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- Zähle die Endpunkte je erstem Ast. - Berücksichtige die eine gesperrte Kombination.

1. Räume A, B und C: jeweils \(3\) Zeitblöcke, also \(3\cdot3=9\). 2. Raum D: nur \(2\) zulässige Zeitblöcke. 3. Gesamtzahl: \(9+2=11\).

11 zulässige Kombinationen.

- Überlege dir, wie viele verschiedene Ergebnisse pro Wurf für die Fragestellung wichtig sind. - Was müsste man über die Treffsicherheit des Spielers über den gesamten Zeitraum annehmen? - Spielt es für den zweiten Wurf eine Rolle, ob der erste Wurf ein Treffer war? - Welche mathematischen Eigenschaften definieren eine Bernoulli-Kette?

1. Definition der Ergebnisse: Jeder Wurf wird als Einzelversuch mit genau zwei möglichen Ausgängen betrachtet: „Treffer“ (Erfolg) und „kein Treffer“ (Misserfolg). 2. Konstanz der Wahrscheinlichkeit: Es wird vorausgesetzt, dass die Trefferwahrscheinlichkeit für jeden der 12 Würfe konstant bei \(p = 0{,}8\) bleibt (keine Ermüdung oder Lerneffekte). 3. Unabhängigkeit der Versuche: Die einzelnen Würfe müssen voneinander unabhängig sein, das heißt, das Ergebnis eines Wurfs darf die Wahrscheinlichkeit für die nachfolgenden Würfe nicht beeinflussen. 4. Bestimmung der Kettenlänge: Da der Vorgang 12-mal unter denselben Bedingungen wiederholt wird, ergibt sich eine Bernoulli-Kette der Länge \(n = 12\).

Das Experiment kann als Bernoulli-Kette modelliert werden, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: 1. Es gibt nur zwei relevante Ergebnisse (Treffer/Fehlwurf). 2. Die Trefferwahrscheinlichkeit bleibt für alle 12 Würfe konstant bei \(p = 0{,}8\). 3. Die Würfe sind stochastisch unabhängig voneinander. Da diese Bedingungen hier als idealisiert gegeben vorausgesetzt werden können, liegt eine Bernoulli-Kette mit \(n = 12\) vor.

- Überlege dir, ob es bei jedem einzelnen Versuch genau zwei mögliche Ergebnisse (Treffer/Nichttreffer) gibt. - Prüfe, ob die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer bei jeder Wiederholung absolut gleich bleibt. - Ist die Anzahl der Versuche von vornherein fest vorgegeben oder ändert sie sich je nach Verlauf? - Spielt es eine Rolle, ob Objekte nach der Ziehung wieder zurückgelegt werden oder nicht?

1. Teilaufgabe a): Ja, es ist eine Bernoulli-Kette. Treffer: „Primzahl“ (2, 3 oder 5). Da es 3 günstige von 6 möglichen Ergebnissen gibt, ist \(p = \frac{3}{6} = 0{,}5\). Die Länge der Kette beträgt \(n = 12\). 2. Teilaufgabe b): Nein, es ist keine Bernoulli-Kette. Da die Stifte ohne Zurücklegen entnommen werden, ändert sich die Wahrscheinlichkeit für einen roten Stift mit jedem Zug (Abhängigkeit der Versuche). 3. Teilaufgabe c): Nein, es ist keine Bernoulli-Kette. Bei einer Bernoulli-Kette muss die Anzahl der Versuche \(n\) im Vorhinein feststehen. Hier ist die Anzahl der Würfe variabel und hängt vom Erfolg ab. 4. Teilaufgabe d): Ja, es ist eine Bernoulli-Kette. Treffer: „Farbe Gelb“. Da die Sektoren gleich groß sind, ist \(p = \frac{1}{3}\). Die Länge der Kette beträgt \(n = 20\).

a) Ja; Treffer: Primzahl; \(n = 12\); \(p = 0{,}5\). b) Nein; Wahrscheinlichkeit ändert sich (ohne Zurücklegen). c) Nein; Versuchsanzahl \(n\) ist nicht fest vorgegeben. d) Ja; Treffer: Gelb; \(n = 20\); \(p = \frac{1}{3}\).

- Wie viele verschiedene Ausgänge darf ein Experiment haben, damit man es einen Bernoulli-Versuch nennt? - Kann man mehrere Ergebnisse zu einer Gruppe (einem Ereignis) zusammenfassen, um die Bedingung zu erfüllen? - Schau dir an, wie viele Kategorien am Ende jeweils unterschieden werden.

1. Ein Bernoulli-Versuch ist dadurch definiert, dass es genau zwei mögliche Ergebnisse gibt, die oft als Erfolg und Misserfolg bezeichnet werden. 2. Zu a): Es liegen sechs verschiedene mögliche Ergebnisse vor (\(1, 2, 3, 4, 5, 6\)). Da dies mehr als zwei sind, ist es kein Bernoulli-Versuch. 3. Zu b): Die Ergebnismenge wird in zwei komplementäre Gruppen unterteilt (Primzahl oder keine Primzahl). Da es nur diese zwei Möglichkeiten gibt, handelt es sich um einen Bernoulli-Versuch. 4. Zu c): Auch hier gibt es nur zwei Möglichkeiten (Augenzahl \(> 4\) oder Augenzahl \(\leq 4\)). Somit liegt ein Bernoulli-Versuch vor.

a) Nein, es ist kein Bernoulli-Versuch. b) Ja, es ist ein Bernoulli-Versuch. c) Ja, es ist ein Bernoulli-Versuch.

- Wie viele verschiedene Pfade führen zu dem Ereignis „genau zwei rote Kugeln“? - Ändern sich die Wahrscheinlichkeiten bei den einzelnen Zügen, wenn die Kugel zurückgelegt wird? - Überlege, wie oft du eine rote und wie oft du eine blaue Kugel ziehen musst.

