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- Lies zuerst den größten Abstand des Graphen von der \(x\)-Achse ab. - In der vorgegebenen Form ist dieser Abstand die Amplitude. - Das Vorzeichen von \(a\) ist bereits festgelegt.

1. Der Graph hat den Hochpunktwert \(2\) und den Tiefpunktwert \(-2\). Damit ist seine Amplitude \(2\). 2. In der Form \(f(x)=a\sin(x)\) mit \(a>0\) ist daher \(a=2\). 3. Der Funktionsterm lautet \(f(x)=2\sin(x)\).

\(a=2\); \(f(x)=2\sin(x)\)

- Die Mittellinie liegt genau zwischen dem höchsten und dem tiefsten Funktionswert. - Die Amplitude ist ein Abstand und daher nicht negativ; der Vorfaktor \(a\) kann dagegen ein Vorzeichen tragen. - Lies die Länge einer vollständigen Wiederholung ab, bevor du den Faktor \(b\) bestimmst. - Bei der Kosinusform zeigt der Start an einem Hoch- oder Tiefpunkt, welches Vorzeichen der Vorfaktor haben muss.

1. Für \(f\) liegen Maximum und Minimum bei \(3\) und \(-1\). Daher ist \(d=\frac{3+(-1)}{2}=1\) und die Amplitude \(A=2\). Die Periode ist \(T=4\), also \(b=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\). Da der Graph die Mittellinie bei \(x=0\) ansteigend durchläuft, ist \(a=2\). Somit gilt \(f(x)=2\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)+1\). 2. Für \(g\) liegen Maximum und Minimum bei \(1{,}5\) und \(-1{,}5\). Daher ist \(d=0\) und die Amplitude \(A=1{,}5\). Die Periode ist \(T=2\), also \(b=\pi\). Weil der Graph bei \(x=0\) ein Minimum hat, ist der Vorfaktor in der vorgegebenen Kosinusform negativ: \(a=-1{,}5\). Somit gilt \(g(x)=-1{,}5\cos(\pi x)\).

\(f\): \(A=2\), \(T=4\), \(a=2\), \(b=\frac{\pi}{2}\), \(d=1\), \(f(x)=2\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)+1\) \(g\): \(A=1{,}5\), \(T=2\), \(a=-1{,}5\), \(b=\pi\), \(d=0\), \(g(x)=-1{,}5\cos(\pi x)\)

- Wie hängen der höchste und der tiefste Punkt des Graphen mit der Amplitude und der Verschiebung zusammen? - Wo liegt die Mittellinie (Ruhelage) dieses Graphen? - Wie kannst du den Abstand zwischen zwei gleichen Punkten (zum Beispiel zwei benachbarten Hochpunkten) nutzen, um die Periode zu bestimmen? - Welche Formel verbindet die Periode mit dem Faktor vor dem Argument in der Sinusfunktion?

1. **Ablesen der Extremwerte**: Aus dem Graphen lässt sich ablesen, dass der maximale Funktionswert bei \(y_{\text{max}} = 4\) liegt (beispielsweise bei \(x = 1\) oder \(x = 5\)). Der minimale Funktionswert liegt bei \(y_{\text{min}} = -2\) (beispielsweise bei \(x = -1\) oder \(x = 3\)). 2. **Berechnung von Amplitude \(a\) und Verschiebung \(d\)**: - Die Amplitude \(a\) entspricht der halben Differenz zwischen dem Maximum und dem Minimum: \(a = \frac{y_{\text{max}} - y_{\text{min}}}{2} = \frac{4 - (-2)}{2} = \frac{6}{2} = 3\) - Die Verschiebung \(d\) in \(y\)-Richtung entspricht der Mittellinie des Graphen, die genau in der Mitte zwischen Maximum und Minimum liegt: \(d = \frac{y_{\text{max}} + y_{\text{min}}}{2} = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1\) 3. **Bestimmung der Periode \(p\) und des Parameters \(b\)**: - Die Periode \(p\) ist der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Hochpunkten (oder Tiefpunkten). Zwischen dem Hochpunkt bei \(x = 1\) und dem nächsten bei \(x = 5\) liegt ein Abstand von: \(p = 5 - 1 = 4\) - Der Parameter \(b\) berechnet sich über die Formel: \(b = \frac{2\pi}{p} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\) 4. **Aufstellen des Funktionsterms**: Durch Einsetzen der ermittelten Parameter \(a = 3\), \(b = \frac{\pi}{2}\) und \(d = 1\) in die vorgegebene Form erhält man den Funktionsterm: \(f(x) = 3\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) + 1\)

\(a = 3\), \(b = \frac{\pi}{2}\), \(d = 1\), \(f(x) = 3\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) + 1\)

- Lies zunächst den maximalen Abstand jedes Graphen von der \(x\)-Achse ab. - Dieser Abstand bestimmt \(|a|\), aber noch nicht das Vorzeichen von \(a\). - Beobachte deshalb zusätzlich, ob der Graph den Ursprung ansteigend oder fallend durchläuft.

1. Beim Graphen von \(f\) beträgt der maximale Abstand von der \(x\)-Achse \(1{,}5\). Daher ist zunächst \(|a_f|=1{,}5\). 2. Der Graph von \(f\) durchläuft den Ursprung ansteigend. Deshalb ist \(a_f>0\), also \(a_f=1{,}5\) und \(f(x)=1{,}5\sin(x)\). 3. Beim Graphen von \(g\) beträgt der maximale Abstand von der \(x\)-Achse \(0{,}5\). Daher ist \(|a_g|=0{,}5\). 4. Auch der Graph von \(g\) durchläuft den Ursprung ansteigend. Daher ist \(a_g=0{,}5\) und \(g(x)=0{,}5\sin(x)\).

\(f\): \(a_f = 1{,}5\), \(f(x) = 1{,}5\sin(x)\) \(g\): \(a_g = 0{,}5\), \(g(x) = 0{,}5\sin(x)\)

- Bestimme zuerst die Periodenlänge \(P\), also den \(x\)-Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Maxima oder Nulldurchgängen in derselben Richtung. - Nutze den Zusammenhang zwischen der Periodenlänge \(P\) und dem Faktor \(b\): \(P = \frac{2\pi}{b}\). - Wie oft schwingt der Graph in einem Abschnitt von \(2\pi\)?

1. Bestimmung der Periode von \(f\): Der Graph \(f\) (blau) schließt eine vollständige Schwingung im Intervall von \(0\) bis \(2\pi\) ab. Die Periodenlänge ist also \(P_f = 2\pi\). 2. Berechnung von \(b\) für \(f\): Aus der Formel \(b = \frac{2\pi}{P}\) folgt \(b_f = \frac{2\pi}{2\pi} = 1\). Die Funktionsgleichung ist \(f(x) = \sin(x)\). 3. Bestimmung der Periode von \(g\): Der Graph \(g\) (rot) benötigt für eine vollständige Schwingung das Intervall von \(0\) bis \(4\pi\). Die Periodenlänge ist also \(P_g = 4\pi\). 4. Berechnung von \(b\) für \(g\): Es gilt \(b_g = \frac{2\pi}{4\pi} = 0{,}5\). Die Funktionsgleichung ist \(g(x) = \sin(0{,}5x)\).

\(f\): \(b_f = 1\), \(f(x) = \sin(x)\) \(g\): \(b_g = 0{,}5\), \(g(x) = \sin(0{,}5x)\)

- Schau dir an, wie weit der Graph nach oben und unten ausschlägt, um die Amplitude zu finden. - Finde heraus, nach welcher Entfernung auf der x-Achse sich das Muster des Graphen zum ersten Mal wiederholt. - Überlege dir, wie der Streckfaktor in x-Richtung mit der Periode zusammenhängt. - Achte auf die Beschriftung der \(x\)-Achse in Vielfachen von \(\pi\).

1. Amplitude \(a\) ablesen: Der Graph schwankt zwischen dem Maximum bei \(2\) und dem Minimum bei \(-2\). Somit ist \(a = 2\). 2. Periode \(T\) bestimmen: Eine vollständige Schwingung ist bei \(x = \pi\) abgeschlossen. Die Periode beträgt also \(T = \pi\). 3. Parameter \(b\) berechnen: Es gilt \(b = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\pi} = 2\). 4. Funktionsgleichung aufstellen: Durch Einsetzen von \(a\) und \(b\) ergibt sich \(f(x) = 2\sin(2x)\).

\(f(x) = 2\sin(2x)\)

- Suche zuerst die Mittellinie der Schwingung, um die vertikale Verschiebung zu bestimmen. - Die Amplitude ist der Abstand von der Mittellinie zu einem Hoch- oder Tiefpunkt. - Vergleiche den Kurvenverlauf mit der Standard-Sinusfunktion \(y = \sin(x)\).

1. Vertikale Verschiebung \(d\) bestimmen: Die Schwingung findet symmetrisch um die Gerade \(y = 0{,}5\) statt; die Mittellinie liegt genau zwischen dem Maximum \(2\) und dem Minimum \(-1\). Also ist \(d = 0{,}5\). 2. Amplitude \(a\) bestimmen: Der maximale Ausschlag von der Mittellinie bis zu einem Extrempunkt beträgt \(2 - 0{,}5 = 1{,}5\). Somit ist \(a = 1{,}5\). 3. Überprüfung der Periode: Eine vollständige Schwingung dauert von \(x=0\) bis \(x=2\) in Einheiten von \(\pi\). Das entspricht \(T = 2\pi\) und passt zur Grundform \(\sin(x)\). 4. Ergebnis: \(h(x) = 1{,}5\sin(x) + 0{,}5\).

\(h(x) = 1{,}5\sin(x) + 0{,}5\)

- Vergleiche die höchsten und tiefsten Punkte beider Graphen. - Haben sich die Stellen, an denen der Graph die x-Achse schneidet, verändert? - Überlege, mit welcher Zahl du die Funktionswerte von \(f\) multiplizieren musst, um auf die Werte von \(g\) zu kommen.

1. Vergleiche die Amplituden: Die Grundfunktion \(f\) hat eine Amplitude von \(1\) (Maximum bei \(y=1\)). Die Funktion \(g\) hat ein Maximum bei \(y=2\) und ein Minimum bei \(y=-2\). 2. Die Amplitude von \(g\) ist also \(2\). Dies entspricht einer Streckung in y-Richtung mit dem Faktor \(2\). 3. Die Nullstellen und die Periode (\(2\pi\)) sind gleich geblieben, es liegt keine Verschiebung vor. 4. Der Funktionsterm lautet \(g(x) = 2\cos(x)\).

