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- Welcher Term dominiert das Verhalten der Funktion für sehr große \(x\)-Werte? - Wie verhalten sich Terme mit \(x\) im Nenner, wenn \(x\) sehr groß wird? - Versuche, Zähler und Nenner durch die höchste vorkommende Potenz zu teilen.

1. Den Term mit der höchsten Potenz im Nenner (\(x^2\)) ausklammern oder durch ihn dividieren: \(\frac{1 + \frac{4}{x}}{2 + \frac{3}{x^2}}\). 2. Grenzwertbetrachtung für \(x \to \infty\): Die Terme \(\frac{4}{x}\) und \(\frac{3}{x^2}\) streben gegen \(0\). 3. Resultat: \(\frac{1 + 0}{2 + 0} = 0{,}5\).

\(0{,}5\)

- Betrachte zuerst den rechten und den linken Rand des Graphen getrennt. - Was geschieht mit \(x^3\) für sehr große positive beziehungsweise negative \(x\)-Werte? - Wie verändert der negative Faktor \(-0{,}2\) das Vorzeichen?

1. Für \(x\to+\infty\) gilt \(x^3\to+\infty\). Wegen des negativen Faktors \(-0{,}2\) werden die Funktionswerte beliebig stark negativ. Daher gilt \(f(x)\to-\infty\). 2. Für \(x\to-\infty\) gilt \(x^3\to-\infty\). Durch die Multiplikation mit \(-0{,}2\) werden die Funktionswerte beliebig groß positiv. Daher gilt \(f(x)\to+\infty\).

Für \(x\to+\infty\) gilt \(f(x)\to-\infty\). Für \(x\to-\infty\) gilt \(f(x)\to+\infty\).

- Betrachte nur das Verhalten für sehr große positive \(x\)-Werte. - Was geschieht dann mit dem Anteil \(\frac{1}{x}\)? - Welcher Summand bleibt schließlich als Grenzwert bestimmend?

1. Für immer größere positive \(x\)-Werte wird \(\frac{1}{x}\) immer kleiner und nähert sich \(0\). 2. Deshalb nähert sich \(f(x)=4+\frac{1}{x}\) dem Wert \(4\).

Für \(x\to\infty\) gilt \(f(x)\to4\).

- Suche nach einer Zahl, der die Funktionswerte immer näher kommen. - Vergleiche die Abstände der drei Werte von dieser vermuteten Zahl. - Entscheidend ist nicht, ob der Wert schon erreicht wird, sondern ob sich der Abstand verkleinert.

1. Die Funktionswerte \(2{,}1\), \(2{,}01\) und \(2{,}001\) liegen jeweils oberhalb von \(2\). 2. Der Abstand zu \(2\) wird mit wachsendem \(x\) immer kleiner: \(0{,}1\), \(0{,}01\), \(0{,}001\). 3. Daher macht die Tabelle den Grenzwert \(2\) plausibel.

\(\lim_{x\to+\infty}f(x)=2\)

- Multipliziere den Zähler aus, damit du die höchsten Potenzen vergleichen kannst. - Teile Zähler und Nenner durch die höchste vorkommende Potenz von \(x\). - Überlege, welche Bruchterme für \(x \to \infty\) verschwinden.

1. Zuerst multiplizieren wir den Zähler aus, um die Koeffizienten der Potenzen von \(x\) besser bestimmen zu können: \((2x - 1)(x + 4) = 2x^2 + 8x - x - 4 = 2x^2 + 7x - 4\). 2. Die Funktion lautet nun: \( f(x) = \frac{2x^2 + 7x - 4}{5x^2 - 3x} \). 3. Wir dividieren Zähler und Nenner durch die höchste Potenz \(x^2\): \( \frac{2 + \frac{7}{x} - \frac{4}{x^2}}{5 - \frac{3}{x}} \). 4. Im Unendlichen (\(x \to \infty\)) werden die Brüche mit \(x\) im Nenner zu \(0\): \( \frac{2 + 0 - 0}{5 - 0} = \frac{2}{5} \). 5. Das Ergebnis als Dezimalzahl ausgedrückt ist \(0{,}4\).

\(0{,}4\)

- Was passiert mit dem Wert eines Bruches, wenn der Nenner viel schneller wächst als der Zähler? - Versuche, den Zähler und den Nenner durch die höchste im Nenner vorkommende Potenz von \( x \) zu dividieren. - Welche Summanden im Zähler und Nenner werden vernachlässigbar klein, wenn \( x \) extrem groß wird?

1. Ausklammern der höchsten Potenz des Nenners (\( x^2 \)) in Zähler und Nenner: \( f(x) = \frac{x^2 \cdot (\frac{4}{x} + \frac{1}{x^2})}{x^2 \cdot (2 - \frac{3}{x^2})} \). 2. Kürzen des Faktors \( x^2 \): \( f(x) = \frac{\frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}}{2 - \frac{3}{x^2}} \). 3. Anwendung der Grenzwertsätze für \( x \to \pm\infty \): Die Terme \( \frac{4}{x} \), \( \frac{1}{x^2} \) und \( \frac{3}{x^2} \) streben gegen \( 0 \). 4. Der Zähler strebt somit gegen \( 0 + 0 = 0 \), während der Nenner gegen \( 2 - 0 = 2 \) strebt. 5. Berechnung des Gesamtgrenzwerts: \( \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \frac{0}{2} = 0 \).

\( \lim_{x \to \infty} f(x) = 0 \) und \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = 0 \)

- Vergleiche die Grade von Zähler und Nenner. - Überlege, welcher Teil des Bruchterms für sehr große Beträge von \(x\) das Verhalten bestimmt. - Welche Gerade gehört zu einem Grenzwert von \(0\) für \(x\to\pm\infty\)?

1. Der Zähler ist konstant und hat Grad \(0\); der Nenner hat Grad \(2\). 2. Für \(x\to\pm\infty\) wächst \(2x^2+3\) ohne Grenze, während der Zähler konstant \(7\) bleibt. 3. Daher gilt \(\lim_{x\to\pm\infty}g(x)=0\). 4. Somit besitzt der Graph die waagrechte Asymptote \(y=0\).

\(y=0\)

- Überlege bei jedem Term, welcher Bestandteil für große positive \(x\) den Verlauf bestimmt. - Was bedeutet die dauerhafte Periodizität der Sinusfunktion für die Existenz eines Grenzwerts? - Kannst du den Term C als Konstante plus einen Kehrwertterm schreiben? - Wie verhält sich eine bekannte Exponentialfunktion mit Basis größer als \(1\) für wachsende \(x\)?

1. Bei \(f(x)=10-x^2\) dominiert für große positive \(x\) der Term \(-x^2\). Daher gilt \(f(x)\to-\infty\). Das ist Beschreibung (3). 2. \(g(x)=2\sin(x)+1\) schwankt dauerhaft zwischen \(-1\) und \(3\). Es existiert weder ein endlicher noch ein uneigentlicher Grenzwert. Das ist Beschreibung (4). 3. Es gilt \(h(x)=5+\frac{2}{x}\). Da \(\frac{2}{x}\to 0\), folgt \(h(x)\to 5\). Das ist Beschreibung (1). 4. Die Exponentialfunktion \(k(x)=2^x\) wächst für \(x\to\infty\) unbegrenzt. Daher gilt \(k(x)\to+\infty\). Das ist Beschreibung (2).

A: (3), B: (4), C: (1), D: (2)

- Welcher Term entscheidet bei einer ganzrationalen Funktion über das Verhalten für große Beträge von \(x\)? - Was geschieht mit einer geraden Potenz für sehr große negative \(x\)-Werte? - Welche Wirkung hat das Vorzeichen des Leitkoeffizienten auf beide Graphenenden?

1. Das Globalverhalten wird durch das Leitglied \(-0{,}5x^4\) bestimmt. 2. Für \(x\to+\infty\) gilt \(x^4\to+\infty\). Wegen des negativen Leitkoeffizienten folgt \(g(x)\to-\infty\). 3. Für \(x\to-\infty\) gilt wegen des geraden Exponenten ebenfalls \(x^4\to+\infty\). Daher folgt auch hier \(g(x)\to-\infty\). 4. Die Funktion konvergiert in keiner der beiden Richtungen gegen eine reelle Zahl, sondern ist jeweils bestimmt divergent gegen \(-\infty\).

\(\lim_{x\to+\infty}g(x)=-\infty\) und \(\lim_{x\to-\infty}g(x)=-\infty\). In beiden Richtungen liegt bestimmte Divergenz vor.

- Vergleiche zunächst die Grade von Zähler und Nenner. - Wie lässt sich der Term so umformen, dass die zusätzlichen \(x\)-abhängigen Anteile für große Beträge von \(x\) verschwinden? - Welche Bezeichnung verwendet man, wenn Funktionswerte gegen eine feste reelle Zahl streben?

1. Zähler und Nenner haben beide Grad \(1\). 2. Für \(x\neq0\) gilt nach Division durch \(x\): \(k(x)=\frac{10+\frac5x}{2-\frac4x}\). 3. Für \(x\to\pm\infty\) gehen \(\frac5x\) und \(\frac4x\) gegen \(0\). Daher gilt \(\lim_{x\to\pm\infty}k(x)=\frac{10}{2}=5\). 4. Da sich die Funktionswerte einer festen reellen Zahl annähern, konvergiert \(k(x)\) in beiden Richtungen gegen \(5\).

\(k(x)\) konvergiert sowohl für \(x\to\infty\) als auch für \(x\to-\infty\) gegen \(5\).

- Was passiert mit dem Bruch, wenn du die höchste Potenz von \(x\) im Zähler und Nenner ausklammerst und kürzt? - Vergleiche den Grad des Zählerpolynoms mit dem Grad des Nennerpolynoms. - Welche Terme werden vernachlässigbar klein, wenn \(x\) sehr groß wird?

