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- Überlege dir zuerst, wie viele Pralinen insgesamt in der Schachtel sind und wie viele davon keine Marzipanfüllung haben. - Stell dir den Vorgang als zweistufiges Experiment vor. Wie verändert sich die Anzahl der Pralinen in der Schachtel nach dem ersten Ziehen? - Hilft dir ein Baumdiagramm, um die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades zu verknüpfen?

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Pralinen (\(24\)) und der Anzahl der Nougatpralinen (\(24 - 4 = 20\)). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für die erste Nougatpraline: \(P(N_1) = \frac{20}{24} = \frac{5}{6}\). 3. Da die Praline nicht zurückgelegt wird, verbleiben \(23\) Pralinen, davon \(19\) mit Nougat. Wahrscheinlichkeit für die zweite Nougatpraline: \(P(N_2 | N_1) = \frac{19}{23}\). 4. Anwendung der Pfadregel für das Ereignis „beide Nougat“: \(P(N_1 \cap N_2) = \frac{5}{6} \cdot \frac{19}{23} = \frac{95}{138}\). 5. Dezimalwert gerundet: \(\approx 0{,}6884\) (entspricht \(68{,}84\,\%\)).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{95}{138} \approx 0{,}6884\) (oder \(68{,}84\,\%\)).

- Überlege dir, wie viele Pralinen insgesamt in der Schachtel sind und wie viele davon jeweils die gewünschte Eigenschaft haben. - Was passiert mit der Gesamtzahl der Pralinen in der Schachtel, wenn du eine herausnimmst und nicht wieder hineinlegst? - Wie ändert sich die Anzahl der Pralinen einer Sorte nach jedem Zug? - Stell dir das Experiment wie einen Pfad in einem Baumdiagramm vor. Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten Pfad?

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für drei Pralinen mit dunkler Schokolade: Da die Pralinen nicht zurückgelegt werden, verringert sich die Anzahl der verfügbaren dunklen Pralinen und die Gesamtanzahl mit jedem Zug. Es ergibt sich \(P(\text{3 dunkle}) = \frac{8}{12} \cdot \frac{7}{11} \cdot \frac{6}{10} = \frac{2}{3} \cdot \frac{7}{11} \cdot \frac{3}{5} = \frac{14}{55} \approx 0{,}2545\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für drei Pralinen mit heller Schokolade: Analog verringert sich die Anzahl der hellen Pralinen. Es ergibt sich \(P(\text{3 helle}) = \frac{4}{12} \cdot \frac{3}{11} \cdot \frac{2}{10} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{11} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{55} \approx 0{,}0182\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{14}{55}\) (ca. \(25{,}5\,\%\)). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{55}\) (ca. \(1{,}8\,\%\)).

- Achte darauf, dass sich sowohl die Anzahl der gewünschten Münzen als auch die Gesamtzahl im zweiten Zug ändert. - Wie viele Möglichkeiten gibt es, zwei Münzen mit der gleichen Farbe zu ziehen? - Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades im Baumdiagramm. - Addiere die Ergebnisse der Pfade, die für die jeweilige Teilaufgabe relevant sind.

1. Die Gesamtzahl der Münzen im Beutel ist \(3 + 5 = 8\). 2. Die Wahrscheinlichkeit für die Abfolge erst Gold, dann Silber berechnet sich zu \(P(gs) = \frac{3}{8} \cdot \frac{5}{7} = \frac{15}{56}\). 3. Für das Ereignis „gleiche Farbe“ müssen die Wahrscheinlichkeiten der Pfade Gold-Gold (\(gg\)) und Silber-Silber (\(ss\)) addiert werden. 4. Die Wahrscheinlichkeit für zwei goldene Münzen ist \(P(gg) = \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{7} = \frac{6}{56}\). 5. Die Wahrscheinlichkeit für zwei silberne Münzen ist \(P(ss) = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{20}{56}\). 6. Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist \(P(\text{gleiche Farbe}) = \frac{6}{56} + \frac{20}{56} = \frac{26}{56} = \frac{13}{28}\).

a) \(P(\text{gold, silber}) = \frac{15}{56}\) b) \(P(\text{gleiche Farbe}) = \frac{13}{28}\)

- Überlege dir zuerst, wie viele verschiedene Zeichen insgesamt zur Verfügung stehen. - Macht es für die Anzahl der Möglichkeiten einen Unterschied, ob du ein Zeichen nach der Verwendung wieder benutzen darfst oder nicht? - Wie viele Entscheidungen triffst du nacheinander, wenn du den Code Zeichen für Zeichen aufbaust? - Für die Wahrscheinlichkeit musst du die Anzahl der gewünschten Fälle durch die Gesamtzahl aller möglichen Fälle teilen.

1. Gesamtzahl der verfügbaren Zeichen bestimmen: \(10 \text{ Ziffern} + 8 \text{ Buchstaben} = 18 \text{ Zeichen}\). 2. Anzahl der Codes mit Wiederholung (Variation mit Zurücklegen): \(n^k = 18^5 = 1\,889\,568\). 3. Anzahl der Codes ohne Wiederholung (Variation ohne Zurücklegen): \(n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot (n-k+1) = 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 = 1\,028\,160\). 4. Anzahl der Codes, die nur aus Ziffern bestehen (mit Wiederholung): \(10^5 = 100\,000\). 5. Wahrscheinlichkeit berechnen: \(P = \frac{\text{günstige Ergebnisse}}{\text{mögliche Ergebnisse}} = \frac{100000}{1889568} \approx 0{,}0529\).

a) Es gibt \(1\,889\,568\) mögliche Codes. b) Es gibt \(1\,028\,160\) mögliche Codes. c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(5{,}29\,\%\) (exakt \(\frac{100000}{1889568}\)).

- Überlege dir für jeden Teil, ob die Reihenfolge der Ziffern wichtig ist. - Spielt es eine Rolle, ob eine Ziffer nach der Benutzung wieder zur Verfügung steht? - Welches mathematische Modell (Variation oder Kombination) passt zu der jeweiligen Situation?

1. Berechnung für den Fall mit Wiederholung und Beachtung der Reihenfolge: \(n^k = 9^5 = 59\,049\). 2. Berechnung für den Fall ohne Wiederholung mit Beachtung der Reihenfolge: \(9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 15\,120\). 3. Berechnung für den Fall ohne Wiederholung ohne Beachtung der Reihenfolge (Teilmenge): \(\binom{9}{5} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 126\).

a) \(59\,049\) Möglichkeiten b) \(15\,120\) Möglichkeiten c) \(126\) Möglichkeiten

- Überlege dir, ob eine Ziffer oder Person mehrfach ausgewählt werden kann. - Spielt es für das Ergebnis eine Rolle, in welcher zeitlichen Abfolge die Auswahl stattfindet? - Stell dir die Gesamtzahl der verfügbaren Objekte als Kugeln in einer Urne vor. - Wie viele Entscheidungen müssen nacheinander getroffen werden?

1. Teilaufgabe a: Urnenmodell mit \(n = 10\) Kugeln und \(k = 4\) Ziehungen mit Zurücklegen unter Berücksichtigung der Reihenfolge. Berechnung: \(10^4 = 10\,000\). 2. Teilaufgabe b: Urnenmodell mit \(n = 10\) Kugeln und \(k = 3\) Ziehungen ohne Zurücklegen unter Berücksichtigung der Reihenfolge. Berechnung: \(10 \cdot 9 \cdot 8 = 720\). 3. Teilaufgabe c: Urnenmodell mit \(n = 12\) Kugeln und \(k = 2\) Ziehungen ohne Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Berechnung: \(\binom{12}{2} = \frac{12 \cdot 11}{2 \cdot 1} = 66\).

a) Urnenmodell: \(n = 10, k = 4\), mit Zurücklegen, mit Reihenfolge; Möglichkeiten: \(10\,000\) b) Urnenmodell: \(n = 10, k = 3\), ohne Zurücklegen, mit Reihenfolge; Möglichkeiten: \(720\) c) Urnenmodell: \(n = 12, k = 2\), ohne Zurücklegen, ohne Reihenfolge; Möglichkeiten: \(66\)

- Wie viele Entscheidungen triffst du nacheinander und wie viele Optionen hast du jeweils? - Wenn jede Ziffer nur einmal vorkommen darf, verringert sich dann die Anzahl der Optionen für die nächste Stelle? - Wie viele konkrete Codes erfüllen die Bedingung, dass alle Ziffern gleich sind? - Teile die Anzahl der für die Bedingung passenden Codes durch die Gesamtzahl aller Codes.

1. Berechnung der Gesamtzahl der Codes (Variation mit Wiederholung): \(6^4 = 1296\). 2. Berechnung der Codes ohne Ziffernwiederholung (Variation ohne Wiederholung): \(6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360\). 3. Identifikation der günstigen Ergebnisse für vier identische Ziffern: Es gibt genau 6 solcher Codes (1111, 2222, 3333, 4444, 5555, 6666). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit nach Laplace: \(P = \frac{6}{1296} = \frac{1}{216} \approx 0{,}00463\).

a) Es gibt \(1296\) mögliche Codes. b) Es gibt \(360\) Codes mit vier unterschiedlichen Ziffern. c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{216} \approx 0{,}0046\).

- Überlege dir, wie viele Möglichkeiten es gibt, eine bestimmte Anzahl an unterschiedlichen Objekten in einer Reihe anzuordnen. - Wenn bestimmte Plätze bereits fest durch eine Person belegt sind, wie viele Personen bleiben dann noch übrig, die du frei verteilen kannst? - In Aufgabenteil c) ist die interne Reihenfolge der ersten drei Personen nicht fest vorgegeben – wie viele Möglichkeiten gibt es, drei Personen untereinander zu tauschen? - Denke daran, dass du bei unabhängigen Teilentscheidungen (Anordnung der ersten Gruppe und Anordnung der restlichen Gruppe) die jeweiligen Möglichkeiten multiplizieren musst.

1. Gesamtzahl der Anordnungen berechnen: Für 8 unterscheidbare Personen gibt es \(8! = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 40\,320\) Möglichkeiten. 2. Anordnungen mit fixierten Plätzen für \(A\) und \(B\): Da die ersten beiden Plätze fest vergeben sind, müssen nur noch die restlichen \(8 - 2 = 6\) Personen auf den verbleibenden 6 Plätzen angeordnet werden. Dies ergibt \(6! = 720\) Möglichkeiten. 3. Anordnungen mit \(A\), \(B\) und \(C\) auf den ersten drei Plätzen: Für die ersten drei Plätze gibt es \(3! = 6\) Möglichkeiten, die Personen \(A\), \(B\) und \(C\) anzuordnen. Die restlichen \(8 - 3 = 5\) Personen können auf den verbleibenden 5 Plätzen in \(5! = 120\) Weisen angeordnet werden. Die Gesamtzahl ergibt sich aus dem Produkt: \(3! \cdot 5! = 6 \cdot 120 = 720\).

a) \(40\,320\) b) \(720\) c) \(720\)

- Wie viele Faktoren stehen in dem Produkt, wenn du \( k \) abzählst? - Schreibe die Definition der Fakultät \( n! \) auf und überlege, welche Faktoren am Ende „abgeschnitten“ werden müssen. - Was bedeutet das Produkt anschaulich, wenn man alle \( n \) Elemente einer Menge nacheinander anordnet? - Erinnere dich an den festgesetzten Wert für die Fakultät von Null.

