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- Welche Wirkung hat eine vollständige Umdrehung auf den Endpunkt am Einheitskreis? - Entferne genau den Anteil \(2\pi\), der eine volle Umdrehung beschreibt.

1. Eine volle Umdrehung von \(2\pi\) verändert den Endpunkt nicht. 2. Nach dem Entfernen dieser vollen Umdrehung bleibt \(\alpha_0=\frac{\pi}{4}\).

\(\alpha_0=\frac{\pi}{4}\)

- Was sagt das negative Vorzeichen eines gerichteten Winkels über die Drehrichtung aus? - Eine Winkelweite von \(\frac{\pi}{2}\) entspricht einer Vierteldrehung.

1. Das negative Vorzeichen bedeutet eine Drehung im Uhrzeigersinn. 2. Eine Vierteldrehung von \(\frac{\pi}{2}\) im Uhrzeigersinn endet auf dem negativen Teil der \(y\)-Achse.

Drehrichtung: im Uhrzeigersinn; Endpunkt: auf dem negativen Teil der \(y\)-Achse.

- Überlege dir, wo die Winkel auf dem Einheitskreis liegen. - Nutze die Periodizität von Sinus und Kosinus, um die Winkel in das Intervall \([0; 2\pi)\) zu verschieben. - Was weißt du über die Symmetrie der Funktionen bei negativen Winkeln? - An welchen Stellen schneiden die Graphen von Sinus und Kosinus die x-Achse?

1. Für \(\sin(-\pi)\): Da die Sinusfunktion eine Periode von \(2\pi\) hat, gilt \(\sin(-\pi) = \sin(-\pi + 2\pi) = \sin(\pi) = 0\). 2. Für \(\cos\left(\frac{7\pi}{2}\right)\): Reduktion durch die Periode \(2\pi = \frac{4\pi}{2}\) ergibt \(\frac{7\pi}{2} - \frac{4\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}\). Es gilt \(\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0\). 3. Für \(\sin\left(\frac{11\pi}{2}\right)\): Reduktion durch \(2 \cdot 2\pi = \frac{8\pi}{2}\) ergibt \(\frac{11\pi}{2} - \frac{8\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}\). Es gilt \(\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1\). 4. Für \(\cos(-4\pi)\): Da \(-4\pi\) ein ganzzahliges Vielfaches von \(2\pi\) ist, entspricht der Wert \(\cos(0) = 1\).

a) \(0\) b) \(0\) c) \(-1\) d) \(1\)

- Prüfe bei jedem Argument zuerst, ob es bereits im Intervall \([0;2\pi)\) liegt. - Gleichgerichtete Winkel unterscheiden sich um ganze Vielfache von \(2\pi\). - Nutze nach der Rückführung bekannte Standardwerte oder den Taschenrechner im Bogenmaß.

1. \(\frac{9\pi}{4}-2\pi=\frac{\pi}{4}\). Daher ist \(\sin\left(\frac{9\pi}{4}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\approx0{,}707\). 2. \(-1{,}2+2\pi\) liegt in \([0;2\pi)\). Daher ist \(\cos(-1{,}2)=\cos(-1{,}2+2\pi)\approx0{,}362\). 3. Das Argument \(3\) liegt bereits in \([0;2\pi)\). Daher ist \(\alpha_0=3\) und \(\sin(3)\approx0{,}141\).

a) \(\alpha_0=\frac{\pi}{4}\); \(\sin\left(\frac{9\pi}{4}\right)\approx0{,}707\) b) \(\alpha_0=-1{,}2+2\pi\approx5{,}083\); \(\cos(-1{,}2)\approx0{,}362\) c) \(\alpha_0=3\); \(\sin(3)\approx0{,}141\)

- Ziehe oder addiere zunächst ganze Vielfache von \(2\pi\). - Kontrolliere, dass jeder gefundene Vertreter tatsächlich zwischen \(0\) und \(2\pi\) liegt. - Erst danach bestimmst du den zugehörigen Sinus- oder Kosinuswert.

1. \(\frac{13\pi}{3}-4\pi=\frac{\pi}{3}\). Daher ist \(\cos\left(\frac{13\pi}{3}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=0{,}500\). 2. \(-4+2\pi\) liegt in \([0;2\pi)\). Daher ist \(\sin(-4)=\sin(-4+2\pi)\approx0{,}757\). 3. \(10-2\pi\) liegt in \([0;2\pi)\). Daher ist \(\cos(10)=\cos(10-2\pi)\approx-0{,}839\).

a) \(\alpha_0=\frac{\pi}{3}\); \(\cos\left(\frac{13\pi}{3}\right)=0{,}500\) b) \(\alpha_0=-4+2\pi\approx2{,}283\); \(\sin(-4)\approx0{,}757\) c) \(\alpha_0=10-2\pi\approx3{,}717\); \(\cos(10)\approx-0{,}839\)

- Erinnere dich an die Periode der Kosinusfunktion. Wie oft wiederholen sich die Werte? - Was passiert mit dem Kosinuswert, wenn du \(2\pi\) zum Argument addierst oder davon subtrahierst? - Unterscheide zwischen geraden und ungeraden Vielfachen von \(\pi\). - Wo auf dem Einheitskreis liegen die Punkte für die jeweiligen Winkel?

1. Nutzung der Periodizität der Kosinusfunktion mit der Periode \(2\pi\), sodass \(\cos(x + k \cdot 2\pi) = \cos(x)\) für alle \(k \in \mathbb{Z}\). 2. Gruppe 1: Die Werte \(7\pi\), \(-3\pi\) und \(15\pi\) lassen sich alle auf die Form \((2k+1)\pi\) bringen. Da \(\cos(\pi) = -1\), ist ihr gemeinsamer Kosinuswert \(-1\). 3. Gruppe 2: Die Werte \(8\pi\), \(-2\pi\) und \(20\pi\) sind alle ganzzahlige Vielfache von \(2\pi\). Da \(\cos(0) = 1\), ist ihr gemeinsamer Kosinuswert \(1\). 4. Gruppe 3: Die Werte \(4{,}5\pi\), \(-1{,}5\pi\) und \(12{,}5\pi\) lassen sich durch Addition oder Subtraktion von Vielfachen von \(2\pi\) auf \(0{,}5\pi\) oder \(1{,}5\pi\) reduzieren. Da \(\cos(0{,}5\pi) = 0\) und \(\cos(1{,}5\pi) = 0\), ist ihr gemeinsamer Kosinuswert \(0\).

Gruppe 1 (Wert \(-1\)): \(7\pi\), \(-3\pi\), \(15\pi\) Gruppe 2 (Wert \(1\)): \(8\pi\), \(-2\pi\), \(20\pi\) Gruppe 3 (Wert \(0\)): \(4{,}5\pi\), \(-1{,}5\pi\), \(12{,}5\pi\)

- Was passiert mit den Werten von Sinus und Kosinus, wenn man eine volle Umdrehung zum Winkel addiert oder subtrahiert? - Kannst du den negativen Winkel so verändern, dass er positiv wird, ohne den Funktionswert zu ändern? - Erinnere dich an die markanten Punkte am Einheitskreis. - Wie hängen Winkel im zweiten Quadranten mit den Winkeln im ersten Quadranten zusammen?

1. Reduktion des Arguments von \(\sin\left(\frac{9\pi}{4}\right)\) durch Subtraktion der Periode \(2\pi\): \(\frac{9\pi}{4} - 2\pi = \frac{9\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = \frac{\pi}{4}\). 2. Bestimmung des Funktionswertes: \(\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\). 3. Reduktion des Arguments von \(\sin\left(-\frac{7\pi}{6}\right)\) durch Addition der Periode \(2\pi\): \(-\frac{7\pi}{6} + 2\pi = -\frac{7\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}\). 4. Bestimmung des Funktionswertes unter Nutzung der Symmetrie \(\sin(\pi - x) = \sin(x)\) oder des Einheitskreises: \(\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\).

a) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) b) \(\frac{1}{2}\)

- Wie oft passt eine volle Umdrehung in den gegebenen Winkel hinein? - Welche Koordinaten hat ein Punkt auf dem Einheitskreis bei bestimmten Winkeln? - Überlege dir, in welchem Quadranten der jeweilige Winkel liegt. - Welche Vorzeichen haben die Koordinaten in den verschiedenen Quadranten?

1. Reduktion des Winkels \(\frac{14\pi}{3}\) durch Subtraktion des größten Vielfachen von \(2\pi\), das kleiner als der Winkel ist: \(\frac{14\pi}{3} - 4\pi = \frac{14\pi}{3} - \frac{12\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}\). 2. Bestimmung des Funktionswertes im zweiten Quadranten: \(\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}\). 3. Reduktion des Winkels \(-\frac{3\pi}{2}\) durch Addition der Periode \(2\pi\): \(-\frac{3\pi}{2} + 2\pi = \frac{\pi}{2}\). 4. Bestimmung des Funktionswertes auf der \(y\)-Achse: \(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0\).

a) \(-\frac{1}{2}\) b) \(0\)

- Wie viele Grad entsprechen einer vollen Umdrehung auf dem Einheitskreis? - Was passiert mit der Position eines Punktes, wenn du eine oder mehrere volle Umdrehungen addierst oder subtrahierst? - Wie kannst du mathematisch ausdrücken, dass man beliebig oft eine ganze Umdrehung zum Startwinkel hinzufügen kann?

1. Die Lage eines Punktes auf dem Einheitskreis wiederholt sich alle \(360^\circ\). Die gesuchten Winkel haben die Form \(\alpha + k \cdot 360^\circ\) mit \(k \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}\). 2. Berechnung eines Winkels größer als \(720^\circ\): Für \(k = 2\) ergibt sich \(150^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 870^\circ\). 3. Berechnung eines negativen Winkels: Für \(k = -1\) ergibt sich \(150^\circ - 360^\circ = -210^\circ\). 4. Bestimmung weiterer Winkel: Für \(k = 1\) ergibt sich \(150^\circ + 360^\circ = 510^\circ\). Für \(k = -2\) ergibt sich \(150^\circ - 2 \cdot 360^\circ = -570^\circ\).

Mögliche Winkel sind zum Beispiel: \(510^\circ\), \(870^\circ\), \(-210^\circ\) und \(-570^\circ\).

- Welchem Wert in Grad entspricht eine volle Umdrehung im Bogenmaß? - Wie addiert oder subtrahiert man Vielfache von \(2\pi\) zu einem Bruch mit \(\pi\)? - Welche Bedingung muss ein Winkel erfüllen, um im Intervall \([-2\pi; 0)\) zu liegen?

1. Punkte auf dem Einheitskreis wiederholen sich im Bogenmaß nach einer vollen Umdrehung von \(2\pi\). Alle äquivalenten Winkel haben die Form \(x + k \cdot 2\pi\) für \(k \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}\). 2. Bestimmung des Winkels im Intervall \([-2\pi; 0)\): Mit \(k = -1\) berechnet man \(\frac{3}{4}\pi - 2\pi = \frac{3}{4}\pi - \frac{8}{4}\pi = -\frac{5}{4}\pi\). 3. Bestimmung zweier weiterer Winkel: Mit \(k = 1\) ergibt sich \(\frac{3}{4}\pi + 2\pi = \frac{3}{4}\pi + \frac{8}{4}\pi = \frac{11}{4}\pi\). Mit \(k = 2\) ergibt sich \(\frac{3}{4}\pi + 4\pi = \frac{3}{4}\pi + \frac{16}{4}\pi = \frac{19}{4}\pi\).

Mögliche Winkel sind zum Beispiel: \(-\frac{5}{4}\pi\), \(\frac{11}{4}\pi\) und \(\frac{19}{4}\pi\).

- Ziehe jeweils so viele volle Umdrehungen von \(360^\circ\) ab, bis der Winkel im Standardintervall liegt. - Notiere diesen reduzierten Winkel, bevor du Sinus und Kosinus bestimmst. - Nutze anschließend die bekannten exakten Werte besonderer Winkel.

