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- Erkennst du im Zähler eine Struktur, die zu einer der binomischen Formeln passt? - Kannst du im Nenner zuerst eine Zahl ausklammern, bevor du eine weitere Formel anwendest? - Welche Werte für \(x\) würden dazu führen, dass man durch Null teilt? Diese müssen aus der Definitionsmenge ausgeschlossen werden. - Welche Klammerausdrücke kommen sowohl oben als auch unten im Bruch vor?

1. Den Zähler mithilfe der zweiten binomischen Formel faktorisieren: \(x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2\). 2. Im Nenner die \(4\) ausklammern und anschließend die dritte binomische Formel anwenden: \(4x^2 - 36 = 4(x^2 - 9) = 4(x-3)(x+3)\). 3. Die Nullstellen des Nenners ermitteln (\(x = 3\) und \(x = -3\)), woraus die maximale Definitionsmenge \(\mathbb{D}_f = \mathbb{R} \setminus \{-3; 3\}\) folgt. 4. Den gemeinsamen Faktor \((x-3)\) im Zähler und Nenner kürzen, um den vereinfachten Term \(f(x) = \frac{x-3}{4(x+3)}\) zu erhalten.

a) \(f(x) = \frac{(x-3)^2}{4(x-3)(x+3)}\) b) \(\mathbb{D}_f = \mathbb{R} \setminus \{-3; 3\}\); gekürzter Term: \(f(x) = \frac{x-3}{4(x+3)}\)

- Überlege zuerst, für welche Werte von \(x\) die Funktionen überhaupt definiert sind. - Könnte es helfen, die Brüche durch Faktorisieren und Kürzen zu vereinfachen? - Versuche, die Summe bei \(f(x)\) auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. - Wann genau nennt man zwei Funktionen in der Mathematik „identisch“?

1. Bestimmung des Definitionsbereichs: Für beide Funktionen gilt \(D_f = D_g = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\), da der Nenner \(x+1\) für \(x = -1\) null wird. 2. Vereinfachung von \(f(x)\): Durch Faktorisieren des Zählers mit der dritten binomischen Formel ergibt sich \(\frac{(x-1)(x+1)}{x+1} + 3 = x-1+3 = x+2\). 3. Vereinfachung von \(g(x)\): Durch Faktorisieren des Zählers (z. B. mit dem Satz von Vieta) ergibt sich \(\frac{(x+1)(x+2)}{x+1} = x+2\). Alternativ: Bringt man \(f(x)\) auf den Hauptnenner \(x+1\), erhält man \(\frac{x^2-1 + 3(x+1)}{x+1} = \frac{x^2-1+3x+3}{x+1} = \frac{x^2+3x+2}{x+1}\), was exakt dem Funktionsterm von \(g(x)\) entspricht. Da die Definitionsbereiche und die Funktionsterme übereinstimmen, sind die Funktionen identisch.

Beide Funktionen haben den Definitionsbereich \(D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\). Durch Vereinfachen (Kürzen oder Hauptnenner bilden) lassen sich beide Funktionsterme auf die Form \(x+2\) bzw. \(\frac{x^2+3x+2}{x+1}\) bringen, wodurch ihre Identität nachgewiesen ist.

- Kannst du den Term im Zähler durch Ausmultiplizieren vereinfachen? - Gibt es im Zähler und Nenner eine gemeinsame Potenz von \(x\), die man ausklammern kann? - Erkennst du im Zähler nach dem Ausklammern ein bekanntes Zerlegungsmuster für quadratische Ausdrücke? - Welche Faktoren treten sowohl oberhalb als auch unterhalb des Bruchstrichs auf?

1. Ausmultiplizieren oder Umformen des Zählers: Durch Multiplikation des Faktors \(x^2\) in die Klammer erhält man \(x^2 \cdot x - 6x^2 + 9x^2 \cdot x^{-1} = x^3 - 6x^2 + 9x\). 2. Faktorisieren des Zählers: Zunächst wird \(x\) ausgeklammert, was \(x(x^2 - 6x + 9)\) ergibt. Der quadratische Term in der Klammer entspricht der zweiten binomischen Formel, sodass der Zähler als \(x(x - 3)^2\) geschrieben werden kann. 3. Faktorisieren des Nenners: Im Nenner \(x^2 - 3x\) wird \(x\) ausgeklammert, woraus \(x(x - 3)\) folgt. 4. Kürzen des Bruchs: Die gemeinsamen Faktoren \(x\) und \((x - 3)\) werden gekürzt. Es verbleibt der Term \(x - 3\).

\(x - 3\) (für \(x \neq 0\) und \(x \neq 3\))

- Wie lässt sich ein quadratischer Ausdruck \(ax^2 + bx + c\) mithilfe seiner Nullstellen \(x_1\) und \(x_2\) als Produkt schreiben? - Versuche im Zähler zuerst den Vorfaktor vor dem \(x^2\) auszuklammern, um die Nullstellensuche zu erleichtern. - Denk daran, dass beim Kürzen nur Faktoren (Teile von Produkten) und keine einzelnen Summanden gestrichen werden dürfen. - Welche Werte darf \(x\) im ursprünglichen Nenner auf keinen Fall annehmen?

