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- Welche Zahl wird zum Sinuswert unabhängig von der Zeit immer addiert? - Welcher Faktor bestimmt den größten Abstand von dieser Mittellage? - Formuliere die beiden Zahlen anschließend mit ihren Einheiten im Sachzusammenhang.

1. Der konstante Summand ist die Mittellage. Daher liegt die modellierte Mittellage bei \(7\,\text{cm}\). 2. Der Betrag des Vorfaktors vor dem Sinus ist die Amplitude. Daher ist \(A=3\,\text{cm}\). 3. Das Modell schwankt somit um \(7\,\text{cm}\) und weicht davon höchstens \(3\,\text{cm}\) nach oben oder unten ab.

Mittellage: \(7\,\text{cm}\); Amplitude: \(3\,\text{cm}\). Das Modell schwankt um \(7\,\text{cm}\) mit einer maximalen Abweichung von \(3\,\text{cm}\).

- Betrachte für jede Teilaufgabe nur den angegebenen Abschnitt des Graphen. - Prüfe sowohl innere Hoch- oder Tiefpunkte als auch die Intervallgrenzen. - Lies die zugehörigen Temperaturwerte an der vertikalen Achse ab.

1. Im Intervall \([0;6]\) steigt der Modellwert von \(8\,{}^\circ\text{C}\) bei \(t=0\) auf \(14\,{}^\circ\text{C}\) bei \(t=6\). Damit sind Minimum \(8\,{}^\circ\text{C}\) und Maximum \(14\,{}^\circ\text{C}\). 2. Im Intervall \([6;18]\) liegt der Hochpunkt bei \(t=12\) mit \(20\,{}^\circ\text{C}\). An beiden Intervallgrenzen beträgt der Modellwert \(14\,{}^\circ\text{C}\). Damit sind Minimum \(14\,{}^\circ\text{C}\) und Maximum \(20\,{}^\circ\text{C}\). 3. Im Intervall \([12;24]\) fällt der Modellwert von \(20\,{}^\circ\text{C}\) auf \(8\,{}^\circ\text{C}\). Damit sind Maximum \(20\,{}^\circ\text{C}\) und Minimum \(8\,{}^\circ\text{C}\).

a) Maximum: \(14\,{}^\circ\text{C}\), Minimum: \(8\,{}^\circ\text{C}\) b) Maximum: \(20\,{}^\circ\text{C}\), Minimum: \(14\,{}^\circ\text{C}\) c) Maximum: \(20\,{}^\circ\text{C}\), Minimum: \(8\,{}^\circ\text{C}\)

- Welche beiden Tabellenwerte sind laut Aufgabenstellung die Extremwerte der vollständigen Periode? - Die Mittellage ist der Wert genau zwischen Maximum und Minimum. - Die Amplitude ist der Abstand von dieser Mittellage zu einem Extremwert. - Die unregelmäßigen Zeitabstände brauchst du für diese beiden Größen nicht auszuwerten.

1. Laut Angabe enthält die Tabelle die Extremwerte der Periode. Der größte Wert ist \(19\,\text{mm}\), der kleinste \(7\,\text{mm}\). 2. Die Mittellage liegt genau zwischen den Extremwerten: \(d=\frac{19+7}{2}\,\text{mm}=13\,\text{mm}\). 3. Die Amplitude ist die halbe Differenz der Extremwerte: \(A=\frac{19-7}{2}\,\text{mm}=6\,\text{mm}\).

\(d=13\,\text{mm}\), \(A=6\,\text{mm}\)

- Beginne mit dem größten und kleinsten Tabellenwert. - Für die Periode ist der Zeitabstand zwischen den ausdrücklich als aufeinanderfolgend bezeichneten Hochpunkten entscheidend. - Verknüpfe die gefundene Periode mit dem Faktor vor \(t\) im Sinusargument. - Nutze die Lage bei \(t=0\) und den folgenden Hochpunkt, um das Vorzeichen von \(a\) festzulegen.

