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- Welcher Parameter steht direkt vor der Sinusfunktion? - Für die Amplitude ist der Betrag dieses Parameters entscheidend.

1. Bei \(f(x)=a\sin(x)\) ist die Amplitude der Betrag des Vorfaktors. 2. Daher ist \(A=|-2|=2\).

\(A=2\)

- Welche Zahl wird unabhängig von \(x\) zum Sinuswert addiert? - Diese Zahl gibt die Höhe der Mittellinie an.

1. In \(g(x)=\sin(x)+d\) bestimmt \(d\) die vertikale Lage der Mittellinie. 2. Hier ist \(d=-3\), also lautet die Mittellinie \(y=-3\).

\(y=-3\)

- Überlege zuerst, wie sich die Streckung und die Spiegelung auf den Koeffizienten vor dem Kosinus auswirken. - Wie beeinflusst eine Verschiebung entlang der \(y\)-Achse den Funktionsterm? - Erinnere dich daran, dass die Amplitude immer ein positiver Wert ist, der die maximale Auslenkung von der Mittellinie beschreibt. - Für den Wertebereich kannst du den kleinstmöglichen und den größtmöglichen Wert der Funktion bestimmen.

1. Anwendung der Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2{,}5\): \(2{,}5\cos(x)\) 2. Berücksichtigung der Spiegelung an der \(x\)-Achse durch ein negatives Vorzeichen: \(-2{,}5\cos(x)\) 3. Durchführung der vertikalen Verschiebung um \(1{,}5\) nach unten: \(g(x) = -2{,}5\cos(x) - 1{,}5\) 4. Die Amplitude \(A\) ist der Betrag des Streckfaktors: \(A = |-2{,}5| = 2{,}5\) 5. Der Wertebereich ergibt sich aus der Mittellinie \(d = -1{,}5\) und der Amplitude: \([-1{,}5 - 2{,}5; -1{,}5 + 2{,}5]\), woraus \(\mathbb{W} = [-4; 1]\) folgt.

Funktionsterm: \(g(x) = -2{,}5\cos(x) - 1{,}5\) Amplitude: \(A = 2{,}5\) Wertebereich: \(\mathbb{W} = [-4; 1]\)

- Schau dir an, welche Zahlen im Funktionsterm neu hinzugekommen sind und an welchen Stellen sie stehen. - Was bewirkt eine Änderung direkt beim \(x\) im Vergleich zu einer Änderung am Ende des Terms? - Die Mittellinie ist die waagerechte Gerade, um die der Graph schwingt. - Hat sich die Höhe der Wellenberge im Vergleich zur Grundfunktion verändert?

1. Analyse des Arguments \((x - \pi)\): Dies entspricht einer Verschiebung des Graphen um \(\pi\) Einheiten in positive \(x\)-Richtung (nach rechts). 2. Analyse des Summanden \(+ 4\): Dies entspricht einer Verschiebung des Graphen um \(4\) Einheiten in positive \(y\)-Richtung (nach oben). 3. Bestimmung der Amplitude \(A\): Da kein Streckfaktor vor dem Sinus steht (bzw. dieser \(1\) ist), gilt \(A = 1\). 4. Bestimmung der Mittellinie: Die vertikale Verschiebung um \(4\) Einheiten nach oben legt die Mittellinie fest, woraus die Gleichung \(y = 4\) folgt.

a) Der Graph von \(h\) entsteht durch eine Verschiebung des Graphen von \(f\) um \(\pi\) nach rechts und um \(4\) nach oben. b) Amplitude: \(A = 1\); Mittellinie: \(y = 4\)

- Wie wirkt sich ein Faktor vor dem Sinus auf die Auslenkung in \(y\)-Richtung aus? - Welches Vorzeichen muss im Argument stehen, wenn der Graph nach links oder rechts verschoben wird? - Was passiert mit dem Funktionsterm bei einer Spiegelung an der \(x\)-Achse? - An welcher Stelle im Funktionsterm wird eine Verschiebung nach oben oder unten berücksichtigt?

1. Für Teilaufgabe a) wird die Funktionsgleichung mit dem Streckungsfaktor multipliziert und die Verschiebung addiert: \(g(x)=5\sin(x)+2\). 2. In Teilaufgabe b) bewirkt die Verschiebung nach rechts eine Ersetzung von \(x\) durch \(x-\frac{\pi}{2}\). Die Spiegelung an der \(x\)-Achse entspricht einem negativen Vorzeichen vor dem Sinus: \(g(x)=-\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)\). 3. Für Teilaufgabe c) wird der Stauchungsfaktor \(0{,}4\) vor den Sinus gesetzt. Die Verschiebung um \(3\) nach links bedeutet eine Ersetzung von \(x\) durch \(x+3\). Die Verschiebung um \(1\) nach unten wird durch \(-1\) berücksichtigt: \(g(x)=0{,}4\sin(x+3)-1\).

a) \(g(x)=5\sin(x)+2\) b) \(g(x)=-\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)\) c) \(g(x)=0{,}4\sin(x+3)-1\)

- Überlege, welcher Parameter die Auslenkung in \(y\)-Richtung und welcher die vertikale Lage des Graphen bestimmt. - Was bedeutet eine Verschiebung in positive \(x\)-Richtung für das Vorzeichen im Argument? - Wie wird eine Spiegelung an der \(x\)-Achse im Funktionsterm sichtbar? - Wie hängt die Amplitude mit dem Betrag des Faktors vor der Kosinusfunktion zusammen?

1. In Teilaufgabe a) entspricht die neue Amplitude dem Faktor \(a=2{,}5\). Die Verschiebung nach unten wird durch \(d=-4\) ausgedrückt: \(g(x)=2{,}5\cos(x)-4\). 2. Für b) führt die Spiegelung zu einem Faktor \(-1\). Die Verschiebung um \(\pi\) nach links erfordert das Argument \(x+\pi\). Die Verschiebung nach oben addiert \(0{,}5\): \(g(x)=-\cos(x+\pi)+0{,}5\). 3. In Teilaufgabe c) ist der Stauchungsfaktor \(a=\frac{1}{3}\). Eine Verschiebung in positive \(x\)-Richtung bedeutet \(x-2\) im Argument. Die Mittellinie \(y=-1\) entspricht einer vertikalen Verschiebung um \(-1\): \(g(x)=\frac{1}{3}\cos(x-2)-1\).

a) \(g(x)=2{,}5\cos(x)-4\) b) \(g(x)=-\cos(x+\pi)+0{,}5\) c) \(g(x)=\frac{1}{3}\cos(x-2)-1\)

- Überlege dir, welche Auswirkung ein Faktor vor dem Funktionswert auf die Höhe der Wellen hat. - Was passiert mit dem Graphen, wenn man einen Wert direkt beim Argument \(x\) multipliziert? - Erinnere dich daran, wie sich eine Addition oder Subtraktion am Ende des Funktionsterms auf die Lage im Koordinatensystem auswirkt. - Welche geometrische Operation bewirkt ein Minuszeichen vor dem gesamten Term?

1. Bei \(f_1(x) = \sin(4x)\) bewirkt der Faktor \(b = 4\) eine Stauchung des Graphen in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{4}\). Die Periode verkürzt sich von \(2\pi\) auf \(\frac{\pi}{2}\). 2. Bei \(f_2(x) = 0{,}2\sin(x) - 5\) bewirkt der Faktor \(a = 0{,}2\) eine Stauchung in \(y\)-Richtung (die Amplitude ist nun \(0{,}2\)). Der Summand \(d = -5\) verschiebt den Graphen um \(5\) Einheiten nach unten. 3. Bei \(f_3(x) = -3\sin(x)\) bewirkt das negative Vorzeichen eine Spiegelung an der \(x\)-Achse. Der Faktor \(3\) führt zu einer Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(3\) (die Amplitude ist \(3\)).

a) Stauchung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{4}\) (Periode \(\frac{\pi}{2}\)). b) Stauchung in \(y\)-Richtung auf die Amplitude \(0{,}2\) und Verschiebung um \(5\) Einheiten nach unten. c) Spiegelung an der \(x\)-Achse und Streckung in \(y\)-Richtung auf die Amplitude \(3\).

- Überlege dir, welche Auswirkung ein Faktor vor dem Sinus oder Kosinus auf die Höhe der Wellen hat. - Was passiert mit dem Graphen, wenn du direkt beim \(x\)-Wert eine Zahl addierst oder subtrahierst? - Erinnere dich daran, wie ein Faktor direkt vor dem \(x\) die Breite einer Periode beeinflusst. - Ein Minuszeichen vor der gesamten Funktion bewirkt eine Umkehrung der Werte an der \(x\)-Achse.

