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- Wie verändert sich eine Funktionsgleichung, wenn man den Graphen entlang der Achsen verschiebt? - Achtung beim Verschieben in \(x\)-Richtung: Muss man addieren oder subtrahieren, um nach rechts zu rücken? - In welcher Reihenfolge werden die Transformationen angewendet und wie wirkt sich das auf die Klammersetzung aus?

1. Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor 3: \(y = 3x^2\). 2. Verschiebung um 1 nach oben (\(y\)-Richtung): \(y = 3x^2 + 1\). 3. Verschiebung um 2 nach rechts (\(x\)-Richtung): \(x\) durch \((x-2)\) ersetzen: \(y = 3(x-2)^2 + 1\).

b) \(y = 3(x-2)^2 + 1\)

- Wie verändert sich der Funktionsterm, wenn ein Graph entlang der \(x\)-Achse verschoben wird? - Wie wird eine Streckung in \(y\)-Richtung im Funktionsterm dargestellt? - Welches Potenzgesetz hilft dir dabei, eine Summe im Exponenten in ein Produkt umzuwandeln? - Was musst du zeigen, damit zwei Funktionen als identisch gelten?

1. Aufstellen der Funktionsgleichung für die Verschiebung nach links: \(g(x) = f(x + 2) = 3^{x+2}\) 2. Aufstellen der Funktionsgleichung für die Streckung in \(y\)-Richtung: \(h(x) = 9 \cdot f(x) = 9 \cdot 3^x\) 3. Anwendung der Potenzgesetze auf \(g(x)\): \(3^{x+2} = 3^x \cdot 3^2\) 4. Berechnung der Potenz: \(3^2 = 9\), woraus \(g(x) = 9 \cdot 3^x\) folgt. 5. Vergleich der Ergebnisse: Da \(g(x) = 9 \cdot 3^x\) und \(h(x) = 9 \cdot 3^x\) gilt, sind die Funktionen identisch.

Durch die Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links ergibt sich \(g(x) = 3^{x+2}\). Mithilfe des Potenzgesetzes \(a^{m+n} = a^m \cdot a^n\) lässt sich dies zu \(g(x) = 3^2 \cdot 3^x = 9 \cdot 3^x\) umformen. Da die Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(9\) ebenfalls die Funktionsgleichung \(h(x) = 9 \cdot 3^x\) liefert, sind beide Graphen identisch.

- Wie wirkt sich eine Verschiebung entlang der \(x\)-Achse auf das Argument in der Klammer aus? - Welcher Teil des Funktionsterms \(a \cdot \cos(b(x-c)) + d\) bestimmt die Amplitude und welcher die Periode? - Erinnere dich an die Periodizität der Kosinusfunktion. Wann nimmt die Funktion dieselben Werte wieder an?

1. Aufstellen des Funktionsterms: Eine Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(2\) entspricht der Multiplikation des Funktionsterms mit \(2\). Eine Verschiebung um \(\pi\) nach rechts entspricht der Ersetzung von \(x\) durch \((x - \pi)\). Daraus folgt \(g(x) = 2 \cdot \cos(x - \pi)\). 2. Bestimmung von Amplitude und Periode: Die Amplitude entspricht dem Betrag des Streckungsfaktors in \(y\)-Richtung, also \(A = 2\). Da in \(x\)-Richtung keine Streckung vorliegt (Faktor \(1\)), bleibt die Periodenlänge der Kosinusfunktion erhalten: \(T = 2\pi\). 3. Bestimmung der Parameter \(d\): Aus dem Term in Teilaufgabe a) ergibt sich unmittelbar \(d_1 = -\pi\). Aufgrund der Periodizität der Kosinusfunktion mit \(2\pi\) gilt \(\cos(x - \pi) = \cos(x - \pi + 2\pi) = \cos(x + \pi)\). Somit ist ein möglicher positiver Wert \(d_2 = \pi\).

a) \(g(x) = 2 \cdot \cos(x - \pi)\) b) Amplitude: \(2\); Periodenlänge: \(2\pi\) c) Mögliche Werte sind \(d = \pi\) und \(d = -\pi\).

- Überlege dir, wie sich die Funktionswerte ändern, wenn ein Punkt an der waagerechten Achse gespiegelt wird. - Was passiert mit dem Argument der Funktion, wenn der Graph an der senkrechten Achse gespiegelt wird? - Achte beim Einsetzen von \(-x\) darauf, Klammern zu setzen, besonders bei Potenzen. - Kannst du die Terme nach der Spiegelung noch weiter vereinfachen?

1. Spiegelung an der \(x\)-Achse durch Anwendung von \(g(x) = -f(x)\): Für a) ergibt sich \(g(x) = -(x^2 - 4x) = -x^2 + 4x\). Für b) ergibt sich \(g(x) = -(\sqrt{x} + 1) = -\sqrt{x} - 1\). 2. Spiegelung an der \(y\)-Achse durch Anwendung von \(h(x) = f(-x)\): Für a) ergibt sich \(h(x) = (-x)^2 - 4(-x) = x^2 + 4x\). Für b) ergibt sich \(h(x) = \sqrt{-x} + 1\).

a) \(g(x) = -x^2 + 4x\); \(h(x) = x^2 + 4x\) b) \(g(x) = -\sqrt{x} - 1\); \(h(x) = \sqrt{-x} + 1\)

- Welche Auswirkung hat ein negatives Vorzeichen vor dem gesamten Funktionsterm auf den Graphen? - Erinnere dich an die allgemeine Form \(a \cdot q(x-c) + d\). Wofür stehen die einzelnen Parameter? - Wird der Graph bei einem Faktor zwischen 0 und 1 eher flacher oder steiler? - In welche Richtung verschiebt sich der Graph, wenn im Exponenten \(x+2\) steht?

1. Verschiebung des Graphen der Grundfunktion \(q(x) = 2^x\) um 2 Einheiten nach links (in negative \(x\)-Richtung) durch die Ersetzung von \(x\) durch \(x+2\). 2. Stauchung des Graphen in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\). 3. Spiegelung des Graphen an der \(x\)-Achse aufgrund des negativen Vorzeichens vor dem Funktionswert. 4. Verschiebung des Graphen um 3 Einheiten nach unten (in negative \(y\)-Richtung).

Der Graph von \(h\) entsteht aus dem Graphen von \(q(x) = 2^x\) durch Verschiebung um 2 Einheiten nach links, Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\), Spiegelung an der \(x\)-Achse und anschließende Verschiebung um 3 Einheiten nach unten.

- Überlege dir, auf welchen Teil des Funktionsterms sich die zweite Transformation jeweils bezieht: nur auf den ursprünglichen Teil oder auf den bereits veränderten Term? - Was passiert mathematisch mit einem Term, wenn man ihn als Ganzes streckt? - Setze zur Kontrolle einen beliebigen Wert für \(x\) (außer \(0\)) in beide Endergebnisse ein.

1. Bestimmung von \(g(x)\) für Reihenfolge A: Die Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) führt zu \(0{,}5 \cdot f(x)\). Die anschließende Verschiebung um \(2\) nach oben ergibt \(g(x) = 0{,}5 \cdot \frac{1}{x} + 2 = \frac{0{,}5}{x} + 2\). 2. Bestimmung von \(h(x)\) für Reihenfolge B: Die Verschiebung um \(2\) nach oben führt zu \(f(x) + 2\). Die anschließende Streckung des gesamten Terms in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) ergibt \(h(x) = 0{,}5 \cdot \left(\frac{1}{x} + 2\right) = \frac{0{,}5}{x} + 1\). 3. Vergleich der Terme: Ein Vergleich zeigt, dass \(g(x) = \frac{0{,}5}{x} + 2\) und \(h(x) = \frac{0{,}5}{x} + 1\) für alle \(x \neq 0\) verschieden sind, da sich die konstanten Glieder (\(2\) gegenüber \(1\)) unterscheiden. Die Graphen sind somit nicht identisch.

\(g(x) = \frac{0{,}5}{x} + 2\) und \(h(x) = \frac{0{,}5}{x} + 1\). Da \(g(x) \neq h(x)\) (der konstante Anteil unterscheidet sich), sind die Graphen nicht identisch.

- Wie verändert sich der Funktionsterm \(f(x)\), wenn man den Graphen an der \(x\)-Achse spiegelt? - Was passiert mit dem Argument \(x\), wenn man an der \(y\)-Achse spiegelt? - Führe beide Operationen nacheinander in beiden möglichen Reihenfolgen durch und schaue dir das Endergebnis an. - Erinnerst du dich an eine Symmetrieeigenschaft von Funktionen, die sowohl ein Minus vor der Funktion als auch ein Minus im Argument verwendet?

1. Definition der Operationen: Eine Spiegelung an der \(x\)-Achse entspricht der Abbildung \(f(x) \mapsto -f(x)\). Eine Spiegelung an der \(y\)-Achse entspricht der Abbildung \(f(x) \mapsto f(-x)\). 2. Untersuchung Reihenfolge A (erst \(x\)-Achse, dann \(y\)-Achse): \(f(x) \xrightarrow{\text{Sp. an } x} -f(x) \xrightarrow{\text{Sp. an } y} -f(-x)\). 3. Untersuchung Reihenfolge B (erst \(y\)-Achse, dann \(x\)-Achse): \(f(x) \xrightarrow{\text{Sp. an } y} f(-x) \xrightarrow{\text{Sp. an } x} -f(-x)\). 4. Vergleich: Da beide Abfolgen zum identischen Funktionsterm \(-f(-x)\) führen, ist die Reihenfolge vertauschbar. 5. Identifikation der Symmetrieoperation: Die gleichzeitige Negation des Inputs (\(x \to -x\)) und des Outputs (\(y \to -y\)) entspricht einer Punktspiegelung am Koordinatenursprung \(O(0|0)\).

1. In beiden Fällen ergibt sich der Funktionsterm \(-f(-x)\). Da die Multiplikation mit \(-1\) (Spiegelung an der \(x\)-Achse) und das Ersetzen von \(x\) durch \(-x\) (Spiegelung an der \(y\)-Achse) voneinander unabhängige Bestandteile des Terms betreffen (außen vs. innen), ist die Reihenfolge egal. 2. Die Kombination beider Spiegelungen entspricht einer Punktspiegelung am Ursprung \(O(0|0)\).

- Überlege dir genau, auf welchen Teil des Funktionsterms sich die zweite Transformation jeweils bezieht. - Wird bei einer Streckung nach einer Verschiebung nur der ursprüngliche Teil oder der bereits verschobene Term gestreckt? - Setze die Transformationen Schritt für Schritt in Klammern um. - Was bedeutet ein „vertikaler Abstand“ für die Differenz der Funktionswerte?