1. Aus Maximum \(9\) und Minimum \(1\) folgen Mittellage \(d=5\) und Amplitude \(A=4\). 2. Die Hochpunkte bei \(t=2\,\text{s}\) und \(t=10\,\text{s}\) sind laut Angabe aufeinanderfolgend. Daher ist \(T=10\,\text{s}-2\,\text{s}=8\,\text{s}\). 3. Aus \(T=\frac{2\pi}{b}\) folgt \(b=\frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4}\). 4. Bei \(t=0\) liegt die Funktion auf der Mittellage und steigt zum Hochpunkt bei \(t=2\). Daher ist \(a=4\), und es passt \(f(t)=4\sin\left(\frac{\pi}{4}t\right)+5\).

\(A=4\), \(a=4\), \(d=5\), \(T=8\,\text{s}\), \(f(t)=4\sin\left(\frac{\pi}{4}t\right)+5\)

- Welche Zahl steht als Faktor bei \(t\) im Kosinusargument? - Wie hängen dieser Parameter und die Dauer einer vollständigen Wiederholung zusammen? - Deute das Ergebnis anschließend als Zeitspanne im Kontext.

1. Der Parameter vor \(t\) ist \(b=\frac{\pi}{4}\). 2. Daher ist \(T=\frac{2\pi}{b}=\frac{2\pi}{\pi/4}=8\,\text{s}\). 3. Nach jeweils \(8\,\text{s}\) wiederholt sich der modellierte Abstandsverlauf vollständig.

\(T=8\,\text{s}\). Der modellierte Abstandsverlauf wiederholt sich alle \(8\,\text{s}\).

- Welche Werte liegen genau in der Mitte zwischen Maximum und Minimum, und wie groß ist die Abweichung davon? - Welche Beziehung verbindet Periodendauer und Parameter \(b\)? - Suche den ansteigenden Schnittpunkt mit der Mittellinie. - Welches Vorzeichen hat \(c\) in \(t+c\), wenn dieser Schnittpunkt bei einer positiven Zeit liegt?

1. Das Maximum liegt bei \(20\,^\circ\text{C}\) um \(14{:}00\), das Minimum bei \(10\,^\circ\text{C}\) um \(02{:}00\). 2. Die Mittellinie liegt bei \(d=\frac{20+10}{2}=15\), die Amplitude bei \(a=5\). 3. Bei \(p=24\,\text{h}\) gilt \(b=\frac{2\pi}{24}=\frac{\pi}{12}\). 4. Der Graph schneidet die Mittellinie bei \(t=8\) ansteigend. In der Form \(t+c\) ist daher \(c=-8\).

a) Maximum \(20\,^\circ\text{C}\) um \(14{:}00\); Minimum \(10\,^\circ\text{C}\) um \(02{:}00\) b) \(a=5\), \(d=15\) c) \(b=\frac{\pi}{12}\) d) \(c=-8\)

- Vergleiche für a) jeweils den Funktionsterm bei \(x\) und bei \(-x\). - Nutze für b) nur die bereits gefundenen Beziehungen für \(f(-x)\) und \(g(-x)\). - Bei Punktsymmetrie zum Ursprung müssen Funktionswerte an entgegengesetzten \(x\)-Stellen entgegengesetzte Vorzeichen besitzen.

1. Es gilt \(f(-x)=2\sin(-x)=-2\sin(x)=-f(x)\) und \(g(-x)=\sin(-2x)=-\sin(2x)=-g(x)\). Beide Graphen sind daher punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Aus \(h=f+g\) folgt \(h(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-h(x)\). Also ist auch der Graph von \(h\) punktsymmetrisch zum Ursprung. 3. Für \(x=\frac{\pi}{2}\) gilt \(f=2\), \(g=0\), \(h=2\). Für \(x=-\frac{\pi}{2}\) gilt \(f=-2\), \(g=0\), \(h=-2\). Die Werte bestätigen die Punktsymmetrie.

a) Beide Graphen sind punktsymmetrisch zum Ursprung. b) Auch der Graph von \(h\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung. c) Bei \(x=\frac{\pi}{2}\): \(f=2\), \(g=0\), \(h=2\); bei \(x=-\frac{\pi}{2}\): \(f=-2\), \(g=0\), \(h=-2\).

