- Welche Zahl wird unabhängig von der Zeit immer addiert? - Welcher Faktor bestimmt den größten Abstand von der Mittellinie? - Formuliere beide Größen anschließend mit ihrer Einheit im Sachzusammenhang.

1. Der konstante Summand bestimmt die Mittellinie. Sie liegt bei \(7\,\text{cm}\). 2. Der Betrag des Vorfaktors vor dem Sinus ist die Amplitude. Daher ist \(A=3\,\text{cm}\). 3. Die modellierte Wasserhöhe schwankt also um \(7\,\text{cm}\) und weicht davon höchstens \(3\,\text{cm}\) nach oben oder unten ab.

Mittellinie: \(7\,\text{cm}\); Amplitude: \(3\,\text{cm}\). Die Wasserhöhe schwankt im Modell um \(7\,\text{cm}\) mit einer maximalen Abweichung von \(3\,\text{cm}\).

- Vergleiche die Werte ab \(t=0\) mit den Werten ab einem späteren Zeitpunkt. - Suche den kleinsten Zeitabstand, nach dem mehrere aufeinanderfolgende Höhen wieder übereinstimmen.

1. Ab \(t=8\,\text{min}\) beginnen dieselben Höhenwerte erneut: Bei \(t=0\) und \(t=8\) beträgt die Höhe jeweils \(10\,\text{m}\); bei \(t=2\) und \(t=10\) jeweils \(12\,\text{m}\). 2. Daher passt die Periodenlänge \(T=8\,\text{min}\).

Ja. Eine passende Periodenlänge ist \(T=8\,\text{min}\). Zum Beispiel gilt \(h(0)=h(8)=10\,\text{m}\) und auch \(h(2)=h(10)=12\,\text{m}\).

- Betrachte für jede Teilaufgabe nur den angegebenen Abschnitt des Graphen. - Prüfe sowohl innere Hoch- oder Tiefpunkte als auch die Intervallgrenzen. - Lies die zugehörigen Temperaturwerte an der vertikalen Achse ab.

1. Im Intervall \([0;6]\) steigt der Modellwert von \(8\,{}^\circ\text{C}\) bei \(t=0\) auf \(14\,{}^\circ\text{C}\) bei \(t=6\). Damit sind Minimum \(8\,{}^\circ\text{C}\) und Maximum \(14\,{}^\circ\text{C}\). 2. Im Intervall \([6;18]\) liegt der Hochpunkt bei \(t=12\) mit \(20\,{}^\circ\text{C}\). An beiden Intervallgrenzen beträgt der Modellwert \(14\,{}^\circ\text{C}\). Damit sind Minimum \(14\,{}^\circ\text{C}\) und Maximum \(20\,{}^\circ\text{C}\). 3. Im Intervall \([12;24]\) fällt der Modellwert von \(20\,{}^\circ\text{C}\) auf \(8\,{}^\circ\text{C}\). Damit sind Maximum \(20\,{}^\circ\text{C}\) und Minimum \(8\,{}^\circ\text{C}\).

a) Maximum: \(14\,{}^\circ\text{C}\), Minimum: \(8\,{}^\circ\text{C}\) b) Maximum: \(20\,{}^\circ\text{C}\), Minimum: \(14\,{}^\circ\text{C}\) c) Maximum: \(20\,{}^\circ\text{C}\), Minimum: \(8\,{}^\circ\text{C}\)

- Welche beiden Tabellenwerte sind die größte und die kleinste Höhe? - Wo liegt die Mitte zwischen diesen beiden Werten? - Wie weit liegt ein Extremwert von dieser Mitte entfernt?

1. Die größte Höhe ist \(19\,\text{mm}\), die kleinste \(7\,\text{mm}\). 2. Die Mittellinie liegt genau zwischen beiden Extremwerten: \(d=\frac{19+7}{2}\,\text{mm}=13\,\text{mm}\). 3. Die Amplitude ist die halbe Differenz: \(A=\frac{19-7}{2}\,\text{mm}=6\,\text{mm}\).