1. Für \(480^\circ\) gilt \(480^\circ-360^\circ=120^\circ\). Daher ist \(\sin(480^\circ)=\sin(120^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}\) und \(\cos(480^\circ)=\cos(120^\circ)=-\frac{1}{2}\). 2. Für \(1125^\circ\) gilt \(1125^\circ-3\cdot360^\circ=45^\circ\). Daher ist \(\sin(1125^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}\) und \(\cos(1125^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}\).

a) Reduzierter Winkel: \(120^\circ\); \(\sin(480^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}\); \(\cos(480^\circ)=-\frac{1}{2}\) b) Reduzierter Winkel: \(45^\circ\); \(\sin(1125^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}\); \(\cos(1125^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

- Was passiert mit dem Winkel am Einheitskreis, wenn du \(360^\circ\) addierst? - Erinnere dich an die Symmetrie: Was weißt du über \(\sin(-\alpha)\) und \(\cos(-\alpha)\) im Vergleich zu \(\sin(\alpha)\) und \(\cos(\alpha)\)? - Ein negativer Winkel bedeutet eine Drehung im Uhrzeigersinn. Wo landest du dann im Koordinatensystem?

1. Für \(-210^\circ\): Durch Addition von \(360^\circ\) erhält man den äquivalenten Winkel \(150^\circ\). Es gilt \(\sin(-210^\circ) = \sin(150^\circ) = \sin(30^\circ) = 0{,}5\). Für den Kosinus gilt \(\cos(-210^\circ) = \cos(150^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0{,}866\). 2. Für \(-420^\circ\): Durch zweimalige Addition von \(360^\circ\) (oder Addition von \(720^\circ\)) erhält man \(-420^\circ + 720^\circ = 300^\circ\). Alternativ nutzt man \(\sin(-420^\circ) = \sin(-60^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0{,}866\) und \(\cos(-420^\circ) = \cos(-60^\circ) = \cos(60^\circ) = 0{,}5\).

a) \(\sin(-210^\circ) = 0{,}5\); \(\cos(-210^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0{,}866\) b) \(\sin(-420^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0{,}866\); \(\cos(-420^\circ) = 0{,}5\)

- Wie viele volle Drehungen stecken in dem gegebenen Winkel? - Wenn ein Winkel negativ ist, wie kannst du ihn durch Addieren von vollen Kreisen positiv machen? - Was bleibt übrig, wenn du alle „überflüssigen“ \(360^\circ\)-Schritte entfernst?

1. Bei (1) wird ein Vielfaches von \(360^\circ\) subtrahiert: \(480^\circ - 360^\circ = 120^\circ\). 2. Bei (2) wird ein Vielfaches von \(360^\circ\) addiert, um in den positiven Bereich zu gelangen: \(-210^\circ + 360^\circ = 150^\circ\). 3. Bei (3) wird die Anzahl der vollen Umdrehungen bestimmt: \(1111^\circ : 360^\circ \approx 3{,}086\). Subtraktion von drei Umdrehungen: \(1111^\circ - 3 \cdot 360^\circ = 1111^\circ - 1080^\circ = 31^\circ\). 4. Bei (4) wird die Anzahl der benötigten positiven Umdrehungen bestimmt: \(-1000^\circ : 360^\circ \approx -2{,}77\). Addition von drei Umdrehungen: \(-1000^\circ + 3 \cdot 360^\circ = -1000^\circ + 1080^\circ = 80^\circ\).

(1) \(\alpha^* = 120^\circ\) (2) \(\alpha^* = 150^\circ\) (3) \(\alpha^* = 31^\circ\) (4) \(\alpha^* = 80^\circ\)

- Wann landen zwei verschiedene Drehwinkel an der exakt gleichen Stelle auf dem Kreis? - Versuche, jeden Winkel so umzurechnen, dass er zwischen \(0^\circ\) und \(360^\circ\) liegt. - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, den Rest nach vollen Umdrehungen zu finden? - Achte besonders auf die Vorzeichen bei den negativen Winkeln.

Jeder Winkel wird durch Addition oder Subtraktion von Vielfachen von \(360^\circ\) auf das Intervall \([0^\circ; 360^\circ)\) normiert und anschließend mit \(\beta = 210^\circ\) verglichen. 1. \(\alpha_1\): \(570^\circ - 360^\circ = 210^\circ\). Dies entspricht der Lage von \(\beta\). 2. \(\alpha_2\): \(-150^\circ + 360^\circ = 210^\circ\). Dies entspricht der Lage von \(\beta\). 3. \(\alpha_3\): \(910^\circ - 2 \cdot 360^\circ = 910^\circ - 720^\circ = 190^\circ\). Dies entspricht nicht \(\beta\). Der normierte Wert ist \(190^\circ\). 4. \(\alpha_4\): \(-510^\circ + 2 \cdot 360^\circ = -510^\circ + 720^\circ = 210^\circ\). Dies entspricht der Lage von \(\beta\).

a) Beschreibt dieselbe Lage (\(210^\circ\)). b) Beschreibt dieselbe Lage (\(210^\circ\)). c) Beschreibt eine andere Lage; der entsprechende Winkel ist \(190^\circ\). d) Beschreibt dieselbe Lage (\(210^\circ\)).

- Winkel wiederholen sich alle \(360^\circ\). Addiere oder subtrahiere Vielfache von \(360^\circ\), um in den Bereich zwischen \(0^\circ\) und \(360^\circ\) zu gelangen. - Prüfe nach der Umrechnung des Winkels mit dem Taschenrechner, ob der Sinus- oder Kosinuswert des neuen Winkels tatsächlich mit dem ursprünglichen Wert übereinstimmt. - Was bedeutet ein negatives Vorzeichen bei einem Winkel für die Drehrichtung am Einheitskreis?

1. Berechnung des reduzierten Winkels: \(980^\circ - 2 \cdot 360^\circ = 260^\circ\). Der Wert ist \(\cos(260^\circ) \approx -0{,}1736\). 2. Berechnung des reduzierten Winkels: \(-440^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 280^\circ\). Der Wert ist \(\sin(280^\circ) \approx -0{,}9848\). 3. Berechnung des reduzierten Winkels: \(-1234^\circ + 4 \cdot 360^\circ = 206^\circ\). Der Wert ist \(\cos(206^\circ) \approx -0{,}8988\). 4. Berechnung des reduzierten Winkels: \(1850^\circ - 5 \cdot 360^\circ = 50^\circ\). Der Wert ist \(\sin(50^\circ) \approx 0{,}7660\).

1. \(\approx -0{,}1736\); reduzierter Winkel: \(260^\circ\) 2. \(\approx -0{,}9848\); reduzierter Winkel: \(280^\circ\) 3. \(\approx -0{,}8988\); reduzierter Winkel: \(206^\circ\) 4. \(\approx 0{,}7660\); reduzierter Winkel: \(50^\circ\)

- Führe jeden Winkel vor der Taschenrechnerrechnung durch ganze Umdrehungen auf das Grundintervall zurück. - Der zurückgeführte Winkel besitzt dieselben Sinus- und Kosinuswerte wie der Ausgangswinkel. - Kontrolliere die Vorzeichen anhand des Quadranten von \(\alpha_0\).

1. \(485^\circ-360^\circ=125^\circ\). Daher gilt \(\sin(485^\circ)=\sin(125^\circ)\approx0{,}8192\) und \(\cos(485^\circ)=\cos(125^\circ)\approx-0{,}5736\). 2. \(-210^\circ+360^\circ=150^\circ\). Daher gilt \(\sin(-210^\circ)=\sin(150^\circ)=0{,}5000\) und \(\cos(-210^\circ)=\cos(150^\circ)\approx-0{,}8660\). 3. \(1500^\circ-4\cdot360^\circ=60^\circ\). Daher gilt \(\sin(1500^\circ)=\sin(60^\circ)\approx0{,}8660\) und \(\cos(1500^\circ)=\cos(60^\circ)=0{,}5000\).

a) \(\alpha_0=125^\circ\); \(\sin(\alpha)\approx0{,}8192\), \(\cos(\alpha)\approx-0{,}5736\) b) \(\alpha_0=150^\circ\); \(\sin(\alpha)=0{,}5000\), \(\cos(\alpha)\approx-0{,}8660\) c) \(\alpha_0=60^\circ\); \(\sin(\alpha)\approx0{,}8660\), \(\cos(\alpha)=0{,}5000\)

- Um einen Winkel in das Standardintervall zu bringen, kannst du Vielfache von \(360^\circ\) addieren oder subtrahieren. - Wie oft passt der Vollwinkel \(360^\circ\) in den gegebenen Winkel hinein? - Der Kosinuswert eines Winkels ist identisch mit dem Kosinuswert seines entsprechenden Winkels im Standardintervall.

1. Für \(930^\circ\): \(930^\circ - 2 \cdot 360^\circ = 210^\circ\). Somit ist \(\beta_0 = 210^\circ\). Der Wert ist \(\cos(930^\circ) \approx -0{,}8660\). 2. Für \(-100^\circ\): \(-100^\circ + 360^\circ = 260^\circ\). Somit ist \(\beta_0 = 260^\circ\). Der Wert ist \(\cos(-100^\circ) \approx -0{,}1736\). 3. Für \(-750^\circ\): \(-750^\circ + 3 \cdot 360^\circ = 330^\circ\). Somit ist \(\beta_0 = 330^\circ\). Der Wert ist \(\cos(-750^\circ) \approx 0{,}8660\).

a) \(\beta_0 = 210^\circ\); \(\cos(930^\circ) \approx -0{,}8660\) b) \(\beta_0 = 260^\circ\); \(\cos(-100^\circ) \approx -0{,}1736\) c) \(\beta_0 = 330^\circ\); \(\cos(-750^\circ) \approx 0{,}8660\)

- Überlege, wie oft der volle Kreis von \(360^\circ\) in den gegebenen Winkel passt. - Erinnere dich an die Symmetrie: Ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung? - Nutze die bekannten Werte für \(30^\circ\), \(45^\circ\) und \(60^\circ\) als Referenz. - Ein Vorzeichenwechsel kann auftreten, wenn der Winkel in einen anderen Quadranten fällt.

1. Reduktion durch Periodizität (\(k \cdot 360^\circ\)) oder Anwendung der Symmetrie: a) \(\sin(420^\circ) = \sin(420^\circ - 360^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) b) \(\cos(750^\circ) = \cos(750^\circ - 720^\circ) = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) c) \(\sin(-150^\circ) = \sin(-150^\circ + 360^\circ) = \sin(210^\circ) = -\sin(30^\circ) = -\frac{1}{2}\) d) \(\cos(-225^\circ) = \cos(225^\circ) = \cos(180^\circ + 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) e) \(\sin(540^\circ) = \sin(540^\circ - 360^\circ) = \sin(180^\circ) = 0\)

a) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) b) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) c) \(-\frac{1}{2}\) d) \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) e) \(0\)

- Suche zuerst den entsprechenden Winkel zwischen \(0^\circ\) und \(360^\circ\), indem du Vielfache von \(360^\circ\) addierst oder subtrahierst. - Bestimme, in welchem Quadranten der Winkel \(\beta\) liegt, um das Vorzeichen des Funktionswertes festzulegen. - Überlege, welcher „spitze“ Referenzwinkel (\(30^\circ, 45^\circ, 60^\circ\)) dir beim Berechnen des exakten Wertes helfen kann.

