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- Überlege dir genau, welche Ergebnisse jeder einzelne der drei Würfe haben muss. - Was bedeutet das Wort „nur“ in diesem Zusammenhang für den dritten Wurf? - Wie berechnet man die Gesamtwahrscheinlichkeit einer bestimmten Abfolge von unabhängigen Ereignissen?

1. Analyse der geforderten Wurffolge: 1. Wurf = 6, 2. Wurf = 6, 3. Wurf = keine 6. 2. Wahrscheinlichkeit für eine 6: \(P(6) = \frac{1}{6}\). 3. Wahrscheinlichkeit für keine 6: \(P(\text{nicht } 6) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\). 4. Multiplikation der Einzelwahrscheinlichkeiten nach der Pfadregel: \(P = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{216}\).

c) \(\frac{5}{216}\)

- Kannst du die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Erfolg als Dezimalzahl schreiben? - Wie verändert sich die Gesamtwahrscheinlichkeit, wenn mehrere Ereignisse nacheinander eintreten müssen? - Überlege, ob du für jeden Wurf dieselbe Wahrscheinlichkeit annehmen kannst. - Wie rechnet man eine Dezimalzahl in eine Prozentangabe um?

1. Bestimmung der Einzelwahrscheinlichkeit für einen Treffer: \(P(\text{Treffer}) = 0{,}8\). 2. Anwendung der Pfadregel für 5 aufeinanderfolgende, unabhängige Ereignisse: \(P(\text{5 Treffer}) = 0{,}8 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}8 = 0{,}8^5\). 3. Berechnung des Potenzwertes: \(0{,}8^5 = 0{,}32768\). 4. Umrechnung in Prozent: \(0{,}32768 \cdot 100\,\% = 32{,}768\,\%\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(32{,}768\,\%\).

- Überlege zuerst, wie viele verschiedene Ziffern es an einem einzelnen Ring gibt. - Wie groß ist die Chance, an einem Ring zufällig die richtige Ziffer zu treffen? - Da die Ringe unabhängig voneinander eingestellt werden, kannst du die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander verknüpfen. - Wie viele vierstellige Kombinationen gibt es insgesamt von 0000 bis 9999?

1. Bestimmung der Anzahl der Möglichkeiten pro Ring: Da die Ziffern \(0\) bis \(9\) zur Verfügung stehen, gibt es \(10\) Möglichkeiten je Ring. 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für eine korrekte Ziffer an einem einzelnen Ring: \(P(\text{Ziffer richtig}) = \frac{1}{10}\). 3. Anwendung der Pfadmultiplikationsregel für vier unabhängige Ereignisse: \(P(\text{Schloss öffnet}) = (\frac{1}{10})^4 = \frac{1}{10000}\). 4. Umrechnung in Dezimalform: \(0{,}0001\).

Die Wahrscheinlichkeit, dass das Schloss beim ersten Versuch öffnet, beträgt \(\frac{1}{10000}\) oder \(0{,}0001\) (entspricht \(0{,}01\,\%\)).

- Bleibt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer bei jedem Schuss gleich? - Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, bei drei Schüssen genau zwei Treffer zu erzielen? - Welches Ereignis tritt ein, wenn „mindestens ein Treffer“ nicht erfüllt ist? - Nutze die Pfadregeln für ein Baumdiagramm mit den Wahrscheinlichkeiten \(0{,}6\) und \(0{,}4\).

1. Da die Schüsse unabhängig sind, bleibt die Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}6\) und die Fehlwahrscheinlichkeit \(q = 0{,}4\) konstant. 2. Für Fall (1) müssen drei Fehlschüsse (NNN) nacheinander eintreten: \(P(\text{kein Treffer}) = 0{,}4 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}4 = 0{,}064\). 3. Für Fall (2) gibt es drei Pfade (TTN, TNT, NTT). Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist \(0{,}6^2 \cdot 0{,}4 = 0{,}144\). Die Gesamtwahrscheinlichkeit beträgt \(3 \cdot 0{,}144 = 0{,}432\). 4. Fall (3) berechnet sich über das Gegenereignis zu (1): \(P(\text{mind. ein Treffer}) = 1 - P(\text{kein Treffer}) = 1 - 0{,}064 = 0{,}936\).

(1) \(P = 0{,}064\) (2) \(P = 0{,}432\) (3) \(P = 0{,}936\)

- Was ist das Gegenereignis zu „mindestens eine Lampe ist defekt“? - Kannst du die Wahrscheinlichkeit für eine funktionierende Lampe bestimmen? - Überlege dir, wie man Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades in einem Baumdiagramm verrechnet. - Hilft es dir, die Prozentangaben zuerst in Dezimalzahlen umzuwandeln?

1. Bestimmung der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(\text{defekt}) = 0{,}05\) und \(P(\text{intakt}) = 0{,}95\). 2. Berechnung für a) mit der ersten Pfadregel: \(P(\text{alle intakt}) = 0{,}95 \cdot 0{,}95 \cdot 0{,}95 \cdot 0{,}95 = 0{,}95^4 \approx 0{,}8145\). 3. Berechnung für b) durch Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades: \(P(\text{D, I, I, I}) = 0{,}05 \cdot 0{,}95^3 \approx 0{,}0429\). 4. Berechnung für c) unter Verwendung des Gegenereignisses „keine Lampe ist defekt“ (entspricht „alle intakt“): \(P(\text{mind. eine defekt}) = 1 - P(\text{alle intakt}) = 1 - 0{,}95^4 \approx 0{,}1855\).

a) ca. \(81{,}45\,\%\) b) ca. \(4{,}29\,\%\) c) ca. \(18{,}55\,\%\)

- Was ist der Unterschied zwischen der ersten und der zweiten Pfadregel? - Wann wird in der Wahrscheinlichkeitsrechnung addiert und wann multipliziert? - Stell dir einen einzelnen Knoten vor: Können zwei der abgehenden Zweige gleichzeitig eintreten? - Was passiert, wenn man an einem Knoten alle möglichen Optionen berücksichtigt?

1. Aussage a) ist falsch. Nach der Pfadadditionsregel (zweite Pfadregel) berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, indem man die Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Pfade addiert, nicht multipliziert. Die Multiplikation wird nur innerhalb eines einzelnen Pfades angewendet. 2. Aussage b) ist wahr. Die Zweige, die von einem Knoten ausgehen, stellen alle sich gegenseitig ausschließenden Möglichkeiten dar, wie das Experiment an dieser Stelle weitergehen kann. Da nach Erreichen des Knotens genau eine dieser Möglichkeiten eintreten muss, bilden sie ein lokales sicheres Ereignis mit der Gesamtwahrscheinlichkeit \(1\).

a) Falsch. Begründung: Wahrscheinlichkeiten verschiedener Pfade müssen addiert werden (Pfadadditionsregel). b) Wahr. Begründung: Die von einem Knoten ausgehenden Zweige decken alle verbleibenden Möglichkeiten ab, deren Wahrscheinlichkeiten sich zu \(100\,\%\) (also \(1\)) ergänzen müssen.

- Überlege dir, wie groß der Anteil der Unkrautsamen ist, der nach der ersten Phase noch übrig bleibt. - Kannst du das Problem mithilfe eines Baumdiagramms visualisieren? - Was ist das Gegenereignis dazu, dass ein Unkrautsamen entfernt wird? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit längs eines Pfades in einem Baumdiagramm?

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für das Nicht-Erkennen in den einzelnen Phasen: Phase 1: \(1 - 0{,}75 = 0{,}25\) Phase 2: \(1 - 0{,}60 = 0{,}40\) Phase 3: \(1 - 0{,}40 = 0{,}60\) 2. Anwendung der Pfadregel für das Ereignis, dass ein Samen alle Phasen durchläuft: \(P(\text{nicht entfernt}) = 0{,}25 \cdot 0{,}40 \cdot 0{,}60 = 0{,}06\) 3. Berechnung der Gegenwahrscheinlichkeit für das Ereignis, dass ein Samen in mindestens einer Phase entfernt wird: \(P(\text{entfernt}) = 1 - P(\text{nicht entfernt}) = 1 - 0{,}06 = 0{,}94\)

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Unkrautsamen nicht entfernt wird, beträgt \(6\,\%\). Die Wahrscheinlichkeit, dass er erfolgreich aussortiert wird, liegt bei \(94\,\%\).

- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für jede der drei Farben bei einer einzelnen Drehung? - Skizziere ein Baumdiagramm für die beiden Drehungen, um alle Pfade zu veranschaulichen. - Welche Pfadregel wendest du an, um die Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten Pfad zu berechnen? - Bei Teilaufgabe b) kann es viel schneller gehen, wenn du über das Gegenereignis nachdenkst. Was ist das Gegenteil von „mindestens einmal rot“?

1. Bestimmung der Einzelwahrscheinlichkeiten: Die Gesamtzahl der gleich großen Felder ist 5. - Grün: \(P(\text{grün}) = \frac{2}{5}\) - Rot: \(P(\text{rot}) = \frac{2}{5}\) - Gelb: \(P(\text{gelb}) = \frac{1}{5}\) 2. Berechnung für Teilaufgabe a): Nach der ersten Pfadregel (Produktregel) gilt für den Pfad „zuerst grün, dann gelb“: \(P(\text{grün, dann gelb}) = P(\text{grün}) \cdot P(\text{gelb}) = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{25} = 8\,\%\) 3. Berechnung für Teilaufgabe b): Die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis „kein einziges Mal Rot“ (also zweimal hintereinander nicht rot) ist: \(P(\text{nicht rot}) = 1 - P(\text{rot}) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}\) \(P(\text{keinmal rot}) = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}\) Die Wahrscheinlichkeit für „mindestens einmal rot“ ergibt sich über das Gegenereignis: \(P(\text{mindestens einmal rot}) = 1 - P(\text{keinmal rot}) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} = 64\,\%\)

a) \(\frac{2}{25} = 8\,\%\) b) \(\frac{16}{25} = 64\,\%\)

- Überlege dir, wie viele verschiedene Kombinationen (Ergebnisse) insgesamt möglich sind, wenn du erst Rad A und dann Rad B drehst. - Da alle Felder auf einem Rad gleich groß sind, kannst du die Wahrscheinlichkeit für jede einzelne Kombination ganz einfach berechnen. - Schreibe dir für jede Teilaufgabe alle Kombinationen auf, die die Bedingung erfüllen. - Zähle die günstigen Kombinationen und bestimme damit die Gesamtwahrscheinlichkeit.

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten der Einzelergebnisse: Da alle Felder auf den jeweiligen Rädern gleich groß sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit für jede Zahl auf Glücksrad A jeweils \(\frac{1}{3}\) und auf Glücksrad B jeweils \(\frac{1}{4}\). Jedes der \(3 \cdot 4 = 12\) möglichen Paare \((a, b)\) hat somit die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12}\). 2. Zu Teilaufgabe a): Die Paare mit der Summe 5 sind \((1, 4)\), \((2, 3)\) und \((3, 2)\). \(P(\text{Summe } 5) = 3 \cdot \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} = 25\,\%\) 3. Zu Teilaufgabe b): Die Paare \((a, b)\) mit \(b > a\) sind \((1, 2)\), \((1, 3)\), \((1, 4)\), \((2, 3)\), \((2, 4)\) und \((3, 4)\). Dies sind insgesamt 6 günstige Ergebnisse. \(P(B > A) = 6 \cdot \frac{1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} = 50\,\%\) 4. Zu Teilaufgabe c): Die Paare mit gleichen Zahlen sind \((1, 1)\), \((2, 2)\) und \((3, 3)\). Dies sind 3 günstige Ergebnisse. \(P(\text{gleiche Zahl}) = 3 \cdot \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} = 25\,\%\)

a) \(\frac{1}{4}\) (oder \(25\,\%\)) b) \(\frac{1}{2}\) (oder \(50\,\%\)) c) \(\frac{1}{4}\) (oder \(25\,\%\))

- Kannst du dir vorstellen, welche verschiedenen Farbkombinationen bei drei Drehungen entstehen können? - Wie viele dieser Kombinationen enthalten genau ein gelbes Feld? - Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für Gelb und wie groß für Blau bei einer einzelnen Drehung? - Welche Regel hilft dir, die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfades zu berechnen? - Wie rechnest du die Wahrscheinlichkeiten mehrerer günstiger Pfade zusammen?

