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- Vergleiche den schiefen Körper mit einem einfacheren Körper gleicher Höhe. - Überlege, welche Flächen in gleicher Höhe jeweils entstehen. - Prüfe, welche Längen wirklich senkrecht zu den Grundflächen gemessen werden.

1. In jeder Höhe haben beide Prismen gleich große Querschnitte. Daher besitzen sie dasselbe Volumen. 2. \(V=G\cdot h=36\,\text{cm}^2\cdot14\,\text{cm}=504\,\text{cm}^3\). Die Länge der Seitenkanten wird nicht benötigt.

Das Volumen beträgt \(504\,\text{cm}^3\). Die Seitenkantenlänge \(17\,\text{cm}\) ist nicht erforderlich.

- Überlege, was sich durch das seitliche Verschieben ändert und was gleich bleibt. - Betrachte Schnitte parallel zu den Karten. - Vergleiche den Stapel mit einer nicht verschobenen Anordnung.

1. Jeder waagerechte Querschnitt ist weiterhin ein Quadrat mit dem Flächeninhalt \(8\,\text{cm}\cdot8\,\text{cm}=64\,\text{cm}^2\). 2. Der Stapel hat daher dasselbe Volumen wie ein gerader Quader: \(V=64\,\text{cm}^2\cdot22\,\text{cm}=1\,408\,\text{cm}^3\).

Das Volumen beträgt \(1\,408\,\text{cm}^3\).

- Suche einen einfachen Vergleichskörper mit denselben Schnittflächen. - Die genaue Form eines Schnitts ist weniger wichtig als sein Flächeninhalt. - Achte auf die gemeinsame Höhe.

1. Ein gerades Prisma mit Grundflächeninhalt \(18\,\text{cm}^2\) und Höhe \(10\,\text{cm}\) hat in jeder Höhe einen gleich großen Querschnitt. 2. Somit gilt \(V=18\,\text{cm}^2\cdot10\,\text{cm}=180\,\text{cm}^3\).

Die Säule hat das Volumen \(180\,\text{cm}^3\).

- Prüfe jede Aussage darauf, ob sie den ganzen Körper oder nur einzelne Teile beschreibt. - Achte besonders auf Wörter wie „jede“ und „einige“. - Frage dich, ob die Bedingung für alle Höhen gelten muss.

1. Das Prinzip verlangt gleiche Höhe und Flächengleichheit sämtlicher entsprechender, zur Grundebene paralleler Querschnitte. 2. Nur Aussage B enthält beide Bedingungen vollständig.

Nur Aussage B garantiert gleiche Volumina.

- Suche einen geraden Körper mit denselben parallelen Schnitten. - Verwende den senkrechten Abstand, nicht eine schräge Kante. - Achte auf die Einheit des Fassungsvermögens.

1. Der schiefe Behälter ist volumengleich zu einem geraden Prisma mit derselben Stirnfläche und demselben senkrechten Abstand. 2. \(V=1{,}8\,\text{m}^2\cdot6\,\text{m}=10{,}8\,\text{m}^3\).

Das Fassungsvermögen beträgt \(10{,}8\,\text{m}^3\).

- Prüfe, ob die Neugestaltung die Flächeninhalte der Schichten verändert. - Vergleiche alte und neue Schicht jeweils in derselben Höhe. - Berechne die prozentuale Änderung erst nach dem Volumenvergleich.

1. Gleiche Höhe und gleich große entsprechende Querschnitte führen zu gleichem Volumen. Daher beträgt das neue Volumen ebenfalls \(2{,}4\,\text{m}^3\). 2. Die Änderung ist \(2{,}4\,\text{m}^3-2{,}4\,\text{m}^3=0\,\text{m}^3\), also \(0\,\%\).

Das neue Volumen beträgt \(2{,}4\,\text{m}^3\); die Volumenänderung ist \(0\,\%\).

- Suche einen geraden Vergleichskörper mit denselben Querschnitten. - Achte darauf, aus dem Durchmesser zuerst die passende Kreisgröße zu bestimmen. - Kontrolliere am Ende die Umrechnung der Volumeneinheit.

