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- Schau dir an, welche Zahlen im Funktionsterm neu hinzugekommen sind und an welchen Stellen sie stehen. - Was bewirkt eine Änderung direkt beim \(x\) im Vergleich zu einer Änderung am Ende des Terms? - Die Mittellinie ist die waagerechte Gerade, um die der Graph schwingt. - Hat sich die Höhe der Wellenberge im Vergleich zur Grundfunktion verändert?

1. Analyse des Arguments \((x - \pi)\): Dies entspricht einer Verschiebung des Graphen um \(\pi\) Einheiten in positive \(x\)-Richtung (nach rechts). 2. Analyse des Summanden \(+ 4\): Dies entspricht einer Verschiebung des Graphen um \(4\) Einheiten in positive \(y\)-Richtung (nach oben). 3. Bestimmung der Amplitude \(A\): Da kein Streckfaktor vor dem Sinus steht (bzw. dieser \(1\) ist), gilt \(A = 1\). 4. Bestimmung der Mittellinie: Die vertikale Verschiebung um \(4\) Einheiten nach oben legt die Mittellinie fest, woraus die Gleichung \(y = 4\) folgt.

a) Der Graph von \(h\) entsteht durch eine Verschiebung des Graphen von \(f\) um \(\pi\) nach rechts und um \(4\) nach oben. b) Amplitude: \(A = 1\); Mittellinie: \(y = 4\)

- Wie wirkt sich ein Streckungsfaktor in \(y\)-Richtung auf den Funktionsterm aus? - Welches Vorzeichen muss im Argument der Funktion stehen, wenn der Graph nach links oder rechts verschoben wird? - Was passiert mathematisch mit dem Funktionsterm, wenn man einen Graphen an der \(x\)-Achse spiegelt? - An welcher Stelle im Funktionsterm wird eine Verschiebung nach oben oder unten berücksichtigt?

1. Für Teilaufgabe a) wird die Funktionsgleichung mit dem Streckungsfaktor multipliziert und die Verschiebung addiert: \(g(x) = 5\sin(x) + 2\). 2. In Teilaufgabe b) bewirkt die Verschiebung nach rechts eine Ersetzung von \(x\) durch \((x - \frac{\pi}{2})\). Die Spiegelung an der \(x\)-Achse entspricht einem negativen Vorzeichen vor dem gesamten Term: \(g(x) = -\sin(x - \frac{\pi}{2})\). 3. Für Teilaufgabe c) wird der Streckungsfaktor \(0{,}4\) vor den Sinus gesetzt. Die Verschiebung um \(3\) nach links bedeutet eine Ersetzung von \(x\) durch \((x + 3)\). Die Verschiebung um \(1\) nach unten wird als \(-1\) am Ende des Terms angehängt: \(g(x) = 0{,}4\sin(x + 3) - 1\).

a) \(g(x) = 5\sin(x) + 2\) b) \(g(x) = -\sin(x - \frac{\pi}{2})\) c) \(g(x) = 0{,}4\sin(x + 3) - 1\)

- Überlege dir, welche Auswirkung ein Faktor vor dem Funktionswert auf die Höhe der Wellen hat. - Was passiert mit dem Graphen, wenn man einen Wert direkt beim Argument \(x\) multipliziert? - Erinnere dich daran, wie sich eine Addition oder Subtraktion am Ende des Funktionsterms auf die Lage im Koordinatensystem auswirkt. - Welche geometrische Operation bewirkt ein Minuszeichen vor dem gesamten Term?

1. Bei \(f_1(x) = \sin(4x)\) bewirkt der Faktor \(b = 4\) eine Stauchung des Graphen in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{4}\). Die Periode verkürzt sich von \(2\pi\) auf \(\frac{\pi}{2}\). 2. Bei \(f_2(x) = 0{,}2\sin(x) - 5\) bewirkt der Faktor \(a = 0{,}2\) eine Stauchung in \(y\)-Richtung (die Amplitude ist nun \(0{,}2\)). Der Summand \(d = -5\) verschiebt den Graphen um \(5\) Einheiten nach unten. 3. Bei \(f_3(x) = -3\sin(x)\) bewirkt das negative Vorzeichen eine Spiegelung an der \(x\)-Achse. Der Faktor \(3\) führt zu einer Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(3\) (die Amplitude ist \(3\)).

a) Stauchung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{4}\) (Periode \(\frac{\pi}{2}\)). b) Stauchung in \(y\)-Richtung auf die Amplitude \(0{,}2\) und Verschiebung um \(5\) Einheiten nach unten. c) Spiegelung an der \(x\)-Achse und Streckung in \(y\)-Richtung auf die Amplitude \(3\).

- Überlege, welcher Parameter für die Streckung und Spiegelung in \(y\)-Richtung verantwortlich ist. - Wie wird eine Verschiebung entlang der \(y\)-Achse mathematisch in der Funktionsgleichung ausgedrückt? - Welchen Einfluss hat eine Spiegelung an der \(x\)-Achse auf das Vorzeichen des Streckungsfaktors?

1. Die Spiegelung an der \(x\)-Achse in Kombination mit der Streckung in \(y\)-Richtung um den Faktor \(2{,}5\) legt den Parameter \(a\) fest: \(a = -2{,}5\). 2. Die Verschiebung um \(4\) Einheiten nach unten entspricht einer Addition des Wertes \(-4\) zum Funktionsterm, woraus \(d = -4\) folgt. 3. Die resultierende Funktionsgleichung lautet somit \(h(x) = -2{,}5\sin(x) - 4\).

\(a = -2{,}5\); \(d = -4\); \(h(x) = -2{,}5\sin(x) - 4\)

- Welcher Parameter in der allgemeinen Form \(y = a\sin(x - c) + d\) ist für welche Transformation verantwortlich? - Achte besonders auf das Vorzeichen bei der Verschiebung in \(x\)-Richtung. - Wie wirkt sich eine Streckung in \(y\)-Richtung auf den gesamten Funktionsterm aus?

1. Die Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(a = 0{,}75\) führt zum Term \(0{,}75\sin(x)\). 2. Die Verschiebung um \(c = \frac{\pi}{6}\) nach links entspricht einer Ersetzung von \(x\) durch \((x + \frac{\pi}{6})\), woraus der Term \(0{,}75\sin(x + \frac{\pi}{6})\) resultiert. 3. Die Verschiebung um \(d = 2\) Einheiten nach unten wird durch Subtraktion von \(2\) am gesamten Funktionsterm realisiert. 4. Die resultierende Funktionsgleichung lautet somit \(g(x) = 0{,}75\sin(x + \frac{\pi}{6}) - 2\).

\(g(x) = 0{,}75\sin(x + \frac{\pi}{6}) - 2\)

- Welcher Parameter in der allgemeinen Form \(a\cos(bx)\) ist für die Streckung in \(y\)-Richtung verantwortlich? - Wie verändert sich das Argument \(x\), wenn der Graph in horizontaler Richtung gestreckt wird? - Überlege, wie der Streckfaktor in \(x\)-Richtung mit dem Faktor vor dem \(x\) in der Funktionsgleichung zusammenhängt.