1. Für \(f(x) = 2{,}5\sin(x + 4)\): Der Graph der Sinusfunktion wird mit dem Faktor \(2{,}5\) in \(y\)-Richtung gestreckt (Amplitude ist \(2{,}5\)) und um \(4\) Einheiten nach links verschoben. 2. Für \(g(x) = \cos(0{,}5x) - 1\): Der Graph der Kosinusfunktion wird in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(2\) gestreckt (da \(b = 0{,}5\), ist die neue Periode \(4\pi\)) und um \(1\) Einheit nach unten verschoben. 3. Für \(h(x) = - \sin(3x)\): Der Graph der Sinusfunktion wird an der \(x\)-Achse gespiegelt und in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{3}\) gestaucht (die Periode verkürzt sich auf \(\frac{2}{3}\pi\)).

a) Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(2{,}5\), Verschiebung um \(4\) nach links. b) Streckung in \(x\)-Richtung mit Faktor \(2\), Verschiebung um \(1\) nach unten. c) Spiegelung an der \(x\)-Achse, Stauchung in \(x\)-Richtung mit Faktor \(\frac{1}{3}\).

- Gehe die Transformationen Schritt für Schritt durch und überlege, welcher Parameter in der Form \(a\cos(b(x+c))+d\) jeweils betroffen ist. - Welches Vorzeichen muss \(c\) bei einer Verschiebung nach rechts haben? - Wie wird eine Spiegelung an der \(x\)-Achse im Faktor vor dem Kosinus sichtbar?

1. Die Spiegelung an der \(x\)-Achse und die Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\) führen zum Koeffizienten \(a=-2\): \(-2\cos(x)\). 2. Die Verschiebung um \(\frac{\pi}{2}\) nach rechts wird durch die Ersetzung von \(x\) durch \(x-\frac{\pi}{2}\) im Argument realisiert: \(-2\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)\). 3. Die Verschiebung um \(3\) Einheiten nach oben entspricht einer Addition von \(3\) zum gesamten Term. 4. Der fertige Funktionsterm lautet \(k(x)=-2\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+3\).

\(k(x)=-2\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+3\)

- Überlege, welcher Parameter für die Streckung und Spiegelung in \(y\)-Richtung verantwortlich ist. - Wie wird eine Verschiebung entlang der \(y\)-Achse mathematisch in der Funktionsgleichung ausgedrückt? - Welchen Einfluss hat eine Spiegelung an der \(x\)-Achse auf das Vorzeichen des Streckungsfaktors?

1. Die Spiegelung an der \(x\)-Achse in Kombination mit der Streckung in \(y\)-Richtung um den Faktor \(2{,}5\) legt den Parameter \(a\) fest: \(a = -2{,}5\). 2. Die Verschiebung um \(4\) Einheiten nach unten entspricht einer Addition des Wertes \(-4\) zum Funktionsterm, woraus \(d = -4\) folgt. 3. Die resultierende Funktionsgleichung lautet somit \(h(x) = -2{,}5\sin(x) - 4\).

\(a = -2{,}5\); \(d = -4\); \(h(x) = -2{,}5\sin(x) - 4\)

- Gehe die Parameter in der Funktionsgleichung nacheinander von links nach rechts durch. - Überlege, wie sich ein Faktor innerhalb des Arguments der Kosinusfunktion auf die Periodenlänge und damit auf die Form in \(x\)-Richtung auswirkt. - Unterscheide zwischen Transformationen, die die \(y\)-Werte verändern, und solchen, die die \(x\)-Werte beeinflussen.

1. Der Faktor \(3\) vor dem Kosinus bewirkt eine Streckung des Graphen in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(3\). 2. Der Faktor \(2\) innerhalb des Kosinus-Arguments führt zu einer Stauchung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{2} = 0{,}5\). 3. Der Summand \(+1\) am Ende der Gleichung bewirkt eine Verschiebung des gesamten Graphen um \(1\) Einheit nach oben in positive \(y\)-Richtung.

Der Graph wird mit dem Faktor \(3\) in \(y\)-Richtung gestreckt, in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) gestaucht und um \(1\) Einheit nach oben verschoben.

- Überlege, wie der Faktor vor der Sinusfunktion die Streckung in y-Richtung beeinflusst. - Welche Werte nimmt die einfache Sinusfunktion maximal und minimal an? - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt auf einem Graphen liegt? - Nutze den Einheitskreis oder eine Tabelle für spezielle Sinuswerte, um den Wert an der gegebenen Stelle zu bestimmen.

1. Der Wertebereich einer Funktion \(f(x) = a \cdot \sin x\) wird durch das Intervall \([-|a|; |a|]\) bestimmt. Aus der Bedingung \([-2{,}5; 2{,}5]\) folgt \(|a| = 2{,}5\). Da zusätzlich \(a > 0\) gefordert ist, ergibt sich \(a = 2{,}5\). 2. Zur Bestimmung von \(a\) im Fall b) werden die Koordinaten des Punktes \(P\) in die Funktionsgleichung eingesetzt: \(3\sqrt{2} = a \cdot \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\). 3. Der Wert des Sinus an der Stelle \(\frac{3\pi}{4}\) (entspricht \(135^\circ\)) ist \(\frac{\sqrt{2}}{2}\). 4. Einsetzen und Auflösen nach \(a\): \(3\sqrt{2} = a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\). Durch Division durch \(\sqrt{2}\) erhält man \(3 = \frac{a}{2}\), woraus \(a = 6\) folgt.

a) \(a = 2{,}5\) b) \(a = 6\)

- Wie hängen die Amplitude und der gesamte Schwankungsbereich (Differenz von Maximum und Minimum) zusammen? - Denke daran, dass eine Spiegelung an der \(x\)-Achse den Wertebereich nicht ändert. - Wie kannst du den Kosinuswert eines Winkels bestimmen, der größer als \(\pi\) (\(180^\circ\)) ist? - Setze den gegebenen x-Wert und den Funktionswert in die Gleichung ein und löse die lineare Gleichung.

1. Der Abstand zwischen dem Minimum \(-|k|\) und dem Maximum \(|k|\) einer Funktion \(k \cdot \cos x\) entspricht \(2 \cdot |k|\). Aus \(2 \cdot |k| = 24\) folgt \(|k| = 12\). Somit sind \(k = 12\) und \(k = -12\) die möglichen Lösungen. 2. Für den Fall b) wird die Gleichung \(g\left(\frac{4\pi}{3}\right) = 2\) aufgestellt: \(k \cdot \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) = 2\). 3. Der Winkel \(\frac{4\pi}{3}\) liegt im dritten Quadranten (\(240^\circ\)). Der Kosinuswert ist dort negativ: \(\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -0{,}5\). 4. Einsetzen in die Gleichung: \(k \cdot (-0{,}5) = 2\). 5. Auflösen nach \(k\) ergibt \(k = \frac{2}{-0{,}5} = -4\).

a) \(k = 12\) oder \(k = -12\) b) \(k = -4\)

- Beobachte, welcher Teil des Funktionsterms den gesamten Kosinuswert multipliziert. - Welche Grapheneigenschaften werden dadurch vertikal verändert, welche horizontale Eigenschaft bleibt gleich? - Bearbeite die Punktkoordinaten erst nach dieser Parameterinterpretation.

1. Der Faktor \(4\) streckt den Kosinusgraphen in \(y\)-Richtung mit Faktor \(4\). Daher ist die Amplitude \(A=4\) und der Wertebereich \([-4;4]\). Die Periodenlänge bleibt unverändert. 2. \(y_1=4\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=4\cdot0{,}5=2\). 3. Aus \(-2=4\cos(x_2)\) folgt \(\cos(x_2)=-0{,}5\). Im Intervall \([0;\pi]\) gilt daher \(x_2=\frac{2\pi}{3}\).

a) Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(4\); \(A=4\), Wertebereich \([-4;4]\). b) \(y_1=2\) c) \(x_2=\frac{2\pi}{3}\)

- Ein Faktor vor der gesamten Sinusfunktion verändert die \(y\)-Werte, nicht die \(x\)-Werte. - Überlege deshalb getrennt, was mit maximaler Auslenkung und mit Nullstellen geschieht. - Nutze danach die gegebene Gleichung für die beiden Punktkoordinaten.

