Kostenlose Arbeitsblätter

- Überlege dir, wie viele verschiedene Ergebnisse bei jedem einzelnen Teilschritt möglich sind. - Bleibt die Wahrscheinlichkeit für einen „Erfolg“ bei jeder Wiederholung genau gleich? - Spielt es eine Rolle für den nächsten Versuch, was im vorherigen Versuch passiert ist? - Ist von vornherein festgelegt, wie oft das Experiment durchgeführt wird?

1. Prüfung der Kriterien für eine Bernoulli-Kette: Es darf nur zwei Ausgänge geben (Treffer/Niete), die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) muss konstant bleiben (Unabhängigkeit der Versuche) und die Anzahl der Versuche \(n\) muss feststehen. 2. Teilaufgabe a): Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette. Es gibt zwei Ausgänge (Primzahl/keine Primzahl), die Wahrscheinlichkeit ist mit \(p = \frac{3}{6} = 0{,}5\) konstant und die Versuche sind unabhängig bei \(n = 20\). 3. Teilaufgabe b): Keine Bernoulli-Kette. Da ohne Zurücklegen gezogen wird, ändert sich die Wahrscheinlichkeit für die Farben mit jedem Zug (Abhängigkeit der Versuche). 4. Teilaufgabe c): Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette. Es gibt zwei Ausgänge (Kauf/kein Kauf), eine konstante Wahrscheinlichkeit von \(p = 0{,}3\) und eine feste Anzahl von \(n = 50\) Versuchen.

a) Ja, Bernoulli-Kette (\(n = 20\), \(p = 0{,}5\)). b) Nein, da sich die Wahrscheinlichkeiten durch das fehlende Zurücklegen ändern. c) Ja, Bernoulli-Kette (\(n = 50\), \(p = 0{,}3\)).

- Überlege dir, wie viele verschiedene Ergebnisse pro Wurf für die Fragestellung wichtig sind. - Was müsste man über die Treffsicherheit des Spielers über den gesamten Zeitraum annehmen? - Spielt es für den zweiten Wurf eine Rolle, ob der erste Wurf ein Treffer war? - Welche mathematischen Eigenschaften definieren eine Bernoulli-Kette?

1. Definition der Ergebnisse: Jeder Wurf wird als Einzelversuch mit genau zwei möglichen Ausgängen betrachtet: „Treffer“ (Erfolg) und „kein Treffer“ (Misserfolg). 2. Konstanz der Wahrscheinlichkeit: Es wird vorausgesetzt, dass die Trefferwahrscheinlichkeit für jeden der 12 Würfe konstant bei \(p = 0{,}8\) bleibt (keine Ermüdung oder Lerneffekte). 3. Unabhängigkeit der Versuche: Die einzelnen Würfe müssen voneinander unabhängig sein, das heißt, das Ergebnis eines Wurfs darf die Wahrscheinlichkeit für die nachfolgenden Würfe nicht beeinflussen. 4. Bestimmung der Kettenlänge: Da der Vorgang 12-mal unter denselben Bedingungen wiederholt wird, ergibt sich eine Bernoulli-Kette der Länge \(n = 12\).

Das Experiment kann als Bernoulli-Kette modelliert werden, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: 1. Es gibt nur zwei relevante Ergebnisse (Treffer/Fehlwurf). 2. Die Trefferwahrscheinlichkeit bleibt für alle 12 Würfe konstant bei \(p = 0{,}8\). 3. Die Würfe sind stochastisch unabhängig voneinander. Da diese Bedingungen hier als idealisiert gegeben vorausgesetzt werden können, liegt eine Bernoulli-Kette mit \(n = 12\) vor.

- Überlege dir, ob es bei jedem einzelnen Versuch genau zwei mögliche Ergebnisse (Treffer/Niete) gibt. - Prüfe, ob die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer bei jeder Wiederholung absolut gleich bleibt. - Ist die Anzahl der Versuche von vornherein fest vorgegeben oder ändert sie sich je nach Verlauf? - Spielt es eine Rolle, ob Objekte nach der Ziehung wieder zurückgelegt werden oder nicht?

1. Teilaufgabe a): Ja, es ist eine Bernoulli-Kette. Treffer: „Primzahl“ (2, 3 oder 5). Da es 3 günstige von 6 möglichen Ergebnissen gibt, ist \(p = \frac{3}{6} = 0{,}5\). Die Länge der Kette beträgt \(n = 12\). 2. Teilaufgabe b): Nein, es ist keine Bernoulli-Kette. Da die Stifte ohne Zurücklegen entnommen werden, ändert sich die Wahrscheinlichkeit für einen roten Stift mit jedem Zug (Abhängigkeit der Versuche). 3. Teilaufgabe c): Nein, es ist keine Bernoulli-Kette. Bei einer Bernoulli-Kette muss die Anzahl der Versuche \(n\) im Vorhinein feststehen. Hier ist die Anzahl der Würfe variabel und hängt vom Erfolg ab. 4. Teilaufgabe d): Ja, es ist eine Bernoulli-Kette. Treffer: „Farbe Gelb“. Da die Sektoren gleich groß sind, ist \(p = \frac{1}{3}\). Die Länge der Kette beträgt \(n = 20\).

a) Ja; Treffer: Primzahl; \(n = 12\); \(p = 0{,}5\). b) Nein; Wahrscheinlichkeit ändert sich (ohne Zurücklegen). c) Nein; Versuchsanzahl \(n\) ist nicht fest vorgegeben. d) Ja; Treffer: Gelb; \(n = 20\); \(p = \frac{1}{3}\).

- Welche Eigenschaften definieren eine Bernoulli-Kette? - Überlege, was sich im Verlauf der Serie ändern könnte und was gleich bleiben muss. - Was bedeutet Unabhängigkeit in diesem Zusammenhang? - Wie würdest du einen „Erfolg“ in diesem Experiment definieren?

1. Voraussetzung 1: Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer muss bei jedem der 12 Schüsse konstant bleiben (keine Ermüdung oder Lerneffekte). 2. Voraussetzung 2: Die einzelnen Schüsse müssen voneinander unabhängig sein (ein Fehlschuss beeinflusst nicht die Konzentration beim nächsten Versuch). 3. Erfolgsergebnis: „Der Schütze trifft die Zielscheibe“. 4. Erfolgswahrscheinlichkeit: \(p = 0{,}85\).

Die Serie ist eine Bernoulli-Kette, wenn die Trefferwahrscheinlichkeit bei jedem Schuss konstant bleibt (z. B. keine Ermüdung) und die Schüsse stochastisch unabhängig voneinander sind. Ein möglicher Erfolg ist „Treffer“ mit der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}85\).

- Wie viele verschiedene Ausgänge darf ein Experiment haben, damit man es einen Bernoulli-Versuch nennt? - Kann man mehrere Ergebnisse zu einer Gruppe (einem Ereignis) zusammenfassen, um die Bedingung zu erfüllen? - Schau dir an, wie viele Kategorien am Ende jeweils unterschieden werden.

