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- Wann ist ein Bruch definiert? Überlege, für welche Werte der Nenner null wird. - Wie berechnet man den Wert einer Funktion für eine bestimmte Zahl? - Unter welcher Bedingung kann ein Bruch den Wert null annehmen? - Betrachte die Gleichung für den Zähler – gibt es eine reelle Zahl, deren Quadrat negativ ist?

1. Zur Bestimmung der Definitionsmenge wird der Nenner gleich null gesetzt: \(x^2 - 6x + 9 = 0\). Mithilfe der zweiten binomischen Formel folgt \((x - 3)^2 = 0\), woraus sich die Definitionslücke \(x = 3\) ergibt. Somit ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{3\}\). 2. Der Funktionswert an der Stelle \(x = 0\) wird durch Einsetzen berechnet: \(f(0) = \frac{2 \cdot 0^2 + 18}{0^2 - 6 \cdot 0 + 9} = \frac{18}{9} = 2\). 3. Für die Nullstellen wird der Zähler gleich null gesetzt: \(2x^2 + 18 = 0\). Dies führt auf \(x^2 = -9\). Da diese Gleichung im Bereich der reellen Zahlen keine Lösung besitzt, hat die Funktion \(f\) keine Nullstellen.

a) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{3\}\); \(f(0) = 2\) b) Da die Gleichung \(2x^2 + 18 = 0\) bzw. \(x^2 = -9\) keine reelle Lösung hat, existieren keine Nullstellen.

- Wie kannst du eine ganze Zahl so umschreiben, dass sie denselben Nenner hat wie der Bruch? - Was muss man beim Subtrahieren eines Terms in Klammern beachten? - Wann genau wird ein Bruch gleich null? - Überprüfe am Ende, ob dein Ergebnis im Definitionsbereich der Funktion liegt.

1. Um den Term auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, wird die Konstante \(2\) mit \(\frac{x+2}{x+2}\) erweitert: \(f(x) = \frac{3x - 1}{x + 2} - \frac{2(x + 2)}{x + 2}\). 2. Zusammenfassen der Zähler ergibt: \(f(x) = \frac{3x - 1 - (2x + 4)}{x + 2} = \frac{3x - 1 - 2x - 4}{x + 2} = \frac{x - 5}{x + 2}\). 3. Zur Bestimmung der Nullstellen wird der Zähler gleich null gesetzt: \(x - 5 = 0\). 4. Daraus folgt die Nullstelle \(x = 5\). Da \(5\) nicht die Definitionslücke \(x = -2\) ist, ist dies die einzige Lösung.

a) \(f(x) = \frac{x - 5}{x + 2}\) b) Die Nullstelle liegt bei \(x = 5\).

- Wann ist ein Bruch gleich null? - Kannst du im Zähler eine Potenz von \(x\) ausklammern? - Schau dir den quadratischen Restterm im Zähler genau an – erinnert er dich an eine binomische Formel? - Prüfe, ob der Nenner für bestimmte Werte null wird.

1. Den Zähler gleich null setzen: \(x^4 - 6x^3 + 9x^2 = 0\). 2. Den Faktor \(x^2\) ausklammern: \(x^2(x^2 - 6x + 9) = 0\). 3. Den verbleibenden quadratischen Term mithilfe der binomischen Formeln faktorisieren: \(x^2(x-3)^2 = 0\). 4. Die Nullstellen des Zählers bestimmen: \(x = 0\) und \(x = 3\). 5. Den Nenner prüfen: Der Ausdruck \(x^2 + 1\) ist für alle reellen Zahlen größer als null, sodass der Definitionsbereich \(\mathbb{R}\) ist. 6. Ergebnis: Die Funktion besitzt die Nullstellen \(x_1 = 0\) mit der Vielfachheit 2 und \(x_2 = 3\) mit der Vielfachheit 2.

Nullstellen: \(x_1 = 0\) (Vielfachheit 2), \(x_2 = 3\) (Vielfachheit 2)

- Überlege zuerst, für welche Werte der Nenner einer Division null wird. - Wie hängen die Nullstellen einer Funktion mit dem Zähler und dem Nenner des Bruchs zusammen? - Prüfe am Ende unbedingt, ob deine berechneten Kandidaten für Nullstellen überhaupt in die Funktion eingesetzt werden dürfen.

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Der Nenner darf nicht null werden. Die Gleichung \(x^2 - 1 = 0\) liefert die Stellen \(x = 1\) und \(x = -1\). Somit ist \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}\). 2. Bestimmung der Nullstellen des Zählers: Die Gleichung \(x^2 - 4x + 3 = 0\) wird gelöst (z. B. mit der Mitternachtsformel oder dem Satz von Vieta). Dies ergibt \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). 3. Abgleich mit der Definitionsmenge: Eine Nullstelle der Funktion liegt nur vor, wenn der Zähler null ist und die Stelle im Definitionsbereich liegt. Da \(1 \notin \mathbb{D}\), ist nur \(x = 3\) eine Nullstelle der Funktion \(f\).

