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- Eine gebrochen-rationale Funktion ist dort nicht definiert, wo ihr Nenner null wird. - Setze den Nenner gleich null.

1. Der Nenner wird für \(x=3\) null. Deshalb ist genau dieser Wert ausgeschlossen.

\(x=3\)

- Achte auf die Vielfachheit des Nennerfaktors an der Polstelle. - Überlege, was eine gerade Potenz mit dem Vorzeichen eines Faktors macht.

1. Der Nennerfaktor \((x+4)\) tritt mit der geraden Vielfachheit \(2\) auf. Daher liegt eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vor.

Nein. Die Polstelle bei \(x=-4\) hat keinen Vorzeichenwechsel.

- Lies zuerst die \(x\)-Koordinate der gestrichelten senkrechten Geraden ab. - Beobachte getrennt, wohin der linke und der rechte Ast nahe dieser Geraden verlaufen. - Vergleiche anschließend die Vorzeichen der Funktionswerte links und rechts der Polstelle.

1. Die gestrichelte senkrechte Asymptote liegt bei \(x=2\). Daher ist \(x=2\) die Polstelle. 2. Beide Äste steigen beim Annähern an \(x=2\) nach oben. Deshalb gilt \(\lim_{x\to 2^-}f(x)=+\infty\) und \(\lim_{x\to 2^+}f(x)=+\infty\). 3. Auf beiden Seiten der Polstelle sind die Funktionswerte positiv. Daher tritt kein Vorzeichenwechsel auf.

a) \(x=2\) b) \(\lim_{x\to 2^-}f(x)=+\infty\) und \(\lim_{x\to 2^+}f(x)=+\infty\) c) Kein Vorzeichenwechsel.

- Untersuche das Vorzeichen von \(x-3\) einmal für Werte knapp kleiner und einmal für Werte knapp größer als \(3\). - Überlege, was mit dem Betrag von \(\frac{1}{x-3}\) passiert, wenn der Nenner gegen \(0\) geht. - Verbinde das Vorzeichen des Nenners mit dem Vorzeichen des unendlich großen Funktionswerts.

1. Für \(x<3\) ist \(x-3<0\). Beim Annähern an \(3\) von links wird der Nenner negativ und betragsmäßig sehr klein. Daher gilt \(\lim_{x\to 3^-}f(x)=-\infty\). 2. Für \(x>3\) ist \(x-3>0\). Beim Annähern an \(3\) von rechts wird der Nenner positiv und betragsmäßig sehr klein. Daher gilt \(\lim_{x\to 3^+}f(x)=+\infty\).

\(\lim_{x\to 3^-}f(x)=-\infty\) und \(\lim_{x\to 3^+}f(x)=+\infty\)

- Welche Bedingung muss der Nenner erfüllen, damit die Definitionsmenge ganz \(\mathbb{R}\) ist? - Untersuche, wann die Gleichung \(x^2+c=0\) reelle Lösungen besitzt. - Vergleiche dafür die Fälle \(c>0\), \(c=0\) und \(c<0\).

1. Damit \(D_{g_c}=\mathbb{R}\) gilt, darf der Nenner \(x^2+c\) keine reelle Nullstelle besitzen. 2. Die Gleichung \(x^2+c=0\) ist gleichbedeutend mit \(x^2=-c\). 3. Für \(c>0\) ist \(-c<0\). Da \(x^2\ge0\) für alle reellen \(x\) gilt, gibt es dann keine reelle Lösung. 4. Für \(c=0\) ist \(x=0\) eine Nennernullstelle; für \(c<0\) sind \(x=\pm\sqrt{-c}\) Nennernullstellen. Daher gilt genau für \(c>0\): \(D_{g_c}=\mathbb{R}\).

\(c>0\)

- Welche Werte für \(x\) führen dazu, dass man durch Null teilen müsste? - Wie findet man die Nullstellen eines quadratischen Terms am einfachsten, wenn kein konstantes Glied vorhanden ist? - Wann genau wird eine Definitionslücke zu einer senkrechten Asymptote? - Prüfe, ob der Zähler an den kritischen Stellen ebenfalls null wird.

