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Stellen Sie aus rund 25.000 Matheaufgaben von der 3. bis zur 13. Klasse Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Simulationen und Ergebnisse auswerten

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55182110
Bei einer Simulation bedeutet eine Zufallsziffer \(0\), \(1\) oder \(2\) „Treffer“, jede andere Ziffer „kein Treffer“. Für zehn Durchläufe wurden nacheinander die Zufallsziffern \(7,\ 1,\ 0,\ 9,\ 2,\ 4,\ 8,\ 1,\ 6,\ 3\) erzeugt. a) Markiere gedanklich die Treffer und bestimme ihre Anzahl. b) Schätze mit dieser Simulation die Trefferwahrscheinlichkeit durch die relative Häufigkeit.

Denkanstöße

- Prüfe jede erzeugte Ziffer anhand der vorgegebenen Trefferregel. - Zähle zuerst nur die Treffer. - Teile anschließend die Trefferzahl durch die Zahl aller Durchläufe.

Lösung

a) Treffer treten bei den Ziffern \(1\), \(0\), \(2\) und \(1\) auf. Es gibt \(4\) Treffer. b) Die relative Häufigkeit beträgt \(4:10=0{,}4\). Damit liefert diese kurze Simulation die Schätzung \(0{,}4\) beziehungsweise \(40\,\%\).

Antwort

a) \(4\) Treffer. b) Relative Häufigkeit und Schätzung: \(0{,}4=40\,\%\).
55183610
Eine Simulation wurde \(50\)-mal durchgeführt. Dabei trat das untersuchte Ereignis \(18\)-mal ein. Welche der folgenden Angaben wird als Schätzung für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses verwendet? A: \(18\) B: \(32\) C: \(\frac{18}{50}\) D: \(\frac{32}{50}\) Gib zusätzlich den Dezimalwert der Schätzung an.

Denkanstöße

- Gesucht ist nicht die Trefferzahl selbst, sondern ihr Anteil an allen Simulationsdurchläufen. - Die Gesamtzahl der Durchläufe steht im Nenner der relativen Häufigkeit.

Lösung

Für die Schätzung wird die relative Häufigkeit des untersuchten Ereignisses verwendet. Das Ereignis trat \(18\)-mal in \(50\) Durchläufen ein. Daher ist C richtig: \(\frac{18}{50}=0{,}36\).

Antwort

C; die Schätzung ist \(\frac{18}{50}=0{,}36=36\,\%\).
43754010
Eine Ziehung von zwei Kugeln aus \(4\) roten und \(6\) blauen Kugeln soll digital simuliert werden. Die Diagramme A und B zeigen die Wahrscheinlichkeiten, die zwei vorgeschlagene Simulationen für die beiden Ziehungen verwenden. Welche Simulation bildet das Ziehen **ohne Zurücklegen** korrekt ab? Begründe.
Abbildung zur Aufgabe 437540

Denkanstöße

- Vergleiche besonders die Nenner der Wahrscheinlichkeiten in der zweiten Stufe. - Überlege, wie viele Kugeln nach der ersten Ziehung noch vorhanden sein müssen. - Prüfe, ob die zweite Stufe vom Ergebnis der ersten Stufe abhängt.

Lösung

1. Beim Ziehen ohne Zurücklegen bleiben nach der ersten Ziehung nur \(9\) Kugeln übrig. 2. In Diagramm A bleiben die Wahrscheinlichkeiten bei der zweiten Ziehung unverändert. Das entspricht Ziehen mit Zurücklegen. 3. In Diagramm B hängen die Wahrscheinlichkeiten der zweiten Ziehung vom Ergebnis der ersten Ziehung ab: Nach rot bleiben \(3\) rote und \(6\) blaue Kugeln, nach blau \(4\) rote und \(5\) blaue. 4. Daher bildet Simulation B das Ziehen ohne Zurücklegen korrekt ab.

Antwort

Simulation B, weil sich dort die Wahrscheinlichkeiten der zweiten Ziehung passend zum Ergebnis der ersten Ziehung verändern.
43754110
Für ein Ereignis mit der theoretischen Wahrscheinlichkeit \(0{,}3\) wurden \(1000\) Simulationen durchgeführt. Das Ereignis trat \(287\)-mal ein. Beurteile, ob das Simulationsergebnis grundsätzlich mit dem Modell vereinbar ist, und begründe mit der relativen Häufigkeit.

Denkanstöße

- Berechne zuerst die relative Häufigkeit aus Trefferzahl und Anzahl der Simulationen. - Vergleiche diesen Wert mit der theoretischen Wahrscheinlichkeit. - Bei endlich vielen Wiederholungen muss die relative Häufigkeit nicht exakt dem theoretischen Wert entsprechen.

