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- Was muss für die Grenzwerte von links und rechts im Vergleich zum Funktionswert gelten, damit eine Funktion an einer Stelle stetig ist? - Berechne separat, welchem Wert sich die Funktion nähert, wenn du von kleineren Zahlen (links) an die Nahtstelle herangehst. - Bestimme den tatsächlichen Funktionswert an der Nahtstelle, indem du die entsprechende Zeile der Funktionsvorschrift nutzt. - Vergleiche diese beiden Werte miteinander.

1. Bestimmung des linksseitigen Grenzwertes für \(x \to 0\): Da für \(x < 0\) der Funktionsterm \(x^2 + 1\) gilt, ergibt sich \(\lim_{x \to 0^-} (x^2 + 1) = 0^2 + 1 = 1\). 2. Bestimmung des Funktionswertes an der Stelle \(x = 0\): Gemäß der Definition für \(x \ge 0\) gilt \(g(0) = 2 - 0 = 2\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Da der linksseitige Grenzwert (\(1\)) nicht mit dem Funktionswert (\(2\)) übereinstimmt, ist die Bedingung für Stetigkeit an der Stelle \(x = 0\) verletzt. Die Funktion weist dort einen Sprung auf.

Die Funktion ist an der Stelle \(x = 0\) unstetig, da der linksseitige Grenzwert \(\lim_{x \to 0^-} g(x) = 1\) nicht mit dem Funktionswert \(g(0) = 2\) übereinstimmt.

- Was muss für den links- und rechtsseitigen Grenzwert an einer Nahtstelle gelten, damit eine Funktion dort stetig ist? - Berechne die Werte der Teilfunktionen direkt an den Grenzen der jeweiligen Intervalle. - Vergleiche die Ergebnisse der Berechnungen für jede Übergangsstelle einzeln.

1. Untersuchung an der Stelle \(x_1 = 2\): Bestimmung des linksseitigen Grenzwertes \(\lim_{x \to 2^-} (x^2 - 1) = 2^2 - 1 = 3\). Bestimmung des rechtsseitigen Grenzwertes und Funktionswertes \(f(2) = 1{,}5 \cdot 2 = 3\). Da linksseitiger Grenzwert, rechtsseitiger Grenzwert und Funktionswert übereinstimmen, ist \(f\) bei \(x_1 = 2\) stetig. 2. Untersuchung an der Stelle \(x_2 = 4\): Bestimmung des linksseitigen Grenzwertes \(\lim_{x \to 4^-} (1{,}5x) = 1{,}5 \cdot 4 = 6\). Bestimmung des rechtsseitigen Grenzwertes und Funktionswertes \(f(4) = \sqrt{4} + 4 = 2 + 4 = 6\). Da alle Werte übereinstimmen, ist \(f\) auch bei \(x_2 = 4\) stetig.

Die Funktion \(f\) ist an beiden Stellen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 4\) stetig, da die links- und rechtsseitigen Grenzwerte jeweils mit dem Funktionswert übereinstimmen (\(3\) an der Stelle \(x_1\) und \(6\) an der Stelle \(x_2\)).

- Was bedeutet „pro angefangene \(100\,\text{cm}^3\)“ für einen Wert wie \(1200{,}1\)? - Überlege dir, wie der Graph aussieht: Ist es eine durchgehende Linie oder gibt es Unterbrechungen? - Wie nennt man Funktionen, deren Graph wie eine Treppe aussieht?

1. Berechnung der Steuerwerte: \(H(1200)\): \(1200\,\text{cm}^3\) entsprechen genau \(12\) Einheiten von \(100\,\text{cm}^3\). \(12 \cdot 2{,}00 = 24{,}00\,\text{€}\). \(H(1201)\): Da die \(13\). Einheit angefangen wurde, wird für \(13\) Einheiten gezahlt. \(13 \cdot 2{,}00 = 26{,}00\,\text{€}\). \(H(1299)\): Auch hier ist die \(13\). Einheit angefangen. \(13 \cdot 2{,}00 = 26{,}00\,\text{€}\). 2. Analyse der Funktionseigenschaften: Die Funktion ist eine Treppenfunktion (oder Sprungfunktion). Sie ist an den Stellen nicht stetig, an denen ein neuer \(100\,\text{cm}^3\)-Block beginnt. Im Intervall \([1100; 1400]\) treten Sprungstellen bei allen ganzzahligen Vielfachen von \(100\) in diesem Intervall auf: \(V = 1100\), \(V = 1200\), \(V = 1300\) und \(V = 1400\). Bei \(V = 1200\) gilt noch der niedrigere Wert; für Werte unmittelbar größer als \(1200\) gilt bereits der höhere Wert. Daher liegt dort eine Sprungstelle vor.

a) \(H(1200) = 24{,}00\,\text{€}\); \(H(1201) = 26{,}00\,\text{€}\); \(H(1299) = 26{,}00\,\text{€}\). b) Die Funktion \(H\) ist eine Treppenfunktion und somit nicht stetig. Die Sprungstellen im Intervall liegen bei \(V = 1100\), \(V = 1200\), \(V = 1300\) und \(V = 1400\).

- Prüfe, ob die Graphenteile an der gesuchten Stelle ohne Lücke oder Sprung ineinander übergehen. - Unterscheide genau zwischen einem Knick und einer echten Lücke oder einem Sprung im Funktionsverlauf. - Betrachte für jede Stelle, ob sich der Graph von links und von rechts kommend demselben Punkt nähert und ob dieser Punkt auch tatsächlich dem Funktionswert entspricht.

