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- Lies zuerst die Anzahl der mit „R“ und „B“ beschrifteten Kugeln aus der Abbildung ab. - „Nicht zurückgelegt“ bedeutet, dass die gezogene Kugel vor der zweiten Ziehung fehlt. - Verändere nur die Anzahl der Sorte, die beim ersten Zug gezogen wurde.

Zu Beginn liegen laut Abbildung \(3\) Kugeln mit „R“ und \(2\) Kugeln mit „B“ in der Urne. Nach dem Ziehen einer R-Kugel ohne Zurücklegen bleiben \(2\) R-Kugeln und \(2\) B-Kugeln.

\(2\) R-Kugeln und \(2\) B-Kugeln.

- Vergleiche die Zahl der Lose vor der ersten und vor der zweiten Ziehung. - Überlege, welche der beiden Grundformen eines Urnenmodells einen veränderten Bestand zwischen den Ziehungen beschreibt. - Begründe nicht nur mit einem Schlagwort, sondern mit dem Zustand der Box beim zweiten Zug.

1. Zwischen den beiden Ziehungen sinkt die Zahl der Lose von \(120\) auf \(119\). Das zuerst gezogene Los ist bei der zweiten Ziehung also nicht mehr Teil der Auswahlmenge. 2. Deshalb entspricht der Ablauf dem Ziehen ohne Zurücklegen. Die Zusammensetzung beziehungsweise Größe des Bestands kann sich nach dem ersten Zug ändern.

Ziehen ohne Zurücklegen, weil das zuerst gezogene Los bei der zweiten Ziehung nicht mehr in der Box liegt und der Bestand dadurch kleiner ist.

- Lies zuerst den Anfangsbestand aus der Urne ab. - Entferne gedanklich genau die Kugel, die im ersten Zug genannt ist. - Beziehe die beiden Wahrscheinlichkeiten der zweiten Ziehung auf den neuen Gesamtbestand.

1. Anfangs liegen \(2\) gelbe und \(4\) blaue Kugeln in der Urne. 2. Nach der ersten gelben Kugel bleiben \(1\) gelbe und \(4\) blaue Kugeln, insgesamt also \(5\). 3. Deshalb gilt für die zweite Ziehung \(P(\text{gelb})=\frac{1}{5}\) und \(P(\text{blau})=\frac{4}{5}\).

a) \(\frac{1}{5}\) b) \(\frac{4}{5}\)

- Bestimme zuerst aus den Farbzahlen, wie viele Murmeln insgesamt im Beutel liegen. - Überlege für jeden Zug, wie sich Gesamtzahl und Farbanzahl nach einer entnommenen Murmel verändern. - Verknüpfe anschließend die Astwahrscheinlichkeiten der vorgegebenen Reihenfolge.

1. Zu Beginn liegen insgesamt \(4+5+3=12\) Murmeln im Beutel. 2. Für die erste rote Murmel beträgt die Wahrscheinlichkeit \(\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\). 3. Nach einer roten Murmel bleiben \(3\) rote unter \(11\) Murmeln; für eine zweite rote Murmel beträgt die Astwahrscheinlichkeit \(\frac{3}{11}\). 4. Nach zwei roten Murmeln bleiben \(3\) gelbe unter \(10\) Murmeln; für eine gelbe Murmel im dritten Zug beträgt die Astwahrscheinlichkeit \(\frac{3}{10}\). 5. Nach der Produktregel ist die Wahrscheinlichkeit der vorgegebenen Reihenfolge \(\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{11}\cdot\frac{3}{10}=\frac{3}{110}\).

\(\frac{3}{110}\)

- Bestimme zuerst, wie viele Nougatpralinen zu Beginn vorhanden sind. - Nach einer Nougatpraline verändert sich sowohl die Gesamtzahl als auch die Anzahl der Nougatpralinen. - Verknüpfe die beiden Astwahrscheinlichkeiten des Pfades Nougat–Nougat.

1. Zu Beginn sind \(20\) von \(24\) Pralinen mit Nougat gefüllt. Für die erste Ziehung gilt daher \(\frac{20}{24}=\frac{5}{6}\). 2. Nach einer gezogenen Nougatpraline bleiben \(19\) Nougatpralinen unter \(23\) Pralinen. Auf dem Pfad Nougat–Nougat ist die zweite Astwahrscheinlichkeit deshalb \(\frac{19}{23}\). 3. Nach der Produktregel gilt \(P(\text{zweimal Nougat})=\frac{5}{6}\cdot\frac{19}{23}=\frac{95}{138}\approx0{,}6884\).

\(P=\frac{95}{138}\approx68{,}84\,\%\)

- Bestimme für b) zuerst aus den Angaben, wie viele helle Pralinen vorhanden sind. - Beachte, wie sich Gesamtzahl und Anzahl der jeweils betrachteten Sorte nach jedem Zug verändern. - Verknüpfe für jede Teilaufgabe die drei Astwahrscheinlichkeiten des passenden Pfades.

1. Für drei Pralinen mit dunkler Schokolade gilt \(P(\text{3 dunkle})=\frac{8}{12}\cdot\frac{7}{11}\cdot\frac{6}{10}=\frac{14}{55}\approx0{,}2545\). 2. Es gibt zunächst \(12-8=4\) Pralinen mit heller Schokolade. Daher gilt \(P(\text{3 helle})=\frac{4}{12}\cdot\frac{3}{11}\cdot\frac{2}{10}=\frac{1}{55}\approx0{,}0182\).

a) \(\frac{14}{55}\approx25{,}5\,\%\) b) \(\frac{1}{55}\approx1{,}8\,\%\)

- Achte darauf, dass sich sowohl die Anzahl der gewünschten Münzen als auch die Gesamtzahl im zweiten Zug ändert. - Wie viele Möglichkeiten gibt es, zwei Münzen mit der gleichen Farbe zu ziehen? - Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades im Baumdiagramm. - Addiere die Ergebnisse der Pfade, die für die jeweilige Teilaufgabe relevant sind.

1. Die Gesamtzahl der Münzen im Beutel ist \(3 + 5 = 8\). 2. Die Wahrscheinlichkeit für die Abfolge erst Gold, dann Silber berechnet sich zu \(P(gs) = \frac{3}{8} \cdot \frac{5}{7} = \frac{15}{56}\). 3. Für das Ereignis „gleiche Farbe“ müssen die Wahrscheinlichkeiten der Pfade Gold-Gold (\(gg\)) und Silber-Silber (\(ss\)) addiert werden. 4. Die Wahrscheinlichkeit für zwei goldene Münzen ist \(P(gg) = \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{7} = \frac{6}{56}\). 5. Die Wahrscheinlichkeit für zwei silberne Münzen ist \(P(ss) = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{20}{56}\). 6. Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist \(P(\text{gleiche Farbe}) = \frac{6}{56} + \frac{20}{56} = \frac{26}{56} = \frac{13}{28}\).

a) \(P(\text{gold, silber}) = \frac{15}{56}\) b) \(P(\text{gleiche Farbe}) = \frac{13}{28}\)

- Wie viele Möglichkeiten gibt es unabhängig voneinander an jeder der vier Stellen? - Wie verändert sich die Auswahl, wenn bereits verwendete Ziffern nicht noch einmal vorkommen dürfen? - Welche wenigen Codes erfüllen bei c) die Bedingung „alle vier Stellen gleich“?

1. Für jede der vier Stellen gibt es \(6\) Möglichkeiten. Daher gibt es insgesamt \(6^4=1296\) Codes. 2. Für vier verschiedene Ziffern stehen nacheinander \(6\), \(5\), \(4\) und \(3\) Möglichkeiten zur Verfügung. Damit gibt es \(6\cdot5\cdot4\cdot3=360\) solche Codes. 3. Für c) sind genau die sechs Codes \(1111\), \(2222\), \(3333\), \(4444\), \(5555\) und \(6666\) günstig. 4. Bei \(1296\) gleich wahrscheinlichen Codes gilt daher \(P=\frac{6}{1296}=\frac{1}{216}\approx0{,}00463\).

a) \(1296\) b) \(360\) c) \(\frac{1}{216}\approx0{,}00463\)

- Wie viele Früchte sind insgesamt im Korb? - Was bedeutet es für die Auswahl, wenn eine bestimmte Sorte gar nicht vorkommen darf? - Welche unteren Zahlen müssen die Binomialkoeffizienten für jede geforderte Zusammensetzung besitzen? - Prüfe, ob die Summe der ausgewählten Stückzahlen jeweils fünf ergibt.