1. Bestimmung der Definitionslücken: Der Nenner \(x^2 + 2x = x(x + 2)\) besitzt die Nullstellen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = -2\). Daher ist \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{-2; 0\}\). 2. Prüfung auf Polstellen: Der Zähler \(2x - 1\) ist für \(x = 0\) gleich \(-1\) und für \(x = -2\) gleich \(-5\). Da der Zähler an den Nullstellen des Nenners ungleich null ist, handelt es sich bei beiden Stellen um Polstellen. 3. Bestimmung der Asymptoten: Jede Polstelle einer gebrochen-rationalen Funktion entspricht einer senkrechten Asymptote. Die Gleichungen lauten somit \(x = -2\) und \(x = 0\).

\(D_g = \mathbb{R} \setminus \{-2; 0\}\) Senkrechte Asymptoten: \(x = -2\) und \(x = 0\).

- Suche für Zähler und Nenner jeweils eine Produktdarstellung aus Linearfaktoren. - Prüfe nach dem Faktorisieren, ob Zähler und Nenner einen gemeinsamen Faktor besitzen. - Welche Vielfachheit hat der Nennerfaktor an der ausgeschlossenen Stelle?

1. Der Zähler faktorisiert zu \(x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\). 2. Der Nenner faktorisiert zu \(x^2-2x+1=(x-1)^2\). 3. Zähler und Nenner besitzen keinen gemeinsamen Faktor. Der Term ist vollständig gekürzt. 4. Der Nenner wird nur bei \(x=1\) null. Daher gilt \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{1\}\). 5. Bei \(x=1\) ist der Zähler \(12\neq0\). Somit liegt dort eine Polstelle vor. 6. Der Nennerfaktor \(x-1\) besitzt die gerade Vielfachheit \(2\). Deshalb findet an der Polstelle kein Vorzeichenwechsel statt.

\(g(x)=\frac{(x+2)(x+3)}{(x-1)^2}\); \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{1\}\); bei \(x=1\) liegt eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vor.

- Bestimme zuerst die Nullstellen des jeweiligen Nenners. - Prüfe an jeder Nennernullstelle, ob der Zähler dort ungleich null ist. - Achte darauf, ob der zugehörige Nennerfaktor mit gerader oder ungerader Vielfachheit vorkommt.

a) Der Nenner hat bei \(x=1\) eine Nullstelle der Vielfachheit \(2\). Der Zähler ist dort ungleich null. Daher liegt bei \(x=1\) eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vor. b) Es gilt \(x^2-4x=x(x-4)\). Die Nennernullstellen \(x=0\) und \(x=4\) sind jeweils einfach, während der Zähler konstant \(5\) ist. Daher liegen bei \(x=0\) und \(x=4\) Polstellen mit Vorzeichenwechsel vor. c) Der Nenner hat bei \(x=-3\) eine Nullstelle der Vielfachheit \(2\). Für den Zähler gilt \(-3-2=-5\neq0\). Daher liegt bei \(x=-3\) eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vor.

a) \(x=1\): Polstelle ohne Vorzeichenwechsel b) \(x=0\) und \(x=4\): Polstellen mit Vorzeichenwechsel c) \(x=-3\): Polstelle ohne Vorzeichenwechsel

- Welche bekannte Faktorisierung passt zu \(x^2-9\)? - Vergleiche nach dem Faktorisieren, wie oft der Faktor \(x-3\) im Zähler und im Nenner vorkommt. - Beurteile die zulässigen Werte immer anhand des ursprünglichen Bruchterms.

1. Es gilt \(x^2-9=(x-3)(x+3)\). 2. Für \(x\neq3\) folgt daher \(k(x)=\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)^2}=\frac{x+3}{x-3}\). Miras Behauptung ist richtig. 3. Genau ein Faktor \(x-3\) aus dem Zähler wird mit einem der beiden gleichen Faktoren im Nenner gekürzt. 4. Der Wert \(x=3\) bleibt ausgeschlossen, weil der ursprüngliche Nenner dort null ist. Kürzen verändert die Definitionsmenge des ursprünglichen Bruchterms nicht.

a) Genau ein Faktor \(x-3\) wird gekürzt. b) \(x=3\) bleibt ausgeschlossen, weil der ursprüngliche Nenner dort null ist.

- Ordne jedem der vier Polynome zunächst eine passende Faktorisierungsstrategie zu. - Bestimme die ausgeschlossenen Werte aus den faktorisierten Nennern. - Prüfe erst nach vollständiger Faktorisierung, ob Zähler und Nenner einen gemeinsamen Faktor besitzen.

