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- Welcher Teil des Funktionsterms bestimmt das Verhalten für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte? - Erinnere dich an den Unterschied zwischen geraden und ungeraden Exponenten bei negativen Basen. - Schau dir die höchste Potenz von \(x\) in jeder Gleichung genau an. - Spielt das Vorzeichen der Zahl vor der höchsten Potenz eine Rolle für die Symmetrie des Globalverhaltens?

1. Bestimmung des Grades \(n\) (höchste Potenz von \(x\)) und des Leitkoeffizienten \(a_n\) (Koeffizient vor \(x^n\)) für jede Funktion. 2. Anwendung der Regel: Das Globalverhalten ist für \(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\) genau dann gleich, wenn der Grad \(n\) der Funktion eine gerade Zahl ist. 3. Untersuchung von \(f(x)\): Der Grad ist \(n = 4\) (gerade), der Leitkoeffizient ist \(a_4 = -3\). Da der Grad gerade ist, ist das Verhalten identisch (\(f(x) \to -\infty\) für \(x \to \pm \infty\)). 4. Untersuchung von \(g(x)\): Der Grad ist \(n = 5\) (ungerade). Das Verhalten ist unterschiedlich. 5. Untersuchung von \(h(x)\): Der Grad ist \(n = 6\) (gerade), der Leitkoeffizient ist \(a_6 = 1\). Da der Grad gerade ist, ist das Verhalten identisch (\(h(x) \to \infty\) für \(x \to \pm \infty\)). 6. Untersuchung von \(k(x)\): Der Grad ist \(n = 7\) (ungerade). Das Verhalten ist unterschiedlich.

Die Funktionen \(f\) und \(h\) haben für \(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\) das gleiche Globalverhalten. Begründung: Eine ganzrationale Funktion zeigt an beiden Rändern des Definitionsbereichs dasselbe Verhalten, wenn ihr Grad \(n\) eine gerade Zahl ist. Bei \(f\) ist der Grad \(4\) und bei \(h\) ist der Grad \(6\). Die Funktionen \(g\) und \(k\) haben hingegen ungerade Grade (\(5\) bzw. \(7\)).

- Woran erkennt man am Funktionsterm, ob eine Funktion ganzrational ist? - Welcher Teil des Funktionsterms dominiert das Verhalten der Funktionswerte, wenn \(x\) sehr große oder sehr kleine Werte annimmt? - Wie beeinflussen das Vorzeichen der Zahl vor der höchsten Potenz und die Art des Exponenten (gerade oder ungerade) die Richtung des Graphen?

1. Funktion \(f\): Es handelt sich um eine ganzrationale Funktion mit dem Grad \(n = 6\) (höchste Potenz) und dem Leitkoeffizienten \(a_6 = -4\). Da der Grad gerade und der Leitkoeffizient negativ ist, gilt: \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to \infty\) und \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\). 2. Funktion \(g\): Durch Ausmultiplizieren ergibt sich \(g(x) = \frac{1}{3}x^3 - 3x\). Dies ist eine ganzrationale Funktion mit \(n = 3\) und \(a_3 = \frac{1}{3}\). Da der Grad ungerade und der Leitkoeffizient positiv ist, gilt: \(g(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\) und \(g(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\). 3. Funktion \(h\): Dies ist keine ganzrationale Funktion, da die Variable \(x\) unter einer Wurzel steht (\(x^{0{,}5}\)), was keinem natürlichen Exponenten entspricht.

a) Ganzrational; \(n = 6\); \(a_6 = -4\); \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to \pm\infty\). b) Ganzrational; \(n = 3\); \(a_3 = \frac{1}{3}\); \(g(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\) und \(g(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\). c) Nicht ganzrational (wegen \(\sqrt{x}\)).

- Achte darauf, dass die Terme nicht immer nach der Größe ihrer Exponenten sortiert sind. - Nutze Rechenregeln wie die binomischen Formeln, um den Leitterm schneller zu finden. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine sehr große negative Zahl in eine Potenz mit geradem Exponenten einsetzt? Und bei einem ungeraden Exponenten?

1. Bei \(p(x)\) ist die höchste Potenz \(x^6\) mit dem positiven Leitkoeffizienten \(0{,}2\). Da der Grad \(6\) gerade ist, streben die Funktionswerte in beide Richtungen gegen Unendlich: Für \(x \to \pm \infty\) gilt \(p(x) \to \infty\). 2. Die Funktion \(q(x)\) lässt sich mit der dritten binomischen Formel zu \(1 - x^4\) vereinfachen. Der Grad \(4\) ist gerade, der Leitkoeffizient \(-1\) ist negativ. Somit gilt für \(x \to \pm \infty\), dass \(q(x) \to -\infty\). 3. Bei \(r(x)\) ist der Term mit der höchsten Potenz \(-x^5\). Der Grad \(5\) ist ungerade und der Leitkoeffizient \(-1\) negativ. Daher gilt für \(x \to \infty\), dass \(r(x) \to -\infty\), und für \(x \to -\infty\), dass \(r(x) \to \infty\).

a) \(p(x) \to \infty\) für \(x \to \pm \infty\) b) \(q(x) \to -\infty\) für \(x \to \pm \infty\) c) \(r(x) \to -\infty\) für \(x \to \infty\) und \(r(x) \to \infty\) für \(x \to -\infty\)

- Überlege dir zuerst, welches Vorzeichen der Leitkoeffizient bei einem ungeraden Grad haben muss, damit der Graph für sehr große \(x\)-Werte gegen Unendlich strebt. - Was sagt der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse über das Absolutglied (die Zahl ohne \(x\)) in der Funktionsgleichung aus? - Du kannst versuchen, eine möglichst einfache Funktionsgleichung aufzustellen, indem du zum Beispiel nur die \(x\)-Potenz mit dem höchsten Grad und die konstante Zahl verwendest. - Nutze die Punktprobe mit dem gegebenen Punkt, um den fehlenden Koeffizienten zu berechnen.

1. Da die Funktion den Grad 3 hat und das Globalverhalten \(f(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\) sowie \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\) aufweist, muss der Leitkoeffizient \(a\) positiv sein (\(a > 0\)). 2. Aus der Bedingung \(f(0) = -3\) folgt für den Funktionsterm \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\), dass das Absolutglied \(d = -3\) ist. 3. Für den einfachsten Fall setzen wir \(b = 0\) und \(c = 0\) an, woraus sich \(f(x) = ax^3 - 3\) ergibt. 4. Einsetzen des Punktes \(P(1|0)\) liefert die Gleichung \(a \cdot 1^3 - 3 = 0\), woraus \(a = 3\) folgt. 5. Da \(a = 3 > 0\) ist, sind alle Bedingungen erfüllt. Die Funktion lautet \(f(x) = 3x^3 - 3\).

Eine mögliche Funktion ist \(f(x) = 3x^3 - 3\).

- Welcher Teil des Funktionsterms ist bei sehr großen oder sehr kleinen x-Werten am wichtigsten? - Wie beeinflusst ein gerader oder ungerader Exponent das Vorzeichen des Ergebnisses, wenn man eine negative Zahl einsetzt? - Was bewirkt ein negatives Vorzeichen vor der höchsten Potenz?

1. Bei ganzrationalen Funktionen bestimmt das Glied mit der höchsten Potenz von \(x\) (der Summand mit dem höchsten Grad) das Globalverhalten. 2. Für \(f(x) = -0{,}1x^4 + 5x - 1\): Der Grad ist \(n = 4\) (gerade) und der Leitkoeffizient ist \(a_4 = -0{,}1\) (negativ). Daraus folgt: Für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to -\infty\) und für \(x \to -\infty\) gilt ebenfalls \(f(x) \to -\infty\). 3. Für \(g(x) = \frac{2}{3}x^5 - 10x^2\): Der Grad ist \(n = 5\) (ungerade) und der Leitkoeffizient ist \(a_5 = \frac{2}{3}\) (positiv). Daraus folgt: Für \(x \to \infty\) gilt \(g(x) \to \infty\) und für \(x \to -\infty\) gilt \(g(x) \to -\infty\).

a) \(x \to \infty: f(x) \to -\infty\); \(x \to -\infty: f(x) \to -\infty\) b) \(x \to \infty: g(x) \to \infty\); \(x \to -\infty: g(x) \to -\infty\)

- Erinnere dich daran, dass bei ganzrationalen Funktionen nur die höchste Potenz für das Verhalten im Unendlichen wichtig ist. - Wie verhalten sich die Graphen der Grundfunktionen \(x^2, -x^2, x^3\) und \(-x^3\) an den Rändern des Koordinatensystems? - Überlege dir beim Ausmultiplizieren von Klammern, welches das Glied mit der höchsten Potenz sein wird.

1. Analyse von \(p(x) = -x^3\): Ungerader Grad, negativer Leitkoeffizient. Resultat: \(x \to \infty: p(x) \to -\infty\); \(x \to -\infty: p(x) \to \infty\). 2. Analyse von \(g(x)\): Durch Ausmultiplizieren der x-Terme \((-x) \cdot x^2\) ergibt sich das Leitglied \(-x^3\). Da das Leitglied identisch mit \(p(x)\) ist, stimmt das Globalverhalten überein. 3. Analyse von \(h(x)\): Das Leitglied ist \(-3x^4\). Der Grad \(n=4\) ist gerade und der Leitkoeffizient \(a_4 = -3\) ist negativ. Für gerade Grade mit negativem Leitkoeffizienten gilt: \(x \to \pm \infty: h(x) \to -\infty\). Dies entspricht dem Verhalten von \(-x^2\).

a) Für \(x \to \infty\) gilt \(p(x) \to -\infty\); für \(x \to -\infty\) gilt \(p(x) \to \infty\). b) Ja, da das Leitglied von \(g(x)\) ebenfalls \(-x^3\) ist. c) Das Globalverhalten von \(h\) entspricht dem von \(-x^2\), da der Grad gerade (\(4\)) und der Leitkoeffizient negativ (\(-3\)) ist.

- Welcher Summand im Funktionsterm dominiert die Werte der Funktion für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte? - Wie beeinflusst eine ungerade Hochzahl das Vorzeichen bei negativen \(x\)-Werten? - Was bewirkt ein negativer Faktor vor der höchsten Potenz für das Gesamtergebnis?

1. Bestimmung des Terms mit der höchsten Potenz: \(-2x^5\). 2. Identifikation des Grades: \(n = 5\) (ungerade Zahl). 3. Identifikation des Leitkoeffizienten: \(a_5 = -2\) (negativ). 4. Analyse für \(x \to \infty\): Da der Grad ungerade und der Leitkoeffizient negativ ist, gilt \(f(x) \to -\infty\). 5. Analyse für \(x \to -\infty\): Da der Grad ungerade und der Leitkoeffizient negativ ist, gilt \(f(x) \to \infty\).

Für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to -\infty\). Für \(x \to -\infty\) gilt \(f(x) \to \infty\). Begründung: Der Grad \(n = 5\) ist ungerade und der Leitkoeffizient \(a_5 = -2\) ist negativ.

