Kostenlose Arbeitsblätter

- Überlege dir, welcher Parameter vor der Sinus- oder Kosinusfunktion steht und wie er die Auslenkung beeinflusst. - Erinnere dich daran, dass die Amplitude immer ein positiver Wert ist, auch wenn der Vorfaktor negativ ist. - Welcher Teil des Funktionsterms beeinflusst die Streckung oder Stauchung entlang der x-Achse? - Die normale Periode von Sinus und Kosinus ist \(2\pi\). Wie verändert der Faktor im Argument der Funktion diesen Wert?

1. Für \(f(x) = 3 \cdot \sin(0{,}5x)\) ist der Streckfaktor in \(y\)-Richtung \(a = 3\), woraus die Amplitude \(A = |3| = 3\) folgt. Die Periodenlänge berechnet sich mit \(b = 0{,}5\) zu \(p = \frac{2\pi}{0{,}5} = 4\pi\). 2. Bei \(g(x) = -2 \cdot \cos(\pi \cdot x) - 5\) ist der Streckfaktor \(a = -2\), also ist die Amplitude \(A = |-2| = 2\). Die Verschiebung um \(-5\) hat keinen Einfluss auf Amplitude oder Periode. Mit \(b = \pi\) ergibt sich die Periodenlänge \(p = \frac{2\pi}{\pi} = 2\). 3. Für \(h(x) = \frac{1}{2} \cdot \sin\left(\frac{1}{4}x\right)\) ist die Amplitude \(A = \frac{1}{2} = 0{,}5\). Mit dem Faktor \(b = \frac{1}{4}\) ergibt sich die Periodenlänge \(p = \frac{2\pi}{1/4} = 8\pi\).

a) \(A = 3\); \(p = 4\pi\) b) \(A = 2\); \(p = 2\) c) \(A = 0{,}5\); \(p = 8\pi\)

- Welcher Teil der Funktionsgleichung ist für die Streckung oder Stauchung in \(y\)-Richtung verantwortlich? - Wie beeinflusst der Faktor direkt vor der Variable \(x\) die Breite einer vollständigen Schwingung? - Denke daran, dass eine Amplitude als positiver Wert (Abstand) angegeben wird. - Wie hängen der Streckfaktor im Argument und die Standardperiode von \(2\pi\) zusammen?

1. Für \(f(x)\): Die Amplitude entspricht dem Betrag des Faktors vor der Kosinusfunktion, also \(|2{,}5| = 2{,}5\). Die Periode \(p\) berechnet sich aus dem Faktor \(b = 4\) vor dem \(x\) durch \(p = \frac{2\pi}{b} = \frac{2\pi}{4} = 0{,}5\pi\). 2. Für \(g(x)\): Die Amplitude ist der Betrag des Faktors \(-3\), also \(|-3| = 3\). Mit dem Faktor \(b = 0{,}2\) ergibt sich die Periode zu \(p = \frac{2\pi}{0{,}2} = 10\pi\).

a) Amplitude: \(2{,}5\); Periode: \(0{,}5\pi\) b) Amplitude: \(3\); Periode: \(10\pi\)

- Wie oft wiederholen sich die Nullstellen bei einer Kosinusfunktion innerhalb einer vollen Periode? - In welchem regelmäßigen Abstand liegen alle Nullstellen der Funktion \(f(x) = \cos(x)\) auf der x-Achse? - Wenn du eine Stelle kennst, wie kannst du durch Addition oder Subtraktion eines bestimmten Wertes weitere Stellen finden?

1. Die Nullstellen der Kosinusfunktion \(f(x) = \cos(x)\) wiederholen sich periodisch im Abstand von \(\pi\). 2. Berechnung der drei größeren Stellen durch Addition von Vielfachen von \(\pi\): \(\frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}\), \(\frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}\) und \(\frac{\pi}{2} + 3\pi = \frac{7\pi}{2}\). 3. Berechnung der drei kleineren Stellen durch Subtraktion von Vielfachen von \(\pi\): \(\frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}\), \(\frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}\) und \(\frac{\pi}{2} - 3\pi = -\frac{5\pi}{2}\).

\(-\frac{5\pi}{2}; -\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2}\)

- Wie ist die Periode der Standard-Cosinusfunktion \(\cos(x)\)? - Welcher Teil des Funktionsterms beeinflusst die Streckung oder Stauchung in x-Richtung? - Wie verändert ein Faktor vor dem \(x\) die Wellenlänge des Graphen?