1. Insgesamt gibt es \(8+6+4=18\) Früchte. Die Anzahl aller gleich wahrscheinlichen Auswahlen von fünf Früchten ist \(\binom{18}{5}\). 2. Zu \(A\): Zwei von acht Äpfeln, zwei von sechs Birnen und eine von vier Bananen werden gewählt. Daher passt Term (2). 3. Zu \(B\): Ohne Birnen müssen alle fünf Früchte aus den zwölf Äpfeln und Bananen stammen. Daher passt Term (1). 4. Zu \(C\): Drei von acht Äpfeln und zwei von vier Bananen werden gewählt. Daher passt Term (3).

Ereignis \(A\) entspricht Term (2). Ereignis \(B\) entspricht Term (1). Ereignis \(C\) entspricht Term (3).

- Lies die drei Farbanzahlen direkt aus der Urne ab. - Für a) gehören drei verschiedene gleichfarbige Pfade zum Ereignis. - Für b) ist genau eine Reihenfolge festgelegt; beachte die veränderte Gesamtzahl beim zweiten Zug.

1. Aus der Abbildung liest man \(4\) grüne, \(3\) blaue und \(3\) rote Kugeln ab. 2. Zum Ereignis „gleiche Farbe“ gehören die Pfade GG, BB und RR. Daher ist \(P(\text{gleiche Farbe})=\frac{4}{10}\cdot\frac{3}{9}+\frac{3}{10}\cdot\frac{2}{9}+\frac{3}{10}\cdot\frac{2}{9}=\frac{24}{90}=\frac{4}{15}\). 3. Für den festen Pfad Grün-Rot gilt \(P(GR)=\frac{4}{10}\cdot\frac{3}{9}=\frac{2}{15}\).

a) \(\frac{4}{15}\) b) \(\frac{2}{15}\)

- Lies zuerst die Anfangszusammensetzung aus der Abbildung ab. - Bestimme für a) und b) jeweils getrennt, welche vier Kugeln nach dem ersten Zug noch vorhanden sind. - Vergleiche anschließend den Grünanteil in den beiden verbleibenden Urnenzuständen.

1. Aus der Abbildung liest man \(3\) grüne und \(2\) orangefarbene Kugeln ab. 2. Nach einer zuerst grünen Kugel bleiben \(2\) grüne und \(2\) orangefarbene Kugeln. Daher gilt in a) \(P(\text{Grün im zweiten Zug})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\). 3. Nach einer zuerst orangefarbenen Kugel bleiben \(3\) grüne und \(1\) orangefarbene Kugel. Daher gilt in b) \(P(\text{Grün im zweiten Zug})=\frac{3}{4}\). 4. Die erste Ziehung verändert beim Ziehen ohne Zurücklegen den Bestand. Je nachdem, welche Farbe entfernt wurde, ist im zweiten Zug ein anderer Anteil der verbleibenden Kugeln grün.

a) \(\frac{1}{2}\) b) \(\frac{3}{4}\) c) Nach einer grünen ersten Kugel bleiben \(2\) von \(4\) Kugeln grün; nach einer orangefarbenen bleiben \(3\) von \(4\) grün. Deshalb unterscheiden sich die Wahrscheinlichkeiten.

- Wie viele gleich wahrscheinliche geordnete Kugeltripel entstehen wegen des Zurücklegens? - An welcher der drei Positionen kann die eine blaue Kugel stehen? - Zähle für jede Position die möglichen einzelnen roten beziehungsweise blauen Kugeln.

1. Die Urne enthält \(5\) Kugeln. Wegen des Zurücklegens gibt es \(5^3=125\) gleich wahrscheinliche geordnete Kugeltripel. 2. Die eine blaue Position kann auf \(3\) Arten gewählt werden. Für jede rote Position stehen \(2\) einzelne rote Kugeln und für die blaue Position \(3\) einzelne blaue Kugeln zur Verfügung. 3. Damit sind \(3\cdot2^2\cdot3=36\) Tripel günstig. Es gilt \(P=\frac{36}{125}=0{,}288=28{,}8\,\%\).

\(\frac{36}{125}=0{,}288=28{,}8\,\%\)

- Lies die möglichen Zahlen direkt auf den Kugeln der Urne ab. - Behandle die beiden Ziehungen als geordnetes Zahlenpaar. - Liste nur die Paare auf, deren Summe die Grenze \(8\) überschreitet.

1. Aus der Abbildung liest man fünf gleich wahrscheinliche Zahlen pro Zug ab. Mit Zurücklegen gibt es daher \(5\cdot5=25\) gleich wahrscheinliche geordnete Zahlenpaare. 2. Eine Summe größer als \(8\) entsteht bei \((4,5)\), \((5,4)\) und \((5,5)\). 3. Somit gilt \(P=\frac{3}{25}=0{,}12\).

\(P=\frac{3}{25}=12\,\%\)

- Suche im Baum alle vollständigen Pfade, die mit zwei verschiedenen Farben enden. - Berechne jeden günstigen Pfad zunächst mit den Astwahrscheinlichkeiten des Baums. - Fasse die günstigen Pfade erst anschließend zusammen.

1. Für zwei verschiedene Farben sind im Baum die vollständigen Pfade rot–blau und blau–rot günstig. 2. Nach der Produktregel gilt für rot–blau \(\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=\frac{3}{10}\) und für blau–rot \(\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{10}\). 3. Nach der Summenregel ergibt sich \(P=\frac{3}{10}+\frac{3}{10}=\frac{3}{5}\).

\(\frac{3}{5}=60\,\%\)

- Lies aus dem ersten Nenner die Gesamtzahl ab. - Was verrät der zweite rote Ast über die Veränderung nach dem ersten Zug?

1. Erste rote Wahrscheinlichkeit \(\frac{5}{8}\): insgesamt \(8\), davon \(5\) rot. 2. Verbleibende Kugeln nach rot: \(7\), davon \(4\) rot; passend zu \(\frac{4}{7}\). 3. Anfangsbestand: \(5\) rote und \(3\) blaue Kugeln.

5 rote und 3 blaue Kugeln.

- Suche im Baum den einzigen vollständigen Pfad, auf dem zweimal Ass erscheint. - Verwende genau die beiden Astwahrscheinlichkeiten dieses Pfades. - Wie werden Astwahrscheinlichkeiten innerhalb eines vollständigen Pfades verknüpft?

1. Der gesuchte vollständige Pfad ist Ass–Ass. 2. Nach der Produktregel gilt \(P(\text{Ass–Ass})=\frac{2}{8}\cdot\frac{1}{7}=\frac{1}{28}\). 3. Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{28}\approx3{,}57\,\%\).

\(\frac{1}{28}\approx3{,}57\,\%\)

- Suche im Baum für jede Farbe den vollständigen Pfad, auf dem diese Farbe zweimal erscheint. - Berechne die drei günstigen Pfadwahrscheinlichkeiten zunächst getrennt. - Fasse die günstigen Pfade anschließend mit der passenden Regel zusammen.

1. Für zwei gleichfarbige Kugeln sind im Baum die drei Pfade rot–rot, grün–grün und blau–blau günstig. 2. Nach der Produktregel haben diese Pfade die Wahrscheinlichkeiten \(\frac{4}{9}\cdot\frac{3}{8}=\frac{12}{72}\), \(\frac{3}{9}\cdot\frac{2}{8}=\frac{6}{72}\) und \(\frac{2}{9}\cdot\frac{1}{8}=\frac{2}{72}\). 3. Nach der Summenregel gilt \(P=\frac{12+6+2}{72}=\frac{20}{72}=\frac{5}{18}\).

\(\frac{5}{18}\approx27{,}8\,\%\)

- Suche im Baum alle vollständigen Pfade, auf denen beide Gruppen genau einmal vorkommen. - Bestimme die beiden Pfadwahrscheinlichkeiten mit den angegebenen Astwahrscheinlichkeiten. - Fasse die beiden günstigen Pfade anschließend zusammen.

1. Ein gemischtes Team entsteht über die beiden vollständigen Pfade Mädchen–Junge und Junge–Mädchen. 2. Nach der Produktregel gilt für Mädchen–Junge \(\frac{4}{6}\cdot\frac{2}{5}=\frac{4}{15}\) und für Junge–Mädchen \(\frac{2}{6}\cdot\frac{4}{5}=\frac{4}{15}\). 3. Nach der Summenregel ist \(P=\frac{4}{15}+\frac{4}{15}=\frac{8}{15}\).

