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- Überlege, wie man eine Kosinusfunktion durch eine Verschiebung in eine Sinusfunktion umwandeln kann. - Achte darauf, dass in der Zielform der Faktor vor dem \(x\) ausgeklammert ist. - Wie hängen die Graphen von Sinus und Kosinus zusammen?

1. Verwendung der Beziehung \(\cos(u) = \sin\left(u + \frac{\pi}{2}\right)\): \(y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)\). 2. Ausklammern des Faktors \(b = 2\) innerhalb des Sinusarguments: \(y = \sin\left(2\left(x + \frac{\pi}{8}\right)\right)\). 3. Identifikation der Parameter: \(a = 1\), \(b = 2\) und \(c = \frac{\pi}{8}\).

\(y = \sin\left(2\left(x + \frac{\pi}{8}\right)\right)\)

- Erinnere dich an die Periodizität von Sinus und Kosinus. Was passiert, wenn man ein Vielfaches von \(2\pi\) zum Argument addiert? - Wie hängen Sinus und Kosinus über eine Verschiebung (Phasenverschiebung) zusammen? - Überprüfe die Symmetrieeigenschaften oder nutze die Einheitskreis-Definition für Verschiebungen um \(\frac{\pi}{2}\).

1. Untersuchung von b): \(\sin(2(x + \pi)) = \sin(2x + 2\pi)\). Da die Sinusfunktion eine Periode von \(2\pi\) hat, gilt \(\sin(2x + 2\pi) = \sin(2x)\). Somit ist b) äquivalent zu a). 2. Untersuchung von c) mittels Phasenverschiebung: Es gilt die Identität \(\cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin(\alpha)\). Mit \(\alpha = 2x\) folgt \(\cos(2x - \frac{\pi}{2}) = \sin(2x)\). Somit ist c) äquivalent zu a). 3. Untersuchung von d): Es gilt \(\cos(\alpha + \frac{\pi}{2}) = -\sin(\alpha)\). Mit \(\alpha = 2x\) folgt \(\cos(2x + \frac{\pi}{2}) = -\sin(2x)\). Dieser Term unterscheidet sich durch das Vorzeichen.

d) \(y = \cos\left(2x + \frac{\pi}{2}\right)\)

- Welche Parameter der Funktion beeinflussen die Streckung in y-Richtung und die Verschiebung entlang der y-Achse? Ändern sich diese bei einem Wechsel zwischen Sinus und Kosinus? - Erinnere dich an die Beziehung zwischen der Sinus- und der Kosinusfunktion im Einheitskreis oder im Koordinatensystem. - Wie lässt sich ein Pluszeichen in der Klammer als Differenz schreiben?

1. Identifikation der Parameter, die durch die Umformung unverändert bleiben: Die Amplitude \(a = 2{,}5\) und die vertikale Verschiebung \(d = -1\) werden direkt übernommen. 2. Anwendung des Zusammenhangs \(\cos(\alpha) = \sin(\alpha + \frac{\pi}{2})\) auf den Argumentausdruck \(\alpha = x - \frac{\pi}{4}\). 3. Einsetzen und Vereinfachen des Arguments: \(f(x) = 2{,}5\sin(x - \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}) - 1 = 2{,}5\sin(x + \frac{\pi}{4}) - 1\). 4. Umformung in die Zielstruktur \(x - c\): Da \(x + \frac{\pi}{4} = x - (-\frac{\pi}{4})\) gilt, ergibt sich der Phasenverschiebungsparameter zu \(c = -\frac{\pi}{4}\).

Eine mögliche Funktionsgleichung ist \(g(x) = 2{,}5\sin(x - (-\frac{\pi}{4})) - 1\) bzw. \(g(x) = 2{,}5\sin(x + \frac{\pi}{4}) - 1\). Die Parameter sind \(a = 2{,}5\), \(c = -\frac{\pi}{4}\) und \(d = -1\).

- Du kannst den Vorfaktor \(a\) negativ lassen, um die Umformung zu vereinfachen. - Erinnere dich an die Verschiebung auf der \(x\)-Achse, die nötig ist, um aus einer Kosinus- eine Sinuskurve zu machen. - Vergiss nicht, den Faktor \(b\) im Argument richtig auszuklammern.

1. Anwendung der Identität \(\cos(u) = \sin\left(u + \frac{\pi}{2}\right)\): \(y = -2\sin\left(0{,}5x + \pi + \frac{\pi}{2}\right) = -2\sin\left(0{,}5x + \frac{3\pi}{2}\right)\). 2. Ausklammern des Faktors \(b = 0{,}5\) aus dem Argument: \(y = -2\sin(0{,}5(x + 3\pi))\). 3. (Optional) Nutzung der Periodizität (\(2\pi\) im Argument des Sinus entspricht einer Verschiebung um \(4\pi\) bei \(b=0{,}5\)): Eine alternative Darstellung wäre \(y = -2\sin(0{,}5(x - \pi))\).