1. Für \(f\) gilt \(2x-4=2(x-2)\) und \(x^2-2x+1=(x-1)^2\). 2. Für \(g\) gilt \(x^2-1=(x-1)(x+1)\) und \(x^2+4x+4=(x+2)^2\). 3. Bei \(f\) wird im Zähler ausgeklammert und im Nenner eine binomische Formel erkannt. Bei \(g\) wird im Zähler die Differenz von Quadraten und im Nenner eine binomische Formel genutzt. 4. Der Nenner von \(f\) wird bei \(x=1\) null, also ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}\). Der Nenner von \(g\) wird bei \(x=-2\) null, also ist \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{-2\}\). 5. In beiden Fällen besitzen Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Faktor. Beide Funktionsterme sind vollständig gekürzt.

a) \(f(x)=\frac{2(x-2)}{(x-1)^2}\), \(g(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{(x+2)^2}\) b) \(f\): Ausklammern und binomische Formel; \(g\): Differenz von Quadraten und binomische Formel c) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}\), \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{-2\}\); beide Terme sind vollständig gekürzt.

- Achte jeweils darauf, von welcher Seite sich \(x\) der kritischen Stelle nähert. - Bestimme das Vorzeichen von Zähler und Nenner unmittelbar auf dieser Seite. - Überlege, was mit einem Bruch geschieht, wenn der Nenner mit festem Vorzeichen gegen \(0\) strebt.

1. Für \(x\to1^-\) nähert sich der Zähler \(x+2\) dem positiven Wert \(3\), während \(x-1\) negativ bleibt und gegen \(0\) strebt. Daher gilt \(\frac{x+2}{x-1}\to-\infty\). 2. Für \(x\to-2^+\) bleibt der Zähler positiv, während \(x+2\) positiv ist und gegen \(0\) strebt. Daher gilt \(\frac{3}{x+2}\to+\infty\).

a) \(\lim_{x\to1^-}\frac{x+2}{x-1}=-\infty\) b) \(\lim_{x\to-2^+}\frac{3}{x+2}=+\infty\)

- Vergleiche das Vorzeichen der jeweiligen Nenner direkt links und rechts von \(x=5\). - Überlege, welchen Unterschied ein einfacher und ein quadrierter Nennerfaktor macht. - Ein Vorzeichenwechsel liegt nur vor, wenn die Funktionswerte auf den beiden Seiten unterschiedliche Vorzeichen haben.

1. Für \(f_1\) ist \(x-5\) links von \(5\) negativ und rechts von \(5\) positiv. Daher gilt \(\lim_{x\to5^-}f_1(x)=-\infty\) und \(\lim_{x\to5^+}f_1(x)=+\infty\). Es liegt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor. 2. Für \(f_2\) ist \((x-5)^2\) auf beiden Seiten von \(5\) positiv. Daher gilt \(\lim_{x\to5^-}f_2(x)=+\infty\) und \(\lim_{x\to5^+}f_2(x)=+\infty\). Es liegt eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vor.

\(f_1\): links \(-\infty\), rechts \(+\infty\); Polstelle mit Vorzeichenwechsel. \(f_2\): links \(+\infty\), rechts \(+\infty\); Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

- Bestimme zuerst das Vorzeichen von \(x+1\), wenn \(x\) etwas kleiner als \(-1\) ist. - Vergleiche danach den einfachen Nennerfaktor mit seinem Quadrat. - Berücksichtige zuletzt das Vorzeichen des konstanten Zählers.

1. Für \(x\to-1^-\) ist \(x+1\) negativ. Daher ist bei \(g_1\) auch der Nenner negativ. Der Quotient aus dem negativen Zähler und dem negativen Nenner ist positiv, also \(\lim_{x\to-1^-}g_1(x)=+\infty\). 2. Bei \(g_2\) ist \((x+1)^2\) positiv. Mit dem negativen Zähler bleibt der Quotient negativ, also \(\lim_{x\to-1^-}g_2(x)=-\infty\).

\(\lim_{x\to-1^-}g_1(x)=+\infty\) \(\lim_{x\to-1^-}g_2(x)=-\infty\)

- Suche die Nullstelle des Nenners und prüfe den Zähler an derselben Stelle. - Welche Vielfachheit besitzt der Nennerfaktor? - Überlege, ob ein Quadrat links und rechts seiner Nullstelle unterschiedliche Vorzeichen annehmen kann.

