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- Wann wird ein Produkt aus mehreren Faktoren null? - Was musst du bei Wurzeln beachten, damit der Ausdruck überhaupt berechnet werden kann? - Welche der potenziellen Nullstellen liegen im gemeinsamen Definitionsbereich?

1. Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist. Die potenziellen Nullstellen sind \(x = 0\), \(x = -3\) und \(x = 2\). 2. Wir müssen prüfen, ob diese Werte im Definitionsbereich des gesamten Ausdrucks liegen. Alle Radikanden müssen gleichzeitig nicht negativ sein: \(x \ge 0\), \(x \ge -3\) und \(x \le 2\). 3. Daraus ergibt sich der gemeinsame Definitionsbereich \(D = [0; 2]\). 4. Die Werte \(x = 0\) und \(x = 2\) liegen im Definitionsbereich und machen jeweils einen Faktor null. Der Wert \(x = -3\) liegt außerhalb des Definitionsbereichs. Es gibt also 2 Lösungen.

Die Gleichung besitzt 2 Lösungen.

- Welche besondere Bedeutung hat die Gerade \(y = 3\) für den Graphen der Funktion? - Was passiert rechnerisch, wenn du versuchst, den Schnittpunkt zu berechnen? - Skizziere grob den Verlauf an den Polstellen und im Unendlichen. - Gibt es einen Bereich von Funktionswerten, der nie erreicht wird?

1. Nachweis der Schnittpunktfreiheit: Die Gerade \(y = 3\) entspricht der waagerechten Asymptote von \(g\). Der Ansatz \(g(x) = 3\) führt auf \(\frac{3x^2}{x^2 - 1} = 3\). Durch Multiplikation mit \(x^2 - 1\) erhält man \(3x^2 = 3(x^2 - 1)\), also \(3x^2 = 3x^2 - 3\). Dies liefert den Widerspruch \(0 = -3\), womit kein Schnittpunkt existiert. 2. Bestimmung der Wertemenge: - Außerhalb der Definitionslücken \(x = \pm 1\): Für \(|x| > 1\) ist der Nenner positiv. Da \(3x^2 > 3(x^2 - 1)\), gilt \(g(x) > 3\). Da die Funktion für \(x \to \infty\) gegen \(3\) strebt und an den Polstellen gegen \(+\infty\) geht, ist das Teilintervall \(]3; \infty[\) in \(W_g\). - Zwischen den Polstellen: Für \(-1 < x < 1\) ist der Nenner \(x^2 - 1\) negativ und der Zähler \(3x^2 \ge 0\). Es gilt \(g(x) \le 0\). Das Maximum liegt bei \(g(0) = 0\). Da die Funktion an den Polstellen gegen \(-\infty\) geht, ist das Teilintervall \(]-\infty; 0]\) in \(W_g\). 3. Gesamte Wertemenge: \(W_g = ]-\infty; 0] \cup ]3; \infty[\) bzw. \(W_g = \mathbb{R} \setminus ]0; 3]\).

a) Die Gleichung \(g(x) = 3\) hat keine Lösung (\(0 = -3\)). b) \(W_g = \mathbb{R} \setminus ]0; 3]\) (oder \(W_g = ]-\infty; 0] \cup ]3; \infty[\)).

- Versuche den Zähler so umzuschreiben, dass er ein Vielfaches des Nenners enthält. - Welche Werte kann der Ausdruck \(x^2 + 2\) im Nenner annehmen? - Wie verhält sich ein Bruch, wenn sein Nenner immer größer wird, aber der Zähler konstant bleibt? - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn \(x\) sehr große positive oder negative Werte annimmt?

1. Forme den Funktionsterm so um, dass \(x\) nur noch an einer Stelle vorkommt: \(g(x) = \frac{x^2 + 2 - 6}{x^2 + 2} = 1 - \frac{6}{x^2 + 2}\). 2. Bestimme den Wertebereich des Nenners: Da \(x^2 \geq 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), gilt \(x^2 + 2 \geq 2\). Der Nenner nimmt also alle Werte im Intervall \([2; \infty[\) an. 3. Bestimme den Wertebereich des Bruchs \(\frac{6}{x^2 + 2}\): Wenn der Nenner von \(2\) bis unendlich läuft, nimmt der Quotient alle Werte im Intervall \(]0; 3]\) an (da \(\frac{6}{2} = 3\) und \(\lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^2+2} = 0\)). 4. Bestimme den Wertebereich der gesamten Funktion: Subtrahiere diese Werte von \(1\). Es ergibt sich \(1 - 3 \leq g(x) < 1 - 0\), also \(-2 \leq g(x) < 1\). Damit ist \(W_g = [-2; 1[\).

