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- Welcher Term dominiert das Verhalten der Funktion für sehr große \(x\)-Werte? - Wie verhalten sich Terme mit \(x\) im Nenner, wenn \(x\) sehr groß wird? - Versuche, Zähler und Nenner durch die höchste vorkommende Potenz zu teilen.

1. Den Term mit der höchsten Potenz im Nenner (\(x^2\)) ausklammern oder durch ihn dividieren: \(\frac{1 + \frac{4}{x}}{2 + \frac{3}{x^2}}\). 2. Grenzwertbetrachtung für \(x \to \infty\): Die Terme \(\frac{4}{x}\) und \(\frac{3}{x^2}\) streben gegen \(0\). 3. Resultat: \(\frac{1 + 0}{2 + 0} = 0{,}5\).

\(0{,}5\)

- Vergleiche die Grade von Zähler und Nenner. - Bei gleichem Grad sind die führenden Koeffizienten entscheidend.

1. Zähler und Nenner haben denselben Grad. Das Verhältnis ihrer führenden Koeffizienten ist \(2:1=2\). Daher lautet die waagrechte Asymptote \(y=2\).

\(y=2\)

- Betrachte den linearen Teil und den verbleibenden Bruchterm getrennt. - Welcher Teil bleibt übrig, wenn der Bruchterm für große \(|x|\) gegen \(0\) geht?

1. Für große Beträge von \(x\) nähert sich der Restterm \(\frac{4}{x+1}\) dem Wert \(0\). Daher ist die direkt ablesbare schräge Asymptote \(y=3x-2\).

\(y=3x-2\)

- Vergleiche die Richtung der beiden gestrichelten Geraden. - Überlege, ob sich der angenäherte \(y\)-Wert bei wachsendem \(x\) verändert oder konstant bleibt. - Eine waagrechte Asymptote hat Steigung \(0\); eine schräge Asymptote hat eine von \(0\) verschiedene Steigung.

1. In Abbildung a) nähert sich der Graph für große Beträge von \(x\) einer konstanten Höhe. Die gestrichelte Gerade ist daher eine waagrechte Asymptote. 2. In Abbildung b) nähert sich der Graph einer nicht waagrechten Geraden mit positiver Steigung. Die gestrichelte Gerade ist daher eine schräge Asymptote.

a) waagrechte Asymptote b) schräge Asymptote

- Welche Gerade wird durch die Stelle bestimmt, an der der Nenner des Restterms null wird? - Welcher Teil des Funktionsterms bleibt übrig, wenn der Bruchterm für große \(|x|\) gegen \(0\) geht? - Vergleiche danach nur noch mit den angebotenen Gleichungen.

1. Der Bruchterm \(\frac{3}{x-2}\) ist bei \(x=2\) nicht definiert und sein Zähler ist ungleich null. Daher ist \(x=2\) eine senkrechte Asymptote. 2. Für \(|x|\to\infty\) gilt \(\frac{3}{x-2}\to0\). Somit nähert sich \(f(x)\) der Geraden \(y=x+1\); dies ist die schräge Asymptote. 3. Die Gerade \(x=1\) ist keine Asymptote.

c) \(x=1\)

- Multipliziere den Zähler aus, damit du die höchsten Potenzen vergleichen kannst. - Teile Zähler und Nenner durch die höchste vorkommende Potenz von \(x\). - Überlege, welche Bruchterme für \(x \to \infty\) verschwinden.

1. Zuerst multiplizieren wir den Zähler aus, um die Koeffizienten der Potenzen von \(x\) besser bestimmen zu können: \((2x - 1)(x + 4) = 2x^2 + 8x - x - 4 = 2x^2 + 7x - 4\). 2. Die Funktion lautet nun: \( f(x) = \frac{2x^2 + 7x - 4}{5x^2 - 3x} \). 3. Wir dividieren Zähler und Nenner durch die höchste Potenz \(x^2\): \( \frac{2 + \frac{7}{x} - \frac{4}{x^2}}{5 - \frac{3}{x}} \). 4. Im Unendlichen (\(x \to \infty\)) werden die Brüche mit \(x\) im Nenner zu \(0\): \( \frac{2 + 0 - 0}{5 - 0} = \frac{2}{5} \). 5. Das Ergebnis als Dezimalzahl ausgedrückt ist \(0{,}4\).

\(0{,}4\)

- Vergleiche bei Zähler und Nenner die Terme mit der höchsten Potenz von \(x\). - Welche Information liefert die waagrechte Asymptote über das Verhältnis der führenden Koeffizienten? - Wann ist ein Bruch gleich null, sofern sein Nenner nicht null ist?

1. Zähler und Nenner haben denselben Grad. Deshalb entspricht der Wert der waagrechten Asymptote dem Verhältnis der führenden Koeffizienten. Hier ist dieses Verhältnis \(a:1=a\). 2. Aus der waagrechten Asymptote \(y=5\) folgt daher \(a=5\). 3. Damit lautet die Funktion \(h(x)=\frac{5x-15}{x+3}\). 4. Für den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse muss der Zähler null sein: \(5x-15=0\), also \(x=3\). 5. Für \(x=3\) ist der Nenner \(6\neq0\). Somit ist der Schnittpunkt \(N(3\mid0)\).

\(a=5\); Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(N(3\mid0)\)

- Was passiert mit dem Wert eines Bruches, wenn der Nenner viel schneller wächst als der Zähler? - Versuche, den Zähler und den Nenner durch die höchste im Nenner vorkommende Potenz von \( x \) zu dividieren. - Welche Summanden im Zähler und Nenner werden vernachlässigbar klein, wenn \( x \) extrem groß wird?

1. Ausklammern der höchsten Potenz des Nenners (\( x^2 \)) in Zähler und Nenner: \( f(x) = \frac{x^2 \cdot (\frac{4}{x} + \frac{1}{x^2})}{x^2 \cdot (2 - \frac{3}{x^2})} \). 2. Kürzen des Faktors \( x^2 \): \( f(x) = \frac{\frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}}{2 - \frac{3}{x^2}} \). 3. Anwendung der Grenzwertsätze für \( x \to \pm\infty \): Die Terme \( \frac{4}{x} \), \( \frac{1}{x^2} \) und \( \frac{3}{x^2} \) streben gegen \( 0 \). 4. Der Zähler strebt somit gegen \( 0 + 0 = 0 \), während der Nenner gegen \( 2 - 0 = 2 \) strebt. 5. Berechnung des Gesamtgrenzwerts: \( \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \frac{0}{2} = 0 \).

\( \lim_{x \to \infty} f(x) = 0 \) und \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = 0 \)

- Vergleiche die Grade von Zähler und Nenner. - Überlege, welcher Teil des Bruchterms für sehr große Beträge von \(x\) das Verhalten bestimmt. - Welche Gerade gehört zu einem Grenzwert von \(0\) für \(x\to\pm\infty\)?

1. Der Zähler ist konstant und hat Grad \(0\); der Nenner hat Grad \(2\). 2. Für \(x\to\pm\infty\) wächst \(2x^2+3\) ohne Grenze, während der Zähler konstant \(7\) bleibt. 3. Daher gilt \(\lim_{x\to\pm\infty}g(x)=0\). 4. Somit besitzt der Graph die waagrechte Asymptote \(y=0\).

\(y=0\)

- Untersuche zuerst, wann der Nenner des Bruchterms null wird. - Welche Größe nimmt der Bruchterm für sehr große positive oder negative \(x\)-Werte näherungsweise an? - Welcher lineare Teil des Funktionsterms bleibt dann übrig?

1. Der Nenner des Bruchterms wird bei \(x=-2\) null, während der Zähler \(-3\) ungleich null ist. Daher ist \(x=-2\) eine senkrechte Asymptote. 2. Für \(|x|\to\infty\) gilt \(-\frac{3}{x+2}\to0\). Somit wird der Abstand zwischen \(h(x)\) und \(2x+1\) beliebig klein. 3. Daher ist \(y=2x+1\) die schräge Asymptote.

Senkrechte Asymptote: \(x=-2\) Schräge Asymptote: \(y=2x+1\)

- Teile jedes Glied in Zähler und Nenner durch dieselbe höchste Potenz von \(x\). - Achte darauf, dass die umgeformte Darstellung wegen der Division durch \(x^2\) nur für \(x\neq0\) gilt. - Welche Terme verschwinden für \(x\to\infty\)?