\(d=13\,\text{mm}\), \(A=6\,\text{mm}\)

- Beginne mit Maximum und Minimum. - Für die Periode ist der Abstand zwischen den beiden aufeinanderfolgenden Hochpunkten entscheidend. - Nutze die Lage bei \(t=0\), um das Vorzeichen von \(a\) zu bestimmen.

1. Aus Maximum \(9\,\text{cm}\) und Minimum \(1\,\text{cm}\) folgen die Mittellinie \(d=5\,\text{cm}\) und die Amplitude \(A=4\,\text{cm}\). 2. Die aufeinanderfolgenden Hochpunkte bei \(t=2\,\text{s}\) und \(t=10\,\text{s}\) haben den Abstand \(8\,\text{s}\). Daher ist \(T=8\,\text{s}\). 3. Aus \(T=\frac{2\pi}{b}\) folgt \(b=\frac{\pi}{4}\). 4. Bei \(t=0\) liegt die Wasserhöhe auf der Mittellinie und steigt zum Hochpunkt. Daher ist \(a=4\), und es passt \(h(t)=4\sin\left(\frac{\pi}{4}t\right)+5\).

\(A=4\,\text{cm}\), \(a=4\), \(d=5\,\text{cm}\), \(T=8\,\text{s}\), \(h(t)=4\sin\left(\frac{\pi}{4}t\right)+5\)

- Welche Zahl steht als Faktor bei \(t\) im Kosinusargument? - Wie hängen dieser Parameter und die Dauer einer vollständigen Wiederholung zusammen? - Deute das Ergebnis anschließend als Zeitspanne im Kontext.

1. Der Parameter vor \(t\) ist \(b=\frac{\pi}{4}\). 2. Daher ist \(T=\frac{2\pi}{b}=\frac{2\pi}{\pi/4}=8\,\text{s}\). 3. Nach jeweils \(8\,\text{s}\) wiederholt sich der modellierte Abstandsverlauf vollständig.

\(T=8\,\text{s}\). Der modellierte Abstandsverlauf wiederholt sich alle \(8\,\text{s}\).

- Für a) kannst du den Wert am Graphen ablesen oder den angegebenen Modellverlauf rechnerisch auswerten. - Für b) vergleiche den Graphen mit der waagrechten Schwelle bei \(4\,\text{m}\). - Suche die beiden Schnittzeiten innerhalb der ersten 12 Stunden. - Entscheide anschließend, zwischen welchen Schnittpunkten der Modellwert mindestens so groß wie die Schwelle ist.

1. Für \(t=4\) gilt \(h(4)=2\sin\left(\frac{\pi}{6}(4-2)\right)+3=2\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)+3=\sqrt3+3\approx4{,}73\,\text{m}\). 2. Für die Einfahrt wird \(h(t)\ge4\) benötigt. Im Intervall \([0;12]\) schneidet der Graph die Höhe \(4\,\text{m}\) bei \(t=3\) und \(t=7\). 3. Zwischen diesen beiden Zeiten liegt der Graph auf oder über \(4\,\text{m}\). Der gesuchte Zeitraum ist daher von 3:00 Uhr bis 7:00 Uhr.

a) \(h(4)=3+\sqrt3\,\text{m}\approx4{,}73\,\text{m}\) b) Von 3:00 Uhr bis 7:00 Uhr.

- Lies für beide Kurven zuerst die gemeinsame Referenzposition und den maximalen Abstand davon ab. - Bestimme jeweils die Zeit für eine vollständige Wiederholung. - Vergleiche die beiden Periodendauern, bevor du eine Aussage über die Frequenzen machst. - Prüfe, ob deine Funktionsterme bei \(t=0\) zur gezeigten Referenzposition passen.

