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- Was ist die höchste Potenz von \(x\), die im gesamten Bruch vorkommt? - Beim Ausklammern teilst du jedes Glied durch diese Potenz. - Was passiert mit Termen wie \(\frac{1}{x}\) oder \(\frac{1}{x^2}\), wenn \(x\) immer größer wird? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Grenzwert im Unendlichen und der Lage der waagrechten Asymptote.

1. Identifikation der höchsten Potenz: In Zähler und Nenner ist die höchste Potenz \(x^2\). 2. Ausklammern im Zähler: \(10x^2 - 5x + 1 = x^2 \cdot (10 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2})\). 3. Ausklammern im Nenner: \(2x^2 + 3 = x^2 \cdot (2 + \frac{3}{x^2})\). 4. Kürzen des Bruchs: \(f(x) = \frac{x^2 \cdot (10 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2})}{x^2 \cdot (2 + \frac{3}{x^2})} = \frac{10 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2}}{2 + \frac{3}{x^2}}\) für \(x \neq 0\). 5. Grenzwertbetrachtung für \(x \to \infty\): Die Terme \(\frac{5}{x}\), \(\frac{1}{x^2}\) und \(\frac{3}{x^2}\) konvergieren gegen \(0\). 6. Berechnung des Grenzwerts: \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{10 - 0 + 0}{2 + 0} = \frac{10}{2} = 5\). 7. Bestimmung der Asymptote: Die waagrechte Asymptote hat die Gleichung \(y = 5\).

a) \(f(x) = \frac{10 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2}}{2 + \frac{3}{x^2}}\) für \(x \neq 0\) b) \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 5\); waagrechte Asymptote: \(y = 5\)

- Welche Regel kennst du für den Grenzwert einer gebrochen-rationalen Funktion, wenn der Grad des Nenners größer ist als der des Zählers? - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner viel schneller wächst als der Zähler? - Unterscheide zwischen dem Fall, dass die Grade gleich sind, und dem Fall, dass sie verschieden sind.

1. Bestimmung der Grade von Zähler- und Nennerpolynom: Der Zählergrad ist \( 1 \), der Nennergrad ist \( 2 \). 2. Vergleich der Grade: Da der Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist, gilt für den Grenzwert im Unendlichen: \( \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x + 12}{x^2 - 16} = 0 \). 3. Ermittlung der Asymptotengleichung: Die waagrechte Asymptote ist die \( x \)-Achse mit der Gleichung \( y = 0 \). 4. Bewertung der Schüleraussage: Der erste Teil der Aussage (Existenz einer waagrechten Asymptote) ist korrekt, die Begründung für den Wert und das Ergebnis \( y = 3 \) sind jedoch falsch.

Die Aussage ist falsch. Zwar existiert eine waagrechte Asymptote, da der Zählergrad (\( 1 \)) kleiner als der Nennergrad (\( 2 \)) ist, jedoch streben die Funktionswerte für \( x \to \infty \) gegen \( 0 \). Die korrekte Gleichung der waagrechten Asymptote lautet daher \( y = 0 \).

- Welcher Teil des Funktionsterms wird vernachlässigbar klein, wenn \(x\) sehr große Werte annimmt? - Wie verhält sich eine Gerade mit positiver Steigung für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte? - Überlege dir, ob der Bruchteil für sehr große \(x\) positiv oder negativ ist, um die Lage zum Graphen zu bestimmen.

1. Identifikation des ganzrationalen Anteils: Da der Term \(\frac{2}{x+4}\) für \(x \to \pm \infty\) gegen null strebt, ist der lineare Anteil die Gleichung der schrägen Asymptote: \(y = 3x + 1\). 2. Verhalten im Unendlichen: Da die Steigung der Asymptote \(m = 3\) positiv ist, folgt der Graph dem Verlauf der Geraden. Für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to +\infty\). Für \(x \to -\infty\) gilt \(f(x) \to -\infty\). 3. Optionale Präzisierung der Lage: Für \(x \to \infty\) ist \(\frac{2}{x+4} > 0\), daher gilt \(f(x) < 3x + 1\) (Annäherung von unten). Für \(x \to -\infty\) ist \(\frac{2}{x+4} < 0\), daher gilt \(f(x) > 3x + 1\) (Annäherung von oben).

Die Gleichung der schrägen Asymptote lautet \(y = 3x + 1\). Für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to +\infty\), wobei sich der Graph der Asymptote von unten nähert. Für \(x \to -\infty\) gilt \(f(x) \to -\infty\), wobei sich der Graph der Asymptote von oben nähert.

- Überlege, welche Potenz von \(x\) im Nenner am stärksten dominiert. - Was passiert mit Termen wie \(\frac{1}{x}\) oder \(\frac{1}{x^2}\), wenn \(x\) sehr groß wird? - Vergleiche den Grad des Zählers mit dem Grad des Nenners. - Du kannst den Funktionsterm vereinfachen, indem du Zähler und Nenner durch die höchste im Nenner vorkommende Potenz von \(x\) dividierst.

1. Für \(f(x)\): Ausklammern von \(x\) im Zähler und Nenner führt auf \(\frac{x \cdot (6 - \frac{15}{x})}{x \cdot (\frac{3}{x} - 2)}\). Für \(x \neq 0\) kann \(x\) gekürzt werden; der anschließende Grenzübergang \(x \to \pm \infty\) ergibt \(\frac{6}{-2} = -3\). Die waagrechte Asymptote ist \(y = -3\). 2. Für \(g(x)\): Ausklammern von \(x^2\) im Nenner (bzw. Division durch die höchste Nennerpotenz) führt für \(x \neq 0\) auf \(\frac{\frac{5}{x} + \frac{2}{x^2}}{1 - \frac{4}{x^2}}\). Da der Zähler gegen \(0\) und der Nenner gegen \(1\) strebt, ist der Grenzwert \(0\). Die waagrechte Asymptote ist \(y = 0\). 3. Für \(h(x)\): Division durch \(x^2\) ergibt für \(x \neq 0\) \(\frac{1{,}2 - \frac{4}{x}}{0{,}4 + \frac{1}{x^2}}\). Der Grenzwert für \(x \to \pm \infty\) ist \(\frac{1{,}2}{0{,}4} = 3\). Die waagrechte Asymptote ist \(y = 3\).

a) \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = -3\); waagrechte Asymptote \(y = -3\) b) \(\lim_{x \to \pm \infty} g(x) = 0\); waagrechte Asymptote \(y = 0\) c) \(\lim_{x \to \pm \infty} h(x) = 3\); waagrechte Asymptote \(y = 3\)

- Wann ist ein Bruch gleich null? - Wie verhält sich der Funktionswert, wenn \(x\) sehr groß oder sehr klein wird? - Welchen Wert muss die Funktion an der Stelle eines Schnittpunkts mit der Asymptote annehmen?

1. Ansatz für die Nullstellen: Der Zähler des Funktionsterms muss null werden: \(x^2 - 6x = 0\). 2. Ausklammern liefert \(x \cdot (x - 6) = 0\), woraus die Nullstellen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 6\) folgen. 3. Bestimmung der waagrechten Asymptote: Da Zähler- und Nennergrad gleich sind, ergibt sich der Grenzwert für \(x \to \pm \infty\) aus dem Quotienten der Koeffizienten der jeweils höchsten \(x\)-Potenz: \(\frac{1}{2} = 0{,}5\). Die Gleichung der waagrechten Asymptote lautet somit \(y = 0{,}5\). 4. Ansatz für den Schnittpunkt mit der Asymptote: \(f(x) = 0{,}5\). 5. Gleichung lösen: \(\frac{x^2 - 6x}{2x^2 + 12} = 0{,}5 \Leftrightarrow x^2 - 6x = x^2 + 6 \Leftrightarrow -6x = 6 \Leftrightarrow x = -1\).

a) Nullstellen: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 6\); waagrechte Asymptote: \(y = 0{,}5\) b) \(x = -1\)

- Woran erkennst du im Funktionsterm die Stellen, an denen der Graph gegen Unendlich strebt? - Wie verhält sich der Funktionswert, wenn \(x\) sehr große oder sehr kleine Werte annimmt? - Kannst du den Nenner in Faktoren zerlegen, um die Nullstellen leichter zu finden? - Welchen Einfluss hat eine Konstante, die zum Bruch addiert wird, auf das Verhalten im Unendlichen?

