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Cavalieri-Prinzip

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Schwierigkeit: 1 – 5

43802710

Ein gerades und ein schiefes Dreiecksprisma haben denselben Grundflächeninhalt \(G=36\,\text{cm}^2\) und dieselbe Körperhöhe \(h=14\,\text{cm}\). Die Seitenkanten des schiefen Prismas sind \(17\,\text{cm}\) lang. Berechne das Volumen des schiefen Prismas und nenne die Angabe, die dafür nicht benötigt wird.

Denkanstöße

- Vergleiche den schiefen Körper mit einem geraden Prisma gleicher Grundfläche und Körperhöhe. - Welche Querschnittsflächen entstehen in jeweils gleicher Höhe? - Prüfe, welche Länge tatsächlich senkrecht zwischen den Grundflächen gemessen wird.

Lösung

1. In jeder Höhe haben beide Prismen gleich große Querschnitte. Daher besitzen sie dasselbe Volumen. 2. Es gilt \(V=Gh=36\,\text{cm}^2\cdot14\,\text{cm}=504\,\text{cm}^3\). Die Länge der Seitenkanten wird nicht benötigt.

Antwort

Das Volumen beträgt \(504\,\text{cm}^3\). Die Seitenkantenlänge \(17\,\text{cm}\) ist nicht erforderlich.

43803110

Ein Stapel quadratischer Karten ist \(22\,\text{cm}\) hoch. Jede Karte hat die Seitenlänge \(8\,\text{cm}\). Die Karten werden seitlich gegeneinander verschoben, ohne Lücken zwischen benachbarten Karten zu erzeugen. Bestimme das Volumen des entstandenen schiefen Stapels.

Denkanstöße

- Überlege, was sich durch das seitliche Verschieben ändert und was gleich bleibt. - Betrachte Schnitte parallel zu den Karten. - Vergleiche den Stapel mit einer nicht verschobenen Anordnung.

Lösung

1. Jeder waagerechte Querschnitt ist weiterhin ein Quadrat mit dem Flächeninhalt \(8\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 64\,\text{cm}^2\). 2. Der Stapel hat daher dasselbe Volumen wie ein gerader Quader: \(V = 64\,\text{cm}^2 \cdot 22\,\text{cm} = 1408\,\text{cm}^3\).

Antwort

Das Volumen beträgt \(1408\,\text{cm}^3\).

43803210

Eine gebogene Säule ist \(10\,\text{cm}\) hoch. Jeder waagerechte Querschnitt hat den Flächeninhalt \(18\,\text{cm}^2\), auch wenn seine Form und Lage wechseln. Bestimme das Volumen der Säule.

Denkanstöße

- Suche einen einfachen Vergleichskörper mit denselben Schnittflächen. - Die genaue Form eines Schnitts ist weniger wichtig als sein Flächeninhalt. - Achte auf die gemeinsame Höhe.

Lösung

1. Ein gerades Prisma mit Grundflächeninhalt \(18\,\text{cm}^2\) und Höhe \(10\,\text{cm}\) hat in jeder Höhe einen gleich großen Querschnitt. 2. Somit gilt \(V=18\,\text{cm}^2\cdot10\,\text{cm}=180\,\text{cm}^3\).

Antwort

Die Säule hat das Volumen \(180\,\text{cm}^3\).

43803710

Welche der folgenden Bedingungen garantiert nach dem Cavalieri-Prinzip gleiche Volumina? A: Die Körper haben gleiche Höhe und gleich große Grundflächen. B: Die Körper haben gleiche Höhe und in jeder entsprechenden Höhe gleich große Querschnitte. C: Die Körper haben gleiche Höhe und gleich große Oberflächen. D: Die Körper haben in einigen ausgewählten Höhen gleich große Querschnitte.

Denkanstöße

- Prüfe jede Aussage darauf, ob sie den ganzen Körper oder nur einzelne Teile beschreibt. - Achte besonders auf Wörter wie „jede“ und „einige“. - Frage dich, ob die Bedingung für alle Höhen gelten muss.

Lösung

1. Das Prinzip verlangt gleiche Höhe und Flächengleichheit sämtlicher entsprechender, zur Grundebene paralleler Querschnitte. 2. Nur Aussage B enthält beide Bedingungen vollständig.

Antwort

Nur Aussage B garantiert gleiche Volumina.

43805310

Ein schiefer prismenförmiger Vorratsbehälter hat eine Stirnfläche von \(G=1{,}8\,\text{m}^2\) und die Körperhöhe \(h=6\,\text{m}\). Berechne sein Fassungsvermögen.

Denkanstöße

- Welche Größe ist als Flächeninhalt der Stirnfläche gegeben? - Welche Länge ist die Körperhöhe des Prismas? - Prüfe die Einheit des Fassungsvermögens.

Lösung

1. Für das Prisma gilt \(V=Gh\). Entscheidend ist die Körperhöhe, also der senkrechte Abstand der parallelen Stirnflächen. 2. Damit ist \(V=1{,}8\,\text{m}^2\cdot6\,\text{m}=10{,}8\,\text{m}^3\).

Antwort

Das Fassungsvermögen beträgt \(10{,}8\,\text{m}^3\).

43806410

Ein Bauteil mit dem Volumen \(2{,}4\,\text{m}^3\) wird neu gestaltet. Bei gleicher Gesamthöhe hat jede neue waagerechte Schicht genau denselben Flächeninhalt wie die entsprechende alte Schicht, aber eine andere Form. Bestimme das neue Volumen und die prozentuale Volumenänderung.

Denkanstöße

- Prüfe, ob die Neugestaltung die Flächeninhalte der Schichten verändert. - Vergleiche alte und neue Schicht jeweils in derselben Höhe. - Berechne die prozentuale Änderung erst nach dem Volumenvergleich.

Lösung

1. Gleiche Höhe und gleich große entsprechende Querschnitte führen zu gleichem Volumen. Daher beträgt das neue Volumen ebenfalls \(2{,}4\,\text{m}^3\). 2. Die Änderung ist \(2{,}4\,\text{m}^3-2{,}4\,\text{m}^3=0\,\text{m}^3\), also \(0\,\%\).

Antwort

Das neue Volumen beträgt \(2{,}4\,\text{m}^3\); die Volumenänderung ist \(0\,\%\).

43802810

Ein schiefer Zylinder hat den Durchmesser \(d=12\,\text{cm}\) und die Körperhöhe \(h=15\,\text{cm}\). Seine Mantellinie ist \(18\,\text{cm}\) lang. Berechne sein Volumen in Kubikdezimetern. Runde auf zwei Dezimalstellen.

Denkanstöße

- Suche einen geraden Vergleichskörper mit denselben Querschnitten. - Achte darauf, aus dem Durchmesser zuerst den Radius zu bestimmen. - Welche der beiden Längen, Körperhöhe oder Mantellinie, ist für das Volumen maßgeblich? - Kontrolliere am Ende die Umrechnung der Volumeneinheit.

Lösung

1. Der schiefe Zylinder hat in jeder Höhe dieselbe Kreisfläche wie ein gerader Zylinder mit \(r=6\,\text{cm}\) und \(h=15\,\text{cm}\). 2. Daher ist \(V=\pi r^2h=\pi\cdot(6\,\text{cm})^2\cdot15\,\text{cm}=540\pi\,\text{cm}^3=0{,}54\pi\,\text{dm}^3\approx1{,}70\,\text{dm}^3\).

Antwort

Das Volumen beträgt \(0{,}54\pi\,\text{dm}^3\approx1{,}70\,\text{dm}^3\).

43802910

Drei Pyramiden haben unterschiedlich geformte Grundflächen. Bei allen beträgt der Grundflächeninhalt \(48\,\text{cm}^2\) und die Körperhöhe \(9\,\text{cm}\). a) Begründe ausschließlich mit dem Cavalieri-Prinzip, warum ihre Volumina gleich sind. Die Pyramidenvolumenformel darf für diese Begründung nicht verwendet werden. Betrachte dazu Schnitte parallel zur Grundfläche im gleichen Abstand \(x\) von der Spitze. b) Berechne anschließend das gemeinsame Volumen.

