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- Verfolge jeden Graphen von links und von rechts bis zur Stelle \(x=0\). - Bei einem Sprung treffen die beiden Seiten auf unterschiedliche Höhen. - Bei einer hebbaren Lücke treffen beide Seiten auf dieselbe Höhe, aber der Punkt dort fehlt oder der Funktionswert liegt an einer anderen Stelle.

1. Bei Graph a) verläuft der Graph ohne Unterbrechung durch \(x=0\). Er ist dort stetig. 2. Bei Graph b) nähert sich der linke Graphast bei \(x=0\) dem Wert \(0\), der rechte Graphast dem Wert \(2\). Wegen dieses Sprungs ist der Graph dort unstetig. 3. Bei Graph c) nähern sich beide Graphäste bei \(x=0\) dem Wert \(1\), aber der tatsächliche Funktionswert ist durch den ausgefüllten Punkt bei \((0|-1)\) festgelegt. Die Lücke bei \((0|1)\) ist daher hebbar.

a) stetig b) Sprungstelle c) hebbare Lücke

- Verfolge den linken Graphenast bis möglichst nahe an die Nahtstelle. Welche Höhe wird dort angenähert? - Achte auf den offenen und den ausgefüllten Punkt bei \(x=0\). - Vergleiche die Höhe, die von links angenähert wird, mit der Höhe des rechten Astes und dem tatsächlichen Funktionswert.

1. Der linke Graphenast nähert sich beim Herangehen an \(x=0\) dem Punkt \((0\mid 1)\); dieser Punkt ist wegen \(x<0\) nicht enthalten. 2. Der rechte Graphenast beginnt bei dem ausgefüllten Punkt \((0\mid 2)\). Daher ist \(g(0)=2\), und auch von rechts nähern sich die Funktionswerte dem Wert \(2\). 3. Links und rechts werden an der Nahtstelle verschiedene Höhen erreicht: links \(1\), rechts \(2\). Der Graph weist bei \(x=0\) einen Sprung auf und ist dort nicht stetig.

\(g\) ist bei \(x=0\) nicht stetig. Von links nähert sich der Graph dem Wert \(1\), von rechts dem Wert \(2\), und \(g(0)=2\). Es liegt ein Sprung vor.

- Verfolge an jeder Nahtstelle den Graphen von links und von rechts. Treffen beide Äste an derselben Höhe zusammen? - Berechne die Randwerte der jeweils angrenzenden Teilfunktionen nur zur Kontrolle des Bildes. - Achte darauf, welcher Teil der Funktionsvorschrift den Punkt an der Nahtstelle tatsächlich enthält.

1. Bei \(x=2\) nähert sich der linke Parabelast dem Wert \(2^2-1=3\). Der mittlere Ast beginnt mit \(1{,}5\cdot 2=3\), und der Punkt \((2\mid 3)\) gehört wegen \(2\le x\) zum Graphen. Die Äste treffen lückenlos zusammen; \(f\) ist dort stetig. 2. Bei \(x=4\) nähert sich der mittlere Ast dem Wert \(1{,}5\cdot 4=6\). Der rechte Ast beginnt mit \(\sqrt{4}+4=6\), und der Punkt \((4\mid 6)\) gehört wegen \(x\ge 4\) zum Graphen. Auch hier treffen die Äste lückenlos zusammen; \(f\) ist stetig.

\(f\) ist sowohl bei \(x=2\) als auch bei \(x=4\) stetig. Die angrenzenden Graphenäste treffen dort jeweils bei \(y=3\) beziehungsweise \(y=6\) zusammen.

- Welche Bedingung muss der Nenner erfüllen, damit die Definitionsmenge ganz \(\mathbb{R}\) ist? - Untersuche, wann die Gleichung \(x^2+c=0\) reelle Lösungen besitzt. - Vergleiche dafür die Fälle \(c>0\), \(c=0\) und \(c<0\).

