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- Wie berechnet man den Radius, wenn der Durchmesser gegeben ist? - Welche Formel wird zur Berechnung des Volumens eines Zylinders benötigt? - Überlege dir, welche Werte die Füllhöhe in der Realität annehmen kann (von leer bis voll). - Wie hängen der kleinste und größte mögliche Funktionswert mit der Höhe des Gefäßes zusammen?

1. Berechnung des Radius: Da der Durchmesser \(d = 12\,\text{cm}\) beträgt, ist der Radius \(r = 6\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Grundfläche \(G\): \(G = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (6\,\text{cm})^2 = 36 \cdot \pi\,\text{cm}^2 \approx 113{,}10\,\text{cm}^2\). 3. Aufstellen der Funktionsgleichung: Das Volumen eines Zylinders berechnet sich durch \(V = G \cdot h\). Somit gilt \(V(h) = 36 \cdot \pi \cdot h\). 4. Bestimmung der Definitionsmenge: Die Füllhöhe \(h\) kann Werte von \(0\,\text{cm}\) (leer) bis zur Gesamthöhe von \(30\,\text{cm}\) (voll) annehmen. Somit ist \(D = [0; 30]\). 5. Bestimmung der Wertemenge: Das minimale Volumen ist \(V(0) = 0\,\text{cm}^3\). Das maximale Volumen ist \(V(30) = 36 \cdot \pi \cdot 30 = 1080 \cdot \pi \approx 3392{,}92\,\text{cm}^3\). Somit ist \(W = [0; 3392{,}92]\) (Angaben in \(\text{cm}^3\)).

a) \(V(h) = 36 \cdot \pi \cdot h\) (oder näherungsweise \(V(h) \approx 113{,}10 \cdot h\)) b) \(D = [0; 30]\); \(W = [0; 3392{,}92]\)

- Erinnere dich an die Flächenformel für ein rechtwinkliges Dreieck. - Achte beim Rechnen auf die Einheiten: Wie viel \(\text{cm}^3\) entsprechen einem Liter? - Was bedeutet es für den Graphen oder die Formel einer Funktion, wenn sie „linear“ ist? - Überlege dir, ob sich die Querschnittsfläche des Wasserspiegels ändert, wenn das Wasser steigt.

1. Berechnung der Grundfläche \(G\): Da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, gilt \(G = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 6\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 24\,\text{cm}^2\). 2. Aufstellen der Funktionsgleichung: Für ein Prisma gilt \(V = G \cdot h\). Mit der Füllhöhe \(x\) ergibt sich \(f(x) = 24 \cdot x\). 3. Umrechnung des Volumens: \(0{,}36\,\text{l} = 0{,}36\,\text{dm}^3 = 360\,\text{cm}^3\). 4. Berechnung der Füllhöhe: Setze \(f(x) = 360\) und löse nach \(x\) auf: \(24 \cdot x = 360 \implies x = \frac{360}{24} = 15\). Die Füllhöhe beträgt \(15\,\text{cm}\). 5. Begründung der Linearität: Da die Grundfläche \(G\) über die gesamte Höhe des Prismas konstant bleibt, ist das Volumen direkt proportional zur Füllhöhe. Die Funktionsgleichung hat die Form \(f(x) = m \cdot x\) mit der konstanten Steigung \(m = G\).

a) \(f(x) = 24 \cdot x\) b) Die Füllhöhe beträgt \(15\,\text{cm}\). c) Da die Querschnittsfläche (Grundfläche) über die gesamte Höhe konstant bleibt, wächst das Volumen proportional zur Höhe. Die Funktionsgleichung hat die Form \(f(x) = m \cdot x\).

- Wie hängen die Kanten eines Quaders mit seiner Raumdiagonale zusammen? - Kannst du eine Formel aufstellen, in der die gesuchte Kantenlänge die einzige Unbekannte ist? - Welche Grundformel wird zur Volumenberechnung eines Quaders benötigt?