1. **An der Stelle \(x_1 = -1\):** Die Funktion ist **nicht stetig**. *Begründung:* Der linksseitige Grenzwert beträgt \(2\), und der ausgefüllte Punkt zeigt zusätzlich \(f(-1) = 2\). Der rechtsseitige Grenzwert beträgt dagegen \(0\), was durch den offenen Kreis markiert ist. Da der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert nicht übereinstimmen, liegt eine Sprungstelle vor. 2. **An der Stelle \(x_2 = 1\):** Die Funktion ist **stetig**. *Begründung:* Der Graph verläuft in der Umgebung von \(x = 1\) ohne Unterbrechung oder Sprung. Der Funktionswert und der Grenzwert stimmen überein und betragen \(f(1) = 2\). 3. **An der Stelle \(x_3 = 2\):** Die Funktion ist **stetig**. *Begründung:* Obwohl der Graph bei \(x = 2\) einen scharfen Knick aufweist und dort somit nicht differenzierbar ist, schließen die beiden Graphenteile lückenlos aneinander an. Der linksseitige Grenzwert, der rechtsseitige Grenzwert und der Funktionswert stimmen überein.

a) Bei \(x = -1\) ist \(f\) wegen einer Sprungstelle nicht stetig. b) Bei \(x = 1\) ist \(f\) stetig. c) Bei \(x = 2\) ist \(f\) trotz des Knicks stetig.

- Auch wenn ein Graph plötzlich seine Form ändert (z. B. von einer Kurve zu einer Geraden), kann er trotzdem stetig sein. - Achte darauf, ob ein einzelner Punkt aus der Linie „herausspringt“.

1. An der Stelle \(x = 0\) nähert sich die Sinuskurve von links dem Wert \(0\). Das anschließende konstante Teilstück beginnt ebenfalls bei \(0\). Da Grenzwert und Funktionswert übereinstimmen, ist die Funktion bei \(x = 0\) stetig. 2. An der Stelle \(x = 2\) nähert sich der Graph von beiden Seiten dem Wert \(0\). Der Funktionswert selbst ist jedoch als \(p(2) = 1\) definiert (ausgefüllte Markierung). Da der Punkt nicht auf der Linie liegt, ist die Funktion bei \(x = 2\) unstetig (behebbare Unstetigkeit).

Die Funktion ist bei \(x = 0\) stetig, da der Graph ohne Unterbrechung verläuft. Bei \(x = 2\) ist sie unstetig, da der Funktionswert nicht mit dem Grenzwert der Umgebung übereinstimmt.

- Prüfe, ob die Graphenteile an der betrachteten Stelle ohne Lücke oder Sprung ineinander übergehen. - Achte auf Sprünge oder Lücken im Graphen. - Ein Knick im Graphen bedeutet nicht automatisch, dass die Funktion dort unstetig ist. - Vergleiche den Funktionswert an der Stelle mit den Werten, denen sich der Graph von links und von rechts nähert.

1. An der Stelle \(x_1 = 0\) treffen die beiden Kurventeile im Punkt \((0 \mid 2)\) zusammen. Die Graphenteile gehen dort ohne Lücke oder Sprung ineinander über, daher ist die Funktion bei \(x_1 = 0\) stetig. Dass dort ein Knick vorliegt, beeinflusst die Stetigkeit nicht. 2. An der Stelle \(x_2 = 2\) weist der Graph eine Sprungstelle auf. Der ausgefüllte Punkt zeigt den Funktionswert und den linksseitigen Grenzwert am unteren Graphenteil, während sich die Funktionswerte von rechts dem Wert \(3\) nähern. Aufgrund dieses Sprungs ist die Funktion bei \(x_2 = 2\) unstetig. 3. An der Stelle \(x_3 = 4\) verläuft der Graph als durchgehende Gerade ohne Unterbrechungen. Somit ist die Funktion bei \(x_3 = 4\) stetig.

Die Funktion \(h\) ist an den Stellen \(x_1 = 0\) und \(x_3 = 4\) stetig; an der Stelle \(x_2 = 2\) ist sie aufgrund einer Sprungstelle unstetig.

- Untersuche das Verhalten links und rechts von \(x=2\) getrennt. - Einseitige Grenzwerte dürfen auch \(\pm\infty\) sein. - Für einen zweiseitigen Grenzwert müssen beide einseitigen Grenzwerte übereinstimmen.

1. Für \(x\to2^-\) fallen die Funktionswerte unbegrenzt; der linksseitige Grenzwert ist \(-\infty\). 2. Für \(x\to2^+\) steigen die Funktionswerte unbegrenzt; der rechtsseitige Grenzwert ist \(+\infty\). 3. Ein zweiseitiger Grenzwert existiert nur, wenn die beiden einseitigen Grenzwerte übereinstimmen. Das gilt auch bei einem uneigentlichen Grenzwert: Beide Seiten müssten gegen dasselbe \(+\infty\) oder dasselbe \(-\infty\) streben. Hier haben die einseitigen Grenzwerte verschiedene Vorzeichen. Daher existiert \(\lim_{x\to2}g(x)\) nicht.

Der Grenzwert an der Stelle \(x_0 = 2\) existiert nicht. Die Funktion weist dort eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel auf, wobei die Funktionswerte gegen \(-\infty\) (von links) bzw. \(+\infty\) (von rechts) streben.

- Betrachte die Stelle, an der die Definition der Funktion wechselt. Was muss dort für die Grenzwerte gelten? - Setze den Wert der Nahtstelle in beide Funktionsterme ein. - Beachte beim Einsetzen negativer Zahlen in Klammern die Vorzeichenregeln. - Welche mathematische Bedingung muss erfüllt sein, damit der Graph an der Stelle \(x = -1\) keine Unterbrechung hat?

1. Bestimmung des linksseitigen Grenzwerts an der Stelle \(x = -1\): \(\lim_{x \to -1^-} \frac{6}{x-2} = \frac{6}{-1-2} = \frac{6}{-3} = -2\). 2. Bestimmung des Funktionswerts (und rechtsseitigen Grenzwerts) an der Stelle \(x = -1\): \(g(-1) = a \cdot (-1 + 3)^2 - 10 = a \cdot 2^2 - 10 = 4a - 10\). 3. Gleichsetzen der Grenzwerte zur Gewährleistung der Stetigkeit: \(4a - 10 = -2\). 4. Auflösen der Gleichung: \(4a = 8 \implies a = 2\).