1. Für Teilaufgabe a): Die Polstelle liegt bei der Nullstelle des Nenners des Bruchs, also bei \(x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4\). Für \(x \to \pm \infty\) strebt der Bruch gegen \(0\), woraus die waagerechte Asymptote \(y = 2\) folgt. 2. Für Teilaufgabe b): Der Nenner wird faktorisiert zu \(x(x + 1)\). Die Polstellen liegen somit bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = -1\). Da der Grad des Zählers (1) kleiner ist als der Grad des Nenners (2), ist die \(x\)-Achse die waagerechte Asymptote, also \(y = 0\).

a) Polstelle: \(x = 4\); waagerechte Asymptote: \(y = 2\) b) Polstellen: \(x_1 = 0\), \(x_2 = -1\); waagerechte Asymptote: \(y = 0\)

- Wie kannst du einen Bruchterm so umschreiben, dass ein ganzrationaler Teil und ein echter Bruchrest entstehen? - Was sagt das Vorzeichen des Restterms über die Lage des Graphen relativ zur Näherungsfunktion aus? - Betrachte sehr große positive und sehr kleine negative Werte für \(x\).

1. Durchführung der Polynomdivision: \((3x^2 - 6x + 2) : (x - 2) = 3x\) Rest \(2\). 2. Die Funktion lässt sich somit schreiben als \(f(x) = 3x + \frac{2}{x - 2}\). 3. Die ganzrationale Näherungsfunktion ist der ganzrationale Anteil der Summe: \(g(x) = 3x\). 4. Betrachtung des Differenzterms \(d(x) = f(x) - g(x) = \frac{2}{x - 2}\) für das Grenzverhalten: - Für \(x \to +\infty\): Der Nenner \(x - 2\) wird positiv und sehr groß, somit ist \(d(x) > 0\). Der Graph nähert sich von oben an. - Für \(x \to -\infty\): Der Nenner \(x - 2\) wird negativ und betragsmäßig sehr groß, somit ist \(d(x) < 0\). Der Graph nähert sich von unten an.

Die Näherungsfunktion ist \(g(x) = 3x\). Für \(x \to +\infty\) nähert sich der Graph von oben an. Für \(x \to -\infty\) nähert sich der Graph von unten an.

- Schau dir im Graphen an, welchen Linien sich die Kurve im Unendlichen oder an den Lücken annähert. - Für die senkrechte Asymptote musst du die Definitionslücke untersuchen. - Für die waagrechte Asymptote kannst du das Verhalten für sehr große \(x\)-Werte betrachten. - Wo schneidet der Graph die vertikale Achse? Welcher \(x\)-Wert gehört zu diesem Punkt?

1. Aus der Abbildung lässt sich eine senkrechte Asymptote bei \(x = -2\) und eine waagrechte Asymptote bei \(y = 3\) ablesen. 2. Senkrechte Asymptote: Der Nenner wird null für \(x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2\). Da der Zähler für \(x = -2\) ungleich null ist (\(3 \cdot (-2)-6 = -12\)), liegt eine Polstelle und somit eine senkrechte Asymptote vor. Waagrechte Asymptote: Da Zähler und Nenner denselben Grad \(1\) haben, ergibt sich die waagrechte Asymptote aus dem Verhältnis der Leitkoeffizienten: \(y = \frac{3}{1} = 3\). 3. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: Setze \(x = 0\) in den Funktionsterm ein: \(g(0) = \frac{3 \cdot 0 - 6}{0 + 2} = \frac{-6}{2} = -3\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid -3)\).

1. Senkrechte Asymptote: \(x = -2\); waagrechte Asymptote: \(y = 3\). 2. Rechnung: Nennernullstelle bei \(x = -2\); Grenzwertbetrachtung \(\lim_{x \to \pm\infty} g(x) = 3\). 3. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 \mid -3)\).

- Was passiert mit dem Funktionswert, wenn der Nenner gegen Null geht? - Wie hängen die Grade von Zähler- und Nennerpolynom mit der Art der Asymptote zusammen? - Erinnere dich an ein Verfahren, mit dem man gebrochenrationale Funktionen in einen ganzrationalen Teil und einen echten Bruch zerlegen kann. - Welche Bedeutung haben die Nullstellen des Nenners für den Graphen? - Überprüfe für jede der gegebenen Gleichungen, ob sie eine Polstelle oder das Verhalten im Unendlichen beschreibt. - Kann eine Nullstelle der Funktion gleichzeitig eine senkrechte Asymptote sein?

1. Untersuchung der senkrechten Asymptoten (Polstellen): Die Nullstellen des Nenners \((x+1)(x-2)\) liegen bei \(x = -1\) und \(x = 2\). Da der Zähler \(x^3 - 1\) an diesen Stellen ungleich Null ist (\((-1)^3-1 = -2\) und \(2^3-1 = 7\)), sind \(x = -1\) und \(x = 2\) senkrechte Asymptoten. 2. Untersuchung der schrägen Asymptote: Da der Grad des Zählers (3) um eins höher ist als der Grad des Nenners (2), existiert eine schräge Asymptote. Diese wird durch Polynomdivision von \(x^3 - 1\) durch \(x^2 - x - 2\) bestimmt. 3. Durchführung der Polynomdivision: \((x^3 - 1) : (x^2 - x - 2) = x + 1\) mit dem Rest \(3x + 1\). 4. Bestimmung der Gleichung: Die schräge Asymptote lautet \(y = x + 1\). 5. Abgleich mit den Auswahlmöglichkeiten: Die Asymptoten sind \(x = -1\), \(x = 2\) und \(y = x + 1\). Die Gleichung \(x = 1\) beschreibt eine Nullstelle der Funktion (\(1^3 - 1 = 0\)), jedoch keine Asymptote.

c) \(x = 1\)

- Wo im Funktionsterm findet man Informationen über das Verhalten für sehr große \(x\)-Werte? - Was muss man für \(x\) einsetzen, um den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse zu finden? - Ein Bruch ist genau dann Null, wenn ein ganz bestimmter Teil des Bruches Null ergibt. Welcher ist das?

1. Senkrechte Asymptote: Nullstelle des Nenners bestimmen: \(2x + 4 = 0 \Rightarrow 2x = -4 \Rightarrow x = -2\). Die Gleichung der senkrechten Asymptote lautet \(x = -2\). 2. Waagrechte Asymptote: Betrachtung des Verhaltens für sehr große \(x\)-Werte. Das Verhältnis der Koeffizienten der höchsten \(x\)-Potenzen ist \(\frac{3}{2} = 1{,}5\). Die Gleichung der waagrechten Asymptote lautet \(y = 1{,}5\). 3. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: Berechne \(h(0) = \frac{3 \cdot 0 - 12}{2 \cdot 0 + 4} = \frac{-12}{4} = -3\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 | -3)\). 4. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (Nullstelle): Ein Bruch wird Null, wenn der Zähler Null wird. \(3x - 12 = 0 \Rightarrow 3x = 12 \Rightarrow x = 4\). Da \(4\) in der Definitionsmenge enthalten ist, liegt der Schnittpunkt bei \(N(4 | 0)\).

a) Senkrechte Asymptote: \(x = -2\); waagrechte Asymptote: \(y = 1{,}5\). b) \(S_y(0 | -3)\). c) Ja, der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(N(4 | 0)\).

- Untersuche zuerst die Stellen, für die die Funktion nicht definiert ist. - Vergleiche die Grade des Zähler- und des Nennerpolynoms, um den Typ der Asymptote (waagrecht oder schräg) zu bestimmen. - Erinnere dich an ein Rechenverfahren, mit dem man einen unecht gebrochen-rationalen Term in einen ganzrationalen Teil und einen Rest aufteilen kann. - Was bleibt vom Funktionsterm übrig, wenn man den Anteil betrachtet, der für sehr große \(x\) gegen null geht?

1. Bestimmung der senkrechten Asymptote: Der Nenner \(x + 2\) wird für \(x = -2\) null. Da der Zähler an dieser Stelle den Wert \(2 \cdot (-2)^2 + 5 \cdot (-2) - 1 = -3 \neq 0\) annimmt, liegt eine Polstelle vor. Die Gleichung der senkrechten Asymptote lautet \(x = -2\). 2. Bestimmung der schrägen Asymptote: Da der Grad des Zählerpolynoms um genau eins größer ist als der des Nennerpolynoms, wird eine Polynomdivision durchgeführt. 3. Ausführung der Division: \((2x^2 + 5x - 1) : (x + 2) = 2x + 1\) mit dem Rest \(-3\). 4. Zerlegung des Terms: Es gilt \(h(x) = 2x + 1 - \frac{3}{x + 2}\). Da der echte Bruchterm für \(|x| \to \infty\) gegen null strebt, nähert sich der Graph der Geraden mit der Gleichung \(y = 2x + 1\) an.