1. Der schiefe Zylinder hat in jeder Höhe dieselbe Kreisfläche wie ein gerader Zylinder mit \(r=6\,\text{cm}\) und \(h=15\,\text{cm}\). 2. \(V=\pi r^2h=\pi\cdot(6\,\text{cm})^2\cdot15\,\text{cm}=540\pi\,\text{cm}^3=0{,}54\pi\,\text{dm}^3\approx1{,}70\,\text{dm}^3\).

Das Volumen beträgt \(0{,}54\pi\,\text{dm}^3\approx1{,}70\,\text{dm}^3\).

- Vergleiche Querschnitte, die bei allen Körpern gleich weit von der Spitze entfernt sind. - Überlege, welche Rolle Form und Flächeninhalt der Grundfläche jeweils spielen. - Nutze erst die Volumengleichheit und berechne danach nur einmal.

1. Querschnitte in gleichem Abstand von der Spitze entstehen bei allen drei Pyramiden mit demselben Flächenfaktor; wegen gleicher Grundflächeninhalte und gleicher Höhe sind die entsprechenden Querschnitte gleich groß. 2. Daher sind die Volumina gleich und \(V=\frac13Gh=\frac13\cdot48\,\text{cm}^2\cdot9\,\text{cm}=144\,\text{cm}^3\).

Alle drei Pyramiden haben das Volumen \(144\,\text{cm}^3\).

- Vergleiche den Körper mit einem Kegel, dessen Spitze günstiger liegt. - Entscheidend ist der senkrechte Abstand zwischen Grundfläche und Spitze. - Prüfe, ob die seitliche Verschiebung die Flächen der parallelen Schnitte verändert.

1. Der schiefe und der gerade Kegel mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe besitzen in jeder Höhe gleich große, parallel zur Grundfläche liegende Querschnitte. 2. \(V=\frac13\pi r^2h=\frac13\pi\cdot(4{,}5\,\text{cm})^2\cdot12\,\text{cm}=81\pi\,\text{cm}^3\approx254{,}47\,\text{cm}^3\).

Das Volumen beträgt \(81\pi\,\text{cm}^3\approx254{,}47\,\text{cm}^3\).

- Vergleiche nicht nur einen einzelnen Schnitt, sondern alle entsprechenden Schnitte. - Überlege, wie sich ein überall gleicher Vergrößerungsfaktor auf den ganzen Körper auswirkt. - Prüfe, ob die gemeinsame Höhe unverändert bleibt.

1. Der konstante Flächenfaktor aller entsprechenden Querschnitte überträgt sich auf das Volumen. 2. \(V_B=1{,}25\cdot V_A=1{,}25\cdot320\,\text{cm}^3=400\,\text{cm}^3\).

Es gilt \(V_B=400\,\text{cm}^3\).

- Übertrage das Verhältnis der entsprechenden Schnitte auf die gesamten Körper. - Ordne zuerst zu, welcher Anteil zum gegebenen Volumen gehört. - Kontrolliere, ob das gesuchte Volumen größer sein muss.

1. Wegen des konstanten Querschnittsverhältnisses gilt auch \(V_{\text{groß}}{:}V_{\text{klein}}=3{:}2\). 2. \(V_{\text{groß}}=270\,\text{cm}^3\cdot\frac32=405\,\text{cm}^3\).

Der andere Körper hat das Volumen \(405\,\text{cm}^3\).

- Untersuche, wie groß die Querschnittsfläche des Zylinders in jeder Höhe ist. - Die gemeinsame Höhe sorgt dafür, dass nur noch die Schnittflächen verglichen werden müssen. - Achte darauf, dass eine Fläche und kein Volumen gesucht ist.

1. Beide Körper haben über die gesamte Höhe konstante Querschnittsflächen. Für entsprechende gleich große Querschnitte muss \(G=\pi r^2\) gelten. 2. \(G=\pi\cdot(3\,\text{cm})^2=9\pi\,\text{cm}^2\approx28{,}27\,\text{cm}^2\).

Es muss \(G=9\pi\,\text{cm}^2\approx28{,}27\,\text{cm}^2\) gelten.

