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- Vergleiche die Lage eines markanten Punktes (z. B. den tiefsten Punkt) bei beiden Graphen. - Wie viele Einheiten musst du den blauen Graphen nach rechts oder links bewegen, damit er auf dem roten Graphen liegt? - Erinnere dich daran, wie sich eine Änderung des Arguments \(x\) auf die Lage des Graphen auswirkt.

1. Identifikation markanter Punkte: Der Scheitelpunkt des blauen Graphen \(G_f\) liegt bei \((-2 \mid -2)\). Der Scheitelpunkt des roten Graphen \(G_g\) liegt bei \((3 \mid -2)\). 2. Bestimmung der Verschiebung: Um von \(-2\) auf \(3\) zu kommen, muss der Graph um \(5\) Einheiten in positive \(x\)-Richtung (nach rechts) verschoben werden. Die \(y\)-Koordinaten bleiben gleich. 3. Aufstellen der Funktionsgleichung: Eine Verschiebung um \(c\) Einheiten nach rechts wird durch den Übergang \(x \mapsto x-c\) im Argument der Funktion beschrieben. Da \(c = 5\), folgt: \(g(x) = f(x - 5)\).

Der Graph von \(g\) geht aus dem Graphen von \(f\) durch eine Verschiebung um \(5\) Einheiten nach rechts hervor; es gilt \(g(x) = f(x - 5)\).

- Wie verändert sich eine Funktionsgleichung, wenn man den Graphen entlang der Achsen verschiebt? - Achtung beim Verschieben in \(x\)-Richtung: Muss man addieren oder subtrahieren, um nach rechts zu rücken? - In welcher Reihenfolge werden die Transformationen angewendet und wie wirkt sich das auf die Klammersetzung aus?

1. Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor 3: \(y = 3x^2\). 2. Verschiebung um 1 nach oben (\(y\)-Richtung): \(y = 3x^2 + 1\). 3. Verschiebung um 2 nach rechts (\(x\)-Richtung): \(x\) durch \((x-2)\) ersetzen: \(y = 3(x-2)^2 + 1\).

b) \(y = 3(x-2)^2 + 1\)

- Wie verändert sich der Funktionsterm, wenn ein Graph entlang der \(x\)-Achse verschoben wird? - Wie wird eine Streckung in \(y\)-Richtung im Funktionsterm dargestellt? - Welches Potenzgesetz hilft dir dabei, eine Summe im Exponenten in ein Produkt umzuwandeln? - Was musst du zeigen, damit zwei Funktionen als identisch gelten?

1. Durch die Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links entsteht \(g(x)=f(x+2)=3^{x+2}\). 2. Durch die Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(9\) entsteht \(h(x)=9 \cdot f(x)=9 \cdot 3^x\). 3. Mit dem Potenzgesetz gilt \(g(x)=3^{x+2}=3^x \cdot 3^2=9 \cdot 3^x\). 4. Damit gilt für alle \(x\): \(g(x)=9 \cdot 3^x=h(x)\). Die Funktionen sind identisch.

Durch die Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links ergibt sich \(g(x)=3^{x+2}=3^2 \cdot 3^x=9 \cdot 3^x\). Die Streckung in \(y\)-Richtung liefert ebenfalls \(h(x)=9 \cdot 3^x\). Daher sind \(g\) und \(h\) identisch.

- Überlege dir, wie sich die Funktionswerte ändern, wenn ein Punkt an der waagerechten Achse gespiegelt wird. - Was passiert mit dem Argument der Funktion, wenn der Graph an der senkrechten Achse gespiegelt wird? - Achte beim Einsetzen von \(-x\) darauf, Klammern zu setzen, besonders bei Potenzen. - Kannst du die Terme nach der Spiegelung noch weiter vereinfachen?

1. Spiegelung an der \(x\)-Achse durch Anwendung von \(g(x) = -f(x)\): Für a) ergibt sich \(g(x) = -(x^2 - 4x) = -x^2 + 4x\). Für b) ergibt sich \(g(x) = -(\sqrt{x} + 1) = -\sqrt{x} - 1\). 2. Spiegelung an der \(y\)-Achse durch Anwendung von \(h(x) = f(-x)\): Für a) ergibt sich \(h(x) = (-x)^2 - 4(-x) = x^2 + 4x\). Für b) ergibt sich \(h(x) = \sqrt{-x} + 1\).

a) \(g(x) = -x^2 + 4x\); \(h(x) = x^2 + 4x\) b) \(g(x) = -\sqrt{x} - 1\); \(h(x) = \sqrt{-x} + 1\)

- Welche Auswirkung hat ein negatives Vorzeichen vor dem gesamten Funktionsterm auf den Graphen? - Erinnere dich an die allgemeine Form \(aq(x-c) + d\). Wofür stehen die einzelnen Parameter? - Wird der Graph bei einem Faktor zwischen 0 und 1 eher flacher oder steiler? - In welche Richtung verschiebt sich der Graph, wenn im Exponenten \(x+2\) steht?

1. Verschiebung des Graphen der Grundfunktion \(q(x) = 2^x\) um 2 Einheiten nach links (in negative \(x\)-Richtung) durch die Ersetzung von \(x\) durch \(x+2\). 2. Stauchung des Graphen in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\). 3. Spiegelung des Graphen an der \(x\)-Achse aufgrund des negativen Vorzeichens vor dem Funktionswert. 4. Verschiebung des Graphen um 3 Einheiten nach unten (in negative \(y\)-Richtung).

Der Graph von \(h\) entsteht aus dem Graphen von \(q(x) = 2^x\) durch Verschiebung um 2 Einheiten nach links, Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\), Spiegelung an der \(x\)-Achse und anschließende Verschiebung um 3 Einheiten nach unten.

- Überlege dir, auf welchen Teil des Funktionsterms sich die zweite Transformation jeweils bezieht: nur auf den ursprünglichen Teil oder auf den bereits veränderten Term? - Was passiert mathematisch mit einem Term, wenn man ihn als Ganzes staucht? - Setze zur Kontrolle einen beliebigen Wert für \(x\) (außer \(0\)) in beide Endergebnisse ein.

1. Bestimmung von \(g(x)\) für Reihenfolge A: Die Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) führt zu \(0{,}5f(x)\). Die anschließende Verschiebung um \(2\) nach oben ergibt \(g(x) = 0{,}5\frac{1}{x} + 2 = \frac{0{,}5}{x} + 2\). 2. Bestimmung von \(h(x)\) für Reihenfolge B: Die Verschiebung um \(2\) nach oben führt zu \(f(x) + 2\). Die anschließende Stauchung des gesamten Terms in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) ergibt \(h(x) = 0{,}5\left(\frac{1}{x} + 2\right) = \frac{0{,}5}{x} + 1\). 3. Vergleich der Terme: Ein Vergleich zeigt, dass \(g(x) = \frac{0{,}5}{x} + 2\) und \(h(x) = \frac{0{,}5}{x} + 1\) für alle \(x \neq 0\) verschieden sind, da sich die konstanten Glieder (\(2\) gegenüber \(1\)) unterscheiden. Die Graphen sind somit nicht identisch.

\(g(x) = \frac{0{,}5}{x} + 2\) und \(h(x) = \frac{0{,}5}{x} + 1\). Da \(g(x) \neq h(x)\) (der konstante Anteil unterscheidet sich), sind die Graphen nicht identisch.

- Überlege dir, welcher Teil des Funktionsterms eine Verschiebung entlang der Achsen bewirkt. - Wie verändert sich ein Punkt \((x|y)\), wenn man das Argument \(x\) durch \((x-c)\) ersetzt? - Welchen Einfluss hat ein Summand am Ende des Funktionsterms auf die \(y\)-Koordinate? - Beeinflussen Streckfaktoren die Position eines Punktes, der vor der Streckung im Ursprung lag?

1. Für \(g(x) = (x + 4)^3 - 2\): Der Graph ist um \(4\) Einheiten nach links und um \(2\) Einheiten nach unten verschoben. Der neue Terrassenpunkt liegt bei \(T_g(-4|-2)\). 2. Für \(h(x) = 3(x - 5)^3 + 6\): Der Graph ist um \(5\) Einheiten nach rechts und um \(6\) Einheiten nach oben verschoben. Die vertikale Streckung mit dem Faktor \(3\) ändert die Lage des Punktes relativ zur Verschiebung nicht. Der neue Terrassenpunkt liegt bei \(T_h(5|6)\). 3. Für \(k(x) = -x^3 + 4\): Der Graph ist an der \(x\)-Achse gespiegelt und um \(4\) Einheiten nach oben verschoben. Eine Verschiebung in \(x\)-Richtung liegt nicht vor. Der neue Terrassenpunkt liegt bei \(T_k(0|4)\).

a) \(T_g(-4|-2)\) (Verschiebung um \(4\) nach links, \(2\) nach unten) b) \(T_h(5|6)\) (Verschiebung um \(5\) nach rechts, \(6\) nach oben) c) \(T_k(0|4)\) (Spiegelung an der \(x\)-Achse, Verschiebung um \(4\) nach oben)

- Welcher Parameter in der allgemeinen Form \(a\cos(x - c) + d\) ist für die Streckung verantwortlich? - Wie verändert sich das Argument der Funktion bei einer horizontalen Verschiebung? - Was bedeutet eine Verschiebung in negative \(y\)-Richtung für das Vorzeichen der Konstante am Ende des Terms? - Überlege, wie die Amplitude definiert ist – sie beschreibt den maximalen Ausschlag aus der Ruhelage.

1. Eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(a\) wird durch Multiplikation des Funktionsterms mit \(a\) erreicht. Mit \(a = 3{,}5\) ergibt sich \(3{,}5\cos(x)\). 2. Eine Verschiebung um \(c\) in positive \(x\)-Richtung (nach rechts) wird durch Ersetzen von \(x\) durch \((x - c)\) im Argument der Funktion umgesetzt. Mit \(c = \frac{\pi}{4}\) folgt \(3{,}5\cos(x - \frac{\pi}{4})\). 3. Eine Verschiebung um \(d\) in \(y\)-Richtung erfolgt durch Addition von \(d\) zum gesamten Term. Mit \(d = -2\) ergibt sich der finale Funktionsterm \(h(x) = 3{,}5\cos(x - \frac{\pi}{4}) - 2\). 4. Die Amplitude entspricht dem Betrag des Streckfaktors in \(y\)-Richtung: \(|3{,}5| = 3{,}5\).

Funktionsterm: \(h(x) = 3{,}5\cos(x - \frac{\pi}{4}) - 2\) Amplitude: \(3{,}5\)

- Überlege dir, ob die Transformation die Position des Graphen horizontal oder vertikal verändert. - Beeinflusst die Änderung den Eingabewert \(x\) oder den Ausgabewert \(f(x)\)? - Was passiert mit der Orientierung des Graphen, wenn die Funktion mit einer negativen Zahl multipliziert wird? - Stelle dir vor, wie sich ein einzelner Punkt auf dem Graphen durch die jeweilige Rechenoperation bewegt.

1. Für \(g(x) = f(x) - 8\) wird der Graph um 8 Einheiten nach unten verschoben. Der \(x\)-Wert bleibt gleich, der \(y\)-Wert verringert sich: \(6 - 8 = -2\). Da nur eine vertikale Verschiebung vorliegt, bleibt die Art des Extrempunktes erhalten. Ergebnis: Hochpunkt bei \((2 | -2)\). 2. Für \(h(x) = f(x + 3)\) wird der Graph um 3 Einheiten nach links verschoben. Der \(y\)-Wert bleibt gleich, der \(x\)-Wert verringert sich: \(2 - 3 = -1\). Die Art des Extrempunktes ändert sich nicht. Ergebnis: Hochpunkt bei \((-1 | 6)\). 3. Für \(k(x) = -2f(x)\) wird der Graph an der \(x\)-Achse gespiegelt und mit dem Faktor 2 in \(y\)-Richtung gestreckt. Der \(x\)-Wert bleibt gleich, der \(y\)-Wert wird zu \(6 \cdot (-2) = -12\). Durch die Spiegelung an der \(x\)-Achse wird aus dem Hochpunkt ein Tiefpunkt. Ergebnis: Tiefpunkt bei \((2 | -12)\).

a) Hochpunkt bei \((2 | -2)\) b) Hochpunkt bei \((-1 | 6)\) c) Tiefpunkt bei \((2 | -12)\)

- Vergleiche die Struktur der beiden Funktionsgleichungen. Fällt dir auf, dass \(f(x)\) als Baustein in \(g(x)\) vorkommt? - Welche Auswirkung hat ein Faktor vor dem gesamten Funktionsterm auf den Graphen? - Was passiert mit dem Graphen, wenn am Ende des Funktionsterms eine Zahl addiert wird? - Achte besonders auf das Vorzeichen des Faktors.

1. Der Graph von \(f\) wird zunächst an der \(x\)-Achse gespiegelt und in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(3\) gestreckt. Dies entspricht dem Übergang zu \(-3f(x)\). 2. Anschließend wird der so entstandene Graph um \(4\) Einheiten in positive \(y\)-Richtung (nach oben) verschoben. Zusammengefasst ergibt sich die Funktionsgleichung \(g(x) = -3f(x) + 4\).

Der Graph von \(g\) entsteht aus dem Graphen von \(f\) durch eine Spiegelung an der \(x\)-Achse, eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(3\) und eine anschließende Verschiebung um \(4\) Einheiten nach oben.

- Was passiert mit dem Funktionsterm, wenn man einen Graphen an einer Achse spiegelt? - Welche Auswirkungen hat eine Verschiebung in \(y\)-Richtung auf die Formel? - Überlege, welche Werte man in einen Logarithmus einsetzen darf. - Wo „verschwindet“ der Graph einer Logarithmusfunktion im Unendlichen?

1. Spiegelung an der \(y\)-Achse: Ersetzen von \(x\) durch \(-x\) führt zu \(y = \log_2(-x)\). 2. Verschiebung um \(3\) Einheiten nach oben: Addition von \(3\) zum Funktionsterm ergibt \(g(x) = \log_2(-x) + 3\). 3. Definitionsbereich: Das Argument des Logarithmus muss positiv sein, also \(-x > 0 \Rightarrow x < 0\). Somit ist \(D_g = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 0\}\). 4. Vertikale Asymptote: Die Nullstelle des Arguments \(-x = 0\) liegt bei \(x = 0\). Da sich die Funktionswerte für \(x \to 0^-\) dem Wert \(-\infty\) annähern, ist die vertikale Asymptote die \(y\)-Achse mit der Gleichung \(x = 0\).

a) \(g(x) = \log_2(-x) + 3\) b) \(D_g = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 0\}\); vertikale Asymptote: \(x = 0\)

- Überlege, wie sich der Preis für eine einzelne Einheit verändert, wenn der Staat einen Teil davon übernimmt. - Was passiert mit einem Funktionswert \(f(x)\), wenn man eine feste Zahl davon abzieht? - Welchen Funktionswert beschreibt der \(y\)-Achsenabschnitt, und welche wirtschaftlichen Aussagen sind ohne weitere Annahmen nicht möglich? - Erinnere dich an die allgemeine Form der vertikalen Verschiebung \(g(x) = f(x) + c\).

1. Aufstellen der neuen Funktionsgleichung: Da die Subvention den geforderten Preis pro Einheit um einen festen Betrag reduziert, wird dieser von der ursprünglichen Funktion subtrahiert: \(p_{sub}(x) = p_A(x) - 5 = 1{,}5x + 20 - 5 = 1{,}5x + 15\). 2. Erläuterung der Transformation: Da für jeden beliebigen Wert von \(x\) der zugehörige Funktionswert um die Konstante \(5\) verringert wird (\(f(x) - c\)), verschieben sich alle Punkte des Graphen vertikal nach unten. Dies entspricht einer Verschiebung in negative \(y\)-Richtung. 3. Berechnung des Schnittpunkts mit der Preisachse: Setze \(x = 0\) in die neue Funktion ein: \(p_{sub}(0) = 15\). Der Schnittpunkt liegt bei \((0 | 15)\). 4. Interpretation: Im linearen Modell ist \(p_{sub}(0) = 15\,\text{€}\) der Preisachsenabschnitt, also der Preis, den das Modell der Menge \(x=0\) zuordnet. Ohne zusätzliche wirtschaftliche Annahmen lässt sich daraus weder ein Mindestangebotspreis noch eine Produktionsschwelle ableiten.

a) \(p_{sub}(x) = 1{,}5x + 15\) b) Die Subvention verringert jeden Funktionswert \(p_A(x)\) um den konstanten Betrag \(5\). Mathematisch entspricht die Operation \(f(x) - c\) einer Verschiebung des Graphen entlang der \(y\)-Achse nach unten. c) Der Schnittpunkt liegt bei \((0 | 15)\). Der Wert \(15\,\text{€}\) ist der modellierte Preis bei \(x=0\); eine tatsächliche Mindestpreis- oder Produktionsschwelle folgt daraus nicht.

- Vergleiche die charakteristischen Punkte der beiden Graphen, wie zum Beispiel den Sattelpunkt (den flachen Wendepunkt). - Wie hat sich die Position dieses besonderen Punktes im Koordinatensystem verändert? - Betrachte den Verlauf des Graphen rechts und links von diesem Punkt. Verläuft er in die gleiche Richtung oder ist er umgedreht? - Erinnere dich daran, wie sich eine Verschiebung in \(x\)- und \(y\)-Richtung sowie eine Spiegelung im Funktionsterm äußern.

1. Der Sattelpunkt der Ausgangsfunktion \(f(x) = x^3\) liegt im Ursprung bei \((0 \mid 0)\). 2. Aus der Abbildung lässt sich der neue Sattelpunkt \(S\) der Funktion \(g\) bei den Koordinaten \((2 \mid 1)\) ablesen. Dies bedeutet, dass der Graph um \(2\) Einheiten nach rechts (in \(x\)-Richtung) und um \(1\) Einheit nach oben (in \(y\)-Richtung) verschoben wurde. 3. Im Vergleich zu \(f\) verläuft der Graph von \(g\) gespiegelt: Während \(f\) für steigende \(x\)-Werte wächst, fällt \(g\) rechts vom Sattelpunkt ab. Der Graph wurde somit an der \(x\)-Achse gespiegelt. 4. Durch die Kombination dieser Transformationen ergibt sich der Funktionsterm für \(g\): - Spiegelung an der \(x\)-Achse: \(-x^3\) - Verschiebung um \(2\) nach rechts: \(-(x-2)^3\) - Verschiebung um \(1\) nach oben: \(-(x-2)^3 + 1\) - Somit lautet die Funktionsgleichung: \(g(x) = -(x-2)^3 + 1\).

a) Der Graph von \(g\) entsteht aus dem Graphen von \(f\) durch Spiegelung an der \(x\)-Achse, Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts und Verschiebung um \(1\) Einheit nach oben. b) \(g(x) = -(x-2)^3 + 1\)

- Kannst du die Position des Scheitelpunkts (tiefster oder höchster Punkt) für jede Parabel im Koordinatensystem ablesen? - Überlege, wie sich eine Verschiebung der Normalparabel nach rechts oder links in der Funktionsgleichung auswirkt. - Überlege, wie sich eine Verschiebung nach oben oder unten in der Funktionsgleichung äußert. - Was ändert sich an der Gleichung, wenn die Parabel nach unten geöffnet (also an der \(x\)-Achse gespiegelt) ist? - Nutze die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion: \(y = a \cdot (x - d)^2 + e\). Welche Werte haben \(a\), \(d\) und \(e\) für die jeweiligen Graphen?

1. Bestimmung der Funktionsgleichung von \(g(x)\): Der Scheitelpunkt der grünen Parabel \(G_g\) wird aus dem Koordinatensystem abgelesen. Er liegt bei \(S_g(2 \mid -3)\). Da die Parabel nach oben geöffnet ist und die gleiche Form wie die Normalparabel besitzt, lautet die Scheitelpunktform: \(g(x) = (x - 2)^2 - 3\) Ausmultipliziert ergibt sich die allgemeine Form: \(g(x) = x^2 - 4x + 1\) 2. Bestimmung der Funktionsgleichung von \(h(x)\): Der Scheitelpunkt der violetten Parabel \(G_h\) liegt bei \(S_h(-3 \mid 4)\). Da diese Parabel nach unten geöffnet ist, aber ansonsten die Form der Normalparabel hat, liegt eine Spiegelung an der \(x\)-Achse vor (Streckungsfaktor \(-1\)). Die Scheitelpunktform lautet: \(h(x) = -(x + 3)^2 + 4\) Ausmultipliziert ergibt sich die allgemeine Form: \(h(x) = -x^2 - 6x - 5\)

Die Funktionsgleichungen lauten: \(g(x) = (x - 2)^2 - 3\) (oder \(g(x) = x^2 - 4x + 1\)) \(h(x) = -(x + 3)^2 + 4\) (oder \(h(x) = -x^2 - 6x - 5\))

- Wo befindet sich die Lücke im Definitionsbereich? Diese senkrechte „Grenze“ verrät dir die Verschiebung entlang der x-Achse. - Betrachte das Verhalten für sehr große oder sehr kleine x-Werte. Gegen welchen y-Wert strebt der Graph? - Wie musst du die Funktionsgleichung anpassen, damit die Polstelle an die richtige Stelle wandert?

1. Die senkrechte Asymptote (Polstelle) von \(f\) ist \(x = 0\). Bei \(g\) liegt sie bei \(x = -2\). Das ist eine Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links. 2. Die waagerechte Asymptote von \(f\) ist \(y = 0\). Bei \(g\) liegt sie bei \(y = -1\). Das ist eine Verschiebung um \(1\) Einheit nach unten. 3. Einsetzen in die allgemeine Form \(g(x) = \frac{1}{(x - d)^2} + e\) ergibt mit \(d = -2\) und \(e = -1\): \(g(x) = \frac{1}{(x + 2)^2} - 1\).

Der Graph von \(g\) entsteht durch eine Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links und um \(1\) Einheit nach unten. Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = \frac{1}{(x + 2)^2} - 1\).

- Überlege dir, wie sich der Sattelpunkt der Funktion \(f(x) = x^3\) bei \((0\mid0)\) im Koordinatensystem bewegt hat. - Eine Verschiebung in \(x\)-Richtung wird im Argument der Funktion berücksichtigt, eine Verschiebung in \(y\)-Richtung außerhalb. - Achte auf das Vorzeichen bei der Verschiebung entlang der \(x\)-Achse.

1. Der Graph von \(g\) geht aus dem Graphen von \(f\) durch eine Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts und \(1\) Einheit nach oben hervor. Der Sattelpunkt verschiebt sich von \((0\mid0)\) nach \((2\mid1)\). Somit lautet der Funktionsterm: \(g(x) = (x - 2)^3 + 1\). 2. Der Graph von \(h\) geht aus dem Graphen von \(f\) durch eine Verschiebung um \(3\) Einheiten nach links und \(1\) Einheit nach unten hervor. Der Sattelpunkt verschiebt sich von \((0\mid0)\) nach \((-3\mid-1)\). Somit lautet der Funktionsterm: \(h(x) = (x + 3)^3 - 1\).

\(g(x) = (x - 2)^3 + 1\) \(h(x) = (x + 3)^3 - 1\)

- Schau dir markante Punkte wie Nullstellen oder Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte) an. Wie haben sich deren Koordinaten verändert? - Überlege, ob die Änderung die x-Werte (Verschiebung links/rechts, Streckung) oder die y-Werte (Verschiebung oben/unten, Spiegelung an der x-Achse) betrifft. - Wenn sich die gesamte Form des Graphen nach oben oder unten bewegt hat, wurde ein Wert zum Funktionsterm addiert oder subtrahiert. - Eine Spiegelung an der x-Achse erkennst du daran, dass aus „Bergen“ „Täler“ werden und umgekehrt.

1. Abbildung a): Der rote Graph ist gegenüber dem blauen Graphen um \(2\) Einheiten nach rechts verschoben. Dies entspricht der Transformation \(x \mapsto x - 2\) im Argument der Funktion. Somit gehört dieser Graph zu \(g(x) = f(x - 2)\). 2. Abbildung b): Der rote Graph ist gegenüber dem blauen Graphen um \(1{,}5\) Einheiten parallel zur y-Achse nach oben verschoben. Dies entspricht der Addition einer Konstanten zum Funktionswert. Somit gehört dieser Graph zu \(h(x) = f(x) + 1{,}5\). 3. Abbildung c): Der rote Graph ist durch Spiegelung des blauen Graphen an der x-Achse entstanden. Jeder Funktionswert hat das entgegengesetzte Vorzeichen erhalten. Somit gehört dieser Graph zu \(k(x) = -f(x)\).

a) \(g(x) = f(x - 2)\); Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts. b) \(h(x) = f(x) + 1{,}5\); Verschiebung um \(1{,}5\) Einheiten nach oben. c) \(k(x) = -f(x)\); Spiegelung an der x-Achse.

- Überlege dir, wie sich die Funktionswerte ändern, wenn du das Ergebnis der gesamten Funktion mit einer Zahl multiplizierst. - Was passiert mit dem Argument \(x\), wenn du direkt in der Klammer eine Zahl addierst oder subtrahierst? - Ein konstanter Wert am Ende des Terms verschiebt alle Punkte des Graphen um denselben Betrag in die gleiche Richtung. - Achte auf markante Punkte wie Hochpunkte oder Nullstellen, um die Verschiebungen nachzuvollziehen.