Die Definitionsmenge ist \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}\). Die Funktion hat die einzige Nullstelle \(x = 3\).

- Welche Rolle spielt der Nenner bei der Festlegung des Definitionsbereichs? - Wie muss der Zähler aussehen, damit eine bestimmte Zahl eine Nullstelle ist? - Muss man aufpassen, dass sich Zähler- und Nennernullstellen nicht gegenseitig beeinflussen? - Gibt es nur eine richtige Lösung oder sind verschiedene Funktionsterme denkbar?

1. Festlegung des Nenners: Damit die Definitionsmenge \(\mathbb{R} \setminus \{3; 5\}\) ist, muss das Nennerpolynom \(q(x)\) genau an den Stellen \(3\) und \(5\) Nullstellen haben. Ein möglicher Nenner ist \(q(x) = (x - 3)(x - 5)\). 2. Festlegung des Zählers: Damit die Funktion an der Stelle \(x = -2\) eine Nullstelle hat, muss das Zählerpolynom \(p(x)\) dort eine Nullstelle besitzen. Ein möglicher Zähler ist \(p(x) = x + 2\). 3. Überprüfung der Bedingungen: Da \(-2\) nicht in der Menge der Definitionslücken \(\{3; 5\}\) enthalten ist, bleibt \(x = -2\) eine gültige Nullstelle der Funktion. 4. Aufstellen des Terms: Ein möglicher Funktionsterm ist somit \(g(x) = \frac{x + 2}{(x - 3)(x - 5)}\) bzw. \(g(x) = \frac{x + 2}{x^2 - 8x + 15}\).

Ein möglicher Funktionsterm ist \(g(x) = \frac{x + 2}{(x - 3)(x - 5)}\). Begründung: Der Nenner wird bei \(x=3\) und \(x=5\) null, was diese Werte aus der Definitionsmenge ausschließt. Der Zähler wird bei \(x=-2\) null, und da dieser Wert im Definitionsbereich liegt, ist er eine Nullstelle der Funktion.

- Wann genau ist ein Bruch gleich null? - Gibt es Werte für \(x\), die man gar nicht erst in die Funktion einsetzen darf? - Was passiert, wenn eine Stelle sowohl den Zähler als auch den Nenner null werden lässt? - Wie geht man vor, wenn der Funktionsterm aus einer Differenz besteht?

1. Für \(f(x)\): Der Zähler wird null für \(2x + 6 = 0\), also \(x = -3\). Da der Nenner für \(x = -3\) den Wert \(-6 \neq 0\) annimmt, ist \(x = -3\) die einzige Nullstelle. 2. Für \(g(x)\): Der Zähler wird null für \(x^2 - 16 = 0\), also \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -4\). Die Definitionsmenge ist \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-4\}\). Da \(x_2 = -4\) nicht im Definitionsbereich liegt (Nenner wird null), ist nur \(x = 4\) eine Nullstelle. 3. Für \(h(x)\): Der Zähler wird null für \(x^2 - 3x - 10 = 0\). Mit der Mitternachtsformel oder dem Satz von Vieta ergeben sich \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -2\). Der Nenner \(2x + 5\) ist für beide Werte ungleich null (\(2 \cdot 5 + 5 = 15\) und \(2 \cdot (-2) + 5 = 1\)). Somit sind \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -2\) die Nullstellen.

a) \(x = -3\) b) \(x = 4\) c) \(x_1 = 5\); \(x_2 = -2\)

- Welche Werte darf die Variable \(x\) im Nenner eines Bruchs nicht annehmen? - Ein Bruch ist genau dann Null, wenn sein Zähler Null ist. - Überprüfe am Ende, ob deine gefundenen Nullstellenkandidaten tatsächlich in der Definitionsmenge der Funktion liegen. - Wie löst man eine quadratische Gleichung?

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Der Nenner darf nicht null sein. Die Gleichung \(x^2 - 4x - 5 = 0\) hat nach der Mitternachtsformel oder dem Satz von Vieta die Lösungen \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -1\). Somit gilt \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1; 5\}\). 2. Bestimmung der Nullstellen: Der Zähler muss null sein, während der Nenner ungleich Null bleibt. Die Gleichung \(x^2 - 25 = 0\) liefert die Kandidaten \(x_3 = 5\) und \(x_4 = -5\). 3. Abgleich mit der Definitionsmenge: Da \(5 \notin D_f\), ist nur \(x = -5\) eine gültige Nullstelle der Funktion \(f\).

