Kostenlose Arbeitsblätter

- Aus welchen Teilflächen setzt sich die Oberfläche eines nach oben offenen Gefäßes zusammen? - Welche Radien sind für die Mantelfläche und welche für den Boden relevant? - Achte darauf, welche Formel für die Mantelfläche eines Kegelstumpfes gilt.

1. Berechnung der Mantelfläche \(M\) mit der Formel \(M = \pi \cdot (r_1 + r_2) \cdot s\): \(M = \pi \cdot (15\,\text{cm} + 9\,\text{cm}) \cdot 10\,\text{cm} = 240 \cdot \pi\,\text{cm}^2 \approx 753{,}98\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung der Bodenfläche \(G\) (kleinerer Kreis): \(G = \pi \cdot r_2^2 = \pi \cdot (9\,\text{cm})^2 = 81 \cdot \pi\,\text{cm}^2 \approx 254{,}47\,\text{cm}^2\). 3. Addition beider Teilflächen zur Gesamtfläche \(A\): \(A = 240 \cdot \pi + 81 \cdot \pi = 321 \cdot \pi\,\text{cm}^2 \approx 1008{,}45\,\text{cm}^2\).

Die Außenfläche des Übertopfes beträgt ca. \(1008{,}45\,\text{cm}^2\).

- Welche geometrische Form beschreibt der Eimer? - Wie hängen Durchmesser und Radius zusammen? - Welche Formel benötigst du für das Volumen dieses Körpers? - Achte auf die Umrechnung von Kubikzentimetern in Liter am Ende der Rechnung.

1. Berechnung der Radien aus den gegebenen Durchmessern: \(r_1 = 16\,\text{cm}\) und \(r_2 = 12\,\text{cm}\). 2. Anwendung der Volumenformel für den Kegelstumpf: \(V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot h \cdot (r_1^2 + r_1 \cdot r_2 + r_2^2)\). 3. Einsetzen der bekannten Werte in die Formel: \(V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 28 \cdot (16^2 + 16 \cdot 12 + 12^2)\). 4. Berechnung des Terms in der Klammer: \(256 + 192 + 144 = 592\). 5. Ermittlung des Volumens in Kubikzentimetern: \(V = \frac{16\,576 \cdot \pi}{3} \approx 17\,358{,}26\,\text{cm}^3\). 6. Umrechnung des Ergebnisses von Kubikzentimetern in Liter (\(1000\,\text{cm}^3 = 1\,\text{l}\)): \(V \approx 17{,}358\,\text{l}\), gerundet auf eine Dezimalstelle ergibt sich \(17{,}4\,\text{l}\).

Das Fassungsvermögen beträgt etwa \(17{,}4\,\text{l}\).

- Welche Formel verbindet das Volumen, den Radius und die Höhe eines Kegels? - Überlege, wie du die Formel nach der gesuchten Größe umstellen kannst. - Um die Mantelfläche zu berechnen, benötigst du zuerst die Länge der Mantellinie \(s\). - Erinnere dich an den Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck innerhalb des Kegels.

1. Berechnung der Körperhöhe \(h\) durch Umstellen der Volumenformel \(V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h\): \(h = \frac{3 \cdot V}{\pi \cdot r^2} = \frac{3 \cdot 120}{\pi \cdot 3{,}5^2} \approx 9{,}35\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Mantellinie \(s\) mit dem Satz des Pythagoras: \(s = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{3{,}5^2 + 9{,}3544^2} \approx 9{,}99\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Mantelfläche \(M\) mit der Formel \(M = \pi \cdot r \cdot s\): \(M = \pi \cdot 3{,}5 \cdot 9{,}9875 \approx 109{,}82\,\text{cm}^2\).

a) Die Körperhöhe beträgt \(h \approx 9{,}35\,\text{cm}\). b) Die Mantelfläche beträgt \(M \approx 109{,}82\,\text{cm}^2\).

- Wie hängen Radius, Höhe und Volumen zusammen? - Achte beim Umstellen der Formel darauf, dass am Ende eine Wurzel gezogen werden muss, um \(r\) zu erhalten. - Aus welchen Teilflächen setzt sich die gesamte Oberfläche eines Kegels zusammen? - Welche Hilfsgröße musst du berechnen, um den Mantel des Kegels bestimmen zu können?