- Schau dir den Grad (den höchsten Exponenten) und das Vorzeichen des Leitkoeffizienten des jeweiligen Funktionsterms an. - Was passiert mit den Funktionswerten, wenn \(x\) sehr große positive oder sehr kleine negative Werte annimmt? - Achte auf die Symmetrie: Welche Exponenten kommen im Funktionsterm vor? Gibt es nur gerade oder nur ungerade Exponenten? - Überprüfe markante Punkte, wie zum Beispiel den Schnittpunkt mit der y-Achse (den Funktionswert bei \(x = 0\)).

1. **Analyse von Term (I):** Der Funktionsterm \(p(x) = -0{,}5 x^3 + 1{,}5 x\) hat den ungeraden Grad \(3\) und einen negativen Leitkoeffizienten \(-0{,}5\). - Für das Globalverhalten gilt: - Wenn \(x \to \infty\), strebt \(p(x) \to -\infty\). - Wenn \(x \to -\infty\), strebt \(p(x) \to \infty\). - Der Graph verläuft also vom II. Quadranten in den IV. Quadranten. Dies trifft nur auf den **Graphen A** (rot) zu. - Zudem enthält der Term nur ungerade Exponenten, was die Punktsymmetrie zum Ursprung bestätigt. 2. **Analyse von Term (II):** Der Funktionsterm \(q(x) = 0{,}25 x^4 - 2 x^2 + 1\) hat den geraden Grad \(4\) und einen positiven Leitkoeffizienten \(0{,}25\). - Für das Globalverhalten gilt: - Wenn \(x \to \pm\infty\), strebt \(q(x) \to \infty\). - Der Graph ist nach oben geöffnet. Dies trifft nur auf den **Graphen B** (blau) zu. - Da nur gerade Exponenten vorkommen, ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse mit dem y-Achsenabschnitt bei \((0 \mid 1)\). 3. **Analyse von Term (III):** Der Funktionsterm \(r(x) = -0{,}1 x^4 + 0{,}8 x^2\) hat den geraden Grad \(4\) und einen negativen Leitkoeffizienten \(-0{,}1\). - Für das Globalverhalten gilt: - Wenn \(x \to \pm\infty\), strebt \(r(x) \to -\infty\). - Der Graph ist nach unten geöffnet. Dies trifft nur auf den **Graphen C** (grün) zu. - Der Graph ist ebenfalls achsensymmetrisch zur y-Achse und verläuft durch den Ursprung \((0 \mid 0)\).

(I) gehört zu Graph A, (II) zu Graph B und (III) zu Graph C.

- Schaue dir den Verlauf des Graphen ganz links (für sehr kleine \(x\)-Werte) und ganz rechts (für sehr große \(x\)-Werte) an. - Welche mathematische Schreibweise kennst du, um das Verhalten einer Funktion für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte zu beschreiben? - Überlege, wie sich Potenzfunktionen mit geradem im Vergleich zu ungeradem Grad am Rand des Koordinatensystems verhalten. - Welchen Einfluss hat das Vorzeichen vor der höchsten Potenz von \(x\) auf die Richtung, in die der Graph am rechten Rand verläuft?

1. Bestimmung des Globalverhaltens über den dominanten Term \(-0{,}1x^3\): Für \(x \to -\infty\) gilt \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty\). Für \(x \to \infty\) gilt \(\lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty\). 2. Begründung des Grads: Da die Grenzwerte für \(x \to -\infty\) und \(x \to \infty\) unterschiedliche Vorzeichen aufweisen (der Graph verläuft von links oben nach rechts unten), muss der Grad der Funktion ungerade sein. Bei einem geraden Grad würden beide Grenzwerte das gleiche Vorzeichen besitzen. 3. Bestimmung des Leitkoeffizienten: Da der Graph für \(x \to \infty\) gegen \(-\infty\) strebt, muss der Leitkoeffizient negativ sein. Ein positiver Leitkoeffizient würde bei ungeradem Grad zu einem Grenzwert von \(\infty\) für \(x \to \infty\) führen.

a) \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty\) und \(\lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty\) b) 1. Da die Grenzwerte für \(x \to -\infty\) und \(x \to \infty\) unterschiedliche Vorzeichen haben, muss der Grad der Funktion ungerade sein. b) 2. Da \(f(x)\) für \(x \to \infty\) gegen \(-\infty\) strebt, muss der Leitkoeffizient negativ sein.

- Achte darauf, ob die beiden Seiten des Graphen in die gleiche Richtung oder in entgegengesetzte Richtungen verlaufen. - Wenn beide Seiten in die gleiche Richtung gehen, was sagt das über den Exponenten der höchsten Potenz aus? - Wenn der Graph für sehr große \(x\)-Werte nach oben geht, ist die Zahl vor der höchsten Potenz dann positiv oder negativ?

1. Graph \(p\): Für \(x \to -\infty\) strebt \(p(x) \to -\infty\) und für \(x \to \infty\) strebt \(p(x) \to \infty\). Da die Grenzwerte unterschiedlich sind, muss der Grad ungerade sein. Da der Graph von links unten nach rechts oben verläuft, ist der Leitkoeffizient positiv. 2. Graph \(q\): Für \(x \to \pm\infty\) strebt \(q(x) \to -\infty\). Da beide Grenzwerte gleich sind, muss der Grad gerade sein. Da beide Äste nach unten verlaufen, ist der Leitkoeffizient negativ.

Graph \(p\): Der Grad ist ungerade und der Leitkoeffizient positiv. Graph \(q\): Der Grad ist gerade und der Leitkoeffizient negativ.

- Achte darauf, ob die beiden „Arme“ des Graphen in dieselbe Richtung oder in unterschiedliche Richtungen zeigen. - Wenn beide Seiten nach oben oder beide nach unten gehen, was sagt das über den Exponenten der höchsten Potenz aus?

1. Bestimmung der Enden: Beide Enden des Graphen verlaufen in die gleiche Richtung, nämlich nach unten in den III. und IV. Quadranten. 2. Schlussfolgerung zum Grad: Da beide Seiten das gleiche Grenzverhalten aufweisen (\(f(x) \to -\infty\) für \(|x| \to \infty\)), muss der Grad der Funktion gerade sein. 3. Notation des Globalverhaltens: Für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to -\infty\) und für \(x \to -\infty\) gilt \(f(x) \to -\infty\).

Der Grad der Funktion ist gerade, da der Graph auf beiden Seiten nach unten verläuft. Für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to -\infty\), und für \(x \to -\infty\) gilt ebenfalls \(f(x) \to -\infty\).

- Schau dir die Enden des Graphen an: Wo kommt er her (links), wo geht er hin (rechts)? - Funktionen mit ungeradem Grad „wechseln“ das Vorzeichen des Unendlichen zwischen links und rechts.

1. Ablesen am rechten Rand: Der Graph geht nach oben, also \(h(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\). 2. Ablesen am linken Rand: Der Graph geht nach unten, also \(h(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\). 3. Bestimmung des Typs: Da die Grenzwerte unterschiedlich sind, muss der Grad der Funktion ungerade sein.

Für \(x \to \infty\) strebt \(h(x)\) gegen \(\infty\). Für \(x \to -\infty\) strebt \(h(x)\) gegen \(-\infty\). Der Grad der Funktion muss ungerade sein.

- Welcher Koeffizient bestimmt maßgeblich das Verhalten der Funktion für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte? - Welchen Einfluss hat ein gerader oder ungerader Exponent bei der höchsten Potenz auf das Vorzeichen des Ergebnisses? - Wie verändert ein negativer Leitkoeffizient die Richtung des Graphen im Unendlichen? - Erinnere dich an die Grundverläufe von Potenzfunktionen wie \(x^2, -x^2, x^3\) und \(-x^3\).

1. Aufstellen der Funktionsterme: Für \(g\) ergibt sich \(g(x) = -2x^4 + 5x^2 - 1\). Für \(h\) ergibt sich \(h(x) = 4x^3 - 2x\). 2. Analyse von \(g\): Der höchste Grad ist \(n=4\) (gerade) und der Leitkoeffizient ist \(a_4 = -2\) (negativ). Daraus folgt für das Globalverhalten: \(g(x) \to -\infty\) für \(x \to \infty\) und \(g(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\). 3. Analyse von \(h\): Der höchste Grad ist \(n=3\) (ungerade) und der Leitkoeffizient ist \(a_3 = 4\) (positiv). Daraus folgt für das Globalverhalten: \(h(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\) und \(h(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\).

a) \(g(x) = -2x^4 + 5x^2 - 1\). Globalverhalten: \(g(x) \to -\infty\) für \(x \to \pm \infty\). b) \(h(x) = 4x^3 - 2x\). Globalverhalten: \(h(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\) und \(h(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\).

- Was muss mit dem Vorzeichen passieren, wenn du eine sehr große negative Zahl für \(x\) einsetzt und das Ergebnis negativ sein soll? - Multipliziere die Klammern im Kopf oder auf Papier aus, um die höchste Potenz von \(x\) zu finden. - Achte darauf, dass nicht immer die erste Zahl im Term auch die zum höchsten Grad gehörende Zahl ist. - Welche Kombination aus Grad (gerade/ungerade) und Leitkoeffizient (positiv/negativ) führt dazu, dass der Graph an beiden Seiten nach unten verläuft?

1. Analyse der Bedingung: Damit \(\lim_{x \to \pm \infty} p(x) = -\infty\) gilt, muss die Funktion einen geraden Grad \(n\) und einen negativen Leitkoeffizienten \(a_n\) besitzen. 2. Prüfung von \(p_1(x)\): Ausmultipliziert ergibt sich \(-x^4 + 4x^2\). Grad \(n=4\) (gerade), Leitkoeffizient \(a_4 = -1\) (negativ). Bedingung erfüllt. 3. Prüfung von \(p_2(x)\): Höchste Potenz nach dem Ausmultiplizieren ist \(-x^3\). Grad \(n=3\) (ungerade). Bedingung nicht erfüllt. 4. Prüfung von \(p_3(x)\): Höchste Potenz ist \(-5x^6\). Grad \(n=6\) (gerade), Leitkoeffizient \(a_6 = -5\) (negativ). Bedingung erfüllt. 5. Prüfung von \(p_4(x)\): Ausmultipliziert ergibt sich \(x^2 - x^4\). Höchste Potenz ist \(-x^4\). Grad \(n=4\) (gerade), Leitkoeffizient \(a_4 = -1\) (negativ). Bedingung erfüllt. 6. Prüfung von \(p_5(x)\): Der Term mit der höchsten Potenz ist \(-x^5\). Grad \(n=5\) (ungerade). Bedingung nicht erfüllt.

Die Funktionsgleichungen 1), 3) und 4) erfüllen die Bedingung. Damit eine ganzrationale Funktion für \(x \to \pm \infty\) gegen \(-\infty\) strebt, muss ihr Grad \(n\) eine gerade Zahl sein und ihr Leitkoeffizient \(a_n\) (der Koeffizient vor der höchsten Potenz) negativ sein (\(a_n < 0\)).