1. Damit \(D_{g_c}=\mathbb{R}\) gilt, darf der Nenner \(x^2+c\) keine reelle Nullstelle besitzen. 2. Die Gleichung \(x^2+c=0\) ist gleichbedeutend mit \(x^2=-c\). 3. Für \(c>0\) ist \(-c<0\). Da \(x^2\ge0\) für alle reellen \(x\) gilt, gibt es dann keine reelle Lösung. 4. Für \(c=0\) ist \(x=0\) eine Nennernullstelle; für \(c<0\) sind \(x=\pm\sqrt{-c}\) Nennernullstellen. Daher gilt genau für \(c>0\): \(D_{g_c}=\mathbb{R}\).

\(c>0\)

- „Angefangene \(100\,\text{cm}^3\)“ bedeutet, dass schon eine kleine Überschreitung eines Hunderterwerts den nächsten Block auslöst. - Achte im Graphen auf offene und ausgefüllte Punkte an den Enden der waagerechten Stufen. - An welchen \(V\)-Werten springt der Graph von einer Stufe auf die nächste?

1. Bei \(V=1200\,\text{cm}^3\) werden genau \(12\) angefangene Hunderterblöcke berechnet. Daher ist \(H(1200)=12\cdot 2{,}00\,\text{€}=24{,}00\,\text{€}\). 2. Bei \(1201\,\text{cm}^3\) hat der \(13.\) Hunderterblock bereits begonnen. Daher ist \(H(1201)=26{,}00\,\text{€}\). Dasselbe gilt für \(1299\,\text{cm}^3\), also \(H(1299)=26{,}00\,\text{€}\). 3. Der Graph besteht aus waagerechten Stufen. Unmittelbar nach jedem ganzzahligen Vielfachen von \(100\,\text{cm}^3\) springt der Funktionswert um \(2{,}00\,\text{€}\). Daher ist die Funktion an diesen Stellen nicht stetig. 4. Im Intervall \([1100;1400]\) liegen die Sprungstellen bei \(V=1100\), \(1200\), \(1300\) und \(1400\).

a) \(H(1200)=24{,}00\,\text{€}\), \(H(1201)=26{,}00\,\text{€}\), \(H(1299)=26{,}00\,\text{€}\). b) \(H\) ist eine Treppenfunktion und an den Sprungstellen nicht stetig. Im Intervall \([1100;1400]\) liegen diese bei \(1100\), \(1200\), \(1300\) und \(1400\,\text{cm}^3\).

- Welche allgemeine Form hat ein Polynom ersten Grades? - Übersetze die Nullstelle und den gegebenen Funktionswert jeweils in eine Bedingung an \(g\). - Überlege für die Eindeutigkeit, welche geometrische Information zwei verschiedene Punkte über eine Gerade liefern.

1. Eine lineare Funktion hat die Form \(g(x)=mx+c\) mit \(m\neq0\). 2. Aus der Nullstelle folgt \(g(3)=3m+c=0\). 3. Aus \(g(-2)=-1\) folgt \(-2m+c=-1\). 4. Subtrahieren der Gleichungen ergibt \(5m=1\), also \(m=0{,}2\). Damit ist \(c=-0{,}6\). 5. Also gilt \(g(x)=0{,}2x-0{,}6\). Die Angaben entsprechen den Punkten \((3|0)\) und \((-2|-1)\); durch zwei verschiedene Punkte verläuft genau eine Gerade.

\(g(x)=0{,}2x-0{,}6\). Die Angaben bestimmen die beiden Punkte \((3|0)\) und \((-2|-1)\); durch zwei verschiedene Punkte verläuft genau eine Gerade.

- Prüfe an jeder Stelle zuerst, ob der Graph dort eine Lücke oder einen Sprung hat. - Achte bei \(x=-1\) besonders auf den ausgefüllten Punkt und den offenen Kreis. - Ein Knick allein bedeutet nicht, dass eine Funktion unstetig ist.