\(\frac{8}{15}\approx53{,}3\,\%\)

- Vergleiche die beiden Urnenbilder zunächst nur nach den Anzahlen der beiden Sorten. - Welche Sorte muss sich verändern, wenn im ersten Zug Rot gezogen wurde? - Berechne die Wahrscheinlichkeiten erst aus dem korrigierten zweiten Bestand.

1. Anfangs liegen \(3\) rote und \(2\) grüne Kugeln in der Urne. Nach einer gezogenen roten Kugel muss die Anzahl der roten Kugeln um eins sinken. 2. In b) sind stattdessen weiterhin \(3\) rote, aber nur noch \(1\) grüne Kugel dargestellt. Es wurde also die falsche Farbe entfernt. 3. Korrekt bleiben \(2\) rote und \(2\) grüne Kugeln, insgesamt \(4\). 4. Damit gilt bei der zweiten Ziehung \(P(\text{Rot})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\) und \(P(\text{Grün})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\).

a) In b) wurde eine grüne statt der gezogenen roten Kugel entfernt. b) \(2\) rote und \(2\) grüne Kugeln. c) \(P(\text{Rot})=\frac{1}{2}\), \(P(\text{Grün})=\frac{1}{2}\).

- Welche Astwahrscheinlichkeiten gelten nach dem Zurücklegen in der zweiten Stufe? - Welche vollständigen Pfade führen zu „verschiedene Farben“? - Vergleiche für c) die Zusammensetzung der Dose nach einem roten und nach einem grünen ersten Zug.

1. Mit Zurücklegen gilt in jeder Stufe \(P(\text{Rot})=\frac{5}{8}\) und \(P(\text{Grün})=\frac{3}{8}\). Nach Rot wie nach Grün verzweigt die zweite Stufe deshalb wieder in Rot mit \(\frac{5}{8}\) und Grün mit \(\frac{3}{8}\). 2. Die Pfade für zwei verschiedene Farben sind Rot–Grün und Grün–Rot. Mit Zurücklegen ist \(P(\text{verschieden})=\frac{5}{8}\cdot\frac{3}{8}+\frac{3}{8}\cdot\frac{5}{8}=\frac{15}{32}\). 3. Ohne Zurücklegen ändern sich die Wahrscheinlichkeiten in der zweiten Stufe. Es gilt \(P(\text{Rot, Grün})=\frac{5}{8}\cdot\frac{3}{7}=\frac{15}{56}\) und \(P(\text{Grün, Rot})=\frac{3}{8}\cdot\frac{5}{7}=\frac{15}{56}\). 4. Daher ist ohne Zurücklegen \(P(\text{verschieden})=\frac{30}{56}=\frac{15}{28}\). 5. Weil \(\frac{15}{28}>\frac{15}{32}\), ist das Ereignis ohne Zurücklegen wahrscheinlicher.

a) Erste Stufe: Rot mit \(\frac{5}{8}\), Grün mit \(\frac{3}{8}\). Nach jedem dieser Äste gilt in der zweiten Stufe wieder: Rot mit \(\frac{5}{8}\), Grün mit \(\frac{3}{8}\). b) \(\frac{15}{32}\) c) Ohne Zurücklegen: \(\frac{15}{28}\); diese Wahrscheinlichkeit ist größer.

- Vergleiche, wie viele Gewinnlose und wie viele Lose insgesamt vor dem zweiten Zug vorhanden sind. - Überlege, welche Wirkung das Zurücklegen auf die Zusammensetzung der Schachtel hat. - Betrachte bei b) die beiden möglichen Ergebnisse des ersten Zugs getrennt.

a) Nach jedem Zug liegen wieder \(5\) Gewinnlose unter \(20\) Losen in der Schachtel. Deshalb beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit bei jedem Zug \(\frac{5}{20}=\frac{1}{4}=0{,}25\). b) Nach einem Gewinn im ersten Zug bleiben \(4\) Gewinnlose unter \(19\) Losen. Die Gewinnwahrscheinlichkeit im zweiten Zug ist dann \(\frac{4}{19}\approx 0{,}211\). Nach einer Niete im ersten Zug bleiben \(5\) Gewinnlose unter \(19\) Losen. Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist dann \(\frac{5}{19}\approx 0{,}263\). Ohne Zurücklegen hängt die Zusammensetzung der Schachtel vom Ergebnis des ersten Zugs ab. Deshalb können sich die Wahrscheinlichkeiten an der nächsten Stufe unterscheiden.

a) Die Gewinnwahrscheinlichkeit bleibt bei \(0{,}25=25\,\%\). b) Nach einem Gewinn: \(\frac{4}{19}\approx 21{,}1\,\%\); nach einer Niete: \(\frac{5}{19}\approx 26{,}3\,\%\). Ohne Zurücklegen verändert der erste Zug die Zusammensetzung der Schachtel.

- Wie viele verschiedene Positionen kann das einzige Ass in den drei Zügen einnehmen? - Beachte, dass sich die Gesamtzahl der Karten und die Zusammensetzung nach jedem Zug verändern. - Berechne zunächst die Wahrscheinlichkeit für eine festgelegte Reihenfolge und vergleiche dann die übrigen günstigen Pfade.

1. Für genau ein Ass gibt es die drei Pfade \(A\overline{A}\overline{A}\), \(\overline{A}A\overline{A}\) und \(\overline{A}\overline{A}A\). 2. Für einen dieser Pfade gilt zum Beispiel \(P(A\overline{A}\overline{A})=\frac{4}{32}\cdot\frac{28}{31}\cdot\frac{27}{30}=\frac{63}{620}\). 3. Alle drei Pfade haben dieselbe Wahrscheinlichkeit. Daher ist \(P(\text{genau ein Ass})=3\cdot\frac{63}{620}=\frac{189}{620}\approx0{,}3048\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{189}{620}\approx0{,}3048\approx30{,}48\,\%\).

- Stell dir vor, die Lose würden nacheinander gezogen. Macht es für die Wahrscheinlichkeit einen Unterschied, ob man sie gleichzeitig oder nacheinander ohne Zurücklegen zieht? - Wie viele Nieten befinden sich zu Beginn in der Trommel? - Wie verändern sich die Gewinnchancen für das zweite und dritte Los, wenn das erste bereits ein Gewinn (oder eine Niete) war? - Kannst du die Wahrscheinlichkeit als Produkt von drei Brüchen darstellen?

1. Bestimmung der Anzahl der Nieten: \(15 - 6 = 9\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für drei Gewinnlose: Das gleichzeitige Ziehen entspricht dem Ziehen ohne Zurücklegen. Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich als \(P(\text{3 Gewinne}) = \frac{6}{15} \cdot \frac{5}{14} \cdot \frac{4}{13} = \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{14} \cdot \frac{4}{13} = \frac{4}{91} \approx 0{,}0440\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für drei Nieten: \(P(\text{3 Nieten}) = \frac{9}{15} \cdot \frac{8}{14} \cdot \frac{7}{13} = \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{7}{13} = \frac{12}{65} \approx 0{,}1846\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{4}{91}\) (ca. \(4{,}4\,\%\)). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{12}{65}\) (ca. \(18{,}5\,\%\)).

- Überlege dir zuerst, wie viele verschiedene Gruppen von 4 Personen man insgesamt aus den 12 Personen bilden kann. - Spielt die Reihenfolge, in der die Personen gezogen werden, für die Zusammensetzung der Gruppe eine Rolle? - Wie viele dieser möglichen Gruppen entsprechen genau der gesuchten Kombination aus Anna, Ben, Clara und David? - Setze die Anzahl der günstigen Möglichkeiten ins Verhältnis zur Gesamtzahl aller Möglichkeiten.

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Möglichkeiten, 4 Personen aus einer Gruppe von 12 ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auszuwählen: \(\binom{12}{4} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 495\). 2. Bestimmung der Anzahl der günstigen Ergebnisse: Da eine ganz bestimmte Gruppe von 4 Personen gesucht ist, gibt es genau \(1\) günstiges Ergebnis. 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P\) als Quotient aus günstigen und möglichen Ergebnissen: \(P = \frac{1}{495}\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{495}\) (ca. \(0{,}2\,\%\)).

