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- Was muss für die Grenzwerte von links und rechts im Vergleich zum Funktionswert gelten, damit eine Funktion an einer Stelle stetig ist? - Berechne separat, welchem Wert sich die Funktion nähert, wenn du von kleineren Zahlen (links) an die Nahtstelle herangehst. - Bestimme den tatsächlichen Funktionswert an der Nahtstelle, indem du die entsprechende Zeile der Funktionsvorschrift nutzt. - Vergleiche diese beiden Werte miteinander.

1. Bestimmung des linksseitigen Grenzwertes für \(x \to 0\): Da für \(x < 0\) der Funktionsterm \(x^2 + 1\) gilt, ergibt sich \(\lim_{x \to 0^-} (x^2 + 1) = 0^2 + 1 = 1\). 2. Bestimmung des Funktionswertes an der Stelle \(x = 0\): Gemäß der Definition für \(x \ge 0\) gilt \(g(0) = 2 - 0 = 2\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Da der linksseitige Grenzwert (\(1\)) nicht mit dem Funktionswert (\(2\)) übereinstimmt, ist die Bedingung für Stetigkeit an der Stelle \(x = 0\) verletzt. Die Funktion weist dort einen Sprung auf.

Die Funktion ist an der Stelle \(x = 0\) unstetig, da der linksseitige Grenzwert \(\lim_{x \to 0^-} g(x) = 1\) nicht mit dem Funktionswert \(g(0) = 2\) übereinstimmt.

- Damit eine Funktion an einer Nahtstelle stetig ist, müssen die Funktionswerte von links und von rechts kommend denselben Wert annehmen. - Berechne zuerst den Funktionswert an der Stelle \(x = 2\) mit der entsprechenden Teilvorschrift. - Überlege dann, welchen Wert der zweite Teilterm für \(x = 2\) annehmen müsste, damit die beiden Kurventeile lückenlos aneinanderschließen. - Stelle eine Gleichung auf, in der die beiden Terme für den Übergangspunkt gleichgesetzt werden.

1. Berechnung des linksseitigen Grenzwerts und Funktionswerts an der Stelle \(x = 2\) unter Verwendung des ersten Teilterm: \(f(2) = 0{,}5 \cdot 2^2 - 1 = 0{,}5 \cdot 4 - 1 = 1\). 2. Aufstellen des rechtsseitigen Grenzwerts für \(x \to 2^+\) unter Verwendung des zweiten Teilterms: \(\lim_{x \to 2^+} (k \cdot x - 5) = 2k - 5\). 3. Gleichsetzen der Ergebnisse für die Stetigkeitsbedingung: \(2k - 5 = 1\). 4. Lösen der Gleichung nach \(k\): \(2k = 6 \implies k = 3\).

\(k = 3\)

- Was muss für den links- und rechtsseitigen Grenzwert an einer Nahtstelle gelten, damit eine Funktion dort stetig ist? - Berechne die Werte der Teilfunktionen direkt an den Grenzen der jeweiligen Intervalle. - Vergleiche die Ergebnisse der Berechnungen für jede Übergangsstelle einzeln.

1. Untersuchung an der Stelle \(x_1 = 2\): Bestimmung des linksseitigen Grenzwertes \(\lim_{x \to 2^-} (x^2 - 1) = 2^2 - 1 = 3\). Bestimmung des rechtsseitigen Grenzwertes und Funktionswertes \(f(2) = 1{,}5 \cdot 2 = 3\). Da linksseitiger Grenzwert, rechtsseitiger Grenzwert und Funktionswert übereinstimmen, ist \(f\) bei \(x_1 = 2\) stetig. 2. Untersuchung an der Stelle \(x_2 = 4\): Bestimmung des linksseitigen Grenzwertes \(\lim_{x \to 4^-} (1{,}5x) = 1{,}5 \cdot 4 = 6\). Bestimmung des rechtsseitigen Grenzwertes und Funktionswertes \(f(4) = \sqrt{4} + 4 = 2 + 4 = 6\). Da alle Werte übereinstimmen, ist \(f\) auch bei \(x_2 = 4\) stetig.

Die Funktion \(f\) ist an beiden Stellen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 4\) stetig, da die links- und rechtsseitigen Grenzwerte jeweils mit dem Funktionswert übereinstimmen (\(3\) an der Stelle \(x_1\) und \(6\) an der Stelle \(x_2\)).

- Was bedeutet es anschaulich für den Graphen einer Funktion, wenn sie an einer Stelle stetig ist? - Überlege, welcher Wert von beiden Seiten der Nahtstelle angestrebt werden muss. - Berechne zuerst den Wert des Teilstücks, das keinen Parameter enthält. - Wie muss der Wert des anderen Teilstücks an dieser Stelle sein, damit kein „Sprung“ entsteht?