1. Berechnung für \( n=10, k=3 \): Das Produkt hat \( k=3 \) Faktoren, also \( 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720 \). 2. Nachweis der Identität: Schreibt man \( n! \) als \( n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot (n-k+1) \cdot (n-k) \cdot (n-k-1) \cdot \dots \cdot 1 \) und \( (n-k)! \) als \( (n-k) \cdot (n-k-1) \cdot \dots \cdot 1 \), so lassen sich im Bruch \( \frac{n!}{(n-k)!} \) alle Faktoren von \( (n-k) \) bis \( 1 \) kürzen. Es bleibt genau das Produkt \( n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot (n-k+1) \) übrig. 3. Spezialfall \( k=n \): Der Ausdruck wird zu \( \frac{n!}{(n-n)!} = \frac{n!}{0!} \). Da \( 0! = 1 \) definiert ist, ergibt sich \( \frac{n!}{1} = n! \). Dies entspricht dem Produkt aller Zahlen von \( n \) bis \( (n-n+1) = 1 \).

a) \( 720 \) b) Durch Ausschreiben von \( n! \) und Kürzen von \( (n-k)! \) erhält man die Identität. c) Für \( k=n \) ergibt sich \( n! \), da \( 0! = 1 \).

- Macht es einen Unterschied für die Struktur der Gruppe, ob jemand als Erster oder als Dritter gewählt wird? - Wie viele verschiedene Anordnungen gibt es für drei bereits feststehende Personen? - Was ist die Grundformel für die Wahrscheinlichkeit bei einem Laplace-Experiment?

1. Im Fall (1) ist die Reihenfolge der Auswahl wichtig, da die Rollen (Leiter, Protokollführer, Materialwart) verschieden sind. Es handelt sich um eine Variation ohne Zurücklegen: \(15 \cdot 14 \cdot 13 = 2730\). 2. Im Fall (2) ist die Reihenfolge unerheblich, da alle Gruppenmitglieder den gleichen Status haben. Die Anzahl der Möglichkeiten wird über den Binomialkoeffizienten berechnet: \(\binom{15}{3} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 455\). 3. Die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Gruppe in Fall (2) zu erhalten, ist der Quotient aus der einen günstigen Kombination und der Gesamtzahl der Kombinationen: \(P = \frac{1}{455} \approx 0{,}0022\).

a) (1) \(2730\) Möglichkeiten; (2) \(455\) Möglichkeiten. b) \(P = \frac{1}{455} \approx 0{,}0022\) (oder \(0{,}22\,\%\)).

- Wie viele Früchte sind insgesamt im Korb? - Was bedeutet es für die Auswahl, wenn eine bestimmte Sorte gar nicht vorkommen darf? - Welche unteren Zahlen müssen die Binomialkoeffizienten für jede geforderte Zusammensetzung besitzen? - Prüfe, ob die Summe der ausgewählten Stückzahlen jeweils fünf ergibt.

1. Insgesamt gibt es \(8+6+4=18\) Früchte. Die Anzahl aller gleich wahrscheinlichen Auswahlen von fünf Früchten ist \(\binom{18}{5}\). 2. Zu \(A\): Zwei von acht Äpfeln, zwei von sechs Birnen und eine von vier Bananen werden gewählt. Daher passt Term (2). 3. Zu \(B\): Ohne Birnen müssen alle fünf Früchte aus den zwölf Äpfeln und Bananen stammen. Daher passt Term (1). 4. Zu \(C\): Drei von acht Äpfeln und zwei von vier Bananen werden gewählt. Daher passt Term (3).

Ereignis \(A\) entspricht Term (2). Ereignis \(B\) entspricht Term (1). Ereignis \(C\) entspricht Term (3).

- Verfolge nur den Pfad, der beide Bedingungen erfüllt. - Wie verändert sich die Zahl der passenden Karten nach dem ersten Zug?

1. Erster Ass-Zug: \(\frac{2}{8}\). 2. Zweiter Ass-Zug nach einem Ass: \(\frac{1}{7}\). 3. Pfadwahrscheinlichkeit: \(\frac{2}{8}\cdot\frac{1}{7}=\frac{1}{28}\).

\(\frac{1}{28}\approx 3{,}57\,\%\).

- Ein gemischtes Team kann in zwei Auswahlreihenfolgen entstehen. - Passe die Gruppengröße nach der ersten Auswahl an.

1. Mädchen–Junge: \(\frac{4}{6}\cdot\frac{2}{5}=\frac{4}{15}\). 2. Junge–Mädchen: \(\frac{2}{6}\cdot\frac{4}{5}=\frac{4}{15}\). 3. Gesamtwahrscheinlichkeit: \(\frac{8}{15}\).

\(\frac{8}{15}\approx 53{,}3\,\%\).

- Überlege dir zuerst, wie viele Personen in jede Gruppe müssen. - Wie viele Möglichkeiten gibt es, die erste Gruppe zusammenzustellen? - Bleibt für die zweite Gruppe noch eine Wahlmöglichkeit, wenn die erste Gruppe feststeht? - Spielt es eine Rolle, welche der beiden Gruppen zuerst gewählt wurde, wenn beide die gleiche Aufgabe haben?

1. Berechnung der Möglichkeiten, 4 Personen aus den 8 Teilnehmern für die erste Gruppe auszuwählen: \(\binom{8}{4} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70\). 2. Die restlichen 4 Personen bilden automatisch die zweite Gruppe. 3. Da die beiden Gruppen nicht durch Namen oder Aufgaben unterschieden werden (eine Aufteilung in Gruppe A und B wäre hier doppelt gezählt), muss das Ergebnis durch \(2\) dividiert werden. 4. \(70 : 2 = 35\).

Es gibt 35 Möglichkeiten.

- Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, bei drei Zügen genau ein Ass zu erhalten? - Beachte, dass sich die Gesamtzahl der Karten im Stapel bei jedem Zug verringert. - Berechne die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Reihenfolge (z. B. Ass zuerst, dann zwei andere Karten) und überlege, wie oft diese Wahrscheinlichkeit insgesamt auftritt.

1. Identifikation der möglichen Pfade für genau ein Ass bei drei Zügen: \(A\bar{A}\bar{A}\), \(\bar{A}A\bar{A}\) und \(\bar{A}\bar{A}A\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für einen Pfad, z. B. \(P(A\bar{A}\bar{A}) = \frac{4}{32} \cdot \frac{28}{31} \cdot \frac{27}{30}\). 3. Kürzen und Multiplizieren: \(\frac{1}{8} \cdot \frac{28}{31} \cdot \frac{9}{10} = \frac{7 \cdot 9}{2 \cdot 31 \cdot 10} = \frac{63}{620}\). 4. Da alle drei Pfade die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen, wird das Ergebnis mit \(3\) multipliziert: \(P(\text{genau ein Ass}) = 3 \cdot \frac{63}{620} = \frac{189}{620}\). 5. Dezimalwert gerundet: \(\approx 0{,}3048\) (entspricht \(30{,}48\,\%\)).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{189}{620} \approx 0{,}3048\) (oder \(30{,}48\,\%\)).

- Stell dir vor, die Lose würden nacheinander gezogen. Macht es für die Wahrscheinlichkeit einen Unterschied, ob man sie gleichzeitig oder nacheinander ohne Zurücklegen zieht? - Wie viele Nieten befinden sich zu Beginn in der Trommel? - Wie verändern sich die Gewinnchancen für das zweite und dritte Los, wenn das erste bereits ein Gewinn (oder eine Niete) war? - Kannst du die Wahrscheinlichkeit als Produkt von drei Brüchen darstellen?

1. Bestimmung der Anzahl der Nieten: \(15 - 6 = 9\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für drei Gewinnlose: Das gleichzeitige Ziehen entspricht dem Ziehen ohne Zurücklegen. Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich als \(P(\text{3 Gewinne}) = \frac{6}{15} \cdot \frac{5}{14} \cdot \frac{4}{13} = \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{14} \cdot \frac{4}{13} = \frac{4}{91} \approx 0{,}0440\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für drei Nieten: \(P(\text{3 Nieten}) = \frac{9}{15} \cdot \frac{8}{14} \cdot \frac{7}{13} = \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{7}{13} = \frac{12}{65} \approx 0{,}1846\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{4}{91}\) (ca. \(4{,}4\,\%\)). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{12}{65}\) (ca. \(18{,}5\,\%\)).

- Überlege dir zuerst, wie viele verschiedene Gruppen von 4 Personen man insgesamt aus den 12 Personen bilden kann. - Spielt die Reihenfolge, in der die Personen gezogen werden, für die Zusammensetzung der Gruppe eine Rolle? - Wie viele dieser möglichen Gruppen entsprechen genau der gesuchten Kombination aus Anna, Ben, Clara und David? - Setze die Anzahl der günstigen Möglichkeiten ins Verhältnis zur Gesamtzahl aller Möglichkeiten.

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Möglichkeiten, 4 Personen aus einer Gruppe von 12 ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auszuwählen: \(\binom{12}{4} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 495\). 2. Bestimmung der Anzahl der günstigen Ergebnisse: Da eine ganz bestimmte Gruppe von 4 Personen gesucht ist, gibt es genau \(1\) günstiges Ergebnis. 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P\) als Quotient aus günstigen und möglichen Ergebnissen: \(P = \frac{1}{495}\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{495}\) (ca. \(0{,}2\,\%\)).

- Überlege dir zuerst, wie viele Möglichkeiten es insgesamt gibt, eine bestimmte Anzahl an Objekten aus einer Menge zu wählen. - Spielt die Reihenfolge, in der Max die Lose kauft, für das Ergebnis eine Rolle? - Wie viele Lose in der Trommel erfüllen jeweils die Bedingung, die in der Aufgabe genannt wird? - Wenn ein bestimmtes Los bereits fest in deiner Auswahl eingeplant ist, wie viele Lose musst du dann noch aus den restlichen Losen auswählen?

1. Berechnung der Gesamtzahl der Möglichkeiten, \(5\) Lose aus \(30\) zu ziehen: \(\binom{30}{5} = 142\,506\). 2. Für Teilaufgabe a): Es gibt nur eine günstige Möglichkeit, alle \(5\) Gewinnlose zu ziehen: \(\binom{5}{5} = 1\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(A) = \frac{1}{142506} \approx 0{,}000007\). 3. Für Teilaufgabe b): Anzahl der Möglichkeiten, \(5\) Nieten aus den \(25\) Nicht-Gewinnlosen zu ziehen: \(\binom{25}{5} = 53\,130\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(B) = \frac{53130}{142506} = \frac{8855}{23751} \approx 0{,}3728\). 4. Für Teilaufgabe c): Wenn ein bestimmtes Los feststeht, müssen die restlichen \(4\) Plätze aus den verbleibenden \(29\) Losen besetzt werden: \(\binom{29}{4} = 23\,751\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(C) = \frac{23751}{142506} = \frac{1}{6} \approx 0{,}1667\).

a) \(P \approx 0{,}000007\) (oder \(\frac{1}{142506}\)) b) \(P \approx 0{,}3728\) (oder \(\frac{8855}{23751}\)) c) \(P \approx 0{,}1667\) (oder \(\frac{1}{6}\))

- Überlege dir, wie viele Kugeln nach dem ersten Zug noch in der Urne sind. - Welche Farbkombinationen erfüllen die Bedingung für unterschiedliche Farben? - Ist es bei „mindestens eine“ einfacher, alle passenden Möglichkeiten zu addieren oder das Gegenteil von 1 abzuziehen? - Erstelle ein Baumdiagramm, um die Pfade und ihre Wahrscheinlichkeiten zu visualisieren.