Durch die Umformung \(g(x) = 1 - \frac{6}{x^2 + 2}\) lässt sich zeigen, dass der Subtrahend \(\frac{6}{x^2 + 2}\) Werte im Intervall \(]0; 3]\) annimmt. Daraus ergibt sich für die Funktionswerte das Intervall \(W_g = [1 - 3; 1 - 0[ = [-2; 1[\).

- Worauf musst du achten, wenn du eine Wurzel aus einem Term ziehst? Welche Werte darf der Ausdruck unter der Wurzel annehmen? - Wie prüfst du mathematisch, ob ein gegebener Punkt mit einer \(x\)- und einer \(y\)-Koordinate zu einer Funktionsgleichung passt? - Was bedeutet es für einen Punkt, wenn sein \(x\)-Wert gar nicht in die Funktion eingesetzt werden darf?

1. Zur Bestimmung des Definitionsbereichs muss der Radikand nichtnegativ sein: \(4x + 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -0{,}25\). Somit gilt \(D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq -0{,}25\}\). 2. Durchführung der Punktproben durch Einsetzen der \(x\)-Werte in \(f(x)\): - Für \(A(0 \mid -1)\): \(f(0) = \sqrt{4 \cdot 0 + 1} - 2 = 1 - 2 = -1\). Der Punkt \(A\) liegt auf dem Graphen. - Für \(B(2 \mid 1)\): \(f(2) = \sqrt{4 \cdot 2 + 1} - 2 = 3 - 2 = 1\). Der Punkt \(B\) liegt auf dem Graphen. - Für \(C(-1 \mid -1)\): Da \(-1 < -0{,}25\), liegt \(x = -1\) nicht im Definitionsbereich. Der Punkt \(C\) liegt nicht auf dem Graphen. - Für \(D(0{,}75 \mid 0)\): \(f(0{,}75) = \sqrt{4 \cdot 0{,}75 + 1} - 2 = \sqrt{4} - 2 = 0\). Der Punkt \(D\) liegt auf dem Graphen. - Für \(E(6 \mid 3)\): \(f(6) = \sqrt{4 \cdot 6 + 1} - 2 = 5 - 2 = 3\). Der Punkt \(E\) liegt auf dem Graphen.

1. \(D_f = [-0{,}25; \infty[\) 2. Die Punkte \(A\), \(B\), \(D\) und \(E\) liegen auf dem Graphen. Der Punkt \(C\) liegt nicht auf dem Graphen, da sein \(x\)-Wert außerhalb des Definitionsbereichs liegt.

- Welche zwei mathematischen Regeln schränken den Definitionsbereich hier ein? Denke an die Wurzel und den Nenner. - Kannst du den Dezimalbruch \(0{,}25\) als gewöhnlichen Bruch schreiben, um die Wurzel einfacher zu ziehen? - Was passiert mit dem Wert eines Bruchs, wenn der Nenner sehr klein wird?

1. Für die Funktion \(g(x)\) muss der Radikand \(x\) im Nenner positiv sein (\(x > 0\)). Einerseits darf die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht gezogen werden, andererseits führt \(x = 0\) zu einer Division durch Null (\(\frac{4}{0}\)), was nicht definiert ist. Daher ist \(0\) nicht im Definitionsbereich enthalten. 2. Punktproben durch Einsetzen: - \(A(1 \mid 4)\): \(g(1) = \frac{4}{\sqrt{1}} = 4\). Punkt \(A\) liegt auf dem Graphen der Funktion. - \(B(4 \mid 2)\): \(g(4) = \frac{4}{\sqrt{4}} = \frac{4}{2} = 2\). Punkt \(B\) liegt auf dem Graphen der Funktion. - \(C(0{,}25 \mid 8)\): \(g(0{,}25) = \frac{4}{\sqrt{0{,}25}} = \frac{4}{0{,}5} = 8\). Punkt \(C\) liegt auf dem Graphen der Funktion. - \(D(16 \mid 1)\): \(g(16) = \frac{4}{\sqrt{16}} = \frac{4}{4} = 1\). Punkt \(D\) liegt auf dem Graphen der Funktion.