1. Für \(x\neq0\) gilt \(f(x)=\frac{10-\frac5x+\frac1{x^2}}{2+\frac3{x^2}}\). Diese Darstellung dient nur der Grenzwertbetrachtung; der ursprüngliche Term ist auch bei \(x=0\) definiert. 2. Für \(x\to\infty\) gehen \(\frac1x\) und \(\frac1{x^2}\) gegen \(0\). Daher gilt \(\lim_{x\to\infty}f(x)=\frac{10}{2}=5\). 3. Die waagrechte Asymptote lautet \(y=5\).

a) Für \(x\neq0\): \(f(x)=\frac{10-\frac5x+\frac1{x^2}}{2+\frac3{x^2}}\) b) \(\lim_{x\to\infty}f(x)=5\); waagrechte Asymptote \(y=5\)

- Verwende die höchste vorkommende Potenz \(x^2\) als gemeinsamen Divisor. - Untersuche anschließend, welche Bruchterme für \(x\to-\infty\) gegen \(0\) gehen. - Welcher Quotient bleibt übrig, wenn diese Terme verschwinden?

1. Für \(x\neq0\) gilt \(g(x)=\frac{\frac4{x^2}-2}{0{,}5+\frac1x-\frac1{x^2}}\). Diese Umformung dient nur der Grenzwertbetrachtung. 2. Für \(x\to-\infty\) gehen \(\frac1x\) und \(\frac1{x^2}\) gegen \(0\). Somit gilt \(\lim_{x\to-\infty}g(x)=\frac{-2}{0{,}5}=-4\). 3. Die waagrechte Asymptote lautet \(y=-4\).

a) Für \(x\neq0\): \(g(x)=\frac{\frac4{x^2}-2}{0{,}5+\frac1x-\frac1{x^2}}\) b) \(\lim_{x\to-\infty}g(x)=-4\); waagrechte Asymptote \(y=-4\)

- Vergleiche, wie schnell Zähler und Nenner für große Beträge von \(x\) wachsen. - Prüfe, ob ein einzelner Koeffizient des Zählers den Grenzwert des gesamten Quotienten bestimmen kann. - Unterscheide diesen Gradvergleich vom Fall gleich hoher Grade.

1. Der Zähler hat Grad \(1\), der Nenner Grad \(2\). 2. Weil der Nenner für große Beträge von \(x\) schneller wächst als der Zähler, gilt \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0\). 3. Die waagrechte Asymptote ist daher \(y=0\). 4. Jonas erkennt die Existenz einer waagrechten Asymptote richtig, leitet ihren Wert aber falsch aus einem einzelnen Koeffizienten des Zählers ab.

Die Aussage ist falsch. Es gilt \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0\), also ist die waagrechte Asymptote \(y=0\).

- Vergleiche den gegebenen Funktionsterm mit der vermuteten Geraden und achte darauf, welcher Anteil sich für große \(|x|\) verändert. - Überlege, welche Bedingung der Abstand zwischen Graph und Gerade langfristig erfüllen müsste. - Prüfe das Verhalten des verbleibenden Terms für große positive und negative \(x\)-Werte.

1. Der Unterschied zwischen Funktionswert und Geradenwert ist \(f(x)-(2x+3)=-\frac{3}{x+1}\). 2. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(-\frac{3}{x+1}\to0\). 3. Damit wird der vertikale Abstand des Graphen von der Geraden \(y=2x+3\) beliebig klein. Die Vermutung ist richtig; \(y=2x+3\) ist die schräge Asymptote.

Die Vermutung stimmt. Die schräge Asymptote ist \(y=2x+3\), weil \(f(x)-(2x+3)=-\frac{3}{x+1}\to0\) für \(x\to\pm\infty\).

- Welcher Teil des Funktionsterms wird vernachlässigbar klein, wenn \(x\) sehr große Werte annimmt? - Wie verhält sich eine Gerade mit positiver Steigung für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte? - Überlege dir, ob der Bruchteil für sehr große \(x\) positiv oder negativ ist, um die Lage zum Graphen zu bestimmen.

1. Identifikation des ganzrationalen Anteils: Da der Term \(\frac{2}{x+4}\) für \(x \to \pm \infty\) gegen null strebt, ist der lineare Anteil die Gleichung der schrägen Asymptote: \(y = 3x + 1\). 2. Verhalten im Unendlichen: Da die Steigung der Asymptote \(m = 3\) positiv ist, folgt der Graph dem Verlauf der Geraden. Für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to +\infty\). Für \(x \to -\infty\) gilt \(f(x) \to -\infty\). 3. Optionale Präzisierung der Lage: Für \(x \to \infty\) ist \(\frac{2}{x+4} > 0\), daher gilt \(f(x) < 3x + 1\) (Annäherung von unten). Für \(x \to -\infty\) ist \(\frac{2}{x+4} < 0\), daher gilt \(f(x) > 3x + 1\) (Annäherung von oben).

Die Gleichung der schrägen Asymptote lautet \(y = 3x + 1\). Für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to +\infty\), wobei sich der Graph der Asymptote von unten nähert. Für \(x \to -\infty\) gilt \(f(x) \to -\infty\), wobei sich der Graph der Asymptote von oben nähert.

- Welche höchste Potenz von \(x\) eignet sich jeweils zum Teilen von Zähler und Nenner? - Was passiert mit Termen wie \(\frac1x\) und \(\frac1{x^2}\), wenn \(|x|\) sehr groß wird? - Vergleiche anschließend die verbleibenden konstanten Terme.

1. Für \(f\) wird Zähler und Nenner durch \(x\) geteilt. Für \(x\neq0\) gilt \(f(x)=\frac{6-\frac{15}{x}}{\frac3x-2}\). Damit ist \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=-3\), also lautet die waagrechte Asymptote \(y=-3\). 2. Für \(g\) wird Zähler und Nenner durch \(x^2\) geteilt. Für \(x\neq0\) gilt \(g(x)=\frac{\frac5x+\frac2{x^2}}{1-\frac4{x^2}}\). Daraus folgt \(\lim_{x\to\pm\infty}g(x)=0\), also ist \(y=0\) die waagrechte Asymptote. 3. Für \(h\) ergibt die Division durch \(x^2\) den Term \(\frac{1{,}2-\frac4x}{0{,}4+\frac1{x^2}}\). Daher gilt \(\lim_{x\to\pm\infty}h(x)=\frac{1{,}2}{0{,}4}=3\), also ist \(y=3\) die waagrechte Asymptote.

a) \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=-3\); waagrechte Asymptote \(y=-3\) b) \(\lim_{x\to\pm\infty}g(x)=0\); waagrechte Asymptote \(y=0\) c) \(\lim_{x\to\pm\infty}h(x)=3\); waagrechte Asymptote \(y=3\)

- Eine vorgegebene Gerade ist eine asymptotische Kandidatin, wenn der Unterschied zur Funktion gegen \(0\) geht. - Bringe Funktion und Gerade auf einen gemeinsamen Nenner. - Vereinfache nur so weit, dass das Verhalten des Restterms für große Beträge von \(x\) erkennbar wird.

1. Es gilt \(k(x)-s(x)=\frac{2x^2-5x+3-(2x-1)(x-2)}{x-2}\). 2. Da \((2x-1)(x-2)=2x^2-5x+2\), folgt \(k(x)-s(x)=\frac{1}{x-2}\). 3. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(\frac{1}{x-2}\to0\). Damit nähert sich der Graph der Geraden \(y=2x-1\); sie ist die schräge Asymptote.

Ja. Es gilt \(k(x)-(2x-1)=\frac{1}{x-2}\to0\) für \(x\to\pm\infty\). Daher ist \(y=2x-1\) die schräge Asymptote.

- Welcher Termteil verschwindet für große \(|x|\)? - Der Restterm ist zugleich der vertikale Abstand zur Geraden. - Prüfe deshalb nur noch das Vorzeichen dieses Restterms für große positive \(x\).

1. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(\frac{2}{x-3}\to0\). Daher ist \(y=x-1\) die schräge Asymptote. 2. Für hinreichend große positive \(x\) ist \(x-3>0\), also \(\frac{2}{x-3}>0\). Damit gilt \(f(x)>x-1\). Der Graph verläuft für \(x\to\infty\) oberhalb der Asymptote.

