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- Ein offener Punkt zeigt einen ausgeschlossenen Randwert, ein ausgefüllter Punkt einen enthaltenen Randwert. - Für die Definitionsmenge betrachtest du die vorkommenden \(x\)-Werte. - Für die Wertemenge betrachtest du die vorkommenden \(y\)-Werte.

1. Der Graph beginnt links bei \(x=-3\) mit einem offenen Punkt. Daher gehört \(-3\) nicht zur Definitionsmenge. Rechts endet er bei \(x=4\) mit einem ausgefüllten Punkt; \(4\) gehört dazu. Somit ist \(D_f=]-3;4]\). 2. Der kleinste dargestellte \(y\)-Wert ist \(-1\), er tritt aber nur am offenen linken Endpunkt auf und gehört daher nicht zur Wertemenge. Der größte Wert \(2\) wird am Hochpunkt erreicht. Somit ist \(W_f=]-1;2]\).

\(D_f=]-3;4]\) und \(W_f=]-1;2]\).

- Frage bei jeder Funktion zuerst, welche \(x\)-Werte eingesetzt werden dürfen. - Überlege danach, welche Funktionswerte überhaupt entstehen können. - Unterscheide besonders zwischen einem Randwert, der erreicht wird, und einem Wert, dem sich ein Graph nur annähert.

1. Für \(f(x)=x^2\) sind alle reellen \(x\) erlaubt und alle Funktionswerte nichtnegativ. Daher gilt \(D_f=\mathbb{R}\) und \(W_f=[0;+\infty[\). 2. Für \(g(x)=\frac{1}{x}\) ist \(x=0\) ausgeschlossen. Außerdem kann der Funktionswert nie \(0\) sein. Daher gilt \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{0\}\) und \(W_g=\mathbb{R}\setminus\{0\}\). 3. Für \(h(x)=2^x\) sind alle reellen \(x\) erlaubt, die Funktionswerte sind aber stets positiv. Daher gilt \(D_h=\mathbb{R}\) und \(W_h=]0;+\infty[\). 4. Für \(k(x)=\sin(x)\) sind alle reellen \(x\) erlaubt und die Funktionswerte liegen zwischen \(-1\) und \(1\). Daher gilt \(D_k=\mathbb{R}\) und \(W_k=[-1;1]\).

a) \(D_f=\mathbb{R}\), \(W_f=[0;+\infty[\) b) \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{0\}\), \(W_g=\mathbb{R}\setminus\{0\}\) c) \(D_h=\mathbb{R}\), \(W_h=]0;+\infty[\) d) \(D_k=\mathbb{R}\), \(W_k=[-1;1]\)

- Welche Rechenoperation kann bei einem Bruch die Definitionsmenge einschränken? - Für welchen \(x\)-Wert wird der Nenner des Terms gleich \(0\)? - Alle anderen reellen Zahlen sind erlaubt.

1. Ein Bruch ist genau dann nicht definiert, wenn sein Nenner \(0\) ist. 2. Hier gilt \(x+3=0\) für \(x=-3\). Dieser Wert muss ausgeschlossen werden. 3. Damit ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-3\}\).

\(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-3\}\)

- Welchen kleinsten Wert kann ein Quadrat annehmen? - Für welchen \(x\)-Wert wird dieser kleinste Wert hier erreicht? - Überlege anschließend, ob es nach oben eine Grenze für die Funktionswerte gibt.

1. Wegen \((x-2)^2\ge0\) gilt für alle \(x\): \(f(x)\ge-3\). 2. Bei \(x=2\) wird der kleinste Wert \(-3\) tatsächlich angenommen. 3. Nach oben ist die Funktion unbeschränkt. Daher ist \(W_f=[-3;+\infty[\).

\(W_f=[-3;+\infty[\)

- Welche Bedingungen entstehen gleichzeitig durch die Wurzel und durch den Nenner? - Prüfe jeden Punkt einzeln durch Einsetzen seiner \(x\)-Koordinate. - Ein zulässiger \(x\)-Wert reicht nicht aus: Der berechnete Funktionswert muss auch mit der angegebenen \(y\)-Koordinate übereinstimmen.

1. Für \(g(x)\) muss \(x>0\) gelten: Der Radikand darf nicht negativ sein und bei \(x=0\) würde im Nenner \(0\) stehen. Daher gehört \(x=0\) nicht zur Definitionsmenge. 2. Es gilt \(g(1)=4\), also liegt \(A\) auf dem Graphen. 3. Es gilt \(g(4)=\frac{4}{2}=2\), also liegt \(B\) auf dem Graphen. 4. Es gilt \(g(0{,}25)=\frac{4}{0{,}5}=8\), also liegt \(C\) auf dem Graphen. 5. Es gilt \(g(16)=\frac{4}{4}=1\neq2\), also liegt \(D\) nicht auf dem Graphen.

1. \(P(0|0)\) liegt nicht auf dem Graphen, weil \(0\) nicht zur Definitionsmenge gehört. 2. \(A\), \(B\) und \(C\) liegen auf dem Graphen; \(D\) liegt nicht auf dem Graphen.

- Bestimme zunächst, wann jeder einzelne Wurzelfaktor definiert ist. - Schneide diese Bedingungen zu einem gemeinsamen Definitionsbereich. - Prüfe erst danach, welche Nullstellen der einzelnen Faktoren tatsächlich in diesem Bereich liegen.