1. Anwendung der Transformationen für \(g(x)\): Zuerst Streckung mit Faktor \(3\), dann Verschiebung um \(+2\). Es ergibt sich \(g(x) = 3 \cdot f(x) + 2 = 3 \cdot (x^2 - 1) + 2 = 3x^2 - 3 + 2 = 3x^2 - 1\). 2. Anwendung der Transformationen für \(h(x)\): Zuerst Verschiebung um \(+2\), dann Streckung des gesamten Ergebnisses mit Faktor \(3\). Es ergibt sich \(h(x) = 3 \cdot (f(x) + 2) = 3 \cdot (x^2 - 1 + 2) = 3 \cdot (x^2 + 1) = 3x^2 + 3\). 3. Berechnung des Abstands: \(d = |(3x^2 + 3) - (3x^2 - 1)| = |3x^2 + 3 - 3x^2 + 1| = 4\).

\(g(x) = 3x^2 - 1\); \(h(x) = 3x^2 + 3\); der Abstand beträgt \(4\).

- Wie verändert sich eine Funktionsgleichung, wenn man den Graphen entlang der \(y\)-Achse staucht oder streckt? - Wie muss man \(x\) im Funktionsterm ersetzen, um eine Verschiebung nach rechts zu bewirken? - Untersuche die Symmetrie der Ausgangsfunktion \(k(x)\). - Welche der beiden Transformationen (Streckung oder Verschiebung) hat einen Einfluss auf die Position einer vertikalen Symmetrieachse?

1. Die Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) führt zu \(k_1(x) = 0{,}5 \cdot \frac{4}{x^2 + 2} = \frac{2}{x^2 + 2}\). Die Verschiebung um \(5\) Einheiten nach rechts erfolgt durch die Ersetzung von \(x\) durch \((x - 5)\). Damit ergibt sich der Funktionsterm \(m(x) = \frac{2}{(x - 5)^2 + 2}\). 2. Der Graph \(G_k\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse (\(x = 0\)), da \(k(-x) = k(x)\) gilt. Eine Stauchung in \(y\)-Richtung ändert die Symmetrieachse nicht. Durch die Verschiebung um \(5\) Einheiten nach rechts verschiebt sich auch die Symmetrieachse um \(5\) Einheiten in positive \(x\)-Richtung. Die neue Symmetrieachse hat daher die Gleichung \(x = 5\).

1. \(m(x) = \frac{2}{(x - 5)^2 + 2}\) 2. Die Symmetrieachse ist \(x = 5\). Begründung: \(G_k\) ist symmetrisch zu \(x = 0\). Die Stauchung lässt die Achse invariant, die Verschiebung um \(5\) nach rechts führt zur neuen Achse \(x = 5\).

- Überlege dir, welcher Teil des Funktionsterms eine Verschiebung entlang der Achsen bewirkt. - Wie verändert sich ein Punkt \((x|y)\), wenn man das Argument \(x\) durch \((x-c)\) ersetzt? - Welchen Einfluss hat ein Summand am Ende des Funktionsterms auf die \(y\)-Koordinate? - Beeinflussen Streckfaktoren die Position eines Punktes, der vor der Streckung im Ursprung lag?

1. Für \(g(x) = (x + 4)^3 - 2\): Der Graph ist um \(4\) Einheiten nach links und um \(2\) Einheiten nach unten verschoben. Der neue Terrassenpunkt liegt bei \(T_g(-4|-2)\). 2. Für \(h(x) = 3(x - 5)^3 + 6\): Der Graph ist um \(5\) Einheiten nach rechts und um \(6\) Einheiten nach oben verschoben. Die vertikale Streckung mit dem Faktor \(3\) ändert die Lage des Punktes relativ zur Verschiebung nicht. Der neue Terrassenpunkt liegt bei \(T_h(5|6)\). 3. Für \(k(x) = -x^3 + 4\): Der Graph ist an der \(x\)-Achse gespiegelt und um \(4\) Einheiten nach oben verschoben. Eine Verschiebung in \(x\)-Richtung liegt nicht vor. Der neue Terrassenpunkt liegt bei \(T_k(0|4)\).

a) \(T_g(-4|-2)\) (Verschiebung um \(4\) nach links, \(2\) nach unten) b) \(T_h(5|6)\) (Verschiebung um \(5\) nach rechts, \(6\) nach oben) c) \(T_k(0|4)\) (Spiegelung an der \(x\)-Achse, Verschiebung um \(4\) nach oben)

- Welcher Parameter in der allgemeinen Form \(a \cdot \cos(x - c) + d\) ist für die Streckung verantwortlich? - Wie verändert sich das Argument der Funktion bei einer horizontalen Verschiebung? - Was bedeutet eine Verschiebung in negative \(y\)-Richtung für das Vorzeichen der Konstante am Ende des Terms? - Überlege, wie die Amplitude definiert ist – sie beschreibt den maximalen Ausschlag aus der Ruhelage.

1. Eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(a\) wird durch Multiplikation des Funktionsterms mit \(a\) erreicht. Mit \(a = 3{,}5\) ergibt sich \(3{,}5 \cdot \cos(x)\). 2. Eine Verschiebung um \(c\) in positive \(x\)-Richtung (nach rechts) wird durch Ersetzen von \(x\) durch \((x - c)\) im Argument der Funktion umgesetzt. Mit \(c = \frac{\pi}{4}\) folgt \(3{,}5 \cdot \cos(x - \frac{\pi}{4})\). 3. Eine Verschiebung um \(d\) in \(y\)-Richtung erfolgt durch Addition von \(d\) zum gesamten Term. Mit \(d = -2\) ergibt sich der finale Funktionsterm \(h(x) = 3{,}5 \cdot \cos(x - \frac{\pi}{4}) - 2\). 4. Die Amplitude entspricht dem Betrag des Streckfaktors in \(y\)-Richtung: \(|3{,}5| = 3{,}5\).

Funktionsterm: \(h(x) = 3{,}5 \cdot \cos(x - \frac{\pi}{4}) - 2\) Amplitude: \(3{,}5\)

- Überlege dir, ob die Transformation die Position des Graphen horizontal oder vertikal verändert. - Beeinflusst die Änderung den Eingabewert \(x\) oder den Ausgabewert \(f(x)\)? - Was passiert mit der Orientierung des Graphen, wenn die Funktion mit einer negativen Zahl multipliziert wird? - Stelle dir vor, wie sich ein einzelner Punkt auf dem Graphen durch die jeweilige Rechenoperation bewegt.

1. Für \(g(x) = f(x) - 8\) wird der Graph um 8 Einheiten nach unten verschoben. Der \(x\)-Wert bleibt gleich, der \(y\)-Wert verringert sich: \(6 - 8 = -2\). Da nur eine vertikale Verschiebung vorliegt, bleibt die Art des Extrempunktes erhalten. Ergebnis: Hochpunkt bei \((2 | -2)\). 2. Für \(h(x) = f(x + 3)\) wird der Graph um 3 Einheiten nach links verschoben. Der \(y\)-Wert bleibt gleich, der \(x\)-Wert verringert sich: \(2 - 3 = -1\). Die Art des Extrempunktes ändert sich nicht. Ergebnis: Hochpunkt bei \((-1 | 6)\). 3. Für \(k(x) = -2 \cdot f(x)\) wird der Graph an der \(x\)-Achse gespiegelt und mit dem Faktor 2 in \(y\)-Richtung gestreckt. Der \(x\)-Wert bleibt gleich, der \(y\)-Wert wird zu \(6 \cdot (-2) = -12\). Durch die Spiegelung an der \(x\)-Achse wird aus dem Hochpunkt ein Tiefpunkt. Ergebnis: Tiefpunkt bei \((2 | -12)\).

a) Hochpunkt bei \((2 | -2)\) b) Hochpunkt bei \((-1 | 6)\) c) Tiefpunkt bei \((2 | -12)\)

- Was passiert mit dem Funktionsterm, wenn man einen Graphen an einer Achse spiegelt? - Welche Auswirkungen hat eine Verschiebung in \(y\)-Richtung auf die Formel? - Überlege, welche Werte man in einen Logarithmus einsetzen darf. - Wo „verschwindet“ der Graph einer Logarithmusfunktion im Unendlichen?

1. Spiegelung an der \(y\)-Achse: Ersetzen von \(x\) durch \(-x\) führt zu \(y = \log_2(-x)\). 2. Verschiebung um \(3\) Einheiten nach oben: Addition von \(3\) zum Funktionsterm ergibt \(g(x) = \log_2(-x) + 3\). 3. Definitionsbereich: Das Argument des Logarithmus muss positiv sein, also \(-x > 0 \Rightarrow x < 0\). Somit ist \(D_g = \mathbb{R}^- = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 0\}\). 4. Vertikale Asymptote: Die Nullstelle des Arguments \(-x = 0\) liegt bei \(x = 0\). Da sich die Funktionswerte für \(x \to 0^-\) dem Wert \(-\infty\) annähern, ist die vertikale Asymptote die \(y\)-Achse mit der Gleichung \(x = 0\).

a) \(g(x) = \log_2(-x) + 3\) b) \(D_g = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 0\}\); vertikale Asymptote: \(x = 0\)

- Überlege dir, welche Änderung im Funktionsterm welche geometrische Auswirkung (Verschiebung, Streckung oder Spiegelung) hat. - Achte auf den Unterschied zwischen Transformationen, die direkt am \(x\) ansetzen, und solchen, die den gesamten Funktionsterm betreffen. - In welcher Reihenfolge führen die Operationen von der Grundfunktion \(g(x)\) zur Zielfunktion \(f(x)\)? - Betrachte das Vorzeichen und den Betrag des Faktors im Zähler getrennt.

1. Verschiebung in \(x\)-Richtung: Die Ersetzung von \(x\) durch \(x+1\) im Nenner entspricht einer Verschiebung des Graphen um 1 Einheit nach links. 2. Spiegelung und Streckung in \(y\)-Richtung: Die Multiplikation des Funktionsterms mit \(-2{,}5\) bewirkt eine Spiegelung an der \(x\)-Achse sowie eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2{,}5\). 3. Verschiebung in \(y\)-Richtung: Die Addition von 3 am Ende des Terms verschiebt den gesamten Graphen um 3 Einheiten nach oben.

Der Graph von \(f\) geht aus dem Graphen von \(g\) durch folgende Transformationen hervor: - Verschiebung um 1 Einheit nach links - Spiegelung an der \(x\)-Achse - Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2{,}5\) - Verschiebung um 3 Einheiten nach oben

- Überlege, wie sich der Preis für eine einzelne Einheit verändert, wenn der Staat einen Teil davon übernimmt. - Was passiert mit einem Funktionswert \(f(x)\), wenn man eine feste Zahl davon abzieht? - Welche Bedeutung hat der \(y\)-Achsenabschnitt bei einer Angebotsfunktion in der Wirtschaft? - Erinnere dich an die allgemeine Form der vertikalen Verschiebung \(g(x) = f(x) + c\).