1. Einzelwahrscheinlichkeiten bestimmen: \(P(\text{rot}) = \frac{2}{5} = 0{,}4\) und \(P(\text{blau}) = \frac{3}{5} = 0{,}6\). 2. Mögliche Pfade für genau zwei rote Kugeln identifizieren: (rot, rot, blau), (rot, blau, rot), (blau, rot, rot). 3. Wahrscheinlichkeit eines solchen Pfades berechnen: \(0{,}4 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}6 = 0{,}096\). 4. Gesamtwahrscheinlichkeit durch Addition der drei gleich wahrscheinlichen Pfade ermitteln: \(3 \cdot 0{,}096 = 0{,}288\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}288\) (bzw. \(28{,}8\,\%\)).

- Überlege dir, wie viele Möglichkeiten es für jedes Ereignis gibt. Ein Baumdiagramm kann hier sehr hilfreich sein. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit entlang eines Pfades im Baumdiagramm? - Wenn nach „mindestens zwei“ gefragt wird, welche einzelnen Ergebnisse erfüllen diese Bedingung? - Denke an die Gegenwahrscheinlichkeit, falls das Rechnen mit allen Möglichkeiten zu aufwendig wird.

Es handelt sich um ein dreistufiges Zufallsexperiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}7\) und der Misserfolgswahrscheinlichkeit \(q = 1 - 0{,}7 = 0{,}3\). 1. Wahrscheinlichkeit für drei Treffer: \(P(\text{alle keimen}) = 0{,}7^3 = 0{,}343\). 2. Wahrscheinlichkeit für null Treffer: \(P(\text{keiner keimt}) = 0{,}3^3 = 0{,}027\). 3. Wahrscheinlichkeit für mindestens zwei Treffer: Summe der Wahrscheinlichkeiten für genau zwei und genau drei Treffer. \(P(\text{genau zwei}) = 3 \cdot 0{,}7^2 \cdot 0{,}3 = 0{,}441\). Somit ist \(P(\text{mindestens zwei}) = 0{,}441 + 0{,}343 = 0{,}784\).

a) \(34{,}3\,\%\) (oder \(0{,}343\)) b) \(2{,}7\,\%\) (oder \(0{,}027\)) c) \(78{,}4\,\%\) (oder \(0{,}784\))

- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bauteil nicht defekt ist? - Stell dir die Auswahl als Pfad in einem Baumdiagramm vor. Wie viele Pfade führen zu genau einem Defekt bei vier Versuchen? - Gibt es eine Formel, mit der man die Anzahl der Pfade für eine bestimmte Trefferanzahl berechnen kann? - Achte darauf, alle Nachkommastellen in deine Rechnung einzubeziehen oder sinnvoll zu runden.

Das Experiment ist eine Bernoulli-Kette mit \(n = 4\) Versuchen und der Wahrscheinlichkeit \(p = 0{,}05\) für ein defektes Bauteil. Die Wahrscheinlichkeit für ein intaktes Bauteil ist \(q = 0{,}95\). 1. Wahrscheinlichkeit für null Defekte: \(P(X = 0) = 0{,}95^4 = 0{,}81450625\). 2. Wahrscheinlichkeit für genau einen Defekt: Es gibt 4 Pfade mit einem Defekt. \(P(X = 1) = 4 \cdot 0{,}05^1 \cdot 0{,}95^3 = 0{,}171475\). 3. Wahrscheinlichkeit für genau zwei Defekte: Es gibt 6 Pfade mit zwei Defekten (Kombinationen \(\binom{4}{2} = 6\)). \(P(X = 2) = 6 \cdot 0{,}05^2 \cdot 0{,}95^2 = 0{,}0135375\).

a) ca. \(81{,}45\,\%\) b) ca. \(17{,}15\,\%\) c) ca. \(1{,}35\,\%\)

- Wann spricht man von einem Bernoulli-Experiment? - Überlege dir, wie viele mögliche Ergebnisse es bei jedem einzelnen Versuch gibt. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines ganz bestimmten Pfades im Baumdiagramm? - Bei „mindestens ein“ ist es oft einfacher, das Gegenteil zu betrachten. - Denke bei der Anzahl der Treffer daran, dass es verschiedene Reihenfolgen geben kann, in denen diese auftreten.

1. Begründung: Es gibt nur zwei Ausgänge pro Wurf (Treffer oder kein Treffer). Die Trefferwahrscheinlichkeit bleibt bei jedem Wurf konstant (\(p = 0{,}6\)), und die Würfe sind voneinander unabhängig. Die Länge ist \(n = 4\). 2. Ereignis \(A\): Berechnung über \(p^n = 0{,}6^4 = 0{,}1296\). 3. Ereignis \(B\): Berechnung der Pfadwahrscheinlichkeit für die feste Sequenz (Fehlwurf, Fehlwurf, Treffer, Treffer): \((1 - 0{,}6)^2 \cdot 0{,}6^2 = 0{,}4^2 \cdot 0{,}6^2 = 0{,}16 \cdot 0{,}36 = 0{,}0576\). 4. Ereignis \(C\): Berechnung über das Gegenereignis „kein Treffer“: \(1 - P(X=0) = 1 - 0{,}4^4 = 1 - 0{,}0256 = 0{,}9744\). 5. Ereignis \(D\): Berechnung mit der Bernoulli-Formel: \(P(X=2) = \binom{4}{2} \cdot 0{,}6^2 \cdot 0{,}4^2 = 6 \cdot 0{,}36 \cdot 0{,}16 = 0{,}3456\).

a) Es gibt zwei Ausgänge, konstante Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit; \(n = 4\); \(p = 0{,}6\). b) \(P(A) = 0{,}1296\); \(P(B) = 0{,}0576\); \(P(C) = 0{,}9744\); \(P(D) = 0{,}3456\).

