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- Was ist die höchste Potenz von \(x\), die im gesamten Bruch vorkommt? - Beim Ausklammern teilst du jedes Glied durch diese Potenz. - Was passiert mit Termen wie \(\frac{1}{x}\) oder \(\frac{1}{x^2}\), wenn \(x\) immer größer wird? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Grenzwert im Unendlichen und der Lage der waagrechten Asymptote.

1. Identifikation der höchsten Potenz: In Zähler und Nenner ist die höchste Potenz \(x^2\). 2. Ausklammern im Zähler: \(10x^2 - 5x + 1 = x^2 \cdot (10 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2})\). 3. Ausklammern im Nenner: \(2x^2 + 3 = x^2 \cdot (2 + \frac{3}{x^2})\). 4. Kürzen des Bruchs: \(f(x) = \frac{x^2 \cdot (10 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2})}{x^2 \cdot (2 + \frac{3}{x^2})} = \frac{10 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2}}{2 + \frac{3}{x^2}}\) für \(x \neq 0\). 5. Grenzwertbetrachtung für \(x \to \infty\): Die Terme \(\frac{5}{x}\), \(\frac{1}{x^2}\) und \(\frac{3}{x^2}\) konvergieren gegen \(0\). 6. Berechnung des Grenzwerts: \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{10 - 0 + 0}{2 + 0} = \frac{10}{2} = 5\). 7. Bestimmung der Asymptote: Die waagrechte Asymptote hat die Gleichung \(y = 5\).

a) \(f(x) = \frac{10 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2}}{2 + \frac{3}{x^2}}\) für \(x \neq 0\) b) \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 5\); waagrechte Asymptote: \(y = 5\)

- Welche Regel kennst du für den Grenzwert einer gebrochen-rationalen Funktion, wenn der Grad des Nenners größer ist als der des Zählers? - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner viel schneller wächst als der Zähler? - Unterscheide zwischen dem Fall, dass die Grade gleich sind, und dem Fall, dass sie verschieden sind.

1. Bestimmung der Grade von Zähler- und Nennerpolynom: Der Zählergrad ist \( 1 \), der Nennergrad ist \( 2 \). 2. Vergleich der Grade: Da der Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist, gilt für den Grenzwert im Unendlichen: \( \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x + 12}{x^2 - 16} = 0 \). 3. Ermittlung der Asymptotengleichung: Die waagrechte Asymptote ist die \( x \)-Achse mit der Gleichung \( y = 0 \). 4. Bewertung der Schüleraussage: Der erste Teil der Aussage (Existenz einer waagrechten Asymptote) ist korrekt, die Begründung für den Wert und das Ergebnis \( y = 3 \) sind jedoch falsch.

Die Aussage ist falsch. Zwar existiert eine waagrechte Asymptote, da der Zählergrad (\( 1 \)) kleiner als der Nennergrad (\( 2 \)) ist, jedoch streben die Funktionswerte für \( x \to \infty \) gegen \( 0 \). Die korrekte Gleichung der waagrechten Asymptote lautet daher \( y = 0 \).

- Welcher Teil des Funktionsterms wird vernachlässigbar klein, wenn \(x\) sehr große Werte annimmt? - Wie verhält sich eine Gerade mit positiver Steigung für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte? - Überlege dir, ob der Bruchteil für sehr große \(x\) positiv oder negativ ist, um die Lage zum Graphen zu bestimmen.

1. Identifikation des ganzrationalen Anteils: Da der Term \(\frac{2}{x+4}\) für \(x \to \pm \infty\) gegen null strebt, ist der lineare Anteil die Gleichung der schrägen Asymptote: \(y = 3x + 1\). 2. Verhalten im Unendlichen: Da die Steigung der Asymptote \(m = 3\) positiv ist, folgt der Graph dem Verlauf der Geraden. Für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to \infty\). Für \(x \to -\infty\) gilt \(f(x) \to -\infty\). 3. Optionale Präzisierung der Lage: Für \(x \to \infty\) ist \(\frac{2}{x+4} > 0\), daher gilt \(f(x) < 3x + 1\) (Annäherung von unten). Für \(x \to -\infty\) ist \(\frac{2}{x+4} < 0\), daher gilt \(f(x) > 3x + 1\) (Annäherung von oben).

Die Gleichung der schrägen Asymptote lautet \(y = 3x + 1\). Für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to \infty\), wobei sich der Graph der Asymptote von unten nähert. Für \(x \to -\infty\) gilt \(f(x) \to -\infty\), wobei sich der Graph der Asymptote von oben nähert.

- Überlege, welche Potenz von \(x\) im Nenner am stärksten dominiert. - Was passiert mit Termen wie \(\frac{1}{x}\) oder \(\frac{1}{x^2}\), wenn \(x\) sehr groß wird? - Vergleiche den Grad des Zählers mit dem Grad des Nenners. - Du kannst den Funktionsterm vereinfachen, indem du Zähler und Nenner durch die höchste im Nenner vorkommende Potenz von \(x\) dividierst.

1. Für \(f(x)\): Ausklammern von \(x\) im Zähler und Nenner führt auf \(\frac{x \cdot (6 - \frac{15}{x})}{x \cdot (\frac{3}{x} - 2)}\). Für \(x \neq 0\) kann \(x\) gekürzt werden; der anschließende Grenzübergang \(x \to \pm \infty\) ergibt \(\frac{6}{-2} = -3\). Die waagrechte Asymptote ist \(y = -3\). 2. Für \(g(x)\): Ausklammern von \(x^2\) im Nenner (bzw. Division durch die höchste Nennerpotenz) führt für \(x \neq 0\) auf \(\frac{\frac{5}{x} + \frac{2}{x^2}}{1 - \frac{4}{x^2}}\). Da der Zähler gegen \(0\) und der Nenner gegen \(1\) strebt, ist der Grenzwert \(0\). Die waagrechte Asymptote ist \(y = 0\). 3. Für \(h(x)\): Division durch \(x^2\) ergibt für \(x \neq 0\) \(\frac{1{,}2 - \frac{4}{x}}{0{,}4 + \frac{1}{x^2}}\). Der Grenzwert für \(x \to \pm \infty\) ist \(\frac{1{,}2}{0{,}4} = 3\). Die waagrechte Asymptote ist \(y = 3\).

a) \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = -3\); waagrechte Asymptote \(y = -3\) b) \(\lim_{x \to \pm \infty} g(x) = 0\); waagrechte Asymptote \(y = 0\) c) \(\lim_{x \to \pm \infty} h(x) = 3\); waagrechte Asymptote \(y = 3\)

- Kannst du den Bruch so aufteilen, dass jedes Glied im Zähler einzeln durch den Nenner geteilt wird? - Was passiert mit dem Teil des Terms, in dem das \(x\) nur noch im Nenner steht, wenn \(x\) sehr groß wird? - Welcher Teil des Terms beschreibt das Verhalten der Funktion für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte?

