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- Prüfe jeden Graphen so, als wären die beiden anderen nicht vorhanden. - Für \(y\)-Achsensymmetrie müssen zu \(x\) und \(-x\) gleiche Höhen gehören. - Für Ursprungssymmetrie müssen sich bei entsprechenden Punkten beide Koordinaten im Vorzeichen ändern. - Ein einziges geeignetes Gegenbeispiel reicht aus, um eine Symmetrie auszuschließen.

1. Bei a) liegen zum Beispiel \((1|1)\) und \((-1|1)\) auf dem Graphen. Gleiche \(y\)-Werte bei entgegengesetzten \(x\)-Werten stützen die Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse. 2. Bei b) liegen zum Beispiel \((2|2)\) und \((-2|-2)\) auf dem Graphen. Beide Koordinaten wechseln ihr Vorzeichen; der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. 3. Bei c) liegen \((1|0)\) und \((-1|4)\) auf dem Graphen. Die \(y\)-Werte sind weder gleich noch Gegenzahlen. Damit liegt weder \(y\)-Achsensymmetrie noch Ursprungssymmetrie vor.

a) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse; z. B. \((1|1)\) und \((-1|1)\) b) punktsymmetrisch zum Ursprung; z. B. \((2|2)\) und \((-2|-2)\) c) weder noch; z. B. \((1|0)\) und \((-1|4)\)

- Achte auf die Exponenten von \(x\) im Funktionsterm. - Überlege, was beim Ersetzen von \(x\) durch \(-x\) passiert. - Für die \(y\)-Achsen-Symmetrie muss sich der Funktionswert dabei nicht ändern.

1. In \(f(x)=x^6-3x^2+1\) treten nur gerade Exponenten von \(x\) auf. 2. Daher gilt \(f(-x)=f(x)\). Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

a) Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

- Welche Koordinate bleibt bei einer Spiegelung an der \(y\)-Achse unverändert? - Welche Koordinate erhält das entgegengesetzte Vorzeichen? - Prüfe, ob Ausgangspunkt und Spiegelpunkt denselben Abstand von der \(y\)-Achse haben.

1. Bei einer Spiegelung an der \(y\)-Achse wechselt die \(x\)-Koordinate ihr Vorzeichen, während die \(y\)-Koordinate gleich bleibt. 2. Aus \(P(2|3)\) wird daher \(P'(-2|3)\). 3. Aus \(Q(4|1)\) wird \(Q'(-4|1)\).

\(P'(-2|3)\), \(Q'(-4|1)\)

- Welche mathematische Bedingung muss für die Funktionswerte gelten, damit ein Graph spiegelsymmetrisch zur \(y\)-Achse ist? - Überlege dir, wie sich Potenzen mit geraden und ungeraden Exponenten verhalten, wenn man das Vorzeichen von \(x\) ändert. - Kannst du die Klammern in den Termen auflösen, um die Struktur besser zu erkennen?

1. Bedingung für Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse: \(f(-x) = f(x)\). 2. Überprüfung von d): \(f(x) = x^6 - 1\). Da \((-x)^6 = x^6\), gilt \(f(-x) = (-x)^6 - 1 = x^6 - 1 = f(x)\). 3. Überprüfung der anderen Optionen zeigt, dass dort Terme mit ungeraden Potenzen (wie \(x^3\)) verbleiben, die das Vorzeichen ändern.

d) \(f(x) = (x^3 - 1)(x^3 + 1)\)

- Wie verhält sich der Bruchterm für \(x \to \pm \infty\)? - Wo liegt die Definitionslücke der Funktion und welche Rolle spielt sie für die Symmetrie? - Welche Eigenschaft muss eine Funktion haben, damit sie sich beim Spiegeln an der senkrechten Achse nicht verändert? - Was passiert mit dem Vorzeichen von \(x\), wenn man es quadriert?

1. Die waagrechte Asymptote einer gebrochenrationalen Funktion dieser Form entspricht dem konstanten Summanden bei der Betrachtung der Grenzwerte für \(x \to \pm \infty\). Da \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{8}{(x+d)^2} = 0\), folgt direkt \(e = 2\). 2. Eine Funktion der Form \(\frac{k}{(x+d)^2} + e\) ist achsensymmetrisch zu ihrer senkrechten Asymptote \(x = -d\). Damit die Symmetrieachse die \(y\)-Achse (also \(x = 0\)) ist, muss \(-d = 0\) und somit \(d = 0\) gelten. 3. Die Bedingung für Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse lautet \(f(-x) = f(x)\). Einsetzen von \(d=0\) und \(e=2\) in die Funktionsgleichung ergibt \(f(x) = \frac{8}{x^2} + 2\). Die Überprüfung liefert \(f(-x) = \frac{8}{(-x)^2} + 2 = \frac{8}{x^2} + 2 = f(x)\), womit die Bedingung erfüllt ist.

1. \(e = 2\) 2. \(d = 0\) 3. Bedingung: \(f(-x) = f(x)\); Nachweis: \(\frac{8}{(-x)^2} + 2 = \frac{8}{x^2} + 2\).

- Überlege dir, was passiert, wenn du \(x\) in der Funktionsgleichung durch \(-x\) ersetzt. - Vergleiche das Ergebnis der Ersetzung mit der ursprünglichen Funktion. Erhältst du genau denselben Term oder das Negative des Terms? - Bei ganzrationalen Funktionen kannst du auch die Exponenten der Variablen betrachten. - Was muss für die Exponenten gelten, damit eine bestimmte Symmetrie vorliegt? - Untersuche bei Teilaufgabe c), ob der Term gemischte Exponenten enthält, wenn du die Klammer auflöst.

1. Prüfung von \(f\): Es gilt \(f(-x) = \frac{(-x)^2 - 9}{(-x)^2 + 1} = \frac{x^2 - 9}{x^2 + 1} = f(x)\). Somit ist der Graph von \(f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Prüfung von \(g\): Es gilt \(g(-x) = \frac{1}{2}(-x)^3 - 2(-x) = -\frac{1}{2}x^3 + 2x = -(\frac{1}{2}x^3 - 2x) = -g(x)\). Somit ist der Graph von \(g\) punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. 3. Prüfung von \(h\): Ausmultipliziert ergibt sich \(h(x) = x^3 - 3x^2\). Da sowohl ein ungerader Exponent (\(3\)) als auch ein gerader Exponent (\(2\)) vorkommen, liegt keine der untersuchten Symmetrien vor. Rechnerisch: \(h(-x) = (-x)^3 - 3(-x)^2 = -x^3 - 3x^2\). Dies entspricht weder \(h(x)\) noch \(-h(x)\).

a) Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse b) Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung c) Keine Symmetrie zur \(y\)-Achse oder zum Koordinatenursprung

- Woran erkennst du die Symmetrie zur y-Achse direkt an den Exponenten eines Polynoms? - Welche Bedingung muss ein Koeffizient erfüllen, damit die zugehörige Potenz von \(x\) im Term „verschwindet“? - Wie viele Lösungen hat die Gleichung, die du aufgestellt hast?

1. Bedingung für Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse bei ganzrationalen Funktionen: Es dürfen nur gerade Exponenten von \(x\) im Funktionsterm vorkommen. 2. Analyse des Funktionsterms: Der Koeffizient der ungeraden Potenz \(x^3\) muss den Wert Null annehmen, damit die Symmetriebedingung erfüllt ist. 3. Aufstellen der Gleichung: \(a^2 - 1 = 0\). 4. Lösen der quadratischen Gleichung: \(a^2 = 1\) führt zu den beiden Lösungen \(a_1 = 1\) und \(a_2 = -1\). 5. Ergebnis: Es gibt somit zwei (und damit mehrere) Werte für den Parameter \(a\), die die Bedingung erfüllen.

Es gibt mehrere Werte (nämlich \(a = 1\) und \(a = -1\)).

- Welche Rolle spielen gerade und ungerade Exponenten bei der Symmetrie von ganzrationalen Funktionen? - Ist die Zahl 0 ein gerader oder ein ungerader Exponent? - Was muss für den Funktionswert an der Stelle \(x = 0\) gelten, damit Punktsymmetrie zum Ursprung vorliegen kann? - Überlege, ob das Ändern einer einzelnen Zahl die Eigenschaft der anderen Terme im Funktionsterm beeinflussen kann.

1. Die Funktion \(f(x) = 3x^4 - 5x^2 + 7 \cdot x^0\) enthält ausschließlich gerade Exponenten (\(4\), \(2\) und \(0\)). Da für alle geraden Exponenten \(n\) gilt, dass \((-x)^n = x^n\), folgt \(f(-x) = f(x)\). Der Graph ist somit achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Für Punktsymmetrie zum Ursprung müsste die Bedingung \(f(-x) = -f(x)\) erfüllt sein. Dies ist bei ganzrationalen Funktionen nur der Fall, wenn ausschließlich ungerade Exponenten mit von null verschiedenen Koeffizienten vorkommen. Da die Terme \(3x^4\) und \(-5x^2\) erhalten bleiben, weist die Funktion unabhängig vom konstanten Summanden weiterhin gerade Exponenten auf. Zudem müsste für Punktsymmetrie zum Ursprung \(f(0) = 0\) gelten. Ein konstanter Summand ungleich null verhindert dies; ist er null, bleiben dennoch die geraden Exponenten der anderen Terme bestehen. Eine Änderung des konstanten Summanden allein kann also keine Punktsymmetrie zum Ursprung erzeugen.

1. Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, da nur gerade Exponenten (\(4, 2, 0\)) vorkommen. 2. Nein, dies ist nicht möglich. Für Punktsymmetrie zum Ursprung dürften keine Terme mit geraden Exponenten und von null verschiedenen Koeffizienten vorkommen. Durch das Ändern des konstanten Summanden bleiben die Terme mit den Exponenten \(4\) und \(2\) unverändert.

- Erinnere dich an die formale Definition der Punktsymmetrie zum Ursprung. - Was passiert mit den Vorzeichen der einzelnen Terme, wenn du \(-x\) für \(x\) einsetzt? - Welchen Exponenten hat ein konstanter Summand (eine Zahl ohne sichtbares \(x\))? - Wie wirkt sich eine Verschiebung in \(y\)-Richtung auf ein Symmetriezentrum aus, das im Ursprung liegt?

