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- Wie kannst du die Steigung einer Geraden berechnen, wenn zwei Punkte bekannt sind? - Welche allgemeine Form hat eine lineare Funktionsgleichung? - Was bedeutet es für den Funktionswert, wenn ein Punkt eine „Nullstelle“ ist? - Wie findest du den y-Achsenabschnitt, wenn du die Steigung und einen Punkt kennst?

1. Berechnung der Steigung \(m\) mithilfe der Punkt-Steigungs-Formel: \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-4 - 11}{2 - (-3)} = \frac{-15}{5} = -3\). 2. Bestimmung des y-Achsenabschnitts \(n\) durch Einsetzen eines Punktes in \(y = m \cdot x + n\): \(-4 = -3 \cdot 2 + n \Rightarrow -4 = -6 + n \Rightarrow n = 2\). 3. Aufstellen des Funktionsterms: \(f(x) = -3x + 2\). 4. Berechnung der Nullstelle durch Nullsetzen des Funktionsterms: \(0 = -3x + 2 \Rightarrow 3x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{3}\).

Funktionsterm: \(f(x) = -3x + 2\) Nullstelle: \(x = \frac{2}{3}\) bzw. \(N\left(\frac{2}{3} \middle| 0\right)\)

- Überlege dir, welches Verfahren (Ausklammern, Wurzelziehen oder die Lösungsformel) für den jeweiligen Funktionstyp am schnellsten zum Ziel führt. - Kannst du eine Gleichung durch Division vereinfachen, bevor du die Lösungsformel anwendest? - Wann ist ein Produkt von zwei Termen gleich Null? - Überlege dir, welche Werte \(x^2\) annehmen kann. Kann die Summe aus \(x^2\) und einer positiven Zahl jemals Null ergeben?

1. Für \(p(x) = 2x^2 - 12x + 10\): Nullsetzen ergibt \(2x^2 - 12x + 10 = 0\). Division durch \(2\) führt auf \(x^2 - 6x + 5 = 0\). Mit der \(p\)-\(q\)-Formel folgt \(x_{1,2} = 3 \pm \sqrt{9 - 5} = 3 \pm 2\). Die Nullstellen sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\). 2. Für \(q(x) = x^2 + 4\): Die Gleichung \(x^2 + 4 = 0\) führt zu \(x^2 = -4\). Da Quadrate reeller Zahlen stets nichtnegativ sind (\(x^2 \ge 0\)), ist \(x^2 = -4\) unlösbar. Die Funktion hat keine Nullstellen. 3. Für \(r(x) = 5x^2 - 10x\): Nullsetzen ergibt \(5x^2 - 10x = 0\). Ausklammern von \(5x\) führt zu \(5x \cdot (x - 2) = 0\). Nach dem Satz vom Nullprodukt sind die Lösungen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\).

a) \(x_1 = 1\); \(x_2 = 5\) b) Keine Nullstellen, da \(x^2 = -4\) keine reelle Lösung hat. c) \(x_1 = 0\); \(x_2 = 2\)

- Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn er eine Nullstelle ist? - Kannst du zuerst die Stelle finden, an der die Gerade \(g\) die \(x\)-Achse schneidet? - Wenn du zwei Punkte einer Geraden kennst, wie berechnest du dann die Steigung? - Wie gehst du vor, um aus der Steigung und einem Punkt die vollständige Gleichung zu erhalten?

1. Berechnung der Nullstelle von \(g\): \(0 = \frac{1}{3}x - 1 \Rightarrow 1 = \frac{1}{3}x \Rightarrow x = 3\). Die Nullstelle liegt beim Punkt \(N(3 | 0)\). 2. Bestimmung der Steigung \(m\) der Funktion \(f\) mithilfe der Punkte \(A(5 | 2)\) und \(N(3 | 0)\): \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - 2}{3 - 5} = \frac{-2}{-2} = 1\). 3. Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts \(t\) durch Einsetzen von \(N(3 | 0)\) in \(f(x) = 1 \cdot x + t\): \(0 = 3 + t \Rightarrow t = -3\). 4. Aufstellen der Funktionsgleichung: \(f(x) = x - 3\).

\(f(x) = x - 3\)

- Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Zuordnung eindeutig sein muss? - Versuche, die Gleichung so umzuformen, dass \(y\) alleine auf einer Seite steht. - Wenn du für ein \(x\) zwei verschiedene Ergebnisse für \(y\) erhältst, ist die Bedingung für eine Funktion verletzt. - Überlege dir, welche Rechenoperationen (wie Quadrieren oder Betragsbildung) dazu führen könnten, dass mehrere Werte für \(y\) infrage kommen.

1. Auflösung von (1) nach \(y\): \(y^3 = 27 - x \implies y = \sqrt[3]{27 - x}\). Da jede reelle Zahl genau eine reelle dritte Wurzel besitzt, wird jedem \(x \in \mathbb{R}\) genau ein \(y\)-Wert zugeordnet. Es handelt sich um eine Funktion. 2. Einsetzen eines Beispielwerts für (2): Sei \(x = 0\). Dann gilt \(0^2 + y^2 = 16\), also \(y^2 = 16\). Dies liefert die Lösungen \(y = 4\) und \(y = -4\). Da einem \(x\)-Wert mehrere \(y\)-Werte zugeordnet werden, liegt keine Funktion vor. 3. Auflösung von (3) nach \(y\): \(y = |x| + 2\). Da der Betrag einer Zahl eindeutig ist, wird jedem \(x\) genau ein Wert für \(y\) zugeordnet (z. B. für \(x = -3\) ist \(y = |-3| + 2 = 5\)). Es handelt sich um eine Funktion.

(1) Funktion (2) Keine Funktion (3) Funktion

- Überlege dir, was passiert, wenn du eine Zahl für \(x\) einsetzt: Erhältst du immer genau ein \(y\)? - Versuche, die Gleichung so umzuformen, dass \(y\) alleine auf einer Seite steht. - Was passiert bei Gleichungen mit \(y^2\) oder \(|y|\), wenn du nach \(y\) auflösen möchtest? - Prüfe Sonderfälle, in denen ein Vorfaktor vor dem \(y\) null wird.

1. Zu a): Umstellen der Gleichung ergibt \(y = x^2 + 5\). Da für jedes \(x\) genau ein Wert für \(y\) berechnet werden kann, liegt eine Funktion vor. Ergebnis: \(y = f(x) = x^2 + 5\). 2. Zu b): Setzt man beispielweise \(x = 3\) ein, erhält man \(y^2 = 4\). Dies führt zu den zwei Lösungen \(y_1 = 2\) und \(y_2 = -2\). Die Zuordnung ist nicht eindeutig, also keine Funktion. 3. Zu c): Die Gleichung vereinfacht sich zu \(-2x = 6\), also \(x = -3\). Für \(x = -3\) kann \(y\) jeden beliebigen Wert annehmen (\(0 \cdot y = 0\)). Für \(x \neq -3\) existiert kein \(y\). Keine Funktion. 4. Zu d): Setzt man \(x = 0\) ein, ergibt sich \(|y| = 3\), woraus \(y = 3\) oder \(y = -3\) folgt. Nicht eindeutig, keine Funktion. 5. Zu e): Für \(x = 2\) wird die Gleichung zu \(y \cdot 0 = 0\). Hier kann \(y\) jede reelle Zahl sein. Nicht eindeutig, keine Funktion.

a) Ja, Funktion mit \(y = f(x) = x^2 + 5\) b) Nein, keine Funktion c) Nein, keine Funktion d) Nein, keine Funktion e) Nein, keine Funktion

- Was bedeutet es für die Zuordnung von \(x\) zu \(y\), wenn eine Variable in der Gleichung gar nicht vorkommt? - Erinnere dich an die Definition einer Funktion: Darf ein \(x\)-Wert mehrere \(y\)-Werte haben? - Wie berechnet man die Steigung zwischen zwei Punkten, wenn die Differenz der \(x\)-Werte Null ist? - Stelle dir vor, wie die Punkte im Koordinatensystem liegen, wenn immer derselbe \(x\)- oder \(y\)-Wert gefordert ist.

1. Umformung der Gleichungen: \(g_1: 6y = 18 \Rightarrow y = 3\) \(g_2: 5x = -20 \Rightarrow x = -4\) 2. Funktionsprüfung: \(g_1\) ist der Graph einer Funktion (konstante Funktion), da jedem \(x\)-Wert genau ein \(y\)-Wert (nämlich 3) zugeordnet wird. \(g_2\) ist kein Funktionsgraph, da dem Wert \(x = -4\) unendlich viele \(y\)-Werte zugeordnet sind, was der Definition einer Funktion widerspricht. 3. Steigung: Für \(g_1\) gilt \(m = 0\). Für \(g_2\) ist die Steigung nicht definiert, da die Gerade senkrecht verläuft. 4. Lage im Koordinatensystem: \(g_1\) verläuft parallel zur \(x\)-Achse (waagerecht). \(g_2\) verläuft parallel zur \(y\)-Achse (senkrecht).

1. \(g_1: y = 3\); \(g_2: x = -4\) 2. \(g_1\) ist eine Funktion; \(g_2\) ist keine Funktion (ein \(x\)-Wert hat mehrere \(y\)-Werte). 3. \(g_1: m = 0\); \(g_2\): Steigung nicht definiert. 4. \(g_1\) ist parallel zur \(x\)-Achse; \(g_2\) ist parallel zur \(y\)-Achse.

- Welche Werte aus dem Text entsprechen \(x_1\), \(y_1\) und \(m\)? - Wie kannst du eine Klammer auflösen, um die Gleichung nach \(y\) freizustellen? - Was ist die Besonderheit des \(y\)-Werts an der Stelle, an der eine Gerade die \(x\)-Achse kreuzt?

1. Einsetzen der Koordinaten von \(P(x_1 | y_1) = (-4 | 7)\) und \(m = -1{,}5\) in die Punkt-Steigungs-Form \(y - y_1 = m \cdot (x - x_1)\) ergibt \(y - 7 = -1{,}5 \cdot (x - (-4))\), vereinfacht \(y - 7 = -1{,}5 \cdot (x + 4)\). 2. Auflösen nach \(y\): \(y = -1{,}5 \cdot x - 6 + 7\), woraus die Normalform \(y = -1{,}5x + 1\) folgt. 3. Zur Berechnung der Nullstelle wird \(y = 0\) gesetzt: \(0 = -1{,}5x + 1\). Umstellen ergibt \(1{,}5x = 1\), also \(x = \frac{1}{1{,}5} = \frac{2}{3}\). Der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse liegt bei \(N(\frac{2}{3} | 0)\).

1. \(y - 7 = -1{,}5 \cdot (x + 4)\) 2. \(y = -1{,}5x + 1\) 3. \(N(\frac{2}{3} | 0)\)

- Wie kannst du aus zwei gegebenen Punkten die Steigung einer linearen Funktion berechnen? - Wenn du die Steigung kennst, wie findest du dann den y-Achsenabschnitt heraus? - Was bedeutet es rechnerisch, dass ein Punkt auf einem Graphen liegt? - Könntest du die Steigung zwischen \(P_1\) und \(P_2\) mit der Steigung zwischen \(P_2\) und \(Q\) vergleichen?

1. Berechnung der Steigung \(m\) mithilfe der gegebenen Punkte: \(m = \frac{1 - 4}{1 - (-0{,}5)} = \frac{-3}{1{,}5} = -2\). 2. Bestimmung des y-Achsenabschnitts \(b\) durch Einsetzen von \(P_2(1 \mid 1)\) in \(f(x) = -2x + b\): \(1 = -2 \cdot 1 + b \Rightarrow b = 3\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -2x + 3\). 3. Durchführung der Punktprobe für \(Q(3 \mid -3)\): Einsetzen von \(x = 3\) in die Funktionsgleichung ergibt \(f(3) = -2 \cdot 3 + 3 = -3\). 4. Da der berechnete Funktionswert mit der y-Koordinate von \(Q\) übereinstimmt, liegt der Punkt auf dem Graphen.

Ja, der Punkt \(Q(3 \mid -3)\) liegt auf dem Graphen der Funktion \(f\).

- Überlege dir zuerst, welche Größe die unabhängige Variable (x-Achse) und welche die abhängige Variable (y-Achse) ist. - Wie berechnet man die Steigung einer Geraden, wenn zwei Wertepaare bekannt sind? - Der Achsenabschnitt repräsentiert in Sachzusammenhängen oft einen Startwert. - Um einen gesuchten Wert der unabhängigen Variable zu finden, musst du die Funktionsgleichung nach dieser Variable auflösen.

1. Zur Bestimmung der Steigerungsrate \(m\) werden die gegebenen Punkte \(P_1(500 \mid 25)\) und \(P_2(2\,000 \mid 70)\) genutzt: \(m = \frac{70 - 25}{2\,000 - 500} = \frac{45}{1\,500} = 0{,}03\). 2. Einsetzen eines Punktes in \(T(d) = 0{,}03 \cdot d + b\) zur Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts: \(25 = 0{,}03 \cdot 500 + b \Rightarrow 25 = 15 + b \Rightarrow b = 10\). Die Funktionsgleichung lautet \(T(d) = 0{,}03d + 10\). 3. Die Temperatur an der Erdoberfläche entspricht dem Wert bei \(d = 0\), also \(T(0) = 10\). Die Temperatur beträgt \(10\,^\circ\text{C}\). 4. Zur Bestimmung der Tiefe für \(100\,^\circ\text{C}\) wird die Gleichung \(100 = 0{,}03d + 10\) gelöst: \(90 = 0{,}03d \Rightarrow d = 3\,000\). Die Tiefe beträgt \(3\,000\,\text{m}\).

a) \(T(d) = 0{,}03d + 10\) b) \(10\,^\circ\text{C}\) c) \(3\,000\,\text{m}\)

- Lies die Steigung der ersten Geraden direkt aus der Funktionsgleichung ab. - Erinnere dich an die Bedingung \(m_1 \cdot m_2 = -1\) für senkrechte Geraden. - Welchen Wert muss \(a\) annehmen, damit das Produkt der Steigungen genau \(-1\) ergibt?

1. Identifikation der Steigung der Geraden \(g\): \(m_g = \frac{3}{4}\). 2. Aufstellen der Orthogonalitätsbedingung für die Steigungen \(m_g\) und \(m_h = a\): \(\frac{3}{4} \cdot a = -1\). 3. Auflösen der Gleichung nach \(a\): \(a = -1 : \frac{3}{4} = -\frac{4}{3}\).

Der Parameter muss den Wert \(a = -\frac{4}{3}\) (bzw. \(a \approx -1{,}33\)) annehmen.

- Was gibt die Steigung einer Geraden an und wie kann man sie aus zwei Punkten berechnen? - Welche allgemeine Form hat eine lineare Funktionsgleichung? - Wie kannst du einen gegebenen Punkt nutzen, um den fehlenden Parameter in der Gleichung zu finden? - Überlege, welche Informationen du bereits direkt aus der Aufgabenstellung entnehmen kannst.

1. Berechnung der Steigung für \(f\): \(m_f = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-5 - 7}{4 - (-2)} = \frac{-12}{6} = -2\). 2. Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts für \(f\): Einsetzen von \(A(-2 \mid 7)\) in \(y = -2x + b\) ergibt \(7 = -2 \cdot (-2) + b\), also \(7 = 4 + b\), woraus \(b = 3\) folgt. Die Gleichung lautet \(f(x) = -2x + 3\). 3. Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts für \(g\): Einsetzen von \(m = -1{,}5\) und \(C(2 \mid 1)\) in \(y = mx + b\) ergibt \(1 = -1{,}5 \cdot 2 + b\), also \(1 = -3 + b\), woraus \(b = 4\) folgt. Die Gleichung lautet \(g(x) = -1{,}5x + 4\).

a) \(f(x) = -2x + 3\) b) \(g(x) = -1{,}5x + 4\)

- Wie berechnet man die Steigung einer Geraden, wenn zwei Punkte bekannt sind? - Welche Bedingung muss für die Steigungen zweier Geraden gelten, damit diese parallel zueinander sind? - Woran erkennt man rechnerisch mithilfe der Steigungen, dass zwei Geraden senkrecht aufeinander stehen?

1. Bestimmung der Steigungen: Die Steigung von \(f\) ist direkt gegeben als \(m_f = 1{,}5\). Für \(g\) ergibt sich die Steigung über den Differenzenquotienten zu \(m_g = \frac{5 - 2}{3 - 1} = \frac{3}{2} = 1{,}5\). Für \(h\) berechnet man \(m_h = \frac{4 - 6}{2 - (-1)} = \frac{-2}{3} = -\frac{2}{3}\). 2. Vergleich der Steigungen: Da \(m_f = m_g = 1{,}5\) gilt, sind die Graphen von \(f\) und \(g\) parallel zueinander. 3. Prüfung auf Orthogonalität: Das Produkt der Steigungen von \(f\) (bzw. \(g\)) und \(h\) ergibt \(1{,}5 \cdot (-\frac{2}{3}) = \frac{3}{2} \cdot (-\frac{2}{3}) = -1\). Somit steht der Graph von \(h\) orthogonal (senkrecht) auf den Graphen von \(f\) und \(g\).

Die Graphen von \(f\) und \(g\) sind parallel zueinander (\(m_f = m_g = 1{,}5\)). Der Graph von \(h\) steht orthogonal auf den Graphen von \(f\) und \(g\), da das Produkt der Steigungen \(-1\) ergibt (\(1{,}5 \cdot (-\frac{2}{3}) = -1\)).

- Wie kannst du den Punkt nutzen, um die Unbekannte in der Funktionsgleichung zu finden? - Welche allgemeine Form hat eine Geradengleichung? - Welche Informationen benötigst du, um eine Gerade eindeutig festzulegen? - Was gilt für den y-Wert an der Stelle, an der ein Graph die x-Achse kreuzt?

