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- Überlege dir, wie sich eine Änderung direkt am \(x\)-Wert im Vergleich zu einer Änderung am gesamten Funktionswert auf den Graphen auswirkt. - Welcher Teil der Funktionsgleichung ist für die Form (breit oder schmal) verantwortlich und welcher für die Position im Koordinatensystem? - Erinnere dich an die allgemeine Scheitelpunktform \(a \cdot (x - x_S)^2 + y_S\). Was bedeuten die einzelnen Parameter? - Achte besonders auf das Vorzeichen bei der Verschiebung entlang der \(x\)-Achse.

1. Die Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(3\) führt zum Funktionsterm \(3 \cdot x^2\). 2. Die Verschiebung um \(4\) Einheiten nach links wird durch das Ersetzen von \(x\) durch \((x + 4)\) realisiert, woraus \(3 \cdot (x + 4)^2\) folgt. 3. Die Verschiebung um \(1\) Einheit nach unten erfolgt durch Subtraktion von \(1\) am Ende des Terms: \(g(x) = 3 \cdot (x + 4)^2 - 1\). 4. Der Scheitelpunkt der Normalparabel \((0|0)\) wird entsprechend der Verschiebungen auf den Punkt \(S(-4|-1)\) abgebildet.

Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = 3 \cdot (x + 4)^2 - 1\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(-4|-1)\).

- Vergleiche die Struktur der beiden Funktionsgleichungen. Fällt dir auf, dass \(f(x)\) als Baustein in \(g(x)\) vorkommt? - Welche Auswirkung hat ein Faktor vor dem gesamten Funktionsterm auf den Graphen? - Was passiert mit dem Graphen, wenn am Ende des Funktionsterms eine Zahl addiert wird? - Achte besonders auf das Vorzeichen des Faktors.

1. Der Graph von \(f\) wird zunächst an der \(x\)-Achse gespiegelt und in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(3\) gestreckt. Dies entspricht dem Übergang zu \(-3 \cdot f(x)\). 2. Anschließend wird der so entstandene Graph um \(4\) Einheiten in positive \(y\)-Richtung (nach oben) verschoben. Zusammengefasst ergibt sich die Funktionsgleichung \(g(x) = -3 \cdot f(x) + 4\).

Der Graph von \(g\) entsteht aus dem Graphen von \(f\) durch eine Spiegelung an der \(x\)-Achse, eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(3\) und eine anschließende Verschiebung um \(4\) Einheiten nach oben.

- Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt auf dem Graphen einer Funktion liegt? - Wie kannst du die Koordinaten eines Punktes in eine Funktionsgleichung einsetzen? - Welche Koordinate entspricht dem \(x\)-Wert und welche dem \(y\)-Wert? - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn du negative Zahlen einsetzt und potenziere sie korrekt.

1. Punktprobe für \(A(3; 15)\): Einsetzen von \(x = 3\) ergibt \(f(3) = 3^3 - 4 \cdot 3 = 27 - 12 = 15\). Da der berechnete Wert der \(y\)-Koordinate entspricht, liegt \(A\) auf dem Graphen. 2. Punktprobe für \(B(-2; 0)\): Einsetzen von \(x = -2\) ergibt \(f(-2) = (-2)^3 - 4 \cdot (-2) = -8 + 8 = 0\). Da der berechnete Wert der \(y\)-Koordinate entspricht, liegt \(B\) auf dem Graphen. 3. Punktprobe für \(C(1; 3)\): Einsetzen von \(x = 1\) ergibt \(f(1) = 1^3 - 4 \cdot 1 = 1 - 4 = -3\). Da \(-3 \neq 3\), liegt \(C\) nicht auf dem Graphen. 4. Punktprobe für \(D(-1; 3)\): Einsetzen von \(x = -1\) ergibt \(f(-1) = (-1)^3 - 4 \cdot (-1) = -1 + 4 = 3\). Da der berechnete Wert der \(y\)-Koordinate entspricht, liegt \(D\) auf dem Graphen.

