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- Die Amplitude ist der maximale Ausschlag eines Graphen nach oben oder unten von der Mittellage aus. - Überlege, welcher Graph durch die Addition der anderen beiden entstanden sein muss. - Nullstellen sind die Schnittpunkte mit der waagerechten Achse. - Eine Periode ist der Abstand, nach dem sich der Verlauf der Welle wiederholt.

1. Amplituden ablesen: Der maximale Ausschlag von \(f\) (blau) ist 2 Einheiten, die Amplitude von \(g\) (orange) beträgt 1 Einheit. 2. Überprüfung bei \(x = \pi\): Aus dem Graphen liest man ab: \(f(\pi) = 0\), \(g(\pi) = 0\) und \(h(\pi) = 0\). Die Rechnung ergibt: \(0 = 0 + 0\), was korrekt ist. 3. Gemeinsame Nullstellen: Alle drei Funktionen haben Nullstellen bei Vielfachen von \(\pi\). Im Bereich \([0; 7]\) sind dies die Stellen \(x = 0\), \(x = \pi \approx 3{,}14\) und \(x = 2\pi \approx 6{,}28\).

a) Die Amplitude von \(f\) ist 2, die von \(g\) ist 1. b) Ja, es gilt \(0 = 0 + 0\). c) Die gemeinsamen Nullstellen liegen bei \(x = 0\), \(x = \pi\) und \(x = 2\pi\).

- Stell dir vor, du würdest den Graphen der Geraden \(y = 0{,}5x\) zeichnen. Wie verhält sich die Kurve im Vergleich dazu? - Welche Eigenschaft der Sinusfunktion bewirkt das Auf und Ab der Kurve? - Wie weit entfernt sich die Kurve maximal nach oben oder unten von der gedachten Mittellinie?

1. Die Funktion \(h\) ist die Summe aus der periodischen Sinusfunktion \(f(x) = \sin(x)\) und der linearen Funktion \(g(x) = 0{,}5x\). 2. Der lineare Anteil \(g(x) = 0{,}5x\) bildet die „Mittellinie“ oder den Trend des Graphen. Die Schwingung findet nicht mehr um die \(x\)-Achse statt, sondern um diese schräge Gerade. 3. Die Sinusfunktion \(f(x) = \sin(x)\) sorgt für die Wellenform mit einer Amplitude von \(1\). Der Graph von \(h\) schwankt also immer im vertikalen Abstand von maximal \(1\) um die Gerade \(y = 0{,}5x\).

Der Graph von \(h\) zeigt eine Sinusschwingung, die der Geraden \(g(x) = 0{,}5x\) überlagert ist. Die Gerade dient als Mittellinie, um die die Funktion mit der Amplitude der Sinusfunktion (hier \(1\)) schwingt.

- Betrachte nur den Teil des Graphen, der zwischen den beiden angegebenen Werten auf der waagerechten Achse liegt. - Suche in diesem Ausschnitt nach dem am höchsten und am tiefsten gelegenen Punkt der Kurve. - Vergiss nicht, auch die Werte an den Rändern des Intervalls zu prüfen.

1. Für das Intervall \([0; 6]\) wird der Graph von \(t=0\) bis \(t=6\) betrachtet. Der Temperaturwert steigt in diesem Bereich stetig an. Die minimale Temperatur liegt am linken Rand bei \(t=0\) mit \(8\,{}^\circ\text{C}\). Die maximale Temperatur liegt am rechten Rand bei \(t=6\) mit \(14\,{}^\circ\text{C}\). 2. Im Intervall \([6; 18]\) steigt die Temperatur zunächst bis zum Hochpunkt bei \(t=12\) an und fällt danach wieder ab. Das Maximum wird am Hochpunkt mit \(20\,{}^\circ\text{C}\) erreicht. Die Minimalwerte in diesem Abschnitt liegen an den Intervallgrenzen \(t=6\) und \(t=18\) bei jeweils \(14\,{}^\circ\text{C}\). 3. Im Intervall \([12; 24]\) fällt die Temperatur vom Höchstwert bei \(t=12\) (\(20\,{}^\circ\text{C}\)) kontinuierlich bis zum Endwert bei \(t=24\) (\(8\,{}^\circ\text{C}\)) ab. Somit ist das Maximum \(20\,{}^\circ\text{C}\) und das Minimum \(8\,{}^\circ\text{C}\).

a) Max: \(14\,{}^\circ\text{C}\), Min: \(8\,{}^\circ\text{C}\) b) Max: \(20\,{}^\circ\text{C}\), Min: \(14\,{}^\circ\text{C}\) c) Max: \(20\,{}^\circ\text{C}\), Min: \(8\,{}^\circ\text{C}\)

- Gehe für Teil a) auf der Zeitachse zum Wert 4 und lies den zugehörigen Wert auf der \(y\)-Achse ab. - Zeichne dir für Teil b) gedanklich eine waagrechte Linie bei der Höhe von \(4\,\text{m}\) ein. - In welchen Zeitabschnitten befindet sich die Kurve über dieser Linie? - Achte darauf, dass nur die ersten 12 Stunden gefragt sind.