1. Gliedweise Division des Zählers durch den Nenner: \(\frac{4x^2}{2x} - \frac{10x}{2x} + \frac{3}{2x}\). 2. Vereinfachen der einzelnen Summanden ergibt den umgeformten Term: \(f(x) = 2x - 5 + \frac{1{,}5}{x}\). 3. Identifikation des linearen Teils für die Asymptote: Da der Restterm \(\frac{1{,}5}{x}\) für \(x \to \pm \infty\) gegen \(0\) strebt, ist die Gleichung der schrägen Asymptote \(y = 2x - 5\).

a) \(f(x) = 2x - 5 + \frac{1{,}5}{x}\) b) \(y = 2x - 5\)

- Was muss im Nenner stehen, damit die Funktion bei \(x = 4\) nicht definiert ist? - Wie unterscheidet sich der Exponent eines Faktors im Nenner bei einer Polstelle mit Vorzeichenwechsel von einer ohne Vorzeichenwechsel? - Welche Bedingung müssen die Grade von Zähler- und Nennerpolynom erfüllen, damit eine waagrechte Asymptote ungleich Null existiert? - Wie hängen die Koeffizienten der höchsten Potenzen mit dem Wert der waagrechten Asymptote zusammen?

1. Bestimmung des Nenners: Da die Definitionsmenge \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{4\}\) ist und an der Stelle \(x = 4\) eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vorliegen soll, muss der Nenner den Faktor \((x - 4)\) in einer ungeraden Potenz enthalten. Wir wählen den einfachsten Fall: \((x - 4)^1\). 2. Bestimmung des Zählers für die Asymptote: Eine waagrechte Asymptote \(y = -2\) erfordert, dass der Grad des Zählers gleich dem Grad des Nenners ist und das Verhältnis der Leitkoeffizienten \(-2\) beträgt. 3. Aufstellen des Terms: Ein möglicher Zähler ist \(-2x\). Damit ergibt sich die Funktion \(f(x) = \frac{-2x}{x - 4}\). 4. Überprüfung der Polstelle: Da der Zähler an der Stelle \(x = 4\) den Wert \(-8 \neq 0\) annimmt, liegt tatsächlich eine Polstelle vor. Da die Vielfachheit der Nullstelle im Nenner ungerade ist, besitzt die Polstelle einen Vorzeichenwechsel.

\(f(x) = \frac{-2x}{x - 4}\) (oder auch \(f(x) = -2 + \frac{1}{x - 4}\))

- Wie berechnet man allgemein die gemeinsamen Punkte zweier Funktionsgraphen? - Was muss für den Wert eines Bruches gelten, damit das Ergebnis null ist? - Betrachte die Differenz zwischen der Funktion und der Geraden. Was passiert mit diesem Abstand für sehr große \(x\)-Werte? - Überlege, ob der Graph der Funktion jemals die Seite bezüglich der Geraden wechseln kann, wenn kein Schnittpunkt vorliegt.

1. Ansatz für die Berechnung von Schnittpunkten: \(f(x) = g(x)\). 2. Aufstellen der Gleichung: \(0{,}5x + \frac{2}{x+1} = 0{,}5x\). 3. Subtraktion von \(0{,}5x\) auf beiden Seiten führt zur Gleichung \(\frac{2}{x+1} = 0\). 4. Ein Bruch ist nur dann gleich null, wenn sein Zähler null ist. Da der Zähler hier konstant \(2\) ist, hat die Gleichung keine Lösung. Es existieren somit keine Schnittpunkte. 5. Geometrische Bedeutung: Da der Grenzwert der Differenz \(f(x) - g(x) = \frac{2}{x+1}\) für \(x \to \pm \infty\) gegen null geht, ist \(g\) die schräge Asymptote von \(G_f\). Das Fehlen von Schnittpunkten bedeutet, dass sich der Graph der Asymptote zwar unendlich nähert, sie aber niemals berührt oder kreuzt.

Durch Gleichsetzen von \(f(x)\) und \(g(x)\) erhält man die Gleichung \(\frac{2}{x+1} = 0\), die keine Lösung besitzt, da der Zähler ungleich null ist. Geometrisch bedeutet dies, dass der Graph \(G_f\) seine schräge Asymptote \(g\) zwar als Grenzwert besitzt, sie jedoch an keiner Stelle schneidet oder berührt.

- Überlege dir, was passiert, wenn \(x\) sehr große oder sehr kleine Werte annimmt. Welcher Teil des Bruchs dominiert dann? - Vergleiche die höchsten Grade im Zähler und im Nenner. - Wenn der Grad im Nenner größer ist, gegen welchen Wert strebt der gesamte Bruch? - Wenn die Grade gleich sind, schau dir die Zahlen direkt vor den höchsten \(x\)-Potenzen an.

1. Bestimmung der Grenzwerte für \(x \to \pm \infty\) durch Vergleich der Grade von Zähler- und Nennerpolynom: - Bei \(f_2(x)\) und \(f_4(x)\) ist der Grad des Zählers kleiner als der Grad des Nenners (\(0 < 2\) bzw. \(1 < 2\)). Daraus folgt \(\lim_{x \to \pm \infty} f_2(x) = 0\) und \(\lim_{x \to \pm \infty} f_4(x) = 0\). Somit ist die \(x\)-Achse (\(y = 0\)) die waagrechte Asymptote. - Bei \(f_1(x)\), \(f_3(x)\) und \(f_5(x)\) sind die Grade von Zähler und Nenner gleich. Der Grenzwert ergibt sich aus dem Quotienten der Koeffizienten der höchsten \(x\)-Potenzen. 2. Berechnung der Grenzwerte für den Fall gleicher Grade: - \(f_1(x)\): \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{3x-1}{x+2} = \frac{3}{1} = 3\) - \(f_3(x)\): \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{6x^2+5}{2x^2-x} = \frac{6}{2} = 3\) - \(f_5(x)\): \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{-9x+1}{-3x+2} = \frac{-9}{-3} = 3\) 3. Zuordnung: Die Funktionen \(f_2\) und \(f_4\) haben die \(x\)-Achse als Asymptote; die Funktionen \(f_1\), \(f_3\) und \(f_5\) haben die Gerade \(y = 3\) als Asymptote.

Waagrechte Asymptote \(y = 0\) (\(x\)-Achse): \(f_2\) und \(f_4\). Waagrechte Asymptote \(y = 3\): \(f_1\), \(f_3\) und \(f_5\).

- Überlege, für welchen Wert von \( x \) der Nenner der Funktion null wird. - Wie verhält sich der Funktionswert, wenn \( x \) sehr große oder sehr kleine Werte annimmt? - Bei rationalen Funktionen mit gleichem Grad in Zähler und Nenner hilft der Blick auf die Koeffizienten der höchsten \( x \)-Potenzen.