1. Der Parameter \(a\) bewirkt eine Streckung oder Stauchung des Graphen in \(y\)-Richtung. Ist \(|a| > 1\), wird der Graph gestreckt; ist \(0 < |a| < 1\), wird er gestaucht. Ein negatives Vorzeichen bei \(a\) bewirkt zusätzlich eine Spiegelung an der \(x\)-Achse. Im Beispiel ist \(a = -1\), was einer reinen Spiegelung entspricht. 2. Der Parameter \(c\) bewirkt eine Verschiebung in \(x\)-Richtung. Ein positiver Wert (\(c > 0\)) verschiebt den Graphen nach links, ein negativer Wert (\(c < 0\)) nach rechts. Im Beispiel ist \(c = -2\), der Graph ist also um \(2\) Einheiten nach rechts verschoben. 3. Der Parameter \(d\) bewirkt eine Verschiebung in \(y\)-Richtung. Bei \(d > 0\) erfolgt die Verschiebung nach oben, bei \(d < 0\) nach unten. Im Beispiel ist \(d = 1\).

Der Parameter \(a\) streckt oder staucht den Graphen in \(y\)-Richtung (bei \(a < 0\) zusätzlich Spiegelung an der \(x\)-Achse). Der Parameter \(c\) verschiebt den Graphen horizontal (nach links für \(c > 0\), nach rechts für \(c < 0\)). Der Parameter \(d\) verschiebt den Graphen vertikal (nach oben für \(d > 0\), nach unten für \(d < 0\)).

- Suche dir markante Punkte auf dem Graphen von \(f\), wie zum Beispiel Hoch- oder Tiefpunkte. - Finde die entsprechenden Punkte auf dem Graphen von \(g\). - Überlege, wie weit die Punkte in waagerechter und senkrechter Richtung verschoben wurden. - Erinnere dich daran, wie sich eine Verschiebung nach links oder rechts im Funktionsterm (innerhalb oder außerhalb der Klammer) auswirkt.

1. Identifikation markanter Punkte auf \(G_f\): Der Graph von \(f\) verläuft durch den Ursprung \((0\mid0)\) und hat ein lokales Maximum bei \((-2\mid4)\) sowie ein lokales Minimum bei \((2\mid-4)\). 2. Vergleich mit \(G_g\): Der Graph von \(g\) hat ein lokales Maximum bei \((-4\mid5)\), verläuft durch \((-2\mid1)\) und hat ein lokales Minimum bei \((0\mid-3)\). 3. Bestimmung der Verschiebung: Jeder Punkt \((x\mid y)\) von \(G_f\) wurde um 2 Einheiten nach links und um 1 Einheit nach oben verschoben, um auf einen Punkt von \(G_g\) zu gelangen. Dies entspricht der Transformation \(g(x) = f(x + 2) + 1\). 4. Aufstellen des Funktionsterms: Einsetzen von \((x+2)\) in den Term von \(f\) und Addition von 1 ergibt \(g(x) = \frac{1}{4}(x+2)^3 - 3(x+2) + 1\).

\(g(x) = \frac{1}{4}(x+2)^3 - 3(x+2) + 1\)

- Schaue dir an, wohin die Nullstellen des blauen Graphen gewandert sind. - Wenn ein Graph nach links verschoben wird, wird das Argument \(x\) in der Funktionsvorschrift angepasst. Überlege, ob du einen Wert addieren oder subtrahieren musst.

1. Analyse der Nullstellen: Die Funktion \(f\) hat Nullstellen bei \(x = -2\), \(x = 0\) und \(x = 2\). Die Funktion \(g\) hat entsprechende Nullstellen bei \(x = -6\), \(x = -4\) und \(x = -2\). 2. Berechnung der Differenz: Jede Nullstelle wurde um \(4\) Einheiten in negative \(x\)-Richtung verschoben (\(-2 - 4 = -6\); \(0 - 4 = -4\); \(2 - 4 = -2\)). 3. Bestimmung der Transformation: Eine Verschiebung um \(4\) Einheiten nach links entspricht der Ersetzung von \(x\) durch \(x + 4\). 4. Ergebnis: \(g(x) = f(x + 4)\).

Der Graph von \(g\) ist gegenüber dem Graphen von \(f\) um \(4\) Einheiten nach links verschoben; der Funktionsterm lautet \(g(x) = f(x + 4)\).

- Vergleiche die Positionen markanter Punkte (wie Hoch-, Tief- oder Scheitelpunkte) beider Graphen. - Überlege, ob der Graph nur verschoben oder auch gespiegelt oder gestreckt wurde. - Wie verändert sich der Funktionsterm, wenn man den Graphen entlang der Achsen verschiebt?

1. Analyse der markanten Punkte: Der Scheitelpunkt von \(f\) liegt bei \((0 \mid -2)\). Der Scheitelpunkt von \(g\) liegt bei \((3 \mid -1)\). 2. Bestimmung der Verschiebung: Um von \((0 \mid -2)\) nach \((3 \mid -1)\) zu gelangen, muss der Graph um 3 Einheiten nach rechts und um 1 Einheit nach oben verschoben werden. 3. Aufstellen der Funktionsgleichung: Eine Verschiebung um \(c\) nach rechts wird durch \(f(x - c)\) ausgedrückt, eine Verschiebung um \(d\) nach oben durch Addition von \(d\). 4. Ergebnis: \(g(x) = f(x - 3) + 1\).

Der Graph von \(g\) entsteht aus dem Graphen von \(f\) durch eine Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts und um 1 Einheit nach oben; die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = f(x - 3) + 1\).

- Achte darauf, ob die Kurvenverläufe „umgedreht“ wirken. - Prüfe, ob die \(y\)-Werte von \(g\) genau die entgegengesetzten Vorzeichen der \(y\)-Werte von \(f\) haben. - Erinnere dich daran, welche Operation im Funktionsterm einer Spiegelung an der waagerechten Achse entspricht.

1. Beobachtung der Graphenform: Die Graphen von \(f\) und \(g\) haben dieselbe Form, sind aber an der \(x\)-Achse gespiegelt. 2. Überprüfung der Funktionswerte: An der Stelle \(x=1\) gilt \(f(1) = -1\) und \(g(1) = 1\). An der Stelle \(x=-1\) gilt \(f(-1) = 1\) und \(g(-1) = -1\). Allgemein gilt für jeden Punkt \((x \mid y)\) auf \(G_f\), dass der Punkt \((x \mid -y)\) auf \(G_g\) liegt. 3. Mathematische Beschreibung: Eine Spiegelung an der \(x\)-Achse entspricht einer Multiplikation des gesamten Funktionsterms mit \(-1\). 4. Ergebnis: \(g(x) = -f(x)\).

Der Graph von \(g\) geht aus dem Graphen von \(f\) durch eine Spiegelung an der \(x\)-Achse hervor; es gilt \(g(x) = -f(x)\).

- Überlege, welche Änderungen am Funktionsterm eine Verschiebung oder Streckung bewirken. - Wann ist ein Bruchterm bei konstantem Zähler maximal? - Erinnere dich an die formale Bedingung für Achsensymmetrie bezüglich einer beliebigen senkrechten Achse.

1. Durch Vergleich der Funktionsterme erkennt man den Zusammenhang \(f(x) = 3h(x-8)\). Somit entsteht \(G_f\) aus \(G_h\) durch eine Verschiebung um 8 Einheiten in positive \(x\)-Richtung und eine anschließende Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor 3. 2. Der Nenner \((x-8)^2 + 3\) nimmt seinen minimalen Wert bei \(x = 8\) an. Damit ergibt sich der maximale Funktionswert zu \(f(8) = \frac{12}{0 + 3} = 4\). Der Hochpunkt liegt also bei \(H(8\mid4)\). 3. Zum Nachweis der Achsensymmetrie bezüglich \(x = 8\) wird geprüft, ob \(f(8-z) = f(8+z)\) gilt: \(f(8-z) = \frac{12}{((8-z)-8)^2 + 3} = \frac{12}{(-z)^2 + 3} = \frac{12}{z^2 + 3}\) \(f(8+z) = \frac{12}{((8+z)-8)^2 + 3} = \frac{12}{z^2 + 3}\) Da beide Ausdrücke identisch sind, ist der Graph achsensymmetrisch zu \(x = 8\).

1. Verschiebung um 8 Einheiten nach rechts und Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor 3. 2. \(H(8\mid4)\). 3. Der Nachweis erfolgt über die Gleichung \(f(8-z) = f(8+z)\), die für alle \(z \in \mathbb{R}\) den Wert \(\frac{12}{z^2+3}\) liefert.

- Achte auf die Verschiebung entlang der \(x\)- oder \(y\)-Achse. - Setze einfache Werte wie \(x=0\) oder \(x=1\) in die Funktionsgleichungen ein. - Erinnere dich an den typischen Verlauf von Grundfunktionen wie der Wurzel- oder Exponentialfunktion. - Welcher Graph zeigt ein periodisches (sich wiederholendes) Muster?

Die Graphen lassen sich wie folgt zuordnen: 1. Graph 1 gehört zu \(p(x) = 2\cos(x)\). Es handelt sich um eine Kosinusfunktion, die in \(y\)-Richtung mit dem Faktor 2 gestreckt wurde. Der \(y\)-Achsenabschnitt liegt bei \(2 \cdot \cos(0) = 2\). 2. Graph 2 gehört zu \(q(x) = e^{x-1}\). Dies ist die natürliche Exponentialfunktion, die um eine Einheit nach rechts verschoben wurde. Sie verläuft durch den Punkt \((1 \mid 1)\), da \(e^{1-1} = e^0 = 1\). 3. Graph 3 gehört zu \(r(x) = \sqrt{x} - 2\). Dies ist die Wurzelfunktion, die um 2 Einheiten nach unten verschoben wurde. Sie beginnt im Punkt \((0 \mid -2)\) und hat eine Nullstelle bei \(x=4\) (da \(\sqrt{4}-2 = 0\)).

Graph 1: \(p(x)\); Graph 2: \(q(x)\); Graph 3: \(r(x)\)

- Wie wirkt sich eine Stauchung in \(y\)-Richtung mathematisch auf den gesamten Funktionsterm aus? - Was passiert mit dem Term, wenn der Graph entlang der \(y\)-Achse verschoben wird? - Welche Teile des Funktionsterms bestimmen die Lage der waagerechten und senkrechten Asymptoten? - Überlege, ob eine Stauchung oder Verschiebung in \(y\)-Richtung die Position einer senkrechten Geraden verändern kann.

1. Anwendung der Stauchung mit Faktor \(k = 0{,}5\) auf \(f(x)\): \(h(x) = 0{,}5f(x) = 0{,}5\left( \frac{6}{x-4} + 2 \right) = \frac{3}{x-4} + 1\). 2. Anwendung der vertikalen Verschiebung um \(d = 3\): \(g(x) = h(x) + 3 = \frac{3}{x-4} + 1 + 3 = \frac{3}{x-4} + 4\). Dies entspricht der Zielvorgabe. 3. Bestimmung der Asymptoten von \(f\): Vertikale Asymptote bei \(x = 4\) (Nullstelle des Nenners), horizontale Asymptote bei \(y = 2\) (Grenzwert für \(x \to \pm \infty\)). 4. Bestimmung der Asymptoten von \(g\): Vertikale Asymptote bei \(x = 4\), horizontale Asymptote bei \(y = 4\). 5. Beschreibung der Transformation der Asymptoten: Die vertikale Asymptote bleibt unverändert, da keine Transformation in \(x\)-Richtung stattfindet. Die horizontale Asymptote \(y = 2\) wird mit dem Faktor \(0{,}5\) gestaucht (\(2 \cdot 0{,}5 = 1\)) und anschließend um \(3\) nach oben verschoben (\(1 + 3 = 4\)), woraus \(y = 4\) resultiert.

Die rechnerische Herleitung ergibt \(0{,}5f(x) + 3 = \frac{3}{x-4} + 4 = g(x)\). Asymptoten von \(f\): \(x = 4\) und \(y = 2\). Asymptoten von \(g\): \(x = 4\) und \(y = 4\). Die vertikale Asymptote bleibt gleich (\(x = 4\)). Die horizontale Asymptote von \(g\) ergibt sich durch \(y_g = 0{,}5y_f + 3 = 0{,}5 \cdot 2 + 3 = 4\).

- Wie wirkt sich eine Verschiebung entlang der \(x\)-Achse auf das Argument in der Klammer aus? - Welcher Teil des Funktionsterms \(a\cos(b(x-c)) + d\) bestimmt die Amplitude und welcher die Periode? - Erinnere dich an die Periodizität der Kosinusfunktion. Wann nimmt die Funktion dieselben Werte wieder an?

1. Aufstellen des Funktionsterms: Eine Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(2\) entspricht der Multiplikation des Funktionsterms mit \(2\). Eine Verschiebung um \(\pi\) nach rechts entspricht der Ersetzung von \(x\) durch \((x - \pi)\). Daraus folgt \(g(x) = 2\cos(x - \pi)\). 2. Bestimmung von Amplitude und Periode: Die Amplitude entspricht dem Betrag des Streckungsfaktors in \(y\)-Richtung, also \(A = 2\). Da in \(x\)-Richtung keine Streckung vorliegt (Faktor \(1\)), bleibt die Periodenlänge der Kosinusfunktion erhalten: \(T = 2\pi\). 3. Bestimmung der Parameter \(d\): Aus dem Term in Teilaufgabe a) ergibt sich unmittelbar \(d_1 = -\pi\). Aufgrund der Periodizität der Kosinusfunktion mit \(2\pi\) gilt \(\cos(x - \pi) = \cos(x - \pi + 2\pi) = \cos(x + \pi)\). Somit ist ein möglicher positiver Wert \(d_2 = \pi\).

a) \(g(x) = 2\cos(x - \pi)\) b) Amplitude: \(2\); Periodenlänge: \(2\pi\) c) Mögliche Werte sind \(d = \pi\) und \(d = -\pi\).

- Nutze die quadratische Ergänzung, um die Scheitelpunktform zu erhalten. - Überlege, wie die Parameter in der Scheitelpunktform \(a(x - x_S)^2 + y_S\) mit der allgemeinen Form \(af(b(x + c)) + d\) zusammenhängen. - Achte beim Beschreiben der Transformationen besonders auf das Vorzeichen von \(a\) (Spiegelung).

1. Umformung durch quadratische Ergänzung: \(g(x) = -0{,}5(x^2 - 4x) + 1\) \(g(x) = -0{,}5((x - 2)^2 - 4) + 1\) \(g(x) = -0{,}5(x - 2)^2 + 2 + 1\) \(g(x) = -0{,}5(x - 2)^2 + 3\) 2. Vergleich mit der Form \(af(b(x + c)) + d\): Da \(f(x) = x^2\), ist \(g(x) = -0{,}5f(1(x - 2)) + 3\). Hierbei ist \(a = -0{,}5\), \(b = 1\), \(c = -2\) und \(d = 3\). 3. Beschreibung der Transformationen: - Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts (wegen \(c = -2\)). - Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) und Spiegelung an der \(x\)-Achse (wegen \(a = -0{,}5\)). - Verschiebung um \(3\) Einheiten nach oben (wegen \(d = 3\)).

Darstellung: \(g(x) = -0{,}5f(x - 2) + 3\) Transformationen: Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts, Spiegelung an der \(x\)-Achse bei gleichzeitiger Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\), Verschiebung um \(3\) Einheiten nach oben.

- Was passiert mit den Funktionswerten, wenn man ein Minuszeichen vor den gesamten Funktionsterm setzt? - Wie verändert sich der Term, wenn man jedes \(x\) durch \((-x)\) ersetzt? Achte dabei besonders auf die Potenzen. - Erinnere dich an die Symmetrieeigenschaften von Graphen im Koordinatensystem. - Überlege, was passiert, wenn man einen Punkt erst an der einen und dann an der anderen Achse spiegelt.

1. Berechnung von \(g(x)\): Durch Einsetzen von \(f(x)\) in \(g(x) = -f(x)\) ergibt sich \(g(x) = -(x^3 - 2x^2) = -x^3 + 2x^2\). 2. Berechnung von \(h(x)\): Durch Einsetzen von \(-x\) in \(g(x)\) erhält man \(h(x) = -(-x)^3 + 2(-x)^2 = -(-x^3) + 2x^2 = x^3 + 2x^2\). 3. Geometrische Transformationen: Der Übergang von \(f\) zu \(g\) entspricht einer Spiegelung an der \(x\)-Achse. Der Übergang von \(g\) zu \(h\) entspricht einer Spiegelung an der \(y\)-Achse. 4. Direkter Zusammenhang: Die Hintereinanderausführung einer Spiegelung an der \(x\)-Achse und einer Spiegelung an der \(y\)-Achse entspricht einer Punktspiegelung am Koordinatenursprung \((0|0)\). Somit geht der Graph von \(h\) durch Punktspiegelung am Ursprung aus dem Graphen von \(f\) hervor.

a) \(g(x) = -x^3 + 2x^2\) und \(h(x) = x^3 + 2x^2\). b) \(f \to g\): Spiegelung an der \(x\)-Achse; \(g \to h\): Spiegelung an der \(y\)-Achse. Der Graph von \(h\) geht aus dem Graphen von \(f\) durch eine Punktspiegelung am Ursprung hervor.

- Wie wirkt sich eine Spiegelung an der \(x\)-Achse auf das Vorzeichen des gesamten Funktionsterms aus? - Wenn ein Graph entlang der \(x\)-Achse verschoben wird, an welcher Stelle im Funktionsterm musst du die Änderung vornehmen? - Achte darauf, die Transformationen in der angegebenen Reihenfolge durchzuführen. - Überlege dir, wie sich der Scheitelpunkt der Parabel durch die einzelnen Schritte verändert.

1. Spiegelung an der \(x\)-Achse: Der Term \(f(x)\) wird mit \(-1\) multipliziert. Es ergibt sich \(f_1(x) = -(\frac{1}{2}(x-2)^2 - 4) = -\frac{1}{2}(x-2)^2 + 4\). 2. Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links: In \(f_1(x)\) wird \(x\) durch \((x+2)\) ersetzt. Dies führt zu \(g(x) = -\frac{1}{2}(x+2-2)^2 + 4 = -\frac{1}{2}x^2 + 4\). 3. Die resultierende Funktion hat bereits die gewünschte Form \(g(x) = ax^2 + c\) mit \(a = -0{,}5\) und \(c = 4\).

Die Scheitelpunktform nach der Spiegelung und Verschiebung lautet \(g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 4\). Dies entspricht bereits der Form \(g(x) = ax^2 + c\) mit \(a = -\frac{1}{2}\) und \(c = 4\).

- Kannst du den Ausdruck in der Klammer so umformen, dass der Faktor vor dem \(x\) ausgeklammert ist? - Welche Zahl im Funktionsterm bewirkt eine Veränderung der Amplitude oder eine Streckung in \(y\)-Richtung? - Wie unterscheidet sich eine Verschiebung entlang der \(x\)-Achse von einer Verschiebung entlang der \(y\)-Achse im Funktionsterm? - Was passiert mit dem Graphen, wenn man das \(x\) durch \(3x\) ersetzt?

1. Umformung des Funktionsterms durch Ausklammern des Faktors 3 im Argument der Sinusfunktion ergibt \(f(x) = 2\sin(3(x - \frac{\pi}{3})) + 1\). 2. Stauchung des Graphen der Sinusfunktion in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{3}\) zur Änderung der Periode. 3. Verschiebung des resultierenden Graphen um \(\frac{\pi}{3}\) Einheiten nach rechts in positive \(x\)-Richtung. 4. Streckung des Graphen in \(y\)-Richtung mit dem Faktor 2 zur Anpassung der Amplitude. 5. Verschiebung des gesamten Graphen um 1 Einheit nach oben in positive \(y\)-Richtung. Alternativ kann die Verschiebung um \(\pi\) vor der Stauchung mit dem Faktor \(\frac{1}{3}\) erfolgen.

Der Graph von \(f\) geht aus dem Graphen von \(g(x) = \sin(x)\) hervor, indem dieser zunächst mit dem Faktor \(\frac{1}{3}\) in \(x\)-Richtung gestaucht und um \(\frac{\pi}{3}\) nach rechts verschoben wird. Anschließend erfolgt eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor 2 sowie eine Verschiebung um 1 Einheit nach oben.

- Vergleiche den Term in der Klammer der Funktion \(h\) mit der allgemeinen Form einer verschobenen Spiegelung. - Was muss für den Mittelpunkt zwischen einem Punkt und seinem Spiegelbild gelten, wenn an einer Achse gespiegelt wird? - Nutze die Formel für den Mittelpunkt zweier Werte auf der Zahlengeraden. - Welchen konstanten Wert müsste dieser Mittelpunkt annehmen, damit die Spiegelung an der Geraden \(x=a\) erfolgt?

1. Vergleich der Funktionsterme: In \(f(x)\) wurde \(x\) durch den Ausdruck \((6-x)\) ersetzt. Gemäß der Form \(x \mapsto 2a - x\) gilt \(2a = 6\), woraus \(a = 3\) folgt. Die Spiegelachse ist also \(x = 3\). 2. Geometrische Begründung: Sei \(x\) ein beliebiger Punkt und \(x' = 2a - x\) sein Bildpunkt. Der Mittelpunkt \(M\) der Strecke zwischen \(x\) und \(x'\) auf der \(x\)-Achse berechnet sich durch das arithmetische Mittel: \(M = \frac{x + x'}{2} = \frac{x + (2a - x)}{2} = \frac{2a}{2} = a\). 3. Da der Mittelpunkt für jedes \(x\) genau auf der Geraden \(x = a\) liegt und der Abstand \(|x - a|\) gleich dem Abstand \(|x' - a|\) ist, handelt es sich um eine Achsenspiegelung an \(x = a\).

Der Wert ist \(a = 3\). Die Begründung erfolgt über den Mittelpunkt der \(x\)-Werte: \(\frac{x + (2a - x)}{2} = a\). Da der Mittelpunkt zwischen jedem Punkt und seinem Bildpunkt stets auf der Geraden \(x = a\) liegt, ist dies die Spiegelachse.

- Denke daran, dass bei einer Verschiebung in \(x\)-Richtung jedes \(x\) im aktuellen Term durch \((x - c)\) ersetzt wird. - Bei einer Spiegelung an der \(y\)-Achse wird jedes \(x\) im aktuellen Term durch \((-x)\) ersetzt. - Achte besonders auf die Klammersetzung, wenn du die zweite Transformation anwendest. - Was sagen die Definitionsbereiche über die Lage der Graphen aus?

1. Berechnung von \(p(x)\) (Spiegelung, dann Verschiebung): Die Spiegelung an der \(y\)-Achse ersetzt \(x\) durch \(-x\), also \(f_1(x) = \sqrt{-x}\). Die anschließende Verschiebung um \(3\) Einheiten nach rechts ersetzt \(x\) durch \((x-3)\). Somit gilt \(p(x) = \sqrt{-(x-3)} = \sqrt{-x+3}\). 2. Berechnung von \(q(x)\) (Verschiebung, dann Spiegelung): Die Verschiebung um \(3\) nach rechts ersetzt \(x\) durch \((x-3)\), also \(f_2(x) = \sqrt{x-3}\). Die anschließende Spiegelung an der \(y\)-Achse ersetzt \(x\) durch \(-x\). Somit gilt \(q(x) = \sqrt{-x-3}\). 3. Vergleich: \(p(x) = \sqrt{3-x}\) hat den Definitionsbereich \(D_p = \{x \in \mathbb{R} | x \le 3\}\), während \(q(x) = \sqrt{-x-3}\) den Definitionsbereich \(D_q = \{x \in \mathbb{R} | x \le -3\}\) besitzt. Da die Definitionsbereiche (und die Terme unter der Wurzel) unterschiedlich sind, gilt \(p(x) \neq q(x)\).

\(p(x) = \sqrt{-x+3}\) (bzw. \(\sqrt{-(x-3)}\)) und \(q(x) = \sqrt{-x-3}\). Die Funktionen sind verschieden, da die Argumente unter der Wurzel (\(-x+3\) vs. \(-x-3\)) für dieselben \(x\)-Werte unterschiedliche Ergebnisse liefern und die Definitionsbereiche nicht übereinstimmen.

- Untersuche den Nenner des Bruchs in \(g(x)\). Erinnert er dich an eine binomische Formel? - Versuche, den Term von \(g(x)\) so umzuformen, dass der Grundterm \(f(x)\) deutlich erkennbar wird. - Welche Parameter in der Form \(af(x - c) + d\) bewirken welche Veränderungen am Graphen? - Achte besonders auf das Vorzeichen vor dem Bruch und die Konstante am Ende des Terms.

1. Den Funktionsterm von \(g\) umschreiben: Da \(x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2\), gilt \(g(x) = -4\frac{1}{(x-2)^2} + 1\). 2. Vergleich mit der allgemeinen Form \(g(x) = af(x - c) + d\): Hier ist \(f(x) = \frac{1}{x^2}\), also \(g(x) = -4f(x - 2) + 1\). 3. Identifikation der Transformationen: - Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\). - Spiegelung an der \(x\)-Achse (wegen des negativen Vorzeichens bei \(-4\)). - Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts (in positive \(x\)-Richtung). - Verschiebung um \(1\) Einheit nach oben (in positive \(y\)-Richtung).