Senkrechte Asymptote: \(x = -2\); schräge Asymptote: \(y = 2x + 1\)

- Wie verhält sich ein Bruch, dessen Nenner im Betrag immer größer wird, während der Zähler konstant bleibt? - Achte beim Ausklammern im Nenner besonders auf den Term mit \(x^2\). Was bleibt übrig, wenn du \(x^3\) herausziehst? - Wie lautet die Definition einer waagrechten Asymptote über Grenzwerte? - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die Koeffizienten der höchsten Potenzen direkt vergleichst.

1. Ausklammern von \(x^3\) im Zähler: \(4 - 2x^3 = x^3 \cdot (\frac{4}{x^3} - 2)\). 2. Ausklammern von \(x^3\) im Nenner: \(0{,}5x^3 + x^2 - 1 = x^3 \cdot (0{,}5 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^3})\). 3. Kürzen von \(x^3\): \(g(x) = \frac{\frac{4}{x^3} - 2}{0{,}5 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^3}}\) für \(x \neq 0\). 4. Anwendung der Grenzwertsätze für \(x \to -\infty\): Die Nullfolgen \(\frac{4}{x^3} \to 0\), \(\frac{1}{x} \to 0\) und \(\frac{1}{x^3} \to 0\) werden identifiziert. 5. Berechnung des Grenzwerts: \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = \frac{0 - 2}{0{,}5 + 0 - 0} = \frac{-2}{0{,}5} = -4\). 6. Schlussfolgerung: Da der Grenzwert existiert und endlich ist, besitzt der Graph eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung \(y = -4\).

a) \(g(x) = \frac{\frac{4}{x^3} - 2}{0{,}5 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^3}}\) für \(x \neq 0\) b) \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = -4\); waagrechte Asymptote: \(y = -4\)

- Wie kannst du eine gebrochen-rationale Funktion in einen ganzrationalen Teil und einen echten Bruchterm zerlegen? - Was passiert mit dem Restterm einer solchen Zerlegung, wenn \( x \) immer größer wird? - Welche Rolle spielt das Ergebnis der Division für das Verhalten im Unendlichen?

1. Durchführung einer Polynomdivision, um die schräge Asymptote zu bestimmen: \( (2x^2 + 5x) : (x + 1) = 2x + 3 - \frac{3}{x+1} \). 2. Untersuchung des Restterms für \( x \to \infty \): Der Restterm \( -\frac{3}{x+1} \) strebt für \( x \to \infty \) gegen \( 0 \). 3. Identifikation des asymptotischen Verhaltens: Der Funktionsterm lässt sich schreiben als \( f(x) = 2x + 3 + r(x) \) mit \( r(x) = -\frac{3}{x+1} \) und \( \lim_{x \to \infty} r(x) = 0 \). 4. Schlussfolgerung: Der Graph von \( f \) nähert sich für \( x \to \infty \) tatsächlich der Geraden \( y = 2x + 3 \) beliebig genau an.

Die Vermutung ist wahr. Durch Polynomdivision erhält man \( f(x) = 2x + 3 - \frac{3}{x+1} \). Da der Restterm \( -\frac{3}{x+1} \) für \( x \to \infty \) gegen null geht, nähert sich der Graph der schrägen Asymptote \( y = 2x + 3 \) an.

- Vergleiche den Grad des Zählerpolynoms mit dem Grad des Nennerpolynoms. - Was passiert mit einem Bruch, wenn die Variable im Nenner eine höhere Potenz hat als im Zähler? - Erinnerst du dich, wie man mithilfe der Polynomdivision eine Funktionsgleichung in einen ganzrationalen Teil und einen Restbruch zerlegt? - Wie bestimmen die Koeffizienten der höchsten Potenzen den Grenzwert, wenn die Grade gleich sind?

1. Untersuchung von \(f\): Da der Grad des Zählers gleich dem Grad des Nenners ist (\(2\)), konvergiert die Funktion für \(x \to \pm\infty\). Der Grenzwert ergibt sich aus dem Quotienten der Koeffizienten der höchsten Potenzen: \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \frac{10}{2} = 5\). Die waagrechte Asymptote lautet \(y = 5\). 2. Untersuchung von \(g\): Da der Zählergrad (\(2\)) um genau eins größer ist als der Nennergrad (\(1\)), liegt Divergenz vor. Mittels Polynomdivision folgt: \((x^2 + 2x - 1) : (x + 1) = x + 1 - \frac{2}{x + 1}\). Für \(x \to \pm\infty\) nähert sich der Graph der schrägen Asymptote \(y = x + 1\) an. 3. Untersuchung von \(h\): Zähler- und Nennergrad sind gleich (\(1\)). Die Funktion konvergiert. Der Grenzwert ist \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{-4x + 1}{2x + 8} = \frac{-4}{2} = -2\). Die waagrechte Asymptote lautet \(y = -2\).

a) Konvergenz; waagrechte Asymptote \(y = 5\) b) Divergenz; schräge Asymptote \(y = x + 1\) c) Konvergenz; waagrechte Asymptote \(y = -2\)

- Welchen Einfluss hat der Parameter auf den Grad des Zählerpolynoms? - Wie berechnet man den Grenzwert einer rationalen Funktion, wenn Zähler und Nenner denselben Grad haben? - Was bedeutet es für den Grenzwert, wenn der Grad des Nenners echt größer ist als der des Zählers?

1. Für \(a \neq 0\) sind Zähler- und Nennergrad gleich (\(2\)). Das Verhalten im Unendlichen wird durch das Verhältnis der Leitkoeffizienten bestimmt: \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{ax^2 + 6x}{3x^2 - 12} = \frac{a}{3}\). 2. Um Konvergenz gegen \(4\) zu erreichen, muss gelten: \(\frac{a}{3} = 4\). Daraus folgt durch Multiplikation mit \(3\): \(a = 12\). 3. Für \(a = 0\) lautet die Funktionsgleichung \(f_0(x) = \frac{6x}{3x^2 - 12}\). Hier ist der Nennergrad (\(2\)) größer als der Zählergrad (\(1\)). 4. Daraus folgt, dass die Funktion für \(x \to \pm\infty\) gegen \(0\) konvergiert: \(\lim_{x \to \pm\infty} f_0(x) = 0\). Die waagrechte Asymptote ist die x-Achse mit der Gleichung \(y = 0\).

a) \(a = 12\); Begründung über den Koeffizientenvergleich der höchsten Potenzen \(\frac{a}{3} = 4\). b) Für \(a = 0\) konvergiert die Funktion gegen \(0\); waagrechte Asymptote \(y = 0\).

- Untersuche zuerst den Definitionsbereich der Funktion. - Prüfe, ob du den Funktionsterm kürzen kannst, bevor du die Asymptoten bestimmst. - Unterscheidet sich das Verhalten der Funktion an den verschiedenen Definitionslücken? - Was passiert mit dem Bruch, wenn \(x\) immer größer oder immer kleiner wird?

1. Bestimmung der Definitionslücken: Der Nenner \(x^2 - 4\) wird null für \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). 2. Untersuchung der Lücken: Durch Faktorisieren von Zähler und Nenner ergibt sich \(g(x) = \frac{3(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)}\). Für \(x \neq 2\) lässt sich der Term zu \(g(x) = \frac{3}{x + 2}\) kürzen. 3. An der Stelle \(x = 2\) liegt eine hebbare Definitionslücke vor, da der Faktor \((x - 2)\) gekürzt werden kann; hier existiert keine Asymptote. An der Stelle \(x = -2\) bleibt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel, woraus die senkrechte Asymptote \(x = -2\) folgt. 4. Waagrechte Asymptote: Da der Grad des Zählers (1) kleiner ist als der Grad des Nenners (2), gilt für den Grenzwert \(\lim_{x \to \pm \infty} g(x) = 0\). Die waagrechte Asymptote ist die \(x\)-Achse mit der Gleichung \(y = 0\).

Senkrechte Asymptote: \(x = -2\) Waagrechte Asymptote: \(y = 0\)

- Wenn der Grad des Zählers genau um eins größer ist als der Grad des Nenners, gibt es eine schräge Asymptote. - Wie kannst du einen unecht gebrochen-rationalen Term in einen ganzrationalen Teil und einen echt gebrochen-rationalen Restterm zerlegen? - Was passiert mit dem Restterm der Division, wenn \(x\) gegen Unendlich strebt?

