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- Vergleiche die vorkommenden Exponenten mit der Form einer quadratischen Gleichung in \(x^2\). - Welche Potenz von \(x\) wird beim Quadrieren zu \(x^4\)? - Eine andere wiederkehrende Potenz macht eine Gleichung nicht automatisch biquadratisch.

1. a) ist biquadratisch, weil nur \(x^4=(x^2)^2\), \(x^2\) und eine Konstante vorkommen. Man kann \(u=x^2\) setzen. 2. b) ist nicht biquadratisch, weil zusätzlich der Term \(x^3\) vorkommt. 3. c) ist biquadratisch; nach dem Umformen zu \(3x^4+5x^2-8=0\) kann ebenfalls \(u=x^2\) gesetzt werden. 4. d) ist nicht biquadratisch. Zwar wiederholt sich hier \(x^3\), aber nicht die für biquadratische Gleichungen charakteristische Größe \(x^2\).

a) biquadratisch, \(u=x^2\) b) nicht biquadratisch c) biquadratisch, \(u=x^2\) d) nicht biquadratisch

- Welche beiden Potenzen von \(x\) werden durch \(u\) und \(u^2\) ersetzt? - Denke daran, welche Werte ein Quadrat einer reellen Zahl annehmen kann. - Hier ist nur die neue Gleichung gefragt, noch nicht ihre Lösung.

1. Mit \(u=x^2\) gilt \(x^4=u^2\). 2. Damit wird aus \(2x^4-7x^2+3=0\) die quadratische Gleichung \(2u^2-7u+3=0\). 3. Weil \(u=x^2\) für reelle \(x\) gilt, muss \(u\geq0\) sein.

\(2u^2-7u+3=0\) mit \(u\geq0\).

- Kannst du die Gleichung so umformen, dass sie wie eine normale quadratische Gleichung aussieht? - Was passiert, wenn du einen Teil des Terms durch einen neuen Buchstaben ersetzt? - Vergiss nicht, am Ende wieder zur ursprünglichen Variablen zurückzukehren. - Wie viele Lösungen erwartest du bei einer Gleichung vierten Grades maximal?

1. Durchführung der Substitution \(u = x^2\), woraus die quadratische Gleichung \(u^2 - 13u + 36 = 0\) resultiert. 2. Lösung der quadratischen Gleichung mithilfe der \(p\)-\(q\)-Formel oder des Satzes von Vieta liefert \(u_1 = 4\) und \(u_2 = 9\). 3. Durchführung der Resubstitution für \(u_1 = 4\): Aus \(x^2 = 4\) folgen die Lösungen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). 4. Durchführung der Resubstitution für \(u_2 = 9\): Aus \(x^2 = 9\) folgen die Lösungen \(x_3 = 3\) und \(x_4 = -3\). 5. Die Lösungsmenge ist \(L = \{-3; -2; 2; 3\}\).

\(L = \{-3; -2; 2; 3\}\)

- Überlege dir, welche Ersetzung dir helfen könnte, den Grad der Gleichung zu halbieren. - Achte beim Auflösen der substituierten Gleichung genau auf die Vorzeichen. - Prüfe bei der Rückkehr zur ursprünglichen Variablen, ob alle gefundenen Werte für die Quadrate auch wirklich reelle Wurzeln zulassen. - Gibt es einen Unterschied zwischen den Lösungen für die Hilfsvariable und den endgültigen Lösungen für \(x\)?

1. Substitution von \(x^2\) durch \(u\), was zur quadratischen Gleichung \(u^2 + 5u - 36 = 0\) führt. 2. Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel: \(u_{1,2} = -2{,}5 \pm \sqrt{6{,}25 + 36} = -2{,}5 \pm 6{,}5\). Dies ergibt \(u_1 = 4\) und \(u_2 = -9\). 3. Resubstitution für \(u_1 = 4\): Die Gleichung \(x^2 = 4\) besitzt die reellen Lösungen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). 4. Resubstitution für \(u_2 = -9\): Die Gleichung \(x^2 = -9\) besitzt im Bereich der reellen Zahlen keine Lösung, da Quadrate reeller Zahlen nicht negativ sein können. 5. Die reelle Lösungsmenge ist somit \(L = \{-2; 2\}\).

\(L = \{-2; 2\}\)

- Kannst du die Gleichung zuerst vereinfachen, indem du einen gemeinsamen Faktor ausklammerst oder durch ihn teilst? - Welche Potenzen von \(x\) treten in der Gleichung auf und wie hängen sie zusammen? - Überlege nach der Substitution genau, ob alle gefundenen Werte für die Hilfsvariable auch zu reellen Werten für \(x\) führen können.

1. Nullstellengleichung aufstellen: \(3x^4 - 15x^2 - 108 = 0\). 2. Vereinfachung durch Division durch 3: \(x^4 - 5x^2 - 36 = 0\). 3. Substitution von \(u = x^2\) ergibt die quadratische Gleichung \(u^2 - 5u - 36 = 0\). 4. Lösung der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): \(u_{1,2} = 2{,}5 \pm \sqrt{6{,}25 + 36} = 2{,}5 \pm 6{,}5\). 5. Bestimmung der Lösungen für \(u\): \(u_1 = 9\) und \(u_2 = -4\). 6. Rücksubstitution für \(u_1\): \(x^2 = 9\) führt zu \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\). 7. Rücksubstitution für \(u_2\): \(x^2 = -4\) besitzt im Bereich der reellen Zahlen keine Lösung.

Der Graph schneidet die \(x\)-Achse an den Stellen \(x_1 = -3\) und \(x_2 = 3\).

- Betrachte die Exponenten von \(x\). Gibt es eine Möglichkeit, die Gleichung in eine bekanntere Form umzuwandeln? - Könntest du einen Teil des Terms durch eine neue Variable ersetzen, um den Grad der Gleichung zu senken? - Vergiss nicht, am Ende wieder zur ursprünglichen Variablen zurückzukehren. - Wie viele Lösungen kann eine Gleichung vierten Grades maximal besitzen?

1. Substitution von \(x^2\) durch \(u\) führt zur quadratischen Gleichung \(u^2 - 26u + 25 = 0\). 2. Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind \(u_1 = 25\) und \(u_2 = 1\). 3. Rücksubstitution \(x^2 = 25\) ergibt die Lösungen \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -5\). 4. Rücksubstitution \(x^2 = 1\) ergibt die Lösungen \(x_3 = 1\) und \(x_4 = -1\). 5. Die Lösungsmenge ist \(L = \{-5; -1; 1; 5\}\).

\(L = \{-5; -1; 1; 5\}\)

- Kannst du die Gleichung vereinfachen, bevor du versuchst, sie zu lösen? - Welche Werte kann ein Quadrat einer reellen Zahl annehmen? - Überlege nach der Umformung genau, ob alle Zwischenergebnisse auch für die ursprüngliche Variable sinnvoll sind. - Musst du die Wurzeln unbedingt als Dezimalzahlen schreiben oder ist eine andere Darstellung präziser?

