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- Kannst du die Gleichung so umformen, dass sie wie eine normale quadratische Gleichung aussieht? - Was passiert, wenn du einen Teil des Terms durch einen neuen Buchstaben ersetzt? - Vergiss nicht, am Ende wieder zur ursprünglichen Variablen zurückzukehren. - Wie viele Lösungen erwartest du bei einer Gleichung vierten Grades maximal?

1. Durchführung der Substitution \(u = x^2\), woraus die quadratische Gleichung \(u^2 - 13u + 36 = 0\) resultiert. 2. Lösung der quadratischen Gleichung mithilfe der \(pq\)-Formel oder des Satzes von Vieta liefert \(u_1 = 4\) und \(u_2 = 9\). 3. Durchführung der Resubstitution für \(u_1 = 4\): Aus \(x^2 = 4\) folgen die Lösungen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). 4. Durchführung der Resubstitution für \(u_2 = 9\): Aus \(x^2 = 9\) folgen die Lösungen \(x_3 = 3\) und \(x_4 = -3\). 5. Die Lösungsmenge ist \(L = \{-3; -2; 2; 3\}\).

\(L = \{-3; -2; 2; 3\}\)

- Kannst du die Gleichung zuerst vereinfachen, indem du einen gemeinsamen Faktor ausklammerst oder durch ihn teilst? - Welche Potenzen von \(x\) treten in der Gleichung auf und wie hängen sie zusammen? - Überlege nach der Substitution genau, ob alle gefundenen Werte für die Hilfsvariable auch zu reellen Werten für \(x\) führen können.

1. Nullstellengleichung aufstellen: \(3x^4 - 15x^2 - 108 = 0\). 2. Vereinfachung durch Division durch 3: \(x^4 - 5x^2 - 36 = 0\). 3. Substitution von \(u = x^2\) ergibt die quadratische Gleichung \(u^2 - 5u - 36 = 0\). 4. Lösung der quadratischen Gleichung (z. B. mit der p-q-Formel): \(u_{1,2} = 2{,}5 \pm \sqrt{6{,}25 + 36} = 2{,}5 \pm 6{,}5\). 5. Bestimmung der Lösungen für \(u\): \(u_1 = 9\) und \(u_2 = -4\). 6. Rücksubstitution für \(u_1\): \(x^2 = 9\) führt zu \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\). 7. Rücksubstitution für \(u_2\): \(x^2 = -4\) besitzt im Bereich der reellen Zahlen keine Lösung.

Der Graph schneidet die \(x\)-Achse an den Stellen \(x_1 = -3\) und \(x_2 = 3\).

- Kannst du den Funktionsterm so umschreiben, dass eine Variable in ihrer zweiten und vierten Potenz vorkommt? - Was passiert, wenn du \(x^2\) durch einen neuen Buchstaben ersetzt? - Hast du am Ende daran gedacht, den Schritt der Ersetzung wieder rückgängig zu machen? - Wie viele Lösungen erwartest du bei einer Gleichung vierten Grades maximal?

1. Substitution von \(x^2 = z\) führt zur quadratischen Gleichung \(z^2 - 13z + 36 = 0\). 2. Anwendung der p-q-Formel: \(z_{1,2} = \frac{13}{2} \pm \sqrt{(\frac{13}{2})^2 - 36} = 6{,}5 \pm \sqrt{42{,}25 - 36} = 6{,}5 \pm 2{,}5\). 3. Die Lösungen für \(z\) sind \(z_1 = 9\) und \(z_2 = 4\). 4. Die Resubstitution \(x^2 = 9\) ergibt \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\). 5. Die Resubstitution \(x^2 = 4\) ergibt \(x_3 = 2\) und \(x_4 = -2\).

Die reellen Nullstellen sind \(x_1 = -3\), \(x_2 = -2\), \(x_3 = 2\) und \(x_4 = 3\).

- Betrachte die Exponenten von \(x\). Gibt es eine Möglichkeit, die Gleichung in eine bekanntere Form umzuwandeln? - Könntest du einen Teil des Terms durch eine neue Variable ersetzen, um den Grad der Gleichung zu senken? - Vergiss nicht, am Ende wieder zur ursprünglichen Variablen zurückzukehren. - Wie viele Lösungen kann eine Gleichung vierten Grades maximal besitzen?

1. Substitution von \(x^2\) durch \(u\) führt zur quadratischen Gleichung \(u^2 - 26u + 25 = 0\). 2. Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind \(u_1 = 25\) und \(u_2 = 1\). 3. Rücksubstitution \(x^2 = 25\) ergibt die Lösungen \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -5\). 4. Rücksubstitution \(x^2 = 1\) ergibt die Lösungen \(x_3 = 1\) und \(x_4 = -1\). 5. Die Lösungsmenge ist \(L = \{-5; -1; 1; 5\}\).

