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- Überlege dir, welche Arten von Exponenten (gerade oder ungerade) für die jeweilige Symmetrieform bei ganzrationalen Funktionen erlaubt sind. - Was bedeutet eine Konstante \(c\) für die Symmetrie? Man kann sie sich als \(c \cdot x^0\) vorstellen. - Prüfe, ob bei der Punktsymmetrie zum Ursprung eine Verschiebung in \(y\)-Richtung erlaubt ist.

1. Für Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse müssen alle Exponenten der Funktionsvariable \(x\) gerade sein. Die Konstante \(c\) entspricht dem Term \(c \cdot x^0\) und gilt daher als gerader Exponent. Mögliche Beispiele sind \(n=2, m=4, c=3\) oder \(n=6, m=2, c=0\). 2. Für Punktsymmetrie zum Ursprung müssen alle Exponenten der Funktionsvariable \(x\) ungerade sein. Zudem darf kein konstanter Term vorhanden sein, es muss also \(c=0\) gelten. Mögliche Beispiele sind \(n=1, m=3, c=0\) oder \(n=5, m=1, c=0\).

Mögliche Beispiele: a) \(n=2, m=4, c=1\) und \(n=4, m=6, c=0\). (Allgemein: \(n, m \in \{2, 4, 6\}\) und \(c \in \mathbb{R}\)) b) \(n=1, m=3, c=0\) und \(n=3, m=5, c=0\). (Allgemein: \(n, m \in \{1, 3, 5\}\) und \(c=0\))

- Überlege dir, welche Art von Exponenten bei ganzrationalen Funktionen für Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse sorgen. - Wie berechnet man den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei einer Funktion? - Welchen Einfluss hat das Vorzeichen von \(a\) auf den Graphen, wenn der Exponent gerade ist?

1. Damit der Graph einer Potenzfunktion der Form \(f(x) = ax^n + c\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist, muss der Exponent \(n\) eine gerade natürliche Zahl ungleich Null sein (\(n \in \{2, 4, 6, \dots\}\)). 2. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(f(0)\). Es gilt \(f(0) = a \cdot 0^n + c = c\). Da der Schnittpunkt bei \(y = 4\) liegen soll, folgt \(c = 4\). 3. Für das Grenzverhalten \(f(x) \to -\infty\) bei \(x \to \infty\) ist das Vorzeichen des Leitkoeffizienten entscheidend. Da \(n\) eine positive gerade Zahl ist, strebt \(x^n\) gegen \(+\infty\). Damit das Produkt \(ax^n\) gegen \(-\infty\) strebt, muss \(a < 0\) gelten.

\(n\) muss eine gerade natürliche Zahl (\(n \in \{2, 4, 6, \dots\}\)) sein, \(c = 4\) und \(a < 0\).

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl mit einem geraden Exponenten potenzierst? - Setze systematisch \(-x\) für jedes \(x\) in die Funktionsgleichung ein und vereinfache den Term. - Vergleiche dein Ergebnis mit der ursprünglichen Funktion \(f(x)\).

1. Zur Überprüfung der Symmetrie wird \(f(-x)\) gebildet und mit \(f(x)\) verglichen. 2. Einsetzen von \(-x\) in den Funktionsterm: \(f(-x) = 3(-x)^6 - 4(-x)^2 + 7\). 3. Da die Exponenten \(6\) und \(2\) gerade sind, gilt \((-x)^6 = x^6\) und \((-x)^2 = x^2\). Die Konstante \(7\) (entspricht \(7x^0\)) bleibt unverändert. 4. Vereinfachung ergibt: \(f(-x) = 3x^6 - 4x^2 + 7\). 5. Vergleich: Da \(f(-x) = f(x)\) erfüllt ist, liegt Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse vor.

Der Graph der Funktion \(f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, da die Bedingung \(f(-x) = f(x)\) für alle \(x\) erfüllt ist.

- Was passiert, wenn du für \(x\) die Ausdrücke \(-3+h\) und \(-3-h\) in die Funktionsgleichung einsetzt? - Denk an die erste und zweite binomische Formel beim Auflösen der Klammern. - Vergleiche die beiden Terme, nachdem du sie so weit wie möglich vereinfacht hast. - Sind alle Teile der Gleichung, die ein \(h\) enthalten, nach dem Vereinfachen identisch?

1. Berechnung von \(f(-3+h)\): Einsetzen in den Funktionsterm ergibt \((-3+h)^2 + 6(-3+h) + 5\). Durch Anwendung der binomischen Formel und Zusammenfassen erhält man \(9 - 6h + h^2 - 18 + 6h + 5 = h^2 - 4\). 2. Berechnung von \(f(-3-h)\): Einsetzen ergibt \((-3-h)^2 + 6(-3-h) + 5\). Ausmultiplizieren führt zu \(9 + 6h + h^2 - 18 - 6h + 5 = h^2 - 4\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Da \(f(-3+h) = h^2 - 4\) und \(f(-3-h) = h^2 - 4\) identisch sind, ist die Bedingung für Achsensymmetrie zur Geraden \(x = -3\) erfüllt.

Die rechnerische Prüfung bestätigt die Symmetrie: Da sowohl \(f(-3+h) = h^2 - 4\) als auch \(f(-3-h) = h^2 - 4\) gilt, ist der Graph der Funktion \(f\) achsensymmetrisch zur Geraden \(x = -3\).

- Setze für jedes \(x\) im Funktionsterm \((-x)\) ein und achte auf die Klammern. - Vereinfache die Terme Schritt für Schritt. - Vergleiche dein Ergebnis für \(f(-x)\) direkt mit dem ursprünglichen Term \(f(x)\). - Wenn das Ergebnis nicht \(f(x)\) ist, versuche ein Minuszeichen vor den gesamten Term zu setzen (auszuklammern), um auf Punktsymmetrie zu prüfen.

