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- Achte darauf, an welcher Stelle die Variable \(x\) im Term vorkommt. - Vergleiche die Terme mit den bekannten Grundformen der Funktionsfamilien. - Welche spezielle bekannte Funktion steht in e), statt sie nur einer sehr allgemeinen Obergruppe zuzuordnen?

1. \(f(x)=3x-2\) hat die Form \(mx+b\) und ist eine lineare Funktion. 2. \(g(x)=-0{,}5x^2+4\) ist eine quadratische Funktion. 3. \(h(x)=x^5\) ist eine Potenzfunktion mit natürlichem Exponenten. 4. Bei \(k(x)=2^x\) steht die Variable im Exponenten; die Funktion ist eine Exponentialfunktion. 5. \(m(x)=\sin(x)\) ist eine Sinusfunktion.

a) lineare Funktion b) quadratische Funktion c) Potenzfunktion mit natürlichem Exponenten d) Exponentialfunktion e) Sinusfunktion

- Vergleiche aufeinanderfolgende Funktionswerte in der Tabelle. - Ändern sich die Werte um einen festen Betrag oder um einen festen Faktor? - Entscheide anschließend zwischen linear, quadratisch und exponentiell.

1. Bei jeder Erhöhung von \(x\) um \(1\) wird der Funktionswert mit demselben Faktor \(2\) multipliziert. 2. Eine solche konstante Vervielfachung bei gleichen Schritten in \(x\) kennzeichnet hier die Exponentialfunktion.

Exponentialfunktion

- Welche Funktionsfamilie ist dadurch gekennzeichnet, dass sich Funktionswerte bei gleichen Schritten immer mit demselben Faktor ändern? - Passt die Eigenschaft \(f(0)=1\) zu deiner Vermutung? - Prüfe auch, ob die beschriebene Annäherung an die \(x\)-Achse zu dieser Familie gehört.

1. Die Verdopplung des Funktionswerts bei jedem Schritt \(x\mapsto x+1\) ist charakteristisch für exponentielles Wachstum mit Basis \(2\). 2. Die weiteren Eigenschaften passen dazu: \(2^0=1\), alle Werte von \(2^x\) sind positiv und für \(x\to-\infty\) nähern sie sich \(0\). 3. Daher gehört \(f\) zur Familie der Exponentialfunktionen.

Exponentialfunktion

- Beurteile jeden Graphen, ohne die noch nicht verwendeten Namen zur Hilfe zu nehmen. - Suche pro Graph nach einem Merkmal, das direkt sichtbar ist und zu einer bekannten Familie gehört. - Bei getrennten Ästen oder einer Annäherung an eine Achse kann das Verhalten nahe einer Asymptote entscheidend sein.

1. Graph a) ist eine Gerade; damit gehört er zu den linearen Funktionen. 2. Graph b) ist eine Parabel mit einem Tiefpunkt; damit gehört er zu den quadratischen Funktionen. 3. Graph c) besitzt zwei getrennte Hyperbeläste und nähert sich beiden Koordinatenachsen; damit gehört er zur Kehrwertfunktion. 4. Graph d) bleibt positiv, steigt zunehmend stark und nähert sich links der \(x\)-Achse; damit gehört er zu den Exponentialfunktionen.

a) lineare Funktion — sichtbares Merkmal: Gerade b) quadratische Funktion — sichtbares Merkmal: Parabel c) Kehrwertfunktion — sichtbares Merkmal: zwei Hyperbeläste mit den Koordinatenachsen als Asymptoten d) Exponentialfunktion — sichtbares Merkmal: positive, zunehmend steile Kurve mit Annäherung an die \(x\)-Achse

- Welche allgemeine Form hat ein Polynom ersten Grades? - Übersetze die Nullstelle und den gegebenen Funktionswert jeweils in eine Bedingung an \(g\). - Überlege für die Eindeutigkeit, welche geometrische Information zwei verschiedene Punkte über eine Gerade liefern.

1. Eine lineare Funktion hat die Form \(g(x)=mx+c\) mit \(m\neq0\). 2. Aus der Nullstelle folgt \(g(3)=3m+c=0\). 3. Aus \(g(-2)=-1\) folgt \(-2m+c=-1\). 4. Subtrahieren der Gleichungen ergibt \(5m=1\), also \(m=0{,}2\). Damit ist \(c=-0{,}6\). 5. Also gilt \(g(x)=0{,}2x-0{,}6\). Die Angaben entsprechen den Punkten \((3|0)\) und \((-2|-1)\); durch zwei verschiedene Punkte verläuft genau eine Gerade.

\(g(x)=0{,}2x-0{,}6\). Die Angaben bestimmen die beiden Punkte \((3|0)\) und \((-2|-1)\); durch zwei verschiedene Punkte verläuft genau eine Gerade.

- Wie kannst du die Steigung einer Geraden berechnen, wenn zwei Punkte bekannt sind? - Welche allgemeine Form hat eine lineare Funktionsgleichung? - Was bedeutet es für den Funktionswert, wenn ein Punkt eine „Nullstelle“ ist? - Wie findest du den y-Achsenabschnitt, wenn du die Steigung und einen Punkt kennst?

1. Berechnung der Steigung \(m\) mithilfe der Steigungsformel für zwei Punkte: \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-4 - 11}{2 - (-3)} = \frac{-15}{5} = -3\). 2. Bestimmung des y-Achsenabschnitts \(n\) durch Einsetzen eines Punktes in \(y = mx + n\): \(-4 = -3 \cdot 2 + n \Rightarrow -4 = -6 + n \Rightarrow n = 2\). 3. Aufstellen des Funktionsterms: \(f(x) = -3x + 2\). 4. Berechnung der Nullstelle durch Nullsetzen des Funktionsterms: \(0 = -3x + 2 \Rightarrow 3x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{3}\).

Funktionsterm: \(f(x) = -3x + 2\) Nullstelle: \(x = \frac{2}{3}\) bzw. \(N\left(\frac{2}{3} \middle| 0\right)\)

- Welche Information über die Funktion \(g\) liefert dir die Funktionsgleichung von \(h\)? - Wie lautet die Koordinatendarstellung eines Punktes, der auf der y-Achse liegt? - Wenn du den y-Achsenabschnitt und einen weiteren Punkt hast, wie bestimmst du die Steigung? - Was musst du für \(y\) einsetzen, um die Stelle zu finden, an der der Graph die x-Achse schneidet?

1. Identifikation des y-Achsenabschnitts von \(h\): Da \(h(x) = -2x + 7\), liegt der Schnittpunkt mit der y-Achse bei \(Q(0|7)\). Da \(g\) denselben Achsenabschnitt hat, gilt für \(g\): \(n = 7\). 2. Berechnung der Steigung \(m\) von \(g\) mit den Punkten \(P(8|3)\) und \(Q(0|7)\): \(m = \frac{7 - 3}{0 - 8} = \frac{4}{-8} = -0{,}5\). 3. Aufstellen der Funktionsgleichung für \(g\): \(g(x) = -0{,}5x + 7\). 4. Berechnung der Nullstelle: \(0 = -0{,}5x + 7 \Rightarrow 0{,}5x = 7 \Rightarrow x = 14\).

Funktionsgleichung: \(g(x) = -0{,}5x + 7\) Nullstelle: \(x = 14\) bzw. \(N(14|0)\)

- Überlege dir, welches Verfahren (Ausklammern, Wurzelziehen oder die Lösungsformel) für den jeweiligen Funktionstyp am schnellsten zum Ziel führt. - Kannst du eine Gleichung durch Division vereinfachen, bevor du die Lösungsformel anwendest? - Wann ist ein Produkt von zwei Termen gleich Null? - Überlege dir, welche Werte \(x^2\) annehmen kann. Kann die Summe aus \(x^2\) und einer positiven Zahl jemals Null ergeben?

1. Für \(p(x) = 2x^2 - 12x + 10\): Nullsetzen ergibt \(2x^2 - 12x + 10 = 0\). Division durch \(2\) führt auf \(x^2 - 6x + 5 = 0\). Mit der \(p\)-\(q\)-Formel folgt \(x_{1,2} = 3 \pm \sqrt{9 - 5} = 3 \pm 2\). Die Nullstellen sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\). 2. Für \(q(x) = x^2 + 4\): Die Gleichung \(x^2 + 4 = 0\) führt zu \(x^2 = -4\). Da Quadrate reeller Zahlen stets nichtnegativ sind (\(x^2 \ge 0\)), ist \(x^2 = -4\) unlösbar. Die Funktion hat keine Nullstellen. 3. Für \(r(x) = 5x^2 - 10x\): Nullsetzen ergibt \(5x^2 - 10x = 0\). Ausklammern von \(5x\) führt zu \(5x \cdot (x - 2) = 0\). Nach dem Satz vom Nullprodukt sind die Lösungen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\).

a) \(x_1 = 1\); \(x_2 = 5\) b) Keine Nullstellen, da \(x^2 = -4\) keine reelle Lösung hat. c) \(x_1 = 0\); \(x_2 = 2\)

- Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn er eine Nullstelle ist? - Kannst du zuerst die Stelle finden, an der die Gerade \(g\) die \(x\)-Achse schneidet? - Wenn du zwei Punkte einer Geraden kennst, wie berechnest du dann die Steigung? - Wie gehst du vor, um aus der Steigung und einem Punkt die vollständige Gleichung zu erhalten?

1. Berechnung der Nullstelle von \(g\): \(0 = \frac{1}{3}x - 1 \Rightarrow 1 = \frac{1}{3}x \Rightarrow x = 3\). Die Nullstelle liegt beim Punkt \(N(3 | 0)\). 2. Bestimmung der Steigung \(m\) der Funktion \(f\) mithilfe der Punkte \(A(5 | 2)\) und \(N(3 | 0)\): \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - 2}{3 - 5} = \frac{-2}{-2} = 1\). 3. Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts \(t\) durch Einsetzen von \(N(3 | 0)\) in \(f(x) = 1x + t\): \(0 = 3 + t \Rightarrow t = -3\). 4. Aufstellen der Funktionsgleichung: \(f(x) = x - 3\).

\(f(x) = x - 3\)

- Was muss für einen Punkt \(P(x\mid y)\) gelten, damit er auf dem Graphen einer Funktion liegt? - Setze jeweils die \(x\)-Koordinate in den Funktionsterm ein. - Vergleiche den berechneten Funktionswert mit der angegebenen \(y\)-Koordinate.

1. Für \(A(3\mid3)\) gilt \(f(3)=2\cdot3-3=3\). Also liegt \(A\) auf dem Graphen. 2. Für \(B(-2\mid-7)\) gilt \(f(-2)=2\cdot(-2)-3=-7\). Also liegt \(B\) auf dem Graphen. 3. Für \(C(1\mid0)\) gilt \(f(1)=2\cdot1-3=-1\ne0\). Also liegt \(C\) nicht auf dem Graphen. 4. Für \(D(-1\mid-5)\) gilt \(f(-1)=2\cdot(-1)-3=-5\). Also liegt \(D\) auf dem Graphen.

Auf dem Graphen liegen \(A\), \(B\) und \(D\). \(C\) liegt nicht auf dem Graphen.

- Bei einer Punktprobe setzt du die \(x\)-Koordinate in den Funktionsterm ein und vergleichst mit der \(y\)-Koordinate. - Bei \(Q(-2\mid y)\) ist das Argument gegeben; bei \(R(x\mid6)\) ist der Funktionswert gegeben. - Behandle jede Funktion getrennt, damit du Funktionswert und Argument nicht miteinander vertauschst.

1. Für \(f\) gilt \(f(2)=1\), während die anderen gegebenen Punkte die Funktionsgleichung von \(f\) nicht erfüllen. Daher liegt \(P_1\) auf \(G_f\). 2. Für \(g\) gilt \(g(0)=4\) und \(g(4)=2\). Daher liegen \(P_2\) und \(P_4\) auf \(G_g\). 3. Für \(h\) gilt \(h(-1)=-3\). Daher liegt \(P_3\) auf \(G_h\). 4. Für \(Q\) gilt \(f(-2)=-7\), \(g(-2)=5\) und \(h(-2)=-6\). 5. Für \(R\) wird jeweils der Funktionswert \(6\) vorgegeben: Aus \(2x-3=6\) folgt \(x=4{,}5\); aus \(-0{,}5x+4=6\) folgt \(x=-4\); aus \(3x=6\) folgt \(x=2\).

a) \(G_f\): \(P_1\); \(G_g\): \(P_2,P_4\); \(G_h\): \(P_3\) b) Für \(f\): \(Q(-2\mid-7)\), \(R(4{,}5\mid6)\) Für \(g\): \(Q(-2\mid5)\), \(R(-4\mid6)\) Für \(h\): \(Q(-2\mid-6)\), \(R(2\mid6)\)

- Was bedeutet es für die Zuordnung von \(x\) zu \(y\), wenn eine Variable in der Gleichung gar nicht vorkommt? - Erinnere dich an die Definition einer Funktion: Darf ein \(x\)-Wert mehrere \(y\)-Werte haben? - Wie berechnet man die Steigung zwischen zwei Punkten, wenn die Differenz der \(x\)-Werte Null ist? - Stelle dir vor, wie die Punkte im Koordinatensystem liegen, wenn immer derselbe \(x\)- oder \(y\)-Wert gefordert ist.

1. Umformung der Gleichungen: \(g_1: 6y = 18 \Rightarrow y = 3\) \(g_2: 5x = -20 \Rightarrow x = -4\) 2. Funktionsprüfung: \(g_1\) ist der Graph einer Funktion (konstante Funktion), da jedem \(x\)-Wert genau ein \(y\)-Wert (nämlich 3) zugeordnet wird. \(g_2\) ist kein Funktionsgraph, da dem Wert \(x = -4\) unendlich viele \(y\)-Werte zugeordnet sind, was der Definition einer Funktion widerspricht. 3. Steigung: Für \(g_1\) gilt \(m = 0\). Für \(g_2\) ist die Steigung nicht definiert, da die Gerade senkrecht verläuft. 4. Lage im Koordinatensystem: \(g_1\) verläuft parallel zur \(x\)-Achse (waagerecht). \(g_2\) verläuft parallel zur \(y\)-Achse (senkrecht).

1. \(g_1: y = 3\); \(g_2: x = -4\) 2. \(g_1\) ist eine Funktion; \(g_2\) ist keine Funktion (ein \(x\)-Wert hat mehrere \(y\)-Werte). 3. \(g_1: m = 0\); \(g_2\): Steigung nicht definiert. 4. \(g_1\) ist parallel zur \(x\)-Achse; \(g_2\) ist parallel zur \(y\)-Achse.

- Welche Form hat eine lineare Funktion, wenn Steigung und \(y\)-Achsenabschnitt verwendet werden? - Nutze den gegebenen Punkt, um den noch unbekannten Achsenabschnitt zu bestimmen. - Am Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ist der Funktionswert \(0\).

1. Setze die bekannte Steigung in \(g(x)=-1{,}5x+b\) ein. 2. Mit \(P(-4|7)\) gilt \(7=-1{,}5(-4)+b=6+b\), also \(b=1\). Damit ist \(g(x)=-1{,}5x+1\). 3. Für den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse gilt \(0=-1{,}5x+1\). Daraus folgt \(x=\frac{2}{3}\). 4. Der Schnittpunkt lautet \(N\left(\frac{2}{3}\middle|0\right)\).

a) \(g(x)=-1{,}5x+1\) b) \(N\left(\frac{2}{3}\middle|0\right)\)

- Wie kannst du aus zwei gegebenen Punkten die Steigung einer linearen Funktion berechnen? - Wenn du die Steigung kennst, wie findest du dann den y-Achsenabschnitt heraus? - Was bedeutet es rechnerisch, dass ein Punkt auf einem Graphen liegt? - Könntest du die Steigung zwischen \(P_1\) und \(P_2\) mit der Steigung zwischen \(P_2\) und \(Q\) vergleichen?

1. Berechnung der Steigung \(m\) mithilfe der gegebenen Punkte: \(m = \frac{1 - 4}{1 - (-0{,}5)} = \frac{-3}{1{,}5} = -2\). 2. Bestimmung des y-Achsenabschnitts \(b\) durch Einsetzen von \(P_2(1 \mid 1)\) in \(f(x) = -2x + b\): \(1 = -2 \cdot 1 + b \Rightarrow b = 3\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -2x + 3\). 3. Durchführung der Punktprobe für \(Q(3 \mid -3)\): Einsetzen von \(x = 3\) in die Funktionsgleichung ergibt \(f(3) = -2 \cdot 3 + 3 = -3\). 4. Da der berechnete Funktionswert mit der y-Koordinate von \(Q\) übereinstimmt, liegt der Punkt auf dem Graphen.