1. Die einzelnen Faktoren werden bei \(x=0\), \(x=-3\) beziehungsweise \(x=2\) null. 2. Für den gesamten Ausdruck müssen gleichzeitig \(x\ge 0\), \(x\ge -3\) und \(x\le 2\) gelten. 3. Der gemeinsame Definitionsbereich ist daher \(D=[0;2]\). 4. Von den möglichen Nullstellen liegen \(x=0\) und \(x=2\) in \(D\); \(x=-3\) liegt außerhalb. Somit besitzt die Gleichung genau zwei reelle Lösungen.

Die Gleichung besitzt 2 reelle Lösungen.

- Welche drei Ungleichungen müssen gleichzeitig erfüllt sein, damit alle Wurzeln definiert sind? - Welche dieser Bedingungen ist für den linken Rand des gemeinsamen Definitionsbereichs entscheidend? - Prüfe anschließend die möglichen Nullstellen der einzelnen Faktoren gegen diesen Bereich.

1. Die einzelnen Faktoren werden bei \(x=1\), \(x=3\) und \(x=5\) null. 2. Für den gesamten Ausdruck müssen gleichzeitig \(x-1\ge 0\), \(x-3\ge 0\) und \(x-5\ge 0\) gelten. 3. Die gemeinsame Bedingung ist \(x\ge 5\), also \(D=[5;\infty[\). 4. Von den drei möglichen Nullstellen liegt nur \(x=5\) in \(D\). Daher besitzt die Gleichung genau eine reelle Lösung.

Die Gleichung besitzt 1 reelle Lösung.

- Übersetze die beiden Wurzelbedingungen in Ungleichungen für \(x\). - Welches Intervall erfüllt beide Bedingungen gleichzeitig? - Prüfe danach die Nullstellen aller drei Faktoren darauf, ob sie in diesem Intervall liegen.

1. Die einzelnen Faktoren können bei \(x=4\), \(x=6\) beziehungsweise \(x=2\) null werden. 2. Für die Wurzeln müssen \(6-x\ge 0\) und \(x-2\ge 0\) gelten, also \(x\le 6\) und \(x\ge 2\). 3. Der gemeinsame Definitionsbereich ist \(D=[2;6]\). 4. Alle drei möglichen Nullstellen \(2\), \(4\) und \(6\) liegen in diesem Intervall. Daher besitzt die Gleichung genau drei reelle Lösungen.

Die Gleichung besitzt 3 reelle Lösungen.

- Welches Vorzeichen hat \(2^x\) für jedes reelle \(x\)? - Was folgt daraus für den Vergleich von \(f(x)=3-2^x\) mit \(3\)? - Welche positiven Werte kann eine Exponentialfunktion der Form \(2^x\) annehmen?

1. Für alle reellen \(x\) gilt \(2^x>0\). Deshalb ist \(f(x)=3-2^x<3\); der Wert \(3\) wird also nicht angenommen. 2. Die Exponentialfunktion \(2^x\) nimmt alle positiven Werte an. Daher nimmt \(3-2^x\) alle reellen Werte an, die kleiner als \(3\) sind. 3. Somit gilt \(W_f=]-\infty;3[\), und Miras Aussage ist falsch.

Miras Aussage ist falsch. Es gilt \(W_f=]-\infty;3[\); der Wert \(3\) wird nur angenähert und nicht erreicht.

- Lies zuerst Definitions- und Wertemenge des Ausgangsgraphen ab. - Welche der beiden Änderungen im Term wirkt auf die \(x\)-Koordinaten, welche auf die \(y\)-Koordinaten? - Übertrage die beiden Randintervalle mit denselben Verschiebungen wie den Graphen.

1. Der Ausgangsgraph hat \(D_f=[-2;3]\) und \(W_f=[0;3]\). 2. Durch \(x+1\) wird der Graph um \(1\) Einheit nach links verschoben. Durch \(-2\) wird er um \(2\) Einheiten nach unten verschoben. 3. Die Definitionsmenge verschiebt sich daher zu \(D_g=[-3;2]\). 4. Die Wertemenge verschiebt sich zu \(W_g=[-2;1]\).

a) \(1\) Einheit nach links und \(2\) Einheiten nach unten b) \(D_g=[-3;2]\) c) \(W_g=[-2;1]\)

- Welche \(t\)-Werte sind zeitlich überhaupt sinnvoll? - Bestimme den Zeitpunkt, an dem das modellierte Volumen erstmals \(0\) wird. - Welche kleinste und größte Wassermenge treten innerhalb dieses Zeitintervalls auf?

1. Die Zeit beginnt bei \(t=0\). Negative Zeiten gehören nicht zum beschriebenen Vorgang. 2. Der Behälter ist leer, wenn \(120-8t=0\). Daraus folgt \(t=15\). 3. Damit ist die sinnvolle Definitionsmenge \(D=[0;15]\). 4. Das Volumen fällt dabei von \(120\,\text{L}\) auf \(0\,\text{L}\). Daher ist \(W=[0;120]\,\text{L}\).

\(D=[0;15]\) Minuten \(W=[0;120]\,\text{L}\)

- Vergleiche zunächst die linken und rechten Randwerte der beiden Definitionsmengen. - Welche horizontale Verschiebung verändert beide Randwerte um denselben Betrag? - Wiederhole dieselbe Überlegung anschließend mit den Randwerten der Wertemengen.