1. Für \(f(x)\) wird im Zähler und Nenner die höchste Potenz \(x^2\) ausgeklammert: \(f(x) = \frac{x^2 \cdot (6 + \frac{4}{x})}{x^2 \cdot (3 - \frac{1}{x^2})} = \frac{6 + \frac{4}{x}}{3 - \frac{1}{x^2}}\). Da \(\frac{4}{x} \to 0\) und \(\frac{1}{x^2} \to 0\) für \(x \to \pm \infty\), ergibt sich der Grenzwert \(\frac{6}{3} = 2\). 2. Für \(g(x)\) betrachtet man das Wachstum von Zähler und Nenner. Der Zähler ist konstant \(10\), während der Nenner \(x^2 + 5\) für \(x \to \pm \infty\) gegen \(+\infty\) strebt. Ein konstanter Wert dividiert durch eine über alle Grenzen wachsende Zahl ergibt den Grenzwert \(0\).

a) \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 2\) b) \(\lim_{x \to \pm \infty} g(x) = 0\)

- Achte jeweils darauf, von welcher Seite sich \(x\) der kritischen Stelle nähert. - Bestimme das Vorzeichen von Zähler und Nenner unmittelbar auf dieser Seite. - Überlege, was mit einem Bruch geschieht, wenn der Nenner mit festem Vorzeichen gegen \(0\) strebt.

1. Für \(x\to1^-\) nähert sich der Zähler \(x+2\) dem positiven Wert \(3\), während \(x-1\) negativ bleibt und gegen \(0\) strebt. Daher gilt \(\frac{x+2}{x-1}\to-\infty\). 2. Für \(x\to-2^+\) bleibt der Zähler positiv, während \(x+2\) positiv ist und gegen \(0\) strebt. Daher gilt \(\frac{3}{x+2}\to+\infty\).

a) \(\lim_{x\to1^-}\frac{x+2}{x-1}=-\infty\) b) \(\lim_{x\to-2^+}\frac{3}{x+2}=+\infty\)

- Untersuche jeden Funktionsterm getrennt für sehr große positive und sehr große negative \(x\)-Werte. - Kannst du den Bruch in b) so umformen, dass der konstante Anteil sichtbar wird? - Vergleiche das Verhalten von Exponentialfunktionen mit einer Basis größer als \(1\) und mit einer Basis zwischen \(0\) und \(1\).

1. Für \(f\) gilt \(\frac{4}{x^2}\to0\) sowohl für \(x\to+\infty\) als auch für \(x\to-\infty\). Daher ist der Grenzwert jeweils \(5\). 2. Es ist \(g(x)=3+\frac{2}{4^x}\). Für \(x\to+\infty\) gilt \(4^x\to+\infty\) und damit \(\frac{2}{4^x}\to0\), also \(g(x)\to3\). Für \(x\to-\infty\) gilt \(4^x\to0^+\), daher \(\frac{2}{4^x}\to+\infty\) und somit \(g(x)\to+\infty\). 3. Für \(h\) gilt \(0{,}5^x\to0\) für \(x\to+\infty\), also \(h(x)\to-2\). Für \(x\to-\infty\) gilt \(0{,}5^x\to+\infty\), daher \(h(x)\to+\infty\).

a) \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=5\); \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=5\) b) \(\lim_{x\to+\infty}g(x)=3\); \(\lim_{x\to-\infty}g(x)=+\infty\) c) \(\lim_{x\to+\infty}h(x)=-2\); \(\lim_{x\to-\infty}h(x)=+\infty\)

- Vergleiche die führenden Terme in Zähler und Nenner. - Welche kleinen Bruchterme entstehen, wenn du Zähler und Nenner durch \(x\) teilst? - Was bedeutet ein endlicher Grenzwert für den Verlauf des Graphen weit rechts?

1. Für \(x\neq0\) gilt nach Division von Zähler und Nenner durch \(x\): \(f(x)=\frac{8+\frac{12}{x}}{4-\frac5x}\). 2. Für \(x\to\infty\) gehen \(\frac{12}{x}\) und \(\frac5x\) gegen \(0\). Daher gilt \(\lim_{x\to\infty}f(x)=\frac84=2\). 3. Der Graph nähert sich für große positive \(x\)-Werte der waagrechten Asymptote \(y=2\).

\(\lim_{x\to\infty}f(x)=2\); waagrechte Asymptote \(y=2\)

- Welche bekannten Grundfunktionen nähern sich für große positive oder negative \(x\) der \(0\) an? - Bei Teil 3): Welcher Potenzterm bestimmt für große positive \(x\) das Vorzeichen und die Größenordnung? - Prüfe bei Teil 4), ob sich der Term vor der Grenzwertbetrachtung vereinfachen lässt. - Unterscheide einen endlichen Grenzwert von einem unbegrenzten Wachstum oder Fallen.

1. Für \(x\to\infty\) gilt \(\frac{2}{x}\to 0\). Daher ist \(3+\frac{2}{x}\to 3\). 2. Die Exponentialfunktion \(2^x\) nähert sich für \(x\to-\infty\) der \(0\) an. Daher ist der Grenzwert \(0\). 3. Es gilt \(x^2-x^3=x^3\left(\frac{1}{x}-1\right)\). Für große positive \(x\) ist der Faktor in der Klammer negativ und nähert sich \(-1\), während \(x^3\) unbegrenzt wächst. Daher strebt der Ausdruck gegen \(-\infty\). 4. Der Term vereinfacht sich zu \(x+\frac{1}{x}-x=\frac{1}{x}\). Daher ist der Grenzwert \(0\).

1) \(3\) 2) \(0\) 3) \(-\infty\) 4) \(0\)

- Vergleiche bei beiden Funktionen zuerst Zähler- und Nennergrad. - Teile Zähler und Nenner gedanklich durch die höchste vorkommende Potenz von \(x\). - Welche Terme bleiben für sehr große \(x\) übrig?

1. Bei \(g\) haben Zähler und Nenner Grad \(2\). Nach Division durch \(x^2\) gilt \(\lim_{x\to\infty}g(x)=\frac{4}{2}=2\). Die waagrechte Asymptote lautet \(y=2\). 2. Bei \(h\) hat der Zähler Grad \(1\), der Nenner Grad \(2\). Nach Division durch \(x^2\) gehen die Terme im Zähler gegen \(0\), also gilt \(\lim_{x\to\infty}h(x)=0\). Die waagrechte Asymptote ist \(y=0\). 3. Bei gleichen Graden bestimmen die führenden Koeffizienten den endlichen Grenzwert. Ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad, geht der Quotient gegen \(0\).

\(\lim_{x\to\infty}g(x)=2\), waagrechte Asymptote \(y=2\) \(\lim_{x\to\infty}h(x)=0\), waagrechte Asymptote \(y=0\)

- Welcher Term entscheidet bei einer ganzrationalen Funktion über das Globalverhalten? - Welche Rolle spielen die Parität des Grades und das Vorzeichen des Leitkoeffizienten? - Vereinfache d) nur so weit, dass der Leitterm eindeutig sichtbar wird.

1. Bei \(f\) ist der Leitterm \(-4x^3\). Wegen des ungeraden Grades und des negativen Leitkoeffizienten gilt \(f(x)\to-\infty\) für \(x\to+\infty\) und \(f(x)\to+\infty\) für \(x\to-\infty\). 2. Bei \(g\) ist der Leitterm \(\frac{1}{4}x^4\). Wegen des geraden Grades und des positiven Leitkoeffizienten gilt in beiden Richtungen \(g(x)\to+\infty\). 3. Bei \(h\) ist der Leitterm \(-x^5\). Daher gilt \(h(x)\to-\infty\) für \(x\to+\infty\) und \(h(x)\to+\infty\) für \(x\to-\infty\). 4. Es ist \(k(x)=-x^4-x^2+2\), also ist der Leitterm \(-x^4\). Daher gilt in beiden Richtungen \(k(x)\to-\infty\).

a) \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\); \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty\) b) \(\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty\); \(\lim_{x\to-\infty}g(x)=+\infty\) c) \(\lim_{x\to+\infty}h(x)=-\infty\); \(\lim_{x\to-\infty}h(x)=+\infty\) d) \(\lim_{x\to+\infty}k(x)=-\infty\); \(\lim_{x\to-\infty}k(x)=-\infty\)

- Schau dir den Verlauf des Graphen am linken und rechten Rand des Koordinatensystems an. - Welchem festen \(y\)-Wert nähert sich die Kurve an, wenn die \(x\)-Werte immer größer oder immer kleiner werden? - Eine waagerechte Asymptote ist eine horizontale Gerade, an die sich der Funktionsgraph im Unendlichen anschmiegt. Wie lautet die Gleichung einer solchen horizontalen Geraden?

1. Bestimmung des Grenzwerts für \(x \to \infty\): Wenn man dem Graphen weit nach rechts folgt (für immer größere positive \(x\)-Werte), nähert sich die Kurve dem Funktionswert \(2\) an. Es gilt also: \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 2\) 2. Bestimmung des Grenzwerts für \(x \to -\infty\): Wenn man dem Graphen weit nach links folgt (für immer kleinere negative \(x\)-Werte), nähert sich die Kurve ebenfalls dem Funktionswert \(2\) an. Es gilt also: \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 2\) 3. Bestimmung der waagerechten Asymptote: Da sich der Graph für \(x \to \pm\infty\) der Höhe \(2\) annähert, lautet die Gleichung der waagerechten Asymptote: \(y = 2\)

a) \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 2\) und \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 2\) b) \(y = 2\)

- Betrachte getrennt, wohin der rechte und der linke Graphenast verlaufen. - Welche Richtung entspricht \(+\infty\), welche \(-\infty\)? - Was verrät der Verlauf des rechten Graphenastes über das Vorzeichen des Leitkoeffizienten?

1. Am rechten Rand verläuft der Graph nach unten. Daher gilt \(x\to+\infty\Rightarrow f(x)\to-\infty\). 2. Am linken Rand verläuft der Graph nach oben. Daher gilt \(x\to-\infty\Rightarrow f(x)\to+\infty\). 3. Die entgegengesetzten Richtungen zeigen zusätzlich einen ungeraden Grad an. Weil der rechte Ast nach unten verläuft, ist der Leitkoeffizient negativ, also \(a_n<0\).

\(x\to+\infty\Rightarrow f(x)\to-\infty\), \(x\to-\infty\Rightarrow f(x)\to+\infty\), und \(a_n<0\).

