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- Für eine Nullstelle muss der Funktionswert \(0\) sein. - Bei einem Bruch wird der Wert \(0\), wenn der Zähler null und der Nenner nicht null ist.

1. Eine Nullstelle entsteht, wenn der Zähler null ist. Aus \(x-4=0\) folgt \(x=4\); der Nenner ist dort nicht null.

\(x=4\)

- Überlege, wann ein Bruch den Wert \(0\) haben kann. - Prüfe, ob der Zähler überhaupt null werden kann.

1. Der Zähler ist die von null verschiedene Konstante \(5\). Er kann daher für keinen Wert von \(x\) null werden. Die Funktion besitzt keine Nullstelle.

\(g\) besitzt keine Nullstelle.

- Lies zuerst die \(x\)-Koordinate des besonders markierten Punktes ab. - Nutze die im Aufgabentext erklärte Bedeutung eines offenen beziehungsweise ausgefüllten Punktes. - Entscheidend ist, welcher Punkt bei diesem Argument tatsächlich zum Graphen gehört.

1. In Abbildung a) liegt der markierte offene Punkt bei \((-1\mid0)\). Dieser Punkt gehört nicht zum Graphen. Bei \(x=-1\) gehört stattdessen der ausgefüllte Punkt \((-1\mid2)\) zum Graphen. Daher gilt \(f(-1)=2\) und nicht \(f(-1)=0\). 2. In Abbildung b) liegt der markierte ausgefüllte Punkt bei \((1\mid0)\) auf dem Graphen. Daher gilt dort \(g(1)=0\).

a) \(x=-1\); nein, denn der offene Punkt \((-1\mid0)\) gehört nicht zum Graphen. Es gilt \(f(-1)=2\). b) \(x=1\); ja, denn der ausgefüllte Punkt \((1\mid0)\) gehört zum Graphen. Es gilt \(g(1)=0\).

- Lies zuerst die Nullstellen des bereits faktorisierten Zählers ab. - Bestimme getrennt die Werte, die der Nenner aus der Definitionsmenge ausschließt. - Vergleiche anschließend beide Wertemengen miteinander.

1. Der Zähler wird bei \(x=4\) und \(x=-1\) null. 2. Der Nenner wird bei \(x=2\) und \(x=-3\) null. Daher ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-3,2\}\). 3. Die beiden Zählernullstellen \(-1\) und \(4\) sind nicht ausgeschlossen und sind deshalb Nullstellen von \(f\).

Die Nullstellen sind \(x=-1\) und \(x=4\); beide gehören zu \(D_f\).

- Suche zuerst die Stelle, an der der Graph die \(x\)-Achse schneidet. - Suche dann die Stelle, an der der Graph auseinanderläuft und sich einer senkrechten Geraden nähert. - Vergleiche, was an diesen beiden Stellen mit dem Funktionswert geschieht.

1. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=1\). Daher ist \(x=1\) eine Nullstelle. 2. Bei \(x=-2\) ist der Graph nicht definiert und nähert sich der gestrichelten senkrechten Asymptote. Daher liegt dort eine Polstelle. 3. An einer Nullstelle ist der Funktionswert \(0\); an einer Polstelle ist die Funktion nicht definiert und die Funktionswerte werden betragsmäßig beliebig groß.

Nullstelle: \(x=1\) Polstelle: \(x=-2\) An der Nullstelle schneidet der Graph die \(x\)-Achse; an der Polstelle nähert er sich einer senkrechten Asymptote.

- Unter welcher Bedingung ist ein Bruch gleich null? - Bestimme zu jedem Term zuerst die ausgeschlossenen Werte aus dem Nenner. - Gleiche die gefundenen Zählernullstellen am Ende mit der jeweiligen Definitionsmenge ab.