- Bestimme zunächst das bekannte Volumen. - Ersetze den ungewöhnlichen Körper gedanklich durch einen einfacheren Körper mit denselben Schnitten. - Arbeite anschließend rückwärts zur gesuchten Höhe.

1. Das Prisma besitzt das Volumen \(V=50\,\text{cm}^2\cdot12\,\text{cm}=600\,\text{cm}^3\). 2. Die Säule ist volumengleich zu einem Prisma mit Grundflächeninhalt \(40\,\text{cm}^2\). Daher gilt \(40\,\text{cm}^2\cdot h_{\text{Säule}}=600\,\text{cm}^3\) und \(h_{\text{Säule}}=15\,\text{cm}\).

Die Säule ist \(15\,\text{cm}\) hoch.

- Überlege, ob eine Angabe an der Unterseite den ganzen Körper festlegt. - Denke an Körper, die nach oben unterschiedlich schmaler werden. - Formuliere eine Bedingung, die sämtliche Höhen erfasst.

1. Die Aussage ist für beliebige Körper falsch, weil gleiche Grundflächen und gleiche Höhe nichts über die übrigen Querschnitte aussagen. 2. Zusätzlich müssen in jeder entsprechenden Höhe die zur Grundebene parallelen Querschnitte denselben Flächeninhalt haben.

Die Aussage ist falsch. Erforderlich sind gleiche Höhe und gleich große entsprechende Querschnitte in jeder Höhe.

- Vergleiche die beiden Angaben für eine beliebige Höhe. - Unterscheide zwischen der Form eines Schnitts und seinem Flächeninhalt. - Prüfe zusätzlich, ob beide Körper denselben Höhenbereich besitzen.

1. Für jedes \(z\) zwischen \(0\,\text{cm}\) und \(8\,\text{cm}\) stimmen die Querschnittsflächen überein. 2. Da auch die Höhen gleich sind, gilt \(V_K=V_L\); die unterschiedliche Form der Querschnitte ändert daran nichts.

Ja, die Volumina sind gleich: \(V_K=V_L\).

- Betrachte bei einem getrennten Querschnitt die gesamte Fläche. - Vergleiche die Summen der Teilflächen mit dem anderen Körper. - Nutze anschließend einen einfachen Vergleichskörper.

1. Bei \(B\) beträgt die gesamte Querschnittsfläche in jeder Höhe \(12\,\text{cm}^2+23\,\text{cm}^2=35\,\text{cm}^2\). Damit sind die entsprechenden Querschnitte beider Körper gleich groß. 2. \(V_A=V_B=35\,\text{cm}^2\cdot9\,\text{cm}=315\,\text{cm}^3\).

Beide Körper haben das Volumen \(315\,\text{cm}^3\).

- Bestimme, welcher Teil eines Schnitts tatsächlich aus Material besteht. - Ziehe Hohlräume auf jeder Höhe von der Außenfläche ab. - Vergleiche das Ergebnis mit einem Körper konstanter Schnittfläche.

1. Die Materialfläche jedes Querschnitts ist \(64\,\text{m}^2-16\,\text{m}^2=48\,\text{m}^2\). Ein Vollprisma mit \(G=48\,\text{m}^2\) und \(h=20\,\text{m}\) besitzt daher dieselben Querschnittsflächen. 2. \(V=48\,\text{m}^2\cdot20\,\text{m}=960\,\text{m}^3\).

Das Materialvolumen beträgt \(960\,\text{m}^3\).

- Ersetze den versetzten Kanal durch einen geraden Vergleichskörper. - Nutze, dass jeder entsprechende Schnitt gleich groß ist. - Wandle das Volumen erst nach der Berechnung um.

1. Der Kanal ist volumengleich zu einem geraden Prisma mit \(G=0{,}08\,\text{m}^2\) und \(h=2{,}5\,\text{m}\). 2. \(V=0{,}08\,\text{m}^2\cdot2{,}5\,\text{m}=0{,}2\,\text{m}^3=200\,\text{dm}^3\).

Das Innenvolumen beträgt \(200\,\text{dm}^3\).

