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- Fasse die Käufer aus beiden ersten Gruppen zusammen. - Beziehe die Summe auf alle Besuche.

1. Käufer insgesamt: \(216+72=288\). 2. Wahrscheinlichkeit: \(288:600=0{,}48\).

\(0{,}48=48\,\%\).

- Vergleiche die Wahrscheinlichkeiten der zweiten Stufe mit denen der ersten. - Welche Handlung hält die Zusammensetzung des Beutels unverändert?

1. Diagramm A: zweite Wahrscheinlichkeiten bleiben \(\frac{3}{5}\) und \(\frac{2}{5}\); mit Zurücklegen. 2. Diagramm B: zweite Wahrscheinlichkeiten ändern sich auf Brüche mit Nenner \(4\); ohne Zurücklegen.

A: mit Zurücklegen; B: ohne Zurücklegen.

- Überlege dir zuerst, wie viele Möglichkeiten es bei jedem einzelnen Zug gibt. - Beachte, dass sich die Gesamtzahl der Socken nach dem ersten Zug verringert. - Wie viele Socken einer Farbe sind noch übrig, nachdem bereits eine Socke dieser Farbe gezogen wurde? - Das Gegenereignis kann Rechnungen oft erheblich vereinfachen. Was ist das Gegenteil von „mindestens eine blaue Socke“?

1. Anzahl der Pfade: Da in jedem der zwei Züge zwei Farben möglich sind (Grau, Blau), ergeben sich \(2 \cdot 2 = 4\) mögliche Pfade im Baumdiagramm: (g, g), (g, b), (b, g) und (b, b). 2. Wahrscheinlichkeit für gleiche Farben: Es gibt insgesamt 10 Socken. Die Wahrscheinlichkeit für zwei graue Socken ist \(P(g, g) = \frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9} = \frac{30}{90}\). Die Wahrscheinlichkeit für zwei blaue Socken ist \(P(b, b) = \frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} = \frac{12}{90}\). Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist die Summe: \(P(\text{gleich}) = \frac{30}{90} + \frac{12}{90} = \frac{42}{90} = \frac{7}{15} \approx 0{,}4667\). 3. Wahrscheinlichkeit für mindestens eine blaue Socke: Dies lässt sich über das Gegenereignis „keine blaue Socke“ (also zwei graue Socken) berechnen. \(P(\text{mind. eine blau}) = 1 - P(g, g) = 1 - \frac{30}{90} = \frac{60}{90} = \frac{2}{3} \approx 0{,}6667\).

a) Es gibt 4 Pfade. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{7}{15}\) (ca. \(46{,}7\,\%\)). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{2}{3}\) (ca. \(66{,}7\,\%\)).

- Stelle dir vor, wie viele Verzweigungen an jedem Knoten des Baumes entstehen. - Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades, um die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Gesamtergebnis zu erhalten. - Identifiziere alle Pfade, die die Bedingung „genau ein fehlerhaftes Teil“ erfüllen. - Haben diese Pfade alle die gleiche Wahrscheinlichkeit? Wenn ja, wie oft kommen sie vor?

1. Anzahl der Endknoten: In jeder der drei Stufen gibt es 2 Möglichkeiten (\(E\) oder \(F\)). Somit hat das Baumdiagramm \(2^3 = 8\) Endknoten. 2. Wahrscheinlichkeit für drei einwandfreie Teile: Der Pfad lautet \((E, E, E)\). Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich nach der ersten Pfadregel zu \(P(E, E, E) = 0{,}9 \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}9 = 0{,}9^3 = 0{,}729\). 3. Wahrscheinlichkeit für genau ein fehlerhaftes Teil: Es gibt drei Pfade, die genau ein \(F\) enthalten: \((F, E, E)\), \((E, F, E)\) und \((E, E, F)\). Jeder dieser Pfade hat die Wahrscheinlichkeit \(0{,}1 \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}9 = 0{,}081\). Nach der zweiten Pfadregel addiert man diese: \(P(\text{genau ein } F) = 3 \cdot 0{,}081 = 0{,}243\).

a) Das Baumdiagramm hat 8 Endknoten. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}729\) (bzw. \(72{,}9\,\%\)). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}243\) (bzw. \(24{,}3\,\%\)).