- Überlege dir, wie sich Potenzen wie \(x^2, x^3, x^4\) verhalten, wenn man sehr große positive oder negative Zahlen einsetzt. - Was passiert mit dem Ergebnis einer Potenz, wenn man es mit einer negativen Zahl multipliziert? - Erinnere dich an die vier Grundtypen des Globalverhaltens bei ganzrationalen Funktionen.

1. Damit eine Funktion unterschiedliches Verhalten an den Rändern zeigt (\(\infty\) und \(-\infty\)), muss der Grad \(n\) ungerade sein. Damit die Werte für positive \(x\) gegen \(-\infty\) laufen, muss der Leitkoeffizient \(a_n\) negativ sein. 2. Überprüfung der Funktionen: - \(p(x) = -0{,}5x^3 + 2x^2\): Der Grad ist \(3\) (ungerade) und der Leitkoeffizient ist \(-0{,}5\) (negativ). Das Verhalten passt zur Beschreibung. - \(q(x) = x^4 - 10x^3\): Der Grad ist \(4\) (gerade). Bei geradem Grad streben die Werte für \(x \to \pm\infty\) in dieselbe Richtung. Das Verhalten passt nicht. - \(r(x) = (2-x) \cdot x^2 = -x^3 + 2x^2\): Der Grad ist \(3\) (ungerade) und der Leitkoeffizient ist \(-1\) (negativ). Das Verhalten passt zur Beschreibung.

1. Der Grad \(n\) muss ungerade sein und der Leitkoeffizient \(a_n\) muss negativ sein (\(a_n < 0\)). 2. Die Funktionen \(p(x)\) und \(r(x)\) zeigen dieses Verhalten, da beide einen ungeraden Grad (\(n=3\)) und einen negativen Leitkoeffizienten (\(-0{,}5\) bzw. \(-1\)) besitzen.

- Welcher Term in der Funktionsgleichung dominiert das Verhalten für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte? - Bestimme den Grad der Funktion (den höchsten Exponenten) und das Vorzeichen des Koeffizienten vor dieser Potenz. - Überlege dir, wie sich Potenzen mit geraden und ungeraden Exponenten bei negativen Basen verhalten. - Falls die Funktion in Produktschreibweise vorliegt, überlege dir, welche Potenz von \(x\) beim Ausmultiplizieren entstehen würde.

1. Bei \(f(x) = 4x^3 - x^4\) ist der Summand mit der höchsten Potenz \(-x^4\). Der Grad \(n=4\) ist gerade und der Leitkoeffizient \(a_4 = -1\) ist negativ. Daraus folgt: Für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to -\infty\) und für \(x \to -\infty\) gilt \(f(x) \to -\infty\). 2. Die Funktion \(g(x) = \frac{1}{2}x^3 - 4{,}5x\) hat den Grad \(n=3\) (ungerade) und den Leitkoeffizienten \(a_3 = 0{,}5\) (positiv). Daraus folgt: Für \(x \to \infty\) gilt \(g(x) \to \infty\) und für \(x \to -\infty\) gilt \(g(x) \to -\infty\). 3. Durch Ausmultiplizieren von \(h(x) = -(x^2 - 4x + 4)x = -x^3 + 4x^2 - 4x\) erkennt man den Grad \(n=3\) (ungerade) und den Leitkoeffizienten \(a_3 = -1\) (negativ). Daraus folgt: Für \(x \to \infty\) gilt \(h(x) \to -\infty\) und für \(x \to -\infty\) gilt \(h(x) \to \infty\).

a) \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to \pm \infty\) b) \(g(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\) und \(g(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\) c) \(h(x) \to -\infty\) für \(x \to \infty\) und \(h(x) \to \infty\) für \(x \to -\infty\)

- Was bedeutet Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse für die vorkommenden Exponenten einer ganzrationalen Funktion? - Welches Vorzeichen muss der Leitkoeffizient bei einer Funktion mit geradem Grad haben, damit beide Arme des Graphen nach unten verlaufen? - Welchen Wert hat die Variable \(x\) an der Stelle, an der der Graph die \(y\)-Achse schneidet? - Stelle eine Gleichung auf, indem du die Nullstelle in deinen Ansatz einsetzt, und bestimme so die noch unbekannten Werte.

1. Aufgrund der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse treten im Funktionsterm nur gerade Exponenten auf: \(f(x) = ax^4 + bx^2 + c\). 2. Die Bedingung \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to \pm\infty\) bei Grad 4 erfordert einen negativen Leitkoeffizienten (\(a < 0\)). 3. Aus \(f(0) = 2\) folgt direkt \(c = 2\). 4. Die Bedingung \(f(2) = 0\) führt zur Gleichung \(a \cdot 2^4 + b \cdot 2^2 + 2 = 0\), also \(16a + 4b + 2 = 0\). 5. Wählt man beispielsweise \(a = -1\) (da \(a < 0\) sein muss), ergibt sich \(-16 + 4b + 2 = 0\), woraus \(4b = 14\) und somit \(b = 3{,}5\) folgt. 6. Die resultierende Funktion \(f(x) = -x^4 + 3{,}5x^2 + 2\) erfüllt alle Bedingungen.

Eine mögliche Funktion ist \(f(x) = -x^4 + 3{,}5x^2 + 2\).

- Welcher Teil eines Funktionsterms bestimmt das Verhalten für sehr große oder sehr kleine x-Werte? - Was muss für den Grad einer Funktion gelten, damit sie auf beiden Seiten in die gleiche Richtung verläuft? - Wie beeinflusst das Vorzeichen des Leitkoeffizienten die Richtung des Graphen? - Untersuche separat, was passiert, wenn der Exponent n größer, gleich oder kleiner als 6 ist.

1. Damit eine ganzrationale Funktion für \(x \to \pm \infty\) gegen \(+\infty\) strebt, muss der Summand mit dem höchsten Exponenten (das Leitglied) einen geraden Grad und einen positiven Koeffizienten besitzen. 2. Fallunterscheidung nach dem Exponenten \(n\): - Falls \(n < 6\): Das Leitglied ist \(-10x^6\). Der Koeffizient \(-10\) ist negativ, daher gilt \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to \pm \infty\). Dies erfüllt die Bedingung nicht. - Falls \(n = 6\): Die Funktion lautet \(f(x) = (b - 10)x^6\). Damit der Koeffizient positiv ist, muss \(b - 10 > 0\) gelten, also \(b > 10\). Da der Grad 6 gerade ist, ist die Bedingung für \(b > 10\) erfüllt. - Falls \(n > 6\): Das Leitglied ist \(bx^n\). Damit der Koeffizient positiv ist, muss \(b > 0\) gelten. Damit der Graph auf beiden Seiten gegen \(+\infty\) verläuft, muss \(n\) eine gerade Zahl sein. 3. Ergebnis: Die Bedingungen sind erfüllt, wenn entweder \(n = 6\) und \(b > 10\) gilt oder wenn \(n > 6\) eine gerade Zahl ist und \(b > 0\) gilt.

Die Bedingungen sind erfüllt für: 1. \(n = 6\) und \(b > 10\) 2. \(n \in \{8, 10, 12, \dots\}\) (alle geraden Zahlen größer als 6) und \(b > 0\).

- Fasse die Terme von f und g zusammen, indem du x-Potenzen mit gleichem Exponenten ausklammerst. - Was passiert mit dem Term vierten Grades, wenn k den Wert -4 annimmt? Welcher Term bestimmt dann das Verhalten? - Überlege, welches Vorzeichen der Koeffizient vor der höchsten x-Potenz haben muss, damit der Graph nach unten geöffnet ist. - Welche Rolle spielt es, ob der höchste Exponent gerade oder ungerade ist?

1. Aufstellen der Summenfunktion: \(h(x) = (4 + k)x^4 + x^3 - 2x^2\). 2. Zu Teilaufgabe a): Setze \(k = -4\). Es ergibt sich \(h(x) = (4 - 4)x^4 + x^3 - 2x^2 = x^3 - 2x^2\). Da der Grad \(n = 3\) ungerade und der Leitkoeffizient \(a_3 = 1\) positiv ist, gilt: Für \(x \to \infty\) folgt \(h(x) \to \infty\) und für \(x \to -\infty\) folgt \(h(x) \to -\infty\). 3. Zu Teilaufgabe b): Damit \(h(x)\) für \(x \to \pm \infty\) gegen \(-\infty\) strebt, muss das Leitglied einen geraden Grad und einen negativen Koeffizienten haben. 4. Der Grad der Funktion \(h\) ist 4 (gerade), sofern der Koeffizient \(4 + k\) nicht null ist. Damit das Globalverhalten gegen \(-\infty\) gerichtet ist, muss \(4 + k < 0\) gelten. 5. Lösen der Ungleichung: \(k < -4\).

a) Für \(k = -4\) gilt: \(h(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\) und \(h(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\). b) Für \(k < -4\) gilt \(h(x) \to -\infty\) für \(x \to \pm \infty\), da der Leitkoeffizient \((4+k)\) dann negativ und der Grad 4 gerade ist.

- Schau dir für jede Funktion nur den Summanden mit der höchsten Potenz an. - Überlege dir: Ist der höchste Exponent gerade oder ungerade? - Ist die Zahl vor der höchsten Potenz (der Leitkoeffizient) positiv oder negativ? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn man eine sehr große positive oder eine sehr kleine negative Zahl einsetzt?

1. \(a(x) = 5x^3 - x\): Grad 3 (ungerade), Leitkoeffizient 5 (positiv). Verhalten wie \(x^3\): \(x \to \infty \implies y \to \infty\) und \(x \to -\infty \implies y \to -\infty\). Zuordnung: III. 2. \(b(x) = -x^4 + 8x^2\): Grad 4 (gerade), Leitkoeffizient -1 (negativ). Verhalten wie \(-x^4\): \(x \to \pm \infty \implies y \to -\infty\). Zuordnung: II. 3. \(c(x) = -2x^5 + 1\): Grad 5 (ungerade), Leitkoeffizient -2 (negativ). Verhalten wie \(-x^5\): \(x \to \infty \implies y \to -\infty\) und \(x \to -\infty \implies y \to \infty\). Zuordnung: IV. 4. \(d(x) = 0{,}5x^2 + 3x\): Grad 2 (gerade), Leitkoeffizient \(0{,}5\) (positiv). Verhalten wie \(x^2\): \(x \to \pm \infty \implies y \to \infty\). Zuordnung: I.

1 \(\to\) III, 2 \(\to\) II, 3 \(\to\) IV, 4 \(\to\) I

- Was passiert mit dem Funktionswert, wenn du die Koordinaten des Punktes in die Gleichung einsetzt? - Wie bestimmt man den Grad einer Funktion, die in der Produktform (Nullstellenform) gegeben ist? - Welcher Teil des Funktionsterms ist entscheidend für das Verhalten der Kurve weit weg vom Ursprung? - Vergleiche die Vorzeichen der Zahlen, die vor der höchsten Potenz von \(x\) stehen.

