Kostenlose Arbeitsblätter

- Aus welchen zwei bekannten geometrischen Körpern setzt sich das Silo zusammen? - Welche Maße benötigst du für die Volumenformel eines Zylinders und welche für einen Kegelstumpf? - Achte darauf, Radien statt Durchmesser in die Formeln einzusetzen. - Wie berechnest du das Gesamtvolumen, wenn du die Einzelvolumina kennst?

1. Berechnung des Volumens des zylindrischen Teils: Mit dem Radius \(r = 2{,}00\,\text{m}\) und der Höhe \(h_1 = 5{,}50\,\text{m}\) ergibt sich \(V_{\text{Zyl}} = \pi \cdot r^2 \cdot h_1 = \pi \cdot 2^2 \cdot 5{,}5 = 22 \cdot \pi \approx 69{,}115\,\text{m}^3\). 2. Berechnung des Volumens des Trichters (Kegelstumpf): Mit den Radien \(r_1 = 2{,}00\,\text{m}\), \(r_2 = 0{,}30\,\text{m}\) und der Höhe \(h_2 = 1{,}80\,\text{m}\) ergibt sich \(V_{\text{Tr}} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot h_2 \cdot (r_1^2 + r_1 \cdot r_2 + r_2^2) = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 1{,}8 \cdot (2^2 + 2 \cdot 0{,}3 + 0{,}3^2) = 0{,}6 \cdot \pi \cdot (4 + 0{,}6 + 0{,}09) = 2{,}814 \cdot \pi \approx 8{,}840\,\text{m}^3\). 3. Gesamtes Fassungsvermögen: \(V_{\text{ges}} = 22 \cdot \pi + 2{,}814 \cdot \pi = 24{,}814 \cdot \pi \approx 77{,}955\,\text{m}^3\).

Das gesamte Fassungsvermögen des Silos beträgt etwa \(77{,}96\,\text{m}^3\).

- Achte darauf, Durchmesser in Radien umzurechnen, bevor du die Volumenformeln nutzt. - Überlege dir, wie viele Kubikzentimeter in einem Liter enthalten sind. - Für die Abweichung vergleichst du den Unterschied der Werte mit dem exakten Ausgangswert.

1. Berechnung der Radien: \(r_1 = 9\,\text{cm}\) und \(r_2 = 6\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Kegelstumpf-Volumens: \(V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot h \cdot (r_1^2 + r_1 \cdot r_2 + r_2^2) = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 32 \cdot (81 + 54 + 36) = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 32 \cdot 171 = 1824 \cdot \pi \approx 5730{,}27\,\text{cm}^3\). 3. Umrechnung in Liter: \(5730{,}26\,\text{cm}^3 \approx 5{,}73\,\text{l}\). 4. Zylindernäherung mit \(d = 15\,\text{cm}\) (\(r = 7{,}5\,\text{cm}\)): \(V_{\text{Zyl}} = \pi \cdot 7{,}5^2 \cdot 32 = 1800 \cdot \pi \approx 5654{,}87\,\text{cm}^3\). 5. Prozentuale Abweichung: \(\frac{1824 \cdot \pi - 1800 \cdot \pi}{1824 \cdot \pi} = \frac{24}{1824} \approx 0{,}01316\), also ca. \(1{,}32\,\%\). Das Näherungsvolumen ist kleiner als das exakte Volumen.

a) \(V \approx 5730{,}27\,\text{cm}^3\) b) Es passen ca. \(5{,}73\,\text{l}\) Wasser in die Vase. c) Das Näherungsvolumen beträgt ca. \(5654{,}87\,\text{cm}^3\); es ist ca. \(1{,}32\,\%\) kleiner als das exakte Volumen.

- Achte darauf, alle Einheiten zu vereinheitlichen, bevor du rechnest. - Welche geometrische Form beschreibt den Körper am besten? - Erinnere dich an die Volumenformel für Stümpfe von spitzen Körpern. - Wie hängen die Seitenlängen der Quadrate mit den Flächeninhalten zusammen?