1. Der Nenner wird bei \(x=3\) null. Der Zähler hat dort den Wert \(8\) und ist daher ungleich null. Somit liegt bei \(x=3\) eine Polstelle vor. 2. Der Nennerfaktor \((x-3)\) besitzt die gerade Vielfachheit \(2\). Deshalb hat der Nenner auf beiden Seiten der Polstelle dasselbe Vorzeichen. 3. Folglich liegt eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vor.

Bei \(x=3\) liegt eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vor.

- Faktorisiere den Nenner als Differenz zweier Quadrate. - Prüfe, ob der Zähler an einer Nennernullstelle ebenfalls null werden kann. - Welche Vielfachheit besitzen die beiden linearen Nennerfaktoren?

1. Es gilt \(x^2-1=(x-1)(x+1)\). Damit sind \(x=1\) und \(x=-1\) die Nennernullstellen. 2. Der Zähler ist konstant \(1\), also liegen an beiden Stellen Polstellen vor. 3. Beide Nennerfaktoren treten mit der ungeraden Vielfachheit \(1\) auf. Deshalb wechselt der Graph an beiden Polstellen das Vorzeichen.

Polstellen: \(x=-1\) und \(x=1\). An beiden liegt ein Vorzeichenwechsel vor.

- Welche Eigenschaft liest du aus der Nennernullstelle ab? - Was sagt die Vielfachheit des Nennerfaktors über den Vorzeichenwechsel aus? - Welche führenden Terme bestimmen die waagrechte Asymptote? - Wo erscheinen diese algebraischen Eigenschaften im Graphen?

1. Der Nenner wird bei \(x=1\) null. Daher ist \(D_h=\mathbb{R}\setminus\{1\}\). 2. Der Zähler hat bei \(x=1\) den Wert \(2\neq0\). Somit liegt bei \(x=1\) eine einfache Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor. 3. Für die Nullstelle muss \(2x=0\) gelten, also \(x=0\). Zähler und Nenner haben denselben Grad; das Verhältnis der führenden Koeffizienten ist \(2:1\). Daher ist \(y=2\) die waagrechte Asymptote. 4. Im Graphen erkennt man die Polstelle an der Annäherung an die senkrechte Gerade \(x=1\), die Nullstelle am Schnitt mit der \(x\)-Achse und die waagrechte Asymptote an der Annäherung an \(y=2\) für große \(|x|\). Der Wechsel von \(-\infty\) zu \(+\infty\) zeigt den Vorzeichenwechsel an der Polstelle.

\(D_h=\mathbb{R}\setminus\{1\}\); Polstelle \(x=1\) mit Vorzeichenwechsel; Nullstelle \(x=0\); waagrechte Asymptote \(y=2\)

- Untersuche das Verhalten links und rechts von \(x=2\) getrennt. - Vergleiche die beiden einseitigen Grenzwerte. - Überlege, welche Bedingung erfüllt sein muss, damit ein zweiseitiger Grenzwert existiert.

1. Für \(x\to2^-\) fallen die Funktionswerte unbegrenzt; der linksseitige Grenzwert ist \(-\infty\). 2. Für \(x\to2^+\) steigen die Funktionswerte unbegrenzt; der rechtsseitige Grenzwert ist \(+\infty\). 3. Ein zweiseitiger Grenzwert existiert nur, wenn die beiden einseitigen Grenzwerte übereinstimmen. Hier haben sie verschiedene Vorzeichen. Daher existiert \(\lim_{x\to2}g(x)\) nicht.

Der Grenzwert an der Stelle \(x_0=2\) existiert nicht. Es gilt \(\lim_{x\to2^-}g(x)=-\infty\) und \(\lim_{x\to2^+}g(x)=+\infty\); bei \(x=2\) liegt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor.

- Suche bei jedem Graphen die \(x\)-Stelle, an der die Funktionswerte betragsmäßig sehr groß werden. - Vergleiche die Vorzeichen der Funktionswerte unmittelbar links und rechts dieser Stelle. - Überlege, wie eine gerade oder ungerade Vielfachheit des Nennerfaktors das Vorzeichenverhalten beeinflusst.

a) Graph A hat die Definitionslücke \(x=1\). Graph B hat die Definitionslücke \(x=-2\). b) Bei Graph A liegen die beiden Äste auf verschiedenen Seiten der \(x\)-Achse. Deshalb liegt bei \(x=1\) eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor. Bei Graph B sind die Funktionswerte auf beiden Seiten der Polstelle positiv. Deshalb liegt bei \(x=-2\) eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vor. c) Graph A gehört zu \(r_1(x)=\frac{1}{x-1}\), weil der Nennerfaktor \((x-1)\) einfach vorkommt. Graph B gehört zu \(r_2(x)=\frac{1}{(x+2)^2}\), weil der Nennerfaktor \((x+2)\) die gerade Vielfachheit \(2\) besitzt.

