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- Welche Werte für \(x\) führen dazu, dass man durch Null teilen müsste? - Wie findet man die Nullstellen eines quadratischen Terms am einfachsten, wenn kein konstantes Glied vorhanden ist? - Wann genau wird eine Definitionslücke zu einer senkrechten Asymptote? - Prüfe, ob der Zähler an den kritischen Stellen ebenfalls null wird.

1. Bestimmung der Definitionslücken: Der Nenner \(x^2 + 2x = x(x + 2)\) besitzt die Nullstellen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = -2\). Daher ist \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{-2; 0\}\). 2. Prüfung auf Polstellen: Der Zähler \(2x - 1\) ist für \(x = 0\) gleich \(-1\) und für \(x = -2\) gleich \(-5\). Da der Zähler an den Nullstellen des Nenners ungleich null ist, handelt es sich bei beiden Stellen um Polstellen. 3. Bestimmung der Asymptoten: Jede Polstelle einer gebrochen-rationalen Funktion entspricht einer senkrechten Asymptote. Die Gleichungen lauten somit \(x = -2\) und \(x = 0\).

\(D_g = \mathbb{R} \setminus \{-2; 0\}\) Senkrechte Asymptoten: \(x = -2\) und \(x = 0\).

- Was passiert, wenn du die Zahl direkt in den Zähler und den Nenner einsetzt? - Kannst du den Zähler oder den Nenner mithilfe binomischer Formeln oder durch Ausklammern in Faktoren zerlegen? - Wenn sich ein Faktor im Nenner komplett wegkürzen lässt, was bedeutet das für die Art der Lücke? - Bleibt nach dem Kürzen im Nenner immer noch ein Ausdruck stehen, der gegen null geht?

1. Untersuchung von Teilaufgabe a): Einsetzen von \(x_0 = 3\) in den Zähler ergibt \(3^2 - 9 = 0\) und in den Nenner \(2 \cdot 3 - 6 = 0\). Es liegt der Fall \(\frac{0}{0}\) vor. 2. Faktorisieren des Terms: \(f(x) = \frac{(x-3)(x+3)}{2(x-3)}\). Für \(x \neq 3\) lässt sich der Faktor \((x-3)\) kürzen, woraus \(f(x) = \frac{x+3}{2}\) folgt. 3. Grenzwertberechnung für a): \(\lim_{x \to 3} \frac{x+3}{2} = \frac{3+3}{2} = 3\). Da der Grenzwert existiert und endlich ist, handelt es sich um eine hebbare Definitionslücke. 4. Untersuchung von Teilaufgabe b): Einsetzen von \(x_0 = 1\) ergibt im Zähler \(1 - 1 = 0\) und im Nenner \(1^2 - 2 \cdot 1 + 1 = 0\). Es liegt der Fall \(\frac{0}{0}\) vor. 5. Faktorisieren des Terms: \(g(x) = \frac{x-1}{(x-1)^2}\). Für \(x \neq 1\) folgt durch Kürzen \(g(x) = \frac{1}{x-1}\). 6. Grenzwertberechnung für b): Da der Term \(\frac{1}{x-1}\) für \(x \to 1\) gegen \(\pm \infty\) strebt (Vorzeichenwechsel bei \(x=1\)), existiert kein endlicher Grenzwert. Es handelt sich um eine Polstelle.

a) Der Grenzwert ist \(3\); es handelt sich um eine hebbare Definitionslücke. b) Der Grenzwert existiert nicht (Streben gegen \(\pm \infty\)); es handelt sich um eine Polstelle.

- Versuche zuerst, den Zähler und den Nenner in Faktoren zu zerlegen. - Kannst du den Funktionsterm vereinfachen? - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn der Nenner gegen null geht, der Zähler aber eine feste Zahl ungleich null ist? - Überlege, ob sich das Vorzeichen des Nenners ändert, wenn man sich der Stelle von links oder von rechts nähert.

1. Faktorisierung von Zähler und Nenner: \(x^2-1 = (x-1)(x+1)\) und \(x^2-2x+1 = (x-1)^2\). 2. Vereinfachung des Funktionsterms durch Kürzen von \((x-1)\): \(f(x) = \frac{x+1}{x-1}\) für \(x \neq 1\). 3. Untersuchung des Grenzwerts für \(x \to 1\): Der Zähler strebt gegen \(1+1=2\), während der Nenner gegen \(0\) strebt. 4. Da der Nenner nach dem Kürzen eine Nullstelle ungerader Ordnung behält (einfache Nullstelle), handelt es sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel. 5. Bestimmung der einseitigen Grenzwerte: \(\lim_{x \to 1^+} \frac{x+1}{x-1} = +\infty\) und \(\lim_{x \to 1^-} \frac{x+1}{x-1} = -\infty\). 6. Ergebnis: Es liegt eine Polstelle und somit eine senkrechte Asymptote mit der Gleichung \(x=1\) vor.

Der zweiseitige Grenzwert \(\lim_{x \to 1} f(x)\) existiert nicht, da \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty\) gilt. Da der Nenner an der Stelle \(x=1\) eine Nullstelle besitzt, die nicht vollständig durch Kürzen mit dem Zähler entfernt werden kann, liegt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel und die senkrechte Asymptote \(x=1\) vor.

- Was passiert, wenn du die Definitionslücke direkt in den Funktionsterm einsetzt? - Kannst du den Zähler und den Nenner in Faktoren zerlegen? - Gibt es einen gemeinsamen Faktor, den man kürzen kann? - Was sagt die Existenz eines endlichen Grenzwerts über die Art der Definitionslücke aus?

1. Einsetzen von \(x = 3\) in Zähler und Nenner ergibt den unbestimmten Ausdruck \(\frac{0}{0}\). 2. Faktorisieren des Zählers mittels der dritten binomischen Formel: \(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\). 3. Faktorisieren des Nenners durch Ausklammern: \(2x^2 - 6x = 2x(x - 3)\). 4. Kürzen des gemeinsamen Faktors \((x - 3)\) für \(x \neq 3\): \(f(x) = \frac{x + 3}{2x}\). 5. Berechnung des Grenzwerts durch Einsetzen von \(x = 3\) in den gekürzten Term: \(\lim_{x \to 3} \frac{x + 3}{2x} = \frac{3 + 3}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1\). 6. Da der Grenzwert existiert und ein endlicher Wert ist, handelt es sich bei \(x = 3\) um eine hebbare Definitionslücke.

Der Grenzwert ist \(1\). Es liegt eine hebbare Definitionslücke vor, da der Grenzwert an dieser Stelle existiert und endlich ist.

- Du kannst die Potenzregel für negative Exponenten nutzen, um die Ableitungen schneller zu berechnen. - Vergleiche die Exponenten im Nenner der Ableitungen mit der Anzahl der Ableitungsschritte. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Ordnung einer Polstelle (gerade vs. ungerade) und dem grafischen Verlauf (mit oder ohne Vorzeichenwechsel).

1. Es ist \(f(x) = (x-1)^{-1}\). Die erste Ableitung lautet \(f'(x) = -1 \cdot (x-1)^{-2} = -\frac{1}{(x-1)^2}\). Die zweite Ableitung lautet \(f''(x) = (-1) \cdot (-2) \cdot (x-1)^{-3} = \frac{2}{(x-1)^3}\). 2. Für \(f\) ist die Ordnung 1. Für \(f'\) ist die Ordnung 2. Für \(f''\) ist die Ordnung 3. Allgemein lässt sich vermuten, dass die \(m\)-te Ableitung \(f^{(m)}\) einer Funktion mit einer Polstelle \(n\)-ter Ordnung eine Polstelle der Ordnung \(n+m\) besitzt. Hier ist \(n=1\), also hat \(f^{(m)}\) die Ordnung \(1+m\). 3. Die zweite Ableitung \(f''(x) = \frac{2}{(x-1)^3}\) hat an der Stelle \(x = 1\) eine Polstelle der Ordnung 3. Da die Ordnung 3 eine ungerade Zahl ist, liegt an der senkrechten Asymptote \(x = 1\) ein Vorzeichenwechsel vor. Für \(x \to 1^+\) gilt \(f''(x) \to +\infty\), für \(x \to 1^-\) gilt \(f''(x) \to -\infty\).

1. \(f'(x) = -\frac{1}{(x-1)^2}\) und \(f''(x) = \frac{2}{(x-1)^3}\). 2. Ordnungen: \(f: 1\), \(f': 2\), \(f'': 3\). Vermutung: Die \(m\)-te Ableitung hat die Ordnung \(n+m\) (hier \(1+m\)). 3. Senkrechte Asymptote bei \(x=1\) mit Vorzeichenwechsel, da die Polstelle von \(f''\) die ungerade Ordnung 3 hat.