1. Zähler faktorisieren: Zuerst \(2\) ausklammern zu \(2(x^2 - 2x - 3)\). Die Nullstellen von \(x^2 - 2x - 3\) sind \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -1\). Damit ergibt sich die faktorisierte Form \(2(x-3)(x+1)\). 2. Nenner faktorisieren: Die Nullstellen von \(x^2 + 5x + 4\) mit der Lösungsformel berechnen. Man erhält \(x_3 = -4\) und \(x_4 = -1\). Die faktorisierte Form ist \((x+4)(x+1)\). 3. Definitionsmenge bestimmen: Da der Nenner für \(x = -4\) und \(x = -1\) null wird, ist \(\mathbb{D}_g = \mathbb{R} \setminus \{-4; -1\}\). 4. Kürzen: Der Faktor \((x+1)\) tritt in Zähler und Nenner auf und kann gekürzt werden. Der vereinfachte Term lautet \(g(x) = \frac{2(x-3)}{x+4}\).

Faktorisierte Form: \(g(x) = \frac{2(x-3)(x+1)}{(x+4)(x+1)}\) Definitionsmenge: \(\mathbb{D}_g = \mathbb{R} \setminus \{-4; -1\}\) Gekürzter Term: \(g(x) = \frac{2(x-3)}{x+4}\)

- Prüfe, ob die Nenner der beiden Brüche auf dieselbe Nullstelle führen. - Kannst du im Zähler oder Nenner von \(g(x)\) einen gemeinsamen Faktor ausklammern? - Erinnerst du dich, wie man quadratische Terme in Linearfaktoren zerlegt, um Brüche zu kürzen? - Gibt es einen Weg, den Term ohne Bruch bei \(f(x)\) in den Zähler des Bruchs zu integrieren?

1. Bestimmung des Definitionsbereichs: Bei \(f\) muss \(x-2 \neq 0\) gelten, bei \(g\) muss \(2x-4 \neq 0\) gelten. In beiden Fällen folgt \(x \neq 2\), also \(D_f = D_g = \mathbb{R} \setminus \{2\}\). 2. Umformung von \(f(x)\): Durch Faktorisieren des Zählers erhält man \(\frac{(x-2)(x+3)}{x-2} + 1 = x+3+1 = x+4\). 3. Umformung von \(g(x)\): Ausklammern der \(2\) im Zähler und Nenner ergibt \(\frac{2(x^2+2x-8)}{2(x-2)} = \frac{x^2+2x-8}{x-2}\). Faktorisieren des verbleibenden Zählers führt zu \(\frac{(x-2)(x+4)}{x-2} = x+4\). Alternativ kann \(f(x)\) auf den Hauptnenner \(x-2\) gebracht werden: \(\frac{x^2+x-6 + 1(x-2)}{x-2} = \frac{x^2+2x-8}{x-2}\). Erweitert man diesen Bruch mit \(2\), erhält man \(\frac{2x^2+4x-16}{2x-4}\), was dem Term von \(g(x)\) entspricht.

Beide Funktionen besitzen denselben Definitionsbereich \(D = \mathbb{R} \setminus \{2\}\). Da sich beide Funktionsterme durch Faktorisieren und Kürzen bzw. durch Erweitern und Hauptnennerbildung in dieselbe Form (z. B. \(x+4\)) überführen lassen, sind sie identisch.

- Versuche zuerst, die Klammer im Zähler aufzulösen, indem du das Distributivgesetz anwendest. - Kannst du Zähler und Nenner jeweils als Produkt von Linearfaktoren schreiben? - Achte auf binomische Formeln, die dir beim Faktorisieren helfen könnten. - Gibt es Werte für \(x\), für die der ursprüngliche Term nicht definiert ist?

1. Vereinfachung des Zählers: Durch Multiplikation von \(x^4\) mit den Summanden in der Klammer ergibt sich \(x^4 \cdot \frac{1}{x} - x^4 \cdot \frac{1}{x^3} = x^3 - x\). 2. Faktorisieren des Zählers: Ausklammern von \(x\) liefert \(x(x^2 - 1)\). Die Anwendung der dritten binomischen Formel auf \((x^2 - 1)\) führt zur faktorisierten Form \(x(x - 1)(x + 1)\). 3. Faktorisieren des Nenners: Der Ausdruck \(x^2 + 2x + 1\) entspricht der ersten binomischen Formel und lässt sich als \((x + 1)^2\) schreiben. 4. Kürzen: Der Faktor \((x + 1)\) tritt in Zähler und Nenner auf und kann gekürzt werden. Das Ergebnis ist \(\frac{x(x - 1)}{x + 1}\) oder ausmultipliziert \(\frac{x^2 - x}{x + 1}\).

\(\frac{x(x - 1)}{x + 1}\) (für \(x \neq 0\) und \(x \neq -1\))