1. Einsetzen der Koordinaten von \(P(2 | 2)\) in \(f(x) = a \cdot x^3\): \(2 = a \cdot 2^3 \implies 2 = 8a \implies a = 0{,}25\). 2. Aufstellen der Tangentengleichung mit der Punkt-Steigungs-Form oder \(y = mx + n\): Einsetzen von \(m = 3\) und \(P(2 | 2)\) ergibt \(2 = 3 \cdot 2 + n \implies 2 = 6 + n \implies n = -4\). Die Gleichung lautet \(t(x) = 3x - 4\). 3. Berechnung der Nullstelle der Tangente: \(0 = 3x - 4 \implies 3x = 4 \implies x = \frac{4}{3} \approx 1{,}33\). Der Schnittpunkt ist \(S(\frac{4}{3} | 0)\).

a) \(a = 0{,}25\) b) \(t(x) = 3x - 4\) c) \(S(\frac{4}{3} | 0)\)

- Was sagt der Parameter \(k\) in der Scheitelpunktform über die vertikale Position der Parabel aus? - Wenn eine Parabel nach oben offen ist, wo muss dann ihr tiefster Punkt liegen, damit sie die \(x\)-Achse nicht schneidet? - Skizziere dir grob die Möglichkeiten für eine nach unten geöffnete Parabel. Wo muss der „Hügel“ liegen, damit er die \(x\)-Achse zweimal kreuzt?

1. Analyse von \(h(x)\): Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei \(S(5|k)\). Da der Streckfaktor \(a = 1\) positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet. 2. Bedingung für keine Nullstellen: Eine nach oben geöffnete Parabel hat keine Nullstellen, wenn ihr Scheitelpunkt oberhalb der \(x\)-Achse liegt. Dies ist der Fall für \(k > 0\). 3. Konstruktion für Teil b): Eine nach unten geöffnete Parabel (\(a < 0\)) hat genau zwei Nullstellen, wenn ihr Scheitelpunkt oberhalb der \(x\)-Achse liegt (\(y_S > 0\)). 4. Beispielwahl: \(a = -1\), Scheitelpunkt \(S(0|1)\). Dies führt zur Gleichung \(p(x) = -x^2 + 1\).

a) Für \(k > 0\) hat die Funktion keine Nullstellen. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, liegt ihr tiefster Punkt (der Scheitelpunkt) bei \(k\). Ist \(k > 0\), verläuft die gesamte Parabel oberhalb der \(x\)-Achse. b) Ein mögliches Beispiel ist \(p(x) = -x^2 + 1\). (Allgemein: \(p(x) = a(x - x_S)^2 + y_S\) mit \(a < 0\) und \(y_S > 0\)).

- Worauf musst du bei den Exponenten der Variablen achten? - Kannst du den Funktionsterm so umformen, dass er wie eine Summe von Potenztermen aussieht? - Spielt es eine Rolle, ob die Zahlen vor dem \( x \) (die Koeffizienten) Wurzeln oder Brüche sind? - Was bedeutet es für die Variable, wenn sie im Nenner eines Bruchs oder unter einer Wurzel steht?

1. Überprüfung der Definition einer ganzrationalen Funktion: Die Exponenten der Variablen \(x\) müssen nichtnegative ganze Zahlen sein, und die Koeffizienten müssen reelle Zahlen sein. 2. \( f_1(x) \): Division durch eine Konstante ist zulässig. Umformung ergibt \( f_1(x) = \frac{1}{5}x^5 - 2 \). (Ganzrational) 3. \( f_2(x) \): Der Exponent \( \frac{1}{2} \) ist keine natürliche Zahl. (Nicht ganzrational) 4. \( f_3(x) \): Anwendung der ersten binomischen Formel ergibt \( f_3(x) = 4x^2 + 12x + 9 \). (Ganzrational) 5. \( f_4(x) \): Der Term \( \frac{3}{x} = 3 \cdot x^{-1} \) enthält einen negativen Exponenten. (Nicht ganzrational) 6. \( f_5(x) \): Der Koeffizient \( \sqrt{7} \) ist eine reelle Zahl, der Exponent 3 ist eine natürliche Zahl. (Ganzrational)

a) Ja; \( f_1(x) = \frac{1}{5}x^5 - 2 \) b) Nein c) Ja; \( f_3(x) = 4x^2 + 12x + 9 \) d) Nein e) Ja; \( f_5(x) = \sqrt{7}x^3 \)

- Was bedeutet es für die Funktionsgleichung, wenn eine bestimmte horizontale Distanz (Reichweite) vorgegeben ist? - Wie kannst du die Höhe des Projektils an einer ganz bestimmten Stelle berechnen? - Vergleiche am Ende den berechneten Funktionswert mit der Höhe des Hindernisses.

1. Die Bedingung für das Auftreffen am Boden bei \(x = 50\) ist \(h_c(50) = 0\). Einsetzen liefert die Gleichung \(c \cdot 50 - 0{,}01 \cdot 50^2 = 0\). 2. Vereinfachen der Gleichung: \(50c - 25 = 0\). Auflösen nach \(c\) ergibt \(c = 0{,}5\). 3. Um zu prüfen, ob das Hindernis überflogen wird, berechnet man die Höhe an der Stelle \(x = 25\) mit \(c = 0{,}5\): \(h_{0{,}5}(25) = 0{,}5 \cdot 25 - 0{,}01 \cdot 25^2\). 4. Das Ergebnis der Berechnung ist \(12{,}5 - 6{,}25 = 6{,}25\). Da die Höhe des Projektils (\(6{,}25\,\text{m}\)) geringer ist als die Höhe des Hindernisses (\(7\,\text{m}\)), wird das Hindernis nicht überflogen.

a) Es muss \(c = 0{,}5\) gewählt werden. b) Nein, das Projektil überfliegt das Hindernis nicht, da es an dieser Stelle nur eine Höhe von \(6{,}25\,\text{m}\) erreicht.

- Achte genau darauf, ob ein Wert noch zu einem Intervall gehört oder bereits zum nächsten (Stichwort: „bis einschließlich“). - Erinnere dich an die Schreibweise für Funktionen, die in verschiedenen Bereichen unterschiedliche Vorschriften haben. - Wann nennt man eine Funktion an einer bestimmten Stelle stetig? Was muss für die Grenzwerte von beiden Seiten gelten?

1. Zuordnung der Gewichte zu den Intervallen: \(1{,}8\,\text{kg} \le 2\,\text{kg} \implies 4{,}95\,\text{€}\); \(5{,}0\,\text{kg}\) liegt genau auf der Grenze des zweiten Intervalls \(\implies 6{,}95\,\text{€}\); \(5{,}1\,\text{kg} > 5\,\text{kg} \implies 10{,}45\,\text{€}\). 2. Aufstellen der abschnittsweisen Funktion: \(K(w) = \begin{cases} 4{,}95 & \text{für } 0 < w \le 2 \\ 6{,}95 & \text{für } 2 < w \le 5 \\ 10{,}45 & \text{für } 5 < w \le 10 \\ 18{,}45 & \text{für } 10 < w \le 31{,}5 \end{cases}\) 3. Überprüfung der Stetigkeit bei \(w = 5\): Der linksseitige Grenzwert ist \(\lim_{w \to 5^-} K(w) = 6{,}95\). Der rechtsseitige Grenzwert ist \(\lim_{w \to 5^+} K(w) = 10{,}45\). Da die Grenzwerte nicht übereinstimmen (\(6{,}95 \neq 10{,}45\)), liegt eine Sprungstelle vor; die Funktion ist an dieser Stelle nicht stetig.

a) \(1{,}8\,\text{kg}: 4{,}95\,\text{€}\); \(5{,}0\,\text{kg}: 6{,}95\,\text{€}\); \(5{,}1\,\text{kg}: 10{,}45\,\text{€}\). b) \(K(w) = \begin{cases} 4{,}95 & 0 < w \le 2 \\ 6{,}95 & 2 < w \le 5 \\ 10{,}45 & 5 < w \le 10 \\ 18{,}45 & 10 < w \le 31{,}5 \end{cases}\) (Werte in \(\text{€}\)). c) Nicht stetig, da \(\lim_{w \to 5^-} K(w) = 6{,}95 \neq \lim_{w \to 5^+} K(w) = 10{,}45\).

- Welche Information über die Funktion \(g\) liefert dir die Funktionsgleichung von \(h\)? - Wie lautet die Koordinatendarstellung eines Punktes, der auf der y-Achse liegt? - Wenn du den y-Achsenabschnitt und einen weiteren Punkt hast, wie bestimmst du die Steigung? - Was musst du für \(y\) einsetzen, um die Stelle zu finden, an der der Graph die x-Achse schneidet?

1. Identifikation des y-Achsenabschnitts von \(h\): Da \(h(x) = -2x + 7\), liegt der Schnittpunkt mit der y-Achse bei \(Q(0|7)\). Da \(g\) denselben Achsenabschnitt hat, gilt für \(g\): \(n = 7\). 2. Berechnung der Steigung \(m\) von \(g\) mit den Punkten \(P(8|3)\) und \(Q(0|7)\): \(m = \frac{7 - 3}{0 - 8} = \frac{4}{-8} = -0{,}5\). 3. Aufstellen der Funktionsgleichung für \(g\): \(g(x) = -0{,}5x + 7\). 4. Berechnung der Nullstelle: \(0 = -0{,}5x + 7 \Rightarrow 0{,}5x = 7 \Rightarrow x = 14\).

Funktionsgleichung: \(g(x) = -0{,}5x + 7\) Nullstelle: \(x = 14\) bzw. \(N(14|0)\)

- Unterscheide zwischen geraden und ungeraden Exponenten. - Überlege dir, wie sich das Vorzeichen des Funktionswerts ändert, wenn du negative Werte für \(x\) einsetzt. - Stell dir den Verlauf typischer Graphen wie \(x^2\) oder \(x^3\) vor und überlege, wie der Faktor \(0{,}4\) diesen beeinflusst. - Welche Funktionswerte können bei geraden bzw. ungeraden Exponenten überhaupt erreicht werden?

1. Fall \(n\) ist eine gerade Zahl: Da \(f(-x) = 0{,}4(-x)^n = 0{,}4x^n = f(x)\), ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Die Funktion ist für \(x \le 0\) streng monoton fallend und für \(x \ge 0\) streng monoton wachsend. Der Wertebereich umfasst alle nichtnegativen reellen Zahlen: \(W = [0; \infty[\). 2. Fall \(n\) ist eine ungerade Zahl: Da \(f(-x) = 0{,}4(-x)^n = -0{,}4x^n = -f(x)\), ist der Graph punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Die Funktion ist auf dem gesamten Definitionsbereich \(\mathbb{R}\) streng monoton wachsend. Der Wertebereich ist die Menge der reellen Zahlen: \(W = \mathbb{R}\).

Für gerade \(n\): Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse; streng monoton fallend für \(x \le 0\), streng monoton wachsend für \(x \ge 0\); \(W = [0; \infty[\). Für ungerade \(n\): Punktsymmetrie zum Ursprung; auf \(\mathbb{R}\) streng monoton wachsend; \(W = \mathbb{R}\).

- Wann behält eine Funktion über den gesamten Bereich dieselbe Monotonie bei? Denke an die Graphen von \(x^2\) und \(x^3\). - Welchen Einfluss hat ein negatives Vorzeichen vor dem gesamten Funktionsterm auf die Richtung des Graphen? - Was passiert geometrisch mit einem Graphen, wenn man den Funktionswert mit \(-1\) multipliziert? - Erinnere dich an die Definitionen für Achsen- und Punktsymmetrie und prüfe, ob das Vorzeichen von \(a\) dort eine Rolle spielt.

1. Analyse der Monotonie für Teilaufgabe a): Eine Potenzfunktion \(x^n\) ist für ungerade \(n\) auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton wachsend. Damit \(a \cdot x^n\) streng monoton fallend wird, muss der Vorfaktor \(a\) negativ sein (\(a < 0\)). Für gerade \(n\) wechselt das Monotonieverhalten im Ursprung, sodass die Funktion nicht auf dem gesamten Definitionsbereich monoton fallend sein kann. Ergebnis: \(n\) muss ungerade und \(a < 0\) sein. 2. Analyse der Symmetrie für Teilaufgabe b): Die Symmetrie einer Potenzfunktion \(a \cdot x^n\) hängt ausschließlich davon ab, ob \(n\) gerade oder ungerade ist. Ersetzt man \(a\) durch \(-a\), ändern sich lediglich die Vorzeichen aller Funktionswerte (Spiegelung an der \(x\)-Achse). Ist \(n\) gerade, bleibt die Bedingung \(f(-x) = f(x)\) erhalten (\( -a \cdot (-x)^n = -a \cdot x^n \)). Ist \(n\) ungerade, bleibt die Bedingung \(f(-x) = -f(x)\) erhalten (\( -a \cdot (-x)^n = a \cdot x^n = -(-a \cdot x^n) \)). Die Symmetrieart bleibt also identisch.

a) \(n\) muss eine ungerade Zahl sein und \(a < 0\). b) Der Symmetrietyp ändert sich nicht. Ein Wechsel von \(a\) zu \(-a\) entspricht einer Spiegelung an der \(x\)-Achse, wodurch die bestehende Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse (bei geradem \(n\)) bzw. Punktsymmetrie zum Ursprung (bei ungeradem \(n\)) erhalten bleibt.

- Was sagt das Vorzeichen der Diskriminante unter der Wurzel über die Anzahl der Lösungen aus? - Kannst du die Lage des Scheitelpunkts und die Öffnungsrichtung der Parabel nutzen, um die Existenz von Nullstellen zu prüfen? - Gibt es eine binomische Formel, die dir beim Vereinfachen helfen könnte? - Was passiert, wenn du versuchst, eine Wurzel aus einer negativen Zahl zu ziehen?

1. Für \(f(x) = x^2 + 10x + 21\): Ansatz \(x^2 + 10x + 21 = 0\). Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel mit \(p = 10\) und \(q = 21\). Die Diskriminante ist \(D = (\frac{10}{2})^2 - 21 = 25 - 21 = 4\). Da \(D > 0\), gibt es zwei Nullstellen: \(x_{1,2} = -5 \pm \sqrt{4}\). Ergebnisse: \(x_1 = -3\) und \(x_2 = -7\). 2. Für \(g(x) = -3(x + 1)^2 - 6\): Ansatz \(-3(x + 1)^2 - 6 = 0\). Umformung zu \((x + 1)^2 = -2\). Da das Quadrat eines reellen Terms nicht negativ sein kann, besitzt die Funktion keine Nullstellen. Alternativ: Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(-1|-6)\) und die Parabel ist nach unten geöffnet (\(a = -3\)), daher gibt es keine Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse. 3. Für \(h(x) = 0{,}5x^2 - 4x + 8\): Ansatz \(0{,}5x^2 - 4x + 8 = 0\). Multiplikation mit \(2\) ergibt \(x^2 - 8x + 16 = 0\). Anwendung der binomischen Formel liefert \((x - 4)^2 = 0\). Die Diskriminante ist \(D = (-4)^2 - 16 = 0\). Es gibt genau eine Nullstelle (doppelte Nullstelle) bei \(x = 4\).

a) Zwei Nullstellen: \(x_1 = -3\); \(x_2 = -7\) b) Keine Nullstellen c) Eine Nullstelle: \(x = 4\)

- Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Steigungen zweier Geraden, die senkrecht aufeinander stehen? - Wie kannst du die Steigung einer Geraden nutzen, um zusammen mit einem gegebenen Punkt den \(y\)-Achsenabschnitt zu berechnen? - Welche Form hat eine lineare Funktionsgleichung im Allgemeinen?

1. Bestimmung der Steigung \(m_h = -\frac{1}{2}\) der Geraden \(h\). 2. Anwendung der Bedingung für Orthogonalität: \(m_g = -\frac{1}{m_h} = -\frac{1}{-1/2} = 2\). 3. Einsetzen der Steigung \(m_g = 2\) und der Koordinaten des Punktes \(P(-2 | 7)\) in die allgemeine Geradengleichung \(y = m \cdot x + t\): \(7 = 2 \cdot (-2) + t\). 4. Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts: \(7 = -4 + t \Rightarrow t = 11\). 5. Aufstellen der Geradengleichung: \(y = 2x + 11\).

\(y = 2x + 11\)

- Kannst du einen gemeinsamen Faktor ausklammern, um den Grad des Polynoms zu senken? - Wann ist ein Produkt von zwei Klammern gleich Null? - Erkennst du eine Struktur, bei der eine Ersetzung einer Variable (Substitution) hilfreich sein könnte? - Gibt es Faktoren, die für reelle Zahlen niemals Null werden können?

1. Für \(f(x)\) wird \(5x\) ausgeklammert: \(5x(x^2 - 4x + 3) = 0\). Daraus folgt direkt \(x_1 = 0\). Die quadratische Gleichung \(x^2 - 4x + 3 = 0\) liefert mit der \(p\)-\(q\)-Formel \(x_{2,3} = 2 \pm \sqrt{4 - 3}\), also \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 3\). 2. Für \(g(x)\) wird der Satz vom Nullprodukt angewendet. \(x^2 - 2 = 0\) führt zu \(x_{1,2} = \pm \sqrt{2}\). Der Faktor \(x^2 + 9 = 0\) hat keine reelle Lösung, da \(x^2 = -9\) für reelle \(x\) nicht möglich ist. 3. Für \(h(x)\) wird \(u = x^2\) substituiert, was zur quadratischen Gleichung \(u^2 - 13u + 36 = 0\) führt. Die Lösungen sind \(u_1 = 9\) und \(u_2 = 4\). Durch Resubstitution ergeben sich \(x^2 = 9 \implies x_{1,2} = \pm 3\) und \(x^2 = 4 \implies x_{3,4} = \pm 2\).

a) \(x_1 = 0\); \(x_2 = 1\); \(x_3 = 3\) b) \(x_1 = -\sqrt{2}\); \(x_2 = \sqrt{2}\) c) \(x_1 = -3\); \(x_2 = 3\); \(x_3 = -2\); \(x_4 = 2\)

- Achte auf die Vielfachheit der Nullstellen, wenn ein Faktor im Quadrat steht. - Bei biquadratischen Gleichungen (nur Potenzen \(x^4\), \(x^2\) und Konstante) ist eine Substitution oft der schnellste Weg. - Überlege dir vor dem Rechnen, wie viele Nullstellen eine Funktion maximal haben kann. - Wenn eine Potenz von \(x\) in jedem Glied vorkommt, kannst du diese ausklammern.

