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Global- und Grenzverhalten

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Schwierigkeit: 1 – 5

41011211

Bestimme den Grenzwert \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 4x}{2x^2 + 3}\).

Denkanstöße

- Welcher Term dominiert das Verhalten der Funktion für sehr große \(x\)-Werte? - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner viel schneller wächst als der Zähler? - Versuche, Zähler und Nenner durch die höchste vorkommende Potenz zu teilen.

Lösung

1. Den Term mit der höchsten Potenz im Nenner (\(x^2\)) ausklammern oder durch ihn dividieren: \(\frac{1 + \frac{4}{x}}{2 + \frac{3}{x^2}}\). 2. Grenzwertbetrachtung für \(x \to \infty\): Die Terme \(\frac{4}{x}\) und \(\frac{3}{x^2}\) streben gegen \(0\). 3. Resultat: \(\frac{1 + 0}{2 + 0} = 0,5\).

Antwort

\(0,5\)

41011411

Berechne den Grenzwert der Funktion für \(x \to \infty\): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{6x^2 - 2x + 5}{3x^2 + 7} \]

Lösung

1. Wir dividieren sowohl den Zähler als auch den Nenner durch die höchste Potenz von \(x\), die im Nenner vorkommt, also durch \(x^2\): \[ \frac{\frac{6x^2}{x^2} - \frac{2x}{x^2} + \frac{5}{x^2}}{\frac{3x^2}{x^2} + \frac{7}{x^2}} = \frac{6 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^2}}{3 + \frac{7}{x^2}} \] 2. Nun betrachten wir den Grenzwert für \(x \to \infty\). Dabei gilt, dass alle Terme der Form \(\frac{a}{x^n}\) gegen \(0\) streben: \(\frac{2}{x} \to 0\), \(\frac{5}{x^2} \to 0\) und \(\frac{7}{x^2} \to 0\). 3. Durch Einsetzen dieser Grenzwerte ergibt sich: \[ \frac{6 - 0 + 0}{3 + 0} = \frac{6}{3} = 2 \]

Antwort

\(2\)

42634311

Berechne die folgenden Grenzwerte durch direktes Einsetzen des \(x\)-Wertes: 1) \( \lim_{x \to 2} \frac{3x^2 - 4}{x + 2} \) 2) \( \lim_{x \to 9} \left( \sqrt{x} \cdot (x - 7) \right) \) 3) \( \lim_{x \to -1} (x^5 + 3x^2 - 1) \)

Denkanstöße

- Überprüfe zuerst, ob die Funktion an der Stelle, gegen die \(x\) strebt, definiert ist. - Wenn der Nenner eines Bruchs bei direktem Einsetzen nicht Null wird, entspricht der Grenzwert dem Funktionswert. - Achte bei Potenzen mit negativer Basis besonders auf das Vorzeichen des Ergebnisses.

Lösung

1. Einsetzen von \(x = 2\) in den Funktionsterm: \( \frac{3(2)^2 - 4}{2 + 2} = \frac{3 \cdot 4 - 4}{4} = \frac{8}{4} = 2 \). 2. Einsetzen von \(x = 9\) in den Funktionsterm: \( \sqrt{9} \cdot (9 - 7) = 3 \cdot 2 = 6 \). 3. Einsetzen von \(x = -1\) in den Funktionsterm: \( (-1)^5 + 3(-1)^2 - 1 = -1 + 3 \cdot 1 - 1 = 1 \).

Antwort

1) 2 2) 6 3) 1

41011311

Bestimme den Grenzwert der folgenden Funktion, wenn \(x\) gegen unendlich strebt: \[ f(x) = \frac{(2x - 1)(x + 4)}{5x^2 - 3x} \]

Lösung

1. Zuerst multiplizieren wir den Zähler aus, um die Koeffizienten der Potenzen von \(x\) besser bestimmen zu können: \((2x - 1)(x + 4) = 2x^2 + 8x - x - 4 = 2x^2 + 7x - 4\). 2. Die Funktion lautet nun: \[ f(x) = \frac{2x^2 + 7x - 4}{5x^2 - 3x} \] 3. Wir dividieren Zähler und Nenner durch die höchste Potenz \(x^2\): \[ \frac{2 + \frac{7}{x} - \frac{4}{x^2}}{5 - \frac{3}{x}} \] 4. Im Unendlichen (\(x \to \infty\)) werden die Brüche mit \(x\) im Nenner zu \(0\): \[ \frac{2 + 0 - 0}{5 - 0} = \frac{2}{5} \] 5. Das Ergebnis als Dezimalzahl ausgedrückt ist \(0,4\).

Antwort

\(0,4\)

42180011

Gegeben ist die Funktion \( g \) mit \( g(x) = \frac{10}{x^3 + 5x} \). Bestimme die Gleichung der waagerechten Asymptote des Graphen von \( g \) für \( x \to \pm\infty \). Begründe deine Antwort durch eine Analyse des Wachstumsverhaltens von Zähler und Nenner.

Denkanstöße

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Grad des Zählers und dem Grad des Nenners bei rationalen Funktionen. - Betrachte, welcher Teil des Bruches für sehr große \( x \)-Werte „stärker“ ist. - Wie lautet die mathematische Gleichung für eine Gerade, die genau auf der \( x \)-Achse liegt?

Lösung

1. Identifikation der Grade von Zähler- und Nennerpolynom: Der Zähler ist konstant (Grad 0), das Nennerpolynom ist vom Grad 3. 2. Untersuchung des Nenners: Für \( x \to \pm\infty \) dominiert das Glied mit der höchsten Potenz (\( x^3 \)), wodurch der Betrag des Nenners \( |x^3 + 5x| \) über alle Grenzen wächst (Streben gegen \( \infty \) bzw. \( -\infty \)). 3. Da der Zähler konstant bei \( 10 \) bleibt und der Nenner betragsmäßig unendlich groß wird, streben die Funktionswerte gegen \( 0 \). 4. Schlussfolgerung für die Asymptote: Da der Grenzwert \( 0 \) ist, liegt eine waagerechte Asymptote auf der \( x \)-Achse vor.

Antwort

Die Gleichung der waagerechten Asymptote lautet \( y = 0 \).

42180111

Untersuche das globale Verhalten der folgenden Funktionen für \(x \to \infty\). Ordne jedem Funktionsterm eine der vier Beschreibungen zu: (1) Konvergiert gegen einen endlichen Grenzwert. (2) Bestimmte Divergenz gegen \(+\infty\). (3) Bestimmte Divergenz gegen \(-\infty\). (4) Unbestimmte Divergenz (Oszillation ohne Grenzwert). A: \(f(x) = 10 - x^2\) B: \(g(x) = 2 \cdot \sin(x) + 1\) C: \(h(x) = \frac{5x + 2}{x}\) D: \(k(x) = e^{0{,}5x}\)

Denkanstöße

- Überlege dir, welcher Teil des Terms für sehr große \(x\)-Werte am wichtigsten wird. - Erinnerst du dich an den Verlauf der Sinus- und Kosinusfunktionen? Was passiert dort am rechten Rand des Koordinatensystems? - Bei Brüchen kann es helfen, den Zähler durch den Nenner zu teilen oder die höchsten Potenzen zu vergleichen. - Was weißt du über das Wachstum von Exponentialfunktionen im Vergleich zu Potenzfunktionen?

Lösung

1. Für \(f(x) = 10 - x^2\) dominiert der Term \(-x^2\). Da \(x^2\) für \(x \to \infty\) gegen \(+\infty\) strebt, gilt \(\lim_{x \to \infty} (10 - x^2) = -\infty\). Dies entspricht der Beschreibung (3). 2. Für \(g(x) = 2 \cdot \sin(x) + 1\) schwanken die Funktionswerte aufgrund der Sinusfunktion periodisch zwischen \(2 \cdot (-1) + 1 = -1\) und \(2 \cdot 1 + 1 = 3\). Es existiert kein Grenzwert, auch kein uneigentlicher. Dies entspricht der Beschreibung (4). 3. Der Term \(h(x) = \frac{5x + 2}{x}\) kann zu \(5 + \frac{2}{x}\) umgeformt werden. Da \(\frac{2}{x}\) für \(x \to \infty\) gegen \(0\) strebt, ist der Grenzwert \(5\). Dies entspricht der Beschreibung (1). 4. Für \(k(x) = e^{0{,}5x}\) handelt es sich um eine Exponentialfunktion mit positivem Wachstumsfaktor (\(e^{0{,}5} > 1\)). Die Funktion strebt gegen \(+\infty\). Dies entspricht der Beschreibung (2).

Antwort

A: (3), B: (4), C: (1), D: (2)

42180611

Betrachtet werden Funktionen mit dem globalen Verhalten \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \infty\). a) Gib einen Term einer ganzrationalen Funktion \(f\) an, die dieses Verhalten zeigt und keine Nullstellen besitzt. b) Gib einen Term einer ganzrationalen Funktion \(g\) an, die dieses Verhalten zeigt und genau zwei Nullstellen besitzt. c) Welche Bedingungen müssen der Grad \(n\) und der Leitkoeffizient \(a_n\) einer ganzrationalen Funktion allgemein erfüllen, damit dieses Grenzverhalten vorliegt?

Denkanstöße

- Denk an den einfachsten Typ einer ganzrationalen Funktion, die für sehr große und sehr kleine \(x\) in die gleiche Richtung strebt. - Wie wirkt sich eine Verschiebung in \(y\)-Richtung auf die Anzahl der Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse aus? - Was passiert mit dem Vorzeichen einer negativen Zahl, wenn man sie mit einer geraden oder ungeraden Zahl potenziert? - Welche Rolle spielt die Zahl vor der höchsten Potenz für die Richtung des Graphen?

Lösung

1. Zu a): Eine Parabel, die nach oben geöffnet ist und deren Scheitelpunkt über der \(x\)-Achse liegt, erfüllt die Bedingung, z. B. \(f(x) = x^2 + 1\). Da \(x^2 \ge 0\), ist \(f(x) \ge 1\) für alle \(x\), somit gibt es keine Nullstellen. 2. Zu b): Eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Scheitelpunkt unterhalb der \(x\)-Achse besitzt zwei Nullstellen, z. B. \(g(x) = x^2 - 4\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). 3. Zu c): Damit eine ganzrationale Funktion für \(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\) gegen \(+\infty\) strebt, muss der Grad \(n\) der höchsten Potenz gerade sein (damit das Vorzeichen von \(x\) für negative Werte positiv wird) und der Leitkoeffizient \(a_n\) muss positiv sein (\(a_n > 0\)).

Antwort

a) Beispiel: \(f(x) = x^2 + 1\) b) Beispiel: \(g(x) = x^2 - 4\) c) Der Grad \(n\) muss eine gerade natürliche Zahl sein (\(n \in \{2, 4, 6, \dots\}\)) und der Leitkoeffizient \(a_n\) muss positiv sein (\(a_n > 0\)).

42260311

Gegeben ist die ganzrationale Funktion \(g\) mit der Funktionsgleichung \(g(x) = -0{,}5x^4 + 3x^2 - 1\). Untersuche das Globalverhalten der Funktion für \(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\). Gib dabei an, ob die Funktionswerte konvergieren oder bestimmt divergieren.

Denkanstöße

- Welcher Teil des Funktionsterms ist entscheidend für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte? - Was passiert mit einer geraden Potenz, wenn man eine negative Zahl einsetzt? - Erinnerst du dich an den Unterschied zwischen einem Grenzwert als feste Zahl und dem Streben gegen Unendlich? - Wie beeinflusst das Vorzeichen vor der höchsten Potenz die Richtung des Graphen?

Lösung

1. Bestimmung des Terms mit der höchsten Potenz: Das Globalverhalten von \(g(x)\) wird durch das Leitglied \(-0{,}5x^4\) bestimmt. 2. Untersuchung für \(x \to \infty\): Da \(x^4\) für sehr große positive Werte gegen \(\infty\) strebt, führt der negative Koeffizient \(-0{,}5\) dazu, dass der gesamte Term gegen \(-\infty\) strebt. Ergebnis: \(\lim_{x \to \infty} g(x) = -\infty\). 3. Untersuchung für \(x \to -\infty\): Da der Exponent \(4\) gerade ist, strebt \(x^4\) auch für sehr kleine negative Werte gegen \(\infty\). Der negative Koeffizient bewirkt auch hier ein Streben gegen \(-\infty\). Ergebnis: \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = -\infty\). 4. Fachbegriff: Da die Funktionswerte ohne untere Schranke fallen, liegt keine Konvergenz gegen eine reelle Zahl vor. Die Funktion ist für \(x \to \pm\infty\) bestimmt divergent gegen \(-\infty\).

Antwort

Die Funktion \(g\) ist für \(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\) bestimmt divergent gegen \(-\infty\).

42290311

Bestimme für die folgenden Funktionen die Grenzwerte für \(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\). a) \(f(x) = \frac{6x^2 + 4x}{3x^2 - 1}\) b) \(g(x) = \frac{10}{x^2 + 5}\)

Denkanstöße

- Was passiert mit dem Bruch, wenn du die höchste Potenz von \(x\) im Zähler und Nenner ausklammerst und kürzt? - Vergleiche den Grad des Zählerpolynoms mit dem Grad des Nennerpolynoms. - Welche Terme werden vernachlässigbar klein, wenn \(x\) sehr groß wird?

Lösung

1. Für \(f(x)\) wird im Zähler und Nenner die höchste Potenz \(x^2\) ausgeklammert: \(f(x) = \frac{x^2 \cdot (6 + \frac{4}{x})}{x^2 \cdot (3 - \frac{1}{x^2})} = \frac{6 + \frac{4}{x}}{3 - \frac{1}{x^2}}\). Da \(\frac{4}{x} \to 0\) und \(\frac{1}{x^2} \to 0\) für \(x \to \pm \infty\), ergibt sich der Grenzwert \(\frac{6}{3} = 2\). 2. Für \(g(x)\) betrachtet man das Wachstum von Zähler und Nenner. Der Zähler ist konstant \(10\), während der Nenner \(x^2 + 5\) für \(x \to \pm \infty\) gegen \(+\infty\) strebt. Ein konstanter Wert dividiert durch eine über alle Grenzen wachsende Zahl ergibt den Grenzwert \(0\).