1. Einsetzen des Punktes \(P(0|12)\) in die Funktionsgleichung: \(f(0) = a \cdot (0 + 2)(0 - 1)(0 - 3) = a \cdot 2 \cdot (-1) \cdot (-3) = 6a\). 2. Bestimmung von \(a\): Aus \(6a = 12\) folgt \(a = 2\). 3. Analyse des Globalverhaltens von \(f\): Da \(a = 2\) positiv ist und der Grad der Funktion \(3\) beträgt (\(x \cdot x \cdot x\)), ist das Leitglied \(2x^3\). 4. Vergleich mit \(g(x) = 5x^3\): Da beide Funktionen den Grad \(3\) und einen positiven Leitkoeffizienten haben, streben beide für \(x \to \infty\) gegen \(\infty\) und für \(x \to -\infty\) gegen \(-\infty\). 5. Ergebnis: Ja, für \(a = 2\) sind beide Bedingungen erfüllt.

Ja, es gibt eine solche Zahl \(a\). Durch Einsetzen des Punktes \(P(0|12)\) ergibt sich \(a = 2\). Da sowohl \(f\) als auch \(g\) den Grad \(3\) und einen positiven Leitkoeffizienten besitzen, ist ihr Globalverhalten identisch.

- Berechne zuerst den Wert von \(k\), indem du den Punkt in die Funktionsgleichung einsetzt. - Überlege dir, welchen Grad die Funktion insgesamt hat, wenn man die Klammern ausmultiplizieren würde. - Welches Vorzeichen müsste der Leitkoeffizient haben, damit der Graph für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte nach unten verläuft? - Passt das berechnete \(k\) zu der geforderten Richtung des Graphen?

1. Einsetzen des Punktes \(P(2|24)\) zur Bestimmung von \(k\): \(f(2) = k \cdot (2^2 + 2)(2 - 4)^2 = k \cdot (4 + 2)(-2)^2 = k \cdot 6 \cdot 4 = 24k\). 2. Berechnung von \(k\): Aus \(24k = 24\) folgt \(k = 1\). 3. Analyse des Globalverhaltens für \(k = 1\): Der Grad der Funktion ist \(4\) (\(x^2 \cdot x^2\)). Mit \(k = 1\) (positiv) ergibt sich als Leitglied \(x^4\). 4. Prüfung der Bedingung: Eine ganzrationale Funktion mit geradem Grad und positivem Leitkoeffizienten strebt für \(x \to \pm \infty\) gegen \(+\infty\). 5. Schlussfolgerung: Da die Bedingung \(f(x) \to -\infty\) einen negativen Leitkoeffizienten (\(k < 0\)) erfordern würde, aber die Punktprobe \(k = 1\) ergibt, existiert keine solche Zahl \(k\).

Nein, eine solche Zahl \(k\) existiert nicht. Die Punktprobe ergibt \(k = 1\). Da der Grad der Funktion \(4\) ist (gerade), würde der Graph für \(k = 1\) für \(x \to \pm \infty\) gegen \(+\infty\) streben, nicht gegen \(-\infty\).

- Welcher Teil des Funktionsterms bestimmt das Verhalten für sehr große oder sehr kleine x-Werte? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl mit einem geraden oder ungeraden Exponenten potenzierst? - Bei Produkten von Klammern hilft es, nur die x-Glieder miteinander zu multiplizieren, um die höchste Potenz zu finden.

1. Bestimmung des Leitglieds für jede Funktion: a) Leitglied \(-x^4\): Grad 4 (gerade), Leitkoeffizient \(-1\) (negativ). Verhalten: \(x \to \infty: a(x) \to -\infty\) und \(x \to -\infty: a(x) \to -\infty\). Dies entspricht \(f_2(x) = -x^2\). b) Leitglied \(x \cdot x \cdot x = x^3\): Grad 3 (ungerade), Leitkoeffizient \(1\) (positiv). Verhalten: \(x \to \infty: b(x) \to \infty\) und \(x \to -\infty: b(x) \to -\infty\). Dies entspricht \(f_3(x) = x^3\). c) Leitglied \(-x^5\): Grad 5 (ungerade), Leitkoeffizient \(-1\) (negativ). Verhalten: \(x \to \infty: c(x) \to -\infty\) und \(x \to -\infty: c(x) \to \infty\). Dies entspricht \(f_4(x) = -x^3\). d) Leitglied \(\frac{1}{2}x^6\): Grad 6 (gerade), Leitkoeffizient \(0{,}5\) (positiv). Verhalten: \(x \to \infty: d(x) \to \infty\) und \(x \to -\infty: d(x) \to \infty\). Dies entspricht \(f_1(x) = x^2\).

a) \(f_2(x) = -x^2\) b) \(f_3(x) = x^3\) c) \(f_4(x) = -x^3\) d) \(f_1(x) = x^2\)

- Betrachte bei beiden Funktionen jeweils nur das Glied mit der höchsten Potenz. - Welche Gemeinsamkeit haben die Exponenten 4 und 6 in Bezug auf das Vorzeichen des Ergebnisses? - Spielen die hinteren Summanden der Funktion eine Rolle für das Verhalten im Unendlichen?

1. Untersuchung von \(g(x)\): Der höchste Grad ist \(n = 4\) (gerade), der Leitkoeffizient ist \(a_4 = -1\) (negativ). Daraus folgt: für \(x \to \infty\) gilt \(g(x) \to -\infty\) und für \(x \to -\infty\) gilt \(g(x) \to -\infty\). 2. Untersuchung von \(h(x)\): Der höchste Grad ist \(n = 6\) (gerade), der Leitkoeffizient ist \(a_6 = -0{,}5\) (negativ). Daraus folgt: für \(x \to \infty\) gilt \(h(x) \to -\infty\) und für \(x \to -\infty\) gilt \(h(x) \to -\infty\). 3. Vergleich: Da beide Funktionen einen geraden Grad und einen negativen Leitkoeffizienten besitzen, ist ihr Globalverhalten identisch.

Ja, beide Funktionen zeigen das gleiche Globalverhalten. Für beide Funktionen gilt: \(x \to \infty \implies \text{Funktionswert} \to -\infty\) und \(x \to -\infty \implies \text{Funktionswert} \to -\infty\). Begründung: Beide Funktionen haben einen geraden Grad (\(4\) bzw. \(6\)) und einen negativen Leitkoeffizienten (\(-1\) bzw. \(-0{,}5\)).

- Betrachte bei jedem Funktionsterm das Glied mit der höchsten Potenz von \(x\). Dieses Glied bestimmt das Verhalten für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte. - Überlege, wie sich ein gerader oder ungerader Exponent auf das Vorzeichen des Funktionswerts auswirkt, wenn du sehr große positive oder sehr kleine negative Zahlen einsetzt. - Achte auf das Vorzeichen des Koeffizienten vor der höchsten Potenz. Welchen Einfluss hat er auf die Richtung des Graphen an den Rändern? - Vergleiche deine Überlegungen mit dem Verlauf der Graphen am linken und rechten Rand des Koordinatensystems.

1. Für das Globalverhalten einer ganzrationalen Funktion ist der Summand mit der höchsten Potenz entscheidend. 2. Untersuchung von \(f(x) = 0{,}5x^3 - 2x\): Der Summand mit der höchsten Potenz ist \(0{,}5x^3\). Der Grad ist ungerade (\(3\)) und der Leitkoeffizient positiv (\(0{,}5\)). Daraus folgt: Für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to \infty\). Für \(x \to -\infty\) gilt \(f(x) \to -\infty\). Dies entspricht dem Verlauf von **Graph B**. 3. Untersuchung von \(g(x) = -0{,}25x^4 + 2x^2\): Der Summand mit der höchsten Potenz ist \(-0{,}25x^4\). Der Grad ist gerade (\(4\)) und der Leitkoeffizient negativ (\(-0{,}25\)). Daraus folgt: Für \(x \to \infty\) gilt \(g(x) \to -\infty\). Für \(x \to -\infty\) gilt \(g(x) \to -\infty\). Dies entspricht dem Verlauf von **Graph A**. 4. Untersuchung von \(h(x) = 0{,}15x^4 - 1{,}5x^2 + 2\): Der Summand mit der höchsten Potenz ist \(0{,}15x^4\). Der Grad ist gerade (\(4\)) und der Leitkoeffizient positiv (\(0{,}15\)). Daraus folgt: Für \(x \to \infty\) gilt \(h(x) \to \infty\). Für \(x \to -\infty\) gilt \(h(x) \to \infty\). Dies entspricht dem Verlauf von **Graph C**. 5. Untersuchung von \(k(x) = -0{,}3x^3 + 1{,}5x\): Der Summand mit der höchsten Potenz ist \(-0{,}3x^3\). Der Grad ist ungerade (\(3\)) und der Leitkoeffizient negativ (\(-0{,}3\)). Daraus folgt: Für \(x \to \infty\) gilt \(k(x) \to -\infty\). Für \(x \to -\infty\) gilt \(k(x) \to \infty\). Es gibt keinen passenden Graphen für dieses Verhalten. Somit bleibt der Funktionsterm \(k(x)\) übrig.

Graph A gehört zu \(g(x) = -0{,}25x^4 + 2x^2\), Graph B zu \(f(x) = 0{,}5x^3 - 2x\) und Graph C zu \(h(x) = 0{,}15x^4 - 1{,}5x^2 + 2\); übrig bleibt \(k(x) = -0{,}3x^3 + 1{,}5x\).

- Woran erkennst du am Funktionsterm, ob der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist? - Wie beeinflusst das Vorzeichen des Koeffizienten mit der höchsten Potenz das Verhalten des Graphen für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte? - Betrachte das Verhalten der Graphen an den Rändern des Koordinatensystems (für \(x \to \pm\infty\)). Welche Funktionsterme passen dazu?

