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- Schau dir an, welche Zahlen im Funktionsterm neu hinzugekommen sind und an welchen Stellen sie stehen. - Was bewirkt eine Änderung direkt beim \(x\) im Vergleich zu einer Änderung am Ende des Terms? - Die Mittellinie ist die waagerechte Gerade, um die der Graph schwingt. - Hat sich die Höhe der Wellenberge im Vergleich zur Grundfunktion verändert?

1. Analyse des Arguments \((x - \pi)\): Dies entspricht einer Verschiebung des Graphen um \(\pi\) Einheiten in positive \(x\)-Richtung (nach rechts). 2. Analyse des Summanden \(+ 4\): Dies entspricht einer Verschiebung des Graphen um \(4\) Einheiten in positive \(y\)-Richtung (nach oben). 3. Bestimmung der Amplitude \(A\): Da kein Streckfaktor vor dem Sinus steht (bzw. dieser \(1\) ist), gilt \(A = 1\). 4. Bestimmung der Mittellinie: Die vertikale Verschiebung um \(4\) Einheiten nach oben legt die Mittellinie fest, woraus die Gleichung \(y = 4\) folgt.

a) Der Graph von \(h\) entsteht durch eine Verschiebung des Graphen von \(f\) um \(\pi\) nach rechts und um \(4\) nach oben. b) Amplitude: \(A = 1\); Mittellinie: \(y = 4\)

- Wie wirkt sich ein Streckungsfaktor in \(y\)-Richtung auf den Funktionsterm aus? - Welches Vorzeichen muss im Argument der Funktion stehen, wenn der Graph nach links oder rechts verschoben wird? - Was passiert mathematisch mit dem Funktionsterm, wenn man einen Graphen an der \(x\)-Achse spiegelt? - An welcher Stelle im Funktionsterm wird eine Verschiebung nach oben oder unten berücksichtigt?

1. Für Teilaufgabe a) wird die Funktionsgleichung mit dem Streckungsfaktor multipliziert und die Verschiebung addiert: \(g(x) = 5 \cdot \sin(x) + 2\). 2. In Teilaufgabe b) bewirkt die Verschiebung nach rechts eine Ersetzung von \(x\) durch \((x - \frac{\pi}{2})\). Die Spiegelung an der \(x\)-Achse entspricht einem negativen Vorzeichen vor dem gesamten Term: \(g(x) = -\sin(x - \frac{\pi}{2})\). 3. Für Teilaufgabe c) wird der Streckungsfaktor \(0{,}4\) vor den Sinus gesetzt. Die Verschiebung um \(3\) nach links bedeutet eine Ersetzung von \(x\) durch \((x + 3)\). Die Verschiebung um \(1\) nach unten wird als \(-1\) am Ende des Terms angehängt: \(g(x) = 0{,}4 \cdot \sin(x + 3) - 1\).

a) \(g(x) = 5 \cdot \sin(x) + 2\) b) \(g(x) = -\sin(x - \frac{\pi}{2})\) c) \(g(x) = 0{,}4 \cdot \sin(x + 3) - 1\)

- Überlege dir, welche Auswirkung ein Faktor vor dem Funktionswert auf die Höhe der Wellen hat. - Was passiert mit dem Graphen, wenn man einen Wert direkt beim Argument \(x\) multipliziert? - Erinnere dich daran, wie sich eine Addition oder Subtraktion am Ende des Funktionsterms auf die Lage im Koordinatensystem auswirkt. - Welche geometrische Operation bewirkt ein Minuszeichen vor dem gesamten Term?

1. Bei \(f_1(x) = \sin(4 \cdot x)\) bewirkt der Faktor \(b = 4\) eine Stauchung des Graphen in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{4}\). Die Periode verkürzt sich von \(2\pi\) auf \(\frac{\pi}{2}\). 2. Bei \(f_2(x) = 0{,}2 \cdot \sin(x) - 5\) bewirkt der Faktor \(a = 0{,}2\) eine Stauchung in \(y\)-Richtung (die Amplitude ist nun \(0{,}2\)). Der Summand \(d = -5\) verschiebt den Graphen um \(5\) Einheiten nach unten. 3. Bei \(f_3(x) = -3 \cdot \sin(x)\) bewirkt das negative Vorzeichen eine Spiegelung an der \(x\)-Achse. Der Faktor \(3\) führt zu einer Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(3\) (die Amplitude ist \(3\)).

a) Stauchung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{4}\) (Periode \(\frac{\pi}{2}\)). b) Stauchung in \(y\)-Richtung auf die Amplitude \(0{,}2\) und Verschiebung um \(5\) Einheiten nach unten. c) Spiegelung an der \(x\)-Achse und Streckung in \(y\)-Richtung auf die Amplitude \(3\).

- Wie berechnet man die Periodenlänge einer Sinusfunktion aus dem Faktor vor dem \(x\)? - Welcher Parameter in der allgemeinen Form \(y = a \cdot \sin(b \cdot x)\) ist für die Streckung in \(y\)-Richtung verantwortlich? - Überlege dir, wie sich ein größerer Wert für \(b\) auf die Schnelligkeit der Schwingung auswirkt.

1. Periode von \(f\): Berechnung über \(p = \frac{2\pi}{b}\) mit \(b = 2\) ergibt \(p = \frac{2\pi}{2} = \pi\). Die Aussage ist wahr. 2. Streckung von \(g\): Der Parameter \(a = 4\) vor dem Sinusterm bewirkt eine Streckung in \(y\)-Richtung um den Faktor 4. Die Aussage ist wahr. 3. Periodenvergleich: Die Periode von \(h\) ist \(p_h = \frac{2\pi}{4} = 0{,}5\pi\), die Periode von \(k\) ist \(p_k = \frac{2\pi}{2} = \pi\). Da \(0{,}5\pi < \pi\), hat \(h\) eine kleinere Periode als \(k\). Die Aussage ist falsch.

a) Wahr. b) Wahr. c) Falsch. Korrektur: Die Periode von \(h\) (\(0{,}5\pi\)) ist kleiner als die von \(k\) (\(\pi\)).

- Forme die Gleichung zuerst so um, dass die Sinusfunktion alleine auf einer Seite steht. - Überlege dir, in welchen Quadranten des Einheitskreises der Sinuswert negativ ist. - Nutze die Symmetrie der Sinusfunktion am Einheitskreis, um aus einem bekannten Wert die zweite Lösung im Intervall zu finden.

1. Subtraktion von 12 auf beiden Seiten der Gleichung führt zu \(6 \cdot \sin(x) = -3\). 2. Division durch 6 ergibt die elementare Sinusgleichung \(\sin(x) = -0{,}5\). 3. Unter Berücksichtigung des Einheitskreises und des Intervalls \([0; 2\pi]\) ergeben sich die Lösungen \(x_1 = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}\) und \(x_2 = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}\).

\(x_1 = \frac{7\pi}{6}\); \(x_2 = \frac{11\pi}{6}\)

- Überlege, welcher Parameter für die Streckung und Spiegelung in \(y\)-Richtung verantwortlich ist. - Wie wird eine Verschiebung entlang der vertikalen Achse mathematisch in der Funktionsgleichung ausgedrückt? - Welchen Einfluss hat eine Spiegelung an der \(x\)-Achse auf das Vorzeichen des Streckungsfaktors?

1. Die Spiegelung an der \(x\)-Achse in Kombination mit der Streckung in \(y\)-Richtung um den Faktor \(2{,}5\) legt den Parameter \(a\) fest: \(a = -2{,}5\). 2. Die Verschiebung um \(4\) Einheiten nach unten entspricht einer Addition des Wertes \(-4\) zum Funktionsterm, woraus \(d = -4\) folgt. 3. Die resultierende Funktionsgleichung lautet somit \(h(x) = -2{,}5 \cdot \sin(x) - 4\).

