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- Wie ist die Periode der Standard-Kosinusfunktion \(\cos(x)\)? - Welcher Teil des Funktionsterms beeinflusst die Streckung oder Stauchung in x-Richtung? - Wie verändert ein Faktor vor dem \(x\) die Wellenlänge des Graphen?

1. Bestimmung des Parameters \(b\) aus der Standardform \(f(x) = a \cos(bx)\): \(b = \frac{\pi}{1{,}5}\) 2. Anwendung der Formel für die Periode \(p\): \(p = \frac{2\pi}{|b|}\) 3. Einsetzen von \(b\): \(p = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{1{,}5}} = 2\pi \cdot \frac{1{,}5}{\pi}\) 4. Berechnung des Ergebnisses: \(p = 2 \cdot 1{,}5 = 3\)

c) \(3\)

- Überlege dir, welcher Parameter vor der Sinus- oder Kosinusfunktion steht und wie er die Auslenkung beeinflusst. - Erinnere dich daran, dass die Amplitude immer ein positiver Wert ist, auch wenn der Vorfaktor negativ ist. - Welcher Teil des Funktionsterms beeinflusst die Streckung oder Stauchung entlang der x-Achse? - Die normale Periode von Sinus und Kosinus ist \(2\pi\). Wie verändert der Faktor im Argument der Funktion diesen Wert?

1. Für \(f(x) = 3\sin(0{,}5x)\) ist der Streckfaktor in \(y\)-Richtung \(a = 3\), woraus die Amplitude \(A = |3| = 3\) folgt. Die Periodenlänge berechnet sich mit \(b = 0{,}5\) zu \(p = \frac{2\pi}{0{,}5} = 4\pi\). 2. Bei \(g(x) = -2\cos(\pi x) - 5\) ist der Streckfaktor \(a = -2\), also ist die Amplitude \(A = |-2| = 2\). Die Verschiebung um \(-5\) hat keinen Einfluss auf Amplitude oder Periode. Mit \(b = \pi\) ergibt sich die Periodenlänge \(p = \frac{2\pi}{\pi} = 2\). 3. Für \(h(x) = \frac{1}{2}\sin\left(\frac{1}{4}x\right)\) ist die Amplitude \(A = \frac{1}{2} = 0{,}5\). Mit dem Faktor \(b = \frac{1}{4}\) ergibt sich die Periodenlänge \(p = \frac{2\pi}{1/4} = 8\pi\).

a) \(A = 3\); \(p = 4\pi\) b) \(A = 2\); \(p = 2\) c) \(A = 0{,}5\); \(p = 8\pi\)

- Wie berechnet man die Periodenlänge einer Sinusfunktion aus dem Faktor vor dem \(x\)? - Welcher Parameter in der allgemeinen Form \(y = a\sin(bx)\) ist für die Streckung in \(y\)-Richtung verantwortlich? - Überlege dir, wie sich ein größerer Wert für \(b\) auf die Schnelligkeit der Schwingung auswirkt.

1. Periode von \(f\): Berechnung über \(p = \frac{2\pi}{b}\) mit \(b = 2\) ergibt \(p = \frac{2\pi}{2} = \pi\). Die Aussage ist wahr. 2. Streckung von \(g\): Der Parameter \(a = 4\) vor dem Sinusterm bewirkt eine Streckung in \(y\)-Richtung um den Faktor 4. Die Aussage ist wahr. 3. Periodenvergleich: Die Periode von \(h\) ist \(p_h = \frac{2\pi}{4} = 0{,}5\pi\), die Periode von \(k\) ist \(p_k = \frac{2\pi}{2} = \pi\). Da \(0{,}5\pi < \pi\), hat \(h\) eine kleinere Periode als \(k\). Die Aussage ist falsch.

a) Wahr. b) Wahr. c) Falsch. Korrektur: Die Periode von \(h\) (\(0{,}5\pi\)) ist kleiner als die von \(k\) (\(\pi\)).

- Welcher Teil der Funktionsgleichung ist für die Streckung oder Stauchung in \(y\)-Richtung verantwortlich? - Wie beeinflusst der Faktor direkt vor der Variable \(x\) die Breite einer vollständigen Schwingung? - Denke daran, dass eine Amplitude als positiver Wert (Abstand) angegeben wird. - Wie hängen der Streckfaktor im Argument und die Standardperiode von \(2\pi\) zusammen?