1. Der Faktor \(1{,}2\) streckt den Graphen in \(y\)-Richtung mit Faktor \(1{,}2\). Die Amplitude ist \(A=1{,}2\). Weil nur die Funktionswerte multipliziert werden, bleiben die Nullstellen an denselben \(x\)-Stellen wie bei \(y=\sin(x)\). 2. Für \(x=-\frac{\pi}{6}\) gilt \(y_1=1{,}2\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)=1{,}2\cdot(-0{,}5)=-0{,}6\). 3. Aus \(0{,}6=1{,}2\sin(x_2)\) folgt \(\sin(x_2)=0{,}5\). Im angegebenen Intervall ist \(x_2=\frac{\pi}{6}\).

a) Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(1{,}2\); \(A=1{,}2\); die Nullstellen bleiben unverändert. b) \(y_1=-0{,}6\) c) \(x_2=\frac{\pi}{6}\)

- Welcher Bestandteil der Form \(a\sin(x+c)+d\) steuert die Auslenkung in \(y\)-Richtung? - Welches Vorzeichen hat \(c\), wenn der Graph nach links verschoben wird? - Wie wird eine Verschiebung nach unten im Funktionsterm sichtbar?

1. Die Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(a=0{,}75\) führt zum Term \(0{,}75\sin(x)\). 2. In der Form \(a\sin(x+c)+d\) entspricht die Verschiebung um \(\frac{\pi}{6}\) nach links dem Parameter \(c=\frac{\pi}{6}\). Dadurch entsteht \(0{,}75\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\). 3. Die Verschiebung um \(2\) Einheiten nach unten wird durch \(-2\) berücksichtigt. 4. Somit lautet die Funktionsgleichung \(g(x)=0{,}75\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-2\).

\(g(x)=0{,}75\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-2\)

- Welcher Teil eines Terms der Form \(a\cos(bx)\) steuert die vertikale Skalierung? - Eine horizontale Skalierung mit einem Faktor kleiner als \(1\) macht den Graphen schmaler. Wie muss sich dafür das Argument ändern? - Prüfe, ob der Faktor vor \(x\) zum Kehrwert der horizontalen Skalierung passt.

1. Die Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2{,}5\) ergibt den Vorfaktor \(a=2{,}5\). 2. Bei einer horizontalen Skalierung mit dem Faktor \(0{,}8\) wird das Argument zu \(\frac{x}{0{,}8}=1{,}25x\). 3. Damit lautet die resultierende Funktion \(g(x)=2{,}5\cos(1{,}25x)\).

\(g(x)=2{,}5\cos(1{,}25x)\)

- Vergleiche die gegebene Funktion mit der allgemeinen Form \(a\sin(bx)\). - Welcher der Werte beeinflusst die Höhe (Amplitude) des Graphen und welcher die Breite (Periode)? - Erinnere dich daran, dass der Faktor im Inneren der Sinusfunktion indirekt proportional zum Streckfaktor auf der \(x\)-Achse ist.

1. Der Faktor \(a = 5\) vor dem Sinusterm gibt direkt den Streckfaktor in \(y\)-Richtung an. 2. Der Faktor \(b = 0{,}4\) im Argument der Sinusfunktion steht im Zusammenhang mit der Streckung in \(x\)-Richtung. 3. Der Streckfaktor \(k\) in \(x\)-Richtung ist der Kehrwert des Parameters \(b\). 4. Berechnung des Streckfaktors in \(x\)-Richtung: \(k = \frac{1}{0{,}4} = 2{,}5\).

Streckfaktor in \(y\)-Richtung: \(5\); Streckfaktor in \(x\)-Richtung: \(2{,}5\)

- Suche zuerst die Mittellinie der Schwingung, um die vertikale Verschiebung zu bestimmen. - Die Amplitude ist der Abstand von der Mittellinie zu einem Hoch- oder Tiefpunkt. - Vergleiche den Kurvenverlauf mit der Standard-Sinusfunktion \(y = \sin(x)\).

1. Vertikale Verschiebung \(d\) bestimmen: Die Schwingung findet symmetrisch um die Gerade \(y = 0{,}5\) statt; die Mittellinie liegt genau zwischen dem Maximum \(2\) und dem Minimum \(-1\). Also ist \(d = 0{,}5\). 2. Amplitude \(a\) bestimmen: Der maximale Ausschlag von der Mittellinie bis zu einem Extrempunkt beträgt \(2 - 0{,}5 = 1{,}5\). Somit ist \(a = 1{,}5\). 3. Überprüfung der Periode: Eine vollständige Schwingung dauert von \(x=0\) bis \(x=2\) in Einheiten von \(\pi\). Das entspricht \(T = 2\pi\) und passt zur Grundform \(\sin(x)\). 4. Ergebnis: \(h(x) = 1{,}5\sin(x) + 0{,}5\).

\(h(x) = 1{,}5\sin(x) + 0{,}5\)

- Vergleiche die höchsten und tiefsten Punkte beider Graphen. - Haben sich die Stellen, an denen der Graph die x-Achse schneidet, verändert? - Überlege, mit welcher Zahl du die Funktionswerte von \(f\) multiplizieren musst, um auf die Werte von \(g\) zu kommen.

1. Vergleiche die Amplituden: Die Grundfunktion \(f\) hat eine Amplitude von \(1\) (Maximum bei \(y=1\)). Die Funktion \(g\) hat ein Maximum bei \(y=2\) und ein Minimum bei \(y=-2\). 2. Die Amplitude von \(g\) ist also \(2\). Dies entspricht einer Streckung in y-Richtung mit dem Faktor \(2\). 3. Die Nullstellen und die Periode (\(2\pi\)) sind gleich geblieben, es liegt keine Verschiebung vor. 4. Der Funktionsterm lautet \(g(x) = 2\cos(x)\).

Der Graph von \(g\) entsteht durch eine Streckung in y-Richtung mit dem Faktor \(2\). Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = 2\cos(x)\).

- Bestimme zuerst die x-Koordinaten durch Abzählen der Kästchen. Eine Einheit ist hier \(\frac{\pi}{2}\). - Berechne dann den Funktionswert, indem du den x-Wert in die Formel einsetzt. Achte auf die Verschiebung um \(-1\) in y-Richtung. - Kontrolliere, ob deine Ergebnisse zum Verlauf des Graphen im Koordinatensystem passen.

1. Bestimmung der x-Werte anhand der Gittereinheiten (Schrittweite \(\frac{\pi}{2}\)): - \(x_A = 0\) - \(x_B = 1 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}\) - \(x_C = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi\) - \(x_D = 4 \cdot \frac{\pi}{2} = 2\pi\) 2. Berechnung der y-Werte mit \(f(x) = \cos(x) - 1\): - \(y_A = \cos(0) - 1 = 1 - 1 = 0 \implies A(0 \mid 0)\) - \(y_B = \cos(\frac{\pi}{2}) - 1 = 0 - 1 = -1 \implies B(\frac{\pi}{2} \mid -1)\) - \(y_C = \cos(\pi) - 1 = -1 - 1 = -2 \implies C(\pi \mid -2)\) - \(y_D = \cos(2\pi) - 1 = 1 - 1 = 0 \implies D(2\pi \mid 0)\)

\(A(0 \mid 0)\), \(B(\frac{\pi}{2} \mid -1)\), \(C(\pi \mid -2)\) und \(D(2\pi \mid 0)\).

- Welcher Teil der Funktionsgleichung gibt an, wie weit die Welle nach oben oder unten ausschlägt? - Wie hängt der Faktor vor dem \(x\) mit der Länge einer vollständigen Schwingung zusammen? - Überlege dir, was der kleinste und der größte Wert ist, den der Sinus- oder Kosinusteil annehmen kann. - Schau dir im Graphen an, wo die Mittellinie der Schwingung liegt.

1. Analyse der Funktion \(f(x) = 2\sin(3x) - 1\): - Die Amplitude \(a\) entspricht dem Betrag des Vorfaktors: \(a = 2\). - Die Periode \(T\) berechnet sich aus dem Faktor \(b=3\) vor dem \(x\): \(T = \frac{2\pi}{b} = \frac{2\pi}{3} \approx 2{,}09\). - Der Wertebereich ergibt sich aus der vertikalen Verschiebung \(d = -1\) und der Amplitude: \(W = [-1 - 2; -1 + 2] = [-3; 1]\). 2. Analyse der Funktion \(g(x) = 0{,}5\cos(0{,}5x) + 2\): - Die Amplitude ist \(a = 0{,}5\). - Die Periode \(T\) berechnet sich mit \(b=0{,}5\): \(T = \frac{2\pi}{0{,}5} = 4\pi \approx 12{,}57\). - Der Wertebereich ist \(W = [2 - 0{,}5; 2 + 0{,}5] = [1{,}5; 2{,}5]\).

Für \(f\): Amplitude \(2\), Periode \(\frac{2\pi}{3}\), Wertebereich \([-3; 1]\). Für \(g\): Amplitude \(0{,}5\), Periode \(4\pi\), Wertebereich \([1{,}5; 2{,}5]\).