Der Graph von \(g\) geht aus dem Graphen von \(f\) durch eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\), eine Spiegelung an der \(x\)-Achse, eine Verschiebung um \(2\) Einheiten in positive \(x\)-Richtung und eine Verschiebung um \(1\) Einheit in positive \(y\)-Richtung hervor.

- Überlege dir, wie sich eine Verschiebung oder Stauchung mathematisch auf den gesamten Funktionsterm auswirkt. - Achte besonders darauf, ob eine Transformation nur auf das \(x^2\) oder auf den gesamten bereits transformierten Term wirkt. - Schreibe dir die Funktionsgleichung nach jedem einzelnen Schritt der Beschreibung auf. - Macht es einen Unterschied, ob man erst multipliziert und dann addiert/subtrahiert oder umgekehrt?

1. Anwendung von Linas Beschreibung: Zuerst wird die Funktion \(f(x) = x^2\) mit dem Faktor \(0{,}5\) in \(y\)-Richtung gestaucht, was zu \(f_1(x) = 0{,}5x^2\) führt. 2. Anschließend erfolgt die Verschiebung um \(3\) Einheiten nach unten: \(g_L(x) = f_1(x) - 3 = 0{,}5x^2 - 3\). Dies entspricht der Funktion \(g(x)\). 3. Anwendung von Felix' Beschreibung: Zuerst wird der Graph um \(3\) Einheiten nach unten verschoben, was zu \(f_2(x) = x^2 - 3\) führt. 4. Die anschließende Stauchung mit Faktor \(0{,}5\) in \(y\)-Richtung muss auf die gesamte bisherige Funktion angewendet werden: \(g_F(x) = 0{,}5(x^2 - 3) = 0{,}5x^2 - 1{,}5\). 5. Vergleich der Ergebnisse: Linas Vorgehensweise führt korrekt zu \(g(x)\), während Felix' Vorgehensweise zu einer anderen Funktion führt.

Nur Linas Vorgehensweise führt zur Funktionsgleichung \(g(x) = 0{,}5x^2 - 3\). Felix erhält durch seine Reihenfolge die Funktion \(g_F(x) = 0{,}5x^2 - 1{,}5\), da sich die Stauchung bei ihm auch auf den Wert der Verschiebung auswirkt.

- Überlege dir, wie sich eine Streckung in \(x\)-Richtung formal im Funktionsterm ausdrückt. - Wie verändert eine Verschiebung entlang der \(y\)-Achse den Funktionsterm? - Betrachte die Definitionslücke und den konstanten Summanden, um die Asymptoten zu finden. - Welche Transformation beeinflusst welche Asymptote (waagrecht oder senkrecht)?

1. Streckung in \(x\)-Richtung mit Faktor \(3\): Ersetzen von \(x\) durch \(\frac{x}{3}\) in der Funktionsgleichung von \(f\). 2. Berechnung des Terms: \(f\left(\frac{x}{3}\right) = \frac{2}{\frac{x}{3} + 4} - 3 = \frac{2}{\frac{x + 12}{3}} - 3 = \frac{6}{x + 12} - 3\). 3. Verschiebung in \(y\)-Richtung um \(4\): Addition von \(4\) zum gesamten Funktionsterm. 4. Endergebnis: \(g(x) = \frac{6}{x + 12} - 3 + 4 = \frac{6}{x + 12} + 1\). Dies entspricht der Zielvorgabe. 5. Auswirkungen auf die Asymptoten: Die senkrechte Asymptote von \(f\) bei \(x = -4\) wird durch die Streckung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(3\) auf \(x = -12\) verschoben. Die waagrechte Asymptote von \(f\) bei \(y = -3\) wird durch die Verschiebung in \(y\)-Richtung um \(4\) Einheiten nach oben auf \(y = 1\) verschoben.

Die Transformation erfolgt durch \(g(x) = f\left(\frac{x}{3}\right) + 4\). Die Rechnung ergibt \(\frac{2}{\frac{x}{3} + 4} - 3 + 4 = \frac{6}{x + 12} + 1\). Die senkrechte Asymptote verschiebt sich von \(x = -4\) zu \(x = -12\) (Streckung), die waagrechte von \(y = -3\) zu \(y = 1\) (Verschiebung).

- Achte darauf, dass bei einer Streckung in \(y\)-Richtung der gesamte Funktionsterm (inklusive der Konstanten) multipliziert werden muss. - Erinnere dich daran, ob eine Verschiebung nach links durch Addition oder Subtraktion im Nenner dargestellt wird. - Was passiert mit der waagrechten Asymptote, wenn die gesamte Funktion gestreckt wird? - Was passiert mit der senkrechten Asymptote bei einer horizontalen Verschiebung?

1. Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(4\): Multiplikation des gesamten Funktionsterms \(h(x)\) mit \(4\). 2. Zwischenergebnis: \(4\left(\frac{1}{x-2} + 5\right) = \frac{4}{x-2} + 20\). 3. Verschiebung um \(3\) Einheiten nach links: Ersetzen von \(x\) durch \(x + 3\). 4. Resultierende Funktion: \(k(x) = \frac{4}{(x+3)-2} + 20 = \frac{4}{x+1} + 20\). 5. Analyse der Asymptoten: Die ursprüngliche senkrechte Asymptote \(x = 2\) wird durch die Linksverschiebung um \(3\) Einheiten zu \(x = -1\). Die ursprüngliche waagrechte Asymptote \(y = 5\) wird durch die Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\) auf \(y = 20\) transformiert.

Die neue Funktionsgleichung lautet \(k(x) = \frac{4}{x+1} + 20\). Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = -1\) (Verschiebung von \(x = 2\) um \(3\) nach links), die waagrechte Asymptote liegt bei \(y = 20\) (Streckung von \(y = 5\) mit Faktor \(4\)).

- Überlege dir Schritt für Schritt, wie sich der Funktionsterm verändert, wenn eine Operation nach der anderen angewendet wird. - Achte besonders darauf, worauf sich die Streckung bezieht, wenn sie als zweiter Schritt erfolgt. - Was bedeutet es mathematisch für die Differenz zweier Funktionen, wenn der Abstand konstant sein soll? - Wie berechnet man den vertikalen Abstand zwischen zwei Graphen an einer Stelle \(x\)?

1. Aufstellen des Funktionsterms für \(g\): Zuerst erfolgt die Streckung mit Faktor \(3\), also \(3f(x)\), dann die Verschiebung um \(2\) nach unten. Es ergibt sich \(g(x) = 3\sqrt{x} - 2\). 2. Aufstellen des Funktionsterms für \(h\): Zuerst erfolgt die Verschiebung um \(2\) nach unten, also \(f(x) - 2\), dann die Streckung des gesamten Ausdrucks mit Faktor \(3\). Es ergibt sich \(h(x) = 3(\sqrt{x} - 2) = 3\sqrt{x} - 6\). 3. Berechnung der Differenz der Funktionswerte: \(g(x) - h(x) = (3\sqrt{x} - 2) - (3\sqrt{x} - 6) = 3\sqrt{x} - 2 - 3\sqrt{x} + 6 = 4\). 4. Da die Differenz \(g(x) - h(x) = 4\) unabhängig von \(x\) ist, ist der vertikale Abstand zwischen den Graphen konstant. Der Abstand beträgt \(4\) Einheiten.

Der vertikale Abstand ist konstant \(4\), da \(g(x) = 3\sqrt{x} - 2\) und \(h(x) = 3\sqrt{x} - 6\) gilt und somit die Differenz \(g(x) - h(x) = 4\) für alle \(x\) im Definitionsbereich ergibt.

- Erinnere dich daran, wie sich eine Spiegelung an der \(x\)-Achse auf das Vorzeichen des gesamten Funktionsterms auswirkt. - Verfolge die Wanderung des Scheitelpunkts bei jeder einzelnen Transformation. - Was passiert mit einer Verschiebung, wenn danach der gesamte Graph gespiegelt wird? - Reicht es aus, einen markanten Punkt (wie den Scheitelpunkt) zu vergleichen, um zu zeigen, dass zwei Funktionen unterschiedlich sind?

1. Bestimmung des Scheitelpunkts von \(f\): Da \(f(x) = x^2 - 1\), liegt der Scheitelpunkt bei \(S_f(0|-1)\). 2. Transformation zu \(g\) (Sequenz A): Die Spiegelung an der \(x\)-Achse bildet \(f(x)\) auf \(-f(x) = -(x^2 - 1) = -x^2 + 1\) ab. Die anschließende Verschiebung um \(4\) nach oben ergibt \(g(x) = -x^2 + 1 + 4 = -x^2 + 5\). Der Scheitelpunkt von \(g\) ist \(S_g(0|5)\). 3. Transformation zu \(h\) (Sequenz B): Die Verschiebung um \(4\) nach oben bildet \(f(x)\) auf \(f(x) + 4 = (x^2 - 1) + 4 = x^2 + 3\) ab. Die anschließende Spiegelung an der \(x\)-Achse ergibt \(h(x) = -(x^2 + 3) = -x^2 - 3\). Der Scheitelpunkt von \(h\) ist \(S_h(0|-3)\). 4. Vergleich: Da die Scheitelpunkte \(S_g(0|5)\) und \(S_h(0|-3)\) verschieden sind, sind auch die Funktionen \(g\) und \(h\) unterschiedlich.

Der Scheitelpunkt von \(g\) liegt bei \(S_g(0|5)\), der Scheitelpunkt von \(h\) liegt bei \(S_h(0|-3)\). Da die Scheitelpunkte unterschiedlich sind, gilt \(g \neq h\).

- Welche Asymptoten hat die ursprüngliche Funktion \(f\)? - Vergleiche die Lage der alten Asymptoten mit den neuen Asymptoten von \(g\). - Wie verändert sich ein Funktionsterm, wenn man den Graphen entlang der Achsen verschiebt? - Überlege dir, welchen Wert du für \(x\) einsetzen musst, damit der Nenner bei der neuen Asymptote null wird.

1. Bestimmung der Asymptoten der Ausgangsfunktion \(f\): Die Definitionslücke liegt bei \(x = -3\) (senkrechte Asymptote), der konstante Term ist \(0\), woraus die waagrechte Asymptote \(y = 0\) folgt. 2. Vergleich der Asymptoten zur Ermittlung der Verschiebung: In \(x\)-Richtung verschiebt sich die Asymptote von \(-3\) nach \(1\), was einer Verschiebung um \(+4\) Einheiten (nach rechts) entspricht. In \(y\)-Richtung verschiebt sich die Asymptote von \(0\) nach \(-4\), was einer Verschiebung um \(-4\) Einheiten (nach unten) entspricht. 3. Aufstellen des Funktionsterms \(g(x)\): Durch Einsetzen der Verschiebungen in die Transformationsvorschrift \(g(x) = f(x - d) + e\) ergibt sich \(g(x) = \frac{5}{(x-4)+3} - 4 = \frac{5}{x-1} - 4\).

Verschiebung: \(4\) Einheiten in positive \(x\)-Richtung (nach rechts) und \(4\) Einheiten in negative \(y\)-Richtung (nach unten). Funktionsterm: \(g(x) = \frac{5}{x-1} - 4\)

- Stelle für beide Szenarien einen allgemeinen Funktionsterm auf. - Beachte, dass eine Spiegelung an der \(x\)-Achse mathematisch einer Multiplikation des gesamten aktuellen Terms mit \(-1\) entspricht. - Wann sind zwei Terme für alle \(x\) identisch? - Was passiert, wenn du die beiden resultierenden Ausdrücke gleichsetzt?

1. Aufstellen der Terme für beide Reihenfolgen: Bei Reihenfolge A (Spiegelung, dann Verschiebung) lautet der Term \(g(x) = -f(x) + c\). Bei Reihenfolge B (Verschiebung, dann Spiegelung) wird der gesamte verschobene Term gespiegelt, also \(h(x) = -(f(x) + c) = -f(x) - c\). 2. Gleichsetzen der Terme zur Bestimmung der Unabhängigkeit: \(-f(x) + c = -f(x) - c\). 3. Lösen der Gleichung nach \(c\): Durch Addition von \(f(x)\) auf beiden Seiten erhält man \(c = -c\). Dies führt zu \(2c = 0\) und somit \(c = 0\). 4. Schlussfolgerung: Nur wenn die Verschiebung \(0\) beträgt (also faktisch keine Verschiebung stattfindet), ist die Reihenfolge irrelevant, da die Spiegelung den Wert \(0\) nicht verändert.

Die Reihenfolge ist nur für \(c = 0\) irrelevant. In diesem Fall findet keine Verschiebung statt, und beide Reihenfolgen führen zum identischen Ergebnis \(-f(x)\).

- Welche Auswirkungen haben Faktoren vor dem Funktionsterm oder Ersetzungen von \(x\) durch \((x+c)\) auf den Graphen? - Überlege dir, wie sich eine vertikale Streckung auf die Symmetrieachse auswirkt. - Was passiert mit einer vertikalen Symmetrieachse, wenn der gesamte Graph horizontal verschoben wird? - Vergleiche die Lage der Extrempunkte oder spezieller Werte, um die Verschiebung zu identifizieren.

1. Der Graph \(G_g\) entsteht aus \(G_f\) durch zwei Transformationsschritte: Zuerst wird der Graph \(G_f\) mit dem Faktor \(3\) in \(y\)-Richtung gestreckt, was zur Funktionsgleichung \(f_1(x) = 3 \cdot \frac{6}{x^2 + 3} = \frac{18}{x^2 + 3}\) führt. Anschließend wird dieser Graph um \(2\) Einheiten in negative \(x\)-Richtung (nach links) verschoben, indem \(x\) durch \((x + 2)\) ersetzt wird, woraus sich \(g(x) = \frac{18}{(x + 2)^2 + 3}\) ergibt. 2. Da der ursprüngliche Graph \(G_f\) achsensymmetrisch zur Geraden \(x = 0\) ist, bleibt diese Symmetrieeigenschaft bei einer Streckung in \(y\)-Richtung (entlang der Symmetrieachse) erhalten. Die anschließende Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links überträgt die Symmetrieachse von \(x = 0\) auf die Gerade \(x = 0 - 2 = -2\). Somit ist \(G_g\) achsensymmetrisch zu \(x = -2\).

1. Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(3\) und anschließende Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links. 2. Die Symmetrieachse \(x = 0\) von \(G_f\) wird durch die Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links auf die Gerade \(x = -2\) abgebildet; die Streckung in \(y\)-Richtung verändert die Lage der vertikalen Symmetrieachse nicht.

- Gehe die Transformationen Schritt für Schritt von „innen“ (beim \(x\)) nach „außen“ durch. - Was passiert mit der Öffnungsrichtung einer Parabel oder Potenzfunktion, wenn man den gesamten Term mit einer negativen Zahl multipliziert? - Überlege, wie sich die Koordinaten des Ursprungspunkts \((0|0)\) durch die Additionen und Subtraktionen im Term verändern.

1. Identifikation der Transformationen: Verschiebung um \(3\) Einheiten nach rechts (\(x \to x-3\)), Spiegelung an der \(x\)-Achse (negatives Vorzeichen), vertikale Streckung mit dem Faktor \(2\) und Verschiebung um \(5\) Einheiten nach oben (Summand \(+5\)). 2. Berechnung der Koordinaten: Die Verschiebung um \(3\) Einheiten nach rechts setzt die \(x\)-Koordinate auf \(3\). Die Spiegelung und Streckung lassen die \(y\)-Koordinate zunächst bei \(0\), die anschließende Verschiebung um \(5\) nach oben führt zur \(y\)-Koordinate \(5\). Der transformierte Extrempunkt liegt bei \(H(3|5)\). 3. Bestimmung der Art des Extrempunktes: Da der ursprüngliche Graph von \(f(x) = x^4\) nach oben geöffnet ist (Tiefpunkt), bewirkt die Spiegelung an der \(x\)-Achse (Faktor \(-2\)), dass der Graph von \(g\) nach unten geöffnet ist. Somit wird aus dem Tiefpunkt ein Hochpunkt.

1. Verschiebung um \(3\) Einheiten nach rechts, Spiegelung an der \(x\)-Achse, Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(2\), Verschiebung um \(5\) Einheiten nach oben. 2. \(H(3|5)\) 3. Durch die Spiegelung an der \(x\)-Achse (negativer Streckfaktor) kehrt sich die Öffnungsrichtung des Graphen um; aus einem Tiefpunkt wird ein Hochpunkt.

- Vergleiche die gegebene Funktionsgleichung mit der allgemeinen Form \(g(x) = a\sin(x - c) + d\). - Achte besonders auf das Vorzeichen im Argument der Funktion bei der horizontalen Verschiebung. - Wie hängen die Amplitude und die vertikale Verschiebung mit dem höchsten und tiefsten Punkt des Graphen zusammen? - Was gibt der Wertebereich einer Funktion an?

1. Der Faktor \(1{,}5\) vor dem Sinus bewirkt eine Streckung des Graphen in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(1{,}5\). 2. Der Wert \(+2\) im Argument der Sinusfunktion entspricht einer Verschiebung um \(2\) Einheiten in negative \(x\)-Richtung (nach links). 3. Die Konstante \(-3\) am Ende des Terms bewirkt eine Verschiebung des Graphen um \(3\) Einheiten in negative \(y\)-Richtung (nach unten). 4. Die Amplitude der Funktion ist der Betrag des Vorfaktors: \(|1{,}5| = 1{,}5\). 5. Der Wertebereich ergibt sich aus der vertikalen Verschiebung und der Amplitude. Die Funktionswerte der reinen Sinusfunktion liegen im Intervall \([-1; 1]\). Nach der Streckung liegen sie in \([-1{,}5; 1{,}5]\). Die Verschiebung um \(3\) nach unten führt zum Wertebereich \(W = [-1{,}5 - 3; 1{,}5 - 3] = [-4{,}5; -1{,}5]\).

Transformationen: Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(1{,}5\), Verschiebung um \(2\) Einheiten in negative \(x\)-Richtung (nach links) und Verschiebung um \(3\) Einheiten in negative \(y\)-Richtung (nach unten). Amplitude: \(1{,}5\) Wertebereich: \(W = [-4{,}5; -1{,}5]\)

- Was passiert mit dem Funktionsterm, wenn man den Graphen an der \(x\)-Achse spiegelt? - Wie verändert sich die Variable \(x\), wenn der Graph entlang der \(x\)-Achse verschoben wird? - Welche Rechenoperation führt zu einer Verschiebung oder Streckung in \(y\)-Richtung? - Achte darauf, den gesamten Funktionsterm zu klammern, wenn du eine Transformation auf die gesamte Funktion anwendest.

1. Spiegelung an der \(x\)-Achse entspricht der Multiplikation des Funktionsterms mit \(-1\): \(-f(x) = -(x^3 - 3x) = -x^3 + 3x\). 2. Verschiebung um \(2\) Einheiten in positive \(y\)-Richtung entspricht der Addition von \(2\): \(g(x) = -x^3 + 3x + 2\). 3. Verschiebung um \(4\) Einheiten in positive \(x\)-Richtung bedeutet Ersetzung von \(x\) durch \((x-4)\): \(f(x-4) = (x-4)^3 - 3(x-4)\). 4. Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) bedeutet Multiplikation des gesamten Terms mit \(0{,}5\): \(h(x) = 0{,}5((x-4)^3 - 3(x-4))\).

a) \(g(x) = -x^3 + 3x + 2\) b) \(h(x) = 0{,}5((x-4)^3 - 3(x-4))\) oder \(h(x) = 0{,}5(x-4)^3 - 1{,}5(x-4)\)

- Untersuche, ob die Variable \(x\) im Funktionsterm direkt durch einen Ausdruck wie \((x+d)\) ersetzt wurde. - Prüfe, ob du den Funktionsterm so umformen kannst, dass der ursprüngliche Term \(p(x)\) als Baustein erkennbar wird. - Überlege, welche Auswirkungen Vorzeichenänderungen und Faktoren vor dem gesamten Funktionsterm auf das Aussehen des Graphen haben. - Was bedeutet eine Konstante, die am Ende des Funktionsterms addiert oder subtrahiert wird?

1. Vergleich von \(q(x)\) mit \(p(x)\): In \(p(x)\) wurde jedes \(x\) durch \((x+3)\) ersetzt, also gilt \(q(x) = p(x+3)\). Dies entspricht einer Verschiebung um \(3\) Einheiten in negative \(x\)-Richtung (nach links). 2. Untersuchung von \(r(x)\): Ausklammern von \(-2\) aus den ersten beiden Gliedern ergibt \(r(x) = -2(x^4 - 5x^2) - 3\). 3. Identifikation als \(r(x) = -2p(x) - 3\). 4. Die Transformationen für \(r\) sind: Eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\), eine Spiegelung an der \(x\)-Achse (zusammengefasst als Streckung mit Faktor \(-2\)) und eine Verschiebung um \(3\) Einheiten in negative \(y\)-Richtung (nach unten).

a) Verschiebung um \(3\) Einheiten nach links (in negative \(x\)-Richtung). b) Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\), Spiegelung an der \(x\)-Achse und Verschiebung um \(3\) Einheiten nach unten (in negative \(y\)-Richtung).

- Überlege dir, welche der beiden Grundfunktionen (Exponential- oder Logarithmusfunktion) typischerweise eine senkrechte bzw. eine waagerechte Asymptote besitzt. - Wie wirkt sich eine Verschiebung des Graphen in \(x\)- oder \(y\)-Richtung auf die Lage der Asymptoten aus? - Erinnere dich daran, für welchen Wert des Arguments die natürliche Logarithmusfunktion den Wert 0 annimmt. - Nutze die Koordinaten gegebener Punkte, um unbekannte Parameter in deinem Funktionsterm durch Einsetzen zu bestimmen.

1. Teilaufgabe a): Eine Logarithmusfunktion der Form \(f(x) = \ln(x - b)\) hat eine senkrechte Asymptote bei dem Wert, für den das Argument null wird. Aus \(x - b = 0\) bei \(x = 5\) folgt \(b = 5\). Die Nullstelle liegt vor, wenn das Argument 1 ist: \(x - 5 = 1 \implies x = 6\). Dies erfüllt beide Bedingungen. Ergebnis: \(f(x) = \ln(x - 5)\). 2. Teilaufgabe b): Eine Exponentialfunktion der Form \(f(x) = ae^{kx} + c\) besitzt für \(x \to -\infty\) (oder \(x \to \infty\)) die waagerechte Asymptote \(y = c\). Es gilt also \(c = -2\). Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liefert die Bedingung \(f(0) = 3\). Einsetzen ergibt \(a \cdot e^0 - 2 = 3\), woraus \(a - 2 = 3\) und somit \(a = 5\) folgt. Mit \(k = 1\) ergibt sich eine gültige Lösung. Ergebnis: \(f(x) = 5e^x - 2\).

Mögliche Funktionsterme sind: a) \(f(x) = \ln(x - 5)\) b) \(f(x) = 5e^x - 2\)

- Was passiert mit den Funktionswerten, wenn man die gesamte Funktion mit einer Zahl multipliziert? - Überlege dir, welche Auswirkung ein negatives Vorzeichen vor dem Streckungsfaktor auf den Graphen hat. - Untersuche die Differenzen der Funktionswerte, um den Typ der Funktion (linear, quadratisch, ...) zu bestimmen. - Wie verändert ein Faktor vor dem gesamten Funktionsterm die einzelnen Glieder des Terms?

1. Berechnung der Funktionswerte für \(g(x) = 2{,}5f(x)\): \(g(-2) = 2{,}5 \cdot (-4) = -10\); \(g(-1) = 2{,}5 \cdot 2 = 5\); \(g(0) = 2{,}5 \cdot 4 = 10\); \(g(1) = 2{,}5 \cdot 2 = 5\); \(g(2) = 2{,}5 \cdot (-4) = -10\); \(g(3) = 2{,}5 \cdot (-14) = -35\). 2. Berechnung der Funktionswerte für \(h(x) = -0{,}5f(x)\): \(h(-2) = -0{,}5 \cdot (-4) = 2\); \(h(-1) = -0{,}5 \cdot 2 = -1\); \(h(0) = -0{,}5 \cdot 4 = -2\); \(h(1) = -0{,}5 \cdot 2 = -1\); \(h(2) = -0{,}5 \cdot (-4) = 2\); \(h(3) = -0{,}5 \cdot (-14) = 7\). 3. Geometrische Interpretation: Der Graph von \(g\) entsteht durch Streckung von \(f\) in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2{,}5\). Der Graph von \(h\) entsteht durch Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) und anschließende Spiegelung an der \(x\)-Achse. 4. Bestimmung des Funktionsterms: Da die zweiten Differenzen der \(y\)-Werte konstant \(-4\) sind, handelt es sich um eine quadratische Funktion der Form \(f(x) = ax^2 + bx + c\). Mit \(f(0) = 4\) folgt \(c = 4\). Wegen \(f(-1) = f(1)\) gilt \(b = 0\). Mit \(f(1) = 2\) folgt \(a + 4 = 2\), also \(a = -2\). Somit \(f(x) = -2x^2 + 4\). 5. Transformation der Terme: \(g(x) = 2{,}5 \cdot (-2x^2 + 4) = -5x^2 + 10\) und \(h(x) = -0{,}5 \cdot (-2x^2 + 4) = x^2 - 2\).

a) Wertetabelle \(g(x)\): \((-2|-10), (-1|5), (0|10), (1|5), (2|-10), (3|-35)\). Wertetabelle \(h(x)\): \((-2|2), (-1|-1), (0|-2), (1|-1), (2|2), (3|7)\). b) \(g\) entsteht durch Streckung in \(y\)-Richtung (Faktor \(2{,}5\)). \(h\) entsteht durch Stauchung in \(y\)-Richtung (Faktor \(0{,}5\)) und Spiegelung an der \(x\)-Achse. c) \(f(x) = -2x^2 + 4\); \(g(x) = -5x^2 + 10\); \(h(x) = x^2 - 2\).