1. Durchführung der Polynomdivision: \((2x^2 - 5x + 1) : (x - 2)\). 2. Erster Schritt: \(2x^2 : x = 2x\). Multiplikation: \(2x \cdot (x - 2) = 2x^2 - 4x\). Subtraktion: \((2x^2 - 5x + 1) - (2x^2 - 4x) = -x + 1\). 3. Zweiter Schritt: \(-x : x = -1\). Multiplikation: \(-1 \cdot (x - 2) = -x + 2\). Subtraktion: \((-x + 1) - (-x + 2) = -1\). 4. Das Ergebnis der Division ist \(2x - 1\) mit dem Rest \(-1\), also \(k(x) = 2x - 1 - \frac{1}{x-2}\). 5. Für \(x \to \pm \infty\) geht der Restterm \(-\frac{1}{x-2}\) gegen \(0\). Die Funktion nähert sich somit der Geraden \(y = 2x - 1\) an.

\(k(x) = 2x - 1 - \frac{1}{x-2}\). Für \(x \to \pm \infty\) nähert sich der Graph der Geraden \(y = 2x - 1\) an. Die schräge Asymptote hat die Gleichung \(y = 2x - 1\).

- Wie lässt sich der Funktionsterm vereinfachen, wenn du jedes Element des Zählers durch \(x\) dividierst? - Erinnerst du dich, wie man prüft, ob zwei Funktionsgraphen gemeinsame Punkte haben? - Kann ein Bruch der Form \(\frac{k}{x}\) mit \(k \neq 0\) jemals null werden?

1. Umformung durch Division: \(g(x) = \frac{-x^2}{x} + \frac{6x}{x} + \frac{4}{x} = -x + 6 + \frac{4}{x}\). 2. Bestimmung der Asymptote: Der lineare Anteil liefert die schräge Asymptote \(a\) mit \(a(x) = -x + 6\). 3. Untersuchung auf Schnittpunkte: Ansatz \(g(x) = a(x)\) führt zu \(-x + 6 + \frac{4}{x} = -x + 6\). 4. Vereinfachung der Gleichung: \(\frac{4}{x} = 0\). Diese Gleichung besitzt keine Lösung, da ein Bruch mit konstantem Zähler ungleich null niemals den Wert null annimmt. 5. Ergebnis: Es gibt keine Schnittpunkte zwischen dem Graphen und seiner schrägen Asymptote.

a) \(g(x) = -x + 6 + \frac{4}{x}\); Asymptote \(a(x) = -x + 6\) b) Es gibt keine Schnittpunkte, da die Gleichung \(\frac{4}{x} = 0\) nicht lösbar ist.

- Wie lässt sich ein Bruchterm mit einem Zählergrad, der um eins größer als der Nennergrad ist, in eine Summe aus einer linearen Funktion und einem Restterm zerlegen? - Was passiert mit dem Restterm, wenn die \(x\)-Werte immer größer werden? - Welches Vorzeichen hat der Restterm für sehr große positive \(x\)-Werte?

1. Zur Bestimmung der schrägen Asymptote wird eine Polynomdivision durchgeführt: \((x^2 - 4x + 5) : (x - 3) = x - 1 + \frac{2}{x - 3}\). Die Gleichung der schrägen Asymptote lautet somit \(y = x - 1\). 2. Für das Verhalten relativ zur Asymptote wird der Restterm \(r(x) = \frac{2}{x - 3}\) betrachtet. Für sehr große positive Werte von \(x\) (also \(x \to \infty\)) ist der Nenner \(x - 3\) positiv. Da auch der Zähler \(2\) positiv ist, gilt \(r(x) > 0\). Somit verläuft der Graph von \(f\) für \(x \to \infty\) oberhalb der schrägen Asymptote.

1. Die schräge Asymptote hat die Gleichung \(y = x - 1\). 2. Da der Restterm \(\frac{2}{x-3}\) für \(x \to \infty\) positiv ist, verläuft der Graph oberhalb der Asymptote.

- Führe die Division des Zählers durch den Nenner vollständig durch. - Reicht der Vergleich der führenden Terme aus, um eine ganze Geradengleichung \(y = mx + n\) zu bestimmen? - Welche Information fehlt in der Argumentation des Schülers?

1. Durchführung der Polynomdivision: \((-2x^2 + 3) : (x + 1) = -2x + 2 + \frac{1}{x + 1}\). Die Rechnung im Detail: \(-2x(x+1) = -2x^2 - 2x\); Subtraktion ergibt \(2x + 3\); \(2(x+1) = 2x + 2\); Subtraktion ergibt den Rest \(1\). 2. Die Argumentation des Schülers ist unvollständig, da der Koeffizientenvergleich der höchsten Potenzen lediglich die Steigung \(m = -2\) der Asymptote liefert, aber den konstanten Anteil \(b\), der durch die Division entsteht, vernachlässigt. Die korrekte Gleichung der schrägen Asymptote lautet \(y = -2x + 2\).

Die Behauptung ist falsch. Die Polynomdivision ergibt \(g(x) = -2x + 2 + \frac{1}{x+1}\). Der Schüler hat nur die Steigung korrekt bestimmt, aber den konstanten Teil \(+2\) übersehen. Die richtige Asymptotengleichung ist \(y = -2x + 2\).

- Setze die gegebenen Werte für die Variable in die Funktionsgleichung ein. - Um herauszufinden, ab wann ein Wert unterschritten wird, kannst du eine Ungleichung aufstellen und nach der Unbekannten auflösen. - Überlege bei der Anzahl von Objekten, ob das Ergebnis eine ganze Zahl sein muss. - Schau dir für den Grenzwert im Unendlichen die Koeffizienten vor der höchsten Potenz von \(x\) im Zähler und Nenner an. - Was bedeutet es für den Graphen und die reale Situation, wenn sich die Werte einem festen Betrag annähern, diesen aber nie ganz erreichen?

1. Berechnung der Funktionswerte: \(B(20) = \frac{180 \cdot 20 + 2400}{0{,}6 \cdot 20 + 5} = \frac{6000}{17} \approx 352{,}94\,\text{€}\); \(B(100) = \frac{180 \cdot 100 + 2400}{0{,}6 \cdot 100 + 5} = \frac{20400}{65} \approx 313{,}85\,\text{€}\); \(B(500) = \frac{180 \cdot 500 + 2400}{0{,}6 \cdot 500 + 5} = \frac{92400}{305} \approx 302{,}95\,\text{€}\). Die Kosten pro Server sinken mit steigender Anzahl der Server. 2. Lösen der Ungleichung \(B(x) < 320\): \(\frac{180x + 2400}{0{,}6x + 5} < 320 \implies 180x + 2400 < 320(0{,}6x + 5) \implies 180x + 2400 < 192x + 1600 \implies 800 < 12x \implies x > 66{,}\overline{6}\). Da \(x\) ganzzahlig sein muss, sinken die Kosten ab \(67\) Servern unter \(320\,\text{€}\). 3. Grenzwertbestimmung: Da Zähler- und Nennergrad gleich sind, ergibt sich der Grenzwert aus dem Quotienten der Koeffizienten der höchsten Potenzen: \(\lim_{x \to \infty} \frac{180x + 2400}{0{,}6x + 5} = \frac{180}{0{,}6} = 300\). Die waagrechte Asymptote liegt bei \(y = 300\). Dies bedeutet, dass die Kosten pro Server im Modell langfristig nicht unter \(300\,\text{€}\) sinken können; der Wert beschreibt die langfristige Untergrenze der Durchschnittskosten.

a) \(B(20) \approx 352{,}94\,\text{€}\); \(B(100) \approx 313{,}85\,\text{€}\); \(B(500) \approx 302{,}95\,\text{€}\). Die Kosten pro Server nehmen bei steigender Serveranzahl ab. b) Ab einer Anzahl von \(67\) Servern. c) Der Grenzwert beträgt \(300\). Die Kosten pro Server nähern sich für sehr große Serverzahlen dem Wert von \(300\,\text{€}\) an, unterschreiten diesen jedoch nie.

