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- Lies den Radius aus der Abbildung ab. - Welche Formel gehört zur Oberfläche einer Kugel? - Achte auf Quadrateinheiten.

1. Für die Kugeloberfläche gilt \(O=4\pi r^2\). 2. Mit \(r=3\,\text{cm}\) ergibt sich \(O=4\pi\cdot 3^2=36\pi\,\text{cm}^2\).

\(36\pi\,\text{cm}^2\)

- Ein Volumen muss von einer Längengröße in dritter Potenz abhängen. - Unterscheide Volumen- und Oberflächenformel der Kugel.

1. Die Kugelvolumenformel enthält die dritte Potenz des Radius. 2. Daher ist B richtig: \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\).

B: \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\)

- Welche räumliche Form entsteht, wenn ein Halbkreis einmal vollständig um seine gerade Begrenzung gedreht wird? - Wo liegt der Mittelpunkt des entstehenden Körpers? - Wie viele Radien bilden einen Durchmesser?

1. Durch die vollständige Drehung eines Halbkreises um seinen Durchmesser entsteht eine Kugel. 2. Die Strecke vom Mittelpunkt \(M\) des Durchmessers zu einem Punkt des Halbkreises, hier \(MC\), ist ein Radius. Daher entspricht \(MC\) dem Kugelradius \(r\). 3. Der Durchmesser besteht aus zwei Radien. Deshalb gilt \(d=2r\).

a) Eine Kugel. b) \(MC=r\) c) \(d=2r\)

- Was bleibt gleich, wenn man mehrere Knetkugeln zu einer großen Kugel zusammenfügt? - Wie berechnet man das Volumen einer Kugel aus ihrem Radius? - Wenn du die Volumina addierst, kannst du konstante Faktoren vor der Klammer ausklammern, um die Rechnung zu vereinfachen.

1. Berechnung des Gesamtvolumens der drei kleinen Kugeln: \(V_{ges} = \frac{4}{3}\pi \cdot 1^3 + \frac{4}{3}\pi \cdot 6^3 + \frac{4}{3}\pi \cdot 8^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot (1 + 216 + 512)\). 2. Vereinfachung der Summe in der Klammer: \(1 + 216 + 512 = 729\). 3. Gleichsetzen mit dem Volumen der neuen großen Kugel: \(\frac{4}{3}\pi \cdot R^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 729\). 4. Auflösen nach \(R\): \(R^3 = 729 \implies R = \sqrt[3]{729}\). 5. Berechnung der Kubikwurzel: \(R = 9\).

\(9\,\text{cm}\)

- Welche Größe musst du in der Volumenformel zuerst isolieren? - Welche Umkehroperation brauchst du, wenn \(r\) in der dritten Potenz vorkommt? - Warum sollte der Radius für Teil 2 intern genauer bleiben als die in Teil 1 ausgegebene Rundung? - Achte darauf, dass die Oberfläche eine Flächeneinheit hat.

1. Aus \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\) folgt \(r=\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}=\sqrt[3]{\frac{3\cdot14{,}5}{4\pi}}\,\text{m}\approx1{,}512724\,\text{m}\). Gerundet ist \(r\approx1{,}51\,\text{m}\). 2. Mit dem ungerundeten Radius gilt \(O=4\pi r^2\approx28{,}756065\,\text{m}^2\). Gerundet ist \(O\approx28{,}76\,\text{m}^2\).

1. \(r\approx1{,}51\,\text{m}\) 2. \(O\approx28{,}76\,\text{m}^2\)

- Überlege zuerst, wie der Radius einer Kugel mit ihrem Durchmesser zusammenhängt. - Welche Formeln benötigst du für das Volumen und die Oberfläche einer Kugel? - Achte beim Eintippen in den Taschenrechner auf die korrekte Verwendung der Hochzahlen.

1. Berechnung des Radius: \(r = d : 2 = 12{,}4\,\text{cm} : 2 = 6{,}2\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Volumens: \(V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot (6{,}2\,\text{cm})^3 \approx 998{,}3\,\text{cm}^3\). 3. Berechnung des Oberflächeninhalts: \(O = 4 \cdot \pi \cdot r^2 = 4 \cdot \pi \cdot (6{,}2\,\text{cm})^2 \approx 483{,}1\,\text{cm}^2\).

\(V \approx 998{,}3\,\text{cm}^3\) und \(O \approx 483{,}1\,\text{cm}^2\)

- Welche Maßangabe zeigt die Abbildung bei der Kugel? - Welche Formel verknüpft den Radius mit dem Kugelvolumen? - Halte \(\pi\) zunächst symbolisch und runde erst am Ende.

