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- Überlege dir, wo die Winkel auf dem Einheitskreis liegen. - Nutze die Periodizität von Sinus und Kosinus, um die Winkel in das Intervall \([0; 2\pi[\) zu verschieben. - Was weißt du über die Symmetrie der Funktionen bei negativen Winkeln? - An welchen Stellen schneiden die Graphen von Sinus und Kosinus die x-Achse?

1. Für \(\sin(-\pi)\): Da die Sinusfunktion eine Periode von \(2\pi\) hat, gilt \(\sin(-\pi) = \sin(-\pi + 2\pi) = \sin(\pi) = 0\). 2. Für \(\cos\left(\frac{7\pi}{2}\right)\): Reduktion durch die Periode \(2\pi = \frac{4\pi}{2}\) ergibt \(\frac{7\pi}{2} - \frac{4\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}\). Es gilt \(\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0\). 3. Für \(\sin\left(\frac{11\pi}{2}\right)\): Reduktion durch \(2 \cdot 2\pi = \frac{8\pi}{2}\) ergibt \(\frac{11\pi}{2} - \frac{8\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}\). Es gilt \(\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1\). 4. Für \(\cos(-4\pi)\): Da \(-4\pi\) ein ganzzahliges Vielfaches von \(2\pi\) ist, entspricht der Wert \(\cos(0) = 1\).

a) \(0\) b) \(0\) c) \(-1\) d) \(1\)

- Erinnere dich an die Periode der Kosinusfunktion. Wie oft wiederholen sich die Werte? - Was passiert mit dem Kosinuswert, wenn du \(2\pi\) zum Argument addierst oder davon subtrahierst? - Unterscheide zwischen geraden und ungeraden Vielfachen von \(\pi\). - Wo auf dem Einheitskreis liegen die Punkte für die jeweiligen Winkel?

1. Nutzung der Periodizität der Kosinusfunktion mit der Periode \(2\pi\), sodass \(\cos(x + k \cdot 2\pi) = \cos(x)\) für alle \(k \in \mathbb{Z}\). 2. Gruppe 1: Die Werte \(7\pi\), \(-3\pi\) und \(15\pi\) lassen sich alle auf die Form \((2k+1)\pi\) bringen. Da \(\cos(\pi) = -1\), ist ihr gemeinsamer Kosinuswert \(-1\). 3. Gruppe 2: Die Werte \(8\pi\), \(-2\pi\) und \(20\pi\) sind alle ganzzahlige Vielfache von \(2\pi\). Da \(\cos(0) = 1\), ist ihr gemeinsamer Kosinuswert \(1\). 4. Gruppe 3: Die Werte \(4{,}5\pi\), \(-1{,}5\pi\) und \(12{,}5\pi\) lassen sich durch Addition oder Subtraktion von Vielfachen von \(2\pi\) auf \(0{,}5\pi\) oder \(1{,}5\pi\) reduzieren. Da \(\cos(0{,}5\pi) = 0\) und \(\cos(1{,}5\pi) = 0\), ist ihr gemeinsamer Kosinuswert \(0\).

Gruppe 1 (Wert \(-1\)): \(7\pi\), \(-3\pi\), \(15\pi\) Gruppe 2 (Wert \(1\)): \(8\pi\), \(-2\pi\), \(20\pi\) Gruppe 3 (Wert \(0\)): \(4{,}5\pi\), \(-1{,}5\pi\), \(12{,}5\pi\)

- Wie viele Grad entsprechen einer vollen Umdrehung auf dem Einheitskreis? - Was passiert mit der Position eines Punktes, wenn du eine oder mehrere volle Umdrehungen addierst oder subtrahierst? - Wie kannst du mathematisch ausdrücken, dass man beliebig oft eine ganze Umdrehung zum Startwinkel hinzufügen kann?

1. Die Lage eines Punktes auf dem Einheitskreis wiederholt sich alle \(360^\circ\). Die gesuchten Winkel haben die Form \(\alpha + k \cdot 360^\circ\) mit \(k \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}\). 2. Berechnung eines Winkels größer als \(720^\circ\): Für \(k = 2\) ergibt sich \(150^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 870^\circ\). 3. Berechnung eines negativen Winkels: Für \(k = -1\) ergibt sich \(150^\circ - 360^\circ = -210^\circ\). 4. Bestimmung weiterer Winkel: Für \(k = 1\) ergibt sich \(150^\circ + 360^\circ = 510^\circ\). Für \(k = -2\) ergibt sich \(150^\circ - 2 \cdot 360^\circ = -570^\circ\).

Mögliche Winkel sind zum Beispiel: \(510^\circ\), \(870^\circ\), \(-210^\circ\) und \(-570^\circ\).

- Wie viele volle Drehungen stecken in dem gegebenen Winkel? - Wenn ein Winkel negativ ist, wie kannst du ihn durch Addieren von vollen Kreisen positiv machen? - Was bleibt übrig, wenn du alle „überflüssigen“ \(360^\circ\)-Schritte entfernst?

1. Bei (1) wird ein Vielfaches von \(360^\circ\) subtrahiert: \(480^\circ - 360^\circ = 120^\circ\). 2. Bei (2) wird ein Vielfaches von \(360^\circ\) addiert, um in den positiven Bereich zu gelangen: \(-210^\circ + 360^\circ = 150^\circ\). 3. Bei (3) wird die Anzahl der vollen Umdrehungen bestimmt: \(1111^\circ : 360^\circ \approx 3{,}086\). Subtraktion von drei Umdrehungen: \(1111^\circ - 3 \cdot 360^\circ = 1111^\circ - 1080^\circ = 31^\circ\). 4. Bei (4) wird die Anzahl der benötigten positiven Umdrehungen bestimmt: \(-1000^\circ : 360^\circ \approx -2{,}77\). Addition von drei Umdrehungen: \(-1000^\circ + 3 \cdot 360^\circ = -1000^\circ + 1080^\circ = 80^\circ\).

(1) \(\alpha^* = 120^\circ\) (2) \(\alpha^* = 150^\circ\) (3) \(\alpha^* = 31^\circ\) (4) \(\alpha^* = 80^\circ\)

- Wie viele Grad entsprechen einer vollen Umdrehung auf dem Einheitskreis? - Überlege, was passiert, wenn du zu einem Winkel \(360^\circ\) addierst oder davon subtrahierst. - Bei negativen Winkeln kannst du so lange \(360^\circ\) addieren, bis du eine positive Zahl erhältst. - Bei Winkeln über \(360^\circ\) hilft es zu schauen, wie oft \(360^\circ\) komplett hineinpasst.

