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- Suche den höchsten und den tiefsten Punkt des Graphen. - Die Amplitude ist der Abstand von der Mittellinie zu einem Extremwert. - Bei einer Mittellinie auf der \(x\)-Achse entspricht die Amplitude dem Betrag eines Extremwerts.

1. Der größte Funktionswert ist \(3\), der kleinste \(-3\). 2. Die Amplitude ist die halbe Differenz: \(A=\frac{3-(-3)}{2}=3\).

\(A=3\)

- Eine Periode ist eine vollständige Wiederholung des Graphen. - Suche im Graphen zwei aufeinanderfolgende Hochpunkte. - Ihr waagrechter Abstand ist die gesuchte Periodenlänge.

1. Die Periodenlänge ist der waagrechte Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden gleichartigen Punkten des Graphen. 2. Der Abstand der beiden Hochpunkte ist \(\pi-0=\pi\). Daher ist \(T=\pi\).

\(T=\pi\)

- Wie ist die Periode der Standard-Kosinusfunktion \(\cos(x)\)? - Welcher Teil des Funktionsterms beeinflusst die Streckung oder Stauchung in x-Richtung? - Wie verändert ein Faktor vor dem \(x\) die Wellenlänge des Graphen?

1. Bestimmung des Parameters \(b\) aus der Standardform \(f(x) = a \cos(bx)\): \(b = \frac{\pi}{1{,}5}\) 2. Anwendung der Formel für die Periode \(p\): \(p = \frac{2\pi}{|b|}\) 3. Einsetzen von \(b\): \(p = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{1{,}5}} = 2\pi \cdot \frac{1{,}5}{\pi}\) 4. Berechnung des Ergebnisses: \(p = 2 \cdot 1{,}5 = 3\)

c) \(3\)

- Überlege dir, welcher Parameter vor der Sinus- oder Kosinusfunktion steht und wie er die Auslenkung beeinflusst. - Erinnere dich daran, dass die Amplitude immer ein positiver Wert ist, auch wenn der Vorfaktor negativ ist. - Welcher Teil des Funktionsterms beeinflusst die Streckung oder Stauchung entlang der x-Achse? - Die normale Periode von Sinus und Kosinus ist \(2\pi\). Wie verändert der Faktor im Argument der Funktion diesen Wert?

1. Für \(f(x) = 3\sin(0{,}5x)\) ist der Streckfaktor in \(y\)-Richtung \(a = 3\), woraus die Amplitude \(A = |3| = 3\) folgt. Die Periodenlänge berechnet sich mit \(b = 0{,}5\) zu \(p = \frac{2\pi}{0{,}5} = 4\pi\). 2. Bei \(g(x) = -2\cos(\pi x) - 5\) ist der Streckfaktor \(a = -2\), also ist die Amplitude \(A = |-2| = 2\). Die Verschiebung um \(-5\) hat keinen Einfluss auf Amplitude oder Periode. Mit \(b = \pi\) ergibt sich die Periodenlänge \(p = \frac{2\pi}{\pi} = 2\). 3. Für \(h(x) = \frac{1}{2}\sin\left(\frac{1}{4}x\right)\) ist die Amplitude \(A = \frac{1}{2} = 0{,}5\). Mit dem Faktor \(b = \frac{1}{4}\) ergibt sich die Periodenlänge \(p = \frac{2\pi}{1/4} = 8\pi\).

a) \(A = 3\); \(p = 4\pi\) b) \(A = 2\); \(p = 2\) c) \(A = 0{,}5\); \(p = 8\pi\)

- Wie berechnet man die Periodenlänge einer Sinusfunktion aus dem Faktor vor dem \(x\)? - Welcher Parameter in der allgemeinen Form \(y = a\sin(bx)\) ist für die Streckung in \(y\)-Richtung verantwortlich? - Überlege dir, wie sich ein größerer Wert für \(b\) auf die Schnelligkeit der Schwingung auswirkt.

1. Periode von \(f\): Berechnung über \(p = \frac{2\pi}{b}\) mit \(b = 2\) ergibt \(p = \frac{2\pi}{2} = \pi\). Die Aussage ist wahr. 2. Streckung von \(g\): Der Parameter \(a = 4\) vor dem Sinusterm bewirkt eine Streckung in \(y\)-Richtung um den Faktor 4. Die Aussage ist wahr. 3. Periodenvergleich: Die Periode von \(h\) ist \(p_h = \frac{2\pi}{4} = 0{,}5\pi\), die Periode von \(k\) ist \(p_k = \frac{2\pi}{2} = \pi\). Da \(0{,}5\pi < \pi\), hat \(h\) eine kleinere Periode als \(k\). Die Aussage ist falsch.

a) Wahr. b) Wahr. c) Falsch. Korrektur: Die Periode von \(h\) (\(0{,}5\pi\)) ist kleiner als die von \(k\) (\(\pi\)).