1. Die Gesamtzahl der Kugeln beträgt \(4 + 6 = 10\). Da ohne Zurücklegen gezogen wird, verringert sich die Anzahl der Kugeln im zweiten Zug auf 9. 2. Für unterschiedliche Farben gibt es die Pfade Gelb-Blau (\(gb\)) und Blau-Gelb (\(bg\)). Die Einzelwahrscheinlichkeiten sind \(P(gb) = \frac{4}{10} \cdot \frac{6}{9} = \frac{24}{90} = \frac{4}{15}\) und \(P(bg) = \frac{6}{10} \cdot \frac{4}{9} = \frac{24}{90} = \frac{4}{15}\). Die Summe ergibt \(P(\text{unterschiedlich}) = \frac{8}{15}\). 3. Das Ereignis „mindestens eine gelbe Kugel“ lässt sich über das Gegenereignis „keine gelbe Kugel“ (beide Kugeln blau, \(bb\)) berechnen. 4. Die Wahrscheinlichkeit für zwei blaue Kugeln ist \(P(bb) = \frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3}\). 5. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist \(1 - P(bb) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\).

a) \(P(\text{unterschiedlich}) = \frac{8}{15}\) b) \(P(\text{mindestens eine gelb}) = \frac{2}{3}\)

- Stelle dir die Drehungen als eine Folge von Plätzen vor, die nacheinander besetzt werden. - Überlege in Teilaufgabe b), wie viele Optionen du beim ersten, zweiten und dritten Dreh noch hast, wenn bereits Zahlen „verbraucht“ sind. - Was ändert sich an der Anzahl der Möglichkeiten, wenn die Reihenfolge der Zahlen plötzlich egal ist? - Erinnerst du dich an ein mathematisches Symbol, mit dem man die Auswahl von Teilmengen berechnet?

1. Anzahl der möglichen Ergebnisse pro Drehung: \(n = 20\). Anzahl der Drehungen: \(k = 3\). 2. Gesamtzahl der Folgen mit Wiederholung (geordnete Stichprobe mit Zurücklegen): \(20^3 = 8000\). 3. Anzahl der Folgen ohne Wiederholung (geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen): \(20 \cdot 19 \cdot 18 = 6840\). 4. Anzahl der ungeordneten Dreiergruppen ohne Wiederholung (Kombination ohne Zurücklegen): \(\binom{20}{3} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 1140\).

a) Es sind \(8000\) verschiedene Zahlenfolgen möglich. b) In \(6840\) Fällen tritt keine Zahl doppelt auf. c) Es können \(1140\) verschiedene Dreiergruppen entstehen.

- Unterscheide genau, ob die Personen in der Gruppe verschiedene „Posten“ haben oder alle gleichberechtigt sind. - Frage dich, ob eine Person in derselben Liste mehrfach auftauchen kann. - Wie viele Entscheidungen müssen nacheinander getroffen werden und wie viele Optionen gibt es jeweils?

1. Da die Rollen (Leiter, Protokollant, Präsentator) unterscheidbar sind und Personen nicht mehrfach gewählt werden können, handelt es sich um eine Variation ohne Zurücklegen: \(25 \cdot 24 \cdot 23 = 13\,800\). 2. Da die Gruppe der vier Vertreter nicht nach Rollen sortiert ist, nutzt man den Binomialkoeffizienten (Kombination ohne Zurücklegen): \(\binom{25}{4} = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 12\,650\). 3. Da die Namen nacheinander gezogen werden und Wiederholungen möglich sind, handelt es sich um eine Variation mit Zurücklegen: \(25^4 = 390\,625\).

a) \(13\,800\) Möglichkeiten b) \(12\,650\) Möglichkeiten c) \(390\,625\) Möglichkeiten

- Unterscheide genau, ob Objekte nach der Auswahl wieder zur Verfügung stehen oder nicht. - Wenn die Objekte im Ergebnis unterscheidbare Rollen oder Positionen haben, ist die Reihenfolge wichtig. - Bei der Lotterie ist es egal, welche Kugel als erste oder letzte aus der Trommel rollt. - Welche mathematische Operation (Potenz, Fakultät oder Binomialkoeffizient) passt zu welcher Bedingung?

1. Teilaufgabe a: Es handelt sich um ein Urnenmodell mit \(n = 2\) Kugeln (\(\{0,1\}\)) und \(k = 6\) Ziehungen mit Zurücklegen unter Berücksichtigung der Reihenfolge. Die Anzahl der Möglichkeiten beträgt \(2^6 = 64\). 2. Teilaufgabe b: Dies entspricht einem Urnenmodell mit \(n = 5\) Kugeln und \(k = 3\) Ziehungen ohne Zurücklegen unter Berücksichtigung der Reihenfolge. Die Anzahl der Möglichkeiten beträgt \(5 \cdot 4 \cdot 3 = 60\). 3. Teilaufgabe c: Dies ist ein Urnenmodell mit \(n = 25\) Kugeln und \(k = 5\) Ziehungen ohne Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Die Anzahl der Möglichkeiten wird durch den Binomialkoeffizienten berechnet: \(\binom{25}{5} = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 53\,130\).

a) Urnenmodell: \(n = 2, k = 6\), mit Zurücklegen, mit Reihenfolge; Möglichkeiten: \(64\) b) Urnenmodell: \(n = 5, k = 3\), ohne Zurücklegen, mit Reihenfolge; Möglichkeiten: \(60\) c) Urnenmodell: \(n = 25, k = 5\), ohne Zurücklegen, ohne Reihenfolge; Möglichkeiten: \(53\,130\)

- Überlege bei Teilaufgabe a), wie viele Optionen du für jede Stelle hast, wenn eine bereits genutzte Ziffer nicht mehr verfügbar ist. - Bei Teilaufgabe b) ist nur wichtig, dass eine Ziffer nicht dieselbe ist wie ihr direkter Vorgänger. Die Ziffer davor spielt keine Rolle mehr. - Wie viele Paare von unterschiedlichen Ziffern kannst du aus den sechs verfügbaren bilden? - Wenn du zwei Ziffern festlegst, wie viele Möglichkeiten gibt es dann noch, sie abwechselnd in vier Feldern anzuordnen?

1. Für einen Code ohne Ziffernwiederholung gibt es für die erste Stelle \(6\), für die zweite \(5\), für die dritte \(4\) und für die vierte \(3\) Möglichkeiten: \(6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360\). 2. Für einen zulässigen Code (keine zwei benachbarten Ziffern gleich) gibt es für die erste Stelle \(6\) Möglichkeiten. Für jede folgende Stelle gibt es jeweils \(5\) Möglichkeiten (alle außer der direkt vorangegangenen Ziffer): \(6 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 6 \cdot 5^3 = 750\). 3. Ein zulässiger Code aus genau zwei abwechselnden Ziffern wird bestimmt, indem zuerst \(2\) aus \(6\) Ziffern ausgewählt werden (\(\binom{6}{2} = 15\) Möglichkeiten). Für jedes Paar \(\{a, b\}\) gibt es genau zwei solche Codes (\(abab\) und \(baba\)), also insgesamt \(15 \cdot 2 = 30\) Codes. 4. Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich als Quotient aus der Anzahl der günstigen und der Anzahl der möglichen zulässigen Ergebnisse: \(P = \frac{30}{750} = \frac{1}{25} = 0{,}04\).

a) \(360\) b) \(750\) c) \(0{,}04\) (oder \(4\,\%\))

- Überlege dir, wie viele Möglichkeiten du für das erste Quadrat hast und wie viele für die folgenden. - Macht es einen Unterschied für die Anzahl der Möglichkeiten, ob du eine bereits verwendete Farbe noch einmal wählen darfst oder nicht? - Bei der Frage nach „mindestens einem“ Ereignis hilft oft der Blick auf das Gegenteil. - Wie hängen die Gesamtzahl der Möglichkeiten und die günstigen Möglichkeiten mit der Wahrscheinlichkeit zusammen?

1. Berechnung der Gesamtzahl der Farbmuster bei Auswahl mit Zurücklegen unter Beachtung der Reihenfolge: \(12^5 = 248\,832\). 2. Berechnung der Muster ohne Farbwiederholung (Variationen ohne Zurücklegen): \(12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 = 95\,040\). 3. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für das Komplementärereignis „keine Farbe doppelt“: \(P(\text{alle verschieden}) = \frac{95040}{248832} \approx 0{,}3819\). 4. Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis: \(P(\text{mind. eine doppelt}) = 1 - \frac{95040}{248832} = \frac{153792}{248832} \approx 0{,}6181\).

a) Es gibt \(248\,832\) mögliche Farbmuster. b) Es gibt \(95\,040\) Muster mit lauter unterschiedlichen Farben. c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(0{,}6181\) (oder \(61{,}81\,\%\)).

- Überlege dir zuerst, wie viele verschiedene Gruppen insgesamt gebildet werden können. - Spielt die Reihenfolge, in der die Personen gezogen werden, für die Zusammensetzung der Gruppe eine Rolle? - Wie viele Möglichkeiten gibt es, eine Gruppe nur aus denjenigen Personen zu bilden, die nicht zu der speziellen Auswahl gehören? - Ein Urnenmodell hilft dir, den Zufallsprozess durch Kugeln und Ziehen zu veranschaulichen.

1. Berechnung der Gesamtzahl der Möglichkeiten, \(4\) Personen aus \(22\) ohne Beachtung der Reihenfolge auszuwählen: \(\binom{22}{4} = 7315\). 2. Für Teilaufgabe a) gibt es genau eine günstige Kombination, da die Gruppe der vier Mitglieder des Mannschaftsrats eindeutig festgelegt ist. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(A) = \frac{1}{7315} \approx 0{,}000137\). 3. Für Teilaufgabe b) müssen die \(4\) Personen aus den restlichen \(18\) Spielern ausgewählt werden, die nicht zum Mannschaftsrat gehören. Die Anzahl der günstigen Möglichkeiten ist \(\binom{18}{4} = 3060\). 4. Die Wahrscheinlichkeit für b) berechnet sich zu \(P(B) = \frac{3060}{7315} = \frac{612}{1463} \approx 0{,}4183\). 5. Ein geeignetes Urnenmodell ist das Ziehen von \(4\) Kugeln aus einer Urne mit \(22\) Kugeln (davon \(4\) markiert für den Mannschaftsrat) in einem Zug bzw. ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge.

a) \(P \approx 0{,}000137\) (oder \(\frac{1}{7315}\)) b) \(P \approx 0{,}4183\) (oder \(\frac{612}{1463}\)) Urnenmodell: Ziehen von \(4\) Kugeln aus \(22\) ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge.