\(a = -2{,}5\); \(d = -4\); \(h(x) = -2{,}5 \cdot \sin(x) - 4\)

- Welcher Teil der Funktionsgleichung beeinflusst die Streckung in \(y\)-Richtung? - Wie hängen der Faktor vor dem \(x\) und die Periodenlänge zusammen? - Überlege, welche kleinsten und größten Werte die Sinusfunktion erreichen kann. - Erinnere dich an die Symmetrieeigenschaften der Grundfunktion \(y = \sin(x)\).

1. Die Amplitude entspricht dem Betrag des Faktors vor dem Sinus: \(A = |2{,}5| = 2{,}5\). 2. Die Periodenlänge \(p\) wird über den Faktor \(b = 0{,}5\) im Argument berechnet: \(p = \frac{2\pi}{b} = \frac{2\pi}{0{,}5} = 4\pi\). 3. Da die Sinusfunktion Werte zwischen \(-1\) und \(1\) annimmt, ergibt sich der Wertebereich durch Multiplikation mit der Amplitude: \(W = [-2{,}5; 2{,}5]\). 4. Aufgrund der Eigenschaft \(\sin(-z) = -\sin(z)\) gilt \(f(-x) = 2{,}5 \cdot \sin(0{,}5 \cdot (-x)) = -2{,}5 \cdot \sin(0{,}5x) = -f(x)\). Der Graph ist somit punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung \((0 \mid 0)\).

Amplitude: \(2{,}5\); Periodenlänge: \(4\pi\); Wertebereich: \(W = [-2{,}5; 2{,}5]\); Symmetrie: punktsymmetrisch zum Ursprung.

- Welcher Parameter in der allgemeinen Form \(y = a \cdot \sin(x - c) + d\) ist für welche Transformation verantwortlich? - Achte besonders auf das Vorzeichen bei der Verschiebung in \(x\)-Richtung. - Wie wirkt sich eine Streckung in \(y\)-Richtung auf den gesamten Funktionsterm aus?

1. Die Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(a = 0{,}75\) führt zum Term \(0{,}75 \cdot \sin(x)\). 2. Die Verschiebung um \(c = \frac{\pi}{6}\) nach links entspricht einer Ersetzung von \(x\) durch \((x + \frac{\pi}{6})\), woraus der Term \(0{,}75 \cdot \sin(x + \frac{\pi}{6})\) resultiert. 3. Die Verschiebung um \(d = 2\) Einheiten nach unten wird durch Subtraktion von \(2\) am gesamten Funktionsterm realisiert. 4. Die resultierende Funktionsgleichung lautet somit \(g(x) = 0{,}75 \cdot \sin(x + \frac{\pi}{6}) - 2\).

\(g(x) = 0{,}75 \cdot \sin(x + \frac{\pi}{6}) - 2\)

- Überlege, wie man eine Kosinusfunktion durch eine Verschiebung in eine Sinusfunktion umwandeln kann. - Achte darauf, dass in der Zielform der Faktor vor dem \(x\) ausgeklammert ist. - Wie hängen die Graphen von Sinus und Kosinus zusammen?

1. Verwendung der Beziehung \(\cos(u) = \sin\left(u + \frac{\pi}{2}\right)\): \(y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)\). 2. Ausklammern des Faktors \(b = 2\) innerhalb des Sinusarguments: \(y = \sin\left(2 \cdot \left(x + \frac{\pi}{8}\right)\right)\). 3. Identifikation der Parameter: \(a = 1\), \(b = 2\) und \(c = \frac{\pi}{8}\).

\(y = \sin\left(2\left(x + \frac{\pi}{8}\right)\right)\)

- Überlege zuerst, wie sich die Streckung und die Spiegelung auf den Koeffizienten vor dem Kosinus auswirken. - Wie beeinflusst eine Verschiebung entlang der \(y\)-Achse den Funktionsterm? - Erinnere dich daran, dass die Amplitude immer ein positiver Wert ist, der die maximale Auslenkung von der Mittellinie beschreibt. - Für den Wertebereich kannst du den kleinstmöglichen und den größtmöglichen Wert der Funktion bestimmen.

1. Anwendung der Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2{,}5\): \(2{,}5 \cdot \cos(x)\) 2. Berücksichtigung der Spiegelung an der \(x\)-Achse durch ein negatives Vorzeichen: \(-2{,}5 \cdot \cos(x)\) 3. Durchführung der vertikalen Verschiebung um \(1{,}5\) nach unten: \(g(x) = -2{,}5 \cdot \cos(x) - 1{,}5\) 4. Die Amplitude \(A\) ist der Betrag des Streckfaktors: \(A = |-2{,}5| = 2{,}5\) 5. Der Wertebereich ergibt sich aus der Mittellinie \(d = -1{,}5\) und der Amplitude: \([-1{,}5 - 2{,}5; -1{,}5 + 2{,}5]\), woraus \(\mathbb{W} = [-4; 1]\) folgt.

Funktionsterm: \(g(x) = -2{,}5 \cdot \cos(x) - 1{,}5\) Amplitude: \(A = 2{,}5\) Wertebereich: \(\mathbb{W} = [-4; 1]\)

- Überlege dir, welcher Parameter in der allgemeinen Form \(g(x) = a \cdot \cos(x - c) + d\) für welche Eigenschaft (Amplitude, Verschiebung, Mittellinie) zuständig ist. - Was bedeutet „positive \(x\)-Richtung“ für das Vorzeichen in der Klammer? - Wenn die Mittellinie nicht mehr bei \(y = 0\) liegt, welche Verschiebung hat dann stattgefunden? - Wie hängen Amplitude und der Faktor vor der Kosinusfunktion zusammen?

1. In Teilaufgabe a) entspricht die neue Amplitude dem Streckfaktor \(a = 2{,}5\). Die Verschiebung nach unten wird durch den Parameter \(d = -4\) ausgedrückt: \(g(x) = 2{,}5 \cdot \cos(x) - 4\). 2. Für b) führt die Spiegelung zu einem Faktor \(-1\). Die Verschiebung um \(\pi\) nach links erfordert das Argument \((x + \pi)\). Die Verschiebung nach oben addiert den Wert \(0{,}5\): \(g(x) = -\cos(x + \pi) + 0{,}5\). 3. In Teilaufgabe c) ist der Streckfaktor \(a = \frac{1}{3}\). Eine Verschiebung in positive \(x\)-Richtung bedeutet eine Subtraktion im Argument: \((x - 2)\). Eine Mittellinie bei \(y = -1\) entspricht einer vertikalen Verschiebung um \(-1\): \(g(x) = \frac{1}{3} \cdot \cos(x - 2) - 1\).

a) \(g(x) = 2{,}5 \cdot \cos(x) - 4\) b) \(g(x) = -\cos(x + \pi) + 0{,}5\) c) \(g(x) = \frac{1}{3} \cdot \cos(x - 2) - 1\)

- Wie hängen die Amplitude und eine mögliche Spiegelung mit dem Faktor vor dem Sinus zusammen? - Es gibt eine Formel, die den Streckfaktor im Inneren der Sinusfunktion mit der Periodenlänge verknüpft. - Welcher Teil der Funktionsgleichung ist für die vertikale Lage (nach oben oder unten) verantwortlich? - Setze die gefundenen Werte in die allgemeine Form \(a \cdot \sin(b \cdot x) + d\) ein.

1. Die Amplitude von \(2{,}5\) und die Spiegelung an der \(x\)-Achse bestimmen den Parameter \(a\). Es gilt \(a = -2{,}5\). 2. Die Periode \(p = 4\) bestimmt den Faktor \(b\) im Argument des Sinus. Aus der Formel \(p = \frac{2\pi}{b}\) folgt \(b = \frac{2\pi}{4} = 0{,}5\pi\). 3. Die Verschiebung um \(1\) Einheit nach oben entspricht dem Parameter \(d = +1\). 4. Zusammensetzen der Parameter in die Form \(h(x) = a \cdot \sin(b \cdot x) + d\) ergibt \(h(x) = -2{,}5 \cdot \sin(0{,}5\pi \cdot x) + 1\).