- Nutze den angegebenen Standardkörper als Vergleich. - Die äußere Form der Skulptur ist nicht entscheidend, wenn die Schnittflächen übereinstimmen. - Berechne das Volumen des Vergleichskörpers.

1. Wegen gleicher Höhe und gleicher entsprechender Querschnittsflächen ist die Skulptur volumengleich zum Kegel. 2. \(V=\frac13\pi\cdot(6\,\text{cm})^2\cdot15\,\text{cm}=180\pi\,\text{cm}^3\approx565{,}49\,\text{cm}^3\).

Das Volumen beträgt \(180\pi\,\text{cm}^3\approx565{,}49\,\text{cm}^3\).

- Entnimm der Zeichnung zunächst die Maße beider Querschnitte. - Vergleiche die Flächeninhalte, nicht nur die Formen. - Prüfe anschließend die gemeinsame Körperhöhe.

1. Aus der Abbildung folgt \(A_K=8\,\text{cm}\cdot3\,\text{cm}=24\,\text{cm}^2\) und \(A_L=\frac12\cdot12\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm}=24\,\text{cm}^2\). 2. In jeder Höhe sind die Querschnittsflächen gleich groß; bei gleicher Höhe gilt daher \(V_K=V_L=24\,\text{cm}^2\cdot15\,\text{cm}=360\,\text{cm}^3\).

Die Volumina sind gleich: \(V_K=V_L=360\,\text{cm}^3\).

- Beachte bei b) die gestrichelte Strecke. - Vergleiche Grundseite und zugehörige Höhe beider Dreiecke. - Nutze danach, dass diese Schnitte in jeder Körperhöhe auftreten.

1. Die Dreiecke in a) und b) haben dieselbe Grundseite \(10\,\text{cm}\) und dieselbe zugehörige Höhe \(6\,\text{cm}\). Deshalb ist jeder Querschnitt \(A=\frac12\cdot10\cdot6=30\,\text{cm}^2\) groß. 2. Nach Cavalieri gilt \(V_1=V_2=30\,\text{cm}^2\cdot16\,\text{cm}=480\,\text{cm}^3\).

Beide Volumina betragen \(480\,\text{cm}^3\).

- Bestimme nacheinander die drei Flächeninhalte. - Gleiche Körperhöhen erlauben einen direkten Vergleich der Schnittflächen. - Kontrolliere, welcher Körper den größten Querschnitt besitzt.

1. Die Flächeninhalte sind \(A_a=5\cdot5=25\,\text{cm}^2\), \(A_b=10\cdot2{,}5=25\,\text{cm}^2\) und \(A_c=\frac12\cdot12\cdot5=30\,\text{cm}^2\). 2. Damit gilt \(V_a=V_b=25\cdot12=300\,\text{cm}^3\) und \(V_c=30\cdot12=360\,\text{cm}^3\).

Körper a) und b) sind volumengleich mit jeweils \(300\,\text{cm}^3\). Körper c) hat \(360\,\text{cm}^3\).

- Berechne in b) die Summe beider Teilflächen. - Vergleiche die Gesamtfläche mit a). - Die getrennte Lage der Teile ändert ihren Gesamtflächeninhalt nicht.

1. Für a) gilt \(A_A=\frac12\cdot12\cdot8=48\,\text{cm}^2\). In b) hat jedes Dreieck \(\frac12\cdot6\cdot8=24\,\text{cm}^2\), zusammen also \(48\,\text{cm}^2\). 2. Nach Cavalieri gilt \(V_A=V_B=48\cdot10=480\,\text{cm}^3\).

Beide Körper haben das Volumen \(480\,\text{cm}^3\).

- Ersetze die Säule durch einen einfachen Körper mit denselben Schnitten. - Arbeite vom Volumen rückwärts zur Fläche.

1. Die Säule ist volumengleich zu einem Prisma mit unbekanntem Grundflächeninhalt \(G\) und Höhe \(18\,\text{cm}\). 2. Aus \(18\,\text{cm}\cdot G=936\,\text{cm}^3\) folgt \(G=52\,\text{cm}^2\).

Jeder Querschnitt hat den Flächeninhalt \(52\,\text{cm}^2\).