1. Die Definitionsmenge wurde von \([-2;4]\) auf \([1;7]\) verschoben. Beide Randwerte sind um \(3\) größer. Der Graph wurde also um \(3\) Einheiten nach rechts verschoben. 2. Bei \(f(x-c)\) entspricht eine Verschiebung um \(3\) nach rechts dem Wert \(c=3\). 3. Die Wertemenge wurde von \([1;5]\) auf \([-1;3]\) verschoben. Beide Randwerte sind um \(2\) kleiner. Daher ist \(d=-2\).

\(c=3\), \(d=-2\)

- Welche besondere Bedeutung hat die Gerade \(y = 3\) für den Graphen der Funktion? - Was passiert rechnerisch, wenn du versuchst, den Schnittpunkt zu berechnen? - Skizziere grob den Verlauf an den Polstellen und im Unendlichen. - Gibt es einen Bereich von Funktionswerten, der nie erreicht wird?

1. Nachweis der Schnittpunktfreiheit: Die Gerade \(y = 3\) entspricht der waagerechten Asymptote von \(g\). Der Ansatz \(g(x) = 3\) führt auf \(\frac{3x^2}{x^2 - 1} = 3\). Durch Multiplikation mit \(x^2 - 1\) erhält man \(3x^2 = 3(x^2 - 1)\), also \(3x^2 = 3x^2 - 3\). Dies liefert den Widerspruch \(0 = -3\), womit kein Schnittpunkt existiert. 2. Bestimmung der Wertemenge: - Außerhalb der Definitionslücken \(x = \pm 1\): Für \(|x| > 1\) ist der Nenner positiv. Da \(3x^2 > 3(x^2 - 1)\), gilt \(g(x) > 3\). Da die Funktion für \(x \to \infty\) gegen \(3\) strebt und an den Polstellen gegen \(+\infty\) geht, ist das Teilintervall \(]3; \infty[\) in \(W_g\). - Zwischen den Polstellen: Für \(-1 < x < 1\) ist der Nenner \(x^2 - 1\) negativ und der Zähler \(3x^2 \ge 0\). Es gilt \(g(x) \le 0\). Das Maximum liegt bei \(g(0) = 0\). Da die Funktion an den Polstellen gegen \(-\infty\) geht, ist das Teilintervall \(]-\infty; 0]\) in \(W_g\). 3. Gesamte Wertemenge: \(W_g = ]-\infty; 0] \cup ]3; \infty[\) bzw. \(W_g = \mathbb{R} \setminus ]0; 3]\).

a) Die Gleichung \(g(x) = 3\) hat keine Lösung (\(0 = -3\)). b) \(W_g = \mathbb{R} \setminus ]0; 3]\) (oder \(W_g = ]-\infty; 0] \cup ]3; \infty[\)).

- Versuche den Zähler so umzuschreiben, dass er ein Vielfaches des Nenners enthält. - Welche Werte kann der Ausdruck \(x^2 + 2\) im Nenner annehmen? - Wie verhält sich ein Bruch, wenn sein Nenner immer größer wird, aber der Zähler konstant bleibt? - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn \(x\) sehr große positive oder negative Werte annimmt?

1. Forme den Funktionsterm so um, dass \(x\) nur noch an einer Stelle vorkommt: \(g(x) = \frac{x^2 + 2 - 6}{x^2 + 2} = 1 - \frac{6}{x^2 + 2}\). 2. Bestimme den Wertebereich des Nenners: Da \(x^2 \geq 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), gilt \(x^2 + 2 \geq 2\). Der Nenner nimmt also alle Werte im Intervall \([2; \infty[\) an. 3. Bestimme den Wertebereich des Bruchs \(\frac{6}{x^2 + 2}\): Wenn der Nenner von \(2\) bis unendlich läuft, nimmt der Quotient alle Werte im Intervall \(]0; 3]\) an (da \(\frac{6}{2} = 3\) und \(\lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^2+2} = 0\)). 4. Bestimme den Wertebereich der gesamten Funktion: Subtrahiere diese Werte von \(1\). Es ergibt sich \(1 - 3 \leq g(x) < 1 - 0\), also \(-2 \leq g(x) < 1\). Damit ist \(W_g = [-2; 1[\).

Durch die Umformung \(g(x) = 1 - \frac{6}{x^2 + 2}\) lässt sich zeigen, dass der Subtrahend \(\frac{6}{x^2 + 2}\) Werte im Intervall \(]0; 3]\) annimmt. Daraus ergibt sich für die Funktionswerte das Intervall \(W_g = [1 - 3; 1 - 0[ = [-2; 1[\).

- Bestimme zuerst die Vorzeichen von \(x^2-1\) in den drei Definitionsintervallen. - Für den inneren Ast ist die Form \(1+\frac{3}{1-x^2}\) besonders hilfreich. - Frage dich, welchen kleinsten beziehungsweise größten Wert der positive Restbruch in den jeweiligen Bereichen annehmen kann.

1. Der Nenner wird bei \(x=-1\) und \(x=1\) null. Daher ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1;1\}\). 2. Für \(|x|>1\) ist \(x^2-1>0\). Damit gilt \(f(x)=1-\frac{3}{x^2-1}<1\). Für \(x\to\pm1\) von außen fällt \(f(x)\) gegen \(-\infty\), und für \(|x|\to\infty\) nähert sich \(f(x)\) dem Wert \(1\) von unten. Die äußeren Äste liefern daher alle Werte aus \(]-\infty;1[\). 3. Für \(|x|<1\) gilt \(1-x^2\in]0;1]\) und damit \(f(x)=1+\frac{3}{1-x^2}\). Weil \(\frac{3}{1-x^2}\geq3\), ist \(f(x)\geq4\); Gleichheit gilt bei \(x=0\). Für \(x\to\pm1\) von innen wächst \(f(x)\) gegen \(+\infty\). Der innere Ast liefert daher \([4;\infty[\). 4. Insgesamt ist \(W_f=]-\infty;1[\cup[4;\infty[\).