\(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1; 5\}\); Nullstelle bei \(x = -5\).

- Bestimme zuerst, für welche \(x\)-Werte der Nenner des Bruchs Null wird. - Was passiert, wenn eine Zahl sowohl den Zähler als auch den Nenner auf Null setzt? - Erinnere dich an die Definition einer Nullstelle: Der Funktionswert muss definiert sein und Null ergeben.

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Die Nullstellen des Nenners \(x^2 - 5x + 6 = 0\) werden gesucht. Durch Faktorisieren erhält man \((x - 2)(x - 3) = 0\), also \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 3\). Daher ist \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{2; 3\}\). 2. Suche nach Nullstellen: Ein Bruch wird null, wenn der Zähler Null wird. Die Gleichung \(2x - 6 = 0\) liefert \(x = 3\). 3. Überprüfung der Bedingung: Der Wert \(x = 3\) ist jedoch nicht in der Definitionsmenge \(D_g\) enthalten, da er eine Definitionslücke (Nennernullstelle) darstellt. 4. Schlussfolgerung: Da der einzige Kandidat für eine Nullstelle nicht im Definitionsbereich liegt, besitzt die Funktion \(g\) keine Nullstellen.

\(D_g = \mathbb{R} \setminus \{2; 3\}\). Die Funktion \(g\) besitzt keine Nullstellen, da die einzige Nullstelle des Zählers (\(x = 3\)) nicht in der Definitionsmenge liegt.

- Überlege, wie du eine Summe aus einer Zahl (oder einem Term) und einem Bruch zusammenfassen kannst. - Welchen Nenner müssen beide Teile haben, damit man sie addieren darf? - Wann genau wird ein Bruch gleich Null? - Achte darauf, ob deine gefundenen Werte überhaupt im Definitionsbereich der Funktion liegen.

1. Um den Term auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, wird der ganzrationale Teil \(x+1\) mit \((x-3)\) erweitert: \(f(x) = \frac{(x+1)(x-3)}{x-3} + \frac{4}{x-3}\). 2. Ausmultiplizieren des Zählers ergibt \((x+1)(x-3) = x^2 - 3x + x - 3 = x^2 - 2x - 3\). 3. Addition der Brüche führt auf \(f(x) = \frac{x^2 - 2x - 3 + 4}{x-3} = \frac{x^2 - 2x + 1}{x-3}\). 4. Zur Bestimmung der Nullstellen wird der Zähler gleich Null gesetzt: \(x^2 - 2x + 1 = 0\). 5. Anwendung der binomischen Formel oder der Mitternachtsformel liefert \((x-1)^2 = 0\), woraus die doppelte Nullstelle \(x = 1\) folgt. 6. Da \(x = 1\) nicht die Definitionslücke \(x = 3\) ist, ist dies die einzige Nullstelle.

Darstellung als Bruch: \(f(x) = \frac{x^2 - 2x + 1}{x - 3}\) Nullstelle: \(x = 1\)

- Suche zuerst einen gemeinsamen Nenner für die beiden Ausdrücke. - Denke beim Subtrahieren daran, dass sich das Vorzeichen aller Terme im Zähler des hinteren Bruchs ändern kann. - Ein Bruch ist nur dann null, wenn sein Zähler null ist und der Nenner gleichzeitig ungleich null bleibt. - Falls du eine quadratische Gleichung erhältst, kannst du bekannte Lösungsformeln verwenden.

1. Der Hauptnenner der beiden Brüche ist das Produkt der Einzelnenner: \(2 \cdot (x-2) = 2x - 4\). 2. Erweitern der Brüche auf den Hauptnenner: \(g(x) = \frac{4 \cdot 2}{2(x-2)} - \frac{x \cdot (x-2)}{2(x-2)}\). 3. Zusammenfassen auf einen Bruchstrich: \(g(x) = \frac{8 - (x^2 - 2x)}{2x - 4} = \frac{-x^2 + 2x + 8}{2x - 4}\). 4. Nullstellenbestimmung durch Nullsetzen des Zählers: \(-x^2 + 2x + 8 = 0\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung \(x^2 - 2x - 8 = 0\) (z. B. mit der \(pq\)-Formel): \(x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{1 + 8} = 1 \pm 3\). 6. Die Nullstellen sind \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -2\). Beide liegen im Definitionsbereich \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{2\}\).