1. Aufstellen der neuen Funktionsgleichung: Da die Subvention den geforderten Preis pro Einheit um einen festen Betrag reduziert, wird dieser von der ursprünglichen Funktion subtrahiert: \(p_{sub}(x) = p_A(x) - 5 = 1{,}5x + 20 - 5 = 1{,}5x + 15\). 2. Erläuterung der Transformation: Da für jeden beliebigen Wert von \(x\) der zugehörige Funktionswert um die Konstante \(5\) verringert wird (\(f(x) - c\)), verschieben sich alle Punkte des Graphen vertikal nach unten. Dies entspricht einer Verschiebung in negative \(y\)-Richtung. 3. Berechnung des Schnittpunkts mit der Preisachse: Setze \(x = 0\) in die neue Funktion ein: \(p_{sub}(0) = 15\). Der Schnittpunkt liegt bei \((0 | 15)\). 4. Interpretation: Der Wert \(15\,\text{€}\) stellt den minimalen Preis dar, zu dem ein Anbieter bereit ist, das Gut bei Erhalt der Subvention auf den Markt zu bringen (Mindestangebotspreis).

a) \(p_{sub}(x) = 1{,}5x + 15\) b) Die Subvention verringert jeden Funktionswert \(p_A(x)\) um den konstanten Betrag \(5\). Mathematisch entspricht die Operation \(f(x) - c\) einer Verschiebung des Graphen entlang der \(y\)-Achse nach unten. c) Der Schnittpunkt liegt bei \((0 | 15)\). Dies ist der neue Mindestpreis, den ein Produzent verlangen muss, um die Produktion überhaupt aufzunehmen.

- Wie wirkt sich eine Stauchung in \(y\)-Richtung mathematisch auf den gesamten Funktionsterm aus? - Was passiert mit dem Term, wenn der Graph entlang der \(y\)-Achse verschoben wird? - Welche Teile des Funktionsterms bestimmen die Lage der waagerechten und senkrechten Asymptoten? - Überlege, ob eine Stauchung oder Verschiebung in \(y\)-Richtung die Position einer senkrechten Geraden verändern kann.

1. Anwendung der Stauchung mit Faktor \(k = 0{,}5\) auf \(f(x)\): \(h(x) = 0{,}5 \cdot f(x) = 0{,}5 \cdot \left( \frac{6}{x-4} + 2 \right) = \frac{3}{x-4} + 1\). 2. Anwendung der vertikalen Verschiebung um \(d = 3\): \(g(x) = h(x) + 3 = \frac{3}{x-4} + 1 + 3 = \frac{3}{x-4} + 4\). Dies entspricht der Zielvorgabe. 3. Bestimmung der Asymptoten von \(f\): Vertikale Asymptote bei \(x = 4\) (Nullstelle des Nenners), horizontale Asymptote bei \(y = 2\) (Grenzwert für \(x \to \pm \infty\)). 4. Bestimmung der Asymptoten von \(g\): Vertikale Asymptote bei \(x = 4\), horizontale Asymptote bei \(y = 4\). 5. Beschreibung der Transformation der Asymptoten: Die vertikale Asymptote bleibt unverändert, da keine Transformation in \(x\)-Richtung stattfindet. Die horizontale Asymptote \(y = 2\) wird mit dem Faktor \(0{,}5\) gestaucht (\(2 \cdot 0{,}5 = 1\)) und anschließend um \(3\) nach oben verschoben (\(1 + 3 = 4\)), woraus \(y = 4\) resultiert.

Die rechnerische Herleitung ergibt \(0{,}5 \cdot f(x) + 3 = \frac{3}{x-4} + 4 = g(x)\). Asymptoten von \(f\): \(x = 4\) und \(y = 2\). Asymptoten von \(g\): \(x = 4\) und \(y = 4\). Die vertikale Asymptote bleibt gleich (\(x = 4\)). Die horizontale Asymptote von \(g\) ergibt sich durch \(y_g = 0{,}5 \cdot y_f + 3 = 0{,}5 \cdot 2 + 3 = 4\).

- Schreibe zuerst den Funktionsterm für die verschobene Funktion auf. - Überlege, wie du den Exponenten aufteilen kannst, um den Teil \(\left(\frac{1}{4}\right)^x\) zu isolieren. - Erinnere dich daran, was ein negativer Exponent und ein rationaler Exponent (wie \(0{,}5\) oder \(1{,}5\)) für die Basis bedeuten. - Kannst du die Basis \(\frac{1}{4}\) als Potenz zur Basis \(2\) oder \(4\) umschreiben?

1. Bestimmung des Funktionsterms nach der Verschiebung um \(1{,}5\) nach rechts: \(f_1(x) = f(x - 1{,}5) = \left(\frac{1}{4}\right)^{x-1{,}5}\) 2. Anwendung der Potenzgesetze zur Isolation des Faktors: \(\left(\frac{1}{4}\right)^{x-1{,}5} = \left(\frac{1}{4}\right)^x \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{-1{,}5}\) 3. Berechnung des konstanten Faktors: \(\left(\frac{1}{4}\right)^{-1{,}5} = 4^{1{,}5} = 4^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8\) 4. Identifikation des Streckungsfaktors \(k\): Da \(f_1(x) = 8 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^x\), muss der Faktor \(k = 8\) sein.

\(k = 8\)

- Nutze die quadratische Ergänzung, um die Scheitelpunktform zu erhalten. - Überlege, wie die Parameter in der Scheitelpunktform \(a(x - x_S)^2 + y_S\) mit der allgemeinen Form \(a \cdot f(b(x + c)) + d\) zusammenhängen. - Achte beim Beschreiben der Transformationen besonders auf das Vorzeichen von \(a\) (Spiegelung).

1. Umformung durch quadratische Ergänzung: \(g(x) = -0{,}5(x^2 - 4x) + 1\) \(g(x) = -0{,}5((x - 2)^2 - 4) + 1\) \(g(x) = -0{,}5(x - 2)^2 + 2 + 1\) \(g(x) = -0{,}5(x - 2)^2 + 3\) 2. Vergleich mit der Form \(a \cdot f(b(x + c)) + d\): Da \(f(x) = x^2\), ist \(g(x) = -0{,}5 \cdot f(1(x - 2)) + 3\). Hierbei ist \(a = -0{,}5\), \(b = 1\), \(c = -2\) und \(d = 3\). 3. Beschreibung der Transformationen: - Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts (wegen \(c = -2\)). - Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) und Spiegelung an der \(x\)-Achse (wegen \(a = -0{,}5\)). - Verschiebung um \(3\) Einheiten nach oben (wegen \(d = 3\)).

Darstellung: \(g(x) = -0{,}5 \cdot f(x - 2) + 3\) Transformationen: Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts, Spiegelung an der \(x\)-Achse bei gleichzeitiger Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\), Verschiebung um \(3\) Einheiten nach oben.

- Was passiert mit den Funktionswerten, wenn man ein Minuszeichen vor den gesamten Funktionsterm setzt? - Wie verändert sich der Term, wenn man jedes \(x\) durch \((-x)\) ersetzt? Achte dabei besonders auf die Potenzen. - Erinnere dich an die Symmetrieeigenschaften von Graphen im Koordinatensystem. - Überlege, was passiert, wenn man einen Punkt erst an der einen und dann an der anderen Achse spiegelt.

1. Berechnung von \(g(x)\): Durch Einsetzen von \(f(x)\) in \(g(x) = -f(x)\) ergibt sich \(g(x) = -(x^3 - 2x^2) = -x^3 + 2x^2\). 2. Berechnung von \(h(x)\): Durch Einsetzen von \(-x\) in \(g(x)\) erhält man \(h(x) = -(-x)^3 + 2(-x)^2 = -(-x^3) + 2x^2 = x^3 + 2x^2\). 3. Geometrische Transformationen: Der Übergang von \(f\) zu \(g\) entspricht einer Spiegelung an der \(x\)-Achse. Der Übergang von \(g\) zu \(h\) entspricht einer Spiegelung an der \(y\)-Achse. 4. Direkter Zusammenhang: Die Hintereinanderausführung einer Spiegelung an der \(x\)-Achse und einer Spiegelung an der \(y\)-Achse entspricht einer Punktspiegelung am Koordinatenursprung \((0|0)\). Somit geht der Graph von \(h\) durch Punktspiegelung am Ursprung aus dem Graphen von \(f\) hervor.

a) \(g(x) = -x^3 + 2x^2\) und \(h(x) = x^3 + 2x^2\). b) \(f \to g\): Spiegelung an der \(x\)-Achse; \(g \to h\): Spiegelung an der \(y\)-Achse. Der Graph von \(h\) geht aus dem Graphen von \(f\) durch eine Punktspiegelung am Ursprung hervor.

- Wie wirkt sich eine Spiegelung an der \(x\)-Achse auf das Vorzeichen des gesamten Funktionsterms aus? - Wenn ein Graph entlang der \(x\)-Achse verschoben wird, an welcher Stelle im Funktionsterm musst du die Änderung vornehmen? - Achte darauf, die Transformationen in der angegebenen Reihenfolge durchzuführen. - Überlege dir, wie sich der Scheitelpunkt der Parabel durch die einzelnen Schritte verändert.

1. Spiegelung an der \(x\)-Achse: Der Term \(f(x)\) wird mit \(-1\) multipliziert. Es ergibt sich \(f_1(x) = -(\frac{1}{2}(x-2)^2 - 4) = -\frac{1}{2}(x-2)^2 + 4\). 2. Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links: In \(f_1(x)\) wird \(x\) durch \((x+2)\) ersetzt. Dies führt zu \(g(x) = -\frac{1}{2}(x+2-2)^2 + 4 = -\frac{1}{2}x^2 + 4\). 3. Die resultierende Funktion hat bereits die gewünschte Form \(g(x) = ax^2 + c\) mit \(a = -0{,}5\) und \(c = 4\).

Die Scheitelpunktform nach der Spiegelung und Verschiebung lautet \(g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 4\). Dies entspricht bereits der Form \(g(x) = ax^2 + c\) mit \(a = -\frac{1}{2}\) und \(c = 4\).

- Kannst du den Ausdruck in der Klammer so umformen, dass der Faktor vor dem \(x\) ausgeklammert ist? - Welche Zahl im Funktionsterm bewirkt eine Veränderung der Amplitude oder eine Streckung in \(y\)-Richtung? - Wie unterscheidet sich eine Verschiebung entlang der \(x\)-Achse von einer Verschiebung entlang der \(y\)-Achse im Funktionsterm? - Was passiert mit dem Graphen, wenn man das \(x\) durch \(3x\) ersetzt?