1. Nachweis für \( p(x) \): Es wird \( p(-x) \) gebildet: \( p(-x) = 3(-x)^5 - 2(-x)^3 + (-x) = -3x^5 + 2x^3 - x \). Ausklammern von \(-1\) ergibt \( -(3x^5 - 2x^3 + x) \), was exakt \( -p(x) \) entspricht. Somit ist \( p \) punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Nachweis für \( q(x) \): Es wird \( q(-x) \) gebildet: \( q(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 5 = x^4 - 2x^2 + 5 \). Dies entspricht exakt \( q(x) \). Somit ist \( q \) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

Die Funktion \( p \) ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da \( p(-x) = -p(x) \). Die Funktion \( q \) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, da \( q(-x) = q(x) \).

- Schau dir die Exponenten der Funktionen genau an. Was verraten sie über die Symmetrie? - Überlege, wie sich die Vorzeichen der Funktionswerte ändern, wenn man das Vorzeichen von \(x\) umkehrt. - Welche Eigenschaft hat eine Funktion, bei der \(f(x) = f(-x)\) gilt? - Welche Eigenschaft hat eine Funktion, bei der \(f(-x) = -f(x)\) gilt?

1. Da \(f(x) = x^4\) einen geraden Exponenten besitzt, ist die Funktion achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Es gilt \(f(-x) = f(x)\). Somit ist \(f(-0{,}8) = f(0{,}8) = 0{,}4096\) und \(f(-1{,}5) = f(1{,}5) = 5{,}0625\). 2. Da \(g(x) = x^7\) einen ungeraden Exponenten besitzt, ist die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung. Es gilt \(g(-x) = -g(x)\). 3. Aus \(g(x) = -0{,}0279936\) folgt wegen der Punktsymmetrie \(x = -0{,}6\). 4. Aus \(g(x) = -3{,}5831808\) folgt wegen der Punktsymmetrie \(x = -1{,}2\).

a) Die fehlenden Werte sind \(0{,}4096\) und \(5{,}0625\). b) Die fehlenden \(x\)-Werte sind \(-0{,}6\) und \(-1{,}2\).

- Erinnere dich daran, welche Exponenten im Funktionsterm auf eine Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse hindeuten. - Wann ist ein Graph punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung? Schau dir die Exponenten genau an. - Prüfe, ob ein Graph bei einer Spiegelung an der \(y\)-Achse oder am Ursprung wieder auf sich selbst abgebildet wird.

1. Graph \(A\) gehört zu \(f(x)\). Der Funktionsterm enthält nur gerade Exponenten (\(4\), \(2\) und \(0\) beim konstanten Glied), weshalb der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist. 2. Graph \(B\) gehört zu \(g(x)\). Der Funktionsterm enthält nur ungerade Exponenten (\(3\) und \(1\)), weshalb der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist. 3. Graph \(C\) gehört zu \(h(x)\). Der Funktionsterm enthält sowohl gerade (\(2\), \(0\)) als auch ungerade (\(3\)) Exponenten, weshalb keine der beiden einfachen Symmetrien vorliegt.

Graph \(A\) gehört zu \(f(x)\), Graph \(B\) gehört zu \(g(x)\) und Graph \(C\) gehört zu \(h(x)\).

- Was bedeutet Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung für die Funktionswerte von \(x\) und \(-x\)? - Schau dir die Exponenten an, wenn du die Klammern auflöst. Gibt es da eine Regel für Symmetrie? - Du kannst auch versuchen, für eine Option ein Beispiel wie \(x=1\) und \(x=-1\) einzusetzen.

1. Bedingung für Punktsymmetrie zum Ursprung prüfen: \(f(-x) = -f(x)\). Dies ist bei ganzrationalen Funktionen der Fall, wenn nur ungerade Exponenten von \(x\) vorkommen. 2. Untersuchung von a): \(y = 4x - x^3\). Nur ungerade Exponenten (\(1\) und \(3\)). Symmetrie gegeben. 3. Untersuchung von b): \(y = 4x - x^2\). Gemischte Exponenten (gerade und ungerade). Keine Punktsymmetrie zum Ursprung. 4. Untersuchung von c): \(y = 16 - x^2\). Nur gerade Exponenten. Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse. 5. Untersuchung von d): \(y = x(16 - 8x + x^2) = 16x - 8x^2 + x^3\). Gemischte Exponenten. Keine Punktsymmetrie zum Ursprung.

a) \(y = x(4 - x^2)\)

- Was weißt du über die Exponenten einer ganzrationalen Funktion, deren Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist? - Welcher Teil des Funktionsterms muss verschwinden, damit diese Bedingung erfüllt ist? - Wie kannst du den Term \(f(-x)\) vereinfachen, wenn du negative Werte in gerade Potenzen einsetzt?

1. Für Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse dürfen bei ganzrationalen Funktionen nur gerade Exponenten auftreten. Der Koeffizient des Terms mit ungeradem Exponenten (\(x^3\)) muss daher null sein: \(a + 3 = 0 \implies a = -3\). 2. Einsetzen von \(a = -3\) ergibt \(f(x) = 2x^4 - 5x^2\). 3. Rechnerische Überprüfung der Bedingung \(f(-x) = f(x)\): \(f(-x) = 2(-x)^4 - 5(-x)^2 = 2x^4 - 5x^2\). 4. Da \(f(-x) = f(x)\) für alle \(x\) gilt, ist der Graph für \(a = -3\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

\(a = -3\)

- Welche Bedingung muss für \(g(-x)\) gelten, damit Punktsymmetrie zum Ursprung vorliegt? - Was passiert mit dem Vorzeichen der einzelnen Glieder, wenn du \(-x\) für \(x\) einsetzt? - Hat die additive Konstante \(5\) Auswirkungen darauf, ob \(h(-x)\) das exakte Negative von \(h(x)\) ist?