- Beschreibe a) und b) jeweils als einen fünfstufigen Pfad ohne Zurücklegen. - Aktualisiere nach jedem gezogenen Los sowohl den Zähler als auch die Gesamtzahl. - Für c) ist das Gegenereignis „dieses bestimmte Los wird in keinem der fünf Züge gezogen“ besonders übersichtlich.

1. Für fünf Gewinnlose hintereinander gilt nach der Produktregel \(P=\frac{5}{30}\cdot\frac{4}{29}\cdot\frac{3}{28}\cdot\frac{2}{27}\cdot\frac{1}{26}=\frac{1}{142506}\approx0{,}0000070\). 2. Für fünf Nieten hintereinander gilt mit \(25\) Nieten zu Beginn \(P=\frac{25}{30}\cdot\frac{24}{29}\cdot\frac{23}{28}\cdot\frac{22}{27}\cdot\frac{21}{26}=\frac{1265}{3393}\approx0{,}3728\). 3. Für ein bestimmtes Los ist das Gegenereignis „Das bestimmte Los ist unter den fünf gekauften Losen nicht dabei“. Seine Wahrscheinlichkeit ist \(\frac{29}{30}\cdot\frac{28}{29}\cdot\frac{27}{28}\cdot\frac{26}{27}\cdot\frac{25}{26}=\frac{5}{6}\). Daher gilt \(P(\text{bestimmtes Los dabei})=1-\frac{5}{6}=\frac{1}{6}\).

a) \(\frac{1}{142506}\approx0{,}0000070\) b) \(\frac{1265}{3393}\approx37{,}28\,\%\) c) \(\frac{1}{6}\approx16{,}67\,\%\)

- Behandle die Entnahme als Ziehen ohne Zurücklegen und aktualisiere die Astwahrscheinlichkeiten nach jedem Zug. - Für c) kann das Gegenereignis kürzer sein als das direkte Addieren mehrerer Positionen. - Für d) liste die drei möglichen Positionen des Apfels ohne Druckstelle auf und berechne die entsprechenden Pfade.

a) Für drei Äpfel mit Druckstellen hintereinander gilt \(P=\frac{4}{20}\cdot\frac{3}{19}\cdot\frac{2}{18}=\frac{1}{285}\approx 0{,}00351\). b) Für drei Äpfel ohne Druckstellen gilt \(P=\frac{16}{20}\cdot\frac{15}{19}\cdot\frac{14}{18}=\frac{28}{57}\approx 0{,}4912\). c) Das Gegenereignis ist, dass der bestimmte Apfel in allen drei Zügen nicht gewählt wird: \(P(\text{nicht gewählt})=\frac{19}{20}\cdot\frac{18}{19}\cdot\frac{17}{18}=\frac{17}{20}\). Daher \(P(\text{gewählt})=1-\frac{17}{20}=\frac{3}{20}=0{,}15\). d) Schreibe \(D\) für Druckstelle und \(O\) für ohne Druckstelle. Günstig sind die drei Pfade \(DDO\), \(DOD\) und \(ODD\). Jeder hat die Wahrscheinlichkeit \(\frac{4}{20}\cdot\frac{3}{19}\cdot\frac{16}{18}=\frac{8}{285}\). Somit \(P=3\cdot\frac{8}{285}=\frac{8}{95}\approx 0{,}0842\).

a) \(\frac{1}{285}\approx 0{,}00351\) b) \(\frac{28}{57}\approx 49{,}12\,\%\) c) \(\frac{3}{20}=15\,\%\) d) \(\frac{8}{95}\approx 8{,}42\,\%\)

- Überlege dir, wie viele Kugeln nach dem ersten Zug noch in der Urne sind. - Welche Farbkombinationen erfüllen die Bedingung für unterschiedliche Farben? - Ist es bei „mindestens eine“ einfacher, alle passenden Möglichkeiten zu addieren oder das Gegenteil von \(1\) abzuziehen?

1. Da ohne Zurücklegen gezogen wird, sind nach dem ersten Zug noch \(9\) Kugeln in der Urne. 2. Für unterschiedliche Farben gibt es die Pfade Gelb-Blau und Blau-Gelb. Daher ist \(P(\text{unterschiedlich})=\frac{4}{10}\cdot\frac{6}{9}+\frac{6}{10}\cdot\frac{4}{9}=\frac{8}{15}\). 3. Das Gegenereignis zu „mindestens eine gelbe Kugel“ ist „beide Kugeln blau“. Es gilt \(P(\text{beide blau})=\frac{6}{10}\cdot\frac{5}{9}=\frac{1}{3}\). 4. Somit ist \(P(\text{mindestens eine gelbe Kugel})=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\).

a) \(P(\text{unterschiedlich})=\frac{8}{15}\) b) \(P(\text{mindestens eine gelbe Kugel})=\frac{2}{3}\)

- Wie viele Möglichkeiten gibt es an jeder Position, solange Wiederholungen erlaubt sind? - Was verändert sich bei jeder weiteren Position, wenn ein Zeichen nicht erneut verwendet werden darf? - Bei c) sind alle erzeugten fünfstelligen Codes gleich wahrscheinlich; du kannst günstige und mögliche Strukturen vergleichen.

1. Insgesamt stehen \(10+8=18\) Zeichen zur Verfügung. 2. Bei Wiederholung gibt es an jeder der fünf Stellen \(18\) Möglichkeiten. Daher sind \(18^5=1\,889\,568\) Codes möglich. 3. Ohne Wiederholung gibt es nacheinander \(18\), \(17\), \(16\), \(15\) und \(14\) Möglichkeiten. Damit erhält man \(18\cdot17\cdot16\cdot15\cdot14=1\,028\,160\) Codes. 4. Für c) sind \(10^5=100\,000\) der \(18^5=1\,889\,568\) gleich wahrscheinlichen Codes günstig. Daher gilt \(P=\frac{100000}{1889568}=\frac{3125}{59049}\approx0{,}05292\).

a) \(1\,889\,568\) Codes b) \(1\,028\,160\) Codes c) \(\frac{3125}{59049}\approx5{,}29\,\%\)

- Welche Auswahlmöglichkeiten bleiben an einer Position übrig, wenn bereits verwendete Ziffern ausgeschlossen sind? - Bei b) ist nur die unmittelbar vorherige Ziffer für die nächste Position gesperrt. - Welche beiden ersten Entscheidungen legen bei einem abwechselnden Code bereits die restlichen Stellen fest?

1. Für a) stehen nacheinander \(6\), \(5\), \(4\) und \(3\) Ziffern zur Verfügung. Daher gibt es \(6\cdot5\cdot4\cdot3=360\) Codes. 2. Für b) gibt es für die erste Stelle \(6\) Möglichkeiten. An jeder weiteren Stelle sind \(5\) Ziffern zulässig. Somit gibt es \(6\cdot5^3=750\) zulässige Codes. 3. Für c) kann die erste Ziffer auf \(6\) Arten gewählt werden und die zweite auf \(5\) andere Arten. Danach ist das Wechselmuster festgelegt. Es gibt also \(6\cdot5=30\) günstige zulässige Codes. 4. Damit gilt \(P=\frac{30}{750}=\frac{1}{25}=0{,}04\).

a) \(360\) b) \(750\) c) \(\frac{1}{25}=4\,\%\)

- Wie viele Farbentscheidungen gibt es an jeder Position, wenn Wiederholungen erlaubt sind? - Wie verändert sich die Zahl der noch verfügbaren Farben, wenn keine Farbe erneut vorkommen darf? - Welches Gegenereignis zu c) lässt sich durch eine einzige Folge von Auswahlzahlen erfassen?