\(L = \{-5; -1; 1; 5\}\)

- Welche Eigenschaft haben die Lösungen einer biquadratischen Gleichung hinsichtlich ihrer Vorzeichen? - Wie hängen die Nullstellen einer Funktion mit ihrer Faktorform zusammen? - Könnte dir eine Substitution helfen, die Gleichung wie eine quadratische Gleichung zu behandeln? - Überlege, wie man aus den Einzellösungen Ausdrücke der Form \((x^2 - k)\) bilden kann.

1. Da biquadratische Gleichungen nur gerade Exponenten besitzen, ist ihr Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Wenn \(x_1 = \sqrt{2}\) eine Lösung ist, muss auch \(-\sqrt{2}\) eine Lösung sein. Analog folgt aus \(x_2 = 5\), dass auch \(-5\) eine Lösung ist. 2. Die Gleichung lässt sich als Produkt von Linearfaktoren schreiben: \((x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})(x - 5)(x + 5) = 0\). 3. Unter Anwendung der dritten binomischen Formel auf die Paare ergibt sich: \((x^2 - 2)(x^2 - 25) = 0\). 4. Durch Ausmultiplizieren der Klammern erhält man \(x^4 - 25x^2 - 2x^2 + 50 = 0\). 5. Zusammenfassen der Terme führt zur Gleichung \(x^4 - 27x^2 + 50 = 0\). 6. Die Koeffizienten sind somit \(a = -27\) und \(b = 50\).

Die Gleichung lautet \(x^4 - 27x^2 + 50 = 0\) mit \(a = -27\) und \(b = 50\).

- Wie hängen die Nullstellen einer Gleichung mit ihrer faktorisierten Form zusammen? - Erinnerst du dich an die dritte binomische Formel? Sie könnte hier sehr hilfreich sein. - Eine biquadratische Gleichung lässt sich oft als Produkt von zwei quadratischen Termen schreiben.

1. Aufstellen der Nullstellenform (Faktorisierung) der Gleichung unter Verwendung der gegebenen Nullstellen: \((x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) = 0\) 2. Anwendung der dritten binomischen Formel auf die Faktorenpaare: \((x^2 - (\sqrt{5})^2)(x^2 - (\sqrt{2})^2) = 0\), woraus \((x^2 - 5)(x^2 - 2) = 0\) folgt 3. Ausmultiplizieren der Klammern: \(x^4 - 2x^2 - 5x^2 + 10 = 0\) 4. Zusammenfassen der Terme zur Normalform: \(x^4 - 7x^2 + 10 = 0\)

\(x^4 - 7x^2 + 10 = 0\)

- Kannst du die Gleichung durch eine Ersetzung so vereinfachen, dass sie wie eine bekannte quadratische Gleichung aussieht? - Was musst du am Ende tun, um von deiner Hilfsvariablen wieder zur ursprünglichen Unbekannten zu gelangen? - Denk daran, dass das Quadrat einer reellen Zahl niemals negativ sein kann. Was bedeutet das für deine Lösungen? - Achte bei der Lösungsmenge darauf, alle gefundenen Werte anzugeben.

1. Teilaufgabe a: Substitution \(u = x^2\) ergibt die quadratische Gleichung \(u^2 - 11u + 18 = 0\). Die Lösungen sind \(u_1 = 9\) und \(u_2 = 2\). Rücksubstitution \(x^2 = 9\) liefert \(x = \pm 3\), und \(x^2 = 2\) liefert \(x = \pm \sqrt{2}\). Somit ist \(L = \{-3; -\sqrt{2}; \sqrt{2}; 3\}\). 2. Teilaufgabe b: Substitution \(u = x^2\) ergibt \(u^2 + 6u + 5 = 0\). Die Lösungen sind \(u_1 = -1\) und \(u_2 = -5\). Da ein Quadrat einer reellen Zahl niemals negativ sein kann, liefern die Gleichungen \(x^2 = -1\) und \(x^2 = -5\) keine reellen Lösungen. Somit ist \(L = \emptyset\). 3. Teilaufgabe c: Substitution \(u = x^2\) ergibt \(2u^2 - 7u - 4 = 0\). Mit der Mitternachtsformel oder Division durch 2 und p-q-Formel erhält man \(u_1 = 4\) und \(u_2 = -0{,}5\). Rücksubstitution \(x^2 = 4\) liefert \(x = \pm 2\). Die Gleichung \(x^2 = -0{,}5\) hat keine reelle Lösung. Somit ist \(L = \{-2; 2\}\).

a) \(L = \{-3; -\sqrt{2}; \sqrt{2}; 3\}\) b) \(L = \emptyset\) c) \(L = \{-2; 2\}\)

- Überlege dir, welche Ersetzung dir helfen könnte, den Grad der Gleichung zu halbieren. - Achte beim Auflösen der substituierten Gleichung genau auf die Vorzeichen. - Prüfe bei der Rückkehr zur ursprünglichen Variablen, ob alle gefundenen Werte für die Quadrate auch wirklich reelle Wurzeln zulassen. - Gibt es einen Unterschied zwischen den Lösungen für die Hilfsvariable und den endgültigen Lösungen für \(x\)?