1. Nachweis der Punktsymmetrie für \(g\): \(g(-x) = \frac{1}{2}(-x)^5 - 4(-x)^3 + (-x) = -\frac{1}{2}x^5 + 4x^3 - x\). Durch Ausklammern von \(-1\) erhält man \(-(\frac{1}{2}x^5 - 4x^3 + x) = -g(x)\). Die Bedingung \(g(-x) = -g(x)\) ist erfüllt. 2. Untersuchung von \(h(x) = \frac{1}{2}x^5 - 4x^3 + x + 5\): Es gilt \(h(-x) = -g(x) + 5\). 3. Vergleich mit \(-h(x)\): \(-h(x) = -(\frac{1}{2}x^5 - 4x^3 + x + 5) = -g(x) - 5\). 4. Da \(h(-x) \neq -h(x)\) (und auch \(h(-x) \neq h(x)\)), ist die Punktsymmetrie durch das Hinzufügen der Konstanten \(5\) (entspricht \(5x^0\), einem geraden Exponenten) verloren gegangen.

1. Ja, \(g\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da \(g(-x) = -g(x)\). 2. Nein, \(h\) ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung, da \(h(-x) = -g(x) + 5 \neq -h(x)\).

- Erinnere dich an die Regel für die Exponenten bei Punktsymmetrie zum Ursprung. - Was bedeutet es für die Funktionsgleichung, wenn ein Punkt auf dem Graphen liegt? - Du kannst ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten durch das Einsetzungs- oder Additionsverfahren lösen.

1. Punktsymmetrie zum Ursprung liegt bei ganzrationalen Funktionen genau dann vor, wenn nur ungerade Exponenten von \(x\) vorkommen. In der Gleichung \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx^1 + dx^0\) sind die Exponenten \(2\) und \(0\) gerade. Daher müssen deren Koeffizienten Null sein: \(b = 0\) und \(d = 0\). 2. Die verbleibende Funktionsgleichung lautet \(f(x) = ax^3 + cx\). Durch Einsetzen der Punkte \(P(1|5)\) und \(Q(2|22)\) entsteht ein lineares Gleichungssystem: I) \(a \cdot 1^3 + c \cdot 1 = 5 \implies a + c = 5\) II) \(a \cdot 2^3 + c \cdot 2 = 22 \implies 8a + 2c = 22\) 3. Division von Gleichung II durch 2 ergibt \(4a + c = 11\). 4. Subtraktion von Gleichung I von der vereinfachten Gleichung II: \((4a + c) - (a + c) = 11 - 5 \implies 3a = 6 \implies a = 2\). 5. Einsetzen von \(a = 2\) in Gleichung I: \(2 + c = 5 \implies c = 3\).

a) \(b = 0\) und \(d = 0\), da für Punktsymmetrie zum Ursprung nur ungerade Exponenten auftreten dürfen. b) \(a = 2\) und \(c = 3\).

- Welche Bedingung müssen die Exponenten einer ganzrationalen Funktion erfüllen, damit der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist? - Welcher Teil der Funktionsgleichung bestimmt das Verhalten des Graphen für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte? - Vergleiche den Grad der Funktion \(g\) mit den möglichen Graden der Funktion \(f\). Was passiert, wenn \(n\) größer als 3 ist? - Überlege dir, wie man die Terme zusammenfassen kann, wenn \(n\) genau 3 ist.

1. Damit der Graph von \(f\) punktsymmetrisch zum Ursprung ist, dürfen in der Funktionsgleichung nur ungerade Exponenten auftreten. Da der Exponent \(3\) bereits ungerade ist, muss auch \(n\) eine ungerade natürliche Zahl sein (\(n \in \{1, 3, 5, \dots\}\)). 2. Das Verhalten im Unendlichen wird durch das Glied mit der höchsten Potenz bestimmt. Da das Leitglied von \(f\) gleich \(-4x^3\) sein soll, muss auch der dominierende Term von \(f\) den Grad \(3\) und den Leitkoeffizienten \(-4\) besitzen. 3. Fall \(n = 1\): Die Funktion lautet \(f(x) = cx^3 + 2x\). Der Term \(cx^3\) dominiert das Globalverhalten. Damit dieser sich wie \(-4x^3\) verhält, muss \(c = -4\) gelten. 4. Fall \(n = 3\): Die Funktion lautet \(f(x) = 2x^3 + cx^3 = (2+c)x^3\). Damit dies identisch zu \(-4x^3\) ist, muss \(2+c = -4\) gelten, woraus \(c = -6\) folgt. 5. Fall \(n > 3\): Für ungerade \(n \ge 5\) würde der Term \(2x^n\) das Globalverhalten dominieren. Da der Grad \(n\) größer als \(3\) ist, kann sich die Funktion nicht wie \(-4x^3\) verhalten. 6. Mögliche Wertepaare sind somit \(n = 1, c = -4\) und \(n = 3, c = -6\).

Mögliche Kombinationen sind \(n = 1\) mit \(c = -4\) sowie \(n = 3\) mit \(c = -6\).

- Erinnere dich an die Regel für die Exponenten bei Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse. - Welches Glied der Summe „gewinnt“ den Vergleich für extrem große \(x\)-Werte? - Unterscheide verschiedene Fälle für den Exponenten \(m\): Was passiert, wenn \(m\) kleiner als, gleich oder größer als 4 ist? - Beachte, dass auch \(0\) eine gerade Zahl ist und als Exponent vorkommen kann (Konstante).