1. Bei erlaubter Wiederholung gibt es an jeder der fünf Positionen \(12\) Möglichkeiten. Daher sind \(12^5=248\,832\) Muster möglich. 2. Ohne Wiederholung stehen nacheinander \(12\), \(11\), \(10\), \(9\) und \(8\) Farben zur Verfügung. Damit gibt es \(12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8=95\,040\) Muster. 3. Das Gegenereignis zu „mindestens eine Farbe kommt mehrfach vor“ lautet „alle fünf Farben sind verschieden“. 4. Von den \(248\,832\) gleich wahrscheinlichen Mustern haben \(95\,040\) fünf verschiedene Farben. Daher gilt \(P(\text{alle Farben verschieden})=\frac{95040}{248832}=\frac{55}{144}\). Somit ist \(P(\text{mindestens eine Wiederholung})=1-\frac{55}{144}=\frac{89}{144}\approx0{,}6181\).

a) \(248\,832\) b) \(95\,040\) c) \(\frac{89}{144}\approx61{,}81\,\%\)

- Übersetze die beiden Spielergruppen in zwei Kugelarten eines Urnenmodells. - Für a) und b) genügt jeweils ein vierstufiger Pfad. - Beachte, dass sich die Anzahlen nach jeder Ziehung ohne Zurücklegen verändern.

a) Schreibe \(R\) für ein Mitglied des Mannschaftsrats. Damit genau diese vier Spieler ausgewählt werden, muss bei vier Ziehungen ohne Zurücklegen der Pfad \(RRRR\) eintreten: \(P=\frac{4}{22}\cdot\frac{3}{21}\cdot\frac{2}{20}\cdot\frac{1}{19}=\frac{1}{7315}\approx 0{,}000137\). b) Es gibt \(18\) Spieler außerhalb des Mannschaftsrats. Für vier solche Spieler hintereinander gilt \(P=\frac{18}{22}\cdot\frac{17}{21}\cdot\frac{16}{20}\cdot\frac{15}{19}=\frac{612}{1463}\approx 0{,}4183\). c) Eine Urne enthält \(22\) Kugeln. Vier Kugeln sind als „Mannschaftsrat“ markiert, die übrigen \(18\) als „andere Spieler“. Es werden vier Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.

a) \(\frac{1}{7315}\approx 0{,}0137\,\%\) b) \(\frac{612}{1463}\approx 41{,}83\,\%\) c) Urne mit \(4\) markierten und \(18\) unmarkierten Kugeln; vier Ziehungen ohne Zurücklegen.

- Welche zwei getrennten Auswahlen ergeben zusammen ein Team mit genau vier Studierenden? - Wodurch erhältst du in b) die Gesamtzahl aller gleich wahrscheinlichen Teams? - Welche zwei disjunkten Teamarten werden in c) addiert?

1. a) Für die vier Studierenden gibt es \(\binom{15}{4}\) Möglichkeiten, für die zwei Berufstätigen \(\binom{10}{2}\). Nach dem Produktprinzip gibt es \(\binom{15}{4}\binom{10}{2}=61\,425\) passende Teams. 2. b) Insgesamt gibt es \(\binom{25}{6}=177\,100\) gleich wahrscheinliche Teams. Daher ist \(P(X=4)=\frac{61425}{177100}=\frac{351}{1012}\). 3. c) \(\binom{15}{6}\) zählt Teams ausschließlich aus Studierenden, \(\binom{10}{6}\) Teams ausschließlich aus Berufstätigen. Die Summe zählt beide disjunkten Fälle.

a) \(61\,425\) b) \(P(X=4)=\frac{351}{1012}\) c) Anzahl der Teams, die ausschließlich aus Studierenden oder ausschließlich aus Berufstätigen bestehen.

- Wie viele Teamplätze sind noch frei, wenn Sophie und Leon bereits feststehen? - Welches Zählprinzip verknüpft die Auswahl von Mädchen und Jungen zu einem vollständigen Team? - Was bleibt übrig, wenn du von allen Teams diejenigen ohne Mädchen abziehst?

1. Für \(A\) sind Sophie und Leon fest im Team. Die übrigen zwei Plätze werden aus den \(16\) verbleibenden Personen gewählt. Daher ist \(P(A)=\frac{\binom{16}{2}}{\binom{18}{4}}\). 2. Für \(B\) werden zwei der zehn Mädchen und zwei der acht Jungen ausgewählt. Nach dem Produktprinzip ist \(P(B)=\frac{\binom{10}{2}\binom{8}{2}}{\binom{18}{4}}\). 3. In b) zählt \(\binom{18}{4}\) alle Teams und \(\binom{8}{4}\) die Teams ausschließlich aus Jungen. Die Differenz zählt daher Teams mit mindestens einem Mädchen.

a) \(P(A)=\frac{\binom{16}{2}}{\binom{18}{4}}\); \(P(B)=\frac{\binom{10}{2}\binom{8}{2}}{\binom{18}{4}}\) b) „Dem Team gehört mindestens ein Mädchen an.“

- Entscheide in a) und b), ob Rollen beziehungsweise Reihenfolge eine Rolle spielen. - Welche zwei Teilgruppen müssen für \(X=3\) in c) ausgewählt werden? - Vergleiche in c) die günstigen Fünfergruppen mit allen möglichen Fünfergruppen.

1. a) Zum Beispiel: „Wie viele Möglichkeiten gibt es, die vier unterschiedlichen Ämter Vorsitz, Protokoll, Kasse und Moderation unter den \(25\) Jugendlichen zu verteilen?“ Da die Ämter verschieden sind, ist die Zuordnung entscheidend. 2. b) Zum Beispiel: „Wie viele verschiedene sechsköpfige Gruppen können aus den \(25\) Jugendlichen für den Ausflug gebildet werden?“ Hier spielt die Reihenfolge keine Rolle. 3. c) Für drei weibliche und zwei nicht weibliche Jugendliche gibt es \(\binom{15}{3}\binom{10}{2}=20\,475\) günstige Gruppen. Insgesamt gibt es \(\binom{25}{5}=53\,130\) Gruppen. Daher ist \(P(X=3)=\frac{20475}{53130}=\frac{195}{506}\).

a) Zum Beispiel: „Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier unterschiedliche Ämter unter den \(25\) Jugendlichen zu verteilen?“ b) Zum Beispiel: „Wie viele verschiedene sechsköpfige Gruppen können aus den \(25\) Jugendlichen gebildet werden?“ c) \(P(X=3)=\frac{195}{506}\)

- Für „alle gleich“ gibt es je einen Pfad pro Füllung. - Für „alle verschieden“ liste die möglichen Reihenfolgen der drei Füllungen auf. - Vergleiche die Faktoren der sechs Pfade mit drei verschiedenen Füllungen, bevor du sie addierst.

1. Schreibe \(M\), \(N\) und \(K\) für die drei Füllungen. Für dreimal dieselbe Füllung sind die Pfade \(MMM\), \(NNN\) und \(KKK\) günstig: \(P(MMM)=\frac{8}{18}\cdot\frac{7}{17}\cdot\frac{6}{16}\), \(P(NNN)=\frac{6}{18}\cdot\frac{5}{17}\cdot\frac{4}{16}\), \(P(KKK)=\frac{4}{18}\cdot\frac{3}{17}\cdot\frac{2}{16}\). Die Summe ist \(P(\text{gleich})=\frac{5}{51}\approx 0{,}0980\). 2. Für drei verschiedene Füllungen sind die sechs Pfade \(MNK\), \(MKN\), \(NMK\), \(NKM\), \(KMN\) und \(KNM\) günstig. Jeder hat dieselben Faktoren und damit die Wahrscheinlichkeit \(\frac{8}{18}\cdot\frac{6}{17}\cdot\frac{4}{16}\). Daher \(P(\text{alle verschieden})=6\cdot\frac{8}{18}\cdot\frac{6}{17}\cdot\frac{4}{16}=\frac{4}{17}\approx 0{,}2353\).

1. \(\frac{5}{51}\approx 9{,}80\,\%\) 2. \(\frac{4}{17}\approx 23{,}53\,\%\)

- Liste für die kleine Zielsumme die geordneten Tripel systematisch auf. - Überlege bei drei verschiedenen Zahlen, wie viele ihrer möglichen Reihenfolgen streng fallend sind. - Bei „größte Zahl höchstens \(4\)“ muss jede der drei Stellen aus derselben Teilmenge stammen.

1. Bei drei Ziehungen gibt es \(10^3=1000\) gleich wahrscheinliche Zahlentripel. Die Summe \(5\) entsteht bei \((1,1,3)\), \((1,3,1)\), \((3,1,1)\), \((1,2,2)\), \((2,1,2)\) und \((2,2,1)\). Daher gilt \(P=\frac{6}{1000}=0{,}006\). 2. Für drei verschiedene Zahlen gibt es \(10\cdot9\cdot8=720\) geordnete Tripel. Zu jeder Auswahl von drei verschiedenen Zahlen gehören sechs Reihenfolgen; genau eine davon ist streng fallend. Daher gibt es \(720:6=120\) günstige Tripel und somit \(P=\frac{120}{1000}=0{,}12\). 3. Die größte Zahl ist höchstens \(4\), wenn bei jeder Ziehung eine Zahl aus \(1\) bis \(4\) erscheint. Es gibt \(4^3=64\) günstige Tripel. Daher gilt \(P=\frac{64}{1000}=0{,}064\).