Antwort

a) \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 2\) b) \(\lim_{x \to \pm \infty} g(x) = 0\)

42635511

Untersuche das globale Grenzverhalten der folgenden Funktionen für \(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\): a) \(f(x) = 5 - \frac{4}{x^2}\) b) \(g(x) = \frac{3 \cdot 4^x + 2}{4^x}\) c) \(h(x) = 8 \cdot 0{,}5^x - 2\)

Denkanstöße

- Überlege dir, was mit den einzelnen Teilen des Funktionsterms passiert, wenn \(x\) sehr groß oder sehr klein wird. - Kannst du einen Bruch so umschreiben, dass \(x\) nur noch an einer Stelle vorkommt? - Erinnere dich an den Verlauf von Exponentialfunktionen mit Basen größer oder kleiner als 1. - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner immer größer wird, während der Zähler gleich bleibt?

Lösung

1. Untersuchung von \(f(x)\): Für \(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\) strebt der Term \(\frac{4}{x^2}\) gegen \(0\). Daraus folgt \(\lim_{x \to \pm\infty} (5 - \frac{4}{x^2}) = 5\). 2. Untersuchung von \(g(x)\): Durch Aufteilen des Bruchs ergibt sich \(g(x) = 3 + \frac{2}{4^x}\). Für \(x \to \infty\) strebt \(4^x\) gegen \(\infty\), also \(\frac{2}{4^x}\) gegen \(0\). Der Grenzwert ist \(3\). Für \(x \to -\infty\) strebt \(4^x\) gegen \(0^+\), wodurch \(\frac{2}{4^x}\) gegen \(\infty\) strebt. Der Grenzwert ist \(\infty\). 3. Untersuchung von \(h(x)\): Da die Basis \(0{,}5\) kleiner als \(1\) ist, strebt \(0{,}5^x\) für \(x \to \infty\) gegen \(0\). Somit gilt \(\lim_{x \to \infty} h(x) = -2\). Für \(x \to -\infty\) wächst \(0{,}5^x\) über alle Grenzen, sodass \(\lim_{x \to -\infty} h(x) = \infty\) gilt.

Antwort

a) \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 5\); \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 5\) b) \(\lim_{x \to \infty} g(x) = 3\); \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = \infty\) c) \(\lim_{x \to \infty} h(x) = -2\); \(\lim_{x \to -\infty} h(x) = \infty\)

42635711

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit der Gleichung \(f(x) = \frac{8x + 12}{4x - 5}\). Bestimme den Grenzwert \(\lim_{x \to \infty} f(x)\) und erläutere kurz die geometrische Bedeutung dieses Ergebnisses für den Graphen der Funktion.

Denkanstöße

- Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner immer größer wird, während der Zähler konstant bleibt? - Kannst du den Funktionsterm so umformen, dass \(x\) nur noch im Nenner von Teilbrüchen vorkommt? - Überlege, was ein Grenzwert im Unendlichen über den Verlauf des Graphen aussagt.

Lösung

1. Ausklammern der höchsten Potenz \(x\) im Zähler und Nenner: \(f(x) = \frac{x \cdot (8 + \frac{12}{x})}{x \cdot (4 - \frac{5}{x})}\) 2. Kürzen der Variable \(x\): \(f(x) = \frac{8 + \frac{12}{x}}{4 - \frac{5}{x}}\) 3. Grenzwertbetrachtung für \(x \to \infty\): Da \(\lim_{x \to \infty} \frac{12}{x} = 0\) und \(\lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} = 0\), folgt \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{8 + 0}{4 - 0} = 2\) 4. Geometrische Bedeutung: Der Graph der Funktion nähert sich für sehr große \(x\)-Werte der waagerechten Asymptote mit der Gleichung \(y = 2\) an.

Antwort

Der Grenzwert ist \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 2\). Geometrisch bedeutet dies, dass der Graph von \(f\) eine waagerechte Asymptote bei \(y = 2\) besitzt.

42635911

Bestimme die Grenzwerte der folgenden Funktionen für die angegebenen Grenzprozesse: 1) \(\lim_{x \to \infty} \frac{7x - 2}{3 - 2x}\) 2) \(\lim_{x \to -\infty} \frac{5}{x^2 + 4}\) 3) \(\lim_{x \to \infty} (x^2 - x^3)\) 4) \(\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^2 + 1}{x} - x\right)\)

Denkanstöße

- Welcher Teil des Terms dominiert das Verhalten für sehr große oder sehr kleine Werte? - Kannst du den Term durch Ausklammern der höchsten Potenz im Nenner oder Zähler vereinfachen? - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner immer größer wird, während der Zähler konstant bleibt? - Kannst du den Ausdruck so umformen, dass sich Glieder gegenseitig aufheben?

Lösung

1. Ausklammern der höchsten Potenz \(x\) im Zähler und Nenner: \(\frac{x(7 - \frac{2}{x})}{x(\frac{3}{x} - 2)} = \frac{7 - \frac{2}{x}}{\frac{3}{x} - 2}\). Da \(\frac{2}{x} \to 0\) und \(\frac{3}{x} \to 0\), ergibt sich der Grenzwert \(\frac{7}{-2} = -3{,}5\). 2. Für \(x \to -\infty\) wächst der Nenner \(x^2 + 4\) unbegrenzt gegen \(+\infty\). Da der Zähler konstant 5 ist, strebt der gesamte Bruch gegen 0. 3. Ausklammern der höchsten Potenz \(x^3\): \(x^3 \cdot (\frac{1}{x} - 1)\). Da \(\frac{1}{x} \to 0\), verhält sich der Ausdruck wie \(x^3 \cdot (-1)\). Da \(x^3 \to \infty\), folgt der Grenzwert \(-\infty\). 4. Vereinfachung des Terms: \(\frac{x^2 + 1}{x} - x = \frac{x^2}{x} + \frac{1}{x} - x = x + \frac{1}{x} - x = \frac{1}{x}\). Für \(x \to \infty\) strebt \(\frac{1}{x}\) gegen 0.

Antwort

1) \(-3{,}5\) 2) \(0\) 3) \(-\infty\) 4) \(0\)

42637211

Betrachte die Funktionen \(g(x) = \frac{4x^2 - 2x + 1}{2x^2 + 5}\) und \(h(x) = \frac{4x - 2}{2x^2 + 5}\). Bestimme für beide Funktionen den Grenzwert für \(x \to \infty\) und begründe den Unterschied mithilfe der Zähler- und Nennergrade.

Denkanstöße

- Wie verhalten sich die einzelnen Potenzen von \(x\), wenn \(x\) sehr groß wird? - Welcher Teil des Bruchs wächst „schneller“, wenn der Grad im Nenner höher ist als im Zähler? - Ein nützlicher Trick ist das Ausklammern oder Dividieren durch die höchste im Nenner vorkommende Potenz von \(x\).

Lösung

1. Untersuchung von \(g(x)\): Der Zählergrad (2) ist gleich dem Nennergrad (2). Man dividiert Zähler und Nenner durch die höchste Potenz \(x^2\): \(\lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}{2 + \frac{5}{x^2}} = \frac{4-0+0}{2+0} = 2\). Die waagerechte Asymptote liegt bei \(y = 2\). 2. Untersuchung von \(h(x)\): Der Zählergrad (1) ist kleiner als der Nennergrad (2). Division durch \(x^2\) ergibt: \(\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x} - \frac{2}{x^2}}{2 + \frac{5}{x^2}} = \frac{0-0}{2+0} = 0\). Die waagerechte Asymptote ist die \(x\)-Achse (\(y = 0\)). 3. Begründung: Wenn der Zählergrad gleich dem Nennergrad ist, bestimmen die Koeffizienten der höchsten Potenzen den Grenzwert. Ist der Nennergrad größer, dominiert der Nenner für sehr große \(x\), und der Grenzwert ist stets \(0\).

Antwort

\(\lim_{x \to \infty} g(x) = 2\) und \(\lim_{x \to \infty} h(x) = 0\). Der Unterschied liegt darin, dass bei \(g(x)\) Zähler- und Nennergrad gleich sind, während bei \(h(x)\) der Nennergrad überwiegt.

42905911

Bestimme für die folgenden ganzrationalen Funktionen jeweils das Globalverhalten für \(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\). Notiere deine Ergebnisse mithilfe der Grenzwertschreibweise. a) \(f(x) = -4x^3 + 12x - 5\) b) \(g(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^3 + 10x\) c) \(h(x) = 500x^2 - x^5\) d) \(k(x) = -(x^2 - 1)(x^2 + 2)\)

Denkanstöße

- Welcher Teil des Funktionsterms ist entscheidend für sehr große oder sehr kleine x-Werte? - Überlege dir, wie sich eine Potenz mit geradem oder ungeradem Exponenten verhält, wenn du eine negative Zahl einsetzt. - Achte auf das Vorzeichen vor der höchsten Potenz. - Musst du bei Teilaufgabe d) den Term erst vereinfachen, um die höchste Potenz zu finden?

Lösung

Das Globalverhalten einer ganzrationalen Funktion wird durch das Glied mit der höchsten Potenz (Leitterm) bestimmt. 1. Bei \(f(x) = -4x^3 + 12x - 5\) ist der Leitterm \(-4x^3\). Da der Grad \(n=3\) ungerade und der Leitkoeffizient \(a_3 = -4\) negativ ist, gilt: \(\lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty\). 2. Bei \(g(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^3 + 10x\) ist der Leitterm \(\frac{1}{4}x^4\). Da \(n=4\) gerade und \(a_4 = \frac{1}{4}\) positiv ist, gilt: \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty\) und \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = \infty\). 3. Bei \(h(x) = 500x^2 - x^5\) ist der Leitterm \(-x^5\). Da \(n=5\) ungerade und \(a_5 = -1\) negativ ist, gilt: \(\lim_{x \to \infty} h(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to -\infty} h(x) = \infty\). 4. Durch Ausmultiplizieren von \(k(x) = -(x^4 + x^2 - 2) = -x^4 - x^2 + 2\) ergibt sich der Leitterm \(-x^4\). Da \(n=4\) gerade und \(a_4 = -1\) negativ ist, gilt: \(\lim_{x \to \infty} k(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to -\infty} k(x) = -\infty\).

Antwort

a) \(\lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty\); \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty\) b) \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty\); \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = \infty\) c) \(\lim_{x \to \infty} h(x) = -\infty\); \(\lim_{x \to -\infty} h(x) = \infty\) d) \(\lim_{x \to \infty} k(x) = -\infty\); \(\lim_{x \to -\infty} k(x) = -\infty\)

42179311

Betrachtet wird die Funktion \( f \) mit \( f(x) = 2 + \frac{4}{x - 5} \) und ihrem Graphen \( G_f \). Die waagerechte Asymptote von \( G_f \) bildet die Mittellinie eines Streifens mit der Breite \( 0{,}2 \). Untersuche rechnerisch, ob der Graph der Funktion an den folgenden Stellen innerhalb oder außerhalb dieses Streifens liegt: 1. \( x = 15 \) 2. \( x = 55 \)

Denkanstöße

- Bestimme zuerst die Gleichung der waagerechten Asymptote. - Überlege dir, wie weit ein Funktionswert höchstens von der Asymptote entfernt sein darf, wenn der gesamte Streifen eine Breite von \( 0{,}2 \) hat. - Berechne für die gegebenen \( x \)-Werte jeweils den Betrag der Differenz zwischen dem Funktionswert und dem Wert der Asymptote. - Vergleiche diesen Abstand mit der halben Streifenbreite.

Lösung

1. Die waagerechte Asymptote der Funktion \( f \) für \( x \to \infty \) ist \( y = 2 \). Ein Streifen der Breite \( 0{,}2 \) mit dieser Asymptote als Symmetrieachse umfasst alle Funktionswerte im Intervall \( ]2 - 0{,}1; 2 + 0{,}1[ \). Der Abstand eines Punktes auf dem Graphen zur Asymptote muss also kleiner als \( 0{,}1 \) sein, damit er innerhalb des Streifens liegt. 2. Für \( x = 15 \) gilt: \( |f(15) - 2| = \left| 2 + \frac{4}{15 - 5} - 2 \right| = \left| \frac{4}{10} \right| = 0{,}4 \). Da \( 0{,}4 > 0{,}1 \), liegt der Graph an der Stelle \( x = 15 \) außerhalb des Streifens. 3. Für \( x = 55 \) gilt: \( |f(55) - 2| = \left| 2 + \frac{4}{55 - 5} - 2 \right| = \left| \frac{4}{50} \right| = 0{,}08 \). Da \( 0{,}08 < 0{,}1 \), liegt der Graph an der Stelle \( x = 55 \) innerhalb des Streifens.

Antwort

An der Stelle \( x = 15 \) liegt der Graph außerhalb des Streifens (Abstand \( 0{,}4 > 0{,}1 \)). An der Stelle \( x = 55 \) liegt der Graph innerhalb des Streifens (Abstand \( 0{,}08 < 0{,}1 \)).

42179511

Betrachtet wird die Funktion \( f: x \mapsto 1{,}5 - \frac{2}{x - 1} \) mit maximalem Definitionsbereich \( D_f \). Ihr Graph wird mit \( G_f \) bezeichnet. a) Gib die Gleichungen der waagerechten und der senkrechten Asymptote von \( G_f \) an. b) Ein waagerechter Streifen der Breite \( 0{,}8 \) hat die waagerechte Asymptote von \( G_f \) als Mittellinie. Prüfe rechnerisch, ob der Punkt des Graphen an der Stelle \( x = 3 \) sowie der Punkt an der Stelle \( x = 7 \) innerhalb oder außerhalb dieses Streifens liegt.

