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- Überlege dir zuerst, wie viele Pralinen insgesamt in der Schachtel sind und wie viele davon keine Marzipanfüllung haben. - Stell dir den Vorgang als zweistufiges Experiment vor. Wie verändert sich die Anzahl der Pralinen in der Schachtel nach dem ersten Ziehen? - Hilft dir ein Baumdiagramm, um die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades zu verknüpfen?

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Pralinen (\(24\)) und der Anzahl der Nougatpralinen (\(24 - 4 = 20\)). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für die erste Nougatpraline: \(P(N_1) = \frac{20}{24} = \frac{5}{6}\). 3. Da die Praline nicht zurückgelegt wird, verbleiben \(23\) Pralinen, davon \(19\) mit Nougat. Wahrscheinlichkeit für die zweite Nougatpraline: \(P(N_2 | N_1) = \frac{19}{23}\). 4. Anwendung der Pfadregel für das Ereignis „beide Nougat“: \(P(N_1 \cap N_2) = \frac{5}{6} \cdot \frac{19}{23} = \frac{95}{138}\). 5. Dezimalwert gerundet: \(\approx 0{,}6884\) (entspricht \(68{,}84\,\%\)).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{95}{138} \approx 0{,}6884\) (oder \(68{,}84\,\%\)).

- Überlege dir, wie viele Pralinen insgesamt in der Schachtel sind und wie viele davon jeweils die gewünschte Eigenschaft haben. - Was passiert mit der Gesamtzahl der Pralinen in der Schachtel, wenn du eine herausnimmst und nicht wieder hineinlegst? - Wie ändert sich die Anzahl der Pralinen einer Sorte nach jedem Zug? - Stell dir das Experiment wie einen Pfad in einem Baumdiagramm vor. Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten Pfad?

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für drei Pralinen mit dunkler Schokolade: Da die Pralinen nicht zurückgelegt werden, verringert sich die Anzahl der verfügbaren dunklen Pralinen und die Gesamtanzahl mit jedem Zug. Es ergibt sich \(P(\text{3 dunkle}) = \frac{8}{12} \cdot \frac{7}{11} \cdot \frac{6}{10} = \frac{2}{3} \cdot \frac{7}{11} \cdot \frac{3}{5} = \frac{14}{55} \approx 0{,}2545\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für drei Pralinen mit heller Schokolade: Analog verringert sich die Anzahl der hellen Pralinen. Es ergibt sich \(P(\text{3 helle}) = \frac{4}{12} \cdot \frac{3}{11} \cdot \frac{2}{10} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{11} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{55} \approx 0{,}0182\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{14}{55}\) (ca. \(25{,}5\,\%\)). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{55}\) (ca. \(1{,}8\,\%\)).

- Achte darauf, dass sich sowohl die Anzahl der gewünschten Münzen als auch die Gesamtzahl im zweiten Zug ändert. - Wie viele Möglichkeiten gibt es, zwei Münzen mit der gleichen Farbe zu ziehen? - Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades im Baumdiagramm. - Addiere die Ergebnisse der Pfade, die für die jeweilige Teilaufgabe relevant sind.

1. Die Gesamtzahl der Münzen im Beutel ist \(3 + 5 = 8\). 2. Die Wahrscheinlichkeit für die Abfolge erst Gold, dann Silber berechnet sich zu \(P(gs) = \frac{3}{8} \cdot \frac{5}{7} = \frac{15}{56}\). 3. Für das Ereignis „gleiche Farbe“ müssen die Wahrscheinlichkeiten der Pfade Gold-Gold (\(gg\)) und Silber-Silber (\(ss\)) addiert werden. 4. Die Wahrscheinlichkeit für zwei goldene Münzen ist \(P(gg) = \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{7} = \frac{6}{56}\). 5. Die Wahrscheinlichkeit für zwei silberne Münzen ist \(P(ss) = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{20}{56}\). 6. Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist \(P(\text{gleiche Farbe}) = \frac{6}{56} + \frac{20}{56} = \frac{26}{56} = \frac{13}{28}\).