1. Bestimmung der Pfade für das Ereignis \(E\) („genau einmal Gelb“): Bei drei Drehungen gibt es drei Pfade, die genau ein gelbes Feld enthalten. Diese lauten \((G, B, B)\), \((B, G, B)\) und \((B, B, G)\), wobei \(G\) für Gelb und \(B\) für Blau steht. 2. Bestimmung der Einzelwahrscheinlichkeiten: Da das Glücksrad vier gleich große Sektoren hat, ist die Wahrscheinlichkeit für Gelb \(P(G) = \frac{1}{4}\) und für Blau \(P(B) = \frac{3}{4}\). 3. Anwendung der Pfadmultiplikationsregel: Jeder der drei Pfade hat dieselbe Wahrscheinlichkeit: \(P(G, B, B) = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{64}\). 4. Anwendung der Pfadadditionsregel: Die Gesamtwahrscheinlichkeit des Ereignisses \(E\) ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade: \(P(E) = 3 \cdot \frac{9}{64} = \frac{27}{64}\).

a) Die günstigen Pfade sind \((G, B, B)\), \((B, G, B)\) und \((B, B, G)\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(E) = \frac{27}{64}\).

- Zähle zuerst, wie viele Felder das Glücksrad insgesamt hat und wie viele davon die jeweilige Farbe besitzen. - Überlege dir für den zweistufigen Vorgang, wie man die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades kombiniert. - Bei der Formulierung „mindestens einmal“ ist es oft einfacher, die Wahrscheinlichkeit des gegenteiligen Ereignisses zu berechnen und diese von 1 (oder \(100\,\%\)) abzuziehen.

1. Bestimmung der Einzelwahrscheinlichkeiten anhand der 10 gleich großen Sektoren: \(P(\text{Blau}) = \frac{5}{10} = 0{,}5\) \(P(\text{Rot}) = \frac{3}{10} = 0{,}3\) \(P(\text{Grün}) = \frac{2}{10} = 0{,}2\) 2. Berechnung für Teilaufgabe a) mit der Pfadmultiplikationsregel: \(P(\text{Grün, Grün}) = P(\text{Grün}) \cdot P(\text{Grün}) = 0{,}2 \cdot 0{,}2 = 0{,}04\) In Prozent: \(4\,\%\) 3. Berechnung für Teilaufgabe b) über das Gegenereignis „kein einziges Mal Rot“: Wahrscheinlichkeit für „nicht Rot“ bei einer Drehung: \(P(\bar{R}) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7\) Wahrscheinlichkeit für „zweimal nicht Rot“: \(P(\bar{R}, \bar{R}) = 0{,}7 \cdot 0{,}7 = 0{,}49\) Wahrscheinlichkeit für „mindestens einmal Rot“: \(P(E) = 1 - 0{,}49 = 0{,}51\) In Prozent: \(51\,\%\)

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(4\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}51\) (oder \(51\,\%\)).

- Überlege dir zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, bei einer Drehung eine bestimmte Zahl zu erhalten. - Welche Kombinationen von zwei Zahlen ergeben zusammen 4? - Ein Baumdiagramm kann dir helfen, alle möglichen Pfade für das Ereignis übersichtlich darzustellen. - Nutze die Pfadregeln: Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades und addiere die Ergebnisse der verschiedenen Pfade.

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Zahlen bei einer Drehung: Da es fünf gleich große Sektoren gibt, beträgt die Wahrscheinlichkeit für jeden Sektor \(\frac{1}{5}\). - \(P(1) = \frac{1}{5}\) - \(P(2) = \frac{2}{5}\) (da die Zahl 2 in zwei Sektoren vorkommt) - \(P(3) = \frac{1}{5}\) - \(P(4) = \frac{1}{5}\) 2. Identifikation der Ergebniskombinationen \((z_1, z_2)\), deren Summe 4 ergibt: Die möglichen Pfade sind \((1, 3)\), \((3, 1)\) und \((2, 2)\). 3. Berechnung der Pfadwahrscheinlichkeiten mit der ersten Pfadregel (Produktregel): - \(P(1, 3) = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{25}\) - \(P(3, 1) = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{25}\) - \(P(2, 2) = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{25}\) 4. Berechnung der Gesamtwahrscheinlichkeit mit der zweiten Pfadregel (Summenregel): \(P(E) = P(1, 3) + P(3, 1) + P(2, 2) = \frac{1}{25} + \frac{1}{25} + \frac{4}{25} = \frac{6}{25}\). 5. Ergebnis: \(P(E) = \frac{6}{25} = 0{,}24 = 24\,\%\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{6}{25}\) (bzw. \(0{,}24\) oder \(24\,\%\)).

- Überlege dir, wie viele Kugeln insgesamt in der Urne liegen und wie oft jeder Buchstabe vorkommt. - Bestimme zuerst die Wahrscheinlichkeit für jeden einzelnen Buchstaben bei einem Zug. - Hilft dir ein Baumdiagramm, um die Pfade für die gesuchten Kombinationen zu finden? - Wie werden die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades verrechnet, wenn die Ereignisse nacheinander eintreten?

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Kugeln: \(6\). 2. Bestimmung der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\), \(P(N) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) und \(P(B) = \frac{1}{6}\). 3. Berechnung für a): Da mit Zurücklegen gezogen wird, gilt nach der Pfadmultiplikationsregel \(P(\text{„AN“}) = P(A) \cdot P(N) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\). 4. Berechnung für b): \(P(\text{„AA“}) = P(A) \cdot P(A) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\).

a) \(P(\text{„AN“}) = \frac{1}{6}\) b) \(P(\text{„AA“}) = \frac{1}{4}\)

- Erstelle eine Liste oder eine Tabelle aller möglichen Zahlenpaare, die man ziehen kann. - Welche Paare ergeben in der Summe mehr als 8? - Wie viele mögliche Kombinationen gibt es insgesamt bei zwei Zügen, wenn jede Zahl von 1 bis 5 möglich ist?

1. Bestimmung der Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse: \(5 \cdot 5 = 25\). 2. Identifikation der günstigen Ergebnisse (Summe \(> 8\)): (4, 5), (5, 4), (5, 5). 3. Anzahl der günstigen Ergebnisse: \(3\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{Summe} > 8) = \frac{3}{25} = 0{,}12\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}12\) (bzw. \(12\,\%\)).

- Überlege dir, welche Kombinationen von Treffern (T) und Fehlwürfen (F) zu insgesamt zwei Treffern führen. - Wie viele solcher Kombinationen gibt es in einem 3-stufigen Baum? - Erinnere dich an die binomischen Lehrsatz oder das Pascalsche Dreieck für die Koeffizienten.

1. Definition der Variablen: \(p = 0{,}8\) (Treffer), \(q = 1 - 0{,}8 = 0{,}2\) (Fehlwurf). 2. Pfade für genau zwei Treffer (\(k=2\)) bei \(n=3\) Versuchen: Die Kombinationen sind (T, T, F), (T, F, T) und (F, T, T). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Pfades: \(p \cdot p \cdot q = 0{,}8^2 \cdot 0{,}2 = 0{,}64 \cdot 0{,}2 = 0{,}128\). 4. Gesamtwahrscheinlichkeit: Da es 3 solche Pfade gibt, gilt \(P(X=2) = 3 \cdot 0{,}128 = 0{,}384\). 5. Algebraischer Vergleich: \((p+q)^3 = p^3 + 3p^2q + 3pq^2 + q^3\). Der Term für genau zwei Treffer ist \(3p^2q\). Einsetzen ergibt \(3 \cdot 0{,}8^2 \cdot 0{,}2 = 0{,}384\).

a) Die Wahrscheinlichkeit für genau zwei Treffer beträgt \(0{,}384\) (oder \(38{,}4\,\%\)). b) In der Entwicklung \((p+q)^3 = p^3 + 3p^2q + 3pq^2 + q^3\) entspricht der Summand \(3p^2q\) genau der Wahrscheinlichkeit für zwei Treffer.

- Welche genaue Reihenfolge muss eintreten? - Verfolge nur den einen vollständigen Pfad, der die Bedingung erfüllt.

1. Erforderlicher Pfad: kein Fehler–kein Fehler–Fehler. 2. Pfadwahrscheinlichkeit: \(0{,}7\cdot0{,}7\cdot0{,}3=0{,}147\).

\(0{,}147=14{,}7\,\%\).

- Das gesuchte Ergebnis kann aus beiden Produktionslinien stammen. - Welche Rolle spielt die Größe der beiden Ausgangsgruppen?

1. Pfad A–Ausschuss: \(0{,}5\cdot0{,}03=0{,}015\). 2. Pfad B–Ausschuss: \(0{,}5\cdot0{,}01=0{,}005\). 3. Gesamtwahrscheinlichkeit: \(0{,}015+0{,}005=0{,}02\).

\(0{,}02=2\,\%\).

- Überlege, ob die beiden Bedingungen nacheinander oder als alternative Fälle auftreten. - Prüfe, ob das erhaltene Ergebnis überhaupt eine Wahrscheinlichkeit sein kann.

1. Äste liegen nacheinander auf demselben vollständigen Pfad. 2. Pfadwahrscheinlichkeit: \(0{,}4\cdot0{,}7=0{,}28\). 3. Wert \(1{,}1\) ist als Wahrscheinlichkeit unmöglich.

\(P(A\cap B)=0{,}28\).

- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer Drehung eine bestimmte Zahl zu erhalten? - Wie viele Möglichkeiten gibt es, die beiden gesuchten Zahlen hintereinander zu drehen? - Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten für einen Pfad und addiere dann die Wahrscheinlichkeiten aller zutreffenden Pfade.

1. Bestimmung der Einzelwahrscheinlichkeiten: Gesamtzahl der Felder ist 21. Anzahl der "3"-Felder ist 3, also \(P(3) = \frac{3}{21} = \frac{1}{7}\). Anzahl der "5"-Felder ist 5, also \(P(5) = \frac{5}{21}\). 2. Berücksichtigung der möglichen Reihenfolgen: Es kann zuerst eine "3" und dann eine "5" kommen, oder umgekehrt. 3. Berechnung nach der Pfadregel: \(P(\text{"3" und "5"}) = P(3) \cdot P(5) + P(5) \cdot P(3) = 2 \cdot \left(\frac{3}{21} \cdot \frac{5}{21}\right)\). 4. Ausrechnen: \(P = 2 \cdot \frac{15}{441} = \frac{30}{441}\). 5. Kürzen des Bruchs durch 3: \(\frac{10}{147}\).