- Verfolge den Graphen gedanklich weit nach rechts und weit nach links. - Formuliere beide beobachteten Richtungen in Grenzwertschreibweise. - Wie hängt bei geradem Grad die gemeinsame Richtung beider Graphenenden mit dem Vorzeichen des Leitkoeffizienten zusammen?

1. Für \(x\to+\infty\) steigen die Funktionswerte unbegrenzt an, also gilt \(f(x)\to+\infty\). 2. Für \(x\to-\infty\) steigen die Funktionswerte ebenfalls unbegrenzt an, also gilt \(f(x)\to+\infty\). 3. Bei geradem Grad verlaufen beide Graphenenden gleichgerichtet. Da beide nach oben verlaufen, ist der Leitkoeffizient positiv.

\(\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\), \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty\), und der Leitkoeffizient ist positiv.

- Was passiert mit einem Bruch, wenn die Zahl im Nenner immer größer wird? - Betrachte die einzelnen Bestandteile der Funktionsgleichung getrennt voneinander. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Grenzwert einer Funktion und ihrer waagerechten Asymptote.

1. Berechnung des Grenzwerts für \(x \to \infty\): \(\lim_{x \to \infty} \left(0{,}5 + \frac{4}{x+2}\right)\). 2. Da der Nenner \(x+2\) für \(x \to \infty\) gegen unendlich strebt, geht der Bruch \(\frac{4}{x+2}\) gegen \(0\). 3. Es ergibt sich: \(\lim_{x \to \infty} g(x) = 0{,}5 + 0 = 0{,}5\). 4. Vergleich mit der Behauptung: Marie liegt falsch, da der Grenzwert \(0{,}5\) und nicht \(0\) ist. 5. Bestimmung der Asymptote: Eine waagerechte Asymptote liegt auf der Höhe des Grenzwerts. Die Gleichung lautet \(y = 0{,}5\).

a) Marie hat unrecht, denn \(\lim_{x \to \infty} \left(0{,}5 + \frac{4}{x+2}\right) = 0{,}5\). b) Die waagerechte Asymptote hat die Gleichung \(y = 0{,}5\).

- Zähle die Stellen, an denen der Graph die x-Achse schneidet oder berührt, und vergleiche sie mit den Nullstellen in den Formeln. - Überprüfe, ob der Graph für sehr große positive und negative x-Werte nach oben oder nach unten verläuft. - Achte darauf, ob der Graph an einer Nullstelle die Achse nur berührt (Extrempunkt auf der Achse) oder sie überquert.

1. Bestimmung der Nullstellen aus dem Graphen: Der Graph schneidet die x-Achse an den Stellen \(x = -3\), \(x = -1\), \(x = 1\) und \(x = 3\). Es handelt sich jeweils um einfache Nullstellen (Schnittpunkte). 2. Untersuchung des Globalverhaltens: Für \(x \to \pm \infty\) streben die Funktionswerte gegen \(+\infty\). Dies erfordert einen positiven Leitkoeffizienten. 3. Prüfung der Terme: - Term (1) hat die korrekten Nullstellen und einen positiven Leitkoeffizienten (\(0{,}1\)). Er ist somit korrekt. - Term (2) hat zwar die richtigen Nullstellen, aber einen negativen Leitkoeffizienten (\(-0{,}1\)). Dies würde bedeuten, dass der Graph für \(x \to \pm \infty\) gegen \(-\infty\) verläuft. - Term (3) hat eine doppelte Nullstelle bei \(x = -3\) (Berührpunkt) und keine Nullstelle bei \(x = -1\). Dies widerspricht dem Verlauf des Graphen.

Term (1) ist korrekt. Term (2) ist falsch, da das Globalverhalten nicht zum Graphen passt (negativer Leitkoeffizient). Term (3) ist falsch, da die Nullstellen und deren Vielfachheiten nicht mit dem Graphen übereinstimmen.

- Was passiert mit den Funktionswerten, wenn \(x\) sehr groß oder sehr klein wird? Achte auf das Vorzeichen vor der höchsten Potenz. - Schau dir die Öffnung des Graphen an: Geht er „nach oben“ oder „nach unten“? - Vergleiche die Hoch- und Tiefpunkte des Graphen mit den Eigenschaften der Funktion. - Wo schneidet die Funktion die \(y\)-Achse?

1. Globalverhalten: Der Leitkoeffizient von \(k\) ist negativ. Da der Grad \(4\) gerade ist, gilt \(k(x)\to-\infty\) für \(x\to\pm\infty\). Der dargestellte Graph verläuft dagegen an beiden Rändern nach oben. 2. Art der absoluten Extrema: Die Funktion lässt sich als \(k(x)=2-(x^2-1)^2\) schreiben. Daher besitzt sie bei \(x=\pm1\) absolute Maxima mit dem Wert \(2\). Der dargestellte Graph besitzt dagegen absolute Minima und ist nach oben geöffnet. 3. Verhalten bei \(x=0\): Es ist \(k(0)=1\), während zum Beispiel \(k(0{,}5)=1{,}4375>1\) gilt. Somit liegt bei \(x=0\) ein lokales Minimum. Der dargestellte Graph hat dort einen lokalen Hochpunkt und den \(y\)-Achsenabschnitt \(-1\).

Der Graph passt nicht zu \(k\), weil: 1. Für \(x \to \pm\infty\) gilt \(k(x) \to -\infty\), der dargestellte Graph strebt jedoch gegen \(+\infty\). 2. Die Funktion \(k\) besitzt absolute Hochpunkte, während der dargestellte Graph absolute Tiefpunkte besitzt. 3. Bei \(x=0\) hat \(k\) einen lokalen Tiefpunkt mit \(k(0)=1\); der dargestellte Graph hat dort einen lokalen Hochpunkt mit dem Wert \(-1\).

- Vergleiche bei beiden Graphen die Höhe der Ausschläge nach rechts. - Welche Schranke kennst du für \(|\sin(x)|\)? - Was geschieht mit \(\frac{1}{0{,}2x+1}\), wenn \(x\) sehr groß wird?

1. Die Sinusfunktion \(f(x)=\sin(x)\) schwingt dauerhaft zwischen \(-1\) und \(1\). Ihre Ausschläge werden nicht kleiner, daher nähert sie sich keinem einzelnen Wert und besitzt für \(x\to\infty\) keinen Grenzwert. 2. Für \(g\) gilt \(|\sin(x)|\le1\). Deshalb ist der Abstand von \(g(x)\) zu \(0\) höchstens \(\frac{1}{0{,}2x+1}\). Dieser Wert wird für große \(x\) immer kleiner. 3. Daher nähert sich \(g(x)\) dem Wert \(0\); es gilt \(g(x)\to0\).

Die Funktion \(g\) besitzt den Grenzwert \(0\). Die Funktion \(f\) besitzt keinen Grenzwert, weil ihre Schwingung mit gleichbleibender Amplitude fortbesteht.

- Der Graph liegt hier immer oberhalb des Grenzwerts \(2\). Welcher Rand des Streifens ist daher entscheidend? - Übersetze die Bedingung „im Streifen“ in eine Ungleichung für \(f(x)\). - Achte darauf, dass die Randlinien bei einem offenen Streifen nicht dazugehören.

1. Der Graph liegt wegen \(\frac{2}{x}>0\) oberhalb von \(2\). Für den Streifen muss daher \(f(x)<2{,}5\) gelten. 2. Aus \(2+\frac{2}{x}<2{,}5\) folgt \(\frac{2}{x}<0{,}5\). 3. Für \(x>0\) ist dies äquivalent zu \(x>4\). 4. Bei \(x=4\) liegt der Graph genau auf dem Rand \(y=2{,}5\), der nicht zum offenen Streifen gehört. Für alle \(x>4\) liegt der Graph innerhalb des Streifens.

Für alle \(x>4\) liegt der Graph vollständig im Grenzwertstreifen \(1{,}5<y<2{,}5\).

- Betrachte zuerst nur den Bruchterm für sehr große positive und negative \(x\)-Werte. - Welche Rolle spielt der konstante Summand \(4\), wenn der Bruchterm immer kleiner wird? - Eine waagrechte Asymptote entspricht hier genau dem endlichen Grenzwert.

1. Für \(x\to\pm\infty\) wird der Betrag von \(x+1\) beliebig groß. Daher nähert sich \(-\frac{3}{x+1}\) dem Wert \(0\). 2. Somit nähert sich \(f(x)=-\frac{3}{x+1}+4\) auf beiden Seiten dem Wert \(4\). 3. Die waagrechte Asymptote lautet daher \(y=4\).

\(\lim_{x\to+\infty}f(x)=4\) \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=4\) Waagrechte Asymptote: \(y=4\)

- Bestimme zuerst die Gleichung der waagerechten Asymptote. - Überlege dir, wie weit ein Funktionswert höchstens von der Asymptote entfernt sein darf, wenn der gesamte Streifen eine Breite von \( 0{,}2 \) hat. - Berechne für die gegebenen \( x \)-Werte jeweils den Betrag der Differenz zwischen dem Funktionswert und dem Wert der Asymptote. - Vergleiche diesen Abstand mit der halben Streifenbreite.

1. Die waagerechte Asymptote der Funktion \( f \) für \( x \to \infty \) ist \( y = 2 \). Ein Streifen der Breite \( 0{,}2 \) mit dieser Asymptote als Symmetrieachse umfasst alle Funktionswerte im Intervall \( ]2 - 0{,}1; 2 + 0{,}1[ \). Der Abstand eines Punktes auf dem Graphen zur Asymptote muss also kleiner als \( 0{,}1 \) sein, damit er innerhalb des Streifens liegt. 2. Für \( x = 15 \) gilt: \( |f(15) - 2| = \left| 2 + \frac{4}{15 - 5} - 2 \right| = \left| \frac{4}{10} \right| = 0{,}4 \). Da \( 0{,}4 > 0{,}1 \), liegt der Graph an der Stelle \( x = 15 \) außerhalb des Streifens. 3. Für \( x = 55 \) gilt: \( |f(55) - 2| = \left| 2 + \frac{4}{55 - 5} - 2 \right| = \left| \frac{4}{50} \right| = 0{,}08 \). Da \( 0{,}08 < 0{,}1 \), liegt der Graph an der Stelle \( x = 55 \) innerhalb des Streifens.