1. Für \(f(x)\): Die Amplitude entspricht dem Betrag des Faktors vor der Kosinusfunktion, also \(|2{,}5| = 2{,}5\). Die Periode \(p\) berechnet sich aus dem Faktor \(b = 4\) vor dem \(x\) durch \(p = \frac{2\pi}{b} = \frac{2\pi}{4} = 0{,}5\pi\). 2. Für \(g(x)\): Die Amplitude ist der Betrag des Faktors \(-3\), also \(|-3| = 3\). Mit dem Faktor \(b = 0{,}2\) ergibt sich die Periode zu \(p = \frac{2\pi}{0{,}2} = 10\pi\).

a) Amplitude: \(2{,}5\); Periode: \(0{,}5\pi\) b) Amplitude: \(3\); Periode: \(10\pi\)

- Welcher Teil der Funktionsgleichung beeinflusst die Streckung in \(y\)-Richtung? - Wie hängen der Faktor vor dem \(x\) und die Periodenlänge zusammen? - Überlege, welche kleinsten und größten Werte die Sinusfunktion erreichen kann. - Erinnere dich an die Symmetrieeigenschaften der Grundfunktion \(y = \sin(x)\).

1. Die Amplitude entspricht dem Betrag des Faktors vor dem Sinus: \(A = |2{,}5| = 2{,}5\). 2. Die Periodenlänge \(p\) wird über den Faktor \(b = 0{,}5\) im Argument berechnet: \(p = \frac{2\pi}{b} = \frac{2\pi}{0{,}5} = 4\pi\). 3. Da die Sinusfunktion Werte zwischen \(-1\) und \(1\) annimmt, ergibt sich der Wertebereich durch Multiplikation mit der Amplitude: \(W = [-2{,}5; 2{,}5]\). 4. Aufgrund der Eigenschaft \(\sin(-z) = -\sin(z)\) gilt \(f(-x) = 2{,}5\sin(0{,}5(-x)) = -2{,}5\sin(0{,}5x) = -f(x)\). Der Graph ist somit punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung \((0 \mid 0)\).

Amplitude: \(2{,}5\); Periodenlänge: \(4\pi\); Wertebereich: \(W = [-2{,}5; 2{,}5]\); Symmetrie: punktsymmetrisch zum Ursprung.

- Schau dir an, wie weit der Graph nach oben und unten ausschlägt, um die Amplitude zu finden. - Finde heraus, nach welcher Entfernung auf der x-Achse sich das Muster des Graphen zum ersten Mal wiederholt. - Überlege dir, wie der Streckfaktor in x-Richtung mit der Periode zusammenhängt. - Achte auf die Beschriftung der \(x\)-Achse in Vielfachen von \(\pi\).

1. Amplitude \(a\) ablesen: Der Graph schwankt zwischen dem Maximum bei \(2\) und dem Minimum bei \(-2\). Somit ist \(a = 2\). 2. Periode \(T\) bestimmen: Eine vollständige Schwingung ist bei \(x = \pi\) abgeschlossen. Die Periode beträgt also \(T = \pi\). 3. Parameter \(b\) berechnen: Es gilt \(b = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\pi} = 2\). 4. Funktionsgleichung aufstellen: Durch Einsetzen von \(a\) und \(b\) ergibt sich \(f(x) = 2\sin(2x)\).

\(f(x) = 2\sin(2x)\)

- Der Parameter \(a\) gibt die Amplitude an, also den maximalen Ausschlag des Graphen von der Mittellinie. - Zähle die Kästchen auf der \(x\)-Achse ab, wobei jedes Kästchen für \(\frac{\pi}{2}\) steht. - Setze nach der Bestimmung von \(a\) die abgelesenen \(x\)-Werte in die allgemeine Form \(f(x) = a\sin(x)\) ein.