- Überlege dir bei jedem Ereignis, welche Bedingungen für die erste, zweite und dritte Zahl gelten. - „Nur beim ersten Mal“ bedeutet, dass es an den anderen Stellen auf keinen Fall vorkommen darf. - „Erst beim dritten Mal“ bedeutet, dass es davor nicht vorkommen darf, aber beim dritten Mal sicher dabei ist. - Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt, wenn man ein Glücksrad mit drei Feldern dreimal dreht? - Erinnere dich an die Definition der Laplace-Wahrscheinlichkeit: Anzahl der günstigen Ergebnisse geteilt durch Anzahl der möglichen Ergebnisse.

1. Ergebnismenge für A bestimmen: Das Ereignis „Nur beim ersten Drehen eine 1“ bedeutet, dass die erste Zahl eine 1 sein muss und die zweite sowie dritte Zahl keine 1 sein dürfen (also 2 oder 3). Dies ergibt die Menge \(A = \{(1, 2, 2), (1, 2, 3), (1, 3, 2), (1, 3, 3)\}\). 2. Ergebnismenge für B bestimmen: „Erst beim dritten Drehen eine 1“ bedeutet, dass die ersten beiden Zahlen keine 1 sind und die dritte Zahl eine 1 ist. Dies ergibt die Menge \(B = \{(2, 2, 1), (2, 3, 1), (3, 2, 1), (3, 3, 1)\}\). 3. Anzahl der Ergebnisse für C und D: Für C ist die dritte Stelle fest (eine 1), die ersten beiden Stellen können jeweils drei Werte (1, 2, 3) annehmen. Anzahl: \(3 \cdot 3 \cdot 1 = 9\). Für D ist die dritte Stelle eine 2 oder 3, die ersten beiden Stellen sind beliebig. Anzahl: \(3 \cdot 3 \cdot 2 = 18\). 4. Wahrscheinlichkeiten berechnen: Die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse ist \(3^3 = 27\). Da alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind (Laplace-Experiment), gilt: \(P(A) = \frac{4}{27}\) \(P(B) = \frac{4}{27}\) \(P(C) = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}\) \(P(D) = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}\)

a) \(A = \{(1, 2, 2), (1, 2, 3), (1, 3, 2), (1, 3, 3)\}\); \(B = \{(2, 2, 1), (2, 3, 1), (3, 2, 1), (3, 3, 1)\}\) b) Anzahl für C: 9; Anzahl für D: 18 c) \(P(A) = \frac{4}{27}\); \(P(B) = \frac{4}{27}\); \(P(C) = \frac{1}{3}\); \(P(D) = \frac{2}{3}\)

- Gehe im Kopf alle Wege im Baum durch und notiere dir die Buchstabenkombinationen an den Enden. - Wie viele Möglichkeiten gibt es, den Buchstaben \(b\) an eine der drei Positionen in einer Kette der Länge 3 zu setzen? - Was gibt der Binomialkoeffizient \(\binom{n}{k}\) allgemein an?

1. Analyse des Baums: Ein 3-stufiger Baum mit den Ausgängen \(a\) und \(b\) hat insgesamt \(2^3 = 8\) Pfade. 2. Abzählen der Pfade für \(a^2b\): Die Pfade müssen zweimal \(a\) und einmal \(b\) enthalten. Dies sind: \((a, a, b)\), \((a, b, a)\) und \((b, a, a)\). Es gibt also 3 Pfade. 3. Binomialkoeffizient: Der Koeffizient \(\binom{n}{k}\) gibt an, auf wie viele Arten man \(k\) Objekte aus \(n\) Plätzen auswählen kann. Hier wählen wir aus \(n=3\) Stufen \(k=2\) Stufen für das Ereignis \(a\) aus. Da \(\binom{3}{2} = 3\), entspricht dies genau der Anzahl der Pfade.

a) Es gibt 3 Pfade, die zum Term \(a^2b\) führen. b) Die Pfade sind: \(a \rightarrow a \rightarrow b\), \(a \rightarrow b \rightarrow a\) und \(b \rightarrow a \rightarrow a\). c) Der Binomialkoeffizient \(\binom{3}{2} = 3\) gibt genau die Anzahl der Möglichkeiten an, 2-mal \(a\) auf 3 Positionen zu verteilen.

- Schau dir die unterste Ebene des Baums an und suche alle Knoten mit der Beschriftung „2 Treffer“. - Verfolge diese Pfade vom Ende zurück zum Start, um die Zwischenstände nach dem zweiten Schritt zu finden. - Überlege dir: Wenn du schon zwei Treffer hast, was darfst du dann im letzten Wurf nicht mehr werfen? - Wenn du erst einen Treffer hast, was musst du dann unbedingt im letzten Wurf werfen?