1. \(P=0{,}006\) 2. \(P=0{,}12\) 3. \(P=0{,}064\)

- Lies die Farbanzahlen aus der Urne ab und stelle für a) und b) die Pfade Rot-Rot und Blau-Blau gegenüber. - Achte beim Fall ohne Zurücklegen auf die veränderten Anzahlen beim zweiten Zug. - Für c) ist das Gegenereignis „keine rote Kugel“ besonders kurz.

1. Aus der Abbildung liest man \(4\) rote und \(6\) blaue Kugeln ab. 2. Mit Zurücklegen ist \(P(\text{gleichfarbig})=\frac{4}{10}\cdot\frac{4}{10}+\frac{6}{10}\cdot\frac{6}{10}=\frac{13}{25}=0{,}52\). 3. Ohne Zurücklegen ist \(P(\text{gleichfarbig})=\frac{4}{10}\cdot\frac{3}{9}+\frac{6}{10}\cdot\frac{5}{9}=\frac{7}{15}\approx0{,}4667\). 4. Für „mindestens eine rote Kugel“ ist das Gegenereignis „zweimal Blau“. Mit Zurücklegen ergibt sich \(1-\frac{6}{10}\cdot\frac{6}{10}=\frac{16}{25}=0{,}64\); ohne Zurücklegen ergibt sich \(1-\frac{6}{10}\cdot\frac{5}{9}=\frac{2}{3}\approx0{,}6667\). Damit ist die Wahrscheinlichkeit ohne Zurücklegen größer.

a) \(\frac{13}{25}=52\,\%\) b) \(\frac{7}{15}\approx46{,}67\,\%\) c) Ohne Zurücklegen: \(\frac{2}{3}\approx66{,}67\,\%\); mit Zurücklegen: \(64\,\%\). Ohne Zurücklegen ist die Wahrscheinlichkeit größer.

- Zähle zuerst, wie viele Kugeln von jeder Farbe in der Urne sind. - Wie verändert sich die Anzahl einer Farbe nach dem ersten Zug ohne Zurücklegen? - Für b) kann das Gegenereignis „gleiche Farbe“ kürzer sein als alle verschiedenfarbigen Pfade einzeln.

1. Insgesamt gibt es \(9\) Kugeln: \(4\) rote, \(3\) blaue und \(2\) grüne. 2. Für zwei rote Kugeln gilt \(P=\frac{4}{9}\cdot\frac{3}{8}=\frac{1}{6}\approx16{,}7\,\%\). 3. Für gleiche Farben gilt \(P=\frac{4}{9}\cdot\frac{3}{8}+\frac{3}{9}\cdot\frac{2}{8}+\frac{2}{9}\cdot\frac{1}{8}=\frac{5}{18}\). 4. Daher ist \(P(\text{unterschiedliche Farben})=1-\frac{5}{18}=\frac{13}{18}\approx72{,}2\,\%\).

a) \(\frac{1}{6}\approx16{,}7\,\%\) b) \(\frac{13}{18}\approx72{,}2\,\%\)

- Zähle die Buchstaben direkt auf den Kugeln der Abbildung. - Vergleiche bei a) und b), ob sich die Urnenzusammensetzung zwischen den Zügen verändert. - Liste bei c) die möglichen Reihenfolgen von N, A und S ausdrücklich auf.

Aus der Abbildung liest man \(3\) A-Kugeln, \(2\) N-Kugeln und \(1\) S-Kugel ab. a) Mit Zurücklegen gilt \(P(\text{NAS})=\frac{2}{6}\cdot\frac{3}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{36}\approx 0{,}0278\). b) Ohne Zurücklegen gilt für den festen Pfad NAS \(P(\text{NAS})=\frac{2}{6}\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{20}=0{,}05\). c) Günstig sind die sechs Reihenfolgen NAS, NSA, ANS, ASN, SNA und SAN. Jeder Pfad enthält je ein N, ein A und ein S und hat deshalb dieselbe Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{20}\). Daher \(P=6\cdot\frac{1}{20}=\frac{3}{10}=0{,}3\).

a) \(\frac{1}{36}\approx 2{,}78\,\%\) b) \(\frac{1}{20}=5\,\%\) c) \(\frac{3}{10}=30\,\%\)

- Lies die drei Farbanzahlen aus der Urne ab. - Für a) gibt es je einen gleichfarbigen Pfad pro Farbe; für b) kannst du die nicht-lila Kugeln zusammenfassen. - Für c) ist das Gegenereignis mit zwei nicht-orangefarbenen Ziehungen besonders kurz.

1. Aus der Abbildung liest man \(2\) orangefarbene, \(3\) lila und \(5\) graue Kugeln ab. 2. Für gleiche Farben gilt \(P=\frac{2}{10}\cdot\frac{1}{9}+\frac{3}{10}\cdot\frac{2}{9}+\frac{5}{10}\cdot\frac{4}{9}=\frac{14}{45}\approx0{,}3111\). 3. Sieben Kugeln sind nicht lila. Daher ist \(P(\text{keine lila Kugel})=\frac{7}{10}\cdot\frac{6}{9}=\frac{7}{15}\approx0{,}4667\). 4. Das Gegenereignis zu „mindestens eine orangefarbene Kugel“ ist „keine orangefarbene Kugel“. Somit ist \(P=1-\frac{8}{10}\cdot\frac{7}{9}=\frac{17}{45}\approx0{,}3778\).

a) \(\frac{14}{45}\approx31{,}11\,\%\) b) \(\frac{7}{15}\approx46{,}67\,\%\) c) \(\frac{17}{45}\approx37{,}78\,\%\)

- Lies die beiden Farbanzahlen direkt aus der Urne ab. - Zwei verschiedene Farben entstehen über die Pfade Gelb-Grün und Grün-Gelb. - Vergleiche besonders die Astwahrscheinlichkeit beim zweiten Zug in den beiden Modellen.

1. Aus der Abbildung liest man \(3\) gelbe und \(2\) grüne Kugeln ab. 2. Mit Zurücklegen gilt \(P(\text{verschieden})=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{5}+\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{5}=\frac{12}{25}=0{,}48\). 3. Ohne Zurücklegen gilt \(P(\text{verschieden})=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}+\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{5}=0{,}6\). 4. Damit ist die Wahrscheinlichkeit ohne Zurücklegen größer.

Ohne Zurücklegen ist die Wahrscheinlichkeit mit \(60\,\%\) größer als mit Zurücklegen mit \(48\,\%\).

- Lies die fünf Zahlen direkt auf den Kugeln ab. - Stelle die beiden Ziehungen als geordnetes Paar dar. - Nutze entweder eine systematische Liste oder die Symmetrie zwischen „zweite größer“ und „erste größer“.

1. Aus der Abbildung liest man die Zahlen \(1\) bis \(5\) ab. Ohne Zurücklegen entstehen \(5\cdot4=20\) gleich wahrscheinliche geordnete Paare. 2. Günstig sind \((1,2)\), \((1,3)\), \((1,4)\), \((1,5)\), \((2,3)\), \((2,4)\), \((2,5)\), \((3,4)\), \((3,5)\) und \((4,5)\). Das sind \(10\) Paare. 3. Daher gilt \(P=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}\). Alternativ sind „zweite Zahl größer“ und „erste Zahl größer“ symmetrisch; Gleichheit ist ohne Zurücklegen unmöglich.

\(P=\frac{1}{2}=50\,\%\)

- Lies die beiden Farbanzahlen aus der Urne ab. - Für b) gibt es zwei verschiedene Reihenfolgen der Farben. - Für c) kannst du ein Ergebnis aus a) als Gegenereignis wiederverwenden.

1. Aus der Abbildung liest man \(5\) gelbe und \(3\) grüne Kugeln ab. 2. Für Gelb-Gelb gilt \(P=\frac{5}{8}\cdot\frac{4}{7}=\frac{5}{14}\). 3. Unterschiedliche Farben entstehen über Gelb-Grün oder Grün-Gelb. Daher ist \(P=\frac{5}{8}\cdot\frac{3}{7}+\frac{3}{8}\cdot\frac{5}{7}=\frac{15}{28}\). 4. Das Gegenereignis zu „mindestens eine grüne Kugel“ ist „beide gelb“. Mit dem Ergebnis aus Schritt 2 folgt \(P=1-\frac{5}{14}=\frac{9}{14}\).

a) \(\frac{5}{14}\) b) \(\frac{15}{28}\) c) \(\frac{9}{14}\)

- Zähle die Häufigkeiten der benötigten Buchstaben direkt in der Urne. - Prüfe für jede Teilaufgabe, ob sich die Zusammensetzung nach einem Zug ändert. - Liste bei c) die verschiedenen Reihenfolgen von A, K und T aus, statt eine Zählformel zu verwenden.

