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- Was bleibt gleich, wenn man mehrere Knetkugeln zu einer großen Kugel zusammenfügt? - Wie berechnet man das Volumen einer Kugel aus ihrem Radius? - Wenn du die Volumina addierst, kannst du konstante Faktoren vor der Klammer ausklammern, um die Rechnung zu vereinfachen.

1. Berechnung des Gesamtvolumens der drei kleinen Kugeln: \(V_{ges} = \frac{4}{3}\pi \cdot 1^3 + \frac{4}{3}\pi \cdot 6^3 + \frac{4}{3}\pi \cdot 8^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot (1 + 216 + 512)\). 2. Vereinfachung der Summe in der Klammer: \(1 + 216 + 512 = 729\). 3. Gleichsetzen mit dem Volumen der neuen großen Kugel: \(\frac{4}{3}\pi \cdot R^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 729\). 4. Auflösen nach \(R\): \(R^3 = 729 \implies R = \sqrt[3]{729}\). 5. Berechnung der Kubikwurzel: \(R = 9\).

\(9\,\text{cm}\)

- Welche Größe musst du zuerst isolieren, um den Radius zu finden? - Wie gehst du vor, wenn eine Variable in der dritten Potenz steht? - Achte darauf, welche Einheiten für Volumen und Fläche gefragt sind. - Welche Formel verknüpft den Radius direkt mit der gesuchten Oberfläche?

1. Umstellung der Volumenformel nach dem Radius: \(r = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot V}{4 \cdot \pi}}\). Einsetzen von \(V = 14{,}5\,\text{m}^3\): \(r = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 14{,}5}{4 \cdot \pi}} \approx \sqrt[3]{3{,}4616} \approx 1{,}51\,\text{m}\). 2. Berechnung der Oberfläche mit \(r = 1{,}51\,\text{m}\): \(O = 4 \cdot \pi \cdot 1{,}51^2 \approx 4 \cdot \pi \cdot 2{,}2801 \approx 28{,}65\,\text{m}^2\).

1. Der Radius beträgt ca. \(1{,}51\,\text{m}\). 2. Die Oberfläche beträgt ca. \(28{,}65\,\text{m}^2\).

- Überlege zuerst, wie der Radius einer Kugel mit ihrem Durchmesser zusammenhängt. - Welche Formeln benötigst du für das Volumen und die Oberfläche einer Kugel? - Achte beim Eintippen in den Taschenrechner auf die korrekte Verwendung der Hochzahlen.

1. Berechnung des Radius: \(r = d : 2 = 12{,}4\,\text{cm} : 2 = 6{,}2\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Volumens: \(V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot (6{,}2\,\text{cm})^3 \approx 998{,}3\,\text{cm}^3\). 3. Berechnung des Oberflächeninhalts: \(O = 4 \cdot \pi \cdot r^2 = 4 \cdot \pi \cdot (6{,}2\,\text{cm})^2 \approx 483{,}1\,\text{cm}^2\).

\(V \approx 998{,}3\,\text{cm}^3\) und \(O \approx 483{,}1\,\text{cm}^2\)

- Welche Formel benötigst du für den Rauminhalt einer Kugel? - Setze den gegebenen Radius in die Formel ein. - Achte beim Potenzieren darauf, die Zahl dreimal mit sich selbst zu multiplizieren.

1. Identifikation des Radius: \(r = 4{,}5\,\text{cm}\). 2. Anwendung der Volumenformel für die Kugel: \(V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3\). 3. Einsetzen des Wertes: \(V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot (4{,}5\,\text{cm})^3\). 4. Berechnung des Kubikwertes: \(4{,}5^3 = 91{,}125\). 5. Berechnung des Gesamtvolumens: \(V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 91{,}125 = 121{,}5 \cdot \pi \approx 381{,}703\ldots\,\text{cm}^3\). 6. Runden auf die nächste ganze Zahl ergibt \(382\,\text{cm}^3\).

Das Volumen der Kugel beträgt etwa \(382\,\text{cm}^3\).

- Stelle sicher, dass alle Einheiten zueinander passen, bevor du rechnest. - Wie hängen Masse, Dichte und Volumen zusammen? - Wenn du das Volumen kennst, wie kommst du schrittweise zum Durchmesser? - Was ist die Beziehung zwischen Radius und Durchmesser?

1. Umrechnung der Masse in Gramm: \(m = 450\,\text{kg} = 450\,000\,\text{g}\). 2. Berechnung des Volumens über die Dichte: \(V = \frac{m}{\rho} = \frac{450000}{8{,}7} \approx 51\,724{,}14\,\text{cm}^3\). 3. Berechnung des Radius aus dem Volumen: \(r = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot V}{4 \cdot \pi}} = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 51724{,}14}{4 \cdot \pi}} \approx \sqrt[3]{12\,348{,}09} \approx 23{,}11\,\text{cm}\). 4. Berechnung des Durchmessers: \(d = 2 \cdot r \approx 2 \cdot 23{,}11 = 46{,}22\,\text{cm}\).