1. Für \(f\) wird der Zähler bei \(x=-3\) null. Der Nenner ist dort ungleich null, also ist \(x=-3\) eine Nullstelle. 2. Für \(g\) gilt \(x^2-16=(x-4)(x+4)\). Die Zählernullstellen \(x=-4\) und \(x=4\) liegen beide in \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{-3\}\) und sind daher Nullstellen von \(g\). 3. Für \(h\) gilt \(x^2-3x-10=(x-5)(x+2)\). Die Zählernullstellen \(x=5\) und \(x=-2\) liegen beide in \(D_h=\mathbb{R}\setminus\{-\frac{5}{2}\}\) und sind daher Nullstellen von \(h\).

a) \(x=-3\) b) \(x_1=-4\), \(x_2=4\) c) \(x_1=-2\), \(x_2=5\)

- Wann ist ein Bruch definiert? Überlege, für welche Werte der Nenner null wird. - Wie berechnet man den Wert einer Funktion für eine bestimmte Zahl? - Unter welcher Bedingung kann ein Bruch den Wert null annehmen? - Betrachte die Gleichung für den Zähler – gibt es eine reelle Zahl, deren Quadrat negativ ist?

1. Zur Bestimmung der Definitionsmenge wird der Nenner gleich null gesetzt: \(x^2 - 6x + 9 = 0\). Mithilfe der zweiten binomischen Formel folgt \((x - 3)^2 = 0\), woraus sich die Definitionslücke \(x = 3\) ergibt. Somit ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{3\}\). 2. Der Funktionswert an der Stelle \(x = 0\) wird durch Einsetzen berechnet: \(f(0) = \frac{2 \cdot 0^2 + 18}{0^2 - 6 \cdot 0 + 9} = \frac{18}{9} = 2\). 3. Für die Nullstellen wird der Zähler gleich null gesetzt: \(2x^2 + 18 = 0\). Dies führt auf \(x^2 = -9\). Da diese Gleichung im Bereich der reellen Zahlen keine Lösung besitzt, hat die Funktion \(f\) keine Nullstellen.

a) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{3\}\); \(f(0) = 2\) b) Da die Gleichung \(2x^2 + 18 = 0\) bzw. \(x^2 = -9\) keine reelle Lösung hat, existieren keine Nullstellen.

- Wie findet man heraus, ob ein quadratischer Ausdruck jemals den Wert null annimmt? - Welchen \(x\)-Wert haben alle Punkte, die auf der \(y\)-Achse liegen? - Was muss für den Zähler einer Funktion gelten, damit die gesamte Funktion den Wert null annimmt? - Kannst du den Wert des Zählers für beliebige \(x\) abschätzen?

1. Die Definitionsmenge wird durch die Nullstellen des Nenners bestimmt: \(x^2 + 4x + 6 = 0\). Die Diskriminante der quadratischen Gleichung ist \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 16 - 24 = -8\). Da \(D < 0\), hat der Nenner keine reellen Nullstellen und es gilt \(D_g = \mathbb{R}\). 2. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ergibt sich durch \(g(0)\): \(g(0) = \frac{0^2 + 5}{0^2 + 4 \cdot 0 + 6} = \frac{5}{6}\). Der Schnittpunkt liegt bei \(S_y(0 | \frac{5}{6})\). 3. Ein Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse erfordert \(g(x) = 0\), was nur für Nullstellen des Zählers möglich ist. Die Gleichung \(x^2 + 5 = 0\) führt zu \(x^2 = -5\), was in \(\mathbb{R}\) nicht lösbar ist. Alternativ lässt sich argumentieren, dass \(x^2 + 5 \geq 5\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt.

a) \(D_g = \mathbb{R}\) b) \(S_y(0 | \frac{5}{6})\) c) Da der Zähler \(x^2 + 5\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) stets größer oder gleich \(5\) (und somit ungleich \(0\)) ist, besitzt die Funktion keine Nullstellen.

- Wie kannst du die ganze Zahl so umschreiben, dass sie denselben Nenner wie der Bruch besitzt? - Wann wird ein Bruch gleich null? - Prüfe, ob der gefundene Wert zur Definitionsmenge gehört.