Ja, der Punkt \(Q(3 \mid -3)\) liegt auf dem Graphen der Funktion \(f\).

- Überlege dir zuerst, welche Größe die unabhängige Variable (x-Achse) und welche die abhängige Variable (y-Achse) ist. - Wie berechnet man die Steigung einer Geraden, wenn zwei Wertepaare bekannt sind? - Der Achsenabschnitt repräsentiert in Sachzusammenhängen oft einen Startwert. - Um einen gesuchten Wert der unabhängigen Variable zu finden, musst du die Funktionsgleichung nach dieser Variable auflösen.

1. Zur Bestimmung der Steigerungsrate \(m\) werden die gegebenen Punkte \(P_1(500 \mid 25)\) und \(P_2(2000 \mid 70)\) genutzt: \(m = \frac{70 - 25}{2000 - 500} = \frac{45}{1500} = 0{,}03\). 2. Einsetzen eines Punktes in \(T(d) = 0{,}03d + b\) zur Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts: \(25 = 0{,}03 \cdot 500 + b \Rightarrow 25 = 15 + b \Rightarrow b = 10\). Die Funktionsgleichung lautet \(T(d) = 0{,}03d + 10\). 3. Die Temperatur an der Erdoberfläche entspricht dem Wert bei \(d = 0\), also \(T(0) = 10\). Die Temperatur beträgt \(10\,^\circ\text{C}\). 4. Zur Bestimmung der Tiefe für \(100\,^\circ\text{C}\) wird die Gleichung \(100 = 0{,}03d + 10\) gelöst: \(90 = 0{,}03d \Rightarrow d = 3000\). Die Tiefe beträgt \(3000\,\text{m}\).

a) \(T(d) = 0{,}03d + 10\) b) \(10\,^\circ\text{C}\) c) \(3000\,\text{m}\)

- Vergleiche aufeinanderfolgende Tabellenwerte durch Division statt durch Subtraktion. - Welcher Tabellenwert bestimmt bei \(g(x)=a\cdot b^x\) den Parameter \(a\) unmittelbar? - Nutze die Größe des Faktors \(b\), um den Graphenverlauf zu beschreiben.

1. Bei jedem Schritt \(x\mapsto x+1\) wird der Funktionswert mit \(0{,}5\) multipliziert: \(6:12=3:6=1{,}5:3=0{,}5\). Das passt zu einer Exponentialfunktion. 2. Aus \(g(0)=a\) folgt \(a=6\). Der konstante Faktor ist \(b=0{,}5\). Somit ist \(g(x)=6\cdot0{,}5^x\). 3. Der Graph schneidet die y-Achse bei \((0|6)\), ist streng fallend und nähert sich für \(x\to+\infty\) dem Wert \(0\).

a) \(a=6\), \(b=0{,}5\), also \(g(x)=6\cdot0{,}5^x\). b) y-Achsenabschnitt \((0|6)\); der Graph fällt; für \(x\to+\infty\) gilt \(g(x)\to0\).

- Was gibt die Steigung einer Geraden an und wie kann man sie aus zwei Punkten berechnen? - Welche allgemeine Form hat eine lineare Funktionsgleichung? - Wie kannst du einen gegebenen Punkt nutzen, um den fehlenden Parameter in der Gleichung zu finden? - Überlege, welche Informationen du bereits direkt aus der Aufgabenstellung entnehmen kannst.

1. Berechnung der Steigung für \(f\): \(m_f = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-5 - 7}{4 - (-2)} = \frac{-12}{6} = -2\). 2. Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts für \(f\): Einsetzen von \(A(-2 \mid 7)\) in \(y = -2x + b\) ergibt \(7 = -2 \cdot (-2) + b\), also \(7 = 4 + b\), woraus \(b = 3\) folgt. Die Gleichung lautet \(f(x) = -2x + 3\). 3. Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts für \(g\): Einsetzen von \(m = -1{,}5\) und \(C(2 \mid 1)\) in \(y = mx + b\) ergibt \(1 = -1{,}5 \cdot 2 + b\), also \(1 = -3 + b\), woraus \(b = 4\) folgt. Die Gleichung lautet \(g(x) = -1{,}5x + 4\).

a) \(f(x) = -2x + 3\) b) \(g(x) = -1{,}5x + 4\)

- Trenne die Wirkung des Vorzeichens von der Wirkung des Betrags \(|a|\). - Vergleiche \(|a|\) jeweils mit \(1\). - Überlege, wie eine Multiplikation aller y-Werte mit einem Betrag kleiner beziehungsweise größer als \(1\) die Parabel verändert.

1. Für \(a>0\) ist die Parabel nach oben geöffnet; für \(a<0\) ist sie nach unten geöffnet. 2. Bei \(a=\frac{1}{2}\) ist der Graph nach oben geöffnet und gegenüber der Normalparabel in y-Richtung gestaucht; dadurch ist die Parabel breiter. 3. Bei \(a=-2\) ist der Graph an der x-Achse gespiegelt und in y-Richtung mit dem Faktor \(2\) gestreckt; dadurch ist die Parabel schmaler.

a) \(a>0\): nach oben geöffnet; \(a<0\): nach unten geöffnet. b) \(a=\frac{1}{2}\): nach oben geöffnet und breiter als die Normalparabel. \(a=-2\): nach unten geöffnet und schmaler als die Normalparabel.

- Welche Information ist in der Form mit dem Quadrat direkt sichtbar? - Multipliziere für die allgemeine Form die Klammer vollständig aus und fasse zusammen. - Welche gemeinsamen Faktoren besitzt die allgemeine Form, und was zeigt eine Produktform unmittelbar?

1. Der Term liegt in Scheitelpunktform vor. Der Scheitelpunkt ist \(S(3|18)\). 2. Ausmultiplizieren ergibt \(g(x)=-2(x^2-6x+9)+18=-2x^2+12x\). 3. Ausklammern liefert \(g(x)=-2x(x-6)\). Das ist die Produktform. 4. Aus den Faktoren lassen sich die Nullstellen \(x=0\) und \(x=6\) direkt ablesen.

a) Scheitelpunktform; \(S(3|18)\). b) \(g(x)=-2x^2+12x\). c) \(g(x)=-2x(x-6)\); daraus liest man die Nullstellen \(x=0\) und \(x=6\) ab.

- Berechne die Steigung einer durch zwei Punkte gegebenen Geraden jeweils mit demselben Differenzenquotienten. - Welche Größe entscheidet darüber, ob zwei verschiedene lineare Graphen parallel verlaufen? - Für die Gleichung der parallelen Geraden fehlt nach der Steigung noch der y-Achsenabschnitt.

1. Für \(g\) ist \(m_g=\frac{5-2}{3-1}=\frac{3}{2}=1{,}5\). 2. Für \(h\) ist \(m_h=\frac{4-6}{2-(-1)}=-\frac{2}{3}\). 3. Die Steigung von \(f\) ist \(m_f=1{,}5\). Daher ist \(g\) parallel zu \(f\), während \(h\) nicht parallel zu \(f\) ist. 4. Für \(g(x)=1{,}5x+b\) liefert \(P(1|2)\) die Gleichung \(2=1{,}5+b\). Damit ist \(b=0{,}5\) und \(g(x)=1{,}5x+0{,}5\).

a) \(m_g=1{,}5\), \(m_h=-\frac{2}{3}\). b) \(g\) ist parallel zu \(f\), weil \(m_g=m_f=1{,}5\). c) \(g(x)=1{,}5x+0{,}5\).

- Beginne mit der Steigung von \(f\) aus den beiden gegebenen Punkten. - Danach fehlt in \(f(x)=mx+b\) nur noch der y-Achsenabschnitt. - Bei parallelen Geraden bleibt die Steigung gleich; der y-Achsenabschnitt kann sich ändern.

1. Die Steigung von \(f\) ist \(m_f=\frac{2-5}{4-(-2)}=-\frac{3}{6}=-0{,}5\). 2. Mit \(B(4|2)\) folgt \(2=-0{,}5\cdot4+b\), also \(b=4\). Damit ist \(f(x)=-0{,}5x+4\). 3. Eine zu \(f\) parallele Gerade hat dieselbe Steigung \(-0{,}5\). Mit dem gegebenen y-Achsenabschnitt \(-1\) erhält man \(g(x)=-0{,}5x-1\).

a) \(f(x)=-0{,}5x+4\). b) \(g(x)=-0{,}5x-1\); übernommen wird die Steigung \(-0{,}5\).

- Was sagt der Parameter \(k\) in der Scheitelpunktform über die vertikale Position der Parabel aus? - Wenn eine Parabel nach oben offen ist, wo muss dann ihr tiefster Punkt liegen, damit sie die \(x\)-Achse nicht schneidet? - Skizziere dir grob die Möglichkeiten für eine nach unten geöffnete Parabel. Wo muss der „Hügel“ liegen, damit er die \(x\)-Achse zweimal kreuzt?

1. Analyse von \(h(x)\): Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei \(S(5|k)\). Da der Streckfaktor \(a = 1\) positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet. 2. Bedingung für keine Nullstellen: Eine nach oben geöffnete Parabel hat keine Nullstellen, wenn ihr Scheitelpunkt oberhalb der \(x\)-Achse liegt. Dies ist der Fall für \(k > 0\). 3. Konstruktion für Teil b): Eine nach unten geöffnete Parabel (\(a < 0\)) hat genau zwei Nullstellen, wenn ihr Scheitelpunkt oberhalb der \(x\)-Achse liegt (\(y_S > 0\)). 4. Beispielwahl: \(a = -1\), Scheitelpunkt \(S(0|1)\). Dies führt zur Gleichung \(p(x) = -x^2 + 1\).

a) Für \(k > 0\) hat die Funktion keine Nullstellen. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, liegt ihr tiefster Punkt (der Scheitelpunkt) bei \(k\). Ist \(k > 0\), verläuft die gesamte Parabel oberhalb der \(x\)-Achse. b) Ein mögliches Beispiel ist \(p(x) = -x^2 + 1\). (Allgemein: \(p(x) = a(x - x_S)^2 + y_S\) mit \(a < 0\) und \(y_S > 0\)).

- Worauf musst du bei den Exponenten der Variablen achten? - Kannst du den Funktionsterm so umformen, dass er wie eine Summe von Potenztermen aussieht? - Spielt es eine Rolle, ob die Zahlen vor dem \( x \) (die Koeffizienten) Wurzeln oder Brüche sind? - Was bedeutet es für die Variable, wenn sie im Nenner eines Bruchs oder unter einer Wurzel steht?

1. Überprüfung der Definition einer ganzrationalen Funktion: Die Exponenten der Variablen \(x\) müssen nichtnegative ganze Zahlen sein, und die Koeffizienten müssen reelle Zahlen sein. 2. \( f_1(x) \): Division durch eine Konstante ist zulässig. Umformung ergibt \( f_1(x) = \frac{1}{5}x^5 - 2 \). (Ganzrational) 3. \( f_2(x) \): Der Exponent \( \frac{1}{2} \) ist keine natürliche Zahl. (Nicht ganzrational) 4. \( f_3(x) \): Anwendung der ersten binomischen Formel ergibt \( f_3(x) = 4x^2 + 12x + 9 \). (Ganzrational) 5. \( f_4(x) \): Der Term \( \frac{3}{x} = 3x^{-1} \) enthält einen negativen Exponenten. (Nicht ganzrational) 6. \( f_5(x) \): Der Koeffizient \( \sqrt{7} \) ist eine reelle Zahl, der Exponent 3 ist eine natürliche Zahl. (Ganzrational)

a) Ja; \( f_1(x) = \frac{1}{5}x^5 - 2 \) b) Nein c) Ja; \( f_3(x) = 4x^2 + 12x + 9 \) d) Nein e) Ja; \( f_5(x) = \sqrt{7}x^3 \)

- Was bedeutet es für die Funktionsgleichung, wenn eine bestimmte horizontale Distanz (Reichweite) vorgegeben ist? - Wie kannst du die Höhe des Projektils an einer ganz bestimmten Stelle berechnen? - Vergleiche am Ende den berechneten Funktionswert mit der Höhe des Hindernisses.

1. Die Bedingung für das Auftreffen am Boden bei \(x = 50\) ist \(h_c(50) = 0\). Einsetzen liefert die Gleichung \(c \cdot 50 - 0{,}01 \cdot 50^2 = 0\). 2. Vereinfachen der Gleichung: \(50c - 25 = 0\). Auflösen nach \(c\) ergibt \(c = 0{,}5\). 3. Um zu prüfen, ob das Hindernis überflogen wird, berechnet man die Höhe an der Stelle \(x = 25\) mit \(c = 0{,}5\): \(h_{0{,}5}(25) = 0{,}5 \cdot 25 - 0{,}01 \cdot 25^2\). 4. Das Ergebnis der Berechnung ist \(12{,}5 - 6{,}25 = 6{,}25\). Da die Höhe des Projektils (\(6{,}25\,\text{m}\)) geringer ist als die Höhe des Hindernisses (\(7\,\text{m}\)), wird das Hindernis nicht überflogen.

a) Es muss \(c = 0{,}5\) gewählt werden. b) Nein, das Projektil überfliegt das Hindernis nicht, da es an dieser Stelle nur eine Höhe von \(6{,}25\,\text{m}\) erreicht.

- Überlege dir für jede Geschichte, ob der Wert steigt, sinkt oder gleich bleibt. - Achte darauf, ob sich der Wert gleichmäßig (geradlinig) oder ungleichmäßig (kurvig) verändert. - Gibt es in einer Geschichte einen Vorgang, der sich regelmäßig wiederholt? - Überlege, welcher Graph eine „Sättigung“ zeigt, also wo das Wachstum irgendwann aufhört.

a) Graph 1 zeigt einen periodischen, wellenförmigen Verlauf, der die auf- und absteigende Bewegung der Boje im Meer passend darstellt. b) Graph 2 stellt eine lineare Abnahme dar. Da jeden Tag der gleiche Betrag verbraucht wird, sinkt das Guthaben gleichmäßig (konstante Änderungsrate). c) Graph 3 zeigt ein anfänglich schnelles Wachstum, das sich später abflacht. Dies entspricht dem typischen Wachstumsmuster eines Lebewesens bis zum Erreichen des Erwachsenenalters. d) Graph 4 zeigt eine Kurve, die erst steil abfällt und sich dann immer langsamer der x-Achse nähert. Dies ist charakteristisch für einen Zerfallsprozess, bei dem die Intensität nie ganz null wird, aber stetig abnimmt.

a) \(\rightarrow\) (1) b) \(\rightarrow\) (2) c) \(\rightarrow\) (3) d) \(\rightarrow\) (4)

- Überlege dir, ob die Größe gleichmäßig (immer gleich viel pro Zeit), immer langsamer oder abwechselnd steigt und fällt. - Welcher Graph zeigt einen Vorgang, der sich ständig wiederholt? - Welcher Graph passt zu einer Größe, die nach einer Weile einen festen Endwert erreicht?

1. Zuordnung: (1) \(\rightarrow\) A. Da der Regen gleichmäßig fällt und das Fass zylindrisch ist, steigt der Wasserstand proportional zur Zeit an, was einem linearen Graphen entspricht. 2. Zuordnung: (2) \(\rightarrow\) B. Das Kind wächst anfangs schnell, dann langsamer, bis das Wachstum schließlich fast ganz aufhört. Dies zeigt der degressiv steigende Graph. 3. Zuordnung: (3) \(\rightarrow\) C. Die Schwingung ist ein periodischer Vorgang, bei dem sich die Höhe regelmäßig wiederholt, was durch den wellenförmigen Graphen dargestellt wird.

(1) – A; (2) – B; (3) – C.

- Erinnere dich an die Definition einer Nullstelle: Welchen Wert hat die Funktion dort? - Wie berechnet man den Wert einer Funktion, die als Produkt zweier anderer Funktionen definiert ist? - Welche Rolle spielt die Voraussetzung \(a\in D_u\cap D_v\)?

1. Da \(a\in D_w=D_u\cap D_v\) gilt, sind sowohl \(u(a)\) als auch \(v(a)\) definiert. 2. Eine Nullstelle von \(u\) bei \(x=a\) bedeutet \(u(a)=0\). 3. Nach der Produktdefinition gilt \(w(a)=u(a)\cdot v(a)\). 4. Einsetzen liefert \(w(a)=0\cdot v(a)=0\). 5. Somit besitzt \(w\) bei \(x=a\) eine Nullstelle. Die Aussage ist wahr.