1. Aufgrund der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse dürfen nur gerade Exponenten in der Funktionsgleichung vorkommen. Da \(4\) gerade ist, muss auch \(m\) eine gerade nichtnegative ganze Zahl sein (\(m \in \{0, 2, 4, 6, \dots\}\)). 2. Das Leitglied von \(h\) soll \(5x^4\) sein. 3. Fall \(m < 4\): Die Terme mit kleinerem Exponenten (\(m=0\) oder \(m=2\)) beeinflussen das Leitglied nicht. Der dominierende Term ist \(ax^4\). Damit das Leitglied \(5x^4\) ist, muss \(a = 5\) sein. 4. Fall \(m = 4\): Die Funktion lautet \(h(x) = ax^4 + 5x^4 = (a+5)x^4\). Für das gewünschte Leitglied muss der Koeffizient \(a+5 = 5\) sein, woraus \(a = 0\) folgt. 5. Fall \(m > 4\): Für gerade \(m \ge 6\) würde der Term \(5x^m\) das Globalverhalten dominieren. Da der Grad \(m\) größer als \(4\) ist, ist das Leitglied nicht \(5x^4\). 6. Die möglichen Lösungen sind: \(a = 5\) mit \(m = 0\); \(a = 5\) mit \(m = 2\); \(a = 0\) mit \(m = 4\).

Die möglichen Lösungen sind: 1. \(a = 5\) und \(m = 0\) 2. \(a = 5\) und \(m = 2\) 3. \(a = 0\) und \(m = 4\)

- Erinnere dich an die Bedingung für Punktsymmetrie zum Ursprung: \(f(-x) = -f(x)\). - Was passiert mit dem Vorzeichen bei ungeraden Exponenten? - Überlege dir, welche Symmetrie eine konstante Zahl (wie \(+3\)) für sich allein betrachtet darstellt. - Prüfe für den zweiten Teil, ob die neue Funktionsgleichung noch die Bedingung für Achsen- oder Punktsymmetrie erfüllt.

a) 1. Bestimmung von \(p(-x)\): \(p(-x) = \frac{1}{4}(-x)^5 - 2(-x)^3\). 2. Da die Exponenten \(5\) und \(3\) ungerade sind, folgt \(p(-x) = -\frac{1}{4}x^5 + 2x^3\). 3. Ausklammern von \(-1\) ergibt \(p(-x) = -(\frac{1}{4}x^5 - 2x^3) = -p(x)\). Damit ist die Punktsymmetrie zum Ursprung bewiesen. b) 1. Für \(q(x) = p(x) + 3\) gilt \(q(-x) - 3 = p(-x) = -p(x) = -(q(x) - 3)\). 2. Daher ist der Graph von \(q\) punktsymmetrisch zum Punkt \(P(0|3)\). 3. Zum Ursprung ist er nicht mehr punktsymmetrisch, da \(q(-x) \neq -q(x)\); zur \(y\)-Achse ist er ebenfalls nicht symmetrisch.

a) Der Nachweis erfolgt über \(p(-x) = -p(x)\). b) Der Graph von \(q\) ist punktsymmetrisch zum Punkt \(P(0|3)\). Die Verschiebung um \(3\) Einheiten nach oben verlagert das Symmetriezentrum vom Ursprung nach \(P(0|3)\).

- Was bedeutet Punktsymmetrie zum Ursprung mathematisch für den Funktionswert von \(-x\)? - Setze \(-x\) in die neuen Funktionsgleichungen ein und vereinfache den Term so weit wie möglich. - Vergleiche das Ergebnis mit der ursprünglichen Funktionsgleichung der jeweiligen Funktion. - Welche Rechenregel gilt für das Quadrat einer negativen Zahl oder eines negativen Terms?

Da \(f\) punktsymmetrisch zum Ursprung ist, gilt \(f(-x) = -f(x)\). 1. Für \(g(x)\): \(g(-x) = (-x) \cdot f(-x) = (-x) \cdot (-f(x)) = x \cdot f(x) = g(x)\). Der Graph von \(g\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Für \(h(x)\): \(h(-x) = (f(-x))^2 = (-f(x))^2 = (f(x))^2 = h(x)\). Der Graph von \(h\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. Für \(k(x)\): \(k(-x) = \frac{1}{2} \cdot f(-x) = \frac{1}{2} \cdot (-f(x)) = -(\frac{1}{2} \cdot f(x)) = -k(x)\). Der Graph von \(k\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

a) Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse b) Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse c) Punktsymmetrie zum Ursprung

- Nutze die Definitionen \(f(-x) = f(x)\) für Achsensymmetrie und \(f(-x) = -f(x)\) für Punktsymmetrie. - Ersetze in der Funktionsgleichung jedes \(x\) durch \((-x)\) und vereinfache den Term. - Überlege bei konstanten Funktionen, ob sich der Funktionswert ändert, wenn du das Vorzeichen des Eingabewerts wechselst. - Untersuche bei der Zahl Null, ob sie sich von ihrem negativen Wert unterscheidet.

1. Für \(g(x) = x \cdot f(x)\) wird die Bedingung für Punktsymmetrie geprüft: \(g(-x) = (-x) \cdot f(-x)\). Da \(f\) achsensymmetrisch ist, gilt \(f(-x) = f(x)\). Einsetzen ergibt \(g(-x) = -x \cdot f(x) = -g(x)\). Somit ist der Graph von \(g\) punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Für die konstante Funktion \(h(x) = 5\) gilt \(h(-x) = 5\). Da \(h(-x) = h(x)\), ist \(h\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Wegen \(h(-x) = 5 \neq -5 = -h(x)\) liegt keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor. 3. Für die Nullfunktion \(k(x) = 0\) gilt \(k(-x) = 0\). Da \(k(-x) = k(x)\) erfüllt ist (\(0 = 0\)), ist \(k\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Da auch \(k(-x) = -k(x)\) erfüllt ist (\(0 = -0\)), ist \(k\) zusätzlich punktsymmetrisch zum Ursprung.

a) Der Graph von \(g\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung. b) Die Funktion \(h(x) = 5\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, aber nicht punktsymmetrisch zum Ursprung. Die Funktion \(k(x) = 0\) ist sowohl achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse als auch punktsymmetrisch zum Ursprung.