1. Der Punkt \(P(0 \mid 0)\) liegt nicht auf dem Graphen, da \(x = 0\) zu einer Division durch Null führen würde und somit nicht im Definitionsbereich liegt. 2. Alle geprüften Punkte \(A\), \(B\), \(C\) und \(D\) liegen auf dem Graphen der Funktion \(g\).

- Für welche Werte ist eine Quadratwurzelfunktion der Form \(\sqrt{y}\) im reellen Bereich definiert? Schau dir dazu den Funktionswert an der Stelle \(x = 4\) im Graphen an. - Um \(g(2)\) zu bestimmen, ermittle zuerst den Funktionswert \(f(2)\) aus dem Graphen und setze ihn in die Definition von \(g(x)\) ein. - Überlege dir für Aufgabenteil b): Wann ist eine Zahl gleich ihrer eigenen Quadratwurzel? Welche beiden Werte kann der Funktionswert \(f(x)\) an den Schnittpunkten annehmen? - Lies die x-Werte für diese beiden Fälle direkt am Graphen ab.

1. Teilaufgabe a): Der Definitionsbereich \(D_g\) der Wurzelfunktion \(g(x) = \sqrt{f(x)}\) umfasst alle reellen Zahlen, für die der Radikand nichtnegativ ist, also \(f(x) \ge 0\). Aus der Abbildung liest man für \(x = 4\) den Funktionswert \(f(4) = -2{,}5\) ab. Da dieser Funktionswert negativ ist, ist die Quadratwurzel nicht definiert, weshalb \(4 \notin D_g\) gilt. Für den Funktionswert \(g(2)\) liest man zunächst \(f(2) = 1\) aus der Abbildung ab. Damit ergibt sich \(g(2) = \sqrt{f(2)} = \sqrt{1} = 1\). 2. Teilaufgabe b): Die Schnittpunkte der Graphen von \(f\) und \(g\) liegen an den Stellen \(x \in D_g\), für die \(f(x) = g(x)\) gilt, also \(f(x) = \sqrt{f(x)}\). Quadrieren beider Seiten unter der Bedingung \(f(x) \ge 0\) führt zu \(f(x)^2 = f(x) \implies f(x) \cdot (f(x) - 1) = 0\). Die Lösungen sind somit die Stellen, an denen \(f(x) = 0\) oder \(f(x) = 1\) gilt. Aus der Abbildung liest man diese Werte im Intervall \([-4; 4]\) ab: - Für \(f(x) = 0\): \(x = -2\), \(x = -1\) und \(x = 3\). - Für \(f(x) = 1\): \(x = -3\), \(x = 1\) und \(x = 2\). An all diesen Stellen ist \(f(x) \ge 0\), sie liegen also im Definitionsbereich \(D_g\). Die gesuchten \(x\)-Koordinaten sind somit \(-3\), \(-2\), \(-1\), \(1\), \(2\) und \(3\).

a) Da \(f(4) = -2{,}5 < 0\) ist, ist der Radikand unter der Wurzel negativ, weshalb \(x = 4\) nicht im Definitionsbereich von \(g\) liegt. Der Funktionswert ist \(g(2) = 1\). b) Die x-Koordinaten der Schnittpunkte im Intervall \([-4; 4]\) sind \(x \in \{-3; -2; -1; 1; 2; 3\}\).

- Setze den Funktionsterm gleich einer Variablen \(y\). - Versuche, diese Gleichung so umzustellen, dass \(x\) alleine auf einer Seite steht. - Überlege dir, welche Werte für \(y\) in deinem neuen Ausdruck nicht erlaubt sind. - Warum lässt sich die Gleichung für einen ganz bestimmten Wert von \(y\) nicht lösen?