1. Zur Berechnung der Kantenlänge \(c\) wird der Satz des Pythagoras im Raum verwendet: \(d^2 = a^2 + b^2 + c^2\). Umstellen nach \(c\) ergibt \(c = \sqrt{d^2 - a^2 - b^2}\). 2. Einsetzen der Werte: \(c = \sqrt{17^2 - 12^2 - 9^2} = \sqrt{289 - 144 - 81} = \sqrt{64} = 8\,\text{cm}\). 3. Das Volumen berechnet sich über die Formel \(V = a \cdot b \cdot c\). 4. Einsetzen der Werte: \(V = 12\,\text{cm} \cdot 9\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 864\,\text{cm}^3\).

a) \(c = 8\,\text{cm}\) b) \(V = 864\,\text{cm}^3\)

- Welche Größe fehlt dir, um die Oberfläche direkt berechnen zu können? - Kannst du die Volumenformel nach der unbekannten Größe umstellen? - Aus welchen Teilflächen setzt sich die Oberfläche eines Zylinders zusammen? - Achte darauf, Zwischenergebnisse nicht zu stark zu runden.

1. Berechnung der Körperhöhe \(h\) mithilfe der Volumenformel \(V = \pi \cdot r^2 \cdot h\): \(h = \frac{800\,\text{cm}^3}{\pi \cdot (4{,}5\,\text{cm})^2} \approx 12{,}576\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Oberflächeninhalts mit der Formel \(O = 2 \cdot \pi \cdot r^2 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h\). 3. Einsetzen der Werte: \(O = 2 \cdot \pi \cdot (4{,}5\,\text{cm})^2 + 2 \cdot \pi \cdot 4{,}5\,\text{cm} \cdot 12{,}576\,\text{cm} \approx 127{,}235\,\text{cm}^2 + 355{,}556\,\text{cm}^2 = 482{,}791\,\text{cm}^2\).

Der Oberflächeninhalt der Dose beträgt ca. \(482{,}79\,\text{cm}^2\).

- Bestimme zuerst den Radius des Zylinders aus den Angaben im Text. - Wie hängen Kubikmeter und Liter zusammen? Erinnere dich an die Umrechnung über Dezimeter. - Welche Formeln für Volumen und Oberfläche eines Zylinders kennst du? - Überlege, welche Flächen zur „gesamten Außenfläche“ gehören.

1. Bestimmung der Maße: Die Höhe ist \(h = 1{,}50\,\text{m}\). Der Durchmesser ist \(d = \frac{2}{3} \cdot 1{,}50\,\text{m} = 1{,}00\,\text{m}\), woraus der Radius \(r = 0{,}50\,\text{m}\) folgt. 2. Berechnung des Volumens: \(V = \pi \cdot r^2 \cdot h = \pi \cdot (0{,}50\,\text{m})^2 \cdot 1{,}50\,\text{m} \approx 1{,}1781\,\text{m}^3\). 3. Umrechnung in Liter: Da \(1\,\text{m}^3 = 1000\,\text{l}\) ist, ergibt sich \(V \approx 1178{,}10\,\text{l}\). 4. Berechnung der Oberfläche: \(O = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot (r + h) = 2 \cdot \pi \cdot 0{,}50\,\text{m} \cdot (0{,}50\,\text{m} + 1{,}50\,\text{m}) = 2 \cdot \pi \cdot 0{,}50\,\text{m} \cdot 2{,}00\,\text{m} = 2\pi\,\text{m}^2 \approx 6{,}283\,\text{m}^2\).

a) Das Fassungsvermögen beträgt ca. \(1178{,}10\,\text{l}\). b) Die gesamte Außenfläche beträgt ca. \(6{,}28\,\text{m}^2\).