1. Umformung des Funktionsterms durch Ausklammern des Faktors 3 im Argument der Sinusfunktion ergibt \(f(x) = 2 \cdot \sin(3(x - \frac{\pi}{3})) + 1\). 2. Stauchung des Graphen der Sinusfunktion in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{3}\) zur Änderung der Periode. 3. Verschiebung des resultierenden Graphen um \(\frac{\pi}{3}\) Einheiten nach rechts in positive \(x\)-Richtung. 4. Streckung des Graphen in \(y\)-Richtung mit dem Faktor 2 zur Anpassung der Amplitude. 5. Verschiebung des gesamten Graphen um 1 Einheit nach oben in positive \(y\)-Richtung. Alternativ kann die Verschiebung um \(\pi\) vor der Stauchung mit dem Faktor \(\frac{1}{3}\) erfolgen.

Der Graph von \(f\) geht aus dem Graphen von \(g(x) = \sin(x)\) hervor, indem dieser zunächst mit dem Faktor \(\frac{1}{3}\) in \(x\)-Richtung gestaucht und um \(\frac{\pi}{3}\) nach rechts verschoben wird. Anschließend erfolgt eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor 2 sowie eine Verschiebung um 1 Einheit nach oben.

- Vergleiche den Term in der Klammer der Funktion \(h\) mit der allgemeinen Form einer verschobenen Spiegelung. - Was muss für den Mittelpunkt zwischen einem Punkt und seinem Spiegelbild gelten, wenn an einer Achse gespiegelt wird? - Nutze die Formel für den Mittelpunkt zweier Werte auf der Zahlengeraden. - Welchen konstanten Wert müsste dieser Mittelpunkt annehmen, damit die Spiegelung an der Geraden \(x=a\) erfolgt?

1. Vergleich der Funktionsterme: In \(f(x)\) wurde \(x\) durch den Ausdruck \((6-x)\) ersetzt. Gemäß der Form \(x \mapsto 2a - x\) gilt \(2a = 6\), woraus \(a = 3\) folgt. Die Spiegelachse ist also \(x = 3\). 2. Geometrische Begründung: Sei \(x\) ein beliebiger Punkt und \(x' = 2a - x\) sein Bildpunkt. Der Mittelpunkt \(M\) der Strecke zwischen \(x\) und \(x'\) auf der \(x\)-Achse berechnet sich durch das arithmetische Mittel: \(M = \frac{x + x'}{2} = \frac{x + (2a - x)}{2} = \frac{2a}{2} = a\). 3. Da der Mittelpunkt für jedes \(x\) genau auf der Geraden \(x = a\) liegt und der Abstand \(|x - a|\) gleich dem Abstand \(|x' - a|\) ist, handelt es sich um eine Achsenspiegelung an \(x = a\).

Der Wert ist \(a = 3\). Die Begründung erfolgt über den Mittelpunkt der \(x\)-Werte: \(\frac{x + (2a - x)}{2} = a\). Da der Mittelpunkt zwischen jedem Punkt und seinem Bildpunkt stets auf der Geraden \(x = a\) liegt, ist dies die Spiegelachse.

- Denke daran, dass bei einer Verschiebung in \(x\)-Richtung jedes \(x\) im aktuellen Term durch \((x - c)\) ersetzt wird. - Bei einer Spiegelung an der \(y\)-Achse wird jedes \(x\) im aktuellen Term durch \((-x)\) ersetzt. - Achte besonders auf die Klammersetzung, wenn du die zweite Transformation anwendest. - Was sagen die Definitionsbereiche über die Lage der Graphen aus?

1. Berechnung von \(p(x)\) (Spiegelung, dann Verschiebung): Die Spiegelung an der \(y\)-Achse ersetzt \(x\) durch \(-x\), also \(f_1(x) = \sqrt{-x}\). Die anschließende Verschiebung um \(3\) Einheiten nach rechts ersetzt \(x\) durch \((x-3)\). Somit gilt \(p(x) = \sqrt{-(x-3)} = \sqrt{-x+3}\). 2. Berechnung von \(q(x)\) (Verschiebung, dann Spiegelung): Die Verschiebung um \(3\) nach rechts ersetzt \(x\) durch \((x-3)\), also \(f_2(x) = \sqrt{x-3}\). Die anschließende Spiegelung an der \(y\)-Achse ersetzt \(x\) durch \(-x\). Somit gilt \(q(x) = \sqrt{-x-3}\). 3. Vergleich: \(p(x) = \sqrt{3-x}\) hat den Definitionsbereich \(D_p = \{x \in \mathbb{R} | x \le 3\}\), während \(q(x) = \sqrt{-x-3}\) den Definitionsbereich \(D_q = \{x \in \mathbb{R} | x \le -3\}\) besitzt. Da die Definitionsbereiche (und die Terme unter der Wurzel) unterschiedlich sind, gilt \(p(x) \neq q(x)\).

\(p(x) = \sqrt{-x+3}\) (bzw. \(\sqrt{-(x-3)}\)) und \(q(x) = \sqrt{-x-3}\). Die Funktionen sind verschieden, da die Argumente unter der Wurzel (\(-x+3\) vs. \(-x-3\)) für dieselben \(x\)-Werte unterschiedliche Ergebnisse liefern und die Definitionsbereiche nicht übereinstimmen.

- Untersuche den Nenner des Bruchs in \(g(x)\). Erinnert er dich an eine binomische Formel? - Versuche, den Term von \(g(x)\) so umzuformen, dass der Grundterm \(f(x)\) deutlich erkennbar wird. - Welche Parameter in der Form \(a \cdot f(x - c) + d\) bewirken welche Veränderungen am Graphen? - Achte besonders auf das Vorzeichen vor dem Bruch und die Konstante am Ende des Terms.

1. Den Funktionsterm von \(g\) umschreiben: Da \(x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2\), gilt \(g(x) = -4 \cdot \frac{1}{(x-2)^2} + 1\). 2. Vergleich mit der allgemeinen Form \(g(x) = a \cdot f(x - c) + d\): Hier ist \(f(x) = \frac{1}{x^2}\), also \(g(x) = -4 \cdot f(x - 2) + 1\). 3. Identifikation der Transformationen: - Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\). - Spiegelung an der \(x\)-Achse (wegen des negativen Vorzeichens bei \(-4\)). - Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts (in positive \(x\)-Richtung). - Verschiebung um \(1\) Einheit nach oben (in positive \(y\)-Richtung).

Der Graph von \(g\) geht aus dem Graphen von \(f\) durch eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\), eine Spiegelung an der \(x\)-Achse, eine Verschiebung um \(2\) Einheiten in positive \(x\)-Richtung und eine Verschiebung um \(1\) Einheit in positive \(y\)-Richtung hervor.

- Überlege dir, worauf sich die jeweilige Transformation bezieht: auf den ursprünglichen Funktionswert oder auf den bereits transformierten Wert? - Stelle für beide Szenarien Schritt für Schritt den neuen Funktionsterm auf. - Achte beim Strecken nach einer Verschiebung besonders auf die Klammersetzung. - Vergleiche die beiden am Ende entstandenen Terme. Sind sie mathematisch identisch?

1. Aufstellen des Terms für die Reihenfolge „zuerst Strecken, dann Verschieben“: Die Streckung führt zu \(2 \cdot f(x)\), die anschließende Verschiebung ergibt \(g(x) = 2 \cdot f(x) + 4\). 2. Aufstellen des Terms für die Reihenfolge „zuerst Verschieben, dann Strecken“: Die Verschiebung führt zu \(f(x) + 4\). Da nun der gesamte neue Term gestreckt wird, muss dieser mit dem Faktor multipliziert werden: \(h(x) = 2 \cdot (f(x) + 4)\). 3. Vereinfachen des zweiten Terms mithilfe des Distributivgesetzes: \(h(x) = 2 \cdot f(x) + 8\). 4. Vergleich der Ergebnisse: Da \(2 \cdot f(x) + 4 \neq 2 \cdot f(x) + 8\) gilt (für alle Funktionen \(f\)), hat die Reihenfolge einen Einfluss auf den resultierenden Graphen.

Die Reihenfolge hat einen Einfluss. Im Fall „zuerst Strecken, dann Verschieben“ lautet der Term \(g(x) = 2 \cdot f(x) + 4\). Im Fall „zuerst Verschieben, dann Strecken“ lautet der Term \(h(x) = 2 \cdot f(x) + 8\).

- Überlege dir Schritt für Schritt, wie sich der Funktionsterm nach jeder einzelnen Transformation verändert. - Achte besonders darauf, ob eine Streckung auf den gesamten bisherigen Term oder nur auf einen Teil davon wirkt. - Setze Klammern, wenn eine Transformation (wie die Streckung) auf ein bereits verschobenes Zwischenergebnis angewendet wird. - Ein konkreter Zahlenwert hilft dir dabei, Unterschiede zwischen zwei Funktionen schnell zu erkennen.

1. Bestimmung von \(g(x)\): Nach der Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts und 3 nach oben ergibt sich \((x-2)^2 + 3\). Die anschließende Streckung der gesamten Funktion mit Faktor 2 liefert \(g(x) = 2 \cdot ((x-2)^2 + 3) = 2(x-2)^2 + 6\). 2. Bestimmung von \(h(x)\): Nach der Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts und der Streckung mit Faktor 2 ergibt sich \(2(x-2)^2\). Die abschließende Verschiebung um 3 nach oben liefert \(h(x) = 2(x-2)^2 + 3\). 3. Vergleich der Funktionswerte: Für \(x = 4\) gilt \(g(4) = 2(4-2)^2 + 6 = 2 \cdot 4 + 6 = 14\) und \(h(4) = 2(4-2)^2 + 3 = 2 \cdot 4 + 3 = 11\). Da \(14 \neq 11\), ist die Reihenfolge entscheidend.

\(g(x) = 2(x-2)^2 + 6\) und \(h(x) = 2(x-2)^2 + 3\). Die Funktionswerte an der Stelle \(x = 4\) sind \(g(4) = 14\) und \(h(4) = 11\).

- Überlege dir, wie sich eine Verschiebung oder Stauchung mathematisch auf den gesamten Funktionsterm auswirkt. - Achte besonders darauf, ob eine Transformation nur auf das \(x^2\) oder auf den gesamten bereits transformierten Term wirkt. - Schreibe dir die Funktionsgleichung nach jedem einzelnen Schritt der Beschreibung auf. - Macht es einen Unterschied, ob man erst multipliziert und dann addiert/subtrahiert oder umgekehrt?