Darstellung als Bruch: \(g(x) = \frac{-x^2 + 2x + 8}{2x - 4}\) Nullstellen: \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -2\)

- Wann ist ein Bruch definiert? Überlege, welche Werte für \(x\) im Nenner nicht erlaubt sind. - Reicht es aus, wenn nur der Zähler null wird, damit die gesamte Funktion eine Nullstelle hat? - Vergleiche die Stellen, an denen die Nenner beider Funktionen null werden. - Denke daran, dass eine Nullstelle immer im Definitionsbereich der Funktion liegen muss.

1. Bestimmung der Definitionsmengen durch Nullsetzen der Nenner: Für \(f\) gilt \(x^2 - 2x + 1 = 0 \iff (x - 1)^2 = 0\), woraus \(x = 1\) folgt. Für \(g\) gilt \(x - 1 = 0\), woraus ebenfalls \(x = 1\) folgt. Somit ist \(D_f = D_g = \mathbb{R} \setminus \{1\}\). 2. Bestimmung der Nullstellen von \(f\): Die Zählergleichung \(x^2 - 1 = 0\) besitzt die Lösungen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\). Da \(1 \notin D_f\), ist nur \(x = -1\) eine Nullstelle der Funktion. Da die Zählergleichung einen Wert liefert, der nicht in der Definitionsmenge liegt, ist das alleinige Lösen dieser Gleichung nicht ausreichend.

a) Die Aussage ist wahr. Beide Funktionen haben die maximale Definitionsmenge \(D = \mathbb{R} \setminus \{1\}\), da jeweils nur für \(x = 1\) der Nenner null wird. b) Die Aussage ist falsch. Die Gleichung \(x^2 - 1 = 0\) liefert zwar die Kandidaten \(x = 1\) und \(x = -1\), jedoch ist \(x = 1\) eine Definitionslücke und somit keine Nullstelle.

- Wie kannst du eine Summe aus einer ganzen Zahl oder einem Term und einem Bruch so umschreiben, dass nur noch ein Bruch dasteht? - Welche Werte darf man für \(x\) in einen Bruch nicht einsetzen? - Wann genau wird ein Bruch gleich null? Worauf musst du dabei in Bezug auf den Nenner achten?

1. Um die Identität zu zeigen, wird der Term von \(f(x)\) auf einen gemeinsamen Hauptnenner gebracht: \(f(x) = \frac{(x - 2)(x - 2)}{x - 2} - \frac{1}{x - 2} = \frac{x^2 - 4x + 4 - 1}{x - 2} = \frac{x^2 - 4x + 3}{x - 2}\). Da dieser Ausdruck mit \(g(x)\) übereinstimmt und beide Funktionen dieselbe Definitionsmenge besitzen, sind sie identisch. 2. Die Definitionsmenge wird durch die Nullstelle des Nenners eingeschränkt. Da \(x - 2 = 0\) für \(x = 2\) gilt, ist \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{2\}\). 3. Zur Berechnung der Nullstellen wird der Zähler des zusammengefassten Terms gleich Null gesetzt: \(x^2 - 4x + 3 = 0\). Mit der Mitternachtsformel oder dem Satz von Vieta ergeben sich die Lösungen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). Da beide Werte in \(\mathbb{D}\) liegen, sind dies die Nullstellen.

1. Nachweis durch Hauptnenner: \(f(x) = \frac{(x-2)^2-1}{x-2} = \frac{x^2-4x+3}{x-2} = g(x)\). 2. \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{2\}\) 3. \(x_1 = 1\); \(x_2 = 3\)

- Erinnere dich daran, wie man Terme gleichnamig macht, um sie zu addieren oder zu subtrahieren. - Überlege dir, welche Bedingung für den Nenner eines Bruches immer gelten muss. - Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse sind Punkte, an denen der Funktionswert null ist. - Reicht es aus, nur den Zähler zu betrachten, wenn du die Nullstellen eines Bruches suchst?

1. Erweitern des ganzrationalen Teils auf den Hauptnenner: \(h(x) = \frac{(x - 2)(x - 2) - 9}{x - 2} = \frac{x^2 - 4x + 4 - 9}{x - 2} = \frac{x^2 - 4x - 5}{x - 2}\). 2. Der Nenner darf nicht null werden: \(x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2\). Somit ist \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{2\}\). 3. Die Nullstellen von \(h\) sind die Nullstellen des Zählers: \(x^2 - 4x - 5 = 0\). Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel oder Faktorisierung \((x - 5)(x + 1) = 0\) liefert \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -1\). Beide Werte liegen in der Definitionsmenge. Die Schnittpunkte sind \(S_1(5|0)\) und \(S_2(-1|0)\).

