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- Wann wird ein Produkt aus mehreren Klammern oder Faktoren insgesamt null? - Wie erkennst du an der Form des Funktionsterms, ob eine Nullstelle einfach, doppelt oder dreifach vorkommt? - Überlege bei Ausdrücken wie \(x^2 + a\), ob es eine reelle Zahl gibt, deren Quadrat negativ ist. - Was bedeutet ein Exponent an einer Klammer für die Vielfachheit der dazugehörigen Nullstelle?

1. Anwendung des Satzes vom Nullprodukt: Ein Produkt ist null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist. 2. Teilaufgabe a): Der Faktor \((x - 3)\) führt zur Nullstelle \(x_1 = 3\) (einfach, da der Exponent der Klammer 1 ist). Der Faktor \((x + 8)^2\) führt zur Nullstelle \(x_2 = -8\) (doppelt, da der Exponent der Klammer 2 ist). 3. Teilaufgabe b): Der Faktor \(-x^2\) führt zur Nullstelle \(x_1 = 0\) (doppelt). Der Faktor \((x - 0{,}4)\) führt zur Nullstelle \(x_2 = 0{,}4\) (einfach). 4. Teilaufgabe c): Der Faktor \((x^2 + 16)\) hat keine reellen Nullstellen, da \(x^2 = -16\) für reelle Zahlen unlösbar ist. Der Faktor \(x\) führt zur Nullstelle \(x = 0\) (einfach).

a) \(x_1 = 3\) (einfach); \(x_2 = -8\) (doppelt) b) \(x_1 = 0\) (doppelt); \(x_2 = 0{,}4\) (einfach) c) \(x = 0\) (einfach); keine weiteren reellen Nullstellen

- Überlege, ob du einen gemeinsamen Faktor aus allen Termen ausklammern kannst. - Wenn ein Produkt null ist, muss mindestens einer der Faktoren null sein. - Für den verbleibenden quadratischen Teil kannst du ein bekanntes Lösungsverfahren wie die \(p\)-\(q\)-Formel nutzen. - Die Vielfachheit gibt an, wie oft ein Faktor in der vollständig faktorisierten Form vorkommt.

1. Ansatz für die Nullstellen: \(f(x) = 0\), also \(x^3 + 3x^2 - 10x = 0\). 2. Ausklammern von \(x\): \(x \cdot (x^2 + 3x - 10) = 0\). Daraus folgt die erste Nullstelle \(x_1 = 0\). 3. Lösen der quadratischen Gleichung \(x^2 + 3x - 10 = 0\) (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): \(x_{2,3} = -1{,}5 \pm \sqrt{1{,}5^2 + 10} = -1{,}5 \pm \sqrt{12{,}25} = -1{,}5 \pm 3{,}5\). 4. Dies ergibt die weiteren Nullstellen \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -5\). 5. Da alle drei Nullstellen verschieden sind und die Funktion den Grad 3 hat, handelt es sich jeweils um einfache Nullstellen (Vielfachheit 1).

Die Nullstellen sind \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -5\). Alle drei sind einfache Nullstellen (Vielfachheit 1).

- Überlege dir, wie viele Nullstellen gegeben sind und was das für den Grad der Funktion bedeutet. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Nullstellen einer Funktion und ihren Linearfaktoren. - Wie kannst du aus den einzelnen Faktoren die gesamte Funktionsgleichung aufstellen? - Ist in der Aufgabenstellung eine bestimmte Form der Funktionsgleichung (z. B. ausmultipliziert) gefordert?

1. Da die Funktion genau drei einfache Nullstellen besitzen soll, ist der kleinstmögliche Grad der Funktion \(n = 3\). 2. Jede Nullstelle \(x_i\) korrespondiert mit einem Linearfaktor der Form \((x - x_i)\). 3. Für die gegebenen Nullstellen ergeben sich die Faktoren \(x\), \((x + 5)\) und \((x - 1{,}5)\). 4. Die Funktionsgleichung in faktorisierter Form lautet \(f(x) = ax(x + 5)(x - 1{,}5)\). Da eine beliebige Funktion gesucht ist, kann \(a = 1\) gewählt werden. 5. Ausmultiplizieren der Klammern führt zu \(f(x) = x(x^2 + 3{,}5x - 7{,}5) = x^3 + 3{,}5x^2 - 7{,}5x\).

\(f(x) = x(x + 5)(x - 1{,}5)\) (oder ausmultipliziert: \(f(x) = x^3 + 3{,}5x^2 - 7{,}5x\))

- Was bedeutet die Hochzahl (der Exponent) an einer Klammer für die Vielfachheit der Nullstelle? - Wie verhält sich ein Graph an einer Nullstelle, wenn die Vielfachheit gerade oder ungerade ist? - Überlege dir, ob der Graph die Seite der \(x\)-Achse wechselt oder auf derselben Seite bleibt. - Erinnerst du dich an den Unterschied zwischen einem einfachen Schnittpunkt und einem Berührpunkt?

1. Bestimmung der Vielfachheit der Nullstelle \(x = 5\) für alle Funktionen: \(f\) hat die Vielfachheit 1, \(g\) die Vielfachheit 2 und \(h\) die Vielfachheit 3. 2. Analyse von \(f\): Da die Vielfachheit 1 (ungerade) ist, schneidet der Graph die \(x\)-Achse an der Stelle \(x = 5\) mit einem Vorzeichenwechsel der Funktionswerte. 3. Analyse von \(g\): Da die Vielfachheit 2 (gerade) ist, berührt der Graph die \(x\)-Achse an der Stelle \(x = 5\) ohne Vorzeichenwechsel; es liegt ein lokaler Extrempunkt vor. 4. Analyse von \(h\): Da die Vielfachheit 3 (ungerade und \(> 1\)) ist, schneidet der Graph die \(x\)-Achse mit einem Vorzeichenwechsel, weist jedoch eine waagerechte Tangente auf (Terrassenpunkt).

Bei \(f(x)\) schneidet der Graph die \(x\)-Achse bei \(x = 5\) (einfache Nullstelle mit Vorzeichenwechsel). Bei \(g(x)\) berührt der Graph die \(x\)-Achse bei \(x = 5\) nur (doppelte Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel). Bei \(h(x)\) liegt an der Stelle \(x = 5\) ein Terrassenpunkt vor (dreifache Nullstelle mit Vorzeichenwechsel).

- Kannst du einen gemeinsamen Faktor aus allen Summanden ausklammern? - Wenn ein Produkt aus mehreren Klammern besteht, wann wird das Gesamtergebnis null? - Erinnerst du dich an ein Verfahren, um quadratische Gleichungen der Form \(x^2 + px + q = 0\) zu lösen? - Wie löst man eine Gleichung, in der nur \(x^2\) und eine Zahl vorkommen?

1. Teilaufgabe a): Ausklammern von \(x\) führt zu \(x \cdot (x^2 - 4x - 12) = 0\). Die erste Nullstelle ist \(x_1 = 0\). Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel auf den quadratischen Term \(x^2 - 4x - 12 = 0\) ergibt \(x_{2,3} = 2 \pm \sqrt{4 + 12}\), also \(x_2 = 6\) und \(x_3 = -2\). 2. Teilaufgabe b): Anwendung des Satzes vom Nullprodukt. Der erste Faktor \(x^2 - 5 = 0\) liefert durch Wurzelziehen \(x_1 = \sqrt{5}\) und \(x_2 = -\sqrt{5}\). Der zweite Faktor \(x + 3 = 0\) führt direkt zur Nullstelle \(x_3 = -3\).

a) \(x_1 = 0\); \(x_2 = 6\); \(x_3 = -2\) b) \(x_1 = \sqrt{5} \approx 2{,}24\); \(x_2 = -\sqrt{5} \approx -2{,}24\); \(x_3 = -3\)

- Wenn eine Zahl \(a\) eine Nullstelle einer Funktion ist, welcher Faktor muss dann im Funktionsterm vorkommen? - Wie kannst du aus mehreren gewünschten Nullstellen eine einzige Funktionsgleichung zusammenstellen? - Denke an die Linearfaktordarstellung \(f(x) = a \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2) \cdot \dots\). - Reicht es aus, ein einziges funktionierendes Beispiel zu finden, um die Unmöglichkeit zu widerlegen?

1. Nutzung des Satzes über die Linearfaktordarstellung: Eine ganzrationale Funktion kann durch das Produkt ihrer Linearfaktoren \((x - x_n)\) dargestellt werden, wobei \(x_n\) die Nullstellen sind. 2. Aufstellen der Faktoren für die gegebenen Werte: \((x + 2)\), \((x + 1)\), \((x - 0)\) bzw. \(x\), \((x - 1)\) und \((x - 2)\). 3. Bildung des Produkts: \(f(x) = x \cdot (x + 2) \cdot (x + 1) \cdot (x - 1) \cdot (x - 2)\). 4. Da dieses Produkt eine gültige ganzrationale Funktion (hier 5. Grades) definiert, die genau die geforderten Nullstellen besitzt, ist die Existenz bewiesen und die ursprüngliche Aussage widerlegt.

Die Aussage ist falsch. Eine mögliche Funktion in faktorisierter Form ist: \(f(x) = x \cdot (x + 2) \cdot (x + 1) \cdot (x - 1) \cdot (x - 2)\) Diese ganzrationale Funktion 5. Grades hat genau die geforderten Nullstellen.

- Unterscheide zwischen geraden und ungeraden Exponenten. - Überlege, wie viele Lösungen möglich sind, wenn die Zahl auf der rechten Seite positiv oder negativ ist. - Bei einem geraden Exponenten musst du an das Plus-Minus-Zeichen beim Wurzelziehen denken. - Wurzeln aus negativen Zahlen sind bei ungeraden Exponenten im Bereich der reellen Zahlen definiert.

1. Für \(x^4 = 2401\) wird die vierte Wurzel gezogen. Da der Exponent gerade ist, gibt es zwei reelle Lösungen: \(x = \pm \sqrt[4]{2401} = \pm 7\). Somit ist \(L = \{-7; 7\}\). 2. Für \(x^5 = -32\) wird die fünfte Wurzel gezogen. Da der Exponent ungerade ist, existiert genau eine reelle Lösung: \(x = \sqrt[5]{-32} = -2\). Somit ist \(L = \{-2\}\). 3. Für \(x^6 = 4096\) wird die sechste Wurzel gezogen. Da der Exponent gerade ist, gibt es zwei reelle Lösungen: \(x = \pm \sqrt[6]{4096} = \pm 4\). Somit ist \(L = \{-4; 4\}\).

a) \(L = \{-7; 7\}\) b) \(L = \{-2\}\) c) \(L = \{-4; 4\}\)

- Überlege dir, wie der Graph einer Potenzfunktion mit geradem bzw. ungeradem Exponenten aussieht. - Welche Werte kann eine Potenz mit geradem Exponenten annehmen? - Wie viele Stellen gibt es, an denen eine waagerechte Gerade den Graphen einer Potenzfunktion mit geradem bzw. ungeradem Exponenten schneiden kann? - Unterscheide stets, ob der Exponent gerade oder ungerade ist und welches Vorzeichen die Konstante hat.

1. Die Anzahl der Schnittpunkte entspricht der Anzahl der reellen Lösungen der Gleichung \(x^n = c\). 2. Fall a): \(n = 4\) (gerade) und \(c = 15 > 0\). Eine Potenzgleichung mit geradem Exponenten und positivem Wert auf der rechten Seite hat genau 2 reelle Lösungen. Ergebnis: 2 Schnittpunkte. 3. Fall b): \(n = 6\) (gerade) und \(c = -1 < 0\). Da Potenzen mit geraden Exponenten für reelle Zahlen niemals negativ sind, gibt es keine Lösung. Ergebnis: 0 Schnittpunkte. 4. Fall c): \(n = 3\) (ungerade). Potenzgleichungen mit ungeraden Exponenten haben für jedes \(c \in \mathbb{R}\) genau eine reelle Lösung. Ergebnis: 1 Schnittpunkt. 5. Fall d): \(n = 10\) (gerade) und \(c = 0\). Die einzige Lösung für \(x^{10} = 0\) ist \(x = 0\). Ergebnis: 1 Schnittpunkt.

a) 2 Schnittpunkte b) 0 Schnittpunkte c) 1 Schnittpunkt d) 1 Schnittpunkt

- Überlege dir bei jeder Teilaufgabe, welche Form der Funktionsgleichung vorliegt. - Wenn ein Produkt gleich null ist, muss mindestens einer der Faktoren null sein. - Kannst du einen gemeinsamen Faktor aus allen Summanden herausziehen? - Erinnere dich an die Formel für quadratische Gleichungen in der Normalform \(x^2 + px + q = 0\). - Wenn nur ein quadratischer Term und eine Zahl vorkommen, kannst du die Gleichung direkt nach \(x\) auflösen.

1. Für \(f(x) = (x - 6)(x + 4)\) wird der Satz vom Nullprodukt angewendet: Die Faktoren werden einzeln null gesetzt. Dies ergibt \(x_1 = 6\) und \(x_2 = -4\). 2. Bei \(g(x) = x^2 - 5x\) wird \(x\) ausgeklammert: \(x(x - 5) = 0\). Daraus folgen die Nullstellen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 5\). 3. Für \(h(x) = x^2 - 4x - 12\) wird die \(p\)-\(q\)-Formel mit \(p = -4\) und \(q = -12\) genutzt: \(x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{4 + 12} = 2 \pm 4\). Die Nullstellen sind \(x_1 = 6\) und \(x_2 = -2\). 4. Bei \(k(x) = 4x^2 - 16\) führt das Umstellen \(4x^2 = 16 \iff x^2 = 4\) zu den Lösungen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\).

a) \(x_1 = 6\); \(x_2 = -4\) b) \(x_1 = 0\); \(x_2 = 5\) c) \(x_1 = 6\); \(x_2 = -2\) d) \(x_1 = 2\); \(x_2 = -2\)

- Überlege, welche bekannte Formel für \((a+b)^3\) dir hier weiterhelfen könnte. - Was bedeutet es für die Nullstelle, wenn ein Term als Potenz wie \((x-c)^n\) geschrieben werden kann? - Achte darauf, wie oft derselbe Linearfaktor in der Produktform vorkommt.

1. Durch Anwendung der ersten kubischen binomischen Formel \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) erkennt man mit \(a=x\) und \(b=1\), dass \(f(x) = (x + 1)^3\) gilt. 2. Zur Bestimmung der Nullstelle wird der Ansatz \(f(x) = 0\) gewählt. Aus \((x + 1)^3 = 0\) folgt \(x + 1 = 0\), also \(x = -1\). Da der zugehörige Linearfaktor \((x + 1)\) in der dritten Potenz auftritt, ist \(x = -1\) eine dreifache Nullstelle (Vielfachheit 3).

1. \(f(x) = (x + 1)^3\) 2. Nullstelle: \(x = -1\) mit der Vielfachheit 3.

- Erinnere dich an die dritte binomische Formel, um den Term schrittweise zu zerlegen. - Wie viele reelle Lösungen hat eine Gleichung der Form \(x^4 = a\) für positive \(a\)? - Prüfe, ob ein quadratischer Faktor über den reellen Zahlen noch weiter zerlegt werden kann.

1. Der Ansatz \(x^4 - 81 = 0\) führt auf \(x^4 = 81\). Durch Ziehen der vierten Wurzel ergeben sich die reellen Lösungen \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\). 2. Unter Verwendung der dritten binomischen Formel \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) lässt sich \(f(x)\) zunächst als \((x^2)^2 - 9^2 = (x^2 - 9)(x^2 + 9)\) schreiben. Erneutes Anwenden auf den ersten Faktor ergibt \(f(x) = (x - 3)(x + 3)(x^2 + 9)\). Da die Faktoren \((x-3)\) und \((x+3)\) jeweils nur einmal vorkommen, haben die Nullstellen \(x = 3\) und \(x = -3\) jeweils die Vielfachheit 1. Der Faktor \((x^2 + 9)\) hat im Reellen keine Nullstellen.

1. Reelle Nullstellen: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -3\). 2. Faktorisierte Form: \(f(x) = (x - 3)(x + 3)(x^2 + 9)\); beide Nullstellen haben die Vielfachheit 1.

- Welche Bedingung muss für die Funktionswerte an den Nullstellen gelten? - Wie kannst du die Gleichung so umformen, dass die Potenz allein auf einer Seite steht? - Überlege dir, wie viele Lösungen eine Gleichung der Form \(x^n = a\) haben kann, wenn \(n\) gerade ist. - Welche Rechenoperation ist die Umkehrung zum Potenzieren mit 4?

1. Den Funktionsterm gleich Null setzen: \(0{,}5x^4 - 8 = 0\). 2. Die Gleichung nach \(x^4\) auflösen: \(0{,}5x^4 = 8 \Rightarrow x^4 = 16\). 3. Die vierte Wurzel ziehen: \(x = \pm \sqrt[4]{16}\). 4. Da der Exponent gerade ist, gibt es zwei Lösungen: \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\).

Die Nullstellen sind \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\).

- Was musst du für \(g(x)\) einsetzen, um eine Nullstelle zu finden? - Isoliere zuerst den Term mit der Unbekannten. - Erinnere dich daran, wie man eine Potenzgleichung mit ungeradem Exponenten löst. - Kann man aus einer negativen Zahl eine ungerade Wurzel ziehen?

1. Den Funktionsterm gleich Null setzen: \(-2x^3 - 250 = 0\). 2. Die Gleichung nach \(x^3\) isolieren: \(-2x^3 = 250 \Rightarrow x^3 = -125\). 3. Die dritte Wurzel (Kubikwurzel) ziehen: \(x = \sqrt[3]{-125}\). 4. Da der Exponent ungerade ist, ergibt sich genau eine reelle Lösung: \(x = -5\).

Die Nullstelle ist \(x = -5\).

- Gibt es einen gemeinsamen Faktor in allen Gliedern, den du zuerst ausklammern kannst? - Erkennst du in der verbleibenden Klammer eine binomische Formel? - Wie hängen die Exponenten in der faktorisierten Form mit der Vielfachheit der Nullstellen zusammen?

1. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(2x^2\): \(f(x) = 2x^2(x^2 - 6x + 9)\). 2. Anwendung der zweiten binomischen Formel auf die Klammer: \(x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2\). 3. Vollständige faktorisierte Form: \(f(x) = 2x^2(x - 3)^2\). 4. Bestimmung der Nullstellen durch Nullsetzen der Faktoren: \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 3\). 5. Bestimmung der Vielfachheiten anhand der Exponenten der Linearfaktoren: Da beide Faktoren im Quadrat stehen, ist \(x_1 = 0\) eine doppelte Nullstelle (Vielfachheit 2) und \(x_2 = 3\) ebenfalls eine doppelte Nullstelle (Vielfachheit 2).

a) \(f(x) = 2x^2(x - 3)^2\) b) Nullstellen: \(x_1 = 0\) mit Vielfachheit 2; \(x_2 = 3\) mit Vielfachheit 2.

- Wie gehst du vor, wenn du die Stellen suchst, an denen der Funktionswert Null ist? - Erinnerst du dich an die binomischen Formeln? Sie können beim Faktorisieren sehr hilfreich sein. - Was sagt die Hochzahl am Linearfaktor über die Art der Nullstelle aus? - Überlege, ob der Graph die Achse an der Nullstelle schneidet oder nur berührt.

1. Zur Berechnung der Nullstellen wird die Gleichung \(0{,}5x^2 - 4x + 8 = 0\) gelöst. Durch Multiplikation mit \(2\) ergibt sich \(x^2 - 8x + 16 = 0\). 2. Anwendung der zweiten binomischen Formel führt auf \((x - 4)^2 = 0\), woraus die einzige Nullstelle \(x = 4\) folgt. 3. Die Linearfaktordarstellung lautet \(f(x) = 0{,}5(x - 4)(x - 4)\) bzw. \(f(x) = 0{,}5(x - 4)^2\). 4. Da der Faktor \((x - 4)\) doppelt vorkommt, ist die Vielfachheit der Nullstelle \(2\). Dies bedeutet geometrisch, dass der Graph die \(x\)-Achse an der Stelle \(x = 4\) berührt und dort ein Extrempunkt (Scheitelpunkt) liegt.

a) Die Nullstelle ist \(x = 4\). b) \(f(x) = 0{,}5(x - 4)^2\) c) Die Vielfachheit ist \(2\). Der Graph berührt die \(x\)-Achse im Punkt \((4 | 0)\), ohne sie zu schneiden.

- Überlege dir, welchen Wert das Ergebnis einer Rechnung haben muss, damit man von einer „Null“-Stelle spricht. - Wann wird ein Produkt aus zwei Klammern insgesamt null? - Gibt es eine Formel, mit der du die Lösungen für den quadratischen Teil direkt berechnen kannst?

1. Definition: Ein Wert \(x_0\) ist eine Nullstelle der Funktion \(f\), wenn der Funktionswert an dieser Stelle gleich null ist, also die Bedingung \(f(x_0) = 0\) erfüllt ist. 2. Anwendung des Satzes vom Nullprodukt auf \(g(x) = (x + 5) \cdot (x^2 - 4x - 12) = 0\). 3. Untersuchung des ersten Faktors: \(x + 5 = 0 \Rightarrow x_1 = -5\). 4. Untersuchung des zweiten Faktors: \(x^2 - 4x - 12 = 0\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung mit der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x_{2,3} = - \frac{-4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2 - (-12)} = 2 \pm \sqrt{4 + 12} = 2 \pm 4\). 6. Ergebnisse der quadratischen Gleichung: \(x_2 = 6\) und \(x_3 = -2\).

a) Ein Wert \(x_0\) ist eine Nullstelle von \(f\), wenn \(f(x_0) = 0\) gilt. b) Die Nullstellen sind \(x_1 = -5\), \(x_2 = 6\) und \(x_3 = -2\).

- Wie kannst du rechnerisch prüfen, ob ein gegebener Wert eine Nullstelle einer Funktion ist? - Wenn du eine Nullstelle \(x_0\) gefunden hast, durch welchen Term kannst du die Funktion teilen, um den Grad des Polynoms zu reduzieren? - Welches Verfahren kennst du, um eine kubische Gleichung zu vereinfachen, wenn eine Lösung bereits bekannt ist? - Wie löst man eine quadratische Gleichung, die nach der Division übrig bleibt?

1. Einsetzen der Kandidaten in die Funktionsgleichung: \(f(-3) = (-3)^3 - 7 \cdot (-3) - 6 = -27 + 21 - 6 = -12 \neq 0\) \(f(-1) = (-1)^3 - 7 \cdot (-1) - 6 = -1 + 7 - 6 = 0\) \(f(0{,}5) = (0{,}5)^3 - 7 \cdot 0{,}5 - 6 = 0{,}125 - 3{,}5 - 6 = -9{,}375 \neq 0\) Somit ist \(x_1 = -1\) eine Nullstelle. 2. Polynomdivision des Funktionsterms durch den Linearfaktor \((x - (-1))\), also \((x + 1)\): \((x^3 - 7x - 6) : (x + 1) = x^2 - x - 6\) 3. Berechnung der Nullstellen des resultierenden quadratischen Terms \(x^2 - x - 6 = 0\) mithilfe der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x_{2,3} = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 6} = 0{,}5 \pm \sqrt{6{,}25} = 0{,}5 \pm 2{,}5\) Dies ergibt die weiteren Nullstellen \(x_2 = 3\) und \(x_3 = -2\).

Die Zahl \(-1\) ist eine Nullstelle von \(f\). Die weiteren Nullstellen der Funktion sind \(x_2 = 3\) und \(x_3 = -2\).

- Was gibt der Exponent der höchsten Potenz von \(x\) über die Anzahl der Nullstellen an? - Achte darauf, dass die Summanden nicht immer nach ihrer Größe sortiert sein müssen. - Bei Produkten von Klammern kannst du den Gesamtgrad bestimmen, indem du die Grade der einzelnen Faktoren addierst. - Manchmal ist es notwendig, den Term zuerst zu vereinfachen oder auszumultiplizieren, um den tatsächlichen Grad zu erkennen.

1. Für Teilaufgabe a): Den Term nach der höchsten Potenz von \(x\) untersuchen. Der Summand mit dem höchsten Exponenten ist \(-12x^5\). Der Grad der Funktion ist somit 5. Eine ganzrationale Funktion vom Grad \(n\) besitzt höchstens \(n\) Nullstellen, hier also maximal 5. 2. Für Teilaufgabe b): Den Grad durch Betrachten der Faktoren bestimmen. Das Produkt der höchsten Potenzen der einzelnen Faktoren \((x^2 \cdot x \cdot x)\) ergibt \(x^4\). Der Grad ist 4, woraus maximal 4 Nullstellen folgen. 3. Für Teilaufgabe c): Den Funktionsterm vereinfachen: \(h(x) = x^5 + 4x^2 - x^5 + 2x = 4x^2 + 2x\). Da sich die Terme mit \(x^5\) aufheben, ist die höchste verbleibende Potenz \(x^2\). Der Grad ist 2, daher gibt es höchstens 2 Nullstellen.

a) Grad 5; maximal 5 Nullstellen. b) Grad 4; maximal 4 Nullstellen. c) Grad 2; maximal 2 Nullstellen.

- Was haben alle Punkte auf der \( x \)-Achse gemeinsam? - Fällt dir eine Gemeinsamkeit bei allen Summanden im Funktionsterm auf, die man nutzen könnte? - Wie gehst du vor, wenn nach dem Ausklammern noch ein quadratischer Restterm übrig bleibt? - Denk daran, dass nach Schnittpunkten gefragt ist, nicht nur nach den \( x \)-Werten.

1. Die Schnittpunkte mit der \( x \)-Achse liegen bei den Nullstellen der Funktion. Es gilt der Ansatz \( g(x) = 0 \), also \( \frac{1}{3}x^3 - \frac{4}{3}x^2 - 4x = 0 \). 2. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \( \frac{1}{3}x \): \( \frac{1}{3}x \cdot (x^2 - 4x - 12) = 0 \). 3. Erste Nullstelle durch den Faktor vor der Klammer: \( x_1 = 0 \). 4. Untersuchung des quadratischen Terms in der Klammer: \( x^2 - 4x - 12 = 0 \). Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel mit \( p = -4 \) und \( q = -12 \). 5. Berechnung der weiteren Nullstellen: \( x_{2,3} = 2 \pm \sqrt{4 - (-12)} = 2 \pm \sqrt{16} = 2 \pm 4 \). Dies ergibt \( x_2 = 6 \) und \( x_3 = -2 \). 6. Angabe der Schnittpunkte in Koordinatenform: Da die \( y \)-Koordinate an der \( x \)-Achse immer Null ist, ergeben sich die Punkte \( S_1(0 \mid 0) \), \( S_2(6 \mid 0) \) und \( S_3(-2 \mid 0) \).

Die Schnittpunkte mit der \( x \)-Achse sind \( S_1(0 \mid 0) \), \( S_2(6 \mid 0) \) und \( S_3(-2 \mid 0) \).

- Überlege, bei welchen Werten für \( x \) die einzelnen Faktoren null werden. - Der Exponent an einem Klammerfaktor oder an \( x \) gibt dir direkt die Vielfachheit der Nullstelle an. - Was weißt du über das Vorzeichenverhalten bei geraden und ungeraden Exponenten? - Ein Vorzeichenwechsel tritt immer dann auf, wenn die Vielfachheit einer Nullstelle ungerade ist.

1. Für \( f(x) \): Die Nullstellen sind \( x_1 = 3 \) (zweifach, kein VZW, da die Vielfachheit gerade ist) und \( x_2 = -1 \) (einfach, mit VZW, da die Vielfachheit ungerade ist). 2. Für \( g(x) \): Die Nullstellen sind \( x_1 = 0 \) (dreifach, mit VZW, da die Vielfachheit ungerade ist) und \( x_2 = 0{,}5 \) (einfach, mit VZW). 3. Für \( h(x) \): Die Nullstellen sind \( x_1 = -0{,}25 \) (zweifach, kein VZW) und \( x_2 = 2 \) (dreifach, mit VZW).

a) \( x_1 = 3 \) (zweifach, kein VZW); \( x_2 = -1 \) (einfach, VZW) b) \( x_1 = 0 \) (dreifach, VZW); \( x_2 = 0{,}5 \) (einfach, VZW) c) \( x_1 = -0{,}25 \) (zweifach, kein VZW); \( x_2 = 2 \) (dreifach, VZW)

- Schau dir zuerst die Stellen an, an denen die Graphen die x-Achse schneiden oder berühren. Was sagt das über die Nullstellen und ihre Vielfachheit aus? - Erinnere dich daran, wie sich eine einfache Nullstelle (Schnittpunkt) von einer doppelten Nullstelle (Berührpunkt) im Graphen unterscheidet. - Wie wirkt sich die Vielfachheit einer Nullstelle auf den entsprechenden Faktor in der Funktionsgleichung aus? - Betrachte das Verhalten der Graphen für sehr große und sehr kleine x-Werte (Globalverhalten). Welche Rolle spielt dabei das Vorzeichen vor dem Funktionsterm?

1. **Zuordnung von Graph A:** Graph A schneidet die x-Achse bei \(x = -1\) (Schnittpunkt, also einfache Nullstelle) und berührt sie bei \(x = 2\) (Berührpunkt, also doppelte Nullstelle). Der Funktionsterm muss also die Faktoren \((x+1)\) und \((x-2)^2\) enthalten. Da der Graphenverlauf für \(x \to \infty\) gegen \(\infty\) geht, ist der Leitkoeffizient positiv. Dies passt genau zu der Gleichung: \(p(x) = \frac{1}{4}(x+1)(x-2)^2\) (Gleichung 1). 2. **Zuordnung von Graph B:** Graph B berührt die x-Achse bei \(x = -1\) (Berührpunkt, also doppelte Nullstelle) und schneidet sie bei \(x = 2\) (Schnittpunkt, also einfache Nullstelle). Der Funktionsterm muss die Faktoren \((x+1)^2\) und \((x-2)\) enthalten. Da der Graphenverlauf für \(x \to \infty\) gegen \(-\infty\) geht, muss der Leitkoeffizient negativ sein. Dies passt genau zu der Gleichung: \(q(x) = -\frac{1}{4}(x+1)^2(x-2)\) (Gleichung 2). 3. **Zuordnung von Graph C:** Graph C hat drei Schnittpunkte mit der x-Achse bei \(x = -1\), \(x = 0\) und \(x = 2\) (alles einfache Nullstellen). Der Funktionsterm muss die Faktoren \((x+1)\), \(x\) und \((x-2)\) enthalten. Da der Graphenverlauf für \(x \to \infty\) gegen \(\infty\) geht, ist der Leitkoeffizient positiv. Dies passt genau zu der Gleichung: \(r(x) = \frac{1}{4}x(x+1)(x-2)\) (Gleichung 3). Die Gleichung 4 scheidet wegen des negativen Leitkoeffizienten aus.