Um den entsprechenden Winkel im Intervall \([0^\circ; 360^\circ[\) zu finden, werden Vielfache von \(360^\circ\) addiert oder subtrahiert, bis der Wert im Zielbereich liegt. 1. Für \(\alpha = 755^\circ\): Berechnung von \(755^\circ - 2 \cdot 360^\circ = 755^\circ - 720^\circ = 35^\circ\). 2. Für \(\alpha = 1100^\circ\): Berechnung von \(1100^\circ - 3 \cdot 360^\circ = 1100^\circ - 1080^\circ = 20^\circ\). 3. Für \(\alpha = -130^\circ\): Da der Winkel negativ ist, Addition einer vollen Drehung: \(-130^\circ + 360^\circ = 230^\circ\). 4. Für \(\alpha = -400^\circ\): Addition von zwei vollen Drehungen erforderlich: \(-400^\circ + 2 \cdot 360^\circ = -400^\circ + 720^\circ = 320^\circ\).

a) \(\alpha^* = 35^\circ\) b) \(\alpha^* = 20^\circ\) c) \(\alpha^* = 230^\circ\) d) \(\alpha^* = 320^\circ\)

- Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf das Gradmaß (DEG) eingestellt ist. - Überlege dir, wie oft ein voller Kreis (\(360^\circ\)) in den gegebenen Winkel passt, um das Ergebnis grob abschätzen zu können. - Denk an die Rundungsregeln: Bei der fünften Nachkommastelle ab 5 wird aufgerundet.

Zur Lösung werden die Winkel direkt in den Taschenrechner eingegeben (Einstellung auf Gradmaß, DEG). 1. \(\sin(1111^\circ) \approx 0{,}5150\) (entspricht \(\sin(31^\circ)\)) 2. \(\cos(-555^\circ) \approx -0{,}9659\) (entspricht \(\cos(165^\circ)\)) 3. \(\sin(-2000^\circ) \approx 0{,}3420\) (entspricht \(\sin(160^\circ)\)) 4. \(\cos(3333^\circ) \approx -0{,}0523\) (entspricht \(\cos(93^\circ)\))

1. \(0{,}5150\) 2. \(-0{,}9659\) 3. \(0{,}3420\) 4. \(-0{,}0523\)

- Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf das Gradmaß (DEG) eingestellt ist. - Überlege dir, in welchem Quadranten der Winkel liegt, um das Vorzeichen der Ergebnisse zu prüfen. - Winkel, die sich um Vielfache von \(360^\circ\) unterscheiden, haben dieselben Sinus- und Kosinuswerte.

1. Berechnung für \(485^\circ\): \(\sin(485^\circ) \approx 0{,}8192\) und \(\cos(485^\circ) \approx -0{,}5736\). 2. Berechnung für \(-210^\circ\): \(\sin(-210^\circ) = 0{,}5000\) und \(\cos(-210^\circ) \approx -0{,}8660\). 3. Berechnung für \(1500^\circ\): \(\sin(1500^\circ) \approx 0{,}8660\) und \(\cos(1500^\circ) = 0{,}5000\).

a) \(\sin(485^\circ) \approx 0{,}8192\); \(\cos(485^\circ) \approx -0{,}5736\) b) \(\sin(-210^\circ) = 0{,}5000\); \(\cos(-210^\circ) \approx -0{,}8660\) c) \(\sin(1500^\circ) \approx 0{,}8660\); \(\cos(1500^\circ) = 0{,}5000\)

- Überlege dir, wie viele volle Umdrehungen im Einheitskreis in dem gegebenen Winkel stecken. - Was passiert mit dem Sinus- oder Kosinuswert, wenn du \(360^\circ\) zum Winkel addierst oder davon abziehst? - Bei negativen Winkeln kannst du so lange \(360^\circ\) addieren, bis du eine positive Zahl erhältst.

1. Da die Sinus- und Kosinusfunktionen periodisch mit einer Periodenlänge von \(360^\circ\) sind, wird das Vielfache von \(360^\circ\) so addiert oder subtrahiert, dass das Ergebnis im gewünschten Intervall liegt. 2. Für a): \(410^\circ - 1 \cdot 360^\circ = 50^\circ\). Somit ist \(\sin 410^\circ = \sin 50^\circ\). 3. Für b): \(800^\circ - 2 \cdot 360^\circ = 800^\circ - 720^\circ = 80^\circ\). Somit ist \(\cos 800^\circ = \cos 80^\circ\). 4. Für c): \(-50^\circ + 1 \cdot 360^\circ = 310^\circ\). Somit ist \(\sin(-50^\circ) = \sin 310^\circ\).

a) \(\sin 50^\circ\) b) \(\cos 80^\circ\) c) \(\sin 310^\circ\)

- Was passiert mit dem Sinus- oder Kosinuswert, wenn man eine volle Umdrehung zum Winkel addiert? - Wie kannst du einen negativen Winkel in den positiven Bereich verschieben, ohne den Punkt auf dem Einheitskreis zu verändern? - Stell dir die Drehung am Einheitskreis vor: Wo landest du, wenn du in die negative Richtung drehst?

1. Anwendung der Periodizität von Sinus und Kosinus: \(f(\alpha) = f(\alpha + k \cdot 360^\circ)\) für \(k \in \mathbb{Z}\). 2. Berechnung der äquivalenten Winkel im Intervall \([0^\circ; 360^\circ]\) durch Addition von \(360^\circ\). 3. Ergebnisse: a) \(-55^\circ + 360^\circ = 305^\circ \Rightarrow \sin(305^\circ)\) b) \(-130^\circ + 360^\circ = 230^\circ \Rightarrow \cos(230^\circ)\) c) \(-250^\circ + 360^\circ = 110^\circ \Rightarrow \sin(110^\circ)\) d) \(-315^\circ + 360^\circ = 45^\circ \Rightarrow \cos(45^\circ)\)

a) \(\sin(305^\circ)\) b) \(\cos(230^\circ)\) c) \(\sin(110^\circ)\) d) \(\cos(45^\circ)\)

- Was weißt du über die Periodizität von Sinus und Kosinus? Nach welcher Drehung wiederholen sich die Werte? - Wie kannst du einen negativen Winkel in einen positiven Winkel umwandeln, der denselben Punkt auf dem Einheitskreis beschreibt? - Versuche, Vielfache von \(2\pi\) (also \(\frac{2\pi}{1}, \frac{4\pi}{2}, \frac{12\pi}{6}\) usw.) zu addieren oder zu subtrahieren. - Liegt dein Ergebnis am Ende wirklich zwischen \(0\) und \(2\pi\)?