1. Ein Bernoulli-Versuch ist dadurch definiert, dass es genau zwei mögliche Ergebnisse gibt, die oft als Erfolg und Misserfolg bezeichnet werden. 2. Zu a): Es liegen sechs verschiedene mögliche Ergebnisse vor (\(1, 2, 3, 4, 5, 6\)). Da dies mehr als zwei sind, ist es kein Bernoulli-Versuch. 3. Zu b): Die Ergebnismenge wird in zwei komplementäre Gruppen unterteilt (Primzahl oder keine Primzahl). Da es nur diese zwei Möglichkeiten gibt, handelt es sich um einen Bernoulli-Versuch. 4. Zu c): Auch hier gibt es nur zwei Möglichkeiten (Augenzahl \(> 4\) oder Augenzahl \(\leq 4\)). Somit liegt ein Bernoulli-Versuch vor.

a) Nein, es ist kein Bernoulli-Versuch. b) Ja, es ist ein Bernoulli-Versuch. c) Ja, es ist ein Bernoulli-Versuch.

- Überlege dir zuerst, wie viele verschiedene Ergebnisse bei dem Experiment laut Aufgabenstellung möglich sind. - Was ist das entscheidende Merkmal, das ein Zufallsexperiment zu einem Bernoulli-Versuch macht? - Kann man mehrere verschiedene physikalische Ausgänge zu einem einzigen mathematischen Ergebnis zusammenfassen?

Ein Bernoulli-Versuch zeichnet sich dadurch aus, dass er genau zwei mögliche Ergebnisse (oft als Erfolg und Misserfolg bezeichnet) besitzt. 1. Kein Bernoulli-Versuch, da es sechs mögliche Ergebnisse gibt (\(1, 2, 3, 4, 5, 6\)). 2. Bernoulli-Versuch, da es genau zwei sich gegenseitig ausschließende Ergebnisse gibt (Treffer, kein Treffer). 3. Bernoulli-Versuch, da die Ergebnisse in genau zwei Kategorien („rot“ und „nicht rot“) eingeteilt werden, unabhängig von der Anzahl der Farben in der Urne. 4. Kein Bernoulli-Versuch, da es fünf mögliche Ergebnisse (\(1, 2, 3, 4, 5\)) gibt.

(1) Nein (6 Ergebnisse) (2) Ja (2 Ergebnisse) (3) Ja (2 Ergebnisse) (4) Nein (5 Ergebnisse)

- Wie viele verschiedene Ergebnisse darf ein einzelner Versuch bei einer Bernoulli-Kette haben? - Was passiert mit der Wahrscheinlichkeit, wenn Gegenstände entnommen werden, ohne sie zurückzulegen? - Überlege, ob das Ergebnis eines Versuchs die Wahrscheinlichkeit des nächsten Versuchs beeinflusst. - Welche Bedingungen müssen für die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) über alle Stufen hinweg gelten?

1. Teilaufgabe a): Es gibt bei jeder Durchführung genau zwei mögliche Ergebnisse („Rot“ und „Nicht Rot“). Da das Rad bei jedem Drehen die gleiche Ausgangslage hat, bleibt die Trefferwahrscheinlichkeit für Rot konstant bei \(p = \frac{4}{10} = 0{,}4\). Die einzelnen Drehungen sind unabhängig voneinander. Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge \(n = 5\). 2. Teilaufgabe b): Zwar gibt es pro Stufe nur zwei Ergebnisse („Vollmilch“ oder „Zartbitter“), aber durch das Essen der Pralinen (Ziehen ohne Zurücklegen) verändert sich die Anzahl der Pralinen in der Schachtel. Damit ändert sich die Wahrscheinlichkeit für die folgenden Züge (z. B. von \(p_1 = \frac{6}{10}\) auf \(p_2 = \frac{5}{9}\) oder \(p_2 = \frac{6}{9}\)). Da die Wahrscheinlichkeit nicht konstant ist, liegt keine Bernoulli-Kette vor.

a) Ja, es ist eine Bernoulli-Kette, da es nur zwei Ergebnisse gibt und die Wahrscheinlichkeit \(p = 0{,}4\) bei jeder der \(n = 5\) Drehungen gleich bleibt. b) Nein, es ist keine Bernoulli-Kette, da sich die Wahrscheinlichkeiten durch das Entnehmen ohne Zurücklegen bei jedem Zug verändern.

- Überlege dir, wie viele Möglichkeiten es für jedes Ereignis gibt. Ein Baumdiagramm kann hier sehr hilfreich sein. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit entlang eines Pfades im Baumdiagramm? - Wenn nach „mindestens zwei“ gefragt wird, welche einzelnen Ergebnisse erfüllen diese Bedingung? - Denke an die Gegenwahrscheinlichkeit, falls das Rechnen mit allen Möglichkeiten zu aufwendig wird.

Es handelt sich um ein dreistufiges Zufallsexperiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}7\) und der Misserfolgswahrscheinlichkeit \(q = 1 - 0{,}7 = 0{,}3\). 1. Wahrscheinlichkeit für drei Treffer: \(P(\text{alle keimen}) = 0{,}7^3 = 0{,}343\). 2. Wahrscheinlichkeit für null Treffer: \(P(\text{keiner keimt}) = 0{,}3^3 = 0{,}027\). 3. Wahrscheinlichkeit für mindestens zwei Treffer: Summe der Wahrscheinlichkeiten für genau zwei und genau drei Treffer. \(P(\text{genau zwei}) = 3 \cdot 0{,}7^2 \cdot 0{,}3 = 0{,}441\). Somit ist \(P(\text{mindestens zwei}) = 0{,}441 + 0{,}343 = 0{,}784\).

a) \(34{,}3\,\%\) (oder \(0{,}343\)) b) \(2{,}7\,\%\) (oder \(0{,}027\)) c) \(78{,}4\,\%\) (oder \(0{,}784\))

- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bauteil nicht defekt ist? - Stell dir die Auswahl als Pfad in einem Baumdiagramm vor. Wie viele Pfade führen zu genau einem Defekt bei vier Versuchen? - Gibt es eine Formel, mit der man die Anzahl der Pfade für eine bestimmte Trefferanzahl berechnen kann? - Achte darauf, alle Nachkommastellen in deine Rechnung einzubeziehen oder sinnvoll zu runden.