- Verwende die algebraischen Bedingungen für Symmetrie und setze \(-x\) in die Funktionen ein. - Klammere bei der Untersuchung der Summe ein Minuszeichen aus, um die ursprüngliche Struktur zu erkennen. - Beachte, wie sich eine Verschiebung in \(y\)-Richtung auf die Funktionsgleichung auswirkt. - Vergleiche am Ende das Ergebnis von \(h(-x)\) direkt mit dem Term von \(-h(x)\).

1. Da \(p\) und \(q\) punktsymmetrisch sind, gilt \(p(-x) = -p(x)\) und \(q(-x) = -q(x)\). Für die Summenfunktion gilt: \(s(-x) = p(-x) + q(-x) = -p(x) + (-q(x)) = -(p(x) + q(x)) = -s(x)\). Damit ist \(s\) punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Die verschobene Funktion lautet \(h(x) = x^3 - 4x + 3\). 3. Prüfung auf Punktsymmetrie: \(h(-x) = (-x)^3 - 4(-x) + 3 = -x^3 + 4x + 3\). 4. Vergleich mit \(-h(x) = -(x^3 - 4x + 3) = -x^3 + 4x - 3\). 5. Da \(h(-x) \neq -h(x)\) (wegen \(3 \neq -3\)), ist der Graph von \(h\) nicht mehr punktsymmetrisch zum Ursprung.

a) Durch Nachweis von \(s(-x) = -s(x)\) folgt, dass die Summe zweier punktsymmetrischer Funktionen wieder punktsymmetrisch zum Ursprung ist. b) Nein, die Punktsymmetrie zum Ursprung bleibt nicht erhalten, da \(h(-x) = -x^3 + 4x + 3\) ungleich \(-h(x) = -x^3 + 4x - 3\) ist.

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl mit einem geraden oder ungeraden Exponenten potenzierst? - Überprüfe, ob sich der Funktionsterm gar nicht verändert oder ob sich alle Vorzeichen umkehren, wenn du \(x\) durch \(-x\) ersetzt. - Was bedeutet es für die Symmetrie, wenn in einem Funktionsterm sowohl gerade als auch ungerade Exponenten vorkommen? - Denk daran, dass eine konstante Zahl wie \(+3\) als \(3 \cdot x^0\) betrachtet werden kann. Ist \(0\) eine gerade oder ungerade Zahl?

1. Berechnung von \( f(-x) \): \( f(-x) = 4(-x)^6 - (-x)^2 + 3 = 4x^6 - x^2 + 3 \). Da \( f(-x) = f(x) \) gilt, ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Berechnung von \( g(-x) \): \( g(-x) = -2(-x)^3 - 5(-x) = 2x^3 + 5x \). Da \( g(-x) = -g(x) \) gilt (\( -g(x) = -(-2x^3 - 5x) = 2x^3 + 5x \)), ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. 3. Berechnung von \( h(-x) \): \( h(-x) = (-x)^4 + (-x) = x^4 - x \). Es gilt weder \( h(-x) = h(x) \) noch \( h(-x) = -h(x) \), da \( -h(x) = -x^4 - x \). Somit liegt keine der untersuchten Symmetrien vor.

1. Achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, da \( f(-x) = f(x) \). 2. Punktsymmetrisch zum Ursprung, da \( g(-x) = -g(x) \). 3. Keine Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung.

- Welche Bedingung muss für die Exponenten einer ganzrationalen Funktion erfüllt sein, damit Achsensymmetrie vorliegt? - Was bedeutet das konkret für die Koeffizienten der Terme mit ungeraden Exponenten? - Untersuche, ob ein Parameterwert beide Bedingungen gleichzeitig erfüllen kann. - Spielt der Koeffizient einer geraden Potenz eine Rolle für diese Symmetrieart?

1. Bei ganzrationalen Funktionen liegt Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse genau dann vor, wenn im Funktionsterm nur gerade Exponenten von \(x\) vorkommen. 2. Die Koeffizienten der ungeraden Potenzen \(x^3\) und \(x^1\) müssen daher den Wert Null annehmen. 3. Aus der Bedingung für \(x^3\) folgt: \(k - 5 = 0 \Rightarrow k = 5\). 4. Einsetzen von \(k = 5\) in den Koeffizienten von \(x^1\) ergibt: \(2 \cdot 5 - 10 = 0\). Die Bedingung ist somit für \(k = 5\) für beide Terme erfüllt. 5. Der Parameter \(m\) ist der Koeffizient von \(x^2\). Da \(x^2\) eine gerade Potenz ist, darf \(m\) jeden beliebigen reellen Wert annehmen, ohne die Symmetrie zu verletzen.

Damit der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist, muss \(k = 5\) gelten. Der Parameter \(m\) kann eine beliebige reelle Zahl sein (\(m \in \mathbb{R}\)).

- Multipliziere die Klammern zuerst vollständig aus, um die einzelnen Potenzen von \(x\) zu sehen. - Welche Exponenten sind bei Punktsymmetrie zum Ursprung erlaubt? - Wie lautet die allgemeine mathematische Bedingung für Punktsymmetrie zum Ursprung, die du für den Nachweis nutzen kannst? - Was passiert mit den Vorzeichen, wenn du \(-x\) in die Funktion einsetzt?