1. Substitution von \(x^2\) durch \(u\), was zur quadratischen Gleichung \(u^2 + 5u - 36 = 0\) führt. 2. Anwendung der \(pq\)-Formel: \(u_{1,2} = -2{,}5 \pm \sqrt{6{,}25 + 36} = -2{,}5 \pm 6{,}5\). Dies ergibt \(u_1 = 4\) und \(u_2 = -9\). 3. Resubstitution für \(u_1 = 4\): Die Gleichung \(x^2 = 4\) besitzt die reellen Lösungen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). 4. Resubstitution für \(u_2 = -9\): Die Gleichung \(x^2 = -9\) besitzt im Bereich der reellen Zahlen keine Lösung, da Quadrate reeller Zahlen nicht negativ sein können. 5. Die reelle Lösungsmenge ist somit \(L = \{-2; 2\}\).

\(L = \{-2; 2\}\)

- Gibt es eine Ersetzung, die die Gleichung wie eine quadratische Gleichung aussehen lässt? - Was musst du beachten, wenn du von deiner Hilfsvariablen zurück zur ursprünglichen Variablen gehst? - Wie viele Lösungen kann eine Gleichung vierten Grades maximal haben? - Achte darauf, alle Vorzeichen beim Wurzelziehen zu berücksichtigen.

1. Ansatz der Nullstellengleichung: \(4x^4 - 17x^2 + 4 = 0\). 2. Substitution von \(u = x^2\) führt zur quadratischen Gleichung \(4u^2 - 17u + 4 = 0\). 3. Lösung der quadratischen Gleichung mittels Mitternachtsformel: \(u_{1,2} = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 64}}{8} = \frac{17 \pm 15}{8}\). 4. Ermittlung der Werte für \(u\): \(u_1 = 4\) und \(u_2 = \frac{2}{8} = 0{,}25\). 5. Rücksubstitution für \(u_1\): \(x^2 = 4\) ergibt \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). 6. Rücksubstitution für \(u_2\): \(x^2 = 0{,}25\) ergibt \(x_3 = 0{,}5\) und \(x_4 = -0{,}5\).

Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = -2\), \(x_2 = -0{,}5\), \(x_3 = 0{,}5\) und \(x_4 = 2\).

- Wie weist man nach, dass ein bestimmter Wert eine Nullstelle einer Funktion ist? - Wenn \(u = x^3\) ist, wie lässt sich dann \(x^6\) mit Hilfe von \(u\) ausdrücken? - Beachte beim Ziehen der Wurzel, ob der Exponent gerade oder ungerade ist. - Gibt es für \(x^3 = -1\) eine reelle Lösung?

1. Überprüfung der Nullstelle durch Einsetzen: \(g(3) = 3^6 - 26 \cdot 3^3 - 27 = 729 - 26 \cdot 27 - 27 = 729 - 702 - 27 = 0\). 2. Substitution \(u = x^3\) transformiert die Gleichung \(x^6 - 26x^3 - 27 = 0\) in die quadratische Form \(u^2 - 26u - 27 = 0\). 3. Lösung der quadratischen Gleichung ergibt \(u_1 = 27\) und \(u_2 = -1\). 4. Die Resubstitution \(x^3 = 27\) führt zur bereits bekannten Nullstelle \(x = \sqrt[3]{27} = 3\). 5. Die Resubstitution \(x^3 = -1\) führt zur weiteren reellen Nullstelle \(x = \sqrt[3]{-1} = -1\).

Der Nachweis erfolgt durch \(g(3) = 0\). Die einzige weitere reelle Nullstelle ist \(x = -1\).

- Hat jede quadratische Lösung für deine Hilfsvariable auch eine Entsprechung für \(x\)? - Welche Bedingung muss eine Zahl erfüllen, damit man aus ihr eine reelle Quadratwurzel ziehen kann? - Achte bei der ersten Aufgabe auf den Koeffizienten vor der höchsten Potenz. - Überprüfe am Ende, ob alle gefundenen Werte für \(x\) tatsächlich die ursprüngliche Gleichung lösen.