1. Bei \(x_1=-1\) ist \(f\) nicht stetig. Von links nähert sich der Graph dem Wert \(2\); der ausgefüllte Punkt zeigt außerdem \(f(-1)=2\). Von rechts nähert sich der Graph dagegen dem Wert \(0\). Es liegt ein Sprung vor. 2. Bei \(x_2=1\) ist \(f\) stetig. Der Graph verläuft dort ohne Lücke oder Sprung durch den Punkt \((1|2)\). 3. Bei \(x_3=2\) ist \(f\) stetig. Beide Graphenteile treffen sich bei \((2|1{,}5)\). Der sichtbare Knick ändert daran nichts.

a) Bei \(x=-1\) ist \(f\) wegen eines Sprungs nicht stetig. b) Bei \(x=1\) ist \(f\) stetig. c) Bei \(x=2\) ist \(f\) trotz des Knicks stetig.

- Ein Wechsel der Funktionsform bedeutet nicht automatisch eine Unstetigkeit. - Prüfe, ob die Graphenteile an der betrachteten Stelle tatsächlich zusammenpassen. - Achte bei \(x=2\) besonders auf den Unterschied zwischen dem offenen Punkt der Linie und dem ausgefüllten Funktionswert.

1. Bei \(x=0\) endet die Sinuskurve bei \((0|0)\), und das anschließende konstante Teilstück beginnt am selben Punkt. Der Graph hat dort weder Lücke noch Sprung; \(p\) ist bei \(x=0\) stetig. 2. Bei \(x=2\) liegen die angrenzenden Graphenteile auf der Höhe \(0\), dieser Punkt ist jedoch offen. Der tatsächliche Funktionswert ist \(p(2)=1\). Deshalb ist \(p\) bei \(x=2\) nicht stetig.

Bei \(x=0\) ist \(p\) stetig. Bei \(x=2\) ist \(p\) nicht stetig, weil der tatsächliche Funktionswert \(1\) nicht auf dem sonst durchgehenden Graphen bei der Höhe \(0\) liegt.

- Prüfe, ob die Graphenteile an jeder untersuchten Stelle ohne Lücke oder Sprung zusammenpassen. - Ein Knick allein macht eine Funktion nicht unstetig. - Vergleiche bei \(x=2\) die Höhen, die der linke und der rechte Graphenteil an der Nahtstelle erreichen.

1. Bei \(x_1=0\) treffen die beiden Kurventeile im Punkt \((0|2)\) ohne Lücke oder Sprung zusammen. Der Knick beeinflusst die Stetigkeit nicht. Daher ist \(h\) dort stetig. 2. Bei \(x_2=2\) endet der linke Graphenteil beim ausgefüllten Punkt \((2|1{,}2)\), während der rechte Graphenteil sich der Höhe \(3\) nähert. Wegen dieses Sprungs ist \(h\) dort nicht stetig. 3. Bei \(x_3=4\) verläuft der Graph als durchgehende Gerade ohne Unterbrechung. Daher ist \(h\) dort stetig.

\(h\) ist bei \(x_1=0\) und \(x_3=4\) stetig. Bei \(x_2=2\) ist \(h\) wegen eines Sprungs nicht stetig.

- Untersuche das Verhalten links und rechts von \(x=2\) getrennt. - Vergleiche die beiden einseitigen Grenzwerte. - Überlege, welche Bedingung erfüllt sein muss, damit ein zweiseitiger Grenzwert existiert.

1. Für \(x\to2^-\) fallen die Funktionswerte unbegrenzt; der linksseitige Grenzwert ist \(-\infty\). 2. Für \(x\to2^+\) steigen die Funktionswerte unbegrenzt; der rechtsseitige Grenzwert ist \(+\infty\). 3. Ein zweiseitiger Grenzwert existiert nur, wenn die beiden einseitigen Grenzwerte übereinstimmen. Hier haben sie verschiedene Vorzeichen. Daher existiert \(\lim_{x\to2}g(x)\) nicht.

Der Grenzwert an der Stelle \(x_0=2\) existiert nicht. Es gilt \(\lim_{x\to2^-}g(x)=-\infty\) und \(\lim_{x\to2^+}g(x)=+\infty\); bei \(x=2\) liegt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor.

- Betrachte getrennt, welcher Höhe sich der linke und der rechte Graphast bei \(x=2\) nähern. - Für Stetigkeit müssen die beiden Seiten und der tatsächliche Funktionswert an derselben Stelle zusammenpassen. - Der offene Kreis zeigt dir, welcher Punkt derzeit im Graphen fehlt.