a) \(P(\text{gold, silber}) = \frac{15}{56}\) b) \(P(\text{gleiche Farbe}) = \frac{13}{28}\)

- Überlege dir zuerst, wie viele Personen in jede Gruppe müssen. - Wie viele Möglichkeiten gibt es, die erste Gruppe zusammenzustellen? - Bleibt für die zweite Gruppe noch eine Wahlmöglichkeit, wenn die erste Gruppe feststeht? - Spielt es eine Rolle, welche der beiden Gruppen zuerst gewählt wurde, wenn beide die gleiche Aufgabe haben?

1. Berechnung der Möglichkeiten, 4 Personen aus den 8 Teilnehmern für die erste Gruppe auszuwählen: \(\binom{8}{4} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70\). 2. Die restlichen 4 Personen bilden automatisch die zweite Gruppe. 3. Da die beiden Gruppen nicht durch Namen oder Aufgaben unterschieden werden (eine Aufteilung in Gruppe A und B wäre hier doppelt gezählt), muss das Ergebnis durch \(2\) dividiert werden. 4. \(70 : 2 = 35\).

Es gibt 35 Möglichkeiten.

- Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, bei drei Zügen genau ein Ass zu erhalten? - Beachte, dass sich die Gesamtzahl der Karten im Stapel bei jedem Zug verringert. - Berechne die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Reihenfolge (z. B. Ass zuerst, dann zwei andere Karten) und überlege, wie oft diese Wahrscheinlichkeit insgesamt auftritt.

1. Identifikation der möglichen Pfade für genau ein Ass bei drei Zügen: \(A\bar{A}\bar{A}\), \(\bar{A}A\bar{A}\) und \(\bar{A}\bar{A}A\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für einen Pfad, z. B. \(P(A\bar{A}\bar{A}) = \frac{4}{32} \cdot \frac{28}{31} \cdot \frac{27}{30}\). 3. Kürzen und Multiplizieren: \(\frac{1}{8} \cdot \frac{28}{31} \cdot \frac{9}{10} = \frac{7 \cdot 9}{2 \cdot 31 \cdot 10} = \frac{63}{620}\). 4. Da alle drei Pfade die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen, wird das Ergebnis mit \(3\) multipliziert: \(P(\text{genau ein Ass}) = 3 \cdot \frac{63}{620} = \frac{189}{620}\). 5. Dezimalwert gerundet: \(\approx 0{,}3048\) (entspricht \(30{,}48\,\%\)).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{189}{620} \approx 0{,}3048\) (oder \(30{,}48\,\%\)).

- Stell dir vor, die Lose würden nacheinander gezogen. Macht es für die Wahrscheinlichkeit einen Unterschied, ob man sie gleichzeitig oder nacheinander ohne Zurücklegen zieht? - Wie viele Nieten befinden sich zu Beginn in der Trommel? - Wie verändern sich die Gewinnchancen für das zweite und dritte Los, wenn das erste bereits ein Gewinn (oder eine Niete) war? - Kannst du die Wahrscheinlichkeit als Produkt von drei Brüchen darstellen?

1. Bestimmung der Anzahl der Nieten: \(15 - 6 = 9\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für drei Gewinnlose: Das gleichzeitige Ziehen entspricht dem Ziehen ohne Zurücklegen. Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich als \(P(\text{3 Gewinne}) = \frac{6}{15} \cdot \frac{5}{14} \cdot \frac{4}{13} = \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{14} \cdot \frac{4}{13} = \frac{4}{91} \approx 0{,}0440\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für drei Nieten: \(P(\text{3 Nieten}) = \frac{9}{15} \cdot \frac{8}{14} \cdot \frac{7}{13} = \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{7}{13} = \frac{12}{65} \approx 0{,}1846\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{4}{91}\) (ca. \(4{,}4\,\%\)). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{12}{65}\) (ca. \(18{,}5\,\%\)).

