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- Überlege dir, wie weit der Graph nach oben und unten ausschlägt. Wie nennt man diesen Wert? - Vergleiche die Graphen mit der Standard-Sinusfunktion \(y = \sin(x)\), die ihr Maximum bei 1 hat. - Der Parameter \(a\) gibt die Streckung oder Stauchung in \(y\)-Richtung an.

1. Identifikation der Amplitude des Graphen \(f\): Der höchste Punkt (Maximum) des Graphen \(f\) liegt bei \(y = 1{,}5\). Da die Grundfunktion \(\sin(x)\) eine Amplitude von 1 hat, entspricht der Streckfaktor \(a_f\) direkt diesem Maximalwert. Es folgt \(a_f = 1{,}5\). 2. Aufstellen der Funktionsgleichung für \(f\): Mit \(a_f = 1{,}5\) ergibt sich die Gleichung \(f(x) = 1{,}5\sin(x)\). 3. Identifikation der Amplitude des Graphen \(g\): Das Maximum des Graphen \(g\) liegt bei \(y = 0{,}5\). Somit ist der Streckfaktor \(a_g = 0{,}5\). 4. Aufstellen der Funktionsgleichung für \(g\): Mit \(a_g = 0{,}5\) ergibt sich die Gleichung \(g(x) = 0{,}5\sin(x)\).

\(f\): \(a_f = 1{,}5\), \(f(x) = 1{,}5\sin(x)\) \(g\): \(a_g = 0{,}5\), \(g(x) = 0{,}5\sin(x)\)

- Wo liegt die waagerechte Mittellinie, um die der Graph schwingt? - Wie weit ist der höchste Punkt des Graphen von dieser Mittellinie entfernt? - Vergleiche den Abstand zwischen zwei benachbarten Hochpunkten mit der Periode der normalen Sinusfunktion. - Überlege, ob der Graph an der \(y\)-Achse wie die normale Sinusfunktion im Ursprung (oder verschoben) startet.

1. Bestimmung der vertikalen Verschiebung: Der Graph schwingt um die Mittellinie \(y = 1\). Somit ist der Graph von \(f\) um \(1\) Einheit nach oben verschoben worden (\(d = 1\)). 2. Bestimmung der Amplitude: Der Abstand vom Maximum (\(y = 3\)) zur Mittellinie (\(y = 1\)) beträgt \(2\). Der Graph ist also in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\) gestreckt worden (\(a = 2\)). 3. Bestimmung der Periode: Eine vollständige Schwingung erfolgt im Intervall von \(x = 0\) bis \(x = 2\pi \approx 6{,}28\). Die Periode ist \(p = 2\pi\), was der Standardperiode entspricht. Es liegt keine Streckung in \(x\)-Richtung vor (\(b = 1\)). 4. Aufstellen des Funktionsterms: Aus der Form \(g(x) = a\sin(bx) + d\) ergibt sich mit den gefundenen Werten \(g(x) = 2\sin(x) + 1\).

Der Graph von \(g\) ist gegenüber der Sinusfunktion \(f(x) = \sin(x)\) um den Faktor \(2\) in \(y\)-Richtung gestreckt und um \(1\) Einheit nach oben verschoben worden; der Funktionsterm lautet \(g(x) = 2\sin(x) + 1\).

- Überlege dir zuerst, wie weit der Graph nach oben und unten ausschlägt, um die Amplitude zu finden. - Suche den Punkt auf der x-Achse, an dem der Graph zum ersten Mal eine vollständige Auf- und Abwärtsbewegung beendet hat. Das ist die Periodenlänge. - Wie hängen die Periodenlänge und der Faktor vor dem \(x\) im Sinus-Argument zusammen? - Kontrolliere dein Ergebnis, indem du einen markanten Punkt des Graphen in deinen gefundenen Term einsetzt.

1. Graph a): Die Amplitude ist der maximale Ausschlag von der x-Achse, hier \(a = 2\). Eine vollständige Schwingung ist bei \(x = 1\) abgeschlossen, also ist die Periode \(T = 1\). Mit der Formel \(b = \frac{2\pi}{T}\) ergibt sich \(b = 2\pi\). Der Funktionsterm lautet \(f(x) = 2\sin(2\pi x)\). 2. Graph b): Die Amplitude beträgt \(a = 0{,}5\). Der Graph schließt nach \(T = 2\) Einheiten eine Schwingung ab. Daraus folgt \(b = \frac{2\pi}{2} = \pi\). Der Funktionsterm lautet \(f(x) = 0{,}5\sin(\pi x)\). 3. Graph c): Die Amplitude ist \(a = 1{,}5\). Eine volle Periode hat die Länge \(T = 4\). Somit berechnet sich \(b = \frac{2\pi}{4} = 0{,}5\pi\). Der Funktionsterm lautet \(f(x) = 1{,}5\sin(0{,}5\pi x)\).

a) \(f(x) = 2\sin(2\pi x)\) b) \(f(x) = 0{,}5\sin(\pi x)\) c) \(f(x) = 1{,}5\sin(0{,}5\pi x)\)

- Schau dir zuerst an, um welchen Wert der Graph nach oben oder unten verschoben wurde. Wo liegt die Mitte zwischen den Bergen und Tälern? - Wie weit schlägt die Kurve von dieser Mittellinie nach oben und unten aus? - Wie groß ist der waagerechte Abstand, nach dem sich das Muster der Kurve wiederholt? - Wie hängen die Periode und der Faktor \(b\) im Sinusterm zusammen?

1. Bestimmung der Mittellinie \(d\): Die Maxima liegen bei \(y = 2\) und die Minima bei \(y = -1\). Die Mittellinie liegt genau dazwischen: \(d = \frac{2 + (-1)}{2} = 0{,}5\). 2. Bestimmung der Amplitude \(a\): Der Abstand von der Mittellinie zum Maximum beträgt \(a = 2 - 0{,}5 = 1{,}5\). 3. Bestimmung der Periode \(T\): Der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Maxima (z. B. bei \(x=1\) und \(x=5\)) beträgt \(T = 4\). 4. Berechnung des Parameters \(b\): Es gilt \(b = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\). 5. Aufstellen des Funktionsterms: Da der Graph bei \(x=0\) auf der Mittellinie liegt und danach ansteigt, ist kein zusätzlicher Phasenverschub nötig. Der Term lautet \(f(x) = 1{,}5\sin(\frac{\pi}{2}x) + 0{,}5\).

\(f(x) = 1{,}5\sin(\frac{\pi}{2}x) + 0{,}5\)

- Schau dir zuerst an, um welchen Wert der Graph in der Mitte schwankt. Das ist dein Wert für \(d\). - Wie weit schlägt der Graph nach oben und unten von der Mittellinie aus? Das gibt dir die Amplitude \(a\). - Bestimme den Abstand zwischen zwei gleichen Punkten (z. B. von Hochpunkt zu Hochpunkt), um die Periodenlänge \(T\) zu finden. - Überlege, wie die Periode \(T\) mit dem Faktor \(b\) im Sinusterm zusammenhängt.

1. Bestimmung der Verschiebung in \(y\)-Richtung: Der Mittelwert zwischen dem Maximum \(y_{\text{max}} = 3\) und dem Minimum \(y_{\text{min}} = -1\) ergibt \(d = \frac{3 + (-1)}{2} = 1\). 2. Bestimmung der Amplitude: Der Abstand vom Mittelwert zum Maximum beträgt \(a = 3 - 1 = 2\). Da der Graph bei \(x = 0\) im Mittelwert startet und ansteigt, ist \(a\) positiv. 3. Bestimmung der Periode: Ein vollständiger Wellendurchlauf findet beispielsweise zwischen zwei aufeinanderfolgenden Maxima bei \(x = 2\) und \(x = 10\) statt, also ist \(T = 8\). 4. Berechnung von \(b\): Mit \(b = \frac{2\pi}{T}\) ergibt sich \(b = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}\). Ergebnis: \(f(x) = 2\sin\left(\frac{\pi}{4}x\right) + 1\).

\(f(x) = 2\sin\left(\frac{\pi}{4}x\right) + 1\)

- Bestimme den vertikalen Mittelpunkt der Schwingung. - Wie weit ist der Ausschlag nach oben und unten? - Wie groß ist der Abstand auf der \(x\)-Achse für eine volle Schwingung?

1. Die Mittellinie liegt zwischen Maximum \(1\) und Minimum \(-5\): \(d=\frac{1+(-5)}{2}=-2\). 2. Die Amplitude ist \(a=1-(-2)=3\). 3. Eine vollständige Schwingung reicht von \(x=0\) bis \(x=2\), also ist \(T=2\). 4. Damit ist \(b=\frac{2\pi}{2}=\pi\). 5. Der Funktionsterm lautet \(f(x)=3\sin(\pi x)-2\).

\(f(x) = 3\sin(\pi x) - 2\)

- Überprüfe, ob der Graph nach oben oder unten verschoben wurde. - Bestimme die maximale Höhe der Wellenberge. - Ermittle den horizontalen Abstand für eine komplette Welle.

1. Mittellinie: Die \(x\)-Achse ist die Mittellinie des Graphen, also ist \(d = 0\). 2. Amplitude: Das Maximum liegt bei \(y = 2{,}5\), also ist \(a = 2{,}5\). 3. Periode: Die Kurve schneidet die \(x\)-Achse bei \(0, 2, 4, 6\). Eine volle Periode geht von \(x = 0\) bis \(x = 4\), also \(T = 4\). 4. Faktor \(b\): \(b = \frac{2\pi}{4} = 0{,}5\pi\). Ergebnis: \(a = 2{,}5\); \(b = 0{,}5\pi\); \(d = 0\).

\(a = 2{,}5\); \(b = 0{,}5\pi\) (oder \(\frac{\pi}{2}\)); \(d = 0\)

- Wo liegt die waagrechte Mittellinie, um die der Graph schwingt? - Wie weit ist der höchste Punkt des Graphen von dieser Mittellinie entfernt? - Nach welcher Strecke auf der \(x\)-Achse wiederholt sich das Muster des Graphen? - Bei welchem \(x\)-Wert beginnt die Kurve, von der Mittellinie aus nach oben zu steigen?

1. Mittellinie \(d\) bestimmen: Der Graph schwankt symmetrisch um die \(x\)-Achse, daher ist \(d = 0\). 2. Amplitude \(a\) bestimmen: Der maximale Ausschlag vom Mittelwert nach oben beträgt \(1{,}5\), also ist \(a = 1{,}5\). 3. Periode \(p\) bestimmen: Eine vollständige Schwingung ist zum Beispiel zwischen \(x = 0{,}5\) und \(x = 2{,}5\) zu sehen. Die Periodenlänge beträgt somit \(p = 2{,}5 - 0{,}5 = 2\). 4. Parameter \(b\) berechnen: Mit \(p = 2\) ergibt sich \(b = \frac{2\pi}{p} = \frac{2\pi}{2} = \pi\). 5. Phasenverschiebung \(c\) bestimmen: Die Sinuskurve beginnt (steigender Nulldurchgang) bei \(x = 0{,}5\), also ist \(c = 0{,}5\). Zusammengesetzter Funktionsterm: \(f(x) = 1{,}5\sin(\pi (x - 0{,}5))\).

\(f(x) = 1{,}5\sin(\pi (x - 0{,}5))\)

- Bestimme zuerst die Amplitude, indem du den Abstand vom höchsten Punkt zur Mittellinie abliest. - Finde heraus, wie lang ein kompletter „Berg“ und ein komplettes „Tal“ zusammen auf der \(x\)-Achse sind. - Überlege, ob der Graph gegenüber der Standard-Sinusfunktion nach rechts oder links verschoben ist.

1. Mittellinie \(d\): Der Graph ist nicht vertikal verschoben, er schwingt um die \(x\)-Achse. Also ist \(d = 0\). 2. Amplitude \(a\): Der Hochpunkt liegt bei \(y = 2\), der Tiefpunkt bei \(y = -2\). Die Amplitude ist die Hälfte der Differenz, also \(a = 2\). 3. Periode \(p\): Ein vollständiger Durchgang erfolgt von \(x = 0\) bis \(x = 4\). Die Periode ist \(p = 4\). 4. Parameter \(b\): Es gilt \(b = \frac{2\pi}{p} = \frac{2\pi}{4} = 0{,}5\pi\). 5. Verschiebung \(c\): Da die Kurve im Ursprung \((0 \mid 0)\) steigend beginnt, gibt es keine horizontale Verschiebung, also \(c = 0\). Funktionsgleichung: \(f(x) = 2\sin(0{,}5\pi x)\).

\(f(x) = 2\sin(0{,}5\pi x)\)

- Schau dir zuerst an, um welchen Wert der Graph symmetrisch nach oben und unten ausschlägt. Das ist die vertikale Verschiebung. - Wie weit ist der höchste Punkt von der gedachten Mittellinie entfernt? Das gibt dir den Streckfaktor in \(y\)-Richtung an. - Vergleiche den Punkt bei \(x = 0\) mit der ursprünglichen Sinusfunktion.

1. Bestimmung der Mittellinie: Der Graph schwankt zwischen \(y = -3\) und \(y = 1\). Die Mittellinie liegt bei \(d = \frac{1 + (-3)}{2} = -1\). 2. Bestimmung der Amplitude: Der maximale Ausschlag von der Mittellinie beträgt \(1 - (-1) = 2\), also ist \(a = 2\). 3. Überprüfung des Verlaufs: Der Graph beginnt bei \(x = 0\) auf der Mittellinie und steigt an, was dem Verlauf der Sinusfunktion ohne horizontale Verschiebung entspricht. 4. Aufstellen des Funktionsterms: \(g(x) = 2\sin(x) - 1\).

Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = 2\sin(x) - 1\).

- Bestimme für jeden Graphen die Amplitude (den maximalen Ausschlag von der Mittellinie). - Untersuche die Periode: Wie groß ist der Abstand zwischen zwei benachbarten Hochpunkten? - Prüfe, ob der Graph gegenüber der x-Achse nach oben oder unten verschoben ist. - Schau dir den Funktionswert bei \(x = 0\) an.

1. Graph (A) schwingt zwischen den y-Werten 0 und 2 um die Mittellinie \(y = 1\). Dies ist eine Verschiebung der Sinusfunktion um 1 nach oben: \(y = \sin(x) + 1\). 2. Graph (B) hat eine Amplitude von 2, da die Maxima bei \(y = 2\) und Minima bei \(y = -2\) liegen. Die Periode ist \(2\pi \approx 6{,}28\). Die Gleichung ist \(y = 2\sin(x)\). 3. Graph (C) hat dieselbe Amplitude wie die Grundfunktion (1), aber eine doppelt so hohe Frequenz. Er führt zwei volle Schwingungen im Intervall \([0; 2\pi]\) aus. Die Gleichung ist \(y = \sin(2x)\). 4. Graph (D) ist die Standard-Sinusfunktion mit Amplitude 1 und Periode \(2\pi\), die im Ursprung startet. Die Gleichung ist \(y = \sin(x)\).

Graph (A): \(y = \sin(x) + 1\) (Verschiebung nach oben); Graph (B): \(y = 2\sin(x)\) (Amplitude 2); Graph (C): \(y = \sin(2x)\) (halbe Periodenlänge); Graph (D): \(y = \sin(x)\) (Standard-Sinusfunktion)

- Welche Information über die Parameter \(c\) und \(d\) liefert dir der Schnittpunkt mit der Mittellinie bei \(x = 0\)? - Wie kannst du die Amplitude aus der Lage des Hochpunkts relativ zur Mittellinie berechnen? - Welcher Bruchteil der Periode vergeht zwischen dem Nulldurchgang (mit positiver Steigung) und dem ersten Maximum? - Wie berechnet man den Faktor \(b\), wenn die Periodenlänge bekannt ist?

1. Bestimmung von \(d\): Da \(M(0 \mid 2)\) auf der Mittellinie liegt, ist \(d = 2\). 2. Bestimmung von \(a\): Die Amplitude ist die Differenz zwischen dem y-Wert des Hochpunkts und der Mittellinie: \(a = 5 - 2 = 3\). 3. Bestimmung der Periode \(p\) und des Parameters \(b\): Der Abstand von einem Schnittpunkt mit der Mittellinie (bei positiver Steigung) bis zum nächsten Hochpunkt ist ein Viertel der Periode: \(\frac{p}{4} = 2 - 0 = 2 \implies p = 8\). Damit ist \(b = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}\). 4. Bestimmung von \(c\): Da der Graph bereits bei \(x = 0\) die Mittellinie mit positiver Steigung schneidet, ist keine Verschiebung in x-Richtung gegenüber der Grundfunktion notwendig: \(c = 0\). 5. Einsetzen der Parameter in die Funktionsgleichung ergibt \(g(x) = 3\sin(\frac{\pi}{4}x) + 2\).

\(g(x) = 3\sin(\frac{\pi}{4}x) + 2\)

- Wie hängen der höchste und tiefste Punkt des Graphen mit der Ruhelage (Mittellinie) und der Amplitude zusammen? - Wie kannst du die Periode (die Länge einer vollständigen Schwingung) aus dem Graphen ablesen? - Welche Beziehung besteht zwischen der Periode und dem Frequenzfaktor \(b\)? - Setze einen gut ablesbaren Punkt in deine gefundene Funktionsgleichung ein, um dein Ergebnis zu überprüfen.

1. Bestimmung der Verschiebung in \(y\)-Richtung (\(d\)): Der größte Funktionswert liegt bei \(y_{\text{max}} = 1\), der kleinste bei \(y_{\text{min}} = -2\). Die Mittellinie liegt genau in der Mitte zwischen Maximum und Minimum: \(d = \frac{y_{\text{max}} + y_{\text{min}}}{2} = \frac{1 + (-2)}{2} = -0{,}5\). 2. Bestimmung der Amplitude (\(a\)): Die Amplitude ist der maximale Ausschlag von der Mittellinie nach oben oder unten: \(a = y_{\text{max}} - d = 1 - (-0{,}5) = 1{,}5\). 3. Bestimmung des Frequenzfaktors (\(b\)): Eine vollständige Schwingung beginnt bei \(x = 0\) auf der Mittellinie steigend und erreicht bei \(x = 2\) wieder dieselbe Phase. Daher ist die Periode \(p = 2\) und \(b = \frac{2\pi}{p} = \frac{2\pi}{2} = \pi\). 4. Einsetzen der Parameter \(a = 1{,}5\), \(b = \pi\) und \(d = -0{,}5\) in die allgemeine Form ergibt \(f(x) = 1{,}5\sin(\pi x) - 0{,}5\).

Parameter: \(a = 1{,}5\), \(b = \pi\), \(d = -0{,}5\) Funktionsgleichung: \(f(x) = 1{,}5\sin(\pi x) - 0{,}5\)

- Bestimme zuerst die Periode \(T\) der Schwingung, also den Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Wellenbergen. - Berechne aus der Periode \(T\) den Streckungsfaktor \(b\) mit der Formel \(b = \frac{2\pi}{T}\). - Finde die Ruhelage (Mittellinie) des Graphen heraus, um die Verschiebung in \(y\)-Richtung zu ermitteln. - Bestimme die Amplitude, indem du den maximalen Abstand des Graphen von dieser Mittellinie abliest. - Überlege, ob eine Sinus- oder eine Kosinusfunktion als Ausgangsbasis besser geeignet ist, indem du das Verhalten bei \(x = 0\) betrachtest.

1. **Analyse von Graph a)**: - Der Graph verläuft durch den Ursprung \((0 \mid 0)\) und steigt danach an. Es handelt sich um eine reine Sinusfunktion der Form \(f(x) = a\sin(bx)\). - Die Amplitude \(a\) ist die maximale Auslenkung aus der Ruhelage (hier die \(x\)-Achse). Der Hochpunkt liegt bei \(y = 1{,}5\), also ist \(a = 1{,}5\). - Die Periode \(T\) ist die Länge einer vollständigen Schwingung. Der Graph schließt eine volle Periode bei \(x = 4\) ab, also ist \(T = 4\). - Der Faktor \(b\) berechnet sich über \(b = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\). - Damit lautet die Funktionsgleichung: \(f(x) = 1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{2} x\right)\). 2. **Analyse von Graph b)**: - Der Graph hat bei \(x = 0\) einen Hochpunkt. Es handelt sich um eine Kosinusfunktion der Form \(g(x) = a\cos(bx) + d\). - Der Graph schwankt zwischen \(y = 0\) und \(y = 2\). Die Mittellinie (Verschiebung in \(y\)-Richtung) liegt genau in der Mitte bei \(d = 1\). - Die Amplitude \(a\) ist die maximale Abweichung von dieser Mittellinie, also \(a = 2 - 1 = 1\). - Die Periode \(T\) ist der Abstand von Hochpunkt zu Hochpunkt, hier von \(x = 0\) bis \(x = 2\), also \(T = 2\). - Der Faktor \(b\) berechnet sich über \(b = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2} = \pi\). - Damit lautet die Funktionsgleichung: \(g(x) = \cos(\pi x) + 1\).

a) \(f(x) = 1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{2} x\right)\) b) \(g(x) = \cos(\pi x) + 1\)

- Bestimme zuerst den höchsten und den tiefsten Punkt des Graphen. - Wie kannst du aus dem Maximum und dem Minimum die Mittellinie (Verschiebung in y-Richtung) berechnen? - Überlege, wie weit der Graph maximal von dieser Mittellinie nach oben oder unten ausschlägt, um die Amplitude zu finden. - Ermittle die Länge einer vollständigen Welle (die Periode) entlang der x-Achse. - Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Periode und dem Faktor vor dem \(x\)?

1. Bestimmung der Verschiebung in \(y\)-Richtung: Das Maximum liegt bei \(y_{\text{max}} = 5\), das Minimum bei \(y_{\text{min}} = -1\). Daher ist \(d = \frac{5 + (-1)}{2} = 2\). 2. Bestimmung der Amplitude: \(a = 5 - 2 = 3\). Da \(a > 0\) gefordert ist, gilt \(a = 3\). 3. Bestimmung der Periode und des Frequenzfaktors: Der Graph schneidet bei \(x = 0\) die Mittellinie steigend und wiederholt diese Lage bei \(x = 8\). Somit ist \(T = 8\). Aus \(T = \frac{2\pi}{b}\) folgt \(b = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}\). 4. Einsetzen der Parameter ergibt \(f(x) = 3\sin\left(\frac{\pi}{4}x\right) + 2\).

\(f(x) = 3\sin\left(\frac{\pi}{4} x\right) + 2\)

- Wie kannst du die Ruhelage (die Mittellinie) eines Graphen bestimmen, wenn du den höchsten und den tiefsten Punkt kennst? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Amplitude und dem Abstand vom höchsten Punkt zur Mittellinie? - Wie lässt sich die Periode (die Länge einer vollständigen Schwingung) am Graphen ablesen? - Mit welcher Formel hängt der Faktor \(b\) in der Klammer mit der Periode \(p\) zusammen? - Achte bei der Kosinusfunktion darauf, ob der Graph bei \(x=0\) an einem Hochpunkt oder einem Tiefpunkt startet. Was bedeutet das für das Vorzeichen von \(a\)?

1. Untersuchung von Funktion \(f\): - Ruhelage: Aus Maximum \(3\) und Minimum \(-1\) folgt \(d=\frac{3+(-1)}{2}=1\). - Amplitude: \(a=3-1=2\). - Periode und Faktor: Eine vollständige Schwingung verläuft beispielsweise von einem steigenden Durchgang durch die Mittellinie bei \(x=0\) bis zum nächsten gleichgerichteten Mittelliniendurchgang bei \(x=4\). Daher ist \(p=4\) und \(b=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\). - Gleichung: \(f(x)=2\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)+1\). 2. Untersuchung von Funktion \(g\): - Ruhelage: Aus Maximum \(1{,}5\) und Minimum \(-1{,}5\) folgt \(d=0\). - Amplitude und Vorzeichen: Die Amplitude beträgt \(1{,}5\). Da der Graph bei \(x=0\) ein Minimum hat, ist der Vorfaktor in der vorgegebenen Kosinusform negativ: \(a=-1{,}5\). - Periode und Faktor: Von einem Minimum bei \(x=0\) bis zum nächsten bei \(x=2\) ist \(p=2\), also \(b=\pi\). - Gleichung: \(g(x)=-1{,}5\cos(\pi x)\).

f) \(f(x) = 2\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) + 1\) mit \(a = 2\), \(b = \frac{\pi}{2}\), \(d = 1\) g) \(g(x) = -1{,}5\cos(\pi x)\) mit \(a = -1{,}5\), \(b = \pi\), \(d = 0\)

- Wie hängen die höchste und die tiefste Stelle des Graphen mit der Amplitude und der Verschiebung in \(y\)-Richtung zusammen? - Bestimme den Abstand auf der \(x\)-Achse zwischen zwei aufeinanderfolgenden Hochpunkten, um die Periode zu ermitteln. - Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Periode \(p\) und dem Faktor \(b\) im Argument der Sinus- bzw. Kosinusfunktion? - Überlege dir, wie sich der Startpunkt des Graphen bei \(x = 0\) (Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse oder Extrempunkt) auf das Vorzeichen des Streckfaktors auswirkt.

1. Analyse von \(f\) (blau): - Die Amplitude \(a\) ergibt sich aus der Hälfte der Differenz zwischen dem Maximum bei \(y = 3\) und dem Minimum bei \(y = -1\): \(a = \frac{3 - (-1)}{2} = 2\). - Die Verschiebung in \(y\)-Richtung \(d\) liegt genau in der Mitte zwischen Maximum und Minimum: \(d = \frac{3 + (-1)}{2} = 1\). - Die Periode \(p\) ist der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Maxima (z. B. bei \(x = 1\) und \(x = 5\)), also \(p = 4\). - Der Parameter \(b\) berechnet sich über die Formel \(b = \frac{2\pi}{p} = \frac{2\pi}{4} = 0{,}5\pi\). - Da der Graph bei \(x = 0\) auf der Mittellinie \(y = 1\) nach oben startet, liegt keine Phasenverschiebung vor und der Streckfaktor ist positiv. Es ergibt sich \(f(x) = 2\sin(0{,}5\pi x) + 1\). 2. Analyse von \(g\) (orange): - Das Maximum liegt bei \(y = 1\), das Minimum bei \(y = -1\). Die Mittellinie liegt bei \(y = 0\), also ist \(d = 0\). Die Amplitude ist \(|a| = 1\). - Die Periode beträgt ebenfalls \(p = 4\), woraus sich \(b = 0{,}5\pi\) ergibt. - Der Graph startet bei \(x = 0\) an seinem Minimum bei \(y = -1\). Da eine unverschobene Kosinusfunktion bei ihrem Maximum startet, ist der Graph an der \(x\)-Achse gespiegelt. Der Streckfaktor ist somit negativ: \(a = -1\). - Es ergibt sich die Funktionsgleichung \(g(x) = -\cos(0{,}5\pi x)\).

a) \(a = 2\), \(p = 4\), \(d = 1\), \(b = 0{,}5\pi = \frac{\pi}{2}\), \(f(x) = 2\sin(0{,}5\pi x) + 1\) b) Amplitude \(1\), \(p = 4\), \(d = 0\), \(b = 0{,}5\pi = \frac{\pi}{2}\), \(g(x) = -\cos(0{,}5\pi x)\)

- Wie kannst du die Mittellinie (Ruhelage) der Wellen bestimmen? Welcher Parameter in der Funktionsgleichung verschiebt den Graphen nach oben oder unten? - Wie groß ist die maximale Abweichung der Kurve von dieser Mittellinie nach oben oder unten? Welcher Parameter beschreibt diese Amplitude? - Wie lang ist ein vollständiger Wellenzyklus (eine Periode \(T\)), bevor sich das Muster wiederholt? - Mit welcher Formel kannst du den Faktor \(b\) aus der Periodenlänge \(T\) berechnen?