1. Von links nähert sich der Graph bei \(x=2\) dem Wert \(3\). 2. Von rechts nähert sich der Graph ebenfalls dem Wert \(3\). 3. Damit die Funktion an dieser Stelle ohne Lücke verläuft, muss der tatsächliche Funktionswert genau diesem gemeinsamen Wert entsprechen. 4. Daher muss \(f(2)=3\) festgelegt werden.

\(f(2)=3\)

- Ordne für Teil a) jeden Messwert dem richtigen Abschnitt der Funktionsvorschrift zu. - Verfolge im Graphen die beiden Geradenstücke bis zur Stelle \(x=115\). Treffen sie auf derselben Höhe zusammen? - Berechne die Randhöhe beider angrenzender Formeln zur Kontrolle. - Beschreibe bei der Interpretation nur eine Eigenschaft des Modells, nicht eine Bewertung seiner Fairness.

1. Für \(x=115\) gilt der zweite Abschnitt: \(T(115)=2(115-95)=40\,\text{€}\). 2. Für \(x=125\) gilt der dritte Abschnitt: \(T(125)=2{,}20(125-115)+40=62\,\text{€}\). 3. Am Übergang \(x=115\) erreicht der zweite Abschnitt den Wert \(40\), und der dritte Abschnitt beginnt ebenfalls bei der Höhe \(2{,}20(115-115)+40=40\). Im Graphen treffen beide Abschnitte ohne Sprung zusammen. Daher ist das Modell bei \(x=115\) stetig. 4. Im Modell bedeutet das: Wird \(x\) in der Nähe von \(115\) nur sehr wenig verändert, entsteht dadurch kein plötzlicher Sprung des modellierten Gebührenbetrags.

a) \(T(115)=40\,\text{€}\), \(T(125)=62\,\text{€}\). b) Bei \(x=115\) liegt kein Sprung vor; beide angrenzenden Abschnitte treffen bei \(40\,\text{€}\) zusammen. Das Modell ist dort stetig. c) Kleine Änderungen von \(x\) nahe \(115\) verursachen im Modell keinen abrupten Gebührensprung.

- Verfolge an jeder Nahtstelle beide angrenzenden Graphenäste bis möglichst nahe an denselben \(x\)-Wert. - Achte besonders bei \(x=3\) auf den ausgefüllten und den offenen Punkt. - Berechne die Randwerte der Teilfunktionen nur als Kontrolle dessen, was du im Graphen siehst.

1. Bei \(x=-2\) nähert sich der linke Geradenast dem Wert \(-2+5=3\). Der mittlere Parabelast besitzt dort den Wert \((-2)^2-1=3\). Beide Äste treffen bei \((-2\mid 3)\) zusammen; die Funktion ist dort stetig. 2. Bei \(x=3\) erreicht der mittlere Ast den Wert \(3^2-1=8\), und wegen \(x\le 3\) gilt \(g(3)=8\). Der rechte Ast nähert sich dagegen beim Herangehen an \(3\) dem Wert \(\frac{18}{3}=6\). 3. Da bei \(x=3\) die angenäherten Höhen \(8\) und \(6\) verschieden sind, liegt dort ein Sprung vor. Die Funktion ist bei \(x=3\) nicht stetig.

Bei \(x=-2\) ist \(g\) stetig; beide Äste treffen bei \(y=3\) zusammen und \(g(-2)=3\). Bei \(x=3\) ist \(g\) nicht stetig: Der mittlere Ast liegt bei \(y=8\), der rechte Ast nähert sich \(y=6\), und \(g(3)=8\).

- Welche Faktoren müssen wegen der angegebenen Nullstellen im Term vorkommen? - Wie zeigt sich eine doppelte Nullstelle in der Linearfaktorzerlegung? - Nutze den gegebenen Punkt erst, nachdem du die Nullstellen bereits im Term berücksichtigt hast.