- Was bedeutet „gleichzeitig entnehmen“ für die mathematische Modellierung (mit oder ohne Zurücklegen)? - Teile die Pralinen in zwei Gruppen auf: solche mit Nuss und solche ohne Nuss. - Wie viele Möglichkeiten gibt es, die gewünschte Anzahl aus jeder dieser beiden Gruppen zu kombinieren? - Stell dir vor, die Pralinen wären nummerierte Kugeln in einer Urne.

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Möglichkeiten, \(4\) Pralinen aus \(15\) zu ziehen: \(\binom{15}{4} = 1365\). 2. In Teilaufgabe a) sollen \(4\) der \(5\) Nusspralinen und somit \(0\) der \(10\) übrigen Pralinen gezogen werden. Anzahl der günstigen Möglichkeiten: \(\binom{5}{4} \cdot \binom{10}{0} = 5 \cdot 1 = 5\). 3. Wahrscheinlichkeit für a): \(P(A) = \frac{5}{1365} = \frac{1}{273} \approx 0{,}00366\). 4. In Teilaufgabe b) sollen \(0\) Nusspralinen und somit \(4\) der \(10\) nussfreien Pralinen gezogen werden. Anzahl der günstigen Möglichkeiten: \(\binom{10}{4} = 210\). 5. Wahrscheinlichkeit für b): \(P(B) = \frac{210}{1365} = \frac{14}{91} = \frac{2}{13} \approx 0{,}1538\). 6. Urnenmodell: Eine Urne enthält \(15\) Kugeln (\(5\) schwarz für Nuss, \(10\) weiß für nussfrei). Es werden \(4\) Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.

a) \(P \approx 0{,}00366\) (oder \(\frac{1}{273}\)) b) \(P \approx 0{,}1538\) (oder \(\frac{2}{13}\)) Urnenmodell: Ziehen von \(4\) Kugeln aus \(15\) (davon \(5\) markiert) ohne Zurücklegen.

- Überlege zuerst, ob die Auswahl mit oder ohne Zurücklegen erfolgt. - Welche Rolle spielt die Reihenfolge bei der Bildung eines Ausschusses? - Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt, eine Gruppe dieser Größe aus der Gesamtmenge zu bilden? - Kombiniere die Möglichkeiten für die gewünschte Teilgruppe mit denen für den Rest der Auswahl.

1. Identifikation des Modells: Ziehen ohne Zurücklegen (hypergeometrische Verteilung). 2. Festlegen der Parameter: Gesamtzahl der Mitglieder \(N = 25\), Anzahl der Jugendlichen \(M = 10\), Stichprobenumfang \(n = 5\), gewünschte Anzahl Jugendlicher \(k = 3\). 3. Berechnung der Anzahl der Möglichkeiten, \(3\) Jugendliche aus \(10\) auszuwählen: \(\binom{10}{3} = 120\). 4. Berechnung der Anzahl der Möglichkeiten, \(2\) Erwachsene aus \(15\) auszuwählen: \(\binom{15}{2} = 105\). 5. Berechnung der Gesamtzahl der Möglichkeiten, \(5\) Personen aus \(25\) auszuwählen: \(\binom{25}{5} = 53\,130\). 6. Berechnung der Wahrscheinlichkeit: \(P(X=3) = \frac{120 \cdot 105}{53130} = \frac{12600}{53130} \approx 0{,}2372\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(23{,}72\,\%\) (exakt \(\frac{420}{1771}\)).

- Überlege dir, wie viele Möglichkeiten es insgesamt gibt, eine Stichprobe dieser Größe aus der Gesamtmenge zu ziehen. - Wie viele der Sticks sind defekt und wie viele sind einwandfrei? - Für eine bestimmte Anzahl defekter Sticks in der Probe musst du auch die restlichen Plätze mit einwandfreien Sticks auffüllen. - Das Wort „höchstens“ bedeutet, dass du mehrere Fälle addieren musst. - Bei „mindestens eins“ ist es oft einfacher, über das Gegenteil nachzudenken.

1. Berechnung der Gesamtzahl der Möglichkeiten, \(5\) aus \(40\) Sticks auszuwählen: \(\binom{40}{5} = 658\,008\). 2. Für Teilaufgabe a): Anzahl der günstigen Möglichkeiten für genau \(2\) defekte und \(3\) intakte Sticks bestimmen: \(\binom{6}{2} \cdot \binom{34}{3} = 15 \cdot 5984 = 89\,760\). Wahrscheinlichkeit berechnen: \(P(X=2) = \frac{89760}{658008} \approx 0{,}1364\). 3. Für Teilaufgabe b): Günstige Fälle für \(0\) oder \(1\) defekten Stick summieren: \(\binom{6}{0} \cdot \binom{34}{5} + \binom{6}{1} \cdot \binom{34}{4} = 1 \cdot 278\,256 + 6 \cdot 46\,376 = 556\,512\). Wahrscheinlichkeit berechnen: \(P(X \le 1) = \frac{556512}{658008} \approx 0{,}8458\). 4. Für Teilaufgabe c): Gegenwahrscheinlichkeit zu „kein Stick defekt“ nutzen: \(P(X \ge 1) = 1 - P(X=0) = 1 - \frac{278256}{658008} \approx 0{,}5771\).

a) \(P \approx 0{,}1364\) (ca. \(13{,}64\,\%\)) b) \(P \approx 0{,}8458\) (ca. \(84{,}58\,\%\)) c) \(P \approx 0{,}5771\) (ca. \(57{,}71\,\%\))

- Handelt es sich hier um Ziehen mit oder ohne Zurücklegen? - Wie viele Personen sprechen kein Spanisch? - Was bedeutet „Mehrheit“ bei einer Gruppengröße von \(6\)? Welche Anzahlen von spanischsprechenden Personen kommen dafür infrage? - Nutze den Binomialkoeffizienten, um die Anzahl der Auswahlmöglichkeiten für jede Teilgruppe zu bestimmen.

1. Berechnung der Gesamtzahl der Kombinationen für die Gruppenbildung: \(\binom{24}{6} = 134\,596\). 2. Für Teilaufgabe a): Berechnung der günstigen Fälle für \(3\) Spanischsprechende und \(3\) Nicht-Spanischsprechende: \(\binom{10}{3} \cdot \binom{14}{3} = 120 \cdot 364 = 43\,680\). Wahrscheinlichkeit: \(P(X=3) = \frac{43680}{134596} \approx 0{,}3245\). 3. Für Teilaufgabe b): Günstige Fälle für \(0\) Spanischsprechende und \(6\) Nicht-Spanischsprechende: \(\binom{10}{0} \cdot \binom{14}{6} = 1 \cdot 3003 = 3003\). Wahrscheinlichkeit: \(P(X=0) = \frac{3003}{134596} \approx 0{,}0223\). 4. Für Teilaufgabe c): Summation der günstigen Fälle für \(4\), \(5\) und \(6\) Spanischsprechende: \(\binom{10}{4} \cdot \binom{14}{2} + \binom{10}{5} \cdot \binom{14}{1} + \binom{10}{6} \cdot \binom{14}{0} = 19\,110 + 3528 + 210 = 22\,848\). Wahrscheinlichkeit: \(P(X > 3) = \frac{22848}{134596} \approx 0{,}1698\).

a) \(P \approx 0{,}3245\) (ca. \(32{,}45\,\%\)) b) \(P \approx 0{,}0223\) (ca. \(2{,}23\,\%\)) c) \(P \approx 0{,}1698\) (ca. \(16{,}98\,\%\))

- Überlege dir zuerst, wie viele Personen insgesamt zur Auswahl stehen und wie viele ausgewählt werden sollen. - Spielt die Reihenfolge, in der die Teammitglieder ausgewählt werden, eine Rolle? - Erinnere dich an das Grundprinzip der Wahrscheinlichkeitsrechnung: Anzahl der günstigen Ergebnisse geteilt durch Anzahl der möglichen Ergebnisse. - Was bedeutet das Pluszeichen zwischen zwei Kombinationsmöglichkeiten im Gegensatz zu einem Malzeichen?

1. Berechnung der Teilmöglichkeiten: Die Anzahl der Wege, 4 Studierende aus 15 auszuwählen, ist \(\binom{15}{4} = 1365\). Die Anzahl der Wege, 2 Berufstätige aus 10 auszuwählen, ist \(\binom{10}{2} = 45\). 2. Gesamtzahl der Möglichkeiten für a): Nach dem Zählprinzip ergibt sich \(1365 \cdot 45 = 61\,425\). 3. Gesamtzahl aller möglichen Teams: \(\binom{25}{6} = 177\,100\). 4. Wahrscheinlichkeit für b): \(P(X=4) = \frac{61425}{177100} \approx 0{,}3468\). 5. Interpretation für c): \(\binom{15}{6}\) ist die Anzahl der Möglichkeiten, ein Team nur aus Studierenden zu bilden; \(\binom{10}{6}\) ist die Anzahl der Möglichkeiten für ein Team nur aus Berufstätigen. Die Summe gibt somit die Anzahl der Möglichkeiten an, ein „homogenes“ Team zu bilden, das entweder nur aus Studierenden oder nur aus Berufstätigen besteht.

a) Es gibt \(61\,425\) Möglichkeiten. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(34{,}68\,\%\). c) Der Ausdruck gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, ein Team zu bilden, das entweder ausschließlich aus Studierenden oder ausschließlich aus Berufstätigen besteht.

- Überlege dir, ob es für das Ergebnis einen Unterschied macht, in welcher Reihenfolge die Personen gezogen werden. - Kann eine Person mehr als einen Preis gewinnen? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir, eine Auswahl von \(k\) Elementen aus \(n\) Elementen zu berechnen, wenn die Reihenfolge egal ist? - Wie ändert sich die Rechnung, wenn jedem gezogenen Element ein spezifischer Platz oder Preis zugeordnet wird?

1. Für Modell (1) spielt die Reihenfolge der Auswahl keine Rolle, da die Preise identisch sind. Die Anzahl der Möglichkeiten entspricht der Kombination ohne Zurücklegen: \(\binom{20}{4} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 4845\). 2. Für Modell (2) ist die Reihenfolge entscheidend, da die Preise unterschiedlich sind (Variation ohne Zurücklegen). Die Anzahl der Möglichkeiten beträgt: \(20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 = 116\,280\). 3. Die Gewinnwahrscheinlichkeit für Modell (1) berechnet sich als Kehrwert der Möglichkeiten: \(P_1 = \frac{1}{4845} \approx 0{,}000206\). 4. Die Gewinnwahrscheinlichkeit für Modell (2) berechnet sich analog: \(P_2 = \frac{1}{116280} \approx 0{,}0000086\).

a) (1) \(4845\) Möglichkeiten; (2) \(116\,280\) Möglichkeiten. b) (1) \(P \approx 0{,}000206\) (oder \(0{,}021\,\%\)); (2) \(P \approx 0{,}0000086\) (oder \(0{,}00086\,\%\)).