- Vergleiche für jedes Paar Schnitte nahe der Grundfläche und nahe der Oberseite. - Prüfe, ob sich die Schnittfläche mit der Höhe verändert. - Gleiche Grundflächen allein reichen nicht aus.

1. Bei a) sind alle parallelen Querschnitte gleich groß; daher ja. 2. Bei b) bleiben die Prismenschnitte konstant, während die Pyramidenschnitte kleiner werden; daher nein. 3. Bei c) sind entsprechende Querschnitte gleich groß; daher ja. 4. Bei d) sind die Querschnitte nicht in jeder Höhe gleich groß; daher nein.

a) ja, b) nein, c) ja, d) nein.

- Vereinfache zuerst die Ausdrücke und vergleiche sie paarweise. - Suche nach einer Differenz, die in jeder Höhe gleich bleibt. - Deute eine konstante Flächendifferenz als einfachen Zusatzkörper.

1. Es gilt für jede Höhe \(A_K(z)=A_L(z)\), also \(V_K=V_L\). 2. Außerdem ist \(A_M(z)\) in jeder Höhe genau \(1\,\text{cm}^2\) größer. Die Volumendifferenz entspricht daher einem Prisma mit \(G=1\,\text{cm}^2\) und \(h=10\,\text{cm}\): \(V_M-V_K=V_M-V_L=10\,\text{cm}^3\).

Es gilt \(V_K=V_L\). Das Volumen \(V_M\) ist jeweils um \(10\,\text{cm}^3\) größer.

- Betrachte die Materialfläche eines einzelnen Schnitts. - Der innere Bereich gehört nicht zum Material. - Vergleiche das schräge Rohr mit einer geraden Anordnung gleicher Höhe.

1. Jeder Querschnitt parallel zu den Endflächen ist ein Kreisring mit \(A=\pi(5^2-3^2)\,\text{cm}^2=16\pi\,\text{cm}^2\). 2. Das schräge Rohr ist volumengleich zu einem geraden Hohlzylinder: \(V=16\pi\,\text{cm}^2\cdot18\,\text{cm}=288\pi\,\text{cm}^3\approx904{,}78\,\text{cm}^3\).

Das Materialvolumen beträgt \(288\pi\,\text{cm}^3\approx904{,}78\,\text{cm}^3\).

- Suche einen bekannten Körper mit denselben Schnittflächen. - Die wechselnde Umrissform ist für den Flächeninhalt nicht entscheidend. - Rechne erst in einer Einheit und wandle erst am Ende um.

1. Die Skulptur ist volumengleich zu einem Zylinder mit \(r=6\,\text{cm}\) und \(h=20\,\text{cm}\). 2. \(V=\pi\cdot(6\,\text{cm})^2\cdot20\,\text{cm}=720\pi\,\text{cm}^3=0{,}72\pi\,\text{dm}^3\approx2{,}26\,\text{dm}^3\).

Das Volumen beträgt \(0{,}72\pi\,\text{dm}^3\approx2{,}26\,\text{dm}^3\).

- Vergleiche Schnitte, die denselben Abstand von der Grundfläche haben. - Prüfe, ob das seitliche Verschieben der Spitze die Flächenfaktoren verändert. - Berechne das gemeinsame Volumen nur einmal.

1. In gleicher Höhe sind die zur Grundfläche parallelen Querschnitte beider Pyramiden ähnlich zur jeweiligen Grundfläche und besitzen wegen gleicher Ausgangsfläche und gleicher Höhe denselben Flächeninhalt. 2. Daher \(V_1=V_2=\frac13\cdot80\,\text{cm}^2\cdot9\,\text{cm}=240\,\text{cm}^3\).

Beide Pyramiden haben das Volumen \(240\,\text{cm}^3\).

- Vergleiche Schnitte nahe der Grundfläche und nahe der Oberseite. - Prüfe, ob die Querschnittsfläche bei beiden Körpern gleich bleibt. - Gleiche Grundfläche und gleiche Höhe sind allein nicht ausreichend.