Der Durchmesser der Bronzekugel beträgt ca. \(46{,}2\,\text{cm}\).

- Wie lautet die Formel für den Oberflächeninhalt einer Kugel? Kannst du sie nach dem Radius umstellen? - Wenn du den Radius gefunden hast, kannst du ihn direkt in die Volumenformel einsetzen. - Achte darauf, wie in der Aufgabe verlangt zu runden.

1. Berechnung des Radius durch Umstellen der Oberflächenformel: \(O = 4 \cdot \pi \cdot r^2 \Rightarrow r = \sqrt{\frac{O}{4 \cdot \pi}}\). Einsetzen der Werte ergibt \(r = \sqrt{\frac{800\,\text{cm}^2}{4 \cdot \pi}} \approx 7{,}9788\ldots\,\text{cm}\). Gerundet auf zwei Stellen: \(r \approx 7{,}98\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Volumens mit dem gerundeten Radius: \(V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot (7{,}98\,\text{cm})^3 \approx 2128{,}62\,\text{cm}^3\).

\(r \approx 7{,}98\,\text{cm}\) und \(V \approx 2128{,}62\,\text{cm}^3\)

- Überlege zuerst, wie viele Kubikzentimeter einem Liter entsprechen. - Wie hängt das Volumen einer Halbkugel mit dem einer ganzen Kugel zusammen? - Wenn du das Volumen kennst, wie kannst du die Formel so umformen, dass du den Radius berechnen kannst? - Achte am Ende darauf, ob nach dem Radius oder dem Durchmesser gefragt ist.

1. Umrechnung des Volumens in Kubikzentimeter: \(V = 4\,\text{l} = 4000\,\text{cm}^3\). 2. Aufstellen der Formel für das Volumen einer Halbkugel: \(V = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot r^3\). 3. Umstellen der Formel nach dem Radius \(r\): \(r = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot V}{2 \cdot \pi}}\). 4. Einsetzen der Werte: \(r = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 4000\,\text{cm}^3}{2 \cdot \pi}} \approx 12{,}407\,\text{cm}\). 5. Berechnung des Durchmessers \(d\): \(d = 2 \cdot r \approx 24{,}814\,\text{cm}\). 6. Endergebnis gerundet: \(d \approx 24{,}8\,\text{cm}\).

Der Innendurchmesser des Gefäßes beträgt etwa \(24{,}8\,\text{cm}\).

- Berechne zunächst die Volumina beider Körper einzeln. - Wie verändert sich das Volumen eines Körpers allgemein, wenn man seine Maße verdoppelt? - Du kannst das Problem lösen, indem du die konkreten Werte einsetzt oder indem du mit den Formeln und dem Faktor 2 arbeitest. - Vergleiche am Ende die beiden Ergebnisse durch Division.

1. Berechnung des Volumens der ursprünglichen Kugel mit \(r_1 = 1{,}5\,\text{cm}\): \(V_1 = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 1{,}5^3 = 4{,}5 \cdot \pi \approx 14{,}14\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung des Volumens der neuen Halbkugel mit \(r_2 = 3\,\text{cm}\): \(V_2 = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot 3^3 = 18 \cdot \pi \approx 56{,}55\,\text{cm}^3\). 3. Vergleich der Volumina durch Division: \(\frac{V_2}{V_1} = \frac{18 \cdot \pi}{4{,}5 \cdot \pi} = 4\). 4. Alternativer Weg über Skalierungsfaktoren: Verdopplung des Radius führt bei einer ganzen Kugel zum 8-fachen Volumen (\(2^3\)). Da es sich nur um eine Halbkugel handelt, halbiert sich dieser Faktor wieder (\(8 : 2 = 4\)).

Das Volumen der neuen Halbkugel ist genau 4-mal so groß wie das Volumen der ursprünglichen Kugel.

- Wie hängen Liter und Kubikdezimeter zusammen? - Du musst die Volumenformel der Kugel nach dem Radius \(r\) umstellen. Welche Rechenoperation ist die Umkehrung der dritten Potenz? - Nutze den berechneten Radius, um in einem zweiten Schritt die Oberfläche zu ermitteln. - Verwende für Zwischenergebnisse möglichst ungerundete Werte auf deinem Taschenrechner, um die Genauigkeit zu erhöhen.