1. Substitution \(u = x^2\) transformiert die Gleichung in \(2u^2 + 6u - 80 = 0\). 2. Division der Gleichung durch 2 liefert die Normalform \(u^2 + 3u - 40 = 0\). 3. Die Lösungen für \(u\) sind \(u_1 = 5\) und \(u_2 = -8\). 4. Die Rücksubstitution \(x^2 = 5\) ergibt die reellen Lösungen \(x_{1,2} = \pm \sqrt{5}\). 5. Die Gleichung \(x^2 = -8\) besitzt im Bereich der reellen Zahlen keine Lösung. 6. Die Lösungsmenge lautet \(L = \{-\sqrt{5}; \sqrt{5}\}\).

\(L = \{-\sqrt{5}; \sqrt{5}\}\)

- Welche Substitution macht aus dem Term in \(x^4\) und \(x^2\) eine quadratische Gleichung? - Welche reellen \(x\)-Werte gehören zu jedem positiven Wert der Hilfsvariablen? - Wie kannst du die gefundenen Nullstellen anschließend in Faktoren des ursprünglichen Terms übersetzen?

1. Für die Nullstellen wird \(u=x^2\) gesetzt. Dadurch entsteht \(u^2-29u+100=0\). 2. Die quadratische Gleichung hat die Lösungen \(u=25\) und \(u=4\). 3. Die Rücksubstitution liefert aus \(x^2=25\) die Werte \(x=\pm5\) und aus \(x^2=4\) die Werte \(x=\pm2\). 4. Damit lautet die vollständig faktorisierte Form \(A(x)=(x-5)(x+5)(x-2)(x+2)\).

\(A(x)=(x-5)(x+5)(x-2)(x+2)\)

- Wie kannst du aus den vier gegebenen Lösungen zunächst eine faktorisierte Gleichung aufbauen? - Welche Faktoren gehören wegen der entgegengesetzten Vorzeichen sinnvoll paarweise zusammen? - Welche Form muss nach dem Zusammenfassen und Ausmultiplizieren entstehen?

1. Aus den vier vorgegebenen Lösungen entsteht die faktorisierte Form \((x-\sqrt5)(x+\sqrt5)(x-\sqrt{2})(x+\sqrt2)=0\). 2. Die Faktorenpaare ergeben \((x^2-5)(x^2-2)=0\). 3. Ausmultiplizieren liefert \(x^4-7x^2+10=0\). Damit gilt \(a=-7\) und \(b=10\).

\(x^4-7x^2+10=0\)

- Kannst du die Gleichung durch eine Ersetzung so vereinfachen, dass sie wie eine bekannte quadratische Gleichung aussieht? - Was musst du am Ende tun, um von deiner Hilfsvariablen wieder zur ursprünglichen Unbekannten zu gelangen? - Denk daran, dass das Quadrat einer reellen Zahl niemals negativ sein kann. Was bedeutet das für deine Lösungen? - Achte bei der Lösungsmenge darauf, alle gefundenen Werte anzugeben.

1. Teilaufgabe a: Substitution \(u = x^2\) ergibt die quadratische Gleichung \(u^2 - 11u + 18 = 0\). Die Lösungen sind \(u_1 = 9\) und \(u_2 = 2\). Rücksubstitution \(x^2 = 9\) liefert \(x = \pm 3\), und \(x^2 = 2\) liefert \(x = \pm \sqrt{2}\). Somit ist \(L = \{-3; -\sqrt{2}; \sqrt{2}; 3\}\). 2. Teilaufgabe b: Substitution \(u = x^2\) ergibt \(u^2 + 6u + 5 = 0\). Die Lösungen sind \(u_1 = -1\) und \(u_2 = -5\). Da ein Quadrat einer reellen Zahl niemals negativ sein kann, liefern die Gleichungen \(x^2 = -1\) und \(x^2 = -5\) keine reellen Lösungen. Somit ist \(L = \emptyset\). 3. Teilaufgabe c: Substitution \(u = x^2\) ergibt \(2u^2 - 7u - 4 = 0\). Mit der Mitternachtsformel oder Division durch 2 und \(p\)-\(q\)-Formel erhält man \(u_1 = 4\) und \(u_2 = -0{,}5\). Rücksubstitution \(x^2 = 4\) liefert \(x = \pm 2\). Die Gleichung \(x^2 = -0{,}5\) hat keine reelle Lösung. Somit ist \(L = \{-2; 2\}\).

a) \(L = \{-3; -\sqrt{2}; \sqrt{2}; 3\}\) b) \(L = \emptyset\) c) \(L = \{-2; 2\}\)

- Welche Substitution macht aus der biquadratischen Gleichung eine quadratische Gleichung? - Löse zunächst die Gleichung in der Hilfsvariablen vollständig. - Berücksichtige bei jeder positiven Lösung für \(u\) beide reellen Quadratwurzeln.

1. Für die Nullstellen gilt \(x^4-20x^2+64=0\). 2. Mit \(u=x^2\) entsteht \(u^2-20u+64=0\). 3. Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(u_1=16\) und \(u_2=4\). 4. Aus \(x^2=16\) folgt \(x=\pm4\); aus \(x^2=4\) folgt \(x=\pm2\).

Die Nullstellen sind \(x=-4\), \(x=-2\), \(x=2\) und \(x=4\).

- Welche Substitution macht aus \(k(x)=0\) eine quadratische Gleichung? - Welche \(x\)-Werte gehören bei der Rücksubstitution zu jedem positiven Wert der Hilfsvariablen? - Wie hängt die Anzahl verschiedener reeller Nullstellen mit den Schnittpunkten des Graphen mit der \(x\)-Achse zusammen?

1. Mit \(u=x^2\) entsteht \(u^2-5u+4=0\). 2. Die quadratische Gleichung hat die Lösungen \(u=4\) und \(u=1\). 3. Aus \(x^2=4\) folgt \(x=\pm2\), aus \(x^2=1\) folgt \(x=\pm1\). 4. Damit besitzt \(k\) vier verschiedene reelle Nullstellen und der Graph vier Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse.

Nullstellen: \(x\in\{-2;-1;1;2\}\). Der Graph besitzt vier Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse.

- Übersetze jeden gefundenen \(u\)-Wert wieder in eine Gleichung für \(x^2\). - Wie viele reelle Zahlen besitzen dasselbe positive Quadrat? - Prüfe, ob Noras Menge zu jedem positiven \(u\)-Wert beide Möglichkeiten enthält.

1. Aus \(u_1=1\) folgt \(x^2=1\). Diese Gleichung hat die beiden reellen Lösungen \(x=-1\) und \(x=1\). 2. Aus \(u_2=9\) folgt \(x^2=9\). Diese Gleichung hat die beiden reellen Lösungen \(x=-3\) und \(x=3\). 3. Nora hat bei beiden Rücksubstitutionen jeweils die negative Quadratwurzel vergessen.

Der Fehler liegt in der unvollständigen Rücksubstitution. Vollständig ist \(L=\{-3;-1;1;3\}\).