1. Bei \(p(x)\) können die Nullstellen direkt abgelesen werden (Satz vom Nullprodukt). Aus \(x - 1{,}5 = 0\) folgt \(x_1 = 1{,}5\). Aus \((x + \frac{1}{3})^2 = 0\) folgt \(x_2 = -\frac{1}{3}\) (doppelte Nullstelle). Der Faktor \(x^2 + 5\) ist stets größer als Null und liefert keine reellen Nullstellen. 2. Für \(q(x)\) führt die Substitution \(u = x^2\) auf \(0{,}5u^2 - 3{,}5u - 4 = 0\). Multiplikation mit \(2\) ergibt \(u^2 - 7u - 8 = 0\) mit den Lösungen \(u_1 = 8\) und \(u_2 = -1\). Die Resubstitution \(x^2 = 8\) ergibt \(x_{1,2} = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}\). \(x^2 = -1\) hat keine reelle Lösung. 3. Bei \(r(x)\) wird \(2x^2\) ausgeklammert: \(2x^2(x^2 + 2x - 3) = 0\). Dies ergibt die doppelte Nullstelle \(x_1 = 0\). Die quadratische Gleichung \(x^2 + 2x - 3 = 0\) hat die Lösungen \(x_2 = -3\) und \(x_3 = 1\).

a) \(x_1 = 1{,}5\); \(x_2 = -\frac{1}{3}\) b) \(x_1 = -2\sqrt{2}\); \(x_2 = 2\sqrt{2}\) c) \(x_1 = 0\); \(x_2 = -3\); \(x_3 = 1\)

- Was weißt du über die allgemeine Formel für Kreise im Koordinatensystem? - Überlege dir, wie viele Funktionswerte \(y\) ein einzelner \(x\)-Wert bei einer Funktion haben darf. - Wie wirkt sich das Plus-Minus-Zeichen beim Wurzelziehen auf die Eindeutigkeit der Zuordnung aus? - Wann ist der Ausdruck unter einer Quadratwurzel definiert?

1. Geometrische Interpretation: Die Gleichung beschreibt einen Kreis. Durch Vergleich mit der allgemeinen Form \((x - x_M)^2 + (y - y_M)^2 = r^2\) ergeben sich der Mittelpunkt \(M(3|-1)\) und der Radius \(r = \sqrt{16} = 4\). 2. Auflösen nach \(y\): \((y + 1)^2 = 16 - (x - 3)^2\) \(y + 1 = \pm \sqrt{16 - (x - 3)^2}\) \(y = -1 \pm \sqrt{16 - (x - 3)^2}\) Die gesamte Figur ist kein Funktionsgraph, da für die meisten \(x\)-Werte aus dem Intervall \((-1; 7)\) zwei verschiedene \(y\)-Werte existieren (ein positiver und ein negativer Wurzelterm). Eine Funktion ordnet jedoch jedem \(x\)-Wert genau einen \(y\)-Wert zu. 3. Teilfunktionen: Man kann den Kreis in einen oberen und einen unteren Halbkreis teilen: \(f_1(x) = -1 + \sqrt{16 - (x - 3)^2}\) (oberer Halbkreis) \(f_2(x) = -1 - \sqrt{16 - (x - 3)^2}\) (unterer Halbkreis) Der Definitionsbereich für beide Funktionen ergibt sich aus der Bedingung unter der Wurzel: \(16 - (x - 3)^2 \geq 0\). Dies führt zu \((x - 3)^2 \leq 16\), also \(-4 \leq x - 3 \leq 4\). Somit ist \(D = [ -1; 7 ]\).

a) Kreis mit Mittelpunkt \(M(3|-1)\) und Radius \(r = 4\). b) \(y = -1 \pm \sqrt{16 - (x - 3)^2}\). Da einem \(x\) zwei \(y\)-Werte zugeordnet werden, liegt keine Funktion vor. c) Zum Beispiel \(f_1(x) = -1 + \sqrt{16 - (x - 3)^2}\) und \(f_2(x) = -1 - \sqrt{16 - (x - 3)^2}\); für beide gilt \(D = [-1; 7]\).

- Welche Werte darf man in eine Quadratwurzel einsetzen? - Welche Vorzeichen können Ergebnisse einer Quadratwurzel mit einem Minuszeichen davor annehmen? - Erinnere dich an die Bedingung für Achsensymmetrie: \(f(-x) = f(x)\). - Was passiert, wenn du eine Gleichung mit einer Wurzel quadrierst? Gehen dabei Informationen verloren?

1. Definitionsbereich: Die Bedingung \(64 - x^2 \geq 0\) führt zu \(x^2 \leq 64\), also \(|x| \leq 8\). Somit ist \(D_g = [-8; 8]\). 2. Wertebereich: Da die Wurzel stets nichtnegativ ist, ist \(-\sqrt{64 - x^2} \leq 0\). Der kleinste Wert wird bei \(x = 0\) erreicht: \(g(0) = -\sqrt{64} = -8\). Somit ist \(W_g = [-8; 0]\). 3. Geometrische Form: Da \(y = -\sqrt{64 - x^2}\) der negative Teil der Kreisgleichung \(x^2 + y^2 = 64\) ist, handelt es sich um den unteren Halbkreis um den Ursprung mit Radius \(r = 8\). 4. Symmetrie: \(g(-x) = -\sqrt{64 - (-x)^2} = -\sqrt{64 - x^2} = g(x)\). Die Funktion ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse (gerade Funktion). 5. Gleichung erfüllen: Quadrieren von \(y = -\sqrt{64 - x^2}\) ergibt \(y^2 = 64 - x^2\), also \(x^2 + y^2 = 64\). Die Umkehrung gilt nicht uneingeschränkt, da die Kreisgleichung auch Punkte mit positiven \(y\)-Werten (oberer Halbkreis) enthält, die nicht im Wertebereich von \(g\) liegen.

a) \(D_g = [-8; 8]\), \(W_g = [-8; 0]\). b) Unterer Halbkreis um den Ursprung mit Radius \(8\). c) \(g(-x) = g(x)\), also achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. d) Quadrieren liefert \(y^2 = 64 - x^2 \Rightarrow x^2 + y^2 = 64\). Die Umkehrung gilt nicht, da die Kreisgleichung auch \(y > 0\) zulässt, \(g(x)\) aber nur Werte \(\leq 0\) liefert.

- Wann ändert der Ausdruck innerhalb der Betragsstriche sein Vorzeichen? - Überlege dir, was der Betrag mit einer Zahl macht, wenn sie negativ ist. - Kannst du die Funktion in zwei Bereiche aufteilen, je nachdem ob der Term im Betrag positiv oder negativ ist? - Prüfe bei den berechneten Nullstellen, ob sie auch wirklich im jeweils betrachteten Intervall liegen.

1. Bestimmung der kritischen Stelle, an der der Ausdruck im Betrag sein Vorzeichen wechselt: \(2x - 5 = 0 \implies x = 2{,}5\). 2. Fallunterscheidung für den ersten Abschnitt (\(x \ge 2{,}5\)): Hier ist \(2x - 5 \ge 0\), also \(f(x) = (2x - 5) - 3 = 2x - 8\). 3. Fallunterscheidung für den zweiten Abschnitt (\(x < 2{,}5\)): Hier ist \(2x - 5 < 0\), also \(f(x) = -(2x - 5) - 3 = -2x + 2\). 4. Berechnung der Nullstelle im ersten Abschnitt: \(2x - 8 = 0 \implies x_1 = 4\). Da \(4 \ge 2{,}5\), ist dies eine gültige Nullstelle. 5. Berechnung der Nullstelle im zweiten Abschnitt: \(-2x + 2 = 0 \implies x_2 = 1\). Da \(1 < 2{,}5\), ist auch dies eine gültige Nullstelle.

Die abschnittsweise Definition lautet: \(f(x) = \begin{cases} 2x - 8 & \text{für } x \ge 2{,}5 \\ -2x + 2 & \text{für } x < 2{,}5 \end{cases}\) Die Nullstellen der Funktion liegen bei \(x_1 = 4\) und \(x_2 = 1\).

- Was passiert mit dem Betragsterm, wenn \(x\) kleiner als \(3\) ist? - Versuche, die Funktionsgleichung für beide Fälle getrennt zu vereinfachen. - Welche Art von Funktion erhältst du, wenn die Variable \(x\) im gesamten Term wegfällt? - Wie würde der Graph in einem Bereich aussehen, in dem der Funktionswert immer derselbe ist?

1. Identifikation des Wechsels im Betrag: Der Term \(x - 3\) wird bei \(x = 3\) null. 2. Analyse für \(x \ge 3\): Der Betrag kann weggelassen werden, da \(x - 3 \ge 0\). Es ergibt sich \(g(x) = (x - 3) + x = 2x - 3\). 3. Analyse für \(x < 3\): Der Term im Betrag ist negativ, daher gilt \(|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3\). Eingesetzt in die Funktion ergibt das \(g(x) = (-x + 3) + x = 3\). 4. Zusammenführung zur abschnittsweisen Definition: \(g(x) = 3\) für \(x < 3\) und \(g(x) = 2x - 3\) für \(x \ge 3\). 5. Beschreibung des Verhaltens für \(x < 3\): In diesem Intervall heben sich die Variablen auf, sodass die Funktion einen konstanten Wert von \(3\) annimmt.

Die abschnittsweise Definition ist: \(g(x) = \begin{cases} 2x - 3 & \text{für } x \ge 3 \\ 3 & \text{für } x < 3 \end{cases}\) Für \(x < 3\) ist die Funktion konstant; alle Funktionswerte in diesem Bereich sind gleich \(3\).

- Kannst du einen \(x\)-Wert finden, bei dem die Gleichung für mehrere verschiedene \(y\)-Werte stimmt? - Was passiert in Gleichung (1), wenn du eine Null einsetzt? - Erinnere dich an die Definition der Quadratwurzel: Wie viele Ergebnisse liefert der Term \(\sqrt{x}\) für ein festes \(x\)? - Überlege bei Gleichung (2), ob verschiedene \(y\)-Werte zum selben \(x\)-Wert führen können.

1. Untersuchung von (1): Wähle \(x = 0\). Die Gleichung \(0 \cdot y = 0\) ist für jede beliebige reelle Zahl \(y\) wahr. Somit ist die Zuordnung für \(x = 0\) nicht eindeutig. Es handelt sich nicht um eine Funktion. 2. Untersuchung von (2): Wähle einen Wert für \(x\), zum Beispiel \(x = 0{,}5\). Die Gleichung lautet dann \(0{,}5 = \frac{1}{y^2 + 1}\), was zu \(y^2 + 1 = 2\) und damit \(y^2 = 1\) führt. Dies ergibt die zwei Werte \(y = 1\) und \(y = -1\). Die Zuordnung ist nicht eindeutig, also liegt keine Funktion vor. 3. Untersuchung von (3): Die Quadratwurzel \(\sqrt{a}\) ist für \(a \geq 0\) als die eindeutige nichtnegative Zahl definiert, deren Quadrat \(a\) ergibt. Für jedes \(x \geq 1\) liefert der Term \(\sqrt{x - 1} + 2\) somit genau ein Ergebnis für \(y\). Es handelt sich um eine Funktion.

(1) Keine Funktion (2) Keine Funktion (3) Funktion

- Worauf musst du achten, wenn du eine Wurzel aus einem Term ziehst? Welche Werte darf der Ausdruck unter der Wurzel annehmen? - Wie prüfst du mathematisch, ob ein gegebener Punkt mit einer \(x\)- und einer \(y\)-Koordinate zu einer Funktionsgleichung passt? - Was bedeutet es für einen Punkt, wenn sein \(x\)-Wert gar nicht in die Funktion eingesetzt werden darf?

1. Zur Bestimmung des Definitionsbereichs muss der Radikand nichtnegativ sein: \(4x + 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -0{,}25\). Somit gilt \(D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq -0{,}25\}\). 2. Durchführung der Punktproben durch Einsetzen der \(x\)-Werte in \(f(x)\): - Für \(A(0 \mid -1)\): \(f(0) = \sqrt{4 \cdot 0 + 1} - 2 = 1 - 2 = -1\). Der Punkt \(A\) liegt auf dem Graphen. - Für \(B(2 \mid 1)\): \(f(2) = \sqrt{4 \cdot 2 + 1} - 2 = 3 - 2 = 1\). Der Punkt \(B\) liegt auf dem Graphen. - Für \(C(-1 \mid -1)\): Da \(-1 < -0{,}25\), liegt \(x = -1\) nicht im Definitionsbereich. Der Punkt \(C\) liegt nicht auf dem Graphen. - Für \(D(0{,}75 \mid 0)\): \(f(0{,}75) = \sqrt{4 \cdot 0{,}75 + 1} - 2 = \sqrt{4} - 2 = 0\). Der Punkt \(D\) liegt auf dem Graphen. - Für \(E(6 \mid 3)\): \(f(6) = \sqrt{4 \cdot 6 + 1} - 2 = 5 - 2 = 3\). Der Punkt \(E\) liegt auf dem Graphen.

1. \(D_f = [-0{,}25; \infty[\) 2. Die Punkte \(A\), \(B\), \(D\) und \(E\) liegen auf dem Graphen. Der Punkt \(C\) liegt nicht auf dem Graphen, da sein \(x\)-Wert außerhalb des Definitionsbereichs liegt.

- Welche zwei mathematischen Regeln schränken den Definitionsbereich hier ein? Denke an die Wurzel und den Nenner. - Kannst du den Dezimalbruch \(0{,}25\) als gewöhnlichen Bruch schreiben, um die Wurzel einfacher zu ziehen? - Was passiert mit dem Wert eines Bruchs, wenn der Nenner sehr klein wird?

1. Für die Funktion \(g(x)\) muss der Radikand \(x\) im Nenner positiv sein (\(x > 0\)). Einerseits darf die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht gezogen werden, andererseits führt \(x = 0\) zu einer Division durch Null (\(\frac{4}{0}\)), was nicht definiert ist. Daher ist \(0\) nicht im Definitionsbereich enthalten. 2. Punktproben durch Einsetzen: - \(A(1 \mid 4)\): \(g(1) = \frac{4}{\sqrt{1}} = 4\). Punkt \(A\) liegt auf dem Graphen der Funktion. - \(B(4 \mid 2)\): \(g(4) = \frac{4}{\sqrt{4}} = \frac{4}{2} = 2\). Punkt \(B\) liegt auf dem Graphen der Funktion. - \(C(0{,}25 \mid 8)\): \(g(0{,}25) = \frac{4}{\sqrt{0{,}25}} = \frac{4}{0{,}5} = 8\). Punkt \(C\) liegt auf dem Graphen der Funktion. - \(D(16 \mid 1)\): \(g(16) = \frac{4}{\sqrt{16}} = \frac{4}{4} = 1\). Punkt \(D\) liegt auf dem Graphen der Funktion.

1. Der Punkt \(P(0 \mid 0)\) liegt nicht auf dem Graphen, da \(x = 0\) zu einer Division durch Null führen würde und somit nicht im Definitionsbereich liegt. 2. Alle geprüften Punkte \(A\), \(B\), \(C\) und \(D\) liegen auf dem Graphen der Funktion \(g\).

- Wie kannst du prüfen, ob ein Punkt die Funktionsgleichung erfüllt? - Was musst du tun, wenn der y-Wert gegeben ist und der x-Wert gesucht wird? - Gibt es bei rationalen Funktionen Werte für x, die man nicht einsetzen darf? - Kann eine Potenz mit positiver Basis jemals den Wert Null annehmen?

1. Punktprobe für Teilaufgabe a): Für \(f(x)\): \(f(2) = 0{,}5 \cdot 8 = 4\) (\(P_1\) liegt auf \(G_f\)), \(f(-1) = 0{,}5 \cdot (-1) = -0{,}5\) (\(P_4\) liegt auf \(G_f\)). Für \(g(x)\): \(g(2) = \frac{4}{1} = 4\) (\(P_1\) liegt auf \(G_g\)), \(g(0) = \frac{2}{-1} = -2\) (\(P_2\) liegt auf \(G_g\)), \(g(-1) = \frac{1}{-2} = -0{,}5\) (\(P_4\) liegt auf \(G_g\)). Für \(h(x)\): \(h(1) = 3^1 = 3\) (\(P_3\) liegt auf \(G_h\)). 2. Koordinaten vervollständigen für Teilaufgabe b): Für \(f(x)\): \(Q_1(-2|-4)\), \(Q_2(3|13{,}5)\), \(Q_3(0|0)\), \(Q_4(\sqrt[3]{54} \approx 3{,}78|27)\). Für \(g(x)\): \(Q_1(-2|0)\), \(Q_2(3|2{,}5)\), \(Q_3(-2|0)\), \(Q_4(\frac{29}{26} \approx 1{,}115|27)\). Für \(h(x)\): \(Q_1(-2|\frac{1}{9})\), \(Q_2(3|27)\), \(Q_3\) besitzt keine Lösung, da \(3^x > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), \(Q_4(3|27)\).

a) Auf \(G_f\) liegen \(P_1\) und \(P_4\). Auf \(G_g\) liegen \(P_1, P_2\) und \(P_4\). Auf \(G_h\) liegt \(P_3\). b) \(f(x)\): \(Q_1(-2|-4)\), \(Q_2(3|13{,}5)\), \(Q_3(0|0)\), \(Q_4(\sqrt[3]{54}|27)\). \(g(x)\): \(Q_1(-2|0)\), \(Q_2(3|2{,}5)\), \(Q_3(-2|0)\), \(Q_4(\frac{29}{26}|27)\). \(h(x)\): \(Q_1(-2|\frac{1}{9})\), \(Q_2(3|27)\), \(Q_3\) keine Lösung, \(Q_4(3|27)\).

- Eine Funktion liegt vor, wenn jedem Element der Definitionsmenge exakt ein Element der Zielmenge zugeordnet wird. - Kannst du ein Beispiel für ein \(x\) finden, bei dem zwei verschiedene \(y\)-Werte die Gleichung erfüllen? - Wenn eine Gleichung für ein bestimmtes \(x\) gar keine Lösung für \(y\) besitzt, schränkt das nur den Definitionsbereich ein, verhindert aber nicht unbedingt die Funktionseigenschaft. - Achte beim Umformen darauf, ob du durch einen Term dividierst, der null werden könnte.