\(h(x) = -2{,}5 \cdot \sin(0{,}5\pi \cdot x) + 1\) (oder \(h(x) = -2{,}5 \cdot \sin(\frac{\pi}{2} \cdot x) + 1\))

- Achte beim Ablesen der Verschiebung in \(x\)-Richtung darauf, ob der Faktor vor dem \(x\) ausgeklammert wurde. - Bestimme für den Wertebereich jeweils den kleinsten und größten Funktionswert. - Überlege dir am Einheitskreis oder am Graphen, was passiert, wenn man eine Sinuskurve um eine halbe Periode verschiebt.

1. Verschiebung bestimmen: Um die Verschiebung in \(x\)-Richtung abzulesen, muss die Funktionsgleichung in die Form \(f(x) = \sin(b \cdot (x - c))\) gebracht werden. Ausklammern ergibt \(f(x) = \sin(2 \cdot (x - 3))\). Die Verschiebung beträgt somit 3 Einheiten nach rechts. Aussage falsch. 2. Wertebereiche vergleichen: Bei \(h(x) = \sin(x) + 2\) wird der Standard-Wertebereich \([-1; 1]\) um 2 Einheiten nach oben verschoben, woraus \(W_h = [1; 3]\) folgt. Bei \(k(x) = 2 \cdot \sin(x)\) wird der Wertebereich durch die Amplitude 2 auf \(W_k = [-2; 2]\) gestreckt. Die Wertebereiche sind nicht identisch. Aussage falsch. 3. Identität prüfen: Eine Verschiebung der Sinuskurve um \(\pi\) (eine halbe Periode) nach rechts führt dazu, dass alle Funktionswerte ihr Vorzeichen wechseln. Mathematisch gilt \(\sin(x - \pi) = -\sin(x)\). Somit sind die Graphen identisch. Aussage wahr.

a) Falsch. Korrektur: Der Graph ist um 3 Einheiten nach rechts verschoben, da \(f(x) = \sin(2(x - 3))\). b) Falsch. Korrektur: Der Wertebereich von \(h\) ist \([1; 3]\), der von \(k\) ist \([-2; 2]\). c) Wahr.

- Überlege, wie man die Parameter einer allgemeinen Sinusfunktion \(a \cdot \sin(b(x - c))\) interpretiert. - Achte darauf, ob der Faktor \(b\) bereits ausgeklammert wurde oder nicht. - Wie hängen der Streckfaktor in \(x\)-Richtung und die Periode zusammen? - Was bedeutet ein negativer Wert für \(c\) in der Form \((x - c)\) für die Verschiebung?

1. Da beide Funktionen den Faktor \(a = 1{,}5\) vor dem Sinus haben, beträgt die Amplitude jeweils \(1{,}5\). Da der Faktor vor der Klammer bzw. vor dem \(x\) innerhalb des Sinus \(b = 3\) ist, berechnet sich die Periode zu \(T = \frac{2\pi}{b} = \frac{2\pi}{3}\). 2. Für \(h(x)\) wird das Argument zu \(3(x - \frac{\pi}{3})\) umgeformt, woraus eine Verschiebung um \(\frac{\pi}{3}\) nach rechts folgt. Bei \(k(x)\) steht der Faktor \(3\) bereits vor der Klammer \((x - \pi)\), die Verschiebung beträgt also \(\pi\) nach rechts. 3. Da \(\pi > \frac{\pi}{3}\) gilt, ist der Graph von \(k\) weiter nach rechts verschoben als der Graph von \(h\).

1. Amplitude: \(1{,}5\); Periode: \(\frac{2\pi}{3}\). 2. Verschiebung von \(h\): \(\frac{\pi}{3}\) nach rechts; Verschiebung von \(k\): \(\pi\) nach rechts. 3. Der Graph von \(k\) ist weiter nach rechts verschoben.

- Was lässt sich aus dem vertikalen Abstand der beiden Punkte über die Amplitude und die Mittellinie sagen? - Wie viel einer vollen Periode ist durch den horizontalen Abstand zwischen einem Tiefpunkt und dem nächsten Hochpunkt abgedeckt? - In welchem Zusammenhang steht der Parameter \(b\) zur Periodenlänge? - Wo müsste die Kurve die Mittellinie mit positiver Steigung schneiden, damit der Hochpunkt an der gegebenen Stelle liegt?

1. Bestimmung der Verschiebung in y-Richtung \(d\): Der Wert liegt genau in der Mitte zwischen den y-Koordinaten von Tiefpunkt und Hochpunkt: \(d = \frac{5 + 1}{2} = 3\). 2. Bestimmung der Amplitude \(a\): Sie entspricht dem Abstand vom Extrempunkt zur Mittellinie: \(a = 5 - 3 = 2\). 3. Bestimmung der Periode \(p\) und des Parameters \(b\): Der \(x\)-Abstand zwischen einem Tiefpunkt und dem nächsten Hochpunkt entspricht einer halben Periode: \(\frac{p}{2} = 4 - 1 = 3 \implies p = 6\). Daraus folgt \(b = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}\). 4. Bestimmung der Verschiebung in x-Richtung \(c\): Der Hochpunkt einer Sinusfunktion liegt ein Viertel der Periode hinter dem Wendepunkt mit positiver Steigung. Es gilt \(x_H = c + \frac{p}{4} \implies 4 = c + \frac{6}{4} \implies c = 2{,}5\). 5. Die Parameter lauten \(a = 2\), \(b = \frac{\pi}{3}\), \(c = 2{,}5\) und \(d = 3\).

\(a = 2\), \(b = \frac{\pi}{3}\), \(c = 2{,}5\), \(d = 3\)

- Welche Information über die Parameter \(c\) und \(d\) liefert dir der Schnittpunkt mit der Mittellinie bei \(x = 0\)? - Wie kannst du die Amplitude aus der Lage des Hochpunkts relativ zur Mittellinie berechnen? - Welcher Bruchteil der Periode vergeht zwischen dem Nulldurchgang (mit positiver Steigung) und dem ersten Maximum? - Wie berechnet man den Faktor \(b\), wenn die Periodenlänge bekannt ist?

1. Bestimmung von \(d\): Da \(M(0 \mid 2)\) auf der Mittellinie liegt, ist \(d = 2\). 2. Bestimmung von \(a\): Die Amplitude ist die Differenz zwischen dem y-Wert des Hochpunkts und der Mittellinie: \(a = 5 - 2 = 3\). 3. Bestimmung der Periode \(p\) und des Parameters \(b\): Der Abstand von einem Schnittpunkt mit der Mittellinie (bei positiver Steigung) bis zum nächsten Hochpunkt ist ein Viertel der Periode: \(\frac{p}{4} = 2 - 0 = 2 \implies p = 8\). Damit ist \(b = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}\). 4. Bestimmung von \(c\): Da der Graph bereits bei \(x = 0\) die Mittellinie mit positiver Steigung schneidet, ist keine Verschiebung in x-Richtung gegenüber der Grundfunktion notwendig: \(c = 0\). 5. Einsetzen der Parameter in die Funktionsgleichung ergibt \(g(x) = 3 \cdot \sin(\frac{\pi}{4} \cdot x) + 2\).

\(g(x) = 3 \cdot \sin(\frac{\pi}{4} x) + 2\)

- Überlege dir, welche Auswirkung ein Faktor vor dem Sinus oder Kosinus auf die Höhe der Wellen hat. - Was passiert mit dem Graphen, wenn du direkt beim \(x\)-Wert eine Zahl addierst oder subtrahierst? - Erinnere dich daran, wie ein Faktor direkt vor dem \(x\) die Breite einer Periode beeinflusst. - Ein Minuszeichen vor der gesamten Funktion bewirkt eine Umkehrung der Werte an der \(x\)-Achse.