1. Schräge Asymptote: \(y=x-1\) 2. Für \(x\to\infty\) verläuft der Graph oberhalb der Asymptote.

- Wann ist ein Bruch gleich null? - Wie verhält sich der Funktionswert, wenn \(x\) sehr groß oder sehr klein wird? - Welchen Wert muss die Funktion an der Stelle eines Schnittpunkts mit der Asymptote annehmen?

1. Ansatz für die Nullstellen: Der Zähler des Funktionsterms muss null werden: \(x^2 - 6x = 0\). 2. Ausklammern liefert \(x \cdot (x - 6) = 0\), woraus die Nullstellen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 6\) folgen. 3. Bestimmung der waagrechten Asymptote: Da Zähler- und Nennergrad gleich sind, ergibt sich der Grenzwert für \(x \to \pm \infty\) aus dem Quotienten der Koeffizienten der jeweils höchsten \(x\)-Potenz: \(\frac{1}{2} = 0{,}5\). Die Gleichung der waagrechten Asymptote lautet somit \(y = 0{,}5\). 4. Ansatz für den Schnittpunkt mit der Asymptote: \(f(x) = 0{,}5\). 5. Gleichung lösen: \(\frac{x^2 - 6x}{2x^2 + 12} = 0{,}5 \Leftrightarrow x^2 - 6x = x^2 + 6 \Leftrightarrow -6x = 6 \Leftrightarrow x = -1\).

a) Nullstellen: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 6\); waagrechte Asymptote: \(y = 0{,}5\) b) \(x = -1\)

- Bei einem einteiligen Nenner kannst du die Summanden des Zählers gliedweise teilen. - Alternativ kannst du prüfen, ob der Unterschied zur vorgegebenen Geraden gegen \(0\) geht. - Entscheidend sind sowohl Steigung als auch konstanter Term der Asymptote.

1. Für A ergibt gliedweises Teilen \(f(x)=0{,}5x+3+\frac{5}{x}\). Da \(\frac{5}{x}\to0\), besitzt \(f\) die schräge Asymptote \(y=0{,}5x+3\). 2. Für B gilt \(g(x)-(0{,}5x+3)=\frac{-0{,}5x+2}{x+1}\to-0{,}5\). Der Abstand geht nicht gegen \(0\); die vorgegebene Gerade ist daher keine Asymptote von \(g\). 3. Für C ergibt gliedweises Teilen \(h(x)=0{,}5x+2+\frac{2{,}5}{x}\). Die schräge Asymptote lautet \(y=0{,}5x+2\). 4. Somit ist nur A richtig.

A) \(f(x)=\frac{0{,}5x^2+3x+5}{x}\)

- Vergleiche zunächst die Grade von Zähler und Nenner. - Wie lässt sich der Term so umformen, dass die zusätzlichen \(x\)-abhängigen Anteile für große Beträge von \(x\) verschwinden? - Welche Bezeichnung verwendet man, wenn Funktionswerte gegen eine feste reelle Zahl streben?

1. Zähler und Nenner haben beide Grad \(1\). 2. Für \(x\neq0\) gilt nach Division durch \(x\): \(k(x)=\frac{10+\frac5x}{2-\frac4x}\). 3. Für \(x\to\pm\infty\) gehen \(\frac5x\) und \(\frac4x\) gegen \(0\). Daher gilt \(\lim_{x\to\pm\infty}k(x)=\frac{10}{2}=5\). 4. Da sich die Funktionswerte einer festen reellen Zahl annähern, konvergiert \(k(x)\) in beiden Richtungen gegen \(5\).

\(k(x)\) konvergiert sowohl für \(x\to\infty\) als auch für \(x\to-\infty\) gegen \(5\).

- Die Definitionslücke steckt nur im Nenner des Restterms. - Für die schräge Asymptote untersuche, was mit dem Restterm für große \(|x|\) geschieht. - Beim Funktionswert kannst du direkt in die gegebene Darstellung einsetzen.

a) Der Nenner des Bruchterms wird bei \(x=2\) null. Daher ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\). b) Weil der Zähler des Bruchterms \(-2\) ungleich null ist, liegt bei \(x=2\) eine Polstelle und damit die senkrechte Asymptote \(x=2\) vor. Für \(|x|\to\infty\) gilt \(-\frac{2}{x-2}\to0\); deshalb ist \(y=x-1\) die schräge Asymptote. c) \(f(4)=4-1-\frac{2}{2}=3-1=2\).

a) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\) b) Senkrechte Asymptote \(x=2\); schräge Asymptote \(y=x-1\) c) \(f(4)=2\)

- Was passiert mit dem Bruch, wenn du die höchste Potenz von \(x\) im Zähler und Nenner ausklammerst und kürzt? - Vergleiche den Grad des Zählerpolynoms mit dem Grad des Nennerpolynoms. - Welche Terme werden vernachlässigbar klein, wenn \(x\) sehr groß wird?

1. Für \(f(x)\) wird im Zähler und Nenner die höchste Potenz \(x^2\) ausgeklammert: \(f(x) = \frac{x^2 \cdot (6 + \frac{4}{x})}{x^2 \cdot (3 - \frac{1}{x^2})} = \frac{6 + \frac{4}{x}}{3 - \frac{1}{x^2}}\). Da \(\frac{4}{x} \to 0\) und \(\frac{1}{x^2} \to 0\) für \(x \to \pm \infty\), ergibt sich der Grenzwert \(\frac{6}{3} = 2\). 2. Für \(g(x)\) betrachtet man das Wachstum von Zähler und Nenner. Der Zähler ist konstant \(10\), während der Nenner \(x^2 + 5\) für \(x \to \pm \infty\) gegen \(+\infty\) strebt. Ein konstanter Wert dividiert durch eine über alle Grenzen wachsende Zahl ergibt den Grenzwert \(0\).

a) \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 2\) b) \(\lim_{x \to \pm \infty} g(x) = 0\)

- Vergleiche die führenden Terme in Zähler und Nenner. - Welche kleinen Bruchterme entstehen, wenn du Zähler und Nenner durch \(x\) teilst? - Was bedeutet ein endlicher Grenzwert für den Verlauf des Graphen weit rechts?

1. Für \(x\neq0\) gilt nach Division von Zähler und Nenner durch \(x\): \(f(x)=\frac{8+\frac{12}{x}}{4-\frac5x}\). 2. Für \(x\to\infty\) gehen \(\frac{12}{x}\) und \(\frac5x\) gegen \(0\). Daher gilt \(\lim_{x\to\infty}f(x)=\frac84=2\). 3. Der Graph nähert sich für große positive \(x\)-Werte der waagrechten Asymptote \(y=2\).

\(\lim_{x\to\infty}f(x)=2\); waagrechte Asymptote \(y=2\)

- Vergleiche bei beiden Funktionen zuerst Zähler- und Nennergrad. - Teile Zähler und Nenner gedanklich durch die höchste vorkommende Potenz von \(x\). - Welche Terme bleiben für sehr große \(x\) übrig?

1. Bei \(g\) haben Zähler und Nenner Grad \(2\). Nach Division durch \(x^2\) gilt \(\lim_{x\to\infty}g(x)=\frac{4}{2}=2\). Die waagrechte Asymptote lautet \(y=2\). 2. Bei \(h\) hat der Zähler Grad \(1\), der Nenner Grad \(2\). Nach Division durch \(x^2\) gehen die Terme im Zähler gegen \(0\), also gilt \(\lim_{x\to\infty}h(x)=0\). Die waagrechte Asymptote ist \(y=0\). 3. Bei gleichen Graden bestimmen die führenden Koeffizienten den endlichen Grenzwert. Ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad, geht der Quotient gegen \(0\).