Die Punkte \(A\), \(B\) und \(D\) liegen auf dem Graphen der Funktion \(f\). Der Punkt \(C\) liegt nicht auf dem Graphen.

- Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt auf einem Graphen liegt? - Wie kannst du eine Gleichung nach \(x\) auflösen, wenn \(x\) in der fünften Potenz steht? - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl mit einem ungeraden Exponenten potenzierst. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Dezimalzahlen und Brüchen, falls dir das Rechnen mit Kommazahlen schwerfällt.

1. Für Punkt \(A\): Einsetzen von \(x = 3\) in \(y = x^5\) ergibt \(y = 3^5 = 243\). Somit ist \(A(3; 243)\). 2. Für Punkt \(B\): Einsetzen von \(y = -32\) ergibt \(-32 = x^5\). Ziehen der 5. Wurzel liefert \(x = \sqrt[5]{-32} = -2\). Somit ist \(B(-2; -32)\). 3. Für Punkt \(C\): Einsetzen von \(x = -0{,}1\) ergibt \(y = (-0{,}1)^5 = -0{,}000\,01\). Somit ist \(C(-0{,}1; -0{,}000\,01)\). 4. Für Punkt \(D\): Einsetzen von \(y = 0\) ergibt \(0 = x^5\), woraus direkt \(x = 0\) folgt. Somit ist \(D(0; 0)\). 5. Für Punkt \(E\): Einsetzen von \(x = 0{,}5\) ergibt \(y = (0{,}5)^5 = 0{,}031\,25\). Somit ist \(E(0{,}5; 0{,}031\,25)\).

a) \(A(3; 243)\) b) \(B(-2; -32)\) c) \(C(-0{,}1; -0{,}000\,01)\) d) \(D(0; 0)\) e) \(E(0{,}5; 0{,}031\,25)\)

- Gehe die Funktionsgleichung von links nach rechts durch und bestimme für jeden Parameter seine geometrische Bedeutung. - Was bewirkt ein Minuszeichen vor dem gesamten Term? - Unterscheide zwischen Faktoren, die den Graphen steiler oder flacher machen, und Summanden, die ihn verschieben. - Wie erkennst du an der Gleichung, ob der Graph nach links oder rechts verschoben wurde?

1. Spiegelung an der \(x\)-Achse aufgrund des negativen Vorzeichens vor dem Streckungsfaktor. 2. Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\), wodurch der Graph flacher verläuft als der von \(f\). 3. Verschiebung um \(2\) Einheiten in positive \(x\)-Richtung (nach rechts). 4. Verschiebung um \(3\) Einheiten in positive \(y\)-Richtung (nach oben). 5. Der Graph ist nach unten geöffnet (wegen der Spiegelung) und im Vergleich zur Grundfunktion „gestaucht“ bzw. weiter geöffnet.

Der Graph von \(h\) entsteht aus \(f(x) = x^4\) durch Spiegelung an der \(x\)-Achse, Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\), Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts und Verschiebung um \(3\) Einheiten nach oben. Der Graph ist nach unten geöffnet und verläuft flacher (ist weiter) als die Grundfunktion.

- Führe die beschriebenen Schritte nacheinander am Funktionsterm durch. - Achte darauf, ob eine Streckung auf die bereits verschobene Funktion angewendet wird (Klammersetzung!). - Prüfe durch Ausmultiplizieren, ob verschiedene Beschreibungen zum selben Ziel führen können.

1. Untersuchung von Lukas' Vorgehen: Streckung von \(x^2\) mit Faktor 3 ergibt \(3x^2\). Anschließende Verschiebung um 12 nach unten ergibt \(3x^2 - 12\). Dies entspricht \(f(x)\). 2. Untersuchung von Annas Vorgehen: Verschiebung von \(x^2\) um 4 nach unten ergibt \(x^2 - 4\). Die anschließende Streckung des gesamten Graphen mit Faktor 3 bedeutet, dass der gesamte Term multipliziert wird: \(3 \cdot (x^2 - 4)\). 3. Ausmultiplizieren des Terms von Anna: \(3 \cdot x^2 - 3 \cdot 4 = 3x^2 - 12\). Dies entspricht ebenfalls \(f(x)\). 4. Ergebnis: Beide haben recht, da beide Wege zur korrekten Funktionsgleichung führen.