1. Substitution \(u = x^2\) in Gleichung 1 ergibt \(4u^2 - 37u + 9 = 0\). 2. Die Mitternachtsformel liefert \(u = \frac{37 \pm \sqrt{1369 - 144}}{8} = \frac{37 \pm 35}{8}\), also \(u_1 = 9\) und \(u_2 = \frac{2}{8} = 0{,}25\). 3. Rücksubstitution: \(x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3\); \(x^2 = 0{,}25 \Rightarrow x = \pm 0{,}5\). Dies ergibt insgesamt 4 reelle Lösungen. 4. Substitution \(u = x^2\) in Gleichung 2 ergibt \(u^2 - 3u - 4 = 0\). 5. Die Lösungen für \(u\) sind \(u_1 = 4\) und \(u_2 = -1\). 6. Rücksubstitution: \(x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2\). Da die Gleichung \(x^2 = -1\) im Bereich der reellen Zahlen keine Lösung besitzt, hat die ursprüngliche Gleichung insgesamt nur 2 reelle Lösungen.

1) \(L = \{-3; -0{,}5; 0{,}5; 3\}\); 4 Lösungen 2) \(L = \{-2; 2\}\); 2 Lösungen

- Kannst du die Gleichung vereinfachen, bevor du versuchst, sie zu lösen? - Welche Werte kann ein Quadrat einer reellen Zahl annehmen? - Überlege nach der Umformung genau, ob alle Zwischenergebnisse auch für die ursprüngliche Variable sinnvoll sind. - Musst du die Wurzeln unbedingt als Dezimalzahlen schreiben oder ist eine andere Darstellung präziser?

1. Substitution \(u = x^2\) transformiert die Gleichung in \(2u^2 + 6u - 80 = 0\). 2. Division der Gleichung durch 2 liefert die Normalform \(u^2 + 3u - 40 = 0\). 3. Die Lösungen für \(u\) sind \(u_1 = 5\) und \(u_2 = -8\). 4. Die Rücksubstitution \(x^2 = 5\) ergibt die reellen Lösungen \(x_{1,2} = \pm \sqrt{5}\). 5. Die Gleichung \(x^2 = -8\) besitzt im Bereich der reellen Zahlen keine Lösung. 6. Die Lösungsmenge lautet \(L = \{-\sqrt{5}; \sqrt{5}\}\).

\(L = \{-\sqrt{5}; \sqrt{5}\}\)

- Was bedeutet die Lösung \(x=3\) für den Wert von \(u\) in der Hilfsgleichung? - Erinnerst du dich, wie man eine quadratische Gleichung aufstellt, wenn man beide Lösungen kennt? - Wie viele Lösungen kann eine biquadratische Gleichung maximal haben, wenn die Hilfsgleichung zwei positive Lösungen hat? - Vergiss nicht, am Ende den Schritt von \(u\) zurück zu \(x\) für alle Werte zu machen.

1. Aus der gegebenen Lösung \(x = 3\) folgt durch Einsetzen in die Substitutionsgleichung \(u = x^2\) die erste Lösung der Hilfsgleichung: \(u_1 = 3^2 = 9\). 2. Die Lösungen der quadratischen Hilfsgleichung \(u^2 + pu + q = 0\) sind somit \(u_1 = 9\) und \(u_2 = 1\). 3. Mit dem Satz von Vieta (oder durch Aufstellen der Form \((u-9)(u-1)=0\)) lassen sich die Parameter bestimmen: \(p = -(u_1 + u_2) = -(9 + 1) = -10\) und \(q = u_1 \cdot u_2 = 9 \cdot 1 = 9\). 4. Die biquadratische Gleichung lautet \(x^4 - 10x^2 + 9 = 0\). 5. Um alle reellen Lösungen \(x\) zu finden, wird die Rücksubstitution \(x^2 = u\) durchgeführt: Für \(u_1 = 9\) ergibt sich \(x^2 = 9 \implies x_{1,2} = \pm 3\). Für \(u_2 = 1\) ergibt sich \(x^2 = 1 \implies x_{3,4} = \pm 1\). 6. Die Lösungsmenge ist \(L = \{-3; -1; 1; 3\}\).

Die Parameter sind \(p = -10\) und \(q = 9\). Die reellen Lösungen der Gleichung sind \(x \in \{-3; -1; 1; 3\}\).

- Kannst du eine der Variablen in einer Gleichung durch einen Ausdruck der anderen Variablen ersetzen? - Erkennst du in der entstandenen Gleichung eine Struktur, die du durch eine Ersetzung (Substitution) vereinfachen kannst? - Denke beim Auflösen von Quadraten daran, dass es sowohl positive als auch negative Wurzeln geben kann. - Wie viele Werte für \(y\) erhältst du jeweils für ein bestimmtes \(x^2\)?