Das Experiment ist ein Bernoulli-Prozess mit \(n = 4\) Versuchen und der Wahrscheinlichkeit \(p = 0{,}05\) für ein defektes Bauteil. Die Wahrscheinlichkeit für ein intaktes Bauteil ist \(q = 0{,}95\). 1. Wahrscheinlichkeit für null Defekte: \(P(X=0) = 0{,}95^4 = 0{,}814\,506\,25\). 2. Wahrscheinlichkeit für genau einen Defekt: Es gibt 4 Pfade mit einem Defekt. \(P(X=1) = 4 \cdot 0{,}05^1 \cdot 0{,}95^3 = 0{,}171\,475\). 3. Wahrscheinlichkeit für genau zwei Defekte: Es gibt 6 Pfade mit zwei Defekten (Kombinationen \(\binom{4}{2} = 6\)). \(P(X=2) = 6 \cdot 0{,}05^2 \cdot 0{,}95^2 = 0{,}013\,537\,5\).

a) ca. \(81{,}45\,\%\) b) ca. \(17{,}15\,\%\) c) ca. \(1{,}35\,\%\)

- Wann spricht man von einem Bernoulli-Experiment? - Überlege dir, wie viele mögliche Ergebnisse es bei jedem einzelnen Versuch gibt. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines ganz bestimmten Pfades im Baumdiagramm? - Bei „mindestens ein“ ist es oft einfacher, das Gegenteil zu betrachten. - Denke bei der Anzahl der Treffer daran, dass es verschiedene Reihenfolgen geben kann, in denen diese auftreten.

1. Begründung: Es gibt nur zwei Ausgänge pro Wurf (Treffer oder kein Treffer). Die Trefferwahrscheinlichkeit bleibt bei jedem Wurf konstant (\(p = 0{,}6\)), und die Würfe sind voneinander unabhängig. Die Länge ist \(n = 4\). 2. Ereignis \(A\): Berechnung über \(p^n = 0{,}6^4 = 0{,}1296\). 3. Ereignis \(B\): Berechnung der Pfadwahrscheinlichkeit für die feste Sequenz (Niet, Niet, Treffer, Treffer): \((1 - 0{,}6)^2 \cdot 0{,}6^2 = 0{,}4^2 \cdot 0{,}6^2 = 0{,}16 \cdot 0{,}36 = 0{,}0576\). 4. Ereignis \(C\): Berechnung über das Gegenereignis „kein Treffer“: \(1 - P(X=0) = 1 - 0{,}4^4 = 1 - 0{,}0256 = 0{,}9744\). 5. Ereignis \(D\): Berechnung mit der Bernoulli-Formel: \(P(X=2) = \binom{4}{2} \cdot 0{,}6^2 \cdot 0{,}4^2 = 6 \cdot 0{,}36 \cdot 0{,}16 = 0{,}3456\).

a) Es gibt zwei Ausgänge, konstante Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit; \(n = 4\); \(p = 0{,}6\). b) \(P(A) = 0{,}1296\); \(P(B) = 0{,}0576\); \(P(C) = 0{,}9744\); \(P(D) = 0{,}3456\).

- Identifiziere zuerst, was in diesem Kontext ein „Treffer“ ist. - Wie hängen die Wahrscheinlichkeiten für „fehlerhaft“ und „einwandfrei“ zusammen? - Überlege für Ereignis \(F\), ob die Reihenfolge hier eine Rolle spielt oder fest vorgegeben ist. - Welches Ereignis tritt ein, wenn \(G\) nicht eintritt? - Wie viele Möglichkeiten gibt es, genau einen Fehler auf fünf Positionen zu verteilen?

1. Kennzahlen: Die Länge der Kette ist die Anzahl der geprüften Gläser, also \(n = 5\). Die Trefferwahrscheinlichkeit für ein fehlerhaftes Glas ist \(p = 0{,}1\). 2. Ereignis \(E\): Wahrscheinlichkeit für fünfmal „einwandfrei“: \((1 - p)^n = 0{,}9^5 = 0{,}59049\). 3. Ereignis \(F\): Wahrscheinlichkeit für die spezifische Sequenz (gut, gut, gut, schlecht, schlecht): \(0{,}9^3 \cdot 0{,}1^2 = 0{,}729 \cdot 0{,}01 = 0{,}00729\). 4. Ereignis \(G\): Gegenereignis zu „kein Glas fehlerhaft“ (\(E\)): \(1 - P(E) = 1 - 0{,}59049 = 0{,}40951\). 5. Ereignis \(H\): Nutzung der Bernoulli-Formel für genau einen Treffer: \(P(X=1) = \binom{5}{1} \cdot 0{,}1^1 \cdot 0{,}9^4 = 5 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}6561 = 0{,}32805\).

a) \(n = 5\); \(p = 0{,}1\). b) \(P(E) = 0{,}59049\); \(P(F) = 0{,}00729\); \(P(G) = 0{,}40951\); \(P(H) = 0{,}32805\).

- Überlege dir, wie viele Möglichkeiten es bei jedem der drei Schüsse gibt und wie man diese kombiniert. - Nutze die Pfadregeln am Baumdiagramm: Entlang eines Pfades werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert. - Für die Verteilung fasst du alle Ergebnisse zusammen, die die gleiche Anzahl an Treffern haben. - Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten in deiner Tabelle muss genau 1 ergeben.

1. Auflistung aller \(2^3 = 8\) Ergebnisse: \(TTT, TTN, TNT, NTT, TNN, NTN, NNT, NNN\). 2. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten mit der Pfadmultiplikationsregel (\(p=0{,}4\); \(q=0{,}6\)): \(P(TNN) = 0{,}4 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}6 = 0{,}144\). \(P(TTN) = 0{,}4 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}6 = 0{,}096\). 3. Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Anzahl der Treffer \(X\): \(P(X=0) = 0{,}6^3 = 0{,}216\). \(P(X=1) = 3 \cdot (0{,}4 \cdot 0{,}6^2) = 0{,}432\). \(P(X=2) = 3 \cdot (0{,}4^2 \cdot 0{,}6) = 0{,}288\). \(P(X=3) = 0{,}4^3 = 0{,}064\).

a) \(\{TTT, TTN, TNT, NTT, TNN, NTN, NNT, NNN\}\) b) \(P(TNN) = 0{,}144\); \(P(TTN) = 0{,}096\) c) <table> <tr><td>Anzahl Treffer \(k\)</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td></tr> <tr><td>\(P(X=k)\)</td><td>\(0{,}216\)</td><td>\(0{,}432\)</td><td>\(0{,}288\)</td><td>\(0{,}064\)</td></tr> </table>

- Wie viele verschiedene Ausgänge darf ein einzelner Versuch bei einer Bernoulli-Kette haben? - Muss die Anzahl der Durchgänge feststehen, bevor man mit dem Experiment beginnt? - Unterscheide zwischen Experimenten mit Zurücklegen und Experimenten ohne Zurücklegen. - Was passiert, wenn ein Experiment ein Ziel hat (z. B. „bis zum ersten Treffer“), anstatt eine feste Anzahl an Runden?

