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- Wann wird ein Produkt aus mehreren Klammern oder Faktoren insgesamt null? - Wie erkennst du an der Form des Funktionsterms, ob eine Nullstelle einfach, doppelt oder dreifach vorkommt? - Überlege bei Ausdrücken wie \(x^2 + a\), ob es eine reelle Zahl gibt, deren Quadrat negativ ist. - Was bedeutet ein Exponent an einer Klammer für die Vielfachheit der dazugehörigen Nullstelle?

1. Anwendung des Satzes vom Nullprodukt: Ein Produkt ist null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist. 2. Teilaufgabe a): Der Faktor \((x - 3)\) führt zur Nullstelle \(x_1 = 3\) (einfach, da der Exponent der Klammer 1 ist). Der Faktor \((x + 8)^2\) führt zur Nullstelle \(x_2 = -8\) (doppelt, da der Exponent der Klammer 2 ist). 3. Teilaufgabe b): Der Faktor \(-x^2\) führt zur Nullstelle \(x_1 = 0\) (doppelt). Der Faktor \((x - 0{,}4)\) führt zur Nullstelle \(x_2 = 0{,}4\) (einfach). 4. Teilaufgabe c): Der Faktor \((x^2 + 16)\) hat keine reellen Nullstellen, da \(x^2 = -16\) für reelle Zahlen unlösbar ist. Der Faktor \(x\) führt zur Nullstelle \(x = 0\) (einfach).

a) \(x_1 = 3\) (einfach); \(x_2 = -8\) (doppelt) b) \(x_1 = 0\) (doppelt); \(x_2 = 0{,}4\) (einfach) c) \(x = 0\) (einfach); keine weiteren reellen Nullstellen

- Überlege, ob du einen gemeinsamen Faktor aus allen Termen ausklammern kannst. - Wenn ein Produkt null ist, muss mindestens einer der Faktoren null sein. - Für den verbleibenden quadratischen Teil kannst du ein bekanntes Lösungsverfahren wie die \(pq\)-Formel nutzen. - Die Vielfachheit gibt an, wie oft ein Faktor in der vollständig faktorisierten Form vorkommt.

1. Ansatz für die Nullstellen: \(f(x) = 0\), also \(x^3 + 3x^2 - 10x = 0\). 2. Ausklammern von \(x\): \(x \cdot (x^2 + 3x - 10) = 0\). Daraus folgt die erste Nullstelle \(x_1 = 0\). 3. Lösen der quadratischen Gleichung \(x^2 + 3x - 10 = 0\) (z. B. mit der \(pq\)-Formel): \(x_{2,3} = -1{,}5 \pm \sqrt{1{,}5^2 + 10} = -1{,}5 \pm \sqrt{12{,}25} = -1{,}5 \pm 3{,}5\). 4. Dies ergibt die weiteren Nullstellen \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -5\). 5. Da alle drei Nullstellen verschieden sind und die Funktion den Grad 3 hat, handelt es sich jeweils um einfache Nullstellen (Vielfachheit 1).

Die Nullstellen sind \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -5\). Alle drei sind einfache Nullstellen (Vielfachheit 1).

- Überlege dir, wie viele Nullstellen gegeben sind und was das für den Grad der Funktion bedeutet. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Nullstellen einer Funktion und ihren Linearfaktoren. - Wie kannst du aus den einzelnen Faktoren die gesamte Funktionsgleichung aufstellen? - Ist in der Aufgabenstellung eine bestimmte Form der Funktionsgleichung (z. B. ausmultipliziert) gefordert?

1. Da die Funktion genau drei einfache Nullstellen besitzen soll, ist der kleinstmögliche Grad der Funktion \(n = 3\). 2. Jede Nullstelle \(x_i\) korrespondiert mit einem Linearfaktor der Form \((x - x_i)\). 3. Für die gegebenen Nullstellen ergeben sich die Faktoren \(x\), \((x + 5)\) und \((x - 1{,}5)\). 4. Die Funktionsgleichung in faktorisierter Form lautet \(f(x) = a \cdot x \cdot (x + 5) \cdot (x - 1{,}5)\). Da eine beliebige Funktion gesucht ist, kann \(a = 1\) gewählt werden. 5. Ausmultiplizieren der Klammern führt zu \(f(x) = x \cdot (x^2 + 3{,}5x - 7{,}5) = x^3 + 3{,}5x^2 - 7{,}5x\).

\(f(x) = x(x + 5)(x - 1{,}5)\) (oder ausmultipliziert: \(f(x) = x^3 + 3{,}5x^2 - 7{,}5x\))

- Was bedeutet die Hochzahl (der Exponent) an einer Klammer für die Vielfachheit der Nullstelle? - Wie verhält sich ein Graph an einer Nullstelle, wenn die Vielfachheit gerade oder ungerade ist? - Überlege dir, ob der Graph die Seite der \(x\)-Achse wechselt oder auf derselben Seite bleibt. - Erinnerst du dich an den Unterschied zwischen einem einfachen Schnittpunkt und einem Berührpunkt?

1. Bestimmung der Vielfachheit der Nullstelle \(x = 5\) für alle Funktionen: \(f\) hat die Vielfachheit 1, \(g\) die Vielfachheit 2 und \(h\) die Vielfachheit 3. 2. Analyse von \(f\): Da die Vielfachheit 1 (ungerade) ist, schneidet der Graph die \(x\)-Achse an der Stelle \(x = 5\) mit einem Vorzeichenwechsel der Funktionswerte. 3. Analyse von \(g\): Da die Vielfachheit 2 (gerade) ist, berührt der Graph die \(x\)-Achse an der Stelle \(x = 5\) ohne Vorzeichenwechsel; es liegt ein lokaler Extrempunkt vor. 4. Analyse von \(h\): Da die Vielfachheit 3 (ungerade und \(> 1\)) ist, schneidet der Graph die \(x\)-Achse mit einem Vorzeichenwechsel, weist jedoch eine waagerechte Tangente auf (Terrassenpunkt).

Bei \(f(x)\) schneidet der Graph die \(x\)-Achse bei \(x = 5\) (einfache Nullstelle mit Vorzeichenwechsel). Bei \(g(x)\) berührt der Graph die \(x\)-Achse bei \(x = 5\) nur (doppelte Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel). Bei \(h(x)\) liegt an der Stelle \(x = 5\) ein Terrassenpunkt vor (dreifache Nullstelle mit Vorzeichenwechsel).

- Welchen Linearfaktor kannst du aus dem Funktionsterm herausdividieren, wenn \(x_1 = 1\) eine Nullstelle ist? - Welchen Grad hat die Funktion nach der ersten Division? - Wie gehst du vor, um die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu finden? - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die gefundenen Werte in die ursprüngliche Funktion einsetzt.

1. Durchführung der Polynomdivision des Funktionsterms \(x^3 - 2x^2 - 5x + 6\) durch den Linearfaktor \((x - 1)\). 2. Das Ergebnis der Division ist der quadratische Term \(x^2 - x - 6\). 3. Nullstellen des quadratischen Terms durch Lösen der Gleichung \(x^2 - x - 6 = 0\) bestimmen (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel). 4. Die Berechnungen ergeben die weiteren Nullstellen \(x_2 = 3\) und \(x_3 = -2\).

Die weiteren Nullstellen liegen bei \(x_2 = 3\) und \(x_3 = -2\).

- Kannst du einen gemeinsamen Faktor aus allen Summanden ausklammern? - Wenn ein Produkt aus mehreren Klammern besteht, wann wird das Gesamtergebnis null? - Erinnerst du dich an ein Verfahren, um quadratische Gleichungen der Form \(x^2 + px + q = 0\) zu lösen? - Wie löst man eine Gleichung, in der nur \(x^2\) und eine Zahl vorkommen?

1. Teilaufgabe a): Ausklammern von \(x\) führt zu \(x \cdot (x^2 - 4x - 12) = 0\). Die erste Nullstelle ist \(x_1 = 0\). Anwendung der pq-Formel auf den quadratischen Term \(x^2 - 4x - 12 = 0\) ergibt \(x_{2,3} = 2 \pm \sqrt{4 + 12}\), also \(x_2 = 6\) und \(x_3 = -2\). 2. Teilaufgabe b): Anwendung des Satzes vom Nullprodukt. Der erste Faktor \(x^2 - 5 = 0\) liefert durch Wurzelziehen \(x_1 = \sqrt{5}\) und \(x_2 = -\sqrt{5}\). Der zweite Faktor \(x + 3 = 0\) führt direkt zur Nullstelle \(x_3 = -3\).

a) \(x_1 = 0\); \(x_2 = 6\); \(x_3 = -2\) b) \(x_1 = \sqrt{5} \approx 2{,}24\); \(x_2 = -\sqrt{5} \approx -2{,}24\); \(x_3 = -3\)

- Wenn eine Zahl \(a\) eine Nullstelle einer Funktion ist, welcher Faktor muss dann im Funktionsterm vorkommen? - Wie kannst du aus mehreren gewünschten Nullstellen eine einzige Funktionsgleichung zusammenstellen? - Denke an die Linearfaktordarstellung \(f(x) = a \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2) \cdot \dots\). - Reicht es aus, ein einziges funktionierendes Beispiel zu finden, um die Unmöglichkeit zu widerlegen?

1. Nutzung des Satzes über die Linearfaktordarstellung: Eine ganzrationale Funktion kann durch das Produkt ihrer Linearfaktoren \((x - x_n)\) dargestellt werden, wobei \(x_n\) die Nullstellen sind. 2. Aufstellen der Faktoren für die gegebenen Werte: \((x + 2)\), \((x + 1)\), \((x - 0)\) bzw. \(x\), \((x - 1)\) und \((x - 2)\). 3. Bildung des Produkts: \(f(x) = x \cdot (x + 2) \cdot (x + 1) \cdot (x - 1) \cdot (x - 2)\). 4. Da dieses Produkt eine gültige ganzrationale Funktion (hier 5. Grades) definiert, die genau die geforderten Nullstellen besitzt, ist die Existenz bewiesen und die ursprüngliche Aussage widerlegt.

Die Aussage ist falsch. Eine mögliche Funktion in faktorisierter Form ist: \(f(x) = x \cdot (x + 2) \cdot (x + 1) \cdot (x - 1) \cdot (x - 2)\) Diese ganzrationale Funktion 5. Grades hat genau die geforderten Nullstellen.

- Unterscheide zwischen geraden und ungeraden Exponenten. - Überlege, wie viele Lösungen möglich sind, wenn die Zahl auf der rechten Seite positiv oder negativ ist. - Bei einem geraden Exponenten musst du an das Plus-Minus-Zeichen beim Wurzelziehen denken. - Wurzeln aus negativen Zahlen sind bei ungeraden Exponenten im Bereich der reellen Zahlen definiert.

1. Für \(x^4 = 2401\) wird die vierte Wurzel gezogen. Da der Exponent gerade ist, gibt es zwei reelle Lösungen: \(x = \pm \sqrt[4]{2401} = \pm 7\). Somit ist \(L = \{-7; 7\}\). 2. Für \(x^5 = -32\) wird die fünfte Wurzel gezogen. Da der Exponent ungerade ist, existiert genau eine reelle Lösung: \(x = \sqrt[5]{-32} = -2\). Somit ist \(L = \{-2\}\). 3. Für \(x^6 = 4096\) wird die sechste Wurzel gezogen. Da der Exponent gerade ist, gibt es zwei reelle Lösungen: \(x = \pm \sqrt[6]{4096} = \pm 4\). Somit ist \(L = \{-4; 4\}\).

a) \(L = \{-7; 7\}\) b) \(L = \{-2\}\) c) \(L = \{-4; 4\}\)

- Überlege dir, wie der Graph einer Potenzfunktion mit geradem bzw. ungeradem Exponenten aussieht. - Welche Werte kann eine Potenz mit geradem Exponenten annehmen? - Wie viele Stellen gibt es, an denen eine waagerechte Gerade den Graphen einer Potenzfunktion mit geradem bzw. ungeradem Exponenten schneiden kann? - Unterscheide stets, ob der Exponent gerade oder ungerade ist und welches Vorzeichen die Konstante hat.

1. Die Anzahl der Schnittpunkte entspricht der Anzahl der reellen Lösungen der Gleichung \(x^n = c\). 2. Fall a): \(n = 4\) (gerade) und \(c = 15 > 0\). Eine Potenzgleichung mit geradem Exponenten und positivem Wert auf der rechten Seite hat genau 2 reelle Lösungen. Ergebnis: 2 Schnittpunkte. 3. Fall b): \(n = 6\) (gerade) und \(c = -1 < 0\). Da Potenzen mit geraden Exponenten für reelle Zahlen niemals negativ sind, gibt es keine Lösung. Ergebnis: 0 Schnittpunkte. 4. Fall c): \(n = 3\) (ungerade). Potenzgleichungen mit ungeraden Exponenten haben für jedes \(c \in \mathbb{R}\) genau eine reelle Lösung. Ergebnis: 1 Schnittpunkt. 5. Fall d): \(n = 10\) (gerade) und \(c = 0\). Die einzige Lösung für \(x^{10} = 0\) ist \(x = 0\). Ergebnis: 1 Schnittpunkt.

a) 2 Schnittpunkte b) 0 Schnittpunkte c) 1 Schnittpunkt d) 1 Schnittpunkt

- Überlege dir bei jeder Teilaufgabe, welche Form der Funktionsgleichung vorliegt. - Wenn ein Produkt gleich null ist, muss mindestens einer der Faktoren null sein. - Kannst du einen gemeinsamen Faktor aus allen Summanden herausziehen? - Erinnere dich an die Formel für quadratische Gleichungen in der Normalform \(x^2 + px + q = 0\). - Wenn nur ein quadratischer Term und eine Zahl vorkommen, kannst du die Gleichung direkt nach \(x\) auflösen.

1. Für \(f(x) = (x - 6)(x + 4)\) wird der Satz vom Nullprodukt angewendet: Die Faktoren werden einzeln null gesetzt. Dies ergibt \(x_1 = 6\) und \(x_2 = -4\). 2. Bei \(g(x) = x^2 - 5x\) wird \(x\) ausgeklammert: \(x(x - 5) = 0\). Daraus folgen die Nullstellen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 5\). 3. Für \(h(x) = x^2 - 4x - 12\) wird die \(p\)-\(q\)-Formel mit \(p = -4\) und \(q = -12\) genutzt: \(x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{4 + 12} = 2 \pm 4\). Die Nullstellen sind \(x_1 = 6\) und \(x_2 = -2\). 4. Bei \(k(x) = 4x^2 - 16\) führt das Umstellen \(4x^2 = 16 \iff x^2 = 4\) zu den Lösungen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\).

a) \(x_1 = 6\); \(x_2 = -4\) b) \(x_1 = 0\); \(x_2 = 5\) c) \(x_1 = 6\); \(x_2 = -2\) d) \(x_1 = 2\); \(x_2 = -2\)

- Kannst du den Term vereinfachen, indem du \(x^2\) durch eine andere Variable ersetzt? - Erinnerst du dich an ein Verfahren, um Nullstellen von quadratischen Gleichungen zu finden? - Wie hängen die Nullstellen eines Polynoms mit seiner Zerlegung in Linearfaktoren zusammen? - Denk an die dritte binomische Formel, um quadratische Ausdrücke weiter zu zerlegen.

1. Substitution \(u = x^2\) durchführen, um die quadratische Gleichung \(u^2 - 29u + 100 = 0\) zu erhalten. 2. Lösen der quadratischen Gleichung nach \(u\), zum Beispiel mit der \(pq\)-Formel: \(u_{1,2} = \frac{29}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{29}{2}\right)^2 - 100} = 14{,}5 \pm \sqrt{210{,}25 - 100} = 14{,}5 \pm 10{,}5\). Dies ergibt \(u_1 = 25\) und \(u_2 = 4\). 3. Resubstitution \(x^2 = u\) durchführen: Für \(u_1 = 25\) folgt \(x^2 = 25 \Rightarrow x_{1,2} = \pm 5\). Für \(u_2 = 4\) folgt \(x^2 = 4 \Rightarrow x_{3,4} = \pm 2\). 4. Aufstellen der Linearfaktorzerlegung unter Verwendung der gefundenen Nullstellen: \(A(x) = (x - 5)(x + 5)(x - 2)(x + 2)\).

\(A(x) = (x - 5)(x + 5)(x - 2)(x + 2)\)

- Unterscheide, ob der Exponent gerade oder ungerade ist. - Wie viele Lösungen erwartest du bei einem geraden Exponenten und einem positiven Wert auf der rechten Seite? - Kann man aus einer negativen Zahl eine ungerade Wurzel ziehen? - Was passiert, wenn du eine negative Zahl mit einem geraden Exponenten potenzierst?

1. Berechnung der Lösungen durch Ziehen der \(n\)-ten Wurzel unter Beachtung des Exponenten: a) \(x^4 = 256 \Rightarrow x = \pm \sqrt[4]{256} = \pm 4\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{-4; 4\}\). b) \(x^3 = -125 \Rightarrow x = \sqrt[3]{-125} = -5\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{-5\}\). c) \(x^6 = 729 \Rightarrow x = \pm \sqrt[6]{729} = \pm 3\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{-3; 3\}\). d) \(x^5 = -0{,}03125 \Rightarrow x = \sqrt[5]{-0{,}03125} = -0{,}5\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{-0{,}5\}\).

a) \(L = \{-4; 4\}\) b) \(L = \{-5\}\) c) \(L = \{-3; 3\}\) d) \(L = \{-0{,}5\}\)

- Erinnere dich an die dritte binomische Formel, um den Term schrittweise zu zerlegen. - Wie viele reelle Lösungen hat eine Gleichung der Form \(x^4 = a\) für positive \(a\)? - Welche Auswirkung hat eine Konstante, die am Ende des Funktionsterms addiert oder subtrahiert wird, auf die Lage des Graphen im Koordinatensystem?

1. Der Ansatz \(x^4 - 81 = 0\) führt auf \(x^4 = 81\). Durch Ziehen der vierten Wurzel ergeben sich die reellen Lösungen \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\). 2. Unter Verwendung der dritten binomischen Formel \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) lässt sich \(f(x)\) zunächst als \((x^2)^2 - 9^2 = (x^2 - 9)(x^2 + 9)\) schreiben. Erneutes Anwenden auf den ersten Faktor ergibt \(f(x) = (x - 3)(x + 3)(x^2 + 9)\). Da die Faktoren \((x-3)\) und \((x+3)\) jeweils nur einmal vorkommen, haben die Nullstellen \(x = 3\) und \(x = -3\) jeweils die Vielfachheit 1. Der Faktor \((x^2 + 9)\) hat im Reellen keine Nullstellen. 3. Der Graph von \(f\) geht aus der Potenzfunktion \(g(x) = x^4\) hervor. Da der Term um \(81\) verringert wird, handelt es sich um eine Verschiebung um \(81\) Einheiten nach unten in Richtung der negativen \(y\)-Achse.

1. Reelle Nullstellen: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -3\). 2. Faktorisierte Form: \(f(x) = (x - 3)(x + 3)(x^2 + 9)\); beide Nullstellen haben die Vielfachheit 1. 3. Potenzfunktion \(g(x) = x^4\); Verschiebung um \(81\) Einheiten nach unten.

- Welche Bedingung muss für die Funktionswerte an den Nullstellen gelten? - Wie kannst du die Gleichung so umformen, dass die Potenz allein auf einer Seite steht? - Überlege dir, wie viele Lösungen eine Gleichung der Form \(x^n = a\) haben kann, wenn \(n\) gerade ist. - Welche Rechenoperation ist die Umkehrung zum Potenzieren mit 4?

1. Den Funktionsterm gleich Null setzen: \(0{,}5x^4 - 8 = 0\). 2. Die Gleichung nach \(x^4\) auflösen: \(0{,}5x^4 = 8 \Rightarrow x^4 = 16\). 3. Die vierte Wurzel ziehen: \(x = \pm \sqrt[4]{16}\). 4. Da der Exponent gerade ist, gibt es zwei Lösungen: \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\).

Die Nullstellen sind \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\).

- Gibt es einen gemeinsamen Faktor in allen Gliedern, den du zuerst ausklammern kannst? - Erkennst du in der verbleibenden Klammer eine binomische Formel? - Wie hängen die Exponenten in der faktorisierten Form mit der Vielfachheit der Nullstellen zusammen?

1. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(2x^2\): \(f(x) = 2x^2 \cdot (x^2 - 6x + 9)\). 2. Anwendung der zweiten binomischen Formel auf die Klammer: \(x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2\). 3. Vollständige faktorisierte Form: \(f(x) = 2 \cdot x^2 \cdot (x - 3)^2\). 4. Bestimmung der Nullstellen durch Nullsetzen der Faktoren: \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 3\). 5. Bestimmung der Vielfachheiten anhand der Exponenten der Linearfaktoren: Da beide Faktoren im Quadrat stehen, ist \(x_1 = 0\) eine doppelte Nullstelle (Vielfachheit 2) und \(x_2 = 3\) ebenfalls eine doppelte Nullstelle (Vielfachheit 2).

a) \(f(x) = 2x^2(x - 3)^2\) b) Nullstellen: \(x_1 = 0\) mit Vielfachheit 2; \(x_2 = 3\) mit Vielfachheit 2.

- Wie gehst du vor, wenn du die Stellen suchst, an denen der Funktionswert Null ist? - Erinnerst du dich an die binomischen Formeln? Sie können beim Faktorisieren sehr hilfreich sein. - Was sagt die Hochzahl am Linearfaktor über die Art der Nullstelle aus? - Überlege, ob der Graph die Achse an der Nullstelle schneidet oder nur berührt.

1. Zur Berechnung der Nullstellen wird die Gleichung \(0{,}5x^2 - 4x + 8 = 0\) gelöst. Durch Multiplikation mit \(2\) ergibt sich \(x^2 - 8x + 16 = 0\). 2. Anwendung der zweiten binomischen Formel führt auf \((x - 4)^2 = 0\), woraus die einzige Nullstelle \(x = 4\) folgt. 3. Die Linearfaktordarstellung lautet \(f(x) = 0{,}5 \cdot (x - 4) \cdot (x - 4)\) bzw. \(f(x) = 0{,}5 \cdot (x - 4)^2\). 4. Da der Faktor \((x - 4)\) doppelt vorkommt, ist die Vielfachheit der Nullstelle \(2\). Dies bedeutet geometrisch, dass der Graph die \(x\)-Achse an der Stelle \(x = 4\) berührt und dort ein Extrempunkt (Scheitelpunkt) liegt.

a) Die Nullstelle ist \(x = 4\). b) \(f(x) = 0{,}5(x - 4)^2\) c) Die Vielfachheit ist \(2\). Der Graph berührt die \(x\)-Achse im Punkt \((4 | 0)\), ohne sie zu schneiden.

- Überlege dir, welchen Wert das Ergebnis einer Rechnung haben muss, damit man von einer „Null“-Stelle spricht. - Wann wird ein Produkt aus zwei Klammern insgesamt null? - Gibt es eine Formel, mit der du die Lösungen für den quadratischen Teil direkt berechnen kannst?

1. Definition: Ein Wert \(x_0\) ist eine Nullstelle der Funktion \(f\), wenn der Funktionswert an dieser Stelle gleich null ist, also die Bedingung \(f(x_0) = 0\) erfüllt ist. 2. Anwendung des Satzes vom Nullprodukt auf \(g(x) = (x + 5) \cdot (x^2 - 4x - 12) = 0\). 3. Untersuchung des ersten Faktors: \(x + 5 = 0 \Rightarrow x_1 = -5\). 4. Untersuchung des zweiten Faktors: \(x^2 - 4x - 12 = 0\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung mit der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x_{2,3} = - \frac{-4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2 - (-12)} = 2 \pm \sqrt{4 + 12} = 2 \pm 4\). 6. Ergebnisse der quadratischen Gleichung: \(x_2 = 6\) und \(x_3 = -2\).

a) Ein Wert \(x_0\) ist eine Nullstelle von \(f\), wenn \(f(x_0) = 0\) gilt. b) Die Nullstellen sind \(x_1 = -5\), \(x_2 = 6\) und \(x_3 = -2\).

- Wie kannst du rechnerisch prüfen, ob ein gegebener Wert eine Nullstelle einer Funktion ist? - Wenn du eine Nullstelle \(x_0\) gefunden hast, durch welchen Term kannst du die Funktion teilen, um den Grad des Polynoms zu reduzieren? - Welches Verfahren kennst du, um eine kubische Gleichung zu vereinfachen, wenn eine Lösung bereits bekannt ist? - Wie löst man eine quadratische Gleichung, die nach der Division übrig bleibt?

1. Einsetzen der Kandidaten in die Funktionsgleichung: \(f(-3) = (-3)^3 - 7 \cdot (-3) - 6 = -27 + 21 - 6 = -12 \neq 0\) \(f(-1) = (-1)^3 - 7 \cdot (-1) - 6 = -1 + 7 - 6 = 0\) \(f(0{,}5) = 0{,}5^3 - 7 \cdot 0{,}5 - 6 = 0{,}125 - 3{,}5 - 6 = -9{,}375 \neq 0\) Somit ist \(x_1 = -1\) eine Nullstelle. 2. Polynomdivision des Funktionsterms durch den Linearfaktor \((x - (-1))\), also \((x + 1)\): \((x^3 - 7x - 6) : (x + 1) = x^2 - x - 6\) 3. Berechnung der Nullstellen des resultierenden quadratischen Terms \(x^2 - x - 6 = 0\) mithilfe der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x_{2,3} = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 6} = 0{,}5 \pm \sqrt{6{,}25} = 0{,}5 \pm 2{,}5\) Dies ergibt die weiteren Nullstellen \(x_2 = 3\) und \(x_3 = -2\).

Die Zahl \(-1\) ist eine Nullstelle von \(f\). Die weiteren Nullstellen der Funktion sind \(x_2 = 3\) und \(x_3 = -2\).

- Was gibt der Exponent der höchsten Potenz von \(x\) über die Anzahl der Nullstellen an? - Achte darauf, dass die Summanden nicht immer nach ihrer Größe sortiert sein müssen. - Bei Produkten von Klammern kannst du den Gesamtgrad bestimmen, indem du die Grade der einzelnen Faktoren addierst. - Manchmal ist es notwendig, den Term zuerst zu vereinfachen oder auszumultiplizieren, um den tatsächlichen Grad zu erkennen.

1. Für Teilaufgabe a): Den Term nach der höchsten Potenz von \(x\) untersuchen. Der Summand mit dem höchsten Exponenten ist \(-12x^5\). Der Grad der Funktion ist somit 5. Eine ganzrationale Funktion vom Grad \(n\) besitzt höchstens \(n\) Nullstellen, hier also maximal 5. 2. Für Teilaufgabe b): Den Grad durch Betrachten der Faktoren bestimmen. Das Produkt der höchsten Potenzen der einzelnen Faktoren \((x^2 \cdot x \cdot x)\) ergibt \(x^4\). Der Grad ist 4, woraus maximal 4 Nullstellen folgen. 3. Für Teilaufgabe c): Den Funktionsterm vereinfachen: \(h(x) = x^5 + 4x^2 - x^5 + 2x = 4x^2 + 2x\). Da sich die Terme mit \(x^5\) aufheben, ist die höchste verbleibende Potenz \(x^2\). Der Grad ist 2, daher gibt es höchstens 2 Nullstellen.

a) Grad 5; maximal 5 Nullstellen. b) Grad 4; maximal 4 Nullstellen. c) Grad 2; maximal 2 Nullstellen.

- Was haben alle Punkte auf der \( x \)-Achse gemeinsam? - Fällt dir eine Gemeinsamkeit bei allen Summanden im Funktionsterm auf, die man nutzen könnte? - Wie gehst du vor, wenn nach dem Ausklammern noch ein quadratischer Restterm übrig bleibt? - Denk daran, dass nach Schnittpunkten gefragt ist, nicht nur nach den \( x \)-Werten.

1. Die Schnittpunkte mit der \( x \)-Achse liegen bei den Nullstellen der Funktion. Es gilt der Ansatz \( g(x) = 0 \), also \( \frac{1}{3}x^3 - \frac{4}{3}x^2 - 4x = 0 \). 2. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \( \frac{1}{3}x \): \( \frac{1}{3}x \cdot (x^2 - 4x - 12) = 0 \). 3. Erste Nullstelle durch den Faktor vor der Klammer: \( x_1 = 0 \). 4. Untersuchung des quadratischen Terms in der Klammer: \( x^2 - 4x - 12 = 0 \). Anwendung der \(pq\)-Formel mit \( p = -4 \) und \( q = -12 \). 5. Berechnung der weiteren Nullstellen: \( x_{2,3} = 2 \pm \sqrt{4 - (-12)} = 2 \pm \sqrt{16} = 2 \pm 4 \). Dies ergibt \( x_2 = 6 \) und \( x_3 = -2 \). 6. Angabe der Schnittpunkte in Koordinatenform: Da die \( y \)-Koordinate an der \( x \)-Achse immer Null ist, ergeben sich die Punkte \( S_1(0 \mid 0) \), \( S_2(6 \mid 0) \) und \( S_3(-2 \mid 0) \).

Die Schnittpunkte mit der \( x \)-Achse sind \( S_1(0 \mid 0) \), \( S_2(6 \mid 0) \) und \( S_3(-2 \mid 0) \).

- Überlege, bei welchen Werten für \( x \) die einzelnen Faktoren null werden. - Der Exponent an einem Klammerfaktor oder an \( x \) gibt dir direkt die Vielfachheit der Nullstelle an. - Was weißt du über das Vorzeichenverhalten bei geraden und ungeraden Exponenten? - Ein Vorzeichenwechsel tritt immer dann auf, wenn die Vielfachheit einer Nullstelle ungerade ist.

1. Für \( f(x) \): Die Nullstellen sind \( x_1 = 3 \) (zweifach, kein VZW, da die Vielfachheit gerade ist) und \( x_2 = -1 \) (einfach, mit VZW, da die Vielfachheit ungerade ist). 2. Für \( g(x) \): Die Nullstellen sind \( x_1 = 0 \) (dreifach, mit VZW, da die Vielfachheit ungerade ist) und \( x_2 = 0{,}5 \) (einfach, mit VZW). 3. Für \( h(x) \): Die Nullstellen sind \( x_1 = -0{,}25 \) (zweifach, kein VZW) und \( x_2 = 2 \) (dreifach, mit VZW).

a) \( x_1 = 3 \) (zweifach, kein VZW); \( x_2 = -1 \) (einfach, VZW) b) \( x_1 = 0 \) (dreifach, VZW); \( x_2 = 0{,}5 \) (einfach, VZW) c) \( x_1 = -0{,}25 \) (zweifach, kein VZW); \( x_2 = 2 \) (dreifach, VZW)

- Wo schneidet oder berührt der Graph die x-Achse? - Was ist der Unterschied in der Funktionsgleichung zwischen einem Schnittpunkt und einem Berührpunkt (Extremum) auf der x-Achse? - Schau dir an, wie sich die Funktion für sehr große x-Werte verhält. Geht sie nach oben oder nach unten?

1. Identifikation der Nullstellen aus dem Graphen: \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0\), \(x_3 = 2\). 2. Analyse der Art der Nullstellen: Bei \(x = -2\) und \(x = 0\) schneidet der Graph die x-Achse (einfache Nullstellen). Bei \(x = 2\) berührt der Graph die x-Achse (doppelte Nullstelle / Extremum). 3. Aufstellen des Funktionsterms in faktorisierter Form: \(f(x) = k \cdot (x - 0) \cdot (x - (-2)) \cdot (x - 2)^2 = k \cdot x(x + 2)(x - 2)^2\). 4. Überprüfung des globalen Verlaufs: Für \(x \to \infty\) geht \(y \to \infty\), was auf einen positiven Leitkoeffizienten \(k\) hindeutet. Option b) passt exakt zu dieser Struktur.

b) \(f(x) = x(x - 2)^2(x + 2)\)

- Welchen Wert hat die \(x\)-Koordinate immer, wenn ein Punkt auf der \(y\)-Achse liegt? - Wie gehst du vor, wenn du wissen möchtest, an welchen Stellen der Funktionswert null ist? - Erinnere dich an das Ziehen von Wurzeln, um Gleichungen der Form \(x^2 = a\) oder \(x^3 = a\) zu lösen.

1. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse berechnen durch \(x = 0\): Für \(f(0) = 0^2 - 4 = -4\), also \(S_{y,f}(0|-4)\). Für \(g(0) = 0^3 + 8 = 8\), also \(S_{y,g}(0|8)\). 2. Nullstellen berechnen durch \(f(x) = 0\): \(x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x_1 = 2, x_2 = -2\). Die Schnittpunkte sind \(S_{x1}(2|0)\) und \(S_{x2}(-2|0)\). 3. Nullstellen für \(g(x) = 0\): \(x^3 + 8 = 0 \Rightarrow x^3 = -8 \Rightarrow x = -2\). Der Schnittpunkt ist \(S_x(-2|0)\). 4. Der konstante Summand entspricht immer dem \(y\)-Wert des Schnittpunktes mit der \(y\)-Achse, da beim Einsetzen von \(x = 0\) alle Terme mit \(x\) wegfallen.

a) \(S_{y,f}(0|-4)\) und \(S_{y,g}(0|8)\). b) Nullstellen von \(f\): \(x = 2\) und \(x = -2\). Nullstelle von \(g\): \(x = -2\). c) Der konstante Summand gibt direkt den \(y\)-Achsenabschnitt an, da \(f(0)\) genau diesen Wert ergibt.

- Überlege, ob du eine Variable ausklammern kannst, um den Grad der Gleichung zu reduzieren. - Erkennst du im verbleibenden Teil eine binomische Formel oder kannst du die \(p\)-\(q\)-Formel anwenden? - Die Hochzahl an einer Klammer in der faktorisierten Form gibt dir einen Hinweis auf die Vielfachheit der Nullstelle.

1. Nullstellenansatz: \(x^3 - 6x^2 + 9x = 0\). 2. Ausklammern von \(x\): \(x \cdot (x^2 - 6x + 9) = 0\). Daraus folgt die erste Nullstelle \(x_1 = 0\). 3. Lösen der quadratischen Gleichung \(x^2 - 6x + 9 = 0\): Anwendung der zweiten binomischen Formel ergibt \((x - 3)^2 = 0\), woraus die Nullstelle \(x_2 = 3\) folgt. 4. Bestimmung der Vielfachheit: Da der Faktor \(x\) einfach vorkommt, ist \(x_1 = 0\) eine einfache Nullstelle. Da der Faktor \((x - 3)\) im Quadrat vorkommt, ist \(x_2 = 3\) eine doppelte Nullstelle. 5. Linearfaktordarstellung: \(f(x) = x \cdot (x - 3)^2\).

Nullstellen: \(x_1 = 0\) (einfach), \(x_2 = 3\) (doppelt) Linearfaktordarstellung: \(f(x) = x \cdot (x - 3)^2\)

- Kannst du Ausdrücke der Form \(x^2 - a^2\) mithilfe einer binomischen Formel weiter vereinfachen? - Achte darauf, ob eine Nullstelle in mehreren Faktoren gleichzeitig „versteckt“ ist. - Was musst du für \(x\) einsetzen, damit ein quadratischer Ausdruck wie \(x^2 - 0{,}25\) null ergibt? - Denke daran, dass ein konstanter Faktor vor der Funktion (wie die 2 oder \(\frac{1}{4}\)) die Lage der Nullstellen nicht beeinflusst.

1. Teilaufgabe a): Der Ausdruck \((x^2 - 36)\) kann mittels der dritten binomischen Formel in \((x - 6)(x + 6)\) zerlegt werden. Die Funktion lautet somit \(f(x) = 2(x - 6)(x + 6)(x + 6) = 2(x - 6)(x + 6)^2\). Nullstellen: \(x_1 = 6\) und \(x_2 = -6\). 2. Teilaufgabe b): Durch direktes Ablesen der Faktoren ergeben sich die Nullstellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1{,}5\) und \(x_3 = -11\). 3. Teilaufgabe c): Der Faktor \((x^2 - 0{,}25)\) ergibt Nullstellen, wenn \(x^2 = 0{,}25\), also \(x = \pm 0{,}5\). Der Faktor \(x^2\) führt zur Nullstelle \(x = 0\). Nullstellen: \(x_1 = 0{,}5\), \(x_2 = -0{,}5\) und \(x_3 = 0\).

a) \(x_1 = 6\); \(x_2 = -6\) b) \(x_1 = 0\); \(x_2 = 1{,}5\); \(x_3 = -11\) c) \(x_1 = 0{,}5\); \(x_2 = -0{,}5\); \(x_3 = 0\)

- Was ist der erste Schritt, um Nullstellen zu finden? - Schau dir die Terme genau an: Haben alle Glieder eine gemeinsame Variable? - Wenn ein Produkt null ergibt, was muss dann für die einzelnen Faktoren gelten? - Wie kannst du einen quadratischen Term weiter zerlegen?

1. Zur Bestimmung der Nullstellen wird der Ansatz \(f(x) = 0\) gewählt. Durch Ausklammern von \(\frac{1}{2}x\) erhält man \(\frac{1}{2}x \cdot (x^2 - 6x - 16) = 0\). Nach dem Satz vom Nullprodukt ist die erste Nullstelle \(x_1 = 0\). 2. Die weiteren Nullstellen ergeben sich aus der quadratischen Gleichung \(x^2 - 6x - 16 = 0\). Anwendung der p-q-Formel liefert \(x_{2,3} = 3 \pm \sqrt{9 - (-16)} = 3 \pm \sqrt{25}\), woraus \(x_2 = 8\) und \(x_3 = -2\) folgen. 3. Die faktorisierte Form der Funktion lautet somit \(f(x) = \frac{1}{2} \cdot x \cdot (x - 8) \cdot (x + 2)\).

1. Die Nullstellen sind \(x_1 = 0\), \(x_2 = 8\) und \(x_3 = -2\). 2. Die faktorisierte Form ist \(f(x) = \frac{1}{2}x(x - 8)(x + 2)\).

- Gibt es eine Potenz von \(x\), die in jedem Summanden vorkommt? - Erinnerst du dich an die binomischen Formeln? Sie könnten hier beim Vereinfachen helfen. - Was verrät dir der Exponent über einem Faktor im Funktionsterm über die Art der Nullstelle?

1. Der Ansatz \(g(x) = 0\) führt zur Gleichung \(-\frac{1}{3}x^4 + 2x^3 - 3x^2 = 0\). Durch Ausklammern von \(-\frac{1}{3}x^2\) erhält man \(-\frac{1}{3}x^2 \cdot (x^2 - 6x + 9) = 0\). 2. Der Faktor \(x^2\) liefert die Nullstelle \(x_1 = 0\). Da der Exponent am Faktor \(x\) gleich 2 ist, handelt es sich um eine doppelte Nullstelle (Vielfachheit 2). 3. Der quadratische Term \(x^2 - 6x + 9\) lässt sich mithilfe der zweiten binomischen Formel zu \((x - 3)^2\) umformen. Daraus ergibt sich die Nullstelle \(x_2 = 3\). Auch hier ist die Vielfachheit aufgrund des Quadrats gleich 2.

Die Nullstellen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 3\). Beide Nullstellen haben die Vielfachheit 2 (es sind doppelte Nullstellen).

- Kannst du eine Variable so ersetzen, dass eine einfachere Gleichungsform entsteht? - Gibt es einen gemeinsamen Faktor in allen Summanden, den du vor eine Klammer ziehen kannst? - Erkennst du in der Klammer eine binomische Formel? - Was muss für die einzelnen Faktoren gelten, damit ein Produkt den Wert Null annimmt? - Überlege, ob jede gefundene Zwischenlösung auch eine reelle Wurzel besitzt.

1. Für \(f(x) = x^4 - 3x^2 - 4\) wird die Substitution \(u = x^2\) durchgeführt. Dies führt zur quadratischen Gleichung \(u^2 - 3u - 4 = 0\). 2. Die Lösungen für \(u\) sind \(u_1 = 4\) und \(u_2 = -1\). 3. Die Resubstitution \(x^2 = 4\) ergibt die Nullstellen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). Die Gleichung \(x^2 = -1\) besitzt im Reellen keine Lösung. 4. Für \(g(x) = x^3 + 4x^2 + 4x\) wird \(x\) ausgeklammert: \(x(x^2 + 4x + 4) = 0\). Eine Nullstelle ist somit \(x_3 = 0\). 5. Der verbleibende quadratische Term \(x^2 + 4x + 4 = 0\) lässt sich als Binom \((x + 2)^2 = 0\) schreiben, woraus die (doppelte) Nullstelle \(x_4 = -2\) folgt.

a) \(x_1 = 2\); \(x_2 = -2\) b) \(x_3 = 0\); \(x_4 = -2\)

- Um Schnittpunkte zu finden, musst du die Funktionsterme gleichsetzen. - Bringe alle Terme auf eine Seite der Gleichung, sodass auf der anderen Seite Null steht. - Kannst du die Gleichung durch Ausklammern vereinfachen? - Achte darauf, am Ende auch die \(y\)-Koordinaten der Punkte zu berechnen.