- Identifiziere zuerst, was in diesem Kontext ein „Treffer“ ist. - Wie hängen die Wahrscheinlichkeiten für „fehlerhaft“ und „einwandfrei“ zusammen? - Überlege für Ereignis \(F\), ob die Reihenfolge hier eine Rolle spielt oder fest vorgegeben ist. - Welches Ereignis tritt ein, wenn \(G\) nicht eintritt? - Wie viele Möglichkeiten gibt es, genau einen Fehler auf fünf Positionen zu verteilen?

1. Kennzahlen: Die Länge der Kette ist die Anzahl der geprüften Gläser, also \(n = 5\). Die Trefferwahrscheinlichkeit für ein fehlerhaftes Glas ist \(p = 0{,}1\). 2. Ereignis \(E\): Wahrscheinlichkeit für fünfmal „einwandfrei“: \((1 - p)^n = 0{,}9^5 = 0{,}59049\). 3. Ereignis \(F\): Wahrscheinlichkeit für die spezifische Sequenz (gut, gut, gut, schlecht, schlecht): \(0{,}9^3 \cdot 0{,}1^2 = 0{,}729 \cdot 0{,}01 = 0{,}00729\). 4. Ereignis \(G\): Gegenereignis zu „kein Glas fehlerhaft“ (\(E\)): \(1 - P(E) = 1 - 0{,}59049 = 0{,}40951\). 5. Ereignis \(H\): Nutzung der Bernoulli-Formel für genau einen Treffer: \(P(X=1) = \binom{5}{1} \cdot 0{,}1^1 \cdot 0{,}9^4 = 5 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}6561 = 0{,}32805\).

a) \(n = 5\); \(p = 0{,}1\). b) \(P(E) = 0{,}59049\); \(P(F) = 0{,}00729\); \(P(G) = 0{,}40951\); \(P(H) = 0{,}32805\).

- Überlege dir, wie viele Möglichkeiten es bei jedem der drei Schüsse gibt und wie man diese kombiniert. - Nutze die Pfadregeln am Baumdiagramm: Entlang eines Pfades werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert. - Für die Verteilung fasst du alle Ergebnisse zusammen, die die gleiche Anzahl an Treffern haben. - Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten in deiner Tabelle muss genau 1 ergeben.

1. Auflistung aller \(2^3 = 8\) Ergebnisse: \(TTT, TTN, TNT, NTT, TNN, NTN, NNT, NNN\). 2. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten mit der Pfadmultiplikationsregel (\(p=0{,}4\); \(q=0{,}6\)): \(P(TNN) = 0{,}4 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}6 = 0{,}144\). \(P(TTN) = 0{,}4 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}6 = 0{,}096\). 3. Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Anzahl der Treffer \(X\): \(P(X=0) = 0{,}6^3 = 0{,}216\). \(P(X=1) = 3 \cdot (0{,}4 \cdot 0{,}6^2) = 0{,}432\). \(P(X=2) = 3 \cdot (0{,}4^2 \cdot 0{,}6) = 0{,}288\). \(P(X=3) = 0{,}4^3 = 0{,}064\).

a) \(\{TTT, TTN, TNT, NTT, TNN, NTN, NNT, NNN\}\) b) \(P(TNN) = 0{,}144\); \(P(TTN) = 0{,}096\) c) <table> <tr><td>Anzahl Treffer \(k\)</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td></tr> <tr><td>\(P(X=k)\)</td><td>\(0{,}216\)</td><td>\(0{,}432\)</td><td>\(0{,}288\)</td><td>\(0{,}064\)</td></tr> </table>

- Vergleiche, wie sich die Anzahl der Lose in der Schachtel nach einem Zug verändert. - Berechne beispielhaft die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn im ersten und im zweiten Zug. - Welche Voraussetzung einer Bernoulli-Kette bezieht sich auf die Wahrscheinlichkeit der Einzelversuche? - Was bedeutet „Unabhängigkeit“ bei aufeinanderfolgenden Zufallsversuchen?

1. Analyse Fall a): Beim Ziehen mit Zurücklegen gibt es zwei Ausgänge (Gewinn/Niete). Die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn bleibt bei jedem der 4 Züge konstant bei \(p = \frac{5}{20} = 0{,}25\). Da die Züge zudem unabhängig sind, ist die Modellierung als Bernoulli-Kette mit \(n = 4\) und \(p = 0{,}25\) korrekt. 2. Analyse Fall b): Beim Ziehen ohne Zurücklegen ändert sich die Zusammensetzung des Inhalts nach jedem Zug. Dadurch verändert sich die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn (z. B. nach dem ersten Gewinn auf \(\frac{4}{19} \approx 0{,}21\)). 3. Schlussfolgerung: Da die Trefferwahrscheinlichkeit nicht konstant bleibt und die Versuche voneinander abhängig sind, kann Fall b) nicht als Bernoulli-Kette modelliert werden.

a) Ja, es ist eine Bernoulli-Kette, da durch das Zurücklegen die Trefferwahrscheinlichkeit konstant bleibt (\(p = 0{,}25\)) und die Züge unabhängig sind. b) Nein, es ist keine Bernoulli-Kette, da sich die Trefferwahrscheinlichkeit ohne Zurücklegen bei jedem Zug ändert (Abhängigkeit der Versuche).

- Überlege dir bei jedem Ereignis, wie viele Pfade im Baumdiagramm dazu gehören. - Was bedeutet das Wort „nur“ im Gegensatz zu „genau“ für die Anzahl der möglichen Pfade? - Bei Ereignis C ist das Ergebnis des vierten Bauteils nicht festgelegt. Welche Möglichkeiten gibt es dafür? - Ereignisse mit der gleichen Anzahl an Pfaden derselben Struktur haben oft die gleiche Wahrscheinlichkeit.