- Achte genau auf die Einheiten im Text, bevor du Werte in die Gleichung einsetzt oder Ergebnisse interpretierst. - Wie berechnet man den Wert zu Beginn eines Zeitraums? - Um einen Zeitpunkt für einen bestimmten Bestand zu finden, musst du die Funktionsgleichung mit dem Zielwert gleichsetzen. - Erinnere dich an die Regel für Grenzwerte bei gebrochen-rationalen Funktionen, wenn der Zähler- und Nennergrad identisch sind. - Was sagt eine waagrechte Schranke über das langfristige Wachstum in einem begrenzten Lebensraum aus?

1. Anfangsbestand: \(N(0) = \frac{120 \cdot 0 + 50}{2 \cdot 0 + 5} = \frac{50}{5} = 10\). Da die Einheit „in Hundertern“ ist, entspricht dies \(10 \cdot 100 = 1000\) Tieren. 2. Zeitpunkt für \(5500\) Tiere: Da \(5500\) Tiere \(55\) Hundertern entsprechen, wird \(N(t) = 55\) gesetzt. \(\frac{120t + 50}{2t + 5} = 55 \implies 120t + 50 = 55(2t + 5) \implies 120t + 50 = 110t + 275 \implies 10t = 225 \implies t = 22{,}5\). Nach \(22{,}5\) Jahren sind es \(5500\) Tiere. 3. Grenzwert und Asymptote: \(\lim_{t \to \infty} \frac{120t + 50}{2t + 5} = \frac{120}{2} = 60\). Die waagrechte Asymptote lautet \(y = 60\). Dies bedeutet, dass die Population langfristig gegen \(6000\) Tiere strebt, was der maximalen Kapazität des Reservats entspricht.

a) Der Anfangsbestand beträgt \(1000\) Tiere (\(N(0) = 10\)). b) Nach \(22{,}5\) Jahren. c) Die waagrechte Asymptote ist \(y = 60\). Langfristig nähert sich die Population der Kapazitätsgrenze von \(6000\) Tieren an.

- Wie berechnet man den Durchschnittswert, wenn man die Gesamtkosten und die Anzahl kennt? - Überlege dir, welche Werte für die Anzahl der produzierten Gegenstände mathematisch und praktisch möglich sind. - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner immer größer wird? - Setze die Funktionsgleichung mit dem Zielwert gleich und löse nach der unbekannten Menge auf.

1. Aufstellen der Gesamtkostenfunktion: \(K(x) = 3{,}5x + 1200\). 2. Bildung der Durchschnittskostenfunktion: \(k(x) = \frac{K(x)}{x} = \frac{3{,}5x + 1200}{x} = 3{,}5 + \frac{1200}{x}\). 3. Definitionsmenge im Sachzusammenhang: \(D_k = \mathbb{N} \setminus \{0\}\) (bzw. \(x > 0\)). 4. Grenzwertbetrachtung: \(\lim_{x \to \infty} (3{,}5 + \frac{1200}{x}) = 3{,}5\). Die waagrechte Asymptote lautet \(y = 3{,}5\). 5. Interpretation: Bei sehr hohen Produktionsmengen nähern sich die Durchschnittskosten den variablen Stückkosten von \(3{,}50\,\text{€}\) an, da die Fixkosten pro Stück vernachlässigbar klein werden. 6. Berechnung der Stückzahl: Ansatz \(k(x) < 4 \Rightarrow 3{,}5 + \frac{1200}{x} < 4\). 7. Umformung: \(\frac{1200}{x} < 0{,}5 \Rightarrow x > \frac{1200}{0{,}5} \Rightarrow x > 2400\). Ab einer Stückzahl von \(2401\) Hüllen liegen die Kosten unter \(4{,}00\,\text{€}\).

a) \(k(x) = \frac{3{,}5x + 1200}{x}\) mit \(D_k = \mathbb{N} \setminus \{0\}\) b) Waagrechte Asymptote \(y = 3{,}5\). Die Durchschnittskosten nähern sich für sehr große Produktionsmengen den variablen Kosten von \(3{,}50\,\text{€}\) pro Stück an. c) Ab einer Stückzahl von \(2401\) Hüllen.

- Erinnere dich an die Polynomdivision, um eine gebrochen-rationale Funktion in einen ganzrationalen Teil und einen Restbruch zu zerlegen. - Welcher Teil des Funktionsterms bestimmt das Verhalten im Unendlichen? - Was bedeutet es für die Lage des Graphen, wenn die Differenz zwischen Funktion und Asymptote niemals Null wird? - Prüfe das Vorzeichen des Restbruchs in den verschiedenen Bereichen des Definitionsbereichs.

1. Bestimmung der schrägen Asymptote durch Polynomdivision oder Zerlegung: \(\frac{x^2 - 4x + 7}{x-4} = \frac{x(x-4) + 7}{x-4} = x + \frac{7}{x-4}\). Die Gleichung der schrägen Asymptote lautet somit \(a(x) = x\). 2. Untersuchung auf Schnittpunkte durch Gleichsetzen von Funktions- und Asymptotenterm: \(x + \frac{7}{x-4} = x\). 3. Vereinfachung der Gleichung durch Subtraktion von \(x\): \(\frac{7}{x-4} = 0\). 4. Da der Zähler \(7\) konstant und ungleich null ist, besitzt diese Gleichung keine Lösung. Es gibt keine Schnittpunkte zwischen \(G_h\) und \(a\). 5. Deutung: Der Graph \(G_h\) nähert sich für \(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\) der Geraden \(y = x\) an, verläuft aber für alle \(x > 4\) echt oberhalb (\(h(x) - a(x) > 0\)) und für alle \(x < 4\) echt unterhalb (\(h(x) - a(x) < 0\)) der Asymptote.

Die schräge Asymptote hat die Gleichung \(a(x) = x\). Die Schnittpunktgleichung \(\frac{7}{x-4} = 0\) hat keine Lösung, sodass kein Schnittpunkt existiert. Dies bedeutet, dass der Graph der Asymptote zwar beliebig nahe kommt, sie aber nie erreicht; er verläuft für \(x > 4\) stets oberhalb und für \(x < 4\) stets unterhalb der Geraden \(y = x\).

- Überlege dir, was passiert, wenn \(x\) sehr große oder sehr kleine Werte annimmt. Welcher Teil des Bruchs dominiert dann? - Vergleiche die höchsten Grade im Zähler und im Nenner. - Wenn der Grad im Nenner größer ist, gegen welchen Wert strebt der gesamte Bruch? - Wenn die Grade gleich sind, schau dir die Zahlen direkt vor den höchsten \(x\)-Potenzen an.

1. Bestimmung der Grenzwerte für \(x \to \pm \infty\) durch Vergleich der Grade von Zähler- und Nennerpolynom: - Bei \(f_2(x)\) und \(f_4(x)\) ist der Grad des Zählers kleiner als der Grad des Nenners (\(0 < 2\) bzw. \(1 < 2\)). Daraus folgt \(\lim_{x \to \pm \infty} f_2(x) = 0\) und \(\lim_{x \to \pm \infty} f_4(x) = 0\). Somit ist die \(x\)-Achse (\(y = 0\)) die waagrechte Asymptote. - Bei \(f_1(x)\), \(f_3(x)\) und \(f_5(x)\) sind die Grade von Zähler und Nenner gleich. Der Grenzwert ergibt sich aus dem Quotienten der Koeffizienten der höchsten \(x\)-Potenzen. 2. Berechnung der Grenzwerte für den Fall gleicher Grade: - \(f_1(x)\): \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{3x-1}{x+2} = \frac{3}{1} = 3\) - \(f_3(x)\): \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{6x^2+5}{2x^2-x} = \frac{6}{2} = 3\) - \(f_5(x)\): \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{-9x+1}{-3x+2} = \frac{-9}{-3} = 3\) 3. Zuordnung: Die Funktionen \(f_2\) und \(f_4\) haben die \(x\)-Achse als Asymptote; die Funktionen \(f_1\), \(f_3\) und \(f_5\) haben die Gerade \(y = 3\) als Asymptote.

Waagrechte Asymptote \(y = 0\) (\(x\)-Achse): \(f_2\) und \(f_4\). Waagrechte Asymptote \(y = 3\): \(f_1\), \(f_3\) und \(f_5\).

- Eine schräge Asymptote tritt auf, wenn der Funktionsterm in einen linearen Teil und einen Restterm zerlegt werden kann, der für große \(x\) gegen Null geht. - Bei Brüchen, bei denen der Zählergrad genau um 1 größer ist als der Nennergrad, hilft oft die Polynomdivision. - Manchmal kann man einen Bruch auch einfach aufteilen (gliedweise dividieren), um die Geradengleichung zu finden. - Was bleibt übrig, wenn du den Teil ignorierst, der für \(x \to \infty\) verschwindet?