1. **Parameter für die Funktion \(f(x) = a\sin(bx) + d\)**: - **Verschiebung in \(y\)-Richtung (\(d\))**: Die Mittellinie liegt genau in der Mitte zwischen dem Hochpunkt bei \(y = 5\) und dem Tiefpunkt bei \(y = 1\). Es gilt: \(d = \frac{5 + 1}{2} = 3\) - **Amplitude (\(a\))**: Die maximale Abweichung von der Mittellinie nach oben oder unten beträgt: \(a = 5 - 3 = 2\) Da der Graph bei \(x = 0\) auf der Mittellinie nach oben startet, entspricht dies dem standardmäßigen Sinusverlauf mit \(a = 2\). - **Periode (\(T\)) und Faktor (\(b\))**: Der erste Hochpunkt liegt bei \(x = 1\) (eine Viertelperiode). Die gesamte Periodenlänge beträgt somit \(T = 4\). Über die Formel \(b = \frac{2\pi}{T}\) ergibt sich: \(b = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\) - **Funktionsterm**: \(f(x) = 2\sin\left(\frac{\pi}{2} x\right) + 3\) 2. **Parameter für die Funktion \(g(x) = a\cos(bx) + d\)**: - **Verschiebung in \(y\)-Richtung (\(d\))**: Die Mittellinie liegt genau in der Mitte zwischen dem Hochpunkt bei \(y = 3\) und dem Tiefpunkt bei \(y = 1\). Es gilt: \(d = \frac{3 + 1}{2} = 2\) - **Amplitude (\(a\))**: Die maximale Abweichung von der Mittellinie nach oben oder unten beträgt: \(a = 3 - 2 = 1\) Da der Graph bei \(x = 0\) einen Hochpunkt hat, entspricht dies dem standardmäßigen Kosinusverlauf mit \(a = 1\). - **Periode (\(T\)) und Faktor (\(b\))**: Der erste Tiefpunkt liegt bei \(x = 1\) (eine halbe Periode). Die gesamte Periodenlänge beträgt somit \(T = 2\). Über die Formel \(b = \frac{2\pi}{T}\) ergibt sich: \(b = \frac{2\pi}{2} = \pi\) - **Funktionsterm**: \(g(x) = \cos(\pi x) + 2\)

\(f(x) = 2\sin\left(\frac{\pi}{2} x\right) + 3\) mit den Parametern \(a = 2\), \(b = \frac{\pi}{2}\) und \(d = 3\). \(g(x) = \cos(\pi x) + 2\) mit den Parametern \(a = 1\), \(b = \pi\) und \(d = 2\).

- Überlege zuerst, was die einzelnen Parameter einer allgemeinen Sinusfunktion \(f(x) = a\sin(b(x - c)) + d\) im Graphen bewirken. - Wie kannst du die Amplitude \(a\) direkt am Abstand zwischen den Extrempunkten und der Mittellinie ablesen? - Bestimme die Periode \(p\), indem du den Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Hochpunkten oder Tiefpunkten misst. Wie hängt der Faktor \(b\) mit der Periode \(p\) zusammen? - Wo liegt die Mittellinie des Graphen? Sie zeigt dir die vertikale Verschiebung \(d\) an. - Suche die Stelle, an der die Sinuskurve die Mittellinie nach oben hin schneidet. Das hilft dir, die horizontale Verschiebung \(c\) zu bestimmen.

1. **Teilaufgabe a)** - **Amplitude \(a\):** Der Abstand zwischen der Ruhelage (\(y = 0\)) und den Extrempunkten beträgt \(1{,}5\). Somit ist \(a = 1{,}5\). - **Periode \(p\) und Periodenfaktor \(b\):** Eine vollständige Schwingung ist nach einer Breite von \(4\) Einheiten abgeschlossen, also ist \(p = 4\). Der Periodenfaktor berechnet sich durch \(b = \frac{2\pi}{p} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\). - **Funktionsterm:** Da keine Verschiebung vorliegt (\(c = 0\), \(d = 0\)), lautet der Term \(g(x) = 1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{2} x\right)\). 2. **Teilaufgabe b)** - **Verschiebung in y-Richtung \(d\) (Ruhelage):** Der höchste Punkt liegt bei \(y = 1{,}5\), der tiefste bei \(y = -0{,}5\). Die Mittellinie liegt genau dazwischen bei \(d = \frac{1{,}5 + (-0{,}5)}{2} = 0{,}5\). - **Amplitude \(a\):** Der Abstand von der Mittellinie zum Hochpunkt ist \(a = 1{,}5 - 0{,}5 = 1\). - **Periode \(p\) und Periodenfaktor \(b\):** Der Abstand zwischen zwei Tiefpunkten (bei \(x = 0\) und \(x = 4\)) beträgt \(4\), also \(p = 4\). Somit ist \(b = \frac{\pi}{2}\). - **Verschiebung in x-Richtung \(c\):** Die Standard-Sinuskurve schneidet ihre Mittellinie steigend bei \(x = 0\). Hier geschieht dies bei \(x = 1\). Der Graph ist also um \(1\) Einheit nach rechts verschoben, folglich ist \(c = 1\). - **Funktionsterm:** Durch Einsetzen aller Parameter ergibt sich \(h(x) = \sin\left(\frac{\pi}{2}(x - 1)\right) + 0{,}5\).

a) \(g(x) = 1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{2} x\right)\) mit Amplitude \(a = 1{,}5\) und Periodenfaktor \(b = \frac{\pi}{2}\) (Periode \(p = 4\)). b) \(h(x) = \sin\left(\frac{\pi}{2}(x - 1)\right) + 0{,}5\) mit Amplitude \(a = 1\), Periodenfaktor \(b = \frac{\pi}{2}\) (Periode \(p = 4\)), Verschiebung nach rechts \(c = 1\) und Verschiebung nach oben \(d = 0{,}5\).

- Bestimme zuerst die Amplitude \(a\), indem du den höchsten Punkt der Welle von der Mittellinie (hier die x-Achse) aus abliest. - Achte auf das Vorzeichen von \(a\): Verläuft die Sinuskurve im Ursprung nach oben oder nach unten? - Lies die Periodenlänge \(T\) ab, also die Breite eines vollständigen Wellenbergs zusammen mit einem Wellental. - Berechne den Parameter \(b\) mit der Formel \(b = \frac{2\pi}{T}\).

1. Für \(f\) (blau): Die Amplitude beträgt \(1{,}5\). Die Periode ist \(T=4\), also \(b=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\). Da der Graph im Ursprung steigt, gilt \(f(x)=1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\). 2. Für \(g\) (rot): Die Amplitude beträgt \(1\). Weil der Graph im Ursprung nach unten verläuft, ist der Vorfaktor in der Form \(a\sin(bx)\) negativ, also \(a=-1\). Die Periode ist \(T=2\), daher \(b=\pi\). Somit gilt \(g(x)=-\sin(\pi x)\).

\(f(x) = 1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\) und \(g(x) = -\sin(\pi x)\)

- Kannst du die maximale Höhe und Tiefe der Welle ablesen? Das hilft dir bei der Bestimmung der Amplitude. - Bestimme den Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Hochpunkten auf dem Graphen, um die Periode zu ermitteln. - Nutze die Periodenformel für die Kosinusfunktion, um den Parameter im Funktionsterm zu berechnen. - Beachte die Skalierung der Achsen: Jeder Gitterstrich auf der x-Achse entspricht einer Breite von \(\frac{\pi}{2}\). - Setze die abgelesenen x-Werte der Punkte in deine ermittelte Funktionsgleichung ein, um die y-Werte exakt zu berechnen.

1. Bestimmung der Amplitude \(a\): Der Graph schwankt symmetrisch um die \(x\)-Achse zwischen dem Maximum \(2\) und dem Minimum \(-2\). Die Amplitude ist daher \(a = 2\). 2. Bestimmung der Periode \(p\): Der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Hochpunkten (z. B. bei \(x = 0\) und \(x = 6\pi\)) beträgt \(6\pi\). Somit ist die Periode \(p = 6\pi\). 3. Bestimmung des Parameters \(b\): Mit der Periodenformel \(p = \frac{2\pi}{b}\) ergibt sich \(b = \frac{2\pi}{6\pi} = \frac{1}{3}\). Der Funktionsterm lautet somit \(f(x) = 2\cos\left(\frac{1}{3}x\right)\). 4. Bestimmung der Punktkoordinaten: - Punkt \(A\): Liegt bei \(x = -\pi\). Einsetzen liefert \(y = 2\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = 2 \cdot 0{,}5 = 1\), also \(A(-\pi \mid 1)\). - Punkt \(B\): Liegt am Hochpunkt bei \(x = 0\) mit \(y = 2\), also \(B(0 \mid 2)\). - Punkt \(C\): Liegt an der Nullstelle bei \(x = \frac{3\pi}{2}\) mit \(y = 0\), also \(C\left(\frac{3\pi}{2} \mid 0\right)\). - Punkt \(D\): Liegt am Tiefpunkt bei \(x = 3\pi\) mit \(y = -2\), also \(D(3\pi \mid -2)\).

a) \(a = 2\), \(p = 6\pi\), \(f(x) = 2\cos\left(\frac{1}{3}x\right)\) b) \(A(-\pi \mid 1)\), \(B(0 \mid 2)\), \(C\left(\frac{3\pi}{2} \mid 0\right)\), \(D(3\pi \mid -2)\)

- Kannst du die höchsten und tiefsten Punkte des Graphen bestimmen? Wie helfen sie dir, die Amplitude und die vertikale Verschiebung zu finden? - Wo liegt die Mittellinie der Welle? Diese Linie entspricht der Verschiebung in \(y\)-Richtung (Parameter \(d\)). - Wie groß ist der waagerechte Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Hochpunkten? Dieser Abstand entspricht der Periode \(T\). - Wie hängt der Parameter \(b\) in der Funktionsgleichung mit der Periode \(T\) zusammen? Denke an die Formel für die Periode.

1. Bestimmung der Amplitude \(a\): Der höchste Wert des Graphen liegt bei \(y_{\text{max}} = 1\), der tiefste Wert bei \(y_{\text{min}} = -3\). Die Amplitude \(a\) ist die Hälfte des Abstandes zwischen Maximum und Minimum: \(a = \frac{y_{\text{max}} - y_{\text{min}}}{2} = \frac{1 - (-3)}{2} = 2\). 2. Bestimmung der vertikalen Verschiebung \(d\): Die Mittellinie liegt genau in der Mitte zwischen dem höchsten und dem tiefsten Punkt: \(d = \frac{y_{\text{max}} + y_{\text{min}}}{2} = \frac{1 + (-3)}{2} = -1\). Der Graph ist somit um \(1\) Einheit nach unten verschoben. 3. Bestimmung des Parameters \(b\) über die Periode \(T\): Ein Maximum des Graphen liegt auf der \(y\)-Achse bei \(x = 0\). Das nächste Maximum liegt bei \(x = 4\). Die Periode beträgt somit \(T = 4\). Mit der Formel \(T = \frac{2\pi}{b}\) ergibt sich für \(b\): \(b = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\). 4. Aufstellen des Funktionsterms: Durch Einsetzen der ermittelten Parameter erhält man den Funktionsterm: \(f(x) = 2\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right) - 1\).

\(f(x) = 2\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right) - 1\)

- Schau dir den höchsten und den tiefsten Punkt des Graphen an. Wie kannst du daraus die Amplitude bestimmen? - Wo liegt die Mittellinie, um die der Graph schwingt? - Wie lang ist ein vollständiger Durchlauf des Graphen, bevor er sich wiederholt? - Welche Beziehung gibt es zwischen der Periodenlänge und dem Faktor vor dem \(x\) im Argument des Sinus?