\(a = 2\)

- Überlege dir zuerst, ob man für \(x = 1\) überhaupt einen Funktionswert berechnen kann. - Was ist die Grundvoraussetzung dafür, dass eine Funktion an einer bestimmten Stelle stetig sein kann? - Erinnere dich an den Unterschied zwischen dem Grenzwert einer Funktion an einer Stelle und dem tatsächlichen Funktionswert an dieser Stelle. - Wie sieht der Graph an einer Stelle aus, die man aus dem Term „herauskürzen“ kann? Musst du den Stift absetzen?

1. Bestimmung des Definitionsbereichs: Der Nenner \(x - 1\) darf nicht Null sein, daher ist die Funktion an der Stelle \(x = 1\) nicht definiert (\(1 \notin D_f\)). 2. Bedingung für Stetigkeit: Eine Funktion ist an einer Stelle \(x_0\) nur dann stetig, wenn sie dort definiert ist und der Grenzwert mit dem Funktionswert übereinstimmt. 3. Schlussfolgerung: Da \(f(1)\) nicht existiert, ist die Funktion an dieser Stelle unstetig, auch wenn der Graph dort lediglich eine hebbare Definitionslücke (ein „Loch“) und keine vertikale Asymptote aufweist. Die Aussage ist somit falsch.

Die Aussage ist falsch. Damit eine Funktion an einer Stelle stetig ist, muss sie dort definiert sein. Da der Nenner für \(x = 1\) Null wird, ist die Funktion an dieser Stelle nicht definiert und somit unstetig.

- Wo genau treten bei gebrochenrationalen Funktionen Probleme mit der Stetigkeit auf? - Kannst du einen Wert für \(c\) finden, bei dem der Nenner niemals Null wird? - Wenn eine Funktion keine Definitionslücken besitzt und eine „normale“ gebrochenrationale Struktur hat, was bedeutet das für ihre Stetigkeit? - Probiere doch mal konkrete Werte wie \(c = -1\), \(c = 0\) und \(c = 1\) aus.

1. Analyse der Definitionslücken: Eine gebrochenrationale Funktion ist überall dort stetig, wo sie definiert ist. Unstetigkeitsstellen treten bei den Nullstellen des Nenners auf. 2. Untersuchung des Nenners: Der Nenner ist \(x^2 + c\). Die Gleichung \(x^2 + c = 0\) hat keine reellen Lösungen, wenn \(c > 0\) ist (da \(x^2 \geq 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\)). 3. Beispiel wählen: Für \(c = 1\) ist \(x^2 + 1 > 0\) für alle \(x\). Die Funktion \(g_1(x) = \frac{1}{x^2 + 1}\) hat somit keine Definitionslücken. 4. Schlussfolgerung: Da die Funktion für \(c > 0\) auf ganz \(\mathbb{R}\) definiert und als gebrochenrationale Funktion in ihrem Definitionsbereich stetig ist, ist die Aussage wahr.

Die Aussage ist wahr. Für alle \(c > 0\) (zum Beispiel \(c = 1\)) besitzt der Nenner \(x^2 + c\) keine reellen Nullstellen. Die Funktion ist dann auf ganz \(\mathbb{R}\) definiert und somit überall stetig.

- Untersuche für den ersten Teil, was passiert, wenn du den Wert der Nahtstelle in den Klammerausdruck einsetzt. - Welchen Einfluss hat der Faktor vor einer Klammer, wenn der Inhalt der Klammer Null ergibt? - Verfahre für den zweiten Teil so, dass die Funktionswerte der aneinandergrenzenden Abschnitte an der Stelle 8 identisch sein müssen.

1. Zu Teilaufgabe a): Der linksseitige Grenzwert sowie der Funktionswert bei \(x = 5\) ergeben sich zu \(g(5) = \lim_{x \to 5^-} (k \cdot (5 - 5)^2 + 2) = k \cdot 0 + 2 = 2\). Der rechtsseitige Grenzwert ist durch den konstanten Wert des zweiten Abschnitts ebenfalls \(\lim_{x \to 5^+} 2 = 2\). Da beide Grenzwerte für jedes \(k\) übereinstimmen, ist \(g\) bei \(x = 5\) stets stetig. 2. Zu Teilaufgabe b): Der linksseitige Grenzwert und Funktionswert bei \(x = 8\) ist \(g(8) = 2\). 3. Der rechtsseitige Grenzwert bei \(x = 8\) ist \(\lim_{x \to 8^+} (1{,}5x + d) = 1{,}5 \cdot 8 + d = 12 + d\). 4. Bedingung für Stetigkeit: \(12 + d = 2\). 5. Auflösen nach \(d\): \(d = -10\).

a) Der linksseitige Grenzwert ist \(k \cdot 0 + 2 = 2\) und entspricht dem rechtsseitigen Grenzwert \(2\). b) \(d = -10\)

- Überlege zuerst, in welchen Definitionsbereich der jeweilige \(x\)-Wert fällt. - Erinnere dich an die Definition der Stetigkeit: Was muss für die Grenzwerte von links und rechts im Vergleich zum Funktionswert gelten? - Was würde passieren, wenn der Steuerbetrag an einer Grenze plötzlich um mehrere Euro springen würde?