1. Analyse von \(g_1(x)\): Die Funktion liegt bereits in der Form \(p(x) + r(x)\) vor, wobei \(r(x) = \frac{5}{x+3}\) für \(x \to \pm \infty\) gegen \(0\) strebt. Die schräge Asymptote ist somit \(y = x - 2\). 2. Analyse von \(g_2(x)\) durch gliedweises Dividieren: \(\frac{x^2}{x} - \frac{2x}{x} + \frac{1}{x} = x - 2 + \frac{1}{x}\). Da \(\frac{1}{x} \to 0\), ist die Asymptote \(y = x - 2\). 3. Analyse von \(g_3(x)\) durch gliedweises Dividieren: \(\frac{2x^2}{2x} - \frac{4x}{2x} + \frac{3}{2x} = x - 2 + \frac{1{,}5}{x}\). Da \(\frac{1{,}5}{x} \to 0\), ist die Asymptote \(y = x - 2\). 4. Analyse von \(g_4(x)\) mittels Polynomdivision: \((x^2 + 1) : (x + 2) = x - 2\) Rest \(5\), also \(g_4(x) = x - 2 + \frac{5}{x+2}\). Da der Restterm gegen \(0\) strebt, ist die Asymptote \(y = x - 2\). 5. Ergebnis: Alle Funktionen haben die schräge Asymptote mit der Gleichung \(y = x - 2\).

Alle Funktionen haben die schräge Asymptote mit der Gleichung \(y = x - 2\).

- Was darf man für \(x\) nicht einsetzen, damit man nicht durch null teilt? - Wie verhält sich ein Bruch, wenn der Nenner immer größer wird? - Welcher Teil des Funktionsterms bestimmt das Verhalten für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte? - Was passiert mathematisch, wenn man die Funktionsgleichung und die Asymptotengleichung gleichsetzt?

1. Die Definitionsmenge \(D_f\) ergibt sich aus der Bedingung, dass der Nenner nicht null sein darf: \(x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3\). Somit ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3\}\). Die senkrechte Asymptote liegt an der Polstelle \(x = -3\) und hat die Gleichung \(x = -3\). 2. Für \(x \to \infty\) geht der Term \(\frac{4}{x+3}\) gegen \(0\). Da der lineare Teil \(\frac{1}{2}x - 1\) gegen \(\infty\) strebt, gilt \(\lim_{x \to \infty} f(x) = +\infty\). Analog gilt für \(x \to -\infty\), dass \(f(x) \to -\infty\). Der Graph nähert sich der Geraden mit der Gleichung \(y = \frac{1}{2}x - 1\) an, welche die schräge Asymptote darstellt. 3. Zur Bestimmung der Schnittpunkte setzt man den Funktionsterm mit der Asymptotengleichung gleich: \(\frac{1}{2}x - 1 - \frac{4}{x+3} = \frac{1}{2}x - 1\). Dies vereinfacht sich zu \(-\frac{4}{x+3} = 0\). Da ein Bruch nur dann null ist, wenn sein Zähler null ist, und hier \( -4 \neq 0\) gilt, gibt es keine Lösung. Der Graph schneidet seine schräge Asymptote somit nicht.

a) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3\}\); senkrechte Asymptote: \(x = -3\) b) \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty\); schräge Asymptote: \(y = \frac{1}{2}x - 1\) c) Es gibt keinen Schnittpunkt, da die Gleichung \(-\frac{4}{x+3} = 0\) keine Lösung besitzt.

- Welches der beiden Polynome „wächst“ schneller, wenn \( x \) sehr groß wird? - Wie kannst du einen unecht gebrochen-rationalen Term in einen ganzrationalen Teil und einen echt gebrochen-rationalen Teil zerlegen? - Welches Verfahren kennst du, um Brüche von Polynomen zu vereinfachen? - Wie verhält sich der Restterm nach einer Division, wenn \( x \) gegen unendlich geht?

1. Da der Grad des Zählers (2) um genau eins größer ist als der Grad des Nenners (1), strebt die Funktion für \( x \to \infty \) gegen \(+\infty\) und für \( x \to -\infty \) gegen \( -\infty \). Dies liegt daran, dass das Verhalten für große \( x \) durch den Quotienten der Leitteile \( \frac{0{,}5x^2}{x} = 0{,}5x \) bestimmt wird. 2. Zur Bestimmung der schrägen Asymptote wird eine Polynomdivision durchgeführt: \( (0{,}5x^2 + 2x - 1) : (x - 2) = 0{,}5x + 3 \) Rest \( 5 \). Damit lässt sich die Funktion schreiben als \( k(x) = 0{,}5x + 3 + \frac{5}{x - 2} \). Da der Restterm \( \frac{5}{x - 2} \) für \( x \to \pm \infty \) gegen \( 0 \) strebt, nähert sich der Graph der Geraden \( y = 0{,}5x + 3 \) an. Dies ist die Gleichung der schrägen Asymptote.

1. \(\lim_{x \to \infty} k(x) = +\infty\) und \( \lim_{x \to -\infty} k(x) = -\infty \) 2. Schräge Asymptote: \( y = 0{,}5x + 3 \)

- Wann ist ein Bruch mathematisch nicht definiert? - Wie verhält sich der Funktionsterm für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte? Eine Polynomdivision kann hier helfen. - Welche Art von Asymptote entsteht, wenn der Grad des Zählers genau um eins größer ist als der Grad des Nenners? - Setze für die Berechnung des Funktionswerts einfach die gegebene Zahl für die Variable ein.

1. Definitionsmenge bestimmen: Der Nenner darf nicht null werden. Aus \(x - 2 = 0\) folgt \(x = 2\). Somit ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}\). 2. Senkrechte Asymptote: Da die Definitionslücke \(x = 2\) keine Nullstelle des Zählers ist (\(2^2 - 3 \cdot 2 = -2 \neq 0\)), liegt eine Polstelle vor. Die Gleichung der senkrechten Asymptote lautet \(x = 2\). 3. Schräge Asymptote: Durch Polynomdivision ergibt sich \((x^2 - 3x) : (x - 2) = x - 1 - \frac{2}{x - 2}\). Für \(x \to \pm \infty\) nähert sich der Graph der Geraden mit der Gleichung \(y = x - 1\) an. 4. Funktionswert berechnen: \(f(4) = \frac{4^2 - 3 \cdot 4}{4 - 2} = \frac{16 - 12}{2} = \frac{4}{2} = 2\).

a) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}\) b) Senkrechte Asymptote: \(x = 2\); schräge Asymptote: \(y = x - 1\) c) \(f(4) = 2\)

- Kannst du den Bruch in mehrere Brüche aufteilen, die alle denselben Nenner \(x\) haben? - Welcher Teil des Terms bestimmt das Verhalten für sehr große \(x\), und welcher Teil wird vernachlässigbar klein? - Vergleiche den Funktionswert \(g(x)\) direkt mit dem Wert des linearen Teils \(2x + 3\). Ist die Differenz positiv oder negativ?

1. Durch gliedweise Division des Zählers durch den Nenner erhält man \(g(x) = \frac{2x^2}{x} + \frac{3x}{x} - \frac{4}{x} = 2x + 3 - \frac{4}{x}\). 2. Für \(x \to \infty\) nähert sich der Term \(-\frac{4}{x}\) von unten der Null an. Da der lineare Teil \(2x+3\) gegen \(\infty\) strebt, gilt \(g(x) \to +\infty\). Für \(x \to -\infty\) nähert sich \(-\frac{4}{x}\) von oben der Null an und der lineare Teil strebt gegen \(-\infty\), also gilt \(g(x) \to -\infty\). 3. Die Asymptote ist die Gerade \(y = 2x + 3\). Für \(x \to \infty\) ist der Restterm \(-\frac{4}{x}\) negativ. Da \(g(x) = (2x + 3) - \frac{4}{x}\), sind die Funktionswerte kleiner als die Werte der Asymptote. Somit verläuft der Graph für \(x \to \infty\) unterhalb der Asymptote.

1. \(g(x) = 2x + 3 - \frac{4}{x}\) 2. Für \(x \to \infty\) gilt \(g(x) \to +\infty\); für \(x \to -\infty\) gilt \(g(x) \to -\infty\). 3. Der Graph verläuft unterhalb der Asymptote \(y = 2x + 3\), da der Restterm \(-\frac{4}{x}\) für positive \(x\) negativ ist.