1. Für \(f(x) = 2{,}5 \cdot \sin(x + 4)\): Der Graph der Sinusfunktion wird mit dem Faktor \(2{,}5\) in \(y\)-Richtung gestreckt (Amplitude ist \(2{,}5\)) und um \(4\) Einheiten nach links verschoben. 2. Für \(g(x) = \cos(0{,}5x) - 1\): Der Graph der Kosinusfunktion wird in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(2\) gestreckt (da \(b = 0{,}5\), ist die neue Periode \(4\pi\)) und um \(1\) Einheit nach unten verschoben. 3. Für \(h(x) = - \sin(3x)\): Der Graph der Sinusfunktion wird an der \(x\)-Achse gespiegelt und in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{3}\) gestaucht (die Periode verkürzt sich auf \(\frac{2}{3}\pi\)).

a) Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(2{,}5\), Verschiebung um \(4\) nach links. b) Streckung in \(x\)-Richtung mit Faktor \(2\), Verschiebung um \(1\) nach unten. c) Spiegelung an der \(x\)-Achse, Stauchung in \(x\)-Richtung mit Faktor \(\frac{1}{3}\).

- Gehe die Transformationen Schritt für Schritt durch und notiere dir, welcher Parameter (\(a\), \(b\), \(c\) oder \(d\)) in der allgemeinen Form \(f(x) = a \cdot \cos(b(x - c)) + d\) jeweils verändert wird. - Achte besonders auf das Vorzeichen bei Verschiebungen entlang der \(x\)-Achse. - Wie wird eine Spiegelung mathematisch durch ein Vorzeichen ausgedrückt?

1. Die Spiegelung an der \(x\)-Achse und die Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(2\) führen zum Koeffizienten \(a = -2\) vor dem Kosinus: \(-2 \cdot \cos(x)\). 2. Die Verschiebung um \(\frac{\pi}{2}\) nach rechts wird durch die Ersetzung von \(x\) durch \((x - \frac{\pi}{2})\) im Argument der Funktion realisiert: \(-2 \cdot \cos(x - \frac{\pi}{2})\). 3. Die Verschiebung um \(3\) Einheiten nach oben entspricht einer Addition von \(d = 3\) zum gesamten Term. 4. Der fertige Funktionsterm lautet somit \(k(x) = -2 \cdot \cos(x - \frac{\pi}{2}) + 3\).

\(k(x) = -2 \cdot \cos(x - \frac{\pi}{2}) + 3\)

- Gehe die Parameter in der Funktionsgleichung nacheinander von links nach rechts durch. - Überlege, wie sich ein Faktor innerhalb des Arguments der Kosinusfunktion auf die Periodenlänge und damit auf die Form in \(x\)-Richtung auswirkt. - Unterscheide zwischen Transformationen, die die \(y\)-Werte verändern, und solchen, die die \(x\)-Werte beeinflussen.

1. Der Faktor \(3\) vor dem Kosinus bewirkt eine Streckung des Graphen in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(3\). 2. Der Faktor \(2\) innerhalb des Kosinus-Arguments führt zu einer Stauchung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{2} = 0{,}5\). 3. Der Summand \(+1\) am Ende der Gleichung bewirkt eine Verschiebung des gesamten Graphen um \(1\) Einheit nach oben in positive \(y\)-Richtung.

Der Graph wird mit dem Faktor \(3\) in \(y\)-Richtung gestreckt, in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) gestaucht und um \(1\) Einheit nach oben verschoben.

- Überlege dir, welche Werte die normale Sinusfunktion höchstens und mindestens annehmen kann. - Wie beeinflusst ein Faktor vor dem Funktionsterm die Auslenkung (Amplitude) des Graphen? - An welchen Stellen schneidet der Graph der Sinusfunktion die waagerechte Achse? - Verändert eine Streckung in \(y\)-Richtung die Position der Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse?

1. Der Wertebereich der Standard-Sinusfunktion \(\sin(x)\) ist \([-1; 1]\). Durch die Multiplikation mit dem Faktor \(1{,}5\) wird die Funktion in \(y\)-Richtung gestreckt, sodass die minimalen und maximalen Funktionswerte \(-1 \cdot 1{,}5 = -1{,}5\) und \(1 \cdot 1{,}5 = 1{,}5\) betragen. Der Wertebereich ist somit \(W = [-1{,}5; 1{,}5]\). 2. Die Nullstellen von \(f(x) = 1{,}5 \cdot \sin(x)\) sind identisch mit den Nullstellen der Sinusfunktion, da die Gleichung \(1{,}5 \cdot \sin(x) = 0\) äquivalent zu \(\sin(x) = 0\) ist. Innerhalb des Intervalls \([0; 2\pi]\) nimmt der Sinus an den Stellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = \pi\) und \(x_3 = 2\pi\) den Wert Null an.

a) \(W = [-1{,}5; 1{,}5]\) b) \(x_1 = 0\); \(x_2 = \pi\); \(x_3 = 2\pi\)

- Überlege zuerst, wie die Periode der Funktion durch den Faktor vor dem Winkel verändert wird. - Suche zunächst die Lösungen in einem Standardintervall (zum Beispiel von \(0^\circ\) bis zur Periodenlänge). - Wie kannst du von einer bekannten Lösung weitere Lösungen finden, ohne die gesamte Gleichung neu zu lösen? - Achte darauf, dass du wirklich alle Lösungen im negativen und positiven Bereich des vorgegebenen Intervalls findest.

1. Umformen der Gleichung zu \(\sin(2\alpha) = 0{,}5\). 2. Bestimmung der Basislösungen für das Argument \(x = 2\alpha\): \(x_1 = 30^\circ\) und \(x_2 = 150^\circ\). 3. Berechnung der zugehörigen Werte für \(\alpha\): \(\alpha_1 = 15^\circ\) und \(\alpha_2 = 75^\circ\). 4. Bestimmung der kleinsten Periode \(p = \frac{360^\circ}{2} = 180^\circ\). 5. Ermittlung aller Lösungen durch Addition und Subtraktion von Vielfachen der Periode (\(k \cdot 180^\circ\)) im Intervall \([-360^\circ; 720^\circ]\): Für \(\alpha_1 = 15^\circ\): \(-345^\circ; -165^\circ; 15^\circ; 195^\circ; 375^\circ; 555^\circ\). Für \(\alpha_2 = 75^\circ\): \(-285^\circ; -105^\circ; 75^\circ; 255^\circ; 435^\circ; 615^\circ\).

\(\alpha \in \{-345^\circ; -285^\circ; -165^\circ; -105^\circ; 15^\circ; 75^\circ; 195^\circ; 255^\circ; 375^\circ; 435^\circ; 555^\circ; 615^\circ\}\)

- Überlege, wie der Faktor vor der Sinusfunktion die Streckung in y-Richtung beeinflusst. - Welche Werte nimmt die einfache Sinusfunktion maximal und minimal an? - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt auf einem Graphen liegt? - Nutze den Einheitskreis oder eine Tabelle für spezielle Sinuswerte, um den Wert an der gegebenen Stelle zu bestimmen.

1. Der Wertebereich einer Funktion \(f(x) = a \cdot \sin x\) wird durch das Intervall \([-|a|; |a|]\) bestimmt. Aus der Bedingung \([-2{,}5; 2{,}5]\) folgt \(|a| = 2{,}5\). Da zusätzlich \(a > 0\) gefordert ist, ergibt sich \(a = 2{,}5\). 2. Zur Bestimmung von \(a\) im Fall b) werden die Koordinaten des Punktes \(P\) in die Funktionsgleichung eingesetzt: \(3\sqrt{2} = a \cdot \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\). 3. Der Wert des Sinus an der Stelle \(\frac{3\pi}{4}\) (entspricht \(135^\circ\)) ist \(\frac{\sqrt{2}}{2}\). 4. Einsetzen und Auflösen nach \(a\): \(3\sqrt{2} = a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\). Durch Division durch \(\sqrt{2}\) erhält man \(3 = \frac{a}{2}\), woraus \(a = 6\) folgt.

a) \(a = 2{,}5\) b) \(a = 6\)

- Wie hängen die Amplitude und der gesamte Schwankungsbereich (Differenz von Maximum und Minimum) zusammen? - Denke daran, dass eine Spiegelung an der \(x\)-Achse den Wertebereich nicht ändert. - Wie kannst du den Kosinuswert eines Winkels bestimmen, der größer als \(\pi\) (\(180^\circ\)) ist? - Setze den gegebenen x-Wert und den Funktionswert in die Gleichung ein und löse die lineare Gleichung.