- Wie hängen das Volumen, die Grundfläche und die Höhe eines Zylinders zusammen? - Welche Formel verbindet den Radius mit dem Flächeninhalt eines Kreises? - Aus welchen Bestimmungsstücken (Radius, Höhe, Umfang) setzt sich die Mantelfläche zusammen? - Achte darauf, für Folgerechnungen nicht mit den gerundeten Werten, sondern mit den genauen Werten aus dem Taschenrechner weiterzuarbeiten.

1. Berechnung der Grundfläche über das Volumen: \(G = \frac{V}{h} = \frac{850}{12{,}5} = 68\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Radius aus der Grundfläche: \(r = \sqrt{\frac{G}{\pi}} = \sqrt{\frac{68}{\pi}} \approx 4{,}6526... \approx 4{,}7\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Mantelfläche mit dem exakten Radius: \(M = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{68}{\pi}} \cdot 12{,}5 \approx 365{,}37... \approx 365{,}4\,\text{cm}^2\).

\(G = 68{,}0\,\text{cm}^2\); \(r \approx 4{,}7\,\text{cm}\); \(M \approx 365{,}4\,\text{cm}^2\)

- Berechne zuerst, wie viel Raum der Quader einnimmt. - Wenn du das Volumen eines Würfels kennst, wie kommst du dann auf seine Seitenlänge? - Erinnere dich an die Formel für die Raumdiagonale eines Quaders und wie sie sich für einen Würfel vereinfacht. - Achte beim Vergleichen der Längen auf die geforderte Rundung am Ende.

1. Berechnung des Quadervolumens: \(V_Q = 16\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 512\,\text{cm}^3\). 2. Da der Würfel dasselbe Volumen hat (\(V_W = s^3\)), gilt \(s = \sqrt[3]{512\,\text{cm}^3} = 8\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Raumdiagonale des Quaders: \(d_Q = \sqrt{16^2 + 8^2 + 4^2} = \sqrt{256 + 64 + 16} = \sqrt{336} \approx 18{,}33\,\text{cm}\). 4. Berechnung der Raumdiagonale des Würfels: \(d_W = \sqrt{8^2 + 8^2 + 8^2} = \sqrt{192} \approx 13{,}86\,\text{cm}\). 5. Differenz der Längen: \(\Delta d = \sqrt{336} - \sqrt{192} \approx 18{,}3303 - 13{,}8564 \approx 4{,}47\,\text{cm}\).

a) \(s = 8\,\text{cm}\) b) Raumdiagonale Quader: \(d_Q \approx 18{,}33\,\text{cm}\); Raumdiagonale Würfel: \(d_W \approx 13{,}86\,\text{cm}\). Die Diagonale des Quaders ist um ca. \(4{,}47\,\text{cm}\) länger.

- Aus welchen Teilflächen setzt sich die gesamte Oberfläche eines Zylinders zusammen? - Welche dieser Teilflächen kannst du direkt berechnen, wenn der Radius bekannt ist? - Wenn du die Mantelfläche kennst, wie kommst du dann zur Höhe? - Welche Größen benötigst du, um das Volumen zu berechnen?

1. Berechnung der Grundfläche: \(G = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot 4{,}2^2 \approx 55{,}4177\,\text{cm}^2\). 2. Bestimmung der Mantelfläche aus der Oberfläche: \(M = O - 2 \cdot G = 540 - 2 \cdot \pi \cdot 4{,}2^2 \approx 429{,}1646\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung der Höhe aus der Mantelfläche: \(h = \frac{M}{2 \cdot \pi \cdot r} = \frac{429{,}1646...}{2 \cdot \pi \cdot 4{,}2} \approx 16{,}2622... \approx 16{,}3\,\text{cm}\). 4. Berechnung des Volumens: \(V = G \cdot h = \pi \cdot 4{,}2^2 \cdot 16{,}2622... \approx 901{,}243... \approx 901{,}2\,\text{cm}^3\).

\(h \approx 16{,}3\,\text{cm}\); \(V \approx 901{,}2\,\text{cm}^3\)