1. Berechnung des Radius \(r\) durch Umstellen der Volumenformel \(V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h\): \(r^2 = \frac{3 \cdot V}{\pi \cdot h} = \frac{3 \cdot 450}{\pi \cdot 15} = \frac{90}{\pi} \approx 28{,}65\). Daraus folgt \(r = \sqrt{28{,}6479} \approx 5{,}35\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Mantellinie \(s\): \(s = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{5{,}3523^2 + 15^2} \approx 15{,}93\,\text{cm}\). 3. Berechnung des Oberflächeninhalts \(O = G + M = \pi \cdot r^2 + \pi \cdot r \cdot s\): \(G \approx 90{,}00\,\text{cm}^2\) und \(M \approx 267{,}82\,\text{cm}^2\). Somit ergibt sich \(O \approx 357{,}82\,\text{cm}^2\).

a) Der Radius beträgt \(r \approx 5{,}35\,\text{cm}\). b) Der gesamte Oberflächeninhalt beträgt \(O \approx 357{,}82\,\text{cm}^2\).

- Da der Lampenschirm offen ist, wird hier nur die Mantelfläche berechnet. - Überlege, wie du die fehlende Mantellinie \(s\) aus der Höhe und den Radien berechnen kannst. - Erinnere dich an den Satz des Pythagoras in einem geeigneten Stützdreieck innerhalb des Kegelstumpfes.

1. Berechnung der Länge der Mantellinie \(s\) mithilfe des Satzes von Pythagoras im rechtwinkligen Trapez des Querschnitts: \(s = \sqrt{h^2 + (r_1 - r_2)^2} = \sqrt{21^2 + (35 - 15)^2} = \sqrt{441 + 400} = \sqrt{841} = 29\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Mantelfläche \(M\) mit der Formel \(M = \pi \cdot (r_1 + r_2) \cdot s\): \(M = \pi \cdot (35\,\text{cm} + 15\,\text{cm}) \cdot 29\,\text{cm} = 1450\pi\,\text{cm}^2 \approx 4555{,}31\,\text{cm}^2\).

Für den Lampenschirm werden ca. \(4555{,}31\,\text{cm}^2\) Material benötigt.

- Welche Maße sind gegeben und welche Größe wird gesucht? - Vergiss nicht, das Volumen in eine passende Einheit (\(\text{cm}^3\)) umzurechnen, bevor du rechnest. - Kannst du die Volumenformel für den Kegelstumpf so umstellen, dass die Höhe allein auf einer Seite steht? - Wie berechnest du die Radien, wenn die Durchmesser gegeben sind?

1. Bestimmung der Radien aus den Durchmessern: \(r_1 = 11\,\text{cm}\) und \(r_2 = 7\,\text{cm}\). 2. Umrechnung des Zielvolumens in Kubikzentimeter: \(1{,}5\,\text{l} = 1500\,\text{cm}^3\). 3. Aufstellen der Gleichung basierend auf der Volumenformel für den Kegelstumpf: \(1500 = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot h \cdot (11^2 + 11 \cdot 7 + 7^2)\). 4. Vereinfachung des Ausdrucks in der Klammer: \(121 + 77 + 49 = 247\). 5. Umformung der Gleichung zur Isolierung der Höhe \(h\): \(h = \frac{1500 \cdot 3}{247 \cdot \pi}\). 6. Numerische Berechnung der Tiefe: \(h = \frac{4500}{247 \cdot \pi} \approx 5{,}799\,\text{cm}\), was gerundet \(5{,}8\,\text{cm}\) ergibt.

Die Schale muss etwa \(5{,}8\,\text{cm}\) tief sein.

- Welche Informationen aus dem Text kannst du direkt in die Volumenformel einsetzen? - Wie kannst du die Gleichung schrittweise umformen, um die unbekannte Höhe zu isolieren? - Achte darauf, dass alle Einheiten zueinander passen, bevor du rechnest.