1. Beide Kurven schwingen um \(d=2{,}5\,\text{mm}\). 2. Für \(g\) beträgt die Amplitude \(1{,}5\,\text{mm}\) und die Periode \(T_g=4\,\text{s}\). Daher ist \(b_g=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\) und \(g(t)=1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{2}t\right)+2{,}5\). 3. Für \(h\) beträgt die Amplitude \(0{,}5\,\text{mm}\) und die Periode \(T_h=2\,\text{s}\). Daher ist \(b_h=\frac{2\pi}{2}=\pi\) und \(h(t)=0{,}5\sin(\pi t)+2{,}5\). 4. Die Amplitude von \(h\) ist ein Drittel der Amplitude von \(g\). Da \(h\) nur die halbe Periodendauer besitzt, ist seine Frequenz doppelt so groß.

a) \(g(t)=1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{2}t\right)+2{,}5\) und \(h(t)=0{,}5\sin(\pi t)+2{,}5\) b) \(h\) hat ein Drittel der Amplitude von \(g\) und die doppelte Frequenz.

- Mittellinie und Amplitude lassen sich aus Maximum und Minimum bestimmen. - Für die Periodenlänge kannst du zwei aufeinanderfolgende gleichartige Extrempunkte vergleichen. - Suche für die Sinusform einen ansteigenden Durchgang durch die Mittellinie. - Achte darauf, welches Vorzeichen \(c\) in der Form \(t+c\) hat.

1. Das Maximum ist \(8\,\text{m}\), das Minimum \(2\,\text{m}\). Daher ist \(d=\frac{8+2}{2}=5\) und die Amplitude \(A=3\). 2. Zwei aufeinanderfolgende Minima liegen bei \(t=0\) und \(t=12\). Damit ist \(T=12\,\text{h}\) und \(b=\frac{2\pi}{12}=\frac{\pi}{6}\). 3. Die Kurve schneidet die Mittellinie bei \(t=3\) ansteigend. In der Form \(t+c\) ist deshalb \(c=-3\). 4. Mit dem positiven Vorfaktor \(a=3\) ergibt sich \(h(t)=3\sin\left(\frac{\pi}{6}(t-3)\right)+5\).

a) \(A=3\,\text{m}\), \(d=5\,\text{m}\) b) \(T=12\,\text{h}\), \(b=\frac{\pi}{6}\) c) \(c=-3\,\text{h}\), \(h(t)=3\sin\left(\frac{\pi}{6}(t-3)\right)+5\)

- Welche Größe des Riesenrads entspricht der Amplitude der Höhenänderung? - Bestimme aus höchster Höhe und Radius die Höhe der Drehachse. - Nutze die Dauer einer vollen Umdrehung für die Periodenlänge. - Überlege, welches Vorzeichen der Kosinuskoeffizient haben muss, wenn die Fahrt am tiefsten Punkt beginnt.

1. Der Radius beträgt \(15\,\text{m}\), also ist die Amplitude \(A=15\,\text{m}\). Weil die Gondel bei \(t=0\) am tiefsten Punkt startet, ist in der vorgegebenen Kosinusform der Vorfaktor \(a=-15\). 2. Die Achse des Riesenrads liegt \(15\,\text{m}\) unter dem höchsten Punkt, also bei \(d=32-15=17\,\text{m}\). 3. Die Periodenlänge ist \(T=4\,\text{min}\). Daher ist \(b=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\). 4. Somit lautet ein passender Funktionsterm \(h(t)=-15\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right)+17\).

\(h(t)=-15\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right)+17\)

- Überlege dir, was die physikalischen Größen (Wassertiefe, Zeit) im Koordinatensystem bedeuten. - Die Mittellinie \(d\) entspricht dem durchschnittlichen Wasserstand. - Die Amplitude \(a\) gibt an, wie stark der Wasserstand von diesem Durchschnitt maximal abweicht. - Wie lange dauert es von einem Hochwasser zum nächsten? Das ist die Periode \(p\).