1. Wegen der doppelten Nullstelle bei \(x=0\) und der einfachen Nullstelle bei \(x=4\) hat das Polynom die Form \(p(x)=ax^2(x-4)\). 2. Der Punkt \(P(2|8)\) liefert \(8=a\cdot2^2(2-4)=-8a\). 3. Daraus folgt \(a=-1\). 4. Somit ist \(p(x)=-x^2(x-4)=-x^3+4x^2\).

\(p(x)=-x^2(x-4)=-x^3+4x^2\)

- Achte bei den Gewichten genau auf „bis einschließlich“ und „über“. - Übertrage jede Preisstufe in ein eigenes Intervall der abschnittsweisen Funktion. - Im Graphen zeigen der ausgefüllte und der offene Punkt bei \(w=5\), welcher Preis genau an der Grenze gilt und welcher unmittelbar danach.

1. Für \(1{,}8\,\text{kg}\) gilt \(K=4{,}95\,\text{€}\). Für \(5{,}0\,\text{kg}\) gilt noch der zweite Preis, also \(6{,}95\,\text{€}\). Für \(5{,}1\,\text{kg}\) gilt bereits der dritte Preis, also \(10{,}45\,\text{€}\). 2. Es gilt \(K(w)=\begin{cases}4{,}95&\text{für }0<w\le 2\\6{,}95&\text{für }2<w\le 5\\10{,}45&\text{für }5<w\le 10\\18{,}45&\text{für }10<w\le 31{,}5\end{cases}\), wobei die Werte in Euro angegeben sind. 3. Unmittelbar links von \(w=5\) liegt der Graph auf der Höhe \(6{,}95\); unmittelbar rechts liegt er auf \(10{,}45\). Der ausgefüllte Punkt bei \(w=5\) zeigt \(K(5)=6{,}95\,\text{€}\). 4. Da die beiden Seiten verschiedene Höhen besitzen, liegt bei \(w=5\) ein Sprung vor. Die Funktion ist dort nicht stetig.

a) \(4{,}95\,\text{€}\), \(6{,}95\,\text{€}\), \(10{,}45\,\text{€}\). b) \(K(w)=\begin{cases}4{,}95&0<w\le 2\\6{,}95&2<w\le 5\\10{,}45&5<w\le 10\\18{,}45&10<w\le 31{,}5\end{cases}\) in Euro. c) Nicht stetig bei \(w=5\): links \(6{,}95\,\text{€}\), rechts \(10{,}45\,\text{€}\), und \(K(5)=6{,}95\,\text{€}\).

- Prüfe, ob die beiden Graphenteile an der Nahtstelle ohne Sprung oder Lücke zusammenpassen. - Achte auf offene und ausgefüllte Punkte: Welcher Punkt bestimmt den tatsächlichen Funktionswert? - Vergleiche für jeden Graphen die Höhe, der man sich von links und von rechts nähert.

1. Bei \(f\) nähert sich der linke Graphenteil an \(x=1\) der Höhe \(1\), der rechte Graphenteil dagegen der Höhe \(-1\). Der ausgefüllte Punkt zeigt \(f(1)=1\). Die beiden Graphenteile treffen sich also nicht; \(f\) besitzt dort einen Sprung und ist nicht stetig. 2. Bei \(g\) nähern sich beide Graphenteile an \(x=1\) der Höhe \(0\). Außerdem liegt der Funktionswert bei \(g(1)=0\). Der Graph schließt ohne Lücke oder Sprung an, daher ist \(g\) dort stetig.

a) \(f\) ist bei \(x=1\) nicht stetig: Von links nähert sich der Graph der Höhe \(1\), von rechts der Höhe \(-1\); außerdem ist \(f(1)=1\). b) \(g\) ist bei \(x=1\) stetig: Beide Graphenteile treffen sich bei \((1|0)\), und \(g(1)=0\).

- Offene Kreise gehören nicht zum Graphen; ausgefüllte Punkte geben den tatsächlichen Funktionswert an. - Prüfe an auffälligen Stellen, ob die Graphenteile dieselbe Höhe erreichen. - Unterscheide zwischen einem einzelnen versetzten Funktionswert und einem Sprung zwischen zwei Graphenteilen.