**Graph A** gehört zu **Gleichung 1**: \(p(x) = \frac{1}{4}(x+1)(x-2)^2\); **Graph B** gehört zu **Gleichung 2**: \(q(x) = -\frac{1}{4}(x+1)^2(x-2)\); **Graph C** gehört zu **Gleichung 3**: \(r(x) = \frac{1}{4}x(x+1)(x-2)\).

- Schau dir an, an welchen Stellen der Graph die x-Achse schneidet oder berührt. - Überlege dir, was ein Berührpunkt im Gegensatz zu einem Schnittpunkt für die Hochzahl (den Exponenten) der jeweiligen Klammer im Funktionsterm bedeutet. - Achte darauf, ob der Graph für sehr große x-Werte nach oben oder nach unten verläuft. - Überprüfe die Vorzeichen der Zahlen in den Klammern: Wenn eine Nullstelle bei \(+3\) liegt, wie muss dann der zugehörige Faktor aussehen?

1. Bestimmung der Nullstellen aus dem Graphen: Es gibt eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel (Schnittpunkt) bei \(x = -1\) und eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel (Berührpunkt/Extremum) bei \(x = 3\). 2. Analyse der Vielfachheiten: Die Nullstelle bei \(x = -1\) muss eine ungerade Vielfachheit haben (einfache Nullstelle im Term: \((x+1)\)), die Nullstelle bei \(x = 3\) eine gerade Vielfachheit (doppelte Nullstelle im Term: \((x-3)^2\)). Damit kommen nur b) und c) infrage. 3. Globalverhalten prüfen: Für \(x \to \infty\) streben die Funktionswerte gegen \(+\infty\). Da der Leitkoeffizient bei b) positiv (\(1\)) und bei c) negativ (\(-1\)) ist, passt nur Term b). 4. Ergebnis: Der korrekte Funktionsterm ist \(f(x) = (x+1) \cdot (x-3)^2\).

Der richtige Funktionsterm ist b) \(f(x) = (x+1) \cdot (x-3)^2\).

- Kannst du einen gemeinsamen Faktor in allen Gliedern des Terms finden und ausklammern? - Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist. - Überlege, was es für die Zeichnung bedeutet, wenn eine Nullstelle „doppelt“ vorkommt.

1. Rechnerische Bestimmung: Setze \(g(x) = 0\). Klammere \(x^2\) aus: \(x^2(x - 3) = 0\). 2. Anwendung des Nullprodukt-Satzes: Entweder ist \(x^2 = 0\), woraus die doppelte Nullstelle \(x_1 = 0\) folgt, oder \(x - 3 = 0\), woraus die einfache Nullstelle \(x_2 = 3\) folgt. 3. Interpretation des Graphen: Bei der doppelten Nullstelle \(x = 0\) berührt der Graph die x-Achse (Extrempunkt). Bei der einfachen Nullstelle \(x = 3\) schneidet der Graph die x-Achse.

Die Nullstellen sind \(x_1 = 0\) (doppelt) und \(x_2 = 3\) (einfach). Bei \(x = 0\) berührt der Graph die x-Achse, bei \(x = 3\) schneidet er sie.

- Schau dir die Stellen an, an denen der Graph die x-Achse kreuzt. Wie lauten diese Werte? - Wie sieht die allgemeine Form einer Funktion aus, wenn man ihre Nullstellen kennt? - Welchen Punkt auf der y-Achse kannst du nutzen, um den noch unbekannten Vorfaktor zu berechnen? - Überprüfe am Ende, ob der Graph deiner gefundenen Funktion zum Bild passt.

1. Nullstellen ablesen: Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x_1 = -1\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 4\). 2. Ansatz in der Nullstellenform: \(g(x) = a(x + 1)(x - 1)(x - 4)\). 3. Streckungsfaktor \(a\) bestimmen: Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(S_y(0 \mid 2)\). Setze \(x = 0\) und \(g(0) = 2\) in den Ansatz ein: \(2 = a \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 1) \cdot (0 - 4)\) \(2 = a \cdot 1 \cdot (-1) \cdot (-4)\) \(2 = 4a \implies a = 0{,}5\). 4. Funktionsterm aufstellen: \(g(x) = 0{,}5(x + 1)(x - 1)(x - 4)\).

Ein möglicher Funktionsterm ist \(g(x) = 0{,}5(x + 1)(x - 1)(x - 4)\) oder ausmultipliziert \(g(x) = 0{,}5x^3 - 2x^2 - 0{,}5x + 2\).

- Welche Symmetrie weist der Graph auf und wie spiegelt sich das in den Exponenten des Funktionsterms wider? - Nutze die vier sichtbaren Nullstellen für einen ersten Ansatz.

1. Symmetrie und Form: Die Funktion ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(c = 4\). 2. Nullstellen: Der Graph hat Nullstellen bei \(x = \pm 1\) und \(x = \pm 2\). 3. Linearfaktordarstellung: Da es sich um eine Funktion 4. Grades handelt, gilt \(f(x) = a \cdot (x^2 - 1) \cdot (x^2 - 4)\). 4. Bestimmung von \(a\): Mit dem Punkt \((0 \mid 4)\) folgt \(4 = a \cdot (-1) \cdot (-4) = 4a \implies a = 1\). 5. Ausmultiplizieren: \(f(x) = (x^2 - 1)(x^2 - 4) = x^4 - 5x^2 + 4\).

\(f(x) = x^4 - 5x^2 + 4\)

- Wo schneidet oder berührt der Graph die x-Achse? - Was ist der Unterschied in der Funktionsgleichung zwischen einem Schnittpunkt und einem Berührpunkt (Extremum) auf der x-Achse? - Schau dir an, wie sich die Funktion für sehr große x-Werte verhält. Geht sie nach oben oder nach unten?

1. Identifikation der Nullstellen aus dem Graphen: \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0\), \(x_3 = 2\). 2. Analyse der Art der Nullstellen: Bei \(x = -2\) und \(x = 0\) schneidet der Graph die x-Achse (einfache Nullstellen). Bei \(x = 2\) berührt der Graph die x-Achse (doppelte Nullstelle / Extremum). 3. Aufstellen des Funktionsterms in faktorisierter Form: \(f(x) = k \cdot (x - 0) \cdot (x - (-2)) \cdot (x - 2)^2 = k \cdot x(x + 2)(x - 2)^2\). 4. Überprüfung des globalen Verlaufs: Für \(x \to \infty\) geht \(y \to \infty\), was auf einen positiven Leitkoeffizienten \(k\) hindeutet. Option b) passt exakt zu dieser Struktur.

b) \(f(x) = x(x - 2)^2(x + 2)\)

- Überlege, ob du eine Variable ausklammern kannst, um den Grad der Gleichung zu reduzieren. - Erkennst du im verbleibenden Teil eine binomische Formel oder kannst du die \(p\)-\(q\)-Formel anwenden? - Die Hochzahl an einer Klammer in der faktorisierten Form gibt dir einen Hinweis auf die Vielfachheit der Nullstelle.

1. Nullstellenansatz: \(x^3 - 6x^2 + 9x = 0\). 2. Ausklammern von \(x\): \(x \cdot (x^2 - 6x + 9) = 0\). Daraus folgt die erste Nullstelle \(x_1 = 0\). 3. Lösen der quadratischen Gleichung \(x^2 - 6x + 9 = 0\): Anwendung der zweiten binomischen Formel ergibt \((x - 3)^2 = 0\), woraus die Nullstelle \(x_2 = 3\) folgt. 4. Bestimmung der Vielfachheit: Da der Faktor \(x\) einfach vorkommt, ist \(x_1 = 0\) eine einfache Nullstelle. Da der Faktor \((x - 3)\) im Quadrat vorkommt, ist \(x_2 = 3\) eine doppelte Nullstelle. 5. Linearfaktordarstellung: \(f(x) = x \cdot (x - 3)^2\).

Nullstellen: \(x_1 = 0\) (einfach), \(x_2 = 3\) (doppelt) Linearfaktordarstellung: \(f(x) = x \cdot (x - 3)^2\)

- Kannst du Ausdrücke der Form \(x^2 - a^2\) mithilfe einer binomischen Formel weiter vereinfachen? - Achte darauf, ob eine Nullstelle in mehreren Faktoren gleichzeitig „versteckt“ ist. - Was musst du für \(x\) einsetzen, damit ein quadratischer Ausdruck wie \(x^2 - 0{,}25\) null ergibt? - Denke daran, dass ein konstanter Faktor vor der Funktion (wie die 2 oder \(\frac{1}{4}\)) die Lage der Nullstellen nicht beeinflusst.

1. Teilaufgabe a): Der Ausdruck \((x^2 - 36)\) kann mittels der dritten binomischen Formel in \((x - 6)(x + 6)\) zerlegt werden. Die Funktion lautet somit \(f(x) = 2(x - 6)(x + 6)(x + 6) = 2(x - 6)(x + 6)^2\). Nullstellen: \(x_1 = 6\) und \(x_2 = -6\). 2. Teilaufgabe b): Durch direktes Ablesen der Faktoren ergeben sich die Nullstellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1{,}5\) und \(x_3 = -11\). 3. Teilaufgabe c): Der Faktor \((x^2 - 0{,}25)\) ergibt Nullstellen, wenn \(x^2 = 0{,}25\), also \(x = \pm 0{,}5\). Der Faktor \(x^2\) führt zur Nullstelle \(x = 0\). Nullstellen: \(x_1 = 0{,}5\), \(x_2 = -0{,}5\) und \(x_3 = 0\).

a) \(x_1 = 6\); \(x_2 = -6\) b) \(x_1 = 0\); \(x_2 = 1{,}5\); \(x_3 = -11\) c) \(x_1 = 0{,}5\); \(x_2 = -0{,}5\); \(x_3 = 0\)

- Was ist der erste Schritt, um Nullstellen zu finden? - Schau dir die Terme genau an: Haben alle Glieder eine gemeinsame Variable? - Wenn ein Produkt null ergibt, was muss dann für die einzelnen Faktoren gelten? - Wie kannst du einen quadratischen Term weiter zerlegen?

1. Zur Bestimmung der Nullstellen wird der Ansatz \(f(x) = 0\) gewählt. Durch Ausklammern von \(\frac{1}{2}x\) erhält man \(\frac{1}{2}x \cdot (x^2 - 6x - 16) = 0\). Nach dem Satz vom Nullprodukt ist die erste Nullstelle \(x_1 = 0\). 2. Die weiteren Nullstellen ergeben sich aus der quadratischen Gleichung \(x^2 - 6x - 16 = 0\). Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel liefert \(x_{2,3} = 3 \pm \sqrt{9 - (-16)} = 3 \pm \sqrt{25}\), woraus \(x_2 = 8\) und \(x_3 = -2\) folgen. 3. Die faktorisierte Form der Funktion lautet somit \(f(x) = \frac{1}{2} \cdot x \cdot (x - 8) \cdot (x + 2)\).

1. Die Nullstellen sind \(x_1 = 0\), \(x_2 = 8\) und \(x_3 = -2\). 2. Die faktorisierte Form ist \(f(x) = \frac{1}{2}x(x - 8)(x + 2)\).

- Gibt es eine Potenz von \(x\), die in jedem Summanden vorkommt? - Erinnerst du dich an die binomischen Formeln? Sie könnten hier beim Vereinfachen helfen. - Was verrät dir der Exponent über einem Faktor im Funktionsterm über die Art der Nullstelle?

1. Der Ansatz \(g(x) = 0\) führt zur Gleichung \(-\frac{1}{3}x^4 + 2x^3 - 3x^2 = 0\). Durch Ausklammern von \(-\frac{1}{3}x^2\) erhält man \(-\frac{1}{3}x^2 \cdot (x^2 - 6x + 9) = 0\). 2. Der Faktor \(x^2\) liefert die Nullstelle \(x_1 = 0\). Da der Exponent am Faktor \(x\) gleich 2 ist, handelt es sich um eine doppelte Nullstelle (Vielfachheit 2). 3. Der quadratische Term \(x^2 - 6x + 9\) lässt sich mithilfe der zweiten binomischen Formel zu \((x - 3)^2\) umformen. Daraus ergibt sich die Nullstelle \(x_2 = 3\). Auch hier ist die Vielfachheit aufgrund des Quadrats gleich 2.

Die Nullstellen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 3\). Beide Nullstellen haben die Vielfachheit 2 (es sind doppelte Nullstellen).

- Kannst du eine Variable so ersetzen, dass eine einfachere Gleichungsform entsteht? - Gibt es einen gemeinsamen Faktor in allen Summanden, den du vor eine Klammer ziehen kannst? - Erkennst du in der Klammer eine binomische Formel? - Was muss für die einzelnen Faktoren gelten, damit ein Produkt den Wert Null annimmt? - Überlege, ob jede gefundene Zwischenlösung auch eine reelle Wurzel besitzt.

1. Für \(f(x) = x^4 - 3x^2 - 4\) wird die Substitution \(u = x^2\) durchgeführt. Dies führt zur quadratischen Gleichung \(u^2 - 3u - 4 = 0\). 2. Die Lösungen für \(u\) sind \(u_1 = 4\) und \(u_2 = -1\). 3. Die Resubstitution \(x^2 = 4\) ergibt die Nullstellen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). Die Gleichung \(x^2 = -1\) besitzt im Reellen keine Lösung. 4. Für \(g(x) = x^3 + 4x^2 + 4x\) wird \(x\) ausgeklammert: \(x(x^2 + 4x + 4) = 0\). Eine Nullstelle ist somit \(x_3 = 0\). 5. Der verbleibende quadratische Term \(x^2 + 4x + 4 = 0\) lässt sich als Binom \((x + 2)^2 = 0\) schreiben, woraus die (doppelte) Nullstelle \(x_4 = -2\) folgt.

a) \(x_1 = 2\); \(x_2 = -2\) b) \(x_3 = 0\); \(x_4 = -2\)

- Um Schnittpunkte zu finden, musst du die Funktionsterme gleichsetzen. - Bringe alle Terme auf eine Seite der Gleichung, sodass auf der anderen Seite Null steht. - Kannst du die Gleichung durch Ausklammern vereinfachen? - Achte darauf, am Ende auch die \(y\)-Koordinaten der Punkte zu berechnen.

1. Gleichsetzen der Funktionsgleichungen: \(f(x) = g(x) \Rightarrow x^3 - 4x^2 + 5x + 1 = x + 1\). 2. Umformen zur Normalform: Subtraktion von \(x\) und \(1\) auf beiden Seiten ergibt \(x^3 - 4x^2 + 4x = 0\). 3. Faktorisieren durch Ausklammern von \(x\): \(x \cdot (x^2 - 4x + 4) = 0\). Die erste Lösung ist \(x_1 = 0\). 4. Lösen des verbleibenden Teils: \(x^2 - 4x + 4 = 0\) ist eine binomische Formel \((x - 2)^2 = 0\), woraus die doppelte Lösung \(x_2 = 2\) folgt. 5. Berechnung der \(y\)-Koordinaten durch Einsetzen in \(g(x)\): \(y_1 = g(0) = 0 + 1 = 1\) \(y_2 = g(2) = 2 + 1 = 3\) 6. Angabe der Schnittpunkte: \(S_1(0|1)\) und \(S_2(2|3)\).

Die Schnittpunkte sind \(S_1(0|1)\) und \(S_2(2|3)\).

- Was bedeutet es für die Funktionswerte an einer Stelle \(x\), wenn sich zwei Graphen dort schneiden? - Kannst du die Gleichung so umformen, dass auf einer Seite der Gleichung eine Null steht? - Gibt es eine Variable oder einen Term, den du in jedem Summanden der Gleichung finden und ausklammern kannst? - Wie gehst du vor, wenn ein Produkt zweier Terme den Wert Null ergibt? - Hast du daran gedacht, am Ende auch die \(y\)-Koordinaten zu berechnen?

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(\frac{1}{2}x^3 - 2x = \frac{3}{2}x^2\). 2. Umformen in die Normalform einer ganzrationalen Gleichung: \(\frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{2}x^2 - 2x = 0\). 3. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(x\): \(x \cdot (\frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}x - 2) = 0\). 4. Bestimmung der ersten Nullstelle nach dem Nullproduktsatz: \(x_1 = 0\). 5. Lösen der verbleibenden quadratischen Gleichung \(\frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}x - 2 = 0\) (bzw. \(x^2 - 3x - 4 = 0\)) mittels \(p\)-\(q\)-Formel oder Faktorisierung: \(x_2 = 4\) und \(x_3 = -1\). 6. Berechnung der zugehörigen \(y\)-Koordinaten durch Einsetzen der \(x\)-Werte in eine der Ausgangsgleichungen: \(g(0) = 0\), \(g(4) = 24\) und \(g(-1) = 1{,}5\). 7. Angabe der Schnittpunkte: \(S_1(0|0)\), \(S_2(4|24)\) und \(S_3(-1|1{,}5)\).

Die Schnittpunkte sind \(S_1(0|0)\), \(S_2(4|24)\) und \(S_3(-1|1{,}5)\).

- Wie kannst du den Grad eines Polynoms reduzieren, wenn du bereits eine Nullstelle kennst? - Welche Formel hilft dir, die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu finden? - Was bedeutet es für die Formel, wenn eine Nullstelle den Wert \(a\) hat? - Woran erkennt man die Vielfachheit einer Nullstelle in der Produktform?

1. Nachweis der bekannten Nullstelle durch Einsetzen: \(f(-1) = (-1)^3 - 2 \cdot (-1)^2 - 13 \cdot (-1) - 10 = -1 - 2 + 13 - 10 = 0\). Durchführung der Polynomdivision: \((x^3 - 2x^2 - 13x - 10) : (x + 1) = x^2 - 3x - 10\). 2. Bestimmung der weiteren Nullstellen durch Lösen der quadratischen Gleichung \(x^2 - 3x - 10 = 0\). Mit der \(p\)-\(q\)-Formel ergibt sich \(x_{2,3} = 1{,}5 \pm \sqrt{2{,}25 + 10} = 1{,}5 \pm 3{,}5\), woraus die Nullstellen \(x_2 = 5\) und \(x_3 = -2\) folgen. 3. Die faktorisierte Form lautet \(f(x) = (x + 1)(x - 5)(x + 2)\). Da jeder Linearfaktor nur einmal vorkommt, haben alle drei Nullstellen (\(-1\), \(5\) und \(-2\)) die Vielfachheit 1.

1. Nullstellen: \(x_1 = -1\), \(x_2 = 5\), \(x_3 = -2\) 2. Faktorisierte Form: \(f(x) = (x + 1)(x - 5)(x + 2)\) 3. Vielfachheiten: Alle Nullstellen haben die Vielfachheit 1.

- Kannst du einen Term ausklammern, um die Gleichung zu vereinfachen? - Erinnerst du dich an die dritte binomische Formel? Sie könnte hier beim Faktorisieren helfen. - Was sagt die Hochzahl eines Linearfaktors über das Verhalten des Graphen an der Nullstelle aus? - Wann wechselt ein Graph an einer Nullstelle sein Vorzeichen?

1. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(x^2\): \(g(x) = x^2 \cdot (-\frac{1}{4}x^2 + 1)\). Die erste Nullstelle ergibt sich aus \(x^2 = 0\) zu \(x_1 = 0\). Die weiteren Nullstellen folgen aus \(-\frac{1}{4}x^2 + 1 = 0\), was zu \(x^2 = 4\) und somit \(x_2 = 2\) sowie \(x_3 = -2\) führt. 2. In der vollständig faktorisierten Form \(g(x) = -\frac{1}{4} \cdot x^2 \cdot (x - 2) \cdot (x + 2)\) ist ersichtlich: Die Nullstelle \(x_1 = 0\) hat die Vielfachheit 2. Die Nullstellen \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\) haben jeweils die Vielfachheit 1. 3. Bei einer ungeraden Vielfachheit findet ein Vorzeichenwechsel statt, der Graph schneidet die Achse. Dies ist bei \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\) der Fall. Bei einer geraden Vielfachheit findet kein Vorzeichenwechsel statt, der Graph berührt die Achse (Extrempunkt). Dies ist bei \(x_1 = 0\) der Fall.

1. Nullstellen: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\), \(x_3 = -2\) 2. Vielfachheiten: \(x_1 = 0\) hat Vielfachheit 2; \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\) haben Vielfachheit 1. 3. Verhalten: Bei \(x = 0\) berührt der Graph die \(x\)-Achse (gerade Vielfachheit). Bei \(x = 2\) und \(x = -2\) schneidet der Graph die \(x\)-Achse (ungerade Vielfachheit).

- Überlege, ob du eine Variable oder eine Zahl aus allen Summanden ausklammern kannst. - Achte auf die Struktur der Terme in den Klammern: Erinnern sie dich an binomische Formeln? - Du kannst auch die faktorisierten Terme \(g(x)\) ausmultiplizieren, um die Übereinstimmung zu prüfen.

1. Untersuchung von \(f_1(x) = x^3 - 25x\): Durch Ausklammern von \(x\) erhält man \(x(x^2 - 25)\). Anwendung der dritten binomischen Formel ergibt \(x(x - 5)(x + 5)\). Somit gehört \(f_1\) zu \(g_c\). 2. Untersuchung von \(f_2(x) = x^3 + 10x^2 + 25x\): Ausklammern von \(x\) führt zu \(x(x^2 + 10x + 25)\). Anwendung der ersten binomischen Formel liefert \(x(x + 5)^2\). Somit gehört \(f_2\) zu \(g_a\). 3. Untersuchung von \(f_3(x) = 3x^2 - 12x + 12\): Ausklammern des Faktors \(3\) ergibt \(3(x^2 - 4x + 4)\). Anwendung der zweiten binomischen Formel führt auf \(3(x - 2)^2\). Somit gehört \(f_3\) zu \(g_b\).

\(f_1 \to g_c\); \(f_2 \to g_a\); \(f_3 \to g_b\)

- Der Grad einer Funktion in faktorisierter Form lässt sich durch Addieren der Hochzahlen der einzelnen Faktoren bestimmen. - Eine Nullstelle ist der Wert für \(x\), bei dem ein einzelner Faktor des Produkts null wird. - Schau dir die Hochzahl (den Exponenten) über jedem Faktor an, um die Vielfachheit zu finden. - Erinnere dich an den Unterschied im Verlauf des Graphen bei geraden und ungeraden Vielfachheiten von Nullstellen.

1. Bestimmung des Grades: Der Term ist ein Produkt aus den Faktoren \((x+1)^2\), \((x-3)\) und \(x\). Die Summe der Exponenten der Linearfaktoren ist \(2 + 1 + 1 = 4\). Der Grad der Funktion ist somit \(4\). 2. Bestimmung der Nullstellen und Vielfachheiten: Aus den Linearfaktoren lassen sich die Nullstellen direkt ablesen. Der Faktor \((x+1)^2\) liefert die Nullstelle \(x_1 = -1\) mit der Vielfachheit \(2\). Der Faktor \((x-3)\) liefert die Nullstelle \(x_2 = 3\) mit der Vielfachheit \(1\). Der Faktor \(x\) liefert die Nullstelle \(x_3 = 0\) mit der Vielfachheit \(1\). 3. Berührpunkt identifizieren: Ein Graph berührt die \(x\)-Achse an einer Nullstelle genau dann, wenn die Vielfachheit dieser Nullstelle geradzahlig ist. Da nur die Nullstelle \(x_1 = -1\) die gerade Vielfachheit \(2\) besitzt, liegt dort ein Berührpunkt vor.

a) Der Grad ist \(4\). b) Nullstellen: \(x_1 = -1\) (Vielfachheit \(2\)), \(x_2 = 3\) (Vielfachheit \(1\)), \(x_3 = 0\) (Vielfachheit \(1\)). c) Der Graph berührt die \(x\)-Achse bei \(x = -1\), da dies eine Nullstelle mit gerader Vielfachheit (\(2\)) ist.

- Überlege dir, bei welchen \(x\)-Werten die einzelnen Klammern oder Faktoren den Wert Null annehmen. - Achte darauf, ob eine Funktion zusätzliche Faktoren wie ein einzelnes \(x\) besitzt. - Eine Nullstelle ist dann mehrfach, wenn der zugehörige Linearfaktor (die Klammer) mit einem Exponenten größer als 1 vorkommt oder mehrfach als Faktor auftaucht. - Der Streckfaktor vor den Klammern beeinflusst zwar den Verlauf des Graphen, aber nicht die Stellen, an denen die Funktion Null wird.

1. Bestimmung der Nullstellen der einzelnen Funktionen durch Nullsetzen der Faktoren: - \(f(x)\): Nullstellen bei \(x = 2\), \(x = -2\) und \(x = 5\). Die Menge ist \(\{-2; 2; 5\}\). - \(g(x)\): \(x^2 - 4 = 0\) liefert \(x = \pm 2\), der Faktor \((x + 5)\) liefert \(x = -5\). Die Menge ist \(\{-5; -2; 2\}\). - \(h(x)\): Nullstellen bei \(x = 2\) (doppelt), \(x = -2\) und \(x = 5\). Die Menge ist \(\{-2; 2; 5\}\). - \(i(x)\): Nullstellen bei \(x = 0\), \(x = 2\), \(x = -2\) und \(x = 5\). Die Menge ist \(\{-2; 0; 2; 5\}\). - \(j(x)\): Wie bei \(f(x)\) liegen die Nullstellen bei \(x = 2\), \(x = -2\) und \(x = 5\). Der Vorfaktor \(\frac{1}{2}\) ändert die Lage der Nullstellen nicht. Die Menge ist \(\{-2; 2; 5\}\). 2. Zuordnung zu Aufgabenteil a): Die Funktionen \(f\), \(h\) und \(j\) haben die exakte Menge \(L = \{-2; 2; 5\}\). 3. Zuordnung zu Aufgabenteil b): Nur bei \(h(x)\) tritt ein Faktor im Quadrat auf (\((x - 2)^2\)), daher liegt bei \(x = 2\) eine doppelte Nullstelle vor. 4. Zuordnung zu Aufgabenteil c): Die Funktion \(i(x)\) besitzt durch den zusätzlichen Faktor \(x\) eine weitere Nullstelle bei \(x = 0\), die in der Nullstellenmenge von \(f(x)\) nicht enthalten ist.

a) Die Funktionen \(f\), \(h\) und \(j\). b) Die Funktion \(h\) hat bei \(x = 2\) eine doppelte Nullstelle. c) Die Funktion \(i\) hat durch den Faktor \(x\) eine zusätzliche Nullstelle bei \(x = 0\).

- Nutze die dritte binomische Formel, um Ausdrücke wie \(x^2 - 9\) weiter in Linearfaktoren zu zerlegen. - Vergleiche die Nullstellenmengen genau – achte dabei besonders auf die Vorzeichen der Zahlen. - Die Vielfachheit einer Nullstelle erkennst du am Exponenten des Linearfaktors in der vollständig faktorisierten Form.

1. Untersuchung der Nullstellen durch Faktorisierung: - \(k(x)\): Nullstellen bei \(x = -3\), \(x = 3\) und \(x = 1\). - \(l(x)\): Da \(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\) ist, gilt \(l(x) = (x - 3)(x + 3)(x - 3) = (x + 3)(x - 3)^2\). Nullstellen sind \(x = -3\) und \(x = 3\). - \(m(x)\): Nullstellen bei \(x = -3\) und \(x = 3\). - \(n(x)\): Nullstellen bei \(x = 3\), \(x = -3\) und \(x = -1\). 2. Zuordnung zu a): Die Funktionen \(l\) und \(m\) haben die Nullstellenmenge \(\{-3; 3\}\). 3. Zuordnung zu b): Nur die Funktion \(k\) hat die Nullstellen \(-3, 3, 1\). (Bei \(n\) ist die dritte Nullstelle \(-1\)). 4. Analyse für c): Wie in Schritt 1 gezeigt, ist \(l(x) = (x + 3)^1 \cdot (x - 3)^2\). Somit ist \(x = -3\) eine einfache Nullstelle (Vielfachheit 1) und \(x = 3\) eine doppelte Nullstelle (Vielfachheit 2).

a) Die Funktionen \(l\) und \(m\). b) Die Funktion \(k\). c) \(x = -3\) ist eine einfache Nullstelle (Vielfachheit 1); \(x = 3\) ist eine doppelte Nullstelle (Vielfachheit 2).

- Kannst du den Funktionsterm so umformen, dass du eine Nullstelle direkt ablesen kannst? - Wovon hängt die Anzahl der Nullstellen bei einem quadratischen Ausdruck ab? - Was passiert mit der Gesamtzahl der Nullstellen, wenn der quadratische Teil dieselbe Nullstelle liefert, die du schon am Anfang gefunden hast? - Untersuche die Fälle für die Diskriminante des quadratischen Faktors.

1. Ausklammern von \(x\) führt auf \(f_k(x) = x(x^2 - 4x + k)\). Damit ist \(x_1 = 0\) stets eine Nullstelle. 2. Die Anzahl der weiteren Nullstellen hängt von der Diskriminante \(D\) des quadratischen Terms \(x^2 - 4x + k\) ab: \(D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot k = 16 - 4k\). 3. Fall \(D < 0\): Für \(16 - 4k < 0\), also \(k > 4\), hat der quadratische Term keine Nullstellen. Es bleibt bei der einzigen Nullstelle \(x_1 = 0\). 4. Fall \(D = 0\): Für \(k = 4\) hat der quadratische Term die doppelte Nullstelle \(x = 2\). Die Funktion hat somit zwei Nullstellen (\(0\) und \(2\)). 5. Fall \(D > 0\): Für \(k < 4\) hat der quadratische Term zwei verschiedene Nullstellen. Ist eine dieser Nullstellen gleich \(0\), reduziert sich die Gesamtzahl der Nullstellen. Dies tritt ein, wenn \(0^2 - 4 \cdot 0 + k = 0\), also \(k = 0\). Für \(k = 0\) hat die Funktion somit zwei Nullstellen (\(0\) als doppelte und \(4\) als einfache Nullstelle). 6. Für alle anderen Werte (\(k < 4\) und \(k \neq 0\)) ergeben sich insgesamt drei verschiedene Nullstellen.

a) Genau eine Nullstelle für \(k > 4\). b) Genau zwei Nullstellen für \(k = 4\) oder \(k = 0\). c) Genau drei Nullstellen für \(k < 4\) und \(k \neq 0\).