1. Gleichsetzen der Funktionsgleichungen: \(f(x) = g(x) \Rightarrow x^3 - 4x^2 + 5x + 1 = x + 1\). 2. Umformen zur Normalform: Subtraktion von \(x\) und \(1\) auf beiden Seiten ergibt \(x^3 - 4x^2 + 4x = 0\). 3. Faktorisieren durch Ausklammern von \(x\): \(x \cdot (x^2 - 4x + 4) = 0\). Die erste Lösung ist \(x_1 = 0\). 4. Lösen des verbleibenden Teils: \(x^2 - 4x + 4 = 0\) ist eine binomische Formel \((x - 2)^2 = 0\), woraus die doppelte Lösung \(x_2 = 2\) folgt. 5. Berechnung der \(y\)-Koordinaten durch Einsetzen in \(g(x)\): \(y_1 = g(0) = 0 + 1 = 1\) \(y_2 = g(2) = 2 + 1 = 3\) 6. Angabe der Schnittpunkte: \(S_1(0|1)\) und \(S_2(2|3)\).

Die Schnittpunkte sind \(S_1(0|1)\) und \(S_2(2|3)\).

- Was bedeutet es für die Funktionswerte an einer Stelle \(x\), wenn sich zwei Graphen dort schneiden? - Kannst du die Gleichung so umformen, dass auf einer Seite der Gleichung eine Null steht? - Gibt es eine Variable oder einen Term, den du in jedem Summanden der Gleichung finden und ausklammern kannst? - Wie gehst du vor, wenn ein Produkt zweier Terme den Wert Null ergibt? - Hast du daran gedacht, am Ende auch die \(y\)-Koordinaten zu berechnen?

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(\frac{1}{2}x^3 - 2x = \frac{3}{2}x^2\). 2. Umformen in die Normalform einer ganzrationalen Gleichung: \(\frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{2}x^2 - 2x = 0\). 3. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(x\): \(x \cdot (\frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}x - 2) = 0\). 4. Bestimmung der ersten Nullstelle nach dem Nullproduktsatz: \(x_1 = 0\). 5. Lösen der verbleibenden quadratischen Gleichung \(\frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}x - 2 = 0\) (bzw. \(x^2 - 3x - 4 = 0\)) mittels \(p\)-\(q\)-Formel oder Faktorisierung: \(x_2 = 4\) und \(x_3 = -1\). 6. Berechnung der zugehörigen \(y\)-Koordinaten durch Einsetzen der \(x\)-Werte in eine der Ausgangsgleichungen: \(g(0) = 0\), \(g(4) = 24\) und \(g(-1) = 1{,}5\). 7. Angabe der Schnittpunkte: \(S_1(0|0)\), \(S_2(4|24)\) und \(S_3(-1|1{,}5)\).

Die Schnittpunkte sind \(S_1(0|0)\), \(S_2(4|24)\) und \(S_3(-1|1{,}5)\).

- Wie kannst du den Grad eines Polynoms reduzieren, wenn du bereits eine Nullstelle kennst? - Welche Formel hilft dir, die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu finden? - Was bedeutet es für die Formel, wenn eine Nullstelle den Wert \(a\) hat? - Woran erkennt man die Vielfachheit einer Nullstelle in der Produktform?

1. Nachweis der bekannten Nullstelle durch Einsetzen: \(f(-1) = (-1)^3 - 2 \cdot (-1)^2 - 13 \cdot (-1) - 10 = -1 - 2 + 13 - 10 = 0\). Durchführung der Polynomdivision: \((x^3 - 2x^2 - 13x - 10) : (x + 1) = x^2 - 3x - 10\). 2. Bestimmung der weiteren Nullstellen durch Lösen der quadratischen Gleichung \(x^2 - 3x - 10 = 0\). Mit der \(pq\)-Formel ergibt sich \(x_{2,3} = 1{,}5 \pm \sqrt{2{,}25 + 10} = 1{,}5 \pm 3{,}5\), woraus die Nullstellen \(x_2 = 5\) und \(x_3 = -2\) folgen. 3. Die faktorisierte Form lautet \(f(x) = (x + 1) \cdot (x - 5) \cdot (x + 2)\). Da jeder Linearfaktor nur einmal vorkommt, haben alle drei Nullstellen (\(-1\), \(5\) und \(-2\)) die Vielfachheit 1.

1. Nullstellen: \(x_1 = -1\), \(x_2 = 5\), \(x_3 = -2\) 2. Faktorisierte Form: \(f(x) = (x + 1)(x - 5)(x + 2)\) 3. Vielfachheiten: Alle Nullstellen haben die Vielfachheit 1.

- Kannst du einen Term ausklammern, um die Gleichung zu vereinfachen? - Erinnerst du dich an die dritte binomische Formel? Sie könnte hier beim Faktorisieren helfen. - Was sagt die Hochzahl eines Linearfaktors über das Verhalten des Graphen an der Nullstelle aus? - Wann wechselt ein Graph an einer Nullstelle sein Vorzeichen?

1. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(x^2\): \(g(x) = x^2 \cdot (-\frac{1}{4}x^2 + 1)\). Die erste Nullstelle ergibt sich aus \(x^2 = 0\) zu \(x_1 = 0\). Die weiteren Nullstellen folgen aus \(-\frac{1}{4}x^2 + 1 = 0\), was zu \(x^2 = 4\) und somit \(x_2 = 2\) sowie \(x_3 = -2\) führt. 2. In der vollständig faktorisierten Form \(g(x) = -\frac{1}{4} \cdot x^2 \cdot (x - 2) \cdot (x + 2)\) ist ersichtlich: Die Nullstelle \(x_1 = 0\) hat die Vielfachheit 2. Die Nullstellen \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\) haben jeweils die Vielfachheit 1. 3. Bei einer ungeraden Vielfachheit findet ein Vorzeichenwechsel statt, der Graph schneidet die Achse. Dies ist bei \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\) der Fall. Bei einer geraden Vielfachheit findet kein Vorzeichenwechsel statt, der Graph berührt die Achse (Extrempunkt). Dies ist bei \(x_1 = 0\) der Fall.

1. Nullstellen: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\), \(x_3 = -2\) 2. Vielfachheiten: \(x_1 = 0\) hat Vielfachheit 2; \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\) haben Vielfachheit 1. 3. Verhalten: Bei \(x = 0\) berührt der Graph die \(x\)-Achse (gerade Vielfachheit). Bei \(x = 2\) und \(x = -2\) schneidet der Graph die \(x\)-Achse (ungerade Vielfachheit).

- Überlege, ob du eine Variable oder eine Zahl aus allen Summanden ausklammern kannst. - Achte auf die Struktur der Terme in den Klammern: Erinnern sie dich an binomische Formeln? - Du kannst auch die faktorisierten Terme \(g(x)\) ausmultiplizieren, um die Übereinstimmung zu prüfen.

1. Untersuchung von \(f_1(x) = x^3 - 25x\): Durch Ausklammern von \(x\) erhält man \(x(x^2 - 25)\). Anwendung der dritten binomischen Formel ergibt \(x(x - 5)(x + 5)\). Somit gehört \(f_1\) zu \(g_c\). 2. Untersuchung von \(f_2(x) = x^3 + 10x^2 + 25x\): Ausklammern von \(x\) führt zu \(x(x^2 + 10x + 25)\). Anwendung der ersten binomischen Formel liefert \(x(x + 5)^2\). Somit gehört \(f_2\) zu \(g_a\). 3. Untersuchung von \(f_3(x) = 3x^2 - 12x + 12\): Ausklammern des Faktors \(3\) ergibt \(3(x^2 - 4x + 4)\). Anwendung der zweiten binomischen Formel führt auf \(3(x - 2)^2\). Somit gehört \(f_3\) zu \(g_b\).

\(f_1 \to g_c\); \(f_2 \to g_a\); \(f_3 \to g_b\)

- Der Grad einer Funktion in faktorisierter Form lässt sich durch Addieren der Hochzahlen der einzelnen Faktoren bestimmen. - Eine Nullstelle ist der Wert für \(x\), bei dem ein einzelner Faktor des Produkts null wird. - Schau dir die Hochzahl (den Exponenten) über jedem Faktor an, um die Vielfachheit zu finden. - Erinnere dich an den Unterschied im Verlauf des Graphen bei geraden und ungeraden Vielfachheiten von Nullstellen.

1. Bestimmung des Grades: Der Term ist ein Produkt aus den Faktoren \((x+1)^2\), \((x-3)\) und \(x\). Die Summe der Exponenten der Linearfaktoren ist \(2 + 1 + 1 = 4\). Der Grad der Funktion ist somit \(4\). 2. Bestimmung der Nullstellen und Vielfachheiten: Aus den Linearfaktoren lassen sich die Nullstellen direkt ablesen. Der Faktor \((x+1)^2\) liefert die Nullstelle \(x_1 = -1\) mit der Vielfachheit \(2\). Der Faktor \((x-3)\) liefert die Nullstelle \(x_2 = 3\) mit der Vielfachheit \(1\). Der Faktor \(x\) liefert die Nullstelle \(x_3 = 0\) mit der Vielfachheit \(1\). 3. Berührpunkt identifizieren: Ein Graph berührt die \(x\)-Achse an einer Nullstelle genau dann, wenn die Vielfachheit dieser Nullstelle geradzahlig ist. Da nur die Nullstelle \(x_1 = -1\) die gerade Vielfachheit \(2\) besitzt, liegt dort ein Berührpunkt vor.

a) Der Grad ist \(4\). b) Nullstellen: \(x_1 = -1\) (Vielfachheit \(2\)), \(x_2 = 3\) (Vielfachheit \(1\)), \(x_3 = 0\) (Vielfachheit \(1\)). c) Der Graph berührt die \(x\)-Achse bei \(x = -1\), da dies eine Nullstelle mit gerader Vielfachheit (\(2\)) ist.

- Überlege dir, bei welchen \(x\)-Werten die einzelnen Klammern oder Faktoren den Wert Null annehmen. - Achte darauf, ob eine Funktion zusätzliche Faktoren wie ein einzelnes \(x\) besitzt. - Eine Nullstelle ist dann mehrfach, wenn der zugehörige Linearfaktor (die Klammer) mit einem Exponenten größer als 1 vorkommt oder mehrfach als Faktor auftaucht. - Der Streckfaktor vor den Klammern beeinflusst zwar den Verlauf des Graphen, aber nicht die Stellen, an denen die Funktion Null wird.

1. Bestimmung der Nullstellen der einzelnen Funktionen durch Nullsetzen der Faktoren: - \(f(x)\): Nullstellen bei \(x = 2\), \(x = -2\) und \(x = 5\). Die Menge ist \(\{-2; 2; 5\}\). - \(g(x)\): \(x^2 - 4 = 0\) liefert \(x = \pm 2\), der Faktor \((x + 5)\) liefert \(x = -5\). Die Menge ist \(\{-5; -2; 2\}\). - \(h(x)\): Nullstellen bei \(x = 2\) (doppelt), \(x = -2\) und \(x = 5\). Die Menge ist \(\{-2; 2; 5\}\). - \(i(x)\): Nullstellen bei \(x = 0\), \(x = 2\), \(x = -2\) und \(x = 5\). Die Menge ist \(\{-2; 0; 2; 5\}\). - \(j(x)\): Wie bei \(f(x)\) liegen die Nullstellen bei \(x = 2\), \(x = -2\) und \(x = 5\). Der Vorfaktor \(\frac{1}{2}\) ändert die Lage der Nullstellen nicht. Die Menge ist \(\{-2; 2; 5\}\). 2. Zuordnung zu Aufgabenteil a): Die Funktionen \(f\), \(h\) und \(j\) haben die exakte Menge \(L = \{-2; 2; 5\}\). 3. Zuordnung zu Aufgabenteil b): Nur bei \(h(x)\) tritt ein Faktor im Quadrat auf (\((x - 2)^2\)), daher liegt bei \(x = 2\) eine doppelte Nullstelle vor. 4. Zuordnung zu Aufgabenteil c): Die Funktion \(i(x)\) besitzt durch den zusätzlichen Faktor \(x\) eine weitere Nullstelle bei \(x = 0\), die in der Nullstellenmenge von \(f(x)\) nicht enthalten ist.

a) Die Funktionen \(f\), \(h\) und \(j\). b) Die Funktion \(h\) hat bei \(x = 2\) eine doppelte Nullstelle. c) Die Funktion \(i\) hat durch den Faktor \(x\) eine zusätzliche Nullstelle bei \(x = 0\).

- Nutze die dritte binomische Formel, um Ausdrücke wie \(x^2 - 9\) weiter in Linearfaktoren zu zerlegen. - Vergleiche die Nullstellenmengen genau – achte dabei besonders auf die Vorzeichen der Zahlen. - Die Vielfachheit einer Nullstelle erkennst du am Exponenten des Linearfaktors in der vollständig faktorisierten Form.

1. Untersuchung der Nullstellen durch Faktorisierung: - \(k(x)\): Nullstellen bei \(x = -3\), \(x = 3\) und \(x = 1\). - \(l(x)\): Da \(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\) ist, gilt \(l(x) = (x - 3)(x + 3)(x - 3) = (x + 3)(x - 3)^2\). Nullstellen sind \(x = -3\) und \(x = 3\). - \(m(x)\): Nullstellen bei \(x = -3\) und \(x = 3\). - \(n(x)\): Nullstellen bei \(x = 3\), \(x = -3\) und \(x = -1\). 2. Zuordnung zu a): Die Funktionen \(l\) und \(m\) haben die Nullstellenmenge \(\{-3; 3\}\). 3. Zuordnung zu b): Nur die Funktion \(k\) hat die Nullstellen \(-3, 3, 1\). (Bei \(n\) ist die dritte Nullstelle \(-1\)). 4. Analyse für c): Wie in Schritt 1 gezeigt, ist \(l(x) = (x + 3)^1 \cdot (x - 3)^2\). Somit ist \(x = -3\) eine einfache Nullstelle (Vielfachheit 1) und \(x = 3\) eine doppelte Nullstelle (Vielfachheit 2).

a) Die Funktionen \(l\) und \(m\). b) Die Funktion \(k\). c) \(x = -3\) ist eine einfache Nullstelle (Vielfachheit 1); \(x = 3\) ist eine doppelte Nullstelle (Vielfachheit 2).

- Kannst du den Funktionsterm so umformen, dass du eine Nullstelle direkt ablesen kannst? - Wovon hängt die Anzahl der Nullstellen bei einem quadratischen Ausdruck ab? - Was passiert mit der Gesamtzahl der Nullstellen, wenn der quadratische Teil dieselbe Nullstelle liefert, die du schon am Anfang gefunden hast? - Untersuche die Fälle für die Diskriminante des quadratischen Faktors.

1. Ausklammern von \(x\) führt auf \(f_k(x) = x \cdot (x^2 - 4x + k)\). Damit ist \(x_1 = 0\) stets eine Nullstelle. 2. Die Anzahl der weiteren Nullstellen hängt von der Diskriminante \(D\) des quadratischen Terms \(x^2 - 4x + k\) ab: \(D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot k = 16 - 4k\). 3. Fall \(D < 0\): Für \(16 - 4k < 0\), also \(k > 4\), hat der quadratische Term keine Nullstellen. Es bleibt bei der einzigen Nullstelle \(x_1 = 0\). 4. Fall \(D = 0\): Für \(k = 4\) hat der quadratische Term die doppelte Nullstelle \(x = 2\). Die Funktion hat somit zwei Nullstellen (\(0\) und \(2\)). 5. Fall \(D > 0\): Für \(k < 4\) hat der quadratische Term zwei verschiedene Nullstellen. Ist eine dieser Nullstellen gleich \(0\), reduziert sich die Gesamtzahl der Nullstellen. Dies tritt ein, wenn \(0^2 - 4 \cdot 0 + k = 0\), also \(k = 0\). Für \(k = 0\) hat die Funktion somit zwei Nullstellen (\(0\) als doppelte und \(4\) als einfache Nullstelle). 6. Für alle anderen Werte (\(k < 4\) und \(k \neq 0\)) ergeben sich insgesamt drei verschiedene Nullstellen.

a) Genau eine Nullstelle für \(k > 4\). b) Genau zwei Nullstellen für \(k = 4\) oder \(k = 0\). c) Genau drei Nullstellen für \(k < 4\) und \(k \neq 0\).

- Welche Information liefern dir die Nullstellen für die faktorisierte Form einer quadratischen Funktion? - Wie kannst du einen gegebenen Punkt nutzen, um den noch unbekannten Parameter \(a\) zu berechnen? - Erinnere dich daran, wie man Klammerausdrücke multipliziert, um von der Produktform zur Normalform zu gelangen.

1. Einsetzen der Nullstellen \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 6\) in die faktorisierte Form ergibt \(b = -2\) und \(c = 6\) (oder umgekehrt), also \(f(x) = a(x + 2)(x - 6)\). 2. Einsetzen der Koordinaten des Punktes \(P(2 | 8)\) in die Gleichung: \(8 = a(2 + 2)(2 - 6)\). 3. Berechnung des Streckfaktors: \(8 = a \cdot 4 \cdot (-4) = -16a\), woraus \(a = -0{,}5\) folgt. 4. Aufstellen der faktorisierten Form: \(f(x) = -0{,}5(x + 2)(x - 6)\). 5. Ausmultiplizieren zur allgemeinen Form: \(f(x) = -0{,}5(x^2 - 4x - 12) = -0{,}5x^2 + 2x + 6\).

Die Parameter sind \(a = -0{,}5\), \(b = -2\) und \(c = 6\) (bzw. \(b = 6, c = -2\)). Die allgemeine Form lautet \(f(x) = -0{,}5x^2 + 2x + 6\).

- Was bedeutet es für die Anzahl und Art der Nullstellen, wenn eine Parabel die \(x\)-Achse „berührt“ statt sie zu schneiden? - Wenn eine quadratische Funktion nur eine einzige Nullstelle hat, wie hängen dann die Parameter \(s\) und \(t\) in der Form \(a(x-s)(x-t)\) zusammen? - Wie findet man rechnerisch den Schnittpunkt eines Graphen mit der \(y\)-Achse?

1. Da der Graph die \(x\)-Achse berührt, liegt eine doppelte Nullstelle vor. Es gilt somit \(s = t = 3\). Die Funktion hat die Form \(g(x) = a(x - 3)^2\). 2. Einsetzen des Punktes \(Q(5 | -10)\) zur Bestimmung von \(a\): \(-10 = a(5 - 3)^2 = a \cdot 2^2 = 4a\). 3. Berechnung von \(a\): \(a = \frac{-10}{4} = -2{,}5\). 4. Die Parameter sind somit \(a = -2{,}5\), \(s = 3\) und \(t = 3\). 5. Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts durch \(g(0)\): \(g(0) = -2{,}5(0 - 3)^2 = -2{,}5 \cdot 9 = -22{,}5\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 | -22{,}5)\).

1. Die Parameter sind \(a = -2{,}5\), \(s = 3\) und \(t = 3\). 2. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(S_y(0 | -22{,}5)\).

- Welche Form eines Funktionsterms eignet sich besonders gut, wenn Nullstellen gegeben sind? - Wie unterscheidet sich der Exponent an einer Nullstelle, wenn der Graph die Achse schneidet oder nur berührt? - Was bedeutet es mathematisch für die Gleichung, wenn ein Punkt auf dem Graphen liegt? - Wie viele Nullstellen (mit ihrer Vielfachheit gezählt) muss eine Funktion vierten Grades insgesamt haben?

1. Aufstellen des allgemeinen Ansatzes in der faktorisierten Form unter Berücksichtigung der Nullstellen und ihrer Vielfachheiten: \(f(x) = a \cdot x \cdot (x + 1)^2 \cdot (x - 4)\). Dabei steht der Faktor \((x + 1)^2\) für die doppelte Nullstelle bei \(-1\) und die Faktoren \(x\) sowie \((x - 4)\) für die einfachen Nullstellen bei \(0\) und \(4\). 2. Einsetzen der Koordinaten des Punktes \(P(2 | 18)\) in den Ansatz zur Bestimmung des Streckfaktors \(a\): \(18 = a \cdot 2 \cdot (2 + 1)^2 \cdot (2 - 4)\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(18 = a \cdot 2 \cdot 9 \cdot (-2) = -36a\). 4. Lösen nach \(a\): \(a = \frac{18}{-36} = -0{,}5\). 5. Einsetzen von \(a\) in den Funktionsansatz ergibt die fertige Gleichung: \(f(x) = -0{,}5 \cdot x \cdot (x + 1)^2 \cdot (x - 4)\).