1. Die Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(a = 2{,}5\) wird als Koeffizient vor die Funktion gesetzt. 2. Eine Streckung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(k = 0{,}8\) entspricht einer Transformation des Arguments \(x\) zu \(\frac{x}{k}\). 3. Der Parameter \(b\) im Argument der Funktion berechnet sich als Kehrwert des Streckfaktors: \(b = \frac{1}{0{,}8} = 1{,}25\). 4. Durch Einsetzen der Parameter in die allgemeine Form \(g(x) = a\cos(bx)\) ergibt sich die Gleichung \(g(x) = 2{,}5\cos(1{,}25x)\).

\(g(x) = 2{,}5\cos(1{,}25x)\)

- Vergleiche die gegebene Funktion mit der allgemeinen Form \(a\sin(bx)\). - Welcher der Werte beeinflusst die Höhe (Amplitude) des Graphen und welcher die Breite (Periode)? - Erinnere dich daran, dass der Faktor im Inneren der Sinusfunktion indirekt proportional zum Streckfaktor auf der \(x\)-Achse ist.

1. Der Faktor \(a = 5\) vor dem Sinusterm gibt direkt den Streckfaktor in \(y\)-Richtung an. 2. Der Faktor \(b = 0{,}4\) im Argument der Sinusfunktion steht im Zusammenhang mit der Streckung in \(x\)-Richtung. 3. Der Streckfaktor \(k\) in \(x\)-Richtung ist der Kehrwert des Parameters \(b\). 4. Berechnung des Streckfaktors in \(x\)-Richtung: \(k = \frac{1}{0{,}4} = 2{,}5\).

Streckfaktor in \(y\)-Richtung: \(5\); Streckfaktor in \(x\)-Richtung: \(2{,}5\)

- Suche zuerst die Mittellinie der Schwingung, um die vertikale Verschiebung zu bestimmen. - Die Amplitude ist der Abstand von der Mittellinie zu einem Hoch- oder Tiefpunkt. - Vergleiche den Kurvenverlauf mit der Standard-Sinusfunktion \(y = \sin(x)\).

1. Vertikale Verschiebung \(d\) bestimmen: Die Schwingung findet symmetrisch um die Gerade \(y = 0{,}5\) statt; die Mittellinie liegt genau zwischen dem Maximum \(2\) und dem Minimum \(-1\). Also ist \(d = 0{,}5\). 2. Amplitude \(a\) bestimmen: Der maximale Ausschlag von der Mittellinie bis zu einem Extrempunkt beträgt \(2 - 0{,}5 = 1{,}5\). Somit ist \(a = 1{,}5\). 3. Überprüfung der Periode: Eine vollständige Schwingung dauert von \(x=0\) bis \(x=2\) in Einheiten von \(\pi\). Das entspricht \(T = 2\pi\) und passt zur Grundform \(\sin(x)\). 4. Ergebnis: \(h(x) = 1{,}5\sin(x) + 0{,}5\).

\(h(x) = 1{,}5\sin(x) + 0{,}5\)

- Vergleiche die höchsten und tiefsten Punkte beider Graphen. - Haben sich die Stellen, an denen der Graph die x-Achse schneidet, verändert? - Überlege, mit welcher Zahl du die Funktionswerte von \(f\) multiplizieren musst, um auf die Werte von \(g\) zu kommen.

1. Vergleiche die Amplituden: Die Grundfunktion \(f\) hat eine Amplitude von \(1\) (Maximum bei \(y=1\)). Die Funktion \(g\) hat ein Maximum bei \(y=2\) und ein Minimum bei \(y=-2\). 2. Die Amplitude von \(g\) ist also \(2\). Dies entspricht einer Streckung in y-Richtung mit dem Faktor \(2\). 3. Die Nullstellen und die Periode (\(2\pi\)) sind gleich geblieben, es liegt keine Verschiebung vor. 4. Der Funktionsterm lautet \(g(x) = 2\cos(x)\).

Der Graph von \(g\) entsteht durch eine Streckung in y-Richtung mit dem Faktor \(2\). Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = 2\cos(x)\).

- Bestimme zuerst die x-Koordinaten durch Abzählen der Kästchen. Eine Einheit ist hier \(\frac{\pi}{2}\). - Berechne dann den Funktionswert, indem du den x-Wert in die Formel einsetzt. Achte auf die Verschiebung um \(-1\) in y-Richtung. - Kontrolliere, ob deine Ergebnisse zum Verlauf des Graphen im Koordinatensystem passen.

1. Bestimmung der x-Werte anhand der Gittereinheiten (Schrittweite \(\frac{\pi}{2}\)): - \(x_A = 0\) - \(x_B = 1 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}\) - \(x_C = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi\) - \(x_D = 4 \cdot \frac{\pi}{2} = 2\pi\) 2. Berechnung der y-Werte mit \(f(x) = \cos(x) - 1\): - \(y_A = \cos(0) - 1 = 1 - 1 = 0 \implies A(0 \mid 0)\) - \(y_B = \cos(\frac{\pi}{2}) - 1 = 0 - 1 = -1 \implies B(\frac{\pi}{2} \mid -1)\) - \(y_C = \cos(\pi) - 1 = -1 - 1 = -2 \implies C(\pi \mid -2)\) - \(y_D = \cos(2\pi) - 1 = 1 - 1 = 0 \implies D(2\pi \mid 0)\)

\(A(0 \mid 0)\), \(B(\frac{\pi}{2} \mid -1)\), \(C(\pi \mid -2)\) und \(D(2\pi \mid 0)\).

- Welchen Funktionswert hat die reine Kosinusfunktion an der Stelle \(x = 0\)? - Wie verändert ein Faktor vor dem Funktionsterm den Graphen? - Schau dir die höchsten Punkte der Graphen an der Stelle \(x = 0\) an.

1. Grundfunktion erkennen: Die Graphen zeigen den typischen Verlauf einer Kosinusfunktion mit einem Extremwert bei \(x = 0\). 2. Parameter \(a\) interpretieren: Der Parameter \(a\) entspricht der Amplitude (dem maximalen Ausschlag) der Funktion. 3. Werte ablesen: An der Stelle \(x = 0\) lassen sich die Funktionswerte direkt von der \(y\)-Achse ablesen. Diese sind \(0{,}5\), \(1\), \(2\) und \(3\). 4. Ergebnis: Die Funktionenschar lautet \(g_a(x) = a\cos(x)\) mit \(a \in \{0{,}5; 1; 2; 3\}\).

\(g_a(x) = a\cos(x)\) mit \(a \in \{0{,}5; 1; 2; 3\}\)

- Überlege dir Schritt für Schritt, wie jeder Parameter (\(a\), \(b\), \(c\), \(d\)) den Graphen der Funktion \(f(x) = a\sin(b(x - c)) + d\) beeinflusst. - Welcher Teil des Funktionsterms ist für die vertikale Streckung verantwortlich? - Wie ändert sich das Argument der Sinusfunktion bei einer horizontalen Verschiebung?

1. Anwendung der vertikalen Streckung mit Faktor \(a = 2{,}5\): \(2{,}5\sin(x)\) 2. Anwendung der vertikalen Verschiebung um \(d = 1\): \(2{,}5\sin(x) + 1\) 3. Anwendung der horizontalen Verschiebung um \(c = \pi\): \(g(x) = 2{,}5\sin(x - \pi) + 1\) 4. Die Amplitude entspricht dem Betrag des Streckungsfaktors \(a\), also \(A = |2{,}5| = 2{,}5\).