1. Die entsprechenden Querschnitte sind nicht in jeder Höhe gleich groß: Beim Prisma bleiben sie konstant, bei der Pyramide werden sie zur Spitze hin kleiner. Daher ist das Cavalieri-Prinzip hier nicht mit Flächengleichheit anwendbar. 2. \(V_{\text{Prisma}}=54\,\text{cm}^2\cdot10\,\text{cm}=540\,\text{cm}^3\) und \(V_{\text{Pyramide}}=\frac13\cdot54\,\text{cm}^2\cdot10\,\text{cm}=180\,\text{cm}^3\).

Noras Begründung ist falsch. Das Prisma hat \(540\,\text{cm}^3\), die Pyramide \(180\,\text{cm}^3\).

- Betrachte die Differenz der beiden Querschnitte als eigenen einfachen Körper. - Diese Differenz bleibt über die gesamte Höhe gleich. - Addiere den so gefundenen Zusatz zum bekannten Volumen.

1. Die konstante Flächendifferenz entspricht einem Zusatzprisma mit \(G=7\,\text{cm}^2\) und \(h=12\,\text{cm}\). Sein Volumen beträgt \(7\,\text{cm}^2\cdot12\,\text{cm}=84\,\text{cm}^3\). 2. \(V_A=420\,\text{cm}^3+84\,\text{cm}^3=504\,\text{cm}^3\).

Das Volumen von \(A\) beträgt \(504\,\text{cm}^3\).

- Vergleiche den konstanten Faktor bei den Schnitten mit dem Faktor der Volumina. - Stelle eine einfache Gleichung für den unbekannten Wert auf. - Prüfe, ob der gefundene Faktor zum größeren Volumen passt.

1. Der konstante Faktor der entsprechenden Querschnittsflächen ist zugleich der Volumenfaktor. Daher gilt \(\frac{x}{5}=1{,}4\). 2. Multiplikation mit \(5\) ergibt \(x=7\).

Es gilt \(x=7\).

- Nutze alle in der Zeichnung eingetragenen Längen. - Vergleiche die Flächeninhalte der beiden unterschiedlichen Formen. - Überlege, welche Aussage aus gleichen Schnitten in jeder Höhe folgt.

1. Der trapezförmige Querschnitt in a) hat \(A_a=\frac{10\,\text{cm}+6\,\text{cm}}{2}\cdot4\,\text{cm}=32\,\text{cm}^2\). Der rechteckige Querschnitt in b) hat \(A_b=8\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm}=32\,\text{cm}^2\). 2. Wegen gleicher Querschnittsflächen in jeder Höhe und gleicher Höhe gilt \(V_a=V_b=32\,\text{cm}^2\cdot9\,\text{cm}=288\,\text{cm}^3\).

Beide Volumina betragen \(288\,\text{cm}^3\).

- Unterscheide in der Zeichnung zwischen Material und Hohlraum. - Bestimme jeweils die gesamte Materialfläche eines Schnitts. - Nutze danach die gemeinsame Höhe.

1. In a) beträgt die Materialfläche \(12\cdot8-8\cdot4=96-32=64\,\text{cm}^2\). In b) beträgt sie \(8\cdot8=64\,\text{cm}^2\). 2. Die entsprechenden Materialquerschnitte sind in jeder Höhe gleich groß; daher enthalten beide \(64\,\text{cm}^2\cdot20\,\text{cm}=1\,280\,\text{cm}^3\) Material.

Beide Bauteile enthalten \(1\,280\,\text{cm}^3\) Material.

- Unterscheide Außenfläche und Hohlraum. - Vergleiche die beiden resultierenden Flächeninhalte symbolisch. - Lass den Faktor mit der Kreiszahl zunächst stehen.

1. Die Kreisringfläche in a) ist \(\pi(5^2-3^2)=16\pi\,\text{cm}^2\). Der Kreis in b) hat ebenfalls \(\pi\cdot4^2=16\pi\,\text{cm}^2\). 2. Nach Cavalieri gilt \(V=16\pi\cdot11=176\pi\,\text{cm}^3\approx552{,}92\,\text{cm}^3\).