1. Der Abstand zwischen dem Minimum \(-|k|\) und dem Maximum \(|k|\) einer Funktion \(k \cdot \cos x\) entspricht \(2 \cdot |k|\). Aus \(2 \cdot |k| = 24\) folgt \(|k| = 12\). Somit sind \(k = 12\) und \(k = -12\) die möglichen Lösungen. 2. Für den Fall b) wird die Gleichung \(g\left(\frac{4\pi}{3}\right) = 2\) aufgestellt: \(k \cdot \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) = 2\). 3. Der Winkel \(\frac{4\pi}{3}\) liegt im dritten Quadranten (\(240^\circ\)). Der Kosinuswert ist dort negativ: \(\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -0{,}5\). 4. Einsetzen in die Gleichung: \(k \cdot (-0{,}5) = 2\). 5. Auflösen nach \(k\) ergibt \(k = \frac{2}{-0{,}5} = -4\).

a) \(k = 12\) oder \(k = -12\) b) \(k = -4\)

- Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt auf einem Graphen liegt? - Wie kannst du eine Gleichung der Form \(a \cdot \sin(b \cdot x) = c\) Schritt für Schritt nach der Sinusfunktion auflösen? - Beachte bei der Suche nach \(x\)-Werten, wie viele Lösungen die Sinusfunktion innerhalb einer Periode für einen bestimmten Wert haben kann. - Hilft es dir, den Ausdruck in der Klammer zuerst als eine einzige Variable zu betrachten?

1. Einsetzen der Abszisse \(x = \frac{\pi}{3}\) in die Funktionsgleichung: \(y_1 = 4 \cdot \sin(0{,}5 \cdot \frac{\pi}{3}) = 4 \cdot \sin(\frac{\pi}{6})\). 2. Berechnung des Sinuswertes \(\sin(\frac{\pi}{6}) = 0{,}5\) und Multiplikation: \(y_1 = 4 \cdot 0{,}5 = 2\). 3. Gleichung für Teilaufgabe b) aufstellen: \(4 \cdot \sin(0{,}5x) = 2\). 4. Umformen der Gleichung: \(\sin(0{,}5x) = 0{,}5\). 5. Substitution \(u = 0{,}5x\). Im Intervall \(0 \le x \le 4\pi\) gilt \(0 \le u \le 2\pi\). Die Lösungen für \(\sin(u) = 0{,}5\) sind \(u_1 = \frac{\pi}{6}\) und \(u_2 = \frac{5\pi}{6}\). 6. Rücksubstitution: \(0{,}5x_1 = \frac{\pi}{6} \implies x_1 = \frac{\pi}{3}\) und \(0{,}5x_2 = \frac{5\pi}{6} \implies x_2 = \frac{5\pi}{3}\).

a) \(y_1 = 2\) b) \(x_1 = \frac{\pi}{3}\) und \(x_2 = \frac{5\pi}{3}\)

- Welche Koordinate eines Punktes entspricht der Abszisse und welche der Ordinate? - Wie gehst du vor, wenn du einen x-Wert kennst und den zugehörigen y-Wert berechnen möchtest? - Was musst du tun, wenn die Gleichung nach der Variable im Argument der Kosinusfunktion aufgelöst werden soll? - Denke daran, dass das Ergebnis im Bogenmaß (mit \(\pi\)) angegeben werden sollte, da das Intervall so vorgegeben ist.

1. Zur Berechnung der Ordinate wird der gegebene \(x\)-Wert in die Funktionsgleichung eingesetzt: \(y_1 = 4 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\). 2. Mit dem Funktionswert \(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 0{,}5\) ergibt sich \(y_1 = 4 \cdot 0{,}5 = 2\). 3. Zur Bestimmung der Abszisse wird der \(y\)-Wert gleich der Funktionsgleichung gesetzt: \(-2 = 4 \cdot \cos x_2\). 4. Division durch \(4\) führt auf die Gleichung \(\cos x_2 = -0{,}5\). 5. Die Suche nach dem entsprechenden Winkel im Intervall \([0; \pi]\) ergibt die Lösung \(x_2 = \frac{2\pi}{3}\).

a) \(y_1 = 2\) b) \(x_2 = \frac{2\pi}{3}\)

- Kannst du die gegebenen Koordinaten den Variablen \(x\) und \(y\) in der Funktionsgleichung zuordnen? - Welche speziellen Werte der Sinusfunktion kennst du auswendig oder aus der Formelsammlung? - Welche Rechenoperation kehrt die Multiplikation mit \(1{,}2\) um? - Gibt es im angegebenen Intervall vielleicht mehrere Stellen mit demselben Sinuswert, oder ist die Funktion dort eindeutig umkehrbar?

1. Einsetzen der Abszisse \(x = -\frac{\pi}{6}\) in die Gleichung: \(y_1 = 1{,}2 \cdot \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\). 2. Da \(\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -0{,}5\) ist, folgt \(y_1 = 1{,}2 \cdot (-0{,}5) = -0{,}6\). 3. Gleichsetzen des gegebenen Funktionswertes mit der Gleichung für \(P_2\): \(0{,}6 = 1{,}2 \cdot \sin x_2\). 4. Umformen der Gleichung durch Division ergibt \(\sin x_2 = \frac{0{,}6}{1{,}2} = 0{,}5\). 5. Im Intervall \([-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\) liefert die Umkehrfunktion des Sinus den Wert \(x_2 = \frac{\pi}{6}\).

a) \(y_1 = -0{,}6\) b) \(x_2 = \frac{\pi}{6}\)

- Welche Auswirkung hat der Faktor im Argument der Sinusfunktion auf die Periode und damit auf die Anzahl der Lösungen? - Überlege zuerst, für welche Werte der Sinus allgemein den Wert \(\frac{1}{2}\sqrt{2}\) annimmt. - Wie verändert sich das betrachtete Intervall, wenn du eine Hilfsvariable für den Klammerausdruck einsetzt? - Nutze die Symmetrie und die Periodizität der Sinusfunktion, um alle Stellen im gesuchten Bereich zu finden.

1. Einführung einer Hilfsvariablen \(u = 2x\), wobei das Intervall für \(u\) nun \(0 \le u \le 4\pi\) beträgt. 2. Bestimmung der Basislösungen für \(\sin(u) = \frac{1}{2}\sqrt{2}\) im ersten Umlauf: \(u_1 = \frac{\pi}{4}\) und \(u_2 = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}\). 3. Ermittlung der weiteren Lösungen im Intervall bis \(4\pi\) durch Addition der Periode \(2\pi\): \(u_3 = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}\) und \(u_4 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4}\). 4. Rücksubstitution durch \(x = \frac{u}{2}\) führt zu den Werten \(x_1 = \frac{\pi}{8}\), \(x_2 = \frac{3\pi}{8}\), \(x_3 = \frac{9\pi}{8}\) und \(x_4 = \frac{11\pi}{8}\).

\(L = \{ \frac{\pi}{8}; \frac{3\pi}{8}; \frac{9\pi}{8}; \frac{11\pi}{8} \}\)

- Wie hängt die Periodenlänge einer Kosinusfunktion mit dem Faktor vor dem \(x\) zusammen? - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt auf dem Graphen einer Funktion liegt? - Welche Winkel im Einheitskreis haben den geforderten Kosinuswert? - Überlege dir, welche Gleichung du lösen musst, nachdem du die Koordinaten des Punktes eingesetzt hast.