1. Umrechnung und Ansatz für den Radius: Da \(1\,\text{l} = 1\,\text{dm}^3\), gilt \(V = 12\,\text{dm}^3\). Die Formel für das Volumen lautet \(V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3\). 2. Berechnung des Radius: Umstellen der Formel ergibt \(r = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot V}{4 \cdot \pi}}\). Einsetzen der Werte liefert \(r = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 12\,\text{dm}^3}{4 \cdot \pi}} = \sqrt[3]{\frac{36}{4\pi}} = \sqrt[3]{\frac{9}{\pi}} \approx 1{,}42\,\text{dm}\). 3. Berechnung des Oberflächeninhalts: Mit der Formel \(A_O = 4 \cdot \pi \cdot r^2\) und dem ungerundeten Radius ergibt sich \(A_O = 4 \cdot \pi \cdot (1{,}420248...\,\text{dm})^2 \approx 25{,}35\,\text{dm}^2\).

a) Der Radius beträgt ca. \(1{,}42\,\text{dm}\). b) Der Oberflächeninhalt beträgt ca. \(25{,}35\,\text{dm}^2\).

- Welche Maße der Kugel kannst du aus der Abbildung entnehmen? Handelt es sich um den Radius oder den Durchmesser? - Welche Formel benötigst du, um das Volumen einer Kugel zu berechnen? - Setze den Radius in die Volumenformel ein und vereinfache den Ausdruck. - Berechne zuerst das exakte Ergebnis mit \(\pi\) und multipliziere es anschließend für den gerundeten Wert aus.

1. Aus der Abbildung entnehmen wir den Radius der Kugel: \(r = 6\,\text{cm}\). 2. Wir verwenden die Formel für das Volumen einer Kugel: \(V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3\) 3. Setzen wir den Wert für den Radius ein: \(V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot (6\,\text{cm})^3\) \(V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 216\,\text{cm}^3\) \(V = 288\pi\,\text{cm}^3\) 4. Um den gerundeten Wert zu berechnen, multiplizieren wir mit \(\pi \approx 3{,}14159\): \(V \approx 288 \cdot 3{,}14159\,\text{cm}^3 = 904{,}779\,\text{cm}^3 \approx 904{,}8\,\text{cm}^3\)

Exakter Wert: \(288\pi\,\text{cm}^3\) Gerundeter Wert: \(904{,}8\,\text{cm}^3\)

- Schreibe die Formeln für beide Volumina auf und setze sie ins Verhältnis. - Welche Teile der Formel bleiben gleich und können gekürzt werden? - Wenn sich das Volumen versechsfacht, wie wirkt sich das auf die Seitenlänge oder den Radius aus? - Überlege, ob sich das Verhältnis der Radien vom Verhältnis der Durchmesser unterscheidet.

1. Aufstellen des Volumenverhältnisses: \(V_B = 6 \cdot V_A\). 2. Einsetzen der Formel \(V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3\): \(\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r_B^3 = 6 \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r_A^3\). 3. Kürzen der Konstanten \(\frac{4}{3} \cdot \pi\): \(r_B^3 = 6 \cdot r_A^3\). 4. Ziehen der Kubikwurzel: \(r_B = \sqrt[3]{6} \cdot r_A\). 5. Da der Durchmesser \(d = 2 \cdot r\) proportional zum Radius ist, gilt für den Faktor \(k\): \(k = \frac{d_B}{d_A} = \frac{r_B}{r_A} = \sqrt[3]{6}\). 6. Numerische Berechnung: \(k = \sqrt[3]{6} \approx 1{,}817\).

Der Durchmesser von Kugel B ist um den Faktor \(k = \sqrt[3]{6} \approx 1{,}82\) größer als der von Kugel A.

- Berechne zuerst die Volumina beider Körper einzeln. - Wie hängen der Durchmesser der Kugel und die Kantenlänge des Würfels hier zusammen? - Um den Anteil zu berechnen, teile das Teilvolumen durch das Gesamtvolumen.

1. Berechnung des Kugelvolumens: Der Radius ist \(r = \frac{12\,\text{cm}}{2} = 6\,\text{cm}\). Das Volumen ist \(V_{\text{Kugel}} = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot (6\,\text{cm})^3 = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 216\,\text{cm}^3 = 288\pi\,\text{cm}^3 \approx 904{,}78\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung des Würfelvolumens: \(V_{\text{Würfel}} = a^3 = (12\,\text{cm})^3 = 1728\,\text{cm}^3\). 3. Berechnung des prozentualen Anteils: \(p = \frac{V_{\text{Kugel}}}{V_{\text{Würfel}}} \cdot 100\,\% = \frac{288\pi}{1728} \cdot 100\,\% = \frac{\pi}{6} \cdot 100\,\% \approx 52{,}359\ldots\,\%\). 4. Runden auf eine Dezimalstelle ergibt \(52{,}4\,\%\).

Das Volumen der Kugel beträgt etwa \(904{,}8\,\text{cm}^3\). Sie nimmt ca. \(52{,}4\,\%\) des Würfelvolumens ein.