Lösung

1. Die relative Häufigkeit beträgt \(287:1000=0{,}287\). 2. Die Abweichung von der theoretischen Wahrscheinlichkeit ist \(0{,}3-0{,}287=0{,}013\). 3. Bei einer endlichen Zahl von Simulationen sind Abweichungen zu erwarten. Die relative Häufigkeit \(0{,}287\) liegt nahe bei \(0{,}3\), daher ist das Ergebnis grundsätzlich mit dem Modell vereinbar.

Antwort

Ja. Die relative Häufigkeit \(0{,}287\) liegt nahe bei der theoretischen Wahrscheinlichkeit \(0{,}3\); die Abweichung beträgt \(0{,}013\).
55182210
Ein Glücksrad hat drei verschieden große Bereiche. Die Wahrscheinlichkeiten für die Ergebnisse A, B und C sind \(P(A)=\frac{1}{2}\), \(P(B)=\frac{1}{3}\) und \(P(C)=\frac{1}{6}\). Eine Software erzeugt gleich wahrscheinlich ganze Zufallszahlen von \(1\) bis \(12\). Entwirf eine Zuordnung der zwölf Zufallszahlen zu A, B und C, mit der eine Drehung des Glücksrads korrekt simuliert werden kann. Begründe, warum deine Zuordnung passt.

Denkanstöße

- Jede der zwölf erzeugten Zahlen ist gleich wahrscheinlich. - Übersetze jede Ergebniswahrscheinlichkeit in einen Anteil von \(12\). - Die konkreten Nummernblöcke sind frei wählbar; entscheidend ist, wie viele Zahlen jedem Ergebnis zugeordnet werden.

Lösung

1. Von \(12\) gleich wahrscheinlichen Zahlen müssen \(12\cdot\frac{1}{2}=6\) Zahlen zu A gehören. 2. Zu B müssen \(12\cdot\frac{1}{3}=4\) Zahlen und zu C \(12\cdot\frac{1}{6}=2\) Zahlen gehören. 3. Eine mögliche Zuordnung ist A: \(1\) bis \(6\), B: \(7\) bis \(10\), C: \(11\) bis \(12\). 4. Damit erhält A \(6\) von \(12\), B \(4\) von \(12\) und C \(2\) von \(12\) gleich wahrscheinlichen Zufallszahlen; das entspricht genau den vorgegebenen Wahrscheinlichkeiten.

Antwort

Zum Beispiel: A \(\rightarrow 1\)–\(6\), B \(\rightarrow 7\)–\(10\), C \(\rightarrow 11\)–\(12\). Die Anzahlen \(6\), \(4\) und \(2\) von insgesamt \(12\) entsprechen \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{3}\) und \(\frac{1}{6}\).
55182310
Ein Zufallsexperiment hat die beiden Ausgänge „Treffer“ und „kein Treffer“. Die Trefferwahrscheinlichkeit ist unbekannt. Das Experiment wurde in vier Simulationen mit unterschiedlich vielen Durchläufen untersucht. Die Tabelle zeigt jeweils die Anzahl der Treffer. <table> <tr><th>Durchläufe</th><th>Treffer</th></tr> <tr><td>\(20\)</td><td>\(7\)</td></tr> <tr><td>\(100\)</td><td>\(29\)</td></tr> <tr><td>\(500\)</td><td>\(162\)</td></tr> <tr><td>\(2000\)</td><td>\(611\)</td></tr> </table> a) Berechne für jede Zeile die relative Trefferhäufigkeit. b) Welchen Tabellenwert würdest du als beste Schätzung der Trefferwahrscheinlichkeit verwenden? Begründe deine Entscheidung und gehe dabei auch auf die Schwankungen der relativen Häufigkeiten ein.

Denkanstöße

- Teile in jeder Tabellenzeile die Trefferzahl durch die Zahl der Durchläufe. - Prüfe, ob die vier relativen Häufigkeiten tatsächlich in nur eine Richtung verlaufen. - Welche der vier Schätzungen beruht auf den meisten beobachteten Durchläufen?

Lösung

1. Die relativen Häufigkeiten sind \(7:20=0{,}35\), \(29:100=0{,}29\), \(162:500=0{,}324\) und \(611:2000=0{,}3055\). 2. Die Werte nähern sich nicht gleichmäßig oder monoton einem festen Wert; auch bei steigender Durchlaufzahl können sie nach oben oder unten schwanken. 3. Unter den vier Ergebnissen ist \(0{,}3055\) aus \(2000\) Durchläufen die beste Schätzung, weil sie auf der größten Stichprobe der Simulation beruht und zufällige Schwankungen dort typischerweise weniger stark ins Gewicht fallen.