1. Gegeben sind das Volumen \(V = 150\,\text{dm}^3\) sowie die Radien \(r_1 = 3\,\text{dm}\) und \(r_2 = 2\,\text{dm}\). 2. Aufstellen der Volumenformel für den Kegelstumpf: \(V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot h \cdot (r_1^2 + r_1 \cdot r_2 + r_2^2)\). 3. Einsetzen der bekannten Werte in die Formel: \(150 = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot h \cdot (3^2 + 3 \cdot 2 + 2^2)\). 4. Vereinfachen des Klammerausdrucks: \(9 + 6 + 4 = 19\). 5. Umstellen der Gleichung nach der Höhe \(h\): \(h = \frac{150 \cdot 3}{19 \cdot \pi}\). 6. Numerische Berechnung der Höhe: \(h \approx 7{,}54\,\text{dm}\).

Die Höhe des Betonpfeilers beträgt ca. \(7{,}54\,\text{dm}\).

- Überlege dir, wie die Volumenformel für einen Kegelstumpf lautet und welche Unbekannte darin vorkommt. - Kannst du die Formel so umstellen, dass die gesuchte Größe allein auf einer Seite steht? - Skizziere dir den Querschnitt des Kegelstumpfes. Welches geometrische Gebilde hilft dir, die schräge Seite zu berechnen? - Achte beim Oberflächeninhalt darauf, alle Teilflächen (Boden, Deckel und Seite) zu berücksichtigen.

1. Zur Berechnung der Höhe \(h\) wird die Volumenformel \(V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot h \cdot (r_1^2 + r_1 \cdot r_2 + r_2^2)\) nach \(h\) umgestellt: \(h = \frac{3 \cdot V}{\pi \cdot (r_1^2 + r_1 \cdot r_2 + r_2^2)}\). Einsetzen der Werte ergibt \(h = \frac{3 \cdot 65 \cdot \pi}{\pi \cdot (25 + 10 + 4)} = \frac{195}{39} = 5\,\text{cm}\). 2. Die Mantellinie \(s\) wird mit dem Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Trapez berechnet: \(s = \sqrt{h^2 + (r_1 - r_2)^2} = \sqrt{5^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \approx 5{,}83\,\text{cm}\). 3. Der Oberflächeninhalt \(O\) setzt sich aus Grundfläche, Deckfläche und Mantelfläche zusammen: \(O = \pi \cdot r_1^2 + \pi \cdot r_2^2 + \pi \cdot (r_1 + r_2) \cdot s\). Mit den berechneten Werten ergibt sich \(O = \pi \cdot 25 + \pi \cdot 4 + \pi \cdot 7 \cdot \sqrt{34} = \pi \cdot (29 + 7 \cdot \sqrt{34}) \approx 219{,}34\,\text{cm}^2\).

a) \(h = 5\,\text{cm}\) b) \(s \approx 5{,}83\,\text{cm}\) c) \(O \approx 219{,}34\,\text{cm}^2\)

- Achte darauf, dass im Text Durchmesser gegeben sind, in den Formeln aber meist Radien verwendet werden. - Wie hängen Kubikzentimeter und Liter zusammen? Erinnere dich an die Umrechnung über Dezimeter. - Ein Eimer ist oben offen. Welche Teilflächen der vollständigen Kegelstumpf-Oberfläche musst du also für die Außenfläche addieren? - Wie berechnet man die Länge der schrägen Seite, wenn Höhe und Radien bekannt sind?