Denkanstöße

- Vergleiche Schnitte, die bei allen drei Pyramiden denselben Abstand von der Spitze haben. - Welcher lineare Größenfaktor ist für diese Schnitte bei allen drei Körpern gleich? - Für Cavalieri musst du die Querschnittsflächen in jeder Höhe vergleichen, nicht nur die Grundflächen.

Lösung

1. Für einen Schnitt im Abstand \(x\) von der Spitze ist der lineare Ähnlichkeitsfaktor zur jeweiligen Grundfläche \(\frac{x}{9}\). Daher hat der Schnitt bei jeder der drei Pyramiden den Flächeninhalt \(A(x)=48\left(\frac{x}{9}\right)^2\,\text{cm}^2\). 2. Somit sind in jeder Höhe die entsprechenden Querschnittsflächen gleich groß. Da auch die Körperhöhen übereinstimmen, folgt nach dem Cavalieri-Prinzip die Volumengleichheit. 3. Das gemeinsame Volumen ist \(V=\frac13\cdot48\,\text{cm}^2\cdot9\,\text{cm}=144\,\text{cm}^3\).

Antwort

a) Für alle drei Pyramiden gilt bei gleichem Abstand \(x\) von der Spitze \(A(x)=48\left(\frac{x}{9}\right)^2\,\text{cm}^2\). Daher sind ihre entsprechenden Querschnitte in jeder Höhe gleich groß; nach Cavalieri sind die Volumina gleich. b) \(144\,\text{cm}^3\)

43803010

Die Spitze eines Kegels liegt nicht über dem Mittelpunkt seiner kreisförmigen Grundfläche. Der Grundkreis hat den Radius \(4{,}5\,\text{cm}\), die Körperhöhe beträgt \(12\,\text{cm}\). Berechne das Volumen des schiefen Kegels auf zwei Dezimalstellen.

Denkanstöße

- Vergleiche den Körper mit einem geraden Kegel mit gleicher Grundfläche. - Entscheidend ist der senkrechte Abstand zwischen Grundfläche und Spitze. - Prüfe, ob die seitliche Verschiebung die Flächen der parallelen Schnitte verändert.

Lösung

1. Der schiefe und der gerade Kegel mit gleicher Grundfläche und gleicher Körperhöhe besitzen in jeder Höhe gleich große, parallel zur Grundfläche liegende Querschnitte. 2. Daher ist \(V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi\cdot(4{,}5\,\text{cm})^2\cdot12\,\text{cm}=81\pi\,\text{cm}^3\approx254{,}47\,\text{cm}^3\).

Antwort

Das Volumen beträgt \(81\pi\,\text{cm}^3\approx254{,}47\,\text{cm}^3\).

43803310

Zwei Körper \(A\) und \(B\) sind gleich hoch. In jeder Höhe ist der Querschnitt von \(B\) genau \(1{,}25\)-mal so groß wie der entsprechende Querschnitt von \(A\). Für \(A\) gilt \(V_A=320\,\text{cm}^3\). Bestimme \(V_B\).

Denkanstöße

- Vergleiche nicht nur einen einzelnen Schnitt, sondern alle entsprechenden Schnitte. - Überlege, wie sich ein überall gleicher Vergrößerungsfaktor auf den ganzen Körper auswirkt. - Prüfe, ob die gemeinsame Höhe unverändert bleibt.

Lösung

1. Der konstante Flächenfaktor aller entsprechenden Querschnitte überträgt sich auf das Volumen. 2. \(V_B=1{,}25\cdot V_A=1{,}25\cdot320\,\text{cm}^3=400\,\text{cm}^3\).

Antwort

Es gilt \(V_B=400\,\text{cm}^3\).

43803510

Ein schiefes Prisma und ein gerader Zylinder haben jeweils die Körperhöhe \(10\,\text{cm}\). Der Zylinder besitzt den Radius \(3\,\text{cm}\). Wie groß muss der Grundflächeninhalt \(G\) des Prismas sein, damit das Cavalieri-Prinzip unmittelbar gleiche Volumina der beiden Körper liefert? Runde auf zwei Dezimalstellen.

Denkanstöße

- Welche Bedingung an entsprechende Querschnitte verlangt das Cavalieri-Prinzip bei gleicher Körperhöhe? - Wie groß ist ein waagerechter Querschnitt des Zylinders? - Gesucht ist eine Fläche, nicht bereits ein Volumen.

Lösung

1. Für eine unmittelbare Anwendung des Cavalieri-Prinzips müssen bei gleicher Körperhöhe die entsprechenden Querschnittsflächen in jeder Höhe gleich groß sein. 2. Der Zylinder hat in jeder Höhe die Querschnittsfläche \(\pi r^2=\pi\cdot3^2\,\text{cm}^2=9\pi\,\text{cm}^2\). 3. Daher muss für das Prisma \(G=9\pi\,\text{cm}^2\approx28{,}27\,\text{cm}^2\) gelten.

Antwort

\(G=9\pi\,\text{cm}^2\approx28{,}27\,\text{cm}^2\)

43803610

Ein Prisma mit \(G=50\,\text{cm}^2\) und \(h=12\,\text{cm}\) hat dasselbe Volumen wie eine ungewöhnlich geformte Säule. Bei der Säule hat jeder waagerechte Querschnitt den Flächeninhalt \(40\,\text{cm}^2\). Bestimme die Höhe der Säule.

Denkanstöße

- Bestimme zunächst das bekannte Volumen. - Ersetze den ungewöhnlichen Körper gedanklich durch einen einfacheren Körper mit denselben Schnitten. - Arbeite anschließend rückwärts zur gesuchten Höhe.

Lösung

1. Das Prisma besitzt das Volumen \(V=50\,\text{cm}^2\cdot12\,\text{cm}=600\,\text{cm}^3\). 2. Die Säule ist volumengleich zu einem Prisma mit Grundflächeninhalt \(40\,\text{cm}^2\). Daher gilt \(40\,\text{cm}^2\cdot h_{\text{Säule}}=600\,\text{cm}^3\) und \(h_{\text{Säule}}=15\,\text{cm}\).

Antwort

Die Säule ist \(15\,\text{cm}\) hoch.

43803810

Lea behauptet: „Zwei beliebige Körper mit gleicher Höhe und gleich großem Grundflächeninhalt haben immer dasselbe Volumen.“ Beurteile die Aussage und formuliere die fehlende Bedingung.

Denkanstöße

- Überlege, ob eine Angabe an der Unterseite den ganzen Körper festlegt. - Denke an Körper, die nach oben unterschiedlich schmaler werden. - Formuliere eine Bedingung, die sämtliche Höhen erfasst.

Lösung

1. Die Aussage ist für beliebige Körper falsch, weil gleiche Grundflächen und gleiche Höhe nichts über die übrigen Querschnitte aussagen. 2. Zusätzlich müssen in jeder entsprechenden Höhe die zur Grundebene parallelen Querschnitte denselben Flächeninhalt haben.

Antwort

Die Aussage ist falsch. Erforderlich sind gleiche Höhe und gleich große entsprechende Querschnitte in jeder Höhe.

43804010

Die Körper \(K\) und \(L\) sind jeweils \(8\,\text{cm}\) hoch. Für die Höhe \(z\) über der Grundebene gilt bei beiden Körpern \(A_K(z)=(20-2z)\,\text{cm}^2\) und \(A_L(z)=(20-2z)\,\text{cm}^2\) für \(0\le z\le8\). Die Formen der Querschnitte sind verschieden. Entscheide, ob die Volumina gleich sind, und begründe.