1. Bestimmung von \(a\): Der Graph hat seinen ersten Hochpunkt bei \(x = \frac{\pi}{2}\). Dort ist der \(y\)-Wert \(2\). Da \(\sin(\frac{\pi}{2}) = 1\), muss \(a \cdot 1 = 2\) gelten, also \(a = 2\). Die Funktion lautet \(f(x) = 2\sin(x)\). 2. Bestimmung der \(x\)-Koordinaten aus dem Gitter mit der Schrittweite \(\frac{\pi}{2}\): - \(x_A = 0\) - \(x_B = 1 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}\) - \(x_C = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi\) - \(x_D = 3 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}\) 3. Berechnung der \(y\)-Werte: - \(y_A = 2\sin(0) = 0 \implies A(0 \mid 0)\) - \(y_B = 2\sin(\frac{\pi}{2}) = 2 \implies B(\frac{\pi}{2} \mid 2)\) - \(y_C = 2\sin(\pi) = 0 \implies C(\pi \mid 0)\) - \(y_D = 2\sin(\frac{3\pi}{2}) = -2 \implies D(\frac{3\pi}{2} \mid -2)\)

Der Parameter ist \(a = 2\). Die Koordinaten sind \(A(0 \mid 0)\), \(B(\frac{\pi}{2} \mid 2)\), \(C(\pi \mid 0)\) und \(D(\frac{3\pi}{2} \mid -2)\).

- Erinnere dich an die allgemeine Form \(f(x) = a\sin(bx)\). Wofür stehen \(a\) und \(b\)? - Die Periode ist die Länge eines vollständigen Schwingungszyklus. Wie hängt sie mathematisch mit der Streckung oder Stauchung in \(x\)-Richtung zusammen?

1. Aufstellen des Funktionsterms durch Einsetzen der Parameter \(a = 0{,}75\) und \(b = 3\): \(h(x) = 0{,}75\sin(3x)\) 2. Ablesen der Amplitude als Vorfaktor: \(A = 0{,}75\) 3. Berechnung der Periode mit der Formel \(p = \frac{2\pi}{b}\): \(p = \frac{2\pi}{3}\)

a) \(h(x) = 0{,}75\sin(3x)\) b) Die Amplitude ist \(0{,}75\) und die Periode ist \(\frac{2\pi}{3}\).

- Setze die gegebenen Werte für Amplitude und Periode in die bekannten Zusammenhänge für \(a\) und \(b\) ein. - Wie hängen der maximale Ausschlag eines Graphen und der Parameter \(a\) zusammen? - Wenn eine Periode genau \(1\) oder \(3\) Einheiten lang ist, wie musst du die Formel für \(p\) umstellen, um \(b\) zu isolieren? - Was bedeutet es für die Amplitude, wenn der Graph zwischen \(-2\) und \(2\) schwingt?

1. Für Teil a) ist die Amplitude \(A = a = 1{,}5\). Aus der Periodenlänge \(p = 4\pi\) folgt mit der Formel \(p = \frac{2\pi}{b}\) die Gleichung \(4\pi = \frac{2\pi}{b}\), woraus \(b = 0{,}5\) resultiert. Der Term lautet \(f(x) = 1{,}5\cos(0{,}5x)\). 2. Für Teil b) ist \(a = 4\). Aus \(p = 1\) folgt \(1 = \frac{2\pi}{b}\), also \(b = 2\pi\). Der Term lautet \(f(x) = 4\cos(2\pi x)\). 3. Für Teil c) ergibt sich aus dem Wertebereich \([-2; 2]\) die Amplitude \(A = a = 2\). Die Periodenlänge ist \(p = 3\), woraus \(3 = \frac{2\pi}{b}\) und somit \(b = \frac{2\pi}{3}\) folgt. Der Term lautet \(f(x) = 2\cos\left(\frac{2\pi}{3}x\right)\).

a) \(f(x) = 1{,}5\cos(0{,}5x)\) b) \(f(x) = 4\cos(2\pi x)\) c) \(f(x) = 2\cos\left(\frac{2\pi}{3}x\right)\)

- Wie hängt der Parameter \(a\) mit der Amplitude zusammen? - Wo liegen die Nullstellen der Standard-Sinusfunktion und wie verändern sie sich durch den Faktor \(b\)? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Periode \(p\) und dem Parameter \(b\)? - Überlege dir, welchen Bruchteil der Periode der Abstand vom Ursprung zur ersten Nullstelle darstellt.

1. Aus der gegebenen Amplitude folgt direkt der Parameter \(a = 4{,}5\). 2. Bei einer Funktion der Form \(\sin(bx)\) liegt die erste positive Nullstelle bei der Hälfte der Periode, also gilt \(\frac{p}{2} = 3\), woraus eine Periode von \(p = 6\) folgt. 3. Mit der Formel \(b = \frac{2\pi}{p}\) ergibt sich \(b = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}\). 4. Die Funktionsgleichung lautet somit \(f(x) = 4{,}5\sin\left(\frac{\pi}{3}x\right)\).