1. Zur Bestimmung der senkrechten Asymptote wird die Nullstelle des Nenners berechnet: \( 2x + 2 = 0 \implies x = -1 \). Da der Zähler an dieser Stelle ungleich null ist (\( 6 - 4 \cdot (-1) = 10 \)), liegt bei \( x = -1 \) eine Polstelle und somit die senkrechte Asymptote vor. 2. Für die waagrechte Asymptote wird das Verhalten der Funktion für \( x \to \pm \infty \) untersucht. Da Zähler und Nenner den gleichen Grad besitzen, ergibt sich der Grenzwert aus dem Quotienten der Koeffizienten der höchsten Potenzen: \( \frac{-4}{2} = -2 \). Die Gleichung der waagrechten Asymptote lautet somit \( y = -2 \).

Senkrechte Asymptote: \( x = -1 \) Waagrechte Asymptote: \( y = -2 \)

- Überlege, welcher \(x\)-Wert im Nenner zu einer Division durch Null führen würde. - Betrachte das Verhalten der Funktion für sehr große \(x\)-Werte, um die waagrechte Asymptote zu finden. Was passiert mit dem Bruch, wenn du Zähler und Nenner durch \(x\) teilst? - Wie findet man die Stellen, an denen ein Funktionsgraph die horizontale Achse berührt oder schneidet?

1. Definitionsmenge: Der Nenner wird bei \(2x + 4 = 0 \iff x = -2\) null. Damit ist \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{-2\}\). 2. Senkrechte Asymptote: Da der Zähler an der Stelle \(x = -2\) ungleich null ist (\(6 \cdot (-2) - 3 = -15\)), ist \(x = -2\) die Gleichung der senkrechten Asymptote. 3. Waagrechte Asymptote: Da Zähler- und Nennergrad gleich sind, ergibt sich die waagrechte Asymptote durch den Quotienten der Koeffizienten der höchsten Potenzen: \(y = \frac{6}{2} = 3\). 4. Nullstelle: Ein Bruch ist null, wenn der Zähler null ist. \(6x - 3 = 0 \iff 6x = 3 \iff x = 0{,}5\). Der Schnittpunkt ist \(N(0{,}5 | 0)\).

a) \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{-2\}\) b) Senkrechte Asymptote: \(x = -2\); waagrechte Asymptote: \(y = 3\) c) Nullstelle bei \(x = 0{,}5\) bzw. Schnittpunkt \(N(0{,}5 | 0)\)

- Was passiert mit dem Funktionswert, wenn der Nenner gegen Null geht? - Wie hängen die Grade von Zähler- und Nennerpolynom mit der Art der Asymptote zusammen? - Erinnere dich an ein Verfahren, mit dem man gebrochenrationale Funktionen in einen ganzrationalen Teil und einen echten Bruch zerlegen kann. - Welche Bedeutung haben die Nullstellen des Nenners für den Graphen? - Überprüfe für jede der gegebenen Gleichungen, ob sie eine Polstelle oder das Verhalten im Unendlichen beschreibt. - Kann eine Nullstelle der Funktion gleichzeitig eine vertikale Asymptote sein?

1. Untersuchung der vertikalen Asymptoten (Polstellen): Die Nullstellen des Nenners \((x+1)(x-2)\) liegen bei \(x = -1\) und \(x = 2\). Da der Zähler \(x^3 - 1\) an diesen Stellen ungleich Null ist (\((-1)^3-1 = -2\) und \(2^3-1 = 7\)), sind \(x = -1\) und \(x = 2\) vertikale Asymptoten. 2. Untersuchung der schrägen Asymptote: Da der Grad des Zählers (3) um eins höher ist als der Grad des Nenners (2), existiert eine schräge Asymptote. Diese wird durch Polynomdivision von \(x^3 - 1\) durch \(x^2 - x - 2\) bestimmt. 3. Durchführung der Polynomdivision: \((x^3 - 1) : (x^2 - x - 2) = x + 1\) mit dem Rest \(3x + 1\). 4. Bestimmung der Gleichung: Die schräge Asymptote lautet \(y = x + 1\). 5. Abgleich mit den Auswahlmöglichkeiten: Die Asymptoten sind \(x = -1\), \(x = 2\) und \(y = x + 1\). Die Gleichung \(x = 1\) beschreibt eine Nullstelle der Funktion (\(1^3 - 1 = 0\)), jedoch keine Asymptote.

\(x = 1\)

- Welcher Teil der Funktionsgleichung bestimmt das Verhalten der Funktion für extrem große oder kleine \(x\)-Werte? - Was passiert mit dem Nenner an der Stelle, an der eine senkrechte Asymptote vorliegt? - Wie kannst du die Koordinaten eines gegebenen Punktes nutzen, um eine unbekannte Variable in einer Gleichung zu finden?

1. Aus der waagrechten Asymptote \(y = 4\) folgt direkt der Parameter \(y_0 = 4\), da dies der Grenzwert für \(|x| \to \infty\) ist. 2. Die senkrechte Asymptote liegt bei der Definitionslücke \(x = -1\). Aus der Bedingung \(x - x_0 = 0\) für \(x = -1\) ergibt sich \(-1 - x_0 = 0\), also \(x_0 = -1\). 3. Durch Einsetzen der bekannten Parameter in den Funktionsterm erhält man die Form \(f(x) = \frac{a}{x + 1} + 4\). 4. Die Punktprobe mit \(P(1 \mid 5)\) liefert die Gleichung \(5 = \frac{a}{1 + 1} + 4\). 5. Subtraktion von \(4\) auf beiden Seiten ergibt \(1 = \frac{a}{2}\), woraus \(a = 2\) folgt.

\(x_0 = -1\); \(y_0 = 4\); \(a = 2\); Funktionsterm: \(f(x) = \frac{2}{x + 1} + 4\)

- Wie verhält sich ein Bruch, dessen Nenner im Betrag immer größer wird, während der Zähler konstant bleibt? - Achte beim Ausklammern im Nenner besonders auf den Term mit \(x^2\). Was bleibt übrig, wenn du \(x^3\) herausziehst? - Wie lautet die Definition einer waagrechten Asymptote über Grenzwerte? - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die Koeffizienten der höchsten Potenzen direkt vergleichst.

1. Ausklammern von \(x^3\) im Zähler: \(4 - 2x^3 = x^3 \cdot (\frac{4}{x^3} - 2)\). 2. Ausklammern von \(x^3\) im Nenner: \(0{,}5x^3 + x^2 - 1 = x^3 \cdot (0{,}5 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^3})\). 3. Kürzen von \(x^3\): \(g(x) = \frac{\frac{4}{x^3} - 2}{0{,}5 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^3}}\) für \(x \neq 0\). 4. Anwendung der Grenzwertsätze für \(x \to -\infty\): Die Nullfolgen \(\frac{4}{x^3} \to 0\), \(\frac{1}{x} \to 0\) und \(\frac{1}{x^3} \to 0\) werden identifiziert. 5. Berechnung des Grenzwerts: \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = \frac{0 - 2}{0{,}5 + 0 - 0} = \frac{-2}{0{,}5} = -4\). 6. Schlussfolgerung: Da der Grenzwert existiert und endlich ist, besitzt der Graph eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung \(y = -4\).

a) \(g(x) = \frac{\frac{4}{x^3} - 2}{0{,}5 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^3}}\) für \(x \neq 0\) b) \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = -4\); waagrechte Asymptote: \(y = -4\)

- Wie kannst du eine gebrochen-rationale Funktion in einen ganzrationalen Teil und einen echten Bruchterm zerlegen? - Was passiert mit dem Restterm einer solchen Zerlegung, wenn \( x \) immer größer wird? - Welche Rolle spielt das Ergebnis der Division für das Verhalten im Unendlichen?