- Welcher Teil der Funktionsgleichung ist für die Streckung oder Stauchung in \(y\)-Richtung verantwortlich? - Wie beeinflusst der Faktor direkt vor der Variable \(x\) die Breite einer vollständigen Schwingung? - Denke daran, dass eine Amplitude als positiver Wert (Abstand) angegeben wird. - Wie hängen der Streckfaktor im Argument und die Standardperiode von \(2\pi\) zusammen?

1. Für \(f(x)\): Die Amplitude entspricht dem Betrag des Faktors vor der Kosinusfunktion, also \(|2{,}5| = 2{,}5\). Die Periode \(p\) berechnet sich aus dem Faktor \(b = 4\) vor dem \(x\) durch \(p = \frac{2\pi}{b} = \frac{2\pi}{4} = 0{,}5\pi\). 2. Für \(g(x)\): Die Amplitude ist der Betrag des Faktors \(-3\), also \(|-3| = 3\). Mit dem Faktor \(b = 0{,}2\) ergibt sich die Periode zu \(p = \frac{2\pi}{0{,}2} = 10\pi\).

a) Amplitude: \(2{,}5\); Periode: \(0{,}5\pi\) b) Amplitude: \(3\); Periode: \(10\pi\)

- Was passiert mit der Periode, wenn der Faktor vor dem \(x\) selbst die Kreiszahl \(\pi\) enthält? - Wie berechnet man den Kehrwert bei einer Division durch einen Bruch im Argument? - Kannst du die Amplitude direkt aus der Gleichung ablesen, ohne auf das Vorzeichen zu achten? - Überlege, wie sich die Periodenlänge verändert, wenn der Faktor vor dem \(x\) kleiner als \(1\) ist.

1. Für \(p(x)\): Die Amplitude ist der Betrag des Vorfaktors \(0{,}8\), also \(0{,}8\). Da der Faktor vor dem \(x\) hier \(b = \pi\) ist, berechnet sich die Periode zu \(p = \frac{2\pi}{\pi} = 2\). 2. Für \(q(x)\): Die Amplitude ist der Betrag von \(\frac{1}{2}\), also \(0{,}5\). Mit dem Faktor \(b = \frac{2}{3}\) ergibt sich die Periode durch die Rechnung \(2\pi : \frac{2}{3} = 2\pi \cdot \frac{3}{2} = 3\pi\).

a) Amplitude: \(0{,}8\); Periode: \(2\) b) Amplitude: \(0{,}5\); Periode: \(3\pi\)

- Überlege dir, welche Werte die normale Sinusfunktion höchstens und mindestens annehmen kann. - Wie beeinflusst ein Faktor vor dem Funktionsterm die Auslenkung (Amplitude) des Graphen? - An welchen Stellen schneidet der Graph der Sinusfunktion die \(x\)-Achse? - Verändert eine Streckung in \(y\)-Richtung die Position der Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse?

1. Der Wertebereich der Standard-Sinusfunktion \(\sin(x)\) ist \([-1; 1]\). Durch die Multiplikation mit dem Faktor \(1{,}5\) wird die Funktion in \(y\)-Richtung gestreckt, sodass die minimalen und maximalen Funktionswerte \(-1 \cdot 1{,}5 = -1{,}5\) und \(1 \cdot 1{,}5 = 1{,}5\) betragen. Der Wertebereich ist somit \(W = [-1{,}5; 1{,}5]\). 2. Die Nullstellen von \(f(x) = 1{,}5\sin(x)\) sind identisch mit den Nullstellen der Sinusfunktion, da die Gleichung \(1{,}5\sin(x) = 0\) äquivalent zu \(\sin(x) = 0\) ist. Innerhalb des Intervalls \([0; 2\pi]\) nimmt der Sinus an den Stellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = \pi\) und \(x_3 = 2\pi\) den Wert Null an.

a) \(W = [-1{,}5; 1{,}5]\) b) \(x_1 = 0\); \(x_2 = \pi\); \(x_3 = 2\pi\)

- Wie beeinflusst die Zahl vor dem \(x\) innerhalb der Klammer die Streckung oder Stauchung des Graphen in x-Richtung? - Welche Formel hilft dir, die Periode aus dem Faktor \(b\) zu berechnen? - Wenn eine Funktion periodisch ist, nach welcher „Entfernung“ auf der x-Achse wiederholen sich dann die Hochpunkte?