1. Für die Stetigkeit an der Stelle \(x = 3\) muss der linksseitige Grenzwert (der hier dem Funktionswert entspricht) mit dem rechtsseitigen Grenzwert übereinstimmen. 2. Berechnung des Funktionswerts an der Stelle \(3\): \(f(3) = 3^2 - k = 9 - k\). 3. Berechnung des rechtsseitigen Grenzwerts für \(x \to 3\): \(\lim_{x \to 3^+} \left(\frac{12}{x} + 1\right) = \frac{12}{3} + 1 = 4 + 1 = 5\). 4. Gleichsetzen der Ergebnisse zur Bestimmung von \(k\): \(9 - k = 5\). 5. Auflösen der Gleichung nach \(k\): \(k = 4\).

Der Parameter muss \(k = 4\) sein.

- Was muss für die Grenzwerte von links und rechts gelten, damit eine Funktion an einer Nahtstelle stetig ist? - Setze die Nahtstelle in beide Teilfunktionsterme ein. - Stelle eine Gleichung auf, in der die Ergebnisse der beiden Einsetzungen gleichgesetzt werden. - Löse diese Gleichung nach der gesuchten Variable auf.

1. Berechnung des linksseitigen Grenzwerts und des Funktionswerts an der Stelle \(x = 3\): \(f(3) = \lim_{x \to 3^-} (x^2 + ax - 5) = 3^2 + 3a - 5 = 4 + 3a\). 2. Berechnung des rechtsseitigen Grenzwerts an der Stelle \(x = 3\): \(\lim_{x \to 3^+} (\frac{12}{x} + 3) = \frac{12}{3} + 3 = 4 + 3 = 7\). 3. Gleichsetzen der Grenzwerte für die Stetigkeit: \(4 + 3a = 7\). 4. Lösen der Gleichung nach \(a\): \(3a = 3 \implies a = 1\).

\(a = 1\)

- Was bedeutet „pro angefangene \(100\,\text{cm}^3\)“ für einen Wert wie \(1200{,}1\)? - Überlege dir, wie der Graph aussieht: Ist es eine durchgehende Linie oder gibt es Unterbrechungen? - Wie nennt man Funktionen, deren Graph wie eine Treppe aussieht?

1. Berechnung der Steuerwerte: \(H(1200)\): \(1200\,\text{cm}^3\) entsprechen genau \(12\) Einheiten von \(100\,\text{cm}^3\). \(12 \cdot 2{,}00 = 24{,}00\,\text{€}\). \(H(1201)\): Da die \(13\). Einheit angefangen wurde, wird für \(13\) Einheiten gezahlt. \(13 \cdot 2{,}00 = 26{,}00\,\text{€}\). \(H(1299)\): Auch hier ist die \(13\). Einheit angefangen. \(13 \cdot 2{,}00 = 26{,}00\,\text{€}\). 2. Analyse der Funktionseigenschaften: Die Funktion ist eine Treppenfunktion (oder Sprungfunktion). Sie ist an den Stellen nicht stetig, an denen ein neuer \(100\,\text{cm}^3\)-Block beginnt. Im Intervall \([1100; 1400]\) treten Sprungstellen bei allen ganzzahligen Vielfachen von \(100\) in diesem Intervall auf: \(V = 1100\), \(V = 1200\), \(V = 1300\) und \(V = 1400\). Bei \(V = 1200\) gilt noch der niedrigere Wert; für Werte unmittelbar größer als \(1200\) gilt bereits der höhere Wert. Daher liegt dort eine Sprungstelle vor.

a) \(H(1200) = 24{,}00\,\text{€}\); \(H(1201) = 26{,}00\,\text{€}\); \(H(1299) = 26{,}00\,\text{€}\). b) Die Funktion \(H\) ist eine Treppenfunktion und somit nicht stetig. Die Sprungstellen im Intervall liegen bei \(V = 1100\), \(V = 1200\), \(V = 1300\) und \(V = 1400\).

- Wann kann man einen Funktionsgraphen zeichnen, ohne den Stift abzusetzen? - Was muss an der Nahtstelle für den linksseitigen und den rechtsseitigen Grenzwert gelten? - Berechne zuerst den Wert, den die Funktion von rechts kommend an der Stelle \(x = 2\) annimmt. - Stelle eine Gleichung auf, in der die beiden Grenzwerte gleichgesetzt werden.