1. **Bestimmung der Amplitude \(a\)**: Der maximale Wert des Graphen liegt bei \(y = 5\), der minimale Wert bei \(y = -1\). Die Amplitude \(a\) ist die Hälfte dieser Differenz: \(a = \frac{5 - (-1)}{2} = 3\). Da der Graph bei \(x = 0\) im Wendepunkt nach oben verläuft, ist \(a = 3\). 2. **Bestimmung der vertikalen Verschiebung \(d\)**: Die Mittellinie der sinusförmigen Schwingung liegt genau in der Mitte zwischen dem Maximum und dem Minimum: \(d = \frac{5 + (-1)}{2} = 2\). Der Graph ist somit um \(2\) Einheiten nach oben verschoben. 3. **Bestimmung der Periodenlänge \(T\) und des Parameters \(b\)**: Der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden gleichgerichteten Durchgängen durch die Mittellinie (z. B. bei \(x = 0\) und \(x = 4\)) oder zwischen zwei Maxima beträgt \(T = 4\). Aus der Beziehung \(T = \frac{2\pi}{b}\) folgt mit \(T = 4\): \(b = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}57\). 4. **Aufstellen des Funktionsterms**: Durch Einsetzen der ermittelten Parameter erhält man den Funktionsterm: \(f(x) = 3\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) + 2\).

a) Amplitude: \(a = 3\), Periodenlänge: \(T = 4\). b) Parameter: \(b = \frac{\pi}{2}\) (oder \(b \approx 1{,}57\)), vertikale Verschiebung: \(d = 2\). c) Funktionsterm: \(f(x) = 3\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) + 2\).

- Wie bestimmt man die Mittellinie eines periodischen Graphen, wenn man den höchsten und den tiefsten Punkt kennt? - Welcher Abstand auf der y-Achse beschreibt die Amplitude der Schwingung? - Wie lässt sich die Periode (die Länge einer vollständigen Schwingung) auf der x-Achse ablesen? - Welcher mathematische Zusammenhang besteht allgemein zwischen der Periode \(p\) und dem Faktor \(b\) vor dem \(x\) im Argument der Sinus- oder Kosinusfunktion? - Achte beim Aufstellen des Funktionsterms darauf, ob der Graph im Ursprung (bzw. auf der Mittellinie) startet oder an einem Extrempunkt beginnt.

1. Analyse von Graph \(f\) (blau): - Mittellinie: Der höchste Wert ist \(y = 3\), der tiefste Wert ist \(y = -1\). Die Mittellinie liegt genau in der Mitte: \(d = \frac{3 + (-1)}{2} = 1\). Die Gleichung lautet \(y = 1\). - Amplitude: Der maximale Ausschlag von der Mittellinie beträgt \(a = 3 - 1 = 2\). - Periode: Eine vollständige Schwingung beginnt bei \(x = 0\) (steigend auf der Mittellinie) und endet bei \(x = 4\). Die Periode ist somit \(p = 4\). - Funktionsterm: Aus der Periode berechnet sich \(b = \frac{2\pi}{p} = \frac{2\pi}{4} = 0{,}5\pi\). Da der Graph im Ursprung auf der Mittellinie startet und steigt, lautet der Term \(f(x) = 2\sin(0{,}5\pi x) + 1\). 2. Analyse von Graph \(g\) (grün): - Mittellinie: Der höchste Wert ist \(y = 2\), der tiefste Wert ist \(y = -1\). Die Mittellinie liegt bei \(d = \frac{2 + (-1)}{2} = 0{,}5\). Die Gleichung lautet \(y = 0{,}5\). - Amplitude: Der maximale Ausschlag von der Mittellinie beträgt \(1{,}5\). - Periode: Der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Hochpunkten bei \(x = 1\) und \(x = 3\) beträgt \(p = 2\). - Funktionsterm: Aus der Periode ergibt sich \(b = \frac{2\pi}{p} = \pi\). Da der Graph bei \(x = 0\) einen Tiefpunkt hat, lautet ein passender Term \(g(x) = -1{,}5\cos(\pi x) + 0{,}5\). Äquivalent ist \(g(x) = 1{,}5\sin(\pi x - 0{,}5\pi) + 0{,}5\). 3. Zusammenhang zwischen Periode \(p\) und Faktor \(b\): Der Faktor \(b\) und die Periode \(p\) hängen über die Beziehung \(p = \frac{2\pi}{b}\) beziehungsweise \(b = \frac{2\pi}{p}\) zusammen. Der Parameter \(b\) gibt an, wie viele Perioden der Funktion in ein Intervall der Länge \(2\pi\) passen.

a) \(f\): Amplitude \(2\), Mittellinie \(y = 1\), Periode \(4\), \(f(x) = 2\sin(0{,}5\pi x) + 1\); \(g\): Amplitude \(1{,}5\), Mittellinie \(y = 0{,}5\), Periode \(2\), \(g(x) = -1{,}5\cos(\pi x) + 0{,}5\) b) \(b = \frac{2\pi}{p}\) beziehungsweise \(p = \frac{2\pi}{b}\)

- Schau dir den höchsten und den tiefsten Punkt des Graphen an, um die Mittellinie und die Amplitude zu bestimmen. - Wie weit liegen zwei benachbarte Hochpunkte auf der x-Achse auseinander? Das gibt dir die Periode. - Wie hängt der Faktor vor dem x mit der Periode zusammen? Erinnere dich an die Formel für den Streckungsfaktor. - Wo schneidet der Graph die Mittellinie bei einem steigenden Kurvenverlauf? Vergleiche dies mit der normalen Sinusfunktion.

1. **Amplitude \(a\) und Verschiebung \(d\)**: Der höchste Punkt des Graphen liegt bei \(y = 3\), der tiefste Punkt bei \(y = -1\). Die Ruhelage (Mittellinie) liegt genau in der Mitte zwischen dem Maximum und dem Minimum: \(d = \frac{3 + (-1)}{2} = 1\). Die Amplitude \(a\) ist der maximale Ausschlag von dieser Mittellinie nach oben oder unten: \(a = 3 - 1 = 2\). 2. **Periode \(p\) und Parameter \(b\)**: Die Periode \(p\) entspricht dem Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Hochpunkten (z. B. bei \(x = 2\) und \(x = 6\)): \(p = 6 - 2 = 4\). Der Parameter \(b\) berechnet sich über die Formel: \(b = \frac{2\pi}{p} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\). 3. **Phasenverschiebung \(c\) und Funktionsterm**: Eine unverschobene Sinuskurve startet bei \(x = 0\) mit einem steigenden Ast auf der Mittellinie. In der Abbildung liegt dieser steigende Durchgang durch die Mittellinie \(y = 1\) bei \(x = 1\). Da \(0 \le c < 4\) gefordert ist, wählen wir die Verschiebung um \(1\) nach rechts: \(c = 1\). Der vollständige Funktionsterm lautet somit: \(f(x) = 2\sin\left(\frac{\pi}{2}(x - 1)\right) + 1\).

a) Amplitude \(a = 2\), vertikale Verschiebung \(d = 1\) b) Periode \(p = 4\), Parameter \(b = \frac{\pi}{2}\) c) Phasenverschiebung \(c = 1\), Funktionsterm: \(f(x) = 2\sin\left(\frac{\pi}{2}(x - 1)\right) + 1\)

- Bestimme zuerst den höchsten und den niedrigsten Punkt des Graphen. Wie hängen diese mit der Amplitude und der Verschiebung in y-Richtung zusammen? - Zeichne gedanklich eine Mittellinie ein, um die der Graph schwingt. Welcher Parameter entspricht dieser Linie? - Wie weit liegen zwei benachbarte Hochpunkte oder Tiefpunkte auseinander? Verwende diesen Abstand, um die Periodenlänge zu bestimmen. - Überlege, wie die Periodenlänge mit dem Faktor vor dem \(x\) (dem Parameter \(b\)) zusammenhängt. - Wo kreuzt der Graph die Mittellinie auf dem Weg nach oben? Nutze diesen Punkt, um die Verschiebung in x-Richtung zu bestimmen.

1. Amplitude \(a\): Der maximale Funktionswert ist \(y_{\max} = 3\) und der minimale Funktionswert ist \(y_{\min} = -1\). Die Amplitude \(a\) ist die Hälfte der Differenz zwischen Maximum und Minimum: \(a = \frac{3 - (-1)}{2} = 2\). Da \(a > 0\) gefordert ist, gilt \(a = 2\). 2. Verschiebung in y-Richtung \(d\): Die Mittellinie liegt genau in der Mitte zwischen Maximum und Minimum: \(d = \frac{3 + (-1)}{2} = 1\). Die vertikale Verschiebung ist somit \(d = 1\). 3. Periode \(p\) und Parameter \(b\): Zwei aufeinanderfolgende Tiefpunkte liegen bei \(x = 0\) und \(x = 2\). Die Periodenlänge ist somit \(p = 2 - 0 = 2\). Der Parameter \(b\) berechnet sich über die Formel: \(b = \frac{2\pi}{p} = \frac{2\pi}{2} = \pi\). 4. Phasenverschiebung \(c\): Eine unverschobene Sinusfunktion der Form \(\sin(bx)\) schneidet ihre Mittellinie bei \(x = 0\) mit positiver Steigung. Beim gegebenen Graphen liegt der erste positive Schnittpunkt mit der Mittellinie \(y = 1\) bei steigendem Graphen bei \(x = 0{,}5\). Der kleinste positive Phasenverschiebungsparameter ist somit \(c = 0{,}5\). 5. Funktionsterm: Durch Einsetzen aller Parameter ergibt sich: \(f(x) = 2\sin(\pi(x - 0{,}5)) + 1\).

\(f(x) = 2\sin(\pi(x - 0{,}5)) + 1\)

- Schau dir zuerst die Achsenskalierung des Koordinatensystems genau an, um die Werte der Gitterlinien zu bestimmen. - Wo befinden sich die Hochpunkte, Tiefpunkte und Nullstellen des Graphen? Bestimme ihre Koordinaten durch Ablesen. - Erinnere dich daran, wie die Amplitude einer Sinusfunktion definiert ist – wie weit schlägt die Kurve nach oben und unten aus? - Wie lang ist ein vollständiger Durchlauf der Welle (ein Berg und ein Tal zusammen), bevor sich das Muster wiederholt? Das gibt dir die Periode. - Welcher mathematische Zusammenhang besteht zwischen der Periode einer Sinusfunktion und dem Faktor vor dem \(x\) im Argument?

1. Koordinaten ablesen: - Punkt \(A\) liegt am ersten Hochpunkt des Graphen bei \(x = 1{,}5\) und \(y = 1{,}5\). Somit gilt \(A(1{,}5 \mid 1{,}5)\). - Punkt \(B\) liegt auf der \(x\)-Achse bei der ersten Nullstelle nach dem Ursprung bei \(x = 3\). Somit gilt \(B(3 \mid 0)\). - Punkt \(C\) liegt am ersten Tiefpunkt des Graphen bei \(x = 4{,}5\) und \(y = -1{,}5\). Somit gilt \(C(4{,}5 \mid -1{,}5)\). - Punkt \(D\) liegt auf der \(x\)-Achse am Ende der ersten vollen Schwingung bei \(x = 6\). Somit gilt \(D(6 \mid 0)\). 2. Amplitude \(a\) und Periode \(T\): - Die Amplitude \(a\) entspricht dem maximalen Ausschlag des Graphen von der Mittellinie (\(x\)-Achse). Da der Hochpunkt bei \(y = 1{,}5\) liegt, ist die Amplitude \(a = 1{,}5\). - Die Periode \(T\) ist die Länge eines vollständigen Durchgangs der Sinuswelle. Der Graph startet im Ursprung \((0 \mid 0)\) steigend und kehrt bei \(x = 6\) wieder steigend zur \(x\)-Achse zurück. Die Periode beträgt somit \(T = 6\). 3. Parameter \(b\) und Funktionsterm: - Der Parameter \(b\) steht mit der Periode \(T\) über \(b = \frac{2\pi}{T}\) in Beziehung. - Einsetzen von \(T = 6\) liefert \(b = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}\). - Der vollständige Funktionsterm lautet \(f(x) = 1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{3}x\right)\).

a) \(A(1{,}5 \mid 1{,}5)\), \(B(3 \mid 0)\), \(C(4{,}5 \mid -1{,}5)\), \(D(6 \mid 0)\) b) Amplitude \(a = 1{,}5\), Periode \(T = 6\) c) Parameter \(b = \frac{\pi}{3}\), Funktionsterm \(f(x) = 1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{3}x\right)\)

- Kannst du den höchsten und den tiefsten Punkt des Graphen ablesen? - Wie lässt sich aus dem Maximum und dem Minimum die Mittellinie (Verschiebung nach oben oder unten) berechnen? - Welchen Abstand hat ein Hochpunkt von dieser Mittellinie? Das gibt dir die Amplitude. - Wie groß ist der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Hochpunkten? Nutze diese Periodenlänge, um den Faktor vor der Klammer zu bestimmen. - Wo schneidet der Graph die Mittellinie im Aufstieg? Finde die am nächsten rechts von der y-Achse gelegene Stelle, um die Verschiebung nach rechts zu ermitteln.

1. Ruhelage: Aus Maximum \(4\) und Minimum \(-2\) folgt \(d=\frac{4+(-2)}{2}=1\). 2. Amplitude: \(a=4-d=3\). 3. Periode und Parameter: Zwei benachbarte Hochpunkte liegen bei \(x=-2\) und \(x=2\). Daher ist \(p=4\) und \(b=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\). 4. Phasenverschiebung: Der erste steigende Durchgang durch die Mittellinie rechts von der \(y\)-Achse liegt bei \(x=1\). Somit ist \(c=1\). 5. Funktionsterm: \(f(x)=3\sin\left(\frac{\pi}{2}(x-1)\right)+1\).