Denkanstöße

- Vergleiche die beiden Angaben für eine beliebige Höhe. - Unterscheide zwischen der Form eines Schnitts und seinem Flächeninhalt. - Prüfe zusätzlich, ob beide Körper denselben Höhenbereich besitzen.

Lösung

1. Für jedes \(z\) zwischen \(0\,\text{cm}\) und \(8\,\text{cm}\) stimmen die Querschnittsflächen überein. 2. Da auch die Höhen gleich sind, gilt \(V_K=V_L\); die unterschiedliche Form der Querschnitte ändert daran nichts.

Antwort

Ja, die Volumina sind gleich: \(V_K=V_L\).

43804210

Körper \(A\) ist \(9\,\text{cm}\) hoch und hat in jeder Höhe einen zusammenhängenden Querschnitt von \(35\,\text{cm}^2\). Beim gleich hohen Körper \(B\) besteht jeder entsprechende Querschnitt aus zwei getrennten Teilflächen von \(12\,\text{cm}^2\) und \(23\,\text{cm}^2\). Vergleiche die Volumina und berechne sie.

Denkanstöße

- Betrachte bei einem getrennten Querschnitt die gesamte Fläche. - Vergleiche die Summen der Teilflächen mit dem anderen Körper. - Nutze anschließend einen einfachen Vergleichskörper.

Lösung

1. Bei \(B\) beträgt die gesamte Querschnittsfläche in jeder Höhe \(12\,\text{cm}^2+23\,\text{cm}^2=35\,\text{cm}^2\). Damit sind die entsprechenden Querschnitte beider Körper gleich groß. 2. \(V_A=V_B=35\,\text{cm}^2\cdot9\,\text{cm}=315\,\text{cm}^3\).

Antwort

Beide Körper haben das Volumen \(315\,\text{cm}^3\).

43804310

Ein hohler Turm ist \(20\,\text{m}\) hoch. Jeder waagerechte Außenquerschnitt hat den Flächeninhalt \(64\,\text{m}^2\); ein durchgehender Schacht nimmt in jeder Höhe \(16\,\text{m}^2\) ein. Zeige den Vergleich mit einem Vollprisma und berechne das Materialvolumen.

Denkanstöße

- Bestimme, welcher Teil eines Schnitts tatsächlich aus Material besteht. - Ziehe Hohlräume auf jeder Höhe von der Außenfläche ab. - Vergleiche das Ergebnis mit einem Körper konstanter Schnittfläche.

Lösung

1. Die Materialfläche jedes Querschnitts ist \(64\,\text{m}^2-16\,\text{m}^2=48\,\text{m}^2\). Ein Vollprisma mit \(G=48\,\text{m}^2\) und \(h=20\,\text{m}\) besitzt daher dieselben Querschnittsflächen. 2. \(V=48\,\text{m}^2\cdot20\,\text{m}=960\,\text{m}^3\).

Antwort

Das Materialvolumen beträgt \(960\,\text{m}^3\).

43804610

Eine Designskulptur ist \(20\,\text{cm}\) hoch. In jeder Höhe hat ihr waagerechter Querschnitt denselben Flächeninhalt wie ein Kreis mit Radius \(6\,\text{cm}\), obwohl die Schnittformen wechseln. Berechne das Volumen in Kubikdezimetern auf zwei Dezimalstellen.

Denkanstöße

- Suche einen bekannten Körper mit denselben Schnittflächen. - Die wechselnde Umrissform ist für den Flächeninhalt nicht entscheidend. - Rechne erst in einer Einheit und wandle erst am Ende um.

Lösung

1. Die Skulptur ist volumengleich zu einem Zylinder mit \(r=6\,\text{cm}\) und \(h=20\,\text{cm}\). 2. \(V=\pi\cdot(6\,\text{cm})^2\cdot20\,\text{cm}=720\pi\,\text{cm}^3=0{,}72\pi\,\text{dm}^3\approx2{,}26\,\text{dm}^3\).

Antwort

Das Volumen beträgt \(0{,}72\pi\,\text{dm}^3\approx2{,}26\,\text{dm}^3\).

43805210

Ein seitlich versetzter Lüftungskanal ist \(2{,}5\,\text{m}\) hoch. Jeder waagerechte Querschnitt hat den Flächeninhalt \(0{,}08\,\text{m}^2\). Berechne sein Innenvolumen in Kubikdezimetern.

Denkanstöße

- Ersetze den versetzten Kanal durch einen geraden Vergleichskörper. - Nutze, dass jeder entsprechende Schnitt gleich groß ist. - Wandle das Volumen erst nach der Berechnung um.

Lösung

1. Der Kanal ist volumengleich zu einem geraden Prisma mit \(G=0{,}08\,\text{m}^2\) und \(h=2{,}5\,\text{m}\). 2. \(V=0{,}08\,\text{m}^2\cdot2{,}5\,\text{m}=0{,}2\,\text{m}^3=200\,\text{dm}^3\).

Antwort

Das Innenvolumen beträgt \(200\,\text{dm}^3\).

43805910

Eine vasenförmige Skulptur ist \(15\,\text{cm}\) hoch. In jeder Höhe besitzt sie denselben Querschnittsflächeninhalt wie ein Kegel mit Grundkreisradius \(6\,\text{cm}\) und derselben Höhe. Berechne das Volumen der Skulptur auf zwei Dezimalstellen.

Denkanstöße

- Nutze den angegebenen Standardkörper als Vergleich. - Die äußere Form der Skulptur ist nicht entscheidend, wenn die Schnittflächen übereinstimmen. - Berechne das Volumen des Vergleichskörpers.

Lösung

1. Wegen gleicher Höhe und gleicher entsprechender Querschnittsflächen ist die Skulptur volumengleich zum Kegel. 2. \(V=\frac{1}{3}\pi\cdot(6\,\text{cm})^2\cdot15\,\text{cm}=180\pi\,\text{cm}^3\approx565{,}49\,\text{cm}^3\).

Antwort

Das Volumen beträgt \(180\pi\,\text{cm}^3\approx565{,}49\,\text{cm}^3\).

43806610

Zwei gleich hohe Körper \(A\) und \(B\) erfüllen in jeder Höhe \(A_B(z)=\frac{x}{5}A_A(z)\). Außerdem gilt \(V_B=1{,}4V_A\). Bestimme \(x\).

Denkanstöße

- Vergleiche den konstanten Faktor bei den Schnitten mit dem Faktor der Volumina. - Stelle eine einfache Gleichung für den unbekannten Wert auf. - Prüfe, ob der gefundene Faktor zum größeren Volumen passt.

Lösung

1. Der konstante Faktor der entsprechenden Querschnittsflächen ist zugleich der Volumenfaktor. Daher gilt \(\frac{x}{5}=1{,}4\). 2. Multiplikation mit \(5\) ergibt \(x=7\).

Antwort

Es gilt \(x=7\).

43806910

Die Abbildung zeigt die Form und die Maße jedes waagerechten Querschnitts der Körper \(K\) und \(L\). Beide Körper sind \(15\,\text{cm}\) hoch. Begründe mit dem Cavalieri-Prinzip, ob die Volumina gleich sind, und berechne sie.

Denkanstöße

- Entnimm der Zeichnung zunächst die Maße beider Querschnitte. - Vergleiche die Flächeninhalte, nicht nur die Formen. - Prüfe anschließend die gemeinsame Körperhöhe.

Lösung

1. Aus der Abbildung folgt \(A_K=8\,\text{cm}\cdot3\,\text{cm}=24\,\text{cm}^2\) und \(A_L=\frac{1}{2}\cdot12\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm}=24\,\text{cm}^2\). 2. In jeder Höhe sind die Querschnittsflächen gleich groß; bei gleicher Höhe gilt daher \(V_K=V_L=24\,\text{cm}^2\cdot15\,\text{cm}=360\,\text{cm}^3\).