1. Auflistung der Ergebnisse: \(A = \{(G, F, G, G)\}\) \(B = \{(F, G, G, G), (G, F, G, G), (G, G, F, G), (G, G, G, F)\}\) \(C = \{(G, G, G, G), (G, G, G, F)\}\) \(D = \{(G, G, G, F)\}\) 2. Vergleich der Wahrscheinlichkeiten: Die Ereignisse A und D bestehen jeweils aus genau einem Pfad mit drei Erfolgen und einem Misserfolg, daher gilt \(P(A) = P(D)\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten: \(P(A) = 0{,}95^3 \cdot 0{,}05 = 0{,}857375 \cdot 0{,}05 = 0{,}04286875\) \(P(B) = 4 \cdot (0{,}95^3 \cdot 0{,}05) = 4 \cdot 0{,}04286875 = 0{,}171475\) \(P(C) = 0{,}95^3 \cdot 0{,}95 + 0{,}95^3 \cdot 0{,}05 = 0{,}95^3 = 0{,}857375\)

a) \(A = \{(G, F, G, G)\}\); \(B = \{(F, G, G, G), (G, F, G, G), (G, G, F, G), (G, G, G, F)\}\); \(C = \{(G, G, G, G), (G, G, G, F)\}\); \(D = \{(G, G, G, F)\}\) b) \(P(A) = P(D)\), da beide Ereignisse nur ein Ergebnis mit derselben Anzahl an einwandfreien und fehlerhaften Bauteilen enthalten. c) \(P(A) \approx 0{,}0429\); \(P(B) \approx 0{,}1715\); \(P(C) \approx 0{,}8574\)

- Überlege dir zuerst, ob die Reihenfolge der Ergebnisse für die jeweilige Teilaufgabe eine Rolle spielt. - Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der Treffer bei einer festen Anzahl von Versuchen? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines ganz bestimmten Pfades im Baumdiagramm? - Unterscheide zwischen der Situation, in der „irgendwelche zwei“ Samen nicht keimen, und der, in der es „genau die ersten zwei“ sind.

1. Es liegt eine Bernoulli-Kette mit \(n = 12\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}15\) vor (Treffer: Samen keimt nicht). 2. Für Teilaufgabe a) wird die Wahrscheinlichkeit \(P(X = 2)\) mit der Bernoulli-Formel berechnet: \(P(X = 2) = \binom{12}{2} \cdot 0{,}15^2 \cdot 0{,}85^{10}\). 3. Berechnung: \(66 \cdot 0{,}0225 \cdot 0{,}196874\ldots \approx 0{,}2924\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(29{,}24\,\%\). 4. Für Teilaufgabe b) ist die Reihenfolge festgelegt: Die ersten beiden Samen keimen nicht, die übrigen zehn keimen. Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich als Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P = p^2 \cdot (1-p)^{10} = 0{,}15^2 \cdot 0{,}85^{10}\). 5. Berechnung: \(0{,}0225 \cdot 0{,}196874\ldots \approx 0{,}0044\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(0{,}44\,\%\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(29{,}24\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(0{,}44\,\%\).

- Identifiziere die Trefferwahrscheinlichkeit und die Anzahl der Versuche. - Wann benötigt man den Binomialkoeffizienten in der Formel und wann nicht? - Überlege, wie viele Möglichkeiten es gibt, 8 Treffer auf 10 Würfe zu verteilen, im Vergleich zu einer fest vorgegebenen Reihenfolge. - Was bedeutet das Wort „nur“ in der Aufgabenstellung für die restlichen Würfe?

1. Das Zufallsexperiment kann als Bernoulli-Kette mit \(n = 10\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}8\) (Treffer: Korb erzielt) modelliert werden. 2. Für a) berechnet man die Wahrscheinlichkeit für genau \(k = 8\) Treffer: \(P(X = 8) = \binom{10}{8} \cdot 0{,}8^8 \cdot 0{,}2^2\). 3. Mit \(\binom{10}{8} = 45\) ergibt sich: \(45 \cdot 0{,}16777216 \cdot 0{,}04 \approx 0{,}3020\). Die Wahrscheinlichkeit liegt bei ca. \(30{,}20\,\%\). 4. Für b) ist die Sequenz fest vorgegeben: \(8\) Treffer gefolgt von \(2\) Nichttreffern. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = 0{,}8^8 \cdot 0{,}2^2\). 5. Berechnung: \(0{,}16777216 \cdot 0{,}04 \approx 0{,}0067\). Die Wahrscheinlichkeit liegt bei ca. \(0{,}67\,\%\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(30{,}20\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(0{,}67\,\%\).

- Nutze ein Baumdiagramm, um dir die verschiedenen Pfade zu veranschaulichen. - Überlege genau, was Formulierungen wie „nur“ oder „erst beim …“ für die anderen Würfe bedeuten. - Bei unabhängigen Ereignissen kannst du die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multiplizieren. - Wenn ein Wurf „beliebig“ ist, wird seine Wahrscheinlichkeit in der Summe zu 1.

1. Identifikation der Pfade: Ereignis A: Nur der zweite Wurf ist ein Treffer bedeutet \((F, T, F)\). Ereignis B: Der erste Treffer beim zweiten Wurf bedeutet, der erste war ein Fehlschuss, der zweite ein Treffer, der dritte ist beliebig: \((F, T, F)\) und \((F, T, T)\). Ereignis C: Der zweite Wurf ist ein Treffer bedeutet, die anderen sind beliebig: \((T, T, T), (T, T, F), (F, T, T), (F, T, F)\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten mit \(P(T) = 0{,}25\) und \(P(F) = 0{,}75\): \(P(A) = 0{,}75 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}75 = 0{,}140625 = \frac{9}{64}\). \(P(B) = 0{,}75 \cdot 0{,}25 \cdot (0{,}75 + 0{,}25) = 0{,}75 \cdot 0{,}25 \cdot 1 = 0{,}1875 = \frac{3}{16}\). \(P(C) = 1 \cdot 0{,}25 \cdot 1 = 0{,}25 = \frac{1}{4}\). \(P(D) = 1 - P(C) = 0{,}75 = \frac{3}{4}\).

a) \(A = \{(F, T, F)\}\); \(B = \{(F, T, F), (F, T, T)\}\); \(C = \{(T, T, T), (T, T, F), (F, T, T), (F, T, F)\}\) b) \(P(A) = \frac{9}{64} \approx 14{,}1\,\%\); \(P(B) = \frac{3}{16} = 18{,}75\,\%\); \(P(C) = \frac{1}{4} = 25\,\%\); \(P(D) = \frac{3}{4} = 75\,\%\)

- Überlege dir, wie man das Gegenteil von „mindestens ein Treffer“ beschreibt. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für eine Kette von Misserfolgen? - Kannst du eine Ungleichung aufstellen, bei der die Anzahl der Versuche die Unbekannte im Exponenten ist? - Wenn du die Ungleichung nicht direkt lösen kannst, hilft vielleicht eine Tabelle mit Werten für steigende Versuchszahlen.