Um einen Winkel \(x\) im Intervall \([0; 2\pi]\) zu finden, nutzen wir die Periodizität von Sinus und Kosinus mit der Periodenlänge \(2\pi\). Wir addieren oder subtrahieren Vielfache von \(2\pi\), bis das Ergebnis im gewünschten Bereich liegt. 1. Für \(\sin\left(\frac{17}{4}\pi\right)\): Da \(\frac{17}{4}\pi = 4\frac{1}{4}\pi\) ist, subtrahieren wir \(2 \cdot 2\pi = 4\pi\). Es ergibt sich \(\frac{17}{4}\pi - \frac{16}{4}\pi = \frac{1}{4}\pi\). Somit ist \(\sin\left(\frac{17}{4}\pi\right) = \sin\left(\frac{1}{4}\pi\right)\). 2. Für \(\cos\left(-\frac{2}{3}\pi\right)\): Da der Winkel negativ ist, addieren wir \(2\pi\). Es ergibt sich \(-\frac{2}{3}\pi + \frac{6}{3}\pi = \frac{4}{3}\pi\). Somit ist \(\cos\left(-\frac{2}{3}\pi\right) = \cos\left(\frac{4}{3}\pi\right)\). 3. Für \(\sin\left(-\frac{7}{6}\pi\right)\): Wir addieren \(2\pi\). Es ergibt sich \(-\frac{7}{6}\pi + \frac{12}{6}\pi = \frac{5}{6}\pi\). Somit ist \(\sin\left(-\frac{7}{6}\pi\right) = \sin\left(\frac{5}{6}\pi\right)\). 4. Für \(\cos\left(\frac{19}{6}\pi\right)\): Da \(\frac{19}{6}\pi = 3\frac{1}{6}\pi\) ist, subtrahieren wir \(2\pi\). Es ergibt sich \(\frac{19}{6}\pi - \frac{12}{6}\pi = \frac{7}{6}\pi\). Somit ist \(\cos\left(\frac{19}{6}\pi\right) = \cos\left(\frac{7}{6}\pi\right)\).

a) \(\sin\left(\frac{1}{4}\pi\right)\) b) \(\cos\left(\frac{4}{3}\pi\right)\) c) \(\sin\left(\frac{5}{6}\pi\right)\) d) \(\cos\left(\frac{7}{6}\pi\right)\)

- Wie oft passt eine volle Drehung in den gegebenen Winkel? - Überlege dir am Einheitskreis, welche x-Koordinate der Punkt auf dem Kreis bei dem jeweiligen Winkel hat. - Gibt es einen anderen Punkt auf dem Einheitskreis, der dieselbe x-Koordinate besitzt? - Nutze die Symmetrieeigenschaft \(\cos(\alpha) = \cos(360^\circ - \alpha)\).

1. Für \(\alpha_1 = 480^\circ\): Division durch \(360^\circ\) ergibt \(480^\circ = 120^\circ + 1 \cdot 360^\circ\), also \(\alpha_1' = 120^\circ\). 2. Wegen der Symmetrie der Kosinusfunktion am Einheitskreis gilt \(\cos(\alpha') = \cos(360^\circ - \alpha')\). Für \(\alpha_1' = 120^\circ\) ergibt sich \(360^\circ - 120^\circ = 240^\circ\). 3. Für \(\alpha_2 = -150^\circ\): Addition von \(360^\circ\) ergibt \(-150^\circ = 210^\circ + (-1) \cdot 360^\circ\), also \(\alpha_2' = 210^\circ\). 4. Für \(\alpha_2' = 210^\circ\) ergibt sich durch Symmetrie \(360^\circ - 210^\circ = 150^\circ\).

a) \(\alpha_1 = 120^\circ + 1 \cdot 360^\circ\); \(\alpha_2 = 210^\circ + (-1) \cdot 360^\circ\) b) Für \(\alpha_1\): \(240^\circ\); für \(\alpha_2\): \(150^\circ\)

- Was passiert mit dem Sinuswert, wenn man \(360^\circ\) addiert oder subtrahiert? - Erinnere dich an die Symmetrie \(\sin(\alpha) = \sin(180^\circ - \alpha)\). - Wie kannst du von einem bekannten Winkel aus weitere Winkel finden, die außerhalb des Bereichs von \(0^\circ\) bis \(360^\circ\) liegen?

1. Reduktion auf das Grundintervall: \(620^\circ - 360^\circ = 260^\circ\), also \(\alpha' = 260^\circ\). 2. Bestimmung eines negativen Winkels \(\beta_1\): Durch Periodizität ergibt sich \(260^\circ - 360^\circ = -100^\circ\). Alternativ über die Symmetrie \(\sin(180^\circ - \alpha)\): \(180^\circ - 260^\circ = -80^\circ\). 3. Bestimmung eines Winkels \(\beta_2 > 720^\circ\): Durch Periodizität ausgehend von \(\alpha'\) ergibt sich \(260^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 980^\circ\). Alternativ ausgehend von der Symmetrie \(\sin(-80^\circ)\): \(-80^\circ + 3 \cdot 360^\circ = 1000^\circ\).

a) \(\alpha' = 260^\circ\) b) Mögliche Werte sind \(\beta_1 = -100^\circ\) (oder \(-80^\circ\)) und \(\beta_2 = 980^\circ\) (oder \(1000^\circ\)).

- Stelle sicher, dass dein Taschenrechner auf das Bogenmaß (RAD) eingestellt ist. - Überlege dir, wie oft die Periode \(2\pi\) in den Winkel passt, um einen äquivalenten Winkel zwischen \(0\) und \(2\pi\) zu finden. - Was weißt du über die Symmetrie der Sinus- und Kosinusfunktion bei negativen Vorzeichen?

1. Für \(\sin(2{,}8\pi)\): Durch Subtraktion von \(2\pi\) ergibt sich \(\sin(0{,}8\pi)\). Der berechnete Wert ist \(\approx 0{,}587785\), gerundet \(0{,}588\). 2. Für \(\cos(10)\): Das Argument \(10\,\text{rad}\) entspricht etwa \(10 \pmod{2\pi} \approx 3{,}717\,\text{rad}\). Der Wert ist \(\approx -0{,}83907\), gerundet \(-0{,}839\). 3. Für \(\sin(-4{,}5)\): Das Argument liegt im Intervall \([-2\pi, 0]\). Der Wert ist \(\approx 0{,}97753\), gerundet \(0{,}978\). 4. Für \(\cos(-\frac{13\pi}{6})\): Durch Addition von \(2\pi\) erhält man \(\cos(-\frac{\pi}{6})\), was aufgrund der Symmetrie gleich \(\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) ist. Der Wert ist \(\approx 0{,}866025\), gerundet \(0{,}866\).

a) \(0{,}588\) b) \(-0{,}839\) c) \(0{,}978\) d) \(0{,}866\)

- Überprüfe, ob dein Taschenrechner auf das Bogenmaß (RAD) eingestellt ist. - Nutze die Periodizität von \(2\pi\), um große Winkel auf das Intervall zwischen \(0\) und \(2\pi\) zu bringen. - Erinnere dich an die Symmetrieeigenschaften von Sinus und Kosinus am Einheitskreis. - Überlege dir bei jedem Winkel, in welchem Quadranten er liegt, um das Vorzeichen des Ergebnisses zu prüfen.

