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- Suche zuerst die einzige Fläche, die kein Dreieck ist. - Wie viele Kanten hat diese Grundfläche? - Zu jeder Grundkante gehört eine Seitenfläche.

1. Im Netz liegt genau eine rechteckige Fläche vor. Sie ist die Grundfläche der Pyramide. 2. Außerdem sind vier Dreiecke vorhanden. Diese vier Dreiecke bilden die Seitenflächen.

Eine rechteckige Grundfläche und vier dreieckige Seitenflächen.

- Welche der beiden Netzflächen wird beim Falten zur gekrümmten Seitenfläche? - Verfolge gedanklich eine Strecke von der Kegelspitze bis zum Rand des Grundkreises. - Diese Strecke bleibt beim Abwickeln gleich lang.

1. Der Kreis im Netz ist die Grundfläche des Kegels. 2. Der Kreissektor bildet den Mantel. 3. Der Radius dieses Kreissektors ist die Mantellinie \(s\) des räumlichen Kegels.

Der Kreissektor bildet den Mantel; sein Radius entspricht der Mantellinie \(s\).

- Zerlege das Netz in Grundfläche und Seitendreiecke. - Welche Maße eines Seitendreiecks sind direkt beschriftet? - Addiere die Flächen aller fünf Netzteile.

1. Aus dem Netz liest man die Grundkante \(a=6\,\text{cm}\) und die Höhe der Seitendreiecke \(h_s=5\,\text{cm}\) ab. 2. Die Grundfläche hat den Inhalt \(G=6^2\,\text{cm}^2=36\,\text{cm}^2\). 3. Ein Seitendreieck hat den Flächeninhalt \(\frac12\cdot6\cdot5\,\text{cm}^2=15\,\text{cm}^2\). Vier Dreiecke ergeben \(60\,\text{cm}^2\). 4. Somit ist \(O=36\,\text{cm}^2+60\,\text{cm}^2=96\,\text{cm}^2\).

\(O=96\,\text{cm}^2\)

- Welche Bogenlänge des Sektors entsteht aus dem Grundkreis? - Vergleiche diese Länge mit dem Umfang eines Vollkreises mit Radius \(s\). - Übertrage denselben Anteil auf \(360^\circ\).

1. Aus dem Netz liest man \(r=3\,\text{cm}\) und \(s=5\,\text{cm}\) ab. 2. Die Bogenlänge des Mantelsektors ist \(2\pi r=6\pi\,\text{cm}\). 3. Der Vollkreis mit Radius \(s\) hat den Umfang \(2\pi s=10\pi\,\text{cm}\). Der Sektor umfasst daher den Anteil \(\frac35\) eines Vollkreises. 4. Somit ist \(\alpha=\frac35\cdot360^\circ=216^\circ\).

\(\alpha=216^\circ\)

- Bestimme zuerst die Höhe eines Seitendreiecks aus Körperhöhe und halber Grundkante. - Welche Fläche der Pyramide liegt in der Mitte eines einfachen Netzes? - Jede der vier Grundkanten benötigt genau eine dreieckige Seitenfläche.

1. Aus der Abbildung liest man \(a=6\,\text{cm}\) und \(h=4\,\text{cm}\) ab. 2. Die Höhe eines Seitendreiecks ist \(h_s=\sqrt{h^2+\left(\frac a2\right)^2}=\sqrt{4^2+3^2}\,\text{cm}=5\,\text{cm}\). 3. Ein mögliches Netz besteht aus einem Quadrat mit Seitenlänge \(6\,\text{cm}\) und vier kongruenten Dreiecken, die jeweils mit ihrer \(6\,\text{cm}\) langen Grundseite an einer anderen Quadratseite liegen. Jedes Dreieck hat die Höhe \(5\,\text{cm}\).

Ein mögliches korrektes Netz: Quadrat \(6\,\text{cm}\times6\,\text{cm}\) mit vier angefügten kongruenten Dreiecken; jedes Dreieck hat Grundseite \(6\,\text{cm}\) und Höhe \(5\,\text{cm}\).

- Bestimme zuerst die Mantellinie mit einem rechtwinkligen Dreieck im Kegel. - Welche Länge des Grundkreises wird beim Abwickeln zur Bogenlänge des Sektors? - Vergleiche die Bogenlänge mit dem Umfang eines Vollkreises mit Radius \(s\).

1. Aus der Abbildung liest man \(r=3\,\text{cm}\) und \(h=4\,\text{cm}\) ab. 2. Die Mantellinie ist \(s=\sqrt{r^2+h^2}=5\,\text{cm}\). 3. Die Bogenlänge des Mantelsektors ist der Umfang des Grundkreises: \(b=2\pi r=6\pi\,\text{cm}\). 4. Für den Sektor mit Radius \(5\,\text{cm}\) gilt \(\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot2\pi\cdot5=6\pi\). Daher ist \(\alpha=216^\circ\). 5. Das Netz besteht aus einem Grundkreis mit Radius \(3\,\text{cm}\) und einem Kreissektor mit Radius \(5\,\text{cm}\) und Winkel \(216^\circ\).