Beide haben recht. Lukas: \(x^2 \xrightarrow{\text{Streckung}} 3x^2 \xrightarrow{\text{Verschiebung}} 3x^2 - 12\). Anna: \(x^2 \xrightarrow{\text{Verschiebung}} x^2 - 4 \xrightarrow{\text{Streckung}} 3 \cdot (x^2 - 4) = 3x^2 - 12\).

- Was passiert mathematisch mit dem Term, wenn du einen Graphen an der \(x\)-Achse spiegelst? - Überlege dir, ob das Vorzeichen der Verschiebung durch eine spätere Spiegelung beeinflusst wird. - Notiere dir nach jedem Teilschritt die neue Funktionsgleichung.

1. Analyse von Beschreibung 1: Schritt 1 ergibt \(2x^2\). Schritt 2 ergibt \(2x^2 + 6\). Schritt 3 (Spiegelung des gesamten Graphen) ergibt \(-(2x^2 + 6) = -2x^2 - 6\). Dies ist ungleich \(k(x)\). 2. Analyse von Beschreibung 2: Schritt 1 ergibt \(-x^2\). Schritt 2 ergibt \(-2x^2\). Schritt 3 ergibt \(-2x^2 + 6\). Dies entspricht exakt \(k(x)\). 3. Ergebnis: Nur Beschreibung 2 ist korrekt.

Nur Beschreibung 2 ist korrekt. Bei Beschreibung 1 würde die Spiegelung am Ende auch die Verschiebung umkehren, was zu \(y = -2x^2 - 6\) führen würde.

- Überlege dir zuerst, wie du den Ausdruck in der Klammer, also das \((x+2)\), zu einem einfachen \(x\) umwandeln kannst. - Wie kannst du den Faktor \(0{,}25\) vor der Klammer „neutralisieren“, damit dort eine \(1\) steht? - Welcher letzte Schritt ist nötig, um die Konstante \(-5\) am Ende der Gleichung zu erhalten? - Die Reihenfolge von Streckungen und Verschiebungen in \(y\)-Richtung ist wichtig – probiere aus, was zuerst passieren muss.

1. Verschiebung des Graphen von \(f\) um \(2\) Einheiten in positive \(x\)-Richtung (nach rechts), um den Term \((x+2)^3\) zu \(x^3\) zu transformieren: \(f_1(x) = f(x-2) = 0{,}25 \cdot x^3\). 2. Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\), um den Vorfaktor \(0{,}25\) zu eliminieren: \(f_2(x) = 4 \cdot f_1(x) = x^3\). 3. Verschiebung um \(5\) Einheiten in negative \(y\)-Richtung (nach unten), um die Zielvorgabe zu erreichen: \(g(x) = f_2(x) - 5 = x^3 - 5\).

Man erhält den Graphen von \(g\) aus dem Graphen von \(f\) durch: 1. Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts. 2. Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\). 3. Verschiebung um \(5\) Einheiten nach unten.

- Was passiert mit dem Funktionsterm, wenn man den Graphen an der \(x\)-Achse spiegelt? - Wie verändert sich die Variable \(x\), wenn der Graph entlang der \(x\)-Achse verschoben wird? - Welche Rechenoperation führt zu einer Verschiebung oder Streckung in \(y\)-Richtung? - Achte darauf, den gesamten Funktionsterm zu klammern, wenn du eine Transformation auf die gesamte Funktion anwendest.