1. Aus der Abbildung liest man den Radius \(r=6\,\text{cm}\) ab. 2. Das Kugelvolumen ist \(V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi\cdot6^3\,\text{cm}^3=288\pi\,\text{cm}^3\). 3. Numerisch ist \(V\approx904{,}779\,\text{cm}^3\), also gerundet \(904{,}8\,\text{cm}^3\).

Exakt: \(288\pi\,\text{cm}^3\) Gerundet: \(904{,}8\,\text{cm}^3\)

- Welche Länge zeigt die Maßangabe an der Kugel: Radius oder Durchmesser? - Welche Beziehung besteht zwischen Durchmesser und Radius? - Runde erst nach dem Einsetzen in die Oberflächenformel.

1. Aus der Abbildung liest man den Durchmesser \(d=9\,\text{cm}\) ab. Daher ist \(r=\frac{d}{2}=4{,}5\,\text{cm}\). 2. Für die Kugeloberfläche gilt \(O=4\pi r^2=4\pi\cdot(4{,}5)^2\,\text{cm}^2=81\pi\,\text{cm}^2\). 3. Numerisch ist \(O\approx254{,}469\,\text{cm}^2\), also gerundet \(254{,}5\,\text{cm}^2\).

Exakt: \(81\pi\,\text{cm}^2\) Gerundet: \(254{,}5\,\text{cm}^2\)

- Welche Fläche erhältst du, wenn du nur die gekrümmte Oberfläche einer ganzen Kugel halbierst? - Welche neue ebene Fläche entsteht durch das Halbieren der Kugel? - Prüfe bei jeder Teilaufgabe, ob diese Schnittfläche zur gesuchten Oberfläche gehört.

1. Die gekrümmte Oberfläche einer Halbkugel ist die Hälfte der Kugeloberfläche: \(O_{\text{gekrümmt}}=\frac{1}{2}\cdot4\pi r^2=2\pi r^2\). 2. Für \(r=6\,\text{cm}\) ist \(O_{\text{gekrümmt}}=72\pi\,\text{cm}^2\approx226{,}2\,\text{cm}^2\). 3. Bei einer massiven Halbkugel gehört zusätzlich die kreisförmige Schnittfläche mit \(G=\pi r^2=36\pi\,\text{cm}^2\) zur Oberfläche. 4. Daher ist \(O_{\text{gesamt}}=72\pi\,\text{cm}^2+36\pi\,\text{cm}^2=108\pi\,\text{cm}^2\approx339{,}3\,\text{cm}^2\). 5. Die Formel \(2\pi r^2\) beschreibt nur die gekrümmte Halbkugeloberfläche; für die gesamte Oberfläche muss die Schnittfläche addiert werden.

a) \(72\pi\,\text{cm}^2\approx226{,}2\,\text{cm}^2\) b) \(108\pi\,\text{cm}^2\approx339{,}3\,\text{cm}^2\) c) \(2\pi r^2\) erfasst nur die gekrümmte Fläche. Bei der massiven Halbkugel kommt die Kreisfläche \(\pi r^2\) hinzu.

- Welche Strecke des Halbkreises bleibt beim Drehen unverändert? - Wie groß ist der maximale Abstand eines Halbkreispunktes von dieser Achse? - Denke bei Teil c) zunächst an die Bahn eines einzigen Punktes mit festem Achsabstand.

1. Der Durchmesser bleibt als Drehachse fest. Beim Drehen erzeugt der Halbkreisbogen die gesamte Kugeloberfläche, während die Punkte der Halbkreisfläche das Kugelinnere ausfüllen. 2. Der größte Abstand eines Halbkreispunktes von der Drehachse ist der Halbkreisradius. Daher hat die Kugel \(r=4\,\text{cm}\) und den Durchmesser \(d=8\,\text{cm}\). 3. Ein Punkt im Abstand \(x\) von der Achse durchläuft einen Kreis mit Radius \(x\), dessen Mittelpunkt auf der Drehachse liegt. Die Gesamtheit solcher Kreisbahnen beschreibt die rotationssymmetrische Kugel.

a) Die Rotation der Halbkreisfläche um ihren Durchmesser erzeugt eine Kugel. b) \(r=4\,\text{cm}\), \(d=8\,\text{cm}\). c) Ein Punkt im Achsabstand \(x\) durchläuft einen Kreis mit Radius \(x\) um die Drehachse.