1. Teilaufgabe a): Keine Bernoulli-Kette. Eine Bernoulli-Kette setzt eine vorab fest definierte, endliche Anzahl an Versuchen \(n\) voraus. Hier ist die Anzahl der Versuche variabel (Abbruchbedingung), was zu einer geometrischen Verteilung führt. 2. Teilaufgabe b): Keine Bernoulli-Kette im klassischen Sinne, da es drei mögliche Ergebnisse (Rot, Gelb, Blau) pro Versuch gibt. Eine Bernoulli-Kette erfordert genau zwei Ergebnisklassen (Erfolg/Misserfolg). 3. Teilaufgabe c): Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette. Durch das Zurücklegen bleibt die Wahrscheinlichkeit für ein defektes Bauteil konstant bei \(p = 0{,}01\). Es gibt zwei Zustände (defekt/intakt) und eine feste Versuchsanzahl von \(n = 15\).

a) Nein, da die Anzahl der Versuche \(n\) nicht fest vorgegeben ist. b) Nein, da es mehr als zwei mögliche Ergebnisse pro Stufe gibt. c) Ja, alle Bedingungen (\(n = 15\), \(p = 0{,}01\), zwei Ausgänge, Unabhängigkeit) sind erfüllt.

- Vergleiche, wie sich die Anzahl der Lose in der Schachtel nach einem Zug verändert. - Berechne beispielhaft die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn im ersten und im zweiten Zug. - Welche Voraussetzung einer Bernoulli-Kette bezieht sich auf die Wahrscheinlichkeit der Einzelversuche? - Was bedeutet „Unabhängigkeit“ bei aufeinanderfolgenden Zufallsversuchen?

1. Analyse Fall a): Beim Ziehen mit Zurücklegen gibt es zwei Ausgänge (Gewinn/Niete). Die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn bleibt bei jedem der 4 Züge konstant bei \(p = \frac{5}{20} = 0{,}25\). Da die Züge zudem unabhängig sind, ist die Modellierung als Bernoulli-Kette mit \(n = 4\) und \(p = 0{,}25\) korrekt. 2. Analyse Fall b): Beim Ziehen ohne Zurücklegen ändert sich die Zusammensetzung des Inhalts nach jedem Zug. Dadurch verändert sich die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn (z. B. nach dem ersten Gewinn auf \(\frac{4}{19} \approx 0{,}21\)). 3. Schlussfolgerung: Da die Trefferwahrscheinlichkeit nicht konstant bleibt und die Versuche voneinander abhängig sind, kann Fall b) nicht als Bernoulli-Kette modelliert werden.

a) Ja, es ist eine Bernoulli-Kette, da durch das Zurücklegen die Trefferwahrscheinlichkeit konstant bleibt (\(p = 0{,}25\)) und die Züge unabhängig sind. b) Nein, es ist keine Bernoulli-Kette, da sich die Trefferwahrscheinlichkeit ohne Zurücklegen bei jedem Zug ändert (Abhängigkeit der Versuche).

- Überlege dir bei jedem Ereignis, wie viele Pfade im Baumdiagramm dazu gehören. - Was bedeutet das Wort „nur“ im Gegensatz zu „genau“ für die Anzahl der möglichen Pfade? - Bei Ereignis C ist das Ergebnis des vierten Bauteils nicht festgelegt. Welche Möglichkeiten gibt es dafür? - Ereignisse mit der gleichen Anzahl an Pfaden derselben Struktur haben oft die gleiche Wahrscheinlichkeit.

1. Auflistung der Ergebnisse: \(A = \{(G, F, G, G)\}\) \(B = \{(F, G, G, G), (G, F, G, G), (G, G, F, G), (G, G, G, F)\}\) \(C = \{(G, G, G, G), (G, G, G, F)\}\) \(D = \{(G, G, G, F)\}\) 2. Vergleich der Wahrscheinlichkeiten: Die Ereignisse A und D bestehen jeweils aus genau einem Pfad mit drei Erfolgen und einem Misserfolg, daher gilt \(P(A) = P(D)\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten: \(P(A) = 0{,}95^3 \cdot 0{,}05 = 0{,}857375 \cdot 0{,}05 = 0{,}04286875\) \(P(B) = 4 \cdot (0{,}95^3 \cdot 0{,}05) = 4 \cdot 0{,}04286875 = 0{,}171475\) \(P(C) = 0{,}95^3 \cdot 0{,}95 + 0{,}95^3 \cdot 0{,}05 = 0{,}95^3 = 0{,}857375\)

a) \(A = \{(G, F, G, G)\}\); \(B = \{(F, G, G, G), (G, F, G, G), (G, G, F, G), (G, G, G, F)\}\); \(C = \{(G, G, G, G), (G, G, G, F)\}\); \(D = \{(G, G, G, F)\}\) b) \(P(A) = P(D)\), da beide Ereignisse nur ein Ergebnis mit der gleichen Anzahl an Treffern und Nieten enthalten. c) \(P(A) \approx 0{,}0429\); \(P(B) \approx 0{,}1715\); \(P(C) \approx 0{,}8574\)

- Ein Ereignis wie „Die ersten vier sind Nieten“ lässt den Ausgang des fünften Schusses offen. - Überlege dir, wie viele Treffer und wie viele Nieten in einem Pfad für Ereignis A vorkommen. - Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades berechnest du, indem du die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Stufen multiplizierst.

1. Auflistung der Ergebnisse für B und C: \(B = \{(T, N, N, N, N), (N, T, N, N, N), (N, N, T, N, N), (N, N, N, T, N), (N, N, N, N, T)\}\) \(C = \{(N, N, N, N, T), (N, N, N, N, N)\}\) 2. Vergleich von A und D: Beide Ereignisse beschreiben einen spezifischen Pfad mit genau einem Treffer und vier Nieten. Da die Reihenfolge der Faktoren in der Multiplikation keine Rolle spielt, sind die Wahrscheinlichkeiten gleich. \(P(A) = P(D) = 0{,}7^4 \cdot 0{,}3^1 = 0{,}2401 \cdot 0{,}3 = 0{,}07203\) 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für C: Das Ereignis C umfasst zwei Pfade. Alternativ lässt es sich so interpretieren, dass die ersten vier Schüsse Nieten sein müssen, während der fünfte Schuss beliebig sein kann. \(P(C) = 0{,}7^4 \cdot 0{,}3 + 0{,}7^4 \cdot 0{,}7 = 0{,}7^4 \cdot (0{,}3 + 0{,}7) = 0{,}7^4 = 0{,}2401\)

a) \(B = \{TNNNN, NTNNN, NNTNN, NNNTN, NNNNT\}\); \(C = \{NNNNT, NNNNN\}\) b) \(P(A) = P(D) = 0{,}07203\), da beide aus einem Treffer (\(0{,}3\)) und vier Nieten (\(0{,}7\)) bestehen. c) \(P(C) = 0{,}2401\)

- Überlege dir zuerst, ob die Reihenfolge der Ergebnisse für die jeweilige Teilaufgabe eine Rolle spielt. - Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der Treffer bei einer festen Anzahl von Versuchen? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines ganz bestimmten Pfades im Baumdiagramm? - Unterscheide zwischen der Situation, in der „irgendwelche zwei“ Samen nicht keimen, und der, in der es „genau die ersten zwei“ sind.