1. \(h(x) = \frac{x^2 - 4x - 5}{x - 2}\) 2. \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{2\}\) 3. \(S_1(5|0)\) und \(S_2(-1|0)\)

- Wie findet man heraus, ob ein quadratischer Ausdruck jemals den Wert null annimmt? - Welchen \(x\)-Wert haben alle Punkte, die auf der \(y\)-Achse liegen? - Was muss für den Zähler einer Funktion gelten, damit die gesamte Funktion den Wert null annimmt? - Kannst du den Wert des Zählers für beliebige \(x\) abschätzen?

1. Die Definitionsmenge wird durch die Nullstellen des Nenners bestimmt: \(x^2 + 4x + 6 = 0\). Die Diskriminante der quadratischen Gleichung ist \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 16 - 24 = -8\). Da \(D < 0\), hat der Nenner keine reellen Nullstellen und es gilt \(D_g = \mathbb{R}\). 2. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ergibt sich durch \(g(0)\): \(g(0) = \frac{0^2 + 5}{0^2 + 4 \cdot 0 + 6} = \frac{5}{6}\). Der Schnittpunkt liegt bei \(S_y(0 | \frac{5}{6})\). 3. Ein Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse erfordert \(g(x) = 0\), was nur für Nullstellen des Zählers möglich ist. Die Gleichung \(x^2 + 5 = 0\) führt zu \(x^2 = -5\), was in \(\mathbb{R}\) nicht lösbar ist. Alternativ lässt sich argumentieren, dass \(x^2 + 5 \geq 5\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt.

a) \(D_g = \mathbb{R}\) b) \(S_y(0 | \frac{5}{6})\) c) Da der Zähler \(x^2 + 5\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) stets größer oder gleich \(5\) (und somit ungleich \(0\)) ist, besitzt die Funktion keine Nullstellen.

- Erweitere alle Teile des Terms so, dass sie den gleichen Nenner haben. - Ein Bruch ist genau dann null, wenn sein Zähler null ist und der Nenner ungleich null bleibt. - Welche Methode kennst du, um quadratische Gleichungen zu lösen? - Gibt es Werte für \(x\), die man nicht in die Funktion einsetzen darf?

1. Die Terme werden auf den Hauptnenner \(x\) gebracht: \(f(x) = \frac{8}{x} + \frac{x \cdot x}{x} - \frac{6 \cdot x}{x}\). 2. Durch Zusammenfassen erhält man den Bruchterm: \(f(x) = \frac{x^2 - 6x + 8}{x}\). 3. Die Nullstellen von \(f\) sind die Nullstellen des Zählerpolynoms: \(x^2 - 6x + 8 = 0\). 4. Anwendung der \(pq\)-Formel oder Faktorisierung \((x - 2)(x - 4) = 0\) liefert die Lösungen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 4\). 5. Da beide Werte ungleich der Definitionslücke \(x = 0\) sind, besitzt die Funktion die Nullstellen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 4\).

a) \(f(x) = \frac{x^2 - 6x + 8}{x}\) b) Die Nullstellen sind \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 4\).

- Überlege dir, welcher Wert für \(x\) im Nenner nicht erlaubt ist. - Wie hängen die Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen mit den Funktionstermen zusammen? - Was bedeutet es für eine quadratische Gleichung, wenn sie genau eine Lösung besitzen soll? - Denke daran, dass Lösungen, die nicht im Definitionsbereich der ursprünglichen Funktion liegen, keine Schnittpunkte sein können.

1. Definitionsmenge und Nullstellen: \(D_{f_k} = \mathbb{R} \setminus \{1\}\). Die Nullstelle von \(g\) liegt bei \(x - 1 = 0 \implies x = 1\). Für \(f_k\) gilt \(2x + k = 0 \implies x = -\frac{k}{2}\). Falls \(-\frac{k}{2} = 1\) (also \(k = -2\)), ist dies eine Definitionslücke und \(f_k\) hat keine Nullstelle. Für \(k \neq -2\) ist \(x = -\frac{k}{2}\) die Nullstelle. 2. Schnittpunkte für \(k = 6\): Ansatz \(f_6(x) = g(x) \implies \frac{2x + 6}{x - 1} = x - 1 \implies 2x + 6 = x^2 - 2x + 1 \implies x^2 - 4x - 5 = 0\). Lösungen sind \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -1\). Die \(y\)-Koordinaten sind \(g(5) = 4\) und \(g(-1) = -2\). Schnittpunkte: \(S_1(5 \mid 4)\), \(S_2(-1 \mid -2)\). 3. Zusammenhang: Die Gleichung \(f_k(x) = g(x)\) ist äquivalent zu \(f_k(x) - g(x) = 0\). Somit entsprechen die \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte exakt den Nullstellen der Differenzfunktion \(d_k\). 4. Genau ein gemeinsamer Punkt: Die quadratische Gleichung \(x^2 - 4x + 1 - k = 0\) muss entweder genau eine Lösung im Definitionsbereich haben oder zwei Lösungen, von denen eine die Definitionslücke \(x = 1\) ist. Fall 1: Diskriminante \(D = 16 - 4(1 - k) = 12 + 4k = 0 \implies k = -3\). Die Lösung \(x = 2\) liegt im Definitionsbereich. Fall 2: Eine Lösung ist \(x = 1\). Einsetzen in \(x^2 - 4x + 1 - k = 0 \implies 1 - 4 + 1 - k = 0 \implies k = -2\). Die Gleichung lautet dann \(x^2 - 4x + 3 = 0\) mit Lösungen \(x = 1\) (entfällt) und \(x = 3\). Ergebnis: \(k = -3\) oder \(k = -2\).