- Überlege, welcher Teil der Funktion für sehr große \(x\)-Werte gegen Null strebt. - Wie kannst du den Unterschied zwischen dem Funktionswert und dem Wert der Asymptote berechnen? - Was sagt das Vorzeichen des Restterms über die Lage des Graphen relativ zur Asymptote aus?

1. Durchführung der Polynomdivision: \((x^2 + 2x - 5) : (x + 3)\). Der erste Schritt \(x^2 : x = x\) ergibt den ersten Teil des Quotienten. Multiplikation und Subtraktion liefern \((x^2 + 2x - 5) - (x^2 + 3x) = -x - 5\). Der zweite Schritt \(-x : x = -1\) ergibt den zweiten Teil. Subtraktion von \(-1 \cdot (x + 3) = -x - 3\) ergibt den Rest \(-2\). Somit gilt \(f(x) = x - 1 - \frac{2}{x + 3}\). 2. Die schräge Asymptote entspricht dem ganzrationalen Anteil der Zerlegung, also \(y = x - 1\). 3. Für \(x \to \infty\) wird der Nenner des Restterms \(x + 3\) positiv und sehr groß. Der gesamte Restterm \(-\frac{2}{x + 3}\) ist somit negativ. Da die Funktionswerte von \(f\) um diesen negativen Wert kleiner sind als die Werte der Asymptote, nähert sich der Graph von unten an die Asymptote an.

1. \(f(x) = x - 1 - \frac{2}{x + 3}\) 2. Asymptotengleichung: \(y = x - 1\) 3. Der Graph nähert sich für \(x \to \infty\) von unten an.

- Überlege dir, wie du den Funktionsterm so umformen kannst, dass ein linearer Teil und ein Restterm entstehen. - Welcher Teil des Funktionsterms bestimmt das Verhalten für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte? - Die Abweichung entspricht genau dem Betrag des Restterms der Division. - Denke bei der Ungleichung daran, dass der Nenner eine Variable enthält und beachte die Fallunterscheidung für den Betrag.

1. Durchführung der Polynomdivision: \((3x^2 + x - 2) : (x + 2) = 3x - 5\) Rest \(8\). Daraus ergibt sich die Funktionsdarstellung \(f(x) = 3x - 5 + \frac{8}{x + 2}\). Die Gleichung der schrägen Asymptote lautet somit \(a(x) = 3x - 5\). 2. Die Bedingung für die Abweichung lautet \(|f(x) - a(x)| < 0{,}4\). Einsetzen der Differenz ergibt \(|\frac{8}{x + 2}| < 0{,}4\). Da der Betrag positiv ist, gilt \(\frac{8}{|x + 2|} < \frac{4}{10}\), was zu \(20 < |x + 2|\) umgeformt wird. 3. Fallunterscheidung für den Betrag: Fall 1: \(x + 2 > 20 \implies x > 18\) Fall 2: \(x + 2 < -20 \implies x < -22\) Die Funktionswerte unterscheiden sich für \(x \in ]-\infty; -22[ \cup ]18; \infty[\) um weniger als \(0{,}4\) von der Asymptote.

1. Die Gleichung der Asymptote ist \(a(x) = 3x - 5\). 2. Die Bedingung ist für \(x < -22\) oder \(x > 18\) erfüllt.

- Wie verhält sich der Funktionswert, wenn \(x\) gegen Unendlich strebt? - Stelle einen Ausdruck für den Unterschied zwischen dem Funktionswert und dem Asymptotenwert auf. - Vereinfache den Differenzterm durch Bilden eines Hauptnenners, bevor du die Ungleichung löst. - Wann ist ein Bruch betragsmäßig sehr klein? Was muss dann für den Nenner gelten?

1. Da der Grad des Zählers gleich dem Grad des Nenners ist, ergibt sich die waagerechte Asymptote durch den Quotienten der Leitkoeffizienten: \(y = \frac{1}{2} = 0{,}5\). 2. Bestimmung der Differenz: \(|f(x) - 0{,}5| = |\frac{x^2 + 4}{2x^2 - 8} - \frac{x^2 - 4}{2x^2 - 8}| = |\frac{8}{2x^2 - 8}| = |\frac{4}{x^2 - 4}|\). 3. Lösen der Ungleichung \(|\frac{4}{x^2 - 4}| < 0{,}01\): Dies entspricht \(|x^2 - 4| > 400\). 4. Fallunterscheidung: Fall 1: \(x^2 - 4 > 400 \implies x^2 > 404 \implies |x| > \sqrt{404} \approx 20{,}10\). Fall 2: \(x^2 - 4 < -400 \implies x^2 < -396\), was keine reelle Lösung besitzt. Die Bedingung ist für \(x < -\sqrt{404}\) oder \(x > \sqrt{404}\) erfüllt.

1. Die waagerechte Asymptote hat die Gleichung \(y = 0{,}5\). 2. Der Abstand ist kleiner als \(0{,}01\) für \(x < -\sqrt{404}\) oder \(x > \sqrt{404}\). Mit \(\sqrt{404} \approx 20{,}0998\) lauten die Schranken näherungsweise \(x < -20{,}10\) oder \(x > 20{,}10\).

- Was passiert mit dem Teil \(\frac{2}{x}\), wenn \(x\) immer größer wird? - An welcher Stelle darfst du für \(x\) keinen Wert einsetzen? - Die Asymptote beschreibt das Verhalten der Funktion in der Nähe von Definitionslücken oder im Unendlichen.

1. Senkrechte Asymptote: Die Funktion ist an der Stelle \(x = 0\) nicht definiert, da der Nenner des Bruchteils \(\frac{2}{x}\) dort null wird. Für \(x \to 0\) strebt der Funktionswert gegen \(\pm\infty\). Die senkrechte Asymptote lautet also \(x = 0\) (die \(y\)-Achse). 2. Schräge Asymptote: Für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte (\(x \to \pm\infty\)) geht der Term \(\frac{2}{x}\) gegen Null. Der Funktionswert nähert sich somit immer mehr dem linearen Anteil \(0{,}5x\) an. Die schräge Asymptote hat die Gleichung \(y = 0{,}5x\).

Die senkrechte Asymptote ist die Gerade \(x = 0\). Die schräge Asymptote ist die Gerade \(y = 0{,}5x\).

- Bestimme zunächst die y-Werte der oberen und unteren Begrenzungslinie des Streifens. - Setze die gegebenen x-Werte in den Funktionsterm ein und berechne die zugehörigen Funktionswerte. - Vergleiche die berechneten Werte mit dem Bereich, den der Streifen abdeckt.

1. Der Streifen der Breite \(0{,}2\) um \(y=2\) reicht von \(1{,}9\) bis \(2{,}1\). 2. Für \(x=-8\) gilt \(g(-8)=\frac{-17}{-9}=\frac{17}{9}\approx1{,}889\). Da \(1{,}889<1{,}9\), liegt der Punkt außerhalb des Streifens. 3. Für \(x=-10\) gilt \(g(-10)=\frac{-21}{-11}=\frac{21}{11}\approx1{,}909\). Es gilt \(1{,}9<1{,}909<2{,}1\). Daher liegt der Punkt innerhalb des Streifens.

a) \(g(-8)=\frac{17}{9}\approx1{,}889<1{,}9\); der Punkt liegt außerhalb. b) \(g(-10)=\frac{21}{11}\approx1{,}909\) und \(1{,}9<1{,}909<2{,}1\); der Punkt liegt innerhalb.

- Vergleiche die höchste Potenz im Zähler mit der höchsten Potenz im Nenner, um das Verhalten im Unendlichen zu bestimmen. - Wie berechnet man den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse? Was muss man für \(x\) einsetzen? - Erinnere dich, dass ein Bruch genau dann null ist, wenn sein Zähler null ist. - Multipliziere die Gleichung mit dem Nenner, um sie nach \(x\) aufzulösen.