\(y = -2\sin(0{,}5(x + 3\pi))\) oder \(y = -2\sin(0{,}5(x - \pi))\)

- Vergleiche markante Punkte wie Hochpunkte und Nullstellen der beiden Kurven. - Wie verändert sich die Funktionsgleichung bei einer Verschiebung nach links oder rechts? - Welche Periode hat \(f(x) = \sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\)? - Zwei übereinstimmende Funktionswerte sind eine Kontrolle, aber noch kein allgemeiner Beweis. Nutze zusätzlich \(\sin(u + \frac{\pi}{2}) = \cos(u)\).

1. Für Teilaufgabe a): Durch Betrachten der markanten Punkte (z. B. Hochpunkte oder Nullstellen) sieht man, dass der rote Graph von \(g\) gegenüber dem blauen Graphen von \(f\) um \(1\) Einheit nach links verschoben ist. Da die Periode der Funktionen \(T = 4\) beträgt, entspricht dies auch einer Verschiebung um \(3\) Einheiten nach rechts. 2. Für Teilaufgabe b): Eine Verschiebung um \(d\) Einheiten nach rechts wird durch den Ansatz \(f(x-d)\) modelliert. Die kleinste positive äquivalente Verschiebung nach rechts ist \(d = 3\). Damit gilt \(g(x) = \sin\left(\frac{\pi}{2}(x - 3)\right)\). 3. Für Teilaufgabe c): Es ist \(g(0) = \sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = 1\) und \(k(0) = \cos(0) = 1\). Außerdem ist \(g(1) = \sin(-\pi) = 0\) und \(k(1) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0\). Die Übereinstimmung an zwei Stellen allein beweist noch keine Funktionsgleichheit. Für alle \(x\) gilt jedoch \(g(x) = \sin\left(\frac{\pi}{2}x - \frac{3\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)\), weil sich die Argumente um \(2\pi\) unterscheiden und \(\sin(u + \frac{\pi}{2}) = \cos(u)\) gilt.

a) Der Graph von \(g\) entsteht durch Verschiebung des Graphen von \(f\) um \(1\) Einheit nach links oder um \(3\) Einheiten nach rechts. b) \(g(x) = \sin\left(\frac{\pi}{2}(x - 3)\right)\) mit \(d = 3\). c) An \(x = 0\) und \(x = 1\) stimmen die Funktionswerte überein. Allgemein folgt aus der Periodizität und \(\sin(u + \frac{\pi}{2}) = \cos(u)\), dass \(g(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)\) für alle \(x\) gilt.

- Vergleiche markante Punkte wie die Nulldurchgänge oder Hochpunkte der beiden Kurven. - Eine Verschiebung nach rechts wird im Argument der Funktion innerhalb der Klammer durch ein Minuszeichen berücksichtigt. - Wo liegt normalerweise der erste Hochpunkt der Sinusfunktion und wie weit wurde er hier verschoben?

1. Bestimmung der Verschiebung: Der Graph von \(f\) startet im Ursprung \((0 \mid 0)\) mit einer Steigung nach oben. Der Graph von \(g\) hat seinen ersten Nulldurchgang mit positiver Steigung bei \(x = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}57\). Dies entspricht einer Verschiebung um \(\frac{\pi}{2}\) Einheiten nach rechts. Der Funktionsterm lautet somit \(g(x) = \sin(x - \frac{\pi}{2})\). 2. Bestimmung des Hochpunktes: Der erste Hochpunkt der Sinusfunktion \(f\) liegt bei \(x = \frac{\pi}{2}\). Durch die Verschiebung um \(\frac{\pi}{2}\) nach rechts wandert dieser Punkt zu \(x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi \approx 3{,}14\). Die \(y\)-Koordinate bleibt bei \(1\). Der Punkt ist \(H(\pi \mid 1)\).

a) \(g(x) = \sin(x - \frac{\pi}{2})\) oder \(g(x) = -\cos(x)\) b) \(H(\pi \mid 1)\)

- Wie sieht eine Funktion aus, die punktsymmetrisch zum Ursprung ist? Wo muss sie die \(y\)-Achse schneiden? - Vergleiche den abgebildeten Graphen mit dem Verlauf der Standardsinusfunktion. Siehst du eine Spiegelung oder Verschiebung? - Erinnere dich an die Zusammenhänge zwischen Sinus und Kosinus: Um welchen Wert muss man die Kosinuswelle verschieben, damit sie wie eine Sinuswelle aussieht? - Ordne die Lage des ersten Minimums einem bekannten Vielfachen von \(\pi\) zu.

1. Die Kosinusfunktion \(\cos(x)\) ist ursprünglich achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Damit sie punktsymmetrisch zum Ursprung wird, muss sie horizontal so verschoben werden, dass sie die Form einer eventuell gespiegelten Sinusfunktion annimmt. 2. Aus dem Graphen ist ersichtlich, dass \(f(0) = 0\) gilt und die Funktion für kleine positive \(x\) fällt. Es handelt sich also um den Graphen der Funktion \(y = -\sin(x)\). 3. Es gilt die Identität \(\cos(x + \frac{\pi}{2}) = -\sin(x)\). 4. Überprüfung am Minimum: Das erste Minimum der Funktion \(-\sin(x)\) liegt bei \(x = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}57\), wo die Funktion den Wert \(-1\) annimmt. Dies entspricht der Abbildung. 5. Der gesuchte Parameter ist somit \(c = \frac{\pi}{2}\).