1. Prüfung der Bedingung \(h(-x) = -h(x)\): \(h(-x) = (-x)^5 - 4(-x)^3 + k(-x) = -x^5 - 4(-x^3) - kx = -x^5 + 4x^3 - kx\). Ausklammern von \(-1\) ergibt: \(-(x^5 - 4x^3 + kx) = -h(x)\). Da die Bedingung \(h(-x) = -h(x)\) für alle \(x\) erfüllt ist, ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Durch die Addition von \(3\) erhält die Funktion einen konstanten Term. Ein konstanter Term entspricht \(3 \cdot x^0\). Da der Exponent \(0\) gerade ist, sind im Funktionsterm nicht mehr ausschließlich ungerade Exponenten vorhanden, was die Punktsymmetrie zum Ursprung bei ganzrationalen Funktionen ausschließt. Alternativ zeigt die Rechnung \(g(-x) = -x^5 + 4x^3 - kx + 3\), während \(-g(x) = -x^5 + 4x^3 - kx - 3\) gilt; da \(g(-x) \neq -g(x)\), liegt keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor.

1. Der Nachweis erfolgt über \(h(-x) = -h(x)\). Da \((-x)^5 - 4(-x)^3 + k(-x) = -(x^5 - 4x^3 + kx)\) gilt, ist die Symmetrie für alle \(k \in \mathbb{R}\) gegeben. 2. Die Funktion \(g\) besitzt durch den Summanden \(3\) einen Term mit geradem Exponenten (\(3x^0\)); außerdem wird das Symmetriezentrum vom Ursprung nach \((0|3)\) verschoben. Daher liegt keine Punktsymmetrie zum Ursprung mehr vor.

- Welche Bedingung muss der Ausdruck unter der Quadratwurzel erfüllen? - Zwischen welchen Nullstellen ist das Produkt im Radikanden nichtnegativ? - Welche Eigenschaft müsste die Definitionsmenge bei einer Spiegelung an der \(y\)-Achse oder am Ursprung besitzen?

1. Für die Quadratwurzel muss \((x+5)(2-x)\ge 0\) gelten. Der Ausdruck hat die Nullstellen \(-5\) und \(2\) und ist zwischen diesen beiden Stellen nichtnegativ. Daher ist \(D_g=[-5;2]\). 2. Sowohl Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse als auch Punktsymmetrie zum Ursprung setzt voraus, dass die Definitionsmenge bezüglich \(0\) symmetrisch ist: Aus \(x\in D_g\) müsste stets \(-x\in D_g\) folgen. 3. Es gilt beispielsweise \(-5\in D_g\), aber \(5\notin D_g\). Der Definitionsbereich ist also nicht symmetrisch bezüglich \(0\). 4. Daher kann der Graph weder achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung sein.

\(D_g=[-5;2]\). Da beispielsweise \(-5\in D_g\), aber \(5\notin D_g\), ist der Definitionsbereich nicht symmetrisch bezüglich \(0\). Deshalb besitzt der Graph weder \(y\)-Achsensymmetrie noch Ursprungssymmetrie.

- Was erhältst du, wenn du im Funktionsterm \(x\) durch \(-x\) ersetzt? - Welche algebraische Bedingung kennzeichnet Punktsymmetrie zum Ursprung? - Wie ändern sich bei einer Punktspiegelung am Ursprung beide Koordinaten? - Welche Vorzeichen haben \(x\) und \(g(x)\) bei positivem beziehungsweise negativem \(x\)?

1. Es gilt \(g(-x)=-\frac{9}{-x}=\frac{9}{x}=-g(x)\). 2. Die Beziehung \(g(-x)=-g(x)\) für alle \(x\neq0\) zeigt die Punktsymmetrie des Graphen zum Koordinatenursprung. 3. Zum Punkt \(P(3\mid-3)\) gehört \(P'(-3\mid3)\). Die Probe ergibt \(g(-3)=-\frac{9}{-3}=3\). 4. Die Äste liegen im II. und IV. Quadranten. Diese beiden Bereiche werden durch eine Punktspiegelung am Ursprung ineinander überführt.

a) \(g(-x)=\frac{9}{x}=-g(x)\) b) Daher ist der Graph punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. c) \(P'(-3\mid3)\); \(g(-3)=3\) d) II. und IV. Quadrant; sie werden durch die Punktspiegelung am Ursprung ineinander überführt.

- Überlege dir zuerst, für welche Werte von \(x\) die Funktion überhaupt definiert ist. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du \(x\) durch \(-x\) ersetzt? - Erinnerst du dich an die formalen Bedingungen für Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse und Punktsymmetrie zum Ursprung? - Untersuche, ob \(f(-x) = f(x)\) oder \(f(-x) = -f(x)\) gilt.

1. Prüfung der Definitionsmenge: Da der Radikand \(x^2 + 5\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) stets größer als Null ist, gilt \(D_f = \mathbb{R}\). Die Definitionsmenge ist somit symmetrisch bezüglich des Ursprungs. 2. Berechnung von \(f(-x)\): Einsetzen von \(-x\) in den Funktionsterm liefert \(f(-x) = (-x)^2 \cdot \sqrt{(-x)^2 + 5}\). 3. Vereinfachung: Da \((-x)^2 = x^2\) gilt, lässt sich der Ausdruck zu \(f(-x) = x^2 \cdot \sqrt{x^2 + 5}\) vereinfachen. 4. Vergleich mit der Ausgangsfunktion: Es gilt \(f(-x) = f(x)\). 5. Ergebnis: Die Bedingung für Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse ist erfüllt.

Der Graph der Funktion \(f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

- Überlege dir, welche Exponenten bei einer punktsymmetrischen ganzrationalen Funktion vorkommen dürfen. - Wie muss der Parameter gewählt werden, damit die „störenden“ Terme wegfallen? - Kannst du ein \(x\) ausklammern, um die Nullstellen einfacher zu finden?

1. Damit der Graph einer ganzrationalen Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist, dürfen nur ungerade Exponenten bei \(x\) vorkommen. Der Koeffizient des quadratischen Terms muss also null sein: \(k - 5 = 0 \Rightarrow k = 5\). 2. Die Funktion lautet somit \(f(x) = x^3 - 36x\). Die Symmetrieart ist Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung. 3. Zur Berechnung der Nullstellen wird die Gleichung \(x^3 - 36x = 0\) gelöst. Ausklammern von \(x\) ergibt \(x(x^2 - 36) = 0\). 4. Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) sowie \(x^2 = 36 \Rightarrow x_{2,3} = \pm 6\).

\(k = 5\); die Funktion ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Die Nullstellen sind \(x_1 = 0\), \(x_2 = 6\) und \(x_3 = -6\).

- Welche Bedingung muss für die Exponenten einer ganzrationalen Funktion gelten, damit Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse vorliegt? - Suche den Term, der die Symmetrie verhindert, und setze seinen Koeffizienten auf null. - Beim Lösen der Gleichung für die Nullstellen: Denke daran, dass es bei geraden Wurzeln zwei reelle Lösungen geben kann.

1. Eine ganzrationale Funktion ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, wenn sie nur gerade Exponenten von \(x\) enthält (der konstante Term zählt als \(x^0\)). Der lineare Term muss verschwinden: \(a + 1 = 0 \Rightarrow a = -1\). 2. Die Funktion lautet \(g(x) = x^4 - 81\). Die Symmetrieart ist Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse. 3. Zur Bestimmung der Nullstellen wird \(x^4 - 81 = 0\) gesetzt. Dies führt auf \(x^4 = 81\). 4. Durch Ziehen der vierten Wurzel ergeben sich die reellen Lösungen \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\).

\(a = -1\); die Funktion ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Die Nullstellen sind \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\).

- Prüfe für jede Funktion, wie sich der Term beim Ersetzen von \(x\) durch \(-x\) verändert. - Welche der drei Funktionen ist ungerade und muss daher zum Ursprung punktsymmetrisch sein? - Für die beiden geraden Funktionen hilft ein einfacher Funktionswert, um ihre Graphen zu unterscheiden.

1. Für \(f\) gilt \(f(-x)=\frac{-4x}{x^2+2}=-f(x)\). Der Graph ist daher punktsymmetrisch zum Ursprung. Das trifft auf Graph \(r\) zu. 2. Für \(g\) gilt wegen \(\cos(-0{,}5x)=\cos(0{,}5x)\): \(g(-x)=g(x)\). Außerdem ist \(g(0)=0\). Unter den achsensymmetrischen Graphen ist daher \(p\) der passende Graph. 3. Für \(h\) gilt \(h(-x)=h(x)\). Zudem ist \(h(0)=2\). Damit gehört \(h\) zu Graph \(q\).

\(f\rightarrow r\), \(g\rightarrow p\), \(h\rightarrow q\).

- Überlege dir, welche Bedingung für die Koordinaten eines Punktes gilt, wenn er an der \(y\)-Achse gespiegelt wird. - Wie verändert sich ein Funktionsterm, wenn man jedes \(x\) durch \(-x\) ersetzt? - Unterscheide genau, ob eine Eigenschaft für eine einzelne Funktion oder für das Verhältnis zweier Funktionen zueinander beschrieben wird.

1. Nachweis der Achsensymmetrie von \(f\): Prüfung der Bedingung \(f(-x) = f(x)\). Berechnung: \(f(-x) = 0{,}25 \cdot (-x)^4 - 2 \cdot (-x)^2 + 1 = 0{,}25x^4 - 2x^2 + 1 = f(x)\). Das Kriterium ist erfüllt. 2. Nachweis der Symmetrie zueinander für \(g\) und \(h\): Prüfung der Bedingung \(h(x) = g(-x)\). Berechnung: \(g(-x) = (-x)^3 + 2 = -x^3 + 2 = h(x)\). Die Graphen gehen durch Spiegelung an der \(y\)-Achse ineinander über. 3. Überprüfung der Eigensymmetrie von \(g\): Prüfung von \(g(-x) = g(x)\). Da \(g(-x) = -x^3 + 2\) und \(g(x) = x^3 + 2\), gilt \(g(-x) \neq g(x)\) (außer für \(x=0\)). Somit ist der Graph von \(g\) nicht achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

a) \(f(-x) = 0{,}25(-x)^4 - 2(-x)^2 + 1 = 0{,}25x^4 - 2x^2 + 1 = f(x)\). b) \(g(-x) = (-x)^3 + 2 = -x^3 + 2 = h(x)\). c) \(g(-x) = -x^3 + 2 \neq x^3 + 2 = g(x)\).

