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Gegeben ist \(p(x)=7-3x^2-\frac{1}{2}x^5\). a) Welchen Grad hat \(p\)? b) Wie lautet der Leitkoeffizient? c) Welcher Summand entscheidet über das Globalverhalten?

Welche der folgenden Terme beschreiben ganzrationale Funktionen? Begründe jeweils kurz über die Exponenten von \(x\). a) \(4x^3-2x+7\) b) \(x^2+\sqrt{x}\) c) \(5-3x^6\) d) \(x^4+\frac{2}{x}\)

Gegeben sind die Koeffizienten einer ganzrationalen Funktion. Stelle den Funktionsterm auf und untersuche das Globalverhalten (Verhalten für \(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\)) der Funktion. a) Funktion \(g\): \(a_4 = -2, a_2 = 5, a_0 = -1\) (alle anderen Koeffizienten sind \(0\)) b) Funktion \(h\): \(a_3 = 4, a_1 = -2\) (alle anderen Koeffizienten sind \(0\))

Gegeben sind vier ganzrationale Funktionen. Bei welchen dieser Funktionen ist das Globalverhalten für \(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\) identisch (das heißt, die Funktionswerte streben in beiden Fällen entweder gegen \(+\infty\) oder beide gegen \(-\infty\))? \(f(x) = -3x^4 + 2x^2 - 5\) \(g(x) = 0{,}2x^5 - x^3\) \(h(x) = x^6 + 4x^4 - 1\) \(k(x) = -x^7 + 10x^2\) Begründe deine Auswahl, indem du den Grad der Funktion und den Leitkoeffizienten betrachtest.

Eine ganzrationale Funktion \(p\) soll für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte (also für \(x \to \pm \infty\)) stets gegen \(-\infty\) streben. Welche der folgenden Funktionsgleichungen erfüllen diese Bedingung? 1) \(p_1(x) = -x^2 \cdot (x^2 - 4)\) 2) \(p_2(x) = -(x - 2)^3\) 3) \(p_3(x) = -5x^6 + 100x^5\) 4) \(p_4(x) = (1 - x^2) \cdot x^2\) 5) \(p_5(x) = -x^4 - x^5\) Erläutere kurz, welche Bedingungen der Grad \(n\) und der Leitkoeffizient \(a_n\) erfüllen müssen, damit dieses Verhalten auftritt.

Untersuche die folgenden Funktionen darauf, ob sie ganzrational sind. Bestimme für die ganzrationalen Funktionen jeweils den Grad \(n\), den Leitkoeffizienten \(a_n\) und das Globalverhalten für \(x\to\infty\) und \(x\to-\infty\). a) \(f(x)=-4x^6+2x^3+5\) b) \(g(x)=\frac{1}{3}(x^3-9x)\) c) \(h(x)=x^2-3\sqrt{x}+1\)

Untersuche das Globalverhalten der folgenden ganzrationalen Funktionen. Beschreibe dazu das Verhalten der Funktionswerte für \(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\). a) \(f(x) = 4x^3 - x^4\) b) \(g(x) = \frac{1}{2}x(x^2 - 9)\) c) \(h(x) = -(x-2)^2 \cdot x\)

Gib für die folgenden Funktionen das Verhalten für \(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\) an. a) \(p(x) = 0{,}2x^6 - 100x^3\) b) \(q(x) = (1-x^2)(x^2+1)\) c) \(r(x) = x^3 - x^5 + 2\)

Untersuche das Verhalten der Funktionswerte der folgenden Funktionen für \(x \to \infty\) und für \(x \to -\infty\): a) \(f(x) = -0{,}1x^4 + 5x - 1\) b) \(g(x) = \frac{2}{3}x^5 - 10x^2\)

