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- Überlege dir genau, welche Ergebnisse jeder einzelne der drei Würfe haben muss. - Was bedeutet das Wort "nur" in diesem Zusammenhang für den dritten Wurf? - Wie berechnet man die Gesamtwahrscheinlichkeit einer bestimmten Abfolge von unabhängigen Ereignissen?

1. Analyse der geforderten Wurffolge: 1. Wurf = 6, 2. Wurf = 6, 3. Wurf = keine 6. 2. Wahrscheinlichkeit für eine 6: \(P(6) = \frac{1}{6}\). 3. Wahrscheinlichkeit für keine 6: \(P(\text{nicht } 6) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\). 4. Multiplikation der Einzelwahrscheinlichkeiten nach der Pfadregel: \(P = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{216}\).

c) \(\frac{5}{216}\)

- Kannst du die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Erfolg als Dezimalzahl schreiben? - Wie verändert sich die Gesamtwahrscheinlichkeit, wenn mehrere Ereignisse nacheinander eintreten müssen? - Überlege, ob du für jeden Wurf dieselbe Wahrscheinlichkeit annehmen kannst. - Wie rechnet man eine Dezimalzahl in eine Prozentangabe um?

1. Bestimmung der Einzelwahrscheinlichkeit für einen Treffer: \(P(\text{Treffer}) = 0{,}8\). 2. Anwendung der Pfadregel für 5 aufeinanderfolgende, unabhängige Ereignisse: \(P(\text{5 Treffer}) = 0{,}8 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}8 = 0{,}8^5\). 3. Berechnung des Potenzwertes: \(0{,}8^5 = 0{,}32768\). 4. Umrechnung in Prozent: \(0{,}32768 \cdot 100\,\% = 32{,}768\,\%\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(32{,}768\,\%\).

- Überlege zuerst, wie viele verschiedene Ziffern es an einem einzelnen Ring gibt. - Wie groß ist die Chance, an einem Ring zufällig die richtige Ziffer zu treffen? - Da die Ringe unabhängig voneinander eingestellt werden, kannst du die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander verknüpfen. - Wie viele vierstellige Kombinationen gibt es insgesamt von 0000 bis 9999?

1. Bestimmung der Anzahl der Möglichkeiten pro Ring: Da die Ziffern \(0\) bis \(9\) zur Verfügung stehen, gibt es \(10\) Möglichkeiten je Ring. 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für eine korrekte Ziffer an einem einzelnen Ring: \(P(\text{Ziffer richtig}) = \frac{1}{10}\). 3. Anwendung der Pfadmultiplikationsregel für vier unabhängige Ereignisse: \(P(\text{Schloss öffnet}) = (\frac{1}{10})^4 = \frac{1}{10\,000}\). 4. Umrechnung in Dezimalform: \(0{,}0001\).

Die Wahrscheinlichkeit, dass das Schloss beim ersten Versuch öffnet, beträgt \(\frac{1}{10\,000}\) oder \(0{,}0001\) (entspricht \(0{,}01\,\%\)).

- Stell dir den Vorgang als einen Pfad in einem Baumdiagramm vor. Wie viele Stufen hat dieser Pfad? - Wenn die Wahrscheinlichkeit auf jeder Stufe gleich ist, wie vereinfacht sich dann das Produkt der Wahrscheinlichkeiten? - Suche nach einer Möglichkeit, eine Gleichung der Form \(p^n = a\) nach \(p\) aufzulösen.

1. Anwendung der Pfadmultiplikationsregel für drei unabhängige, gleichartige Stufen: Die Gesamtwahrscheinlichkeit ergibt sich aus dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten, also \(P(\text{rechtzeitig}) = p \cdot p \cdot p = p^3\). 2. Gleichsetzen mit dem Zielwert: \(p^3 = 0{,}95\). 3. Bestimmung von \(p\) durch Ziehen der dritten Wurzel: \(p = \sqrt[3]{0{,}95}\). 4. Berechnung des Ergebnisses: \(p \approx 0{,}9830\). Dies entspricht einer Einzelwahrscheinlichkeit von etwa \(98{,}3\,\%\).

Die Wahrscheinlichkeit \(p\) muss ca. \(0{,}9830\) (oder \(98{,}3\,\%\)) betragen.

- Was ist das Gegenereignis zu „mindestens eine Lampe ist defekt“? - Kannst du die Wahrscheinlichkeit für eine funktionierende Lampe bestimmen? - Überlege dir, wie man Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades in einem Baumdiagramm verrechnet. - Hilft es dir, die Prozentangaben zuerst in Dezimalzahlen umzuwandeln?