Unter der Voraussetzung \(a\in D_u\cap D_v\) ist die Aussage wahr. Dann ist \(v(a)\) definiert, und aus \(u(a)=0\) folgt \(w(a)=u(a)\cdot v(a)=0\).

- Übersetze die Aussage „der Graph von \(f\) liegt oberhalb des Graphen von \(g\)“ in einen Vergleich der Funktionswerte. - Wie bestimmt sich das Vorzeichen von \(f(x)-g(x)\), wenn du weißt, welcher der beiden Werte größer ist? - Formuliere deine Begründung so, dass sie für jede gemeinsame Definitionsstelle gilt.

1. Dass der Graph von \(f\) an einer Stelle \(x\) oberhalb des Graphen von \(g\) verläuft, bedeutet \(f(x)>g(x)\). 2. Die Funktion \(h\) ist durch \(h(x)=f(x)-g(x)\) definiert. 3. Aus \(f(x)>g(x)\) folgt durch Subtraktion von \(g(x)\) auf beiden Seiten \(f(x)-g(x)>0\). 4. Damit gilt \(h(x)>0\). Die Aussage ist wahr.

Die Aussage ist wahr. Wenn der Graph von \(f\) oberhalb von \(g\) liegt, gilt \(f(x)>g(x)\). Daraus folgt \(h(x)=f(x)-g(x)>0\).

- Erinnere dich an die Grundformen von Funktionsgraphen, etwa Parabeln und Potenzfunktionen. - Wie beeinflusst das Vorzeichen vor der höchsten Potenz die Öffnung beziehungsweise den Verlauf des Graphen? - Suche für Teil c) eine Funktion, deren Graph über den gesamten Definitionsbereich steigt oder fällt.

1. Zu a): Eine nach oben geöffnete Parabel hat genau ein lokales Minimum im Scheitelpunkt. Ein mögliches Beispiel ist \(h(x)=x^2\). 2. Zu b): Eine Funktion vierten Grades der Form \(h(x)=-ax^4\) mit \(a>0\) besitzt im Ursprung genau ein lokales Maximum. Ein mögliches Beispiel ist \(h(x)=-x^4\). 3. Zu c): Eine streng monoton steigende Funktion besitzt keine lokalen Extremstellen. Ein mögliches Beispiel ist \(h(x)=x^3\).

a) Ein möglicher Funktionsterm ist \(h(x)=x^2\). b) Ein möglicher Funktionsterm ist \(h(x)=-x^4\). c) Ein möglicher Funktionsterm ist \(h(x)=x^3\).

- Welche Form haben die Graphen der verschiedenen Funktionstypen (Parabel, Wellenlinie, Kurve mit Asymptote)? - Kannst du markante Punkte wie den Scheitelpunkt oder den Schnittpunkt mit der y-Achse ablesen? - Achte auf das Verhalten der Graphen für sehr große x-Werte. Gibt es eine Sättigung oder ein unbegrenztes Wachstum? - Untersuche die Periodizität. Welcher Graph wiederholt sein Muster?

1. Graph \(f\) (orange) ist eine nach oben geöffnete Parabel. Der Scheitelpunkt liegt bei \((1 \mid -3)\), was der Scheitelpunktform von \(t_1(x)\) entspricht. 2. Graph \(g\) (blau) zeigt einen periodischen Verlauf. Die Amplitude ist \(2\), und der Graph verläuft durch den Ursprung \((0 \mid 0)\). Dies passt zur Sinusfunktion \(t_2(x)\). 3. Graph \(h\) (lila) nähert sich für große x-Werte der Geraden \(y = 3\) an. Dies ist die waagerechte Asymptote der Exponentialfunktion \(t_3(x)\), da \(0{,}5^x\) für \(x \to \infty\) gegen \(0\) strebt.

Graph \(f\) gehört zu \(t_1(x) = (x - 1)^2 - 3\), Graph \(g\) zu \(t_2(x) = 2 \sin(0{,}5x)\) und Graph \(h\) zu \(t_3(x) = 3 - 0{,}5^x\).

- Vergleiche zuerst die Funktionswerte links von der \(y\)-Achse. - Welcher bekannte Graph verläuft durch den Ursprung? - Welche der beiden Funktionsfamilien hat bei \(x=0\) den Funktionswert \(1\)?

1. Graph \(u\) nimmt für negative \(x\)-Werte auch negative Funktionswerte an und verläuft durch den Ursprung. Das passt zu \(x^3\). 2. Graph \(v\) bleibt überall oberhalb der \(x\)-Achse und verläuft durch \((0|1)\). Das passt zu \(2^x\). 3. Damit gehört \(u\) zu \(x^3\) und \(v\) zu \(2^x\).

\(u(x)=x^3\), \(v(x)=2^x\). Als Begründung eignen sich zum Beispiel der Ursprung und die negativen Funktionswerte von \(x^3\) sowie die stets positiven Funktionswerte und der Punkt \((0|1)\) bei \(2^x\).

- Prüfe die vier Arten von Information getrennt: Asymptote, Nullstelle, \(y\)-Achsenabschnitt und Monotonie. - Vergleiche den Term mit \(2^x\), bevor du Werte einsetzt. - Für einen falschen Plan genügt genau ein nachgewiesener Widerspruch.

1. Gegenüber \(2^x\) ist der Graph um \(1\) nach rechts und \(1\) nach unten verschoben. Daher ist die waagrechte Asymptote \(y=-1\). Damit scheidet B aus. 2. Weil die Basis \(2>1\) ist, bleibt die Funktion streng steigend. Damit scheidet C aus. 3. Es gilt \(f(1)=0\) und \(f(0)=2^{-1}-1=-0{,}5\). Damit scheidet D aus. 4. Plan A enthält genau die richtige Asymptote, die beiden richtigen Punkte und die richtige Monotonie.

Plan A ist vollständig konsistent. B ist wegen der falschen Asymptote \(y=1\) falsch. C ist wegen „fallend“ falsch. D ist wegen des falschen Punkts \((0|0{,}5)\) falsch; richtig ist \((0|-0{,}5)\).

- Welche Faktoren müssen wegen der angegebenen Nullstellen im Term vorkommen? - Wie zeigt sich eine doppelte Nullstelle in der Linearfaktorzerlegung? - Nutze den gegebenen Punkt erst, nachdem du die Nullstellen bereits im Term berücksichtigt hast.

1. Wegen der doppelten Nullstelle bei \(x=0\) und der einfachen Nullstelle bei \(x=4\) hat das Polynom die Form \(p(x)=ax^2(x-4)\). 2. Der Punkt \(P(2|8)\) liefert \(8=a\cdot2^2(2-4)=-8a\). 3. Daraus folgt \(a=-1\). 4. Somit ist \(p(x)=-x^2(x-4)=-x^3+4x^2\).

\(p(x)=-x^2(x-4)=-x^3+4x^2\)

- Überlege zuerst, wie viele 30-Minuten-Blöcke bei \(145\,\text{min}\) angebrochen sind. - Prüfe für b) die Kosten nach sieben und nach acht angebrochenen Blöcken. - Für c) frage dich, ob sich der Preis innerhalb eines bereits angebrochenen Blocks weiter verändert.

1. Für \(145\,\text{min}\) sind fünf 30-Minuten-Blöcke angebrochen. Die Kosten betragen \(2{,}50\,\text{€}+4\cdot1{,}50\,\text{€}=8{,}50\,\text{€}\). 2. Nach sieben angebrochenen Blöcken lägen die Kosten ohne Deckel bei \(2{,}50\,\text{€}+6\cdot1{,}50\,\text{€}=11{,}50\,\text{€}\). Mit Beginn des achten Blocks würden \(13{,}00\,\text{€}\) entstehen, deshalb greift dort der Tageshöchstpreis \(12{,}00\,\text{€}\). 3. Der achte Block beginnt bei Nutzungsdauern größer als \(210\,\text{min}\). Bei Erfassung in ganzen Minuten wird der Höchstpreis daher erstmals bei \(211\,\text{min}\) berechnet. 4. Innerhalb jedes 30-Minuten-Blocks bleibt der Preis konstant. Beim Beginn des nächsten Blocks springt er um \(1{,}50\,\text{€}\), bis der Tageshöchstpreis erreicht ist. Für Nutzungsdauern größer als \(210\,\text{min}\) bleibt der Graph bei \(12{,}00\,\text{€}\) waagerecht.

a) \(8{,}50\,\text{€}\) b) Ab \(211\,\text{min}\) c) Innerhalb jedes 30-Minuten-Blocks ist der Graph waagerecht; an der nächsten Blockgrenze springt der Preis nach oben. Für \(x>210\,\text{min}\) bleibt der Preis konstant bei \(12{,}00\,\text{€}\).

- Unterscheide zwischen geraden und ungeraden Exponenten. - Überlege dir, wie sich das Vorzeichen des Funktionswerts ändert, wenn du negative Werte für \(x\) einsetzt. - Stell dir den Verlauf typischer Graphen wie \(x^2\) oder \(x^3\) vor und überlege, wie der Faktor \(0{,}4\) diesen beeinflusst. - Welche Funktionswerte können bei geraden bzw. ungeraden Exponenten überhaupt erreicht werden?

1. Fall \(n\) ist eine gerade Zahl: Da \(f(-x) = 0{,}4(-x)^n = 0{,}4x^n = f(x)\), ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Die Funktion ist für \(x \le 0\) streng monoton fallend und für \(x \ge 0\) streng monoton wachsend. Der Wertebereich umfasst alle nichtnegativen reellen Zahlen: \(W = [0; \infty[\). 2. Fall \(n\) ist eine ungerade Zahl: Da \(f(-x) = 0{,}4(-x)^n = -0{,}4x^n = -f(x)\), ist der Graph punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Die Funktion ist auf dem gesamten Definitionsbereich \(\mathbb{R}\) streng monoton wachsend. Der Wertebereich ist die Menge der reellen Zahlen: \(W = \mathbb{R}\).

Für gerade \(n\): Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse; streng monoton fallend für \(x \le 0\), streng monoton wachsend für \(x \ge 0\); \(W = [0; \infty[\). Für ungerade \(n\): Punktsymmetrie zum Ursprung; auf \(\mathbb{R}\) streng monoton wachsend; \(W = \mathbb{R}\).

- Wann behält eine Funktion über den gesamten Bereich dieselbe Monotonie bei? Denke an die Graphen von \(x^2\) und \(x^3\). - Welchen Einfluss hat ein negatives Vorzeichen vor dem gesamten Funktionsterm auf die Richtung des Graphen? - Was passiert geometrisch mit einem Graphen, wenn man den Funktionswert mit \(-1\) multipliziert? - Erinnere dich an die Definitionen für Achsen- und Punktsymmetrie und prüfe, ob das Vorzeichen von \(a\) dort eine Rolle spielt.

1. Analyse der Monotonie für Teilaufgabe a): Eine Potenzfunktion \(x^n\) ist für ungerade \(n\) auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton wachsend. Damit \(ax^n\) streng monoton fallend wird, muss der Vorfaktor \(a\) negativ sein (\(a < 0\)). Für gerade \(n\) wechselt das Monotonieverhalten im Ursprung, sodass die Funktion nicht auf dem gesamten Definitionsbereich monoton fallend sein kann. Ergebnis: \(n\) muss ungerade und \(a < 0\) sein. 2. Analyse der Symmetrie für Teilaufgabe b): Die Symmetrie einer Potenzfunktion \(ax^n\) hängt ausschließlich davon ab, ob \(n\) gerade oder ungerade ist. Ersetzt man \(a\) durch \(-a\), ändern sich lediglich die Vorzeichen aller Funktionswerte (Spiegelung an der \(x\)-Achse). Ist \(n\) gerade, bleibt die Bedingung \(f(-x) = f(x)\) erhalten (\( -a(-x)^n = -ax^n \)). Ist \(n\) ungerade, bleibt die Bedingung \(f(-x) = -f(x)\) erhalten (\( -a(-x)^n = ax^n = -(-ax^n) \)). Die Symmetrieart bleibt also identisch.

a) \(n\) muss eine ungerade Zahl sein und \(a < 0\). b) Der Symmetrietyp ändert sich nicht. Ein Wechsel von \(a\) zu \(-a\) entspricht einer Spiegelung an der \(x\)-Achse, wodurch die bestehende Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse (bei geradem \(n\)) bzw. Punktsymmetrie zum Ursprung (bei ungeradem \(n\)) erhalten bleibt.

- Was sagt das Vorzeichen der Diskriminante unter der Wurzel über die Anzahl der Lösungen aus? - Kannst du die Lage des Scheitelpunkts und die Öffnungsrichtung der Parabel nutzen, um die Existenz von Nullstellen zu prüfen? - Gibt es eine binomische Formel, die dir beim Vereinfachen helfen könnte? - Was passiert, wenn du versuchst, eine Wurzel aus einer negativen Zahl zu ziehen?

1. Für \(f(x) = x^2 + 10x + 21\): Ansatz \(x^2 + 10x + 21 = 0\). Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel mit \(p = 10\) und \(q = 21\). Die Diskriminante ist \(D = (\frac{10}{2})^2 - 21 = 25 - 21 = 4\). Da \(D > 0\), gibt es zwei Nullstellen: \(x_{1,2} = -5 \pm \sqrt{4}\). Ergebnisse: \(x_1 = -3\) und \(x_2 = -7\). 2. Für \(g(x) = -3(x + 1)^2 - 6\): Ansatz \(-3(x + 1)^2 - 6 = 0\). Umformung zu \((x + 1)^2 = -2\). Da das Quadrat eines reellen Terms nicht negativ sein kann, besitzt die Funktion keine Nullstellen. Alternativ: Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(-1|-6)\) und die Parabel ist nach unten geöffnet (\(a = -3\)), daher gibt es keine Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse. 3. Für \(h(x) = 0{,}5x^2 - 4x + 8\): Ansatz \(0{,}5x^2 - 4x + 8 = 0\). Multiplikation mit \(2\) ergibt \(x^2 - 8x + 16 = 0\). Anwendung der binomischen Formel liefert \((x - 4)^2 = 0\). Die Diskriminante ist \(D = (-4)^2 - 16 = 0\). Es gibt genau eine Nullstelle (doppelte Nullstelle) bei \(x = 4\).

a) Zwei Nullstellen: \(x_1 = -3\); \(x_2 = -7\) b) Keine Nullstellen c) Eine Nullstelle: \(x = 4\)

- Kannst du einen gemeinsamen Faktor ausklammern, um den Grad des Polynoms zu senken? - Wann ist ein Produkt von zwei Klammern gleich Null? - Erkennst du eine Struktur, bei der eine Ersetzung einer Variable (Substitution) hilfreich sein könnte? - Gibt es Faktoren, die für reelle Zahlen niemals Null werden können?

1. Für \(f(x)\) wird \(5x\) ausgeklammert: \(5x(x^2 - 4x + 3) = 0\). Daraus folgt direkt \(x_1 = 0\). Die quadratische Gleichung \(x^2 - 4x + 3 = 0\) liefert mit der \(p\)-\(q\)-Formel \(x_{2,3} = 2 \pm \sqrt{4 - 3}\), also \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 3\). 2. Für \(g(x)\) wird der Satz vom Nullprodukt angewendet. \(x^2 - 2 = 0\) führt zu \(x_{1,2} = \pm \sqrt{2}\). Der Faktor \(x^2 + 9 = 0\) hat keine reelle Lösung, da \(x^2 = -9\) für reelle \(x\) nicht möglich ist. 3. Für \(h(x)\) wird \(u = x^2\) substituiert, was zur quadratischen Gleichung \(u^2 - 13u + 36 = 0\) führt. Die Lösungen sind \(u_1 = 9\) und \(u_2 = 4\). Durch Resubstitution ergeben sich \(x^2 = 9 \implies x_{1,2} = \pm 3\) und \(x^2 = 4 \implies x_{3,4} = \pm 2\).

a) \(x_1 = 0\); \(x_2 = 1\); \(x_3 = 3\) b) \(x_1 = -\sqrt{2}\); \(x_2 = \sqrt{2}\) c) \(x_1 = -3\); \(x_2 = 3\); \(x_3 = -2\); \(x_4 = 2\)

- Achte auf die Vielfachheit der Nullstellen, wenn ein Faktor im Quadrat steht. - Bei biquadratischen Gleichungen (nur Potenzen \(x^4\), \(x^2\) und Konstante) ist eine Substitution oft der schnellste Weg. - Überlege dir vor dem Rechnen, wie viele Nullstellen eine Funktion maximal haben kann. - Wenn eine Potenz von \(x\) in jedem Glied vorkommt, kannst du diese ausklammern.