- Vergleiche \(h(x)\) direkt mit \(g(x)\), indem du die Differenz der beiden Terme bildest. - Für das Globalverhalten musst du den Sinus nicht genau kennen; seine Werte bleiben immer in einem festen Intervall. - Begrenze \(h(x)\) nach oben und unten durch zwei lineare Terme. - Überlege für c), was mit den Funktionswerten einer stetigen Funktion passiert, wenn sich derselbe Graphabschnitt immer wiederholt.

1. Für jedes \(x\) gilt \(h(x)-g(x)=\sin(x)\). Daher schwankt der Graph von \(h\) um die Gerade \(g\), und der vertikale Abstand beträgt höchstens \(1\). 2. Aus \(-1\le\sin(x)\le1\) folgt \(0{,}5x-1\le h(x)\le0{,}5x+1\). Beide Randterme wachsen für \(x\to+\infty\) unbegrenzt. Daher gilt \(\lim_{x\to+\infty}h(x)=+\infty\). Für \(x\to-\infty\) gehen beide Randterme gegen \(-\infty\), also gilt \(\lim_{x\to-\infty}h(x)=-\infty\). 3. Eine stetige periodische Funktion wiederholt auf jedem Periodenintervall dieselben Funktionswerte und ist deshalb beschränkt. Da \(h\) nach oben und unten unbeschränkt ist, kann \(h\) nicht periodisch sein.

a) \(h\) schwankt im vertikalen Abstand von höchstens \(1\) um die Gerade \(g(x)=0{,}5x\). b) \(\lim_{x\to+\infty}h(x)=+\infty\) und \(\lim_{x\to-\infty}h(x)=-\infty\). c) \(h\) ist nicht periodisch, weil ihr Globalverhalten unbeschränkt ist.

- Für a) kannst du den Wert am Graphen ablesen oder den angegebenen Modellverlauf rechnerisch auswerten. - Für b) vergleiche den Graphen mit der waagrechten Schwelle bei \(4\,\text{m}\). - Suche die beiden Schnittzeiten innerhalb der ersten 12 Stunden. - Entscheide anschließend, zwischen welchen Schnittpunkten der Modellwert mindestens so groß wie die Schwelle ist.

1. Für \(t=4\) gilt \(h(4)=2\sin\left(\frac{\pi}{6}(4-2)\right)+3=2\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)+3=\sqrt3+3\approx4{,}73\,\text{m}\). 2. Für die Einfahrt wird \(h(t)\ge4\) benötigt. Im Intervall \([0;12]\) schneidet der Graph die Höhe \(4\,\text{m}\) bei \(t=3\) und \(t=7\). 3. Zwischen diesen beiden Zeiten liegt der Graph auf oder über \(4\,\text{m}\). Der gesuchte Zeitraum ist daher von 3:00 Uhr bis 7:00 Uhr.

a) \(h(4)=3+\sqrt3\,\text{m}\approx4{,}73\,\text{m}\) b) Von 3:00 Uhr bis 7:00 Uhr.

- Lies für beide Kurven zuerst die gemeinsame Referenzposition und den maximalen Abstand davon ab. - Bestimme jeweils die Zeit für eine vollständige Wiederholung. - Vergleiche die beiden Periodendauern, bevor du eine Aussage über die Frequenzen machst. - Prüfe, ob deine Funktionsterme bei \(t=0\) zur gezeigten Referenzposition passen.

1. Beide Kurven schwingen um \(d=2{,}5\,\text{mm}\). 2. Für \(g\) beträgt die Amplitude \(1{,}5\,\text{mm}\) und die Periode \(T_g=4\,\text{s}\). Daher ist \(b_g=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\) und \(g(t)=1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{2}t\right)+2{,}5\). 3. Für \(h\) beträgt die Amplitude \(0{,}5\,\text{mm}\) und die Periode \(T_h=2\,\text{s}\). Daher ist \(b_h=\frac{2\pi}{2}=\pi\) und \(h(t)=0{,}5\sin(\pi t)+2{,}5\). 4. Die Amplitude von \(h\) ist ein Drittel der Amplitude von \(g\). Da \(h\) nur die halbe Periodendauer besitzt, ist seine Frequenz doppelt so groß.

a) \(g(t)=1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{2}t\right)+2{,}5\) und \(h(t)=0{,}5\sin(\pi t)+2{,}5\) b) \(h\) hat ein Drittel der Amplitude von \(g\) und die doppelte Frequenz.