Denkanstöße

- Überlege, welcher \( x \)-Wert den Nenner null werden lässt und was mit den Funktionswerten passiert, wenn \( x \) sehr groß oder sehr klein wird. - Wie weit darf ein Funktionswert maximal von der Mittellinie entfernt sein, wenn die Gesamtbreite des Streifens bekannt ist? - Berechne die Funktionswerte an den gegebenen Stellen und vergleiche sie mit dem Bereich, den der Streifen abdeckt.

Lösung

1. Bestimmung der Asymptoten: Die Polstelle liegt bei \( x = 1 \), also ist die senkrechte Asymptote \( x = 1 \). Für \( x \to \pm \infty \) nähert sich der Funktionsterm dem Wert \( 1{,}5 \), somit ist die waagerechte Asymptote \( y = 1{,}5 \). 2. Definition des Streifens: Die Mittellinie ist \( y = 1{,}5 \). Bei einer Breite von \( 0{,}8 \) erstreckt sich der Streifen im Bereich \( ]1{,}5 - 0{,}4; 1{,}5 + 0{,}4[ \), also \( ]1{,}1; 1{,}9[ \). Ein Punkt liegt im Streifen, wenn der Abstand \( |f(x) - 1{,}5| < 0{,}4 \) ist. 3. Prüfung für \( x = 3 \): \( f(3) = 1{,}5 - \frac{2}{3 - 1} = 1{,}5 - 1 = 0{,}5 \). Da \( |0{,}5 - 1{,}5| = 1 > 0{,}4 \), liegt der Punkt außerhalb des Streifens. 4. Prüfung für \( x = 7 \): \( f(7) = 1{,}5 - \frac{2}{7 - 1} = 1{,}5 - \frac{2}{6} = 1{,}5 - \frac{1}{3} \approx 1{,}17 \). Da \( |1{,}17 - 1{,}5| = \frac{1}{3} \approx 0{,}33 < 0{,}4 \), liegt der Punkt innerhalb des Streifens.

Antwort

a) Senkrechte Asymptote: \( x = 1 \); waagerechte Asymptote: \( y = 1{,}5 \) b) An der Stelle \( x = 3 \) liegt der Graph außerhalb des Streifens (\( f(3) = 0{,}5 \)). An der Stelle \( x = 7 \) liegt der Graph innerhalb des Streifens (\( f(7) \approx 1{,}17 \)).

42179711

Gegeben ist die Funktion \( f: x \mapsto 10 \cdot 3^{-x} + 4 \). Bestimme die Gleichung der waagrechten Asymptote des Graphen \( G_f \) für \( x \to \infty \). Ein horizontaler Streifen der Breite \( 0{,}5 \) hat diese Asymptote als Mittellinie. Untersuche rechnerisch, ob der Graph von \( f \) an den Stellen \( x = 3 \) und \( x = 4 \) innerhalb oder außerhalb dieses Streifens liegt.

Denkanstöße

- Was passiert mit dem Term \( 3^{-x} \), wenn \( x \) immer größer wird? - Wie weit darf ein Punkt maximal von der Asymptote entfernt sein, um noch im Streifen zu liegen? - Berechne die Funktionswerte an den angegebenen Stellen und vergleiche ihren Abstand zur Asymptote mit der halben Streifenbreite. - Ein Punkt liegt innerhalb, wenn sein \( y \)-Wert zwischen den beiden Grenzen des Streifens liegt.

Lösung

1. Bestimmung des Grenzwerts: Für \( x \to \infty \) geht der Term \( 3^{-x} \) gegen \( 0 \), woraus der Grenzwert \( \lim_{x \to \infty} f(x) = 4 \) folgt. Die waagrechte Asymptote lautet \( y = 4 \). 2. Bestimmung der Streifengrenzen: Die Breite beträgt \( 0{,}5 \), die Mittellinie ist \( y = 4 \). Somit liegt der Streifen im Bereich \( [4 - 0{,}25; 4 + 0{,}25] \), also zwischen \( 3{,}75 \) und \( 4{,}25 \). 3. Funktionswert an der Stelle \( x = 3 \): \( f(3) = 10 \cdot 3^{-3} + 4 = \frac{10}{27} + 4 \approx 4{,}37 \). Da \( 4{,}37 > 4{,}25 \), liegt der Punkt außerhalb des Streifens. 4. Funktionswert an der Stelle \( x = 4 \): \( f(4) = 10 \cdot 3^{-4} + 4 = \frac{10}{81} + 4 \approx 4{,}12 \). Da \( 3{,}75 < 4{,}12 < 4{,}25 \), liegt der Punkt innerhalb des Streifens.

Antwort

Die waagrechte Asymptote ist \( y = 4 \). An der Stelle \( x = 3 \) liegt der Graph außerhalb des Streifens (\( f(3) \approx 4{,}37 \)). An der Stelle \( x = 4 \) liegt der Graph innerhalb des Streifens (\( f(4) \approx 4{,}12 \)).

42179811

Die Funktion \( g \) ist gegeben durch \( g(x) = 5 - 2^{2-x} \). Gib den Grenzwert von \( g(x) \) für \( x \to \infty \) an. Betrachtet wird ein Streifen der Breite \( 0{,}1 \), dessen Symmetrieachse die waagrechte Asymptote des Graphen \( G_g \) ist. Zeige rechnerisch, dass der Punkt \( P(6 \mid g(6)) \) außerhalb des Streifens liegt, während der Punkt \( Q(8 \mid g(8)) \) innerhalb des Streifens liegt.

Denkanstöße

- Bestimme zuerst, gegen welchen Wert die Funktion für sehr große \( x \) strebt. - Wie groß ist die maximale Abweichung von der Symmetrieachse nach oben oder unten, wenn die Gesamtbreite des Streifens bekannt ist? - Berechne den Abstand der \( y \)-Koordinaten der Punkte \( P \) und \( Q \) von der waagrechten Asymptote. - Vergleiche diesen Abstand mit der halben Breite des Streifens.

Lösung

1. Grenzwertbestimmung: Da \( 2^{2-x} = 2^2 \cdot 2^{-x} = 4 \cdot (\frac{1}{2})^x \), gilt \( \lim_{x \to \infty} 2^{2-x} = 0 \). Der Grenzwert von \( g(x) \) ist somit \( 5 \). Die Asymptote ist \( y = 5 \). 2. Streifenbedingung: Der Streifen hat die Breite \( 0{,}1 \). Ein Punkt liegt im Streifen, wenn sein Abstand zur Asymptote kleiner als \( 0{,}05 \) ist, also \( |g(x) - 5| < 0{,}05 \). 3. Untersuchung von \( P \): \( g(6) = 5 - 2^{2-6} = 5 - 2^{-4} = 5 - 0{,}0625 = 4{,}9375 \). Der Abstand ist \( |4{,}9375 - 5| = 0{,}0625 \). Da \( 0{,}0625 > 0{,}05 \), liegt \( P \) außerhalb. 4. Untersuchung von \( Q \): \( g(8) = 5 - 2^{2-8} = 5 - 2^{-6} = 5 - 0{,}015625 = 4{,}984375 \). Der Abstand ist \( |4{,}984375 - 5| = 0{,}015625 \). Da \( 0{,}015625 < 0{,}05 \), liegt \( Q \) innerhalb.

Antwort

Der Grenzwert ist \( 5 \). Für \( P(6 \mid 4{,}9375) \) ist der Abstand zur Asymptote \( 0{,}0625 > 0{,}05 \) (außerhalb). Für \( Q(8 \mid 4{,}984375) \) ist der Abstand zur Asymptote \( 0{,}015625 < 0{,}05 \) (innerhalb).

42179911

Betrachte die Funktion \( f \) mit der Funktionsgleichung \( f(x) = \frac{4x + 1}{2x^2 - 3} \). Untersuche das Verhalten der Funktionswerte für \( x \to \infty \) und \( x \to -\infty \). Begründe dein Ergebnis, indem du den Funktionsterm so umformst, dass die Grenzwerte der einzelnen Terme erkennbar sind.

Denkanstöße

- Was passiert mit dem Wert eines Bruches, wenn der Nenner viel schneller wächst als der Zähler? - Versuche, den Zähler und den Nenner durch die höchste im Nenner vorkommende Potenz von \( x \) zu dividieren. - Welche Summanden im Zähler und Nenner werden vernachlässigbar klein, wenn \( x \) extrem groß wird?

Lösung

1. Ausklammern der höchsten Potenz des Nenners (\( x^2 \)) in Zähler und Nenner: \( f(x) = \frac{x^2 \cdot (\frac{4}{x} + \frac{1}{x^2})}{x^2 \cdot (2 - \frac{3}{x^2})} \). 2. Kürzen des Faktors \( x^2 \): \( f(x) = \frac{\frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}}{2 - \frac{3}{x^2}} \). 3. Anwendung der Grenzwertsätze für \( x \to \pm\infty \): Die Terme \( \frac{4}{x} \), \( \frac{1}{x^2} \) und \( \frac{3}{x^2} \) streben gegen \( 0 \). 4. Der Zähler strebt somit gegen \( 0 + 0 = 0 \), während der Nenner gegen \( 2 - 0 = 2 \) strebt. 5. Berechnung des Gesamtgrenzwerts: \( \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \frac{0}{2} = 0 \).

Antwort

\( \lim_{x \to \infty} f(x) = 0 \) und \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = 0 \)

42180211

Gib jeweils einen beispielhaften Funktionsterm für eine Funktion an, die die beschriebene Eigenschaft für \(x \to \infty\) besitzt. Verwende für jede Teilaufgabe einen anderen Funktionstyp (z. B. ganzrational, gebrochen-rational, exponential oder trigonometrisch). a) Die Funktion besitzt keinen Grenzwert (auch keinen uneigentlichen), da ihre Werte dauerhaft zwischen \(2\) und \(4\) hin- und herschwanken. b) Die Funktion besitzt keinen reellen Grenzwert, da sie für \(x \to \infty\) schneller wächst als jede lineare Funktion. c) Die Funktion besitzt keinen Grenzwert, da sie für \(x \to \infty\) unbeschränkt gegen \(-\infty\) fällt.

Denkanstöße

- Für Schwankungen zwischen zwei Werten sind periodische Funktionen wie Sinus oder Kosinus ideal. Wie musst du sie verschieben? - „Schneller als jede lineare Funktion“ bedeutet, dass die Steigung immer weiter zunimmt, wie zum Beispiel bei Parabeln. - Überlege dir für das Streben gegen minus unendlich, welche Grundfunktion gegen plus unendlich geht und wie du sie an der \(x\)-Achse spiegeln kannst. - Achte darauf, dass du in jeder Teilaufgabe eine andere Art von Funktion (z. B. mit \(x^2\), mit \(\sin\) oder mit \(e^x\)) verwendest.

Lösung

1. Für Teilaufgabe a) eignet sich eine trigonometrische Funktion. Die Funktion \(\sin(x)\) schwankt zwischen \(-1\) und \(1\). Durch Verschiebung um \(3\) Einheiten nach oben und Beibehaltung der Amplitude \(1\) erhält man \(f(x) = \sin(x) + 3\). Die Werte liegen im Intervall \([3-1; 3+1] = [2; 4]\). 2. Für Teilaufgabe b) wird eine Funktion gesucht, die gegen \(+\infty\) divergiert und ein stärkeres Wachstum als \(x\) aufweist. Eine ganzrationale Funktion höheren Grades wie \(g(x) = x^2\) erfüllt dies, da \(\lim_{x \to \infty} x^2 = \infty\) und das Wachstum quadratisch ist. 3. Für Teilaufgabe c) kann eine Exponentialfunktion mit negativem Vorzeichen gewählt werden, um einen anderen Typ als in b) zu nutzen. Die Funktion \(h(x) = -e^x\) strebt für \(x \to \infty\) gegen \(-\infty\).

Antwort

Mögliche Lösungen sind: a) \(f(x) = \sin(x) + 3\) (trigonometrisch) b) \(g(x) = x^2\) (ganzrational) c) \(h(x) = -e^x\) (exponential)

42180311

Gegeben ist die gebrochen-rationale Funktion \( f \) mit der Gleichung \( f(x) = \frac{5}{x-3} + 1 \). a) Gib die Gleichung der waagerechten Asymptote des Graphen von \( f \) an. b) Ein Streifen mit der Breite \( 0{,}2 \) hat diese Asymptote als Symmetrieachse. Bestimme rechnerisch eine Stelle \( x_0 \), sodass der Graph von \( f \) für alle \( x > x_0 \) innerhalb dieses Streifens verläuft. c) Ermittle analog eine Stelle \( x_1 \), sodass der Graph für alle \( x < x_1 \) innerhalb des Streifens liegt.

Denkanstöße

- Welchen Wert nimmt die Funktion für extrem große oder extrem kleine x-Werte an? - Wenn der Streifen eine Gesamtbreite hat, wie weit darf der Funktionswert dann maximal von der Asymptote nach oben oder unten abweichen? - Kannst du eine Ungleichung aufstellen, die den Abstand zwischen dem Funktionswert und dem Asymptotenwert beschreibt? - Beachte beim Lösen der Ungleichung, ob der Nenner positiv oder negativ ist.