\(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1;1\}\) \(W_f=]-\infty;1[\cup[4;\infty[\)

- Schreibe den Zähler zunächst als Quadrat und nutze, dass der Nenner immer positiv ist. - Suche getrennt nach einer unteren und einer oberen Schranke für die Funktionswerte. - Prüfe für eine vermutete obere Schranke eine äquivalente Ungleichung ohne Bruch. - Kontrolliere, ob die Randwerte tatsächlich angenommen werden.

1. Wegen \(x^2+3>0\) gilt \(D_f=\mathbb{R}\). 2. Der Zähler ist \((x-3)^2\geq0\). Deshalb gilt \(f(x)\geq0\); bei \(x=3\) wird der Wert \(0\) angenommen. 3. Für die obere Schranke wird \(f(x)\leq4\) geprüft. Da der Nenner positiv ist, ist dies äquivalent zu \((x-3)^2\leq4(x^2+3)\). Nach dem Umformen ergibt sich \(0\leq3(x+1)^2\), also gilt die Ungleichung für alle \(x\). Bei \(x=-1\) wird Gleichheit erreicht, also ist \(4\) der größte Funktionswert. 4. Die Funktion ist auf \(\mathbb{R}\) stetig und nimmt daher zwischen den erreichten Randwerten \(0\) und \(4\) alle Zwischenwerte an. Somit ist \(W_f=[0;4]\).

\(W_f=[0;4]\)

- Versuche, den Funktionsterm als Konstante plus einen einfachen Bruch zu schreiben. - Welche kleinsten und größten Werte kann der Nenner \(x^2+1\) annehmen? - Unterscheide zwischen einem Wert, der tatsächlich erreicht wird, und einem Grenzwert, dem sich der Graph nur annähert.

1. Es gilt \(h(x)=1+\frac{3}{x^2+1}\). 2. Für alle reellen \(x\) ist \(x^2+1\geq1\). Deshalb gilt \(0<\frac{3}{x^2+1}\leq3\). 3. Somit ist \(1<h(x)\leq4\). Der Wert \(4\) wird bei \(x=0\) angenommen. 4. Der Wert \(1\) wird nie angenommen, weil der Restbruch stets positiv ist. Für \(x\to\pm\infty\) gilt jedoch \(\frac{3}{x^2+1}\to0\), also nähert sich \(h(x)\) dem Wert \(1\). 5. Daher ist \(W_h=]1;4]\).

\(W_h=]1;4]\)

- Welche Werte darf man in eine Quadratwurzel einsetzen? - Welche Vorzeichen können Ergebnisse einer Quadratwurzel mit einem Minuszeichen davor annehmen? - Erinnere dich an die Bedingung für Achsensymmetrie: \(f(-x) = f(x)\). - Was passiert, wenn du eine Gleichung mit einer Wurzel quadrierst? Gehen dabei Informationen verloren?

1. Definitionsbereich: Die Bedingung \(64 - x^2 \geq 0\) führt zu \(x^2 \leq 64\), also \(|x| \leq 8\). Somit ist \(D_g = [-8; 8]\). 2. Wertebereich: Da die Wurzel stets nichtnegativ ist, ist \(-\sqrt{64 - x^2} \leq 0\). Der kleinste Wert wird bei \(x = 0\) erreicht: \(g(0) = -\sqrt{64} = -8\). Somit ist \(W_g = [-8; 0]\). 3. Geometrische Form: Da \(y = -\sqrt{64 - x^2}\) der negative Teil der Kreisgleichung \(x^2 + y^2 = 64\) ist, handelt es sich um den unteren Halbkreis um den Ursprung mit Radius \(r = 8\). 4. Symmetrie: \(g(-x) = -\sqrt{64 - (-x)^2} = -\sqrt{64 - x^2} = g(x)\). Die Funktion ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse (gerade Funktion). 5. Gleichung erfüllen: Quadrieren von \(y = -\sqrt{64 - x^2}\) ergibt \(y^2 = 64 - x^2\), also \(x^2 + y^2 = 64\). Die Umkehrung gilt nicht uneingeschränkt, da die Kreisgleichung auch Punkte mit positiven \(y\)-Werten (oberer Halbkreis) enthält, die nicht im Wertebereich von \(g\) liegen.

a) \(D_g = [-8; 8]\), \(W_g = [-8; 0]\). b) Unterer Halbkreis um den Ursprung mit Radius \(8\). c) \(g(-x) = g(x)\), also achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. d) Quadrieren liefert \(y^2 = 64 - x^2 \Rightarrow x^2 + y^2 = 64\). Die Umkehrung gilt nicht, da die Kreisgleichung auch \(y > 0\) zulässt, \(g(x)\) aber nur Werte \(\leq 0\) liefert.

- Worauf musst du achten, wenn du eine Wurzel aus einem Term ziehst? Welche Werte darf der Ausdruck unter der Wurzel annehmen? - Wie prüfst du mathematisch, ob ein gegebener Punkt mit einer \(x\)- und einer \(y\)-Koordinate zu einer Funktionsgleichung passt? - Was bedeutet es für einen Punkt, wenn sein \(x\)-Wert gar nicht in die Funktion eingesetzt werden darf?