- Mittellinie und Amplitude lassen sich aus Maximum und Minimum bestimmen. - Für die Periodenlänge kannst du zwei aufeinanderfolgende gleichartige Extrempunkte vergleichen. - Suche für die Sinusform einen ansteigenden Durchgang durch die Mittellinie. - Achte darauf, welches Vorzeichen \(c\) in der Form \(t+c\) hat.

1. Das Maximum ist \(8\,\text{m}\), das Minimum \(2\,\text{m}\). Daher ist \(d=\frac{8+2}{2}=5\) und die Amplitude \(A=3\). 2. Zwei aufeinanderfolgende Minima liegen bei \(t=0\) und \(t=12\). Damit ist \(T=12\,\text{h}\) und \(b=\frac{2\pi}{12}=\frac{\pi}{6}\). 3. Die Kurve schneidet die Mittellinie bei \(t=3\) ansteigend. In der Form \(t+c\) ist deshalb \(c=-3\). 4. Mit dem positiven Vorfaktor \(a=3\) ergibt sich \(h(t)=3\sin\left(\frac{\pi}{6}(t-3)\right)+5\).

a) \(A=3\,\text{m}\), \(d=5\,\text{m}\) b) \(T=12\,\text{h}\), \(b=\frac{\pi}{6}\) c) \(c=-3\,\text{h}\), \(h(t)=3\sin\left(\frac{\pi}{6}(t-3)\right)+5\)

- Welche Größe des Riesenrads entspricht der Amplitude der Höhenänderung? - Bestimme aus höchster Höhe und Radius die Höhe der Drehachse. - Nutze die Dauer einer vollen Umdrehung für die Periodenlänge. - Überlege, welches Vorzeichen der Kosinuskoeffizient haben muss, wenn die Fahrt am tiefsten Punkt beginnt.

1. Der Radius beträgt \(15\,\text{m}\), also ist die Amplitude \(A=15\,\text{m}\). Weil die Gondel bei \(t=0\) am tiefsten Punkt startet, ist in der vorgegebenen Kosinusform der Vorfaktor \(a=-15\). 2. Die Achse des Riesenrads liegt \(15\,\text{m}\) unter dem höchsten Punkt, also bei \(d=32-15=17\,\text{m}\). 3. Die Periodenlänge ist \(T=4\,\text{min}\). Daher ist \(b=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\). 4. Somit lautet ein passender Funktionsterm \(h(t)=-15\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right)+17\).

\(h(t)=-15\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right)+17\)

- Überlege dir, was die physikalischen Größen (Wassertiefe, Zeit) im Koordinatensystem bedeuten. - Die Mittellinie \(d\) entspricht dem durchschnittlichen Wasserstand. - Die Amplitude \(a\) gibt an, wie stark der Wasserstand von diesem Durchschnitt maximal abweicht. - Wie lange dauert es von einem Hochwasser zum nächsten? Das ist die Periode \(p\).

1. Ablesen der Mittellinie (durchschnittlicher Wasserstand) aus dem Graphen: \(d = 4\) 2. Bestimmung der Amplitude \(a\): Die maximale Tiefe beträgt \(6\,\text{m}\), die minimale \(2\,\text{m}\). Die Amplitude ist die Differenz zur Mittellinie: \(a = 6 - 4 = 2\) 3. Ablesen der Periode \(p\): Die Dauer eines vollständigen Ebbe-Flut-Zyklus beträgt \(12\) Stunden. Also \(p = 12\) 4. Berechnung des Parameters \(b\): \(b = \frac{2\pi}{p} = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}\) 5. Aufstellen der Funktionsgleichung: \(h(t) = 2\sin(\frac{\pi}{6} t) + 4\)

\(h(t) = 2\sin(\frac{\pi}{6} t) + 4\)

- Suche nicht nach exakt gleichen Zahlen, sondern nach wiederkehrenden Merkmalen trotz kleiner Abweichungen. - Vergleiche hohe und niedrige Messwerte mit einer möglichen Mittellage. - Prüfe, ob weit auseinanderliegende Zeitpunkte ähnliche Werte zeigen und ob Werte um ein vermutetes Extremum annähernd symmetrisch sind. - Ein Näherungsmodell muss die einzelnen Messwerte nicht exakt treffen.