Lösung

1. Die waagerechte Asymptote ergibt sich aus dem Grenzwert für \( x \to \pm\infty \). Da \( \frac{5}{x-3} \to 0 \), lautet die Gleichung \( y = 1 \). 2. Ein Streifen der Breite \( 0{,}2 \) um \( y = 1 \) umfasst den Bereich \( 1 - 0{,}1 < y < 1 + 0{,}1 \). Die Bedingung lautet also \( |f(x) - 1| < 0{,}1 \). 3. Einsetzen der Funktionsgleichung: \( |\frac{5}{x-3}| < 0{,}1 \). 4. Für \( x > 3 \) (rechter Ast) gilt: \( \frac{5}{x-3} < 0{,}1 \). Umformen ergibt \( 5 < 0{,}1 \cdot (x-3) \), also \( 50 < x - 3 \), woraus \( x > 53 \) folgt. Somit ist \( x_0 = 53 \). 5. Für \( x < 3 \) (linker Ast) gilt: \( \frac{5}{x-3} > -0{,}1 \). Da \( x-3 \) negativ ist, dreht sich das Relationszeichen beim Multiplizieren: \( 5 < -0{,}1 \cdot (x-3) \), also \( -50 > x - 3 \), woraus \( x < -47 \) folgt. Somit ist \( x_1 = -47 \).

Antwort

a) \( y = 1 \) b) \( x_0 = 53 \) (oder jeder größere Wert) c) \( x_1 = -47 \) (oder jeder kleinere Wert)

42180511

Gib jeweils einen Funktionsterm für eine gebrochen-rationale Funktion \(f\) und eine Exponentialfunktion \(g\) an, die für \(x \to \infty\) den Grenzwert \(-2\) besitzen. Untersuche für beide Funktionen das Verhalten für \(x \to -\infty\) und bestimme jeweils die Nullstellen, falls diese existieren.

Denkanstöße

- Welche Bestandteile eines Bruchs bestimmen das Verhalten im Unendlichen, wenn Zähler- und Nennergrad gleich sind? - Wie verhält sich eine einfache Exponentialfunktion wie \(e^x\) oder \(e^{-x}\) für sehr große und sehr kleine Werte? - Was muss man zu einem Term addieren, um den Graphen entlang der \(y\)-Achse zu verschieben? - Wie findet man die Nullstellen, indem man den Funktionsterm gleich null setzt?

Lösung

1. Beispiel für eine gebrochen-rationale Funktion: \(f(x) = \frac{-2x}{x+1}\). Der Grenzwert für \(x \to \infty\) ist \(\frac{-2}{1} = -2\). Für \(x \to -\infty\) strebt die Funktion ebenfalls gegen \(-2\). Die Nullstelle liegt bei \(x = 0\), da der Zähler dort null wird. 2. Beispiel für eine Exponentialfunktion: \(g(x) = e^{-x} - 2\). Da \(e^{-x} \to 0\) für \(x \to \infty\), ist der Grenzwert \(-2\). Für \(x \to -\infty\) gilt \(e^{-x} \to \infty\), also strebt \(g(x)\) gegen \(\infty\). Die Nullstelle wird durch \(e^{-x} - 2 = 0\) berechnet: \(e^{-x} = 2 \Leftrightarrow -x = \ln(2) \Leftrightarrow x = -\ln(2) \approx -0{,}69\).

Antwort

Mögliche Funktionen: \(f(x) = \frac{-2x}{x+1}\) mit \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -2\) und Nullstelle bei \(x = 0\). \(g(x) = e^{-x} - 2\) mit \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = \infty\) und Nullstelle bei \(x = -\ln(2)\).

42180711

Beurteile die Richtigkeit der folgenden mathematischen Aussage und begründe deine Entscheidung: „Wenn der Graph einer Funktion \(f\) für alle \(x > 0\) stets oberhalb der Geraden mit der Gleichung \(y = 2\) verläuft und die Funktionswerte für steigende \(x\)-Werte immer kleiner werden, dann nähert sich die Funktion für \(x \to \infty\) dem Grenzwert 2 an.“

Denkanstöße

- Überlege dir, ob jede untere Schranke einer Funktion gleichzeitig ihr tiefster Punkt oder ihr Grenzwert sein muss. - Kannst du eine Funktion finden, die zwar immer über der 2 bleibt und fällt, aber schon viel früher „anhält“ oder sich einem anderen Wert annähert? - Probiere, den Graphen einer solchen Funktion im Kopf zu skizzieren. - Unterscheide zwischen der Eigenschaft, beschränkt zu sein, und dem tatsächlichen Grenzwertverhalten.

Lösung

1. Die Aussage wird als falsch identifiziert. 2. Es wird begründet, dass eine untere Schranke (hier \(y = 2\)) nicht zwangsläufig dem Grenzwert der Funktion entsprechen muss. Eine Funktion kann gegen einen größeren Wert als die Schranke konvergieren. 3. Als Gegenbeispiel dient eine Funktion wie \(f(x) = 3 + \frac{1}{x}\). Für alle \(x > 0\) gilt \(f(x) > 2\) und die Funktion ist streng monoton fallend, da der Term \(\frac{1}{x}\) abnimmt. 4. Der Grenzwert dieser Beispielfunktion ist jedoch \(\lim_{x \to \infty} (3 + \frac{1}{x}) = 3\), was ungleich 2 ist. Damit ist die allgemeine Behauptung widerlegt.

Antwort

Die Aussage ist falsch. Eine Funktion kann streng monoton fallend und durch \(y = 2\) nach unten beschränkt sein, ohne dass 2 der Grenzwert sein muss. Ein Gegenbeispiel ist \(f(x) = 3 + \frac{1}{x}\). Diese Funktion ist für \(x > 0\) streng monoton fallend und es gilt stets \(f(x) > 3 > 2\). Ihr Grenzwert für \(x \to \infty\) ist jedoch 3 und nicht 2.

42180911

Gegeben ist die Funktion \( f: x \mapsto \frac{10}{x - 8} - 2 \) mit der Definitionsmenge \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{8\} \). Ihr Graph wird mit \( G_f \) bezeichnet. a) Gib die Gleichungen der Asymptoten von \( G_f \) sowie das Monotonieverhalten der Funktion an. b) Ein waagerechter Streifen der Breite \( 0{,}4 \) hat die waagerechte Asymptote von \( G_f \) als Symmetrieachse. (1) Bestimme den kleinsten Wert \( x_0 \), sodass der Graph \( G_f \) für alle \( x > x_0 \) innerhalb dieses Streifens verläuft. (2) Bestimme den größten Wert \( x_1 \), sodass der Graph \( G_f \) für alle \( x < x_1 \) innerhalb dieses Streifens verläuft.

Denkanstöße

- Überlege dir, welche Werte für \( x \) nicht eingesetzt werden dürfen und was mit den Funktionswerten passiert, wenn \( x \) sehr groß oder sehr klein wird. - Wie bestimmt man die Steigungsart einer Funktion mithilfe der ersten Ableitung? - Ein Streifen der Breite \( w \) um eine Achse reicht jeweils \( \frac{w}{2} \) nach oben und nach unten. - Wandle die Bedingung „liegt im Streifen“ in eine Ungleichung mit einem Betrag um, die den Abstand zur Asymptote beschreibt.

Lösung

1. Die vertikale Asymptote liegt an der Definitionslücke bei \( x = 8 \). Die waagerechte Asymptote ergibt sich aus dem Grenzwert für \( x \to \pm\infty \) zu \( y = -2 \). 2. Die Ableitung \( f^{\prime}(x) = -\frac{10}{(x-8)^2} \) ist für alle \( x \in D_f \) negativ, woraus folgt, dass \( f \) in den Intervallen \( ]-\infty; 8[ \) und \( ]8; \infty[ \) jeweils streng monoton fallend ist. 3. Ein Streifen der Breite \( 0{,}4 \) um die Asymptote \( y = -2 \) wird durch den Abstand \( 0{,}2 \) nach oben und unten definiert. Die Bedingung lautet \( |f(x) - (-2)| < 0{,}2 \). 4. Einsetzen der Funktionsgleichung führt auf \( |\frac{10}{x-8}| < 0{,}2 \), was äquivalent zu \( |x-8| > \frac{10}{0{,}2} = 50 \) ist. 5. Für den Bereich \( x > 8 \) ergibt sich \( x - 8 > 50 \), also \( x > 58 \). Somit ist \( x_0 = 58 \). 6. Für den Bereich \( x < 8 \) ergibt sich \( x - 8 < -50 \), also \( x < -42 \). Somit ist \( x_1 = -42 \).

Antwort

a) Asymptoten: \( x = 8 \) und \( y = -2 \). Die Funktion ist in den Intervallen \( ]-\infty; 8[ \) und \( ]8; \infty[ \) jeweils streng monoton fallend. b) (1) \( x_0 = 58 \); (2) \( x_1 = -42 \).

42181011

Betrachtet wird die Funktion \( g: x \mapsto 7 - \frac{12}{x + 15} \). Ihr Graph wird mit \( G_g \) bezeichnet. a) Bestimme die Definitionsmenge \( D_g \), die Gleichungen der Asymptoten von \( G_g \) und untersuche das Monotonieverhalten von \( g \). b) Es soll ermittelt werden, ab wann der Graph \( G_g \) eine maximale Abweichung von \( 0{,}04 \) zu seiner waagerechten Asymptote unterschreitet. (1) Bestimme das Intervall aller \( x > -15 \), für die der Abstand zwischen \( G_g \) und der waagerechten Asymptote kleiner als \( 0{,}04 \) ist. (2) Bestimme das Intervall aller \( x < -15 \), für die dieser Abstand ebenfalls kleiner als \( 0{,}04 \) ist.

Denkanstöße

- Die Definitionsmenge umfasst alle Zahlen, für die der Nenner nicht Null wird. - Der Abstand zwischen zwei Werten \( a \) und \( b \) kann mathematisch durch den Betrag der Differenz \( |a - b| \) ausgedrückt werden. - Löse die Betragsungleichung, indem du zwei Fälle betrachtest: einmal für Werte rechts und einmal für Werte links von der Definitionslücke.

Lösung

1. Definitionsmenge: \( D_g = \mathbb{R} \setminus \{-15\} \). 2. Asymptoten: Senkrechte Asymptote bei \( x = -15 \); waagerechte Asymptote bei \( y = 7 \) durch Betrachtung von \( \lim_{x \to \pm\infty} g(x) \). 3. Monotonie: Die Ableitung \( g^{\prime}(x) = \frac{12}{(x+15)^2} \) ist stets positiv. Daher ist \( g \) in den Intervallen \( ]-\infty; -15[ \) und \( ]-15; \infty[ \) jeweils streng monoton steigend. 4. Die Bedingung für den Abstand lautet \( |g(x) - 7| < 0{,}04 \). Dies führt auf \( |-\frac{12}{x+15}| < 0{,}04 \), was zu \( |x+15| > \frac{12}{0{,}04} = 300 \) vereinfacht wird. 5. Für \( x > -15 \) gilt \( x + 15 > 300 \), woraus \( x > 285 \) folgt. Das Intervall ist \( ]285; \infty[ \). 6. Für \( x < -15 \) gilt \( x + 15 < -300 \), woraus \( x < -315 \) folgt. Das Intervall ist \( ]-\infty; -315[ \).

Antwort

a) \( D_g = \mathbb{R} \setminus \{-15\} \). Asymptoten: \( x = -15 \) und \( y = 7 \). Die Funktion ist in \( ]-\infty; -15[ \) und \( ]-15; \infty[ \) jeweils streng monoton steigend. b) (1) \( x \in ]285; \infty[ \); (2) \( x \in ]-\infty; -315[ \).

42181111

Gegeben ist die Funktion \(f: x \mapsto \frac{5}{x} \cdot \sin(x)\) mit der maximalen Definitionsmenge \(D_f\). a) Gib \(D_f\) an. b) Bestimme alle Nullstellen der Funktion \(f\). c) Gib den Grenzwert von \(f(x)\) für \(x \to \infty\) an. d) Ermittle einen Wert \(x_0 > 0\), ab dem alle Funktionswerte von \(f\) um weniger als \(0{,}01\) von diesem Grenzwert abweichen.

Denkanstöße

- Welche Werte darf man für \(x\) im Nenner nicht einsetzen? - Wann wird ein Bruch gleich null? Überlege, welche Rolle der Sinus dabei spielt. - Wie verhält sich der Betrag des Sinus maximal? Nutze dies für eine Abschätzung des gesamten Terms. - Setze die obere Schranke des Funktionsbetrags kleiner als den geforderten Toleranzwert und löse nach \(x\) auf.

Lösung

1. Definitionsmenge: Da der Nenner nicht null sein darf, ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). 2. Nullstellen: Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist. Da \(\frac{5}{x} \neq 0\), müssen die Nullstellen von \(\sin(x)\) betrachtet werden. Dies gilt für \(x = k \cdot \pi\) mit \(k \in \mathbb{Z}\). Da \(0 \notin D_f\), sind die Nullstellen \(x_k = k \cdot \pi\) für \(k \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}\). 3. Grenzwert: Da \(-1 \leq \sin(x) \leq 1\), gilt \(\left| \frac{5 \sin(x)}{x} \right| \leq \frac{5}{|x|}\). Da \(\frac{5}{|x|} \to 0\) für \(x \to \infty\), folgt nach dem Einschließungssatz \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 0\). 4. Abweichung: Gesucht ist \(x_0\), sodass \(|f(x) - 0| < 0{,}01\) für \(x > x_0\). Es gilt \(|f(x)| = \left| \frac{5 \sin(x)}{x} \right| \leq \frac{5}{x}\). Die Bedingung \(\frac{5}{x} < 0{,}01\) führt auf \(x > \frac{5}{0{,}01} = 500\). Somit kann \(x_0 = 500\) gewählt werden.

Antwort

a) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}\) b) \(x_k = k \cdot \pi\) mit \(k \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}\) c) \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 0\) d) Zum Beispiel \(x_0 = 500\) (jeder Wert \(x_0 \geq 500\) ist korrekt).

42181211

Betrachte die Funktion \(g: x \mapsto 2 + \frac{\cos(x)}{x^2}\) mit dem maximalen Definitionsbereich \(D_g\). a) Gib \(D_g\) an. b) Zeige, dass die Funktion \(g\) im Intervall \([1; \infty[\) keine Nullstellen besitzt. c) Bestimme den Grenzwert \(L\) von \(g(x)\) für \(x \to -\infty\). d) Bestimme einen positiven Wert \(x_0\), sodass für alle \(x > x_0\) die Funktionswerte von \(g\) um weniger als \(0{,}0025\) vom Grenzwert \(L\) abweichen.