1. Um die Wertemenge zu bestimmen, untersuchen wir, für welche Werte \(y\) die Gleichung \(y = \frac{3x}{x+4}\) nach \(x\) auflösbar ist. 2. Umstellen der Gleichung: \(y(x + 4) = 3x \implies yx + 4y = 3x\). 3. Sortieren nach \(x\): \(yx - 3x = -4y \implies x(y - 3) = -4y\). 4. Auflösen nach \(x\): \(x = \frac{-4y}{y - 3}\). 5. Definitionsprüfung: Dieser Ausdruck für \(x\) ist für alle \(y \in \mathbb{R}\) definiert, außer für \(y = 3\), da man nicht durch Null teilen darf. 6. Prüfung der Definitionslücke: Wäre \(x = -4\), so müsste gelten \(-4 = \frac{-4y}{y - 3} \implies -4(y - 3) = -4y \implies -4y + 12 = -4y \implies 12 = 0\), was ein Widerspruch ist. Somit ist der für \(y \neq 3\) berechnete Wert von \(x\) nie gleich \(-4\); die Definitionslücke schließt also keinen weiteren Wert von \(y\) aus. 7. Ergebnis: Die Wertemenge ist \(W_h = \mathbb{R} \setminus \{3\}\).

Die Gleichung \(y = \frac{3x}{x+4}\) lässt sich zu \(x = \frac{-4y}{y - 3}\) umformen. Da dieser Ausdruck für \(y = 3\) nicht definiert ist und für \(y = 3\) die ursprüngliche Gleichung zu einem Widerspruch führt (\(3x = 3x + 12\)), ist \(3\) kein Element der Wertemenge. Für alle anderen \(y\) existiert ein \(x\), also ist \(W_h = \mathbb{R} \setminus \{3\}\).

- Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner den Wert Null annimmt? - Wie hängen die Funktionswerte von \(f\) und \(g\) an einer festen Stelle \(x\) zusammen? - Wenn zwei Graphen sich schneiden, müssen ihre Funktionswerte an dieser Stelle gleich sein. Welche Bedingung muss \(f(x)\) also erfüllen, damit \(f(x) = \frac{1}{f(x)}\) gilt? - Suche im Graphen nach Stellen, an denen die y-Werte besonders einfach zu invertieren sind (z. B. 1 oder -1).

1. Der Definitionsbereich \(D_g\) umfasst alle \(x\), für die der Nenner \(f(x) \neq 0\) ist. Da der Graph \(G_f\) eine Nullstelle bei \(x = 0\) hat (Schnittpunkt mit der x-Achse im Ursprung), ist \(f(0) = 0\). Eine Division durch Null ist nicht definiert, daher ist \(x = 0 \notin D_g\). 2. Aus der Abbildung lässt sich der Funktionswert \(f(2) = 3\) ablesen. Damit ergibt sich \(g(2) = \frac{1}{f(2)} = \frac{1}{3}\). 3. Für die Schnittpunkte von \(G_f\) und \(G_g\) muss gelten: \(f(x) = g(x) = \frac{1}{f(x)}\). Dies führt auf die Gleichung \(f(x)^2 = 1\), also \(f(x) = 1\) oder \(f(x) = -1\). 4. In der Abbildung erkennt man, dass der Graph \(G_f\) den Wert \(1\) an der Stelle \(x = 1\) und den Wert \(-1\) an der Stelle \(x = -1\) annimmt. Die gesuchten x-Koordinaten sind somit \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 1\).

a) Da \(f(0) = 0\) ist, wäre der Ausdruck \(g(0) = \frac{1}{0}\) nicht definiert; somit ist \(x = 0 \notin D_g\). Aus dem Graphen liest man \(f(2) = 3\) ab, woraus \(g(2) = \frac{1}{3}\) folgt. b) Die Graphen schneiden sich, wenn \(f(x) = \frac{1}{f(x)}\), also \(f(x) = 1\) oder \(f(x) = -1\). Laut Abbildung ist dies für \(x = -1\) und \(x = 1\) der Fall.

- Für welche Zahlen ist das Ziehen einer Quadratwurzel im Bereich der reellen Zahlen erlaubt? - Schau dir an, in welchem Bereich der Graph von \(f\) auf oder oberhalb der x-Achse liegt. - Überlege dir, welche Zahlen gleich ihrer eigenen Quadratwurzel sind. Das hilft dir bei der Suche nach den Schnittpunkten. - Kannst du die Stellen im Graphen finden, an denen \(f(x)\) den Wert 0 oder 1 annimmt?