1. Durchführung einer Polynomdivision, um die schräge Asymptote zu bestimmen: \( (2x^2 + 5x) : (x + 1) = 2x + 3 - \frac{3}{x+1} \). 2. Untersuchung des Restterms für \( x \to \infty \): Der Restterm \( -\frac{3}{x+1} \) strebt für \( x \to \infty \) gegen \( 0 \). 3. Identifikation des asymptotischen Verhaltens: Der Funktionsterm lässt sich schreiben als \( f(x) = 2x + 3 + r(x) \) mit \( r(x) = -\frac{3}{x+1} \) und \( \lim_{x \to \infty} r(x) = 0 \). 4. Schlussfolgerung: Der Graph von \( f \) nähert sich für \( x \to \infty \) tatsächlich der Geraden \( y = 2x + 3 \) beliebig genau an.

Die Vermutung ist wahr. Durch Polynomdivision erhält man \( f(x) = 2x + 3 - \frac{3}{x+1} \). Da der Restterm \( -\frac{3}{x+1} \) für \( x \to \infty \) gegen null geht, nähert sich der Graph der schrägen Asymptote \( y = 2x + 3 \) an.

- Vergleiche den Grad des Zählerpolynoms mit dem Grad des Nennerpolynoms. - Was passiert mit einem Bruch, wenn die Variable im Nenner eine höhere Potenz hat als im Zähler? - Erinnerst du dich, wie man mithilfe der Polynomdivision eine Funktionsgleichung in einen ganzrationalen Teil und einen Restbruch zerlegt? - Wie bestimmen die Koeffizienten der höchsten Potenzen den Grenzwert, wenn die Grade gleich sind?

1. Untersuchung von \(f\): Da der Grad des Zählers gleich dem Grad des Nenners ist (\(2\)), konvergiert die Funktion für \(x \to \pm\infty\). Der Grenzwert ergibt sich aus dem Quotienten der Koeffizienten der höchsten Potenzen: \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \frac{10}{2} = 5\). Die waagrechte Asymptote lautet \(y = 5\). 2. Untersuchung von \(g\): Da der Zählergrad (\(2\)) um genau eins größer ist als der Nennergrad (\(1\)), liegt Divergenz vor. Mittels Polynomdivision folgt: \((x^2 + 2x - 1) : (x + 1) = x + 1 - \frac{2}{x + 1}\). Für \(x \to \pm\infty\) nähert sich der Graph der schrägen Asymptote \(y = x + 1\) an. 3. Untersuchung von \(h\): Zähler- und Nennergrad sind gleich (\(1\)). Die Funktion konvergiert. Der Grenzwert ist \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{-4x + 1}{2x + 8} = \frac{-4}{2} = -2\). Die waagrechte Asymptote lautet \(y = -2\).

a) Konvergenz; waagrechte Asymptote \(y = 5\) b) Divergenz; schräge Asymptote \(y = x + 1\) c) Konvergenz; waagrechte Asymptote \(y = -2\)

- Welchen Einfluss hat der Parameter auf den Grad des Zählerpolynoms? - Wie berechnet man den Grenzwert einer rationalen Funktion, wenn Zähler und Nenner denselben Grad haben? - Was bedeutet es für den Grenzwert, wenn der Grad des Nenners echt größer ist als der des Zählers?

1. Für \(a \neq 0\) sind Zähler- und Nennergrad gleich (\(2\)). Das Verhalten im Unendlichen wird durch das Verhältnis der Leitkoeffizienten bestimmt: \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{ax^2 + 6x}{3x^2 - 12} = \frac{a}{3}\). 2. Um Konvergenz gegen \(4\) zu erreichen, muss gelten: \(\frac{a}{3} = 4\). Daraus folgt durch Multiplikation mit \(3\): \(a = 12\). 3. Für \(a = 0\) lautet die Funktionsgleichung \(f_0(x) = \frac{6x}{3x^2 - 12}\). Hier ist der Nennergrad (\(2\)) größer als der Zählergrad (\(1\)). 4. Daraus folgt, dass die Funktion für \(x \to \pm\infty\) gegen \(0\) konvergiert: \(\lim_{x \to \pm\infty} f_0(x) = 0\). Die waagrechte Asymptote ist die x-Achse mit der Gleichung \(y = 0\).

a) \(a = 12\); Begründung über den Koeffizientenvergleich der höchsten Potenzen \(\frac{a}{3} = 4\). b) Für \(a = 0\) konvergiert die Funktion gegen \(0\); waagrechte Asymptote \(y = 0\).

- Was passiert mit dem Bruchterm, wenn \(x\) immer größer wird? - Die Asymptote beschreibt das Verhalten der Funktion für sehr große \(x\)-Werte. Welcher Teil des Terms bleibt dann „übrig“? - Um die Lage zu bestimmen, kannst du die Differenz zwischen dem Funktionsterm und der Asymptotengleichung betrachten. Ist diese Differenz für große positive \(x\) positiv oder negativ?

1. Bestimmung der Asymptote: Der Term besteht aus einem linearen Teil \(-0{,}5x + 2\) und einem echten gebrochen-rationalen Teil \(\frac{1}{2x}\). Da \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{2x} = 0\), ist die schräge Asymptote \(y = -0{,}5x + 2\). 2. Untersuchung der Lage: Die Differenz zwischen Funktionswert und Asymptotenwert ist \(d(x) = h(x) - (-0{,}5x + 2) = \frac{1}{2x}\). 3. Für \(x \to \infty\) ist der Wert von \(\frac{1}{2x}\) positiv (nähert sich \(0\) von oben). Da die Differenz positiv ist, liegen die Funktionswerte über den Werten der Asymptote. Der Graph verläuft somit oberhalb der Asymptote.

1. Die schräge Asymptote hat die Gleichung \(y = -0{,}5x + 2\). 2. Für \(x \to \infty\) verläuft der Graph oberhalb der Asymptote, da der Restterm \(\frac{1}{2x}\) für positive \(x\) positiv ist.

- Untersuche zuerst den Definitionsbereich der Funktion. - Prüfe, ob du den Funktionsterm kürzen kannst, bevor du die Asymptoten bestimmst. - Unterscheidet sich das Verhalten der Funktion an den verschiedenen Definitionslücken? - Was passiert mit dem Bruch, wenn \(x\) immer größer oder immer kleiner wird?