An der Stelle \( x = 15 \) liegt der Graph außerhalb des Streifens (Abstand \( 0{,}4 > 0{,}1 \)). An der Stelle \( x = 55 \) liegt der Graph innerhalb des Streifens (Abstand \( 0{,}08 < 0{,}1 \)).

- Was passiert mit dem Bruchterm, wenn \( x \) sehr groß wird? Das hilft dir, die Asymptote zu finden. - Ein Streifen mit einer bestimmten Breite erstreckt sich von der Mittellinie aus gleich weit nach oben und unten. - Stelle eine Ungleichung für den Abstand zwischen Funktionswert und Asymptote auf. - Löse die Ungleichung nach \( x \) auf, um den Bereich zu bestimmen, in dem der Graph im Streifen verläuft.

1. Die waagerechte Asymptote liegt bei \( y = 5 \). Da die Streifenbreite \( 0{,}5 \) beträgt, liegt ein Punkt innerhalb des Streifens, wenn sein vertikaler Abstand zur Asymptote kleiner als \( 0{,}25 \) ist, also \( |g(x) - 5| < 0{,}25 \). 2. Untersuchung für \( x = 10 \): \( |g(10) - 5| = \left| \frac{10}{2 \cdot 10 + 1} \right| = \frac{10}{21} \approx 0{,}476 \). Da \( 0{,}476 > 0{,}25 \), liegt der Punkt außerhalb. 3. Untersuchung für \( x > 19{,}5 \): Der Abstand zur Asymptote ist \( d(x) = \frac{10}{2x + 1} \). Die Bedingung \( \frac{10}{2x + 1} < 0{,}25 \) führt auf \( 10 < 0{,}25(2x + 1) \), woraus \( 40 < 2x + 1 \) und somit \( 39 < 2x \) bzw. \( x > 19{,}5 \) folgt. Damit liegen alle Punkte mit \( x > 19{,}5 \) innerhalb des Streifens.

1. Da der Abstand \( |g(10) - 5| = \frac{10}{21} \approx 0{,}476 \) größer als die halbe Streifenbreite \( 0{,}25 \) ist, liegt der Punkt außerhalb. 2. Die Bedingung \( \frac{10}{2x + 1} < 0{,}25 \) ist für alle \( x > 19{,}5 \) erfüllt, sodass diese Punkte innerhalb des Streifens liegen.

- Welche Stelle macht den Nenner null, und welchem Wert nähert sich der Restterm für große Beträge von \(x\)? - Wie groß ist der Abstand vom Mittelwert bis zu einem Rand eines Streifens der Gesamtbreite \(0{,}8\)? - Vergleiche die Abstände der beiden Funktionswerte zur waagrechten Asymptote mit diesem Grenzabstand.

1. Der Nenner wird bei \(x=1\) null, also ist \(x=1\) die senkrechte Asymptote. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(-\frac2{x-1}\to0\), daher ist \(y=1{,}5\) die waagrechte Asymptote. 2. Der Streifen hat den halben Breitenabstand \(0{,}4\). Damit gehören Funktionswerte aus \(]1{,}1;1{,}9[\) zum Streifen. 3. Es ist \(f(3)=0{,}5\). Der Abstand zu \(1{,}5\) beträgt \(1\) und ist größer als \(0{,}4\); der Punkt liegt außerhalb. 4. Es ist \(f(7)=1{,}5-\frac13=\frac76\approx1{,}17\). Der Abstand zu \(1{,}5\) beträgt \(\frac13<0{,}4\); der Punkt liegt innerhalb.

a) Senkrechte Asymptote \(x=1\); waagrechte Asymptote \(y=1{,}5\) b) Bei \(x=3\) liegt der Graph außerhalb, bei \(x=7\) innerhalb des Streifens.

- Welche Stelle macht den Nenner null, und welchem Wert nähert sich der Restterm für große Beträge von \(x\)? - Formuliere die verlangte Abweichung als Betrag einer Differenz zum Asymptotenwert. - Nutze beim Auflösen der Ungleichung die vorgegebene Bedingung \(x>-2\), um das Vorzeichen des Nenners festzulegen.

1. Die Nennernullstelle \(0{,}5x+1=0\) liefert die senkrechte Asymptote \(x=-2\). Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(g(x)\to-2\), daher ist \(y=-2\) die waagrechte Asymptote. 2. Gesucht ist für \(x>-2\) die Bedingung \(|g(x)+2|<0{,}1\). Damit folgt \(\left|\frac3{0{,}5x+1}\right|<0{,}1\). 3. Für \(x>-2\) ist \(0{,}5x+1>0\). Somit gilt \(\frac3{0{,}5x+1}<0{,}1\). 4. Daraus folgt \(3<0{,}05x+0{,}1\), also \(2{,}9<0{,}05x\) und schließlich \(x>58\).

a) Senkrechte Asymptote \(x=-2\); waagrechte Asymptote \(y=-2\) b) Für \(x>58\) beträgt die Abweichung weniger als \(0{,}1\).

- Was passiert mit dem Term \(3^{-x}\), wenn \(x\) immer größer wird? - Wie groß ist bei einer Streifenbreite von \(0{,}5\) der erlaubte Abstand von der Mittellinie? - Vergleiche die beiden Funktionswerte mit den offenen Randlinien des Streifens.

1. Für \(x\to+\infty\) gilt \(3^{-x}\to0\). Daher ist \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=4\), und die waagrechte Asymptote lautet \(y=4\). 2. Die halbe Streifenbreite beträgt \(0{,}25\). Der offene Streifen wird daher durch \(3{,}75<y<4{,}25\) beschrieben. 3. Es gilt \(f(3)=\frac{10}{27}+4\approx4{,}37\). Damit liegt der Graph bei \(x=3\) außerhalb des Streifens. 4. Es gilt \(f(4)=\frac{10}{81}+4\approx4{,}12\). Damit liegt der Graph bei \(x=4\) innerhalb des Streifens.

Die waagrechte Asymptote ist \(y=4\). Bei \(x=3\) liegt der Graph außerhalb des Streifens, denn \(f(3)\approx4{,}37\). Bei \(x=4\) liegt der Graph innerhalb des Streifens, denn \(f(4)\approx4{,}12\).

- Bestimme zuerst, gegen welchen Wert die Funktion für sehr große \( x \) strebt. - Wie groß ist die maximale Abweichung von der Symmetrieachse nach oben oder unten, wenn die Gesamtbreite des Streifens bekannt ist? - Berechne den Abstand der \( y \)-Koordinaten der Punkte \( P \) und \( Q \) von der waagrechten Asymptote. - Vergleiche diesen Abstand mit der halben Breite des Streifens.

1. Grenzwertbestimmung: Da \( 2^{2-x} = 2^2 \cdot 2^{-x} = 4 \cdot (\frac{1}{2})^x \), gilt \( \lim_{x \to \infty} 2^{2-x} = 0 \). Der Grenzwert von \( g(x) \) ist somit \( 5 \). Die Asymptote ist \( y = 5 \). 2. Streifenbedingung: Der Streifen hat die Breite \( 0{,}1 \). Ein Punkt liegt im Streifen, wenn sein Abstand zur Asymptote kleiner als \( 0{,}05 \) ist, also \( |g(x) - 5| < 0{,}05 \). 3. Untersuchung von \( P \): \( g(6) = 5 - 2^{2-6} = 5 - 2^{-4} = 5 - 0{,}0625 = 4{,}9375 \). Der Abstand ist \( |4{,}9375 - 5| = 0{,}0625 \). Da \( 0{,}0625 > 0{,}05 \), liegt \( P \) außerhalb. 4. Untersuchung von \( Q \): \( g(8) = 5 - 2^{2-8} = 5 - 2^{-6} = 5 - 0{,}015625 = 4{,}984375 \). Der Abstand ist \( |4{,}984375 - 5| = 0{,}015625 \). Da \( 0{,}015625 < 0{,}05 \), liegt \( Q \) innerhalb.

Der Grenzwert ist \( 5 \). Für \( P(6 \mid 4{,}9375) \) ist der Abstand zur Asymptote \( 0{,}0625 > 0{,}05 \) (außerhalb). Für \( Q(8 \mid 4{,}984375) \) ist der Abstand zur Asymptote \( 0{,}015625 < 0{,}05 \) (innerhalb).

- Welche bekannte periodische Grundfunktion schwankt dauerhaft in einem festen Intervall, und wie kannst du dieses Intervall verschieben? - Welche einfache ganzrationale Funktion wächst für große positive \(x\) stärker als eine Gerade? - Für Teil c) kannst du eine bekannte Funktion, die gegen \(+\infty\) wächst, an der \(x\)-Achse spiegeln. - Kontrolliere am Ende, dass du tatsächlich drei verschiedene Funktionstypen verwendet hast.

1. Für a) eignet sich eine trigonometrische Funktion. Ein Beispiel ist \(f(x)=\sin(x)+3\); ihre Werte liegen genau zwischen \(2\) und \(4\). 2. Für b) kann eine ganzrationale Funktion höheren Grades gewählt werden, zum Beispiel \(g(x)=x^2\). Für \(x\to\infty\) gilt \(g(x)\to+\infty\), und das Wachstum ist stärker als bei jeder linearen Funktion. 3. Für c) kann als dritter Funktionstyp eine Exponentialfunktion gewählt werden. Zum Beispiel gilt für \(h(x)=-2^x\): \(h(x)\to-\infty\) für \(x\to\infty\).

a) Zum Beispiel \(f(x)=\sin(x)+3\). b) Zum Beispiel \(g(x)=x^2\). c) Zum Beispiel \(h(x)=-2^x\).

- Welchen Wert nimmt die Funktion für extrem große oder extrem kleine x-Werte an? - Wenn der Streifen eine Gesamtbreite hat, wie weit darf der Funktionswert dann maximal von der Asymptote nach oben oder unten abweichen? - Kannst du eine Ungleichung aufstellen, die den Abstand zwischen dem Funktionswert und dem Asymptotenwert beschreibt? - Beachte beim Lösen der Ungleichung, ob der Nenner positiv oder negativ ist.

