(0^\circ\) bis \(360^\circ\). - Wie hängen zwei Winkel zusammen, die denselben Kosinuswert haben? Nutze die Achsensymmetrie der Kosinusfunktion. - Addiere die Periodenlänge \(360^\circ\) so oft zu deinen Basislösungen, bis du im geforderten Bereich zwischen \(540^\circ\) und \(900^\circ\) landest.

1. Bestimmung der Basislösungen im Intervall \([0^\circ; 360^\circ]\): \(\alpha_{base1} = \arccos(-0{,}75) \approx 138{,}59^\circ\). Die zweite Lösung ergibt sich durch Symmetrie an der x-Achse: \(\alpha_{base2} = 360^\circ - 138{,}59^\circ = 221{,}41^\circ\). 2. Verschiebung der Lösungen in das Zielintervall \([540^\circ; 900^\circ]\) durch Addition von Vielfachen der Periode \(k \cdot 360^\circ\). 3. Für \(\alpha_{base1}\): \(138{,}59^\circ + 360^\circ = 498{,}59^\circ\) (zu klein); \(138{,}59^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 858{,}59^\circ\) (im Intervall). 4. Für \(\alpha_{base2}\): \(221{,}41^\circ + 360^\circ = 581{,}41^\circ\) (im Intervall); \(221{,}41^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 941{,}41^\circ\) (zu groß). Die Lösungen im Intervall sind \(\alpha_1 \approx 581{,}41^\circ\) und \(\alpha_2 \approx 858{,}59^\circ\).

\(\alpha_1 \approx 581{,}41^\circ\); \(\alpha_2 \approx 858{,}59^\circ\)