1. Zusammenhang zwischen Periode und Faktor \(k\): \(p = \frac{2\pi}{k}\). 2. Einsetzen von \(p = 5\pi\): \(5\pi = \frac{2\pi}{k} \implies k = \frac{2\pi}{5\pi} = 0{,}4\). 3. Punktprobe für \(P\): \(\cos\left(k \cdot \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\). 4. Bestimmung des Arguments: Der kleinste positive Winkel \(\alpha\), für den \(\cos(\alpha) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) gilt, ist \(\alpha = \frac{3\pi}{4}\). 5. Berechnung von \(k\): \(k \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \implies k = 3\).

a) \(k = 0{,}4\) b) \(k = 3\)

- Was sagt dir der Abstand zwischen zwei Hochpunkten über die Periode der Funktion? - Wie ist die Periode einer Sinusfunktion mathematisch definiert? - Wenn ein Schnittpunkt mit einer Geraden \(y = c\) an einer Stelle \(x\) gegeben ist, welchen Funktionswert hat die Sinusfunktion dort? - Erinnere dich an die Standardwerte der Sinusfunktion oder nutze den Einheitskreis.

1. Der Abstand zwischen zwei benachbarten Hochpunkten entspricht der Periode \(T\). Es gilt \(T = 3\). 2. Formel für die Periode: \(T = \frac{2\pi}{b}\). Einsetzen ergibt \(3 = \frac{2\pi}{b} \implies b = \frac{2\pi}{3}\). 3. Für Aufgabenteil b) gilt die Bedingung \(f(1) = 0{,}5\), also \(\sin(b \cdot 1) = 0{,}5\). 4. Suche nach dem kleinsten positiven Winkel \(\alpha\) mit \(\sin(\alpha) = 0{,}5\). Dieser liegt bei \(\alpha = \frac{\pi}{6}\). 5. Daraus folgt direkt \(b = \frac{\pi}{6}\).

a) \(b = \frac{2\pi}{3}\) b) \(b = \frac{\pi}{6}\)

- Achte darauf, den Koeffizienten vor dem \(x\) innerhalb der Klammer auszuklammern, um die tatsächliche Verschiebung in \(x\)-Richtung zu bestimmen. - Überlege dir, wie sich die einzelnen Parameter \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) in der allgemeinen Form \(a \cdot \sin(b(x - c)) + d\) auf das Aussehen des Graphen auswirken. - Denke daran, dass ein Wert für \(b\), der größer als 1 ist, den Graphen in horizontaler Richtung „zusammenpresst“.

1. Um die horizontale Verschiebung korrekt abzulesen, wird der Faktor \(2\) im Argument der Sinusfunktion ausgeklammert: \(f(x) = 0{,}5 \cdot \sin(2(x + \frac{\pi}{4})) - 1\). 2. Der Faktor \(a = 0{,}5\) bewirkt eine Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\). 3. Der Faktor \(b = 2\) bewirkt eine Stauchung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{2}\). Die Periodenlänge halbiert sich somit auf \(\pi\). 4. Der Term \((x + \frac{\pi}{4})\) entspricht einer Verschiebung um \(\frac{\pi}{4}\) Einheiten nach links. 5. Die Konstante \(d = -1\) bewirkt eine Verschiebung um \(1\) Einheit nach unten.

Der Graph von \(f\) entsteht aus dem Graphen von \(y = \sin(x)\) durch: - Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\). - Stauchung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) (die Periodenlänge beträgt nun \(\pi\)). - Verschiebung um \(\frac{\pi}{4}\) Einheiten nach links. - Verschiebung um \(1\) Einheit nach unten.

- Wie hängen der Parameter \(b\) und die Periodenlänge \(T\) zusammen? Nutze die Formel \(b = \frac{2\pi}{T}\). - Eine Spiegelung an der \(x\)-Achse verändert das Vorzeichen des Streckungsfaktors in \(y\)-Richtung. - Achte beim Einsetzen der Verschiebung nach links genau auf das Vorzeichen in der Klammer.

1. Die Spiegelung an der \(x\)-Achse und die Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(3\) ergeben den Parameter \(a = -3\). 2. Die normale Periodenlänge von \(\cos(x)\) ist \(2\pi\). Eine Verdopplung führt zur Periodenlänge \(T = 4\pi\). Aus \(b = \frac{2\pi}{T}\) folgt \(b = \frac{2\pi}{4\pi} = 0{,}5\). 3. Die Verschiebung um \(\pi\) Einheiten nach links bedeutet \(c = -\pi\). In der Form \((x - c)\) ergibt dies \((x - (-\pi)) = (x + \pi)\). 4. Die Verschiebung um \(2\) Einheiten nach unten ergibt den Parameter \(d = -2\). 5. Einsetzen der Parameter in die allgemeine Form liefert \(g(x) = -3 \cdot \cos(0{,}5(x + \pi)) - 2\).

Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = -3 \cdot \cos(0{,}5(x + \pi)) - 2\) oder ausmultipliziert \(g(x) = -3 \cdot \cos(0{,}5x + \frac{\pi}{2}) - 2\).

- Welcher Parameter in der allgemeinen Form \(a \cdot \cos(b \cdot x)\) ist für die Streckung in \(y\)-Richtung verantwortlich? - Wie verändert sich das Argument \(x\), wenn der Graph in horizontaler Richtung gestreckt wird? - Überlege, wie der Streckfaktor in \(x\)-Richtung mit dem Faktor vor dem \(x\) in der Funktionsgleichung zusammenhängt.

1. Die Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(a = 2{,}5\) wird als Koeffizient vor die Funktion gesetzt. 2. Eine Streckung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(k = 0{,}8\) entspricht einer Transformation des Arguments \(x\) zu \(\frac{x}{k}\). 3. Der Parameter \(b\) im Argument der Funktion berechnet sich als Kehrwert des Streckfaktors: \(b = \frac{1}{0{,}8} = 1{,}25\). 4. Durch Einsetzen der Parameter in die allgemeine Form \(g(x) = a \cdot \cos(b \cdot x)\) ergibt sich die Gleichung \(g(x) = 2{,}5 \cdot \cos(1{,}25x)\).

\(g(x) = 2{,}5 \cdot \cos(1{,}25x)\)

- Vergleiche die gegebene Funktion mit der allgemeinen Form \(a \cdot \sin(b \cdot x)\). - Welcher der Werte beeinflusst die Höhe (Amplitude) des Graphen und welcher die Breite (Periode)? - Erinnere dich daran, dass der Faktor im Inneren der Sinusfunktion indirekt proportional zum Streckfaktor auf der \(x\)-Achse ist.

1. Der Faktor \(a = 5\) vor dem Sinusterm gibt direkt den Streckfaktor in \(y\)-Richtung an. 2. Der Faktor \(b = 0{,}4\) im Argument der Sinusfunktion steht im Zusammenhang mit der Streckung in \(x\)-Richtung. 3. Der Streckfaktor \(k\) in \(x\)-Richtung ist der Kehrwert des Parameters \(b\). 4. Berechnung des Streckfaktors in \(x\)-Richtung: \(k = \frac{1}{0{,}4} = 2{,}5\).

Streckfaktor in \(y\)-Richtung: \(5\); Streckfaktor in \(x\)-Richtung: \(2{,}5\)

- Du kannst den Vorfaktor \(a\) negativ lassen, um die Umformung zu vereinfachen. - Erinnere dich an die Verschiebung auf der \(x\)-Achse, die nötig ist, um aus einer Kosinus- eine Sinuskurve zu machen. - Vergiss nicht, den Faktor \(b\) im Argument richtig auszuklammern.

1. Anwendung der Identität \(\cos(u) = \sin\left(u + \frac{\pi}{2}\right)\): \(y = -2 \sin\left(0{,}5x + \pi + \frac{\pi}{2}\right) = -2 \sin\left(0{,}5x + \frac{3\pi}{2}\right)\). 2. Ausklammern des Faktors \(b = 0{,}5\) aus dem Argument: \(y = -2 \sin(0{,}5(x + 3\pi))\). 3. (Optional) Nutzung der Periodizität (\(2\pi\) im Argument des Sinus entspricht einer Verschiebung um \(4\pi\) bei \(b=0{,}5\)): Eine alternative Darstellung wäre \(y = -2 \sin(0{,}5(x - \pi))\).