1. Zuerst werden die Radien bestimmt: \(r_1 = 14\,\text{cm}\) und \(r_2 = 10\,\text{cm}\). Das Volumen berechnet sich zu \(V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 24 \cdot (14^2 + 14 \cdot 10 + 10^2) = 8 \cdot \pi \cdot (196 + 140 + 100) = 3488 \cdot \pi \approx 10\,957{,}8\,\text{cm}^3\). 2. Umrechnung in Liter: Da \(1000\,\text{cm}^3 = 1\,\text{dm}^3 = 1\,\text{l}\) gilt, fasst der Eimer etwa \(11{,}0\,\text{l}\). 3. Für die Außenfläche wird die Mantellinie \(s\) benötigt: \(s = \sqrt{24^2 + (14 - 10)^2} = \sqrt{576 + 16} = \sqrt{592} \approx 24{,}33\,\text{cm}\). 4. Die Außenfläche besteht aus der Mantelfläche \(M = \pi \cdot (r_1 + r_2) \cdot s\) und der Bodenfläche \(A_{\text{B}} = \pi \cdot r_2^2\). Einsetzen ergibt \(M \approx \pi \cdot 24 \cdot 24{,}33 \approx 1834{,}52\,\text{cm}^2\) und \(A_{\text{B}} = 100 \cdot \pi \approx 314{,}16\,\text{cm}^2\). Die gesamte Außenfläche ist \(A_{\text{ges}} \approx 1834{,}52 + 314{,}16 = 2148{,}68\,\text{cm}^2\).

a) \(V \approx 11{,}0\,\text{l}\) b) \(A \approx 2148{,}68\,\text{cm}^2\)

- Welche Formel für das Volumen eines Kegelstumpfes kennst du? - Überlege, welche der Größen in der Formel gegeben sind und welche gesucht wird. - Kannst du die Formel so umstellen, dass die gesuchte Größe allein auf einer Seite steht? - Achte darauf, die Einheiten beizubehalten oder passend umzurechnen.

1. Einsetzen der gegebenen Werte \(V = 1790{,}7\,\text{cm}^3\), \(r_1 = 6\,\text{cm}\) und \(r_2 = 9\,\text{cm}\) in die Volumenformel für den Kegelstumpf \(V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot h \cdot (r_1^2 + r_1 \cdot r_2 + r_2^2)\). 2. Berechnung des Terms in der Klammer: \(6^2 + 6 \cdot 9 + 9^2 = 36 + 54 + 81 = 171\). 3. Aufstellen der Gleichung: \(1790{,}7 = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot h \cdot 171 = 57 \cdot \pi \cdot h\). 4. Auflösen nach der Höhe \(h\): \(h = \frac{1790{,}7}{57 \cdot \pi} \approx 10{,}0\,\text{cm}\).

Die Höhe des Messbechers beträgt \(h = 10{,}0\,\text{cm}\).

- Notiere dir zuerst die Volumenformel für den Kegelstumpf und setze alle bekannten Werte ein. - Versuche, die Gleichung so weit wie möglich zu vereinfachen, bevor du nach der Unbekannten auflöst. - Wenn die gesuchte Größe im Quadrat und als einfacher Term vorkommt, deutet das auf eine quadratische Gleichung hin. - Welche Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen hast du gelernt? - Bedenke am Ende, ob alle mathematischen Lösungen im Sachkontext (Geometrie) sinnvoll sind.

1. Einsetzen der Werte \(V = 703{,}7\,\text{cm}^3\), \(h = 6\,\text{cm}\) und \(r_1 = 4\,\text{cm}\) in die Volumenformel \(V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot h \cdot (r_1^2 + r_1 \cdot r_2 + r_2^2)\). 2. Vereinfachen der Gleichung: \(703{,}7 = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 6 \cdot (4^2 + 4 \cdot r_2 + r_2^2) = 2 \cdot \pi \cdot (16 + 4 \cdot r_2 + r_2^2)\). 3. Division durch \(2\pi\): \(\frac{703{,}7}{2\pi} \approx 112{,}0\), woraus folgt: \(112 = 16 + 4 \cdot r_2 + r_2^2\). 4. Umformen in die Normalform der quadratischen Gleichung: \(r_2^2 + 4 \cdot r_2 - 96 = 0\). 5. Anwendung der p-q-Formel oder Mitternachtsformel: \(r_2 = \frac{-4 + \sqrt{16 - 4 \cdot (-96)}}{2} = \frac{-4 + 20}{2} = 8{,}0\,\text{cm}\). Die negative Lösung \(r_2 = -12\) wird verworfen, da ein Radius positiv sein muss.

Der Radius der Deckfläche beträgt \(r_2 = 8{,}0\,\text{cm}\).