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- Aus welchen zwei bekannten geometrischen Körpern setzt sich das Silo zusammen? - Welche Maße benötigst du für die Volumenformel eines Zylinders und welche für einen Kegelstumpf? - Achte darauf, Radien statt Durchmesser in die Formeln einzusetzen. - Wie berechnest du das Gesamtvolumen, wenn du die Einzelvolumina kennst?

1. Berechnung des Volumens des zylindrischen Teils: Mit dem Radius \(r = 2{,}00\,\text{m}\) und der Höhe \(h_1 = 5{,}50\,\text{m}\) ergibt sich \(V_{\text{Zyl}} = \pi \cdot r^2 \cdot h_1 = \pi \cdot 2^2 \cdot 5{,}5 = 22 \cdot \pi \approx 69{,}115\,\text{m}^3\). 2. Berechnung des Volumens des Trichters (Kegelstumpf): Mit den Radien \(r_1 = 2{,}00\,\text{m}\), \(r_2 = 0{,}30\,\text{m}\) und der Höhe \(h_2 = 1{,}80\,\text{m}\) ergibt sich \(V_{\text{Tr}} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot h_2 \cdot (r_1^2 + r_1 \cdot r_2 + r_2^2) = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 1{,}8 \cdot (2^2 + 2 \cdot 0{,}3 + 0{,}3^2) = 0{,}6 \cdot \pi \cdot (4 + 0{,}6 + 0{,}09) = 2{,}814 \cdot \pi \approx 8{,}840\,\text{m}^3\). 3. Gesamtes Fassungsvermögen: \(V_{\text{ges}} = 22 \cdot \pi + 2{,}814 \cdot \pi = 24{,}814 \cdot \pi \approx 77{,}955\,\text{m}^3\).

Das gesamte Fassungsvermögen des Silos beträgt etwa \(77{,}96\,\text{m}^3\).

- Achte darauf, Durchmesser in Radien umzurechnen, bevor du die Volumenformeln nutzt. - Überlege dir, wie viele Kubikzentimeter in einem Liter enthalten sind. - Für die Abweichung vergleichst du den Unterschied der Werte mit dem exakten Ausgangswert.

1. Berechnung der Radien: \(r_1 = 9\,\text{cm}\) und \(r_2 = 6\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Kegelstumpf-Volumens: \(V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot h \cdot (r_1^2 + r_1 \cdot r_2 + r_2^2) = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 32 \cdot (81 + 54 + 36) = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 32 \cdot 171 = 1824 \cdot \pi \approx 5730{,}26\,\text{cm}^3\). 3. Umrechnung in Liter: \(5730{,}26\,\text{cm}^3 \approx 5{,}73\,\text{l}\). 4. Zylindernäherung mit \(d = 15\,\text{cm}\) (\(r = 7{,}5\,\text{cm}\)): \(V_{\text{Zyl}} = \pi \cdot 7{,}5^2 \cdot 32 = 1800 \cdot \pi \approx 5654{,}87\,\text{cm}^3\). 5. Prozentuale Abweichung: \(\frac{1824 \cdot \pi - 1800 \cdot \pi}{1824 \cdot \pi} = \frac{24}{1824} \approx 0{,}01316\), also ca. \(1{,}32\,\%\). Das Näherungsvolumen ist kleiner als das exakte Volumen.

a) \(V \approx 5730{,}26\,\text{cm}^3\) b) Es passen ca. \(5{,}73\,\text{l}\) Wasser in die Vase. c) Das Näherungsvolumen beträgt ca. \(5654{,}87\,\text{cm}^3\); es ist ca. \(1{,}32\,\%\) kleiner als das exakte Volumen.

- Achte darauf, alle Einheiten zu vereinheitlichen, bevor du rechnest. - Welche geometrische Form beschreibt den Körper am besten? - Erinnere dich an die Volumenformel für Stümpfe von spitzen Körpern. - Wie hängen die Seitenlängen der Quadrate mit den Flächeninhalten zusammen?

1. Umrechnung des Volumens in \(\text{cm}^3\): \(V = 40\,\text{l} = 40\,000\,\text{cm}^3\). 2. Bestimmung der Flächeninhalte von Grundfläche \(A_1\) und Deckfläche \(A_2\): \(A_1 = 30^2 = 900\,\text{cm}^2\) und \(A_2 = 45^2 = 2025\,\text{cm}^2\). 3. Anwendung der Volumenformel für den Pyramidenstumpf: \(V = \frac{h}{3} \cdot (A_1 + \sqrt{A_1 \cdot A_2} + A_2)\). 4. Einsetzen der Werte: \(40\,000 = \frac{h}{3} \cdot (900 + \sqrt{900 \cdot 2025} + 2025) = \frac{h}{3} \cdot (900 + 1350 + 2025) = \frac{h}{3} \cdot 4275\). 5. Auflösen nach der Höhe \(h\): \(h = \frac{40\,000 \cdot 3}{4275} \approx 28{,}07\,\text{cm}\).

Der Pflanzkübel muss eine Innenhöhe von ca. \(28{,}07\,\text{cm}\) haben.

- Welche Form hat der Wasserkörper in der Vase? - Um das Volumen des Wassers zu berechnen, musst du zuerst herausfinden, wie groß der Radius der Wasseroberfläche in der Mitte der Vase ist. - Wie verändert sich der Radius von unten nach oben gleichmäßig über die gesamte Höhe? - Denk am Ende daran, das Ergebnis von Kubikzentimetern in Liter umzurechnen.