\(\lim_{x\to\infty}g(x)=2\), waagrechte Asymptote \(y=2\) \(\lim_{x\to\infty}h(x)=0\), waagrechte Asymptote \(y=0\)

- Teile \(x^2\), \(2x\) und \(-3\) einzeln durch \(x\). - Der Restterm beschreibt den vertikalen Unterschied zur linearen Komponente. - Sein Vorzeichen entscheidet über die Seite der Annäherung.

a) Durch gliedweises Teilen erhält man \(f(x)=x+2-\frac3x.\) b) Da \(-\frac3x\to0\) für \(x\to\pm\infty\), lautet die schräge Asymptote \(y=x+2\). c) Für \(x\to+\infty\) ist \(-\frac3x<0\); der Graph liegt unterhalb der Asymptote. Für \(x\to-\infty\) ist \(-\frac3x>0\); der Graph liegt oberhalb der Asymptote. d) Ein Schnittpunkt würde \(-\frac3x=0\) erfordern. Das ist unmöglich. Der Graph schneidet seine schräge Asymptote nicht.

a) \(f(x)=x+2-\frac3x\) b) \(y=x+2\) c) Für \(x\to+\infty\) von unten, für \(x\to-\infty\) von oben d) Kein Schnittpunkt.

- Welche Nennerwerte erzeugen die senkrechten Asymptoten? - Prüfe bei Teil b), ob der Zähler an den Nennernullstellen ebenfalls null wird. - Welches Grenzverhalten folgt aus dem Gradvergleich beziehungsweise aus dem konstanten Summanden in Teil a)?

1. Bei \(f\) liegt die Polstelle bei \(x=4\). Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(\frac6{x-4}\to0\), daher ist \(y=2\) die waagrechte Asymptote. 2. Bei \(g\) gilt \(x^2+x=x(x+1)\). Da der Zähler an \(x=0\) und \(x=-1\) jeweils ungleich null ist, liegen dort Polstellen vor. 3. Der Zählergrad von \(g\) ist kleiner als der Nennergrad. Deshalb gilt \(g(x)\to0\) für \(x\to\pm\infty\), also ist \(y=0\) die waagrechte Asymptote.

a) Polstelle \(x=4\); waagrechte Asymptote \(y=2\) b) Polstellen \(x=-1\) und \(x=0\); waagrechte Asymptote \(y=0\)

- Prüfe eine Kandidatengerade über den Unterschied \(f(x)-g(x)\). - Bringe den Unterschied jeweils auf den Nenner \(x-2\). - Nur ein Grenzwert von \(0\) kennzeichnet die asymptotische Gerade.

Für \(g_1\) gilt \(f(x)-g_1(x) =\frac{3x^2-5x+2-(3x+1)(x-2)}{x-2} =\frac4{x-2}\to0.\) Damit ist \(g_1\) eine asymptotische Gerade. Für \(g_2\) gilt \(f(x)-g_2(x) =\frac{3x^2-5x+2-3x(x-2)}{x-2} =\frac{x+2}{x-2}\to1.\) Der Abstand zu \(g_2\) geht nicht gegen \(0\). Daher ist \(g_2\) keine schräge Asymptote. Somit lautet die schräge Asymptote \(y=3x+1\).

Die schräge Asymptote ist \(g_1(x)=3x+1\). Für \(g_1\) geht der Unterschied gegen \(0\), für \(g_2\) gegen \(1\).

- Was passiert mit dem Teil \(\frac{2}{x}\), wenn \(x\) immer größer wird? - An welcher Stelle darfst du für \(x\) keinen Wert einsetzen? - Die Asymptote beschreibt das Verhalten der Funktion in der Nähe von Definitionslücken oder im Unendlichen.

1. Senkrechte Asymptote: Die Funktion ist an der Stelle \(x = 0\) nicht definiert, da der Nenner des Bruchteils \(\frac{2}{x}\) dort null wird. Für \(x \to 0\) strebt der Funktionswert gegen \(\pm\infty\). Die senkrechte Asymptote lautet also \(x = 0\) (die \(y\)-Achse). 2. Schräge Asymptote: Für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte (\(x \to \pm\infty\)) geht der Term \(\frac{2}{x}\) gegen Null. Der Funktionswert nähert sich somit immer mehr dem linearen Anteil \(0{,}5x\) an. Die schräge Asymptote hat die Gleichung \(y = 0{,}5x\).

Die senkrechte Asymptote ist die Gerade \(x = 0\). Die schräge Asymptote ist die Gerade \(y = 0{,}5x\).

- Welche Nennernullstelle kann eine senkrechte Asymptote erzeugen? - Vergleiche für die waagrechte Asymptote die höchsten Potenzen in Zähler und Nenner. - Schreibe den Zähler als ein Vielfaches von \(x+2\) plus einen konstanten Rest. - Das Vorzeichen des Restterms entscheidet über die Lage relativ zur waagrechten Asymptote.

1. Der Nenner wird bei \(x=-2\) null, während der Zähler dort \(-12\neq0\) ist. Daher ist \(x=-2\) die senkrechte Asymptote. 2. Zähler und Nenner haben denselben Grad. Das Verhältnis der Leitkoeffizienten ist \(3\), also ist \(y=3\) die waagrechte Asymptote. 3. Es gilt \(3x-6=3(x+2)-12\). Somit ist \(g(x)=3-\frac{12}{x+2}\), also \(r=-12\). 4. Für \(x>-2\) ist \(x+2>0\), daher ist \(-\frac{12}{x+2}<0\). Somit gilt dort \(g(x)<3\); der Graph liegt unterhalb der waagrechten Asymptote. 5. Es gilt \(g(0)=\frac{-6}{2}=-3\). Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0\mid-3)\).

a) Senkrechte Asymptote \(x=-2\); waagrechte Asymptote \(y=3\) b) \(g(x)=3-\frac{12}{x+2}\), also \(r=-12\); für \(x>-2\) liegt der Graph unterhalb von \(y=3\). c) \(S_y(0\mid-3)\)

- Vergleiche zunächst die Grade und Leitkoeffizienten von Zähler und Nenner. - Für eine sinnvolle Softwarekontrolle müssen große \(|x|\)-Werte sichtbar sein und der \(y\)-Bereich die vermutete Asymptote ausreichend genau auflösen. - Vergleiche die beiden tabellierten Funktionswerte mit deinem analytischen Grenzwert.

1. Zähler und Nenner haben beide Grad \(2\). Das Verhältnis der Leitkoeffizienten ist \(3\). Daher lautet die waagrechte Asymptote \(y=3\). 2. Fenster B zeigt große Beträge von \(x\) und zugleich einen engen Bereich um \(y=3\). Damit lässt sich die Annäherung an die Asymptote deutlich erkennen. 3. Die Werte \(2{,}965\) und \(2{,}999\) liegen bereits nahe bei \(3\), wobei der Wert für den größeren Betrag von \(x\) noch näher an \(3\) liegt. Das stimmt mit der analytisch bestimmten waagrechten Asymptote \(y=3\) überein.

a) \(y=3\) b) Fenster B c) Die Softwarewerte nähern sich bei größerem \(|x|\) dem Wert \(3\) und stützen damit \(y=3\) als waagrechte Asymptote.

- Wo im Funktionsterm findet man Informationen über das Verhalten für sehr große \(x\)-Werte? - Was muss man für \(x\) einsetzen, um den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse zu finden? - Ein Bruch ist genau dann Null, wenn ein ganz bestimmter Teil des Bruches Null ergibt. Welcher ist das?

1. Senkrechte Asymptote: Nullstelle des Nenners bestimmen: \(2x + 4 = 0 \Rightarrow 2x = -4 \Rightarrow x = -2\). Die Gleichung der senkrechten Asymptote lautet \(x = -2\). 2. Waagrechte Asymptote: Betrachtung des Verhaltens für sehr große \(x\)-Werte. Das Verhältnis der Koeffizienten der höchsten \(x\)-Potenzen ist \(\frac{3}{2} = 1{,}5\). Die Gleichung der waagrechten Asymptote lautet \(y = 1{,}5\). 3. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: Berechne \(h(0) = \frac{3 \cdot 0 - 12}{2 \cdot 0 + 4} = \frac{-12}{4} = -3\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 | -3)\). 4. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (Nullstelle): Ein Bruch wird Null, wenn der Zähler Null wird. \(3x - 12 = 0 \Rightarrow 3x = 12 \Rightarrow x = 4\). Da \(4\) in der Definitionsmenge enthalten ist, liegt der Schnittpunkt bei \(N(4 | 0)\).

a) Senkrechte Asymptote: \(x = -2\); waagrechte Asymptote: \(y = 1{,}5\). b) \(S_y(0 | -3)\). c) Ja, der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(N(4 | 0)\).