\(f(x) = -0{,}5 \cdot x \cdot (x + 1)^2 \cdot (x - 4)\)

- Was sagt dir die Information „berührt die \(x\)-Achse“ über die Vielfachheit der Nullstelle aus? - Wie übersetzt man die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse in Linearfaktoren? - Wie kannst du den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse nutzen, um den Leitkoeffizienten zu finden? - Überlege zuerst, wie viele Faktoren mindestens vorhanden sein müssen, damit alle Bedingungen erfüllt sind.

1. Bestimmung des minimalen Grades: Einfache Nullstellen bei \(x = -3\) und \(x = 5\) (Grad 1) und eine Berührstelle (doppelte Nullstelle) bei \(x = 1\) (Grad 2) ergeben zusammen den kleinstmöglichen Grad \(n = 4\). 2. Aufstellen der faktorisierten Form: \(g(x) = a \cdot (x + 3) \cdot (x - 5) \cdot (x - 1)^2\). 3. Nutzen des \(y\)-Achsenabschnitts \(S_y(0 | -3)\), um \(a\) zu berechnen: \(-3 = a \cdot (0 + 3) \cdot (0 - 5) \cdot (0 - 1)^2\). 4. Berechnung des Produkts: \(-3 = a \cdot 3 \cdot (-5) \cdot 1 = -15a\). 5. Auflösen nach \(a\): \(a = \frac{-3}{-15} = 0{,}2\). 6. Resultierende Funktionsgleichung: \(g(x) = 0{,}2 \cdot (x + 3) \cdot (x - 5) \cdot (x - 1)^2\).

\(g(x) = 0{,}2 \cdot (x + 3) \cdot (x - 5) \cdot (x - 1)^2\)

- Welche Form hat ein Faktor, wenn die Nullstelle eine Wurzel enthält? - Gibt es eine binomische Formel, die dir das Multiplizieren der wurzelbehafteten Terme erleichtert? - Was bedeutet es für die Funktionsgleichung, wenn eine Nullstelle „einfach“ ist?

1. Der kleinstmögliche Grad für drei einfache Nullstellen ist \(n = 3\). 2. Aufstellen der Linearfaktoren: \((x + \sqrt{6})\), \((x - 2)\) und \((x - \sqrt{6})\). 3. Bildung des Produkts der Linearfaktoren: \(g(x) = a \cdot (x + \sqrt{6})(x - \sqrt{6})(x - 2)\). Mit \(a = 1\) ergibt sich die einfachste Form. 4. Anwendung der dritten binomischen Formel auf die Faktoren mit den Wurzeln: \((x + \sqrt{6})(x - \sqrt{6}) = x^2 - (\sqrt{6})^2 = x^2 - 6\). 5. Multiplikation mit dem verbleibenden Faktor: \(g(x) = (x^2 - 6)(x - 2) = x^3 - 2x^2 - 6x + 12\).

\(g(x) = (x^2 - 6)(x - 2)\) (oder ausmultipliziert: \(g(x) = x^3 - 2x^2 - 6x + 12\))

- Wie hängen die Nullstellen einer Funktion mit ihren Linearfaktoren zusammen? - Was bedeutet es für den Exponenten des Linearfaktors, wenn eine Nullstelle „doppelt“ gezählt wird? - Wie kannst du die Koordinaten eines gegebenen Punktes nutzen, um den noch unbekannten Streckungsfaktor zu berechnen?

1. Aufstellen des Funktionsterms in faktorisierter Form unter Berücksichtigung der Vielfachheiten: \(f(x) = a \cdot (x + 2)^2 \cdot (x - 3)\). 2. Einsetzen des Punktes \(Q(1 | -18)\) in den Ansatz: \(-18 = a \cdot (1 + 2)^2 \cdot (1 - 3)\). 3. Berechnung des Streckungsfaktors \(a\): \(-18 = a \cdot 9 \cdot (-2) \implies -18 = -18a \implies a = 1\). 4. Angabe des fertigen Funktionsterms: \(f(x) = (x + 2)^2 \cdot (x - 3)\).

\(f(x) = (x + 2)^2 \cdot (x - 3)\)

- Überlege dir, wie der Grad einer Funktion mit der Anzahl ihrer Linearfaktoren zusammenhängt. - Was passiert mit dem Grad, wenn du zwei Terme wie \(x\) und \(x^2\) multiplizierst? - Erinnere dich an den Satz vom Nullprodukt. - Eine Nullstelle kann auch „mehrfach“ vorkommen, wie beeinflusst das die Form des Terms? - Gibt es quadratische Terme, die keine Nullstellen haben?

1. Jede reelle Nullstelle \(x_n\) einer ganzrationalen Funktion ermöglicht die Abspaltung eines Linearfaktors \((x - x_n)\). 2. Wäre die Anzahl der Nullstellen größer als 3, so müsste das Produkt der Linearfaktoren mindestens den Grad 4 haben, was im Widerspruch zum gegebenen Grad 3 steht. 3. Beispiel für eine Nullstelle: \(f(x) = (x - 1)^3\) (dreifache Nullstelle bei \(x = 1\)) oder \(f(x) = (x - 1) \cdot (x^2 + 1)\) (nur eine reelle Nullstelle). 4. Beispiel für zwei Nullstellen: \(f(x) = (x - 1)^2 \cdot (x - 2)\) (doppelte Nullstelle bei \(x = 1\), einfache bei \(x = 2\)). 5. Beispiel für drei Nullstellen: \(f(x) = (x - 1) \cdot (x - 2) \cdot (x - 3)\) (drei einfache Nullstellen).

a) Da jede Nullstelle einen Linearfaktor \((x - x_0)\) liefert, würde eine vierte Nullstelle zu einem Grad von mindestens 4 führen. b) Mögliche Terme: 1. \(f(x) = (x - 1)^3\) 2. \(f(x) = (x - 1)^2 \cdot (x - 2)\) 3. \(f(x) = (x - 1) \cdot (x - 2) \cdot (x - 3)\)

- Wenn du eine Nullstelle kennst, wie kannst du den Grad des Polynoms verringern? - Welcher Teilausdruck (Linearfaktor) gehört zu einer Nullstelle \(a\)? - Welches Verfahren hilft dir, einen quadratischen Restterm aus einem kubischen Polynom zu erhalten? - Wie löst man quadratische Gleichungen, nachdem die Division durchgeführt wurde?

1. Aufstellen des zugehörigen Linearfaktors \((x + 1)\) aus der gegebenen Nullstelle \(x_1 = -1\). 2. Durchführung der Polynomdivision: \((x^3 - 6x^2 + 3x + 10) : (x + 1) = x^2 - 7x + 10\). 3. Nullstellenbestimmung des resultierenden quadratischen Terms durch Lösen der Gleichung \(x^2 - 7x + 10 = 0\). 4. Anwendung der p-q-Formel: \(x_{2,3} = \frac{7}{2} \pm \sqrt{(\frac{7}{2})^2 - 10} = 3{,}5 \pm \sqrt{12{,}25 - 10} = 3{,}5 \pm 1{,}5\). 5. Berechnung der weiteren Nullstellen: \(x_2 = 2\) und \(x_3 = 5\).

Die weiteren Nullstellen sind \(x_2 = 2\) und \(x_3 = 5\).

- Was bedeutet es für den Funktionsterm, wenn eine Zahl eine Nullstelle ist? - Erinnerst du dich an ein Verfahren, mit dem man einen Funktionsterm durch einen Ausdruck wie \((x - a)\) teilen kann? - Welche Art von Gleichung bleibt übrig, nachdem du einen Teil des Grades abgebaut hast? - Wie gehst du vor, um die Lösungen einer Gleichung mit \(x^2\) zu finden?

1. Erläuterung des Vorgehens: Da \(x_1 = 3\) eine Nullstelle ist, kann der Linearfaktor \((x - 3)\) abgespalten werden. Dies geschieht durch Polynomdivision des Funktionsterms \(f(x)\) durch den Linearfaktor \((x - 3)\) oder mithilfe des Horner-Schemas. Der resultierende quadratische Term kann anschließend mit der \(p\)-\(q\)-Formel oder durch Faktorisieren auf weitere Nullstellen untersucht werden. 2. Durchführung der Polynomdivision: \((x^3 - 6x^2 - x + 30) : (x - 3) = x^2 - 3x - 10\). 3. Berechnung der weiteren Nullstellen: Lösen der quadratischen Gleichung \(x^2 - 3x - 10 = 0\) ergibt \(x_{2,3} = \frac{3}{2} \pm \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + 10} = 1{,}5 \pm 3{,}5\). Somit sind \(x_2 = 5\) und \(x_3 = -2\). 4. Aufstellen der Produktform: \(f(x) = (x - 3) \cdot (x - 5) \cdot (x + 2)\).

a) Abspaltung des Linearfaktors \((x - 3)\) durch Polynomdivision oder Horner-Schema und anschließende Untersuchung des quadratischen Restterms. b) Weitere Nullstellen: \(x_2 = 5\); \(x_3 = -2\). Produktform: \(f(x) = (x - 3)(x - 5)(x + 2)\).

- Setze die vorgeschlagenen Werte nacheinander für \(x\) in die Gleichung ein und prüfe, ob das Ergebnis \(0\) ist. - Wenn du eine Nullstelle gefunden hast, kannst du den Funktionsterm durch den zugehörigen Linearfaktor teilen. - Welches Verfahren kennst du, um eine kubische Gleichung zu vereinfachen, wenn eine Lösung bereits bekannt ist? - Nach der Division erhältst du eine quadratische Gleichung, die du mit bekannten Formeln lösen kannst.

1. Überprüfung der Testwerte: \(f(1) = 1 - 4 + 1 + 6 = 4\); \(f(-1) = -1 - 4 - 1 + 6 = 0\). Somit ist \(x_1 = -1\) eine Nullstelle. 2. Reduktion des Grades mittels Polynomdivision: \((x^3 - 4x^2 + x + 6) : (x + 1) = x^2 - 5x + 6\). 3. Berechnung der Nullstellen des resultierenden quadratischen Terms \(x^2 - 5x + 6 = 0\) mithilfe der \(p-q\)-Formel oder durch Faktorisieren: \(x_{2,3} = \frac{5}{2} \pm \sqrt{(\frac{5}{2})^2 - 6} = 2{,}5 \pm \sqrt{6{,}25 - 6} = 2{,}5 \pm 0{,}5\). 4. Bestimmung aller Nullstellen: \(x_1 = -1\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = 3\).

Die Nullstellen der Funktion \(f\) sind \(x_1 = -1\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = 3\).

- Setze die einzelnen Faktoren der Funktionsgleichung gleich Null, um die Nullstellen zu finden. - Schau dir die Exponenten über den Klammern an, um die Vielfachheit zu bestimmen. - Überlege, was bei geraden Exponenten im Vergleich zu ungeraden Exponenten mit dem Graphen passiert. - Was ist der Unterschied zwischen einer ungeraden Vielfachheit von 1 und einer ungeraden Vielfachheit von 3?

1. Identifikation der Nullstellen durch Nullsetzen der Faktoren: \(x_1 = -3\), \(x_2 = 0\), \(x_3 = 2\). 2. Bestimmung der Vielfachheiten aus den Exponenten der Linearfaktoren: \(x_1 = -3\) ist eine doppelte Nullstelle (Vielfachheit 2), \(x_2 = 0\) ist eine einfache Nullstelle (Vielfachheit 1), \(x_3 = 2\) ist eine dreifache Nullstelle (Vielfachheit 3). 3. Zuordnung des Verlaufs: - Bei \(x_1 = -3\) (gerade Vielfachheit): Der Graph berührt die \(x\)-Achse (Berührpunkt ohne Vorzeichenwechsel). - Bei \(x_2 = 0\) (ungerade Vielfachheit 1): Der Graph schneidet die \(x\)-Achse (einfacher Schnittpunkt mit Vorzeichenwechsel). - Bei \(x_3 = 2\) (ungerade Vielfachheit \(> 1\)): Der Graph schneidet die \(x\)-Achse in einem Terrassenpunkt (Sattelpunkt mit Vorzeichenwechsel).

Nullstellen: \(x = -3\) (Vielfachheit 2): Berührpunkt \(x = 0\) (Vielfachheit 1): einfacher Schnittpunkt \(x = 2\) (Vielfachheit 3): Terrassenpunkt (Sattelpunkt)

- Welcher Faktor kommt in jedem Summanden vor? Kannst du eine Potenz von \(x\) ausklammern? - Wenn ein Produkt null ergibt, was muss dann für die einzelnen Faktoren gelten? - Schau dir den verbleibenden quadratischen Teil genau an. Kannst du ihn mit einer binomischen Formel weiter zerlegen? - Wie lässt sich an den Exponenten der Faktoren ablesen, wie oft eine Nullstelle vorkommt?

1. Ansatz \(g(x) = 0\): \(x^5 - 6x^4 + 9x^3 = 0\). 2. Ausklammern der kleinsten Potenz von \(x\): \(x^3 \cdot (x^2 - 6x + 9) = 0\). 3. Anwendung des Nullprodukt-Satzes: Erste Nullstelle bei \(x_1 = 0\). Da der Faktor \(x\) in der dritten Potenz steht, ist dies eine dreifache Nullstelle. 4. Untersuchung des quadratischen Terms \(x^2 - 6x + 9 = 0\). Erkennen der zweiten binomischen Formel: \((x - 3)^2 = 0\). 5. Daraus folgt die zweite Nullstelle \(x_2 = 3\). Da der Faktor \((x - 3)\) im Quadrat steht, ist dies eine zweifache Nullstelle. 6. Aufstellen der Linearfaktorzerlegung: \(g(x) = x^3 \cdot (x - 3)^2\).

Die Nullstellen sind \(x_1 = 0\) (dreifache Nullstelle) und \(x_2 = 3\) (zweifache Nullstelle). Die Linearfaktorzerlegung lautet: \(g(x) = x^3 \cdot (x - 3)^2\).

- Bei einer Gleichung mit \(x^4\) und \(x^2\) hilft es oft, eine neue Variable für \(x^2\) einzuführen. - Was bedeutet der Exponent an einer Klammer für die Anzahl der Nullstellen an diesem Punkt? - Kannst du die Nullstellen direkt aus der faktorisierten Form ablesen? - Vergiss nicht, nach dem Lösen der Hilfsgleichung für \(u\) wieder auf \(x\) zurückzurechnen.

1. Teilaufgabe a): Substitution \(u = x^2\) führt zur quadratischen Gleichung \(u^2 - 17u + 16 = 0\). Mit der pq-Formel ergeben sich \(u_1 = 16\) und \(u_2 = 1\). Rücksubstitution: \(x^2 = 16 \implies x_{1,2} = \pm 4\) und \(x^2 = 1 \implies x_{3,4} = \pm 1\). Alle vier Nullstellen sind einfach (Vielfachheit 1). 2. Teilaufgabe b): Die Funktion liegt bereits in faktorisierter Form vor. Durch Ablesen der Faktoren ergeben sich die Nullstellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -5\). Die Vielfachheit entspricht dem Exponenten des jeweiligen Faktors: \(x_1 = 0\) (einfach), \(x_2 = 2\) (zweifach bzw. doppelt), \(x_3 = -5\) (einfach).

a) \(x = 1\), \(x = -1\), \(x = 4\), \(x = -4\) (jeweils Vielfachheit 1) b) \(x_1 = 0\) (Vielfachheit 1), \(x_2 = 2\) (Vielfachheit 2), \(x_3 = -5\) (Vielfachheit 1)

- Welche Bedingung müssen die Exponenten einer ganzrationalen Funktion erfüllen, damit ihr Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist? - Erinnere dich daran, dass „genau eine“ bedeutet, dass es weder null noch zwei oder mehr Nullstellen geben darf. - Kannst du eine Funktion finden, die durch Ausklammern von \(x\) leicht in Faktoren zerlegt werden kann? - Wie viele Nullstellen kann eine Funktion dritten Grades maximal haben?

1. Ansatz einer punktsymmetrischen Funktion mit ungeraden Exponenten: \(f(x) = x^3 - x\). 2. Überprüfung der Symmetrie: Da nur ungerade Exponenten (\(3\) und \(1\)) vorkommen, ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. 3. Berechnung der Nullstellen durch Ausklammern: \(x \cdot (x^2 - 1) = 0\). 4. Anwendung des Satzes vom Nullprodukt ergibt \(x_1 = 0\) und \(x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1\), also \(x_2 = 1\) und \(x_3 = -1\). 5. Da die Funktion drei Nullstellen besitzt, ist die Behauptung, es gäbe genau eine, widerlegt.

Ein mögliches Gegenbeispiel ist \(f(x) = x^3 - x\). Nullstellenberechnung: \(x(x^2 - 1) = 0\) führt zu den drei Nullstellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = -1\). Da die Funktion mehr als eine Nullstelle hat, ist die Behauptung widerlegt.

- Was passiert, wenn du eine neue Variable für \(x^2\) einführst? - Überlege, welche Werte ein Term wie \(x^2\) oder \(x^4\) annehmen kann, wenn du eine beliebige reelle Zahl einsetzt. - Was bedeutet es für das Ergebnis einer Summe, wenn alle Summanden positiv sind?

1. Substitution \(u = x^2\) führt zur quadratischen Gleichung \(u^2 + 3u + 2 = 0\). 2. Lösung der quadratischen Gleichung ergibt \(u_1 = -1\) und \(u_2 = -2\). 3. Die Rücksubstitution \(x^2 = -1\) und \(x^2 = -2\) liefert im Bereich der reellen Zahlen keine Lösungen, da Quadrate reeller Zahlen niemals negativ sind. Somit hat \(f\) keine reellen Nullstellen. 4. Für die allgemeine Begründung: Da \(x\) nur in geraden Potenzen (\(x^2, x^4, \dots\)) vorkommt, ist jede dieser Potenzen für alle \(x \in \mathbb{R}\) größer oder gleich Null. Da alle Koeffizienten positiv sind, ist auch deren Summe größer oder gleich Null. Durch das positive Absolutglied \(a_0 > 0\) ist der gesamte Funktionswert stets mindestens so groß wie \(a_0\), also \(f(x) \ge a_0 > 0\). Ein Funktionswert von Null kann somit nicht erreicht werden.

a) Substitution \(u = x^2\) ergibt \(u^2 + 3u + 2 = 0\). Die Lösungen \(u_1 = -1\) und \(u_2 = -2\) führen bei der Rücksubstitution \(x^2 = u\) auf keine reellen Lösungen für \(x\). b) Da gerade Potenzen von \(x\) stets nicht-negativ sind und alle Koeffizienten sowie das Absolutglied positiv sind, ist der Funktionswert für jedes \(x\) immer größer als Null (\(f(x) > 0\)).

- Wie gehst du vor, wenn du die gemeinsamen Punkte zweier Funktionsgraphen suchst? - Kannst du die Gleichung so umformen, dass auf einer Seite eine Null steht? - Siehst du einen Faktor, den alle Terme der Gleichung gemeinsam haben? - Wie findet man die passenden \(y\)-Werte zu den bereits berechneten \(x\)-Stellen?

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(x^3 + 2x^2 - 4x + 6 = x^2 - 2x + 6\). 2. Umformen der Gleichung durch Subtraktion von \(x^2\), Addition von \(2x\) und Subtraktion von \(6\) auf beiden Seiten: \(x^3 + x^2 - 2x = 0\). 3. Ausklammern von \(x\): \(x \cdot (x^2 + x - 2) = 0\). 4. Anwendung des Nullprodukt-Satzes liefert die erste Lösung \(x_1 = 0\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung \(x^2 + x - 2 = 0\) (z. B. mit der \(pq\)-Formel): \(x_{2,3} = -0{,}5 \pm \sqrt{0{,}25 + 2} = -0{,}5 \pm 1{,}5\). Dies ergibt \(x_2 = -2\) und \(x_3 = 1\). 6. Berechnung der zugehörigen \(y\)-Koordinaten durch Einsetzen der \(x\)-Werte in \(g(x)\): \(g(0) = 6\), \(g(-2) = (-2)^2 - 2 \cdot (-2) + 6 = 4 + 4 + 6 = 14\), \(g(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 + 6 = 5\). 7. Angabe der Schnittpunkte: \(S_1(0|6)\), \(S_2(-2|14)\), \(S_3(1|5)\).