1. Die waagerechte Asymptote ergibt sich aus dem Grenzwert für \( x \to \pm\infty \). Da \( \frac{5}{x-3} \to 0 \), lautet die Gleichung \( y = 1 \). 2. Ein Streifen der Breite \( 0{,}2 \) um \( y = 1 \) umfasst den Bereich \( 1 - 0{,}1 < y < 1 + 0{,}1 \). Die Bedingung lautet also \( |f(x) - 1| < 0{,}1 \). 3. Einsetzen der Funktionsgleichung: \( |\frac{5}{x-3}| < 0{,}1 \). 4. Für \( x > 3 \) (rechter Ast) gilt: \( \frac{5}{x-3} < 0{,}1 \). Umformen ergibt \( 5 < 0{,}1 \cdot (x-3) \), also \( 50 < x - 3 \), woraus \( x > 53 \) folgt. Somit ist \( x_0 = 53 \). 5. Für \( x < 3 \) (linker Ast) gilt: \( \frac{5}{x-3} > -0{,}1 \). Da \( x-3 \) negativ ist, dreht sich das Relationszeichen beim Multiplizieren: \( 5 < -0{,}1 \cdot (x-3) \), also \( -50 > x - 3 \), woraus \( x < -47 \) folgt. Somit ist \( x_1 = -47 \).

a) \( y = 1 \) b) \( x_0 = 53 \) (oder jeder größere Wert) c) \( x_1 = -47 \) (oder jeder kleinere Wert)

- Welche vertikale Verschiebung sorgt dafür, dass eine Funktion sich für große positive \(x\) dem Wert \(-2\) nähert? - Welche bekannte Kehrwertfunktion nähert sich für beide Richtungen dem Wert \(0\)? - Welche Exponentialfunktion mit Basis \(2\) nähert sich für \(x\to\infty\) dem Wert \(0\)? - Setze jeden deiner Terme gleich \(0\) und prüfe, ob sich die Gleichung mit bekannten Potenzen lösen lässt.

1. Eine mögliche Wahl ist \(f(x)=\frac{1}{x}-2\). Da \(\frac{1}{x}\to 0\) für \(x\to\infty\), gilt \(f(x)\to-2\). Auch für \(x\to-\infty\) gilt \(\frac{1}{x}\to 0\), also \(f(x)\to-2\). 2. Die Nullstelle von \(f\) folgt aus \(\frac{1}{x}-2=0\). Damit ist \(\frac{1}{x}=2\) und somit \(x=\frac{1}{2}\). 3. Eine mögliche Exponentialfunktion ist \(g(x)=2^{-x}-2\). Für \(x\to\infty\) gilt \(2^{-x}\to 0\), also \(g(x)\to-2\). Für \(x\to-\infty\) wächst \(2^{-x}\) unbegrenzt, daher gilt \(g(x)\to+\infty\). 4. Die Nullstelle von \(g\) folgt aus \(2^{-x}-2=0\). Wegen \(2=2^1\) gilt \(-x=1\), also \(x=-1\).

Eine mögliche Wahl ist \(f(x)=\frac{1}{x}-2\) mit \(f(x)\to-2\) für \(x\to-\infty\) und Nullstelle \(x=\frac{1}{2}\), sowie \(g(x)=2^{-x}-2\) mit \(g(x)\to+\infty\) für \(x\to-\infty\) und Nullstelle \(x=-1\).

- Suche zunächst nach besonders einfachen ganzrationalen Funktionen, deren beide Graphenenden nach oben verlaufen. - Wie kannst du bei gleicher Grundform durch eine Verschiebung die Anzahl der Nullstellen verändern? - Welche Kombination aus Gradparität und Vorzeichen des Leitkoeffizienten sorgt allgemein dafür, dass beide Graphenenden nach oben verlaufen?

1. Zu a) eignet sich zum Beispiel \(f(x)=x^2+1\). Es gilt \(f(x)\ge1\), also besitzt die Funktion keine Nullstelle, und für \(x\to\pm\infty\) gilt \(f(x)\to+\infty\). 2. Zu b) eignet sich zum Beispiel \(g(x)=x^2-4\). Die Nullstellen sind \(x=-2\) und \(x=2\), und für \(x\to\pm\infty\) gilt \(g(x)\to+\infty\). 3. Allgemein muss der Grad \(n\) gerade und der Leitkoeffizient \(a_n\) positiv sein. Dann bestimmt der führende Term \(a_nx^n\) auf beiden Seiten das Verhalten \(+\infty\).

a) Zum Beispiel \(f(x)=x^2+1\). b) Zum Beispiel \(g(x)=x^2-4\). c) \(n\) muss gerade und \(a_n>0\) sein.

- Überlege dir, ob jede untere Schranke einer Funktion gleichzeitig ihr tiefster Punkt oder ihr Grenzwert sein muss. - Kannst du eine Funktion finden, die zwar immer über der 2 bleibt und fällt, aber schon viel früher „anhält“ oder sich einem anderen Wert annähert? - Probiere, den Graphen einer solchen Funktion im Kopf zu skizzieren. - Unterscheide zwischen der Eigenschaft, beschränkt zu sein, und dem tatsächlichen Grenzwertverhalten.

1. Die Aussage wird als falsch identifiziert. 2. Es wird begründet, dass eine untere Schranke (hier \(y = 2\)) nicht zwangsläufig dem Grenzwert der Funktion entsprechen muss. Eine Funktion kann gegen einen größeren Wert als die Schranke konvergieren. 3. Als Gegenbeispiel dient eine Funktion wie \(f(x) = 3 + \frac{1}{x}\). Für alle \(x > 0\) gilt \(f(x) > 2\) und die Funktion ist streng monoton fallend, da der Term \(\frac{1}{x}\) abnimmt. 4. Der Grenzwert dieser Beispielfunktion ist jedoch \(\lim_{x \to \infty} (3 + \frac{1}{x}) = 3\), was ungleich 2 ist. Damit ist die allgemeine Behauptung widerlegt.

Die Aussage ist falsch. Eine Funktion kann streng monoton fallend und durch \(y = 2\) nach unten beschränkt sein, ohne dass 2 der Grenzwert sein muss. Ein Gegenbeispiel ist \(f(x) = 3 + \frac{1}{x}\). Diese Funktion ist für \(x > 0\) streng monoton fallend und es gilt stets \(f(x) > 3 > 2\). Ihr Grenzwert für \(x \to \infty\) ist jedoch 3 und nicht 2.

- Welche Asymptoten entstehen bei einer verschobenen und gestreckten Kehrwertfunktion? - Wie beeinflusst eine positive Streckung die Monotonierichtung der Grundfunktion \(\frac1x\)? - Formuliere den Abstand zur waagrechten Asymptote mithilfe eines Betrags und nutze die halbe Streifenbreite.

1. Aus dem Term liest man die senkrechte Asymptote \(x=8\) und die waagrechte Asymptote \(y=-2\) ab. 2. Die Grundfunktion \(x\mapsto\frac1x\) ist auf beiden Ästen streng fallend. Die positive Streckung mit Faktor \(10\) und die Verschiebungen ändern diese Monotonierichtung nicht. Daher ist \(f\) auf \(]-\infty;8[\) und \(]8;\infty[\) jeweils streng fallend. 3. Der Streifen reicht jeweils \(0{,}2\) über und unter \(y=-2\). Gefordert ist also \(|f(x)+2|<0{,}2\). 4. Es gilt \(\left|\frac{10}{x-8}\right|<0{,}2\), also \(|x-8|>50\). 5. Rechts von \(8\) folgt \(x>58\), daher ist \(x_0=58\). Links von \(8\) folgt \(x<-42\), daher ist \(x_1=-42\).

a) Senkrechte Asymptote \(x=8\); waagrechte Asymptote \(y=-2\). Auf \(]-\infty;8[\) und \(]8;\infty[\) ist \(f\) jeweils streng fallend. b) (1) \(x_0=58\) (2) \(x_1=-42\)

- Welche Stelle ist wegen des Nenners aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen? - Welche Nullstellen besitzt die Sinusfunktion, und welche davon ist hier nicht zulässig? - Wie groß kann \(|\sin(x)|\) höchstens werden? Nutze diese Information, um \(|f(x)|\) nach oben abzuschätzen. - Welche Bedingung an diese obere Schranke garantiert eine Abweichung von weniger als \(0{,}01\)?

1. Wegen des Nenners gilt \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}\). 2. Da \(\frac{5}{x}\neq 0\) im Definitionsbereich gilt, entstehen die Nullstellen durch \(\sin(x)=0\). Somit ist \(x_k=k\pi\) mit \(k\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}\). 3. Wegen \(|\sin(x)|\le 1\) gilt \(|f(x)|\le\frac{5}{|x|}\). Für große positive \(x\) kann \(\frac{5}{x}\) beliebig klein gemacht werden. Daher liegen auch die Werte von \(f\) schließlich in jedem noch so schmalen Streifen um \(0\), also gilt \(f(x)\to 0\). 4. Für \(x>0\) genügt die Bedingung \(\frac{5}{x}<0{,}01\). Daraus folgt \(x>500\). Daher kann \(x_0=500\) gewählt werden.

a) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}\). b) \(x_k=k\pi\) mit \(k\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}\). c) \(\lim_{x\to\infty}f(x)=0\). d) Zum Beispiel \(x_0=500\).

- Erinnere dich an die Definitionslücken bei gebrochenrationalen Anteilen. - Nutze die Tatsache, dass der Kosinus nur Werte zwischen \(-1\) und \(1\) annehmen kann, um den kleinstmöglichen Wert von \(g(x)\) abzuschätzen. - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner betragsmäßig immer größer wird, während der Zähler beschränkt bleibt? - Verwende eine Ungleichung, um den komplizierten Ausdruck im Zähler durch eine einfache Zahl zu ersetzen, die den maximalen Ausschlag angibt.