1. Spiegelung an der \(x\)-Achse entspricht der Multiplikation des Funktionsterms mit \(-1\): \(-f(x) = -(x^3 - 3x) = -x^3 + 3x\). 2. Verschiebung um \(2\) Einheiten in positive \(y\)-Richtung entspricht der Addition von \(2\): \(g(x) = -x^3 + 3x + 2\). 3. Verschiebung um \(4\) Einheiten in positive \(x\)-Richtung bedeutet Ersetzung von \(x\) durch \((x-4)\): \(f(x-4) = (x-4)^3 - 3 \cdot (x-4)\). 4. Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) bedeutet Multiplikation des gesamten Terms mit \(0{,}5\): \(h(x) = 0{,}5 \cdot ((x-4)^3 - 3 \cdot (x-4))\).

a) \(g(x) = -x^3 + 3x + 2\) b) \(h(x) = 0{,}5 \cdot ((x-4)^3 - 3 \cdot (x-4))\) oder \(h(x) = 0{,}5 \cdot (x-4)^3 - 1{,}5 \cdot (x-4)\)

- Untersuche, ob die Variable \(x\) im Funktionsterm direkt durch einen Ausdruck wie \((x+d)\) ersetzt wurde. - Prüfe, ob du den Funktionsterm so umformen kannst, dass der ursprüngliche Term \(p(x)\) als Baustein erkennbar wird. - Überlege, welche Auswirkungen Vorzeichenänderungen und Faktoren vor dem gesamten Funktionsterm auf das Aussehen des Graphen haben. - Was bedeutet eine Konstante, die am Ende des Funktionsterms addiert oder subtrahiert wird?

1. Vergleich von \(q(x)\) mit \(p(x)\): In \(p(x)\) wurde jedes \(x\) durch \((x+3)\) ersetzt, also gilt \(q(x) = p(x+3)\). Dies entspricht einer Verschiebung um \(3\) Einheiten in negative \(x\)-Richtung (nach links). 2. Untersuchung von \(r(x)\): Ausklammern von \(-2\) aus den ersten beiden Gliedern ergibt \(r(x) = -2 \cdot (x^4 - 5x^2) - 3\). 3. Identifikation als \(r(x) = -2 \cdot p(x) - 3\). 4. Die Transformationen für \(r\) sind: Eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\), eine Spiegelung an der \(x\)-Achse (zusammengefasst als Streckung mit Faktor \(-2\)) und eine Verschiebung um \(3\) Einheiten in negative \(y\)-Richtung (nach unten).

a) Verschiebung um \(3\) Einheiten nach links (in negative \(x\)-Richtung). b) Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\), Spiegelung an der \(x\)-Achse und Verschiebung um \(3\) Einheiten nach unten (in negative \(y\)-Richtung).

- Wie kannst du an den Exponenten der Funktionsgleichung direkt die Symmetrie erkennen? - Welches Verfahren eignet sich am besten, um eine Gleichung der Form \(x^4 - 4x^2 = 0\) zu lösen? - Erinnere dich an die notwendigen und hinreichenden Kriterien für Extremstellen (Ableitungen). - Welcher Teil des Funktionsterms bestimmt, wohin die „Arme“ des Graphen für sehr große \(x\) zeigen?

1. Da nur gerade Exponenten vorkommen, gilt \(f(-x) = (-x)^4 - 4(-x)^2 = x^4 - 4x^2 = f(x)\). Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Nullstellen durch Ausklammern: \(x^2 \cdot (x^2 - 4) = 0\) ergibt \(x_1 = 0\) (doppelt), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\). Die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse sind \((0|0)\), \((2|0)\) und \((-2|0)\). 3. Erste Ableitung: \(f'(x) = 4x^3 - 8x\). Nullsetzen der ersten Ableitung: \(4x \cdot (x^2 - 2) = 0\) liefert die Extremstellen \(x_E \in \{0; \sqrt{2}; -\sqrt{2}\}\). Zweite Ableitung: \(f''(x) = 12x^2 - 8\). Überprüfung: \(f''(0) = -8 < 0 \Rightarrow\) Hochpunkt \(H(0|0)\). \(f''(\sqrt{2}) = 12 \cdot 2 - 8 = 16 > 0 \Rightarrow\) Tiefpunkt \(T_1(\sqrt{2}|-4)\). Aufgrund der Symmetrie liegt der zweite Tiefpunkt bei \(T_2(-\sqrt{2}|-4)\). 4. Für \(x \to \pm\infty\) dominiert das Glied mit der höchsten Potenz \(x^4\). Da der Koeffizient positiv ist, gilt \(f(x) \to \infty\) für \(x \to \pm\infty\).

Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Die Nullstellen liegen bei \(x = 0\) (Berührpunkt), \(x = 2\) und \(x = -2\). Es gibt einen lokalen Hochpunkt bei \(H(0|0)\) und zwei lokale Tiefpunkte bei \(T_1(\sqrt{2}|-4)\) und \(T_2(-\sqrt{2}|-4)\). Für \(x \to \pm\infty\) strebt \(f(x)\) gegen \(+\infty\).

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl mit einer geraden Zahl potenzierst? - Erinnere dich an die Potenzgesetze, insbesondere wie man eine Potenz selbst noch einmal potenziert. - Wie hängen Quadratwurzeln und Quadrate zusammen? Das könnte beim Rechnen mit \(\sqrt{2}\) helfen. - Achte beim Einsetzen von Termen wie \(2a\) darauf, den gesamten Ausdruck zu potenzieren.

1. Berechnung der Werte für \(x=0{,}5\): \(f(0{,}5) = (0{,}5)^4 = 0{,}0625\) und \(g(0{,}5) = (0{,}5)^6 = 0{,}015\,625\). 2. Berechnung der Werte für \(x=2\): \(f(2) = 2^4 = 16\) und \(g(2) = 2^6 = 64\). 3. Bestimmung von \(f(-3)\) und \(g(-1{,}5)\): \(f(-3) = (-3)^4 = 81\) und \(g(-1{,}5) = (-1{,}5)^6 = 11{,}390\,625\). 4. Berechnung mit Wurzeln: \(g(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^6 = ((\sqrt{2})^2)^3 = 2^3 = 8\). 5. Einsetzen von Variablen: \(f(2a) = (2a)^4 = 2^4 \cdot a^4 = 16a^4\) und \(g(a^2) = (a^2)^6 = a^{2 \cdot 6} = a^{12}\).

a) \(f(0{,}5) = 0{,}0625\); \(g(0{,}5) = 0{,}015\,625\); \(f(2) = 16\); \(g(2) = 64\) b) \(f(-3) = 81\); \(g(-1{,}5) = 11{,}390\,625\) c) \(g(\sqrt{2}) = 8\) d) \(f(2a) = 16a^4\); \(g(a^2) = a^{12}\)

- Überlege dir zuerst, welches Vorzeichen das Ergebnis bei einem ungeraden Exponenten hat, wenn die Basis negativ ist. - Was bedeutet die fünfte Wurzel mathematisch, wenn sie mit 5 potenziert wird? - Nutze die Potenzgesetze, um Ausdrücke wie \((a^3b)^5\) zu vereinfachen. - Kannst du ein Muster bei den Werten von \(x\) und \(-x\) erkennen?

1. Berechnung der ganzzahligen Werte: \(f(-2) = (-2)^5 = -32\); \(f(-1) = (-1)^5 = -1\); \(f(0) = 0^5 = 0\); \(f(1) = 1^5 = 1\); \(f(2) = 2^5 = 32\). 2. Dezimalzahlen einsetzen: \(f(0{,}2) = (0{,}2)^5 = 0{,}000\,32\) und \(f(-0{,}4) = (-0{,}4)^5 = -0{,}010\,24\). 3. Anwendung der Definition der \(n\)-ten Wurzel: \(f(\sqrt[5]{12}) = (\sqrt[5]{12})^5 = 12\). 4. Rechnen mit Variablen unter Beachtung des ungeraden Exponenten: \(f(-a) = (-a)^5 = -a^5\) und \(f(a^3b) = (a^3b)^5 = (a^3)^5 \cdot b^5 = a^{15}b^5\).