1. Zu a): Durch Ziehen der Kubikwurzel erhält man \(y = \sqrt[3]{x + 8}\). Da die ungerade Wurzel einer reellen Zahl immer eindeutig ist, liegt eine Funktion vor. Ergebnis: \(y = f(x) = \sqrt[3]{x + 8}\). 2. Zu b): Die Gleichung lässt sich zu \(3y = 12\) und somit \(y = 4\) vereinfachen. Jedem \(x\) wird eindeutig der Wert \(4\) zugeordnet. Ergebnis: \(y = f(x) = 4\). 3. Zu c): Setzt man \(x = 0\) ein, erhält man \(y^2 = 16\), also \(y = 4\) oder \(y = -4\). Die Zuordnung ist nicht eindeutig. Keine Funktion. 4. Zu d): Ausklammern von \(y\) ergibt \(y(x - 1) = x\). Für \(x \neq 1\) ist \(y = \frac{x}{x - 1}\) eindeutig bestimmt. Für \(x = 1\) ergibt sich der Widerspruch \(0 = 1\), es gibt dort also kein \(y\). Da für jedes \(x\) im Definitionsbereich maximal ein \(y\) existiert, ist dies eine Funktion. Ergebnis: \(y = f(x) = \frac{x}{x - 1}\). 5. Zu e): Multiplikation mit \(x\) liefert für \(x \neq 0\) die Gleichung \(y = 4x\). Die Zuordnung ist auf dem Definitionsbereich \(D = \mathbb{R} \setminus \{0\}\) eindeutig. Ergebnis: \(y = f(x) = 4x\) mit \(D = \mathbb{R} \setminus \{0\}\).

a) Ja, Funktion mit \(y = f(x) = \sqrt[3]{x + 8}\) b) Ja, Funktion mit \(y = f(x) = 4\) c) Nein, keine Funktion d) Ja, Funktion mit \(y = f(x) = \frac{x}{x - 1}\) e) Ja, Funktion mit \(y = f(x) = 4x\) und \(D = \mathbb{R} \setminus \{0\}\)

- Setze die gegebenen Werte für \(k\) nacheinander in die Klammern ein und schaue, welcher Teil der Gleichung wegfällt. - Was passiert mit der Steigung \(m = -\frac{a}{b}\), wenn \(b = 0\) ist? - Überlege dir, wie eine vertikale Gerade im Vergleich zu einer horizontalen Gerade im Steigungsdreieck aussieht.

1. Fall \(k = 1\): Einsetzen ergibt \((1-1)x + (1+2)y = 6\), also \(0x + 3y = 6\). Vereinfacht folgt \(y = 2\). Die Gerade liegt parallel zur \(x\)-Achse. 2. Fall \(k = -2\): Einsetzen ergibt \((-2-1)x + (-2+2)y = 6\), also \(-3x + 0y = 6\). Vereinfacht folgt \(x = -2\). Es handelt sich nicht um eine Funktion, da an der Stelle \(x = -2\) keine eindeutige Zuordnung vorliegt (die Gerade verläuft vertikal, ein Eingabewert hätte unendlich viele Ausgabewerte). 3. Steigungen: Für \(k = 1\) (\(y = 2\)) ist die Steigung \(m = 0\). Für \(k = -2\) (\(x = -2\)) ist die Steigung nicht definiert.

1. \(y = 2\); die Gerade ist parallel zur \(x\)-Achse. 2. \(x = -2\); keine Funktion, da die Eindeutigkeit der Zuordnung fehlt (vertikale Gerade). 3. Für \(k=1\): \(m = 0\); für \(k=-2\): Steigung nicht definiert.

- Überlege dir, wie viele 15-Minuten-Blöcke nach der ersten Dreiviertelstunde vergangen sind. - Eine abschnittsweise Funktion definiert für verschiedene Bereiche von \(t\) jeweils eigene Terme. - Wann ändert sich der Preis schlagartig? Das sind deine Grenzen für die Teilintervalle. - Überlege, was passiert, wenn du genau auf der Grenze eines Zeitintervalls liegst (z. B. bei genau 45 Minuten). - Die Sprunghöhe ist der vertikale Abstand zwischen zwei Stufen im Graphen.

1. Aufstellen der abschnittsweisen Funktion durch Identifikation der Zeitintervalle: Für \(0 < t \le 45\) gilt \(K(t) = 5{,}00\). Für \(45 < t \le 60\) gilt \(K(t) = 5{,}00 + 2{,}00 = 7{,}00\). Für \(60 < t \le 75\) gilt \(K(t) = 7{,}00 + 2{,}00 = 9{,}00\). Für \(75 < t \le 90\) gilt \(K(t) = 9{,}00 + 2{,}00 = 11{,}00\). 2. Analyse der Stetigkeit: Die Funktion ist eine Treppenfunktion und somit innerhalb der Intervalle stetig, aber an den Übergangsstellen unstetig. Die Unstetigkeitsstellen (Sprungstellen) liegen bei \(t_1 = 45\), \(t_2 = 60\) und \(t_3 = 75\). An jeder dieser Stellen stimmt der Funktionswert mit dem linksseitigen Grenzwert überein; der rechtsseitige Grenzwert ist jeweils um \(2{,}00\,\text{€}\) größer. Die Sprunghöhe beträgt jeweils \(2{,}00\,\text{€}\) (Differenz der Funktionswerte benachbarter Intervalle).

a) \(K(t) = \begin{cases} 5{,}00 & \text{für } 0 < t \le 45 \\ 7{,}00 & \text{für } 45 < t \le 60 \\ 9{,}00 & \text{für } 60 < t \le 75 \\ 11{,}00 & \text{für } 75 < t \le 90 \end{cases}\) b) Die Funktion ist unstetig an den Sprungstellen \(t \in \{45; 60; 75\}\). Die Sprunghöhe beträgt an jeder dieser Stellen \(2{,}00\,\text{€}\).

- Wenn eine Gerade durch den Ursprung geht, welche Koordinaten kannst du dann für \(x\) und \(y\) einsetzen? - Wie berechnet man die Steigung zwischen zwei bekannten Punkten? - Versuche im zweiten Aufgabenteil, die Steigung \(m\) erst durch die Koordinaten von \(P_1\) auszudrücken und dann in die Formel für \(b\) einzusetzen.

1. Die Punkt-Steigungs-Form lautet \(y - y_1 = m \cdot (x - x_1)\). Mit \(Q(3 | -2)\) ergibt sich \(y - (-2) = m \cdot (x - 3)\). Da die Gerade durch \((0 | 0)\) verläuft, setzt man diese Koordinaten ein: \(0 + 2 = m \cdot (0 - 3) \Rightarrow 2 = -3m \). Daraus folgt \(m = -\frac{2}{3}\). 2. Eine Gerade durch den Ursprung und \(P_1(x_1 | y_1)\) hat die Steigung \(m = \frac{y_1 - 0}{x_1 - 0} = \frac{y_1}{x_1}\). Setzt man diesen Ausdruck für \(m\) in die Formel \(b = y_1 - m \cdot x_1\) ein, erhält man \(b = y_1 - \left(\frac{y_1}{x_1}\right) \cdot x_1\). Durch Kürzen von \(x_1\) ergibt sich \(b = y_1 - y_1 = 0\).

1. \(m = -\frac{2}{3}\) 2. Durch Einsetzen von \(m = \frac{y_1}{x_1}\) in \(b = y_1 - m \cdot x_1\) folgt \(b = y_1 - \frac{y_1}{x_1} \cdot x_1 = 0\).

- Was muss für die Steigung zwischen verschiedenen Punktepaaren gelten, wenn alle Punkte auf derselben Geraden liegen? - Kannst du zuerst die vollständige Funktionsgleichung der Geraden bestimmen, die durch \(A\) und \(B\) verläuft? - Wenn du die Gleichung hast, wie kannst du die fehlende Koordinate eines Punktes berechnen, von dem du den y-Wert kennst?

1. Berechnung der Steigung \(m\) der Geraden durch \(A\) und \(B\): \(m = \frac{-2 - 7}{4 - (-2)} = \frac{-9}{6} = -1{,}5\). 2. Aufstellen der Geradengleichung \(y = mx + b\): Einsetzen von \(A(-2 \mid 7)\) ergibt \(7 = -1{,}5 \cdot (-2) + b \Rightarrow 7 = 3 + b \Rightarrow b = 4\). Die Gleichung ist \(y = -1{,}5x + 4\). 3. Einsetzen der y-Koordinate von \(C\) in die Geradengleichung: \(-5 = -1{,}5x + 4\). 4. Auflösen nach \(x\): \(-9 = -1{,}5x \Rightarrow x = 6\). Alternativer Weg: Über den Ansatz gleicher Steigungen \(\frac{-2 - 7}{4 - (-2)} = \frac{-5 - (-2)}{x - 4}\) führt \(-1{,}5 = \frac{-3}{x - 4}\) ebenfalls zu \(x = 6\).

Der gesuchte Wert ist \(x = 6\).

- Wie berechnet man die Steigung einer Geraden, wenn zwei Punkte bekannt sind? - Welcher mathematische Zusammenhang besteht zwischen den Steigungen zweier Geraden, die senkrecht aufeinander stehen? - Was passiert mit dem Vorzeichen und dem Wert einer Zahl, wenn man den negativen Kehrwert bildet?

1. Berechnung der Steigung der Geraden \(g\) mithilfe der Punktsteigungsformel: \(m_g = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{6 - (-3)}{5 - 2} = \frac{9}{3} = 3\). 2. Anwendung der Bedingung für Orthogonalität zweier Geraden: \(m_g \cdot m_h = -1\). 3. Berechnung der orthogonalen Steigung: \(m_h = -\frac{1}{m_g} = -\frac{1}{3}\).

Die Steigung der orthogonalen Geraden beträgt \(m_h = -\frac{1}{3}\).

- Wie bestimmt man die Steigung einer Geraden, wenn zwei Punkte bekannt sind? - Welche allgemeine Form hat eine Geradengleichung? - Wie kannst du den y-Achsenabschnitt berechnen, wenn du die Steigung und einen Punkt kennst? - Was musst du tun, wenn eine Koordinate eines Punktes auf der Geraden fehlt?

1. Berechnung der Steigung \(m\) mit den Punkten \(A\) und \(B\): \(m = \frac{1 - 4}{5 - (-2{,}5)} = \frac{-3}{7{,}5} = -0{,}4\). 2. Bestimmung des y-Achsenabschnitts \(b\) durch Einsetzen von \(B(5 \mid 1)\) in \(y = mx + b\): \(1 = -0{,}4 \cdot 5 + b \Rightarrow 1 = -2 + b \Rightarrow b = 3\). Die Geradengleichung lautet \(y = -0{,}4x + 3\). 3. Berechnung von \(y_1\): \(y_1 = -0{,}4 \cdot 10 + 3 = -4 + 3 = -1\). 4. Berechnung von \(x_2\): \(6 = -0{,}4 \cdot x_2 + 3 \Rightarrow 3 = -0{,}4 \cdot x_2 \Rightarrow x_2 = -7{,}5\). 5. Berechnung von \(y_3\): \(y_3 = -0{,}4 \cdot 0 + 3 = 3\). 6. Berechnung von \(x_4\): \(0 = -0{,}4 \cdot x_4 + 3 \Rightarrow 0{,}4 \cdot x_4 = 3 \Rightarrow x_4 = 7{,}5\).

\(y_1 = -1\); \(x_2 = -7{,}5\); \(y_3 = 3\); \(x_4 = 7{,}5\)

- Kannst du aus den gegebenen Punkten \(C\) und \(D\) die Funktionsvorschrift \(f(x) = m \cdot x + b\) herleiten? - Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn er auf dem Graphen einer Funktion liegt? - Wie gehst du vor, wenn der Funktionswert \(y\) gegeben ist und das Argument \(x\) gesucht wird?

1. Bestimmung der Steigung \(m\): \(m = \frac{6 - 1}{3 - 1} = \frac{5}{2} = 2{,}5\). 2. Ermittlung des y-Achsenabschnitts \(b\) mit \(C(1 \mid 1)\): \(1 = 2{,}5 \cdot 1 + b \Rightarrow b = -1{,}5\). Die Funktionsgleichung ist \(f(x) = 2{,}5x - 1{,}5\). 3. Berechnung der fehlenden \(y\)-Werte: \(f(4) = 2{,}5 \cdot 4 - 1{,}5 = 8{,}5\); \(f(0) = 2{,}5 \cdot 0 - 1{,}5 = -1{,}5\). 4. Berechnung der fehlenden \(x\)-Werte: \(11 = 2{,}5x - 1{,}5 \Rightarrow 12{,}5 = 2{,}5x \Rightarrow x = 5\); \(0 = 2{,}5x - 1{,}5 \Rightarrow 1{,}5 = 2{,}5x \Rightarrow x = 0{,}6\).

Die fehlenden Werte lauten (in der Reihenfolge der Tabelle): \(y = 8{,}5\) (für \(x=4\)), \(x = 5\) (für \(y=11\)), \(y = -1{,}5\) (für \(x=0\)) und \(x = 0{,}6\) (für \(y=0\)).

- Wie gehst du vor, um die Schnittpunkte mit der x-Achse zu berechnen? - Welche Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen kennst du (z. B. die \(p\)-\(q\)-Formel oder die quadratische Ergänzung)? - Überlege dir, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist. - Wie verhalten sich die Funktionswerte einer nach oben geöffneten Parabel zwischen den Nullstellen?

1. Zur Bestimmung der Nullstellen wird die Gleichung \(0{,}5x^2 + 2x - 6 = 0\) gelöst. Multiplikation mit \(2\) führt auf \(x^2 + 4x - 12 = 0\). Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel ergibt \(x_{1,2} = -2 \pm \sqrt{2^2 - (-12)} = -2 \pm 4\). Die Nullstellen liegen somit bei \(x_1 = -6\) und \(x_2 = 2\). 2. Da der Streckfaktor \(a = 0{,}5\) positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet. Die Funktionswerte sind daher zwischen den Nullstellen negativ und außerhalb der Nullstellen positiv. Positiv: \(x \in (-\infty; -6) \cup (2; \infty)\) Negativ: \(x \in (-6; 2)\)

1. Nullstellen: \(x_1 = -6\) und \(x_2 = 2\) 2. Positiv für \(x < -6\) oder \(x > 2\); negativ für \(-6 < x < 2\).

- Kannst du die Nullstellen direkt durch Umformen der Gleichung bestimmen, ohne die Klammer aufzulösen? - Was sagt das Vorzeichen vor der Klammer über die Öffnung der Parabel aus? - Skizziere dir gedanklich den Verlauf einer nach unten geöffneten Parabel mit zwei Nullstellen.

1. Zur Berechnung der Nullstellen wird \(g(x) = 0\) gesetzt: \(-3(x-1)^2 + 27 = 0\). Dies führt zu \((x-1)^2 = 9\). Das Ziehen der Quadratwurzel ergibt \(x-1 = 3\) oder \(x-1 = -3\). Daraus folgen die Nullstellen \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -2\). 2. Der Leitkoeffizient \(a = -3\) ist negativ, weshalb die Parabel nach unten geöffnet ist. Die Funktionswerte sind somit im Bereich zwischen den Nullstellen positiv. \(g(x) > 0\) für \(x \in (-2; 4)\).

1. Nullstellen: \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 4\) 2. \(g(x) > 0\) für \(-2 < x < 4\); \(g(x) < 0\) für \(x < -2\) oder \(x > 4\).

- Überlege dir zuerst, wie du die Gesamtkosten aus Grundpreis und verbrauchsabhängigem Preis zusammensetzt. - Achte darauf, dass alle Geldbeträge in derselben Einheit (entweder Euro oder Cent) stehen. - Was bedeutet es mathematisch, wenn zwei Tarife „gleich teuer“ sind? - Wie verändert sich eine Gerade im Koordinatensystem, wenn man ihren y-Achsenabschnitt oder ihre Steigung modifiziert?

1. Aufstellen der Kostenfunktionen: \(K_F(x) = 0{,}06x + 120\) und \(K_A(x) = 0{,}045x + 180\). Gleichsetzen: \(0{,}06x + 120 = 0{,}045x + 180\). Subtraktion von \(0{,}045x\) und \(120\) ergibt \(0{,}015x = 60\). Division durch \(0{,}015\) liefert \(x = 4000\). Die Kosten sind bei \(4000\,\text{kWh}\) identisch. 2. Neue Grundgebühr für „Aktiv“: \(180\,\text{€} \cdot 1{,}2 = 216\,\text{€}\). Neue Gleichung: \(0{,}06x + 120 = 0{,}045x + 216\). Dies führt zu \(0{,}015x = 96\). Lösung: \(x = 6400\). Der Wechsel lohnt sich erst ab einem deutlich höheren Verbrauch von \(6400\,\text{kWh}\). 3. Eine Senkung des Arbeitspreises im Tarif „Aktiv“ verringert die Steigung der zugehörigen Geraden. Bei unveränderten übrigen Parametern verschiebt sich der Schnittpunkt zu einem geringeren Verbrauchswert, da die Kostenvorteile des günstigeren Arbeitspreises früher die höhere Grundgebühr ausgleichen.

1. Bei einem Verbrauch von \(4000\,\text{kWh}\) sind die Kosten identisch. 2. Die kritische Verbrauchsmenge steigt auf \(6400\,\text{kWh}\). 3. Bei einer Senkung des Arbeitspreises im Tarif „Aktiv“ verschiebt sich der Schnittpunkt nach links (zu einem niedrigeren Verbrauchswert).

- Was bedeutet es für die Steigungen zweier Geraden, wenn diese senkrecht aufeinander stehen? - Wie kannst du die Steigung einer neuen Geraden berechnen, wenn die Steigung der ursprünglichen Geraden bekannt ist? - Welche Information aus dem Punkt \(P\) musst du in die allgemeine Geradengleichung einsetzen, um den y-Achsenabschnitt zu finden? - Hast du alle Werte für die Steigung und den y-Achsenabschnitt in die Funktionsgleichung eingesetzt?