1. Bestimmung der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(\text{defekt}) = 0{,}05\) und \(P(\text{intakt}) = 0{,}95\). 2. Berechnung für a) mit der ersten Pfadregel: \(P(\text{alle intakt}) = 0{,}95 \cdot 0{,}95 \cdot 0{,}95 \cdot 0{,}95 = 0{,}95^4 \approx 0{,}8145\). 3. Berechnung für b) durch Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades: \(P(\text{D, I, I, I}) = 0{,}05 \cdot 0{,}95^3 \approx 0{,}0429\). 4. Berechnung für c) unter Verwendung des Gegenereignisses „keine Lampe ist defekt“ (entspricht „alle intakt“): \(P(\text{mind. eine defekt}) = 1 - P(\text{alle intakt}) = 1 - 0{,}95^4 \approx 0{,}1855\).

a) ca. \(81{,}45\,\%\) b) ca. \(4{,}29\,\%\) c) ca. \(18{,}55\,\%\)

- Was ist der Unterschied zwischen der ersten und der zweiten Pfadregel? - Wann wird in der Wahrscheinlichkeitsrechnung addiert und wann multipliziert? - Stell dir einen einzelnen Knoten vor: Können zwei der abgehenden Zweige gleichzeitig eintreten? - Was passiert, wenn man an einem Knoten alle möglichen Optionen berücksichtigt?

1. Aussage a) ist falsch. Nach der Pfadadditionsregel (zweite Pfadregel) berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, indem man die Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Pfade addiert, nicht multipliziert. Die Multiplikation wird nur innerhalb eines einzelnen Pfades angewendet. 2. Aussage b) ist wahr. Die Zweige, die von einem Knoten ausgehen, stellen alle sich gegenseitig ausschließenden Möglichkeiten dar, wie das Experiment an dieser Stelle weitergehen kann. Da nach Erreichen des Knotens genau eine dieser Möglichkeiten eintreten muss, bilden sie ein lokales sicheres Ereignis mit der Gesamtwahrscheinlichkeit \(1\).

a) Falsch. Begründung: Wahrscheinlichkeiten verschiedener Pfade müssen addiert werden (Pfadadditionsregel). b) Wahr. Begründung: Die von einem Knoten ausgehenden Zweige decken alle verbleibenden Möglichkeiten ab, deren Wahrscheinlichkeiten sich zu \(100\,\%\) (also \(1\)) ergänzen müssen.

- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer Drehung eine bestimmte Zahl zu erhalten? - Wie viele Möglichkeiten gibt es, die beiden gesuchten Zahlen hintereinander zu drehen? - Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten für einen Pfad und addiere dann die Wahrscheinlichkeiten aller zutreffenden Pfade.

1. Bestimmung der Einzelwahrscheinlichkeiten: Gesamtzahl der Felder ist 21. Anzahl der "3"-Felder ist 3, also \(P(3) = \frac{3}{21} = \frac{1}{7}\). Anzahl der "5"-Felder ist 5, also \(P(5) = \frac{5}{21}\). 2. Berücksichtigung der möglichen Reihenfolgen: Es kann zuerst eine "3" und dann eine "5" kommen, oder umgekehrt. 3. Berechnung nach der Pfadregel: \(P(\text{"3" und "5"}) = P(3) \cdot P(5) + P(5) \cdot P(3) = 2 \cdot \left(\frac{3}{21} \cdot \frac{5}{21}\right)\). 4. Ausrechnen: \(P = 2 \cdot \frac{15}{441} = \frac{30}{441}\). 5. Kürzen des Bruchs durch 3: \(\frac{10}{147}\).

\(\frac{10}{147}\)

- Was wäre das Gegenteil davon, dass mindestens eine Lampe defekt ist? - Ist es einfacher, die Wahrscheinlichkeit dafür zu berechnen, dass keine Lampe defekt ist, oder direkt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eine Lampe defekt ist? - Wie hängen die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses und die seines Gegenereignisses zusammen? - Welche Wahrscheinlichkeit hat eine einzelne Lampe, fehlerfrei zu sein?