1. Einsetzen des Ausdrucks für \(y\) aus der ersten Gleichung in die zweite Gleichung: \((x^2 - 5)^2 + 2x^2 = 10\). 2. Anwendung der binomischen Formel und Zusammenfassen der Terme: \(x^4 - 10x^2 + 25 + 2x^2 = 10\), woraus die biquadratische Gleichung \(x^4 - 8x^2 + 15 = 0\) resultiert. 3. Substitution von \(u = x^2\) führt zur quadratischen Gleichung \(u^2 - 8u + 15 = 0\). 4. Berechnung der Nullstellen mittels der \(p\)-q-Formel oder Faktorisierung: \(u_1 = 5\) und \(u_2 = 3\). 5. Rücksubstitution zur Bestimmung von \(x\): Aus \(x^2 = 5\) folgt \(x_{1,2} = \pm\sqrt{5}\). Aus \(x^2 = 3\) folgt \(x_{3,4} = \pm\sqrt{3}\). 6. Ermittlung der zugehörigen \(y\)-Werte durch Einsetzen in \(y = x^2 - 5\): Für \(x^2 = 5\) ergibt sich \(y = 5 - 5 = 0\). Für \(x^2 = 3\) ergibt sich \(y = 3 - 5 = -2\). 7. Zusammenfassung der Lösungspaare: \((\sqrt{5}|0)\), \((-\sqrt{5}|0)\), \((\sqrt{3}|-2)\) und \((-\sqrt{3}|-2)\). Die Anzahl der Lösungen beträgt 4.

Die Lösungen sind \((\sqrt{5}|0), (-\sqrt{5}|0), (\sqrt{3}|-2), (-\sqrt{3}|-2)\). Das System hat insgesamt 4 Lösungen.

- Wie kannst du eine der Variablen eliminieren, um eine Gleichung mit nur einer Unbekannten zu erhalten? - Wenn du einen Term wie \(x^2\) als neue Variable betrachtest, welche Form nimmt die Gleichung dann an? - Denk daran, dass für jeden gefundenen Wert von \(x\) ein passender Wert für \(y\) bestimmt werden muss. - Überprüfe am Ende, ob deine Lösungen beide ursprünglichen Gleichungen erfüllen.

1. Auflösen der zweiten Gleichung nach \(y\): \(y = \frac{4}{x}\) (da \(x = 0\) keine Lösung ist). 2. Einsetzen in die erste Gleichung: \(x^2 + \left(\frac{4}{x}\right)^2 = 17\). 3. Umformen zur biquadratischen Gleichung: \(x^2 + \frac{16}{x^2} = 17 \implies x^4 - 17x^2 + 16 = 0\). 4. Substitution \(u = x^2\) führt auf die quadratische Gleichung \(u^2 - 17u + 16 = 0\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung ergibt \(u_1 = 16\) und \(u_2 = 1\). 6. Rücksubstitution für \(u_1 = 16\): \(x^2 = 16 \implies x_1 = 4, x_2 = -4\). 7. Rücksubstitution für \(u_2 = 1\): \(x^2 = 1 \implies x_3 = 1, x_4 = -1\). 8. Berechnung der zugehörigen \(y\)-Werte über \(y = \frac{4}{x}\): Für \(x_1 = 4 \implies y_1 = 1\). Für \(x_2 = -4 \implies y_2 = -1\). Für \(x_3 = 1 \implies y_3 = 4\). Für \(x_4 = -1 \implies y_4 = -4\). Die Lösungspaare sind \((4|1), (-4|-1), (1|4), (-1|-4)\).

Die Lösungspaare sind \((4|1), (-4|-1), (1|4)\) und \((-1|-4)\).

- Kannst du die Gleichung durch eine Ersetzung in eine einfachere Form bringen? - Erinnert dich der Aufbau des mittleren Koeffizienten und des absoluten Glieds an eine bestimmte Formel für quadratische Gleichungen? - Wie viele Lösungen erwartest du maximal für eine Gleichung vierten Grades? - Was passiert, wenn du \(x^2\) als eine neue Variable betrachtest?

1. Substitution \(u = x^2\) führt auf die quadratische Gleichung \(u^2 - (k^2 + 9)u + 9k^2 = 0\). 2. Anwendung des Satzes von Vieta oder der \(p\)-\(q\)-Formel ergibt \(u_1 = 9\) und \(u_2 = k^2\). 3. Rücksubstitution für \(u_1 = 9\): \(x^2 = 9\), also \(x = \pm 3\). 4. Rücksubstitution für \(u_2 = k^2\): \(x^2 = k^2\), also \(x = \pm k\). Für \(k = 0\) fällt dieser Wert zu einer einzigen Lösung \(x = 0\) zusammen. 5. Als Lösungsmenge gilt \(L = \{-3; 3; -k; k\}\), wobei mehrfach auftretende Werte in der Menge nur einmal gezählt werden. Für \(k = 0\) oder \(k = \pm 3\) gibt es daher weniger als vier verschiedene Lösungen.