\(\frac{10}{147}\)

- Was wäre das Gegenteil davon, dass mindestens eine Lampe defekt ist? - Ist es einfacher, die Wahrscheinlichkeit dafür zu berechnen, dass keine Lampe defekt ist, oder direkt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eine Lampe defekt ist? - Wie hängen die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses und die seines Gegenereignisses zusammen? - Welche Wahrscheinlichkeit hat eine einzelne Lampe, fehlerfrei zu sein?

1. Identifikation der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(\text{defekt}) = 0{,}02\), \(P(\text{intakt}) = 0{,}98\). 2. Nutzung des Gegenereignisses: Das Ereignis „mindestens eine Lampe ist defekt“ ist das Gegenereignis zu „alle 10 Lampen sind intakt“. 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für 10 intakte Lampen: \(P(\text{alle intakt}) = 0{,}98^{10} \approx 0{,}8171\). 4. Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{mindestens eine Lampe defekt}) = 1 - P(\text{alle intakt}) = 1 - 0{,}98^{10} \approx 0{,}1829\). 5. Ergebnis in Prozent: ca. \(18{,}29\,\%\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(18{,}29\,\%\).

- Berechne zuerst die Wahrscheinlichkeit für ein einzelnes Ereignis bei beiden Spielen. - Wie oft muss dieses Ereignis jeweils eintreten, um zu gewinnen? - Vergleiche die Brüche oder Dezimalzahlen am Ende miteinander. - Was passiert mit der Gesamtwahrscheinlichkeit, wenn man die Anzahl der benötigten Treffer erhöht?

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für Spiel A: Die Chance auf eine „6“ bei einem Wurf ist \(\frac{1}{6}\). Für drei Würfe gilt \(P(A) = (\frac{1}{6})^3 = \frac{1}{216} \approx 0{,}00463\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für Spiel B: Die Chance auf das Herz-Ass ist \(\frac{1}{32}\). Da mit Zurücklegen gezogen wird, gilt für zwei Züge \(P(B) = (\frac{1}{32})^2 = \frac{1}{1024} \approx 0{,}00098\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Da \(\frac{1}{216} > \frac{1}{1024}\) (bzw. \(0{,}00463 > 0{,}00098\)), ist die Gewinnchance bei Spiel A deutlich höher.

Die Gewinnwahrscheinlichkeit bei Spiel A ist \(P(A) = \frac{1}{216} \approx 0{,}46\,\%\). Die Gewinnwahrscheinlichkeit bei Spiel B ist \(P(B) = \frac{1}{1024} \approx 0{,}10\,\%\). Somit ist die Gewinnchance bei Spiel A höher.

- Was bedeutet „mit Zurücklegen“ für die Wahrscheinlichkeit bei jedem neuen Zug? - Es gibt drei verschiedene Wege, wie man drei Bärchen der gleichen Farbe erhalten kann. Welche sind das? - Berechne zuerst die Wahrscheinlichkeit für jede Farbe einzeln, dreimal hintereinander gezogen zu werden. - Wie kombiniert man die Ergebnisse für die verschiedenen Farben am Ende?

1. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten für jede Farbe: \(P(\text{rot}) = \frac{10}{20} = 0{,}5\); \(P(\text{gelb}) = \frac{6}{20} = 0{,}3\); \(P(\text{grün}) = \frac{4}{20} = 0{,}2\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für drei gleiche Farben (Pfadmultiplikation): - Drei rote: \(0{,}5^3 = 0{,}125\) - Drei gelbe: \(0{,}3^3 = 0{,}027\) - Drei grüne: \(0{,}2^3 = 0{,}008\) 3. Anwendung der Pfadadditionsregel für die verschiedenen erfolgreichen Ereignisse: \(P(\text{drei gleiche}) = 0{,}125 + 0{,}027 + 0{,}008 = 0{,}16\).

Die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Gummibärchen die gleiche Farbe haben, beträgt \(0{,}16\) (oder \(16\,\%\)).

- Was ist das logische Gegenteil der Aussage „mindestens einer“? - Wenn zwei Ereignisse nacheinander passieren und unabhängig sind, wie verknüpft man ihre Wahrscheinlichkeiten? - Warum ist es hier einfacher, über das Gegenteil zu rechnen, anstatt alle Fälle für „mindestens eines“ (erstes defekt, zweites defekt oder beide defekt) einzeln zu suchen?

1. Identifikation des Gegenereignisses: Das Gegenteil von „mindestens ein Bauteil ist defekt“ ist „keines der Bauteile ist defekt“ (beide sind einwandfrei). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für ein einwandfreies Bauteil: \(P(\text{einwandfrei}) = 1 - 0{,}05 = 0{,}95\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis \(\bar{E}\) (beide einwandfrei): Da die Prüfungen unabhängig sind, gilt \(P(\bar{E}) = 0{,}95 \cdot 0{,}95 = 0{,}9025\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \(E\): \(P(E) = 1 - P(\bar{E}) = 1 - 0{,}9025 = 0{,}0975\).

Das Gegenereignis \(\bar{E}\) lautet: „Beide Bauteile sind einwandfrei (nicht defekt).“ Die Wahrscheinlichkeit für ein einwandfreies Bauteil ist \(0{,}95\). Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses ist \(P(\bar{E}) = 0{,}95 \cdot 0{,}95 = 0{,}9025\). Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist \(P(E) = 1 - 0{,}9025 = 0{,}0975\) (oder \(9{,}75\,\%\)).

- Überlege dir, wie sich die Anzahl der verfügbaren Personen nach jeder Auswahl verändert. - Ein Baumdiagramm kann helfen, die verschiedenen Pfade für genau zwei Frauen zu finden. - Bei „mindestens“-Aufgaben ist es oft einfacher, die Wahrscheinlichkeit des Gegenteils zu berechnen. - Achte darauf, ob die Reihenfolge der Auswahl für das Endergebnis eine Rolle spielt oder ob verschiedene Reihenfolgen zum selben Ereignis führen.

1. Es handelt sich um ein Experiment ohne Zurücklegen mit insgesamt 10 Personen (6 Frauen, 4 Männer). 2. Für Ereignis (1) (MMM) ergibt sich nach der ersten Pfadregel: \(P(\text{nur Männer}) = \frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} \cdot \frac{2}{8} = \frac{24}{720} = \frac{1}{30}\). 3. Für Ereignis (2) gibt es drei mögliche Pfade (FFM, FMF, MFF). Jeder Pfad hat die Wahrscheinlichkeit \(\frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9} \cdot \frac{4}{8} = \frac{120}{720} = \frac{1}{6}\). Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist \(3 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{2} = 0{,}5\). 4. Für Ereignis (3) nutzt man das Gegenereignis zu (1): \(P(\text{mind. eine Frau}) = 1 - P(\text{nur Männer}) = 1 - \frac{1}{30} = \frac{29}{30}\).

(1) \(P = \frac{1}{30} \approx 0{,}033\) (2) \(P = \frac{1}{2} = 0{,}5\) (3) \(P = \frac{29}{30} \approx 0{,}967\)

- Überlege dir, wie man die Gesamtwahrscheinlichkeit berechnet, wenn mehrere unabhängige Ereignisse alle gleichzeitig (oder nacheinander) eintreten müssen. - Stelle eine Gleichung auf, in der die unbekannte Wahrscheinlichkeit \(p\) vorkommt. - Welche mathematische Operation kehrt eine Potenz der Form \(x^6\) um?

1. Aufstellen der Wahrscheinlichkeitsgleichung für ein zusammengesetztes Zufallsexperiment mit sechs unabhängigen Stufen: Da alle sechs Ereignisse eintreten müssen, gilt nach der Pfadregel \(P(\text{Erfolg}) = p^6\). 2. Einsetzen der gegebenen Gesamtwahrscheinlichkeit: \(p^6 = 0{,}5\). 3. Auflösen der Gleichung nach \(p\) durch Ziehen der sechsten Wurzel: \(p = \sqrt[6]{0{,}5}\). 4. Numerische Berechnung des Wertes: \(p \approx 0{,}8909\). Die Wahrscheinlichkeit für eine einzelne Abfrage muss also ca. \(89{,}09\,\%\) betragen.

Die Wahrscheinlichkeit \(p\) muss ca. \(0{,}8909\) (oder \(89{,}09\,\%\)) betragen.

- Überlege dir, welche Ergebnisse bei den einzelnen Drehungen auftreten müssen, damit das Experiment nach genau \(k\) Versuchen endet. - Kannst du ein Baumdiagramm skizzieren oder dir die Pfade im Kopf vorstellen? - „Höchstens drei“ bedeutet, dass das Ereignis nach dem ersten, zweiten oder dritten Versuch eintritt. - Überlege beim letzten Aufgabenteil, was passieren muss, damit man nach vier Versuchen immer noch nicht fertig ist.

1. Die Trefferwahrscheinlichkeit für Blau beträgt \(p = \frac{1}{5} = 0{,}2\), die Gegenwahrscheinlichkeit \(q = 0{,}8\). 2. Für \(P(X = 2)\) (Pfad „kein Blau, Blau“): \(0{,}8 \cdot 0{,}2 = 0{,}16\). 3. Für \(P(X = 3)\) (Pfad „kein Blau, kein Blau, Blau“): \(0{,}8^2 \cdot 0{,}2 = 0{,}128\). 4. Die Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 3)\) ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten für 1, 2 oder 3 Versuche: \(0{,}2 + 0{,}16 + 0{,}128 = 0{,}488\) (alternativ über das Gegenereignis „dreimal kein Blau“: \(1 - 0{,}8^3 = 1 - 0{,}512 = 0{,}488\)). 5. Das Ereignis \(X > 4\) bedeutet, dass in den ersten vier Versuchen kein Blau erscheint. Nach der Pfadregel gilt: \(P(X > 4) = 0{,}8^4 = 0{,}4096\).

a) \(P(X = 2) = 0{,}16\); \(P(X = 3) = 0{,}128\) b) \(P(X \le 3) = 0{,}488\) c) \(P(X > 4) = 0{,}4096\)

- Überlege dir zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeit für eine einzelne rote bzw. blaue Kugel bei einem Zug ist. - Da die Kugeln zurückgelegt werden, handelt es sich um ein Experiment mit gleichbleibenden Wahrscheinlichkeiten. - Zeichne dir ein Baumdiagramm, um alle möglichen Pfade für die Ereignisse zu finden. - Bei „mindestens“-Aufgaben kann das Gegenereignis oft schneller zum Ziel führen.

1. Da mit Zurücklegen gezogen wird, bleiben die Wahrscheinlichkeiten in jedem Zug gleich: \(P(\text{rot}) = \frac{2}{5} = 0{,}4\) und \(P(\text{blau}) = \frac{3}{5} = 0{,}6\). 2. Für Ereignis a) wird die Pfadregel angewendet: \(P(\text{rrr}) = \left(\frac{2}{5}\right)^3 = \frac{8}{125} = 0{,}064\). 3. Für Ereignis b) gibt es drei mögliche Pfade: (b, b, r), (b, r, b) und (r, b, b). Jeder Pfad hat die Wahrscheinlichkeit \(\left(\frac{3}{5}\right)^2 \cdot \frac{2}{5} = \frac{18}{125}\). Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist \(3 \cdot \frac{18}{125} = \frac{54}{125} = 0{,}432\). 4. Für Ereignis c) ist es effizienter, über das Gegenereignis „keine rote Kugel“ (also drei blaue Kugeln) zu rechnen: \(P(\text{mind. eine rote}) = 1 - P(\text{bbb}) = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^3 = 1 - \frac{27}{125} = \frac{98}{125} = 0{,}784\).

a) \(P = \frac{8}{125} = 0{,}064\) b) \(P = \frac{54}{125} = 0{,}432\) c) \(P = \frac{98}{125} = 0{,}784\)

- Wie viele verschiedene Kombinationen gibt es insgesamt, wenn man aus vier Zahlen zweimal mit Zurücklegen zieht? - Erstelle eine kleine Tabelle oder eine Liste aller 16 Möglichkeiten, um die günstigen Fälle leichter abzählen zu können. - Denke daran, dass beim Produkt von Zahlen auch gleiche Zahlen (wie \(2 \cdot 2\)) Quadratzahlen ergeben. - Gehe systematisch vor, um beim Vergleichen der Zahlen (größer/kleiner) keinen Fall zu vergessen.