1. Anwendung von Linas Beschreibung: Zuerst wird die Funktion \(f(x) = x^2\) mit dem Faktor \(0{,}5\) in \(y\)-Richtung gestaucht, was zu \(f_1(x) = 0{,}5 \cdot x^2\) führt. 2. Anschließend erfolgt die Verschiebung um \(3\) Einheiten nach unten: \(g_L(x) = f_1(x) - 3 = 0{,}5x^2 - 3\). Dies entspricht der Funktion \(g(x)\). 3. Anwendung von Felix' Beschreibung: Zuerst wird der Graph um \(3\) Einheiten nach unten verschoben, was zu \(f_2(x) = x^2 - 3\) führt. 4. Die anschließende Stauchung mit Faktor \(0{,}5\) in \(y\)-Richtung muss auf die gesamte bisherige Funktion angewendet werden: \(g_F(x) = 0{,}5 \cdot (x^2 - 3) = 0{,}5x^2 - 1{,}5\). 5. Vergleich der Ergebnisse: Linas Vorgehensweise führt korrekt zu \(g(x)\), während Felix' Vorgehensweise zu einer anderen Funktion führt.

Nur Linas Vorgehensweise führt zur Funktionsgleichung \(g(x) = 0{,}5x^2 - 3\). Felix erhält durch seine Reihenfolge die Funktion \(g_F(x) = 0{,}5x^2 - 1{,}5\), da sich die Stauchung bei ihm auch auf den Wert der Verschiebung auswirkt.

- Überlege dir, wie sich eine Streckung in \(x\)-Richtung formal im Funktionsterm ausdrückt. - Wie verändert eine Verschiebung entlang der \(y\)-Achse den Funktionsterm? - Betrachte die Definitionslücke und den konstanten Summanden, um die Asymptoten zu finden. - Welche Transformation beeinflusst welche Asymptote (waagrecht oder senkrecht)?

1. Streckung in \(x\)-Richtung mit Faktor \(3\): Ersetzen von \(x\) durch \(\frac{x}{3}\) in der Funktionsgleichung von \(f\). 2. Berechnung des Terms: \(f\left(\frac{x}{3}\right) = \frac{2}{\frac{x}{3} + 4} - 3 = \frac{2}{\frac{x + 12}{3}} - 3 = \frac{6}{x + 12} - 3\). 3. Verschiebung in \(y\)-Richtung um \(4\): Addition von \(4\) zum gesamten Funktionsterm. 4. Endergebnis: \(g(x) = \frac{6}{x + 12} - 3 + 4 = \frac{6}{x + 12} + 1\). Dies entspricht der Zielvorgabe. 5. Auswirkungen auf die Asymptoten: Die senkrechte Asymptote von \(f\) bei \(x = -4\) wird durch die Streckung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(3\) auf \(x = -12\) verschoben. Die waagrechte Asymptote von \(f\) bei \(y = -3\) wird durch die Verschiebung in \(y\)-Richtung um \(4\) Einheiten nach oben auf \(y = 1\) verschoben.

Die Transformation erfolgt durch \(g(x) = f\left(\frac{x}{3}\right) + 4\). Die Rechnung ergibt \(\frac{2}{\frac{x}{3} + 4} - 3 + 4 = \frac{6}{x + 12} + 1\). Die senkrechte Asymptote verschiebt sich von \(x = -4\) zu \(x = -12\) (Streckung), die waagrechte von \(y = -3\) zu \(y = 1\) (Verschiebung).

- Achte darauf, dass bei einer Streckung in \(y\)-Richtung der gesamte Funktionsterm (inklusive der Konstanten) multipliziert werden muss. - Erinnere dich daran, ob eine Verschiebung nach links durch Addition oder Subtraktion im Nenner dargestellt wird. - Was passiert mit der waagrechten Asymptote, wenn die gesamte Funktion gestreckt wird? - Was passiert mit der senkrechten Asymptote bei einer horizontalen Verschiebung?

1. Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(4\): Multiplikation des gesamten Funktionsterms \(h(x)\) mit \(4\). 2. Zwischenergebnis: \(4 \cdot \left(\frac{1}{x-2} + 5\right) = \frac{4}{x-2} + 20\). 3. Verschiebung um \(3\) Einheiten nach links: Ersetzen von \(x\) durch \(x + 3\). 4. Resultierende Funktion: \(k(x) = \frac{4}{(x+3)-2} + 20 = \frac{4}{x+1} + 20\). 5. Analyse der Asymptoten: Die ursprüngliche senkrechte Asymptote \(x = 2\) wird durch die Linksverschiebung um \(3\) Einheiten zu \(x = -1\). Die ursprüngliche waagrechte Asymptote \(y = 5\) wird durch die Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\) auf \(y = 20\) transformiert.

Die neue Funktionsgleichung lautet \(k(x) = \frac{4}{x+1} + 20\). Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = -1\) (Verschiebung von \(x = 2\) um \(3\) nach links), die waagrechte Asymptote liegt bei \(y = 20\) (Streckung von \(y = 5\) mit Faktor \(4\)).

- Überlege dir Schritt für Schritt, wie sich der Funktionsterm verändert, wenn eine Operation nach der anderen angewendet wird. - Achte besonders darauf, worauf sich die Streckung bezieht, wenn sie als zweiter Schritt erfolgt. - Was bedeutet es mathematisch für die Differenz zweier Funktionen, wenn der Abstand konstant sein soll? - Wie berechnet man den vertikalen Abstand zwischen zwei Graphen an einer Stelle \(x\)?

1. Aufstellen des Funktionsterms für \(g\): Zuerst erfolgt die Streckung mit Faktor \(3\), also \(3 \cdot f(x)\), dann die Verschiebung um \(2\) nach unten. Es ergibt sich \(g(x) = 3\sqrt{x} - 2\). 2. Aufstellen des Funktionsterms für \(h\): Zuerst erfolgt die Verschiebung um \(2\) nach unten, also \(f(x) - 2\), dann die Streckung des gesamten Ausdrucks mit Faktor \(3\). Es ergibt sich \(h(x) = 3 \cdot (\sqrt{x} - 2) = 3\sqrt{x} - 6\). 3. Berechnung der Differenz der Funktionswerte: \(g(x) - h(x) = (3\sqrt{x} - 2) - (3\sqrt{x} - 6) = 3\sqrt{x} - 2 - 3\sqrt{x} + 6 = 4\). 4. Da die Differenz \(g(x) - h(x) = 4\) unabhängig von \(x\) ist, ist der vertikale Abstand zwischen den Graphen konstant. Der Abstand beträgt \(4\) Einheiten.

Der vertikale Abstand ist konstant \(4\), da \(g(x) = 3\sqrt{x} - 2\) und \(h(x) = 3\sqrt{x} - 6\) gilt und somit die Differenz \(g(x) - h(x) = 4\) für alle \(x\) im Definitionsbereich ergibt.

- Erinnere dich daran, wie sich eine Spiegelung an der \(x\)-Achse auf das Vorzeichen des gesamten Funktionsterms auswirkt. - Verfolge die Wanderung des Scheitelpunkts bei jeder einzelnen Transformation. - Was passiert mit einer Verschiebung, wenn danach der gesamte Graph gespiegelt wird? - Reicht es aus, einen markanten Punkt (wie den Scheitelpunkt) zu vergleichen, um zu zeigen, dass zwei Funktionen unterschiedlich sind?

1. Bestimmung des Scheitelpunkts von \(f\): Da \(f(x) = x^2 - 1\), liegt der Scheitelpunkt bei \(S_f(0|-1)\). 2. Transformation zu \(g\) (Sequenz A): Die Spiegelung an der \(x\)-Achse bildet \(f(x)\) auf \(-f(x) = -(x^2 - 1) = -x^2 + 1\) ab. Die anschließende Verschiebung um \(4\) nach oben ergibt \(g(x) = -x^2 + 1 + 4 = -x^2 + 5\). Der Scheitelpunkt von \(g\) ist \(S_g(0|5)\). 3. Transformation zu \(h\) (Sequenz B): Die Verschiebung um \(4\) nach oben bildet \(f(x)\) auf \(f(x) + 4 = (x^2 - 1) + 4 = x^2 + 3\) ab. Die anschließende Spiegelung an der \(x\)-Achse ergibt \(h(x) = -(x^2 + 3) = -x^2 - 3\). Der Scheitelpunkt von \(h\) ist \(S_h(0|-3)\). 4. Vergleich: Da die Scheitelpunkte \(S_g(0|5)\) und \(S_h(0|-3)\) verschieden sind, sind auch die Funktionen \(g\) und \(h\) unterschiedlich.

Der Scheitelpunkt von \(g\) liegt bei \(S_g(0|5)\), der Scheitelpunkt von \(h\) liegt bei \(S_h(0|-3)\). Da die Scheitelpunkte unterschiedlich sind, gilt \(g \neq h\).

- Welche Asymptoten hat die ursprüngliche Funktion \(f\)? - Vergleiche die Lage der alten Asymptoten mit den neuen Asymptoten von \(g\). - Wie verändert sich ein Funktionsterm, wenn man den Graphen entlang der Achsen verschiebt? - Überlege dir, welchen Wert du für \(x\) einsetzen musst, damit der Nenner bei der neuen Asymptote null wird.

1. Bestimmung der Asymptoten der Ausgangsfunktion \(f\): Die Definitionslücke liegt bei \(x = -3\) (senkrechte Asymptote), der konstante Term ist \(0\), woraus die waagrechte Asymptote \(y = 0\) folgt. 2. Vergleich der Asymptoten zur Ermittlung der Verschiebung: In \(x\)-Richtung verschiebt sich die Asymptote von \(-3\) nach \(1\), was einer Verschiebung um \(+4\) Einheiten (nach rechts) entspricht. In \(y\)-Richtung verschiebt sich die Asymptote von \(0\) nach \(-4\), was einer Verschiebung um \(-4\) Einheiten (nach unten) entspricht. 3. Aufstellen des Funktionsterms \(g(x)\): Durch Einsetzen der Verschiebungen in die Transformationsvorschrift \(g(x) = f(x - d) + e\) ergibt sich \(g(x) = \frac{5}{(x-4)+3} - 4 = \frac{5}{x-1} - 4\).

Verschiebung: \(4\) Einheiten in positive \(x\)-Richtung (nach rechts) und \(4\) Einheiten in negative \(y\)-Richtung (nach unten). Funktionsterm: \(g(x) = \frac{5}{x-1} - 4\)

- Identifiziere zuerst die waagrechte und senkrechte Asymptote von \(f\). - Wie viele Einheiten muss man von der alten zur neuen Position der Asymptoten wandern? - Denke daran, dass eine Verschiebung nach links im Funktionsterm durch ein Pluszeichen im Nenner ausgedrückt wird. - Was passiert mit dem konstanten Glied der Funktion bei einer Verschiebung nach unten?

1. Analyse der Asymptoten von \(f\): Die Polstelle liegt bei \(x = 4\), die waagrechte Asymptote bei \(y = 2\). 2. Bestimmung der Differenzen: Die Verschiebung in \(x\)-Richtung berechnet sich aus der Differenz der Polstellen: \(-2 - 4 = -6\). Die Verschiebung in \(y\)-Richtung ergibt sich aus der Differenz der waagrechten Asymptoten: \(0 - 2 = -2\). 3. Konstruktion von \(g(x)\): Die Transformation lautet \(g(x) = f(x - (-6)) + (-2)\). Einsetzen liefert \(g(x) = \frac{1}{(x+6-4)^2} + 2 - 2\), vereinfacht zu \(g(x) = \frac{1}{(x+2)^2}\).