- Wie wirkt sich eine Erhöhung der Startposition auf alle anderen Punkte der Flugbahn aus? - Ändert sich die horizontale Position des höchsten Punktes, wenn man die gesamte Fontäne einfach nur anhebt? - Welche Variable in der Funktionsgleichung ist für die vertikale Lage verantwortlich? - Denke an die Wirkung von \(f(x) + c\) auf die Koordinaten eines Punktes \((x | y)\).

1. Bestimmung der neuen Funktionsgleichung: Die Erhöhung des Standorts um \(0{,}8\,\text{m}\) bedeutet, dass zu jedem Höhenwert der ursprünglichen Funktion die Konstante \(0{,}8\) addiert wird: \(h_{neu}(d) = h(d) + 0{,}8 = -0{,}5d^2 + 2d + 1 + 0{,}8 = -0{,}5d^2 + 2d + 1{,}8\). 2. Beschreibung der Transformation: Da die Änderung in der Form \(g(x) = f(x) + c\) mit \(c = 0{,}8\) vorliegt, handelt es sich um eine Verschiebung des Graphen um \(0{,}8\) Einheiten in positive \(y\)-Richtung. 3. Bestimmung des neuen Scheitelpunkts: Bei einer rein vertikalen Verschiebung ändert sich die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts nicht, während die \(y\)-Koordinate um den Wert der Verschiebung angepasst wird. 4. Berechnung: \(S_{neu}(2 | 3 + 0{,}8) = S_{neu}(2 | 3{,}8)\).

a) \(h_{neu}(d) = -0{,}5d^2 + 2d + 1{,}8\) b) Es handelt sich um eine Verschiebung des Graphen um \(0{,}8\) Einheiten nach oben (in positive \(y\)-Richtung). c) \(S_{neu}(2 | 3{,}8)\). Da es sich um eine rein vertikale Verschiebung handelt, bleibt die \(d\)-Koordinate (horizontale Lage) des Maximums unverändert, während die \(h\)-Koordinate (Höhe) um den Wert des Podests (\(0{,}8\,\text{m}\)) zunimmt.

- Überlege dir, welcher Teil des Terms von der jeweiligen Transformation betroffen ist. - Achte besonders darauf, ob eine Streckung nach oder vor einer Verschiebung stattfindet und was das für die Klammersetzung bedeutet. - Wie verhält sich die \(e\)-Funktion für sehr kleine \(x\)-Werte?

1. Für die erste Folge wird zunächst \(f(x) + 3\) gebildet. Die anschließende Streckung des gesamten Ausdrucks mit dem Faktor \(2\) führt zu \(g_1(x) = 2(e^x + 3) = 2e^x + 6\). Die waagerechte Asymptote ergibt sich für \(x \to -\infty\) zu \(y = 6\). Der \(y\)-Achsenabschnitt liegt bei \(g_1(0) = 2 \cdot e^0 + 6 = 8\), also im Punkt \((0|8)\). 2. Für die zweite Folge wird zuerst die Streckung durchgeführt, was \(2f(x)\) ergibt. Die anschließende Addition von \(3\) führt zu \(g_2(x) = 2e^x + 3\). Hier liegt die waagerechte Asymptote bei \(y = 3\). Der \(y\)-Achsenabschnitt berechnet sich durch \(g_2(0) = 2 \cdot e^0 + 3 = 5\), also im Punkt \((0|5)\).

(1) \(g_1(x) = 2e^x + 6\); Asymptote \(y = 6\); \(y\)-Achsenabschnitt \((0|8)\) (2) \(g_2(x) = 2e^x + 3\); Asymptote \(y = 3\); \(y\)-Achsenabschnitt \((0|5)\)

- Schau dir die markanten Punkte der Grundfunktion (grau gestrichelt) an, wie zum Beispiel den Sattelpunkt oder den Anfangspunkt. Wo liegen diese Punkte beim farbigen Graphen? - Überlege, wie sich eine Verschiebung nach rechts oder links im Funktionsterm bemerkbar macht. Wird dabei das x im Argument verändert oder ein Wert am Ende addiert? - Wie beeinflusst eine Verschiebung nach oben oder unten den Funktionsterm? - Wenn sich die Form des Graphen verändert hat (er also steiler oder flacher verläuft), liegt eine Streckung oder Stauchung vor. Wie kannst du den Streckfaktor mithilfe eines gut ablesbaren Punktes bestimmen?

a) 1. Der Sattelpunkt der Grundfunktion \(f(x) = x^3\) liegt bei \((0 \mid 0)\). Beim transformierten Graphen \(g\) liegt dieser Sattelpunkt bei \((2 \mid 1)\). 2. Dies entspricht einer Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts (in positive \(x\)-Richtung) und um \(1\) Einheit nach oben (in positive \(y\)-Richtung). 3. Der Funktionsterm lautet somit \(g(x) = (x-2)^3 + 1\). b) 1. Der Anfangspunkt der Wurzelfunktion \(f(x) = \sqrt{x}\) liegt bei \((0 \mid 0)\). Beim transformierten Graphen \(g\) liegt der Anfangspunkt bei \((-1 \mid -3)\). 2. Dies entspricht einer Verschiebung um \(1\) Einheit nach links (in negative \(x\)-Richtung) und um \(3\) Einheiten nach unten (in negative \(y\)-Richtung). Der Ansatz lautet somit \(g(x) = a\sqrt{x+1} - 3\). 3. Zur Bestimmung des Streckfaktors \(a\) liest man einen weiteren Punkt auf dem Graphen von \(g\) ab, z. B. den \(y\)-Achsenabschnitt \((0 \mid -1)\). 4. Einsetzen des Punktes liefert \(-1 = a \cdot \sqrt{0+1} - 3 \implies a = 2\). 5. Der Funktionsterm lautet somit \(g(x) = 2\sqrt{x+1} - 3\).

a) Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts und um \(1\) Einheit nach oben; Funktionsterm: \(g(x) = (x-2)^3 + 1\). b) Verschiebung um \(1\) Einheit nach links und um \(3\) Einheiten nach unten, sowie eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\); Funktionsterm: \(g(x) = 2\sqrt{x+1} - 3\).

- Schaue dir zuerst die charakteristischen Punkte des Graphen an. Wo liegt bei der Parabel der Scheitelpunkt und wo liegen bei der Hyperbel die Asymptoten? - Vergleiche die Lage dieser Punkte mit denen der jeweiligen Grundfunktionen \(f(x) = x^2\) und \(f(x) = \frac{1}{x}\). Wie wurden sie verschoben? - Um herauszufinden, ob der Graph zusätzlich gestreckt, gestaucht oder gespiegelt wurde, kannst du einen gut ablesbaren Punkt des Graphen in deinen Funktionsansatz einsetzen. - Überlege dir, wie sich eine Verschiebung in \(x\)- und \(y\)-Richtung mathematisch im Funktionsterm äußert.

1. Für Aufgabenteil a): - Scheitelpunkt ablesen: Der Scheitelpunkt des Graphen liegt bei \((3 \mid 4)\). Im Vergleich zur Grundfunktion \(f(x) = x^2\) mit Scheitelpunkt bei \((0 \mid 0)\) ist der Graph um \(3\) Einheiten nach rechts und um \(4\) Einheiten nach oben verschoben. Dies ergibt den Ansatz \(g(x) = a(x-3)^2 + 4\). - Streckfaktor bestimmen: Einsetzen eines gut ablesbaren Punktes wie \((1 \mid 2)\) liefert \(2 = a \cdot (1-3)^2 + 4 \implies 2 = 4a + 4 \implies a = -0{,}5\). Der Graph ist somit an der \(x\)-Achse gespiegelt und mit dem Faktor \(0{,}5\) gestaucht. - Ergebnis: \(g(x) = -0{,}5(x-3)^2 + 4\). 2. Für Aufgabenteil b): - Asymptoten ablesen: Die vertikale Asymptote liegt bei \(x = -2\), die horizontale Asymptote bei \(y = -1\). Dies zeigt eine Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links und um \(1\) Einheit nach unten. Dies ergibt den Ansatz \(h(x) = \frac{a}{x+2} - 1\). - Streckfaktor bestimmen: Einsetzen eines gut ablesbaren Punktes wie \((0 \mid 0)\) liefert \(0 = \frac{a}{0+2} - 1 \implies 1 = \frac{a}{2} \implies a = 2\). Der Graph ist somit in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\) gestreckt. - Ergebnis: \(h(x) = \frac{2}{x+2} - 1\).

a) Der Graph wird um \(3\) Einheiten nach rechts und \(4\) Einheiten nach oben verschoben, an der \(x\)-Achse gespiegelt und in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) gestaucht; \(g(x) = -0{,}5(x-3)^2 + 4\). b) Der Graph wird um \(2\) Einheiten nach links und \(1\) Einheit nach unten verschoben und in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\) gestreckt; \(h(x) = \frac{2}{x+2} - 1\).

- Überlege, wie du den Funktionswert einer Summen- oder Differenzfunktion an einer bestimmten Stelle berechnen kannst, wenn du die Werte von \(f(x)\) und \(g(x)\) kennst. - Wähle einen einfachen x-Wert (z. B. \(x = 1\) oder \(x = -1\)) und berechne dafür \(u(x)\) und \(v(x)\). Vergleiche diese Ergebnisse mit den Punkten auf den Graphen A und B. - Für Aufgabenteil b): Vergleiche die Terme von \(w(x) = g(x) - f(x)\) und \(v(x) = f(x) - g(x)\). Wie hängen ihre Vorzeichen zusammen? - Welche geometrische Transformation bewirkt ein Minuszeichen vor dem gesamten Funktionsterm (also der Übergang von \(y\) zu \(-y\))?

1. **Berechnung von Kontrollpunkten:** Wir berechnen die Funktionswerte der Summenfunktion \(u(x) = f(x) + g(x)\) und der Differenzfunktion \(v(x) = f(x) - g(x)\) an einer leicht ablesbaren Stelle, beispielsweise bei \(x = 1\): - \(u(1) = 1^2 + 1 = 2\) - \(v(1) = 1^2 - 1 = 0\) 2. **Zuordnung der Graphen:** - Am Graphen lesen wir ab: Für \(x = 1\) hat der rote Graph A den Funktionswert \(y = 2\). Also gehört der Graph A zur Summenfunktion \(u(x) = f(x) + g(x)\). - Der orange Graph B hat für \(x = 1\) den Funktionswert \(y = 0\). Also gehört der Graph B zur Differenzfunktion \(v(x) = f(x) - g(x)\). *(Alternativ kann man auch \(x = -1\) betrachten: \(u(-1) = 0\) (Graph A) und \(v(-1) = 2\) (Graph B).)* 3. **Geometrische Abbildung für Teilaufgabe b):** Wir vergleichen die Funktionsterme von \(w(x)\) und \(v(x)\): \(w(x) = g(x) - f(x) = -(f(x) - g(x)) = -v(x)\). Da \(w(x) = -v(x)\) gilt, wird jeder Funktionswert von \(v\) mit \(-1\) multipliziert. Dies entspricht geometrisch einer Spiegelung des Graphen an der x-Achse.

a) Graph A gehört zu \(u(x) = f(x) + g(x)\) (da \(u(1) = 2\)), Graph B gehört zu \(v(x) = f(x) - g(x)\) (da \(v(1) = 0\)). b) Der Graph von \(w\) entsteht durch Spiegelung des Graphen von \(v\) an der x-Achse.

- Überlege dir zuerst, wo die Hoch- und Tiefpunkte der ursprünglichen Funktion \(f(x)\) liegen. - Wie wirkt sich ein Summand außerhalb des Funktionsterms (wie bei \(f(x) - 2\)) auf den Graphen aus? Wird er horizontal oder vertikal verschoben? - Wie wirkt sich eine Änderung direkt beim \(x\) in den Klammern (wie bei \(f(x + 2)\) oder \(f(x - 2)\)) auf den Graphen aus? In welche Richtung erfolgt die Verschiebung? - Nutze die Koordinaten der Extrempunkte, um die Graphen eindeutig zu identifizieren.

Um die Graphen zuzuordnen, betrachten wir die markanten Punkte der Ausgangsfunktion \(f(x) = 0{,}5x^3 - 1{,}5x + 1\): 1. **Ausgangsfunktion \(f(x)\)**: - Der Hochpunkt von \(f\) liegt bei \((-1 \mid 2)\), der Tiefpunkt bei \((1 \mid 0)\) und der \(y\)-Achsenabschnitt bei \((0 \mid 1)\). - Dies entspricht genau dem **Graphen B**. 2. **Verschiebung nach unten: \(g(x) = f(x) - 2\)**: - Der Graph von \(g\) entsteht, indem der Graph von \(f\) um \(2\) Einheiten nach unten verschoben wird. - Der Hochpunkt verschiebt sich von \((-1 \mid 2)\) zu \((-1 \mid 0)\). - Der Tiefpunkt verschiebt sich von \((1 \mid 0)\) zu \((1 \mid -2)\). - Dies entspricht genau dem **Graphen C**. 3. **Verschiebung nach links: \(h(x) = f(x + 2)\)**: - Der Graph von \(h\) entsteht, indem der Graph von \(f\) um \(2\) Einheiten nach links verschoben wird. - Der Hochpunkt verschiebt sich von \((-1 \mid 2)\) zu \((-3 \mid 2)\). - Der Tiefpunkt verschiebt sich von \((1 \mid 0)\) zu \((-1 \mid 0)\). - Dies entspricht genau dem **Graphen D**. 4. **Verschiebung nach rechts: \(k(x) = f(x - 2)\)**: - Der Graph von \(k\) entsteht, indem der Graph von \(f\) um \(2\) Einheiten nach rechts verschoben wird. - Der Hochpunkt verschiebt sich von \((-1 \mid 2)\) zu \((1 \mid 2)\). - Der Tiefpunkt verschiebt sich von \((1 \mid 0)\) zu \((3 \mid 0)\). - Dies entspricht genau dem **Graphen A**.

\(f\) gehört zu Graph B, \(g\) zu Graph C, \(h\) zu Graph D und \(k\) zu Graph A.

- Überlege dir zuerst, wie sich Veränderungen im Argument der Funktion (also „innen“ bei \(x\)) auf den Graphen auswirken. - Wie wirken sich Faktoren und Summanden außerhalb der Funktion (also „außen“) auf die y-Werte aus? - Denke an die Reihenfolge der Transformationen: Welche Operationen werden zuerst durchgeführt? - Um die neue Definitionsmenge zu bestimmen, kannst du eine Ungleichung für das Argument der Funktion aufstellen. - Bestimme die minimale und maximale y-Koordinate des ursprünglichen Graphen, um die neue Wertemenge zu berechnen.

1. **Transformationen beschreiben:** Der Funktionsterm \(g(x) = 1{,}5f(x - 1) + 1\) setzt sich aus drei Transformationen des Graphen von \(f\) zusammen: - Die Subtraktion von \(1\) im Argument, also \(x - 1\), verschiebt den Graphen um \(1\) Einheit nach rechts in x-Richtung. - Der Faktor \(1{,}5\) multipliziert die Funktionswerte, was einer Streckung des Graphen in y-Richtung mit dem Faktor \(1{,}5\) entspricht. - Die Addition von \(1\) am Ende verschiebt den Graphen um \(1\) Einheit nach oben in y-Richtung. 2. **Definitionsmenge \(D_g\) bestimmen:** Die Funktion \(f(u)\) ist für \(u \in [-3; 3]\) definiert. Für \(g(x)\) muss also das Argument \(x - 1\) im Intervall \([-3; 3]\) liegen: \(-3 \le x - 1 \le 3 \implies -2 \le x \le 4\) Daraus folgt: \(D_g = [-2; 4]\). 3. **Wertemenge \(W_g\) bestimmen:** Aus dem Graphen von \(f\) lesen wir die Wertemenge \(W_f = [-2; 2]\) ab. Die Funktionswerte von \(g\) ergeben sich durch die Transformation der y-Werte: \(y_g = 1{,}5y_f + 1\). - Für den minimalen y-Wert \(y_f = -2\) erhalten wir: \(1{,}5 \cdot (-2) + 1 = -2\). - Für den maximalen y-Wert \(y_f = 2\) erhalten wir: \(1{,}5 \cdot 2 + 1 = 4\). Daraus folgt: \(W_g = [-2; 4]\).

a) Der Graph von \(g\) entsteht aus dem Graphen von \(f\) durch eine Streckung in y-Richtung mit dem Faktor \(1{,}5\), eine Verschiebung um \(1\) Einheit nach rechts und um \(1\) Einheit nach oben. b) \(D_g = [-2; 4]\) und \(W_g = [-2; 4]\)

- Wie drückt man eine Verschiebung nach links im Funktionsterm aus? - Wie drückt man eine Streckung in \(y\)-Richtung im Funktionsterm aus? - Welches Potenzgesetz hilft dir, eine Summe im Exponenten in ein Produkt aufzuteilen? - Welche Koordinaten eines Punktes verändern sich bei einer horizontalen Verschiebung und welche bei einer vertikalen Streckung? Wende diese Regeln auf den Punkt \(P(0 \mid 1)\) an.

1. Aufstellen der Funktionsterme für beide Transformationen: - Lukas beschreibt eine Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links, was durch den Funktionsterm \(g(x) = f(x + 2) = 2^{x+2}\) dargestellt wird. - Mia beschreibt eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\), was durch den Funktionsterm \(g(x) = 4f(x) = 4 \cdot 2^x\) dargestellt wird. 2. Nachweis der Gleichheit durch Termumformung: - Unter Verwendung des Potenzgesetzes \(a^{r+s} = a^r \cdot a^s\) lässt sich Lukas' Term umformen zu: \(2^{x+2} = 2^x \cdot 2^2 = 2^x \cdot 4 = 4 \cdot 2^x\) - Da beide Umformungen zum selben Funktionsterm führen, beschreiben beide Aussagen dieselbe Funktion. 3. Geometrische Bestätigung an den Punkten: - Der Punkt \(P(0 \mid 1)\) liegt auf dem Graphen von \(f\), da \(f(0) = 2^0 = 1\). - Eine Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links (Lukas) verändert nur die \(x\)-Koordinate: \(x \to x - 2\). Der Punkt \(P(0 \mid 1)\) wird auf \(Q(0 - 2 \mid 1) = Q(-2 \mid 1)\) abgebildet. Da \(g(-2) = 2^{-2+2} = 2^0 = 1\), liegt dieser Punkt auf dem Graphen von \(g\). - Eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\) (Mia) verändert nur die \(y\)-Koordinate: \(y \to 4y\). Der Punkt \(P(0 \mid 1)\) wird auf \(R(0 \mid 4 \cdot 1) = R(0 \mid 4)\) abgebildet. Da \(g(0) = 2^{0+2} = 2^2 = 4\), liegt auch dieser Punkt auf dem Graphen von \(g\).

a) Es gilt \(g(x) = 2^{x+2} = 2^2 \cdot 2^x = 4 \cdot 2^x\); beide Behauptungen beschreiben daher dieselbe Funktion. b) Die Verschiebung nach links bildet \(P(0 \mid 1)\) auf \(Q(-2 \mid 1)\) ab, die Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\) bildet \(P(0 \mid 1)\) auf \(R(0 \mid 4)\) ab.

- Welche Auswirkung hat die Veränderung im Argument der Funktion, also \(x \to x+d\), auf den Graphen? - Was bewirkt ein negatives Vorzeichen vor dem gesamten Funktionsterm? - Wie beeinflusst eine additive Konstante am Ende des Terms die Lage des Graphen im Koordinatensystem? - Achte darauf, in welcher Reihenfolge Spiegelungen und Verschiebungen in y-Richtung durchgeführt werden müssen. - Überlege dir, wie sich diese geometrischen Veränderungen direkt auf die Grenzen der Definitions- und Wertemenge auswirken.

1. Analyse der Transformationen von \(g(x) = -f(x+1) + 2\): - Das Argument \(x+1\) bewirkt eine Verschiebung des Graphen um \(1\) Einheit nach links. - Das Minuszeichen vor dem Funktionsterm, also \(-f(\dots)\), bewirkt eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse. - Der Summand \(+2\) am Ende bewirkt eine Verschiebung des gespiegelten Graphen um \(2\) Einheiten nach oben. 2. Bestimmung der Definitionsmenge \(D_g\): - Da der Graph um \(1\) Einheit nach links verschoben wird, verschiebt sich das Intervall der Definitionsmenge ebenfalls um \(1\) nach links: \(D_g = [-3 - 1; 3 - 1] = [-4; 2]\). 3. Bestimmung der Wertemenge \(W_g\): - Der ursprüngliche Graph hat den tiefsten Punkt bei \(y = -2\) und den höchsten Punkt bei \(y = 2\), also ist \(W_f = [-2; 2]\). - Nach Spiegelung an der x-Achse bleibt der Wertebereich bei \([-2; 2]\) (der tiefste Punkt wird zum höchsten und umgekehrt). - Nach der Verschiebung um \(2\) Einheiten nach oben verschiebt sich der Wertebereich auf: \(W_g = [-2 + 2; 2 + 2] = [0; 4]\).

a) Der Graph wird um \(1\) Einheit nach links verschoben, an der \(x\)-Achse gespiegelt und anschließend um \(2\) Einheiten nach oben verschoben. b) \(D_g = [-4; 2]\) und \(W_g = [0; 4]\).

- Vergleiche die Positionen der markanten Punkte (wie Hoch- und Tiefpunkte) des Ausgangsgraphen mit denen der transformierten Graphen. - Überlege, wie sich eine Verschiebung nach rechts oder links auf den Funktionsterm auswirkt. Welcher Parameter ist dafür zuständig? - Wie verändert sich der Graph, wenn er nach oben oder unten verschoben wird? Welcher Parameter beschreibt diese Änderung? - Achte darauf, ob der Graph gespiegelt wurde. Was passiert mit den Hoch- und Tiefpunkten bei einer Spiegelung an der x-Achse? - Prüfe, ob sich der Abstand zwischen dem höchsten und dem tiefsten Punkt in y-Richtung verändert hat. Was sagt das über eine Streckung oder Stauchung aus?

1. Analyse des Ausgangsgraphen \(G_f\): - Der Hochpunkt liegt bei \(H(0 \mid 2)\), der Tiefpunkt bei \(T(2 \mid 0)\). - Der vertikale Abstand zwischen Hoch- und Tiefpunkt beträgt \(2\). 2. Bestimmung der Parameter für \(g_1\): - Der Hochpunkt liegt bei \(H_1(2 \mid 1)\) und der Tiefpunkt bei \(T_1(4 \mid -1)\). - Da der vertikale Abstand zwischen den Extrempunkten weiterhin \(1 - (-1) = 2\) beträgt, liegt keine vertikale Streckung oder Spiegelung vor. Es gilt somit \(a = 1\). - Die x-Koordinate des Hochpunkts hat sich von \(0\) auf \(2\) verschoben (Verschiebung um \(2\) nach rechts). Daraus folgt \(c = 2\). - Die y-Koordinate des Hochpunkts hat sich von \(2\) auf \(1\) verschoben (Verschiebung um \(1\) nach unten). Daraus folgt \(d = -1\). - Ergebnis für \(g_1\): \(a = 1\), \(c = 2\), \(d = -1\). 3. Bestimmung der Parameter für \(g_2\): - Der Graph hat einen Tiefpunkt bei \(T_2(-1 \mid 0)\) und einen Hochpunkt bei \(H_2(1 \mid 2)\). - Da aus dem Hochpunkt ein Tiefpunkt und aus dem Tiefpunkt ein Hochpunkt geworden ist, wurde der Graph an der x-Achse gespiegelt. Da der vertikale Abstand weiterhin \(2\) beträgt, ist der Streckfaktor \(a = -1\). - Der ursprüngliche Hochpunkt bei \(x = 0\) entspricht nun dem Tiefpunkt bei \(x = -1\) (Verschiebung um \(1\) nach links). Daraus folgt \(c = -1\). - Ohne vertikale Verschiebung läge der Tiefpunkt nach der Spiegelung bei \(y = -2\). Da er bei \(y = 0\) liegt, wurde der Graph um \(2\) Einheiten nach oben verschoben. Daraus folgt \(d = 2\). - Ergebnis für \(g_2\): \(a = -1\), \(c = -1\), \(d = 2\).

Für \(g_1\) gilt \(a = 1\), \(c = 2\) und \(d = -1\). Für \(g_2\) gilt \(a = -1\), \(c = -1\) und \(d = 2\).