- Welche Potenz des Radius steht in der Oberflächenformel? - Welche Potenz des Radius steht in der Volumenformel? - Was geschieht mit einer Potenz, wenn ihre Grundgröße verdoppelt wird?

1. Für die Oberfläche gilt \(O=4\pi r^2\). Wird \(r\) mit dem Faktor \(2\) multipliziert, wird \(O\) mit \(2^2=4\) multipliziert. 2. Für das Volumen gilt \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\). Wird \(r\) verdoppelt, wird \(V\) mit \(2^3=8\) multipliziert. 3. Der Unterschied entsteht, weil die Oberfläche quadratisch und das Volumen kubisch vom Radius abhängen.

a) Faktor \(4\) b) Faktor \(8\) c) Oberfläche: Abhängigkeit von \(r^2\); Volumen: Abhängigkeit von \(r^3\).

- Stelle sicher, dass alle Einheiten zueinander passen, bevor du rechnest. - Wie hängen Masse, Dichte und Volumen zusammen? - Wenn du das Volumen kennst, wie kommst du schrittweise zum Durchmesser? - Was ist die Beziehung zwischen Radius und Durchmesser?

1. Umrechnung der Masse in Gramm: \(m = 450\,\text{kg} = 450\,000\,\text{g}\). 2. Berechnung des Volumens über die Dichte: \(V = \frac{m}{\rho} = \frac{450000}{8{,}7} \approx 51\,724{,}14\,\text{cm}^3\). 3. Berechnung des Radius aus dem Volumen: \(r = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot V}{4 \cdot \pi}} = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 51724{,}14}{4 \cdot \pi}} \approx \sqrt[3]{12\,348{,}09} \approx 23{,}11\,\text{cm}\). 4. Berechnung des Durchmessers: \(d = 2 \cdot r \approx 2 \cdot 23{,}11 = 46{,}22\,\text{cm}\).

Der Durchmesser der Bronzekugel beträgt ca. \(46{,}2\,\text{cm}\).

- Welche Formel verbindet Kugeloberfläche und Radius? - Welche Umformung liefert \(r\) aus dem gegebenen Oberflächeninhalt? - Behalte für die zweite Rechnung den genaueren Radiuswert im Rechner und runde erst das Volumen.

1. Aus \(O=4\pi r^2\) folgt \(r=\sqrt{\frac{O}{4\pi}}=\sqrt{\frac{800}{4\pi}}\,\text{cm}\approx7{,}978846\,\text{cm}\). Daher ist \(r\approx7{,}98\,\text{cm}\). 2. Mit dem ungerundeten Radius gilt \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\approx2127{,}692162\,\text{cm}^3\). Somit ist \(V\approx2127{,}69\,\text{cm}^3\).

\(r\approx7{,}98\,\text{cm}\) \(V\approx2127{,}69\,\text{cm}^3\)

- Überlege zuerst, wie viele Kubikzentimeter einem Liter entsprechen. - Wie hängt das Volumen einer Halbkugel mit dem einer ganzen Kugel zusammen? - Wenn du das Volumen kennst, wie kannst du die Formel so umformen, dass du den Radius berechnen kannst? - Achte am Ende darauf, ob nach dem Radius oder dem Durchmesser gefragt ist.

1. Umrechnung des Volumens in Kubikzentimeter: \(V = 4\,\text{l} = 4000\,\text{cm}^3\). 2. Aufstellen der Formel für das Volumen einer Halbkugel: \(V = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot r^3\). 3. Umstellen der Formel nach dem Radius \(r\): \(r = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot V}{2 \cdot \pi}}\). 4. Einsetzen der Werte: \(r = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 4000\,\text{cm}^3}{2 \cdot \pi}} \approx 12{,}407\,\text{cm}\). 5. Berechnung des Durchmessers \(d\): \(d = 2 \cdot r \approx 24{,}814\,\text{cm}\). 6. Endergebnis gerundet: \(d \approx 24{,}8\,\text{cm}\).

Der Innendurchmesser des Gefäßes beträgt etwa \(24{,}8\,\text{cm}\).

- Berechne zunächst die Volumina beider Körper einzeln. - Wie verändert sich das Volumen eines Körpers allgemein, wenn man seine Maße verdoppelt? - Du kannst das Problem lösen, indem du die konkreten Werte einsetzt oder indem du mit den Formeln und dem Faktor 2 arbeitest. - Vergleiche am Ende die beiden Ergebnisse durch Division.