1. Bei \(p(x)\) können die Nullstellen direkt abgelesen werden (Satz vom Nullprodukt). Aus \(x - 1{,}5 = 0\) folgt \(x_1 = 1{,}5\). Aus \((x + \frac{1}{3})^2 = 0\) folgt \(x_2 = -\frac{1}{3}\) (doppelte Nullstelle). Der Faktor \(x^2 + 5\) ist stets größer als Null und liefert keine reellen Nullstellen. 2. Für \(q(x)\) führt die Substitution \(u = x^2\) auf \(0{,}5u^2 - 3{,}5u - 4 = 0\). Multiplikation mit \(2\) ergibt \(u^2 - 7u - 8 = 0\) mit den Lösungen \(u_1 = 8\) und \(u_2 = -1\). Die Resubstitution \(x^2 = 8\) ergibt \(x_{1,2} = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}\). \(x^2 = -1\) hat keine reelle Lösung. 3. Bei \(r(x)\) wird \(2x^2\) ausgeklammert: \(2x^2(x^2 + 2x - 3) = 0\). Dies ergibt die doppelte Nullstelle \(x_1 = 0\). Die quadratische Gleichung \(x^2 + 2x - 3 = 0\) hat die Lösungen \(x_2 = -3\) und \(x_3 = 1\).

a) \(x_1 = 1{,}5\); \(x_2 = -\frac{1}{3}\) b) \(x_1 = -2\sqrt{2}\); \(x_2 = 2\sqrt{2}\) c) \(x_1 = 0\); \(x_2 = -3\); \(x_3 = 1\)

- Schreibe die negativen Potenzen zunächst als Brüche. - Für die Quadranten hilft es, positive und negative x-Werte getrennt zu betrachten. - Ein einzelner Funktionswert reicht nicht für eine Aussage über das Verhalten beim Annähern an \(0\); vergleiche deshalb die beiden Funktionen für allgemeines positives \(x\). - Ein Schnittpunkt erfüllt beide Funktionsgleichungen gleichzeitig.

1. Für beide Funktionen gilt \(D=\mathbb{R}\setminus\{0\}\). Der Graph von \(f(x)=\frac{1}{x}\) liegt im I. und III. Quadranten, der Graph von \(g(x)=\frac{1}{x^2}\) im I. und II. Quadranten. 2. Es ist \(f(0{,}1)=10\) und \(g(0{,}1)=100\). 3. Für \(x>0\) gilt \(\frac{g(x)}{f(x)}=\frac{x^{-2}}{x^{-1}}=\frac{1}{x}\). Für \(x\to0^+\) wächst dieser Quotient gegen \(+\infty\). Damit wird \(g(x)\) im Verhältnis zu \(f(x)\) beliebig groß und wächst nahe \(0\) stärker an. 4. Für \(x\to+\infty\) gilt bei beiden Funktionen \(f(x)\to0\) und \(g(x)\to0\). Beide Graphen nähern sich der Geraden \(y=0\). 5. Aus \(x^{-1}=x^{-2}\) folgt für \(x\neq0\) nach Multiplikation mit \(x^2\) die Gleichung \(x=1\). Der Schnittpunkt im ersten Quadranten ist \(S(1|1)\).

a) \(D=\mathbb{R}\setminus\{0\}\); \(f\): I. und III. Quadrant; \(g\): I. und II. Quadrant. b) \(f(0{,}1)=10\), \(g(0{,}1)=100\); außerdem gilt \(\frac{g(x)}{f(x)}=\frac{1}{x}\to+\infty\) für \(x\to0^+\). Daher wächst \(g\) dort stärker an. c) Beide Funktionswerte nähern sich \(0\); waagerechte Asymptote: \(y=0\). d) \(S(1|1)\)

- Welche Werte darf man in eine Quadratwurzel einsetzen? - Welche Vorzeichen können Ergebnisse einer Quadratwurzel mit einem Minuszeichen davor annehmen? - Erinnere dich an die Bedingung für Achsensymmetrie: \(f(-x) = f(x)\). - Was passiert, wenn du eine Gleichung mit einer Wurzel quadrierst? Gehen dabei Informationen verloren?

1. Definitionsbereich: Die Bedingung \(64 - x^2 \geq 0\) führt zu \(x^2 \leq 64\), also \(|x| \leq 8\). Somit ist \(D_g = [-8; 8]\). 2. Wertebereich: Da die Wurzel stets nichtnegativ ist, ist \(-\sqrt{64 - x^2} \leq 0\). Der kleinste Wert wird bei \(x = 0\) erreicht: \(g(0) = -\sqrt{64} = -8\). Somit ist \(W_g = [-8; 0]\). 3. Geometrische Form: Da \(y = -\sqrt{64 - x^2}\) der negative Teil der Kreisgleichung \(x^2 + y^2 = 64\) ist, handelt es sich um den unteren Halbkreis um den Ursprung mit Radius \(r = 8\). 4. Symmetrie: \(g(-x) = -\sqrt{64 - (-x)^2} = -\sqrt{64 - x^2} = g(x)\). Die Funktion ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse (gerade Funktion). 5. Gleichung erfüllen: Quadrieren von \(y = -\sqrt{64 - x^2}\) ergibt \(y^2 = 64 - x^2\), also \(x^2 + y^2 = 64\). Die Umkehrung gilt nicht uneingeschränkt, da die Kreisgleichung auch Punkte mit positiven \(y\)-Werten (oberer Halbkreis) enthält, die nicht im Wertebereich von \(g\) liegen.

a) \(D_g = [-8; 8]\), \(W_g = [-8; 0]\). b) Unterer Halbkreis um den Ursprung mit Radius \(8\). c) \(g(-x) = g(x)\), also achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. d) Quadrieren liefert \(y^2 = 64 - x^2 \Rightarrow x^2 + y^2 = 64\). Die Umkehrung gilt nicht, da die Kreisgleichung auch \(y > 0\) zulässt, \(g(x)\) aber nur Werte \(\leq 0\) liefert.

- Setze die gegebenen Werte für \(k\) nacheinander in die Klammern ein und schaue, welcher Teil der Gleichung wegfällt. - Was passiert mit der Steigung \(m = -\frac{a}{b}\), wenn \(b = 0\) ist? - Überlege dir, wie eine vertikale Gerade im Vergleich zu einer horizontalen Gerade im Steigungsdreieck aussieht.

1. Fall \(k = 1\): Einsetzen ergibt \((1-1)x + (1+2)y = 6\), also \(0x + 3y = 6\). Vereinfacht folgt \(y = 2\). Die Gerade liegt parallel zur \(x\)-Achse. 2. Fall \(k = -2\): Einsetzen ergibt \((-2-1)x + (-2+2)y = 6\), also \(-3x + 0y = 6\). Vereinfacht folgt \(x = -2\). Es handelt sich nicht um eine Funktion, da an der Stelle \(x = -2\) keine eindeutige Zuordnung vorliegt (die Gerade verläuft vertikal, ein Eingabewert hätte unendlich viele Ausgabewerte). 3. Steigungen: Für \(k = 1\) (\(y = 2\)) ist die Steigung \(m = 0\). Für \(k = -2\) (\(x = -2\)) ist die Steigung nicht definiert.

1. \(y = 2\); die Gerade ist parallel zur \(x\)-Achse. 2. \(x = -2\); keine Funktion, da die Eindeutigkeit der Zuordnung fehlt (vertikale Gerade). 3. Für \(k=1\): \(m = 0\); für \(k=-2\): Steigung nicht definiert.

- Wenn eine Gerade durch den Ursprung geht, welche Koordinaten kannst du dann für \(x\) und \(y\) einsetzen? - Wie berechnet man die Steigung zwischen zwei bekannten Punkten? - Versuche im zweiten Aufgabenteil, die Steigung \(m\) erst durch die Koordinaten von \(P_1\) auszudrücken und dann in die Formel für \(b\) einzusetzen.

1. Die Punkt-Steigungs-Form lautet \(y - y_1 = m \cdot (x - x_1)\). Mit \(Q(3 | -2)\) ergibt sich \(y - (-2) = m \cdot (x - 3)\). Da die Gerade durch \((0 | 0)\) verläuft, setzt man diese Koordinaten ein: \(0 + 2 = m \cdot (0 - 3) \Rightarrow 2 = -3m \). Daraus folgt \(m = -\frac{2}{3}\). 2. Eine Gerade durch den Ursprung und \(P_1(x_1 | y_1)\) hat die Steigung \(m = \frac{y_1 - 0}{x_1 - 0} = \frac{y_1}{x_1}\). Setzt man diesen Ausdruck für \(m\) in die Formel \(b = y_1 - m \cdot x_1\) ein, erhält man \(b = y_1 - \left(\frac{y_1}{x_1}\right) \cdot x_1\). Durch Kürzen von \(x_1\) ergibt sich \(b = y_1 - y_1 = 0\).

1. \(m = -\frac{2}{3}\) 2. Durch Einsetzen von \(m = \frac{y_1}{x_1}\) in \(b = y_1 - m \cdot x_1\) folgt \(b = y_1 - \frac{y_1}{x_1} \cdot x_1 = 0\).

- Was muss für die Steigung zwischen verschiedenen Punktepaaren gelten, wenn alle Punkte auf derselben Geraden liegen? - Kannst du zuerst die vollständige Funktionsgleichung der Geraden bestimmen, die durch \(A\) und \(B\) verläuft? - Wenn du die Gleichung hast, wie kannst du die fehlende Koordinate eines Punktes berechnen, von dem du den y-Wert kennst?

1. Berechnung der Steigung \(m\) der Geraden durch \(A\) und \(B\): \(m = \frac{-2 - 7}{4 - (-2)} = \frac{-9}{6} = -1{,}5\). 2. Aufstellen der Geradengleichung \(y = mx + b\): Einsetzen von \(A(-2 \mid 7)\) ergibt \(7 = -1{,}5 \cdot (-2) + b \Rightarrow 7 = 3 + b \Rightarrow b = 4\). Die Gleichung ist \(y = -1{,}5x + 4\). 3. Einsetzen der y-Koordinate von \(C\) in die Geradengleichung: \(-5 = -1{,}5x + 4\). 4. Auflösen nach \(x\): \(-9 = -1{,}5x \Rightarrow x = 6\). Alternativer Weg: Über den Ansatz gleicher Steigungen \(\frac{-2 - 7}{4 - (-2)} = \frac{-5 - (-2)}{x - 4}\) führt \(-1{,}5 = \frac{-3}{x - 4}\) ebenfalls zu \(x = 6\).

Der gesuchte Wert ist \(x = 6\).

- Behandle den Parameter \(a\) beim Rechnen wie eine normale Zahl. - Denk daran, dass du Brüche kürzen kannst, wenn im Zähler und Nenner derselbe Faktor steht. - Was bedeutet es für die Steigung, wenn sich der Parameter beim Berechnen des Differenzenquotienten herauskürzt? - Wie gehst du vor, um den Schnittpunkt mit der x-Achse zu berechnen?

1. Berechnung der Steigung \(m\) mit den Koordinaten der Punkte \(P\) und \(Q\): \(m = \frac{8a - 2a}{3a - a} = \frac{6a}{2a} = 3\). Da sich \(a\) kürzt, ist die Steigung \(m = 3\) konstant und unabhängig von \(a\). 2. Bestimmung des \(y\)-Achsenabschnitts \(b_a\) durch Einsetzen von \(P(a \mid 2a)\) in \(y = 3x + b_a\): \(2a = 3a + b_a \Rightarrow b_a = -a\). Die Funktionsgleichung lautet \(f_a(x) = 3x - a\). 3. Berechnung der Nullstelle durch Nullsetzen des Funktionsterms: \(0 = 3x - a \Rightarrow 3x = a \Rightarrow x = \frac{a}{3}\).

a) \(f_a(x) = 3x - a\) b) Die Steigung \(m = 3\) ist unabhängig von \(a\). c) Die Nullstelle liegt bei \(x = \frac{a}{3}\).

- Wie bestimmt man die Steigung einer Geraden, wenn zwei Punkte bekannt sind? - Welche allgemeine Form hat eine Geradengleichung? - Wie kannst du den y-Achsenabschnitt berechnen, wenn du die Steigung und einen Punkt kennst? - Was musst du tun, wenn eine Koordinate eines Punktes auf der Geraden fehlt?

1. Berechnung der Steigung \(m\) mit den Punkten \(A\) und \(B\): \(m = \frac{1 - 4}{5 - (-2{,}5)} = \frac{-3}{7{,}5} = -0{,}4\). 2. Bestimmung des y-Achsenabschnitts \(b\) durch Einsetzen von \(B(5 \mid 1)\) in \(y = mx + b\): \(1 = -0{,}4 \cdot 5 + b \Rightarrow 1 = -2 + b \Rightarrow b = 3\). Die Geradengleichung lautet \(y = -0{,}4x + 3\). 3. Berechnung von \(y_1\): \(y_1 = -0{,}4 \cdot 10 + 3 = -4 + 3 = -1\). 4. Berechnung von \(x_2\): \(6 = -0{,}4 \cdot x_2 + 3 \Rightarrow 3 = -0{,}4 \cdot x_2 \Rightarrow x_2 = -7{,}5\). 5. Berechnung von \(y_3\): \(y_3 = -0{,}4 \cdot 0 + 3 = 3\). 6. Berechnung von \(x_4\): \(0 = -0{,}4 \cdot x_4 + 3 \Rightarrow 0{,}4 \cdot x_4 = 3 \Rightarrow x_4 = 7{,}5\).

\(y_1 = -1\); \(x_2 = -7{,}5\); \(y_3 = 3\); \(x_4 = 7{,}5\)

- Kannst du aus den gegebenen Punkten \(C\) und \(D\) die Funktionsvorschrift \(f(x) = mx + b\) herleiten? - Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn er auf dem Graphen einer Funktion liegt? - Wie gehst du vor, wenn der Funktionswert \(y\) gegeben ist und das Argument \(x\) gesucht wird?

1. Bestimmung der Steigung \(m\): \(m = \frac{6 - 1}{3 - 1} = \frac{5}{2} = 2{,}5\). 2. Ermittlung des y-Achsenabschnitts \(b\) mit \(C(1 \mid 1)\): \(1 = 2{,}5 \cdot 1 + b \Rightarrow b = -1{,}5\). Die Funktionsgleichung ist \(f(x) = 2{,}5x - 1{,}5\). 3. Berechnung der fehlenden \(y\)-Werte: \(f(4) = 2{,}5 \cdot 4 - 1{,}5 = 8{,}5\); \(f(0) = 2{,}5 \cdot 0 - 1{,}5 = -1{,}5\). 4. Berechnung der fehlenden \(x\)-Werte: \(11 = 2{,}5x - 1{,}5 \Rightarrow 12{,}5 = 2{,}5x \Rightarrow x = 5\); \(0 = 2{,}5x - 1{,}5 \Rightarrow 1{,}5 = 2{,}5x \Rightarrow x = 0{,}6\).

Die fehlenden Werte lauten (in der Reihenfolge der Tabelle): \(y = 8{,}5\) (für \(x=4\)), \(x = 5\) (für \(y=11\)), \(y = -1{,}5\) (für \(x=0\)) und \(x = 0{,}6\) (für \(y=0\)).

- Bestimme zuerst die Schnittstellen des Graphen mit der x-Achse. - Welche Information im Funktionsterm zeigt dir, ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist? - Nutze anschließend die Lage des Graphen relativ zur x-Achse in den drei entstehenden Bereichen.

1. Aus \(0{,}5x^2+2x-6=0\) folgt nach Multiplikation mit \(2\) die Gleichung \(x^2+4x-12=0\). Deren Lösungen sind \(x_1=-6\) und \(x_2=2\). 2. Da der Leitkoeffizient positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet. Zwischen den beiden Nullstellen liegen ihre Funktionswerte unterhalb der x-Achse, außerhalb oberhalb. 3. Positiv ist \(f\) für \(x\in]-\infty;-6[\cup]2;+\infty[\), negativ für \(x\in]-6;2[\).

1. \(x_1=-6\), \(x_2=2\) 2. Positiv für \(x\in]-\infty;-6[\cup]2;+\infty[\); negativ für \(x\in]-6;2[\).

- Die Scheitelpunktform erlaubt es, die Nullstellen ohne Ausmultiplizieren zu bestimmen. - Welche Öffnungsrichtung hat der Graph? - Entscheide danach, ob der Graph zwischen oder außerhalb der Nullstellen oberhalb der x-Achse liegt.