Graph A: Definitionslücke und Polstelle bei \(x=1\), mit Vorzeichenwechsel; Term \(r_1(x)=\frac{1}{x-1}\). Graph B: Definitionslücke und Polstelle bei \(x=-2\), ohne Vorzeichenwechsel; Term \(r_2(x)=\frac{1}{(x+2)^2}\).

- Übersetze jede vorgegebene Polstelle in einen Linearfaktor des Nenners. - Beachte, dass „einfach“ bedeutet, dass jeder dieser Faktoren nur einmal vorkommt. - Nutze die Bedingung „normiert“, um den Leitkoeffizienten festzulegen.

1. Einfache Polstellen bei \(x=-1\) und \(x=4\) bedeuten, dass der Nenner die einfachen Faktoren \(x+1\) und \(x-4\) besitzt. 2. Da \(q\) normiert sein soll, ist der Leitkoeffizient \(1\). Somit gilt \(q(x)=(x+1)(x-4)\). 3. Ausmultiplizieren ergibt \(q(x)=x^2-3x-4\).

\(q(x)=(x+1)(x-4)=x^2-3x-4\)

- Untersuche zuerst unabhängig vom Kontext, für welchen Wert der Nenner null wird. - Prüfe an diesem Wert auch den Zähler, um die Art der Definitionslücke einzuordnen. - Übertrage den ausgeschlossenen Wert anschließend zurück auf die Bedeutung von \(x\) im Modell.

1. Der Nenner wird bei \(x=0\) null, während der Zähler dort den Wert \(600\) hat. Daher ist die mathematische Definitionsmenge \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\), und bei \(x=0\) liegt eine Polstelle vor. 2. Im Modell bedeutet \(x\) die Anzahl gefertigter Bauteile und es gilt ausdrücklich \(x>0\). Bei \(x=0\) würden Durchschnittskosten pro Bauteil berechnet, obwohl kein Bauteil gefertigt wurde; dieser Wert hat im Sachzusammenhang keine Bedeutung.

a) \(D=\mathbb{R}\setminus\{0\}\); Polstelle bei \(x=0\) b) Im Modell gilt \(x>0\); bei \(x=0\) gibt es kein gefertigtes Bauteil, auf das Durchschnittskosten bezogen werden könnten.

- Wann wird der Nenner eines Bruchs null? - Überlege dir, welchen Einfluss das Vorzeichen von \(k\) auf die Gleichung \(x^2 = 2k\) hat. - Erinnere dich daran, dass senkrechte Asymptoten an den Stellen auftreten, an denen der Nenner eine Nullstelle hat (und der Zähler nicht). - Wie viele Lösungen kann eine Gleichung der Form \(x^2 = c\) in Abhängigkeit von \(c\) haben?

1. Fallunterscheidung für die Definitionsmenge: - Für \(k < 0\) ist \(-2k > 0\). Da \(x^2 \geq 0\), ist der Nenner \(x^2 - 2k\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) stets positiv und hat keine Nullstellen. Somit gilt \(D_{f_k} = \mathbb{R}\). - Für \(k = 0\) lautet der Nenner \(x^2\). Die einzige Nullstelle ist \(x = 0\). Somit gilt \(D_{f_0} = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). - Für \(k > 0\) hat der Nenner \(x^2 - 2k\) zwei Nullstellen bei \(x = \pm \sqrt{2k}\). Somit gilt \(D_{f_k} = \mathbb{R} \setminus \{-\sqrt{2k}; \sqrt{2k}\}\). 2. Senkrechte Asymptoten für \(k = 8\): Einsetzen von \(k = 8\) ergibt \(f_8(x) = \frac{6}{x^2 - 16}\). Die Nullstellen des Nenners sind \(x^2 = 16\), also \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -4\). Da der Zähler dort ungleich Null ist, liegen Polstellen vor. Die Gleichungen der senkrechten Asymptoten lauten \(x = 4\) und \(x = -4\). 3. Anzahl der Polstellen: - \(k < 0\): 0 Polstellen (keine Definitionslücken). - \(k = 0\): 1 Polstelle (bei \(x = 0\)). - \(k > 0\): 2 Polstellen (bei \(x = \sqrt{2k}\) und \(x = -\sqrt{2k}\)).