1. Reduktion des Winkels \(\frac{9\pi}{4}\) mithilfe der Periodizität: \(\frac{9\pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4}\). Da die Sinusfunktion eine Periode von \(2\pi\) hat, gilt \(\sin\left(\frac{9\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707\). 2. Berechnung von \(\cos(-1{,}2)\): Da die Kosinusfunktion achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist, gilt \(\cos(-1{,}2) = \cos(1{,}2)\). Der Taschenrechner (im Bogenmaß-Modus, RAD) liefert \(\cos(1{,}2) \approx 0{,}362\). 3. Berechnung von \(\sin(3)\): Der Winkel \(3\) liegt im zweiten Quadranten (da \(\frac{\pi}{2} < 3 < \pi\)). Der Taschenrechner liefert \(\sin(3) \approx 0{,}141\).

\(\sin\left(\frac{9\pi}{4}\right) \approx 0{,}707\) \(\cos(-1{,}2) \approx 0{,}362\) \(\sin(3) \approx 0{,}141\)

- Achte darauf, dass Winkelangaben ohne Gradzeichen als Bogenmaß zu interpretieren sind. - Wie oft passt der volle Kreisumfang \(2\pi\) in den gegebenen Winkel hinein? - Bei negativen Winkeln kannst du dir die Drehung im Uhrzeigersinn vorstellen oder \(2\pi\) addieren, um einen positiven Ersatzwinkel zu finden. - Welche besonderen Werte für Sinus und Kosinus kennst du auswendig?

1. Anwendung der Periodizität auf \(\cos\left(\frac{13\pi}{3}\right)\): Es gilt \(\frac{13\pi}{3} = 4\pi + \frac{\pi}{3}\). Aufgrund der Periode \(2\pi\) ist \(\cos\left(\frac{13\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 0{,}500\). 2. Berechnung von \(\sin(-4)\): Der Winkel \(-4\) liegt im zweiten Quadranten (da \(-\frac{3\pi}{2} < -4 < -\pi\)). Der Taschenrechner liefert \(\sin(-4) \approx 0{,}757\). 3. Reduktion von \(\cos(10)\): Da \(10 \approx 3{,}18\pi\), kann man \(2\pi\) abziehen: \(10 - 2\pi \approx 3{,}717\). Dieser Winkel liegt im dritten Quadranten. Der Taschenrechner liefert \(\cos(10) \approx -0{,}839\).

\(\cos\left(\frac{13\pi}{3}\right) = 0{,}500\) \(\sin(-4) \approx 0{,}757\) \(\cos(10) \approx -0{,}839\)

- Nutze den Einheitskreis, um zu sehen, welche Winkel dieselbe \(y\)-Koordinate haben. - Welche Symmetrieeigenschaften besitzt die Sinusfunktion bezüglich der Geraden \(x = \frac{\pi}{2}\)? - Wie hängen \(\sin(x)\) und \(\sin(-x)\) zusammen? - Addiere oder subtrahiere \(2\pi\) (\(360^\circ\)), um Winkel in das Standardintervall \([0; 2\pi[\) zu bringen.

1. Anwendung der Periodizität \(\sin(x + 2k\pi) = \sin(x)\) und der Symmetrie \(\sin(\pi - x) = \sin(x)\) sowie \(\sin(-x) = -\sin(x)\). 2. Analyse der ersten Gruppe: \(\sin(\frac{\pi}{6}) = 0{,}5\). Durch Symmetrie an der y-Achse gilt \(\sin(\frac{5\pi}{6}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = 0{,}5\). Durch Periodizität gilt \(\sin(\frac{13\pi}{6}) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{6}) = 0{,}5\) und \(\sin(-\frac{7\pi}{6}) = \sin(-\frac{7\pi}{6} + 2\pi) = \sin(\frac{5\pi}{6}) = 0{,}5\). 3. Analyse der zweiten Gruppe: \(\sin(-\frac{\pi}{6}) = -0{,}5\). Durch Periodizität gilt \(\sin(\frac{11\pi}{6}) = \sin(\frac{11\pi}{6} - 2\pi) = \sin(-\frac{\pi}{6}) = -0{,}5\). Durch Punkt- oder Achsensymmetrie folgt \(\sin(\frac{7\pi}{6}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -0{,}5\) und \(\sin(-\frac{5\pi}{6}) = \sin(-\frac{5\pi}{6} + 2\pi) = \sin(\frac{7\pi}{6}) = -0{,}5\).

Gruppe 1 (Wert \(0{,}5\)): \(\sin(\frac{\pi}{6})\), \(\sin(\frac{5\pi}{6})\), \(\sin(\frac{13\pi}{6})\), \(\sin(-\frac{7\pi}{6})\) Gruppe 2 (Wert \(-0{,}5\)): \(\sin(-\frac{\pi}{6})\), \(\sin(\frac{7\pi}{6})\), \(\sin(\frac{11\pi}{6})\), \(\sin(-\frac{5\pi}{6})\)

- Was passiert mit den Werten von Sinus und Kosinus, wenn man eine volle Umdrehung zum Winkel addiert oder subtrahiert? - Kannst du den negativen Winkel so verändern, dass er positiv wird, ohne den Funktionswert zu ändern? - Erinnere dich an die markanten Punkte am Einheitskreis. - Wie hängen Winkel im zweiten Quadranten mit den Winkeln im ersten Quadranten zusammen?

1. Reduktion des Arguments von \(\sin\left(\frac{9\pi}{4}\right)\) durch Subtraktion der Periode \(2\pi\): \(\frac{9\pi}{4} - 2\pi = \frac{9\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = \frac{\pi}{4}\). 2. Bestimmung des Funktionswertes: \(\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\). 3. Reduktion des Arguments von \(\sin\left(-\frac{7\pi}{6}\right)\) durch Addition der Periode \(2\pi\): \(-\frac{7\pi}{6} + 2\pi = -\frac{7\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}\). 4. Bestimmung des Funktionswertes unter Nutzung der Symmetrie \(\sin(\pi - x) = \sin(x)\) oder des Einheitskreises: \(\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\).

a) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) b) \(\frac{1}{2}\)

- Wie oft passt eine volle Umdrehung in den gegebenen Winkel hinein? - Welche Koordinaten hat ein Punkt auf dem Einheitskreis bei bestimmten Winkeln? - Überlege dir, in welchem Quadranten der jeweilige Winkel liegt. - Welche Vorzeichen haben die Koordinaten in den verschiedenen Quadranten?