Antwort

Die Volumina sind gleich: \(V_K=V_L=360\,\text{cm}^3\).

43807410

Die Abbildung zeigt in a) und b) die Form jedes waagerechten Querschnitts zweier \(16\,\text{cm}\) hoher Körper. Begründe ohne Zerlegen der Körper, warum die Volumina gleich sind, und berechne sie.

Denkanstöße

- Beachte bei b) die gestrichelte Strecke. - Vergleiche Grundseite und zugehörige Höhe beider Dreiecke. - Nutze danach, dass diese Schnitte in jeder Körperhöhe auftreten.

Lösung

1. Die Dreiecke in a) und b) haben dieselbe Grundseite \(10\,\text{cm}\) und dieselbe zugehörige Höhe \(6\,\text{cm}\). Deshalb ist jeder Querschnitt \(A=\frac{1}{2}\cdot10\cdot6=30\,\text{cm}^2\) groß. 2. Nach Cavalieri gilt \(V_1=V_2=30\,\text{cm}^2\cdot16\,\text{cm}=480\,\text{cm}^3\).

Antwort

Beide Volumina betragen \(480\,\text{cm}^3\).

43807510

Drei Körper sind jeweils \(12\,\text{cm}\) hoch. Die Abbildung zeigt in a) bis c) ihre in jeder Höhe gleichbleibenden Querschnitte. Welche Körper sind volumengleich? Berechne alle drei Volumina.

Denkanstöße

- Bestimme nacheinander die drei Flächeninhalte. - Gleiche Körperhöhen erlauben einen direkten Vergleich der Schnittflächen. - Kontrolliere, welcher Körper den größten Querschnitt besitzt.

Lösung

1. Die Flächeninhalte sind \(A_a=5\cdot5=25\,\text{cm}^2\), \(A_b=10\cdot2{,}5=25\,\text{cm}^2\) und \(A_c=\frac{1}{2}\cdot12\cdot5=30\,\text{cm}^2\). 2. Damit gilt \(V_a=V_b=25\cdot12=300\,\text{cm}^3\) und \(V_c=30\cdot12=360\,\text{cm}^3\).

Antwort

Körper a) und b) sind volumengleich mit jeweils \(300\,\text{cm}^3\). Körper c) hat \(360\,\text{cm}^3\).

43807810

Jeder waagerechte Querschnitt von Körper \(A\) ist die Fläche in a), jeder entsprechende Querschnitt von Körper \(B\) besteht aus den beiden getrennten Flächen in b). Beide Körper sind \(10\,\text{cm}\) hoch. Vergleiche die Volumina.

Denkanstöße

- Berechne in b) die Summe beider Teilflächen. - Vergleiche die Gesamtfläche mit a). - Die getrennte Lage der Teile ändert ihren Gesamtflächeninhalt nicht.

Lösung

1. Für a) gilt \(A_A=\frac{1}{2}\cdot12\cdot8=48\,\text{cm}^2\). In b) hat jedes Dreieck \(\frac{1}{2}\cdot6\cdot8=24\,\text{cm}^2\), zusammen also \(48\,\text{cm}^2\). 2. Nach Cavalieri gilt \(V_A=V_B=48\cdot10=480\,\text{cm}^3\).

Antwort

Beide Körper haben das Volumen \(480\,\text{cm}^3\).

43809910

Eine ungewöhnlich geformte, \(18\,\text{cm}\) hohe Säule hat in jeder Höhe denselben Querschnittsflächeninhalt. Ihr Volumen beträgt \(936\,\text{cm}^3\). Bestimme den Flächeninhalt jedes Querschnitts.

Denkanstöße

- Ersetze die Säule durch einen einfachen Körper mit denselben Schnitten. - Arbeite vom Volumen rückwärts zur Fläche.

Lösung

1. Die Säule ist volumengleich zu einem Prisma mit unbekanntem Grundflächeninhalt \(G\) und Höhe \(18\,\text{cm}\). 2. Aus \(18\,\text{cm}\cdot G=936\,\text{cm}^3\) folgt \(G=52\,\text{cm}^2\).

Antwort

Jeder Querschnitt hat den Flächeninhalt \(52\,\text{cm}^2\).

55238710

Für eine Halbkugel und einen gleich hohen Vergleichskörper sind bereits folgende Aussagen nachgewiesen: \(A_H(z)=\pi(r^2-z^2)\) und \(A_V(z)=\pi(r^2-z^2)\) für jedes \(z\) mit \(0\le z\le r\). Drei Lernende beurteilen, was daraus folgt. Karim sagt: „Weil die Querschnittsflächen bei \(z=\frac{r}{2}\) gleich sind, haben die Körper nach Cavalieri dasselbe Volumen.“ Elisa sagt: „Weil \(A_H(z)=A_V(z)\) für jedes \(z\) zwischen \(0\) und \(r\) gilt und beide Körper die Höhe \(r\) haben, folgt nach Cavalieri, dass ihre Volumina gleich sind.“ Milan sagt: „Wenn zwei Körper dasselbe Volumen und dieselbe Höhe haben, müssen ihre Querschnittsflächen in jeder Höhe gleich sein.“ a) Beurteile jede der drei Aussagen und begründe deine Entscheidung mit den Voraussetzungen beziehungsweise der Aussage des Cavalieri-Prinzips. b) Formuliere in einem Satz, welche Information über Querschnitte ausreicht, um mit Cavalieri auf gleiches Volumen zu schließen.

Denkanstöße

- Unterscheide genau zwischen „in einer Höhe“ und „in jeder Höhe“. - Prüfe bei jeder Aussage, ob sie die Richtung des Cavalieri-Prinzips richtig verwendet. - Eine hinreichende Bedingung muss nicht auch in umgekehrter Richtung gelten. - Formuliere bei b) nur die Information, die für den Volumenvergleich tatsächlich benötigt wird.

Lösung

1. Karims Aussage ist falsch. Die Gleichheit der Querschnittsflächen in nur einer bestimmten Höhe reicht nicht aus. Das Cavalieri-Prinzip verlangt die Gleichheit der entsprechenden Querschnittsflächen in jeder Höhe. 2. Elisas Aussage ist richtig. Die beiden Körper haben dieselbe Höhe, und für jedes \(z\) mit \(0\le z\le r\) gilt \(A_H(z)=A_V(z)\). Damit sind genau die für den Vergleich benötigten Voraussetzungen erfüllt, sodass die Volumina gleich sind. 3. Milans Aussage ist falsch. Das Cavalieri-Prinzip liefert eine hinreichende Bedingung für gleiche Volumina: gleiche entsprechende Querschnittsflächen bei gleicher Höhe führen zu gleichem Volumen. Die Umkehrung gilt nicht allgemein. Gleiches Volumen erzwingt nicht dieselbe Verteilung der Querschnittsflächen über die Höhe. 4. Ausreichend ist: Zwei gleich hohe Körper haben gleiches Volumen, wenn ihre Querschnitte in jeder entsprechenden Höhe denselben Flächeninhalt besitzen.

Antwort

a) Karim: falsch, weil ein einzelner gleicher Querschnitt nicht genügt. Elisa: richtig, weil die Querschnittsflächen in jeder Höhe übereinstimmen und die Körper gleich hoch sind. Milan: falsch, weil die Umkehrung des Cavalieri-Prinzips nicht allgemein gilt. b) Bei zwei gleich hohen Körpern reicht es aus, dass die entsprechenden Querschnittsflächen in jeder Höhe gleich groß sind.

55680610

Ein schiefes Prisma hat den konstanten Grundflächeninhalt \(G=24\,\text{cm}^2\). Die Abbildung zeigt eine Seitenansicht mit Körperhöhe und Seitenkante. a) Welche der beiden eingezeichneten Längen ist für \(V=Gh\) zu verwenden? b) Berechne das Volumen des Prismas. c) Begründe kurz mit dem Cavalieri-Prinzip, warum die Schrägstellung das Volumen nicht verändert.