1. Die Periode \(p\) einer Funktion der Form \(\sin(bx)\) berechnet sich durch \(p = \frac{2\pi}{b}\). Mit \(b = 0{,}5\) ergibt sich \(p = \frac{2\pi}{0{,}5} = 4\pi\). 2. Da Maxima bei Sinusfunktionen immer nach genau einer vollen Periode erneut auftreten, liegen weitere Stellen bei \(x = \pi + k \cdot 4\pi\) für \(k \in \mathbb{Z}\). 3. Einsetzen von Werten für \(k\) (z. B. \(k = 1, 2, -1, -2\)) liefert die Stellen: \(\pi + 4\pi = 5\pi\), \(\pi + 8\pi = 9\pi\), \(\pi - 4\pi = -3\pi\) und \(\pi - 8\pi = -7\pi\).

a) \(p = 4\pi\) b) z. B. \(-7\pi; -3\pi; 5\pi; 9\pi\)

- Welcher Teil der Funktionsgleichung beeinflusst die Streckung in \(y\)-Richtung? - Wie hängen der Faktor vor dem \(x\) und die Periodenlänge zusammen? - Überlege, welche kleinsten und größten Werte die Sinusfunktion erreichen kann. - Erinnere dich an die Symmetrieeigenschaften der Grundfunktion \(y = \sin(x)\).

1. Die Amplitude entspricht dem Betrag des Faktors vor dem Sinus: \(A = |2{,}5| = 2{,}5\). 2. Die Periodenlänge \(p\) wird über den Faktor \(b = 0{,}5\) im Argument berechnet: \(p = \frac{2\pi}{b} = \frac{2\pi}{0{,}5} = 4\pi\). 3. Da die Sinusfunktion Werte zwischen \(-1\) und \(1\) annimmt, ergibt sich der Wertebereich durch Multiplikation mit der Amplitude: \(W = [-2{,}5; 2{,}5]\). 4. Aufgrund der Eigenschaft \(\sin(-z) = -\sin(z)\) gilt \(f(-x) = 2{,}5\sin(0{,}5(-x)) = -2{,}5\sin(0{,}5x) = -f(x)\). Der Graph ist somit punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung \((0 \mid 0)\).

Amplitude: \(2{,}5\); Periodenlänge: \(4\pi\); Wertebereich: \(W = [-2{,}5; 2{,}5]\); Symmetrie: punktsymmetrisch zum Ursprung.

- Schau dir an, wie weit der Graph nach oben und unten ausschlägt, um die Amplitude zu finden. - Finde heraus, nach welcher Entfernung auf der x-Achse sich das Muster des Graphen zum ersten Mal wiederholt. - Überlege dir, wie der Streckfaktor in x-Richtung mit der Periode zusammenhängt. - Achte auf die Beschriftung der \(x\)-Achse in Vielfachen von \(\pi\).

1. Amplitude \(a\) ablesen: Der Graph schwankt zwischen dem Maximum bei \(2\) und dem Minimum bei \(-2\). Somit ist \(a = 2\). 2. Periode \(T\) bestimmen: Eine vollständige Schwingung ist bei \(x = \pi\) abgeschlossen. Die Periode beträgt also \(T = \pi\). 3. Parameter \(b\) berechnen: Es gilt \(b = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\pi} = 2\). 4. Funktionsgleichung aufstellen: Durch Einsetzen von \(a\) und \(b\) ergibt sich \(f(x) = 2\sin(2x)\).

\(f(x) = 2\sin(2x)\)

- Der Parameter \(a\) gibt die Amplitude an, also den maximalen Ausschlag des Graphen von der Mittellinie. - Zähle die Kästchen auf der \(x\)-Achse ab, wobei jedes Kästchen für \(\frac{\pi}{2}\) steht. - Setze nach der Bestimmung von \(a\) die abgelesenen \(x\)-Werte in die allgemeine Form \(f(x) = a\sin(x)\) ein.

1. Bestimmung von \(a\): Der Graph hat seinen ersten Hochpunkt bei \(x = \frac{\pi}{2}\). Dort ist der \(y\)-Wert \(2\). Da \(\sin(\frac{\pi}{2}) = 1\), muss \(a \cdot 1 = 2\) gelten, also \(a = 2\). Die Funktion lautet \(f(x) = 2\sin(x)\). 2. Bestimmung der \(x\)-Koordinaten aus dem Gitter mit der Schrittweite \(\frac{\pi}{2}\): - \(x_A = 0\) - \(x_B = 1 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}\) - \(x_C = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi\) - \(x_D = 3 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}\) 3. Berechnung der \(y\)-Werte: - \(y_A = 2\sin(0) = 0 \implies A(0 \mid 0)\) - \(y_B = 2\sin(\frac{\pi}{2}) = 2 \implies B(\frac{\pi}{2} \mid 2)\) - \(y_C = 2\sin(\pi) = 0 \implies C(\pi \mid 0)\) - \(y_D = 2\sin(\frac{3\pi}{2}) = -2 \implies D(\frac{3\pi}{2} \mid -2)\)

Der Parameter ist \(a = 2\). Die Koordinaten sind \(A(0 \mid 0)\), \(B(\frac{\pi}{2} \mid 2)\), \(C(\pi \mid 0)\) und \(D(\frac{3\pi}{2} \mid -2)\).