1. Es liegt eine Bernoulli-Kette mit \(n = 12\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}15\) vor (Treffer: Samen keimt nicht). 2. Für Teilaufgabe a) wird die Wahrscheinlichkeit \(P(X = 2)\) mit der Bernoulli-Formel berechnet: \(P(X = 2) = \binom{12}{2} \cdot 0{,}15^2 \cdot 0{,}85^{10}\). 3. Berechnung: \(66 \cdot 0{,}0225 \cdot 0{,}196874\ldots \approx 0{,}2924\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(29{,}24\,\%\). 4. Für Teilaufgabe b) ist die Reihenfolge festgelegt (n-n-k-k-k-k-k-k-k-k-k-k). Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich als Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P = p^2 \cdot (1-p)^{10} = 0{,}15^2 \cdot 0{,}85^{10}\). 5. Berechnung: \(0{,}0225 \cdot 0{,}196874\ldots \approx 0{,}0044\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(0{,}44\,\%\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(29{,}24\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(0{,}44\,\%\).

- Identifiziere die Trefferwahrscheinlichkeit und die Anzahl der Versuche. - Wann benötigt man den Binomialkoeffizienten in der Formel und wann nicht? - Überlege, wie viele Möglichkeiten es gibt, 8 Treffer auf 10 Würfe zu verteilen, im Vergleich zu einer fest vorgegebenen Reihenfolge. - Was bedeutet das Wort „nur“ in der Aufgabenstellung für die restlichen Würfe?

1. Das Zufallsexperiment kann als Bernoulli-Kette mit \(n = 10\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}8\) (Treffer: Korb erzielt) modelliert werden. 2. Für a) berechnet man die Wahrscheinlichkeit für genau \(k = 8\) Treffer: \(P(X = 8) = \binom{10}{8} \cdot 0{,}8^8 \cdot 0{,}2^2\). 3. Mit \(\binom{10}{8} = 45\) ergibt sich: \(45 \cdot 0{,}167\,772\,16 \cdot 0{,}04 \approx 0{,}302\,0\). Die Wahrscheinlichkeit liegt bei ca. \(30{,}20\,\%\). 4. Für b) ist die Sequenz fest vorgegeben: \(8\) Treffer gefolgt von \(2\) Nicht-Treffern. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = 0{,}8^8 \cdot 0{,}2^2\). 5. Berechnung: \(0{,}167\,772\,16 \cdot 0{,}04 \approx 0{,}006\,7\). Die Wahrscheinlichkeit liegt bei ca. \(0{,}67\,\%\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(30{,}20\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(0{,}67\,\%\).

- Betrachte bei Teilaufgabe a), ob die Ergebnisse der ersten drei Schüsse für das beschriebene Ereignis eine Rolle spielen. - Überlege dir bei Teilaufgabe b), welche Fälle alle zu „mindestens ein Treffer“ gehören. Ist es einfacher, alle diese Fälle zu addieren oder das Gegenteil zu betrachten?

1. Im Ereignis a) „Der vierte Schuss ist ein Treffer“ ist nur das Ergebnis des vierten Schusses festgelegt. Der Fehler im Ansatz liegt darin, dass zusätzlich gefordert wurde, dass die ersten drei Schüsse Fehlwürfe sein müssen (Wahrscheinlichkeit für genau einen Treffer an vierter Stelle). Da die ersten drei Ergebnisse beliebig sein dürfen, beträgt die korrekte Wahrscheinlichkeit \(P = 0{,}8\). 2. Im Ereignis b) „Mindestens ein Treffer“ wird nach der Wahrscheinlichkeit für einen, zwei, drei oder vier Treffer gefragt. Der fehlerhafte Ansatz berechnet lediglich die Wahrscheinlichkeit für genau einen Treffer (\(P(X=1)\)). Zur korrekten Berechnung nutzt man das Gegenereignis „Kein Treffer“: \(P = 1 - 0{,}2^4 = 1 - 0{,}0016 = 0{,}9984\).

a) Fehler: Es wurde fälschlicherweise angenommen, dass die ersten drei Schüsse Fehlwürfe sein müssen. Richtiges Ergebnis: \(0{,}8\) (bzw. \(80\,\%\)). b) Fehler: Es wurde nur die Wahrscheinlichkeit für genau einen Treffer berechnet statt für alle Fälle ab einem Treffer. Richtiges Ergebnis: \(0{,}9984\) (bzw. \(99{,}84\,\%\)).

- Überlege dir bei jedem Ereignis, welche Bedingungen für die erste, zweite und dritte Zahl gelten. - „Nur beim ersten Mal“ bedeutet, dass es an den anderen Stellen auf keinen Fall vorkommen darf. - „Erst beim dritten Mal“ bedeutet, dass es davor nicht vorkommen darf, aber beim dritten Mal sicher dabei ist. - Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt, wenn man ein dreifeldriges Rad dreimal dreht? - Erinnere dich an die Definition der Laplace-Wahrscheinlichkeit: Anzahl der günstigen Ergebnisse geteilt durch Anzahl der möglichen Ergebnisse.

1. Ergebnismenge für A bestimmen: Das Ereignis „Nur beim ersten Drehen eine 1“ bedeutet, dass die erste Zahl eine 1 sein muss und die zweite sowie dritte Zahl keine 1 sein dürfen (also 2 oder 3). Dies ergibt die Menge \(A = \{(1, 2, 2), (1, 2, 3), (1, 3, 2), (1, 3, 3)\}\). 2. Ergebnismenge für B bestimmen: „Erst beim dritten Drehen eine 1“ bedeutet, dass die ersten beiden Zahlen keine 1 sind und die dritte Zahl eine 1 ist. Dies ergibt die Menge \(B = \{(2, 2, 1), (2, 3, 1), (3, 2, 1), (3, 3, 1)\}\). 3. Anzahl der Ergebnisse für C und D: Für C ist die dritte Stelle fest (eine 1), die ersten beiden Stellen können jeweils drei Werte (1, 2, 3) annehmen. Anzahl: \(3 \cdot 3 \cdot 1 = 9\). Für D ist die dritte Stelle eine 2 oder 3, die ersten beiden Stellen sind beliebig. Anzahl: \(3 \cdot 3 \cdot 2 = 18\). 4. Wahrscheinlichkeiten berechnen: Die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse ist \(3^3 = 27\). Da alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind (Laplace-Experiment), gilt: \(P(A) = \frac{4}{27}\) \(P(B) = \frac{4}{27}\) \(P(C) = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}\) \(P(D) = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}\)

a) \(A = \{(1, 2, 2), (1, 2, 3), (1, 3, 2), (1, 3, 3)\}\); \(B = \{(2, 2, 1), (2, 3, 1), (3, 2, 1), (3, 3, 1)\}\) b) Anzahl für C: 9; Anzahl für D: 18 c) \(P(A) = \frac{4}{27}\); \(P(B) = \frac{4}{27}\); \(P(C) = \frac{1}{3}\); \(P(D) = \frac{2}{3}\)

- Nutze ein Baumdiagramm, um dir die verschiedenen Pfade zu veranschaulichen. - Überlege genau, was Formulierungen wie „nur“ oder „erst beim...“ für die anderen Würfe bedeuten. - Bei unabhängigen Ereignissen kannst du die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multiplizieren. - Wenn ein Wurf „beliebig“ ist, wird seine Wahrscheinlichkeit in der Summe zu 1.