1. Identifikation der Steigung der gegebenen Funktion \(f\): \(m_f = \frac{3}{7}\). 2. Berechnung der Steigung der dazu orthogonalen Funktion \(g\) unter Verwendung der Bedingung \(m_g \cdot m_f = -1\): \(m_g = -\frac{7}{3}\). 3. Einsetzen der Steigung \(m_g\) und der Koordinaten des Punktes \(P(6|-2)\) in den allgemeinen Ansatz \(y = m \cdot x + n\): \(-2 = -\frac{7}{3} \cdot 6 + n\). 4. Vereinfachung des Terms: \(-2 = -14 + n\). 5. Berechnung des y-Achsenabschnitts: \(n = 12\). 6. Aufstellen der gesuchten Funktionsgleichung: \(g(x) = -\frac{7}{3}x + 12\).

\(g(x) = -\frac{7}{3}x + 12\)

- Wie berechnet man die Steigung einer Geraden, wenn zwei Punkte bekannt sind? - Was weißt du über die Steigungen zweier Geraden, die parallel zueinander verlaufen? - Welchen Ansatz für eine Geradengleichung kannst du nutzen, um die fehlenden Parameter zu bestimmen? - Wie nutzt man einen gegebenen Punkt, um den fehlenden y-Achsenabschnitt einer Geraden zu berechnen?

1. Berechnung der Steigung der Geraden \(l\) mithilfe der gegebenen Punkte \(Q\) und \(R\): \(m_l = \frac{0 - 3}{2 - 0{,}5} = \frac{-3}{1{,}5} = -2\). 2. Bestimmung der Steigung der parallelen Geraden \(k\): Da \(k \parallel l\), gilt \(m_k = m_l = -2\). 3. Einsetzen der Steigung \(m_k\) und der Koordinaten des Punktes \(S(-4|5)\) in die Geradengleichung \(y = m \cdot x + n\): \(5 = -2 \cdot (-4) + n\). 4. Berechnung des y-Achsenabschnitts: \(5 = 8 + n \implies n = -3\). 5. Zusammenführen der Ergebnisse zur fertigen Gleichung: \(y = -2x - 3\).

\(y = -2x - 3\)

- Was passiert mit der Funktionsgleichung, wenn du die Koordinaten der Punkte für \(x\) und \(y\) einsetzt? - Wie kannst du ein System aus zwei Gleichungen lösen, um die unbekannten Werte zu finden? - Welche Bedingung muss für den Funktionswert \(y\) an einer Nullstelle erfüllt sein? - Könnte es hilfreich sein, eine Gleichung von der anderen abzuziehen?

1. Aufstellen eines linearen Gleichungssystems durch Einsetzen der Punktkoordinaten in \(y = a \cdot x^2 + c\): (I) \(1 = a \cdot 2^2 + c \implies 1 = 4a + c\) (II) \(7 = a \cdot 4^2 + c \implies 7 = 16a + c\) 2. Subtraktion von Gleichung (I) von Gleichung (II) zur Elimination von \(c\): \(6 = 12a\), woraus \(a = 0{,}5\) folgt. 3. Einsetzen von \(a = 0{,}5\) in Gleichung (I): \(1 = 4 \cdot 0{,}5 + c \implies 1 = 2 + c\), woraus \(c = -1\) folgt. 4. Ansatz für die Nullstellen \(f(x) = 0\): \(0{,}5x^2 - 1 = 0\). 5. Umformen nach \(x\): \(x^2 = 2\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = \sqrt{2} \approx 1{,}41\) und \(x_2 = -\sqrt{2} \approx -1{,}41\).

Die Parameter sind \(a = 0{,}5\) und \(c = -1\). Die Nullstellen der Funktion liegen bei \(x_1 = \sqrt{2}\) und \(x_2 = -\sqrt{2}\).

- Erinnere dich daran, dass jeder Punkt auf dem Graphen die Funktionsgleichung erfüllen muss. - Wie viele Unbekannte hast du und wie viele Informationen liefern dir die beiden Punkte? - Achte beim Einsetzen negativer Zahlen auf das Quadrieren. - Wenn du die fertige Gleichung hast, wie findest du dann den Wert für ein bestimmtes \(x\) heraus?

1. Einsetzen der Punkte in die Funktionsgleichung: Für \(A(-1 | 4)\): \(4 = a \cdot (-1)^2 + c \implies a + c = 4\) Für \(B(2 | 1)\): \(1 = a \cdot 2^2 + c \implies 4a + c = 1\) 2. Lösen des Gleichungssystems durch Subtraktion: \((4a + c) - (a + c) = 1 - 4 \implies 3a = -3\), also \(a = -1\). 3. Bestimmung von \(c\) durch Einsetzen in die erste Gleichung: \(-1 + c = 4 \implies c = 5\). Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = -x^2 + 5\). 4. Berechnung des Funktionswertes für \(x = 3\): \(g(3) = -(3)^2 + 5 = -9 + 5 = -4\).

Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = -x^2 + 5\). Der Funktionswert an der Stelle \(x = 3\) ist \(g(3) = -4\).

- Multipliziere zuerst alle Klammern aus und fasse den Term so weit wie möglich zusammen. - Woran erkennt man am fertigen Term, welchen Grad die Funktion hat? - Überlege dir, welche Bedingung erfüllt sein muss, damit ein Graph die x-Achse schneidet und nicht nur berührt. - Untersuche die Vielfachheit der berechneten Nullstellen.

1. Term vereinfachen durch Ausmultiplizieren: \((x + 1)(2x - 4) = 2x^2 - 4x + 2x - 4 = 2x^2 - 2x - 4\). 2. Zweiter Teil des Terms mit der binomischen Formel: \((x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4\). 3. Gesamten Funktionsterm zusammenfassen: \(f(x) = (2x^2 - 2x - 4) - (x^2 - 4x + 4) = x^2 + 2x - 8\). Da der Term die Form \(ax^2 + bx + c\) mit \(a \neq 0\) hat, ist \(f\) eine quadratische Funktion. 4. Nullstellen bestimmen: \(x^2 + 2x - 8 = 0\) führt mit der \(p\)-\(q\)-Formel oder Faktorisierung \((x + 4)(x - 2) = 0\) zu \(x_1 = -4\) und \(x_2 = 2\). 5. Art der Nullstellen prüfen: Da es sich um zwei einfache Nullstellen handelt, findet an beiden Stellen ein Vorzeichenwechsel statt.

Die vereinfachte Funktionsgleichung lautet \(f(x) = x^2 + 2x - 8\). Da dies ein Polynom zweiten Grades ist, handelt es sich um eine quadratische Funktion. Ein Vorzeichenwechsel findet an den einfachen Nullstellen \(x = -4\) und \(x = 2\) statt.

- Wie berechnet man die Steigung einer Geraden, wenn zwei Punkte bekannt sind? - Welcher Wert in der Funktionsgleichung gibt an, wo die Gerade die vertikale Achse schneidet? - Was sagt das Vorzeichen der Steigung über die Richtung der Geraden aus? - Wie wirkt sich eine Änderung der Konstante am Ende des Terms auf die Position im Koordinatensystem aus?

1. Berechnung der Steigung \(m\) über den Differenzenquotienten: \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-7 - 5}{4 - (-2)} = \frac{-12}{6} = -2\). 2. Bestimmung des \(y\)-Achsenabschnitts \(b\) durch Einsetzen von Punkt \(A(-2|5)\) in die Funktionsgleichung: \(5 = -2 \cdot (-2) + b \Rightarrow 5 = 4 + b \Rightarrow b = 1\). 3. Interpretation von \(m\): Da \(m = -2\) negativ ist, fällt der Graph der Funktion streng monoton (von links oben nach rechts unten). 4. Veränderung durch \(b\): Eine Verringerung von \(b\) um \(3\) Einheiten bewirkt eine Parallelverschiebung des Graphen um \(3\) Einheiten nach unten in negative \(y\)-Richtung.

1. \(m = -2\) und \(b = 1\). 2. Da \(m < 0\), ist die Funktion streng monoton fallend. 3. Der Graph wird um \(3\) Einheiten nach unten verschoben.

- Welcher Teil der Gleichung hängt von der Nutzung ab, und welcher Teil bleibt immer gleich? - Welche Einheiten könnten die Parameter \(m\) und \(b\) in diesem Beispiel haben? - Wenn du wissen willst, ab wann ein Tarif billiger ist, welches mathematische Zeichen (\(=\), \(<\) oder \(>\)) hilft dir beim Vergleich der Terme? - Wie isoliert man die Variable \(x\) in einer Ungleichung?

1. Identifikation der Parameter: Für Tarif A gilt \(m_A = 0{,}05\) und \(b_A = 10\). Für Tarif B gilt \(m_B = 0{,}08\) und \(b_B = 5\). 2. Kontextuelle Bedeutung: Der Parameter \(m\) entspricht den variablen Kosten pro Gigabyte (Verbrauchspreis in \text{€/GB}), während \(b\) die fixen monatlichen Grundkosten in \text{€} darstellt. 3. Vergleich der Tarife: Um zu finden, wann Tarif A günstiger ist, wird die Ungleichung \(K_A(x) < K_B(x)\) aufgestellt: \(0{,}05x + 10 < 0{,}08x + 5\). 4. Lösen der Ungleichung: Subtraktion von \(0{,}05x\) und \(5\) ergibt \(5 < 0{,}03x\). Division durch \(0{,}03\) liefert \(x > \frac{5}{0{,}03} = \frac{500}{3} \approx 166{,}67\). 5. Ergebnis: Für \(x > \frac{500}{3}\,\text{GB}\), also näherungsweise für Datenmengen über \(166{,}67\,\text{GB}\), ist Tarif A günstiger.

1. Tarif A: \(m = 0{,}05\) (Preis pro \text{GB}), \(b = 10\) (Grundgebühr). Tarif B: \(m = 0{,}08\) (Preis pro \text{GB}), \(b = 5\) (Grundgebühr). 2. Tarif A ist für \(x > \frac{500}{3}\,\text{GB}\), also näherungsweise bei mehr als \(166{,}67\,\text{GB}\), günstiger.

- Erinnere dich an das Hauptmerkmal einer Funktion: Wie viele Ergebnisse darf es für eine einzige Eingabe geben? - Überlege bei Gleichungen, ob das Auflösen nach \(y\) zu mehr als einem möglichen Wert führt. - Welche typischen Bauformen von Funktionstermen kennst du aus dem Unterricht?

1. Überprüfung von \(y^2 = x\): Für \(x > 0\) (z. B. \(x = 4\)) existieren zwei \(y\)-Werte (\(2\) und \(-2\)). Da die Zuordnung nicht eindeutig ist, handelt es sich um keine Funktion. 2. Analyse von \(f(x) = -1{,}5x + 4\): Jedem \(x\) wird genau ein Wert zugeordnet. Es ist eine Funktion der Familie der linearen Funktionen. 3. Analyse von \(h(x) = 2 \cdot \sin(x)\): Jedem \(x\) wird durch die Sinusvorschrift genau ein Funktionswert zugeordnet. Es handelt sich um eine trigonometrische Funktion (Sinusfunktion). 4. Analyse von \(k(x) = x^4 - 2x^2 + 1\): Als Summe von Potenztermen ist die Zuordnung eindeutig. Es handelt sich um eine ganzrationale Funktion (Polynomfunktion) 4. Grades.

a) Keine Funktion (nicht eindeutig, da \(y = \pm \sqrt{x}\)). b) Funktion; lineare Funktion. c) Funktion; trigonometrische Funktion (Sinusfunktion). d) Funktion; ganzrationale Funktion (Polynomfunktion).

- Schau dir an, wie sich die \(y\)-Werte verändern, wenn \(x\) um \(1\) steigt. Ist es ein fester Summand oder ein fester Faktor? - Welcher Wert in der Tabelle hilft dir direkt, den Streckungsfaktor oder Startwert zu finden? - Wie würdest du den Verlauf des Graphen beschreiben, wenn die Werte immer kleiner werden, aber nie negativ?

1. Untersuchung der Änderungsrate: Die Quotienten aufeinanderfolgender Funktionswerte sind konstant (\(6:12 = 0{,}5\); \(3:6 = 0{,}5\)). Dies weist auf eine Exponentialfunktion der Form \(g(x) = a \cdot b^x\) hin. 2. Bestimmung der Parameter: Der Anfangswert bei \(x=0\) ist \(a = 6\). Der Wachstumsfaktor ist \(b = 0{,}5\). Die Gleichung lautet \(g(x) = 6 \cdot 0{,}5^x\). 3. Alternative Darstellung: Grafisch handelt es sich um eine Kurve, die für \(x \to \infty\) die \(x\)-Achse als Asymptote besitzt. Verbal: Ein Bestand von \(6\) Einheiten halbiert sich pro Zeitschritt. 4. Definition einer Funktion: Da die Rechenoperation \(0{,}5^x\) für jede reelle Zahl \(x\) genau ein eindeutiges Ergebnis liefert, ist jedem Element der Definitionsmenge exakt ein Element der Wertemenge zugeordnet.

a) Exponentialfunktion; \(g(x) = 6 \cdot 0{,}5^x\). b) Z. B. verbal: „Ein Anfangswert von 6 halbiert sich bei jedem Schritt.“ oder grafisch: „Ein streng monoton fallender Graph, der sich der x-Achse annähert.“ c) Die Zuordnung ist eindeutig, da für jeden Eingabewert \(x\) durch die Potenzrechnung genau ein Ergebniswert \(g(x)\) berechnet werden kann.

- Welcher Teil der Mitternachtsformel oder \(p\)-\(q\)-Formel gibt an, wie viele Lösungen eine Gleichung hat? - Überlege, was passieren muss, damit der Ausdruck unter der Wurzel positiv, null oder negativ wird. - Kannst du die Bedingung für den Parameter als Ungleichung formulieren? - Wie verhält sich das Quadrat einer Zahl im Vergleich zu einer festen Zahl wie 64?

1. Ansatz der Nullstellengleichung \(x^2 + tx + 16 = 0\). 2. Berechnung der Diskriminante \(D = t^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = t^2 - 64\). 3. Untersuchung der Fälle für \(D\): - Zwei Nullstellen: \(D > 0 \iff t^2 > 64 \iff t < -8\) oder \(t > 8\). - Eine Nullstelle: \(D = 0 \iff t^2 = 64 \iff t = -8\) oder \(t = 8\). - Keine Nullstellen: \(D < 0 \iff t^2 < 64 \iff -8 < t < 8\).

Für \(t < -8\) oder \(t > 8\) gibt es zwei Nullstellen. Für \(t = 8\) oder \(t = -8\) gibt es genau eine Nullstelle. Für \(-8 < t < 8\) gibt es keine Nullstellen.

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Diskriminante und der Anzahl der gemeinsamen Punkte mit der \(x\)-Achse. - Setze die Funktionsgleichung gleich null und betrachte die Diskriminante der resultierenden Gleichung. - Was bewirkt das negative Vorzeichen vor dem \(x^2\) für die Form der Parabel und wie beeinflusst \(k\) die Lage? - Löse die Ungleichungen nach dem Parameter auf, um die Grenzen der Fälle zu finden.

1. Bedingung für Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: \(g_k(x) = 0 \iff -x^2 + 4x + k = 0\). 2. Bestimmung der Diskriminante \(D = 4^2 - 4 \cdot (-1) \cdot k = 16 + 4k\). 3. Fallunterscheidung basierend auf dem Vorzeichen von \(D\): - Zwei Schnittpunkte: \(D > 0 \iff 16 + 4k > 0 \iff 4k > -16 \iff k > -4\). - Ein Schnittpunkt (Berührpunkt): \(D = 0 \iff 16 + 4k = 0 \iff k = -4\). - Keine Schnittpunkte: \(D < 0 \iff 16 + 4k < 0 \iff k < -4\).

Zwei Schnittpunkte für \(k > -4\). Ein Schnittpunkt für \(k = -4\). Keine Schnittpunkte für \(k < -4\).

- Was bedeutet es für die Steigung zweier Geraden, wenn diese parallel zueinander liegen? - Wie gehst du vor, um den \(y\)-Achsenabschnitt zu bestimmen, wenn die Steigung und ein Punkt bekannt sind? - Welche Bedingung muss für die \(y\)-Koordinate an der Stelle gelten, an der ein Graph die \(x\)-Achse schneidet? - Kannst du die berechnete Gleichung nutzen, um den gesuchten Punkt zu finden?

1. Bestimmung der Steigung: Da \(h\) parallel zu \(k\) verläuft, gilt \(m_h = m_k = \frac{2}{3}\). 2. Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts: Einsetzen von \(P(6 \mid 1)\) in \(y = \frac{2}{3}x + b\) ergibt \(1 = \frac{2}{3} \cdot 6 + b\), also \(1 = 4 + b\). Daraus folgt \(b = -3\). Die Funktionsgleichung ist \(h(x) = \frac{2}{3}x - 3\). 3. Berechnung des Schnittpunktes mit der \(x\)-Achse: Bedingung \(h(x) = 0\) setzen: \(0 = \frac{2}{3}x - 3\). Umstellen ergibt \(3 = \frac{2}{3}x\), also \(x = 4{,}5\). Der Schnittpunkt ist \(N(4{,}5 \mid 0)\).

Funktionsgleichung: \(h(x) = \frac{2}{3}x - 3\) Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(N(4{,}5 \mid 0)\)

- Überlege, was passieren würde, wenn der Teil mit dem Quadrat wegfällt. - Welchen Einfluss hat das Vorzeichen vor dem Quadrat auf das Aussehen des Graphen? - Um eine Gleichung mit einem Bruch vor dem \(x^2\) leichter zu lösen, kannst du die gesamte Gleichung multiplizieren. - Kennst du eine Formel, mit der man quadratische Gleichungen der Form \(x^2 + px + q = 0\) lösen kann?