1. Bestimmung des Funktionswerts an der Stelle \(x = 2\): \(f(2) = \frac{12}{2+2} = \frac{12}{4} = 3\). Da die Funktion für \(x \geq 2\) durch diesen Term definiert ist, entspricht dies auch dem rechtsseitigen Grenzwert \(\lim_{x \to 2^+} f(x) = 3\). 2. Berechnung des linksseitigen Grenzwerts gegen die Nahtstelle: \(\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (\frac{1}{2}x^2 + k) = \frac{1}{2} \cdot 2^2 + k = 2 + k\). 3. Bedingung für Stetigkeit aufstellen: Der linksseitige Grenzwert muss mit dem Funktionswert (und dem rechtsseitigen Grenzwert) übereinstimmen: \(2 + k = 3\). 4. Lösen der Gleichung nach \(k\): \(k = 1\).

Die Funktion ist für \(k = 1\) an der Stelle \(x = 2\) stetig.

- Betrachte für den linksseitigen Grenzwert nur den Teil der Funktion, der für Werte kleiner als \(-3\) definiert ist. - Wann genau sagt man in der Mathematik, dass ein Grenzwert an einer bestimmten Stelle existiert? - Wie müssen sich der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert zueinander verhalten?

1. Berechnung des linksseitigen Grenzwerts durch Einsetzen von \(x = -3\) in den ersten Funktionsterm: \(\lim_{x \to -3^-} \frac{2x+8}{x+5} = \frac{2 \cdot (-3) + 8}{-3 + 5} = \frac{2}{2} = 1\). 2. Bestimmung des rechtsseitigen Grenzwerts in Abhängigkeit von \(c\): \(\lim_{x \to -3^+} (x^2 + 5x + c) = (-3)^2 + 5 \cdot (-3) + c = 9 - 15 + c = c - 6\). 3. Gleichsetzen der einseitigen Grenzwerte für die Existenz des Grenzwerts: \(1 = c - 6 \implies c = 7\).

a) \(\lim_{x \to -3^-} f(x) = 1\) b) \(c = 7\)

- Untersuche das Verhalten der Funktion in der unmittelbaren Umgebung der Nahtstelle von beiden Seiten. - Welchen Wert erreicht die Funktion genau an der Stelle \(x = 1\)? - Gibt es einen Unterschied zwischen der Annäherung von links (Werte kleiner als 1) und der Annäherung von rechts (Werte größer als 1)? - Wie definieren Mathematiker Stetigkeit mithilfe von Grenzwerten?

1. Berechnung des linksseitigen Grenzwertes gegen die Nahtstelle \(x = 1\): \(\lim_{x \to 1^-} \frac{6}{x+2} = \frac{6}{1+2} = 2\). 2. Berechnung des rechtsseitigen Grenzwertes bzw. des Funktionswertes an der Stelle \(x = 1\): \(h(1) = \lim_{x \to 1^+} (0{,}5x + 1) = 0{,}5 \cdot 1 + 1 = 1{,}5\). 3. Schlussfolgerung: Da der linksseitige Grenzwert (\(2\)) und der rechtsseitige Grenzwert (\(1{,}5\)) voneinander verschieden sind, existiert der Grenzwert an der Stelle \(x = 1\) nicht. Somit ist die Funktion an dieser Stelle unstetig und weist einen Sprung der Höhe \(0{,}5\) auf.

Der linksseitige Grenzwert an der Stelle \(x = 1\) beträgt \(2\), während der rechtsseitige Grenzwert (und damit auch der Funktionswert) \(1{,}5\) beträgt. Da diese Werte nicht identisch sind, liegt bei \(x = 1\) eine Unstetigkeitsstelle in Form eines Sprungs vor.

- Betrachte die Stelle, an der die Definition der Funktion wechselt. Was muss dort für die Grenzwerte gelten? - Setze den Wert der Nahtstelle in beide Funktionsterme ein. - Beachte beim Einsetzen negativer Zahlen in Klammern die Vorzeichenregeln. - Welche mathematische Bedingung muss erfüllt sein, damit der Graph an der Stelle \(x = -1\) keine Unterbrechung hat?

1. Bestimmung des linksseitigen Grenzwerts an der Stelle \(x = -1\): \(\lim_{x \to -1^-} \frac{6}{x-2} = \frac{6}{-1-2} = \frac{6}{-3} = -2\). 2. Bestimmung des Funktionswerts (und rechtsseitigen Grenzwerts) an der Stelle \(x = -1\): \(g(-1) = a \cdot (-1 + 3)^2 - 10 = a \cdot 2^2 - 10 = 4a - 10\). 3. Gleichsetzen der Grenzwerte zur Gewährleistung der Stetigkeit: \(4a - 10 = -2\). 4. Auflösen der Gleichung: \(4a = 8 \implies a = 2\).

\(a = 2\)

- Betrachte die einzelnen Funktionstypen in den Abschnitten. Sind diese für sich genommen überall stetig? - Konzentriere dich auf die Stellen, an denen die Definition der Funktion wechselt. - Welche Werte nehmen die Funktionsterme an, wenn man sich den Grenzen von links und von rechts annähert?