\(L = \{-3; 3; -k; k\}\). Für \(k = 0\) oder \(k = \pm 3\) fallen Lösungen zusammen und werden in der Lösungsmenge nur einmal gezählt.

- Wie kannst du die Gleichung vereinfachen, damit sie wie eine bekannte quadratische Gleichung aussieht? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine Zahl quadrierst? - Denk an den Verlauf des Graphen einer Funktion, die nur gerade Exponenten besitzt. - Wie hängen die Lösungen der ursprünglichen Gleichung mit den Lösungen der substituierten Gleichung zusammen?

1. Substitution \(y = x^2\) führt zur quadratischen Gleichung \(y^2 - 10y + 9 = 0\). 2. Die Lösungen für \(y\) sind \(y_1 = 9\) und \(y_2 = 1\). 3. Rücksubstitution \(x^2 = 9\) und \(x^2 = 1\) ergibt die Lösungsmenge \(L = \{-3; -1; 1; 3\}\). 4. Das Produkt der Lösungen ist \((-3) \cdot (-1) \cdot 1 \cdot 3 = 9\), was dem Wert von \(q\) entspricht. 5. Aufgrund der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse (\(f(x) = f(-x)\)) tritt jede Nullstelle \(a \neq 0\) zusammen mit ihrem Gegenwert \(-a\) auf. Die Summe jedes Paares \((a + (-a))\) ist \(0\), weshalb auch die Gesamtsumme aller Nullstellen \(0\) ergibt.

1. \(L = \{-3; -1; 1; 3\}\) 2. \((-3) \cdot (-1) \cdot 1 \cdot 3 = 9\) 3. Wegen der Achsensymmetrie treten Nullstellen als Paare \(\pm a\) auf, deren Summe \(0\) ist.

- Welche Symmetrie weisen Funktionen der Form \(f(x) = ax^4 + bx^2 + c\) auf? - Was bedeutet es für den Funktionsterm, wenn eine Nullstelle „doppelt“ vorkommt? - Wenn du weißt, dass eine Nullstelle bei \(x = 3\) liegt, was folgt daraus für den Wert \(-3\) bei einer geraden Funktion? - Kannst du den Funktionsterm erst in Faktoren zerlegen und dann ausmultiplizieren?

1. Aufgrund der Symmetrie biquadratischer Funktionen zur \(y\)-Achse (Achsensymmetrie) muss mit einer doppelten Nullstelle bei \(x = 3\) auch eine doppelte Nullstelle bei \(x = -3\) vorliegen. 2. Aufstellen der Funktionsgleichung in der faktorisierten Form unter Berücksichtigung der Vielfachheit: \(f(x) = (x - 3)^2 \cdot (x + 3)^2\) 3. Zusammenfassen der Quadrate mithilfe der Potenzgesetze: \(f(x) = ((x - 3)(x + 3))^2\) 4. Anwendung der dritten binomischen Formel im Inneren der Klammer: \(f(x) = (x^2 - 9)^2\) 5. Auflösen der verbleibenden Klammer mit der zweiten binomischen Formel: \(f(x) = x^4 - 18x^2 + 81\) 6. Vergleich mit der vorgegebenen Form \(x^4 + ax^2 + b\): \(a = -18\) und \(b = 81\) 7. Da es sich um doppelte Nullstellen handelt und der Grad der Funktion 4 ist, sind dies alle Nullstellen: \(L = \{-3; 3\}\)

\(a = -18\), \(b = 81\), \(L = \{-3; 3\}\)

- Versuche, \(y^2\) in der ersten Gleichung durch einen Ausdruck mit \(x^2\) zu ersetzen. - Welche Form nimmt die Gleichung an, wenn du \(x^2\) als eine neue Variable betrachtest? - Achte darauf, dass für jeden Wert von \(x^2\) eventuell mehrere Werte für \(x\) und auch für \(y\) in Frage kommen. - Wie hängen die rechnerischen Lösungen mit der grafischen Darstellung zusammen?