Die Schnittpunkte sind \(S_1(0|6)\), \(S_2(-2|14)\) und \(S_3(1|5)\).

- Was ist der erste Schritt, um Nullstellen bei einer Gleichung höheren Grades zu finden? - Kannst du eine Potenz von \(x\) ausklammern, um den Grad der Gleichung zu reduzieren? - Wie erkennst du an der faktorisierten Form der Gleichung, wie oft eine Nullstelle vorkommt? - Was bedeutet es für die Vielfachheit, wenn eine Variable im Quadrat vor einer Klammer steht?

1. Ansatz zur Nullstellenberechnung: \(x^4 - 2x^3 - 3x^2 = 0\). 2. Ausklammern der höchsten gemeinsamen Potenz von \(x\), hier \(x^2\): \(x^2 \cdot (x^2 - 2x - 3) = 0\). 3. Untersuchung der Faktoren gemäß Nullprodukt-Satz: Der Faktor \(x^2\) führt zur Nullstelle \(x_1 = 0\). Da der Faktor quadratisch auftritt, handelt es sich um eine doppelte Nullstelle (Vielfachheit 2). 4. Lösen der verbleibenden quadratischen Gleichung \(x^2 - 2x - 3 = 0\) (z. B. mit der \(pq\)-Formel): \(x_{2,3} = 1 \pm \sqrt{1 + 3} = 1 \pm 2\). Dies ergibt \(x_2 = 3\) und \(x_3 = -1\). 5. Da diese Faktoren \((x-3)\) und \((x+1)\) jeweils nur einmal in der faktorisierten Form \(x^2 \cdot (x-3) \cdot (x+1)\) vorkommen, handelt es sich um einfache Nullstellen (Vielfachheit 1).

Die Nullstellen sind \(x_1 = 0\) (Vielfachheit 2), \(x_2 = 3\) (Vielfachheit 1) und \(x_3 = -1\) (Vielfachheit 1).

- Gibt es einen konstanten Faktor, den du zuerst ausklammern kannst, um die Zahlen zu vereinfachen? - Erinnert dich die Struktur des Terms an eine quadratische Gleichung, wenn du eine Variable ersetzt? - Wie hängen die Nullstellen einer Funktion mit ihren Linearfaktoren zusammen? - Vergiss am Ende nicht den Leitkoeffizienten vor der Klammer.

1. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(2\): \(f(x) = 2(x^4 - 13x^2 + 36)\). 2. Substitution von \(u = x^2\) führt auf die quadratische Gleichung \(u^2 - 13u + 36 = 0\). 3. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der pq-Formel): \(u_{1,2} = \frac{13}{2} \pm \sqrt{(\frac{13}{2})^2 - 36} = 6{,}5 \pm 2{,}5\). Dies ergibt \(u_1 = 4\) und \(u_2 = 9\). 4. Resubstitution \(x^2 = 4\) liefert die Nullstellen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). 5. Resubstitution \(x^2 = 9\) liefert die Nullstellen \(x_3 = 3\) und \(x_4 = -3\). 6. Aufstellen der Linearfaktorzerlegung unter Berücksichtigung des Leitkoeffizienten: \(f(x) = 2(x - 2)(x + 2)(x - 3)(x + 3)\).

\(f(x) = 2(x - 2)(x + 2)(x - 3)(x + 3)\)

- Isoliere zuerst den Term mit \(x\), sodass die Potenz allein auf einer Seite steht. - Prüfe nach dem Umstellen, ob die Gleichung überhaupt eine reelle Lösung haben kann. - Erinnere dich daran, welches Vorzeichen das Ergebnis einer geraden Potenz immer hat. - Wie viele Lösungen erwartest du bei einer ungeraden Potenz im Vergleich zu einer geraden Potenz?

1. Division durch \(2\) ergibt \(x^4 = 81\). Ziehen der vierten Wurzel liefert zwei reelle Lösungen, da der Exponent gerade und der Wert positiv ist: \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\). 2. Subtraktion von \(125\) ergibt \(x^3 = -125\). Ziehen der dritten Wurzel aus einer negativen Zahl ist bei ungeradem Exponenten möglich: \(x = \sqrt[3]{-125} = -5\). 3. Subtraktion von \(16\) ergibt \(x^4 = -16\). Da eine vierte Potenz einer reellen Zahl niemals negativ sein kann (\(x^4 \geq 0\)), existiert keine reelle Lösung.

a) \(x_1 = 3, x_2 = -3\) b) \(x = -5\) c) keine reelle Lösung

- Wann wird ein Produkt aus zwei Termen gleich null? - Untersuche die beiden Faktoren des Funktionsterms getrennt voneinander. - Wie viele Lösungen hat eine Gleichung der Form \(x^2 = a\), wenn \(a\) positiv ist? - Die Vielfachheit einer Nullstelle kannst du direkt am Exponenten des entsprechenden Faktors in der Produktform ablesen.

1. Ansatz zur Berechnung der Nullstellen: \(f(x) = 0\), also \(x^4 \cdot (x^2 - 81) = 0\). 2. Anwendung des Satzes vom Nullprodukt: Die Gleichung ist erfüllt, wenn \(x^4 = 0\) oder \(x^2 - 81 = 0\). 3. Lösen von \(x^4 = 0\): Dies führt zur Nullstelle \(x_1 = 0\). Da der Exponent am Faktor \(x\) gleich 4 ist, beträgt die Vielfachheit 4. 4. Lösen von \(x^2 - 81 = 0\): Umformen zu \(x^2 = 81\). Diese Potenzgleichung hat mit \(n=2\) (gerade) und \(c=81 > 0\) zwei reelle Lösungen: \(x_2 = 9\) und \(x_3 = -9\). 5. Da die Faktoren \((x - 9)\) und \((x + 9)\) in der faktorisierten Form \(x^4(x-9)(x+9)\) jeweils nur einmal vorkommen, haben diese Nullstellen jeweils die Vielfachheit 1. 6. Zählen der verschiedenen Nullstellen: Es gibt insgesamt 3 verschiedene reelle Nullstellen (\(0\), \(9\) und \(-9\)).

Die Funktion hat 3 verschiedene reelle Nullstellen: \(x_1 = 0\) mit der Vielfachheit 4, \(x_2 = 9\) mit der Vielfachheit 1, \(x_3 = -9\) mit der Vielfachheit 1.

- Die Vielfachheit einer Nullstelle erkennst du an dem Exponenten des zugehörigen Linearfaktors. - Wenn ein Term wie \(x^n\) vorkommt, ist \(0\) eine \(n\)-fache Nullstelle. - Manchmal hilft es, erst \(x\) auszuklammern und dann den verbleibenden Teil weiter zu untersuchen. - Achte auf binomische Formeln, um Terme in Quadrate umzuwandeln. - Ein Term wie \(x^2 - a^2\) lässt sich oft noch weiter in zwei Linearfaktoren zerlegen.

1. Bei \(f(x) = x^2 \cdot (x - 3)\) führen die Faktoren direkt zu den Nullstellen: \(x^2 = 0\) ergibt \(x_1 = 0\) mit der Vielfachheit 2. \(x - 3 = 0\) ergibt \(x_2 = 3\) mit der Vielfachheit 1. 2. Für \(g(x) = x^3 - 2x^2 + x\) wird zuerst \(x\) ausgeklammert: \(x(x^2 - 2x + 1) = 0\). Der quadratische Teil ist nach der zweiten binomischen Formel \((x - 1)^2\). Es ergeben sich \(x_1 = 0\) (Vielfachheit 1) und \(x_2 = 1\) (Vielfachheit 2). 3. Bei \(h(x) = (x + 5)(x^2 - 9)\) wird der erste Faktor null für \(x_1 = -5\). Der zweite Faktor \(x^2 - 9 = 0\) liefert \(x_2 = 3\) und \(x_3 = -3\). Alle drei Nullstellen haben die Vielfachheit 1.

a) \(x_1 = 0\) (doppelt); \(x_2 = 3\) (einfach) b) \(x_1 = 0\) (einfach); \(x_2 = 1\) (doppelt) c) \(x_1 = -5\) (einfach); \(x_2 = 3\) (einfach); \(x_3 = -3\) (einfach)

- Gibt es eine Methode, um eine Gleichung vierten Grades wie eine quadratische Gleichung zu behandeln? - Was musst du tun, nachdem du eine Hilfsvariable eingeführt und gelöst hast? - Wie hängen die Nullstellen einer Funktion mit ihrer Zerlegung in Faktoren zusammen? - Wie viele Lösungen kann eine Gleichung vierten Grades maximal haben?

1. Nullstellenberechnung mittels Substitution: Setze \(u = x^2\). Die Gleichung wird zu \(u^2 - 10u + 9 = 0\). 2. Lösung der quadratischen Gleichung: Die Lösungen für \(u\) sind \(u_1 = 1\) und \(u_2 = 9\). 3. Rücksubstitution: Aus \(x^2 = 1\) folgen die Nullstellen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\). Aus \(x^2 = 9\) folgen die Nullstellen \(x_3 = 3\) und \(x_4 = -3\). 4. Überprüfung der Aussage: Da vier verschiedene reelle Nullstellen existieren, ist die Aussage des Schülers wahr. 5. Linearfaktorzerlegung: Jede Nullstelle \(x_0\) entspricht einem Linearfaktor \((x - x_0)\). Damit ergibt sich \(p(x) = (x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3)\).

a) Die Aussage ist wahr. Die Nullstellen sind \(x_1 = 1\), \(x_2 = -1\), \(x_3 = 3\) und \(x_4 = -3\). b) \(p(x) = (x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3)\)

- Was passiert, wenn du den Wert für \(x\) direkt in den Ausdruck einsetzt? - Kannst du den Term so umformen, dass du \(x^2\) in den ersten beiden Gliedern ausklammerst? - Gibt es eine reelle Zahl, deren Quadrat \(-1\) ergibt?

1. Überprüfung der Nullstelle durch Einsetzen: \(2^3 - 2 \cdot 2^2 + 2 - 2 = 8 - 8 + 2 - 2 = 0\). Somit ist \(x = 2\) eine Nullstelle. 2. Abspaltung des Linearfaktors \((x-2)\) mittels Polynomdivision oder durch geschicktes Ausklammern: \(x^2(x-2) + 1(x-2) = (x-2)(x^2+1)\). 3. Untersuchung des quadratischen Terms \(x^2+1\): Die Gleichung \(x^2+1 = 0\) führt zu \(x^2 = -1\). Da Quadrate reeller Zahlen niemals negativ sind, existieren keine weiteren reellen Nullstellen. 4. Die vollständige Zerlegung lautet: \((x-2)(x^2+1)\).

a) \(2^3 - 2 \cdot 2^2 + 2 - 2 = 0\) b) \((x-2)(x^2+1)\) c) Der Term \(x^2+1\) hat keine reellen Nullstellen, da \(x^2 \geq 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt und somit \(x^2+1 \geq 1\).

- Gibt es eine Zahl, die in allen Koeffizienten als Teiler steckt? - Was passiert, wenn du \(x^2\) vorübergehend durch einen anderen Buchstaben ersetzt? - Untersuche die einzelnen Faktoren deiner Zerlegung: Können alle Null werden, wenn du für \(x\) eine reelle Zahl einsetzt? - Erinnere dich daran, dass ein Quadrat einer reellen Zahl niemals negativ ist.

1. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(3\): \(f(x) = 3(x^4 + 2x^2 - 3)\). 2. Substitution \(u = x^2\) liefert \(u^2 + 2u - 3 = 0\). Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind \(u_1 = 1\) und \(u_2 = -3\). 3. Zerlegung des quadratischen Ausdrucks in \(u\): \(3(u - 1)(u + 3)\). 4. Resubstitution \(u = x^2\) ergibt \(3(x^2 - 1)(x^2 + 3)\). 5. Anwendung der dritten binomischen Formel auf \((x^2 - 1)\) führt zur Zerlegung: \(f(x) = 3(x - 1)(x + 1)(x^2 + 3)\). Dies ist die maximale Zerlegung über den reellen Zahlen, da \(x^2 + 3 = 0\) keine reellen Lösungen besitzt. 6. Die reellen Nullstellen ergeben sich aus den Linearfaktoren zu \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\). 7. Begründung für b): Der Faktor \((x^2 + 3)\) ist für alle reellen Zahlen \(x\) stets größer oder gleich \(3\), kann also niemals Null werden. Somit liefern nur die Linearfaktoren reelle Nullstellen.

a) \(f(x) = 3(x - 1)(x + 1)(x^2 + 3)\) b) Reelle Nullstellen: \(x_1 = 1\), \(x_2 = -1\). Der Faktor \((x^2 + 3)\) hat keine reellen Nullstellen, da \(x^2 \geq 0\) und somit \(x^2 + 3 \geq 3\) für alle \(x \in \mathbb{R}\).

- Setze die Funktionsterme zuerst gleich Null. - Isoliere den Term mit der Variablen auf einer Seite der Gleichung. - Überlege dir bei der Vielfachheit, wie oft der entsprechende Linearfaktor in der faktorisierten Form vorkommt. - Prüfe bei geraden Exponenten genau, ob ein negativer Wert auf der anderen Seite der Gleichung überhaupt möglich ist.

1. Nullstellenberechnung durch Gleichsetzen mit Null und Isolieren der Potenz: a) \(5x^4 - 405 = 0 \Leftrightarrow x^4 = 81 \Rightarrow x_{1,2} = \pm 3\). Da \(f(x) = 5(x-3)(x+3)(x^2+9)\), sind beide Nullstellen einfach (Vielfachheit 1). b) \(x^3 + 343 = 0 \Leftrightarrow x^3 = -343 \Rightarrow x = -7\). Da \(x^3+343 = (x+7)(x^2-7x+49)\) und der quadratische Term keine weiteren reellen Nullstellen hat, ist die Nullstelle einfach (Vielfachheit 1). c) \(x^6 = 0 \Rightarrow x = 0\). Die Nullstelle \(x = 0\) hat die Vielfachheit 6. d) \(x^4 + 16 = 0 \Leftrightarrow x^4 = -16\). Da eine vierte Potenz in \(\mathbb{R}\) nie negativ ist, gibt es keine reellen Nullstellen.

a) Nullstellen bei \(x = 3\) und \(x = -3\), jeweils Vielfachheit 1 b) Nullstelle bei \(x = -7\), Vielfachheit 1 c) Nullstelle bei \(x = 0\), Vielfachheit 6 d) Keine reellen Nullstellen

- Überlege, welche bekannte Formel für \((a+b)^3\) dir hier weiterhelfen könnte. - Was bedeutet es für die Anzahl der Nullstellen, wenn ein Term als Potenz wie \((x-c)^n\) geschrieben werden kann? - Wie verändert sich ein Graph, wenn man das Argument \(x\) durch \((x+c)\) ersetzt?

1. Durch Anwendung der ersten kubischen binomischen Formel \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) erkennt man mit \(a=x\) und \(b=1\), dass \(f(x) = (x + 1)^3\) gilt. 2. Zur Bestimmung der Nullstellen wird der Ansatz \(f(x) = 0\) gewählt. Aus \((x + 1)^3 = 0\) folgt \(x + 1 = 0\), also \(x = -1\). Da der zugehörige Linearfaktor \((x + 1)\) in der dritten Potenz auftritt, ist \(x = -1\) eine dreifache Nullstelle (Vielfachheit 3). 3. Die zugrunde liegende Potenzfunktion ist \(g(x) = x^3\). Der Graph von \(f\) entsteht durch eine Verschiebung des Graphen von \(g\) um \(1\) Einheit nach links in Richtung der negativen \(x\)-Achse.

1. \(f(x) = (x + 1)^3\) 2. Nullstelle \(x = -1\) mit der Vielfachheit 3. 3. Potenzfunktion \(g(x) = x^3\); Verschiebung um \(1\) Einheit nach links.

- Überlege dir, wie sich das Vorzeichen ändert, wenn du einen Term in einer ungeraden Potenz umdrehst, zum Beispiel \((a-b)^3\) im Vergleich zu \((b-a)^3\). - Erinnere dich an die binomischen Formeln für höhere Potenzen oder multipliziere die Klammern schrittweise aus. - Eine Nullstelle kann mehrfach vorkommen; achte auf den Exponenten des zugehörigen Linearfaktors. - Wenn ein quadratischer Teilterm keine weiteren reellen Nullstellen hat, beeinflusst er die Vielfachheit der bereits gefundenen Nullstellen nicht.

1. Berechnung der Funktionswerte: Für \(x = 3\) ergeben alle Funktionen den Wert \(0\). Für \(x = 0\) gilt: \(f_1(0) = -27\), \(f_2(0) = -27\), \(f_3(0) = 27\), \(f_4(0) = -27\), \(f_5(0) = -27\). 2. Bestimmung der Nullstellen: \(f_1\) hat die Nullstelle \(x = 3\) mit der Vielfachheit 3. \(f_2\) hat nur die reelle Nullstelle \(x = 3\) mit der Vielfachheit 1, da \(x^2 + 3x + 9 = 0\) keine reellen Lösungen besitzt. \(f_3\) hat die Nullstelle \(x = 3\) mit der Vielfachheit 3. \(f_4\) hat die reelle Nullstelle \(x = 3\) mit der Vielfachheit 1. \(f_5\) hat die Nullstelle \(x = 3\) mit der Vielfachheit 3. 3. Vergleich der Funktionen: Durch Anwendung der binomischen Formel \((a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\) ergibt sich \(f_1(x) = x^3 - 9x^2 + 27x - 27\), also \(f_1 = f_5\). Durch Ausmultiplizieren oder Anwendung der Formel für die Differenz von Potenzen \(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\) ergibt sich \(f_4(x) = x^3 - 27\), also \(f_2 = f_4\). \(f_3\) ist wegen \(f_3(0) = 27\) zu keiner anderen Funktion identisch (\(f_3(x) = -(x-3)^3\)).

a) \(f_1(3)=f_2(3)=f_3(3)=f_4(3)=f_5(3)=0\); \(f_1(0)=-27, f_2(0)=-27, f_3(0)=27, f_4(0)=-27, f_5(0)=-27\). b) \(f_1, f_3, f_5\): \(x = 3\) (3-fach); \(f_2, f_4\): \(x = 3\) (1-fach). c) \(f_1 = f_5\) und \(f_2 = f_4\).

- Was musst du für \(g(x)\) einsetzen, um eine Nullstelle zu finden? - Isoliere zuerst den Term mit der Unbekannten. - Erinnere dich daran, wie man eine Potenzgleichung mit ungeradem Exponenten löst. - Kann man aus einer negativen Zahl eine ungerade Wurzel ziehen?

1. Den Funktionsterm gleich Null setzen: \(-2x^3 - 250 = 0\). 2. Die Gleichung nach \(x^3\) isolieren: \(-2x^3 = 250 \Rightarrow x^3 = -125\). 3. Die dritte Wurzel (Kubikwurzel) ziehen: \(x = \sqrt[3]{-125}\). 4. Da der Exponent ungerade ist, ergibt sich genau eine reelle Lösung: \(x = -5\).

Die Nullstelle ist \(x = -5\).

- Wie viele Lösungen kann eine Gleichung der Form \(x^n = a\) haben, wenn \(n\) gerade ist? - Unterscheidet sich das Ergebnis, wenn \(n\) ungerade ist? - Überlege dir, wie der Graph einer Potenzfunktion mit geradem bzw. ungeradem Exponenten aussieht. - Was passiert mit dem Graphen, wenn man einen Wert \(c\) subtrahiert?

1. Für \(c = 16\) gilt \(f(x) = x^4 - 16\). Die Nullstellenberechnung \(x^4 = 16\) ergibt \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). 2. Für \(c = 16\) gilt \(g(x) = x^5 - 16\). Die Gleichung \(x^5 = 16\) führt zur Nullstelle \(x = \sqrt[5]{16} \approx 1{,}74\). 3. Für \(c = -32\) gilt \(f(x) = x^4 + 32\). Die Gleichung \(x^4 = -32\) hat keine reelle Lösung, da Potenzen mit geraden Exponenten nie negativ sind. \(f\) hat also keine Nullstellen. 4. Für \(c = -32\) gilt \(g(x) = x^5 + 32\). Die Gleichung \(x^5 = -32\) ergibt die Nullstelle \(x = \sqrt[5]{-32} = -2\). 5. Die Funktion \(f\) hat eine gerade Potenz. \(x^4 = c\) hat genau eine Lösung für \(c = 0\) (die Nullstelle \(x = 0\)). Für \(c > 0\) gibt es zwei und für \(c < 0\) keine Nullstellen. 6. Die Funktion \(g\) hat eine ungerade Potenz. Da die Funktion \(g(x) = x^5 - c\) streng monoton steigend ist, besitzt sie für jeden Wert von \(c \in \mathbb{R}\) genau eine reelle Nullstelle.

a) \(f\): \(x_1 = 2\), \(x_2 = -2\); \(g\): \(x = \sqrt[5]{16} \approx 1{,}74\) b) \(f\): keine reellen Nullstellen; \(g\): \(x = -2\) c) \(f\) hat genau eine Nullstelle für \(c = 0\). \(g\) hat für jeden beliebigen Wert von \(c\) genau eine Nullstelle.