- Welchen Funktionswert hat die reine Kosinusfunktion an der Stelle \(x = 0\)? - Wie verändert ein Faktor vor dem Funktionsterm den Graphen? - Schau dir die höchsten Punkte der Graphen an der Stelle \(x = 0\) an.

1. Grundfunktion erkennen: Die Graphen zeigen den typischen Verlauf einer Kosinusfunktion mit einem Extremwert bei \(x = 0\). 2. Parameter \(a\) interpretieren: Der Parameter \(a\) entspricht der Amplitude (dem maximalen Ausschlag) der Funktion. 3. Werte ablesen: An der Stelle \(x = 0\) lassen sich die Funktionswerte direkt von der \(y\)-Achse ablesen. Diese sind \(0{,}5\), \(1\), \(2\) und \(3\). 4. Ergebnis: Die Funktionenschar lautet \(g_a(x) = a\cos(x)\) mit \(a \in \{0{,}5; 1; 2; 3\}\).

\(g_a(x) = a\cos(x)\) mit \(a \in \{0{,}5; 1; 2; 3\}\)

- Ordne die Transformationen den Bestandteilen der Form \(a\sin(b(x+c))+d\) zu. - Welcher Faktor bestimmt die Amplitude? - Welches Vorzeichen hat \(c\), wenn der Graph nach rechts verschoben wird?

1. Die vertikale Streckung mit dem Faktor \(2{,}5\) ergibt \(2{,}5\sin(x)\). 2. Die Verschiebung um \(1\) Einheit nach oben ergibt \(2{,}5\sin(x)+1\). 3. In der Form \(a\sin(b(x+c))+d\) entspricht eine Verschiebung um \(\pi\) nach rechts dem Parameter \(c=-\pi\). Daher ist \(g(x)=2{,}5\sin(x-\pi)+1\). 4. Die Amplitude ist der Betrag des Faktors vor dem Sinus: \(A=2{,}5\).

Funktionsterm: \(g(x)=2{,}5\sin(x-\pi)+1\) Amplitude: \(2{,}5\)

- Lies bei jeder Reglerstellung dieselben drei Merkmale ab, bevor du eine Regel formulierst. - Vergleiche zuerst zwei positive Werte und danach zwei Werte mit gleichem Betrag, aber unterschiedlichem Vorzeichen. - Wähle für die Kontrollstellung einen von \(0\) verschiedenen Wert, der sich deutlich von den drei Vorgaben unterscheidet.

1. Für \(a=0{,}5\) liest man Maximum \(0{,}5\), Minimum \(-0{,}5\) und einen steigenden Durchgang durch den Ursprung ab. 2. Für \(a=2\) liest man Maximum \(2\), Minimum \(-2\) und ebenfalls einen steigenden Durchgang durch den Ursprung ab. 3. Für \(a=-2\) bleiben Maximum \(2\) und Minimum \(-2\), der Durchgang durch den Ursprung ist jedoch fallend. 4. Daraus folgt \(A=|a|\). Ein negatives \(a\) spiegelt den Graphen an der \(x\)-Achse; ein positives \(a\) behält die Orientierung der Grundfunktion bei. 5. Die vierte Einstellung ist frei wählbar. Beispielsweise liefert \(a=-0{,}7\) die Vorhersage \(A=0{,}7\), Maximum \(0{,}7\), Minimum \(-0{,}7\) und einen fallenden Ursprungsschnitt; die Software bestätigt diese Merkmale.

Für \(a=0{,}5\): Maximum \(0{,}5\), Minimum \(-0{,}5\), Ursprung steigend. Für \(a=2\): Maximum \(2\), Minimum \(-2\), Ursprung steigend. Für \(a=-2\): Maximum \(2\), Minimum \(-2\), Ursprung fallend. Regel: \(A=|a|\); für \(a<0\) wird der Graph an der \(x\)-Achse gespiegelt. Zusätzlich ist ein selbst gewähltes \(a\neq0\) mit korrekter Vorhersage und denselben drei passenden Graphmerkmalen anzugeben.

- Verwende bei allen drei Reglerstellungen dasselbe sichtbare Intervall. - Bestimme \(T\) jeweils als Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden gleichartigen Stellen des Graphen. - Prüfe bei deinem neuen \(b\)-Wert, ob der Abstand der beiden abgelesenen Hochpunkte mit deiner Vorhersage übereinstimmt.

1. Bei \(b=1\) ist auf \([0;2\pi]\) eine vollständige Schwingung sichtbar; \(T=2\pi\). 2. Bei \(b=2\) sind zwei vollständige Schwingungen sichtbar; \(T=\pi\). 3. Bei \(b=3\) sind drei vollständige Schwingungen sichtbar; \(T=\frac{2\pi}{3}\). 4. Mit wachsendem \(b\) wird der Graph in \(x\)-Richtung zusammengedrückt. Allgemein gilt \(T=\frac{2\pi}{b}\). 5. Die Kontrollstellung ist frei. Beispielsweise ergibt \(b=4\) die Vorhersage \(T=\frac{\pi}{2}\); dieser Abstand ist in der Software zwischen aufeinanderfolgenden Hochpunkten ablesbar.

\(b=1\): eine Schwingung, \(T=2\pi\) \(b=2\): zwei Schwingungen, \(T=\pi\) \(b=3\): drei Schwingungen, \(T=\frac{2\pi}{3}\) Zusammenhang: \(T=\frac{2\pi}{b}\). Zusätzlich sind ein selbst gewähltes \(b>0\), die korrekte Vorhersage von \(T\) und die \(x\)-Koordinaten zweier aufeinanderfolgender Hochpunkte mit genau diesem Abstand anzugeben.

- Verfolge bei jeder Einstellung immer denselben charakteristischen Punkttyp: einen ansteigenden Nulldurchgang. - Vergleiche seine neue \(x\)-Koordinate mit \(0\). - Prüfe deine Regel an einem noch nicht untersuchten Reglerwert und vergleiche Vorhersage und abgelesene Koordinate.

1. Für \(c=-\frac{\pi}{2}\) liegt der nächstgelegene ansteigende Nulldurchgang bei \(x=\frac{\pi}{2}\). 2. Für \(c=0\) liegt er bei \(x=0\). 3. Für \(c=\frac{\pi}{3}\) liegt er bei \(x=-\frac{\pi}{3}\). 4. In der Form \(\sin(x+c)\) wird der Graph bei \(c>0\) um \(c\) nach links und bei \(c<0\) um \(|c|\) nach rechts verschoben. 5. Die Kontrollstellung ist frei. Beispielsweise sagt \(c=\frac{\pi}{4}\) einen ansteigenden Nulldurchgang bei \(x=-\frac{\pi}{4}\) voraus; die Software bestätigt diese Lage.

\(c=-\frac{\pi}{2}\): Nulldurchgang bei \(x=\frac{\pi}{2}\) \(c=0\): Nulldurchgang bei \(x=0\) \(c=\frac{\pi}{3}\): Nulldurchgang bei \(x=-\frac{\pi}{3}\) Regel: \(c>0\) verschiebt um \(c\) nach links, \(c<0\) um \(|c|\) nach rechts. Zusätzlich sind ein selbst gewählter \(c\)-Wert sowie eine dazu passende vorhergesagte und abgelesene \(x\)-Koordinate eines ansteigenden Nulldurchgangs anzugeben.

- Lies bei jeder Einstellung dieselben drei Höhen am Graphen ab. - Vergleiche den Abstand zwischen Maximum und Mittellinie über alle drei Einstellungen. - Prüfe bei deiner zusätzlichen Einstellung wieder genau Mittellinie, Maximum und Minimum.

1. Für \(d=-1{,}5\) ist die Mittellinie \(y=-1{,}5\), das Maximum \(-0{,}5\) und das Minimum \(-2{,}5\). 2. Für \(d=0\) ist die Mittellinie \(y=0\), das Maximum \(1\) und das Minimum \(-1\). 3. Für \(d=2\) ist die Mittellinie \(y=2\), das Maximum \(3\) und das Minimum \(1\). 4. Mittellinie, Maximum und Minimum verschieben sich jeweils um denselben Betrag. Die Amplitude bleibt \(1\); auch die Periodenlänge bleibt unverändert. 5. Die Kontrollstellung ist frei. Beispielsweise liefert \(d=-3\) die Vorhersage Mittellinie \(-3\), Maximum \(-2\), Minimum \(-4\); die Software bestätigt diese Werte.