\(y = -2 \sin(0{,}5(x + 3\pi))\) oder \(y = -2 \sin(0{,}5(x - \pi))\)

- Überlege dir zuerst, für welche Winkel der Kosinuswert genau \(-0{,}5\) beträgt. - Beachte, dass durch den Faktor \(2\) im Argument die Funktion „schneller“ schwingt. Wie wirkt sich das auf die Anzahl der Lösungen im Intervall aus? - Es kann helfen, eine Hilfsvariable für den Ausdruck in der Klammer einzuführen. - Denk daran, dass die Kosinusfunktion periodisch ist und sich Werte alle \(2\pi\) wiederholen.

1. Substitution \(u = 2x\). Da \(0 \le x \le 2\pi\), ergibt sich für \(u\) das Intervall \(0 \le u \le 4\pi\). 2. Lösen der Gleichung \(\cos(u) = -0{,}5\) im Grundintervall \([0; 2\pi]\). Dies liefert \(u_1 = \frac{2\pi}{3}\) und \(u_2 = \frac{4\pi}{3}\). 3. Bestimmung weiterer Lösungen im Intervall \([0; 4\pi]\) durch Addition der Periode \(2\pi\): \(u_3 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3}\) und \(u_4 = \frac{4\pi}{3} + 2\pi = \frac{10\pi}{3}\). 4. Rücksubstitution \(x = \frac{u}{2}\) führt zu den Lösungen: \(x_1 = \frac{\pi}{3}\), \(x_2 = \frac{2\pi}{3}\), \(x_3 = \frac{4\pi}{3}\) und \(x_4 = \frac{5\pi}{3}\). 5. Die Lösungsmenge ist \(L = \{ \frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}; \frac{5\pi}{3} \}\).

\(L = \{ \frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}; \frac{5\pi}{3} \}\)

- Was passiert mit dem Argument der Sinusfunktion, bevor du den Sinus anwendest? - Wie viele Lösungen erwartest du innerhalb einer vollen Periode der Sinusfunktion? - Denke daran, dass die Sinusfunktion periodisch ist. Wie verändert der Faktor vor der Variablen die Periodenlänge? - Hast du geprüft, ob alle deine berechneten Werte im vorgegebenen Bereich liegen? - Überlege dir, wie du das Argument der Funktion isolieren kannst, bevor du die Umkehrfunktion nutzt.

1. Substitution von \(u = 2x - 60^\circ\). Die Grundlösungen für \(\sin(u) = 0{,}5\) sind \(u_1 = 30^\circ\) und \(u_2 = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ\). 2. Berücksichtigung der Periodizität: \(u = 30^\circ + k \cdot 360^\circ\) oder \(u = 150^\circ + k \cdot 360^\circ\) für \(k \in \mathbb{Z}\). 3. Rücksubstitution für den ersten Fall: \(2x - 60^\circ = 30^\circ + k \cdot 360^\circ \implies 2x = 90^\circ + k \cdot 360^\circ \implies x = 45^\circ + k \cdot 180^\circ\). Im Intervall liegen \(45^\circ\) (für \(k=0\)) und \(225^\circ\) (für \(k=1\)). 4. Rücksubstitution für den zweiten Fall: \(2x - 60^\circ = 150^\circ + k \cdot 360^\circ \implies 2x = 210^\circ + k \cdot 360^\circ \implies x = 105^\circ + k \cdot 180^\circ\). Im Intervall liegen \(105^\circ\) (für \(k=0\)) und \(285^\circ\) (für \(k=1\)). 5. Die Lösungsmenge ist \(L = \{45^\circ; 105^\circ; 225^\circ; 285^\circ\}\).

\(x \in \{45^\circ; 105^\circ; 225^\circ; 285^\circ\}\)

- Wie oft wiederholen sich die Werte einer Kosinusfunktion normalerweise in einem Kreis? - Was bewirkt die Zahl im Inneren der Kosinusfunktion für die Anzahl der Lösungen? - Achte besonders auf das Vorzeichen des Wertes auf der rechten Seite der Gleichung. In welchen Quadranten liegt der Winkel? - Vergiss nicht, auch negative Werte für die Perioden-Variable \(k\) einzusetzen, da das Intervall negative Winkel einschließt.

1. Bestimmung des Winkels \(u = 3\beta\), für den \(\cos(u) = -\frac{1}{2}\sqrt{2}\) gilt. Die Lösungen im Einheitskreis sind \(u_1 = 135^\circ\) und \(u_2 = -135^\circ\) (bzw. \(225^\circ\)). 2. Aufstellen der allgemeinen Lösung unter Berücksichtigung der Periodizität: \(3\beta = \pm 135^\circ + k \cdot 360^\circ\) für \(k \in \mathbb{Z}\). 3. Division durch 3 ergibt \(\beta = \pm 45^\circ + k \cdot 120^\circ\). 4. Bestimmung der Werte im Intervall \([-180^\circ; 180^\circ]\): Für \(\beta = 45^\circ + k \cdot 120^\circ\): \(-75^\circ\) (\(k=-1\)), \(45^\circ\) (\(k=0\)), \(165^\circ\) (\(k=1\)). Für \(\beta = -45^\circ + k \cdot 120^\circ\): \(-165^\circ\) (\(k=-1\)), \(-45^\circ\) (\(k=0\)), \(75^\circ\) (\(k=1\)). 5. Zusammenfassung der Lösungen: \(\beta \in \{-165^\circ; -75^\circ; -45^\circ; 45^\circ; 75^\circ; 165^\circ\}\).

\(\beta \in \{-165^\circ; -75^\circ; -45^\circ; 45^\circ; 75^\circ; 165^\circ\}\)

- Wann nimmt eine einfache Sinusfunktion ihren ersten maximalen Wert an? - Setze den gesamten Ausdruck in der Klammer gleich dem Wert, an dem der Sinus sein Maximum hat. - Löse die entstandenen Gleichungen nach \(x\) auf. - Vergleiche die beiden Ergebnisse, um zu sehen, welcher Wert kleiner ist.

1. Ein Hochpunkt der Sinusfunktion liegt vor, wenn das Argument des Sinus den Wert \(\frac{\pi}{2}\) (oder \(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\)) annimmt. 2. Für \(f(x)\): \(\frac{1}{2}x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \Rightarrow \frac{1}{2}x = \frac{3\pi}{4} \Rightarrow x_f = \frac{3\pi}{2} = 1{,}5\pi\). 3. Für \(g(x)\): \(\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2} \Rightarrow x - \frac{\pi}{4} = \pi \Rightarrow x_g = \frac{5\pi}{4} = 1{,}25\pi\). 4. Da \(1{,}25\pi < 1{,}5\pi\) ist, erreicht der Graph von \(g\) seinen ersten Hochpunkt im positiven Bereich früher.

Der Graph von \(g\) erreicht seinen ersten Hochpunkt früher. Die \(x\)-Koordinate des ersten Hochpunkts von \(f\) liegt bei \(x = 1{,}5\pi\), die von \(g\) liegt bei \(x = 1{,}25\pi\).

- Gehe schrittweise vor und isoliere zunächst den gesamten Klammerausdruck mit dem Sinus. - Eine Hilfsvariable für den Ausdruck in der Klammer kann helfen, die Übersicht zu behalten. - Achte darauf, wie sich der Definitionsbereich durch die Verschiebung in der Klammer verändert. - Überlege dir, bei welchen Winkeln der Sinus genau den Wert \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) annimmt.