1. Die Teilfunktionen sind als Potenz- bzw. Sinusfunktionen auf ihren jeweiligen offenen Intervallen stetig. Die Stetigkeit muss daher nur an den Übergangsstellen geprüft werden. 2. Prüfung bei \(x = -1\): Linksseitiger Grenzwert \(\lim_{x \to -1^-} (x+2)^2 = (-1+2)^2 = 1\). Rechtsseitiger Grenzwert und Funktionswert \(h(-1) = \sin(-0{,}5\pi) + 2 = -1 + 2 = 1\). Die Werte sind identisch, also ist \(h\) bei \(x = -1\) stetig. 3. Prüfung bei \(x = 1\): Linksseitiger Grenzwert \(\lim_{x \to 1^-} (\sin(0{,}5\pi x) + 2) = \sin(0{,}5\pi) + 2 = 1 + 2 = 3\). Rechtsseitiger Grenzwert und Funktionswert \(h(1) = 4 - 1^2 = 3\). Die Werte sind identisch, also ist \(h\) bei \(x = 1\) stetig. 4. Da die Funktion an den Nahtstellen und innerhalb der Intervalle stetig ist, ist sie im gesamten Definitionsbereich stetig.

Die Stetigkeit von \(h\) folgt daraus, dass die Teilfunktionen in ihren Intervallen stetig sind und an den Nahtstellen \(x = -1\) (beidseitiger Grenzwert \(1\)) sowie \(x = 1\) (beidseitiger Grenzwert \(3\)) die links- und rechtsseitigen Grenzwerte mit den Funktionswerten übereinstimmen.

- Überlege dir zuerst, ob man für \(x = 1\) überhaupt einen Funktionswert berechnen kann. - Was ist die Grundvoraussetzung dafür, dass eine Funktion an einer bestimmten Stelle stetig sein kann? - Erinnere dich an den Unterschied zwischen dem Grenzwert einer Funktion an einer Stelle und dem tatsächlichen Funktionswert an dieser Stelle. - Wie sieht der Graph an einer Stelle aus, die man aus dem Term „herauskürzen“ kann? Musst du den Stift absetzen?

1. Bestimmung des Definitionsbereichs: Der Nenner \(x - 1\) darf nicht Null sein, daher ist die Funktion an der Stelle \(x = 1\) nicht definiert (\(1 \notin D_f\)). 2. Bedingung für Stetigkeit: Eine Funktion ist an einer Stelle \(x_0\) nur dann stetig, wenn sie dort definiert ist und der Grenzwert mit dem Funktionswert übereinstimmt. 3. Schlussfolgerung: Da \(f(1)\) nicht existiert, ist die Funktion an dieser Stelle unstetig, auch wenn der Graph dort lediglich eine hebbare Definitionslücke (ein „Loch“) und keine vertikale Asymptote aufweist. Die Aussage ist somit falsch.

Die Aussage ist falsch. Damit eine Funktion an einer Stelle stetig ist, muss sie dort definiert sein. Da der Nenner für \(x = 1\) Null wird, ist die Funktion an dieser Stelle nicht definiert und somit unstetig.

- Wo genau treten bei gebrochenrationalen Funktionen Probleme mit der Stetigkeit auf? - Kannst du einen Wert für \(c\) finden, bei dem der Nenner niemals Null wird? - Wenn eine Funktion keine Definitionslücken besitzt und eine „normale“ gebrochenrationale Struktur hat, was bedeutet das für ihre Stetigkeit? - Probiere doch mal konkrete Werte wie \(c = -1\), \(c = 0\) und \(c = 1\) aus.

1. Analyse der Definitionslücken: Eine gebrochenrationale Funktion ist überall dort stetig, wo sie definiert ist. Unstetigkeitsstellen treten bei den Nullstellen des Nenners auf. 2. Untersuchung des Nenners: Der Nenner ist \(x^2 + c\). Die Gleichung \(x^2 + c = 0\) hat keine reellen Lösungen, wenn \(c > 0\) ist (da \(x^2 \geq 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\)). 3. Beispiel wählen: Für \(c = 1\) ist \(x^2 + 1 > 0\) für alle \(x\). Die Funktion \(g_1(x) = \frac{1}{x^2 + 1}\) hat somit keine Definitionslücken. 4. Schlussfolgerung: Da die Funktion für \(c > 0\) auf ganz \(\mathbb{R}\) definiert und als gebrochenrationale Funktion in ihrem Definitionsbereich stetig ist, ist die Aussage wahr.

Die Aussage ist wahr. Für alle \(c > 0\) (zum Beispiel \(c = 1\)) besitzt der Nenner \(x^2 + c\) keine reellen Nullstellen. Die Funktion ist dann auf ganz \(\mathbb{R}\) definiert und somit überall stetig.