\(d=-1{,}5\): Mittellinie \(-1{,}5\), Maximum \(-0{,}5\), Minimum \(-2{,}5\) \(d=0\): Mittellinie \(0\), Maximum \(1\), Minimum \(-1\) \(d=2\): Mittellinie \(2\), Maximum \(3\), Minimum \(1\) Die vertikale Lage verschiebt sich; Amplitude \(1\) und Periodenlänge bleiben unverändert. Zusätzlich ist eine selbst gewählte \(d\)-Einstellung mit korrekter Vorhersage derselben drei Höhen anzugeben.

- Beginne mit den bekannten Sinuswerten an den fünf charakteristischen Stellen einer Grundperiode. - Überlege, wie der Faktor vor dem Sinus die \(y\)-Werte verändert. - Berücksichtige anschließend die Verschiebung der Mittellinie.

1. Die Sinuswerte an den fünf Stellen sind der Reihe nach \(0,1,0,-1,0\). 2. Durch Multiplikation mit \(2\) und anschließendes Addieren von \(1\) entstehen die Funktionswerte \(1,3,1,-1,1\). 3. Die fünf Punkte sind \((0\mid1)\), \(\left(\frac{\pi}{2}\mid3\right)\), \((\pi\mid1)\), \(\left(\frac{3\pi}{2}\mid-1\right)\) und \((2\pi\mid1)\).

\((0\mid1)\), \(\left(\frac{\pi}{2}\mid3\right)\), \((\pi\mid1)\), \(\left(\frac{3\pi}{2}\mid-1\right)\), \((2\pi\mid1)\)

- Bestimme zuerst, wie der Parameter vor \(x\) die Periodenlänge verändert. - Teile eine Periode in vier gleich lange Abschnitte. - Nutze an diesen Stellen die bekannte Folge der Kosinuswerte über eine Grundperiode.

1. Für \(b=2\) ist die Periodenlänge \(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\). 2. Eine Viertelperiode ist \(\frac{\pi}{4}\). Die fünf \(x\)-Werte sind daher \(0\), \(\frac{\pi}{4}\), \(\frac{\pi}{2}\), \(\frac{3\pi}{4}\) und \(\pi\). 3. Die zugehörigen Kosinuswerte sind \(1,0,-1,0,1\). 4. Die Punkte sind \((0\mid1)\), \(\left(\frac{\pi}{4}\mid0\right)\), \(\left(\frac{\pi}{2}\mid-1\right)\), \(\left(\frac{3\pi}{4}\mid0\right)\) und \((\pi\mid1)\).

\(T=\pi\); Punkte: \((0\mid1)\), \(\left(\frac{\pi}{4}\mid0\right)\), \(\left(\frac{\pi}{2}\mid-1\right)\), \(\left(\frac{3\pi}{4}\mid0\right)\), \((\pi\mid1)\)

- Wie hängen die Amplitude und eine mögliche Spiegelung mit dem Faktor vor dem Sinus zusammen? - Es gibt eine Formel, die den Streckfaktor im Inneren der Sinusfunktion mit der Periodenlänge verknüpft. - Welcher Teil der Funktionsgleichung ist für die vertikale Lage (nach oben oder unten) verantwortlich? - Setze die gefundenen Werte in die allgemeine Form \(a\sin(bx) + d\) ein.

1. Die Amplitude von \(2{,}5\) und die Spiegelung an der \(x\)-Achse bestimmen den Parameter \(a\). Es gilt \(a = -2{,}5\). 2. Die Periode \(p = 4\) bestimmt den Faktor \(b\) im Argument des Sinus. Aus der Formel \(p = \frac{2\pi}{b}\) folgt \(b = \frac{2\pi}{4} = 0{,}5\pi\). 3. Die Verschiebung um \(1\) Einheit nach oben entspricht dem Parameter \(d = +1\). 4. Zusammensetzen der Parameter in die Form \(h(x) = a\sin(bx) + d\) ergibt \(h(x) = -2{,}5\sin(0{,}5\pi x) + 1\).

\(h(x) = -2{,}5\sin(0{,}5\pi x) + 1\) (oder \(h(x) = -2{,}5\sin(\frac{\pi}{2}x) + 1\))

- Achte beim Ablesen der Verschiebung in \(x\)-Richtung darauf, ob der Faktor vor dem \(x\) ausgeklammert wurde. - Bestimme für den Wertebereich jeweils den kleinsten und größten Funktionswert. - Überlege dir am Einheitskreis oder am Graphen, was passiert, wenn man eine Sinuskurve um eine halbe Periode verschiebt.

1. Verschiebung bestimmen: Um die Verschiebung in \(x\)-Richtung abzulesen, muss die Funktionsgleichung in die Form \(f(x) = \sin(b(x - c))\) gebracht werden. Ausklammern ergibt \(f(x) = \sin(2(x - 3))\). Die Verschiebung beträgt somit 3 Einheiten nach rechts. Aussage falsch. 2. Wertebereiche vergleichen: Bei \(h(x) = \sin(x) + 2\) wird der Standard-Wertebereich \([-1; 1]\) um 2 Einheiten nach oben verschoben, woraus \(W_h = [1; 3]\) folgt. Bei \(k(x) = 2\sin(x)\) wird der Wertebereich durch die Amplitude 2 auf \(W_k = [-2; 2]\) gestreckt. Die Wertebereiche sind nicht identisch. Aussage falsch. 3. Identität prüfen: Eine Verschiebung der Sinuskurve um \(\pi\) (eine halbe Periode) nach rechts führt dazu, dass alle Funktionswerte ihr Vorzeichen wechseln. Mathematisch gilt \(\sin(x - \pi) = -\sin(x)\). Somit sind die Graphen identisch. Aussage wahr.

a) Falsch. Korrektur: Der Graph ist um 3 Einheiten nach rechts verschoben, da \(f(x) = \sin(2(x - 3))\). b) Falsch. Korrektur: Der Wertebereich von \(h\) ist \([1; 3]\), der von \(k\) ist \([-2; 2]\). c) Wahr.

- Wann nimmt eine einfache Sinusfunktion ihren ersten maximalen Wert an? - Setze den gesamten Ausdruck in der Klammer gleich dem Wert, an dem der Sinus sein Maximum hat. - Löse die entstandenen Gleichungen nach \(x\) auf. - Vergleiche die beiden Ergebnisse, um zu sehen, welcher Wert kleiner ist.

1. Ein Hochpunkt der Sinusfunktion liegt vor, wenn das Argument des Sinus den Wert \(\frac{\pi}{2}\) (oder \(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\)) annimmt. 2. Für \(f(x)\): \(\frac{1}{2}x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \Rightarrow \frac{1}{2}x = \frac{3\pi}{4} \Rightarrow x_f = \frac{3\pi}{2} = 1{,}5\pi\). 3. Für \(g(x)\): \(\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2} \Rightarrow x - \frac{\pi}{4} = \pi \Rightarrow x_g = \frac{5\pi}{4} = 1{,}25\pi\). 4. Da \(1{,}25\pi < 1{,}5\pi\) ist, erreicht der Graph von \(g\) seinen ersten Hochpunkt im positiven Bereich früher.

Der Graph von \(g\) erreicht seinen ersten Hochpunkt früher. Die \(x\)-Koordinate des ersten Hochpunkts von \(f\) liegt bei \(x = 1{,}5\pi\), die von \(g\) liegt bei \(x = 1{,}25\pi\).

- Trenne die Wirkung des Faktors vor der Sinusfunktion von der Wirkung des Faktors vor \(x\). - Welche Beziehung verbindet \(b\) mit der Periodenlänge? - Nutze für die Punkt- und Gleichungsfragen erst danach die gegebene Funktionsgleichung.

1. Der Faktor \(4\) vor dem Sinus ergibt die Amplitude \(A=4\) und eine Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(4\). 2. Für \(b=0{,}5\) ist \(T=\frac{2\pi}{0{,}5}=4\pi\). Gegenüber der Grundfunktion ist der Graph in \(x\)-Richtung mit Faktor \(2\) gestreckt. 3. Für \(x=\frac{\pi}{3}\) gilt \(y_1=4\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=2\). 4. Aus \(4\sin(0{,}5x)=2\) folgt \(\sin(0{,}5x)=0{,}5\). Im Intervall \(0\le0{,}5x\le2\pi\) erhält man \(0{,}5x=\frac{\pi}{6}\) oder \(\frac{5\pi}{6}\). 5. Daher sind \(x=\frac{\pi}{3}\) und \(x=\frac{5\pi}{3}\).

a) \(A=4\), \(T=4\pi\); Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(4\), in \(x\)-Richtung mit Faktor \(2\). b) \(y_1=2\) c) \(x\in\left\{\frac{\pi}{3};\frac{5\pi}{3}\right\}\)

- Klammere den Faktor vor \(x\) im Argument aus, bevor du die Verschiebung in \(x\)-Richtung abliest. - Ordne die sichtbaren Bestandteile der Form \(a\sin(b(x+c))+d\) den verschiedenen Transformationen zu. - Wie hängt der Parameter \(b\) mit der Streckung oder Stauchung in \(x\)-Richtung zusammen?