1. Umformen der zweiten Gleichung nach \(y^2 = 5 - x^2\). 2. Einsetzen von \(y^2\) in die erste Gleichung: \(x^4 + (5 - x^2)^2 = 17\). 3. Ausmultiplizieren und Vereinfachen: \(x^4 + 25 - 10x^2 + x^4 = 17 \Rightarrow 2x^4 - 10x^2 + 8 = 0\). 4. Division durch 2 ergibt \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\). Substitution \(u = x^2\) führt zu \(u^2 - 5u + 4 = 0\). 5. Bestimmung der Lösungen für \(u\): \(u_1 = 4\) und \(u_2 = 1\). 6. Rücksubstitution für \(x\): Aus \(x^2 = 4\) folgt \(x \in \{2, -2\}\). Aus \(x^2 = 1\) folgt \(x \in \{1, -1\}\). 7. Berechnung der \(y\)-Werte aus \(y^2 = 5 - x^2\): - Wenn \(x^2 = 4\), dann \(y^2 = 1 \Rightarrow y \in \{1, -1\}\). Dies ergibt die Paare \((2|1), (2|-1), (-2|1), (-2|-1)\). - Wenn \(x^2 = 1\), dann \(y^2 = 4 \Rightarrow y \in \{2, -2\}\). Dies ergibt die Paare \((1|2), (1|-2), (-1|2), (-1|-2)\). 8. Da jedes reelle Lösungspaar genau einem Schnittpunkt der Graphen entspricht, gibt es 8 Schnittpunkte.

1. Die Lösungspaare sind: \((2|1), (2|-1), (-2|1), (-2|-1), (1|2), (1|-2), (-1|2), (-1|-2)\). 2. Es gibt 8 Schnittpunkte, da jedes der 8 berechneten reellen Zahlenpaare einen Punkt im Koordinatensystem darstellt, der beide Gleichungen erfüllt.

- Wie viele Lösungen liefert ein positiver Wert für \(x^2\), wie viele der Wert \(0\) und wie viele ein negativer Wert? - Überlege dir, welche Kombination von Werten für \(x^2\) insgesamt zu genau drei Lösungen führt. - Wenn eine der Lösungen für \(x\) die Zahl \(0\) sein muss, was bedeutet das für den Wert der Konstante in der Gleichung? - Kannst du die quadratische Gleichung nach der Substitution so untersuchen, dass du Bedingungen für ihre Nullstellen findest?

1. Teilaufgabe a: Durch Ausklammern von \(x^2\) erhält man \(x^2(x^2 - 25) = 0\). Nach dem Satz vom Nullprodukt muss entweder \(x^2 = 0\) gelten, woraus die Lösung \(x_1 = 0\) folgt, oder \(x^2 - 25 = 0\), woraus \(x^2 = 25\) und damit \(x_{2,3} = \pm 5\) folgen. Die Gleichung hat somit die drei Lösungen \(\{-5; 0; 5\}\). 2. Teilaufgabe b: Die Substitution \(u = x^2\) führt auf \(u^2 - 12u + k = 0\). Damit die ursprüngliche Gleichung genau drei reelle Lösungen hat, muss eine der Lösungen für \(u\) gleich \(0\) sein (was zur Lösung \(x = 0\) führt) und die andere Lösung für \(u\) muss positiv sein (was zu zwei weiteren Lösungen \(\pm \sqrt{u}\) führt). 3. Setzt man \(u = 0\) in die quadratische Gleichung ein, erhält man \(0^2 - 12 \cdot 0 + k = 0\), woraus \(k = 0\) folgt. 4. Prüfung der zweiten Lösung für \(k = 0\): Die Gleichung \(u^2 - 12u = 0\) hat die Lösungen \(u_1 = 0\) und \(u_2 = 12\). Da \(12 > 0\), ergeben sich tatsächlich genau drei Lösungen für \(x\). 5. Bestimmung der Lösungen: \(x^2 = 0 \implies x_1 = 0\); \(x^2 = 12 \implies x_{2,3} = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}\).

a) Die Lösungen sind \(x_1 = -5\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 5\). b) \(k = 0\); die Lösungen sind \(x \in \{0; -2\sqrt{3}; 2\sqrt{3}\}\).

- Versuche zuerst, die Gleichung auf eine quadratische Form zu reduzieren. - Wenn du die Mitternachtsformel nutzt, schau dir den Term unter der Wurzel genau an. Kannst du ihn als Quadrat eines Binoms schreiben? - Achte darauf, dass \(a\) positiv ist, was die Wurzelziehung vereinfacht. - Überlege am Ende, ob alle gefundenen Werte für \(x^2\) positiv sind, damit reelle Lösungen für \(x\) existieren.