1. Die Wurzelfunktion ist nur für Radikanden größer oder gleich Null definiert. Es muss also \(f(x) \ge 0\) gelten. Aus der Abbildung ist ersichtlich, dass der Graph \(G_f\) im Intervall \([0; 2]\) oberhalb oder auf der x-Achse verläuft. Somit ist \(D_h = [0; 2]\). 2. Aus dem Graphen liest man für \(x = 1\) den Funktionswert \(f(1) = 1\) ab. Damit gilt \(h(1) = \sqrt{f(1)} = \sqrt{1} = 1\). 3. Schnittpunkte liegen vor, wenn \(f(x) = h(x) = \sqrt{f(x)}\). Quadrieren beider Seiten ergibt \(f(x)^2 = f(x)\), was zu \(f(x)^2 - f(x) = 0\) bzw. \(f(x) \cdot (f(x) - 1) = 0\) umgeformt werden kann. 4. Die Lösungen sind \(f(x) = 0\) oder \(f(x) = 1\). Laut Graph ist \(f(x) = 0\) bei \(x = 0\) und \(x = 2\). Der Wert \(f(x) = 1\) wird bei \(x = 1\) erreicht. Die x-Koordinaten der Schnittpunkte sind somit \(0\), \(1\) und \(2\).

a) Da der Radikand nicht negativ sein darf, muss \(f(x) \ge 0\) gelten. Dies ist laut Graph für \(x \in [0; 2]\) der Fall. b) Es ist \(f(1) = 1\), also \(h(1) = \sqrt{1} = 1\). c) Die Bedingung \(f(x) = \sqrt{f(x)}\) ist für \(f(x) = 0\) oder \(f(x) = 1\) erfüllt. Dies entspricht den Stellen \(x = 0\), \(x = 1\) und \(x = 2\).

- Schau dir den Ausdruck unter der Wurzel genau an. Welchen kleinsten Wert kann dieser annehmen? - Erinnere dich an die quadratische Ergänzung, um den Scheitelpunkt der Parabel unter der Wurzel zu finden. - Wie verhält sich die Wurzelfunktion, wenn ihre Eingabewerte immer größer werden? - Kann die Wurzel aus einer Zahl jemals negativ sein?

1. Untersuchung des Radikanden \(q(x) = x^2 - 2x + 5\): Durch quadratische Ergänzung ergibt sich \(q(x) = (x - 1)^2 + 4\). 2. Bestimmung des Minimums: Der kleinste Wert des Radikanden liegt am Scheitelpunkt bei \(x = 1\) und beträgt \(q(1) = 4\). 3. Anwendung der Wurzelfunktion: Da die Wurzelfunktion für positive Werte streng monoton steigend ist, ist der kleinste Funktionswert \(f(1) = \sqrt{4} = 2\). 4. Grenzverhalten: Da \(q(x) \to \infty\) für \(x \to \pm\infty\), strebt auch \(f(x) \to \infty\). 5. Ergebnis: Die Wertemenge umfasst alle Werte von \(2\) bis unendlich, also \(W_f = [2; \infty)\).

Die Wertemenge der Funktion ist \(W_f = [2; \infty)\).

- Überlege dir, ob es Werte für \(x\) gibt, bei denen der Nenner null werden könnte. - Welchen Einfluss hat das Quadrat im Nenner auf die Funktionswerte bei sehr großen positiven oder negativen \(x\)-Werten? - Wo erreicht der Nenner seinen kleinsten Wert und was bedeutet das für den Gesamtwert des Bruchs? - Teste, was passiert, wenn du \(x\) durch \(-x\) in der Formel ersetzt.

1. Definitionsmenge: Der Nenner \(x^2 + 2\) ist für alle reellen Zahlen mindestens \(2\), da \(x^2 \ge 0\) gilt. Somit wird der Nenner nie null, und es gilt \(D_h = \mathbb{R}\). 2. Wertemenge: Der Nenner hat sein Minimum bei \(x = 0\) mit dem Wert \(2\). Dies führt zum maximalen Funktionswert \(h(0) = \frac{6}{0^2 + 2} = 3\). Da der Zähler konstant positiv ist und der Nenner für \(x \to \pm\infty\) gegen unendlich wächst, nähert sich der Graph der x-Achse von oben an, erreicht die Null aber nie. Somit ist \(W_h = (0; 3]\). 3. Symmetrie: Es gilt \(h(-x) = \frac{6}{(-x)^2 + 2} = \frac{6}{x^2 + 2} = h(x)\). Da die Bedingung für eine gerade Funktion erfüllt ist, liegt Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse vor.