1. Bestimmung der Definitionslücken: Der Nenner \(x^2 - 4\) wird null für \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). 2. Untersuchung der Lücken: Durch Faktorisieren von Zähler und Nenner ergibt sich \(g(x) = \frac{3(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)}\). Für \(x \neq 2\) lässt sich der Term zu \(g(x) = \frac{3}{x + 2}\) kürzen. 3. An der Stelle \(x = 2\) liegt eine hebbare Definitionslücke vor, da der Faktor \((x - 2)\) gekürzt werden kann; hier existiert keine Asymptote. An der Stelle \(x = -2\) bleibt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel, woraus die senkrechte Asymptote \(x = -2\) folgt. 4. Waagrechte Asymptote: Da der Grad des Zählers (1) kleiner ist als der Grad des Nenners (2), gilt für den Grenzwert \(\lim_{x \to \pm \infty} g(x) = 0\). Die waagrechte Asymptote ist die \(x\)-Achse mit der Gleichung \(y = 0\).

Senkrechte Asymptote: \(x = -2\) Waagrechte Asymptote: \(y = 0\)

- Vergleiche zuerst die höchsten Grade von Zähler und Nenner. - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner viel schneller wächst als der Zähler? - Erinnerst du dich, wie man einen unecht gebrochen-rationalen Term in einen ganzrationalen Teil und einen Restterm zerlegt? - Ein endlicher reeller Grenzwert existiert nur, wenn die Funktion gegen eine feste reelle Zahl strebt.

1. Für \(a(x)\) sind Zähler- und Nennergrad gleich (\(n=m=2\)). Der Grenzwert für \(x \to \pm \infty\) ergibt sich aus dem Quotienten der Leitkoeffizienten: \(\frac{6}{2} = 3\). Die waagrechte Asymptote ist \(y = 3\). Für \(b(x)\) ist der Zählergrad um eins größer als der Nennergrad (\(n=2, m=1\)). Durch Polynomdivision erhält man \((x^2 + 3x) : (x - 2) = x + 5 + \frac{10}{x - 2}\). Die schräge Asymptote ist \(y = x + 5\). Für \(c(x)\) ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad (\(n=0, m=2\)). Der Grenzwert für \(x \to \pm \infty\) ist \(0\). Die waagrechte Asymptote ist \(y = 0\) (die x-Achse). 2. Die Funktion \(c\) konvergiert gegen null, da der Grad des Nenners (\(2\)) größer ist als der Grad des Zählers (\(0\)). 3. Für \(x \to \infty\) wächst der Term \(x + 5\) der Funktion \(b(x)\) unbegrenzt, während der Restterm \(\frac{10}{x - 2}\) gegen null strebt. Somit divergiert \(b(x)\) für \(x \to \infty\) gegen \(+\infty\); ein endlicher reeller Grenzwert existiert nicht.

1. \(a\): \(y = 3\); \(b\): \(y = x + 5\); \(c\): \(y = 0\) 2. Nur \(c(x)\) konvergiert gegen null, da der Nennergrad höher als der Zählergrad ist. 3. \(b(x) \to +\infty\) für \(x \to \infty\); ein endlicher reeller Grenzwert existiert nicht.

- Was muss für die Grade von Zähler und Nenner gelten, damit die Funktion gegen Unendlich divergiert? - Wie hängen die Polstellen einer Funktion mit ihrem Funktionsterm zusammen? - Versuche, die Funktion zuerst als Summe aus einem linearen Teil und einem echten Bruchterm aufzuschreiben. - Wie kannst du sicherstellen, dass die Polstelle nicht durch eine Nullstelle im Zähler aufgehoben wird?

1. Da die Funktion für \(x \to \infty\) gegen \(-\infty\) divergiert, muss der Grad des Zählerpolynoms größer sein als der des Nennerpolynoms. Ein einfacher Ansatz ist eine Differenz der Grade von 1 mit einem negativen Leitkoeffizienten, was zu einer schrägen Asymptote führt. 2. Die senkrechte Asymptote bei \(x = 5\) lässt sich durch den Nennerterm \((x - 5)\) realisieren. 3. Ein möglicher Ansatz in Summenform ist \(f(x) = -x + \frac{1}{x - 5}\). Hierbei divergiert der Term \(-x\) gegen \(-\infty\) und der Bruchterm gegen \(0\). 4. Umformung in die Form \(\frac{p(x)}{q(x)}\): \(f(x) = \frac{-x(x - 5) + 1}{x - 5} = \frac{-x^2 + 5x + 1}{x - 5}\). 5. Überprüfung: Der Nenner hat bei \(x = 5\) eine Nullstelle, der Zähler hingegen nicht (\(-5^2 + 5 \cdot 5 + 1 = 1 \neq 0\)), womit die senkrechte Asymptote bestätigt ist.

Eine mögliche Funktion ist \(f(x) = \frac{-x^2 + 5x + 1}{x - 5}\).

- Welche Information über den Nenner erhältst du aus den senkrechten Asymptoten? - Was bedeutet eine waagrechte Asymptote für das Verhältnis der Grade von Zähler- und Nennerpolynom? - Wie nutzt du den Punkt \((0 \mid 0)\), um eine Unbekannte im Zähler zu bestimmen? - Achte darauf, dass die Polstellen tatsächlich „echte“ Pole sind und keine hebbaren Definitionslücken.

1. Da \(x = -1\) und \(x = 2\) senkrechte Asymptoten sind, muss der Nenner \(q(x)\) die Faktoren \((x + 1)\) und \((x - 2)\) enthalten. Ein möglicher Nenner ist \(q(x) = (x + 1)(x - 2) = x^2 - x - 2\). 2. Für eine waagrechte Asymptote bei \(y = 1{,}5\) müssen Zähler und Nenner den gleichen Grad besitzen. Das Verhältnis der Leitkoeffizienten muss \(1{,}5\) ergeben. Der Zähler hat also die Form \(p(x) = 1{,}5x^2 + bx + c\). 3. Da der Graph durch den Koordinatenursprung \((0 \mid 0)\) verläuft, muss \(f(0) = 0\) gelten. Daraus folgt \(p(0) = 0\), also \(c = 0\). 4. Mit der Wahl \(b = 0\) ergibt sich der Zähler \(p(x) = 1{,}5x^2\). 5. Der Funktionsterm lautet somit \(f(x) = \frac{1{,}5x^2}{x^2 - x - 2}\). 6. Eine Überprüfung zeigt, dass die Zählernullstelle \(x = 0\) nicht mit den Nennernullstellen identisch ist, sodass die senkrechten Asymptoten erhalten bleiben.

Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x) = \frac{1{,}5x^2}{x^2 - x - 2}\).

- Wenn der Grad des Zählers genau um eins größer ist als der Grad des Nenners, gibt es eine schräge Asymptote. - Wie kannst du einen unecht gebrochen-rationalen Term in einen ganzrationalen Teil und einen echt gebrochen-rationalen Restterm zerlegen? - Was passiert mit dem Restterm der Division, wenn \(x\) gegen Unendlich strebt?