1. Identifikation der Pfade: Ereignis A: Nur der zweite Wurf ist ein Treffer bedeutet \((F, T, F)\). Ereignis B: Der erste Treffer beim zweiten Wurf bedeutet, der erste war ein Fehlschuss, der zweite ein Treffer, der dritte ist beliebig: \((F, T, F)\) und \((F, T, T)\). Ereignis C: Der zweite Wurf ist ein Treffer bedeutet, die anderen sind beliebig: \((T, T, T), (T, T, F), (F, T, T), (F, T, F)\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten mit \(P(T) = 0{,}25\) und \(P(F) = 0{,}75\): \(P(A) = 0{,}75 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}75 = 0{,}140\,625 = \frac{9}{64}\). \(P(B) = 0{,}75 \cdot 0{,}25 \cdot (0{,}75 + 0{,}25) = 0{,}75 \cdot 0{,}25 \cdot 1 = 0{,}1875 = \frac{3}{16}\). \(P(C) = 1 \cdot 0{,}25 \cdot 1 = 0{,}25 = \frac{1}{4}\). \(P(D) = 1 - P(C) = 0{,}75 = \frac{3}{4}\).

a) \(A = \{(F, T, F)\}\); \(B = \{(F, T, F), (F, T, T)\}\); \(C = \{(T, T, T), (T, T, F), (F, T, T), (F, T, F)\}\) b) \(P(A) = \frac{9}{64} \approx 14{,}1\,\%\); \(P(B) = \frac{3}{16} = 18{,}75\,\%\); \(P(C) = \frac{1}{4} = 25\,\%\); \(P(D) = \frac{3}{4} = 75\,\%\)

- Überlege dir, wie man das Gegenteil von „mindestens ein Treffer“ beschreibt. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für eine Kette von Misserfolgen? - Kannst du eine Ungleichung aufstellen, bei der die Anzahl der Versuche die Unbekannte im Exponenten ist? - Wenn du die Ungleichung nicht direkt lösen kannst, hilft vielleicht eine Tabelle mit Werten für steigende Versuchszahlen.

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei drei Versuchen: \(P(\text{kein Treffer}) = 0{,}6^3 = 0{,}216\). 2. Berechnung der Gegenwahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer: \(P(\text{mind. ein Treffer}) = 1 - 0{,}216 = 0{,}784\). 3. Vergleich: Da \(0{,}784 > 0{,}216\), ist es wahrscheinlicher, mindestens einmal zu treffen als gar nicht zu treffen. 4. Ansatz für Teilaufgabe b) mit der Bedingung \(P(\text{mind. ein Treffer}) > 0{,}9\): \(1 - 0{,}6^n > 0{,}9\), was zu \(0{,}6^n < 0{,}1\) führt. 5. Lösung der Ungleichung durch systematisches Probieren oder Logarithmieren: \(n \cdot \ln(0{,}6) < \ln(0{,}1)\), also \(n > \frac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}6)} \approx 4{,}5076\). 6. Ergebnis: Der Spieler muss mindestens \(5\)-mal werfen.

a) Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer beträgt \(78{,}4\,\%\). Da die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer nur \(21{,}6\,\%\) beträgt, ist mindestens ein Treffer wahrscheinlicher. b) Er müsste mindestens \(5\)-mal werfen.

- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, bei einem einzelnen Dreh nicht zu gewinnen? - Das Ereignis „mindestens ein Gewinn“ lässt sich am einfachsten über das Gegenereignis berechnen. - Gibt es bei einem Zufallsexperiment mit unabhängigen Versuchen jemals eine Garantie für ein bestimmtes Ergebnis, wenn die Gegenwahrscheinlichkeit nicht null ist? - Probiere für die Anzahl der Drehungen verschiedene Werte aus oder nutze den Logarithmus, um eine Potenzgleichung zu lösen.

1. Die Gewinnwahrscheinlichkeit pro Drehung ist \(p = 0{,}1\), die Verlustwahrscheinlichkeit \(q = 0{,}9\). 2. Für fünf Drehungen: \(P(\text{kein Gewinn}) = 0{,}9^5 = 0{,}59049\). 3. \(P(\text{mind. ein Gewinn}) = 1 - 0{,}59049 = 0{,}40951\). Da \(0{,}59049 > 0{,}40951\), ist kein Gewinn wahrscheinlicher. 4. Begründung zur Sicherheit: Da bei jedem Dreh ein Verlust möglich ist (\(q > 0\)), bleibt die Wahrscheinlichkeit für eine Serie von Verlusten (\(0{,}9^n\)) für jedes endliche \(n\) größer als Null. Somit ist die Gegenwahrscheinlichkeit für einen Gewinn immer kleiner als \(1\). 5. Bestimmung von \(n\) für \(P > 0{,}8\): \(1 - 0{,}9^n > 0{,}8 \Rightarrow 0{,}2 > 0{,}9^n\). 6. Berechnung: \(n > \frac{\ln(0{,}2)}{\ln(0{,}9)} \approx 15{,}2755\). 7. Ergebnis: Es sind mindestens \(16\) Drehungen erforderlich.

a) Es ist wahrscheinlicher, kein einziges Mal zu gewinnen (\(P \approx 59{,}05\,\%\) gegenüber \(P \approx 40{,}95\,\%\)). b) Da bei jedem Dreh die Wahrscheinlichkeit für eine Niete \(90\,\%\) beträgt, bleibt die Wahrscheinlichkeit für eine reine Pechsträhne bei jeder endlichen Anzahl an Versuchen größer als \(0\,\%\). c) Es sind mindestens \(16\) Drehungen nötig.

- Was sind die grundlegenden Eigenschaften eines Bernoulli-Versuchs? - Wann kann man das „Ziehen ohne Zurücklegen“ näherungsweise wie „Ziehen mit Zurücklegen“ behandeln? - Achte auf das Verhältnis zwischen der Stichprobengröße und der Gesamtmenge.