1. Bestimmung von \(\beta \in [0^\circ; 360^\circ)\) durch Addition oder Subtraktion von Vielfachen von \(360^\circ\): a) \(\beta = 405^\circ - 360^\circ = 45^\circ\); \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) b) \(\beta = -300^\circ + 360^\circ = 60^\circ\); \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\) c) \(\beta = 1020^\circ - 2 \cdot 360^\circ = 300^\circ\); \(\sin(300^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) d) \(\beta = -120^\circ + 360^\circ = 240^\circ\); \(\cos(240^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}\)

a) \(\beta = 45^\circ\); Wert: \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) b) \(\beta = 60^\circ\); Wert: \(\frac{1}{2}\) c) \(\beta = 300^\circ\); Wert: \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) d) \(\beta = 240^\circ\); Wert: \(-\frac{1}{2}\)

- Welche gemeinsame Periode besitzen Sinus und Kosinus? - Entferne bei jedem Winkel zunächst passende ganze Vielfache von \(2\pi\), bevor du den Taschenrechner benutzt. - Bei einem negativen Winkel kannst du \(2\pi\) addieren, um einen äquivalenten positiven Winkel zu erhalten. - Runde erst den vollständigen Funktionswert, nicht die einzelnen Sinus- und Kosinuswerte.

1. Sinus und Kosinus haben beide die Periode \(2\pi\). Daher gilt auch \(f(x+2\pi k)=f(x)\) für jedes \(k\in\mathbb Z\). 2. Für \(x_1=1{,}4+2\pi\) ist der äquivalente Winkel \(x_1'=1{,}4\). Damit gilt \(f(x_1)=f(1{,}4)=\sin(1{,}4)+\cos(1{,}4)\approx1{,}155\). 3. Für \(x_2=3{,}5+4\pi\) ist der äquivalente Winkel \(x_2'=3{,}5\). Damit gilt \(f(x_2)=f(3{,}5)=\sin(3{,}5)+\cos(3{,}5)\approx-1{,}287\). 4. Für \(x_3=-2{,}1\) erhält man durch Addition von \(2\pi\) den äquivalenten Winkel \(x_3'=2\pi-2{,}1\). Damit gilt \(f(x_3)=f(2\pi-2{,}1)=\sin(-2{,}1)+\cos(-2{,}1)\approx-1{,}368\).

\(x_1\): äquivalenter Winkel \(1{,}4\); \(f(x_1)\approx1{,}155\) \(x_2\): äquivalenter Winkel \(3{,}5\); \(f(x_2)\approx-1{,}287\) \(x_3\): äquivalenter Winkel \(2\pi-2{,}1\); \(f(x_3)\approx-1{,}368\)

- Eine volle Umdrehung entspricht im Bogenmaß \(2\pi\). - Bei negativen Winkeln kannst du so oft \(2\pi\) addieren, bis der Winkel im gewünschten Intervall liegt. - Berechne in c) zuerst den Winkel \(z=x+y\), bevor du ihn reduzierst. - Begründe d) geometrisch mit dem Endpunkt einer Winkelumdrehung auf dem Einheitskreis.

1. Für \(y=-2{,}8\) ergibt die Addition einer vollen Umdrehung \(y'=2\pi-2{,}8\). Dieser Winkel liegt in \([0;2\pi)\). 2. Wegen der Periode \(2\pi\) gilt \(\sin(y)=\sin(y')\approx-0{,}3350\) und \(\cos(y)=\cos(y')\approx-0{,}9422\). 3. Es ist \(z=x+y=1{,}5-2{,}8=-1{,}3\). Daher ist \(z'=2\pi-1{,}3\) ein äquivalenter Winkel in \([0;2\pi)\). 4. Somit gilt \(\sin(z)=\sin(z')\approx-0{,}9636\). 5. Das Addieren oder Subtrahieren eines ganzzahligen Vielfachen von \(2\pi\) führt auf denselben Punkt des Einheitskreises. Deshalb bleiben Sinus und Kosinus unverändert.

a) \(y'=2\pi-2{,}8\) b) \(\sin(y)\approx-0{,}3350\), \(\cos(y)\approx-0{,}9422\) c) \(z=-1{,}3\), \(z'=2\pi-1{,}3\), \(\sin(z)\approx-0{,}9636\) d) Äquivalente Winkel unterscheiden sich um ein ganzzahliges Vielfaches von \(2\pi\) und haben daher dieselben Sinus- und Kosinuswerte.

- Überlege dir, wie viele volle Umdrehungen im Einheitskreis in dem gegebenen Winkel stecken. - Was passiert mit dem Sinus- oder Kosinuswert, wenn du \(360^\circ\) zum Winkel addierst oder davon abziehst? - Bei negativen Winkeln kannst du so lange \(360^\circ\) addieren, bis du eine positive Zahl erhältst.

1. Da die Sinus- und Kosinusfunktionen periodisch mit einer Periodenlänge von \(360^\circ\) sind, wird das Vielfache von \(360^\circ\) so addiert oder subtrahiert, dass das Ergebnis im gewünschten Intervall liegt. 2. Für a): \(410^\circ - 1 \cdot 360^\circ = 50^\circ\). Somit ist \(\sin 410^\circ = \sin 50^\circ\). 3. Für b): \(800^\circ - 2 \cdot 360^\circ = 800^\circ - 720^\circ = 80^\circ\). Somit ist \(\cos 800^\circ = \cos 80^\circ\). 4. Für c): \(-50^\circ + 1 \cdot 360^\circ = 310^\circ\). Somit ist \(\sin(-50^\circ) = \sin 310^\circ\).

a) \(\sin 50^\circ\) b) \(\cos 80^\circ\) c) \(\sin 310^\circ\)

- Was passiert mit dem Sinus- oder Kosinuswert, wenn man eine volle Umdrehung zum Winkel addiert? - Wie kannst du einen negativen Winkel in den positiven Bereich verschieben, ohne den Punkt auf dem Einheitskreis zu verändern? - Stell dir die Drehung am Einheitskreis vor: Wo landest du, wenn du in die negative Richtung drehst?

1. Anwendung der Periodizität von Sinus und Kosinus: \(f(\alpha) = f(\alpha + k \cdot 360^\circ)\) für \(k \in \mathbb{Z}\). 2. Berechnung der äquivalenten Winkel im Intervall \([0^\circ; 360^\circ]\) durch Addition von \(360^\circ\). 3. Ergebnisse: a) \(-55^\circ + 360^\circ = 305^\circ \Rightarrow \sin(305^\circ)\) b) \(-130^\circ + 360^\circ = 230^\circ \Rightarrow \cos(230^\circ)\) c) \(-250^\circ + 360^\circ = 110^\circ \Rightarrow \sin(110^\circ)\) d) \(-315^\circ + 360^\circ = 45^\circ \Rightarrow \cos(45^\circ)\)

a) \(\sin(305^\circ)\) b) \(\cos(230^\circ)\) c) \(\sin(110^\circ)\) d) \(\cos(45^\circ)\)

- Wie oft wiederholen sich die Nullstellen bei einer Kosinusfunktion innerhalb einer vollen Periode? - In welchem regelmäßigen Abstand liegen alle Nullstellen der Funktion \(f(x) = \cos(x)\) auf der x-Achse? - Wenn du eine Stelle kennst, wie kannst du durch Addition oder Subtraktion eines bestimmten Wertes weitere Stellen finden?

1. Die Nullstellen der Kosinusfunktion \(f(x) = \cos(x)\) wiederholen sich periodisch im Abstand von \(\pi\). 2. Berechnung der drei größeren Stellen durch Addition von Vielfachen von \(\pi\): \(\frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}\), \(\frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}\) und \(\frac{\pi}{2} + 3\pi = \frac{7\pi}{2}\). 3. Berechnung der drei kleineren Stellen durch Subtraktion von Vielfachen von \(\pi\): \(\frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}\), \(\frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}\) und \(\frac{\pi}{2} - 3\pi = -\frac{5\pi}{2}\).

\(-\frac{5\pi}{2}; -\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2}\)

- Was weißt du über die Periodizität von Sinus und Kosinus? Nach welcher Drehung wiederholen sich die Werte? - Wie kannst du einen negativen Winkel in einen positiven Winkel umwandeln, der denselben Punkt auf dem Einheitskreis beschreibt? - Versuche, Vielfache von \(2\pi\) (also \(\frac{2\pi}{1}, \frac{4\pi}{2}, \frac{12\pi}{6}\) usw.) zu addieren oder zu subtrahieren. - Liegt dein Ergebnis am Ende wirklich zwischen \(0\) und \(2\pi\)?

Um einen Winkel \(x\) im Intervall \([0; 2\pi]\) zu finden, nutzen wir die Periodizität von Sinus und Kosinus mit der Periodenlänge \(2\pi\). Wir addieren oder subtrahieren Vielfache von \(2\pi\), bis das Ergebnis im gewünschten Bereich liegt. 1. Für \(\sin\left(\frac{17}{4}\pi\right)\): Da \(\frac{17}{4}\pi = 4\frac{1}{4}\pi\) ist, subtrahieren wir \(2 \cdot 2\pi = 4\pi\). Es ergibt sich \(\frac{17}{4}\pi - \frac{16}{4}\pi = \frac{1}{4}\pi\). Somit ist \(\sin\left(\frac{17}{4}\pi\right) = \sin\left(\frac{1}{4}\pi\right)\). 2. Für \(\cos\left(-\frac{2}{3}\pi\right)\): Da der Winkel negativ ist, addieren wir \(2\pi\). Es ergibt sich \(-\frac{2}{3}\pi + \frac{6}{3}\pi = \frac{4}{3}\pi\). Somit ist \(\cos\left(-\frac{2}{3}\pi\right) = \cos\left(\frac{4}{3}\pi\right)\). 3. Für \(\sin\left(-\frac{7}{6}\pi\right)\): Wir addieren \(2\pi\). Es ergibt sich \(-\frac{7}{6}\pi + \frac{12}{6}\pi = \frac{5}{6}\pi\). Somit ist \(\sin\left(-\frac{7}{6}\pi\right) = \sin\left(\frac{5}{6}\pi\right)\). 4. Für \(\cos\left(\frac{19}{6}\pi\right)\): Da \(\frac{19}{6}\pi = 3\frac{1}{6}\pi\) ist, subtrahieren wir \(2\pi\). Es ergibt sich \(\frac{19}{6}\pi - \frac{12}{6}\pi = \frac{7}{6}\pi\). Somit ist \(\cos\left(\frac{19}{6}\pi\right) = \cos\left(\frac{7}{6}\pi\right)\).

a) \(\sin\left(\frac{1}{4}\pi\right)\) b) \(\cos\left(\frac{4}{3}\pi\right)\) c) \(\sin\left(\frac{5}{6}\pi\right)\) d) \(\cos\left(\frac{7}{6}\pi\right)\)

- Stell dir den Einheitskreis vor. Was passiert, wenn du dich um \(2\pi\) weiterdrehst? - Wie oft passt \(2\pi\) in deinen gegebenen Winkel hinein? - Bei negativen Winkeln drehst du im Uhrzeigersinn. Wie viele volle Umdrehungen gegen den Uhrzeigersinn musst du hinzufügen, um im positiven Bereich zu landen? - Kannst du den Bruch als gemischte Zahl schreiben, um die Anzahl der vollen Umdrehungen leichter zu sehen?

Zur Bestimmung von \(\alpha_0\) nutzen wir die Eigenschaft, dass eine volle Umdrehung von \(2\pi\) die Position auf dem Einheitskreis nicht verändert. Wir berechnen \(\alpha_0 = \alpha + k \cdot 2\pi\), wobei \(k\) eine ganze Zahl ist, sodass \(0 \le \alpha_0 < 2\pi\). 1. Für \(\alpha = -\frac{9}{2}\pi = -4{,}5\pi\): Wir müssen ein Vielfaches von \(2\pi\) addieren. Mit \(k=3\) erhalten wir \(-4{,}5\pi + 6\pi = 1{,}5\pi = \frac{3}{2}\pi\). 2. Für \(\alpha = \frac{25}{4}\pi = 6{,}25\pi\): Wir subtrahieren Vielfache von \(2\pi\). Mit \(k=-3\) erhalten wir \(6{,}25\pi - 6\pi = 0{,}25\pi = \frac{1}{4}\pi\). 3. Für \(\alpha = -\frac{13}{3}\pi \approx -4{,}33\pi\): Wir addieren Vielfache von \(2\pi\). Mit \(k=3\) erhalten wir \(-\frac{13}{3}\pi + \frac{18}{3}\pi = \frac{5}{3}\pi\). 4. Für \(\alpha = \frac{11}{2}\pi = 5{,}5\pi\): Wir subtrahieren Vielfache von \(2\pi\). Mit \(k=-2\) erhalten wir \(5{,}5\pi - 4\pi = 1{,}5\pi = \frac{3}{2}\pi\).

a) \(\alpha_0 = \frac{3}{2}\pi\) b) \(\alpha_0 = \frac{1}{4}\pi\) c) \(\alpha_0 = \frac{5}{3}\pi\) d) \(\alpha_0 = \frac{3}{2}\pi\)

- Verfolge den eingezeichneten Weg vom markierten Startpunkt \(S\) bis \(P\), statt nur den Endradius zu betrachten. - Achte darauf, wann der Weg nach einem Umlauf wieder die positive \(x\)-Richtung erreicht. - Bestimme anschließend die Richtung des letzten Radius mithilfe der Lage von \(P\) im Einheitskreis.