- Welche Information liefern dir die Nullstellen für die faktorisierte Form einer quadratischen Funktion? - Wie kannst du einen gegebenen Punkt nutzen, um den noch unbekannten Parameter \(a\) zu berechnen? - Erinnere dich daran, wie man Klammerausdrücke multipliziert, um von der Produktform zur Normalform zu gelangen.

1. Einsetzen der Nullstellen \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 6\) in die faktorisierte Form ergibt \(b = -2\) und \(c = 6\) (oder umgekehrt), also \(f(x) = a(x + 2)(x - 6)\). 2. Einsetzen der Koordinaten des Punktes \(P(2 | 8)\) in die Gleichung: \(8 = a(2 + 2)(2 - 6)\). 3. Berechnung des Streckfaktors: \(8 = a \cdot 4 \cdot (-4) = -16a\), woraus \(a = -0{,}5\) folgt. 4. Aufstellen der faktorisierten Form: \(f(x) = -0{,}5(x + 2)(x - 6)\). 5. Ausmultiplizieren zur allgemeinen Form: \(f(x) = -0{,}5(x^2 - 4x - 12) = -0{,}5x^2 + 2x + 6\).

Die Parameter sind \(a = -0{,}5\), \(b = -2\) und \(c = 6\) (bzw. \(b = 6, c = -2\)). Die allgemeine Form lautet \(f(x) = -0{,}5x^2 + 2x + 6\).

- Was bedeutet es für die Anzahl und Art der Nullstellen, wenn eine Parabel die \(x\)-Achse „berührt“ statt sie zu schneiden? - Wenn eine quadratische Funktion nur eine einzige Nullstelle hat, wie hängen dann die Parameter \(s\) und \(t\) in der Form \(a(x-s)(x-t)\) zusammen? - Wie findet man rechnerisch den Schnittpunkt eines Graphen mit der \(y\)-Achse?

1. Da der Graph die \(x\)-Achse berührt, liegt eine doppelte Nullstelle vor. Es gilt somit \(s = t = 3\). Die Funktion hat die Form \(g(x) = a(x - 3)^2\). 2. Einsetzen des Punktes \(Q(5 | -10)\) zur Bestimmung von \(a\): \(-10 = a(5 - 3)^2 = a \cdot 2^2 = 4a\). 3. Berechnung von \(a\): \(a = \frac{-10}{4} = -2{,}5\). 4. Die Parameter sind somit \(a = -2{,}5\), \(s = 3\) und \(t = 3\). 5. Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts durch \(g(0)\): \(g(0) = -2{,}5(0 - 3)^2 = -2{,}5 \cdot 9 = -22{,}5\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 | -22{,}5)\).

1. Die Parameter sind \(a = -2{,}5\), \(s = 3\) und \(t = 3\). 2. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(S_y(0 | -22{,}5)\).

- Welche Form eines Funktionsterms eignet sich besonders gut, wenn Nullstellen gegeben sind? - Wie unterscheidet sich der Exponent an einer Nullstelle, wenn der Graph die Achse schneidet oder nur berührt? - Was bedeutet es mathematisch für die Gleichung, wenn ein Punkt auf dem Graphen liegt? - Welche Summe der Vielfachheiten haben die bereits angegebenen Nullstellen, und welchen Grad ergibt das?

1. Aufstellen des allgemeinen Ansatzes in der faktorisierten Form unter Berücksichtigung der Nullstellen und ihrer Vielfachheiten: \(f(x) = ax(x + 1)^2(x - 4)\). Dabei steht der Faktor \((x + 1)^2\) für die doppelte Nullstelle bei \(-1\) und die Faktoren \(x\) sowie \((x - 4)\) für die einfachen Nullstellen bei \(0\) und \(4\). 2. Einsetzen der Koordinaten des Punktes \(P(2 | 18)\) in den Ansatz zur Bestimmung des Streckfaktors \(a\): \(18 = a \cdot 2 \cdot (2 + 1)^2 \cdot (2 - 4)\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(18 = a \cdot 2 \cdot 9 \cdot (-2) = -36a\). 4. Lösen nach \(a\): \(a = \frac{18}{-36} = -0{,}5\). 5. Einsetzen von \(a\) in den Funktionsansatz ergibt die fertige Gleichung: \(f(x) = -0{,}5x(x + 1)^2(x - 4)\).

\(f(x) = -0{,}5x(x + 1)^2(x - 4)\)

- Was sagt dir die Information „berührt die \(x\)-Achse“ über die Vielfachheit der Nullstelle aus? - Wie übersetzt man die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse in Linearfaktoren? - Wie kannst du den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse nutzen, um den Leitkoeffizienten zu finden? - Überlege zuerst, wie viele Faktoren mindestens vorhanden sein müssen, damit alle Bedingungen erfüllt sind.

1. Bestimmung des minimalen Grades: Einfache Nullstellen bei \(x = -3\) und \(x = 5\) (Grad 1) und eine Berührstelle (doppelte Nullstelle) bei \(x = 1\) (Grad 2) ergeben zusammen den kleinstmöglichen Grad \(n = 4\). 2. Aufstellen der faktorisierten Form: \(g(x) = a(x + 3)(x - 5)(x - 1)^2\). 3. Nutzen des \(y\)-Achsenabschnitts \(S_y(0 | -3)\), um \(a\) zu berechnen: \(-3 = a \cdot (0 + 3) \cdot (0 - 5) \cdot (0 - 1)^2\). 4. Berechnung des Produkts: \(-3 = a \cdot 3 \cdot (-5) \cdot 1 = -15a\). 5. Auflösen nach \(a\): \(a = \frac{-3}{-15} = 0{,}2\). 6. Resultierende Funktionsgleichung: \(g(x) = 0{,}2(x + 3)(x - 5)(x - 1)^2\).

\(g(x) = 0{,}2(x + 3)(x - 5)(x - 1)^2\)

- Welche Form hat ein Faktor, wenn die Nullstelle eine Wurzel enthält? - Gibt es eine binomische Formel, die dir das Multiplizieren der wurzelbehafteten Terme erleichtert? - Was bedeutet es für die Funktionsgleichung, wenn eine Nullstelle „einfach“ ist?

1. Der kleinstmögliche Grad für drei einfache Nullstellen ist \(n = 3\). 2. Aufstellen der Linearfaktoren: \((x + \sqrt{6})\), \((x - 2)\) und \((x - \sqrt{6})\). 3. Bildung des Produkts der Linearfaktoren: \(g(x) = a \cdot (x + \sqrt{6})(x - \sqrt{6})(x - 2)\). Mit \(a = 1\) ergibt sich die einfachste Form. 4. Anwendung der dritten binomischen Formel auf die Faktoren mit den Wurzeln: \((x + \sqrt{6})(x - \sqrt{6}) = x^2 - (\sqrt{6})^2 = x^2 - 6\). 5. Multiplikation mit dem verbleibenden Faktor: \(g(x) = (x^2 - 6)(x - 2) = x^3 - 2x^2 - 6x + 12\).

\(g(x) = (x^2 - 6)(x - 2)\) (oder ausmultipliziert: \(g(x) = x^3 - 2x^2 - 6x + 12\))

- Wie hängen die Nullstellen einer Funktion mit ihren Linearfaktoren zusammen? - Was bedeutet es für den Exponenten des Linearfaktors, wenn eine Nullstelle „doppelt“ gezählt wird? - Wie kannst du die Koordinaten eines gegebenen Punktes nutzen, um den noch unbekannten Streckungsfaktor zu berechnen?

1. Aufstellen des Funktionsterms in faktorisierter Form unter Berücksichtigung der Vielfachheiten: \(f(x) = a(x + 2)^2(x - 3)\). 2. Einsetzen des Punktes \(Q(1 | -18)\) in den Ansatz: \(-18 = a \cdot (1 + 2)^2 \cdot (1 - 3)\). 3. Berechnung des Streckungsfaktors \(a\): \(-18 = a \cdot 9 \cdot (-2) \implies -18 = -18a \implies a = 1\). 4. Angabe des fertigen Funktionsterms: \(f(x) = (x + 2)^2(x - 3)\).

\(f(x) = (x + 2)^2(x - 3)\)

- Überlege dir, wie der Grad einer Funktion mit der Anzahl ihrer Linearfaktoren zusammenhängt. - Was passiert mit dem Grad, wenn du zwei Terme wie \(x\) und \(x^2\) multiplizierst? - Erinnere dich an den Satz vom Nullprodukt. - Eine Nullstelle kann auch „mehrfach“ vorkommen, wie beeinflusst das die Form des Terms? - Gibt es quadratische Terme, die keine Nullstellen haben?

1. Jede reelle Nullstelle \(x_n\) einer ganzrationalen Funktion ermöglicht die Abspaltung eines Linearfaktors \((x - x_n)\). 2. Wäre die Anzahl der Nullstellen größer als 3, so müsste das Produkt der Linearfaktoren mindestens den Grad 4 haben, was im Widerspruch zum gegebenen Grad 3 steht. 3. Beispiel für eine Nullstelle: \(f(x) = (x - 1)^3\) (dreifache Nullstelle bei \(x = 1\)) oder \(f(x) = (x - 1) \cdot (x^2 + 1)\) (nur eine reelle Nullstelle). 4. Beispiel für zwei Nullstellen: \(f(x) = (x - 1)^2 \cdot (x - 2)\) (doppelte Nullstelle bei \(x = 1\), einfache bei \(x = 2\)). 5. Beispiel für drei Nullstellen: \(f(x) = (x - 1) \cdot (x - 2) \cdot (x - 3)\) (drei einfache Nullstellen).

a) Da jede Nullstelle einen Linearfaktor \((x - x_0)\) liefert, würde eine vierte Nullstelle zu einem Grad von mindestens 4 führen. b) Mögliche Terme: 1. \(f(x) = (x - 1)^3\) 2. \(f(x) = (x - 1)^2 \cdot (x - 2)\) 3. \(f(x) = (x - 1) \cdot (x - 2) \cdot (x - 3)\)

- Wenn du eine Nullstelle kennst, wie kannst du den Grad des Polynoms verringern? - Welcher Teilausdruck (Linearfaktor) gehört zu einer Nullstelle \(a\)? - Welches Verfahren hilft dir, einen quadratischen Restterm aus einem kubischen Polynom zu erhalten? - Wie löst man quadratische Gleichungen, nachdem die Division durchgeführt wurde?

1. Aufstellen des zugehörigen Linearfaktors \((x + 1)\) aus der gegebenen Nullstelle \(x_1 = -1\). 2. Durchführung der Polynomdivision: \((x^3 - 6x^2 + 3x + 10) : (x + 1) = x^2 - 7x + 10\). 3. Nullstellenbestimmung des resultierenden quadratischen Terms durch Lösen der Gleichung \(x^2 - 7x + 10 = 0\). 4. Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x_{2,3} = \frac{7}{2} \pm \sqrt{(\frac{7}{2})^2 - 10} = 3{,}5 \pm \sqrt{12{,}25 - 10} = 3{,}5 \pm 1{,}5\). 5. Berechnung der weiteren Nullstellen: \(x_2 = 2\) und \(x_3 = 5\).

Die weiteren Nullstellen sind \(x_2 = 2\) und \(x_3 = 5\).

- Was bedeutet es für den Funktionsterm, wenn eine Zahl eine Nullstelle ist? - Erinnerst du dich an ein Verfahren, mit dem man einen Funktionsterm durch einen Ausdruck wie \((x - a)\) teilen kann? - Welche Art von Gleichung bleibt übrig, nachdem du einen Teil des Grades abgebaut hast? - Wie gehst du vor, um die Lösungen einer Gleichung mit \(x^2\) zu finden?

1. Erläuterung des Vorgehens: Da \(x_1 = 3\) eine Nullstelle ist, kann der Linearfaktor \((x - 3)\) abgespalten werden. Dies geschieht durch Polynomdivision des Funktionsterms \(f(x)\) durch den Linearfaktor \((x - 3)\) oder mithilfe des Horner-Schemas. Der resultierende quadratische Term kann anschließend mit der \(p\)-\(q\)-Formel oder durch Faktorisieren auf weitere Nullstellen untersucht werden. 2. Durchführung der Polynomdivision: \((x^3 - 6x^2 - x + 30) : (x - 3) = x^2 - 3x - 10\). 3. Berechnung der weiteren Nullstellen: Lösen der quadratischen Gleichung \(x^2 - 3x - 10 = 0\) ergibt \(x_{2,3} = \frac{3}{2} \pm \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + 10} = 1{,}5 \pm 3{,}5\). Somit sind \(x_2 = 5\) und \(x_3 = -2\). 4. Aufstellen der Produktform: \(f(x) = (x - 3) \cdot (x - 5) \cdot (x + 2)\).

a) Abspaltung des Linearfaktors \((x - 3)\) durch Polynomdivision oder Horner-Schema und anschließende Untersuchung des quadratischen Restterms. b) Weitere Nullstellen: \(x_2 = 5\); \(x_3 = -2\). Produktform: \(f(x) = (x - 3)(x - 5)(x + 2)\).

- Setze die vorgeschlagenen Werte nacheinander für \(x\) in die Gleichung ein und prüfe, ob das Ergebnis \(0\) ist. - Wenn du eine Nullstelle gefunden hast, kannst du den Funktionsterm durch den zugehörigen Linearfaktor teilen. - Welches Verfahren kennst du, um eine kubische Gleichung zu vereinfachen, wenn eine Lösung bereits bekannt ist? - Nach der Division erhältst du eine quadratische Gleichung, die du mit bekannten Formeln lösen kannst.

1. Überprüfung der Testwerte: \(f(1) = 1 - 4 + 1 + 6 = 4\), also ist \(1\) keine Nullstelle. \(f(-1) = -1 - 4 - 1 + 6 = 0\), also ist \(-1\) eine Nullstelle. \(f(2) = 8 - 16 + 2 + 6 = 0\), also ist \(2\) ebenfalls eine Nullstelle. \(f(-2) = -8 - 16 - 2 + 6 = -20\), also ist \(-2\) keine Nullstelle. 2. Reduktion des Grades mittels Polynomdivision, zum Beispiel mit der Nullstelle \(x_1 = -1\): \((x^3 - 4x^2 + x + 6) : (x + 1) = x^2 - 5x + 6\). 3. Berechnung der Nullstellen des resultierenden quadratischen Terms \(x^2 - 5x + 6 = 0\) mithilfe der \(p\)-\(q\)-Formel oder durch Faktorisieren: \(x_{2,3} = \frac{5}{2} \pm \sqrt{(\frac{5}{2})^2 - 6} = 2{,}5 \pm \sqrt{6{,}25 - 6} = 2{,}5 \pm 0{,}5\). 4. Bestimmung aller Nullstellen: \(x_1 = -1\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = 3\).

Unter den Zahlen \(\pm 1\) und \(\pm 2\) sind \(-1\) und \(2\) Nullstellen. Alle Nullstellen der Funktion \(f\) sind \(x_1 = -1\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = 3\).

- Setze die einzelnen Faktoren der Funktionsgleichung gleich Null, um die Nullstellen zu finden. - Schau dir die Exponenten über den Klammern an, um die Vielfachheit zu bestimmen. - Überlege, was bei geraden Exponenten im Vergleich zu ungeraden Exponenten mit dem Graphen passiert. - Was ist der Unterschied zwischen einer ungeraden Vielfachheit von 1 und einer ungeraden Vielfachheit von 3?

1. Identifikation der Nullstellen durch Nullsetzen der Faktoren: \(x_1 = -3\), \(x_2 = 0\), \(x_3 = 2\). 2. Bestimmung der Vielfachheiten aus den Exponenten der Linearfaktoren: \(x_1 = -3\) ist eine doppelte Nullstelle (Vielfachheit 2), \(x_2 = 0\) ist eine einfache Nullstelle (Vielfachheit 1), \(x_3 = 2\) ist eine dreifache Nullstelle (Vielfachheit 3). 3. Zuordnung des Verlaufs: - Bei \(x_1 = -3\) (gerade Vielfachheit): Der Graph berührt die \(x\)-Achse (Berührpunkt ohne Vorzeichenwechsel). - Bei \(x_2 = 0\) (ungerade Vielfachheit 1): Der Graph schneidet die \(x\)-Achse (einfacher Schnittpunkt mit Vorzeichenwechsel). - Bei \(x_3 = 2\) (ungerade Vielfachheit \(> 1\)): Der Graph schneidet die \(x\)-Achse in einem Terrassenpunkt (Sattelpunkt mit Vorzeichenwechsel).

Nullstellen: \(x = -3\) (Vielfachheit 2): Berührpunkt \(x = 0\) (Vielfachheit 1): einfacher Schnittpunkt \(x = 2\) (Vielfachheit 3): Terrassenpunkt (Sattelpunkt)

- Welcher Faktor kommt in jedem Summanden vor? Kannst du eine Potenz von \(x\) ausklammern? - Wenn ein Produkt null ergibt, was muss dann für die einzelnen Faktoren gelten? - Schau dir den verbleibenden quadratischen Teil genau an. Kannst du ihn mit einer binomischen Formel weiter zerlegen? - Wie lässt sich an den Exponenten der Faktoren ablesen, wie oft eine Nullstelle vorkommt?

1. Ansatz \(g(x) = 0\): \(x^5 - 6x^4 + 9x^3 = 0\). 2. Ausklammern der kleinsten Potenz von \(x\): \(x^3 \cdot (x^2 - 6x + 9) = 0\). 3. Anwendung des Nullprodukt-Satzes: Erste Nullstelle bei \(x_1 = 0\). Da der Faktor \(x\) in der dritten Potenz steht, ist dies eine dreifache Nullstelle. 4. Untersuchung des quadratischen Terms \(x^2 - 6x + 9 = 0\). Erkennen der zweiten binomischen Formel: \((x - 3)^2 = 0\). 5. Daraus folgt die zweite Nullstelle \(x_2 = 3\). Da der Faktor \((x - 3)\) im Quadrat steht, ist dies eine zweifache Nullstelle. 6. Aufstellen der Linearfaktorzerlegung: \(g(x) = x^3 \cdot (x - 3)^2\).

Die Nullstellen sind \(x_1 = 0\) (dreifache Nullstelle) und \(x_2 = 3\) (zweifache Nullstelle). Die Linearfaktorzerlegung lautet: \(g(x) = x^3 \cdot (x - 3)^2\).

- Bei einer Gleichung mit \(x^4\) und \(x^2\) hilft es oft, eine neue Variable für \(x^2\) einzuführen. - Was bedeutet der Exponent an einer Klammer für die Anzahl der Nullstellen an diesem Punkt? - Kannst du die Nullstellen direkt aus der faktorisierten Form ablesen? - Vergiss nicht, nach dem Lösen der Hilfsgleichung für \(u\) wieder auf \(x\) zurückzurechnen.

1. Teilaufgabe a): Substitution \(u = x^2\) führt zur quadratischen Gleichung \(u^2 - 17u + 16 = 0\). Mit der \(p\)-\(q\)-Formel ergeben sich \(u_1 = 16\) und \(u_2 = 1\). Rücksubstitution: \(x^2 = 16 \implies x_{1,2} = \pm 4\) und \(x^2 = 1 \implies x_{3,4} = \pm 1\). Alle vier Nullstellen sind einfach (Vielfachheit 1). 2. Teilaufgabe b): Die Funktion liegt bereits in faktorisierter Form vor. Durch Ablesen der Faktoren ergeben sich die Nullstellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -5\). Die Vielfachheit entspricht dem Exponenten des jeweiligen Faktors: \(x_1 = 0\) (einfach), \(x_2 = 2\) (zweifach bzw. doppelt), \(x_3 = -5\) (einfach).

a) \(x = 1\), \(x = -1\), \(x = 4\), \(x = -4\) (jeweils Vielfachheit 1) b) \(x_1 = 0\) (Vielfachheit 1), \(x_2 = 2\) (Vielfachheit 2), \(x_3 = -5\) (Vielfachheit 1)

- Was passiert, wenn du eine neue Variable für \(x^2\) einführst? - Überlege, welche Werte ein Term wie \(x^2\) oder \(x^4\) annehmen kann, wenn du eine beliebige reelle Zahl einsetzt. - Was bedeutet es für das Ergebnis einer Summe, wenn alle Summanden positiv sind?

1. Substitution \(u = x^2\) führt zur quadratischen Gleichung \(u^2 + 3u + 2 = 0\). 2. Lösung der quadratischen Gleichung ergibt \(u_1 = -1\) und \(u_2 = -2\). 3. Die Rücksubstitution \(x^2 = -1\) und \(x^2 = -2\) liefert im Bereich der reellen Zahlen keine Lösungen, da Quadrate reeller Zahlen niemals negativ sind. Somit hat \(f\) keine reellen Nullstellen. 4. Für die allgemeine Begründung: Da \(x\) nur in geraden Potenzen (\(x^2, x^4, \dots\)) vorkommt, ist jede dieser Potenzen für alle \(x \in \mathbb{R}\) größer oder gleich Null. Da alle Koeffizienten positiv sind, ist auch deren Summe größer oder gleich Null. Durch das positive Absolutglied \(a_0 > 0\) ist der gesamte Funktionswert stets mindestens so groß wie \(a_0\), also \(f(x) \ge a_0 > 0\). Ein Funktionswert von Null kann somit nicht erreicht werden.

a) Substitution \(u = x^2\) ergibt \(u^2 + 3u + 2 = 0\). Die Lösungen \(u_1 = -1\) und \(u_2 = -2\) führen bei der Rücksubstitution \(x^2 = u\) auf keine reellen Lösungen für \(x\). b) Da gerade Potenzen von \(x\) stets nicht-negativ sind und alle Koeffizienten sowie das Absolutglied positiv sind, ist der Funktionswert für jedes \(x\) immer größer als Null (\(f(x) > 0\)).

- Wie gehst du vor, wenn du die gemeinsamen Punkte zweier Funktionsgraphen suchst? - Kannst du die Gleichung so umformen, dass auf einer Seite eine Null steht? - Siehst du einen Faktor, den alle Terme der Gleichung gemeinsam haben? - Wie findet man die passenden \(y\)-Werte zu den bereits berechneten \(x\)-Stellen?

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(x^3 + 2x^2 - 4x + 6 = x^2 - 2x + 6\). 2. Umformen der Gleichung durch Subtraktion von \(x^2\), Addition von \(2x\) und Subtraktion von \(6\) auf beiden Seiten: \(x^3 + x^2 - 2x = 0\). 3. Ausklammern von \(x\): \(x(x^2 + x - 2) = 0\). 4. Anwendung des Nullprodukt-Satzes liefert die erste Lösung \(x_1 = 0\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung \(x^2 + x - 2 = 0\) (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): \(x_{2,3} = -0{,}5 \pm \sqrt{0{,}25 + 2} = -0{,}5 \pm 1{,}5\). Dies ergibt \(x_2 = -2\) und \(x_3 = 1\). 6. Berechnung der zugehörigen \(y\)-Koordinaten durch Einsetzen der \(x\)-Werte in \(g(x)\): \(g(0) = 6\), \(g(-2) = (-2)^2 - 2 \cdot (-2) + 6 = 4 + 4 + 6 = 14\), \(g(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 + 6 = 5\). 7. Angabe der Schnittpunkte: \(S_1(0|6)\), \(S_2(-2|14)\), \(S_3(1|5)\).

Die Schnittpunkte sind \(S_1(0|6)\), \(S_2(-2|14)\) und \(S_3(1|5)\).

- Was ist der erste Schritt, um Nullstellen bei einer Gleichung höheren Grades zu finden? - Kannst du eine Potenz von \(x\) ausklammern, um den Grad der Gleichung zu reduzieren? - Wie erkennst du an der faktorisierten Form der Gleichung, wie oft eine Nullstelle vorkommt? - Was bedeutet es für die Vielfachheit, wenn eine Variable im Quadrat vor einer Klammer steht?

1. Ansatz zur Nullstellenberechnung: \(x^4 - 2x^3 - 3x^2 = 0\). 2. Ausklammern der höchsten gemeinsamen Potenz von \(x\), hier \(x^2\): \(x^2 \cdot (x^2 - 2x - 3) = 0\). 3. Untersuchung der Faktoren gemäß Nullprodukt-Satz: Der Faktor \(x^2\) führt zur Nullstelle \(x_1 = 0\). Da der Faktor quadratisch auftritt, handelt es sich um eine doppelte Nullstelle (Vielfachheit 2). 4. Lösen der verbleibenden quadratischen Gleichung \(x^2 - 2x - 3 = 0\) (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): \(x_{2,3} = 1 \pm \sqrt{1 + 3} = 1 \pm 2\). Dies ergibt \(x_2 = 3\) und \(x_3 = -1\). 5. Da diese Faktoren \((x-3)\) und \((x+1)\) jeweils nur einmal in der faktorisierten Form \(x^2 \cdot (x-3) \cdot (x+1)\) vorkommen, handelt es sich um einfache Nullstellen (Vielfachheit 1).

Die Nullstellen sind \(x_1 = 0\) (Vielfachheit 2), \(x_2 = 3\) (Vielfachheit 1) und \(x_3 = -1\) (Vielfachheit 1).

- Isoliere zuerst den Term mit \(x\), sodass die Potenz allein auf einer Seite steht. - Prüfe nach dem Umstellen, ob die Gleichung überhaupt eine reelle Lösung haben kann. - Erinnere dich daran, welches Vorzeichen das Ergebnis einer geraden Potenz immer hat. - Wie viele Lösungen erwartest du bei einer ungeraden Potenz im Vergleich zu einer geraden Potenz?

1. Division durch \(2\) ergibt \(x^4 = 81\). Ziehen der vierten Wurzel liefert zwei reelle Lösungen, da der Exponent gerade und der Wert positiv ist: \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\). 2. Subtraktion von \(125\) ergibt \(x^3 = -125\). Ziehen der dritten Wurzel aus einer negativen Zahl ist bei ungeradem Exponenten möglich: \(x = \sqrt[3]{-125} = -5\). 3. Subtraktion von \(16\) ergibt \(x^4 = -16\). Da eine vierte Potenz einer reellen Zahl niemals negativ sein kann (\(x^4 \geq 0\)), existiert keine reelle Lösung.

a) \(x_1 = 3, x_2 = -3\) b) \(x = -5\) c) keine reelle Lösung

- Wann wird ein Produkt aus zwei Termen gleich null? - Untersuche die beiden Faktoren des Funktionsterms getrennt voneinander. - Wie viele Lösungen hat eine Gleichung der Form \(x^2 = a\), wenn \(a\) positiv ist? - Die Vielfachheit einer Nullstelle kannst du direkt am Exponenten des entsprechenden Faktors in der Produktform ablesen.

1. Ansatz zur Berechnung der Nullstellen: \(f(x) = 0\), also \(x^4 \cdot (x^2 - 81) = 0\). 2. Anwendung des Satzes vom Nullprodukt: Die Gleichung ist erfüllt, wenn \(x^4 = 0\) oder \(x^2 - 81 = 0\). 3. Lösen von \(x^4 = 0\): Dies führt zur Nullstelle \(x_1 = 0\). Da der Exponent am Faktor \(x\) gleich 4 ist, beträgt die Vielfachheit 4. 4. Lösen von \(x^2 - 81 = 0\): Umformen zu \(x^2 = 81\). Diese Potenzgleichung hat mit \(n=2\) (gerade) und \(c=81 > 0\) zwei reelle Lösungen: \(x_2 = 9\) und \(x_3 = -9\). 5. Da die Faktoren \((x - 9)\) und \((x + 9)\) in der faktorisierten Form \(x^4(x-9)(x+9)\) jeweils nur einmal vorkommen, haben diese Nullstellen jeweils die Vielfachheit 1. 6. Zählen der verschiedenen Nullstellen: Es gibt insgesamt 3 verschiedene reelle Nullstellen (\(0\), \(9\) und \(-9\)).

Die Funktion hat 3 verschiedene reelle Nullstellen: \(x_1 = 0\) mit der Vielfachheit 4, \(x_2 = 9\) mit der Vielfachheit 1, \(x_3 = -9\) mit der Vielfachheit 1.

- Was passiert, wenn du den Wert für \(x\) direkt in den Ausdruck einsetzt? - Kannst du den Term so umformen, dass du \(x^2\) in den ersten beiden Gliedern ausklammerst? - Gibt es eine reelle Zahl, deren Quadrat \(-1\) ergibt?

1. Überprüfung der Nullstelle durch Einsetzen: \(2^3 - 2 \cdot 2^2 + 2 - 2 = 8 - 8 + 2 - 2 = 0\). Somit ist \(x = 2\) eine Nullstelle. 2. Abspaltung des Linearfaktors \((x-2)\) mittels Polynomdivision oder durch geschicktes Ausklammern: \(x^2(x-2) + 1(x-2) = (x-2)(x^2+1)\). 3. Untersuchung des quadratischen Terms \(x^2+1\): Die Gleichung \(x^2+1 = 0\) führt zu \(x^2 = -1\). Da Quadrate reeller Zahlen niemals negativ sind, existieren keine weiteren reellen Nullstellen. 4. Die vollständige Zerlegung lautet: \((x-2)(x^2+1)\).

a) \(2^3 - 2 \cdot 2^2 + 2 - 2 = 0\) b) \((x-2)(x^2+1)\) c) Der Term \(x^2+1\) hat keine reellen Nullstellen, da \(x^2 \geq 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt und somit \(x^2+1 \geq 1\).

- Setze die Funktionsterme zuerst gleich Null. - Isoliere den Term mit der Variablen auf einer Seite der Gleichung. - Überlege dir bei der Vielfachheit, wie oft der entsprechende Linearfaktor in der faktorisierten Form vorkommt. - Prüfe bei geraden Exponenten genau, ob ein negativer Wert auf der anderen Seite der Gleichung überhaupt möglich ist.