1. Berechnung der Steuerwerte: Für \(x = 115\) gilt der zweite Teil der Funktionsvorschrift: \(T(115) = 2 \cdot (115 - 95) = 2 \cdot 20 = 40\,\text{€}\). Für \(x = 125\) gilt der dritte Teil der Funktionsvorschrift: \(T(125) = 2{,}20 \cdot (125 - 115) + 40 = 2{,}20 \cdot 10 + 40 = 22 + 40 = 62\,\text{€}\). 2. Untersuchung auf Stetigkeit an der Stelle \(x = 115\): Linksseitiger Grenzwert: \(\lim_{x \to 115^-} T(x) = 2 \cdot (115 - 95) = 40\). Rechtsseitiger Grenzwert: \(\lim_{x \to 115^+} T(x) = 2{,}20 \cdot (115 - 115) + 40 = 40\). Funktionswert: \(T(115) = 40\). Da der linksseitige Grenzwert, der rechtsseitige Grenzwert und der Funktionswert übereinstimmen, ist die Funktion an der Stelle \(x = 115\) stetig. 3. Interpretation: Die Stetigkeit bedeutet, dass es an den Grenzen der Emissionsklassen keine abrupten Preissprünge gibt. Eine minimale Erhöhung der Emission führt nur zu einer minimalen Erhöhung der Steuer, was als gerecht empfunden wird.

a) \(T(115) = 40\,\text{€}\); \(T(125) = 62\,\text{€}\). b) Die Funktion ist an der Stelle \(x = 115\) stetig, da \(\lim_{x \to 115^-} T(x) = \lim_{x \to 115^+} T(x) = T(115) = 40\). Dies stellt sicher, dass kleine Änderungen im \(\text{CO}_2\)-Ausstoß keine sprunghaften Steuererhöhungen verursachen.

- Warum darf man für \(x\) nicht jede beliebige Zahl in den Nenner einsetzen? - Kannst du den Funktionsterm vereinfachen, indem du den Zähler faktorisierst und kürzt? - Was passiert mit dem Graphen an einer Stelle, an der die Funktion nicht definiert ist, der Grenzwert aber existiert? - Wie müsste man den „fehlenden Punkt“ definieren, damit die Linie des Graphen nicht unterbrochen wird?

1. Definitionsmenge: Der Nenner darf nicht Null werden, also \(x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3\). Somit ist \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{3\}\). 2. Untersuchung der Definitionslücke: Der Zähler lässt sich faktorisieren: \(x^2 - 4x + 3 = (x - 3)(x - 1)\). 3. Vereinfachung des Terms: Für \(x \neq 3\) gilt \(g(x) = \frac{(x - 3)(x - 1)}{x - 3} = x - 1\). 4. Grenzwertbetrachtung: Der Grenzwert für \(x \to 3\) ist \(\lim_{x \to 3} (x - 1) = 3 - 1 = 2\). 5. Stetige Fortsetzbarkeit: Da der Grenzwert existiert und endlich ist, ist die Funktion an der Stelle \(x = 3\) stetig fortsetzbar. Der zu definierende Funktionswert ist \(g(3) = 2\).

a) \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{3\}\) b) Die Funktionswerte nähern sich dem Wert \(2\) an. c) Ja, die Funktion ist stetig fortsetzbar mit \(g(3) = 2\).

- Prüfe für jede Nahtstelle separat, ob die Funktionswerte der angrenzenden Abschnitte dort zusammenfallen. - Welcher Teil der Funktionsvorschrift gilt genau an der Stelle \(x = -2\) bzw. \(x = 3\)? - Vergleiche das Verhalten der Funktion, wenn du dich der Nahtstelle von links und von rechts näherst.

1. Untersuchung bei \(x_1 = -2\): - Linksseitiger Grenzwert: \(\lim_{x \to -2^-} g(x) = -2 + 5 = 3\). - Rechtsseitiger Grenzwert: \(\lim_{x \to -2^+} g(x) = (-2)^2 - 1 = 3\). - Funktionswert: \(g(-2) = (-2)^2 - 1 = 3\). Da alle drei Werte übereinstimmen (\(3 = 3 = 3\)), ist \(g\) an der Stelle \(x_1 = -2\) stetig. 2. Untersuchung bei \(x_2 = 3\): - Linksseitiger Grenzwert: \(\lim_{x \to 3^-} g(x) = 3^2 - 1 = 8\). - Rechtsseitiger Grenzwert: \(\lim_{x \to 3^+} g(x) = \frac{18}{3} = 6\). - Funktionswert: \(g(3) = 3^2 - 1 = 8\). Da der linksseitige Grenzwert (\(8\)) nicht mit dem rechtsseitigen Grenzwert (\(6\)) übereinstimmt, liegt an der Stelle \(x_2 = 3\) eine Sprungstelle vor; die Funktion ist dort nicht stetig.

An der Stelle \(x_1 = -2\) ist die Funktion stetig (Grenzwerte und Funktionswert sind \(3\)). An der Stelle \(x_2 = 3\) ist die Funktion nicht stetig, da der linksseitige Grenzwert (\(8\)) und der rechtsseitige Grenzwert (\(6\)) verschieden sind.

- Was bedeutet es für die Graphen der beiden Teile an der Nahtstelle, wenn die Funktion dort keinen Sprung machen darf? - Wie kannst du ein Polynom direkt mithilfe seiner Nullstellen formulieren? Denke an die Linearfaktorzerlegung. - Welchen Funktionswert muss der linke Teil der Funktion an der Stelle \(x = 2\) annehmen, damit er genau an den rechten Teil anschließt? - Setze den bekannten x-Wert und den geforderten y-Wert in deine Gleichung ein, um den Streckfaktor zu bestimmen.

1. Aufstellen des Funktionsterms in der Nullstellenform: Da bei \(x = 0\) eine doppelte und bei \(x = 4\) eine einfache Nullstelle vorliegt, lautet der Ansatz für das Polynom \(p(x) = ax^2(x - 4)\). 2. Bedingung für Stetigkeit an der Stelle \(x = 2\): Der linksseitige Grenzwert (bzw. Funktionswert des Polynoms) muss dem rechtsseitigen Grenzwert entsprechen. Es gilt also \(p(2) = 8\). 3. Einsetzen des Punktes in den Ansatz: \(a \cdot 2^2 \cdot (2 - 4) = 8\). 4. Berechnung des Parameters: \(a \cdot 4 \cdot (-2) = 8 \implies -8a = 8 \implies a = -1\). 5. Aufstellen des fertigen Terms: \(p(x) = -x^2(x - 4) = -x^3 + 4x^2\).