- Was passiert mit dem Vorzeichen einer negativen Zahl, wenn du sie mit einer ungeraden Zahl potenzierst? - Überlege dir, ob der Ausdruck \((x-5)\) positiv oder negativ ist, wenn \(x\) ein klein wenig kleiner als 5 ist. - Erinnere dich an die Regel für Potenzen mit geraden Exponenten und was das für das Vorzeichen des Ergebnisses bedeutet.

1. Für ungerade \(n\) betrachtet man die Umgebung von \(x = 5\). Bei Annäherung von rechts (\(x > 5\)) ist die Basis \((x-5)\) positiv, woraus \((x-5)^n > 0\) und somit \(\lim_{x \to 5^+} f_n(x) = +\infty\) folgt. Bei Annäherung von links (\(x < 5\)) ist die Basis \((x-5)\) negativ. Da \(n\) ungerade ist, bleibt die Potenz \((x-5)^n\) negativ, woraus \(\lim_{x \to 5^-} f_n(x) = -\infty\) folgt. Es liegt ein Pol mit Vorzeichenwechsel vor. 2. Ist \(n\) gerade, so ist die Potenz \((x-5)^n\) für alle \(x \neq 5\) aufgrund des geraden Exponenten stets positiv. Da der Zähler \(1\) ebenfalls positiv ist, gilt \(f_n(x) > 0\) für alle \(x \in \mathbb{D}\). Da der Nenner für \(x \to 5\) gegen \(0\) strebt und stets positiv bleibt, gilt \(\lim_{x \to 5} f_n(x) = +\infty\).

1. \(\lim_{x \to 5^+} f_n(x) = +\infty\) und \(\lim_{x \to 5^-} f_n(x) = -\infty\). 2. Da gerade Potenzen reeller Zahlen nie negativ sind und hier \(x \neq 5\) gilt, ist \((x-5)^n > 0\). Der Grenzwert ist \(\lim_{x \to 5} f_n(x) = +\infty\).

- Suche zuerst alle Werte, für die der Nenner Null wird. - Prüfe unbedingt, ob der Zähler an diesen Stellen ebenfalls Null wird, und vereinfache den Term wenn möglich durch Kürzen. - Betrachte die Vielfachheit der Faktoren im Nenner nach dem vollständigen Kürzen. - Was bedeutet eine ungerade oder gerade Vielfachheit für das Verhalten des Graphen an der Polstelle?

1. Die Nullstellen des Nenners sind \(x_1 = 1\) (einfache Nullstelle) und \(x_2 = -2\) (doppelte Nullstelle). 2. Prüfung auf gemeinsame Nullstellen: Der Zähler \(2x + 4 = 2(x + 2)\) hat bei \(x = -2\) ebenfalls eine Nullstelle. 3. Kürzen des Terms: \(g(x) = \frac{2(x + 2)}{(x - 1)(x + 2)^2} = \frac{2}{(x - 1)(x + 2)}\). 4. Analyse der verbleibenden Polstellen: Nach dem Kürzen verbleiben Polstellen bei \(x = 1\) (Vielfachheit 1) und \(x = -2\) (Vielfachheit 1). 5. Da beide Polstellen nun die ungerade Vielfachheit 1 besitzen, liegt an beiden Stellen (\(x = 1\) und \(x = -2\)) ein Pol mit Vorzeichenwechsel vor.

Die Funktion hat Polstellen bei \(x = 1\) und \(x = -2\). An beiden Stellen liegt ein Vorzeichenwechsel vor, da die Faktoren \((x - 1)\) und \((x + 2)\) im gekürzten Term jeweils mit der ungeraden Vielfachheit 1 auftreten.

- Untersuche zuerst die Nullstellen des Nenners. - Prüfe, ob der Zähler an diesen Stellen auch Null wird. - Achte auf die Vielfachheit der Nullstellen im Nenner nach dem Kürzen. - Überlege, was ein gerader oder ungerader Exponent im Nenner für den Graphen bedeutet.

1. Teilaufgabe a): Der Nenner hat die zweifache Nullstelle \(x = 1\). Da der Zähler für \(x = 1\) ungleich Null ist (\(1 + 4 = 5\)), liegt eine Polstelle vor. Aufgrund der geraden Vielfachheit (Exponent 2) ist es eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. 2. Teilaufgabe b): Der Nenner \(x^2 - 4x = x(x-4)\) hat die einfachen Nullstellen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 4\). Der Zähler ist konstant 5. Somit sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 4\) Polstellen mit Vorzeichenwechsel (ungerade Vielfachheit). 3. Teilaufgabe c): Der Nenner \(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\) hat die Nullstellen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). Da der Zähler \(x-2\) für \(x_1 = 2\) ebenfalls Null wird, ist \(x_1 = 2\) eine hebbare Definitionslücke (keine Polstelle). Für \(x_2 = -2\) ist der Zähler ungleich Null (\(-2-2 = -4\)), daher ist \(x_2 = -2\) eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel (einfache Nullstelle im Nenner).

a) \(x = 1\) ist Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. b) \(x = 0\) und \(x = 4\) sind Polstellen mit Vorzeichenwechsel. c) \(x = -2\) ist Polstelle mit Vorzeichenwechsel (\(x = 2\) ist eine hebbare Lücke).

- Faktorisierung von Zähler und Nenner hilft oft beim Vereinfachen. - Was passiert, wenn eine Zahl sowohl den Zähler als auch den Nenner zu Null macht? - Wie oft kommt der Faktor, der die Definitionslücke verursacht, im Nenner vor?

1. Nullstellen des Nenners bestimmen: Durch Lösen der quadratischen Gleichung \(x^2 - x - 6 = 0\) (z. B. mit der Mitternachtsformel) erhält man \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -2\). 2. Nullstellen des Zählers prüfen: \(2x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3\). 3. Klassifizierung der Lücken: Da \(x = 3\) sowohl Zähler- als auch Nennernullstelle ist, wird die Funktion gekürzt: \(f(x) = \frac{2(x-3)}{(x-3)(x+2)} = \frac{2}{x+2}\) für \(x \neq 3\). Somit ist \(x = 3\) eine hebbare Definitionslücke. 4. Polstelle identifizieren: Die verbleibende Nennernullstelle \(x = -2\) ist eine Polstelle. Da der Faktor \((x+2)\) im Nenner der gekürzten Funktion mit der Potenz 1 vorkommt (ungerade Vielfachheit), handelt es sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

Definitionslücken bei \(x = 3\) und \(x = -2\). \(x = 3\) ist eine hebbare Definitionslücke. \(x = -2\) ist eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

- Überprüfe, ob man den Funktionsterm kürzen kann, bevor du die Art der Polstelle bestimmst. - Wie beeinflusst eine Nullstelle im Zähler, die gleichzeitig im Nenner vorkommt, die Art der Definitionslücke? - Erinnere dich daran, welche Rolle die (gekürzte) Vielfachheit einer Nennernullstelle für den Vorzeichenwechsel spielt.

1. Bestimmung der Nullstellen von Zähler und Nenner: Der Zähler \(x-2\) hat die Nullstelle \(x=2\) (Ordnung 1). Der Nenner \(x^2-4x+4 = (x-2)^2\) hat die Nullstelle \(x=2\) (Ordnung 2). 2. Vereinfachung des Funktionsterms: Durch Kürzen des Faktors \((x-2)\) ergibt sich für \(x \neq 2\) der vereinfachte Term \(f(x) = \frac{1}{x-2}\). 3. Analyse der Polstelle: Da die verbleibende Nullstelle im Nenner nun die Ordnung 1 (ungerade) besitzt, handelt es sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel. 4. Bewertung: Laras Aussage ist falsch, da sie die Nullstelle im Zähler nicht berücksichtigt hat, welche die Ordnung der Polstelle reduziert.

Laras Aussage ist falsch. Zwar hat der Nenner an der Stelle \(x=2\) eine zweifache Nullstelle, jedoch besitzt auch der Zähler an dieser Stelle eine einfache Nullstelle. Nach dem Kürzen des Terms zu \(f(x) = \frac{1}{x-2}\) (für \(x \neq 2\)) erkennt man, dass die Polstelle effektiv die Ordnung 1 hat. Da 1 eine ungerade Zahl ist, liegt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor.

- Faktorisiere zuerst Zähler und Nenner so weit wie möglich. - Kannst du den Term vereinfachen? - Schau dir die Hochzahl des Faktors im Nenner an, nachdem du alle gemeinsamen Faktoren mit dem Zähler gekürzt hast. - Was bedeutet eine gerade oder ungerade Hochzahl im Nenner für den Graphen in der Nähe der Definitionslücke?