1. Berechnung des Wasserstands für \(t = 4\): Einsetzen in die Modellfunktion \(h(4) = 2 \cdot \sin(\frac{\pi}{6} \cdot (4-2)) + 3 = 2 \cdot \sin(\frac{\pi}{3}) + 3 = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 3 = \sqrt{3} + 3 \approx 4{,}73\,\text{m}\). Alternativ kann der Wert direkt am Graphen abgelesen werden (ca. \(4{,}7\,\text{m}\)). 2. Bestimmung der Zeiträume für \(h(t) \geq 4\,\text{m}\): Man sucht die Schnittpunkte des Graphen mit der Geraden \(y = 4\). Innerhalb der ersten 12 Stunden schneidet der Graph diese Linie bei \(t = 3\) und \(t = 7\). 3. Ergebnis: Im Intervall \([3; 7]\) liegt der Graph oberhalb der \(4\,\text{m}\)-Marke. Das entspricht der Zeit von \(3{:}00\) Uhr bis \(7{:}00\) Uhr.

a) Um \(4{:}00\) Uhr steht das Wasser etwa \(4{,}73\,\text{m}\) hoch. b) Das Schiff kann zwischen \(3{:}00\) Uhr und \(7{:}00\) Uhr sicher einlaufen.

- Identifiziere für beide Kurven getrennt die maximale Auslenkung aus der Ruhelage. - Miss die Zeitdauer für genau eine vollständige Schwingung bei beiden Graphen ab. - Nutze den Zusammenhang \(b = \frac{2\pi}{P}\), um die Funktionsgleichungen zu vervollständigen. - Überlege dir, was es für die Frequenz bedeutet, wenn eine Schwingung doppelt so schnell abläuft (also eine halb so lange Periode hat).

1. Beide Kurven schwingen um \(y=2{,}5\), also ist \(d=2{,}5\). 2. Für \(g\): Amplitude \(1{,}5\,\text{mm}\), Periode \(4\,\text{s}\), daher \(b_g=\frac{\pi}{2}\) und \(g(t)=1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{2}t\right)+2{,}5\). 3. Für \(h\): Amplitude \(0{,}5\,\text{mm}\), Periode \(2\,\text{s}\), daher \(b_h=\pi\) und \(h(t)=0{,}5\sin(\pi t)+2{,}5\). 4. Die Amplitude von \(h\) ist ein Drittel so groß wie die von \(g\). Die Periode von \(h\) ist halb so lang; deshalb ist ihre Frequenz doppelt so groß.

a) \(g(t)=1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{2}t\right)+2{,}5\) und \(h(t)=0{,}5\sin(\pi t)+2{,}5\). b) Die Amplitude von \(h\) ist ein Drittel so groß wie die von \(g\); die Frequenz von \(h\) ist doppelt so groß.

- Überlege dir, was der höchste und der niedrigste Punkt der Fahrt über dem Boden sind. - Die Amplitude entspricht dem Radius des Riesenrads. - Die Verschiebung in \(y\)-Richtung (Mittellinie) entspricht der Höhe der Achse des Riesenrads. - Der Faktor \(b\) hängt direkt mit der Zeit für eine volle Umdrehung zusammen. - Da die Fahrt ganz unten beginnt, ist eine Kosinusfunktion mit negativem Vorzeichen vor der Amplitude oft am einfachsten zu verwenden.

1. Bestimmung der Parameter: Der Durchmesser beträgt \(30\,\text{m}\), also ist die Amplitude \(a = \frac{30}{2} = 15\). Da die Fahrt am tiefsten Punkt beginnt, verwenden wir eine gespiegelte Kosinusfunktion mit \(a = -15\). 2. Die maximale Höhe ist \(32\,\text{m}\). Da die Amplitude \(15\,\text{m}\) beträgt, liegt die Achse des Riesenrads bei \(d = 32 - 15 = 17\,\text{m}\). (Alternativ: Der tiefste Punkt liegt bei \(32 - 30 = 2\,\text{m}\), die Mitte liegt bei \(\frac{32 + 2}{2} = 17\,\text{m}\)). 3. Die Periodendauer ist \(T = 4\,\text{min}\). Daraus berechnet sich der Faktor \(b = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\). 4. Einsetzen der Werte ergibt den Funktionsterm: \(h(t) = -15\cos(\frac{\pi}{2}t) + 17\).