1. Der Drehweg läuft einmal vollständig gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung und erreicht dabei wieder die Richtung der positiven \(x\)-Achse. 2. Danach läuft er bis zum Punkt \(P\) im 1. Quadranten. Der Endradius besitzt die Richtung \(\frac{\pi}{3}\). 3. Insgesamt ist daher \(2\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{3}\) dargestellt. 4. Nach Abzug einer vollen Umdrehung bleibt als gleichgerichteter Winkel \(\alpha=\frac{\pi}{3}\).

a) Eine volle Umdrehung. b) \(\frac{\pi}{3}\) c) Dargestellter Winkel: \(\frac{7\pi}{3}\); gleichgerichteter Winkel: \(\alpha=\frac{\pi}{3}\).

- Verfolge den Uhrzeigersinn vom Startpunkt \(S\) aus und nutze die markierten Zwischenstellen des Wegs. - Vergleiche die zurückgelegte Strecke mit einer halben und einer ganzen Umdrehung. - Für den positiven gleichgerichteten Winkel kannst du eine volle Umdrehung addieren.

1. Der Weg verläuft im Uhrzeigersinn zunächst um \(\pi\) bis zur negativen \(x\)-Richtung und anschließend um weitere \(\frac{\pi}{4}\). Daher beschreibt er den Winkel \(-\frac{5\pi}{4}\). 2. Durch Addition einer vollen Umdrehung erhält man \(-\frac{5\pi}{4}+2\pi=\frac{3\pi}{4}\). 3. Beide Winkel enden auf demselben Radius im 2. Quadranten; sie unterscheiden sich genau um \(2\pi\).

a) \(-\frac{5\pi}{4}\) b) \(\beta=\frac{3\pi}{4}\) c) Die beiden Winkel unterscheiden sich um \(2\pi\) und besitzen deshalb denselben Endpunkt \(Q\).

- Prüfe zuerst, ob sich zwei Winkel um ein ganzzahliges Vielfaches von \(2\pi\) unterscheiden. - Ein Bezugswinkel beschreibt den Abstand zur \(x\)-Achse, nicht die Drehrichtung oder den Quadranten. - Welche Vorzeichen hat der Sinus im I. und im IV. Quadranten?

1. Es gilt \(\beta+2\pi=-\frac{\pi}{6}+\frac{12\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}=\alpha\). Daher besitzen \(\alpha\) und \(\beta\) denselben Endpunkt. 2. \(\alpha\) liegt im IV. Quadranten, \(\gamma\) im I. Quadranten. Der Bezugswinkel beschreibt nur den spitzen Abstand zur \(x\)-Achse; er ist nicht automatisch ein winkelgleicher Endpunkt. 3. Im IV. Quadranten ist der Sinus negativ, im I. Quadranten positiv. Daher ist \(\sin(\alpha)=-\sin(\gamma)=-\frac{1}{2}\).

a) \(\alpha\) und \(\beta\) b) Der Bezugswinkel \(\gamma\) liegt im I. Quadranten, \(\alpha\) im IV. Quadranten; gleiche Bezugswinkel bedeuten nicht gleiche Endpunkte. c) \(\sin(\alpha)=-\sin(\gamma)=-\frac{1}{2}\)

- Eine volle Umdrehung verändert den Endpunkt eines Winkels nicht. - Suche für jeden gegebenen Winkel zuerst einen Vertreter im Intervall von \(0^\circ\) bis \(360^\circ\). - Kontrolliere das Vorzeichen des Funktionswerts anhand des Quadranten des zurückgeführten Winkels.

1. \(510^\circ-360^\circ=150^\circ\). Daher ist \(\sin(510^\circ)=\sin(150^\circ)=0{,}500\). 2. \(-130{,}4^\circ+360^\circ=229{,}6^\circ\). Daher ist \(\cos(-130{,}4^\circ)=\cos(229{,}6^\circ)\approx-0{,}648\). 3. \(1000^\circ-2\cdot360^\circ=280^\circ\). Daher ist \(\sin(1000^\circ)=\sin(280^\circ)\approx-0{,}985\). 4. \(825^\circ-2\cdot360^\circ=105^\circ\). Daher ist \(\cos(825^\circ)=\cos(105^\circ)\approx-0{,}259\).

a) \(\alpha_0=150^\circ\); \(\sin(510^\circ)=0{,}500\) b) \(\alpha_0=229{,}6^\circ\); \(\cos(-130{,}4^\circ)\approx-0{,}648\) c) \(\alpha_0=280^\circ\); \(\sin(1000^\circ)\approx-0{,}985\) d) \(\alpha_0=105^\circ\); \(\cos(825^\circ)\approx-0{,}259\)

- Skizziere einen Einheitskreis und trage den Winkel \(35^\circ\) ein. - Überlege, wie die anderen Winkel mit \(35^\circ\) zusammenhängen (z. B. \(180^\circ - 35^\circ\)). - Welche Koordinaten am Einheitskreis entsprechen dem Kosinuswert? - Erinnere dich an die Regel für die Periodizität von Sinus und Kosinus.

1. Zu a): Der Winkel \(325^\circ\) entspricht \(360^\circ - 35^\circ\). Aufgrund der Symmetrie zur \(x\)-Achse gilt \(\cos(360^\circ - \alpha) = \cos(\alpha)\), also \(\cos(325^\circ) = \cos(35^\circ) \approx 0{,}819\). 2. Zu b): Der Winkel \(145^\circ\) entspricht \(180^\circ - 35^\circ\). Die Spiegelung an der \(y\)-Achse ergibt \(\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)\), also \(\cos(145^\circ) = -\cos(35^\circ) \approx -0{,}819\). 3. Zu c): Aufgrund der Geradheit der Kosinusfunktion gilt \(\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)\). Somit ist \(\cos(-35^\circ) = \cos(35^\circ) \approx 0{,}819\). 4. Zu d): Da die Kosinusfunktion eine Periode von \(360^\circ\) hat, gilt \(\cos(360^\circ + \alpha) = \cos(\alpha)\). Somit ist \(\cos(395^\circ) = \cos(35^\circ) \approx 0{,}819\).

a) \(0{,}819\) b) \(-0{,}819\) c) \(0{,}819\) d) \(0{,}819\)

- Wie oft passt eine volle Drehung in den gegebenen Winkel? - Überlege dir am Einheitskreis, welche x-Koordinate der Punkt auf dem Kreis bei dem jeweiligen Winkel hat. - Gibt es einen anderen Punkt auf dem Einheitskreis, der dieselbe x-Koordinate besitzt? - Nutze die Symmetrieeigenschaft \(\cos(\alpha) = \cos(360^\circ - \alpha)\).

1. Für \(\alpha_1 = 480^\circ\): Division durch \(360^\circ\) ergibt \(480^\circ = 120^\circ + 1 \cdot 360^\circ\), also \(\alpha_1' = 120^\circ\). 2. Wegen der Symmetrie der Kosinusfunktion am Einheitskreis gilt \(\cos(\alpha') = \cos(360^\circ - \alpha')\). Für \(\alpha_1' = 120^\circ\) ergibt sich \(360^\circ - 120^\circ = 240^\circ\). 3. Für \(\alpha_2 = -150^\circ\): Addition von \(360^\circ\) ergibt \(-150^\circ = 210^\circ + (-1) \cdot 360^\circ\), also \(\alpha_2' = 210^\circ\). 4. Für \(\alpha_2' = 210^\circ\) ergibt sich durch Symmetrie \(360^\circ - 210^\circ = 150^\circ\).

a) \(\alpha_1 = 120^\circ + 1 \cdot 360^\circ\); \(\alpha_2 = 210^\circ + (-1) \cdot 360^\circ\) b) Für \(\alpha_1\): \(240^\circ\); für \(\alpha_2\): \(150^\circ\)

- Was passiert mit dem Sinuswert, wenn man \(360^\circ\) addiert oder subtrahiert? - Erinnere dich an die Symmetrie \(\sin(\alpha) = \sin(180^\circ - \alpha)\). - Wie kannst du von einem bekannten Winkel aus weitere Winkel finden, die außerhalb des Bereichs von \(0^\circ\) bis \(360^\circ\) liegen?

1. Reduktion auf das Grundintervall: \(620^\circ - 360^\circ = 260^\circ\), also \(\alpha' = 260^\circ\). 2. Bestimmung eines negativen Winkels \(\beta_1\): Durch Periodizität ergibt sich \(260^\circ - 360^\circ = -100^\circ\). Alternativ über die Symmetrie \(\sin(180^\circ - \alpha)\): \(180^\circ - 260^\circ = -80^\circ\). 3. Bestimmung eines Winkels \(\beta_2 > 720^\circ\): Durch Periodizität ausgehend von \(\alpha'\) ergibt sich \(260^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 980^\circ\). Alternativ ausgehend von der Symmetrie \(\sin(-80^\circ)\): \(-80^\circ + 3 \cdot 360^\circ = 1000^\circ\).

a) \(\alpha' = 260^\circ\) b) Mögliche Werte sind \(\beta_1 = -100^\circ\) (oder \(-80^\circ\)) und \(\beta_2 = 980^\circ\) (oder \(1000^\circ\)).

- Bestimme zuerst, welcher Winkel im Bereich von \(0^\circ\) bis \(360^\circ\) denselben Kosinuswert hat wie \(\alpha\). - Erinnere dich an die Symmetrieeigenschaften am Einheitskreis oder am Graphen der Kosinusfunktion. - Es werden alle Winkel im Intervall gesucht, also achte darauf, keinen zu vergessen.

1. Reduktion auf das Grundintervall mittels Periodizität: \(\cos(\alpha) = \cos(\alpha + k \cdot 360^\circ)\). 2. Zu a): \(500^\circ - 360^\circ = 140^\circ\). Somit ist \(x_1 = 140^\circ\) die erste Lösung im Intervall. Die zweite Lösung ergibt sich durch die Symmetrie \(\cos(x) = \cos(360^\circ - x)\) zu \(x_2 = 360^\circ - 140^\circ = 220^\circ\). 3. Zu b): \(-70^\circ + 360^\circ = 290^\circ\). Somit ist \(x_1 = 290^\circ\) eine Lösung im Intervall. Wegen \(\cos(-70^\circ) = \cos(70^\circ)\) ist \(x_2 = 70^\circ\) die zweite Lösung im Intervall.

a) \(x \in \{140^\circ; 220^\circ\}\) b) \(x \in \{70^\circ; 290^\circ\}\)

- Große Vielfache von \(\pi\) lassen sich oft einfach auf \(0\) oder \(\pi\) zurückführen. Ist die Zahl vor dem \(\pi\) gerade oder ungerade? - Du kannst bei jedem Winkel beliebig oft \(2\pi\) addieren oder subtrahieren, ohne dass sich der Funktionswert ändert. - Berechne bei zusammengesetzten Termen zuerst jeden Funktionswert einzeln. - Erinnere dich an die Besonderheiten von Sinus und Kosinus bei Vielfachen von \(\frac{\pi}{2}\).

