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- Was passiert in der Formel, wenn du jeden Buchstaben D durch ein G ersetzt? - Kannst du den Ausdruck in der Klammer zusammenfassen? - An welche Volumenformel aus früheren Schuljahren erinnert dich das Ergebnis? - Wenn die obere und untere Fläche gleich groß sind, wie müssen sich dann die Seitenwände des Körpers verändern?

1. Einsetzen von \(D = G\) in die Formel: \(V = \frac{h}{3} \cdot (G + \sqrt{G \cdot G} + G)\). Da \(\sqrt{G^2} = G\), ergibt sich \(V = \frac{h}{3} \cdot (G + G + G) = \frac{h}{3} \cdot 3G\). Durch Kürzen der \(3\) erhält man die vereinfachte Formel \(V = G \cdot h\). 2. Die Formel \(V = G \cdot h\) beschreibt das Volumen eines Prismas. Wenn Grund- und Deckfläche bei einem Pyramidenstumpf gleich groß und ähnlich sind, verjüngt sich der Körper nicht mehr; er entspricht dann einem Prisma.

1. \(V = G \cdot h\) 2. Es handelt sich um ein Prisma. Da Grund- und Deckfläche gleich groß, ähnlich und parallel sind, verjüngt sich der Körper nicht mehr.

- Überlege dir, wie sich die Form des Körpers verändert, wenn die obere Kante genauso lang wie die untere wird. - Was passiert mit der Deckfläche der Pyramide, wenn die Kantenlänge auf Null schrumpft? - Setze die gegebenen Bedingungen für die Variablen in den Term ein und fasse so weit wie möglich zusammen.

1. Einsetzen von \(b = a\) in die Formel: \(V = \frac{h}{3} \cdot (a^2 + a \cdot a + a^2) = \frac{h}{3} \cdot (3a^2) = a^2 \cdot h\). Dieser Term entspricht der Volumenformel eines geraden Prismas mit quadratischer Grundfläche (bzw. eines Quaders). 2. Einsetzen von \(b = 0\) in die Formel: \(V = \frac{h}{3} \cdot (a^2 + a \cdot 0 + 0^2) = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h\). Dies ist die bekannte Volumenformel für eine quadratische Pyramide.

1. Es entsteht ein Prisma (oder Quader) mit der Formel \(V = a^2 \cdot h\). 2. Es entsteht eine quadratische Pyramide mit der Formel \(V = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h\).

- Denke daran, zuerst die Flächeninhalte \(G\) und \(D\) aus den Kantenlängen \(a\) und \(b\) zu berechnen. - Was bedeutet es für die Form eines Körpers, wenn die obere Fläche nur noch ein einzelner Punkt ist? - Setze den Wert Null für die Deckfläche in die allgemeine Formel ein und schaue, was übrig bleibt.

1. Berechnung der Flächen: \(G = 8\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 64\,\text{cm}^2\) und \(D = 4\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 16\,\text{cm}^2\). Einsetzen in die Formel: \(V = \frac{12}{3} \cdot (64 + \sqrt{64 \cdot 16} + 16) = 4 \cdot (64 + 32 + 16) = 4 \cdot 112 = 448\,\text{cm}^3\). 2. Für \(b = 0\,\text{cm}\) ist \(D = 0\,\text{cm}^2\). Einsetzen: \(V = \frac{12}{3} \cdot (64 + \sqrt{64 \cdot 0} + 0) = 4 \cdot (64 + 0 + 0) = 256\,\text{cm}^3\). 3. Wenn die Deckfläche \(0\) ist, läuft der Körper in einer Spitze zusammen; es handelt sich also um eine vollständige Pyramide. Die Formel vereinfacht sich zu \(V = \frac{h}{3} \cdot (G + 0 + 0) = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h\), was der bekannten Volumenformel für Pyramiden entspricht.

1. \(V = 448\,\text{cm}^3\) 2. \(V = 256\,\text{cm}^3\) 3. Der Körper ist eine Pyramide. Die Formel wird zu \(V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h\).

- Wie verhalten sich die Radien und die zugehörigen Höhen in ähnlichen Dreiecken zueinander? - Denk daran, dass der große Kegel die kombinierte Höhe aus dem Stumpf und der Spitze besitzt. - Wie lautet die Grundformel für das Volumen eines spitzen Körpers wie dem Kegel?