- Erinnere dich an den Unterschied zwischen Wurzeln aus positiven und negativen Zahlen bei geraden und ungeraden Wurzelexponenten. - Überlege, ob eine Zahl, die mit sich selbst sechsmal multipliziert wird, negativ sein kann. - Wie viele Lösungen erwartest du bei einer achsensymmetrischen Funktion im Vergleich zu einer punktsymmetrischen Funktion?

1. Fall \(a = 1\): Gleichung (1) \(x^6 = 1\) hat die Lösungen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\), also \(L = \{-1; 1\}\). Gleichung (2) \(x^7 = 1\) hat nur die Lösung \(x = 1\), also \(L = \{1\}\). 2. Fall \(a = -128\): Gleichung (1) \(x^6 = -128\) hat keine reelle Lösung, da \(x^6 \geq 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), also \(L = \emptyset\). Gleichung (2) \(x^7 = -128\) ergibt \(x = \sqrt[7]{-128} = -2\), also \(L = \{-2\}\). 3. Analyse für (1): Da der Exponent \(6\) gerade ist, hat die Gleichung \(x^6 = a\) für \(a > 0\) zwei Lösungen, für \(a = 0\) genau eine Lösung (\(x = 0\)) und für \(a < 0\) keine Lösung. 4. Analyse für (2): Da der Exponent \(7\) ungerade ist, gibt es für jede reelle Zahl \(a\) (positiv, negativ oder Null) genau eine reelle Lösung \(x = \sqrt[7]{a}\).

a) (1) \(L = \{-1; 1\}\); (2) \(L = \{1\}\) b) (1) \(L = \emptyset\); (2) \(L = \{-2\}\) c) Gleichung (1) hat genau eine Lösung für \(a = 0\). Gleichung (2) hat genau eine Lösung für alle \(a \in \mathbb{R}\).

- Kannst du die Terme in den Klammern mithilfe der binomischen Formeln weiter zerlegen? - Was bedeutet es für den Graphen an einer Nullstelle, wenn die Vielfachheit gerade oder ungerade ist? - Erinnere dich an den Unterschied zwischen einem Schnittpunkt und einem Berührpunkt (Extrempunkt) auf der \(x\)-Achse.

1. Faktorisierung des ersten Terms mittels der dritten binomischen Formel: \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\). 2. Faktorisierung des zweiten Terms mittels der zweiten binomischen Formel: \(x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2\). 3. Zusammenführung zur vollständig faktorisierten Form: \(h(x) = (x - 1) \cdot (x + 1) \cdot (x - 5)^2\). 4. Identifikation der Nullstellen: \(x_1 = 1\), \(x_2 = -1\) und \(x_3 = 5\). 5. Analyse der Vielfachheiten: Die Nullstellen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\) treten jeweils mit der Vielfachheit 1 auf (ungerade). Die Nullstelle \(x_3 = 5\) tritt mit der Vielfachheit 2 auf (gerade). 6. Schlussfolgerung: Bei ungerader Vielfachheit findet ein Vorzeichenwechsel statt, der Graph schneidet die \(x\)-Achse. Bei gerader Vielfachheit findet kein Vorzeichenwechsel statt, der Graph berührt die \(x\)-Achse nur.

Der Graph schneidet die \(x\)-Achse an den Stellen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\), da dies einfache Nullstellen (ungerade Vielfachheit) sind. Er berührt die \(x\)-Achse an der Stelle \(x_3 = 5\), da dies eine doppelte Nullstelle (gerade Vielfachheit) ist.

- Welche Form der Funktionsgleichung ist am besten geeignet, wenn die Nullstellen direkt gegeben sind? - Wie kannst du die Koordinaten eines gegebenen Punktes nutzen, um den Streckfaktor \(a\) zu berechnen? - Was musst du tun, um ein Produkt aus zwei Klammern vollständig aufzulösen? - Überlege dir die allgemeine Definition einer ganzrationalen Funktion (Polynomfunktion).

1. Ansatz der Linearfaktordarstellung: \(g(x) = a \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2)\). Einsetzen der Nullstellen ergibt \(g(x) = a \cdot (x + 1) \cdot (x - 3)\). 2. Bestimmung von \(a\) durch Einsetzen des Punktes \(P(2 | -6)\): \(-6 = a \cdot (2 + 1) \cdot (2 - 3) \implies -6 = a \cdot 3 \cdot (-1) \implies -6 = -3a \implies a = 2\). Die Linearfaktordarstellung ist somit \(g(x) = 2(x + 1)(x - 3)\). 3. Ausmultiplizieren der Klammern: \(g(x) = 2(x^2 - 3x + x - 3) = 2(x^2 - 2x - 3)\). 4. Verteilung des Faktors \(2\): \(g(x) = 2x^2 - 4x - 6\). 5. Eine quadratische Funktion ist eine ganzrationale Funktion, da sie als Summe von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten (hier \(x^2\) und \(x^1\)) und einem konstanten Glied geschrieben werden kann. Ihr Funktionsterm ist ein Polynom vom Grad \(2\).

a) \(g(x) = 2(x + 1)(x - 3)\) b) \(g(x) = 2x^2 - 4x - 6\) c) Quadratische Funktionen sind ganzrationale Funktionen vom Grad \(2\), da sie der allgemeinen Form \(f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0\) mit \(n=2\) entsprechen.

- Welche Rechenregel nutzt du, um zwei Klammern miteinander zu multiplizieren? - In welcher Reihenfolge gehst du am besten vor, wenn du drei Klammern und einen Vorfaktor hast? - Überlege dir, wie der Term mit der höchsten Potenz \(x^3\) zustande kommt, wenn du die Klammern ansiehst. - Was passiert mit dem Vorfaktor ganz am Ende der Rechnung?

1. Zuerst werden zwei Klammern multipliziert: \((x - 1) \cdot (x + 2) = x^2 + 2x - x - 2 = x^2 + x - 2\). Dieses Ergebnis wird mit der dritten Klammer multipliziert: \((x^2 + x - 2) \cdot (x - 4) = x^3 - 4x^2 + x^2 - 4x - 2x + 8 = x^3 - 3x^2 - 6x + 8\). Zuletzt wird der gesamte Ausdruck mit dem Vorfaktor \(3\) multipliziert: \(f(x) = 3x^3 - 9x^2 - 18x + 24\). 2. Der Koeffizient \(a_3\) ist \(3\). Dies entspricht genau dem Vorfaktor in der Linearfaktordarstellung. Allgemein entsteht die höchste Potenz \(x^n\) nur, wenn aus jeder der \(n\) Klammern das \(x\) gewählt und miteinander multipliziert wird. Da dieser Term \(1 \cdot x^n\) anschließend mit dem äußeren Faktor \(a_n\) multipliziert wird, ergibt sich zwingend \(a_n \cdot x^n\) als führendes Glied.

1. Die allgemeine Form lautet \(f(x) = 3x^3 - 9x^2 - 18x + 24\). 2. Es ist \(a_3 = 3\). Der Wert ist identisch, da der Term \(x^3\) beim Ausmultiplizieren der Klammern den Koeffizienten \(1\) besitzt und erst durch die Multiplikation mit dem äußeren Faktor den Wert \(a_3\) annimmt.

- Denke bei \((x+1)^2\) an die erste binomische Formel. - Was bedeutet „Leitkoeffizient“ und an welcher Stelle im Polynom steht er? - Wie erhält man die Zahl ohne \(x\) (das Absolutglied) beim Ausmultiplizieren? - Kannst du eine Abkürzung finden, um nur den ersten Term der Normalform zu bestimmen?

1. Zuerst wird die binomische Formel angewendet: \((x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1\). Danach wird dieses Ergebnis mit der verbleibenden Klammer multipliziert: \((x^2 + 2x + 1) \cdot (x - 3) = x^3 - 3x^2 + 2x^2 - 6x + x - 3 = x^3 - x^2 - 5x - 3\). Multiplikation mit dem Vorfaktor \(-2\) liefert die Normalform: \(p(x) = -2x^3 + 2x^2 + 10x + 6\). 2. Der Leitkoeffizient ist \(a_3 = -2\), das Absolutglied ist \(a_0 = 6\). 3. Der Leitkoeffizient \(a_3\) ist identisch mit dem Faktor, der vor dem Produkt der Linearfaktoren steht. Da in den Klammern jeweils nur \(1 \cdot x\) steht, ergibt das Produkt der \(x\)-Terme genau \(1 \cdot x^3\). Dieser wird am Ende mit dem äußeren Faktor multipliziert.

1. Die Normalform ist \(p(x) = -2x^3 + 2x^2 + 10x + 6\). 2. \(a_3 = -2\) und \(a_0 = 6\). 3. Der Leitkoeffizient \(a_3\) kann direkt als der Faktor abgelesen werden, der vor den Linearfaktoren steht (hier \(-2\)), sofern die \(x\)-Werte in den Klammern keinen eigenen Koeffizienten ungleich \(1\) haben.

- Erinnere dich an die binomischen Formeln für den ersten Schritt. - Was bedeutet „Normalform“ bei einem Polynom? - Wie erkennt man den Grad und den Leitkoeffizienten in der Normalform? - In welcher Form der Funktion lassen sich die Nullstellen am einfachsten ablesen? - Was sagt der Exponent über einer Klammer in der Produktform über die Nullstelle aus?

1. Ausmultiplizieren des Quadrats: \((x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1\). 2. Multiplikation mit der ersten Klammer: \((x + 2) \cdot (x^2 - 2x + 1) = x \cdot (x^2 - 2x + 1) + 2 \cdot (x^2 - 2x + 1) = x^3 - 2x^2 + x + 2x^2 - 4x + 2\). 3. Zusammenfassen der Terme: \(f(x) = x^3 - 3x + 2\). 4. Der höchste Exponent von \(x\) ist \(3\), also ist der Grad \(n = 3\). Der Koeffizient vor \(x^3\) ist \(1\), dies ist der Leitkoeffizient. 5. Die Nullstellen lassen sich direkt aus der faktorisierten Form ablesen: \(x + 2 = 0 \implies x_1 = -2\) und \(x - 1 = 0 \implies x_2 = 1\). 6. Die Vielfachheit entspricht den Exponenten der Linearfaktoren: \(x_1 = -2\) ist eine einfache Nullstelle (Exponent 1), \(x_2 = 1\) ist eine doppelte Nullstelle (Exponent 2).

a) \(f(x) = x^3 - 3x + 2\) b) Der Grad der Funktion ist \(3\), der Leitkoeffizient ist \(1\). c) Die Nullstellen sind \(x_1 = -2\) (einfache Nullstelle) und \(x_2 = 1\) (doppelte Nullstelle).

- Was muss das Ergebnis sein, wenn du eine Zahl in die Funktionsgleichung einsetzt, damit sie eine Nullstelle ist? - Erinnerst du dich an die Polynomdivision oder das Horner-Schema? - Achte bei der Division auf die Vorzeichen, besonders wenn du durch einen Term wie \((x + 1)\) teilst. - Kannst du eine quadratische Gleichung lösen, bei der der Koeffizient vor dem \(x^2\) nicht \(1\) ist?

1. Überprüfung der Testwerte durch Einsetzen: \(g(-1) = 2 \cdot (-1)^3 - 5 \cdot (-1)^2 - 4 \cdot (-1) + 3 = -2 - 5 + 4 + 3 = 0\) \(g(2) = 2 \cdot 2^3 - 5 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 16 - 20 - 8 + 3 = -9 \neq 0\) \(g(1{,}5) = 2 \cdot 1{,}5^3 - 5 \cdot 1{,}5^2 - 4 \cdot 1{,}5 + 3 = 6{,}75 - 11{,}25 - 6 + 3 = -7{,}5 \neq 0\) Damit ist \(x_1 = -1\) die gesuchte Nullstelle aus der Liste. 2. Durchführung der Polynomdivision zur Reduktion des Grades: \((2x^3 - 5x^2 - 4x + 3) : (x + 1) = 2x^2 - 7x + 3\) 3. Bestimmung der Nullstellen des quadratischen Terms \(2x^2 - 7x + 3 = 0\): Division durch \(2\) ergibt \(x^2 - 3{,}5x + 1{,}5 = 0\). Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x_{2,3} = 1{,}75 \pm \sqrt{1{,}75^2 - 1{,}5} = 1{,}75 \pm \sqrt{3{,}0625 - 1{,}5} = 1{,}75 \pm \sqrt{1{,}5625} = 1{,}75 \pm 1{,}25\) Daraus folgen die weiteren Nullstellen \(x_2 = 3\) und \(x_3 = 0{,}5\).

Die Zahl \(-1\) ist eine Nullstelle von \(g\). Die weiteren Nullstellen sind \(x_2 = 3\) und \(x_3 = 0{,}5\).

- Unterscheide zwischen der „maximal möglichen“ Anzahl und der „tatsächlichen“ Anzahl von Nullstellen. - Überlege dir, ob eine Potenzfunktion wie \(x^3 + 10\) wirklich drei verschiedene Stellen hat, an denen sie die \(x\)-Achse schneidet. - Wie verändert sich der Exponent einer Potenz, wenn man die gesamte Potenz noch einmal quadriert?

1. Zu a): Bei \(n=8\) ist der Funktionsterm \(p(x) = x^8 - x + 10\). Da der Grad der Funktion 8 ist, kann sie nach dem Satz über die Anzahl der Nullstellen ganzrationaler Funktionen höchstens 8 Nullstellen haben. 2. Zu b): Die Aussage ist falsch. Der Grad gibt lediglich die maximale Anzahl an Nullstellen an. Eine Funktion vom Grad 3 kann 1, 2 oder 3 Nullstellen haben (im Reellen). Ein Gegenbeispiel ist \(f(x) = x^3 + x = x(x^2 + 1)\), welche nur die Nullstelle \(x=0\) besitzt, da \(x^2+1\) keine weiteren reellen Nullstellen hat. 3. Zu c): Durch Anwendung der binomischen Formel oder Überlegung zur höchsten Potenz ergibt sich \((x^3)^2 = x^6\). Der Term lautet \(k(x) = 9x^6 - 12x^3 + 4\). Der Grad der Funktion ist 6. Somit kann die Funktion höchstens 6 Nullstellen besitzen.

a) Maximal 8 Nullstellen. b) Die Aussage ist falsch; der Grad gibt nur die Höchstzahl an. Beispiel: \(f(x) = x^3 + x\) hat nur eine Nullstelle. c) Grad 6; maximal 6 Nullstellen.

- Welche ganzzahligen Werte könnten als Nullstellen infrage kommen? Schau dir das Absolutglied an. - Wenn du eine Nullstelle gefunden hast, wie kannst du den Grad der Funktion reduzieren? - Erinnere dich an Verfahren wie die Polynomdivision oder das Horner-Schema. - Wie sieht die allgemeine Form eines Linearfaktors aus, wenn eine Nullstelle bekannt ist?

1. Durch Probieren von Teilern des Absolutglieds \(-12\) findet man die erste Nullstelle \(x_1 = -1\), da \(f(-1) = (-1)^3 + 2 \cdot (-1)^2 - 11 \cdot (-1) - 12 = -1 + 2 + 11 - 12 = 0\). 2. Durchführung einer Polynomdivision oder Anwendung des Horner-Schemas: \((x^3 + 2x^2 - 11x - 12) : (x + 1) = x^2 + x - 12\). 3. Bestimmung der Nullstellen des verbleibenden quadratischen Terms \(x^2 + x - 12 = 0\) mit der p-q-Formel: \(x_{2,3} = -0{,}5 \pm \sqrt{0{,}25 + 12} = -0{,}5 \pm 3{,}5\). Dies liefert \(x_2 = 3\) und \(x_3 = -4\). 4. Die Nullstellen sind \(x_1 = -1\), \(x_2 = 3\) und \(x_3 = -4\). Die Linearfaktorform lautet \(f(x) = (x + 1)(x - 3)(x + 4)\).

Nullstellen: \(x_1 = -1\); \(x_2 = 3\); \(x_3 = -4\) Linearfaktorform: \(f(x) = (x + 1)(x - 3)(x + 4)\)

- Ein systematisches Probieren kleiner ganzzahliger Teiler des letzten Koeffizienten führt oft zur ersten Nullstelle. - Nachdem du eine Nullstelle gefunden hast, kannst du die Funktion in ein Produkt aus einem Linearfaktor und einem quadratischen Term zerlegen. - Überlege dir, was es für die Vielfachheit bedeutet, wenn ein Wert bei der Berechnung mehrfach als Lösung auftaucht.

1. Suche einer ersten Nullstelle durch Testen von Teilern der Zahl \(18\): Für \(x_1 = 3\) gilt \(g(3) = 3^3 - 4 \cdot 3^2 - 3 \cdot 3 + 18 = 27 - 36 - 9 + 18 = 0\). 2. Reduktion des Polynomgrads durch Polynomdivision: \((x^3 - 4x^2 - 3x + 18) : (x - 3) = x^2 - x - 6\). 3. Berechnung der weiteren Nullstellen aus \(x^2 - x - 6 = 0\) mithilfe der p-q-Formel: \(x_{2,3} = 0{,}5 \pm \sqrt{0{,}25 + 6} = 0{,}5 \pm 2{,}5\). Man erhält \(x_2 = 3\) und \(x_3 = -2\). 4. Zusammenfassung der Ergebnisse: Da der Wert \(3\) zweimal als Nullstelle berechnet wurde, handelt es sich um eine doppelte Nullstelle (Vielfachheit 2). Der Wert \(-2\) trat einmal auf und ist somit eine einfache Nullstelle (Vielfachheit 1).

Nullstellen: \(x = 3\) (zweifach bzw. Vielfachheit 2) und \(x = -2\) (einfach bzw. Vielfachheit 1).

- Überlege dir, wie du durch systematisches Testen kleiner Ganzzahlen eine erste Nullstelle finden kannst. - Wenn du eine Nullstelle \(x_0\) kennst, kannst du den Grad des Polynoms durch Division durch \((x - x_0)\) reduzieren. - Achte beim Aufstellen der Linearfaktoren darauf, den Leitkoeffizienten nicht zu vergessen. - Kannst du das Ergebnis überprüfen, indem du die Faktoren wieder ausmultiplizierst?

1. Nach Multiplikation mit dem Hauptnenner \(4\) testet man kleine ganzzahlige Teiler des Absolutglieds \(-6\). So findet man die erste Nullstelle \(x_1 = 1\), da \(f(1) = \frac{1}{4} - \frac{6}{4} + \frac{11}{4} - \frac{6}{4} = 0\). 2. Durchführung einer Polynomdivision oder Anwendung des Horner-Schemas: \((\frac{1}{4}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + \frac{11}{4}x - \frac{3}{2}) : (x - 1) = \frac{1}{4}x^2 - \frac{5}{4}x + \frac{3}{2}\). 3. Nullstellen des quadratischen Terms bestimmen: \(\frac{1}{4}x^2 - \frac{5}{4}x + \frac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow x^2 - 5x + 6 = 0\). Mithilfe der \(pq\)-Formel ergeben sich \(x_{2,3} = \frac{5}{2} \pm \sqrt{(\frac{5}{2})^2 - 6} = 2{,}5 \pm 0{,}5\). Somit sind \(x_2 = 2\) und \(x_3 = 3\). 4. Aufstellen der Produktdarstellung unter Berücksichtigung des Leitkoeffizienten \(a = \frac{1}{4}\): \(f(x) = \frac{1}{4}(x - 1)(x - 2)(x - 3)\).

Die Nullstellen sind \(x_1 = 1\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = 3\). Die Produktdarstellung lautet \(f(x) = \frac{1}{4}(x - 1)(x - 2)(x - 3)\).