1. Teilaufgabe a): \(\sin\left(-\frac{13\pi}{2}\right) = \sin\left(-6{,}5\pi\right)\). Durch Addition von \(3 \cdot 2\pi = 6\pi\) erhält man \(\sin(-0{,}5\pi) = \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1\). 2. Teilaufgabe b): Da \(2025\pi = 1012 \cdot 2\pi + \pi\), ist der Wert identisch mit \(\cos(\pi) = -1\). 3. Teilaufgabe c): \(\sin(4\pi) = \sin(0) = 0\). Für den zweiten Term gilt \(\cos(-3\pi) = \cos(-3\pi + 4\pi) = \cos(\pi) = -1\). Die Summe ist \(0 + (-1) = -1\). 4. Teilaufgabe d): \(\cos\left(-\frac{9\pi}{2}\right) = \cos\left(-4{,}5\pi\right) = \cos\left(-0{,}5\pi\right) = 0\). Weiterhin ist \(\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1\). Die Differenz ergibt \(0 - (-1) = 1\).

a) \(-1\) b) \(-1\) c) \(-1\) d) \(1\)

- Addiere oder subtrahiere ganze Vielfache von \(2\pi\), bis der Winkel im geforderten Grundintervall liegt. - Der zurückgeführte Winkel muss denselben Endpunkt auf dem Einheitskreis besitzen. - Verwende den Taschenrechner erst nach der Rückführung für Werte, die keine bekannten exakten Standardwerte sind.

1. \(2{,}8\pi-2\pi=0{,}8\pi\). Daher ist \(\sin(2{,}8\pi)=\sin(0{,}8\pi)\approx0{,}588\). 2. \(10-2\pi\) liegt in \([0;2\pi)\). Daher ist \(\cos(10)=\cos(10-2\pi)\approx-0{,}839\). 3. \(-4{,}5+2\pi\) liegt in \([0;2\pi)\). Daher ist \(\sin(-4{,}5)=\sin(-4{,}5+2\pi)\approx0{,}978\). 4. \(-\frac{13\pi}{6}+4\pi=\frac{11\pi}{6}\). Daher ist \(\cos\left(-\frac{13\pi}{6}\right)=\cos\left(\frac{11\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx0{,}866\).

a) \(\alpha_0=0{,}8\pi\); \(\sin(2{,}8\pi)\approx0{,}588\) b) \(\alpha_0=10-2\pi\approx3{,}717\); \(\cos(10)\approx-0{,}839\) c) \(\alpha_0=-4{,}5+2\pi\approx1{,}783\); \(\sin(-4{,}5)\approx0{,}978\) d) \(\alpha_0=\frac{11\pi}{6}\); \(\cos\left(-\frac{13\pi}{6}\right)\approx0{,}866\)

- Zur Bestimmung des Quadranten hilft ein Vergleich mit Vielfachen von \(\frac{\pi}{2}\) (ca. \(1{,}57\)), \(\pi\) (ca. \(3{,}14\)) und \(\frac{3\pi}{2}\) (ca. \(4{,}71\)). - Negative Winkel werden im Uhrzeigersinn ab der positiven x-Achse gemessen. - Winkel, die größer als \(2\pi\) sind, können durch Abziehen von Vielfachen von \(2\pi\) auf das Standardintervall zurückgeführt werden.

1. Für \(\cos(3{,}5)\): Da \(\pi \approx 3{,}14\) und \(1{,}5\pi \approx 4{,}71\), liegt \(3{,}5\) im III. Quadranten. Wert: \(\approx -0{,}936\). 2. Für \(\sin(-2)\): Der Winkel mit dem Bogenmaß \(-2\) erfüllt \(-\pi < -2 < -\frac{\pi}{2}\) und liegt daher im III. Quadranten. Wert: \(\approx -0{,}909\). 3. Für \(\cos(7{,}2\pi)\): Reduktion um \(3 \cdot 2\pi\) ergibt \(1{,}2\pi\). Da \(\pi < 1{,}2\pi < 1{,}5\pi\), liegt der Punkt im III. Quadranten. Wert: \(\approx -0{,}809\). 4. Für \(\sin(-\frac{4\pi}{9})\): Das Argument \(-\frac{4\pi}{9} \approx -0{,}44\pi\) liegt zwischen \(0\) und \(-\frac{\pi}{2}\), somit im IV. Quadranten. Wert: \(\approx -0{,}985\).

a) \(-0{,}936\); III. Quadrant b) \(-0{,}909\); III. Quadrant c) \(-0{,}809\); III. Quadrant d) \(-0{,}985\); IV. Quadrant

- Nutze den Einheitskreis, um zu sehen, welche Winkel dieselbe \(y\)-Koordinate haben. - Welche Symmetrieeigenschaften besitzt die Sinusfunktion bezüglich der Geraden \(x = \frac{\pi}{2}\)? - Wie hängen \(\sin(x)\) und \(\sin(-x)\) zusammen? - Addiere oder subtrahiere \(2\pi\) (\(360^\circ\)), um Winkel in das Standardintervall \([0; 2\pi)\) zu bringen.

1. Anwendung der Periodizität \(\sin(x + 2k\pi) = \sin(x)\) und der Symmetrie \(\sin(\pi - x) = \sin(x)\) sowie \(\sin(-x) = -\sin(x)\). 2. Analyse der ersten Gruppe: \(\sin(\frac{\pi}{6}) = 0{,}5\). Durch Symmetrie an der y-Achse gilt \(\sin(\frac{5\pi}{6}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = 0{,}5\). Durch Periodizität gilt \(\sin(\frac{13\pi}{6}) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{6}) = 0{,}5\) und \(\sin(-\frac{7\pi}{6}) = \sin(-\frac{7\pi}{6} + 2\pi) = \sin(\frac{5\pi}{6}) = 0{,}5\). 3. Analyse der zweiten Gruppe: \(\sin(-\frac{\pi}{6}) = -0{,}5\). Durch Periodizität gilt \(\sin(\frac{11\pi}{6}) = \sin(\frac{11\pi}{6} - 2\pi) = \sin(-\frac{\pi}{6}) = -0{,}5\). Durch Punkt- oder Achsensymmetrie folgt \(\sin(\frac{7\pi}{6}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -0{,}5\) und \(\sin(-\frac{5\pi}{6}) = \sin(-\frac{5\pi}{6} + 2\pi) = \sin(\frac{7\pi}{6}) = -0{,}5\).

Gruppe 1 (Wert \(0{,}5\)): \(\sin(\frac{\pi}{6})\), \(\sin(\frac{5\pi}{6})\), \(\sin(\frac{13\pi}{6})\), \(\sin(-\frac{7\pi}{6})\) Gruppe 2 (Wert \(-0{,}5\)): \(\sin(-\frac{\pi}{6})\), \(\sin(\frac{7\pi}{6})\), \(\sin(\frac{11\pi}{6})\), \(\sin(-\frac{5\pi}{6})\)

- Bringe jeden Winkel zunächst durch ganze Umdrehungen in den Bereich von \(0^\circ\) bis \(360^\circ\). - Bestimme danach Quadrant oder Achse und damit die Vorzeichen von Sinus und Kosinus. - Prüfe, ob ein besonderer Winkel vorliegt; nur bei nicht besonderen Winkeln brauchst du den Taschenrechner für den Betrag.

1. \(220^\circ\) liegt im dritten Quadranten und hat den Bezugswinkel \(40^\circ\). Mit dem Taschenrechner erhält man \(\sin(220^\circ)\approx-0{,}64\) und \(\cos(220^\circ)\approx-0{,}77\). 2. \(-30^\circ\) ist zu \(330^\circ\) koterminal. Daher gilt exakt \(\sin(-30^\circ)=-\frac{1}{2}\) und \(\cos(-30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}\), also gerundet \(-0{,}50\) und \(0{,}87\). 3. \(400^\circ-360^\circ=40^\circ\). Mit dem Taschenrechner folgt \(\sin(400^\circ)=\sin(40^\circ)\approx0{,}64\) und \(\cos(400^\circ)=\cos(40^\circ)\approx0{,}77\). 4. \(900^\circ-720^\circ=180^\circ\). Daher gilt \(\sin(900^\circ)=0\) und \(\cos(900^\circ)=-1\).

a) Reduzierter Winkel: \(220^\circ\); \(\sin(220^\circ)\approx-0{,}64\); \(\cos(220^\circ)\approx-0{,}77\) b) Reduzierter Winkel: \(330^\circ\); \(\sin(-30^\circ)\approx-0{,}50\); \(\cos(-30^\circ)\approx0{,}87\) c) Reduzierter Winkel: \(40^\circ\); \(\sin(400^\circ)\approx0{,}64\); \(\cos(400^\circ)\approx0{,}77\) d) Reduzierter Winkel: \(180^\circ\); \(\sin(900^\circ)\approx0{,}00\); \(\cos(900^\circ)\approx-1{,}00\)

- Achte bei den Teilaufgaben (3) und (4) darauf, ob dein Taschenrechner auf Gradmaß (DEG) oder Bogenmaß (RAD) eingestellt ist. - Woran erkennst du in der Aufgabenstellung, ob ein Winkel im Grad- oder im Bogenmaß angegeben ist? - Erinnere dich an die Werte von \(\pi\), \(2\pi\) usw., um die Lage im Einheitskreis abzuschätzen. - Welche Vorzeichen haben die x- und y-Koordinaten in den verschiedenen Quadranten?

1. Berechnung der Funktionswerte (bei (3) und (4) im Bogenmaß): (1) \(\cos(110^\circ) \approx -0{,}342\) (2) \(\sin(260^\circ) \approx -0{,}985\) (3) \(\cos(4) \approx -0{,}654\) (4) \(\sin(-0{,}8) \approx -0{,}717\) 2. Bestimmung des Quadranten für \(\alpha = 4\): Da \(\pi \approx 3{,}14\) und \(\frac{3\pi}{2} \approx 4{,}71\) gilt, liegt die Zahl \(4\) im Intervall \((\pi; 1{,}5\pi)\). Dieser Bereich entspricht dem 3. Quadranten des Einheitskreises.

a) (1) \(-0{,}342\); (2) \(-0{,}985\); (3) \(-0{,}654\); (4) \(-0{,}717\) b) Der Punkt liegt im 3. Quadranten, da \(\pi < 4 < 1{,}5\pi\) gilt.

- Setze die beiden Funktionsterme zunächst nur für einen vollständigen Umlauf gleich. - Übersetze die Gleichung am Einheitskreis in eine Beziehung zwischen \(x\)- und \(y\)-Koordinate. - Nutze erst nach den Lösungen des ersten Umlaufs die Periodenlänge, um den zweiten Umlauf zu ergänzen.

1. Aus \(\sin(\alpha)=-\cos(\alpha)\) folgt am Einheitskreis für den Punkt \((\cos(\alpha)\mid\sin(\alpha))\) die Bedingung \(y=-x\). 2. Im ersten Umlauf schneidet die Gerade \(y=-x\) den Einheitskreis bei \(135^\circ\) und \(315^\circ\). 3. Wegen der Periodenlänge \(360^\circ\) erhält man im zweiten Umlauf zusätzlich \(495^\circ\) und \(675^\circ\). 4. Die Randwerte \(0^\circ\) und \(720^\circ\) erfüllen die Gleichung nicht.

a) \(\alpha\in\{135^\circ;315^\circ\}\) b) \(\alpha\in\{135^\circ;315^\circ;495^\circ;675^\circ\}\)

- Wie oft muss man den Einheitskreis umrunden, um wieder an derselben Stelle anzukommen? - Gibt es eine Formel, mit der man alle Winkel berechnen kann, die an der gleichen Stelle liegen? - Überprüfe systematisch positive und negative Vielfache einer vollen Umdrehung. - Achte darauf, dass deine Ergebnisse innerhalb der vorgegebenen Grenzen liegen.