- Untersuche für den ersten Teil, was passiert, wenn du den Wert der Nahtstelle in den Klammerausdruck einsetzt. - Welchen Einfluss hat der Faktor vor einer Klammer, wenn der Inhalt der Klammer Null ergibt? - Verfahre für den zweiten Teil so, dass die Funktionswerte der aneinandergrenzenden Abschnitte an der Stelle 8 identisch sein müssen.

1. Zu Teilaufgabe a): Der linksseitige Grenzwert sowie der Funktionswert bei \(x = 5\) ergeben sich zu \(g(5) = \lim_{x \to 5^-} (k \cdot (5 - 5)^2 + 2) = k \cdot 0 + 2 = 2\). Der rechtsseitige Grenzwert ist durch den konstanten Wert des zweiten Abschnitts ebenfalls \(\lim_{x \to 5^+} 2 = 2\). Da beide Grenzwerte für jedes \(k\) übereinstimmen, ist \(g\) bei \(x = 5\) stets stetig. 2. Zu Teilaufgabe b): Der linksseitige Grenzwert und Funktionswert bei \(x = 8\) ist \(g(8) = 2\). 3. Der rechtsseitige Grenzwert bei \(x = 8\) ist \(\lim_{x \to 8^+} (1{,}5x + d) = 1{,}5 \cdot 8 + d = 12 + d\). 4. Bedingung für Stetigkeit: \(12 + d = 2\). 5. Auflösen nach \(d\): \(d = -10\).

a) Der linksseitige Grenzwert ist \(k \cdot 0 + 2 = 2\) und entspricht dem rechtsseitigen Grenzwert \(2\). b) \(d = -10\)

- Überlege zuerst, in welchen Definitionsbereich der jeweilige \(x\)-Wert fällt. - Erinnere dich an die Definition der Stetigkeit: Was muss für die Grenzwerte von links und rechts im Vergleich zum Funktionswert gelten? - Was würde passieren, wenn der Steuerbetrag an einer Grenze plötzlich um mehrere Euro springen würde?

1. Berechnung der Steuerwerte: Für \(x = 115\) gilt der zweite Teil der Funktionsvorschrift: \(T(115) = 2 \cdot (115 - 95) = 2 \cdot 20 = 40\,\text{€}\). Für \(x = 125\) gilt der dritte Teil der Funktionsvorschrift: \(T(125) = 2{,}20 \cdot (125 - 115) + 40 = 2{,}20 \cdot 10 + 40 = 22 + 40 = 62\,\text{€}\). 2. Untersuchung auf Stetigkeit an der Stelle \(x = 115\): Linksseitiger Grenzwert: \(\lim_{x \to 115^-} T(x) = 2 \cdot (115 - 95) = 40\). Rechtsseitiger Grenzwert: \(\lim_{x \to 115^+} T(x) = 2{,}20 \cdot (115 - 115) + 40 = 40\). Funktionswert: \(T(115) = 40\). Da der linksseitige Grenzwert, der rechtsseitige Grenzwert und der Funktionswert übereinstimmen, ist die Funktion an der Stelle \(x = 115\) stetig. 3. Interpretation: Die Stetigkeit bedeutet, dass es an den Grenzen der Emissionsklassen keine abrupten Preissprünge gibt. Eine minimale Erhöhung der Emission führt nur zu einer minimalen Erhöhung der Steuer, was als gerecht empfunden wird.

a) \(T(115) = 40\,\text{€}\); \(T(125) = 62\,\text{€}\). b) Die Funktion ist an der Stelle \(x = 115\) stetig, da \(\lim_{x \to 115^-} T(x) = \lim_{x \to 115^+} T(x) = T(115) = 40\). Dies stellt sicher, dass kleine Änderungen im \(\text{CO}_2\)-Ausstoß keine sprunghaften Steuererhöhungen verursachen.

- Was bedeutet es anschaulich für den Graphen, wenn eine Funktion an einer Stelle stetig ist? - Untersuche, welchem Wert sich die Funktion nähert, wenn du dich der Stelle \(x = 2\) von links (kleinere Werte) näherst. - Untersuche, welchen Wert die Funktion genau an der Stelle \(x = 2\) annimmt und was passiert, wenn du dich von rechts näherst. - Welche Bedingung müssen diese Werte erfüllen, damit kein „Sprung“ im Graphen entsteht?