\(f(x) = 3\sin\left(\frac{\pi}{2}(x - 1)\right) + 1\)

- Wie hängen die Amplitude und die Ruhelage mit dem höchsten und dem niedrigsten Punkt des Graphen zusammen? - Erinnere dich daran, wie du die Periodenlänge als Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Hochpunkten oder Tiefpunkten bestimmst. - Mit welcher Formel kannst du den Parameter \(b\) aus der Periodenlänge \(p\) berechnen? - Betrachte den Punkt, an dem der Graph die Ruhelage mit einer steigenden Tendenz schneidet, um die Verschiebung \(c\) in \(x\)-Richtung zu ermitteln.

1. Aus dem Graphen: Maximaler Pegelwert \(2{,}5\,\text{m}\), minimaler Pegelwert \(-0{,}5\,\text{m}\). 2. Amplitude: \(a=\frac{2{,}5-(-0{,}5)}{2}=1{,}5\,\text{m}\). 3. Ruhelage: \(d=\frac{2{,}5+(-0{,}5)}{2}=1\,\text{m}\). 4. Periode: Die Hochpunkte bei \(x=2\) und \(x=6\) liegen \(4\) Stunden auseinander, also \(p=4\,\text{h}\). 5. Parameter: \(b=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\). 6. Der Graph schneidet die Ruhelage bei \(x=1\) steigend. Daher ist \(c=1\). 7. Damit lautet die Gleichung \(f(x)=1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{2}(x-1)\right)+1\).

a) Maximaler Pegelwert \(2{,}5\,\text{m}\), minimaler Pegelwert \(-0{,}5\,\text{m}\), Amplitude \(1{,}5\,\text{m}\), Ruhelage \(1\,\text{m}\), Periode \(4\,\text{h}\). b) \(b=\frac{\pi}{2}\), \(c=1\) und \(f(x)=1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{2}(x-1)\right)+1\).

- Bestimme zuerst die Amplitude \(a\) für beide Graphen, indem du die Differenz zwischen dem höchsten und dem tiefsten Punkt halbierst. - Finde die vertikale Verschiebung \(d\), indem du den Mittelwert aus dem höchsten und dem tiefsten Punkt berechnest. Dies gibt dir die Lage der Mittellinie (Ruhelage). - Bestimme die Periodenlänge \(p\) der Graphen, also den Abstand auf der x-Achse, nach dem sich das Muster exakt wiederholt. - Nutze die Periodenlänge \(p\), um den Faktor \(b\) über die Beziehung \(b = \frac{2\pi}{p}\) zu berechnen. - Überlege, ob die Graphen an der y-Achse (\(x=0\)) wie eine Standard-Sinusfunktion (in der Mittellinie startend und ansteigend) oder wie eine Standard-Kosinusfunktion (im Hochpunkt startend) beginnen.

1. Bestimmung des Funktionsterms von \(f(x) = a\sin(bx) + d\): - Amplitude \(a\): Der maximale Wert des Graphen liegt bei \(y = 3\), der minimale bei \(y = -1\). Die Amplitude beträgt somit \(a = \frac{3 - (-1)}{2} = 2\). - Vertikale Verschiebung \(d\): Die Mittellinie liegt in der Mitte von Maximum und Minimum bei \(d = \frac{3 + (-1)}{2} = 1\). - Periodenlänge \(p\) und Faktor \(b\): Der Graph beginnt bei \(x = 0\) auf der Mittellinie und steigt an. Nach einer Periodenlänge von \(p = 4\) wiederholt sich dieser Verlauf. Daraus ergibt sich der Faktor \(b = \frac{2\pi}{p} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\). - Funktionsterm: \(f(x) = 2\sin\left(\frac{\pi}{2} x\right) + 1\). 2. Bestimmung des Funktionsterms von \(g(x) = a\cos(bx) + d\): - Amplitude \(a\): Der maximale Wert des Graphen liegt bei \(y = 1\), der minimale bei \(y = -2\). Die Amplitude beträgt somit \(a = \frac{1 - (-2)}{2} = 1{,}5\). - Vertikale Verschiebung \(d\): Die Mittellinie liegt bei \(d = \frac{1 + (-2)}{2} = -0{,}5\). - Periodenlänge \(p\) und Faktor \(b\): Der Graph besitzt bei \(x = 0\) einen Hochpunkt. Der nächste Hochpunkt liegt bei \(x = 2\). Die Periodenlänge ist somit \(p = 2\). Daraus ergibt sich der Faktor \(b = \frac{2\pi}{p} = \frac{2\pi}{2} = \pi\). - Funktionsterm: \(g(x) = 1{,}5\cos(\pi x) - 0{,}5\).

\(f\): \(a = 2\), \(b = \frac{\pi}{2}\), \(d = 1\), \(f(x) = 2\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) + 1\) \(g\): \(a = 1{,}5\), \(b = \pi\), \(d = -0{,}5\), \(g(x) = 1{,}5\cos(\pi x) - 0{,}5\)

- Wie hängen der höchste und der tiefste Punkt des Graphen mit der Amplitude und der Verschiebung zusammen? - Wo liegt die Mittellinie (Ruhelage) dieses Graphen? - Wie kannst du den Abstand zwischen zwei gleichen Punkten (zum Beispiel zwei benachbarten Hochpunkten) nutzen, um die Periode zu bestimmen? - Welche Formel verbindet die Periode mit dem Faktor vor dem Argument in der Sinusfunktion?

1. **Ablesen der Extremwerte**: Aus dem Graphen lässt sich ablesen, dass der maximale Funktionswert bei \(y_{\text{max}} = 4\) liegt (beispielsweise bei \(x = 1\) oder \(x = 5\)). Der minimale Funktionswert liegt bei \(y_{\text{min}} = -2\) (beispielsweise bei \(x = -1\) oder \(x = 3\)). 2. **Berechnung von Amplitude \(a\) und Verschiebung \(d\)**: - Die Amplitude \(a\) entspricht der halben Differenz zwischen dem Maximum und dem Minimum: \(a = \frac{y_{\text{max}} - y_{\text{min}}}{2} = \frac{4 - (-2)}{2} = \frac{6}{2} = 3\) - Die Verschiebung \(d\) in \(y\)-Richtung entspricht der Mittellinie des Graphen, die genau in der Mitte zwischen Maximum und Minimum liegt: \(d = \frac{y_{\text{max}} + y_{\text{min}}}{2} = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1\) 3. **Bestimmung der Periode \(p\) und des Parameters \(b\)**: - Die Periode \(p\) ist der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Hochpunkten (oder Tiefpunkten). Zwischen dem Hochpunkt bei \(x = 1\) und dem nächsten bei \(x = 5\) liegt ein Abstand von: \(p = 5 - 1 = 4\) - Der Parameter \(b\) berechnet sich über die Formel: \(b = \frac{2\pi}{p} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\) 4. **Aufstellen des Funktionsterms**: Durch Einsetzen der ermittelten Parameter \(a = 3\), \(b = \frac{\pi}{2}\) und \(d = 1\) in die vorgegebene Form erhält man den Funktionsterm: \(f(x) = 3\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) + 1\)

\(a = 3\), \(b = \frac{\pi}{2}\), \(d = 1\), \(f(x) = 3\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) + 1\)

- Bestimme zuerst die Periodenlänge \(P\), also den \(x\)-Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Maxima oder Nulldurchgängen in derselben Richtung. - Nutze den Zusammenhang zwischen der Periodenlänge \(P\) und dem Faktor \(b\): \(P = \frac{2\pi}{b}\). - Wie oft schwingt der Graph in einem Abschnitt von \(2\pi\)?

1. Bestimmung der Periode von \(f\): Der Graph \(f\) (blau) schließt eine vollständige Schwingung im Intervall von \(0\) bis \(2\pi\) ab. Die Periodenlänge ist also \(P_f = 2\pi\). 2. Berechnung von \(b\) für \(f\): Aus der Formel \(b = \frac{2\pi}{P}\) folgt \(b_f = \frac{2\pi}{2\pi} = 1\). Die Funktionsgleichung ist \(f(x) = \sin(x)\). 3. Bestimmung der Periode von \(g\): Der Graph \(g\) (rot) benötigt für eine vollständige Schwingung das Intervall von \(0\) bis \(4\pi\). Die Periodenlänge ist also \(P_g = 4\pi\). 4. Berechnung von \(b\) für \(g\): Es gilt \(b_g = \frac{2\pi}{4\pi} = 0{,}5\). Die Funktionsgleichung ist \(g(x) = \sin(0{,}5x)\).

\(f\): \(b_f = 1\), \(f(x) = \sin(x)\) \(g\): \(b_g = 0{,}5\), \(g(x) = \sin(0{,}5x)\)

- Schau dir zuerst an, wie weit der Graph nach oben und unten ausschlägt, um die Amplitude \(a\) zu finden. - Bestimme die Periodenlänge \(p\), indem du den Abstand zwischen zwei benachbarten Hochpunkten oder zwei identischen Durchgängen durch die Mittellinie abliest. - Nutze den Zusammenhang \(b = \frac{2\pi}{p}\), um den Parameter \(b\) im Argument zu berechnen. - Überprüfe, ob der Graph im Ursprung steigt (Sinus) oder bei einem Extremwert beginnt (Kosinus).

1. Analyse von Graph \(f\): Die maximale Auslenkung (Amplitude) beträgt \(a = 1{,}5\). Eine vollständige Periode ist nach \(p = 8\) Einheiten abgeschlossen. Daraus ergibt sich der Faktor \(b = \frac{2\pi}{p} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \approx 0{,}785\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{4}x\right)\). 2. Analyse von Graph \(g\): Die Amplitude beträgt \(a = 2\). Die Periode ist deutlich kürzer und beträgt \(p = 2\). Damit ist \(b = \frac{2\pi}{2} = \pi \approx 3{,}142\). Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = 2\sin(\pi x)\).

\(f(x) = 1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{4} x\right)\) \(g(x) = 2\sin(\pi x)\)

- Wo liegt die waagerechte Mittellinie, um die der Graph schwingt? Dieser Wert entspricht der vertikalen Verschiebung \(d\). - Wie weit weicht der Graph maximal von dieser Mittellinie ab? Das ist die Amplitude \(a\). - Bestimme den Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Bergen (Maxima), um die Periodenlänge \(p\) zu finden. - Berechne \(b\) mit der Formel \(b = \frac{2\pi}{p}\).

1. Bestimmung der Verschiebung \(d\): Der höchste Wert liegt bei \(y = 3\), der tiefste bei \(y = -1\). Die Mittellinie liegt genau dazwischen bei \(d = \frac{3 + (-1)}{2} = 1\). 2. Bestimmung der Amplitude \(a\): Der Abstand von der Mittellinie zum Maximum ist \(a = 3 - 1 = 2\). 3. Bestimmung der Periode \(p\) und des Faktors \(b\): Ein Maximum liegt bei \(x = 0\), das nächste bei \(x = 6\). Die Periodenlänge ist also \(p = 6\). Damit folgt \(b = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \approx 1{,}047\). Die Funktionsgleichung ist somit \(h(x) = 2\cos\left(\frac{\pi}{3} x\right) + 1\).

\(a = 2\), \(b = \frac{\pi}{3} \approx 1{,}05\), \(d = 1\)

- Überlege, was es für den Parameter \(a\) bedeutet, wenn der Sinusgraph „nach unten“ startet. - Bestimme die Länge eines vollständigen „Bergs“ und eines „Tals“ zusammen, um die Periode zu finden. - Denke daran, dass die Skalierung der x-Achse die Berechnung von \(b\) beeinflusst.

1. Amplitude \(|a|\) bestimmen: Der Graph erreicht Werte zwischen \(1\) und \(-1\), also ist der Betrag der Amplitude \(1\). 2. Vorzeichen von \(a\): Da der Graph bei \(x = 0\) nicht nach oben, sondern nach unten startet, muss die Sinusfunktion an der x-Achse gespiegelt sein. Daher ist \(a = -1\). 3. Periode \(T\) bestimmen: Der Abstand zwischen zwei gleichgerichteten Nulldurchgängen beträgt \(4\pi\), also ist \(T = 4\pi\). 4. Parameter \(b\) berechnen: \(b = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4\pi} = 0{,}5\). 5. Funktionsgleichung: \(k(x) = -\sin(0{,}5x)\).

\(k(x) = -\sin(0{,}5x)\)

- Wie weit schlägt der Graph nach oben und unten aus? Das verrät dir die Amplitude. - Nach welcher Strecke auf der x-Achse wiederholt sich das Muster des Graphen? Das ist die Periodenlänge. - Überlege dir, wie der Faktor vor dem \(x\) die Periodenlänge beeinflusst. Ein größerer Faktor macht die Wellen „enger“.

1. Graph A: Der höchste Punkt liegt bei \(y = 2\), also ist die Amplitude \(a = 2\). Der Graph schließt nach \(4\) Einheiten eine vollständige Schwingung ab (Periode \(T = 4\)). Mit \(b = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4} = 0{,}5\pi\) ergibt sich die Gleichung (1): \(g(x) = 2\sin(0{,}5\pi x)\). 2. Graph B: Die Amplitude ist ebenfalls \(a = 2\). Eine vollständige Periode ist hier jedoch bereits nach \(2\) Einheiten abgeschlossen (\(T = 2\)). Das ergibt \(b = \frac{2\pi}{2} = \pi\). Dies entspricht Gleichung (3): \(g(x) = 2\sin(\pi x)\). 3. Graph C: Hier liegt der höchste Punkt bei \(y = 1\), die Amplitude ist also \(a = 1\). Die Periodenlänge beträgt \(T = 2\), was zu \(b = \pi\) führt. Dies passt zu Gleichung (2): \(g(x) = \sin(\pi x)\). 4. Die Gleichung (4) bleibt übrig.