1. Faktorisierung der Funktionsterme: Der Zähler lässt sich mittels der dritten binomischen Formel zu \(x^2-9 = (x-3)(x+3)\) faktorisieren. 2. Bestimmung der Definitionslücke: Der Nenner \((x-3)^3\) wird bei \(x=3\) null. 3. Kürzen des Funktionsterms: \(k(x) = \frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)^3} = \frac{x+3}{(x-3)^2}\) für \(x \neq 3\). 4. Bestimmung der Art der Polstelle: Im gekürzten Term ist die Nullstelle \(x=3\) im Nenner von der Ordnung 2 (gerade). 5. Ergebnis: Da die effektive Ordnung der Polstelle gerade ist, liegt eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vor.

Es handelt sich um eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. Durch Faktorisieren und Kürzen erhält man \(k(x) = \frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)^3} = \frac{x+3}{(x-3)^2}\). Da die verbleibende Nullstelle im Nenner an der Stelle \(x=3\) die gerade Vielfachheit 2 besitzt, ändert die Funktion dort ihr Vorzeichen nicht.

- Überlege zuerst, für welche Werte der Nenner der Funktion null wird. - Wenn eine Definitionslücke vorliegt, prüfe, ob du den Funktionsterm durch Kürzen vereinfachen kannst. - Was bedeutet es für den Graphen, wenn ein Faktor sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommt? - Setze Werte ein, die sehr nah an der Polstelle liegen (linksseitig und rechtsseitig), um das Vorzeichen des Grenzwerts zu bestimmen.

1. Nennernullstellen bestimmen: \(x^2 - 9 = 0 \implies x_1 = -3, x_2 = 3\). Somit ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3; 3\}\). 2. Art der Lücken prüfen: Faktorisieren des Terms ergibt \(f(x) = \frac{x(x-3)}{(x-3)(x+3)}\). 3. Für \(x = 3\) ist der Faktor \((x-3)\) in Zähler und Nenner enthalten. Der Grenzwert \(\lim_{x \to 3} \frac{x}{x+3} = \frac{3}{6} = 0{,}5\) existiert, daher ist \(x = 3\) eine hebbare Definitionslücke. 4. Für \(x = -3\) ist nur der Nenner null (\(x+3 = 0\)), der Zähler ist \(-3\). Es handelt sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel (ungerade Ordnung). 5. Die senkrechte Asymptote lautet \(x = -3\). 6. Verhalten an der Polstelle: Für \(x \to -3^-\) gilt \(x < 0\) und \(x+3 \to 0^-\), daher ist \(\lim_{x \to -3^-} f(x) = +\infty\). Für \(x \to -3^+\) gilt \(x < 0\) und \(x+3 \to 0^+\), daher ist \(\lim_{x \to -3^+} f(x) = -\infty\).

a) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3; 3\}\); \(x = 3\) ist eine hebbare Definitionslücke, \(x = -3\) ist eine Polstelle. b) Senkrechte Asymptote: \(x = -3\). c) \(\lim_{x \to -3^-} f(x) = +\infty\) und \(\lim_{x \to -3^+} f(x) = -\infty\).

- Kannst du den Nenner mithilfe einer binomischen Formel umschreiben? - Achte beim Kürzen genau auf das Vorzeichen im Zähler. - Wenn nach dem vollständigen Kürzen noch eine Nullstelle im Nenner übrig bleibt, handelt es sich um eine Polstelle. - Überlege dir das Vorzeichen des Terms \(x-5\), wenn \(x\) etwas kleiner oder etwas größer als \(5\) ist.

1. Nennernullstellen: \(x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2 = 0 \implies x = 5\). Die Definitionsmenge ist \(D_h = \mathbb{R} \setminus \{5\}\). 2. Untersuchung der Lücke: Der Zähler \(5 - x = -(x-5)\) hat bei \(x = 5\) ebenfalls eine Nullstelle. Kürzen ergibt \(h(x) = \frac{-(x-5)}{(x-5)^2} = -\frac{1}{x-5}\) für \(x \neq 5\). Da nach dem Kürzen weiterhin eine Nullstelle im Nenner verbleibt, ist \(x = 5\) eine Polstelle (1. Ordnung). 3. Verhalten für \(x \to 5^-\): Der Nenner \((x-5)\) ist negativ, also ist \(-\frac{1}{\text{negativ}}\) positiv. \(\lim_{x \to 5^-} h(x) = +\infty\). 4. Verhalten für \(x \to 5^+\): Der Nenner \((x-5)\) ist positiv, also ist \(-\frac{1}{\text{positiv}}\) negativ. \(\lim_{x \to 5^+} h(x) = -\infty\).

a) \(D_h = \mathbb{R} \setminus \{5\}\). b) Durch Kürzen erhält man \(h(x) = -\frac{1}{x-5}\). Da der Nenner an der Stelle \(5\) weiterhin null ist, liegt eine Polstelle vor. c) \(\lim_{x \to 5^-} h(x) = +\infty\) und \(\lim_{x \to 5^+} h(x) = -\infty\).

- Überlege zuerst, für welche Werte der Nenner der Funktion null wird. - Prüfe, ob der Zähler an diesen Stellen ebenfalls null wird. Falls ja, kannst du den Funktionsterm eventuell kürzen. - Die „Art“ einer Polstelle erkennst du an der Vielfachheit der verbleibenden Nullstelle im Nenner nach dem Kürzen. - Was bedeutet es für die Existenz von Polstellen, wenn der Nenner niemals null wird?

1. Untersuchung von \(f\): Der Nenner \(x^2 - 16\) hat die Nullstellen \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -4\). Da der Zähler \(3x - 12 = 3(x-4)\) an der Stelle \(x_1 = 4\) ebenfalls null wird, ist \(x_1 = 4\) eine hebbare Definitionslücke (Kürzen ergibt \(\frac{3}{x+4}\)). Die verbleibende Nennernullstelle \(x_2 = -4\) ist eine Polstelle 1. Ordnung, also eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel (VZW). 2. Untersuchung von \(g\): Der Nenner \(x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2\) hat die doppelte Nullstelle \(x = -2\). Der Zähler \(x + 2\) hat dort eine einfache Nullstelle. Nach dem Kürzen bleibt \(g(x) = \frac{1}{x+2}\). Somit ist \(x = -2\) eine Polstelle 1. Ordnung, also eine Polstelle mit VZW. 3. Untersuchung von \(h\): Der Nenner \(x^2 + 1\) besitzt im Bereich der reellen Zahlen keine Nullstellen (\(x^2 + 1 \geq 1\)). Daher hat die Funktion \(h\) keine Definitionslücken und somit auch keine Polstellen.

a) Polstelle bei \(x = -4\) mit VZW; hebbare Lücke bei \(x = 4\). b) Polstelle bei \(x = -2\) mit VZW. c) Keine Polstellen vorhanden.

- Wann wird der Nenner eines Bruchs null? - Überlege dir, welchen Einfluss das Vorzeichen von \(k\) auf die Gleichung \(x^2 = 2k\) hat. - Erinnere dich daran, dass senkrechte Asymptoten an den Stellen auftreten, an denen der Nenner eine Nullstelle hat (und der Zähler nicht). - Wie viele Lösungen kann eine Gleichung der Form \(x^2 = c\) in Abhängigkeit von \(c\) haben?

1. Fallunterscheidung für die Definitionsmenge: - Für \(k < 0\) ist \(-2k > 0\). Da \(x^2 \geq 0\), ist der Nenner \(x^2 - 2k\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) stets positiv und hat keine Nullstellen. Somit gilt \(D_{f_k} = \mathbb{R}\). - Für \(k = 0\) lautet der Nenner \(x^2\). Die einzige Nullstelle ist \(x = 0\). Somit gilt \(D_{f_0} = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). - Für \(k > 0\) hat der Nenner \(x^2 - 2k\) zwei Nullstellen bei \(x = \pm \sqrt{2k}\). Somit gilt \(D_{f_k} = \mathbb{R} \setminus \{-\sqrt{2k}; \sqrt{2k}\}\). 2. Senkrechte Asymptoten für \(k = 8\): Einsetzen von \(k = 8\) ergibt \(f_8(x) = \frac{6}{x^2 - 16}\). Die Nullstellen des Nenners sind \(x^2 = 16\), also \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -4\). Da der Zähler dort ungleich Null ist, liegen Polstellen vor. Die Gleichungen der senkrechten Asymptoten lauten \(x = 4\) und \(x = -4\). 3. Anzahl der Polstellen: - \(k < 0\): 0 Polstellen (keine Definitionslücken). - \(k = 0\): 1 Polstelle (bei \(x = 0\)). - \(k > 0\): 2 Polstellen (bei \(x = \sqrt{2k}\) und \(x = -\sqrt{2k}\)).

a) \(D_{f_k} = \mathbb{R}\) für \(k < 0\); \(D_{f_0} = \mathbb{R} \setminus \{0\}\) für \(k = 0\); \(D_{f_k} = \mathbb{R} \setminus \{-\sqrt{2k}; \sqrt{2k}\}\) für \(k > 0\). b) \(x = 4\) und \(x = -4\). c) 0 Polstellen für \(k < 0\); 1 Polstelle für \(k = 0\); 2 Polstellen für \(k > 0\).