- Betrachte markante Punkte des ursprünglichen Graphen (wie Hoch- und Tiefpunkte) und vergleiche sie mit den entsprechenden Punkten des transformierten Graphen. - Überlege, ob der Graph verschoben, gespiegelt oder gestreckt wurde. Was passiert mit den Koordinaten der Punkte bei den jeweiligen Veränderungen? - Eine Veränderung in der Klammer, also direkt beim Argument \(x\), bewirkt eine Transformation in horizontaler Richtung (x-Richtung). - Eine Veränderung außerhalb der Klammer, also am gesamten Funktionswert, bewirkt eine Transformation in vertikaler Richtung (y-Richtung). - Gehe schrittweise vor und schließe unpassende Funktionsgleichungen systematisch aus.

1. **Abbildung 1**: - Der blaue Graph \(G_f\) hat seinen Hochpunkt bei \((-1 \mid 2)\) und seinen Tiefpunkt bei \((1 \mid -2)\). - Der rote Graph \(G_p\) hat seinen Hochpunkt bei \((0 \mid 0)\) und seinen Tiefpunkt bei \((2 \mid -4)\). - Jeder Punkt des blauen Graphen wurde um \(1\) Einheit nach rechts und um \(2\) Einheiten nach unten verschoben. - Eine Verschiebung um \(1\) nach rechts entspricht der Ersetzung von \(x\) durch \(x-1\), und eine Verschiebung um \(2\) nach unten entspricht der Subtraktion von \(2\). - Dies liefert die Funktionsgleichung: \(p_2(x) = f(x - 1) - 2\). 2. **Abbildung 2**: - Der blaue Graph \(G_f\) hat seinen Hochpunkt bei \((-1 \mid 2)\) und seinen Tiefpunkt bei \((1 \mid -2)\). - Der rote Graph \(G_p\) hat seinen Tiefpunkt bei \((-1 \mid -1)\) und seinen Hochpunkt bei \((1 \mid 3)\). - Der Verlauf des Graphen ist an der x-Achse gespiegelt (aus einem Hochpunkt wird ein Tiefpunkt und umgekehrt), was zu \(-f(x)\) führt. Die Extrempunkte lägen dann bei \((-1 \mid -2)\) und \((1 \mid 2)\). - Um auf die tatsächlichen Extrempunkte \((-1 \mid -1)\) und \((1 \mid 3)\) zu kommen, muss der gespiegelte Graph noch um \(1\) Einheit nach oben verschoben werden. - Dies liefert die Funktionsgleichung: \(p_4(x) = -f(x) + 1\). 3. **Abbildung 3**: - Der blaue Graph \(G_f\) hat seinen Hochpunkt bei \((-1 \mid 2)\) und seinen Tiefpunkt bei \((1 \mid -2)\). - Der rote Graph \(G_p\) hat seinen Hochpunkt bei \((-1 \mid 4)\) und seinen Tiefpunkt bei \((1 \mid -4)\). - Die x-Koordinaten der Extrempunkte sind unverändert, während sich die y-Koordinaten verdoppelt haben (\(2 \to 4\) und \(-2 \to -4\)). - Dies entspricht einer vertikalen Streckung in y-Richtung mit dem Faktor \(2\). - Dies liefert die Funktionsgleichung: \(p_1(x) = 2f(x)\).

Abbildung 1 gehört zu \(p_2(x) = f(x - 1) - 2\), Abbildung 2 zu \(p_4(x) = -f(x) + 1\) und Abbildung 3 zu \(p_1(x) = 2f(x)\).

- Überlege zuerst, wie sich Veränderungen außerhalb des Funktionsterms (z. B. Multiplikation mit einer Zahl oder Addition einer Zahl) auf die Koordinaten eines Punktes auswirken. Verändern sie die \(x\)- oder die \(y\)-Koordinate? - Wie wirken sich Veränderungen innerhalb des Arguments der Funktion (also direkt am \(x\)) aus? Denke daran, ob der Graph dadurch gestreckt/gestaucht oder verschoben wird und in welche Richtung. - Der Definitionsbereich gibt an, welche \(x\)-Werte in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Überlege, wie sich eine Streckung oder Stauchung in \(x\)-Richtung auf diesen Bereich auswirkt. - Berechne die neuen Koordinaten Schritt für Schritt für jeden der vier Punkte einzeln.

1. Für die Funktion \(g(x) = -0{,}5f(x) + 1\) gilt: - Da das Argument \(x\) nicht verändert wird, bleibt der Definitionsbereich unverändert: \(D_g = [-2; 4]\). - Die \(y\)-Koordinaten der Punkte werden mit \(-0{,}5\) multipliziert und anschließend um \(1\) erhöht: - \(A(-2 \mid -2) \rightarrow A'(-2 \mid -0{,}5 \cdot (-2) + 1) = A'(-2 \mid 2)\) - \(B(0 \mid 2) \rightarrow B'(0 \mid -0{,}5 \cdot 2 + 1) = B'(0 \mid 0)\) - \(C(2 \mid 2) \rightarrow C'(2 \mid -0{,}5 \cdot 2 + 1) = C'(2 \mid 0)\) - \(D(4 \mid -2) \rightarrow D'(4 \mid -0{,}5 \cdot (-2) + 1) = D'(4 \mid 2)\) 2. Für die Funktion \(h(x) = f(0{,}5x) - 1\) gilt: - Durch das Einsetzen von \(0{,}5x\) wird der Graph in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(2\) gestreckt. Der neue Definitionsbereich ist somit \(D_h = [-4; 8]\). - Durch das Subtrahieren von \(1\) wird der Graph um \(1\) Einheit nach unten verschoben. - Die neuen Koordinaten der Punkte lauten: - \(A(-2 \mid -2) \rightarrow A''(-2 \cdot 2 \mid -2 - 1) = A''(-4 \mid -3)\) - \(B(0 \mid 2) \rightarrow B''(0 \cdot 2 \mid 2 - 1) = B''(0 \mid 1)\) - \(C(2 \mid 2) \rightarrow C''(2 \cdot 2 \mid 2 - 1) = C''(4 \mid 1)\) - \(D(4 \mid -2) \rightarrow D''(4 \cdot 2 \mid -2 - 1) = D''(8 \mid -3)\)

a) \(D_g = [-2; 4]\) mit den transformierten Punkten \(A'(-2 \mid 2)\), \(B'(0 \mid 0)\), \(C'(2 \mid 0)\) und \(D'(4 \mid 2)\). b) \(D_h = [-4; 8]\) mit den transformierten Punkten \(A''(-4 \mid -3)\), \(B''(0 \mid 1)\), \(C''(4 \mid 1)\) und \(D''(8 \mid -3)\).

- Vergleiche die Positionen von markanten Punkten wie Hochpunkten, Tiefpunkten oder Wendepunkten der beiden Graphen. - Überlege, wie sich eine Verschiebung nach rechts oder links im Argument der Funktion \(f(x)\) äußert. - Achte darauf, ob der Graph im Vergleich zum Original „umgedreht“ ist. Welche mathematische Operation bewirkt dies? - Untersuche, wie sich eine Verschiebung nach oben oder unten auf den Funktionsterm auswirkt.

1. Untersuchung markanter Punkte von \(f\) und \(g\): - Der Graph von \(f\) hat einen Hochpunkt bei \((-1; 1)\) und einen Tiefpunkt bei \((1; -1)\). - Der Graph von \(g\) hat einen Tiefpunkt bei \((1; 0)\) und einen Hochpunkt bei \((3; 2)\). 2. Bestimmung der geometrischen Transformationen: - Zunächst wird der Graph von \(f\) an der \(x\)-Achse gespiegelt. Dabei wird der Hochpunkt \((-1; 1)\) zum Tiefpunkt \((-1; -1)\), und der Tiefpunkt \((1; -1)\) wird zum Hochpunkt \((1 \mid 1)\). - Anschließend wird der gespiegelte Graph um \(2\) Einheiten nach rechts verschoben. Die beiden Extrempunkte liegen dann bei \((1; -1)\) und \((3; 1)\). - Durch eine Verschiebung um \(1\) Einheit nach oben entstehen daraus der Tiefpunkt \((1; 0)\) und der Hochpunkt \((3; 2)\) von \(g\). 3. Aufstellen der Funktionsgleichung: Die Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts wird durch \(f(x - 2)\), die Spiegelung an der \(x\)-Achse durch das Minuszeichen und die Verschiebung nach oben durch die Addition von \(1\) beschrieben. Daher gilt: \(g(x) = -f(x - 2) + 1\).

a) Der Graph von \(g\) entsteht durch Spiegelung an der \(x\)-Achse, Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts und Verschiebung um \(1\) Einheit nach oben. b) \(g(x) = -f(x - 2) + 1\).

- Vergleiche die Koordinaten der markanten Punkte (wie Hoch-, Tief- oder Wendepunkte) des ursprünglichen Graphen von \(f\) mit denen des transformierten Graphen. - Achte darauf, ob der Graph gespiegelt wurde. Ein Wechsel von Hochpunkten zu Tiefpunkten deutet auf eine Spiegelung an der \(x\)-Achse hin. - Überprüfe den Abstand zwischen den Extremstellen. Wenn sich dieser verändert hat, liegt eine horizontale Streckung oder Stauchung vor. - Bestimme die Verschiebungen in \(x\)- und \(y\)-Richtung, indem du die Lage des Wendepunkts oder der Extrempunkte vor und nach der Transformation vergleichst. - Setze die gefundenen Einzelschritte systematisch zu einer neuen Funktionsgleichung zusammen.

1. Analyse für die linke Abbildung (Teilaufgabe a): - Der blaue Graph \(G_f\) gehört zur Funktion \(f(x) = x^3 - 3x\). Seine markanten Extrempunkte sind der Hochpunkt \(H(-1 \mid 2)\) und der Tiefpunkt \(T(1 \mid -2)\). - Der rote Graph \(G_{g_1}\) hat einen Tiefpunkt bei \((-2 \mid 0)\) und einen Hochpunkt bei \((0 \mid 4)\). - Da aus einem Hochpunkt ein Tiefpunkt wird, liegt eine Spiegelung an der \(x\)-Achse vor: \(y \mapsto -f(x)\). Die gespiegelte Funktion hätte die Extrempunkte \((-1 \mid -2)\) (Tiefpunkt) und \((1 \mid 2)\) (Hochpunkt). - Vergleicht man diese gespiegelten Punkte mit den Extrempunkten von \(G_{g_1}\), erkennt man eine Verschiebung um \(1\) Einheit nach links und \(2\) Einheiten nach oben. - Der Transformationsterm lautet somit: \(g_1(x) = -f(x+1) + 2\). - Einsetzen von \(f(x)\) ergibt: \(g_1(x) = -((x+1)^3 - 3(x+1)) + 2 = -(x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - 3x - 3) + 2 = -x^3 - 3x^2 + 4\). 2. Analyse für die rechte Abbildung (Teilaufgabe b): - Der rote Graph \(G_{g_2}\) hat seinen Hochpunkt bei \((-0{,}5 \mid 1)\) und seinen Tiefpunkt bei \((0{,}5 \mid -3)\). - Der Abstand der Extremstellen von \(G_f\) beträgt \(1 - (-1) = 2\). Der Abstand der Extremstellen von \(G_{g_2}\) beträgt \(0{,}5 - (-0{,}5) = 1\). Da der Abstand halbiert wurde, liegt eine horizontale Stauchung mit dem Faktor \(\frac{1}{2}\) vor. Dies entspricht \(f(2x)\). - Der Graph von \(f(2x)\) hätte Extrempunkte bei \((-0{,}5 \mid 2)\) und \((0{,}5 \mid -2)\). - Der rote Graph \(G_{g_2}\) hat seine Extrempunkte jedoch bei \((-0{,}5 \mid 1)\) und \((0{,}5 \mid -3)\). Dies entspricht einer Verschiebung um \(1\) Einheit nach unten. - Der Transformationsterm lautet somit: \(g_2(x) = f(2x) - 1\). - Einsetzen von \(f(x)\) ergibt: \(g_2(x) = (2x)^3 - 3(2x) - 1 = 8x^3 - 6x - 1\).

a) \(g_1(x) = -x^3 - 3x^2 + 4\) oder \(g_1(x) = -f(x+1) + 2\). b) \(g_2(x) = 8x^3 - 6x - 1\) oder \(g_2(x) = f(2x) - 1\).

- Betrachte zuerst markante Punkte auf beiden Graphen, wie zum Beispiel die Hochpunkte oder die Tiefpunkte. - Überlege, um wie viele Einheiten diese Punkte entlang der \(x\)-Achse und der \(y\)-Achse verschoben wurden. - Wenn sich die Ausrichtung des Graphen geändert hat, liegt eine Spiegelung vor. Welche Achse wurde als Spiegelachse genutzt? - Denke daran, dass eine Verschiebung in \(x\)-Richtung das Argument \(x\) verändert, während eine Verschiebung in \(y\)-Richtung als konstanter Wert außerhalb des Funktionsterms addiert oder subtrahiert wird.

1. **Teilaufgabe a)**: - Wir vergleichen markante Punkte (z. B. die Hoch- und Tiefpunkte) der beiden Graphen. - Der Graph von \(f\) besitzt einen Hochpunkt bei \((-1 \mid 1)\) und einen Tiefpunkt bei \((1 \mid 0)\). - Der Graph von \(g\) besitzt einen Hochpunkt bei \((-4 \mid -1)\) und einen Tiefpunkt bei \((-2 \mid -2)\). - Der Unterschied in den \(x\)-Koordinaten beträgt \(-4 - (-1) = -3\), was einer Verschiebung um \(3\) Einheiten nach links entspricht. - Der Unterschied in den \(y\)-Koordinaten beträgt \(-1 - 1 = -2\), was einer Verschiebung um \(2\) Einheiten nach unten entspricht. - Somit lautet die Beschreibung: Verschiebung um \(3\) Einheiten nach links (in negative \(x\)-Richtung) und um \(2\) Einheiten nach unten (in negative \(y\)-Richtung). - Der Funktionsterm lautet: \(g(x) = f(x+3) - 2\). 2. **Teilaufgabe b)**: - Wir vergleichen wieder die Hoch- und Tiefpunkte. - Der Graph von \(f\) besitzt einen Hochpunkt bei \((-1 \mid 1)\) und einen Tiefpunkt bei \((1 \mid 0)\). - Der Graph von \(g\) besitzt einen Tiefpunkt bei \((-1 \mid 0)\) und einen Hochpunkt bei \((1 \mid 1)\). - Die \(x\)-Koordinaten der Extrema sind unverändert, aber die Art der Extrema ist vertauscht (der Hochpunkt wird zum Tiefpunkt und umgekehrt). Dies deutet auf eine Spiegelung an der \(x\)-Achse hin. - Bei einer reinen Spiegelung an der \(x\)-Achse (\(-f(x)\)) würde der Hochpunkt \((-1 \mid 1)\) auf den Tiefpunkt \((-1 \mid -1)\) abgebildet, und der Tiefpunkt \((1 \mid 0)\) bliebe bei \((1 \mid 0)\). - Um den tatsächlichen Graphen von \(g\) zu erhalten, muss dieser gespiegelte Graph um \(1\) Einheit nach oben verschoben werden. - Alternativer Weg: Erst eine Verschiebung um \(1\) Einheit nach unten (\(f(x) - 1\)) und anschließende Spiegelung an der \(x\)-Achse (\(-(f(x) - 1) = -f(x) + 1\)). - Somit lautet die Beschreibung: Spiegelung an der \(x\)-Achse und anschließende Verschiebung um \(1\) Einheit nach oben. - Der Funktionsterm lautet: \(g(x) = -f(x) + 1\).

a) Der Graph wird um \(3\) Einheiten nach links und \(2\) Einheiten nach unten verschoben; \(g(x) = f(x+3) - 2\). b) Der Graph wird an der \(x\)-Achse gespiegelt und um \(1\) Einheit nach oben verschoben; \(g(x) = -f(x) + 1\).

- Bestimme zuerst markante Punkte auf dem Graphen von \(f\) und schaue, wo diese auf dem Graphen von \(g\) liegen. - Überlege, ob der Graph gespiegelt wurde: Hat sich die Reihenfolge von Hoch- und Tiefpunkt vertauscht? - Eine Spiegelung an der y-Achse erreichst du durch das Ersetzen von \(x\) durch \(-x\) im Argument. Eine Spiegelung an der x-Achse erreichst du durch ein Minuszeichen vor dem gesamten Funktionsterm. - Kombiniere die Spiegelung anschließend mit den passenden Verschiebungen in \(x\)- und \(y\)-Richtung, um die Punkte zur Deckung zu bringen.

Um die Transformation zu bestimmen, betrachten wir charakteristische Punkte wie Hoch-, Tief- und Wendepunkte beider Graphen: - Der Graph \(G_f\) besitzt einen Hochpunkt bei \((0 \mid 2)\), einen Tiefpunkt bei \((2 \mid 0)\) und einen Wendepunkt bei \((1 \mid 1)\). - Der Graph \(G_g\) besitzt einen Tiefpunkt bei \((-2 \mid 1)\), einen Hochpunkt bei \((0 \mid 3)\) und einen Wendepunkt bei \((-1 \mid 2)\). Es gibt zwei gleichwertige Lösungswege, um diese Transformationen zu beschreiben: **Weg 1: Spiegelung an der y-Achse und Verschiebung** 1. Spiegelung an der y-Achse: Der Wendepunkt wandert von \((1 \mid 1)\) nach \((-1 \mid 1)\). Der Tiefpunkt wird zu einem Tiefpunkt bei \((-2 \mid 0)\), und der Hochpunkt bleibt bei \((0 \mid 2)\). Dies entspricht dem Funktionsterm \(f(-x)\). 2. Verschiebung nach oben: Um auf die endgültigen Punkte von \(g\) zu kommen, verschieben wir den gespiegelten Graphen um \(1\) Einheit nach oben. - Wendepunkt: \((-1 \mid 1) \to (-1 \mid 2)\) - Tiefpunkt: \((-2 \mid 0) \to (-2 \mid 1)\) - Hochpunkt: \((0 \mid 2) \to (0 \mid 3)\) - Der Funktionsterm lautet: \(g(x) = f(-x) + 1\). **Weg 2: Spiegelung an der x-Achse und Verschiebung** 1. Spiegelung an der x-Achse: Der Wendepunkt wandert von \((1 \mid 1)\) nach \((1 \mid -1)\). Der Hochpunkt \((0 \mid 2)\) wird zum Tiefpunkt bei \((0 \mid -2)\) und der Tiefpunkt \((2 \mid 0)\) wird zum Hochpunkt bei \((2 \mid 0)\). Dies entspricht dem Funktionsterm \(-f(x)\). 2. Verschiebung nach links und oben: Wir verschieben diesen Graphen um \(2\) Einheiten nach links und um \(3\) Einheiten nach oben. - Wendepunkt: \((1 \mid -1) \to (-1 \mid 2)\) - Tiefpunkt: \((0 \mid -2) \to (-2 \mid 1)\) - Hochpunkt: \((2 \mid 0) \to (0 \mid 3)\) - Der Funktionsterm lautet: \(g(x) = -f(x+2) + 3\).

Der Graph von \(g\) entsteht entweder durch Spiegelung an der \(y\)-Achse und Verschiebung um \(1\) Einheit nach oben mit \(g(x) = f(-x) + 1\) oder durch Spiegelung an der \(x\)-Achse und Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links und \(3\) Einheiten nach oben mit \(g(x) = -f(x+2) + 3\).

- Schaue dir zuerst das Verhalten des Graphen für sehr große \(x\)-Werte und in der Nähe der Definitionslücke an. Welche Linien (Asymptoten) kannst du erkennen? - Wie hängen diese Asymptoten mit den Parametern \(c\) und \(d\) in der Funktionsgleichung zusammen? - Wähle einen gut ablesbaren Punkt auf dem Graphen, um den verbleibenden Streckungsfaktor \(a\) durch Einsetzen zu berechnen. - Denke bei den Transformationen daran, wie sich Veränderungen direkt am Argument \(x\) (innerhalb der Klammer) und außerhalb des Bruchs auf den Graphen auswirken. - Um Nullstellen zu berechnen, musst du den Funktionsterm gleich \(0\) setzen und die Gleichung nach \(x\) auflösen.

1. **Bestimmung der Parameter**: - Die senkrechte Asymptote (Polstelle) liegt bei \(x = 2\). Da der Nenner an dieser Stelle null wird, folgt \(d = 2\). - Die waagerechte Asymptote liegt bei \(y = -1\). Für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte nähert sich der Wert des Bruchs \(\frac{a}{(x-2)^2}\) der Null, sodass \(f(x) \approx c\). Es gilt also \(c = -1\). - Um \(a\) zu bestimmen, setzen wir einen gut ablesbaren Punkt des Graphen, zum Beispiel \((3 \mid 3)\) oder eine der Nullstellen wie \((0 \mid 0)\), in die Gleichung ein: \(0 = \frac{a}{(0-2)^2} - 1 \implies 1 = \frac{a}{4} \implies a = 4\). Die Funktionsgleichung lautet somit: \(f(x) = \frac{4}{(x-2)^2} - 1\). 2. **Beschreibung der Transformationen**: Der Graph \(G_f\) geht aus dem Graphen von \(g(x) = \frac{1}{x^2}\) durch folgende Schritte hervor: - Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts. - Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\). - Verschiebung um \(1\) Einheit nach unten. 3. **Berechnung der Nullstellen**: Wir setzen \(f(x) = 0\): \(\frac{4}{(x-2)^2} - 1 = 0 \implies \frac{4}{(x-2)^2} = 1 \implies (x-2)^2 = 4\) Durch Ziehen der Wurzel ergeben sich zwei Fälle: - \(x - 2 = 2 \implies x_1 = 4\) - \(x - 2 = -2 \implies x_2 = 0\) Die Nullstellen der Funktion liegen bei \(x_1 = 4\) und \(x_2 = 0\).

a) \(a = 4\), \(c = -1\), \(d = 2\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = \frac{4}{(x-2)^2} - 1\). b) Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts, Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\), Verschiebung um \(1\) Einheit nach unten. c) Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 4\) und \(x_2 = 0\).

- Überlege dir zuerst, wie die Grundfunktion \(2^x\) aussieht. - Welche Wirkung haben Veränderungen direkt im Exponenten (wie \(x-3\) oder \(-x\)) auf den Verlauf des Graphen? - Welche Wirkung hat ein Summand außerhalb des Exponenten (wie \(+2\)) auf den Graphen und seine Asymptote? - Setze konkrete \(x\)-Werte in die Funktionsgleichungen ein und vergleiche die berechneten Werte mit den Punkten auf den Graphen.

1. Zuordnung für \(h(x) = 2^{-x}\): - Da die Basis \(2\) mit einem negativen Exponenten versehen ist, handelt es sich um eine Spiegelung der Grundfunktion \(2^x\) an der \(y\)-Achse. Der Graph fällt streng monoton. - Der einzige fallende Graph im Koordinatensystem ist der lilafarbene Graph **A**. - Kontrolle: Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \((0 \mid 1)\), da \(h(0) = 2^0 = 1\). 2. Zuordnung für \(k(x) = 2^x + 2\): - Der Summand \(+2\) außerhalb des Exponenten bewirkt eine Verschiebung des Graphen um \(2\) Einheiten nach oben. - Die waagrechte Asymptote verschiebt sich von \(y = 0\) auf \(y = 2\) und der \(y\)-Achsenabschnitt liegt bei \((0 \mid 3)\). - Dies trifft exakt auf den roten Graphen **E** zu. 3. Zuordnung für \(g(x) = 2^{x-3}\): - Die Subtraktion von \(3\) im Exponenten bewirkt eine Verschiebung um \(3\) Einheiten nach rechts. - Der Punkt \((0 \mid 1)\) der Grundfunktion verschiebt sich dadurch auf den Punkt \((3 \mid 1)\). - Dies entspricht dem blauen Graphen **B**. 4. Funktionsgleichungen für die verbleibenden Graphen: - **Graph C** (grün) verläuft durch die Punkte \((0 \mid 1)\), \((1 \mid 2)\) und \((2 \mid 4)\). Dies entspricht der unveränderten Grundfunktion: \(f_C(x) = 2^x\) - **Graph D** (orange) verläuft durch die Punkte \((-2 \mid 1)\), \((-1 \mid 2)\) und \((0 \mid 4)\). Dieser Graph ist gegenüber der Grundfunktion um \(2\) Einheiten nach links verschoben. Die Gleichung lautet: \(f_D(x) = 2^{x+2}\) (alternativ als Streckung in \(y\)-Richtung geschrieben: \(f_D(x) = 4 \cdot 2^x\)).

a) \(h(x) = 2^{-x}\) gehört zu Graph A, \(g(x) = 2^{x-3}\) zu Graph B und \(k(x) = 2^x + 2\) zu Graph E. b) Für Graph C gilt \(f_C(x) = 2^x\), für Graph D gilt \(f_D(x) = 2^{x+2}\) oder \(f_D(x) = 4 \cdot 2^x\).

- Kannst du das Verhalten der Graphen für sehr kleine \(x\)-Werte (gegen minus unendlich) vergleichen? - Welche waagerechten Asymptoten besitzen die drei Graphen? - Wie hat sich der Schnittpunkt der Grundfunktion mit der y-Achse, also der Punkt \((0 \mid 1)\), bei den verschobenen Graphen verändert? - Einer der Graphen fällt von links nach rechts, während der andere steigt. Welche geometrische Transformation spiegelt dieses Verhalten wider? - Versuche, die gesuchten Funktionsterme in der Form \(ae^{x-d} + c\) anzusetzen und die Parameter Schritt für Schritt zu bestimmen.