Funktionsterm: \(g(x) = 2{,}5\sin(x - \pi) + 1\) Amplitude: \(2{,}5\)

- Überlege zuerst, wie sich die Streckung und die Spiegelung auf den Koeffizienten vor dem Kosinus auswirken. - Wie beeinflusst eine Verschiebung entlang der \(y\)-Achse den Funktionsterm? - Erinnere dich daran, dass die Amplitude immer ein positiver Wert ist, der die maximale Auslenkung von der Mittellinie beschreibt. - Für den Wertebereich kannst du den kleinstmöglichen und den größtmöglichen Wert der Funktion bestimmen.

1. Anwendung der Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2{,}5\): \(2{,}5\cos(x)\) 2. Berücksichtigung der Spiegelung an der \(x\)-Achse durch ein negatives Vorzeichen: \(-2{,}5\cos(x)\) 3. Durchführung der vertikalen Verschiebung um \(1{,}5\) nach unten: \(g(x) = -2{,}5\cos(x) - 1{,}5\) 4. Die Amplitude \(A\) ist der Betrag des Streckfaktors: \(A = |-2{,}5| = 2{,}5\) 5. Der Wertebereich ergibt sich aus der Mittellinie \(d = -1{,}5\) und der Amplitude: \([-1{,}5 - 2{,}5; -1{,}5 + 2{,}5]\), woraus \(\mathbb{W} = [-4; 1]\) folgt.

Funktionsterm: \(g(x) = -2{,}5\cos(x) - 1{,}5\) Amplitude: \(A = 2{,}5\) Wertebereich: \(\mathbb{W} = [-4; 1]\)

- Überlege dir, welcher Parameter in der allgemeinen Form \(g(x) = a\cos(x - c) + d\) für welche Eigenschaft (Amplitude, Verschiebung, Mittellinie) zuständig ist. - Was bedeutet „positive \(x\)-Richtung“ für das Vorzeichen in der Klammer? - Wenn die Mittellinie nicht mehr bei \(y = 0\) liegt, welche Verschiebung hat dann stattgefunden? - Wie hängen Amplitude und der Faktor vor der Kosinusfunktion zusammen?

1. In Teilaufgabe a) entspricht die neue Amplitude dem Streckfaktor \(a = 2{,}5\). Die Verschiebung nach unten wird durch den Parameter \(d = -4\) ausgedrückt: \(g(x) = 2{,}5\cos(x) - 4\). 2. Für b) führt die Spiegelung zu einem Faktor \(-1\). Die Verschiebung um \(\pi\) nach links erfordert das Argument \((x + \pi)\). Die Verschiebung nach oben addiert den Wert \(0{,}5\): \(g(x) = -\cos(x + \pi) + 0{,}5\). 3. In Teilaufgabe c) ist der Streckfaktor \(a = \frac{1}{3}\). Eine Verschiebung in positive \(x\)-Richtung bedeutet eine Subtraktion im Argument: \((x - 2)\). Eine Mittellinie bei \(y = -1\) entspricht einer vertikalen Verschiebung um \(-1\): \(g(x) = \frac{1}{3}\cos(x - 2) - 1\).

a) \(g(x) = 2{,}5\cos(x) - 4\) b) \(g(x) = -\cos(x + \pi) + 0{,}5\) c) \(g(x) = \frac{1}{3}\cos(x - 2) - 1\)

- Wie hängen die Amplitude und eine mögliche Spiegelung mit dem Faktor vor dem Sinus zusammen? - Es gibt eine Formel, die den Streckfaktor im Inneren der Sinusfunktion mit der Periodenlänge verknüpft. - Welcher Teil der Funktionsgleichung ist für die vertikale Lage (nach oben oder unten) verantwortlich? - Setze die gefundenen Werte in die allgemeine Form \(a\sin(bx) + d\) ein.

1. Die Amplitude von \(2{,}5\) und die Spiegelung an der \(x\)-Achse bestimmen den Parameter \(a\). Es gilt \(a = -2{,}5\). 2. Die Periode \(p = 4\) bestimmt den Faktor \(b\) im Argument des Sinus. Aus der Formel \(p = \frac{2\pi}{b}\) folgt \(b = \frac{2\pi}{4} = 0{,}5\pi\). 3. Die Verschiebung um \(1\) Einheit nach oben entspricht dem Parameter \(d = +1\). 4. Zusammensetzen der Parameter in die Form \(h(x) = a\sin(bx) + d\) ergibt \(h(x) = -2{,}5\sin(0{,}5\pi x) + 1\).

\(h(x) = -2{,}5\sin(0{,}5\pi x) + 1\) (oder \(h(x) = -2{,}5\sin(\frac{\pi}{2}x) + 1\))

- Achte beim Ablesen der Verschiebung in \(x\)-Richtung darauf, ob der Faktor vor dem \(x\) ausgeklammert wurde. - Bestimme für den Wertebereich jeweils den kleinsten und größten Funktionswert. - Überlege dir am Einheitskreis oder am Graphen, was passiert, wenn man eine Sinuskurve um eine halbe Periode verschiebt.

1. Verschiebung bestimmen: Um die Verschiebung in \(x\)-Richtung abzulesen, muss die Funktionsgleichung in die Form \(f(x) = \sin(b(x - c))\) gebracht werden. Ausklammern ergibt \(f(x) = \sin(2(x - 3))\). Die Verschiebung beträgt somit 3 Einheiten nach rechts. Aussage falsch. 2. Wertebereiche vergleichen: Bei \(h(x) = \sin(x) + 2\) wird der Standard-Wertebereich \([-1; 1]\) um 2 Einheiten nach oben verschoben, woraus \(W_h = [1; 3]\) folgt. Bei \(k(x) = 2\sin(x)\) wird der Wertebereich durch die Amplitude 2 auf \(W_k = [-2; 2]\) gestreckt. Die Wertebereiche sind nicht identisch. Aussage falsch. 3. Identität prüfen: Eine Verschiebung der Sinuskurve um \(\pi\) (eine halbe Periode) nach rechts führt dazu, dass alle Funktionswerte ihr Vorzeichen wechseln. Mathematisch gilt \(\sin(x - \pi) = -\sin(x)\). Somit sind die Graphen identisch. Aussage wahr.

a) Falsch. Korrektur: Der Graph ist um 3 Einheiten nach rechts verschoben, da \(f(x) = \sin(2(x - 3))\). b) Falsch. Korrektur: Der Wertebereich von \(h\) ist \([1; 3]\), der von \(k\) ist \([-2; 2]\). c) Wahr.

- Überlege dir, welche Auswirkung ein Faktor vor dem Sinus oder Kosinus auf die Höhe der Wellen hat. - Was passiert mit dem Graphen, wenn du direkt beim \(x\)-Wert eine Zahl addierst oder subtrahierst? - Erinnere dich daran, wie ein Faktor direkt vor dem \(x\) die Breite einer Periode beeinflusst. - Ein Minuszeichen vor der gesamten Funktion bewirkt eine Umkehrung der Werte an der \(x\)-Achse.