Denkanstöße

- Erinnere dich an die Definitionslücken bei gebrochenrationalen Anteilen. - Nutze die Tatsache, dass der Kosinus nur Werte zwischen \(-1\) und \(1\) annehmen kann, um den kleinstmöglichen Wert von \(g(x)\) abzuschätzen. - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner betragsmäßig immer größer wird, während der Zähler beschränkt bleibt? - Verwende eine Ungleichung, um den komplizierten Ausdruck im Zähler durch eine einfache Zahl zu ersetzen, die den maximalen Ausschlag angibt.

Lösung

1. Definitionsmenge: Der Nenner \(x^2\) wird für \(x = 0\) null, daher ist \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). 2. Nullstellenfreiheit: Für \(x \geq 1\) gilt \(\left| \frac{\cos(x)}{x^2} \right| \leq \frac{1}{x^2} \leq 1\). Damit ist \(g(x) = 2 + \frac{\cos(x)}{x^2} \geq 2 - 1 = 1 > 0\). Da die Funktionswerte stets größer als null sind, gibt es keine Nullstellen in diesem Bereich. 3. Grenzwert: Da \(\frac{\cos(x)}{x^2} \to 0\) für \(x \to -\infty\) (wegen der Beschränkheit des Kosinus und dem Wachstum des Nenners), gilt \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = 2 + 0 = 2\). Also \(L = 2\). 4. Abweichung: Es soll gelten \(|g(x) - 2| < 0{,}0025\). Dies entspricht \(\left| \frac{\cos(x)}{x^2} \right| < 0{,}0025\). Mit der Abschätzung \(\left| \frac{\cos(x)}{x^2} \right| \leq \frac{1}{x^2}\) lösen wir \(\frac{1}{x^2} < 0{,}0025\). Dies ergibt \(x^2 > \frac{1}{0{,}0025} = 400\), also \(x > 20\). Ein möglicher Wert ist \(x_0 = 20\).

Antwort

a) \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{0\}\) b) Nachweis über \(g(x) \geq 1 > 0\) für \(x \geq 1\). c) \(L = 2\) d) Zum Beispiel \(x_0 = 20\) (jeder Wert \(x_0 \geq 20\) ist korrekt).

42181311

Gegeben ist die Funktion \(f: x \mapsto 10 \cdot 0{,}8^x\) mit dem Definitionsbereich \(\mathbb{D}_f = \mathbb{R}\). Ihr Graph wird mit \(G_f\) bezeichnet. a) Untersuche das Monotonieverhalten von \(G_f\) und bestimme die Gleichung der waagerechten Asymptote von \(G_f\) für \(x \to \infty\). b) Ein waagerechter Streifen der Breite \(0{,}1\) hat diese Asymptote als Symmetrieachse. Berechne den kleinstmöglichen Wert \(x_1\), sodass der Graph für alle \(x > x_1\) innerhalb dieses Streifens verläuft. c) Die Breite des Streifens wird nun auf \(0{,}01\) verringert. Ermittle, ob eine Verdopplung des Wertes \(x_1\) aus Teilaufgabe b) ausreicht, damit der Graph für alle \(x > 2 \cdot x_1\) im schmaleren Streifen liegt.

Denkanstöße

- Überlege dir, wie sich der Funktionswert verhält, wenn die Basis der Potenz zwischen 0 und 1 liegt. - Was passiert mit dem Term \(b^x\), wenn \(x\) immer größer wird? - Ein Streifen, der symmetrisch zu einer Achse liegt, erstreckt sich nach oben und unten jeweils um die halbe Breite. - Um eine Ungleichung der Form \(a^x < b\) nach \(x\) aufzulösen, ist der Logarithmus ein hilfreiches Werkzeug. Achte dabei auf das Relationszeichen beim Dividieren durch negative Werte.

Lösung

1. Monotonie: Wegen der Basis \(0{,}8 < 1\) ist die Exponentialfunktion \(x \mapsto 0{,}8^x\) streng monoton fallend. Da der Vorfaktor \(10 > 0\) ist, ist auch \(f\) streng monoton fallend. 2. Asymptote: Für \(x \to \infty\) gilt \(0{,}8^x \to 0\), daraus folgt \(f(x) \to 0\). Die waagerechte Asymptote ist die \(x\)-Achse mit der Gleichung \(y = 0\). 3. Schwellenwert \(x_1\): Der Streifen der Breite \(0{,}1\) um \(y=0\) entspricht dem Bereich \(-0{,}05 < f(x) < 0{,}05\). Da \(f(x) > 0\), ist \(10 \cdot 0{,}8^x < 0{,}05\) zu lösen. \(0{,}8^x < 0{,}005 \implies x \cdot \ln(0{,}8) < \ln(0{,}005) \implies x > \frac{\ln(0{,}005)}{\ln(0{,}8)} \approx 23{,}74\). Somit ist \(x_1 \approx 23{,}74\). 4. Schmalerer Streifen: Breite \(0{,}01\) bedeutet \(f(x) < 0{,}005\). \(10 \cdot 0{,}8^x < 0{,}005 \implies 0{,}8^x < 0{,}0005 \implies x > \frac{\ln(0{,}0005)}{\ln(0{,}8)} \approx 34{,}06\). 5. Vergleich: \(2 \cdot x_1 \approx 47{,}48\). Da \(47{,}48 > 34{,}06\), verläuft der Graph für \(x > 2 \cdot x_1\) tatsächlich innerhalb des schmaleren Streifens.

Antwort

a) \(f\) ist streng monoton fallend; waagerechte Asymptote \(y = 0\). b) \(x_1 = \frac{\ln(0{,}005)}{\ln(0{,}8)} \approx 23{,}74\). c) Ja, da für den schmaleren Streifen \(x > 34{,}06\) gelten muss und \(2 \cdot 23{,}74 = 47{,}48\) diesen Wert übersteigt.

42190111

Gegeben ist die Funktion \(f: x \mapsto (x-2) \cdot \sin\left(\frac{1}{x-2}\right)\) mit der maximalen Definitionsmenge \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}\). Untersuche, ob die Funktion \(f\) für \(x \to 2\) einen Grenzwert besitzt, und bestimme diesen gegebenenfalls.

Denkanstöße

- Betrachte die beiden Faktoren der Funktion getrennt voneinander. - Was weißt du über den Wertebereich der Sinusfunktion, egal wie groß oder klein das Argument im Inneren ist? - Wie verhält sich der Faktor vor dem Sinus, wenn sich \(x\) der Zahl 2 nähert? - Könnte man eine obere und eine untere Schranke für den gesamten Funktionsausdruck finden?

Lösung

1. Bestimmung der Beschränktheit des Sinus-Terms: Für alle \(x \in D_f\) gilt \(-1 \leq \sin\left(\frac{1}{x-2}\right) \leq 1\). 2. Anwendung der Betragsrechnung auf die Funktion: \(|f(x)| = |x-2| \cdot \left|\sin\left(\frac{1}{x-2}\right)\right| \leq |x-2| \cdot 1\). 3. Untersuchung des Grenzwerts der Schranke: Für \(x \to 2\) geht der Term \(|x-2|\) gegen \(0\). 4. Schlussfolgerung über den Einschließungssatz (Sandwich-Satz): Da die Funktion \(f\) zwischen zwei Funktionen (nämlich \(-|x-2|\) und \(|x-2|\)) liegt, die beide für \(x \to 2\) gegen \(0\) konvergieren, besitzt auch \(f\) den Grenzwert \(0\).

Antwort

Der Grenzwert existiert und beträgt \(\lim_{x \to 2} f(x) = 0\).

42190211

Betrachte die Funktion \(g: x \mapsto \frac{3x + \cos(x^2)}{x}\) für \(x > 0\). Ermittle das Verhalten von \(g(x)\) für \(x \to \infty\).

Denkanstöße

- Kannst du den Bruch so umschreiben, dass \(x\) im ersten Teil gekürzt werden kann? - Welche Werte kann der Kosinus maximal und minimal annehmen? - Was passiert mit einem Bruch, dessen Zähler immer zwischen festen Werten schwankt, während der Nenner immer größer wird?

Lösung

1. Zerlegung des Funktionsterms: Der Bruch kann in zwei Summanden aufgeteilt werden: \(g(x) = \frac{3x}{x} + \frac{\cos(x^2)}{x} = 3 + \frac{\cos(x^2)}{x}\). 2. Analyse des zweiten Summanden für \(x \to \infty\): Die Kosinusfunktion ist beschränkt, es gilt \(-1 \leq \cos(x^2) \leq 1\). 3. Anwendung des Grenzwertverhaltens: Da der Zähler \(\cos(x^2)\) beschränkt bleibt und der Nenner \(x\) gegen \(\infty\) strebt, gilt \(\lim_{x \to \infty} \frac{\cos(x^2)}{x} = 0\). 4. Berechnung des Gesamtgrenzwerts: \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \lim_{x \to \infty} (3 + \frac{\cos(x^2)}{x}) = 3 + 0 = 3\).

Antwort

Für \(x \to \infty\) strebt die Funktion gegen den Grenzwert \(3\), also \(\lim_{x \to \infty} g(x) = 3\).

42260411

Betrachte die rationale Funktion \(k\) mit \(k(x) = \frac{10x + 5}{2x - 4}\) für \(x \neq 2\). Beschreibe das Verhalten der Funktionswerte für \(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\) unter Verwendung der Begriffe Konvergenz bzw. Divergenz.

Denkanstöße

- Welche Rolle spielen die Koeffizienten der höchsten Potenzen, wenn Zähler und Nenner denselben Grad haben? - Kannst du den Funktionsterm so umformen, dass \(x\) nur noch im Nenner kleinerer Brüche vorkommt? - Vergleiche die Koeffizienten der höchsten Potenzen in Zähler und Nenner. - Wann spricht man in der Mathematik von Konvergenz?

Lösung

1. Analyse der Zähler- und Nennergrade: Sowohl der Zähler als auch der Nenner sind vom Grad 1. 2. Umformung durch Ausklammern oder Division durch die höchste Potenz von \(x\): \(k(x) = \frac{x \cdot (10 + \frac{5}{x})}{x \cdot (2 - \frac{4}{x})} = \frac{10 + \frac{5}{x}}{2 - \frac{4}{x}}\). 3. Grenzwertbetrachtung für \(x \to \pm\infty\): Die Terme \(\frac{5}{x}\) und \(\frac{4}{x}\) streben gegen \(0\). 4. Berechnung des Grenzwerts: Es bleibt \(\frac{10}{2} = 5\). 5. Fachbegriff: Da die Funktionswerte sich einer festen reellen Zahl annähern, liegt Konvergenz vor. Die Funktion konvergiert für \(x \to \pm\infty\) gegen den Grenzwert \(5\).

Antwort

Die Funktion \(k\) konvergiert sowohl für \(x \to \infty\) als auch für \(x \to -\infty\) gegen den Grenzwert \(5\).

42290411

Untersuche das Verhalten der Funktionen an den angegebenen Stellen, indem du die einseitigen Grenzwerte bestimmst. a) \(\lim_{\substack{x \to 1 \\ x < 1}} \frac{x + 2}{x - 1}\) b) \(\lim_{\substack{x \to -2 \\ x > -2}} \frac{3}{x + 2}\)

Denkanstöße

- Setze gedanklich eine Zahl ein, die ganz nah an der kritischen Stelle liegt, aber noch auf der erlaubten Seite (z. B. \(0{,}99\) statt \(1\)). - Welches Vorzeichen hat der Zähler und welches Vorzeichen hat der Nenner in der Nähe der Stelle? - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner fast Null wird, der Zähler aber eine feste Zahl bleibt?

Lösung

1. Für Teilaufgabe a): Wenn \(x\) sich von links dem Wert \(1\) nähert (\(x < 1\)), nähert sich der Zähler \(x + 2\) dem Wert \(3\). Der Nenner \(x - 1\) nähert sich \(0\), bleibt aber negativ (z. B. \(0{,}9 - 1 = -0{,}1\)). Ein positiver Zähler geteilt durch einen gegen null strebenden negativen Nenner führt zu \(-\infty\). 2. Für Teilaufgabe b): Wenn \(x\) sich von rechts dem Wert \(-2\) nähert (\(x > -2\)), ist der Zähler konstant \(3\). Der Nenner \(x + 2\) nähert sich \(0\), bleibt dabei jedoch positiv (z. B. \(-1{,}9 + 2 = 0{,}1\)). Ein positiver Zähler geteilt durch einen gegen null strebenden positiven Nenner führt zu \(+\infty\).

Antwort

a) \(\lim_{\substack{x \to 1 \\ x < 1}} \frac{x + 2}{x - 1} = -\infty\) b) \(\lim_{\substack{x \to -2 \\ x > -2}} \frac{3}{x + 2} = \infty\)

42548511

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit der Funktionsgleichung \(f(x) = \frac{4x^2}{x^2 + 2}\). 1. Untersuche die Funktion auf Symmetrie bezüglich der Koordinatenachsen oder des Ursprungs. 2. Bestimme die Nullstellen der Funktion. 3. Ermittle das Verhalten der Funktionswerte für \(x \to \pm \infty\). Gib die Gleichung der waagerechten Asymptote an. 4. Zeige rechnerisch, dass der Funktionswert \(4\) für keinen Wert von \(x\) erreicht wird, die Funktionswerte aber für alle \(x\) kleiner als \(4\) bleiben. 5. Berechne die Funktionswerte für \(x \in \{0; 1; 2; 5\}\) (runde gegebenenfalls auf zwei Dezimalstellen) und skizziere den Graphen.