- Setze den gegebenen Wert einfach in die Funktionsgleichung ein, um die erste Bedingung zu prüfen. - Nutze die Polynomdivision, um das Problem auf eine quadratische Gleichung zurückzuführen. - Erinnere dich daran, was es bedeutet, wenn eine Nullstelle bei der Berechnung der quadratischen Gleichung erneut auftaucht. - Die Vielfachheit einer Nullstelle erkennt man in der Produktdarstellung am Exponenten des jeweiligen Linearfaktors.

1. Nachweis der Nullstelle durch Einsetzen: \(p(1) = 2(1)^3 + 2(1)^2 - 10(1) + 6 = 2 + 2 - 10 + 6 = 0\). Damit ist \(x_1 = 1\) eine Nullstelle. 2. Reduktion des Polynoms mittels Polynomdivision: \((2x^3 + 2x^2 - 10x + 6) : (x - 1) = 2x^2 + 4x - 6\). 3. Nullstellenbestimmung des resultierenden quadratischen Terms: \(2x^2 + 4x - 6 = 0 \Leftrightarrow x^2 + 2x - 3 = 0\). Anwendung der \(pq\)-Formel liefert \(x = -1 \pm \sqrt{1 + 3}\), woraus erneut \(x = 1\) sowie \(x = -3\) folgen. 4. Analyse der Vielfachheiten: Da der Wert \(1\) zweimal als Nullstelle auftritt, handelt es sich um eine doppelte Nullstelle. \(x = -3\) ist eine einfache Nullstelle. 5. Produktdarstellung unter Einbezug des Leitkoeffizienten \(2\): \(p(x) = 2(x - 1)^2(x + 3)\).

Die Nullstellen sind \(x_1 = 1\) (doppelte Nullstelle) und \(x_2 = -3\) (einfache Nullstelle). Die Produktdarstellung lautet \(p(x) = 2(x - 1)^2(x + 3)\).

- Du kannst nacheinander durch die bekannten Linearfaktoren dividieren. - Was passiert mit dem Grad des Polynoms bei jeder Division? - Erinnerst du dich, wie man ein Polynom schreibt, wenn alle seine Nullstellen bekannt sind? - Achte beim Dividieren besonders auf die Vorzeichen der Linearfaktoren.

1. Erste Polynomdivision durch den Linearfaktor \((x - 1)\): \((x^4 + 2x^3 - 7x^2 - 8x + 12) : (x - 1) = x^3 + 3x^2 - 4x - 12\). 2. Zweite Polynomdivision des Ergebnisses durch den zweiten bekannten Linearfaktor \((x + 2)\): \((x^3 + 3x^2 - 4x - 12) : (x + 2) = x^2 + x - 6\). 3. Berechnung der verbleibenden Nullstellen durch Lösen der Gleichung \(x^2 + x - 6 = 0\). Dies ergibt \(x_3 = 2\) und \(x_4 = -3\). 4. Angabe der vollständigen Linearfaktorzerlegung unter Berücksichtigung aller vier Nullstellen: \(p(x) = (x - 1)(x + 2)(x - 2)(x + 3)\).

Die vollständige Linearfaktorzerlegung lautet: \(p(x) = (x - 1)(x + 2)(x - 2)(x + 3)\)

- Wann wird ein Produkt aus zwei Klammern genau Null? - Kannst du die Terme in den Klammern einzeln untersuchen? - Erkennst du in der zweiten Klammer eine binomische Formel? - Wie oft kommt ein Wert als Lösung vor, wenn die zugehörige Klammer quadriert wird?

1. Zur Bestimmung der Nullstellen wird der Funktionsterm gleich Null gesetzt: \( (x^2 - 5)(x^2 + 4x + 4) = 0 \). 2. Anwendung des Satzes vom Nullprodukt: Ein Produkt ist Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Somit gilt \( x^2 - 5 = 0 \) oder \( x^2 + 4x + 4 = 0 \). 3. Untersuchung des ersten Faktors: \( x^2 - 5 = 0 \) führt zu \( x^2 = 5 \). Daraus ergeben sich die Nullstellen \( x_1 = \sqrt{5} \) und \( x_2 = -\sqrt{5} \). Da diese Faktoren in der Linearfaktordarstellung nur einmal vorkommen, handelt es sich um einfache Nullstellen. 4. Untersuchung des zweiten Faktors: \( x^2 + 4x + 4 = 0 \). Mithilfe der ersten binomischen Formel lässt sich dieser Ausdruck als \( (x + 2)^2 = 0 \) schreiben. 5. Daraus ergibt sich die Nullstelle \( x_3 = -2 \). Da der Faktor im Quadrat steht, handelt es sich um eine doppelte Nullstelle.

Die Nullstellen sind \( x_1 = \sqrt{5} \) (einfach), \( x_2 = -\sqrt{5} \) (einfach) und \( x_3 = -2 \) (doppelt).

- Welche Zahlen kommen als ganzzahlige Nullstellen überhaupt infrage? - Wie kannst du eine gefundene Nullstelle nutzen, um den Funktionsterm zu vereinfachen? - Wie viele Nullstellen kann eine Funktion vierten Grades maximal besitzen? - Was musst du tun, wenn nach der ersten Division noch ein Term dritten Grades übrig bleibt?

1. Bestimmung der ganzzahligen Teiler des Absolutglieds \(10\): \(\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10\). 2. Testen der Teiler ergibt die Nullstellen \(x_1 = 1\) (da \(1 + 1 - 7 - 5 + 10 = 0\)) und \(x_2 = -2\) (da \(16 - 8 - 28 + 10 + 10 = 0\)). 3. Durchführung der ersten Polynomdivision: \((x^4 + x^3 - 7x^2 - 5x + 10) : (x - 1) = x^3 + 2x^2 - 5x - 10\). 4. Durchführung der zweiten Polynomdivision: \((x^3 + 2x^2 - 5x - 10) : (x + 2) = x^2 - 5\). 5. Lösen der verbleibenden quadratischen Gleichung \(x^2 - 5 = 0\) ergibt \(x_{3,4} = \pm \sqrt{5}\).

Die Nullstellen sind \(x_1 = 1\), \(x_2 = -2\), \(x_3 = \sqrt{5}\) und \(x_4 = -\sqrt{5}\).

- An welchen Stellen hat eine Funktion ihre Schnittpunkte mit der horizontalen Achse? - Kannst du den Grad des Ausdrucks durch eine Ersetzung vorübergehend verringern? - Wie kommst du von deiner Hilfsvariablen zurück zur ursprünglichen Unbekannten? - Achte darauf, ob alle Lösungen deiner quadratischen Gleichung auch zu reellen Lösungen der ursprünglichen Gleichung führen.

1. Ansatz für die Nullstellen: \(2x^4 - 26x^2 + 72 = 0\). 2. Division durch \(2\) zur Vereinfachung: \(x^4 - 13x^2 + 36 = 0\). 3. Substitution von \(u = x^2\) führt auf die quadratische Gleichung \(u^2 - 13u + 36 = 0\). 4. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(pq\)-Formel): \(u_{1,2} = 6{,}5 \pm \sqrt{42{,}25 - 36} = 6{,}5 \pm 2{,}5\). Dies ergibt \(u_1 = 9\) und \(u_2 = 4\). 5. Resubstitution: Für \(u_1 = 9\): \(x^2 = 9 \Rightarrow x = -3\) oder \(x = 3\). Für \(u_2 = 4\): \(x^2 = 4 \Rightarrow x = -2\) oder \(x = 2\). Die Nullstellen liegen bei \(x \in \{-3; -2; 2; 3\}\).

\(x_1 = -3\), \(x_2 = -2\), \(x_3 = 2\), \(x_4 = 3\)

- Was muss für den Funktionswert an einer Nullstelle gelten? - Gibt es eine Beziehung zwischen den Exponenten, die eine Ersetzung sinnvoll macht? - Wie viele Lösungen hat eine Gleichung der Form \(x^3 = a\) im Bereich der reellen Zahlen? - Denke daran, am Ende die Ersetzung wieder rückgängig zu machen.

1. Ansatz für die Nullstellen: \(x^6 + 26x^3 - 27 = 0\). 2. Substitution von \(z = x^3\) ergibt die quadratische Gleichung \(z^2 + 26z - 27 = 0\). 3. Lösen der quadratischen Gleichung: \(z_{1,2} = -13 \pm \sqrt{169 + 27} = -13 \pm \sqrt{196} = -13 \pm 14\). Man erhält \(z_1 = 1\) und \(z_2 = -27\). 4. Resubstitution: Für \(z_1 = 1\): \(x^3 = 1 \Rightarrow x_1 = \sqrt[3]{1} = 1\). Für \(z_2 = -27\): \(x^3 = -27 \Rightarrow x_2 = \sqrt[3]{-27} = -3\). Die reellen Nullstellen der Funktion sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -3\).

\(x_1 = 1\), \(x_2 = -3\)

- Überlege dir, wie du die Nullstellen direkt in den Funktionsterm einbauen kannst. - Erinnere dich an die Linearfaktorzerlegung von Polynomen. - Wie hängen die Vielfachheiten der Nullstellen mit dem Grad der Funktion zusammen? - Wenn der Grad einer Funktion größer ist als die Anzahl ihrer verschiedenen Nullstellen, was bedeutet das für die Exponenten der Faktoren?

1. Aufstellen der Linearfaktorform \(f(x) = a \cdot (x - x_1)^{k_1} \cdot (x - x_2)^{k_2} \cdot \dots\) 2. Für Teilaufgabe a): Da der Grad 3 ist und drei einfache Nullstellen vorliegen, ergibt sich durch Multiplikation der Linearfaktoren \(f(x) = (x + 4) \cdot x \cdot (x - 1)\). 3. Für Teilaufgabe b): Da der Grad 4 ist, aber nur zwei Nullstellen existieren sollen, müssen diese eine höhere Vielfachheit besitzen. Ein möglicher Ansatz ist \(f(x) = (x + 2)^2 \cdot (x - 5)^2\). 4. Für Teilaufgabe c): Genau zwei Nullstellen bei Grad 3 bedeuten, dass eine Nullstelle einfach und die andere doppelt sein muss. Mit der Nullstelle bei \(x = 3\) als doppelter Nullstelle und einer beliebig gewählten zweiten Nullstelle (z. B. \(x = 0\)) ergibt sich \(f(x) = x \cdot (x - 3)^2\).

Mögliche Funktionsterme sind: a) \(f(x) = x(x + 4)(x - 1)\) b) \(f(x) = (x + 2)^2(x - 5)^2\) c) \(f(x) = x(x - 3)^2\)

- Kannst du die Gleichung durch Ersetzen einer Variablen (Substitution) in eine Form bringen, die du bereits lösen kannst? - Vergiss nach dem Lösen der Hilfsgleichung nicht, den Schritt wieder rückgängig zu machen, um die gesuchten Werte zu finden. - Achte beim Aufstellen der Produktform darauf, den Leitkoeffizienten der ursprünglichen Funktion beizubehalten.

1. Nullstellenansatz: \(2x^4 - 10x^2 + 8 = 0\). 2. Vereinfachen durch Division: \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\). 3. Substitution \(u = x^2\) führt auf die quadratische Gleichung \(u^2 - 5u + 4 = 0\). 4. Lösung der quadratischen Gleichung mittels \(p\)-\(q\)-Formel oder Wurzelsatz von Vieta: \(u_1 = 1\) und \(u_2 = 4\). 5. Resubstitution: Aus \(x^2 = 1\) folgen die Nullstellen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\). Aus \(x^2 = 4\) folgen die Nullstellen \(x_3 = 2\) und \(x_4 = -2\). 6. Faktorisierung unter Berücksichtigung des Streckfaktors \(a = 2\): \(g(x) = 2 \cdot (x - 1) \cdot (x + 1) \cdot (x - 2) \cdot (x + 2)\).

Nullstellen: \(x_1 = 1\), \(x_2 = -1\), \(x_3 = 2\), \(x_4 = -2\) Faktorisierte Form: \(g(x) = 2(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)\)

- Wenn eine Funktion bereits als Produkt vorliegt, kannst du die Faktoren einzeln untersuchen. - Kannst du die Gleichung durch Ausklammern einer Potenz von \(x\) vereinfachen? - Untersuche, ob nach dem Ausklammern eine Struktur vorliegt, die du durch Ersetzen der Variablen lösen kannst. - Wie viele Nullstellen kann eine Funktion fünften Grades höchstens besitzen?

1. Für \(h(x) = (x^2 - 2)(x^2 - 25)\) wird der Satz vom Nullprodukt genutzt. Der erste Faktor \(x^2 - 2 = 0\) führt zu \(x_{1,2} = \pm\sqrt{2}\). 2. Der zweite Faktor \(x^2 - 25 = 0\) führt zu \(x_{3,4} = \pm 5\). 3. Für \(k(x) = x^5 - 13x^3 + 36x\) wird zuerst \(x\) ausgeklammert: \(x(x^4 - 13x^2 + 36) = 0\). Damit ist \(x_5 = 0\) die erste Nullstelle. 4. Der Ausdruck in der Klammer \(x^4 - 13x^2 + 36 = 0\) wird durch Substitution von \(u = x^2\) gelöst: \(u^2 - 13u + 36 = 0\). 5. Die quadratische Gleichung liefert \(u_1 = 9\) und \(u_2 = 4\). 6. Durch Resubstitution ergeben sich aus \(x^2 = 9\) die Werte \(x_{6,7} = \pm 3\) und aus \(x^2 = 4\) die Werte \(x_{8,9} = \pm 2\).

a) \(x_{1,2} = \pm\sqrt{2}\); \(x_{3,4} = \pm 5\) b) \(x_5 = 0\); \(x_{6,7} = \pm 3\); \(x_{8,9} = \pm 2\)

- Wenn du die Terme gleichsetzt, welche besondere Form hat die entstehende Gleichung? - Erinnert dich die Struktur mit \(x^4\) und \(x^2\) an eine quadratische Gleichung? - Könnte es helfen, \(x^2\) vorübergehend durch einen anderen Buchstaben zu ersetzen? - Vergiss nicht, nach dem Lösen der vereinfachten Gleichung wieder zur ursprünglichen Variablen \(x\) zurückzukehren. - Welchen \(y\)-Wert haben alle Punkte auf dem Graphen von \(g\)?

1. Gleichsetzen der Funktionen zur Ermittlung der Schnittpunkte: \(x^4 - 10x^2 = -9\). 2. Überführen in die Form \(x^4 - 10x^2 + 9 = 0\). 3. Anwendung der Substitution \(u = x^2\), um die biquadratische Gleichung in eine quadratische Gleichung zu überführen: \(u^2 - 10u + 9 = 0\). 4. Lösen der quadratischen Gleichung für \(u\): \(u_1 = 9\) und \(u_2 = 1\). 5. Durchführung der Resubstitution: Aus \(x^2 = 9\) folgen \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\). Aus \(x^2 = 1\) folgen \(x_3 = 1\) und \(x_4 = -1\). 6. Da \(g(x) = -9\) eine konstante Funktion ist, besitzen alle Schnittpunkte die \(y\)-Koordinate \(-9\). 7. Zusammenfassung der Ergebnisse zu den Schnittpunkten: \(S_1(3|-9)\), \(S_2(-3|-9)\), \(S_3(1|-9)\) und \(S_4(-1|-9)\).

Die Schnittpunkte sind \(S_1(3|-9)\), \(S_2(-3|-9)\), \(S_3(1|-9)\) und \(S_4(-1|-9)\).

- Wann wird ein Produkt null? - Was muss für den zweiten Faktor gelten, damit \(x = 2\) dort ebenfalls eine Nullstelle ist? - Erinnere dich an die Bedingung für eine doppelte Nullstelle bei quadratischen Funktionen. - Können alle drei Nullstellen des gesamten Ausdrucks denselben Wert annehmen? Überprüfe dies durch Vergleich der Koeffizienten.

1. Für eine doppelte Nullstelle bei \(x = 2\) muss der quadratische Faktor \(x^2 + bx + 25\) an der Stelle \(2\) den Wert Null annehmen: \(2^2 + b \cdot 2 + 25 = 0 \implies 2b + 29 = 0 \implies b = -14{,}5\). 2. Eine andere doppelte Nullstelle tritt auf, wenn der quadratische Faktor eine Diskriminante von Null besitzt: \(D = b^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = b^2 - 100\). \(D = 0\) liefert \(b = 10\) oder \(b = -10\). Bei \(b = 10\) ist \(x = -5\) eine doppelte Nullstelle, bei \(b = -10\) ist \(x = 5\) eine doppelte Nullstelle. Beide sind ungleich \(2\). 3. Eine dreifache Nullstelle würde voraussetzen, dass der quadratische Faktor die Form \((x-2)^2\) hat. Dies entspräche \(x^2 - 4x + 4\). Ein Vergleich mit \(x^2 + bx + 25\) zeigt, dass das Absolutglied \(25\) nicht mit \(4\) übereinstimmen kann. Alternativ müsste eine doppelte Nullstelle des quadratischen Faktors (\(5\) oder \(-5\)) mit der bereits vorhandenen Nullstelle \(2\) identisch sein, was nicht der Fall ist.

a) \(b = -14{,}5\) b) \(b = 10\) oder \(b = -10\) c) Damit eine dreifache Nullstelle vorliegt, müsste der quadratische Faktor die Form \((x-2)^2 = x^2 - 4x + 4\) haben. Da das Absolutglied jedoch fest auf \(25\) liegt, ist dies für keinen Wert von \(b\) möglich.

- Erstelle zuerst einen Funktionsterm mithilfe der Nullstellen und ihrer Vielfachheiten. - Nutze den Punkt \(P\), um den genauen Wert des Streckungsfaktors zu ermitteln. - Überlege dir, von welchen zwei Eigenschaften (Grad und Leitkoeffizient) das Verhalten einer Funktion im Unendlichen abhängt. - Vergleiche das Verhalten deiner gefundenen Funktion für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte mit dem der Funktion \(g\).

1. Aufstellen des Ansatzes basierend auf den Nullstellen: \(f(x) = a \cdot (x + 1)^3 \cdot (x - 2)\). 2. Bestimmung von \(a\) durch Einsetzen des Punktes \(P(1 | 16)\): \(16 = a \cdot (1 + 1)^3 \cdot (1 - 2) \implies 16 = a \cdot 8 \cdot (-1) \implies 16 = -8a \implies a = -2\). 3. Überprüfung des Grades: Der Grad der Funktion ist \(3 + 1 = 4\), was der Vorgabe entspricht. 4. Überprüfung des Grenzverhaltens: Da der Grad \(n = 4\) gerade ist und der Leitkoeffizient \(a = -2\) negativ ist, gilt \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to \pm \infty\). Dies stimmt mit dem Verhalten von \(g(x) = -x^2\) überein. 5. Ergebnis: Ja, eine solche Funktion existiert. Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x) = -2(x + 1)^3(x - 2)\).

Ja, eine solche Funktion existiert. Ihr Funktionsterm lautet \(f(x) = -2(x + 1)^3(x - 2)\). Da der Grad 4 (gerade) und der Leitkoeffizient \(-2\) (negativ) ist, strebt die Funktion für \(x \to \pm \infty\) gegen \(-\infty\), genau wie \(g(x) = -x^2\).

- Stelle dir den Verlauf des Graphen einer Funktion mit ungeradem Grad (wie \(x^3\) oder \(x^5\)) vor. Wo kommt er her, wo geht er hin? - Wenn ein Graph von weit unterhalb der \(x\)-Achse nach weit oberhalb der \(x\)-Achse verläuft, was muss dazwischen passieren? - Wie berechnet man den Gesamtgrad eines Produkts von Termen? - Wann wird ein Produkt null? Untersuche jeden Faktor einzeln. - Was sagt der Exponent über einem Linearfaktor über die Art der Nullstelle aus?

1. Bei Funktionen ungeraden Grades streben die Funktionswerte für \(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\) gegen unterschiedliche Vorzeichen (einer gegen \(+\infty\), der andere gegen \(-\infty\)). 2. Da der Graph einer ganzrationalen Funktion eine durchgehende (stetige) Kurve ist, muss er beim Wechsel von sehr kleinen zu sehr großen Werten die \(x\)-Achse mindestens einmal schneiden. 3. Bestimmung des Grades von \(g\): Die Summe der Exponenten der Faktoren \(x^2\), \((x-5)^2\) und \((x+1)^1\) ergibt \(2 + 2 + 1 = 5\). Der Grad ist 5. 4. Nullstellenbestimmung: Der Faktor \((x^2 + 4)\) wird für keine reelle Zahl null. 5. Aus \((x - 5)^2 = 0\) folgt die Nullstelle \(x_1 = 5\) mit der Vielfachheit 2. 6. Aus \((x + 1) = 0\) folgt die Nullstelle \(x_2 = -1\) mit der Vielfachheit 1.

a) Da die Grenzwerte für \(x \to \pm \infty\) entgegengesetzte Vorzeichen haben, muss der Graph aufgrund der Stetigkeit die \(x\)-Achse mindestens einmal schneiden. b) Grad: 5; Nullstellen: \(x = 5\) (zweifach bzw. Vielfachheit 2) und \(x = -1\) (einfach bzw. Vielfachheit 1). Der Faktor \((x^2 + 4)\) besitzt keine reellen Nullstellen.