1. Durchführung der Polynomdivision: \((2x^2 - 5x + 1) : (x - 2)\). 2. Erster Schritt: \(2x^2 : x = 2x\). Multiplikation: \(2x \cdot (x - 2) = 2x^2 - 4x\). Subtraktion: \((2x^2 - 5x + 1) - (2x^2 - 4x) = -x + 1\). 3. Zweiter Schritt: \(-x : x = -1\). Multiplikation: \(-1 \cdot (x - 2) = -x + 2\). Subtraktion: \((-x + 1) - (-x + 2) = -1\). 4. Das Ergebnis der Division ist \(2x - 1\) mit dem Rest \(-1\), also \(k(x) = 2x - 1 - \frac{1}{x-2}\). 5. Für \(x \to \pm \infty\) geht der Restterm \(\frac{1}{x-2}\) gegen \(0\). Die Funktion nähert sich somit der Geraden \(y = 2x - 1\) an.

\(k(x) = 2x - 1 - \frac{1}{x-2}\). Für \(x \to \pm \infty\) nähert sich der Graph der Geraden \(y = 2x - 1\) an. Die schräge Asymptote hat die Gleichung \(y = 2x - 1\).

- Wie lässt sich der Funktionsterm vereinfachen, wenn du jedes Element des Zählers durch \(x\) dividierst? - Erinnerst du dich, wie man prüft, ob zwei Funktionsgraphen gemeinsame Punkte haben? - Kann ein Bruch der Form \(\frac{k}{x}\) mit \(k \neq 0\) jemals null werden?

1. Umformung durch Division: \(g(x) = \frac{-x^2}{x} + \frac{6x}{x} + \frac{4}{x} = -x + 6 + \frac{4}{x}\). 2. Bestimmung der Asymptote: Der lineare Anteil liefert die schräge Asymptote \(a\) mit \(a(x) = -x + 6\). 3. Untersuchung auf Schnittpunkte: Ansatz \(g(x) = a(x)\) führt zu \(-x + 6 + \frac{4}{x} = -x + 6\). 4. Vereinfachung der Gleichung: \(\frac{4}{x} = 0\). Diese Gleichung besitzt keine Lösung, da ein Bruch mit konstantem Zähler ungleich null niemals den Wert null annimmt. 5. Ergebnis: Es gibt keine Schnittpunkte zwischen dem Graphen und seiner schrägen Asymptote.

a) \(g(x) = -x + 6 + \frac{4}{x}\); Asymptote \(a(x) = -x + 6\) b) Es gibt keine Schnittpunkte, da die Gleichung \(\frac{4}{x} = 0\) nicht lösbar ist.

- Wie lässt sich ein Bruchterm mit einem Zählergrad, der um eins größer als der Nennergrad ist, in eine Summe aus einer linearen Funktion und einem Restterm zerlegen? - Was passiert mit dem Restterm, wenn die \(x\)-Werte immer größer werden? - Welches Vorzeichen hat der Restterm für sehr große positive \(x\)-Werte?

1. Zur Bestimmung der schrägen Asymptote wird eine Polynomdivision durchgeführt: \((x^2 - 4x + 5) : (x - 3) = x - 1 + \frac{2}{x - 3}\). Die Gleichung der schrägen Asymptote lautet somit \(y = x - 1\). 2. Für das Verhalten relativ zur Asymptote wird der Restterm \(r(x) = \frac{2}{x - 3}\) betrachtet. Für sehr große positive Werte von \(x\) (also \(x \to \infty\)) ist der Nenner \(x - 3\) positiv. Da auch der Zähler \(2\) positiv ist, gilt \(r(x) > 0\). Somit verläuft der Graph von \(f\) für \(x \to \infty\) oberhalb der schrägen Asymptote.

1. Die schräge Asymptote hat die Gleichung \(y = x - 1\). 2. Da der Restterm \(\frac{2}{x-3}\) für \(x \to \infty\) positiv ist, verläuft der Graph oberhalb der Asymptote.

- Führe die Division des Zählers durch den Nenner vollständig durch. - Reicht der Vergleich der führenden Terme aus, um eine ganze Geradengleichung \(y = mx + n\) zu bestimmen? - Welche Information fehlt in der Argumentation des Schülers?

1. Durchführung der Polynomdivision: \((-2x^2 + 3) : (x + 1) = -2x + 2 + \frac{1}{x + 1}\). Die Rechnung im Detail: \(-2x(x+1) = -2x^2 - 2x\); Subtraktion ergibt \(2x + 3\); \(2(x+1) = 2x + 2\); Subtraktion ergibt den Rest \(1\). 2. Die Argumentation des Schülers ist unvollständig, da der Koeffizientenvergleich der höchsten Potenzen lediglich die Steigung \(m = -2\) der Asymptote liefert, aber den konstanten Anteil \(b\), der durch die Division entsteht, vernachlässigt. Die korrekte Gleichung der schrägen Asymptote lautet \(y = -2x + 2\).

Die Behauptung ist falsch. Die Polynomdivision ergibt \(g(x) = -2x + 2 + \frac{1}{x+1}\). Der Schüler hat nur die Steigung korrekt bestimmt, aber den konstanten Teil \(+2\) übersehen. Die richtige Asymptotengleichung ist \(y = -2x + 2\).

- Setze die gegebenen Werte für die Variable in die Funktionsgleichung ein. - Um herauszufinden, ab wann ein Wert unterschritten wird, kannst du eine Ungleichung aufstellen und nach der Unbekannten auflösen. - Überlege bei der Anzahl von Objekten, ob das Ergebnis eine ganze Zahl sein muss. - Schau dir für den Grenzwert im Unendlichen die Koeffizienten vor der höchsten Potenz von \(x\) im Zähler und Nenner an. - Was bedeutet es für den Graphen und die reale Situation, wenn sich die Werte einem festen Betrag annähern, diesen aber nie ganz erreichen?

1. Berechnung der Funktionswerte: \(B(20) = \frac{180 \cdot 20 + 2400}{0{,}6 \cdot 20 + 5} = \frac{6000}{17} \approx 352{,}94\,\text{€}\); \(B(100) = \frac{180 \cdot 100 + 2400}{0{,}6 \cdot 100 + 5} = \frac{20\,400}{65} \approx 313{,}85\,\text{€}\); \(B(500) = \frac{180 \cdot 500 + 2400}{0{,}6 \cdot 500 + 5} = \frac{92\,400}{305} \approx 302{,}95\,\text{€}\). Die Kosten pro Server sinken mit steigender Anzahl der Server. 2. Lösen der Ungleichung \(B(x) < 320\): \(\frac{180x + 2400}{0{,}6x + 5} < 320 \implies 180x + 2400 < 320(0{,}6x + 5) \implies 180x + 2400 < 192x + 1600 \implies 800 < 12x \implies x > 66{,}\overline{6}\). Da \(x\) ganzzahlig sein muss, sinken die Kosten ab \(67\) Servern unter \(320\,\text{€}\). 3. Grenzwertbestimmung: Da Zähler- und Nennergrad gleich sind, ergibt sich der Grenzwert aus dem Quotienten der Koeffizienten der höchsten Potenzen: \(\lim_{x \to \infty} \frac{180x + 2400}{0{,}6x + 5} = \frac{180}{0{,}6} = 300\). Die waagrechte Asymptote liegt bei \(y = 300\). Dies bedeutet, dass die Kosten pro Server im Modell langfristig nicht unter \(300\,\text{€}\) sinken können; der Wert beschreibt die langfristige Untergrenze der Durchschnittskosten.