- Prüfe jeden \(u\)-Wert darauf, ob er überhaupt als Quadrat einer reellen Zahl auftreten kann. - Welche Vorzeichen können Werte der Form \(x^2\) besitzen? - Erst nach dieser Prüfung darfst du Quadratwurzeln bilden.

1. Der Wert \(u_1=2\) ist positiv. Aus \(x^2=2\) folgen die beiden reellen Lösungen \(x=\pm\sqrt{2}\). 2. Der Wert \(u_2=-3\) ist negativ. Die Gleichung \(x^2=-3\) besitzt keine reelle Lösung. 3. Mateo hat beim negativen \(u\)-Wert unzulässig das Minuszeichen unter der Quadratwurzel verworfen.

Im Bereich der reellen Zahlen gilt \(L=\{-\sqrt{2};\sqrt{2}\}\). Der Wert \(u=-3\) liefert keine reellen \(x\)-Werte.

- Löse zuerst die quadratische Gleichung in \(u\). - Rücksubstitution bedeutet für jeden zulässigen Wert \(u\): \(x^2=u\). - Prüfe beim Sonderfall \(u=0\), wie viele verschiedene reelle Zahlen tatsächlich entstehen.

1. Mit \(u=x^2\) entsteht \(u^2-5u=0\). 2. Daraus folgt \(u(u-5)=0\), also \(u=0\) oder \(u=5\). 3. Aus \(u=0\) folgt \(x^2=0\) und damit nur \(x=0\). Die Schreibweise \(\pm0\) bezeichnet keine zwei verschiedenen Zahlen. 4. Aus \(u=5\) folgt \(x=\pm\sqrt5\).

\(L=\{-\sqrt5;0;\sqrt5\}\). Die Lösung \(u=0\) liefert nur \(x=0\), weil \(+0=-0\).

- Welche wiederkehrende Potenz kannst du durch eine neue Variable ersetzen? - Welche Bedingung muss ein Wert von \(u\) erfüllen, damit er zu reellen \(r\)-Werten gehört? - Welche zusätzliche Einschränkung an \(r\) stammt nicht aus der Gleichung, sondern aus dem Modell?

1. Mit \(u=r^2\) entsteht \(u^2-8u+12=0\). 2. Die quadratische Gleichung hat die Lösungen \(u=2\) und \(u=6\). Beide sind nicht negativ und können daher rücksubstituiert werden. 3. Aus \(r^2=2\) folgt \(r=\pm\sqrt{2}\), aus \(r^2=6\) folgt \(r=\pm\sqrt{6}\). Die reelle Lösungsmenge lautet \(L=\{-\sqrt{6};-\sqrt{2};\sqrt{2};\sqrt{6}\}\). 4. Im Modell gilt zusätzlich \(r>0\). Daher sind nur \(r=\sqrt{2}\) und \(r=\sqrt{6}\) als Resonanzfrequenzen zulässig.

a) \(u^2-8u+12=0\), also \(u=2\) oder \(u=6\). Reell: \(L=\{-\sqrt{6};-\sqrt{2};\sqrt{2};\sqrt{6}\}\). b) Im Modell zulässig sind \(r=\sqrt{2}\) und \(r=\sqrt{6}\). c) Die Gleichung besitzt wegen \(r^2=u>0\) jeweils zwei entgegengesetzte reelle Lösungen; die Modellbedingung \(r>0\) schließt die negativen Werte aus.

- Welche Substitution macht aus der Gleichung vierten Grades eine quadratische Gleichung? - Welche der gefundenen Werte für die Hilfsvariable führen bei der Rücksubstitution zu reellen \(x\)-Werten? - Welcher Vorfaktor muss in der vollständig faktorisierten Form erhalten bleiben?

1. Für die Nullstellen gilt \(2x^4-10x^2+8=0\). Division durch \(2\) ergibt \(x^4-5x^2+4=0\). 2. Mit der Substitution \(u=x^2\) entsteht \(u^2-5u+4=0\). Daraus folgen \(u=1\) und \(u=4\). 3. Die Rücksubstitution liefert \(x=\pm1\) und \(x=\pm2\). 4. Unter Berücksichtigung des Leitkoeffizienten lautet die vollständig faktorisierte Form \(g(x)=2(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)\).

Nullstellen: \(x\in\{-2;-1;1;2\}\) Faktorisierte Form: \(g(x)=2(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)\)

- Gibt es eine Ersetzung, die die Gleichung wie eine quadratische Gleichung aussehen lässt? - Was musst du beachten, wenn du von deiner Hilfsvariablen zurück zur ursprünglichen Variablen gehst? - Wie viele Lösungen kann eine Gleichung vierten Grades maximal haben? - Achte darauf, alle Vorzeichen beim Wurzelziehen zu berücksichtigen.

1. Ansatz der Nullstellengleichung: \(4x^4 - 17x^2 + 4 = 0\). 2. Substitution von \(u = x^2\) führt zur quadratischen Gleichung \(4u^2 - 17u + 4 = 0\). 3. Lösung der quadratischen Gleichung mittels Mitternachtsformel: \(u_{1,2} = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 64}}{8} = \frac{17 \pm 15}{8}\). 4. Ermittlung der Werte für \(u\): \(u_1 = 4\) und \(u_2 = \frac{2}{8} = 0{,}25\). 5. Rücksubstitution für \(u_1\): \(x^2 = 4\) ergibt \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). 6. Rücksubstitution für \(u_2\): \(x^2 = 0{,}25\) ergibt \(x_3 = 0{,}5\) und \(x_4 = -0{,}5\).

Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = -2\), \(x_2 = -0{,}5\), \(x_3 = 0{,}5\) und \(x_4 = 2\).

- Welche Gleichungen erhältst du bei a) aus dem Nullproduktsatz? - Welcher gemeinsame Faktor lässt sich bei b) zuerst ausklammern? - Welche Struktur besitzt der verbleibende Faktor nach dem Ausklammern? - Prüfe bei der Rücksubstitution, welche Vorzeichen zu jedem positiven Wert der Hilfsvariablen gehören.

1. Für a) gilt nach dem Nullproduktsatz \(x^2-2=0\) oder \(x^2-25=0\). Daher sind die reellen Nullstellen \(x=\pm\sqrt{2}\) und \(x=\pm5\). 2. Für b) wird zunächst \(x\) ausgeklammert: \(k(x)=x(x^4-13x^2+36)\). Damit ist \(x=0\) eine Nullstelle. 3. Für den verbleibenden Faktor gilt mit \(u=x^2\): \(u^2-13u+36=0\). Daraus folgen \(u=9\) und \(u=4\). 4. Die Rücksubstitution ergibt \(x=\pm3\) und \(x=\pm2\). Zusammen mit \(x=0\) sind damit alle reellen Nullstellen gefunden.

a) \(x\in\{-5;-\sqrt{2};\sqrt{2};5\}\) b) \(x\in\{-3;-2;0;2;3\}\)

- Wie weist man nach, dass ein bestimmter Wert eine Nullstelle einer Funktion ist? - Wenn \(u = x^3\) ist, wie lässt sich dann \(x^6\) mit Hilfe von \(u\) ausdrücken? - Beachte beim Ziehen der Wurzel, ob der Exponent gerade oder ungerade ist. - Gibt es für \(x^3 = -1\) eine reelle Lösung?