Antwort

a) \(0{,}35;\ 0{,}29;\ 0{,}324;\ 0{,}3055\) b) \(0{,}3055\) aus \(2000\) Durchläufen. Relative Häufigkeiten können auch bei wachsendem \(N\) in beide Richtungen schwanken; die größte Simulation liefert hier die am besten gestützte Schätzung.
55670110
Ein zweistufiges Zufallsexperiment hat in jeder Stufe die Ergebnisse \(A\) und \(B\). Für eine digitale Simulation gilt bei jeder Stufe: Die Zufallsziffern \(0,1,2,3\) bedeuten \(A\), die Ziffern \(4,5,6,7,8,9\) bedeuten \(B\). Werte die folgenden \(15\) bereits erzeugten Ziffernpaare als Simulationsdurchläufe aus: \((0,5)\), \((8,1)\), \((2,3)\), \((7,9)\), \((4,0)\), \((6,2)\), \((1,8)\), \((5,7)\), \((3,4)\), \((9,9)\), \((0,2)\), \((6,6)\), \((2,8)\), \((4,1)\), \((7,3)\). a) Bestimme für jedes Paar, ob genau einmal \(A\) auftritt, und zähle die Treffer. b) Schätze mit dieser Simulation die Wahrscheinlichkeit für „genau einmal \(A\)“.

Denkanstöße

- Übersetze zunächst jede einzelne Ziffer in \(A\) oder \(B\). - „Genau einmal \(A\)“ bedeutet, dass die beiden Stufenergebnisse verschieden sein müssen. - Teile nach dem Zählen der Treffer durch die Zahl aller Simulationsdurchläufe.

Lösung

1. Ein Treffer liegt genau dann vor, wenn eine Ziffer aus \(0\) bis \(3\) und die andere aus \(4\) bis \(9\) stammt. 2. Treffer sind die Paare \((0,5)\), \((8,1)\), \((4,0)\), \((6,2)\), \((1,8)\), \((3,4)\), \((2,8)\), \((4,1)\) und \((7,3)\). Bei allen übrigen Paaren tritt \(A\) entweder keinmal oder zweimal auf. Das sind \(9\) Treffer. 3. Die relative Häufigkeit beträgt \(9:15=0{,}6\). Diese Simulation liefert daher die Schätzung \(0{,}6\).

Antwort

a) Treffer: \((0,5)\), \((8,1)\), \((4,0)\), \((6,2)\), \((1,8)\), \((3,4)\), \((2,8)\), \((4,1)\), \((7,3)\); alle übrigen Paare sind keine Treffer. Insgesamt \(9\) Treffer. b) \(\frac{9}{15}=0{,}6=60\,\%\)
43753910
Eine Urne enthält \(3\) rote und \(7\) blaue Kugeln. Zwei Ziehungen mit Zurücklegen sollen mit Zufallsziffern von \(0\) bis \(9\) simuliert werden. a) Beschreibe eine passende Ziffernzuordnung für rot und blau. b) Beschreibe, welche Ziffernpaare das Ereignis „genau einmal rot“ darstellen. c) Bestimme aus deiner Zuordnung den Anteil aller \(100\) möglichen Ziffernpaare, die zu diesem Ereignis gehören.

Denkanstöße

- Jede der zehn Zufallsziffern soll gleich wahrscheinlich sein; verteile sie deshalb im Verhältnis der Kugelzahlen. - Für „genau einmal rot“ muss eine der beiden Ziffern zur roten und die andere zur blauen Gruppe gehören. - Unterscheide die beiden möglichen Reihenfolgen.

Lösung

a) Eine passende Zuordnung ist zum Beispiel: rot für \(0,1,2\), blau für \(3,4,5,6,7,8,9\). Damit entsprechen \(3\) von \(10\) Ziffern rot und \(7\) von \(10\) Ziffern blau. b) Günstig sind Paare mit einer roten und einer blauen Ziffer, also rot–blau oder blau–rot. c) Für rot–blau gibt es \(3\cdot 7=21\) Paare und für blau–rot ebenfalls \(7\cdot 3=21\). Insgesamt sind \(42\) von \(100\) Paaren günstig. Der Anteil ist \(42:100=0{,}42\).