1. Die ausgefüllten Punkte liefern \(f(-2)=3\) und \(f(1)=0\). Bei \(x=3\) liegt der Graph auf der Geraden mit dem Wert \(-2\), also ist \(f(3)=-2\). 2. Bei \(x=-2\) nähern sich die angrenzenden Graphenteile beide der Höhe \(1\), der tatsächliche Funktionswert ist aber \(3\). Deshalb ist der Graph dort unterbrochen. 3. Bei \(x=1\) nähert sich der linke Teil der Höhe \(2{,}5\), während der rechte Teil bei \(0\) beginnt und \(f(1)=0\) gilt. Dort liegt ein Sprung vor.

a) \(f(-2)=3\), \(f(1)=0\), \(f(3)=-2\). b) Nicht stetig bei \(x=-2\) und \(x=1\). Bei \(x=-2\) liegt ein einzelner Funktionswert außerhalb der sonst passenden Graphenteile; bei \(x=1\) liegt ein Sprung vor.

- Verfolge zuerst nur die Lage der Sprungstelle bei der Verschiebung nach rechts. - Überlege anschließend, welche Koordinaten sich bei einer Spiegelung an der \(x\)-Achse ändern. - Lies am Ausgangsgraphen getrennt die angenäherten Höhen links und rechts der Sprungstelle sowie den ausgefüllten Funktionswert ab.

1. Die Sprungstelle von \(f\) liegt bei \(x=1\). Durch die Verschiebung um \(2\) nach rechts wandert sie zu \(x_0=3\). Die Spiegelung an der \(x\)-Achse verändert diese \(x\)-Koordinate nicht. 2. Unmittelbar links von \(x=1\) nähert sich der ursprüngliche Graph der Höhe \(0\), unmittelbar rechts der Höhe \(1\). Der ausgefüllte Punkt zeigt \(f(1)=1\). 3. Durch die Spiegelung an der \(x\)-Achse wechseln die Vorzeichen dieser Höhen. Für \(h\) nähert sich der Graph unmittelbar links von \(x_0=3\) daher der Höhe \(0\), unmittelbar rechts der Höhe \(-1\). Außerdem gilt \(h(3)=-1\).

a) \(x_0=3\) b) Links nähert sich der Graph der Höhe \(0\), rechts der Höhe \(-1\); \(h(3)=-1\).

- Überlege zuerst, wie eine Spiegelung an der \(y\)-Achse die \(x\)-Koordinate der Sprungstelle verändert. - Lies am Ausgangsgraphen die angenäherten Höhen auf beiden Seiten der Sprungstelle getrennt ab. - Was passiert bei einer Spiegelung an der \(y\)-Achse mit „links“ und „rechts“?

1. Aus dem Graphen liest man ab, dass \(f\) bei \(x_f=1\) einen Sprung besitzt. Unmittelbar links davon nähert sich der Graph der Höhe \(0\), unmittelbar rechts der Höhe \(2\). 2. Die Spiegelung an der \(y\)-Achse bildet die Stelle \(x=1\) auf \(x_g=-1\) ab. Dort liegt daher die Sprungstelle von \(g\). 3. Bei der Spiegelung werden links und rechts vertauscht. Unmittelbar links von \(x_g=-1\) nähert sich der Graph von \(g\) der Höhe \(2\), unmittelbar rechts der Höhe \(0\). 4. Weil sich die beiden Graphenteile an der Stelle \(x_g=-1\) unterschiedlichen Höhen nähern, entsteht ein Sprung. Daher ist \(g\) dort nicht stetig.

a) \(x_f=1\) b) \(x_g=-1\) c) Links nähert sich der Graph der Höhe \(2\), rechts der Höhe \(0\). Deshalb liegt bei \(x_g=-1\) ein Sprung vor und \(g\) ist dort nicht stetig.

- Verschiebe zuerst die Stelle des sichtbaren Sprungs genauso wie den gesamten Graphen. - Ein ausgefüllter Punkt zeigt den tatsächlichen Funktionswert an der Sprungstelle. - Betrachte für die beiden Annäherungswerte getrennt, welcher Graphast links und welcher rechts an die Sprungstelle heranführt.