Gegeben sind vier ganzrationale Funktionen. Ordne jeder Funktion das passende Globalverhalten zu. Funktionen: 1. \(a(x) = 5x^3 - x\) 2. \(b(x) = -x^4 + 8x^2\) 3. \(c(x) = -2x^5 + 1\) 4. \(d(x) = 0{,}5x^2 + 3x\) Mögliches Globalverhalten: I. Für \(x \to \pm \infty\) gilt \(y \to \infty\). II. Für \(x \to \pm \infty\) gilt \(y \to -\infty\). III. Für \(x \to \infty\) gilt \(y \to \infty\) und für \(x \to -\infty\) gilt \(y \to -\infty\). IV. Für \(x \to \infty\) gilt \(y \to -\infty\) und für \(x \to -\infty\) gilt \(y \to \infty\).

Untersuche das Globalverhalten der folgenden ganzrationalen Funktionen für \(x\to\infty\) und \(x\to-\infty\). Ordne jeder Funktion diejenige der vier Potenzfunktionen \(f_1(x)=x^2\), \(f_2(x)=-x^2\), \(f_3(x)=x^3\) oder \(f_4(x)=-x^3\) zu, die dasselbe Globalverhalten besitzt. a) \(a(x)=-x^4+2x^2+5\) b) \(b(x)=(x+1)(x-2)(x+3)\) c) \(c(x)=4x^2-x^5\) d) \(d(x)=\frac{1}{2}x^6+10x\)

Das Globalverhalten einer ganzrationalen Funktion wird durch ihr Leitglied bestimmt. a) Beschreibe das Globalverhalten von \(p(x)=-x^3\). b) Prüfe, ob \(g(x)=(2-x)(x^2+4)\) dasselbe Globalverhalten wie \(p\) besitzt. c) Welche der vier Funktionen \(x^2\), \(-x^2\), \(x^3\) oder \(-x^3\) hat dasselbe Globalverhalten wie \(h(x)=-3x^4+100x^3\)? Begründe über Grad und Leitkoeffizient.

Untersuche das Globalverhalten der ganzrationalen Funktion \(f\) mit der Gleichung \(f(x) = -2x^5 + 10x^3 - 4\). Bestimme dazu das Verhalten der Funktionswerte für \(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\) und begründe dein Ergebnis mithilfe des Grades und des Leitkoeffizienten.

Gegeben sind die beiden Funktionen \(g(x)=-x^4+3x^2\) und \(h(x)=-0{,}5x^6+10x^5\). Untersuche, ob diese beiden Funktionen für \(x\to\infty\) und \(x\to-\infty\) das gleiche Globalverhalten zeigen. Begründe deine Entscheidung durch einen Vergleich der Grade und der Leitkoeffizienten.

Gegeben sind die Funktionsterme (I) \(p(x)=-0{,}5x^3+1{,}5x\), (II) \(q(x)=0{,}25x^4-2x^2+1\) und (III) \(r(x)=-0{,}1x^4+0{,}8x^2\). a) Prüfe für jede Funktion rechnerisch, ob ihr Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist. b) Ordne danach die Terme den Graphen A, B und C zu. Nutze zur Unterscheidung der beiden achsensymmetrischen Funktionen zusätzlich den \(y\)-Achsenabschnitt.

Gegeben ist die ganzrationale Funktion \(f(x)=-0{,}1x^3+1{,}2x-1\). a) Bestimme das Globalverhalten von \(f\) für \(x\to\infty\) und \(x\to-\infty\). Notiere deine Antwort in Limes-Schreibweise. b) Begründe anhand des Globalverhaltens, 1. warum der Grad von \(f\) ungerade ist, 2. welches Vorzeichen der Leitkoeffizient besitzt.

Untersuche die Graphen der ganzrationalen Funktionen \(p\) und \(q\). Zusätzlich ist bekannt: Für \(p\) gilt \(p(x)\to-\infty\) für \(x\to-\infty\) und \(p(x)\to\infty\) für \(x\to\infty\). Für \(q\) gilt \(q(x)\to-\infty\) für \(x\to\pm\infty\). Entscheide für jede Funktion, ob ihr Grad gerade oder ungerade ist und welches Vorzeichen ihr Leitkoeffizient hat. Erkläre außerdem, wie die dargestellten Graphen zu diesen Angaben passen.

