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- Prüfe, ob der Ausdruck die Form „Quadrat minus Quadrat“ hat. - Multipliziere deine beiden Faktoren zur Kontrolle wieder aus.

1. \(x^2-9\) ist eine Differenz von Quadraten. Daher gilt \(x^2-9=(x-3)(x+3)\).

\((x-3)(x+3)\)

- Suche einen Faktor, der in beiden Summanden vorkommt. - Prüfe nach dem Ausklammern durch Ausmultiplizieren.

1. Beide Summanden enthalten den Faktor \(3x\). Deshalb gilt \(3x^2+6x=3x(x+2)\).

\(3x(x+2)\)

- Suche zwei Zahlen, deren Produkt dem konstanten Glied entspricht. - Prüfe zusätzlich, welche Summe diese beiden Zahlen ergeben müssen. - Kontrolliere deine Faktoren durch kurzes Ausmultiplizieren.

1. Gesucht sind zwei Zahlen mit dem Produkt \(-12\) und der Summe \(1\). 2. Diese Zahlen sind \(4\) und \(-3\). 3. Daher gilt \(x^2+x-12=(x+4)(x-3)\).

\(x^2+x-12=(x+4)(x-3)\)

- Prüfe, ob das Polynom die Form eines vollständigen Quadrats hat. - Vergleiche den mittleren Term mit dem doppelten Produkt der beiden Randterme. - Achte darauf, wie oft derselbe Linearfaktor im Produkt vorkommt.

1. Das Polynom ist ein vollständiges Quadrat, denn \(9=3^2\) und der mittlere Term ist \(2\cdot 3x=6x\). 2. Daher gilt \(x^2+6x+9=(x+3)^2\). 3. Der Linearfaktor \(x+3\) kommt zweimal vor.

\(x^2+6x+9=(x+3)^2\); der Faktor \(x+3\) kommt doppelt vor.

- Welche bekannte Struktur hat der quadratische Term im Zähler? - Welche Zahl kannst du im Nenner zuerst ausklammern, bevor du weiter faktorisierst? - Vergleiche nach dem Faktorisieren die Linearfaktoren in Zähler und Nenner miteinander.

1. Der Zähler ist ein vollständiges Quadrat: \(x^2-4x+4=(x-2)^2\). 2. Im Nenner wird zunächst \(4\) ausgeklammert: \(4x^2-36=4(x^2-9)=4(x-3)(x+3)\). 3. Der Nenner wird für \(x=3\) und \(x=-3\) null. Daher gilt \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-3;3\}\). 4. Die Faktoren \((x-2)\), \((x-3)\) und \((x+3)\) sind verschieden. Zähler und Nenner besitzen somit keinen gemeinsamen Linearfaktor; der Term ist vollständig gekürzt.

a) \(f(x)=\frac{(x-2)^2}{4(x-3)(x+3)}\) b) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-3;3\}\); der Term ist vollständig gekürzt.

- Prüfe zuerst, bei welchem Wert die ursprünglichen Nenner null werden. - Suche in Zähler und Nenner nach gemeinsamen Faktoren, die für zulässige Werte gekürzt werden dürfen. - Vergleiche erst die vollständig vereinfachten Terme miteinander.

1. Beide Nenner werden für \(x=2\) null. Daher ist die gemeinsame Definitionsmenge \(D=\mathbb{R}\setminus\{2\}\). 2. Für \(x\neq2\) gilt \(A(x)=x+3+1=x+4\). 3. Außerdem ist \(2x-4=2(x-2)\). Daher gilt für \(x\neq2\): \(B(x)=\frac{2(x-2)(x+4)}{2(x-2)}=x+4\). 4. Somit liefern beide Bruchterme auf ihrer gemeinsamen Definitionsmenge denselben Wert.

\(D=\mathbb{R}\setminus\{2\}\); für alle \(x\in D\) gilt \(A(x)=B(x)=x+4\).

- Suche für Zähler und Nenner jeweils eine Produktdarstellung aus Linearfaktoren. - Prüfe nach dem Faktorisieren, ob Zähler und Nenner einen gemeinsamen Faktor besitzen. - Welche Vielfachheit hat der Nennerfaktor an der ausgeschlossenen Stelle?