Denkanstöße

- Welche eingezeichnete Länge misst den senkrechten Abstand der parallelen Grundflächen? - Welche Rolle spielt die schräge Seitenkante für die Querschnitte parallel zur Grundfläche? - Mit welchem geraden Prisma könntest du den Körper vergleichen?

Lösung

1. Für die Volumenformel ist der senkrechte Abstand der parallelen Grundflächen maßgeblich. Aus der Abbildung ist daher \(h=8\,\text{cm}\) zu verwenden; die \(10\,\text{cm}\) lange schräge Seitenkante ist dafür nicht maßgeblich. 2. Es gilt \(V=Gh=24\,\text{cm}^2\cdot8\,\text{cm}=192\,\text{cm}^3\). 3. Ein gerades Vergleichsprisma mit demselben Grundflächeninhalt und derselben Körperhöhe hat in jeder Höhe gleich große entsprechende Querschnitte. Nach Cavalieri haben beide Prismen dasselbe Volumen.

Antwort

a) Die Körperhöhe \(h=8\,\text{cm}\). b) \(V=192\,\text{cm}^3\) c) Gleiche Körperhöhe und gleich große entsprechende Querschnitte liefern nach Cavalieri dasselbe Volumen.

43803910

Entscheide für jedes gleich hohe Körperpaar, ob sich die Volumengleichheit direkt mit dem Cavalieri-Prinzip begründen lässt. Begründe jede Entscheidung über die Querschnittsflächen parallel zur Grundfläche. a) Ein gerades Prisma hat Grundflächeninhalt \(30\,\text{cm}^2\), ein schiefes Prisma \(24\,\text{cm}^2\). b) Ein gerades Prisma hat Grundflächeninhalt \(30\,\text{cm}^2\). Beim zweiten, unregelmäßig geformten Körper hat jeder Schnitt parallel zur Grundfläche den Flächeninhalt \(30\,\text{cm}^2\). c) Zwei gerade Kegel haben dieselbe Körperhöhe, aber Grundkreisradien \(4\,\text{cm}\) und \(5\,\text{cm}\). d) Ein Zylinder hat Radius \(3\,\text{cm}\). Beim zweiten, unregelmäßig geformten Körper hat jeder Schnitt parallel zur Grundfläche den Flächeninhalt \(9\pi\,\text{cm}^2\).

Denkanstöße

- Entscheide nicht nach dem Namen der Körper, sondern nach den Flächen entsprechender Schnitte. - Welche Querschnittsfläche bleibt bei einem Prisma beziehungsweise Zylinder in jeder Höhe konstant? - Für eine direkte Cavalieri-Begründung müssen die entsprechenden Schnittflächen in jeder Höhe übereinstimmen.

Lösung

1. a) Nein. Die Prismenschnitte sind zwar jeweils konstant, aber mit \(30\,\text{cm}^2\) und \(24\,\text{cm}^2\) nicht gleich groß. 2. b) Ja. Beim Prisma hat jeder entsprechende Schnitt \(30\,\text{cm}^2\); für den zweiten Körper ist derselbe Flächeninhalt in jeder Höhe gegeben. 3. c) Nein. Schon die Grundkreisflächen \(16\pi\,\text{cm}^2\) und \(25\pi\,\text{cm}^2\) sind verschieden; entsprechende Schnitte sind daher nicht durchgehend gleich groß. 4. d) Ja. Jeder Zylinderschnitt parallel zur Grundfläche hat \(\pi\cdot3^2=9\pi\,\text{cm}^2\), genau wie jeder entsprechende Schnitt des zweiten Körpers.

Antwort

a) nein b) ja c) nein d) ja

43804110

Drei Körper \(K\), \(L\) und \(M\) sind jeweils \(10\,\text{cm}\) hoch. Für \(0\le z\le10\) gelten \(A_K(z)=(z+12)\,\text{cm}^2\), \(A_L(z)=(12+z)\,\text{cm}^2\) und \(A_M(z)=(z+13)\,\text{cm}^2\). Vergleiche die Volumina und bestimme, um wie viel das größte Volumen die anderen übertrifft.

Denkanstöße

- Vereinfache zuerst die Ausdrücke und vergleiche sie paarweise. - Suche nach einer Differenz, die in jeder Höhe gleich bleibt. - Deute eine konstante Flächendifferenz als einfachen Zusatzkörper.

Lösung

1. Es gilt für jede Höhe \(A_K(z)=A_L(z)\), also \(V_K=V_L\). 2. Außerdem ist \(A_M(z)\) in jeder Höhe genau \(1\,\text{cm}^2\) größer. Die Volumendifferenz entspricht daher einem Prisma mit \(G=1\,\text{cm}^2\) und \(h=10\,\text{cm}\): \(V_M-V_K=V_M-V_L=10\,\text{cm}^3\).

Antwort

Es gilt \(V_K=V_L\). Das Volumen \(V_M\) ist jeweils um \(10\,\text{cm}^3\) größer.

43804410

Ein schräg verlaufendes Rohr hat die Körperhöhe \(h=18\,\text{cm}\). Der Außenradius beträgt \(R=5\,\text{cm}\), der Innenradius \(r=3\,\text{cm}\). a) Stelle das Materialvolumen ausdrücklich als Differenz zweier gleich hoher Zylindervolumina auf. b) Berechne das Materialvolumen auf zwei Dezimalstellen.

Denkanstöße

- Welcher volle Körper beschreibt das Rohr vor dem Aushöhlen? - Welcher gleich hohe Körper beschreibt den Hohlraum? - Ziehe die beiden Volumina erst symbolisch voneinander ab und setze danach die Maße ein.

Lösung

1. Das Rohr wird als äußerer Zylinder minus gleich hoher innerer Zylinder modelliert: \(V=\pi R^2h-\pi r^2h\). 2. Damit ist \(V=\pi(5^2-3^2)\cdot18\,\text{cm}^3=288\pi\,\text{cm}^3\approx904{,}78\,\text{cm}^3\).

Antwort

a) \(V=\pi R^2h-\pi r^2h\) b) \(V=288\pi\,\text{cm}^3\approx904{,}78\,\text{cm}^3\)

43805510

Zwei Pyramiden haben jeweils den Grundflächeninhalt \(80\,\text{cm}^2\) und die Körperhöhe \(9\,\text{cm}\). Bei der ersten liegt die Spitze senkrecht über der Grundfläche, bei der zweiten ist sie seitlich versetzt. a) Zeige ohne Verwendung der Pyramidenvolumenformel mit dem Cavalieri-Prinzip, dass die Volumina gleich sind. Verwende dazu den Abstand \(z\) eines Schnitts von der Grundfläche. b) Berechne danach das gemeinsame Volumen.

Denkanstöße

- Vergleiche Schnitte in demselben Abstand von der Grundfläche. - Welche Resthöhe vom Schnitt bis zur Spitze ist bei beiden Pyramiden gleich? - Prüfe, ob die seitliche Verschiebung der Spitze den Flächenfaktor eines parallelen Schnitts verändert.

Lösung

1. Ein Schnitt im Abstand \(z\) von der Grundfläche liegt noch \(9-z\) Zentimeter unterhalb der Spitze. Sein linearer Ähnlichkeitsfaktor zur Grundfläche ist bei beiden Pyramiden \(\frac{9-z}{9}\). 2. Deshalb gilt für beide Pyramiden in jeder Höhe \(A(z)=80\left(\frac{9-z}{9}\right)^2\,\text{cm}^2\). Die seitliche Lage der Spitze ändert diesen Flächenfaktor nicht. 3. Die entsprechenden Querschnittsflächen sind damit in jeder Höhe gleich groß. Nach dem Cavalieri-Prinzip sind die Volumina gleich. 4. Das gemeinsame Volumen beträgt \(V=\frac13\cdot80\,\text{cm}^2\cdot9\,\text{cm}=240\,\text{cm}^3\).