1. Zur Bestimmung des Definitionsbereichs muss der Radikand nichtnegativ sein: \(4x + 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -0{,}25\). Somit gilt \(D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq -0{,}25\}\). 2. Durchführung der Punktproben durch Einsetzen der \(x\)-Werte in \(f(x)\): - Für \(A(0 \mid -1)\): \(f(0) = \sqrt{4 \cdot 0 + 1} - 2 = 1 - 2 = -1\). Der Punkt \(A\) liegt auf dem Graphen. - Für \(B(2 \mid 1)\): \(f(2) = \sqrt{4 \cdot 2 + 1} - 2 = 3 - 2 = 1\). Der Punkt \(B\) liegt auf dem Graphen. - Für \(C(-1 \mid -1)\): Da \(-1 < -0{,}25\), liegt \(x = -1\) nicht im Definitionsbereich. Der Punkt \(C\) liegt nicht auf dem Graphen. - Für \(D(0{,}75 \mid 0)\): \(f(0{,}75) = \sqrt{4 \cdot 0{,}75 + 1} - 2 = \sqrt{4} - 2 = 0\). Der Punkt \(D\) liegt auf dem Graphen. - Für \(E(6 \mid 3)\): \(f(6) = \sqrt{4 \cdot 6 + 1} - 2 = 5 - 2 = 3\). Der Punkt \(E\) liegt auf dem Graphen.

1. \(D_f = [-0{,}25; \infty[\) 2. Die Punkte \(A\), \(B\), \(D\) und \(E\) liegen auf dem Graphen. Der Punkt \(C\) liegt nicht auf dem Graphen, da sein \(x\)-Wert außerhalb des Definitionsbereichs liegt.

- Für welche Werte ist eine Quadratwurzelfunktion der Form \(\sqrt{y}\) im reellen Bereich definiert? Schau dir dazu den Funktionswert an der Stelle \(x = 4\) im Graphen an. - Um \(g(2)\) zu bestimmen, ermittle zuerst den Funktionswert \(f(2)\) aus dem Graphen und setze ihn in die Definition von \(g(x)\) ein. - Überlege dir für Aufgabenteil b): Wann ist eine Zahl gleich ihrer eigenen Quadratwurzel? Welche beiden Werte kann der Funktionswert \(f(x)\) an den Schnittpunkten annehmen? - Lies die x-Werte für diese beiden Fälle direkt am Graphen ab.

1. Teilaufgabe a): Der Definitionsbereich \(D_g\) der Wurzelfunktion \(g(x) = \sqrt{f(x)}\) umfasst alle reellen Zahlen, für die der Radikand nichtnegativ ist, also \(f(x) \ge 0\). Aus der Abbildung liest man für \(x = 4\) den Funktionswert \(f(4) = -2{,}5\) ab. Da dieser Funktionswert negativ ist, ist die Quadratwurzel nicht definiert, weshalb \(4 \notin D_g\) gilt. Für den Funktionswert \(g(2)\) liest man zunächst \(f(2) = 1\) aus der Abbildung ab. Damit ergibt sich \(g(2) = \sqrt{f(2)} = \sqrt{1} = 1\). 2. Teilaufgabe b): Die Schnittpunkte der Graphen von \(f\) und \(g\) liegen an den Stellen \(x \in D_g\), für die \(f(x) = g(x)\) gilt, also \(f(x) = \sqrt{f(x)}\). Quadrieren beider Seiten unter der Bedingung \(f(x) \ge 0\) führt zu \(f(x)^2 = f(x) \implies f(x) \cdot (f(x) - 1) = 0\). Die Lösungen sind somit die Stellen, an denen \(f(x) = 0\) oder \(f(x) = 1\) gilt. Aus der Abbildung liest man diese Werte im Intervall \([-4; 4]\) ab: - Für \(f(x) = 0\): \(x = -2\), \(x = -1\) und \(x = 3\). - Für \(f(x) = 1\): \(x = -3\), \(x = 1\) und \(x = 2\). An all diesen Stellen ist \(f(x) \ge 0\), sie liegen also im Definitionsbereich \(D_g\). Die gesuchten \(x\)-Koordinaten sind somit \(-3\), \(-2\), \(-1\), \(1\), \(2\) und \(3\).

a) Da \(f(4) = -2{,}5 < 0\) ist, ist der Radikand unter der Wurzel negativ, weshalb \(x = 4\) nicht im Definitionsbereich von \(g\) liegt. Der Funktionswert ist \(g(2) = 1\). b) Die x-Koordinaten der Schnittpunkte im Intervall \([-4; 4]\) sind \(x \in \{-3; -2; -1; 1; 2; 3\}\).

- Die Definitionsmenge umfasst alle \(x\)-Werte, für die der Graph gezeichnet ist. - Die Wertemenge umfasst alle \(y\)-Werte, die vom Graphen „erreicht“ werden. - Wenn eine Transformation nur außerhalb der Funktionsklammer stattfindet, ändern sich nur die \(y\)-Werte. - Um eine Gleichung für \(q(x)\) mithilfe des Graphen von \(p\) zu lösen, kannst du die Gleichung zuerst nach \(p(x)\) umstellen.