1. Die Konstante \(2\) wird auf den Nenner \(x+2\) gebracht: \(f(x)=\frac{3x-1}{x+2}-\frac{2(x+2)}{x+2}\). 2. Zusammenfassen ergibt \(f(x)=\frac{x-5}{x+2}\). 3. Für eine Nullstelle muss \(x-5=0\) gelten. 4. Daraus folgt \(x=5\). Da \(5\) zur Definitionsmenge gehört, ist dies die einzige Nullstelle.

a) \(f(x)=\frac{x-5}{x+2}\) b) \(x=5\)

- Ein Bruch ist genau dann null, wenn sein Zähler null und sein Nenner dort ungleich null ist. - Faktorisiere jeden Zähler vollständig, bevor du Nullstellen festhältst. - Prüfe die Zählernullstellen anschließend gegen die jeweilige Definitionsmenge.

1. Bei \(f\) ist der Nenner \(x^2+4\) für alle reellen \(x\) positiv. Der Zähler ist \(x(x-5)\). Daher sind \(x=0\) und \(x=5\) Nullstellen. 2. Bei \(g\) gilt \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{3\}\). Der Zähler faktorisiert zu \((x-2)(x-5)\). Beide Zählernullstellen liegen in der Definitionsmenge, also sind \(x=2\) und \(x=5\) Nullstellen. 3. Bei \(h\) ist der Nenner \(x^2+1\) für alle reellen \(x\) positiv. Der Zähler ist \((x-1)(x-4)\). Daher sind \(x=1\) und \(x=4\) Nullstellen.

a) \(x_1=0\), \(x_2=5\) b) \(x_1=2\), \(x_2=5\) c) \(x_1=1\), \(x_2=4\)

- Prüfe zuerst, ob der Nenner reelle Nullstellen besitzt. - Untersuche, ob sich der quadratische Zähler als binomisches Quadrat schreiben lässt. - Die Häufigkeit eines Nullstellenfaktors im Zähler bestimmt seine Vielfachheit, sofern der Nenner dort nicht null ist.

1. Der Nenner \(x^2+1\) ist für alle reellen \(x\) positiv. Somit ist die Funktion überall definiert. 2. Der Zähler ist ein vollständiges Quadrat: \(x^2-6x+9=(x-3)^2\). 3. Daher ist \(x=3\) die einzige Nullstelle. Der Faktor \((x-3)\) tritt zweimal auf, also hat die Nullstelle die Vielfachheit \(2\).

\(x=3\) ist eine Nullstelle der Vielfachheit \(2\).

- Bestimme zuerst die ausgeschlossenen Werte aus dem Nenner. - Prüfe, ob der Zähler ein binomisches Quadrat ist. - Vergleiche den gefundenen Nullstellenwert mit der Definitionsmenge, bevor du die Vielfachheit angibst.

1. Der Nenner faktorisiert zu \(x^2-2x-3=(x-3)(x+1)\). Deshalb ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1;3\}\). 2. Der Zähler ist \(x^2-2x+1=(x-1)^2\). Damit ist \(x=1\) der einzige Nullstellenkandidat und tritt im Zähler zweimal auf. 3. Da \(1\in D_f\), ist \(x=1\) tatsächlich eine Nullstelle der Vielfachheit \(2\).

\(x=1\) ist die einzige Nullstelle; ihre Vielfachheit ist \(2\).

- Suche im Graphen die Stellen, an denen der Funktionswert \(0\) ist. - Faktorisiere für die rechnerische Kontrolle Zähler und Nenner getrennt. - Vergleiche die Zählernullstellen mit den ausgeschlossenen Werten des Nenners.

a) Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \((-2\mid0)\) und \((3\mid0)\). b) Es gilt \(x^2-x-6=(x+2)(x-3)\). Daher sind die Kandidaten \(x=-2\) und \(x=3\). Der Nenner faktorisiert zu \(x^2-1=(x-1)(x+1)\), also ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1;1\}\). Beide Kandidaten liegen in \(D_f\) und sind deshalb Nullstellen. c) Ein Zählerwert von null liefert nur dann eine Nullstelle der Funktion, wenn der zugehörige \(x\)-Wert nicht zugleich den Nenner null macht und damit aus der Definitionsmenge ausgeschlossen ist.

a) \((-2\mid0)\) und \((3\mid0)\) b) Nullstellen: \(x=-2\) und \(x=3\); beide liegen in \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1;1\}\). c) Ein Zählernullwert ist nur dann eine Funktionsnullstelle, wenn der betreffende \(x\)-Wert zur Definitionsmenge gehört.