1. Überprüfung der Nullstelle durch Einsetzen: \(g(3) = 3^6 - 26 \cdot 3^3 - 27 = 729 - 26 \cdot 27 - 27 = 729 - 702 - 27 = 0\). 2. Substitution \(u = x^3\) transformiert die Gleichung \(x^6 - 26x^3 - 27 = 0\) in die quadratische Form \(u^2 - 26u - 27 = 0\). 3. Lösung der quadratischen Gleichung ergibt \(u_1 = 27\) und \(u_2 = -1\). 4. Die Resubstitution \(x^3 = 27\) führt zur bereits bekannten Nullstelle \(x = \sqrt[3]{27} = 3\). 5. Die Resubstitution \(x^3 = -1\) führt zur weiteren reellen Nullstelle \(x = \sqrt[3]{-1} = -1\).

Der Nachweis erfolgt durch \(g(3) = 0\). Die einzige weitere reelle Nullstelle ist \(x = -1\).

- Wenn du die Terme gleichsetzt, welche besondere Form hat die entstehende Gleichung? - Erinnert dich die Struktur mit \(x^4\) und \(x^2\) an eine quadratische Gleichung? - Könnte es helfen, \(x^2\) vorübergehend durch einen anderen Buchstaben zu ersetzen? - Vergiss nicht, nach dem Lösen der vereinfachten Gleichung wieder zur ursprünglichen Variablen \(x\) zurückzukehren. - Welchen \(y\)-Wert haben alle Punkte auf dem Graphen von \(g\)?

1. Gleichsetzen der Funktionen zur Ermittlung der Schnittpunkte: \(x^4 - 10x^2 = -9\). 2. Überführen in die Form \(x^4 - 10x^2 + 9 = 0\). 3. Anwendung der Substitution \(u = x^2\), um die biquadratische Gleichung in eine quadratische Gleichung zu überführen: \(u^2 - 10u + 9 = 0\). 4. Lösen der quadratischen Gleichung für \(u\): \(u_1 = 9\) und \(u_2 = 1\). 5. Durchführung der Resubstitution: Aus \(x^2 = 9\) folgen \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\). Aus \(x^2 = 1\) folgen \(x_3 = 1\) und \(x_4 = -1\). 6. Da \(g(x) = -9\) eine konstante Funktion ist, besitzen alle Schnittpunkte die \(y\)-Koordinate \(-9\). 7. Zusammenfassung der Ergebnisse zu den Schnittpunkten: \(S_1(3|-9)\), \(S_2(-3|-9)\), \(S_3(1|-9)\) und \(S_4(-1|-9)\).

Die Schnittpunkte sind \(S_1(3|-9)\), \(S_2(-3|-9)\), \(S_3(1|-9)\) und \(S_4(-1|-9)\).

- Welcher gemeinsame Faktor lässt sich zunächst aus allen Summanden ausklammern? - Welche Substitution führt den verbleibenden Term auf eine quadratische Gleichung zurück? - Welche reellen \(x\)-Werte gehören bei der Rücksubstitution zu jedem positiven Wert der Hilfsvariablen? - Welcher konstante Vorfaktor muss in der faktorisierten Form erhalten bleiben?

1. Zunächst wird der gemeinsame Faktor \(2\) ausgeklammert: \(f(x)=2(x^4-13x^2+36)\). 2. Für die Nullstellen des Klammerterms wird \(u=x^2\) gesetzt. Dadurch entsteht \(u^2-13u+36=0\). 3. Die quadratische Gleichung hat die Lösungen \(u=4\) und \(u=9\). 4. Die Rücksubstitution liefert aus \(x^2=4\) die Werte \(x=\pm2\) und aus \(x^2=9\) die Werte \(x=\pm3\). 5. Unter Berücksichtigung des Leitkoeffizienten folgt \(f(x)=2(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)\).

\(f(x)=2(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)\)

- Welche Substitution macht aus der Gleichung vierten Grades eine quadratische Gleichung? - Welche reellen \(x\)-Werte entstehen bei der Rücksubstitution aus jedem positiven Wert der Hilfsvariablen? - Wie hängt eine Nullstelle mit einem Faktor der faktorisierten Form zusammen?

1. Für die Nullstellen gilt \(x^4-10x^2+9=0\). Mit der Substitution \(u=x^2\) entsteht \(u^2-10u+9=0\). 2. Die quadratische Gleichung hat die Lösungen \(u=1\) und \(u=9\). 3. Aus \(x^2=1\) folgen \(x=\pm1\), aus \(x^2=9\) folgen \(x=\pm3\). Damit besitzt \(p\) tatsächlich vier verschiedene reelle Nullstellen. 4. Zu den vier Nullstellen gehören die Faktoren \((x-1)\), \((x+1)\), \((x-3)\) und \((x+3)\). Da der Leitkoeffizient \(1\) ist, folgt \(p(x)=(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)\).

a) Linas Aussage ist richtig. Die Nullstellen sind \(x\in\{-3;-1;1;3\}\). b) \(p(x)=(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)\)

- Hat jede quadratische Lösung für deine Hilfsvariable auch eine Entsprechung für \(x\)? - Welche Bedingung muss eine Zahl erfüllen, damit man aus ihr eine reelle Quadratwurzel ziehen kann? - Achte bei der ersten Aufgabe auf den Koeffizienten vor der höchsten Potenz. - Überprüfe am Ende, ob alle gefundenen Werte für \(x\) tatsächlich die ursprüngliche Gleichung lösen.

1. Substitution \(u = x^2\) in Gleichung 1 ergibt \(4u^2 - 37u + 9 = 0\). 2. Die Mitternachtsformel liefert \(u = \frac{37 \pm \sqrt{1369 - 144}}{8} = \frac{37 \pm 35}{8}\), also \(u_1 = 9\) und \(u_2 = \frac{2}{8} = 0{,}25\). 3. Rücksubstitution: \(x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3\); \(x^2 = 0{,}25 \Rightarrow x = \pm 0{,}5\). Dies ergibt insgesamt 4 reelle Lösungen. 4. Substitution \(u = x^2\) in Gleichung 2 ergibt \(u^2 - 3u - 4 = 0\). 5. Die Lösungen für \(u\) sind \(u_1 = 4\) und \(u_2 = -1\). 6. Rücksubstitution: \(x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2\). Da die Gleichung \(x^2 = -1\) im Bereich der reellen Zahlen keine Lösung besitzt, hat die ursprüngliche Gleichung insgesamt nur 2 reelle Lösungen.

1) \(L = \{-3; -0{,}5; 0{,}5; 3\}\); 4 Lösungen 2) \(L = \{-2; 2\}\); 2 Lösungen

- Welcher gemeinsame konstante Faktor lässt sich zuerst ausklammern? - Welche Substitution führt den verbleibenden biquadratischen Term auf eine quadratische Gleichung zurück? - Untersuche nach der Rücksubstitution jeden verbleibenden Faktor darauf, ob er für ein reelles \(x\) den Wert \(0\) annehmen kann.