1. Identifikation von \(G_g\): - Der Graph \(G_g\) nähert sich für \(x \to -\infty\) der waagerechten Asymptote \(y = -2\). Da der Graph der Grundfunktion \(f(x) = e^x\) die waagerechte Asymptote \(y = 0\) besitzt, muss der Graph um 2 Einheiten nach unten verschoben worden sein. - Der charakteristische Punkt \((0 \mid 1)\) von \(G_f\) wurde auf den Punkt \((1 \mid -1)\) abgebildet. Dies entspricht einer Verschiebung um 1 Einheit nach rechts. - Somit entsteht \(G_g\) durch eine Verschiebung um 1 Einheit nach rechts und um 2 Einheiten nach unten. Der Funktionsterm lautet: \(g(x) = e^{x-1} - 2\). 2. Identifikation von \(G_h\): - Der Graph \(G_h\) nähert sich für \(x \to -\infty\) der waagerechten Asymptote \(y = 3\). - Da der Graph von links nach rechts fällt (im Gegensatz zum steigenden Graphen von \(f\)), liegt eine Spiegelung an der x-Achse vor. - Die gespiegelte Funktion \(y = -e^x\) hat die Asymptote \(y = 0\) und schneidet die y-Achse bei \((0 \mid -1)\). - Da \(G_h\) die Asymptote \(y = 3\) und den y-Achsenabschnitt \((0 \mid 2)\) besitzt, muss der gespiegelte Graph um 3 Einheiten nach oben verschoben worden sein. - Somit entsteht \(G_h\) durch eine Spiegelung an der x-Achse und eine anschließende Verschiebung um 3 Einheiten nach oben. Der Funktionsterm lautet: \(h(x) = -e^x + 3\).

- Graph von \(g\): Verschiebung um 1 Einheit nach rechts und um 2 Einheiten nach unten; Funktionsterm: \(g(x) = e^{x-1} - 2\) - Graph von \(h\): Spiegelung an der x-Achse und anschließende Verschiebung um 3 Einheiten nach oben; Funktionsterm: \(h(x) = -e^x + 3\)

- Suche einen markanten Punkt auf dem Graphen, den du leicht verfolgen kannst. - Erinnere dich daran, dass eine Verschiebung entlang der x-Achse das Argument der Funktion direkt verändert. - Wie verändert sich der Funktionswert, wenn der gesamte Graph nach oben oder unten wandert?

1. Die „Spitze“ des Graphen von \(f\) liegt im Ursprung \((0|0)\). Die Spitze von \(g\) liegt bei \((-3|1)\). 2. Die Verschiebung in x-Richtung beträgt \(3\) Einheiten nach links (\(x \to x + 3\)). 3. Die Verschiebung in y-Richtung beträgt \(1\) Einheit nach oben (\(+ 1\) am Ende des Terms). 4. Der Funktionsterm lautet somit \(g(x) = |x + 3| + 1\).

Der Graph von \(g\) entsteht durch eine Verschiebung von \(f\) um \(3\) Einheiten nach links und um \(1\) Einheit nach oben. Die Funktionsgleichung ist \(g(x) = |x + 3| + 1\).

- Wo liegt der markante „Startpunkt“ der Wurzelfunktion normalerweise? - Vergleiche die Lage dieses Punktes im Bild mit dem Ursprung. - Überprüfe an einem weiteren Punkt (zum Beispiel \(x = -1\) oder \(x = 2\)), ob der Graph zusätzlich gestreckt wurde.

1. Der Definitionsbereich der Grundfunktion \(f\) beginnt bei \(x = 0\). Der Graph von \(g\) beginnt bei \(x = -2\). Das entspricht einer Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links. 2. Der Startpunkt von \(g\) liegt auf der Höhe \(y = -2\). Das entspricht einer Verschiebung um \(2\) Einheiten nach unten. 3. Es liegt keine Streckung oder Spiegelung vor, da die Form (\(\sqrt{1}=1\), \(\sqrt{4}=2\) relativ zum Startpunkt) erhalten bleibt. 4. Der Funktionsterm ist \(g(x) = \sqrt{x + 2} - 2\).

Der Graph von \(g\) entsteht durch eine Verschiebung von \(f\) um \(2\) Einheiten nach links und um \(2\) Einheiten nach unten. Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = \sqrt{x + 2} - 2\).

- Welche Form hat der Graph einer kubischen Funktion im Vergleich zu seiner Ableitung? - Wo muss die Ableitungsfunktion Nullstellen haben, wenn die ursprüngliche Funktion dort waagerechte Tangenten besitzt? - Eine Addition außerhalb der Klammer, wie bei \(f(x) + c\), verschiebt den Graphen entlang der y-Achse. - Eine Subtraktion innerhalb der Klammer, wie bei \(f(x - c)\), verschiebt den Graphen entlang der x-Achse. In welche Richtung?

1. Analyse von \(f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x\): Die Funktion hat lokale Extrema bei \(f'(x) = x^2 - 1 = 0\), also bei \(x = \pm 1\). Der Hochpunkt liegt bei \((-1 \mid \frac{2}{3})\) und der Tiefpunkt bei \((1 \mid -\frac{2}{3})\). Dies passt zu Graph II. 2. Analyse der Ableitungsfunktion \(f'(x) = x^2 - 1\): Dies ist eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt bei \((0 \mid -1)\) und Nullstellen bei \(x = \pm 1\). Dies entspricht Graph I. 3. Analyse von \(g(x) = f(x) + 2\): Der Graph von \(f\) ist um 2 Einheiten nach oben verschoben. Die neuen Extrema liegen bei \((-1 \mid 2\frac{2}{3})\) und \((1 \mid 1\frac{1}{3})\). Dies entspricht Graph IV. 4. Analyse von \(h(x) = f(x - 2)\): Der Graph von \(f\) ist um 2 Einheiten nach rechts verschoben. Die neuen Extrema liegen bei \((-1 + 2 \mid \frac{2}{3}) = (1 \mid \frac{2}{3})\) und \((1 + 2 \mid -\frac{2}{3}) = (3 \mid -\frac{2}{3})\). Dies entspricht Graph III.

Graph I gehört zu \(f'(x)\), Graph II zu \(f(x)\), Graph III zu \(h(x) = f(x - 2)\) und Graph IV zu \(g(x) = f(x) + 2\).

- Schau dir die Steigungsdreiecke der gestrichelten Tangenten an. - Überlege, wie sich eine vertikale Verschiebung des Graphen auf die Neigung der Tangenten auswirkt. - Bei einer horizontalen Verschiebung wandert das gesamte „Steigungsmuster“ mit dem Graphen mit.

1. Die Steigung von \(f\) an der Stelle \(x = 3\) entspricht der Steigung der eingezeichneten Tangente. Mit einem Steigungsdreieck liest man ab: Bei einer Änderung von \(\Delta x = 1\) (z. B. von \(2\) auf \(3\)) ändert sich \(y\) um \(\Delta y = 1\) (von \(0{,}5\) auf \(1{,}5\)). Somit ist \(f'(3) = \frac{1}{1} = 1\). 2. Da \(g\) eine vertikale Verschiebung von \(f\) ist, gilt \(g(x) = f(x) + c\). Geometrisch bedeutet dies, dass die Graphen an jeder Stelle \(x\) parallel zueinander verlaufen. Die Tangenten in \(x = 3\) haben also dieselbe Neigung, weshalb \(g'(3) = f'(3) = 1\) gilt. 3. Der Graph von \(h\) ist um \(2\) Einheiten nach rechts verschoben (\(h(x) = f(x-2)\)). Damit verschiebt sich auch das gesamte Steigungsprofil um \(2\) Einheiten nach rechts. Die Steigung \(1\), die \(f\) an der Stelle \(x = 3\) hat, tritt bei \(h\) folglich an der Stelle \(x = 3 + 2 = 5\) auf. Dies wird durch die zweite gestrichelte Tangente bestätigt.

1. \(f'(3) = 1\) 2. Vertikale Verschiebungen ändern die Steigung an einer festen Stelle \(x\) nicht, da die Graphen dort parallel verlaufen. 3. An der Stelle \(x = 5\).

- Vergleiche die Lage der waagerechten Asymptoten beider Graphen, um die Verschiebung in \(y\)-Richtung zu finden. - Suche dir einen markanten Punkt auf dem blauen Graphen (z. B. den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse) und finde den entsprechenden Punkt auf dem roten Graphen. - Überlege dir, wie sich eine Verschiebung nach rechts oder links im Argument der Funktion (also direkt beim \(x\)) auswirkt. - Wie ändert sich der Funktionswert insgesamt, wenn der Graph nach oben oder unten verschoben wird?

1. Der Graph \(G_f\) hat die waagerechte Asymptote \(y = 0\). Der Graph \(G_g\) hat die waagerechte Asymptote \(y = 1\). Somit liegt eine Verschiebung um \(1\) Einheit nach oben vor (\(d = 1\)). Der Punkt \((0 \mid 4)\) auf \(G_f\) wird auf den Punkt \((2 \mid 5)\) auf \(G_g\) abgebildet (da \(g(2) = 4 \cdot 0{,}5^{2-2} + 1 = 5\)). Dies entspricht einer Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts (\(c = 2\)). 2. In Abhängigkeit von \(f(x)\) lautet der Term: \(g(x) = f(x - 2) + 1\). 3. Einsetzen von \(x-2\) in \(f(x)\) und Addition von \(1\) ergibt: \(g(x) = 4 \cdot 0{,}5^{x-2} + 1\).

1. Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts und \(1\) Einheit nach oben. 2. \(g(x) = f(x - 2) + 1\) 3. \(g(x) = 4 \cdot 0{,}5^{x-2} + 1\)

- Schaue dir an, wo die Graphen flach verlaufen. Welchen Abstand haben diese Linien (Asymptoten) voneinander? - Ein bekannter Punkt der \(e\)-Funktion ist \((0\mid1)\). Wo liegt dieser Punkt beim roten Graphen? - Achte beim Aufstellen des Terms darauf, dass eine Verschiebung nach links ein Pluszeichen in der Klammer bei \(x\) erfordert.

1. Die Asymptote von \(G_f\) ist \(y = 0\), die von \(G_g\) ist \(y = -2\). Der Graph wurde also um \(2\) Einheiten nach unten verschoben. Der Punkt \((0\mid1)\) auf \(G_f\) wird auf den Punkt \((-3\mid-1)\) auf \(G_g\) abgebildet. Dies entspricht einer Verschiebung um \(3\) Einheiten nach links. 2. Mit der Verschiebung um \(3\) nach links und \(2\) nach unten ergibt sich: \(g(x) = f(x + 3) - 2 = e^{x+3} - 2\). 3. Der Funktionswert an der Stelle \(x=0\) ist \(g(0) = e^{0+3} - 2 = e^3 - 2 \approx 18{,}09\).

1. Verschiebung um \(3\) Einheiten nach links und \(2\) Einheiten nach unten. 2. \(g(x) = e^{x+3} - 2\) 3. \(g(0) = e^3 - 2 \approx 18{,}09\)

- Überlege dir zuerst, wie sich eine Streckung in \(y\)-Richtung und eine Streckung in \(x\)-Richtung formal in der Funktionsgleichung ausdrücken lassen. - Suche einen markanten Punkt auf dem roten Graphen, um seine Funktionsgleichung zu bestimmen. - Kannst du den Term der Funktion \(g(x)\) so umformen, dass er einmal die Form \(af(x)\) und einmal die Form \(f(bx)\) hat? - Erinnere dich an die Rechenregeln für Beträge: Gilt vielleicht \(|a \cdot b| = |a| \cdot |b|\)?

1. Aus dem Graphen lässt sich ablesen, dass der rote Graph durch den Punkt \((2\mid1)\) verläuft. Da \(g(x)\) eine gestreckte Betragsfunktion ist, gilt \(g(x) = a|x|\). Einsetzen des Punktes ergibt \(1 = a \cdot |2|\), also \(a = 0{,}5\). Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = 0{,}5|x|\). 2. Tims Sichtweise entspricht einer Streckung in \(y\)-Richtung: \(g(x) = kf(x)\). Mit \(k = 0{,}5\) folgt \(g(x) = 0{,}5|x|\). Dies ist eine Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\). Saras Sichtweise entspricht einer Streckung in \(x\)-Richtung: \(g(x) = f(cx) = |cx|\). Wegen der Rechenregeln für Beträge gilt \(|cx| = |c||x|\). Mit \(c = 0{,}5\) (oder \(c = -0{,}5\)) erhält man \(g(x) = |0{,}5 \cdot x| = 0{,}5 \cdot |x|\). Dies entspricht einer Streckung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{0{,}5} = 2\).

1. Die Funktionsgleichung von \(g\) ist \(g(x) = 0{,}5|x|\). 2. Tim hat mit einer Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) recht, denn \(g(x) = 0{,}5f(x)\); Sara hat mit einer Streckung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(2\) recht, denn \(g(x) = f(0{,}5x) = |0{,}5x|\).

- Überlege dir zuerst, welche Auswirkungen die Zahlen in den Funktionstermen auf die Verschiebung, Spiegelung oder Streckung des Graphen haben. - Wie ändert sich die Definitionsmenge, wenn man das Argument \(x\) innerhalb der Klammer verändert? - Was passiert mit den \(y\)-Werten (der Wertemenge), wenn man den gesamten Funktionswert mit einer Zahl multipliziert oder eine Zahl addiert? - Es hilft oft, sich ein paar markante Punkte des ursprünglichen Graphen zu nehmen und deren neue Koordinaten zu berechnen.

1. Analyse der Ausgangsfunktion \(f\): Aus dem Graphen liest man die Definitionsmenge \(D_f = [-4; 4]\) und die Wertemenge \(W_f = [-1; 1]\) ab. Markante Punkte sind \((-4; -1)\), \((-2; 1)\), \((2; 1)\) und \((4; -1)\). 2. Transformation von \(g\): Der Graph von \(g\) entsteht durch eine Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links und \(2\) Einheiten nach oben. - Definitionsmenge: \(x + 2 \in [-4; 4] \implies D_g = [-6; 2]\) - Wertemenge: \(y \in [-1; 1] \implies y + 2 \in [1; 3]\), also \(W_g = [1; 3]\). 3. Transformation von \(h\): Der Graph von \(h\) entsteht durch eine Spiegelung an der \(x\)-Achse und eine anschließende vertikale Streckung mit dem Faktor \(2\). - Definitionsmenge: \(D_h = D_f = [-4; 4]\) - Wertemenge: \(y \in [-1; 1] \implies -2y \in [-2; 2]\), also \(W_h = [-2; 2]\).

a) \(D_g = [-6; 2]\), \(W_g = [1; 3]\). Der Graph ist um \(2\) Einheiten nach links und \(2\) Einheiten nach oben verschoben. b) \(D_h = [-4; 4]\), \(W_h = [-2; 2]\). Der Graph ist an der \(x\)-Achse gespiegelt und vertikal mit dem Faktor \(2\) gestreckt.

- Überlege dir zuerst, wie sich die einzelnen Rechenoperationen (Minuszeichen, Additionen außerhalb oder innerhalb der Klammer) grafisch auswirken. - Es hilft oft, markante Punkte (Ecken) des ursprünglichen Graphen einzeln zu transformieren. - Achte darauf, ob eine Änderung die \(x\)-Werte (horizontal) oder die \(y\)-Werte (vertikal) beeinflusst.

1. Analyse der Funktion \(f\): Der Graph verläuft durch die Eckpunkte \((-3\mid-1)\), \((-1\mid2)\), \((2\mid0)\) und \((4\mid1)\). 2. Transformation zu \(g(x) = -f(x) + 1\): Der Graph wird an der \(x\)-Achse gespiegelt und anschließend um \(1\) Einheit nach oben verschoben. Die neuen Eckpunkte sind \((-3\mid2)\), \((-1\mid-1)\), \((2\mid1)\) und \((4\mid0)\). 3. Transformation zu \(h(x) = f(x + 2)\): Der Graph wird um \(2\) Einheiten nach links verschoben. Die neuen Eckpunkte sind \((-5\mid-1)\), \((-3\mid2)\), \((0\mid0)\) und \((2\mid1)\).

a) Der Graph von \(g\) entsteht durch Spiegelung an der \(x\)-Achse und Verschiebung um \(1\) Einheit nach oben; Eckpunkte: \((-3\mid2)\), \((-1\mid-1)\), \((2\mid1)\), \((4\mid0)\). b) Der Graph von \(h\) entsteht durch Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links; Eckpunkte: \((-5\mid-1)\), \((-3\mid2)\), \((0\mid0)\), \((2\mid1)\).

- Identifiziere zuerst den Scheitelpunkt des blauen Graphen und schaue, wohin er in den roten Graphen gewandert ist. - Überlege dir: Wenn ein Graph gestreckt wird, ändern sich die Abstände zwischen den Punkten. Wenn er nur verschoben wird, bleibt die Form identisch. - Teste deine Vermutung, indem du einen einfachen Punkt (wie eine Nullstelle von \(f\)) nimmst und die Transformation rechnerisch darauf anwendest.

1. Der Scheitelpunkt der ursprünglichen Funktion \(f\) liegt bei \(S(0 \mid -1)\). 2. Graph (1): Der Scheitelpunkt liegt hier bei \(S_1(1 \mid 1)\). Das entspricht einer Verschiebung um \(1\) Einheit nach rechts (\(x \to x-1\)) und \(2\) Einheiten nach oben (\(y \to y+2\)). Somit passt die Gleichung \(p(x) = f(x - 1) + 2\). 3. Graph (2): Der Scheitelpunkt liegt bei \(S_2(0 \mid -3)\). Der x-Wert ist gleich geblieben, aber der y-Wert hat sich von \(-1\) auf \(-3\) geändert. Überprüfung eines weiteren Punktes: \(f(1) = 0\). Für \(q(x)\) müsste gelten: \(q(1) = 2 \cdot f(1) - 1 = 2 \cdot 0 - 1 = -1\). Der Punkt \((1 \mid -1)\) liegt tatsächlich auf dem roten Graphen (2). Somit passt \(q(x) = 2f(x) - 1\). Dies entspricht einer Streckung in y-Richtung mit Faktor \(2\) und anschließender Verschiebung um \(1\) nach unten.

Graph (1) gehört zu \(p(x) = f(x - 1) + 2\); Graph (2) gehört zu \(q(x) = 2f(x) - 1\).

- Vergleiche die Lage der Maxima der beiden Kurven. - Schau dir an, wie weit die Kurven in die Breite gehen. Wenn eine Kurve bei gleichen Funktionswerten weiter von ihrer Mitte entfernt ist, wurde sie gestreckt. - Erinnere dich daran, dass Operationen direkt am \(x\) oft „entgegengesetzt“ wirken (Multiplikation mit \(2\) macht den Graphen schmaler).

1. Der Parameter \(c\) bewirkt eine horizontale Verschiebung des Graphen. Da das Maximum von \(x = 0\) nach \(x = 2\) gewandert ist, wurde der Graph um \(2\) Einheiten nach rechts verschoben. Dies entspricht \(c = -2\). 2. Der Parameter \(b\) bewirkt eine Streckung oder Stauchung in \(x\)-Richtung. Ein Wert \(b > 1\) staucht den Graphen in \(x\)-Richtung (er wird „schmaler“), während \(0 < b < 1\) ihn streckt (er wird „breiter“). 3. Im Vergleich der Graphen sieht man, dass der rote Graph breiter ist als der blaue. Die ursprüngliche „Breite“ (z. B. Abstand der Punkte mit \(y = 2\)) hat sich verdoppelt. Somit muss der Graph gestreckt worden sein, was bedeutet, dass \(0 < b < 1\) gilt (konkret ist \(b = 0{,}5\)).

Der Parameter \(c\) verschiebt den Graphen horizontal (hier um \(2\) nach rechts, also \(c = -2\)). Der Parameter \(b\) streckt oder staucht den Graphen in \(x\)-Richtung. Da der rote Graph breiter ist als der blaue, wurde er gestreckt, weshalb \(0 < b < 1\) gelten muss (hier \(b = 0{,}5\)).

- Suche dir einen „besonderen“ Punkt auf dem blauen Graphen, den du leicht wiedererkennen kannst. - Bestimme, wie viele Einheiten du diesen Punkt nach rechts/links und oben/unten bewegen musst, um beim roten Graphen zu landen. - Achte auf das Vorzeichen in der Klammer: Eine Verschiebung nach rechts bedeutet ein Minuszeichen vor der Zahl in der Klammer.

1. Wähle einen markanten Punkt auf dem blauen Graphen \(G_f\), zum Beispiel den lokalen Hochpunkt \(H_f(-1\mid4)\) oder den lokalen Tiefpunkt \(T_f(1\mid0)\). 2. Suche den entsprechenden Punkt auf dem roten Graphen \(G_g\). Der neue Hochpunkt liegt bei \(H_g(1\mid5)\), der neue Tiefpunkt bei \(T_g(3\mid1)\). 3. Berechne die Verschiebung: Von \(x = -1\) zu \(x = 1\) sind es \(+2\) Einheiten in \(x\)-Richtung. Von \(y = 4\) zu \(y = 5\) ist es \(+1\) Einheit in \(y\)-Richtung. 4. Bestimmung der Parameter: Eine Verschiebung um \(2\) nach rechts bedeutet \(x \to x - 2\), also ist \(c = -2\). Eine Verschiebung um \(1\) nach oben bedeutet \(d = 1\).

Die Parameter sind \(c = -2\) und \(d = 1\).

- Bestimme zuerst die Amplitude (die maximale Auslenkung von der Mitte) beider Graphen. - Wo liegt die „Mittellinie“, um die die Graphen schwingen? Das verrät dir die Verschiebung nach oben oder unten. - Vergleiche die Position eines Wellenbergs von \(f\) mit dem entsprechenden Wellenberg von \(g\), um die Verschiebung nach rechts oder links zu finden.

1. Eigenschaften von \(f\): Die Funktion \(f\) hat eine Amplitude von \(1\) und eine Periode von \(T = \frac{2\pi}{\pi/2} = 4\). Ein lokales Maximum liegt bei \((1 \mid 1)\). 2. Eigenschaften von \(g\): Der Graph von \(g\) hat eine Amplitude von \(2\) (Abstand vom mittleren Wert zum Maximum). Die Mittellinie liegt bei \(y=1\). Ein lokales Maximum liegt bei \((2 \mid 3)\). 3. Bestimmung der Transformationen: - Streckung in \(y\)-Richtung: Die Amplitude verdoppelte sich von \(1\) auf \(2\). - Verschiebung in \(x\)-Richtung: Das Maximum wurde von \(x=1\) nach \(x=2\) verschoben (Verschiebung um 1 nach rechts). - Verschiebung in \(y\)-Richtung: Die Mittellinie wurde von \(y=0\) auf \(y=1\) verschoben (Verschiebung um 1 nach oben). 4. Funktionsterm: \(g(x) = 2f(x-1) + 1 = 2\sin\left(\frac{\pi}{2}(x-1)\right) + 1\).

\(g(x) = 2\sin\left(\frac{\pi}{2}(x-1)\right) + 1\)

- Wo liegen die Asymptoten (die Linien, an die sich der Graph annähert) beim roten Graphen? - Die Verschiebung der Asymptoten gibt dir direkt die Werte für die Verschiebung in \(x\)- und \(y\)-Richtung an. - Wähle einen Punkt auf dem roten Graphen, der genau auf einer Gitterkreuzung liegt, um zu prüfen, ob der Graph auch gestreckt wurde.

1. Beim Grundgraphen \(f(x)=\frac1x\) liegen die Asymptoten bei \(x=0\) und \(y=0\). 2. Beim Graphen von \(g\) liegen sie bei \(x=2\) und \(y=1\). Daher hat \(g\) die Form \(g(x)=\frac{a}{x-2}+1\). 3. Eine reine Verschiebung würde den Punkt \((1\mid1)\) auf \((3\mid2)\) abbilden. Der dargestellte Graph verläuft jedoch durch \((3\mid3)\). 4. Einsetzen von \((3\mid3)\): \(3=\frac{a}{3-2}+1\), also \(a=2\). 5. Damit lautet der Funktionsterm \(g(x)=\frac{2}{x-2}+1\).

\(g(x) = \frac{2}{x-2} + 1\)

- Ist der rote Graph „flacher“ oder „steiler“ als der blaue? - Was passiert mit den Funktionswerten, wenn ein Graph an der \(x\)-Achse gespiegelt wird? - Vergleiche die \(y\)-Werte beider Graphen an der Stelle \(x = 0\).

1. Analyse der Orientierung: Der blaue Graph ist nach oben geöffnet, der rote nach unten. Dies bedeutet eine Spiegelung an der \(x\)-Achse, was einem Faktor \(-1\) vor der Funktion entspricht. 2. Vergleich der Form (Streckung/Stauchung): Der blaue Graph verläuft durch die Punkte \((2 \mid 0)\) und \((0 \mid -4)\). Der rote Graph verläuft durch \((2 \mid 0)\) und \((0 \mid 2)\). 3. Berechnung des Faktors: Während \(f(0) = -4\) ist, gilt \(g(0) = 2\). Der Wert wurde also mit \(-0{,}5\) multipliziert (\(-4 \cdot (-0{,}5) = 2\)). 4. Prüfung an weiteren Stellen: Bei \(x=2\) ist \(f(2)=0\) und \(g(2)=0\), was konsistent ist (\(0 \cdot (-0{,}5) = 0\)). 5. Ergebnis: Der Graph wurde an der \(x\)-Achse gespiegelt und mit dem Faktor \(0{,}5\) in \(y\)-Richtung gestaucht. Es gilt \(g(x) = -0{,}5f(x)\).