Betrachte den abgebildeten Graphen einer ganzrationalen Funktion \(f\). Für die Funktion ist außerdem bekannt: \(f(x)\to-\infty\) für \(x\to-\infty\) und \(f(x)\to-\infty\) für \(x\to\infty\). Entscheide begründet, ob der Grad der Funktion gerade oder ungerade ist und welches Vorzeichen der Leitkoeffizient hat. Erläutere anschließend, inwiefern der dargestellte Graphausschnitt mit diesen Angaben vereinbar ist.

Gegeben ist der Graph einer ganzrationalen Funktion \(h\). Von ihrem Funktionsterm ist bekannt, dass der Leitterm \(0{,}4x^3\) lautet. a) Gib das Globalverhalten von \(h\) an. b) Entscheide, ob der Grad der Funktion gerade oder ungerade ist. c) Erkläre, weshalb der dargestellte Graphausschnitt mit deinen algebraisch bestimmten Aussagen vereinbar ist, ohne den Bildrand als Beweis für Grenzwerte zu verwenden.

Gegeben ist die ganzrationale Funktion \(f(x)=3x^6-5x^2-3x^6+2x^4-1\). a) Vereinfache den Funktionsterm. b) Bestimme anschließend Grad, Leitkoeffizient und Globalverhalten.

Das Globalverhalten einer ganzrationalen Funktion \(f\) wird durch die folgende Beschreibung charakterisiert: „Für \(x \to \infty\) streben die Funktionswerte gegen \(-\infty\) und für \(x \to -\infty\) streben die Funktionswerte gegen \(\infty\).“ 1. Welche Bedingungen müssen für den Grad \(n\) (gerade oder ungerade) und den Leitkoeffizienten \(a_n\) (positiv oder negativ) der Funktion erfüllt sein? 2. Welche der folgenden Funktionen zeigen dieses Verhalten? Begründe kurz. - \(p(x) = -0{,}5x^3 + 2x^2\) - \(q(x) = x^4 - 10x^3\) - \(r(x) = (2-x) \cdot x^2\)

Gegeben sind \(f(x)=4x^4-2x^2\) und \(g(x)=kx^4+x^3\) mit \(k\in\mathbb{R}\). Die Summenfunktion ist \(h(x)=f(x)+g(x)\). a) Bestimme das Globalverhalten von \(h\) für \(k=-4\). b) Für welche Werte von \(k\) gilt \(h(x)\to-\infty\) sowohl für \(x\to\infty\) als auch für \(x\to-\infty\)? Begründe mithilfe von Grad und Leitkoeffizient.

Untersuche, ob es einen Wert \(a\in\mathbb{R}\) gibt, sodass der Graph der Funktion \(f\) mit \(f(x)=a(x+2)(x-1)(x-3)\) durch den Punkt \(P(0\mid12)\) verläuft und dasselbe Globalverhalten wie \(g(x)=5x^3\) aufweist.

Beurteile, ob eine Zahl \(k\) existiert, sodass der Graph der Funktion \(f\) mit \(f(x) = k(x^2 + 2)(x - 4)^2\) durch den Punkt \(P(2|24)\) geht und für \(x \to \pm \infty\) gegen \(-\infty\) strebt.

Gegeben ist \(f(x)=3(x-1)(x+2)(x-4)\). 1. Bestimme Grad und Leitkoeffizient direkt aus der faktorisierten Form und begründe deine Entscheidung. 2. Bestimme daraus das Globalverhalten für \(x\to-\infty\) und \(x\to\infty\). 3. Multipliziere den Term anschließend aus und überprüfe damit den Leitkoeffizienten.