- Überprüfe, ob \(f(-x) = f(x)\) oder \(f(-x) = -f(x)\) gilt. - Hilft es dir, die Klammern zuerst aufzulösen? - Achte bei Produkten darauf, wie sich das Vorzeichen beim Ersetzen von \(x\) durch \(-x\) in jedem einzelnen Faktor ändert. - Ein einfaches Gegenbeispiel durch Einsetzen von Zahlen (z. B. \(x=2\) und \(x=-2\)) kann Symmetrien oft schnell ausschließen.

1. Untersuchung von \(f\): Durch Ausmultiplizieren oder Einsetzen von \(-x\) ergibt sich \(f(-x) = (-x) \cdot ((-x) - 2) \cdot ((-x) + 2) = -x \cdot (-x - 2) \cdot (-x + 2) = -x \cdot (-(x + 2)) \cdot (-(x - 2)) = -x \cdot (x + 2) \cdot (x - 2) = -f(x)\). Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Untersuchung von \(g\): Ersetzen von \(x\) durch \(-x\) liefert \(g(-x) = ((-x)^2 - 9) \cdot ((-x)^2 + 1) = (x^2 - 9) \cdot (x^2 + 1) = g(x)\). Da nur gerade Potenzen von \(x\) auftreten (nach Ausmultiplizieren \(x^4 - 8x^2 - 9\)), ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. Untersuchung von \(h\): Es gilt \(h(-x) = (-x - 1)^2 \cdot (-x + 1) = (-(x + 1))^2 \cdot (-(x - 1)) = -(x + 1)^2 \cdot (x - 1)\). Ein Vergleich mit \(h(x) = (x - 1)^2 \cdot (x + 1)\) zeigt, dass weder \(h(-x) = h(x)\) noch \(h(-x) = -h(x)\) allgemein erfüllt ist. Zum Beispiel gilt \(h(2) = 3\) und \(h(-2) = -9\); damit ist weder \(h(-2) = h(2)\) noch \(h(-2) = -h(2)\) erfüllt. Der Graph besitzt keine der beiden Symmetrien.

a) Punktsymmetrisch zum Ursprung b) Achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse c) Weder achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung

- Prüfe die Symmetriebedingung direkt, indem du im gesamten Term \(x\) durch \(-x\) ersetzt. - Welche geometrische Symmetrie gehört zur Beziehung \(g(-x)=-g(x)\)? - Nutze die beiden gegebenen Punkte jeweils als Bedingung für denselben Funktionsterm und vergleiche die entstehenden Beziehungen.

1. Es gilt \(g(-x)=a(-x)+\frac{b}{-x}=-ax-\frac{b}{x}=-(ax+\frac{b}{x})=-g(x)\). 2. Daher ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. 3. Aus \(P(1|5)\) folgt \(a+b=5\). Aus \(Q(2|8{,}5)\) folgt \(2a+\frac{b}{2}=8{,}5\). Daraus erhält man \(a=4\) und \(b=1\).

1. \(g(-x)=-g(x)\). 2. Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. 3. \(a=4\), \(b=1\).

- Achte bei ganzrationalen Funktionen auf die Exponenten der Variablen \(x\). - Was bedeutet es für die Symmetrie, wenn eine konstante Zahl (wie \(+3\)) am Ende steht? - Denke daran, dass Brüche wie \(\frac{1}{x}\) auch als Potenz mit negativem Exponenten geschrieben werden können. - Überprüfe Klammerausdrücke, indem du sie zuerst ausmultiplizierst.

1. Bestimmung der Symmetrie durch Analyse der Exponenten (bei ganzrationalen Funktionen) bzw. Einsetzen von \(-x\). 2. Achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse (nur gerade Exponenten): \(f(x) = 2x^4 - x^2 + 3\) (A), \(f(x) = x^6 + 1\) (M), \(f(x) = x^{10} - 5\) (E), \(f(x) = 7x^2\) (L), \(f(x) = 1 - x^2\) (S). Buchstaben: A, M, E, L, S; passend umgeordnet ergibt sich „AMSEL“. 3. Punktsymmetrisch zum Ursprung (nur ungerade Exponenten): \(f(x) = x^5 - 2x\) (M), \(f(x) = \frac{2}{x}\) (E), \(f(x) = 4x^3\) (I), \(f(x) = x^7 + x^5\) (S), \(f(x) = x^9\) (E). Buchstaben: M, E, I, S, E; daraus ergibt sich „MEISE“. 4. Keine dieser Symmetrien (gemischte Exponenten oder Verschiebungen): \(f(x) = x^2 + x\) (B), \(f(x) = x^4 + x^3\) (I), \(f(x) = (x+3)^2\) (R), \(f(x) = x - 5\) (K), \(f(x) = x^3 - x + 2\) (E). Buchstaben: B, I, R, K, E; daraus ergibt sich „BIRKE“.

Achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse: „AMSEL“. Punktsymmetrisch zum Ursprung: „MEISE“. Keine dieser Symmetrien: „BIRKE“.

- Was bedeutet Punktsymmetrie zum Ursprung für die Funktionswerte \(f(x)\) und \(f(-x)\)? - Setze einen speziellen Wert wie \(x=0\) oder \(x=3\) in die Symmetriebedingung ein. - Kombiniere die algebraischen Bedingungen für beide Symmetriearten. - Überlege, was passiert, wenn eine Zahl gleichzeitig ihrem Negativen entsprechen muss.

1. Punktsymmetrie zum Ursprung erfordert \(f(-x) = -f(x)\). Setzt man \(x = 0\) ein, erhält man \(f(-0) = -f(0)\), woraus \(f(0) = -f(0)\) folgt. Durch Addition von \(f(0)\) ergibt sich \(2f(0) = 0\), also \(f(0) = 0\). 2. Für Punktsymmetrie zum Ursprung müsste \(g(-x) = -g(x)\) gelten. Mit \(x = 3\) müsste also \(g(-3) = -g(3)\) sein. Da \(g(-3) = 4\) und \(g(3) = 4\), müsste \(4 = -4\) gelten, was ein Widerspruch ist. 3. Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse bedeutet \(f(-x) = f(x)\), Punktsymmetrie zum Ursprung bedeutet \(f(-x) = -f(x)\). Gleichsetzen der rechten Seiten ergibt \(f(x) = -f(x)\). Daraus folgt \(2f(x) = 0\) und somit \(f(x) = 0\) für alle \(x\) im Definitionsbereich.

a) Aus \(f(-x) = -f(x)\) folgt für \(x=0\): \(f(0) = -f(0) \implies 2f(0) = 0 \implies f(0) = 0\). b) Es müsste \(g(3) = -g(-3) = -4\) gelten, aber es ist \(g(3) = 4\). c) \(f(x) = f(-x) = -f(x) \implies 2f(x) = 0 \implies f(x) = 0\).

- Wähle für a) eine besonders einfache achsensymmetrische Funktion und eine von null verschiedene Verschiebung. - Welche Gleichung muss eine Funktion erfüllen, damit ihr Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist? - Setze für b) die bekannte Beziehung von \(g(-x)\) in \(k(-x)\) ein und vergleiche das Ergebnis mit \(-k(x)\).

1. Für a) kann zum Beispiel \(f(x)=x^2\) und \(c=1\) gewählt werden. Dann ist \(h(x)=(x-1)^2\). Es gilt etwa \(h(1)=0\) und \(h(-1)=4\). Damit ist \(h(-1)\neq h(1)\), also ist der Graph nicht achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Für b) gilt wegen der Punktsymmetrie von \(g\): \(g(-x)=-g(x)\). Deshalb ist \(k(-x)=-g(x)+d\), während \(-k(x)=-g(x)-d\) gilt. 3. Die Gleichheit \(k(-x)=-k(x)\) würde \(d=-d\) verlangen. Das ist für \(d\neq0\) unmöglich. Der verschobene Graph ist daher nicht mehr punktsymmetrisch zum Ursprung.

a) Zum Beispiel zeigt \(h(x)=(x-1)^2\), dass eine horizontale Verschiebung die Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse im Allgemeinen aufhebt. b) Nein. Für \(d\neq0\) gilt im Allgemeinen \(k(-x)\neq-k(x)\).

- Erinnere dich an die Symmetrieeigenschaften der Grundfunktionen Sinus und Kosinus. - Wie verhalten sich Produkte oder Quotienten von zwei symmetrischen Funktionen? - Bei der Teilaufgabe c) hilft ein Blick auf die Exponenten der Potenzglieder. - Wann verschwindet ein Summand in einer Funktionsgleichung?

1. Zu \(p(x)\): Es gilt \(p(-x) = \cos(-x) + (-x)^2\). Da \(\cos(-x) = \cos(x)\) und \((-x)^2 = x^2\), folgt \(p(-x) = \cos(x) + x^2 = p(x)\). Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Zu \(q(x)\): Es gilt \(q(-x) = \frac{\sin(-x)}{(-x)^3}\). Mit \(\sin(-x) = -\sin(x)\) und \((-x)^3 = -x^3\) folgt \(q(-x) = \frac{-\sin(x)}{-x^3} = \frac{\sin(x)}{x^3} = q(x)\). Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. Zu \(f_a(x)\): Damit Punktsymmetrie zum Ursprung vorliegt, muss \(f_a(-x) = -f_a(x)\) für alle \(x\) gelten. Bei ganzrationalen Funktionen bedeutet dies, dass nur ungerade Exponenten auftreten dürfen. Der Koeffizient des quadratischen Gliedes muss also Null sein: \(a + 1 = 0 \Rightarrow a = -1\). Für \(a = -1\) ergibt sich \(f_{-1}(x) = x^3 + x\), was punktsymmetrisch ist.

a) Achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse b) Achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse c) \(a = -1\)

- Prüfe die Bedingung für Punktsymmetrie zum Ursprung auf der Ebene des Funktionsterms. - Welche Symmetrie besitzt der Zähler unabhängig von \(k\)? - Überlege, welche Form der Nenner haben müsste, damit sich beim Ersetzen von \(x\) durch \(-x\) das Vorzeichen des gesamten Bruchs ändert.