1. Aus der Abbildung liest man \(9\) Kugeln ab: \(2\) mit S, \(3\) mit T, \(1\) mit A, \(2\) mit I und \(1\) mit K. 2. Mit Zurücklegen gilt für „SIS“ \(P=\frac{2}{9}\cdot\frac{2}{9}\cdot\frac{2}{9}=\frac{8}{729}\approx0{,}0110\). 3. Ohne Zurücklegen gilt für den festen Pfad „TIT“ \(P=\frac{3}{9}\cdot\frac{2}{8}\cdot\frac{2}{7}=\frac{1}{42}\approx0{,}0238\). 4. Für A, K und T in beliebiger Reihenfolge sind „AKT“, „ATK“, „KAT“, „KTA“, „TAK“ und „TKA“ günstig. Jeder Pfad hat die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{8}\cdot\frac{3}{7}=\frac{1}{168}\). Nach der Summenregel gilt daher \(P=6\cdot\frac{1}{168}=\frac{1}{28}\approx0{,}0357\).

a) \(\frac{8}{729}\approx0{,}0110\) b) \(\frac{1}{42}\approx0{,}0238\) c) \(\frac{1}{28}\approx0{,}0357\)

- Überlege dir, wie viele Bonbons nach jedem Zug noch in der Schüssel sind. - Wie hängen die Wahrscheinlichkeiten an den zwei Ästen eines Knotens zusammen? - Welche Regel gilt für die Wahrscheinlichkeit eines vollständigen Pfades? - Was passiert beim Multiplizieren der Brüche entlang des Pfades zum dritten Kind?

1. Da es zu Beginn \(20\) Bonbons gibt, ist die Wahrscheinlichkeit für „keine Zitrone“ \(a=\frac{19}{20}\). In der zweiten Stufe sind noch \(19\) Bonbons in der Schüssel. Davon ist eines Zitrone, also \(b=\frac{1}{19}\) und \(c=\frac{18}{19}\). 2. Für das zweite Kind gilt nach der Produktregel entlang des Pfades \(\overline{Z}\to Z\): \(P(\text{2. Kind hat }Z)=\frac{19}{20}\cdot\frac{1}{19}=\frac{1}{20}\). 3. Für das dritte Kind lautet der Pfad \(\overline{Z}\to\overline{Z}\to Z\). Es gilt \(\frac{19}{20}\cdot\frac{18}{19}\cdot\frac{1}{18}=\frac{1}{20}\). Durch das Kürzen bleibt der ursprüngliche Nenner \(20\) erhalten.

a) \(a=\frac{19}{20}\), \(b=\frac{1}{19}\), \(c=\frac{18}{19}\) b) \(\frac{1}{20}\) c) Ebenfalls \(\frac{1}{20}\), da \(\frac{19}{20}\cdot\frac{18}{19}\cdot\frac{1}{18}=\frac{1}{20}\).

- Berechne in beiden Modellen die beiden gleichfarbigen Pfade. - Achte darauf, ob sich die Anteile nach dem ersten Zug ändern.

1. Mit Zurücklegen: \(\left(\frac{4}{6}\right)^2+\left(\frac{2}{6}\right)^2=\frac{20}{36}=\frac{5}{9}\). 2. Ohne Zurücklegen: \(\frac{4}{6}\cdot\frac{3}{5}+\frac{2}{6}\cdot\frac{1}{5}=\frac{14}{30}=\frac{7}{15}\). 3. Vergleich: \(\frac{5}{9}>\frac{7}{15}\); mit Zurücklegen ist das Ereignis wahrscheinlicher.

Mit Zurücklegen: \(\frac{5}{9}\); ohne Zurücklegen: \(\frac{7}{15}\).

- Welche vollständigen Pfade des Baums enthalten genau zwei rote Ergebnisse? - Verwende für jeden günstigen Pfad die drei angegebenen Astwahrscheinlichkeiten. - Fasse anschließend die günstigen Pfadwahrscheinlichkeiten zusammen.

1. Schreibe \(R\) für Rot und \(B\) für Blau. Für genau zwei rote Kugeln sind die Pfade \((R,R,B)\), \((R,B,R)\) und \((B,R,R)\) günstig. 2. Nach der Produktregel haben die drei Pfade die Wahrscheinlichkeiten \(\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{5}\), \(\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{5}\) und \(\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{5}\). 3. Nach der Summenregel gilt \(P=\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}=\frac{3}{5}\).

\(\frac{3}{5}=60\,\%\)

- Für „mindestens einmal Gold“ ist das Gegenereignis besonders einfach zu beschreiben. - Vergleiche in beiden Bäumen den Pfad, auf dem zweimal grau gezogen wird. - Achte darauf, dass sich im Baum ohne Zurücklegen die zweite Astwahrscheinlichkeit nach der ersten Ziehung verändert.

a) Mit Zurücklegen ist nur der Pfad grau–grau ungünstig. Daher gilt \(P(\text{mindestens einmal Gold})=1-\frac{4}{5}\cdot\frac{4}{5}=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}=0{,}36\). b) Ohne Zurücklegen ist ebenfalls nur grau–grau ungünstig. Daher gilt \(P(\text{mindestens einmal Gold})=1-\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{4}=1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}=0{,}4\). Vergleich: Ohne Zurücklegen ist die Gewinnwahrscheinlichkeit um \(0{,}04\) beziehungsweise \(4\) Prozentpunkte höher.

a) \(0{,}36=36\,\%\) b) \(0{,}4=40\,\%\) Ohne Zurücklegen ist die Gewinnwahrscheinlichkeit um \(4\) Prozentpunkte höher.

- Verwende zum Beispiel \(J\) für Jugendliche und \(E\) für Erwachsene und suche alle Folgen mit genau drei \(J\). - Prüfe, ob die günstigen Pfade trotz unterschiedlicher Reihenfolge dieselben Faktoren enthalten. - Berechne einen Pfad vollständig und fasse anschließend die Wahrscheinlichkeiten aller günstigen Pfade zusammen.

1. Schreibe \(J\) für jugendlich und \(E\) für erwachsen. Für genau drei Jugendliche sind die zehn Folgen \((J,J,J,E,E)\), \((J,J,E,J,E)\), \((J,J,E,E,J)\), \((J,E,J,J,E)\), \((J,E,J,E,J)\), \((J,E,E,J,J)\), \((E,J,J,J,E)\), \((E,J,J,E,J)\), \((E,J,E,J,J)\) und \((E,E,J,J,J)\) günstig. 2. Jeder dieser Pfade enthält dieselben Zähler \(10\), \(9\), \(8\) für die Jugendlichen und \(15\), \(14\) für die Erwachsenen sowie die Nenner \(25\), \(24\), \(23\), \(22\), \(21\). Daher hat jeder Pfad die Wahrscheinlichkeit \(\frac{10}{25}\cdot\frac{9}{24}\cdot\frac{8}{23}\cdot\frac{15}{22}\cdot\frac{14}{21}=\frac{6}{253}\). 3. Nach der Summenregel gilt \(P=10\cdot\frac{6}{253}=\frac{60}{253}\approx0{,}2372\).