- Die Amplitude kannst du am höchsten Ausschlag des Graphen ablesen. - Die Periode ist der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Hochpunkten. - Setze die \(x\)-Werte der Gitterpunkte in die Funktionsgleichung ein, um die \(y\)-Koordinaten zu bestätigen. - Beachte den Maßstab der Achsen beim Ablesen der Werte.

1. Amplitude: Der Koeffizient vor dem Kosinus ist \(2\). Somit beträgt die Amplitude \(a = 2\). Dies entspricht dem maximalen Ausschlag des Graphen von der \(x\)-Achse. 2. Periode: Die Periode \(p\) berechnet sich aus dem Faktor \(b = \frac{\pi}{4}\) im Argument: \(p = \frac{2\pi}{b} = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{4}} = 8\). 3. Punkt \(P\): Bei \(x = 0\) ist \(g(0) = 2\cos(0) = 2 \cdot 1 = 2\). Also \(P(0 \mid 2)\). 4. Punkt \(Q\): Anhand des Graphen liegt \(Q\) bei \(x = 2\). Rechnung: \(g(2) = 2\cos\left(\frac{\pi}{4}2\right) = 2\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \cdot 0 = 0\). Also \(Q(2 \mid 0)\). 5. Punkt \(R\): Anhand des Graphen liegt \(R\) bei \(x = 4\). Rechnung: \(g(4) = 2\cos\left(\frac{\pi}{4}4\right) = 2\cos(\pi) = 2 \cdot (-1) = -2\). Also \(R(4 \mid -2)\).

a) Amplitude: \(2\); Periode: \(8\). b) Die Koordinaten der Punkte sind \(P(0 \mid 2)\), \(Q(2 \mid 0)\) und \(R(4 \mid -2)\).

- Vergleiche, wie sich ein horizontaler Abstand im Grundgraphen nach einer Stauchung auf ein Drittel verändert. - Welcher Faktor im Argument sorgt dafür, dass derselbe Sinuswert schon nach einem Drittel des ursprünglichen horizontalen Weges erreicht wird? - Bestimme Amplitude und Periode erst, nachdem der Funktionsterm feststeht.

1. Eine Stauchung des Graphen in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{3}\) bedeutet, dass alle horizontalen Abstände auf ein Drittel verkürzt werden. Im Argument steht deshalb der Kehrwert \(b=3\). 2. Die Stauchung in \(y\)-Richtung liefert \(a=0{,}75\). Somit ist \(h(x)=0{,}75\sin(3x)\). 3. Die Amplitude beträgt \(A=0{,}75\). 4. Die Periodenlänge ist \(T=\frac{2\pi}{3}\).

a) \(b=3\), denn der Faktor im Argument ist der Kehrwert des horizontalen Stauchungsfaktors \(\frac{1}{3}\). b) \(h(x)=0{,}75\sin(3x)\) c) \(A=0{,}75\); \(T=\frac{2\pi}{3}\)

- Setze die gegebenen Werte für Amplitude und Periode in die bekannten Zusammenhänge für \(a\) und \(b\) ein. - Wie hängen der maximale Ausschlag eines Graphen und der Parameter \(a\) zusammen? - Wenn eine Periode genau \(1\) oder \(3\) Einheiten lang ist, wie musst du die Formel für \(p\) umstellen, um \(b\) zu isolieren? - Was bedeutet es für die Amplitude, wenn der Graph zwischen \(-2\) und \(2\) schwingt?

1. Für Teil a) ist die Amplitude \(A = a = 1{,}5\). Aus der Periodenlänge \(p = 4\pi\) folgt mit der Formel \(p = \frac{2\pi}{b}\) die Gleichung \(4\pi = \frac{2\pi}{b}\), woraus \(b = 0{,}5\) resultiert. Der Term lautet \(f(x) = 1{,}5\cos(0{,}5x)\). 2. Für Teil b) ist \(a = 4\). Aus \(p = 1\) folgt \(1 = \frac{2\pi}{b}\), also \(b = 2\pi\). Der Term lautet \(f(x) = 4\cos(2\pi x)\). 3. Für Teil c) ergibt sich aus dem Wertebereich \([-2; 2]\) die Amplitude \(A = a = 2\). Die Periodenlänge ist \(p = 3\), woraus \(3 = \frac{2\pi}{b}\) und somit \(b = \frac{2\pi}{3}\) folgt. Der Term lautet \(f(x) = 2\cos\left(\frac{2\pi}{3}x\right)\).

a) \(f(x) = 1{,}5\cos(0{,}5x)\) b) \(f(x) = 4\cos(2\pi x)\) c) \(f(x) = 2\cos\left(\frac{2\pi}{3}x\right)\)

- Wie hängt der Parameter \(a\) mit der Amplitude zusammen? - Wo liegen die Nullstellen der Standard-Sinusfunktion und wie verändern sie sich durch den Faktor \(b\)? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Periode \(p\) und dem Parameter \(b\)? - Überlege dir, welchen Bruchteil der Periode der Abstand vom Ursprung zur ersten Nullstelle darstellt.