1. Umrechnung des Volumens in \(\text{cm}^3\): \(V = 40\,\text{l} = 40\,000\,\text{cm}^3\). 2. Bestimmung der Flächeninhalte von Grundfläche \(A_1\) und Deckfläche \(A_2\): \(A_1 = 30^2 = 900\,\text{cm}^2\) und \(A_2 = 45^2 = 2025\,\text{cm}^2\). 3. Anwendung der Volumenformel für den Pyramidenstumpf: \(V = \frac{h}{3} \cdot (A_1 + \sqrt{A_1 \cdot A_2} + A_2)\). 4. Einsetzen der Werte: \(40\,000 = \frac{h}{3} \cdot (900 + \sqrt{900 \cdot 2025} + 2025) = \frac{h}{3} \cdot (900 + 1350 + 2025) = \frac{h}{3} \cdot 4275\). 5. Auflösen nach der Höhe \(h\): \(h = \frac{40000 \cdot 3}{4275} \approx 28{,}07\,\text{cm}\).

Der Pflanzkübel muss eine Innenhöhe von ca. \(28{,}07\,\text{cm}\) haben.

- Zerlege den zusammengesetzten Körper gedanklich in seine zwei Grundkörper. - Bestimme zuerst die Formeln für das Volumen der beiden einzelnen Körper. - Wie berechnest du die Mantellinie des Kegels, wenn Radius und Höhe gegeben sind? - Welche Flächen des Silos gehören zur Außenwand und zum Dach? Denke daran, welche Flächen auf dem Boden stehen oder im Inneren liegen. - Achte beim Runden auf zwei Nachkommastellen und verwende die korrekten Einheiten.

1. Bestimmung des Radius: \(r = \frac{6\,\text{m}}{2} = 3\,\text{m}\) 2. Volumen des Zylinders: \(V_{\text{Zylinder}} = \pi \cdot r^2 \cdot h_{\text{Zylinder}} = \pi \cdot 3^2 \cdot 8 = 72\pi \approx 226{,}19\,\text{m}^3\) 3. Volumen des Kegels: \(V_{\text{Kegel}} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h_{\text{Kegel}} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 3^2 \cdot 4 = 12\pi \approx 37{,}70\,\text{m}^3\) 4. Gesamtvolumen: \(V = V_{\text{Zylinder}} + V_{\text{Kegel}} = 72\pi + 12\pi = 84\pi \approx 263{,}89\,\text{m}^3\) 5. Mantelfläche des Zylinders: \(M_{\text{Zylinder}} = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h_{\text{Zylinder}} = 2 \cdot \pi \cdot 3 \cdot 8 = 48\pi \approx 150{,}80\,\text{m}^2\) 6. Mantellinie des Kegels: \(s = \sqrt{r^2 + h_{\text{Kegel}}^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\,\text{m}\) 7. Mantelfläche des Kegels: \(M_{\text{Kegel}} = \pi \cdot r \cdot s = \pi \cdot 3 \cdot 5 = 15\pi \approx 47{,}12\,\text{m}^2\) 8. Zu streichende Gesamtfläche (Zylindermantel + Kegelmantel): \(A = M_{\text{Zylinder}} + M_{\text{Kegel}} = 48\pi + 15\pi = 63\pi \approx 197{,}92\,\text{m}^2\)

a) Das Gesamtvolumen des Silos beträgt ca. \(263{,}89\,\text{m}^3\). b) Die zu streichende Gesamtfläche beträgt ca. \(197{,}92\,\text{m}^2\).

- Berechne die Volumina der beiden verschiedenen geometrischen Körper einzeln. - Wie hängen die Volumina von Körpern zusammen, die aufeinander gesetzt werden?

1. Berechnung des Volumens des zylindrischen Teils \(V_a\): \(V_a = \pi \cdot r^2 \cdot h_{\text{Zyl}} = \pi \cdot (3\,\text{m})^2 \cdot 10\,\text{m} = 90\pi\,\text{m}^3\). 2. Berechnung des Volumens des kegelförmigen Dachs \(V_b\): \(V_b = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h_{\text{Kegel}} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (3\,\text{m})^2 \cdot 4\,\text{m} = 12\pi\,\text{m}^3\). 3. Addition der Teilvolumina zum Gesamtvolumen: \(V_{\text{ges}} = 90\pi + 12\pi = 102\pi\,\text{m}^3 \approx 320{,}442\,\text{m}^3\). 4. Ergebnis gerundet: \(V_{\text{ges}} \approx 320{,}4\,\text{m}^3\).

Das Gesamtvolumen des Turms beträgt ca. \(320{,}4\,\text{m}^3\).