Der Graph von \(g\) entsteht durch eine Streckung in y-Richtung mit dem Faktor \(2\). Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = 2\cos(x)\).

- Wo liegt die waagerechte Mittellinie, um die der Graph schwingt? - Wie weit ist der höchste Punkt des Graphen von dieser Mittellinie entfernt? - Vergleiche den Abstand zwischen zwei benachbarten Hochpunkten mit der Periode der normalen Sinusfunktion. - Überlege, ob der Graph an der \(y\)-Achse wie die normale Sinusfunktion im Ursprung (oder verschoben) startet.

1. Bestimmung der vertikalen Verschiebung: Der Graph schwingt um die Mittellinie \(y = 1\). Somit ist der Graph von \(f\) um \(1\) Einheit nach oben verschoben worden (\(d = 1\)). 2. Bestimmung der Amplitude: Der Abstand vom Maximum (\(y = 3\)) zur Mittellinie (\(y = 1\)) beträgt \(2\). Der Graph ist also in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\) gestreckt worden (\(a = 2\)). 3. Bestimmung der Periode: Eine vollständige Schwingung erfolgt im Intervall von \(x = 0\) bis \(x = 2\pi \approx 6{,}28\). Die Periode ist \(p = 2\pi\), was der Standardperiode entspricht. Es liegt keine Streckung in \(x\)-Richtung vor (\(b = 1\)). 4. Aufstellen des Funktionsterms: Aus der Form \(g(x) = a\sin(bx) + d\) ergibt sich mit den gefundenen Werten \(g(x) = 2\sin(x) + 1\).

Der Graph von \(g\) ist gegenüber der Sinusfunktion \(f(x) = \sin(x)\) um den Faktor \(2\) in \(y\)-Richtung gestreckt und um \(1\) Einheit nach oben verschoben worden; der Funktionsterm lautet \(g(x) = 2\sin(x) + 1\).

- Wie lange dauert es auf der \(x\)-Achse, bis sich das Muster des Graphen exakt wiederholt? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Periodenlänge und dem Faktor vor dem \(x\) im Sinus-Argument. - Hat sich die Höhe der Wellenberge im Vergleich zur normalen Sinusfunktion verändert? - Beginnt die Kurve im Koordinatenursprung mit einer Steigung nach oben, genau wie die Sinusfunktion?

1. Bestimmung der Amplitude und Verschiebung: Der Graph schwingt symmetrisch um die \(x\)-Achse (\(y = 0\)), daher gibt es keine vertikale Verschiebung (\(d = 0\)). Die Amplitude ist \(1\), da der maximale Ausschlag \(1\) beträgt (\(a = 1\)). 2. Bestimmung der Periode: Eine volle Schwingung (von einem Nulldurchgang mit positiver Steigung zum nächsten) wird bereits bei \(x = \pi \approx 3{,}14\) abgeschlossen. Die Periode ist also \(p = \pi\). 3. Berechnung des Faktors \(b\): Da \(p = \frac{2\pi}{b}\) gilt, folgt \(b = \frac{2\pi}{p} = \frac{2\pi}{\pi} = 2\). Dies entspricht einer Stauchung in \(x\)-Richtung um den Faktor \(0{,}5\). 4. Aufstellen des Funktionsterms: Mit \(a=1\), \(b=2\) und \(d=0\) lautet die Gleichung \(g(x) = \sin(2x)\).

Der Graph von \(g\) geht aus \(f(x) = \sin(x)\) durch eine Stauchung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{2}\) hervor; die Periode halbiert sich auf \(\pi\), und der Funktionsterm lautet \(g(x) = \sin(2x)\).

- Überlege dir zuerst, wie weit der Graph nach oben und unten ausschlägt, um die Amplitude zu finden. - Suche den Punkt auf der x-Achse, an dem der Graph zum ersten Mal eine vollständige Auf- und Abwärtsbewegung beendet hat. Das ist die Periodenlänge. - Wie hängen die Periodenlänge und der Faktor vor dem \(x\) im Sinus-Argument zusammen? - Kontrolliere dein Ergebnis, indem du einen markanten Punkt des Graphen in deinen gefundenen Term einsetzt.

1. Graph a): Die Amplitude ist der maximale Ausschlag von der x-Achse, hier \(a = 2\). Eine vollständige Schwingung ist bei \(x = 1\) abgeschlossen, also ist die Periode \(T = 1\). Mit der Formel \(b = \frac{2\pi}{T}\) ergibt sich \(b = 2\pi\). Der Funktionsterm lautet \(f(x) = 2\sin(2\pi x)\). 2. Graph b): Die Amplitude beträgt \(a = 0{,}5\). Der Graph schließt nach \(T = 2\) Einheiten eine Schwingung ab. Daraus folgt \(b = \frac{2\pi}{2} = \pi\). Der Funktionsterm lautet \(f(x) = 0{,}5\sin(\pi x)\). 3. Graph c): Die Amplitude ist \(a = 1{,}5\). Eine volle Periode hat die Länge \(T = 4\). Somit berechnet sich \(b = \frac{2\pi}{4} = 0{,}5\pi\). Der Funktionsterm lautet \(f(x) = 1{,}5\sin(0{,}5\pi x)\).

a) \(f(x) = 2\sin(2\pi x)\) b) \(f(x) = 0{,}5\sin(\pi x)\) c) \(f(x) = 1{,}5\sin(0{,}5\pi x)\)

- Wenn der Graph am Ursprung nach unten startet, was bedeutet das für das Vorzeichen der Amplitude? - Bestimme die Periodenlänge \(T\), indem du den Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Hochpunkten oder zwei gleichartigen Nulldurchgängen abliest. - Nutze die Formel \(T = \frac{2\pi}{b}\), um nach \(b\) aufzulösen.

1. Graph a): Der Graph verläuft am Ursprung zunächst ins Negative, was auf eine Spiegelung an der x-Achse hindeutet. Mit einer Amplitude von \(2\) wählen wir \(a = -2\). Da die Periode \(T = 2\) beträgt, ist \(b = \frac{2\pi}{2} = \pi\). Ergebnis: \(a = -2\), \(b = \pi\). 2. Graph b): Die Amplitude ist \(a = 3\). Eine vollständige Periode ist bei \(T = 5\) abgeschlossen. Daraus ergibt sich \(b = \frac{2\pi}{5} = 0{,}4\pi\). Ergebnis: \(a = 3\), \(b = 0{,}4\pi\). 3. Graph c): Die Amplitude ist \(a = 1\). Der Graph schwingt sehr schnell; eine volle Periode ist bereits bei \(T = 0{,}5\) beendet. Somit ist \(b = \frac{2\pi}{0{,}5} = 4\pi\). Ergebnis: \(a = 1\), \(b = 4\pi\).

a) \(a = -2\); \(b = \pi\) b) \(a = 3\); \(b = 0{,}4\pi\) c) \(a = 1\); \(b = 4\pi\)

- Schau dir zuerst an, um welchen Wert der Graph nach oben oder unten verschoben wurde. Wo liegt die Mitte zwischen den Bergen und Tälern? - Wie weit schlägt die Kurve von dieser Mittellinie nach oben und unten aus? - Wie groß ist der waagerechte Abstand, nach dem sich das Muster der Kurve wiederholt? - Wie hängen die Periode und der Faktor \(b\) im Sinusterm zusammen?

1. Bestimmung der Mittellinie \(d\): Die Maxima liegen bei \(y = 2\) und die Minima bei \(y = -1\). Die Mittellinie liegt genau dazwischen: \(d = \frac{2 + (-1)}{2} = 0{,}5\). 2. Bestimmung der Amplitude \(a\): Der Abstand von der Mittellinie zum Maximum beträgt \(a = 2 - 0{,}5 = 1{,}5\). 3. Bestimmung der Periode \(T\): Der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Maxima (z. B. bei \(x=1\) und \(x=5\)) beträgt \(T = 4\). 4. Berechnung des Parameters \(b\): Es gilt \(b = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\). 5. Aufstellen des Funktionsterms: Da der Graph bei \(x=0\) auf der Mittellinie liegt und danach ansteigt, ist kein zusätzlicher Phasenverschub nötig. Der Term lautet \(f(x) = 1{,}5\sin(\frac{\pi}{2}x) + 0{,}5\).

\(f(x) = 1{,}5\sin(\frac{\pi}{2}x) + 0{,}5\)

- Überprüfe, ob der Graph nach oben oder unten verschoben wurde. - Bestimme die maximale Höhe der Wellenberge. - Ermittle den horizontalen Abstand für eine komplette Welle.

1. Mittellinie: Die \(x\)-Achse ist die Mittellinie des Graphen, also ist \(d = 0\). 2. Amplitude: Das Maximum liegt bei \(y = 2{,}5\), also ist \(a = 2{,}5\). 3. Periode: Die Kurve schneidet die \(x\)-Achse bei \(0, 2, 4, 6\). Eine volle Periode geht von \(x = 0\) bis \(x = 4\), also \(T = 4\). 4. Faktor \(b\): \(b = \frac{2\pi}{4} = 0{,}5\pi\). Ergebnis: \(a = 2{,}5\); \(b = 0{,}5\pi\); \(d = 0\).

\(a = 2{,}5\); \(b = 0{,}5\pi\) (oder \(\frac{\pi}{2}\)); \(d = 0\)

- Bestimme für jeden Graphen zuerst Mittellinie und Amplitude. - Vergleiche anschließend die Periodenlängen. - Prüfe zuletzt den Funktionswert und die Richtung des Graphen bei \(x=0\).

1. Graph \(a\) schwingt zwischen \(0\) und \(2\) um die Mittellinie \(y=1\). Daher gehört \(y=\sin(x)+1\) zu diesem Graphen. 2. Graph \(b\) hat die Amplitude \(2\) und die Periode \(2\pi\). Daher gehört \(y=2\sin(x)\) zu diesem Graphen. 3. Graph \(c\) hat die Amplitude \(1\), aber die Periode \(\pi\), also die halbe Periodenlänge der Grundfunktion. Daher gehört \(y=\sin(2x)\) zu diesem Graphen. 4. Graph \(d\) ist die Standard-Sinusfunktion mit Amplitude \(1\) und Periode \(2\pi\). Daher gehört \(y=\sin(x)\) zu diesem Graphen.

Graph \(a\): \(y=\sin(x)+1\) Graph \(b\): \(y=2\sin(x)\) Graph \(c\): \(y=\sin(2x)\) Graph \(d\): \(y=\sin(x)\)

- Welche Information über \(d\) liefert der Schnittpunkt mit der Mittellinie? - Wie erhältst du die Amplitude aus Hochpunkt und Mittellinie? - Welcher Bruchteil der Periode liegt zwischen einem ansteigenden Mittelliniendurchgang und dem nächsten Hochpunkt? - Welcher Wert von \(c\) passt in der Form \(b(x+c)\), wenn der ansteigende Mittelliniendurchgang bei \(x=0\) liegt?