1. Nullstellenberechnung durch Gleichsetzen mit Null und Isolieren der Potenz: a) \(5x^4 - 405 = 0 \Leftrightarrow x^4 = 81 \Rightarrow x_{1,2} = \pm 3\). Da \(f(x) = 5(x-3)(x+3)(x^2+9)\), sind beide Nullstellen einfach (Vielfachheit 1). b) \(x^3 + 343 = 0 \Leftrightarrow x^3 = -343 \Rightarrow x = -7\). Da \(x^3+343 = (x+7)(x^2-7x+49)\) und der quadratische Term keine weiteren reellen Nullstellen hat, ist die Nullstelle einfach (Vielfachheit 1). c) \(x^6 = 0 \Rightarrow x = 0\). Die Nullstelle \(x = 0\) hat die Vielfachheit 6. d) \(x^4 + 16 = 0 \Leftrightarrow x^4 = -16\). Da eine vierte Potenz in \(\mathbb{R}\) nie negativ ist, gibt es keine reellen Nullstellen.

a) Nullstellen bei \(x = 3\) und \(x = -3\), jeweils Vielfachheit 1 b) Nullstelle bei \(x = -7\), Vielfachheit 1 c) Nullstelle bei \(x = 0\), Vielfachheit 6 d) Keine reellen Nullstellen

- Überlege dir, wie sich das Vorzeichen ändert, wenn du einen Term in einer ungeraden Potenz umdrehst, zum Beispiel \((a-b)^3\) im Vergleich zu \((b-a)^3\). - Erinnere dich an die binomischen Formeln für höhere Potenzen oder multipliziere die Klammern schrittweise aus. - Eine Nullstelle kann mehrfach vorkommen; achte auf den Exponenten des zugehörigen Linearfaktors. - Wenn ein quadratischer Teilterm keine weiteren reellen Nullstellen hat, beeinflusst er die Vielfachheit der bereits gefundenen Nullstellen nicht.

1. Berechnung der Funktionswerte: Für \(x = 3\) ergeben alle Funktionen den Wert \(0\). Für \(x = 0\) gilt: \(f_1(0) = -27\), \(f_2(0) = -27\), \(f_3(0) = 27\), \(f_4(0) = -27\), \(f_5(0) = -27\). 2. Bestimmung der Nullstellen: \(f_1\) hat die Nullstelle \(x = 3\) mit der Vielfachheit 3. \(f_2\) hat nur die reelle Nullstelle \(x = 3\) mit der Vielfachheit 1, da \(x^2 + 3x + 9 = 0\) keine reellen Lösungen besitzt. \(f_3\) hat die Nullstelle \(x = 3\) mit der Vielfachheit 3. \(f_4\) hat die reelle Nullstelle \(x = 3\) mit der Vielfachheit 1. \(f_5\) hat die Nullstelle \(x = 3\) mit der Vielfachheit 3. 3. Vergleich der Funktionen: Durch Anwendung der binomischen Formel \((a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\) ergibt sich \(f_1(x) = x^3 - 9x^2 + 27x - 27\), also \(f_1 = f_5\). Durch Ausmultiplizieren oder Anwendung der Formel für die Differenz von Potenzen \(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\) ergibt sich \(f_4(x) = x^3 - 27\), also \(f_2 = f_4\). \(f_3\) ist wegen \(f_3(0) = 27\) zu keiner anderen Funktion identisch (\(f_3(x) = -(x-3)^3\)).

a) \(f_1(3)=f_2(3)=f_3(3)=f_4(3)=f_5(3)=0\); \(f_1(0)=-27, f_2(0)=-27, f_3(0)=27, f_4(0)=-27, f_5(0)=-27\). b) \(f_1, f_3, f_5\): \(x = 3\) (3-fach); \(f_2, f_4\): \(x = 3\) (1-fach). c) \(f_1 = f_5\) und \(f_2 = f_4\).

- Wie viele Lösungen kann eine Gleichung der Form \(x^n = a\) haben, wenn \(n\) gerade ist? - Unterscheidet sich das Ergebnis, wenn \(n\) ungerade ist? - Überlege dir, wie der Graph einer Potenzfunktion mit geradem bzw. ungeradem Exponenten aussieht. - Was passiert mit dem Graphen, wenn man einen Wert \(c\) subtrahiert?

1. Für \(c = 16\) gilt \(f(x) = x^4 - 16\). Die Nullstellenberechnung \(x^4 = 16\) ergibt \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). 2. Für \(c = 16\) gilt \(g(x) = x^5 - 16\). Die Gleichung \(x^5 = 16\) führt zur Nullstelle \(x = \sqrt[5]{16} \approx 1{,}74\). 3. Für \(c = -32\) gilt \(f(x) = x^4 + 32\). Die Gleichung \(x^4 = -32\) hat keine reelle Lösung, da Potenzen mit geraden Exponenten nie negativ sind. \(f\) hat also keine Nullstellen. 4. Für \(c = -32\) gilt \(g(x) = x^5 + 32\). Die Gleichung \(x^5 = -32\) ergibt die Nullstelle \(x = \sqrt[5]{-32} = -2\). 5. Die Funktion \(f\) hat eine gerade Potenz. \(x^4 = c\) hat genau eine Lösung für \(c = 0\) (die Nullstelle \(x = 0\)). Für \(c > 0\) gibt es zwei und für \(c < 0\) keine Nullstellen. 6. Die Funktion \(g\) hat eine ungerade Potenz. Da die Funktion \(g(x) = x^5 - c\) streng monoton steigend ist, besitzt sie für jeden Wert von \(c \in \mathbb{R}\) genau eine reelle Nullstelle.

a) \(f\): \(x_1 = 2\), \(x_2 = -2\); \(g\): \(x = \sqrt[5]{16} \approx 1{,}74\) b) \(f\): keine reellen Nullstellen; \(g\): \(x = -2\) c) \(f\) hat genau eine Nullstelle für \(c = 0\). \(g\) hat für jeden beliebigen Wert von \(c\) genau eine Nullstelle.

- Erinnere dich an den Unterschied zwischen Wurzeln aus positiven und negativen Zahlen bei geraden und ungeraden Wurzelexponenten. - Überlege, ob eine Zahl, die mit sich selbst sechsmal multipliziert wird, negativ sein kann. - Wie viele Lösungen erwartest du bei einer achsensymmetrischen Funktion im Vergleich zu einer punktsymmetrischen Funktion?

1. Fall \(a = 1\): Gleichung (1) \(x^6 = 1\) hat die Lösungen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\), also \(L = \{-1; 1\}\). Gleichung (2) \(x^7 = 1\) hat nur die Lösung \(x = 1\), also \(L = \{1\}\). 2. Fall \(a = -128\): Gleichung (1) \(x^6 = -128\) hat keine reelle Lösung, da \(x^6 \geq 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), also \(L = \emptyset\). Gleichung (2) \(x^7 = -128\) ergibt \(x = \sqrt[7]{-128} = -2\), also \(L = \{-2\}\). 3. Analyse für (1): Da der Exponent \(6\) gerade ist, hat die Gleichung \(x^6 = a\) für \(a > 0\) zwei Lösungen, für \(a = 0\) genau eine Lösung (\(x = 0\)) und für \(a < 0\) keine Lösung. 4. Analyse für (2): Da der Exponent \(7\) ungerade ist, gibt es für jede reelle Zahl \(a\) (positiv, negativ oder Null) genau eine reelle Lösung \(x = \sqrt[7]{a}\).

a) (1) \(L = \{-1; 1\}\); (2) \(L = \{1\}\) b) (1) \(L = \emptyset\); (2) \(L = \{-2\}\) c) Gleichung (1) hat genau eine Lösung für \(a = 0\). Gleichung (2) hat genau eine Lösung für alle \(a \in \mathbb{R}\).

- Kannst du die Terme in den Klammern mithilfe der binomischen Formeln weiter zerlegen? - Was bedeutet es für den Graphen an einer Nullstelle, wenn die Vielfachheit gerade oder ungerade ist? - Erinnere dich an den Unterschied zwischen einem Schnittpunkt und einem Berührpunkt (Extrempunkt) auf der \(x\)-Achse.

1. Faktorisierung des ersten Terms mittels der dritten binomischen Formel: \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\). 2. Faktorisierung des zweiten Terms mittels der zweiten binomischen Formel: \(x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2\). 3. Zusammenführung zur vollständig faktorisierten Form: \(h(x) = (x - 1) \cdot (x + 1) \cdot (x - 5)^2\). 4. Identifikation der Nullstellen: \(x_1 = 1\), \(x_2 = -1\) und \(x_3 = 5\). 5. Analyse der Vielfachheiten: Die Nullstellen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\) treten jeweils mit der Vielfachheit 1 auf (ungerade). Die Nullstelle \(x_3 = 5\) tritt mit der Vielfachheit 2 auf (gerade). 6. Schlussfolgerung: Bei ungerader Vielfachheit findet ein Vorzeichenwechsel statt, der Graph schneidet die \(x\)-Achse. Bei gerader Vielfachheit findet kein Vorzeichenwechsel statt, der Graph berührt die \(x\)-Achse nur.

Der Graph schneidet die \(x\)-Achse an den Stellen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\), da dies einfache Nullstellen (ungerade Vielfachheit) sind. Er berührt die \(x\)-Achse an der Stelle \(x_3 = 5\), da dies eine doppelte Nullstelle (gerade Vielfachheit) ist.

- Welche Form der Funktionsgleichung ist am besten geeignet, wenn die Nullstellen direkt gegeben sind? - Wie kannst du die Koordinaten eines gegebenen Punktes nutzen, um den Streckfaktor \(a\) zu berechnen? - Was musst du tun, um ein Produkt aus zwei Klammern vollständig aufzulösen?

1. Ansatz der Linearfaktordarstellung: \(g(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\). Einsetzen der Nullstellen ergibt \(g(x) = a(x + 1)(x - 3)\). 2. Bestimmung von \(a\) durch Einsetzen des Punktes \(P(2 | -6)\): \(-6 = a \cdot (2 + 1) \cdot (2 - 3) \implies -6 = a \cdot 3 \cdot (-1) \implies -6 = -3a \implies a = 2\). Die Linearfaktordarstellung ist somit \(g(x) = 2(x + 1)(x - 3)\). 3. Ausmultiplizieren der Klammern: \(g(x) = 2(x^2 - 3x + x - 3) = 2(x^2 - 2x - 3)\). 4. Verteilung des Faktors \(2\): \(g(x) = 2x^2 - 4x - 6\).

a) \(g(x) = 2(x + 1)(x - 3)\) b) \(g(x) = 2x^2 - 4x - 6\)

- Welche Rechenregel nutzt du, um zwei Klammern miteinander zu multiplizieren? - In welcher Reihenfolge gehst du am besten vor, wenn du drei Klammern und einen Vorfaktor hast? - Überlege dir, wie der Term mit der höchsten Potenz \(x^3\) zustande kommt, wenn du die Klammern ansiehst. - Was passiert mit dem Vorfaktor ganz am Ende der Rechnung?

1. Zuerst werden zwei Klammern multipliziert: \((x - 1) \cdot (x + 2) = x^2 + 2x - x - 2 = x^2 + x - 2\). Dieses Ergebnis wird mit der dritten Klammer multipliziert: \((x^2 + x - 2) \cdot (x - 4) = x^3 - 4x^2 + x^2 - 4x - 2x + 8 = x^3 - 3x^2 - 6x + 8\). Zuletzt wird der gesamte Ausdruck mit dem Vorfaktor \(3\) multipliziert: \(f(x) = 3x^3 - 9x^2 - 18x + 24\). 2. Der Koeffizient \(a_3\) ist \(3\). Dies entspricht genau dem Vorfaktor in der Linearfaktordarstellung. Allgemein entsteht die höchste Potenz \(x^n\) nur, wenn aus jeder der \(n\) Klammern das \(x\) gewählt und miteinander multipliziert wird. Da dieser Term \(1 \cdot x^n\) anschließend mit dem äußeren Faktor \(a_n\) multipliziert wird, ergibt sich zwingend \(a_n \cdot x^n\) als führendes Glied.

1. Die allgemeine Form lautet \(f(x) = 3x^3 - 9x^2 - 18x + 24\). 2. Es ist \(a_3 = 3\). Der Wert ist identisch, da der Term \(x^3\) beim Ausmultiplizieren der Klammern den Koeffizienten \(1\) besitzt und erst durch die Multiplikation mit dem äußeren Faktor den Wert \(a_3\) annimmt.

- Denke bei \((x+1)^2\) an die erste binomische Formel. - Was bedeutet „Leitkoeffizient“ und an welcher Stelle im Polynom steht er? - Wie erhält man die Zahl ohne \(x\) (das Absolutglied) beim Ausmultiplizieren? - Kannst du eine Abkürzung finden, um nur den ersten Term der Normalform zu bestimmen?

1. Zuerst wird die binomische Formel angewendet: \((x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1\). Danach wird dieses Ergebnis mit der verbleibenden Klammer multipliziert: \((x^2 + 2x + 1) \cdot (x - 3) = x^3 - 3x^2 + 2x^2 - 6x + x - 3 = x^3 - x^2 - 5x - 3\). Multiplikation mit dem Vorfaktor \(-2\) liefert die Normalform: \(p(x) = -2x^3 + 2x^2 + 10x + 6\). 2. Der Leitkoeffizient ist \(a_3 = -2\), das Absolutglied ist \(a_0 = 6\). 3. Der Leitkoeffizient \(a_3\) ist identisch mit dem Faktor, der vor dem Produkt der Linearfaktoren steht. Da in den Klammern jeweils nur \(1 \cdot x\) steht, ergibt das Produkt der \(x\)-Terme genau \(1 \cdot x^3\). Dieser wird am Ende mit dem äußeren Faktor multipliziert.

1. Die Normalform ist \(p(x) = -2x^3 + 2x^2 + 10x + 6\). 2. \(a_3 = -2\) und \(a_0 = 6\). 3. Der Leitkoeffizient \(a_3\) kann direkt als der Faktor abgelesen werden, der vor den Linearfaktoren steht (hier \(-2\)), sofern die \(x\)-Werte in den Klammern keinen eigenen Koeffizienten ungleich \(1\) haben.

- Erinnere dich an die binomischen Formeln für den ersten Schritt. - Was bedeutet „Normalform“ bei einem Polynom? - Wie erkennt man den Grad und den Leitkoeffizienten in der Normalform? - In welcher Form der Funktion lassen sich die Nullstellen am einfachsten ablesen? - Was sagt der Exponent über einer Klammer in der Produktform über die Nullstelle aus?

1. Ausmultiplizieren des Quadrats: \((x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1\). 2. Multiplikation mit der ersten Klammer: \((x + 2) \cdot (x^2 - 2x + 1) = x \cdot (x^2 - 2x + 1) + 2 \cdot (x^2 - 2x + 1) = x^3 - 2x^2 + x + 2x^2 - 4x + 2\). 3. Zusammenfassen der Terme: \(f(x) = x^3 - 3x + 2\). 4. Der höchste Exponent von \(x\) ist \(3\), also ist der Grad \(n = 3\). Der Koeffizient vor \(x^3\) ist \(1\), dies ist der Leitkoeffizient. 5. Die Nullstellen lassen sich direkt aus der faktorisierten Form ablesen: \(x + 2 = 0 \implies x_1 = -2\) und \(x - 1 = 0 \implies x_2 = 1\). 6. Die Vielfachheit entspricht den Exponenten der Linearfaktoren: \(x_1 = -2\) ist eine einfache Nullstelle (Exponent 1), \(x_2 = 1\) ist eine doppelte Nullstelle (Exponent 2).

a) \(f(x) = x^3 - 3x + 2\) b) Der Grad der Funktion ist \(3\), der Leitkoeffizient ist \(1\). c) Die Nullstellen sind \(x_1 = -2\) (einfache Nullstelle) und \(x_2 = 1\) (doppelte Nullstelle).

- Was muss das Ergebnis sein, wenn du eine Zahl in die Funktionsgleichung einsetzt, damit sie eine Nullstelle ist? - Erinnerst du dich an die Polynomdivision oder das Horner-Schema? - Achte bei der Division auf die Vorzeichen, besonders wenn du durch einen Term wie \((x + 1)\) teilst. - Kannst du eine quadratische Gleichung lösen, bei der der Koeffizient vor dem \(x^2\) nicht \(1\) ist?

1. Überprüfung der Testwerte durch Einsetzen: \(g(-1) = 2 \cdot (-1)^3 - 5 \cdot (-1)^2 - 4 \cdot (-1) + 3 = -2 - 5 + 4 + 3 = 0\) \(g(2) = 2 \cdot 2^3 - 5 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 16 - 20 - 8 + 3 = -9 \neq 0\) \(g(1{,}5) = 2 \cdot (1{,}5)^3 - 5 \cdot (1{,}5)^2 - 4 \cdot 1{,}5 + 3 = 6{,}75 - 11{,}25 - 6 + 3 = -7{,}5 \neq 0\) Damit ist \(x_1 = -1\) die gesuchte Nullstelle aus der Liste. 2. Durchführung der Polynomdivision zur Reduktion des Grades: \((2x^3 - 5x^2 - 4x + 3) : (x + 1) = 2x^2 - 7x + 3\) 3. Bestimmung der Nullstellen des quadratischen Terms \(2x^2 - 7x + 3 = 0\): Division durch \(2\) ergibt \(x^2 - 3{,}5x + 1{,}5 = 0\). Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x_{2,3} = 1{,}75 \pm \sqrt{1{,}75^2 - 1{,}5} = 1{,}75 \pm \sqrt{3{,}0625 - 1{,}5} = 1{,}75 \pm \sqrt{1{,}5625} = 1{,}75 \pm 1{,}25\) Daraus folgen die weiteren Nullstellen \(x_2 = 3\) und \(x_3 = 0{,}5\).

Die Zahl \(-1\) ist eine Nullstelle von \(g\). Die weiteren Nullstellen sind \(x_2 = 3\) und \(x_3 = 0{,}5\).

- Unterscheide zwischen der „maximal möglichen“ Anzahl und der „tatsächlichen“ Anzahl von Nullstellen. - Überlege dir, ob eine Potenzfunktion wie \(x^3 + 10\) wirklich drei verschiedene Stellen hat, an denen sie die \(x\)-Achse schneidet. - Wie verändert sich der Exponent einer Potenz, wenn man die gesamte Potenz noch einmal quadriert?

1. Zu a): Bei \(n=8\) ist der Funktionsterm \(p(x) = x^8 - x + 10\). Da der Grad der Funktion 8 ist, kann sie nach dem Satz über die Anzahl der Nullstellen ganzrationaler Funktionen höchstens 8 Nullstellen haben. 2. Zu b): Die Aussage ist falsch. Der Grad gibt lediglich die maximale Anzahl an Nullstellen an. Eine Funktion vom Grad 3 kann 1, 2 oder 3 Nullstellen haben (im Reellen). Ein Gegenbeispiel ist \(f(x) = x^3 + x = x(x^2 + 1)\), welche nur die Nullstelle \(x=0\) besitzt, da \(x^2+1\) keine weiteren reellen Nullstellen hat. 3. Zu c): Durch Anwendung der binomischen Formel oder Überlegung zur höchsten Potenz ergibt sich \((x^3)^2 = x^6\). Der Term lautet \(k(x) = 9x^6 - 12x^3 + 4\). Der Grad der Funktion ist 6. Somit kann die Funktion höchstens 6 Nullstellen besitzen.

a) Maximal 8 Nullstellen. b) Die Aussage ist falsch; der Grad gibt nur die Höchstzahl an. Beispiel: \(f(x) = x^3 + x\) hat nur eine Nullstelle. c) Grad 6; maximal 6 Nullstellen.

- Welche ganzzahligen Werte könnten als Nullstellen infrage kommen? Schau dir das Absolutglied an. - Wenn du eine Nullstelle gefunden hast, wie kannst du den Grad der Funktion reduzieren? - Erinnere dich an Verfahren wie die Polynomdivision oder das Horner-Schema. - Wie sieht die allgemeine Form eines Linearfaktors aus, wenn eine Nullstelle bekannt ist?

1. Durch Probieren von Teilern des Absolutglieds \(-12\) findet man die erste Nullstelle \(x_1 = -1\), da \(f(-1) = (-1)^3 + 2 \cdot (-1)^2 - 11 \cdot (-1) - 12 = -1 + 2 + 11 - 12 = 0\). 2. Durchführung einer Polynomdivision oder Anwendung des Horner-Schemas: \((x^3 + 2x^2 - 11x - 12) : (x + 1) = x^2 + x - 12\). 3. Bestimmung der Nullstellen des verbleibenden quadratischen Terms \(x^2 + x - 12 = 0\) mit der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x_{2,3} = -0{,}5 \pm \sqrt{0{,}25 + 12} = -0{,}5 \pm 3{,}5\). Dies liefert \(x_2 = 3\) und \(x_3 = -4\). 4. Die Nullstellen sind \(x_1 = -1\), \(x_2 = 3\) und \(x_3 = -4\). Die Linearfaktorform lautet \(f(x) = (x + 1)(x - 3)(x + 4)\).

Nullstellen: \(x_1 = -1\); \(x_2 = 3\); \(x_3 = -4\) Linearfaktorform: \(f(x) = (x + 1)(x - 3)(x + 4)\)

- Ein systematisches Probieren kleiner ganzzahliger Teiler des letzten Koeffizienten führt oft zur ersten Nullstelle. - Nachdem du eine Nullstelle gefunden hast, kannst du die Funktion in ein Produkt aus einem Linearfaktor und einem quadratischen Term zerlegen. - Überlege dir, was es für die Vielfachheit bedeutet, wenn ein Wert bei der Berechnung mehrfach als Lösung auftaucht.

1. Suche einer ersten Nullstelle durch Testen von Teilern der Zahl \(18\): Für \(x_1 = 3\) gilt \(g(3) = 3^3 - 4 \cdot 3^2 - 3 \cdot 3 + 18 = 27 - 36 - 9 + 18 = 0\). 2. Reduktion des Polynomgrads durch Polynomdivision: \((x^3 - 4x^2 - 3x + 18) : (x - 3) = x^2 - x - 6\). 3. Berechnung der weiteren Nullstellen aus \(x^2 - x - 6 = 0\) mithilfe der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x_{2,3} = 0{,}5 \pm \sqrt{0{,}25 + 6} = 0{,}5 \pm 2{,}5\). Man erhält \(x_2 = 3\) und \(x_3 = -2\). 4. Zusammenfassung der Ergebnisse: Da der Wert \(3\) zweimal als Nullstelle berechnet wurde, handelt es sich um eine doppelte Nullstelle (Vielfachheit 2). Der Wert \(-2\) trat einmal auf und ist somit eine einfache Nullstelle (Vielfachheit 1).

Nullstellen: \(x = 3\) (zweifach bzw. Vielfachheit 2) und \(x = -2\) (einfach bzw. Vielfachheit 1).

- Überlege dir, wie du durch systematisches Testen kleiner Ganzzahlen eine erste Nullstelle finden kannst. - Wenn du eine Nullstelle \(x_0\) kennst, kannst du den Grad des Polynoms durch Division durch \((x - x_0)\) reduzieren. - Achte beim Aufstellen der Linearfaktoren darauf, den Leitkoeffizienten nicht zu vergessen. - Kannst du das Ergebnis überprüfen, indem du die Faktoren wieder ausmultiplizierst?

1. Nach Multiplikation mit dem Hauptnenner \(4\) testet man kleine ganzzahlige Teiler des Absolutglieds \(-6\). So findet man die erste Nullstelle \(x_1 = 1\), da \(f(1) = \frac{1}{4} - \frac{6}{4} + \frac{11}{4} - \frac{6}{4} = 0\). 2. Durchführung einer Polynomdivision oder Anwendung des Horner-Schemas: \((\frac{1}{4}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + \frac{11}{4}x - \frac{3}{2}) : (x - 1) = \frac{1}{4}x^2 - \frac{5}{4}x + \frac{3}{2}\). 3. Nullstellen des quadratischen Terms bestimmen: \(\frac{1}{4}x^2 - \frac{5}{4}x + \frac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow x^2 - 5x + 6 = 0\). Mithilfe der \(p\)-\(q\)-Formel ergeben sich \(x_{2,3} = \frac{5}{2} \pm \sqrt{(\frac{5}{2})^2 - 6} = 2{,}5 \pm 0{,}5\). Somit sind \(x_2 = 2\) und \(x_3 = 3\). 4. Aufstellen der Produktdarstellung unter Berücksichtigung des Leitkoeffizienten \(a = \frac{1}{4}\): \(f(x) = \frac{1}{4}(x - 1)(x - 2)(x - 3)\).

Die Nullstellen sind \(x_1 = 1\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = 3\). Die Produktdarstellung lautet \(f(x) = \frac{1}{4}(x - 1)(x - 2)(x - 3)\).

- Setze den gegebenen Wert einfach in die Funktionsgleichung ein, um die erste Bedingung zu prüfen. - Nutze die Polynomdivision, um das Problem auf eine quadratische Gleichung zurückzuführen. - Erinnere dich daran, was es bedeutet, wenn eine Nullstelle bei der Berechnung der quadratischen Gleichung erneut auftaucht. - Die Vielfachheit einer Nullstelle erkennt man in der Produktdarstellung am Exponenten des jeweiligen Linearfaktors.

1. Nachweis der Nullstelle durch Einsetzen: \(p(1) = 2(1)^3 + 2(1)^2 - 10(1) + 6 = 2 + 2 - 10 + 6 = 0\). Damit ist \(x_1 = 1\) eine Nullstelle. 2. Reduktion des Polynoms mittels Polynomdivision: \((2x^3 + 2x^2 - 10x + 6) : (x - 1) = 2x^2 + 4x - 6\). 3. Nullstellenbestimmung des resultierenden quadratischen Terms: \(2x^2 + 4x - 6 = 0 \Leftrightarrow x^2 + 2x - 3 = 0\). Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel liefert \(x = -1 \pm \sqrt{1 + 3}\), woraus erneut \(x = 1\) sowie \(x = -3\) folgen. 4. Analyse der Vielfachheiten: Da der Wert \(1\) zweimal als Nullstelle auftritt, handelt es sich um eine doppelte Nullstelle. \(x = -3\) ist eine einfache Nullstelle. 5. Produktdarstellung unter Einbezug des Leitkoeffizienten \(2\): \(p(x) = 2(x - 1)^2(x + 3)\).

Die Nullstellen sind \(x_1 = 1\) (doppelte Nullstelle) und \(x_2 = -3\) (einfache Nullstelle). Die Produktdarstellung lautet \(p(x) = 2(x - 1)^2(x + 3)\).

- Du kannst nacheinander durch die bekannten Linearfaktoren dividieren. - Was passiert mit dem Grad des Polynoms bei jeder Division? - Erinnerst du dich, wie man ein Polynom schreibt, wenn alle seine Nullstellen bekannt sind? - Achte beim Dividieren besonders auf die Vorzeichen der Linearfaktoren.

1. Erste Polynomdivision durch den Linearfaktor \((x - 1)\): \((x^4 + 2x^3 - 7x^2 - 8x + 12) : (x - 1) = x^3 + 3x^2 - 4x - 12\). 2. Zweite Polynomdivision des Ergebnisses durch den zweiten bekannten Linearfaktor \((x + 2)\): \((x^3 + 3x^2 - 4x - 12) : (x + 2) = x^2 + x - 6\). 3. Berechnung der verbleibenden Nullstellen durch Lösen der Gleichung \(x^2 + x - 6 = 0\). Dies ergibt \(x_3 = 2\) und \(x_4 = -3\). 4. Angabe der vollständigen Linearfaktorzerlegung unter Berücksichtigung aller vier Nullstellen: \(p(x) = (x - 1)(x + 2)(x - 2)(x + 3)\).

Die vollständige Linearfaktorzerlegung lautet: \(p(x) = (x - 1)(x + 2)(x - 2)(x + 3)\)

- Wie oft kannst du die Division durchführen, ohne dass ein Rest ungleich Null bleibt? - Was sagt das Ergebnis der Division an der Stelle \(x = 2\) über die weitere Teilbarkeit aus? - Kannst du den quadratischen Restterm am Ende noch weiter zerlegen?

1. Nachweis der Nullstelle: \(f(2) = 2^4 - 4 \cdot 2^3 + 3 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 - 4 = 16 - 32 + 12 + 8 - 4 = 0\) 2. Erste Polynomdivision: \((x^4 - 4x^3 + 3x^2 + 4x - 4) : (x - 2) = x^3 - 2x^2 - x + 2\) 3. Zweite Polynomdivision: \((x^3 - 2x^2 - x + 2) : (x - 2) = x^2 - 1\) 4. Prüfung auf weitere Teilbarkeit: Für \(g(x) = x^2 - 1\) gilt \(g(2) = 2^2 - 1 = 3 \neq 0\). Der Faktor lässt sich somit genau zweimal abspalten; die Vielfachheit ist 2. 5. Vollständige Faktorisierung: Mit \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\) ergibt sich \(f(x) = (x - 2)^2 \cdot (x - 1) \cdot (x + 1)\).

Die Nullstelle \(x_0 = 2\) hat die Vielfachheit 2 (doppelte Nullstelle). Die vollständige Faktorisierung lautet \(f(x) = (x - 2)^2 \cdot (x - 1) \cdot (x + 1)\).

- Führe die Polynomdivision schrittweise nacheinander aus. - Achte darauf, dass bei jedem der drei Schritte der Rest der Division Null sein muss. - Prüfe am Ende, ob der verbleibende Term \(g(x)\) an der Stelle \(x = 2\) ebenfalls Null ergibt.

1. Erste Polynomdivision: \((x^4 - 3x^3 - 6x^2 + 28x - 24) : (x - 2) = x^3 - x^2 - 8x + 12\) 2. Zweite Polynomdivision: \((x^3 - x^2 - 8x + 12) : (x - 2) = x^2 + x - 6\) 3. Dritte Polynomdivision: \((x^2 + x - 6) : (x - 2) = x + 3\) 4. Identifikation des Restterms: \(g(x) = x + 3\) 5. Begründung der Vielfachheit: Da \(g(2) = 2 + 3 = 5 \neq 0\), ist \(x = 2\) keine Nullstelle von \(g(x)\). Der Linearfaktor \((x - 2)\) lässt sich somit kein viertes Mal abspalten.

Nach dreimaligem Abspalten bleibt der Term \(g(x) = x + 3\) übrig. Da \(g(2) = 5 \neq 0\) ist, ist \(x_0 = 2\) eine dreifache, aber keine vierfache Nullstelle.

- Wann wird ein Produkt aus zwei Klammern genau Null? - Kannst du die Terme in den Klammern einzeln untersuchen? - Erkennst du in der zweiten Klammer eine binomische Formel? - Wie oft kommt ein Wert als Lösung vor, wenn die zugehörige Klammer quadriert wird?