- Zerlege das Werkstück in zwei einfache Körper, um das Volumen zu bestimmen. - Wie hängen Volumen, Dichte und Masse zusammen? Achte auf die Einheiten. - Stell dir vor, du betrachtest den Körper direkt von oben. Welche Gesamtfläche siehst du dann? - Vergiss nicht, alle seitlichen Flächen beider Quader zur Oberfläche hinzuzurechnen.

1. Berechnung der Einzelvolumina: \(V_1 = 10\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 400\,\text{cm}^3\). \(V_2 = 6\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 288\,\text{cm}^3\). 2. Gesamtvolumen: \(V = V_1 + V_2 = 400\,\text{cm}^3 + 288\,\text{cm}^3 = 688\,\text{cm}^3\). 3. Berechnung der Masse \(m\): \(m = V \cdot \rho = 688\,\text{cm}^3 \cdot 2{,}7\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} = 1857{,}6\,\text{g}\). 4. Berechnung der sichtbaren Oberflächen: Mantelfläche unten: \(M_1 = 4 \cdot (10\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm}) = 160\,\text{cm}^2\). Sichtbare Oberseite des unteren Quaders (Ringfläche): \(10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64\,\text{cm}^2\). Mantelfläche oben: \(M_2 = 4 \cdot (6\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm}) = 192\,\text{cm}^2\). Oberseite des oberen Quaders: \(A_{\text{Deck}} = 6^2 = 36\,\text{cm}^2\). 5. Gesamte sichtbare Fläche: \(A = 160 + 64 + 192 + 36 = 452\,\text{cm}^2\). Alternativ: Die Summe aller horizontalen Flächen von oben betrachtet entspricht genau der Grundfläche des unteren Quaders (\(100\,\text{cm}^2\)). Dazu addiert man die Mantelflächen beider Quader (\(160 + 192 = 352\)), was ebenfalls \(452\,\text{cm}^2\) ergibt.

a) Das Gesamtvolumen beträgt \(V = 688\,\text{cm}^3\). b) Die Masse beträgt \(m = 1857{,}6\,\text{g}\). c) Der sichtbare Oberflächeninhalt beträgt \(A = 452\,\text{cm}^2\).

- Die Bohrung ist ein Zylinder, der aus der Platte entfernt wird. - Welche Maße hat dieser Zylinder?

1. Berechnung des Volumens der Platte ohne Bohrung: \(V_{\text{Platte}} = 15 \cdot 15 \cdot 4 = 900\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung des Volumens der zylindrischen Bohrung: Radius \(r = 3\,\text{cm}\), Höhe \(h = 4\,\text{cm}\). \(V_{\text{Bohrung}} = \pi \cdot 3^2 \cdot 4 = 36\pi \approx 113{,}097\,\text{cm}^3\). 3. Berechnung des Restvolumens: \(V_{\text{Rest}} = 900 - 36\pi \approx 900 - 113{,}097 = 786{,}903\,\text{cm}^3\). 4. Rundung: \(786{,}90\,\text{cm}^3\).

Das verbleibende Metallvolumen beträgt etwa \(786{,}90\,\text{cm}^3\).

- Welche Form hat der Wasserkörper in der Vase? - Um das Volumen des Wassers zu berechnen, musst du zuerst herausfinden, wie groß der Radius der Wasseroberfläche in der Mitte der Vase ist. - Wie verändert sich der Radius von unten nach oben gleichmäßig über die gesamte Höhe? - Denk am Ende daran, das Ergebnis von Kubikzentimetern in Liter umzurechnen.

1. Bestimmung der Radien: Der Bodenradius ist \(r_2 = 6\,\text{cm}\), der Radius am oberen Rand ist \(r_1 = 10\,\text{cm}\). 2. Bestimmung des Radius in halber Höhe (\(15\,\text{cm}\)): Da sich der Radius linear mit der Höhe ändert, liegt der Radius \(r_f\) genau in der Mitte zwischen \(6\,\text{cm}\) und \(10\,\text{cm}\). Es gilt \(r_f = 6 + \frac{10-6}{30} \cdot 15 = 8\,\text{cm}\). 3. Berechnung des Wasservolumens (Kegelstumpf mit Höhe \(h_f = 15\,\text{cm}\)): \(V_f = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot h_f \cdot (r_f^2 + r_f \cdot r_2 + r_2^2) = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 15 \cdot (8^2 + 8 \cdot 6 + 6^2) = 5 \cdot \pi \cdot (64 + 48 + 36) = 5 \cdot \pi \cdot 148 = 740 \cdot \pi \approx 2324{,}78\,\text{cm}^3\). 4. Umrechnung in Liter: Da \(1000\,\text{cm}^3 = 1\,\text{l}\), ergibt sich \(V \approx 2{,}32\,\text{l}\).