\(p(x) = -x^2(x - 4)\) oder \(p(x) = -x^3 + 4x^2\)

- Achte genau darauf, ob ein Wert noch zu einem Intervall gehört oder bereits zum nächsten (Stichwort: „bis einschließlich“). - Erinnere dich an die Schreibweise für Funktionen, die in verschiedenen Bereichen unterschiedliche Vorschriften haben. - Wann nennt man eine Funktion an einer bestimmten Stelle stetig? Was muss für die Grenzwerte von beiden Seiten gelten?

1. Zuordnung der Gewichte zu den Intervallen: \(1{,}8\,\text{kg} \le 2\,\text{kg} \implies 4{,}95\,\text{€}\); \(5{,}0\,\text{kg}\) liegt genau auf der Grenze des zweiten Intervalls \(\implies 6{,}95\,\text{€}\); \(5{,}1\,\text{kg} > 5\,\text{kg} \implies 10{,}45\,\text{€}\). 2. Aufstellen der abschnittsweisen Funktion: \(K(w) = \begin{cases} 4{,}95 & \text{für } 0 < w \le 2 \\ 6{,}95 & \text{für } 2 < w \le 5 \\ 10{,}45 & \text{für } 5 < w \le 10 \\ 18{,}45 & \text{für } 10 < w \le 31{,}5 \end{cases}\) 3. Überprüfung der Stetigkeit bei \(w = 5\): Der linksseitige Grenzwert ist \(\lim_{w \to 5^-} K(w) = 6{,}95\). Der rechtsseitige Grenzwert ist \(\lim_{w \to 5^+} K(w) = 10{,}45\). Da die Grenzwerte nicht übereinstimmen (\(6{,}95 \neq 10{,}45\)), liegt eine Sprungstelle vor; die Funktion ist an dieser Stelle nicht stetig.

a) \(1{,}8\,\text{kg}: 4{,}95\,\text{€}\); \(5{,}0\,\text{kg}: 6{,}95\,\text{€}\); \(5{,}1\,\text{kg}: 10{,}45\,\text{€}\). b) \(K(w) = \begin{cases} 4{,}95 & 0 < w \le 2 \\ 6{,}95 & 2 < w \le 5 \\ 10{,}45 & 5 < w \le 10 \\ 18{,}45 & 10 < w \le 31{,}5 \end{cases}\) (Werte in \(\text{€}\)). c) Nicht stetig, da \(\lim_{w \to 5^-} K(w) = 6{,}95 \neq \lim_{w \to 5^+} K(w) = 10{,}45\).

- Was bedeutet Stetigkeit an einer Nahtstelle für die Funktionswerte der beiden Teilfunktionen? - Welche allgemeine Form hat ein Polynom ersten Grades? - Wie kannst du die Information über die Nullstelle in eine mathematische Gleichung übersetzen? - Stelle ein Gleichungssystem mit den zwei unbekannten Parametern auf.

1. Berechnung des linksseitigen Grenzwerts von \(f\) an der Nahtstelle \(x = -2\): \(\lim_{x \to -2^-} f(x) = 0{,}5 \cdot (-2)^2 + 2 \cdot (-2) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1\). 2. Da \(f\) stetig sein soll, muss \(g(-2) = -1\) gelten. 3. Da \(g(x)\) ein Polynom ersten Grades ist, gilt der Ansatz \(g(x) = mx + c\). 4. Die Bedingung der Nullstelle bei \(x = 3\) liefert \(g(3) = 3m + c = 0\). 5. Aus der Stetigkeitsbedingung folgt \(g(-2) = -2m + c = -1\). 6. Lösen des linearen Gleichungssystems: Aus \(c = -3m\) folgt durch Einsetzen \(-2m - 3m = -1\), also \(-5m = -1 \Rightarrow m = 0{,}2\). Daraus ergibt sich \(c = -3 \cdot 0{,}2 = -0{,}6\). 7. Der Funktionsterm lautet \(g(x) = 0{,}2x - 0{,}6\).

\(g(x) = 0{,}2x - 0{,}6\)

- Prüfe, ob die beiden Graphenteile an der Stelle \(x = 1\) ohne Lücke oder Sprung ineinander übergehen. - Was bedeuten der ausgefüllte Punkt und der leere Kreis an einer Nahtstelle für den Funktionswert? - Welche drei Werte müssen an einer Stelle übereinstimmen, damit eine Funktion dort stetig ist? - Bestimme für beide Graphen getrennt den Funktionswert an der Stelle \(x = 1\) sowie das Verhalten der Funktionswerte, wenn man sich von links bzw. von rechts der Stelle \(x = 1\) nähert.

1. Für die Funktion \(f\) an der Stelle \(x = 1\): - **Linksseitiger Grenzwert:** Nähert man sich auf dem Graphen von links der Stelle \(x = 1\), so streben die Funktionswerte gegen \(1\), also \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1\). - **Rechtsseitiger Grenzwert:** Nähert man sich von rechts der Stelle \(x = 1\), so streben die Funktionswerte gegen \(-1\), also \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = -1\). - **Funktionswert:** Der ausgefüllte Punkt bei \((1 \mid 1)\) zeigt, dass der Funktionswert \(f(1) = 1\) ist. - **Schlussfolgerung:** Da der linksseitige Grenzwert (\(1\)) und der rechtsseitige Grenzwert (\(-1\)) sich voneinander unterscheiden, existiert der Grenzwert an dieser Stelle nicht. Die Funktion \(f\) hat einen Sprung und ist an der Stelle \(x = 1\) nicht stetig. 2. Für die Funktion \(g\) an der Stelle \(x = 1\): - **Linksseitiger Grenzwert:** Für \(x < 1\) gilt \(g(x) = x^2 - 1\). Damit ist \(\lim_{x \to 1^-} g(x) = 1^2 - 1 = 0\). - **Rechtsseitiger Grenzwert:** Für \(x > 1\) gilt \(g(x) = -x + 1\). Damit ist \(\lim_{x \to 1^+} g(x) = -1 + 1 = 0\). - **Funktionswert:** An der Stelle \(x = 1\) nehmen beide Teilfunktionen den Wert \(0\) an, sodass \(g(1) = 0\) ist. - **Schlussfolgerung:** Da der linksseitige Grenzwert, der rechtsseitige Grenzwert und der Funktionswert alle übereinstimmen (\(0\)), schließt sich der Graph nahtlos. Die Funktion \(g\) ist an der Stelle \(x = 1\) stetig.

a) \(f\) ist bei \(x = 1\) nicht stetig, da \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1\), \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = -1\) und \(f(1) = 1\) gilt. b) \(g\) ist bei \(x = 1\) stetig, da \(\lim_{x \to 1^-} g(x) = \lim_{x \to 1^+} g(x) = g(1) = 0\) gilt.