1. Da \(M(0\mid2)\) auf der Mittellinie liegt, ist \(d=2\). 2. Die Amplitude ist die Differenz zwischen dem Hochpunkt und der Mittellinie: \(a=5-2=3\). 3. Vom Schnittpunkt mit der Mittellinie bei positiver Steigung bis zum nächsten Hochpunkt vergeht ein Viertel der Periode. Daher gilt \(\frac{p}{4}=2\), also \(p=8\) und \(b=\frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4}\). 4. Der Graph schneidet bereits bei \(x=0\) die Mittellinie mit positiver Steigung. In der Form \(b(x+c)\) ist deshalb \(c=0\). 5. Somit lautet die Funktionsgleichung \(g(x)=3\sin\left(\frac{\pi}{4}x\right)+2\).

\(g(x)=3\sin\left(\frac{\pi}{4}x\right)+2\)

- Wie hängen Maximum und Minimum mit der Mittellinie und der Amplitude zusammen? - Wie kannst du die Periode aus zwei gleichgerichteten Mittelliniendurchgängen ablesen? - Welche Beziehung besteht zwischen der Periode und dem Parameter \(b\)? - Prüfe deinen Term an einem gut ablesbaren Punkt des Graphen.

1. Das Maximum liegt bei \(y_{\text{max}}=1\), das Minimum bei \(y_{\text{min}}=-2\). Daher ist die Mittellinie \(d=\frac{1+(-2)}{2}=-0{,}5\). 2. Die Amplitude ist \(a=1-(-0{,}5)=1{,}5\). 3. Der Graph durchläuft bei \(x=0\) die Mittellinie steigend und erreicht dieselbe Phase bei \(x=2\) erneut. Somit ist die Periode \(p=2\). 4. Für den Parameter \(b\) gilt \(b=\frac{2\pi}{p}=\pi\). 5. Damit lautet die Funktionsgleichung \(f(x)=1{,}5\sin(\pi x)-0{,}5\).

Parameter: \(a = 1{,}5\), \(b = \pi\), \(d = -0{,}5\) Funktionsgleichung: \(f(x) = 1{,}5\sin(\pi x) - 0{,}5\)

- Bestimme zuerst die Periode \(T\) der Schwingung, also den Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Wellenbergen. - Berechne aus der Periode \(T\) den Streckungsfaktor \(b\) mit der Formel \(b = \frac{2\pi}{T}\). - Finde die Ruhelage (Mittellinie) des Graphen heraus, um die Verschiebung in \(y\)-Richtung zu ermitteln. - Bestimme die Amplitude, indem du den maximalen Abstand des Graphen von dieser Mittellinie abliest. - Überlege, ob eine Sinus- oder eine Kosinusfunktion als Ausgangsbasis besser geeignet ist, indem du das Verhalten bei \(x = 0\) betrachtest.

1. **Analyse von Graph a)**: - Der Graph verläuft durch den Ursprung \((0 \mid 0)\) und steigt danach an. Es handelt sich um eine reine Sinusfunktion der Form \(f(x) = a\sin(bx)\). - Die Amplitude \(a\) ist die maximale Auslenkung aus der Ruhelage (hier die \(x\)-Achse). Der Hochpunkt liegt bei \(y = 1{,}5\), also ist \(a = 1{,}5\). - Die Periode \(T\) ist die Länge einer vollständigen Schwingung. Der Graph schließt eine volle Periode bei \(x = 4\) ab, also ist \(T = 4\). - Der Faktor \(b\) berechnet sich über \(b = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\). - Damit lautet die Funktionsgleichung: \(f(x) = 1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{2} x\right)\). 2. **Analyse von Graph b)**: - Der Graph hat bei \(x = 0\) einen Hochpunkt. Es handelt sich um eine Kosinusfunktion der Form \(g(x) = a\cos(bx) + d\). - Der Graph schwankt zwischen \(y = 0\) und \(y = 2\). Die Mittellinie (Verschiebung in \(y\)-Richtung) liegt genau in der Mitte bei \(d = 1\). - Die Amplitude \(a\) ist die maximale Abweichung von dieser Mittellinie, also \(a = 2 - 1 = 1\). - Die Periode \(T\) ist der Abstand von Hochpunkt zu Hochpunkt, hier von \(x = 0\) bis \(x = 2\), also \(T = 2\). - Der Faktor \(b\) berechnet sich über \(b = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2} = \pi\). - Damit lautet die Funktionsgleichung: \(g(x) = \cos(\pi x) + 1\).

a) \(f(x) = 1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{2} x\right)\) b) \(g(x) = \cos(\pi x) + 1\)

- Bestimme zuerst den höchsten und den tiefsten Punkt des Graphen. - Wie kannst du aus dem Maximum und dem Minimum die Mittellinie (Verschiebung in y-Richtung) berechnen? - Überlege, wie weit der Graph maximal von dieser Mittellinie nach oben oder unten ausschlägt, um die Amplitude zu finden. - Ermittle die Länge einer vollständigen Welle (die Periode) entlang der x-Achse. - Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Periode und dem Faktor vor dem \(x\)?

1. Das Maximum liegt bei \(y_{\text{max}}=5\), das Minimum bei \(y_{\text{min}}=-1\). Daher ist \(d=\frac{5+(-1)}{2}=2\). 2. Die Amplitude ist \(a=5-2=3\). Wegen \(a>0\) gilt \(a=3\). 3. Der Graph schneidet bei \(x=0\) die Mittellinie steigend und wiederholt diese Lage bei \(x=8\). Somit ist \(T=8\). Aus \(T=\frac{2\pi}{b}\) folgt für den Parameter \(b=\frac{\pi}{4}\). 4. Damit lautet der Funktionsterm \(f(x)=3\sin\left(\frac{\pi}{4}x\right)+2\).

\(f(x) = 3\sin\left(\frac{\pi}{4} x\right) + 2\)

- Wie hängen die höchste und die tiefste Stelle des Graphen mit der Amplitude und der Verschiebung in \(y\)-Richtung zusammen? - Bestimme den Abstand auf der \(x\)-Achse zwischen zwei aufeinanderfolgenden Hochpunkten, um die Periode zu ermitteln. - Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Periode \(p\) und dem Faktor \(b\) im Argument der Sinus- bzw. Kosinusfunktion? - Überlege dir, wie sich der Startpunkt des Graphen bei \(x = 0\) (Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse oder Extrempunkt) auf das Vorzeichen des Streckfaktors auswirkt.

1. Analyse von \(f\) (blau): - Die Amplitude \(a\) ergibt sich aus der Hälfte der Differenz zwischen dem Maximum bei \(y = 3\) und dem Minimum bei \(y = -1\): \(a = \frac{3 - (-1)}{2} = 2\). - Die Verschiebung in \(y\)-Richtung \(d\) liegt genau in der Mitte zwischen Maximum und Minimum: \(d = \frac{3 + (-1)}{2} = 1\). - Die Periode \(p\) ist der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Maxima (z. B. bei \(x = 1\) und \(x = 5\)), also \(p = 4\). - Der Parameter \(b\) berechnet sich über die Formel \(b = \frac{2\pi}{p} = \frac{2\pi}{4} = 0{,}5\pi\). - Da der Graph bei \(x = 0\) auf der Mittellinie \(y = 1\) nach oben startet, liegt keine Phasenverschiebung vor und der Streckfaktor ist positiv. Es ergibt sich \(f(x) = 2\sin(0{,}5\pi x) + 1\). 2. Analyse von \(g\) (orange): - Das Maximum liegt bei \(y = 1\), das Minimum bei \(y = -1\). Die Mittellinie liegt bei \(y = 0\), also ist \(d = 0\). Die Amplitude ist \(|a| = 1\). - Die Periode beträgt ebenfalls \(p = 4\), woraus sich \(b = 0{,}5\pi\) ergibt. - Der Graph startet bei \(x = 0\) an seinem Minimum bei \(y = -1\). Da eine unverschobene Kosinusfunktion bei ihrem Maximum startet, ist der Graph an der \(x\)-Achse gespiegelt. Der Streckfaktor ist somit negativ: \(a = -1\). - Es ergibt sich die Funktionsgleichung \(g(x) = -\cos(0{,}5\pi x)\).

a) \(a = 2\), \(p = 4\), \(d = 1\), \(b = 0{,}5\pi = \frac{\pi}{2}\), \(f(x) = 2\sin(0{,}5\pi x) + 1\) b) Amplitude \(1\), \(p = 4\), \(d = 0\), \(b = 0{,}5\pi = \frac{\pi}{2}\), \(g(x) = -\cos(0{,}5\pi x)\)

- Wie kannst du die Mittellinie (Ruhelage) der Wellen bestimmen? Welcher Parameter in der Funktionsgleichung verschiebt den Graphen nach oben oder unten? - Wie groß ist die maximale Abweichung der Kurve von dieser Mittellinie nach oben oder unten? Welcher Parameter beschreibt diese Amplitude? - Wie lang ist ein vollständiger Wellenzyklus (eine Periode \(T\)), bevor sich das Muster wiederholt? - Mit welcher Formel kannst du den Faktor \(b\) aus der Periodenlänge \(T\) berechnen?