1. Der Zähler faktorisiert zu \(x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\). 2. Der Nenner faktorisiert zu \(x^2-2x+1=(x-1)^2\). 3. Zähler und Nenner besitzen keinen gemeinsamen Faktor. Der Term ist vollständig gekürzt. 4. Der Nenner wird nur bei \(x=1\) null. Daher gilt \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{1\}\). 5. Bei \(x=1\) ist der Zähler \(12\neq0\). Somit liegt dort eine Polstelle vor. 6. Der Nennerfaktor \(x-1\) besitzt die gerade Vielfachheit \(2\). Deshalb findet an der Polstelle kein Vorzeichenwechsel statt.

\(g(x)=\frac{(x+2)(x+3)}{(x-1)^2}\); \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{1\}\); bei \(x=1\) liegt eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vor.

- Welche bekannte Faktorisierung passt zu \(x^2-9\)? - Vergleiche nach dem Faktorisieren, wie oft der Faktor \(x-3\) im Zähler und im Nenner vorkommt. - Beurteile die zulässigen Werte immer anhand des ursprünglichen Bruchterms.

1. Es gilt \(x^2-9=(x-3)(x+3)\). 2. Für \(x\neq3\) folgt daher \(k(x)=\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)^2}=\frac{x+3}{x-3}\). Miras Behauptung ist richtig. 3. Genau ein Faktor \(x-3\) aus dem Zähler wird mit einem der beiden gleichen Faktoren im Nenner gekürzt. 4. Der Wert \(x=3\) bleibt ausgeschlossen, weil der ursprüngliche Nenner dort null ist. Kürzen verändert die Definitionsmenge des ursprünglichen Bruchterms nicht.

a) Genau ein Faktor \(x-3\) wird gekürzt. b) \(x=3\) bleibt ausgeschlossen, weil der ursprüngliche Nenner dort null ist.

- Ordne jedem der vier Polynome zunächst eine passende Faktorisierungsstrategie zu. - Bestimme die ausgeschlossenen Werte aus den faktorisierten Nennern. - Prüfe erst nach vollständiger Faktorisierung, ob Zähler und Nenner einen gemeinsamen Faktor besitzen.

1. Für \(f\) gilt \(2x-4=2(x-2)\) und \(x^2-2x+1=(x-1)^2\). 2. Für \(g\) gilt \(x^2-1=(x-1)(x+1)\) und \(x^2+4x+4=(x+2)^2\). 3. Bei \(f\) wird im Zähler ausgeklammert und im Nenner eine binomische Formel erkannt. Bei \(g\) wird im Zähler die Differenz von Quadraten und im Nenner eine binomische Formel genutzt. 4. Der Nenner von \(f\) wird bei \(x=1\) null, also ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}\). Der Nenner von \(g\) wird bei \(x=-2\) null, also ist \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{-2\}\). 5. In beiden Fällen besitzen Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Faktor. Beide Funktionsterme sind vollständig gekürzt.

a) \(f(x)=\frac{2(x-2)}{(x-1)^2}\), \(g(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{(x+2)^2}\) b) \(f\): Ausklammern und binomische Formel; \(g\): Differenz von Quadraten und binomische Formel c) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}\), \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{-2\}\); beide Terme sind vollständig gekürzt.

- Suche zwei Zahlen, deren Produkt der konstante Term und deren Summe der Koeffizient von \(x\) ist. - Prüfe deine Faktorzerlegung durch Ausmultiplizieren. - Welche Werte dürfen in einem Nenner nicht eingesetzt werden?

1. Gesucht sind zwei Zahlen mit dem Produkt \(6\) und der Summe \(-5\). Das sind \(-2\) und \(-3\). 2. Daher gilt \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\). 3. Der Nenner wird bei \(x=2\) und \(x=3\) null. Diese Werte gehören nicht zur Definitionsmenge.

\(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\) \(D_r=\mathbb{R}\setminus\{2;3\}\)

- Faktorisiere Zähler und Nenner zunächst unabhängig voneinander. - Vergleiche danach die vollständigen Faktoren statt einzelner Summanden. - Bestimme die ausgeschlossenen Werte immer aus dem ursprünglichen Nenner.