1. Aus der gegebenen Amplitude folgt direkt der Parameter \(a = 4{,}5\). 2. Bei einer Funktion der Form \(\sin(bx)\) liegt die erste positive Nullstelle bei der Hälfte der Periode, also gilt \(\frac{p}{2} = 3\), woraus eine Periode von \(p = 6\) folgt. 3. Mit der Formel \(b = \frac{2\pi}{p}\) ergibt sich \(b = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}\). 4. Die Funktionsgleichung lautet somit \(f(x) = 4{,}5\sin\left(\frac{\pi}{3}x\right)\).

\(a = 4{,}5\); \(b = \frac{\pi}{3}\); \(f(x) = 4{,}5\sin\left(\frac{\pi}{3}x\right)\)

- Was sagt uns der Abstand zwischen zwei Hochpunkten über die Periode der Funktion aus? - Wie kannst du den Wert von \(b\) bestimmen, wenn du die Periode kennst? - Wie nutzt man einen gegebenen Punkt auf dem Graphen, um einen unbekannten Parameter in der Funktionsgleichung zu berechnen? - Welchen Wert hat der Sinus bei \(\frac{\pi}{2}\)?

1. Der Abstand zwischen zwei benachbarten Hochpunkten entspricht der Periode \(p\), also ist \(p = \pi\). 2. Der Parameter \(b\) berechnet sich durch \(b = \frac{2\pi}{p} = \frac{2\pi}{\pi} = 2\). Die Funktion hat bisher die Form \(g(x) = a\sin(2x)\). 3. Durch Einsetzen der Koordinaten des Punktes \(P\left(\frac{\pi}{4} \mid 5\right)\) in die Gleichung erhält man \(5 = a \cdot \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right)\). 4. Da \(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1\) ist, folgt \(5 = a \cdot 1\), also \(a = 5\). 5. Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = 5\sin(2x)\).

\(a = 5\); \(b = 2\); \(g(x) = 5\sin(2x)\)

- Bestimme zuerst, wie der Faktor \(2\) im Argument die Grundperiode von \(360^\circ\) verändert. - Suche die Lösungen zunächst wirklich nur in einem Intervall der Länge \(p\). - Übertrage anschließend dieses Lösungsmuster durch Verschiebungen um ganze Vielfache von \(p\).

1. Für \(f(\alpha)=2\sin(2\alpha)\) gilt \(p=\frac{360^\circ}{2}=180^\circ\). 2. Die Gleichung \(2\sin(2\alpha)=1\) ist äquivalent zu \(\sin(2\alpha)=0{,}5\). Im ersten Funktionsabschnitt der Länge \(180^\circ\) ergeben sich \(\alpha=15^\circ\) und \(\alpha=75^\circ\). 3. Alle weiteren Lösungen entstehen durch Addition oder Subtraktion ganzer Vielfacher von \(180^\circ\). 4. Im geforderten Intervall erhält man \(-345^\circ,-285^\circ,-165^\circ,-105^\circ,15^\circ,75^\circ,195^\circ,255^\circ,375^\circ,435^\circ,555^\circ,615^\circ\).

a) \(p=180^\circ\) b) \(\alpha\in\{15^\circ;75^\circ\}\) c) \(\alpha\in\{-345^\circ;-285^\circ;-165^\circ;-105^\circ;15^\circ;75^\circ;195^\circ;255^\circ;375^\circ;435^\circ;555^\circ;615^\circ\}\)

- Vergleiche den Faktor \(0{,}5\) im Argument mit der Grundperiode des Kosinus. - Bestimme zuerst alle Lösungen innerhalb genau einer vollständigen Periode der Funktion \(g\). - Verschiebe erst danach die gefundenen Lösungen um \(p\), bis das Zielintervall ausgeschöpft ist.