1. Bedingung für \(a\): Es muss \(a \neq 0\) gelten, da die Funktion sonst linear wäre. Ein positives \(a\) bewirkt eine nach oben geöffnete Parabel, ein negatives \(a\) eine nach unten geöffnete. Ist \(|a| > 1\), ist die Parabel gestreckt, bei \(|a| < 1\) gestaucht. 2. Nullstellenberechnung: Ansatz \(f(x) = 0\), also \(\frac{1}{2}x^2 - 2x - 6 = 0\). 3. Normalform herstellen: Multiplikation mit \(2\) ergibt \(x^2 - 4x - 12 = 0\). 4. Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x_{1,2} = - \frac{-4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2 - (-12)} = 2 \pm \sqrt{4 + 12} = 2 \pm \sqrt{16}\). 5. Ergebnisse: \(x_1 = 2 + 4 = 6\) und \(x_2 = 2 - 4 = -2\).

Der Koeffizient \(a\) darf nicht Null sein (\(a \neq 0\)). Er bestimmt die Öffnungsrichtung (positiv: oben, negativ: unten) und die Krümmung (Streckung/Stauchung). Die Nullstellen der Funktion liegen bei \(x_1 = 6\) und \(x_2 = -2\).

- Erinnerst du dich an die Form \(a(x-d)^2 + e\)? Was kann man dort direkt ablesen? - Nutze die binomischen Formeln, um die Klammer aufzulösen. - Wenn du die Nullstellen suchst, musst du den Funktionsterm gleich Null setzen. - Musst du hier unbedingt eine große Formel benutzen, oder lässt sich die Gleichung durch Ausklammern einfacher lösen?

1. Die Funktion ist in der Scheitelpunktform angegeben. Der Scheitelpunkt lässt sich direkt ablesen: \(S(3|18)\). 2. Umwandlung in die allgemeine Form: Ausmultiplizieren mit der zweiten binomischen Formel ergibt \(g(x) = -2(x^2 - 6x + 9) + 18\). Ausmultiplizieren der Klammer liefert \(g(x) = -2x^2 + 12x - 18 + 18\), also \(g(x) = -2x^2 + 12x\). 3. Nullstellenberechnung: Ansatz \(-2x^2 + 12x = 0\). Ausklammern von \(x\) führt zu \(-2x(x - 6) = 0\). Nach dem Satz vom Nullprodukt ergeben sich die Lösungen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 6\). Alternativ kann die Gleichung durch Division durch \(-2\) zu \(x^2 - 6x = 0\) vereinfacht werden.

1. Scheitelpunktform; Scheitelpunkt \(S(3|18)\). 2. Allgemeine Form: \(g(x) = -2x^2 + 12x\). 3. Nullstellen: \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 6\).

- Welchen Wert muss die Steigung von \(f_k\) annehmen, damit sie mit der Steigung von \(g\) übereinstimmt? - Wie hängen die Steigungen zweier Geraden zusammen, die im rechten Winkel zueinander stehen? - Wie berechnet man den gemeinsamen Punkt zweier Funktionsgraphen?

1. Parallelität (a): Die Steigung von \(g\) ist \(m_g = -\frac{1}{3}\). Für Parallelität muss gelten: \(2k - 1 = -\frac{1}{3}\). Auflösen nach \(k\) ergibt \(2k = \frac{2}{3}\), also \(k = \frac{1}{3}\). 2. Orthogonalität (b): Die Bedingung für Orthogonalität lautet \(m_{f_k} \cdot m_g = -1\). Einsetzen ergibt \((2k - 1) \cdot (-\frac{1}{3}) = -1\). Multiplikation mit \(-3\) führt zu \(2k - 1 = 3\), woraus \(2k = 4\) und somit \(k = 2\) folgt. 3. Schnittpunkt (c): Mit \(k = 2\) lautet die Funktionsgleichung \(f_2(x) = 3x + 3\). Gleichsetzen mit \(g(x)\): \(3x + 3 = -\frac{1}{3}x - 2\). Multiplikation mit 3 ergibt \(9x + 9 = -x - 6\), also \(10x = -15\) bzw. \(x = -1{,}5\). Einsetzen in \(f_2\) liefert \(y = 3 \cdot (-1{,}5) + 3 = -1{,}5\). Der Schnittpunkt liegt bei \(S(-1{,}5 \mid -1{,}5)\).

a) \(k = \frac{1}{3}\) b) \(k = 2\) c) \(S(-1{,}5 \mid -1{,}5)\)

- Wie berechnet man die Steigung einer Geraden, wenn zwei Punkte bekannt sind? - Welchen Zusammenhang gibt es zwischen den Steigungen paralleler Geraden? - Was muss für das Produkt der Steigungen zweier Geraden gelten, damit diese orthogonal zueinander sind? - Wie nutzt man einen gegebenen Punkt, um den fehlenden Parameter in einer Geradengleichung zu bestimmen?

1. Berechnung der Steigung von \(f\): \(m_f = \frac{2 - 5}{4 - (-2)} = \frac{-3}{6} = -0{,}5\). Einsetzen von \(B(4 | 2)\) in \(y = -0{,}5x + n\): \(2 = -0{,}5 \cdot 4 + n \implies n = 4\). Somit \(f(x) = -0{,}5x + 4\). 2. Da \(g \parallel f\), gilt \(m_g = m_f = -0{,}5\). Mit dem \(y\)-Achsenabschnitt \(n = -1\) folgt \(g(x) = -0{,}5x - 1\). 3. Für die Steigung der Normalen \(h\) gilt \(m_h = -\frac{1}{m_g} = -\frac{1}{-0{,}5} = 2\). Einsetzen von \(B(4 | 2)\) in \(y = 2x + n_h\): \(2 = 2 \cdot 4 + n_h \implies n_h = -6\). Somit \(h(x) = 2x - 6\).

1. \(f(x) = -0{,}5x + 4\) 2. \(g(x) = -0{,}5x - 1\) 3. \(h(x) = 2x - 6\)

- Was bedeutet die Angabe „Schnittpunkt mit der x-Achse“ für die Koordinaten eines Punktes? - Wie lauten die Koordinaten des Koordinatenursprungs? - Welche Bedingung muss für die Funktionswerte an einem Schnittpunkt zweier Geraden gelten?

1. Parallelität bedeutet gleiche Steigung, also \(m_p = 0{,}5\). Der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ist \(N(4 | 0)\). Einsetzen in \(0 = 0{,}5 \cdot 4 + n_p\) ergibt \(n_p = -2\). Somit \(p(x) = 0{,}5x - 2\). 2. Orthogonalität bedeutet \(m_q = -\frac{1}{m_p} = -\frac{1}{0{,}5} = -2\). Da \(q\) durch den Ursprung verläuft, ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(0\). Somit \(q(x) = -2x\). 3. Gleichsetzen von \(k(x)\) und \(q(x)\): \(0{,}5x + 3 = -2x \implies 2{,}5x = -3 \implies x = -1{,}2\). Einsetzen in \(q(x)\): \(y = -2 \cdot (-1{,}2) = 2{,}4\). Der Schnittpunkt ist \(S(-1{,}2 | 2{,}4)\).

1. \(p(x) = 0{,}5x - 2\) 2. \(q(x) = -2x\) 3. \(S(-1{,}2 | 2{,}4)\)

- Erinnere dich an die verschiedenen Formen einer quadratischen Gleichung. Wie findet man den tiefsten oder höchsten Punkt? - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt auf einer Kurve liegt? - Wie prüft man, ob ein spezieller Punkt wie der Ursprung auf einer Geraden liegt?

1. Bestimmung des Scheitelpunkts durch quadratische Ergänzung oder die Formel \(x_s = -\frac{b}{2a}\): \(x_s = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2\). Einsetzen ergibt \(f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 5 = 1\). Der Scheitelpunkt ist \(S(2 | 1)\). 2. Punktprobe für \(P(3 | 2)\): \(f(3) = 3^2 - 4 \cdot 3 + 5 = 9 - 12 + 5 = 2\). Da \(2 = 2\), liegt der Punkt auf dem Graphen. 3. Bestimmung der Tangentengleichung \(y = mx + n\): Mit \(m = 2\) und \(P(3 | 2)\) folgt \(2 = 2 \cdot 3 + n \implies 2 = 6 + n \implies n = -4\). Die Gleichung ist \(t(x) = 2x - 4\). 4. Überprüfung des Ursprungs \(O(0 | 0)\): Einsetzen von \(x = 0\) ergibt \(t(0) = 2 \cdot 0 - 4 = -4\). Da \(-4 \neq 0\), verläuft die Tangente nicht durch den Ursprung.

a) \(S(2 | 1)\) b) Ja, da \(f(3) = 2\). c) \(t(x) = 2x - 4\). Die Tangente verläuft nicht durch den Ursprung, da \(t(0) = -4 \neq 0\).

- Welche Formel hilft dir, die Nullstellen einer quadratischen Gleichung direkt zu berechnen? - Wie hängen die Nullstellen einer Parabel mit der \(x\)-Koordinate ihres Scheitelpunkts zusammen? - Überlege dir, wo der Scheitelpunkt im Koordinatensystem liegt. In welche Richtung muss die Parabel geöffnet sein, damit sie die \(x\)-Achse nie berührt oder schneidet? - Die Scheitelpunktform \(y = a(x - x_S)^2 + y_S\) ist hier besonders hilfreich.

1. Nullstellenberechnung: Ansatz \(2x^2 + 12x + 14 = 0\). Division durch \(2\) ergibt \(x^2 + 6x + 7 = 0\). 2. Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x_{1,2} = -3 \pm \sqrt{3^2 - 7} = -3 \pm \sqrt{2}\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = -3 + \sqrt{2}\) und \(x_2 = -3 - \sqrt{2}\). 3. Scheitelpunktbestimmung: Die \(x\)-Koordinate liegt mittig zwischen den Nullstellen bei \(x_S = -3\). Einsetzen in \(f(x)\) ergibt \(y_S = 2(-3)^2 + 12(-3) + 14 = 18 - 36 + 14 = -4\). Der Scheitelpunkt ist \(S(-3|-4)\). 4. Konstruktion von \(g\): Da der Scheitelpunkt \(S(-3|-4)\) unterhalb der \(x\)-Achse liegt (\(y_S < 0\)), darf die Parabel keine Punkte oberhalb des Scheitelpunkts besitzen, um keine Nullstellen zu haben. Sie muss also nach unten geöffnet sein. 5. Mögliche Gleichung: \(g(x) = -(x + 3)^2 - 4\) (oder jeder andere negative Streckfaktor \(a < 0\)).

a) \(x_1 = -3 + \sqrt{2}\) und \(x_2 = -3 - \sqrt{2}\) b) Scheitelpunkt: \(S(-3|-4)\). Eine mögliche Funktionsgleichung ist \(g(x) = -(x + 3)^2 - 4\). Da der Scheitelpunkt unterhalb der \(x\)-Achse liegt und die Parabel nach unten geöffnet ist (\(a = -1\)), erreicht sie die \(x\)-Achse nie.

- Überlege dir zuerst, wie viel horizontale Strecke und wie viel Höhenunterschied im zweiten Abschnitt jeweils zurückgelegt werden. - Die Steigung einer Geraden berechnest du als Verhältnis von vertikaler zu horizontaler Änderung. - Achte beim Aufstellen der zweiten Funktionsgleichung darauf, dass diese an der Nahtstelle den richtigen Höhenwert liefert. - Prüfe bei den Berechnungen in c) und d), in welchem der beiden Abschnitte der gesuchte Wert liegt.

1. Berechnung der Steigungen: Für den ersten Abschnitt gilt \(m_1 = \frac{30\,\text{m}}{150\,\text{m}} = 0{,}2\). Für den zweiten Abschnitt beträgt die zusätzliche Höhendifferenz \(130\,\text{m} - 30\,\text{m} = 100\,\text{m}\) auf einer horizontalen Strecke von \(400\,\text{m} - 150\,\text{m} = 250\,\text{m}\). Daraus folgt \(m_2 = \frac{100\,\text{m}}{250\,\text{m}} = 0{,}4\). 2. Funktionsgleichungen: Für \(0 \le x \le 150\) gilt \(h(x) = 0{,}2x\). Für \(150 < x \le 400\) ergibt sich mit der Punkt-Steigungs-Form durch den Punkt \((150|30)\): \(h(x) = 0{,}4 \cdot (x - 150) + 30 = 0{,}4x - 30\). 3. Höhe bei \(x = 250\): Da \(250 > 150\), wird der zweite Funktionsterm genutzt: \(h(250) = 0{,}4 \cdot 250 - 30 = 100 - 30 = 70\). Die Höhe beträgt \(70\,\text{m}\). 4. Entfernung für \(h = 90\): Da \(90 > 30\), liegt der Punkt im zweiten Abschnitt: \(90 = 0{,}4x - 30 \Rightarrow 120 = 0{,}4x \Rightarrow x = 300\). Die Entfernung beträgt \(300\,\text{m}\).

a) \(m_1 = 0{,}2\); \(m_2 = 0{,}4\) b) \(h(x) = 0{,}2x\) für \(0 \le x \le 150\) und \(h(x) = 0{,}4x - 30\) für \(150 < x \le 400\) c) \(70\,\text{m}\) d) \(300\,\text{m}\)

- Teile den Verlauf in zwei lineare Funktionen auf und bestimme jeweils Steigung und Achsenabschnitt (oder nutze die Punkt-Steigungs-Form). - Achte darauf, bei welchem \(x\)-Wert der Übergang zwischen den beiden Geradenstücken stattfindet. - Um \(x\) bei gegebener Höhe zu finden, musst du die passende Gleichung nach \(x\) umstellen. - Die durchschnittliche Steigung entspricht der Steigung einer gedachten direkten Verbindungslinie vom Start- zum Endpunkt.

1. Funktionsgleichungen: Im ersten Abschnitt (\(0 \le x \le 50\)) ist die Steigung \(m_1 = \frac{15}{50} = 0{,}3\), also \(h(x) = 0{,}3x\). Im zweiten Abschnitt (\(50 < x \le 150\)) beträgt die Steigung \(m_2 = \frac{75-15}{150-50} = \frac{60}{100} = 0{,}6\). Die Gleichung lautet \(h(x) = 0{,}6(x - 50) + 15 = 0{,}6x - 15\). 2. Tabellenwerte: - Für \(x = 20\): \(h_1 = 0{,}3 \cdot 20 = 6\). - Für \(h = 9\): Da \(9 < 15\), gilt \(0{,}3x = 9 \Rightarrow x_2 = 30\). - Für \(x = 100\): Da \(100 > 50\), gilt \(h_3 = 0{,}6 \cdot 100 - 15 = 45\). - Für \(h = 60\): Da \(60 > 15\), gilt \(0{,}6x - 15 = 60 \Rightarrow 0{,}6x = 75 \Rightarrow x_4 = 125\). 3. Durchschnittliche Steigung: Gesamthöhe durch Gesamtdistanz ergibt \(\bar{m} = \frac{75\,\text{m}}{150\,\text{m}} = 0{,}5\).

a) \(h(x) = \begin{cases} 0{,}3x & \text{für } 0 \le x \le 50 \\ 0{,}6x - 15 & \text{für } 50 < x \le 150 \end{cases}\) b) \(h_1 = 6\); \(x_2 = 30\); \(h_3 = 45\); \(x_4 = 125\) c) \(0{,}5\) (oder \(50\,\%\))

- Wie findet man bei einer quadratischen Funktion den tiefsten Punkt? - Achte auf die Einheiten: Was bedeutet ein Funktionswert von 1 in diesem Sachzusammenhang? - Um eine Änderung zu berechnen, subtrahiere den Funktionswert am Anfangspunkt vom Funktionswert am Endpunkt. - Betrachte die Differenzen der Kosten: Werden die Schritte von einer Einheit zur nächsten größer oder kleiner?

1. Bestimmung des Minimums: Die Kostenfunktion ist eine nach oben geöffnete Parabel. Die Stelle des Minimums (Scheitelpunkt) liegt bei \(x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2 \cdot 0{,}5} = 12\). 2. Berechnung der minimalen Kosten: Einsetzen von \(x = 12\) in die Funktion ergibt \(K(12) = 0{,}5 \cdot 12^2 - 12 \cdot 12 + 120 = 72 - 144 + 120 = 48\). Da \(K\) in \(100\,\text{€}\) angegeben ist, entsprechen \(48\) Einheiten einem Betrag von \(4\,800\,\text{€}\). 3. Kostenunterschied für \(x=14\) zu \(x=15\): \(K(15) = 0{,}5 \cdot 15^2 - 12 \cdot 15 + 120 = 52{,}5\) und \(K(14) = 0{,}5 \cdot 14^2 - 12 \cdot 14 + 120 = 50\). Die Differenz beträgt \(2{,}5\) Einheiten, also \(250\,\text{€}\). 4. Kostenunterschied für \(x=18\) zu \(x=19\): \(K(19) = 0{,}5 \cdot 19^2 - 12 \cdot 19 + 120 = 72{,}5\) und \(K(18) = 0{,}5 \cdot 18^2 - 12 \cdot 18 + 120 = 66\). Die Differenz beträgt \(6{,}5\) Einheiten, also \(650\,\text{€}\). 5. Vergleich: Der Kostenanstieg pro zusätzlicher Mengeneinheit wird immer größer, die Kostenfunktion wächst rechts vom Minimum überproportional (die Grenzkosten steigen).

a) Das Minimum liegt bei \(x = 12\,\text{ME}\). Die minimalen Kosten betragen \(4\,800\,\text{€}\). b) Der Kostenunterschied beträgt \(250\,\text{€}\). c) Der Kostenunterschied bei der Erhöhung von \(18\) auf \(19\,\text{ME}\) beträgt \(650\,\text{€}\). Die Kosten steigen bei zunehmender Produktionsmenge immer schneller an (der Anstieg wird steiler).

- Setze die gegebenen Werte für die Geschwindigkeit direkt in die Funktionsgleichung ein. - Der Bremsweg wächst quadratisch mit der Geschwindigkeit. Überprüfe, ob sich der Bremsweg verdoppelt, wenn sich die Geschwindigkeit verdoppelt. - Um die Geschwindigkeit bei einem gegebenen Bremsweg zu finden, musst du eine quadratische Gleichung lösen. - Welche der mathematischen Lösungen für die Geschwindigkeit macht in der Realität Sinn?