1. Bestimmung des Funktionswerts an der Stelle \(x = 2\): Da die Bedingung \(x \ge 2\) für den unteren Teil gilt, ist \(f(2) = a \cdot 2 - 5 = 2a - 5\). 2. Bestimmung des rechtsseitigen Grenzwerts: Da der Funktionsterm für \(x \ge 2\) linear ist, entspricht der Grenzwert \(\lim_{x \to 2^+} f(x)\) dem Funktionswert \(2a - 5\). 3. Bestimmung des linksseitigen Grenzwerts: Für \(x < 2\) gilt der Term \(x^2 - 3\). Es folgt \(\lim_{x \to 2^-} (x^2 - 3) = 2^2 - 3 = 1\). 4. Bedingung für Stetigkeit: Der linksseitige Grenzwert muss mit dem rechtsseitigen Grenzwert und dem Funktionswert übereinstimmen. Daraus ergibt sich die Gleichung \(2a - 5 = 1\). 5. Lösen der Gleichung: \(2a = 6 \implies a = 3\). Für \(a = 3\) ist die Funktion an der Stelle \(x = 2\) stetig.

Für \(a = 3\) ist die Funktion an der Stelle \(x = 2\) stetig.

- Warum darf man für \(x\) nicht jede beliebige Zahl in den Nenner einsetzen? - Kannst du den Funktionsterm vereinfachen, indem du den Zähler faktorisierst und kürzt? - Was passiert mit dem Graphen an einer Stelle, an der die Funktion nicht definiert ist, der Grenzwert aber existiert? - Wie müsste man den „fehlenden Punkt“ definieren, damit die Linie des Graphen nicht unterbrochen wird?

1. Definitionsmenge: Der Nenner darf nicht Null werden, also \(x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3\). Somit ist \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{3\}\). 2. Untersuchung der Definitionslücke: Der Zähler lässt sich faktorisieren: \(x^2 - 4x + 3 = (x - 3)(x - 1)\). 3. Vereinfachung des Terms: Für \(x \neq 3\) gilt \(g(x) = \frac{(x - 3)(x - 1)}{x - 3} = x - 1\). 4. Grenzwertbetrachtung: Der Grenzwert für \(x \to 3\) ist \(\lim_{x \to 3} (x - 1) = 3 - 1 = 2\). 5. Stetige Fortsetzbarkeit: Da der Grenzwert existiert und endlich ist, ist die Funktion an der Stelle \(x = 3\) stetig fortsetzbar. Der zu definierende Funktionswert ist \(g(3) = 2\).

a) \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{3\}\) b) Die Funktionswerte nähern sich dem Wert \(2\) an. c) Ja, die Funktion ist stetig fortsetzbar mit \(g(3) = 2\).

- Prüfe für jede Nahtstelle separat, ob die Funktionswerte der angrenzenden Abschnitte dort zusammenfallen. - Welcher Teil der Funktionsvorschrift gilt genau an der Stelle \(x = -2\) bzw. \(x = 3\)? - Vergleiche das Verhalten der Funktion, wenn du dich der Nahtstelle von links und von rechts näherst.

1. Untersuchung bei \(x_1 = -2\): - Linksseitiger Grenzwert: \(\lim_{x \to -2^-} g(x) = -2 + 5 = 3\). - Rechtsseitiger Grenzwert: \(\lim_{x \to -2^+} g(x) = (-2)^2 - 1 = 3\). - Funktionswert: \(g(-2) = (-2)^2 - 1 = 3\). Da alle drei Werte übereinstimmen (\(3 = 3 = 3\)), ist \(g\) an der Stelle \(x_1 = -2\) stetig. 2. Untersuchung bei \(x_2 = 3\): - Linksseitiger Grenzwert: \(\lim_{x \to 3^-} g(x) = 3^2 - 1 = 8\). - Rechtsseitiger Grenzwert: \(\lim_{x \to 3^+} g(x) = \frac{18}{3} = 6\). - Funktionswert: \(g(3) = 3^2 - 1 = 8\). Da der linksseitige Grenzwert (\(8\)) nicht mit dem rechtsseitigen Grenzwert (\(6\)) übereinstimmt, liegt an der Stelle \(x_2 = 3\) eine Sprungstelle vor; die Funktion ist dort nicht stetig.

An der Stelle \(x_1 = -2\) ist die Funktion stetig (Grenzwerte und Funktionswert sind \(3\)). An der Stelle \(x_2 = 3\) ist die Funktion nicht stetig, da der linksseitige Grenzwert (\(8\)) und der rechtsseitige Grenzwert (\(6\)) verschieden sind.

- Was bedeutet es für die Graphen der beiden Teile an der Nahtstelle, wenn die Funktion dort keinen Sprung machen darf? - Wie kannst du ein Polynom direkt mithilfe seiner Nullstellen formulieren? Denke an die Linearfaktorzerlegung. - Welchen Funktionswert muss der linke Teil der Funktion an der Stelle \(x = 2\) annehmen, damit er genau an den rechten Teil anschließt? - Setze den bekannten x-Wert und den geforderten y-Wert in deine Gleichung ein, um den Streckfaktor zu bestimmen.