Antwort

a) Für beide Pyramiden gilt \(A(z)=80\left(\frac{9-z}{9}\right)^2\,\text{cm}^2\); daher sind ihre entsprechenden Querschnitte in jeder Höhe gleich groß und Cavalieri liefert gleiche Volumina. b) \(240\,\text{cm}^3\)

43805710

Ein schiefer Zylinder hat den Radius \(5\,\text{cm}\), die Körperhöhe \(12\,\text{cm}\) und eine Mantellinie von \(13\,\text{cm}\). Tim rechnet \(V=\pi\cdot5^2\cdot13\). Erkläre den Fehler, gib das richtige Volumen an und bestimme, um wie viel Tims Ergebnis zu groß ist.

Denkanstöße

- Welche der beiden Längen beschreibt den senkrechten Abstand der Grundflächen? - Welche Länge bleibt beim Vergleich mit einem geraden Zylinder für das Volumen maßgeblich? - Berechne die Abweichung erst, nachdem du das richtige Volumen bestimmt hast.

Lösung

1. Tim verwendet die schräge Mantellinie statt der Körperhöhe. Der passende gerade Vergleichszylinder hat \(h=12\,\text{cm}\). 2. Richtig ist \(V=\pi\cdot(5\,\text{cm})^2\cdot12\,\text{cm}=300\pi\,\text{cm}^3\approx942{,}48\,\text{cm}^3\). 3. Tims Ergebnis ist \(325\pi\,\text{cm}^3\). Die Abweichung beträgt \(25\pi\,\text{cm}^3\approx78{,}54\,\text{cm}^3\).

Antwort

Das richtige Volumen beträgt \(300\pi\,\text{cm}^3\approx942{,}48\,\text{cm}^3\). Tims Ergebnis ist um \(25\pi\,\text{cm}^3\approx78{,}54\,\text{cm}^3\) zu groß.

43805810

Nora sagt: „Eine Pyramide und ein Prisma mit gleichem Grundflächeninhalt \(54\,\text{cm}^2\) und gleicher Körperhöhe \(10\,\text{cm}\) haben nach Cavalieri dasselbe Volumen.“ a) Formuliere die Cavalieri-Bedingung, die Nora zusätzlich prüfen müsste. b) Untersuche einen Schnitt parallel zur Grundfläche in halber Körperhöhe und zeige damit, dass diese Bedingung hier nicht erfüllt ist. c) Berechne anschließend die beiden Volumina.

Denkanstöße

- Welche Aussage über entsprechende Schnitte in jeder Höhe gehört zum Cavalieri-Prinzip? - Wie verändern sich bei einer Pyramide die linearen Maße eines parallelen Schnitts in halber Körperhöhe? - Vergleiche erst die Querschnitte und berechne die Volumina erst danach.

Lösung

1. Für eine direkte Anwendung des Cavalieri-Prinzips müssen bei gleicher Körperhöhe die entsprechenden Querschnittsflächen in jeder Höhe gleich groß sein. Gleicher Grundflächeninhalt allein genügt nicht. 2. Beim Prisma hat auch der Schnitt in halber Körperhöhe den Flächeninhalt \(54\,\text{cm}^2\). Bei der Pyramide sind die linearen Maße dort halb so groß wie an der Grundfläche; der Flächeninhalt ist daher \(54\cdot\left(\frac12\right)^2\,\text{cm}^2=13{,}5\,\text{cm}^2\). Die entsprechenden Schnitte sind also nicht gleich groß. 3. Es gilt \(V_{\text{Prisma}}=54\,\text{cm}^2\cdot10\,\text{cm}=540\,\text{cm}^3\) und \(V_{\text{Pyramide}}=\frac13\cdot54\,\text{cm}^2\cdot10\,\text{cm}=180\,\text{cm}^3\).

Antwort

a) Bei gleicher Körperhöhe müssen die entsprechenden Querschnittsflächen in jeder Höhe gleich groß sein. b) In halber Körperhöhe: Prisma \(54\,\text{cm}^2\), Pyramide \(13{,}5\,\text{cm}^2\); die Cavalieri-Bedingung ist nicht erfüllt. c) \(V_{\text{Prisma}}=540\,\text{cm}^3\), \(V_{\text{Pyramide}}=180\,\text{cm}^3\)

43806110

Die Körper \(A\) und \(B\) sind jeweils \(12\,\text{cm}\) hoch. In jeder Höhe ist die Querschnittsfläche von \(A\) genau \(7\,\text{cm}^2\) größer als die von \(B\). Das Volumen von \(B\) beträgt \(420\,\text{cm}^3\). Bestimme \(V_A\).

Denkanstöße

- Betrachte die Differenz der beiden Querschnitte als eigenen einfachen Körper. - Diese Differenz bleibt über die gesamte Höhe gleich. - Addiere den so gefundenen Zusatz zum bekannten Volumen.

Lösung

1. Die konstante Flächendifferenz entspricht einem Zusatzprisma mit \(G=7\,\text{cm}^2\) und \(h=12\,\text{cm}\). Sein Volumen beträgt \(7\,\text{cm}^2\cdot12\,\text{cm}=84\,\text{cm}^3\). 2. \(V_A=420\,\text{cm}^3+84\,\text{cm}^3=504\,\text{cm}^3\).

Antwort

Das Volumen von \(A\) beträgt \(504\,\text{cm}^3\).

43807110

Bei zwei \(9\,\text{cm}\) hohen Körpern ist jeder waagerechte Querschnitt wie in a) bzw. b) geformt. Entscheide mit dem Cavalieri-Prinzip, ob die Körper volumengleich sind, und berechne die Volumina.

Denkanstöße

- Nutze alle in der Zeichnung eingetragenen Längen. - Vergleiche die Flächeninhalte der beiden unterschiedlichen Formen. - Überlege, welche Aussage aus gleichen Schnitten in jeder Höhe folgt.

Lösung

1. Der trapezförmige Querschnitt in a) hat \(A_a=\frac{10\,\text{cm}+6\,\text{cm}}{2}\cdot4\,\text{cm}=32\,\text{cm}^2\). Der rechteckige Querschnitt in b) hat \(A_b=8\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm}=32\,\text{cm}^2\). 2. Wegen gleicher Querschnittsflächen in jeder Höhe und gleicher Höhe gilt \(V_a=V_b=32\,\text{cm}^2\cdot9\,\text{cm}=288\,\text{cm}^3\).

Antwort

Beide Volumina betragen \(288\,\text{cm}^3\).

43807210

Die Abbildung zeigt die konstanten Materialquerschnitte zweier \(20\,\text{cm}\) hoher Bauteile: Jeder Schnitt parallel zur Grundfläche sieht über die gesamte Höhe jeweils so aus wie in a) beziehungsweise b). In a) ist das innere, vollständig umrandete Rechteck ein durchgehender Hohlraum; Material liegt zwischen innerem und äußerem Rechteck. a) Prüfe anhand der Querschnittsflächen ausdrücklich, ob das Cavalieri-Prinzip die Gleichheit der Materialvolumina liefert. b) Berechne das gemeinsame Materialvolumen.

Denkanstöße

- Bestimme in a) die Materialfläche als Außenfläche minus Hohlraum. - Vergleiche diese Fläche mit dem Querschnitt in b). - Welche Aussage über alle Höhen ist für das Cavalieri-Prinzip erforderlich?

Lösung

1. In a) beträgt die Materialquerschnittsfläche \(12\cdot8\,\text{cm}^2-8\cdot4\,\text{cm}^2=64\,\text{cm}^2\). In b) beträgt sie \(8\cdot8\,\text{cm}^2=64\,\text{cm}^2\). 2. Diese Materialquerschnitte sind nach Angabe bei beiden Bauteilen über die gesamte Höhe konstant. Somit sind die entsprechenden Materialquerschnittsflächen in jeder Höhe gleich groß; bei gleicher Körperhöhe ist das Cavalieri-Prinzip anwendbar. 3. Das gemeinsame Materialvolumen ist \(V=64\,\text{cm}^2\cdot20\,\text{cm}=1280\,\text{cm}^3\).