1. Die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse bei zwei Zügen mit Zurücklegen beträgt \(4 \cdot 4 = 16\). 2. Für Ereignis a) werden die günstigen Paare ermittelt: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1). Es gibt 4 günstige Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} = 0{,}25\). 3. Für Ereignis b) werden die Paare gesucht, deren Produkt eine Quadratzahl ist: (1,1) [Produkt 1], (1,4) [4], (2,2) [4], (3,3) [9], (4,1) [4], (4,4) [16]. Es gibt 6 günstige Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} = 0{,}375\). 4. Für Ereignis c) werden die Paare gesucht, bei denen die erste Zahl größer ist: (2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3). Es gibt 6 günstige Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} = 0{,}375\).

a) \(P = \frac{1}{4} = 0{,}25\) b) \(P = \frac{3}{8} = 0{,}375\) c) \(P = \frac{3}{8} = 0{,}375\)

- Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, bei drei Versuchen genau zwei Treffer zu erzielen? - Skizziere die relevanten Pfade in einem Baumdiagramm. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines kombinierten Ereignisses, das aus mehreren Pfaden besteht?

1. Festlegen der Wahrscheinlichkeiten für einen Einzelschuss: Treffer \(P(T) = 0{,}7\) und kein Treffer \(P(K) = 0{,}3\). 2. Lösung zu a) durch Anwendung der Pfadmultiplikationsregel für den Pfad (T, K, T): \(0{,}7 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7 = 0{,}147\). 3. Analyse für b): Es gibt drei Pfade, die genau zwei Treffer enthalten: (T, T, K), (T, K, T) und (K, T, T). 4. Da jeder dieser Pfade die gleiche Wahrscheinlichkeit hat (\(0{,}7^2 \cdot 0{,}3 = 0{,}147\)), ergibt sich die Gesamtwahrscheinlichkeit durch die Summenregel: \(3 \cdot 0{,}147 = 0{,}441\).

a) \(14{,}7\,\%\) b) \(44{,}1\,\%\)

- Welche Werte können Wahrscheinlichkeiten annehmen? - Wie verändert sich ein Wert, wenn man ihn mit einer Zahl zwischen \(0\) und \(1\) multipliziert? - Was repräsentieren alle Pfade eines Baumdiagramms zusammengefasst? - Denke an die Definition des sicheren Ereignisses.

1. Aussage a) ist wahr. Nach der Pfadmultiplikationsregel berechnet sich die Wahrscheinlichkeit eines Pfades als Produkt der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Zweige: \(P(\text{Pfad}) = p_1 \cdot p_2 \cdot \dots \cdot p_n\). Da alle Zweigwahrscheinlichkeiten \(p_i\) Werte im Intervall \([0; 1]\) sind, führt die Multiplikation der ersten Wahrscheinlichkeit \(p_1\) mit weiteren Werten zwischen \(0\) und \(1\) zu einem Ergebnis, das kleiner oder gleich \(p_1\) ist. 2. Aussage b) ist wahr. Jeder Pfad im Baumdiagramm entspricht genau einem Ergebnis des Zufallsexperiments. Da diese Ergebnisse das gesamte Ergebnisfeld \(\Omega\) abdecken und sich gegenseitig ausschließen, muss die Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten nach den Axiomen der Wahrscheinlichkeitsrechnung (bzw. der Pfadadditionsregel für das sichere Ereignis) genau \(1\) ergeben.

a) Wahr. Begründung: Da Zweigwahrscheinlichkeiten zwischen \(0\) und \(1\) liegen, ist das Produkt entlang eines Pfades höchstens so groß wie die Wahrscheinlichkeit des ersten Zweigs. b) Wahr. Begründung: Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse (Pfade) eines Zufallsexperiments ist immer \(1\).

- Notiere dir zuerst die Wahrscheinlichkeiten für „Sensor reagiert“ und „Sensor reagiert nicht“. - Skizziere die möglichen Verläufe in einem Baumdiagramm. Die erste Stufe sind die beiden Sensoren, die zweite Stufe (falls nötig) die Videoüberprüfung. - Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass genau ein Sensor reagiert? Berücksichtige beide Kombinationen. - Für die Gesamtwahrscheinlichkeit musst du alle Pfade addieren, die zu einer erfolgreichen Erkennung führen.

Sei \(p = 0{,}88\) die Wahrscheinlichkeit einer Sensordetektion und \(p_v = 0{,}95\) die der Videoerkennung. 1. Hauptalarm bei zwei Detektionen: \(P(A) = 0{,}88^2 = 0{,}7744\). 2. Keine Reaktion bei zwei Nicht-Detektionen: \(P(B) = (1 - 0{,}88)^2 = 0{,}12^2 = 0{,}0144\). 3. Videoüberprüfung bei genau einer Detektion: \(P(C) = 2 \cdot 0{,}88 \cdot 0{,}12 = 0{,}2112\). 4. Erkennung nur via Video: \(P(D) = P(C) \cdot p_v = 0{,}2112 \cdot 0{,}95 = 0{,}20064\). 5. Gesamterkennungswahrscheinlichkeit: \(P(A) + P(D) = 0{,}7744 + 0{,}20064 = 0{,}97504\). Alternativ über das Gegenereignis (keine Reaktion oder Videoüberprüfung schlägt fehl): \(1 - (0{,}0144 + 0{,}2112 \cdot 0{,}05) = 0{,}97504\).

(1) \(0{,}7744\) (oder \(77{,}44\,\%\)) (2) \(0{,}0144\) (oder \(1{,}44\,\%\)) (3) \(0{,}2112\) (oder \(21{,}12\,\%\)) (4) \(0{,}20064\) (oder ca. \(20{,}06\,\%\)) (5) \(0{,}97504\) (oder ca. \(97{,}50\,\%\))

- Was muss passieren, damit ein Angriff „unbemerkt“ bleibt? - Nutze die Eigenschaft von Gegenereignissen, um die Wahrscheinlichkeit für „mindestens einen“ Treffer zu berechnen. - Stelle für den dritten Aufgabenteil eine Ungleichung auf, die die neue Gesamtwahrscheinlichkeit beschreibt.

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für das Nicht-Erkennen (Durchschlüpfen) pro System: System 1: \(P(\bar{E}_1) = 0{,}1\) System 2: \(P(\bar{E}_2) = 0{,}15\) System 3: \(P(\bar{E}_3) = 0{,}3\) 2. Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Systeme versagen: \(P(\text{unbemerkt}) = 0{,}1 \cdot 0{,}15 \cdot 0{,}3 = 0{,}0045\) 3. Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Entdeckung (Gegenereignis): \(P(\text{entdeckt}) = 1 - 0{,}0045 = 0{,}9955\) 4. Berechnung der benötigten Rate \(p_4\) für das vierte System: Die neue Durchlasswahrscheinlichkeit muss kleiner als \(1 - 0{,}999 = 0{,}001\) sein. \(0{,}0045 \cdot (1 - p_4) < 0{,}001\) \(1 - p_4 < \frac{0{,}001}{0{,}0045} \approx 0{,}2222\) \(p_4 > \frac{7}{9} \approx 0{,}7778\) Die Erkennungsrate muss also größer als \(\frac{7}{9}\) sein. Bei Angabe auf eine Dezimalstelle ist \(77{,}8\,\%\) die kleinste zulässige Rate.

a) Die Wahrscheinlichkeit für einen unbemerkten Durchgang beträgt \(0{,}45\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit für eine Entdeckung beträgt \(99{,}55\,\%\). c) Das vierte System muss eine Erkennungsrate von mehr als \(\frac{7}{9} \approx 77{,}78\,\%\) aufweisen; auf eine Dezimalstelle ist \(77{,}8\,\%\) die kleinste zulässige Rate.

- Kannst du alle möglichen Ergebnisse aufschreiben, wenn beide Räder gedreht werden? - Wie bestimmt man die Gesamtzahl aller Kombinationsmöglichkeiten? - Welche Farbkombinationen können auf beiden Rädern gleichzeitig auftreten? - Erstelle für Teilaufgabe b) eine systematische Liste aller Paare, deren Summe mindestens 6 ergibt. - Erinnere dich daran, wie man die Wahrscheinlichkeit berechnet, wenn alle Einzelergebnisse gleich wahrscheinlich sind.

1. Bestimmung der Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse: Da Glücksrad A 5 gleich große Sektoren hat und Glücksrad B 4 gleich große Sektoren, gibt es insgesamt \(5 \cdot 4 = 20\) gleich wahrscheinliche Kombinationen. 2. Teilaufgabe a): Berechnung der Wahrscheinlichkeit für dieselbe Farbe: - Beide zeigen Rot: Glücksrad A hat 2 rote Sektoren, Glücksrad B hat 1 roten Sektor. Das ergibt \(2 \cdot 1 = 2\) günstige Kombinationen. - Beide zeigen Blau: Glücksrad A hat 2 blaue Sektoren, Glücksrad B hat 2 blaue Sektoren. Das ergibt \(2 \cdot 2 = 4\) günstige Kombinationen. - Gelb und Grün kommen nicht auf beiden Rädern vor. - Insgesamt gibt es \(2 + 4 = 6\) günstige Kombinationen für dieselbe Farbe. - Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{gleiche Farbe}) = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} = 30\,\%\). 3. Teilaufgabe b): Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass die Summe mindestens 6 ist: Wir listen alle Paare \((a, b)\) auf, deren Summe \(a + b \ge 6\) ist: - Für \(a = 2\): \((2, 4)\) (Summe 6) \(\rightarrow\) 1 Kombination - Für \(a = 3\): \((3, 3)\), \((3, 4)\) (Summen 6, 7) \(\rightarrow\) 2 Kombinationen - Für \(a = 4\): \((4, 2)\), \((4, 3)\), \((4, 4)\) (Summen 6, 7, 8) \(\rightarrow\) 3 Kombinationen - Für \(a = 5\): \((5, 1)\), \((5, 2)\), \((5, 3)\), \((5, 4)\) (Summen 6, 7, 8, 9) \(\rightarrow\) 4 Kombinationen - Insgesamt gibt es \(1 + 2 + 3 + 4 = 10\) günstige Kombinationen. - Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{Summe} \ge 6) = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} = 50\,\%\).

a) Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Glücksräder dieselbe Farbe zeigen, beträgt \(\frac{3}{10}\) (oder \(30\,\%\)). b) Die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der erdrehten Zahlen mindestens 6 ist, beträgt \(\frac{1}{2}\) (oder \(50\,\%\)).

- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Drehen eine bestimmte Farbe zu erhalten? - Wenn man das Rad zweimal dreht, handelt es sich um ein mehrstufiges Zufallsexperiment. Ein Baumdiagramm kann helfen, die Pfade darzustellen. - Welche Regel wendet man an, um die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Pfades (wie Grün - Grün) zu berechnen? - Welche Regel nutzt man, wenn mehrere Pfade (wie Rot - Rot, Blau - Blau und Grün - Grün) zu einem Ereignis gehören?