\(a = 4{,}5\); \(b = \frac{\pi}{3}\); \(f(x) = 4{,}5\sin\left(\frac{\pi}{3}x\right)\)

- Was sagt uns der Abstand zwischen zwei Hochpunkten über die Periode der Funktion aus? - Wie kannst du den Wert von \(b\) bestimmen, wenn du die Periode kennst? - Wie nutzt man einen gegebenen Punkt auf dem Graphen, um einen unbekannten Parameter in der Funktionsgleichung zu berechnen? - Welchen Wert hat der Sinus bei \(\frac{\pi}{2}\)?

1. Der Abstand zwischen zwei benachbarten Hochpunkten entspricht der Periode \(p\), also ist \(p = \pi\). 2. Der Parameter \(b\) berechnet sich durch \(b = \frac{2\pi}{p} = \frac{2\pi}{\pi} = 2\). Die Funktion hat bisher die Form \(g(x) = a\sin(2x)\). 3. Durch Einsetzen der Koordinaten des Punktes \(P\left(\frac{\pi}{4} \mid 5\right)\) in die Gleichung erhält man \(5 = a \cdot \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right)\). 4. Da \(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1\) ist, folgt \(5 = a \cdot 1\), also \(a = 5\). 5. Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = 5\sin(2x)\).

\(a = 5\); \(b = 2\); \(g(x) = 5\sin(2x)\)

- Was passiert mit der Periode, wenn der Faktor vor dem \(x\) selbst die Kreiszahl \(\pi\) enthält? - Wie berechnet man den Kehrwert bei einer Division durch einen Bruch im Argument? - Kannst du die Amplitude direkt aus der Gleichung ablesen, ohne auf das Vorzeichen zu achten? - Überlege, wie sich die Periodenlänge verändert, wenn der Faktor vor dem \(x\) kleiner als \(1\) ist.

1. Für \(p(x)\): Die Amplitude ist der Betrag des Vorfaktors \(0{,}8\), also \(0{,}8\). Da der Faktor vor dem \(x\) hier \(b = \pi\) ist, berechnet sich die Periode zu \(p = \frac{2\pi}{\pi} = 2\). 2. Für \(q(x)\): Die Amplitude ist der Betrag von \(\frac{1}{2}\), also \(0{,}5\). Mit dem Faktor \(b = \frac{2}{3}\) ergibt sich die Periode durch die Rechnung \(2\pi : \frac{2}{3} = 2\pi \cdot \frac{3}{2} = 3\pi\).

a) Amplitude: \(0{,}8\); Periode: \(2\) b) Amplitude: \(0{,}5\); Periode: \(3\pi\)

- Überlege dir, welche Werte die normale Sinusfunktion höchstens und mindestens annehmen kann. - Wie beeinflusst ein Faktor vor dem Funktionsterm die Auslenkung (Amplitude) des Graphen? - An welchen Stellen schneidet der Graph der Sinusfunktion die \(x\)-Achse? - Verändert eine Streckung in \(y\)-Richtung die Position der Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse?

1. Der Wertebereich der Standard-Sinusfunktion \(\sin(x)\) ist \([-1; 1]\). Durch die Multiplikation mit dem Faktor \(1{,}5\) wird die Funktion in \(y\)-Richtung gestreckt, sodass die minimalen und maximalen Funktionswerte \(-1 \cdot 1{,}5 = -1{,}5\) und \(1 \cdot 1{,}5 = 1{,}5\) betragen. Der Wertebereich ist somit \(W = [-1{,}5; 1{,}5]\). 2. Die Nullstellen von \(f(x) = 1{,}5\sin(x)\) sind identisch mit den Nullstellen der Sinusfunktion, da die Gleichung \(1{,}5\sin(x) = 0\) äquivalent zu \(\sin(x) = 0\) ist. Innerhalb des Intervalls \([0; 2\pi]\) nimmt der Sinus an den Stellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = \pi\) und \(x_3 = 2\pi\) den Wert Null an.

a) \(W = [-1{,}5; 1{,}5]\) b) \(x_1 = 0\); \(x_2 = \pi\); \(x_3 = 2\pi\)

- Wie beeinflusst die Zahl vor dem \(x\) innerhalb der Klammer die Streckung oder Stauchung des Graphen in x-Richtung? - Welche Formel hilft dir, die Periode aus dem Faktor \(b\) zu berechnen? - Wenn eine Funktion periodisch ist, nach welcher „Entfernung“ auf der x-Achse wiederholen sich dann die Hochpunkte?