1. Um die horizontale Verschiebung korrekt abzulesen, wird der Faktor \(2\) im Argument der Sinusfunktion ausgeklammert: \(f(x) = 0{,}5\sin(2(x + \frac{\pi}{4})) - 1\). 2. Der Faktor \(a = 0{,}5\) bewirkt eine Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\). 3. Der Faktor \(b = 2\) bewirkt eine Stauchung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{2}\). Die Periodenlänge halbiert sich somit auf \(\pi\). 4. Der Term \((x + \frac{\pi}{4})\) entspricht einer Verschiebung um \(\frac{\pi}{4}\) Einheiten nach links. 5. Die Konstante \(d = -1\) bewirkt eine Verschiebung um \(1\) Einheit nach unten.

Der Graph von \(f\) entsteht aus dem Graphen von \(y = \sin(x)\) durch: - Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\). - Stauchung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) (die Periodenlänge beträgt nun \(\pi\)). - Verschiebung um \(\frac{\pi}{4}\) Einheiten nach links. - Verschiebung um \(1\) Einheit nach unten.

- Wie hängen der Parameter \(b\) und die Periodenlänge \(T\) zusammen? - Welche Wirkung haben Spiegelung und Streckung in \(y\)-Richtung auf den Parameter \(a\)? - Welches Vorzeichen hat \(c\) in der Form \(b(x+c)\), wenn der Graph nach links verschoben wird?

1. Die Spiegelung an der \(x\)-Achse und die Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(3\) ergeben \(a=-3\). 2. Die Grundperiode der Kosinusfunktion ist \(2\pi\). Nach der Verdopplung gilt \(T=4\pi\). Aus \(b=\frac{2\pi}{T}\) folgt \(b=\frac{1}{2}\). 3. In der Form \(b(x+c)\) entspricht die Verschiebung um \(\pi\) nach links dem Parameter \(c=\pi\). 4. Die Verschiebung um \(2\) Einheiten nach unten ergibt \(d=-2\). 5. Damit lautet der Funktionsterm \(g(x)=-3\cos\left(\frac{1}{2}(x+\pi)\right)-2\).

\(g(x)=-3\cos\left(\frac{1}{2}(x+\pi)\right)-2\)

- Wie ändert sich das Argument der Funktion, wenn man den Graphen in \(x\)-Richtung streckt? - Was bedeutet eine Spiegelung an der \(x\)-Achse für das Vorzeichen der Funktionswerte? - Führe die Transformationen Schritt für Schritt nacheinander am Funktionsterm durch. - Setze für die Punktprobe die \(x\)-Koordinate in deine gefundene Gleichung ein und rechne den Wert aus.

1. Streckung in \(x\)-Richtung mit Faktor \(k = 4\) bedeutet eine Ersetzung von \(x\) durch \(\frac{1}{k}x\), also \(\cos(\frac{1}{4}x)\) bzw. \(\cos(0{,}25x)\). 2. Die Spiegelung an der \(x\)-Achse entspricht einer Multiplikation des Terms mit \(-1\), was zu \(-\cos(0{,}25x)\) führt. 3. Die Verschiebung um \(\pi\) nach rechts wird durch Ersetzen von \(x\) durch \((x - \pi)\) im aktuellen Argument erreicht: \(h(x) = -\cos(0{,}25(x - \pi))\). 4. Punktprobe für \(P(5\pi \mid 1)\): \(h(5\pi) = -\cos(0{,}25 \cdot (5\pi - \pi)) = -\cos(0{,}25 \cdot 4\pi) = -\cos(\pi)\). 5. Da \(\cos(\pi) = -1\), ergibt sich \(h(5\pi) = -(-1) = 1\). Der Punkt \(P\) liegt auf dem Graphen.

a) \(h(x) = -\cos(0{,}25(x - \pi))\) oder \(h(x) = -\cos(\frac{1}{4}(x - \pi))\) b) Ja, der Punkt \(P(5\pi \mid 1)\) liegt auf dem Graphen, da \(h(5\pi) = 1\) gilt.

- Klammere den Faktor vor \(x\) vollständig aus, bevor du den Phasenparameter abliest. - Trenne die Wirkung von \(b\) auf die Periodenlänge von der Wirkung von \(c\) auf die horizontale Lage. - Löse die Gleichung erst, nachdem du diese beiden Parameterwirkungen festgehalten hast.

1. Aus \(\sin\left(2(x-30^\circ)\right)\) liest man \(b=2\) und \(c=-30^\circ\) ab. 2. Daher beträgt die Periodenlänge \(T=\frac{360^\circ}{2}=180^\circ\). Der Graph ist gegenüber \(y=\sin(x)\) um \(30^\circ\) nach rechts verschoben. 3. Für \(f(x)=0{,}5\) gilt \(2x-60^\circ=30^\circ+k\cdot360^\circ\) oder \(2x-60^\circ=150^\circ+k\cdot360^\circ\). 4. Daraus folgen \(x=45^\circ+k\cdot180^\circ\) bzw. \(x=105^\circ+k\cdot180^\circ\). 5. Im angegebenen Intervall erhält man \(45^\circ,105^\circ,225^\circ,285^\circ\).

a) \(b=2\), \(c=-30^\circ\); \(T=180^\circ\); Verschiebung um \(30^\circ\) nach rechts. b) \(x\in\{45^\circ;105^\circ;225^\circ;285^\circ\}\)

- Lies für jeden Graphen zuerst Mittellinie und Amplitude ab. - Vergleiche anschließend die Perioden mit den Faktoren im Argument. - Der Funktionswert bei \(x=0\) hilft dabei, Sinus- und Kosinusverläufe zu unterscheiden. - Nutze Symmetrie nur dann als Begründung, wenn du die passende Symmetrieart genau benennen kannst.

1. Graph I schwankt zwischen \(0\) und \(-2\); seine Mittellinie ist \(y=-1\), seine Amplitude \(1\) und seine Periode \(T=2\). Bei \(x=0\) durchläuft er die Mittellinie ansteigend. Das passt zu \(C(x)=\sin(\pi x)-1\). 2. Graph II hat die Mittellinie \(y=0\), die Amplitude \(1{,}5\) und die Periode \(T=4\). Er verläuft durch den Ursprung und ist dort ansteigend; außerdem ist er punktsymmetrisch zum Ursprung. Das passt zu \(B(x)=1{,}5\sin(0{,}5\pi x)\). 3. Graph III hat bei \(x=0\) ein Maximum \(1{,}5\) und bei \(x=2\) ein Minimum \(-0{,}5\). Seine Mittellinie ist \(y=0{,}5\), die Amplitude \(1\) und die Periode \(T=4\). Das passt zu \(A(x)=\cos(0{,}5\pi x)+0{,}5\).

Graph I: \(C\) Graph II: \(B\) Graph III: \(A\)

- Schau dir den höchsten Punkt des Graphen an, um die Amplitude zu finden. - Die Periodenlänge ist der Abstand auf der x-Achse, nach dem sich das Muster des Graphen genau wiederholt. - Überlege, wie die Periodenlänge \(p\) mit dem Faktor \(b\) in der Formel \(\frac{2\pi}{p}\) zusammenhängt. - Vergleiche die Weite und die Höhe der beiden Wellen direkt miteinander.

1. Amplitude \(a\) von \(g\): Der maximale Ausschlag (der höchste Punkt des Graphen) liegt bei \(y = 2\), daher ist \(a = 2\). 2. Periodenlängen: Der Graph von \(f\) (gestrichelt) schließt eine vollständige Schwingung zwischen \(x = 0\) und \(x = 6\) ab, also ist \(p_f = 6\). Der Graph von \(g\) (durchgezogen) schließt eine vollständige Schwingung zwischen \(x = 0\) und \(x = 12\) ab, also ist \(p_g = 12\). 3. Parameter \(b\): Es gilt die Formel \(b = \frac{2\pi}{p}\). Für \(f\): \(b_f = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}\). Für \(g\): \(b_g = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}\). 4. Transformationen: Der Graph von \(g\) entsteht aus dem Graphen von \(f\) durch eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\) (da die Amplitude verdoppelt wurde) und eine Streckung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(2\) (da die Periodenlänge verdoppelt wurde).

1. \(a = 2\) 2. \(p_f = 6\); \(p_g = 12\) 3. \(b_f = \frac{\pi}{3}\); \(b_g = \frac{\pi}{6}\) 4. \(g\) ist gegenüber \(f\) in \(y\)-Richtung und in \(x\)-Richtung jeweils um den Faktor \(2\) gestreckt.