1. **Parameter für die Funktion \(f(x) = a\sin(bx) + d\)**: - **Verschiebung in \(y\)-Richtung (\(d\))**: Die Mittellinie liegt genau in der Mitte zwischen dem Hochpunkt bei \(y = 5\) und dem Tiefpunkt bei \(y = 1\). Es gilt: \(d = \frac{5 + 1}{2} = 3\) - **Amplitude (\(a\))**: Die maximale Abweichung von der Mittellinie nach oben oder unten beträgt: \(a = 5 - 3 = 2\) Da der Graph bei \(x = 0\) auf der Mittellinie nach oben startet, entspricht dies dem standardmäßigen Sinusverlauf mit \(a = 2\). - **Periode (\(T\)) und Faktor (\(b\))**: Der erste Hochpunkt liegt bei \(x = 1\) (eine Viertelperiode). Die gesamte Periodenlänge beträgt somit \(T = 4\). Über die Formel \(b = \frac{2\pi}{T}\) ergibt sich: \(b = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\) - **Funktionsterm**: \(f(x) = 2\sin\left(\frac{\pi}{2} x\right) + 3\) 2. **Parameter für die Funktion \(g(x) = a\cos(bx) + d\)**: - **Verschiebung in \(y\)-Richtung (\(d\))**: Die Mittellinie liegt genau in der Mitte zwischen dem Hochpunkt bei \(y = 3\) und dem Tiefpunkt bei \(y = 1\). Es gilt: \(d = \frac{3 + 1}{2} = 2\) - **Amplitude (\(a\))**: Die maximale Abweichung von der Mittellinie nach oben oder unten beträgt: \(a = 3 - 2 = 1\) Da der Graph bei \(x = 0\) einen Hochpunkt hat, entspricht dies dem standardmäßigen Kosinusverlauf mit \(a = 1\). - **Periode (\(T\)) und Faktor (\(b\))**: Der erste Tiefpunkt liegt bei \(x = 1\) (eine halbe Periode). Die gesamte Periodenlänge beträgt somit \(T = 2\). Über die Formel \(b = \frac{2\pi}{T}\) ergibt sich: \(b = \frac{2\pi}{2} = \pi\) - **Funktionsterm**: \(g(x) = \cos(\pi x) + 2\)

\(f(x) = 2\sin\left(\frac{\pi}{2} x\right) + 3\) mit den Parametern \(a = 2\), \(b = \frac{\pi}{2}\) und \(d = 3\). \(g(x) = \cos(\pi x) + 2\) mit den Parametern \(a = 1\), \(b = \pi\) und \(d = 2\).

- Bestimme zuerst Mittellinie, Amplitude und Periode aus den Extrempunkten und Wiederholungen des Graphen. - Welche Beziehung besteht zwischen der Periode \(p\) und dem Parameter \(b\)? - Suche bei \(h\) einen ansteigenden Schnittpunkt mit der Mittellinie. - Wie kannst du einen negativen Wert von \(c\) durch Addition einer ganzen Periode in das Intervall \([0;p)\) verschieben?

1. Für \(g\) beträgt die Amplitude \(a=1{,}5\). Eine vollständige Schwingung hat die Länge \(p=4\), daher ist \(b=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\). Es liegt keine horizontale oder vertikale Verschiebung vor. Somit gilt \(g(x)=1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\). 2. Für \(h\) liegen Maximum und Minimum bei \(1{,}5\) und \(-0{,}5\). Daher ist die Mittellinie \(d=0{,}5\) und die Amplitude \(a=1\). 3. Der Abstand zweier aufeinanderfolgender Tiefpunkte beträgt \(4\). Somit ist \(p=4\) und \(b=\frac{\pi}{2}\). 4. Der Graph durchläuft seine Mittellinie ansteigend bei \(x=1\). In der Form \(b(x+c)\) entspricht dies zunächst \(c=-1\). Wegen der Periodenlänge \(p=4\) ist der dazu äquivalente Wert im Intervall \([0;4)\) gleich \(c=3\). 5. Ein passender Term ist daher \(h(x)=\sin\left(\frac{\pi}{2}(x+3)\right)+0{,}5\).

a) \(a=1{,}5\), \(p=4\), \(b=\frac{\pi}{2}\), \(g(x)=1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\) b) \(a=1\), \(p=4\), \(b=\frac{\pi}{2}\), \(c=3\), \(d=0{,}5\), \(h(x)=\sin\left(\frac{\pi}{2}(x+3)\right)+0{,}5\)

- Lies zuerst den maximalen Abstand von der Mittellinie ab; dieser Abstand ist die Amplitude \(A\). - Das Vorzeichen des Koeffizienten \(a\) erkennst du daran, ob der Graph den Ursprung ansteigend oder fallend durchläuft. - Bestimme die Länge einer vollständigen Wiederholung, bevor du \(b\) berechnest. - Prüfe am Ende, ob \(|a|\) mit der abgelesenen Amplitude übereinstimmt.

1. Für \(f\) beträgt die Amplitude \(A=1{,}5\). Die Periode ist \(T=4\), also \(b=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\). Da der Graph im Ursprung ansteigt, ist \(a=1{,}5\). Somit gilt \(f(x)=1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\). 2. Für \(g\) beträgt die Amplitude \(A=1\). Der Graph verläuft im Ursprung nach unten, daher ist der Vorfaktor negativ: \(a=-1\). Die Periode ist \(T=2\), also \(b=\pi\). Somit gilt \(g(x)=-\sin(\pi x)\).

\(f\): \(A=1{,}5\), \(a=1{,}5\), \(b=\frac{\pi}{2}\), \(f(x)=1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\) \(g\): \(A=1\), \(a=-1\), \(b=\pi\), \(g(x)=-\sin(\pi x)\)

- Kannst du die maximale Höhe und Tiefe der Welle ablesen? Das hilft dir bei der Bestimmung der Amplitude. - Bestimme den Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Hochpunkten auf dem Graphen, um die Periode zu ermitteln. - Nutze die Periodenformel für die Kosinusfunktion, um den Parameter im Funktionsterm zu berechnen. - Beachte die Skalierung der Achsen: Jeder Gitterstrich auf der x-Achse entspricht einer Breite von \(\frac{\pi}{2}\). - Setze die abgelesenen x-Werte der Punkte in deine ermittelte Funktionsgleichung ein, um die y-Werte exakt zu berechnen.

1. Bestimmung der Amplitude \(a\): Der Graph schwankt symmetrisch um die \(x\)-Achse zwischen dem Maximum \(2\) und dem Minimum \(-2\). Die Amplitude ist daher \(a = 2\). 2. Bestimmung der Periode \(p\): Der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Hochpunkten (z. B. bei \(x = 0\) und \(x = 6\pi\)) beträgt \(6\pi\). Somit ist die Periode \(p = 6\pi\). 3. Bestimmung des Parameters \(b\): Mit der Periodenformel \(p = \frac{2\pi}{b}\) ergibt sich \(b = \frac{2\pi}{6\pi} = \frac{1}{3}\). Der Funktionsterm lautet somit \(f(x) = 2\cos\left(\frac{1}{3}x\right)\). 4. Bestimmung der Punktkoordinaten: - Punkt \(A\): Liegt bei \(x = -\pi\). Einsetzen liefert \(y = 2\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = 2 \cdot 0{,}5 = 1\), also \(A(-\pi \mid 1)\). - Punkt \(B\): Liegt am Hochpunkt bei \(x = 0\) mit \(y = 2\), also \(B(0 \mid 2)\). - Punkt \(C\): Liegt an der Nullstelle bei \(x = \frac{3\pi}{2}\) mit \(y = 0\), also \(C\left(\frac{3\pi}{2} \mid 0\right)\). - Punkt \(D\): Liegt am Tiefpunkt bei \(x = 3\pi\) mit \(y = -2\), also \(D(3\pi \mid -2)\).

a) \(a = 2\), \(p = 6\pi\), \(f(x) = 2\cos\left(\frac{1}{3}x\right)\) b) \(A(-\pi \mid 1)\), \(B(0 \mid 2)\), \(C\left(\frac{3\pi}{2} \mid 0\right)\), \(D(3\pi \mid -2)\)

- Kannst du die höchsten und tiefsten Punkte des Graphen bestimmen? Wie helfen sie dir, die Amplitude und die vertikale Verschiebung zu finden? - Wo liegt die Mittellinie der Welle? Diese Linie entspricht der Verschiebung in \(y\)-Richtung (Parameter \(d\)). - Wie groß ist der waagerechte Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Hochpunkten? Dieser Abstand entspricht der Periode \(T\). - Wie hängt der Parameter \(b\) in der Funktionsgleichung mit der Periode \(T\) zusammen? Denke an die Formel für die Periode.

1. Bestimmung der Amplitude \(a\): Der höchste Wert des Graphen liegt bei \(y_{\text{max}} = 1\), der tiefste Wert bei \(y_{\text{min}} = -3\). Die Amplitude \(a\) ist die Hälfte des Abstandes zwischen Maximum und Minimum: \(a = \frac{y_{\text{max}} - y_{\text{min}}}{2} = \frac{1 - (-3)}{2} = 2\). 2. Bestimmung der vertikalen Verschiebung \(d\): Die Mittellinie liegt genau in der Mitte zwischen dem höchsten und dem tiefsten Punkt: \(d = \frac{y_{\text{max}} + y_{\text{min}}}{2} = \frac{1 + (-3)}{2} = -1\). Der Graph ist somit um \(1\) Einheit nach unten verschoben. 3. Bestimmung des Parameters \(b\) über die Periode \(T\): Ein Maximum des Graphen liegt auf der \(y\)-Achse bei \(x = 0\). Das nächste Maximum liegt bei \(x = 4\). Die Periode beträgt somit \(T = 4\). Mit der Formel \(T = \frac{2\pi}{b}\) ergibt sich für \(b\): \(b = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\). 4. Aufstellen des Funktionsterms: Durch Einsetzen der ermittelten Parameter erhält man den Funktionsterm: \(f(x) = 2\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right) - 1\).

\(f(x) = 2\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right) - 1\)

- Schau dir den höchsten und den tiefsten Punkt des Graphen an. Wie kannst du daraus die Amplitude bestimmen? - Wo liegt die Mittellinie, um die der Graph schwingt? - Wie lang ist ein vollständiger Durchlauf des Graphen, bevor er sich wiederholt? - Welche Beziehung gibt es zwischen der Periodenlänge und dem Faktor vor dem \(x\) im Argument des Sinus?

1. **Bestimmung der Amplitude \(a\)**: Der maximale Wert des Graphen liegt bei \(y = 5\), der minimale Wert bei \(y = -1\). Die Amplitude \(a\) ist die Hälfte dieser Differenz: \(a = \frac{5 - (-1)}{2} = 3\). Da der Graph bei \(x = 0\) im Wendepunkt nach oben verläuft, ist \(a = 3\). 2. **Bestimmung der vertikalen Verschiebung \(d\)**: Die Mittellinie der sinusförmigen Schwingung liegt genau in der Mitte zwischen dem Maximum und dem Minimum: \(d = \frac{5 + (-1)}{2} = 2\). Der Graph ist somit um \(2\) Einheiten nach oben verschoben. 3. **Bestimmung der Periodenlänge \(T\) und des Parameters \(b\)**: Der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden gleichgerichteten Durchgängen durch die Mittellinie (z. B. bei \(x = 0\) und \(x = 4\)) oder zwischen zwei Maxima beträgt \(T = 4\). Aus der Beziehung \(T = \frac{2\pi}{b}\) folgt mit \(T = 4\): \(b = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}57\). 4. **Aufstellen des Funktionsterms**: Durch Einsetzen der ermittelten Parameter erhält man den Funktionsterm: \(f(x) = 3\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) + 2\).

a) Amplitude: \(a = 3\), Periodenlänge: \(T = 4\). b) Parameter: \(b = \frac{\pi}{2}\) (oder \(b \approx 1{,}57\)), vertikale Verschiebung: \(d = 2\). c) Funktionsterm: \(f(x) = 3\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) + 2\).