1. Die Lage eines Punktes auf dem Einheitskreis wiederholt sich alle \(360^\circ\). Die allgemeine Formel für alle Winkel mit gleicher Lage ist \(\beta = \alpha + k \cdot 360^\circ\) mit \(k \in \mathbb{Z}\). 2. Für \(k = 1\): \(\beta = 225^\circ + 360^\circ = 585^\circ\). 3. Für \(k = 2\): \(\beta = 225^\circ + 720^\circ = 945^\circ\) (liegt außerhalb des Intervalls). 4. Für \(k = -1\): \(\beta = 225^\circ - 360^\circ = -135^\circ\). 5. Für \(k = -2\): \(\beta = 225^\circ - 720^\circ = -495^\circ\). 6. Für \(k = -3\): \(\beta = 225^\circ - 1080^\circ = -855^\circ\). 7. Für \(k = -4\): \(\beta = 225^\circ - 1440^\circ = -1215^\circ\) (liegt außerhalb des Intervalls). Die gesuchten Winkel sind \(-855^\circ\), \(-495^\circ\), \(-135^\circ\) und \(585^\circ\).

\(\beta \in \{-855^\circ; -495^\circ; -135^\circ; 585^\circ\}\)

- Wie viel Grad entspricht einer vollen Umdrehung im Einheitskreis? - Wie oft passt eine volle Umdrehung in die größeren Winkel hinein? - Was passiert mit der Position eines Zeigers, wenn man ihn um genau \(360^\circ\) weiterdreht? - Kannst du die Winkel so verändern, dass sie alle in einem Bereich zwischen \(0^\circ\) und \(360^\circ\) liegen?

1. Umrechnung in Gradmaß mittels \(\alpha = x \cdot \frac{180^\circ}{\pi}\): \(x_1 = \frac{1}{3} \cdot 180^\circ = 60^\circ\); \(x_2 = \frac{7}{3} \cdot 180^\circ = 420^\circ\); \(x_3 = -\frac{5}{3} \cdot 180^\circ = -300^\circ\); \(x_4 = \frac{4}{3} \cdot 180^\circ = 240^\circ\). 2. Prüfung auf dieselbe Endlage durch Addition/Subtraktion von Vielfachen einer vollen Umdrehung (\(360^\circ\) oder \(2\pi\)): \(420^\circ - 360^\circ = 60^\circ\); \(-300^\circ + 360^\circ = 60^\circ\). 3. Ergebnis: \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) beschreiben dieselbe Position, da sie sich nur um ganze Umdrehungen unterscheiden. \(x_4\) beschreibt eine andere Position (\(240^\circ\)).

a) \(x_1 = 60^\circ\), \(x_2 = 420^\circ\), \(x_3 = -300^\circ\), \(x_4 = 240^\circ\). b) \(x_1, x_2\) und \(x_3\) beschreiben dieselbe Position, da \(420^\circ = 60^\circ + 1 \cdot 360^\circ\) und \(-300^\circ = 60^\circ - 1 \cdot 360^\circ\) gilt.

- Überlege dir, nach welcher Drehung ein Punkt auf dem Kreis wieder an der exakt gleichen Stelle landet. - Wie oft passt eine volle Umdrehung in das angegebene Intervall? - Denke daran, sowohl positive als auch negative Vielfache einer vollen Umdrehung zu addieren. - Prüfe am Ende, ob alle deine Ergebnisse wirklich zwischen den Grenzen des Intervalls liegen.

1. Identifikation der Periodizität: Ein Punkt auf dem Einheitskreis wird durch Winkel der Form \(x_k = x_0 + k \cdot 2\pi\) mit \(k \in \mathbb{Z}\) beschrieben. Hier ist \(x_0 = \frac{2}{3}\pi\). 2. Berechnung für verschiedene Werte von \(k\): - Für \(k = 0\): \(x_0 = \frac{2}{3}\pi \approx 0{,}67\pi\) (liegt im Intervall). - Für \(k = 1\): \(\frac{2}{3}\pi + 2\pi = \frac{8}{3}\pi \approx 2{,}67\pi\) (liegt im Intervall). - Für \(k = 2\): \(\frac{2}{3}\pi + 4\pi = \frac{14}{3}\pi \approx 4{,}67\pi\) (außerhalb). - Für \(k = -1\): \(\frac{2}{3}\pi - 2\pi = -\frac{4}{3}\pi \approx -1{,}33\pi\) (liegt im Intervall). - Für \(k = -2\): \(\frac{2}{3}\pi - 4\pi = -\frac{10}{3}\pi \approx -3{,}33\pi\) (außerhalb). 3. Zusammenfassung der gültigen Werte: \(-\frac{4}{3}\pi\), \(\frac{2}{3}\pi\) und \(\frac{8}{3}\pi\).

Die gesuchten Winkel sind \(-\frac{4}{3}\pi\), \(\frac{2}{3}\pi\) und \(\frac{8}{3}\pi\).

- Ein Punkt wiederholt sich alle \(2\pi\). Wie kannst du das mathematisch ausdrücken? - Da das Intervall bei \(0\) beginnt, musst du so viele volle Umdrehungen addieren, bis du in den positiven Bereich kommst. - Achte darauf, die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, um sie leichter vergleichen zu können.

1. Aufstellen der allgemeinen Formel für deckungsgleiche Punkte: \(x = -\frac{\pi}{6} + k \cdot 2\pi\) für \(k \in \mathbb{Z}\). 2. Bestimmung der relevanten \(k\)-Werte durch Einsetzen und Abgleich mit dem Intervall \([0; 6\pi]\): - \(k = 0\): \(-\frac{\pi}{6}\) (zu klein, da \(< 0\)). - \(k = 1\): \(-\frac{\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{11}{6}\pi \approx 1{,}83\pi\) (liegt im Intervall). - \(k = 2\): \(-\frac{\pi}{6} + \frac{24\pi}{6} = \frac{23}{6}\pi \approx 3{,}83\pi\) (liegt im Intervall). - \(k = 3\): \(-\frac{\pi}{6} + \frac{36\pi}{6} = \frac{35}{6}\pi \approx 5{,}83\pi\) (liegt im Intervall). - \(k = 4\): \(-\frac{\pi}{6} + \frac{48\pi}{6} = \frac{47}{6}\pi \approx 7{,}83\pi\) (zu groß, da \(> 6\pi\)). 3. Liste der Lösungen: \(\frac{11}{6}\pi, \frac{23}{6}\pi, \frac{35}{6}\pi\).

Die Winkel sind \(\frac{11}{6}\pi\), \(\frac{23}{6}\pi\) und \(\frac{35}{6}\pi\).

- Wann ist am Einheitskreis die x-Koordinate gleich Null? - In welchen Abständen wiederholen sich die Nullstellen bei einer Kosinusfunktion? - Überprüfe systematisch, welche Werte der Form \(\frac{\pi}{2} + k\pi\) in das gesuchte Intervall fallen. - Achte darauf, sowohl positive als auch negative Vielfache der Periodizität zu betrachten.

1. Identifikation der Basisnullstellen: Im Intervall \([0; 2\pi]\) schneidet der Graph der Kosinusfunktion die x-Achse bei \(x_1 = \frac{\pi}{2}\) und \(x_2 = \frac{3\pi}{2}\). 2. Anwendung der Periodizität: Weitere Nullstellen ergeben sich durch Addition oder Subtraktion von Vielfachen der Periodenlänge \(2\pi\) oder durch das Wissen, dass Nullstellen alle \(\pi\) auftreten (\(x_k = \frac{\pi}{2} + k\pi\)). 3. Prüfung des Intervalls \([-2\pi; 3\pi]\): Für \(k = -2\): \(x = -1{,}5\pi = -\frac{3\pi}{2}\) Für \(k = -1\): \(x = -0{,}5\pi = -\frac{\pi}{2}\) Für \(k = 0\): \(x = 0{,}5\pi = \frac{\pi}{2}\) Für \(k = 1\): \(x = 1{,}5\pi = \frac{3\pi}{2}\) Für \(k = 2\): \(x = 2{,}5\pi = \frac{5\pi}{2}\) 4. Zählung: Es liegen insgesamt \(5\) Nullstellen in diesem Intervall.

a) \(x = \frac{\pi}{2}\) und \(x = \frac{3\pi}{2}\) b) \(x \in \{-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}\}\) c) Es sind \(5\) Nullstellen.

- Wie lautet die erste positive Nullstelle der Kosinusfunktion? - Wie weit liegen benachbarte Nullstellen auseinander? - Nutze die Periodizität oder die allgemeine Bildungsforschrift für die Nullstellen. - Was muss gelten, damit ein Wert in der Form \(\frac{\pi}{2} + k\pi\) geschrieben werden kann?

1. Die Nullstellen der Kosinusfunktion sind gegeben durch \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\) für \(k \in \mathbb{Z}\). 2. Um Nullstellen größer als \(2\pi\) (entspricht \(\frac{4}{2}\pi\)) zu finden, wählt man z. B. \(k = 2, 3, 4, 5, 6\). Dies ergibt: \(\frac{5}{2}\pi, \frac{7}{2}\pi, \frac{9}{2}\pi, \frac{11}{2}\pi, \frac{13}{2}\pi\). 3. Zur Prüfung von \(x = -\frac{7}{2}\pi\) setzt man den Wert in die allgemeine Form ein: \(-\frac{7}{2}\pi = \frac{1}{2}\pi + k\pi\). Subtraktion von \(\frac{1}{2}\pi\) führt zu \(-4\pi = k\pi\), also \(k = -4\). 4. Da \(k\) eine ganze Zahl ist, ist \(x = -\frac{7}{2}\pi\) eine Nullstelle. Alternativ zeigt die Periodizität: \(\cos(-3{,}5\pi) = \cos(-3{,}5\pi + 4\pi) = \cos(0{,}5\pi) = 0\).

a) z. B. \(\frac{5}{2}\pi; \frac{7}{2}\pi; \frac{9}{2}\pi; \frac{11}{2}\pi; \frac{13}{2}\pi\) b) Ja, es ist eine Nullstelle, da \(-\frac{7}{2}\pi = \frac{\pi}{2} - 4\pi\) gilt.

- Bestimme zuerst, wie der Faktor \(2\) im Argument die Grundperiode von \(360^\circ\) verändert. - Suche die Lösungen zunächst wirklich nur in einem Intervall der Länge \(p\). - Übertrage anschließend dieses Lösungsmuster durch Verschiebungen um ganze Vielfache von \(p\).

1. Für \(f(\alpha)=2\sin(2\alpha)\) gilt \(p=\frac{360^\circ}{2}=180^\circ\). 2. Die Gleichung \(2\sin(2\alpha)=1\) ist äquivalent zu \(\sin(2\alpha)=0{,}5\). Im ersten Funktionsabschnitt der Länge \(180^\circ\) ergeben sich \(\alpha=15^\circ\) und \(\alpha=75^\circ\). 3. Alle weiteren Lösungen entstehen durch Addition oder Subtraktion ganzer Vielfacher von \(180^\circ\). 4. Im geforderten Intervall erhält man \(-345^\circ,-285^\circ,-165^\circ,-105^\circ,15^\circ,75^\circ,195^\circ,255^\circ,375^\circ,435^\circ,555^\circ,615^\circ\).

a) \(p=180^\circ\) b) \(\alpha\in\{15^\circ;75^\circ\}\) c) \(\alpha\in\{-345^\circ;-285^\circ;-165^\circ;-105^\circ;15^\circ;75^\circ;195^\circ;255^\circ;375^\circ;435^\circ;555^\circ;615^\circ\}\)

- Wie viele Lösungen erwartest du innerhalb einer Periode (\(2\pi\))? - Nutze die Symmetrie am Einheitskreis oder am Graphen der Sinusfunktion. - Denke daran, dass du zu jeder Lösung Vielfache der Periode addieren oder subtrahieren kannst. - Prüfe am Ende genau, welche der berechneten Werte im vorgegebenen Intervall liegen.