1. Für den Zähler gilt \(x^2+x-6=(x+3)(x-2)\). 2. Für den Nenner gilt \(x^2+3x-4=(x+4)(x-1)\). 3. Zähler und Nenner besitzen keinen gemeinsamen Faktor. Deshalb lässt sich der Term nicht kürzen. 4. Der ursprüngliche Nenner wird bei \(x=-4\) und \(x=1\) null. Daher ist \(D_s=\mathbb{R}\setminus\{-4;1\}\).

\(s(x)=\frac{(x+3)(x-2)}{(x+4)(x-1)}\) Es lässt sich kein Faktor kürzen. \(D_s=\mathbb{R}\setminus\{-4;1\}\)

- Prüfe Leas Behauptung, indem du ihre rechte Seite ausmultiplizierst. - Vergleiche danach die Vorzeichen und Terme mit dem gegebenen Polynom. - Überlege, welche bekannte Struktur bei einer Differenz zweier Quadrate vorliegt.

1. Ausmultipliziert ist \((x-3)^2=x^2-6x+9\) und damit nicht gleich \(x^2-9\). 2. Bei \(x^2-9\) liegt eine Differenz zweier Quadrate vor. 3. Deshalb gilt \(x^2-9=(x-3)(x+3)\).

Leas Gleichung ist falsch, weil \((x-3)^2=x^2-6x+9\) gilt. Korrekt ist \(x^2-9=(x-3)(x+3)\).

- Übersetze jede Nullstelle in den zugehörigen Linearfaktor. - Setze vor das Produkt zunächst einen allgemeinen konstanten Faktor. - Nutze den vorgegebenen Leitkoeffizienten, um diesen Faktor festzulegen.

1. Zu den Nullstellen \(-2\) und \(5\) gehören die Linearfaktoren \(x+2\) und \(x-5\). 2. Der Leitkoeffizient \(2\) liefert \(p(x)=2(x+2)(x-5)\). 3. Ausmultiplizieren ergibt \((x+2)(x-5)=x^2-3x-10\) und damit \(p(x)=2x^2-6x-20\).

\(p(x)=2(x+2)(x-5)=2x^2-6x-20\)

- Welche gemeinsame Zahl kannst du im Zähler zunächst ausklammern? - Suche für jeden verbleibenden quadratischen Term zwei passende Linearfaktoren. - Vergleiche die Faktoren in Zähler und Nenner, bevor du entscheidest, ob Kürzen möglich ist.

1. Im Zähler wird zunächst \(2\) ausgeklammert: \(2x^2-4x-6=2(x^2-2x-3)=2(x-3)(x+1)\). 2. Für den Nenner gilt \(x^2+6x+8=(x+2)(x+4)\). 3. Der Nenner wird bei \(x=-2\) und \(x=-4\) null. Damit ist \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{-4;-2\}\). 4. Zähler und Nenner besitzen keinen gemeinsamen Faktor. Deshalb kann der Funktionsterm nicht weiter gekürzt werden.

a) \(g(x)=\frac{2(x-3)(x+1)}{(x+2)(x+4)}\) b) \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{-4;-2\}\); der Funktionsterm ist vollständig gekürzt.

- Welche Bedingung folgt allein aus dem negativen Exponenten? - Kannst du den Zähler so umformen, dass dieselben Faktoren wie im Nenner sichtbar werden? - Denke daran, dass beim Kürzen die ursprüngliche Definitionsmenge erhalten bleibt.

1. Wegen \(x^{-1}\) muss \(x\neq0\) gelten. Außerdem darf der Nenner \(x(1+3x)\) nicht null sein, also gilt zusätzlich \(x\neq-\frac{1}{3}\). 2. Im Zähler ist \(x^2(x^{-1}+3)=x+3x^2=x(1+3x)\). 3. Damit gilt auf der ursprünglichen Definitionsmenge \(\frac{x(1+3x)}{x(1+3x)}=1\).

\(1\) für \(x\neq0\) und \(x\neq-\frac{1}{3}\)

- Vereinfache zuerst die Produkte mit den negativen Exponenten mithilfe der Potenzgesetze. - Klammere danach im Zähler einen gemeinsamen Faktor aus. - Bestimme die Definitionsmenge am ursprünglichen Term, bevor du kürzt.