- Vergleiche für a) das Verhalten von Zähler und Nenner bei sehr großen Beträgen von \(x\). - Untersuche für b), an welchen Stellen die jeweiligen Funktionsterme wegen ihres Nenners kritisch werden, und prüfe den Zähler dort mit. - Arbeite für c) von der gewünschten Lage der senkrechten Asymptote rückwärts und formuliere eine passende Bedingung an den neuen Nenner.

1. Waagrechte Asymptoten: Für \(g_1(x)\) ist das Verhältnis der führenden Koeffizienten \(\frac{4}{2} = 2\), also \(y = 2\). Für \(g_2(x)\) ist das Verhältnis \(\frac{2}{1} = 2\), also \(y = 2\). Feststellung: Beide Funktionen haben dieselbe waagrechte Asymptote. 2. Senkrechte Asymptoten: Nenner von \(g_1\) nullsetzen: \(2x + 6 = 0 \Rightarrow x = -3\). Nenner von \(g_2\) nullsetzen: \(x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\). Da \(-3 \neq 3\), ist Miras Aussage falsch. Die Lage der senkrechten Asymptote hängt von den Nullstellen des Nenners ab, nicht nur von der Art der Terme. 3. Anpassung des Nenners: Die senkrechte Asymptote von \(g_2\) liegt bei \(x = 3\). Damit \(g_1\) dort ebenfalls eine Asymptote hat, muss der Nenner von \(g_1\) bei \(x = 3\) den Wert null annehmen. Ein möglicher neuer Nenner für \(g_1\) wäre \((x - 3)\) oder ein Vielfaches davon, z. B. \(2x - 6\).

a) Beide waagrechten Asymptoten lauten \(y = 2\). Sie sind identisch. b) Die Aussage ist falsch. Die senkrechte Asymptote von \(g_1\) liegt bei \(x = -3\), die von \(g_2\) bei \(x = 3\). c) Ein möglicher neuer Nenner ist \(x-3\); auch ein von null verschiedenes Vielfaches wie \(2x-6\) ist möglich.

- Welche Stelle macht den Nenner null, und welchem Wert nähert sich der Restterm für große Beträge von \(x\)? - Wie groß ist der Abstand vom Mittelwert bis zu einem Rand eines Streifens der Gesamtbreite \(0{,}8\)? - Vergleiche die Abstände der beiden Funktionswerte zur waagrechten Asymptote mit diesem Grenzabstand.

1. Der Nenner wird bei \(x=1\) null, also ist \(x=1\) die senkrechte Asymptote. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(-\frac2{x-1}\to0\), daher ist \(y=1{,}5\) die waagrechte Asymptote. 2. Der Streifen hat den halben Breitenabstand \(0{,}4\). Damit gehören Funktionswerte aus \(]1{,}1;1{,}9[\) zum Streifen. 3. Es ist \(f(3)=0{,}5\). Der Abstand zu \(1{,}5\) beträgt \(1\) und ist größer als \(0{,}4\); der Punkt liegt außerhalb. 4. Es ist \(f(7)=1{,}5-\frac13=\frac76\approx1{,}17\). Der Abstand zu \(1{,}5\) beträgt \(\frac13<0{,}4\); der Punkt liegt innerhalb.

a) Senkrechte Asymptote \(x=1\); waagrechte Asymptote \(y=1{,}5\) b) Bei \(x=3\) liegt der Graph außerhalb, bei \(x=7\) innerhalb des Streifens.

- Welche Stelle macht den Nenner null, und welchem Wert nähert sich der Restterm für große Beträge von \(x\)? - Formuliere die verlangte Abweichung als Betrag einer Differenz zum Asymptotenwert. - Nutze beim Auflösen der Ungleichung die vorgegebene Bedingung \(x>-2\), um das Vorzeichen des Nenners festzulegen.

1. Die Nennernullstelle \(0{,}5x+1=0\) liefert die senkrechte Asymptote \(x=-2\). Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(g(x)\to-2\), daher ist \(y=-2\) die waagrechte Asymptote. 2. Gesucht ist für \(x>-2\) die Bedingung \(|g(x)+2|<0{,}1\). Damit folgt \(\left|\frac3{0{,}5x+1}\right|<0{,}1\). 3. Für \(x>-2\) ist \(0{,}5x+1>0\). Somit gilt \(\frac3{0{,}5x+1}<0{,}1\). 4. Daraus folgt \(3<0{,}05x+0{,}1\), also \(2{,}9<0{,}05x\) und schließlich \(x>58\).

a) Senkrechte Asymptote \(x=-2\); waagrechte Asymptote \(y=-2\) b) Für \(x>58\) beträgt die Abweichung weniger als \(0{,}1\).

- Vergleiche bei a) und c) die Grade und führenden Koeffizienten. - Bei b) ist die lineare Asymptote bereits als eigener Termteil sichtbar. - Unterscheide bei einer schrägen Asymptote zwischen dem Abstand zur Geraden und dem Vorzeichen des unbeschränkten Funktionswerts.

1. Bei \(f\) haben Zähler und Nenner Grad \(2\). Daher gilt \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\frac{10}{2}=5\). Die waagrechte Asymptote ist \(y=5\). 2. Bei \(g\) geht der Restterm \(-\frac{2}{x+1}\) für \(x\to\pm\infty\) gegen \(0\). Deshalb ist \(y=x+1\) die schräge Asymptote. Außerdem gilt \(g(x)\to+\infty\) für \(x\to+\infty\) und \(g(x)\to-\infty\) für \(x\to-\infty\). 3. Bei \(h\) haben Zähler und Nenner Grad \(1\). Daher gilt \(\lim_{x\to\pm\infty}h(x)=\frac{-4}{2}=-2\). Die waagrechte Asymptote ist \(y=-2\).

a) \(f(x)\to5\) für \(x\to\pm\infty\); waagrechte Asymptote \(y=5\) b) \(g(x)\to+\infty\) für \(x\to+\infty\) und \(g(x)\to-\infty\) für \(x\to-\infty\); schräge Asymptote \(y=x+1\) c) \(h(x)\to-2\) für \(x\to\pm\infty\); waagrechte Asymptote \(y=-2\)

- Welchen Einfluss hat der Parameter auf den Grad des Zählerpolynoms? - Wie berechnet man den Grenzwert einer rationalen Funktion, wenn Zähler und Nenner denselben Grad haben? - Was bedeutet es für den Grenzwert, wenn der Grad des Nenners echt größer ist als der des Zählers?

1. Für \(a \neq 0\) sind Zähler- und Nennergrad gleich (\(2\)). Das Verhalten im Unendlichen wird durch das Verhältnis der Leitkoeffizienten bestimmt: \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{ax^2 + 6x}{3x^2 - 12} = \frac{a}{3}\). 2. Um Konvergenz gegen \(4\) zu erreichen, muss gelten: \(\frac{a}{3} = 4\). Daraus folgt durch Multiplikation mit \(3\): \(a = 12\). 3. Für \(a = 0\) lautet die Funktionsgleichung \(f_0(x) = \frac{6x}{3x^2 - 12}\). Hier ist der Nennergrad (\(2\)) größer als der Zählergrad (\(1\)). 4. Daraus folgt, dass die Funktion für \(x \to \pm\infty\) gegen \(0\) konvergiert: \(\lim_{x \to \pm\infty} f_0(x) = 0\). Die waagrechte Asymptote ist die x-Achse mit der Gleichung \(y = 0\).

a) \(a = 12\); Begründung über den Koeffizientenvergleich der höchsten Potenzen \(\frac{a}{3} = 4\). b) Für \(a = 0\) konvergiert die Funktion gegen \(0\); waagrechte Asymptote \(y = 0\).

- Prüfe jede Aussage nur mit der Eigenschaft, die sie tatsächlich betrifft. - Bei \(g\) ist die mögliche schräge Asymptote bereits als linearer Termteil sichtbar. - Für die Anzahl der Asymptoten musst du senkrechte und waagrechte beziehungsweise schräge Asymptoten getrennt prüfen.