1. Berechnung des ersten Wertes mit dem Taschenrechner im Bogenmaß: \(x_1 = \arcsin(-0{,}45) \approx -0{,}47\). 2. Bestimmung des zweiten Wertes im Einheitskreis (Symmetrie): \(x_2 = \pi - (-0{,}4668) \approx 3{,}61\). 3. Erzeugung weiterer Lösungen durch Addition oder Subtraktion der Periode \(2\pi \approx 6{,}28\). 4. Für Intervall a) \(0 \le x \le 2\pi\): \(x_2 \approx 3{,}61\) und \(x_3 = x_1 + 2\pi \approx 5{,}82\). 5. Für Intervall b) \(-2\pi \le x \le 2\pi\): Ausgehend von \(x_1 \approx -0{,}47\) und \(x_2 \approx 3{,}61\) ergeben sich außerdem \(x_2 - 2\pi \approx -2{,}67\) und \(x_1 + 2\pi \approx 5{,}82\). Alle vier Werte liegen im Bereich \([-6{,}28; 6{,}28]\).

a) \(L = \{3{,}61; 5{,}82\}\) b) \(L = \{-2{,}67; -0{,}47; 3{,}61; 5{,}82\}\)

- Isoliere zuerst den Kosinus-Ausdruck auf einer Seite der Gleichung. - Wie hängen zwei Lösungen der Kosinusfunktion innerhalb einer Periode zusammen? - Wie groß ist die Periode der Kosinusfunktion? - Überlege dir, wie viele Perioden in das Intervall von \(-2\pi\) bis \(4\pi\) passen.

1. Umformen der Gleichung zu \(\cos(x) = 0{,}6\). 2. Berechnung des ersten Wertes: \(x_1 = \arccos(0{,}6) \approx 0{,}93\). 3. Bestimmung des zweiten Wertes in der ersten Periode durch Symmetrie: \(x_2 = 2\pi - 0{,}9273 \approx 5{,}36\). Damit ist Teil a) gelöst. 4. Erweiterung auf das Intervall \([-2\pi; 4\pi]\) durch Addition/Subtraktion von \(2\pi \approx 6{,}28\). 5. Für \(k = -1\): \(x_1 - 2\pi \approx -5{,}36\) und \(x_2 - 2\pi \approx -0{,}93\). 6. Für \(k = 1\): \(x_1 + 2\pi \approx 7{,}21\) und \(x_2 + 2\pi \approx 11{,}64\). 7. Alle berechneten Werte (\(-5{,}36; -0{,}93; 0{,}93; 5{,}36; 7{,}21; 11{,}64\)) liegen im Intervall \([-6{,}28; 12{,}57]\).

a) \(L = \{0{,}93; 5{,}36\}\) b) \(L = \{-5{,}36; -0{,}93; 0{,}93; 5{,}36; 7{,}21; 11{,}64\}\)

- Überlege dir zuerst, in welchen Quadranten des Einheitskreises die Lösungen liegen müssen. - Nutze die Symmetrieeigenschaften der Sinus- und Kosinusfunktion am Einheitskreis, um aus einer Lösung weitere zu finden. - Beachte die Periodizität der Funktionen: Wenn du eine Lösung hast, kannst du durch Addieren oder Subtrahieren von \(2\pi\) weitere Lösungen finden. - Achte darauf, dass deine berechneten Werte im jeweils geforderten Intervall liegen.

1. Für a): Berechnung des ersten Wertes im Intervall \([0; \frac{\pi}{2}]\) mittels Arkuskosinus: \(x_1 = \arccos(0{,}65) \approx 0{,}86\). Bestimmung des zweiten Wertes im Intervall \([\frac{3\pi}{2}; 2\pi]\) durch Symmetrie am Einheitskreis: \(x_2 = 2\pi - 0{,}8633\ldots \approx 5{,}42\). 2. Für b): Berechnung des ersten Wertes im Intervall \([-\frac{\pi}{2}; 0]\) mittels Arkussinus: \(x_1 = \arcsin(-0{,}3) \approx -0{,}30\). Bestimmung des zweiten Wertes im Intervall \([-\pi; -\frac{\pi}{2}]\) durch Symmetrie: \(x_2 = -\pi - (-0{,}3046\ldots) \approx -2{,}84\). 3. Durch Addition der Periode \(2\pi\) ergeben sich die weiteren Lösungen im positiven Bereich: \(x_3 = -0{,}3046\ldots + 2\pi \approx 5{,}98\) und \(x_4 = -2{,}8369\ldots + 2\pi \approx 3{,}45\).

a) \(x_1 \approx 0{,}86\); \(x_2 \approx 5{,}42\) b) \(x_1 \approx -2{,}84\); \(x_2 \approx -0{,}30\); \(x_3 \approx 3{,}45\); \(x_4 \approx 5{,}98\)

- Überlege dir, in welchen Quadranten der Einheitskreis negative Sinuswerte liefert. - Wenn du einen Wert mit dem Taschenrechner gefunden hast, wie kannst du die Symmetrie der Sinuskurve nutzen, um den zweiten Wert innerhalb einer Periode zu finden? - Denke daran, dass sich die Funktionswerte alle \(360^\circ\) wiederholen.

1. Berechnung des ersten Winkels mit dem Taschenrechner: \(\alpha_1 = \arcsin(-0{,}42) \approx -24{,}83^\circ\). Dieser Wert liegt im gesuchten Intervall \([-360^\circ; 0^\circ]\). 2. Nutzung der Symmetrie der Sinusfunktion (\(\sin(\alpha) = \sin(-180^\circ - \alpha)\) für den Bereich um \(-180^\circ\)): \(\alpha_2 = -180^\circ - (-24{,}83^\circ) = -155{,}17^\circ\). Auch dieser Wert liegt im Intervall. 3. Überprüfung weiterer Werte durch Addition oder Subtraktion der Periode \(360^\circ\): \(-24{,}83^\circ - 360^\circ = -384{,}83^\circ\) (außerhalb) und \(-155{,}17^\circ - 360^\circ = -515{,}17^\circ\) (außerhalb). Die gesuchten Winkel sind \(\alpha_1 \approx -24{,}83^\circ\) und \(\alpha_2 \approx -155{,}17^\circ\).

\(\alpha_1 \approx -24{,}83^\circ\); \(\alpha_2 \approx -155{,}17^\circ\)

- Bestimme zuerst die beiden Lösungen innerhalb einer vollständigen Umdrehung. - Auf dem Einheitskreis haben an der \(x\)-Achse gespiegelte Punkte denselben Kosinuswert. - Nutze anschließend die Periodenlänge \(360^\circ\), um passende coterminale Winkel im Zielintervall zu finden. - Prüfe die Intervallgrenzen, damit keine weitere Verschiebung übersehen wird.

1. Im Standardintervall \([0^\circ;360^\circ]\) ist eine Lösung \(\alpha_1=\arccos(-0{,}75)\approx138{,}59^\circ\). 2. Der zweite zugehörige Punkt auf dem Einheitskreis ist die Spiegelung an der \(x\)-Achse und hat dieselbe horizontale Koordinate. Daher ist \(\alpha_2=360^\circ-138{,}59^\circ\approx221{,}41^\circ\). 3. Verschiebe beide Basislösungen um ganzzahlige Vielfache von \(360^\circ\). Für \(138{,}59^\circ\) liegt nur \(138{,}59^\circ+720^\circ\approx858{,}59^\circ\) im Zielintervall. 4. Für \(221{,}41^\circ\) liegt nur \(221{,}41^\circ+360^\circ\approx581{,}41^\circ\) im Zielintervall.

\(\alpha\approx581{,}41^\circ\) oder \(\alpha\approx858{,}59^\circ\)

- Vergleiche die Grundperiode \(2\pi\) mit dem Faktor \(2\) im Argument. - Die Länge des gesamten Intervalls hilft dir zu bestimmen, wie oft sich das Lösungsmuster wiederholt. - Löse Teil c) zunächst auf einem Intervall der Länge \(T\), bevor du periodisch fortsetzt.

1. Für \(g(x)=\cos(2x)\) ist \(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\). Das Intervall \([-\pi;\pi]\) hat die Länge \(2\pi\) und enthält daher zwei vollständige Perioden. 2. Für \(x=\frac{\pi}{4}\) gilt \(y_2=\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\). 3. In einer Periode kann man beispielsweise die Lösungen \(x=\frac{\pi}{3}\) und \(x=\frac{2\pi}{3}\) betrachten. 4. Durch Verschiebung um die Periode \(\pi\) erhält man im Gesamtintervall zusätzlich \(-\frac{2\pi}{3}\) und \(-\frac{\pi}{3}\). 5. Damit lautet die Lösungsmenge \(\left\{-\frac{2\pi}{3};-\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{3};\frac{2\pi}{3}\right\}\).

a) \(T=\pi\); im Intervall liegen zwei vollständige Perioden. b) \(y_2=0\) c) \(x\in\left\{-\frac{2\pi}{3};-\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{3};\frac{2\pi}{3}\right\}\)

- Bestimme zuerst, wie der Faktor \(2\) die Grundperiode verändert. - Suche die Lösungen in Teil b) nur innerhalb einer einzigen Periode von \(f\). - Für Teil c) brauchst du keine neue trigonometrische Gleichung zu lösen; nutze die Periodizität.

1. Für \(f(x)=\sin(2x)\) gilt \(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\). Auf \([0;2\pi]\) liegen zwei vollständige Perioden. 2. Im Intervall \([0;\pi)\) gilt \(\sin(2x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\) für \(x=\frac{\pi}{8}\) und \(x=\frac{3\pi}{8}\). 3. Durch Addition der Periode \(\pi\) entstehen die weiteren Lösungen \(\frac{9\pi}{8}\) und \(\frac{11\pi}{8}\).

a) \(T=\pi\); zwei vollständige Perioden. b) \(x\in\left\{\frac{\pi}{8};\frac{3\pi}{8}\right\}\) c) \(L=\left\{\frac{\pi}{8};\frac{3\pi}{8};\frac{9\pi}{8};\frac{11\pi}{8}\right\}\)

- Isoliere zuerst den Kosinusausdruck auf einer Seite der Gleichung. - In welchen Quadranten des Einheitskreises ist der Kosinuswert negativ? - Wie hängen die Lösungen im positiven Bereich mit denen im negativen Bereich aufgrund der Achsensymmetrie der Kosinusfunktion zusammen? - Stelle sicher, dass alle deine gefundenen Werte innerhalb der vorgegebenen Grenzen liegen.

1. Division der Gleichung durch \(2\) ergibt \(\cos(x) = -\frac{1}{2}\sqrt{3}\). 2. Bestimmung der Basislösungen im Standardintervall \([0; 2\pi]\): Da \(\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) ist, liegen die Lösungen für den negativen Wert im zweiten und dritten Quadranten: \(x_1 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}\) und \(x_2 = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}\). 3. Bestimmung der Lösungen im negativen Teil des Intervalls \([-2\pi; 0]\) durch Subtraktion der Periode \(2\pi\): \(x_3 = \frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{7\pi}{6}\) und \(x_4 = \frac{7\pi}{6} - 2\pi = -\frac{5\pi}{6}\). 4. Die Lösungsmenge umfasst alle vier gefundenen Werte im Bereich \([-2\pi; 2\pi]\).

\(L = \{ -\frac{7\pi}{6}; -\frac{5\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}; \frac{7\pi}{6} \}\)

- Überlege dir zuerst, in welchen Quadranten des Einheitskreises der Sinus bzw. der Kosinus den gesuchten Wert annimmt. - Nutze die Taschenrechnerfunktion für den ersten Wert und bestimme den zweiten Wert mithilfe der Symmetrieeigenschaften (\(180^\circ - \alpha\) beim Sinus, \(-\alpha\) bzw. \(360^\circ - \alpha\) beim Kosinus). - Prüfe durch Addition oder Subtraktion von \(360^\circ\), ob weitere Lösungen im vorgegebenen Bereich liegen. - Achte genau auf die Intervallgrenzen, besonders im negativen Bereich.