A: (1); B: (3); C: (2). Übrig bleibt Gleichung (4).

- Wie lange dauert es auf der \(x\)-Achse, bis sich das Muster des Graphen exakt wiederholt? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Periodenlänge und dem Faktor vor dem \(x\) im Sinus-Argument. - Hat sich die Höhe der Wellenberge im Vergleich zur normalen Sinusfunktion verändert? - Beginnt die Kurve im Koordinatenursprung mit einer Steigung nach oben, genau wie die Sinusfunktion?

1. Bestimmung der Amplitude und Verschiebung: Der Graph schwingt symmetrisch um die \(x\)-Achse (\(y = 0\)), daher gibt es keine vertikale Verschiebung (\(d = 0\)). Die Amplitude ist \(1\), da der maximale Ausschlag \(1\) beträgt (\(a = 1\)). 2. Bestimmung der Periode: Eine volle Schwingung (von einem Nulldurchgang mit positiver Steigung zum nächsten) wird bereits bei \(x = \pi \approx 3{,}14\) abgeschlossen. Die Periode ist also \(p = \pi\). 3. Berechnung des Faktors \(b\): Da \(p = \frac{2\pi}{b}\) gilt, folgt \(b = \frac{2\pi}{p} = \frac{2\pi}{\pi} = 2\). Dies entspricht einer Stauchung in \(x\)-Richtung um den Faktor \(0{,}5\). 4. Aufstellen des Funktionsterms: Mit \(a=1\), \(b=2\) und \(d=0\) lautet die Gleichung \(g(x) = \sin(2x)\).

Der Graph von \(g\) geht aus \(f(x) = \sin(x)\) durch eine Stauchung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{2}\) hervor; die Periode halbiert sich auf \(\pi\), und der Funktionsterm lautet \(g(x) = \sin(2x)\).

- Schau dir zuerst an, um welche waagerechte Linie die Kurve nach oben und unten ausschlägt. - Wie weit ist der höchste Punkt von dieser Mittellinie entfernt? - Bestimme den Abstand auf der x-Achse, nach dem sich das Muster der Welle exakt wiederholt. - Überlege dir, wie du aus der Periodenlänge den Faktor vor dem \(x\) im Sinus berechnen kannst. - Setze für den zweiten Aufgabenteil den gegebenen x-Wert einfach in deine gefundene Funktionsgleichung ein.

1. Ruhelage bestimmen: Die Welle schwingt um die Mittellinie \(y = 3\), also ist \(d = 3\). 2. Amplitude bestimmen: Der maximale Wert ist \(5\), der minimale \(1\). Die Amplitude ist \(a = 5 - 3 = 2\). 3. Periode bestimmen: Ein vollständiger Wellenzyklus ist bei \(x = 8\) abgeschlossen, also ist \(P = 8\). 4. Parameter \(b\) berechnen: \(b = \frac{2\pi}{P} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}\). 5. Funktionsterm aufstellen: \(f(x) = 2\sin\left(\frac{\pi}{4}x\right) + 3\). 6. Höhe an der Stelle \(x = 1\) berechnen: \(f(1) = 2\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) + 3 = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 = \sqrt{2} + 3 \approx 4{,}41\).

a) \(f(x)=2\sin\left(\frac{\pi}{4}x\right)+3\) b) Die Höhe bei \(x=1\) beträgt \(3+\sqrt{2}\approx4{,}41\,\text{dm}\).

- Wo liegt die waagerechte Mittellinie, um die der Graph schwingt? - Wie weit schlägt der Graph nach oben und unten von dieser Mittellinie aus? - Wie groß ist der Abstand auf der x-Achse, nach dem sich das Muster des Graphen wiederholt? - An welcher Stelle schneidet der Graph die Mittellinie nach oben?

1. Die Mittellinie des Graphen liegt genau zwischen dem Maximum (\(3{,}5\)) und dem Minimum (\(0{,}5\)). Somit ist \(d = \frac{3{,}5 + 0{,}5}{2} = 2\). 2. Die Amplitude \(a\) ist der Abstand von der Mittellinie zum Maximum: \(a = 3{,}5 - 2 = 1{,}5\). 3. Die Periodenlänge \(p\) lässt sich zwischen zwei Maxima (z. B. bei \(x=2\) und \(x=6\)) ablesen: \(p = 4\). Damit ergibt sich der Faktor \(b = \frac{2\pi}{p} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\). 4. Für die horizontale Verschiebung \(c\) suchen wir eine Stelle, an der der Graph die Mittellinie steigend schneidet. Dies ist bei \(x = 1\) der Fall, also ist \(c = 1\). Der Funktionsterm lautet: \(f(x) = 1{,}5\sin(\frac{\pi}{2}(x - 1)) + 2\).

\(f(x) = 1{,}5\sin(\frac{\pi}{2}(x - 1)) + 2\)

- Bestimme zuerst die Mittellinie und die Amplitude. - Wie lang ist eine volle Periode? Nutze den Zusammenhang \(b = \frac{2\pi}{p}\). - Achte darauf, dass für eine Sinusfunktion der Form \(a\sin(...)\) der Parameter \(c\) den x-Wert angibt, an dem der Graph die Mittellinie in positiver Richtung (steigend) kreuzt.

1. Die Mittellage liegt bei \(y = 1\), da die Maxima bei \(y = 3\) und die Minima bei \(y = -1\) liegen. Also ist \(d = 1\). 2. Die Amplitude ist die Differenz zwischen Maximum und Mittellage: \(a = 3 - 1 = 2\). 3. Ein vollständiger Schwingungszyklus (z. B. von einem Maximum zum nächsten) dauert von \(x = 0\) bis \(x = 6\). Die Periode ist also \(p = 6\). Daraus folgt \(b = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}\). 4. Um \(c\) zu finden, suchen wir einen Schnittpunkt mit der Mittellage, bei dem der Graph steigt. Ein solcher Punkt liegt bei \(x = -1{,}5\) (oder \(x = 4{,}5\)). Wir wählen \(c = -1{,}5\). Der Funktionsterm lautet somit: \(g(x) = 2\sin(\frac{\pi}{3}(x + 1{,}5)) + 1\).

\(g(x) = 2\sin(\frac{\pi}{3}(x + 1{,}5)) + 1\) (oder eine äquivalente Form wie \(g(x) = 2\sin(\frac{\pi}{3}(x - 4{,}5)) + 1\))

- Suche zuerst die waagrechte Mittellinie, um die der Graph schwingt. Dieser Wert entspricht der Verschiebung \(d\). - Der Abstand von dieser Mittellinie bis zu einem Hochpunkt ist die Amplitude \(a\). - Bestimme den Abstand auf der \(x\)-Achse zwischen zwei aufeinanderfolgenden Hochpunkten, um die Periode \(T\) zu finden. - Nutze den Zusammenhang zwischen der Periode \(T\) und dem Faktor \(b\), um \(b\) zu berechnen.

1. Bestimmung der vertikalen Verschiebung \(d\): Die Mittellinie des Graphen liegt zwischen dem Maximum (\(y = 2\)) und dem Minimum (\(y = -4\)). Es gilt \(d = \frac{2 + (-4)}{2} = -1\). 2. Bestimmung der Amplitude \(a\): Der maximale Ausschlag von der Mittellinie beträgt \(2 - (-1) = 3\), also \(a = 3\). 3. Bestimmung der Periode \(T\) und des Faktors \(b\): Ein vollständiger Wellendurchlauf (z. B. von einem Schnittpunkt mit der Mittellinie bei steigendem Graphen zum nächsten) erfolgt von \(x = 0\) bis \(x = 12\). Damit ist \(T = 12\). Aus der Formel \(T = \frac{2\pi}{b}\) folgt \(b = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}\). 4. Aufstellen der Funktionsgleichung: \(f(x) = 3\sin(\frac{\pi}{6}x) - 1\).

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 3\sin(\frac{\pi}{6}x) - 1\); aus dem Graphen liest man die Amplitude \(a = 3\), die Periode \(T = 12\) und die vertikale Verschiebung \(d = -1\) ab, woraus \(b = \frac{\pi}{6}\) folgt.

- Wenn der Graph am Ursprung nach unten startet, was bedeutet das für das Vorzeichen der Amplitude? - Bestimme die Periodenlänge \(T\), indem du den Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Hochpunkten oder zwei gleichartigen Nulldurchgängen abliest. - Nutze die Formel \(T = \frac{2\pi}{b}\), um nach \(b\) aufzulösen.

1. Graph a): Der Graph verläuft am Ursprung zunächst ins Negative, was auf eine Spiegelung an der x-Achse hindeutet. Mit einer Amplitude von \(2\) wählen wir \(a = -2\). Da die Periode \(T = 2\) beträgt, ist \(b = \frac{2\pi}{2} = \pi\). Ergebnis: \(a = -2\), \(b = \pi\). 2. Graph b): Die Amplitude ist \(a = 3\). Eine vollständige Periode ist bei \(T = 5\) abgeschlossen. Daraus ergibt sich \(b = \frac{2\pi}{5} = 0{,}4\pi\). Ergebnis: \(a = 3\), \(b = 0{,}4\pi\). 3. Graph c): Die Amplitude ist \(a = 1\). Der Graph schwingt sehr schnell; eine volle Periode ist bereits bei \(T = 0{,}5\) beendet. Somit ist \(b = \frac{2\pi}{0{,}5} = 4\pi\). Ergebnis: \(a = 1\), \(b = 4\pi\).

a) \(a = -2\); \(b = \pi\) b) \(a = 3\); \(b = 0{,}4\pi\) c) \(a = 1\); \(b = 4\pi\)

- Wo liegt die Mittellinie der Kurve? Dieser \(y\)-Wert entspricht der Verschiebung \(d\). - Bestimme den Abstand von der Mittellinie bis zu einem Hochpunkt. Das ist deine Amplitude \(a\). - Lies den Abstand auf der \(x\)-Achse zwischen zwei benachbarten Hochpunkten ab, um die Periodenlänge zu finden. - Erinnere dich an die Formel \(b = \frac{2\pi}{T}\).

1. Bestimmung der Mittellinie \(d\): Die Maxima liegen bei \(y = 1\) und die Minima bei \(y = -3\). Die Mittellinie berechnet sich zu \(d = \frac{1 + (-3)}{2} = -1\). 2. Bestimmung der Amplitude \(a\): Der Ausschlag nach oben beträgt \(a = 1 - (-1) = 2\). 3. Bestimmung der Periode \(T\): Der Abstand zwischen zwei Maxima (z. B. bei \(x=0\) und \(x=2\)) beträgt \(T = 2\). 4. Berechnung des Parameters \(b\): Es gilt \(b = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2} = \pi\). 5. Aufstellen des Funktionsterms: Da der Graph bei \(x=0\) ein Maximum hat, passt die Kosinusfunktion ohne Verschiebung in x-Richtung perfekt. Der Term lautet \(f(x) = 2\cos(\pi x) - 1\).

\(f(x) = 2\cos(\pi x) - 1\)

- Wo liegt die Mittellinie des Graphen? - Achte darauf, ob der Graph bei \(x = 0\) nach oben oder nach unten geht. Das beeinflusst das Vorzeichen von \(a\). - Wie lang ist ein vollständiger Durchlauf der Kurve auf der \(x\)-Achse?

1. Mittellinie bestimmen: Das Maximum liegt bei \(y = 2\), das Minimum bei \(y = -1\). Die Mittellinie liegt bei \(d = \frac{2 + (-1)}{2} = 0{,}5\). 2. Amplitude bestimmen: Der Ausschlag beträgt \(|a| = 2 - 0{,}5 = 1{,}5\). Da der Graph bei \(x = 0\) im Mittelwert startet, aber zunächst fällt, ist der Parameter \(a = -1{,}5\). 3. Periode bestimmen: Von Minimum zu Minimum (z. B. von \(x = 1\) bis \(x = 5\)) beträgt der Abstand \(T = 4\). 4. Faktor \(b\) berechnen: \(b = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\). Ergebnis: \(f(x) = -1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) + 0{,}5\).

\(f(x) = -1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) + 0{,}5\)

- Bestimme zuerst den Bereich auf der \(y\)-Achse, in dem sich die Kurve bewegt. - Die Periode ist die Länge eines Intervalls, nach dem sich der Graph wiederholt. - Nutze den Zusammenhang \(b = \frac{2\pi}{T}\).

1. Verschiebung \(d\): Die Funktionswerte schwanken zwischen \(y_{\text{max}} = 1{,}5\) und \(y_{\text{min}} = 0{,}5\). Damit ist \(d = \frac{1{,}5 + 0{,}5}{2} = 1\). 2. Amplitude \(a\): Der maximale Ausschlag von der Mittellinie aus beträgt \(a = 1{,}5 - 1 = 0{,}5\). 3. Periode \(T\): Ein Hochpunkt liegt bei \(x = 2{,}5\), der nächste bei \(x = 12{,}5\) (außerhalb, aber die halbe Periode von Hoch zu Tief ist von \(2{,}5\) bis \(7{,}5\), also \(5\)). Die Periode ist \(T = 10\). 4. Faktor \(b\): \(b = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5} = 0{,}2\pi\). Ergebnis: \(a = 0{,}5\); \(b = 0{,}2\pi\); \(d = 1\).