- Überlege dir zuerst, wie viele verschiedene Gruppen von 4 Personen man insgesamt aus den 12 Personen bilden kann. - Spielt die Reihenfolge, in der die Personen gezogen werden, für die Zusammensetzung der Gruppe eine Rolle? - Wie viele dieser möglichen Gruppen entsprechen genau der gesuchten Kombination aus Anna, Ben, Clara und David? - Setze die Anzahl der günstigen Möglichkeiten ins Verhältnis zur Gesamtzahl aller Möglichkeiten.

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Möglichkeiten, 4 Personen aus einer Gruppe von 12 ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auszuwählen: \(\binom{12}{4} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 495\). 2. Bestimmung der Anzahl der günstigen Ergebnisse: Da eine ganz bestimmte Gruppe von 4 Personen gesucht ist, gibt es genau \(1\) günstiges Ergebnis. 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P\) als Quotient aus günstigen und möglichen Ergebnissen: \(P = \frac{1}{495}\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{495}\) (ca. \(0{,}2\,\%\)).

- Überlege dir zuerst, wie viele Möglichkeiten es insgesamt gibt, eine bestimmte Anzahl an Objekten aus einer Menge zu wählen. - Spielt die Reihenfolge, in der Max die Lose kauft, für das Ergebnis eine Rolle? - Wie viele Lose in der Trommel erfüllen jeweils die Bedingung, die in der Aufgabe genannt wird? - Wenn ein bestimmtes Los bereits fest in deiner Auswahl eingeplant ist, wie viele Lose musst du dann noch aus den restlichen Losen auswählen?

1. Berechnung der Gesamtzahl der Möglichkeiten, \(5\) Lose aus \(30\) zu ziehen: \(\binom{30}{5} = 142\,506\). 2. Für Teilaufgabe a): Es gibt nur eine günstige Möglichkeit, alle \(5\) Gewinnlose zu ziehen: \(\binom{5}{5} = 1\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(A) = \frac{1}{142\,506} \approx 0{,}000007\). 3. Für Teilaufgabe b): Anzahl der Möglichkeiten, \(5\) Nieten aus den \(25\) Nicht-Gewinnlosen zu ziehen: \(\binom{25}{5} = 53\,130\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(B) = \frac{53\,130}{142\,506} = \frac{8\,855}{23\,751} \approx 0{,}3728\). 4. Für Teilaufgabe c): Wenn ein bestimmtes Los feststeht, müssen die restlichen \(4\) Plätze aus den verbleibenden \(29\) Losen besetzt werden: \(\binom{29}{4} = 23\,751\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(C) = \frac{23\,751}{142\,506} = \frac{1}{6} \approx 0{,}1667\).

a) \(P \approx 0{,}000007\) (oder \(\frac{1}{142\,506}\)) b) \(P \approx 0{,}3728\) (oder \(\frac{8\,855}{23\,751}\)) c) \(P \approx 0{,}1667\) (oder \(\frac{1}{6}\))

- Überlege dir zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeit für eine einzelne rote bzw. blaue Kugel bei einem Zug ist. - Da die Kugeln zurückgelegt werden, handelt es sich um ein Experiment mit gleichbleibenden Wahrscheinlichkeiten. - Zeichne dir ein Baumdiagramm, um alle möglichen Pfade für die Ereignisse zu finden. - Bei „mindestens“-Aufgaben kann das Gegenereignis oft schneller zum Ziel führen.