1. Bestimmung des Parameters \(b\) aus der Standardform \(f(x) = a \cos(b \cdot x)\): \(b = \frac{\pi}{1,5}\) 2. Anwendung der Formel für die Periode \(p\): \(p = \frac{2\pi}{|b|}\) 3. Einsetzen von \(b\): \(p = \frac{2\pi}{\pi / 1,5} = 2\pi \cdot \frac{1,5}{\pi}\) 4. Berechnung des Ergebnisses: \(p = 2 \cdot 1,5 = 3\)

c) \(3\)

- Setze die gegebenen Werte für Amplitude und Periode in die bekannten Zusammenhänge für \(a\) und \(b\) ein. - Wie hängen der maximale Ausschlag eines Graphen und der Parameter \(a\) zusammen? - Wenn eine Periode genau \(1\) oder \(3\) Einheiten lang ist, wie musst du die Formel für \(p\) umstellen, um \(b\) zu isolieren? - Was bedeutet es für die Amplitude, wenn der Graph zwischen \(-2\) und \(2\) schwingt?

1. Für Teil a) ist die Amplitude \(A = a = 1{,}5\). Aus der Periodenlänge \(p = 4\pi\) folgt mit der Formel \(p = \frac{2\pi}{b}\) die Gleichung \(4\pi = \frac{2\pi}{b}\), woraus \(b = 0{,}5\) resultiert. Der Term lautet \(f(x) = 1{,}5 \cdot \cos(0{,}5x)\). 2. Für Teil b) ist \(a = 4\). Aus \(p = 1\) folgt \(1 = \frac{2\pi}{b}\), also \(b = 2\pi\). Der Term lautet \(f(x) = 4 \cdot \cos(2\pi x)\). 3. Für Teil c) ergibt sich aus dem Wertebereich \([-2; 2]\) die Amplitude \(A = a = 2\). Die Periodenlänge ist \(p = 3\), woraus \(3 = \frac{2\pi}{b}\) und somit \(b = \frac{2\pi}{3}\) folgt. Der Term lautet \(f(x) = 2 \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{3}x\right)\).

a) \(f(x) = 1{,}5 \cdot \cos(0{,}5x)\) b) \(f(x) = 4 \cdot \cos(2\pi x)\) c) \(f(x) = 2 \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{3}x\right)\)

- Wie hängt der Parameter \(a\) mit der Amplitude zusammen? - Wo liegen die Nullstellen der Standard-Sinusfunktion und wie verändern sie sich durch den Faktor \(b\)? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Periode \(p\) und dem Parameter \(b\)? - Überlege dir, welchen Bruchteil der Periode der Abstand vom Ursprung zur ersten Nullstelle darstellt.

1. Aus der gegebenen Amplitude folgt direkt der Parameter \(a = 4{,}5\). 2. Bei einer Funktion der Form \(\sin(b \cdot x)\) liegt die erste positive Nullstelle bei der Hälfte der Periode, also gilt \(\frac{p}{2} = 3\), woraus eine Periode von \(p = 6\) folgt. 3. Mit der Formel \(b = \frac{2\pi}{p}\) ergibt sich \(b = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}\). 4. Die Funktionsgleichung lautet somit \(f(x) = 4{,}5 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3} \cdot x\right)\).

\(a = 4{,}5\); \(b = \frac{\pi}{3}\); \(f(x) = 4{,}5 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3} \cdot x\right)\)

- Was sagt uns der Abstand zwischen zwei Hochpunkten über die Periode der Funktion aus? - Wie kannst du den Wert von \(b\) bestimmen, wenn du die Periode kennst? - Wie nutzt man einen gegebenen Punkt auf dem Graphen, um einen unbekannten Parameter in der Funktionsgleichung zu berechnen? - Welchen Wert hat der Sinus bei \(\frac{\pi}{2}\)?

1. Der Abstand zwischen zwei benachbarten Hochpunkten entspricht der Periode \(p\), also ist \(p = \pi\). 2. Der Parameter \(b\) berechnet sich durch \(b = \frac{2\pi}{p} = \frac{2\pi}{\pi} = 2\). Die Funktion hat bisher die Form \(g(x) = a \cdot \sin(2x)\). 3. Durch Einsetzen der Koordinaten des Punktes \(P\left(\frac{\pi}{4} \mid 5\right)\) in die Gleichung erhält man \(5 = a \cdot \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right)\). 4. Da \(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1\) ist, folgt \(5 = a \cdot 1\), also \(a = 5\). 5. Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = 5 \cdot \sin(2x)\).