- Die Mittellinie liegt in der Mitte zwischen Maximum und Minimum. - Die Amplitude \(A\) ist ein nichtnegativer Abstand; das Vorzeichen steckt im Koeffizienten \(a\). - Lies die Periodenlänge als Abstand zweier gleichartiger Stellen im Kurvenverlauf ab. - Achte bei der Kosinusform darauf, ob der Graph bei \(x=0\) an einem Hochpunkt oder Tiefpunkt liegt.

1. Für \(f\) sind Maximum und Minimum \(3\) und \(-1\). Daher ist \(d=\frac{3+(-1)}{2}=1\) und \(A=2\). Eine vollständige Wiederholung hat die Länge \(T=4\), also \(b=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\). Der Graph durchläuft bei \(x=0\) die Mittellinie ansteigend, daher ist \(a=2\). Somit gilt \(f(x)=2\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)+1\). 2. Für \(g\) sind Maximum und Minimum \(2\) und \(-1\). Daher ist \(d=\frac{2+(-1)}{2}=0{,}5\) und \(A=1{,}5\). Der Abstand zweier aufeinanderfolgender Hochpunkte beträgt \(T=2\), also \(b=\pi\). Weil der Graph bei \(x=0\) einen Tiefpunkt hat, ist in der vorgegebenen Kosinusform \(a=-1{,}5\). Somit gilt \(g(x)=-1{,}5\cos(\pi x)+0{,}5\). 3. Für \(b\neq0\) gilt allgemein \(T=\frac{2\pi}{|b|}\). Bei den hier positiven Werten von \(b\) ist also \(b=\frac{2\pi}{T}\).

a) \(f\): \(A=2\), \(d=1\), \(T=4\), \(a=2\), \(b=\frac{\pi}{2}\), \(f(x)=2\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)+1\) \(g\): \(A=1{,}5\), \(d=0{,}5\), \(T=2\), \(a=-1{,}5\), \(b=\pi\), \(g(x)=-1{,}5\cos(\pi x)+0{,}5\) b) \(T=\frac{2\pi}{|b|}\); für \(b>0\) gilt \(b=\frac{2\pi}{T}\).

- Nutze Maximum und Minimum, um Mittellinie und Amplitude zu bestimmen. - Bestimme die Periode aus dem Abstand zweier benachbarter Hochpunkte. - Suche einen ansteigenden Schnittpunkt mit der Mittellinie. - Falls der zunächst gefundene Wert von \(c\) negativ ist: Welche periodisch äquivalente Zahl liegt im Intervall \([0;p)\)?

1. Das Maximum liegt bei \(y=3\), das Minimum bei \(y=-1\). Damit ist die Mittellinie \(d=1\) und die Amplitude \(a=2\). 2. Zwei aufeinanderfolgende Hochpunkte liegen bei \(x=2\) und \(x=6\). Daher ist \(p=4\) und \(b=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\). 3. Der Graph durchläuft die Mittellinie \(y=1\) bei \(x=1\) ansteigend. In der Form \(b(x+c)\) ergibt sich zunächst \(c=-1\). 4. Wegen \(p=4\) beschreibt \(c=-1+4=3\) denselben Graphen und erfüllt \(0\le c<p\). 5. Damit lautet der Funktionsterm \(f(x)=2\sin\left(\frac{\pi}{2}(x+3)\right)+1\).

a) \(a=2\), \(d=1\) b) \(p=4\), \(b=\frac{\pi}{2}\) c) \(c=3\), \(f(x)=2\sin\left(\frac{\pi}{2}(x+3)\right)+1\)

- Bestimme zunächst Amplitude und Mittellinie aus Maximum und Minimum. - Ermittle die Periode aus dem Abstand benachbarter Tiefpunkte. - Wo schneidet der Graph die Mittellinie ansteigend? - Welche positiven Werte von \(c\) sind wegen der Periodizität zum zunächst gefundenen Wert äquivalent?

1. Das Maximum liegt bei \(3\), das Minimum bei \(-1\). Daher ist die Amplitude \(a=2\) und die Mittellinie \(d=1\). 2. Zwei aufeinanderfolgende Tiefpunkte liegen bei \(x=0\) und \(x=2\). Somit ist die Periode \(p=2\) und \(b=\pi\). 3. Der erste positive ansteigende Schnittpunkt mit der Mittellinie liegt bei \(x=0{,}5\). Für die Form \(b(x+c)\) entspricht dies zunächst \(c=-0{,}5\). 4. Wegen der Periode \(2\) sind die Parameterwerte \(c=-0{,}5+2k\) äquivalent. Der kleinste positive Wert ist daher \(c=1{,}5\). 5. Damit lautet ein passender Funktionsterm \(f(x)=2\sin(\pi(x+1{,}5))+1\).

\(f(x)=2\sin(\pi(x+1{,}5))+1\)

- Schau dir zuerst die Achsenskalierung des Koordinatensystems genau an, um die Werte der Gitterlinien zu bestimmen. - Wo befinden sich die Hochpunkte, Tiefpunkte und Nullstellen des Graphen? Bestimme ihre Koordinaten durch Ablesen. - Erinnere dich daran, wie die Amplitude einer Sinusfunktion definiert ist – wie weit schlägt die Kurve nach oben und unten aus? - Wie lang ist ein vollständiger Durchlauf der Welle (ein Berg und ein Tal zusammen), bevor sich das Muster wiederholt? Das gibt dir die Periode. - Welcher mathematische Zusammenhang besteht zwischen der Periode einer Sinusfunktion und dem Faktor vor dem \(x\) im Argument?

1. Koordinaten ablesen: - Punkt \(A\) liegt am ersten Hochpunkt des Graphen bei \(x = 1{,}5\) und \(y = 1{,}5\). Somit gilt \(A(1{,}5 \mid 1{,}5)\). - Punkt \(B\) liegt auf der \(x\)-Achse bei der ersten Nullstelle nach dem Ursprung bei \(x = 3\). Somit gilt \(B(3 \mid 0)\). - Punkt \(C\) liegt am ersten Tiefpunkt des Graphen bei \(x = 4{,}5\) und \(y = -1{,}5\). Somit gilt \(C(4{,}5 \mid -1{,}5)\). - Punkt \(D\) liegt auf der \(x\)-Achse am Ende der ersten vollen Schwingung bei \(x = 6\). Somit gilt \(D(6 \mid 0)\). 2. Amplitude \(a\) und Periode \(T\): - Die Amplitude \(a\) entspricht dem maximalen Ausschlag des Graphen von der Mittellinie (\(x\)-Achse). Da der Hochpunkt bei \(y = 1{,}5\) liegt, ist die Amplitude \(a = 1{,}5\). - Die Periode \(T\) ist die Länge eines vollständigen Durchgangs der Sinuswelle. Der Graph startet im Ursprung \((0 \mid 0)\) steigend und kehrt bei \(x = 6\) wieder steigend zur \(x\)-Achse zurück. Die Periode beträgt somit \(T = 6\). 3. Parameter \(b\) und Funktionsterm: - Der Parameter \(b\) steht mit der Periode \(T\) über \(b = \frac{2\pi}{T}\) in Beziehung. - Einsetzen von \(T = 6\) liefert \(b = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}\). - Der vollständige Funktionsterm lautet \(f(x) = 1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{3}x\right)\).

a) \(A(1{,}5 \mid 1{,}5)\), \(B(3 \mid 0)\), \(C(4{,}5 \mid -1{,}5)\), \(D(6 \mid 0)\) b) Amplitude \(a = 1{,}5\), Periode \(T = 6\) c) Parameter \(b = \frac{\pi}{3}\), Funktionsterm \(f(x) = 1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{3}x\right)\)

- Bestimme zuerst Mittellinie und Amplitude aus Maximum und Minimum. - Lies die Periode aus dem Abstand zweier benachbarter Hochpunkte ab. - Suche einen ansteigenden Schnittpunkt mit der Mittellinie. - Welche periodisch äquivalenten Werte von \(c\) entstehen durch Addition ganzer Perioden?

1. Aus Maximum \(4\) und Minimum \(-2\) folgt die Mittellinie \(d=1\). 2. Die Amplitude ist \(a=3\). 3. Zwei benachbarte Hochpunkte liegen bei \(x=-2\) und \(x=2\). Daher ist \(p=4\) und \(b=\frac{\pi}{2}\). 4. Der erste ansteigende Schnittpunkt mit der Mittellinie rechts von der \(y\)-Achse liegt bei \(x=1\). In der Form \(b(x+c)\) ist zunächst \(c=-1\). 5. Wegen der Periode \(4\) sind die Werte \(c=-1+4k\) äquivalent. Der kleinste positive Wert ist \(c=3\). 6. Damit lautet ein passender Funktionsterm \(f(x)=3\sin\left(\frac{\pi}{2}(x+3)\right)+1\).

\(f(x)=3\sin\left(\frac{\pi}{2}(x+3)\right)+1\)

- Wie erhältst du Amplitude und Mittellinie aus dem höchsten und tiefsten Pegelwert? - Welcher Abstand im Graphen entspricht einer vollständigen Periode? - Welche Beziehung besteht zwischen \(p\) und \(b\)? - Suche einen ansteigenden Schnittpunkt mit der Mittellinie und beachte anschließend die Vorgabe \(0\le c<4\).