- Überlege dir zuerst, wie viele Möglichkeiten es insgesamt gibt, eine Gruppe dieser Größe aus der Gesamtmenge zu bilden. - Spielt die Reihenfolge, in der die Personen ausgewählt werden, eine Rolle für das Ergebnis der Gruppe? - Wenn bestimmte Personen fest in der Auswahl sein sollen, wie viele Plätze in der Gruppe sind dann noch frei und aus wie vielen Personen kann man diese noch wählen? - Welches Standardmodell aus der Stochastik passt auf Situationen, in denen man eine Stichprobe ohne Zurücklegen entnimmt?

1. Berechnung der Gesamtzahl der Möglichkeiten, \(6\) Personen aus \(18\) auszuwählen: \(\binom{18}{6} = 18\,564\). 2. Zu a): Anzahl der Möglichkeiten für nur Mädchen: \(\binom{10}{6} = 210\). Wahrscheinlichkeit \(P(A) = \frac{210}{18564} \approx 0{,}0113\). 3. Zu b): Anzahl der Möglichkeiten für \(3\) Mädchen und \(3\) Jungen: \(\binom{10}{3} \cdot \binom{8}{3} = 120 \cdot 56 = 6720\). Wahrscheinlichkeit \(P(B) = \frac{6720}{18564} \approx 0{,}3620\). 4. Zu c): Da zwei Personen feststehen, müssen noch \(4\) weitere aus den restlichen \(16\) Personen ausgewählt werden: \(\binom{16}{4} = 1820\). Wahrscheinlichkeit \(P(C) = \frac{1820}{18564} \approx 0{,}0980\). 5. Zu d): Urnenmodell: In einer Urne befinden sich \(18\) Kugeln (\(10\) einer Farbe, \(8\) einer anderen). Es werden \(6\) Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge gezogen.

a) \(P \approx 1{,}13\,\%\) b) \(P \approx 36{,}20\,\%\) c) \(P \approx 9{,}80\,\%\) d) Ziehen von \(6\) Kugeln aus \(18\) ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge.

- Wie viele Personen müssen noch ausgewählt werden, wenn zwei bereits feststehen? - Überlege, wie man die Anzahl der Möglichkeiten berechnet, zwei Gruppen unabhängig voneinander zu kombinieren. - Was bedeutet es für die Zusammensetzung des Teams, wenn man von allen Möglichkeiten diejenigen abzieht, bei denen nur Jungen ausgewählt werden? - Erinnere dich an das Prinzip des Gegenereignisses.

1. Für Ereignis \(A\) müssen Sophie und Leon fest im Team sein. Aus den verbleibenden \(16\) Personen werden die restlichen \(2\) Teammitglieder ausgewählt. Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist \(\binom{16}{2}\). Die Gesamtzahl der Möglichkeiten, \(4\) Personen aus \(18\) zu wählen, beträgt \(\binom{18}{4}\). Der Term lautet: \(P(A) = \frac{\binom{16}{2}}{\binom{18}{4}}\). 2. Für Ereignis \(B\) werden \(2\) Mädchen aus \(10\) und \(2\) Jungen aus \(8\) ausgewählt. Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist das Produkt \(\binom{10}{2} \cdot \binom{8}{2}\). Der Term lautet: \(P(B) = \frac{\binom{10}{2} \cdot \binom{8}{2}}{\binom{18}{4}}\). 3. Im Term für Aufgabenteil b) steht \(\binom{18}{4}\) für die Gesamtzahl der Möglichkeiten. Der Subtrahend \(\binom{8}{4}\) gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, ein Team ausschließlich aus Jungen zusammenzustellen. Die Differenz im Zähler entspricht somit der Anzahl der Teams mit mindestens einem Mädchen. Das Ereignis lautet: „Dem Team gehört mindestens ein Mädchen an.“

a) \(P(A) = \frac{\binom{16}{2}}{\binom{18}{4}}\); \(P(B) = \frac{\binom{10}{2} \cdot \binom{8}{2}}{\binom{18}{4}}\) b) „Es befindet sich mindestens ein Mädchen im Team.“

- Überlege dir, ob es bei der Auswahl der Personen auf die Reihenfolge ankommt oder nicht. - Unterscheiden sich die Aufgaben der ausgewählten Personen oder sind sie gleichberechtigt? - Welches Modell beschreibt das Ziehen aus einer begrenzten Menge ohne Zurücklegen, wenn die Trefferanzahl gesucht ist? - Achte darauf, wie viele Personen insgesamt zur Verfügung stehen und wie viele davon die gesuchte Eigenschaft besitzen.

1. Für Teilaufgabe a) muss eine Situation beschrieben werden, in der die Reihenfolge der Auswahl entscheidend ist (Variation ohne Zurücklegen), da vier verschiedene Ämter aus 25 Personen besetzt werden: „Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Ämter Vorsitz, Protokoll, Kasse und Moderation unter den 25 Jugendlichen zu verteilen?“ 2. Für Teilaufgabe b) ist die Reihenfolge der Auswahl unerheblich (Kombination ohne Zurücklegen), da lediglich eine Gruppe gebildet wird: „Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, eine sechsköpfige Gruppe aus den 25 Jugendlichen für den Ausflug zu bilden?“ 3. In Teilaufgabe c) liegt ein Ziehen ohne Zurücklegen vor (hypergeometrische Verteilung). Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich zu \(P(X = 3) = \frac{\binom{15}{3} \cdot \binom{10}{2}}{\binom{25}{5}}\). 4. Berechnung der Binomialkoeffizienten: \(\binom{15}{3} = 455\), \(\binom{10}{2} = 45\), \(\binom{25}{5} = 53\,130\). 5. Einsetzen und Ausrechnen: \(P(X = 3) = \frac{455 \cdot 45}{53130} = \frac{20475}{53130} \approx 0{,}3854\).

a) Mögliche Aufgabenstellung: „Wie viele Möglichkeiten gibt es, die vier unterschiedlichen Ämter (Vorsitz, Protokoll, Kasse, Moderation) unter den 25 Jugendlichen zu verteilen?“ b) Mögliche Aufgabenstellung: „Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, eine Gruppe von sechs Jugendlichen aus den 25 Teilnehmern für den Ausflug auszuwählen?“ c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(38{,}5\,\%\).

- Überlege dir zuerst, wie viele Kugeln insgesamt im Behälter sind und wie viele davon gezogen werden. - Handelt es sich um ein Ziehen mit oder ohne Berücksichtigung der Reihenfolge? - Welches Modell (Lotto-Modell/hypergeometrische Verteilung) passt hier? - Bei „mindestens“ hilft es oft, die einzelnen möglichen Fälle zu addieren. - Achte darauf, dass die Summe der „ausgewählten“ Kugeln in den Binomialkoeffizienten im Zähler immer der Gesamtzahl der gezogenen Kugeln entspricht.

1. Berechnung der Gesamtzahl der Möglichkeiten, 4 Kugeln aus 30 zu ziehen: \(\binom{30}{4} = 27\,405\). 2. Für \(E_1\): Auswahl von 2 aus 15 roten, 1 aus 10 grünen und 1 aus 5 blauen Kugeln. Anzahl der günstigen Ergebnisse: \(\binom{15}{2} \cdot \binom{10}{1} \cdot \binom{5}{1} = 105 \cdot 10 \cdot 5 = 5250\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(E_1) = \frac{5250}{27405} \approx 0{,}1916\). 3. Für \(E_2\): Alle 4 Kugeln müssen aus den 15 nicht-roten Kugeln (10 grüne + 5 blaue) gezogen werden. Anzahl der günstigen Ergebnisse: \(\binom{15}{4} = 1365\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(E_2) = \frac{1365}{27405} \approx 0{,}0498\). 4. Für \(E_3\): Das Ereignis umfasst „genau 3 blaue“ und „genau 4 blaue“ Kugeln. Anzahl der günstigen Ergebnisse: \(\binom{5}{3} \cdot \binom{25}{1} + \binom{5}{4} \cdot \binom{25}{0} = 10 \cdot 25 + 5 \cdot 1 = 255\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(E_3) = \frac{255}{27405} \approx 0{,}0093\).

\(E_1\): \(P(E_1) = \frac{5250}{27405} \approx 19{,}2\,\%\) \(E_2\): \(P(E_2) = \frac{1365}{27405} \approx 5{,}0\,\%\) \(E_3\): \(P(E_3) = \frac{255}{27405} \approx 0{,}9\,\%\)

- Überlege dir zuerst, wie viele Möglichkeiten es insgesamt für einen Code der Länge \(n\) gibt, wenn jede Stelle \(n\) Optionen hat. - Wie viele dieser Möglichkeiten bestehen aus lauter unterschiedlichen Ziffern? - Erstelle einen Term für die Wahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von \(n\). - Setze nacheinander kleine natürliche Zahlen für \(n\) ein und berechne die zugehörige Wahrscheinlichkeit.

1. Es gibt insgesamt \(n^n\) mögliche Codes der Länge \(n\), bei denen jede Stelle einen von \(n\) Werten annehmen kann. 2. Die Anzahl der Codes, bei denen alle \(n\) Ziffern verschieden sind, entspricht der Anzahl der Permutationen von \(n\) Elementen, also \(n!\). 3. Die Wahrscheinlichkeit für lauter verschiedene Ziffern ist somit \(P(A) = \frac{n!}{n^n}\). 4. Durch systematisches Probieren werden die Werte für \(n\) untersucht: - Für \(n = 2\): \(P = \frac{2!}{2^2} = \frac{2}{4} = 0{,}5 = 50\,\%\) - Für \(n = 3\): \(P = \frac{3!}{3^3} = \frac{6}{27} \approx 0{,}222 = 22{,}2\,\%\) - Für \(n = 4\): \(P = \frac{4!}{4^4} = \frac{24}{256} = 0{,}09375 = 9{,}375\,\%\) 5. Da \(9{,}375\,\% < 10\,\%\), ist der kleinstmögliche Wert \(n = 4\).

\(n = 4\)

- Betrachte das Gegenereignis: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle Personen in unterschiedlichen Monaten Geburtstag haben? - Wie viele Möglichkeiten gibt es für die erste, zweite, dritte Person usw., wenn kein Monat doppelt vorkommen darf? - Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt bei 12 Monaten für \(k\) Personen? - Teste schrittweise verschiedene Werte für die Anzahl der Personen \(k\).

1. Das Gegenereignis ist, dass alle \(k\) Jugendlichen in verschiedenen Monaten Geburtstag haben. 2. Die Wahrscheinlichkeit für dieses Gegenereignis bei \(k\) Personen und 12 Monaten beträgt \(P(\text{verschieden}) = \frac{12}{12} \cdot \frac{11}{12} \cdot \dots \cdot \frac{12-k+1}{12}\). 3. Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(1 - P(\text{verschieden}) > 0{,}6\) gilt, also \(P(\text{verschieden}) < 0{,}4\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten durch schrittweises Multiplizieren: - \(k=1\): \(1\) - \(k=2\): \(1 \cdot \frac{11}{12} \approx 0{,}917\) - \(k=3\): \(0{,}917 \cdot \frac{10}{12} \approx 0{,}764\) - \(k=4\): \(0{,}764 \cdot \frac{9}{12} \approx 0{,}573\) - \(k=5\): \(0{,}573 \cdot \frac{8}{12} \approx 0{,}382\) 5. Da \(0{,}382 < 0{,}4\) (bzw. \(1 - 0{,}382 = 0{,}618 > 0{,}6\)), ist die Bedingung erstmals für \(k=5\) erfüllt.