Verschiebung: \(6\) Einheiten nach links (negative \(x\)-Richtung) und \(2\) Einheiten nach unten (negative \(y\)-Richtung). Funktionsterm: \(g(x) = \frac{1}{(x+2)^2}\)

- Stelle für beide Szenarien einen allgemeinen Funktionsterm auf. - Beachte, dass eine Spiegelung an der \(x\)-Achse mathematisch einer Multiplikation des gesamten aktuellen Terms mit \(-1\) entspricht. - Wann sind zwei Terme für alle \(x\) identisch? - Was passiert, wenn du die beiden resultierenden Ausdrücke gleichsetzt?

1. Aufstellen der Terme für beide Reihenfolgen: Bei Reihenfolge A (Spiegelung, dann Verschiebung) lautet der Term \(g(x) = -f(x) + c\). Bei Reihenfolge B (Verschiebung, dann Spiegelung) wird der gesamte verschobene Term gespiegelt, also \(h(x) = -(f(x) + c) = -f(x) - c\). 2. Gleichsetzen der Terme zur Bestimmung der Unabhängigkeit: \(-f(x) + c = -f(x) - c\). 3. Lösen der Gleichung nach \(c\): Durch Addition von \(f(x)\) auf beiden Seiten erhält man \(c = -c\). Dies führt zu \(2c = 0\) und somit \(c = 0\). 4. Schlussfolgerung: Nur wenn die Verschiebung \(0\) beträgt (also faktisch keine Verschiebung stattfindet), ist die Reihenfolge irrelevant, da die Spiegelung den Wert \(0\) nicht verändert.

Die Reihenfolge ist nur für \(c = 0\) irrelevant. In diesem Fall findet keine Verschiebung statt, und beide Reihenfolgen führen zum identischen Ergebnis \(-f(x)\).

- Welche Auswirkungen haben Faktoren vor dem Funktionsterm oder Ersetzungen von \(x\) durch \((x+c)\) auf den Graphen? - Überlege dir, wie sich eine vertikale Streckung auf die Symmetrieachse auswirkt. - Was passiert mit einer vertikalen Symmetrieachse, wenn der gesamte Graph horizontal verschoben wird? - Vergleiche die Lage der Extrempunkte oder spezieller Werte, um die Verschiebung zu identifizieren.

1. Der Graph \(G_g\) entsteht aus \(G_f\) durch zwei Transformationsschritte: Zuerst wird der Graph \(G_f\) mit dem Faktor \(3\) in \(y\)-Richtung gestreckt, was zur Funktionsgleichung \(f_1(x) = 3 \cdot \frac{6}{x^2 + 3} = \frac{18}{x^2 + 3}\) führt. Anschließend wird dieser Graph um \(2\) Einheiten in negative \(x\)-Richtung (nach links) verschoben, indem \(x\) durch \((x + 2)\) ersetzt wird, woraus sich \(g(x) = \frac{18}{(x + 2)^2 + 3}\) ergibt. 2. Da der ursprüngliche Graph \(G_f\) achsensymmetrisch zur Geraden \(x = 0\) ist, bleibt diese Symmetrieeigenschaft bei einer Streckung in \(y\)-Richtung (entlang der Symmetrieachse) erhalten. Die anschließende Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links überträgt die Symmetrieachse von \(x = 0\) auf die Gerade \(x = 0 - 2 = -2\). Somit ist \(G_g\) achsensymmetrisch zu \(x = -2\).

1. Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(3\) und anschließende Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links. 2. Die Symmetrieachse \(x = 0\) von \(G_f\) wird durch die Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links auf die Gerade \(x = -2\) abgebildet; die Streckung in \(y\)-Richtung verändert die Lage der vertikalen Symmetrieachse nicht.

- Gehe die Transformationen Schritt für Schritt von „innen“ (beim \(x\)) nach „außen“ durch. - Was passiert mit der Öffnungsrichtung einer Parabel oder Potenzfunktion, wenn man den gesamten Term mit einer negativen Zahl multipliziert? - Überlege, wie sich die Koordinaten des Ursprungspunkts \((0|0)\) durch die Additionen und Subtraktionen im Term verändern.

1. Identifikation der Transformationen: Verschiebung um \(3\) Einheiten nach rechts (\(x \to x-3\)), Spiegelung an der \(x\)-Achse (negatives Vorzeichen), vertikale Streckung mit dem Faktor \(2\) und Verschiebung um \(5\) Einheiten nach oben (Summand \(+5\)). 2. Berechnung der Koordinaten: Die Verschiebung um \(3\) Einheiten nach rechts setzt die \(x\)-Koordinate auf \(3\). Die Spiegelung und Streckung lassen die \(y\)-Koordinate zunächst bei \(0\), die anschließende Verschiebung um \(5\) nach oben führt zur \(y\)-Koordinate \(5\). Der Extrempunkt liegt bei \(E(3|5)\). 3. Bestimmung der Art des Extrempunktes: Da der ursprüngliche Graph von \(f(x) = x^4\) nach oben geöffnet ist (Tiefpunkt), bewirkt die Spiegelung an der \(x\)-Achse (Faktor \(-2\)), dass der Graph von \(g\) nach unten geöffnet ist. Somit wird aus dem Tiefpunkt ein Hochpunkt.

1. Verschiebung um \(3\) Einheiten nach rechts, Spiegelung an der \(x\)-Achse, Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(2\), Verschiebung um \(5\) Einheiten nach oben. 2. \(E(3|5)\) 3. Durch die Spiegelung an der \(x\)-Achse (negativer Streckfaktor) kehrt sich die Öffnungsrichtung des Graphen um; aus einem Tiefpunkt wird ein Hochpunkt.

- Vergleiche die gegebene Funktionsgleichung mit der allgemeinen Form \(g(x) = a \cdot \sin(x - c) + d\). - Achte besonders auf das Vorzeichen im Argument der Funktion bei der horizontalen Verschiebung. - Wie hängen die Amplitude und die vertikale Verschiebung mit dem höchsten und tiefsten Punkt des Graphen zusammen? - Was gibt der Wertebereich einer Funktion an?

1. Der Faktor \(1{,}5\) vor dem Sinus bewirkt eine Streckung des Graphen in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(1{,}5\). 2. Der Wert \(+2\) im Argument der Sinusfunktion entspricht einer Verschiebung um \(2\) Einheiten in negative \(x\)-Richtung (nach links). 3. Die Konstante \(-3\) am Ende des Terms bewirkt eine Verschiebung des Graphen um \(3\) Einheiten in negative \(y\)-Richtung (nach unten). 4. Die Amplitude der Funktion ist der Betrag des Vorfaktors: \(|1{,}5| = 1{,}5\). 5. Der Wertebereich ergibt sich aus der vertikalen Verschiebung und der Amplitude. Die Funktionswerte der reinen Sinusfunktion liegen im Intervall \([-1; 1]\). Nach der Streckung liegen sie in \([-1{,}5; 1{,}5]\). Die Verschiebung um \(3\) nach unten führt zum Wertebereich \(W = [-1{,}5 - 3; 1{,}5 - 3] = [-4{,}5; -1{,}5]\).

Transformationen: Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(1{,}5\), Verschiebung um \(2\) Einheiten in negative \(x\)-Richtung (nach links) und Verschiebung um \(3\) Einheiten in negative \(y\)-Richtung (nach unten). Amplitude: \(1{,}5\) Wertebereich: \(W = [-4{,}5; -1{,}5]\)

- Überlege dir, welche der beiden Grundfunktionen (Exponential- oder Logarithmusfunktion) typischerweise eine senkrechte bzw. eine waagerechte Asymptote besitzt. - Wie wirkt sich eine Verschiebung des Graphen in \(x\)- oder \(y\)-Richtung auf die Lage der Asymptoten aus? - Erinnere dich daran, für welchen Wert des Arguments die natürliche Logarithmusfunktion den Wert 0 annimmt. - Nutze die Koordinaten gegebener Punkte, um unbekannte Parameter in deinem Funktionsterm durch Einsetzen zu bestimmen.

1. Teilaufgabe a): Eine Logarithmusfunktion der Form \(f(x) = \ln(x - b)\) hat eine senkrechte Asymptote bei dem Wert, für den das Argument null wird. Aus \(x - b = 0\) bei \(x = 5\) folgt \(b = 5\). Die Nullstelle liegt vor, wenn das Argument 1 ist: \(x - 5 = 1 \implies x = 6\). Dies erfüllt beide Bedingungen. Ergebnis: \(f(x) = \ln(x - 5)\). 2. Teilaufgabe b): Eine Exponentialfunktion der Form \(f(x) = a \cdot e^{kx} + c\) besitzt für \(x \to -\infty\) (oder \(x \to \infty\)) die waagerechte Asymptote \(y = c\). Es gilt also \(c = -2\). Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liefert die Bedingung \(f(0) = 3\). Einsetzen ergibt \(a \cdot e^0 - 2 = 3\), woraus \(a - 2 = 3\) und somit \(a = 5\) folgt. Mit \(k = 1\) ergibt sich eine gültige Lösung. Ergebnis: \(f(x) = 5e^x - 2\).

Mögliche Funktionsterme sind: a) \(f(x) = \ln(x - 5)\) b) \(f(x) = 5e^x - 2\)

- Wie wirkt sich eine Erhöhung der Startposition auf alle anderen Punkte der Flugbahn aus? - Ändert sich die horizontale Position des höchsten Punktes, wenn man die gesamte Fontäne einfach nur anhebt? - Welche Variable in der Funktionsgleichung ist für die vertikale Lage verantwortlich? - Denke an die Wirkung von \(f(x) + c\) auf die Koordinaten eines Punktes \((x | y)\).

1. Bestimmung der neuen Funktionsgleichung: Die Erhöhung des Standorts um \(0{,}8\,\text{m}\) bedeutet, dass zu jedem Höhenwert der ursprünglichen Funktion die Konstante \(0{,}8\) addiert wird: \(h_{neu}(d) = h(d) + 0{,}8 = -0{,}5d^2 + 2d + 1 + 0{,}8 = -0{,}5d^2 + 2d + 1{,}8\). 2. Beschreibung der Transformation: Da die Änderung in der Form \(g(x) = f(x) + c\) mit \(c = 0{,}8\) vorliegt, handelt es sich um eine Verschiebung des Graphen um \(0{,}8\) Einheiten in positive \(y\)-Richtung. 3. Bestimmung des neuen Scheitelpunkts: Bei einer rein vertikalen Verschiebung ändert sich die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts nicht, während die \(y\)-Koordinate um den Wert der Verschiebung angepasst wird. 4. Berechnung: \(S_{neu}(2 | 3 + 0{,}8) = S_{neu}(2 | 3{,}8)\).

a) \(h_{neu}(d) = -0{,}5d^2 + 2d + 1{,}8\) b) Es handelt sich um eine Verschiebung des Graphen um \(0{,}8\) Einheiten nach oben (in positive \(y\)-Richtung). c) \(S_{neu}(2 | 3{,}8)\). Da es sich um eine rein vertikale Verschiebung handelt, bleibt die \(d\)-Koordinate (horizontale Lage) des Maximums unverändert, während die \(h\)-Koordinate (Höhe) um den Wert des Podests (\(0{,}8\,\text{m}\)) zunimmt.