a) \(D_h = \mathbb{R}\) und \(W_h = (0; 3]\) b) Da \(h(-x) = h(x)\) gilt, ist die Funktion gerade und somit achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

- Überlege, ab welchem \(x\)-Wert alle drei Wurzelterme gleichzeitig definiert sind. - Welche der möglichen Nullstellen der einzelnen Faktoren liegen in diesem Bereich?

1. Die Faktoren der Gleichung werden einzeln bei \(x = 1\), \(x = 3\) und \(x = 5\) null. 2. Damit der gesamte Ausdruck definiert ist, müssen alle Terme unter den Wurzeln gleichzeitig größer oder gleich null sein: \(x-1 \ge 0\), \(x-3 \ge 0\) und \(x-5 \ge 0\). 3. Dies ist nur für \(x \ge 5\) der Fall. Somit ist der Definitionsbereich \(D = [5; \infty)\). 4. Von den potenziellen Nullstellen liegt nur \(x = 5\) im Definitionsbereich. Daher gibt es genau eine Lösung.

Die Gleichung besitzt 1 Lösung.

- Bestimme zuerst, für welche \(x\)-Werte beide Wurzelfaktoren definiert sind. - Welche Werte für \(x\) machen die einzelnen Faktoren der Gleichung null?

1. Mögliche Nullstellen ergeben sich aus den Faktoren: \(x = 4\), \(x = 6\) und \(x = 2\). 2. Der Definitionsbereich ergibt sich aus den Bedingungen \(6-x \ge 0\), also \(x \le 6\), und \(x-2 \ge 0\), also \(x \ge 2\). Der Ausdruck ist somit auf dem Intervall \([2; 6]\) definiert. 3. Alle drei potenziellen Nullstellen \(2\), \(4\) und \(6\) liegen innerhalb dieses Intervalls. Daher hat die Gleichung 3 Lösungen.

Die Gleichung hat 3 Lösungen.

- Was muss für ein beliebiges \(y\) gelten, damit es Element der Wertemenge ist? - Kannst du die Funktionsgleichung so umstellen, dass eine quadratische Gleichung in \(x\) entsteht? - Überlege, unter welcher Bedingung eine quadratische Gleichung mindestens eine reelle Lösung besitzt. - Vergiss nicht zu prüfen, ob der Fall \(y = 0\) eine Sonderrolle spielt.

1. Setze \(y = f(x)\) und multipliziere mit dem Nenner: \(y(x^2 - 4) = 3x\). 2. Forme die Gleichung in eine quadratische Form bezüglich \(x\) um: \(yx^2 - 3x - 4y = 0\). 3. Betrachte den Fall \(y = 0\): Die Gleichung vereinfacht sich zu \(-3x = 0\), woraus \(x = 0\) folgt. Da \(0 \in D_f\), ist \(0 \in W_f\). 4. Betrachte den Fall \(y \neq 0\): Die Diskriminante der quadratischen Gleichung ist \(D = (-3)^2 - 4 \cdot y \cdot (-4y) = 9 + 16y^2\). 5. Da \(16y^2 \geq 0\) für alle reellen Zahlen \(y\) gilt, ist \(D \geq 9 > 0\). Somit existiert für jedes \(y \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\) mindestens eine reelle Lösung für \(x\). 6. Eine Überprüfung zeigt, dass die Lösungen \(x = \frac{3 \pm \sqrt{9+16y^2}}{2y}\) niemals die Definitionslücken \(\pm 2\) erreichen (Eingesetzt in die Gleichung ergibt \(x = \pm 2\) stets den Widerspruch \(\pm 6 = 0\)). Folglich ist jeder Wert \(y \in \mathbb{R}\) ein Funktionswert.

Durch das Aufstellen der Gleichung \(y = f(x)\) und die Untersuchung der Diskriminante \(D = 9 + 16y^2\) der resultierenden quadratischen Gleichung in \(x\) zeigt sich, dass für jedes reelle \(y\) ein Urbild \(x\) existiert. Da die Definitionslücken von \(f\) dabei nicht als Lösungen auftreten, ist die Wertemenge \(W_f = \mathbb{R}\).