1. Für Punktsymmetrie zum Ursprung muss \(g_k(-x)=-g_k(x)\) gelten. 2. Der Zähler \(x^2+4\) ist gerade. Damit der gesamte Quotient ungerade wird, muss der Nenner \(x-k+5\) ungerade sein. 3. Ein linearer Term \(x+c\) ist genau dann ungerade, wenn \(c=0\). Daher muss \(-k+5=0\) gelten. 4. Es folgt \(k=5\). Dieser Wert ist eindeutig.

Es gibt genau einen passenden Wert: \(k=5\).

- Welche Eigenschaft muss der Funktionswert an der Stelle \(x = 0\) bei einer zum Ursprung punktsymmetrischen Funktion haben? - Wie hängen Sinus- und Kosinusfunktionen durch eine Verschiebung zusammen? - Erinnere dich an die Definition ungerader Funktionen. - Überlege dir, an welchen Stellen die Kosinusfunktion ihre Nullstellen hat.

1. Für Punktsymmetrie zum Ursprung muss die Bedingung \(f(-x) = -f(x)\) für alle \(x\) erfüllt sein. 2. Eine notwendige Bedingung für stetige, zum Ursprung punktsymmetrische Funktionen ist \(f(0) = 0\). 3. Einsetzen von \(x = 0\) in die Funktionsgleichung: \(f(0) = \cos(0 + c) = \cos(c) = 0\). 4. Bestimmung der Nullstellen der Kosinusfunktion im Intervall \([0; 2\pi]\): \(c_1 = \frac{\pi}{2}\) und \(c_2 = \frac{3\pi}{2}\). 5. Überprüfung durch Einsetzen: Für \(c = \frac{\pi}{2}\) ergibt sich \(f(x) = \cos(x + \frac{\pi}{2}) = -\sin(x)\) (ungerade). Für \(c = \frac{3\pi}{2}\) ergibt sich \(f(x) = \cos(x + \frac{3\pi}{2}) = \sin(x)\) (ungerade).

\(c \in \left\{ \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \right\}\)

- Wo liegen bei einem Sinusgraphen die senkrechten Symmetrieachsen relativ zu Hoch- und Tiefpunkten? - Welchen Wert hat das Argument \(\frac{1}{2}x+c\) auf der \(y\)-Achse? - Für welche Phasenlage liegt bei \(x=0\) ein Hoch- oder Tiefpunkt des Sinusgraphen? - Prüfe deine gefundenen Werte durch den Zusammenhang zwischen Sinus und Kosinus.

1. Der Graph der Sinusfunktion besitzt senkrechte Symmetrieachsen durch seine Hoch- und Tiefpunkte. In der Argumentvariable liegen diese bei \(\frac{\pi}{2}+k\pi\) mit \(k\in\mathbb{Z}\). 2. Die \(y\)-Achse entspricht \(x=0\). Dort hat das Argument von \(f\) den Wert \(c\). Damit die \(y\)-Achse eine Symmetrieachse des verschobenen Sinusgraphen ist, muss daher \(c=\frac{\pi}{2}+k\pi\) gelten. 3. Im Intervall \([0;2\pi]\) ergeben sich \(c=\frac{\pi}{2}\) und \(c=\frac{3\pi}{2}\). 4. Zur Kontrolle gilt für diese beiden Fälle \(f(x)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)\) beziehungsweise \(f(x)=-\cos\left(\frac{x}{2}\right)\). Beide Graphen sind achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

\(c=\frac{\pi}{2}\) oder \(c=\frac{3\pi}{2}\).

- Welche Eigenschaft muss das Symmetriezentrum einer Funktion haben, damit sie punktsymmetrisch zum Ursprung ist? - Erinnere dich an die algebraische Definition für ungerade Funktionen. - Was passiert mit den Funktionswerten, wenn \(x\) sehr groß wird? - Wie hängen die Asymptoten einer Funktion mit ihrem Symmetriezentrum zusammen?

1. Das Symmetriezentrum einer Hyperbel der Form \(y = \frac{a}{x-x_0} + y_0\) liegt im Punkt \((x_0|y_0)\). Für \(f(x) = \frac{4}{x-(-b)} + c\) ergibt sich das Symmetriezentrum \(Z(-b|c)\). 2. Für Punktsymmetrie zum Ursprung muss \(f(-x) = -f(x)\) für alle \(x\) des Definitionsbereichs gelten. Einsetzen führt zu \(\frac{4}{-x+b} + c = -\left(\frac{4}{x+b} + c\right)\), also \(\frac{4}{b-x} + c = -\frac{4}{x+b} - c\). 3. Betrachtet man das Verhalten für \(x \to \infty\), streben die Brüche gegen \(0\). Es verbleibt die Bedingung \(c = -c\), was nur für \(c = 0\) erfüllt ist. Somit ist für \(c \neq 0\) die Symmetriebedingung verletzt.

1. Das Symmetriezentrum ist \(Z(-b|c)\). 2. Die Bedingung \(f(-x) = -f(x)\) führt für \(x \to \infty\) auf \(c = -c\), was \(c = 0\) erfordert. Ist \(c \neq 0\), kann die Gleichung nicht für alle \(x\) erfüllt sein.

- Welche Bedingung muss der Radikand erfüllen, und welche Definitionsmenge ergibt sich daraus? - Prüfe für die ursprüngliche Funktion die Bedingung \(h(-x)=h(x)\). - Wie verschiebt sich eine Definitionsmenge, wenn der gesamte Graph um zwei Einheiten nach rechts verschoben wird? - Welche Symmetrie müsste die Definitionsmenge besitzen, wenn der Graph zur \(y\)-Achse symmetrisch wäre?

1. Für die Wurzel muss \(9-x^2\ge 0\) gelten. Daraus folgt \(-3\le x\le 3\), also \(D_h=[-3;3]\). 2. Für jedes \(x\in D_h\) gilt \(h(-x)=\sqrt{9-(-x)^2}+2=\sqrt{9-x^2}+2=h(x)\). Damit ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. Die Verschiebung um zwei Einheiten nach rechts ergibt \(g(x)=h(x-2)=\sqrt{9-(x-2)^2}+2\). Der ursprüngliche Definitionsbereich \([-3;3]\) verschiebt sich zu \(D_g=[-1;5]\). 4. Für Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse müsste die Definitionsmenge bezüglich \(0\) symmetrisch sein: Zu jedem zulässigen \(x\) müsste auch \(-x\) zulässig sein. Hier ist \(5\in D_g\), aber \(-5\notin D_g\). Daher kann der Graph von \(g\) nicht achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse sein.

1. \(D_h=[-3;3]\) und \(h(-x)=h(x)\); daher ist \(G_h\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Nach der Verschiebung gilt \(D_g=[-1;5]\). Diese Menge ist nicht symmetrisch bezüglich \(0\), also kann \(G_g\) nicht achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse sein.

- Welche Form muss ein Funktionsterm haben, damit er achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist? - Was bedeutet eine waagrechte Asymptote für das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen \(x\)-Werten? - Wie hängen die Grade von Zähler und Nenner bei einer waagrechten Asymptote zusammen? - Wie nutzt man die Koordinaten eines Punktes, um Parameter in einem Funktionsterm zu bestimmen?

1. Ein einfacher Ansatz für eine zur \(y\)-Achse achsensymmetrische rationale Funktion verwendet im Zähler und Nenner nur gerade Potenzen von \(x\): \(f(x) = \frac{ax^2 + b}{x^2 + c}\). 2. Damit die Gerade \(y = 3\) eine waagrechte Asymptote ist, muss der Grenzwert für \(x \to \infty\) den Wert \(3\) ergeben. Dies wird erreicht, wenn das Verhältnis der Koeffizienten der höchsten Potenzen \(3\) ist, also \(a = 3\) bei einem Nennerkoeffizienten von \(1\). 3. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \(y = 1\) bedeutet \(f(0) = 1\). Einsetzen in den Ansatz mit \(a = 3\) ergibt \(\frac{3 \cdot 0^2 + b}{0^2 + c} = \frac{b}{c} = 1\), woraus \(b = c\) folgt. Wählt man beispielsweise \(b = c = 1\), erhält man den Term \(f(x) = \frac{3x^2 + 1}{x^2 + 1}\).

Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x) = \frac{3x^2 + 1}{x^2 + 1}\).

- Welche Potenzen dürfen in einem ganzrationalen Term vorkommen, wenn der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist? - Übersetze die Nullstelle und den gegebenen Punkt jeweils in eine Bedingung an den Funktionsterm. - Prüfe, ob diese beiden Bedingungen die noch unbekannten Koeffizienten eindeutig festlegen.

1. Wegen der Punktsymmetrie zum Ursprung hat ein passender ganzrationaler Term dritten Grades die Form \(g(x)=ax^3+bx\). 2. Aus \(g(2)=0\) folgt \(8a+2b=0\), also \(4a+b=0\). 3. Aus \(g(1)=6\) folgt \(a+b=6\). 4. Die beiden Bedingungen liefern \(a=-2\) und \(b=8\). 5. Daher ist \(g(x)=-2x^3+8x\).

\(g(x)=-2x^3+8x\).

- Schreibe für beide gefragten Symmetriearten zunächst die passende Beziehung zwischen \(f(-x)\) und \(f(x)\) auf. - Vergleiche danach die Koeffizienten der Potenzen von \(x\). - Achte bei der zweiten Symmetriefrage besonders auf Terme, deren Koeffizient gar nicht vom Parameter abhängt.