Betrachte die Funktion \(p\) mit \(p(x)=-2(x+1)^2(x-3)\). 1. Bestimme Grad und Leitkoeffizient direkt aus der faktorisierten Form. 2. Gib das Globalverhalten von \(p\) für \(x\to-\infty\) und \(x\to\infty\) an und begründe es mit dem Leitglied. 3. Multipliziere den Term aus. Gib zusätzlich das Absolutglied an und überprüfe den Leitkoeffizienten.

Gegeben sind vier ganzrationale Funktionen: 1. \(f(x)=0{,}5x^3-2x\) 2. \(g(x)=-0{,}25x^4+2x^2\) 3. \(h(x)=0{,}15x^4-1{,}5x^2+2\) 4. \(k(x)=-0{,}3x^3+1{,}5x\) Bestimme zunächst für jeden Term das Globalverhalten aus Grad und Leitkoeffizient. Ordne danach den Graphen A, B und C jeweils den passenden Funktionsterm zu. Nutze den sichtbaren Graphenverlauf nur als Abgleich mit deinem algebraisch bestimmten Globalverhalten. Welcher Funktionsterm bleibt übrig?

Gegeben sind die vier ganzrationalen Funktionen \(p(x)=x^3-3x\), \(q(x)=-x^3+x\), \(r(x)=-x^4+2x^2\) und \(s(x)=x^4-2x^2\). Die Abbildung zeigt die Graphen von zwei dieser Funktionen. a) Bestimme für alle vier Terme zunächst das Globalverhalten aus Grad und Leitkoeffizient und gib ihre Symmetrie an. b) Ordne danach Graph 1 und Graph 2 den passenden Funktionen zu. Verwende den dargestellten Verlauf nur als Abgleich mit den algebraisch bestimmten Eigenschaften.

Ordne den vier ganzrationalen Funktionen den jeweils passenden Graphen A, B, C oder D zu. Nutze dafür Globalverhalten, Symmetrie und Achsenschnittpunkte. <table> <tr> <th style="padding: 10px; border: 1px solid #ccc;">Funktion</th> <th style="padding: 10px; border: 1px solid #ccc;">Passender Graph (A, B, C oder D)</th> </tr> <tr> <td style="padding: 10px; border: 1px solid #ccc;">\(g_1(x)=x^3-3x^2+2\)</td> <td style="padding: 10px; border: 1px solid #ccc;">__________</td> </tr> <tr> <td style="padding: 10px; border: 1px solid #ccc;">\(g_2(x)=0{,}5x^3-2x\)</td> <td style="padding: 10px; border: 1px solid #ccc;">__________</td> </tr> <tr> <td style="padding: 10px; border: 1px solid #ccc;">\(g_3(x)=0{,}2x^4-x^2-1\)</td> <td style="padding: 10px; border: 1px solid #ccc;">__________</td> </tr> <tr> <td style="padding: 10px; border: 1px solid #ccc;">\(g_4(x)=-0{,}25x^4+2x^2\)</td> <td style="padding: 10px; border: 1px solid #ccc;">__________</td> </tr> </table>

Gegeben ist die ganzrationale Funktion \(f\) mit \(f(x)=-x^4+2x^2\). In den beiden Abbildungen sind die Graphen zweier anderer Funktionen dargestellt. a) Bestimme das Globalverhalten von \(f\) aus dem Funktionsterm. b) Begründe mit exakten, im Koordinatensystem ablesbaren Eigenschaften, warum weder Graph A noch Graph B der Graph von \(f\) sein kann. c) Bestimme rechnerisch alle Nullstellen von \(f\).

Gegeben sind die drei ganzrationalen Funktionen \(p(x)=-0{,}5x^3+2x\), \(q(x)=0{,}25x^4-2x^2+1\) und \(r(x)=(x-1)^3-1\). a) Bestimme für jede Funktion das Globalverhalten aus Grad und Leitkoeffizient. b) Ordne danach jeder Funktion den passenden Graphen A, B oder C zu. Nutze Symmetrie oder Achsenschnittpunkte nur zur zusätzlichen Absicherung deiner Zuordnung.