1. Der Term \(x-3\) verschiebt den Graphen um \(3\) Einheiten nach rechts. Das \(+1\) verschiebt ihn um \(1\) Einheit nach oben. 2. Der Graph von \(f\) hat bei \(x=1\) einen Sprung. Nach der Verschiebung um \(3\) Einheiten nach rechts liegt der Sprung bei \(x_k=4\). 3. Am ursprünglichen Sprung gilt \(f(1)=-5\). Nach der Verschiebung nach oben ist daher \(k(4)=-4\). 4. Von links nähert sich der Graph von \(f\) bei \(x=1\) dem Wert \(-5\); nach der Verschiebung nach oben nähert sich der Graph von \(k\) von links dem Wert \(-4\). 5. Von rechts nähert sich der Graph von \(f\) bei \(x=1\) dem Wert \(-1\); nach der Verschiebung nach oben nähert sich der Graph von \(k\) von rechts dem Wert \(0\).

a) Verschiebung um \(3\) Einheiten nach rechts und \(1\) Einheit nach oben. b) \(x_k=4\) c) \(k(4)=-4\); von links nähert sich der Graph dem Wert \(-4\), von rechts dem Wert \(0\).

- Welche Bedeutung haben der offene und der ausgefüllte Punkt bei \(x=2\)? - Auf welcher Höhe würde die Gerade ohne die versetzte Punktdefinition durch \(x=2\) verlaufen? - Welcher Funktionswert würde genau diese Lücke schließen?

1. Von beiden Seiten verläuft die Gerade auf die Höhe \(3\) zu. Der Punkt \((2|3)\) ist jedoch offen und gehört nicht zum Graphen. 2. Der tatsächliche Funktionswert ist durch den ausgefüllten Punkt gegeben: \(g(2)=1\). Deshalb besitzt der Graph bei \(x=2\) eine Unterbrechung und \(g\) ist dort nicht stetig. 3. Damit der Graph ohne Unterbrechung verläuft, müsste der Funktionswert die offene Stelle schließen. Es müsste also \(g(2)=3\) gelten.

a) \(g\) ist bei \(x=2\) nicht stetig, weil der tatsächliche Punkt \((2|1)\) nicht auf der sonst durchgehenden Geraden liegt. b) Es müsste \(g(2)=3\) gelten.

- Prüfe an jeder Stelle zuerst, ob die beiden Graphenteile dieselbe Höhe erreichen. - Achte anschließend darauf, welcher Punkt an der Stelle tatsächlich ausgefüllt ist. - Unterscheide einen einzelnen versetzten Funktionswert von einem echten Sprung zwischen zwei Graphenteilen.

1. Bei \(x_1=1\) treffen sich die beiden angrenzenden Graphenteile an der offenen Stelle \((1|2)\). Der tatsächliche Funktionswert ist aber \(f(1)=1\). Deshalb ist \(f\) dort nicht stetig. 2. Bei \(x_2=3\) endet der linke Graphenteil bei der Höhe \(3\), während der rechte bei der Höhe \(1\) beginnt. Wegen dieses Sprungs ist \(f\) dort ebenfalls nicht stetig. 3. Die beiden Stellen zeigen unterschiedliche Arten einer Unterbrechung: bei \(x=1\) einen einzelnen versetzten Funktionswert, bei \(x=3\) einen Sprung zwischen den Graphenteilen.

Bei \(x_1=1\) ist \(f\) nicht stetig, weil der tatsächliche Funktionswert \(1\) nicht auf der sonst zusammenpassenden Höhe \(2\) liegt. Bei \(x_2=3\) ist \(f\) wegen eines Sprungs von Höhe \(3\) auf Höhe \(1\) nicht stetig.

- Wie kannst du die doppelte Nullstelle direkt in einer Produktdarstellung berücksichtigen? - Welche beiden Bedingungen liefern die gegebenen Punkte? - Wähle eine Darstellung, in der möglichst wenige unbekannte Parameter vorkommen.