1. Zunächst wird \(3\) ausgeklammert: \(f(x)=3(x^4+2x^2-3)\). 2. Mit \(u=x^2\) entsteht \(u^2+2u-3=0\). Die Lösungen sind \(u=1\) und \(u=-3\). 3. Daher gilt \(f(x)=3(x^2-1)(x^2+3)=3(x-1)(x+1)(x^2+3)\). 4. Die linearen Faktoren liefern die reellen Nullstellen \(x=-1\) und \(x=1\). 5. Für alle reellen \(x\) gilt \(x^2+3\geq3>0\). Der quadratische Faktor besitzt daher keine reelle Nullstelle.

a) \(f(x)=3(x-1)(x+1)(x^2+3)\) b) Die reellen Nullstellen sind \(x=-1\) und \(x=1\). Da \(x^2+3>0\) für alle \(x\in\mathbb{R}\) gilt, gibt es keine weiteren reellen Nullstellen.

- Welche weiteren Lösungen folgen daraus, dass in der Gleichung nur gerade Potenzen von \(x\) vorkommen? - Wie kannst du aus allen vier Lösungen eine faktorisierte Form aufbauen? - Welche Faktoren lassen sich paarweise so zusammenfassen, dass wieder nur gerade Potenzen entstehen?

1. Da nur gerade Potenzen von \(x\) vorkommen, sind mit \(\sqrt2\) und \(5\) auch \(-\sqrt{2}\) und \(-5\) Lösungen. 2. Eine passende faktorisierte Form ist daher \((x-\sqrt{2})(x+\sqrt2)(x-5)(x+5)=0\). 3. Paarweise zusammengefasst ergibt sich \((x^2-2)(x^2-25)=0\). 4. Ausmultiplizieren liefert \(x^4-27x^2+50=0\). Somit gilt \(a=-27\) und \(b=50\).

\(a=-27\), \(b=50\); die Gleichung lautet \(x^4-27x^2+50=0\).

- Was bedeutet die Lösung \(x=3\) für den Wert von \(u\) in der Hilfsgleichung? - Erinnerst du dich, wie man eine quadratische Gleichung aufstellt, wenn man beide Lösungen kennt? - Wie viele Lösungen kann eine biquadratische Gleichung maximal haben, wenn die Hilfsgleichung zwei positive Lösungen hat? - Vergiss nicht, am Ende den Schritt von \(u\) zurück zu \(x\) für alle Werte zu machen.

1. Aus der gegebenen Lösung \(x = 3\) folgt durch Einsetzen in die Substitutionsgleichung \(u = x^2\) die erste Lösung der Hilfsgleichung: \(u_1 = 3^2 = 9\). 2. Die Lösungen der quadratischen Hilfsgleichung \(u^2 + pu + q = 0\) sind somit \(u_1 = 9\) und \(u_2 = 1\). 3. Mit dem Satz von Vieta (oder durch Aufstellen der Form \((u-9)(u-1)=0\)) lassen sich die Parameter bestimmen: \(p = -(u_1 + u_2) = -(9 + 1) = -10\) und \(q = u_1 \cdot u_2 = 9 \cdot 1 = 9\). 4. Die biquadratische Gleichung lautet \(x^4 - 10x^2 + 9 = 0\). 5. Um alle reellen Lösungen \(x\) zu finden, wird die Rücksubstitution \(x^2 = u\) durchgeführt: Für \(u_1 = 9\) ergibt sich \(x^2 = 9 \implies x_{1,2} = \pm 3\). Für \(u_2 = 1\) ergibt sich \(x^2 = 1 \implies x_{3,4} = \pm 1\). 6. Die Lösungsmenge ist \(L = \{-3; -1; 1; 3\}\).

Die Parameter sind \(p = -10\) und \(q = 9\). Die reellen Lösungen der Gleichung sind \(x \in \{-3; -1; 1; 3\}\).

- Welche Symmetrie folgt daraus, dass im Funktionsterm nur gerade Potenzen vorkommen? - Was bedeutet die angegebene Vielfachheit für den entsprechenden Faktor? - Welche Rolle spielt der Grad \(4\), nachdem du die symmetrisch dazugehörige Nullstelle gefunden hast?

1. Da nur gerade Potenzen von \(x\) vorkommen, gilt \(f(-x)=f(x)\). Mit der doppelten Nullstelle bei \(x=3\) ist daher auch \(x=-3\) eine doppelte Nullstelle. 2. Der Grad von \(f\) ist \(4\). Die beiden doppelten Nullstellen schöpfen den Grad vollständig aus, also gilt \(f(x)=(x-3)^2(x+3)^2\). 3. Zusammenfassen ergibt \(f(x)=(x^2-9)^2=x^4-18x^2+81\). 4. Koeffizientenvergleich liefert \(a=-18\) und \(b=81\). Die Lösungsmenge ist \(L=\{-3;3\}\).

\(a=-18\), \(b=81\), \(L=\{-3;3\}\)

- Wie kannst du eine der Variablen eliminieren, um eine Gleichung mit nur einer Unbekannten zu erhalten? - Wenn du einen Term wie \(x^2\) als neue Variable betrachtest, welche Form nimmt die Gleichung dann an? - Denk daran, dass für jeden gefundenen Wert von \(x\) ein passender Wert für \(y\) bestimmt werden muss. - Überprüfe am Ende, ob deine Lösungen beide ursprünglichen Gleichungen erfüllen.

1. Auflösen der zweiten Gleichung nach \(y\): \(y = \frac{4}{x}\) (da \(x = 0\) keine Lösung ist). 2. Einsetzen in die erste Gleichung: \(x^2 + \left(\frac{4}{x}\right)^2 = 17\). 3. Umformen zur biquadratischen Gleichung: \(x^2 + \frac{16}{x^2} = 17 \implies x^4 - 17x^2 + 16 = 0\). 4. Substitution \(u = x^2\) führt auf die quadratische Gleichung \(u^2 - 17u + 16 = 0\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung ergibt \(u_1 = 16\) und \(u_2 = 1\). 6. Rücksubstitution für \(u_1 = 16\): \(x^2 = 16 \implies x_1 = 4, x_2 = -4\). 7. Rücksubstitution für \(u_2 = 1\): \(x^2 = 1 \implies x_3 = 1, x_4 = -1\). 8. Berechnung der zugehörigen \(y\)-Werte über \(y = \frac{4}{x}\): Für \(x_1 = 4 \implies y_1 = 1\). Für \(x_2 = -4 \implies y_2 = -1\). Für \(x_3 = 1 \implies y_3 = 4\). Für \(x_4 = -1 \implies y_4 = -4\). Die Lösungspaare sind \((4|1), (-4|-1), (1|4), (-1|-4)\).

Die Lösungspaare sind \((4|1), (-4|-1), (1|4)\) und \((-1|-4)\).