- Untersuche zuerst, welche Werte den Nenner null werden lassen. - Kannst du den Funktionsterm so faktorisieren, dass du gemeinsame Faktoren in Zähler und Nenner kürzen kannst? - Schau dir den Nenner nach dem Kürzen genau an: Ist die Hochzahl der verbleibenden Klammer gerade oder ungerade? - Was passiert mit dem Graphen an der Stelle, wenn nach dem Kürzen gar kein Faktor im Nenner mehr übrig bleibt?

1. Untersuchung von \(f\): Die Definitionslücke liegt bei \(x = 2\). Durch Faktorisieren des Zählers ergibt sich \(f(x) = \frac{2(x - 2)}{(x - 2)^3}\). Kürzen führt auf \(\frac{2}{(x - 2)^2}\). Da der Nenner nach dem Kürzen eine gerade Potenz aufweist (Vielfachheit 2), handelt es sich um eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. 2. Untersuchung von \(g\): Die Definitionslücke liegt bei \(x = -1\). Faktorisieren des Zählers ergibt \(g(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)}{(x + 1)^2}\). Nach dem Kürzen bleibt \(\frac{x - 1}{x + 1}\) übrig. Der verbleibende Faktor im Nenner hat die Potenz 1 (ungerade Vielfachheit), daher liegt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor.

a) \(x = 2\) ist eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. b) \(x = -1\) ist eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

- Bestimme zuerst die Nullstellen des Nenners, um die Definitionsmenge festzulegen. - Prüfe, ob die Nullstellen des Nenners auch Nullstellen des Zählers sind. - Wenn ein Faktor im Nenner durch Kürzen komplett verschwindet, was bedeutet das für die Art der Definitionslücke? - Die Gleichung einer senkrechten Asymptote entspricht immer dem \(x\)-Wert der Polstelle.

1. Definitionsmenge bestimmen: Der Nenner \(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\) wird für \(x = 3\) und \(x = -3\) null. Somit ist \(D_h = \mathbb{R} \setminus \{-3; 3\}\). 2. Zähler faktorisieren: \(x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)\). 3. Art der Lücken prüfen: An der Stelle \(x = 3\) ist sowohl der Zähler als auch der Nenner null. Kürzen ergibt \(h(x) = \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{x + 1}{x + 3}\). Da der Faktor \((x - 3)\) vollständig aus dem Nenner verschwindet, ist \(x = 3\) eine hebbare Definitionslücke und keine Polstelle. 4. Polstelle identifizieren: An der Stelle \(x = -3\) bleibt nach dem Kürzen ein Faktor im Nenner stehen. Da die Vielfachheit 1 (ungerade) ist, handelt es sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel. Die senkrechte Asymptote lautet \(x = -3\).

\(D_h = \mathbb{R} \setminus \{-3; 3\}\). Polstelle bei \(x = -3\) mit Vorzeichenwechsel. Senkrechte Asymptote: \(x = -3\). (Hinweis: \(x = 3\) ist eine hebbare Lücke).

- Bestimme zuerst die Nullstellen des Nennerpolynoms, um die Definitionslücken zu finden. - Prüfe, ob die Nullstellen des Nenners auch Nullstellen des Zählers sind. - Versuche, Zähler und Nenner in Linearfaktoren zu zerlegen und zu kürzen. - Überlege, was mit dem Funktionswert passiert, wenn ein Faktor im Nenner nach dem Kürzen vollständig verschwindet oder erhalten bleibt.

1. Für \(f(x)\): Nennernullstellen bestimmen durch \(x^2 - 2x - 3 = 0\), ergibt \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -1\). Zähler an diesen Stellen prüfen: \(3^2 - 9 = 0\) und \((-1)^2 - 9 = -8\). Da der Zähler bei \(x_1 = 3\) ebenfalls null wird, faktorisieren wir: \(f(x) = \frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+1)} = \frac{x+3}{x+1}\). Somit ist \(x_1 = 3\) eine hebbare Definitionslücke und \(x_2 = -1\) eine Polstelle (mit Vorzeichenwechsel). 2. Für \(g(x)\): Nennernullstellen bestimmen durch \(x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(x-2) = 0\), ergibt \(x_3 = 0\) und \(x_4 = 2\). Zähler faktorisieren: \(x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x-2)(x+2)\). Da beide Nennerfaktoren \(x\) und \((x-2)\) im Zähler mit mindestens gleicher Vielfachheit vorkommen, lassen sie sich vollständig kürzen: \(g(x) = x+2\). Somit sind sowohl \(x_3 = 0\) als auch \(x_4 = 2\) hebbare Definitionslücken.

a) Definitionslücken bei \(x = 3\) (hebbar) und \(x = -1\) (Polstelle). b) Definitionslücken bei \(x = 0\) (hebbar) und \(x = 2\) (hebbar).

- Wie gehst du vor, um die Definitionsmenge einer gebrochen-rationalen Funktion zu bestimmen? - Erinnere dich an die binomischen Formeln oder den Satz von Vieta, um Terme zu faktorisieren. - Was passiert, wenn eine Nullstelle im Nenner „öfter“ vorkommt als im Zähler? - Wann genau lässt sich eine Definitionslücke durch Kürzen „beheben“?

1. Für \(h(x)\): Der Nenner \(x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2\) wird bei \(x = 2\) null. \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{2\}\). Zähler faktorisieren: \(x(x-2)\). Die Funktion lautet gekürzt \(h(x) = \frac{x}{x-2}\). Da der Faktor \((x-2)\) im Nenner eine höhere Potenz hat als im Zähler, bleibt nach dem Kürzen eine einfache Nullstelle im Nenner übrig. Somit ist \(x = 2\) eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel. 2. Für \(k(x)\): Der Nenner \(x^2 + 3x = x(x+3)\) wird bei \(x = 0\) und \(x = -3\) null. \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-3; 0\}\). Zähler durch Faktorisierung (Vieta oder Mitternachtsformel): \(x^2 + x - 6 = (x+3)(x-2)\). Kürzen ergibt \(k(x) = \frac{x-2}{x}\). Der Faktor \((x+3)\) lässt sich vollständig kürzen, daher ist \(x = -3\) eine hebbare Lücke. Der Faktor \(x\) bleibt im Nenner, daher ist \(x = 0\) eine Polstelle (mit Vorzeichenwechsel).

a) \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{2\}\); \(x = 2\) ist eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel. b) \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-3; 0\}\); \(x = -3\) ist eine hebbare Lücke, \(x = 0\) ist eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

- Was passiert mit dem Funktionswert an einer Stelle, an der sowohl der Zähler als auch der Nenner null werden? - Wie kannst du durch Faktorisieren (z. B. Ausklammern oder binomische Formeln) erkennen, ob sich ein Faktor im Nenner vollständig kürzen lässt? - Überprüfe für jede Definitionslücke einzeln, ob sie auch eine Nullstelle des Zählers ist. - Achte auf die Vielfachheit der Nullstellen in Zähler und Nenner.

1. Analyse von \(f\): Nennernullstellen durch Ausklammern bestimmen: \(x(x - 3) = 0\), daraus folgen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 3\). Zähler faktorisieren: \(x(x^2 - 2x - 3) = x(x - 3)(x + 1)\). Da sowohl \(x = 0\) als auch \(x = 3\) Nullstellen des Zählers mit mindestens der gleichen Vielfachheit wie im Nenner sind (jeweils einfache Nullstellen), sind beide Definitionslücken hebbar. 2. Analyse von \(g\): Nennernullstellen mittels dritter binomischer Formel bestimmen: \((x - 2)(x + 2) = 0\), daraus folgen \(x_3 = 2\) und \(x_4 = -2\). Zähler faktorisieren: \(0{,}2(x^2 - 4x + 4) = 0{,}2(x - 2)^2\). Die Stelle \(x = 2\) ist Nullstelle im Zähler (doppelt) und im Nenner (einfach), also hebbar. Die Stelle \(x = -2\) ist nur Nullstelle des Nenners, also eine Polstelle.