1. Zur Bestimmung der Nullstellen wird der Funktionsterm gleich Null gesetzt: \( (x^2 - 5)(x^2 + 4x + 4) = 0 \). 2. Anwendung des Satzes vom Nullprodukt: Ein Produkt ist Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Somit gilt \( x^2 - 5 = 0 \) oder \( x^2 + 4x + 4 = 0 \). 3. Untersuchung des ersten Faktors: \( x^2 - 5 = 0 \) führt zu \( x^2 = 5 \). Daraus ergeben sich die Nullstellen \( x_1 = \sqrt{5} \) und \( x_2 = -\sqrt{5} \). Da diese Faktoren in der Linearfaktordarstellung nur einmal vorkommen, handelt es sich um einfache Nullstellen. 4. Untersuchung des zweiten Faktors: \( x^2 + 4x + 4 = 0 \). Mithilfe der ersten binomischen Formel lässt sich dieser Ausdruck als \( (x + 2)^2 = 0 \) schreiben. 5. Daraus ergibt sich die Nullstelle \( x_3 = -2 \). Da der Faktor im Quadrat steht, handelt es sich um eine doppelte Nullstelle.

Die Nullstellen sind \( x_1 = \sqrt{5} \) (einfach), \( x_2 = -\sqrt{5} \) (einfach) und \( x_3 = -2 \) (doppelt).

- Welche Zahlen kommen als ganzzahlige Nullstellen überhaupt infrage? - Wie kannst du eine gefundene Nullstelle nutzen, um den Funktionsterm zu vereinfachen? - Wie viele Nullstellen kann eine Funktion vierten Grades maximal besitzen? - Was musst du tun, wenn nach der ersten Division noch ein Term dritten Grades übrig bleibt?

1. Bestimmung der ganzzahligen Teiler des Absolutglieds \(10\): \(\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10\). 2. Testen der Teiler ergibt die Nullstellen \(x_1 = 1\) (da \(1 + 1 - 7 - 5 + 10 = 0\)) und \(x_2 = -2\) (da \(16 - 8 - 28 + 10 + 10 = 0\)). 3. Durchführung der ersten Polynomdivision: \((x^4 + x^3 - 7x^2 - 5x + 10) : (x - 1) = x^3 + 2x^2 - 5x - 10\). 4. Durchführung der zweiten Polynomdivision: \((x^3 + 2x^2 - 5x - 10) : (x + 2) = x^2 - 5\). 5. Lösen der verbleibenden quadratischen Gleichung \(x^2 - 5 = 0\) ergibt \(x_{3,4} = \pm \sqrt{5}\).

Die Nullstellen sind \(x_1 = 1\), \(x_2 = -2\), \(x_3 = \sqrt{5}\) und \(x_4 = -\sqrt{5}\).

- Was muss für den Funktionswert an einer Nullstelle gelten? - Gibt es eine Beziehung zwischen den Exponenten, die eine Ersetzung sinnvoll macht? - Wie viele Lösungen hat eine Gleichung der Form \(x^3 = a\) im Bereich der reellen Zahlen? - Denke daran, am Ende die Ersetzung wieder rückgängig zu machen.

1. Ansatz für die Nullstellen: \(x^6 + 26x^3 - 27 = 0\). 2. Substitution von \(z = x^3\) ergibt die quadratische Gleichung \(z^2 + 26z - 27 = 0\). 3. Lösen der quadratischen Gleichung: \(z_{1,2} = -13 \pm \sqrt{169 + 27} = -13 \pm \sqrt{196} = -13 \pm 14\). Man erhält \(z_1 = 1\) und \(z_2 = -27\). 4. Resubstitution: Für \(z_1 = 1\): \(x^3 = 1 \Rightarrow x_1 = \sqrt[3]{1} = 1\). Für \(z_2 = -27\): \(x^3 = -27 \Rightarrow x_2 = \sqrt[3]{-27} = -3\). Die reellen Nullstellen der Funktion sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -3\).

\(x_1 = 1\), \(x_2 = -3\)

- Wie kannst du eine erste Nullstelle finden, wenn kein Verfahren direkt offensichtlich ist? - Welcher Teil des Funktionsterms bestimmt das Verhalten für sehr große oder sehr kleine \( x \)-Werte? - Wie verhält sich das Vorzeichen einer Funktion beim Passieren einer einfachen Nullstelle? - Kannst du die Funktion in Linearfaktoren zerlegen, um die Vorzeichenbereiche leichter zu bestimmen?

1. Durch Probieren findet man die Nullstelle \( x_1 = 1 \). Die Polynomdivision \( (x^3 - 4x^2 - 7x + 10) : (x - 1) \) ergibt \( x^2 - 3x - 10 \). Die weiteren Nullstellen berechnen sich aus \( x^2 - 3x - 10 = 0 \) zu \( x_2 = -2 \) und \( x_3 = 5 \). 2. Da der Leitterm \( x^3 \) einen positiven Koeffizienten und einen ungeraden Grad hat, gilt: Für \( x \to \infty \) folgt \( f(x) \to \infty \); für \( x \to -\infty \) folgt \( f(x) \to -\infty \). 3. Die Nullstellen teilen die \( x \)-Achse in die Intervalle \( (-\infty; -2) \), \( (-2; 1) \), \( (1; 5) \) und \( (5; \infty) \). Durch Untersuchung der Vorzeichen (oder Berücksichtigung des Verhaltens im Unendlichen und der einfachen Nullstellen) ergibt sich: \( f(x) < 0 \) für \( x \in (-\infty; -2) \cup (1; 5) \). \( f(x) > 0 \) für \( x \in (-2; 1) \cup (5; \infty) \).

1. Nullstellen: \( x_1 = -2 \), \( x_2 = 1 \), \( x_3 = 5 \). 2. Verhalten: \( f(x) \to \infty \) für \( x \to \infty \) und \( f(x) \to -\infty \) für \( x \to -\infty \). 3. Positiv: \( x \in (-2; 1) \cup (5; \infty) \); Negativ: \( x \in (-\infty; -2) \cup (1; 5) \).

- Überlege dir, wie du die Nullstellen direkt in den Funktionsterm einbauen kannst. - Erinnere dich an die Linearfaktorzerlegung von Polynomen. - Wie hängen die Vielfachheiten der Nullstellen mit dem Grad der Funktion zusammen? - Wenn der Grad einer Funktion größer ist als die Anzahl ihrer verschiedenen Nullstellen, was bedeutet das für die Exponenten der Faktoren?

1. Aufstellen der Linearfaktorform \(f(x) = a \cdot (x - x_1)^{k_1} \cdot (x - x_2)^{k_2} \cdot \dots\) 2. Für Teilaufgabe a): Da der Grad 3 ist und drei einfache Nullstellen vorliegen, ergibt sich durch Multiplikation der Linearfaktoren \(f(x) = (x + 4) \cdot x \cdot (x - 1)\). 3. Für Teilaufgabe b): Da der Grad 4 ist, aber nur zwei Nullstellen existieren sollen, müssen diese eine höhere Vielfachheit besitzen. Ein möglicher Ansatz ist \(f(x) = (x + 2)^2 \cdot (x - 5)^2\). 4. Für Teilaufgabe c): Genau zwei Nullstellen bei Grad 3 bedeuten, dass eine Nullstelle einfach und die andere doppelt sein muss. Mit der Nullstelle bei \(x = 3\) als doppelter Nullstelle und einer beliebig gewählten zweiten Nullstelle (z. B. \(x = 0\)) ergibt sich \(f(x) = x \cdot (x - 3)^2\).

Mögliche Funktionsterme sind: a) \(f(x) = x(x + 4)(x - 1)\) b) \(f(x) = (x + 2)^2(x - 5)^2\) c) \(f(x) = x(x - 3)^2\)

- Schau dir zuerst an, an welchen Stellen der Graph die x-Achse schneidet oder berührt. Das sind die Nullstellen der Funktion. - Was bedeutet es für den Funktionsterm, wenn der Graph die x-Achse an einer Stelle schneidet (Vorzeichenwechsel) oder nur berührt (kein Vorzeichenwechsel)? - Überlege dir, wie sich die Vielfachheit einer Nullstelle im Exponenten des zugehörigen Linearfaktors widerspiegelt. - Achte auf das Verhalten des Graphen für sehr große und sehr kleine x-Werte. Geht der Graph nach oben oder nach unten? Was sagt das über das Vorzeichen des gesamten Terms aus?

1. **Nullstellen bestimmen**: Aus dem Graphen lassen sich die Nullstellen bei \(x = -1\), \(x = 1\) und \(x = 3\) ablesen. 2. **Verhalten an den Nullstellen untersuchen**: - Bei \(x = -1\) schneidet der Graph die x-Achse (einfache Nullstelle). Der zugehörige Linearfaktor \(x + 1\) tritt also mit einer ungeraden Potenz (hier einfach) auf. - Bei \(x = 1\) berührt der Graph die x-Achse (zweifache Nullstelle). Der zugehörige Linearfaktor \(x - 1\) tritt mit einer geraden Potenz (hier quadratisch) auf. - Bei \(x = 3\) schneidet der Graph die x-Achse (einfache Nullstelle). Der zugehörige Linearfaktor \(x - 3\) tritt mit einer ungeraden Potenz (hier einfach) auf. 3. **Vorläufigen Funktionsterm aufstellen**: Damit ergibt sich die Form: \(f(x) = a \cdot (x - 1)^2(x + 1)(x - 3)\) 4. **Vorzeichen des Leitkoeffizienten bestimmen**: Da der Graph für \(x \to \pm\infty\) gegen \(+\infty\) verläuft, muss der Leitkoeffizient \(a\) positiv sein. Bei \(a = 1\) erhalten wir: \(f(x) = (x - 1)^2(x + 1)(x - 3)\) 5. **Vergleich mit den Antwortmöglichkeiten**: Dies entspricht der Antwortmöglichkeit **A**.

Der richtige Funktionsterm ist **A**: \(f(x) = (x - 1)^2(x + 1)(x - 3)\).

- Schau dir die Nullstellen der einzelnen Funktionsterme an. Bei welchen Werten für \(x\) wird der jeweilige Term null? - Unterscheide zwischen einfachen und mehrfachen Nullstellen. Was bedeutet das für das Verhalten des Graphen an der x-Achse? - Ein Vorzeichenwechsel (Schnittpunkt) tritt bei Nullstellen mit ungerader Vielfachheit auf. - Kein Vorzeichenwechsel (Berührpunkt) tritt bei Nullstellen mit gerader Vielfachheit auf. - Zähle die Anzahl der Schnitt- und Berührpunkte mit der x-Achse in den Graphen A, B und C und vergleiche sie mit den Nullstellen der Terme.

1. Analyse von \(f(x) = 0{,}25(x+1)^2(x-2)\): - Nullstellen bei \(x = -1\) (doppelt, da der Faktor quadratisch ist) und \(x = 2\) (einfach). - Der Graph berührt die x-Achse bei \(x = -1\) (Berührpunkt ohne Vorzeichenwechsel) und schneidet sie bei \(x = 2\) (Schnittpunkt mit Vorzeichenwechsel). - Dies entspricht **Graph B**. 2. Analyse von \(g(x) = 0{,}25(x+1)(x-2)^2\): - Nullstellen bei \(x = -1\) (einfach) und \(x = 2\) (doppelt, da der Faktor quadratisch ist). - Der Graph schneidet die x-Achse bei \(x = -1\) und berührt sie bei \(x = 2\). - Dies entspricht **Graph C**. 3. Analyse von \(h(x) = 0{,}25(x+1)(x-1)(x-2)\): - Drei einfache Nullstellen bei \(x = -1\), \(x = 1\) und \(x = 2\). - Der Graph schneidet die x-Achse an allen drei Stellen. - Dies entspricht **Graph A**.

\(f(x)\) gehört zu **Graph B**; \(g(x)\) gehört zu **Graph C**; \(h(x)\) gehört zu **Graph A**.

- Schau dir die Stellen an, an denen der Graph die x-Achse berührt oder schneidet. Was sagt das über die Nullstellen und ihre Vielfachheit aus? - Wie unterscheidet sich das Verhalten des Graphen an der x-Achse bei einer einfachen Nullstelle von dem bei einer doppelten Nullstelle? - Stelle eine allgemeine Produktform auf, in der die Nullstellen als Linearfaktoren vorkommen. Denke an den unbekannten Streckfaktor \(a\). - Welchen besonderen Punkt auf der y-Achse kannst du exakt ablesen, um den Streckfaktor \(a\) zu berechnen?

1. **Nullstellen und Vielfachheiten bestimmen**: - Bei \(x = -1\) schneidet der Graph die x-Achse. Das ist eine einfache Nullstelle (Vielfachheit 1). - Bei \(x = 2\) berührt der Graph die x-Achse. Das ist eine doppelte Nullstelle (Vielfachheit 2). 2. **Ansatz aufstellen**: Mit den Nullstellen und ihren Vielfachheiten lautet der allgemeine Ansatz für eine Funktion 3. Grades: \(f(x) = a(x + 1)(x - 2)^2\) 3. **y-Achsenabschnitt nutzen**: Der y-Achsenabschnitt liegt bei \((0 \mid -2)\). Wir setzen \(x = 0\) und \(y = -2\) ein: \(-2 = a \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 2)^2\) \(-2 = a \cdot 1 \cdot 4\) \(-2 = 4a \implies a = -0{,}5\) 4. **Funktionsterm angeben**: Setzt man den berechneten Wert für \(a\) in den Ansatz ein, erhält man: \(f(x) = -0{,}5(x + 1)(x - 2)^2\)

a) \(x_1 = -1\) ist eine einfache Nullstelle (Vielfachheit 1), und \(x_2 = 2\) ist eine doppelte Nullstelle (Vielfachheit 2). b) \(f(x) = -0{,}5(x + 1)(x - 2)^2\)

- Schau dir die Stellen an, an denen der Graph die \(x\)-Achse berührt oder schneidet. - Wie unterscheidet sich das Verhalten des Graphen an einer einfachen Nullstelle (Schnittpunkt) von dem an einer doppelten Nullstelle (Berührpunkt)? - Welcher Punkt auf der \(y\)-Achse kann dir helfen, den Streckfaktor \(c\) zu berechnen? - Setze die Koordinaten des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse in deine Gleichung ein, um nach \(c\) aufzulösen.

1. Der Graph zeigt zwei Nullstellen: bei \(x = -1\) und bei \(x = 2\). - Bei \(x = -1\) schneidet der Graph die \(x\)-Achse. Dies ist eine einfache Nullstelle, weshalb sie zum einfachen Linearfaktor \((x - a)\) gehört. Daraus folgt \(a = -1\). - Bei \(x = 2\) berührt der Graph die \(x\)-Achse (lokales Minimum). Dies ist eine doppelte Nullstelle, weshalb sie zum quadrierten Faktor \((x - b)^2\) gehört. Daraus folgt \(b = 2\). - Die vorläufige Funktionsgleichung lautet somit: \(f(x) = c \cdot (x + 1) \cdot (x - 2)^2\). 2. Aus dem Graphen lässt sich der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \((0 \mid 2)\) ablesen. Durch Einsetzen dieses Punktes in die vorläufige Funktionsgleichung erhält man: \(f(0) = c \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 2)^2 = 2\) \(c \cdot 1 \cdot 4 = 2\) \(4c = 2 \implies c = 0{,}5\). Die vollständige Funktionsgleichung ist somit \(f(x) = 0{,}5(x + 1)(x - 2)^2\).

1. \(a = -1\) (da der Graph bei \(x = -1\) die \(x\)-Achse schneidet) und \(b = 2\) (da der Graph bei \(x = 2\) die \(x\)-Achse berührt). 2. \(c = 0{,}5\) (ermittelt über den \(y\)-Achsenabschnitt \((0 \mid 2)\)).

- Wie kannst du überprüfen, ob ein bestimmter Punkt auf dem Graphen einer Funktion liegt? Setze die x-Koordinate in den Funktionsterm ein. - Was passiert mit dem Term \((x-1)^n\), wenn du \(x = 1\) oder \(x = 2\) einsetzt? Hängt das Ergebnis vom Exponenten \(n\) ab? - Wann sind zwei Potenzen mit derselben Basis, aber unterschiedlichen Exponenten, für alle Exponenten gleich groß? - Betrachte die Stellen, an denen die Graphen die x-Achse berühren oder schneiden. Welche Rolle spielt dabei, ob der Exponent gerade oder ungerade ist? - Wie verhält sich eine Potenz \(u^4\) im Vergleich zu \(u^2\) für sehr kleine Werte von \(u\) (nahe bei 0) und für größere Werte?

1. Nachweis der gemeinsamen Punkte: - Für \(P(-1 \mid 0)\): \(f_n(-1) = (-1+1)(-1-1)^n = 0 \cdot (-2)^n = 0\). Da dies für alle \(n \ge 1\) gilt, ist \(P\) ein gemeinsamer Punkt. - Für \(Q(1 \mid 0)\): \(f_n(1) = (1+1)(1-1)^n = 2 \cdot 0^n = 0\). Da dies für alle \(n \ge 1\) gilt, ist \(Q\) ein gemeinsamer Punkt. - Für \(R(2 \mid 3)\): \(f_n(2) = (2+1)(2-1)^n = 3 \cdot 1^n = 3 \cdot 1 = 3\). Da dies für alle \(n \ge 1\) gilt, ist \(R\) ein gemeinsamer Punkt. 2. Begründung, warum es keine weiteren gemeinsamen Punkte gibt: Ein Punkt \((x \mid y)\) liegt auf allen Graphen, wenn \(f_a(x) = f_b(x)\) für alle \(a \ne b\) gilt. Dies führt zu der Gleichung: \((x+1)(x-1)^a = (x+1)(x-1)^b\) \((x+1)[(x-1)^a - (x-1)^b] = 0\) Diese Gleichung ist für alle \(a \ne b\) nur erfüllt, wenn: - \(x+1 = 0 \Rightarrow x = -1\) (Punkt \(P\)) - \(x-1 = 0 \Rightarrow x = 1\) (Punkt \(Q\)) - \(x-1 = 1 \Rightarrow x = 2\) (Punkt \(R\)) Die Lösung \(x-1 = -1 \Rightarrow x = 0\) ist nur für \(a, b\) mit gleicher Parität erfüllt, also nicht für alle \(n\) der Familie. Somit gibt es keine weiteren gemeinsamen Punkte. 3. Zusammenhang zwischen Vielfachheit und Graphverlauf: - Bei \(n = 1\) (einfache Nullstelle): Der Graph schneidet die \(x\)-Achse mit einer Steigung ungleich Null (linearer Durchgang). Es findet ein Vorzeichenwechsel statt. - Bei \(n = 2\) (doppelte Nullstelle): Der Graph berührt die \(x\)-Achse (Extrempunkt). Es findet kein Vorzeichenwechsel statt. - Bei \(n = 3\) (dreifache Nullstelle): Der Graph schneidet die \(x\)-Achse mit einer waagerechten Tangente (Sattelpunkt). Es findet ein Vorzeichenwechsel statt. - Allgemein: Bei gerader Vielfachheit berührt der Graph die \(x\)-Achse ohne Vorzeichenwechsel. Bei ungerader Vielfachheit schneidet er die \(x\)-Achse mit Vorzeichenwechsel (für Vielfachheit \(\ge 3\) mit waagerechter Tangente). 4. Verlauf von \(f_4\): - Da \(n = 4\) gerade ist, hat \(f_4\) bei \(x = 1\) eine vierfache Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel (Berührpunkt). - In unmittelbarer Nähe von \(x = 1\) liegt \(f_4\) näher an der \(x\)-Achse als \(f_2\), weil für \(|x-1|<1\) gilt: \(|x-1|^4 < |x-1|^2\).

a) Nachweis durch Einsetzen: \(f_n(-1) = 0\), \(f_n(1) = 0\) und \(f_n(2) = 3\) für alle \(n\). Weitere gemeinsame Punkte gibt es nicht, da die Gleichung \((x-1)^a = (x-1)^b\) für beliebige \(a \ne b\) nur die Lösungen \(x-1 \in \{0; 1\}\) besitzt. b) Bei ungeradem \(n\) schneidet der Graph die \(x\)-Achse (Vorzeichenwechsel), bei \(n \ge 3\) mit waagerechter Tangente (Sattelpunkt). Bei geradem \(n\) berührt der Graph die \(x\)-Achse ohne Vorzeichenwechsel (Berührpunkt/Extrempunkt). c) Bei \(x = 1\) liegt eine vierfache Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel (Berührpunkt) vor. In unmittelbarer Nähe von \(x = 1\) liegt der Graph näher an der \(x\)-Achse als der von \(f_2\), da \(|x-1|^4 < |x-1|^2\) für \(|x-1|<1\) gilt.

- Schaue dir zuerst die Nullstellen der Graphen an. An welchen Stellen schneidet ein Graph die x-Achse (einfache Nullstelle) und an welchen Stellen berührt er sie nur (doppelte Nullstelle)? - Überprüfe das Verhalten der Graphen für sehr große x-Werte (Globalverhalten): Geht der Graph für große x-Werte nach oben oder nach unten? - Achte auf das Vorzeichen des Faktors vor den Klammern (Leitkoeffizient), um zu entscheiden, ob der Graph nach oben oder nach unten verläuft. - Kombiniere die Informationen über Nullstellen und Globalverhalten, um jeden Graphen einem Term zuzuordnen.

1. Analyse der Nullstellen: Die Terme (1) und (2) besitzen eine einfache Nullstelle bei \(x = -2\) (Schnittpunkt mit der x-Achse) und eine doppelte Nullstelle bei \(x = 1\) (Berührpunkt mit der x-Achse). Die Terme (3) und (4) besitzen eine doppelte Nullstelle bei \(x = -2\) (Berührpunkt) und eine einfache Nullstelle bei \(x = 1\) (Schnittpunkt). 2. Untersuchung des Globalverhaltens: Für \(x \to \infty\) streben die Funktionswerte bei positivem Leitkoeffizienten gegen \(\infty\) und bei negativem Leitkoeffizienten gegen \(-\infty\). 3. Zuordnung: - Graph A berührt bei \(x = 1\) und schneidet bei \(x = -2\), verläuft für \(x \to \infty\) nach oben. Dies entspricht Term (1). - Graph B berührt bei \(x = 1\) und schneidet bei \(x = -2\), verläuft für \(x \to \infty\) nach unten. Dies entspricht Term (2). - Graph C berührt bei \(x = -2\) und schneidet bei \(x = 1\), verläuft für \(x \to \infty\) nach unten. Dies entspricht Term (4). 4. Übrigbleibender Term: Term (3) bleibt übrig, da kein Graph bei \(x = -2\) berührt, bei \(x = 1\) schneidet und für \(x \to \infty\) nach oben verläuft.

Graph A gehört zu Term (1); Graph B gehört zu Term (2); Graph C gehört zu Term (4); Term (3) bleibt übrig.

- Schau dir die Formen der beiden Graphen genau an. Welcher Graph zeigt das typische Verhalten einer Funktion mit einer doppelten (berührenden) Nullstelle, und welcher Graph hat einen Sattelpunkt? - Eine Nullstelle, an der der Graph die Achse nur berührt, entspricht einem quadratischen Faktor im Funktionsterm. - Der Sattelpunkt (Terrassenpunkt) eines verschobenen Graphen der Potenzfunktion \(x^3\) liefert direkt die Verschiebungsparameter. - Wenn du die Nullstellen oder den Sattelpunkt abgelesen hast, kannst du diese Werte direkt für die entsprechenden Parameter in die Gleichung einsetzen. - Um den verbleibenden Streckfaktor (\(a\) bzw. \(d\)) zu berechnen, wähle einen weiteren gut ablesbaren Punkt auf dem Graphen und setze seine Koordinaten in die Funktionsgleichung ein.

1. Zuordnung: - Der Graph \(G_1\) berührt die \(x\)-Achse bei \(x = 1\) (doppelte Nullstelle) und schneidet sie bei \(x = -2\) (einfache Nullstelle). Dies entspricht der Struktur von \(p(x) = a \cdot (x - b)^2 (x - c)\), bei der \((x - b)^2\) eine doppelte Nullstelle bei \(b\) und \((x - c)\) eine einfache Nullstelle bei \(c\) beschreibt. Somit gehört \(G_1\) zu \(p(x)\). - Der Graph \(G_2\) besitzt einen Sattelpunkt (Terrassenpunkt). Dies entspricht der Struktur von \(q(x) = d \cdot (x - e)^3 + f\), die einen verschobenen und gestreckten Graphen der Potenzfunktion \(x^3\) beschreibt. Somit gehört \(G_2\) zu \(q(x)\). 2. Bestimmung der Parameter für \(p(x)\): - Aus der doppelten Nullstelle bei \(x = 1\) folgt \(b = 1\). - Aus der einfachen Nullstelle bei \(x = -2\) folgt \(c = -2\). - Der Funktionsterm lautet somit \(p(x) = a \cdot (x - 1)^2 (x + 2)\). - Durch Ablesen des Punktes \((-1 \mid -1)\) auf \(G_1\) erhält man durch Einsetzen: \(-1 = a \cdot (-1 - 1)^2 (-1 + 2) \implies -1 = a \cdot 4 \cdot 1 \implies a = -0{,}25\). 3. Bestimmung der Parameter für \(q(x)\): - Der Sattelpunkt von \(G_2\) liegt bei \((2 \mid -1)\), woraus direkt \(e = 2\) und \(f = -1\) folgen. - Der Funktionsterm lautet somit \(q(x) = d \cdot (x - 2)^3 - 1\). - Durch Ablesen des Punktes \((4 \mid 3)\) auf \(G_2\) erhält man durch Einsetzen: \(3 = d \cdot (4 - 2)^3 - 1 \implies 4 = d \cdot 8 \implies d = 0{,}5\).

a) Der Graph \(G_1\) gehört zu \(p(x)\) (doppelte Nullstelle bei \(x = 1\), einfache Nullstelle bei \(x = -2\)); der Graph \(G_2\) gehört zu \(q(x)\) (Sattelpunkt bei \((2 \mid -1)\)). b) \(a = -0{,}25\), \(b = 1\), \(c = -2\), \(d = 0{,}5\), \(e = 2\), \(f = -1\)

- Schau dir an, wo der Graph die \(x\)-Achse schneidet oder berührt. Was bedeutet das für die Faktoren des Terms? - Ein Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse deutet auf eine ungerade Vielfachheit hin, ein Berührpunkt auf eine gerade Vielfachheit. Da die Funktion den Grad 3 hat, wie müssen die Vielfachheiten verteilt sein? - Stelle die allgemeine Produktform (Nullstellenform) mit einem unbekannten Parameter \(a\) auf. - Wie kannst du den gegebenen Punkt \(P(2 \mid 1)\) nutzen, um den Parameter \(a\) zu berechnen?

1. Aus dem Graphen lassen sich die Nullstellen und ihr Verhalten an der \(x\)-Achse ablesen: - Bei \(x_1 = -3\) schneidet der Graph die \(x\)-Achse. Es handelt sich um eine einfache Nullstelle (Vielfachheit 1). - Bei \(x_2 = 1\) berührt der Graph die \(x\)-Achse (lokales Minimum). Es handelt sich um eine doppelte Nullstelle (Vielfachheit 2). 2. Da die Funktion vom Grad 3 ist, lautet der Ansatz in der faktorisierten Form: \(f(x) = a \cdot (x + 3) \cdot (x - 1)^2\) Um den Streckfaktor \(a\) zu bestimmen, wird die Punktprobe mit \(P(2 \mid 1)\) durchgeführt: \(1 = f(2)\) \(1 = a \cdot (2 + 3) \cdot (2 - 1)^2\) \(1 = a \cdot 5 \cdot 1^2\) \(1 = 5a \implies a = 0{,}2 = \frac{1}{5}\) Der gesuchte Funktionsterm lautet somit: \(f(x) = 0{,}2(x + 3)(x - 1)^2\) beziehungsweise \(f(x) = \frac{1}{5}(x + 3)(x - 1)^2\)

1. \(x_1 = -3\) ist eine einfache Nullstelle (Vielfachheit 1), und \(x_2 = 1\) ist eine doppelte Nullstelle (Vielfachheit 2). 2. \(f(x) = 0{,}2(x + 3)(x - 1)^2\) (oder \(f(x) = \frac{1}{5}(x + 3)(x - 1)^2\))

- Überlege dir zuerst, welche Arten von Nullstellen (einfache Nullstelle, Berührpunkt oder Sattelpunkt) vorliegen und welche Vielfachheit sie jeweils besitzen. - Wie kannst du die Nullstellen als Linearfaktoren in ein Produkt schreiben? - Welcher allgemeine Ansatz ergibt sich daraus für die Funktionsgleichung, wenn du einen unbekannten Streckfaktor \(a\) davor setzt? - Suche einen gut ablesbaren Punkt auf dem Gitter (z. B. den Schnittpunkt mit der y-Achse), setze seine Koordinaten in deine Gleichung ein und löse nach \(a\) auf.

1. Graph a): - Nullstellen und deren Vielfachheit bestimmen: Bei \(x = -1\) schneidet der Graph die x-Achse (einfache Nullstelle, Vielfachheit 1). Bei \(x = 2\) berührt der Graph die x-Achse ohne sie zu schneiden (doppelte Nullstelle, Vielfachheit 2). - Ansatz für den Funktionsterm mit kleinstmöglichem Grad (Grad 3): \(f(x) = a \cdot (x + 1) \cdot (x - 2)^2\) - Bestimmung von \(a\) durch Einsetzen eines gut ablesbaren Punktes, z. B. des y-Achsenabschnitts \((0 \mid 1)\): \(1 = a \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 2)^2 \implies 1 = 4a \implies a = 0{,}25\) - Ergebnis für a): \(f(x) = 0{,}25(x + 1)(x - 2)^2\) 2. Graph b): - Nullstellen und deren Vielfachheit bestimmen: Bei \(x = -1\) liegt ein Sattelpunkt auf der x-Achse vor (dreifache Nullstelle, Vielfachheit 3). Bei \(x = 2\) schneidet der Graph die x-Achse (einfache Nullstelle, Vielfachheit 1). - Ansatz für den Funktionsterm mit kleinstmöglichem Grad (Grad 4): \(g(x) = a \cdot (x + 1)^3 \cdot (x - 2)\) - Bestimmung von \(a\) durch Einsetzen eines gut ablesbaren Punktes, z. B. des y-Achsenabschnitts \((0 \mid -1)\): \(-1 = a \cdot (0 + 1)^3 \cdot (0 - 2) \implies -1 = -2a \implies a = 0{,}5\) - Ergebnis für b): \(g(x) = 0{,}5(x + 1)^3(x - 2)\)

a) \(f(x) = 0{,}25(x + 1)(x - 2)^2\) b) \(g(x) = 0{,}5(x + 1)^3(x - 2)\)

- Schau dir den Verlauf des Graphen an den Stellen an, wo er die x-Achse berührt oder schneidet. Was sagt das über die Art der Nullstellen aus? - Erinnere dich daran, wie man eine Nullstelle mit ihrer Vielfachheit als Linearfaktor in ein Produkt schreibt. - Welcher Punkt des Graphen eignet sich besonders gut, um den Streckungsfaktor \(a\) vor dem Produkt zu berechnen? - Wenn du die Produktform aufgestellt hast, kannst du sie durch Ausmultiplizieren der Klammern in die Normalform bringen. Nutze dabei eventuell die binomischen Formeln.

