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- Überlege dir zuerst, wie viele Möglichkeiten es bei jedem einzelnen Zug gibt. - Beachte, dass sich die Gesamtzahl der Socken nach dem ersten Zug verringert. - Wie viele Socken einer Farbe sind noch übrig, nachdem bereits eine Socke dieser Farbe gezogen wurde? - Das Gegenereignis kann Rechnungen oft erheblich vereinfachen. Was ist das Gegenteil von „mindestens eine blaue Socke“?

1. Anzahl der Pfade: Da in jedem der zwei Züge zwei Farben möglich sind (Grau, Blau), ergeben sich \(2 \cdot 2 = 4\) mögliche Pfade im Baumdiagramm: (g, g), (g, b), (b, g) und (b, b). 2. Wahrscheinlichkeit für gleiche Farben: Es gibt insgesamt 10 Socken. Die Wahrscheinlichkeit für zwei graue Socken ist \(P(g, g) = \frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9} = \frac{30}{90}\). Die Wahrscheinlichkeit für zwei blaue Socken ist \(P(b, b) = \frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} = \frac{12}{90}\). Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist die Summe: \(P(\text{gleich}) = \frac{30}{90} + \frac{12}{90} = \frac{42}{90} = \frac{7}{15} \approx 0{,}4667\). 3. Wahrscheinlichkeit für mindestens eine blaue Socke: Dies lässt sich über das Gegenereignis „keine blaue Socke“ (also zwei graue Socken) berechnen. \(P(\text{mind. eine blau}) = 1 - P(g, g) = 1 - \frac{30}{90} = \frac{60}{90} = \frac{2}{3} \approx 0{,}6667\).

a) Es gibt 4 Pfade. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{7}{15}\) (ca. \(46{,}7\,\%\)). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{2}{3}\) (ca. \(66{,}7\,\%\)).

- Stelle dir vor, wie viele Verzweigungen an jedem Knoten des Baumes entstehen. - Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades, um die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Gesamtergebnis zu erhalten. - Identifiziere alle Pfade, die die Bedingung „genau ein fehlerhaftes Teil“ erfüllen. - Haben diese Pfade alle die gleiche Wahrscheinlichkeit? Wenn ja, wie oft kommen sie vor?

1. Anzahl der Endknoten: In jeder der drei Stufen gibt es 2 Möglichkeiten (\(E\) oder \(F\)). Somit hat das Baumdiagramm \(2^3 = 8\) Endknoten. 2. Wahrscheinlichkeit für drei einwandfreie Teile: Der Pfad lautet \((E, E, E)\). Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich nach der ersten Pfadregel zu \(P(E, E, E) = 0{,}9 \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}9 = 0{,}9^3 = 0{,}729\). 3. Wahrscheinlichkeit für genau ein fehlerhaftes Teil: Es gibt drei Pfade, die genau ein \(F\) enthalten: \((F, E, E)\), \((E, F, E)\) und \((E, E, F)\). Jeder dieser Pfade hat die Wahrscheinlichkeit \(0{,}1 \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}9 = 0{,}081\). Nach der zweiten Pfadregel addiert man diese: \(P(\text{genau ein } F) = 3 \cdot 0{,}081 = 0{,}243\).

a) Das Baumdiagramm hat 8 Endknoten. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}729\) (bzw. \(72{,}9\,\%\)). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}243\) (bzw. \(24{,}3\,\%\)).