In der Vase befinden sich etwa \(2{,}32\,\text{l}\) Wasser.

- Rechne alle Maße am besten direkt in Dezimeter um, da die Dichte in \(\text{kg/dm}^3\) gegeben ist. - Denke an den Zusammenhang zwischen Umfang und Radius eines Kreises. - Die Näherungsformel nutzt das arithmetische Mittel der Grund- und Deckfläche.

1. Berechnung der Radien in \(\text{dm}\) für einfachere Weiterrechnung: \(h = 12\,\text{dm}\), \(r_1 = \frac{20}{2 \cdot \pi} \approx 3{,}183\,\text{dm}\), \(r_2 = \frac{14}{2 \cdot \pi} \approx 2{,}228\,\text{dm}\). 2. Berechnung der Flächen: \(A_1 = \pi \cdot r_1^2 = \frac{400}{4 \cdot \pi} = \frac{100}{\pi} \approx 31{,}83\,\text{dm}^2\), \(A_2 = \pi \cdot r_2^2 = \frac{196}{4 \cdot \pi} = \frac{49}{\pi} \approx 15{,}60\,\text{dm}^2\). 3. Exaktes Volumen (Kegelstumpf): \(V = \frac{12}{3} \cdot \pi \cdot (r_1^2 + r_1 \cdot r_2 + r_2^2) = 4 \cdot \pi \cdot (\frac{100}{\pi^2} + \frac{70}{\pi^2} + \frac{49}{\pi^2}) = \frac{4 \cdot 219}{\pi} = \frac{876}{\pi} \approx 278{,}84\,\text{dm}^3\). In Kubikmetern: \(V \approx 0{,}279\,\text{m}^3\). 4. Masse: \(m = V \cdot \rho = \frac{876}{\pi} \cdot 2{,}4 \approx 669{,}21\,\text{kg}\). 5. Näherungsvolumen: \(V_{\text{Näherung}} = \frac{A_1 + A_2}{2} \cdot h = \frac{31{,}831 + 15{,}597}{2} \cdot 12 \approx 284{,}57\,\text{dm}^3 = 0{,}285\,\text{m}^3\). 6. Vergleich: Die Näherung ist um etwa \(0{,}006\,\text{m}^3\) (bzw. \(5{,}73\,\text{dm}^3\) oder ca. \(2{,}05\,\%\)) größer als der exakte Wert.

a) \(V \approx 0{,}279\,\text{m}^3\) b) Der Pfeiler wiegt ca. \(669{,}21\,\text{kg}\). c) Das Näherungsvolumen beträgt ca. \(0{,}285\,\text{m}^3\). Es ist um ca. \(0{,}006\,\text{m}^3\) bzw. \(2{,}05\,\%\) größer als der exakte Wert.

- Zerlege den Körper in seine Grundformen und betrachte die Volumina einzeln. - Wie viel Platz nimmt der obere Teil des Sockels ein? - Nutze den Zusammenhang zwischen Litern und Kubikzentimetern. - Denke daran, bei Durchmessern immer erst die Radien für die Formeln zu bestimmen.

1. Umrechnung des Gesamtvolumens: \(V_{\text{Gesamt}} = 70\,\text{l} = 70\,000\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung des Zylindervolumens mit \(r = 20\,\text{cm}\) und \(h_Z = 10\,\text{cm}\): \(V_Z = \pi \cdot 20^2 \cdot 10 = 4000 \cdot \pi \approx 12\,566{,}37\,\text{cm}^3\). 3. Berechnung des Volumens des Kegelstumpfes: \(V_K = V_{\text{Gesamt}} - V_Z = 70\,000 - 4000 \cdot \pi \approx 57\,433{,}63\,\text{cm}^3\). 4. Aufstellen der Formel für den Kegelstumpf mit \(r_1 = 20\,\text{cm}\) und \(r_2 = 30\,\text{cm}\): \(V_K = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot h_K \cdot (r_1^2 + r_1 \cdot r_2 + r_2^2)\). 5. Einsetzen und Berechnen der Summe in der Klammer: \(20^2 + 20 \cdot 30 + 30^2 = 400 + 600 + 900 = 1900\). 6. Auflösen nach \(h_K\): \(h_K = \frac{3 \cdot V_K}{1900 \cdot \pi} = \frac{3 \cdot (70000 - 4000 \cdot \pi)}{1900 \cdot \pi} \approx 28{,}87\,\text{cm}\).