1. **Nullstellen und Vielfachheiten ablesen:** An der Stelle \(x_1 = -1\) berührt der Graph die x-Achse, ohne sie zu schneiden. Es handelt sich somit um eine doppelte (zweifache) Nullstelle. An der Stelle \(x_2 = 2\) schneidet der Graph die x-Achse. Es handelt sich somit um eine einfache Nullstelle. 2. **Aufstellen der faktorisierten Form:** Der Ansatz für eine ganzrationale Funktion 3. Grades mit diesen Nullstellen lautet: \(f(x) = a \cdot (x + 1)^2 \cdot (x - 2)\) 3. **Bestimmung des Streckungsfaktors \(a\):** Durch Einsetzen des Punktes \(P(0 \mid -2)\) erhält man: \(-2 = a \cdot (0 + 1)^2 \cdot (0 - 2) \Rightarrow -2 = -2a \Rightarrow a = 1\) Die faktorisierte Form lautet somit: \(f(x) = (x + 1)^2(x - 2)\) 4. **Ausmultiplizieren in die Normalform:** \(f(x) = (x^2 + 2x + 1)(x - 2) = x^3 - 2x^2 + 2x^2 - 4x + x - 2 = x^3 - 3x - 2\)

1. \(x_1 = -1\) ist eine doppelte Nullstelle, und \(x_2 = 2\) ist eine einfache Nullstelle. 2. Faktorisierte Form: \(f(x) = (x + 1)^2(x - 2)\); Normalform: \(f(x) = x^3 - 3x - 2\)

- Betrachte den Graphen genau: Welche besonderen Punkte kannst du auf den Achsen direkt ablesen? - Achte besonders darauf, wie der Graph die x-Achse schneidet oder berührt. Was sagt dir das über die Vielfachheit der Nullstellen? - Erinnere dich daran, wie man eine Funktion in der faktorisierten Form (Produktform) aufschreibt, wenn man die Nullstellen kennt. - Wie kannst du einen weiteren Punkt des Graphen (zum Beispiel auf der y-Achse) nutzen, um den Streckungsfaktor vor der Funktion zu bestimmen?

1. **Nullstellen und Vielfachheiten ablesen**: Aus dem Graphen lässt sich erkennen, dass bei \(x = -2\) ein Hochpunkt liegt, der die x-Achse berührt. Dies entspricht einer doppelten Nullstelle (Vielfachheit 2). Bei \(x = 1\) schneidet der Graph die x-Achse, was einer einfachen Nullstelle (Vielfachheit 1) entspricht. 2. **Produktansatz aufstellen**: Mit den Nullstellen \(x_1 = -2\) (doppelt) und \(x_2 = 1\) (einfach) lautet die faktorisierte Form der Funktion dritten Grades: \(f(x) = a(x + 2)^2(x - 1)\) 3. **Streckungsfaktor \(a\) bestimmen**: Der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse liegt bei \(S_y(0 \mid -2)\). Durch Einsetzen dieser Koordinaten in den Ansatz erhalten wir: \(-2 = a \cdot (0 + 2)^2 \cdot (0 - 1)\) \(-2 = a \cdot 4 \cdot (-1)\) \(-2 = -4a\) \(a = 0{,}5\) 4. **Funktionsterm angeben**: Eingesetzt ergibt sich der Funktionsterm in der faktorisierten Form zu \(f(x) = 0{,}5(x + 2)^2(x - 1)\). Durch Ausmultiplizieren erhält man die Normalform: \(f(x) = 0{,}5(x^2 + 4x + 4)(x - 1) = 0{,}5(x^3 + 3x^2 - 4) = 0{,}5x^3 + 1{,}5x^2 - 2\)

\(f(x) = 0{,}5(x + 2)^2(x - 1)\) (oder in der Normalform \(f(x) = 0{,}5x^3 + 1{,}5x^2 - 2\))

- Schaue dir zuerst die Symmetrieeigenschaften der Graphen an. Welche Potenzen von \(x\) kommen bei achsensymmetrischen bzw. punktsymmetrischen ganzrationalen Funktionen vor? - Nutze die Nullstellen, die du direkt am Graphen ablesen kannst, um die Funktion in der Nullstellenform (Faktorform) anzusetzen. - Denke daran, dass jede Nullstelle, an der der Graph die x-Achse schneidet, eine einfache Nullstelle ist. - Verwende einen weiteren gegebenen Punkt auf dem Graphen, um den Streckfaktor vor dem Funktionsterm zu bestimmen. - Multipliziere am Ende die Klammern aus, um die Gleichung in die Standardform zu bringen.

1. Bestimmung von \(f(x)\): - Symmetrie und Grad: Achsensymmetrie zur y-Achse, Grad 4. - Nullstellen ablesen: \(x = \pm 1\) und \(x = \pm 2\). - Ansatz in Nullstellenform: \(f(x) = a(x^2 - 1)(x^2 - 4) = a(x^4 - 5x^2 + 4)\). - Punkt \(P(0 \mid 2)\) einsetzen: \(f(0) = 4a = 2 \implies a = 0{,}5\). - Funktionsterm ausmultipliziert: \(f(x) = 0{,}5x^4 - 2{,}5x^2 + 2\). 2. Bestimmung von \(g(x)\): - Symmetrie und Grad: Punktsymmetrie zum Ursprung, Grad 3. - Nullstellen ablesen: \(x = 0\) und \(x = \pm 3\). - Ansatz in Nullstellenform: \(g(x) = \lambda x(x^2 - 9) = \lambda(x^3 - 9x)\). - Punkt \(Q(2 \mid -2)\) einsetzen: \(g(2) = \lambda \cdot 2 \cdot (4 - 9) = -10\lambda = -2 \implies \lambda = 0{,}2\). - Funktionsterm ausmultipliziert: \(g(x) = 0{,}2x^3 - 1{,}8x\). In der verlangten Form \(g(x)=ax^3+bx\) gilt damit \(a=0{,}2\) und \(b=-1{,}8\).

Die gesuchten Funktionsterme lauten: \(f(x) = 0{,}5x^4 - 2{,}5x^2 + 2\) (oder in Produktform: \(f(x) = 0{,}5(x^2 - 1)(x^2 - 4)\)) \(g(x) = 0{,}2x^3 - 1{,}8x\) (oder in Produktform: \(g(x) = 0{,}2x(x^2 - 9)\))

- Betrachte zuerst das Verhalten der Funktionswerte für sehr große positive und sehr große negative \(x\)-Werte (Globalverhalten). Welcher Graph fällt nach rechts ab? - Unterscheide zwischen einfachen und doppelten Nullstellen: An einer einfachen Nullstelle schneidet der Graph die \(x\)-Achse, an einer doppelten Nullstelle berührt er sie nur. - Bestimme für jede Funktion die Lage der Nullstellen und ob es sich um einen Berührpunkt oder einen Schnittpunkt handelt. - Du kannst auch den \(y\)-Achsenabschnitt berechnen, indem du \(x = 0\) in die Funktionsgleichungen einsetzt, um deine Zuordnung zu überprüfen.

1. **Zuordnung von \(g(x) = -(x-1) \cdot (x+2)^2\):** - **Globalverhalten:** Der Grad der Funktion ist ungerade (\(3\)) und der Leitkoeffizient negativ (\(-1\)). Daher gilt: Für \(x \to \infty\) strebt \(g(x) \to -\infty\), und für \(x \to -\infty\) strebt \(g(x) \to \infty\). Der Graph verläuft also von links oben nach rechts unten. Dies trifft nur auf **Graph A** zu. - **Nullstellen:** Bei \(x = -2\) liegt eine doppelte Nullstelle vor (Berührpunkt), bei \(x = 1\) eine einfache Nullstelle (Schnittpunkt). Dies passt exakt zu Graph A. - **Ergebnis:** Graph A gehört zu \(g(x)\). 2. **Zuordnung von \(f(x) = (x-1)^2 \cdot (x+2)\):** - **Globalverhalten:** Der Grad ist \(3\) und der Leitkoeffizient positiv (\(+1\)). Für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to \infty\), der Graph verläuft von links unten nach rechts oben (wie bei Graph B und Graph C). - **Nullstellen:** Der quadrierte Faktor \((x-1)^2\) bedeutet eine doppelte Nullstelle (Berührpunkt) bei \(x = 1\). Der Faktor \((x+2)\) bedeutet eine einfache Nullstelle (Schnittpunkt) bei \(x = -2\). - **Vergleich:** Graph B hat einen Berührpunkt bei \(x = 1\) und einen Schnittpunkt bei \(x = -2\). - **Ergebnis:** Graph B gehört zu \(f(x)\). 3. **Zuordnung von \(h(x) = (x-1) \cdot (x+2)^2\):** - **Globalverhalten:** Der Grad ist \(3\) und der Leitkoeffizient positiv (\(+1\)), der Graph verläuft von links unten nach rechts oben (wie Graph C). - **Nullstellen:** Der quadrierte Faktor \((x+2)^2\) führt zu einer doppelten Nullstelle (Berührpunkt) bei \(x = -2\). Bei \(x = 1\) liegt eine einfache Nullstelle (Schnittpunkt) vor. Dies entspricht Graph C. - **Ergebnis:** Graph C gehört zu \(h(x)\).

**Graph A** gehört zu \(g(x) = -(x-1) \cdot (x+2)^2\); **Graph B** gehört zu \(f(x) = (x-1)^2 \cdot (x+2)\); **Graph C** gehört zu \(h(x) = (x-1) \cdot (x+2)^2\).

- Überlege dir, wie sich der Graph an einer einfachen im Vergleich zu einer doppelten Nullstelle verhält. Berührt er die Achse nur oder schneidet er sie? - Verwende für den Funktionsterm die Produktform (Nullstellenform): \(f(x) = a(x - x_1)^{n_1}(x - x_2)^{n_2}\), wobei \(x_1, x_2\) die Nullstellen und \(n_1, n_2\) ihre Vielfachheiten sind. - Wo schneidet der Graph die senkrechte \(y\)-Achse? Bestimme diesen Punkt genau. - Setze die Koordinaten dieses Schnittpunkts in deine Funktionsgleichung ein, um nach dem verbleibenden Parameter \(a\) aufzulösen.

1. **Nullstellen und Vielfachheit**: - Bei \(x = -1\) berührt der Graph die \(x\)-Achse, ohne sie zu schneiden. Es handelt sich somit um eine doppelte Nullstelle (Vielfachheit 2). - Bei \(x = 3\) schneidet der Graph die \(x\)-Achse. Es handelt sich um eine einfache Nullstelle (Vielfachheit 1). 2. **Faktorisierte Form aufstellen**: - Mit den Nullstellen \(x_1 = -1\) (doppelt) und \(x_2 = 3\) (einfach) lautet der Ansatz: \(f(x) = a(x + 1)^2(x - 3)\) 3. **Bestimmung des Parameters \(a\)**: - Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \((0 \mid 1{,}5)\). - Setze \(x = 0\) und \(y = 1{,}5\) in den Ansatz ein: \(1{,}5 = a \cdot (0 + 1)^2 \cdot (0 - 3)\) \(1{,}5 = a \cdot 1 \cdot (-3)\) \(1{,}5 = -3a \implies a = -0{,}5\) 4. **Ergebnis**: - Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -0{,}5(x + 1)^2(x - 3)\).

a) Doppelte Nullstelle bei \(x = -1\), einfache Nullstelle bei \(x = 3\). b) \(f(x) = -0{,}5(x + 1)^2(x - 3)\)

- Wo liegen die Nullstellen und wie verhält sich der Graph dort (Schnitt oder Berührung)? - Was sagt das Verhalten des Graphen am linken und rechten Rand über das Vorzeichen vor dem gesamten Term aus? - Vergleiche die Lage der Nullstellen im Bild mit den Werten in den Klammern der Antwortmöglichkeiten. - Setze probehalber \(x=0\) in die Terme ein und schaue, welcher y-Wert zum Bild passt.

1. Nullstellen identifizieren: Der Graph berührt die x-Achse bei \(x = -2\) und \(x = 2\). Es handelt sich also um zwei Nullstellen mit gerader Vielfachheit. Dies entspricht den Faktoren \((x+2)^2\) und \((x-2)^2\). 2. Globalverhalten analysieren: Da der Graph für \(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\) jeweils gegen \(-\infty\) verläuft, muss der Leitkoeffizient negativ sein. 3. Abgleich mit den Optionen: Option a) hat einen positiven Leitkoeffizienten. Option b) hat eine einfache und eine dreifache Nullstelle. Option d) hat Nullstellen bei \(0\) und \(4\). Nur Option c) hat die korrekten doppelten Nullstellen bei \(\pm 2\) und einen negativen Leitkoeffizienten. 4. Punktprobe (optional): Bei \(x = 0\) ist \(p(0) = -0{,}1 \cdot 2^2 \cdot (-2)^2 = -0{,}1 \cdot 16 = -1{,}6\), was gut zum Graphen passt. 5. Ergebnis: Der passende Term ist c).

Der passende Funktionsterm ist c) \(p(x) = -0{,}1(x+2)^2(x-2)^2\).

- Wo schneidet der Graph die \(y\)-Achse? Setze dafür \(x = 0\) in die Gleichungen ein. - Überprüfe die Nullstellen. Wo schneidet oder berührt der Graph die \(x\)-Achse? - Ein Berührpunkt deutet auf eine doppelte Nullstelle hin. In welchem Funktionsterm findest du eine solche? - Nutze die Symmetrie: Welche Graphen sind symmetrisch zur \(y\)-Achse?

1. \(p(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2\): Der \(y\)-Achsenabschnitt liegt bei \(2\). Die Nullstellen liegen bei \(x = -1\), \(x = 1\) und \(x = 2\) (einfache Nullstellen, der Graph schneidet die Achse). Dies passt zu Graph **B**. 2. \(q(x) = -x^4 + 2x^2 + 1\): Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse (nur gerade Exponenten) und hat einen \(y\)-Achsenabschnitt von \(1\). Da der Leitkoeffizient negativ ist, öffnet er nach unten. Dies passt zu Graph **A**. 3. \(r(x) = 0{,}5x^3 - 1{,}5x + 1\): Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(1\). Bei \(x = 1\) liegt eine doppelte Nullstelle vor (der Graph berührt die \(x\)-Achse). Bei \(x = -2\) liegt eine einfache Nullstelle. Dies passt zu Graph **D**. 4. \(s(x) = x^4 - 5x^2 + 4\): Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse mit einem \(y\)-Achsenabschnitt von \(4\). Die Nullstellen liegen bei \(\pm 1\) und \(\pm 2\). Dies passt zu Graph **C**.

1. Graph B; 2. Graph A; 3. Graph D; 4. Graph C.

- Eine einfache Nullstelle bedeutet, dass der Graph die x-Achse schneidet. - Eine doppelte Nullstelle bedeutet, dass der Graph die x-Achse berührt (Extrempunkt auf der Achse). - Achte auf das Verhalten des Graphen für sehr große und sehr kleine x-Werte. - Wie viele Nullstellen hat eine Funktion vom Grad 3 maximal? Wie viele eine vom Grad 4?

1. Die Funktion \(p(x) = 0{,}5x(x^2 - 4) = 0{,}5x(x-2)(x+2)\) hat drei einfache Nullstellen bei \(-2\), \(0\) und \(2\). Für \(x \to -\infty\) gilt \(p(x) \to -\infty\), und für \(x \to \infty\) gilt \(p(x) \to \infty\). Dies passt zu Graph C. 2. Die Funktion \(q(x) = x^2(1 - 0{,}25x^2) = -0{,}25x^2(x-2)(x+2)\) hat eine doppelte Nullstelle (Berührpunkt) bei \(x = 0\) und zwei einfache Nullstellen bei \(x = -2\) und \(x = 2\). Wegen des negativen Leitkoeffizienten des \(x^4\)-Terms gilt für \(|x| \to \infty\): \(q(x) \to -\infty\) (M-Form). Dies passt zu Graph A. 3. Die Funktion \(r(x) = (x-1)^2(x+2)\) hat eine doppelte Nullstelle bei \(x = 1\) und eine einfache Nullstelle bei \(x = -2\). Dies passt zu Graph B.

1 gehört zu Graph C; 2 gehört zu Graph A; 3 gehört zu Graph B.

- Setze die beiden Funktionsterme gleich, um die \(x\)-Werte der Schnittpunkte zu finden. - Kannst du in der entstandenen Gleichung eine Variable ausklammern? - Vergiss nicht, nach der Berechnung der \(x\)-Werte auch die passenden \(y\)-Werte zu bestimmen. - Ein Blick auf die Zeichnung hilft dir zu prüfen, ob deine berechneten Punkte sinnvoll sind.

1. Gleichung für die Schnittpunkte aufstellen: \(x^3 - 3x + 1 = x + 1\). 2. Die Gleichung nach Null umformen: \(x^3 - 4x = 0\). 3. Den Term faktorisieren durch Ausklammern von \(x\): \(x(x^2 - 4) = 0\). 4. Die Nullstellen bestimmen: \(x_1 = 0\) sowie \(x^2 - 4 = 0 \implies x_2 = 2, x_3 = -2\). 5. Die \(y\)-Koordinaten durch Einsetzen in eine der Funktionen (am einfachsten in \(g\)) ermitteln: \(g(0) = 0 + 1 = 1 \implies S_1(0 \mid 1)\) \(g(2) = 2 + 1 = 3 \implies S_2(2 \mid 3)\) \(g(-2) = -2 + 1 = -1 \implies S_3(-2 \mid -1)\) 6. Abgleich mit der Grafik: Die Punkte \((-2 \mid -1)\), \((0 \mid 1)\) und \((2 \mid 3)\) sind als Schnittpunkte der Kurve und der Geraden erkennbar.

Die Schnittpunkte der Graphen sind \(S_1(0 \mid 1)\), \(S_2(2 \mid 3)\) und \(S_3(-2 \mid -1)\).

- Schau dir die Stellen an, an denen der Graph die x-Achse berührt oder schneidet. Was sagt das über die Faktoren im Funktionsterm aus? - Ein Berührpunkt deutet auf eine gerade Vielfachheit (mindestens 2) hin, ein Schnittpunkt auf eine ungerade (hier mindestens 1). - Setze die gefundenen Nullstellen in die allgemeine Produktform \(f(x) = a(x - x_1)^{n_1}(x - x_2)^{n_2} \dots\) ein. - Wie kannst du den verbleibenden Parameter \(a\) mit einem weiteren Punkt auf dem Graphen bestimmen?

1. Identifikation der Nullstellen und ihrer Vielfachheiten aus dem Graphen: Bei \(x = -3\) berührt der Graph die x-Achse, was auf eine doppelte Nullstelle (Vielfachheit 2) hindeutet. Bei \(x = 1\) schneidet der Graph die x-Achse, was einer einfachen Nullstelle entspricht. 2. Aufstellen des Funktionsterms in der faktorisierten Form (Produktform): \(f(x) = a(x + 3)^2(x - 1)\). 3. Bestimmung des Streckfaktors \(a\) mithilfe des markierten Punktes \((0 \mid -1{,}8)\): Einsetzen ergibt \(-1{,}8 = a \cdot (0 + 3)^2 \cdot (0 - 1) = a \cdot 9 \cdot (-1) = -9a\). 4. Berechnung von \(a\): \(a = \frac{-1{,}8}{-9} = 0{,}2\). 5. Der fertige Funktionsterm lautet: \(f(x) = 0{,}2(x + 3)^2(x - 1)\).

\(f(x) = 0{,}2(x + 3)^2(x - 1)\)

- Überlege dir, welchen Grad die Funktion mindestens haben muss, wenn sie bei \(x=0\) nur berührt und bei \(x=3\) schneidet. - Erinnere dich an die Nullstellenform für Polynome. - Nutze den Punkt \((1 \mid -2)\), um den Leitkoeffizienten zu berechnen.

1. Ablesen der Nullstellen: Der Graph hat eine doppelte Nullstelle bei \(x = 0\) (Berührpunkt/Extremum auf der x-Achse) und eine einfache Nullstelle bei \(x = 3\) (Schnittpunkt). 2. Ansatz in Produktform für Grad 3: \(f(x) = ax^2(x - 3)\). 3. Bestimmung von \(a\) durch den Punkt \((1 \mid -2)\): Einsetzen ergibt \(-2 = a \cdot 1^2 \cdot (1 - 3) = a \cdot (-2) = -2a\). 4. Auflösen nach \(a\): \(a = 1\). 5. Ergebnis: \(f(x) = x^2(x - 3)\) oder ausmultipliziert \(f(x) = x^3 - 3x^2\).

\(f(x) = x^2(x - 3)\)

- Wie viele Nullstellen hat eine Funktion dritten Grades maximal? - Wenn der Graph die x-Achse an einer Stelle glatt schneidet, handelt es sich meist um eine einfache Nullstelle. - Stell die Gleichung zuerst mit einem unbekannten Faktor \(a\) auf.

1. Da die Funktion vom Grad 3 ist und drei einfache Nullstellen bei \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 2\) besitzt, lautet der Ansatz: \(f(x) = a(x + 2)x(x - 2) = ax(x^2 - 4)\). 2. Zur Bestimmung von \(a\) wird der Punkt \(P(1 \mid -3)\) eingesetzt: \(-3 = a \cdot 1 \cdot (1^2 - 4) = a \cdot 1 \cdot (-3) = -3a\). 3. Daraus folgt \(a = 1\). 4. Die Funktionsgleichung ist \(f(x) = x(x + 2)(x - 2)\) bzw. \(f(x) = x^3 - 4x\).

\(f(x) = x(x^2 - 4)\)

- Was bedeutet es für den Funktionsterm, wenn der Graph die x-Achse an bestimmten Stellen schneidet? - Der y-Achsenabschnitt ist der Funktionswert an der Stelle \(x = 0\).

1. Da der Graph die x-Achse an drei Stellen schneidet, ist der minimale Grad 3. Ansatz in Produktform: \(f(x) = a(x + 1)(x - 1)(x - 2)\). 2. Der y-Achsenabschnitt ist der Punkt \((0 \mid 2)\). Einsetzen ergibt: \(2 = a(0 + 1)(0 - 1)(0 - 2) = a(1)(-1)(-2) = 2a\). 3. Es folgt \(a = 1\). 4. Der Funktionsterm ist \(f(x) = (x + 1)(x - 1)(x - 2) = (x^2 - 1)(x - 2)\).

\(f(x) = (x + 1)(x - 1)(x - 2)\)

- Wenn ein Graph die x-Achse berührt, ohne sie zu schneiden, deutet das auf eine doppelte Nullstelle hin. - Nutze die Symmetrie des Graphen zur y-Achse, um den Ansatz zu vereinfachen.

1. Ein Berührpunkt an der x-Achse bedeutet eine Nullstelle mit gerader Vielfachheit. Für den niedrigsten Grad nehmen wir Vielfachheit 2 an beiden Stellen an. 2. Ansatz: \(f(x) = a(x + 2)^2(x - 2)^2 = a(x^2 - 4)^2\). 3. Einsetzen von \(S(0 \mid -4)\): \(-4 = a(0^2 - 4)^2 = a(-4)^2 = 16a\). 4. Berechnung von \(a\): \(a = \frac{-4}{16} = -0{,}25\). 5. Ergebnis: \(f(x) = -0{,}25(x^2 - 4)^2\).

\(f(x) = -0{,}25(x^2 - 4)^2\)

- Was bedeutet „berührt im Ursprung“ für den Faktor im Funktionsterm? - Wie sieht die Produktform aus, wenn man zwei doppelte Nullstellen kennt?

1. Berührpunkte bei \(x = 0\) und \(x = 3\) bedeuten jeweils mindestens doppelte Nullstellen. Da die Funktion Grad 4 haben soll, sind dies genau zwei doppelte Nullstellen. 2. Ansatz: \(f(x) = ax^2(x - 3)^2\). 3. Einsetzen von \(P(1 \mid 4)\): \(4 = a \cdot 1^2 \cdot (1 - 3)^2 = a \cdot 1 \cdot (-2)^2 = 4a\). 4. Daraus folgt \(a = 1\). 5. Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = x^2(x - 3)^2\).

\(f(x) = x^2(x - 3)^2\)

- Überlege zuerst, welcher Funktionstyp (Grad der Funktion) zu welchem Graphen passt. - Achte auf die Art der Nullstellen: Wo berührt der Graph die x-Achse, und wo schneidet er sie? - Du kannst einen gut ablesbaren Punkt auf dem Graphen (zum Beispiel den Schnittpunkt mit der y-Achse) nutzen, um den Streckfaktor \(a\) bzw. \(b\) zu berechnen.

1. Zuordnung: Der Graph \(f\) (orange) hat eine doppelte Nullstelle (Berührpunkt) und eine einfache Nullstelle (Schnittpunkt), was der Form \(p(x)\) entspricht. Der Graph \(g\) (blau) hat zwei doppelte Nullstellen, was der Form \(q(x)\) entspricht. 2. Bestimmung der Parameter für \(f\): Aus dem Graphen liest man die doppelte Nullstelle bei \(x_1 = -1\) und die einfache Nullstelle bei \(x_2 = 2\) ab. Einsetzen in \(p(x)\) ergibt \(p(x) = a(x+1)^2(x-2)\). Mit dem y-Achsenabschnitt \((0 \mid -2)\) folgt: \(a(0+1)^2(0-2) = -2 \Rightarrow -2a = -2 \Rightarrow a = 1\). 3. Bestimmung der Parameter für \(g\): Die doppelten Nullstellen liegen bei \(x_3 = -2\) und \(x_4 = 2\). Einsetzen in \(q(x)\) ergibt \(q(x) = b(x+2)^2(x-2)^2\). Mit dem Punkt \((0 \mid 2)\) folgt: \(b(0+2)^2(0-2)^2 = 2 \Rightarrow 16b = 2 \Rightarrow b = \frac{1}{8} = 0{,}125\).

Graph \(f\) gehört zu \(p(x)\) mit \(a = 1\), \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 2\). Graph \(g\) gehört zu \(q(x)\) mit \(b = 0{,}125\), \(x_3 = -2\) und \(x_4 = 2\).

- Überlege dir, wie die Vielfachheit einer Nullstelle die Form des Graphen (Schneiden, Berühren oder Sattelpunkt) beeinflusst. - Das globale Verhalten (für \(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\)) hängt vom Grad des Polynoms und dem Vorzeichen des Leitkoeffizienten ab. - Bestimme für die Beschreibung einige markante Werte, zum Beispiel den \(y\)-Achsenabschnitt bei \(x = 0\).

1. Analyse der Nullstelle \(x = 1\): Für \(n = 1\) ist \(x = 1\) eine einfache Nullstelle; der Graph schneidet die \(x\)-Achse geradlinig. Für \(n = 2\) ist es eine doppelte Nullstelle; der Graph berührt die \(x\)-Achse (lokales Minimum). 2. Beschreibung für \(n = 3\): Die Funktion \(f_3(x) = \frac{1}{4}(x+2)(x-1)^3\) hat bei \(x = -2\) eine einfache Nullstelle (Vorzeichenwechsel) und bei \(x = 1\) eine dreifache Nullstelle (Terrassenpunkt/Sattelpunkt). Da der Grad 4 ist und der Leitkoeffizient positiv, gilt \(f_3(x) \to \infty\) für \(x \to \pm\infty\). 3. Verallgemeinerung: Für gerade \(n \geq 2\) hat der Graph bei \(x = 1\) einen Berührpunkt (Extrempunkt). Je größer \(n\), desto flacher verläuft der Graph dort. Für ungerade \(n \geq 3\) liegt ein Terrassenpunkt vor. Auch hier wird der Graph mit steigendem \(n\) in der Umgebung der Nullstelle immer flacher.

a) Bei \(n = 1\) schneidet der Graph die \(x\)-Achse bei \(x = 1\). Bei \(n = 2\) berührt er sie in einem lokalen Minimum. b) Der Graph für \(n = 3\) hat bei \(x = -2\) eine einfache Nullstelle und bei \(x = 1\) einen Terrassenpunkt. Für \(x \to \pm\infty\) streben die Funktionswerte gegen \(+\infty\). c) Für gerade \(n\) liegt stets ein Berührpunkt (Extrempunkt) vor, für ungerade \(n > 1\) ein Terrassenpunkt. Mit wachsendem \(n\) schmiegt sich der Graph immer enger an die \(x\)-Achse an („wird flacher“).

- Wo liegen die Nullstellen der Funktion? Setze dazu die einzelnen Faktoren des Funktionsterms gleich Null. - Überlege, was das Quadrat an einem Faktor für das Aussehen des Graphen an dieser Stelle bedeutet. Schneidet er dort die Achse oder berührt er sie nur? - Prüfe, in welche Richtung der Graph am rechten Rand verläuft.

1. Die Nullstellen von \(f\) liegen bei \(x = -1\) und \(x = 3\). 2. Bei \(x = -1\) liegt eine doppelte Nullstelle vor (wegen des Quadrats am Faktor \((x+1)\)). Der Graph muss die \(x\)-Achse dort berühren (ein Extrempunkt liegt auf der Achse). 3. Bei \(x = 3\) liegt eine einfache Nullstelle vor (der Faktor \((x-3)\) tritt nur einmal auf). Der Graph muss die \(x\)-Achse dort schneiden. 4. Da der Leitkoeffizient \(0{,}2\) positiv ist und der Grad der Funktion \(3\) beträgt, verläuft der Graph für \(x \to \infty\) ins Positive. 5. Nur Graph 1 erfüllt alle diese Kriterien: Berührpunkt bei \(-1\), Schnittpunkt bei \(3\) und positiver Verlauf nach rechts oben.

Graph 1 ist die richtige Darstellung der Funktion \(f\).

- Wo schneidet der Graph die \(x\)-Achse? Diese Stellen sind deine Werte für \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\). - Setze die abgelesenen Nullstellen in die vorgegebene Formel ein. Achte dabei auf die Vorzeichen. - Wie kannst du den gegebenen Punkt \(P\) nutzen, um den noch unbekannten Wert für \(a\) zu finden?