1. Für Punktsymmetrie zum Ursprung muss \(f(-x)=-f(x)\) gelten. Es ist \(f(-x)=-x^3+(a+2)x^2-bx\). 2. Der Vergleich mit \(-f(x)=-x^3-(a+2)x^2-bx\) zeigt, dass \(a+2=0\) gelten muss. Daher ist \(a=-2\), während \(b\) beliebig bleibt. 3. Für Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse müsste \(f(-x)=f(x)\) gelten. Der feste Term \(x^3\) würde dafür gleichzeitig sein Vorzeichen wechseln und unverändert bleiben müssen. Das ist unmöglich.

Punktsymmetrie zum Ursprung liegt genau für \((a;b)=(-2;b)\) mit beliebigem \(b\in\mathbb{R}\) vor. Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse ist für kein Wertepaar möglich.

- Was bedeutet Achsensymmetrie mathematisch für die Funktionswerte an den Stellen \(x\) und \(-x\)? - Wenn du eine Nullstelle gefunden hast, was sagt dir die Symmetrie über eine weitere Stelle aus? - Wie viele Nullstellen hat man normalerweise, wenn sie paarweise auftreten? Wie kann daraus eine ungerade Zahl werden? - Erinnere dich an die Form von Potenzfunktionen mit geraden Exponenten.

1. Für eine zur \(y\)-Achse achsensymmetrische Funktion gilt die Bedingung \(f(x) = f(-x)\) für alle \(x\). Wenn \(x_0\) eine Nullstelle ist, gilt \(f(x_0) = 0\). Einsetzen in die Symmetriebedingung ergibt \(f(-x_0) = f(x_0) = 0\). Somit ist auch \(-x_0\) eine Nullstelle. 2. Nullstellen ungleich Null treten aufgrund der Symmetrie immer in Paaren \((x_0; -x_0)\) auf. Damit eine ungerade Gesamtzahl von drei Nullstellen erreicht wird, muss eine der Nullstellen ihr eigener Partner sein. Dies ist nur für \(x = 0\) möglich, da \(0 = -0\) gilt. Die gesuchte Nullstelle ist somit \(x = 0\). 3. Eine Funktion mit den Nullstellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = -1\) erfüllt die Bedingung. Da die Nullstelle bei \(x = 0\) für die Achsensymmetrie eine gerade Vielfachheit haben muss (damit kein Vorzeichenwechsel stattfindet oder die Symmetrie gewahrt bleibt), ist ein möglicher Term \(f(x) = x^2 \cdot (x - 1) \cdot (x + 1)\), was ausmultipliziert \(f(x) = x^4 - x^2\) ergibt.

1. Aus \(f(x) = f(-x)\) folgt \(f(x_0) = 0 \implies f(-x_0) = 0\). 2. Die Nullstelle ist \(x = 0\), da alle anderen Nullstellen paarweise auftreten und nur so eine ungerade Anzahl möglich ist. 3. Beispiel: \(f(x) = x^4 - x^2\) (Nullstellen bei \(0\), \(1\) und \(-1\)).

- Setze den Wert \(x = 0\) in die Symmetriebedingung \(g(-x) = -g(x)\) ein. - Überlege dir, ob Nullstellen bei punktsymmetrischen Graphen allein oder in Gruppen auftreten. - Was passiert mit einem Punkt auf der einen Seite des Ursprungs, wenn er am Ursprung gespiegelt wird? - Welche besondere Rolle spielt der Punkt \((0|0)\) bei dieser Symmetrie?

1. Die Bedingung für Punktsymmetrie zum Ursprung lautet \(g(-x) = -g(x)\). Setzt man \(x = 0\) ein, folgt \(g(-0) = -g(0)\), also \(g(0) = -g(0)\). Addiert man auf beiden Seiten \(g(0)\), erhält man \(2g(0) = 0\), woraus \(g(0) = 0\) folgt. 2. Wie in Schritt 1 gezeigt, ist \(x = 0\) bei Punktsymmetrie immer eine Nullstelle. Jede weitere Nullstelle \(x_0 \neq 0\) besitzt aufgrund der Symmetrie eine Partner-Nullstelle bei \(-x_0\) (denn \(g(-x_0) = -g(x_0) = -0 = 0\)). Nullstellen außerhalb des Ursprungs treten also stets paarweise auf. Die Gesamtzahl der Nullstellen ist somit \(1\) (für den Ursprung) plus eine gerade Anzahl \(2k\). Dies ergibt immer eine ungerade Gesamtzahl (\(1, 3, 5, \dots\)). Die Zahl \(2\) ist gerade und daher unmöglich. 3. Aufgrund der Punktsymmetrie muss mit \(x = 4\) auch \(-4\) eine Nullstelle sein. Da es eine punktsymmetrische ganzrationale Funktion ist, muss zudem \(x = 0\) eine Nullstelle sein. Die Funktion hat also mindestens die drei Nullstellen \(\{-4; 0; 4\}\).

1. \(g(0) = -g(0) \implies 2g(0) = 0 \implies g(0) = 0\). 2. Eine Nullstelle liegt bei \(x=0\), alle weiteren treten als Paare \((a; -a)\) auf. Die Gesamtzahl ist daher stets ungerade. 3. Die weiteren notwendigen Nullstellen sind \(x = -4\) und \(x = 0\).

- Welche Bedingung müssen die Exponenten einer ganzrationalen Funktion erfüllen, damit Punktsymmetrie zum Ursprung vorliegt? - Was bedeutet es für die Koeffizienten der Terme mit geraden Exponenten, wenn diese im Funktionsterm nicht wirksam sein dürfen? - Wie kannst du die Information nutzen, dass ein bestimmter Punkt auf dem Graphen liegt?

1. Damit der Graph einer ganzrationalen Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist, dürfen im Funktionsterm nur Potenzen mit ungeraden Exponenten vorkommen. Daraus folgt für die Koeffizienten der geraden Exponenten: \(2a = 0\) und \(c = 0\). Somit ergibt sich \(a = 0\) und \(c = 0\). 2. Die Funktionsgleichung reduziert sich damit auf \(f(x) = (b-1)x^3 + 4x\). 3. Durch Einsetzen der Koordinaten des Punktes \(P(1|6)\) in die Funktionsgleichung erhält man: \(6 = (b-1) \cdot 1^3 + 4 \cdot 1\). 4. Vereinfachen der Gleichung: \(6 = b - 1 + 4\), also \(6 = b + 3\). 5. Lösen nach \(b\) ergibt \(b = 3\).

\(a = 0\), \(b = 3\) und \(c = 0\)

- Prüfe zuerst, ob die Definitionsmenge bezüglich \(0\) symmetrisch ist. - Ersetze anschließend in jedem Term \(x\) durch \(-x\) und vereinfache. - Vergleiche das Ergebnis jeweils sowohl mit dem ursprünglichen Funktionsterm als auch mit dessen negativem Term. - Welche Symmetrieeigenschaft der Sinusfunktion kennst du bereits?

1. Für \(f\) gilt \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}\). Diese Definitionsmenge ist symmetrisch bezüglich \(0\). Außerdem gilt \(f(-x)=\frac{(-x)^2+3}{(-x)^4}=\frac{x^2+3}{x^4}=f(x)\). Daher ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Für \(g\) gilt \(g(-x)=\sin(-x)=-\sin(x)=-g(x)\). Daher ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. 3. Für \(h\) gilt \(h(-x)=2^{-x}+2^x=h(x)\). Daher ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 4. Für \(k\) gilt \(k(-x)=-x^3+x+1\). Dieser Term ist weder gleich \(k(x)=x^3-x+1\) noch gleich \(-k(x)=-x^3+x-1\). Daher besitzt der Graph keine der beiden Symmetrien.

a) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse b) punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung c) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse d) weder achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse noch punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung

- Was passiert mit den Vorzeichen im Funktionsterm, wenn du jedes \(x\) durch \((-x)\) ersetzt? - Vergleiche den neuen Term \(f(-x)\) Schritt für Schritt mit dem ursprünglichen Term \(f(x)\). - Überlege dir, wie der Term \(-f(x)\) aussieht, indem du ein Minuszeichen vor den gesamten Bruch setzt. - Gibt es vielleicht einen bestimmten Zahlenwert, bei dem die Symmetriebedingung sofort scheitert?

1. Bestimmung des Terms für \(f(-x)\): \(f(-x) = \frac{(-x)^2 + 3(-x)}{(-x)^2 + 4} = \frac{x^2 - 3x}{x^2 + 4}\). 2. Prüfung auf Achsensymmetrie (\(f(-x) = f(x)\)): Der Vergleich \(\frac{x^2 - 3x}{x^2 + 4} = \frac{x^2 + 3x}{x^2 + 4}\) führt auf \(-3x = 3x\), was nur für \(x = 0\) wahr ist. Da die Bedingung nicht für alle \(x \in D_f\) gilt, liegt keine Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse vor. 3. Prüfung auf Punktsymmetrie (\(f(-x) = -f(x)\)): Der Vergleich \(\frac{x^2 - 3x}{x^2 + 4} = -\frac{x^2 + 3x}{x^2 + 4} = \frac{-x^2 - 3x}{x^2 + 4}\) führt auf \(x^2 = -x^2\), was nur für \(x = 0\) wahr ist. Da die Bedingung nicht für alle \(x \in D_f\) gilt, liegt keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor.

Der Graph \(G_f\) ist weder achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse noch punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

- Welche Symmetrie folgt daraus, dass im Funktionsterm nur gerade Exponenten vorkommen? - Was bedeutet diese Symmetrie für Lage und Typ der Extremstellen auf der linken Seite? - Wie verläuft der Graph wegen des positiven Leitkoeffizienten an beiden äußeren Enden? - Was müsste passieren, wenn zwei aufeinanderfolgende angegebene Extremstellen denselben Typ hätten, obwohl keine weitere Extremstelle dazwischen liegen darf?