1. Berechnung des ersten Winkels für Teilaufgabe a) mit dem Arkussinus: \(x_1 = \arcsin(-0{,}65) \approx -40{,}5^\circ\). 2. Bestimmung des zweiten Winkels innerhalb einer Periode durch die Symmetrie am Einheitskreis: \(x_2 = 180^\circ - (-40{,}54^\circ) \approx 220{,}5^\circ\). 3. Anwendung der Periodizität (\(\pm 360^\circ\)), um alle Lösungen im Intervall \([-180^\circ; 360^\circ]\) zu finden: \(x_3 = -40{,}54^\circ + 360^\circ \approx 319{,}5^\circ\) und \(x_4 = 220{,}54^\circ - 360^\circ \approx -139{,}5^\circ\). 4. Berechnung des ersten Winkels für Teilaufgabe b) mit dem Arkuskosinus: \(x_1 = \arccos(0{,}22) \approx 77{,}3^\circ\). 5. Bestimmung des zweiten Winkels durch die Symmetrie zur x-Achse: \(x_2 = -77{,}29^\circ \approx -77{,}3^\circ\). 6. Anwendung der Periodizität für das Intervall: \(x_3 = -77{,}29^\circ + 360^\circ \approx 282{,}7^\circ\).

a) \(L = \{-139{,}5^\circ; -40{,}5^\circ; 220{,}5^\circ; 319{,}5^\circ\}\) b) \(L = \{-77{,}3^\circ; 77{,}3^\circ; 282{,}7^\circ\}\)

- Die Periodenlänge hängt vom Faktor vor \(x\) im Kosinusargument ab. - Arbeite für Teil b) bewusst nur auf einem Intervall der Länge \(T\). - Verschiebe anschließend beide gefundenen Lösungen um eine ganze Periode.

1. Für \(g(x)=\cos(2x)\) gilt \(T=\pi\). Auf \([0;2\pi]\) liegen zwei vollständige Perioden. 2. Im ersten Periodenintervall \([0;\pi)\) sind die Lösungen \(x=\frac{\pi}{3}\) und \(x=\frac{2\pi}{3}\). 3. Durch Addition der Periode \(\pi\) erhält man \(\frac{4\pi}{3}\) und \(\frac{5\pi}{3}\). 4. Damit ist \(L=\left\{\frac{\pi}{3};\frac{2\pi}{3};\frac{4\pi}{3};\frac{5\pi}{3}\right\}\).

a) \(T=\pi\); zwei vollständige Perioden. b) \(x\in\left\{\frac{\pi}{3};\frac{2\pi}{3}\right\}\) c) \(L=\left\{\frac{\pi}{3};\frac{2\pi}{3};\frac{4\pi}{3};\frac{5\pi}{3}\right\}\)

- Wenn ein Quadrat in der Gleichung steht, denke daran, dass beim Wurzelziehen sowohl ein positives als auch ein negatives Ergebnis möglich ist. - Wie viele Lösungen erwartest du am Einheitskreis, wenn der Sinuswert betragsmäßig feststeht? - Prüfe sorgfältig, welche der gefundenen Werte tatsächlich im vorgegebenen Intervall von \(-\pi\) bis \(2\pi\) liegen. - Skizziere dir eventuell den Graphen der Sinusfunktion, um die Lage der Lösungen zu kontrollieren.

1. Auflösen nach \(\sin x\) durch Ziehen der Quadratwurzel ergibt zwei Fälle: \(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\) oder \(\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). 2. Lösungen für \(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\) im Intervall \([-\pi; 2\pi]\): Im Bereich \([0; 2\pi]\) sind dies \(x_1 = \frac{\pi}{3}\) und \(x_2 = \frac{2\pi}{3}\). Im negativen Bereich \([-\pi; 0]\) gibt es keine Lösung für diesen positiven Wert. 3. Lösungen für \(\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) im Intervall \([-\pi; 2\pi]\): Im Bereich \([0; 2\pi]\) sind dies \(x_3 = \frac{4\pi}{3}\) und \(x_4 = \frac{5\pi}{3}\). Im Bereich \([-\pi; 0]\) ergeben sich durch Subtraktion von \(2\pi\) von den positiven Standardwerten (oder Betrachtung am Einheitskreis) \(x_5 = -\frac{\pi}{3}\) und \(x_6 = -\frac{2\pi}{3}\). 4. Zusammenfassen aller gültigen Werte zur Lösungsmenge: \(L = \{ -\frac{2\pi}{3}; -\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}; \frac{5\pi}{3} \}\).

\(L = \{ -\frac{2\pi}{3}; -\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}; \frac{5\pi}{3} \}\)

- Überlege dir zuerst, wie viele Lösungen eine Sinusfunktion innerhalb einer Periode von \(2\pi\) normalerweise hat. - Nutze die Symmetrieeigenschaften am Einheitskreis, um aus dem ersten Taschenrechner-Ergebnis einen zweiten Wert zu finden. - Prüfe durch Addition oder Subtraktion der Periodenlänge, ob weitere Werte in das vorgegebene Intervall fallen. - Beachte die Grenzen des Intervalls, wobei \(\pi \approx 3{,}14\) ist.

1. Berechnung des ersten Wertes (Hauptwert) mit der Umkehrfunktion: \(x_1 = \arcsin(0{,}75) \approx 0{,}85\). Dieser Wert liegt im Intervall \([-\pi; 2\pi]\). 2. Bestimmung des zweiten Wertes innerhalb einer Periode durch die Symmetrie am Einheitskreis: \(x_2 = \pi - x_1 \approx 3{,}14 - 0{,}848 \approx 2{,}29\). Dieser Wert liegt ebenfalls im Intervall \([-\pi; 2\pi]\). 3. Überprüfung weiterer Werte durch Addition oder Subtraktion der Periode \(2\pi\): \(x_1 - 2\pi \approx -5{,}44\) (außerhalb), \(x_2 - 2\pi \approx -3{,}99\) (außerhalb), \(x_1 + 2\pi \approx 7{,}13\) (außerhalb). 4. Die Lösungen im Intervall sind somit \(x_1 \approx 0{,}85\) und \(x_2 \approx 2{,}29\).

\(x_1 \approx 0{,}85\); \(x_2 \approx 2{,}29\)

- Erinnere dich an die Symmetrie der Kosinusfunktion an der \(y\)-Achse. Was bedeutet das für das Vorzeichen deiner Lösungen? - Wie groß ist die Periodenlänge der Kosinusfunktion? - Es hilft, sich den Graphen der Funktion grob zu skizzieren, um die Anzahl der erwarteten Schnittpunkte im Intervall zu sehen. - Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf das Bogenmaß (RAD) eingestellt ist.

1. Berechnung des ersten Wertes (Hauptwert): \(x_1 = \arccos(-0{,}2) \approx 1{,}772\). 2. Nutzung der Symmetrie der Kosinusfunktion (\(\cos(x) = \cos(-x)\)): \(x_2 = -x_1 \approx -1{,}772\). 3. Bestimmung weiterer Lösungen durch Periodizität (\(\pm 2\pi\)): - \(x_1 - 2\pi \approx 1{,}772 - 6{,}283 = -4{,}511\) - \(x_2 + 2\pi \approx -1{,}772 + 6{,}283 = 4{,}511\) 4. Prüfung der Intervallgrenzen (\(-2\pi \approx -6{,}283\) bis \(2\pi \approx 6{,}283\)): Alle vier gefundenen Werte liegen im Bereich. Weitere Vielfache von \(2\pi\) führen aus dem Intervall heraus.

\(x \in \{-4{,}511; -1{,}772; 1{,}772; 4{,}511\}\)

- Wie hängen Winkel im III. und IV. Quadranten mit Winkeln im I. Quadranten zusammen? - Bei Winkeln über \(360^\circ\) hilft es, zuerst Vielfache von \(360^\circ\) abzuziehen. - Überlege dir bei negativen Winkeln, wie sich der Kosinuswert verhält, wenn man den Winkel an der x-Achse spiegelt. - Welche Symmetrieformeln kennst du für den Sinus und den Kosinus?

1. Teilaufgabe a: Der Winkel \(192^\circ\) liegt im III. Quadranten. Die Reduktion erfolgt über \(180^\circ + \alpha = 192^\circ\). Daraus ergibt sich \(\alpha = 12^\circ\). Da der Sinus im III. Quadranten negativ ist, gilt \(\sin 192^\circ = -\sin 12^\circ\). 2. Teilaufgabe b: Der Winkel \(285^\circ\) liegt im IV. Quadranten. Die Reduktion erfolgt über \(360^\circ - \alpha = 285^\circ\). Daraus ergibt sich \(\alpha = 75^\circ\). Da der Kosinus im IV. Quadranten positiv ist, gilt \(\cos 285^\circ = \cos 75^\circ\). 3. Teilaufgabe c: Zuerst wird die Periode abgezogen: \(600^\circ - 360^\circ = 240^\circ\). Dieser Winkel liegt im III. Quadranten. Die Reduktion erfolgt über \(180^\circ + \alpha = 240^\circ\), also \(\alpha = 60^\circ\). Somit ist \(\sin 600^\circ = \sin 240^\circ = -\sin 60^\circ\). 4. Teilaufgabe d: Aufgrund der Achsensymmetrie zur x-Achse gilt \(\cos(-\alpha) = \cos \alpha\). Direkt folgt \(\alpha = 40^\circ\).

a) \(\alpha = 12^\circ\) b) \(\alpha = 75^\circ\) c) \(\alpha = 60^\circ\) d) \(\alpha = 40^\circ\)

- Klammere den Faktor vor \(x\) vollständig aus, bevor du den Phasenparameter abliest. - Trenne die Wirkung von \(b\) auf die Periodenlänge von der Wirkung von \(c\) auf die horizontale Lage. - Löse die Gleichung erst, nachdem du diese beiden Parameterwirkungen festgehalten hast.

1. Aus \(\sin\left(2(x-30^\circ)\right)\) liest man \(b=2\) und \(c=-30^\circ\) ab. 2. Daher beträgt die Periodenlänge \(T=\frac{360^\circ}{2}=180^\circ\). Der Graph ist gegenüber \(y=\sin(x)\) um \(30^\circ\) nach rechts verschoben. 3. Für \(f(x)=0{,}5\) gilt \(2x-60^\circ=30^\circ+k\cdot360^\circ\) oder \(2x-60^\circ=150^\circ+k\cdot360^\circ\). 4. Daraus folgen \(x=45^\circ+k\cdot180^\circ\) bzw. \(x=105^\circ+k\cdot180^\circ\). 5. Im angegebenen Intervall erhält man \(45^\circ,105^\circ,225^\circ,285^\circ\).

a) \(b=2\), \(c=-30^\circ\); \(T=180^\circ\); Verschiebung um \(30^\circ\) nach rechts. b) \(x\in\{45^\circ;105^\circ;225^\circ;285^\circ\}\)

- Teile die Grundperiode \(360^\circ\) durch den Faktor vor \(\beta\). - Wähle für Teil b) ein Intervall, dessen Länge genau \(T\) beträgt. - Alle weiteren Lösungen entstehen aus dem dort gefundenen Muster durch Verschiebungen um \(T\).

1. Für \(h(\beta)=\cos(3\beta)\) gilt \(T=\frac{360^\circ}{3}=120^\circ\). Das Intervall von \(-180^\circ\) bis \(180^\circ\) hat die Länge \(360^\circ\) und umfasst drei vollständige Perioden. 2. Im Periodenintervall \([-60^\circ;60^\circ)\) erfüllt die Gleichung die Werte \(\beta=-45^\circ\) und \(\beta=45^\circ\). 3. Durch Verschiebung dieser beiden Werte um Vielfache von \(120^\circ\) erhält man \(-165^\circ,-75^\circ,-45^\circ,45^\circ,75^\circ,165^\circ\).

a) \(T=120^\circ\); drei vollständige Perioden. b) Im Intervall \([-60^\circ;60^\circ)\): \(\beta\in\{-45^\circ;45^\circ\}\) c) \(\beta\in\{-165^\circ;-75^\circ;-45^\circ;45^\circ;75^\circ;165^\circ\}\)