1. Die Periode \(p\) einer Funktion der Form \(\sin(bx)\) berechnet sich durch \(p = \frac{2\pi}{b}\). Mit \(b = 0{,}5\) ergibt sich \(p = \frac{2\pi}{0{,}5} = 4\pi\). 2. Da Maxima bei Sinusfunktionen immer nach genau einer vollen Periode erneut auftreten, liegen weitere Stellen bei \(x = \pi + k \cdot 4\pi\) für \(k \in \mathbb{Z}\). 3. Einsetzen von Werten für \(k\) (z. B. \(k = 1, 2, -1, -2\)) liefert die Stellen: \(\pi + 4\pi = 5\pi\), \(\pi + 8\pi = 9\pi\), \(\pi - 4\pi = -3\pi\) und \(\pi - 8\pi = -7\pi\).

a) \(p = 4\pi\) b) z. B. \(-7\pi; -3\pi; 5\pi; 9\pi\)

- Wie hängt der Faktor vor dem \(x\) mit der Periode der Funktion zusammen? - Was bedeutet es für den Sinuswert, wenn eine Funktion eine Nullstelle hat? - Überlege dir, in welchen Abständen die normale Sinusfunktion ihre Nullstellen hat. - Vergiss nicht zu prüfen, ob deine berechneten Werte im vorgegebenen Intervall liegen.

1. Aus der Amplitude \(5\) und der Periode \(p = 120^\circ\) ergibt sich der Funktionsterm \(f(x) = 5\sin(3x)\), da \(b = \frac{360^\circ}{120^\circ} = 3\). 2. Die Nullstellenbedingung lautet \(5\sin(3x) = 0\), was zu \(\sin(3x) = 0\) vereinfacht wird. 3. Die Sinusfunktion hat Nullstellen bei Vielfachen von \(180^\circ\), also \(3x = k \cdot 180^\circ\) für ganzzahlige \(k\). 4. Für das Intervall \(0^\circ \le x \le 180^\circ\) muss das Argument \(3x\) im Bereich \(0^\circ \le 3x \le 540^\circ\) liegen. 5. Mögliche Werte für \(3x\) sind demnach \(0^\circ\), \(180^\circ\), \(360^\circ\) und \(540^\circ\). 6. Division durch 3 liefert die gesuchten Stellen: \(x_1 = 0^\circ\), \(x_2 = 60^\circ\), \(x_3 = 120^\circ\) und \(x_4 = 180^\circ\).

Die Nullstellen im Intervall sind \(0^\circ\), \(60^\circ\), \(120^\circ\) und \(180^\circ\).

- Wie hängt die Periodenlänge einer Kosinusfunktion mit dem Faktor vor dem \(x\) zusammen? - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt auf dem Graphen einer Funktion liegt? - Welche Winkel im Einheitskreis haben den geforderten Kosinuswert? - Überlege dir, welche Gleichung du lösen musst, nachdem du die Koordinaten des Punktes eingesetzt hast.

1. Zusammenhang zwischen Periode und Faktor \(k\): \(p = \frac{2\pi}{k}\). 2. Einsetzen von \(p = 5\pi\): \(5\pi = \frac{2\pi}{k} \implies k = \frac{2\pi}{5\pi} = 0{,}4\). 3. Punktprobe für \(P\): \(\cos\left(k\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\). 4. Bestimmung des Arguments: Der kleinste positive Winkel \(\alpha\), für den \(\cos(\alpha) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) gilt, ist \(\alpha = \frac{3\pi}{4}\). 5. Berechnung von \(k\): \(k\frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \implies k = 3\).

a) \(k = 0{,}4\) b) \(k = 3\)

- Was sagt dir der Abstand zwischen zwei Hochpunkten über die Periode der Funktion? - Wie ist die Periode einer Sinusfunktion mathematisch definiert? - Wenn ein Schnittpunkt mit einer Geraden \(y = c\) an einer Stelle \(x\) gegeben ist, welchen Funktionswert hat die Sinusfunktion dort? - Erinnere dich an die Standardwerte der Sinusfunktion oder nutze den Einheitskreis.