1. Wegen der doppelten Nullstelle bei \(x=1\) kann man \(g(x)=(ax+b)(x-1)^2\) ansetzen. 2. Aus \(P(0|2)\) folgt \(b=2\). 3. Mit \(Q(-2|3)\) gilt \(3=(-2a+2)(-3)^2=9(-2a+2)\). 4. Daraus folgt \(-18a+18=3\), also \(a=\frac{5}{6}\). 5. Somit ist \(g(x)=\left(\frac{5}{6}x+2\right)(x-1)^2=\frac{5}{6}x^3+\frac{1}{3}x^2-\frac{19}{6}x+2\).

\(g(x)=\left(\frac{5}{6}x+2\right)(x-1)^2=\frac{5}{6}x^3+\frac{1}{3}x^2-\frac{19}{6}x+2\)

- Welche Vorzeichen besitzen die Funktionswerte einer ganzrationalen Funktion ungeraden Grades weit links und weit rechts? - Welche Bedeutung hat Stetigkeit für alle Zwischenwerte zwischen zwei Funktionswerten? - Bestimme beim Beispiel zunächst den Grad des Produkts und untersuche anschließend jeden Faktor auf reelle Nullstellen. - Vergleiche das konkrete Ergebnis mit der allgemeinen Aussage aus Teil a).

1. Bei einer ganzrationalen Funktion ungeraden Grades haben die Funktionswerte für \(x\to\infty\) und \(x\to-\infty\) entgegengesetztes Globalverhalten: auf einer Seite streben sie gegen \(\infty\), auf der anderen gegen \(-\infty\). 2. Ganzrationale Funktionen sind stetig. Daher nimmt die Funktion zwischen einem negativen und einem positiven Funktionswert auch den Wert \(0\) an. Somit besitzt sie mindestens eine reelle Nullstelle. 3. Für \(g\) ist der Grad \(2+2+1=5\), also ungerade. 4. Der Faktor \(x^2+4\) besitzt keine reelle Nullstelle. Aus \((x-5)^2=0\) folgt \(x=5\) mit Vielfachheit \(2\), aus \(x+1=0\) folgt \(x=-1\) mit Vielfachheit \(1\). 5. Damit besitzt \(g\) tatsächlich reelle Nullstellen und bestätigt das in a) begründete allgemeine Ergebnis.

a) Wegen des entgegengesetzten Globalverhaltens und der Stetigkeit muss eine ganzrationale Funktion ungeraden Grades den Wert \(0\) mindestens einmal annehmen. b) Grad \(5\); Nullstellen: \(x=5\) mit Vielfachheit \(2\) und \(x=-1\) mit Vielfachheit \(1\). Das Beispiel ist mit der Aussage aus a) vereinbar.

- Welche beiden Richtungen des Globalverhaltens ergeben sich bei ungeradem Grad und positivem Leitkoeffizienten? - Was ändert sich bei einem negativen Leitkoeffizienten, und was bleibt für die Vorzeichen an den beiden Enden gleich? - Welche Aussage liefert Stetigkeit über Werte zwischen einem negativen und einem positiven Funktionswert?

1. Ist der Grad ungerade und der Leitkoeffizient positiv, so gilt \(g(x)\to\infty\) für \(x\to\infty\) und \(g(x)\to-\infty\) für \(x\to-\infty\). 2. Bei negativem Leitkoeffizienten sind die beiden Richtungen vertauscht. In jedem Fall nimmt die Funktion für hinreichend große positive und negative \(x\)-Werte Funktionswerte mit unterschiedlichen Vorzeichen an. 3. Ganzrationale Funktionen sind stetig. Deshalb nimmt \(g\) zwischen einem negativen und einem positiven Funktionswert auch den Wert \(0\) an. 4. Somit besitzt jede ganzrationale Funktion ungeraden Grades mindestens eine reelle Nullstelle.

a) \(g(x)\to\infty\) für \(x\to\infty\) und \(g(x)\to-\infty\) für \(x\to-\infty\). b) Wegen des entgegengesetzten Globalverhaltens existieren Funktionswerte mit verschiedenen Vorzeichen. Aufgrund der Stetigkeit muss die Funktion dazwischen den Wert \(0\) annehmen und besitzt daher mindestens eine reelle Nullstelle.