- Kannst du die Gleichung durch eine Ersetzung in eine einfachere Form bringen? - Erinnert dich der Aufbau des mittleren Koeffizienten und des absoluten Glieds an eine bestimmte Formel für quadratische Gleichungen? - Wie viele Lösungen erwartest du maximal für eine Gleichung vierten Grades? - Was passiert, wenn du \(x^2\) als eine neue Variable betrachtest?

1. Substitution \(u = x^2\) führt auf die quadratische Gleichung \(u^2 - (k^2 + 9)u + 9k^2 = 0\). 2. Anwendung des Satzes von Vieta oder der \(p\)-\(q\)-Formel ergibt \(u_1 = 9\) und \(u_2 = k^2\). 3. Rücksubstitution für \(u_1 = 9\): \(x^2 = 9\), also \(x = \pm 3\). 4. Rücksubstitution für \(u_2 = k^2\): \(x^2 = k^2\), also \(x = \pm k\). Für \(k = 0\) fällt dieser Wert zu einer einzigen Lösung \(x = 0\) zusammen. 5. Als Lösungsmenge gilt \(L = \{-3; 3; -k; k\}\), wobei mehrfach auftretende Werte in der Menge nur einmal gezählt werden. Für \(k = 0\) oder \(k = \pm 3\) gibt es daher weniger als vier verschiedene Lösungen.

\(L = \{-3; 3; -k; k\}\). Für \(k = 0\) oder \(k = \pm 3\) fallen Lösungen zusammen und werden in der Lösungsmenge nur einmal gezählt.

- Welche Substitution führt die biquadratische Gleichung auf eine quadratische Gleichung zurück? - Welche \(x\)-Werte gehören bei der Rücksubstitution zu jedem positiven Wert der Hilfsvariablen? - Ordne die vier Lösungen so an, dass sich ihre Vorzeichen beim Produkt übersichtlich verfolgen lassen. - Was bedeutet Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse für eine Nullstelle \(a\) und den Wert \(-a\)?

1. Mit der Substitution \(u=x^2\) entsteht \(u^2-10u+9=0\). Die Lösungen sind \(u=9\) und \(u=1\). 2. Die Rücksubstitution liefert \(x=\pm3\) und \(x=\pm1\). Damit ist \(L=\{-3;-1;1;3\}\). 3. Das Produkt der vier Lösungen ist \((-3)(-1)\cdot1\cdot3=9\) und stimmt damit mit \(q\) überein. 4. Wegen \(f(-x)=f(x)\) tritt zu jeder Nullstelle \(a\) auch \(-a\) als Nullstelle auf. Jedes solche Paar hat die Summe \(0\); daher ist auch die Summe aller vier Nullstellen \(0\).

1. \(L=\{-3;-1;1;3\}\) 2. \((-3)(-1)\cdot1\cdot3=9=q\) 3. Wegen der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse treten die Nullstellen paarweise als \(a\) und \(-a\) auf; jedes Paar hat die Summe \(0\).

- Vereinfache die ursprüngliche Gleichung vollständig, bevor du substituierst. - Welche Potenzen von \(x\) bleiben nach dem Zusammenfassen übrig? - Bei der Rücksubstitution musst du für positive Werte von \(u\) beide möglichen Vorzeichen von \(x\) berücksichtigen.

1. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen ergibt \(x^4-2x^2+1-7x^2+7-8=0\), also \(x^4-9x^2=0\). 2. Mit \(u=x^2\) entsteht \(u^2-9u=0\). 3. Faktorisieren liefert \(u(u-9)=0\), also \(u_1=0\) und \(u_2=9\). 4. Aus \(x^2=0\) folgt \(x=0\); aus \(x^2=9\) folgt \(x=\pm3\).

\(x\in\{-3;0;3\}\).

- Nutze die biquadratische Struktur, um zunächst die Nullstellen zu bestimmen. - Welcher Summand entscheidet über das Globalverhalten für große Beträge von \(x\)? - Prüfe, ob die gefundenen Nullstellen einfach oder mehrfach sind; davon hängt ein Vorzeichenwechsel ab. - Ein Kontrollwert in jedem verbleibenden Intervall kann deine Vorzeichenfolge bestätigen.

1. Mit \(u=x^2\) entsteht \(-u^2+10u-9=0\). Die Lösungen sind \(u_1=1\) und \(u_2=9\). Rücksubstitution liefert \(x=\pm1\) und \(x=\pm3\). 2. Der Leitterm \(-x^4\) hat geraden Grad und einen negativen Leitkoeffizienten. Daher gilt \(g(x)\to-\infty\) für \(x\to\pm\infty\). 3. Alle vier Nullstellen sind einfach, also wechselt das Vorzeichen an jeder Nullstelle. Zusammen mit dem Globalverhalten folgt: \(g(x)<0\) auf \(( -\infty;-3)\), \((-1;1)\) und \((3;\infty)\); \(g(x)>0\) auf \((-3;-1)\) und \((1;3)\).

1. \(x\in\{-3;-1;1;3\}\). 2. \(g(x)\to-\infty\) für \(x\to\pm\infty\). 3. Positiv: \((-3;-1)\cup(1;3)\). Negativ: \(( -\infty;-3)\cup(-1;1)\cup(3;\infty)\).

- Verwende in Teilaufgabe a) die Substitution \(u=x^2\). - Prüfe bei der Rücksubstitution für jeden positiven \(u\)-Wert beide Vorzeichen von \(x\). - Für Teilaufgabe b) genügen Grad und Vorzeichen des Leitkoeffizienten.

1. Für die Nullstellen gilt \(\frac{1}{2}x^4-3x^2+\frac{5}{2}=0\). Mit \(u=x^2\) folgt \(u^2-6u+5=0\). 2. Die Lösungen sind \(u_1=1\) und \(u_2=5\). Rücksubstitution ergibt \(x=\pm1\) und \(x=\pm\sqrt{5}\). 3. Der Leitterm ist \(\frac{1}{2}x^4\). Wegen des geraden Grades und des positiven Leitkoeffizienten gilt \(f(x)\to\infty\) für \(x\to\pm\infty\).

a) \(x=\pm1\) und \(x=\pm\sqrt{5}\). b) \(f(x)\to\infty\) für \(x\to\pm\infty\).

- Da im Funktionsterm nur gerade Potenzen vorkommen, welche Symmetrie besitzt der Graph? - Nutze ausdrücklich die Zusatzinformation, dass außerhalb des Fensters keine weiteren reellen Nullstellen liegen. - Was bewirken ein positiver, ein negativer und der Wert \(0\) für \(u=x^2\) jeweils bei der Rücksubstitution? - Welche zusätzliche Information liefert das Schneiden der \(x\)-Achse über den zugehörigen positiven \(u\)-Wert?

1. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse an zwei zueinander symmetrischen Stellen. Zusammen mit der Zusatzinformation folgt, dass \(f\) genau zwei verschiedene reelle Nullstellen besitzt. 2. Die beiden Nullstellen haben die Form \(\pm a\) mit \(a>0\). Zu ihnen gehört derselbe positive Wert \(u=a^2\). 3. Weil der Graph die \(x\)-Achse dort schneidet, ist dieser positive Wert keine doppelte Lösung der quadratischen Gleichung in \(u\). 4. Ein zweiter positiver \(u\)-Wert würde zwei weitere reelle Nullstellen \(\pm\sqrt u\) erzeugen; \(u=0\) würde zusätzlich \(x=0\) als Nullstelle erzeugen. Beides ist durch die Zusatzinformation ausgeschlossen. 5. Daher muss die zweite Lösung der quadratischen Gleichung in \(u\) negativ sein.

a) Zwei verschiedene reelle Nullstellen. b) Die quadratische Gleichung in \(u\) besitzt eine positive und eine negative Lösung.

- Übersetze die beiden symmetrischen \(x\)-Nullstellen in einen einzigen Wert von \(u=x^2\). - Welche Information liefert das Berühren der \(x\)-Achse über die Vielfachheit der \(x\)-Nullstellen? - Bedenke, dass die zugehörige Gleichung in \(u\) nur den Grad \(2\) besitzt.

1. Der Graph berührt die \(x\)-Achse an zwei zueinander symmetrischen Stellen und schneidet sie dort nicht. 2. Zu diesen beiden Nullstellen \(x=\pm a\) mit \(a>0\) gehört derselbe positive Wert \(u=a^2\). 3. Wäre dieser positive \(u\)-Wert eine einfache Lösung der quadratischen Gleichung, enthielte \(f\) den Faktor \(x^2-a^2\) nur einfach. Dann wären \(x=\pm a\) einfache Nullstellen und der Graph würde die \(x\)-Achse schneiden. 4. Da der Graph stattdessen an beiden Stellen berührt und die Gleichung in \(u\) quadratisch ist, muss der positive \(u\)-Wert eine doppelte Lösung sein.

a) Der Graph berührt die \(x\)-Achse an zwei symmetrischen Nullstellen. b) Die quadratische Gleichung in \(u=x^2\) besitzt eine positive doppelte Lösung.

- Welche \(u\)-Lösung muss zu der Nullstelle \(x=0\) gehören? - Zwei zueinander symmetrische Nullstellen \(x=\pm a\) besitzen denselben Wert von \(x^2\). - Unterscheide die Vielfachheit einer Lösung in der Gleichung für \(u\) von der Vielfachheit der zugehörigen Nullstelle im ursprünglichen Polynom.

1. Der Graph berührt die \(x\)-Achse bei \(x=0\) und schneidet sie an zwei zueinander symmetrischen Stellen \(x=\pm a\) mit \(a>0\). 2. Die Nullstelle \(x=0\) entspricht der Lösung \(u=0\). Die beiden symmetrischen Nullstellen \(x=\pm a\) stammen von derselben positiven Lösung \(u=a^2>0\). 3. Die Berührung bei \(x=0\) entspricht der \(u\)-Nullstelle \(u=0\). Die beiden symmetrischen Schnittpunkte \(x=-a\) und \(x=a\) mit \(a>0\) gehören zur zweiten \(u\)-Nullstelle \(u=a^2>0\). Damit hat die quadratische Gleichung in \(u\) zwei verschiedene Nullstellen, also jeweils Vielfachheit 1. Beim Rückweg erzeugt \(u=0\) wegen \(x^2=0\) die doppelte Nullstelle \(x=0\); \(u=a^2\) erzeugt die beiden einfachen Nullstellen \(x=\pm a\).

a) Eine Berührstelle bei \(x=0\) und zwei symmetrische Schneidestellen \(x=\pm a\) mit \(a>0\). b) Die \(u\)-Lösungen sind \(u=0\) und eine positive Lösung \(u=a^2\). Beide sind in der quadratischen Gleichung in \(u\) einfach; \(u=0\) erzeugt im ursprünglichen Polynom dennoch die doppelte Nullstelle \(x=0\).

- Welche Variable kannst du mithilfe der ersten Gleichung unmittelbar in der zweiten ersetzen? - Welche besondere Potenzstruktur entsteht nach dem Einsetzen und Zusammenfassen? - Welche Bedingung müssen die Werte der Hilfsvariablen erfüllen, damit die Rücksubstitution reelle \(x\)-Werte liefert? - Wie erhältst du zu jedem gefundenen \(x\) den zugehörigen Wert von \(y\)?

1. Einsetzen von \(y=x^2-5\) in die zweite Gleichung ergibt \((x^2-5)^2+2x^2=10\). 2. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen führt auf die biquadratische Gleichung \(x^4-8x^2+15=0\). 3. Mit \(u=x^2\) entsteht \(u^2-8u+15=0\). Die Lösungen sind \(u=5\) und \(u=3\). 4. Die Rücksubstitution liefert \(x=\pm\sqrt5\) beziehungsweise \(x=\pm\sqrt3\). 5. Für \(x^2=5\) gilt \(y=0\); für \(x^2=3\) gilt \(y=-2\). Damit lauten die vier Lösungspaare \((\sqrt5|0)\), \((-\sqrt5|0)\), \((\sqrt3|-2)\) und \((-\sqrt3|-2)\).

Die hergeleitete biquadratische Gleichung lautet \(x^4-8x^2+15=0\). Die Lösungspaare sind \((\sqrt5|0)\), \((-\sqrt5|0)\), \((\sqrt3|-2)\) und \((-\sqrt3|-2)\).

- Welche Größe aus der zweiten Gleichung kannst du in der ersten Gleichung ersetzen, ohne eine neue unbekannte Größe einzuführen? - Woran erkennst du nach dem Einsetzen, dass die entstehende Gleichung biquadratisch ist? - Welche Bedingung müssen die Lösungen der Gleichung in \(u\) erfüllen, damit sie zu reellen \(x\)-Werten führen? - Wie viele Vorzeichenmöglichkeiten entstehen anschließend für \(x\) und \(y\)?

1. Aus \(x^2+y^2=5\) folgt \(y^2=5-x^2\). Damit ist \(y^4=(5-x^2)^2\). 2. Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(x^4+(5-x^2)^2=17\), also \(x^4-5x^2+4=0\). 3. Mit \(u=x^2\) entsteht \(u^2-5u+4=0\). Die Lösungen sind \(u=1\) und \(u=4\). 4. Rücksubstitution liefert \(x=\pm1\) oder \(x=\pm2\). 5. Für \(x^2=1\) gilt \(y^2=4\), also \(y=\pm2\). Für \(x^2=4\) gilt \(y^2=1\), also \(y=\pm1\). 6. Damit entstehen acht reelle Lösungspaare. Jedes Lösungspaar entspricht genau einem Schnittpunkt der beiden Gleichungsgraphen.

a) Biquadratische Gleichung: \(x^4-5x^2+4=0\). Mit \(u=x^2\): \(u^2-5u+4=0\), also \(u=1\) oder \(u=4\), daher \(x=\pm1,\pm2\). b) \((1\mid2),(1\mid-2),(-1\mid2),(-1\mid-2),(2\mid1),(2\mid-1),(-2\mid1),(-2\mid-1)\). c) Es gibt \(8\) Schnittpunkte.