1. **Zuordnung von Graph 1**: - Das Globalverhalten von Graph 1 zeigt, dass der Graph für \(x \to \infty\) gegen \(\infty\) strebt und für \(x \to -\infty\) gegen \(-\infty\). Dies ist typisch für ganzrationale Funktionen ungeraden Grades mit positivem Leitkoeffizienten. - Der Graph ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, was bedeutet, dass im Funktionsterm nur ungerade Exponenten auftreten dürfen. Dies trifft auf \(p(x)\) und \(q(x)\) zu. - Da der Leitkoeffizient von \(p(x)\) positiv ist (\(1\)) und der von \(q(x)\) negativ (\(-1\)), gehört Graph 1 zur Funktion \(p(x) = x^3 - 3x\). 2. **Zuordnung von Graph 2**: - Das Globalverhalten von Graph 2 zeigt, dass der Graph für \(x \to \pm\infty\) gegen \(-\infty\) strebt. Dies ist typisch für ganzrationale Funktionen geraden Grades mit negativem Leitkoeffizienten. - Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, was bedeutet, dass im Funktionsterm nur gerade Exponenten auftreten dürfen. Dies trifft auf \(r(x)\) und \(s(x)\) zu. - Da der Leitkoeffizient von \(r(x)\) negativ ist (\(-1\)) und der von \(s(x)\) positiv (\(1\)), gehört Graph 2 zur Funktion \(r(x) = -x^4 + 2x^2\).

a) Graph 1 gehört zur Funktion \(p(x) = x^3 - 3x\). Graph 2 gehört zur Funktion \(r(x) = -x^4 + 2x^2\). b) Graph 1 verläuft von links unten nach rechts oben (\(x \to \infty \implies y \to \infty\) und \(x \to -\infty \implies y \to -\infty\)) und ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Dies passt nur zur ungeraden Funktion \(p(x)\) mit positivem Leitkoeffizienten. Graph 2 verläuft für \(x \to \pm\infty\) nach unten gegen \(-\infty\) und ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Dies passt nur zur geraden Funktion \(r(x)\) mit negativem Leitkoeffizienten.

- Betrachte zuerst den höchsten Exponenten (den Grad der Funktion) und das Vorzeichen des Koeffizienten davor. Wie verhalten sich die Funktionswerte für sehr große positive und sehr kleine negative x-Werte? - Welche Graphen verlaufen für sehr große x-Werte nach oben (gegen \(+\infty\)) und welche nach unten (gegen \(-\infty\))? - Achte auf die Symmetrie der Funktionen: Welche Funktionen haben nur gerade Exponenten (achsensymmetrisch zur y-Achse) und welche nur ungerade (punktsymmetrisch zum Ursprung)? - Bestimme den Schnittpunkt mit der y-Achse, indem du \(x = 0\) in die Funktionsgleichungen einsetzt. Welcher Graph schneidet die y-Achse an welcher Stelle?

1. **Globalverhalten bestimmen**: - Die Funktionen \(g_1(x)\) und \(g_2(x)\) haben den ungeraden Grad 3 mit einem positiven Leitkoeffizienten. Für beide Funktionen gilt: \(g_i(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\) und \(g_i(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\), \(i \in \{1; 2\}\). Dies trifft auf Graph A und Graph C zu. - Die Funktion \(g_3(x)\) hat den geraden Grad 4 mit positivem Leitkoeffizienten (\(0{,}2\)). Es gilt: \(g_3(x) \to \infty\) für \(x \to \pm\infty\). Dies trifft auf Graph D zu. Somit gehört \(g_3(x)\) zu Graph D. - Die Funktion \(g_4(x)\) hat den geraden Grad 4 mit negativem Leitkoeffizienten (\(-0{,}25\)). Es gilt: \(g_4(x) \to -\infty\) für \(x \to \pm\infty\). Dies trifft auf Graph B zu. Somit gehört \(g_4(x)\) zu Graph B. 2. **Unterscheidung von Graph A und Graph C**: - Wir berechnen den y-Achsenabschnitt durch Einsetzen von \(x = 0\): - Für \(g_1(0) = 2\). Der Graph schneidet die y-Achse bei \((0 \mid 2)\). Dies ist bei Graph C der Fall. - Für \(g_2(0) = 0\). Der Graph schneidet die y-Achse im Ursprung \((0 \mid 0)\). Zudem enthält \(g_2(x)\) nur ungerade Exponenten und ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Dies entspricht Graph A.

Die richtige Zuordnung lautet: - \(g_1(x) = x^3 - 3x^2 + 2\) gehört zu **Graph C** - \(g_2(x) = 0{,}5x^3 - 2x\) gehört zu **Graph A** - \(g_3(x) = 0{,}2x^4 - x^2 - 1\) gehört zu **Graph D** - \(g_4(x) = -0{,}25x^4 + 2x^2\) gehört zu **Graph B**

- Überlege dir zuerst, welchen Funktionswert die Funktion \(f\) an der Stelle \(x = 0\) besitzt, und vergleiche diesen mit den Schnittpunkten der Graphen mit der \(y\)-Achse. - Betrachte den Summanden mit der höchsten Potenz von \(x\). Welchen Einfluss haben sein Exponent und sein Vorzeichen auf das Verhalten des Graphen für sehr große positive und sehr kleine negative \(x\)-Werte? - Um die Nullstellen von \(f(x) = -x^4 + 2x^2\) zu berechnen, kannst du einen gemeinsamen Faktor ausklammern. - Nutze nach dem Ausklammern den Satz vom Nullprodukt, um die Gleichung in einfachere Teile zu zerlegen.

1. Begründung für Graph A: Der \(y\)-Achsenabschnitt von \(f\) liegt bei \(f(0) = -0^4 + 2 \cdot 0^2 = 0\). Der Graph von \(f\) muss also durch den Ursprung \((0 \mid 0)\) verlaufen. Graph A schneidet die \(y\)-Achse jedoch bei \(y = 2\). Daher kann Graph A nicht der Graph von \(f\) sein. 2. Begründung für Graph B: Der Leitkoeffizient von \(f\) ist \(-1\) (negativ) und der Grad ist \(4\) (gerade). Für das Globalverhalten gilt somit: Für \(x \to \pm\infty\) gilt \(f(x) \to -\infty\). Graph B verläuft jedoch für \(x \to \pm\infty\) gegen \(+\infty\). Daher kann Graph B nicht der Graph von \(f\) sein. 3. Berechnung der Nullstellen: Wir setzen \(f(x) = 0\): \(-x^4 + 2x^2 = 0\) Ausklammern von \(-x^2\) ergibt: \(-x^2 \cdot (x^2 - 2) = 0\) Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist (Satz vom Nullprodukt): Erster Faktor: \(-x^2 = 0 \implies x_1 = 0\) Zweiter Faktor: \(x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = 2 \implies x_{2,3} = \pm\sqrt{2}\) Die Nullstellen der Funktion \(f\) liegen somit bei \(x_1 = 0\), \(x_2 = -\sqrt{2}\) und \(x_3 = \sqrt{2}\). Die Näherungswerte der beiden irrationalen Nullstellen sind \(x \approx \pm 1{,}41\).

a) Graph A kann es nicht sein, weil er die \(y\)-Achse bei \(2\) statt bei \(0\) schneidet. Graph B kann es nicht sein, weil sein Globalverhalten für \(x \to \pm\infty\) gegen \(+\infty\) verläuft, während für \(f(x)\) wegen des negativen Leitkoeffizienten \(f(x) \to -\infty\) gelten muss. b) Die Nullstellen von \(f\) sind \(x_1 = 0\), \(x_2 = -\sqrt{2}\) und \(x_3 = \sqrt{2}\).

- Überlege dir zuerst, welchen Einfluss der Term mit der höchsten Potenz auf das Verhalten des Graphen für sehr große und sehr kleine x-Werte hat. - Berechne den Funktionswert an der Stelle \(x = 0\), um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu bestimmen, und vergleiche diesen mit den Graphen. - Achte auf die Exponenten der Variablen in der Funktionsgleichung: Sind sie alle gerade, ungerade oder gemischt? Was bedeutet das für die Symmetrie? - Bestimme die Nullstellen durch Ausklammern und betrachte ihre Vielfachheit: Ein gerader Exponent an einer Nullstelle bedeutet Berühren, ein ungerader Exponent bedeutet Schneiden.

1. Bestimmung des Globalverhaltens von \(f(x) = x^4 - 4x^2\): Da der Leitterm \(x^4\) einen positiven Koeffizienten besitzt, gilt \(f(x) \to \infty\) für \(x \to \pm\infty\). Graph A fällt jedoch für \(x \to \pm\infty\) gegen \(-\infty\), weshalb Graph A ausgeschlossen ist. 2. Überprüfung des y-Achsenabschnitts und der Nullstellen: Für \(f\) gilt \(f(0) = 0\), d. h. der Graph verläuft durch den Ursprung \((0 \mid 0)\). Graph B hat jedoch einen y-Achsenabschnitt bei \((0 \mid 4)\) und Nullstellen bei \(x = \pm 1\) und \(x = \pm 2\), weshalb Graph B ausgeschlossen ist. 3. Symmetrieanalyse: Wegen \(f(-x) = f(x)\) (da nur gerade Exponenten vorkommen) ist der Graph von \(f\) achsensymmetrisch zur y-Achse. 4. Untersuchung der Nullstellenvielfachheit: Aus \(f(x) = x^2(x-2)(x+2)\) folgt, dass bei \(x = 0\) eine doppelte Nullstelle vorliegt (Berührpunkt mit der x-Achse ohne Vorzeichenwechsel) und bei \(x = 2\) sowie \(x = -2\) jeweils eine einfache Nullstelle vorliegt (Schnittpunkte mit der x-Achse mit Vorzeichenwechsel).

a) Graph A kann nicht der Graph von \(f\) sein, da er für \(x \to \pm\infty\) gegen \(-\infty\) verläuft, während \(f(x) = x^4 - 4x^2\) gegen \(\infty\) strebt; Graph B kann nicht der Graph von \(f\) sein, da sein y-Achsenabschnitt bei \((0 \mid 4)\) liegt und er vier Nullstellen bei \(\pm 1\) und \(\pm 2\) besitzt, während \(f\) durch den Ursprung verläuft und die Nullstellen \(0\) und \(\pm 2\) hat. b) Der Graph von \(f\) ist achsensymmetrisch zur y-Achse; bei \(x = 0\) liegt eine doppelte Nullstelle vor, an der der Graph die x-Achse berührt, und bei \(x = \pm 2\) liegen einfache Nullstellen vor, an denen er die x-Achse schneidet.

- Schau dir zunächst den höchsten Exponenten (den Grad der Funktion) und das Vorzeichen vor diesem Glied an. Wie beeinflussen diese das Verhalten der Funktionswerte für sehr große positive und sehr kleine negative x-Werte? - Überlege dir, in welche Quadranten des Koordinatensystems die Graphen jeweils für weit außen liegende x-Werte verlaufen müssen. - Achte auf die Symmetrie der Funktionsgleichungen: Welche Funktionen enthalten nur gerade oder nur ungerade Exponenten? Welche Symmetrie zur y-Achse oder zum Koordinatenursprung ergibt sich daraus? - Bestimme für jede Funktion den Schnittpunkt mit der y-Achse, indem du \(x = 0\) einsetzt, und vergleiche diesen Wert mit den Graphen. - Gibt es bei einer der Funktionen einen markanten Punkt, der durch eine Verschiebung eines bekannten Grundgraphen entstanden ist (z. B. ein Sattelpunkt)?