Der Graph von \(g\) entsteht durch eine Spiegelung des Graphen von \(f\) an der \(x\)-Achse und eine gleichzeitige Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\); der Funktionsterm ist \(g(x) = -0{,}5f(x)\).

- Wo liegt der „Startpunkt“ des blauen Graphen und wo der des roten? - Wie hat sich die Richtung der Kurve verändert? Was bedeutet das für das Vorzeichen der Funktion? - Überlege, wie Verschiebung und Spiegelung im Funktionsterm dargestellt werden.

1. Analyse des blauen Graphen \(G_f\): Er beginnt im Punkt \((-4 \mid 0)\) und verläuft oberhalb der \(x\)-Achse steigend. 2. Analyse des roten Graphen \(G_g\): Er beginnt im Punkt \((-2 \mid 0)\) und verläuft unterhalb der \(x\)-Achse fallend. 3. Bestimmung der Verschiebung: Würde man \(G_f\) nur spiegeln, läge der Startpunkt weiterhin bei \(x = -4\). Da der Startpunkt von \(g\) bei \(x = -2\) liegt, wird der Graph um \(2\) Einheiten nach rechts verschoben. 4. Bestimmung der Spiegelung: Der Graph von \(f\) verläuft oberhalb der \(x\)-Achse, der von \(g\) unterhalb. Dies entspricht einer Spiegelung an der \(x\)-Achse. 5. Aufstellen des Terms: Die Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts ergibt \(f(x - 2)\). Die Spiegelung an der \(x\)-Achse ergibt \(-f(x - 2)\). 6. Ergebnis: \(g(x) = -f(x - 2)\).

Der Graph von \(g\) geht aus dem Graphen von \(f\) hervor, indem dieser um \(2\) Einheiten nach rechts verschoben und anschließend an der \(x\)-Achse gespiegelt wird; der Funktionsterm lautet \(g(x) = -f(x - 2)\).

- Überlege dir, wie sich die Definitionsmenge ändert, wenn das Argument der Funktion von \(x\) zu \(x + 2\) wird. - Wie beeinflussen der Faktor vor der Funktion und die Konstante dahinter die \(y\)-Werte der ursprünglichen Punkte? - Es hilft oft, sich eine kleine Tabelle mit den Koordinaten der Knickpunkte von \(f\) zu erstellen und diese schrittweise zu transformieren. - Denke daran: Eine Addition im Argument verschiebt den Graphen entlang der \(x\)-Achse, während Operationen außerhalb der Funktion die \(y\)-Werte verändern.

1. Bestimmung des Definitionsbereichs von \(g\): Da \(f\) für Eingabewerte zwischen \(-3\) und \(3\) definiert ist, muss für das Argument von \(g\) gelten: \( -3 \le x + 2 \le 3 \). Durch Subtraktion von \(2\) auf allen Seiten ergibt sich \( -5 \le x \le 1 \). Also ist \(D_g = [-5; 1]\). 2. Bestimmung des Wertebereichs von \(g\): Aus dem Graphen von \(f\) liest man den Wertebereich \(W_f = [-2; 2]\) ab. Die Transformation \(0{,}5f(...) - 1\) verändert die \(y\)-Werte. Für die Extremwerte gilt: \(0{,}5 \cdot (-2) - 1 = -2\) und \(0{,}5 \cdot 2 - 1 = 0\). Somit ist \(W_g = [-2; 0]\). 3. Berechnung markanter Punkte für den Graphen von \(g\): - \(f(-3) = -2 \implies g(-5) = 0{,}5 \cdot (-2) - 1 = -2\) - \(f(-1) = 2 \implies g(-3) = 0{,}5 \cdot 2 - 1 = 0\) - \(f(1) = 2 \implies g(-1) = 0{,}5 \cdot 2 - 1 = 0\) - \(f(3) = 0 \implies g(1) = 0{,}5 \cdot 0 - 1 = -1\) 4. Der Graph von \(g\) verläuft somit durch die Punkte \((-5 \mid -2)\), \((-3 \mid 0)\), \((-1 \mid 0)\) und \((1 \mid -1)\).

a) Der Graph von \(g\) entsteht durch eine Verschiebung von \(f\) um \(2\) Einheiten nach links, eine Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) und eine anschließende Verschiebung um \(1\) Einheit nach unten. Er verbindet geradlinig die Punkte \((-5 \mid -2)\), \((-3 \mid 0)\), \((-1 \mid 0)\) und \((1 \mid -1)\). b) Der Definitionsbereich ist \(D_g = [-5; 1]\) und der Wertebereich ist \(W_g = [-2; 0]\).

- Schau dir an, wie oft sich das Muster der Funktion in einem bestimmten Bereich wiederholt. - Hat sich der Abstand zwischen zwei benachbarten Hochpunkten verändert? - Überlege, ob die Änderung die Eingabewerte (\(x\)-Richtung) oder die Ausgabewerte (\(y\)-Richtung) betrifft.

1. Analyse der Periode: Der Graph von \(f\) (blau) hat eine Periode von \(2\pi \approx 6{,}28\). Der Graph von \(g\) (rot) hat eine Periode von \(\pi \approx 3{,}14\). 2. Bestimmung der Streckung/Stauchung: Da die Periode von \(g\) halb so groß ist wie die von \(f\), wurde der Graph in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{2}\) gestaucht. 3. Mathematische Darstellung: Eine horizontale Stauchung um den Faktor \(\frac{1}{k}\) wird durch das Ersetzen von \(x\) durch \(kx\) erreicht. Hier ist \(k = 2\). 4. Ergebnis: \(g(x) = f(2x)\).

Der Graph von \(g\) entsteht aus dem Graphen von \(f\) durch eine Stauchung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{2}\); die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = f(2x)\).

- Vergleiche die \(y\)-Werte beider Graphen an derselben \(x\)-Stelle. - Bleiben die Nullstellen der Funktion gleich? Wenn ja, deutet das auf eine Streckung oder Stauchung in \(y\)-Richtung hin. - Welchen Faktor musst du verwenden, um von einem Punkt auf \(G_f\) zum entsprechenden Punkt auf \(G_g\) zu kommen?

1. Analyse der \(y\)-Werte: Der höchste Punkt von \(f\) liegt bei \((0 \mid 2)\). Der höchste Punkt von \(g\) liegt bei \((0 \mid 1)\). 2. Bestimmung der Streckung/Stauchung: Da der \(y\)-Wert halbiert wurde, handelt es sich um eine Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\). 3. Überprüfung weiterer Punkte: An der Stelle \(x=1\) ist \(f(1) = 1\) und \(g(1) = 0{,}5\). Auch hier ist der Wert halbiert. 4. Mathematische Darstellung: Eine vertikale Stauchung um den Faktor \(a\) wird durch Multiplikation des Funktionsterms mit \(a\) erreicht. 5. Ergebnis: \(g(x) = 0{,}5f(x)\).

Der Graph von \(g\) geht aus dem Graphen von \(f\) durch eine Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) hervor; die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = 0{,}5f(x)\).

- Achte auf die Lage der Graphen bezüglich der senkrechten Achse. - Sind die Graphen an einer Achse gespiegelt? Wenn ja, an welcher? - Was passiert mit dem Funktionsterm, wenn man \(x\) durch \(-x\) ersetzt?

1. Analyse der Symmetrie: Der Scheitelpunkt von \(f\) liegt bei \((2 \mid -1)\). Der Scheitelpunkt von \(g\) liegt bei \((-2 \mid -1)\). 2. Beobachtung der Spiegelung: Die Graphen scheinen spiegelbildlich zur \(y\)-Achse zu liegen. Für jeden Punkt \((x \mid y)\) auf \(G_f\) findet sich ein Punkt \((-x \mid y)\) auf \(G_g\). Zum Beispiel: \(f(0) = 3\) und \(g(0) = 3\). \(f(3) = 0\) und \(g(-3) = 0\). 3. Mathematische Darstellung: Eine Spiegelung an der \(y\)-Achse wird erreicht, indem man das Argument \(x\) durch \(-x\) ersetzt. 4. Ergebnis: \(g(x) = f(-x)\).

Der Graph von \(g\) geht aus dem Graphen von \(f\) durch eine Spiegelung an der \(y\)-Achse hervor; die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = f(-x)\).

- Erinnere dich daran, wie sich Veränderungen im Funktionsterm (wie \(x-c\) oder \(+d\)) auf die Lage des Graphen auswirken. - Wo genau macht der ursprüngliche Graph einen Sprung? - Wenn der ganze Graph verschoben wird, was passiert dann mit diesem speziellen Punkt? - Achte beim Ablesen der Grenzwerte darauf, ob der Punkt am Ende eines Linienstücks ausgefüllt oder leer ist.

1. Beschreibung der Transformation: Der Term \(x - 3\) bewirkt eine Verschiebung des Graphen um \(3\) Einheiten nach rechts. Das Addieren von \(1\) verschiebt den Graphen um \(1\) Einheit nach oben. 2. Identifikation der Unstetigkeitsstelle: Der Graph von \(f\) weist bei \(x = 1\) einen Sprung auf. Durch die Verschiebung um \(3\) Einheiten nach rechts liegt die Unstetigkeitsstelle von \(k\) bei \(x_k = 1 + 3 = 4\). 3. Bestimmung der Werte an \(x_k = 4\): - Funktionswert: \(k(4) = f(4-3) + 1 = f(1) + 1 = -5 + 1 = -4\). - Linksseitiger Grenzwert: \(\lim_{x \to 4^-} k(x) = \lim_{t \to 1^-} f(t) + 1 = -5 + 1 = -4\). - Rechtsseitiger Grenzwert: \(\lim_{x \to 4^+} k(x) = \lim_{t \to 1^+} f(t) + 1 = -1 + 1 = 0\).

a) Der Graph von \(k\) entsteht durch eine Verschiebung von \(f\) um \(3\) Einheiten nach rechts und \(1\) Einheit nach oben. b) Die Unstetigkeitsstelle liegt bei \(x_k = 4\). c) Es gilt \(k(4) = -4\), \(\lim_{x \to 4^-} k(x) = -4\) und \(\lim_{x \to 4^+} k(x) = 0\).

- Vergleiche die Positionen markanter Punkte, wie zum Beispiel Maxima oder Minima, in beiden Koordinatensystemen. - Achte darauf, ob sich der Abstand zwischen charakteristischen Punkten in \(x\)- oder \(y\)-Richtung verändert hat. - Überlege, ob der Graph an einer der Achsen gespiegelt wurde, bevor er verschoben wurde. - Prüfe, ob die Funktionswerte in bestimmten Bereichen konstant sind und wie sich diese Konstanten verändert haben.

1. Teilaufgabe a): Der Vergleich markanter Punkte (z. B. das Maximum von \(G_f\) bei \((0 \mid 4)\) und das von \(G_g\) bei \((-4 \mid 3)\)) zeigt eine Verschiebung um \(4\) Einheiten nach links und \(1\) Einheit nach unten. Daraus ergibt sich der Funktionsterm \(g(x) = f(x + 4) - 1\). 2. Teilaufgabe b): Der Graph \(G_h\) hat sein Maximum an derselben \(x\)-Stelle wie \(G_f\), aber bei \(y = 3\) statt \(y = 4\). Zudem liegen die waagerechten Abschnitte bei \(y = 1\) statt \(y = 0\). Dies entspricht einer Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) (da der Abstand vom Maximum zum waagerechten Teil von \(4\) auf \(2\) halbiert wurde) und einer anschließenden Verschiebung um \(1\) Einheit nach oben. Der Funktionsterm lautet \(h(x) = 0{,}5f(x) + 1\).

a) Verschiebung um \(4\) Einheiten nach links und \(1\) Einheit nach unten; \(g(x) = f(x + 4) - 1\) b) Stauchung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(0{,}5\) und Verschiebung um \(1\) Einheit nach oben; \(h(x) = 0{,}5f(x) + 1\)

- Vergleiche die Funktionsterme Schritt für Schritt: Was hat sich im Zähler und was im Argument \(x\) verändert? - Erinnere dich daran, welche Symmetrie die Grundfunktion \(h(x)\) besitzt und wie sich diese bei einer Verschiebung mitbewegt. - Überlege zuerst, wie groß der Funktionswert sein muss, wenn er nur noch ein Viertel des Maximums beträgt. - Achte beim Lösen der Gleichung darauf, dass es zwei Lösungen für \(x\) gibt. Welche passt zur Fragestellung „am Nachmittag“? - Den Dezimalteil der Stunden kannst du durch Multiplikation mit 60 in Minuten umrechnen.

1. Transformation von \(h(x) = \frac{4}{x^2+2}\) zu \(f(x) = \frac{24}{(x-14)^2+2}\): - Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(6\), da \(\frac{24}{4} = 6\). - Verschiebung um \(14\) Einheiten nach rechts. 2. Symmetrie: Der Graph von \(h\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, da \(h(-x) = h(x)\). Durch die Verschiebung um \(14\) Einheiten nach rechts ist der Graph von \(f\) achsensymmetrisch zur Geraden \(x = 14\). 3. Höchstwert: Der Nenner ist für \(x = 14\) minimal. Dort gilt \(f(14) = \frac{24}{2} = 12\,\text{kW}\). 4. Gesuchter Wert: \(25\,\%\) von \(12\,\text{kW}\) sind \(3\,\text{kW}\). 5. Gleichung lösen: \(3 = \frac{24}{(x-14)^2 + 2} \Rightarrow (x-14)^2 + 2 = 8 \Rightarrow (x-14)^2 = 6\). 6. Lösungen: \(x_1 = 14 - \sqrt{6} \approx 11{,}55\) und \(x_2 = 14 + \sqrt{6} \approx 16{,}45\). 7. Für den Nachmittag ist \(x_2 \approx 16{,}449\) relevant. Der Dezimalanteil entspricht \(0{,}449 \cdot 60\,\text{min} \approx 27\,\text{min}\). Der Schwellenwert wird somit um 16:27 Uhr erreicht.

a) Der Graph \(G_f\) entsteht aus \(G_h\) durch eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(6\) und eine Verschiebung um \(14\) Einheiten nach rechts. Daher ist \(G_f\) achsensymmetrisch zur Geraden \(x=14\). b) Um 16:27 Uhr beträgt die Leistung \(3\,\text{kW}\); anschließend liegt sie unter \(3\,\text{kW}\).

- Wo befinden sich die Asymptoten (die Linien, denen sich der Graph annähert) der ursprünglichen Funktion \(f(x) = \frac{1}{x}\)? - Wie verändern sich die Positionen dieser Asymptoten bei den Graphen von \(g\) und \(h\)? - In welchen Quadranten liegen die Kurven normalerweise? Wenn sie getauscht wurden, was bedeutet das für das Vorzeichen? - Suche dir einen Punkt mit ganzzahligen Koordinaten auf dem Graphen, um einen Streckfaktor zu bestimmen.

1. Analyse von \(g\): Die vertikale Asymptote (Definitionslücke) hat sich von \(x = 0\) nach \(x = -2\) verschoben (Verschiebung um \(2\) nach links). Die horizontale Asymptote hat sich von \(y = 0\) nach \(y = 1\) verschoben (Verschiebung um \(1\) nach oben). Der Funktionsterm ist \(g(x) = \frac{1}{x+2} + 1\). 2. Analyse von \(h\): Die Asymptoten liegen weiterhin bei \(x = 0\) und \(y = 0\). Da der Graph jedoch im zweiten und vierten Quadranten verläuft, liegt eine Spiegelung an der \(x\)-Achse vor. Der Punkt \((1 \mid -2)\) liegt auf dem Graphen, was auf eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\) hindeutet. Der Funktionsterm ist \(h(x) = -\frac{2}{x}\).

\(g\) ist um \(2\) Einheiten nach links und \(1\) Einheit nach oben verschoben: \(g(x) = \frac{1}{x+2} + 1\). \(h\) ist an der \(x\)-Achse gespiegelt und mit dem Faktor \(2\) in \(y\)-Richtung gestreckt: \(h(x) = -\frac{2}{x}\).

- Überprüfe zuerst die Schnittpunkte der Graphen mit der y-Achse, indem du \(x = 0\) in die Gleichungen einsetzt. - Achte auf die Asymptoten: Wo nähern sich die Graphen für sehr kleine x-Werte an? - Vergleiche die Steilheit der Graphen an derselben Stelle. - Überlege, ob sich manche Terme mit Hilfe von Potenzgesetzen umformen lassen.

1. Graph (1) verläuft durch den Punkt \((0\mid2)\). Da er bei \(x = 1\) den Wert \(2e \approx 5{,}44\) erreicht, gehört er zur Gleichung \(y = 2e^x\). 2. Graph (2) verläuft ebenfalls durch \((0\mid2)\), ist aber flacher als Graph (1). Bei \(x = 1\) liegt der Wert bei \(e+1 \approx 3{,}72\). Dies entspricht \(y = e^x + 1\). 3. Graph (3) schneidet die \(y\)-Achse bei \(e^1 \approx 2{,}72\) und verläuft durch den Punkt \((-1\mid1)\). Dies passt zu \(y = e^{x+1}\). Da nach den Potenzgesetzen \(e^{x+1} = e^1 \cdot e^x\) gilt, passt auch die Gleichung \(y = e \cdot e^x\) zu diesem Graphen. 4. Graph (4) ist gegenüber der Grundfunktion \(e^x\) um 2 Einheiten nach unten verschoben, erkennbar am \(y\)-Achsenabschnitt \((0\mid-1)\) und der waagrechten Asymptote \(y = -2\). Die Gleichung ist \(y = e^x - 2\).

Graph (1): \(y = 2e^x\); Graph (2): \(y = e^x + 1\); Graph (3): \(y = e^{x+1}\) und \(y = e \cdot e^x\); Graph (4): \(y = e^x - 2\).

- Überlege zuerst, an welcher Stelle der Graph die \(y\)-Achse schneiden muss. - Was passiert mit dem Term \(2^x\), wenn \(x\) immer kleiner wird (z. B. \(-10\), \(-100\), ...)? - Bestimme die waagerechte Asymptote der Funktion. Auf welcher Seite des Koordinatensystems nähert sich der Graph dieser Linie an? - Prüfe durch Einsetzen eines weiteren Punktes, zum Beispiel \(x = 1\), welcher Graph korrekt ist.

1. Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts: Setze \(x = 0\) in die Funktionsgleichung ein: \(f(0) = 3 - 2^0 = 3 - 1 = 2\). Der Graph muss also die \(y\)-Achse bei \(2\) schneiden. Dies trifft auf die Graphen a) und d) zu. 2. Untersuchung des Grenzverhaltens für \(x \to -\infty\): Für sehr kleine \(x\)-Werte nähert sich \(2^x\) dem Wert \(0\) an. Somit nähert sich \(f(x) = 3 - 2^x\) dem Wert \(3 - 0 = 3\) an. Die Gerade \(y = 3\) ist also die waagerechte Asymptote für \(x \to -\infty\). 3. Vergleich mit den Abbildungen: Graph a) nähert sich für negative \(x\)-Werte der Geraden \(y = 3\) an, während Graph d) dies für positive \(x\)-Werte tut. 4. Ergebnis: Nur Graph a) erfüllt beide Bedingungen.

Graph a) ist die richtige Darstellung.

- Der Startpunkt einer Wurzelfunktion \(y = a\sqrt{x+b}+c\) liegt bei \((-b \mid c)\). Wo liegt dieser Punkt im Koordinatensystem? - Wenn eine Kurve nach unten verläuft, was sagt das über den Faktor vor dem Funktionsterm aus? - Prüfe die Vorzeichen der Koordinaten des markanten Anfangspunkts der Kurve.

1. Identifikation des Startpunkts: Der Graph beginnt im zweiten Quadranten bei dem Punkt \((-2 \mid 3)\). 2. Bestimmung von \(b\): Das Argument der Wurzel ist Null am Startpunkt. Also \(-2 + b = 0 \Rightarrow b = 2\). Damit ist \(b > 0\). 3. Bestimmung von \(c\): Der Funktionswert am Startpunkt ist \(g(-2) = a \cdot 0 + c = 3\). Damit ist \(c = 3\), also \(c > 0\). 4. Bestimmung von \(a\): Da der Graph vom Startpunkt aus nach unten fällt, werden die Funktionswerte kleiner als \(c\). Dies ist nur möglich, wenn der Faktor vor der Wurzel negativ ist. Somit ist \(a < 0\). 5. Ergebnis: Die passende Kombination ist \(a < 0, b > 0, c > 0\) (Option 2).

2) \(a < 0, b > 0, c > 0\)

- Stelle eine Gleichung der Form \(g(x) = kf(x) + d\) auf. - Vergleiche die einzelnen Bestandteile der Funktionsterme (den Bruch und die Konstante), um die Unbekannten zu finden. - Was müsste passieren, damit sich die Polstelle einer Funktion verschiebt? - Ändern Operationen, die „außen“ an der Funktion durchgeführt werden (wie \(kf(x) + d\)), die Eingabewerte \(x\)?

1. Ansatz für die Transformation: \(g(x) = kf(x) + d = k\left( \frac{-1}{x+2} + 5 \right) + d = \frac{-k}{x+2} + 5k + d\). 2. Koeffizientenvergleich mit \(g(x) = \frac{-4}{x+2} + 12\): Aus dem Zähler des Bruchteils folgt \(-k = -4\), also \(k = 4\). 3. Berechnung der Verschiebung \(d\): Aus dem konstanten Glied folgt \(5k + d = 12\). Einsetzen von \(k = 4\) ergibt \(5 \cdot 4 + d = 12 \Rightarrow 20 + d = 12 \Rightarrow d = -8\). 4. Begründung der Asymptote: Die vertikale Asymptote liegt bei der Definitionslücke des Nenners (\(x = -2\)). Da die Transformationen (Streckung und Verschiebung) ausschließlich in \(y\)-Richtung wirken, verändern sie nur die Funktionswerte, nicht aber die \(x\)-Werte der Definitionsmenge oder die Lage vertikaler Linien.

Die Parameter sind \(k = 4\) und \(d = -8\). Die vertikale Asymptote bleibt bei \(x = -2\) unverändert, da Streckungen und Verschiebungen in \(y\)-Richtung die Definitionslücke der Funktion nicht beeinflussen.

- Wenn ein Graph in \(x\)-Richtung „gestreckt“ wird, wie verändert das die Zahl vor dem \(x\)? - Überlege, welche Werte die Sinusfunktion maximal und minimal annehmen kann, und addiere die Verschiebung. - Wie hängen Sinus und Kosinus zusammen? Gibt es eine Verschiebung, die eine Kurve in die andere überführt?

1. Transformation und Wertebereich: Eine Streckung in \(x\)-Richtung mit Faktor \(k=3\) bedeutet, dass \(x\) durch \(\frac{1}{3}x\) ersetzt wird. Die Verschiebung um \(2\) nach oben addiert \(2\) zum Funktionsterm. Es ergibt sich \(q(x) = \sin\left(\frac{1}{3}x\right) + 2\). Da der Sinus Werte zwischen \(-1\) und \(1\) annimmt, liegt der Wertebereich von \(q\) zwischen \(-1+2=1\) und \(1+2=3\), also \(W = [1; 3]\). 2. Periodenlänge: Die Periode \(T\) berechnet sich aus dem Faktor \(b = \frac{1}{3}\) vor dem \(x\) durch \(T = \frac{2\pi}{b}\). Hier: \(T = \frac{2\pi}{1/3} = 6\pi\). 3. Bestimmung von \(c\): Es gilt die Identität \(\sin(\alpha) = \cos(\alpha - \frac{\pi}{2})\). Setzt man \(\alpha = \frac{1}{3}x\), erhält man \(\sin\left(\frac{1}{3}x\right) = \cos\left(\frac{1}{3}x - \frac{\pi}{2}\right)\). Ein Vergleich mit dem vorgegebenen Term ergibt \(c = \frac{\pi}{2}\). Dieser Wert liegt im geforderten Intervall \([0; 2\pi]\).

a) \(q(x) = \sin\left(\frac{1}{3}x\right) + 2\); Wertebereich \(W = [1; 3]\) b) Periodenlänge \(T = 6\pi\) c) \(c = \frac{\pi}{2}\)

- Versuche im Nenner die Zahl vor dem \(x\) auszuklammern, um die Form \(b(x+c)\) zu identifizieren. - Der Zähler des Bruchs kann als Streckfaktor \(a\) vor die Funktion geschrieben werden. - Denke daran, dass ein Faktor \(b\) innerhalb der Funktion eine Streckung oder Stauchung in \(x\)-Richtung bewirkt.

1. Ausklammern im Nenner, um die Struktur \(b(x+c)\) zu erhalten: \(g(x) = \frac{3}{2(x + 2)} - 1\) 2. Umformung in die Form \(af(b(x+c)) + d\): \(g(x) = 3\frac{1}{2(x + 2)} - 1 = 3f(2(x + 2)) - 1\) Hierbei ist \(a = 3\), \(b = 2\), \(c = 2\) und \(d = -1\). (Alternativ ist auch \(g(x) = 1{,}5f(x + 2) - 1\) möglich, was zu einer anderen Beschreibung der Streckung führt). 3. Beschreibung der Transformationen (basierend auf \(b=2\)): - Stauchung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{2}\) (wegen \(b = 2\)). - Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links (wegen \(c = 2\)). - Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(3\) (wegen \(a = 3\)). - Verschiebung um \(1\) Einheit nach unten (wegen \(d = -1\)).