Antwort

a) Zum Beispiel rot: \(0,1,2\); blau: \(3,4,5,6,7,8,9\). b) Günstig sind rot–blau und blau–rot. c) \(0{,}42=42\,\%\)
55182410
Ein Glücksrad hat \(5\) gleich große Felder: \(2\) rote, \(2\) blaue und \(1\) grünes Feld. Für eine digitale Simulation werden die gleich wahrscheinlichen Zufallsziffern \(0\) bis \(9\) so zugeordnet: rot: \(0,1,2,3\) blau: \(4,5,6\) grün: \(7,8,9\) a) Erkläre, warum diese Simulation das Glücksrad nicht korrekt abbildet. b) Gib eine korrekte Zuordnung der Ziffern \(0\) bis \(9\) an.

Denkanstöße

- Bestimme zuerst die Farbanteile des echten Glücksrads. - Bei zehn gleich wahrscheinlichen Zufallsziffern entspricht jede zugeordnete Ziffer einem Anteil von \(\frac{1}{10}\). - Vergleiche für jede Farbe den gewünschten Anteil mit der Anzahl der zugeordneten Ziffern.

Lösung

a) Beim Glücksrad gelten \(P(\text{rot})=\frac{2}{5}=0{,}4\), \(P(\text{blau})=\frac{2}{5}=0{,}4\) und \(P(\text{grün})=\frac{1}{5}=0{,}2\). Die vorgeschlagene Zuordnung erzeugt dagegen die Wahrscheinlichkeiten \(0{,}4\), \(0{,}3\) und \(0{,}3\). Blau ist dadurch zu selten und grün zu häufig. b) Eine korrekte Zuordnung ist zum Beispiel: rot \(0,1,2,3\), blau \(4,5,6,7\), grün \(8,9\). Dann gehören \(4\), \(4\) und \(2\) von \(10\) gleich wahrscheinlichen Ziffern zu den drei Farben.

Antwort

a) Die Zuordnung liefert \(0{,}4\), \(0{,}3\), \(0{,}3\) statt \(0{,}4\), \(0{,}4\), \(0{,}2\). b) Zum Beispiel rot: \(0\)–\(3\), blau: \(4\)–\(7\), grün: \(8,9\).
55182510
Zwei faire Würfel werden geworfen. Das Ereignis \(E\) lautet: „Die Augensumme ist größer als \(9\).“ In einer Simulation von \(600\) Doppelwürfen trat \(E\) \(104\)-mal ein. a) Bestimme die theoretische Wahrscheinlichkeit von \(E\) durch Zählen der günstigen geordneten Würfelpaare. b) Berechne die relative Häufigkeit aus der Simulation. c) Beurteile, ob das Simulationsergebnis grundsätzlich zur theoretischen Wahrscheinlichkeit passt.

Denkanstöße

- Liste für die Summen \(10\), \(11\) und \(12\) die geordneten Würfelpaare auf. - Für die Simulation teilst du die Zahl der Treffer durch alle Durchläufe. - Eine endliche Simulation muss den theoretischen Wert nicht exakt treffen; vergleiche die Größenordnung der Abweichung.

Lösung

a) Günstig sind \((4,6)\), \((5,5)\), \((5,6)\), \((6,4)\), \((6,5)\) und \((6,6)\). Von \(36\) gleich wahrscheinlichen geordneten Paaren sind \(6\) günstig. Daher ist \(P(E)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\approx 0{,}167\). b) Die relative Häufigkeit beträgt \(104:600\approx 0{,}173\). c) Die Abweichung beträgt exakt \(\frac{1}{150}\approx 0{,}0067\). Eine solche Abweichung ist bei einer endlichen Simulation plausibel; das Ergebnis passt grundsätzlich zum theoretischen Wert.

Antwort

a) \(P(E)=\frac{1}{6}\approx 0{,}167\) b) \(h(E)=\frac{104}{600}\approx 0{,}173\) c) Ja; die beiden Werte liegen nahe beieinander.
55182610
Vier Briefe A, B, C und D werden zufällig auf vier entsprechend beschriftete Umschläge verteilt, jeweils genau ein Brief pro Umschlag. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass **kein** Brief im passenden Umschlag landet. Statt die Wahrscheinlichkeit auszurechnen, wurde das Experiment simuliert. <table> <tr><th>Block</th><th>Simulationen</th><th>Kein Brief richtig</th></tr> <tr><td>\(1\)</td><td>\(50\)</td><td>\(17\)</td></tr> <tr><td>\(2\)</td><td>\(50\)</td><td>\(20\)</td></tr> <tr><td>\(3\)</td><td>\(50\)</td><td>\(18\)</td></tr> <tr><td>\(4\)</td><td>\(50\)</td><td>\(19\)</td></tr> </table> a) Beschreibe, wie ein einzelner Simulationsdurchlauf durchgeführt werden kann. b) Schätze aus allen \(200\) Durchläufen die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

Denkanstöße

- Ein Simulationsdurchlauf muss jede zulässige Verteilung der vier Briefe nach demselben Zufallsprinzip erzeugen. - Für die Gesamtschätzung werden die Treffer aus allen vier Blöcken zusammengefasst. - Teile die gesamte Trefferzahl durch die Gesamtzahl der Durchläufe.