1. Aus \(-3(x-1)^2+27=0\) folgt \((x-1)^2=9\). Daher ist \(x-1=3\) oder \(x-1=-3\), also \(x=4\) oder \(x=-2\). 2. Wegen des negativen Leitkoeffizienten ist die Parabel nach unten geöffnet. Zwischen ihren Nullstellen liegt sie oberhalb der x-Achse. 3. Somit gilt \(g(x)>0\) genau für \(x\in]-2;4[\).

1. \(x_1=-2\), \(x_2=4\) 2. \(g(x)>0\) für \(x\in]-2;4[\).

- Überlege dir zuerst, wie du die Gesamtkosten aus Grundpreis und verbrauchsabhängigem Preis zusammensetzt. - Achte darauf, dass alle Geldbeträge in derselben Einheit (entweder Euro oder Cent) stehen. - Was bedeutet es mathematisch, wenn zwei Tarife „gleich teuer“ sind? - Wie verändert sich eine Gerade im Koordinatensystem, wenn man ihren y-Achsenabschnitt oder ihre Steigung modifiziert?

1. Aufstellen der Kostenfunktionen: \(K_F(x) = 0{,}06x + 120\) und \(K_A(x) = 0{,}045x + 180\). Gleichsetzen: \(0{,}06x + 120 = 0{,}045x + 180\). Subtraktion von \(0{,}045x\) und \(120\) ergibt \(0{,}015x = 60\). Division durch \(0{,}015\) liefert \(x = 4000\). Die Kosten sind bei \(4000\,\text{kWh}\) identisch. 2. Neue Grundgebühr für „Aktiv“: \(180\,\text{€} \cdot 1{,}2 = 216\,\text{€}\). Neue Gleichung: \(0{,}06x + 120 = 0{,}045x + 216\). Dies führt zu \(0{,}015x = 96\). Lösung: \(x = 6400\). Bei \(6400\,\text{kWh}\) sind beide Tarife gleich teuer; der Wechsel zu „Aktiv“ lohnt sich für \(x > 6400\,\text{kWh}\). 3. Eine Senkung des Arbeitspreises im Tarif „Aktiv“ verringert die Steigung der zugehörigen Geraden. Bei unveränderten übrigen Parametern verschiebt sich der Schnittpunkt zu einem geringeren Verbrauchswert, da die Kostenvorteile des günstigeren Arbeitspreises früher die höhere Grundgebühr ausgleichen.

1. Bei einem Verbrauch von \(4000\,\text{kWh}\) sind die Kosten identisch. 2. Die kritische Verbrauchsmenge steigt auf \(6400\,\text{kWh}\). Bei diesem Verbrauch sind beide Tarife gleich teuer; günstiger ist „Aktiv“ erst für \(x > 6400\,\text{kWh}\). 3. Bei einer Senkung des Arbeitspreises im Tarif „Aktiv“ verschiebt sich der Schnittpunkt nach links (zu einem niedrigeren Verbrauchswert).

- Wie berechnet man die Steigung einer Geraden, wenn zwei Punkte bekannt sind? - Was weißt du über die Steigungen zweier Geraden, die parallel zueinander verlaufen? - Welchen Ansatz für eine Geradengleichung kannst du nutzen, um die fehlenden Parameter zu bestimmen? - Wie nutzt man einen gegebenen Punkt, um den fehlenden y-Achsenabschnitt einer Geraden zu berechnen?

1. Berechnung der Steigung der Geraden \(l\) mithilfe der gegebenen Punkte \(Q\) und \(R\): \(m_l = \frac{0 - 3}{2 - 0{,}5} = \frac{-3}{1{,}5} = -2\). 2. Bestimmung der Steigung der parallelen Geraden \(k\): Da \(k \parallel l\), gilt \(m_k = m_l = -2\). 3. Einsetzen der Steigung \(m_k\) und der Koordinaten des Punktes \(S(-4|5)\) in die Geradengleichung \(y = mx + n\): \(5 = -2 \cdot (-4) + n\). 4. Berechnung des y-Achsenabschnitts: \(5 = 8 + n \implies n = -3\). 5. Zusammenführen der Ergebnisse zur fertigen Gleichung: \(y = -2x - 3\).

\(y = -2x - 3\)

- Welche Gleichung erhältst du aus jedem der drei gegebenen Punkte? - Ein Punkt mit \(x=0\) liefert einen Koeffizienten besonders direkt. - Nutze die drei Bedingungen gemeinsam, bevor du den zusätzlichen Punkt prüfst.

1. Aus \(Q(0|2)\) folgt unmittelbar \(c=2\). 2. Einsetzen von \(P(-1|6)\) ergibt \(a-b+2=6\), also \(a-b=4\). 3. Einsetzen von \(R(2|0)\) ergibt \(4a+2b+2=0\), also \(2a+b=-1\). 4. Aus \(a-b=4\) folgt \(b=a-4\). Eingesetzt in \(2a+b=-1\) ergibt sich \(3a=3\), also \(a=1\) und \(b=-3\). 5. Damit lautet der Funktionsterm \(f(x)=x^2-3x+2\). 6. Für \(x=3\) gilt \(f(3)=9-9+2=2\). Daher liegt \(S(3|2)\) auf dem Graphen.

a) \(a=1\), \(b=-3\), \(c=2\), also \(f(x)=x^2-3x+2\). b) Ja, \(S(3|2)\) liegt auf dem Graphen.

- Multipliziere zuerst alle Klammern aus und fasse den Term so weit wie möglich zusammen. - Woran erkennt man am fertigen Term, welchen Grad die Funktion hat? - Überlege dir, welche Bedingung erfüllt sein muss, damit ein Graph die x-Achse schneidet und nicht nur berührt. - Untersuche die Vielfachheit der berechneten Nullstellen.

1. Term vereinfachen durch Ausmultiplizieren: \((x + 1)(2x - 4) = 2x^2 - 4x + 2x - 4 = 2x^2 - 2x - 4\). 2. Zweiter Teil des Terms mit der binomischen Formel: \((x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4\). 3. Gesamten Funktionsterm zusammenfassen: \(f(x) = (2x^2 - 2x - 4) - (x^2 - 4x + 4) = x^2 + 2x - 8\). Da der Term die Form \(ax^2 + bx + c\) mit \(a \neq 0\) hat, ist \(f\) eine quadratische Funktion. 4. Nullstellen bestimmen: \(x^2 + 2x - 8 = 0\) führt mit der \(p\)-\(q\)-Formel oder Faktorisierung \((x + 4)(x - 2) = 0\) zu \(x_1 = -4\) und \(x_2 = 2\). 5. Art der Nullstellen prüfen: Da es sich um zwei einfache Nullstellen handelt, findet an beiden Stellen ein Vorzeichenwechsel statt.

Die vereinfachte Funktionsgleichung lautet \(f(x) = x^2 + 2x - 8\). Da dies ein Polynom zweiten Grades ist, handelt es sich um eine quadratische Funktion. Ein Vorzeichenwechsel findet an den einfachen Nullstellen \(x = -4\) und \(x = 2\) statt.

- Wie berechnet man die Steigung einer Geraden, wenn zwei Punkte bekannt sind? - Welcher Wert in der Funktionsgleichung gibt an, wo die Gerade die vertikale Achse schneidet? - Was sagt das Vorzeichen der Steigung über die Richtung der Geraden aus? - Wie wirkt sich eine Änderung der Konstante am Ende des Terms auf die Position im Koordinatensystem aus?

1. Berechnung der Steigung \(m\) über den Differenzenquotienten: \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-7 - 5}{4 - (-2)} = \frac{-12}{6} = -2\). 2. Bestimmung des \(y\)-Achsenabschnitts \(b\) durch Einsetzen von Punkt \(A(-2|5)\) in die Funktionsgleichung: \(5 = -2 \cdot (-2) + b \Rightarrow 5 = 4 + b \Rightarrow b = 1\). 3. Interpretation von \(m\): Da \(m = -2\) negativ ist, ist die Funktion streng monoton fallend; der Graph verläuft von links oben nach rechts unten. 4. Veränderung durch \(b\): Eine Verringerung von \(b\) um \(3\) Einheiten bewirkt eine Parallelverschiebung des Graphen um \(3\) Einheiten nach unten in negative \(y\)-Richtung.

1. \(m = -2\) und \(b = 1\). 2. Da \(m < 0\), ist die Funktion streng monoton fallend. 3. Der Graph wird um \(3\) Einheiten nach unten verschoben.

- Welche Zahl im linearen Term verändert sich mit der Nutzung, welche bleibt unabhängig von \(x\)? - Formuliere „günstiger“ als Vergleich der beiden Kostenfunktionen. - Beachte beim Lösen der Ungleichung, dass beide Seiten dieselbe Einheit beschreiben.

1. Für „DataFlex“ gilt \(m_F=0{,}05\) und \(b_F=10\); für „DataStart“ gilt \(m_S=0{,}08\) und \(b_S=5\). Der Parameter \(m\) beschreibt die zusätzlichen Kosten pro Gigabyte, \(b\) die monatliche Grundgebühr. 2. Gesucht ist \(K_F(x)<K_S(x)\). Daher gilt \(0{,}05x+10<0{,}08x+5\). 3. Umformen ergibt \(5<0{,}03x\), also \(x>\frac{500}{3}\). 4. „DataFlex“ ist damit genau für \(x>\frac{500}{3}\,\text{GB}\) günstiger.

1. „DataFlex“: \(m=0{,}05\,\text{€/GB}\), \(b=10\,\text{€}\); „DataStart“: \(m=0{,}08\,\text{€/GB}\), \(b=5\,\text{€}\). \(m\) ist der Preis pro zusätzlichem GB, \(b\) die Grundgebühr. 2. „DataFlex“ ist für \(x>\frac{500}{3}\,\text{GB}\) günstiger.

- Erinnere dich an das Hauptmerkmal einer Funktion: Wie viele Ergebnisse darf es für eine einzige Eingabe geben? - Überlege bei Gleichungen, ob das Auflösen nach \(y\) zu mehr als einem möglichen Wert führt. - Welche typischen Bauformen von Funktionstermen kennst du aus dem Unterricht?

1. Überprüfung von \(y^2 = x\): Für \(x > 0\) (z. B. \(x = 4\)) existieren zwei \(y\)-Werte (\(2\) und \(-2\)). Da die Zuordnung nicht eindeutig ist, handelt es sich um keine Funktion. 2. Analyse von \(f(x) = -1{,}5x + 4\): Jedem \(x\) wird genau ein Wert zugeordnet. Es ist eine Funktion der Familie der linearen Funktionen. 3. Analyse von \(h(x) = 2\sin(x)\): Jedem \(x\) wird durch die Sinusvorschrift genau ein Funktionswert zugeordnet. Es handelt sich um eine trigonometrische Funktion (Sinusfunktion). 4. Analyse von \(k(x) = x^4 - 2x^2 + 1\): Als Summe von Potenztermen ist die Zuordnung eindeutig. Es handelt sich um eine ganzrationale Funktion (Polynomfunktion) 4. Grades.

a) Keine Funktion (nicht eindeutig, da \(y = \pm \sqrt{x}\)). b) Funktion; lineare Funktion. c) Funktion; trigonometrische Funktion (Sinusfunktion). d) Funktion; ganzrationale Funktion (Polynomfunktion).

- Welcher Teil der Mitternachtsformel oder \(p\)-\(q\)-Formel gibt an, wie viele Lösungen eine Gleichung hat? - Überlege, was passieren muss, damit der Ausdruck unter der Wurzel positiv, null oder negativ wird. - Kannst du die Bedingung für den Parameter als Ungleichung formulieren? - Wie verhält sich das Quadrat einer Zahl im Vergleich zu einer festen Zahl wie 64?

1. Ansatz der Nullstellengleichung \(x^2 + tx + 16 = 0\). 2. Berechnung der Diskriminante \(D = t^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = t^2 - 64\). 3. Untersuchung der Fälle für \(D\): - Zwei Nullstellen: \(D > 0 \iff t^2 > 64 \iff t < -8\) oder \(t > 8\). - Eine Nullstelle: \(D = 0 \iff t^2 = 64 \iff t = -8\) oder \(t = 8\). - Keine Nullstellen: \(D < 0 \iff t^2 < 64 \iff -8 < t < 8\).

Für \(t < -8\) oder \(t > 8\) gibt es zwei Nullstellen. Für \(t = 8\) oder \(t = -8\) gibt es genau eine Nullstelle. Für \(-8 < t < 8\) gibt es keine Nullstellen.

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Diskriminante und der Anzahl der gemeinsamen Punkte mit der \(x\)-Achse. - Setze die Funktionsgleichung gleich null und betrachte die Diskriminante der resultierenden Gleichung. - Was bewirkt das negative Vorzeichen vor dem \(x^2\) für die Form der Parabel und wie beeinflusst \(k\) die Lage? - Löse die Ungleichungen nach dem Parameter auf, um die Grenzen der Fälle zu finden.

1. Bedingung für Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: \(g_k(x) = 0 \iff -x^2 + 4x + k = 0\). 2. Bestimmung der Diskriminante \(D = 4^2 - 4 \cdot (-1) \cdot k = 16 + 4k\). 3. Fallunterscheidung basierend auf dem Vorzeichen von \(D\): - Zwei Schnittpunkte: \(D > 0 \iff 16 + 4k > 0 \iff 4k > -16 \iff k > -4\). - Ein Schnittpunkt (Berührpunkt): \(D = 0 \iff 16 + 4k = 0 \iff k = -4\). - Keine Schnittpunkte: \(D < 0 \iff 16 + 4k < 0 \iff k < -4\).

Zwei Schnittpunkte für \(k > -4\). Ein Schnittpunkt für \(k = -4\). Keine Schnittpunkte für \(k < -4\).

- Was bedeutet es für die Steigung zweier Geraden, wenn diese parallel zueinander liegen? - Wie gehst du vor, um den \(y\)-Achsenabschnitt zu bestimmen, wenn die Steigung und ein Punkt bekannt sind? - Welche Bedingung muss für die \(y\)-Koordinate an der Stelle gelten, an der ein Graph die \(x\)-Achse schneidet? - Kannst du die berechnete Gleichung nutzen, um den gesuchten Punkt zu finden?

1. Bestimmung der Steigung: Da \(h\) parallel zu \(k\) verläuft, gilt \(m_h = m_k = \frac{2}{3}\). 2. Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts: Einsetzen von \(P(6 \mid 1)\) in \(y = \frac{2}{3}x + b\) ergibt \(1 = \frac{2}{3} \cdot 6 + b\), also \(1 = 4 + b\). Daraus folgt \(b = -3\). Die Funktionsgleichung ist \(h(x) = \frac{2}{3}x - 3\). 3. Berechnung des Schnittpunktes mit der \(x\)-Achse: Bedingung \(h(x) = 0\) setzen: \(0 = \frac{2}{3}x - 3\). Umstellen ergibt \(3 = \frac{2}{3}x\), also \(x = 4{,}5\). Der Schnittpunkt ist \(N(4{,}5 \mid 0)\).

Funktionsgleichung: \(h(x) = \frac{2}{3}x - 3\) Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(N(4{,}5 \mid 0)\)

- Vergleiche zuerst nur die Koeffizienten vor \(x\). - Gleiche Steigung allein bedeutet noch nicht, dass zwei Geraden identisch sind. - Was folgt geometrisch aus gleicher Steigung und unterschiedlichen y-Achsenabschnitten?

1. Parallelität erfordert gleiche Steigungen. Daher gilt \(2k-1=-\frac{1}{3}\). 2. Daraus folgt \(2k=\frac{2}{3}\) und somit \(k=\frac{1}{3}\). 3. Für \(k=\frac{1}{3}\) ist \(f_k(x)=-\frac{1}{3}x+3\). Der y-Achsenabschnitt ist also \(3\), während der y-Achsenabschnitt von \(g\) gleich \(-2\) ist. Die Geraden sind daher verschieden. 4. Verschiedene parallele Geraden haben keinen Schnittpunkt.

a) \(k=\frac{1}{3}\). b) Die y-Achsenabschnitte sind verschieden: \(3\) und \(-2\). c) Nein, die Geraden besitzen keinen Schnittpunkt.

- Für \(p\) kennst du die Steigung bereits; übersetze die angegebene Nullstelle in einen Punkt. - Für \(q\) sind zwei Punkte gegeben, also kannst du zuerst die Steigung bestimmen. - Am Schnittpunkt haben \(k\) und \(q\) denselben Funktionswert.