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei drei Versuchen: \(P(\text{kein Treffer}) = 0{,}6^3 = 0{,}216\). 2. Berechnung der Gegenwahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer: \(P(\text{mind. ein Treffer}) = 1 - 0{,}216 = 0{,}784\). 3. Vergleich: Da \(0{,}784 > 0{,}216\), ist es wahrscheinlicher, mindestens einmal zu treffen als gar nicht zu treffen. 4. Ansatz für Teilaufgabe b) mit der Bedingung \(P(\text{mind. ein Treffer}) > 0{,}9\): \(1 - 0{,}6^n > 0{,}9\), was zu \(0{,}6^n < 0{,}1\) führt. 5. Lösung der Ungleichung durch systematisches Probieren oder Logarithmieren: \(n \cdot \ln(0{,}6) < \ln(0{,}1)\), also \(n > \frac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}6)} \approx 4{,}5076\). 6. Ergebnis: Der Spieler muss mindestens \(5\)-mal werfen.

a) Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer beträgt \(78{,}4\,\%\). Da die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer nur \(21{,}6\,\%\) beträgt, ist mindestens ein Treffer wahrscheinlicher. b) Er müsste mindestens \(5\)-mal werfen.

- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, bei einem einzelnen Dreh nicht zu gewinnen? - Das Ereignis „mindestens ein Gewinn“ lässt sich am einfachsten über das Gegenereignis berechnen. - Gibt es bei einem Zufallsexperiment mit unabhängigen Versuchen jemals eine Garantie für ein bestimmtes Ergebnis, wenn die Gegenwahrscheinlichkeit nicht null ist? - Probiere für die Anzahl der Drehungen verschiedene Werte aus oder nutze den Logarithmus, um eine Potenzgleichung zu lösen.

1. Die Gewinnwahrscheinlichkeit pro Drehung ist \(p = 0{,}1\), die Verlustwahrscheinlichkeit \(q = 0{,}9\). 2. Für fünf Drehungen: \(P(\text{kein Gewinn}) = 0{,}9^5 = 0{,}59049\). 3. \(P(\text{mind. ein Gewinn}) = 1 - 0{,}59049 = 0{,}40951\). Da \(0{,}59049 > 0{,}40951\), ist kein Gewinn wahrscheinlicher. 4. Begründung zur Sicherheit: Da bei jeder Drehung ein Verlust möglich ist (\(q > 0\)), bleibt die Wahrscheinlichkeit für eine Serie von Verlusten (\(0{,}9^n\)) für jedes endliche \(n\) größer als Null. Somit ist die Gegenwahrscheinlichkeit für einen Gewinn immer kleiner als \(1\). 5. Bestimmung von \(n\) für \(P > 0{,}8\): \(1 - 0{,}9^n > 0{,}8 \Rightarrow 0{,}2 > 0{,}9^n\). 6. Berechnung: \(n > \frac{\ln(0{,}2)}{\ln(0{,}9)} \approx 15{,}2755\). 7. Ergebnis: Es sind mindestens \(16\) Drehungen erforderlich.

a) Es ist wahrscheinlicher, kein einziges Mal zu gewinnen (\(P \approx 59{,}05\,\%\) gegenüber \(P \approx 40{,}95\,\%\)). b) Da bei jeder Drehung die Wahrscheinlichkeit für eine Niete \(90\,\%\) beträgt, bleibt die Wahrscheinlichkeit für eine reine Pechsträhne bei jeder endlichen Anzahl an Versuchen größer als \(0\,\%\). c) Es sind mindestens \(16\) Drehungen nötig.

- Was sind die grundlegenden Eigenschaften eines Bernoulli-Versuchs? - Wann kann man das „Ziehen ohne Zurücklegen“ näherungsweise wie „Ziehen mit Zurücklegen“ behandeln? - Achte auf das Verhältnis zwischen der Stichprobengröße und der Gesamtmenge.

1. Teilaufgabe a): Das Experiment kann als Bernoulli-Kette modelliert werden, wenn es nur zwei Zustände gibt (defekt/intakt) und die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) konstant bleibt. Bei einer sehr großen Grundgesamtheit (laufende Produktion) ändert die Entnahme einer Stichprobe ohne Zurücklegen die Wahrscheinlichkeit so geringfügig, dass man sie als konstant ansehen kann (Unabhängigkeit). 2. Teilaufgabe b): Die Anzahl der Versuche ist die Stichprobengröße, also \(n = 100\). Die Trefferwahrscheinlichkeit entspricht dem Anteil der defekten Flaschen: \(p = 0{,}5\,\% = 0{,}005\). 3. Teilaufgabe c): In diesem Fall ist eine Bernoulli-Kette nicht mehr sinnvoll. Da die Stichprobe (\(100\)) einen sehr großen Teil der Grundgesamtheit (\(120\)) ausmacht, ändert sich die Wahrscheinlichkeit beim Ziehen ohne Zurücklegen massiv. Die Versuche sind somit stark voneinander abhängig.

a) Modellierung möglich, wenn die Grundgesamtheit groß genug ist, sodass \(p\) näherungsweise konstant bleibt und es nur zwei Ergebnisse gibt. b) \(n = 100\); \(p = 0{,}005\). c) Nicht sinnvoll, da die Grundgesamtheit zu klein ist; die Wahrscheinlichkeit ändert sich bei Entnahme ohne Zurücklegen signifikant.