1. Definitionsmenge: Der Nenner \(x^2\) wird für \(x = 0\) null, daher ist \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). 2. Nullstellenfreiheit: Für \(x \geq 1\) gilt \(\left| \frac{\cos(x)}{x^2} \right| \leq \frac{1}{x^2} \leq 1\). Damit ist \(g(x) = 2 + \frac{\cos(x)}{x^2} \geq 2 - 1 = 1 > 0\). Da die Funktionswerte stets größer als null sind, gibt es keine Nullstellen in diesem Bereich. 3. Grenzwert: Da \(\frac{\cos(x)}{x^2} \to 0\) für \(x \to -\infty\) (wegen der Beschränkheit des Kosinus und dem Wachstum des Nenners), gilt \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = 2 + 0 = 2\). Also \(L = 2\). 4. Abweichung: Es soll gelten \(|g(x) - 2| < 0{,}0025\). Dies entspricht \(\left| \frac{\cos(x)}{x^2} \right| < 0{,}0025\). Mit der Abschätzung \(\left| \frac{\cos(x)}{x^2} \right| \leq \frac{1}{x^2}\) lösen wir \(\frac{1}{x^2} < 0{,}0025\). Dies ergibt \(x^2 > \frac{1}{0{,}0025} = 400\), also \(x > 20\). Ein möglicher Wert ist \(x_0 = 20\).

a) \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{0\}\) b) Nachweis über \(g(x) \geq 1 > 0\) für \(x \geq 1\). c) \(L = 2\) d) Zum Beispiel \(x_0 = 20\) (jeder Wert \(x_0 \geq 20\) ist korrekt).

- Überlege dir, wie sich der Funktionswert verhält, wenn die Basis der Potenz zwischen 0 und 1 liegt. - Was passiert mit dem Term \(b^x\), wenn \(x\) immer größer wird? - Ein Streifen, der symmetrisch zu einer Achse liegt, erstreckt sich nach oben und unten jeweils um die halbe Breite. - Um eine Ungleichung der Form \(a^x < b\) nach \(x\) aufzulösen, ist der Logarithmus ein hilfreiches Werkzeug. Achte dabei auf das Relationszeichen beim Dividieren durch negative Werte.

1. Monotonie: Wegen der Basis \(0{,}8 < 1\) ist die Exponentialfunktion \(x \mapsto 0{,}8^x\) streng monoton fallend. Da der Vorfaktor \(10 > 0\) ist, ist auch \(f\) streng monoton fallend. 2. Asymptote: Für \(x \to \infty\) gilt \(0{,}8^x \to 0\), daraus folgt \(f(x) \to 0\). Die waagerechte Asymptote ist die \(x\)-Achse mit der Gleichung \(y = 0\). 3. Schwellenwert \(x_1\): Der Streifen der Breite \(0{,}1\) um \(y=0\) entspricht dem Bereich \(-0{,}05 < f(x) < 0{,}05\). Da \(f(x) > 0\), ist \(10 \cdot 0{,}8^x < 0{,}05\) zu lösen. \(0{,}8^x < 0{,}005 \implies x\ln(0{,}8) < \ln(0{,}005) \implies x > \frac{\ln(0{,}005)}{\ln(0{,}8)} \approx 23{,}74\). Somit ist \(x_1 \approx 23{,}74\). 4. Schmalerer Streifen: Breite \(0{,}01\) bedeutet \(f(x) < 0{,}005\). \(10 \cdot 0{,}8^x < 0{,}005 \implies 0{,}8^x < 0{,}0005 \implies x > \frac{\ln(0{,}0005)}{\ln(0{,}8)} \approx 34{,}06\). 5. Vergleich: \(2x_1 \approx 47{,}48\). Da \(47{,}48 > 34{,}06\), verläuft der Graph für \(x > 2x_1\) tatsächlich innerhalb des schmaleren Streifens.

a) \(f\) ist streng monoton fallend; waagerechte Asymptote \(y = 0\). b) \(x_1 = \frac{\ln(0{,}005)}{\ln(0{,}8)} \approx 23{,}74\). c) Ja, da für den schmaleren Streifen \(x > 34{,}06\) gelten muss und \(2 \cdot 23{,}74 = 47{,}48\) diesen Wert übersteigt.

- Kannst du den Bruch so umschreiben, dass \(x\) im ersten Teil gekürzt werden kann? - Welche Werte kann der Kosinus maximal und minimal annehmen? - Was passiert mit einem Bruch, dessen Zähler immer zwischen festen Werten schwankt, während der Nenner immer größer wird?

1. Zerlegung des Funktionsterms: Der Bruch kann in zwei Summanden aufgeteilt werden: \(g(x) = \frac{3x}{x} + \frac{\cos(x^2)}{x} = 3 + \frac{\cos(x^2)}{x}\). 2. Analyse des zweiten Summanden für \(x \to \infty\): Die Kosinusfunktion ist beschränkt, es gilt \(-1 \leq \cos(x^2) \leq 1\). 3. Anwendung des Grenzwertverhaltens: Da der Zähler \(\cos(x^2)\) beschränkt bleibt und der Nenner \(x\) gegen \(\infty\) strebt, gilt \(\lim_{x \to \infty} \frac{\cos(x^2)}{x} = 0\). 4. Berechnung des Gesamtgrenzwerts: \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \lim_{x \to \infty} (3 + \frac{\cos(x^2)}{x}) = 3 + 0 = 3\).

Für \(x \to \infty\) strebt die Funktion gegen den Grenzwert \(3\), also \(\lim_{x \to \infty} g(x) = 3\).

- Vergleiche für die Symmetrie die Terme \(g(-x)\) und \(g(x)\). - Für den höchsten Punkt kannst du zunächst untersuchen, wann der Exponent \(-x^2+1\) am größten ist. - Betrachte für das Grenzverhalten zuerst, was mit dem Exponenten für sehr große positive und negative \(x\)-Werte geschieht.

1. Es gilt \(g(-x)=2^{-(-x)^2+1}=2^{-x^2+1}=g(x)\). Daher ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Da die Basis \(2>1\) ist, wird \(g(x)\) genau dann maximal, wenn der Exponent \(-x^2+1\) maximal ist. Das ist bei \(x=0\) der Fall. Mit \(g(0)=2\) ist der höchste Punkt \(H(0\mid2)\). 3. Für \(x\to\infty\) und \(x\to-\infty\) gilt \(-x^2+1\to-\infty\). Daher gilt in beiden Richtungen \(g(x)\to0\). 4. Somit ist die \(x\)-Achse, also \(y=0\), eine waagerechte Asymptote des Graphen für \(x\to\pm\infty\).

a) Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. b) \(H(0\mid2)\) c) Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(g(x)\to0\); die \(x\)-Achse ist eine waagerechte Asymptote.

- Welche Terme verschwinden, wenn du Zähler und Nenner durch die höchste auftretende Potenz von \(x\) teilst? - Welches Vorzeichen hat \(x-1\) unmittelbar rechts beziehungsweise links von \(1\)? - Wie hängen die beiden Grenzwertaussagen mit den beiden Asymptoten zusammen?

1. Teile Zähler und Nenner durch \(x\): \(f(x)=\frac{2+\frac{4}{x}}{1-\frac{1}{x}}\). Für \(x\to\infty\) streben die Bruchterme gegen \(0\), also gilt \(\lim_{x\to\infty}f(x)=2\). 2. Für \(x\to1^+\) ist der Nenner positiv und nähert sich \(0\), während der Zähler gegen \(6\) strebt. Daher gilt \(\lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty\). 3. Für \(x\to1^-\) ist der Nenner negativ und nähert sich \(0\), während der Zähler gegen \(6\) strebt. Daher gilt \(\lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty\). 4. Somit ist \(x=1\) die senkrechte Asymptote und \(y=2\) die waagrechte Asymptote.

a) \(\lim_{x\to\infty}f(x)=2\) b) \(\lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty\); \(\lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty\) c) Waagrechte Asymptote: \(y=2\); senkrechte Asymptote: \(x=1\)

- Wie bestimmt man den Grenzwert einer rationalen Funktion, wenn Zähler und Nenner den gleichen Grad haben? - Welchen Einfluss hat der Koeffizient vor der höchsten Potenz auf das Verhalten im Unendlichen? - Stelle eine Gleichung auf, die den berechneten Grenzwert mit dem Zielwert gleichsetzt.

1. Bestimmung des Grenzwerts in Abhängigkeit von \(a\): Ausklammern von \(x^2\) führt zu \(g(x) = \frac{x^2 \cdot (a + \frac{5}{x})}{x^2 \cdot (3 - \frac{2}{x^2})} = \frac{a + \frac{5}{x}}{3 - \frac{2}{x^2}}\) 2. Für \(x \to \infty\) verschwinden die Terme \(\frac{5}{x}\) und \(\frac{2}{x^2}\), sodass \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \frac{a}{3}\) 3. Aufstellen der Gleichung basierend auf der Bedingung: \(\frac{a}{3} = 4\) 4. Lösen der Gleichung nach \(a\): \(a = 4 \cdot 3 = 12\)

Der Parameter muss den Wert \(a = 12\) annehmen.

- Wie kannst du bei \(f_a\) die führenden Terme für große \(x\)-Werte sichtbar machen? - Welche Gleichung verbindet den Grenzwert mit der vorgegebenen waagrechten Asymptote? - Wie lässt sich \(g(x)\) in einen linearen Teil und einen Restterm zerlegen?

1. Teile Zähler und Nenner durch \(x\): \(f_a(x)=\frac{a+\frac{6}{x}}{2-\frac{4}{x}}\). Für \(x\to\infty\) folgt \(L=\frac{a}{2}\). 2. Für die waagrechte Asymptote \(y=5\) muss \(\frac{a}{2}=5\) gelten. Daraus folgt \(a=10\). 3. Es gilt \(g(x)=2x+3+\frac{1}{x}\). Daher ist \(g(x)-h(x)=\frac{1}{x}\to0\) für \(x\to\infty\). Beide Funktionen wachsen gegen \(+\infty\), und der Graph von \(g\) nähert sich der Geraden \(y=2x+3\) an.

a) \(L=\frac{a}{2}\) b) \(a=10\) c) \(g(x)-h(x)=\frac{1}{x}\to0\); beide Funktionen wachsen gegen \(+\infty\), und \(y=2x+3\) ist die schräge Asymptote von \(g\).

- Vergleiche zunächst nur die Richtungen der beiden Graphenenden. - Welches Vorzeichen muss der führende Term für sehr große positive \(x\)-Werte haben? - Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse wird durch \(f(0)\) bestimmt. - Was bewirkt ein Minuszeichen vor dem gesamten Funktionsterm für alle Funktionswerte?