- Überlege dir, welche Form eine ganzrationale Funktion allgemein hat und wie man den Funktionsterm umformen könnte. - Welche Auswirkungen haben die Parameter in der Form \(a \cdot (x - c)^n + d\) auf die Lage und Form des Graphen? - Achte bei der Verschiebung in \(x\)-Richtung besonders auf das Vorzeichen in der Klammer. - Die Reihenfolge der Transformationen kann eine Rolle spielen; betrachte die Operationen von innen nach außen.

1. Nach der Definition ist \(f\) eine ganzrationale Funktion, da sie durch Ausmultiplizieren des Terms \((x+3)^4\) unter Verwendung des binomischen Lehrsatzes und anschließender Multiplikation mit \(-2\) sowie Addition von \(5\) in die Form \(f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0\) gebracht werden kann. Der höchste Exponent von \(x\) ist dabei \(4\), somit ist der Grad der Funktion \(4\). 2. Die Transformationen vom Graphen von \(g(x) = x^4\) zum Graphen von \(f\) umfassen: Eine Spiegelung an der \(x\)-Achse aufgrund des negativen Vorzeichens von \(a = -2\). Eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\). Eine Verschiebung um \(3\) Einheiten nach links (in negative \(x\)-Richtung) durch das Argument \((x+3)\). Eine Verschiebung um \(5\) Einheiten nach oben (in positive \(y\)-Richtung) durch das additive Glied \(+5\).

a) \(f\) ist eine ganzrationale Funktion vom Grad \(4\), da der Term zu einem Polynom der Form \(a_4 x^4 + \dots + a_0\) entwickelt werden kann. b) Der Graph entsteht aus \(y = x^4\) durch: Spiegelung an der \(x\)-Achse, Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\), Verschiebung um \(3\) Einheiten nach links und Verschiebung um \(5\) Einheiten nach oben.

- Überlege dir, welcher Teil des Terms von der jeweiligen Transformation betroffen ist. - Achte besonders darauf, ob eine Streckung nach oder vor einer Verschiebung stattfindet und was das für die Klammersetzung bedeutet. - Wie verhält sich die \(e\)-Funktion für sehr kleine \(x\)-Werte?

1. Für die erste Folge wird zunächst \(f(x) + 3\) gebildet. Die anschließende Streckung des gesamten Ausdrucks mit dem Faktor \(2\) führt zu \(g_1(x) = 2 \cdot (e^x + 3) = 2e^x + 6\). Die waagerechte Asymptote ergibt sich für \(x \to -\infty\) zu \(y = 6\). Der \(y\)-Achsenabschnitt liegt bei \(g_1(0) = 2 \cdot e^0 + 6 = 8\), also im Punkt \((0|8)\). 2. Für die zweite Folge wird zuerst die Streckung durchgeführt, was \(2 \cdot f(x)\) ergibt. Die anschließende Addition von \(3\) führt zu \(g_2(x) = 2e^x + 3\). Hier liegt die waagerechte Asymptote bei \(y = 3\). Der \(y\)-Achsenabschnitt berechnet sich durch \(g_2(0) = 2 \cdot e^0 + 3 = 5\), also im Punkt \((0|5)\).

(1) \(g_1(x) = 2e^x + 6\); Asymptote \(y = 6\); \(y\)-Achsenabschnitt \((0|8)\) (2) \(g_2(x) = 2e^x + 3\); Asymptote \(y = 3\); \(y\)-Achsenabschnitt \((0|5)\)

- Stelle eine Gleichung der Form \(g(x) = k \cdot f(x) + d\) auf. - Vergleiche die einzelnen Bestandteile der Funktionsterme (den Bruch und die Konstante), um die Unbekannten zu finden. - Was müsste passieren, damit sich die Polstelle einer Funktion verschiebt? - Ändern Operationen, die „außen“ an der Funktion durchgeführt werden (wie \(k \cdot f(x) + d\)), die Eingabewerte \(x\)?

1. Ansatz für die Transformation: \(g(x) = k \cdot f(x) + d = k \cdot \left( \frac{-1}{x+2} + 5 \right) + d = \frac{-k}{x+2} + 5k + d\). 2. Koeffizientenvergleich mit \(g(x) = \frac{-4}{x+2} + 12\): Aus dem Zähler des Bruchteils folgt \(-k = -4\), also \(k = 4\). 3. Berechnung der Verschiebung \(d\): Aus dem konstanten Glied folgt \(5k + d = 12\). Einsetzen von \(k = 4\) ergibt \(5 \cdot 4 + d = 12 \Rightarrow 20 + d = 12 \Rightarrow d = -8\). 4. Begründung der Asymptote: Die vertikale Asymptote liegt bei der Definitionslücke des Nenners (\(x = -2\)). Da die Transformationen (Streckung und Verschiebung) ausschließlich in \(y\)-Richtung wirken, verändern sie nur die Funktionswerte, nicht aber die \(x\)-Werte der Definitionsmenge oder die Lage vertikaler Linien.

Die Parameter sind \(k = 4\) und \(d = -8\). Die vertikale Asymptote bleibt bei \(x = -2\) unverändert, da Streckungen und Verschiebungen in \(y\)-Richtung die Definitionslücke der Funktion nicht beeinflussen.

- Wenn ein Graph in \(x\)-Richtung „gestreckt“ wird, wie verändert das die Zahl vor dem \(x\)? - Überlege, welche Werte die Sinusfunktion maximal und minimal annehmen kann, und addiere die Verschiebung. - Wie hängen Sinus und Kosinus zusammen? Gibt es eine Verschiebung, die eine Kurve in die andere überführt?

1. Transformation und Wertebereich: Eine Streckung in \(x\)-Richtung mit Faktor \(k=3\) bedeutet, dass \(x\) durch \(\frac{1}{3}x\) ersetzt wird. Die Verschiebung um \(2\) nach oben addiert \(2\) zum Funktionsterm. Es ergibt sich \(q(x) = \sin\left(\frac{1}{3}x\right) + 2\). Da der Sinus Werte zwischen \(-1\) und \(1\) annimmt, liegt der Wertebereich von \(q\) zwischen \(-1+2=1\) und \(1+2=3\), also \(W = [1; 3]\). 2. Periodenlänge: Die Periode \(T\) berechnet sich aus dem Faktor \(b = \frac{1}{3}\) vor dem \(x\) durch \(T = \frac{2\pi}{b}\). Hier: \(T = \frac{2\pi}{1/3} = 6\pi\). 3. Bestimmung von \(c\): Es gilt die Identität \(\sin(\alpha) = \cos(\alpha - \frac{\pi}{2})\). Setzt man \(\alpha = \frac{1}{3}x\), erhält man \(\sin\left(\frac{1}{3}x\right) = \cos\left(\frac{1}{3}x - \frac{\pi}{2}\right)\). Ein Vergleich mit dem vorgegebenen Term ergibt \(c = \frac{\pi}{2}\). Dieser Wert liegt im geforderten Intervall \([0; 2\pi]\).

a) \(q(x) = \sin\left(\frac{1}{3}x\right) + 2\); Wertebereich \(W = [1; 3]\) b) Periodenlänge \(T = 6\pi\) c) \(c = \frac{\pi}{2}\)

- Versuche im Nenner die Zahl vor dem \(x\) auszuklammern, um die Form \(b(x+c)\) zu identifizieren. - Der Zähler des Bruchs kann als Streckfaktor \(a\) vor die Funktion geschrieben werden. - Denke daran, dass ein Faktor \(b\) innerhalb der Funktion eine Streckung oder Stauchung in \(x\)-Richtung bewirkt.

1. Ausklammern im Nenner, um die Struktur \(b(x+c)\) zu erhalten: \(g(x) = \frac{3}{2(x + 2)} - 1\) 2. Umformung in die Form \(a \cdot f(b(x+c)) + d\): \(g(x) = 3 \cdot \frac{1}{2(x + 2)} - 1 = 3 \cdot f(2(x + 2)) - 1\) Hierbei ist \(a = 3\), \(b = 2\), \(c = 2\) und \(d = -1\). (Alternativ ist auch \(g(x) = 1{,}5 \cdot f(x + 2) - 1\) möglich, was zu einer anderen Beschreibung der Streckung führt). 3. Beschreibung der Transformationen (basierend auf \(b=2\)): - Stauchung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{2}\) (wegen \(b = 2\)). - Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links (wegen \(c = 2\)). - Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(3\) (wegen \(a = 3\)). - Verschiebung um \(1\) Einheit nach unten (wegen \(d = -1\)).

Darstellung: \(g(x) = 3 \cdot f(2(x + 2)) - 1\) Transformationen: Stauchung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\), Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links, Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(3\), Verschiebung um \(1\) Einheit nach unten.

- Wie lautet die allgemeine Funktionsgleichung, wenn ein Graph um \(c\) in \(x\)-Richtung und um \(d\) in \(y\)-Richtung verschoben wird? - Setze den Term von \(f(x)\) in diesen allgemeinen Ansatz ein. - Verwende die binomischen Formeln (oder das Pascal'sche Dreieck), um den verschobenen Term auszumultiplizieren. - Vergleiche die Koeffizienten vor den \(x^2\)- und \(x\)-Gliedern sowie die konstanten Zahlen, um die Unbekannten zu berechnen.

1. Ansatz für die Transformation: Eine Verschiebung um \(c\) in \(x\)-Richtung und \(d\) in \(y\)-Richtung entspricht der Formel \(g(x) = f(x - c) + d\). 2. Einsetzen von \(f(x)\): \(g(x) = (x - c)^3 - 3(x - c) + d\). 3. Ausmultiplizieren des Terms: \(g(x) = (x^3 - 3cx^2 + 3c^2x - c^3) - 3x + 3c + d = x^3 - 3cx^2 + (3c^2 - 3)x + (-c^3 + 3c + d)\). 4. Koeffizientenvergleich mit \(g(x) = x^3 - 9x^2 + 24x - 15\): - Quadrate: \(-3c = -9 \Rightarrow c = 3\). - Lineares Glied (Probe): \(3(3)^2 - 3 = 27 - 3 = 24\) (korrekt). - Konstantes Glied: \(-c^3 + 3c + d = -15 \Rightarrow -(3)^3 + 3(3) + d = -15 \Rightarrow -27 + 9 + d = -15 \Rightarrow -18 + d = -15 \Rightarrow d = 3\).