1. Da nur gerade Exponenten vorkommen, gilt \(f(-x)=f(x)\). Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Deshalb treten die positiven Extremstellen gespiegelt mit demselben Typ auf. Zu \(x=1\) und \(x=2\) gehören also die Extremstellen \(x=-1\) und \(x=-2\). 3. Wegen des positiven Leitkoeffizienten und des geraden Grades gilt \(f(x)\to+\infty\) für \(x\to\pm\infty\). 4. Die äußerste positive Extremstelle \(x=2\) muss ein lokales Minimum sein. Wäre sie ein lokales Maximum, müsste der Graph rechts davon zunächst fallen und später wieder nach \(+\infty\) steigen; dabei entstünde eine weitere lokale Extremstelle, im Widerspruch zur Angabe. 5. Da zwischen den angegebenen Extremstellen keine weiteren liegen, wechseln sich Minimum und Maximum entlang des Graphen ab. Somit ist \(x=1\) ein lokales Maximum und \(x=0\) ein lokales Minimum. 6. Durch die Achsensymmetrie sind \(x=-1\) ebenfalls ein lokales Maximum und \(x=-2\) ein lokales Minimum.

a) Die weiteren Extremstellen liegen bei \(x=-1\) und \(x=-2\). b) Lokale Minima: \(x=-2\), \(x=0\), \(x=2\). Lokale Maxima: \(x=-1\), \(x=1\).

- Schau dir die Exponenten von \(x\) an. Welche besondere Symmetrie liegt hier vor? - Erinnere dich daran, wie sich ein Punkt \((x | y)\) bei einer Spiegelung am Ursprung verändert. - Wenn ein „Hügel“ (Maximum) am Ursprung gespiegelt wird, was entsteht dann auf der anderen Seite? - Überlege dir die Vorzeichen der Steigung kurz vor und nach einer Extremstelle und wie sich diese durch die Symmetrie ändern.

1. Die Funktion \(g\) weist nur ungerade Exponenten auf, woraus die Punktsymmetrie zum Ursprung folgt (\(g(-x) = -g(x)\)). 2. Bei Punktsymmetrie zum Ursprung besitzt die Funktion an der Stelle \(-x\) eine Extremstelle, wenn sie an der Stelle \(x\) eine hat. Die Extremstellen im Intervall \(]-\infty; 0[\) sind somit \(x_3 = -1\) und \(x_4 = -2\). 3. Die Punktsymmetrie bewirkt, dass sich der Typ des Extremums umkehrt: Ein lokales Maximum bei \(x\) wird zu einem lokalen Minimum bei \(-x\) und umgekehrt. 4. Da bei \(x_1 = 1\) ein lokales Maximum vorliegt, hat \(g\) bei \(x_3 = -1\) ein lokales Minimum. 5. Da bei \(x_2 = 2\) ein lokales Minimum vorliegt, hat \(g\) bei \(x_4 = -2\) ein lokales Maximum.

a) Die Extremstellen im Intervall \(]-\infty; 0[\) liegen bei \(x_3 = -1\) und \(x_4 = -2\). b) Bei \(x_3 = -1\) liegt ein lokales Minimum vor. Bei \(x_4 = -2\) liegt ein lokales Maximum vor. Begründung: Die Funktion \(g\) ist ungerade (\(g(-x) = -g(x)\)), ihr Graph ist also punktsymmetrisch zum Ursprung. Bei einer Punktspiegelung am Ursprung wird ein lokales Maximum zu einem lokalen Minimum an der gespiegelten Stelle und umgekehrt.

- Berechne für a) den vollständigen Ausdruck \(p(-x)\) und vergleiche ihn mit \(-p(x)\). - Bei b) liegt das vermutete Symmetriezentrum nicht im Ursprung; vergleiche deshalb die Funktionswerte relativ zur Höhe \(y=3\). - Formuliere die Bedingung so, dass die Abstände der Werte \(q(x)\) und \(q(-x)\) von \(3\) entgegengesetzt sind.

1. Es gilt \(p(-x)=\frac{1}{4}(-x)^5-2(-x)^3=-\frac{1}{4}x^5+2x^3=-p(x)\). Damit ist der Graph von \(p\) punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Für die verschobene Funktion gilt \(q(x)-3=p(x)\). 3. Außerdem ist \(q(-x)-3=p(-x)=-p(x)=-(q(x)-3)\). 4. Damit liegen die Funktionswerte bei \(x\) und \(-x\) jeweils gleich weit oberhalb beziehungsweise unterhalb von \(y=3\). Der Graph von \(q\) ist daher punktsymmetrisch zu \(P(0\mid3)\).

a) \(p(-x)=-p(x)\); der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. b) \(q(-x)-3=-(q(x)-3)\); der Graph ist punktsymmetrisch zu \(P(0\mid3)\).

- Prüfe, ob der kubische Term als dritte Potenz eines Binoms geschrieben werden kann. - Vergleiche anschließend Funktionswerte in gleichem horizontalem Abstand vom Punkt mit \(x\)-Koordinate \(2\). - Für Punktsymmetrie müssen diese beiden Funktionswerte entgegengesetzte Vorzeichen besitzen.

1. Der Funktionsterm lässt sich als \(g(x)=(x-2)^3\) schreiben. 2. Es gilt \(g(2+h)=h^3\). 3. Außerdem ist \(g(2-h)=(-h)^3=-h^3\). 4. Daher gilt \(g(2+h)=-g(2-h)\) für alle \(h\). Der Graph ist punktsymmetrisch zu \(P(2\mid0)\).

a) \(g(x)=(x-2)^3\). b) \(g(2+h)=h^3=-g(2-h)\); der Graph ist punktsymmetrisch zu \(P(2\mid0)\).

- Prüfe zuerst, ob der Definitionsbereich der Funktion symmetrisch zur Null liegt. - Setze \(-x\) anstelle von \(x\) in die Funktionsgleichung ein und vereinfache den Term so weit wie möglich. - Achte besonders auf das Verhalten von geraden und ungeraden Exponenten bei negativem Vorzeichen. - Vergleiche das Ergebnis deiner Umformung mit der ursprünglichen Funktion \(g(x)\).

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Der Nenner darf nicht null sein (\(x \neq 0\)), und der Radikand im Zähler muss nicht negativ sein (\(x^4 + 1 \ge 0\), was immer erfüllt ist). Damit ist \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{0\}\), was eine symmetrische Menge bezüglich \(x = 0\) darstellt. 2. Berechnung von \(g(-x)\): Ersetzen von \(x\) durch \(-x\) ergibt \(g(-x) = \frac{\sqrt{(-x)^4 + 1}}{(-x)^3}\). 3. Termumformung: Unter Ausnutzung der Potenzgesetze gilt \((-x)^4 = x^4\) und \((-x)^3 = -x^3\). Dies führt auf \(g(-x) = \frac{\sqrt{x^4 + 1}}{-x^3}\). 4. Vergleich: Der Term lässt sich als \(g(-x) = -\frac{\sqrt{x^4 + 1}}{x^3} = -g(x)\) schreiben. 5. Ergebnis: Da die Bedingung \(g(-x) = -g(x)\) für alle \(x \in D_g\) erfüllt ist, liegt Punktsymmetrie zum Ursprung vor.

Der Graph der Funktion \(g\) ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

- Wie findest du die Definitionslücke und das Verhalten der Funktionswerte für sehr große \(x\)? - Welche Koordinaten hat der Punkt, in dem sich die beiden Geraden aus Aufgabenteil a) schneiden? - Erinnere dich an die Bedingung für Punktsymmetrie bezüglich eines beliebigen Punktes \(S(x_0\mid y_0)\).

1. Bei \(x=1\) wird der Nenner null. Wegen \(a\neq3\) ist der Zähler dort ungleich null. Daher ist \(x=1\) die senkrechte Asymptote. 2. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(f_a(x)\to a\). Die waagrechte Asymptote lautet \(y=a\). 3. Der Schnittpunkt der Asymptoten ist \(S(1\mid a)\). 4. Für \(h\neq0\) gilt \(f_a(1+h)=a+\frac{a-3}{h}\) und \(f_a(1-h)=a-\frac{a-3}{h}\). 5. Damit ist \(f_a(1+h)+f_a(1-h)=2a\). Dies ist die Punktsymmetriebedingung zum Punkt \(S(1\mid a)\).

a) Senkrechte Asymptote: \(x=1\); waagrechte Asymptote: \(y=a\) b) \(S(1\mid a)\) ist das Symmetriezentrum, denn \(f_a(1+h)+f_a(1-h)=2a\) für alle zulässigen \(h\).

- Vergleiche für a) jeweils den Funktionsterm bei \(x\) und bei \(-x\). - Nutze für b) nur die bereits gefundenen Beziehungen für \(f(-x)\) und \(g(-x)\). - Bei Punktsymmetrie zum Ursprung müssen Funktionswerte an entgegengesetzten \(x\)-Stellen entgegengesetzte Vorzeichen besitzen.

1. Es gilt \(f(-x)=2\sin(-x)=-2\sin(x)=-f(x)\) und \(g(-x)=\sin(-2x)=-\sin(2x)=-g(x)\). Beide Graphen sind daher punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Aus \(h=f+g\) folgt \(h(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-h(x)\). Also ist auch der Graph von \(h\) punktsymmetrisch zum Ursprung. 3. Für \(x=\frac{\pi}{2}\) gilt \(f=2\), \(g=0\), \(h=2\). Für \(x=-\frac{\pi}{2}\) gilt \(f=-2\), \(g=0\), \(h=-2\). Die Werte bestätigen die Punktsymmetrie.

a) Beide Graphen sind punktsymmetrisch zum Ursprung. b) Auch der Graph von \(h\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung. c) Bei \(x=\frac{\pi}{2}\): \(f=2\), \(g=0\), \(h=2\); bei \(x=-\frac{\pi}{2}\): \(f=-2\), \(g=0\), \(h=-2\).

- Setze für a) die bekannten Beziehungen für eine gerade beziehungsweise ungerade Funktion in \(h(-x)\) ein. - Welchen Funktionswert muss eine ungerade Funktion im Ursprung besitzen? - Eine Nullstelle der Summe entsteht dort, wo sich die beiden Summanden gegenseitig aufheben.