1. Da mit Zurücklegen gezogen wird, bleiben die Wahrscheinlichkeiten in jedem Zug gleich: \(P(\text{rot}) = \frac{2}{5} = 0{,}4\) und \(P(\text{blau}) = \frac{3}{5} = 0{,}6\). 2. Für Ereignis a) wird die Pfadregel angewendet: \(P(\text{rrr}) = \left(\frac{2}{5}\right)^3 = \frac{8}{125} = 0{,}064\). 3. Für Ereignis b) gibt es drei mögliche Pfade: (b, b, r), (b, r, b) und (r, b, b). Jeder Pfad hat die Wahrscheinlichkeit \(\left(\frac{3}{5}\right)^2 \cdot \frac{2}{5} = \frac{18}{125}\). Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist \(3 \cdot \frac{18}{125} = \frac{54}{125} = 0{,}432\). 4. Für Ereignis c) ist es effizienter, über das Gegenereignis „keine rote Kugel“ (also drei blaue Kugeln) zu rechnen: \(P(\text{mind. eine rote}) = 1 - P(\text{bbb}) = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^3 = 1 - \frac{27}{125} = \frac{98}{125} = 0{,}784\).

a) \(P = \frac{8}{125} = 0{,}064\) b) \(P = \frac{54}{125} = 0{,}432\) c) \(P = \frac{98}{125} = 0{,}784\)

- Wie viele verschiedene Kombinationen gibt es insgesamt, wenn man aus vier Zahlen zweimal mit Zurücklegen zieht? - Erstelle eine kleine Tabelle oder eine Liste aller 16 Möglichkeiten, um die günstigen Fälle leichter abzählen zu können. - Denke daran, dass beim Produkt von Zahlen auch gleiche Zahlen (wie \(2 \cdot 2\)) Quadratzahlen ergeben. - Gehe systematisch vor, um beim Vergleichen der Zahlen (größer/kleiner) keinen Fall zu vergessen.

1. Die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse bei zwei Zügen mit Zurücklegen beträgt \(4 \cdot 4 = 16\). 2. Für Ereignis a) werden die günstigen Paare ermittelt: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1). Es gibt 4 günstige Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} = 0{,}25\). 3. Für Ereignis b) werden die Paare gesucht, deren Produkt eine Quadratzahl ist: (1,1) [Produkt 1], (1,4) [4], (2,2) [4], (3,3) [9], (4,1) [4], (4,4) [16]. Es gibt 6 günstige Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} = 0{,}375\). 4. Für Ereignis c) werden die Paare gesucht, bei denen die erste Zahl größer ist: (2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3). Es gibt 6 günstige Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} = 0{,}375\).

a) \(P = \frac{1}{4} = 0{,}25\) b) \(P = \frac{3}{8} = 0{,}375\) c) \(P = \frac{3}{8} = 0{,}375\)

- Überlege dir, wie viele Kugeln nach dem ersten Zug noch in der Urne sind. - Welche Farbkombinationen erfüllen die Bedingung für unterschiedliche Farben? - Ist es bei „mindestens eine“ einfacher, alle passenden Möglichkeiten zu addieren oder das Gegenteil von 1 abzuziehen? - Erstelle ein Baumdiagramm, um die Pfade und ihre Wahrscheinlichkeiten zu visualisieren.

1. Die Gesamtzahl der Kugeln beträgt \(4 + 6 = 10\). Da ohne Zurücklegen gezogen wird, verringert sich die Anzahl der Kugeln im zweiten Zug auf 9. 2. Für unterschiedliche Farben gibt es die Pfade Gelb-Blau (\(gb\)) und Blau-Gelb (\(bg\)). Die Einzelwahrscheinlichkeiten sind \(P(gb) = \frac{4}{10} \cdot \frac{6}{9} = \frac{24}{90} = \frac{4}{15}\) und \(P(bg) = \frac{6}{10} \cdot \frac{4}{9} = \frac{24}{90} = \frac{4}{15}\). Die Summe ergibt \(P(\text{unterschiedlich}) = \frac{8}{15}\). 3. Das Ereignis „mindestens eine gelbe Kugel“ lässt sich über das Gegenereignis „keine gelbe Kugel“ (beide Kugeln blau, \(bb\)) berechnen. 4. Die Wahrscheinlichkeit für zwei blaue Kugeln ist \(P(bb) = \frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3}\). 5. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist \(1 - P(bb) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\).