\(c = 3\) und \(d = 3\).

- Wende die Transformationen nacheinander auf den Funktionsterm an und vereinfache das Endergebnis. - Beachte, dass eine Stauchung in \(y\)-Richtung nach einer \(y\)-Verschiebung auch den Wert dieser Verschiebung mitskaliert. - Überlege, ob die Verschiebung in \(x\)-Richtung die anderen Transformationen in \(y\)-Richtung beeinflusst.

1. Überprüfung Kette 1: \(x^2 \xrightarrow{\text{links } 3} (x+3)^2 \xrightarrow{\text{unten } 8} (x+3)^2 - 8 \xrightarrow{\text{Stauchung } 0{,}5} 0{,}5 \cdot ((x+3)^2 - 8) = 0{,}5(x+3)^2 - 4\). Diese Kette ist korrekt. 2. Überprüfung Kette 2: \(x^2 \xrightarrow{\text{links } 3} (x+3)^2 \xrightarrow{\text{Stauchung } 0{,}5} 0{,}5(x+3)^2 \xrightarrow{\text{unten } 8} 0{,}5(x+3)^2 - 8\). Diese Kette ist falsch, da der konstante Term \(-8\) statt \(-4\) lautet. 3. Überprüfung Kette 3: \(x^2 \xrightarrow{\text{Stauchung } 0{,}5} 0{,}5x^2 \xrightarrow{\text{links } 3} 0{,}5(x+3)^2 \xrightarrow{\text{unten } 4} 0{,}5(x+3)^2 - 4\). Diese Kette ist ebenfalls korrekt.

Die Ketten 1 und 3 sind korrekt. Kette 2 ist falsch, da sie zur Funktionsgleichung \(y = 0{,}5(x+3)^2 - 8\) führt.

- Denk daran, dass eine Stauchung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) bedeutet, dass \(x\) durch \(2x\) ersetzt wird. - Wenn du eine Verschiebung nach einer Stauchung ausführst, musst du das \(x\) in der bereits veränderten Form durch \((x - d)\) ersetzen. - Klammern sind besonders wichtig, wenn eine Verschiebung auf ein bereits skaliertes \(x\) trifft. - Probiere aus, was passiert, wenn du \(h(x)\) zuerst umformst, indem du den Faktor \(2\) unter der Wurzel ausklammerst.

1. Analyse von Weg A: Eine Verschiebung um \(8\) nach rechts ersetzt \(x\) durch \((x-8)\), woraus \(f_1(x) = \sqrt{x-8}\) folgt. Eine anschließende Stauchung in \(x\)-Richtung mit Faktor \(0{,}5\) bedeutet, dass \(x\) im Term durch \(\frac{1}{0{,}5}x = 2x\) ersetzt wird. Es ergibt sich \(h_A(x) = \sqrt{2x - 8}\). 2. Analyse von Weg B: Eine Stauchung in \(x\)-Richtung mit Faktor \(0{,}5\) führt zunächst zu \(f_2(x) = \sqrt{2x}\). Eine anschließende Verschiebung um \(8\) nach rechts ersetzt jedes \(x\) im aktuellen Term durch \((x-8)\). Es ergibt sich \(h_B(x) = \sqrt{2(x-8)} = \sqrt{2x - 16}\). 3. Vergleich: Weg A führt exakt zur Funktionsgleichung \(h(x) = \sqrt{2x - 8}\), während Weg B ein anderes Ergebnis liefert.

Nur Weg A führt zum Ziel. Bei Weg A ergibt sich \(h_A(x) = \sqrt{2x - 8}\). Weg B führt hingegen zu \(h_B(x) = \sqrt{2(x-8)} = \sqrt{2x - 16}\).

- Wie verändert sich die Symmetrieachse, wenn der gesamte Graph nach links oder rechts verschoben wird? - Denke daran, dass eine Multiplikation innerhalb des Arguments (bei \(x\)) die Breite des Graphen beeinflusst. - Wann ist ein Produkt aus einer Zahl \(c\) und einem Funktionswert \(f(x)\) gleich Null? - Überlege, ob eine Streckung nach oben oder unten Punkte auf der \(x\)-Achse überhaupt bewegen kann.

1. Die Funktion \(p(x) = f(x - 2)\) entsteht durch eine Verschiebung des Graphen von \(f\) um 2 Einheiten nach rechts. Die Symmetrieachse verschiebt sich ebenfalls von \(x = 0\) zu \(x = 2\). Die Nullstellen verschieben sich entsprechend: \(-4 + 2 = -2\) und \(4 + 2 = 6\). 2. Die Funktion \(q(x) = f(0{,}5x)\) bewirkt eine Streckung des Graphen in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{0{,}5} = 2\). Die Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse bleibt erhalten, da \(q(-x) = f(0{,}5 \cdot (-x)) = f(-0{,}5x) = f(0{,}5x) = q(x)\). Die Nullstellen verdoppeln ihren Abstand zum Ursprung: \(-4 \cdot 2 = -8\) und \(4 \cdot 2 = 8\). 3. Eine Streckung in \(y\)-Richtung wird durch \(g(x) = c \cdot f(x)\) beschrieben. Die Nullstellen von \(g\) sind die Lösungen von \(c \cdot f(x) = 0\). Da \(c \neq 0\) vorausgesetzt ist, ist diese Gleichung äquivalent zu \(f(x) = 0\). Folglich bleiben die Nullstellen in ihrer Lage unverändert.

a) Achsensymmetrisch zur Geraden \(x = 2\); Nullstellen bei \(x = -2\) und \(x = 6\). b) Achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse; Nullstellen bei \(x = -8\) und \(x = 8\). c) Die Lage der Nullstellen bleibt unverändert, da die Multiplikation des Funktionswertes mit \(c \neq 0\) die Stellen, an denen der Funktionswert Null ist, nicht beeinflusst.

- Bei Transformationen im Exponenten ist es hilfreich, den Koeffizienten vor dem \(x\) auszuklammern, um die Verschiebung korrekt abzulesen. - Ein Faktor \(k\) direkt beim \(x\) bewirkt eine Streckung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{k}\). - Transformationen, die außerhalb der Exponentialfunktion stehen, wirken direkt auf die \(y\)-Werte. - Überprüfe deine Überlegung, indem du einen markanten Punkt (z. B. den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse) transformierst.

1. Horizontale Streckung: Die Ersetzung von \(x\) durch \(0{,}5x\) entspricht einer Streckung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{0{,}5} = 2\). 2. Horizontale Verschiebung: Durch Ausklammern des Faktors im Exponenten erhält man \(0{,}5(x - 4)\). Die Ersetzung von \(x\) durch \(x - 4\) entspricht einer Verschiebung um 4 Einheiten nach rechts. 3. Vertikale Streckung: Die Multiplikation der Exponentialfunktion mit 4 entspricht einer Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor 4. 4. Vertikale Verschiebung: Die Subtraktion von 1 verschiebt den resultierenden Graphen um 1 Einheit nach unten. Ein alternativer Weg besteht darin, zuerst eine Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts (\(e^{x-2}\)) und anschließend eine Streckung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor 2 durchzuführen (\(e^{0{,}5x-2}\)), gefolgt von den vertikalen Transformationen.

Eine mögliche Abfolge ist: 1. Streckung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor 2. 2. Verschiebung um 4 Einheiten nach rechts. 3. Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor 4. 4. Verschiebung um 1 Einheit nach unten. (Alternativ: Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts, dann Streckung in \(x\)-Richtung mit Faktor 2, gefolgt von den vertikalen Transformationen).

- Kannst du den Funktionsterm so umformen, dass der Koeffizient vor dem \(x\) innerhalb der Potenz ausgeklammert wird? - Erinnere dich daran, wie ein Faktor vor dem \(x\) (innerhalb des Funktionsarguments) den Graphen horizontal beeinflusst. - Welche Zahl muss für \(x\) eingesetzt werden, damit der Ausdruck in der Klammer Null ergibt? Dies hilft dir, die Verschiebung zu finden.

1. \(h\) ist eine ganzrationale Funktion, da der Term \((0{,}2x - 4)^3\) ein Produkt aus drei linearen Faktoren (Polynome ersten Grades) ist. Das Ergebnis der Multiplikation ist ein Polynom dritten Grades. 2. Um die horizontalen Transformationen direkt abzulesen, wird \(0{,}2\) in der Klammer ausgeklammert: \(h(x) = (0{,}2(x - 20))^3\). 3. Erste Transformation: Streckung des Graphen von \(f(x) = x^3\) in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{0{,}2} = 5\). 4. Zweite Transformation: Verschiebung des resultierenden Graphen um \(20\) Einheiten nach rechts (in positive \(x\)-Richtung). 5. Alternativer Weg: Zuerst Verschiebung um \(4\) Einheiten nach rechts, gefolgt von einer Streckung in \(x\)-Richtung mit Faktor \(5\).

Ja, \(h\) ist eine ganzrationale Funktion (Grad 3). Mögliche Transformationsfolge: 1. Streckung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(5\). 2. Verschiebung um \(20\) Einheiten nach rechts.

- Eine Spiegelung an der \(x\)-Achse entspricht einer Multiplikation des Funktionsterms mit \(-1\). - Achte darauf, ob sich das Minuszeichen bei der Spiegelung auf den ursprünglichen Term oder auf den bereits verschobenen Term bezieht. - Wie löst man eine Gleichung der Form \(\ln(x) = c\) nach \(x\) auf?

1. Für \(g(x)\) bewirkt die Spiegelung an der \(x\)-Achse ein negatives Vorzeichen vor dem Logarithmus: \(- \ln(x)\). Die anschließende Verschiebung um \(+2\) ergibt \(g(x) = -\ln(x) + 2\). Zur Berechnung der Nullstelle setzt man \(-\ln(x) + 2 = 0\), woraus \(\ln(x) = 2\) und somit \(x = e^2\) folgt. 2. Für \(h(x)\) wird zuerst \(2\) addiert: \(\ln(x) + 2\). Die Spiegelung an der \(x\)-Achse bezieht sich auf den gesamten bisherigen Term, also \(h(x) = -(\ln(x) + 2) = -\ln(x) - 2\). Die Nullstelle ergibt sich aus \(-\ln(x) - 2 = 0\), also \(\ln(x) = -2\), woraus \(x = e^{-2}\) (oder \(x = \frac{1}{e^2}\)) folgt.

\(g(x) = -\ln(x) + 2\) mit Nullstelle \(x = e^2\) \(h(x) = -\ln(x) - 2\) mit Nullstelle \(x = e^{-2} = \frac{1}{e^2}\)