\(h(t) = -15\cos(\frac{\pi}{2}t) + 17\)

- Überlege dir, was die physikalischen Größen (Wassertiefe, Zeit) im Koordinatensystem bedeuten. - Die Mittellinie \(d\) entspricht dem durchschnittlichen Wasserstand. - Die Amplitude \(a\) gibt an, wie stark der Wasserstand von diesem Durchschnitt maximal abweicht. - Wie lange dauert es von einem Hochwasser zum nächsten? Das ist die Periode \(p\).

1. Ablesen der Mittellinie (durchschnittlicher Wasserstand) aus dem Graphen: \(d = 4\) 2. Bestimmung der Amplitude \(a\): Die maximale Tiefe beträgt \(6\,\text{m}\), die minimale \(2\,\text{m}\). Die Amplitude ist die Differenz zur Mittellinie: \(a = 6 - 4 = 2\) 3. Ablesen der Periode \(p\): Die Dauer eines vollständigen Ebbe-Flut-Zyklus beträgt \(12\) Stunden. Also \(p = 12\) 4. Berechnung des Parameters \(b\): \(b = \frac{2\pi}{p} = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}\) 5. Aufstellen der Funktionsgleichung: \(h(t) = 2\sin(\frac{\pi}{6} t) + 4\)

\(h(t) = 2\sin(\frac{\pi}{6} t) + 4\)

- Wo liegt die „Mitte“ zwischen dem höchsten und dem niedrigsten Wert? Das hilft dir bei \(d\). - Wie weit schwingt der Graph von dieser Mitte aus nach oben oder unten? Das ist die Amplitude \(a\). - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Periodendauer \(p\) und dem Faktor \(b\). - Suche den Punkt, an dem der Graph die Mittellinie nach oben kreuzt. Dieser Wert auf der x-Achse verrät dir die Verschiebung \(c\).

1. Max/Min ablesen: Das Maximum liegt bei \(T_{\text{max}} = 20\,^\circ\text{C}\) zum Zeitpunkt \(t = 14\) (14:00 Uhr). Das Minimum liegt bei \(T_{\text{min}} = 10\,^\circ\text{C}\) zum Zeitpunkt \(t = 2\) (02:00 Uhr). 2. Parameter \(d\) und \(a\): Die Mittellinie (Ruhelage) liegt genau zwischen Maximum und Minimum: \(d = \frac{20 + 10}{2} = 15\). Die Amplitude ist die Abweichung vom Mittelwert: \(a = 20 - 15 = 5\). 3. Parameter \(b\): Bei einer Periodenlänge von \(p = 24\,\text{h}\) ergibt sich \(b = \frac{2\pi}{p} = \frac{2\pi}{24} = \frac{\pi}{12}\). 4. Parameter \(c\): Der Graph schneidet die Mittellinie (\(T = 15\)) steigend zum Zeitpunkt \(t = 8\). Da eine Standard-Sinusfunktion bei \(0\) steigend beginnt, entspricht dies einer Verschiebung um \(8\) Einheiten nach rechts, also \(c = 8\).

a) \(T_{\text{max}} = 20\,^\circ\text{C}\) bei \(t = 14\); \(T_{\text{min}} = 10\,^\circ\text{C}\) bei \(t = 2\) b) \(a = 5\); \(d = 15\) c) \(b = \frac{\pi}{12}\) d) \(c = 8\)

- Die Mittellinie liegt genau in der Mitte zwischen dem höchsten und dem niedrigsten Punkt. - Die Amplitude ist der Abstand von der Mittellinie zum höchsten Punkt. - Die Periode ist der zeitliche Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Wellenbergen oder Wellentälern. - Überlege, an welcher Stelle die Kurve die Mittellinie schneidet und nach oben ansteigt, um die Verschiebung \(c\) zu finden.

1. Bestimmung der vertikalen Parameter: Maximum \(h_{\text{max}} = 8\), Minimum \(h_{\text{min}} = 2\). Mittellinie \(d = \frac{8+2}{2} = 5\). Amplitude \(a = 8 - 5 = 3\). 2. Bestimmung der Periodizität: Der zeitliche Abstand zwischen zwei Minima (bei \(t=0\) und \(t=12\)) beträgt \(p = 12\,\text{h}\). Der Parameter \(b\) berechnet sich zu \(b = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}\). 3. Bestimmung der horizontalen Verschiebung: Die Kurve schneidet die Mittellinie ansteigend bei \(t = 3\). Daher ist \(c = 3\). 4. Aufstellen der Funktionsgleichung: Einsetzen der Parameter ergibt \(h(t) = 3\sin(\frac{\pi}{6}(t - 3)) + 5\).

a) \(a = 3\); \(d = 5\) b) Periode \(p = 12\,\text{h}\); \(b = \frac{\pi}{6} \approx 0{,}52\) c) \(c = 3\); \(h(t) = 3\sin(\frac{\pi}{6}(t - 3)) + 5\)