\(a = 5\); \(b = 2\); \(g(x) = 5 \cdot \sin(2x)\)

- Was passiert mit der Periode, wenn der Faktor vor dem \(x\) selbst die Kreiszahl \(\pi\) enthält? - Wie berechnet man den Kehrwert bei einer Division durch einen Bruch im Argument? - Kannst du die Amplitude direkt aus der Gleichung ablesen, ohne auf das Vorzeichen zu achten? - Überlege, wie sich die Periodenlänge verändert, wenn der Faktor vor dem \(x\) kleiner als \(1\) ist.

1. Für \(p(x)\): Die Amplitude ist der Betrag des Vorfaktors \(0{,}8\), also \(0{,}8\). Da der Faktor vor dem \(x\) hier \(b = \pi\) ist, berechnet sich die Periode zu \(p = \frac{2\pi}{\pi} = 2\). 2. Für \(q(x)\): Die Amplitude ist der Betrag von \(\frac{1}{2}\), also \(0{,}5\). Mit dem Faktor \(b = \frac{2}{3}\) ergibt sich die Periode durch die Rechnung \(2\pi : \frac{2}{3} = 2\pi \cdot \frac{3}{2} = 3\pi\).

a) Amplitude: \(0{,}8\); Periode: \(2\) b) Amplitude: \(0{,}5\); Periode: \(3\pi\)

- Wie beeinflusst die Zahl vor dem \(x\) innerhalb der Klammer die Streckung oder Stauchung des Graphen in x-Richtung? - Welche Formel hilft dir, die Periode aus dem Faktor \(b\) zu berechnen? - Wenn eine Funktion periodisch ist, nach welcher „Entfernung“ auf der x-Achse wiederholen sich dann die Hochpunkte?

1. Die Periode \(p\) einer Funktion der Form \(\sin(b \cdot x)\) berechnet sich durch \(p = \frac{2\pi}{b}\). Mit \(b = 0{,}5\) ergibt sich \(p = \frac{2\pi}{0{,}5} = 4\pi\). 2. Da Maxima bei Sinusfunktionen immer nach genau einer vollen Periode erneut auftreten, liegen weitere Stellen bei \(x = \pi + k \cdot 4\pi\) für \(k \in \mathbb{Z}\). 3. Einsetzen von Werten für \(k\) (z. B. \(k = 1, 2, -1, -2\)) liefert die Stellen: \(\pi + 4\pi = 5\pi\), \(\pi + 8\pi = 9\pi\), \(\pi - 4\pi = -3\pi\) und \(\pi - 8\pi = -7\pi\).

a) \(p = 4\pi\) b) z. B. \(-7\pi; -3\pi; 5\pi; 9\pi\)

- Wie hängt der Faktor vor dem \(x\) mit der Periode der Funktion zusammen? - Was bedeutet es für den Sinuswert, wenn eine Funktion eine Nullstelle hat? - Überlege dir, in welchen Abständen die normale Sinusfunktion ihre Nullstellen hat. - Vergiss nicht zu prüfen, ob deine berechneten Werte im vorgegebenen Intervall liegen.

1. Aus der Amplitude \(5\) und der Periode \(p = 120^\circ\) ergibt sich der Funktionsterm \(f(x) = 5 \cdot \sin(3x)\), da \(b = \frac{360^\circ}{120^\circ} = 3\). 2. Die Nullstellenbedingung lautet \(5 \cdot \sin(3x) = 0\), was zu \(\sin(3x) = 0\) vereinfacht wird. 3. Die Sinusfunktion hat Nullstellen bei Vielfachen von \(180^\circ\), also \(3x = k \cdot 180^\circ\) für ganzzahlige \(k\). 4. Für das Intervall \(0^\circ \le x \le 180^\circ\) muss das Argument \(3x\) im Bereich \(0^\circ \le 3x \le 540^\circ\) liegen. 5. Mögliche Werte für \(3x\) sind demnach \(0^\circ\), \(180^\circ\), \(360^\circ\) und \(540^\circ\). 6. Division durch 3 liefert die gesuchten Stellen: \(x_1 = 0^\circ\), \(x_2 = 60^\circ\), \(x_3 = 120^\circ\) und \(x_4 = 180^\circ\).