- Wie viele Ergebnisse hat ein Bernoulli-Versuch per Definition? - Kannst du die drei Kategorien so in zwei Gruppen aufteilen, dass jede Gruppe als ein einziges Gesamtergebnis zählt? - Denk an das Konzept des Gegenereignisses.

1. Ein Bernoulli-Versuch darf laut Definition nur genau zwei Ergebnisse haben. Da hier zwischen drei Arten unterschieden wird (Hauptgewinn, Kleingewinn, Niete), ist die Bedingung nicht erfüllt. 2. Mögliche Umformungen durch Zusammenfassung von Ergebnissen: Variante 1: Erfolg = „Gewinn“ (Haupt- oder Kleingewinn), Misserfolg = „Niete“. Variante 2: Erfolg = „Hauptgewinn“, Misserfolg = „kein Hauptgewinn“ (Kleingewinn oder Niete). 3. Die Aussage ist korrekt. Jedes Zufallsexperiment mit beliebig vielen Ergebnissen kann zu einem Bernoulli-Versuch reduziert werden, indem man ein bestimmtes Ereignis \(A\) als „Erfolg“ definiert und dessen Gegenereignis \(\bar{A}\) als „Misserfolg“ definiert.

a) Es liegen drei statt zwei Ergebnisse vor. b) Z. B. „Gewinn oder Niete“ oder „Hauptgewinn oder kein Hauptgewinn“. c) Die Aussage ist wahr, da man Ergebnisse stets in ein Ereignis \(E\) und sein Gegenereignis \(\bar{E}\) aufteilen kann.

- Überlege dir zuerst, wie viele mögliche Ergebnisse es insgesamt gibt, wenn das Glücksrad zweimal gedreht wird. - Kannst du alle Kombinationsmöglichkeiten systematisch aufschreiben? - Für Aufgabenteil a): Welche verschiedenen Summen sind überhaupt möglich und welche davon erfüllen die Bedingung? - Für Aufgabenteil b): Manchmal ist es einfacher, das Gegenereignis zu betrachten. Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass zweimal die gleiche Farbe gedreht wird?

1. Da das Glücksrad fünf gleich große Sektoren besitzt, beträgt die Wahrscheinlichkeit für jeden Sektor bei einem Dreh genau \(\frac{1}{5}\). Bei zwei Drehungen gibt es insgesamt \(5 \cdot 5 = 25\) gleich wahrscheinliche Ergebnisse. 2. Für Aufgabenteil a) ermitteln wir alle Paare von Ergebnissen, deren Summe mindestens \(7\) beträgt: - Mit der ersten Zahl \(2\): \((2, 5)\) (Summe \(7\)) - Mit der ersten Zahl \(3\): \((3, 4)\) (Summe \(7\)), \((3, 5)\) (Summe \(8\)) - Mit der ersten Zahl \(4\): \((4, 3)\) (Summe \(7\)), \((4, 4)\) (Summe \(8\)), \((4, 5)\) (Summe \(9\)) - Mit der ersten Zahl \(5\): \((5, 2)\) (Summe \(7\)), \((5, 3)\) (Summe \(8\)), \((5, 4)\) (Summe \(9\)), \((5, 5)\) (Summe \(10\)) Dies sind insgesamt \(10\) günstige Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit beträgt somit: \(P(\text{Summe} \ge 7) = \frac{10}{25} = 0{,}4 = 40\,\%\). 3. Für Aufgabenteil b) bestimmen wir die Wahrscheinlichkeit für zwei unterschiedliche Farben. Dies lässt sich am einfachsten über das Gegenereignis „gleiche Farben“ berechnen. Die Sektoren haben folgende Farben: Rot \(\{1, 3\}\), Blau \(\{2, 5\}\), Grün \(\{4\}\). Gleiche Farben treten in folgenden Fällen auf: - Rot-Rot: \((1, 1)\), \((1, 3)\), \((3, 1)\), \((3, 3)\) (\(4\) Fälle) - Blau-Blau: \((2, 2)\), \((2, 5)\), \((5, 2)\), \((5, 5)\) (\(4\) Fälle) - Grün-Grün: \((4, 4)\) (\(1\) Fall) Insgesamt gibt es \(4 + 4 + 1 = 9\) günstige Ergebnisse für gleiche Farben. Die Wahrscheinlichkeit für unterschiedliche Farben ist somit: \(P(\text{unterschiedliche Farben}) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} = 0{,}64 = 64\,\%\).

a) Die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe mindestens \(7\) beträgt, ist \(40\,\%\) (oder \(\frac{2}{5}\)). b) Die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden Sektoren unterschiedliche Farben haben, beträgt \(64\,\%\) (oder \(\frac{16}{25}\)).

- Erstelle eine Tabelle mit allen 25 möglichen Zahlenkombinationen der beiden Drehungen. - Markiere in deiner Tabelle alle Paare, deren Summe genau 6 ergibt. - Markiere (vielleicht in einer anderen Farbe) alle Paare, bei denen die erste Zahl größer als die zweite ist. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, wenn alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind?

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Ergebnisse: Da es 5 Möglichkeiten pro Drehung gibt, existieren bei zwei Drehungen insgesamt \(5 \cdot 5 = 25\) gleich wahrscheinliche Ergebnisse. 2. Analyse von Ereignis A (Summe 6): Günstige Ergebnisse sind (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2) und (5, 1). Das sind 5 günstige Ergebnisse. Wahrscheinlichkeit: \(P(A) = \frac{5}{25} = \frac{1}{5} = 0{,}2 = 20\,\%\). 3. Analyse von Ereignis B (1. Zahl > 2. Zahl): Günstige Ergebnisse sind (2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3) und (5, 4). Das sind \(1 + 2 + 3 + 4 = 10\) günstige Ergebnisse. Wahrscheinlichkeit: \(P(B) = \frac{10}{25} = \frac{2}{5} = 0{,}4 = 40\,\%\). 4. Vergleich: Da \(0{,}4 > 0{,}2\), ist das Ereignis B wahrscheinlicher.