a) \(D_{f_k} = \mathbb{R}\) für \(k < 0\); \(D_{f_0} = \mathbb{R} \setminus \{0\}\) für \(k = 0\); \(D_{f_k} = \mathbb{R} \setminus \{-\sqrt{2k}; \sqrt{2k}\}\) für \(k > 0\). b) \(x = 4\) und \(x = -4\). c) 0 Polstellen für \(k < 0\); 1 Polstelle für \(k = 0\); 2 Polstellen für \(k > 0\).

- Bestimme zuerst die Nullstellen des Nenners. - Untersuche für jede Seite einer Polstelle das Vorzeichen von \(x^2-16\). - Für die waagrechte Asymptote ist entscheidend, was mit dem Bruchterm für große Beträge von \(x\) geschieht.

1. Der Nenner darf nicht null werden. Aus \(x^2-16=0\) folgt \(x=\pm4\). Somit ist \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{-4;4\}\). 2. Für \(x\to4^-\) gilt \(x^2-16\to0^-\). Daher ist \(\frac{9}{x^2-16}\to-\infty\) und somit \(g(x)\to+\infty\). 3. Für \(x\to4^+\) gilt \(x^2-16\to0^+\). Daher ist \(\frac{9}{x^2-16}\to+\infty\) und somit \(g(x)\to-\infty\). 4. Wegen \(g(-x)=g(x)\) gilt entsprechend \(\lim_{x\to-4^-}g(x)=-\infty\) und \(\lim_{x\to-4^+}g(x)=+\infty\). 5. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(\frac{9}{x^2-16}\to0\). Daher ist \(\lim_{x\to\pm\infty}g(x)=1\), also lautet die waagrechte Asymptote \(y=1\).

a) \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{-4;4\}\) b) \(\lim_{x\to-4^-}g(x)=-\infty\), \(\lim_{x\to-4^+}g(x)=+\infty\), \(\lim_{x\to4^-}g(x)=+\infty\), \(\lim_{x\to4^+}g(x)=-\infty\) c) Waagrechte Asymptote: \(y=1\)

- Vereinfache den Funktionsterm, bevor du die Ordnung der Polstelle beurteilst. - Bestimme \(f'\) anschließend aus dem gekürzten Quotienten. - Vergleiche das Vorzeichen von \(f'\) auf beiden Seiten von \(x=-3\).

1. Für \(x\neq-3\) lässt sich \(f(x)=\frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)^2}=\frac{x-3}{x+3}\) vereinfachen. Deshalb bleibt bei \(x=-3\) eine Polstelle 1. Ordnung mit Vorzeichenwechsel. Laras Aussage ist falsch. 2. Mit der Quotientenregel für \(\frac{x-3}{x+3}\) erhält man \(f'(x)=\frac{(x+3)-(x-3)}{(x+3)^2}=\frac{6}{(x+3)^2}\). 3. \(f'\) besitzt bei \(x=-3\) eine Polstelle 2. Ordnung und ist auf beiden Seiten positiv. Daher ist \(f\) auf beiden Ästen streng steigend; Toms Aussage ist korrekt.

Lara liegt falsch: Nach dem Kürzen bleibt für \(f\) eine Polstelle 1. Ordnung mit Vorzeichenwechsel. Tom liegt richtig: \(f'(x)=\frac{6}{(x+3)^2}>0\) auf beiden Seiten der Polstelle, daher ändert sich die Monotonierichtung nicht.

- Welche Information über den Nenner liefert die senkrechte Asymptote jedes einzelnen Graphen? - Welche Information über den Zähler liefert die jeweilige Nullstelle? - Nutze die waagrechte Asymptote als Kontrolle der führenden Koeffizienten und den \(y\)-Achsenabschnitt als zweite Probe.