1. Für \(g(\alpha)=\cos(0{,}5\alpha)\) gilt \(p=\frac{360^\circ}{0{,}5}=720^\circ\). 2. Im Intervall \([0^\circ;720^\circ)\) erfüllt \(\cos(0{,}5\alpha)=-0{,}5\) die Werte \(\alpha=240^\circ\) und \(\alpha=480^\circ\). 3. Das Lösungsmuster wiederholt sich im Abstand \(720^\circ\). 4. Durch Subtraktion einer Periode von \(480^\circ\) entsteht zusätzlich \(-240^\circ\); weitere periodische Verschiebungen liegen außerhalb des geforderten Intervalls.

a) \(p=720^\circ\) b) \(\alpha\in\{240^\circ;480^\circ\}\) c) \(\alpha\in\{-240^\circ;240^\circ;480^\circ\}\)

- Nutze Amplitude und Periodenlänge getrennt, um die beiden Parameter des Funktionsterms zu bestimmen. - Überlege anschließend, für welche Argumente eine Sinusfunktion den Wert \(0\) annimmt. - Beachte beim Bestimmen der Nullstellen, dass im Argument \(3x\) steht und das vorgegebene Intervall für \(x\) entsprechend übertragen werden muss.

1. Aus der Amplitude folgt \(a=5\). Für die Periode gilt \(120^\circ=\frac{360^\circ}{b}\), also \(b=3\). Damit ist \(f(x)=5\sin(3x)\). 2. Für die Nullstellen gilt \(5\sin(3x)=0\), also \(\sin(3x)=0\). 3. Die Sinusfunktion hat bei ganzzahligen Vielfachen von \(180^\circ\) Nullstellen. Daher gilt \(3x=k\cdot180^\circ\) mit \(k\in\mathbb Z\). 4. Wegen \(0^\circ\le x\le180^\circ\) liegt \(3x\) zwischen \(0^\circ\) und \(540^\circ\). Damit sind \(3x\in\{0^\circ;180^\circ;360^\circ;540^\circ\}\). 5. Division durch \(3\) liefert \(x\in\{0^\circ;60^\circ;120^\circ;180^\circ\}\).

a) \(f(x)=5\sin(3x)\) b) \(x\in\{0^\circ;60^\circ;120^\circ;180^\circ\}\)

- Trenne bei jeder Funktion die vertikale Auslenkung von der horizontalen Wiederholung. - Überlege, welche Größe durch einen Faktor vor der Sinusfunktion und welche durch einen Faktor vor \(x\) verändert wird. - Vergleiche anschließend, wie oft eine vollständige Periode in das feste Intervall \([0;2\pi]\) passt.

1. Für \(f(x)=2{,}5\sin(x)\) gilt \(A=2{,}5\) und \(T=2\pi\). Aus \(2{,}5\sin(x)=1{,}5\) folgt \(\sin(x)=0{,}6\). Daher sind \(x_1\approx0{,}64\) und \(x_2\approx2{,}50\). Der Faktor \(2{,}5\) verändert die vertikale Auslenkung und damit den zugehörigen Sinuswert, nicht aber die Periodenlänge. 2. Für \(g(x)=\cos(2x)\) gilt \(A=1\) und \(T=\pi\). Im Intervall \([0;2\pi]\) liegen damit zwei vollständige Perioden. 3. Die Gleichung \(\cos(2x)=0{,}5\) besitzt die Lösungen \(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6}\), also näherungsweise \(0{,}52,2{,}62,3{,}67,5{,}76\). 4. Gegenüber \(\cos(x)\) ist die Periode halbiert. Deshalb wiederholt sich das Zweiermuster der Lösungen im betrachteten Intervall zweimal.

a) \(A=2{,}5\), \(T=2\pi\); \(x\approx0{,}64\) oder \(x\approx2{,}50\). Der Faktor \(2{,}5\) skaliert die Funktionswerte vertikal, verändert aber \(T\) nicht. b) \(A=1\), \(T=\pi\); \(x\approx0{,}52;2{,}62;3{,}67;5{,}76\). Wegen der halbierten Periode liegen auf \([0;2\pi]\) zwei vollständige Perioden und damit zwei Wiederholungen des Lösungsmusters.

- Vergleiche die Grundperiode \(2\pi\) mit dem Faktor \(2\) im Argument. - Die Länge des gesamten Intervalls hilft dir zu bestimmen, wie oft sich das Lösungsmuster wiederholt. - Löse Teil c) zunächst auf einem Intervall der Länge \(T\), bevor du periodisch fortsetzt.

1. Für \(g(x)=\cos(2x)\) ist \(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\). Das Intervall \([-\pi;\pi]\) hat die Länge \(2\pi\) und enthält daher zwei vollständige Perioden. 2. Für \(x=\frac{\pi}{4}\) gilt \(y_2=\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\). 3. In einer Periode kann man beispielsweise die Lösungen \(x=\frac{\pi}{3}\) und \(x=\frac{2\pi}{3}\) betrachten. 4. Durch Verschiebung um die Periode \(\pi\) erhält man im Gesamtintervall zusätzlich \(-\frac{2\pi}{3}\) und \(-\frac{\pi}{3}\). 5. Damit lautet die Lösungsmenge \(\left\{-\frac{2\pi}{3};-\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{3};\frac{2\pi}{3}\right\}\).

a) \(T=\pi\); im Intervall liegen zwei vollständige Perioden. b) \(y_2=0\) c) \(x\in\left\{-\frac{2\pi}{3};-\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{3};\frac{2\pi}{3}\right\}\)

- Bestimme zuerst, wie der Faktor \(2\) die Grundperiode verändert. - Suche die Lösungen in Teil b) nur innerhalb einer einzigen Periode von \(f\). - Für Teil c) brauchst du keine neue trigonometrische Gleichung zu lösen; nutze die Periodizität.