Der untere Teil des Sockels hat eine Höhe von ca. \(28{,}87\,\text{cm}\).

- Berechne die Volumina der einzelnen Körperteile getrennt voneinander. - Achte darauf, dass zwei Pyramiden vorhanden sind. - Nutze die Formel für das Pyramidenvolumen und addiere alles zum Gesamtvolumen.

1. Berechnung des Volumens des Quaders: \(V_Q = 4\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 32\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung des Volumens einer Pyramide: \(V_P = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot (4\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm}) \cdot 3\,\text{cm} = 16\,\text{cm}^3\). 3. Berechnung des Gesamtvolumens: \(V_{\text{ges}} = V_Q + 2 \cdot V_P = 32\,\text{cm}^3 + 2 \cdot 16\,\text{cm}^3 = 64\,\text{cm}^3\). 4. Berechnung der Masse: \(m = V_{\text{ges}} \cdot \rho = 64\,\text{cm}^3 \cdot 8{,}4\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} = 537{,}6\,\text{g}\).

Die Masse des Briefbeschwerers beträgt \(537{,}6\,\text{g}\).

- Betrachte den Querschnitt als ein großes Rechteck, von dem Teile „abgeschnitten“ wurden. - Welche Flächen musst du vom großen Rechteck abziehen? - Multipliziere die resultierende Fläche mit der Länge des Körpers.

1. Grundfläche \(G\) des Querschnitts durch Ergänzung zu einem Rechteck berechnen: - Fläche des umschließenden Rechtecks: \(10\,\text{mm} \cdot 8\,\text{mm} = 80\,\text{mm}^2\). - Abzuziehendes Dreieck der Abschrägung: \(\frac{1}{2} \cdot 3\,\text{mm} \cdot (8 - 5)\,\text{mm} = 4{,}5\,\text{mm}^2\). - Abzuziehende Rechteckfläche der Nut: \(2\,\text{mm} \cdot 2\,\text{mm} = 4\,\text{mm}^2\). - Netto-Grundfläche: \(G = 80\,\text{mm}^2 - 4{,}5\,\text{mm}^2 - 4\,\text{mm}^2 = 71{,}5\,\text{mm}^2\). 2. Volumen des Bauteils berechnen: \(V = G \cdot l = 71{,}5\,\text{mm}^2 \cdot 20\,\text{mm} = 1430\,\text{mm}^3\).

Das Volumen des Bauteils beträgt \(1430\,\text{mm}^3\).

- Betrachte die Koordinaten der Punkte und ihre Reihenfolge, um die Form der Grundfläche zu erfassen. - Zerlege die Fläche in einfache Teilflächen wie Rechtecke und Dreiecke. - Achte darauf, welche Teile zur Fläche gehören und welche (wie die Nut) davon abgezogen werden müssen.

1. Grundfläche durch Zerlegung in Teilflächen berechnen: - Unteres Rechteck (y von 0 bis 4, x von 0 bis 12): \(A_1 = 12 \cdot 4 = 48\,\text{m}^2\). - Oberes Rechteck links (y von 4 bis 8, x von 0 bis 8): \(A_2 = 8 \cdot 4 = 32\,\text{m}^2\). - Dreieck rechts oben (Eckpunkte (8|4), (12|4), (8|8)): \(A_3 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8\,\text{m}^2\). - Abzuziehende Aussparung oben (x von 4 bis 6, y von 6 bis 8): \(A_{\text{Nut}} = 2 \cdot 2 = 4\,\text{m}^2\). - Gesamtgrundfläche: \(G = 48 + 32 + 8 - 4 = 84\,\text{m}^2\). 2. Volumen des Fundaments berechnen: \(V = G \cdot l = 84\,\text{m}^2 \cdot 25\,\text{m} = 2100\,\text{m}^3\).

Das Fundament hat ein Volumen von \(2100\,\text{m}^3\).