\(k = 5\)

- Überlege dir zuerst, wie viele Möglichkeiten es insgesamt gibt, 3 Pralinen aus der Menge auszuwählen. - Macht es einen Unterschied, ob du die Reihenfolge beachtest oder nicht? Wähle einen Ansatz und bleibe konsequent dabei. - Für den Fall „alle gleich“ musst du die Möglichkeiten für jede Sorte einzeln betrachten und addieren. - Bei „alle verschieden“ muss aus jeder der drei Kategorien genau eine Praline gewählt werden.

1. Berechnung der Gesamtzahl der Möglichkeiten, \(3\) Pralinen aus \(18\) zu ziehen: \(\binom{18}{3} = \frac{18 \cdot 17 \cdot 16}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 816\). Berechnung der günstigen Möglichkeiten für gleiche Füllungen: Marzipan: \(\binom{8}{3} = 56\); Nougat: \(\binom{6}{3} = 20\); Karamell: \(\binom{4}{3} = 4\). Summe der günstigen Möglichkeiten: \(56 + 20 + 4 = 80\). Wahrscheinlichkeit \(P(\text{gleich}) = \frac{80}{816} = \frac{10}{102} = \frac{5}{51} \approx 0{,}0980\). 2. Berechnung der günstigen Möglichkeiten für drei verschiedene Füllungen: Da aus jeder Sorte genau eine Praline gewählt werden muss, ergibt sich: \(8 \cdot 6 \cdot 4 = 192\). Wahrscheinlichkeit \(P(\text{verschieden}) = \frac{192}{816} = \frac{4}{17} \approx 0{,}2353\).

1. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{5}{51} \approx 9{,}8\,\%\). 2. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{4}{17} \approx 23{,}5\,\%\).

- Überlege dir zuerst, wie viele Möglichkeiten es insgesamt gibt, eine bestimmte Anzahl an Kugeln aus der Gesamtmenge zu ziehen. - Welches mathematische Modell beschreibt das Ziehen ohne Zurücklegen, wenn die Reihenfolge egal ist? - Teile die Menge der Kugeln gedanklich in „Treffer“ (deine Zahlen) und „Nieten“ (die restlichen Zahlen) auf. - Was bedeutet „mindestens“ für die Anzahl der Treffer? Welche Fälle musst du kombinieren?

1. Die Gesamtzahl der Möglichkeiten, \(4\) Zahlen aus \(25\) auszuwählen, berechnet sich über den Binomialkoeffizienten \(\binom{25}{4} = 12\,650\). Die Wahrscheinlichkeit für genau vier Richtige ist \(P(X=4) = \frac{\binom{4}{4} \cdot \binom{21}{0}}{12650} = \frac{1}{12650} \approx 0{,}000079\). 2. Die Wahrscheinlichkeit für genau zwei Richtige wird mit der hypergeometrischen Verteilung berechnet: \(P(X=2) = \frac{\binom{4}{2} \cdot \binom{21}{2}}{12650} = \frac{6 \cdot 210}{12650} = \frac{1260}{12650} \approx 0{,}0996\). 3. Für mindestens drei Richtige addiert man die Wahrscheinlichkeiten für genau drei und genau vier Richtige: \(P(X=3) = \frac{\binom{4}{3} \cdot \binom{21}{1}}{12650} = \frac{4 \cdot 21}{12650} = \frac{84}{12650}\). Somit gilt \(P(X \geq 3) = \frac{84 + 1}{12650} = \frac{85}{12650} \approx 0{,}00672\).

1. \(P(\text{4 Richtige}) = \frac{1}{12650} \approx 0{,}0079\,\%\) 2. \(P(\text{2 Richtige}) = \frac{1260}{12650} \approx 9{,}96\,\%\) 3. \(P(\text{mind. 3 Richtige}) = \frac{85}{12650} \approx 0{,}67\,\%\)

- Notiere dir für die Summe alle möglichen Zahlentripel und achte dabei auf die unterschiedlichen Reihenfolgen. - Bei einer streng monotonen Folge dürfen keine Zahlen doppelt vorkommen. - Wenn die größte Zahl einen bestimmten Wert nicht überschreiten darf, was bedeutet das für jede einzelne Ziehung? - Denke daran, dass das Ziehen mit Zurücklegen erfolgt – das beeinflusst die Anzahl der Möglichkeiten pro Zug.

1. Gesamtzahl der Ergebnisse: \(10^3 = 1000\). Günstige geordnete Zahlentripel für die Summe 5: \((1,1,3), (1,3,1), (3,1,1)\) und \((1,2,2), (2,1,2), (2,2,1)\). Das sind 6 Möglichkeiten. \(P(\text{Summe } 5) = \frac{6}{1000} = 0{,}006\). 2. Für eine streng monoton fallende Folge müssen 3 verschiedene Zahlen aus 10 gewählt werden. Es gibt \(\binom{10}{3} = 120\) Möglichkeiten, diese auszuwählen, und jeweils nur eine fallende Anordnung. \(P(\text{fallend}) = \frac{120}{1000} = 0{,}12\). 3. Wenn die größte Zahl höchstens 4 sein darf, muss jede der drei Ziehungen eine Zahl aus der Menge \(\{1, 2, 3, 4\}\) liefern. Dafür gibt es pro Ziehung 4 Möglichkeiten. Gesamtanzahl günstiger Fälle: \(4^3 = 64\). \(P(\text{größte gezogene Zahl} \le 4) = \frac{64}{1000} = 0{,}064\).

1. \(P = 0{,}006\) 2. \(P = 0{,}12\) 3. \(P = 0{,}064\)

- Überlege dir zuerst, wie viele Kugeln insgesamt in der Urne liegen und wie sich diese Anzahl nach dem ersten Zug verändert. - Zeichne ein Baumdiagramm, um dir die möglichen Pfade und deren Wahrscheinlichkeiten zu veranschaulichen. - Nutze die Pfadmultiplikationsregel (1. Pfadregel) für die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Pfades. - Nutze die Pfadadditionsregel (2. Pfadregel), wenn mehrere Pfade zum gewünschten Ereignis führen.

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Kugeln: In der Urne befinden sich insgesamt \(4 + 3 + 3 = 10\) Kugeln. Da ohne Zurücklegen gezogen wird, verringert sich die Anzahl der Kugeln für den zweiten Zug auf 9. 2. Berechnung für Aufgabenteil a): Das Ereignis „gleiche Farbe“ setzt sich aus den Pfaden GG (grün-grün), BB (blau-blau) und RR (rot-rot) zusammen. - \(P(\text{GG}) = \frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} = \frac{12}{90}\) - \(P(\text{BB}) = \frac{3}{10} \cdot \frac{2}{9} = \frac{6}{90}\) - \(P(\text{RR}) = \frac{3}{10} \cdot \frac{2}{9} = \frac{6}{90}\) - Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten: \(P(\text{gleiche Farbe}) = \frac{12}{90} + \frac{6}{90} + \frac{6}{90} = \frac{24}{90} = \frac{4}{15}\). 3. Berechnung für Aufgabenteil b): Das Ereignis „erst grün, dann rot“ entspricht dem Pfad GR. - Für die erste Kugel (grün) beträgt die Wahrscheinlichkeit \(\frac{4}{10}\). - Für die zweite Kugel (rot) verbleiben 3 rote Kugeln von insgesamt 9 verbleibenden Kugeln, also \(\frac{3}{9}\). - Die Wahrscheinlichkeit für diesen Pfad beträgt \(P(\text{GR}) = \frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}\).

a) \(\frac{4}{15}\) b) \(\frac{2}{15}\)

- Zeichne dir für beide Fälle (mit und ohne Zurücklegen) ein zweistufiges Baumdiagramm und beschrifte die Pfade mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten. - Beachte beim Ziehen ohne Zurücklegen, dass sich nach dem ersten Zug sowohl die Anzahl der Kugeln der gezogenen Farbe als auch die Gesamtzahl der Kugeln in der Urne um \(1\) verringert. - Das Ereignis „zwei gleichfarbige Kugeln“ setzt sich aus zwei Pfaden zusammen: „rot-rot“ und „blau-blau“. Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten entlang der Pfade und addiere die Ergebnisse. - Für den Aufgabenteil c) kann die Verwendung des Gegenereignisses „keine rote Kugel“ (also „blau-blau“) die Rechnung erheblich vereinfachen.

1. Zu Teilaufgabe a) (mit Zurücklegen): Bei jedem Zug bleibt die Anzahl der Kugeln in der Urne gleich (insgesamt \(10\) Kugeln: \(4\) rote, \(6\) blaue). Die Wahrscheinlichkeit für zwei gleichfarbige Kugeln (rot-rot oder blau-blau) berechnet sich mit den Pfadregeln: \(P(\text{gleichfarbig}) = P(\text{rr}) + P(\text{bb}) = \frac{4}{10} \cdot \frac{4}{10} + \frac{6}{10} \cdot \frac{6}{10} = \frac{16}{100} + \frac{36}{100} = \frac{52}{100} = 0{,}52 = 52\,\%\). 2. Zu Teilaufgabe b) (ohne Zurücklegen): Beim zweiten Zug verringert sich die Gesamtzahl der Kugeln auf \(9\), und die Anzahl der Kugeln der gezogenen Farbe verringert sich um \(1\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt: \(P(\text{gleichfarbig}) = P(\text{rr}) + P(\text{bb}) = \frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} + \frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9} = \frac{12}{90} + \frac{30}{90} = \frac{42}{90} = \frac{7}{15} \approx 46{,}7\,\%\). 3. Zu Teilaufgabe c) (Vergleich "mindestens eine rote Kugel"): Das Gegenereignis zu „mindestens eine rote Kugel“ ist „keine rote Kugel“ (also zwei blaue Kugeln). - Mit Zurücklegen: \(P(\text{mindestens eine rot}) = 1 - P(\text{bb}) = 1 - \frac{36}{100} = \frac{64}{100} = 0{,}64 = 64\,\%\). - Ohne Zurücklegen: \(P(\text{mindestens eine rot}) = 1 - P(\text{bb}) = 1 - \frac{30}{90} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \approx 66{,}7\,\%\). Da \(\frac{2}{3} > 0{,}64\) (bzw. \(66{,}7\,\% > 64\,\%\)), ist die Wahrscheinlichkeit beim Ziehen ohne Zurücklegen größer.

a) \(52\,\%\) (oder \(\frac{13}{25}\)) b) \(\frac{7}{15} \approx 46{,}7\,\%\) c) Beim Ziehen ohne Zurücklegen ist die Wahrscheinlichkeit mit \(\frac{2}{3} \approx 66{,}7\,\%\) größer als beim Ziehen mit Zurücklegen (\(64\,\%\)).

- Zähle zuerst, wie viele Kugeln von jeder Farbe in der Urne sind. - Wenn du eine Kugel ziehst und nicht wieder hineinlegst, wie verändern sich dann die Anzahl der Kugeln dieser Farbe und die Gesamtzahl der Kugeln für den zweiten Zug? - Kannst du für den ersten Teil ein Baumdiagramm zeichnen oder die Pfadregeln anwenden? - Für den zweiten Teil: Gibt es einen schnelleren Weg, als alle Kombinationen unterschiedlicher Farben einzeln zu berechnen? Denke an das Gegenereignis.