\(P=\frac{60}{253}\approx23{,}72\,\%\)

- Für a) ordne die zwei Defekte auf die fünf Ziehungspositionen und vergleiche die Pfadprodukte. - Zerlege „höchstens ein“ in die beiden disjunkten Fälle „kein Defekt“ und „genau ein Defekt“. - Für c) kannst du den bereits berechneten Pfad ohne Defekt als Gegenereignis verwenden.

a) Schreibe \(D\) für defekt und \(I\) für intakt. Genau zwei Defekte können an zehn verschiedenen Positionsmustern auftreten. Jeder solche Pfad enthält dieselben Faktoren und hat die Wahrscheinlichkeit \(\frac{6}{40}\cdot\frac{5}{39}\cdot\frac{34}{38}\cdot\frac{33}{37}\cdot\frac{32}{36}=\frac{374}{27417}\). Damit gilt \(P(\text{genau zwei defekt})=10\cdot\frac{374}{27417}=\frac{3740}{27417}\approx 0{,}1364\). b) „Höchstens ein“ besteht aus null oder genau einem Defekt. Für keinen Defekt gilt \(P(IIIII)=\frac{34}{40}\cdot\frac{33}{39}\cdot\frac{32}{38}\cdot\frac{31}{37}\cdot\frac{30}{36}=\frac{11594}{27417}\). Für genau einen Defekt gibt es fünf mögliche Positionen. Jeder entsprechende Pfad hat die Wahrscheinlichkeit \(\frac{6}{40}\cdot\frac{34}{39}\cdot\frac{33}{38}\cdot\frac{32}{37}\cdot\frac{31}{36}\). Die Summe der fünf Pfade ist ebenfalls \(\frac{11594}{27417}\). Somit \(P(\text{höchstens ein defekt})=\frac{23188}{27417}\approx 0{,}8458\). c) Über das Gegenereignis „kein Defekt“ folgt \(P(\text{mindestens ein Defekt})=1-\frac{11594}{27417}=\frac{15823}{27417}\approx 0{,}5771\).

a) \(P\approx 13{,}64\,\%\) b) \(P\approx 84{,}58\,\%\) c) \(P\approx 57{,}71\,\%\)

- Welche Auswahl wird innerhalb jeder der beiden Buchgruppen getroffen? - Warum dürfen die Anzahlen der beiden Teilwahlen multipliziert werden? - Welche beiden exakten Zusammensetzungen gehören zu „mindestens sieben Kriminalromane“?

1. a) Zuerst werden fünf der \(18\) Kriminalromane und drei der \(12\) historischen Romane ausgewählt. Jede Wahl aus der ersten Gruppe kann mit jeder Wahl aus der zweiten Gruppe kombiniert werden. Nach dem Produktprinzip gibt es \(\binom{18}{5}\binom{12}{3}\) solche Auswahlen. 2. b) „Mindestens sieben“ umfasst genau sieben oder genau acht Kriminalromane. Die Zahl günstiger Auswahlen ist \(\binom{18}{7}\binom{12}{1}+\binom{18}{8}\binom{12}{0}=425\,646\). 3. Insgesamt gibt es \(\binom{30}{8}=5\,852\,925\) Auswahlen. Daher ist \(P=\frac{425646}{5852925}=\frac{3638}{50025}\).

a) Nach dem Produktprinzip: \(\binom{18}{5}\binom{12}{3}\). b) \(P=\frac{3638}{50025}\).

- Prüfe kleine natürliche Werte für \(n\) nacheinander. - Wie viele Stationszuordnungen sind bei einem festen \(n\) insgesamt gleich wahrscheinlich? - Wie viele Zuordnungen bleiben günstig, wenn jede Station höchstens einmal vergeben werden darf? - Für die Minimalität musst du den letzten Wert oberhalb und den ersten Wert unterhalb der Grenze vergleichen.

1. Für \(n=1\) gibt es genau eine Zuordnung; sie ist günstig. Daher ist die Wahrscheinlichkeit \(1\). 2. Für \(n=2\) gibt es \(2^2=4\) gleich wahrscheinliche Zuordnungen. In \(2\) davon erhalten die beiden Gruppen verschiedene Stationen. Daher ist \(P=\frac{2}{4}=0{,}5\). 3. Für \(n=3\) gibt es \(3^3=27\) Zuordnungen. Für drei verschiedene Stationen gibt es \(3\cdot2\cdot1=6\) günstige Zuordnungen. Daher ist \(P=\frac{6}{27}=\frac{2}{9}\approx0{,}2222\). 4. Für \(n=4\) gibt es \(4^4=256\) Zuordnungen. Für vier verschiedene Stationen gibt es \(4\cdot3\cdot2\cdot1=24\) günstige Zuordnungen. Daher ist \(P=\frac{24}{256}=\frac{3}{32}=0{,}09375\). 5. Bei \(n=3\) liegt die Wahrscheinlichkeit noch über \(10\,\%\), bei \(n=4\) erstmals darunter. Der kleinste gesuchte Wert ist daher \(n=4\).

\(n=4\)

- Betrachte das Gegenereignis „alle Geburtsmonate verschieden“. - Wie viele gleich wahrscheinliche Monatszuordnungen gibt es für einen festen Wert von \(k\)? - Wie viele Möglichkeiten bleiben für die nächste Person, wenn bisher alle Monate verschieden sind? - Vergleiche benachbarte Werte von \(k\), damit die Minimalität gesichert ist.

1. Das Gegenereignis lautet: Alle \(k\) Jugendlichen haben verschiedene Geburtsmonate. 2. Für \(k=4\) gibt es \(12^4\) gleich wahrscheinliche Monatszuordnungen. Für vier verschiedene Monate sind \(12\cdot11\cdot10\cdot9\) Zuordnungen günstig. Daher gilt \(P(\text{alle verschieden})=\frac{55}{96}\approx0{,}5729\) und somit \(P(\text{mindestens zwei gleich})\approx0{,}4271\). 3. Für \(k=5\) gibt es \(12^5\) gleich wahrscheinliche Zuordnungen. Für fünf verschiedene Monate sind \(12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8\) günstig. Damit gilt \(P(\text{alle verschieden})=\frac{55}{144}\approx0{,}3819\) und \(P(\text{mindestens zwei gleich})=1-\frac{55}{144}=\frac{89}{144}\approx0{,}6181\). 4. Mit jeder zusätzlichen Person kann eine bereits vorhandene Monatsübereinstimmung nicht wieder verschwinden; die Kollisionswahrscheinlichkeit nimmt daher nicht ab. Da die Grenze bei \(k=4\) noch nicht und bei \(k=5\) überschritten wird, ist \(k=5\) minimal.

\(k=5\)

- Lies für a) zuerst die Anzahl der Kugeln jeder Farbe aus der Abbildung ab. - Arbeite für b) systematisch mit den Zahlen auf den konkreten Kugeln und prüfe, welche Summen Primzahlen sind. - Welche Reihenfolgen sind bei c) möglich, wenn von den beiden genannten Farben jeweils genau eine Kugel vorkommen soll?

1. Aus der Abbildung liest man \(3\) rote, \(2\) blaue und \(2\) grüne Kugeln ab. Für gleiche Farben gilt \(P=\frac{3}{7}\cdot\frac{2}{6}+\frac{2}{7}\cdot\frac{1}{6}+\frac{2}{7}\cdot\frac{1}{6}=\frac{5}{21}\). 2. Insgesamt gibt es \(21\) ungeordnete Paare der sieben konkreten Kugeln. Eine systematische Prüfung der Zahlenpaare ergibt \(12\) Paare mit einer Primzahlsumme. Daher ist \(P=\frac{12}{21}=\frac{4}{7}\). 3. Für genau eine rote und eine grüne Kugel gilt \(P=\frac{3}{7}\cdot\frac{2}{6}+\frac{2}{7}\cdot\frac{3}{6}=\frac{2}{7}\).

a) \(\frac{5}{21}\approx23{,}81\,\%\) b) \(\frac{4}{7}\approx57{,}14\,\%\) c) \(\frac{2}{7}\approx28{,}57\,\%\)

- Bezeichne die unbekannte Zahl einer Farbe mit einer Variablen. - Drücke den gezeigten Pfad mit dieser Variablen aus. - Prüfe, ob mehrere ganzzahlige Lösungen möglich sind.

1. Mit \(r\) roten Kugeln: \(P(RB)=\frac{r}{8}\cdot\frac{8-r}{7}=\frac{15}{56}\). 2. Gleichung: \(r(8-r)=15\). 3. Lösungen: \(r=3\) oder \(r=5\). 4. Zusammensetzungen: \(3\) rot und \(5\) blau oder \(5\) rot und \(3\) blau.

Möglich sind \(3\) rote und \(5\) blaue oder \(5\) rote und \(3\) blaue Kugeln.

- Übersetze den roten Pfad in einen Term mit der Unbekannten. - Beachte, dass nach dem ersten roten Zug eine rote Kugel weniger vorhanden ist.

1. Gleichung: \(\frac{x}{10}\cdot\frac{x-1}{9}=\frac{2}{15}\). 2. Umformung: \(x(x-1)=12\). 3. Ganzzahlige Lösung im Bereich \(0\le x\le10\): \(x=4\).

\(x=4\) rote Kugeln.