a) \(f(-2) = -32\); \(f(-1) = -1\); \(f(0) = 0\); \(f(1) = 1\); \(f(2) = 32\) b) \(f(0{,}2) = 0{,}000\,32\); \(f(-0{,}4) = -0{,}010\,24\) c) \(f(\sqrt[5]{12}) = 12\) d) \(f(-a) = -a^5\); \(f(a^3b) = a^{15}b^5\)

- Wie kannst du eine bekannte Information über einen Punkt nutzen, um eine Unbekannte in der Funktionsgleichung zu finden? - Setze den Punkt \(P\) ein und stelle die Gleichung nach \(a\) um. - Wenn du die vollständige Funktionsgleichung hast, wie gehst du dann bei der Überprüfung eines weiteren Punktes vor? - Denke daran, dass beim Potenzieren negativer Zahlen mit geraden Exponenten das Ergebnis positiv wird.

1. Zur Bestimmung von \(a\) werden die Koordinaten von \(P(2; 4)\) in die Funktionsgleichung eingesetzt: \(4 = a \cdot 2^4 - 2 \cdot 2^2\). 2. Berechnung der Potenzen: \(4 = 16a - 8\). 3. Auflösen der Gleichung nach \(a\): \(12 = 16a \implies a = \frac{12}{16} = 0{,}75\). Die Funktionsgleichung lautet somit \(f(x) = 0{,}75x^4 - 2x^2\). 4. Für die Punktprobe von \(Q(-1; -1{,}25)\) wird \(x = -1\) in die neue Gleichung eingesetzt: \(f(-1) = 0{,}75 \cdot (-1)^4 - 2 \cdot (-1)^2\). 5. Berechnung des Funktionswerts: \(f(-1) = 0{,}75 \cdot 1 - 2 \cdot 1 = 0{,}75 - 2 = -1{,}25\). 6. Da der berechnete Wert exakt der \(y\)-Koordinate von \(Q\) entspricht, liegt der Punkt auf dem Graphen.

a) \(a = 0{,}75\) b) Ja, der Punkt \(Q(-1; -1{,}25)\) liegt auf dem Graphen der Funktion.

- Welchen Einfluss hat ein gerader Exponent auf das Vorzeichen des Ergebnisses? - Wenn \(x^6\) einen positiven Wert ergibt, wie viele Möglichkeiten gibt es dann für den Wert von \(x\)? - Überlege dir bei großen Zahlen wie \(1\,000\,000\), ob du sie als Zehnerpotenz schreiben kannst. - Wie verhält sich die Funktion an der Stelle \(x = 0\)?

1. Für \(P_1\): Berechne \(y = (-2)^6 = 64\). Das Ergebnis ist positiv, da der Exponent gerade ist. 2. Für \(P_2\): Löse \(1 = x^6\). Da der Exponent gerade ist, gibt es zwei Lösungen: \(x = 1\) oder \(x = -1\). 3. Für \(P_3\): Berechne \(y = (0{,}5)^6 = (\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{64} = 0{,}015\,625\). 4. Für \(P_4\): Löse \(1\,000\,000 = x^6\). Die 6. Wurzel aus \(10^6\) ist \(10\). Wegen des geraden Exponenten sind \(x = 10\) und \(x = -10\) Lösungen. 5. Für \(P_5\): Löse \(0 = x^6\). Hier gibt es nur die Lösung \(x = 0\).

a) \(P_1(-2; 64)\) b) \(P_2(1; 1)\) oder \(P_2(-1; 1)\) c) \(P_3(0{,}5; 0{,}015\,625)\) d) \(P_4(10; 1\,000\,000)\) oder \(P_4(-10; 1\,000\,000)\) e) \(P_5(0; 0)\)

- Was passiert mit den Funktionswerten, wenn man die gesamte Funktion mit einer Zahl multipliziert? - Überlege dir, welche Auswirkung ein negatives Vorzeichen vor dem Streckungsfaktor auf den Graphen hat. - Untersuche die Differenzen der Funktionswerte, um den Typ der Funktion (linear, quadratisch, ...) zu bestimmen. - Wie verändert ein Faktor vor dem gesamten Funktionsterm die einzelnen Glieder des Terms?