1. Reduktion des Winkels \(\frac{14\pi}{3}\) durch Subtraktion des größten Vielfachen von \(2\pi\), das kleiner als der Winkel ist: \(\frac{14\pi}{3} - 4\pi = \frac{14\pi}{3} - \frac{12\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}\). 2. Bestimmung des Funktionswertes im zweiten Quadranten: \(\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}\). 3. Reduktion des Winkels \(-\frac{3\pi}{2}\) durch Addition der Periode \(2\pi\): \(-\frac{3\pi}{2} + 2\pi = \frac{\pi}{2}\). 4. Bestimmung des Funktionswertes an der vertikalen Achse: \(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0\).

a) \(-\frac{1}{2}\) b) \(0\)

- Welchem Wert in Grad entspricht eine volle Umdrehung im Bogenmaß? - Wie addiert oder subtrahiert man Vielfache von \(2\pi\) zu einem Bruch mit \(\pi\)? - Welche Bedingung muss ein Winkel erfüllen, um im Intervall \([-2\pi; 0[\) zu liegen?

1. Punkte auf dem Einheitskreis wiederholen sich im Bogenmaß nach einer vollen Umdrehung von \(2\pi\). Alle äquivalenten Winkel haben die Form \(x + k \cdot 2\pi\) für \(k \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}\). 2. Bestimmung des Winkels im Intervall \([-2\pi; 0[\): Mit \(k = -1\) berechnet man \(\frac{3}{4}\pi - 2\pi = \frac{3}{4}\pi - \frac{8}{4}\pi = -\frac{5}{4}\pi\). 3. Bestimmung zweier weiterer Winkel: Mit \(k = 1\) ergibt sich \(\frac{3}{4}\pi + 2\pi = \frac{3}{4}\pi + \frac{8}{4}\pi = \frac{11}{4}\pi\). Mit \(k = 2\) ergibt sich \(\frac{3}{4}\pi + 4\pi = \frac{3}{4}\pi + \frac{16}{4}\pi = \frac{19}{4}\pi\).

Mögliche Winkel sind zum Beispiel: \(-\frac{5}{4}\pi\), \(\frac{11}{4}\pi\) und \(\frac{19}{4}\pi\).

- Wie viele volle Umdrehungen (zu je \(360^\circ\)) stecken in dem gegebenen Winkel? - Überlege, in welchem Quadranten der reduzierte Winkel liegt, um das Vorzeichen zu bestimmen. - Gibt es einen Zusammenhang zwischen dem Winkel und den bekannten Werten für \(30^\circ\), \(45^\circ\) oder \(60^\circ\)?

1. Reduktion von \(480^\circ\): Da die Funktionen eine Periode von \(360^\circ\) haben, berechnet man \(480^\circ - 360^\circ = 120^\circ\). Damit gilt \(\sin(480^\circ) = \sin(120^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866\) und \(\cos(480^\circ) = \cos(120^\circ) = -\cos(60^\circ) = -0{,}5\). 2. Reduktion von \(1125^\circ\): Man bestimmt die Anzahl der vollen Umdrehungen durch \(1125 : 360 = 3\) Rest \(45\), also \(1125^\circ - 3 \cdot 360^\circ = 45^\circ\). Damit gilt \(\sin(1125^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707\) und \(\cos(1125^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707\).

a) \(\sin(480^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866\); \(\cos(480^\circ) = -0{,}5\) b) \(\sin(1125^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707\); \(\cos(1125^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707\)

- Was passiert mit dem Winkel am Einheitskreis, wenn du \(360^\circ\) addierst? - Erinnere dich an die Symmetrie: Was weißt du über \(\sin(-\alpha)\) und \(\cos(-\alpha)\) im Vergleich zu \(\sin(\alpha)\) und \(\cos(\alpha)\)? - Ein negativer Winkel bedeutet eine Drehung im Uhrzeigersinn. Wo landest du dann im Koordinatensystem?

1. Für \(-210^\circ\): Durch Addition von \(360^\circ\) erhält man den äquivalenten Winkel \(150^\circ\). Es gilt \(\sin(-210^\circ) = \sin(150^\circ) = \sin(30^\circ) = 0{,}5\). Für den Kosinus gilt \(\cos(-210^\circ) = \cos(150^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0{,}866\). 2. Für \(-420^\circ\): Durch zweimalige Addition von \(360^\circ\) (oder Addition von \(720^\circ\)) erhält man \(-420^\circ + 720^\circ = 300^\circ\). Alternativ nutzt man \(\sin(-420^\circ) = \sin(-60^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0{,}866\) und \(\cos(-420^\circ) = \cos(-60^\circ) = \cos(60^\circ) = 0{,}5\).

a) \(\sin(-210^\circ) = 0{,}5\); \(\cos(-210^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0{,}866\) b) \(\sin(-420^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0{,}866\); \(\cos(-420^\circ) = 0{,}5\)

- Wie oft muss man den Einheitskreis umrunden, um wieder an derselben Stelle anzukommen? - Gibt es eine Formel, mit der man alle Winkel berechnen kann, die an der gleichen Stelle liegen? - Überprüfe systematisch positive und negative Vielfache einer vollen Umdrehung. - Achte darauf, dass deine Ergebnisse innerhalb der vorgegebenen Grenzen liegen.

1. Die Lage eines Punktes auf dem Einheitskreis wiederholt sich alle \(360^\circ\). Die allgemeine Formel für alle Winkel mit gleicher Lage ist \(\beta = \alpha + k \cdot 360^\circ\) mit \(k \in \mathbb{Z}\). 2. Für \(k = 1\): \(\beta = 225^\circ + 360^\circ = 585^\circ\). 3. Für \(k = 2\): \(\beta = 225^\circ + 720^\circ = 945^\circ\) (liegt außerhalb des Intervalls). 4. Für \(k = -1\): \(\beta = 225^\circ - 360^\circ = -135^\circ\). 5. Für \(k = -2\): \(\beta = 225^\circ - 720^\circ = -495^\circ\). 6. Für \(k = -3\): \(\beta = 225^\circ - 1080^\circ = -855^\circ\). 7. Für \(k = -4\): \(\beta = 225^\circ - 1440^\circ = -1215^\circ\) (liegt außerhalb des Intervalls). Die gesuchten Winkel sind \(-855^\circ\), \(-495^\circ\), \(-135^\circ\) und \(585^\circ\).