Gegeben sind die Graphen A und B sowie vier Funktionsterme: 1) \(f(x)=0{,}25x^3-x\) 2) \(g(x)=-0{,}2x^4+1{,}2x^2\) 3) \(h(x)=-0{,}25x^3+x\) 4) \(k(x)=0{,}2x^4-1{,}2x^2\) a) Bestimme für alle vier Terme das Globalverhalten aus Grad und Leitkoeffizient. b) Ordne danach Graph A und Graph B jeweils den passenden Termen zu. Nutze die Nullstellen als Kontrolle.

Gegeben sind die vier Funktionen 1) \(p_1(x)=x^3-3x\), 2) \(p_2(x)=-x^3+3x^2\), 3) \(p_3(x)=-0{,}25x^4+2x^2-2\), 4) \(p_4(x)=0{,}5(x+1)^2(x-2)\). a) Bestimme zunächst für jeden Term das Globalverhalten. b) Ordne danach jedem Term den passenden Graphen A, B, C oder D zu. Nutze zusätzlich Symmetrie, Achsenschnittpunkte und das Verhalten an Nullstellen.

Gegeben sind die vier ganzrationalen Funktionen (1) \(f_1(x)=x^3-3x\), (2) \(f_2(x)=-x^3+3x\), (3) \(f_3(x)=x^4-3x^2\), (4) \(f_4(x)=-x^4+3x^2\). a) Bestimme für alle vier Terme das Globalverhalten und die Symmetrie. b) Ordne danach den Graphen A, B und C jeweils den passenden Funktionsterm zu. Ein Term bleibt übrig.

Der abgebildete Graph gehört zu einer ganzrationalen Funktion. Begründe mit drei verschiedenen exakten mathematischen Argumenten, dass dieser Graph nicht zur Funktion \(f\) mit \(f(x)=-0{,}5x^4+2x^2\) gehören kann. Nutze dazu Eigenschaften, die im dargestellten Koordinatensystem eindeutig überprüfbar sind.

Gegeben sind \(f(x)=\frac{1}{4}x^3-x\), \(g(x)=-\frac{1}{8}x^4+x^2-1\) und \(h(x)=\frac{1}{8}x^4-x^2+2\). a) Bestimme für jede Funktion das Globalverhalten aus Grad und Leitkoeffizient. b) Ordne danach den Graphen A, B und C die passenden Funktionsterme zu. Nutze Symmetrie und \(y\)-Achsenabschnitte nur als zusätzliche Kontrolle.

Gegeben sind die vier Funktionsterme \(f(x)=0{,}5x^4-2\), \(g(x)=-x^4+2\), \(h(x)=-x^5+x\) und \(i(x)=x^5-x\). a) Bestimme für alle vier Funktionen das Globalverhalten aus Grad und Leitkoeffizient. b) Ordne danach den Graphen 1 und 2 jeweils einen passenden Funktionsterm zu. Bestimme für die beiden zugeordneten Funktionen zusätzlich die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.

Die Funktion \(f\) hat die Gleichung \(f(x)=-x^3+x^2+2x\). a) Bestimme die Nullstellen und das Globalverhalten von \(f\) aus dem Funktionsterm. b) Begründe mit exakten, im Koordinatensystem ablesbaren Eigenschaften, warum weder Graph A noch Graph B die Funktion \(f\) darstellen kann. c) Beschreibe den daraus folgenden groben Verlauf des Graphen von \(f\).

Betrachte die Funktion \(f(x)=0{,}5x^4-2x^2\). a) Bestimme Symmetrie, Nullstellen mit Vielfachheiten und Globalverhalten von \(f\). b) Begründe mit exakten, im Koordinatensystem ablesbaren Eigenschaften, warum keiner der Graphen A oder B der Graph von \(f\) sein kann. c) Beschreibe den groben Verlauf des Graphen von \(f\).