1. Wegen der Parallelität hat \(p\) die Steigung \(0{,}5\). Der Punkt \((4|0)\) liegt auf \(p\). Aus \(0=0{,}5\cdot4+b_p\) folgt \(b_p=-2\). Also gilt \(p(x)=0{,}5x-2\). 2. Für \(q\) ist \(m_q=\frac{-6-0}{3-0}=-2\). Da \(q\) durch den Ursprung verläuft, gilt \(q(x)=-2x\). 3. Für den Schnittpunkt setzt man \(0{,}5x+3=-2x\). Daraus folgt \(2{,}5x=-3\), also \(x=-1{,}2\). Dann ist \(y=-2\cdot(-1{,}2)=2{,}4\).

a) \(p(x)=0{,}5x-2\). b) \(q(x)=-2x\). c) \(S(-1{,}2|2{,}4)\).

- Welche Formel hilft dir, die Nullstellen einer quadratischen Gleichung direkt zu berechnen? - Wie hängen die Nullstellen einer Parabel mit der \(x\)-Koordinate ihres Scheitelpunkts zusammen? - Überlege dir, wo der Scheitelpunkt im Koordinatensystem liegt. In welche Richtung muss die Parabel geöffnet sein, damit sie die \(x\)-Achse nie berührt oder schneidet? - Die Scheitelpunktform \(y = a(x - x_S)^2 + y_S\) ist hier besonders hilfreich.

1. Nullstellenberechnung: Ansatz \(2x^2 + 12x + 14 = 0\). Division durch \(2\) ergibt \(x^2 + 6x + 7 = 0\). 2. Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x_{1,2} = -3 \pm \sqrt{3^2 - 7} = -3 \pm \sqrt{2}\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = -3 + \sqrt{2}\) und \(x_2 = -3 - \sqrt{2}\). 3. Scheitelpunktbestimmung: Die \(x\)-Koordinate liegt mittig zwischen den Nullstellen bei \(x_S = -3\). Einsetzen in \(f(x)\) ergibt \(y_S = 2(-3)^2 + 12(-3) + 14 = 18 - 36 + 14 = -4\). Der Scheitelpunkt ist \(S(-3|-4)\). 4. Konstruktion von \(g\): Da der Scheitelpunkt \(S(-3|-4)\) unterhalb der \(x\)-Achse liegt (\(y_S < 0\)), darf die Parabel keine Punkte oberhalb des Scheitelpunkts besitzen, um keine Nullstellen zu haben. Sie muss also nach unten geöffnet sein. 5. Mögliche Gleichung: \(g(x) = -(x + 3)^2 - 4\) (oder jeder andere negative Streckfaktor \(a < 0\)).

a) \(x_1 = -3 + \sqrt{2}\) und \(x_2 = -3 - \sqrt{2}\) b) Scheitelpunkt: \(S(-3|-4)\). Eine mögliche Funktionsgleichung ist \(g(x) = -(x + 3)^2 - 4\). Da der Scheitelpunkt unterhalb der \(x\)-Achse liegt und die Parabel nach unten geöffnet ist (\(a = -1\)), erreicht sie die \(x\)-Achse nie.

- Überlege dir zuerst, wie viel horizontale Strecke und wie viel Höhenunterschied im zweiten Abschnitt jeweils zurückgelegt werden. - Die Steigung einer Geraden berechnest du als Verhältnis von vertikaler zu horizontaler Änderung. - Achte beim Aufstellen der zweiten Funktionsgleichung darauf, dass diese an der Nahtstelle den richtigen Höhenwert liefert. - Prüfe bei den Berechnungen in c) und d), in welchem der beiden Abschnitte der gesuchte Wert liegt.

1. Berechnung der Steigungen: Für den ersten Abschnitt gilt \(m_1 = \frac{30\,\text{m}}{150\,\text{m}} = 0{,}2\). Für den zweiten Abschnitt beträgt die zusätzliche Höhendifferenz \(130\,\text{m} - 30\,\text{m} = 100\,\text{m}\) auf einer horizontalen Strecke von \(400\,\text{m} - 150\,\text{m} = 250\,\text{m}\). Daraus folgt \(m_2 = \frac{100\,\text{m}}{250\,\text{m}} = 0{,}4\). 2. Funktionsgleichungen: Für \(0 \le x \le 150\) gilt \(h(x) = 0{,}2x\). Für \(150 < x \le 400\) ergibt sich mit der Punkt-Steigungs-Form durch den Punkt \((150|30)\): \(h(x) = 0{,}4(x - 150) + 30 = 0{,}4x - 30\). 3. Höhe bei \(x = 250\): Da \(250 > 150\), wird der zweite Funktionsterm genutzt: \(h(250) = 0{,}4 \cdot 250 - 30 = 100 - 30 = 70\). Die Höhe beträgt \(70\,\text{m}\). 4. Entfernung für \(h = 90\): Da \(90 > 30\), liegt der Punkt im zweiten Abschnitt: \(90 = 0{,}4x - 30 \Rightarrow 120 = 0{,}4x \Rightarrow x = 300\). Die Entfernung beträgt \(300\,\text{m}\).

a) \(m_1 = 0{,}2\); \(m_2 = 0{,}4\) b) \(h(x) = 0{,}2x\) für \(0 \le x \le 150\) und \(h(x) = 0{,}4x - 30\) für \(150 < x \le 400\) c) \(70\,\text{m}\) d) \(300\,\text{m}\)

- Teile den Verlauf in zwei lineare Funktionen auf und bestimme jeweils Steigung und Achsenabschnitt (oder nutze die Punkt-Steigungs-Form). - Achte darauf, bei welchem \(x\)-Wert der Übergang zwischen den beiden Geradenstücken stattfindet. - Um \(x\) bei gegebener Höhe zu finden, musst du die passende Gleichung nach \(x\) umstellen. - Die durchschnittliche Steigung entspricht der Steigung einer gedachten direkten Verbindungslinie vom Start- zum Endpunkt.

1. Funktionsgleichungen: Im ersten Abschnitt (\(0 \le x \le 50\)) ist die Steigung \(m_1 = \frac{15}{50} = 0{,}3\), also \(h(x) = 0{,}3x\). Im zweiten Abschnitt (\(50 < x \le 150\)) beträgt die Steigung \(m_2 = \frac{75-15}{150-50} = \frac{60}{100} = 0{,}6\). Die Gleichung lautet \(h(x) = 0{,}6(x - 50) + 15 = 0{,}6x - 15\). 2. Tabellenwerte: - Für \(x = 20\): \(h_1 = 0{,}3 \cdot 20 = 6\). - Für \(h = 9\): Da \(9 < 15\), gilt \(0{,}3x = 9 \Rightarrow x_2 = 30\). - Für \(x = 100\): Da \(100 > 50\), gilt \(h_3 = 0{,}6 \cdot 100 - 15 = 45\). - Für \(h = 60\): Da \(60 > 15\), gilt \(0{,}6x - 15 = 60 \Rightarrow 0{,}6x = 75 \Rightarrow x_4 = 125\). 3. Durchschnittliche Steigung: Gesamthöhe durch Gesamtdistanz ergibt \(\bar{m} = \frac{75\,\text{m}}{150\,\text{m}} = 0{,}5\).

a) \(h(x) = \begin{cases} 0{,}3x & \text{für } 0 \le x \le 50 \\ 0{,}6x - 15 & \text{für } 50 < x \le 150 \end{cases}\) b) \(h_1 = 6\); \(x_2 = 30\); \(h_3 = 45\); \(x_4 = 125\) c) \(0{,}5\) (oder \(50\,\%\))

- Wie findet man bei einer quadratischen Funktion den tiefsten Punkt? - Achte auf die Einheiten: Was bedeutet ein Funktionswert von 1 in diesem Sachzusammenhang? - Um eine Änderung zu berechnen, subtrahiere den Funktionswert am Anfangspunkt vom Funktionswert am Endpunkt. - Betrachte die Differenzen der Kosten: Werden die Schritte von einer Einheit zur nächsten größer oder kleiner?

1. Bestimmung des Minimums: Die Kostenfunktion ist eine nach oben geöffnete Parabel. Die Stelle des Minimums (Scheitelpunkt) liegt bei \(x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2 \cdot 0{,}5} = 12\). 2. Berechnung der minimalen Kosten: Einsetzen von \(x = 12\) in die Funktion ergibt \(K(12) = 0{,}5 \cdot 12^2 - 12 \cdot 12 + 120 = 72 - 144 + 120 = 48\). Da \(K\) in \(100\,\text{€}\) angegeben ist, entsprechen \(48\) Einheiten einem Betrag von \(4800\,\text{€}\). 3. Kostenunterschied für \(x=14\) zu \(x=15\): \(K(15) = 0{,}5 \cdot 15^2 - 12 \cdot 15 + 120 = 52{,}5\) und \(K(14) = 0{,}5 \cdot 14^2 - 12 \cdot 14 + 120 = 50\). Die Differenz beträgt \(2{,}5\) Einheiten, also \(250\,\text{€}\). 4. Kostenunterschied für \(x=18\) zu \(x=19\): \(K(19) = 0{,}5 \cdot 19^2 - 12 \cdot 19 + 120 = 72{,}5\) und \(K(18) = 0{,}5 \cdot 18^2 - 12 \cdot 18 + 120 = 66\). Die Differenz beträgt \(6{,}5\) Einheiten, also \(650\,\text{€}\). 5. Vergleich: Der Kostenanstieg für einen zusätzlichen Schritt von \(1\,\text{ME}\) ist bei größeren Produktionsmengen rechts vom Minimum größer. Im betrachteten Bereich steigen die Kosten also mit zunehmender Produktionsmenge in immer größeren Ein-Schritt-Differenzen.

a) Das Minimum liegt bei \(x = 12\,\text{ME}\). Die minimalen Kosten betragen \(4800\,\text{€}\). b) Der Kostenunterschied beträgt \(250\,\text{€}\). c) Der Kostenunterschied bei der Erhöhung von \(18\) auf \(19\,\text{ME}\) beträgt \(650\,\text{€}\). Die Kosten steigen bei zunehmender Produktionsmenge immer schneller an (der Anstieg wird steiler).

- Setze die gegebenen Werte für die Geschwindigkeit direkt in die Funktionsgleichung ein. - Der Bremsweg wächst quadratisch mit der Geschwindigkeit. Überprüfe, ob sich der Bremsweg verdoppelt, wenn sich die Geschwindigkeit verdoppelt. - Um die Geschwindigkeit bei einem gegebenen Bremsweg zu finden, musst du eine quadratische Gleichung lösen. - Welche der mathematischen Lösungen für die Geschwindigkeit macht in der Realität Sinn?

1. Berechnung der Bremswege: \(s(60) = 0{,}01 \cdot 60^2 + 0{,}2 \cdot 60 = 36 + 12 = 48\,\text{m}\). Für \(120\,\text{km/h}\) gilt: \(s(120) = 0{,}01 \cdot 120^2 + 0{,}2 \cdot 120 = 144 + 24 = 168\,\text{m}\). 2. Zunahme berechnen: \(s(100) = 0{,}01 \cdot 100^2 + 0{,}2 \cdot 100 = 100 + 20 = 120\,\text{m}\). \(s(110) = 0{,}01 \cdot 110^2 + 0{,}2 \cdot 110 = 121 + 22 = 143\,\text{m}\). Die Zunahme beträgt \(143 - 120 = 23\,\text{m}\). 3. Berechnung der Geschwindigkeit für \(120\,\text{m}\): Setze \(s(v) = 120\). Es ergibt sich \(0{,}01 v^2 + 0{,}2 v - 120 = 0\). Multiplikation mit \(100\) führt zu \(v^2 + 20 v - 12\,000 = 0\). Anwendung der \(p-q\)-Formel: \(v = -10 \pm \sqrt{10^2 - (-12\,000)} = -10 \pm \sqrt{12\,100} = -10 \pm 110\). Die physikalisch sinnvolle Lösung ist \(v = 100\,\text{km/h}\).

a) Bei \(60\,\text{km/h}\) beträgt der Bremsweg \(48\,\text{m}\), bei \(120\,\text{km/h}\) sind es \(168\,\text{m}\). b) Der Bremsweg verlängert sich um \(23\,\text{m}\). c) Bei einer Geschwindigkeit von \(100\,\text{km/h}\) beträgt der Bremsweg genau \(120\,\text{m}\).

- Der Grad einer Funktion entspricht dem höchsten vorkommenden Exponenten der Variablen. - Der Leitkoeffizient ist die Zahl, die vor der Potenz mit dem höchsten Exponenten steht. - Achte darauf, Terme zuerst vollständig auszumultiplizieren und zu ordnen. - Unterscheide genau zwischen Potenzfunktionen (Basis ist die Variable) und Exponentialfunktionen (Exponent ist die Variable).

1. Identifikation ganzrationaler Funktionen anhand der Exponentenstruktur: a) \( g_1(x) \): Alle Exponenten sind nichtnegative ganze Zahlen. Grad \( n = 3 \), Leitkoeffizient \( a_3 = 0{,}2 \). b) \( g_2(x) \): Variable im Nenner führt auf eine gebrochenrationale Funktion. (Nicht ganzrational) c) \( g_3(x) \): Ausmultiplizieren ergibt \( 2x^2 - x^3 - 2 + x = -x^3 + 2x^2 + x - 2 \). Grad \( n = 3 \), Leitkoeffizient \( a_3 = -1 \). d) \( g_4(x) \): Enthält einen Exponentialterm \( 3^x \). (Nicht ganzrational) e) \( g_5(x) \): Umformung zu \( \frac{1}{8}x^4 - \pi x \). Grad \( n = 4 \), Leitkoeffizient \( a_4 = \frac{1}{8} = 0{,}125 \).

a) Ganzrational; Grad 3; Leitkoeffizient \( 0{,}2 \) b) Nicht ganzrational c) Ganzrational; Grad 3; Leitkoeffizient \( -1 \) d) Nicht ganzrational e) Ganzrational; Grad 4; Leitkoeffizient \( \frac{1}{8} \) (oder \( 0{,}125 \))

- Untersuche, wie sich das Verhältnis der Funktionswerte zum Verhältnis der \(x\)-Werte verhält. - Überlege, welcher Funktionstyp vorliegt, wenn die Funktionswerte schneller wachsen als die \(x\)-Werte. - Versuche, zuerst den Exponenten zu bestimmen, indem du zwei Gleichungen durcheinander dividierst. - Wie kannst du den Vorfaktor berechnen, wenn du den Exponenten bereits kennst?

1. Ansatz der Funktionsgleichung: \(g(x) = ax^n\). 2. Bestimmung des Exponenten \(n\) durch Division zweier Funktionswerte: \(\frac{g(3)}{g(2)} = \frac{22{,}5}{10} = 2{,}25\). Entsprechend dem Ansatz gilt \(\frac{a \cdot 3^n}{a \cdot 2^n} = \left(\frac{3}{2}\right)^n = 1{,}5^n\). 3. Lösen der Gleichung \(1{,}5^n = 2{,}25\): Da \(1{,}5^2 = 2{,}25\), folgt \(n = 2\). 4. Berechnung des Parameters \(a\) durch Einsetzen eines Punktes, z. B. \((2\mid10)\): \(10 = a \cdot 2^2 \implies 10 = 4a \implies a = 2{,}5\). 5. Überprüfung mit dem dritten Wert: \(g(5) = 2{,}5 \cdot 5^2 = 2{,}5 \cdot 25 = 62{,}5\). Das Ergebnis stimmt mit der Tabelle überein.

\(g(x) = 2{,}5x^2\)

- Wie hängen die Koordinaten des Scheitelpunkts vom Parameter ab? - Kannst du den Parameter aus der Gleichung für die x-Koordinate eliminieren? - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt „oberhalb“ einer waagerechten Geraden liegt? - Denk daran, beim Lösen von quadratischen Ungleichungen die Form der zugehörigen Parabel zu berücksichtigen.

1. Bestimmung der Scheitelpunktkoordinaten: Für eine Parabel der Form \(x^2 + bx + c\) liegt die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts bei \(x_S = -\frac{b}{2}\). Hier ist \(b = -2k\), also \(x_S = k\). Einsetzen in \(p_k(x)\) liefert die \(y\)-Koordinate \(y = k^2 - 2k^2 + 3k = -k^2 + 3k\). Der Scheitelpunkt ist somit \(S(k \mid -k^2 + 3k)\). 2. Ermittlung der Ortskurve: Aus \(x = k\) folgt durch Einsetzen in den Ausdruck für \(y\): \(y = -x^2 + 3x\). Die Ortskurve ist eine Parabel mit der Gleichung \(y = -x^2 + 3x\). 3. Bedingung für die Lage des Scheitelpunkts: Die Bedingung \(y > 2\) führt auf die Ungleichung \(-k^2 + 3k > 2\), was äquivalent zu \(k^2 - 3k + 2 < 0\) ist. 4. Lösen der Ungleichung: Die Nullstellen von \(k^2 - 3k + 2 = 0\) sind \(k_1 = 1\) und \(k_2 = 2\). Da die nach oben geöffnete Parabel \(k^2 - 3k + 2\) zwischen ihren Nullstellen negative Werte annimmt, gilt die Bedingung für \(1 < k < 2\).

a) Die Ortskurve hat die Gleichung \(y = -x^2 + 3x\). b) Der Scheitelpunkt liegt für \(1 < k < 2\) oberhalb der Geraden \(y = 2\).