1. Aus dem Graphen lassen sich die drei einfachen Nullstellen bei \(x_1 = -4\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 4\) ablesen. 2. Damit ergibt sich der Ansatz: \(f(x) = a(x + 4)x(x - 4)\). 3. Um \(a\) zu bestimmen, wird der Punkt \(P(2 \mid 2{,}4)\) in die Gleichung eingesetzt: \(2{,}4 = a \cdot (2 + 4) \cdot 2 \cdot (2 - 4)\). 4. Rechnung: \(2{,}4 = a \cdot 6 \cdot 2 \cdot (-2) = -24 \cdot a\). 5. Division durch \(-24\) ergibt \(a = \frac{2{,}4}{-24} = -0{,}1\). 6. Die Funktionsgleichung lautet somit \(f(x) = -0{,}1x(x + 4)(x - 4)\).

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -0{,}1x(x + 4)(x - 4)\).

- Schau dir genau an, wo die Graphen die x-Achse berühren oder schneiden. - Ein Berührpunkt deutet auf eine Nullstelle mit gerader Vielfachheit hin (z. B. ein quadratischer Faktor). - Ein einfacher Schnittpunkt gehört zu einer Nullstelle mit der Vielfachheit 1. - Prüfe zusätzlich den y-Achsenabschnitt, indem du \(x = 0\) in die Terme einsetzt.

1. Term (A) gehört zu Graph \(f\): Der Faktor \((x+2)^2\) zeigt eine doppelte Nullstelle bei \(x = -2\) an, was einem Berührpunkt (Extremum auf der x-Achse) entspricht. Die einfache Nullstelle bei \(x = 1\) (Faktor \(x-1\)) ist ein Schnittpunkt. 2. Term (B) gehört zu Graph \(g\): Hier liegt bei \(x = -2\) eine einfache Nullstelle (Schnittpunkt) und bei \(x = 1\) eine doppelte Nullstelle (Berührpunkt) vor. Das negative Vorzeichen bewirkt, dass der Graph für große x-Werte ins Negative fällt. 3. Term (C) gehört zu Graph \(h\): Der Term hat drei einfache Nullstellen bei \(x = -2\), \(x = 0\) und \(x = 2\). Der Graph schneidet die x-Achse an all diesen drei Stellen.

\((A) \to f;\ (B) \to g;\ (C) \to h\)

- Wie verhält sich die Funktion für sehr große \(x\)-Werte? Vergleiche dies mit dem Verlauf des Graphen am rechten Rand. - Schau dir die Nullstellen im Funktionsterm an. Handelt es sich um einfache oder mehrfache Nullstellen? - Setze \(x=0\) in die Funktionsgleichung ein, um den \(y\)-Achsenabschnitt zu bestimmen.

Durch Vergleich der Funktion \(g(x) = -0{,}5(x+1)(x-2)^2\) mit dem Graphen lassen sich drei Unstimmigkeiten finden: 1. Globalverhalten: Der Leitkoeffizient von \(g\) ist negativ und der Grad ist \(3\). Daher müsste \(g(x) \to -\infty\) für \(x \to \infty\) gelten. Der abgebildete Graph steigt am rechten Rand jedoch. 2. Nullstelle bei \(x=-1\): Bei \(g\) ist sie einfach, der Graph müsste die \(x\)-Achse schneiden. Der abgebildete Graph berührt die Achse dort und zeigt somit eine gerade Vielfachheit. 3. Weitere Nullstelle: \(g\) besitzt nur die Nullstellen \(x=-1\) und \(x=2\). Der abgebildete Graph hat zusätzlich eine Nullstelle bei \(x=-2\).

Der Graph kann nicht zu \(g\) gehören, weil sein rechtes Endverhalten nicht zum negativen Leitkoeffizienten einer kubischen Funktion passt, er die \(x\)-Achse bei \(x=-1\) berührt, obwohl \(g\) dort eine einfache Nullstelle hat, und er zusätzlich bei \(x=-2\) eine Nullstelle besitzt, die im Term von \(g\) nicht vorkommt.

- Was ist der Unterschied in der Funktionsgleichung zwischen einer Nullstelle, an der der Graph schneidet, und einer, an der er nur berührt? - Wie viele Nullstellen (einschließlich ihrer Vielfachheit) erwartest du bei einer Funktion vierten Grades? - Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes \(P\) ein, um den Streckfaktor zu finden.

1. Nullstellen und Vielfachheit ablesen: - Bei \(x = -2\) berührt der Graph die \(x\)-Achse, es liegt also eine doppelte Nullstelle vor. - Bei \(x = 1\) und \(x = 4\) kreuzt der Graph die \(x\)-Achse (einfache Nullstellen). 2. Ansatz aufstellen: \(h(x) = a(x + 2)^2(x - 1)(x - 4)\). 3. Parameter \(a\) bestimmen: Nutze den Punkt \(P(3 \mid 5)\). \(5 = a \cdot (3 + 2)^2 \cdot (3 - 1) \cdot (3 - 4)\) \(5 = a \cdot 5^2 \cdot 2 \cdot (-1)\) \(5 = a \cdot 25 \cdot (-2) = -50a\) \(a = \frac{5}{-50} = -0{,}1\). 4. Funktionsgleichung: \(h(x) = -0{,}1(x + 2)^2(x - 1)(x - 4)\).

Eine mögliche Funktionsgleichung lautet \(h(x) = -0{,}1(x + 2)^2(x - 1)(x - 4)\).

- Überlege dir, wie sich eine einfache Nullstelle im Vergleich zu einer doppelten Nullstelle im Graphen äußert. - Welcher Teil des Funktionsterms bestimmt die Symmetrie des Graphen? - Nutze den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse, um einen der Parameter direkt abzulesen. - Setze die Koordinaten eines weiteren gut ablesbaren Punktes in die Funktionsgleichung ein, um die restlichen Unbekannten zu berechnen.

1. Zuordnung und Begründung: Graph A gehört zur Funktion \(f\). Er hat eine einfache Nullstelle bei \(x=-2\) und eine doppelte Nullstelle bei \(x=1\). Graph B ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, was zur Form \(g(x)=bx^4+c\) passt. 2. Parameterbestimmung für \(g\): Graph B hat den \(y\)-Achsenabschnitt \(2\), also \(c=2\). Er verläuft durch \((2 \mid 0)\). Damit gilt \(0=b\cdot 2^4+2\), also \(16b=-2\) und \(b=-\frac18=-0{,}125\). 3. Parameterbestimmung für \(f\): Graph A schneidet die \(y\)-Achse bei \(1\). Daher gilt \(1=a(0+2)(0-1)^2=2a\), also \(a=0{,}5\).

a) Graph A gehört zu \(f\), da er bei \(x=-2\) die Achse schneidet und sie bei \(x=1\) berührt. Graph B gehört zu \(g\). b) \(a=0{,}5\), \(b=-0{,}125\) und \(c=2\).

- Schau dir genau an, ob der Graph die x-Achse schneidet oder nur berührt. - Überlege, wie die Art der Nullstelle (Schnittpunkt oder Berührpunkt) die Potenz des zugehörigen Linearfaktors beeinflusst. - Ein Berührpunkt deutet auf eine gerade Vielfachheit der Nullstelle hin, ein einfacher Schnittpunkt auf eine ungerade. - Suche dir einen Punkt auf dem Graphen, der genau auf einem Gitterkreuz liegt, um den Streckfaktor \(a\) zu berechnen.

1. Analyse von Graph a): Ablesen der Nullstellen: \(x_1 = -3\) (einfach, Vorzeichenwechsel), \(x_2 = 0\) (doppelt, Berührpunkt), \(x_3 = 2\) (einfach, Vorzeichenwechsel). Daraus folgt der Ansatz: \(f(x) = ax^2(x + 3)(x - 2)\). Ablesen eines Punktes: \(P(-2 \mid 4)\). Einsetzen in den Ansatz: \(4 = a \cdot (-2)^2 \cdot (-2 + 3) \cdot (-2 - 2) = a \cdot 4 \cdot 1 \cdot (-4) = -16a\). Berechnung des Streckfaktors: \(a = -\frac{4}{16} = -0{,}25\). Ergebnis: \(f(x) = -0{,}25x^2(x + 3)(x - 2)\). 2. Analyse von Graph b): Ablesen der Nullstellen: \(x_1 = -2\) (einfach), \(x_2 = 1\) (einfach), \(x_3 = 3\) (doppelt, Berührpunkt). Daraus folgt der Ansatz: \(g(x) = a(x + 2)(x - 1)(x - 3)^2\). Ablesen eines Punktes: \(P(2 \mid 1)\). Einsetzen in den Ansatz: \(1 = a \cdot (2 + 2) \cdot (2 - 1) \cdot (2 - 3)^2 = a \cdot 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4a\). Berechnung des Streckfaktors: \(a = 0{,}25\). Ergebnis: \(g(x) = 0{,}25(x + 2)(x - 1)(x - 3)^2\).

a) \(f(x) = -0{,}25x^2(x + 3)(x - 2)\) b) \(g(x) = 0{,}25(x + 2)(x - 1)(x - 3)^2\)

- Schau dir an, wo der Graph die waagerechte Achse kreuzt oder berührt. - Überlege dir, wie sich der Graph an den Nullstellen verhält: Geht er hindurch oder kehrt er um? - Du kannst die Nullstellen direkt in die Klammern der Produktdarstellung schreiben. Vergiss das Vorzeichen nicht! - Um den genauen Wert des Faktors vor den Klammern zu finden, hilft ein zusätzlicher Punkt auf dem Graphen. - Multipliziere die Klammern schrittweise aus, um zur Normalform zu gelangen.

1. Nullstellen aus dem Graphen ablesen: Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x_1 = -3\), \(x_2 = -1\) und \(x_3 = 2\). Da der Graph die Achse an allen drei Stellen schneidet, handelt es sich um einfache Nullstellen. 2. Faktorisierte Form aufstellen: Mit dem Streckfaktor \(a\) lautet der Ansatz \(f(x) = a(x + 3)(x + 1)(x - 2)\). 3. Streckfaktor \(a\) berechnen: Den Punkt \(P(0 \mid -3)\) in den Ansatz einsetzen: \(-3 = a \cdot (0 + 3) \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 2)\) \(-3 = a \cdot 3 \cdot 1 \cdot (-2)\) \(-3 = -6a \Rightarrow a = 0{,}5\). Die faktorisierte Form ist \(f(x) = 0{,}5(x + 3)(x + 1)(x - 2)\). 4. Umwandlung in die Normalform: \(f(x) = 0{,}5(x^2 + 4x + 3)(x - 2)\) \(f(x) = 0{,}5(x^3 - 2x^2 + 4x^2 - 8x + 3x - 6)\) \(f(x) = 0{,}5(x^3 + 2x^2 - 5x - 6) = 0{,}5x^3 + x^2 - 2{,}5x - 3\).

a) Nullstellen: \(x_1 = -3\) (einfach), \(x_2 = -1\) (einfach), \(x_3 = 2\) (einfach). b) Faktorisierte Form: \(f(x) = 0{,}5(x + 3)(x + 1)(x - 2)\). c) Normalform: \(f(x) = 0{,}5x^3 + x^2 - 2{,}5x - 3\).

- Achte auf das Vorzeichen vor der höchsten Potenz von \(x\). Es verrät dir, ob der Graph nach oben oder unten geöffnet ist. - Überlege dir, ob ein Graph die \(x\)-Achse schneidet oder nur berührt. Was bedeutet das für die Vielfachheit der Nullstellen? - Der Wert der Funktion bei \(x = 0\) ist oft leicht abzulesen und hilft beim Ausschlussverfahren. - Zähle die Anzahl der Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse.

1. Analyse des Globalverhaltens: Die Terme \(y_A\) und \(y_B\) haben einen positiven Leitkoeffizienten (\(1\)), die Graphen öffnen sich also nach oben. Das trifft auf \(k_1\) und \(k_3\) zu. Der Term \(y_C\) hat einen negativen Leitkoeffizienten (\(-0{,}5\)), der Graph öffnet sich nach unten. Dies entspricht Graph \(k_2\). 2. Analyse der Nullstellen für \(y_A\) und \(y_B\): - Der Term \(y_A = (x^2 - 1)^2 = (x-1)^2(x+1)^2\) besitzt zwei doppelte Nullstellen bei \(x = 1\) und \(x = -1\). An diesen Stellen berührt der Graph die \(x\)-Achse, ohne sie zu schneiden. Dies erkennt man bei Graph \(k_3\). - Der Term \(y_B = (x^2 - 1)(x^2 - 4) = (x-1)(x+1)(x-2)(x+2)\) besitzt vier einfache Nullstellen bei \(x = \pm 1\) und \(x = \pm 2\). An diesen Stellen schneidet der Graph die \(x\)-Achse. Dies passt zu Graph \(k_1\). 3. Überprüfung des \(y\)-Achsenabschnitts: Für \(y_B\) gilt \(y_B(0) = 4\), was mit Graph \(k_1\) übereinstimmt. Für \(y_A\) gilt \(y_A(0) = 1\), passend zu Graph \(k_3\). Für \(y_C\) gilt \(y_C(0) = -2\), passend zu Graph \(k_2\).

Graph \(k_1\) gehört zu \(y_B = x^4 - 5x^2 + 4\); Graph \(k_2\) gehört zu \(y_C = -0{,}5x^4 + 2{,}5x^2 - 2\); Graph \(k_3\) gehört zu \(y_A = x^4 - 2x^2 + 1\).

- Ein Berührpunkt mit der \(x\)-Achse deutet auf eine Nullstelle mit gerader Vielfachheit hin. - Überlege, wie du den Term \((x-2)^2(x+2)^2\) vereinfachen kannst, bevor du ihn ausmultiplizierst.

1. Ablesen der Merkmale: Der Graph hat sein lokales Maximum bei \((0 \mid 4)\), also ist \(c = 4\). Er berührt die \(x\)-Achse bei \(x = -2\) und \(x = 2\), was auf doppelte Nullstellen hinweist. 2. Ansatz: \(f(x) = a(x - 2)^2(x + 2)^2 = a(x^2 - 4)^2\). 3. Punktprobe mit \((0 \mid 4)\): \(4 = a \cdot (0^2 - 4)^2 = 16a \implies a = \frac{4}{16} = 0{,}25\). 4. Term ausformulieren: \(f(x) = 0{,}25 \cdot (x^4 - 8x^2 + 16) = 0{,}25x^4 - 2x^2 + 4\).

\(f(x) = 0{,}25x^4 - 2x^2 + 4\)

- Was für eine Art von Nullstelle liegt im Ursprung vor, wenn der Graph dort einen Sattelpunkt hat? - Nutze die zweite Nullstelle und einen weiteren Punkt, um die Funktionsgleichung zu vervollständigen.

1. Nullstellen: Der Graph hat eine dreifache Nullstelle (Sattelpunkt) bei \(x = 0\) und eine einfache Nullstelle bei \(x = -2\). 2. Ansatz: Aufgrund der Nullstellen lässt sich die Funktion als \(f(x) = ax^3(x + 2)\) schreiben. 3. Punktprobe: Ein markanter Punkt auf dem Graph ist \((-1 \mid 1)\). Einsetzen ergibt \(1 = a \cdot (-1)^3 \cdot (-1 + 2) = -a \cdot 1 = -a\). Daraus folgt \(a = -1\). 4. Ausmultiplizieren: \(f(x) = -1 \cdot (x^4 + 2x^3) = -x^4 - 2x^3\).

\(f(x) = -x^4 - 2x^3\)

- Überlege dir zuerst, welche Art von Nullstellen (Schnitt- oder Berührpunkte) vorliegen. - Wie beeinflusst die Art der Nullstelle die Potenz des Faktors in der Funktionsgleichung? - Du kannst einen beliebigen weiteren Punkt des Graphen nutzen, um den Streckfaktor zu berechnen.

1. Nullstellen aus dem Graphen ablesen: Berührpunkt bei \(x_1 = -2\) (doppelte Nullstelle) und Schnittpunkt bei \(x_2 = 2\) (einfache Nullstelle). 2. Ansatz in der Nullstellenform: \(f(x) = a(x + 2)^2(x - 2)\). 3. Bestimmung von \(a\) mit dem \(y\)-Achsenabschnitt \((0 \mid -2)\): \(f(0) = a \cdot (0 + 2)^2 \cdot (0 - 2) = a \cdot 4 \cdot (-2) = -8a = -2 \Rightarrow a = 0{,}25\). 4. Der Funktionsterm lautet: \(f(x) = 0{,}25(x + 2)^2(x - 2)\).

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 0{,}25(x + 2)^2(x - 2)\).

- Achte auf die Symmetrie zur vertikalen Achse. - Welche Vielfachheit hat eine Nullstelle im Ursprung, wenn der Graph dort ein lokales Extremum hat? - Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes in deinen Ansatz ein.

1. Nullstellen identifizieren: Ein Berührpunkt bei \(x = 0\) (doppelte Nullstelle) und einfache Schnittpunkte bei \(x = -3\) und \(x = 3\). 2. Ansatz: \(f(x) = ax^2(x + 3)(x - 3) = ax^2(x^2 - 9)\). 3. Punkt \(P(2 \mid -2)\) einsetzen: \(f(2) = a \cdot 2^2 \cdot (2^2 - 9) = a \cdot 4 \cdot (-5) = -20a = -2 \Rightarrow a = 0{,}1\). 4. Ergebnis: \(f(x) = 0{,}1x^2(x^2 - 9)\).

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 0{,}1x^2(x^2 - 9)\).

- Überlege dir, wie viele Nullstellen du im Graphen siehst und an welchen Stellen sie liegen. - Erinnere dich an die Symmetrieeigenschaften: Welche Potenzen von \(x\) kommen bei einer punktsymmetrischen Funktion vor? - Nutze die Nullstellen, um die Funktion in der Produktform (Linearfaktordarstellung) aufzuschreiben. - Wie kannst du den verbleibenden Parameter \(a\) mit Hilfe des gegebenen Punktes \(P\) bestimmen?

1. Aus dem Graphen werden die Nullstellen bei \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 2\) abgelesen. 2. Da der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist und drei einfache Nullstellen besitzt, ist der niedrigstmögliche Grad 3. 3. Ansatz in der Produktform: \(f(x) = ax(x - 2)(x + 2) = a(x^3 - 4x)\). 4. Einsetzen des Punktes \(P(1 \mid -1{,}5)\) in den Ansatz: \(-1{,}5 = a \cdot (1^3 - 4 \cdot 1) = a \cdot (-3)\). 5. Auflösen nach dem Streckfaktor: \(a = \frac{-1{,}5}{-3} = 0{,}5\). 6. Resultierender Funktionsterm: \(f(x) = 0{,}5 \cdot (x^3 - 4x) = 0{,}5x^3 - 2x\).

a) Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 2\). b) Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x) = 0{,}5x^3 - 2x\).

- Überlege dir, welche Art von Nullstelle (einfach, doppelt, dreifach) zu einem Schnittpunkt oder einem Berührpunkt mit der x-Achse führt. - Achte auf das Vorzeichen vor dem höchsten Exponenten, um das Verhalten des Graphen für sehr große x-Werte zu bestimmen. - Vergleiche die berechneten Nullstellen der Gleichungen mit den Achsenschnittpunkten in den Abbildungen. - Ein Berührpunkt deutet auf eine Nullstelle mit gerader Vielfachheit hin.

1. Analyse von \(p(x) = \frac{1}{2}x^2(x-3)\): Die Funktion hat eine doppelte Nullstelle bei \(x = 0\) (Berührpunkt) und eine einfache Nullstelle bei \(x = 3\) (Schnittpunkt). Der Leitkoeffizient ist positiv (\(\frac{1}{2}\)), daher gilt \(p(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\). Dies entspricht Graph A. 2. Analyse von \(q(x) = \frac{1}{2}x(x-3)^2\): Die Funktion hat eine einfache Nullstelle bei \(x = 0\) (Schnittpunkt) und eine doppelte Nullstelle bei \(x = 3\) (Berührpunkt). Da der Leitkoeffizient positiv ist, gilt \(q(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\). Dies entspricht Graph B. 3. Analyse von \(r(x) = -\frac{1}{2}x^2(x-3)\): Die Funktion hat eine doppelte Nullstelle bei \(x = 0\) (Berührpunkt) und eine einfache Nullstelle bei \(x = 3\) (Schnittpunkt). Wegen des negativen Leitkoeffizienten (\(-\frac{1}{2}\)) gilt \(r(x) \to -\infty\) für \(x \to \infty\). Dies entspricht Graph C.

(1) passt zu Graph A, (2) passt zu Graph B und (3) passt zu Graph C.

- Was verrät dir das Quadrat über einer Klammer in der Funktionsgleichung über den Graphen an dieser Stelle? - Unterscheide zwischen dem Schneiden und dem Berühren der waagerechten Achse. - Berechne den Wert der Funktion für \(x=0\). - Überlege dir, wie viele Nullstellen die Funktion insgesamt hat.

1. Art der Nullstelle bei \(x=1\): In der Funktionsgleichung von \(h\) tritt der Faktor \((x-1)\) quadratisch auf. Das bedeutet, bei \(x=1\) liegt eine doppelte Nullstelle (Berührpunkt mit der \(x\)-Achse) vor. Im Graphen wird die \(x\)-Achse bei \(x=1\) jedoch geschnitten (Vorzeichenwechsel). 2. Art der Nullstelle bei \(x=-2\): In \(h(x)\) ist \((x+2)\) ein einfacher Faktor, was einem Schnittpunkt entspricht. Der Graph zeigt bei \(x=-2\) jedoch einen Berührpunkt (Extrempunkt auf der Achse). 3. \(y\)-Achsenabschnitt: Rechnerisch ergibt sich \(h(0) = (0-1)^2 \cdot (0+2) = 1 \cdot 2 = 2\). Der Graph schneidet die \(y\)-Achse hingegen im negativen Bereich bei \(y = -4\).

Die Behauptung ist falsch, weil \(h\) bei \(x=1\) einen Berührpunkt haben müsste, der Graph dort aber die Achse schneidet, \(h\) bei \(x=-2\) die Achse schneiden müsste, der Graph dort aber einen Berührpunkt hat, und der \(y\)-Achsenabschnitt von \(h\) bei \(+2\), der des Graphen aber bei \(-4\) liegt.

- Achte auf den Unterschied zwischen Schnittpunkten und Berührpunkten mit der x-Achse. - Wie spiegelt sich ein Berührpunkt im Exponenten des zugehörigen Linearfaktors wider? - Setze die Koordinaten des Punktes \(Q\) in deine Gleichung ein, um den Wert des Parameters \(a\) zu ermitteln.

1. Nullstellen bestimmen: Der Graph schneidet die x-Achse bei \(x_1 = 0\) (einfache Nullstelle) und berührt sie bei \(x_2 = 4\) (doppelte Nullstelle). 2. Ansatz in der Nullstellenform aufstellen: \(f(x) = a(x - 0)(x - 4)^2 = ax(x - 4)^2\). 3. Koordinaten des Punktes \(Q(2 \mid 2)\) einsetzen: \(2 = a \cdot 2 \cdot (2 - 4)^2\). 4. Den Parameter \(a\) berechnen: \(2 = a \cdot 2 \cdot 4 = 8a \Rightarrow a = \frac{2}{8} = 0{,}25\). 5. Vollständigen Funktionsterm angeben: \(f(x) = 0{,}25x(x - 4)^2\).

\(f(x) = 0{,}25x(x - 4)^2\)

- Welche Form der Funktionsgleichung bietet sich an, wenn die Nullstellen bekannt sind? - Wie viele Nullstellen hat eine Funktion dritten Grades maximal? - Wie kannst du die Koordinaten eines gegebenen Punktes nutzen, um den unbekannten Parameter \(a\) zu finden? - Achte beim Ausmultiplizieren der Klammern auf die Vorzeichen.

1. Da die Nullstellen bei \(x_1 = -4\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 2\) liegen, kann der Funktionsterm in der Nullstellenform angesetzt werden: \(f(x) = a(x + 4)x(x - 2)\). 2. Zur Bestimmung des Streckfaktors \(a\) wird der Punkt \(P(-2 \mid 8)\) in den Ansatz eingesetzt: \(8 = a \cdot (-2 + 4) \cdot (-2) \cdot (-2 - 2)\). 3. Vereinfachung der Gleichung: \(8 = a \cdot 2 \cdot (-2) \cdot (-4) = 16a\). 4. Auflösen nach \(a\): \(a = \frac{8}{16} = 0{,}5\). 5. Ausmultiplizieren des Terms: \(f(x) = 0{,}5 \cdot (x^2 + 4x) \cdot (x - 2) = 0{,}5 \cdot (x^3 - 2x^2 + 4x^2 - 8x) = 0{,}5 \cdot (x^3 + 2x^2 - 8x) = 0{,}5x^3 + x^2 - 4x\).

\(f(x) = 0{,}5x^3 + x^2 - 4x\)

- Wann wird ein Produkt null? - Was muss für den zweiten Faktor gelten, damit \(x = 2\) dort ebenfalls eine Nullstelle ist? - Erinnere dich an die Bedingung für eine doppelte Nullstelle bei quadratischen Funktionen. - Können alle drei Nullstellen des gesamten Ausdrucks denselben Wert annehmen? Überprüfe dies durch Vergleich der Koeffizienten.

1. Für eine doppelte Nullstelle bei \(x = 2\) muss der quadratische Faktor \(x^2 + bx + 25\) an der Stelle \(2\) den Wert Null annehmen: \(2^2 + b \cdot 2 + 25 = 0 \implies 2b + 29 = 0 \implies b = -14{,}5\). 2. Eine andere doppelte Nullstelle tritt auf, wenn der quadratische Faktor eine Diskriminante von Null besitzt: \(D = b^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = b^2 - 100\). \(D = 0\) liefert \(b = 10\) oder \(b = -10\). Bei \(b = 10\) ist \(x = -5\) eine doppelte Nullstelle, bei \(b = -10\) ist \(x = 5\) eine doppelte Nullstelle. Beide sind ungleich \(2\). 3. Eine dreifache Nullstelle würde voraussetzen, dass der quadratische Faktor die Form \((x-2)^2\) hat. Dies entspräche \(x^2 - 4x + 4\). Ein Vergleich mit \(x^2 + bx + 25\) zeigt, dass das Absolutglied \(25\) nicht mit \(4\) übereinstimmen kann. Alternativ müsste eine doppelte Nullstelle des quadratischen Faktors (\(5\) oder \(-5\)) mit der bereits vorhandenen Nullstelle \(2\) identisch sein, was nicht der Fall ist.

a) \(b = -14{,}5\) b) \(b = 10\) oder \(b = -10\) c) Damit eine dreifache Nullstelle vorliegt, müsste der quadratische Faktor die Form \((x-2)^2 = x^2 - 4x + 4\) haben. Da das Absolutglied jedoch fest auf \(25\) liegt, ist dies für keinen Wert von \(b\) möglich.

- Erstelle zuerst einen Funktionsterm mithilfe der Nullstellen und ihrer Vielfachheiten. - Nutze den Punkt \(P\), um den genauen Wert des Streckungsfaktors zu ermitteln. - Überlege dir, von welchen zwei Eigenschaften (Grad und Leitkoeffizient) das Verhalten einer Funktion im Unendlichen abhängt. - Vergleiche das Verhalten deiner gefundenen Funktion für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte mit dem der Funktion \(g\).

1. Aufstellen des Ansatzes basierend auf den Nullstellen: \(f(x) = a(x + 1)^3(x - 2)\). 2. Bestimmung von \(a\) durch Einsetzen des Punktes \(P(1 | 16)\): \(16 = a \cdot (1 + 1)^3 \cdot (1 - 2) \implies 16 = a \cdot 8 \cdot (-1) \implies 16 = -8a \implies a = -2\). 3. Überprüfung des Grades: Der Grad der Funktion ist \(3 + 1 = 4\), was der Vorgabe entspricht. 4. Überprüfung des Grenzverhaltens: Da der Grad \(n = 4\) gerade ist und der Leitkoeffizient \(a = -2\) negativ ist, gilt \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to \pm \infty\). Dies stimmt mit dem Verhalten von \(g(x) = -x^2\) überein. 5. Ergebnis: Ja, eine solche Funktion existiert. Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x) = -2(x + 1)^3(x - 2)\).

Ja, eine solche Funktion existiert. Ihr Funktionsterm lautet \(f(x) = -2(x + 1)^3(x - 2)\). Da der Grad 4 (gerade) und der Leitkoeffizient \(-2\) (negativ) ist, strebt die Funktion für \(x \to \pm \infty\) gegen \(-\infty\), genau wie \(g(x) = -x^2\).

- Was bedeutet es für den Term, wenn beim Einsetzen einer Zahl Null herauskommt? - Vergiss beim Faktorisieren nicht den Vorfaktor vor dem \(x^3\). - Wie sieht die allgemeine Form einer Linearfaktorzerlegung für ein Polynom dritten Grades aus? - Kannst du den quadratischen Teil nach der Division weiter zerlegen?

1. Überprüfung der Nullstelle durch Einsetzen: \(p(1) = 2 \cdot 1^3 - 4 \cdot 1^2 - 22 \cdot 1 + 24 = 2 - 4 - 22 + 24 = 0\). 2. Division des Polynoms durch den Linearfaktor \((x - 1)\): \((2x^3 - 4x^2 - 22x + 24) : (x - 1) = 2x^2 - 2x - 24\). 3. Faktorisierung des quadratischen Ergebnisses: Ausklammern der \(2\) ergibt \(2(x^2 - x - 12)\). 4. Bestimmung der Nullstellen von \(x^2 - x - 12\) (z. B. mit dem Satz von Vieta oder der \(p\)-\(q\)-Formel) ergibt \(x = 4\) und \(x = -3\). 5. Angabe der vollständigen Linearfaktorzerlegung unter Berücksichtigung aller gefundenen Faktoren: \(p(x) = 2(x - 1)(x - 4)(x + 3)\).

Die vollständige Linearfaktorzerlegung lautet \(p(x) = 2(x - 1)(x - 4)(x + 3)\).

- Wie kannst du den Grad der Funktion schrittweise reduzieren? - Achte beim Lösen des quadratischen Teils darauf, ob es eine oder zwei Lösungen gibt. - Was sagt die Anzahl der gleichen Lösungen über die Vielfachheit aus? - Vergiss nicht den Streckfaktor vor dem höchsten Exponenten beim Aufschreiben der Produktform.