\(a = 0{,}5\); \(b = 0{,}2\pi\) (oder \(\frac{\pi}{5}\)); \(d = 1\)

- Lies die höchsten und tiefsten Punkte des Graphen genau ab. - Wie oft schwingt die Kurve innerhalb einer Einheit auf der \(x\)-Achse? - Setze die gefundenen Werte für Amplitude, Periode und Verschiebung in die allgemeine Formel ein.

1. Mittellinie: Die Werte liegen zwischen \(0{,}4\) und \(-2{,}0\). Der Mittelwert ist \(d = \frac{0{,}4 + (-2{,}0)}{2} = -0{,}8\). 2. Amplitude: Der Abstand zum Maximum ist \(a = 0{,}4 - (-0{,}8) = 1{,}2\). 3. Periode: Der Graph wiederholt sich alle \(T = 1\) Einheiten (z. B. von \(x = 0\) bis \(x = 1\)). 4. Faktor \(b\): \(b = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{1} = 2\pi\). Ergebnis: \(f(x) = 1{,}2\sin(2\pi x) - 0{,}8\).

\(f(x) = 1{,}2\sin(2\pi x) - 0{,}8\)

- Schau dir zuerst an, um welchen Wert herum der Graph schwingt. Das ist dein \(d\). - Wie weit ist der höchste Punkt von dieser Mittellinie entfernt? Das liefert dir \(a\). - Wie lang ist der Weg auf der x-Achse, bis sich das Muster des Graphen exakt wiederholt? - Vergleiche die Graphen (1) und (3): Sie haben dieselbe Mittellinie, unterscheiden sich aber in der Schnelligkeit der Schwingung.

1. Analyse Graph (1): Die Mittellinie liegt bei \(y = -1\), der maximale Ausschlag geht bis \(y = 1\), also ist die Amplitude \(a = 2\). Eine volle Schwingung ist bei \(x \approx 6{,}28\) (\(2\pi\)) abgeschlossen. Dies passt zu \(f(x) = 2\sin(x) - 1\). 2. Analyse Graph (2): Die Mittellinie liegt bei \(y = 1\), der maximale Ausschlag geht bis \(y = 2\), also ist die Amplitude \(a = 1\). Eine volle Schwingung ist bereits bei \(x \approx 3{,}14\) (\(\pi\)) abgeschlossen. Dies passt zu \(g(x) = \sin(2x) + 1\). 3. Analyse Graph (3): Die Mittellinie liegt bei \(y = -1\), der maximale Ausschlag geht bis \(y = 1\), also ist die Amplitude \(a = 2\). Die Periode beträgt \(\pi\). Dies passt zu \(h(x) = 2\sin(2x) - 1\).

(1) gehört zu \(f(x) = 2\sin(x) - 1\); (2) gehört zu \(g(x) = \sin(2x) + 1\); (3) gehört zu \(h(x) = 2\sin(2x) - 1\).

- Die Amplitude ist der maximale Abstand eines Berges oder Tales von der Mittellinie. - Eine höhere Frequenz bedeutet, dass in demselben x-Abschnitt mehr Wellenberge vorkommen. - Um \(b\) zu bestimmen, schau dir an, wo die erste volle Schwingung endet. - Überprüfe, ob der Graph bei \(x=0\) durch die Mittellinie geht (Sinus) oder einen Extrempunkt hat (Kosinus).

1. Die Amplitude von \(p\) beträgt \(1{,}5\), da der Abstand von der Mittellinie \(y=0\) zu einem Hochpunkt \(1{,}5\) ist. Die Amplitude von \(q\) beträgt \(1\), da der Graph um \(y=2\) schwingt und bis \(y=3\) beziehungsweise \(y=1\) reicht. Somit hat \(p\) die größere Amplitude. 2. Graph \(q\) hat die Periode \(\pi\), während \(p\) die Periode \(2\pi\) besitzt. Daher hat \(q\) die höhere Frequenz. 3. Für \(p\) gilt \(d=0\), \(a=1{,}5\) und \(b=\frac{2\pi}{2\pi}=1\). Somit ist \(p(x)=1{,}5\sin(x)\).

1. Graph \(p\) hat die größere Amplitude. 2. Graph \(q\) hat die höhere Frequenz. 3. \(p(x) = 1{,}5\sin(x)\).

- Bestimme zuerst die Mittellinie und die Amplitude der Graphen. - Ermittle die Periodenlänge, um den Faktor vor dem \(x\) zu prüfen. - Achte auf die Verschiebung in x-Richtung oder eventuelle Spiegelungen an der Mittellinie. - Nutze die Beziehungen zwischen Sinus- und Kosinusfunktionen, wie zum Beispiel \(\cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin(\alpha)\).

1. Analyse von Graph (1): Mittellinie \(y = 1\), Amplitude \(a = 2\), Periode \(p = 4\). Daraus folgt \(b = \frac{2\pi}{4} = 0{,}5\pi\). Der Graph verläuft ohne horizontale Verschiebung durch den Schnittpunkt mit der y-Achse \((0 \mid 1)\) nach oben. Term A passt direkt. 2. Umformung von Term B: \(2\cos(0{,}5\pi x - 0{,}5\pi) + 1 = 2\sin(0{,}5\pi x) + 1\). Somit passt auch Term B zu Graph (1). 3. Analyse von Graph (2): Mittellinie, Amplitude und Periode sind identisch mit Graph (1). Der Graph ist jedoch um eine Einheit nach rechts verschoben. Dies entspricht dem Term \(2\sin(0{,}5\pi(x - 1)) + 1\), also Term C. 4. Umformung von Term D: \(-2\cos(0{,}5\pi x) + 1 = 2\sin(0{,}5\pi x - 0{,}5\pi) + 1 = 2\sin(0{,}5\pi(x - 1)) + 1\). Somit passt auch Term D zu Graph (2).

Zu Graph (1) passen die Terme A und B; zu Graph (2) passen die Terme C und D.

- Wo liegt der Durchschnittswert (die Mitte) zwischen dem höchsten und dem niedrigsten Punkt? - Welchen Abstand haben zwei benachbarte Hochpunkte auf der \(x\)-Achse? - Schau dir an, wo die Kurve die Mittellinie schneidet und dabei nach oben geht.

1. Vertikale Verschiebung \(d\): Die Hochpunkte liegen bei \(y = 2\), die Tiefpunkte bei \(y = 0\). Die Mitte liegt bei \(d = 1\). 2. Amplitude \(a\): Der Abstand von der Mittellinie \(y = 1\) zum Hochpunkt \(y = 2\) ist \(1\), also ist \(a = 1\). 3. Periode \(p\): Der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Hochpunkten (z. B. bei \(x = 2\) und \(x = 6\)) beträgt \(4\). Also ist \(p = 4\). 4. Parameter \(b\): \(b = \frac{2\pi}{p} = \frac{2\pi}{4} = 0{,}5\pi\). 5. Phasenverschiebung \(c\): Ein steigender Nulldurchgang (bezogen auf die Mittellinie \(y = 1\)) findet bei \(x = 1\) statt. Somit ist \(c = 1\). Ergebnis: \(f(x) = \sin(0{,}5\pi (x - 1)) + 1\).

\(a = 1\); \(b = 0{,}5\pi\); \(c = 1\); \(d = 1\). Der Funktionsterm lautet \(f(x) = \sin(0{,}5\pi (x - 1)) + 1\).

- Bestimme zuerst die Lage der Mittellinie. Sie liegt genau in der Mitte zwischen Berg und Tal. - Wie groß ist die Amplitude der Schwingung? - Wenn eine Verschiebung nach links vorliegt, welches Vorzeichen hat dann der Wert in der Klammer?

1. Mittellinie \(d\): Die Kurve schwingt zwischen \(y = 0\) und \(y = -1\). Die Mitte liegt bei \(d = -0{,}5\). 2. Amplitude \(a\): Der maximale Ausschlag von der Mitte beträgt \(0{,}5\), also \(a = 0{,}5\). 3. Periode \(p\): Die Kurve schneidet die Mittellinie steigend bei \(x = -0{,}5\) und das nächste Mal steigend bei \(x = 1{,}5\). Die Periode ist \(p = 1{,}5 - (-0{,}5) = 2\). 4. Parameter \(b\): \(b = \frac{2\pi}{2} = \pi\). 5. Verschiebung \(c\): Da der steigende Durchgang durch die Mittellinie bei \(x = -0{,}5\) liegt, ist \(c = -0{,}5\). Funktionsterm: \(f(x) = 0{,}5\sin(\pi (x + 0{,}5)) - 0{,}5\).

\(f(x) = 0{,}5\sin(\pi (x + 0{,}5)) - 0{,}5\)

- Schau dir an, bei welchem y-Wert die Schwingung ihr Zentrum hat. - Bestimme den Wert für die Amplitude als halbe Differenz zwischen Maximum und Minimum. - Lies die Periodenlänge am \(x\)-Abstand einer vollen Welle ab. - Überprüfe, ob der Graph an der Stelle \(x=0\) bereits einen bestimmten Wert hat oder ob er verschoben ist.

1. Mittellinie \(d\): Maxima bei \(5\), Minima bei \(-1\). \(d = \frac{5 + (-1)}{2} = 2\). 2. Amplitude \(a\): \(a = 5 - 2 = 3\). 3. Periode \(p\): Ein Zyklus von \(x=1\) bis \(x=9\) ergibt \(p = 8\). 4. Parameter \(b\): \(b = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} = 0{,}25\pi\). 5. Verschiebung \(c\): Steigender Nulldurchgang (bezogen auf die Mittellinie) bei \(x = 1\), also \(c = 1\). 6. Funktionsterm: \(f(x) = 3\sin(0{,}25\pi (x - 1)) + 2\).

\(f(x) = 3\sin(0{,}25\pi (x - 1)) + 2\)

- Ermittle den vertikalen Versatz \(d\) durch Mittelung von Maximum und Minimum. - Wie weit schwingt der Graph nach oben und unten aus? - Bestimme die Periodenlänge und berechne daraus den Parameter \(b\). - Achte darauf, an welcher Stelle die Kurve von der Mittellinie aus nach oben geht.

1. Mittellinie \(d\): Höchster Punkt bei \(5\), tiefster bei \(1\). \(d = \frac{5 + 1}{2} = 3\). 2. Amplitude \(a\): \(a = 5 - 3 = 2\). 3. Periode \(p\): Der Abstand zwischen zwei Minima (z. B. bei \(x=3\) und \(x=15\)) beträgt \(12\), also \(p = 12\). 4. Parameter \(b\): \(b = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}\). 5. Verschiebung \(c\): Ein steigender Durchgang durch die Mittellinie \(y=3\) findet bei \(x=6\) statt, also \(c = 6\). 6. Term: \(f(x) = 2\sin(\frac{\pi}{6}(x - 6)) + 3\). (Alternativ: \(f(x) = -2\sin(\frac{\pi}{6}x) + 3\)).

\(f(x) = 2\sin(\frac{\pi}{6}(x - 6)) + 3\)

- Achte auf die Skalierung der Achsen, um die Werte genau abzulesen. - Bestimme zuerst die Lage der Mittellinie und den maximalen Ausschlag. - Wie viele volle Wellen siehst du in einem Bereich von 1 oder 2 Einheiten? - Überlege, was das für den Faktor \(b\) im Argument des Sinus bedeutet.

1. Mittellinie \(d\): Maximum bei \(1\), Minimum bei \(-3\). \(d = \frac{1 + (-3)}{2} = -1\). 2. Amplitude \(a\): \(a = 1 - (-1) = 2\). 3. Periode \(p\): Eine volle Schwingung ist genau \(1\) Einheit lang (z. B. von \(x=0\) bis \(x=1\)), also \(p = 1\). 4. Parameter \(b\): \(b = \frac{2\pi}{1} = 2\pi\). 5. Verschiebung \(c\): Bei \(x = 0\) schneidet der Graph die Mittellinie steigend, also \(c = 0\). 6. Ergebnis: \(f(x) = 2\sin(2\pi x) - 1\).

\(f(x) = 2\sin(2\pi x) - 1\)

- Bestimme den vertikalen Bereich, in dem sich der Graph bewegt. - Wie groß ist der Abstand zwischen der Mittellinie und den Extrempunkten? - Lies die Länge einer vollständigen Schwingung auf der x-Achse ab. - Nutze die Formel \(b = \frac{2\pi}{p}\), um den Parameter \(b\) im Argument zu berechnen.

1. Mittellinie \(d\): Maximum bei \(2\), Minimum bei \(1\). \(d = \frac{2 + 1}{2} = 1{,}5\). 2. Amplitude \(a\): \(a = 2 - 1{,}5 = 0{,}5\). 3. Periode \(p\): Von \(x=0\) bis \(x=0{,}5\) findet eine volle Schwingung statt, also \(p = 0{,}5\). 4. Parameter \(b\): \(b = \frac{2\pi}{0{,}5} = 4\pi\). 5. Verschiebung \(c\): Der Graph startet bei \(x = 0\) auf der Mittellinie steigend, also \(c = 0\). 6. Funktionsterm: \(f(x) = 0{,}5\sin(4\pi x) + 1{,}5\).