1. Da die beiden Graphenenden in entgegengesetzte Richtungen verlaufen, muss der Grad \(n\) ungerade sein. 2. Für \(x\to+\infty\) soll \(f(x)\to-\infty\) gelten. Deshalb muss der Leitkoeffizient negativ sein, also \(a_n<0\). 3. Der \(y\)-Achsenabschnitt \(5\) verlangt \(f(0)=5\). Eine mögliche Funktion ist daher \(f(x)=-x^3+5\). 4. Bei \(g(x)=-f(x)\) werden alle Funktionswerte an der \(x\)-Achse gespiegelt. Daher gilt \(g(x)\to-\infty\) für \(x\to-\infty\) und \(g(x)\to+\infty\) für \(x\to+\infty\).

a) \(n\) muss ungerade sein. b) \(a_n<0\). c) Zum Beispiel \(f(x)=-x^3+5\). d) \(\lim_{x\to-\infty}g(x)=-\infty\) und \(\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty\).

- Welche Exponentenstruktur lässt auf Achsen- oder Punktsymmetrie schließen? - Welcher Term bestimmt bei großen Beträgen von \(x\) das Globalverhalten? - Berücksichtige dabei sowohl die Parität des höchsten Exponenten als auch das Vorzeichen seines Koeffizienten.

1. Bei \(f\) kommen nur gerade Exponenten vor, daher gilt \(f(-x)=f(x)\); der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Der Leitterm \(-x^4\) liefert in beiden Richtungen den Grenzwert \(-\infty\). 2. Bei \(g\) kommen nur ungerade Exponenten vor, daher gilt \(g(-x)=-g(x)\); der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Der Leitterm \(0{,}5x^5\) liefert \(g(x)\to+\infty\) für \(x\to+\infty\) und \(g(x)\to-\infty\) für \(x\to-\infty\). 3. Bei \(h\) kommen gerade und ungerade Exponenten vor; weder \(h(-x)=h(x)\) noch \(h(-x)=-h(x)\) gilt. Der Leitterm \(-x^3\) liefert \(h(x)\to-\infty\) für \(x\to+\infty\) und \(h(x)\to+\infty\) für \(x\to-\infty\).

a) Achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse; \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=-\infty\). b) Punktsymmetrisch zum Ursprung; \(\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty\), \(\lim_{x\to-\infty}g(x)=-\infty\). c) Keine der beiden Symmetrien; \(\lim_{x\to+\infty}h(x)=-\infty\), \(\lim_{x\to-\infty}h(x)=+\infty\).

- Welcher Summand einer ganzrationalen Funktion entscheidet über das Verhalten für sehr große \(x\)-Werte? - Prüfe das Vorzeichen dieses Leitterms für große positive \(x\). - Kann ein endliches Sichtfenster sicher zeigen, was für beliebig große \(x\)-Werte geschieht?

1. Für das Globalverhalten ist der Leitterm \(-0{,}01x^4\) entscheidend. Für \(x\to+\infty\) gilt \(x^4\to+\infty\), also \(-0{,}01x^4\to-\infty\). Damit ist \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\); Emmas Aussage ist falsch. 2. Durch \(f(x)=-0{,}01(x^2-25)^2+8{,}25\) erkennt man, dass im dargestellten Fenster bei \(x=-5\) und \(x=5\) Hochpunkte liegen. Das Sichtfenster endet genau dort. Für \(|x|>5\) fällt der Graph wieder, was in der Abbildung nicht sichtbar ist.

Emmas Aussage ist falsch. Es gilt \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\). Der Graphenausschnitt endet bei Hochpunkten und zeigt deshalb das anschließende Fallen des Graphen nicht.

- Vergleiche \(h(x)\) direkt mit \(g(x)\), indem du die Differenz der beiden Terme bildest. - Für das Globalverhalten musst du den Sinus nicht genau kennen; seine Werte bleiben immer in einem festen Intervall. - Begrenze \(h(x)\) nach oben und unten durch zwei lineare Terme. - Überlege für c), was mit den Funktionswerten einer stetigen Funktion passiert, wenn sich derselbe Graphabschnitt immer wiederholt.

1. Für jedes \(x\) gilt \(h(x)-g(x)=\sin(x)\). Daher schwankt der Graph von \(h\) um die Gerade \(g\), und der vertikale Abstand beträgt höchstens \(1\). 2. Aus \(-1\le\sin(x)\le1\) folgt \(0{,}5x-1\le h(x)\le0{,}5x+1\). Beide Randterme wachsen für \(x\to+\infty\) unbegrenzt. Daher gilt \(\lim_{x\to+\infty}h(x)=+\infty\). Für \(x\to-\infty\) gehen beide Randterme gegen \(-\infty\), also gilt \(\lim_{x\to-\infty}h(x)=-\infty\). 3. Eine stetige periodische Funktion wiederholt auf jedem Periodenintervall dieselben Funktionswerte und ist deshalb beschränkt. Da \(h\) nach oben und unten unbeschränkt ist, kann \(h\) nicht periodisch sein.

a) \(h\) schwankt im vertikalen Abstand von höchstens \(1\) um die Gerade \(g(x)=0{,}5x\). b) \(\lim_{x\to+\infty}h(x)=+\infty\) und \(\lim_{x\to-\infty}h(x)=-\infty\). c) \(h\) ist nicht periodisch, weil ihr Globalverhalten unbeschränkt ist.

- Welcher Teil des Funktionsterms hat bei sehr großen Werten für \(x\) den größten Einfluss? - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner immer größer wird, während der Zähler gleich bleibt? - Überlege, wie sich eine Potenzfunktion mit positivem Koeffizienten und geradem Exponenten im Unendlichen verhält. - Kann man das Verhalten einer Funktion für alle Zeiten allein durch das Betrachten eines kleinen Ausschnitts des Graphen sicher bestimmen?

1. Analyse des Funktionsterms: Die Funktion besteht aus einer Konstanten (8), einer rationalen Komponente (\(-\frac{40}{x^2 + 5}\)) und einer Potenzfunktion (\(0{,}00001x^4\)). 2. Untersuchung des Grenzwerts der rationalen Komponente: Für \(x \to \infty\) strebt der Nenner \(x^2 + 5\) gegen Unendlich, sodass der Bruch \(\frac{40}{x^2 + 5}\) gegen \(0\) strebt. 3. Untersuchung der Potenzfunktion: Da der Exponent \(4\) positiv ist und der Koeffizient \(0{,}00001 > 0\) ist, strebt der Term \(0{,}00001x^4\) für \(x \to \infty\) gegen \(+\infty\). 4. Gesamtergebnis: Da die Potenzfunktion mit der höchsten Ordnung das langfristige Verhalten dominiert, gilt \(\lim_{x \to \infty} f(x) = +\infty\). 5. Beurteilung: Leons Aussage ist falsch. Die optische Annäherung an den Wert 8 im gewählten Ausschnitt ist irreführend, da der Einfluss des \(x^4\)-Terms bei diesen Werten noch sehr klein ist, langfristig aber jede Schranke übersteigt.

Leons Aussage ist falsch. Zwar nähert sich der Term \(8 - \frac{40}{x^2 + 5}\) für größer werdende \(x\) dem Wert \(8\) an, da der Bruch gegen \(0\) strebt. Jedoch dominiert für sehr große \(x\) der Term \(0{,}00001x^4\), welcher gegen \(+\infty\) strebt. Somit gilt \(\lim_{x \to \infty} f(x) = +\infty\). Der scheinbare Grenzwert im Graph ist lediglich eine Folge des gewählten Sichtfensters, in dem der Einfluss der vierten Potenz noch nicht deutlich erkennbar ist.

- Überlege dir, ob eine Kurve, die sich nach unten bewegt, zwangsläufig bei null landen muss. - Was könnte mit dem Graphen rechts außerhalb des Bildrandes passieren? - Kannst du dir eine Funktionsgleichung vorstellen, die erst fällt und später wieder ansteigt? - Denke an den Unterschied zwischen einer Vermutung aufgrund einer Skizze und einem mathematischen Beweis.

1. Analyse des sichtbaren Bereichs: Der Graph fällt im Intervall \([0; 15]\) kontinuierlich ab und nähert sich der x-Achse. 2. Erkenntnistheoretische Einschränkung: Ein endlicher Ausschnitt eines Funktionsgraphen lässt niemals eine sichere Aussage über das globale Verhalten (den Grenzwert) im Unendlichen zu. 3. Gegenbeispiel: Eine Funktion wie beispielsweise \(f(x) = \frac{10}{x+1} + 0{,}02x\) zeigt in diesem Bereich einen fallenden Verlauf, strebt aber für \(x \to \infty\) aufgrund des linearen Terms gegen \(+\infty\). Ebenso könnte sich der Graph einer waagerechten Asymptote oberhalb der x-Achse nähern. 4. Fazit: Die Schlussfolgerung ist nicht zulässig, da der weitere Verlauf außerhalb des Sichtfensters unbekannt ist.

Die Schlussfolgerung von Lukas ist nicht zulässig. Allein aus einem endlichen Ausschnitt eines Graphen kann man den Grenzwert für \(x \to \infty\) nicht mit Sicherheit bestimmen. Auch wenn der Graph im sichtbaren Bereich fällt, könnte er außerhalb des Fensters wieder ansteigen (wie z. B. bei einer weit geöffneten Parabel) oder sich einer waagerechten Asymptote \(y = c\) mit \(c \neq 0\) nähern.

- Um welchen festen \(y\)-Wert schwingt der Graph im rechten Bereich? - Wie groß kann \(|\sin(x)|\) höchstens sein? - Nutze diese Schranke, um den Abstand von \(f(x)\) zum vermuteten Grenzwert abzuschätzen. - Was geschieht mit dieser Abstandsschranke, wenn \(x\) wächst?