Lösung

a) Für einen Durchlauf werden die vier Briefe zufällig auf die vier Umschläge verteilt, etwa durch zufälliges Mischen der Reihenfolge A, B, C, D. Danach wird geprüft, ob an keiner Position der Brief mit dem Umschlagbuchstaben übereinstimmt. b) Insgesamt trat das Ereignis \(17+20+18+19=74\)-mal auf. Die relative Häufigkeit ist \(74:200=0{,}37\). Als Schätzung ergibt sich damit \(0{,}37\) beziehungsweise \(37\,\%\).

Antwort

a) Die vier Briefe zufällig auf die vier Umschläge verteilen und prüfen, ob kein Buchstabe an seiner eigenen Position liegt. b) \(\frac{74}{200}=0{,}37=37\,\%\)
55182810
Die Grafik zeigt \(20\) zufällig erzeugte Punkte in einem Quadrat mit einem einbeschriebenen Kreis. Für die Monte-Carlo-Schätzung von \(\pi\) wird der Anteil der Punkte im Kreis verwendet. a) Zähle, wie viele der \(20\) Punkte im Kreis oder auf dem Kreis liegen. b) Bestimme den Anteil dieser Punkte an allen \(20\) Punkten. c) Schätze \(\pi\) mit \(\pi\approx4\cdot\frac{\text{Punkte im Kreis}}{\text{Punkte insgesamt}}\). d) Erkläre kurz, warum das Ergebnis nur eine Näherung ist.
Abbildung zur Aufgabe 551828

Denkanstöße

- Entscheide für jeden Punkt nur, ob er innerhalb der Kreislinie oder außerhalb liegt. - Teile danach die Zahl der inneren Punkte durch \(20\). - Für die \(\pi\)-Schätzung wird dieser Anteil mit \(4\) multipliziert.

Lösung

1. In der Grafik liegen \(16\) der \(20\) Punkte im Kreis oder auf dem Kreis. 2. Der Anteil beträgt \(\frac{16}{20}=0{,}8\). 3. Damit ergibt sich \(\pi\approx4\cdot0{,}8=3{,}2\). 4. Die Punkte wurden zufällig erzeugt. Bei nur \(20\) Punkten schwankt ihr Anteil im Kreis von Durchführung zu Durchführung; deshalb ist \(3{,}2\) nur eine Monte-Carlo-Näherung.

Antwort

a) \(16\) Punkte. b) \(0{,}8=80\,\%\) c) \(\pi\approx3{,}2\) d) Wegen der zufälligen Auswahl und der endlichen Punktzahl schwankt die Schätzung.
55233910
Fünf Gruppen simulieren dasselbe Zufallsexperiment jeweils genau \(200\)-mal. Jede Gruppe zählt, wie oft das Ereignis \(T\) eintritt. <table> <tr><th>Gruppe</th><th>Durchläufe</th><th>Treffer \(T\)</th></tr> <tr><td>A</td><td>\(200\)</td><td>\(57\)</td></tr> <tr><td>B</td><td>\(200\)</td><td>\(64\)</td></tr> <tr><td>C</td><td>\(200\)</td><td>\(61\)</td></tr> <tr><td>D</td><td>\(200\)</td><td>\(69\)</td></tr> <tr><td>E</td><td>\(200\)</td><td>\(59\)</td></tr> </table> Untersuche, was die Daten über Schwankungen zwischen gleich langen Simulationsläufen zeigen. Berechne dazu die fünf relativen Häufigkeiten und die gemeinsame relative Häufigkeit in allen \(1000\) Durchläufen und erkläre, warum die Einzelwerte trotz gleicher Durchlaufzahl verschieden sein können.

Denkanstöße

- Teile für jede Gruppe die Trefferzahl durch \(200\). - Überlege, ob eine Simulation mit zufälligen Einzelergebnissen bei einer Wiederholung exakt dieselbe Trefferzahl liefern muss. - Für die gemeinsame relative Häufigkeit kannst du zunächst alle Trefferzahlen addieren und anschließend durch die Gesamtzahl der Durchläufe teilen.