1. Es gilt \(h(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)\). Das ist im Allgemeinen weder \(h(x)\) noch \(-h(x)\). Daher ist \(h\) nicht achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Da \(g\) ungerade ist, gilt \(g(0)=0\). Aus der Abbildung liest man \(f(0)=0\) ab. Somit ist \(h(0)=0\). 3. Eine Nullstelle von \(h\) erfüllt \(f(x)+g(x)=0\), also \(f(x)=-g(x)\). Man sucht daher eine Stelle, an der die beiden Funktionswerte betragsgleich und entgegengesetzt sind. Neben \(x=0\) ist dies bei \(x=-2{,}5\) der Fall.

a) Nein, \(h\) ist nicht achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. b) \(h(0)=0\). c) Gesucht ist \(f(x)=-g(x)\); die weitere Nullstelle liegt bei \(x=-2{,}5\).

- Prüfe zuerst, wie sich jeder Term beim Ersetzen von \(x\) durch \(-x\) verändert. - Welcher Graph muss wegen Ursprungssymmetrie sofort eindeutig sein? - Die beiden verbleibenden Graphen sind beide zur \(y\)-Achse symmetrisch. Welcher davon bleibt periodisch und welcher nähert sich der \(x\)-Achse?

1. Für \(a\) gilt \(a(-x)=-a(x)\). Der Graph ist daher punktsymmetrisch zum Ursprung. Das trifft nur auf Graph \(p\) zu. 2. Für \(b\) gilt \(b(-x)=b(x)\). Der Kosinusgraph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und oszilliert auch für große \(x\) weiter zwischen \(-1\) und \(1\). Das passt zu Graph \(q\). 3. Für \(c\) gilt \(c(-x)=0{,}5^{(-x)^2}=0{,}5^{x^2}=c(x)\). Der Graph ist also ebenfalls achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Weil \(x^2\) für große \(|x|\) wächst und die Basis \(0{,}5\) zwischen \(0\) und \(1\) liegt, nähert sich \(c(x)\) der \(0\). Das passt zu Graph \(r\).

\(a\rightarrow p\), \(b\rightarrow q\), \(c\rightarrow r\).

- Welche Potenzen sind mit Punktsymmetrie zum Ursprung vereinbar? - Übersetze jeden der beiden markierten Punkte in eine Bedingung an deinen Funktionsterm. - Prüfe, ob die beiden Bedingungen die unbekannten Koeffizienten eindeutig bestimmen.

1. Wegen der Punktsymmetrie zum Ursprung hat ein passender Term die Form \(g(x)=ax^3+bx\). 2. Aus \(Q(2|0)\) folgt \(8a+2b=0\), also \(4a+b=0\). 3. Aus \(P(1|-3)\) folgt \(a+b=-3\). 4. Daraus erhält man \(a=1\) und \(b=-4\). 5. Somit lautet die Funktionsgleichung \(g(x)=x^3-4x\).

\(g(x)=x^3-4x\).

- Vergleiche die Lage des Maximums der beiden Funktionen. - Was passiert mit dem Wert des Bruchs, wenn die Variable \(x\) extrem große positive oder negative Werte annimmt? - Denke an die allgemeine Symmetriebedingung für Graphen, die horizontal verschoben wurden.

1. Es gilt \(f(x) = 2g(x-5) + 1\). Der Graph entsteht somit durch eine Verschiebung um 5 Einheiten nach rechts, eine Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor 2 und eine Verschiebung um 1 Einheit nach oben. 2. Für \(x \to \pm \infty\) geht der Nenner \(1 + (x-5)^2\) gegen unendlich, wodurch der Bruchterm \(\frac{2}{1+(x-5)^2}\) gegen 0 strebt. Es gilt also \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 1 + 0 = 1\). Die waagrechte Asymptote ist \(y = 1\). 3. Aufgrund der Verschiebung in \(x\)-Richtung liegt die Symmetrieachse bei \(x = 5\). Der rechnerische Nachweis erfolgt über \(f(5-h) = 1 + \frac{2}{1+(-h)^2} = 1 + \frac{2}{1+h^2}\) und \(f(5+h) = 1 + \frac{2}{1+h^2}\). Da \(f(5-h) = f(5+h)\) für alle \(h \in \mathbb{R}\) gilt, ist der Graph achsensymmetrisch zu \(x = 5\).

1. Verschiebung um 5 nach rechts, Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor 2, Verschiebung um 1 nach oben. 2. \(y = 1\). 3. Achsensymmetrie zu \(x = 5\).

- Führe die drei verlangten Prüfungen getrennt durch; keine soll nur eine Umformulierung einer anderen sein. - Für a) vergleiche \(g(-x)\) mit \(g(x)\). - Für b) faktorisiere den Funktionsterm vollständig. - Für c) berechne zuerst \(g(2)\) und lies danach den Bildwert bei derselben \(x\)-Koordinate ab.

1. Symmetrie: \(g(-x)=-g(x)\), also muss der Graph von \(g\) punktsymmetrisch zum Ursprung sein. Der abgebildete Graph besitzt diese Symmetrie nicht. 2. Nullstellen: \(g(x)=x(x^2-3)\) hat die Nullstellen \(x=-\sqrt{3}\), \(x=0\) und \(x=\sqrt{3}\). Im Bild liegen die Nullstellen dagegen bei \(x=-2\) und \(x=1\), wobei \(x=1\) eine Berührstelle ist. 3. Funktionswert: \(g(2)=8-6=2\). Am abgebildeten Graphen liest man bei \(x=2\) dagegen den Wert \(4\) ab. Jede der drei Prüfungen widerspricht der Behauptung, die Abbildung zeige \(g\).

a) \(g\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung; der abgebildete Graph ist es nicht. b) \(g\) hat die Nullstellen \(-\sqrt{3},0,\sqrt{3}\); der abgebildete Graph hat Nullstellen bei \(-2\) und \(1\). c) \(g(2)=2\), im Bild ist bei \(x=2\) der Wert \(4\) ablesbar.

- Eine gerade Funktion muss exakt an der vertikalen Achse spiegelbar sein. - Bei einer ungeraden Funktion muss der Graph zwingend durch den Ursprung gehen, sofern er an dieser Stelle definiert ist. - Überprüfe bei Graph \(h\), ob der Funktionswert bei \(x=1\) der negative Wert des Funktionswerts bei \(x=-1\) ist.

1. Funktion \(f\) ist gerade, da der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist. Mathematisch gilt \(f(-x) = f(x)\), was man an der Spiegelung der Kurve an der vertikalen Achse erkennt. 2. Funktion \(g\) ist eine Ursprungsgerade. Sie ist punktsymmetrisch zum Ursprung \((0|0)\), da eine Halbdrehung um diesen Punkt den Graphen auf sich selbst abbildet. Somit ist \(g\) ungerade. 3. Funktion \(h\) hat zwar die Form einer punktsymmetrischen Kurve (\(x^3\)-Verlauf), ihr Symmetriezentrum liegt jedoch im Punkt \((0|2)\) und nicht im Ursprung \((0|0)\). Da die Punktsymmetrie zum Ursprung eine notwendige Bedingung für eine ungerade Funktion ist (\(h(-x) = -h(x)\)), ist \(h\) nicht ungerade.

a) \(f\) ist eine gerade Funktion (achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse). b) \(g\) ist eine ungerade Funktion (punktsymmetrisch zum Ursprung). c) \(h\) ist nicht ungerade, weil ihr Symmetriezentrum nicht im Ursprung \((0|0)\), sondern bei \((0|2)\) liegt.

- Kannst du eine einfache Funktion finden, die nicht symmetrisch zur \(y\)-Achse ist? - Was passiert, wenn du diese Funktion an der \(y\)-Achse spiegelst? Erhältst du eine neue, andere Funktion? - Überlege dir den Unterschied zwischen „ist symmetrisch“ (Eigenschaft eines Objekts) und „sind symmetrisch zueinander“ (Beziehung zwischen zwei Objekten).

1. Die Aussage ist falsch. 2. Bedingung für die Achsensymmetrie eines Graphen \(G_f\) zur \(y\)-Achse: \(f(-x) = f(x)\) für alle \(x \in D_f\). Dies bedeutet, dass die Spiegelung des Graphen an der \(y\)-Achse wieder den ursprünglichen Graphen ergibt. 3. Bedingung für die Symmetrie zweier Graphen \(G_f\) und \(G_g\) zueinander bezüglich der \(y\)-Achse: Die Definitionsbereiche müssen an der \(y\)-Achse ineinander übergehen, also \(D_g = \{-x \mid x \in D_f\}\), und es muss \(g(x) = f(-x)\) für alle \(x \in D_g\) gelten. Hier wird ein Graph auf den anderen abgebildet. 4. Gegenbeispiel: \(f(x) = x+1\) und \(g(x) = -x+1\). Es gilt \(f(-x) = -x+1 = g(x)\), also sind sie zueinander symmetrisch. Dennoch ist \(f(-x) = -x+1 \neq x+1 = f(x)\), womit \(f\) (und analog \(g\)) nicht in sich achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist.

Die Aussage ist falsch. Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse erfordert \(f(-x) = f(x)\). Symmetrie zueinander erfordert gespiegelte Definitionsbereiche und \(g(x) = f(-x)\) für alle \(x \in D_g\). Beispiel: \(f(x) = x+1\) und \(g(x) = -x+1\) sind zueinander symmetrisch bezüglich der \(y\)-Achse, aber keine der Funktionen ist für sich genommen achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

- Nutze die formalen Definitionen \(f(-x) = f(x)\) und \(g(-x) = -g(x)\). - Ersetze in der neuen Funktionsvorschrift jedes \(x\) durch \((-x)\) und vereinfache den Term. - Achte besonders auf die Vorzeichenregeln bei der Multiplikation. - Was passiert, wenn man zwei negative Werte miteinander multipliziert?

1. Untersuchung von \(h(x) = f(x) \cdot g(x)\): Einsetzen von \(-x\) ergibt \(h(-x) = f(-x) \cdot g(-x)\). Einsetzen der Symmetriebedingungen liefert \(h(-x) = f(x) \cdot (-g(x)) = -(f(x) \cdot g(x)) = -h(x)\). Daraus folgt: \(h\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Untersuchung von \(k(x) = g_1(x) \cdot g_2(x)\): Einsetzen von \(-x\) ergibt \(k(-x) = g_1(-x) \cdot g_2(-x)\). Da beide Funktionen punktsymmetrisch sind, gilt \(k(-x) = (-g_1(x)) \cdot (-g_2(x)) = g_1(x) \cdot g_2(x) = k(x)\). Daraus folgt: \(k\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

Die Funktion \(h(x) = f(x) \cdot g(x)\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da \(h(-x) = -h(x)\). Das Produkt zweier punktsymmetrischer Funktionen \(k(x) = g_1(x) \cdot g_2(x)\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, da \(k(-x) = k(x)\).