1. Das Glücksrad hat 8 Sektoren: 3 rote, 3 blaue und 2 grüne. - Die Wahrscheinlichkeiten für einen Dreh sind: \(P(\text{Rot}) = \frac{3}{8}\), \(P(\text{Blau}) = \frac{3}{8}\) und \(P(\text{Grün}) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\). 2. Für Ereignis \(E_1\) („zweimal Grün“): - Nach der ersten Pfadregel multiplizieren wir die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades: \(P(E_1) = P(\text{Grün}) \cdot P(\text{Grün}) = \frac{2}{8} \cdot \frac{2}{8} = \frac{4}{64} = \frac{1}{16}\). - Als Prozentsatz: \(\frac{1}{16} = 6{,}25\,\%\). 3. Für Ereignis \(E_2\) („zweimal dieselbe Farbe“): - Dieses Ereignis umfasst die Pfade „Rot - Rot“, „Blau - Blau“ und „Grün - Grün“. - Nach den Pfadregeln berechnen wir: \(P(E_2) = P(\text{Rot - Rot}) + P(\text{Blau - Blau}) + P(\text{Grün - Grün}) = \left(\frac{3}{8}\right)^2 + \left(\frac{3}{8}\right)^2 + \left(\frac{2}{8}\right)^2 = \frac{9}{64} + \frac{9}{64} + \frac{4}{64} = \frac{22}{64} = \frac{11}{32}\). - Als Prozentsatz: \(\frac{11}{32} = 34{,}375\,\%\).

a) \(P(E_1) = \frac{1}{16} = 6{,}25\,\%\) b) \(P(E_2) = \frac{11}{32} = 34{,}375\,\%\)

- Überlege dir zuerst, wie viele Sektoren das Glücksrad insgesamt hat und wie viele Sektoren jeweils eine bestimmte Zahl oder Farbe tragen. - Da das Rad zweimal gedreht wird, kannst du die Pfadregeln für ein zweistufiges Zufallsexperiment anwenden. - Für die erste Teilaufgabe: Welche Kombinationen von zwei gleichen Zahlen sind möglich? Berechne deren Einzelwahrscheinlichkeiten und addiere sie. - Für die zweite Teilaufgabe: Welche Kombinationen von zwei Zahlen ergeben eine Summe, die größer als \(4\) ist? Zähle die günstigen Sektorkombinationen ab. - Für die dritte Teilaufgabe: Bestimme zuerst die Wahrscheinlichkeit, im ersten Schritt ein rotes Feld zu treffen, und multipliziere sie mit der Wahrscheinlichkeit, im zweiten Schritt ein blaues Feld zu treffen.

1. Die Gesamtzahl der gleich wahrscheinlichen Ausgänge bei zwei Drehungen beträgt \(6 \cdot 6 = 36\). 2. Für Teilaufgabe a): Die Zahl \(1\) ist auf \(2\) Sektoren, die Zahl \(2\) auf \(3\) Sektoren und die Zahl \(3\) auf \(1\) Sektor vertreten. Die Wahrscheinlichkeit ist: \(P(\text{zweimal gleiche Zahl}) = P(1, 1) + P(2, 2) + P(3, 3) = \frac{2}{6} \cdot \frac{2}{6} + \frac{3}{6} \cdot \frac{3}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{4}{36} + \frac{9}{36} + \frac{1}{36} = \frac{14}{36} = \frac{7}{18} \approx 38{,}9\,\%\). 3. Für Teilaufgabe b): Die Summe ist größer als \(4\), wenn sie \(5\) oder \(6\) beträgt. Die günstigen Kombinationen sind: - \((2, 3)\): Dafür gibt es \(3 \cdot 1 = 3\) günstige Sektorenpaare. - \((3, 2)\): Dafür gibt es \(1 \cdot 3 = 3\) günstige Sektorenpaare. - \((3, 3)\): Dafür gibt es \(1 \cdot 1 = 1\) günstiges Sektorenpaar. Insgesamt gibt es \(3 + 3 + 1 = 7\) günstige Sektorenpaare. Die Wahrscheinlichkeit beträgt: \(P(\text{Summe} > 4) = \frac{7}{36} \approx 19{,}4\,\%\). 4. Für Teilaufgabe c): Es gibt \(2\) rote und \(2\) blaue Sektoren. Nach der Pfadmultiplikationsregel beträgt die Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{erst Rot, dann Blau}) = \frac{2}{6} \cdot \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9} \approx 11{,}1\,\%\).

a) \(\frac{7}{18}\) (oder ca. \(38{,}9\,\%\)) b) \(\frac{7}{36}\) (oder ca. \(19{,}4\,\%\)) c) \(\frac{1}{9}\) (oder ca. \(11{,}1\,\%\))

- Überlege dir zuerst, wie viele Kombinationsmöglichkeiten es insgesamt gibt, wenn du beide Räder nacheinander drehst. - Ein Baumdiagramm kann dir helfen, alle möglichen Pfade und ihre Wahrscheinlichkeiten übersichtlich darzustellen. - Nutze für Teilaufgabe a) die Pfadregel für hintereinander ausgeführte Ereignisse. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für rot bei Rad A und wie hoch bei Rad B? - Liste für Teilaufgabe b) systematisch alle Paare von Zahlen auf, deren Summe genau 6 ergibt. - Vergiss am Ende nicht, die Brüche so weit wie möglich zu kürzen.

1. Wir bestimmen die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse des zweistufigen Zufallsexperiments. Da Glücksrad A 4 Sektoren und Glücksrad B 6 Sektoren besitzt, gibt es insgesamt \(4 \cdot 6 = 24\) gleich wahrscheinliche Ergebnisse (Ergebnismenge \(\Omega = \{(a, b) \mid a \in \{1, 2, 3, 4\}, b \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\}\)). 2. Für Ereignis a) („Beide Räder zeigen auf eine rote Zahl“): - Auf Glücksrad A ist nur die Zahl 1 rot (Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{4}\)). - Auf Glücksrad B sind die Zahlen 1, 3 und 5 rot (Wahrscheinlichkeit \(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)). - Nach der Pfadmultiplikationsregel beträgt die Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{beide rot}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{6} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}\). 3. Für Ereignis b) („Die Summe der beiden gedrehten Zahlen ist genau 6“): - Wir suchen alle Zahlenpaare \((a, b)\) mit \(a + b = 6\), wobei \(a\) von Rad A und \(b\) von Rad B stammt. - Die günstigen Paare sind: \((1, 5)\), \((2, 4)\), \((3, 3)\) und \((4, 2)\). - Dies sind genau 4 günstige Paare von insgesamt 24 Möglichkeiten. - Die Wahrscheinlichkeit beträgt: \(P(\text{Summe ist 6}) = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}\).

a) \(\frac{1}{8}\) b) \(\frac{1}{6}\)

- Wie viele Kugeln gibt es insgesamt und wie viele von jeder Farbe? - Da nacheinander gezogen wird, ohne die Kugeln zurückzulegen: Wie verändert sich die Anzahl der Kugeln in der Urne nach dem ersten Zug? - Welche verschiedenen Kombinationen von Ziehungen erfüllen die Bedingung, dass beide Kugeln dieselbe Farbe haben? - Kannst du ein Baumdiagramm zeichnen, um alle möglichen Pfade und ihre Wahrscheinlichkeiten darzustellen? - Gibt es ein Gegenereignis, das einfacher zu berechnen ist als das gesuchte Ereignis selbst?

1. In der Urne befinden sich insgesamt \(6\) Kugeln: \(3\) blaue, \(2\) rote und \(1\) gelbe. 2. Für Teilaufgabe a) („gleiche Farbe“): - Es gibt zwei Möglichkeiten für zwei gleichfarbige Kugeln: (blau, blau) oder (rot, rot). Eine gelbe Kugel kann nicht zweimal gezogen werden, da nicht zurückgelegt wird. - Wahrscheinlichkeit für (blau, blau): \(\frac{3}{6} \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{30}\). - Wahrscheinlichkeit für (rot, rot): \(\frac{2}{6} \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{30}\). - Summe der Pfade: \(P(\text{gleiche Farbe}) = \frac{6}{30} + \frac{2}{30} = \frac{8}{30} = \frac{4}{15}\) (ca. \(26{,}7\,\%\)). 3. Für Teilaufgabe b) („mindestens eine rot“): - Dies kann über das Gegenereignis „keine rote Kugel“ berechnet werden. - Die Anzahl der nicht-roten Kugeln in der Urne ist \(4\) (blau und gelb). - Wahrscheinlichkeit für zwei nacheinander gezogene nicht-rote Kugeln: \(\frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5} = \frac{12}{30} = \frac{2}{5}\). - Wahrscheinlichkeit für mindestens eine rote Kugel: \(P(\text{mindestens eine rot}) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5} = 60\,\%\).

a) \(P(\text{gleiche Farbe}) = \frac{4}{15}\) (oder ca. \(26{,}7\,\%\)) b) \(P(\text{mindestens eine rot}) = \frac{3}{5} = 60\,\%\)

- Welche Zahlen können auf dem Glücksrad gedreht werden und wie wahrscheinlich ist jede einzelne? - Schreibe alle Kombinationen von zwei Zahlen auf, deren Summe mindestens 6 ergibt. - Nutze die Pfadregeln (Multiplikationsregel für die Pfade und Additionsregel für die verschiedenen Pfade), um die Wahrscheinlichkeiten der günstigen Kombinationen zu berechnen. - Vereinfache das Ergebnis am Ende, indem du den Bruch kürzt.

1. Identifikation der Sektoren und ihrer Wahrscheinlichkeiten: Die Zahlen auf dem Glücksrad sind 1 (ein blauer Sektor), 2 (ein blauer Sektor), 3 (zwei rote Sektoren) und 5 (zwei grüne Sektoren). Die Wahrscheinlichkeiten bei einem Dreh sind: - \(P(1) = \frac{1}{6}\) - \(P(2) = \frac{1}{6}\) - \(P(3) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) - \(P(5) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) 2. Bestimmung der günstigen Kombinationen \((x, y)\), bei denen die Summe \(x + y \ge 6\) ist: - \((1, 5)\) mit Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{6} \cdot \frac{2}{6} = \frac{2}{36}\) - \((2, 5)\) mit Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{6} \cdot \frac{2}{6} = \frac{2}{36}\) - \((3, 3)\) mit Wahrscheinlichkeit \(\frac{2}{6} \cdot \frac{2}{6} = \frac{4}{36}\) - \((3, 5)\) mit Wahrscheinlichkeit \(\frac{2}{6} \cdot \frac{2}{6} = \frac{4}{36}\) - \((5, 1)\) mit Wahrscheinlichkeit \(\frac{2}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{36}\) - \((5, 2)\) mit Wahrscheinlichkeit \(\frac{2}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{36}\) - \((5, 3)\) mit Wahrscheinlichkeit \(\frac{2}{6} \cdot \frac{2}{6} = \frac{4}{36}\) - \((5, 5)\) mit Wahrscheinlichkeit \(\frac{2}{6} \cdot \frac{2}{6} = \frac{4}{36}\) 3. Berechnung der Gesamtwahrscheinlichkeit: \(P(\text{Summe} \ge 6) = \frac{2 + 2 + 4 + 4 + 2 + 2 + 4 + 4}{36} = \frac{24}{36}\) 4. Kürzen des Bruchs: \(\frac{24}{36} = \frac{2}{3}\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{2}{3}\).