Lösung

1. Die relativen Häufigkeiten sind für A \(57:200=0{,}285\), für B \(64:200=0{,}32\), für C \(61:200=0{,}305\), für D \(69:200=0{,}345\) und für E \(59:200=0{,}295\). 2. Simulationen liefern zufällige Ergebnisse. Auch bei derselben Durchlaufzahl müssen die Trefferzahlen deshalb nicht übereinstimmen; Schwankungen zwischen verschiedenen Läufen sind zu erwarten. 3. Insgesamt wurden \(57+64+61+69+59=310\) Treffer in \(1000\) Durchläufen beobachtet. Die gemeinsame relative Häufigkeit ist daher \(310:1000=0{,}31\).

Antwort

Die relativen Häufigkeiten sind A: \(0{,}285\), B: \(0{,}32\), C: \(0{,}305\), D: \(0{,}345\) und E: \(0{,}295\); gemeinsam ergibt sich \(0{,}31\). Die Einzelwerte unterscheiden sich, weil Simulationsläufe zufällig schwanken; gleiche Durchlaufzahlen erzwingen keine gleichen relativen Häufigkeiten.
55670410
Die Grafik zeigt das Quadrat und den einbeschriebenen Kreis für ein Monte-Carlo-Modell zur Näherung von \(\pi\). In einer Tabellenkalkulation sollen in Spalte B die \(x\)-Koordinaten, in Spalte C die \(y\)-Koordinaten und in Spalte D die Kennzahlen „im Kreis“ stehen. a) Lies den Koordinatenbereich des Quadrats aus der Grafik ab und gib für B2 und C2 je eine Formel an, die unabhängig einen Zufallswert aus diesem Bereich erzeugt. b) Gib für D2 eine bedingte Formel an, die für einen Punkt im oder auf dem Kreis \(1\), sonst \(0\) ausgibt. c) Für \(1000\) Punkte sollen die Formeln bis Zeile \(1001\) übertragen werden. Gib eine Formel für die Trefferzahl \(K\) und eine Formel für den Monte-Carlo-Näherungswert von \(\pi\) an. d) Ein ausgeführter Tabellenlauf lieferte \(K=786\). Bestimme den zugehörigen Näherungswert und erkläre, warum ein weiterer Lauf trotz unveränderter Formeln einen anderen Wert liefern kann.
Abbildung zur Aufgabe 556704

Denkanstöße

- Welches Intervall zeigen die Seiten des Quadrats für beide Koordinaten? - Wie kann ein Zufallswert aus dem Standardintervall auf das benötigte Intervall verschoben und gestreckt werden? - Welche Gleichung beschreibt den Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius \(1\)? - Eine Spalte aus \(0\) und \(1\) lässt sich zur Trefferzahl aufsummieren. - Setze den vorgegebenen Wert von \(K\) in den Flächenanteil des Kreises am Quadrat ein.

Lösung

1. Aus der Grafik liest man für beide Koordinaten das Intervall \([-1,1]\) ab. Eine passende Formel ist jeweils `=2*ZUFALLSZAHL()-1`. 2. Ein Punkt liegt im oder auf dem Kreis, wenn \(x^2+y^2\le1\). Daher ist in D2 zum Beispiel `=WENN(B2^2+C2^2<=1;1;0)` geeignet. 3. Nach dem Ausfüllen bis Zeile \(1001\) kann die Trefferzahl mit `=SUMME(D2:D1001)` bestimmt werden. Für den Näherungswert eignet sich `=4*SUMME(D2:D1001)/1000`. 4. Für \(K=786\) ergibt sich \(\pi_{\text{MC}}=4\cdot\frac{786}{1000}=3{,}144\). Bei einer Neuberechnung erzeugt `ZUFALLSZAHL()` neue Koordinaten; dadurch kann sich \(K\) und damit auch der Näherungswert ändern.