- Wo liegen die senkrechten Symmetrieachsen der Standard-Kosinusfunktion? - Wie verschieben sich diese Achsen, wenn im Argument \(x-b\) steht? - Verändert eine reine Verschiebung nach oben oder unten die Lage senkrechter Symmetrieachsen? - Auf welcher horizontalen Mittellinie liegen die Punktsymmetriezentren einer verschobenen Kosinuswelle?

1. Der Grundgraph \(y=\cos(x)\) besitzt senkrechte Symmetrieachsen bei \(x=k\pi\) mit \(k\in\mathbb{Z}\). 2. Durch die horizontale Verschiebung um \(b\) liegen die Symmetrieachsen von \(y=\cos(x-b)\) bei \(x=b+k\pi\). Die anschließende vertikale Verschiebung um \(a\) verändert diese Achsen nicht. 3. Damit die \(y\)-Achse, also \(x=0\), eine Symmetrieachse ist, muss \(0=b+k\pi\) für ein \(k\in\mathbb{Z}\) gelten. Dies ist äquivalent zu \(b=k\pi\). Der Wert von \(a\) kann dabei jeder von \(0\) verschiedene reelle Wert sein. 4. Die Mittellinie des verschobenen Kosinusgraphen ist \(y=a\). Die Punkt-Symmetriezentren einer Kosinuswelle liegen auf dieser Mittellinie. Für Punktsymmetrie zum Ursprung müsste daher die Mittellinie durch den Ursprung verlaufen, also \(a=0\) gelten. Wegen \(a\neq 0\) ist das ausgeschlossen.

Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse liegt genau für \((a;k\pi)\) mit \(a\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\) und \(k\in\mathbb{Z}\) vor. Punktsymmetrie zum Ursprung ist für \(a\neq 0\) ausgeschlossen, weil die Mittellinie des Graphen bei \(y=a\) statt bei \(y=0\) liegt.

- Was bedeutet Punktsymmetrie zum Ursprung für die Exponenten einer ganzrationalen Funktion? - Wie verändert ein konstanter Summand \(c\) den Graphen einer Funktion geometrisch? - Prüfe die Symmetriebedingungen \(g(-x) = g(x)\) und \(g(-x) = -g(x)\) rechnerisch für die neue Funktion. - Kann eine Funktion gleichzeitig ungerade Exponenten und einen konstanten Summanden ungleich Null haben und dennoch eine der Standard-Symmetrien aufweisen?

1. Sei \(f\) eine vom Nullpolynom verschiedene ganzrationale Funktion, die punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Dann enthält \(f(x)\) nur ungerade Exponenten und es gilt \(f(-x) = -f(x)\) sowie \(f(0) = 0\). 2. Die neue Funktion ist \(g(x) = f(x) + c\) mit \(c \neq 0\). 3. Prüfung auf Punktsymmetrie zum Ursprung: \(g(-x) = f(-x) + c = -f(x) + c\). Damit \(g\) punktsymmetrisch ist, müsste gelten: \(g(-x) = -g(x) = -(f(x) + c) = -f(x) - c\). Dies führt zu \(-f(x) + c = -f(x) - c\), was \(c = -c\) und somit \(c = 0\) zur Folge hätte. Da \(c \neq 0\), ist die Punktsymmetrie zum Ursprung zerstört. 4. Prüfung auf Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse: Es müsste gelten \(g(-x) = g(x)\), also \(-f(x) + c = f(x) + c\). Dies impliziert \(-f(x) = f(x)\), was für alle \(x\) nur für die Nullfunktion \(f(x) = 0\) wahr ist. Da \(f\) nach Voraussetzung nicht das Nullpolynom ist, gilt \(-f(x) = f(x)\) nicht für alle \(x\). Daher ist \(g\) nicht achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 5. Ergebnis: Die Aussage ist unter der in der Aufgabe genannten Voraussetzung wahr.

Die Aussage ist wahr. Durch die Addition von \(c \neq 0\) wird die Bedingung für Punktsymmetrie zum Ursprung verletzt. Da die ursprüngliche Funktion nach Voraussetzung nicht das Nullpolynom ist, kann die entstehende Funktion auch nicht achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse sein.

- Nutze in a) und b) konsequent die gegebene Beziehung \(f(-x)=f(x)\). - Bei einer verschobenen Symmetrieachse hilft es, Punkte mit gleichem Abstand links und rechts von der vermuteten Achse zu vergleichen. - Formuliere Teil c) mit einer Hilfsvariablen \(t\), die diesen Abstand von der Symmetrieachse beschreibt.

1. Für \(p\) gilt \(p(-x)=(-x)f(-x)=-x f(x)=-p(x)\). Daher ist der Graph von \(p\) punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Für \(q\) gilt \(q(-x)=f(-x)+(-x)^2=f(x)+x^2=q(x)\). Daher ist der Graph von \(q\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. Für \(r\) wird die Symmetrie zur Geraden \(x=-1\) geprüft. Für jedes \(t\) gilt \(r(-1+t)=f(t)\) und \(r(-1-t)=f(-t)=f(t)\). 4. Somit gilt \(r(-1+t)=r(-1-t)\) für alle \(t\). Der Graph von \(r\) ist achsensymmetrisch zur Geraden \(x=-1\).

a) Punktsymmetrisch zum Ursprung. b) Achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. c) Achsensymmetrisch zur Geraden \(x=-1\).

- Kannst du den Nenner der Funktion so umformen, dass die Symmetrie deutlicher wird? - Erinnere dich an die Methode der quadratischen Ergänzung. - Wenn du rechnerisch vorgehst, vergleiche die Funktionswerte an den Stellen \(1+h\) und \(1-h\). - Multipliziere die Klammern im Nenner sorgfältig aus und fasse alle Zahlen zusammen.

1. Anwendung des Kriteriums für Achsensymmetrie \(f(1+h) = f(1-h)\). 2. Berechnung des Terms für \(f(1+h)\): \(\frac{8}{(1+h)^2 - 2(1+h) + 5} = \frac{8}{1 + 2h + h^2 - 2 - 2h + 5} = \frac{8}{h^2 + 4}\). 3. Berechnung des Terms für \(f(1-h)\): \(\frac{8}{(1-h)^2 - 2(1-h) + 5} = \frac{8}{1 - 2h + h^2 - 2 + 2h + 5} = \frac{8}{h^2 + 4}\). 4. Vergleich der Ausdrücke: Da \(f(1+h)\) und \(f(1-h)\) für alle \(h\) denselben Wert \(\frac{8}{h^2+4}\) ergeben, ist der Graph achsensymmetrisch zur Geraden \(x = 1\). Alternativer Weg: Durch quadratische Ergänzung im Nenner erhält man \(f(x) = \frac{8}{(x-1)^2 + 4}\), woran die Symmetrie zur Stelle \(x=1\) direkt ablesbar ist.

Die Symmetrie wird durch \(f(1+h) = f(1-h)\) nachgewiesen. Beide eingesetzten Werte führen nach Vereinfachung des Nenners auf den identischen Term \(\frac{8}{h^2 + 4}\). Somit ist der Graph achsensymmetrisch zur Geraden \(x = 1\).

- Wo befindet sich der höchste Punkt des Graphen? Das ist oft ein guter Hinweis auf eine Symmetrieachse. - Setze für \(x_0\) den Wert ein, den du an der x-Achse als Zentrum der Symmetrie identifiziert hast. - Beim Vereinfachen der Nenner hilft es, die Klammern mit der zweiten bzw. ersten binomischen Formel aufzulösen.

1. Ablesen der Symmetrieachse: Aus dem Graphen ist erkennbar, dass der Hochpunkt bei \(x = 3\) liegt und der Graph dort gespiegelt erscheint. Die Vermutung lautet \(x_0 = 3\). 2. Aufstellen der Symmetriebedingung: \(h(3 - a) = h(3 + a)\). 3. Berechnung der linken Seite: \(h(3 - a) = \frac{2}{(3 - a)^2 - 6(3 - a) + 10} = \frac{2}{9 - 6a + a^2 - 18 + 6a + 10} = \frac{2}{a^2 + 1}\) 4. Berechnung der rechten Seite: \(h(3 + a) = \frac{2}{(3 + a)^2 - 6(3 + a) + 10} = \frac{2}{9 + 6a + a^2 - 18 - 6a + 10} = \frac{2}{a^2 + 1}\) 5. Vergleich: Da beide Seiten gleich sind, ist die Achsensymmetrie zur Geraden \(x = 3\) bewiesen.

a) Die Symmetrieachse hat die Gleichung \(x = 3\). b) Durch Einsetzen von \(3 - a\) und \(3 + a\) in den Funktionsterm erhält man in beiden Fällen den vereinfachten Ausdruck \(\frac{2}{a^2 + 1}\). Damit ist die Achsensymmetrie zur Geraden \(x = 3\) nachgewiesen.

- Welche Potenzen von \(x\) sind mit Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse vereinbar? - Überlege, welche Information der Punkt auf der \(y\)-Achse besonders direkt liefert. - Nutze die beiden weiteren Punkte als unabhängige Bedingungen an die noch unbekannten Koeffizienten.

1. Wegen der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse hat ein passender Term die Form \(f(x)=ax^4+bx^2+c\). 2. Aus \(A(0|2)\) folgt \(c=2\). 3. Aus \(B(1|0)\) folgt \(a+b=-2\), aus \(C(2|0)\) folgt \(16a+4b=-2\). 4. Die beiden Bedingungen liefern \(a=0{,}5\) und \(b=-2{,}5\). 5. Ein möglicher Funktionsterm ist daher \(f(x)=0{,}5x^4-2{,}5x^2+2\).

\(f(x)=0{,}5x^4-2{,}5x^2+2\).