1. Die Werte liegen ungefähr symmetrisch um eine Mittellage nahe \(30\): Werte um \(36\) liegen etwa \(6\) darüber, Werte um \(24{,}8\) etwa \(5{,}2\) darunter. 2. Die Werte bei \(t=1\) und \(t=13\) sind nahezu gleich. Das spricht für eine Wiederholung nach ungefähr \(12\,\text{s}\). 3. Die Werte bei \(t=6\) und \(t=8\) sind nahezu gleich und liegen beidseits eines erwarteten Tiefpunkts; auch die Zwischenwerte passen zu einem regelmäßigen Anstieg und Abfall um die Mittellage. 4. Insgesamt sind die kleinen Abweichungen mit Messstreuung vereinbar. Ein sinusförmiges Näherungsmodell ist daher plausibel.

Ein sinusförmiges Modell ist plausibel. Dafür sprechen eine annähernd konstante Mittellage nahe \(30\), ungefähr gleich große Ausschläge nach oben und unten, nahezu gleiche Werte nach etwa \(12\,\text{s}\) sowie die annähernde Symmetrie der Werte um einen Tiefpunkt. Die kleinen Abweichungen widersprechen einem Näherungsmodell nicht.

- Schätze Mittellage und Amplitude aus der Lage der hohen und niedrigen Messwerte. - Für die Periode kannst du die ausdrücklich als aufeinanderfolgend bezeichneten Hochpunkte verwenden. - Ein Kosinusterm mit positivem Vorfaktor hat dort einen Hochpunkt, wo sein innerer Winkel \(0\) ist. - Achte beim Parameter \(c\) auf die vorgegebene Form \(t+c\).

1. Die Messwerte liegen ungefähr zwischen \(14\) und \(22\). Daher sind gerundet \(d\approx18\) und \(A\approx4\). 2. Die angegebenen aufeinanderfolgenden Hochpunkte liegen ungefähr \(12\,\text{h}\) auseinander. Damit ist \(T\approx12\,\text{h}\). 3. Mit \(T=12\) folgt \(b=\frac{2\pi}{12}=\frac{\pi}{6}\). 4. Ein Hochpunkt liegt ungefähr bei \(t=5\). Für einen Kosinusterm mit positivem Vorfaktor gilt in der Form \(t+c\) daher \(c=-5\). Mit \(a=4\) ergibt sich als einfacher Näherungsterm \(m(t)=4\cos\left(\frac{\pi}{6}(t-5)\right)+18\).

\(d\approx18\), \(A\approx4\), \(T\approx12\,\text{h}\), \(a=4\), \(b=\frac{\pi}{6}\), \(c=-5\); ein passender Näherungsterm ist \(m(t)=4\cos\left(\frac{\pi}{6}(t-5)\right)+18\).

- Werte beide Modelle genau an den fünf Tabellenzeitpunkten aus. - Vergleiche bei jedem Zeitpunkt Messwert und Modellwert über den Betrag ihrer Differenz. - Addiere die Abweichungen für jedes Modell getrennt. - Beachte, dass sich die beiden Modelle hier nicht in Amplitude oder Periode, sondern in ihrer Phase unterscheiden.

1. Modell \(f\) liefert bei \(t=0,1,2,3,4\) die Werte \(12,10,8,10,12\). Die absoluten Abweichungen sind \(0{,}1,0{,}2,0{,}1,0{,}2,0\); ihre Summe ist \(0{,}6\). 2. Modell \(g\) liefert bei denselben Zeitpunkten \(10,12,10,8,10\). Die absoluten Abweichungen sind \(1{,}9,1{,}8,1{,}9,1{,}8,2{,}0\); ihre Summe ist \(9{,}4\). 3. Da \(0{,}6<9{,}4\), beschreibt \(f\) die Messreihe nach dem vorgegebenen Kriterium besser. Der Unterschied entsteht hier vor allem durch die unterschiedliche Phase der beiden Modelle.