1. Bestimmung der Radien: Der Bodenradius ist \(r_2 = 6\,\text{cm}\), der Radius am oberen Rand ist \(r_1 = 10\,\text{cm}\). 2. Bestimmung des Radius in halber Höhe (\(15\,\text{cm}\)): Da sich der Radius linear mit der Höhe ändert, liegt der Radius \(r_f\) genau in der Mitte zwischen \(6\,\text{cm}\) und \(10\,\text{cm}\). Es gilt \(r_f = 6 + \frac{10-6}{30} \cdot 15 = 8\,\text{cm}\). 3. Berechnung des Wasservolumens (Kegelstumpf mit Höhe \(h_f = 15\,\text{cm}\)): \(V_f = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot h_f \cdot (r_f^2 + r_f \cdot r_2 + r_2^2) = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 15 \cdot (8^2 + 8 \cdot 6 + 6^2) = 5 \cdot \pi \cdot (64 + 48 + 36) = 5 \cdot \pi \cdot 148 = 740 \cdot \pi \approx 2324{,}78\,\text{cm}^3\). 4. Umrechnung in Liter: Da \(1000\,\text{cm}^3 = 1\,\text{l}\), ergibt sich \(V \approx 2{,}32\,\text{l}\).

In der Vase befinden sich etwa \(2{,}32\,\text{l}\) Wasser.

- Rechne alle Maße am besten direkt in Dezimeter um, da die Dichte in \(\text{kg/dm}^3\) gegeben ist. - Denke an den Zusammenhang zwischen Umfang und Radius eines Kreises. - Die Näherungsformel nutzt das arithmetische Mittel der Grund- und Deckfläche.

1. Berechnung der Radien in \(\text{dm}\) für einfachere Weiterrechnung: \(h = 12\,\text{dm}\), \(r_1 = \frac{20}{2 \cdot \pi} \approx 3{,}183\,\text{dm}\), \(r_2 = \frac{14}{2 \cdot \pi} \approx 2{,}228\,\text{dm}\). 2. Berechnung der Flächen: \(A_1 = \pi \cdot r_1^2 = \frac{400}{4 \cdot \pi} = \frac{100}{\pi} \approx 31{,}83\,\text{dm}^2\), \(A_2 = \pi \cdot r_2^2 = \frac{196}{4 \cdot \pi} = \frac{49}{\pi} \approx 15{,}60\,\text{dm}^2\). 3. Exaktes Volumen (Kegelstumpf): \(V = \frac{12}{3} \cdot \pi \cdot (r_1^2 + r_1 \cdot r_2 + r_2^2) = 4 \cdot \pi \cdot (\frac{100}{\pi^2} + \frac{70}{\pi^2} + \frac{49}{\pi^2}) = \frac{4 \cdot 219}{\pi} = \frac{876}{\pi} \approx 278{,}84\,\text{dm}^3\). In Kubikmetern: \(V \approx 0{,}279\,\text{m}^3\). 4. Masse: \(m = V \cdot \rho \approx 278{,}84 \cdot 2{,}4 \approx 669{,}22\,\text{kg}\). 5. Näherungsvolumen: \(V_{\text{Näherung}} = \frac{A_1 + A_2}{2} \cdot h = \frac{31{,}831 + 15{,}597}{2} \cdot 12 \approx 284{,}57\,\text{dm}^3 = 0{,}285\,\text{m}^3\). 6. Vergleich: Die Näherung ist um etwa \(0{,}006\,\text{m}^3\) (bzw. \(5{,}73\,\text{dm}^3\) oder ca. \(2{,}05\,\%\)) größer als der exakte Wert.

a) \(V \approx 0{,}279\,\text{m}^3\) b) Der Pfeiler wiegt ca. \(669{,}22\,\text{kg}\). c) Das Näherungsvolumen beträgt ca. \(0{,}285\,\text{m}^3\). Es ist um ca. \(0{,}006\,\text{m}^3\) bzw. \(2{,}05\,\%\) größer als der exakte Wert.

- Zerlege den Körper in seine Grundformen und betrachte die Volumina einzeln. - Wie viel Platz nimmt der obere Teil des Sockels ein? - Nutze den Zusammenhang zwischen Litern und Kubikzentimetern. - Denke daran, bei Durchmessern immer erst die Radien für die Formeln zu bestimmen.

1. Umrechnung des Gesamtvolumens: \(V_{\text{Gesamt}} = 70\,\text{l} = 70\,000\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung des Zylindervolumens mit \(r = 20\,\text{cm}\) und \(h_Z = 10\,\text{cm}\): \(V_Z = \pi \cdot 20^2 \cdot 10 = 4000 \cdot \pi \approx 12\,566{,}37\,\text{cm}^3\). 3. Berechnung des Volumens des Kegelstumpfes: \(V_K = V_{\text{Gesamt}} - V_Z = 70\,000 - 4000 \cdot \pi \approx 57\,433{,}63\,\text{cm}^3\). 4. Aufstellen der Formel für den Kegelstumpf mit \(r_1 = 20\,\text{cm}\) und \(r_2 = 30\,\text{cm}\): \(V_K = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot h_K \cdot (r_1^2 + r_1 \cdot r_2 + r_2^2)\). 5. Einsetzen und Berechnen der Summe in der Klammer: \(20^2 + 20 \cdot 30 + 30^2 = 400 + 600 + 900 = 1900\). 6. Auflösen nach \(h_K\): \(h_K = \frac{3 \cdot V_K}{1900 \cdot \pi} = \frac{3 \cdot (70\,000 - 4000 \cdot \pi)}{1900 \cdot \pi} \approx 28{,}86\,\text{cm}\).

Der untere Teil des Sockels hat eine Höhe von ca. \(28{,}86\,\text{cm}\).