- Erinnere dich daran, welche Bedingung für eine Nullstelle eines Bruchs erfüllt sein muss. - Prüfe Zähler und Nenner bei \(x=3\) getrennt. - Unterscheide zwischen „Funktionswert ist null“ und „Funktion ist nicht definiert“.

1. Eine Nullstelle einer gebrochen-rationalen Funktion entsteht nur, wenn der Zähler null und der Nenner gleichzeitig ungleich null ist. 2. Bei \(x=3\) ist der Nenner null, der Zähler hat dagegen den Wert \(4\). 3. Deshalb ist \(f\) bei \(x=3\) nicht definiert. Dort liegt eine Polstelle und keine Nullstelle vor.

Maras Aussage ist falsch. Bei \(x=3\) ist der Nenner null und der Zähler ungleich null; daher liegt dort eine Polstelle, keine Nullstelle.

- Übersetze die beiden vorgegebenen Nullstellen zunächst in Faktoren des Zählers. - Lass vor dem Faktorenprodukt noch einen unbekannten konstanten Faktor stehen. - Nutze den gegebenen Funktionswert, um diesen Faktor zu bestimmen.

1. Wegen der Nullstellen hat der Zähler die Form \(p(x)=a(x+2)(x-3)\) mit \(a\neq 0\). 2. Da \(x^2+1\) für alle reellen \(x\) positiv ist, entstehen keine zusätzlichen Ausschlüsse oder Kürzungen. 3. Aus \(f(0)=12\) folgt \(\frac{a\cdot 2\cdot(-3)}{1}=12\), also \(-6a=12\) und damit \(a=-2\). 4. Somit ist \(p(x)=-2(x+2)(x-3)=-2x^2+2x+12\).

\(p(x)=-2(x+2)(x-3)=-2x^2+2x+12\)

- Entscheide bei jedem Term zuerst, wie du die Bedingung „Funktionswert gleich null“ am günstigsten nutzt. - Prüfe bei faktorisierten Zählern jeden Nullstellenkandidaten gegen die ausgeschlossenen Werte des Nenners. - Achte darauf, ob ein Zählerfaktor mehrfach vorkommt.

1. Für \(p\) gilt \(\frac{5}{x+2}-1=0\). Daraus folgt \(\frac{5}{x+2}=1\) und damit \(x=3\). Dieser Wert liegt in \(D_p=\mathbb{R}\setminus\{-2\}\). 2. Für \(q\) liefern die Zählerfaktoren die Kandidaten \(x=1\) und \(x=-\frac{2}{3}\). Der Nenner wird nur bei \(x=-3\) und \(x=3\) null, daher sind beide Kandidaten Nullstellen. 3. Für \(r\) gilt \(3x^2-12x+12=3(x-2)^2\). Der Nenner \(x^2-9\) wird bei \(x=-3\) und \(x=3\) null. Somit ist \(x=2\) eine doppelte Nullstelle von \(r\).

a) \(x=3\) b) \(x_1=-\frac{2}{3}\), \(x_2=1\) c) doppelte Nullstelle \(x=2\)

- Wie kannst du einen ganzrationalen Term und einen Bruch auf einen gemeinsamen Nenner bringen? - Wann wird ein Bruch gleich null? - Prüfe am Ende, ob deine gefundene Nullstelle zur Definitionsmenge gehört.

