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Untersuche die Funktion \(h\) mit der Gleichung \(h(x) = 0{,}1x^4 - 1{,}6x^2\).
a) Zeichne den Graphen mit einer dynamischen Geometriesoftware. Welche Symmetrie weist der Graph bezüglich der Koordinatenachsen auf?
b) Bestimme mithilfe der Software alle Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse und der \(y\)-Achse.
c) Bestätige die Nullstellen rechnerisch, indem du den Term \(0{,}1 \cdot x^2 \cdot (x^2 - 16)\) betrachtest.
Denkanstöße
- Sieht die linke Seite des Graphen genauso aus wie die rechte?
- Erinnerst du dich an die Regel „Ein Produkt ist null, wenn...“?
- Wie viele Stellen findest du in der Software, an denen der Graph die horizontale Achse berührt oder schneidet?
Lösung
1. Symmetrie: Da nur gerade Exponenten vorkommen, ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.
2. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(h(0) = 0{,}1 \cdot 0^4 - 1{,}6 \cdot 0^2 = 0\). Der Punkt ist der Ursprung \(O(0 | 0)\).
3. Nullstellen berechnen: Setze \(h(x) = 0\). Nutze den faktorisierten Term \(0{,}1 \cdot x^2 \cdot (x^2 - 16) = 0\).
4. Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist. Erster Faktor: \(0{,}1 \cdot x^2 = 0 \Rightarrow x_1 = 0\).
5. Zweiter Faktor: \(x^2 - 16 = 0 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x_2 = 4\) und \(x_3 = -4\).
6. Die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse sind \(N_1(-4 | 0)\), \(N_2(0 | 0)\) und \(N_3(4 | 0)\). Da \(N_2\) auch der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist, ist dies der Koordinatenursprung.
Antwort
a) Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.
b) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \((0 | 0)\). Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: \((-4 | 0)\), \((0 | 0)\) und \((4 | 0)\).
c) Durch das Nullsetzen der Faktoren erhält man \(x^2 = 0\) (also \(x = 0\)) und \(x^2 = 16\) (also \(x = 4\) oder \(x = -4\)).