1. Abspaltung des bekannten Linearfaktors: Durchführung der Polynomdivision \((4x^3 - 8x^2 - 11x - 3) : (x - 3)\) ergibt den quadratischen Term \(4x^2 + 4x + 1\). 2. Bestimmung der weiteren Nullstellen: Lösen der Gleichung \(4x^2 + 4x + 1 = 0\). Dies entspricht der binomischen Formel \((2x + 1)^2 = 0\). Daraus folgt die weitere Nullstelle \(x_2 = -0{,}5\). 3. Bestimmung der Vielfachheiten: Da der Faktor \((2x + 1)\) im Quadrat vorkommt, ist \(x_2 = -0{,}5\) eine doppelte Nullstelle. Die Nullstelle \(x_1 = 3\) ist eine einfache Nullstelle. 4. Aufstellen der Produktform: Unter Berücksichtigung des Leitkoeffizienten \(4\) ergibt sich \(g(x) = 4(x - 3)(x + 0{,}5)^2\) oder alternativ \(g(x) = (x - 3)(2x + 1)^2\).

Weitere Nullstelle: \(x_2 = -0{,}5\) (doppelte Nullstelle); \(x_1 = 3\) (einfache Nullstelle). Produktform: \(g(x) = 4(x - 3)(x + 0{,}5)^2\) oder \(g(x) = (x - 3)(2x + 1)^2\).

- Beginne mit kleinen ganzzahligen Werten wie \(1, -1, 2\) oder \(-2\), um die erste Nullstelle zu finden. - Nachdem du eine Nullstelle gefunden hast, hilft dir die Polynomdivision, den Grad der Funktion zu reduzieren. - Schau dir den verbleibenden quadratischen Teil genau an – erinnert er dich an eine binomische Formel? - Die Vielfachheit einer Nullstelle erkennst du an dem Exponenten des entsprechenden Linearfaktors.

1. Suche einer Nullstelle durch Probieren: \(g(1) = 1^3 - 5 \cdot 1^2 + 8 \cdot 1 - 4 = 1 - 5 + 8 - 4 = 0\). Damit ist \(x_1 = 1\) eine Nullstelle. 2. Durchführung der Polynomdivision: \((x^3 - 5x^2 + 8x - 4) : (x - 1) = x^2 - 4x + 4\). 3. Untersuchung des quadratischen Terms: \(x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2\) (Anwendung der zweiten binomischen Formel). 4. Aufstellen der Linearfaktordarstellung: \(g(x) = (x - 1) \cdot (x - 2)^2\). 5. Bestimmung der Nullstellen und Vielfachheiten: \(x_1 = 1\) ist eine einfache Nullstelle, \(x_2 = 2\) ist eine doppelte Nullstelle.

Die Linearfaktordarstellung lautet \(g(x) = (x - 1)(x - 2)^2\). Die Nullstellen sind \(x_1 = 1\) (einfach) und \(x_2 = 2\) (zweifach).

- Wenn du zwei Nullstellen kennst, wie oft musst du die Polynomdivision nacheinander anwenden, um zu einem quadratischen Term zu gelangen? - Achte beim Aufstellen der Linearfaktoren für die Division besonders auf die Vorzeichen der Nullstellen. - Gibt es eine bestimmte Reihenfolge, in der du die bekannten Nullstellen verwenden musst? - Welche Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen kennst du?

1. Erste Polynomdivision des Terms \(x^4 - 4x^3 - 7x^2 + 22x + 24\) durch den Linearfaktor \((x + 2)\) zur ersten bekannten Nullstelle. Dies ergibt den Term \(x^3 - 6x^2 + 5x + 12\). 2. Zweite Polynomdivision des resultierenden Terms dritten Grades durch den Linearfaktor \((x - 3)\) zur zweiten bekannten Nullstelle. Das Ergebnis ist der quadratische Term \(x^2 - 3x - 4\). 3. Bestimmung der Nullstellen der quadratischen Gleichung \(x^2 - 3x - 4 = 0\) mithilfe der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x = \frac{3}{2} \pm \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + 4}\). 4. Dies führt zu den fehlenden Nullstellen \(x_3 = 4\) und \(x_4 = -1\).

Die restlichen Nullstellen sind \(x_3 = 4\) und \(x_4 = -1\).

- Kannst du den ersten Term so ergänzen, dass ein Teil davon eine binomische Formel bildet? - Gibt es einen Wert, den du für die Variable einsetzen kannst, damit der gesamte Ausdruck Null ergibt? - Wenn du eine Nullstelle gefunden hast, wie hilft dir die Polynomdivision weiter? - Erinnerst du dich an die binomischen Formeln für quadratische Ausdrücke?

1. Ergänzung zum vollständigen Quadrat: Der Term \(x^4 + 3x^2 + 4\) wird durch Hinzuaddieren und Subtrahieren von \(x^2\) umgeformt zu \((x^4 + 4x^2 + 4) - x^2\). Dies entspricht \((x^2 + 2)^2 - x^2\). Anwendung der dritten binomischen Formel ergibt \((x^2 + 2 - x)(x^2 + 2 + x)\), also \((x^2 - x + 2)(x^2 + x + 2)\). Da die Diskriminanten der quadratischen Faktoren negativ sind (\(1 - 8 = -7\)), ist keine weitere Zerlegung in reelle Linearfaktoren möglich. 2. Suche einer Nullstelle durch Probieren: Für \(z = -2\) ergibt sich \((-2)^3 - 6 \cdot (-2)^2 + 32 = -8 - 24 + 32 = 0\). Division des Polynoms durch \((z + 2)\) mittels Polynomdivision oder Horner-Schema ergibt den quadratischen Restterm \(z^2 - 8z + 16\). Dieser lässt sich mit der zweiten binomischen Formel zu \((z - 4)^2\) faktorisieren. Die vollständige Zerlegung lautet \((z + 2)(z - 4)^2\).

1) \((x^2 - x + 2)(x^2 + x + 2)\) 2) \((z + 2)(z - 4)^2\)

- Schau dir alle Summanden an: Gibt es eine Potenz von \(n\), die in jedem Glied enthalten ist? - Versuche, die Glieder in der Klammer paarweise zusammenzufassen. - Erkennst du in einem der Faktoren eine binomische Formel wieder? - Wie viele Linearfaktoren erwartest du bei einem Term fünften Grades maximal?

1. Ausklammern des größtmöglichen gemeinsamen Faktors \(n^2\): \(n^2(n^3 + n^2 - 4n - 4)\). 2. Faktorisierung des verbleibenden kubischen Terms durch Gruppierung: \(n^3 + n^2 - 4n - 4 = n^2(n+1) - 4(n+1)\). 3. Herausheben des gemeinsamen Faktors \((n+1)\): \((n^2-4)(n+1)\). 4. Anwendung der dritten binomischen Formel auf den Term \((n^2-4)\): \((n-2)(n+2)\). 5. Zusammenführen aller Faktoren zur vollständigen Linearfaktorzerlegung: \(n^2(n+1)(n-2)(n+2)\).

\(n^2(n+1)(n-2)(n+2)\)

- Nutze die dritte binomische Formel mehrfach, um Terme wie \(x^4-1\) zu faktorisieren. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du einen Term innerhalb eines Quadrats mit \(-1\) multiplizierst? - Achte darauf, ob ein quadratischer Faktor wie \((x^2+1)\) im Reellen weiter zerlegt werden kann. - Die Vielfachheit einer Nullstelle erkennst du am Exponenten des Linearfaktors in der Produktdarstellung.

1. Funktionswerte: Für \(x = 1\) liefern alle Funktionen den Wert \(0\). Für \(x = 0\) gilt: \(g_1(0) = 1\), \(g_2(0) = -1\), \(g_3(0) = 1\), \(g_4(0) = 1\), \(g_5(0) = -1\). 2. Nullstellen und Vielfachheiten: \(g_1, g_3, g_4\) lassen sich als \(((x-1)(x+1))^2 = (x-1)^2(x+1)^2\) schreiben. Sie haben die Nullstellen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\), jeweils mit der Vielfachheit 2. \(g_2\) und \(g_5\) lassen sich als \((x^2-1)(x^2+1) = (x-1)(x+1)(x^2+1)\) schreiben. Da \(x^2+1 = 0\) keine reellen Lösungen hat, sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\) die einzigen reellen Nullstellen, jeweils mit der Vielfachheit 1. 3. Identität: \(g_1 = g_3 = g_4\), da \((x^2-1)^2 = (-(1-x^2))^2 = (1-x^2)^2\) und \((x^2-1)^2 = ((x-1)(x+1))^2 = (x-1)^2(x+1)^2\). Zudem ist \(g_2 = g_5\), da \(x^4 - 1 = (x^2-1)(x^2+1) = (x-1)(x+1)(x^2+1)\) nach der dritten binomischen Formel.

a) \(g_1(1)=g_2(1)=g_3(1)=g_4(1)=g_5(1)=0\); \(g_1(0)=1, g_2(0)=-1, g_3(0)=1, g_4(0)=1, g_5(0)=-1\). b) \(g_1, g_3, g_4\): \(x = 1\) (2-fach), \(x = -1\) (2-fach); \(g_2, g_5\): \(x = 1\) (1-fach), \(x = -1\) (1-fach). c) \(g_1 = g_3 = g_4\) und \(g_2 = g_5\).

- Bei Funktionen dritten Grades hilft es oft, eine erste Lösung durch Ausprobieren kleiner ganzzahliger Werte zu finden. - Welche Zahlen kommen als mögliche ganzzahlige Nullstellen infrage, wenn man sich das letzte Glied der Gleichung ansieht? - Wenn du eine Nullstelle gefunden hast, wie kannst du den Grad der Gleichung verringern, um die restlichen Stellen zu finden? - Erinnerst du dich an ein Verfahren, um ein Polynom durch einen Term der Form \((x - x_0)\) zu teilen?

1. Finden einer ersten Nullstelle durch systematisches Probieren von Teilern des Absolutglieds \(10\): \(h(1) = 1^3 - 4 \cdot 1^2 - 7 \cdot 1 + 10 = 1 - 4 - 7 + 10 = 0\). Somit ist \(x_1 = 1\) eine Nullstelle. 2. Reduktion des Grades der Funktion durch Polynomdivision: \((x^3 - 4x^2 - 7x + 10) : (x - 1)\). 3. Durchführung der Division: \(x^3 : x = x^2\); \((x^3 - x^2)\) subtrahieren ergibt \(-3x^2 - 7x\); \(-3x^2 : x = -3x\); \((-3x^2 + 3x)\) subtrahieren ergibt \(-10x + 10\); \(-10x : x = -10\). Das Ergebnis ist \(x^2 - 3x - 10\). 4. Bestimmung der weiteren Nullstellen durch Lösen von \(x^2 - 3x - 10 = 0\) mit der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x_{2,3} = 1{,}5 \pm \sqrt{2{,}25 + 10} = 1{,}5 \pm \sqrt{12{,}25} = 1{,}5 \pm 3{,}5\). 5. Ergebnisse: \(x_2 = 5\) und \(x_3 = -2\).

Die Nullstellen der Funktion \(h\) sind \(x_1 = 1\), \(x_2 = 5\) und \(x_3 = -2\).

- Beginne damit, die Teiler der Zahl ohne \(x\) am Ende des Funktionsterms zu prüfen. - Hast du eine Nullstelle \(a\) gefunden, kannst du durch \((x - a)\) teilen. - Wiederhole den Vorgang so lange, bis du bei einer Funktion zweiten Grades angelangt bist. - Denke daran, dass du für jede gefundene Nullstelle eine neue Division durchführen kannst.

1. Mögliche ganzzahlige Nullstellen sind Teiler von \(-6\): \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\). 2. Durch Einsetzen werden die Nullstellen \(x_1 = 1\), \(x_2 = -1\) und \(x_3 = 2\) gefunden. 3. Erste Polynomdivision: \((x^5 - 2x^4 - 4x^3 + 8x^2 + 3x - 6) : (x - 1) = x^4 - x^3 - 5x^2 + 3x + 6\). 4. Zweite Polynomdivision: \((x^4 - x^3 - 5x^2 + 3x + 6) : (x + 1) = x^3 - 2x^2 - 3x + 6\). 5. Dritte Polynomdivision: \((x^3 - 2x^2 - 3x + 6) : (x - 2) = x^2 - 3\). 6. Bestimmung der restlichen Nullstellen aus \(x^2 - 3 = 0\) führt zu \(x_{4,5} = \pm \sqrt{3}\).

Die Nullstellen der Funktion sind \(x_1 = 1\), \(x_2 = -1\), \(x_3 = 2\), \(x_4 = \sqrt{3}\) und \(x_5 = -\sqrt{3}\).

- Kannst du einen gemeinsamen Faktor ausklammern, um den Grad des restlichen Terms zu verringern? - Erinnerst du dich an die binomischen Formeln? Sie helfen oft dabei, quadratische Ausdrücke weiter zu zerlegen. - Eine Nullstelle ist genau dann mehrfach, wenn der zugehörige Linearfaktor in der faktorisierten Form mehrfach vorkommt. - Unterscheide zwischen geraden Vielfachheiten (Graph berührt die Achse) und ungeraden Vielfachheiten (Graph schneidet die Achse).

1. Analyse von \( f(x) \): Ausklammern von \( x \) führt zu \( x(x^2 - 4) \). Mit der dritten binomischen Formel ergibt sich \( f(x) = x(x - 2)(x + 2) \). Nullstellen: \( x_1 = 0 \), \( x_2 = 2 \), \( x_3 = -2 \). Alle sind einfach (Vielfachheit 1), daher liegt an jeder Stelle ein VZW vor. 2. Analyse von \( g(x) \): Ausklammern von \( x^2 \) führt zu \( x^2(x^2 - 2x + 1) \). Mit der zweiten binomischen Formel ergibt sich \( g(x) = x^2(x - 1)^2 \). Nullstellen: \( x_1 = 0 \) (zweifach, kein VZW) und \( x_2 = 1 \) (zweifach, kein VZW). 3. Analyse von \( h(x) \): Faktorisierung der Klammer \( (x^2 - 9) \) ergibt \( (x - 3)(x + 3) \). Zusammengefasst lautet die Funktion \( h(x) = (x - 3)(x + 3)^2 \). Nullstellen: \( x_1 = 3 \) (einfach, VZW) und \( x_2 = -3 \) (zweifach, kein VZW).

a) \( f(x) = x(x-2)(x+2) \); Nullstellen: \( 0; 2; -2 \) (alle einfach, jeweils mit VZW) b) \( g(x) = x^2(x-1)^2 \); Nullstellen: \( 0 \) (zweifach, kein VZW); \( 1 \) (zweifach, kein VZW) c) \( h(x) = (x-3)(x+3)^2 \); Nullstellen: \( 3 \) (einfach, VZW); \( -3 \) (zweifach, kein VZW)

- Welche Auswirkung hat die Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse auf die Exponenten der Variable \(x\)? - Wie kannst du sicherstellen, dass eine Funktion keine Nullstellen hat? Denke an einfache Potenzen und Verschiebungen. - Wenn eine Funktion einen ungeraden Grad hat, wie viele Nullstellen muss sie mindestens haben? - Nutze die Vielfachheit von Nullstellen, um die Bedingung für den Grad der Funktion zu erfüllen.

1. Für Teilaufgabe a): Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse bedeutet, dass im Funktionsterm nur gerade Exponenten auftreten dürfen. Da \(x = 3\) und \(x = -3\) Nullstellen sind, ist \((x^2 - 9)\) ein Faktor. Um Grad 4 zu erreichen und keine weiteren Nullstellen zu erzeugen, kann man diesen Faktor quadrieren: \(f(x) = (x^2 - 9)^2 = x^4 - 18x^2 + 81\). 2. Für Teilaufgabe b): Grad 5 mit drei Nullstellen erfordert, dass die Summe der Vielfachheiten der Nullstellen 5 ergibt. Ein möglicher Ansatz mit den gegebenen Nullstellen ist \(f(x) = x \cdot (x + 2)^2 \cdot (x - 2)^2\). Hier ist \(x=0\) eine einfache und \(x = \pm 2\) jeweils eine doppelte Nullstelle. 3. Für Teilaufgabe c): Eine ganzrationale Funktion 4. Grades ohne Nullstellen muss stets oberhalb oder stets unterhalb der \(x\)-Achse verlaufen. Ein einfacher Term ist \(f(x) = x^4 + 1\), da \(x^4 \geq 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt und somit \(f(x) \geq 1\).

Mögliche Funktionsterme sind: a) \(f(x) = (x^2 - 9)^2\) oder \(f(x) = x^4 - 18x^2 + 81\) b) \(f(x) = x(x + 2)^2(x - 2)^2\) c) \(f(x) = x^4 + 1\)

- Welche Ersetzung könnte die Gleichung in eine einfache quadratische Form bringen? - Erinnere dich nach dem Lösen der quadratischen Gleichung daran, die Ersetzung wieder rückgängig zu machen. - Wie viele reelle Zahlen gibt es, deren dritte Potenz \(8\) oder \(-1\) ergibt? - Schau im Graphen genau nach, wo er die horizontale Achse berührt oder schneidet.

1. Wahl der Substitution: Da die Potenzen \(x^6\) und \(x^3\) vorkommen, substituiere \(z = x^3\). Es folgt \(z^2 = (x^3)^2 = x^6\). 2. Aufstellen der quadratischen Gleichung: \(z^2 - 7z - 8 = 0\). 3. Lösen der quadratischen Gleichung: Mit der pq-Formel oder dem Satz von Vieta ergeben sich die Lösungen \(z_1 = 8\) und \(z_2 = -1\). 4. Resubstitution: Für \(z_1 = 8\): \(x^3 = 8 \Rightarrow x = \sqrt[3]{8} = 2\). Für \(z_2 = -1\): \(x^3 = -1 \Rightarrow x = \sqrt[3]{-1} = -1\). 5. Abgleich mit dem Graphen: Der Graph schneidet die \(x\)-Achse tatsächlich bei \(x = -1\) und \(x = 2\).

Durch Substitution von \(z = x^3\) erhält man die quadratische Gleichung \(z^2 - 7z - 8 = 0\) mit den Lösungen \(z_1 = 8\) und \(z_2 = -1\). Die Resubstitution liefert die reellen Nullstellen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -1\). Dies stimmt mit den Schnittpunkten des Graphen überein.

- Um Schnittpunkte zu finden, musst du die Funktionsterme gleichsetzen. - Wenn du eine Gleichung dritten Grades lösen willst, kannst du versuchen, eine Lösung durch Probieren kleiner ganzer Zahlen zu finden. - Hast du eine Lösung gefunden, hilft dir die Polynomdivision, den Grad der Gleichung zu reduzieren. - Denke daran, dass ein Schnittpunkt immer aus einer \(x\)- und einer \(y\)-Koordinate besteht.

1. Den Ansatz für die Schnittpunkte aufstellen: \(f(x) = g(x)\). 2. Die Gleichung \(-x^3 + 3x^2 = 4\) umformen zu \(x^3 - 3x^2 + 4 = 0\). 3. Durch Probieren eine ganzzahlige Nullstelle finden: \(x_1 = -1\), da \((-1)^3 - 3(-1)^2 + 4 = -1 - 3 + 4 = 0\). 4. Polynomdivision oder Horner-Schema durchführen: \((x^3 - 3x^2 + 4) : (x + 1) = x^2 - 4x + 4\). 5. Die restlichen Nullstellen bestimmen: \(x^2 - 4x + 4 = 0 \iff (x - 2)^2 = 0\), daraus folgt \(x_2 = 2\) (doppelte Nullstelle). 6. Die zugehörigen \(y\)-Koordinaten berechnen: Da \(g(x) = 4\) konstant ist, gilt \(y_1 = 4\) und \(y_2 = 4\). 7. Die Schnittpunkte angeben: \(S_1(-1 \mid 4)\) und \(S_2(2 \mid 4)\).

Die Schnittpunkte der beiden Graphen liegen bei \(S_1(-1 \mid 4)\) und \(S_2(2 \mid 4)\).

- Zähle die Vielfachheiten der Nullstellen zusammen, um den niedrigsten möglichen Grad zu bestimmen. - Achte darauf, ob der Graph an der Nullstelle das Vorzeichen wechselt (Schnittpunkt) oder nicht (Berührpunkt).

1. Analyse der Nullstellen: \(x = 0\) ist eine doppelte Nullstelle (Berührpunkt), \(x = -2\) und \(x = 2\) sind einfache Nullstellen (Schnittpunkte). Der minimale Grad ist somit \(2 + 1 + 1 = 4\). 2. Ansatz: \(f(x) = ax^2(x + 2)(x - 2) = ax^2(x^2 - 4)\). 3. Einsetzen von \(P(1 \mid -3)\): \(-3 = a \cdot 1^2 \cdot (1^2 - 4) = a \cdot 1 \cdot (-3) = -3a\). 4. Es ergibt sich \(a = 1\). 5. Die Funktionsgleichung ist \(f(x) = x^2(x^2 - 4)\) oder \(f(x) = x^4 - 4x^2\).

\(f(x) = x^2(x^2 - 4)\)

- Identifiziere zuerst alle Nullstellen und entscheide, welche davon einfach und welche doppelt sind. - Überprüfe am Ende, ob das Vorzeichen deines Leitkoeffizienten zum Verlauf des Graphen für sehr große x-Werte passt.

1. Ablesen der Nullstellen: einfache Nullstellen bei \(x = -1\) und \(x = 2\), eine doppelte Nullstelle (Berührpunkt) bei \(x = 1\). 2. Ansatz für Grad 4: \(f(x) = a(x + 1)(x - 2)(x - 1)^2\). 3. Bestimmung von \(a\) mit dem y-Achsenabschnitt \((0 \mid 2)\): \(2 = a \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 2) \cdot (0 - 1)^2 = a \cdot 1 \cdot (-2) \cdot 1 = -2a\). 4. Daraus folgt \(a = -1\). 5. Der Funktionsterm lautet: \(f(x) = -(x + 1)(x - 2)(x - 1)^2\).

\(f(x) = -(x + 1)(x - 2)(x - 1)^2\)

- Setze die beiden Funktionsterme gleich, um die \(x\)-Werte der gemeinsamen Punkte zu finden. - Kannst du in der entstandenen Gleichung Terme zusammenfassen oder ausklammern? - Was bedeutet es für den Graphen, wenn eine Lösung der Gleichung doppelt vorkommt?

1. Gleichsetzen: \(x^3 - x = x^2 - 1\). 2. Umformen: \(x^3 - x^2 - x + 1 = 0\). 3. Faktorisieren: \(x^2(x - 1) - 1(x - 1) = 0 \Rightarrow (x^2 - 1)(x - 1) = 0 \Rightarrow (x - 1)(x + 1)(x - 1) = 0 \Rightarrow (x - 1)^2(x + 1) = 0\). 4. Lösungen: \(x_1 = 1\) (doppelte Lösung) und \(x_2 = -1\) (einfache Lösung). 5. \(y\)-Koordinaten: \(f(1) = 1^3 - 1 = 0\) und \(f(-1) = (-1)^3 - (-1) = 0\). 6. Art der Punkte: Da \(x = 1\) eine doppelte Nullstelle der Differenzfunktion ist, handelt es sich um einen Berührpunkt. Bei \(x = -1\) ist es ein einfacher Schnittpunkt (Durchgang). 7. Ergebnis: Die Punkte sind \(P_1(1 \mid 0)\) (Berührpunkt) und \(P_2(-1 \mid 0)\) (Schnittpunkt).

Schnittpunkte: \(P_1(1 \mid 0)\) und \(P_2(-1 \mid 0)\). Bei \(x = 1\) liegt ein Berührpunkt vor.

- Ein Terrassenpunkt auf der x-Achse ist eine Nullstelle mit der Vielfachheit 3 (oder höher ungerade). - Achte auf das Globalverhalten: Geht der Graph für große x-Werte nach oben oder nach unten? Das hilft dir beim Vorzeichen des Streckfaktors. - Der Punkt auf der y-Achse (y-Achsenabschnitt) ist oft gut geeignet, um den Parameter \(a\) zu bestimmen.

1. Analyse von Graph a): Ablesen der Nullstellen: \(x_1 = -1\) (doppelt, Berührpunkt), \(x_2 = 1\) (einfach, Schnittpunkt), \(x_3 = 3\) (einfach, Schnittpunkt). Ansatz in faktorisierter Form: \(h(x) = a(x + 1)^2(x - 1)(x - 3)\). Punkt \(P(0 \mid 1)\) ablesen und einsetzen: \(1 = a \cdot (0 + 1)^2 \cdot (0 - 1) \cdot (0 - 3) = a \cdot 1 \cdot (-1) \cdot (-3) = 3a\). Streckfaktor: \(a = \frac{1}{3}\). Ergebnis: \(h(x) = \frac{1}{3}(x + 1)^2(x - 1)(x - 3)\). 2. Analyse von Graph b): Ablesen der Nullstellen: \(x_1 = -2\) (dreifach, Terrassenpunkt), \(x_2 = 2\) (einfach, Schnittpunkt). Ansatz in faktorisierter Form: \(p(x) = a(x + 2)^3(x - 2)\). Punkt \(P(0 \mid 4)\) ablesen und einsetzen: \(4 = a \cdot (0 + 2)^3 \cdot (0 - 2) = a \cdot 8 \cdot (-2) = -16a\). Streckfaktor: \(a = -\frac{4}{16} = -0{,}25\). Ergebnis: \(p(x) = -0{,}25(x + 2)^3(x - 2)\).

a) \(h(x) = \frac{1}{3}(x + 1)^2(x - 1)(x - 3)\) b) \(p(x) = -0{,}25(x + 2)^3(x - 2)\)

- Achte auf den Unterschied zwischen einem Schnittpunkt und einem Berührpunkt mit der \(x\)-Achse. - Die Vielfachheit einer Nullstelle bestimmt, wie der Graph dort aussieht: Schneiden bedeutet eine ungerade Vielfachheit (meist 1), Berühren eine gerade (meist 2). - In der faktorisierten Form tauchen doppelte Nullstellen als quadrierte Klammern auf. - Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes für \(x\) und \(y\) (bzw. \(g(x)\)) ein, um die Gleichung nach dem unbekannten Vorfaktor aufzulösen.

1. Nullstellen und Vielfachheiten: - Bei \(x_1 = -2\) und \(x_3 = 3\) schneidet der Graph die \(x\)-Achse; es sind einfache Nullstellen. - Bei \(x_2 = 1\) berührt der Graph die \(x\)-Achse ohne sie zu schneiden (lokales Minimum); es ist eine doppelte Nullstelle. Da die Funktion vom Grad 4 ist, ist die Summe der Vielfachheiten \(1 + 2 + 1 = 4\). 2. Ansatz für die Funktionsgleichung: \(g(x) = a \cdot (x + 2) \cdot (x - 1)^2 \cdot (x - 3)\). 3. Berechnung des Parameters \(a\): Punkt \(Q(2 \mid 2)\) einsetzen: \(2 = a \cdot (2 + 2) \cdot (2 - 1)^2 \cdot (2 - 3)\) \(2 = a \cdot 4 \cdot 1^2 \cdot (-1)\) \(2 = -4a \Rightarrow a = -0{,}5\). 4. Ergebnis: Der Funktionsterm lautet \(g(x) = -0{,}5(x + 2)(x - 1)^2(x - 3)\).

a) Nullstellen: \(x_1 = -2\) (einfach, da Vorzeichenwechsel/Schnittpunkt), \(x_2 = 1\) (doppelt, da kein Vorzeichenwechsel/Berührpunkt), \(x_3 = 3\) (einfach, da Vorzeichenwechsel/Schnittpunkt). b) Funktionsgleichung: \(g(x) = -0{,}5(x + 2)(x - 1)^2(x - 3)\).

- Schau dir genau an, wie der Graph die x-Achse an den verschiedenen Stellen passiert. - Ein „Abprallen“ (Extrempunkt auf der Achse) bedeutet eine gerade Vielfachheit. - Ein einfaches Durchqueren bedeutet eine ungerade Vielfachheit, meist 1. - Ein flaches Durchqueren (Sattelpunkt) bedeutet eine ungerade Vielfachheit von mindestens 3. - Der Gesamtgrad einer Funktion muss mindestens so groß sein wie die Summe der Vielfachheiten aller ihrer Nullstellen.

1. Nullstellen identifizieren: Der Graph schneidet oder berührt die x-Achse an den Stellen \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 2\). Die Koordinaten sind \((-2 \mid 0)\), \((0 \mid 0)\) und \((2 \mid 0)\). 2. Art der Nullstellen bestimmen: - Bei \(x = -2\) berührt der Graph die Achse und kehrt um (Extrempunkt), es ist ein Berührpunkt ohne Vorzeichenwechsel. - Bei \(x = 0\) schneidet der Graph die Achse mit nicht waagerechter Tangente, es ist ein einfacher Schnittpunkt mit Vorzeichenwechsel. - Bei \(x = 2\) schneidet der Graph die Achse mit einer waagerechten Tangente, es handelt sich um einen Sattelpunkt mit Vorzeichenwechsel. 3. Mindestvielfachheit festlegen: - Berührpunkt: Vielfachheit mindestens 2. - Einfacher Schnittpunkt: Vielfachheit mindestens 1. - Sattelpunkt: Vielfachheit mindestens 3. 4. Mindestgrad berechnen: Die Summe der Mindestvielfachheiten ergibt den kleinstmöglichen Grad der Funktion: \(2 + 1 + 3 = 6\).

a) Nullstellen: \((-2 \mid 0)\) (Berührpunkt), \((0 \mid 0)\) (einfacher Schnittpunkt), \((2 \mid 0)\) (Sattelpunkt). b) Mindestvielfachheiten: 2 bei \(x = -2\), 1 bei \(x = 0\), 3 bei \(x = 2\). c) Der Mindestgrad der Funktion ist 6.

- Ein Sattelpunkt ist ein spezieller Punkt, an dem die Steigung null ist, aber kein Vorzeichenwechsel der Steigung stattfindet. - Überlege dir, wie man eine einfache Funktion wie \(g(x) = x^3\) verschieben muss, um einen solchen Punkt zu erhalten. - Nutze die Nullstelle als zusätzliche Bedingung.

1. Ein Sattelpunkt \(S(x_s \mid y_s)\) einer kubischen Funktion führt zum Ansatz \(f(x) = a \cdot (x - x_s)^3 + y_s\). 2. Ansatz: \(f(x) = a \cdot (x - 1)^3 + 2\). 3. Nullstelle \((3 \mid 0)\) einsetzen: \(f(3) = a \cdot (3 - 1)^3 + 2 = a \cdot 2^3 + 2 = 8a + 2 = 0\). 4. Auflösen nach \(a\): \(8a = -2 \Rightarrow a = -0{,}25\). 5. Ergebnis: \(f(x) = -0{,}25(x - 1)^3 + 2\).

Der Funktionsterm lautet \(f(x) = -0{,}25(x - 1)^3 + 2\).