a) \(D_{f_k} = \mathbb{R} \setminus \{1\}\); Nullstelle \(g\): \(x = 1\); Nullstelle \(f_k\): \(x = -\frac{k}{2}\) für \(k \neq -2\) (keine für \(k = -2\)). b) \(S_1(5 \mid 4)\), \(S_2(-1 \mid -2)\). c) Die \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte sind die Nullstellen der Differenzfunktion. d) \(k = -3\) oder \(k = -2\).

- Wann ist ein Bruch gleich null? - Was musst du beim Definitionsbereich einer gebrochen-rationalen Funktion beachten? - Welche Strategie hilft dir, wenn eine Gleichung höhere Potenzen wie \(x^4\) und \(x^2\) enthält? - Kannst du einen gemeinsamen Faktor in allen Summanden des Zählers finden?

1. Für \(f(x)\): Der Nenner \(x^2 + 4\) ist für alle \(x \in \mathbb{R}\) positiv, daher ist \(D_f = \mathbb{R}\). Setze den Zähler gleich null: \(x^4 - 5x^3 = 0\). Durch Ausklammern von \(x^3\) erhält man \(x^3(x - 5) = 0\). Die Nullstellen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 5\). 2. Für \(g(x)\): Der Nenner wird bei \(x = 2\) null, also ist \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{2\}\). Setze den Zähler gleich null: \(x^2 - 7x + 10 = 0\). Mit der Mitternachtsformel oder durch Faktorisieren \((x - 2)(x - 5) = 0\) ergeben sich die Kandidaten \(x = 2\) und \(x = 5\). Da \(2 \notin D_g\), ist nur \(x = 5\) eine Nullstelle. 3. Für \(h(x)\): Der Nenner \(x^2 + 1\) hat keine reellen Nullstellen, also ist \(D_h = \mathbb{R}\). Setze den Zähler gleich null: \(x^4 - 17x^2 + 16 = 0\). Substitution \(u = x^2\) führt auf \(u^2 - 17u + 16 = 0\). Die Lösungen für \(u\) sind \(u_1 = 1\) und \(u_2 = 16\). Durch Resubstitution ergeben sich die Nullstellen \(x_1 = 1\), \(x_2 = -1\), \(x_3 = 4\) und \(x_4 = -4\).

a) \(x_1 = 0\); \(x_2 = 5\) b) \(x = 5\) (Hinweis: \(x = 2\) ist keine Nullstelle, da die Funktion dort nicht definiert ist) c) \(x_1 = -4\); \(x_2 = -1\); \(x_3 = 1\); \(x_4 = 4\)

- Kannst du die Gleichung so umformen, dass auf einer Seite nur noch die Null steht? - Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit ein Produkt den Wert null ergibt? - Überprüfe nach dem Rechnen immer, ob deine Lösung auch wirklich im Definitionsbereich der Funktion liegt. - Was bedeutet es für den Graphen, wenn eine berechnete Stelle den Nenner null werden lässt?

1. Für \(p(x)\): Setze \(\frac{5}{x + 2} - 1 = 0\). Daraus folgt \(\frac{5}{x + 2} = 1\) und somit \(5 = x + 2\), woraus \(x = 3\) resultiert. Da der Nenner für \(x = 3\) den Wert \(5 \neq 0\) hat, ist \(x = 3\) die Nullstelle. 2. Für \(q(x)\): Der Zähler eines Produkts ist null, wenn einer der Faktoren null ist. Dies liefert \(x - 1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1\) und \(3x + 2 = 0 \Rightarrow x_2 = -\frac{2}{3}\). Die Definitionslücken liegen bei \(x = \pm 3\). Da weder \(1\) noch \(-\frac{2}{3}\) eine Definitionslücke ist, sind dies die beiden Nullstellen. 3. Für \(r(x)\): Der Zähler ist \(3(x^2 - 4x + 4) = 3(x - 2)^2\). Er hat die einzige Nullstelle \(x = 2\). Der Nenner ist \(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\), welcher für \(x = 2\) ebenfalls null wird. Da \(x = 2\) somit nicht im Definitionsbereich liegt (\(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{2; -2\}\)), besitzt die Funktion \(r\) keine Nullstellen.

a) \(x = 3\) b) \(x_1 = 1\); \(x_2 = -\frac{2}{3}\) c) Keine Nullstellen vorhanden.