1. Analyse von \(p(x) = -0{,}5x^3 + 2x\): Der Grad ist ungerade (\(3\)) und der Leitkoeffizient ist negativ (\(-0{,}5\)). Für das Globalverhalten gilt somit \(p(x) \to -\infty\) für \(x \to \infty\) und \(p(x) \to \infty\) für \(x \to -\infty\). Wegen der ausschließlich ungeraden Exponenten ist der Graph zudem punktsymmetrisch zum Ursprung. Dies entspricht dem Graphen A. 2. Analyse von \(q(x) = 0{,}25x^4 - 2x^2 + 1\): Der Grad ist gerade (\(4\)) und der Leitkoeffizient ist positiv (\(0{,}25\)). Für das Globalverhalten gilt \(q(x) \to \infty\) für \(x \to \pm\infty\). Wegen der ausschließlich geraden Exponenten ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse. Der y-Achsenabschnitt liegt bei \(q(0) = 1\). Dies entspricht dem Graphen B. 3. Analyse von \(r(x) = (x-1)^3 - 1\): Der Grad ist ungerade (\(3\)) und der Leitkoeffizient ist positiv (\(1\)). Für das Globalverhalten gilt \(r(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\) und \(r(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\). Der Graph ist ein verschobener Graph der Potenzfunktion \(x^3\) mit einem Sattelpunkt bei \((1 \mid -1)\). Dies entspricht dem Graphen C.

\(p(x)\) gehört zu Graph A, \(q(x)\) zu Graph B und \(r(x)\) zu Graph C.

- Betrachte zuerst das Verhalten der Graphen für sehr große positive und sehr kleine negative x-Werte (das Globalverhalten). - Überlege, wie sich der Grad der Funktion (gerade oder ungerade) und das Vorzeichen des Leitkoeffizienten auf das Globalverhalten auswirken. - Nutze markante Punkte wie Nullstellen (Schnitt- oder Berührpunkte mit der x-Achse) oder den y-Achsenabschnitt zur Überprüfung deiner Vermutung.

1. Analyse von Graph A (blau): - Globalverhalten: Für \(x \to \infty\) gilt \(y \to \infty\) und für \(x \to -\infty\) gilt \(y \to -\infty\). Dies ist typisch für ganzrationale Funktionen ungeraden Grades mit positivem Leitkoeffizienten. - Vergleich mit den Termen: Nur Term 1) \(f(x) = 0{,}25 x^3 - x\) erfüllt diese Bedingung (ungerader Grad 3, positiver Leitkoeffizient \(0{,}25 > 0\)). Term 3) hat einen negativen Leitkoeffizienten. - Bestätigung: Die Nullstellen von \(f(x)\) liegen bei \(x = -2\), \(x = 0\) und \(x = 2\), was exakt mit den Schnittpunkten von Graph A mit der x-Achse übereinstimmt. 2. Analyse von Graph B (rot): - Globalverhalten: Für \(x \to \pm\infty\) gilt \(y \to -\infty\). Dies ist typisch für ganzrationale Funktionen geraden Grades mit negativem Leitkoeffizienten. - Vergleich mit den Termen: Nur Term 2) \(g(x) = -0{,}2 x^4 + 1{,}2 x^2\) erfüllt diese Bedingung (gerader Grad 4, negativer Leitkoeffizient \(-0{,}2 < 0\)). Term 4) hat einen positiven Leitkoeffizienten. - Bestätigung: Der Graph berührt die x-Achse im Ursprung \((0 \mid 0)\) als doppelte Nullstelle und verläuft für \(x \neq 0\) nahe \(0\) oberhalb der x-Achse.

Graph A gehört zu Term 1) \(f(x) = 0{,}25 x^3 - x\), und Graph B gehört zu Term 2) \(g(x) = -0{,}2 x^4 + 1{,}2 x^2\).

- Schau dir zuerst das Verhalten der Graphen für sehr große positive und negative \(x\)-Werte an (das sogenannte Globalverhalten). Wie unterscheidet sich dieses Verhalten bei Funktionen mit geradem und ungeradem Grad? - Achte auf die Symmetrie der Graphen. Welche Funktionen sind achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und welche sind punktsymmetrisch zum Ursprung? - Bestimme den \(y\)-Achsenabschnitt jeder Funktion, indem du \(x = 0\) einsetzt, und vergleiche ihn mit den Schnittpunkten der Graphen auf der \(y\)-Achse. - Untersuche die Nullstellen und ihre Vielfachheit. Ein Berührpunkt mit der \(x\)-Achse deutet auf eine doppelte Nullstelle hin, während ein einfacher Schnittpunkt auf eine einfache Nullstelle hinweist.

1. **Graph C** zeigt ein Globalverhalten von \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to \pm\infty\) und ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Dies passt nur zur Funktion mit geradem Grad und negativem Leitkoeffizienten: \(p_3(x) = -0{,}25x^4 + 2x^2 - 2\). 2. **Graph B** verläuft von links oben nach rechts unten (\(f(x) \to +\infty\) für \(x \to -\infty\) und \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to +\infty\)), was auf einen ungeraden Grad mit negativem Leitkoeffizienten hinweist. Dies entspricht \(p_2(x) = -x^3 + 3x^2\), was auch durch die doppelte Nullstelle bei \(x = 0\) (Berührpunkt) und die einfache Nullstelle bei \(x = 3\) bestätigt wird. 3. **Graph A** und **Graph D** zeigen das Globalverhalten \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\) und \(f(x) \to +\infty\) für \(x \to +\infty\), was zu einem ungeraden Grad mit positivem Leitkoeffizienten passt. 4. **Graph A** ist punktsymmetrisch zum Ursprung mit Nullstellen bei \(x = 0\) und \(x = \pm\sqrt{3} \approx \pm1{,}73\), was eindeutig zu \(p_1(x) = x^3 - 3x\) gehört. 5. **Graph D** hat einen \(y\)-Achsenabschnitt bei \((0 \mid -1)\) und eine doppelte Nullstelle bei \(x = -1\) (Berührpunkt), was genau zu \(p_4(x) = 0{,}5(x + 1)^2(x - 2)\) gehört.

\(p_1(x) = x^3 - 3x\) gehört zu Graph A (blau), \(p_2(x) = -x^3 + 3x^2\) zu Graph B (orange), \(p_3(x) = -0{,}25x^4 + 2x^2 - 2\) zu Graph C (grün) und \(p_4(x) = 0{,}5(x + 1)^2(x - 2)\) zu Graph D (violett).

- Betrachte zuerst das Verhalten der Graphen für sehr große positive und negative \(x\)-Werte (Globalverhalten). - Welche Graphen verlaufen für \(x \to \pm\infty\) in dieselbe Richtung und welche in entgegengesetzte Richtungen? Was sagt das über den Grad der Funktion aus? - Achte auf die Symmetrie der Graphen: Ist ein Graph achsensymmetrisch zur y-Achse (nur gerade Exponenten) oder punktsymmetrisch zum Ursprung (nur ungerade Exponenten)? - Überprüfe das Vorzeichen des Koeffizienten vor der höchsten Potenz (Leitkoeffizient), um zu entscheiden, ob der Graph nach oben oder unten verläuft.

1. **Zuordnung für Graph A**: Der Graph verläuft für \(x \to -\infty\) gegen \(-\infty\) und für \(x \to \infty\) gegen \(\infty\) (Globalverhalten eines ungeraden Grades mit positivem Leitkoeffizienten) und ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Dies entspricht Term (1) \(f_1(x) = x^3 - 3x\). 2. **Zuordnung für Graph B**: Der Graph verläuft für \(x \to \pm\infty\) gegen \(-\infty\) (Globalverhalten eines geraden Grades mit negativem Leitkoeffizienten) und ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Dies entspricht Term (4) \(f_4(x) = -x^4 + 3x^2\). 3. **Zuordnung für Graph C**: Der Graph verläuft für \(x \to -\infty\) gegen \(\infty\) und für \(x \to \infty\) gegen \(-\infty\) (Globalverhalten eines ungeraden Grades mit negativem Leitkoeffizienten) und ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Dies entspricht Term (2) \(f_2(x) = -x^3 + 3x\). 4. **Übriggebliebener Term**: Term (3) \(f_3(x) = x^4 - 3x^2\) bleibt übrig, da sein Graph für \(x \to \pm\infty\) gegen \(\infty\) streben müsste (nach oben geöffnete W-Form), was auf keinen der gezeigten Graphen zutrifft.

a) Graph A gehört zu Term (1), Graph B zu Term (4), Graph C zu Term (2), und Term (3) bleibt übrig. b) Graph A ist punktsymmetrisch und verläuft von links unten nach rechts oben, passend zu einem ungeraden Grad mit positivem Leitkoeffizienten; Graph B ist achsensymmetrisch zur y-Achse und verläuft für \(x \to \pm\infty\) gegen \(-\infty\), passend zu einem geraden Grad mit negativem Leitkoeffizienten; Graph C ist punktsymmetrisch und verläuft von links oben nach rechts unten, passend zu einem ungeraden Grad mit negativem Leitkoeffizienten; Term (3) bleibt übrig, da sein Graph für \(x \to \pm\infty\) nach oben verlaufen müsste.

- Betrachte den Verlauf des Graphen ganz links und ganz rechts. Wie verhalten sich die y-Werte für sehr große positive und sehr kleine negative x-Werte? - Untersuche die Symmetrie des abgebildeten Graphen. Welche Symmetrieeigenschaften müsste eine Funktion haben, die nur gerade Exponenten besitzt? - Schau dir die Stelle \(x = 0\) genauer an. Handelt es sich beim abgebildeten Graphen um einen Berührpunkt oder einen Schnittpunkt mit Vorzeichenwechsel? Was bedeutet das für die Vielfachheit der Nullstelle? - Berechne beispielhaft den Funktionswert der gegebenen Gleichung für einen einfachen x-Wert (z. B. \(x = 1\)) und vergleiche ihn mit dem Wert im Graphen.

Mögliche Argumente zur Begründung sind: 1. **Globalverhalten**: Für die Funktion \(f(x) = -0{,}5x^4 + 2x^2\) bestimmt das Glied mit der höchsten Potenz, \(-0{,}5x^4\), das Verhalten für betragsmäßig sehr große x-Werte. Da der Exponent gerade (\(4\)) und der Leitkoeffizient negativ (\(-0{,}5\)) ist, gilt \(\lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\). Der gegebene Graph zeigt jedoch ein anderes Globalverhalten: Für \(x \to \infty\) streben die y-Werte gegen \(\infty\) und für \(x \to -\infty\) gegen \(-\infty\). 2. **Symmetrie**: Da im Funktionsterm von \(f(x)\) nur gerade Exponenten von \(x\) vorkommen (nämlich \(4\) und \(2\)), ist der Graph von \(f\) achsensymmetrisch zur y-Achse (es gilt \(f(-x) = f(x)\)). Der abgebildete Graph ist jedoch punktsymmetrisch zum Ursprung (es gilt \(g(-x) = -g(x)\)) und somit nicht achsensymmetrisch zur y-Achse. 3. **Verhalten im Ursprung (Nullstellen)**: Die Funktion \(f(x) = x^2(2 - 0{,}5x^2)\) hat bei \(x = 0\) eine doppelte Nullstelle, also einen Berührpunkt mit der x-Achse ohne Vorzeichenwechsel. Für kleine Werte nahe \(0\) verläuft der Graph oberhalb der x-Achse. Der abgebildete Graph schneidet die x-Achse im Ursprung \((0 \mid 0)\) jedoch mit einem Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus. 4. **Spezifische Funktionswerte**: Für \(x = 1\) gilt bei der Funktion \(f\): \(f(1) = -0{,}5 \cdot 1^4 + 2 \cdot 1^2 = 1{,}5 > 0\). Im abgebildeten Graphen ist der Funktionswert an der Stelle \(x = 1\) jedoch negativ.