1. Isolieren des Sinus-Terms durch Subtraktion von \(\sqrt{2}\) und Division durch 2 ergibt \(\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\). 2. Substitution von \(u = x + \frac{\pi}{3}\). Da \(x \in [0; 2\pi]\), liegt \(u\) im Bereich \([\frac{\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}]\). 3. Bestimmung der Werte für \(u\), für die \(\sin(u) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) gilt: Im Standardintervall sind dies \(u = \frac{5\pi}{4}\) und \(u = \frac{7\pi}{4}\). Beide liegen im substituierten Intervall. 4. Rücksubstitution zur Berechnung von \(x\): \(x_1 = \frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{3} = \frac{15\pi - 4\pi}{12} = \frac{11\pi}{12}\) \(x_2 = \frac{7\pi}{4} - \frac{\pi}{3} = \frac{21\pi - 4\pi}{12} = \frac{17\pi}{12}\)

\(L = \left\{\frac{11\pi}{12}; \frac{17\pi}{12}\right\}\)

- Erinnere dich an die Symmetrie der Kosinusfunktion am Einheitskreis oder am Graphen. - Wie verändert der Faktor \(2\) vor dem \(x\) die Periode der Funktion? - Denk daran, dass im Intervall \([-\pi; \pi]\) aufgrund der Periodizität und der Streckung mehrere Lösungen existieren können. - Überprüfe am Ende, ob alle deine gefundenen \(x\)-Werte tatsächlich im Intervall \([-\pi; \pi]\) liegen.

1. Einsetzen von \(x_2 = \frac{\pi}{4}\) in \(g(x)\): \(y_2 = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{2})\). 2. Bestimmung des Kosinuswertes: \(\cos(\frac{\pi}{2}) = 0\), also \(y_2 = 0\). 3. Ansatz für Teilaufgabe b): \(\cos(2x) = -0{,}5\). 4. Substitution \(u = 2x\). Für \(x \in [-\pi; \pi]\) liegt \(u\) im Bereich \([-2\pi; 2\pi]\). 5. Lösungen für \(\cos(u) = -0{,}5\) im Einheitskreis finden: \(u \in \{ \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, -\frac{2\pi}{3}, -\frac{4\pi}{3} \}\). 6. Rücksubstitution durch Division durch 2: \(x \in \{ \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, -\frac{\pi}{3}, -\frac{2\pi}{3} \}\). Alle Werte liegen im vorgegebenen Intervall \([-\pi; \pi]\).

a) \(y_2 = 0\) b) \(x \in \{ -\frac{2\pi}{3}; -\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3} \}\)

- Bestimme zuerst die Periodenlänge, um zu wissen, wie oft sich das Muster im Intervall wiederholt. - Nullstellen findest du, indem du das Argument der Sinusfunktion gleich Vielfachen von \(\pi\) setzt. - Wo erreicht die normale Sinusfunktion ihren höchsten und tiefsten Wert? Übertrage dies auf das Argument \(2x\). - Achte darauf, dass alle berechneten Stellen innerhalb des vorgegebenen Intervalls liegen.

1. Amplitude: \(A = 0{,}5\). 2. Periodenlänge: \(p = \frac{2\pi}{2} = \pi\). 3. Nullstellen: \(2x = k \cdot \pi\) führt für \(k \in \{0; 1; 2\}\) im Intervall \([0; \pi]\) zu \(x_1 = 0\), \(x_2 = \frac{\pi}{2}\) und \(x_3 = \pi\). 4. Hochpunkt: Das Maximum der Sinusfunktion liegt bei \(2x = \frac{\pi}{2}\), also \(x = \frac{\pi}{4}\). Der Funktionswert ist \(0{,}5 \cdot 1 = 0{,}5\). Punkt: \(H(\frac{\pi}{4} \mid 0{,}5)\). 5. Tiefpunkt: Das Minimum liegt bei \(2x = \frac{3\pi}{2}\), also \(x = \frac{3\pi}{4}\). Der Funktionswert ist \(0{,}5 \cdot (-1) = -0{,}5\). Punkt: \(T(\frac{3\pi}{4} \mid -0{,}5)\).

Amplitude: \(0{,}5\); Periodenlänge: \(\pi\); Nullstellen: \(0\); \(\frac{\pi}{2}\); \(\pi\); Hochpunkt: \(H(\frac{\pi}{4} \mid 0{,}5)\); Tiefpunkt: \(T(\frac{3\pi}{4} \mid -0{,}5)\).

- Wie ändert sich das Argument der Funktion, wenn man den Graphen in \(x\)-Richtung streckt? - Was bedeutet eine Spiegelung an der \(x\)-Achse für das Vorzeichen der Funktionswerte? - Führe die Transformationen Schritt für Schritt nacheinander am Funktionsterm durch. - Setze für die Punktprobe die \(x\)-Koordinate in deine gefundene Gleichung ein und rechne den Wert aus.

1. Streckung in \(x\)-Richtung mit Faktor \(k = 4\) bedeutet eine Ersetzung von \(x\) durch \(\frac{1}{k}x\), also \(\cos(\frac{1}{4}x)\) bzw. \(\cos(0{,}25x)\). 2. Die Spiegelung an der \(x\)-Achse entspricht einer Multiplikation des Terms mit \(-1\), was zu \(-\cos(0{,}25x)\) führt. 3. Die Verschiebung um \(\pi\) nach rechts wird durch Ersetzen von \(x\) durch \((x - \pi)\) im aktuellen Argument erreicht: \(h(x) = -\cos(0{,}25(x - \pi))\). 4. Punktprobe für \(P(5\pi \mid 1)\): \(h(5\pi) = -\cos(0{,}25 \cdot (5\pi - \pi)) = -\cos(0{,}25 \cdot 4\pi) = -\cos(\pi)\). 5. Da \(\cos(\pi) = -1\), ergibt sich \(h(5\pi) = -(-1) = 1\). Der Punkt \(P\) liegt auf dem Graphen.

a) \(h(x) = -\cos(0{,}25(x - \pi))\) oder \(h(x) = -\cos(\frac{1}{4}(x - \pi))\) b) Ja, der Punkt \(P(5\pi \mid 1)\) liegt auf dem Graphen, da \(h(5\pi) = 1\) gilt.

- Wenn ein Quadrat in der Gleichung steht, denke daran, dass beim Wurzelziehen sowohl ein positives als auch ein negatives Ergebnis möglich ist. - Wie viele Lösungen erwartest du am Einheitskreis, wenn der Sinuswert betragsmäßig feststeht? - Prüfe sorgfältig, welche der gefundenen Werte tatsächlich im vorgegebenen Intervall von \(-\pi\) bis \(2\pi\) liegen. - Skizziere dir eventuell den Graphen der Sinusfunktion, um die Lage der Lösungen zu kontrollieren.

1. Auflösen nach \(\sin x\) durch Ziehen der Quadratwurzel ergibt zwei Fälle: \(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\) oder \(\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). 2. Lösungen für \(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\) im Intervall \([-\pi; 2\pi]\): Im Bereich \([0; 2\pi]\) sind dies \(x_1 = \frac{\pi}{3}\) und \(x_2 = \frac{2\pi}{3}\). Im negativen Bereich \([-\pi; 0]\) gibt es keine Lösung für diesen positiven Wert. 3. Lösungen für \(\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) im Intervall \([-\pi; 2\pi]\): Im Bereich \([0; 2\pi]\) sind dies \(x_3 = \frac{4\pi}{3}\) und \(x_4 = \frac{5\pi}{3}\). Im Bereich \([-\pi; 0]\) ergeben sich durch Subtraktion von \(2\pi\) von den positiven Standardwerten (oder Betrachtung am Einheitskreis) \(x_5 = -\frac{\pi}{3}\) und \(x_6 = -\frac{2\pi}{3}\). 4. Zusammenfassen aller gültigen Werte zur Lösungsmenge: \(L = \{ -\frac{2\pi}{3}; -\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}; \frac{5\pi}{3} \}\).

\(L = \{ -\frac{2\pi}{3}; -\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}; \frac{5\pi}{3} \}\)