1. Aus dem Graphen liest man den maximalen Pegelwert \(2{,}5\,\text{m}\) und den minimalen Pegelwert \(-0{,}5\,\text{m}\) ab. 2. Die Amplitude ist \(a=\frac{2{,}5-(-0{,}5)}{2}=1{,}5\,\text{m}\), die Mittellinie liegt bei \(d=\frac{2{,}5+(-0{,}5)}{2}=1\,\text{m}\). 3. Die Hochpunkte bei \(x=2\) und \(x=6\) liegen \(4\) Stunden auseinander. Daher ist \(p=4\,\text{h}\) und \(b=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\). 4. Der Graph schneidet die Mittellinie bei \(x=1\) ansteigend. In der Form \(b(x+c)\) ergibt sich zunächst \(c=-1\). Der äquivalente Wert im geforderten Intervall \([0;4)\) ist \(c=3\). 5. Damit lautet der Funktionsterm \(f(x)=1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{2}(x+3)\right)+1\).

a) Maximaler Pegelwert \(2{,}5\,\text{m}\), minimaler Pegelwert \(-0{,}5\,\text{m}\), Amplitude \(1{,}5\,\text{m}\), Mittellinie \(y=1\,\text{m}\), Periode \(4\,\text{h}\) b) \(b=\frac{\pi}{2}\), \(c=3\), \(f(x)=1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{2}(x+3)\right)+1\)

- Bestimme zuerst die Amplitude \(a\) für beide Graphen, indem du die Differenz zwischen dem höchsten und dem tiefsten Punkt halbierst. - Finde die vertikale Verschiebung \(d\), indem du den Mittelwert aus dem höchsten und dem tiefsten Punkt berechnest. Dies gibt dir die Lage der Mittellinie (Ruhelage). - Bestimme die Periodenlänge \(p\) der Graphen, also den Abstand auf der x-Achse, nach dem sich das Muster exakt wiederholt. - Nutze die Periodenlänge \(p\), um den Faktor \(b\) über die Beziehung \(b = \frac{2\pi}{p}\) zu berechnen. - Überlege, ob die Graphen an der y-Achse (\(x=0\)) wie eine Standard-Sinusfunktion (in der Mittellinie startend und ansteigend) oder wie eine Standard-Kosinusfunktion (im Hochpunkt startend) beginnen.

1. Bestimmung des Funktionsterms von \(f(x) = a\sin(bx) + d\): - Amplitude \(a\): Der maximale Wert des Graphen liegt bei \(y = 3\), der minimale bei \(y = -1\). Die Amplitude beträgt somit \(a = \frac{3 - (-1)}{2} = 2\). - Vertikale Verschiebung \(d\): Die Mittellinie liegt in der Mitte von Maximum und Minimum bei \(d = \frac{3 + (-1)}{2} = 1\). - Periodenlänge \(p\) und Faktor \(b\): Der Graph beginnt bei \(x = 0\) auf der Mittellinie und steigt an. Nach einer Periodenlänge von \(p = 4\) wiederholt sich dieser Verlauf. Daraus ergibt sich der Faktor \(b = \frac{2\pi}{p} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\). - Funktionsterm: \(f(x) = 2\sin\left(\frac{\pi}{2} x\right) + 1\). 2. Bestimmung des Funktionsterms von \(g(x) = a\cos(bx) + d\): - Amplitude \(a\): Der maximale Wert des Graphen liegt bei \(y = 1\), der minimale bei \(y = -2\). Die Amplitude beträgt somit \(a = \frac{1 - (-2)}{2} = 1{,}5\). - Vertikale Verschiebung \(d\): Die Mittellinie liegt bei \(d = \frac{1 + (-2)}{2} = -0{,}5\). - Periodenlänge \(p\) und Faktor \(b\): Der Graph besitzt bei \(x = 0\) einen Hochpunkt. Der nächste Hochpunkt liegt bei \(x = 2\). Die Periodenlänge ist somit \(p = 2\). Daraus ergibt sich der Faktor \(b = \frac{2\pi}{p} = \frac{2\pi}{2} = \pi\). - Funktionsterm: \(g(x) = 1{,}5\cos(\pi x) - 0{,}5\).

\(f\): \(a = 2\), \(b = \frac{\pi}{2}\), \(d = 1\), \(f(x) = 2\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) + 1\) \(g\): \(a = 1{,}5\), \(b = \pi\), \(d = -0{,}5\), \(g(x) = 1{,}5\cos(\pi x) - 0{,}5\)

- Welche typische Graphenform gehört zu einem Term ersten Grades, und welche zu einem Sinusterm? - Lies die charakteristischen Parameter zunächst direkt aus den beiden gegebenen Termen ab. - Unterscheide die Eigenschaften „periodisch“ und „beschränkt“; sie bedeuten nicht dasselbe. - Nutze in d) die bekannte Periode von \(h\) und beobachte getrennt, was mit dem linearen Anteil passiert.

1. \(g\) ist eine lineare Funktion; ihr Graph ist eine Gerade. \(h\) ist eine Sinusfunktion; ihr Graph schwingt periodisch. 2. Bei \(g(x)=0{,}5x+1\) ist die Steigung \(m=0{,}5\) und der \(y\)-Achsenabschnitt \(1\). 3. Bei \(h(x)=2\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\) ist die Amplitude \(A=2\). Aus \(T=\frac{2\pi}{\pi/2}=4\) folgt die Periode \(T=4\). Die Wertemenge ist \([-2;2]\). 4. \(h\) ist periodisch und beschränkt. \(g\) ist wegen der von null verschiedenen Steigung nicht periodisch und auf \(\mathbb R\) weder nach oben noch nach unten beschränkt. 5. Mit \(h(x+4)=h(x)\) gilt \(f(x+4)=0{,}5(x+4)+1+h(x+4)=f(x)+2\). Daher ist \(f(x+4)-f(x)=2\) und insbesondere nicht \(0\); die Periode \(4\) von \(h\) ist also keine Periode von \(f\). 6. Der lineare Anteil \(g\) erzeugt den langfristigen Anstieg, die Sinusfunktion \(h\) die wiederkehrende Schwingung um diesen Trend.

a) \(g\): lineare Funktion; \(h\): Sinusfunktion. b) \(g\): \(m=0{,}5\), \(y\)-Achsenabschnitt \(1\); \(h\): \(A=2\), \(T=4\), Wertemenge \([-2;2]\). c) \(h\) ist periodisch und beschränkt; \(g\) ist weder periodisch noch beschränkt. d) \(f(x+4)-f(x)=2\); daher ist \(4\) keine Periode von \(f\). \(g\) bestimmt den langfristigen Anstieg, \(h\) die wiederkehrende Schwingung.

- Schau dir zuerst an, wie weit der Graph nach oben und unten ausschlägt, um die Amplitude \(a\) zu finden. - Bestimme die Periodenlänge \(p\), indem du den Abstand zwischen zwei benachbarten Hochpunkten oder zwei identischen Durchgängen durch die Mittellinie abliest. - Nutze den Zusammenhang \(b = \frac{2\pi}{p}\), um den Parameter \(b\) im Argument zu berechnen. - Überprüfe, ob der Graph im Ursprung steigt (Sinus) oder bei einem Extremwert beginnt (Kosinus).

1. Analyse von Graph \(f\): Die maximale Auslenkung (Amplitude) beträgt \(a = 1{,}5\). Eine vollständige Periode ist nach \(p = 8\) Einheiten abgeschlossen. Daraus ergibt sich der Faktor \(b = \frac{2\pi}{p} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \approx 0{,}785\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{4}x\right)\). 2. Analyse von Graph \(g\): Die Amplitude beträgt \(a = 2\). Die Periode ist deutlich kürzer und beträgt \(p = 2\). Damit ist \(b = \frac{2\pi}{2} = \pi \approx 3{,}142\). Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = 2\sin(\pi x)\).

\(f(x) = 1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{4} x\right)\) \(g(x) = 2\sin(\pi x)\)

- Wo liegt die waagerechte Mittellinie, um die der Graph schwingt? Dieser Wert entspricht der vertikalen Verschiebung \(d\). - Wie weit weicht der Graph maximal von dieser Mittellinie ab? Das ist die Amplitude \(a\). - Bestimme den Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Bergen (Maxima), um die Periodenlänge \(p\) zu finden. - Berechne \(b\) mit der Formel \(b = \frac{2\pi}{p}\).

1. Bestimmung der Verschiebung \(d\): Der höchste Wert liegt bei \(y = 3\), der tiefste bei \(y = -1\). Die Mittellinie liegt genau dazwischen bei \(d = \frac{3 + (-1)}{2} = 1\). 2. Bestimmung der Amplitude \(a\): Der Abstand von der Mittellinie zum Maximum ist \(a = 3 - 1 = 2\). 3. Bestimmung der Periode \(p\) und des Faktors \(b\): Ein Maximum liegt bei \(x = 0\), das nächste bei \(x = 6\). Die Periodenlänge ist also \(p = 6\). Damit folgt \(b = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \approx 1{,}047\). Die Funktionsgleichung ist somit \(h(x) = 2\cos\left(\frac{\pi}{3} x\right) + 1\).

\(a = 2\), \(b = \frac{\pi}{3} \approx 1{,}05\), \(d = 1\)

- Überprüfe den y-Wert an der Stelle \(x = 0\), um zu entscheiden, ob es sich um eine Sinus- oder Kosinusform handelt. - Bestimme den Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Hochpunkten für die Periode. - Setze die abgelesenen Werte in die allgemeine Form der Kosinusfunktion ein.

1. Amplitude \(a\) bestimmen: Der Graph hat seine Maxima bei \(0{,}5\) und Minima bei \(-0{,}5\). Daher ist \(a = 0{,}5\). 2. Periode \(T\) bestimmen: Der Graph beginnt bei einem Maximum (bei \(x=0\)) und erreicht das nächste Maximum bei \(x = \pi\). Daher gilt \(T = \pi\). 3. Parameter \(b\) berechnen: Mit der Formel \(b = \frac{2\pi}{T}\) ergibt sich \(b = \frac{2\pi}{\pi} = 2\). 4. Funktionsgleichung: Die gesuchte Gleichung lautet \(g(x) = 0{,}5\cos(2x)\).

\(g(x) = 0{,}5\cos(2x)\)

- Überlege, was es für den Parameter \(a\) bedeutet, wenn der Sinusgraph „nach unten“ startet. - Bestimme die Länge eines vollständigen „Bergs“ und eines „Tals“ zusammen, um die Periode zu finden. - Denke daran, dass die Skalierung der x-Achse die Berechnung von \(b\) beeinflusst.

1. Amplitude \(|a|\) bestimmen: Der Graph erreicht Werte zwischen \(1\) und \(-1\), also ist der Betrag der Amplitude \(1\). 2. Vorzeichen von \(a\): Da der Graph bei \(x = 0\) nicht nach oben, sondern nach unten startet, muss die Sinusfunktion an der x-Achse gespiegelt sein. Daher ist \(a = -1\). 3. Periode \(T\) bestimmen: Der Abstand zwischen zwei gleichgerichteten Nulldurchgängen beträgt \(4\pi\), also ist \(T = 4\pi\). 4. Parameter \(b\) berechnen: \(b = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4\pi} = 0{,}5\). 5. Funktionsgleichung: \(k(x) = -\sin(0{,}5x)\).

\(k(x) = -\sin(0{,}5x)\)

- Wie weit schlägt der Graph nach oben und unten aus? Das verrät dir die Amplitude. - Nach welcher Strecke auf der x-Achse wiederholt sich das Muster des Graphen? Das ist die Periodenlänge. - Überlege dir, wie der Faktor vor dem \(x\) die Periodenlänge beeinflusst. Ein größerer Faktor macht die Wellen „enger“.