1. Aufstellen des Funktionsterms in der Nullstellenform: Da bei \(x = 0\) eine doppelte und bei \(x = 4\) eine einfache Nullstelle vorliegt, lautet der Ansatz für das Polynom \(p(x) = a \cdot x^2 \cdot (x - 4)\). 2. Bedingung für Stetigkeit an der Stelle \(x = 2\): Der linksseitige Grenzwert (bzw. Funktionswert des Polynoms) muss dem rechtsseitigen Grenzwert entsprechen. Es gilt also \(p(2) = 8\). 3. Einsetzen des Punktes in den Ansatz: \(a \cdot 2^2 \cdot (2 - 4) = 8\). 4. Berechnung des Parameters: \(a \cdot 4 \cdot (-2) = 8 \implies -8a = 8 \implies a = -1\). 5. Aufstellen des fertigen Terms: \(p(x) = -x^2(x - 4) = -x^3 + 4x^2\).

\(p(x) = -x^2(x - 4)\) oder \(p(x) = -x^3 + 4x^2\)

- Erinnere dich daran, wie man doppelte Nullstellen in der Produktform eines Polynoms darstellt. - Damit die Funktion stetig ist, müssen sich die beiden Teilgraphen an der Stelle \(x = -1\) berühren. Welchen y-Wert hat die Gerade dort? - Stelle eine Gleichung auf, indem du den Übergangspunkt in deinen Polynomansatz einsetzt. - Überlege dir, wie viele Unbekannte dein Ansatz hat und welche Information dir noch fehlt, um diese zu berechnen.

1. Ansatz über die Nullstellenform: Ein Polynom 4. Grades mit doppelten Nullstellen bei \(x_1 = -3\) und \(x_2 = 0\) hat die Form \(p(x) = a \cdot (x + 3)^2 \cdot x^2\). 2. Stetigkeitsbedingung an der Nahtstelle \(x = -1\): Damit kein Sprung entsteht, muss der Funktionswert des Polynoms an dieser Stelle dem Wert der Geraden entsprechen, also \(p(-1) = 2\). 3. Bestimmung von \(a\): Einsetzen von \(x = -1\) ergibt \(a \cdot (-1 + 3)^2 \cdot (-1)^2 = 2\). Dies vereinfacht sich zu \(a \cdot 2^2 \cdot 1 = 2\), also \(4a = 2\). Daraus folgt \(a = 0{,}5\). 4. Ergebnis formulieren: Das gesuchte Polynom lautet \(p(x) = 0{,}5x^2(x + 3)^2\).

\(p(x) = 0{,}5x^2(x + 3)^2\) oder \(p(x) = 0{,}5x^4 + 3x^3 + 4{,}5x^2\)

- Was bedeutet Stetigkeit an einer Nahtstelle für die Funktionswerte der beiden Teilfunktionen? - Welche allgemeine Form hat ein Polynom ersten Grades? - Wie kannst du die Information über die Nullstelle in eine mathematische Gleichung übersetzen? - Stelle ein Gleichungssystem mit den zwei unbekannten Parametern auf.

1. Berechnung des linksseitigen Grenzwerts von \(f\) an der Nahtstelle \(x = -2\): \(\lim_{x \to -2^-} f(x) = 0{,}5 \cdot (-2)^2 + 2 \cdot (-2) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1\). 2. Da \(f\) stetig sein soll, muss \(g(-2) = -1\) gelten. 3. Da \(g(x)\) ein Polynom ersten Grades ist, gilt der Ansatz \(g(x) = m \cdot x + c\). 4. Die Bedingung der Nullstelle bei \(x = 3\) liefert \(g(3) = 3m + c = 0\). 5. Aus der Stetigkeitsbedingung folgt \(g(-2) = -2m + c = -1\). 6. Lösen des linearen Gleichungssystems: Aus \(c = -3m\) folgt durch Einsetzen \(-2m - 3m = -1\), also \(-5m = -1 \Rightarrow m = 0{,}2\). Daraus ergibt sich \(c = -3 \cdot 0{,}2 = -0{,}6\). 7. Der Funktionsterm lautet \(g(x) = 0{,}2x - 0{,}6\).

\(g(x) = 0{,}2x - 0{,}6\)

- Welchen Wert hat die Funktion genau an der Stelle \(x = 2\)? - Was passiert mit dem Funktionswert des linearen Teils, wenn \(x\) sehr nah an \(2\) heranrückt? - Damit der Graph „in einem Zug“ gezeichnet werden kann, müssen die Endpunkte der beiden Teilstücke an der Stelle \(x = 2\) zusammenfallen.