1. Für \(f(x) = 2{,}5\sin(x + 4)\): Der Graph der Sinusfunktion wird mit dem Faktor \(2{,}5\) in \(y\)-Richtung gestreckt (Amplitude ist \(2{,}5\)) und um \(4\) Einheiten nach links verschoben. 2. Für \(g(x) = \cos(0{,}5x) - 1\): Der Graph der Kosinusfunktion wird in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(2\) gestreckt (da \(b = 0{,}5\), ist die neue Periode \(4\pi\)) und um \(1\) Einheit nach unten verschoben. 3. Für \(h(x) = - \sin(3x)\): Der Graph der Sinusfunktion wird an der \(x\)-Achse gespiegelt und in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{3}\) gestaucht (die Periode verkürzt sich auf \(\frac{2}{3}\pi\)).

a) Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(2{,}5\), Verschiebung um \(4\) nach links. b) Streckung in \(x\)-Richtung mit Faktor \(2\), Verschiebung um \(1\) nach unten. c) Spiegelung an der \(x\)-Achse, Stauchung in \(x\)-Richtung mit Faktor \(\frac{1}{3}\).

- Gehe die Transformationen Schritt für Schritt durch und notiere dir, welcher Parameter (\(a\), \(b\), \(c\) oder \(d\)) in der allgemeinen Form \(f(x) = a\cos(b(x - c)) + d\) jeweils verändert wird. - Achte besonders auf das Vorzeichen bei Verschiebungen entlang der \(x\)-Achse. - Wie wird eine Spiegelung mathematisch durch ein Vorzeichen ausgedrückt?

1. Die Spiegelung an der \(x\)-Achse und die Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(2\) führen zum Koeffizienten \(a = -2\) vor dem Kosinus: \(-2\cos(x)\). 2. Die Verschiebung um \(\frac{\pi}{2}\) nach rechts wird durch die Ersetzung von \(x\) durch \((x - \frac{\pi}{2})\) im Argument der Funktion realisiert: \(-2\cos(x - \frac{\pi}{2})\). 3. Die Verschiebung um \(3\) Einheiten nach oben entspricht einer Addition von \(d = 3\) zum gesamten Term. 4. Der fertige Funktionsterm lautet somit \(k(x) = -2\cos(x - \frac{\pi}{2}) + 3\).

\(k(x) = -2\cos(x - \frac{\pi}{2}) + 3\)

- Gehe die Parameter in der Funktionsgleichung nacheinander von links nach rechts durch. - Überlege, wie sich ein Faktor innerhalb des Arguments der Kosinusfunktion auf die Periodenlänge und damit auf die Form in \(x\)-Richtung auswirkt. - Unterscheide zwischen Transformationen, die die \(y\)-Werte verändern, und solchen, die die \(x\)-Werte beeinflussen.

1. Der Faktor \(3\) vor dem Kosinus bewirkt eine Streckung des Graphen in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(3\). 2. Der Faktor \(2\) innerhalb des Kosinus-Arguments führt zu einer Stauchung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{2} = 0{,}5\). 3. Der Summand \(+1\) am Ende der Gleichung bewirkt eine Verschiebung des gesamten Graphen um \(1\) Einheit nach oben in positive \(y\)-Richtung.

Der Graph wird mit dem Faktor \(3\) in \(y\)-Richtung gestreckt, in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) gestaucht und um \(1\) Einheit nach oben verschoben.

- Überlege, wie der Faktor vor der Sinusfunktion die Streckung in y-Richtung beeinflusst. - Welche Werte nimmt die einfache Sinusfunktion maximal und minimal an? - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt auf einem Graphen liegt? - Nutze den Einheitskreis oder eine Tabelle für spezielle Sinuswerte, um den Wert an der gegebenen Stelle zu bestimmen.

1. Der Wertebereich einer Funktion \(f(x) = a \cdot \sin x\) wird durch das Intervall \([-|a|; |a|]\) bestimmt. Aus der Bedingung \([-2{,}5; 2{,}5]\) folgt \(|a| = 2{,}5\). Da zusätzlich \(a > 0\) gefordert ist, ergibt sich \(a = 2{,}5\). 2. Zur Bestimmung von \(a\) im Fall b) werden die Koordinaten des Punktes \(P\) in die Funktionsgleichung eingesetzt: \(3\sqrt{2} = a \cdot \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\). 3. Der Wert des Sinus an der Stelle \(\frac{3\pi}{4}\) (entspricht \(135^\circ\)) ist \(\frac{\sqrt{2}}{2}\). 4. Einsetzen und Auflösen nach \(a\): \(3\sqrt{2} = a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\). Durch Division durch \(\sqrt{2}\) erhält man \(3 = \frac{a}{2}\), woraus \(a = 6\) folgt.

a) \(a = 2{,}5\) b) \(a = 6\)

- Wie hängen die Amplitude und der gesamte Schwankungsbereich (Differenz von Maximum und Minimum) zusammen? - Denke daran, dass eine Spiegelung an der \(x\)-Achse den Wertebereich nicht ändert. - Wie kannst du den Kosinuswert eines Winkels bestimmen, der größer als \(\pi\) (\(180^\circ\)) ist? - Setze den gegebenen x-Wert und den Funktionswert in die Gleichung ein und löse die lineare Gleichung.

1. Der Abstand zwischen dem Minimum \(-|k|\) und dem Maximum \(|k|\) einer Funktion \(k \cdot \cos x\) entspricht \(2 \cdot |k|\). Aus \(2 \cdot |k| = 24\) folgt \(|k| = 12\). Somit sind \(k = 12\) und \(k = -12\) die möglichen Lösungen. 2. Für den Fall b) wird die Gleichung \(g\left(\frac{4\pi}{3}\right) = 2\) aufgestellt: \(k \cdot \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) = 2\). 3. Der Winkel \(\frac{4\pi}{3}\) liegt im dritten Quadranten (\(240^\circ\)). Der Kosinuswert ist dort negativ: \(\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -0{,}5\). 4. Einsetzen in die Gleichung: \(k \cdot (-0{,}5) = 2\). 5. Auflösen nach \(k\) ergibt \(k = \frac{2}{-0{,}5} = -4\).

a) \(k = 12\) oder \(k = -12\) b) \(k = -4\)

- Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt auf einem Graphen liegt? - Wie kannst du eine Gleichung der Form \(a\sin(bx) = c\) Schritt für Schritt nach der Sinusfunktion auflösen? - Beachte bei der Suche nach \(x\)-Werten, wie viele Lösungen die Sinusfunktion innerhalb einer Periode für einen bestimmten Wert haben kann. - Hilft es dir, den Ausdruck in der Klammer zuerst als eine einzige Variable zu betrachten?

1. Einsetzen der Abszisse \(x = \frac{\pi}{3}\) in die Funktionsgleichung: \(y_1 = 4\sin(0{,}5 \cdot \frac{\pi}{3}) = 4\sin(\frac{\pi}{6})\). 2. Berechnung des Sinuswertes \(\sin(\frac{\pi}{6}) = 0{,}5\) und Multiplikation: \(y_1 = 4 \cdot 0{,}5 = 2\). 3. Gleichung für Teilaufgabe b) aufstellen: \(4\sin(0{,}5x) = 2\). 4. Umformen der Gleichung: \(\sin(0{,}5x) = 0{,}5\). 5. Substitution \(u = 0{,}5x\). Im Intervall \(0 \le x \le 4\pi\) gilt \(0 \le u \le 2\pi\). Die Lösungen für \(\sin(u) = 0{,}5\) sind \(u_1 = \frac{\pi}{6}\) und \(u_2 = \frac{5\pi}{6}\). 6. Rücksubstitution: \(0{,}5x_1 = \frac{\pi}{6} \implies x_1 = \frac{\pi}{3}\) und \(0{,}5x_2 = \frac{5\pi}{6} \implies x_2 = \frac{5\pi}{3}\).

a) \(y_1 = 2\) b) \(x_1 = \frac{\pi}{3}\) und \(x_2 = \frac{5\pi}{3}\)

- Welche Koordinate eines Punktes entspricht der Abszisse und welche der Ordinate? - Wie gehst du vor, wenn du einen x-Wert kennst und den zugehörigen y-Wert berechnen möchtest? - Was musst du tun, wenn die Gleichung nach der Variable im Argument der Kosinusfunktion aufgelöst werden soll? - Denke daran, dass das Ergebnis im Bogenmaß (mit \(\pi\)) angegeben werden sollte, da das Intervall so vorgegeben ist.