1. Ablesen der Mittellinie (durchschnittlicher Wasserstand) aus dem Graphen: \(d = 4\) 2. Bestimmung der Amplitude \(a\): Die maximale Tiefe beträgt \(6\,\text{m}\), die minimale \(2\,\text{m}\). Die Amplitude ist die Differenz zur Mittellinie: \(a = 6 - 4 = 2\) 3. Ablesen der Periode \(p\): Die Dauer eines vollständigen Ebbe-Flut-Zyklus beträgt \(12\) Stunden. Also \(p = 12\) 4. Berechnung des Parameters \(b\): \(b = \frac{2\pi}{p} = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}\) 5. Aufstellen der Funktionsgleichung: \(h(t) = 2\sin(\frac{\pi}{6} t) + 4\)

\(h(t) = 2\sin(\frac{\pi}{6} t) + 4\)

- Suche nach wiederkehrenden Merkmalen trotz kleiner Messabweichungen. - Vergleiche hohe und niedrige Werte mit einer möglichen Mittellinie. - Prüfe, ob weit auseinanderliegende Zeitpunkte ähnliche Höhen zeigen.

1. Die Höhen liegen ungefähr symmetrisch um eine Mittellinie nahe \(30\,\text{cm}\). 2. Die Werte bei \(t=1\,\text{s}\) und \(t=13\,\text{s}\) sind nahezu gleich. Das spricht für eine Wiederholung nach ungefähr \(12\,\text{s}\). 3. Die Werte bei \(t=6\,\text{s}\) und \(t=8\,\text{s}\) sind nahezu gleich und liegen beidseits eines erwarteten Tiefpunkts. Auch die übrigen Werte passen zu einem regelmäßigen Anstieg und Abfall. 4. Die kleinen Abweichungen sind mit Messstreuung vereinbar. Ein sinusförmiges Näherungsmodell ist daher plausibel.

Ein sinusförmiges Modell ist plausibel. Dafür sprechen eine Mittellinie nahe \(30\,\text{cm}\), ungefähr gleich große Ausschläge nach oben und unten, nahezu gleiche Werte nach etwa \(12\,\text{s}\) sowie die annähernde Symmetrie um einen Tiefpunkt.

- Schätze Mittellinie und Amplitude aus den hohen und niedrigen Wasserständen. - Nutze für die Periode den Abstand der beiden aufeinanderfolgenden Hochwasserstände. - Achte beim Parameter \(c\) auf die vorgegebene Form \(t+c\).

1. Die Wasserhöhe liegt ungefähr zwischen \(14\,\text{dm}\) und \(22\,\text{dm}\). Daher sind gerundet \(d\approx18\,\text{dm}\) und \(A\approx4\,\text{dm}\). 2. Die aufeinanderfolgenden Hochwasserstände liegen ungefähr \(12\,\text{h}\) auseinander. Damit ist \(T\approx12\,\text{h}\). 3. Aus \(T=12\) folgt \(b=\frac{2\pi}{12}=\frac{\pi}{6}\). 4. Ein Hochwasserstand liegt ungefähr bei \(t=5\). Für einen Kosinusterm mit positivem Vorfaktor gilt daher \(c=-5\). Ein passender Näherungsterm ist \(h(t)=4\cos\left(\frac{\pi}{6}(t-5)\right)+18\).

\(d\approx18\,\text{dm}\), \(A\approx4\,\text{dm}\), \(T\approx12\,\text{h}\), \(a=4\), \(b=\frac{\pi}{6}\), \(c=-5\); ein passender Näherungsterm ist \(h(t)=4\cos\left(\frac{\pi}{6}(t-5)\right)+18\).

- Werte beide Modelle an denselben fünf Zeitpunkten aus. - Bilde für jeden Zeitpunkt den Betrag der Differenz aus gemessener Höhe und Modellwert. - Addiere die Abweichungen für jedes Modell getrennt.

1. Modell \(f\) liefert die Höhen \(12,10,8,10,12\) in Zentimetern. Die absoluten Abweichungen sind \(0{,}1,0{,}2,0{,}1,0{,}2,0\); ihre Summe ist \(0{,}6\,\text{cm}\). 2. Modell \(g\) liefert \(10,12,10,8,10\). Die absoluten Abweichungen sind \(1{,}9,1{,}8,1{,}9,1{,}8,2{,}0\); ihre Summe ist \(9{,}4\,\text{cm}\). 3. Da \(0{,}6<9{,}4\), beschreibt \(f\) die gemessenen Höhen nach dem vorgegebenen Kriterium besser.