Denkanstöße

- Wie verhält sich der Funktionsterm, wenn du \(x\) durch \(-x\) ersetzt? - Wann wird ein Bruch gleich null? - Betrachte die höchsten Potenzen von \(x\) im Zähler und Nenner für sehr große \(x\)-Werte. - Untersuche die Gleichung \(f(x) = 4\) auf Lösbarkeit.

Lösung

1. Prüfung auf Symmetrie: Da \(f(-x) = \frac{4(-x)^2}{(-x)^2 + 2} = \frac{4x^2}{x^2 + 2} = f(x)\) gilt, ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Nullstellen: \(4x^2 = 0 \implies x = 0\). Der einzige Schnittpunkt mit den Achsen liegt im Ursprung \((0|0)\). 3. Globalverhalten: Für \(x \to \pm \infty\) gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{4x^2}{x^2 + 2} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{4}{1 + \frac{2}{x^2}} = 4\). Die waagerechte Asymptote hat die Gleichung \(y = 4\). 4. Wertebereich: Der Ansatz \(\frac{4x^2}{x^2 + 2} = 4\) führt auf \(4x^2 = 4x^2 + 8\), also \(0 = 8\), was ein Widerspruch ist; der Wert \(4\) wird also nie erreicht. Da \(x^2 + 2 > 0\) und \(4x^2 < 4x^2 + 8\) für alle \(x\) wahr ist, gilt stets \(f(x) < 4\). 5. Funktionswerte: \(f(0) = 0\); \(f(1) = \frac{4}{3} \approx 1{,}33\); \(f(2) = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} \approx 2{,}67\); \(f(5) = \frac{100}{27} \approx 3{,}70\).

Antwort

1. Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse. 2. Nullstelle bei \(x = 0\). 3. \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 4\); waagerechte Asymptote \(y = 4\). 4. Die Gleichung \(f(x) = 4\) besitzt keine Lösung; \(4x^2 < 4x^2 + 8\) ist stets erfüllt. 5. \(f(0) = 0\); \(f(1) \approx 1{,}33\); \(f(2) \approx 2{,}67\); \(f(5) \approx 3{,}70\).

42634411

Bestimme die Grenzwerte der folgenden rationalen Funktionen an den Stellen, an denen der Nenner null wird. Vereinfache dazu den Funktionsterm durch Kürzen: 1) \( \lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 16}{2x - 8} \) 2) \( \lim_{x \to -1} \frac{x^2 + 4x + 3}{x + 1} \)

Denkanstöße

- Was passiert, wenn du den Wert direkt einsetzt und \( \frac{0}{0} \) erhältst? - Kannst du den Zähler so umformen, dass ein Faktor des Nenners darin vorkommt? - Erinnere dich an binomische Formeln oder Möglichkeiten, quadratische Terme in Faktoren zu zerlegen. - Nach dem Kürzen des problematischen Faktors kannst du den Grenzwert durch Einsetzen bestimmen.

Lösung

1. Der direkte Versuch \(x = 4\) einzusetzen führt auf den unbestimmten Ausdruck \( \frac{0}{0} \). Faktorisieren des Zählers mittels der dritten binomischen Formel: \( x^2 - 16 = (x-4)(x+4) \). Ausklammern im Nenner: \( 2x - 8 = 2(x-4) \). Kürzen des Faktors \( (x-4) \) ergibt den vereinfachten Term \( \frac{x+4}{2} \). Einsetzen von \(x = 4\): \( \frac{4+4}{2} = 4 \). 2. Der direkte Versuch \(x = -1\) einzusetzen führt auf \( \frac{0}{0} \). Faktorisieren des Zählers (z. B. mit dem Satz von Vieta): \( x^2 + 4x + 3 = (x+1)(x+3) \). Kürzen des Faktors \( (x+1) \) ergibt den vereinfachten Term \( x+3 \). Einsetzen von \(x = -1\): \( -1 + 3 = 2 \).

Antwort

1) 4 2) 2

42635611

Gegeben ist die gebrochen-rationale Funktion \(f\) mit \(f(x) = \frac{2x + 4}{x - 1}\). a) Bestimme den Grenzwert der Funktion für \(x \to \infty\). b) Untersuche das Verhalten der Funktionswerte in der Umgebung der Definitionslücke \(x = 1\), indem du die einseitigen Grenzwerte \(\lim_{x \to 1^+} f(x)\) und \(\lim_{x \to 1^-} f(x)\) bestimmst. c) Gib die Gleichungen der waagerechten und der senkrechten Asymptote des Graphen von \(f\) an.

Denkanstöße

- Wie verhält sich ein Bruch, wenn der Zähler gegen eine feste Zahl strebt, der Nenner aber fast Null wird? - Betrachte für die Annäherung an die Definitionslücke Werte, die ganz kurz vor oder ganz kurz nach der Lücke liegen. - Welche Information liefert der Grenzwert im Unendlichen für die Lage der Asymptoten? - Was passiert mit den Termen im Zähler und Nenner, wenn du durch die höchste Potenz von \(x\) dividierst?

Lösung

1. Grenzwert für \(x \to \infty\): Ausklammern von \(x\) im Zähler und Nenner ergibt \(\frac{x(2 + 4/x)}{x(1 - 1/x)} = \frac{2 + 4/x}{1 - 1/x}\). Da \(4/x\) und \(1/x\) gegen \(0\) streben, ist der Grenzwert \(\frac{2}{1} = 2\). 2. Rechtsseitiger Grenzwert (\(x \to 1^+\)): Für \(x > 1\) ist der Nenner \(x - 1\) positiv und nähert sich \(0\) an. Der Zähler \(2x + 4\) nähert sich \(6\) an. Somit gilt \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = \infty\). 3. Linksseitiger Grenzwert (\(x \to 1^-\)): Für \(x < 1\) ist der Nenner \(x - 1\) negativ und nähert sich \(0\) an. Der Zähler nähert sich \(6\) an. Somit gilt \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty\). 4. Asymptoten: Die waagerechte Asymptote liegt bei \(y = 2\), die senkrechte Asymptote (Polstelle) bei \(x = 1\).

Antwort

a) \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 2\) b) \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = \infty\); \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty\) c) Waagerechte Asymptote: \(y = 2\); senkrechte Asymptote: \(x = 1\)

42635811

Betrachte die Funktion \(g(x) = \frac{ax^2 + 5x}{3x^2 - 2}\) mit \(a \in \mathbb{R}\). Bestimme den Wert des Parameters \(a\) so, dass die Funktion für \(x \to \infty\) gegen den Wert \(4\) strebt. Begründe dein Vorgehen.

Denkanstöße

- Wie bestimmt man den Grenzwert einer rationalen Funktion, wenn Zähler und Nenner den gleichen Grad haben? - Welchen Einfluss hat der Koeffizient vor der höchsten Potenz auf das Verhalten im Unendlichen? - Stelle eine Gleichung auf, die den berechneten Grenzwert mit dem Zielwert gleichsetzt.

Lösung

1. Bestimmung des Grenzwerts in Abhängigkeit von \(a\): Ausklammern von \(x^2\) führt zu \(g(x) = \frac{x^2 \cdot (a + \frac{5}{x})}{x^2 \cdot (3 - \frac{2}{x^2})} = \frac{a + \frac{5}{x}}{3 - \frac{2}{x^2}}\) 2. Für \(x \to \infty\) verschwinden die Terme \(\frac{5}{x}\) und \(\frac{2}{x^2}\), sodass \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \frac{a}{3}\) 3. Aufstellen der Gleichung basierend auf der Bedingung: \(\frac{a}{3} = 4\) 4. Lösen der Gleichung nach \(a\): \(a = 4 \cdot 3 = 12\)

Antwort

Der Parameter muss den Wert \(a = 12\) annehmen.

42636011

Gegeben ist die Funktionenschar \(f_a(x) = \frac{ax + 6}{2x - 4}\) mit \(a \in \mathbb{R}\). a) Bestimme den Grenzwert \(L = \lim_{x \to \infty} f_a(x)\) in Abhängigkeit von \(a\). b) Für welchen Wert von \(a\) besitzt der Graph von \(f_a\) die waagerechte Asymptote \(y = 5\)? c) Untersuche das Verhalten der Funktion \(g(x) = \frac{2x^2 + 3x}{x}\) für \(x \to \infty\). Vergleiche das Ergebnis mit der Funktion \(h(x) = 2x + 3\).

Denkanstöße

- Wie hängen der Grenzwert im Unendlichen und die waagerechte Asymptote zusammen? - Kannst du die Funktionsgleichung so umformen, dass sie einfacher aussieht? - Was bedeutet es für den Grenzwert, wenn eine Variable wie \(a\) im Zähler steht? - Gibt es einen Unterschied zwischen den Funktionen \(g\) und \(h\), wenn man ihre Definitionsbereiche vernachlässigt?

Lösung

1. Um den Grenzwert für \(x \to \infty\) zu bestimmen, wird \(x\) im Zähler und Nenner ausgeklammert: \(f_a(x) = \frac{x(a + \frac{6}{x})}{x(2 - \frac{4}{x})} = \frac{a + \frac{6}{x}}{2 - \frac{4}{x}}\). Für \(x \to \infty\) streben die Terme \(\frac{6}{x}\) und \(\frac{4}{x}\) gegen 0. Es bleibt \(L = \frac{a}{2}\). 2. Eine waagerechte Asymptote bei \(y = 5\) bedeutet \(\lim_{x \to \infty} f_a(x) = 5\). Aus \(\frac{a}{2} = 5\) folgt durch Multiplikation mit 2 der Wert \(a = 10\). 3. Die Funktion \(g(x)\) lässt sich für \(x \neq 0\) vereinfachen: \(g(x) = \frac{x(2x + 3)}{x} = 2x + 3\). Damit ist \(g(x) = h(x)\) für alle \(x \in \mathbb{D}_g\). Für \(x \to \infty\) streben beide Funktionen gegen \(+\infty\), da der lineare Term \(2x\) dominiert.

Antwort

a) \(L = \frac{a}{2}\) b) \(a = 10\) c) Beide Funktionen streben gegen \(\infty\). Da \(g(x) = 2x + 3\) für \(x \neq 0\), verhalten sie sich identisch.

42637111

Gegeben ist die rationale Funktion \(f\) mit der Funktionsgleichung \(f(x) = \frac{x^2 - 2x - 8}{x^2 - 16}\). Untersuche das Grenzverhalten der Funktion an den folgenden Stellen und interpretiere die Ergebnisse geometrisch: 1. \(\lim_{x \to 0} f(x)\) 2. \(\lim_{x \to 4} f(x)\) 3. \(\lim_{x \to -4} f(x)\)

Denkanstöße

- Versuche zuerst, den Wert direkt in den Funktionsterm einzusetzen. Was passiert im Zähler und Nenner? - Wenn sowohl Zähler als auch Nenner null werden, hilft es oft, den Term zu faktorisieren und zu kürzen. - Was bedeutet es für den Graphen, wenn ein Grenzwert an einer Definitionslücke existiert, und was, wenn er gegen Unendlich strebt?

Lösung

1. Für \(x \to 0\) kann der Wert direkt eingesetzt werden, da der Nenner nicht null wird: \(f(0) = \frac{0^2 - 2 \cdot 0 - 8}{0^2 - 16} = \frac{-8}{-16} = \frac{1}{2}\). Der Graph schneidet die \(y\)-Achse bei \(0{,}5\). 2. Für \(x \to 4\) ergibt sich der unbestimmte Ausdruck \(\frac{0}{0}\). Durch Faktorisieren von Zähler und Nenner erhält man \(f(x) = \frac{(x-4)(x+2)}{(x-4)(x+4)}\). Für \(x \neq 4\) lässt sich der Term zu \(\frac{x+2}{x+4}\) kürzen. Der Grenzwert ist \(\lim_{x \to 4} \frac{x+2}{x+4} = \frac{4+2}{4+4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\). An der Stelle \(x = 4\) liegt eine hebbare Definitionslücke (Loch im Graphen). 3. Für \(x \to -4\) strebt der Zähler des gekürzten Terms \(\frac{x+2}{x+4}\) gegen \(-2\), während der Nenner gegen \(0\) strebt. Es gilt \(\lim_{x \to -4^-} f(x) = +\infty\) und \(\lim_{x \to -4^+} f(x) = -\infty\). Daher existiert der zweiseitige Grenzwert nicht. An der Stelle \(x = -4\) liegt eine Polstelle mit der senkrechten Asymptote \(x = -4\) vor.

Antwort

1. \(\lim_{x \to 0} f(x) = \frac{1}{2}\) 2. \(\lim_{x \to 4} f(x) = \frac{3}{4}\) 3. \(\lim_{x \to -4^-} f(x) = +\infty\) und \(\lim_{x \to -4^+} f(x) = -\infty\); deshalb existiert \(\lim_{x \to -4} f(x)\) nicht. Bei \(x = -4\) liegt eine Polstelle mit senkrechter Asymptote vor.

42741312

Untersuche das Grenzverhalten der Funktion \(f\) mit \(f(x) = \frac{e^{2x} - 1 - 2x}{x^2}\) für \(x \to 0\).

Denkanstöße

- Was passiert mit dem Zähler und dem Nenner, wenn du den Wert direkt einsetzt? - Welche mathematische Regel hilft dir, wenn ein Bruch die Form „Null durch Null“ annimmt? - Muss man diese Regel eventuell mehr als einmal anwenden? - Leite Zähler und Nenner jeweils separat ab, nicht den gesamten Bruch als Quotienten.