1. Zur Berechnung der Ordinate wird der gegebene \(x\)-Wert in die Funktionsgleichung eingesetzt: \(y_1 = 4\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\). 2. Mit dem Funktionswert \(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 0{,}5\) ergibt sich \(y_1 = 4 \cdot 0{,}5 = 2\). 3. Zur Bestimmung der Abszisse wird der \(y\)-Wert gleich der Funktionsgleichung gesetzt: \(-2 = 4\cos x_2\). 4. Division durch \(4\) führt auf die Gleichung \(\cos x_2 = -0{,}5\). 5. Die Suche nach dem entsprechenden Winkel im Intervall \([0; \pi]\) ergibt die Lösung \(x_2 = \frac{2\pi}{3}\).

a) \(y_1 = 2\) b) \(x_2 = \frac{2\pi}{3}\)

- Kannst du die gegebenen Koordinaten den Variablen \(x\) und \(y\) in der Funktionsgleichung zuordnen? - Welche speziellen Werte der Sinusfunktion kennst du auswendig oder aus der Formelsammlung? - Welche Rechenoperation kehrt die Multiplikation mit \(1{,}2\) um? - Gibt es im angegebenen Intervall vielleicht mehrere Stellen mit demselben Sinuswert, oder ist die Funktion dort eindeutig umkehrbar?

1. Einsetzen der Abszisse \(x = -\frac{\pi}{6}\) in die Gleichung: \(y_1 = 1{,}2\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\). 2. Da \(\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -0{,}5\) ist, folgt \(y_1 = 1{,}2 \cdot (-0{,}5) = -0{,}6\). 3. Gleichsetzen des gegebenen Funktionswertes mit der Gleichung für \(P_2\): \(0{,}6 = 1{,}2\sin x_2\). 4. Umformen der Gleichung durch Division ergibt \(\sin x_2 = \frac{0{,}6}{1{,}2} = 0{,}5\). 5. Im Intervall \([-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\) liefert die Umkehrfunktion des Sinus den Wert \(x_2 = \frac{\pi}{6}\).

a) \(y_1 = -0{,}6\) b) \(x_2 = \frac{\pi}{6}\)

- Achte darauf, den Koeffizienten vor dem \(x\) innerhalb der Klammer auszuklammern, um die tatsächliche Verschiebung in \(x\)-Richtung zu bestimmen. - Überlege dir, wie sich die einzelnen Parameter \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) in der allgemeinen Form \(a\sin(b(x - c)) + d\) auf das Aussehen des Graphen auswirken. - Denke daran, dass ein Wert für \(b\), der größer als 1 ist, den Graphen in horizontaler Richtung „zusammenpresst“.

1. Um die horizontale Verschiebung korrekt abzulesen, wird der Faktor \(2\) im Argument der Sinusfunktion ausgeklammert: \(f(x) = 0{,}5\sin(2(x + \frac{\pi}{4})) - 1\). 2. Der Faktor \(a = 0{,}5\) bewirkt eine Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\). 3. Der Faktor \(b = 2\) bewirkt eine Stauchung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{2}\). Die Periodenlänge halbiert sich somit auf \(\pi\). 4. Der Term \((x + \frac{\pi}{4})\) entspricht einer Verschiebung um \(\frac{\pi}{4}\) Einheiten nach links. 5. Die Konstante \(d = -1\) bewirkt eine Verschiebung um \(1\) Einheit nach unten.

Der Graph von \(f\) entsteht aus dem Graphen von \(y = \sin(x)\) durch: - Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\). - Stauchung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) (die Periodenlänge beträgt nun \(\pi\)). - Verschiebung um \(\frac{\pi}{4}\) Einheiten nach links. - Verschiebung um \(1\) Einheit nach unten.

- Wie hängen der Parameter \(b\) und die Periodenlänge \(T\) zusammen? Nutze die Formel \(b = \frac{2\pi}{T}\). - Eine Spiegelung an der \(x\)-Achse verändert das Vorzeichen des Streckungsfaktors in \(y\)-Richtung. - Achte beim Einsetzen der Verschiebung nach links genau auf das Vorzeichen in der Klammer.

1. Die Spiegelung an der \(x\)-Achse und die Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(3\) ergeben den Parameter \(a = -3\). 2. Die normale Periodenlänge von \(\cos(x)\) ist \(2\pi\). Eine Verdopplung führt zur Periodenlänge \(T = 4\pi\). Aus \(b = \frac{2\pi}{T}\) folgt \(b = \frac{2\pi}{4\pi} = 0{,}5\). 3. Die Verschiebung um \(\pi\) Einheiten nach links bedeutet \(c = -\pi\). In der Form \((x - c)\) ergibt dies \((x - (-\pi)) = (x + \pi)\). 4. Die Verschiebung um \(2\) Einheiten nach unten ergibt den Parameter \(d = -2\). 5. Einsetzen der Parameter in die allgemeine Form liefert \(g(x) = -3\cos(0{,}5(x + \pi)) - 2\).

Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = -3\cos(0{,}5(x + \pi)) - 2\) oder ausmultipliziert \(g(x) = -3\cos(0{,}5x + \frac{\pi}{2}) - 2\).

- Welche Eigenschaften einer periodischen Funktion kannst du direkt aus dem Graphen ablesen, zum Beispiel Amplitude, Periode oder Verschiebung in \(y\)-Richtung? - Wie wirkt sich eine Verschiebung des Graphen nach oben oder unten auf die Funktionsgleichung aus? An welcher Stelle in der Gleichung steht dieser Wert? - Wie hängt die Amplitude mit dem Vorfaktor vor dem Sinus oder Kosinus zusammen? - Wie kannst du die Periode \(p\) aus dem Graphen bestimmen und daraus den Faktor vor dem \(x\) im Argument der Funktion berechnen? - Achte auf den Funktionswert an der Stelle \(x = 0\). Beginnt die Kurve auf der Mittellinie oder an einem Extrempunkt?