- Was bedeutet es für den Term, wenn beim Einsetzen einer Zahl Null herauskommt? - Vergiss beim Faktorisieren nicht den Vorfaktor vor dem \(x^3\). - Wie sieht die allgemeine Form einer Linearfaktorzerlegung für ein Polynom dritten Grades aus? - Kannst du den quadratischen Teil nach der Division weiter zerlegen?

1. Überprüfung der Nullstelle durch Einsetzen: \(p(1) = 2 \cdot 1^3 - 4 \cdot 1^2 - 22 \cdot 1 + 24 = 2 - 4 - 22 + 24 = 0\). 2. Division des Polynoms durch den Linearfaktor \((x - 1)\): \((2x^3 - 4x^2 - 22x + 24) : (x - 1) = 2x^2 - 2x - 24\). 3. Faktorisierung des quadratischen Ergebnisses: Ausklammern der \(2\) ergibt \(2(x^2 - x - 12)\). 4. Bestimmung der Nullstellen von \(x^2 - x - 12\) (z. B. mit dem Satz von Vieta oder der p-q-Formel) ergibt \(x = 4\) und \(x = -3\). 5. Angabe der vollständigen Linearfaktorzerlegung unter Berücksichtigung aller gefundenen Faktoren: \(p(x) = 2(x - 1)(x - 4)(x + 3)\).

Die vollständige Linearfaktorzerlegung lautet \(p(x) = 2(x - 1)(x - 4)(x + 3)\).

- Wie kannst du den Grad der Funktion schrittweise reduzieren? - Achte beim Lösen des quadratischen Teils darauf, ob es eine oder zwei Lösungen gibt. - Was sagt die Anzahl der gleichen Lösungen über die Vielfachheit aus? - Vergiss nicht den Streckfaktor vor dem höchsten Exponenten beim Aufschreiben der Produktform.

1. Abspaltung des bekannten Linearfaktors: Durchführung der Polynomdivision \((4x^3 - 8x^2 - 11x - 3) : (x - 3)\) ergibt den quadratischen Term \(4x^2 + 4x + 1\). 2. Bestimmung der weiteren Nullstellen: Lösen der Gleichung \(4x^2 + 4x + 1 = 0\). Dies entspricht der binomischen Formel \((2x + 1)^2 = 0\). Daraus folgt die weitere Nullstelle \(x_2 = -0{,}5\). 3. Bestimmung der Vielfachheiten: Da der Faktor \((2x + 1)\) im Quadrat vorkommt, ist \(x_2 = -0{,}5\) eine doppelte Nullstelle. Die Nullstelle \(x_1 = 3\) ist eine einfache Nullstelle. 4. Aufstellen der Produktform: Unter Berücksichtigung des Leitkoeffizienten \(4\) ergibt sich \(g(x) = 4 \cdot (x - 3) \cdot (x + 0{,}5)^2\) oder alternativ \(g(x) = (x - 3)(2x + 1)^2\).

Weitere Nullstelle: \(x_2 = -0{,}5\) (doppelte Nullstelle); \(x_1 = 3\) (einfache Nullstelle). Produktform: \(g(x) = 4(x - 3)(x + 0{,}5)^2\) oder \(g(x) = (x - 3)(2x + 1)^2\).

- Beginne mit kleinen ganzzahligen Werten wie \(1, -1, 2\) oder \(-2\), um die erste Nullstelle zu finden. - Nachdem du eine Nullstelle gefunden hast, hilft dir die Polynomdivision, den Grad der Funktion zu reduzieren. - Schau dir den verbleibenden quadratischen Teil genau an – erinnert er dich an eine binomische Formel? - Die Vielfachheit einer Nullstelle erkennst du an dem Exponenten des entsprechenden Linearfaktors.

1. Suche einer Nullstelle durch Probieren: \(g(1) = 1^3 - 5 \cdot 1^2 + 8 \cdot 1 - 4 = 1 - 5 + 8 - 4 = 0\). Damit ist \(x_1 = 1\) eine Nullstelle. 2. Durchführung der Polynomdivision: \((x^3 - 5x^2 + 8x - 4) : (x - 1) = x^2 - 4x + 4\). 3. Untersuchung des quadratischen Terms: \(x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2\) (Anwendung der zweiten binomischen Formel). 4. Aufstellen der Linearfaktordarstellung: \(g(x) = (x - 1) \cdot (x - 2)^2\). 5. Bestimmung der Nullstellen und Vielfachheiten: \(x_1 = 1\) ist eine einfache Nullstelle, \(x_2 = 2\) ist eine doppelte Nullstelle.

Die Linearfaktordarstellung lautet \(g(x) = (x - 1)(x - 2)^2\). Die Nullstellen sind \(x_1 = 1\) (einfach) und \(x_2 = 2\) (zweifach).

- Wenn du zwei Nullstellen kennst, wie oft musst du die Polynomdivision nacheinander anwenden, um zu einem quadratischen Term zu gelangen? - Achte beim Aufstellen der Linearfaktoren für die Division besonders auf die Vorzeichen der Nullstellen. - Gibt es eine bestimmte Reihenfolge, in der du die bekannten Nullstellen verwenden musst? - Welche Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen kennst du?

1. Erste Polynomdivision des Terms \(x^4 - 4x^3 - 7x^2 + 22x + 24\) durch den Linearfaktor \((x + 2)\) zur ersten bekannten Nullstelle. Dies ergibt den Term \(x^3 - 6x^2 + 5x + 12\). 2. Zweite Polynomdivision des resultierenden Terms dritten Grades durch den Linearfaktor \((x - 3)\) zur zweiten bekannten Nullstelle. Das Ergebnis ist der quadratische Term \(x^2 - 3x - 4\). 3. Bestimmung der Nullstellen der quadratischen Gleichung \(x^2 - 3x - 4 = 0\) mithilfe der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x = \frac{3}{2} \pm \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + 4}\). 4. Dies führt zu den fehlenden Nullstellen \(x_3 = 4\) und \(x_4 = -1\).

Die restlichen Nullstellen sind \(x_3 = 4\) und \(x_4 = -1\).

- Kannst du eine erste Nullstelle durch Ausprobieren kleiner ganzer Zahlen finden? - Wenn du eine Nullstelle \(a\) gefunden hast, durch welchen Term lässt sich die Funktion dann ohne Rest teilen? - Welches Verfahren hilft dir, den Grad der Funktion schrittweise zu reduzieren? - Hast du alle Nullstellen gefunden, die für eine vollständige Zerlegung nötig sind?

1. Suchen einer ganzzahligen Nullstelle durch Testen der Teiler des absoluten Glieds \(6\): \(g(-1) = (-1)^3 - 4(-1)^2 + (-1) + 6 = -1 - 4 - 1 + 6 = 0\). Somit ist \(x_1 = -1\) eine Nullstelle. 2. Abspalten des entsprechenden Linearfaktors \((x + 1)\) mittels Polynomdivision: \((x^3 - 4x^2 + x + 6) : (x + 1) = x^2 - 5x + 6\). 3. Bestimmen der Nullstellen des resultierenden quadratischen Terms \(x^2 - 5x + 6 = 0\) über die pq-Formel oder den Satz von Vieta: \(x_{2,3} = \frac{5}{2} \pm \sqrt{(\frac{5}{2})^2 - 6} = 2{,}5 \pm 0{,}5\). Dies ergibt \(x_2 = 2\) und \(x_3 = 3\). 4. Zusammenfügen aller Linearfaktoren: \(g(x) = (x + 1)(x - 2)(x - 3)\).

\(g(x) = (x + 1)(x - 2)(x - 3)\)

- Kannst du den ersten Term so ergänzen, dass ein Teil davon eine binomische Formel bildet? - Gibt es einen Wert, den du für die Variable einsetzen kannst, damit der gesamte Ausdruck Null ergibt? - Wenn du eine Nullstelle gefunden hast, wie hilft dir die Polynomdivision weiter? - Erinnerst du dich an die binomischen Formeln für quadratische Ausdrücke?

1. Ergänzung zum vollständigen Quadrat: Der Term \(x^4 + 3x^2 + 4\) wird durch Hinzuaddieren und Subtrahieren von \(x^2\) umgeformt zu \((x^4 + 4x^2 + 4) - x^2\). Dies entspricht \((x^2 + 2)^2 - x^2\). Anwendung der dritten binomischen Formel ergibt \((x^2 + 2 - x)(x^2 + 2 + x)\), also \((x^2 - x + 2)(x^2 + x + 2)\). Da die Diskriminanten der quadratischen Faktoren negativ sind (\(1 - 8 = -7\)), ist keine weitere Zerlegung in reelle Linearfaktoren möglich. 2. Suche einer Nullstelle durch Probieren: Für \(z = -2\) ergibt sich \((-2)^3 - 6 \cdot (-2)^2 + 32 = -8 - 24 + 32 = 0\). Division des Polynoms durch \((z + 2)\) mittels Polynomdivision oder Horner-Schema ergibt den quadratischen Restterm \(z^2 - 8z + 16\). Dieser lässt sich mit der zweiten binomischen Formel zu \((z - 4)^2\) faktorisieren. Die vollständige Zerlegung lautet \((z + 2)(z - 4)^2\).

1) \((x^2 - x + 2)(x^2 + x + 2)\) 2) \((z + 2)(z - 4)^2\)

- Schau dir alle Summanden an: Gibt es eine Potenz von \(n\), die in jedem Glied enthalten ist? - Versuche, die Glieder in der Klammer paarweise zusammenzufassen. - Erkennst du in einem der Faktoren eine binomische Formel wieder? - Wie viele Linearfaktoren erwartest du bei einem Term fünften Grades maximal?

1. Ausklammern des größtmöglichen gemeinsamen Faktors \(n^2\): \(n^2(n^3 + n^2 - 4n - 4)\). 2. Faktorisierung des verbleibenden kubischen Terms durch Gruppierung: \(n^3 + n^2 - 4n - 4 = n^2(n+1) - 4(n+1)\). 3. Herausheben des gemeinsamen Faktors \((n+1)\): \((n^2-4)(n+1)\). 4. Anwendung der dritten binomischen Formel auf den Term \((n^2-4)\): \((n-2)(n+2)\). 5. Zusammenführen aller Faktoren zur vollständigen Linearfaktorzerlegung: \(n^2(n+1)(n-2)(n+2)\).

\(n^2(n+1)(n-2)(n+2)\)

- Nutze die dritte binomische Formel mehrfach, um Terme wie \(x^4-1\) zu faktorisieren. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du einen Term innerhalb eines Quadrats mit \(-1\) multiplizierst? - Achte darauf, ob ein quadratischer Faktor wie \((x^2+1)\) im Reellen weiter zerlegt werden kann. - Die Vielfachheit einer Nullstelle erkennst du am Exponenten des Linearfaktors in der Produktdarstellung.

1. Funktionswerte: Für \(x = 1\) liefern alle Funktionen den Wert \(0\). Für \(x = 0\) gilt: \(g_1(0) = 1\), \(g_2(0) = -1\), \(g_3(0) = 1\), \(g_4(0) = 1\), \(g_5(0) = -1\). 2. Nullstellen und Vielfachheiten: \(g_1, g_3, g_4\) lassen sich als \(((x-1)(x+1))^2 = (x-1)^2(x+1)^2\) schreiben. Sie haben die Nullstellen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\), jeweils mit der Vielfachheit 2. \(g_2\) und \(g_5\) lassen sich als \((x^2-1)(x^2+1) = (x-1)(x+1)(x^2+1)\) schreiben. Da \(x^2+1 = 0\) keine reellen Lösungen hat, sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\) die einzigen reellen Nullstellen, jeweils mit der Vielfachheit 1. 3. Identität: \(g_1 = g_3 = g_4\), da \((x^2-1)^2 = (-(1-x^2))^2 = (1-x^2)^2\) und \((x^2-1)^2 = ((x-1)(x+1))^2 = (x-1)^2(x+1)^2\). Zudem ist \(g_2 = g_5\), da \(x^4 - 1 = (x^2-1)(x^2+1) = (x-1)(x+1)(x^2+1)\) nach der dritten binomischen Formel.

a) \(g_1(1)=g_2(1)=g_3(1)=g_4(1)=g_5(1)=0\); \(g_1(0)=1, g_2(0)=-1, g_3(0)=1, g_4(0)=1, g_5(0)=-1\). b) \(g_1, g_3, g_4\): \(x = 1\) (2-fach), \(x = -1\) (2-fach); \(g_2, g_5\): \(x = 1\) (1-fach), \(x = -1\) (1-fach). c) \(g_1 = g_3 = g_4\) und \(g_2 = g_5\).

- Bei Funktionen dritten Grades hilft es oft, eine erste Lösung durch Ausprobieren kleiner ganzzahliger Werte zu finden. - Welche Zahlen kommen als mögliche ganzzahlige Nullstellen infrage, wenn man sich das letzte Glied der Gleichung ansieht? - Wenn du eine Nullstelle gefunden hast, wie kannst du den Grad der Gleichung verringern, um die restlichen Stellen zu finden? - Erinnerst du dich an ein Verfahren, um ein Polynom durch einen Term der Form \((x - x_0)\) zu teilen?

1. Finden einer ersten Nullstelle durch systematisches Probieren von Teiler des Absolutglieds \(10\): \(h(1) = 1^3 - 4 \cdot 1^2 - 7 \cdot 1 + 10 = 1 - 4 - 7 + 10 = 0\). Somit ist \(x_1 = 1\) eine Nullstelle. 2. Reduktion des Grades der Funktion durch Polynomdivision: \((x^3 - 4x^2 - 7x + 10) : (x - 1)\). 3. Durchführung der Division: \(x^3 : x = x^2\); \((x^3 - x^2)\) subtrahieren ergibt \(-3x^2 - 7x\); \(-3x^2 : x = -3x\); \((-3x^2 + 3x)\) subtrahieren ergibt \(-10x + 10\); \(-10x : x = -10\). Das Ergebnis ist \(x^2 - 3x - 10\). 4. Bestimmung der weiteren Nullstellen durch Lösen von \(x^2 - 3x - 10 = 0\) mit der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x_{2,3} = 1{,}5 \pm \sqrt{2{,}25 + 10} = 1{,}5 \pm \sqrt{12{,}25} = 1{,}5 \pm 3{,}5\). 5. Ergebnisse: \(x_2 = 5\) und \(x_3 = -2\).

Die Nullstellen der Funktion \(h\) sind \(x_1 = 1\), \(x_2 = 5\) und \(x_3 = -2\).

- Beginne damit, die Teiler der Zahl ohne \(x\) am Ende des Funktionsterms zu prüfen. - Hast du eine Nullstelle \(a\) gefunden, kannst du durch \((x - a)\) teilen. - Wiederhole den Vorgang so lange, bis du bei einer Funktion zweiten Grades angelangt bist. - Denke daran, dass du für jede gefundene Nullstelle eine neue Division durchführen kannst.

1. Mögliche ganzzahlige Nullstellen sind Teiler von \(-6\): \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\). 2. Durch Einsetzen werden die Nullstellen \(x_1 = 1\), \(x_2 = -1\) und \(x_3 = 2\) gefunden. 3. Erste Polynomdivision: \((x^5 - 2x^4 - 4x^3 + 8x^2 + 3x - 6) : (x - 1) = x^4 - x^3 - 5x^2 + 3x + 6\). 4. Zweite Polynomdivision: \((x^4 - x^3 - 5x^2 + 3x + 6) : (x + 1) = x^3 - 2x^2 - 3x + 6\). 5. Dritte Polynomdivision: \((x^3 - 2x^2 - 3x + 6) : (x - 2) = x^2 - 3\). 6. Bestimmung der restlichen Nullstellen aus \(x^2 - 3 = 0\) führt zu \(x_{4,5} = \pm \sqrt{3}\).

Die Nullstellen der Funktion sind \(x_1 = 1\), \(x_2 = -1\), \(x_3 = 2\), \(x_4 = \sqrt{3}\) und \(x_5 = -\sqrt{3}\).

- Kannst du einen gemeinsamen Faktor ausklammern, um den Grad des restlichen Terms zu verringern? - Erinnerst du dich an die binomischen Formeln? Sie helfen oft dabei, quadratische Ausdrücke weiter zu zerlegen. - Eine Nullstelle ist genau dann mehrfach, wenn der zugehörige Linearfaktor in der faktorisierten Form mehrfach vorkommt. - Unterscheide zwischen geraden Vielfachheiten (Graph berührt die Achse) und ungeraden Vielfachheiten (Graph schneidet die Achse).

1. Analyse von \( f(x) \): Ausklammern von \( x \) führt zu \( x(x^2 - 4) \). Mit der dritten binomischen Formel ergibt sich \( f(x) = x(x - 2)(x + 2) \). Nullstellen: \( x_1 = 0 \), \( x_2 = 2 \), \( x_3 = -2 \). Alle sind einfach (Vielfachheit 1), daher liegt an jeder Stelle ein VZW vor. 2. Analyse von \( g(x) \): Ausklammern von \( x^2 \) führt zu \( x^2(x^2 - 2x + 1) \). Mit der zweiten binomischen Formel ergibt sich \( g(x) = x^2(x - 1)^2 \). Nullstellen: \( x_1 = 0 \) (zweifach, kein VZW) und \( x_2 = 1 \) (zweifach, kein VZW). 3. Analyse von \( h(x) \): Faktorisierung der Klammer \( (x^2 - 9) \) ergibt \( (x - 3)(x + 3) \). Zusammengefasst lautet die Funktion \( h(x) = (x - 3)(x + 3)^2 \). Nullstellen: \( x_1 = 3 \) (einfach, VZW) und \( x_2 = -3 \) (zweifach, kein VZW).

a) \( f(x) = x(x-2)(x+2) \); Nullstellen: \( 0; 2; -2 \) (alle einfach, jeweils mit VZW) b) \( g(x) = x^2(x-1)^2 \); Nullstellen: \( 0 \) (zweifach, kein VZW); \( 1 \) (zweifach, kein VZW) c) \( h(x) = (x-3)(x+3)^2 \); Nullstellen: \( 3 \) (einfach, VZW); \( -3 \) (zweifach, kein VZW)

- Welche Auswirkung hat die Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse auf die Exponenten der Variable \(x\)? - Wie kannst du sicherstellen, dass eine Funktion keine Nullstellen hat? Denke an einfache Potenzen und Verschiebungen. - Wenn eine Funktion einen ungeraden Grad hat, wie viele Nullstellen muss sie mindestens haben? - Nutze die Vielfachheit von Nullstellen, um die Bedingung für den Grad der Funktion zu erfüllen.

1. Für Teilaufgabe a): Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse bedeutet, dass im Funktionsterm nur gerade Exponenten auftreten dürfen. Da \(x = 3\) und \(x = -3\) Nullstellen sind, ist \((x^2 - 9)\) ein Faktor. Um Grad 4 zu erreichen und keine weiteren Nullstellen zu erzeugen, kann man diesen Faktor quadrieren: \(f(x) = (x^2 - 9)^2 = x^4 - 18x^2 + 81\). 2. Für Teilaufgabe b): Grad 5 mit drei Nullstellen erfordert, dass die Summe der Vielfachheiten der Nullstellen 5 ergibt. Ein möglicher Ansatz mit den gegebenen Nullstellen ist \(f(x) = x \cdot (x + 2)^2 \cdot (x - 2)^2\). Hier ist \(x=0\) eine einfache und \(x = \pm 2\) jeweils eine doppelte Nullstelle. 3. Für Teilaufgabe c): Eine ganzrationale Funktion 4. Grades ohne Nullstellen muss stets oberhalb oder stets unterhalb der \(x\)-Achse verlaufen. Ein einfacher Term ist \(f(x) = x^4 + 1\), da \(x^4 \geq 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt und somit \(f(x) \geq 1\).

Mögliche Funktionsterme sind: a) \(f(x) = (x^2 - 9)^2\) oder \(f(x) = x^4 - 18x^2 + 81\) b) \(f(x) = x(x + 2)^2(x - 2)^2\) c) \(f(x) = x^4 + 1\)