Die hebbaren Definitionslücken von \(f\) liegen bei \(x = 0\) und \(x = 3\). Die Funktion \(g\) besitzt eine hebbare Definitionslücke bei \(x = 2\).

- Welche Eigenschaft muss der Zähler an einer Stelle haben, damit man eine Definitionslücke dort „beheben“ kann? - Setze die Definitionslücke des Nenners in den Zähler ein und überlege, welches Ergebnis notwendig ist. - Wenn du den Parameter gefunden hast, versuche den Bruch zu kürzen, um den Grenzwert zu finden.

1. Bedingung für eine hebbare Definitionslücke: Damit die Lücke bei der Nennernullstelle \(x = 4\) hebbar ist, muss \(x = 4\) auch eine Nullstelle des Zählers sein. 2. Aufstellen der Gleichung für den Zähler: \(2 \cdot 4^2 - k \cdot 4 = 0\). 3. Berechnung von \(k\): \(32 - 4k = 0 \Rightarrow 4k = 32 \Rightarrow k = 8\). 4. Einsetzen von \(k = 8\) in die Funktion: \(g(x) = \frac{2x^2 - 8x}{x - 4}\). 5. Faktorisieren des Zählers: \(g(x) = \frac{2x(x - 4)}{x - 4}\). 6. Kürzen des Faktors \((x - 4)\) für \(x \neq 4\): \(g(x) = 2x\). 7. Grenzwert bestimmen: \(\lim_{x \to 4} 2x = 2 \cdot 4 = 8\).

Der Parameter muss \(k = 8\) sein. Der Grenzwert an der Stelle \(x = 4\) beträgt dann \(8\).

- Wie findet man die Werte, für die eine Funktion nicht definiert ist? - Könnte es helfen, Zähler und Nenner in Faktoren zu zerlegen (Faktorisieren)? - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn man einen gemeinsamen Faktor im Zähler und Nenner kürzen kann? - Unterscheide: Wann nähert sich ein Funktionswert einer festen Zahl an und wann wird er unendlich groß?

1. Bestimmung der Definitionslücken durch Nullsetzen des Nenners: \(x^2 - 3x + 2 = 0\). Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 2\). Somit ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{1; 2\}\). 2. Untersuchung für \(x \to 1\): Der Zähler \(x^2 - 1\) wird an der Stelle \(x = 1\) ebenfalls null. Faktorisierung von Zähler und Nenner ergibt \(f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)}\). Kürzen des Faktors \((x-1)\) führt auf den stetig fortsetzbaren Term \(\frac{x+1}{x-2}\). 3. Berechnung des Grenzwerts: \(\lim_{x \to 1} \frac{x+1}{x-2} = \frac{1+1}{1-2} = -2\). Da der Grenzwert existiert und endlich ist, liegt bei \(x = 1\) eine hebbare Definitionslücke vor. 4. Untersuchung für \(x \to 2\): Einsetzen in den gekürzten Term ergibt im Zähler \(2+1 = 3\) und im Nenner \(2-2 = 0\). Da der Zähler ungleich null ist, während der Nenner gegen null strebt, gilt \(\lim_{x \to 2} |f(x)| = \infty\). 5. Schlussfolgerung: Bei \(x = 2\) liegt eine Polstelle vor.

a) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{1; 2\}\) b) \(\lim_{x \to 1} f(x) = -2\); \(\lim_{x \to 2} f(x)\) existiert nicht als reelle Zahl (der Betrag strebt gegen \(\infty\)). c) Bei \(x = 1\) liegt eine hebbare Definitionslücke vor; bei \(x = 2\) liegt eine Polstelle vor.

- Welche Bedingung muss der Nenner erfüllen, damit an einer bestimmten Stelle überhaupt eine Definitionslücke vorliegt? - Was muss für den Zähler an dieser Stelle gelten, damit die Lücke eventuell „hebbar“ ist? - Nutze die Nullstelleneigenschaft, um eine Gleichung für den unbekannten Parameter aufzustellen. - Wie vereinfacht sich der Funktionsterm, wenn du den Parameter gefunden hast?

1. Bedingung für eine hebbare Definitionslücke bei \(x = 2\): Der Nenner \(x^2 + ax - 6\) muss an der Stelle \(x = 2\) eine Nullstelle besitzen. 2. Einsetzen von \(x = 2\) in den Nenner: \(2^2 + a \cdot 2 - 6 = 0 \Rightarrow 4 + 2a - 6 = 0 \Rightarrow 2a - 2 = 0\). Daraus folgt \(a = 1\). 3. Überprüfung der Hebbarkeit: Für \(a = 1\) lautet der Nenner \(x^2 + x - 6\). Faktorisierung ergibt \((x-2)(x+3)\). Der Zähler lässt sich faktorisieren zu \(x(x^2 - 4) = x(x-2)(x+2)\). 4. Kürzen des Terms: \(g(x) = \frac{x(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+3)} = \frac{x(x+2)}{x+3}\) für \(x \neq 2\). 5. Grenzwertberechnung: \(\lim_{x \to 2} \frac{x(x+2)}{x+3} = \frac{2(2+2)}{2+3} = \frac{8}{5} = 1{,}6\). Da der Faktor \((x-2)\) im Zähler mindestens die gleiche Vielfachheit hat wie im Nenner, ist die Lücke tatsächlich hebbar.

Der Parameter ist \(a = 1\). Der Grenzwert an der Stelle \(x = 2\) beträgt \(1{,}6\) (oder \(\frac{8}{5}\)).

- Bestimme zuerst, für welche \(x\)-Werte der Nenner null wird. - Prüfe durch Faktorisieren, ob diese Werte auch Nullstellen des Zählers sind. - Wenn eine Nullstelle im Nenner "stärker" ist als im Zähler, was bedeutet das für den Graphen? - Erinnere dich daran, wie man eine hebbare Lücke von einer Polstelle unterscheidet.

1. Bestimmung der Definitionslücken durch Nullsetzen des Nenners: \(x^3-2x^2 = x^2(x-2) = 0\) ergibt \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). 2. Faktorisierung des Zählers: \(x^2-4 = (x-2)(x+2)\). 3. Untersuchung der Stelle \(x=2\): Der Faktor \((x-2)\) tritt in Zähler und Nenner jeweils einmal auf und lässt sich kürzen. Der Grenzwert ist \(\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x^2(x-2)} = \lim_{x \to 2} \frac{x+2}{x^2} = \frac{4}{4} = 1\). Es handelt sich um eine hebbare Definitionslücke. 4. Untersuchung der Stelle \(x=0\): Der gekürzte Term ist \(\frac{x+2}{x^2}\). Für \(x \to 0\) strebt der Zähler gegen \(2\) und der Nenner gegen \(0\). Da \(x^2\) für alle \(x \neq 0\) positiv ist, gilt \(\lim_{x \to 0} \frac{x+2}{x^2} = +\infty\). 5. Ergebnis: Bei \(x=0\) liegt eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vor. Die Gleichung der senkrechten Asymptote lautet \(x=0\).

Die Definitionslücken liegen bei \(x=0\) und \(x=2\). An der Stelle \(x=2\) ist der Grenzwert \(1\), es handelt sich um eine hebbare Definitionslücke. An der Stelle \(x=0\) streben die Funktionswerte gegen \(+\infty\), es handelt sich um eine Polstelle. Die senkrechte Asymptote hat die Gleichung \(x=0\).

- Wann lässt sich ein Faktor in einem Bruch kürzen? - Was muss für den Zähler gelten, damit eine Definitionslücke des Nenners eventuell hebbar ist? - Überlege, wie der Graph einer Funktion aussieht, deren Term sich zu einer linearen Form vereinfachen lässt.

1. Bedingung für eine hebbare Lücke an der Stelle \(x = 5\) prüfen: Der Zähler \(x^2 - kx - 10\) muss für \(x = 5\) den Wert Null annehmen. 2. Einsetzen von \(x = 5\) in den Zähler: \(5^2 - 5k - 10 = 0 \Rightarrow 25 - 5k - 10 = 0 \Rightarrow 15 - 5k = 0\). Daraus folgt \(k = 3\). 3. Faktorisierung des Zählers für \(k = 3\): Das Polynom \(x^2 - 3x - 10\) hat die Nullstellen \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -2\). Somit gilt \(x^2 - 3x - 10 = (x - 5)(x + 2)\). 4. Vereinfachung des Funktionsterms: \(f(x) = \frac{(x - 5)(x + 2)}{x - 5} = x + 2\) für \(x \neq 5\). 5. Grenzwertberechnung: \(\lim_{x \to 5} (x + 2) = 5 + 2 = 7\). 6. Geometrische Form: Da der gekürzte Term \(x + 2\) eine lineare Funktion darstellt, ist der Graph eine Gerade mit einem „Loch“ (der hebbaren Lücke) an der Stelle \((5 \mid 7)\).

a) \(k = 3\) b) \(\lim_{x \to 5} f(x) = 7\) c) Der Graph ist die Gerade \(y = x + 2\) mit einem Loch im Punkt \((5 \mid 7)\).