1. Substitution \(z = x^2\) transformiert die Gleichung in \(a^2z^2 - (a^4 + 1)z + a^2 = 0\). 2. Berechnung der Diskriminante: \(D = (-(a^4 + 1))^2 - 4 \cdot a^2 \cdot a^2 = a^8 + 2a^4 + 1 - 4a^4 = a^8 - 2a^4 + 1\). 3. Vereinfachung der Diskriminante unter Verwendung der binomischen Formeln: \(D = (a^4 - 1)^2\). 4. Berechnung der Lösungen für \(z\): \(z = \frac{a^4 + 1 \pm \sqrt{(a^4 - 1)^2}}{2a^2} = \frac{a^4 + 1 \pm |a^4 - 1|}{2a^2}\). Daraus ergeben sich unabhängig von der Reihenfolge die beiden Werte \(z_1 = a^2\) und \(z_2 = \frac{1}{a^2}\). 5. Rücksubstitution für \(z_1\): \(x^2 = a^2 \Rightarrow x = \pm a\). 6. Rücksubstitution für \(z_2\): \(x^2 = \frac{1}{a^2} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{a}\).

\(x \in \left\{ a; -a; \frac{1}{a}; -\frac{1}{a} \right\}\)

- Wenn \(\sqrt{5}\) eine Lösung ist, welche Zahl muss dann aufgrund der Struktur von \(x^4\) und \(x^2\) ebenfalls eine Lösung sein? - Wie hängen die Lösungen \(x\) mit den Lösungen \(y\) der substituierten Gleichung zusammen? - Erinnere dich an den Satz von Vieta für quadratische Gleichungen: Was sagt das Vorzeichen von \(q\) über die Vorzeichen der Lösungen \(y_1\) und \(y_2\) aus? - Wann hat die Gleichung \(x^2 = y\) keine reelle Lösung?

1. Da Lösungen bei biquadratischen Gleichungen in Paaren \(\pm a\) auftreten, ist \(x_2 = -\sqrt{5}\) ebenfalls eine Lösung. 2. Seien die weiteren Lösungen \(x_3\) und \(x_4 = -x_3\). Das Produkt aller Lösungen ist \((\sqrt{5} \cdot (-\sqrt{5})) \cdot (x_3 \cdot (-x_3)) = (-5) \cdot (-x_3^2) = 5x_3^2\). 3. Aus \(5x_3^2 = 20\) folgt \(x_3^2 = 4\), also \(x_3 = 2\) und \(x_4 = -2\). Die Lösungen sind \(\{\pm \sqrt{5}; \pm 2\}\). 4. Die Lösungen der substituierten Gleichung \(y = x^2\) sind \(y_1 = (\sqrt{5})^2 = 5\) und \(y_2 = 2^2 = 4\). 5. Nach dem Satz von Vieta ist \(q = y_1 \cdot y_2 = 5 \cdot 4 = 20\) und \(p = -(y_1 + y_2) = -(5 + 4) = -9\). 6. Wenn \(q < 0\), dann haben die Lösungen \(y_1, y_2\) der Gleichung \(y^2 + py + q = 0\) unterschiedliche Vorzeichen (da \(y_1 \cdot y_2 = q\)). Da \(x = \pm \sqrt{y}\) nur für \(y > 0\) reelle Werte liefert, ergeben sich nur aus der positiven Lösung \(y\) zwei reelle \(x\)-Werte.

1. \(x_2 = -\sqrt{5}\), \(x_3 = 2\), \(x_4 = -2\) 2. \(p = -9\), \(q = 20\) 3. Bei \(q < 0\) ist eine Lösung der substituierten Gleichung positiv und eine negativ; nur die positive liefert zwei reelle \(x\)-Werte.

- Fällt dir ein Ausdruck auf, der in der Gleichung mehrfach vorkommt? - Was passiert, wenn du diesen gesamten Ausdruck durch eine einzige Variable ersetzt? - Musst du bei der Rücksubstitution beachten, ob eine Gleichung der Form \(x^2 = a\) für jedes \(a\) lösbar ist? - Überprüfe deine gefundenen Werte, indem du sie in die ursprüngliche Gleichung einsetzt.

1. Substitution des Terms \((x^2 - 1)\) durch die Hilfsvariable \(z\), was zur quadratischen Gleichung \(z^2 - 7z - 8 = 0\) führt. 2. Berechnung der Lösungen für \(z\) mittels der Mitternachtsformel oder durch Vieta: \(z_1 = 8\) und \(z_2 = -1\). 3. Rücksubstitution für \(z_1 = 8\): Aus \(x^2 - 1 = 8\) folgt \(x^2 = 9\), was die reellen Lösungen \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\) ergibt. 4. Rücksubstitution für \(z_2 = -1\): Aus \(x^2 - 1 = -1\) folgt \(x^2 = 0\), woraus sich die Lösung \(x_3 = 0\) ergibt. Die reellen Lösungen der Gleichung sind somit \(x_1 = -3\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 3\).

\(x \in \{-3; 0; 3\}\)