1. Identifikation der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(\text{defekt}) = 0{,}02\), \(P(\text{intakt}) = 0{,}98\). 2. Nutzung des Gegenereignisses: Das Ereignis „mindestens eine Lampe ist defekt“ ist das Gegenereignis zu „alle 10 Lampen sind intakt“. 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für 10 intakte Lampen: \(P(\text{alle intakt}) = 0{,}98^{10} \approx 0{,}8171\). 4. Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{mindestens eine Lampe defekt}) = 1 - P(\text{alle intakt}) = 1 - 0{,}98^{10} \approx 0{,}1829\). 5. Ergebnis in Prozent: ca. \(18{,}29\,\%\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(18{,}29\,\%\).

- Berechne zuerst die Wahrscheinlichkeit für ein einzelnes Ereignis bei beiden Spielen. - Wie oft muss dieses Ereignis jeweils eintreten, um zu gewinnen? - Vergleiche die Brüche oder Dezimalzahlen am Ende miteinander. - Was passiert mit der Gesamtwahrscheinlichkeit, wenn man die Anzahl der benötigten Treffer erhöht?

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für Spiel A: Die Chance auf eine „6“ bei einem Wurf ist \(\frac{1}{6}\). Für drei Würfe gilt \(P(A) = (\frac{1}{6})^3 = \frac{1}{216} \approx 0{,}00463\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für Spiel B: Die Chance auf das Herz-Ass ist \(\frac{1}{32}\). Da mit Zurücklegen gezogen wird, gilt für zwei Züge \(P(B) = (\frac{1}{32})^2 = \frac{1}{1024} \approx 0{,}00098\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Da \(\frac{1}{216} > \frac{1}{1024}\) (bzw. \(0{,}00463 > 0{,}00098\)), ist die Gewinnchance bei Spiel A deutlich höher.

Die Gewinnwahrscheinlichkeit bei Spiel A ist \(P(A) = \frac{1}{216} \approx 0{,}46\,\%\). Die Gewinnwahrscheinlichkeit bei Spiel B ist \(P(B) = \frac{1}{1024} \approx 0{,}10\,\%\). Somit ist die Gewinnchance bei Spiel A höher.

- Was bedeutet „mit Zurücklegen“ für die Wahrscheinlichkeit bei jedem neuen Zug? - Es gibt drei verschiedene Wege, wie man drei Bärchen der gleichen Farbe erhalten kann. Welche sind das? - Berechne zuerst die Wahrscheinlichkeit für jede Farbe einzeln, dreimal hintereinander gezogen zu werden. - Wie kombiniert man die Ergebnisse für die verschiedenen Farben am Ende?

1. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten für jede Farbe: \(P(\text{rot}) = \frac{10}{20} = 0{,}5\); \(P(\text{gelb}) = \frac{6}{20} = 0{,}3\); \(P(\text{grün}) = \frac{4}{20} = 0{,}2\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für drei gleiche Farben (Pfadmultiplikation): - Drei rote: \(0{,}5^3 = 0{,}125\) - Drei gelbe: \(0{,}3^3 = 0{,}027\) - Drei grüne: \(0{,}2^3 = 0{,}008\) 3. Anwendung der Pfadadditionsregel für die verschiedenen erfolgreichen Ereignisse: \(P(\text{drei gleiche}) = 0{,}125 + 0{,}027 + 0{,}008 = 0{,}16\).

Die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Gummibärchen die gleiche Farbe haben, beträgt \(0{,}16\) (oder \(16\,\%\)).

- Was ist das logische Gegenteil der Aussage „mindestens einer“? - Wenn zwei Ereignisse nacheinander passieren und unabhängig sind, wie verknüpft man ihre Wahrscheinlichkeiten? - Warum ist es hier einfacher, über das Gegenteil zu rechnen, anstatt alle Fälle für „mindestens eines“ (erstes defekt, zweites defekt oder beide defekt) einzeln zu suchen?

1. Identifikation des Gegenereignisses: Das Gegenteil von „mindestens ein Bauteil ist defekt“ ist „keines der Bauteile ist defekt“ (beide sind einwandfrei). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für ein einwandfreies Bauteil: \(P(\text{einwandfrei}) = 1 - 0{,}05 = 0{,}95\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis \(\bar{E}\) (beide einwandfrei): Da die Prüfungen unabhängig sind, gilt \(P(\bar{E}) = 0{,}95 \cdot 0{,}95 = 0{,}9025\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \(E\): \(P(E) = 1 - P(\bar{E}) = 1 - 0{,}9025 = 0{,}0975\).

Das Gegenereignis \(\bar{E}\) lautet: „Beide Bauteile sind einwandfrei (nicht defekt).“ Die Wahrscheinlichkeit für ein einwandfreies Bauteil ist \(0{,}95\). Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses ist \(P(\bar{E}) = 0{,}95 \cdot 0{,}95 = 0{,}9025\). Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist \(P(E) = 1 - 0{,}9025 = 0{,}0975\) (oder \(9{,}75\,\%\)).