- Vergleiche die maximalen und minimalen Funktionswerte (Ausschlag) der Graphen mit den Funktionsgleichungen. - Achte darauf, nach welcher Wegstrecke auf der \(x\)-Achse sich das Muster der Welle wiederholt (Periode). - Prüfe, ob der Graph im Vergleich zur Grundform nach oben oder unten verschoben ist. - Überlege, ob der Graph an der \(x\)-Achse gespiegelt wurde, also ob er bei \(x > 0\) zuerst steigt oder fällt.

Die Zuordnung erfolgt durch den Vergleich der charakteristischen Parameter Amplitude, Periode und Verschiebung mit dem Referenzgraphen \(p(x) = \sin(0{,}5\pi x)\), der eine Amplitude von \(1\) und eine Periode von \(T = \frac{2\pi}{0{,}5\pi} = 4\) besitzt. 1. \(f(x) = 2\sin(0{,}5\pi x)\) gehört zu Graph B. Er geht durch eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\) aus \(p(x)\) hervor (die Amplitude verdoppelt sich). 2. \(g(x) = \sin(0{,}5\pi x) - 1\) gehört zu Graph A. Er entsteht durch eine Verschiebung von \(p(x)\) um eine Einheit nach unten. 3. \(h(x) = \sin(\pi x)\) gehört zu Graph D. Da \(b = \pi\), ist die Periode \(T = \frac{2\pi}{\pi} = 2\). Der Graph ist im Vergleich zu \(p(x)\) in \(x\)-Richtung um den Faktor \(0{,}5\) gestaucht. 4. \(i(x) = - \sin(0{,}5\pi x)\) gehört zu Graph C. Er geht durch eine Spiegelung von \(p(x)\) an der \(x\)-Achse hervor.

1-B: Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\); 2-A: Verschiebung um \(1\) nach unten; 3-D: Stauchung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\); 4-C: Spiegelung an der \(x\)-Achse.

- Wie verändert sich der Faktor vor dem Sinus bei einer Stauchung in \(y\)-Richtung? - Was passiert mit dem Faktor vor \(x\), wenn die Kurve in \(x\)-Richtung gestreckt wird? - Vergleiche bei den drei Graphen Mittellinie, Amplitude und Periodenlänge.

1. Die Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) ergibt den Vorfaktor \(0{,}5\). 2. Die Streckung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(4\) ersetzt \(x\) durch \(\frac{1}{4}x\). Die Verschiebung nach oben ergibt den Summanden \(1\). Somit ist \(g(x)=0{,}5\sin\left(\frac{1}{4}x\right)+1\). 3. Graph \(v\) hat die Amplitude \(2\) und passt daher nicht. Graph \(w\) hat zwar die Amplitude \(0{,}5\) und die Mittellinie \(y=1\), aber die Periode \(2\pi\). Graph \(u\) hat die Mittellinie \(y=1\), die Amplitude \(0{,}5\) und die Periode \(8\pi\). Daher ist Graph \(u\) richtig.

\(g(x)=0{,}5\sin\left(\frac{1}{4}x\right)+1\); Graph \(u\) passt zur Beschreibung.

- Eine Spiegelung an der \(x\)-Achse erreichst du durch ein Minuszeichen vor der gesamten Funktion. - Wenn eine Kurve in \(x\)-Richtung gestaucht wird, wird sie „schneller“. Wie wirkt sich das auf den Wert von \(b\) aus? - Setze deinen berechneten Term für \(x = \frac{\pi}{4}\) ein und achte darauf, ob dein Taschenrechner auf das Bogenmaß (Radiant) eingestellt ist. - Schau im Graphen nach, welcher \(y\)-Wert an der Stelle \(x \approx 0{,}8\) vorliegt.

1. Funktionsterm aufstellen: - Spiegelung an der \(x\)-Achse: \(a = -1\). - Stauchung in \(x\)-Richtung mit Faktor \(0{,}5\): Der Parameter \(b\) ist der Kehrwert des Streckfaktors, also \(b = \frac{1}{0{,}5} = 2\). - Verschiebung nach unten: \(d = -2\). Der Term lautet: \(g(x) = -\cos(2x) - 2\). 2. Funktionswert berechnen: \(g(\frac{\pi}{4}) = -\cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) - 2 = -\cos(\frac{\pi}{2}) - 2\). Da \(\cos(\frac{\pi}{2}) = 0\) ist, folgt: \(g(\frac{\pi}{4}) = 0 - 2 = -2\). 3. Überprüfung am Graphen: Bei \(x = \frac{\pi}{4} \approx 0{,}785\) zeigt der Graph den \(y\)-Wert \(-2\).

Funktionsterm: \(g(x) = -\cos(2x) - 2\) Funktionswert: \(g(\frac{\pi}{4}) = -2\)

- Welche Variable in der allgemeinen Form steht für die Amplitude? - Erinnere dich an die Formel, die die Periode mit dem Faktor \(b\) verknüpft. - Wie beeinflusst die vertikale Verschiebung die Lage der Mittellinie? - Der Wertebereich umfasst alle y-Werte vom tiefsten bis zum höchsten Punkt des Graphen.

1. Bestimmung der Parameter: - Die Amplitude ist \(a = 1{,}5\). - Aus \(T = \pi\) folgt \(b = \frac{2\pi}{T} = 2\). - Die vertikale Verschiebung ist \(d = 0{,}5\). Damit lautet die Funktionsgleichung \(h(x) = 1{,}5\sin(2x) + 0{,}5\). 2. Bestimmung des Wertebereichs: Der minimale Wert ist \(d-a = 0{,}5-1{,}5=-1\), der maximale Wert ist \(d+a = 0{,}5+1{,}5=2\). Somit ist \(W=[-1;2]\). 3. Überprüfung am Graphen: Der Graph schwingt um die Mittellinie \(y=0{,}5\) zwischen \(-1\) und \(2\). Zwei gleichgerichtete Durchgänge durch die Mittellinie liegen um \(\pi\) auseinander. Damit bestätigt der Graph Amplitude, Verschiebung und Periode der Gleichung.

1. \(h(x) = 1{,}5\sin(2x) + 0{,}5\) 2. \(W = [-1; 2]\) 3. Der Graph bestätigt die Mittellinie \(y=0{,}5\), die Extremwerte \(-1\) und \(2\) sowie die Periode \(\pi\).

- Achte auf den höchsten und niedrigsten Punkt der Graphen, um die Amplitude zu bestimmen. - Überprüfe, wo die Mittellinie der Kurve liegt, um eine vertikale Verschiebung zu erkennen. - Bestimme den Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Hochpunkten, um die Periode abzulesen. - Überlege dir, wie sich der Faktor vor dem \( x \) auf die Schnelligkeit der Schwingung auswirkt.

1. Der Graph der Funktion \( f(x) = 2\sin(x) \) entspricht der Kurve \( a \). Die Amplitude ist \( 2 \), was man am maximalen Ausschlag von \( 2 \) Einheiten nach oben und unten (Wertebereich \( [-2; 2] \)) erkennt. 2. Der Graph der Funktion \( g(x) = \sin(x) - 1{,}5 \) entspricht der Kurve \( b \). Hier ist die Sinuskurve um \( 1{,}5 \) Einheiten nach unten verschoben, sodass die Mittellinie bei \( y = -1{,}5 \) liegt. 3. Der Graph der Funktion \( h(x) = \sin(2x) \) entspricht der Kurve \( c \). Die Periode ist hier \( p = \frac{2\pi}{2} = \pi \approx 3{,}14 \). Man erkennt, dass die Kurve nach etwa \( 3{,}1 \) Einheiten auf der \( x \)-Achse eine vollständige Schwingung abgeschlossen hat.

Gleichung 1 gehört zu Graph \(a\), Gleichung 2 zu Graph \(b\) und Gleichung 3 zu Graph \(c\).

- Wo liegt die Mittellinie des Graphen im Vergleich zur ursprünglichen Funktion? - Wie groß ist der maximale Abstand der Kurve von dieser Mittellinie? - Betrachte die Lage der Hochpunkte. Wo liegt der erste Hochpunkt rechts von der \(y\)-Achse normalerweise bei einer Kosinusfunktion?

1. Vertikale Verschiebung: Die Mittellinie des Graphen liegt bei \(y = 1\). Somit wurde der Graph um \(1\) Einheit nach oben verschoben. 2. Vertikale Stauchung: Die Amplitude beträgt \(0{,}5\), also wurde der Graph in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) gestaucht. 3. Horizontale Verschiebung: Das Maximum der Standard-Kosinusfunktion liegt bei \(x = 0\). Hier liegt ein Maximum bei \(x = \frac{\pi}{2}\). Der Graph wurde daher um \(\frac{\pi}{2}\) nach rechts verschoben. 4. Funktionsterm: \(g(x) = 0{,}5\cos(x - \frac{\pi}{2}) + 1\). Äquivalent ist \(g(x) = 0{,}5\sin(x) + 1\).