Antwort

a) \(x,y\in[-1,1]\); zum Beispiel in B2 und C2 jeweils `=2*ZUFALLSZAHL()-1`. b) Zum Beispiel `=WENN(B2^2+C2^2<=1;1;0)`. c) \(K\): `=SUMME(D2:D1001)`; \(\pi\)-Näherung: `=4*SUMME(D2:D1001)/1000`. d) \(\pi_{\text{MC}}=3{,}144\). Ein weiterer Lauf kann abweichen, weil die Zufallskoordinaten neu erzeugt werden.
55182710
Beim Drei-Türen-Spiel steht hinter einer von drei Türen ein Gewinn. Du wählst zunächst eine Tür. Danach öffnet die Spielleitung, die den Gewinn kennt, immer eine andere Tür ohne Gewinn. Anschließend kannst du bei deiner ersten Tür bleiben oder zur einzigen anderen geschlossenen Tür wechseln. Dieselben \(600\) zufällig erzeugten Ausgangsspiele wurden für beide Strategien ausgewertet: <table> <tr><th>Strategie</th><th>Gewinne</th><th>Verluste</th></tr> <tr><td>bleiben</td><td>\(198\)</td><td>\(402\)</td></tr> <tr><td>wechseln</td><td>\(402\)</td><td>\(198\)</td></tr> </table> a) Bestimme für beide Strategien die relative Gewinnhäufigkeit. b) Welche Strategie wird durch die Simulation gestützt? c) Erkläre, warum die Regel der Spielleitung für eine aussagekräftige Simulation fest vorgegeben sein muss.

Denkanstöße

- Teile die Gewinnzahl jeder Strategie durch \(600\). - Vergleiche anschließend die beiden relativen Gewinnhäufigkeiten. - Überlege für Teil c), welche Bedingungen in jedem Simulationsdurchlauf identisch sein müssen, damit wirklich dasselbe Spiel modelliert wird.

Lösung

a) Für „bleiben“ beträgt die relative Gewinnhäufigkeit \(198:600=0{,}33\). Für „wechseln“ beträgt sie \(402:600=0{,}67\). b) Die Simulation stützt deutlich die Strategie „wechseln“, weil ihre relative Gewinnhäufigkeit um \(0{,}34\) höher ist. c) Die Simulation soll stets dasselbe Zufallsexperiment abbilden. Würde die Spielleitung manchmal zufällig eine Tür öffnen oder möglicherweise den Gewinn zeigen, änderte sich das Experiment und die Ergebnisse wären nicht mit der beschriebenen Regel vergleichbar.

Antwort

a) bleiben: \(0{,}33=33\,\%\); wechseln: \(0{,}67=67\,\%\) b) Wechseln. c) Die Spielleitungsregel muss in jedem Durchlauf gleich sein, damit alle Durchläufe dasselbe Zufallsmodell darstellen.
55182910
Die Grafik zeigt die geometrische Grundlage einer Monte-Carlo-Schätzung von \(\pi\). a) Lies aus der Grafik einen passenden Bereich ab, aus dem eine Software unabhängig voneinander Zufallswerte \(x\) und \(y\) erzeugen kann. b) Gib eine Bedingung an, mit der die Software entscheiden kann, ob der Punkt \((x,y)\) im Kreis oder auf dem Kreis liegt. c) Nach \(N\) erzeugten Punkten liegen \(K\) Punkte im Kreis. Gib einen Term für die daraus entstehende Schätzung von \(\pi\) an. d) Ein nicht zufälliges Vergleichsverfahren setzt statt Zufallspunkten ein gleichmäßiges Gitter von Punkten in dasselbe Quadrat und zählt ebenfalls die Punkte im Kreis. Vergleiche die beiden Verfahren hinsichtlich der Auswahl der Punkte und der Veränderung der Näherung bei mehr Zufallspunkten beziehungsweise einem feineren Gitter.
Abbildung zur Aufgabe 551829

Denkanstöße

- Lies die Koordinaten der vier Seiten des dargestellten Quadrats an den Achsen ab. - Für die Kreiszugehörigkeit brauchst du eine Beziehung zwischen \(x\), \(y\) und dem Radius des dargestellten Kreises. - Überlege für den Vergleich, was bei beiden Verfahren gezählt wird und wodurch sich nur die Auswahl der Punkte unterscheidet. - Trenne zufallsbedingte Schwankungen von der systematischen Verfeinerung eines festen Gitters.

Lösung

1. Aus der Grafik kann für beide Koordinaten der Bereich von \(-1\) bis \(1\) verwendet werden. Die Software erzeugt also unabhängig \(x\) und \(y\) in \([-1,1]\). 2. Ein Punkt liegt im oder auf dem Einheitskreis, wenn \(x^2+y^2\le1\). 3. Der Anteil der Punkte im Kreis ist \(\frac{K}{N}\). Da der Kreis im Quadrat den Flächenanteil \(\frac{\pi}{4}\) hat, lautet die Schätzung \(\pi\approx4\cdot\frac{K}{N}\). 4. Beim Monte-Carlo-Verfahren werden die Punkte zufällig verteilt; bei Wiederholungen entstehen daher unterschiedliche Schätzwerte. Beim Gitterverfahren sind die Punktlagen fest vorgegeben. Mehr Zufallspunkte beziehungsweise ein feineres Gitter liefern im Allgemeinen eine genauere Näherung, aber nur das Monte-Carlo-Verfahren zeigt zufallsbedingte Schwankungen zwischen Wiederholungen.