Antwort

a) Ja. In beiden Bauteilen beträgt jeder entsprechende Materialquerschnitt \(64\,\text{cm}^2\); daher greift das Cavalieri-Prinzip. b) \(1280\,\text{cm}^3\)

43807710

Die Abbildung zeigt die konstanten Materialquerschnitte zweier \(11\,\text{cm}\) hoher Körper: Jeder Schnitt parallel zur Grundfläche sieht über die gesamte Höhe jeweils so aus wie in a) beziehungsweise b). In a) ist der innere, vollständig umrandete Kreis ein durchgehender Hohlraum; Material liegt zwischen innerem und äußerem Kreis. a) Prüfe anhand der Querschnittsflächen ausdrücklich, ob das Cavalieri-Prinzip die Gleichheit der Materialvolumina liefert. b) Gib das gemeinsame Materialvolumen exakt sowie auf zwei Dezimalstellen an.

Denkanstöße

- Bestimme die Materialfläche in a) als Differenz zweier Kreisflächen. - Vergleiche sie exakt mit der Kreisfläche in b). - Prüfe anschließend die Bedingung, die in jeder Höhe erfüllt sein muss.

Lösung

1. Die Kreisringfläche in a) ist \(\pi(5^2-3^2)\,\text{cm}^2=16\pi\,\text{cm}^2\). Der Kreis in b) hat ebenfalls den Flächeninhalt \(\pi\cdot4^2\,\text{cm}^2=16\pi\,\text{cm}^2\). 2. Nach Angabe sind diese Materialquerschnitte über die gesamte Höhe konstant. Daher sind die entsprechenden Materialquerschnittsflächen in jeder Höhe gleich groß und Cavalieri ist anwendbar. 3. Das gemeinsame Materialvolumen ist \(V=16\pi\,\text{cm}^2\cdot11\,\text{cm}=176\pi\,\text{cm}^3\approx552{,}92\,\text{cm}^3\).

Antwort

a) Ja. Jeder entsprechende Materialquerschnitt hat den Flächeninhalt \(16\pi\,\text{cm}^2\); daher greift das Cavalieri-Prinzip. b) \(176\pi\,\text{cm}^3\approx552{,}92\,\text{cm}^3\)

43807910

Zwei \(13\,\text{cm}\) hohe Körper sind volumengleich. Die nicht maßstabsgetreue Abbildung zeigt in a) und b) ihre in jeder Höhe gleichbleibenden Querschnitte. Bestimme \(x\) und das gemeinsame Volumen. Begründe mit dem Cavalieri-Prinzip.

Denkanstöße

- Verlasse dich für die unbekannte Länge nicht auf die gezeichneten Proportionen. - Bestimme zuerst die vollständig bemaßte Querschnittsfläche in b). - Welche Folgerung erlaubt gleiche Körperhöhe zusammen mit gleichem Volumen für die konstanten Querschnittsflächen?

Lösung

1. Da die Querschnittsfläche jedes Körpers über die ganze Höhe konstant ist, kann jeder Körper nach dem Cavalieri-Prinzip mit einem geraden Prisma derselben Körperhöhe und derselben konstanten Querschnittsfläche verglichen werden. Daher gilt jeweils \(V=Ah\). 2. Weil beide Volumina und die Körperhöhen gleich sind, müssen auch die konstanten Querschnittsflächen gleich groß sein. Der Dreiecksinhalt in b) ist \(\frac{1}{2}\cdot12\,\text{cm}\cdot5\,\text{cm}=30\,\text{cm}^2\). 3. Für a) gilt daher \(6\,\text{cm}\cdot x=30\,\text{cm}^2\), also \(x=5\,\text{cm}\). 4. Das gemeinsame Volumen ist \(V=30\,\text{cm}^2\cdot13\,\text{cm}=390\,\text{cm}^3\).

Antwort

\(x=5\,\text{cm}\) und \(V=390\,\text{cm}^3\)

43808010

Zwei \(15\,\text{cm}\) hohe Säulen haben gleiches Materialvolumen und über ihre gesamte Höhe jeweils einen konstanten Materialquerschnitt. Die schematische Abbildung ist nicht maßstabsgetreu. In a) ist das innere, vollständig umrandete Quadrat ein durchgehender Hohlraum mit Seitenlänge \(x\); Material liegt zwischen dem inneren und dem äußeren Quadrat. In b) besteht der gesamte umrandete Quadratquerschnitt aus Material. a) Begründe, warum in diesem Sonderfall die beiden konstanten Materialquerschnittsflächen gleich groß sein müssen. Erkläre auch, warum daraus keine allgemeine Umkehrung des Cavalieri-Prinzips folgt. b) Bestimme \(x\). c) Berechne das gemeinsame Materialvolumen.

Denkanstöße

- Welche Volumenbeziehung gilt bei einem über die gesamte Höhe konstanten Querschnitt? - Was folgt daraus, wenn Volumen und Körperhöhe bei beiden Säulen gleich sind? - Überlege für die Zusatzbegründung, ob gleiche Gesamtvolumina bei beliebig veränderlichen Querschnitten deren Gleichheit in jeder Höhe erzwingen würden.

Lösung

1. Für einen Körper mit konstantem Materialquerschnitt gilt \(V=A\cdot h\). Da beide Säulen dieselbe Körperhöhe und dasselbe Materialvolumen haben, folgt hier \(A_1=A_2\). Das ist keine allgemeine Umkehrung des Cavalieri-Prinzips, weil bei Körpern mit veränderlichen Querschnitten gleiche Gesamtvolumina nicht gleiche entsprechende Querschnitte erzwingen. 2. Daher gilt für die Materialflächen \(10^2-x^2=8^2\). Also \(100-x^2=64\), somit \(x^2=36\) und wegen \(x>0\) schließlich \(x=6\,\text{cm}\). 3. Das gemeinsame Materialvolumen beträgt \(V=8^2\,\text{cm}^2\cdot15\,\text{cm}=960\,\text{cm}^3\).

Antwort

a) Wegen \(V=A\cdot h\) und gleicher Werte von \(V\) und \(h\) gilt hier \(A_1=A_2\). Dies ist nur wegen der konstanten Querschnitte möglich und keine allgemeine Umkehrung von Cavalieri. b) \(x=6\,\text{cm}\) c) \(960\,\text{cm}^3\)

43808110

Die Abbildung zeigt die konstanten Querschnitte zweier jeweils \(8\,\text{cm}\) hoher Körper. Bestimme das Verhältnis \(V_A{:}V_B\) und beide Volumina.

Denkanstöße

- Berechne beide dargestellten Flächeninhalte. - Kürze das erhaltene Verhältnis vollständig. - Bei gleicher Höhe überträgt sich das Verhältnis der Schnitte auf die Volumina.

Lösung

1. Aus der Zeichnung folgt \(A_A=9\cdot4=36\,\text{cm}^2\) und \(A_B=\frac{1}{2}\cdot12\cdot9=54\,\text{cm}^2\). Somit ist \(A_A{:}A_B=36{:}54=2{:}3\). 2. Bei gleicher Höhe gilt dasselbe Volumenverhältnis. Es ergeben sich \(V_A=36\cdot8=288\,\text{cm}^3\) und \(V_B=54\cdot8=432\,\text{cm}^3\).

Antwort

\(V_A{:}V_B=2{:}3\), \(V_A=288\,\text{cm}^3\), \(V_B=432\,\text{cm}^3\).