- Überlege dir zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeit für jede einzelne Farbe bei einem Dreh ist. - Hilft es dir, ein Baumdiagramm für die beiden Drehungen zu zeichnen? - Nutze die Pfadregeln: Wie werden Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades und für verschiedene Pfade verrechnet? - Bei der Frage nach „mindestens einmal“ kann es oft einfacher sein, über das Gegenereignis nachzudenken.

1. Bestimmung der Einzelwahrscheinlichkeiten für einen Dreh: - Rot: \(P(\text{Rot}) = \frac{3}{8}\) - Blau: \(P(\text{Blau}) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\) - Grün: \(P(\text{Grün}) = \frac{1}{8}\) 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für zweimal dieselbe Farbe (Teilaufgabe a): - \(P(\text{gleiche Farbe}) = P(\text{Rot, Rot}) + P(\text{Blau, Blau}) + P(\text{Grün, Grün}) = \left(\frac{3}{8}\right)^2 + \left(\frac{4}{8}\right)^2 + \left(\frac{1}{8}\right)^2 = \frac{9}{64} + \frac{16}{64} + \frac{1}{64} = \frac{26}{64} = \frac{13}{32} = 40{,}625\,\%\) 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für mindestens einmal Grün (Teilaufgabe b): - Über das Gegenereignis „kein einziges Mal Grün“: \(P(\text{mindestens einmal Grün}) = 1 - P(\text{keinmal Grün}) = 1 - \left(\frac{7}{8}\right)^2 = 1 - \frac{49}{64} = \frac{15}{64} = 23{,}4375\,\%\) 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für zuerst Rot, dann Blau (Teilaufgabe c): - Pfadwahrscheinlichkeit: \(P(\text{Rot, Blau}) = P(\text{Rot}) \cdot P(\text{Blau}) = \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8} = \frac{12}{64} = \frac{3}{16} = 18{,}75\,\%\)

a) \(\frac{13}{32}\) (oder \(40{,}625\,\%\)) b) \(\frac{15}{64}\) (oder \(23{,}4375\,\%\)) c) \(\frac{3}{16}\) (oder \(18{,}75\,\%\))

- Überlege dir zuerst, wie viele Felder das Glücksrad insgesamt hat und wie viele davon rot sind. - Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei einem einzelnen Dreh ein rotes Feld zu treffen? - Bei zweistufigen Experimenten mit der Frage nach „mindestens einmal“ hilft oft das Gegenereignis. Was ist das Gegenereignis zu „mindestens einmal Rot“? - Welche Pfadregel wendest du an, um die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfades im Baumdiagramm zu berechnen? - Vergiss nicht, das Ergebnis am Ende sowohl als gekürzten Bruch als auch in Prozent anzugeben.

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für Rot bei einer Drehung: \(P(\text{Rot}) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\) und für ein nicht-rotes Feld: \(P(\text{nicht Rot}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses „kein einziges Mal Rot“ bei zwei Drehungen nach der Pfadmultiplikationsregel: \(P(\text{keinmal Rot}) = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{16}\). 3. Bestimmung der gesuchten Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis: \(P(\text{mindestens einmal Rot}) = 1 - P(\text{keinmal Rot}) = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}\). 4. Umrechnung des Bruches in Prozent: \(\frac{7}{16} = 43{,}75\,\%\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{7}{16}\) (oder \(43{,}75\,\%\)).

- Überlege dir zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeit für jede der drei Farben bei einer einzelnen Drehung des Glücksrads ist. - Zeichne ein Baumdiagramm mit zwei Stufen, um alle möglichen Ausgänge der beiden Drehungen darzustellen. - Welche Pfade im Baumdiagramm gehören zu dem gesuchten Ereignis? - Erinnere dich an die Pfadregeln: Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades und addiere die Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen günstigen Pfade. - Kannst du bei Teilaufgabe b) die Wahrscheinlichkeit schneller mithilfe des Gegenereignisses berechnen?

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Farben bei einer Drehung: - \(P(\text{Rot}) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\) - \(P(\text{Grün}) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\) - \(P(\text{Gelb}) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\) 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für zweimal die gleiche Farbe (Ereignis \(A\)): - Die günstigen Pfade sind \((\text{Rot}, \text{Rot})\), \((\text{Grün}, \text{Grün})\) und \((\text{Gelb}, \text{Gelb})\). - Pfadwahrscheinlichkeiten: - \(P(\text{Rot}, \text{Rot}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\) - \(P(\text{Grün}, \text{Grün}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{16}\) - \(P(\text{Gelb}, \text{Gelb}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{16}\) - Summe der Pfade: \(P(A) = \frac{4}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} = 37{,}5\,\%\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für mindestens einmal Gelb (Ereignis \(B\)): - Das Gegenereignis \(\bar{B}\) lautet: „kein Gelb“ (nur Rot oder Grün). - Die Wahrscheinlichkeit, bei einer Drehung kein Gelb zu erhalten, ist \(P(\text{nicht Gelb}) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\). - Für zwei Drehungen gilt: \(P(\bar{B}) = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{16}\). - Damit ist \(P(B) = 1 - P(\bar{B}) = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16} = 43{,}75\,\%\).

a) \(P(\text{zweimal gleiche Farbe}) = \frac{3}{8} = 37{,}5\,\%\) b) \(P(\text{mindestens einmal Gelb}) = \frac{7}{16} = 43{,}75\,\%\)

- Lies dir die Aufgabe aufmerksam durch und überlege, wie viele mögliche Ergebnisse es für einen einzelnen Dreh gibt. - Kannst du ein Baumdiagramm zeichnen, um alle möglichen Pfade für zwei Drehungen darzustellen? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten Pfad im Baumdiagramm? - Gibt es bei Teilaufgabe b) ein Gegenereignis, das einfacher zu berechnen ist als alle einzelnen günstigen Pfade zusammenzuzählen? - Achte darauf, deine Brüche am Ende so weit wie möglich zu kürzen.

1. Bestimmung der Einzelwahrscheinlichkeiten: Da das Glücksrad aus 6 gleich großen Sektoren besteht, ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten für die Farben bei einer einzelnen Drehung: \(P(\text{Grün}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) \(P(\text{Blau}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) \(P(\text{Rot}) = \frac{1}{6}\) 2. Teilaufgabe a): Das Ereignis „zweimal dieselbe Farbe“ umfasst die Pfade GG, BB und RR. Nach den Pfadregeln berechnet sich die Wahrscheinlichkeit zu: \(P(\text{dieselbe Farbe}) = P(\text{GG}) + P(\text{BB}) + P(\text{RR}) = \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}\right) = \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{36} = \frac{9 + 4 + 1}{36} = \frac{14}{36} = \frac{7}{18} \approx 38{,}9\,\%\) 3. Teilaufgabe b): Das Ereignis „mindestens einmal Rot“ lässt sich am einfachsten über das Gegenereignis „kein einziges Mal Rot“ (also nur Grün oder Blau) bestimmen: \(P(\text{kein Rot}) = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{36}\) \(P(\text{mindestens einmal Rot}) = 1 - P(\text{kein Rot}) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36} \approx 30{,}6\,\%\) 4. Teilaufgabe c): Das Ereignis „erst Grün, dann Blau“ entspricht dem Pfad GB: \(P(\text{erst Grün, dann Blau}) = P(\text{Grün}) \cdot P(\text{Blau}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \approx 16{,}7\,\%\)

a) \(P(\text{dieselbe Farbe}) = \frac{7}{18} \approx 38{,}9\,\%\) b) \(P(\text{mindestens einmal Rot}) = \frac{11}{36} \approx 30{,}6\,\%\) c) \(P(\text{erst Grün, dann Blau}) = \frac{1}{6} \approx 16{,}7\,\%\)

- Bestimme zunächst die Wahrscheinlichkeit für jede der drei Farben bei einer einzigen Drehung des Rads. - Stelle dir das Experiment als mehrstufigen Baum vor. Welche Pfade entsprechen den gesuchten Ereignissen? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfades im Baumdiagramm? - Wie viele verschiedene Möglichkeiten (Reihenfolgen) gibt es, drei unterschiedliche Farben zu erhalten? - Wenn mehrere Pfade zum gewünschten Ereignis führen, wie werden deren Wahrscheinlichkeiten kombiniert?

1. Bestimmung der Einzelwahrscheinlichkeiten: Die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Farben bei einer Drehung betragen: \(P(B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\) (Blau) \(P(R) = \frac{1}{4}\) (Rot) \(P(G) = \frac{1}{4}\) (Gelb) 2. Teilaufgabe a): Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für den Pfad Blau \(\to\) Rot \(\to\) Gelb. Nach der 1. Pfadregel (Produktregel) multipliziert man die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades: \(P(\text{Blau - Rot - Gelb}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{32} = 0{,}03125\). 3. Teilaufgabe b): Drei verschiedene Farben zu erhalten bedeutet, dass genau die Farben Blau, Rot und Gelb in beliebiger Reihenfolge auftreten. Es gibt dafür \(3! = 6\) verschiedene Pfade (Anordnungen). Da jeder dieser Pfade die gleiche Wahrscheinlichkeit von \(\frac{1}{32}\) hat, addiert man diese nach der 2. Pfadregel (Summenregel): \(P(\text{drei verschiedene Farben}) = 6 \cdot \frac{1}{32} = \frac{6}{32} = \frac{3}{16} = 0{,}1875\).

a) \(P(\text{Blau - Rot - Gelb}) = \frac{1}{32} = 0{,}03125\) b) \(P(\text{drei verschiedene Farben}) = \frac{3}{16} = 0{,}1875\)

- Überlege zuerst, wie viele Sektoren insgesamt vorhanden sind und welche Wahrscheinlichkeit jeder einzelne Sektor hat. - Für Teilaufgabe a): Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für Blau in der ersten Drehung und für Rot in der zweiten Drehung? Wie verknüpft man diese entlang eines Pfades? - Für Teilaufgabe b): Welche Zahlen auf dem Glücksrad sind ungerade? Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, eine ungerade Zahl zu drehen? - Für Teilaufgabe c): Welche Zahlenpaare ergeben eine Summe, die größer als 12 ist? Schreibe sie systematisch auf, beginnend mit der größtmöglichen Zahl 8.