\(\beta \in \{-855^\circ; -495^\circ; -135^\circ; 585^\circ\}\)

- Wann landen zwei verschiedene Drehwinkel an der exakt gleichen Stelle auf dem Kreis? - Versuche, jeden Winkel so umzurechnen, dass er zwischen \(0^\circ\) und \(360^\circ\) liegt. - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, den Rest nach vollen Umdrehungen zu finden? - Achte besonders auf die Vorzeichen bei den negativen Winkeln.

Jeder Winkel wird durch Addition oder Subtraktion von Vielfachen von \(360^\circ\) auf das Intervall \([0^\circ; 360^\circ[\) normiert und anschließend mit \(\beta = 210^\circ\) verglichen. 1. \(\alpha_1\): \(570^\circ - 360^\circ = 210^\circ\). Dies entspricht der Lage von \(\beta\). 2. \(\alpha_2\): \(-150^\circ + 360^\circ = 210^\circ\). Dies entspricht der Lage von \(\beta\). 3. \(\alpha_3\): \(910^\circ - 2 \cdot 360^\circ = 910^\circ - 720^\circ = 190^\circ\). Dies entspricht nicht \(\beta\). Der normierte Wert ist \(190^\circ\). 4. \(\alpha_4\): \(-510^\circ + 2 \cdot 360^\circ = -510^\circ + 720^\circ = 210^\circ\). Dies entspricht der Lage von \(\beta\).

a) Beschreibt dieselbe Lage (\(210^\circ\)). b) Beschreibt dieselbe Lage (\(210^\circ\)). c) Beschreibt eine andere Lage; der entsprechende Winkel ist \(190^\circ\). d) Beschreibt dieselbe Lage (\(210^\circ\)).

- Winkel wiederholen sich alle \(360^\circ\). Addiere oder subtrahiere Vielfache von \(360^\circ\), um in den Bereich zwischen \(0^\circ\) und \(360^\circ\) zu gelangen. - Prüfe nach der Umrechnung des Winkels mit dem Taschenrechner, ob der Sinus- oder Kosinuswert des neuen Winkels tatsächlich mit dem ursprünglichen Wert übereinstimmt. - Was bedeutet ein negatives Vorzeichen bei einem Winkel für die Drehrichtung am Einheitskreis?

1. Berechnung des reduzierten Winkels: \(980^\circ - 2 \cdot 360^\circ = 260^\circ\). Der Wert ist \(\cos(260^\circ) \approx -0{,}1736\). 2. Berechnung des reduzierten Winkels: \(-440^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 280^\circ\). Der Wert ist \(\sin(280^\circ) \approx -0{,}9848\). 3. Berechnung des reduzierten Winkels: \(-1234^\circ + 4 \cdot 360^\circ = 206^\circ\). Der Wert ist \(\cos(206^\circ) \approx -0{,}8988\). 4. Berechnung des reduzierten Winkels: \(1850^\circ - 5 \cdot 360^\circ = 50^\circ\). Der Wert ist \(\sin(50^\circ) \approx 0{,}7660\).

1. \(\approx -0{,}1736\); reduzierter Winkel: \(260^\circ\) 2. \(\approx -0{,}9848\); reduzierter Winkel: \(280^\circ\) 3. \(\approx -0{,}8988\); reduzierter Winkel: \(206^\circ\) 4. \(\approx 0{,}7660\); reduzierter Winkel: \(50^\circ\)

- Um einen Winkel in das Standardintervall zu bringen, kannst du Vielfache von \(360^\circ\) addieren oder subtrahieren. - Wie oft passt der Vollwinkel \(360^\circ\) in den gegebenen Winkel hinein? - Der Kosinuswert eines Winkels ist identisch mit dem Kosinuswert seines entsprechenden Winkels im Standardintervall.

1. Für \(930^\circ\): \(930^\circ - 2 \cdot 360^\circ = 210^\circ\). Somit ist \(\beta_0 = 210^\circ\). Der Wert ist \(\cos(930^\circ) \approx -0{,}8660\). 2. Für \(-100^\circ\): \(-100^\circ + 360^\circ = 260^\circ\). Somit ist \(\beta_0 = 260^\circ\). Der Wert ist \(\cos(-100^\circ) \approx -0{,}1736\). 3. Für \(-750^\circ\): \(-750^\circ + 3 \cdot 360^\circ = 330^\circ\). Somit ist \(\beta_0 = 330^\circ\). Der Wert ist \(\cos(-750^\circ) \approx 0{,}8660\).

a) \(\beta_0 = 210^\circ\); \(\cos(930^\circ) \approx -0{,}8660\) b) \(\beta_0 = 260^\circ\); \(\cos(-100^\circ) \approx -0{,}1736\) c) \(\beta_0 = 330^\circ\); \(\cos(-750^\circ) \approx 0{,}8660\)

- Überlege, wie oft der volle Kreis von \(360^\circ\) in den gegebenen Winkel passt. - Erinnere dich an die Symmetrie: Ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung? - Nutze die bekannten Werte für \(30^\circ\), \(45^\circ\) und \(60^\circ\) als Referenz. - Ein Vorzeichenwechsel kann auftreten, wenn der Winkel in einen anderen Quadranten fällt.

1. Reduktion durch Periodizität (\(k \cdot 360^\circ\)) oder Anwendung der Symmetrie: a) \(\sin(420^\circ) = \sin(420^\circ - 360^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) b) \(\cos(750^\circ) = \cos(750^\circ - 720^\circ) = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) c) \(\sin(-150^\circ) = \sin(-150^\circ + 360^\circ) = \sin(210^\circ) = -\sin(30^\circ) = -0{,}5\) d) \(\cos(-225^\circ) = \cos(225^\circ) = \cos(180^\circ + 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) e) \(\sin(540^\circ) = \sin(540^\circ - 360^\circ) = \sin(180^\circ) = 0\)

a) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) b) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) c) \(-0{,}5\) d) \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) e) \(0\)

- Suche zuerst den entsprechenden Winkel zwischen \(0^\circ\) und \(360^\circ\), indem du Vielfache von \(360^\circ\) addierst oder subtrahierst. - Bestimme, in welchem Quadranten der Winkel \(\beta\) liegt, um das Vorzeichen des Funktionswertes festzulegen. - Überlege, welcher „spitze“ Referenzwinkel (\(30^\circ, 45^\circ, 60^\circ\)) dir beim Berechnen des exakten Wertes helfen kann.