- Prüfe, ob die Graphenteile an der untersuchten Stelle ohne Lücke oder Sprung ineinander übergehen. - Was passiert mit den Funktionswerten, wenn du dich der Stelle von links beziehungsweise von rechts näherst? - Vergleiche den linksseitigen und den rechtsseitigen Grenzwert an den beiden Stellen. - Welcher Funktionswert ist durch den ausgefüllten Punkt an der Stelle \(x = 1\) gegeben?

1. **Untersuchung an der Stelle \(x = -1\)**: - Wir betrachten das Verhalten der Funktion, wenn wir uns der Stelle \(x = -1\) von links und von rechts nähern. - Der linksseitige Grenzwert (entlang der Geraden \(y = -x - 2\)) ist \(\lim_{x \to -1^-} f(x) = -1\). - Der rechtsseitige Grenzwert (entlang der Parabel \(y = x^2 - 2\)) ist \(\lim_{x \to -1^+} f(x) = -1\). - Da der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert übereinstimmen, existiert der Grenzwert und beträgt \(-1\). - Der Funktionswert an dieser Stelle ist ebenfalls \(f(-1) = -1\). - Da der Grenzwert existiert und gleich dem Funktionswert ist, ist die Funktion \(f\) an der Stelle \(x = -1\) **stetig**. Anschaulich gibt es hier weder eine Lücke noch einen Sprung im Graphen. 2. **Untersuchung an der Stelle \(x = 1\)**: - Der linksseitige Grenzwert (entlang der Parabel) nähert sich dem Wert \(-1\), also \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = -1\). Dies ist im Graphen durch den offenen Kreis bei \((1 \mid -1)\) dargestellt. - Der rechtsseitige Grenzwert (entlang der Geraden \(y = 0{,}5x + 0{,}5\)) nähert sich dem Wert \(1\), also \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1\). - Da der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert nicht übereinstimmen (\(-1 \neq 1\)), existiert der Grenzwert an der Stelle \(x = 1\) nicht. - Der tatsächliche Funktionswert ist durch den ausgefüllten Punkt bei \((1 \mid 1)\) definiert, also \(f(1) = 1\). - Da der Grenzwert nicht existiert (es liegt eine Sprungstelle vor), ist die Funktion \(f\) an der Stelle \(x = 1\) **nicht stetig**.

Bei \(x = -1\) ist \(f\) stetig, da \(\lim_{x \to -1} f(x) = f(-1) = -1\) gilt. Bei \(x = 1\) ist \(f\) nicht stetig, da \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = -1\), \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1\) und \(f(1) = 1\) gilt.

- Schau dir den Graphen genau an. Gibt es Punkte, an denen der Funktionswert nicht auf der durchgehenden Linie liegt? - Achte auf den Unterschied zwischen ausgefüllten Punkten und offenen Kreisen. Was bedeuten diese Symbole für den Funktionswert an dieser Stelle? - Prüfe, ob die Graphenteile an der untersuchten Stelle ohne Lücke oder Sprung ineinander übergehen. - Wenn du dich von links und von rechts einer bestimmten Stelle näherst, treffen sich die Graphenteile dort oder gibt es einen Sprung?

1. Bestimmung der Funktionswerte: An der Stelle \(x = -2\) zeigt der ausgefüllte Punkt bei \(y = 3\) den Funktionswert an, während der offene Kreis bei \(y = 1\) ausgeschlossen ist. Somit gilt \(f(-2) = 3\). An der Stelle \(x = 1\) zeigt der ausgefüllte Punkt bei \(y = 0\) den Funktionswert an, während der offene Kreis bei \(y = 2{,}5\) ausgeschlossen ist. Somit gilt \(f(1) = 0\). An der Stelle \(x = 3\) verläuft der Graph kontinuierlich; der Wert wird direkt abgelesen zu \(f(3) = -2\). 2. Untersuchung auf Stetigkeit: Der Graph weist bei \(x = -2\) und \(x = 1\) Unterbrechungen auf. An der Stelle \(x = -2\) liegt eine hebbare Unstetigkeitsstelle vor, da der Grenzwert \(\lim_{x \to -2} f(x) = 1\) existiert, aber ungleich dem Funktionswert \(f(-2) = 3\) ist. An der Stelle \(x = 1\) liegt eine Sprungstelle vor, da der linksseitige Grenzwert \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2{,}5\) ungleich dem rechtsseitigen Grenzwert \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = 0\) ist.

a) \(f(-2) = 3\), \(f(1) = 0\) und \(f(3) = -2\) b) \(f\) ist bei \(x = -2\) wegen einer hebbaren Unstetigkeitsstelle und bei \(x = 1\) wegen einer Sprungstelle nicht stetig.

- Überlege zuerst, wie sich die Verschiebung nach rechts auf die \(x\)-Koordinate der Unstetigkeitsstelle auswirkt. - Welchen Einfluss hat die anschließende Spiegelung an der \(x\)-Achse auf die \(x\)-Koordinate und die \(y\)-Werte des Graphen? - Lies die einseitigen Grenzwerte der ursprünglichen Funktion \(f\) an der Stelle \(x = 1\) sorgfältig ab. Achte dabei auf den ausgefüllten und den leeren Kreis. - Multipliziere die abgelesenen \(y\)-Werte mit \(-1\), um die Auswirkung der Spiegelung an der \(x\)-Achse zu berücksichtigen.