1. Für \(f(x)=\sin(2x)\) gilt \(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\). Auf \([0;2\pi]\) liegen zwei vollständige Perioden. 2. Im Intervall \([0;\pi)\) gilt \(\sin(2x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\) für \(x=\frac{\pi}{8}\) und \(x=\frac{3\pi}{8}\). 3. Durch Addition der Periode \(\pi\) entstehen die weiteren Lösungen \(\frac{9\pi}{8}\) und \(\frac{11\pi}{8}\).

a) \(T=\pi\); zwei vollständige Perioden. b) \(x\in\left\{\frac{\pi}{8};\frac{3\pi}{8}\right\}\) c) \(L=\left\{\frac{\pi}{8};\frac{3\pi}{8};\frac{9\pi}{8};\frac{11\pi}{8}\right\}\)

- Wie hängt die Periodenlänge einer Kosinusfunktion mit dem Faktor vor dem \(x\) zusammen? - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt auf dem Graphen einer Funktion liegt? - Welche Winkel im Einheitskreis haben den geforderten Kosinuswert? - Überlege dir, welche Gleichung du lösen musst, nachdem du die Koordinaten des Punktes eingesetzt hast.

1. Zusammenhang zwischen Periode und Faktor \(k\): \(p = \frac{2\pi}{k}\). 2. Einsetzen von \(p = 5\pi\): \(5\pi = \frac{2\pi}{k} \implies k = \frac{2\pi}{5\pi} = 0{,}4\). 3. Punktprobe für \(P\): \(\cos\left(k\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\). 4. Bestimmung des Arguments: Der kleinste positive Winkel \(\alpha\), für den \(\cos(\alpha) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) gilt, ist \(\alpha = \frac{3\pi}{4}\). 5. Berechnung von \(k\): \(k\frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \implies k = 3\).

a) \(k = 0{,}4\) b) \(k = 3\)

- Was sagt dir der Abstand zwischen zwei Hochpunkten über die Periode der Funktion? - Wie ist die Periode einer Sinusfunktion mathematisch definiert? - Wenn ein Schnittpunkt mit einer Geraden \(y = c\) an einer Stelle \(x\) gegeben ist, welchen Funktionswert hat die Sinusfunktion dort? - Erinnere dich an die Standardwerte der Sinusfunktion oder nutze den Einheitskreis.

1. Der Abstand zwischen zwei benachbarten Hochpunkten entspricht der Periode \(T\). Es gilt \(T = 3\). 2. Formel für die Periode: \(T = \frac{2\pi}{b}\). Einsetzen ergibt \(3 = \frac{2\pi}{b} \implies b = \frac{2\pi}{3}\). 3. Für Aufgabenteil b) gilt die Bedingung \(f(1) = 0{,}5\), also \(\sin(b \cdot 1) = 0{,}5\). 4. Suche nach dem kleinsten positiven Winkel \(\alpha\) mit \(\sin(\alpha) = 0{,}5\). Dieser liegt bei \(\alpha = \frac{\pi}{6}\). 5. Daraus folgt direkt \(b = \frac{\pi}{6}\).

a) \(b = \frac{2\pi}{3}\) b) \(b = \frac{\pi}{6}\)

- Bestimme zuerst die Periodenlänge, um zu wissen, wie oft sich das Muster im Intervall wiederholt. - Nullstellen findest du, indem du das Argument der Sinusfunktion gleich Vielfachen von \(\pi\) setzt. - Wo erreicht die normale Sinusfunktion ihren höchsten und tiefsten Wert? Übertrage dies auf das Argument \(2x\). - Achte darauf, dass alle berechneten Stellen innerhalb des vorgegebenen Intervalls liegen.

1. Amplitude: \(A = 0{,}5\). 2. Periodenlänge: \(p = \frac{2\pi}{2} = \pi\). 3. Nullstellen: \(2x = k\pi\) führt für \(k \in \{0; 1; 2\}\) im Intervall \([0; \pi]\) zu \(x_1 = 0\), \(x_2 = \frac{\pi}{2}\) und \(x_3 = \pi\). 4. Hochpunkt: Das Maximum der Sinusfunktion liegt bei \(2x = \frac{\pi}{2}\), also \(x = \frac{\pi}{4}\). Der Funktionswert ist \(0{,}5 \cdot 1 = 0{,}5\). Punkt: \(H(\frac{\pi}{4} \mid 0{,}5)\). 5. Tiefpunkt: Das Minimum liegt bei \(2x = \frac{3\pi}{2}\), also \(x = \frac{3\pi}{4}\). Der Funktionswert ist \(0{,}5 \cdot (-1) = -0{,}5\). Punkt: \(T(\frac{3\pi}{4} \mid -0{,}5)\).