Lösung

1. Überprüfung der Voraussetzungen: Da sowohl die Zählerfunktion \(u(x) = e^{2x} - 1 - 2x\) als auch die Nennerfunktion \(v(x) = x^2\) für \(x \to 0\) gegen \(0\) konvergieren, liegt der unbestimmte Ausdruck \(\frac{0}{0}\) vor. 2. Erste Anwendung der Regel von de L'Hôpital: Ableitung des Zählers \(u'(x) = 2e^{2x} - 2\) und des Nenners \(v'(x) = 2x\). Da \(\lim_{x \to 0} u'(x) = 0\) und \(\lim_{x \to 0} v'(x) = 0\), wird die Regel erneut angewendet. 3. Zweite Anwendung der Regel von de L'Hôpital: Ableitung der ersten Ableitungen ergibt \(u''(x) = 4e^{2x}\) und \(v''(x) = 2\). 4. Berechnung des Grenzwerts: \(\lim_{x \to 0} \frac{u''(x)}{v''(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{4e^{2x}}{2} = \frac{4 \cdot 1}{2} = 2\). 5. Ergebnis: Der Grenzwert der Funktion \(f\) für \(x \to 0\) ist \(2\).

Antwort

\(\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1 - 2x}{x^2} = 2\)

42906011

Das Globalverhalten einer ganzrationalen Funktion \(f\) mit \(f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0\) wird durch ihren Grad \(n\) und den Leitkoeffizienten \(a_n\) bestimmt. Betrachtet wird eine Funktion, die für \(x \to -\infty\) gegen \(+\infty\) strebt und für \(x \to \infty\) gegen \(-\infty\) strebt. a) Welche Eigenschaft muss der Grad \(n\) der Funktion besitzen (gerade oder ungerade)? Begründe kurz. b) Welches Vorzeichen muss der Leitkoeffizient \(a_n\) haben? c) Gib eine mögliche Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades an, die dieses Verhalten zeigt und die \(y\)-Achse bei \(5\) schneidet. d) Die Funktion \(f\) wird an der \(x\)-Achse gespiegelt, wodurch die neue Funktion \(g\) mit \(g(x) = -f(x)\) entsteht. Beschreibe das Globalverhalten von \(g\).

Denkanstöße

- Wann verhalten sich die Ränder einer Funktion unterschiedlich, wann gleich? - Was passiert mit dem Vorzeichen eines Ergebnisses, wenn man eine sehr große positive Zahl in eine ungerade Potenz einsetzt und dann mit dem Leitkoeffizienten multipliziert? - Der Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem Wert \(f(0)\). - Wie wirkt sich ein Minuszeichen vor dem gesamten Funktionsterm auf die Grenzwerte aus?

Lösung

1. Da die Grenzwerte für \(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\) unterschiedlich sind (\(-\infty\) und \(\infty\)), muss der Grad \(n\) ungerade sein. Bei geraden Graden wäre das Verhalten in beide Richtungen identisch. 2. Da die Funktionswerte für \(x \to \infty\) negativ werden (\(-\infty\)), muss der Leitkoeffizient \(a_n\) negativ sein (\(a_n < 0\)). 3. Eine Funktion dritten Grades hat die Form \(f(x) = a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0\). Mit \(n=3\) (ungerade), \(a_3 < 0\) (z. B. \(-1\)) und dem y-Achsenabschnitt \(a_0 = 5\) ergibt sich beispielsweise \(f(x) = -x^3 + 5\). 4. Die Spiegelung an der \(x\)-Achse kehrt alle Vorzeichen der Funktionswerte um. Somit gilt für \(g\): \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty\). Der Leitkoeffizient von \(g\) ist positiv, während der Grad ungerade bleibt.

Antwort

a) \(n\) muss ungerade sein, da die Grenzwerte an den Rändern verschieden sind. b) Der Leitkoeffizient \(a_n\) muss negativ sein (\(a_n < 0\)). c) Beispiel: \(f(x) = -x^3 + 5\) (jede Funktion der Form \(a_3 x^3 + \dots + 5\) mit \(a_3 < 0\) ist korrekt). d) Das Verhalten kehrt sich um: \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty\).

42906311

Untersuche die folgenden ganzrationalen Funktionen auf Symmetrie zum Koordinatensystem (Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse oder Punktsymmetrie zum Ursprung) und bestimme das Verhalten der Funktionswerte für \(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\). a) \(f(x) = -x^4 + 10x^2 - 5\) b) \(g(x) = 0{,}5x^5 - 2x^3 + x\) c) \(h(x) = -x^3 + x^2 - 1\)

Denkanstöße

- Worauf musst du bei den Exponenten der Variable \(x\) achten, um direkt eine Aussage über die Symmetrie treffen zu können? - Welcher Teil des Funktionsterms ist entscheidend für das Verhalten der Funktionswerte, wenn \(x\) sehr groß oder sehr klein wird? - Wie verhalten sich Potenzen mit geraden Exponenten im Vergleich zu Potenzen mit ungeraden Exponenten bei negativen \(x\)-Werten? - Was bedeutet es für den Grenzwert, wenn vor der höchsten Potenz ein negatives Vorzeichen steht?

Lösung

1. Für \(f(x) = -x^4 + 10x^2 - 5\): Da nur geradzahlige Exponenten (\(4, 2, 0\)) vorkommen, gilt \(f(-x) = f(x)\), womit der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist. Da der Koeffizient der höchsten Potenz negativ ist (\(-1\)) und der Grad gerade ist, gilt \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to \infty\) und \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\). 2. Für \(g(x) = 0{,}5x^5 - 2x^3 + x\): Da nur ungeradzahlige Exponenten (\(5, 3, 1\)) vorkommen, gilt \(g(-x) = -g(x)\), womit der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Der Leitterm \(0{,}5x^5\) bestimmt das Globalverhalten: Für \(x \to \infty\) gilt \(g(x) \to \infty\) und für \(x \to -\infty\) gilt \(g(x) \to -\infty\). 3. Für \(h(x) = -x^3 + x^2 - 1\): Es treten sowohl ungerade (\(3\)) als auch gerade (\(2, 0\)) Exponenten auf, daher liegt keine Symmetrie zur \(y\)-Achse oder zum Ursprung vor. Der Leitterm \(-x^3\) bestimmt das Globalverhalten: Für \(x \to \infty\) gilt \(h(x) \to -\infty\) und für \(x \to -\infty\) gilt \(h(x) \to \infty\).

Antwort

a) Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse; \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to \pm \infty\). b) Punktsymmetrie zum Ursprung; \(g(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\) und \(g(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\). c) Keine Symmetrie zum Ursprung oder zur \(y\)-Achse; \(h(x) \to -\infty\) für \(x \to \infty\) und \(h(x) \to \infty\) für \(x \to -\infty\).

42906411

Gegeben sind die Funktionsterme dreier Funktionen \(p, q\) und \(r\). Untersuche jeweils die Symmetrie des Graphen sowie das Globalverhalten der Funktionswerte (Grenzwerte für \(x \to \pm \infty\)). a) \(p(x) = -\frac{1}{2}x^8 + 3x^6 + x^2\) b) \(q(x) = -4x^3 + 8x\) c) \(r(x) = 2x^4 - 5x + 3\)

Denkanstöße

- Überlege dir, wie sich die Funktionswerte verhalten, wenn du eine sehr große positive Zahl für \(x\) einsetzt. Was ändert sich, wenn du eine sehr kleine negative Zahl einsetzt? - Gibt es im Funktionsterm nur gerade oder nur ungerade Hochzahlen? Denke daran, dass eine Konstante wie \(+3\) als \(3 \cdot x^0\) betrachtet werden kann. - Reicht es aus, nur den Summanden mit der höchsten Hochzahl zu betrachten, um das Verhalten im Unendlichen zu bestimmen? Warum?

Lösung

1. Für \(p(x) = -\frac{1}{2}x^8 + 3x^6 + x^2\): Alle Exponenten (\(8, 6, 2\)) sind gerade, daher ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Der Term mit der höchsten Potenz ist \(-\frac{1}{2}x^8\); da der Grad gerade und der Koeffizient negativ ist, fallen beide Arme des Graphen nach unten: \(p(x) \to -\infty\) für \(x \to \infty\) und \(p(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\). 2. Für \(q(x) = -4x^3 + 8x\): Alle Exponenten (\(3, 1\)) sind ungerade, daher ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. Der Leitterm ist \(-4x^3\); aufgrund des ungeraden Grades und des negativen Koeffizienten gilt \(q(x) \to -\infty\) für \(x \to \infty\) und \(q(x) \to \infty\) für \(x \to -\infty\). 3. Für \(r(x) = 2x^4 - 5x + 3\): Da sowohl gerade (\(4, 0\)) als auch ungerade (\(1\)) Exponenten vorkommen, liegt keine Symmetrie zum Ursprung oder zur \(y\)-Achse vor. Der Leitterm \(2x^4\) hat einen geraden Grad und einen positiven Koeffizienten, woraus folgt: \(r(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\) und \(r(x) \to \infty\) für \(x \to -\infty\).

Antwort

a) Achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse; \(x \to \pm \infty \Rightarrow p(x) \to -\infty\). b) Punktsymmetrisch zum Ursprung; \(x \to \infty \Rightarrow q(x) \to -\infty\) und \(x \to -\infty \Rightarrow q(x) \to \infty\). c) Keine Symmetrie zur \(y\)-Achse oder zum Ursprung; \(x \to \pm \infty \Rightarrow r(x) \to \infty\).

42179411

Gegeben ist die Funktion \( g: x \mapsto \frac{10}{2x + 1} + 5 \). Die waagerechte Asymptote des zugehörigen Graphen \( G_g \) ist die Symmetrieachse eines waagerechten Streifens der Breite \( 0{,}5 \). Bestätige durch Rechnung: 1. Der Punkt \( P(10 \mid g(10)) \) befindet sich außerhalb dieses Streifens. 2. Alle Punkte des Graphen mit \( x > 19{,}5 \) befinden sich innerhalb des Streifens.

Denkanstöße

- Was passiert mit dem Bruchterm, wenn \( x \) sehr groß wird? Das hilft dir, die Asymptote zu finden. - Ein Streifen mit einer bestimmten Breite erstreckt sich von der Mittellinie aus gleich weit nach oben und unten. - Stelle eine Ungleichung für den Abstand zwischen Funktionswert und Asymptote auf. - Löse die Ungleichung nach \( x \) auf, um den Bereich zu bestimmen, in dem der Graph im Streifen verläuft.

Lösung

1. Die waagerechte Asymptote liegt bei \( y = 5 \). Da die Streifenbreite \( 0{,}5 \) beträgt, liegt ein Punkt innerhalb des Streifens, wenn sein vertikaler Abstand zur Asymptote kleiner als \( 0{,}25 \) ist, also \( |g(x) - 5| < 0{,}25 \). 2. Untersuchung für \( x = 10 \): \( |g(10) - 5| = \left| \frac{10}{2 \cdot 10 + 1} \right| = \frac{10}{21} \approx 0{,}476 \). Da \( 0{,}476 > 0{,}25 \), liegt der Punkt außerhalb. 3. Untersuchung für \( x > 19{,}5 \): Der Abstand zur Asymptote ist \( d(x) = \frac{10}{2x + 1} \). Die Bedingung \( \frac{10}{2x + 1} < 0{,}25 \) führt auf \( 10 < 0{,}25(2x + 1) \), woraus \( 40 < 2x + 1 \) und somit \( 39 < 2x \) bzw. \( x > 19{,}5 \) folgt. Damit liegen alle Punkte mit \( x > 19{,}5 \) innerhalb des Streifens.

Antwort

1. Da der Abstand \( |g(10) - 5| = \frac{10}{21} \approx 0{,}476 \) größer als die halbe Streifenbreite \( 0{,}25 \) ist, liegt der Punkt außerhalb. 2. Die Bedingung \( \frac{10}{2x + 1} < 0{,}25 \) ist für alle \( x > 19{,}5 \) erfüllt, sodass diese Punkte innerhalb des Streifens liegen.

42179611

Gegeben ist die Funktion \( g: x \mapsto \frac{3}{0{,}5x + 1} - 2 \) mit \( x \in \mathbb{R} \setminus \{-2\} \). a) Bestimme die Gleichungen der Asymptoten des Graphen von \( g \). b) Ab welchem Wert \( x > -2 \) weichen die Funktionswerte von \( g(x) \) um weniger als \( 0{,}1 \) vom Wert der waagerechten Asymptote ab? Ermittle diesen \( x \)-Wert durch Lösen einer entsprechenden Ungleichung.

Denkanstöße

- Die waagerechte Asymptote gibt den Wert an, dem sich die Funktion für sehr große \( x \) annähert. - Der Abstand zwischen zwei Werten lässt sich mathematisch durch den Betrag ihrer Differenz ausdrücken. - Berücksichtige beim Lösen der Ungleichung das Vorzeichen des Nenners für den betrachteten Bereich \( x > -2 \).

Lösung

1. Asymptoten: Die Nullstelle des Nenners \( 0{,}5x + 1 = 0 \) führt zur senkrechten Asymptote \( x = -2 \). Der Grenzwert für \( x \to \pm \infty \) ist \( -2 \), daher ist die waagerechte Asymptote \( y = -2 \). 2. Ansatz für die Abweichung: Gesucht ist \( x > -2 \), sodass \( |g(x) - (-2)| < 0{,}1 \). Einsetzen ergibt \( |\frac{3}{0{,}5x + 1} - 2 + 2| < 0{,}1 \), also \( |\frac{3}{0{,}5x + 1}| < 0{,}1 \). 3. Da \( x > -2 \), ist der Nenner \( 0{,}5x + 1 > 0 \). Die Betragsstriche können weggelassen werden: \( \frac{3}{0{,}5x + 1} < 0{,}1 \). 4. Umformen der Ungleichung: \( 3 < 0{,}1 \cdot (0{,}5x + 1) \Rightarrow 3 < 0{,}05x + 0{,}1 \Rightarrow 2{,}9 < 0{,}05x \). 5. Division durch \( 0{,}05 \): \( x > 58 \).

Antwort

a) Senkrechte Asymptote: \( x = -2 \); waagerechte Asymptote: \( y = -2 \) b) Die Funktionswerte weichen für \( x > 58 \) um weniger als \( 0{,}1 \) von der waagerechten Asymptote ab.