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Kugeln und der Verteilung aus der Abbildung: Insgesamt gibt es \(9\) Kugeln: \(4\) rote, \(3\) blaue und \(2\) grüne. 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für zwei rote Kugeln ohne Zurücklegen: Beim ersten Zug ist die Wahrscheinlichkeit für eine rote Kugel \(\frac{4}{9}\). Da die Kugel nicht zurückgelegt wird, sind danach noch \(3\) rote von insgesamt \(8\) Kugeln in der Urne. Die Wahrscheinlichkeit für eine zweite rote Kugel ist \(\frac{3}{8}\). Nach der ersten Pfadregel gilt: \(P(\text{rot, rot}) = \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{12}{72} = \frac{1}{6} \approx 16{,}7\,\%\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für zwei Kugeln mit unterschiedlichen Farben: Es ist einfacher, zunächst die Wahrscheinlichkeit für gleiche Farben zu berechnen: \(P(\text{gleiche Farben}) = P(\text{rot, rot}) + P(\text{blau, blau}) + P(\text{grün, grün})\) \(P(\text{blau, blau}) = \frac{3}{9} \cdot \frac{2}{8} = \frac{6}{72} = \frac{1}{12}\) \(P(\text{grün, grün}) = \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{8} = \frac{2}{72} = \frac{1}{36}\) \(P(\text{gleiche Farben}) = \frac{12}{72} + \frac{6}{72} + \frac{2}{72} = \frac{20}{72} = \frac{5}{18}\). Die Wahrscheinlichkeit für unterschiedliche Farben ist das Gegenereignis: \(P(\text{unterschiedliche Farben}) = 1 - P(\text{gleiche Farben}) = 1 - \frac{5}{18} = \frac{13}{18} \approx 72{,}2\,\%\).

a) Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln rot sind, beträgt \(\frac{1}{6}\) (oder ca. \(16{,}7\,\%\)). b) Die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden Kugeln unterschiedliche Farben haben, beträgt \(\frac{13}{18}\) (oder ca. \(72{,}2\,\%\)).

- Überlege dir zuerst, wie viele Kugeln insgesamt in der Urne sind und wie oft die einzelnen Buchstaben vorkommen. - Beachte den Unterschied zwischen „mit Zurücklegen“ und „ohne Zurücklegen“: Ändert sich die Anzahl der verbleibenden Kugeln nach einem Zug? - Multipliziere für einen bestimmten Pfad die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Züge miteinander. - Für den letzten Aufgabenteil: Welche verschiedenen Reihenfolgen der Buchstaben N, A und S führen zum Ziel? Wie viele solcher Kombinationen gibt es?

1. Die Urne enthält insgesamt 6 Kugeln: 3 Kugeln mit „A“, 2 Kugeln mit „N“ und 1 Kugel mit „S“. 2. Teilaufgabe a) (mit Zurücklegen): Da die Zusammensetzung der Urne bei jedem Zug gleich bleibt, sind die Ziehungen unabhängig. - \(P(\text{N}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) - \(P(\text{A}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) - \(P(\text{S}) = \frac{1}{6}\) - \(P(\text{„NAS“}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \approx 2{,}78\,\%\) 3. Teilaufgabe b) (ohne Zurücklegen): Nach jedem Zug verringern sich die Gesamtzahl der Kugeln und gegebenenfalls die Anzahl der Kugeln mit dem gezogenen Buchstaben. - \(P(\text{1. Zug ist N}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) - Nach dem ersten Zug verbleiben 5 Kugeln, davon 3 mit „A“. Daher gilt \(P(\text{2. Zug ist A} \mid \text{1. Zug ist N}) = \frac{3}{5}\). - Nach dem zweiten Zug verbleiben 4 Kugeln, davon 1 mit „S“. Daher gilt \(P(\text{3. Zug ist S} \mid \text{N und A zuvor}) = \frac{1}{4}\). - \(P(\text{„NAS“}) = \frac{2}{6} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{6}{120} = \frac{1}{20} = 5\,\%\) 4. Teilaufgabe c) (beliebige Reihenfolge, ohne Zurücklegen): Das Wort „NAS“ lässt sich genau dann bilden, wenn je ein N, ein A und ein S gezogen werden. Es gibt \(3! = 6\) mögliche Reihenfolgen: NAS, NSA, ANS, ASN, SNA und SAN. Jede dieser Reihenfolgen hat die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{20}\). Daher gilt \(P = 6 \cdot \frac{1}{20} = \frac{3}{10} = 30\,\%\).

a) \(\frac{1}{36} \approx 2{,}78\,\%\) b) \(\frac{1}{20} = 5\,\%\) c) \(\frac{3}{10} = 30\,\%\)

- Überlege dir, welche Farbkombinationen bei zwei Zügen möglich sind, damit die zweite Kugel grün ist. - Skizziere ein Baumdiagramm, um die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Stufen einzutragen. - Beachte, dass sich die Anzahl der Kugeln im Gefäß nach dem ersten Zug ändert (Ziehen ohne Zurücklegen). - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines gesamten Pfades und wie kombiniert man verschiedene Pfade?

1. Definition der Ereignisse: \(G_1\), \(G_2\) für „grün im 1. bzw. 2. Zug“ und \(O_1\), \(O_2\) für „orangefarben im 1. bzw. 2. Zug“. 2. Bestimmung der Pfadwahrscheinlichkeiten für das Ereignis „zweite Kugel grün“: - Pfad 1 (Grün, Grün): \(P(G_1 \cap G_2) = P(G_1) \cdot P(G_2 | G_1) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20}\) - Pfad 2 (Orange, Grün): \(P(O_1 \cap G_2) = P(O_1) \cdot P(G_2 | O_1) = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{20}\) 3. Anwendung der Additionsregel für Pfade: \(P(G_2) = \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac{12}{20}\). 4. Kürzen des Ergebnisses: \(\frac{12}{20} = \frac{3}{5} = 0{,}6\).

Die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite gezogene Kugel grün ist, beträgt \(\frac{3}{5}\) (oder \(0{,}6\)).

- Skizziere ein Baumdiagramm, um dir die Pfade ohne Zurücklegen zu verdeutlichen. - Achte darauf, dass sich nach dem ersten Zug sowohl die Anzahl der Kugeln einer Farbe als auch die Gesamtzahl der Kugeln verringert. - Überlege bei Teilaufgabe c), ob es einfacher ist, die Wahrscheinlichkeit direkt oder über das Gegenereignis zu berechnen.

1. Berechnung der Gesamtzahl der Möglichkeiten: Insgesamt sind \(2 + 3 + 5 = 10\) Kugeln im Behälter. Beim Ziehen ohne Zurücklegen gibt es \(10 \cdot 9 = 90\) mögliche Elementarereignisse (unter Berücksichtigung der Reihenfolge). 2. Ereignis a: Günstig sind die Pfade (orange, orange), (lila, lila) und (grau, grau). \(P(OO) = \frac{2}{10} \cdot \frac{1}{9} = \frac{2}{90}\) \(P(LL) = \frac{3}{10} \cdot \frac{2}{9} = \frac{6}{90}\) \(P(GG) = \frac{5}{10} \cdot \frac{4}{9} = \frac{20}{90}\) Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist \(\frac{2+6+20}{90} = \frac{28}{90} = \frac{14}{45} \approx 0{,}311\). 3. Ereignis b: Keine lila Kugel bedeutet, dass beide Kugeln aus der Menge der 7 nicht-lila Kugeln (2 orange, 5 graue) stammen. \(P(\text{keine lila}) = \frac{7}{10} \cdot \frac{6}{9} = \frac{42}{90} = \frac{7}{15} \approx 0{,}467\). 4. Ereignis c: Das Gegenereignis ist „keine orangefarbene Kugel“. Es gibt 8 Kugeln, die nicht orange sind. \(P(\text{keine orange}) = \frac{8}{10} \cdot \frac{7}{9} = \frac{56}{90} = \frac{28}{45}\). Die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine orangefarbene Kugel ist \(1 - \frac{28}{45} = \frac{17}{45} \approx 0{,}378\).

a) \(P = \frac{14}{45} \approx 0{,}311\) b) \(P = \frac{7}{15} \approx 0{,}467\) c) \(P = \frac{17}{45} \approx 0{,}378\)

- Betrachte die beiden Fälle „Gelb dann Grün“ und „Grün dann Gelb“. - Überlege, wie sich die Nenner und Zähler der Brüche im zweiten Zug verändern, wenn die Kugel nicht zurückgelegt wird. - Berechne die Wahrscheinlichkeiten für beide Experimente getrennt und vergleiche die Ergebnisse.

1. Fall: Ziehen mit Zurücklegen - Wahrscheinlichkeit für (Gelb, Grün): \(P(\text{Gelb, Grün}) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{25}\). - Wahrscheinlichkeit für (Grün, Gelb): \(P(\text{Grün, Gelb}) = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{6}{25}\). - Gesamt: \(P(\text{verschieden}) = \frac{6}{25} + \frac{6}{25} = \frac{12}{25} = 0{,}48 = 48\,\%\). 2. Fall: Ziehen ohne Zurücklegen - Wahrscheinlichkeit für (Gelb, Grün): \(P(\text{Gelb, Grün}) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20}\). - Wahrscheinlichkeit für (Grün, Gelb): \(P(\text{Grün, Gelb}) = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{20}\). - Gesamt: \(P(\text{verschieden}) = \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac{12}{20} = 0{,}6 = 60\,\%\). 3. Vergleich: \(60\,\% > 48\,\%\). Die Wahrscheinlichkeit ist ohne Zurücklegen größer.

Die Wahrscheinlichkeit für zwei verschiedenfarbige Kugeln ist beim Ziehen ohne Zurücklegen mit \(60\,\%\) größer als beim Ziehen mit Zurücklegen (\(48\,\%\)).

- Kannst du alle möglichen Paare systematisch aufschreiben oder ihre Anzahl berechnen? - Gibt es einen Zusammenhang zwischen den Fällen, in denen die erste Zahl größer ist, und denen, in denen die zweite Zahl größer ist? - Wie viele Paare gibt es insgesamt, wenn man nacheinander zwei verschiedene Zahlen aus der Menge \(\{1,2,3,4,5\}\) zieht?

1. Es gibt \(5\cdot4=20\) mögliche geordnete Paare ohne Zurücklegen. 2. Günstig sind \((1,2)\), \((1,3)\), \((1,4)\), \((1,5)\), \((2,3)\), \((2,4)\), \((2,5)\), \((3,4)\), \((3,5)\) und \((4,5)\), also \(10\) Paare. 3. Daher ist \(P(x_2>x_1)=\frac{10}{20}=0{,}5\). 4. Alternativ sind die Fälle \(x_2>x_1\) und \(x_1>x_2\) symmetrisch; Gleichheit ist ohne Zurücklegen unmöglich.

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}5\) (oder \(50\,\%\)).

- Wie viele Kugeln sind nach dem ersten Zug noch in der Urne? - Überlege dir für die unterschiedlichen Farben, welche Pfade im Baumdiagramm möglich sind. - Kannst du bei der letzten Teilaufgabe ein Ergebnis aus einer vorherigen Teilaufgabe nutzen?