a) \(P(\text{unterschiedlich}) = \frac{8}{15}\) b) \(P(\text{mindestens eine gelb}) = \frac{2}{3}\)

- Bestimme nacheinander die Möglichkeiten für das erste, das zweite und das dritte Team. - Was passiert mit der Anzahl der verfügbaren Kinder, nachdem ein Team gebildet wurde? - Wenn die Teams keine Namen oder Nummern haben, ist die Reihenfolge ihrer Entstehung egal. Wie korrigiert man das mathematisch? - Denke an die Anzahl der Möglichkeiten, drei Objekte untereinander anzuordnen.

1. Auswahl von 3 Kindern aus 9 für das erste Team: \(\binom{9}{3} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84\). 2. Auswahl von 3 Kindern aus den verbleibenden 6 für das zweite Team: \(\binom{6}{3} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20\). 3. Die restlichen 3 Kinder bilden das dritte Team (\(\binom{3}{3} = 1\)). 4. Multiplikation der Möglichkeiten für eine geordnete Abfolge der Teams: \(84 \cdot 20 \cdot 1 = 1\,680\). 5. Da die Reihenfolge der drei Teams keine Rolle spielt (die Teams sind nicht unterscheidbar), muss durch die Anzahl der Vertauschungsmöglichkeiten der 3 Teams dividiert werden (\(3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\)). 6. \(1\,680 : 6 = 280\).

Es gibt 280 Möglichkeiten.

- Kannst du das Problem als ein Urnenmodell beschreiben? Was entspräche den Kugeln und was dem Ziehen? - Überlege, wie viele Äpfel insgesamt zur Verfügung stehen und wie viele davon eine bestimmte Eigenschaft haben. - Für Ereignisse, bei denen mehrere Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein müssen (wie in Teil d), hilft oft das Produkt von Kombinationsmöglichkeiten. - Ist die Wahrscheinlichkeit, einen ganz bestimmten Apfel zu ziehen, abhängig davon, wie viele Äpfel insgesamt gezogen werden?

1. Gesamtzahl der Möglichkeiten, \(3\) Äpfel aus \(20\) zu wählen: \(\binom{20}{3} = 1\,140\). 2. Für a): Günstige Möglichkeiten, \(3\) aus \(4\) Äpfeln mit Druckstellen zu wählen: \(\binom{4}{3} = 4\). \(P(a) = \frac{4}{1\,140} = \frac{1}{285} \approx 0{,}0035\). 3. Für b): Günstige Möglichkeiten, \(3\) aus \(16\) Äpfeln ohne Druckstellen zu wählen: \(\binom{16}{3} = 560\). \(P(b) = \frac{560}{1\,140} = \frac{28}{57} \approx 0{,}4912\). 4. Für c): Wenn der größte Apfel fest gewählt ist, werden \(2\) weitere aus den restlichen \(19\) Äpfeln gezogen: \(\binom{19}{2} = 171\). \(P(c) = \frac{171}{1\,140} = \frac{3}{20} = 0{,}15\). 5. Für d): Kombination aus \(2\) Äpfeln mit Druckstellen und \(1\) Apfel ohne Druckstellen: \(\binom{4}{2} \cdot \binom{16}{1} = 6 \cdot 16 = 96\). \(P(d) = \frac{96}{1\,140} = \frac{8}{95} \approx 0{,}0842\).

a) \(P \approx 0{,}0035\) (oder \(\frac{1}{285}\)) b) \(P \approx 0{,}4912\) (oder \(\frac{28}{57}\)) c) \(P = 0{,}15\) (oder \(\frac{3}{20}\)) d) \(P \approx 0{,}0842\) (oder \(\frac{8}{95}\))