Der Graph wurde in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) gestaucht, um \(\frac{\pi}{2}\) nach rechts und um \(1\) Einheit nach oben verschoben. Ein passender Funktionsterm ist \(g(x) = 0{,}5\cos(x - \frac{\pi}{2}) + 1\).

- Schau dir nacheinander die verschiedenen Parameter im Funktionsterm an: den Faktor vor der Funktion, den Faktor vor dem \(x\), den Wert in der Klammer und den Summanden am Ende. - Überlege dir für jeden Parameter einzeln, ob er eine Streckung, eine Verschiebung oder eine Spiegelung bewirkt. - Wie hängen die Amplitude und die Periode mit den Parametern im Funktionsterm zusammen? - Achte besonders auf das Vorzeichen in der Klammer bei der Verschiebung in x-Richtung.

1. Der Faktor \(a = 2\) vor dem Sinus bewirkt eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\). Die Amplitude beträgt daher \(2\). 2. Der Faktor \(b = \frac{\pi}{2}\) im Argument verändert die Periode zu \(T = \frac{2\pi}{b} = 4\). Gegenüber der Standard-Sinusfunktion entspricht dies einer Stauchung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{b} = \frac{2}{\pi}\). 3. Der Ausdruck \((x - 1)\) bewirkt eine Verschiebung um \(1\) Einheit nach rechts. 4. Der Summand \(+1\) verschiebt den Graphen um \(1\) Einheit nach oben.

Der Graph von \(g\) entsteht aus dem Graphen von \(f\) durch eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\), eine Stauchung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{2}{\pi}\), eine Verschiebung um \(1\) Einheit nach rechts und eine Verschiebung um \(1\) Einheit nach oben.

- Was bewirkt ein negatives Vorzeichen vor dem gesamten Funktionsterm? - Vergleiche die maximale Auslenkung (Amplitude) des ursprünglichen Graphen mit der des transformierten Graphen. - Schau dir an, wie oft sich das Muster des Graphen auf einem bestimmten Abschnitt wiederholt, um die Änderung der Periode zu verstehen. - Wo liegt die Mittellinie des neuen Graphen im Vergleich zur ursprünglichen x-Achse?

1. Der Faktor \(a = -0{,}5\) bewirkt eine Spiegelung an der \(x\)-Achse und eine Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\). Die neue Amplitude beträgt \(0{,}5\). 2. Der Faktor \(b = \pi\) verändert die Periode zu \(T = \frac{2\pi}{\pi} = 2\). Gegenüber \(f(x)=\cos(x)\) entspricht dies einer Stauchung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{\pi}\). 3. Der Summand \(-2\) verschiebt den Graphen um \(2\) Einheiten nach unten.

Der Graph von \(g\) entsteht durch Spiegelung an der \(x\)-Achse, Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\), Stauchung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{\pi}\) und Verschiebung um \(2\) Einheiten nach unten.

- Trenne zuerst die Rollen von Vorfaktor, Parameter \(b\) und vertikalem Versatz. - Eine vollständige Periode lässt sich in vier gleich lange Abschnitte zerlegen. - Setze die fünf angegebenen \(x\)-Werte in den inneren Winkel ein und nutze die charakteristischen Sinuswerte. - Das Vorzeichen vor dem Sinus entscheidet über die Bewegungsrichtung am ersten Mittellinienschnitt.

1. Aus dem Vorfaktor folgt die Amplitude \(A=2\); die Mittellinie ist \(y=3\). 2. Mit \(b=\frac{\pi}{2}\) ist \(T=\frac{2\pi}{\pi/2}=4\). Eine Viertelperiode hat die Länge \(1\). 3. Für \(x=-1,0,1,2,3\) nimmt der innere Winkel die Werte \(0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi\) an. 4. Daraus folgen die Funktionswerte \(3,1,3,5,3\). Die fünf Punkte sind \((-1\mid3)\), \((0\mid1)\), \((1\mid3)\), \((2\mid5)\) und \((3\mid3)\). 5. Wegen des negativen Vorfaktors bewegt sich der Graph unmittelbar nach \(x=-1\) nach unten; er schneidet die Mittellinie dort fallend.

\(A=2\), Mittellinie \(y=3\), \(T=4\); Punkte: \((-1\mid3)\), \((0\mid1)\), \((1\mid3)\), \((2\mid5)\), \((3\mid3)\); bei \(x=-1\) fallender Mittellinienschnitt.

- Stelle zunächst die vertikale Lage des Zielgraphen ein, bevor du die horizontale Form veränderst. - Vergleiche anschließend den Abstand zweier gleichartiger Extrempunkte. - Nutze für den letzten horizontalen Abgleich einen charakteristischen Mittellinienschnitt. - Bei Teil b) zählen beliebige tatsächlich unterscheidbare Zwischenstellungen, solange die beobachtete Abweichung korrekt beschrieben ist.

1. Am Zielgraphen liest man Maximum \(3\) und Minimum \(-1\). Daraus folgen Amplitude \(2\) und Mittellinie \(1\), also \(a=2\) und \(d=1\). 2. Der Abstand zweier benachbarter Hochpunkte beträgt \(\pi\). Daher ist \(T=\pi\) und \(b=2\). 3. Ein ansteigender Schnitt mit der Mittellinie liegt bei \(x=-\frac{\pi}{4}\). Für positives \(a\) kann daher \(c=\frac{\pi}{4}\) gewählt werden. 4. Eine passende Endstellung ist \(a=2\), \(b=2\), \(c=\frac{\pi}{4}\), \(d=1\). 5. Zwischenstellungen sind nicht eindeutig. Beispielsweise besitzt \(a=2,b=1,c=\frac{\pi}{4},d=1\) die falsche Periodenlänge; \(a=2,b=2,c=0,d=1\) besitzt die falsche horizontale Lage. 6. Beim Einstellen steuert \(a\) vor allem die Amplitude, \(b\) die Periodenlänge, \(c\) die horizontale Verschiebung und \(d\) die Mittellinie.

a) Eine passende Endstellung ist \(a=2\), \(b=2\), \(c=\frac{\pi}{4}\), \(d=1\). b) Mehrere Antworten sind möglich. Beispiel: \(a=2,b=1,c=\frac{\pi}{4},d=1\) — Periode zu lang; \(a=2,b=2,c=0,d=1\) — Graph horizontal falsch verschoben. c) \(a\): Amplitude; \(b\): Periodenlänge; \(c\): horizontale Verschiebung; \(d\): Mittellinie.

- Überlege, wie man die Parameter einer allgemeinen Sinusfunktion \(a\sin(b(x - c))\) interpretiert. - Achte darauf, ob der Faktor \(b\) bereits ausgeklammert wurde oder nicht. - Wie hängen der Streckfaktor in \(x\)-Richtung und die Periode zusammen? - Beachte, dass Verschiebungen, die sich um eine ganze Periode unterscheiden, denselben Graphen liefern.

1. Da beide Funktionen den Faktor \(a=1{,}5\) vor dem Sinus haben, beträgt die Amplitude jeweils \(1{,}5\). Da der Parameter \(b=3\) ist, beträgt die Periode \(T=\frac{2\pi}{3}\). 2. Für \(h(x)\) wird das Argument zu \(3\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\) umgeformt. Daher ist eine Verschiebung um \(\frac{\pi}{3}\) nach rechts möglich. Bei \(k(x)\) ist eine Verschiebung um \(\pi\) nach rechts direkt ablesbar. 3. Die beiden Verschiebungen unterscheiden sich um \(\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\). Dieser Unterschied ist genau eine Periode der beiden Funktionen. Deshalb beschreiben beide Terme denselben Graphen: \(k(x)=1{,}5\sin(3x-3\pi)=1{,}5\sin(3x-\pi-2\pi)=h(x)\). Tatsächlich ist also keiner der beiden Graphen weiter nach rechts verschoben.

1. Amplitude: \(1{,}5\); Periode: \(\frac{2\pi}{3}\). 2. Für \(h\) ist eine Verschiebung um \(\frac{\pi}{3}\) nach rechts möglich; für \(k\) ist eine Verschiebung um \(\pi\) nach rechts direkt ablesbar. 3. Die Graphen sind identisch. Die beiden angegebenen Verschiebungen unterscheiden sich um \(\frac{2\pi}{3}\), also genau um eine Periode.