- Wie viele verschiedene reelle \(x\)-Lösungen liefert ein positiver Wert für \(x^2\), wie viele der Wert \(0\)? - Welche Kombination von \(u\)-Werten kann deshalb genau drei verschiedene reelle \(x\)-Lösungen erzeugen? - Was folgt für den konstanten Term der quadratischen Gleichung in \(u\), wenn \(u=0\) eine Lösung sein muss?

1. In a) ergibt Ausklammern \(x^2(x^2-25)=0\). Nach dem Nullproduktsatz gilt \(x^2=0\) oder \(x^2=25\). Damit sind die drei verschiedenen reellen Lösungen \(x=0\) und \(x=\pm5\). 2. In b) führt die Substitution \(u=x^2\) auf \(u^2-12u+k=0\). 3. Genau drei verschiedene reelle \(x\)-Lösungen entstehen, wenn eine \(u\)-Lösung \(0\) und die andere positiv ist. Einsetzen von \(u=0\) erzwingt \(k=0\). 4. Für \(k=0\) gilt \(u(u-12)=0\). Die Lösungen \(u=0\) und \(u=12\) liefern \(x=0\) sowie \(x=\pm2\sqrt3\).

a) \(L=\{-5;0;5\}\) b) \(k=0\); \(L=\{-2\sqrt3;0;2\sqrt3\}\)

- Welche weitere Lösung gehört wegen der geraden Potenzen unmittelbar zu \(\sqrt5\)? - Wie muss das zweite noch unbekannte Lösungspaar aussehen, damit die Gleichung weiterhin nur gerade Potenzen enthält? - Welche Beziehungen zwischen den beiden \(u\)-Lösungen und den Koeffizienten liefert der Satz von Vieta? - Was bedeutet ein negativer Wert von \(u\) bei der Rücksubstitution \(x^2=u\) über \(\mathbb{R}\)?

1. Da in der biquadratischen Gleichung nur gerade Potenzen von \(x\) vorkommen, ist mit \(x=\sqrt5\) auch \(x=-\sqrt5\) eine Lösung. 2. Die beiden weiteren Lösungen müssen ebenfalls ein Gegenpaar sein. Sei eine davon \(r\), dann ist die andere \(-r\). Aus \((\sqrt5)(-\sqrt5)r(-r)=20\) folgt \(5r^2=20\), also \(r^2=4\) und damit \(r=2\). Die vier Lösungen sind \(-\sqrt5,-2,2,\sqrt5\). 3. Für die Substitution \(u=x^2\) sind die beiden Lösungen der Hilfsgleichung \(u_1=5\) und \(u_2=4\). Nach Vieta gilt daher \(p=-(u_1+u_2)=-9\) und \(q=u_1u_2=20\). 4. Gilt allgemein \(q<0\), so haben die beiden reellen Lösungen \(u_1,u_2\) einer Hilfsgleichung mit \(u_1u_2=q\) unterschiedliche Vorzeichen. Nur der positive \(u\)-Wert liefert über \(x^2=u\) zwei reelle \(x\)-Werte; der negative liefert keine. Daher besitzt die biquadratische Gleichung genau zwei reelle Lösungen.

1. Die weiteren Lösungen sind \(-\sqrt5\), \(-2\) und \(2\). 2. \(p=-9\), \(q=20\) 3. Bei \(q<0\) haben die beiden \(u\)-Lösungen verschiedene Vorzeichen. Nur die positive liefert zwei reelle Werte \(x=\pm\sqrt u\); daher gibt es genau zwei reelle Lösungen.

- Nutze für die biquadratische Struktur die im Thema vereinbarte Substitution \(u=x^2\). - Untersuche den Term unter der Wurzel darauf, ob er ein vollständiges Quadrat ist. - Beachte bei der Rücksubstitution sowohl die Positivität von \(a\) als auch mögliche zusammenfallende Lösungen.

1. Mit der Substitution \(u=x^2\) entsteht \(a^2u^2-(a^4+1)u+a^2=0\). 2. Die Diskriminante ist \(D=(a^4+1)^2-4a^4=a^8-2a^4+1=(a^4-1)^2\). 3. Damit gilt \(u=\frac{a^4+1\pm|a^4-1|}{2a^2}\). Unabhängig von der Reihenfolge ergeben sich \(u_1=a^2\) und \(u_2=\frac{1}{a^2}\). 4. Aus \(x^2=a^2\) folgt \(x=\pm a\); aus \(x^2=\frac{1}{a^2}\) folgt wegen \(a>0\) \(x=\pm\frac{1}{a}\). 5. Für \(a=1\) fallen die beiden positiven \(u\)-Werte zusammen. Dann gibt es nur die beiden verschiedenen reellen Lösungen \(x=-1\) und \(x=1\).

Für \(a\neq1\): \(x\in\left\{-a; a; -\frac{1}{a}; \frac{1}{a}\right\}\). Für \(a=1\): \(L=\{-1;1\}\).

- Welche Anzahlen verschiedener reeller \(x\)-Lösungen kann eine positive, eine negative oder die \(u\)-Lösung \(0\) jeweils erzeugen? - Welche Struktur müssen die beiden \(u\)-Lösungen deshalb bei genau drei verschiedenen reellen \(x\)-Lösungen haben? - Drücke die Summe der Quadrate der drei \(x\)-Lösungen durch die positive \(u\)-Lösung aus. - Wie hängen Summe und Produkt der beiden \(u\)-Lösungen mit \(p\) und \(q\) zusammen?

1. Bei einer biquadratischen Gleichung treten von jeder positiven \(u\)-Lösung zwei symmetrische \(x\)-Lösungen auf. Genau drei verschiedene reelle \(x\)-Lösungen sind daher nur möglich, wenn die beiden \(u\)-Lösungen \(0\) und ein positiver Wert \(a\) sind. 2. Die drei reellen Lösungen sind dann \(0\), \(-\sqrt a\) und \(\sqrt a\). Ihre Quadratsumme ist \(0+a+a=2a\). Aus \(2a=18\) folgt \(a=9\). 3. Die quadratische Gleichung in \(u\) lautet \(u^2+pu+q=0\) und hat die Lösungen \(0\) und \(9\). Nach Vieta gilt \(0+9=-p\) und \(0\cdot9=q\). Daher ist \(p=-9\) und \(q=0\). 4. Somit lautet die ursprüngliche Gleichung \(x^4-9x^2=x^2(x-3)(x+3)=0\). Die Nullstelle \(x=0\) ist doppelt, \(x=-3\) und \(x=3\) sind einfach. 5. Die Anzahl der reellen Lösungen erzwingt die \(u\)-Struktur \(\{0,a\}\); die Quadratsumme erzwingt \(a=9\). Deshalb sind auch \(p\) und \(q\) eindeutig festgelegt.

\(p=-9\), \(q=0\). Die reellen Lösungen sind \(x=0\) doppelt sowie \(x=-3\) und \(x=3\) jeweils einfach. Andere Werte sind wegen der erzwungenen \(u\)-Lösungen \(0\) und \(9\) nicht möglich.