1. Aufstellen des Strahlensatzes für die Radien und Höhen: \(\frac{x}{r_2} = \frac{x+h}{r_1} \Rightarrow \frac{x}{4} = \frac{x+6}{8}\). 2. Auflösen nach \(x\): \(8x = 4x + 24 \Rightarrow 4x = 24 \Rightarrow x = 6\,\text{cm}\). Die Gesamthöhe des großen Kegels beträgt somit \(H = 12\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Volumina: \(V_{\text{groß}} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 8^2 \cdot 12 = 256 \cdot \pi\) und \(V_{\text{klein}} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 4^2 \cdot 6 = 32 \cdot \pi\). 4. Differenz bilden: \(V = 256 \cdot \pi - 32 \cdot \pi = 224 \cdot \pi \approx 703{,}72\,\text{cm}^3\). 5. Einsetzen in die Stumpfformel: \(V = \frac{\pi \cdot 6}{3} \cdot (8^2 + 8 \cdot 4 + 4^2) = 2 \cdot \pi \cdot (64 + 32 + 16) = 2 \cdot \pi \cdot 112 = 224 \cdot \pi\). Beide Wege führen zum identischen Ergebnis.

a) \(x = 6\,\text{cm}\) b) \(V = 224 \cdot \pi\,\text{cm}^3 \approx 703{,}72\,\text{cm}^3\) c) Die Formel bestätigt das Ergebnis mit \(V = 2 \cdot \pi \cdot 112 = 224 \cdot \pi\,\text{cm}^3\).

- Erinnere dich an die binomischen Formeln, wenn du den Ausdruck für den mittleren Radius quadrierst. - Um zwei Formeln zu vergleichen, ist es oft hilfreich, sie auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen oder die Klammern vollständig aufzulösen. - Was müsste gelten, damit zwei unterschiedliche algebraische Ausdrücke immer das gleiche Ergebnis liefern?

1. Substitution von \(r_1\) und \(r_2\) durch \(r\): \(V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot h \cdot (r^2 + r \cdot r + r^2) = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot h \cdot (3 \cdot r^2) = \pi \cdot r^2 \cdot h\). Dies ist die Volumenformel eines Zylinders. 2. Ausmultiplizieren der Ersatzformel: \(V_{Ersatz} = \pi \cdot h \cdot \left(\frac{r_1 + r_2}{2}\right)^2 = \frac{\pi \cdot h}{4} \cdot (r_1^2 + 2 \cdot r_1 \cdot r_2 + r_2^2)\). Vergleich der Koeffizienten durch Erweitern auf den Hauptnenner 12: Die Stumpfformel liefert \(\frac{\pi \cdot h}{12} \cdot (4 \cdot r_1^2 + 4 \cdot r_1 \cdot r_2 + 4 \cdot r_2^2)\), die Ersatzformel liefert \(\frac{\pi \cdot h}{12} \cdot (3 \cdot r_1^2 + 6 \cdot r_1 \cdot r_2 + 3 \cdot r_2^2)\). Die Terme sind für \(r_1 \neq r_2\) nicht identisch, da die Differenz \(r_1^2 - 2 \cdot r_1 \cdot r_2 + r_2^2 = (r_1 - r_2)^2\) nur für \(r_1 = r_2\) den Wert Null annimmt. Die Vermutung ist falsch.

1. Durch Einsetzen ergibt sich \(V = \pi \cdot r^2 \cdot h\). 2. Die Vermutung ist falsch. Der Termvergleich zeigt, dass \(\frac{1}{3} \cdot (r_1^2 + r_1 \cdot r_2 + r_2^2) \neq \frac{1}{4} \cdot (r_1^2 + 2 \cdot r_1 \cdot r_2 + r_2^2)\) für \(r_1 \neq r_2\) gilt.

- Betrachte ein rechtwinkliges Stützdreieck innerhalb der Pyramide, das die Körperhöhe enthält. - Wie lang ist die Diagonale der Grundfläche bei einer Seitenlänge \(s\)? - Verwende den Satz des Pythagoras, um die Höhe zu bestimmen. - Setze die gefundene Höhe in die allgemeine Volumenformel für Pyramiden ein.

1. In der quadratischen Grundfläche mit Seitenlänge \(s\) hat die Diagonale die Länge \(d = s \cdot \sqrt{2}\). Der Fußpunkt der Höhe \(h\) liegt im Schnittpunkt der Diagonalen, also im Abstand \(\frac{d}{2} = \frac{s \cdot \sqrt{2}}{2}\) von einer Ecke. 2. Im rechtwinkligen Dreieck aus Körperhöhe \(h\), halber Diagonale und Seitenkante \(s\) gilt: \(h^2 + \left(\frac{s \cdot \sqrt{2}}{2}\right)^2 = s^2\). 3. Auflösen nach \(h\): \(h^2 = s^2 - \frac{2s^2}{4} = s^2 - \frac{1}{2} s^2 = \frac{1}{2} s^2\). Somit ist \(h = \sqrt{\frac{s^2}{2}} = \frac{s}{\sqrt{2}} = \frac{s}{2} \cdot \sqrt{2}\). 4. Das Volumen ist \(V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h\). Mit \(G = s^2\) folgt: \(V = \frac{1}{3} \cdot s^2 \cdot \frac{s \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{s^3}{6} \cdot \sqrt{2}\). 5. Einsetzen von \(s = 4{,}5\,\text{cm}\): \(V = \frac{4{,}5^3}{6} \cdot \sqrt{2} = \frac{91{,}125}{6} \cdot \sqrt{2} \approx 15{,}1875 \cdot 1{,}4142 \approx 21{,}4784\,\text{cm}^3\).

a) \(h = \frac{s}{2} \cdot \sqrt{2}\) b) \(V = \frac{s^3}{6} \cdot \sqrt{2}\) c) \(V \approx 21{,}48\,\text{cm}^3\)

- Welche Formel berechnet den Flächeninhalt eines Quadrats und welche den eines Kreises? - Wie kannst du einen Term unter einer Quadratwurzel vereinfachen, wenn dort Quadrate stehen? - Gibt es einen gemeinsamen Faktor in allen drei Summanden der Klammer, den man vor die Klammer ziehen kann?