1. Für \(f\) sind die Asymptoten \(x=1\) und \(y=1\); die Nullstelle ist \(x=-2\). Für \(g\) sind die Asymptoten \(x=-2\) und \(y=1\); die Nullstelle ist \(x=1\). 2. Bei einem Term \(\frac{x+b}{x+c}\) liefert die Nullstelle den Zählerfaktor und die senkrechte Asymptote den Nennerfaktor. Daher passen \(f(x)=\frac{x+2}{x-1}\) und \(g(x)=\frac{x-1}{x+2}\). Beide besitzen wegen gleicher Leitkoeffizienten die waagrechte Asymptote \(y=1\). 3. Es gilt \(f(0)=-2\) und \(g(0)=-\frac12=-0{,}5\). Diese Werte stimmen mit den \(y\)-Achsenabschnitten der beiden getrennten Graphen überein.

a) \(f\): Asymptoten \(x=1\), \(y=1\), Nullstelle \(x=-2\); \(g\): Asymptoten \(x=-2\), \(y=1\), Nullstelle \(x=1\) b) \(f(x)=\frac{x+2}{x-1}\); \(g(x)=\frac{x-1}{x+2}\) c) \(f(0)=-2\); \(g(0)=-0{,}5\)

- An welcher \(x\)-Stelle läuft der jeweilige Graph betragsmäßig unbegrenzt? - Zeigen die beiden Äste an der Polstelle in dieselbe oder in entgegengesetzte Richtungen? - Welcher waagrechten Geraden nähert sich der Graph für große \(|x|\)?

1. Beim Graphen von \(f\) liegt die senkrechte Asymptote bei \(x=-4\), also befindet sich dort die Polstelle. Links der Polstelle strebt der Graph gegen \(-\infty\), rechts gegen \(+\infty\); daher liegt ein Vorzeichenwechsel vor. Für \(|x|\to\infty\) nähert sich der Graph der Geraden \(y=-3\), der waagrechten Asymptote. 2. Beim Graphen von \(g\) liegt die senkrechte Asymptote bei \(x=3\), also befindet sich dort die Polstelle. Auf beiden Seiten strebt der Graph gegen \(+\infty\); daher liegt kein Vorzeichenwechsel vor. Für \(|x|\to\infty\) nähert sich der Graph der Geraden \(y=1\), der waagrechten Asymptote.

\(f\): Polstelle bei \(x=-4\) mit Vorzeichenwechsel; waagrechte Asymptote \(y=-3\) \(g\): Polstelle bei \(x=3\) ohne Vorzeichenwechsel; waagrechte Asymptote \(y=1\)

- Woran erkennst du bei einem vollständig gekürzten Bruch die Ordnung einer Polstelle? - Vereinfache die Ableitung so, dass die Potenz von \(x-a\) im Nenner sichtbar wird. - Welche Bedingung muss der neue Zähler an \(x=a\) erfüllen, damit keine weitere Kürzung möglich ist?

1. Bei \(x=2\) verschwindet der Nenner in dritter Ordnung, während der Zähler den Wert \(5\neq0\) hat. Daher besitzt \(f\) dort eine Polstelle 3. Ordnung. 2. Mit der Quotientenregel folgt \(f'(x)=\frac{2x(x-2)^3-(x^2+1)3(x-2)^2}{(x-2)^6}=\frac{-x^2-4x-3}{(x-2)^4}\). Der neue Zähler hat bei \(x=2\) den Wert \(-15\neq0\), also liegt eine Polstelle 4. Ordnung vor. 3. Für \(g\) gilt \(g'(x)=\frac{u'(x)(x-a)^n-u(x)n(x-a)^{n-1}}{(x-a)^{2n}}=\frac{u'(x)(x-a)-nu(x)}{(x-a)^{n+1}}\). Der Zähler nimmt bei \(x=a\) den Wert \(-nu(a)\neq0\) an. Damit hat \(g'\) bei \(x=a\) eine Polstelle der Ordnung \(n+1\).

1. Polstelle \(x=2\) der Ordnung 3. 2. \(f'(x)=\frac{-x^2-4x-3}{(x-2)^4}\); bei \(x=2\) ist der Zähler \(-15\neq0\), also hat \(f'\) dort eine Polstelle 4. Ordnung. 3. \(g'(x)=\frac{u'(x)(x-a)-nu(x)}{(x-a)^{n+1}}\) und der Zählerwert bei \(x=a\) ist \(-nu(a)\neq0\); daher steigt die Polordnung von \(n\) auf \(n+1\).