Der Graph kann nicht zu \(f\) gehören, weil \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to \pm\infty\), der abgebildete Graph aber rechts nach oben verläuft; weil der Graph von \(f\) achsensymmetrisch zur y-Achse, der abgebildete Graph dagegen punktsymmetrisch zum Ursprung ist; und weil \(f\) bei \(x = 0\) eine doppelte Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel hat, während der abgebildete Graph die x-Achse dort schneidet.

- Was sagt dir der höchste Exponent (Grad der Funktion) über den Verlauf des Graphen für sehr große positive und negative x-Werte? - Welchen Einfluss hat das Vorzeichen vor der höchsten Potenz (der Leitkoeffizient) auf das Verhalten im Unendlichen? - Wie kannst du den Schnittpunkt eines Graphen mit der y-Achse bestimmen und wie hilft dir das beim Zuordnen? - Welche Symmetrieeigenschaften weisen die Funktionsterme auf und wie spiegeln sich diese in den Graphen wider?

1. Bestimmung des Graphen von \(f\): Die Funktion \(f(x) = \frac{1}{4}x^3 - x\) hat den ungeraden Grad \(3\) und einen positiven Leitkoeffizienten (\(\frac{1}{4} > 0\)). Daher gilt für das Globalverhalten: Für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to \infty\) und für \(x \to -\infty\) gilt \(f(x) \to -\infty\). Dies ist nur bei Graph **B** der Fall. Zudem ist der Graph von \(f\) punktsymmetrisch zum Ursprung und verläuft durch den Punkt \((0 \mid 0)\). Somit gehört Graph **B** zur Funktion \(f\). 2. Bestimmung des Graphen von \(g\): Die Funktion \(g(x) = -\frac{1}{8}x^4 + x^2 - 1\) hat den geraden Grad \(4\) und einen negativen Leitkoeffizienten (\(-\frac{1}{8} < 0\)). Für das Globalverhalten gilt somit: Für \(x \to \pm\infty\) gilt \(g(x) \to -\infty\). Der Graph ist nach unten geöffnet, was nur auf Graph **A** zutrifft. Zudem liegt der y-Achsenabschnitt bei \(g(0) = -1\). Somit gehört Graph **A** zur Funktion \(g\). 3. Bestimmung des Graphen von \(h\): Die Funktion \(h(x) = \frac{1}{8}x^4 - x^2 + 2\) hat den geraden Grad \(4\) und einen positiven Leitkoeffizienten (\(\frac{1}{8} > 0\)). Für das Globalverhalten gilt somit: Für \(x \to \pm\infty\) gilt \(h(x) \to \infty\). Der Graph ist nach oben geöffnet, was auf Graph **C** zutrifft. Zudem liegt der y-Achsenabschnitt bei \(h(0) = 2\) und der Graph berührt die x-Achse in den doppelten Nullstellen bei \(x = -2\) und \(x = 2\). Somit gehört Graph **C** zur Funktion \(h\).

Graph A gehört zu \(g(x) = -\frac{1}{8}x^4 + x^2 - 1\), Graph B zu \(f(x) = \frac{1}{4}x^3 - x\) und Graph C zu \(h(x) = \frac{1}{8}x^4 - x^2 + 2\).

- Wo schneidet der Graph die y-Achse? Setze dafür \(x = 0\) in die Terme ein. - Welche Symmetrie weist der Graph auf? Achte auf die Exponenten der Variablen. - Überprüfe das Verhalten des Graphen an den Rändern des Koordinatensystems.

1. Graph 1: Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse und nach oben geöffnet (\(y \to \infty\) für \(x \to \pm\infty\)). Dies passt zu einer Funktion mit geradem Grad und positivem Leitkoeffizienten. Der y-Achsenabschnitt liegt bei \((0 \mid -2)\). Aus \(0{,}5x^4 - 2 = 0\) folgen die Schnittpunkte \((-\sqrt{2} \mid 0)\) und \((\sqrt{2} \mid 0)\) mit der x-Achse. Der Term \(f(x) = 0{,}5x^4 - 2\) erfüllt alle diese Kriterien. 2. Graph 2: Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung und verläuft für \(x \to \infty\) gegen \(-\infty\). Dies passt zu einem ungeraden Grad mit negativem Leitkoeffizienten. Die Schnittpunkte mit der x-Achse liegen bei \((-1 \mid 0)\), \((0 \mid 0)\) und \((1 \mid 0)\); der Ursprung ist zugleich der Schnittpunkt mit der y-Achse. Der Term \(h(x) = -x^5 + x\) erfüllt dies, denn \(h(x) = -x(x^4 - 1) = -x(x^2 - 1)(x^2 + 1)\). 3. Ergebnis: Graph 1 gehört zu \(f(x)\), Graph 2 gehört zu \(h(x)\).

Graph 1 gehört zu \(f(x) = 0{,}5x^4 - 2\); seine Achsenschnittpunkte sind \((0 \mid -2)\), \((-\sqrt{2} \mid 0)\) und \((\sqrt{2} \mid 0)\). Graph 2 gehört zu \(h(x) = -x^5 + x\); seine Achsenschnittpunkte sind \((-1 \mid 0)\), \((0 \mid 0)\) und \((1 \mid 0)\).

- Bestimme zuerst die Nullstellen der Funktion, indem du \(x\) ausklammerst. - Überlege dir, wie sich der Graph für sehr große positive und sehr große negative \(x\)-Werte verhält. Welches Vorzeichen hat das Glied mit der höchsten Potenz? - Vergleiche diese theoretischen Eigenschaften mit den Graphen in den beiden Bildern.

1. Nullstellen von \(f\) berechnen: \(f(x) = -x(x^2 - x - 2) = -x(x - 2)(x + 1)\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -1\). 2. Globalverhalten prüfen: Da der Leitkoeffizient \(-1\) negativ und der Grad \(3\) ungerade ist, gilt \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to \infty\) und \(f(x) \to \infty\) für \(x \to -\infty\). 3. Analyse von Graph A: Er hat Nullstellen bei \(-2\), \(0\) und \(1\). Dies passt nicht zu den berechneten Nullstellen von \(f\). 4. Analyse von Graph B: Er hat zwar die korrekten Nullstellen bei \(-1\), \(0\) und \(2\), zeigt aber das umgekehrte Globalverhalten; er steigt für \(x \to \infty\) an. 5. Beschreibung: Der Graph kommt von links oben, schneidet die x-Achse bei \(-1\), \(0\) und \(2\) und verläuft nach rechts unten.

a) Graph A kann \(f\) nicht darstellen, weil seine Nullstellen \(-2\), \(0\) und \(1\) nicht mit den Nullstellen \(-1\), \(0\) und \(2\) von \(f\) übereinstimmen; Graph B kann \(f\) nicht darstellen, weil sein rechtes Ende nach oben statt wie bei \(f\) nach unten verläuft. b) Der Graph verläuft von links oben nach rechts unten und schneidet die x-Achse bei \((-1 \mid 0)\), \((0 \mid 0)\) und \((2 \mid 0)\).

- Schau dir die Exponenten an: Sind sie alle gerade oder ungerade? Was sagt das über die Symmetrie aus? - Berechne die Nullstellen. Achte dabei besonders darauf, ob eine Nullstelle mehrfach vorkommt (Berührpunkt statt Schnittpunkt). - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn \(x\) immer größer wird? Geht er gegen plus oder minus Unendlich?

1. Symmetrie untersuchen: Da nur gerade Exponenten vorkommen, ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse. 2. Nullstellen berechnen: \(0{,}5x^2(x^2 - 4) = 0\). Daraus folgt eine doppelte Nullstelle bei \(x = 0\) (Berührpunkt) und einfache Nullstellen bei \(x = 2\) und \(x = -2\). 3. Globalverhalten bestimmen: Da der Leitkoeffizient \(0{,}5\) positiv und der Grad \(4\) gerade ist, gilt \(f(x) \to \infty\) für \(x \to \pm \infty\). 4. Graph A ausschließen: Er hat vier einfache Nullstellen bei \(\pm 1\) und \(\pm 2\) und keine Nullstelle im Ursprung. 5. Graph B ausschließen: Er zeigt zwar die richtigen Nullstellen einschließlich der Berührung im Ursprung, verläuft aber für große Beträge von \(x\) gegen \(-\infty\). 6. Beschreibung: Der Graph ist W-förmig und achsensymmetrisch zur y-Achse. Er ist nach oben geöffnet, schneidet die x-Achse bei \(x = -2\) und \(x = 2\) und berührt sie bei \(x = 0\).

a) Graph A kann \(f\) nicht darstellen, weil er keine Nullstelle bei \(x = 0\) und vier einfache Nullstellen hat; Graph B kann \(f\) nicht darstellen, weil er für große Beträge von \(x\) nach unten verläuft, während \(f(x) \to \infty\) für \(x \to \pm\infty\) gilt. b) Der Graph ist W-förmig und achsensymmetrisch zur y-Achse, schneidet die x-Achse bei \((-2 \mid 0)\) und \((2 \mid 0)\), berührt sie bei \((0 \mid 0)\) und verläuft an beiden Rändern nach oben.

- Schau dir an, wohin die „Arme“ der Graphen am linken und rechten Rand des Koordinatensystems zeigen. - Überlege, welchen Einfluss der höchste Exponent (der Grad der Funktion) auf das Verhalten bei sehr großen oder sehr kleinen \(x\)-Werten hat. - Welchen Unterschied macht es, ob die Zahl vor der höchsten Potenz positiv oder negativ ist?

1. Der Graph \(f\) gehört zu \(p_1(x)\). Der Grad ist gerade (\(4\)) und der Leitkoeffizient positiv (\(0{,}2\)). Somit gilt \(f(x) \to \infty\) für \(x \to \pm \infty\), was dem Verlauf von \(f\) entspricht. 2. Der Graph \(g\) gehört zu \(p_2(x)\). Der Grad ist ungerade (\(3\)) und der Leitkoeffizient negativ (\(-0{,}5\)). Für \(x \to \infty\) gilt \(g(x) \to -\infty\) und für \(x \to -\infty\) gilt \(g(x) \to \infty\). 3. Der Graph \(h\) gehört zu \(p_3(x)\). Der Grad ist ungerade (\(5\)) und der Leitkoeffizient positiv (\(0{,}2\)). Der Graph verläuft für \(x \to \infty\) gegen \(\infty\) und für \(x \to -\infty\) gegen \(-\infty\).