1. Der Abstand zwischen zwei benachbarten Hochpunkten entspricht der Periode \(T\). Es gilt \(T = 3\). 2. Formel für die Periode: \(T = \frac{2\pi}{b}\). Einsetzen ergibt \(3 = \frac{2\pi}{b} \implies b = \frac{2\pi}{3}\). 3. Für Aufgabenteil b) gilt die Bedingung \(f(1) = 0{,}5\), also \(\sin(b \cdot 1) = 0{,}5\). 4. Suche nach dem kleinsten positiven Winkel \(\alpha\) mit \(\sin(\alpha) = 0{,}5\). Dieser liegt bei \(\alpha = \frac{\pi}{6}\). 5. Daraus folgt direkt \(b = \frac{\pi}{6}\).

a) \(b = \frac{2\pi}{3}\) b) \(b = \frac{\pi}{6}\)

- Die Amplitude kannst du am höchsten Ausschlag des Graphen ablesen. - Die Periode ist der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Hochpunkten. - Setze die \(x\)-Werte der Gitterpunkte in die Funktionsgleichung ein, um die \(y\)-Koordinaten zu bestätigen. - Beachte den Maßstab der Achsen beim Ablesen der Werte.

1. Amplitude: Der Koeffizient vor dem Kosinus ist \(2\). Somit beträgt die Amplitude \(a = 2\). Dies entspricht dem maximalen Ausschlag des Graphen von der \(x\)-Achse. 2. Periode: Die Periode \(p\) berechnet sich aus dem Faktor \(b = \frac{\pi}{4}\) im Argument: \(p = \frac{2\pi}{b} = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{4}} = 8\). 3. Punkt \(P\): Bei \(x = 0\) ist \(g(0) = 2\cos(0) = 2 \cdot 1 = 2\). Also \(P(0 \mid 2)\). 4. Punkt \(Q\): Anhand des Graphen liegt \(Q\) bei \(x = 2\). Rechnung: \(g(2) = 2\cos\left(\frac{\pi}{4}2\right) = 2\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \cdot 0 = 0\). Also \(Q(2 \mid 0)\). 5. Punkt \(R\): Anhand des Graphen liegt \(R\) bei \(x = 4\). Rechnung: \(g(4) = 2\cos\left(\frac{\pi}{4}4\right) = 2\cos(\pi) = 2 \cdot (-1) = -2\). Also \(R(4 \mid -2)\).

a) Amplitude: \(2\); Periode: \(8\). b) Die Koordinaten der Punkte sind \(P(0 \mid 2)\), \(Q(2 \mid 0)\) und \(R(4 \mid -2)\).

- Überlege dir, wie viele vollständige Schwingungen jeder Graph in einem Bereich von \(0\) bis \(2\pi\) (etwa \(6{,}28\)) vollzieht. - Wie wirkt sich ein Faktor direkt vor dem Argument \(x\) in der Sinusfunktion auf die Streckung oder Stauchung in \(x\)-Richtung aus? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Faktor \(k\) und der Periodenlänge \(p\). - Setze für die Berechnung der Nullstelle das Argument der Sinusfunktion gleich dem Wert, an dem die Standard-Sinusfunktion ihre erste Nullstelle rechts vom Ursprung hat.

1. Gemeinsamkeit im Ursprung: Alle Graphen verlaufen durch \((0\mid0)\), da \(\sin(k\cdot0)=0\) für jeden Wert von \(k\) gilt. 2. Zuordnung: Ein größerer Wert von \(k\) führt zu einer kürzeren Periodenlänge. Graph III schwingt am schnellsten und gehört zu \(k=2\). Graph I schwingt am langsamsten und gehört zu \(k=0{,}5\). Graph II ist die Standardsinusfunktion mit \(k=1\). 3. Die Periodenlänge ist \(p=\frac{2\pi}{k}\). Wird \(k\) verdoppelt, halbiert sich \(p\). 4. Für die kleinste positive Nullstelle gilt \(1{,}5x=\pi\). Daher ist \(x=\frac{\pi}{1{,}5}=\frac{2\pi}{3}\).