1. Berechnung der Funktionswerte für \(g(x) = 2{,}5 \cdot f(x)\): \(g(-2) = 2{,}5 \cdot (-4) = -10\); \(g(-1) = 2{,}5 \cdot 2 = 5\); \(g(0) = 2{,}5 \cdot 4 = 10\); \(g(1) = 2{,}5 \cdot 2 = 5\); \(g(2) = 2{,}5 \cdot (-4) = -10\); \(g(3) = 2{,}5 \cdot (-14) = -35\). 2. Berechnung der Funktionswerte für \(h(x) = -0{,}5 \cdot f(x)\): \(h(-2) = -0{,}5 \cdot (-4) = 2\); \(h(-1) = -0{,}5 \cdot 2 = -1\); \(h(0) = -0{,}5 \cdot 4 = -2\); \(h(1) = -0{,}5 \cdot 2 = -1\); \(h(2) = -0{,}5 \cdot (-4) = 2\); \(h(3) = -0{,}5 \cdot (-14) = 7\). 3. Geometrische Interpretation: Der Graph von \(g\) entsteht durch Streckung von \(f\) in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2{,}5\). Der Graph von \(h\) entsteht durch Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) und anschließende Spiegelung an der \(x\)-Achse. 4. Bestimmung des Funktionsterms: Da die zweiten Differenzen der \(y\)-Werte konstant \(-4\) sind, handelt es sich um eine quadratische Funktion der Form \(f(x) = ax^2 + bx + c\). Mit \(f(0) = 4\) folgt \(c = 4\). Wegen \(f(-1) = f(1)\) gilt \(b = 0\). Mit \(f(1) = 2\) folgt \(a + 4 = 2\), also \(a = -2\). Somit \(f(x) = -2x^2 + 4\). 5. Transformation der Terme: \(g(x) = 2{,}5 \cdot (-2x^2 + 4) = -5x^2 + 10\) und \(h(x) = -0{,}5 \cdot (-2x^2 + 4) = x^2 - 2\).

a) Wertetabelle \(g(x)\): \((-2|-10), (-1|5), (0|10), (1|5), (2|-10), (3|-35)\). Wertetabelle \(h(x)\): \((-2|2), (-1|-1), (0|-2), (1|-1), (2|2), (3|7)\). b) \(g\) entsteht durch Streckung in \(y\)-Richtung (Faktor \(2{,}5\)). \(h\) entsteht durch Stauchung in \(y\)-Richtung (Faktor \(0{,}5\)) und Spiegelung an der \(x\)-Achse. c) \(f(x) = -2x^2 + 4\); \(g(x) = -5x^2 + 10\); \(h(x) = x^2 - 2\).

- Wenn in einer Gleichung nur \(x^4\) und \(x^2\) vorkommen, kannst du \(x^2\) durch einen anderen Buchstaben ersetzen, um eine quadratische Gleichung zu erhalten. - Vergiss bei der Rücksubstitution nicht, dass eine positive Zahl zwei Quadratwurzeln hat. - Wie viele Extremstellen kann eine Funktion vierten Grades maximal haben? - Nutze die berechneten Punkte (Nullstellen, Minima, Maxima), um den Graphen präzise zu skizzieren.