1. Graph A: Der höchste Punkt liegt bei \(y = 2\), also ist die Amplitude \(a = 2\). Der Graph schließt nach \(4\) Einheiten eine vollständige Schwingung ab (Periode \(T = 4\)). Mit \(b = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4} = 0{,}5\pi\) ergibt sich die Gleichung (1): \(g(x) = 2\sin(0{,}5\pi x)\). 2. Graph B: Die Amplitude ist ebenfalls \(a = 2\). Eine vollständige Periode ist hier jedoch bereits nach \(2\) Einheiten abgeschlossen (\(T = 2\)). Das ergibt \(b = \frac{2\pi}{2} = \pi\). Dies entspricht Gleichung (3): \(g(x) = 2\sin(\pi x)\). 3. Graph C: Hier liegt der höchste Punkt bei \(y = 1\), die Amplitude ist also \(a = 1\). Die Periodenlänge beträgt \(T = 2\), was zu \(b = \pi\) führt. Dies passt zu Gleichung (2): \(g(x) = \sin(\pi x)\). 4. Die Gleichung (4) bleibt übrig.

A: (1); B: (3); C: (2). Übrig bleibt Gleichung (4).

- Schau dir zuerst an, um welche waagerechte Linie die Kurve nach oben und unten ausschlägt. - Wie weit ist der höchste Punkt von dieser Mittellinie entfernt? - Bestimme den Abstand auf der x-Achse, nach dem sich das Muster der Welle exakt wiederholt. - Überlege dir, wie du aus der Periodenlänge den Faktor vor dem \(x\) im Sinus berechnen kannst. - Setze für den zweiten Aufgabenteil den gegebenen x-Wert einfach in deine gefundene Funktionsgleichung ein.

1. Ruhelage bestimmen: Die Welle schwingt um die Mittellinie \(y = 3\), also ist \(d = 3\). 2. Amplitude bestimmen: Der maximale Wert ist \(5\), der minimale \(1\). Die Amplitude ist \(a = 5 - 3 = 2\). 3. Periode bestimmen: Ein vollständiger Wellenzyklus ist bei \(x = 8\) abgeschlossen, also ist \(P = 8\). 4. Parameter \(b\) berechnen: \(b = \frac{2\pi}{P} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}\). 5. Funktionsterm aufstellen: \(f(x) = 2\sin\left(\frac{\pi}{4}x\right) + 3\). 6. Höhe an der Stelle \(x = 1\) berechnen: \(f(1) = 2\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) + 3 = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 = \sqrt{2} + 3 \approx 4{,}41\).

a) \(f(x)=2\sin\left(\frac{\pi}{4}x\right)+3\) b) Die Höhe bei \(x=1\) beträgt \(3+\sqrt{2}\approx4{,}41\,\text{dm}\).

- Bestimme zunächst Mittellinie und Amplitude. - Lies die Periodenlänge aus zwei aufeinanderfolgenden Maxima ab. - Suche einen ansteigenden Schnittpunkt des Graphen mit der Mittellinie. - Welcher Wert von \(c\) sorgt in der Form \(x+c\) dafür, dass dieser Schnittpunkt zum Sinus-Startpunkt wird?

1. Die Mittellinie liegt bei \(y=1\), da die Maxima bei \(3\) und die Minima bei \(-1\) liegen. Also ist \(d=1\). 2. Die Amplitude ist \(a=3-1=2\). 3. Zwei aufeinanderfolgende Maxima liegen \(6\) Einheiten auseinander. Daher ist die Periode \(p=6\) und \(b=\frac{2\pi}{6}=\frac{\pi}{3}\). 4. Ein ansteigender Schnittpunkt mit der Mittellinie liegt bei \(x=-1{,}5\). In der Form \(b(x+c)\) folgt daraus direkt \(c=1{,}5\). 5. Somit lautet ein passender Funktionsterm \(g(x)=2\sin\left(\frac{\pi}{3}(x+1{,}5)\right)+1\).

\(g(x)=2\sin\left(\frac{\pi}{3}(x+1{,}5)\right)+1\)

- Wo liegt die Mittellinie der Kurve? Dieser \(y\)-Wert entspricht der Verschiebung \(d\). - Bestimme den Abstand von der Mittellinie bis zu einem Hochpunkt. Das ist deine Amplitude \(a\). - Lies den Abstand auf der \(x\)-Achse zwischen zwei benachbarten Hochpunkten ab, um die Periodenlänge zu finden. - Erinnere dich an die Formel \(b = \frac{2\pi}{T}\).

1. Bestimmung der Mittellinie \(d\): Die Maxima liegen bei \(y = 1\) und die Minima bei \(y = -3\). Die Mittellinie berechnet sich zu \(d = \frac{1 + (-3)}{2} = -1\). 2. Bestimmung der Amplitude \(a\): Der Ausschlag nach oben beträgt \(a = 1 - (-1) = 2\). 3. Bestimmung der Periode \(T\): Der Abstand zwischen zwei Maxima (z. B. bei \(x=0\) und \(x=2\)) beträgt \(T = 2\). 4. Berechnung des Parameters \(b\): Es gilt \(b = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2} = \pi\). 5. Aufstellen des Funktionsterms: Da der Graph bei \(x=0\) ein Maximum hat, passt die Kosinusfunktion ohne Verschiebung in x-Richtung perfekt. Der Term lautet \(f(x) = 2\cos(\pi x) - 1\).

\(f(x) = 2\cos(\pi x) - 1\)

- Wo liegt die Mittellinie des Graphen? - Achte darauf, ob der Graph bei \(x = 0\) nach oben oder nach unten geht. Das beeinflusst das Vorzeichen von \(a\). - Wie lang ist ein vollständiger Durchlauf der Kurve auf der \(x\)-Achse?

1. Mittellinie bestimmen: Das Maximum liegt bei \(y = 2\), das Minimum bei \(y = -1\). Die Mittellinie liegt bei \(d = \frac{2 + (-1)}{2} = 0{,}5\). 2. Amplitude bestimmen: Der Ausschlag beträgt \(|a| = 2 - 0{,}5 = 1{,}5\). Da der Graph bei \(x = 0\) im Mittelwert startet, aber zunächst fällt, ist der Parameter \(a = -1{,}5\). 3. Periode bestimmen: Von Minimum zu Minimum (z. B. von \(x = 1\) bis \(x = 5\)) beträgt der Abstand \(T = 4\). 4. Faktor \(b\) berechnen: \(b = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\). Ergebnis: \(f(x) = -1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) + 0{,}5\).

\(f(x) = -1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) + 0{,}5\)

- Lies die höchsten und tiefsten Punkte des Graphen genau ab. - Wie oft schwingt die Kurve innerhalb einer Einheit auf der \(x\)-Achse? - Setze die gefundenen Werte für Amplitude, Periode und Verschiebung in die allgemeine Formel ein.

1. Mittellinie: Die Werte liegen zwischen \(0{,}4\) und \(-2{,}0\). Der Mittelwert ist \(d = \frac{0{,}4 + (-2{,}0)}{2} = -0{,}8\). 2. Amplitude: Der Abstand zum Maximum ist \(a = 0{,}4 - (-0{,}8) = 1{,}2\). 3. Periode: Der Graph wiederholt sich alle \(T = 1\) Einheiten (z. B. von \(x = 0\) bis \(x = 1\)). 4. Faktor \(b\): \(b = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{1} = 2\pi\). Ergebnis: \(f(x) = 1{,}2\sin(2\pi x) - 0{,}8\).

\(f(x) = 1{,}2\sin(2\pi x) - 0{,}8\)

- Schau dir zuerst an, um welchen Wert herum der Graph schwingt. Das ist dein \(d\). - Wie weit ist der höchste Punkt von dieser Mittellinie entfernt? Das liefert dir \(a\). - Wie lang ist der Weg auf der x-Achse, bis sich das Muster des Graphen exakt wiederholt? - Vergleiche die Graphen (1) und (3): Sie haben dieselbe Mittellinie, unterscheiden sich aber in der Schnelligkeit der Schwingung.

1. Analyse Graph (1): Die Mittellinie liegt bei \(y = -1\), der maximale Ausschlag geht bis \(y = 1\), also ist die Amplitude \(a = 2\). Eine volle Schwingung ist bei \(x \approx 6{,}28\) (\(2\pi\)) abgeschlossen. Dies passt zu \(f(x) = 2\sin(x) - 1\). 2. Analyse Graph (2): Die Mittellinie liegt bei \(y = 1\), der maximale Ausschlag geht bis \(y = 2\), also ist die Amplitude \(a = 1\). Eine volle Schwingung ist bereits bei \(x \approx 3{,}14\) (\(\pi\)) abgeschlossen. Dies passt zu \(g(x) = \sin(2x) + 1\). 3. Analyse Graph (3): Die Mittellinie liegt bei \(y = -1\), der maximale Ausschlag geht bis \(y = 1\), also ist die Amplitude \(a = 2\). Die Periode beträgt \(\pi\). Dies passt zu \(h(x) = 2\sin(2x) - 1\).

(1) gehört zu \(f(x) = 2\sin(x) - 1\); (2) gehört zu \(g(x) = \sin(2x) + 1\); (3) gehört zu \(h(x) = 2\sin(2x) - 1\).

- Die Amplitude ist der maximale Abstand eines Berges oder Tales von der Mittellinie. - Eine höhere Frequenz bedeutet, dass in demselben x-Abschnitt mehr Wellenberge vorkommen. - Um \(b\) zu bestimmen, schau dir an, wo die erste volle Schwingung endet. - Überprüfe, ob der Graph bei \(x=0\) durch die Mittellinie geht (Sinus) oder einen Extrempunkt hat (Kosinus).

1. Die Amplitude von \(p\) beträgt \(1{,}5\), da der Abstand von der Mittellinie \(y=0\) zu einem Hochpunkt \(1{,}5\) ist. Die Amplitude von \(q\) beträgt \(1\), da der Graph um \(y=2\) schwingt und bis \(y=3\) beziehungsweise \(y=1\) reicht. Somit hat \(p\) die größere Amplitude. 2. Graph \(q\) hat die Periode \(\pi\), während \(p\) die Periode \(2\pi\) besitzt. Daher hat \(q\) die höhere Frequenz. 3. Für \(p\) gilt \(d=0\), \(a=1{,}5\) und \(b=\frac{2\pi}{2\pi}=1\). Somit ist \(p(x)=1{,}5\sin(x)\).