Graph \(f\) gehört zu \(p_1(x)\), Graph \(g\) gehört zu \(p_2(x)\) und Graph \(h\) gehört zu \(p_3(x)\).

- Schau dir an, wie sich die Graphen am linken und rechten Rand des Koordinatensystems verhalten. - Überprüfe die Anzahl und die Art der Nullstellen (Schneiden oder Berühren der x-Achse). - Setze einfache x-Werte in die Terme ein und vergleiche das Ergebnis mit den y-Werten in den Graphen. - Überlege, welcher Grad (Exponent) zu welcher Grundform des Graphen passt.

1. Graph A zeigt den Verlauf einer Funktion 3. Grades, die für \(x \to -\infty\) gegen \(-\infty\) und für \(x \to \infty\) gegen \(\infty\) strebt (positiver Leitkoeffizient). Die Nullstellen liegen bei \(-2\), \(0\) und \(2\). Dies entspricht Term (1), da \(0{,}5x^3 - 2x = 0{,}5x(x^2 - 4) = 0{,}5x(x - 2)(x + 2)\). 2. Graph B stellt eine nach unten geöffnete Parabel (2. Grad) mit dem Scheitelpunkt \((0 \mid 4)\) und Nullstellen bei \(\pm 2\) dar. Dies entspricht Term (2): \(f(x) = -x^2 + 4\). 3. Graph C zeigt eine Funktion 4. Grades mit W-Form (positiver Leitkoeffizient). Es gibt eine doppelte Nullstelle bei \(x = 0\) (Berührpunkt) und einfache Nullstellen bei \(x = -2\) und \(x = 2\). Dies passt zu Term (3): \(x^4 - 4x^2 = x^2(x^2 - 4)\). 4. Term (4) bleibt übrig. Er beschreibt eine Funktion 3. Grades mit negativem Leitkoeffizienten, die von links oben nach rechts unten verlaufen müsste.

Graph A gehört zu Term (1), Graph B zu Term (2), Graph C zu Term (3), und Term (4) bleibt übrig.

- Was verrät dir das Vorzeichen vor der höchsten Potenz über den Verlauf des Graphen für sehr große \(x\)-Werte? - Wo schneidet der Graph einer Funktion immer die y-Achse? Berechne diesen Punkt für \(h\). - Untersuche, ob die Funktion \(h\) die x-Achse schneiden muss.

1. Globalverhalten: Da der Leitkoeffizient von \(h\) negativ ist (\(-0{,}5\)), muss der Graph für \(x \to \pm\infty\) gegen \(-\infty\) verlaufen. Der abgebildete Graph verläuft jedoch für \(x \to \pm\infty\) gegen \(\infty\). 2. y-Achsenabschnitt: Es gilt \(h(0) = -1\). Der abgebildete Graph schneidet die y-Achse jedoch bei \(y = 2\). 3. Nullstellen: Die Funktion \(h\) hat Nullstellen. Die Substitution \(x^2 = z\) liefert \(-0{,}5z^2 + 2z - 1 = 0\) und damit \(z \approx 0{,}59\) oder \(z \approx 3{,}41\), also insgesamt vier reelle Nullstellen. Der abgebildete Graph hat dagegen keine Nullstellen.

Der abgebildete Graph kann nicht zu \(h\) gehören, weil \(h(x) \to -\infty\) für \(x \to \pm\infty\), der Graph aber an beiden Rändern nach oben verläuft; weil \(h(0) = -1\), der Graph die y-Achse aber bei \(2\) schneidet; und weil \(h\) vier reelle Nullstellen besitzt, der dargestellte Graph jedoch keine.

- Überprüfe, ob der Funktionsterm auf eine bestimmte Symmetrie hinweist. - Berechne den Schnittpunkt mit der y-Achse und vergleiche ihn mit dem Graphen. - Untersuche die Anzahl und die Art der Nullstellen (Schnittpunkt oder Berührpunkt). - Achte auf das Verhalten des Graphen für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte.

Um zu zeigen, dass der Graph nicht zur Funktion \(f(x) = x^4 - 2x^2 + 1\) passt, können folgende Eigenschaften verglichen werden: 1. Symmetrie: \(f\) enthält nur gerade Exponenten und ist daher achsensymmetrisch zur y-Achse. Der abgebildete Graph ist nicht achsensymmetrisch. 2. Anzahl der Nullstellen: \(f(x) = (x^2 - 1)^2\) hat nur die beiden verschiedenen Nullstellen \(x = -1\) und \(x = 1\). Der abgebildete Graph besitzt zusätzlich Nullstellen bei \(x = -2\) und \(x = 3\). 3. Art der Nullstellen: Bei \(f\) sind \(x = -1\) und \(x = 1\) doppelte Nullstellen, an denen der Graph die x-Achse berührt. Der abgebildete Graph schneidet die Achse an diesen Stellen.

Der abgebildete Graph kann nicht zu \(f\) gehören, weil \(f\) achsensymmetrisch zur y-Achse ist, der Graph aber nicht; weil \(f\) nur die Nullstellen \(x = \pm 1\) hat, der Graph zusätzlich \(x = -2\) und \(x = 3\); und weil die Nullstellen \(x = \pm 1\) bei \(f\) Berührpunkte, im dargestellten Graphen aber Schnittpunkte sind.

- Schau dir an, wohin die Graphen für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte verlaufen. - Wo schneiden die Graphen die senkrechte Achse? Setze dafür \(x = 0\) in die Gleichungen ein. - Überprüfe markante Punkte wie Nullstellen. - Vergleiche die Steilheit der Graphen, die ein ähnliches Globalverhalten zeigen.

1. Bestimmung des Globalverhaltens: Die Terme \(f(x)\) und \(h(x)\) haben einen positiven Leitkoeffizienten (\(1\) bzw. \(0{,}5\)), daher gilt für \(x \to \infty\), dass \(y \to \infty\). Dies trifft auf die Graphen \(a\) und \(c\) zu. Der Term \(g(x)\) hat einen negativen Leitkoeffizienten (\(-1\)), also gilt für \(x \to \infty\), dass \(y \to -\infty\). Somit gehört Graph \(b\) zur Funktion \(g\). 2. Vergleich der y-Achsenabschnitte: Der Schnittpunkt mit der y-Achse liegt bei \(f(0) = 2\) und \(h(0) = 1\). Da Graph \(a\) die y-Achse bei \(2\) schneidet und Graph \(c\) bei \(1\), folgt: Graph \(a\) gehört zu \(f\) und Graph \(c\) gehört zu \(h\). 3. Zusätzliche Überprüfung: \(f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1 + 2 = 0\), was mit der Nullstelle von Graph \(a\) bei \(x = 1\) übereinstimmt. Ebenso ist \(h(1) = 0{,}5 - 1{,}5 + 1 = 0\), was zur Nullstelle von Graph \(c\) passt.

Graph \(a\) gehört zu \(f(x) = x^3 - 3x + 2\), Graph \(b\) zu \(g(x) = -x^3 + 3x + 2\) und Graph \(c\) zu \(h(x) = 0{,}5x^3 - 1{,}5x + 1\).

- Stelle dir den Verlauf des Graphen einer Funktion mit ungeradem Grad (wie \(x^3\) oder \(x^5\)) vor. Wo kommt er her, wo geht er hin? - Wenn ein Graph von weit unterhalb der \(x\)-Achse nach weit oberhalb der \(x\)-Achse verläuft, was muss dazwischen passieren? - Wie berechnet man den Gesamtgrad eines Produkts von Termen? - Wann wird ein Produkt null? Untersuche jeden Faktor einzeln. - Was sagt der Exponent über einem Linearfaktor über die Art der Nullstelle aus?

1. Bei Funktionen ungeraden Grades streben die Funktionswerte für \(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\) gegen unterschiedliche Vorzeichen (einer gegen \(+\infty\), der andere gegen \(-\infty\)). 2. Da der Graph einer ganzrationalen Funktion eine durchgehende (stetige) Kurve ist, muss er beim Wechsel von sehr kleinen zu sehr großen Werten die \(x\)-Achse mindestens einmal schneiden. 3. Bestimmung des Grades von \(g\): Die Summe der Grade der Faktoren \(x^2 + 4\), \((x - 5)^2\) und \((x + 1)\) ist \(2 + 2 + 1 = 5\). Der Grad ist 5. 4. Nullstellenbestimmung: Der Faktor \((x^2 + 4)\) wird für keine reelle Zahl null. 5. Aus \((x - 5)^2 = 0\) folgt die Nullstelle \(x_1 = 5\) mit der Vielfachheit 2. 6. Aus \((x + 1) = 0\) folgt die Nullstelle \(x_2 = -1\) mit der Vielfachheit 1.

a) Da die Grenzwerte für \(x \to \pm \infty\) entgegengesetzte Vorzeichen haben, muss der Graph aufgrund der Stetigkeit die \(x\)-Achse mindestens einmal schneiden. b) Grad: 5; Nullstellen: \(x = 5\) (zweifach bzw. Vielfachheit 2) und \(x = -1\) (einfach bzw. Vielfachheit 1). Der Faktor \((x^2 + 4)\) besitzt keine reellen Nullstellen.

- Wie verhalten sich die Graphen von Funktionen wie \(x^3\) oder \(x^5\) an den Rändern des Koordinatensystems? - Stell dir vor, du zeichnest den Graphen einer solchen Funktion ohne abzusetzen. Wenn der Graph von ganz weit unten nach ganz weit oben verlaufen muss, was muss dann zwischendurch passieren? - Spielt es für die Existenz eines Schnittpunkts mit der \(x\)-Achse eine Rolle, ob der Leitkoeffizient positiv oder negativ ist?

1. Für eine Funktion mit ungeradem Grad \(n\) und positivem Leitkoeffizienten \(a_n > 0\) gilt: Wenn \(x \to \infty\), dann geht \(g(x) \to \infty\). Wenn \(x \to -\infty\), dann geht \(g(x) \to -\infty\). 2. Da die Funktionswerte für sehr kleine \(x\) im negativen Bereich liegen und für sehr große \(x\) im positiven Bereich (oder umgekehrt, falls \(a_n < 0\)), muss die Funktion aufgrund ihres kontinuierlichen Verlaufs (Stetigkeit) ohne Sprünge von den negativen zu den positiven Werten gelangen. 3. Dabei muss der Graph der Funktion die \(x\)-Achse an mindestens einer Stelle schneiden. Dieser Schnittpunkt entspricht einer reellen Nullstelle.

a) Für \(x \to \infty\) gilt \(g(x) \to \infty\) und für \(x \to -\infty\) gilt \(g(x) \to -\infty\). b) Da die Funktionswerte für \(x \to \pm \infty\) unterschiedliche Vorzeichen haben und der Graph einer ganzrationalen Funktion eine durchgehende Kurve ohne Sprünge ist, muss es mindestens einen Punkt geben, an dem der Funktionswert Null ist (Vorzeichenwechsel).