42180411

Betrachtet werden Funktionen der Form \( g_a(x) = \frac{a}{x} + 2 \) mit \( a > 0 \). Die waagerechte Asymptote ist \( y = 2 \). Ein Streifen der Breite \( 0{,}01 \) hat diese Asymptote als Symmetrieachse. Untersuche allgemein, wie sich der Parameter \( a \) auf die kleinste Stelle \( x_{start} > 0 \) auswirkt, ab der der Graph für alle \( x > x_{start} \) innerhalb des Streifens verläuft. Begründe den Zusammenhang.

Denkanstöße

- Wie groß ist der maximale Abstand zur Asymptote, wenn die Streifenbreite \( 0{,}01 \) beträgt? - Stelle eine allgemeine Ungleichung mit dem Parameter \( a \) auf. - Isoliere die Variable \( x \) in deiner Ungleichung. - Was passiert mit dem Wert für \( x \), wenn du für \( a \) eine größere Zahl einsetzt?

Lösung

1. Der Streifen der Breite \( 0{,}01 \) um \( y = 2 \) entspricht dem Intervall \( [1{,}995; 2{,}005] \). Die Abweichung von der Asymptote darf also maximal \( 0{,}005 \) betragen. 2. Bedingung für \( x > 0 \): \( g_a(x) - 2 < 0{,}005 \). 3. Einsetzen: \( \frac{a}{x} < 0{,}005 \). 4. Umformen nach \( x \) (da \( x, a > 0 \)): \( x > \frac{a}{0{,}005} \), was \( x > 200a \) entspricht. 5. Die Stelle \( x_{start} \) ist somit direkt proportional zu \( a \) mit \( x_{start} = 200a \). 6. Begründung: Ein größerer Wert von \( a \) bewirkt eine Streckung des Graphen in y-Richtung. Dadurch werden die Funktionswerte „langsamer“ klein genug, um in den schmalen Streifen um die Asymptote einzutreten. Je größer \( a \), desto weiter rechts liegt der Eintrittspunkt in den Streifen.

Antwort

Es gilt \( x_{start} = 200a \). Die Stelle \( x_{start} \) ist direkt proportional zum Parameter \( a \). Je größer \( a \) gewählt wird, desto größer muss \( x \) sein, damit der Graph in den Streifen eintritt, da der Zähler die Abweichung von der Asymptote vergrößert.

42180811

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit der Gleichung \(f(x) = \frac{4x - 1}{x + 1}\) für \(x > 0\). 1. Bestimme den Grenzwert \(L = \lim_{x \to \infty} f(x)\). 2. Zeige rechnerisch, dass alle Funktionswerte von \(f\) kleiner als 5 sind. 3. Begründe unter Verwendung deiner Ergebnisse, warum die folgende Aussage falsch ist: „Da \(f\) für \(x > 0\) streng monoton steigt und nach oben durch 5 beschränkt ist, muss der Grenzwert für \(x \to \infty\) gleich 5 sein.“

Denkanstöße

- Wie verhalten sich Zähler und Nenner bei sehr großen \(x\)-Werten zueinander? - Um eine Ungleichung wie \(f(x) < 5\) zu zeigen, kannst du versuchen, sie schrittweise umzuformen. - Überlege dir den Unterschied zwischen irgendeiner „Schranke“ und der „engsten Schranke“ (Asymptote). - Wenn eine Funktion gegen 4 strebt, ist sie dann automatisch auch durch 5, 6 oder 100 beschränkt?

Lösung

1. Bestimmung des Grenzwerts: Durch Ausklammern von \(x\) im Zähler und Nenner ergibt sich \(f(x) = \frac{x(4 - 1/x)}{x(1 + 1/x)} = \frac{4 - 1/x}{1 + 1/x}\). Da \(\frac{1}{x} \to 0\) für \(x \to \infty\), folgt \(L = \frac{4}{1} = 4\). 2. Nachweis der Beschränktheit: Zu zeigen ist \(\frac{4x - 1}{x + 1} < 5\). Da \(x > 0\), ist \(x + 1 > 0\). Multiplikation mit dem Nenner liefert \(4x - 1 < 5(x + 1) \Rightarrow 4x - 1 < 5x + 5 \Rightarrow -1 < x + 5 \Rightarrow -6 < x\). Da die Definitionsmenge \(x > 0\) ist, ist diese Ungleichung für alle \(x\) erfüllt. Somit ist \(f(x) < 5\) für alle \(x > 0\). 3. Widerlegung der Aussage: Obwohl die Funktion streng monoton steigt und durch 5 beschränkt ist, wurde in Schritt 1 gezeigt, dass der Grenzwert \(L = 4\) beträgt. Eine obere Schranke muss also nicht dem Grenzwert entsprechen; jede Zahl \(S \ge 4\) ist eine obere Schranke, aber nur der kleinste Wert der oberen Schranken (das Supremum) entspricht hier dem Grenzwert.

Antwort

1. \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 4\) 2. \(\frac{4x - 1}{x + 1} < 5 \Leftrightarrow 4x - 1 < 5x + 5 \Leftrightarrow -6 < x\). Da \(x > 0\), ist dies immer wahr. 3. Die Behauptung ist falsch, da der Grenzwert \(L = 4\) ist. Nur weil eine Funktion durch 5 beschränkt ist, muss sie nicht gegen 5 streben; sie kann auch gegen einen kleineren Wert (hier 4) konvergieren.

42181411

Betrachtet wird die Funktion \(g: x \mapsto 4 - 3 \cdot 2^x\) mit \(x \in \mathbb{R}\). a) Bestimme den Grenzwert von \(g(x)\) für \(x \to -\infty\) und gib die Gleichung der waagerechten Asymptote von \(G_g\) an. b) Ein waagerechter Streifen der Breite \(w = 0{,}02\) liegt symmetrisch zur waagerechten Asymptote. Bestimme den größtmöglichen Wert \(x_0\), sodass der Graph von \(g\) für alle \(x < x_0\) innerhalb dieses Streifens verläuft. c) Wie verändert sich der Wert \(x_0\), wenn die Breite des Streifens auf ein Viertel des ursprünglichen Wertes (\(w_{neu} = 0{,}005\)) reduziert wird? Gib die Änderung als absolute Differenz an.

Denkanstöße

- Erinnere dich daran, gegen welchen Wert \(2^x\) strebt, wenn \(x\) sehr kleine (negative) Werte annimmt. - Der Abstand zwischen einem Funktionswert und der Asymptote \(y=c\) wird durch den Betrag \(|f(x) - c|\) beschrieben. - Nutze Logarithmengesetze, um die Unbekannte im Exponenten zu isolieren. - Überlege bei Teilaufgabe c), ob du die Rechnung für \(x_0\) mit dem neuen Wert einfach wiederholen kannst, um den Unterschied zu sehen.

Lösung

1. Grenzwert: Für \(x \to -\infty\) gilt \(2^x \to 0\), also \(g(x) \to 4 - 3 \cdot 0 = 4\). Die waagerechte Asymptote ist \(y = 4\). 2. Bedingung für den Streifen: Der Abstand zur Asymptote muss kleiner als die halbe Breite sein: \(|g(x) - 4| < 0{,}01\). \(|4 - 3 \cdot 2^x - 4| < 0{,}01 \implies |-3 \cdot 2^x| < 0{,}01 \implies 3 \cdot 2^x < 0{,}01\). 3. Berechnung von \(x_0\): \(2^x < \frac{0{,}01}{3} \approx 0{,}00333\). \(x < \frac{\ln(0{,}01/3)}{\ln(2)} \approx -8{,}23\). Also \(x_0 \approx -8{,}23\). 4. Reduzierte Breite: \(w_{neu} = 0{,}005 \implies\) halbe Breite ist \(0{,}0025\). \(3 \cdot 2^x < 0{,}0025 \implies 2^x < \frac{0{,}0025}{3}\). \(x_{neu} < \frac{\ln(0{,}0025/3)}{\ln(2)} \approx -10{,}23\). 5. Differenz: \(x_{neu} - x_0 = -10{,}23 - (-8{,}23) = -2\). Der Schwellenwert verringert sich um \(2\).

Antwort

a) \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = 4\); waagerechte Asymptote \(y = 4\). b) \(x_0 = \frac{\ln(0{,}01/3)}{\ln(2)} \approx -8{,}23\). c) Der Wert \(x_0\) verringert sich um genau \(2\) (da \(\log_2(1/4) = -2\)).

42548611

Betrachte die algebraische Kurve, die durch die Gleichung \(x^2 - 4y^2 = 16\) definiert ist. 1. Löse die Gleichung nach \(y\) auf und gib die zwei resultierenden Teilfunktionen \(f_1(x)\) und \(f_2(x)\) an. 2. Bestimme den Definitionsbereich dieser Funktionen und begründe, warum für \(x\)-Werte im Intervall \((-4; 4)\) keine reellen \(y\)-Werte existieren. 3. Überprüfe rechnerisch, ob die Koordinatenachsen Symmetrieachsen der Kurve sind. 4. Zeige, dass sich die Kurve für sehr große Beträge von \(x\) den Geraden \(y = 0{,}5x\) und \(y = -0{,}5x\) annähert. 5. Erstelle eine Wertetabelle für \(x \in \{4; 5; 6; 8\}\) (gerundet auf eine Dezimalstelle) und skizziere die Kurve.

Denkanstöße

- Isoliere zuerst \(y^2\) auf einer Seite der Gleichung. - Welche Bedingung muss für den Ausdruck unter einer Quadratwurzel gelten? - Was passiert mit dem Term in der Gleichung, wenn du eine Variable durch ihr Negatives ersetzt? - Vergleiche den Funktionsterm für sehr große \(x\) mit einem einfacheren Term, bei dem die Konstante vernachlässigt wird.

Lösung

1. Umstellung nach \(y\): \(4y^2 = x^2 - 16 \implies y^2 = \frac{x^2}{4} - 4 \implies y = \pm \sqrt{0{,}25x^2 - 4}\). Die Teilfunktionen sind \(f_{1,2}(x) = \pm \sqrt{0{,}25x^2 - 4}\). 2. Definitionsbereich: Der Radikand muss nicht-negativ sein: \(0{,}25x^2 - 4 \ge 0 \iff x^2 \ge 16 \iff |x| \ge 4\). Somit ist \(D = (-\infty; -4] \cup [4; \infty)\). Für \(|x| < 4\) wird der Ausdruck unter der Wurzel negativ, was im Reellen nicht definiert ist. 3. Symmetrie: Ersetzt man \(x\) durch \(-x\), bleibt die Gleichung \(x^2 - 4y^2 = 16\) unverändert (Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse). Ersetzt man \(y\) durch \(-y\), bleibt sie ebenfalls unverändert (Achsensymmetrie zur \(x\)-Achse). 4. Asymptoten: Für große \(|x|\) gilt \(\sqrt{0{,}25x^2 - 4} \approx \sqrt{0{,}25x^2} = 0{,}5|x|\). Der Grenzwert der Differenz \(\lim_{x \to \infty} (\sqrt{0{,}25x^2 - 4} - 0{,}5x) = 0\) bestätigt die Asymptoten \(y = \pm 0{,}5x\). 5. Werteberechnung: Für \(x=4\) ist \(y=0\); für \(x=5\) ist \(y \approx \pm 1{,}5\); für \(x=6\) ist \(y \approx \pm 2{,}2\); für \(x=8\) ist \(y \approx \pm 3{,}5\).

Antwort

1. \(y = \pm \sqrt{0{,}25x^2 - 4}\). 2. \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid |x| \ge 4\}\). 3. Symmetrie zur \(x\)-Achse und \(y\)-Achse liegt vor. 4. Asymptoten sind \(y = 0{,}5x\) und \(y = -0{,}5x\). 5. Wertepaare \((x|y)\): \((4|0)\), \((5|\pm 1{,}5)\), \((6|\pm 2{,}2)\), \((8|\pm 3{,}5)\).

42741412

Bestimme den Grenzwert der Funktion \(g: x \mapsto \frac{\ln(x^2 + 1)}{\cos(x) - 1}\) an der Stelle \(x_0 = 0\).

Denkanstöße

- Prüfe zuerst, ob der Nenner an der betrachteten Stelle Null wird. - Erinnerst du dich an die Kettenregel beim Ableiten des Zählers? - Wenn der erste Versuch mit der Regel von de L'Hôpital wieder auf einen unbestimmten Ausdruck führt, darfst du sie unter denselben Bedingungen nochmals anwenden. - Achte beim Ableiten von trigonometrischen Funktionen auf das Vorzeichen.

Lösung

1. Identifikation des Typs: Einsetzen von \(x = 0\) ergibt im Zähler \(\ln(1) = 0\) und im Nenner \(\cos(0) - 1 = 0\). Es liegt der Typ \(\frac{0}{0}\) vor. 2. Erste Ableitungen bilden: Die Ableitung des Zählers ist \(u'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}\), die des Nenners ist \(v'(x) = -\sin(x)\). Da beide an der Stelle \(0\) wieder den Wert \(0\) annehmen, ist eine weitere Ableitung nötig. 3. Zweite Ableitungen bilden: Mit der Quotientenregel folgt \(u''(x) = \frac{2(x^2 + 1) - 2x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2}\). Die Ableitung des Nenners ist \(v''(x) = -\cos(x)\). 4. Grenzwert berechnen: Es gilt \(u''(0) = \frac{2 - 0}{1^2} = 2\) und \(v''(0) = -\cos(0) = -1\). 5. Abschluss: Der gesuchte Grenzwert ergibt sich aus dem Quotienten der zweiten Ableitungen zu \(\frac{2}{-1} = -2\).

Antwort

\(\lim_{x \to 0} \frac{ln(x^2 + 1)}{\cos(x) - 1} = -2\)

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