Ereignis B ist wahrscheinlicher. Die Wahrscheinlichkeit für A beträgt \(20\,\%\) (\(\frac{1}{5}\)), während die Wahrscheinlichkeit für B bei \(40\,\%\) (\(\frac{2}{5}\)) liegt.

- Beachte, dass manche Pfade bereits nach zwei Spielen enden. - Sammle alle Endpfade, auf denen das Team zuerst zwei Siege erreicht.

1. Sieg in zwei Spielen: \(WW\) mit \(0{,}6^2=0{,}36\). 2. Sieg nach \(WLW\): \(0{,}6\cdot0{,}4\cdot0{,}6=0{,}144\). 3. Sieg nach \(LWW\): \(0{,}4\cdot0{,}6\cdot0{,}6=0{,}144\). 4. Gesamtwahrscheinlichkeit: \(0{,}36+0{,}144+0{,}144=0{,}648\).

\(0{,}648=64{,}8\,\%\).

- Wann endet der Ablauf unmittelbar nach der zweiten Prüfung? - Für das Erreichen der dritten Prüfung ist deren Ergebnis noch nicht wichtig.

1. Genau zwei Teile geprüft: erstes gut, zweites Ausschuss; \(0{,}9\cdot0{,}1=0{,}09\). 2. Dritter Prüfplatz erreicht: erste zwei Teile gut; \(0{,}9^2=0{,}81\).

Genau zwei Prüfungen: \(0{,}09\); dritter Prüfplatz erreicht: \(0{,}81\).

- Das Verfahren verzweigt nach dem ersten Würfelwurf in zwei unterschiedliche Teilversuche. - Bestimme den Erfolgsanteil in jedem Teilversuch getrennt.

1. Erster Ast 1 bis 4 und Kopf: \(\frac{4}{6}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{3}\). 2. Erster Ast 5 oder 6 und zweite 6: \(\frac{2}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{18}\). 3. Gesamtwahrscheinlichkeit: \(\frac{1}{3}+\frac{1}{18}=\frac{7}{18}\).

\(\frac{7}{18}\approx 38{,}9\,\%\).

- Beachte, dass der letzte Zeitpunkt auch ohne Treffer ein Ende bedeutet. - Beschreibe für jeden Endzeitpunkt die vorherigen Ergebnisse.

1. Ende nach Versuch 1: \(0{,}25\). 2. Ende nach Versuch 2: \(0{,}75\cdot0{,}25=0{,}1875\). 3. Ende nach Versuch 3: erste zwei Versuche ohne Treffer; \(0{,}75^2=0{,}5625\). 4. Kontrolle: \(0{,}25+0{,}1875+0{,}5625=1\).

Nach 1: \(0{,}25\); nach 2: \(0{,}1875\); nach 3: \(0{,}5625\).

- Erinnere dich an die Rechenregeln für Multiplikation. Spielt die Reihenfolge der Faktoren beim Ergebnis eine Rolle? - „Mindestens zwei“ bedeutet, dass es zwei oder auch mehr sein können. - Erstelle für die Verteilung eine Übersicht, die jedem möglichen Wert der Zufallsgröße seine Wahrscheinlichkeit zuordnet.

1. Begründung: Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten. Da die Faktoren für \(efe\) (\(0{,}9 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9\)) und \(eef\) (\(0{,}9 \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}1\)) identisch sind (Kommutativgesetz), ist der Wert gleich: \(0{,}081\). 2. Ereignis „mindestens zwei fehlerhaft“ umfasst die Ergebnisse mit zwei oder drei fehlerhaften Bauteilen (\(ffe, fef, eff, fff\)): \(P(X=2) = 3 \cdot (0{,}1^2 \cdot 0{,}9) = 0{,}027\). \(P(X=3) = 0{,}1^3 = 0{,}001\). Summe: \(P(X \geq 2) = 0{,}027 + 0{,}001 = 0{,}028\). 3. Vollständige Verteilung: \(P(X=0) = 0{,}9^3 = 0{,}729\). \(P(X=1) = 3 \cdot (0{,}1 \cdot 0{,}9^2) = 0{,}243\). \(P(X=2) = 0{,}027\). \(P(X=3) = 0{,}001\).

a) Da die Faktoren der Wahrscheinlichkeiten identisch sind, gilt: \(P(efe) = P(eef) = 0{,}081\). b) \(P(\text{mindestens zwei fehlerhaft}) = 0{,}028\). c) <table> <tr><td>Anzahl fehlerhafter Bauteile \(k\)</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td></tr> <tr><td>\(P(X=k)\)</td><td>\(0{,}729\)</td><td>\(0{,}243\)</td><td>\(0{,}027\)</td><td>\(0{,}001\)</td></tr> </table>

- Unterscheide bei a) zwischen der Bedingung für eine einzelne Stufe und der Festlegung eines gesamten Pfades im Baumdiagramm. - Erinnere dich bei b) daran, wie man die Wahrscheinlichkeit für „mindestens ein Ereignis“ effizient über das Gegenereignis berechnet.

1. Bei Ereignis a) besagt die Aufgabenstellung lediglich, dass das zweite Bauteil defekt sein muss. Die Zustände der anderen fünf Bauteile sind nicht eingeschränkt. Der vorliegende Ansatz berechnet jedoch fälschlicherweise die Wahrscheinlichkeit, dass *genau* das zweite Bauteil defekt ist und alle anderen einwandfrei sind. Die korrekte Wahrscheinlichkeit ist einfach die Defektwahrscheinlichkeit eines einzelnen Bauteils: \(P = 0{,}05\). 2. Bei Ereignis b) umfasst „mindestens ein Bauteil“ die Fälle von einem bis zu sechs defekten Bauteilen. Die fehlerhafte Rechnung nutzt die Bernoulli-Formel für \(k=1\) und berechnet damit nur die Wahrscheinlichkeit für exakt ein defektes Bauteil. Die korrekte Lösung erfolgt über das Gegenereignis „Kein Bauteil ist defekt“: \(P = 1 - 0{,}95^6 = 1 - 0{,}735091890625 \approx 0{,}2649\).

a) Fehler: Die anderen Bauteile wurden fälschlicherweise als „nicht defekt“ festgeschrieben. Korrektes Ergebnis: \(0{,}05\) (bzw. \(5\,\%\)). b) Fehler: Es wurde nur die Wahrscheinlichkeit für genau ein defektes Bauteil berechnet. Korrektes Ergebnis: \(1 - 0{,}95^6 \approx 0{,}2649\) (bzw. ca. \(26{,}49\,\%\)).