Summe der absoluten Abweichungen für \(f\): \(0{,}6\,\text{cm}\) Summe der absoluten Abweichungen für \(g\): \(9{,}4\,\text{cm}\) Nach diesem Kriterium passt \(f\) besser.

- Trenne die Rollen von Mittellinie, Amplitude und Periodenlänge. - Welche dieser Größen ändern sich in Teil a)? - Was bedeutet „doppelt so schnell“ für die Dauer einer vollständigen Schwingung?

1. Das Ausgangsmodell hat die Mittellinie \(50\,\text{kPa}\), die Amplitude \(8\,\text{kPa}\) und die Periode \(T=\frac{2\pi}{\pi/6}=12\,\text{s}\). 2. Im ersten Fall wird die Amplitude zu \(4\,\text{kPa}\) und die Mittellinie zu \(55\,\text{kPa}\). Daher ist \(p_1(t)=55+4\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)\) mit Wertebereich \([51;59]\,\text{kPa}\). 3. Doppelte Ablaufgeschwindigkeit bedeutet halbe Periode. Daher wird der Faktor vor \(t\) verdoppelt: \(p_2(t)=50+8\sin\left(\frac{\pi}{3}t\right)\). 4. Für \(p_2\) ist \(T_2=6\,\text{s}\).

a) \(p_1(t)=55+4\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)\); Wertebereich: \([51;59]\,\text{kPa}\) b) \(p_2(t)=50+8\sin\left(\frac{\pi}{3}t\right)\); \(T_2=6\,\text{s}\)

- Vergleiche die hohen und niedrigen Werte in der ersten und in der zweiten sichtbaren Schwingung. - Prüfe, ob der Abstand von einer möglichen Mittellage über die gesamte Messreihe gleich bleibt. - Vergleiche auch Zeitpunkte, die acht Sekunden auseinanderliegen und damit dieselbe Lage innerhalb eines vermuteten Zyklus haben. - Ein einzelnes Sinusmodell mit festen Parametern wiederholt nicht nur seine Form, sondern auch seine Amplitude.

1. In der ersten Schwingung liegen die Werte symmetrisch um \(10\): Maximum \(14\), Minimum \(6\). Das entspricht einer Amplitude von \(4\). 2. In der zweiten Schwingung bleibt die Mittellage zwar bei \(10\), aber Maximum \(17\) und Minimum \(3\) entsprechen einer Amplitude von \(7\). 3. Außerdem haben Zeitpunkte mit gleicher Lage im jeweiligen Zyklus unterschiedliche Werte, etwa \(t=2\) mit \(14\) und \(t=10\) mit \(17\). 4. Ein Modell mit konstantem \(a\) besitzt eine konstante Amplitude. Deshalb kann ein einziges Modell mit festen Parametern die gesamte Messreihe nicht sinnvoll beschreiben.

Nein. Die erste Schwingung hat die Amplitude \(4\), die zweite die Amplitude \(7\); außerdem unterscheiden sich entsprechende Zykluswerte wie \(14\) bei \(t=2\) und \(17\) bei \(t=10\). Ein Modell mit konstanten Parametern hätte eine konstante Amplitude.

- Forme die Bedingung für \(20\,^\circ\text{C}\) so um, dass nur noch der Sinusausdruck mit einer Zahl verglichen wird. - Vergleiche in b) Modellwert und gemessene Temperatur jeweils am selben Zeitpunkt. - Unterscheide in c) zwischen dem beobachteten Tag und einer Vorhersage mehrere Tage später.