1. Wegen der negativen Exponenten und der Nenner gilt \(x\neq0\) und \(x\neq1\). Damit ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0;1\}\). 2. Mit den Potenzgesetzen gilt \(x^4x^{-1}=x^3\) und \(x^4x^{-2}=x^2\). 3. Der Zähler wird zu \(x^3-x^2=x^2(x-1)\). 4. Für \(x\in D\) können \(x-1\) und ein Faktor \(x\) gekürzt werden. Es bleibt \(x\).

\(x\), \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0;1\}\)

- Trenne die Frage, ob ein gemeinsamer Faktor gekürzt werden kann, von der Frage nach den zulässigen Einsetzungswerten des ursprünglichen Terms. - Prüfe die Bedingungen, die der ursprüngliche Nenner an \(x\) stellt, bevor du die gekürzte Form betrachtest. - Überlege, ob eine algebraische Vereinfachung zuvor ausgeschlossene Werte nachträglich zulässig machen kann.

1. Die Faktorisierungen \(x^2-4=(x-2)(x+2)\) und \(x^2+2x=x(x+2)\) sind richtig. 2. Der Faktor \((x+2)\) darf für alle Werte gekürzt werden, für die der ursprüngliche Bruchterm definiert ist. 3. Im ursprünglichen Nenner gilt \(x(x+2)=0\) für \(x=0\) und \(x=-2\). Beide Werte bleiben ausgeschlossen, auch wenn der Faktor \((x+2)\) gekürzt wurde.

Die Faktorisierung und das Kürzen sind korrekt, die Aussage zur Definitionsmenge ist falsch. Es gilt \(D_u=\mathbb{R}\setminus\{-2;0\}\).

- Eine ausgeschlossene Stelle entsteht als Nullstelle eines Faktors im ursprünglichen Nenner. - Welche Nullstelle muss der noch unbekannte normierte lineare Faktor besitzen? - Behalte nach dem Kürzen beide Ausschlüsse des ursprünglichen Terms bei.

1. Der Faktor \((x+2)\) erklärt bereits die ausgeschlossene Stelle \(x=-2\). 2. Die zweite ausgeschlossene Stelle ist \(x=5\). Ein normierter linearer Faktor mit der Nullstelle \(5\) ist \(L(x)=x-5\). 3. Damit lautet der ursprüngliche Term \(v(x)=\frac{(x+2)(x-4)}{(x+2)(x-5)}\). 4. Für \(x\neq-2\) kann \((x+2)\) gekürzt werden. Es ergibt sich \(v(x)=\frac{x-4}{x-5}\), wobei weiterhin \(D_v=\mathbb{R}\setminus\{-2;5\}\) gilt.

\(L(x)=x-5\) Für \(x\in D_v\) gilt \(v(x)=\frac{x-4}{x-5}\) mit \(D_v=\mathbb{R}\setminus\{-2;5\}\).

- Prüfe bei Zähler und Nenner, ob bekannte quadratische Strukturen eine direkte Faktorzerlegung erlauben. - Lies Nullstellen und ausgeschlossene Stellen erst aus den Faktoren ab, nachdem du auf gemeinsame Faktoren geprüft hast. - Für den Vorzeichenwechsel an einer Polstelle ist die Vielfachheit des verbleibenden Nennerfaktors entscheidend.

1. Der Zähler ist eine Differenz von Quadraten: \(4x^2-25=(2x-5)(2x+5)\). 2. Der Nenner ist ein vollständiges Quadrat: \(x^2-4x+4=(x-2)^2\). 3. Es gibt keinen gemeinsamen Faktor. Die Nullstellen entstehen aus den Zählerfaktoren: \(2x-5=0\) liefert \(x=\frac{5}{2}\), und \(2x+5=0\) liefert \(x=-\frac{5}{2}\). Beide Werte liegen in der Definitionsmenge. 4. Der Nenner wird bei \(x=2\) null. Weil der Faktor \((x-2)\) dort die gerade Vielfachheit \(2\) hat und der Zähler nicht null ist, liegt eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vor.

\(w(x)=\frac{(2x-5)(2x+5)}{(x-2)^2}\) Nullstellen: \(x=-\frac{5}{2}\) und \(x=\frac{5}{2}\) Polstelle: \(x=2\), ohne Vorzeichenwechsel