1. Bei \(h\) ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad. Daher gilt \(h(x)\to0\) für \(x\to\pm\infty\). Aussage a) ist wahr. 2. Für \(|x|\to\infty\) gilt \(\frac{2}{x-1}\to0\). Deshalb nähert sich \(g\) der Geraden \(y=x+1\). Aussage b) ist wahr. 3. \(f\) hat die senkrechte Asymptote \(x=-3\) und die waagrechte Asymptote \(y=-2\), also zwei Asymptoten. \(h\) besitzt keine senkrechte Asymptote und nur \(y=0\) als waagrechte Asymptote. Aussage c) ist falsch. 4. Für \(x\to\infty\) gilt \(f(x)\to-2\), \(g(x)\to+\infty\) und \(h(x)\to0\). Aussage d) ist falsch.

a) Wahr b) Wahr c) Falsch; \(f\) hat zwei Asymptoten, \(h\) eine. d) Falsch; \(f(x)\to-2\), \(g(x)\to+\infty\), \(h(x)\to0\).

- Wie lässt sich der Funktionsterm vereinfachen, wenn du jedes Element des Zählers durch \(x\) dividierst? - Erinnerst du dich, wie man prüft, ob zwei Funktionsgraphen gemeinsame Punkte haben? - Kann ein Bruch der Form \(\frac{k}{x}\) mit \(k \neq 0\) jemals null werden?

1. Umformung durch Division: \(g(x) = \frac{-x^2}{x} + \frac{6x}{x} + \frac{4}{x} = -x + 6 + \frac{4}{x}\). 2. Bestimmung der Asymptote: Der lineare Anteil liefert die schräge Asymptote \(a\) mit \(a(x) = -x + 6\). 3. Untersuchung auf Schnittpunkte: Ansatz \(g(x) = a(x)\) führt zu \(-x + 6 + \frac{4}{x} = -x + 6\). 4. Vereinfachung der Gleichung: \(\frac{4}{x} = 0\). Diese Gleichung besitzt keine Lösung, da ein Bruch mit konstantem Zähler ungleich null niemals den Wert null annimmt. 5. Ergebnis: Es gibt keine Schnittpunkte zwischen dem Graphen und seiner schrägen Asymptote.

a) \(g(x) = -x + 6 + \frac{4}{x}\); Asymptote \(a(x) = -x + 6\) b) Es gibt keine Schnittpunkte, da die Gleichung \(\frac{4}{x} = 0\) nicht lösbar ist.

- Eine Gerade ist asymptotisch passend, wenn der Unterschied zwischen Funktion und Gerade gegen \(0\) geht. - Vereinfache den Unterschied für beide vorgegebenen Geraden getrennt. - Vergleiche nicht nur die Steigung, sondern auch, ob ein konstanter Abstand übrig bleibt.

1. Für die Gerade \(y=-2x\) gilt \(g(x)+2x=\frac{-2x^2+3+2x(x+1)}{x+1}=\frac{2x+3}{x+1}=2+\frac{1}{x+1}\). Daher ist \(\lim_{x\to\infty}(g(x)+2x)=2\neq0\). Die Gerade \(y=-2x\) ist also keine Asymptote. 2. Für die Gerade \(y=-2x+2\) gilt \(g(x)-(-2x+2)=\frac{1}{x+1}\). Dieser Abstand geht für \(x\to\infty\) gegen \(0\). Daher ist \(y=-2x+2\) die schräge Asymptote. 3. Der Vergleich der führenden Koeffizienten liefert hier nur die Steigung \(-2\), aber nicht den konstanten Achsenabschnitt der Asymptote.

Die Behauptung ist falsch. Die schräge Asymptote lautet \(y=-2x+2\). Der Vergleich der führenden Koeffizienten bestimmt nur die Steigung, nicht den konstanten Term.

- Setze für Teil a) die drei Serverzahlen in den Funktionsterm ein und achte auf die verlangte Rundung. - Übersetze „unter \(320\,\text{€}\)“ in eine Ungleichung und berücksichtige anschließend, dass Server nur in ganzen Stückzahlen gezählt werden. - Vergleiche für den Grenzwert die führenden Terme in Zähler und Nenner und deute den erhaltenen Geldbetrag anschließend im Modell.

1. Es gilt \(B(20)=\frac{6000}{17}\approx352{,}94\,\text{€}\), \(B(100)=\frac{20400}{65}\approx313{,}85\,\text{€}\) und \(B(500)=\frac{92400}{305}\approx302{,}95\,\text{€}\). Die durchschnittlichen Kosten pro Server sinken mit wachsender Serveranzahl. 2. Aus \(B(x)<320\) folgt \(180x+2400<320(0{,}6x+5)\), also \(800<12x\) und damit \(x>66{,}\overline{6}\). Wegen \(x\in\mathbb{N}\) gilt die Forderung erstmals bei \(x=67\). 3. Zähler und Nenner haben denselben Grad. Daher gilt \(\lim_{x\to\infty}B(x)=\frac{180}{0{,}6}=300\). Die waagrechte Asymptote lautet \(y=300\). Im Modell nähern sich die durchschnittlichen Betriebskosten pro Server bei sehr großen Serverzahlen \(300\,\text{€}\) an.

a) \(B(20)\approx352{,}94\,\text{€}\), \(B(100)\approx313{,}85\,\text{€}\), \(B(500)\approx302{,}95\,\text{€}\); die Kosten pro Server sinken. b) Ab \(67\) Servern. c) \(\lim_{x\to\infty}B(x)=300\); waagrechte Asymptote \(y=300\). Im Modell nähern sich die Kosten pro Server \(300\,\text{€}\) an.

- Beachte, dass die Funktionswerte in Hundertern von Tieren angegeben sind. - Übersetze den Zielbestand in die Einheit der Funktion, bevor du die Gleichung löst. - Trenne bei der Interpretation eine mathematische Modellaussage von einer zusätzlichen biologischen Behauptung, die der Term nicht begründet.

1. Es gilt \(N(0)=\frac{50}{5}=10\). Da \(N\) in Hundertern angegeben wird, entspricht dies \(1000\) Tieren. 2. \(5500\) Tiere entsprechen \(55\) Hundertern. Aus \(\frac{120t+50}{2t+5}=55\) folgt \(120t+50=110t+275\), also \(10t=225\) und \(t=22{,}5\). 3. Für \(t\to\infty\) gilt \(\lim_{t\to\infty}N(t)=\frac{120}{2}=60\). Die waagrechte Asymptote lautet \(y=60\). Das Modell sagt damit aus, dass sich der modellierte Bestand langfristig \(6000\) Tieren annähert; daraus allein folgt keine biologische Kapazitätsgrenze des Reservats.

a) \(1000\) Tiere b) Nach \(22{,}5\) Jahren. c) \(\lim_{t\to\infty}N(t)=60\); waagrechte Asymptote \(y=60\). Das Modell beschreibt eine langfristige Annäherung an \(6000\) Tiere.

- Durchschnittskosten erhältst du, indem du die Gesamtkosten durch die produzierte Stückzahl teilst. - Unterscheide die reelle Definitionsmenge des mathematischen Modells von den tatsächlich möglichen ganzzahligen Stückzahlen. - Für den Grenzwert ist entscheidend, was mit dem Fixkostenanteil pro Stück bei wachsendem \(x\) geschieht. - Berücksichtige bei Teil c) nach dem Lösen der Ungleichung wieder die ganzzahlige Stückzahl.

1. Die Gesamtkosten sind \(K(x)=3{,}5x+1200\). Daher gilt \(k(x)=\frac{K(x)}{x}=3{,}5+\frac{1200}{x}\) für \(x>0\). Praktisch sind nur positive ganze Stückzahlen sinnvoll. 2. Für \(x\to\infty\) gilt \(\frac{1200}{x}\to0\). Somit ist \(\lim_{x\to\infty}k(x)=3{,}5\) und die waagrechte Asymptote lautet \(y=3{,}5\). Die durchschnittlichen Kosten nähern sich den variablen Stückkosten von \(3{,}50\,\text{€}\) an. 3. Aus \(3{,}5+\frac{1200}{x}<4\) folgt für \(x>0\) zunächst \(\frac{1200}{x}<0{,}5\) und damit \(x>2400\). Unter den praktisch möglichen ganzzahligen Stückzahlen gilt die Forderung erstmals bei \(x=2401\).

a) \(k(x)=\frac{3{,}5x+1200}{x}=3{,}5+\frac{1200}{x}\) mit \(D_k=]0;\infty[\); praktisch ist \(x\) eine positive ganze Zahl. b) \(\lim_{x\to\infty}k(x)=3{,}5\); waagrechte Asymptote \(y=3{,}5\). Die Durchschnittskosten nähern sich \(3{,}50\,\text{€}\) pro Hülle an. c) Ab \(2401\) Hüllen.