1. Ausmultiplizieren des Terms: \(g(x) = x \cdot (x^2 - 6x + ax - 6a) = x^3 + (a-6)x^2 - 6ax\). 2. Für Punktsymmetrie zum Ursprung dürfen bei ganzrationalen Funktionen nur ungerade Exponenten auftreten. 3. Der Koeffizient des quadratischen Terms \(x^2\) muss daher Null sein: \(a - 6 = 0\), woraus \(a = 6\) folgt. 4. Ein konstanter Term tritt nicht auf; der lineare Term \(-6ax\) wird zu \(-36x\) und ist bei Punktsymmetrie zum Ursprung erlaubt. 5. Rechnerischer Nachweis für \(a = 6\): Die Funktion lautet \(g(x) = x^3 - 36x\). 6. Prüfung der Bedingung \(g(-x) = -g(x)\): \(g(-x) = (-x)^3 - 36(-x) = -x^3 + 36x\). 7. Ausklammern des Minuszeichens: \(-(x^3 - 36x) = -g(x)\). Die Bedingung ist erfüllt.

a) Der Parameter muss den Wert \(a = 6\) annehmen. b) Für \(a = 6\) gilt \(g(x) = x^3 - 36x\). Der Nachweis erfolgt über \(g(-x) = (-x)^3 - 36(-x) = -x^3 + 36x = -(x^3 - 36x) = -g(x)\).

- Welche Bedingung müssen die Exponenten einer ganzrationalen Funktion erfüllen, damit ihr Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist? - Erinnere dich daran, dass „genau eine“ bedeutet, dass es weder null noch zwei oder mehr Nullstellen geben darf. - Kannst du eine Funktion finden, die durch Ausklammern von \(x\) leicht in Faktoren zerlegt werden kann? - Wie viele Nullstellen kann eine Funktion dritten Grades maximal haben?

1. Ansatz einer punktsymmetrischen Funktion mit ungeraden Exponenten: \(f(x) = x^3 - x\). 2. Überprüfung der Symmetrie: Da nur ungerade Exponenten (\(3\) und \(1\)) vorkommen, ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. 3. Berechnung der Nullstellen durch Ausklammern: \(x \cdot (x^2 - 1) = 0\). 4. Anwendung des Satzes vom Nullprodukt ergibt \(x_1 = 0\) und \(x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1\), also \(x_2 = 1\) und \(x_3 = -1\). 5. Da die Funktion drei Nullstellen besitzt, ist die Behauptung, es gäbe genau eine, widerlegt.

Ein mögliches Gegenbeispiel ist \(f(x) = x^3 - x\). Nullstellenberechnung: \(x(x^2 - 1) = 0\) führt zu den drei Nullstellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = -1\). Da die Funktion mehr als eine Nullstelle hat, ist die Behauptung widerlegt.

- Vergleiche die Funktionswerte für \(x = 0{,}5\) und \(x = -0{,}5\). Was fällt dir auf? - Wenn \(f(x) = f(-x)\) ist, welche Art von Exponent muss die Funktion dann haben? - Setze einen bekannten Punkt in die Funktionsgleichung ein, um die Hochzahl zu finden. - Nutze die Symmetrie, um die restlichen Werte ohne erneutes Rechnen zu bestimmen.

1. Aus der Tabelle ist ersichtlich, dass \(h(0{,}5) = h(-0{,}5)\) gilt. Dies entspricht der Bedingung \(h(x) = h(-x)\) für Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse. 2. Da bei Potenzfunktionen \(h(x) = x^n\) Achsensymmetrie nur bei geraden Exponenten auftritt, muss \(n\) eine gerade Zahl sein. 3. Zur Bestimmung von \(n\) wird der Punkt \((2 | 1024)\) genutzt: \(2^n = 1024\). Durch systematisches Probieren oder Zerlegen in Zweierpotenzen ergibt sich \(n = 10\). 4. Berechnung der fehlenden Werte: Wegen der Achsensymmetrie ist \(h(-2) = h(2) = 1024\). 5. Für den Funktionswert \(59\,049\) suchen wir \(x\) mit \(x^{10} = 59\,049\). Da \(3^{10} = 59\,049\), ist der gesuchte positive \(x\)-Wert \(3\). 6. Wegen der Achsensymmetrie gilt \(h(-3) = h(3) = 59\,049\).

a) \(n = 10\) b) Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse, da \(h(x) = h(-x)\) und der Exponent gerade ist. c) Die fehlenden Werte (von oben nach unten) sind: \(h(-2) = 1024\), \(x = 3\), \(h(-3) = 59\,049\).

- Welche Auswirkung hat die Punktsymmetrie zum Ursprung auf den Wert von \(c\) und die Art des Exponenten \(n\)? - Was muss für den Koeffizienten \(a\) gelten, damit der Graph für große \(x\) ins Negative fällt? - Nutze die Koordinaten des Punktes \(P\), um eine Gleichung für \(a\) aufzustellen.

1. Aus der Punktsymmetrie zum Ursprung folgt, dass der Exponent \(n\) ungerade und die Konstante \(c = 0\) sein muss, da \(f(0) = 0\) gelten muss. 2. Die Bedingung \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to \infty\) bedeutet bei ungeradem \(n\), dass der Leitkoeffizient \(a\) negativ sein muss (\(a < 0\)). 3. Da der Punkt \(P(1 \mid -2)\) auf dem Graphen liegt, gilt \(f(1) = -2\). Einsetzen in \(a \cdot 1^n = -2\) ergibt \(a = -2\). 4. Die kleinstmögliche ungerade natürliche Zahl für \(n\) ist \(1\). Da \(a = -2\) negativ ist, sind alle Bedingungen für \(n = 1\) erfüllt. 5. Ergebnis: \(a = -2\), \(n = 1\), \(c = 0\). Die Funktion lautet \(f(x) = -2x\).

Die Werte sind \(a = -2\), \(n = 1\) und \(c = 0\).

- Nutze das Ausklammern von Potenzen von \(x\), um die Nullstellen leichter zu finden. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Exponenten einer ganzrationalen Funktion und der Symmetrie des Graphen. - Eine Nullstelle ist doppelt, wenn der zugehörige Faktor im Quadrat vorkommt.