1. Zuordnung von Graph I: Der Graph schwankt zwischen den Werten \(y = 0\) und \(y = -2\). Seine Mittellinie liegt daher bei \(y = -1\). Dies bedeutet, dass der Graph um \(1\) Einheit nach unten verschoben ist, was dem Summanden \(-1\) in der Funktionsgleichung entspricht. Die Amplitude beträgt \(1\) und die Periode ist \(p = 2\). Da der Graph bei \(x = 0\) auf der Mittellinie mit einer Steigung nach oben startet, handelt es sich um eine Sinusfunktion mit dem Argument \(\frac{2\pi}{p}x = \pi x\). Dies passt zu \(C(x) = \sin(\pi x) - 1\). Somit gehört Graph I zu \(C(x)\). 2. Zuordnung von Graph II: Dieser Graph verläuft symmetrisch zur \(x\)-Achse, seine Mittellinie liegt also bei \(y = 0\). Die Amplitude beträgt \(1{,}5\). Die Periode beträgt \(p = 4\), was dem Argumentfaktor \(\frac{2\pi}{4} = 0{,}5\pi\) entspricht. Da der Graph im Ursprung bei \((0 \mid 0)\) nach oben startet, handelt es sich um eine Sinusfunktion. Dies passt zu \(B(x) = 1{,}5\sin(0{,}5\pi x)\). Somit gehört Graph II zu \(B(x)\). 3. Zuordnung von Graph III: Der Graph hat bei \(x = 0\) ein Maximum bei \(y = 1{,}5\) und bei \(x = 2\) ein Minimum bei \(y = -0{,}5\). Es handelt sich um eine Kosinusfunktion. Seine Mittellinie liegt bei \(y = 0{,}5\), was dem Summanden \(+0{,}5\) entspricht. Die Amplitude ist \(1\) und die Periode beträgt \(p = 4\), was dem Argumentfaktor \(0{,}5\pi\) entspricht. Dies passt zu \(A(x) = \cos(0{,}5\pi x) + 0{,}5\). Somit gehört Graph III zu \(A(x)\).

Graph I gehört zu \(C(x)\), Graph II gehört zu \(B(x)\), Graph III gehört zu \(A(x)\).

- Schau dir den höchsten Punkt des Graphen an, um die Amplitude zu finden. - Die Periodenlänge ist der Abstand auf der x-Achse, nach dem sich das Muster des Graphen genau wiederholt. - Überlege, wie die Periodenlänge \(p\) mit dem Faktor \(b\) in der Formel \(\frac{2\pi}{p}\) zusammenhängt. - Vergleiche die Weite und die Höhe der beiden Wellen direkt miteinander.

1. Amplitude \(a\) von \(g\): Der maximale Ausschlag (der höchste Punkt des Graphen) liegt bei \(y = 2\), daher ist \(a = 2\). 2. Periodenlängen: Der Graph von \(f\) (gestrichelt) schließt eine vollständige Schwingung zwischen \(x = 0\) und \(x = 6\) ab, also ist \(p_f = 6\). Der Graph von \(g\) (durchgezogen) schließt eine vollständige Schwingung zwischen \(x = 0\) und \(x = 12\) ab, also ist \(p_g = 12\). 3. Parameter \(b\): Es gilt die Formel \(b = \frac{2\pi}{p}\). Für \(f\): \(b_f = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}\). Für \(g\): \(b_g = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}\). 4. Transformationen: Der Graph von \(g\) entsteht aus dem Graphen von \(f\) durch eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\) (da die Amplitude verdoppelt wurde) und eine Streckung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(2\) (da die Periodenlänge verdoppelt wurde).

1. \(a = 2\) 2. \(p_f = 6\); \(p_g = 12\) 3. \(b_f = \frac{\pi}{3}\); \(b_g = \frac{\pi}{6}\) 4. \(g\) ist gegenüber \(f\) in \(y\)-Richtung und in \(x\)-Richtung jeweils um den Faktor \(2\) gestreckt.

- Vergleiche die maximalen und minimalen Funktionswerte (Ausschlag) der Graphen mit den Funktionsgleichungen. - Achte darauf, nach welcher Wegstrecke auf der \(x\)-Achse sich das Muster der Welle wiederholt (Periode). - Prüfe, ob der Graph im Vergleich zur Grundform nach oben oder unten verschoben ist. - Überlege, ob der Graph an der \(x\)-Achse gespiegelt wurde, also ob er bei \(x > 0\) zuerst steigt oder fällt.

Die Zuordnung erfolgt durch den Vergleich der charakteristischen Parameter Amplitude, Periode und Verschiebung mit dem Referenzgraphen \(p(x) = \sin(0{,}5\pi x)\), der eine Amplitude von \(1\) und eine Periode von \(T = \frac{2\pi}{0{,}5\pi} = 4\) besitzt. 1. \(f(x) = 2\sin(0{,}5\pi x)\) gehört zu Graph B. Er geht durch eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\) aus \(p(x)\) hervor (die Amplitude verdoppelt sich). 2. \(g(x) = \sin(0{,}5\pi x) - 1\) gehört zu Graph A. Er entsteht durch eine Verschiebung von \(p(x)\) um eine Einheit nach unten. 3. \(h(x) = \sin(\pi x)\) gehört zu Graph D. Da \(b = \pi\), ist die Periode \(T = \frac{2\pi}{\pi} = 2\). Der Graph ist im Vergleich zu \(p(x)\) in \(x\)-Richtung um den Faktor \(0{,}5\) gestaucht. 4. \(i(x) = - \sin(0{,}5\pi x)\) gehört zu Graph C. Er geht durch eine Spiegelung von \(p(x)\) an der \(x\)-Achse hervor.

1-B: Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\); 2-A: Verschiebung um \(1\) nach unten; 3-D: Stauchung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\); 4-C: Spiegelung an der \(x\)-Achse.

- Wie verändert sich der Term \(\sin(x)\), wenn du die Kurve in \(y\)-Richtung stauchst? - Was passiert mit dem Faktor vor dem \(x\), wenn die Kurve in \(x\)-Richtung gestreckt wird? Wird er größer oder kleiner als \(1\)? - Überprüfe für jeden Graphen die Mittellinie, die Amplitude und die Periodenlänge. - Ein Streckfaktor von \(4\) in \(x\)-Richtung bedeutet, dass die Kurve „viermal so breit“ wird wie die normale Sinuskurve.

1. Eine Stauchung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(0{,}5\) ergibt den Vorfaktor \(0{,}5\). Eine Streckung in \(x\)-Richtung mit Faktor \(4\) ersetzt \(x\) durch \(0{,}25x\). Die Verschiebung nach oben ergibt den Summanden \(1\). Somit ist \(g(x)=0{,}5\sin(0{,}25x)+1\). 2. Graph II hat eine Amplitude von \(2\) und passt daher nicht. Graph III hat zwar Amplitude \(0{,}5\) und Mittellinie \(y=1\), aber die Periode \(2\pi\). Graph I hat die Mittellinie \(y=1\), die Amplitude \(0{,}5\) und die Periode \(8\pi\). Daher ist Graph I richtig.

\(g(x)=0{,}5\sin(0{,}25x)+1\); Graph I passt zur Beschreibung.

- Eine Spiegelung an der \(x\)-Achse erreichst du durch ein Minuszeichen vor der gesamten Funktion. - Wenn eine Kurve in \(x\)-Richtung gestaucht wird, wird sie „schneller“. Wie wirkt sich das auf den Wert von \(b\) aus? - Setze deinen berechneten Term für \(x = \frac{\pi}{4}\) ein und achte darauf, ob dein Taschenrechner auf das Bogenmaß (Radiant) eingestellt ist. - Schau im Graphen nach, welcher \(y\)-Wert an der Stelle \(x \approx 0{,}8\) vorliegt.