- Überlege dir, wie man die Gesamtwahrscheinlichkeit berechnet, wenn mehrere unabhängige Ereignisse alle gleichzeitig (oder nacheinander) eintreten müssen. - Stelle eine Gleichung auf, in der die unbekannte Wahrscheinlichkeit \(p\) vorkommt. - Welche mathematische Operation kehrt eine Potenz der Form \(x^6\) um?

1. Aufstellen der Wahrscheinlichkeitsgleichung für ein zusammengesetztes Zufallsexperiment mit sechs unabhängigen Stufen: Da alle sechs Ereignisse eintreten müssen, gilt nach der Pfadregel \(P(\text{Erfolg}) = p^6\). 2. Einsetzen der gegebenen Gesamtwahrscheinlichkeit: \(p^6 = 0{,}5\). 3. Auflösen der Gleichung nach \(p\) durch Ziehen der sechsten Wurzel: \(p = \sqrt[6]{0{,}5}\). 4. Numerische Berechnung des Wertes: \(p \approx 0{,}8909\). Die Wahrscheinlichkeit für eine einzelne Abfrage muss also ca. \(89{,}09\,\%\) betragen.

Die Wahrscheinlichkeit \(p\) muss ca. \(0{,}8909\) (oder \(89{,}09\,\%\)) betragen.

- Überlege dir, welche Ergebnisse bei den einzelnen Drehungen auftreten müssen, damit das Experiment nach genau \(k\) Versuchen endet. - Kannst du ein Baumdiagramm skizzieren oder dir die Pfade im Kopf vorstellen? - „Höchstens drei“ bedeutet, dass das Ereignis nach dem ersten, zweiten oder dritten Versuch eintritt. - Überlege beim letzten Aufgabenteil, was passieren muss, damit man nach vier Versuchen immer noch nicht fertig ist.

1. Die Trefferwahrscheinlichkeit für Blau beträgt \(p = \frac{1}{5} = 0{,}2\), die Gegenwahrscheinlichkeit \(q = 0{,}8\). 2. Für \(P(X = 2)\) (Pfad „kein Blau, Blau“): \(0{,}8 \cdot 0{,}2 = 0{,}16\). 3. Für \(P(X = 3)\) (Pfad „kein Blau, kein Blau, Blau“): \(0{,}8^2 \cdot 0{,}2 = 0{,}128\). 4. Die Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 3)\) ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten für 1, 2 oder 3 Versuche: \(0{,}2 + 0{,}16 + 0{,}128 = 0{,}488\) (alternativ über das Gegenereignis „dreimal kein Blau“: \(1 - 0{,}8^3 = 1 - 0{,}512 = 0{,}488\)). 5. Das Ereignis \(X > 4\) bedeutet, dass in den ersten vier Versuchen kein Blau erscheint. Nach der Pfadregel gilt: \(P(X > 4) = 0{,}8^4 = 0{,}4096\).

a) \(P(X = 2) = 0{,}16\); \(P(X = 3) = 0{,}128\) b) \(P(X \le 3) = 0{,}488\) c) \(P(X > 4) = 0{,}4096\)

- Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, bei drei Versuchen genau zwei Treffer zu erzielen? - Skizziere die relevanten Pfade in einem Baumdiagramm. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines kombinierten Ereignisses, das aus mehreren Pfaden besteht?

1. Festlegen der Wahrscheinlichkeiten für einen Einzelschuss: Treffer \(P(T) = 0{,}7\) und kein Treffer \(P(K) = 0{,}3\). 2. Lösung zu a) durch Anwendung der Pfadmultiplikationsregel für den Pfad (T, K, T): \(0{,}7 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7 = 0{,}147\). 3. Analyse für b): Es gibt drei Pfade, die genau zwei Treffer enthalten: (T, T, K), (T, K, T) und (K, T, T). 4. Da jeder dieser Pfade die gleiche Wahrscheinlichkeit hat (\(0{,}7^2 \cdot 0{,}3 = 0{,}147\)), ergibt sich die Gesamtwahrscheinlichkeit durch die Summenregel: \(3 \cdot 0{,}147 = 0{,}441\).

a) \(14{,}7\,\%\) b) \(44{,}1\,\%\)

- Welche Werte können Wahrscheinlichkeiten annehmen? - Wie verändert sich ein Wert, wenn man ihn mit einer Zahl zwischen \(0\) und \(1\) multipliziert? - Was repräsentieren alle Pfade eines Baumdiagramms zusammengefasst? - Denke an die Definition des sicheren Ereignisses.