1. Nullstellenberechnung: Ausklammern führt auf \(g_n(x) = \frac{1}{10}x^{n-2}(x^2 - 16) = \frac{1}{10}x^{n-2}(x - 4)(x + 4)\). 2. Für \(n = 3\): Nullstellen bei \(x_1 = 0\) (einfach), \(x_{2,3} = \pm 4\) (einfach). Da alle Exponenten ungerade sind (\(x^3\), \(x\)), ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. 3. Für \(n = 4\): Nullstelle bei \(x_1 = 0\) (doppelt), \(x_{2,3} = \pm 4\) (einfach). Da alle Exponenten gerade sind (\(x^4\), \(x^2\)), ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse. 4. Für \(n = 5\): \(g_5(x) = \frac{1}{10}(x^5 - 16x^3)\). Da nur ungerade Exponenten auftreten, ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung.

a) \(g_3\) hat einfache Nullstellen bei \(x = -4\), \(x = 0\) und \(x = 4\); \(g_4\) hat eine doppelte Nullstelle bei \(x = 0\) und einfache Nullstellen bei \(x = -4\) und \(x = 4\). b) Der Graph von \(g_3\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung; der Graph von \(g_4\) ist achsensymmetrisch zur y-Achse. c) Da in \(g_5(x) = \frac{1}{10}(x^5 - 16x^3)\) nur ungerade Exponenten vorkommen, ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung.

- Überprüfe, ob die Funktion \(g\) achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch ist. - Berechne den Wert der Funktion an der Stelle \(x = 0\) und vergleiche ihn mit dem Graphen. - Schau dir an, wohin die „Arme“ des Graphen am linken und rechten Rand verlaufen. - Zähle die Anzahl der Extremstellen oder Nullstellen im Vergleich zum Grad der Funktion.

1. Symmetrie: Die Funktion \(g\) enthält nur gerade Exponenten und ist daher achsensymmetrisch zur y-Achse. Der abgebildete Graph ist nicht achsensymmetrisch. 2. y-Achsenabschnitt: \(g(0) = 3\). Der abgebildete Graph schneidet die y-Achse bei \(y = 1\). 3. Nullstelle bei \(x = 1\): Es gilt \(g(1) = 1 - 4 + 3 = 0\), also müsste der Graph durch \((1 \mid 0)\) verlaufen. Der abgebildete Graph liegt dort oberhalb der x-Achse.

Der abgebildete Graph kann nicht zu \(g\) gehören, weil \(g\) achsensymmetrisch zur y-Achse ist, der Graph aber nicht; weil \(g(0) = 3\), der Graph die y-Achse aber bei \(1\) schneidet; und weil \(g(1) = 0\), der dargestellte Graph bei \(x = 1\) jedoch oberhalb der x-Achse liegt.

- Überprüfe, ob die Funktion nur gerade oder nur ungerade Exponenten hat. Was sagt das über die Symmetrie aus? - Achte auf das Vorzeichen vor der höchsten Potenz von \(x\). - Unterscheide zwischen Funktionen 2., 3. und 4. Grades anhand ihrer Form sowie der möglichen Anzahl an Extremstellen und Nullstellen.

1. Symmetrieanalyse: - \(g_1\) und \(g_4\) enthalten nur gerade Exponenten, sind also achsensymmetrisch zur y-Achse. - \(g_2\) und \(g_3\) enthalten nur ungerade Exponenten, sind also punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Globalverhalten und Grad: - \(g_1\) ist vom Grad 4 und achsensymmetrisch. Dies entspricht Graph \(A\). - \(g_4\) ist eine nach oben geöffnete Parabel. Dies entspricht Graph \(D\). - \(g_2\) hat einen positiven Leitkoeffizienten (\(x \to \infty \implies y \to \infty\)). Dies entspricht Graph \(C\). - \(g_3\) hat einen negativen Leitkoeffizienten (\(x \to \infty \implies y \to -\infty\)). Dies entspricht Graph \(B\).

Graph A gehört zu \(g_1(x)\), Graph B zu \(g_3(x)\), Graph C zu \(g_2(x)\) und Graph D zu \(g_4(x)\).

- Sieht die linke Seite des Graphen genauso aus wie die rechte? - Erinnerst du dich an die Regel „Ein Produkt ist null, wenn...“? - Wie viele Stellen findest du in der Software, an denen der Graph die horizontale Achse berührt oder schneidet?

1. Nach dem Zeichnen in der dynamischen Geometriesoftware erkennt man, dass die linke und rechte Graphhälfte Spiegelbilder zueinander sind. Die Symmetrie lässt sich zusätzlich rechnerisch bestätigen: \(h(-x) = 0{,}1(-x)^4 - 1{,}6(-x)^2 = 0{,}1x^4 - 1{,}6x^2 = h(x)\). Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Die Software zeigt den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse im Ursprung: \(O(0 | 0)\). 3. Die Software zeigt die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse bei \((-4 | 0)\), \((0 | 0)\) und \((4 | 0)\). 4. Rechnerische Bestätigung der Nullstellen: Setze \(h(x) = 0\). Nutze den faktorisierten Term \(0{,}1x^2(x^2 - 16) = 0\). 5. Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist. Aus \(0{,}1 \cdot x^2 = 0\) folgt \(x = 0\). Aus \(x^2 - 16 = 0\) folgt \(x^2 = 16\), also \(x = -4\) oder \(x = 4\). 6. Damit sind die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse \(N_1(-4 | 0)\), \(N_2(0 | 0)\) und \(N_3(4 | 0)\). Der Punkt \(N_2\) ist zugleich der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse.

a) Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. b) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \((0 | 0)\). Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: \((-4 | 0)\), \((0 | 0)\) und \((4 | 0)\). c) Aus \(0{,}1x^2(x^2 - 16)=0\) erhält man \(x = 0\) sowie \(x = -4\) und \(x = 4\).