Summe der absoluten Abweichungen für \(f\): \(0{,}6\) Summe der absoluten Abweichungen für \(g\): \(9{,}4\) Nach diesem Kriterium passt \(f\) besser.

- Trenne beim Ausgangsterm die Rollen von Mittellage, Amplitude und Parameter \(b\). - Im ersten Szenario ändern sich nur zwei dieser drei Größen. - Überlege im zweiten Szenario, was „doppelt so schnell“ für die Zeit einer vollständigen Schwingung bedeutet. - Prüfe beim Wertebereich, wie weit das Modell von seiner neuen Mittellage nach oben und unten ausschlägt.

1. Das Ausgangsmodell hat Mittellage \(50\,\text{kPa}\), Amplitude \(8\,\text{kPa}\) und wegen \(b=\frac{\pi}{6}\) die Periode \(T=\frac{2\pi}{\pi/6}=12\,\text{s}\). 2. Im ersten Szenario wird die Amplitude zu \(4\,\text{kPa}\) und die Mittellage zu \(55\,\text{kPa}\); der Parameter \(b\) bleibt gleich. Daher ist \(p_1(t)=55+4\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)\) mit Wertebereich \([51;59] \,\text{kPa}\). 3. Doppelte Ablaufgeschwindigkeit bedeutet halbe Periode. Daher wird der Parameter \(b\) verdoppelt: \(p_2(t)=50+8\sin\left(\frac{\pi}{3}t\right)\). 4. Für \(p_2\) ist \(T_2=\frac{2\pi}{\pi/3}=6\,\text{s}\).

a) \(p_1(t)=55+4\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)\); Wertebereich: \([51;59]\,\text{kPa}\) b) \(p_2(t)=50+8\sin\left(\frac{\pi}{3}t\right)\); \(T_2=6\,\text{s}\)

- Vergleiche die hohen und niedrigen Werte in der ersten und in der zweiten sichtbaren Schwingung. - Prüfe, ob der Abstand von einer möglichen Mittellage über die gesamte Messreihe gleich bleibt. - Vergleiche auch Zeitpunkte, die acht Sekunden auseinanderliegen und damit dieselbe Lage innerhalb eines vermuteten Zyklus haben. - Ein einzelnes Sinusmodell mit festen Parametern wiederholt nicht nur seine Form, sondern auch seine Amplitude.

1. In der ersten Schwingung liegen die Werte symmetrisch um \(10\): Maximum \(14\), Minimum \(6\). Das entspricht einer Amplitude von \(4\). 2. In der zweiten Schwingung bleibt die Mittellage zwar bei \(10\), aber Maximum \(17\) und Minimum \(3\) entsprechen einer Amplitude von \(7\). 3. Außerdem haben Zeitpunkte mit gleicher Lage im jeweiligen Zyklus unterschiedliche Werte, etwa \(t=2\) mit \(14\) und \(t=10\) mit \(17\). 4. Ein Modell mit konstantem \(a\) besitzt eine konstante Amplitude. Deshalb kann ein einziges Modell mit festen Parametern die gesamte Messreihe nicht sinnvoll beschreiben.

Nein. Die erste Schwingung hat die Amplitude \(4\), die zweite die Amplitude \(7\); außerdem unterscheiden sich entsprechende Zykluswerte wie \(14\) bei \(t=2\) und \(17\) bei \(t=10\). Ein Modell mit konstanten Parametern hätte eine konstante Amplitude.

- Forme die Schwellenbedingung so um, dass nur noch der Sinusausdruck mit einer Zahl verglichen wird. - Nutze für die Grenzzeiten bekannte Winkel, bei denen der Sinus den Schwellenwert annimmt. - Für die Modellgüte in b) brauchst du Modell- und Messwert jeweils am selben Zeitpunkt. - Unterscheide bei c) zwischen einer Aussage im beobachteten Bereich und einer weit darüber hinausgehenden Vorhersage.