1. Globales Verhalten: Da Zähler- und Nennergrad gleich sind (\(2\)), wird der Grenzwert durch das Verhältnis der Koeffizienten der höchsten Potenzen bestimmt: \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2 - 4}{x^2 + 1} = \frac{2}{1} = 2\). Die waagrechte Asymptote ist \(y = 2\). 2. Schnittpunkte mit den Achsen: \(y\)-Achse: \(g(0) = \frac{2 \cdot 0^2 - 4}{0^2 + 1} = -4 \Rightarrow S_y(0 \mid -4)\). \(x\)-Achse: \(g(x) = 0 \iff 2x^2 - 4 = 0 \iff x^2 = 2 \iff x = \pm \sqrt{2}\). Die Nullstellen liegen bei \(N_1(-\sqrt{2} \mid 0)\) und \(N_2(\sqrt{2} \mid 0)\). 3. Berechnung der Stellen für \(y = 1{,}4\): \(\frac{2x^2 - 4}{x^2 + 1} = 1{,}4 \iff 2x^2 - 4 = 1{,}4(x^2 + 1) \iff 2x^2 - 4 = 1{,}4x^2 + 1{,}4 \iff 0{,}6x^2 = 5{,}4 \iff x^2 = 9\). Die Lösungen sind \(x_1 = -3\) und \(x_2 = 3\).

a) Es gilt \(\lim_{x \to \pm\infty} g(x) = 2\). Der Graph nähert sich der waagrechten Geraden \(y = 2\) an. b) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 \mid -4)\). Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: \(N_1(-\sqrt{2} \mid 0) \approx (-1{,}41 \mid 0)\) und \(N_2(\sqrt{2} \mid 0) \approx (1{,}41 \mid 0)\). c) Die gesuchten Stellen sind \(x = -3\) und \(x = 3\).

- Betrachte bei sehr großen positiven und negativen \(x\)-Werten das Verhältnis der Koeffizienten vor \(x\). - Die senkrechte Asymptote liegt bei einer Nullstelle des Nenners, sofern der Zähler dort nicht ebenfalls null wird. - Welche Bedingung muss der neue Nenner bei \(x=3\) erfüllen?

1. Waagrechte Asymptoten: Für \(g_1(x)\) ist das Verhältnis der führenden Koeffizienten \(\frac{4}{2} = 2\), also \(y = 2\). Für \(g_2(x)\) ist das Verhältnis \(\frac{2}{1} = 2\), also \(y = 2\). Feststellung: Beide Funktionen haben dieselbe waagrechte Asymptote. 2. Senkrechte Asymptoten: Nenner von \(g_1\) nullsetzen: \(2x + 6 = 0 \Rightarrow x = -3\). Nenner von \(g_2\) nullsetzen: \(x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\). Da \(-3 \neq 3\), ist die Aussage des Schülers falsch. Die Lage der senkrechten Asymptote hängt von den Nullstellen des Nenners ab, nicht nur von der Art der Terme. 3. Anpassung des Nenners: Die senkrechte Asymptote von \(g_2\) liegt bei \(x = 3\). Damit \(g_1\) dort ebenfalls eine Asymptote hat, muss der Nenner von \(g_1\) bei \(x = 3\) den Wert Null annehmen. Ein möglicher neuer Nenner für \(g_1\) wäre \((x - 3)\) oder ein Vielfaches davon, z. B. \(2x - 6\).

a) Beide waagrechten Asymptoten lauten \(y = 2\). Sie sind identisch. b) Die Aussage ist falsch. Die senkrechte Asymptote von \(g_1\) liegt bei \(x = -3\), die von \(g_2\) bei \(x = 3\). c) Ein möglicher neuer Nenner ist \(x-3\); auch ein nichtnulles Vielfaches wie \(2x-6\) ist möglich.

- Untersuche für jede Aussage die betreffende Funktion einzeln. - Wie findet man senkrechte Asymptoten bei gebrochen-rationalen Funktionen? Achte auf die Definitionslücken. - Wann genau entsteht eine schräge Asymptote? - Prüfe die Grenzwerte für \(x \to \infty\) sorgfältig durch Vergleich der Leitkoeffizienten oder durch Überlegen, welcher Teil des Terms dominiert.

1. Aussage a: Der Zählergrad von \(h\) ist 1, der Nennergrad ist 2. Da \(1 < 2\), ist \(\lim_{x \to \infty} h(x) = 0\). Die x-Achse (\(y=0\)) ist die waagrechte Asymptote. Die Aussage ist wahr. 2. Aussage b: Mittels Polynomdivision gilt \((x^2 + 1) : (x - 1) = x + 1 + \frac{2}{x - 1}\). Der lineare Anteil \(y = x + 1\) ist die schräge Asymptote. Die Aussage ist wahr. 3. Aussage c: Für \(f\): Eine senkrechte Asymptote bei \(x = -3\) (Nullstelle des Nenners, keine des Zählers) und eine waagrechte bei \(y = -2\) (da \(n=m=1\)). Insgesamt 2 Asymptoten. Für \(h\): Keine senkrechte Asymptote (da \(x^2 + 2 > 0\)) und eine waagrechte bei \(y = 0\). Insgesamt 1 Asymptote. Die Aussage ist falsch. 4. Aussage d: \(\lim_{x \to \infty} f(x) = -2\), \(g(x) \to +\infty\) für \(x \to \infty\) (kein endlicher reeller Grenzwert), \(\lim_{x \to \infty} h(x) = 0\). Das Grenzverhalten ist verschieden. Die Aussage ist falsch.

a) Wahr b) Wahr c) Falsch (\(f\) hat zwei, \(h\) hat eine Asymptote) d) Falsch (für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to -2\), \(g(x) \to +\infty\) und \(h(x) \to 0\))

- Erinnere dich daran, dass bei der Polynomdivision der Grad des Restpolynoms kleiner sein muss als der Grad des Divisors. - Wann ist ein Bruch gleich Null? - Welche Information liefert der Restterm über die Differenz zwischen Funktion und Asymptote?

1. Durchführung der Polynomdivision: \((2x^3 - x^2 + 2x + 1) : (x^2 + 2)\). Der erste Term ist \(2x^3 : x^2 = 2x\). Multiplikation \(2x(x^2 + 2) = 2x^3 + 4x\) und Subtraktion ergibt \(-x^2 - 2x + 1\). Der nächste Term ist \(-x^2 : x^2 = -1\). Multiplikation \(-1(x^2 + 2) = -x^2 - 2\) und Subtraktion ergibt den Rest \(-2x + 3\). Die Zerlegung lautet \(g(x) = 2x - 1 + \frac{-2x + 3}{x^2 + 2}\). 2. Die Gleichung der schrägen Asymptote ist \(y = 2x - 1\). 3. Ein Schnittpunkt liegt vor, wenn der Restterm Null wird: \(\frac{-2x + 3}{x^2 + 2} = 0\). Dies führt auf \(-2x + 3 = 0\), woraus \(x = 1{,}5\) folgt. 4. Einsetzen von \(x = 1{,}5\) in die Asymptotengleichung (oder die Funktion) ergibt \(y = 2 \cdot 1{,}5 - 1 = 2\). Der Schnittpunkt liegt bei \(S(1{,}5 | 2)\).

Asymptotengleichung: \(y = 2x - 1\); Schnittpunkt mit der Asymptote: \(S(1{,}5 | 2)\).

- Was passiert mit dem Graphen einer rationalen Funktion, wenn der Zählergrad genau um eins größer ist als der Nennergrad? - Welches Rechenverfahren hilft dir dabei, einen unecht gebrochen-rationalen Term in einen ganzrationalen Anteil und einen Restbruch zu zerlegen? - Betrachte bei Teilaufgabe b) die beiden Summanden getrennt. Wie verhält sich der Bruchterm für sehr große \(x\)-Werte?

1. Für Teilaufgabe a): Die Polstelle liegt bei \(x = -1\). Durch Polynomdivision ergibt sich \(g(x) = (x^2 + 3) : (x + 1) = x - 1 + \frac{4}{x + 1}\). Da der Restterm \(\frac{4}{x + 1}\) für \(x \to \pm \infty\) gegen \(0\) strebt, ist die schräge Asymptote \(y = x - 1\). 2. Für Teilaufgabe b): Die Polstelle liegt bei \(x = 2\). Der Funktionsterm wird umgeformt, indem der Bruchterm untersucht wird: \(\frac{2x}{x - 2} = \frac{2(x - 2) + 4}{x - 2} = 2 + \frac{4}{x - 2}\). Eingesetzt in die Funktion ergibt sich \(g(x) = \frac{1}{3}x - 2 - \frac{4}{x - 2}\). Die schräge Asymptote lautet somit \(y = \frac{1}{3}x - 2\).

a) Polstelle: \(x = -1\); schräge Asymptote: \(y = x - 1\) b) Polstelle: \(x = 2\); schräge Asymptote: \(y = \frac{1}{3}x - 2\)