- Welche Exponenten in der Gleichung sind gerade, welche sind ungerade? - Schau dir die Koeffizienten vor den Potenzen an. Welche davon kannst du durch die Wahl von \(a, b\) oder \(c\) beeinflussen und welche sind fest vorgegeben? - Damit eine Symmetrieform vorliegt, müssen die „falschen“ Exponenten verschwinden. Wie erreichst du, dass ein Term verschwindet?

1. Für Punktsymmetrie zum Ursprung dürfen nur ungerade Exponenten mit Koeffizienten ungleich Null auftreten. Die Koeffizienten der geraden Exponenten (\(x^4, x^2, x^0\)) müssen also Null sein. 2. Daraus ergeben sich die Bedingungen: \(a-1 = 0 \Rightarrow a=1\); \(b+3 = 0 \Rightarrow b=-3\); \(c = 0\). Die resultierende Funktion lautet \(g(x) = 2x^3\). 3. Für Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse dürften nur gerade Exponenten auftreten. In der Funktionsgleichung kommt jedoch der Term \(2x^3\) vor. 4. Da der Koeffizient von \(x^3\) fest auf \(2\) eingestellt ist und nicht durch einen Parameter verändert werden kann, bleibt immer ein ungerader Exponent mit einem Koeffizienten ungleich Null bestehen. Somit ist Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse für keine Parameterwahl möglich.

a) \(a=1\), \(b=-3\) und \(c=0\). b) Der Term \(2x^3\) hat einen ungeraden Exponenten. Da sein Koeffizient \(2\) fest vorgegeben ist, kann dieser Term nicht verschwinden. Eine Funktion mit einem ungeraden Exponenten (dessen Koeffizient nicht Null ist) kann nicht achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse sein.

- Nutze die Eigenschaft \(f(-x) = f(x)\) als Ausgangspunkt für deine Rechnungen. - Überprüfe für jede Funktion, ob die Bedingung für Achsensymmetrie (\(g(-x) = g(x)\)) oder Punktsymmetrie (\(g(-x) = -g(x)\)) erfüllt ist. - Überlege dir bei Aufgabenteil c), wie sich eine Verschiebung in \(x\)-Richtung auf die Symmetrie zur \(y\)-Achse auswirkt. - Ein einfaches Beispiel für \(f(x)\), wie etwa \(f(x) = x^2\), kann helfen, eine Vermutung für den allgemeinen Fall aufzustellen.

Da \(f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist, gilt \(f(-x) = f(x)\). 1. Für \(p(x)\): \(p(-x) = f(-x) \cdot (-x) = f(x) \cdot (-x) = -p(x)\). Somit ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Für \(q(x)\): \(q(-x) = f(-x) + (-x)^2 = f(x) + x^2 = q(x)\). Somit ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. Für \(r(x) = f(x+1)\): Angenommen, \(r\) wäre gerade. Dann wäre \(f(1-x) = f(1+x)\). Wegen der Geradheit von \(f\) gilt außerdem \(f(1-x) = f(x-1)\), also \(f(x-1) = f(x+1)\). Damit wäre \(f\) periodisch mit der Periode \(2\), was für ein nichtkonstantes Polynom unmöglich ist. Angenommen, \(r\) wäre ungerade. Dann wäre \(f(1-x) = -f(1+x)\), also wegen \(f(1-x) = f(x-1)\) die Beziehung \(f(x-1) = -f(x+1)\). Zweimaliges Anwenden liefert \(f(x-1) = f(x+3)\), also eine Periode \(4\); auch das ist für ein nichtkonstantes Polynom unmöglich. Daher ist der Graph von \(r\) weder zur \(y\)-Achse noch zum Ursprung symmetrisch.

a) Punktsymmetrisch zum Ursprung b) Achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse c) Keines von beidem

- Setze die Terme \(2+h\) und \(2-h\) für jedes \(x\) in die Funktion ein. - Gehe beim Auflösen der Klammern schrittweise vor, besonders bei den höheren Potenzen. - Kannst du den Funktionsterm \(x^3 - 6x^2 + 12x - 8\) vielleicht mithilfe einer binomischen Formel umschreiben, bevor du einsetzt? - Achte beim Vergleich darauf, dass auf der einen Seite der Gleichung ein Minuszeichen vor dem gesamten Term \(g(2-h)\) steht.

1. Berechnung von \(g(2+h)\): Einsetzen ergibt \((2+h)^3 - 6(2+h)^2 + 12(2+h) - 8\). Ausmultiplizieren der Terme (unter Verwendung von \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)) führt zu \((8 + 12h + 6h^2 + h^3) - 6(4 + 4h + h^2) + (24 + 12h) - 8\). Vereinfacht ergibt dies \(h^3\). 2. Berechnung von \(g(2-h)\): Einsetzen ergibt \((2-h)^3 - 6(2-h)^2 + 12(2-h) - 8\). Ausmultiplizieren führt zu \((8 - 12h + 6h^2 - h^3) - 6(4 - 4h + h^2) + (24 - 12h) - 8\). Vereinfacht ergibt dies \(-h^3\). 3. Überprüfung der Bedingung: Es gilt \(g(2+h) = h^3\) und \(-g(2-h) = -(-h^3) = h^3\). Da \(g(2+h) = -g(2-h)\), ist der Graph punktsymmetrisch zu \(P(2|0)\). Alternativer Weg: Erkennen, dass \(g(x) = (x-2)^3\) gilt. Dann ist \(g(2+h) = (2+h-2)^3 = h^3\) und \(g(2-h) = (2-h-2)^3 = (-h)^3 = -h^3\).

Der Nachweis gelingt durch Einsetzen: Es ergibt sich \(g(2+h) = h^3\) und \(g(2-h) = -h^3\). Da \(h^3 = -(-h^3)\) gilt, ist die Bedingung \(g(2+h) = -g(2-h)\) erfüllt und der Graph somit punktsymmetrisch zu \(P(2|0)\).