1. Funktionsterm aufstellen: - Spiegelung an der \(x\)-Achse: \(a = -1\). - Stauchung in \(x\)-Richtung mit Faktor \(0{,}5\): Der Parameter \(b\) ist der Kehrwert des Streckfaktors, also \(b = \frac{1}{0{,}5} = 2\). - Verschiebung nach unten: \(d = -2\). Der Term lautet: \(g(x) = -\cos(2x) - 2\). 2. Funktionswert berechnen: \(g(\frac{\pi}{4}) = -\cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) - 2 = -\cos(\frac{\pi}{2}) - 2\). Da \(\cos(\frac{\pi}{2}) = 0\) ist, folgt: \(g(\frac{\pi}{4}) = 0 - 2 = -2\). 3. Überprüfung am Graphen: Bei \(x = \frac{\pi}{4} \approx 0{,}785\) zeigt der Graph den \(y\)-Wert \(-2\).

Funktionsterm: \(g(x) = -\cos(2x) - 2\) Funktionswert: \(g(\frac{\pi}{4}) = -2\)

- Welcher Teil der Funktionsgleichung gibt an, wie weit die Welle nach oben oder unten ausschlägt? - Wie hängt der Faktor vor dem \(x\) mit der Länge einer vollständigen Schwingung zusammen? - Überlege dir, was der kleinste und der größte Wert ist, den der Sinus- oder Kosinusteil annehmen kann. - Schau dir im Graphen an, wo die Mittellinie der Schwingung liegt.

1. Analyse der Funktion \(f(x) = 2\sin(3x) - 1\): - Die Amplitude \(a\) entspricht dem Betrag des Vorfaktors: \(a = 2\). - Die Periode \(T\) berechnet sich aus dem Faktor \(b=3\) vor dem \(x\): \(T = \frac{2\pi}{b} = \frac{2\pi}{3} \approx 2{,}09\). - Der Wertebereich ergibt sich aus der vertikalen Verschiebung \(d = -1\) und der Amplitude: \(W = [-1 - 2; -1 + 2] = [-3; 1]\). 2. Analyse der Funktion \(g(x) = 0{,}5\cos(0{,}5x) + 2\): - Die Amplitude ist \(a = 0{,}5\). - Die Periode \(T\) berechnet sich mit \(b=0{,}5\): \(T = \frac{2\pi}{0{,}5} = 4\pi \approx 12{,}57\). - Der Wertebereich ist \(W = [2 - 0{,}5; 2 + 0{,}5] = [1{,}5; 2{,}5]\).

Für \(f\): Amplitude \(2\), Periode \(\frac{2\pi}{3}\), Wertebereich \([-3; 1]\). Für \(g\): Amplitude \(0{,}5\), Periode \(4\pi\), Wertebereich \([1{,}5; 2{,}5]\).

- Welche Variable in der allgemeinen Form steht für die Amplitude? - Erinnere dich an die Formel, die die Periode mit dem Faktor \(b\) verknüpft. - Wie beeinflusst die vertikale Verschiebung die Lage der Mittellinie? - Der Wertebereich umfasst alle y-Werte vom tiefsten bis zum höchsten Punkt des Graphen.

1. Bestimmung der Parameter: - Die Amplitude ist \(a = 1{,}5\). - Aus \(T = \pi\) folgt \(b = \frac{2\pi}{T} = 2\). - Die vertikale Verschiebung ist \(d = 0{,}5\). Damit lautet die Funktionsgleichung \(h(x) = 1{,}5\sin(2x) + 0{,}5\). 2. Bestimmung des Wertebereichs: Der minimale Wert ist \(d-a = 0{,}5-1{,}5=-1\), der maximale Wert ist \(d+a = 0{,}5+1{,}5=2\). Somit ist \(W=[-1;2]\). 3. Überprüfung am Graphen: Der Graph schwingt um die Mittellinie \(y=0{,}5\) zwischen \(-1\) und \(2\). Zwei gleichgerichtete Durchgänge durch die Mittellinie liegen um \(\pi\) auseinander. Damit bestätigt der Graph Amplitude, Verschiebung und Periode der Gleichung.

1. \(h(x) = 1{,}5\sin(2x) + 0{,}5\) 2. \(W = [-1; 2]\) 3. Der Graph bestätigt die Mittellinie \(y=0{,}5\), die Extremwerte \(-1\) und \(2\) sowie die Periode \(\pi\).

- Achte auf den höchsten und niedrigsten Punkt der Graphen, um die Amplitude zu bestimmen. - Überprüfe, wo die Mittellinie der Kurve liegt, um eine vertikale Verschiebung zu erkennen. - Bestimme den Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Hochpunkten, um die Periode abzulesen. - Überlege dir, wie sich der Faktor vor dem \( x \) auf die Schnelligkeit der Schwingung auswirkt.

1. Der Graph der Funktion \( f(x) = 2\sin(x) \) entspricht der Kurve \( a \). Die Amplitude ist \( 2 \), was man am maximalen Ausschlag von \( 2 \) Einheiten nach oben und unten (Wertebereich \( [-2; 2] \)) erkennt. 2. Der Graph der Funktion \( g(x) = \sin(x) - 1{,}5 \) entspricht der Kurve \( b \). Hier ist die Sinuskurve um \( 1{,}5 \) Einheiten nach unten verschoben, sodass die Mittellinie bei \( y = -1{,}5 \) liegt. 3. Der Graph der Funktion \( h(x) = \sin(2x) \) entspricht der Kurve \( c \). Die Periode ist hier \( p = \frac{2\pi}{2} = \pi \approx 3{,}14 \). Man erkennt, dass die Kurve nach etwa \( 3{,}1 \) Einheiten auf der \( x \)-Achse eine vollständige Schwingung abgeschlossen hat.

Gleichung 1 gehört zu Graph \(a\), Gleichung 2 zu Graph \(b\) und Gleichung 3 zu Graph \(c\).

- Wo liegt die Mittellinie des Graphen im Vergleich zur ursprünglichen Funktion? - Wie groß ist der maximale Abstand der Kurve von dieser Mittellinie? - Betrachte die Lage der Hochpunkte. Wo liegt der erste Hochpunkt rechts von der \(y\)-Achse normalerweise bei einer Kosinusfunktion?

1. Vertikale Verschiebung: Die Mittellinie des Graphen liegt bei \(y = 1\). Somit wurde der Graph um \(1\) Einheit nach oben verschoben. 2. Vertikale Stauchung: Die Amplitude beträgt \(0{,}5\), also wurde der Graph in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) gestaucht. 3. Horizontale Verschiebung: Das Maximum der Standard-Kosinusfunktion liegt bei \(x = 0\). Hier liegt ein Maximum bei \(x = \frac{\pi}{2}\). Der Graph wurde daher um \(\frac{\pi}{2}\) nach rechts verschoben. 4. Funktionsterm: \(g(x) = 0{,}5\cos(x - \frac{\pi}{2}) + 1\). Äquivalent ist \(g(x) = 0{,}5\sin(x) + 1\).

Der Graph wurde in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) gestaucht, um \(\frac{\pi}{2}\) nach rechts und um \(1\) Einheit nach oben verschoben. Ein passender Funktionsterm ist \(g(x) = 0{,}5\cos(x - \frac{\pi}{2}) + 1\).

- Schau dir nacheinander die verschiedenen Parameter im Funktionsterm an: den Faktor vor der Funktion, den Faktor vor dem \(x\), den Wert in der Klammer und den Summanden am Ende. - Überlege dir für jeden Parameter einzeln, ob er eine Streckung, eine Verschiebung oder eine Spiegelung bewirkt. - Wie hängen die Amplitude und die Periode mit den Parametern im Funktionsterm zusammen? - Achte besonders auf das Vorzeichen in der Klammer bei der Verschiebung in x-Richtung.