- Wie bestimmt man die Ordnung einer Polstelle bei einer gebrochen-rationalen Funktion? - Nutze beim Ableiten die Quotientenregel und achte darauf, gemeinsame Faktoren im Zähler und Nenner vorzeitig zu kürzen. - Was muss für den Zählerwert an der Polstelle gelten, damit die Ordnung eindeutig durch den Exponenten im Nenner bestimmt ist? - Überlege dir beim allgemeinen Beweis, wie man einen Term im Zähler ausklammert, um den Bruch zu vereinfachen.

1. Die Polstelle liegt bei der Nullstelle des Nenners, also bei \(x = 2\). Da der Faktor \((x-2)\) im Nenner mit dem Exponenten 3 vorkommt und der Zähler für \(x=2\) den Wert \(2^2 + 1 = 5 \neq 0\) annimmt, handelt es sich um eine Polstelle 3. Ordnung. 2. Unter Verwendung der Quotientenregel (oder der Produktregel mit Kettenregel) ergibt sich für die Ableitung: \(f'(x) = \frac{2x \cdot (x-2)^3 - (x^2+1) \cdot 3(x-2)^2}{(x-2)^6}\). Durch Ausklammern und Kürzen von \((x-2)^2\) folgt: \(f'(x) = \frac{2x(x-2) - 3(x^2+1)}{(x-2)^4} = \frac{2x^2 - 4x - 3x^2 - 3}{(x-2)^4} = \frac{-x^2 - 4x - 3}{(x-2)^4}\). Der Zähler von \(f'\) hat an der Stelle \(x=2\) den Wert \(-(2)^2 - 4(2) - 3 = -15 \neq 0\). Damit ist \(x = 2\) eine Polstelle der Ordnung 4. 3. Für \(g(x) = \frac{u(x)}{(x-a)^n}\) liefert die Quotientenregel: \(g'(x) = \frac{u'(x) \cdot (x-a)^n - u(x) \cdot n(x-a)^{n-1}}{(x-a)^{2n}}\). Kürzen durch \((x-a)^{n-1}\) ergibt: \(g'(x) = \frac{u'(x)(x-a) - nu(x)}{(x-a)^{n+1}}\). Setzt man \(x = a\) in den neuen Zählerterm \(z(x) = u'(x)(x-a) - nu(x)\) ein, erhält man \(z(a) = u'(a) \cdot 0 - n \cdot u(a) = -n \cdot u(a)\). Da nach Voraussetzung \(u(a) \neq 0\) und \(n \geq 1\) gilt, ist \(z(a) \neq 0\). Somit liegt eine Polstelle der Ordnung \(n+1\) vor.

1. Polstelle \(x = 2\) mit der Ordnung 3. 2. \(f'(x) = \frac{-x^2 - 4x - 3}{(x-2)^4}\); Einsetzen von \(x=2\) in den Zähler ergibt \(-15 \neq 0\), Der Nennerfaktor \((x-2)^4\) hat den Exponenten 4, also liegt eine Polstelle 4. Ordnung vor. 3. \(g'(x) = \frac{u'(x)(x-a) - nu(x)}{(x-a)^{n+1}}\); der Zählerwert an der Stelle \(a\) ist \(-nu(a) \neq 0\).

- Überprüfe immer zuerst, ob sich der Funktionsterm kürzen lässt, bevor du Polstellen klassifizierst. - Wie hängen die Vielfachheit einer Nullstelle im Nenner und das Vorhandensein eines Vorzeichenwechsels zusammen? - Was sagt das Vorzeichen der Ableitungsfunktion über das Monotonieverhalten aus? - Überlege dir, wie sich der Exponent im Nenner einer gebrochen-rationalen Funktion beim Ableiten verändert.

1. Vereinfachung des Funktionsterms: \(f(x) = \frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)^2} = \frac{x-3}{x+3}\) für \(x \neq -3\). 2. Bestimmung der Polstelle von \(f\): Da der Faktor \((x+3)\) nach dem Kürzen mit einfacher Ordnung im Nenner verbleibt, liegt bei \(x = -3\) eine Polstelle 1. Ordnung mit Vorzeichenwechsel vor. Laras Aussage ist somit falsch, da sie das Kürzen nicht berücksichtigt hat. 3. Berechnung der Ableitung: Mit der Quotientenregel oder durch Umformung zu \(f(x) = \frac{x+3-6}{x+3} = 1 - 6(x+3)^{-1}\) ergibt sich \(f'(x) = 6(x+3)^{-2} = \frac{6}{(x+3)^2}\). 4. Analyse der Polstelle von \(f'\): Der Nenner von \(f'\) hat an der Stelle \(x = -3\) eine zweifache Nullstelle, also eine Polstelle 2. Ordnung (ohne Vorzeichenwechsel). 5. Untersuchung der Monotonie: Da \(f'(x) > 0\) für alle \(x \in \mathbb{D}_f\), ist die Funktion in den Intervallen \((-\infty; -3)\) und \((-3; \infty)\) jeweils streng monoton steigend. Das Monotonieverhalten ändert sich beim Übergang über die Polstelle nicht. Toms Aussage ist korrekt.

Laras Aussage ist falsch, da \(f\) nach dem Kürzen eine Polstelle 1. Ordnung mit Vorzeichenwechsel besitzt. Toms Aussage ist korrekt, da die Ableitung \(f'(x) = \frac{6}{(x+3)^2}\) an der Stelle \(x = -3\) eine Polstelle 2. Ordnung (ohne Vorzeichenwechsel) hat und somit ihr Vorzeichen nicht ändert, was ein gleichbleibendes Monotonieverhalten bedeutet.

- Betrachte das Vorzeichen des Nenners für \(x < -1\). Wie ändert es sich in Abhängigkeit von \(k\)? - Welchen Einfluss hat die Zahl \(-2\) im Zähler auf das Gesamtvorzeichen des Bruchs? - Unterscheide klar zwischen dem Verhalten des Nenners und dem Vorzeichen des gesamten Bruchs.

1. Annäherung von links (\(x < -1\)): Der Ausdruck \((x+1)\) ist negativ. 2. Fall \(k\) ungerade: Eine negative Basis mit ungeradem Exponenten ergibt einen negativen Wert für den Nenner \((x+1)^k\). Da der Zähler \(-2\) ebenfalls negativ ist, ergibt der Quotient \(\frac{\text{negativ}}{\text{negativ}}\) ein positives Vorzeichen. Somit gilt \(\lim_{x \to -1^-} g_k(x) = +\infty\). 3. Fall \(k\) gerade: Eine negative Basis mit geradem Exponenten ergibt einen positiven Wert für den Nenner \((x+1)^k\). Der Quotient \(\frac{-2}{\text{positiv}}\) ist negativ. Somit gilt \(\lim_{x \to -1^-} g_k(x) = -\infty\). Der negative Zähler bewirkt jeweils eine Umkehrung des Vorzeichens im Vergleich zu einer Funktion mit positivem Zähler.

Für ungerade \(k\) gilt \(\lim_{x \to -1^-} g_k(x) = +\infty\). Für gerade \(k\) gilt \(\lim_{x \to -1^-} g_k(x) = -\infty\). Der negative Zähler dreht das Vorzeichen des gesamten Bruchs um, da \(\frac{-2}{\text{Vorzeichen Nenner}}\) betrachtet wird.

- Kannst du den Nenner so umschreiben, dass er als Produkt von Faktoren da steht? - Schau dir die Hochzahlen der Faktoren im Nenner an, nachdem du ihn vollständig faktorisiert hast. - Was bedeutet eine gerade oder ungerade Hochzahl für den Verlauf des Graphen an der Polstelle? - Überprüfe zur Sicherheit, ob der Zähler an den Nullstellen des Nenners ebenfalls null wird.