\(c = \frac{\pi}{2}\)

- Überlege dir, wie du den Term in der Klammer der Kosinusfunktion ersetzen kannst, um zur Sinusfunktion zu gelangen. - Was muss für die Terme innerhalb der Sinusklammern gelten, damit die Funktionen für alle \(x\) den gleichen Wert liefern? - Achte beim Rechnen mit Brüchen und \(\pi\) auf einen gemeinsamen Nenner.

1. Ausgehend von \(f(x) = \cos(x - c)\) wird die Identität \(\cos(\alpha) = \sin(\alpha + \frac{\pi}{2})\) genutzt. Mit \(\alpha = x - c\) folgt \(f(x) = \sin(x - c + \frac{\pi}{2})\). Um dies in die Form \(\sin(x - c_2)\) zu bringen, setzt man das Argument gleich: \(x - c_2 = x - c + \frac{\pi}{2}\). Durch Auflösen nach \(c_2\) ergibt sich die allgemeine Formel \(c_2 = c - \frac{\pi}{2}\). 2. Einsetzen des Wertes \(c = \frac{3\pi}{4}\) in die hergeleitete Formel: \(c_2 = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4} - \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{4}\).

1. Die Formel lautet \(c_2 = c - \frac{\pi}{2}\). 2. Für \(c = \frac{3\pi}{4}\) ergibt sich \(c_2 = \frac{\pi}{4}\).

- Gehe schrittweise vor und isoliere zunächst den gesamten Klammerausdruck mit dem Sinus. - Eine Hilfsvariable für den Ausdruck in der Klammer kann helfen, die Übersicht zu behalten. - Achte darauf, wie sich der Definitionsbereich durch die Verschiebung in der Klammer verändert. - Überlege dir, bei welchen Winkeln der Sinus genau den Wert \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) annimmt.

1. Isolieren des Sinus-Terms durch Subtraktion von \(\sqrt{2}\) und Division durch 2 ergibt \(\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\). 2. Substitution von \(u = x + \frac{\pi}{3}\). Da \(x \in [0; 2\pi]\), liegt \(u\) im Bereich \([\frac{\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}]\). 3. Bestimmung der Werte für \(u\), für die \(\sin(u) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) gilt: Im Standardintervall sind dies \(u = \frac{5\pi}{4}\) und \(u = \frac{7\pi}{4}\). Beide liegen im substituierten Intervall. 4. Rücksubstitution zur Berechnung von \(x\): \(x_1 = \frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{3} = \frac{15\pi - 4\pi}{12} = \frac{11\pi}{12}\) \(x_2 = \frac{7\pi}{4} - \frac{\pi}{3} = \frac{21\pi - 4\pi}{12} = \frac{17\pi}{12}\)

\(L = \left\{\frac{11\pi}{12}; \frac{17\pi}{12}\right\}\)

- Ein achsensymmetrischer Graph muss bei \(x=0\) ein lokales Extremum (Hoch- oder Tiefpunkt) haben. Was bedeutet das für den Wert der Funktion an dieser Stelle? - Welcher bekannte Funktionstyp (Sinus oder Kosinus) hat natürlicherweise ein Extremum auf der \(y\)-Achse? - Schau dir den Graphen genau an: Welchen Wert hat die Funktion bei \(x=0\)? - Setze \(x=0\) in den Funktionsterm ein und überlege, für welches Argument der Sinus den Wert \(-1\) annimmt.

1. a) Eine Sinusfunktion ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, wenn sie durch die Phasenverschiebung zu einer Kosinusfunktion oder zu deren Spiegelung wird. 2. Aus dem Graphen liest man ab, dass bei \(x = 0\) ein Minimum mit dem Wert \(-1\) liegt. Der Graph ist daher \(y=-\cos(2x)\). 3. Es gilt \(\sin(2x-\frac{\pi}{2})=-\cos(2x)\). 4. Aus \(2(x-c)=2x-2c=2x-\frac{\pi}{2}\) folgt \(2c=\frac{\pi}{2}\) und damit \(c=\frac{\pi}{4}\). 5. b) Allgemein gilt \(\sin(b(x-c))=\sin(bx)\cos(bc)-\cos(bx)\sin(bc)\). Der Term ist genau dann eine gerade Funktion, wenn der Koeffizient des ungeraden Anteils \(\sin(bx)\) verschwindet. Daher muss \(\cos(bc)=0\) gelten, also \(bc=\frac{\pi}{2}+k\pi\) mit \(k\in\mathbb{Z}\). Für \(b\neq 0\) ist damit \(c=\frac{\frac{\pi}{2}+k\pi}{b}\).

a) \(c = \frac{\pi}{4}\) b) Für \(b\neq 0\) ist die Funktion genau dann achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, wenn \(bc = \frac{\pi}{2}+k\pi\) mit \(k\in\mathbb{Z}\) gilt, also \(c=\frac{\frac{\pi}{2}+k\pi}{b}\).