Beide Materialvolumina betragen \(176\pi\,\text{cm}^3\approx552{,}92\,\text{cm}^3\).

- Bestimme zuerst die vollständig bemaßte Querschnittsfläche. - Nutze die Volumengleichheit zusammen mit der gemeinsamen Höhe. - Berechne danach das Volumen nur einmal.

1. Wegen gleicher Höhe und gleichen Volumens müssen die konstanten Querschnittsflächen gleich sein. Der Dreiecksinhalt in b) ist \(\frac12\cdot12\cdot5=30\,\text{cm}^2\). 2. Für a) gilt daher \(6x=30\) und \(x=5\,\text{cm}\). Das gemeinsame Volumen ist \(30\cdot13=390\,\text{cm}^3\).

\(x=5\,\text{cm}\) und \(V=390\,\text{cm}^3\).

- Berechne beide dargestellten Flächeninhalte. - Kürze das erhaltene Verhältnis vollständig. - Bei gleicher Höhe überträgt sich das Verhältnis der Schnitte auf die Volumina.

1. Aus der Zeichnung folgt \(A_A=9\cdot4=36\,\text{cm}^2\) und \(A_B=\frac12\cdot12\cdot9=54\,\text{cm}^2\). Somit ist \(A_A{:}A_B=36{:}54=2{:}3\). 2. Bei gleicher Höhe gilt dasselbe Volumenverhältnis. Es ergeben sich \(V_A=36\cdot8=288\,\text{cm}^3\) und \(V_B=54\cdot8=432\,\text{cm}^3\).

\(V_A{:}V_B=2{:}3\), \(V_A=288\,\text{cm}^3\), \(V_B=432\,\text{cm}^3\).

- Überprüfe die Behauptung durch Flächenberechnungen. - Beachte beim Parallelogramm die gestrichelte Höhe. - Vergleiche erst danach die Volumina.

1. Die Flächen sind \(A_a=8\cdot5=40\,\text{cm}^2\), \(A_b=10\cdot4=40\,\text{cm}^2\) und \(A_c=\frac12\cdot10\cdot8=40\,\text{cm}^2\). 2. Bens Behauptung ist falsch; die größere zugehörige Höhe des Dreiecks gleicht den Faktor \(\frac12\) aus. Nach Cavalieri gilt für alle drei \(V=40\cdot7=280\,\text{cm}^3\).

Bens Behauptung ist falsch. Alle drei Volumina betragen \(280\,\text{cm}^3\).

- Entnimm der Abbildung beide Querschnittsflächen. - Berechne zunächst das bekannte Volumen. - Arbeite anschließend rückwärts zur unbekannten Höhe.

1. Die Querschnittsflächen sind \(A_A=9\cdot4=36\,\text{cm}^2\) und \(A_B=\frac12\cdot10\cdot6=30\,\text{cm}^2\). Körper \(A\) hat \(V_A=36\cdot10=360\,\text{cm}^3\). 2. Für Volumengleichheit muss \(30h=360\) gelten. Damit ist \(h=12\,\text{cm}\).

Körper \(B\) muss \(12\,\text{cm}\) hoch sein.

- Überlege, was mit den Höhenangaben passiert, wenn ein Körper auf den Kopf gestellt wird. - Versuche, aus ergänzenden Höhen entsprechende Höhen zu machen. - Eine Lageänderung verändert das Volumen eines Körpers nicht.

1. Wird Körper \(L\) umgedreht, liegt sein Querschnitt in der neuen Höhe \(z\) an der früheren Höhe \(12-z\). 2. Danach stimmen in jeder entsprechenden Höhe die Querschnittsflächen von \(K\) und dem umgedrehten \(L\) überein. Das Umdrehen ändert das Volumen nicht, also gilt \(V_K=V_L\).

Nach dem Umdrehen von \(L\) sind alle entsprechenden Querschnitte gleich groß; daher gilt \(V_K=V_L\).

- Prüfe, welche der beiden Längen den Abstand der Grundflächen beschreibt. - Vergleiche den schiefen Zylinder mit einem geraden Zylinder gleicher Höhe. - Berechne die Abweichung erst nach der Korrektur.