a) \(B(20) \approx 352{,}94\,\text{€}\); \(B(100) \approx 313{,}85\,\text{€}\); \(B(500) \approx 302{,}95\,\text{€}\). Die Kosten pro Server nehmen bei steigender Serveranzahl ab. b) Ab einer Anzahl von \(67\) Servern. c) Der Grenzwert beträgt \(300\). Die Kosten pro Server nähern sich für sehr große Serverzahlen dem Wert von \(300\,\text{€}\) an, unterschreiten diesen jedoch nie.

- Achte genau auf die Einheiten im Text, bevor du Werte in die Gleichung einsetzt oder Ergebnisse interpretierst. - Wie berechnet man den Wert zu Beginn eines Zeitraums? - Um einen Zeitpunkt für einen bestimmten Bestand zu finden, musst du die Funktionsgleichung mit dem Zielwert gleichsetzen. - Erinnere dich an die Regel für Grenzwerte bei gebrochen-rationalen Funktionen, wenn der Zähler- und Nennergrad identisch sind. - Was sagt eine waagrechte Schranke über das langfristige Wachstum in einem begrenzten Lebensraum aus?

1. Anfangsbestand: \(N(0) = \frac{120 \cdot 0 + 50}{2 \cdot 0 + 5} = \frac{50}{5} = 10\). Da die Einheit „in Hundertern“ ist, entspricht dies \(10 \cdot 100 = 1000\) Tieren. 2. Zeitpunkt für \(5500\) Tiere: Da \(5500\) Tiere \(55\) Hundertern entsprechen, wird \(N(t) = 55\) gesetzt. \(\frac{120t + 50}{2t + 5} = 55 \implies 120t + 50 = 55(2t + 5) \implies 120t + 50 = 110t + 275 \implies 10t = 225 \implies t = 22{,}5\). Nach \(22{,}5\) Jahren sind es \(5500\) Tiere. 3. Grenzwert und Asymptote: \(\lim_{t \to \infty} \frac{120t + 50}{2t + 5} = \frac{120}{2} = 60\). Die waagrechte Asymptote lautet \(y = 60\). Dies bedeutet, dass die Population langfristig gegen \(6000\) Tiere strebt, was der maximalen Kapazität des Reservats entspricht.

a) Der Anfangsbestand beträgt \(1000\) Tiere (\(N(0) = 10\)). b) Nach \(22{,}5\) Jahren. c) Die waagrechte Asymptote ist \(y = 60\). Langfristig nähert sich die Population der Kapazitätsgrenze von \(6000\) Tieren an.

- Wie berechnet man den Durchschnittswert, wenn man die Gesamtkosten und die Anzahl kennt? - Überlege dir, welche Werte für die Anzahl der produzierten Gegenstände mathematisch und praktisch möglich sind. - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner immer größer wird? - Setze die Funktionsgleichung mit dem Zielwert gleich und löse nach der unbekannten Menge auf.

1. Aufstellen der Gesamtkostenfunktion: \(K(x) = 3{,}5x + 1200\). 2. Bildung der Durchschnittskostenfunktion: \(k(x) = \frac{K(x)}{x} = \frac{3{,}5x + 1200}{x} = 3{,}5 + \frac{1200}{x}\). 3. Definitionsmenge im Sachzusammenhang: \(D_k = \mathbb{N} \setminus \{0\}\) (bzw. \(x > 0\)). 4. Grenzwertbetrachtung: \(\lim_{x \to \infty} (3{,}5 + \frac{1200}{x}) = 3{,}5\). Die waagrechte Asymptote lautet \(y = 3{,}5\). 5. Interpretation: Bei sehr hohen Produktionsmengen nähern sich die Durchschnittskosten den variablen Stückkosten von \(3{,}50\,\text{€}\) an, da die Fixkosten pro Stück vernachlässigbar klein werden. 6. Berechnung der Stückzahl: Ansatz \(k(x) < 4 \Rightarrow 3{,}5 + \frac{1200}{x} < 4\). 7. Umformung: \(\frac{1200}{x} < 0{,}5 \Rightarrow x > \frac{1200}{0{,}5} \Rightarrow x > 2\,400\). Ab einer Stückzahl von \(2\,401\) Hüllen liegen die Kosten unter \(4{,}00\,\text{€}\).

a) \(k(x) = \frac{3{,}5x + 1200}{x}\) mit \(D_k = \mathbb{N} \setminus \{0\}\) b) Waagrechte Asymptote \(y = 3{,}5\). Die Durchschnittskosten nähern sich für sehr große Produktionsmengen den variablen Kosten von \(3{,}50\,\text{€}\) pro Stück an. c) Ab einer Stückzahl von \(2\,401\) Hüllen.

- Welchen Wert hat die Zeitvariable genau zu Beginn einer Messung? - Vergleiche die höchsten Potenzen von Zähler und Nenner, um das Verhalten im Unendlichen zu bestimmen. - Was bedeutet es für den Verlauf eines Wertes, wenn er sich einer waagrechten Linie annähert? - Wann wird der Nenner eines Bruches Null? Ist dieser Wert für eine Zeitangabe sinnvoll?

1. Anfangskonzentration: \(c(0) = \frac{40 \cdot 0 + 100}{0 + 5} = \frac{100}{5} = 20\,\text{mg/l}\). 2. Grenzwert für \(t \to \infty\): Durch Ausklammern von \(t\) oder Anwendung der Regel für Grenzwerte rationaler Funktionen (Koeffizientenvergleich der höchsten Potenzen) ergibt sich \(\lim_{t \to \infty} \frac{40t + 100}{t + 5} = 40\). 3. Waagrechte Asymptote: \(y = 40\). Interpretation: Langfristig stellt sich eine Sättigungskonzentration von \(40\,\text{mg/l}\) ein. 4. Zeitpunkt berechnen: Ansatz \(\frac{40t + 100}{t + 5} = 35\). 5. Lösung: \(40t + 100 = 35(t + 5) \Rightarrow 40t + 100 = 35t + 175 \Rightarrow 5t = 75 \Rightarrow t = 15\). Nach \(15\,\text{Minuten}\) beträgt die Konzentration \(35\,\text{mg/l}\). 6. Polstelle: Nenner null setzen: \(t + 5 = 0 \Rightarrow t = -5\). Da die Zeit \(t\) im Sachzusammenhang nicht negativ sein kann (\(t \geq 0\)), liegt die Polstelle außerhalb der Definitionsmenge.

a) \(20\,\text{mg/l}\) b) Waagrechte Asymptote \(y = 40\). Die Konzentration nähert sich langfristig dem Grenzwert von \(40\,\text{mg/l}\) an. c) Nach \(15\,\text{Minuten}\). d) Polstelle bei \(t = -5\). Sie ist nicht relevant, da die Zeit \(t\) nur für Werte \(\geq 0\) definiert ist.