1. Aus dem Graphen von \(p\) lässt sich ablesen: - Definitionsmenge: \(D_p = [-5; 3]\). - Wertemenge: \(W_p = [1; 4]\). 2. Transformation zu \(q(x) = \frac{1}{2} \cdot p(x) - 2\): - Da keine Änderung im Argument von \(p\) erfolgt, bleibt die Definitionsmenge gleich: \(D_q = D_p = [-5; 3]\). - Die Wertemenge wird in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) gestaucht und um \(2\) Einheiten nach unten verschoben: Untere Grenze: \(1 \cdot 0{,}5 - 2 = -1{,}5\) Obere Grenze: \(4 \cdot 0{,}5 - 2 = 0\) Somit ist \(W_q = [-1{,}5; 0]\). 3. Suche der Stellen mit \(q(x) = -1\): \(\frac{1}{2} \cdot p(x) - 2 = -1 \Leftrightarrow p(x) = 2\). Im Graphen von \(p\) wird der Wert \(2\) bei \(x = -4\), \(x = 0\) und \(x = 3\) angenommen.

1. \(D_p = [-5; 3]\), \(W_p = [1; 4]\). 2. \(D_q = [-5; 3]\), \(W_q = [-1{,}5; 0]\). 3. Die Bedingung \(q(x) = -1\) ist äquivalent zu \(p(x) = 2\). Dies ist laut Graph für \(x = -4\), \(x = 0\) und \(x = 3\) der Fall.

- Setze den Funktionsterm gleich einer Variablen \(y\) und löse die entstehende Gleichung nach \(x\) auf. - Bei welchem Wert von \(y\) scheitert dieses Auflösen? - Prüfe zusätzlich, ob der berechnete \(x\)-Wert jemals die ausgeschlossene Definitionsstelle \(-4\) sein kann. - Was ergibt die ursprüngliche Gleichung direkt für den besonderen Wert, bei dem das Auflösen scheitert?

1. Setze \(y=\frac{3x}{x+4}\) und untersuche, für welche Werte von \(y\) die Gleichung nach \(x\) lösbar ist. 2. Aus \(y(x+4)=3x\) folgt \(yx+4y=3x\) und damit \(x(y-3)=-4y\). 3. Für \(y\neq 3\) erhält man \(x=\frac{-4y}{y-3}\). 4. Dieser Wert ist für jedes \(y\neq 3\) reell und niemals \(-4\): Die Annahme \(-4=\frac{-4y}{y-3}\) würde auf \(12=0\) führen. 5. Für \(y=3\) ergibt die ursprüngliche Gleichung \(3(x+4)=3x\), also den Widerspruch \(12=0\). Daher wird \(3\) nicht angenommen, jeder andere reelle Wert dagegen schon. 6. Somit gilt \(W_h=\mathbb{R}\setminus\{3\}\).

Aus \(y=\frac{3x}{x+4}\) folgt für \(y\neq 3\) der zulässige Wert \(x=\frac{-4y}{y-3}\). Für \(y=3\) entsteht ein Widerspruch. Daher ist \(W_h=\mathbb{R}\setminus\{3\}\).

- Welche Werte dürfen bei einer Kehrwertfunktion nicht im Nenner auftreten? - Formuliere die Bedingung für einen Schnittpunkt zunächst nur mit \(f(x)\) und \(\frac{1}{f(x)}\). - Überlege, welche reellen Zahlen mit ihrem eigenen Kehrwert übereinstimmen, und suche anschließend die entsprechenden Höhen im Graphen von \(f\).

1. Die Definitionsmenge \(D_g\) umfasst alle \(x\), für die \(f(x)\neq0\) gilt. Da \(f(0)=0\) ist, wäre eine Division durch null nötig; daher ist \(0\notin D_g\). 2. Aus der Abbildung liest man \(f(2)=3\) ab. Damit ist \(g(2)=\frac{1}{3}\). 3. An einem Schnittpunkt gilt \(f(x)=g(x)=\frac{1}{f(x)}\). Wegen \(f(x)\neq0\) ist dies äquivalent zu \(f(x)^2=1\), also \(f(x)=1\) oder \(f(x)=-1\). 4. Der Graph von \(f\) nimmt den Wert \(1\) bei \(x=1\) und den Wert \(-1\) bei \(x=-1\) an. Daher lauten die gesuchten \(x\)-Koordinaten \(-1\) und \(1\).

a) Weil \(f(0)=0\) gilt, ist \(g(0)\) nicht definiert; also ist \(0\notin D_g\). Außerdem ist \(g(2)=\frac{1}{3}\). b) Die Schnittpunkte haben die \(x\)-Koordinaten \(x=-1\) und \(x=1\).

- Für welche Zahlen ist das Ziehen einer Quadratwurzel im Bereich der reellen Zahlen erlaubt? - Schau dir an, in welchem Bereich der Graph von \(f\) auf oder oberhalb der x-Achse liegt. - Überlege dir, welche Zahlen gleich ihrer eigenen Quadratwurzel sind. Das hilft dir bei der Suche nach den Schnittpunkten. - Kannst du die Stellen im Graphen finden, an denen \(f(x)\) den Wert 0 oder 1 annimmt?