1. Die Bedingung \(m(t)\ge20\) ist gleichbedeutend mit \(\sin\left(\frac{\pi}{12}(t-2)\right)\ge\frac12\). 2. Im betrachteten Zeitraum ist diese Bedingung für Argumente von \(\frac{\pi}{6}\) bis \(\frac{5\pi}{6}\) erfüllt. Daraus folgen \(t=4\) und \(t=12\) als Randzeiten, also \(t\in[4;12]\). 3. Das Modell liefert bei \(t=0,4,8,12,16,20,24\) die Werte \(16,20,22,20,16,14,16\). Die absoluten Abweichungen zu den Messwerten sind \(0{,}2,0{,}2,0{,}1,0{,}2,0{,}1,0{,}1,0\). Die größte Abweichung beträgt \(0{,}2\). 4. Die Daten decken nur den beobachteten Zeitraum von \(24\,\text{h}\) ab. Für \(120\,\text{h}\) müsste man annehmen, dass Periode, Mittellage, Amplitude und Phase über viele weitere Zyklen unverändert bleiben. Diese Annahme wird durch die vorliegenden Daten nicht überprüft.

a) \(t\in[4;12]\,\text{h}\) b) größte absolute Abweichung: \(0{,}2\) c) Die Daten stützen das Modell nur im beobachteten Tagesabschnitt; eine unveränderte Fortsetzung über mehrere weitere Perioden ist nicht durch die Messreihe abgesichert.

- Ordne im ersten Testlauf zunächst Extremwerte, Mittellage, Amplitude und Periodenlänge den Parametern des Modells zu. - Überlege bei b), welche Grapheneigenschaft durch eine reine Änderung von \(c\) unverändert bleibt. - Bestimme für den zweiten Testlauf zuerst die neue Periodenlänge aus den beiden Hochpunkten und richte danach die Phase aus. - Vergleiche in c) nicht nur einzelne Werte; prüfe, ob sich der Kosinusterm mithilfe der bekannten Beziehung zwischen Sinus und Kosinus in dieselbe Sinusform überführen lässt.

1. Aus Minimum \(12\) und Maximum \(28\) folgen Mittellage \(d=\frac{28+12}{2}=20\) und Amplitude \(a=\frac{28-12}{2}=8\). 2. Aus \(T=10\,\text{s}\) folgt \(b=\frac{2\pi}{10}=\frac{\pi}{5}\). Der ansteigende Mittellinienschnitt bei \(t=1\) bedeutet bei positivem \(a\), dass \(t+c=0\) gewählt werden kann. Damit ist \(c=-1\), also \(h(t)=8\sin\left(\frac{\pi}{5}(t-1)\right)+20\). 3. Im zweiten Testlauf liegen aufeinanderfolgende Hochpunkte \(6\,\text{s}\) auseinander. Die neue Periodenlänge ist daher \(T=6\,\text{s}\). Eine Änderung von \(c\) verschiebt den Graphen nur horizontal und kann die Periodenlänge nicht verändern. Die Behauptung ist falsch; mindestens \(b\) muss ebenfalls verändert werden. 4. Aus \(T=6\) folgt \(b=\frac{2\pi}{6}=\frac{\pi}{3}\). Für einen Hochpunkt bei \(t=2\) muss bei positivem \(a\) gelten \(\frac{\pi}{3}(2+c)=\frac{\pi}{2}\). Daraus folgt \(c=-\frac{1}{2}\). Ein passender Term ist \(h_2(t)=8\sin\left(\frac{\pi}{3}\left(t-\frac{1}{2}\right)\right)+20\). 5. Für den Kosinusterm gilt \(\cos(u)=\sin\left(u+\frac{\pi}{2}\right)\). Daher ist \(8\cos\left(\frac{\pi}{3}(t-2)\right)+20=8\sin\left(\frac{\pi}{3}t-\frac{\pi}{6}\right)+20\), also genau derselbe Term wie \(h_2\). Der Vorschlag beschreibt dieselbe Bewegung.

a) \(h(t)=8\sin\left(\frac{\pi}{5}(t-1)\right)+20\) b) Die Behauptung ist falsch, weil \(c\) die Periodenlänge nicht verändert. Es muss auch \(b\) geändert werden. Ein passender Term ist \(h_2(t)=8\sin\left(\frac{\pi}{3}\left(t-\frac{1}{2}\right)\right)+20\). c) Ja. Der Kosinusterm ist äquivalent zu \(h_2\) und beschreibt dieselbe Bewegung.