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- Erinnere dich an die Periodizität von Sinus und Cosinus. Was passiert, wenn man ein Vielfaches von \(2\pi\) zum Argument addiert? - Wie hängen Sinus und Cosinus über eine Verschiebung (Phasenverschiebung) zusammen? - Überprüfe die Symmetrieeigenschaften oder nutze die Einheitskreis-Definition für Verschiebungen um \(\frac{\pi}{2}\).

1. Untersuchung von b): \(\sin(2(x + \pi)) = \sin(2x + 2\pi)\). Da die Sinusfunktion eine Periode von \(2\pi\) hat, gilt \(\sin(2x + 2\pi) = \sin(2x)\). Somit ist b) äquivalent zu a). 2. Untersuchung von c) mittels Phasenverschiebung: Es gilt die Identität \(\cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin(\alpha)\). Mit \(\alpha = 2x\) folgt \(\cos(2x - \frac{\pi}{2}) = \sin(2x)\). Somit ist c) äquivalent zu a). 3. Untersuchung von d): Es gilt \(\cos(\alpha + \frac{\pi}{2}) = -\sin(\alpha)\). Mit \(\alpha = 2x\) folgt \(\cos(2x + \frac{\pi}{2}) = -\sin(2x)\). Dieser Term unterscheidet sich durch das Vorzeichen.

d) \(y = \cos\left(2x + \frac{\pi}{2}\right)\)

- Welche Parameter der Funktion beeinflussen die Streckung in y-Richtung und die Verschiebung entlang der y-Achse? Ändern sich diese bei einem Wechsel zwischen Sinus und Kosinus? - Erinnere dich an die Beziehung zwischen der Sinus- und der Kosinusfunktion im Einheitskreis oder im Koordinatensystem. - Wie lässt sich ein Pluszeichen in der Klammer als Differenz schreiben?

1. Identifikation der Parameter, die durch die Umformung unverändert bleiben: Die Amplitude \(a = 2{,}5\) und die vertikale Verschiebung \(d = -1\) werden direkt übernommen. 2. Anwendung des Zusammenhangs \(\cos(\alpha) = \sin(\alpha + \frac{\pi}{2})\) auf den Argumentausdruck \(\alpha = x - \frac{\pi}{4}\). 3. Einsetzen und Vereinfachen des Arguments: \(f(x) = 2{,}5 \cdot \sin(x - \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}) - 1 = 2{,}5 \cdot \sin(x + \frac{\pi}{4}) - 1\). 4. Umformung in die Zielstruktur \(x - c\): Da \(x + \frac{\pi}{4} = x - (-\frac{\pi}{4})\) gilt, ergibt sich der Phasenverschiebungsparameter zu \(c = -\frac{\pi}{4}\).

Eine mögliche Funktionsgleichung ist \(g(x) = 2{,}5 \cdot \sin(x - (-\frac{\pi}{4})) - 1\) bzw. \(g(x) = 2{,}5 \cdot \sin(x + \frac{\pi}{4}) - 1\). Die Parameter sind \(a = 2{,}5\), \(c = -\frac{\pi}{4}\) und \(d = -1\).

- Überlege dir, wie du den Term in der Klammer der Kosinusfunktion ersetzen kannst, um zur Sinusfunktion zu gelangen. - Was muss für die Terme innerhalb der Sinusklammern gelten, damit die Funktionen für alle \(x\) den gleichen Wert liefern? - Achte beim Rechnen mit Brüchen und \(\pi\) auf einen gemeinsamen Nenner.

1. Ausgehend von \(f(x) = \cos(x - c)\) wird die Identität \(\cos(\alpha) = \sin(\alpha + \frac{\pi}{2})\) genutzt. Mit \(\alpha = x - c\) folgt \(f(x) = \sin(x - c + \frac{\pi}{2})\). Um dies in die Form \(\sin(x - c')\) zu bringen, setzt man das Argument gleich: \(x - c' = x - c + \frac{\pi}{2}\). Durch Auflösen nach \(c'\) ergibt sich die allgemeine Formel \(c' = c - \frac{\pi}{2}\). 2. Einsetzen des Wertes \(c = \frac{3\pi}{4}\) in die hergeleitete Formel: \(c' = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4} - \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{4}\).

1. Die Formel lautet \(c' = c - \frac{\pi}{2}\). 2. Für \(c = \frac{3\pi}{4}\) ergibt sich \(c' = \frac{\pi}{4}\).