1. Den Nenner der Funktion faktorisieren: \(x^3 - 6x^2 + 9x = x \cdot (x^2 - 6x + 9) = x \cdot (x-3)^2\). 2. Die Nullstellen des Nenners bestimmen: \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 3\). 3. Prüfen, ob der Zähler an diesen Stellen ungleich null ist: \(0+5 = 5 \neq 0\) und \(3+5 = 8 \neq 0\). Somit sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 3\) Polstellen. 4. Die Vielfachheit der Polstellen untersuchen: Die Stelle \(x_1 = 0\) tritt mit der Potenz 1 auf (ungerade Vielfachheit), die Stelle \(x_2 = 3\) tritt mit der Potenz 2 auf (gerade Vielfachheit). 5. Schlussfolgerung: Bei \(x_1 = 0\) liegt ein Pol mit Vorzeichenwechsel vor, bei \(x_2 = 3\) liegt ein Pol ohne Vorzeichenwechsel vor.

Polstelle bei \(x = 0\) mit Vorzeichenwechsel; Polstelle bei \(x = 3\) ohne Vorzeichenwechsel.

- Erinnerst du dich an die binomischen Formeln, um den Ausdruck in der Klammer weiter zu zerlegen? - Wie wirkt sich die äußere Potenz auf die einzelnen Faktoren im Nenner aus? - Was sagt die Vielfachheit einer Polstelle über den Vorzeichenwechsel aus?

1. Die Nullstellen des Nenners durch Lösen der Gleichung \((x^2 - 1)^3 = 0\) finden: Dies führt auf \(x^2 - 1 = 0\), woraus \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\) folgen. 2. Den Funktionsterm mithilfe der dritten binomischen Formel weiter zerlegen: \(g(x) = \frac{1}{((x-1)(x+1))^3} = \frac{1}{(x-1)^3 \cdot (x+1)^3}\). 3. Da der Zähler konstant 1 ist, sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\) Polstellen der Funktion. 4. Die Ordnung (Vielfachheit) beider Polstellen bestimmen: Sowohl der Faktor \((x-1)\) als auch der Faktor \((x+1)\) besitzen den Exponenten 3. 5. Da die Ordnung 3 ungerade ist, handelt es sich bei beiden Stellen um Polstellen mit Vorzeichenwechsel.

Polstellen bei \(x = 1\) und \(x = -1\); beide sind Pole mit Vorzeichenwechsel.

- Woran erkennst du im Graphen den Unterschied zwischen einer Polstelle und einer hebbaren Definitionslücke? - Welche Rolle spielen die offenen Kreise für die Definitionslücken? - Wie hängt die Gleichung einer senkrechten Asymptote mit dem Nenner des Funktionsterms zusammen? - Wenn eine Definitionslücke hebbar ist, welcher gemeinsame Faktor muss dann im Zähler und im Nenner des Funktionsterms vorkommen? - Versuche zuerst, den gekürzten Funktionsterm anhand der Asymptote und markanter Punkte (wie Achsenschnittpunkte) aufzustellen.

1. Analyse von Funktion \(f\) (blau): - **Polstelle:** Bei \(x = 1\) verläuft der Graph entlang einer senkrechten Asymptote. Es liegt eine Polstelle vor. Die Gleichung der senkrechten Asymptote lautet \(x = 1\). - **Hebbare Definitionslücke:** Bei \(x = 3\) befindet sich ein „Loch“ (offener Kreis) im Graphen bei \(y = 2{,}5\). Es liegt eine hebbare Definitionslücke vor. - **Funktionsterm:** Der gekürzte Funktionsterm hat die Form \(f_{\text{gekürzt}}(x) = \frac{x+2}{x-1}\) (da der gekürzte Term an der Stelle \(x = 3\) den Wert \(2{,}5\) hat und der \(y\)-Achsenabschnitt bei \((0 \mid -2)\) liegt). Durch Erweitern mit dem Faktor der hebbaren Definitionslücke \((x-3)\) ergibt sich ein möglicher Funktionsterm: \(f(x) = \frac{(x+2)(x-3)}{(x-1)(x-3)} = \frac{x^2 - x - 6}{x^2 - 4x + 3}\). 2. Analyse von Funktion \(g\) (grün): - **Polstelle:** Bei \(x = -2\) verläuft der Graph entlang einer senkrechten Asymptote. Es liegt eine Polstelle vor. Die Gleichung der senkrechten Asymptote lautet \(x = -2\). - **Hebbare Definitionslücke:** Bei \(x = 1\) befindet sich ein „Loch“ (offener Kreis) auf der \(x\)-Achse bei \(y = 0\). Es liegt eine hebbare Definitionslücke vor. - **Funktionsterm:** Der gekürzte Funktionsterm hat die Form \(g_{\text{gekürzt}}(x) = \frac{x-1}{x+2}\) (da der gekürzte Term an der Stelle \(x = 1\) den Wert \(0\) hat und der \(y\)-Achsenabschnitt bei \((0 \mid -0{,}5)\) liegt). Durch Erweitern mit dem Faktor der hebbaren Definitionslücke \((x-1)\) ergibt sich ein möglicher Funktionsterm: \(g(x) = \frac{(x-1)^2}{(x+2)(x-1)} = \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + x - 2}\).

a) Für \(f\) (blau): Polstelle bei \(x = 1\) (senkrechte Asymptote: \(x = 1\)) und hebbare Definitionslücke bei \(x = 3\). b) Für \(g\) (grün): Polstelle bei \(x = -2\) (senkrechte Asymptote: \(x = -2\)) und hebbare Definitionslücke bei \(x = 1\). c) Mögliche Funktionsterme sind \(f(x) = \frac{x^2 - x - 6}{x^2 - 4x + 3}\) und \(g(x) = \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + x - 2}\).

- Schau dir an, an welchem \(x\)-Wert der Graph der Funktion „ins Unendliche“ verschwindet. - Überprüfe, ob der Graph auf beiden Seiten der Polstelle in dieselbe Richtung (beide nach oben oder beide nach unten) oder in entgegengesetzte Richtungen verläuft. - Suche nach der waagrechten Linie, an die sich der Graph für sehr große positive oder negative \(x\)-Werte immer mehr anschmiegt.

1. Für den Graphen von \(f\): - Die vertikale Asymptote liegt bei \(x = -4\), also ist dort die Polstelle. - Da der Graph links der Polstelle gegen \(-\infty\) und rechts gegen \(+\infty\) strebt, handelt es sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel (VZW). - Der Graph nähert sich für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte der Geraden \(y = -3\). Die waagrechte Asymptote ist also \(y = -3\). 2. Für den Graphen von \(g\): - Die vertikale Asymptote liegt bei \(x = 3\), also ist dort die Polstelle. - Da der Graph auf beiden Seiten der Polstelle gegen \(+\infty\) strebt, handelt es sich um eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel (ohne VZW). - Der Graph nähert sich für \(|x| \to \infty\) der Geraden \(y = 1\). Die waagrechte Asymptote ist also \(y = 1\).

Funktion \(f\): Polstelle bei \(x = -4\) mit VZW; waagrechte Asymptote \(y = -3\). Funktion \(g\): Polstelle bei \(x = 3\) ohne VZW; waagrechte Asymptote \(y = 1\).

- Setze den Nenner gleich null, um die Definitionslücken zu finden. - Nutze die dritte binomische Formel, um den Nenner zu faktorisieren. - Wenn sich ein Faktor im Nenner vollständig wegkürzen lässt, handelt es sich um eine hebbare Definitionslücke. - Vergleiche die Grade von Zähler- und Nennerpolynom für die waagrechte Asymptote.

1. Definitionsmenge: Der Nenner \(x^2 - 1\) wird null für \(x = 1\) und \(x = -1\). Somit ist \(D_h = \mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}\). 2. Faktorisierung: \(h(x) = \frac{2x(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)}\). 3. Hebbare Definitionslücke: Bei \(x = -1\) werden Zähler und Nenner null. Durch Kürzen des Faktors \((x + 1)\) erhält man den vereinfachten Term \(\tilde{h}(x) = \frac{2x}{x - 1}\). Einsetzen von \(x = -1\) ergibt \(y = \frac{2(-1)}{-1 - 1} = \frac{-2}{-2} = 1\). Die hebbare Definitionslücke liegt bei \((-1 \mid 1)\). 4. Polstelle: Bei \(x = 1\) ist nur der Nenner null (der gekürzte Nenner wird dort null). Es liegt eine Polstelle vor. Die senkrechte Asymptote lautet \(x = 1\). 5. Waagrechte Asymptote: Da der Grad des Zählers gleich dem Grad des Nenners ist (beide Grad 2), ergibt sich die waagrechte Asymptote aus dem Verhältnis der Koeffizienten der höchsten Potenzen: \(y = \frac{2}{1} = 2\). Alternativ liefert der Grenzwert für \(x \to \pm\infty\) des gekürzten Terms \(\frac{2x}{x-1}\) ebenfalls \(y = 2\).

a) \(D_h = \mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}\) b) Hebbare Definitionslücke bei \((-1 \mid 1)\); Polstelle mit senkrechter Asymptote \(x = 1\). c) Waagrechte Asymptote \(y = 2\).