1. Teilaufgabe a): Das Experiment kann als Bernoulli-Kette modelliert werden, wenn es nur zwei Zustände gibt (defekt/intakt) und die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) konstant bleibt. Bei einer sehr großen Grundgesamtheit (laufende Produktion) ändert die Entnahme einer Stichprobe ohne Zurücklegen die Wahrscheinlichkeit so geringfügig, dass man sie als konstant ansehen kann (Unabhängigkeit). 2. Teilaufgabe b): Die Anzahl der Versuche ist die Stichprobengröße, also \(n = 100\). Die Trefferwahrscheinlichkeit entspricht dem Anteil der defekten Flaschen: \(p = 0{,}5\,\% = 0{,}005\). 3. Teilaufgabe c): In diesem Fall ist eine Bernoulli-Kette nicht mehr sinnvoll. Da die Stichprobe (\(100\)) einen sehr großen Teil der Grundgesamtheit (\(120\)) ausmacht, ändert sich die Wahrscheinlichkeit beim Ziehen ohne Zurücklegen massiv. Die Versuche sind somit stark voneinander abhängig.

a) Modellierung möglich, wenn die Grundgesamtheit groß genug ist, sodass \(p\) näherungsweise konstant bleibt und es nur zwei Ergebnisse gibt. b) \(n = 100\); \(p = 0{,}005\). c) Nicht sinnvoll, da die Grundgesamtheit zu klein ist; die Wahrscheinlichkeit ändert sich bei Entnahme ohne Zurücklegen signifikant.

- Was passiert mit der Wahrscheinlichkeit, wenn sich die Zusammensetzung der Bauteile im Behälter ändert? - Wann spricht man von unabhängigen Teilversuchen? - Vergleiche die Situationen „Ziehen mit Zurücklegen“ und „Ziehen ohne Zurücklegen“.

1. Analyse Variante a): Durch das Zurücklegen bleibt die Anzahl der Bauteile und die Anzahl der defekten Bauteile bei jedem Zug gleich. Die Wahrscheinlichkeit ist konstant \(p = \frac{4}{40} = 0{,}1\). Die Züge sind unabhängig. Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette mit \(p = 0{,}1\). 2. Analyse Variante b): Da die Bauteile nicht zurückgelegt werden, ändert sich die Zusammensetzung des Inhalts nach jedem Zug. Die Wahrscheinlichkeit, ein defektes Bauteil zu ziehen, hängt von den vorherigen Ergebnissen ab (z. B. \(4/40\) beim ersten Zug, dann \(3/39\) oder \(4/39\)). Es handelt sich nicht um eine Bernoulli-Kette.

a) Es ist eine Bernoulli-Kette, da durch das Zurücklegen die Erfolgswahrscheinlichkeit konstant bei \(p = \frac{4}{40} = 0{,}1\) bleibt und die Versuche unabhängig sind. b) Es ist keine Bernoulli-Kette, da sich die Wahrscheinlichkeit für einen Defekt mit jeder Entnahme ohne Zurücklegen ändert.

- Welche Bedingungen müssen für die Wahrscheinlichkeit bei jedem einzelnen Schritt einer Kette gelten? - Macht es für die Wahrscheinlichkeit einen Unterschied, ob man Objekte nach der Ziehung zurücklegt oder nicht? - Was bedeutet es für die Kette, wenn ein Ereignis die Wahrscheinlichkeit des nächsten Ereignisses beeinflusst?

1. Eine Bernoulli-Kette liegt vor, wenn ein Bernoulli-Versuch (zwei Ausgänge) mehrfach hintereinander unter identischen Bedingungen ausgeführt wird. Das bedeutet, die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) muss konstant bleiben und die Versuche müssen stochastisch unabhängig sein. 2. Zu a): Es gibt zwei Ergebnisse (Blau / nicht Blau). Die Wahrscheinlichkeit \(p = 0{,}25\) bleibt bei jeder Drehung gleich und die Drehungen sind unabhängig. Es ist eine Bernoulli-Kette der Länge \(n = 10\). 3. Zu b): Da die Kugeln nicht zurückgelegt werden, ändert sich die Zusammensetzung des Inhalts und damit die Wahrscheinlichkeit für „Rot“ bei jedem Zug. Die Versuche sind nicht identisch und nicht unabhängig. Es ist keine Bernoulli-Kette. 4. Zu c): Es gibt zwei Ausgänge (Treffer / kein Treffer). Die Wahrscheinlichkeit \(p = 0{,}7\) ist konstant und die Unabhängigkeit ist gegeben. Es ist eine Bernoulli-Kette der Länge \(n = 10\).

a) Ja, es ist eine Bernoulli-Kette. b) Nein, es ist keine Bernoulli-Kette, da sich die Wahrscheinlichkeit durch das fehlende Zurücklegen ändert. c) Ja, es ist eine Bernoulli-Kette.

- Wie viele Ergebnisse hat ein Bernoulli-Versuch per Definition? - Kannst du die drei Kategorien so in zwei Gruppen aufteilen, dass jede Gruppe als ein einziges Gesamtergebnis zählt? - Denk an das Konzept des Gegenereignisses.

1. Ein Bernoulli-Versuch darf laut Definition nur genau zwei Ergebnisse haben. Da hier zwischen drei Arten unterschieden wird (Hauptgewinn, Kleingewinn, Niete), ist die Bedingung nicht erfüllt. 2. Mögliche Umformungen durch Zusammenfassung von Ergebnissen: Variante 1: Erfolg = „Gewinn“ (Haupt- oder Kleingewinn), Misserfolg = „Niete“. Variante 2: Erfolg = „Hauptgewinn“, Misserfolg = „kein Hauptgewinn“ (Kleingewinn oder Niete). 3. Die Aussage ist korrekt. Jedes Zufallsexperiment mit beliebig vielen Ergebnissen kann zu einem Bernoulli-Versuch reduziert werden, indem man ein bestimmtes Ereignis \(A\) als „Erfolg“ definiert und dessen Gegenereignis \(\bar{A}\) als „Misserfolg“ definiert.

a) Es liegen drei statt zwei Ergebnisse vor. b) Z. B. „Gewinn oder Niete“ oder „Hauptgewinn oder kein Hauptgewinn“. c) Die Aussage ist wahr, da man Ergebnisse stets in ein Ereignis \(E\) und sein Gegenereignis \(\bar{E}\) aufteilen kann.

- Erinnere dich an die Definition eines Bernoulli-Versuchs bezüglich der Anzahl der Ausgänge. - Macht es für die Definition einen Unterschied, ob wir nur nach einer „6“ fragen oder alle Zahlen einzeln aufschreiben? - Prüfe, ob die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ergebnis bei jedem der 10 Würfe gleich bleibt. - Ist die Anzahl der Versuche \(n\) fest vorgegeben?