1. Berechnung der Bremswege: \(s(60) = 0{,}01 \cdot 60^2 + 0{,}2 \cdot 60 = 36 + 12 = 48\,\text{m}\). Für \(120\,\text{km/h}\) gilt: \(s(120) = 0{,}01 \cdot 120^2 + 0{,}2 \cdot 120 = 144 + 24 = 168\,\text{m}\). 2. Zunahme berechnen: \(s(100) = 0{,}01 \cdot 100^2 + 0{,}2 \cdot 100 = 100 + 20 = 120\,\text{m}\). \(s(110) = 0{,}01 \cdot 110^2 + 0{,}2 \cdot 110 = 121 + 22 = 143\,\text{m}\). Die Zunahme beträgt \(143 - 120 = 23\,\text{m}\). 3. Berechnung der Geschwindigkeit für \(120\,\text{m}\): Setze \(s(v) = 120\). Es ergibt sich \(0{,}01 v^2 + 0{,}2 v - 120 = 0\). Multiplikation mit \(100\) führt zu \(v^2 + 20 v - 12\,000 = 0\). Anwendung der \(p-q\)-Formel: \(v = -10 \pm \sqrt{10^2 - (-12\,000)} = -10 \pm \sqrt{12\,100} = -10 \pm 110\). Die physikalisch sinnvolle Lösung ist \(v = 100\,\text{km/h}\).

a) Bei \(60\,\text{km/h}\) beträgt der Bremsweg \(48\,\text{m}\), bei \(120\,\text{km/h}\) sind es \(168\,\text{m}\). b) Der Bremsweg verlängert sich um \(23\,\text{m}\). c) Bei einer Geschwindigkeit von \(100\,\text{km/h}\) beträgt der Bremsweg genau \(120\,\text{m}\).

- Der Grad einer Funktion entspricht dem höchsten vorkommenden Exponenten der Variablen. - Der Leitkoeffizient ist die Zahl, die vor der Potenz mit dem höchsten Exponenten steht. - Achte darauf, Terme zuerst vollständig auszumultiplizieren und zu ordnen. - Unterscheide genau zwischen Potenzfunktionen (Basis ist die Variable) und Exponentialfunktionen (Exponent ist die Variable).

1. Identifikation ganzrationaler Funktionen anhand der Exponentenstruktur: a) \( g_1(x) \): Alle Exponenten sind natürliche Zahlen. Grad \( n = 3 \), Leitkoeffizient \( a_3 = 0{,}2 \). b) \( g_2(x) \): Variable im Nenner führt auf eine gebrochen-rationale Funktion. (Nicht ganzrational) c) \( g_3(x) \): Ausmultiplizieren ergibt \( 2x^2 - x^3 - 2 + x = -x^3 + 2x^2 + x - 2 \). Grad \( n = 3 \), Leitkoeffizient \( a_3 = -1 \). d) \( g_4(x) \): Enthält einen Exponentialterm \( 3^x \). (Nicht ganzrational) e) \( g_5(x) \): Umformung zu \( \frac{1}{8}x^4 - \pi x \). Grad \( n = 4 \), Leitkoeffizient \( a_4 = \frac{1}{8} = 0{,}125 \).

a) Ganzrational; Grad 3; Leitkoeffizient \( 0{,}2 \) b) Nicht ganzrational c) Ganzrational; Grad 3; Leitkoeffizient \( -1 \) d) Nicht ganzrational e) Ganzrational; Grad 4; Leitkoeffizient \( \frac{1}{8} \) (oder \( 0{,}125 \))

- Untersuche, wie sich das Verhältnis der Funktionswerte zum Verhältnis der \(x\)-Werte verhält. - Überlege, welcher Funktionstyp vorliegt, wenn die Funktionswerte schneller wachsen als die \(x\)-Werte. - Versuche, zuerst den Exponenten zu bestimmen, indem du zwei Gleichungen durcheinander dividierst. - Wie kannst du den Vorfaktor berechnen, wenn du den Exponenten bereits kennst?

1. Ansatz der Funktionsgleichung: \(g(x) = a \cdot x^n\). 2. Bestimmung des Exponenten \(n\) durch Division zweier Funktionswerte: \(\frac{g(3)}{g(2)} = \frac{22{,}5}{10} = 2{,}25\). Entsprechend dem Ansatz gilt \(\frac{a \cdot 3^n}{a \cdot 2^n} = \left(\frac{3}{2}\right)^n = 1{,}5^n\). 3. Lösen der Gleichung \(1{,}5^n = 2{,}25\): Da \(1{,}5^2 = 2{,}25\), folgt \(n = 2\). 4. Berechnung des Parameters \(a\) durch Einsetzen eines Punktes, z. B. \((2|10)\): \(10 = a \cdot 2^2 \implies 10 = 4a \implies a = 2{,}5\). 5. Überprüfung mit dem dritten Wert: \(g(5) = 2{,}5 \cdot 5^2 = 2{,}5 \cdot 25 = 62{,}5\). Das Ergebnis stimmt mit der Tabelle überein.

\(g(x) = 2{,}5 \cdot x^2\)

- Betrachte, was mit dem Funktionswert passiert, wenn sich der \(x\)-Wert verdoppelt. - Ein Wert, der bei steigendem \(x\) kleiner wird, deutet auf einen negativen Exponenten hin. - Setze den einfachsten Punkt aus der Tabelle ein, um den Parameter \(a\) zu finden. - Kannst du die Beziehung als Bruch schreiben?

1. Analyse der Wertepaare: Beim Verdoppeln des Abstands von \(d=1\) auf \(d=2\) viertelt sich die Intensität (\(100 \cdot 0{,}25 = 25\)). Beim erneuten Verdoppeln von \(d=2\) auf \(d=4\) viertelt sie sich erneut (\(25 \cdot 0{,}25 = 6{,}25\)). 2. Bestimmung des Exponenten \(n\): Das Verhältnis der \(d\)-Werte ist \(2\), das Verhältnis der \(I\)-Werte ist \(\frac{1}{4}\). Aus \(2^n = \frac{1}{4}\) folgt \(n = -2\). 3. Berechnung des Parameters \(a\) mit dem Punkt \((1|100)\): \(100 = a \cdot 1^{-2} \implies 100 = a \cdot 1 \implies a = 100\). 4. Aufstellen der Gleichung: \(I(d) = 100 \cdot d^{-2}\) oder \(I(d) = \frac{100}{d^2}\).

\(I(d) = 100 \cdot d^{-2}\) (oder \(I(d) = \frac{100}{d^2}\))

- Wie hängen die Koordinaten des Scheitelpunkts vom Parameter ab? - Kannst du den Parameter aus der Gleichung für die x-Koordinate eliminieren? - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt „oberhalb“ einer waagerechten Geraden liegt? - Denk daran, beim Lösen von quadratischen Ungleichungen die Form der zugehörigen Parabel zu berücksichtigen.

1. Bestimmung der Scheitelpunktkoordinaten: Das Nullsetzen der ersten Ableitung \(p_k^{\prime}(x) = 2x - 2k\) ergibt die \(x\)-Koordinate \(x = k\). Einsetzen in \(p_k(x)\) liefert die \(y\)-Koordinate \(y = k^2 - 2k^2 + 3k = -k^2 + 3k\). Der Scheitelpunkt ist somit \(S(k \mid -k^2 + 3k)\). 2. Ermittlung der Ortskurve: Aus \(x = k\) folgt durch Einsetzen in den Ausdruck für \(y\): \(y = -x^2 + 3x\). Die Ortskurve ist eine Parabel mit der Gleichung \(y = -x^2 + 3x\). 3. Bedingung für die Lage des Scheitelpunkts: Die Bedingung \(y > 2\) führt auf die Ungleichung \(-k^2 + 3k > 2\), was äquivalent zu \(k^2 - 3k + 2 < 0\) ist. 4. Lösen der Ungleichung: Die Nullstellen von \(k^2 - 3k + 2 = 0\) sind \(k_1 = 1\) und \(k_2 = 2\). Da die nach oben geöffnete Parabel \(k^2 - 3k + 2\) zwischen ihren Nullstellen negative Werte annimmt, gilt die Bedingung für \(1 < k < 2\).

a) Die Ortskurve hat die Gleichung \(y = -x^2 + 3x\). b) Der Scheitelpunkt liegt für \(1 < k < 2\) oberhalb der Geraden \(y = 2\).

- Wie gehst du vor, wenn ein Punkt für jedes beliebige \(k\) die gleiche Gleichung erfüllen soll? - Was bedeutet es für die Nullstellen einer Funktion, wenn der Graph die \(x\)-Achse an einer Stelle nur berührt und nicht schneidet? - Kannst du den Funktionsterm faktorisieren, um die Nullstellen leichter abzulesen? - Welche Bedingung muss für die Funktionswerte \(f(x)\) und \(f(-x)\) gelten, damit Punktsymmetrie vorliegt?

1. Zur Bestimmung der gemeinsamen Punkte werden zwei Funktionsterme der Schar mit unterschiedlichen Parametern \(k_1\) und \(k_2\) gleichgesetzt: \(x^3 - k_1x^2 - 4x + 4k_1 = x^3 - k_2x^2 - 4x + 4k_2\). 2. Vereinfachung der Gleichung führt zu \(k_1(4 - x^2) = k_2(4 - x^2)\), woraus folgt \((k_1 - k_2)(4 - x^2) = 0\). Da \(k_1 \neq k_2\), muss \(4 - x^2 = 0\) gelten, also \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). 3. Durch Einsetzen in \(f_k(x)\) erhält man für beide Stellen den Funktionswert \(y = 0\). Die gemeinsamen Punkte sind \(P_1(2|0)\) und \(P_2(-2|0)\). 4. Ein Berührpunkt mit der \(x\)-Achse liegt vor, wenn eine mehrfache Nullstelle existiert. Der Funktionsterm lässt sich als \(f_k(x) = (x^2 - 4)(x - k) = (x - 2)(x + 2)(x - k)\) schreiben. 5. Eine doppelte Nullstelle tritt auf, wenn \(k = 2\) oder \(k = -2\). Für \(k = 2\) ist der Berührpunkt \(B_1(2|0)\), für \(k = -2\) ist der Berührpunkt \(B_2(-2|0)\). 6. Für \(k = 0\) lautet die Funktion \(f_0(x) = x^3 - 4x\). Die Bedingung für Punktsymmetrie zum Ursprung ist \(f_0(-x) = -f_0(x)\). Einsetzen ergibt \((-x)^3 - 4(-x) = -x^3 + 4x = -(x^3 - 4x)\), womit die Symmetrie bewiesen ist.

a) Die gemeinsamen Punkte sind \(P_1(2|0)\) und \(P_2(-2|0)\). b) Für \(k = 2\) liegt ein Berührpunkt bei \(B_1(2|0)\). Für \(k = -2\) liegt ein Berührpunkt bei \(B_2(-2|0)\). c) \(f_0(-x) = (-x)^3 - 4(-x) = -x^3 + 4x = -(x^3 - 4x) = -f_0(x)\). Die Bedingung für Punktsymmetrie zum Ursprung ist erfüllt.

- Versuche, den Funktionsterm zu faktorisieren. - Welche Bedeutung hat eine Nullstelle gerader Vielfachheit für den Verlauf des Graphen an der \(x\)-Achse? - Wie hängen die Funktionsterme \(f_a(x)\) und \(f_{-a}(x)\) zusammen, wenn du \(x\) durch \(-x\) ersetzt? - Welche mathematische Bedingung beschreibt eine Punktsymmetrie zweier Graphen zum Ursprung?

1. Zunächst wird der Funktionsterm faktorisiert: \(f_a(x) = x^3 - 3ax^2 + 4a^3 = (x - 2a)^2(x + a)\). 2. Damit besitzt jeder Graph die Nullstelle \(x = 2a\) mit gerader Vielfachheit. Eine Nullstelle gerader Vielfachheit bedeutet, dass der Graph die \(x\)-Achse dort berührt und nicht schneidet. Der Berührpunkt ist also \(B(2a | 0)\). 3. Für den Nachweis der Symmetrie zwischen \(f_a\) und \(f_{-a}\) wird geprüft, ob \(f_a(-x) = -f_{-a}(x)\) gilt. 4. Linke Seite: \(f_a(-x) = (-x)^3 - 3a(-x)^2 + 4a^3 = -x^3 - 3ax^2 + 4a^3\). 5. Rechte Seite: \(-f_{-a}(x) = -(x^3 - 3(-a)x^2 + 4(-a)^3) = -(x^3 + 3ax^2 - 4a^3) = -x^3 - 3ax^2 + 4a^3\). 6. Da beide Seiten für alle \(x\) übereinstimmen, liegen die Graphen punktsymmetrisch zum Ursprung zueinander.

a) Da \(f_a(x) = (x - 2a)^2(x + a)\) gilt, besitzt jeder Graph bei \(x = 2a\) eine Nullstelle gerader Vielfachheit und berührt dort die \(x\)-Achse; der Berührpunkt ist \(B(2a | 0)\). b) Es gilt \(f_a(-x) = -f_{-a}(x)\), woraus die Punktsymmetrie der beiden Graphen zum Koordinatenursprung folgt.

- Bei einer Parabel ist der Berührpunkt mit der \(x\)-Achse immer der Scheitelpunkt. Wie kannst du diesen finden? - Du kannst die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion mit der Diskriminante bestimmen. - Versuche, den Funktionsterm durch Ausklammern oder binomische Formeln zu vereinfachen. - Was bedeutet die Gleichung \(g_k(-x) = -g_{-k}(x)\) für die Punkte auf den Graphen? Wenn ein Punkt \((x | y)\) auf dem einen Graphen liegt, welcher Punkt liegt dann auf dem anderen?

1. Ein Berührpunkt mit der \(x\)-Achse liegt vor, wenn die quadratische Gleichung \(g_k(x) = 0\) genau eine Lösung besitzt. 2. Die Gleichung \(\frac{1}{k}x^2 - 4x + 4k = 0\) ist äquivalent zu \(x^2 - 4kx + 4k^2 = 0\) (Multiplikation mit \(k \neq 0\)). 3. Mithilfe der zweiten binomischen Formel ergibt sich \((x - 2k)^2 = 0\), woraus die einzige Lösung \(x = 2k\) folgt. Der Berührpunkt ist somit \(B_k(2k | 0)\). 4. Alternativ führt die Diskriminante \(D = (-4)^2 - 4 \cdot \frac{1}{k} \cdot 4k = 16 - 16 = 0\) zum selben Ergebnis. 5. Für den Symmetrienachweis: \(g_k(-x) = \frac{1}{k}(-x)^2 - 4(-x) + 4k = \frac{1}{k}x^2 + 4x + 4k\). 6. Vergleich mit \(-g_{-k}(x) = -(\frac{1}{-k}x^2 - 4x + 4(-k)) = -(-\frac{1}{k}x^2 - 4x - 4k) = \frac{1}{k}x^2 + 4x + 4k\). 7. Da \(g_k(-x) = -g_{-k}(x)\) erfüllt ist, sind die Graphen von \(g_k\) und \(g_{-k}\) punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung zueinander.

a) Aus \(\frac{1}{k}(x-2k)^2 = 0\) folgt der einzige Berührpunkt \(B_k(2k | 0)\). b) Der Nachweis erfolgt durch Einsetzen und Termvergleich; geometrisch bedeutet dies, dass die Graphen von \(g_k\) und \(g_{-k}\) punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung zueinander liegen.

- Überlege, was ein „Auftreffen auf dem Boden“ mathematisch für die Funktionswerte bedeutet. - Wie hängen die Nullstellen einer Parabel mit der Position ihres höchsten Punktes zusammen? - Stelle eine Ungleichung auf, die den Zusammenhang zwischen der Reichweite und dem Beckenrand beschreibt.

1. Zur Bestimmung der Auftreffstelle wird die Nullstelle von \(f_k(x)\) berechnet: \(0{,}8x - \frac{k}{100}x^2 = 0\). Ausklammern von \(x\) liefert \(x \cdot (0{,}8 - \frac{k}{100}x) = 0\). Die positive Nullstelle liegt bei \(x_N = \frac{80}{k}\). 2. Damit das Wasser innerhalb des Beckens bleibt, muss die Nullstelle kleiner oder gleich dem Radius sein: \(\frac{80}{k} \le 16\). Umstellen nach \(k\) ergibt \(k \ge 5\). Der kleinstmögliche Wert ist somit \(k = 5\). 3. Für \(k = 5\) lautet die Funktionsgleichung \(f_5(x) = 0{,}8x - 0{,}05x^2\). Die maximale Höhe befindet sich am Scheitelpunkt. Da die Nullstellen bei \(0\) und \(16\) liegen, befindet sich die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts bei \(x_S = 8\). 4. Einsetzen von \(x_S = 8\) in \(f_5(x)\) ergibt die maximale Höhe: \(f_5(8) = 0{,}8 \cdot 8 - 0{,}05 \cdot 8^2 = 6{,}4 - 3{,}2 = 3{,}2\). Die maximale Höhe beträgt \(3{,}2\,\text{m}\).

a) Der kleinstmögliche Wert ist \(k = 5\). b) Die maximale Höhe der Fontäne beträgt \(3{,}2\,\text{m}\).

- Wie kannst du mathematisch ausdrücken, dass ein Punkt für jeden beliebigen Wert von \(k\) auf dem Graphen liegt? - Was muss für den Term gelten, der mit \(k\) multipliziert wird, damit das Ergebnis unabhängig von \(k\) ist? - Überlege dir, wie viele Lösungen die Gleichung \(f_k(x) = 0\) haben kann und welche Rolle die Diskriminante dabei spielt. - Beachte, dass \(x = 0\) bereits als Lösung feststeht. Welche Bedingungen müssen dann für den quadratischen Teil gelten?