- Wie viele Werte müssen aus der Definitionsmenge ausgeschlossen werden, wenn der Nenner ein quadratischer Term ist? - Erinnere dich an die Bedingung für Nullstellen bei gebrochen-rationalen Funktionen: Der Zähler muss null sein UND der Nenner darf an dieser Stelle nicht null sein. - Kannst du den Funktionsterm von \(h\) durch Faktorisieren und Kürzen vereinfachen? Beachte dabei, was mit den Definitionslücken passiert. - Überprüfe jede Lösung der Zählergleichung einzeln darauf, ob sie in der Definitionsmenge liegt.

1. Bestimmung der Definitionsmenge von \(h\): Der Nenner \(x^2 - 16 = 0\) liefert nach der dritten binomischen Formel \((x-4)(x+4)=0\) die ausgeschlossenen Werte \(x = 4\) und \(x = -4\). Somit ist \(D_h = \mathbb{R} \setminus \{-4; 4\}\). 2. Bestimmung der Nullstellen von \(h\): Die Gleichung im Zähler \(x^2 - 4x = 0 \iff x(x - 4) = 0\) liefert die potenziellen Nullstellen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 4\). 3. Überprüfung der Definitionsmenge: Da \(4 \notin D_h\), ist nur \(x = 0\) eine Nullstelle. Damit besitzt \(h\) genau eine Nullstelle.

a) Die Aussage ist falsch. Die Definitionsmenge ist \(D_h = \mathbb{R} \setminus \{-4; 4\}\), da der Nenner auch für \(x = -4\) null wird. b) Die Aussage ist wahr. Für \(x = 0\) ist der Zähler null und der Wert liegt in der Definitionsmenge. c) Die Aussage ist falsch. Von den beiden Lösungen der Zählergleichung (\(0\) und \(4\)) ist nur die \(0\) eine Nullstelle, da \(4\) eine Definitionslücke ist.

- Setze die Funktionsterme gleich, um eine Gleichung für die Schnittpunkte zu erhalten. - Eine quadratische Gleichung \(x^2 + px + q = 0\) hat keine reellen Lösungen, wenn die Diskriminante unter der Wurzel negativ ist. - Achte darauf, ob gefundene x-Werte im Definitionsbereich der Funktion \(h_a\) liegen.

1. Definitionsmenge und Nullstelle: \(D_{h_a} = \mathbb{R} \setminus \{1\}\). Für \(a = -6\) gilt \(h_{-6}(x) = \frac{3x - 6}{x - 1} = 0 \implies 3x = 6 \implies x = 2\). Da \(2 \in D_{h_a}\), ist \(x = 2\) die Nullstelle. 2. Schnittpunkte für \(a = -5\): Ansatz \(h_{-5}(x) = l(x) \implies \frac{3x - 5}{x - 1} = x - 1 \implies 3x - 5 = (x - 1)^2 \implies 3x - 5 = x^2 - 2x + 1 \implies x^2 - 5x + 6 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 3\). Die \(y\)-Koordinaten sind \(l(2) = 1\) und \(l(3) = 2\). Schnittpunkte: \(S_1(2 \mid 1)\), \(S_2(3 \mid 2)\). 3. Kein gemeinsamer Punkt: Die Gleichung \(x^2 - 5x + 1 - a = 0\) hat keine Lösung, wenn ihre Diskriminante negativ ist: \(D = (-5)^2 - 4(1 - a) = 25 - 4 + 4a = 21 + 4a\). \(21 + 4a < 0 \implies 4a < -21 \implies a < -5{,}25\). Zusätzlich müsste geprüft werden, ob alle Lösungen der quadratischen Gleichung mit der Definitionslücke \(x = 1\) zusammenfallen. \(x = 1\) ist Lösung, wenn \(1^2 - 5(1) + 1 - a = 0 \implies -3 - a = 0 \implies a = -3\). Für \(a = -3\) ergeben sich jedoch die Lösungen \(x = 1\) und \(x = 4\), wobei \(x = 4\) ein gültiger Schnittpunkt ist. Somit bleibt die Bedingung für keinen Schnittpunkt \(a < -5{,}25\).

a) \(D_{h_a} = \mathbb{R} \setminus \{1\}\); Nullstelle für \(a = -6\) ist \(x = 2\). b) \(S_1(2 \mid 1)\), \(S_2(3 \mid 2)\). c) Für \(a < -5{,}25\) haben die Graphen keinen gemeinsamen Punkt.