Die Nullstellen im Intervall sind \(0^\circ\), \(60^\circ\), \(120^\circ\) und \(180^\circ\).

- Überlege dir zuerst, in welchen Quadranten des Einheitskreises die Lösungen liegen müssen. - Nutze die Symmetrieeigenschaften der Sinus- und Kosinusfunktion am Einheitskreis, um aus einer Lösung weitere zu finden. - Beachte die Periodizität der Funktionen: Wenn du eine Lösung hast, kannst du durch Addieren oder Subtrahieren von \(2\pi\) weitere Lösungen finden. - Achte darauf, dass deine berechneten Werte im jeweils geforderten Intervall liegen.

1. Für a): Berechnung des ersten Wertes im Intervall \([0; \frac{\pi}{2}]\) mittels Arkuskosinus: \(x_1 = \arccos(0{,}65) \approx 0{,}86\). Bestimmung des zweiten Wertes im Intervall \([\frac{3\pi}{2}; 2\pi]\) durch Symmetrie am Einheitskreis: \(x_2 = 2\pi - 0{,}8633\ldots \approx 5{,}42\). 2. Für b): Berechnung des ersten Wertes im Intervall \([-\frac{\pi}{2}; 0]\) mittels Arkussinus: \(x_1 = \arcsin(-0{,}3) \approx -0{,}30\). Bestimmung des zweiten Wertes im Intervall \([-\pi; -\frac{\pi}{2}]\) durch Symmetrie: \(x_2 = -\pi - (-0{,}3046\ldots) \approx -2{,}84\). 3. Durch Addition der Periode \(2\pi\) ergeben sich die weiteren Lösungen im positiven Bereich: \(x_3 = -0{,}3046\ldots + 2\pi \approx 5{,}98\) und \(x_4 = -2{,}8369\ldots + 2\pi \approx 3{,}45\).

a) \(x_1 \approx 0{,}86\); \(x_2 \approx 5{,}42\) b) \(x_1 \approx -2{,}84\); \(x_2 \approx -0{,}30\); \(x_3 \approx 3{,}45\); \(x_4 \approx 5{,}98\)

- Isoliere bei Aufgabenteil a) zuerst den Sinusterm, bevor du den Arkussinus anwendest. - Bei Aufgabenteil b) ändert sich die Periodenlänge. Überlege dir, wie oft die Funktion innerhalb des Intervalls \([0; 2\pi]\) ihren vollen Zyklus durchläuft. - Du kannst eine Hilfsvariable (Substitution) nutzen, um die Gleichung in b) auf eine Grundform zurückzuführen. - Vergiss nicht, am Ende der Rechnung wieder auf die ursprüngliche Variable \(x\) zurückzurechnen.

1. Zu a): Division der Gleichung durch den Amplitudenfaktor \(2{,}5\) führt auf \(\sin(x) = 0{,}6\). Die erste Lösung ist \(x_1 = \arcsin(0{,}6) \approx 0{,}64\). Die zweite Lösung ergibt sich durch \(\pi - x_1\), also \(x_2 = \pi - 0{,}6435... \approx 2{,}50\). 2. Zu b): Da die Periode durch den Faktor \(2\) in \(\cos(2x)\) halbiert wird, liegen im Intervall \([0; 2\pi]\) doppelt so viele Lösungen wie bei \(\cos(x)\). Substitution \(u = 2x\) mit \(u \in [0; 4\pi]\). 3. Die Lösungen für \(\cos(u) = 0{,}5\) sind \(u \in \{ \frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}; \frac{11\pi}{3} \}\). 4. Rücksubstitution durch Division aller \(u\)-Werte durch \(2\) ergibt: \(x_1 = \frac{\pi}{6} \approx 0{,}52\), \(x_2 = \frac{5\pi}{6} \approx 2{,}62\), \(x_3 = \frac{7\pi}{6} \approx 3{,}67\) und \(x_4 = \frac{11\pi}{6} \approx 5{,}76\).

a) \(x_1 \approx 0{,}64\); \(x_2 \approx 2{,}50\) b) \(x_1 \approx 0{,}52\); \(x_2 \approx 2{,}62\); \(x_3 \approx 3{,}67\); \(x_4 \approx 5{,}76\)