Darstellung: \(g(x) = 3f(2(x + 2)) - 1\) Transformationen: Stauchung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\), Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links, Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(3\), Verschiebung um \(1\) Einheit nach unten.

- Wie lautet die allgemeine Funktionsgleichung, wenn ein Graph um \(c\) in \(x\)-Richtung und um \(d\) in \(y\)-Richtung verschoben wird? - Setze den Term von \(f(x)\) in diesen allgemeinen Ansatz ein. - Verwende die binomischen Formeln (oder das pascalsche Dreieck), um den verschobenen Term auszumultiplizieren. - Vergleiche die Koeffizienten vor den \(x^2\)- und \(x\)-Gliedern sowie die konstanten Zahlen, um die Unbekannten zu berechnen.

1. Ansatz für die Transformation: Eine Verschiebung um \(c\) in \(x\)-Richtung und \(d\) in \(y\)-Richtung entspricht der Formel \(g(x) = f(x - c) + d\). 2. Einsetzen von \(f(x)\): \(g(x) = (x - c)^3 - 3(x - c) + d\). 3. Ausmultiplizieren des Terms: \(g(x) = (x^3 - 3cx^2 + 3c^2x - c^3) - 3x + 3c + d = x^3 - 3cx^2 + (3c^2 - 3)x + (-c^3 + 3c + d)\). 4. Koeffizientenvergleich mit \(g(x) = x^3 - 9x^2 + 24x - 15\): - Quadrate: \(-3c = -9 \Rightarrow c = 3\). - Lineares Glied (Probe): \(3(3)^2 - 3 = 27 - 3 = 24\) (korrekt). - Konstantes Glied: \(-c^3 + 3c + d = -15 \Rightarrow -(3)^3 + 3(3) + d = -15 \Rightarrow -27 + 9 + d = -15 \Rightarrow -18 + d = -15 \Rightarrow d = 3\).

\(c = 3\) und \(d = 3\).

- Wende die Transformationen nacheinander auf den Funktionsterm an und vereinfache das Endergebnis. - Beachte, dass eine Stauchung in \(y\)-Richtung nach einer \(y\)-Verschiebung auch den Wert dieser Verschiebung mitskaliert. - Überlege, ob die Verschiebung in \(x\)-Richtung die anderen Transformationen in \(y\)-Richtung beeinflusst.

1. Überprüfung Kette 1: \(x^2 \xrightarrow{\text{links } 3} (x+3)^2 \xrightarrow{\text{unten } 8} (x+3)^2 - 8 \xrightarrow{\text{Stauchung } 0{,}5} 0{,}5((x+3)^2 - 8) = 0{,}5(x+3)^2 - 4\). Diese Kette ist korrekt. 2. Überprüfung Kette 2: \(x^2 \xrightarrow{\text{links } 3} (x+3)^2 \xrightarrow{\text{Stauchung } 0{,}5} 0{,}5(x+3)^2 \xrightarrow{\text{unten } 8} 0{,}5(x+3)^2 - 8\). Diese Kette ist falsch, da der konstante Term \(-8\) statt \(-4\) lautet. 3. Überprüfung Kette 3: \(x^2 \xrightarrow{\text{Stauchung } 0{,}5} 0{,}5x^2 \xrightarrow{\text{links } 3} 0{,}5(x+3)^2 \xrightarrow{\text{unten } 4} 0{,}5(x+3)^2 - 4\). Diese Kette ist ebenfalls korrekt.

Die Ketten 1 und 3 sind korrekt. Kette 2 ist falsch, da sie zur Funktionsgleichung \(y = 0{,}5(x+3)^2 - 8\) führt.

- Denk daran, dass eine Stauchung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) bedeutet, dass \(x\) durch \(2x\) ersetzt wird. - Wenn du eine Verschiebung nach einer Stauchung ausführst, musst du das \(x\) in der bereits veränderten Form durch \((x - d)\) ersetzen. - Klammern sind besonders wichtig, wenn eine Verschiebung auf ein bereits skaliertes \(x\) trifft. - Probiere aus, was passiert, wenn du \(h(x)\) zuerst umformst, indem du den Faktor \(2\) unter der Wurzel ausklammerst.

1. Analyse von Weg A: Eine Verschiebung um \(8\) nach rechts ersetzt \(x\) durch \((x-8)\), woraus \(f_1(x) = \sqrt{x-8}\) folgt. Eine anschließende Stauchung in \(x\)-Richtung mit Faktor \(0{,}5\) bedeutet, dass \(x\) im Term durch \(\frac{1}{0{,}5}x = 2x\) ersetzt wird. Es ergibt sich \(h_A(x) = \sqrt{2x - 8}\). 2. Analyse von Weg B: Eine Stauchung in \(x\)-Richtung mit Faktor \(0{,}5\) führt zunächst zu \(f_2(x) = \sqrt{2x}\). Eine anschließende Verschiebung um \(8\) nach rechts ersetzt jedes \(x\) im aktuellen Term durch \((x-8)\). Es ergibt sich \(h_B(x) = \sqrt{2(x-8)} = \sqrt{2x - 16}\). 3. Vergleich: Weg A führt exakt zur Funktionsgleichung \(h(x) = \sqrt{2x - 8}\), während Weg B ein anderes Ergebnis liefert.

Nur Weg A führt zum Ziel. Bei Weg A ergibt sich \(h_A(x) = \sqrt{2x - 8}\). Weg B führt hingegen zu \(h_B(x) = \sqrt{2(x-8)} = \sqrt{2x - 16}\).

- Wie verändert sich die Symmetrieachse, wenn der gesamte Graph nach links oder rechts verschoben wird? - Denke daran, dass eine Multiplikation innerhalb des Arguments (bei \(x\)) die Breite des Graphen beeinflusst. - Wann ist ein Produkt aus einer Zahl \(c\) und einem Funktionswert \(f(x)\) gleich Null? - Überlege, ob eine Multiplikation der Funktionswerte mit einem Faktor \(c \neq 0\) Punkte auf der \(x\)-Achse bewegt.

1. Die Funktion \(p(x) = f(x - 2)\) entsteht durch eine Verschiebung des Graphen von \(f\) um 2 Einheiten nach rechts. Die Symmetrieachse verschiebt sich ebenfalls von \(x = 0\) zu \(x = 2\). Die Nullstellen verschieben sich entsprechend: \(-4 + 2 = -2\) und \(4 + 2 = 6\). 2. Die Funktion \(q(x) = f(0{,}5x)\) bewirkt eine Streckung des Graphen in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{0{,}5} = 2\). Die Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse bleibt erhalten, da \(q(-x) = f(0{,}5 \cdot (-x)) = f(-0{,}5x) = f(0{,}5x) = q(x)\). Die Nullstellen verdoppeln ihren Abstand zum Ursprung: \(-4 \cdot 2 = -8\) und \(4 \cdot 2 = 8\). 3. Eine Multiplikation aller Funktionswerte mit einem Faktor \(c \neq 0\) wird durch \(g(x) = c \cdot f(x)\) beschrieben. Die Nullstellen von \(g\) sind die Lösungen von \(c \cdot f(x) = 0\). Da \(c \neq 0\) vorausgesetzt ist, ist diese Gleichung äquivalent zu \(f(x) = 0\). Folglich bleiben die Nullstellen in ihrer Lage unverändert.

a) Achsensymmetrisch zur Geraden \(x = 2\); Nullstellen bei \(x = -2\) und \(x = 6\). b) Achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse; Nullstellen bei \(x = -8\) und \(x = 8\). c) Die Lage der Nullstellen bleibt unverändert, da \(c \cdot f(x) = 0\) für \(c \neq 0\) genau dann gilt, wenn \(f(x) = 0\) gilt.

- Bei Transformationen im Exponenten ist es hilfreich, den Koeffizienten vor dem \(x\) auszuklammern, um die Verschiebung korrekt abzulesen. - Ein Faktor \(k\) direkt beim \(x\) bewirkt eine Streckung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{k}\). - Transformationen, die außerhalb der Exponentialfunktion stehen, wirken direkt auf die \(y\)-Werte. - Überprüfe deine Überlegung, indem du einen markanten Punkt (z. B. den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse) transformierst.

1. Horizontale Streckung: Die Ersetzung von \(x\) durch \(0{,}5x\) entspricht einer Streckung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{0{,}5} = 2\). 2. Horizontale Verschiebung: Durch Ausklammern des Faktors im Exponenten erhält man \(0{,}5(x - 4)\). Die Ersetzung von \(x\) durch \(x - 4\) entspricht einer Verschiebung um 4 Einheiten nach rechts. 3. Vertikale Streckung: Die Multiplikation der Exponentialfunktion mit 4 entspricht einer Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor 4. 4. Vertikale Verschiebung: Die Subtraktion von 1 verschiebt den resultierenden Graphen um 1 Einheit nach unten. Ein alternativer Weg besteht darin, zuerst eine Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts (\(e^{x-2}\)) und anschließend eine Streckung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor 2 durchzuführen (\(e^{0{,}5x-2}\)), gefolgt von den vertikalen Transformationen.

Eine mögliche Abfolge ist: 1. Streckung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor 2. 2. Verschiebung um 4 Einheiten nach rechts. 3. Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor 4. 4. Verschiebung um 1 Einheit nach unten. (Alternativ: Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts, dann Streckung in \(x\)-Richtung mit Faktor 2, gefolgt von den vertikalen Transformationen).

- Nutze einen bekannten Punkt aus der Tabelle und den Funktionsterm von \(p\), um den unbekannten Faktor zu berechnen. - Erinnere dich daran, wie das Vorzeichen und der Betrag eines Faktors vor einer Funktion deren Aussehen verändern. - Wie findet man die Stellen, an denen ein Produkt null wird? - Überlege dir grafisch: Wenn ein Punkt auf der \(x\)-Achse liegt, welchen \(y\)-Wert hat er dann? Was passiert mit diesem Wert bei einer Multiplikation?

1. Berechnung von \(p(-1)\) zur Bestimmung von \(k\): \(p(-1) = \frac{1}{4}(-1)^4 - (-1)^2 = \frac{1}{4} - 1 = -0{,}75\). 2. Aufstellen der Gleichung für \(k\): \(q(-1) = k \cdot p(-1) \Rightarrow 1{,}5 = k \cdot (-0{,}75)\). Daraus folgt \(k = \frac{1{,}5}{-0{,}75} = -2\). 3. Geometrische Beschreibung: Der Graph von \(q\) geht aus \(p\) durch eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\) und eine Spiegelung an der \(x\)-Achse hervor. 4. Nullstellen von \(p\): \(\frac{1}{4}x^4 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2(\frac{1}{4}x^2 - 1) = 0\). Dies liefert \(x_1 = 0\) (doppelt) sowie \(\frac{1}{4}x^2 = 1 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x_{2,3} = \pm 2\). Die Nullstellen sind \(x=-2\), \(x=0\) (doppelt) und \(x=2\). 5. Vergleich und Eigenschaft: Die Nullstellen von \(q\) sind identisch mit denen von \(p\), da \(k \cdot p(x) = 0\) genau dann erfüllt ist, wenn \(p(x) = 0\) (für \(k \neq 0\)). Eine Streckung in \(y\)-Richtung ändert die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse nicht.

a) \(k=-2\) b) Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(2\) und Spiegelung an der \(x\)-Achse. c) Die Nullstellen von \(p\) und \(q\) sind \(x=-2\), \(x=0\) (doppelt) und \(x=2\). Bei \(g(x)=k\cdot f(x)\) mit \(k\ne0\) bleiben die Nullstellen einschließlich ihrer Vielfachheiten unverändert.

- Kannst du den Funktionsterm so umformen, dass der Koeffizient vor dem \(x\) innerhalb der Potenz ausgeklammert wird? - Erinnere dich daran, wie ein Faktor vor dem \(x\) (innerhalb des Funktionsarguments) den Graphen horizontal beeinflusst. - Welche Zahl muss für \(x\) eingesetzt werden, damit der Ausdruck in der Klammer Null ergibt? Dies hilft dir, die Verschiebung zu finden.

1. \(h\) ist eine ganzrationale Funktion, da der Term \((0{,}2x - 4)^3\) ein Produkt aus drei linearen Faktoren (Polynome ersten Grades) ist. Das Ergebnis der Multiplikation ist ein Polynom dritten Grades. 2. Um die horizontalen Transformationen direkt abzulesen, wird \(0{,}2\) in der Klammer ausgeklammert: \(h(x) = (0{,}2(x - 20))^3\). 3. Erste Transformation: Streckung des Graphen von \(f(x) = x^3\) in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{0{,}2} = 5\). 4. Zweite Transformation: Verschiebung des resultierenden Graphen um \(20\) Einheiten nach rechts (in positive \(x\)-Richtung). 5. Alternativer Weg: Zuerst Verschiebung um \(4\) Einheiten nach rechts, gefolgt von einer Streckung in \(x\)-Richtung mit Faktor \(5\).

Ja, \(h\) ist eine ganzrationale Funktion (Grad 3). Mögliche Transformationsfolge: 1. Streckung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(5\). 2. Verschiebung um \(20\) Einheiten nach rechts.

- Eine Spiegelung an der \(x\)-Achse entspricht einer Multiplikation des Funktionsterms mit \(-1\). - Achte darauf, ob sich das Minuszeichen bei der Spiegelung auf den ursprünglichen Term oder auf den bereits verschobenen Term bezieht. - Wie löst man eine Gleichung der Form \(\ln(x) = c\) nach \(x\) auf?

1. Für \(g(x)\) bewirkt die Spiegelung an der \(x\)-Achse ein negatives Vorzeichen vor dem Logarithmus: \(- \ln(x)\). Die anschließende Verschiebung um \(+2\) ergibt \(g(x) = -\ln(x) + 2\). Zur Berechnung der Nullstelle setzt man \(-\ln(x) + 2 = 0\), woraus \(\ln(x) = 2\) und somit \(x = e^2\) folgt. 2. Für \(h(x)\) wird zuerst \(2\) addiert: \(\ln(x) + 2\). Die Spiegelung an der \(x\)-Achse bezieht sich auf den gesamten bisherigen Term, also \(h(x) = -(\ln(x) + 2) = -\ln(x) - 2\). Die Nullstelle ergibt sich aus \(-\ln(x) - 2 = 0\), also \(\ln(x) = -2\), woraus \(x = e^{-2}\) (oder \(x = \frac{1}{e^2}\)) folgt.

\(g(x) = -\ln(x) + 2\) mit Nullstelle \(x = e^2\) \(h(x) = -\ln(x) - 2\) mit Nullstelle \(x = e^{-2} = \frac{1}{e^2}\)

- Achte auf die Öffnungsrichtung des Graphen im Vergleich zum Original. - Wo kreuzen sich die Asymptoten des neuen Graphen? - Wähle einen Punkt mit ganzzahligen Koordinaten auf dem roten Graphen, um zu prüfen, ob der Graph gestreckt oder gestaucht wurde.

1. Spiegelung und Streckung: Die Kurve öffnet sich nach unten, also ist sie an der \(x\)-Achse gespiegelt. Ein Punkt auf \(g\) ist \((1 \mid 1)\). Der Abstand zur waagerechten Asymptote (\(y=3\)) beträgt dort 2 Einheiten bei einem horizontalen Abstand von 1 zur Polstelle (\(x=2\)). Da \(f(1)=1\), muss hier ein Streckfaktor von 2 vorliegen. 2. Asymptoten/Verschiebung: Die senkrechte Asymptote ist bei \(x = 2\), die waagerechte bei \(y = 3\). Das entspricht Verschiebungen um 2 nach rechts und 3 nach oben. 3. Term zusammensetzen: \(g(x) = -\frac{2}{(x - 2)^2} + 3\).

Der Graph \(g\) entsteht durch Spiegelung an der \(x\)-Achse, Streckung mit dem Faktor 2 in \(y\)-Richtung, Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts und 3 Einheiten nach oben. Die Funktionsgleichung ist \(g(x) = -\frac{2}{(x - 2)^2} + 3\).

- Wie lautet die allgemeine Formel für eine Streckung in \(y\)-Richtung? - Nutze einen Punkt des roten Graphen, um \(a\) in \(h(x)=ax^3\) zu bestimmen. - Schreibe den Faktor vor \(x^3\) als dritte Potenz innerhalb der Klammer. - Bei \(f(cx)\) ist der horizontale Skalierungsfaktor \(\frac1{|c|}\).

1. Der rote Graph verläuft durch \((1\mid8)\). Für \(h(x)=ax^3\) folgt \(8=a\cdot1^3\), also \(h(x)=8x^3\). 2. Als vertikale Skalierung gilt \(h(x)=8f(x)\). Dies ist eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(8\). 3. Außerdem ist \(h(x)=f(2x)=(2x)^3=8x^3\). Das Ersetzen von \(x\) durch \(2x\) bewirkt eine Stauchung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac12\).

Die Funktionsgleichung lautet \(h(x)=8x^3\); dies entspricht einer Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(8\), also \(h(x)=8f(x)\), und zugleich einer Stauchung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{2}\), also \(h(x)=f(2x)\).

- Achte darauf, ob eine Transformation „innen“ am \(x\) (horizontal) oder „außen“ am Funktionswert (vertikal) ansetzt. - Eine Multiplikation des \(x\)-Wertes führt zu einer Stauchung oder Streckung in \(x\)-Richtung. Überlege genau, ob der Graph breiter oder schmaler wird. - Überprüfe die Randpunkte der Definitionsmenge, indem du sie in den neuen Funktionsterm einsetzt. - Betrachte zuerst die horizontale und dann die vertikale Veränderung.

1. Der Ausgangsgraph hat die Eckpunkte \((-2\mid0)\), \((0\mid2)\), \((2\mid0)\), \((4\mid2)\) und \((6\mid0)\). Daher sind \(D_f=[-2;6]\) und \(W_f=[0;2]\). 2. Für \(k(x)=f(2x)-1\) werden die \(x\)-Koordinaten halbiert und die \(y\)-Koordinaten um \(1\) vermindert. Die transformierten Eckpunkte sind \((-1\mid-1)\), \((0\mid1)\), \((1\mid-1)\), \((2\mid1)\) und \((3\mid-1)\). Somit gilt \(D_k=[-1;3]\) und \(W_k=[-1;1]\). 3. Für \(p(x)=0{,}5f(x-1)+1\) wird der Graph um \(1\) nach rechts verschoben, in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) gestaucht und um \(1\) nach oben verschoben. Die transformierten Eckpunkte sind \((-1\mid1)\), \((1\mid2)\), \((3\mid1)\), \((5\mid2)\) und \((7\mid1)\). Somit gilt \(D_p=[-1;7]\) und \(W_p=[1;2]\).

a) \(D_k=[-1;3]\), \(W_k=[-1;1]\); Eckpunkte: \((-1\mid-1)\), \((0\mid1)\), \((1\mid-1)\), \((2\mid1)\), \((3\mid-1)\). b) \(D_p=[-1;7]\), \(W_p=[1;2]\); Eckpunkte: \((-1\mid1)\), \((1\mid2)\), \((3\mid1)\), \((5\mid2)\), \((7\mid1)\).

- Wo liegen die Nullstellen beim blauen Graphen und wo beim roten? Wie weit ist das „Muster“ verschoben? - Wenn der Graph an der \(x\)-Achse gespiegelt aussieht, muss \(a\) negativ sein. - Setze einen bekannten \(x\)-Wert in deine Formel ein, um \(a\) zu prüfen.

1. Untersuche die Lage der Nullstellen. Die Funktion \(f\) hat eine einfache Nullstelle bei \(x = 0\) und eine doppelte Nullstelle bei \(x = 2\). Der rote Graph \(g\) hat eine einfache Nullstelle bei \(x = -1\) und eine doppelte bei \(x = 1\). 2. Der gesamte Graph wurde also um \(1\) Einheit nach links verschoben. Das entspricht einer Ersetzung von \(x\) durch \(x + 1\), woraus \(c = 1\) folgt. 3. Um den Streckfaktor \(a\) zu finden, vergleiche die \(y\)-Werte. Bei \(f\) liegt zwischen den Nullstellen (bei \(x = 1\)) der Wert \(f(1) = 1 \cdot (1-2)^2 = 1\). 4. Der entsprechende Punkt auf dem roten Graphen liegt bei \(x = 0\) (da er um \(1\) nach links verschoben wurde). Dort ist der Wert \(g(0) = -1\). 5. Da \(g(0) = a \cdot f(0 + 1) = a \cdot f(1) = a \cdot 1 = -1\), ergibt sich \(a = -1\). Der Graph wurde also an der \(x\)-Achse gespiegelt.

Die Parameter sind \(a = -1\) und \(c = 1\).

- Vergleiche die Lage des lokalen Maximums auf der \(y\)-Achse mit dem entsprechenden Extrempunkt auf dem roten Graphen. - Achte darauf, ob der Graph an der \(x\)-Achse gespiegelt wurde. - Prüfe, ob die \(y\)-Werte gestreckt oder gestaucht wurden, indem du die Abstände der Extrempunkte zur Mittellinie vergleichst. - Wie verändert sich der Term, wenn ein Graph an der \(x\)-Achse gespiegelt wird?

1. Analyse von \(G_f\): Die Funktion ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse mit einem lokalen Maximum bei \((0\mid4)\). Die Nullstellen liegen bei \(\pm 1\) und \(\pm 2\). 2. Analyse von \(G_g\): Der Graph \(G_g\) besitzt bei \((1\mid-2)\) einen lokalen Tiefpunkt. Die Nullstellen liegen bei \(-1\), \(0\), \(2\) und \(3\). 3. Bestimmung der Transformationen: - Verschiebung: Das ursprüngliche Maximum bei \(x = 0\) wurde auf \(x = 1\) verschoben (Verschiebung um \(1\) nach rechts). - Spiegelung und Stauchung: Der Funktionswert am entsprechenden Extrempunkt änderte sich von \(4\) zu \(-2\). Dies entspricht einer Spiegelung an der \(x\)-Achse kombiniert mit einer Stauchung um den Faktor \(0{,}5\) in \(y\)-Richtung (\(4 \cdot (-0{,}5) = -2\)). 4. Aufstellen des Terms: Die Transformation lautet \(g(x) = -0{,}5f(x-1)\). Eingesetzt ergibt dies \(g(x) = -0{,}5((x-1)^4 - 5(x-1)^2 + 4)\).

\(g(x) = -0{,}5((x-1)^4 - 5(x-1)^2 + 4)\)

- Was passiert mit den \(x\)-Werten, wenn im Inneren der Funktion mit \(0{,}5\) multipliziert wird? Werden sie auf der Achse gestreckt oder gestaucht? - Ein Minuszeichen vor dem gesamten Funktionsterm klappt den Graphen um eine Achse. Welche ist das? - Gehe punktweise vor: Nimm dir die markanten Punkte (Anfang, Ende, Knicke) des Graphen von \(h\) und berechne ihre neuen Koordinaten. - Überprüfe am Ende, ob der neue Definitionsbereich zu den berechneten Eckpunkten passt.

1. Bestimmung des Definitionsbereichs von \(k\): Für das Argument von \(h\) muss gelten: \(-1 \le 0{,}5x \le 4\). Durch Multiplikation mit \(2\) erhält man \(-2 \le x \le 8\). Der Definitionsbereich ist somit \(D_k = [-2; 8]\). 2. Analyse der Transformationen: - Der Faktor \(0{,}5\) im Argument bewirkt eine Streckung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(2\). - Das Minuszeichen vor der Funktion bewirkt eine Spiegelung an der \(x\)-Achse. - Die Konstante \(+ 2\) bewirkt eine Verschiebung um \(2\) Einheiten in positive \(y\)-Richtung. 3. Berechnung der Bildpunkte der markanten Stellen von \(h\): - Punkt \((-1 \mid 1)\) von \(h\): \(0{,}5x = -1 \implies x = -2\). Neuer \(y\)-Wert: \(-1 + 2 = 1\). Punkt auf \(k\): \((-2 \mid 1)\). - Punkt \((1 \mid -1)\) von \(h\): \(0{,}5x = 1 \implies x = 2\). Neuer \(y\)-Wert: \(-(-1) + 2 = 3\). Punkt auf \(k\): \((2 \mid 3)\). - Punkt \((4 \mid 2)\) von \(h\): \(0{,}5x = 4 \implies x = 8\). Neuer \(y\)-Wert: \(-2 + 2 = 0\). Punkt auf \(k\): \((8 \mid 0)\). 4. Der Graph von \(k\) verbindet die Punkte \((-2 \mid 1)\), \((2 \mid 3)\) und \((8 \mid 0)\).

a) Der Graph von \(k\) verbindet geradlinig die Punkte \((-2 \mid 1)\), \((2 \mid 3)\) und \((8 \mid 0)\). b) Der Definitionsbereich ist \(D_k = [-2; 8]\). Die Transformationen sind eine Streckung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(2\), eine Spiegelung an der \(x\)-Achse und eine Verschiebung um \(2\) Einheiten nach oben.