- Überlege dir, wie du den Nenner eliminieren kannst, um eine polynomielle Gleichung zu erhalten. - Wann ist es möglich, ein \(x\) oder \(x^2\) vor eine Klammer zu ziehen? - Achte darauf, ob alle berechneten Werte auch im Definitionsbereich der ursprünglichen Gleichung liegen. - Gibt es Gleichungen, die nach einer Umformung wie eine quadratische Gleichung aussehen?

1. Gleichung 1: Ausklammern von \(x^2\) im Zähler ist sinnvoll. \(x^2(x^2 - 9) = 0\) liefert \(x = 0\) und \(x = \pm 3\). Da \(D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\), ist \(\mathbb{L} = \{-3; 0; 3\}\). 2. Gleichung 2: Multiplikation mit \(x^2\) ergibt \(x^4 - 5x^2 - 36 = 0\). Substitution \(u = x^2\) führt zu \(u^2 - 5u - 36 = 0\) mit \(u_1 = 9\) und \(u_2 = -4\). Resubstitution \(x^2 = 9\) ergibt \(x = \pm 3\). \(x^2 = -4\) hat keine reelle Lösung. Da \(D = \mathbb{R} \setminus \{0\}\), ist \(\mathbb{L} = \{-3; 3\}\). Ausklammern war nicht der erste Schritt. 3. Gleichung 3: Multiplikation mit \(x\) ergibt \(x^2 + x - 12 = 0\). Faktorisieren ergibt \((x + 4)(x - 3) = 0\), also \(x = -4\) oder \(x = 3\). Da \(D = \mathbb{R} \setminus \{0\}\), ist \(\mathbb{L} = \{-4; 3\}\). Ausklammern war nicht der erste Schritt. 4. Gleichung 4: Ausklammern von \(x^2\) im Zähler ist sinnvoll. \(x^2(x + 2) = 0\) liefert \(x = 0\) und \(x = -2\). Da der Nenner nie null wird (\(D = \mathbb{R}\)), ist \(\mathbb{L} = \{-2; 0\}\).

Ausklammern ist sinnvoll bei: 1) und 4). Lösungsmengen: 1) \(\mathbb{L} = \{-3; 0; 3\}\) 2) \(\mathbb{L} = \{-3; 3\}\) 3) \(\mathbb{L} = \{-4; 3\}\) 4) \(\mathbb{L} = \{-2; 0\}\)

- Überlege zuerst, für welche Werte der Funktionsterm überhaupt definiert ist. - Wie kannst du eine Gleichung der Form \(x^4 + ax^2 + b = 0\) lösen? - Ein Bruch ist nur dann null, wenn der Zähler null ist UND der Nenner an dieser Stelle ungleich null ist. - Faktorisierung von Zähler und Nenner hilft dir dabei, gemeinsame Nullstellen zu erkennen.

1. Definitionsbereich bestimmen: Die Nullstellen des Nenners \(x^2 - 2x - 3 = 0\) berechnen. Durch Faktorisierung oder die Mitternachtsformel ergeben sich \(x = 3\) und \(x = -1\). Somit ist \(D = \mathbb{R} \setminus \{-1; 3\}\). 2. Zähler gleich null setzen: \(x^4 - 10x^2 + 9 = 0\). Durch Substitution \(u = x^2\) erhält man \(u^2 - 10u + 9 = 0\), was zu \(u_1 = 9\) und \(u_2 = 1\) führt. 3. Rücksubstitution: \(x^2 = 9 \Rightarrow x \in \{3; -3\}\) und \(x^2 = 1 \Rightarrow x \in \{1; -1\}\). 4. Abgleich mit dem Definitionsbereich: Die Werte \(x = 3\) und \(x = -1\) sind keine Nullstellen der Funktion, da sie nicht im Definitionsbereich liegen (Definitionslücken). 5. Gekürzte Funktion betrachten: Da \(\frac{(x-3)(x+3)(x-1)(x+1)}{(x-3)(x+1)} = (x+3)(x-1)\) für \(x \in D\) gilt, sind die verbleibenden Nullstellen jeweils einfach. 6. Ergebnis: Die Funktion hat die Nullstellen \(x_1 = -3\) (Vielfachheit 1) und \(x_2 = 1\) (Vielfachheit 1).

Nullstellen: \(x_1 = -3\) (Vielfachheit 1), \(x_2 = 1\) (Vielfachheit 1)