1. Nullstellen: \(-\frac{1}{2}x^4 + 4x^2 - 6 = 0 \Leftrightarrow x^4 - 8x^2 + 12 = 0\). Substitution \(u = x^2\): \(u^2 - 8u + 12 = 0\). Mit der pq-Formel ergeben sich \(u_1 = 6\) und \(u_2 = 2\). Rücksubstitution: \(x_{1,2} = \pm\sqrt{6} \approx \pm 2{,}45\) und \(x_{3,4} = \pm\sqrt{2} \approx \pm 1{,}41\). 2. Ableitungen: \(f'(x) = -2x^3 + 8x\) und \(f''(x) = -6x^2 + 8\). Extremstellen bestimmen: \(-2x \cdot (x^2 - 4) = 0 \Rightarrow x_E \in \{0; 2; -2\}\). Art bestimmen: \(f''(0) = 8 > 0 \Rightarrow\) lokales Minimum bei \(T(0|-6)\). \(f''(2) = -6 \cdot 4 + 8 = -16 < 0 \Rightarrow\) lokales Maximum bei \(H_1(2|2)\). Aufgrund der Achsensymmetrie (nur gerade Exponenten) liegt das zweite Maximum bei \(H_2(-2|2)\). 3. Für die Skizze sollten die Punkte \(T(0|-6)\), \(H_1(2|2)\), \(H_2(-2|2)\) sowie die vier Nullstellen markiert und glatt verbunden werden. Da der Leitkoeffizient negativ ist (\(-0{,}5\)), kommt der Graph von \(-\infty\) und geht nach \(-\infty\).

Die Nullstellen liegen bei \(x = \pm\sqrt{6}\) und \(x = \pm\sqrt{2}\). Die Funktion besitzt zwei lokale Maxima bei \(H_1(2|2)\) und \(H_2(-2|2)\) sowie ein lokales Minimum bei \(T(0|-6)\). Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und öffnet sich nach unten.

- Nutze einen bekannten Punkt aus der Tabelle und den Funktionsterm von \(p\), um den unbekannten Faktor zu berechnen. - Erinnere dich daran, wie das Vorzeichen und der Betrag eines Faktors vor einer Funktion deren Aussehen verändern. - Wie findet man die Stellen, an denen ein Produkt null wird? - Überlege dir grafisch: Wenn ein Punkt auf der \(x\)-Achse liegt, welchen \(y\)-Wert hat er dann? Was passiert mit diesem Wert bei einer Multiplikation?

1. Berechnung von \(p(-1)\) zur Bestimmung von \(k\): \(p(-1) = \frac{1}{4}(-1)^4 - (-1)^2 = \frac{1}{4} - 1 = -0{,}75\). 2. Aufstellen der Gleichung für \(k\): \(q(-1) = k \cdot p(-1) \Rightarrow 1{,}5 = k \cdot (-0{,}75)\). Daraus folgt \(k = \frac{1{,}5}{-0{,}75} = -2\). 3. Geometrische Beschreibung: Der Graph von \(q\) geht aus \(p\) durch eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\) und eine Spiegelung an der \(x\)-Achse hervor. 4. Nullstellen von \(p\): \(\frac{1}{4}x^4 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 \cdot (\frac{1}{4}x^2 - 1) = 0\). Dies liefert \(x_1 = 0\) (doppelt) sowie \(\frac{1}{4}x^2 = 1 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x_{2,3} = \pm 2\). Die Nullstellen sind \(\{-2; 0; 2\}\). 5. Vergleich und Eigenschaft: Die Nullstellen von \(q\) sind identisch mit denen von \(p\), da \(k \cdot p(x) = 0\) genau dann erfüllt ist, wenn \(p(x) = 0\) (für \(k \neq 0\)). Eine Streckung in \(y\)-Richtung ändert die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse nicht.

a) \(k = -2\). b) Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(2\) und Spiegelung an der \(x\)-Achse. c) Nullstellen von \(p\): \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0\), \(x_3 = 2\). Die Nullstellen von \(q\) sind dieselben. Allgemeine Eigenschaft: Die Nullstellen bleiben bei einer Transformation der Form \(g(x) = k \cdot f(x)\) (mit \(k \neq 0\)) unverändert.