- Der Bruchterm beschreibt direkt den Unterschied zwischen Funktion und der sichtbaren linearen Komponente. - Prüfe, ob dieser Unterschied jemals \(0\) werden kann. - Sein Vorzeichen entscheidet zugleich, auf welcher Seite der Geraden der Graph liegt.

1. Für \(|x|\to\infty\) gilt \(\frac{7}{x-4}\to0\). Daher ist \(a(x)=x\) die schräge Asymptote. 2. Ein Schnittpunkt müsste \(x+\frac{7}{x-4}=x\) erfüllen. Das wäre gleichbedeutend mit \(\frac{7}{x-4}=0\), was unmöglich ist. Es gibt daher keinen Schnittpunkt. 3. Für \(x>4\) ist \(\frac{7}{x-4}>0\), also liegt \(G_h\) oberhalb von \(a\). Für \(x<4\) ist der Restterm negativ, also liegt \(G_h\) unterhalb von \(a\).

Schräge Asymptote: \(a(x)=x\). Es gibt keinen Schnittpunkt mit \(G_h\). Für \(x>4\) liegt der Graph oberhalb, für \(x<4\) unterhalb der Asymptote.

- Überlege dir, was passiert, wenn \(x\) sehr große oder sehr kleine Werte annimmt. Welcher Teil des Bruchs dominiert dann? - Vergleiche die höchsten Grade im Zähler und im Nenner. - Wenn der Grad im Nenner größer ist, gegen welchen Wert strebt der gesamte Bruch? - Wenn die Grade gleich sind, schau dir die Zahlen direkt vor den höchsten \(x\)-Potenzen an.

1. Bestimmung der Grenzwerte für \(x \to \pm \infty\) durch Vergleich der Grade von Zähler- und Nennerpolynom: - Bei \(f_2(x)\) und \(f_4(x)\) ist der Grad des Zählers kleiner als der Grad des Nenners (\(0 < 2\) bzw. \(1 < 2\)). Daraus folgt \(\lim_{x \to \pm \infty} f_2(x) = 0\) und \(\lim_{x \to \pm \infty} f_4(x) = 0\). Somit ist die \(x\)-Achse (\(y = 0\)) die waagrechte Asymptote. - Bei \(f_1(x)\), \(f_3(x)\) und \(f_5(x)\) sind die Grade von Zähler und Nenner gleich. Der Grenzwert ergibt sich aus dem Quotienten der Koeffizienten der höchsten \(x\)-Potenzen. 2. Berechnung der Grenzwerte für den Fall gleicher Grade: - \(f_1(x)\): \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{3x-1}{x+2} = \frac{3}{1} = 3\) - \(f_3(x)\): \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{6x^2+5}{2x^2-x} = \frac{6}{2} = 3\) - \(f_5(x)\): \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{-9x+1}{-3x+2} = \frac{-9}{-3} = 3\) 3. Zuordnung: Die Funktionen \(f_2\) und \(f_4\) haben die \(x\)-Achse als Asymptote; die Funktionen \(f_1\), \(f_3\) und \(f_5\) haben die Gerade \(y = 3\) als Asymptote.

Waagrechte Asymptote \(y = 0\) (\(x\)-Achse): \(f_2\) und \(f_4\). Waagrechte Asymptote \(y = 3\): \(f_1\), \(f_3\) und \(f_5\).

- Suche bei jeder Funktion nach einer Darstellung „linearer Term plus Restterm“. - Bei Brüchen mit einem einteiligen Nenner kannst du die Summanden des Zählers gliedweise teilen. - Entscheidend ist, ob der verbleibende Restterm für große \(|x|\) gegen \(0\) geht.

1. Bei \(g_1\) geht der Restterm \(\frac{5}{x+3}\) für \(|x|\to\infty\) gegen \(0\). Daher ist die schräge Asymptote \(y=x-2\). 2. Für \(g_2\) gilt durch gliedweises Teilen \(g_2(x)=x-2+\frac1x\). Der Restterm geht gegen \(0\); die Asymptote ist \(y=x-2\). 3. Für \(g_3\) gilt \(g_3(x)=x-2+\frac{3}{2x}\). Auch dieser Restterm geht gegen \(0\); die Asymptote ist \(y=x-2\). 4. Bei \(g_4\) ist der lineare Teil \(x-2\) bereits sichtbar und \(\frac{5}{x+2}\to0\). Daher besitzt auch \(g_4\) die schräge Asymptote \(y=x-2\).

Alle vier Funktionen besitzen die schräge Asymptote \(y=x-2\).

- Was darf man für \(x\) nicht einsetzen, damit man nicht durch null teilt? - Wie verhält sich ein Bruch, wenn der Nenner immer größer wird? - Welcher Teil des Funktionsterms bestimmt das Verhalten für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte? - Was passiert mathematisch, wenn man die Funktionsgleichung und die Asymptotengleichung gleichsetzt?

1. Die Definitionsmenge \(D_f\) ergibt sich aus der Bedingung, dass der Nenner nicht null sein darf: \(x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3\). Somit ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3\}\). Die senkrechte Asymptote liegt an der Polstelle \(x = -3\) und hat die Gleichung \(x = -3\). 2. Für \(x \to \infty\) geht der Term \(\frac{4}{x+3}\) gegen \(0\). Da der lineare Teil \(\frac{1}{2}x - 1\) gegen \(\infty\) strebt, gilt \(\lim_{x \to \infty} f(x) = +\infty\). Analog gilt für \(x \to -\infty\), dass \(f(x) \to -\infty\). Der Graph nähert sich der Geraden mit der Gleichung \(y = \frac{1}{2}x - 1\) an, welche die schräge Asymptote darstellt. 3. Zur Bestimmung der Schnittpunkte setzt man den Funktionsterm mit der Asymptotengleichung gleich: \(\frac{1}{2}x - 1 - \frac{4}{x+3} = \frac{1}{2}x - 1\). Dies vereinfacht sich zu \(-\frac{4}{x+3} = 0\). Da ein Bruch nur dann null ist, wenn sein Zähler null ist, und hier \( -4 \neq 0\) gilt, gibt es keine Lösung. Der Graph schneidet seine schräge Asymptote somit nicht.

a) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3\}\); senkrechte Asymptote: \(x = -3\) b) \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty\); schräge Asymptote: \(y = \frac{1}{2}x - 1\) c) Es gibt keinen Schnittpunkt, da die Gleichung \(-\frac{4}{x+3} = 0\) keine Lösung besitzt.

- Wie bestimmt man den Grenzwert einer rationalen Funktion, wenn Zähler und Nenner den gleichen Grad haben? - Welchen Einfluss hat der Koeffizient vor der höchsten Potenz auf das Verhalten im Unendlichen? - Stelle eine Gleichung auf, die den berechneten Grenzwert mit dem Zielwert gleichsetzt.

1. Bestimmung des Grenzwerts in Abhängigkeit von \(a\): Ausklammern von \(x^2\) führt zu \(g(x) = \frac{x^2 \cdot (a + \frac{5}{x})}{x^2 \cdot (3 - \frac{2}{x^2})} = \frac{a + \frac{5}{x}}{3 - \frac{2}{x^2}}\) 2. Für \(x \to \infty\) verschwinden die Terme \(\frac{5}{x}\) und \(\frac{2}{x^2}\), sodass \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \frac{a}{3}\) 3. Aufstellen der Gleichung basierend auf der Bedingung: \(\frac{a}{3} = 4\) 4. Lösen der Gleichung nach \(a\): \(a = 4 \cdot 3 = 12\)

Der Parameter muss den Wert \(a = 12\) annehmen.