1. **Bestimmung der Unstetigkeitsstelle \(x_0\)**: Die ursprüngliche Funktion \(f\) hat ihre Unstetigkeitsstelle bei \(x = 1\). Durch die Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts verschiebt sich diese Stelle um \(2\) Einheiten in positive \(x\)-Richtung: \(x_0 = 1 + 2 = 3\) Die anschließende Spiegelung an der \(x\)-Achse ändert die \(x\)-Koordinate dieser Stelle nicht. Die Unstetigkeitsstelle von \(h\) liegt somit bei \(x_0 = 3\). 2. **Bestimmung der einseitigen Grenzwerte und des Funktionswerts**: - **Linksseitiger Grenzwert**: Der linksseitige Grenzwert von \(f\) bei \(x = 1\) ist \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = 0\). Durch die Spiegelung an der \(x\)-Achse (Multiplikation der Funktionswerte mit \(-1\)) ergibt sich für \(h\): \(\lim_{x \to 3^-} h(x) = -0 = 0\) - **Rechtsseitiger Grenzwert**: Der rechtsseitige Grenzwert von \(f\) bei \(x = 1\) ist \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1\). Durch die Spiegelung an der \(x\)-Achse ergibt sich: \(\lim_{x \to 3^+} h(x) = -1\) - **Funktionswert**: Der Funktionswert von \(f\) bei \(x = 1\) ist durch den ausgefüllten Kreis gegeben: \(f(1) = 1\). Nach der Verschiebung und Spiegelung ist der Funktionswert von \(h\): \(h(3) = -f(1) = -1\)

a) Die Unstetigkeitsstelle von \(h\) liegt bei \(x_0 = 3\). b) \(\lim_{x \to 3^-} h(x) = 0\), \(\lim_{x \to 3^+} h(x) = -1\) und \(h(3) = -1\).

- Schau dir genau an, wo die ausgefüllten und wo die leeren Kreise im Diagramm liegen. - Ein ausgefüllter Kreis gibt den tatsächlichen Funktionswert an dieser Stelle an. - Was passiert mit der Linie des Graphen genau an den Markierungen?

1. An der Stelle \(x = -1\) streben die Funktionswerte von beiden Seiten gegen den Wert \(1\). Der tatsächliche Funktionswert ist jedoch \(g(-1) = 2\) (gekennzeichnet durch den Punkt oberhalb der Lücke). Da Grenzwert und Funktionswert nicht übereinstimmen, ist die Funktion bei \(x = -1\) unstetig (behebbare Unstetigkeit/Lücke). 2. An der Stelle \(x = 2\) nähert sich der Graph von links dem Wert \(4\), was auch dem Funktionswert \(g(2)\) entspricht. Von rechts nähert sich der Graph jedoch dem Wert \(0\). Aufgrund dieser Sprungstelle ist die Funktion bei \(x = 2\) unstetig.

Die Funktion ist an beiden Stellen unstetig. Bei \(x = -1\) liegt eine Lücke vor, wobei der Funktionswert außerhalb der Linie definiert ist. Bei \(x = 2\) liegt eine Sprungstelle vor.

- Überlege dir zuerst, was eine Spiegelung an der \(y\)-Achse für die \(x\)-Werte bedeutet. - Wo befindet sich die auffällige Lücke im ursprünglichen Graphen? - Prüfe, ob die Graphenteile an der neuen Stelle ohne Lücke oder Sprung ineinander übergehen. - Nutze die Grenzwerte von links und von rechts, um die Höhe des Graphen kurz vor und kurz nach dem Sprung zu beschreiben.

1. Bestimmung der Unstetigkeitsstelle von \(f\): Aus dem Graphen ist ersichtlich, dass \(f\) bei \(x_f = 1\) einen Sprung von \(y = 0\) auf \(y = 2\) macht. 2. Bestimmung der Unstetigkeitsstelle von \(g\): Die Transformation \(g(x) = f(-x)\) entspricht einer Spiegelung an der \(y\)-Achse. Die Sprungstelle verschiebt sich daher von \(x = 1\) zu \(x_g = -1\). 3. Grenzwertbetrachtung für \(g\) an \(x_g = -1\): - Der rechtsseitige Grenzwert von \(g\) entspricht dem linksseitigen Grenzwert von \(f\) bei \(x = 1\): \(\lim_{x \to -1^+} g(x) = \lim_{t \to 1^-} f(t) = 0\). - Der linksseitige Grenzwert von \(g\) entspricht dem rechtsseitigen Grenzwert von \(f\) bei \(x = 1\): \(\lim_{x \to -1^-} g(x) = \lim_{t \to 1^+} f(t) = 2\). - Der Funktionswert ist \(g(-1) = f(1) = 0\). Da der linksseitige Grenzwert (\(2\)) nicht mit dem rechtsseitigen Grenzwert (\(0\)) übereinstimmt, ist die Funktion \(g\) an der Stelle \(x_g = -1\) unstetig.

a) Die Funktion \(f\) hat einen Sprung bei \(x_f = 1\). b) Die Funktion \(g\) ist bei \(x_g = -1\) unstetig. c) Es gilt \(\lim_{x \to -1^-} g(x) = 2\) und \(\lim_{x \to -1^+} g(x) = 0\); daher ist \(g\) bei \(x_g = -1\) unstetig.

- Was bedeutet der leere Kreis im Vergleich zum ausgefüllten Punkt? - Prüfe, ob der Grenzwert von links und rechts mit dem tatsächlichen Punkt an dieser Stelle übereinstimmt. - Eine Funktion ist stetig, wenn der Grenzwert gleich dem Funktionswert ist.