1. Aussage a) ist wahr. Nach der Pfadmultiplikationsregel berechnet sich die Wahrscheinlichkeit eines Pfades als Produkt der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Zweige: \(P(\text{Pfad}) = p_1 \cdot p_2 \cdot \dots \cdot p_n\). Da alle Zweigwahrscheinlichkeiten \(p_i\) Werte im Intervall \([0; 1]\) sind, führt die Multiplikation der ersten Wahrscheinlichkeit \(p_1\) mit weiteren Werten zwischen \(0\) und \(1\) zu einem Ergebnis, das kleiner oder gleich \(p_1\) ist. 2. Aussage b) ist wahr. Jeder Pfad im Baumdiagramm entspricht genau einem Ergebnis des Zufallsexperiments. Da diese Ergebnisse das gesamte Ergebnisfeld \(\Omega\) abdecken und sich gegenseitig ausschließen, muss die Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten nach den Axiomen der Wahrscheinlichkeitsrechnung (bzw. der Pfadadditionsregel für das sichere Ereignis) genau \(1\) ergeben.

a) Wahr. Begründung: Da Zweigwahrscheinlichkeiten zwischen \(0\) und \(1\) liegen, ist das Produkt entlang eines Pfades höchstens so groß wie die Wahrscheinlichkeit des ersten Teilzweiges. b) Wahr. Begründung: Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse (Pfade) eines Zufallsexperiments ist immer \(1\).

- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Leuchte nicht defekt (also intakt) ist? - Überlege dir, an welcher Stelle der vier Prüfungen die defekte Leuchte auftreten könnte. Wie viele Möglichkeiten gibt es? - Haben alle diese Möglichkeiten die gleiche Wahrscheinlichkeit? - Skizziere dir bei Bedarf die relevanten Pfade eines Baumdiagramms.

1. Festlegen der Wahrscheinlichkeiten: Defekt \(p = 0{,}05\); Intakt \(q = 1 - 0{,}05 = 0{,}95\). 2. Identifikation der günstigen Pfade im Baumdiagramm: Es gibt \(4\) Pfade, bei denen genau eine Leuchte defekt ist (D-I-I-I, I-D-I-I, I-I-D-I, I-I-I-D). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines solchen Pfades: \(0{,}05 \cdot 0{,}95^3 = 0{,}05 \cdot 0{,}857375 = 0{,}04286875\). 4. Multiplikation mit der Anzahl der Pfade: \(4 \cdot 0{,}04286875 = 0{,}171475\).

Die Wahrscheinlichkeit, dass genau eine der vier Leuchten defekt ist, beträgt ca. \(17{,}15\,\%\) (exakt \(0{,}171475\)).

- Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer bestimmten Anzahl von Versuchen mindestens ein Erfolg eintritt? - Nutze das Gegenereignis „kein Erfolg in \(n\) Versuchen“. - Stelle eine Ungleichung auf, die die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses mit dem Restrisiko vergleicht. - Du kannst verschiedene Werte für die Anzahl der Versuche ausprobieren, um die Grenze zu finden.

1. Die Wahrscheinlichkeit für ein nachzubesserndes Teil ist \(p = 0{,}25\), die Wahrscheinlichkeit für ein einwandfreies Teil ist \(q = 0{,}75\). 2. Die Wahrscheinlichkeit, dass unter \(n\) Bauteilen mindestens eines nachgebessert werden muss, entspricht \(P(X \le n)\). 3. Berechnung über das Gegenereignis „keines der \(n\) Teile muss nachgebessert werden“: \(P(X \le n) = 1 - 0{,}75^n\). 4. Die Bedingung lautet \(1 - 0{,}75^n \ge 0{,}80\), was gleichbedeutend mit \(0{,}75^n \le 0{,}20\) ist. 5. Durch systematisches Probieren oder Logarithmieren ergibt sich: \(0{,}75^5 \approx 0{,}2373\) (entspricht etwa \(76{,}3\,\%\) Gesamtwahrscheinlichkeit) \(0{,}75^6 \approx 0{,}1780\) (entspricht etwa \(82{,}2\,\%\) Gesamtwahrscheinlichkeit) 6. Die kleinste ganze Zahl ist somit \(n = 6\).

\(n = 6\)