1. Bestimmung von \(\beta \in [0^\circ; 360^\circ)\) durch Addition oder Subtraktion von Vielfachen von \(360^\circ\): a) \(\beta = 405^\circ - 360^\circ = 45^\circ\); \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) b) \(\beta = -300^\circ + 360^\circ = 60^\circ\); \(\cos(60^\circ) = 0{,}5\) c) \(\beta = 1020^\circ - 2 \cdot 360^\circ = 300^\circ\); \(\sin(300^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) d) \(\beta = -120^\circ + 360^\circ = 240^\circ\); \(\cos(240^\circ) = -\cos(60^\circ) = -0{,}5\)

a) \(\beta = 45^\circ\); Wert: \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) b) \(\beta = 60^\circ\); Wert: \(0{,}5\) c) \(\beta = 300^\circ\); Wert: \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) d) \(\beta = 240^\circ\); Wert: \(-0{,}5\)

- Überlege dir, nach welcher Drehung ein Punkt auf dem Kreis wieder an der exakt gleichen Stelle landet. - Wie oft passt eine volle Umdrehung in das angegebene Intervall? - Denke daran, sowohl positive als auch negative Vielfache einer vollen Umdrehung zu addieren. - Prüfe am Ende, ob alle deine Ergebnisse wirklich zwischen den Grenzen des Intervalls liegen.

1. Identifikation der Periodizität: Ein Punkt auf dem Einheitskreis wird durch Winkel der Form \(x_k = x_0 + k \cdot 2\pi\) mit \(k \in \mathbb{Z}\) beschrieben. Hier ist \(x_0 = \frac{2}{3}\pi\). 2. Berechnung für verschiedene Werte von \(k\): - Für \(k = 0\): \(x_0 = \frac{2}{3}\pi \approx 0{,}67\pi\) (liegt im Intervall). - Für \(k = 1\): \(\frac{2}{3}\pi + 2\pi = \frac{8}{3}\pi \approx 2{,}67\pi\) (liegt im Intervall). - Für \(k = 2\): \(\frac{2}{3}\pi + 4\pi = \frac{14}{3}\pi \approx 4{,}67\pi\) (außerhalb). - Für \(k = -1\): \(\frac{2}{3}\pi - 2\pi = -\frac{4}{3}\pi \approx -1{,}33\pi\) (liegt im Intervall). - Für \(k = -2\): \(\frac{2}{3}\pi - 4\pi = -\frac{10}{3}\pi \approx -3{,}33\pi\) (außerhalb). 3. Zusammenfassung der gültigen Werte: \(-\frac{4}{3}\pi\), \(\frac{2}{3}\pi\) und \(\frac{8}{3}\pi\).

Die gesuchten Winkel sind \(-\frac{4}{3}\pi\), \(\frac{2}{3}\pi\) und \(\frac{8}{3}\pi\).

- Ein Punkt wiederholt sich alle \(2\pi\). Wie kannst du das mathematisch ausdrücken? - Da das Intervall bei \(0\) beginnt, musst du so viele volle Umdrehungen addieren, bis du in den positiven Bereich kommst. - Achte darauf, die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, um sie leichter vergleichen zu können.

1. Aufstellen der allgemeinen Formel für deckungsgleiche Punkte: \(x = -\frac{\pi}{6} + k \cdot 2\pi\) für \(k \in \mathbb{Z}\). 2. Bestimmung der relevanten \(k\)-Werte durch Einsetzen und Abgleich mit dem Intervall \([0; 6\pi]\): - \(k = 0\): \(-\frac{\pi}{6}\) (zu klein, da \(< 0\)). - \(k = 1\): \(-\frac{\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{11}{6}\pi \approx 1{,}83\pi\) (liegt im Intervall). - \(k = 2\): \(-\frac{\pi}{6} + \frac{24\pi}{6} = \frac{23}{6}\pi \approx 3{,}83\pi\) (liegt im Intervall). - \(k = 3\): \(-\frac{\pi}{6} + \frac{36\pi}{6} = \frac{35}{6}\pi \approx 5{,}83\pi\) (liegt im Intervall). - \(k = 4\): \(-\frac{\pi}{6} + \frac{48\pi}{6} = \frac{47}{6}\pi \approx 7{,}83\pi\) (zu groß, da \(> 6\pi\)). 3. Liste der Lösungen: \(\frac{11}{6}\pi, \frac{23}{6}\pi, \frac{35}{6}\pi\).

Die Winkel sind \(\frac{11}{6}\pi\), \(\frac{23}{6}\pi\) und \(\frac{35}{6}\pi\).

- Ein Winkel kann beliebig oft um \(360^\circ\) verändert werden, ohne dass sich der Sinus- oder Kosinuswert ändert. - Wie oft passt \(360^\circ\) in den gegebenen Winkel hinein? - Achte bei negativen Winkeln darauf, dass das Endergebnis positiv sein muss.

1. Anwendung der Periodizität von Sinus und Kosinus (\(k \cdot 360^\circ\)). 2. Für a): Addiere \(360^\circ\) zum Winkel: \(-210^\circ + 360^\circ = 150^\circ\). Ergebnis: \(\cos 150^\circ\). 3. Für b): Division durch \(360^\circ\) ergibt \(1100^\circ : 360^\circ \approx 3{,}05\). Subtrahiere \(3 \cdot 360^\circ = 1080^\circ\) vom Winkel: \(1100^\circ - 1080^\circ = 20^\circ\). Ergebnis: \(\sin 20^\circ\). 4. Für c): Addiere ein Vielfaches von \(360^\circ\), um in den positiven Bereich zu kommen. \(3 \cdot 360^\circ = 1080^\circ\). Rechnung: \(-750^\circ + 1080^\circ = 330^\circ\). Alternativ: \(-750^\circ + 2 \cdot 360^\circ = -30^\circ\), dann \(-30^\circ + 360^\circ = 330^\circ\). Ergebnis: \(\cos 330^\circ\).

a) \(\cos 150^\circ\) b) \(\sin 20^\circ\) c) \(\cos 330^\circ\)

- Wie oft passt eine volle Umdrehung von \(360^\circ\) in den gegebenen Winkel? - Kannst du Vielfache von \(360^\circ\) addieren oder subtrahieren, um im gewünschten Bereich zu landen? - Erinnere dich daran, dass sich die Werte von Sinus und Kosinus nach jeder vollen Umdrehung wiederholen.