a) Alle Graphen verlaufen durch \((0\mid0)\). b) I: \(k=0{,}5\); II: \(k=1\); III: \(k=2\). c) Bei einer Verdopplung von \(k\) halbiert sich die Periodenlänge. d) \(x=\frac{2\pi}{3}\)

- Isoliere bei Aufgabenteil a) zuerst den Sinusterm, bevor du den Arkussinus anwendest. - Bei Aufgabenteil b) ändert sich die Periodenlänge. Überlege dir, wie oft die Funktion innerhalb des Intervalls \([0; 2\pi]\) ihren vollen Zyklus durchläuft. - Du kannst eine Hilfsvariable (Substitution) nutzen, um die Gleichung in b) auf eine Grundform zurückzuführen. - Vergiss nicht, am Ende der Rechnung wieder auf die ursprüngliche Variable \(x\) zurückzurechnen.

1. Zu a): Division der Gleichung durch den Amplitudenfaktor \(2{,}5\) führt auf \(\sin(x) = 0{,}6\). Die erste Lösung ist \(x_1 = \arcsin(0{,}6) \approx 0{,}64\). Die zweite Lösung ergibt sich durch \(\pi - x_1\), also \(x_2 = \pi - 0{,}6435\ldots \approx 2{,}50\). 2. Zu b): Da die Periode durch den Faktor \(2\) in \(\cos(2x)\) halbiert wird, liegen im Intervall \([0; 2\pi]\) doppelt so viele Lösungen wie bei \(\cos(x)\). Substitution \(u = 2x\) mit \(u \in [0; 4\pi]\). 3. Die Lösungen für \(\cos(u) = 0{,}5\) sind \(u \in \{ \frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}; \frac{11\pi}{3} \}\). 4. Rücksubstitution durch Division aller \(u\)-Werte durch \(2\) ergibt: \(x_1 = \frac{\pi}{6} \approx 0{,}52\), \(x_2 = \frac{5\pi}{6} \approx 2{,}62\), \(x_3 = \frac{7\pi}{6} \approx 3{,}67\) und \(x_4 = \frac{11\pi}{6} \approx 5{,}76\).

a) \(x_1 \approx 0{,}64\); \(x_2 \approx 2{,}50\) b) \(x_1 \approx 0{,}52\); \(x_2 \approx 2{,}62\); \(x_3 \approx 3{,}67\); \(x_4 \approx 5{,}76\)

- Bestimme zuerst die Periodenlänge, um zu wissen, wie oft sich das Muster im Intervall wiederholt. - Nullstellen findest du, indem du das Argument der Sinusfunktion gleich Vielfachen von \(\pi\) setzt. - Wo erreicht die normale Sinusfunktion ihren höchsten und tiefsten Wert? Übertrage dies auf das Argument \(2x\). - Achte darauf, dass alle berechneten Stellen innerhalb des vorgegebenen Intervalls liegen.

1. Amplitude: \(A = 0{,}5\). 2. Periodenlänge: \(p = \frac{2\pi}{2} = \pi\). 3. Nullstellen: \(2x = k\pi\) führt für \(k \in \{0; 1; 2\}\) im Intervall \([0; \pi]\) zu \(x_1 = 0\), \(x_2 = \frac{\pi}{2}\) und \(x_3 = \pi\). 4. Hochpunkt: Das Maximum der Sinusfunktion liegt bei \(2x = \frac{\pi}{2}\), also \(x = \frac{\pi}{4}\). Der Funktionswert ist \(0{,}5 \cdot 1 = 0{,}5\). Punkt: \(H(\frac{\pi}{4} \mid 0{,}5)\). 5. Tiefpunkt: Das Minimum liegt bei \(2x = \frac{3\pi}{2}\), also \(x = \frac{3\pi}{4}\). Der Funktionswert ist \(0{,}5 \cdot (-1) = -0{,}5\). Punkt: \(T(\frac{3\pi}{4} \mid -0{,}5)\).

Amplitude: \(0{,}5\); Periodenlänge: \(\pi\); Nullstellen: \(0\); \(\frac{\pi}{2}\); \(\pi\); Hochpunkt: \(H(\frac{\pi}{4} \mid 0{,}5)\); Tiefpunkt: \(T(\frac{3\pi}{4} \mid -0{,}5)\).