1. Um den Term auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, wird der ganzrationale Teil \(x+1\) mit \((x-3)\) erweitert: \(f(x)=\frac{(x+1)(x-3)}{x-3}+\frac{4}{x-3}\). 2. Ausmultiplizieren ergibt \((x+1)(x-3)=x^2-2x-3\). 3. Damit ist \(f(x)=\frac{x^2-2x+1}{x-3}\). 4. Für Nullstellen muss \(x^2-2x+1=0\) gelten. 5. Aus \((x-1)^2=0\) folgt die doppelte Nullstelle \(x=1\). 6. Da \(x=1\) zur Definitionsmenge gehört, ist dies die einzige Nullstelle.

Darstellung als Bruch: \(f(x)=\frac{x^2-2x+1}{x-3}\) Nullstelle: \(x=1\)

- Suche zuerst einen gemeinsamen Nenner für die beiden Ausdrücke. - Denke beim Subtrahieren daran, dass sich das Vorzeichen aller Terme im Zähler des hinteren Bruchs ändern kann. - Ein Bruch ist nur dann null, wenn sein Zähler null ist und der Nenner gleichzeitig ungleich null bleibt. - Falls du eine quadratische Gleichung erhältst, kannst du bekannte Lösungsformeln verwenden.

1. Der Hauptnenner der beiden Brüche ist \(2(x-2)\). 2. Erweitern liefert \(g(x) = \frac{8}{2(x-2)} - \frac{x(x-2)}{2(x-2)}\). 3. Zusammenfassen ergibt \(g(x) = \frac{-x^2 + 2x + 8}{2x - 4}\). 4. Für Nullstellen muss der Zähler null sein: \(-x^2 + 2x + 8 = 0\), also \(x^2 - 2x - 8 = 0\). 5. Daraus folgen \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -2\). Beide liegen in \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{2\}\).

Darstellung als Bruch: \(g(x) = \frac{-x^2 + 2x + 8}{2x - 4}\) Nullstellen: \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -2\)

- Wie kannst du eine Summe aus einer ganzen Zahl oder einem Term und einem Bruch so umschreiben, dass nur noch ein Bruch dasteht? - Welche Werte darf man für \(x\) in einen Bruch nicht einsetzen? - Wann genau wird ein Bruch gleich null? Worauf musst du dabei in Bezug auf den Nenner achten?

1. Der Term von \(f\) wird auf einen gemeinsamen Nenner gebracht: \(f(x) = \frac{(x-2)^2-1}{x-2} = \frac{x^2-4x+3}{x-2}\). Damit stimmt der Term mit \(g(x)\) überein; beide Funktionen haben wegen desselben Nenners dieselbe Definitionsmenge. 2. Der Nenner wird für \(x=2\) null. Daher ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}\). 3. Die Zählergleichung \(x^2 - 4x + 3 = 0\) liefert \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). Beide Werte liegen in \(D_f\) und sind Nullstellen.

1. \(f(x) = \frac{(x-2)^2-1}{x-2} = \frac{x^2-4x+3}{x-2} = g(x)\) 2. \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}\) 3. \(x_1 = 1\); \(x_2 = 3\)

- Erweitere alle Teile des Terms so, dass sie den gleichen Nenner haben. - Ein Bruch ist genau dann null, wenn sein Zähler null ist und der Nenner ungleich null bleibt. - Welche Methode kennst du, um quadratische Gleichungen zu lösen? - Gibt es Werte für \(x\), die man nicht in die Funktion einsetzen darf?

1. Die Terme werden auf den Hauptnenner \(x\) gebracht: \(f(x) = \frac{8}{x} + \frac{x \cdot x}{x} - \frac{6 \cdot x}{x}\). 2. Durch Zusammenfassen erhält man den Bruchterm: \(f(x) = \frac{x^2 - 6x + 8}{x}\). 3. Die Nullstellen von \(f\) sind die Nullstellen des Zählerpolynoms: \(x^2 - 6x + 8 = 0\). 4. Anwendung der \(pq\)-Formel oder Faktorisierung \((x - 2)(x - 4) = 0\) liefert die Lösungen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 4\). 5. Da beide Werte ungleich der Definitionslücke \(x = 0\) sind, besitzt die Funktion die Nullstellen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 4\).

a) \(f(x) = \frac{x^2 - 6x + 8}{x}\) b) Die Nullstellen sind \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 4\).