- Identifiziere Trefferwahrscheinlichkeit und Stichprobenumfang. - Berechne zunächst den Erwartungswert, um zu wissen, um welche Werte herum die Wahrscheinlichkeiten am höchsten sind. - Untersuche die Werte an den Rändern der Verteilung (sehr kleine und sehr große \(k\)). - Nutze die Formel von Bernoulli für die Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten.

1. Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 15\) und \(p = 0{,}40\). Die Wahrscheinlichkeit für \(k = 6\) beträgt: \(P(X = 6) = \binom{15}{6} \cdot 0{,}4^6 \cdot 0{,}6^9 \approx 0{,}2066\). 2. Es werden die Einzelwahrscheinlichkeiten \(P(X=k) = \binom{15}{k} \cdot 0{,}4^k \cdot 0{,}6^{15-k}\) für verschiedene \(k\) geprüft: \(P(X=0) \approx 0{,}0005 < 0{,}01\) \(P(X=1) \approx 0{,}0047 < 0{,}01\) \(P(X=2) \approx 0{,}0219 > 0{,}01\) Am oberen Ende: \(P(X=10) \approx 0{,}0245 > 0{,}01\) \(P(X=11) \approx 0{,}0074 < 0{,}01\) \(P(X=12) \approx 0{,}0016 < 0{,}01\) \(P(X=13) \approx 0{,}0002 < 0{,}01\) \(P(X=14) \approx 0{,}0000 < 0{,}01\) \(P(X=15) \approx 0{,}0000 < 0{,}01\) Die Ergebnisse \(k \in \{0; 1\}\) und \(k \in \{11; 12; 13; 14; 15\}\) haben eine Einzelwahrscheinlichkeit von weniger als \(1\,\%\).

1. Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(20{,}66\,\%\). 2. Die Ergebnisse \(k \in \{0; 1; 11; 12; 13; 14; 15\}\) sind extrem unwahrscheinlich (Einzelwahrscheinlichkeit \(< 1\,\%\)).

- Wie viele mögliche Farbkombinationen gibt es insgesamt bei drei Drehungen? - Kannst du dir die möglichen Pfade in einem Baumdiagramm vorstellen? - Überlege bei Teilaufgabe d), ob es einfacher ist, die Ergebnisse zu zählen, bei denen die Bedingung nicht erfüllt ist. - Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 4 Farben genau 2 auszuwählen?

1. Bei vier gleich großen Sektoren und drei Drehungen gibt es \(4^3=64\) gleich wahrscheinliche Farbfolgen. 2. a) Für die feste Folge \((\text{Rot},\text{Blau},\text{Gelb})\) gibt es genau ein günstiges Ergebnis, also \(P=\frac{1}{64}\). 3. b) Die günstigen Folgen sind \((\text{Rot},\text{Rot},\text{Rot})\), \((\text{Blau},\text{Blau},\text{Blau})\), \((\text{Grün},\text{Grün},\text{Grün})\) und \((\text{Gelb},\text{Gelb},\text{Gelb})\). Daher ist \(P=\frac{4}{64}=\frac{1}{16}\). 4. c) Wähle zwei Farben aus vier: \(\binom{4}{2}=6\). Für jedes Farbpaar gibt es \(2^3-2=6\) Folgen, in denen beide Farben vorkommen. Somit ist \(P=\frac{6\cdot6}{64}=\frac{9}{16}\). 5. d) Das Gegenereignis „kein Gelb“ hat \(3^3=27\) Ergebnisse. Daher ist \(P=1-\frac{27}{64}=\frac{37}{64}\).

a) \(\frac{1}{64}\) b) \(\frac{1}{16}\) c) \(\frac{9}{16}\) d) \(\frac{37}{64}\)

- Wann genau wird ein fünfter Satz notwendig? Überlege dir den Spielstand nach vier Sätzen. - Wie viele Möglichkeiten gibt es für die beiden Spieler, nach vier Sätzen jeweils zwei Sätze gewonnen zu haben? - Nutze die Pfadregeln, um die Wahrscheinlichkeit für einen solchen Spielstand zu berechnen.

1. Ein Match geht über 5 Sätze, wenn nach 4 Sätzen noch kein Sieger feststeht. Das ist genau dann der Fall, wenn es nach dem vierten Satz 2:2 steht. 2. Mögliche Pfade für ein 2:2 nach 4 Sätzen (A = Spieler A gewinnt Satz, B = Spieler B gewinnt Satz): AABB, ABAB, ABBA, BAAB, BABA, BBAA. 3. Es gibt insgesamt \(\binom{4}{2} = 6\) solche Pfade. 4. Die Wahrscheinlichkeit für jeden dieser Pfade beträgt \(0{,}5^4 = 0{,}0625\). 5. Die Gesamtwahrscheinlichkeit für einen Spielstand von 2:2 nach 4 Sätzen ist somit \(6 \cdot 0{,}0625 = 0{,}375\). 6. Da in jedem dieser Fälle zwingend ein 5. Satz gespielt wird, beträgt die Wahrscheinlichkeit für ein 5-Satz-Match \(37{,}5\,\%\).

Die Wahrscheinlichkeit, dass das Match über fünf Sätze geht, beträgt \(0{,}375\) (oder \(37{,}5\,\%\)).