In der Abbildung sind die Graphen dreier ganzrationaler Funktionen \(f\), \(g\) und \(h\) dargestellt. Gegeben sind 1. \(p_1(x)=0{,}2x^4-2x^2+2\), 2. \(p_2(x)=-0{,}5x^3+3x\), 3. \(p_3(x)=0{,}2x^5-2x^3\). Bestimme für jeden Term das Globalverhalten aus Grad und Leitkoeffizient und ordne anschließend die Terme den Graphen zu.

Gegeben sind die Terme (1) \(0{,}5x^3-2x\), (2) \(-x^2+4\), (3) \(x^4-4x^2\), (4) \(-0{,}5x^3+2x\). a) Bestimme für jeden Term das Globalverhalten. b) Ordne anschließend die Terme den Graphen A, B und C zu. Ein Term bleibt übrig. Nutze die Lage und das Verhalten an den Nullstellen zur Kontrolle.

Gegeben ist die Funktion \(h\) mit \(h(x)=-0{,}5x^4+2x^2-1\). Erkläre anhand von drei exakten Eigenschaften, weshalb die untenstehende Abbildung sicher nicht den Graphen von \(h\) darstellen kann. Verwende keine Schlussfolgerung über Grenzwerte allein aus dem sichtbaren Bildrand.

Gegeben ist die ganzrationale Funktion \(f\) mit \(f(x)=x^4-2x^2+1\). Begründe mit drei verschiedenen Argumenten, dass der abgebildete Graph nicht zu dieser Funktion gehören kann. Nutze dabei Symmetrie sowie Lage und Verhalten an den Nullstellen.

Gegeben sind die Graphen \(a\), \(b\) und \(c\) von drei ganzrationalen Funktionen dritten Grades sowie die Terme 1. \(f(x)=x^3-3x+2\), 2. \(g(x)=-x^3+3x+2\), 3. \(h(x)=0{,}5x^3-1{,}5x+1\). Bestimme zunächst das Globalverhalten der drei Funktionen und ordne anschließend die Graphen begründet zu.

Noah betrachtet \(f(x)=-0{,}02x^5+300x^4-7\) und behauptet: „Für das Globalverhalten ist \(300x^4\) wichtiger als \(-0{,}02x^5\), weil \(300\) viel größer als \(0{,}02\) ist.“ Beurteile die Aussage und bestimme das Globalverhalten von \(f\).

Im dargestellten Fenster sieht der Graph von \(f(x)=0{,}01x^6-x^4\) an beiden Rändern so aus, als würde er weiter nach unten verlaufen. Lina folgert daraus: „Also gilt \(f(x)\to-\infty\) für \(x\to\pm\infty\).“ Beurteile diese Schlussfolgerung. Bestimme das tatsächliche Globalverhalten aus dem Funktionsterm und erkläre die Rolle des dargestellten Fensters.

In einem vereinfachten Computermodell beschreibt \(K(s)=-0{,}03s^3+2s\) ein vorzeichenbehaftetes Steuersignal in Abhängigkeit von einer normierten seitlichen Abweichung \(s\). Positive Werte von \(s\) bedeuten eine Abweichung nach rechts, negative nach links; positive Werte von \(K\) steuern nach rechts, negative nach links. a) Bestimme das Globalverhalten von \(K\) für \(s\to\infty\) und \(s\to-\infty\). b) Interpretiere die Vorzeichen des Globalverhaltens im Modell: In welche Richtung wirkt die Korrektur bei sehr großen positiven beziehungsweise negativen Abweichungen? c) Erkläre, warum das Modell für beliebig große Beträge von \(s\) trotz der passenden Korrekturrichtung nicht realistisch sein kann.