1. Bestimmung des Funktionswerts an der Stelle \(x = 2\) unter Verwendung der oberen Teilfunktion: \(g(2) = \frac{10}{2+3} = \frac{10}{5} = 2\). 2. Bestimmung des linksseitigen Grenzwerts für \(x \to 2\) unter Verwendung der unteren Teilfunktion: \(\lim_{x \to 2^-} g(x) = a \cdot 2 + 1 = 2a + 1\). 3. Damit kein Sprung vorliegt, müssen der linksseitige Grenzwert und der Funktionswert übereinstimmen: \(2a + 1 = 2\). 4. Auflösen der Gleichung nach \(a\): \(2a = 1 \implies a = 0{,}5\).

\(a = 0{,}5\)

- Prüfe für die Begründung in Teil a), ob die Funktionswerte von beiden Seiten gegen denselben Wert streben. - Berechne in Teil b) zunächst den Grenzwert, wenn man sich der Stelle \(2\) von links (mittlerer Term) nähert. - Stelle eine Bedingung auf, die der rechtsseitige Grenzwert (unterer Term) erfüllen muss, damit er mit dem linksseitigen übereinstimmt.

1. Untersuchung der einseitigen Grenzwerte bei \(x_0 = -1\): Der linksseitige Grenzwert ist \(\lim_{x \to -1^-} (4 - x^2) = 4 - (-1)^2 = 3\). Der rechtsseitige Grenzwert ist \(\lim_{x \to -1^+} (\frac{6}{x-1} + 6) = \frac{6}{-1-1} + 6 = -3 + 6 = 3\). Da \(\lim_{x \to -1^-} g(x) = \lim_{x \to -1^+} g(x) = 3\), existiert der Grenzwert an dieser Stelle. 2. Untersuchung der einseitigen Grenzwerte bei \(x = 2\): Der linksseitige Grenzwert ergibt sich aus dem mittleren Funktionsterm zu \(\lim_{x \to 2^-} (\frac{6}{x-1} + 6) = \frac{6}{2-1} + 6 = 12\). Der rechtsseitige Grenzwert ergibt sich aus dem unteren Term zu \(\lim_{x \to 2^+} (2x + a) = 4 + a\). 3. Analyse der Existenz: Ein Grenzwert existiert genau dann, wenn \(12 = 4 + a\), also für \(a = 8\). Für \(a \neq 8\) unterscheiden sich die einseitigen Grenzwerte, sodass kein Grenzwert existiert.

a) Der Grenzwert existiert, da der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert beide gleich \(3\) sind. b) Der linksseitige Grenzwert ist \(12\), der rechtsseitige Grenzwert ist \(4 + a\). Ein Grenzwert an der Stelle \(x = 2\) existiert nur für \(a = 8\) und beträgt dann \(12\). Für \(a \neq 8\) existiert kein Grenzwert.

- Wie lässt sich eine doppelte Nullstelle besonders einfach im Funktionsterm berücksichtigen? - Welchen Wert muss die Funktion \(g\) an der Stelle \(x = -2\) annehmen, damit kein Sprung im Graphen entsteht? - Nutze die Produktform für das Polynom, um die Anzahl der Unbekannten von Anfang an gering zu halten. - Wie viele Bedingungen benötigst du, um ein Polynom dritten Grades mit einer bekannten doppelten Nullstelle eindeutig zu bestimmen?

1. Bestimmung des Funktionswerts an der Nahtstelle für Stetigkeit: \(\lim_{x \to -2^-} f(x) = -2 + 5 = 3\). Also muss \(g(-2) = 3\) gelten. 2. Ansatz für \(g(x)\) mit der doppelten Nullstelle bei \(x = 1\): \(g(x) = (ax + b)(x - 1)^2\). Dies stellt sicher, dass der Grad (bei \(a \neq 0\)) drei ist. 3. Nutzung des Punktes \(P(0|2)\): \(g(0) = (a \cdot 0 + b)(0 - 1)^2 = b \cdot 1 = 2\). Somit ist \(b = 2\). 4. Einsetzen der Stetigkeitsbedingung \(g(-2) = 3\): \(g(-2) = (a \cdot (-2) + 2)(-2 - 1)^2 = (-2a + 2) \cdot 9 = 3\). 5. Lösen nach \(a\): \(-18a + 18 = 3 \Rightarrow -18a = -15 \Rightarrow a = \frac{15}{18} = \frac{5}{6}\). 6. Aufstellen und Ausmultiplizieren des Terms: \(g(x) = (\frac{5}{6}x + 2)(x^2 - 2x + 1) = \frac{5}{6}x^3 - \frac{10}{6}x^2 + \frac{5}{6}x + 2x^2 - 4x + 2 = \frac{5}{6}x^3 + \frac{1}{3}x^2 - \frac{19}{6}x + 2\).

\(g(x) = \frac{5}{6}x^3 + \frac{1}{3}x^2 - \frac{19}{6}x + 2\)