1. **Wahrscheinlichkeit für Ereignis C (Teilaufgabe a)**: Die Wahrscheinlichkeit für einen blauen Sektor bei einer Drehung ist \(P(\text{Blau}) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\). Die Wahrscheinlichkeit für einen roten Sektor bei einer Drehung ist \(P(\text{Rot}) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\). Da die beiden Drehungen unabhängig voneinander sind, gilt nach der ersten Pfadregel: \(P(C) = P(\text{Blau}) \cdot P(\text{Rot}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8} = 0{,}125\) (oder \(12{,}5\,\%\)). 2. **Wahrscheinlichkeit für Ereignis A (Teilaufgabe b)**: Die ungeraden Zahlen auf dem Glücksrad sind 1, 3, 5 und 7. Dies sind 4 der insgesamt 8 Sektoren. Die Wahrscheinlichkeit, bei einer Drehung eine ungerade Zahl zu erhalten, beträgt daher \(P(\text{ungerade}) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\). Da beide Drehungen unabhängig sind, gilt für Ereignis A: \(P(A) = P(\text{ungerade}) \cdot P(\text{ungerade}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = 0{,}25\) (oder \(25\,\%\)). 3. **Wahrscheinlichkeit für Ereignis B (Teilaufgabe c)**: Die Summe der beiden Zahlen soll größer als 12 sein, also mindestens 13 betragen. Da die größte Zahl auf dem Glücksrad die 8 ist, listen wir alle günstigen Paare \((x, y)\) auf: - Für \(x = 8\): \(y \in \{5, 6, 7, 8\}\) (4 günstige Paare: (8,5), (8,6), (8,7), (8,8)) - Für \(x = 7\): \(y \in \{6, 7, 8\}\) (3 günstige Paare: (7,6), (7,7), (7,8)) - Für \(x = 6\): \(y \in \{7, 8\}\) (2 günstige Paare: (6,7), (6,8)) - Für \(x = 5\): \(y \in \{8\}\) (1 günstiges Paar: (5,8)) Insgesamt gibt es \(4 + 3 + 2 + 1 = 10\) günstige Kombinationen von insgesamt \(8 \cdot 8 = 64\) gleich wahrscheinlichen Ergebnissen. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis B beträgt somit: \(P(B) = \frac{10}{64} = \frac{5}{32} = 0{,}15625\) (oder \(15{,}625\,\%\)).

a) \(P(C) = \frac{1}{8} = 0{,}125\) (oder \(12{,}5\,\%\)) b) \(P(A) = \frac{1}{4} = 0{,}25\) (oder \(25\,\%\)) c) \(P(B) = \frac{5}{32} = 0{,}15625\) (oder \(15{,}625\,\%\))

- Bestimme zuerst die Wahrscheinlichkeit für jede der drei Farben bei einem einzelnen Dreh. - Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei einem einzelnen Dreh eine andere Farbe als Gelb zu erhalten? - Überlege dir für Teil b), wie viele verschiedene Pfade im Baumdiagramm genau zwei rote Felder enthalten. - Nutze die Pfadregeln, um die Gesamtwahrscheinlichkeiten für die mehrstufigen Ereignisse zu berechnen.

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für einen einzelnen Dreh: Aus der Abbildung mit acht gleich großen Sektoren ergibt sich \(P(\text{rot}) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\), \(P(\text{blau}) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\) und \(P(\text{gelb}) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\). 2. Berechnung von \(P(E_1)\): Das Ereignis tritt ein, wenn bei allen drei Drehungen entweder Rot oder Blau erscheint. Die Wahrscheinlichkeit für „nicht Gelb“ bei einem Dreh ist \(P(\text{rot oder blau}) = \frac{4}{8} + \frac{2}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\). Nach der Pfadmultiplikationsregel für unabhängige Ereignisse gilt: \(P(E_1) = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{27}{64} = 0{,}421875\). 3. Berechnung von \(P(E_2)\): Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für genau zwei rote Felder bei drei Drehungen. Es gibt drei Pfade, die dieses Ereignis erfüllen: (Rot, Rot, nicht Rot), (Rot, nicht Rot, Rot) und (nicht Rot, Rot, Rot). Dabei ist \(P(\text{nicht Rot}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\). Jeder dieser Pfade hat die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}\). Somit ist \(P(E_2) = 3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8} = \frac{24}{64} = 0{,}375\). 4. Vergleich: Da \(\frac{27}{64} > \frac{24}{64}\) (bzw. \(0{,}421875 > 0{,}375\)) ist, besitzt das Ereignis \(E_1\) die höhere Wahrscheinlichkeit.

Das Ereignis \(E_1\) ist wahrscheinlicher. Die berechneten Wahrscheinlichkeiten sind \(P(E_1) = \frac{27}{64} \approx 42{,}2\,\%\) und \(P(E_2) = \frac{3}{8} = 37{,}5\,\%\).

- Überlege dir zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeit für jede einzelne Farbe bei einer Drehung ist. - Bei mehreren Drehungen hilft oft ein Baumdiagramm, um die möglichen Pfade zu visualisieren. - Achte auf Begriffe wie „genau“, „mindestens“ oder „höchstens“. - Wenn nach „mindestens einmal“ gefragt wird, kann es einfacher sein, die Wahrscheinlichkeit des Gegenteils von 1 abzuziehen. - Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades und addiere die Ergebnisse verschiedener Pfade, die zum selben Ereignis gehören.

1. Bestimmung der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(\text{Grün}) = \frac{3}{8}\), \(P(\text{Gelb}) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\) und \(P(\text{Orange}) = \frac{1}{8}\). 2. Berechnung für a): Es gibt \(\binom{3}{2} = 3\) Pfade mit genau zweimal Gelb. \(P(\text{genau zweimal Gelb}) = 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{8} = 0{,}375\). 3. Berechnung für b): Das Gegenereignis lautet „kein Orange“. \(P(\text{mindestens einmal Orange}) = 1 - P(\text{kein Orange}) = 1 - \left(\frac{7}{8}\right)^3 = 1 - \frac{343}{512} = \frac{169}{512} \approx 0{,}3301\). 4. Berechnung für c): Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades Grün–Gelb–Orange. \(P(\text{Grün, Gelb, Orange}) = \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{128} \approx 0{,}0234\). 5. Berechnung für d): Addition der Wahrscheinlichkeiten für kein Gelb und genau einmal Gelb. \(P(\text{höchstens einmal Gelb}) = \left(\frac{1}{2}\right)^3 + 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{1}{2} = 0{,}5\).

a) \(P(\text{genau zweimal Gelb}) = \frac{3}{8} = 37{,}5\,\%\) b) \(P(\text{mindestens einmal Orange}) = \frac{169}{512} \approx 33{,}01\,\%\) c) \(P(\text{Grün, Gelb, Orange}) = \frac{3}{128} \approx 2{,}34\,\%\) d) \(P(\text{höchstens einmal Gelb}) = \frac{1}{2} = 50\,\%\)

- Überlege dir zuerst, wie viele gleich große Felder das Glücksrad hat und wie oft gedreht wird. - Kannst du für jedes Ereignis festlegen, welche Zahlen bei den einzelnen Drehungen erlaubt sind? - Erinnere dich an die Pfadregeln: Entlang eines Pfades im Baumdiagramm werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert. - Achte bei Begriffen wie „genau“ oder „nur“ darauf, dass die anderen Drehungen dann eine gegenteilige Eigenschaft haben müssen. - Was ist eine Quadratzahl? Liste sie für den Bereich von 1 bis 8 auf.

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Ergebnisse: Da das Rad 8 Felder hat und 3-mal gedreht wird, gibt es insgesamt \(8^3 = 512\) gleich wahrscheinliche Elementarereignisse. 2. Teilaufgabe a): Die Bedingung „genau die erste und die letzte Zahl gerade“ bedeutet für drei Drehungen die feste Abfolge (gerade, ungerade, gerade). Es gibt 4 gerade Zahlen (2, 4, 6, 8) und 4 ungerade Zahlen (1, 3, 5, 7) im Bereich von 1 bis 8. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(\text{G, U, G}) = \frac{4}{8} \cdot \frac{4}{8} \cdot \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} = 0{,}125\). 3. Teilaufgabe b): Quadratzahlen im Bereich 1 bis 8 sind 1 und 4 (2 Felder). Keine Quadratzahlen sind demnach 6 Felder (2, 3, 5, 6, 7, 8). Die Bedingung „nur die erste Zahl Quadratzahl“ bedeutet die Abfolge (Quadratzahl, keine Quadratzahl, keine Quadratzahl). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(\text{Q, nQ, nQ}) = \frac{2}{8} \cdot \frac{6}{8} \cdot \frac{6}{8} = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{64} = 0{,}140625\). 4. Teilaufgabe c): Zahlen größer als 5 sind 6, 7 und 8 (3 Felder). Die Wahrscheinlichkeit für drei solche Zahlen hintereinander ist \(P(>5, >5, >5) = \left(\frac{3}{8}\right)^3 = \frac{27}{512} \approx 0{,}0527\). 5. Teilaufgabe d): Es gibt 8 günstige Ergebnisse für drei gleiche Zahlen: (1,1,1), (2,2,2), ..., (8,8,8). Die Wahrscheinlichkeit ist \(8 \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^3 = \frac{8}{512} = \frac{1}{64} = 0{,}015625\).

a) \(P = \frac{1}{8} = 12{,}5\,\%\) b) \(P = \frac{9}{64} = 14{,}0625\,\%\) c) \(P = \frac{27}{512} \approx 5{,}27\,\%\) d) \(P = \frac{1}{64} = 1{,}5625\,\%\)

- Notiere dir zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeit für jede einzelne Zahl auf dem Rad ist. - Welche Kombinationen von Zahlen führen zum gewünschten Ergebnis? - Überlege, wie du die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Drehungen kombinieren musst, wenn sie nacheinander stattfinden. - Bei Ereignis c hilft es, die Wahrscheinlichkeiten für jede Farbe einzeln zu berechnen und dann zu addieren.

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Zahlen: \(P(1) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\) (blau) \(P(2) = \frac{3}{8}\) (rot) \(P(3) = \frac{1}{8}\) (grün) \(P(4) = \frac{1}{8}\) (gelb) \(P(5) = \frac{1}{8}\) (orange) 2. Berechnung für Ereignis a (Summe 3): Die möglichen Zahlenpaare sind (1; 2) und (2; 1). \(P(1; 2) = \frac{2}{8} \cdot \frac{3}{8} = \frac{6}{64}\) \(P(2; 1) = \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{8} = \frac{6}{64}\) Gesamtwahrscheinlichkeit: \(\frac{6}{64} + \frac{6}{64} = \frac{12}{64} = \frac{3}{16}\). 3. Berechnung für Ereignis b (erste 1, zweite > 1): Die erste Drehung muss eine 1 sein (\(P = \frac{2}{8}\)). Die zweite Drehung muss eine 2, 3, 4 oder 5 sein (\(P = \frac{3+1+1+1}{8} = \frac{6}{8}\)). Wahrscheinlichkeit: \(P = \frac{2}{8} \cdot \frac{6}{8} = \frac{12}{64} = \frac{3}{16}\). 4. Berechnung für Ereignis c (gleiche Farbe): Da jede Zahl einer spezifischen Farbe zugeordnet ist, entspricht dies der Wahrscheinlichkeit für zwei gleiche Zahlen: \(P(\text{gleiche Farbe}) = P(1; 1) + P(2; 2) + P(3; 3) + P(4; 4) + P(5; 5)\) \(P = (\frac{2}{8})^2 + (\frac{3}{8})^2 + (\frac{1}{8})^2 + (\frac{1}{8})^2 + (\frac{1}{8})^2 = \frac{4 + 9 + 1 + 1 + 1}{64} = \frac{16}{64} = \frac{1}{4}\).

a) \(\frac{3}{16}\) b) \(\frac{3}{16}\) c) \(\frac{1}{4}\)

- Überlege zuerst, wie viele Felder insgesamt vorhanden sind und wie viele davon auf die jeweilige Farbe entfallen. - Zeichne für zwei Drehungen ein Baumdiagramm, um die möglichen Pfade zu visualisieren. - Erinnere dich an die Pfadregeln: Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades und addiere die Ergebnisse der verschiedenen günstigen Pfade. - Bei „mindestens“-Aufgaben ist es oft einfacher, mit dem Gegenereignis zu rechnen.