1. Um die gemeinsamen Punkte zu finden, setzt man zwei Funktionsterme mit unterschiedlichen Parametern \(k_1 \neq k_2\) gleich: \(x^3 + k_1(x^2 - 6x) = x^3 + k_2(x^2 - 6x)\). Dies vereinfacht sich zu \((k_1 - k_2)(x^2 - 6x) = 0\). Da \(k_1 \neq k_2\), muss \(x^2 - 6x = 0\) gelten, woraus \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 6\) folgen. Die Funktionswerte sind \(f_k(0) = 0\) und \(f_k(6) = 6^3 + k(36 - 36) = 216\). Die gemeinsamen Punkte sind somit \(P_1(0|0)\) und \(P_2(6|216)\). 2. Die Nullstellen von \(f_k\) sind die Lösungen von \(x(x^2 + kx - 6k) = 0\). Eine Nullstelle ist stets \(x = 0\). Damit genau zwei verschiedene Schnittpunkte vorliegen, muss die quadratische Gleichung \(x^2 + kx - 6k = 0\) entweder eine doppelte Nullstelle ungleich Null haben oder zwei Nullstellen, von denen eine Null ist. Fall 1 (Doppelte Nullstelle): Die Diskriminante \(D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6k) = k^2 + 24k\) muss Null sein. \(k^2 + 24k = 0\) liefert \(k = 0\) oder \(k = -24\). Für \(k = 0\) ist \(f_0(x) = x^3\) mit nur einer Nullstelle bei \(x=0\). Für \(k = -24\) ergibt sich die quadratische Gleichung \(x^2 - 24x + 144 = (x-12)^2 = 0\), also die doppelte Nullstelle \(x=12\). Damit hat \(G_{-24}\) genau zwei Schnittpunkte: \((0|0)\) und \((12|0)\). Fall 2 (Eine Nullstelle ist Null): Einsetzen von \(x=0\) in \(x^2 + kx - 6k = 0\) ergibt \(-6k = 0\), also \(k = 0\). Wie bereits gezeigt, hat \(G_0\) nur einen Schnittpunkt. Der gesuchte Wert ist somit \(k = -24\).

1. Gemeinsame Punkte: \(P_1(0|0)\) und \(P_2(6|216)\). 2. Der Wert ist \(k = -24\).

- Prüfe, ob der Funktionswert an einer bestimmten Stelle unabhängig vom Parameter ist. - Nutze die notwendige und die hinreichende Bedingung für lokale Extrema. - Stelle die \(x\)-Koordinate des Hochpunkts nach dem Parameter um und setze diesen Ausdruck in die \(y\)-Koordinate ein. - Überlege dir, welchen Wertebereich die \(x\)-Koordinate der Hochpunkte annehmen kann, da der Parameter eingeschränkt ist.

1. Berechnung des Funktionswerts an der Stelle \(0\): \(g_a(0) = \sqrt{a} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0^2 = 0\). Damit verlaufen alle Graphen durch \((0|0)\). 2. Ableitung bilden: \(g_a^{\prime}(x) = \sqrt{a} - x\). Nullsetzen der ersten Ableitung liefert die Extremstelle \(x = \sqrt{a}\). 3. Überprüfung mit der zweiten Ableitung: \(g_a^{\prime\prime}(x) = -1\). Da \(-1 < 0\), liegt an der Stelle \(x = \sqrt{a}\) ein Hochpunkt vor. 4. \(y\)-Koordinate des Hochpunkts berechnen: \(g_a(\sqrt{a}) = \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} - \frac{1}{2}(\sqrt{a})^2 = a - \frac{1}{2}a = \frac{1}{2}a\). Der Hochpunkt ist \(H_a(\sqrt{a} \mid \frac{1}{2}a)\). 5. Ortskurve bestimmen: Aus \(x = \sqrt{a}\) folgt \(a = x^2\) (für \(x > 0\)). Einsetzen in \(y = \frac{1}{2}a\) ergibt \(y = \frac{1}{2}x^2\).

a) Nachweis durch \(g_a(0) = 0\). b) Hochpunkt: \(H_a(\sqrt{a} \mid \frac{1}{2}a)\) c) Ortskurve: \(y = \frac{1}{2}x^2\) (für \(x > 0\))

- Überlege zuerst, wie viele volle und angebrochene Zeitblöcke in der Gesamtdauer enthalten sind. - „Angefangene 30 Minuten“ bedeutet, dass jede Sekunde über die Grenze hinaus einen neuen vollen Block berechnet. - Setze eine Gleichung oder Ungleichung an, um herauszufinden, ab welchem Block die Summe der Einzelpreise das Maximum überschreitet.

1. Berechnung für \(145\,\text{Minuten}\): Die Anzahl der \(30\)-Minuten-Intervalle beträgt \(145 : 30 \approx 4{,}83\), also sind \(5\) Intervalle angebrochen. Kosten: \(2{,}50\,\text{€}\) (1. Intervall) + \(4 \cdot 1{,}50\,\text{€} = 6{,}00\,\text{€}\). Gesamtkosten: \(8{,}50\,\text{€}\). 2. Ermittlung der Zeit für den Maximalpreis: Gesucht ist das Intervall \(n\), für das gilt: \(2{,}50 + (n-1) \cdot 1{,}50 \ge 12{,}00\). Daraus folgt \(1{,}50 \cdot (n-1) \ge 9{,}50\), also \(n \ge 7{,}33\). Damit wird der Deckel im \(8\). Intervall erreicht. 3. Das \(8\). Intervall beginnt erst für Zeiten größer als \(7 \cdot 30 = 210\,\text{Minuten}\). Bei minutengenauer Abrechnung ist der erste ganze Minutenwert daher \(211\,\text{Minuten}\). 4. Beschreibung: Es handelt sich um eine monotone, stückweise konstante Funktion (Treppenfunktion) mit Sprungstellen alle \(30\,\text{Minuten}\), die für \(x > 210\,\text{Minuten}\) konstant bei \(12{,}00\,\text{€}\) verläuft.

a) \(8{,}50\,\text{€}\). b) Für jede Nutzungsdauer \(x > 210\,\text{Minuten}\); bei minutengenauer Abrechnung ab \(211\,\text{Minuten}\). c) Es handelt sich um eine Treppenfunktion (stückweise konstante Funktion).

- Erinnere dich an die Definition des Logarithmus: Welche Zahl hoch die Basis ergibt den Wert? - Achte bei Wurzeln und Logarithmen auf den Definitionsbereich. - Wenn \(x^2\) ein Ergebnis liefert, gibt es oft zwei mögliche Werte für \(x\). - Wie löst man eine Gleichung auf, in der die Unbekannte im Nenner oder unter einer Wurzel steht?

1. Punktprobe durch Einsetzen der x-Werte: (1) \(\log_2(8)=3 \implies A\) liegt auf (1). \(\log_2(x)\) ist für \(x \le 0\) nicht definiert, \(\log_2(2)=1 \neq 0{,}5\). (2) \(\frac{2}{(-2)^2} = 0{,}5 \implies B\) liegt auf (2). \(\frac{2}{2^2} = 0{,}5 \implies D\) liegt auf (2). (3) \(\sqrt{0+4} = 2 \implies C\) liegt auf (3). 2. Berechnung der Lücken für \(P(1|y)\): (1) \(y = \log_2(1) = 0\) (2) \(y = \frac{2}{1^2} = 2\) (3) \(y = \sqrt{1+4} = \sqrt{5} \approx 2{,}24\) 3. Berechnung der Lücken für \(Q(x|4)\): (1) \(4 = \log_2(x) \implies x = 2^4 = 16\) (2) \(4 = \frac{2}{x^2} \implies x^2 = 0{,}5 \implies x = \pm\sqrt{0{,}5} \approx \pm 0{,}707\) (3) \(4 = \sqrt{x+4} \implies 16 = x+4 \implies x = 12\)

a) \(A\) liegt auf (1); \(B\) und \(D\) liegen auf (2); \(C\) liegt auf (3). b) Für \(P(1|y)\): (1) \(y=0\), (2) \(y=2\), (3) \(y=\sqrt{5}\). Für \(Q(x|4)\): (1) \(x=16\), (2) \(x=\pm\sqrt{0{,}5}\), (3) \(x=12\).

- Was bedeutet „aufgerundet“ mathematisch für die Kostenberechnung in Tarif A? - Erstelle für Tarif A eine kleine Wertetabelle oder eine abschnittsweise Definition, um den Überblick zu behalten. - Um herauszufinden, wann ein Tarif günstiger ist, kannst du eine Ungleichung aufstellen. - Da Tarif A eine Treppenfunktion ist, ist es hilfreich, die Untersuchung für jedes Kilogramm-Intervall einzeln durchzuführen.

1. Berechnung der Werte für Aufgabenteil a): Für \(x = 0{,}5\): Tarif A: \(2 \cdot 1 = 2{,}00\,\text{€}\); Tarif B: \(1{,}5 \cdot 0{,}5 + 1 = 1{,}75\,\text{€}\). Für \(x = 1{,}0\): Tarif A: \(2 \cdot 1 = 2{,}00\,\text{€}\); Tarif B: \(1{,}5 \cdot 1{,}0 + 1 = 2{,}50\,\text{€}\). Für \(x = 2{,}2\): Tarif A: \(2 \cdot 3 = 6{,}00\,\text{€}\); Tarif B: \(1{,}5 \cdot 2{,}2 + 1 = 4{,}30\,\text{€}\). 2. Lösung der Ungleichung \(f(x) < g(x)\) für Aufgabenteil b): Betrachtung der Intervalle \((k-1; k]\) für \(k \in \{1, 2, 3, 4, 5\}\). Intervall \((0; 1]\): \(2 < 1{,}5x + 1 \Rightarrow 1 < 1{,}5x \Rightarrow x > \frac{2}{3}\). Also \(x \in (\frac{2}{3}; 1]\). Intervall \((1; 2]\): \(4 < 1{,}5x + 1 \Rightarrow 3 < 1{,}5x \Rightarrow x > 2\). Keine Lösung in diesem Intervall. Intervall \((2; 3]\): \(6 < 1{,}5x + 1 \Rightarrow 5 < 1{,}5x \Rightarrow x > \frac{10}{3} \approx 3{,}33\). Keine Lösung in diesem Intervall, da \(x \le 3\). Für höhere Intervalle wächst der Wert von Tarif A schneller als der von Tarif B, sodass keine weiteren Lösungen existieren.

a) \(0{,}5\,\text{kg}\): A: \(2{,}00\,\text{€}\), B: \(1{,}75\,\text{€}\); \(1{,}0\,\text{kg}\): A: \(2{,}00\,\text{€}\), B: \(2{,}50\,\text{€}\); \(2{,}2\,\text{kg}\): A: \(6{,}00\,\text{€}\), B: \(4{,}30\,\text{€}\). b) Tarif A ist für \(\frac{2}{3} < x \le 1\) (ca. \(0{,}67\,\text{kg} < x \le 1\,\text{kg}\)) günstiger als Tarif B.

- Behandle den Parameter \(a\) beim Rechnen wie eine normale Zahl. - Denk daran, dass du Brüche kürzen kannst, wenn im Zähler und Nenner derselbe Faktor steht. - Was bedeutet es für die Steigung, wenn sich der Parameter beim Berechnen des Differenzenquotienten herauskürzt? - Wie gehst du vor, um den Schnittpunkt mit der x-Achse zu berechnen?

1. Berechnung der Steigung \(m\) mit den Koordinaten der Punkte \(P\) und \(Q\): \(m = \frac{8a - 2a}{3a - a} = \frac{6a}{2a} = 3\). Da sich \(a\) kürzt, ist die Steigung \(m = 3\) konstant und unabhängig von \(a\). 2. Bestimmung des \(y\)-Achsenabschnitts \(b_a\) durch Einsetzen von \(P(a \mid 2a)\) in \(y = 3x + b_a\): \(2a = 3 \cdot a + b_a \Rightarrow b_a = -a\). Die Funktionsgleichung lautet \(f_a(x) = 3x - a\). 3. Berechnung der Nullstelle durch Nullsetzen des Funktionsterms: \(0 = 3x - a \Rightarrow 3x = a \Rightarrow x = \frac{a}{3}\).

a) \(f_a(x) = 3x - a\) b) Die Steigung \(m = 3\) ist unabhängig von \(a\). c) Die Nullstelle liegt bei \(x = \frac{a}{3}\).

- Ein Bündelpunkt ist ein Punkt, den alle Funktionen einer Schar gemeinsam haben, unabhängig vom Parameter. - Du kannst den Term der Funktionsschar so umformen, dass der Parameter ausgeklammert wird. Was muss für die Klammer gelten, damit das Ergebnis unabhängig vom Parameter ist? - Setze für den zweiten Teil den konkreten Verbrauchswert in die Funktionsgleichung ein und betrachte das Ergebnis als Funktion des Parameters.

1. Um den Bündelpunkt zu finden, setzt man zwei Funktionen der Schar mit unterschiedlichen Parametern \(p_1\) und \(p_2\) gleich: \(p_1 x + 300 - 2000p_1 = p_2 x + 300 - 2000p_2\). Umformen ergibt \((p_1 - p_2)x = 2000(p_1 - p_2)\). Da \(p_1 \neq p_2\), folgt \(x = 2000\). Einsetzen in die Schar: \(K_p(2000) = p \cdot 2000 + 300 - 2000p = 300\). Der Bündelpunkt liegt bei \((2000; 300)\). Das bedeutet, dass bei einem Verbrauch von exakt \(2000\,\text{kWh}\) die Wahl des Arbeitspreises keinen Einfluss auf die Gesamtkosten hat; diese betragen immer \(300\,\text{€}\). 2. Für \(x = 3500\) gilt: \(K_p(3500) = 3500p + 300 - 2000p = 1500p + 300\). Da der Koeffizient von \(p\) positiv ist (\(1500\)), steigen die Gesamtkosten mit wachsendem \(p\). Somit ist für diesen Kunden ein möglichst niedriger Arbeitspreis \(p\) am günstigsten.

1. Bündelpunkt bei \(B(2000|300)\). Bei \(2000\,\text{kWh}\) Verbrauch zahlt jeder Kunde \(300\,\text{€}\), egal welcher Arbeitspreis gewählt wurde. 2. Ein niedriger Arbeitspreis \(p\) ist bei diesem Verbrauch kostengünstiger.

- Nutze die binomischen Formeln, um die Klammern effizient aufzulösen. - Was passiert mit den Termen, die eine höhere Potenz als \(x^2\) haben? - Erinnere dich an den Unterschied zwischen dem „Schneiden“ und dem „Berühren“ der x-Achse im Kontext von Nullstellen. - Wie verhält sich das Vorzeichen eines quadrierten Ausdrucks wie \((x - a)^2\)?

1. Anwendung der dritten binomischen Formel auf den ersten Teil: \((x^2 - 3)(x^2 + 3) = x^4 - 9\). 2. Vereinfachung des ersten Abschnitts: \(x^4 - (x^4 - 9) = 9\). 3. Anwendung der zweiten binomischen Formel auf den zweiten Teil: \((x - 5)^2 = x^2 - 10x + 25\). 4. Zusammenfassen des gesamten Terms: \(h(x) = 9 + x^2 - 10x + 25 - 9 = x^2 - 10x + 25\). Dies ist eine quadratische Funktion. 5. Faktorisierung des Ergebnisses: \(h(x) = (x - 5)^2\). 6. Bestimmung der Nullstelle: Es gibt eine doppelte Nullstelle bei \(x = 5\). 7. Da es eine Nullstelle mit gerader Vielfachheit ist (der Graph berührt die x-Achse nur), tritt an der Stelle \(x = 5\) kein Vorzeichenwechsel auf. Es gibt somit keine Stelle mit Vorzeichenwechsel.

Durch Vereinfachung ergibt sich \(h(x) = x^2 - 10x + 25\), was eine quadratische Funktion ist. Da \(h(x) = (x - 5)^2\) nur eine doppelte Nullstelle bei \(x = 5\) besitzt, findet an keiner Stelle ein Vorzeichenwechsel statt.

- Wie findet man den tiefsten oder höchsten Punkt einer Parabel mithilfe der Ableitung? - Kannst du eine Beziehung zwischen der x- und y-Koordinate des Scheitelpunkts herstellen, die nicht mehr vom Parameter abhängt? - Erinnere dich an die Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten in einem Koordinatensystem. - Es ist oft einfacher, das Quadrat des Abstands zu minimieren, um Wurzeln bei der Ableitung zu vermeiden. - Könnte eine Ersetzung (Substitution) eines Terms durch eine neue Variable die Rechnung vereinfachen?

1. Die erste Ableitung \(g_t^{\prime}(x) = 2tx - 4\) wird null gesetzt: \(2tx = 4 \implies x_S = \frac{2}{t}\). Der \(y\)-Wert des Scheitelpunkts ergibt sich durch Einsetzen: \(y_S = g_t(\frac{2}{t}) = t \cdot (\frac{2}{t})^2 - 4 \cdot \frac{2}{t} = \frac{4}{t} - \frac{8}{t} = -\frac{4}{t}\). Der Scheitelpunkt ist \(S_t(\frac{2}{t} | -\frac{4}{t})\). 2. Aus \(x = \frac{2}{t}\) folgt \(t = \frac{2}{x}\). Einsetzen in \(y = -\frac{4}{t}\) ergibt \(y = -\frac{4}{2/x} = -2x\). Da \(t > 0\), gilt \(x > 0\). Die Ortskurve ist \(y = -2x\) für \(x > 0\). 3. Das Quadrat des Abstands zwischen \(S_t(\frac{2}{t} | -\frac{4}{t})\) und \(Q(0|-5)\) ist \(d^2(t) = (\frac{2}{t} - 0)^2 + (-\frac{4}{t} - (-5))^2 = \frac{4}{t^2} + (5 - \frac{4}{t})^2\). Mit der Substitution \(z = \frac{1}{t}\) (wobei \(z > 0\)) erhält man die Funktion \(h(z) = (2z)^2 + (5 - 4z)^2 = 4z^2 + 25 - 40z + 16z^2 = 20z^2 - 40z + 25\). Das Minimum dieser nach oben geöffneten Parabel liegt bei \(z = -\frac{-40}{2 \cdot 20} = 1\). Aus \(\frac{1}{t} = 1\) folgt \(t = 1\). Der gesuchte Scheitelpunkt ist \(S_1(2 | -4)\).

1. \(S_t(\frac{2}{t} | -\frac{4}{t})\) 2. \(y = -2x\) (für \(x > 0\)) 3. Der Scheitelpunkt \(S_1(2 | -4)\) hat für \(t = 1\) den minimalen Abstand.