- Versuche den Term so zu faktorisieren, dass parameterunabhängige Faktoren sichtbar werden. - Welche Nullstellen bleiben unabhängig vom Wert von \(k\) bestehen? - Wann wird eine der festen Nullstellen zusätzlich durch den parameterabhängigen Faktor erzeugt?

1. Faktorisieren liefert \(f_k(x)=(x^2-4)(x-k)=(x-2)(x+2)(x-k)\). 2. Die Nullstellen \(x=2\) und \(x=-2\) treten unabhängig von \(k\) auf. Daher liegen alle Graphen durch \(P_1(2|0)\) und \(P_2(-2|0)\). 3. Eine Berührung der x-Achse entsteht, wenn eine dieser festen Nullstellen zugleich durch den Faktor \(x-k\) entsteht und damit doppelt wird. 4. Für \(k=2\) ist \(x=2\) doppelte Nullstelle; der Berührpunkt ist \(B_1(2|0)\). Für \(k=-2\) ist \(x=-2\) doppelte Nullstelle; der Berührpunkt ist \(B_2(-2|0)\).

a) Gemeinsame Punkte: \(P_1(2|0)\) und \(P_2(-2|0)\). b) \(k=2\) mit Berührpunkt \(B_1(2|0)\) sowie \(k=-2\) mit Berührpunkt \(B_2(-2|0)\); jeweils liegt eine doppelte Nullstelle vor.

- Setze zunächst \(-x\) in den Term von \(f_a\) ein. - Schreibe anschließend den Term von \(f_{-a}\) aus und vergleiche beide Ausdrücke. - Welche Koordinatenänderung beschreibt eine Punktspiegelung am Ursprung?

1. Es gilt \(f_a(-x)=-x^3-3ax^2+4a^3\). 2. Für den entgegengesetzten Parameter ist \(f_{-a}(x)=x^3+3ax^2-4a^3\). 3. Daher gilt für alle \(x\): \(f_a(-x)=-f_{-a}(x)\). 4. Ist \((x|f_{-a}(x))\) ein Punkt des Graphen von \(f_{-a}\), so liegt \((-x|-f_{-a}(x))\) auf dem Graphen von \(f_a\). Diese beiden Punkte sind Spiegelpunkte am Ursprung.

Für alle \(x\) gilt \(f_a(-x)=-f_{-a}(x)\). Daher werden entsprechende Punkte der beiden Graphen durch Punktspiegelung am Ursprung ineinander überführt.

- Überlege, was ein „Auftreffen auf dem Boden“ mathematisch für die Funktionswerte bedeutet. - Wie hängen die Nullstellen einer Parabel mit der Position ihres höchsten Punktes zusammen? - Stelle eine Ungleichung auf, die den Zusammenhang zwischen der Reichweite und dem Beckenrand beschreibt.

1. Zur Bestimmung der Auftreffstelle wird die Nullstelle von \(f_k(x)\) berechnet: \(0{,}8x - \frac{k}{100}x^2 = 0\). Ausklammern von \(x\) liefert \(x \cdot (0{,}8 - \frac{k}{100}x) = 0\). Die positive Nullstelle liegt bei \(x_N = \frac{80}{k}\). 2. Damit das Wasser innerhalb des Beckens bleibt, muss die Nullstelle kleiner oder gleich dem Radius sein: \(\frac{80}{k} \le 16\). Umstellen nach \(k\) ergibt \(k \ge 5\). Der kleinstmögliche Wert ist somit \(k = 5\). 3. Für \(k = 5\) lautet die Funktionsgleichung \(f_5(x) = 0{,}8x - 0{,}05x^2\). Die maximale Höhe befindet sich am Scheitelpunkt. Da die Nullstellen bei \(0\) und \(16\) liegen, befindet sich die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts bei \(x_S = 8\). 4. Einsetzen von \(x_S = 8\) in \(f_5(x)\) ergibt die maximale Höhe: \(f_5(8) = 0{,}8 \cdot 8 - 0{,}05 \cdot 8^2 = 6{,}4 - 3{,}2 = 3{,}2\). Die maximale Höhe beträgt \(3{,}2\,\text{m}\).

a) Der kleinstmögliche Wert ist \(k = 5\). b) Die maximale Höhe der Fontäne beträgt \(3{,}2\,\text{m}\).

- Prüfe, ob der Funktionswert an einer bestimmten Stelle unabhängig vom Parameter ist. - Nutze die Scheitelpunktformel für quadratische Funktionen. - Stelle die \(x\)-Koordinate des Hochpunkts nach dem Parameter um und setze diesen Ausdruck in die \(y\)-Koordinate ein. - Überlege dir, welchen Wertebereich die \(x\)-Koordinate der Hochpunkte annehmen kann, da der Parameter eingeschränkt ist.

1. Berechnung des Funktionswerts an der Stelle \(0\): \(g_a(0) = \sqrt{a} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0^2 = 0\). Damit verlaufen alle Graphen durch \((0|0)\). 2. Für \(g_a(x) = -\frac{1}{2}x^2 + \sqrt{a} \cdot x\) ist die Parabel nach unten geöffnet. Die \(x\)-Koordinate des Hochpunkts erhält man mit der Scheitelpunktformel: \(x_H = -\frac{\sqrt{a}}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = \sqrt{a}\). 3. \(y\)-Koordinate des Hochpunkts berechnen: \(g_a(\sqrt{a}) = \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} - \frac{1}{2}(\sqrt{a})^2 = a - \frac{1}{2}a = \frac{1}{2}a\). Der Hochpunkt ist \(H_a(\sqrt{a} \mid \frac{1}{2}a)\). 4. Ortskurve bestimmen: Aus \(x = \sqrt{a}\) folgt \(a = x^2\) (für \(x > 0\)). Einsetzen in \(y = \frac{1}{2}a\) ergibt \(y = \frac{1}{2}x^2\).

a) Nachweis durch \(g_a(0) = 0\). b) Hochpunkt: \(H_a(\sqrt{a} \mid \frac{1}{2}a)\) c) Ortskurve: \(y = \frac{1}{2}x^2\) (für \(x > 0\))

- Wähle einen einfachen \(x\)-Wert und berechne dort die Werte von Summen- und Differenzfunktion. - Vergleiche die beiden berechneten Werte mit dem roten und dem orangefarbenen Graphen. - Stelle \(g(x)-f(x)\) so um, dass der Zusammenhang mit \(f(x)-g(x)\) sichtbar wird.

1. Für \(x=1\) gilt \(u(1)=1^2+1=2\) und \(v(1)=1^2-1=0\). 2. Der rote Graph \(p\) verläuft bei \(x=1\) durch \((1|2)\). Daher gehört \(p\) zu \(u(x)=f(x)+g(x)\). Der orange Graph \(q\) verläuft bei \(x=1\) durch \((1|0)\) und gehört zu \(v(x)=f(x)-g(x)\). 3. Es gilt \(w(x)=g(x)-f(x)=-(f(x)-g(x))=-v(x)\). Der Graph von \(w\) entsteht daher durch Spiegelung des Graphen von \(v\) an der \(x\)-Achse.

a) \(p\) gehört zu \(u(x)=f(x)+g(x)\), \(q\) zu \(v(x)=f(x)-g(x)\). b) Der Graph von \(w\) entsteht durch Spiegelung des Graphen von \(v\) an der \(x\)-Achse.

- Vergleiche die sichtbaren Grundformen: Welche Kurve ist eine Gerade, welche eine Parabel und welche hat zwei getrennte Äste? - Für \(f(x)=g(x)\) sind nur die \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte der beiden betreffenden Graphen wichtig. - Prüfe bei Teil c), ob zu jedem sichtbaren \(x\)-Wert auch ein Punkt des jeweiligen Graphen gehört. Wo entsteht eine Lücke zwischen zwei Ästen?

1. Der Graph \(G_f\) ist eine Gerade und gehört zu einer linearen Funktion. Der Graph \(G_g\) ist eine nach unten geöffnete Parabel und gehört zu einer quadratischen Funktion. Der Graph \(G_h\) gehört wegen \(h(x)=2x^{-1}\) zu den Potenzfunktionen mit negativem Exponenten. 2. Die Lösungen von \(f(x)=g(x)\) sind die \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte von \(G_f\) und \(G_g\). Aus der Abbildung lassen sich \(x_1 \approx -2\) und \(x_2 \approx 1{,}5\) ablesen. 3. Nur bei \(G_h\) ist bei \(x=0\) kein Funktionswert dargestellt; dort sind die beiden Äste voneinander getrennt. Daher gilt \(0\notin D_h\), während die Gerade und die Parabel für alle reellen \(x\) definiert sind.

a) \(G_f\) gehört zu den linearen, \(G_g\) zu den quadratischen und \(G_h\) zu den Potenzfunktionen mit negativem Exponenten. b) \(x_1 \approx -2\) und \(x_2 \approx 1{,}5\). c) \(h\) besitzt nicht die Definitionsmenge \(\mathbb{R}\). Ausgeschlossen ist \(x=0\).

- Welche typische Graphenform gehört zu einem Term ersten Grades, und welche zu einem Sinusterm? - Lies die charakteristischen Parameter zunächst direkt aus den beiden gegebenen Termen ab. - Unterscheide die Eigenschaften „periodisch“ und „beschränkt“; sie bedeuten nicht dasselbe. - Nutze in d) die bekannte Periode von \(h\) und beobachte getrennt, was mit dem linearen Anteil passiert.

1. \(g\) ist eine lineare Funktion; ihr Graph ist eine Gerade. \(h\) ist eine Sinusfunktion; ihr Graph schwingt periodisch. 2. Bei \(g(x)=0{,}5x+1\) ist die Steigung \(m=0{,}5\) und der \(y\)-Achsenabschnitt \(1\). 3. Bei \(h(x)=2\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\) ist die Amplitude \(A=2\). Aus \(T=\frac{2\pi}{\pi/2}=4\) folgt die Periode \(T=4\). Die Wertemenge ist \([-2;2]\). 4. \(h\) ist periodisch und beschränkt. \(g\) ist wegen der von null verschiedenen Steigung nicht periodisch und auf \(\mathbb R\) weder nach oben noch nach unten beschränkt. 5. Mit \(h(x+4)=h(x)\) gilt \(f(x+4)=0{,}5(x+4)+1+h(x+4)=f(x)+2\). Daher ist \(f(x+4)-f(x)=2\) und insbesondere nicht \(0\); die Periode \(4\) von \(h\) ist also keine Periode von \(f\). 6. Der lineare Anteil \(g\) erzeugt den langfristigen Anstieg, die Sinusfunktion \(h\) die wiederkehrende Schwingung um diesen Trend.

a) \(g\): lineare Funktion; \(h\): Sinusfunktion. b) \(g\): \(m=0{,}5\), \(y\)-Achsenabschnitt \(1\); \(h\): \(A=2\), \(T=4\), Wertemenge \([-2;2]\). c) \(h\) ist periodisch und beschränkt; \(g\) ist weder periodisch noch beschränkt. d) \(f(x+4)-f(x)=2\); daher ist \(4\) keine Periode von \(f\). \(g\) bestimmt den langfristigen Anstieg, \(h\) die wiederkehrende Schwingung.

- Lies für a) an einer Nullstelle von \(f\) auch den Wert von \(g\) ab. - Was bedeutet ein Schnittpunkt der Graphen von \(f\) und \(g\) für ihre Funktionswerte? - Übersetze die Bedingung \(f(x)=-g(x)\) direkt in die Summe \(f(x)+g(x)\).

1. Aussage a) ist falsch. An der Nullstelle von \(f\) bei \(x=-2\) gilt \(f(-2)=0\). Da \(g(-2)=4\) ist, folgt \(h(-2)=0+4=4\neq0\). 2. Aussage b) ist wahr. An einem Schnittpunkt gilt \(f(x)=g(x)\). Dann ist \(h(x)=f(x)+g(x)=2f(x)\). 3. Aussage c) ist wahr. Aus \(f(x)=-g(x)\) folgt \(h(x)=f(x)+g(x)=0\).

a) Falsch b) Wahr c) Wahr

- Prüfe zuerst, bei welchen der drei Terme überhaupt reelle Nullstellen möglich sind. - Vergleiche bei den beiden Differenzen die Vorzeichen für einen einfachen positiven \(x\)-Wert. - Für große positive \(x\) wird \(\frac{2}{x}\) klein. Welcher Term bestimmt dann hauptsächlich den Verlauf? - Welche Beziehung besteht zwischen \(f(x)-g(x)\) und \(g(x)-f(x)\)?

1. Für \(s(x) = x + \frac{2}{x}\) führt die Nullstellengleichung nach Multiplikation mit \(x\neq 0\) auf \(x^2+2=0\). Es gibt also keine reelle Nullstelle. Das passt zu Graph a). 2. Für \(d_1(x) = x - \frac{2}{x}\) gilt bei einer Nullstelle \(x^2=2\), also \(x=\pm\sqrt{2}\). Für große positive \(x\) ist \(\frac{2}{x}\) klein, daher verhält sich \(d_1(x)\) ähnlich wie \(x\) und liegt unterhalb von \(y=x\). Das passt zu Graph b). 3. Für \(d_2(x) = \frac{2}{x} - x\) liegen die Nullstellen ebenfalls bei \(x=\pm\sqrt{2}\). Außerdem gilt \(d_2(x)=-d_1(x)\), sodass sein Graph die Spiegelung des Graphen von \(d_1\) an der \(x\)-Achse ist. Das passt zu Graph c).

Graph a) gehört zu \(s(x) = f(x) + g(x)\), Graph b) zu \(d_1(x) = f(x) - g(x)\) und Graph c) zu \(d_2(x) = g(x) - f(x)\).

- Wähle einen einfachen \(x\)-Wert und berechne dort sowohl \(s(x)\) als auch \(d(x)\). - Vergleiche die berechneten Werte mit den roten Graphen in den beiden Abbildungen. - Alternativ kannst du die Nullstellen von \(s\) und \(d\) bestimmen und mit den sichtbaren Schnittpunkten der roten Graphen vergleichen.

1. Für eine Punktprobe bei \(x=1\) gilt \(s(1)=1^2+2\cdot 1=3\) und \(d(1)=1^2-2\cdot 1=-1\). 2. In Abbildung a) hat der rote Graph bei \(x=1\) den Wert \(3\). Daher stellt er \(s(x)=x^2+2x\) dar. In Abbildung b) hat der rote Graph bei \(x=1\) den Wert \(-1\). Daher stellt er \(d(x)=x^2-2x\) dar. 3. Als Kontrolle gilt \(s(x)=x(x+2)\) mit den Nullstellen \(0\) und \(-2\), während \(d(x)=x(x-2)\) die Nullstellen \(0\) und \(2\) besitzt. Auch diese Merkmale stimmen mit den Abbildungen überein.

Der rote Graph in Abbildung a) stellt \(s(x)=f(x)+g(x)\) dar. Der rote Graph in Abbildung b) stellt \(d(x)=f(x)-g(x)\) dar.

- Vergleiche \(x^2\) und \(x^4\) zunächst für \(0<|x|<1\). - Welches Vorzeichen hat dann jeweils die Differenz der größeren und der kleineren Zahl? - Prüfe zusätzlich, was genau bei \(x=0\) passiert.

1. Für \(x\in]-1;0[\cup]0;1[\) gilt \(x^4<x^2\). Damit ist dort \(g(x)<f(x)\). 2. Für \(h(x)=f(x)-g(x)\) folgt dort \(h(x)>0\). Der rote Graph in Abbildung b) liegt für diese \(x\)-Werte oberhalb der \(x\)-Achse und gehört daher zu \(h\). 3. Für \(k(x)=g(x)-f(x)\) gilt entsprechend \(k(x)<0\). Der rote Graph in Abbildung a) liegt dort unterhalb der \(x\)-Achse und gehört daher zu \(k\). 4. Bei \(x=0\) gilt \(f(0)=g(0)=0\), also \(h(0)=k(0)=0\). Beide roten Graphen verlaufen dort durch den Ursprung.