1. Identifikation der Pfade für genau zwei Treffer: Die Pfade sind T-T-F (Treffer, Treffer, Fehlwurf), T-F-T (Treffer, Fehlwurf, Treffer) und F-T-T (Fehlwurf, Treffer, Treffer). Es gibt insgesamt 3 solche Pfade. 2. Bestimmung der notwendigen Zwischenstände nach dem 2. Wurf: Damit nach dem 3. Wurf genau 2 Treffer vorliegen, muss nach dem 2. Wurf entweder der Zwischenstand „1 Treffer“ oder „2 Treffer“ erreicht worden sein. 3. Analyse der benötigten Ergebnisse im 3. Wurf: - Wenn nach dem 2. Wurf 1 Treffer vorliegt (Pfade T-F oder F-T), muss der 3. Wurf ein Treffer (T) sein. - Wenn nach dem 2. Wurf 2 Treffer vorliegen (Pfad T-T), muss der 3. Wurf ein Fehlwurf (F) sein. - Bei 0 Treffern nach dem 2. Wurf kann das Ziel nicht mehr erreicht werden.

a) Es gibt 3 Pfade: T-T-F, T-F-T und F-T-T. b) Nach dem zweiten Wurf muss der Zwischenstand entweder 1 Treffer oder 2 Treffer sein. c) Bei einem Zwischenstand von 1 Treffer muss der dritte Wurf ein Treffer (T) sein; bei einem Zwischenstand von 2 Treffern muss der dritte Wurf ein Fehlwurf (F) sein.

- Überlege dir zuerst, wie viele Stufen das Zufallsexperiment hat. - Wie ändern sich die Wahrscheinlichkeiten an den Zweigen von Schuss zu Schuss? - Bei „genau zwei Treffern“ musst du alle Pfade finden, die genau zweimal den Buchstaben für einen Treffer enthalten. - Das Wort „mindestens“ ist oft ein Hinweis darauf, dass das Rechnen mit dem Gegenereignis einfacher sein könnte.

1. Ergänzung des Baumdiagramms: Jede Verzweigung hat die Wahrscheinlichkeiten \(P(G) = 0{,}8\) und \(P(F) = 0{,}2\). Der Baum hat drei Stufen (für jeden Schuss eine). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für Ereignis \(A\) (genau zwei Treffer): Die Pfade sind \((G, G, F)\), \((G, F, G)\) und \((F, G, G)\). Jeder Pfad hat die Wahrscheinlichkeit \(0{,}8 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}2 = 0{,}128\). Da es drei solche Pfade gibt, ist \(P(A) = 3 \cdot 0{,}128 = 0{,}384\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für Ereignis \(B\) (mindestens ein Treffer): Über das Gegenereignis \(\bar{B}\) (kein Treffer im Gold, also \((F, F, F)\)). Die Wahrscheinlichkeit für \(\bar{B}\) ist \(P(F, F, F) = 0{,}2^3 = 0{,}008\). Somit gilt \(P(B) = 1 - 0{,}008 = 0{,}992\).

a) Jede Verzweigung trägt die Wahrscheinlichkeiten \(P(G)=0{,}8\) und \(P(F)=0{,}2\); der vollständige dreistufige Baum hat \(2^3=8\) Endknoten. b) \(P(A)=0{,}384\) (oder \(38{,}4\,\%\)). c) \(P(B)=0{,}992\) (oder \(99{,}2\,\%\)).

- Wie hängen die Zahlen eines Elternknotens und seiner Kinder zusammen? - Prüfe jede Astsumme.

1. Erste Stufe: \(P(A)=300:500=0{,}6\), \(P(\overline{A})=200:500=0{,}4\). 2. Nach \(A\): \(P(B\mid A)=180:300=0{,}6\), \(P(\overline{B}\mid A)=120:300=0{,}4\). 3. Nach \(\overline{A}\): \(P(B\mid\overline{A})=50:200=0{,}25\), \(P(\overline{B}\mid\overline{A})=150:200=0{,}75\).

Erste Stufe: \(0{,}6\), \(0{,}4\); nach \(A\): \(0{,}6\), \(0{,}4\); nach \(\overline{A}\): \(0{,}25\), \(0{,}75\).