43808210

Drei Körper sind jeweils \(7\,\text{cm}\) hoch und besitzen in jeder Höhe den in der Abbildung gezeigten Querschnitt. Ben behauptet: „Körper c) hat nur das halbe Volumen von b), weil sein Querschnitt ein Dreieck ist.“ Prüfe die Behauptung und berechne alle Volumina.

Denkanstöße

- Überprüfe die Behauptung durch Flächenberechnungen. - Beachte beim Parallelogramm die gestrichelte Höhe. - Vergleiche erst danach die Volumina.

Lösung

1. Die Flächen sind \(A_a=8\cdot5=40\,\text{cm}^2\), \(A_b=10\cdot4=40\,\text{cm}^2\) und \(A_c=\frac{1}{2}\cdot10\cdot8=40\,\text{cm}^2\). 2. Bens Behauptung ist falsch; die größere zugehörige Höhe des Dreiecks gleicht den Faktor \(\frac{1}{2}\) aus. Nach Cavalieri gilt für alle drei \(V=40\cdot7=280\,\text{cm}^3\).

Antwort

Bens Behauptung ist falsch. Alle drei Volumina betragen \(280\,\text{cm}^3\).

43808310

Der Referenzkörper \(R\) und die Kandidaten a), b), c) sind jeweils \(9\,\text{cm}\) hoch. Die Abbildung zeigt ihre konstanten Querschnitte. Welche Kandidaten sind nach dem Cavalieri-Prinzip volumengleich zu \(R\)? Berechne außerdem alle Volumina.

Denkanstöße

- Berechne zuerst den Referenzflächeninhalt. - Prüfe jeden Kandidaten einzeln. - Gleiche Höhen machen den Vergleich der Querschnittsflächen entscheidend.

Lösung

1. Für \(R\) gilt \(A_R=7\cdot4=28\,\text{cm}^2\). a) hat \(\frac{1}{2}\cdot14\cdot4=28\,\text{cm}^2\), b) hat \(\frac{9+5}{2}\cdot4=28\,\text{cm}^2\), c) hat \(5\cdot5=25\,\text{cm}^2\). 2. Daher sind a) und b) volumengleich zu \(R\): jeweils \(28\cdot9=252\,\text{cm}^3\). Für c) gilt \(25\cdot9=225\,\text{cm}^3\).

Antwort

Volumengleich zu \(R\) sind a) und b). Es gilt \(V_R=V_a=V_b=252\,\text{cm}^3\) und \(V_c=225\,\text{cm}^3\).

43808410

Körper \(A\) ist \(10\,\text{cm}\) hoch. Körper \(B\) hat die unbekannte Höhe \(h\). Die Abbildung zeigt die in jeder Höhe konstanten Querschnitte. Beide Körper sollen dasselbe Volumen haben. Bestimme \(h\) und begründe dein Vorgehen mit dem Cavalieri-Prinzip.

Denkanstöße

- Entnimm der Abbildung beide konstanten Querschnittsflächen. - Vergleiche jeden ungewöhnlichen Körper zunächst mit einem geraden Prisma gleicher Höhe und gleicher Querschnittsfläche. - Stelle anschließend die beiden so bestimmten Volumina gleich und arbeite rückwärts zur unbekannten Höhe.

Lösung

1. Aus der Abbildung folgen die konstanten Querschnittsflächen \(A_A=9\cdot4\,\text{cm}^2=36\,\text{cm}^2\) und \(A_B=\frac{1}{2}\cdot10\cdot6\,\text{cm}^2=30\,\text{cm}^2\). 2. Körper \(A\) ist nach Cavalieri volumengleich zu einem geraden Prisma mit Querschnitt \(36\,\text{cm}^2\) und Höhe \(10\,\text{cm}\). Daher ist \(V_A=360\,\text{cm}^3\). 3. Körper \(B\) ist entsprechend volumengleich zu einem geraden Prisma mit Querschnitt \(30\,\text{cm}^2\) und Höhe \(h\). Daher ist \(V_B=30\,\text{cm}^2\cdot h\). 4. Aus \(V_A=V_B\) folgt \(30\,\text{cm}^2\cdot h=360\,\text{cm}^3\) und damit \(h=12\,\text{cm}\).

Antwort

Körper \(B\) muss \(12\,\text{cm}\) hoch sein.

43804710

Zwei Körper \(K\) und \(L\) sind jeweils \(12\,\text{cm}\) hoch. Für jede Höhe \(z\) gilt \(A_K(z)=A_L(12-z)\). Begründe, warum beide Körper trotzdem dasselbe Volumen haben.

Denkanstöße

- Überlege, was mit den Höhenangaben passiert, wenn ein Körper auf den Kopf gestellt wird. - Versuche, aus ergänzenden Höhen entsprechende Höhen zu machen. - Eine Lageänderung verändert das Volumen eines Körpers nicht.

Lösung

1. Wird Körper \(L\) umgedreht, liegt sein Querschnitt in der neuen Höhe \(z\) an der früheren Höhe \(12-z\). 2. Danach stimmen in jeder entsprechenden Höhe die Querschnittsflächen von \(K\) und dem umgedrehten \(L\) überein. Das Umdrehen ändert das Volumen nicht, also gilt \(V_K=V_L\).

Antwort

Nach dem Umdrehen von \(L\) sind alle entsprechenden Querschnitte gleich groß; daher gilt \(V_K=V_L\).

43806210

Zwei Körper \(A\) und \(B\) sind jeweils \(9\,\text{cm}\) hoch. Für \(0\le z\le9\) gelten \(A_A(z)=(10+2z)\,\text{cm}^2\) und \(A_B(z)=(28-2z)\,\text{cm}^2\). Bestimme das Gesamtvolumen \(V_A+V_B\), ohne die Einzelvolumina zu berechnen.

Denkanstöße

- Addiere die beiden Schnittflächen für dieselbe Höhe. - Prüfe, ob sich dabei die höhenabhängigen Teile aufheben. - Deute die erhaltene Gesamtschnittfläche als Vergleichskörper.

Lösung

1. In jeder Höhe ist die Summe der Querschnittsflächen \(A_A(z)+A_B(z)=10+2z+28-2z=38\,\text{cm}^2\). 2. Die beiden Körper zusammen sind daher volumengleich zu einem Prisma mit \(G=38\,\text{cm}^2\) und \(h=9\,\text{cm}\). Somit \(V_A+V_B=38\,\text{cm}^2\cdot9\,\text{cm}=342\,\text{cm}^3\).

Antwort

Es gilt \(V_A+V_B=342\,\text{cm}^3\).

43806510

Behauptung: „Haben zwei Körper gleiche Höhe und gleiches Volumen, dann sind ihre Querschnittsflächen in jeder entsprechenden Höhe gleich groß.“ Prüfe die Umkehrung anhand eines Prismas mit \(G=30\,\text{cm}^2\), \(h=10\,\text{cm}\) und einer Pyramide mit \(G=90\,\text{cm}^2\), \(h=10\,\text{cm}\).

Denkanstöße

- Berechne zuerst beide Volumina unabhängig voneinander. - Vergleiche danach mindestens einen entsprechenden Querschnitt. - Eine Folgerung muss nicht automatisch auch rückwärts gelten.

Lösung

1. Das Prisma hat \(V_{\text{Prisma}}=30\,\text{cm}^2\cdot10\,\text{cm}=300\,\text{cm}^3\). Die Pyramide hat \(V_{\text{Pyramide}}=\frac{1}{3}\cdot90\,\text{cm}^2\cdot10\,\text{cm}=300\,\text{cm}^3\). 2. Trotzdem sind bereits die Grundquerschnitte mit \(30\,\text{cm}^2\) und \(90\,\text{cm}^2\) verschieden. Die Umkehrung ist daher falsch.

Antwort

Die Behauptung ist falsch. Beide Volumina betragen \(300\,\text{cm}^3\), aber die entsprechenden Querschnitte sind nicht durchgehend gleich groß.

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