1. Im Graphen erkennt man eine Oszillation um \(y=2\), deren Ausschläge mit wachsendem \(x\) immer kleiner werden. 2. Wegen \(|\sin(x)|\le 1\) gilt \(\left|\frac{8\sin(x)}{x}\right|\le\frac{8}{x}\) für \(x>0\). 3. Der Wert \(\frac{8}{x}\) kann für genügend große \(x\) beliebig klein gemacht werden. Damit liegt \(\frac{8\sin(x)}{x}\) schließlich in jedem noch so schmalen Streifen um \(0\). 4. Folglich nähert sich \(f(x)=2+\frac{8\sin(x)}{x}\) dem Wert \(2\). Es gilt \(\lim_{x\to\infty}f(x)=2\), und die waagerechte Asymptote lautet \(y=2\).

\(\lim_{x\to\infty}f(x)=2\). Die waagerechte Asymptote ist \(y=2\). Entscheidend ist \(\left|\frac{8\sin(x)}{x}\right|\le\frac{8}{x}\), wobei die rechte Seite für große \(x\) beliebig klein wird.

- Überlege zuerst, an welcher Stelle der Graph die \(y\)-Achse schneiden muss. - Was passiert mit dem Term \(2^x\), wenn \(x\) immer kleiner wird (z. B. \(-10\), \(-100\), ...)? - Bestimme die waagerechte Asymptote der Funktion. Auf welcher Seite des Koordinatensystems nähert sich der Graph dieser Linie an? - Prüfe durch Einsetzen eines weiteren Punktes, zum Beispiel \(x = 1\), welcher Graph korrekt ist.

1. Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts: Setze \(x = 0\) in die Funktionsgleichung ein: \(f(0) = 3 - 2^0 = 3 - 1 = 2\). Der Graph muss also die \(y\)-Achse bei \(2\) schneiden. Dies trifft auf die Graphen a) und d) zu. 2. Untersuchung des Grenzverhaltens für \(x \to -\infty\): Für sehr kleine \(x\)-Werte nähert sich \(2^x\) dem Wert \(0\) an. Somit nähert sich \(f(x) = 3 - 2^x\) dem Wert \(3 - 0 = 3\) an. Die Gerade \(y = 3\) ist also die waagerechte Asymptote für \(x \to -\infty\). 3. Vergleich mit den Abbildungen: Graph a) nähert sich für negative \(x\)-Werte der Geraden \(y = 3\) an, während Graph d) dies für positive \(x\)-Werte tut. 4. Ergebnis: Nur Graph a) erfüllt beide Bedingungen.

Graph a) ist die richtige Darstellung.

- Wie groß ist der maximale Abstand von der Mittellinie bei einer Streifenbreite von \(0{,}01\)? - Formuliere die Bedingung „innerhalb des offenen Streifens“ als Ungleichung für den Abstand von \(g_a(x)\) zur Asymptote. - Untersuche anschließend, wie der gefundene Schwellenwert von \(a\) abhängt.

1. Die halbe Streifenbreite beträgt \(0{,}005\). Der offene Streifen wird daher durch \(1{,}995<y<2{,}005\) beschrieben. 2. Für \(x>0\) liegt \(g_a(x)\) oberhalb der Asymptote. Deshalb genügt die Bedingung \(g_a(x)-2<0{,}005\). 3. Damit gilt \(\frac{a}{x}<0{,}005\). 4. Da \(a>0\) und \(x>0\) sind, folgt \(x>\frac{a}{0{,}005}=200a\). 5. Somit kann \(x_{\text{start}}=200a\) gewählt werden. Der Wert ist direkt proportional zu \(a\): Wird \(a\) mit einem Faktor vervielfacht, vervielfacht sich auch \(x_{\text{start}}\) mit diesem Faktor.

\(x_{\text{start}}=200a\). Der Eintrittswert ist direkt proportional zu \(a\).

- Kannst du den Bruch so umformen, dass eine Konstante und ein Kehrwertterm sichtbar werden? - Welches Vorzeichen hat der Kehrwertterm für \(x>0\)? - Unterscheide sorgfältig zwischen „eine obere Schranke sein“ und „der Wert sein, dem sich die Funktion annähert“.

1. Durch Umformen erhält man \(f(x)=4-\frac{5}{x+1}\). Für \(x\to\infty\) wird der Kehrwertterm \(\frac{5}{x+1}\) beliebig klein. Daher gilt \(L=4\). 2. Für \(x>0\) gilt \(x+1>0\) und damit \(\frac{5}{x+1}>0\). Also ist \(f(x)=4-\frac{5}{x+1}<4<5\). Somit sind alle Funktionswerte kleiner als \(5\). 3. Die Zahl \(5\) ist zwar eine obere Schranke, aber der tatsächliche Grenzwert ist \(4\). Aus „nach oben beschränkt“ folgt nicht, dass die angegebene Schranke selbst der Grenzwert sein muss.

1. \(\lim_{x\to\infty}f(x)=4\). 2. Für \(x>0\) gilt \(f(x)=4-\frac{5}{x+1}<4<5\). 3. Die Behauptung ist falsch: \(5\) ist nur eine obere Schranke; der Grenzwert ist \(4\).

- Erinnere dich daran, gegen welchen Wert \(2^x\) strebt, wenn \(x\) sehr kleine (negative) Werte annimmt. - Der Abstand zwischen einem Funktionswert und der Asymptote \(y=c\) wird durch den Betrag \(|f(x) - c|\) beschrieben. - Nutze Logarithmengesetze, um die Unbekannte im Exponenten zu isolieren. - Überlege bei Teilaufgabe c), ob du die Rechnung für \(x_0\) mit dem neuen Wert einfach wiederholen kannst, um den Unterschied zu sehen.

1. Grenzwert: Für \(x \to -\infty\) gilt \(2^x \to 0\), also \(g(x) \to 4 - 3 \cdot 0 = 4\). Die waagerechte Asymptote ist \(y = 4\). 2. Bedingung für den Streifen: Der Abstand zur Asymptote muss kleiner als die halbe Breite sein: \(|g(x) - 4| < 0{,}01\). \(|4 - 3 \cdot 2^x - 4| < 0{,}01 \implies |-3 \cdot 2^x| < 0{,}01 \implies 3 \cdot 2^x < 0{,}01\). 3. Berechnung von \(x_0\): \(2^x < \frac{0{,}01}{3} \approx 0{,}00333\). \(x < \frac{\ln(0{,}01/3)}{\ln(2)} \approx -8{,}23\). Also \(x_0 \approx -8{,}23\). 4. Reduzierte Breite: \(w_{\text{neu}} = 0{,}005 \implies\) halbe Breite ist \(0{,}0025\). \(3 \cdot 2^x < 0{,}0025 \implies 2^x < \frac{0{,}0025}{3}\). \(x_{\text{neu}} < \frac{\ln(0{,}0025/3)}{\ln(2)} \approx -10{,}23\). 5. Differenz: \(x_{\text{neu}} - x_0 = -10{,}23 - (-8{,}23) = -2\). Der Schwellenwert verringert sich um \(2\).

a) \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = 4\); waagerechte Asymptote \(y = 4\). b) \(x_0 = \frac{\ln(0{,}01/3)}{\ln(2)} \approx -8{,}23\). c) Der Wert \(x_0\) verringert sich um genau \(2\) (da \(\log_2(1/4) = -2\)).

- Trenne bei Teil b) die beiden Summanden und untersuche sie unabhängig voneinander. - Kannst du den Bruch so umformen, dass eine Konstante plus ein Term sichtbar wird, dessen Nenner immer größer wird? - Welcher Summand kann für große positive \(x\) betragsmäßig unbegrenzt wachsen? - Vergleiche anschließend deine Rechnung mit der Vermutung aus dem begrenzten Graphenausschnitt.

1. Im dargestellten Bereich fällt der Graph rechts von seinem hohen Anfangswert und scheint sich der \(x\)-Achse anzunähern. Aus dem Bild allein könnte man daher einen endlichen Grenzwert nahe \(0\) vermuten. 2. Der erste Summand lässt sich umformen zu \(\frac{4x^2+50}{x^2+10}=4+\frac{10}{x^2+10}\). Für \(x\to\infty\) wird \(\frac{10}{x^2+10}\) beliebig klein, also nähert sich dieser Summand dem Wert \(4\). 3. Der Term \(-0{,}00005x^4\) fällt für \(x\to\infty\) unbegrenzt gegen \(-\infty\). 4. Der negative Term vierten Grades bestimmt schließlich das Gesamtverhalten. Daher gilt \(\lim_{x\to\infty}g(x)=-\infty\). 5. Die Abbildung zeigt nur einen begrenzten Ausschnitt und kann deshalb das spätere starke Fallen des Graphen nicht vollständig sichtbar machen.

a) Aus dem dargestellten Ausschnitt könnte man einen endlichen Grenzwert nahe \(0\) vermuten. b) Es gilt \(\frac{4x^2+50}{x^2+10}=4+\frac{10}{x^2+10}\to 4\), während \(-0{,}00005x^4\to-\infty\). Daher ist \(\lim_{x\to\infty}g(x)=-\infty\). Der dargestellte Ausschnitt ist für das globale Verhalten irreführend.

- Stelle dir für verschiedene Werte von \(k\) die waagrechte Gerade \(y=k\) vor und zähle ihre Schnittpunkte mit dem Graphen. - Untersuche die Grenzfälle an den beiden markanten Höhen \(-2\), \(0\) und \(2\) besonders sorgfältig. - Berücksichtige, dass sich der rechte Ast der Höhe \(0\) nur annähert und sie dort nicht erneut erreicht.

1. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=-3\) und \(x=0\). Daher besitzt \(g\) zwei Nullstellen. 2. Der tiefste dargestellte und zugleich globale Minimalwert ist \(-2\). Für \(-2<k\le0\) schneidet die Gerade \(y=k\) den Graphen zweimal. Auch für \(k=2\) gibt es genau zwei verschiedene Schnittpunkte: einen auf dem linken Ast und den Punkt \((2|2)\). 3. Für \(0<k<2\) gibt es drei Schnittpunkte: einen auf dem linken Ast, einen im mittleren Abschnitt und einen auf dem rechten Ast. 4. Für \(k<-2\) liegt die Gerade \(y=k\) vollständig unterhalb des Graphen, daher gibt es keine Lösung. Bei \(k=-2\) gibt es genau eine Lösung.

a) Zwei Nullstellen. b) \(k\in]-2;0]\cup\{2\}\). c) \(k\in]0;2[\). d) \(k<-2\).