1. Der Faktor \(a = 2\) vor dem Sinus bewirkt eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\). Die Amplitude beträgt daher \(2\). 2. Der Faktor \(b = \frac{\pi}{2}\) im Argument verändert die Periode zu \(T = \frac{2\pi}{b} = 4\). Gegenüber der Standard-Sinusfunktion entspricht dies einer Stauchung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{b} = \frac{2}{\pi}\). 3. Der Ausdruck \((x - 1)\) bewirkt eine Verschiebung um \(1\) Einheit nach rechts. 4. Der Summand \(+1\) verschiebt den Graphen um \(1\) Einheit nach oben.

Der Graph von \(g\) entsteht aus dem Graphen von \(f\) durch eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\), eine Stauchung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{2}{\pi}\), eine Verschiebung um \(1\) Einheit nach rechts und eine Verschiebung um \(1\) Einheit nach oben.

- Was bewirkt ein negatives Vorzeichen vor dem gesamten Funktionsterm? - Vergleiche die maximale Auslenkung (Amplitude) des ursprünglichen Graphen mit der des transformierten Graphen. - Schau dir an, wie oft sich das Muster des Graphen auf einem bestimmten Abschnitt wiederholt, um die Änderung der Periode zu verstehen. - Wo liegt die Mittellinie des neuen Graphen im Vergleich zur ursprünglichen x-Achse?

1. Der Faktor \(a = -0{,}5\) bewirkt eine Spiegelung an der \(x\)-Achse und eine Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\). Die neue Amplitude beträgt \(0{,}5\). 2. Der Faktor \(b = \pi\) verändert die Periode zu \(T = \frac{2\pi}{\pi} = 2\). Gegenüber \(f(x)=\cos(x)\) entspricht dies einer Stauchung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{\pi}\). 3. Der Summand \(-2\) verschiebt den Graphen um \(2\) Einheiten nach unten.

Der Graph von \(g\) entsteht durch Spiegelung an der \(x\)-Achse, Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\), Stauchung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{\pi}\) und Verschiebung um \(2\) Einheiten nach unten.

- Überlege, wie man die Parameter einer allgemeinen Sinusfunktion \(a\sin(b(x - c))\) interpretiert. - Achte darauf, ob der Faktor \(b\) bereits ausgeklammert wurde oder nicht. - Wie hängen der Streckfaktor in \(x\)-Richtung und die Periode zusammen? - Beachte, dass Verschiebungen, die sich um eine ganze Periode unterscheiden, denselben Graphen liefern.

1. Da beide Funktionen den Faktor \(a = 1{,}5\) vor dem Sinus haben, beträgt die Amplitude jeweils \(1{,}5\). Da der Faktor vor dem \(x\) innerhalb des Sinus \(b = 3\) ist, berechnet sich die Periode zu \(T = \frac{2\pi}{b} = \frac{2\pi}{3}\). 2. Für \(h(x)\) wird das Argument zu \(3\left(x - \frac{\pi}{3}\right)\) umgeformt, woraus eine Verschiebung um \(\frac{\pi}{3}\) nach rechts folgt. Bei \(k(x)\) steht der Faktor \(3\) bereits vor der Klammer \((x - \pi)\), sodass man zunächst eine Verschiebung um \(\pi\) nach rechts abliest. 3. Die Verschiebungen unterscheiden sich um \(\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}\). Das ist genau eine Periode der beiden Funktionen. Daher beschreiben beide Terme denselben Graphen: \(k(x) = 1{,}5\sin(3x - 3\pi) = 1{,}5\sin(3x - \pi - 2\pi) = h(x)\). Tatsächlich ist also keiner der beiden Graphen weiter nach rechts verschoben.

1. Amplitude: \(1{,}5\); Periode: \(\frac{2\pi}{3}\). 2. Eine mögliche Verschiebung von \(h\) ist \(\frac{\pi}{3}\) nach rechts. Eine zunächst ablesbare Verschiebung von \(k\) ist \(\pi\) nach rechts; sie unterscheidet sich aber nur um eine ganze Periode von \(\frac{\pi}{3}\). 3. Die Graphen sind identisch. Keiner der Graphen liegt tatsächlich weiter rechts.

- Wann nimmt eine einfache Sinusfunktion ihren ersten maximalen Wert an? - Setze den gesamten Ausdruck in der Klammer gleich dem Wert, an dem der Sinus sein Maximum hat. - Löse die entstandenen Gleichungen nach \(x\) auf. - Vergleiche die beiden Ergebnisse, um zu sehen, welcher Wert kleiner ist.

1. Ein Hochpunkt der Sinusfunktion liegt vor, wenn das Argument des Sinus den Wert \(\frac{\pi}{2}\) (oder \(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\)) annimmt. 2. Für \(f(x)\): \(\frac{1}{2}x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \Rightarrow \frac{1}{2}x = \frac{3\pi}{4} \Rightarrow x_f = \frac{3\pi}{2} = 1{,}5\pi\). 3. Für \(g(x)\): \(\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2} \Rightarrow x - \frac{\pi}{4} = \pi \Rightarrow x_g = \frac{5\pi}{4} = 1{,}25\pi\). 4. Da \(1{,}25\pi < 1{,}5\pi\) ist, erreicht der Graph von \(g\) seinen ersten Hochpunkt im positiven Bereich früher.

Der Graph von \(g\) erreicht seinen ersten Hochpunkt früher. Die \(x\)-Koordinate des ersten Hochpunkts von \(f\) liegt bei \(x = 1{,}5\pi\), die von \(g\) liegt bei \(x = 1{,}25\pi\).

- Wie ändert sich das Argument der Funktion, wenn man den Graphen in \(x\)-Richtung streckt? - Was bedeutet eine Spiegelung an der \(x\)-Achse für das Vorzeichen der Funktionswerte? - Führe die Transformationen Schritt für Schritt nacheinander am Funktionsterm durch. - Setze für die Punktprobe die \(x\)-Koordinate in deine gefundene Gleichung ein und rechne den Wert aus.

1. Streckung in \(x\)-Richtung mit Faktor \(k = 4\) bedeutet eine Ersetzung von \(x\) durch \(\frac{1}{k}x\), also \(\cos(\frac{1}{4}x)\) bzw. \(\cos(0{,}25x)\). 2. Die Spiegelung an der \(x\)-Achse entspricht einer Multiplikation des Terms mit \(-1\), was zu \(-\cos(0{,}25x)\) führt. 3. Die Verschiebung um \(\pi\) nach rechts wird durch Ersetzen von \(x\) durch \((x - \pi)\) im aktuellen Argument erreicht: \(h(x) = -\cos(0{,}25(x - \pi))\). 4. Punktprobe für \(P(5\pi \mid 1)\): \(h(5\pi) = -\cos(0{,}25 \cdot (5\pi - \pi)) = -\cos(0{,}25 \cdot 4\pi) = -\cos(\pi)\). 5. Da \(\cos(\pi) = -1\), ergibt sich \(h(5\pi) = -(-1) = 1\). Der Punkt \(P\) liegt auf dem Graphen.

a) \(h(x) = -\cos(0{,}25(x - \pi))\) oder \(h(x) = -\cos(\frac{1}{4}(x - \pi))\) b) Ja, der Punkt \(P(5\pi \mid 1)\) liegt auf dem Graphen, da \(h(5\pi) = 1\) gilt.