1. Nutzung der Periodizität \(f(\alpha) = f(\alpha + k \cdot 360^\circ)\), um Winkel in das Standardintervall zu transformieren. 2. Schrittweise Berechnung: a) \(420^\circ - 360^\circ = 60^\circ \Rightarrow \cos(60^\circ)\) b) \(750^\circ - 2 \cdot 360^\circ = 750^\circ - 720^\circ = 30^\circ \Rightarrow \sin(30^\circ)\) c) \(-20^\circ + 360^\circ = 340^\circ \Rightarrow \cos(340^\circ)\) d) \(-400^\circ + 2 \cdot 360^\circ = -400^\circ + 720^\circ = 320^\circ \Rightarrow \sin(320^\circ)\)

a) \(\cos(60^\circ)\) b) \(\sin(30^\circ)\) c) \(\cos(340^\circ)\) d) \(\sin(320^\circ)\)

- Stell dir den Einheitskreis vor. Was passiert, wenn du dich um \(2\pi\) weiterdrehst? - Wie oft passt \(2\pi\) in deinen gegebenen Winkel hinein? - Bei negativen Winkeln drehst du im Uhrzeigersinn. Wie viele volle Umdrehungen gegen den Uhrzeigersinn musst du hinzufügen, um im positiven Bereich zu landen? - Kannst du den Bruch als gemischte Zahl schreiben, um die Anzahl der vollen Umdrehungen leichter zu sehen?

Zur Bestimmung von \(\alpha_0\) nutzen wir die Eigenschaft, dass eine volle Umdrehung von \(2\pi\) die Position auf dem Einheitskreis nicht verändert. Wir berechnen \(\alpha_0 = \alpha + k \cdot 2\pi\), wobei \(k\) eine ganze Zahl ist, sodass \(0 \le \alpha_0 \le 2\pi\). 1. Für \(\alpha = -\frac{9}{2}\pi = -4{,}5\pi\): Wir müssen ein Vielfaches von \(2\pi\) addieren. Mit \(k=3\) erhalten wir \(-4{,}5\pi + 6\pi = 1{,}5\pi = \frac{3}{2}\pi\). 2. Für \(\alpha = \frac{25}{4}\pi = 6{,}25\pi\): Wir subtrahieren Vielfache von \(2\pi\). Mit \(k=-3\) erhalten wir \(6{,}25\pi - 6\pi = 0{,}25\pi = \frac{1}{4}\pi\). 3. Für \(\alpha = -\frac{13}{3}\pi \approx -4{,}33\pi\): Wir addieren Vielfache von \(2\pi\). Mit \(k=3\) erhalten wir \(-\frac{13}{3}\pi + \frac{18}{3}\pi = \frac{5}{3}\pi\). 4. Für \(\alpha = \frac{11}{2}\pi = 5{,}5\pi\): Wir subtrahieren Vielfache von \(2\pi\). Mit \(k=-2\) erhalten wir \(5{,}5\pi - 4\pi = 1{,}5\pi = \frac{3}{2}\pi\).

a) \(\alpha_0 = \frac{3}{2}\pi\) b) \(\alpha_0 = \frac{1}{4}\pi\) c) \(\alpha_0 = \frac{5}{3}\pi\) d) \(\alpha_0 = \frac{3}{2}\pi\)

- Große Vielfache von \(\pi\) lassen sich oft einfach auf \(0\) oder \(\pi\) zurückführen. Ist die Zahl vor dem \(\pi\) gerade oder ungerade? - Du kannst bei jedem Winkel beliebig oft \(2\pi\) addieren oder subtrahieren, ohne dass sich der Funktionswert ändert. - Berechne bei zusammengesetzten Termen zuerst jeden Funktionswert einzeln. - Erinnere dich an die Besonderheiten von Sinus und Kosinus bei Vielfachen von \(\frac{\pi}{2}\).

1. Teilaufgabe a): \(\sin\left(-\frac{13\pi}{2}\right) = \sin\left(-6{,}5\pi\right)\). Durch Addition von \(3 \cdot 2\pi = 6\pi\) erhält man \(\sin(-0{,}5\pi) = \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1\). 2. Teilaufgabe b): Da \(2025\pi = 1012 \cdot 2\pi + \pi\), ist der Wert identisch mit \(\cos(\pi) = -1\). 3. Teilaufgabe c): \(\sin(4\pi) = \sin(0) = 0\). Für den zweiten Term gilt \(\cos(-3\pi) = \cos(-3\pi + 4\pi) = \cos(\pi) = -1\). Die Summe ist \(0 + (-1) = -1\). 4. Teilaufgabe d): \(\cos\left(-\frac{9\pi}{2}\right) = \cos\left(-4{,}5\pi\right) = \cos\left(-0{,}5\pi\right) = 0\). Weiterhin ist \(\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1\). Die Differenz ergibt \(0 - (-1) = 1\).

a) \(-1\) b) \(-1\) c) \(-1\) d) \(1\)

- Zur Bestimmung des Quadranten hilft ein Vergleich mit Vielfachen von \(\frac{\pi}{2}\) (ca. \(1{,}57\)), \(\pi\) (ca. \(3{,}14\)) und \(\frac{3\pi}{2}\) (ca. \(4{,}71\)). - Negative Winkel werden im Uhrzeigersinn ab der positiven x-Achse gemessen. - Winkel, die größer als \(2\pi\) sind, können durch Abziehen von Vielfachen von \(2\pi\) auf das Standardintervall zurückgeführt werden.

1. Für \(\cos(3{,}5)\): Da \(\pi \approx 3{,}14\) und \(1{,}5\pi \approx 4{,}71\), liegt \(3{,}5\) im III. Quadranten. Wert: \(\approx -0{,}936\). 2. Für \(\sin(-2)\): Der Winkel \(-2\,\text{rad}\) liegt zwischen \(-\frac{\pi}{2} \approx -1{,}57\) und \(-\pi \approx -3{,}14\), also im III. Quadranten. Wert: \(\approx -0{,}909\). 3. Für \(\cos(7{,}2\pi)\): Reduktion um \(3 \cdot 2\pi\) ergibt \(1{,}2\pi\). Da \(\pi < 1{,}2\pi < 1{,}5\pi\), liegt der Punkt im III. Quadranten. Wert: \(\approx -0{,}809\). 4. Für \(\sin(-\frac{4\pi}{9})\): Das Argument \(-\frac{4\pi}{9} \approx -0{,}44\pi\) liegt zwischen \(0\) und \(-\frac{\pi}{2}\), somit im IV. Quadranten. Wert: \(\approx -0{,}985\).

a) \(-0{,}936\); III. Quadrant b) \(-0{,}909\); III. Quadrant c) \(-0{,}809\); III. Quadrant d) \(-0{,}985\); IV. Quadrant