1. Gleichsetzen der Flächeninhalte für die Grundflächen (\(a_1^2 = \pi \cdot r_1^2\)) und Deckflächen (\(a_2^2 = \pi \cdot r_2^2\)) führt zu den Radien \(r_1 = \frac{a_1}{\sqrt{\pi}}\) und \(r_2 = \frac{a_2}{\sqrt{\pi}}\). 2. Ersetzen von \(G\) durch \(\pi \cdot r_1^2\) und \(D\) durch \(\pi \cdot r_2^2\) in der allgemeinen Formel ergibt: \(V = \frac{h}{3} \cdot (\pi \cdot r_1^2 + \sqrt{\pi \cdot r_1^2 \cdot \pi \cdot r_2^2} + \pi \cdot r_2^2)\). 3. Vereinfachen des Wurzelterms: \(\sqrt{\pi^2 \cdot r_1^2 \cdot r_2^2} = \pi \cdot r_1 \cdot r_2\). 4. Ausklammern der Konstante \(\pi\) führt zur Zielformel: \(V = \frac{\pi \cdot h}{3} \cdot (r_1^2 + r_1 \cdot r_2 + r_2^2)\).

a) \(r_1 = \frac{a_1}{\sqrt{\pi}}\) und \(r_2 = \frac{a_2}{\sqrt{\pi}}\) b) Durch Einsetzen von \(G = \pi \cdot r_1^2\) und \(D = \pi \cdot r_2^2\) in die allgemeine Formel und Vereinfachen des Terms \(\sqrt{\pi^2 \cdot r_1^2 \cdot r_2^2} = \pi \cdot r_1 \cdot r_2\) erhält man durch Ausklammern von \(\pi\) die Formel \(V = \frac{\pi \cdot h}{3} \cdot (r_1^2 + r_1 \cdot r_2 + r_2^2)\).

- Überlege, welche Strecke im Würfel die Kante des Tetraeders bildet. - Wie berechnet man das Volumen einer Pyramide allgemein? - Welche Form hat die Grundfläche der weggeschnittenen Ecken, wenn man sie an einer Würfelecke betrachtet? - Wie hängen die Kantenlängen \(a\) und \(b\) zusammen, wenn du die Formel umstellen möchtest?

1. Die Kanten des Tetraeders entsprechen den Flächendiagonalen der Würfelseiten. Nach dem Satz des Pythagoras gilt für eine Diagonale \(b\) eines Quadrats mit Seitenlänge \(a\): \(b^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\), woraus \(b = a \cdot \sqrt{2}\) folgt. 2. Jede abgeschnittene Ecke ist eine Pyramide mit einer rechtwinkligen Grundfläche (\(G = \frac{1}{2} \cdot a^2\)) und der Höhe \(h = a\). Das Volumen einer Ecke ist \(V_{\text{Ecke}} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot a = \frac{1}{6} \cdot a^3\). 3. Das Tetraeder bleibt übrig, wenn man vier dieser Ecken vom Würfel abzieht: \(V_{\text{Tetraeder}} = V_{\text{Würfel}} - 4 \cdot V_{\text{Ecke}} = a^3 - 4 \cdot \frac{1}{6} \cdot a^3 = a^3 - \frac{2}{3} \cdot a^3 = \frac{1}{3} \cdot a^3\). 4. Um \(V\) durch \(b\) auszudrücken, stellt man \(b = a \cdot \sqrt{2}\) nach \(a\) um: \(a = \frac{b}{\sqrt{2}}\). Einsetzen in die Volumenformel ergibt: \(V = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{b}{\sqrt{2}}\right)^3 = \frac{1}{3} \cdot \frac{b^3}{2\sqrt{2}} = \frac{b^3}{6\sqrt{2}}\). Durch Erweitern mit \(\sqrt{2}\) erhält man \(V = \frac{b^3 \cdot \sqrt{2}}{6 \cdot 2} = \frac{b^3}{12} \cdot \sqrt{2}\).

a) \(b = \sqrt{a^2 + a^2} = a \cdot \sqrt{2}\) b) \(V_{\text{Ecke}} = \frac{1}{6} \cdot a^3\); \(V_{\text{Tetraeder}} = a^3 - \frac{4}{6} a^3 = \frac{1}{3} \cdot a^3\) c) Einsetzen von \(a = \frac{b}{\sqrt{2}}\) in \(V = \frac{1}{3} \cdot a^3\) führt auf \(V = \frac{b^3}{12} \cdot \sqrt{2}\).