- Welche Stelle ist wegen des Nenners ausgeschlossen, und wie wirkt sich die vorgegebene Parametermenge auf mögliche Sonderfälle aus? - Wie lässt sich die Schnittpunktbedingung als Gleichung in \(x\) formulieren? - Welche Bedingung muss eine quadratische Gleichung erfüllen, damit genau eine reelle Lösung entsteht?

1. Es gilt \(D_{f_k}=\mathbb{R}\setminus\{1\}\). Die Nullstelle von \(g\) liegt bei \(x=1\). Für \(f_k\) folgt aus \(2x+k=0\) die Nullstelle \(x=-\frac{k}{2}\). Wegen \(k\neq-2\) ist diese Stelle nie gleich der ausgeschlossenen Stelle \(x=1\). 2. Für \(k=6\) führt \(f_6(x)=g(x)\) auf \(\frac{2x+6}{x-1}=x-1\) und damit auf \(x^2-4x-5=0\). Daraus folgen \(x_1=5\) und \(x_2=-1\). Mit \(g(5)=4\) und \(g(-1)=-2\) erhält man \(S_1(5\mid4)\) und \(S_2(-1\mid-2)\). 3. Die Gleichung \(f_k(x)=g(x)\) ist äquivalent zu \(d_k(x)=0\). Daher sind die zulässigen \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte genau die Nullstellen von \(d_k\). 4. Die Schnittpunktgleichung lautet \(x^2-4x+1-k=0\). Genau ein gemeinsamer Punkt entsteht bei einer doppelten reellen Lösung. Die Diskriminante ist \(D=16-4(1-k)=12+4k\). Aus \(D=0\) folgt \(k=-3\). Die doppelte Lösung ist \(x=2\) und liegt in der Definitionsmenge.

a) \(D_{f_k}=\mathbb{R}\setminus\{1\}\); Nullstelle von \(g\): \(x=1\); Nullstelle von \(f_k\): \(x=-\frac{k}{2}\) b) \(S_1(5\mid4)\), \(S_2(-1\mid-2)\) c) Die zulässigen \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte sind die Nullstellen der Differenzfunktion \(d_k\). d) \(k=-3\)

- Welche Stelle ist durch den Nenner ausgeschlossen, und welcher Parameterwert würde einen gemeinsamen Faktor erzeugen? - Formuliere die Schnittpunktbedingung als quadratische Gleichung in \(x\). - Welche Aussage über die Diskriminante entspricht dem Fall „kein gemeinsamer Punkt“?

1. Es gilt \(D_{h_a}=\mathbb{R}\setminus\{1\}\). Für \(a=-6\) wird der Zähler bei \(x=2\) null; damit ist \(x=2\) die Nullstelle. 2. Für \(a=-5\) liefert \(h_{-5}(x)=l(x)\) die Gleichung \(\frac{3x-5}{x-1}=x-1\), also \(x^2-5x+6=0\). Daraus folgen \(x_1=2\) und \(x_2=3\). Mit \(l(2)=1\) und \(l(3)=2\) erhält man \(S_1(2\mid1)\) und \(S_2(3\mid2)\). 3. Allgemein führt die Schnittpunktbedingung auf \(x^2-5x+1-a=0\). Die Diskriminante ist \(D=25-4(1-a)=21+4a\). Keine reellen Lösungen liegen genau dann vor, wenn \(D<0\), also \(a<-\frac{21}{4}\). Der ausgeschlossene Parameterwert \(a=-3\) liegt nicht in diesem Bereich und verändert das Ergebnis nicht.

a) \(D_{h_a}=\mathbb{R}\setminus\{1\}\); Nullstelle für \(a=-6\): \(x=2\) b) \(S_1(2\mid1)\), \(S_2(3\mid2)\) c) \(a<-\frac{21}{4}\)