Antwort

a) \(x,y\in[-1,1]\) b) \(x^2+y^2\le1\) c) \(\pi\approx4\cdot\frac{K}{N}\) d) Monte Carlo verwendet zufällige Punkte und schwankt zwischen Wiederholungen; das Gitterverfahren verwendet fest vorgegebene Punkte. Mehr Zufallspunkte beziehungsweise ein feineres Gitter verbessern im Allgemeinen die Näherung.
55670210
In einem Computerspiel startet jede Runde zufällig in Zone A mit Wahrscheinlichkeit \(0{,}4\) oder in Zone B mit Wahrscheinlichkeit \(0{,}6\). In Zone A wird anschließend mit Wahrscheinlichkeit \(0{,}8\) ein Artefakt gefunden, in Zone B mit Wahrscheinlichkeit \(0{,}3\). a) Strukturiere das Zufallsexperiment in zwei Stufen und berechne mit Produktregel und Summenregel die theoretische Wahrscheinlichkeit für einen Artefaktfund. b) Entwirf eine digitale Simulation mit zwei unabhängig erzeugten Zufallsziffern von \(0\) bis \(9\) pro Runde. Gib eine mögliche Zuordnung für die erste Ziffer zur Zone und für die zweite Ziffer zu „Artefakt“ bzw. „kein Artefakt“ an; die Zuordnung der zweiten Ziffer darf von der in der ersten Ziffer bestimmten Zone abhängen. c) Eine solche Simulation ergab bei \(1000\) Runden \(487\) Artefaktfunde. Bestimme die relative Häufigkeit und vergleiche sie mit der theoretischen Wahrscheinlichkeit. d) Begründe, warum in der Simulation für die zweite Ziffer zwei unterschiedliche Zuordnungen nötig sind.

Denkanstöße

- Für a) führen zwei verschiedene vollständige Pfade zum Artefaktfund. - Bei zehn gleich wahrscheinlichen Ziffern muss die Anzahl zugeordneter Ziffern jeweils zum gewünschten Zehntelanteil passen. - Prüfe bei b) zuerst die erste Stufe und lege erst danach die zum gewählten Ast passende zweite Zuordnung fest. - Vergleiche in c) eine relative Häufigkeit aus endlich vielen Durchläufen mit einem theoretischen Modellwert; Gleichheit ist nicht zu erwarten.

Lösung

1. Die erste Stufe unterscheidet Zone A und Zone B. In der zweiten Stufe gibt es jeweils „Artefakt“ und „kein Artefakt“. 2. Nach Produktregel und Summenregel gilt \(P(\text{Artefakt})=0{,}4\cdot0{,}8+0{,}6\cdot0{,}3=0{,}32+0{,}18=0{,}5\). 3. Eine mögliche Simulation nutzt für die erste Ziffer A bei \(0,1,2,3\) und B bei \(4,5,6,7,8,9\). Ist A gewählt, bedeuten bei der zweiten Ziffer \(0\) bis \(7\) „Artefakt“ und \(8,9\) „kein Artefakt“. Ist B gewählt, bedeuten \(0,1,2\) „Artefakt“ und \(3\) bis \(9\) „kein Artefakt“. 4. Die simulierte relative Häufigkeit beträgt \(487:1000=0{,}487\). Sie weicht um \(0{,}013\) vom theoretischen Wert \(0{,}5\) ab und ist damit als zufällige Schwankung einer endlichen Simulation plausibel. 5. Die zweite Zuordnung muss von der Zone abhängen, weil die Artefaktwahrscheinlichkeit in A \(0{,}8\), in B aber \(0{,}3\) beträgt.

Antwort

a) \(P(\text{Artefakt})=0{,}5=50\,\%\) b) Zum Beispiel: erste Ziffer: \(0,1,2,3\) für A, \(4,5,6,7,8,9\) für B; zweite Ziffer nach A: \(0,1,2,3,4,5,6,7\) für Artefakt und \(8,9\) für kein Artefakt; nach B: \(0,1,2\) für Artefakt und \(3,4,5,6,7,8,9\) für kein Artefakt. c) \(0{,}487=48{,}7\,\%\); Abweichung vom theoretischen Wert: \(0{,}013\) bzw. \(1{,}3\) Prozentpunkte. d) Die Fundwahrscheinlichkeit hängt von der in der ersten Stufe bestimmten Zone ab.

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