1. In der Urne liegen insgesamt 8 Kugeln: 5 gelbe und 3 grüne. 2. Für zwei gelbe Kugeln gilt \(P(\text{gelb, gelb}) = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14}\). 3. Unterschiedliche Farben erhält man über die Pfade „gelb, grün“ und „grün, gelb“: \(P(\text{unterschiedliche Farben}) = \frac{5}{8} \cdot \frac{3}{7} + \frac{3}{8} \cdot \frac{5}{7} = \frac{30}{56} = \frac{15}{28}\). 4. Das Gegenereignis zu „mindestens eine grüne Kugel“ ist „beide Kugeln sind gelb“. Daher gilt \(P(\text{mindestens eine grüne Kugel}) = 1 - \frac{5}{14} = \frac{9}{14}\).

a) \(P(\text{beide gelb}) = \frac{5}{14}\) b) \(P(\text{unterschiedliche Farben}) = \frac{15}{28}\) c) \(P(\text{mindestens eine grüne Kugel}) = \frac{9}{14}\)

- Schreibe alle möglichen Reihenfolgen mit genau zwei roten Kugeln auf. - Passe die Brüche nach jedem Zug an.

1. \(P(RRB)=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{5}\). 2. \(P(RBR)=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{5}\). 3. \(P(BRR)=\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{5}\). 4. Gesamtwahrscheinlichkeit: \(\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}=\frac{3}{5}\).

\(\frac{3}{5}=60\,\%\).

- Es gibt für jede Farbe einen günstigen Pfad. - Addiere erst, nachdem du jeden vollständigen Pfad bestimmt hast.

1. Rot–rot: \(\frac{4}{9}\cdot\frac{3}{8}=\frac{12}{72}\). 2. Grün–grün: \(\frac{3}{9}\cdot\frac{2}{8}=\frac{6}{72}\). 3. Blau–blau: \(\frac{2}{9}\cdot\frac{1}{8}=\frac{2}{72}\). 4. Gesamtwahrscheinlichkeit: \(\frac{20}{72}=\frac{5}{18}\).

\(\frac{5}{18}\approx 27{,}8\,\%\).

- Betrachte in beiden Varianten auch das Gegenteil des gewünschten Ereignisses. - Prüfe, wie sich der zweite graue Ast unterscheidet.

1. Mit Zurücklegen: \(1-\left(\frac{4}{5}\right)^2=\frac{9}{25}=0{,}36\). 2. Ohne Zurücklegen: \(1-\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{4}=1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}=0{,}4\). 3. Ohne Zurücklegen ist die Gewinnwahrscheinlichkeit um \(0{,}04\) höher.

Mit Zurücklegen: \(0{,}36\); ohne Zurücklegen: \(0{,}4\); günstiger ist ohne Zurücklegen.

- Bestimme nacheinander die Möglichkeiten für das erste, das zweite und das dritte Team. - Was passiert mit der Anzahl der verfügbaren Kinder, nachdem ein Team gebildet wurde? - Wenn die Teams keine Namen oder Nummern haben, ist die Reihenfolge ihrer Entstehung egal. Wie korrigiert man das mathematisch? - Denke an die Anzahl der Möglichkeiten, drei Objekte untereinander anzuordnen.

1. Auswahl von 3 Kindern aus 9 für das erste Team: \(\binom{9}{3} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84\). 2. Auswahl von 3 Kindern aus den verbleibenden 6 für das zweite Team: \(\binom{6}{3} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20\). 3. Die restlichen 3 Kinder bilden das dritte Team (\(\binom{3}{3} = 1\)). 4. Multiplikation der Möglichkeiten für eine geordnete Abfolge der Teams: \(84 \cdot 20 \cdot 1 = 1680\). 5. Da die Reihenfolge der drei Teams keine Rolle spielt (die Teams sind nicht unterscheidbar), muss durch die Anzahl der Vertauschungsmöglichkeiten der 3 Teams dividiert werden (\(3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\)). 6. \(1680 {:} 6 = 280\).

Es gibt 280 Möglichkeiten.

- Kannst du das Problem als ein Urnenmodell beschreiben? Was entspräche den Kugeln und was dem Ziehen? - Überlege, wie viele Äpfel insgesamt zur Verfügung stehen und wie viele davon eine bestimmte Eigenschaft haben. - Für Ereignisse, bei denen mehrere Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein müssen (wie in Teil d), hilft oft das Produkt von Kombinationsmöglichkeiten. - Ist die Wahrscheinlichkeit, einen ganz bestimmten Apfel zu ziehen, abhängig davon, wie viele Äpfel insgesamt gezogen werden?

1. Gesamtzahl der Möglichkeiten, \(3\) Äpfel aus \(20\) zu wählen: \(\binom{20}{3} = 1140\). 2. Für a): Günstige Möglichkeiten, \(3\) aus \(4\) Äpfeln mit Druckstellen zu wählen: \(\binom{4}{3} = 4\). \(P(a) = \frac{4}{1140} = \frac{1}{285} \approx 0{,}0035\). 3. Für b): Günstige Möglichkeiten, \(3\) aus \(16\) Äpfeln ohne Druckstellen zu wählen: \(\binom{16}{3} = 560\). \(P(b) = \frac{560}{1140} = \frac{28}{57} \approx 0{,}4912\). 4. Für c): Wenn der größte Apfel fest gewählt ist, werden \(2\) weitere aus den restlichen \(19\) Äpfeln gezogen: \(\binom{19}{2} = 171\). \(P(c) = \frac{171}{1140} = \frac{3}{20} = 0{,}15\). 5. Für d): Kombination aus \(2\) Äpfeln mit Druckstellen und \(1\) Apfel ohne Druckstellen: \(\binom{4}{2} \cdot \binom{16}{1} = 6 \cdot 16 = 96\). \(P(d) = \frac{96}{1140} = \frac{8}{95} \approx 0{,}0842\).

a) \(P \approx 0{,}0035\) (oder \(\frac{1}{285}\)) b) \(P \approx 0{,}4912\) (oder \(\frac{28}{57}\)) c) \(P = 0{,}15\) (oder \(\frac{3}{20}\)) d) \(P \approx 0{,}0842\) (oder \(\frac{8}{95}\))

- Welche Auswahlmöglichkeiten hast du für die erste Sorte von Büchern und welche für die zweite? - „Mindestens sieben“ umfasst mehrere Einzelfälle. Welche sind das bei insgesamt acht Büchern? - Überlege dir für jeden dieser Fälle einzeln, wie viele Möglichkeiten es gibt, und addiere sie am Ende. - Vergiss nicht, durch die Gesamtzahl aller möglichen Achter-Kombinationen zu teilen, um die Wahrscheinlichkeit zu erhalten.

1. Begründung zu a): Es handelt sich um ein Ziehen ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge. \(\binom{18}{5}\) gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, 5 Krimis aus dem Vorrat von 18 zu wählen. \(\binom{12}{3}\) gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, 3 historische Romane aus 12 zu wählen. Das Produkt beider Koeffizienten ergibt nach dem Multiplikationsprinzip die Gesamtzahl der Kombinationen für diese spezifische Zusammensetzung. 2. Günstige Ergebnisse für b): „Mindestens sieben“ bedeutet genau 7 oder genau 8 Kriminalromane. - Genau 7: \(\binom{18}{7} \cdot \binom{12}{1} = 31\,824 \cdot 12 = 381\,888\). - Genau 8: \(\binom{18}{8} \cdot \binom{12}{0} = 43\,758 \cdot 1 = 43\,758\). - Summe der günstigen Fälle: \(381\,888 + 43\,758 = 425\,646\). 3. Mögliche Ergebnisse: \(\binom{30}{8} = 5\,852\,925\). 4. Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{mind. 7}) = \frac{425646}{5852925} \approx 0{,}0727\).

a) \(\binom{18}{5}\) wählt 5 aus 18 Krimis, \(\binom{12}{3}\) wählt 3 aus 12 historischen Romanen; das Produkt kombiniert diese beiden Auswahlen. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(0{,}0727\) (oder \(7{,}27\,\%\)).

- Überlege dir zuerst, wie viele verschiedene Paare man insgesamt aus der Urne ziehen kann. - Für Teilaufgabe a) kannst du die günstigen Paare für jede Farbe einzeln zählen. - Bei der Summe der Zahlen hilft eine systematische Liste aller Paare, um keine Kombination zu vergessen. - Denke daran, welche Zahlen zu den Primzahlen gehören (z. B. 2, 3, 5, 7, ...).

1. Insgesamt gibt es \(\binom{7}{2}=21\) ungeordnete Kugelpaare. 2. a) Für gleiche Farben gibt es \(\binom{3}{2}+\binom{2}{2}+\binom{2}{2}=5\) Paare. Daher ist \(P=\frac{5}{21}\). 3. b) Primzahlsummen sind \(2,3,5\) und \(7\). Günstig sind: für Summe \(2\) das Paar \(\{R_1,B_1\}\); für Summe \(3\) die vier Paare \(\{R_1,R_2\}\), \(\{R_1,B_2\}\), \(\{B_1,R_2\}\), \(\{B_1,B_2\}\); für Summe \(5\) die vier Paare \(\{R_1,G_4\}\), \(\{B_1,G_4\}\), \(\{R_2,R_3\}\), \(\{B_2,R_3\}\); für Summe \(7\) die drei Paare \(\{R_2,G_5\}\), \(\{B_2,G_5\}\), \(\{R_3,G_4\}\). Somit ist \(P=\frac{12}{21}=\frac{4}{7}\). 4. c) Für genau eine rote und eine grüne Kugel gibt es \(3\cdot2=6\) Paare. Daher ist \(P=\frac{6}{21}=\frac{2}{7}\).

a) \(P = \frac{5}{21} \approx 0{,}238\) b) \(P = \frac{4}{7} \approx 0{,}571\) c) \(P = \frac{2}{7} \approx 0{,}286\)

- Übersetze den roten Pfad in einen Term mit der Unbekannten. - Beachte, dass nach dem ersten roten Zug eine rote Kugel weniger vorhanden ist.

1. Gleichung: \(\frac{x}{10}\cdot\frac{x-1}{9}=\frac{2}{15}\). 2. Umformung: \(x(x-1)=12\). 3. Ganzzahlige Lösung im Bereich \(0\le x\le10\): \(x=4\).

\(x=4\) rote Kugeln.

- Bezeichne die unbekannte Zahl einer Farbe mit einer Variablen. - Drücke den gezeigten Pfad mit dieser Variablen aus. - Prüfe, ob mehrere ganzzahlige Lösungen möglich sind.

1. Mit \(r\) roten Kugeln: \(P(RB)=\frac{r}{8}\cdot\frac{8-r}{7}=\frac{15}{56}\). 2. Gleichung: \(r(8-r)=15\). 3. Lösungen: \(r=3\) oder \(r=5\). 4. Zusammensetzungen: \(3\) rot und \(5\) blau oder \(5\) rot und \(3\) blau.

Möglich sind \(3\) rote und \(5\) blaue oder \(5\) rote und \(3\) blaue Kugeln.