- Die Definitionsmenge umfasst alle \(x\)-Werte, für die der Graph gezeichnet ist. - Die Wertemenge umfasst alle \(y\)-Werte, die vom Graphen „erreicht“ werden. - Wenn eine Transformation nur außerhalb der Funktionsklammer stattfindet, ändern sich nur die \(y\)-Werte. - Um eine Gleichung für \(q(x)\) mithilfe des Graphen von \(p\) zu lösen, kannst du die Gleichung zuerst nach \(p(x)\) umstellen.

1. Aus dem Graphen von \(p\) lässt sich ablesen: - Definitionsmenge: \(D_p = [-5; 3]\). - Wertemenge: \(W_p = [1; 4]\). 2. Transformation zu \(q(x) = \frac{1}{2} \cdot p(x) - 2\): - Da keine Änderung im Argument von \(p\) erfolgt, bleibt die Definitionsmenge gleich: \(D_q = D_p = [-5; 3]\). - Die Wertemenge wird in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) gestaucht und um \(2\) Einheiten nach unten verschoben: Untere Grenze: \(1 \cdot 0{,}5 - 2 = -1{,}5\) Obere Grenze: \(4 \cdot 0{,}5 - 2 = 0\) Somit ist \(W_q = [-1{,}5; 0]\). 3. Suche der Stellen mit \(q(x) = -1\): \(\frac{1}{2} \cdot p(x) - 2 = -1 \Leftrightarrow p(x) = 2\). Im Graphen von \(p\) wird der Wert \(2\) bei \(x = -4\), \(x = 0\) und \(x = 3\) angenommen.

1. \(D_p = [-5; 3]\), \(W_p = [1; 4]\). 2. \(D_q = [-5; 3]\), \(W_q = [-1{,}5; 0]\). 3. Die Bedingung \(q(x) = -1\) ist äquivalent zu \(p(x) = 2\). Dies ist laut Graph für \(x = -4\), \(x = 0\) und \(x = 3\) der Fall.

- Überlege dir zuerst, ob die Funktionswerte jemals negativ werden können. - Was passiert, wenn du \(x = 0\) einsetzt? - Kannst du den Funktionsterm so umschreiben, dass er als Differenz einer Konstanten und eines Bruches erscheint? - Was passiert mit dem Wert des Bruches, wenn \(x\) immer größer wird? - Überlege dir, ob es ein \(x\) gibt, für das der gesamte Ausdruck genau den Wert \(2\) annimmt.

1. Untere Grenze: Da \(x^2 \ge 0\) und \(x^2 + 1 > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gelten, ist \(k(x) \ge 0\). Für \(x = 0\) gilt \(k(0) = 0\), also wird der Wert \(0\) angenommen. 2. Obere Grenze: Durch Umformen erhält man \(k(x) = \frac{2x^2}{x^2+1} = 2 - \frac{2}{x^2+1}\). Da \(\frac{2}{x^2+1} > 0\) gilt, ist stets \(k(x) < 2\). Für \(|x| \to \infty\) nähert sich der Bruch der Null, sodass die Funktionswerte beliebig nahe an \(2\) herankommen, ohne \(2\) zu erreichen. 3. Nachweis, dass jeder Wert dazwischen angenommen wird: Sei \(y \in [0; 2[\). Aus \(y = \frac{2x^2}{x^2+1}\) folgt \(y(x^2+1) = 2x^2 \Leftrightarrow y = (2-y)x^2 \Leftrightarrow x^2 = \frac{y}{2-y}\). Da \(0 \le y < 2\), ist \(\frac{y}{2-y} \ge 0\). Somit existiert mit \(x = \sqrt{\frac{y}{2-y}}\) mindestens ein reelles \(x\), für das \(k(x)=y\) gilt. 4. Daher ist die Wertemenge genau \(W_k = [0; 2[\).

Es gilt \(0 \le k(x) < 2\). Umgekehrt besitzt jedes \(y \in [0; 2[\) ein Urbild, denn aus \(y = \frac{2x^2}{x^2+1}\) folgt \(x^2 = \frac{y}{2-y} \ge 0\). Daher ist \(W_k = [0; 2[\).