1. Aus dem Graphen ist ersichtlich, dass sich die Funktionswerte für \(x\) gegen \(2\) von beiden Seiten dem Wert \(3\) nähern. Der leere Kreis zeigt an, dass dieser Wert nicht der Funktionswert ist. 2. Der tatsächlich definierte Funktionswert an der Stelle \(x = 2\) ist durch den ausgefüllten Punkt bei \(y = 1\) gegeben, also \(g(2) = 1\). 3. Da der Grenzwert (\(3\)) nicht mit dem Funktionswert (\(1\)) übereinstimmt, ist die Funktion bei \(x = 2\) unstetig. Man spricht von einer hebbaren Unstetigkeit. 4. Damit die Funktion stetig wäre, müsste der Funktionswert genau die Lücke füllen. Es müsste also \(g(2) = 3\) gelten.

a) Die Funktion ist bei \(x = 2\) unstetig, da der Funktionswert \(g(2) = 1\) nicht mit dem Grenzwert \(3\) übereinstimmt. b) Damit die Funktion stetig wäre, müsste \(g(2) = 3\) gelten.

- Überlege dir, welcher Wert am Ende des ersten Abschnitts erreicht wird. - Welchen Wert muss der zweite Abschnitt zu Beginn (bei \(x=2\)) haben, damit kein Sprung entsteht? - Setze die beiden Funktionsterme an der Stelle \(x = 2\) gleich und löse die Gleichung.

1. Damit die Funktion an der Nahtstelle \(x = 2\) stetig ist, müssen der Funktionswert \(f(2)\) und der rechtsseitige Grenzwert übereinstimmen. 2. Berechnung des Funktionswertes: \(f(2) = 2^2 - 3 = 4 - 3 = 1\). 3. Bestimmung des rechtsseitigen Grenzwerts für \(x \to 2^+\): \(\lim_{x \to 2^+} (ax - 1) = a \cdot 2 - 1 = 2a - 1\). 4. Gleichsetzen der Ergebnisse für Stetigkeit: \(2a - 1 = 1\). 5. Auflösen nach \(a\): \(2a = 2 \implies a = 1\).

Für \(a = 1\) ist die Funktion \(f\) an der Stelle \(x = 2\) stetig.

- Betrachte den Graphen von links kommend in Richtung der gesuchten Stelle und lies den Zielwert auf der \(y\)-Achse ab. - Wiederhole die Betrachtung von der rechten Seite aus. - Überlege, was es für den Grenzwert bedeutet, wenn du an einer Stelle einen Sprung im Graphen siehst. - Spielt es für den Grenzwert eine Rolle, ob an der Stelle selbst ein Punkt eingezeichnet ist oder ob dort eine Lücke vorliegt?

1. Untersuchung der Stelle \(x_1 = 1\): - Bei Annäherung von links (\(x \to 1^-\)) streben die Funktionswerte gegen \(2\). - Bei Annäherung von rechts (\(x \to 1^+\)) streben die Funktionswerte ebenfalls gegen \(2\). - Da der links- und rechtsseitige Grenzwert übereinstimmen, existiert der Grenzwert an der Stelle \(x_1 = 1\) und beträgt \(L = 2\). Die Tatsache, dass der Funktionswert \(f(1) = 1\) (markiert durch den blauen Punkt) von diesem Wert abweicht, beeinflusst die Existenz des Grenzwerts nicht. 2. Untersuchung der Stelle \(x_2 = 3\): - Bei Annäherung von links (\(x \to 3^-\)) streben die Funktionswerte gegen \(3\). - Bei Annäherung von rechts (\(x \to 3^+\)) streben die Funktionswerte gegen \(1\). - Da die einseitigen Grenzwerte nicht übereinstimmen (es liegt eine Sprungstelle vor), existiert der Grenzwert an der Stelle \(x_2 = 3\) nicht.

An der Stelle \(x_1 = 1\) existiert der Grenzwert und beträgt \(2\). An der Stelle \(x_2 = 3\) existiert kein Grenzwert, da die einseitigen Grenzwerte \(3\) und \(1\) nicht übereinstimmen.

- Wie lässt sich eine doppelte Nullstelle besonders einfach im Funktionsterm berücksichtigen? - Welchen Wert muss die Funktion \(g\) an der Stelle \(x = -2\) annehmen, damit kein Sprung im Graphen entsteht? - Nutze die Produktform für das Polynom, um die Anzahl der Unbekannten von Anfang an gering zu halten. - Wie viele Bedingungen benötigst du, um ein Polynom dritten Grades mit einer bekannten doppelten Nullstelle eindeutig zu bestimmen?

1. Bestimmung des Funktionswerts an der Nahtstelle für Stetigkeit: \(\lim_{x \to -2^-} f(x) = -2 + 5 = 3\). Also muss \(g(-2) = 3\) gelten. 2. Ansatz für \(g(x)\) mit der doppelten Nullstelle bei \(x = 1\): \(g(x) = (ax + b)(x - 1)^2\). Dies stellt sicher, dass der Grad (bei \(a \neq 0\)) drei ist. 3. Nutzung des Punktes \(P(0|2)\): \(g(0) = (a \cdot 0 + b)(0 - 1)^2 = b \cdot 1 = 2\). Somit ist \(b = 2\). 4. Einsetzen der Stetigkeitsbedingung \(g(-2) = 3\): \(g(-2) = (a \cdot (-2) + 2)(-2 - 1)^2 = (-2a + 2) \cdot 9 = 3\). 5. Lösen nach \(a\): \(-18a + 18 = 3 \Rightarrow -18a = -15 \Rightarrow a = \frac{15}{18} = \frac{5}{6}\). 6. Aufstellen und Ausmultiplizieren des Terms: \(g(x) = (\frac{5}{6}x + 2)(x^2 - 2x + 1) = \frac{5}{6}x^3 - \frac{10}{6}x^2 + \frac{5}{6}x + 2x^2 - 4x + 2 = \frac{5}{6}x^3 + \frac{1}{3}x^2 - \frac{19}{6}x + 2\).

\(g(x) = \frac{5}{6}x^3 + \frac{1}{3}x^2 - \frac{19}{6}x + 2\)