1. Graph \(p\) hat die größere Amplitude. 2. Graph \(q\) hat die höhere Frequenz. 3. \(p(x) = 1{,}5\sin(x)\).

- Bestimme zuerst die Mittellinie und die Amplitude der Graphen. - Ermittle die Periodenlänge, um den Faktor vor dem \(x\) zu prüfen. - Achte auf die Verschiebung in x-Richtung oder eventuelle Spiegelungen an der Mittellinie. - Nutze die Beziehungen zwischen Sinus- und Kosinusfunktionen, wie zum Beispiel \(\cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin(\alpha)\).

1. Analyse von Graph (1): Mittellinie \(y = 1\), Amplitude \(a = 2\), Periode \(p = 4\). Daraus folgt \(b = \frac{2\pi}{4} = 0{,}5\pi\). Der Graph verläuft ohne horizontale Verschiebung durch den Schnittpunkt mit der y-Achse \((0 \mid 1)\) nach oben. Term A passt direkt. 2. Umformung von Term B: \(2\cos(0{,}5\pi x - 0{,}5\pi) + 1 = 2\sin(0{,}5\pi x) + 1\). Somit passt auch Term B zu Graph (1). 3. Analyse von Graph (2): Mittellinie, Amplitude und Periode sind identisch mit Graph (1). Der Graph ist jedoch um eine Einheit nach rechts verschoben. Dies entspricht dem Term \(2\sin(0{,}5\pi(x - 1)) + 1\), also Term C. 4. Umformung von Term D: \(-2\cos(0{,}5\pi x) + 1 = 2\sin(0{,}5\pi x - 0{,}5\pi) + 1 = 2\sin(0{,}5\pi(x - 1)) + 1\). Somit passt auch Term D zu Graph (2).

Zu Graph (1) passen die Terme A und B; zu Graph (2) passen die Terme C und D.

- Bestimme Mittellinie und Amplitude aus den Extremwerten. - Lies die Periode aus zwei gleichartigen Stellen des Graphen ab. - Suche einen ansteigenden Schnittpunkt mit der Mittellinie. - Welches Vorzeichen hat \(c\) in \(x+c\), wenn dieser Schnittpunkt rechts vom Ursprung liegt?

1. Der Graph schwingt symmetrisch um die \(x\)-Achse. Daher ist \(d=0\). 2. Die Amplitude beträgt \(a=1{,}5\). 3. Eine vollständige Schwingung hat die Länge \(p=2\). Daher ist \(b=\pi\). 4. Ein ansteigender Nulldurchgang liegt bei \(x=0{,}5\). In der Form \(x+c\) folgt daraus \(c=-0{,}5\). 5. Somit lautet der Funktionsterm \(f(x)=1{,}5\sin(\pi(x-0{,}5))\).

\(a=1{,}5\), \(b=\pi\), \(c=-0{,}5\), \(d=0\); \(f(x)=1{,}5\sin(\pi(x-0{,}5))\)

- Bestimme zuerst Mittellinie und Amplitude. - Lies die Periode aus zwei gleichgerichteten Mittelliniendurchgängen ab. - Welches Vorzeichen hat \(c\) in \(x+c\), wenn der ansteigende Mittelliniendurchgang links vom Ursprung liegt?

1. Die Kurve schwingt zwischen \(0\) und \(-1\). Daher ist die Mittellinie \(d=-0{,}5\) und die Amplitude \(a=0{,}5\). 2. Zwei ansteigende Mittelliniendurchgänge liegen bei \(x=-0{,}5\) und \(x=1{,}5\). Daher ist die Periode \(p=2\) und \(b=\pi\). 3. In der Form \(x+c\) soll der Sinus-Startpunkt bei \(x=-0{,}5\) liegen. Deshalb ist \(c=0{,}5\). 4. Somit lautet der Funktionsterm \(f(x)=0{,}5\sin(\pi(x+0{,}5))-0{,}5\).

\(a=0{,}5\), \(b=\pi\), \(c=0{,}5\), \(d=-0{,}5\); \(f(x)=0{,}5\sin(\pi(x+0{,}5))-0{,}5\)

- Lies Mittellinie und Amplitude aus den Extremwerten ab. - Nutze das feine Gitter, um die ansteigenden Mittelliniendurchgänge genau zu lokalisieren. - Bestimme daraus zuerst die Periode und anschließend \(b\). - Welches Vorzeichen hat \(c\) in \(x+c\), wenn der ansteigende Mittelliniendurchgang rechts vom Ursprung liegt?

1. Der Graph schwingt zwischen \(y=1\) und \(y=-3\). Daher ist die Mittellinie \(d=-1\) und die Amplitude \(a=2\). 2. Zwei ansteigende Mittelliniendurchgänge liegen bei \(x=0{,}25\) und \(x=2{,}25\). Somit ist die Periode \(p=2\) und \(b=\pi\). 3. In der Form \(x+c\) soll der ansteigende Mittelliniendurchgang bei \(x=0{,}25\) liegen. Daher ist \(c=-0{,}25\). 4. Somit lautet der Funktionsterm \(f(x)=2\sin(\pi(x-0{,}25))-1\).

\(a=2\), \(b=\pi\), \(c=-0{,}25\), \(d=-1\); \(f(x)=2\sin(\pi(x-0{,}25))-1\)

- Wo liegt die Mittellinie des Graphen im Vergleich zur ursprünglichen Funktion? - Wie groß ist der maximale Abstand der Kurve von dieser Mittellinie? - Betrachte die Lage der Hochpunkte. Wo liegt der erste Hochpunkt rechts von der \(y\)-Achse normalerweise bei einer Kosinusfunktion?

1. Vertikale Verschiebung: Die Mittellinie des Graphen liegt bei \(y = 1\). Somit wurde der Graph um \(1\) Einheit nach oben verschoben. 2. Vertikale Stauchung: Die Amplitude beträgt \(0{,}5\), also wurde der Graph in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) gestaucht. 3. Horizontale Verschiebung: Das Maximum der Standard-Kosinusfunktion liegt bei \(x = 0\). Hier liegt ein Maximum bei \(x = \frac{\pi}{2}\). Der Graph wurde daher um \(\frac{\pi}{2}\) nach rechts verschoben. 4. Funktionsterm: \(g(x) = 0{,}5\cos(x - \frac{\pi}{2}) + 1\). Äquivalent ist \(g(x) = 0{,}5\sin(x) + 1\).

Der Graph wurde in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) gestaucht, um \(\frac{\pi}{2}\) nach rechts und um \(1\) Einheit nach oben verschoben. Ein passender Funktionsterm ist \(g(x) = 0{,}5\cos(x - \frac{\pi}{2}) + 1\).

- Vergleiche Amplitude und Periodenlänge mit der Grundfunktion. - Suche bei \(h\) die Mittellinie und einen ansteigenden Mittelliniendurchgang. - Formuliere die horizontale Veränderung als Verschiebung des Graphen, ohne dafür einen zusätzlichen Parameter einzuführen.

1. Der Graph \(g\) hat die Amplitude \(2\) und die Periode \(4\pi\). Daher ist \(b=0{,}5\), und ohne weitere Verschiebung gilt \(g(x)=2\sin(0{,}5x)\). 2. Der Graph \(h\) hat die Amplitude \(1\), die Mittellinie \(y=1\) und die Periode \(2\pi\). Außerdem liegt der ansteigende Mittelliniendurchgang bei \(x=\frac{\pi}{2}\), also ist der Graph um \(\frac{\pi}{2}\) nach rechts verschoben. 3. Damit ist \(h(x)=\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+1\).

\(g(x)=2\sin(0{,}5x)\) \(h(x)=\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+1\)

- Was verraten die beiden Extremwerte über Mittellinie und Amplitude? - Welcher Bruchteil einer Periode liegt zwischen einem Tiefpunkt und dem unmittelbar folgenden Hochpunkt? - Welche Argumentwerte besitzt der Sinus an einem Hochpunkt? - Beachte bei \(x+c\) die Vorgabe \(0\le c<p\); periodisch äquivalente Werte von \(c\) beschreiben denselben Graphen.

1. Die Mittellinie liegt in der Mitte zwischen den beiden Extremwerten: \(d=\frac{5+1}{2}=3\). 2. Wegen \(a>0\) ist die Amplitude \(a=5-3=2\). 3. Der Abstand vom Tiefpunkt zum unmittelbar folgenden Hochpunkt ist eine halbe Periode. Daher gilt \(\frac{p}{2}=4-1=3\), also \(p=6\) und \(b=\frac{2\pi}{6}=\frac{\pi}{3}\). 4. Bei \(a>0\) liegt ein Hochpunkt vor, wenn \(b(x+c)=\frac{\pi}{2}+2k\pi\). Für \(x=4\) folgt \(\frac{\pi}{3}(4+c)=\frac{\pi}{2}+2k\pi\), also \(c=-2{,}5+6k\). 5. Wegen \(0\le c<6\) ist \(c=3{,}5\). Dieser Parameter entspricht derselben Graphlage wie eine Verschiebung um \(2{,}5\) Einheiten nach rechts, weil sich die beiden Darstellungen um eine volle Periode unterscheiden.

\(a=2\), \(b=\frac{\pi}{3}\), \(c=3{,}5\), \(d=3\)

- Bestimme Mittellinie und Amplitude aus Maximum und Minimum. - Der Abstand zweier aufeinanderfolgender Hochpunkte liefert die Periode. - Für die Sinusform ist ein ansteigender Mittelliniendurchgang ein günstiger Bezugspunkt. - Für die Kosinusform kannst du einen Hochpunkt als Bezugspunkt verwenden; beachte dabei das Vorzeichen in \(x+c'\).

1. Die Werte schwanken zwischen \(-0{,}5\) und \(2{,}5\). Daher ist die Mittellinie \(d=1\) und die Amplitude \(a=1{,}5\). 2. Zwei aufeinanderfolgende Hochpunkte liegen bei \(x=1\) und \(x=5\). Somit ist \(T=4\) und \(b=\frac{\pi}{2}\). 3. Für die Sinusform durchläuft der Graph die Mittellinie bei \(x=0\) ansteigend. Daher ist \(c=0\) und \(f(x)=1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)+1\). 4. Für die Kosinusform liegt ein Hochpunkt bei \(x=1\). In der Form \(x+c'\) ist daher \(c'=-1\). Somit ist \(g(x)=1{,}5\cos\left(\frac{\pi}{2}(x-1)\right)+1\).

Sinusform: \(f(x)=1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)+1\) Kosinusform: \(g(x)=1{,}5\cos\left(\frac{\pi}{2}(x-1)\right)+1\), also \(c'=-1\)