- Kannst du den Bruch in mehrere Brüche aufteilen, die alle denselben Nenner \(x\) haben? - Welcher Teil des Terms bestimmt das Verhalten für sehr große \(x\), und welcher Teil wird vernachlässigbar klein? - Vergleiche den Funktionswert \(g(x)\) direkt mit dem Wert des linearen Teils \(2x + 3\). Ist die Differenz positiv oder negativ?

1. Durch gliedweise Division des Zählers durch den Nenner erhält man \(g(x) = \frac{2x^2}{x} + \frac{3x}{x} - \frac{4}{x} = 2x + 3 - \frac{4}{x}\). 2. Für \(x \to \infty\) nähert sich der Term \(-\frac{4}{x}\) von unten der Null an. Da der lineare Teil \(2x+3\) gegen \(\infty\) strebt, gilt \(g(x) \to +\infty\). Für \(x \to -\infty\) nähert sich \(-\frac{4}{x}\) von oben der Null an und der lineare Teil strebt gegen \(-\infty\), also gilt \(g(x) \to -\infty\). 3. Die Asymptote ist die Gerade \(y = 2x + 3\). Für \(x \to \infty\) ist der Restterm \(-\frac{4}{x}\) negativ. Da \(g(x) = (2x + 3) - \frac{4}{x}\), sind die Funktionswerte kleiner als die Werte der Asymptote. Somit verläuft der Graph für \(x \to \infty\) unterhalb der Asymptote.

1. \(g(x) = 2x + 3 - \frac{4}{x}\) 2. Für \(x \to \infty\) gilt \(g(x) \to +\infty\); für \(x \to -\infty\) gilt \(g(x) \to -\infty\). 3. Der Graph verläuft unterhalb der Asymptote \(y = 2x + 3\), da der Restterm \(-\frac{4}{x}\) für positive \(x\) negativ ist.

- Bei a) sind lineare Komponente und Restterm bereits getrennt. - Bei b) kannst du den Zähler des Bruchterms als Vielfaches von \(x-2\) plus Rest schreiben. - Die Polstelle kommt vom Nenner des Restterms; die schräge Asymptote vom linearen Anteil, sobald der Rest gegen \(0\) geht.

a) Der Restterm hat bei \(x=-1\) eine Polstelle. Da \(\frac{4}{x+1}\to0\) für \(|x|\to\infty\), ist \(y=x-1\) die schräge Asymptote. b) Die Polstelle liegt bei \(x=2\). Für \(x\neq2\) gilt \(\frac{2x}{x-2}=2+\frac{4}{x-2}\). Somit ist \(g_2(x)=\frac13x-2-\frac{4}{x-2}\). Der Restterm geht für \(|x|\to\infty\) gegen \(0\), also lautet die schräge Asymptote \(y=\frac13x-2\).

a) Polstelle \(x=-1\); schräge Asymptote \(y=x-1\) b) Polstelle \(x=2\); schräge Asymptote \(y=\frac13x-2\)

- Der Bruchterm ist direkt die Differenz zwischen Funktion und Asymptote. - Übersetze „um weniger als \(0{,}4\)“ in eine Betragsungleichung. - Löse die resultierende Bedingung für den Betrag des Nenners.

1. Für \(|x|\to\infty\) gilt \(\frac{8}{x+2}\to0\). Daher ist \(a(x)=3x-5\) die schräge Asymptote. 2. Die Abweichung ist \(|f(x)-a(x)|=\left|\frac{8}{x+2}\right|\). Gesucht ist \(\left|\frac{8}{x+2}\right|<0{,}4\). Das ist äquivalent zu \(|x+2|>20\). 3. Daraus folgen \(x+2>20\) oder \(x+2<-20\), also \(x>18\) oder \(x<-22\).

1. \(a(x)=3x-5\) 2. \(x<-22\) oder \(x>18\)

- Welche Information liefern die führenden Koeffizienten bei gleichen Graden? - Formuliere den Abstand zum Asymptotenwert als Betrag einer Differenz. - Wann ist ein Bruch betragsmäßig kleiner als eine vorgegebene positive Zahl?

1. Zähler und Nenner haben denselben Grad. Der Quotient der führenden Koeffizienten ist \(\frac12=0{,}5\). Damit lautet die waagrechte Asymptote \(y=0{,}5\). 2. Es gilt \(\left|f(x)-0{,}5\right|=\left|\frac{4}{x^2-4}\right|\). 3. Die Bedingung \(\left|\frac{4}{x^2-4}\right|<0{,}01\) ist äquivalent zu \(|x^2-4|>400\). 4. Aus \(x^2-4>400\) folgt \(x^2>404\), also \(|x|>\sqrt{404}\). Der zweite Fall \(x^2-4<-400\) besitzt keine reelle Lösung. 5. Somit gilt die Bedingung für \(x<-\sqrt{404}\) oder \(x>\sqrt{404}\), näherungsweise also für \(x<-20{,}10\) oder \(x>20{,}10\).

1. Waagrechte Asymptote: \(y=0{,}5\) 2. \(x<-\sqrt{404}\) oder \(x>\sqrt{404}\), näherungsweise \(x<-20{,}10\) oder \(x>20{,}10\)

- Bestimme aus der Gesamtbreite zunächst den maximalen Abstand von der Mittellinie \(y=2\). - Berechne die beiden Funktionswerte exakt, bevor du näherungsweise vergleichst. - Vergleiche jeden Funktionswert mit den beiden Randwerten des Streifens.

1. Der Streifen der Breite \(0{,}2\) um \(y=2\) reicht von \(1{,}9\) bis \(2{,}1\). 2. Für \(x=-8\) gilt \(g(-8)=\frac{17}{9}\approx1{,}889\). Da \(1{,}889<1{,}9\), liegt der Punkt außerhalb des Streifens. 3. Für \(x=-10\) gilt \(g(-10)=\frac{21}{11}\approx1{,}909\). Da \(1{,}9<1{,}909<2{,}1\), liegt der Punkt innerhalb des Streifens.

a) \(g(-8)=\frac{17}{9}\approx1{,}889<1{,}9\); außerhalb des Streifens b) \(g(-10)=\frac{21}{11}\approx1{,}909\); innerhalb des Streifens

- Vergleiche die höchste Potenz im Zähler mit der höchsten Potenz im Nenner, um das Verhalten im Unendlichen zu bestimmen. - Wie berechnet man den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse? Was muss man für \(x\) einsetzen? - Erinnere dich, dass ein Bruch genau dann null ist, wenn sein Zähler null ist. - Multipliziere die Gleichung mit dem Nenner, um sie nach \(x\) aufzulösen.

1. Globales Verhalten: Da Zähler- und Nennergrad gleich sind (\(2\)), wird der Grenzwert durch das Verhältnis der Koeffizienten der höchsten Potenzen bestimmt: \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2 - 4}{x^2 + 1} = \frac{2}{1} = 2\). Die waagrechte Asymptote ist \(y = 2\). 2. Schnittpunkte mit den Achsen: \(y\)-Achse: \(g(0) = \frac{2 \cdot 0^2 - 4}{0^2 + 1} = -4 \Rightarrow S_y(0 \mid -4)\). \(x\)-Achse: \(g(x) = 0 \iff 2x^2 - 4 = 0 \iff x^2 = 2 \iff x = \pm \sqrt{2}\). Die Nullstellen liegen bei \(N_1(-\sqrt{2} \mid 0)\) und \(N_2(\sqrt{2} \mid 0)\). 3. Berechnung der Stellen für \(y = 1{,}4\): \(\frac{2x^2 - 4}{x^2 + 1} = 1{,}4 \iff 2x^2 - 4 = 1{,}4(x^2 + 1) \iff 2x^2 - 4 = 1{,}4x^2 + 1{,}4 \iff 0{,}6x^2 = 5{,}4 \iff x^2 = 9\). Die Lösungen sind \(x_1 = -3\) und \(x_2 = 3\).

a) Es gilt \(\lim_{x \to \pm\infty} g(x) = 2\). Der Graph nähert sich der waagrechten Geraden \(y = 2\) an. b) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 \mid -4)\). Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: \(N_1(-\sqrt{2} \mid 0) \approx (-1{,}41 \mid 0)\) und \(N_2(\sqrt{2} \mid 0) \approx (1{,}41 \mid 0)\). c) Die gesuchten Stellen sind \(x = -3\) und \(x = 3\).