1. Tim verwendet die schräge Mantellinie statt der senkrechten Höhe. Der passende gerade Vergleichszylinder hat \(h=12\,\text{cm}\). 2. Richtig ist \(V=\pi\cdot(5\,\text{cm})^2\cdot12\,\text{cm}=300\pi\,\text{cm}^3\approx942{,}48\,\text{cm}^3\). Tims Ergebnis ist \(325\pi\,\text{cm}^3\); die Abweichung beträgt \(25\pi\,\text{cm}^3\approx78{,}54\,\text{cm}^3\).

Das richtige Volumen beträgt \(300\pi\,\text{cm}^3\approx942{,}48\,\text{cm}^3\). Tims Ergebnis ist um \(25\pi\,\text{cm}^3\approx78{,}54\,\text{cm}^3\) zu groß.

- Addiere die beiden Schnittflächen für dieselbe Höhe. - Prüfe, ob sich dabei die höhenabhängigen Teile aufheben. - Deute die erhaltene Gesamtschnittfläche als Vergleichskörper.

1. In jeder Höhe ist die Summe der Querschnittsflächen \(A_A(z)+A_B(z)=10+2z+28-2z=38\,\text{cm}^2\). 2. Die beiden Körper zusammen sind daher volumengleich zu einem Prisma mit \(G=38\,\text{cm}^2\) und \(h=9\,\text{cm}\). Somit \(V_A+V_B=38\,\text{cm}^2\cdot9\,\text{cm}=342\,\text{cm}^3\).

Es gilt \(V_A+V_B=342\,\text{cm}^3\).

- Berechne zuerst beide Volumina unabhängig voneinander. - Vergleiche danach mindestens einen entsprechenden Querschnitt. - Eine Folgerung muss nicht automatisch auch rückwärts gelten.

1. Das Prisma hat \(V_{\text{Prisma}}=30\,\text{cm}^2\cdot10\,\text{cm}=300\,\text{cm}^3\). Die Pyramide hat \(V_{\text{Pyramide}}=\frac13\cdot90\,\text{cm}^2\cdot10\,\text{cm}=300\,\text{cm}^3\). 2. Trotzdem sind bereits die Grundquerschnitte mit \(30\,\text{cm}^2\) und \(90\,\text{cm}^2\) verschieden. Die Umkehrung ist daher falsch.

Die Behauptung ist falsch. Beide Volumina betragen \(300\,\text{cm}^3\), aber die entsprechenden Querschnitte sind nicht durchgehend gleich groß.

- Betrachte bei a) nur die farbige Materialfläche. - Nutze die gemeinsame Höhe, um die Querschnitte zu vergleichen. - Beachte, dass eine Seitenlänge positiv sein muss.

1. Wegen gleicher Höhe und gleichen Materialvolumens sind die konstanten Materialquerschnitte gleich groß. Es gilt \(10^2-x^2=8^2\). 2. Daraus folgt \(100-x^2=64\), also \(x^2=36\) und wegen \(x>0\) \(x=6\,\text{cm}\). Das Volumen beträgt \(64\cdot15=960\,\text{cm}^3\).

\(x=6\,\text{cm}\); das Materialvolumen beträgt \(960\,\text{cm}^3\).

- Berechne zuerst den Referenzflächeninhalt. - Prüfe jeden Kandidaten einzeln. - Gleiche Höhen machen den Vergleich der Querschnittsflächen entscheidend.

1. Für \(R\) gilt \(A_R=7\cdot4=28\,\text{cm}^2\). a) hat \(\frac12\cdot14\cdot4=28\,\text{cm}^2\), b) hat \(\frac{9+5}{2}\cdot4=28\,\text{cm}^2\), c) hat \(5\cdot5=25\,\text{cm}^2\). 2. Daher sind a) und b) volumengleich zu \(R\): jeweils \(28\cdot9=252\,\text{cm}^3\). Für c) gilt \(25\cdot9=225\,\text{cm}^3\).

Volumengleich zu \(R\) sind a) und b). Es gilt \(V_R=V_a=V_b=252\,\text{cm}^3\) und \(V_c=225\,\text{cm}^3\).