1. Die Wurzelfunktion ist nur für Radikanden größer oder gleich Null definiert. Es muss also \(f(x) \ge 0\) gelten. Aus der Abbildung ist ersichtlich, dass der Graph \(G_f\) im Intervall \([0; 2]\) oberhalb oder auf der x-Achse verläuft. Somit ist \(D_h = [0; 2]\). 2. Aus dem Graphen liest man für \(x = 1\) den Funktionswert \(f(1) = 1\) ab. Damit gilt \(h(1) = \sqrt{f(1)} = \sqrt{1} = 1\). 3. Schnittpunkte liegen vor, wenn \(f(x) = h(x) = \sqrt{f(x)}\). Quadrieren beider Seiten ergibt \(f(x)^2 = f(x)\), was zu \(f(x)^2 - f(x) = 0\) bzw. \(f(x) \cdot (f(x) - 1) = 0\) umgeformt werden kann. 4. Die Lösungen sind \(f(x) = 0\) oder \(f(x) = 1\). Laut Graph ist \(f(x) = 0\) bei \(x = 0\) und \(x = 2\). Der Wert \(f(x) = 1\) wird bei \(x = 1\) erreicht. Die x-Koordinaten der Schnittpunkte sind somit \(0\), \(1\) und \(2\).

a) Da der Radikand nicht negativ sein darf, muss \(f(x) \ge 0\) gelten. Dies ist laut Graph für \(x \in [0; 2]\) der Fall. b) Es ist \(f(1) = 1\), also \(h(1) = \sqrt{1} = 1\). c) Die Bedingung \(f(x) = \sqrt{f(x)}\) ist für \(f(x) = 0\) oder \(f(x) = 1\) erfüllt. Dies entspricht den Stellen \(x = 0\), \(x = 1\) und \(x = 2\).

- Forme den Radikanden durch quadratische Ergänzung um. - Welchen kleinsten Wert kann ein Quadrat annehmen, und welche größeren Werte sind möglich? - Übertrage den so bestimmten Wertebereich des Radikanden durch die Quadratwurzel.

1. Durch quadratische Ergänzung erhält man für den Radikanden \(x^2-2x+5=(x-1)^2+4\). 2. Da \((x-1)^2\ge0\) gilt und jeden nichtnegativen Wert annehmen kann, nimmt der Radikand genau alle Werte aus \([4;+\infty[\) an. 3. Die Quadratwurzelfunktion ist für nichtnegative Eingaben streng monoton steigend. Daher entstehen aus den Radikandenwerten \([4;+\infty[\) genau die Funktionswerte \([2;+\infty[\). 4. Somit ist \(W_f=[2;+\infty[\).

\(W_f=[2;+\infty[\)

- Welche Werte kann der Nenner \(x^2+2\) annehmen? - Welcher Nennerwert erzeugt den größten Funktionswert, und was passiert für große \(|x|\)? - Welche Beziehung zwischen \(h(-x)\) und \(h(x)\) kennzeichnet Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse?

1. Da \(x^2+2\ge2\) für alle \(x\in\mathbb{R}\) gilt, wird der Nenner nie null. Somit ist \(D_h=\mathbb{R}\). 2. Der Nenner ist bei \(x=0\) minimal und hat dort den Wert \(2\). Deshalb ist \(h(0)=3\) der größte Funktionswert. Für \(x\to\pm\infty\) wächst der Nenner unbegrenzt, sodass \(h(x)\to0\), ohne dass der Wert \(0\) angenommen wird. Daher ist \(W_h=]0;3]\). 3. Es gilt \(h(-x)=\frac{6}{(-x)^2+2}=\frac{6}{x^2+2}=h(x)\). Damit ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

a) \(D_h=\mathbb{R}\); \(W_h=]0;3]\) b) \(h(-x)=h(x)\); daher Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse

- Lies \(D_f\) und \(W_f\) unabhängig voneinander aus dem Graphen ab. - Prüfe zunächst, welche Kandidaten die geforderte Definitionsmenge erzeugen. - Prüfe danach die Wertemenge auch bei den Kandidaten, die den richtigen Definitionsbereich besitzen. - Ein Kandidat ist nur dann zulässig, wenn beide Mengen gleichzeitig stimmen.

1. Aus der Abbildung liest man \(D_f=[-2;3]\) und \(W_f=[-1;2]\) ab. 2. Bei a) verschiebt \(x-2\) die Definitionsmenge um \(2\) nach rechts zu \([0;5]\); \(+2\) verschiebt die Wertemenge zu \([1;4]\). Damit erfüllt a) beide Bedingungen. 3. Bei b) ist die Definitionsmenge ebenfalls \([0;5]\), aber die Wertemenge ist \([0;3]\). 4. Bei c) ist die Wertemenge \([1;4]\), aber die Definitionsmenge ist \([-4;1]\). 5. Bei d) ist die Definitionsmenge \([0;5]\), während aus \(2W_f+3\) die Wertemenge \([1;7]\) entsteht. Nur a) erfüllt daher beide Vorgaben.

a) \(g(x)=f(x-2)+2\). Nur diese Vorschrift liefert gleichzeitig \(D_g=[0;5]\) und \(W_g=[1;4]\).

- Lies zunächst aus offenen und ausgefüllten Punkten genau ab, welche Randwerte zu \(D_f\) und \(W_f\) gehören. - Die Änderung im Argument verschiebt nur die \(x\)-Koordinaten. - Verfolge für die Wertemenge getrennt den kleinsten und den größten Randwert durch die Abbildung \(y\mapsto-y+1\).

1. Aus dem Graphen folgt \(D_f=]-3;4]\). Der kleinste angenäherte Funktionswert \(-1\) gehört wegen des offenen linken Endpunkts nicht zur Wertemenge; der größte Wert \(2\) wird angenommen. Daher ist \(W_f=]-1;2]\). 2. Durch \(x+2\) wird der Graph um \(2\) Einheiten nach links verschoben. Damit ist \(D_g=]-5;2]\). 3. Die äußere Transformation \(y\mapsto-y+1\) spiegelt die Wertemenge und verschiebt sie nach oben. 4. Der enthaltene obere Ausgangswert \(2\) wird zu \(-1\) und bleibt enthalten. Der nicht enthaltene untere Grenzwert \(-1\) wird zu \(2\) und bleibt nicht enthalten. Somit ist \(W_g=[-1;2[\).