- Setze den gegebenen Wert für \(a\) in den Funktionsterm ein und untersuche die Vielfachheit der Nullstelle im Nenner. - Wann hebt ein Faktor im Zähler einen Faktor im Nenner teilweise auf? - Wie beeinflusst die Hochzahl am Klammerausdruck im Nenner (nach dem Kürzen), ob ein Vorzeichenwechsel stattfindet?

1. Für \(a = 0\) lautet die Funktion \(p_0(x) = \frac{x}{(x-3)^2}\). Die Definitionslücke liegt bei \(x = 3\). Da der Zähler an dieser Stelle den Wert \(3\) annimmt und somit ungleich null ist, handelt es sich um eine Polstelle. Da die Vielfachheit der Nennernullstelle gerade ist (Quadrat), liegt eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel (VZW) vor. 2. Eine Änderung der Art der Polstelle tritt ein, wenn der Zählerfaktor \((x - a)\) die Vielfachheit der Nennernullstelle reduziert. Dies ist der Fall, wenn \(a = 3\). Dann gilt \(p_3(x) = \frac{x-3}{(x-3)^2} = \frac{1}{x-3}\). Die Polstelle an der Stelle \(x = 3\) hat nun eine ungerade Vielfachheit (1. Ordnung), wodurch sie zu einer Polstelle mit VZW wird.

1. Polstelle bei \(x = 3\) ohne VZW. 2. Für \(a = 3\) ändert sich die Art; die Polstelle bei \(x = 3\) ist dann eine Polstelle mit VZW.

- Wann hat eine quadratische Gleichung keine, eine oder zwei Lösungen? - Was ist der Unterschied zwischen einer Polstelle und einer hebbaren Definitionslücke? - Prüfe, was passiert, wenn eine Nullstelle des Nenners gleichzeitig eine Nullstelle des Zählers ist. - Vergiss nicht den Spezialfall, in dem der Nenner nur eine einzige Nullstelle hat.

1. Begründung für \(a < 0\): Senkrechte Asymptoten treten an Polstellen auf, welche Definitionslücken (Nullstellen des Nenners) voraussetzen. Für \(a < 0\) ist der Ausdruck \(-a\) positiv. Die Gleichung \(x^2 - a = 0 \iff x^2 = a\) hat für negative \(a\) keine reelle Lösung, da Quadrate reeller Zahlen niemals negativ sind. Der Nenner hat also keine Nullstellen, weshalb keine Polstellen existieren. 2. Untersuchung für genau eine Polstelle (\(a \geq 0\)): - Fall \(a = 0\): \(g_0(x) = \frac{x-3}{x^2}\). Der Nenner hat eine doppelte Nullstelle bei \(x = 0\). Da der Zähler an dieser Stelle \(-3 \neq 0\) ist, liegt eine Polstelle vor. Ergebnis: \(a = 0\). - Fall \(a > 0\): Der Nenner \(x^2 - a\) hat zwei Nullstellen bei \(x = \sqrt{a}\) und \(x = -\sqrt{a}\). Damit genau eine Polstelle vorliegt, muss die andere Nullstelle eine hebbare Definitionslücke sein. Dies ist der Fall, wenn sie auch eine Nullstelle des Zählers \(x-3\) ist. - Bedingung Zählernullstelle: \(x - 3 = 0 \implies x = 3\). - Eine der Nennernullstellen muss also \(3\) sein: \(\sqrt{a} = 3 \implies a = 9\) oder \(-\sqrt{a} = 3\) (keine Lösung für \(a > 0\)). - Überprüfung für \(a = 9\): \(g_9(x) = \frac{x-3}{x^2 - 9} = \frac{x-3}{(x-3)(x+3)} = \frac{1}{x+3}\). Es gibt eine hebbare Lücke bei \(x = 3\) und eine Polstelle bei \(x = -3\). 3. Gesamtergebnis: Die Funktion hat genau eine Polstelle für \(a = 0\) und \(a = 9\).

a) Für \(a < 0\) hat die Gleichung \(x^2 - a = 0\) keine reellen Lösungen, da \(x^2 = a\) für negative \(a\) unlösbar ist. Ohne Nennernullstellen gibt es keine Polstellen und somit keine senkrechten Asymptoten. b) \(a = 0\) (Polstelle bei \(x = 0\)) und \(a = 9\) (Polstelle bei \(x = -3\), hebbare Lücke bei \(x = 3\)).

- Wann ist ein Bruch mathematisch nicht definiert? - Betrachte für die Annäherung an eine Definitionslücke Werte, die ganz nah an der Zahl liegen (z. B. \(3{,}9\) oder \(4{,}1\)). Welches Vorzeichen hat der Nenner dann? - Was passiert mit dem Bruchterm, wenn \(x\) extrem große Werte annimmt?

1. Definitionsmenge: Der Nenner darf nicht Null werden. \(x^2 - 16 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 16 \Leftrightarrow x = \pm 4\). Somit ist \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{-4; 4\}\). 2. Verhalten an den Polstellen: Für \(x \to 4^-\) ist \(x^2 < 16\), also \(x^2 - 16 \to 0^-\). Der Bruch \(\frac{9}{x^2 - 16} \to -\infty\), also \(g(x) = 1 - (-\infty) \to +\infty\). Für \(x \to 4^+\) ist \(x^2 > 16\), also \(x^2 - 16 \to 0^+\). Der Bruch \(\frac{9}{x^2 - 16} \to +\infty\), also \(g(x) = 1 - \infty \to -\infty\). Aufgrund der Achsensymmetrie (\(g(-x) = g(x)\)) gilt: \(\lim_{x \to -4^+} g(x) = \lim_{x \to 4^-} g(x) = +\infty\) und \(\lim_{x \to -4^-} g(x) = \lim_{x \to 4^+} g(x) = -\infty\). 3. Waagerechte Asymptote: Für \(x \to \pm \infty\) strebt \(x^2 - 16 \to \infty\), also \(\frac{9}{x^2 - 16} \to 0\). Es folgt \(\lim_{x \to \pm \infty} g(x) = 1 - 0 = 1\). Die waagerechte Asymptote ist \(y = 1\).

a) \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{-4; 4\}\). b) \(\lim_{x \to -4^-} g(x) = -\infty\), \(\lim_{x \to -4^+} g(x) = +\infty\), \(\lim_{x \to 4^-} g(x) = +\infty\), \(\lim_{x \to 4^+} g(x) = -\infty\). c) Waagerechte Asymptote: \(y = 1\).

- Erinnere dich an die Regel: Eine Polstelle hat genau dann einen Vorzeichenwechsel, wenn ihre Ordnung ungerade ist. - Wie verändert sich die Ordnung einer Polstelle beim Ableiten einer Potenzfunktion mit negativem Exponenten? - Teste die Aussagen an einfachen Beispielen wie \(f(x) = \frac{1}{x}\) oder \(f(x) = \frac{1}{x^2}\).

1. Zusammenhang der Polstellenordnungen: Sei \(x_0\) eine Polstelle \(k\)-ter Ordnung von \(f\). Dann verhält sich die Funktion lokal wie \(\frac{1}{(x-x_0)^k}\). Die Ableitung verhält sich lokal wie \(\frac{-k}{(x-x_0)^{k+1}}\), besitzt dort also eine Polstelle der Ordnung \(k+1\). 2. Analyse von Sarahs Aussage: Ein Vorzeichenwechsel (VZW) bei \(f\) bedeutet, dass \(k\) ungerade ist. Dann ist \(k+1\) gerade. Eine Polstelle gerader Ordnung hat keinen VZW. Sarahs Aussage ist somit korrekt. 3. Analyse von Leos Aussage: Ein fehlender VZW bei \(f'\) bedeutet, dass die Ordnung \(k+1\) gerade ist. Daraus folgt, dass die Ordnung \(k\) der ursprünglichen Funktion \(f\) ungerade sein muss. Eine ungerade Ordnung \(k\) bedeutet jedoch, dass die Funktion \(f\) an dieser Stelle einen Vorzeichenwechsel besitzt. Leos Aussage ist somit falsch.

Sarahs Aussage ist korrekt, da eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel eine ungerade Ordnung \(k\) hat, woraus eine gerade Ordnung \(k+1\) für die Ableitung folgt (kein VZW). Leos Aussage ist falsch, da ein fehlender Vorzeichenwechsel in der Ableitung (gerade Ordnung \(k+1\)) bedeutet, dass die ursprüngliche Funktion eine ungerade Ordnung \(k\) und damit einen Vorzeichenwechsel haben muss.