Für eine ganzrationale Funktion \(g\) gilt \(g(x)\to-\infty\) für \(x\to-\infty\) und \(g(x)\to\infty\) für \(x\to\infty\). Außerdem ist \(g(0)=-2\). a) Welche Bedingungen müssen Grad und Leitkoeffizient erfüllen? b) Gib zwei mögliche Funktionsterme unterschiedlichen Grades an, die alle Bedingungen erfüllen. c) Erkläre, warum die Angaben den Funktionsterm nicht eindeutig festlegen.

Bestimme eine ganzrationale Funktion \(f\) dritten Grades, für die folgende Bedingungen erfüllt sind: 1. \(f(x)\to\infty\) für \(x\to\infty\) und \(f(x)\to-\infty\) für \(x\to-\infty\). 2. Der Graph schneidet die \(y\)-Achse bei \(y=-3\). 3. Der Punkt \(P(1\mid0)\) liegt auf dem Graphen.

Gib eine mögliche ganzrationale Funktion \(f\) vierten Grades mit folgenden Eigenschaften an: 1. Der Graph von \(f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Für das Globalverhalten gilt \(f(x)\to-\infty\) für \(x\to\pm\infty\). 3. Es gilt \(f(0)=2\). 4. Bei \(x=2\) liegt eine Nullstelle.

Für welche Werte von \(b \in \mathbb{R}\) und \(n \in \mathbb{N}\) der ganzrationalen Funktion \(f\) mit \(f(x) = bx^n - 10x^6\) gilt: Für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to \infty\) und für \(x \to -\infty\) gilt ebenfalls \(f(x) \to \infty\)? Gib eine begründete Entscheidung für die Parameter \(b\) und \(n\) an.

a) Begründe mithilfe des Globalverhaltens und der Stetigkeit, warum jede ganzrationale Funktion ungeraden Grades mindestens eine reelle Nullstelle besitzt. b) Betrachte als Beispiel \(g(x)=(x^2+4)(x-5)^2(x+1)\). Bestimme den Grad, alle reellen Nullstellen und ihre Vielfachheiten. Erkläre kurz, wie das Ergebnis zu der Aussage aus a) passt.

Betrachte eine ganzrationale Funktion \(g\) ungeraden Grades \(n\). a) Beschreibe das Globalverhalten für einen positiven Leitkoeffizienten. b) Begründe mithilfe des Globalverhaltens und der Stetigkeit, warum jede ganzrationale Funktion ungeraden Grades mindestens eine reelle Nullstelle besitzt.

Gegeben ist \(f(x)=0{,}001x^6-0{,}05x^4+1\). Derselbe Funktionsterm ist in zwei verschiedenen Fenstern eines Funktionenplotters dargestellt. a) Bestimme das Globalverhalten ausschließlich aus dem Funktionsterm. b) In Fenster \(A\) verläuft der Graph zu beiden äußeren Bildrändern nach unten. Beurteile die Aussage: „Also gilt \(f(x)\to-\infty\) für \(x\to\pm\infty\).“ c) Erkläre, welche zusätzliche Einsicht Fenster \(B\) liefert und warum auch dieses größere Fenster kein Beweis für das Globalverhalten ist.

Gegeben ist die ganzrationale Funktion \(q(x)=-x^6+5x^4-4x^2\). a) Bestimme den Leitterm und daraus das Globalverhalten. b) Untersuche die Symmetrie rechnerisch. c) Bestimme alle Nullstellen und ihre Vielfachheiten. d) Erstelle ein Skizzenprotokoll mit den Vorzeichen von \(q\) in den sechs Intervallen, die durch \(-2,-1,0,1,2\) entstehen, und beschreibe daraus den Verlauf von links nach rechts. e) Welche Plotterdarstellung A, B oder C stimmt mit dem vollständigen Skizzenprotokoll überein? Begründe mit mindestens drei Merkmalen. Übertrage dein fertiges Protokoll zusätzlich auf Papier in eine Skizze; digital bewertet wird das Protokoll.