\(D_g=]-5;2]\) \(W_g=[-1;2[\)

- Behandle Definitionsmenge und Wertemenge getrennt; sie werden durch verschiedene Teile des Terms beeinflusst. - Löse für die Definitionsmenge die Bedingung, dass das Argument \(x-3\) in \(D_f\) liegen muss. - Verfolge für die Wertemenge beide Randwerte durch die Abbildung \(y\mapsto-2y+1\) und beachte das negative Vorzeichen.

1. Für die Definitionsmenge muss \(x-3\in[-1;4]\) gelten. Daraus folgt \(x\in[2;7]\). Nika hat die horizontale Verschiebung in die falsche Richtung übertragen. 2. Für die Wertemenge werden die Ausgangswerte \(y\in[-2;3]\) durch \(y\mapsto-2y+1\) transformiert. 3. Der Ausgangswert \(-2\) wird zu \(5\), der Ausgangswert \(3\) wird zu \(-5\). Wegen des negativen Faktors kehrt sich die Reihenfolge um. 4. Daher ist \(W_g=[-5;5]\). Nikas Angabe berücksichtigt die Spiegelung und Skalierung der gesamten Wertemenge nicht korrekt.

\(D_g=[2;7]\) \(W_g=[-5;5]\)

- Was muss für ein beliebiges \(y\) gelten, damit es Element der Wertemenge ist? - Kannst du die Funktionsgleichung so umstellen, dass eine quadratische Gleichung in \(x\) entsteht? - Überlege, unter welcher Bedingung eine quadratische Gleichung mindestens eine reelle Lösung besitzt. - Vergiss nicht zu prüfen, ob der Fall \(y = 0\) eine Sonderrolle spielt.

1. Setze \(y = f(x)\) und multipliziere mit dem Nenner: \(y(x^2 - 4) = 3x\). 2. Forme die Gleichung in eine quadratische Form bezüglich \(x\) um: \(yx^2 - 3x - 4y = 0\). 3. Betrachte den Fall \(y = 0\): Die Gleichung vereinfacht sich zu \(-3x = 0\), woraus \(x = 0\) folgt. Da \(0 \in D_f\), ist \(0 \in W_f\). 4. Betrachte den Fall \(y \neq 0\): Die Diskriminante der quadratischen Gleichung ist \(D = (-3)^2 - 4 \cdot y \cdot (-4y) = 9 + 16y^2\). 5. Da \(16y^2 \geq 0\) für alle reellen Zahlen \(y\) gilt, ist \(D \geq 9 > 0\). Somit existiert für jedes \(y \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\) mindestens eine reelle Lösung für \(x\). 6. Eine Überprüfung zeigt, dass die Lösungen \(x = \frac{3 \pm \sqrt{9+16y^2}}{2y}\) niemals die Definitionslücken \(\pm 2\) erreichen (Eingesetzt in die Gleichung ergibt \(x = \pm 2\) stets den Widerspruch \(\pm 6 = 0\)). Folglich ist jeder Wert \(y \in \mathbb{R}\) ein Funktionswert.

Durch das Aufstellen der Gleichung \(y = f(x)\) und die Untersuchung der Diskriminante \(D = 9 + 16y^2\) der resultierenden quadratischen Gleichung in \(x\) zeigt sich, dass für jedes reelle \(y\) ein Urbild \(x\) existiert. Da die Definitionslücken von \(f\) dabei nicht als Lösungen auftreten, ist die Wertemenge \(W_f = \mathbb{R}\).

- Prüfe zuerst, welchen kleinsten Wert der Zähler annehmen kann und ob dieser Funktionswert tatsächlich erreicht wird. - Schreibe den Funktionsterm so um, dass eine Konstante minus ein positiver Bruch entsteht. - Um zu zeigen, dass kein Wert zwischen den Grenzen fehlt, setze \(k(x)=y\) und löse nach \(x^2\) auf. - Für welche Werte von \(y\) ist der dabei entstehende Ausdruck nichtnegativ?

1. Da \(x^2\ge 0\) und \(x^2+1>0\) für alle \(x\in\mathbb{R}\) gelten, ist \(k(x)\ge 0\). Für \(x=0\) gilt \(k(0)=0\), also wird der Wert \(0\) angenommen. 2. Durch Umformen erhält man \(k(x)=2-\frac{2}{x^2+1}\). Da \(\frac{2}{x^2+1}>0\) gilt, ist stets \(k(x)<2\). Für große Beträge von \(x\) kann der Bruch beliebig klein werden, sodass die Funktionswerte beliebig nahe an \(2\) herankommen. 3. Sei nun \(y\in[0;2[\). Aus \(y=\frac{2x^2}{x^2+1}\) folgt \(y(x^2+1)=2x^2\) und damit \(x^2=\frac{y}{2-y}\). 4. Wegen \(0\le y<2\) ist \(\frac{y}{2-y}\ge 0\). Daher existiert mindestens ein reelles \(x\) mit \(x^2=\frac{y}{2-y}\), also wird jeder Wert aus \([0;2[\) angenommen. 5. Somit gilt genau \(W_k=[0;2[\).

Es gilt \(0\le k(x)<2\). Umgekehrt besitzt jedes \(y\in[0;2[\) ein Urbild, denn aus \(y=\frac{2x^2}{x^2+1}\) folgt \(x^2=\frac{y}{2-y}\ge 0\). Daher ist \(W_k=[0;2[\).