1. Bestimmung der Einzelwahrscheinlichkeiten: Da es 10 gleich große Felder gibt, von denen 5 blau, 3 rot und 2 gelb sind, gilt: \(P(\text{Blau}) = \frac{5}{10} = 0{,}5\); \(P(\text{Rot}) = \frac{3}{10} = 0{,}3\); \(P(\text{Gelb}) = \frac{2}{10} = 0{,}2\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für gleiche Farben bei zwei Drehungen: Nach der Pfadregel für das Ereignis \(E = \{(\text{Blau, Blau}), (\text{Rot, Rot}), (\text{Gelb, Gelb})\}\) ergibt sich \(P(E) = 0{,}5^2 + 0{,}3^2 + 0{,}2^2 = 0{,}25 + 0{,}09 + 0{,}04 = 0{,}38\). 3. Untersuchung der Behauptung für „mindestens einmal Gelb“: Das Gegenereignis zu „mindestens einmal Gelb“ ist „kein einziges Mal Gelb“. Die Wahrscheinlichkeit für „nicht Gelb“ (Blau oder Rot) beträgt \(0{,}5 + 0{,}3 = 0{,}8\). Somit ist \(P(\text{mindestens einmal Gelb}) = 1 - 0{,}8^2 = 1 - 0{,}64 = 0{,}36\). 4. Vergleich mit dem behaupteten Wert: Da \(0{,}36 = 36\,\%\) und \(36\,\% > 35\,\%\), hat die Schülerin recht.

a) \(P(\text{Blau}) = 0{,}5\); \(P(\text{Rot}) = 0{,}3\); \(P(\text{Gelb}) = 0{,}2\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}38\) (oder \(38\,\%\)). c) Ja, sie hat recht. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}36\) (oder \(36\,\%\)), was über \(35\,\%\) liegt.

- Zähle zuerst, wie oft jeder Buchstabe in der Urne vorkommt und wie viele Kugeln es insgesamt sind. - Achte bei jeder Teilaufgabe darauf, ob die Kugeln zurückgelegt werden oder nicht. - Überlege dir bei der Reihenfolge, wie viele Pfade im Baumdiagramm zum gewünschten Ergebnis führen. - Für die Wahrscheinlichkeit eines Wortes in einer festen Reihenfolge multiplizierst du die Wahrscheinlichkeiten entlang des entsprechenden Pfades.

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Kugeln und der Häufigkeit der Buchstaben: Gesamtzahl \(n = 9\). Häufigkeiten der Buchstaben: \(S: 2\), \(T: 3\), \(A: 1\), \(I: 2\), \(K: 1\). 2. Teilaufgabe a) Ziehen mit Zurücklegen: Die Wahrscheinlichkeit für „SIS“ in dieser festen Reihenfolge berechnet sich als Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(\text{„SIS“}) = P(S) \cdot P(I) \cdot P(S) = \frac{2}{9} \cdot \frac{2}{9} \cdot \frac{2}{9} = \frac{8}{729} \approx 0{,}0110\). 3. Teilaufgabe b) Ziehen ohne Zurücklegen: Die Wahrscheinlichkeit für „TIT“ in dieser Reihenfolge berücksichtigt die schrittweise verringerte Kugelanzahl: \(P(\text{„TIT“}) = \frac{3}{9} \cdot \frac{2}{8} \cdot \frac{2}{7} = \frac{12}{504} = \frac{1}{42} \approx 0{,}0238\). 4. Teilaufgabe c) Buchstaben A, K und T in beliebiger Reihenfolge (ohne Zurücklegen): Es gibt \(3! = 6\) mögliche Reihenfolgen (AKT, ATK, KAT, KTA, TAK, TKA). Da die Zähler der Wahrscheinlichkeiten für jede dieser Reihenfolgen immer die Faktoren \(1\), \(1\) und \(3\) enthalten, haben alle sechs Pfade die gleiche Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{eine Reihenfolge}) = \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{3}{7} = \frac{3}{504} = \frac{1}{168}\). Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist die Summe dieser sechs Pfade: \(6 \cdot \frac{1}{168} = \frac{6}{168} = \frac{1}{28} \approx 0{,}0357\).

a) \(P \approx 0{,}0110\) (oder \(\frac{8}{729}\)) b) \(P \approx 0{,}0238\) (oder \(\frac{1}{42}\)) c) \(P \approx 0{,}0357\) (oder \(\frac{1}{28}\))

- Welche Reihenfolgen enthalten genau die verlangte Anzahl roter Kugeln? - Sind die Wahrscheinlichkeiten auf jeder Stufe gleich geblieben?

1. Günstige Pfade: \(RRB\), \(RBR\), \(BRR\). 2. Wahrscheinlichkeit je Pfad: \(\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{4}{27}\). 3. Gesamtwahrscheinlichkeit: \(3\cdot\frac{4}{27}=\frac{4}{9}\).

\(\frac{4}{9}\approx 44{,}4\,\%\).

- Das gewünschte Ereignis umfasst mehrere Pfade. - Kannst du das Gegenteil durch einen einzigen Pfad beschreiben?

1. Gegenereignis „kein Bauteil defekt“: \(0{,}98^3=0{,}941192\). 2. Gesuchte Wahrscheinlichkeit: \(1-0{,}941192=0{,}058808\).

\(0{,}058808\approx 5{,}88\,\%\).

- Notiere alle Fälle, in denen genau eine Etappe die Bedingung erfüllt. - Verwende für jede Etappe den passenden Ast.

1. Nur Etappe 1 verspätet: \(0{,}1\cdot0{,}8\cdot0{,}85=0{,}068\). 2. Nur Etappe 2 verspätet: \(0{,}9\cdot0{,}2\cdot0{,}85=0{,}153\). 3. Nur Etappe 3 verspätet: \(0{,}9\cdot0{,}8\cdot0{,}15=0{,}108\). 4. Gesamtwahrscheinlichkeit: \(0{,}068+0{,}153+0{,}108=0{,}329\).

\(0{,}329=32{,}9\,\%\).

- Kannst du das Gegenteil des gesuchten Ereignisses einfacher erfassen? - Berücksichtige alle Farben getrennt.

1. Gegenereignis „gleiche Farbe“: \(\left(\frac{3}{6}\right)^2+\left(\frac{2}{6}\right)^2+\left(\frac{1}{6}\right)^2=\frac{14}{36}\). 2. Gesuchte Wahrscheinlichkeit: \(1-\frac{14}{36}=\frac{22}{36}=\frac{11}{18}\).

\(\frac{11}{18}\approx 61{,}1\,\%\).

- Zerlege die Gesamtwahrscheinlichkeit des Zielereignisses nach der ersten Stufe. - Ein Teilbeitrag ist bereits aus dem bekannten Pfad bestimmbar.

1. Anteil über \(A\): \(P(A\cap B)=0{,}4\cdot0{,}7=0{,}28\). 2. Anteil über \(\overline{A}\): \(0{,}52-0{,}28=0{,}24\). 3. Fehlender Ast: \(0{,}24:0{,}6=0{,}4\).

\(P(B\mid\overline{A})=0{,}4\).

- Genau eine der drei Ampeln darf nicht grün sein. - Schreibe die drei möglichen Positionen dieser Ampel auf.

1. Grün–Grün–Rot: \(0{,}7\cdot0{,}6\cdot0{,}2=0{,}084\). 2. Grün–Rot–Grün: \(0{,}7\cdot0{,}4\cdot0{,}8=0{,}224\). 3. Rot–Grün–Grün: \(0{,}3\cdot0{,}6\cdot0{,}8=0{,}144\). 4. Gesamtwahrscheinlichkeit: \(0{,}452\).

\(0{,}452=45{,}2\,\%\).

- Zerlege „mindestens zwei“ in disjunkte Fälle. - Wie viele Positionen kann der einzelne normale Sensor im ersten Fall haben?

1. Genau zwei Fehlalarme: \(3\cdot0{,}1^2\cdot0{,}9=0{,}027\). 2. Drei Fehlalarme: \(0{,}1^3=0{,}001\). 3. Gesamtwahrscheinlichkeit: \(0{,}027+0{,}001=0{,}028\).

\(0{,}028=2{,}8\,\%\).

- Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer bestimmten Anzahl von Versuchen mindestens ein Erfolg eintritt? - Nutze das Gegenereignis „kein Erfolg in \(n\) Versuchen“. - Stelle eine Ungleichung auf, die die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses mit dem Restrisiko vergleicht. - Du kannst verschiedene Werte für die Anzahl der Versuche ausprobieren, um die Grenze zu finden.

1. Die Wahrscheinlichkeit für ein nachzubesserndes Teil ist \(p = 0{,}25\), die Wahrscheinlichkeit für ein einwandfreies Teil ist \(q = 0{,}75\). 2. Die Wahrscheinlichkeit, dass unter \(n\) Bauteilen mindestens eines nachgebessert werden muss, entspricht \(P(X \le n)\). 3. Berechnung über das Gegenereignis „keines der \(n\) Teile muss nachgebessert werden“: \(P(X \le n) = 1 - 0{,}75^n\). 4. Die Bedingung lautet \(1 - 0{,}75^n \ge 0{,}80\), was gleichbedeutend mit \(0{,}75^n \le 0{,}20\) ist. 5. Durch systematisches Probieren oder Logarithmieren ergibt sich: \(0{,}75^5 \approx 0{,}2373\) (entspricht etwa \(76{,}3\,\%\) Gesamtwahrscheinlichkeit) \(0{,}75^6 \approx 0{,}1780\) (entspricht etwa \(82{,}2\,\%\) Gesamtwahrscheinlichkeit) 6. Die kleinste ganze Zahl ist somit \(n = 6\).

\(n = 6\)

- Wie viele verschiedene Farben gibt es insgesamt auf dem Rad? - Überlege dir, wie viele Möglichkeiten es für die erste, zweite und dritte Drehung gibt, wenn alle Farben unterschiedlich sein sollen. - Bei „genau zweimal Rot“ gibt es verschiedene Reihenfolgen (z. B. Rot-Rot-NichtRot). Wie viele solcher Pfade gibt es? - Berechne die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Pfad und multipliziere sie mit der Anzahl der passenden Pfade.

1. Analyse des Glücksrads: Es gibt 4 gleich große Felder in den Farben Rot, Gelb, Blau und Grün. Jede Farbe hat die Wahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{4}\). 2. Berechnung für Teilaufgabe a) (drei verschiedene Farben): Beim ersten Dreh ist die Farbe beliebig (Wahrscheinlichkeit 1). Beim zweiten Dreh muss eine der 3 anderen Farben erscheinen: \(p_2 = \frac{3}{4}\). Beim dritten Dreh muss eine der 2 verbleibenden Farben erscheinen: \(p_3 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\). \(P(E) = 1 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}\) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{3}{8} = 37{,}5\,\%\). 3. Berechnung für Teilaufgabe b) (genau zweimal Rot): Wir bezeichnen Rot mit \(R\) und ein Ergebnis, das nicht Rot ist, mit \(X\). Es gibt drei mögliche Abfolgen: \((R, R, X)\), \((R, X, R)\) und \((X, R, R)\). Die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis, das nicht Rot ist, beträgt \(P(X) = \frac{3}{4}\). Die Wahrscheinlichkeit für einen Pfad wie \((R, R, X)\) ist \(P(R, R, X) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{64}\). Da es drei solche Pfade gibt, gilt: \(P(F) = 3 \cdot \frac{3}{64} = \frac{9}{64}\) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{9}{64} \approx 14{,}1\,\%\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{3}{8}\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{9}{64}\).

- Das Ereignis kann in zwei Reihenfolgen eintreten. - Wie kannst du die Angaben in einer gemeinsamen Beziehung darstellen? - Prüfe, ob zwei symmetrische Lösungen möglich sind.

1. Gleichung: \(q(1-q)+(1-q)q=0{,}42\). 2. Umformung: \(2q(1-q)=0{,}42\) und \(q^2-q+0{,}21=0\). 3. Lösungen: \(q=0{,}3\) oder \(q=0{,}7\).

\(q=0{,}3\) oder \(q=0{,}7\).