Amplitude: \(0{,}5\); Periodenlänge: \(\pi\); Nullstellen: \(0\); \(\frac{\pi}{2}\); \(\pi\); Hochpunkt: \(H(\frac{\pi}{4} \mid 0{,}5)\); Tiefpunkt: \(T(\frac{3\pi}{4} \mid -0{,}5)\).

- Die Periodenlänge hängt vom Faktor vor \(x\) im Kosinusargument ab. - Arbeite für Teil b) bewusst nur auf einem Intervall der Länge \(T\). - Verschiebe anschließend beide gefundenen Lösungen um eine ganze Periode.

1. Für \(g(x)=\cos(2x)\) gilt \(T=\pi\). Auf \([0;2\pi]\) liegen zwei vollständige Perioden. 2. Im ersten Periodenintervall \([0;\pi)\) sind die Lösungen \(x=\frac{\pi}{3}\) und \(x=\frac{2\pi}{3}\). 3. Durch Addition der Periode \(\pi\) erhält man \(\frac{4\pi}{3}\) und \(\frac{5\pi}{3}\). 4. Damit ist \(L=\left\{\frac{\pi}{3};\frac{2\pi}{3};\frac{4\pi}{3};\frac{5\pi}{3}\right\}\).

a) \(T=\pi\); zwei vollständige Perioden. b) \(x\in\left\{\frac{\pi}{3};\frac{2\pi}{3}\right\}\) c) \(L=\left\{\frac{\pi}{3};\frac{2\pi}{3};\frac{4\pi}{3};\frac{5\pi}{3}\right\}\)

- Teile die Grundperiode \(360^\circ\) durch den Faktor vor \(\beta\). - Wähle für Teil b) ein Intervall, dessen Länge genau \(T\) beträgt. - Alle weiteren Lösungen entstehen aus dem dort gefundenen Muster durch Verschiebungen um \(T\).

1. Für \(h(\beta)=\cos(3\beta)\) gilt \(T=\frac{360^\circ}{3}=120^\circ\). Das Intervall von \(-180^\circ\) bis \(180^\circ\) hat die Länge \(360^\circ\) und umfasst drei vollständige Perioden. 2. Im Periodenintervall \([-60^\circ;60^\circ)\) erfüllt die Gleichung die Werte \(\beta=-45^\circ\) und \(\beta=45^\circ\). 3. Durch Verschiebung dieser beiden Werte um Vielfache von \(120^\circ\) erhält man \(-165^\circ,-75^\circ,-45^\circ,45^\circ,75^\circ,165^\circ\).

a) \(T=120^\circ\); drei vollständige Perioden. b) Im Intervall \([-60^\circ;60^\circ)\): \(\beta\in\{-45^\circ;45^\circ\}\) c) \(\beta\in\{-165^\circ;-75^\circ;-45^\circ;45^\circ;75^\circ;165^\circ\}\)

- Vergleiche, wie viele Schwingungen die drei Graphen im selben \(x\)-Intervall durchlaufen. - Überlege, wie der Faktor \(k\) im Argument mit der Periodenlänge zusammenhängt. - Für die erste positive Nullstelle kannst du vom ersten positiven Nullstellenargument der Grundfunktion ausgehen.

1. Für jedes \(k>0\) gilt \(f_k(0)=\sin(0)=0\). Daher verlaufen alle Graphen durch den Ursprung. 2. Ein größerer Wert von \(k\) bewirkt eine kürzere Periodenlänge. Graph \(j\) schwingt am schnellsten, also gehört er zu \(k=2\). Graph \(g\) schwingt am langsamsten und gehört zu \(k=0{,}5\). Graph \(h\) gehört zu \(k=1\). 3. Es gilt \(p=\frac{2\pi}{k}\). Wird \(k\) verdoppelt, halbiert sich die Periodenlänge. 4. Für die kleinste positive Nullstelle bei \(k=1{,}5\) gilt \(1{,}5x=\pi\). Somit ist \(x=\frac{2\pi}{3}\).

a) Alle Graphen verlaufen durch \((0\mid0)\). b) \(g\): \(k=0{,}5\); \(h\): \(k=1\); \(j\): \(k=2\) c) Bei einer Verdopplung von \(k\) halbiert sich die Periodenlänge. d) \(x=\frac{2\pi}{3}\)