Abbildung a) gehört zu \(k(x)=g(x)-f(x)\). Abbildung b) gehört zu \(h(x)=f(x)-g(x)\). Bei \(x=0\) haben beide Funktionen den Wert \(0\).

- Warum ist ein markierter Punkt mit \(x=1\) besonders hilfreich für den Vorfaktor? - Welche Gleichung für \(n\) erhältst du anschließend aus dem zweiten Punkt? - Kannst du den dabei entstehenden Bruch als Potenz zur Basis \(2\) schreiben?

1. Aus dem Koordinatensystem liest man \(P(1\mid2)\) und \(Q(2\mid1)\) ab. 2. Mit \(P\) gilt \(2=a\cdot1^n\), also \(a=2\). 3. Mit \(Q\) folgt \(1=2\cdot2^n\), also \(2^n=\frac{1}{2}=2^{-1}\). 4. Daher ist \(n=-1\) und somit \(f(x)=2x^{-1}=\frac{2}{x}\).

\(f(x)=2x^{-1}=\frac{2}{x}\)

- Suche bei jedem Profil zuerst eine kleine Kandidatengruppe, aber entscheide erst nach Prüfung aller Eigenschaften. - Bei a) und b) reicht die Symmetrie allein nicht; vergleiche zusätzlich den Wert bei \(0\) und das Globalverhalten. - Bei c) haben zwei Exponentialterme denselben Wert bei \(0\); entscheidend sind Richtung der Monotonie und die Seite des Grenzwerts. - Bei d) haben beide Kehrwertterme dieselbe Symmetrie und denselben Grenzwert; prüfe zusätzlich das Vorzeichen für negative \(x\).

1. \(f_1\) und \(f_2\) sind beide gerade. Bei \(f_1\) gilt \(f_1(0)=-1\) und wegen des positiven führenden Terms \(f_1(x)\to+\infty\) auf beiden Seiten. Daher gehört \(f_1\) zu a). 2. Für \(f_2\) gilt \(f_2(0)=1\) und wegen des negativen führenden Terms \(f_2(x)\to-\infty\) auf beiden Seiten. Daher gehört \(f_2\) zu b). 3. \(f_3(0)=f_4(0)=0\). Nur \(f_4(x)=2^{-x}-1\) ist streng fallend und nähert sich für \(x\to+\infty\) dem Wert \(-1\). Daher gehört \(f_4\) zu c). \(f_3\) ist dagegen streng steigend und nähert sich \(-1\) für \(x\to-\infty\). 4. \(f_5\) und \(f_6\) sind beide punktsymmetrisch zum Ursprung und nähern sich für \(x\to\pm\infty\) dem Wert \(0\). Für \(x<0\) ist jedoch nur \(f_6=-1/x\) positiv. Daher gehört \(f_6\) zu d), während \(f_5\) dort negativ ist.

a) \(f_1(x)=x^4-1\): gerade Funktion, \(f_1(0)=-1\), und wegen des positiven führenden Terms gilt auf beiden Seiten \(f_1(x)\to+\infty\). b) \(f_2(x)=-x^4+1\): gerade Funktion, \(f_2(0)=1\), und wegen des negativen führenden Terms gilt auf beiden Seiten \(f_2(x)\to-\infty\). c) \(f_4(x)=2^{-x}-1\): \(f_4(0)=0\), streng fallend, und \(f_4(x)\to-1\) für \(x\to+\infty\). d) \(f_6(x)=-\frac{1}{x}\): punktsymmetrisch zum Ursprung, für \(x<0\) positiv, und \(f_6(x)\to0\) für \(x\to\pm\infty\). Unbenutzt: \(f_3\) ist im Gegensatz zu Profil c) steigend und erreicht den Grenzwert \(-1\) auf der anderen Seite; \(f_5\) ist für \(x<0\) negativ und passt deshalb nicht zu d).

- Wie kannst du die doppelte Nullstelle direkt in einer Produktdarstellung berücksichtigen? - Welche beiden Bedingungen liefern die gegebenen Punkte? - Wähle eine Darstellung, in der möglichst wenige unbekannte Parameter vorkommen.

1. Wegen der doppelten Nullstelle bei \(x=1\) kann man \(g(x)=(ax+b)(x-1)^2\) ansetzen. 2. Aus \(P(0|2)\) folgt \(b=2\). 3. Mit \(Q(-2|3)\) gilt \(3=(-2a+2)(-3)^2=9(-2a+2)\). 4. Daraus folgt \(-18a+18=3\), also \(a=\frac{5}{6}\). 5. Somit ist \(g(x)=\left(\frac{5}{6}x+2\right)(x-1)^2=\frac{5}{6}x^3+\frac{1}{3}x^2-\frac{19}{6}x+2\).

\(g(x)=\left(\frac{5}{6}x+2\right)(x-1)^2=\frac{5}{6}x^3+\frac{1}{3}x^2-\frac{19}{6}x+2\)

- Forme den Term so um, dass du erkennen kannst, welcher Anteil vom Parameter \(p\) abhängt. - Für den gemeinsamen Punkt muss der Funktionswert unabhängig von \(p\) werden. - Betrachte im zweiten Teil die Kosten bei festem Verbrauch als Ausdruck in der Variablen \(p\) und beachte den vorgegebenen zulässigen Bereich.

1. Man kann \(K_p(x)\) zu \(K_p(x)=p(x-2000)+300\) umformen. Für \(x=2000\) verschwindet der vom Parameter abhängige Anteil. Daher gilt für jedes zulässige \(p\): \(K_p(2000)=300\). Der gemeinsame Punkt ist \(B(2000|300)\). Bei einem Jahresverbrauch von \(2000\,\text{kWh}\) betragen die Jahreskosten unabhängig vom gewählten Tarif \(300\,\text{€}\). 2. Für \(x=3500\) gilt \(K_p(3500)=1500p+300\). Dieser Ausdruck wächst mit \(p\). Daher sind die Kosten beim kleinsten zulässigen Arbeitspreis minimal, also bei \(p=0{,}10\,\text{€/kWh}\).

1. \(B(2000|300)\); bei \(2000\,\text{kWh}\) Jahresverbrauch kosten alle Tarife \(300\,\text{€}\). 2. Minimal sind die Kosten bei \(p=0{,}10\,\text{€/kWh}\).

- Nutze die binomischen Formeln, um die Klammern effizient aufzulösen. - Was passiert mit den Termen, die eine höhere Potenz als \(x^2\) haben? - Erinnere dich an den Unterschied zwischen dem „Schneiden“ und dem „Berühren“ der x-Achse im Kontext von Nullstellen. - Wie verhält sich das Vorzeichen eines quadrierten Ausdrucks wie \((x - a)^2\)?

1. Anwendung der dritten binomischen Formel auf den ersten Teil: \((x^2 - 3)(x^2 + 3) = x^4 - 9\). 2. Vereinfachung des ersten Abschnitts: \(x^4 - (x^4 - 9) = 9\). 3. Anwendung der zweiten binomischen Formel auf den zweiten Teil: \((x - 5)^2 = x^2 - 10x + 25\). 4. Zusammenfassen des gesamten Terms: \(h(x) = 9 + x^2 - 10x + 25 - 9 = x^2 - 10x + 25\). Dies ist eine quadratische Funktion. 5. Faktorisierung des Ergebnisses: \(h(x) = (x - 5)^2\). 6. Bestimmung der Nullstelle: Es gibt eine doppelte Nullstelle bei \(x = 5\). 7. Da es eine Nullstelle mit gerader Vielfachheit ist (der Graph berührt die x-Achse nur), tritt an der Stelle \(x = 5\) kein Vorzeichenwechsel auf. Es gibt somit keine Stelle mit Vorzeichenwechsel.

Durch Vereinfachung ergibt sich \(h(x) = x^2 - 10x + 25\), was eine quadratische Funktion ist. Da \(h(x) = (x - 5)^2\) nur eine doppelte Nullstelle bei \(x = 5\) besitzt, findet an keiner Stelle ein Vorzeichenwechsel statt.

- Wie findest du den Scheitelpunkt einer Parabel aus den Koeffizienten des quadratischen Terms? - Kannst du eine Beziehung zwischen der x- und y-Koordinate des Scheitelpunkts herstellen, die nicht mehr vom Parameter abhängt? - Erinnere dich an die Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten in einem Koordinatensystem. - Es ist oft einfacher, das Quadrat des Abstands zu minimieren, um Wurzeln bei der Rechnung zu vermeiden. - Könnte eine Ersetzung (Substitution) eines Terms durch eine neue Variable die Rechnung vereinfachen?

1. Die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts einer Parabel \(ax^2 + bx + c\) ist \(x_S = -\frac{b}{2a}\). Für \(g_t(x) = tx^2 - 4x\) gilt daher \(x_S = -\frac{-4}{2t} = \frac{2}{t}\). Der \(y\)-Wert ergibt sich durch Einsetzen: \(y_S = g_t(\frac{2}{t}) = t \cdot (\frac{2}{t})^2 - 4 \cdot \frac{2}{t} = \frac{4}{t} - \frac{8}{t} = -\frac{4}{t}\). Der Scheitelpunkt ist \(S_t(\frac{2}{t} | -\frac{4}{t})\). 2. Aus \(x = \frac{2}{t}\) folgt \(t = \frac{2}{x}\). Einsetzen in \(y = -\frac{4}{t}\) ergibt \(y = -\frac{4}{2/x} = -2x\). Da \(t > 0\), gilt \(x > 0\). Die Ortskurve ist \(y = -2x\) für \(x > 0\). 3. Das Quadrat des Abstands zwischen \(S_t(\frac{2}{t} | -\frac{4}{t})\) und \(Q(0|-5)\) ist \(d^2(t) = (\frac{2}{t} - 0)^2 + (-\frac{4}{t} - (-5))^2 = \frac{4}{t^2} + (5 - \frac{4}{t})^2\). Mit der Substitution \(z = \frac{1}{t}\) (wobei \(z > 0\)) erhält man die Funktion \(h(z) = (2z)^2 + (5 - 4z)^2 = 4z^2 + 25 - 40z + 16z^2 = 20z^2 - 40z + 25\). Das Minimum dieser nach oben geöffneten Parabel liegt bei \(z = -\frac{-40}{2 \cdot 20} = 1\). Aus \(\frac{1}{t} = 1\) folgt \(t = 1\). Der gesuchte Scheitelpunkt ist \(S_1(2 | -4)\).

1. \(S_t(\frac{2}{t} | -\frac{4}{t})\) 2. \(y = -2x\) (für \(x > 0\)) 3. Der Scheitelpunkt \(S_1(2 | -4)\) hat für \(t = 1\) den minimalen Abstand.

- Wie kannst du mathematisch ausdrücken, dass ein Punkt für jeden beliebigen Wert von \(k\) auf dem Graphen liegt? - Was muss für den Term gelten, der mit \(k\) multipliziert wird, damit das Ergebnis unabhängig von \(k\) ist? - Überlege dir, wie viele Lösungen die Gleichung \(f_k(x) = 0\) haben kann und welche Rolle die Diskriminante dabei spielt. - Beachte, dass \(x = 0\) bereits als Lösung feststeht. Welche Bedingungen müssen dann für den quadratischen Teil gelten?

1. Um die gemeinsamen Punkte zu finden, setzt man zwei Funktionsterme mit unterschiedlichen Parametern \(k_1 \neq k_2\) gleich: \(x^3 + k_1(x^2 - 6x) = x^3 + k_2(x^2 - 6x)\). Dies vereinfacht sich zu \((k_1 - k_2)(x^2 - 6x) = 0\). Da \(k_1 \neq k_2\), muss \(x^2 - 6x = 0\) gelten, woraus \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 6\) folgen. Die Funktionswerte sind \(f_k(0) = 0\) und \(f_k(6) = 6^3 + k(36 - 36) = 216\). Die gemeinsamen Punkte sind somit \(P_1(0|0)\) und \(P_2(6|216)\). 2. Die Nullstellen von \(f_k\) sind die Lösungen von \(x(x^2 + kx - 6k) = 0\). Eine Nullstelle ist stets \(x = 0\). Damit genau zwei verschiedene Schnittpunkte vorliegen, muss die quadratische Gleichung \(x^2 + kx - 6k = 0\) entweder eine doppelte Nullstelle ungleich Null haben oder zwei Nullstellen, von denen eine Null ist. Fall 1 (Doppelte Nullstelle): Die Diskriminante \(D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6k) = k^2 + 24k\) muss Null sein. \(k^2 + 24k = 0\) liefert \(k = 0\) oder \(k = -24\). Für \(k = 0\) ist \(f_0(x) = x^3\) mit nur einer Nullstelle bei \(x=0\). Für \(k = -24\) ergibt sich die quadratische Gleichung \(x^2 - 24x + 144 = (x-12)^2 = 0\), also die doppelte Nullstelle \(x=12\). Damit hat \(G_{-24}\) genau zwei Schnittpunkte: \((0|0)\) und \((12|0)\). Fall 2 (Eine Nullstelle ist Null): Einsetzen von \(x=0\) in \(x^2 + kx - 6k = 0\) ergibt \(-6k = 0\), also \(k = 0\). Wie bereits gezeigt, hat \(G_0\) nur einen Schnittpunkt. Der gesuchte Wert ist somit \(k = -24\).

1. Gemeinsame Punkte: \(P_1(0|0)\) und \(P_2(6|216)\). 2. Der Wert ist \(k = -24\).

- Schau dir an, an welchen Stellen sich die Kurven von \(f\) und \(j\) kreuzen. - Überprüfe, welche Funktionsterme zu den Graphen gehören, die durch die Punkte \(A\) und \(B\) verlaufen. - Eine Nullstelle bedeutet, dass der Funktionswert an dieser Stelle null ist. - Wie kannst du aus zwei Funktionen, die jeweils eine der gewünschten Nullstellen haben, eine einzige Funktion kombinieren?

1. Die Gleichung \(f(x) = j(x)\) wird durch die Schnittpunkte des exponentiellen Graphen \(G_f\) und der Parabel \(G_j\) gelöst. Aus der Grafik liest man näherungsweise \(x_1 \approx 2\) und \(x_2 \approx -2{,}8\) ab. 2. Die Punkte \(A\) und \(B\) sind die Schnittpunkte der Geraden \(g\) und der Parabel \(j\). Durch Gleichsetzen der Funktionsterme erhält man die Gleichung \(-x + 2 = -x^2 + 4\). 3. Die Stelle \(x = 2\) ist eine Nullstelle von \(f\), \(g\) und \(j\). Die Stelle \(x = -1\) ist eine Nullstelle von \(h\). Eine Funktion mit beiden Nullstellen lässt sich als Produkt bilden: \(m(x) = g(x) \cdot h(x) = (-x + 2)(x + 1)\). Alternativ ist auch \(m(x) = f(x) \cdot h(x) = (2^x - 4)(x + 1)\) möglich.

a) Näherungsweise gilt \(x_1 \approx 2\) und \(x_2 \approx -2{,}8\). b) Zu lösen ist die Gleichung \(-x + 2 = -x^2 + 4\). c) Ein möglicher Funktionsterm ist \(m(x) = (-x + 2)(x + 1)\).

- Stelle dir für verschiedene Werte von \(k\) die waagrechte Gerade \(y=k\) vor und zähle ihre Schnittpunkte mit dem Graphen. - Untersuche die Grenzfälle an den beiden markanten Höhen \(-2\), \(0\) und \(2\) besonders sorgfältig. - Berücksichtige, dass sich der rechte Ast der Höhe \(0\) nur annähert und sie dort nicht erneut erreicht.

1. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=-3\) und \(x=0\). Daher besitzt \(g\) zwei Nullstellen. 2. Der tiefste dargestellte und zugleich globale Minimalwert ist \(-2\). Für \(-2<k\le0\) schneidet die Gerade \(y=k\) den Graphen zweimal. Auch für \(k=2\) gibt es genau zwei verschiedene Schnittpunkte: einen auf dem linken Ast und den Punkt \((2|2)\). 3. Für \(0<k<2\) gibt es drei Schnittpunkte: einen auf dem linken Ast, einen im mittleren Abschnitt und einen auf dem rechten Ast. 4. Für \(k<-2\) liegt die Gerade \(y=k\) vollständig unterhalb des Graphen, daher gibt es keine Lösung. Bei \(k=-2\) gibt es genau eine Lösung.

a) Zwei Nullstellen. b) \(k\in]-2;0]\cup\{2\}\). c) \(k\in]0;2[\). d) \(k<-2\).