Ein vollständiges Netz besteht aus einem Kreis mit \(r=3\,\text{cm}\) und einem Kreissektor mit \(s=5\,\text{cm}\), \(b=6\pi\,\text{cm}\) und \(\alpha=216^\circ\).

- Welche Länge im Netz wird im Körper zur Höhe eines Seitendreiecks? - Vom Mittelpunkt der Grundfläche bis zum Mittelpunkt einer Grundkante ist es die halbe Grundkante. - Ordne diese drei Strecken in einem rechtwinkligen Dreieck an.

1. Aus dem Netz liest man \(a=10\,\text{cm}\) und \(h_s=13\,\text{cm}\) ab. 2. Im räumlichen Körper bilden \(h\), \(\frac a2=5\,\text{cm}\) und \(h_s=13\,\text{cm}\) ein rechtwinkliges Dreieck. 3. Daher ist \(h=\sqrt{h_s^2-\left(\frac a2\right)^2}=\sqrt{13^2-5^2}\,\text{cm}=12\,\text{cm}\).

\(h=12\,\text{cm}\)

- Reicht die richtige Anzahl von Flächen allein für ein Netz aus? - Prüfe, welche Teile tatsächlich eine gemeinsame Kante besitzen. - Suche die Grundkante, an der noch keine Seitenfläche befestigt ist.

1. Für ein Netz müssen die Flächen nicht nur vollständig vorhanden, sondern entlang geeigneter Kanten zusammenhängend verbunden sein. 2. In der Abbildung liegen drei Dreiecke an drei Grundkanten des Quadrats. Das vierte Dreieck ist getrennt gezeichnet. 3. Man verschiebt dieses einzelne Dreieck so, dass seine Grundkante an der noch freien vierten Kante des Quadrats liegt. Dann sind alle fünf Flächen zu einem zusammenhängenden Netz verbunden.

Die fünf Flächen sind zwar vorhanden, aber das einzelne Dreieck ist nicht mit dem übrigen Netz verbunden. Es muss an die noch freie vierte Kante des Quadrats angefügt werden.

- Bestimme zuerst die Bogenlänge des gegebenen Kreissektors. - Welche Länge am räumlichen Kegel entsteht aus diesem Bogen? - Nutze anschließend die Beziehung zwischen Mantellinie, Radius und Körperhöhe.

1. Die Bogenlänge des Sektors beträgt \(b=\frac{216}{360}\cdot2\pi\cdot10\,\text{cm}=12\pi\,\text{cm}\). 2. Diese Bogenlänge wird zum Grundkreisumfang. Aus \(2\pi r=12\pi\) folgt \(r=6\,\text{cm}\). 3. Der Sektorradius ist die Mantellinie \(s=10\,\text{cm}\). Damit ist \(h=\sqrt{s^2-r^2}=\sqrt{10^2-6^2}\,\text{cm}=8\,\text{cm}\).

\(r=6\,\text{cm}\) \(h=8\,\text{cm}\)

- Prüfe zuerst, welche Länge in beiden Netzen gleich ist. - Wie hängt der Sektoranteil vom Verhältnis \(r:s\) ab? - Ein größerer Grundkreis benötigt bei gleicher Mantellinie eine längere Bogenkante.

1. In beiden Netzen ist die Mantellinie \(s=5\,\text{cm}\). 2. In a) ist der Grundkreisradius \(r=4\,\text{cm}\). Daher ist \(\alpha_a=360^\circ\cdot\frac{r}{s}=360^\circ\cdot\frac45=288^\circ\). 3. In b) ist \(r=3\,\text{cm}\). Daher ist \(\alpha_b=360^\circ\cdot\frac35=216^\circ\). 4. Somit besitzt a) den größeren Mittelpunktswinkel.

a) hat den größeren Mantelsektorwinkel: \(288^\circ\) gegenüber \(216^\circ\).

- Ein Halbkreis halbiert zunächst nur Bogenlänge und Vollkreisumfang des Sektorkreises. - Welche Größe des Kegels wird aus dieser Bogenlänge bestimmt? - Die Körperhöhe liegt nicht im abgewickelten Mantel; welche rechtwinklige Beziehung verbindet sie mit \(r\) und \(s\)?

1. Die Bogenlänge des Halbkreissektors ist \(b=\frac12\cdot2\pi\cdot13\,\text{cm}=13\pi\,\text{cm}\). 2. Aus \(2\pi r=13\pi\) folgt \(r=6{,}5\,\text{cm}\). Die erste Aussage ist richtig. 3. Die Mantellinie ist \(s=13\,\text{cm}\). Für die Körperhöhe gilt \(h=\sqrt{s^2-r^2}=\sqrt{13^2-6{,}5^2}\,\text{cm}=\frac{13\sqrt3}{2}\,\text{cm}\approx11{,}26\,\text{cm}\). 4. Die Höhe ist also nicht halb so groß wie die Mantellinie.

\(r=6{,}5\,\text{cm}\) ist richtig. Die Behauptung \(h=6{,}5\,\text{cm}\) ist falsch; richtig ist \(h=\frac{13\sqrt3}{2}\,\text{cm}\approx11{,}26\,\text{cm}\).