1. Berechnung des Volumens der ursprünglichen Kugel mit \(r_1 = 1{,}5\,\text{cm}\): \(V_1 = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 1{,}5^3 = 4{,}5 \cdot \pi \approx 14{,}14\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung des Volumens der neuen Halbkugel mit \(r_2 = 3\,\text{cm}\): \(V_2 = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot 3^3 = 18 \cdot \pi \approx 56{,}55\,\text{cm}^3\). 3. Vergleich der Volumina durch Division: \(\frac{V_2}{V_1} = \frac{18 \cdot \pi}{4{,}5 \cdot \pi} = 4\). 4. Alternativer Weg über Skalierungsfaktoren: Verdopplung des Radius führt bei einer ganzen Kugel zum 8-fachen Volumen (\(2^3\)). Da es sich nur um eine Halbkugel handelt, halbiert sich dieser Faktor wieder (\(8 : 2 = 4\)).

Das Volumen der neuen Halbkugel ist genau 4-mal so groß wie das Volumen der ursprünglichen Kugel.

- Wie hängen Liter und Kubikdezimeter zusammen? - Du musst die Volumenformel der Kugel nach dem Radius \(r\) umstellen. Welche Rechenoperation ist die Umkehrung der dritten Potenz? - Nutze den berechneten Radius, um in einem zweiten Schritt die Oberfläche zu ermitteln. - Verwende für Zwischenergebnisse möglichst ungerundete Werte auf deinem Taschenrechner, um die Genauigkeit zu erhöhen.

1. Umrechnung und Ansatz für den Radius: Da \(1\,\text{l} = 1\,\text{dm}^3\), gilt \(V = 12\,\text{dm}^3\). Die Formel für das Volumen lautet \(V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3\). 2. Berechnung des Radius: Umstellen der Formel ergibt \(r = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot V}{4 \cdot \pi}}\). Einsetzen der Werte liefert \(r = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 12\,\text{dm}^3}{4 \cdot \pi}} = \sqrt[3]{\frac{36}{4\pi}} = \sqrt[3]{\frac{9}{\pi}} \approx 1{,}42\,\text{dm}\). 3. Berechnung des Oberflächeninhalts: Mit der Formel \(O = 4 \cdot \pi \cdot r^2\) und dem ungerundeten Radius ergibt sich \(O = 4 \cdot \pi \cdot (1{,}420248...\,\text{dm})^2 \approx 25{,}35\,\text{dm}^2\).

a) Der Radius beträgt ca. \(1{,}42\,\text{dm}\). b) Der Oberflächeninhalt beträgt ca. \(25{,}35\,\text{dm}^2\).

- Bestimme aus dem Durchmesser zuerst den Kugelradius. - Berechne die Volumina von Kugel und Würfel getrennt. - Für den prozentualen Anteil vergleichst du Kugelvolumen und Würfelvolumen durch einen Quotienten.

1. Der Kugelradius ist \(r=\frac{12\,\text{cm}}{2}=6\,\text{cm}\). Daher ist \(V_{\text{Kugel}}=\frac{4}{3}\pi\cdot6^3\,\text{cm}^3=288\pi\,\text{cm}^3\approx904{,}8\,\text{cm}^3\). 2. Das Würfelvolumen ist \(V_{\text{Würfel}}=12^3\,\text{cm}^3=1728\,\text{cm}^3\). 3. Der prozentuale Anteil ist \(p=\frac{288\pi}{1728}\cdot100\,\%=\frac{\pi}{6}\cdot100\,\%\approx52{,}4\,\%\).

\(V_{\text{Kugel}}=288\pi\,\text{cm}^3\approx904{,}8\,\text{cm}^3\) Der Anteil beträgt ungefähr \(52{,}4\,\%\).

- Setze das Verhältnis der beiden Kugelvolumina an. - Welche Potenz des Radius steckt in der Kugelvolumenformel? - Ändert sich der Skalierungsfaktor, wenn du statt Radien Durchmesser vergleichst?

1. Es gilt \(V_B=6V_A\). 2. Mit \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\) folgt \(\frac{4}{3}\pi r_B^3=6\cdot\frac{4}{3}\pi r_A^3\), also \(r_B^3=6r_A^3\). 3. Daher ist \(r_B=\sqrt[3]{6}\,r_A\). 4. Weil \(d=2r\) gilt, ist auch \(k=\frac{d_B}{d_A}=\sqrt[3]{6}\approx1{,}82\).

\(k=\sqrt[3]{6}\approx1{,}82\)