\(f(x) = 0{,}5\sin(4\pi x) + 1{,}5\)

- Wo liegt die waagerechte Mittellinie, um die der Graph schwingt? Das gibt dir den Wert für \(d\). - Wie weit schlägt der Graph nach oben oder unten von dieser Mittellinie aus? Das ist die Amplitude \(a\). - Bestimme den Abstand zwischen zwei benachbarten Hochpunkten, um die Periodenlänge \(T\) zu finden. - Nutze den Zusammenhang zwischen der Periode \(T\) und dem Parameter \(b\), um \(b\) zu berechnen.

1. Bestimmung der Mittellinie: Die Maxima liegen bei \(y = 2\) und die Minima bei \(y = -1\). Die Mittellinie liegt genau in der Mitte bei \(d = \frac{2 + (-1)}{2} = 0{,}5\). 2. Bestimmung der Amplitude: Der Abstand von der Mittellinie zum Maximum beträgt \(a = 2 - 0{,}5 = 1{,}5\). 3. Bestimmung der Periode: Ein vollständiger Schwingungszyklus (z. B. von einem Maximum zum nächsten) dauert von \(x = 0\) bis \(x = 6\), also ist \(T = 6\). 4. Berechnung von \(b\): Mit der Formel \(T = \frac{2\pi}{b}\) folgt \(b = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}\). 5. Zusammenstellen des Terms: \(h(x) = 1{,}5\cos\left(\frac{\pi}{3}x\right) + 0{,}5\).

Der Funktionsterm lautet \(h(x)=1{,}5\cos\left(\frac{\pi}{3}x\right)+0{,}5\). Dabei ist \(d=0{,}5\) die Mittellinie, \(a=1{,}5\) die Amplitude und \(b=\frac{\pi}{3}\) folgt aus der Periode \(T=6\).

- Bestimme zuerst die Mittellinie des Graphen. Welchen y-Wert hat sie? - Wie groß ist die maximale Abweichung nach oben oder unten von dieser Mittellinie? - Achte darauf, ob der Graph am Ursprung (oder auf der Mittellinie bei \(x=0\)) nach oben oder nach unten startet. Das entscheidet über das Vorzeichen von \(a\). - Wie lang ist ein kompletter Durchgang der Welle? Das ist die Periode \(T\). Berechne daraus \(b\).

1. Aus Maximum \(4\) und Minimum \(0\) folgt die Mittellinie \(d=2\). 2. Die Amplitude beträgt \(2\). Da der Graph bei \(x=0\) die Mittellinie fallend schneidet, ist der Vorfaktor in der vorgegebenen Sinusform negativ: \(a=-2\). 3. Zwei aufeinanderfolgende Maxima liegen beispielsweise bei \(x=-1\) und \(x=3\). Daher ist \(T=4\). 4. Somit ist \(b=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\). 5. Ein passender Funktionsterm ist \(p(x)=-2\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)+2\).

Ein passender Funktionsterm ist \(p(x)=-2\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)+2\).

- Bestimme zuerst die Amplitude, indem du den Abstand vom höchsten zum tiefsten Punkt abliest und diesen halbierst. - Suche die Mittellinie des Graphen, um die Verschiebung in \(y\)-Richtung zu finden. - Ermittle die Periode \(p\), also den Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Hochpunkten, um den Faktor \(b\) in der Formel \(b = \frac{2\pi}{p}\) zu berechnen. - Schau dir an, wo der Graph die Mittellinie mit einer positiven Steigung schneidet, um die Verschiebung in \(x\)-Richtung zu bestimmen.

1. Analyse von \(g(x)\): Der Graph \(G_g\) (blau) hat eine Amplitude von \(2\), da die Maxima bei \(y = 2\) und die Minima bei \(y = -2\) liegen. Die Periode beträgt \(4\pi\), da eine volle Schwingung von \(x = -2\pi\) bis \(x = 2\pi\) verläuft. Aus \(p = \frac{2\pi}{b} = 4\pi\) folgt \(b = 0{,}5\). Es gibt keine Verschiebung in \(x\)- oder \(y\)-Richtung. Somit gilt \(g(x) = 2\sin(0{,}5x)\). 2. Analyse von \(h(x)\): Der Graph \(G_h\) (rot) hat eine Amplitude von \(1\). Die Mittellinie ist um \(1\) nach oben verschoben, also \(d = 1\). Die Periode ist unverändert \(2\pi\), also \(b = 1\). Der Graph ist gegenüber der Sinusfunktion um \(\frac{\pi}{2}\) nach rechts verschoben (\(c = \frac{\pi}{2}\)), da der Nulldurchgang mit positiver Steigung bei \(x = \frac{\pi}{2}\) liegt. Somit gilt \(h(x) = \sin(x - \frac{\pi}{2}) + 1\).

\(g(x) = 2\sin(0{,}5x)\) \(h(x) = \sin(x - \frac{\pi}{2}) + 1\)

- Finde zuerst die „Mittellinie“ des Graphen, um die vertikale Verschiebung \(d\) zu bestimmen. - Wie weit schwingt der Graph von dieser Mittellinie aus nach oben und unten? Das verrät dir die Amplitude \(a\). - Schaue auf der \(x\)-Achse, nach welcher Entfernung sich das Muster des Graphen exakt wiederholt. Das ist die Periode \(p\). - Nutze den Zusammenhang zwischen der Periode \(p\) und dem Faktor \(b\), um \(b\) zu berechnen.

1. Bestimmung der Mittellinie \(d\): Die Maxima liegen bei \(y = 1\) und die Minima bei \(y = -3\). Die Mitte liegt bei \(d = \frac{1 + (-3)}{2} = -1\). 2. Bestimmung der Amplitude \(a\): Die maximale Auslenkung von der Mittellinie beträgt \(1 - (-1) = 2\). Da der Graph bei \(x=0\) auf der Mittellinie nach oben startet, ist \(a = 2\). 3. Bestimmung der Periode \(p\): Ein voller Zyklus ist nach \(4\) Einheiten auf der \(x\)-Achse abgeschlossen. Also ist \(p = 4\). 4. Berechnung des Parameters \(b\): \(b = \frac{2\pi}{p} = \frac{2\pi}{4} = 0{,}5\pi\). 5. Zusammensetzung des Terms: \(f(x) = 2\sin(0{,}5\pi x) - 1\).

\(f(x) = 2\sin(0{,}5\pi x) - 1\)

- Was lässt sich aus dem vertikalen Abstand der beiden Punkte über die Amplitude und die Mittellinie sagen? - Wie viel einer vollen Periode ist durch den horizontalen Abstand zwischen einem Tiefpunkt und dem nächsten Hochpunkt abgedeckt? - In welchem Zusammenhang steht der Parameter \(b\) zur Periodenlänge? - Wo müsste die Kurve die Mittellinie mit positiver Steigung schneiden, wenn \(a > 0\) gelten soll?

1. Bestimmung der Verschiebung in \(y\)-Richtung \(d\): Der Wert liegt genau in der Mitte zwischen den \(y\)-Koordinaten von Tiefpunkt und Hochpunkt: \(d = \frac{5 + 1}{2} = 3\). 2. Bestimmung der Amplitude: Sie entspricht dem Abstand vom Extrempunkt zur Mittellinie. Da \(a > 0\) vorgegeben ist, gilt \(a = 5 - 3 = 2\). 3. Bestimmung der Periode \(p\) und des Parameters \(b\): Der \(x\)-Abstand zwischen einem Tiefpunkt und dem nächsten Hochpunkt entspricht einer halben Periode: \(\frac{p}{2} = 4 - 1 = 3 \implies p = 6\). Daraus folgt \(b = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}\). 4. Bestimmung der Verschiebung in \(x\)-Richtung \(c\): Bei \(a > 0\) liegt der Hochpunkt einer Sinusfunktion ein Viertel der Periode hinter dem Schnittpunkt mit der Mittellinie mit positiver Steigung. Es gilt \(x_H = c + \frac{p}{4}\), also \(4 = c + \frac{6}{4}\). Daraus folgt \(c = 2{,}5\). Dieser Wert erfüllt \(0 \le c < 6\). 5. Die Parameter lauten \(a = 2\), \(b = \frac{\pi}{3}\), \(c = 2{,}5\) und \(d = 3\).

\(a = 2\), \(b = \frac{\pi}{3}\), \(c = 2{,}5\), \(d = 3\)

- Kannst du die Punkte finden, an denen die sinusförmige Schwingung genau durch ihre „Mitte“ geht? - Wie lässt sich aus diesen Schnittpunkten die Trendgerade bestimmen? - Wie bestimmt man die Steigung und den y-Achsenabschnitt einer Geraden? - Was gibt die Amplitude einer Schwingung an, wenn du sie mit dem Abstand zur Trendlinie vergleichst? - Wie hängt die Periode \(p\) mit dem Parameter \(b\) in der Sinusfunktion zusammen?

1. **Bestimmung der Trendfunktion \(g(x)\):** Die Schnittpunkte des Graphen mit der Trendgeraden liegen dort, wo die Sinuskomponente null ist. Aus dem Graphen lassen sich diese Schnittpunkte bei ganzzahligen Koordinaten ablesen, zum Beispiel bei \((-2 \mid 0)\), \((0 \mid 1)\), \((2 \mid 2)\), \((4 \mid 3)\) und \((6 \mid 4)\). Diese Punkte liegen alle auf einer Geraden mit dem \(y\)-Achsenabschnitt \(c = 1\) und der Steigung: \(m = \frac{2 - 1}{2 - 0} = 0{,}5\) Damit lautet die Trendfunktion: \(g(x) = 0{,}5x + 1\) 2. **Bestimmung der Parameter von \(h(x)\):** Die periodische Komponente ist \(h(x) = a\sin(bx)\). Die Amplitude \(a\) entspricht der maximalen vertikalen Abweichung des Graphen von der Trendgeraden. Bei \(x = 1\) beträgt der Funktionswert des Graphen \(f(1) = 3{,}5\), während auf der Trendgeraden \(g(1) = 1{,}5\) liegt. Die Abweichung ist somit: \(a = 3{,}5 - 1{,}5 = 2\) Die Periode \(p\) ist die Länge eines vollständigen Schwingungszyklus (z. B. von einem Nulldurchgang bei \(x = 0\) bis zum übernächsten bei \(x = 4\)), also \(p = 4\). Daraus berechnet sich der Parameter \(b\) zu: \(b = \frac{2\pi}{p} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\) 3. **Vollständiger Funktionsterm:** Durch Addition der beiden Komponenten ergibt sich: \(f(x) = 0{,}5x + 1 + 2\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\)

a) \(g(x) = 0{,}5x + 1\) b) Amplitude \(a = 2\), Periode \(p = 4\), Parameter \(b = \frac{\pi}{2}\) c) \(f(x) = 0{,}5x + 1 + 2\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\)

- Berechne die Mittellinie als arithmetisches Mittel aus Maximum und Minimum. - Die Periode ist der \(x\)-Abstand zwischen zwei Bergen. - Für die Kosinusfunktion ist es am einfachsten, die Verschiebung zum ersten Hochpunkt zu betrachten.

1. Mittellinie \(d\): Die Werte schwanken zwischen \(-0{,}5\) und \(2{,}5\). Die Mitte ist \(d = \frac{2{,}5 + (-0{,}5)}{2} = 1\). 2. Amplitude \(a\): Der Abstand zum Hochpunkt ist \(2{,}5 - 1 = 1{,}5\), also \(a = 1{,}5\). 3. Periode \(p\): Ein Hochpunkt liegt bei \(x = 1\), der nächste bei \(x = 5\). Damit ist \(p = 4\). 4. Parameter \(b\): \(b = \frac{2\pi}{4} = 0{,}5\pi\). 5. Verschiebung \(c\) (Sinus): Die Kurve schneidet die Mittellinie steigend bei \(x = 0\), also \(c = 0\). Sinus-Term: \(f(x) = 1{,}5\sin(0{,}5\pi x) + 1\). 6. Verschiebung \(c'\) (Kosinus): Der erste Hochpunkt liegt bei \(x = 1\), also \(c' = 1\). Kosinus-Term: \(g(x) = 1{,}5\cos(0{,}5\pi(x - 1)) + 1\).

Sinusform: \(f(x) = 1{,}5\sin(0{,}5\pi x) + 1\). Kosinusform: \(g(x) = 1{,}5\cos(0{,}5\pi(x - 1)) + 1\).

- Nutze das Gitter genau aus, um auch Dezimalstellen bei der Verschiebung auf der \(x\)-Achse zu finden. - Ein Kästchen auf der \(x\)-Achse entspricht hier \(0{,}25\) Einheiten. - Die Periode ist die Länge eines kompletten Wellendurchlaufs.

1. Mittellinie \(d\): Der Graph schwingt zwischen \(y = 1\) und \(y = -3\). Die Mitte liegt bei \(d = -1\). 2. Amplitude \(a\): Der Ausschlag beträgt \(a = 2\). 3. Periode \(p\): Der Abstand zwischen zwei steigenden Nulldurchgängen (bezogen auf \(y = -1\)) ist von \(x = 0{,}25\) bis \(x = 2{,}25\) erkennbar. Also ist \(p = 2\). 4. Parameter \(b\): \(b = \frac{2\pi}{2} = \pi\). 5. Phasenverschiebung \(c\): Der steigende Nulldurchgang liegt bei \(x = 0{,}25\), also \(c = 0{,}25\). Ergebnis: \(f(x) = 2\sin(\pi (x - 0{,}25)) - 1\).

\(f(x) = 2\sin(\pi (x - 0{,}25)) - 1\)