1. \(\vartheta(t)\ge20\) ist gleichbedeutend mit \(\sin\left(\frac{\pi}{12}(t-2)\right)\ge\frac{1}{2}\). 2. Im betrachteten Zeitraum gilt das für Argumente von \(\frac{\pi}{6}\) bis \(\frac{5\pi}{6}\). Daraus folgen die Randzeiten \(t=4\) und \(t=12\), also \(t\in[4;12]\). 3. Das Modell liefert bei \(t=0,4,8,12,16,20,24\) die Temperaturen \(16,20,22,20,16,14,16\) in Grad Celsius. Die größte absolute Abweichung von den Messwerten beträgt \(0{,}2\,^\circ\text{C}\). 4. Die Messwerte decken nur einen Tag ab. Für \(120\,\text{h}\) müsste man annehmen, dass Periode, Mittellinie, Amplitude und Phase über mehrere weitere Tage unverändert bleiben. Das wird durch die vorhandenen Daten nicht überprüft.

a) \(t\in[4;12]\,\text{h}\) b) größte absolute Abweichung: \(0{,}2\,^\circ\text{C}\) c) Die Messwerte stützen das Modell nur für den beobachteten Tag; eine unveränderte Fortsetzung über mehrere weitere Tage ist nicht abgesichert.

- Ordne im ersten Testlauf zunächst Extremwerte, Mittellage, Amplitude und Periodenlänge den Parametern des Modells zu. - Überlege bei b), welche Grapheneigenschaft durch eine reine Änderung von \(c\) unverändert bleibt. - Bestimme für den zweiten Testlauf zuerst die neue Periodenlänge aus den beiden Hochpunkten und richte danach die Phase aus. - Vergleiche in c) nicht nur einzelne Werte; prüfe, ob sich der Kosinusterm mithilfe der bekannten Beziehung zwischen Sinus und Kosinus in dieselbe Sinusform überführen lässt.

1. Aus Minimum \(12\) und Maximum \(28\) folgen Mittellage \(d=\frac{28+12}{2}=20\) und Amplitude \(a=\frac{28-12}{2}=8\). 2. Aus \(T=10\,\text{s}\) folgt \(b=\frac{2\pi}{10}=\frac{\pi}{5}\). Der ansteigende Mittellinienschnitt bei \(t=1\) bedeutet bei positivem \(a\), dass \(t+c=0\) gewählt werden kann. Damit ist \(c=-1\), also \(h(t)=8\sin\left(\frac{\pi}{5}(t-1)\right)+20\). 3. Im zweiten Testlauf liegen aufeinanderfolgende Hochpunkte \(6\,\text{s}\) auseinander. Die neue Periodenlänge ist daher \(T=6\,\text{s}\). Eine Änderung von \(c\) verschiebt den Graphen nur horizontal und kann die Periodenlänge nicht verändern. Die Behauptung ist falsch; mindestens \(b\) muss ebenfalls verändert werden. 4. Aus \(T=6\) folgt \(b=\frac{2\pi}{6}=\frac{\pi}{3}\). Für einen Hochpunkt bei \(t=2\) muss bei positivem \(a\) gelten \(\frac{\pi}{3}(2+c)=\frac{\pi}{2}\). Daraus folgt \(c=-\frac{1}{2}\). Ein passender Term ist \(h_2(t)=8\sin\left(\frac{\pi}{3}\left(t-\frac{1}{2}\right)\right)+20\). 5. Für den Kosinusterm gilt \(\cos(u)=\sin\left(u+\frac{\pi}{2}\right)\). Daher ist \(8\cos\left(\frac{\pi}{3}(t-2)\right)+20=8\sin\left(\frac{\pi}{3}t-\frac{\pi}{6}\right)+20\), also genau derselbe Term wie \(h_2\). Der Vorschlag beschreibt dieselbe Bewegung.

a) \(h(t)=8\sin\left(\frac{\pi}{5}(t-1)\right)+20\) b) Die Behauptung ist falsch, weil \(c\) die Periodenlänge nicht verändert. Es muss auch \(b\) geändert werden. Ein passender Term ist \(h_2(t)=8\sin\left(\frac{\pi}{3}\left(t-\frac{1}{2}\right)\right)+20\). c) Ja. Der Kosinusterm ist äquivalent zu \(h_2\) und beschreibt dieselbe Bewegung.