1. Teilaufgabe a): Das Experiment hat genau zwei mögliche Ausgänge („Treffer“ und „Niete“). Da die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) laut Aufgabenstellung für jeden der 50 Würfe als identisch angenommen wird und die Würfe unabhängig sind, handelt es sich um eine Bernoulli-Kette mit \(n = 50\). 2. Teilaufgabe b): Ein Bernoulli-Versuch ist dadurch definiert, dass er genau zwei mögliche Ergebnisse besitzt. Da hier jedoch alle sechs Augenzahlen unterschieden und einzeln notiert werden, hat jede Stufe des Experiments sechs mögliche Ergebnisse. Somit liegt keine Kette aus Bernoulli-Versuchen vor.

a) Ja, es ist eine Bernoulli-Kette, da es nur zwei Ergebnisse gibt und die Wahrscheinlichkeit \(p\) über \(n = 50\) Versuche konstant bleibt. b) Nein, es ist keine Bernoulli-Kette, da das Einzelexperiment mehr als zwei mögliche Ergebnisse (\(1, 2, 3, 4, 5, 6\)) hat.

- Identifiziere Trefferwahrscheinlichkeit und Stichprobenumfang. - Berechne zunächst den Erwartungswert, um zu wissen, um welche Werte herum die Wahrscheinlichkeiten am höchsten sind. - Untersuche die Werte an den Rändern der Verteilung (sehr kleine und sehr große \(k\)). - Nutze die Formel von Bernoulli für die Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten.

1. Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 15\) und \(p = 0{,}40\). Die Wahrscheinlichkeit für \(k = 6\) beträgt: \(P(X = 6) = \binom{15}{6} \cdot 0{,}4^6 \cdot 0{,}6^9 \approx 0{,}2066\). 2. Es werden die Einzelwahrscheinlichkeiten \(P(X=k) = \binom{15}{k} \cdot 0{,}4^k \cdot 0{,}6^{15-k}\) für verschiedene \(k\) geprüft: \(P(X=0) \approx 0{,}0005 < 0{,}01\) \(P(X=1) \approx 0{,}0047 < 0{,}01\) \(P(X=2) \approx 0{,}0219 > 0{,}01\) Am oberen Ende: \(P(X=10) \approx 0{,}0245 > 0{,}01\) \(P(X=11) \approx 0{,}0074 < 0{,}01\) \(P(X=12) \approx 0{,}0016 < 0{,}01\) \(P(X=13) \approx 0{,}0002 < 0{,}01\) \(P(X=14) \approx 0{,}0000 < 0{,}01\) \(P(X=15) \approx 0{,}0000 < 0{,}01\) Die Ergebnisse \(k \in \{0; 1\}\) und \(k \in \{11; 12; 13; 14; 15\}\) haben eine Einzelwahrscheinlichkeit von weniger als \(1\,\%\).

1. Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(20{,}66\,\%\). 2. Die Ergebnisse \(k \in \{0; 1; 11; 12; 13; 14; 15\}\) sind extrem unwahrscheinlich (Einzelwahrscheinlichkeit \(< 1\,\%\)).

- Erinnere dich an die Rechenregeln für Multiplikation. Spielt die Reihenfolge der Faktoren beim Ergebnis eine Rolle? - „Mindestens zwei“ bedeutet, dass es zwei oder auch mehr sein können. - Erstelle für die Verteilung eine Übersicht, die jedem möglichen Wert der Zufallsgröße seine Wahrscheinlichkeit zuordnet.

1. Begründung: Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten. Da die Faktoren für \(efe\) (\(0{,}9 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9\)) und \(eef\) (\(0{,}9 \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}1\)) identisch sind (Kommutativgesetz), ist der Wert gleich: \(0{,}081\). 2. Ereignis „mindestens zwei fehlerhaft“ umfasst die Ergebnisse mit zwei oder drei fehlerhaften Bauteilen (\(ffe, fef, eff, fff\)): \(P(X=2) = 3 \cdot (0{,}1^2 \cdot 0{,}9) = 0{,}027\). \(P(X=3) = 0{,}1^3 = 0{,}001\). Summe: \(P(X \geq 2) = 0{,}027 + 0{,}001 = 0{,}028\). 3. Vollständige Verteilung: \(P(X=0) = 0{,}9^3 = 0{,}729\). \(P(X=1) = 3 \cdot (0{,}1 \cdot 0{,}9^2) = 0{,}243\). \(P(X=2) = 0{,}027\). \(P(X=3) = 0{,}001\).

a) Da die Faktoren der Wahrscheinlichkeiten identisch sind, gilt: \(P(efe) = P(eef) = 0{,}081\). b) \(P(\text{mindestens zwei fehlerhaft}) = 0{,}028\). c) <table> <tr><td>Anzahl fehlerhafter Bauteile \(k\)</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td></tr> <tr><td>\(P(X=k)\)</td><td>\(0{,}729\)</td><td>\(0{,}243\)</td><td>\(0{,}027\)</td><td>\(0{,}001\)</td></tr> </table>

- Unterscheide bei a) zwischen der Bedingung für eine einzelne Stufe und der Festlegung eines gesamten Pfades im Baumdiagramm. - Erinnere dich bei b) daran, wie man die Wahrscheinlichkeit für „mindestens ein Ereignis“ effizient über das Gegenereignis berechnet.

1. Bei Ereignis a) besagt die Aufgabenstellung lediglich, dass das zweite Bauteil defekt sein muss. Die Zustände der anderen fünf Bauteile sind nicht eingeschränkt. Der vorliegende Ansatz berechnet jedoch fälschlicherweise die Wahrscheinlichkeit, dass *genau* das zweite Bauteil defekt ist und alle anderen einwandfrei sind. Die korrekte Wahrscheinlichkeit ist einfach die Defektwahrscheinlichkeit eines einzelnen Bauteils: \(P = 0{,}05\). 2. Bei Ereignis b) umfasst „mindestens ein Bauteil“ die Fälle von einem bis zu sechs defekten Bauteilen. Die fehlerhafte Rechnung nutzt die Bernoulli-Formel für \(k=1\) und berechnet damit nur die Wahrscheinlichkeit für exakt ein defektes Bauteil. Die korrekte Lösung erfolgt über das Gegenereignis „Kein Bauteil ist defekt“: \(P = 1 - 0{,}95^6 = 1 - 0{,}735091890625 \approx 0{,}2649\).

a) Fehler: Die anderen Bauteile wurden fälschlicherweise als „nicht defekt“ festgeschrieben. Korrektes Ergebnis: \(0{,}05\) (bzw. \(5\,\%\)). b) Fehler: Es wurde nur die Wahrscheinlichkeit für genau ein defektes Bauteil berechnet. Korrektes Ergebnis: \(1 - 0{,}95^6 \approx 0{,}2649\) (bzw. ca. \(26{,}49\,\%\)).