- Du kannst die Potenzregel für negative Exponenten nutzen, um die Ableitungen schneller zu berechnen. - Vergleiche die Exponenten im Nenner der Ableitungen mit der Anzahl der Ableitungsschritte. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Ordnung einer Polstelle (gerade vs. ungerade) und dem grafischen Verlauf (mit oder ohne Vorzeichenwechsel).

1. Es ist \(f(x) = (x-1)^{-1}\). Die erste Ableitung lautet \(f'(x) = -1 \cdot (x-1)^{-2} = -\frac{1}{(x-1)^2}\). Die zweite Ableitung lautet \(f''(x) = (-1) \cdot (-2) \cdot (x-1)^{-3} = \frac{2}{(x-1)^3}\). 2. Für \(f\) ist die Ordnung 1. Für \(f'\) ist die Ordnung 2. Für \(f''\) ist die Ordnung 3. Allgemein lässt sich vermuten, dass die \(m\)-te Ableitung \(f^{(m)}\) einer Funktion mit einer Polstelle \(n\)-ter Ordnung eine Polstelle der Ordnung \(n+m\) besitzt. Hier ist \(n=1\), also hat \(f^{(m)}\) die Ordnung \(1+m\). 3. Die zweite Ableitung \(f''(x) = \frac{2}{(x-1)^3}\) hat an der Stelle \(x = 1\) eine Polstelle der Ordnung 3. Da die Ordnung 3 eine ungerade Zahl ist, liegt an der senkrechten Asymptote \(x = 1\) ein Vorzeichenwechsel vor. Für \(x \to 1^+\) gilt \(f''(x) \to +\infty\), für \(x \to 1^-\) gilt \(f''(x) \to -\infty\).

1. \(f'(x) = -\frac{1}{(x-1)^2}\) und \(f''(x) = \frac{2}{(x-1)^3}\). 2. Ordnungen: \(f: 1\), \(f': 2\), \(f'': 3\). Vermutung: Die \(m\)-te Ableitung hat die Ordnung \(n+m\) (hier \(1+m\)). 3. Senkrechte Asymptote bei \(x=1\) mit Vorzeichenwechsel, da die Polstelle von \(f''\) die ungerade Ordnung 3 hat.

- Erinnere dich an die Regel: Eine Polstelle hat genau dann einen Vorzeichenwechsel, wenn ihre Ordnung ungerade ist. - Wie verändert sich die Ordnung einer Polstelle beim Ableiten einer Potenzfunktion mit negativem Exponenten? - Teste die Aussagen an einfachen Beispielen wie \(f(x) = \frac{1}{x}\) oder \(f(x) = \frac{1}{x^2}\).

1. Zusammenhang der Polstellenordnungen: Sei \(x_0\) eine Polstelle \(k\)-ter Ordnung von \(f\). Dann verhält sich die Funktion lokal wie \(\frac{1}{(x-x_0)^k}\). Die Ableitung verhält sich lokal wie \(\frac{-k}{(x-x_0)^{k+1}}\), besitzt dort also eine Polstelle der Ordnung \(k+1\). 2. Analyse von Sarahs Aussage: Ein Vorzeichenwechsel (VZW) bei \(f\) bedeutet, dass \(k\) ungerade ist. Dann ist \(k+1\) gerade. Eine Polstelle gerader Ordnung hat keinen VZW. Sarahs Aussage ist somit korrekt. 3. Analyse von Leos Aussage: Ein fehlender VZW bei \(f'\) bedeutet, dass die Ordnung \(k+1\) gerade ist. Daraus folgt, dass die Ordnung \(k\) der ursprünglichen Funktion \(f\) ungerade sein muss. Eine ungerade Ordnung \(k\) bedeutet jedoch, dass die Funktion \(f\) an dieser Stelle einen Vorzeichenwechsel besitzt. Leos Aussage ist somit falsch.

Sarahs Aussage ist korrekt, da eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel eine ungerade Ordnung \(k\) hat, woraus eine gerade Ordnung \(k+1\) für die Ableitung folgt (kein VZW). Leos Aussage ist falsch, da ein fehlender Vorzeichenwechsel in der Ableitung (gerade Ordnung \(k+1\)) bedeutet, dass die ursprüngliche Funktion eine ungerade Ordnung \(k\) und damit einen Vorzeichenwechsel haben muss.