- Erinnere dich an die Polynomdivision, um eine gebrochen-rationale Funktion in einen ganzrationalen Teil und einen Restbruch zu zerlegen. - Welcher Teil des Funktionsterms bestimmt das Verhalten im Unendlichen? - Was bedeutet es für die Lage des Graphen, wenn die Differenz zwischen Funktion und Asymptote niemals Null wird? - Prüfe das Vorzeichen des Restbruchs in den verschiedenen Bereichen des Definitionsbereichs.

1. Bestimmung der schrägen Asymptote durch Polynomdivision oder Zerlegung: \(\frac{x^2 - 4x + 7}{x-4} = \frac{x(x-4) + 7}{x-4} = x + \frac{7}{x-4}\). Die Gleichung der schrägen Asymptote lautet somit \(a(x) = x\). 2. Untersuchung auf Schnittpunkte durch Gleichsetzen von Funktions- und Asymptotenterm: \(x + \frac{7}{x-4} = x\). 3. Vereinfachung der Gleichung durch Subtraktion von \(x\): \(\frac{7}{x-4} = 0\). 4. Da der Zähler \(7\) konstant und ungleich null ist, besitzt diese Gleichung keine Lösung. Es gibt keine Schnittpunkte zwischen \(G_h\) und \(a\). 5. Deutung: Der Graph \(G_h\) nähert sich für \(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\) der Geraden \(y = x\) an, verläuft aber für alle \(x > 4\) echt oberhalb (\(h(x) - a(x) > 0\)) und für alle \(x < 4\) echt unterhalb (\(h(x) - a(x) < 0\)) der Asymptote.

Die schräge Asymptote hat die Gleichung \(a(x) = x\). Die Schnittpunktgleichung \(\frac{7}{x-4} = 0\) hat keine Lösung, sodass kein Schnittpunkt existiert. Dies bedeutet, dass der Graph der Asymptote zwar beliebig nahe kommt, sie aber nie erreicht; er verläuft für \(x > 4\) stets oberhalb und für \(x < 4\) stets unterhalb der Geraden \(y = x\).

- Eine schräge Asymptote tritt auf, wenn der Funktionsterm in einen linearen Teil und einen Restterm zerlegt werden kann, der für große \(x\) gegen Null geht. - Bei Brüchen, bei denen der Zählergrad genau um 1 größer ist als der Nennergrad, hilft oft die Polynomdivision. - Manchmal kann man einen Bruch auch einfach aufteilen (gliedweise dividieren), um die Geradengleichung zu finden. - Was bleibt übrig, wenn du den Teil ignorierst, der für \(x \to \infty\) verschwindet?

1. Analyse von \(g_1(x)\): Die Funktion liegt bereits in der Form \(p(x) + r(x)\) vor, wobei \(r(x) = \frac{5}{x+3}\) für \(x \to \pm \infty\) gegen \(0\) strebt. Die schräge Asymptote ist somit \(y = x - 2\). 2. Analyse von \(g_2(x)\) durch gliedweises Dividieren: \(\frac{x^2}{x} - \frac{2x}{x} + \frac{1}{x} = x - 2 + \frac{1}{x}\). Da \(\frac{1}{x} \to 0\), ist die Asymptote \(y = x - 2\). 3. Analyse von \(g_3(x)\) durch gliedweises Dividieren: \(\frac{2x^2}{2x} - \frac{4x}{2x} + \frac{3}{2x} = x - 2 + \frac{1{,}5}{x}\). Da \(\frac{1{,}5}{x} \to 0\), ist die Asymptote \(y = x - 2\). 4. Analyse von \(g_4(x)\) mittels Polynomdivision: \((x^2 + 1) : (x + 2) = x - 2\) Rest \(5\), also \(g_4(x) = x - 2 + \frac{5}{x+2}\). Da der Restterm gegen \(0\) strebt, ist die Asymptote \(y = x - 2\). 5. Ergebnis: Alle Funktionen haben die schräge Asymptote mit der Gleichung \(y = x - 2\).

Alle Funktionen haben die schräge Asymptote mit der Gleichung \(y = x - 2\).

- Was passiert mit einem Bruch, dessen Nenner immer größer wird, während der Zähler konstant bleibt? - Kannst du die höchste vorkommende Potenz von \( x \) im Zähler und Nenner ausklammern? - Welche Bestandteile des Terms werden vernachlässigbar klein, wenn \( x \) gegen unendlich strebt? - Vergleiche die Grade der Polynome im Zähler und im Nenner.

1. Für die Funktion \( f \) wird die höchste Potenz \( x^2 \) im Zähler und Nenner ausgeklammert: \( f(x) = \frac{x^2 \cdot (10 - \frac{4}{x})}{x^2 \cdot (2 + \frac{7}{x^2})} = \frac{10 - \frac{4}{x}}{2 + \frac{7}{x^2}} \) für \( x \neq 0 \). Da die Terme \( \frac{4}{x} \) und \( \frac{7}{x^2} \) für \( x \to \pm \infty \) gegen \( 0 \) streben, ergibt sich der Grenzwert \( \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \frac{10}{2} = 5 \). Die waagrechte Asymptote hat die Gleichung \( y = 5 \). 2. Für die Funktion \( g \) wird ebenfalls die höchste Nennerpotenz ausgeklammert: \( g(x) = \frac{x \cdot (3 + \frac{5}{x})}{x^2 \cdot (1 - \frac{4}{x^2})} = \frac{3 + \frac{5}{x}}{x \cdot (1 - \frac{4}{x^2})} \) für \( x \neq 0 \). Da der Grad des Nenners größer als der des Zählers ist, strebt der gesamte Ausdruck für \( x \to \pm \infty \) gegen \( 0 \). Die waagrechte Asymptote ist somit die \( x \)-Achse mit der Gleichung \( y = 0 \).

a) \( \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 5 \); waagrechte Asymptote: \( y = 5 \) b) \( \lim_{x \to \pm \infty} g(x) = 0 \); waagrechte Asymptote: \( y = 0 \)

- Welche \( x \)-Werte dürfen nicht in die Funktion eingesetzt werden? - Wenn der Grad des Zählers größer ist als der des Nenners, kannst du eine Polynomdivision durchführen. - Was bleibt vom Funktionsterm übrig, wenn man den Teil ignoriert, der für sehr große \( x \)-Werte gegen null geht?

1. Die senkrechte Asymptote ergibt sich aus der Definitionslücke. Der Nenner wird für \( x = 2 \) null. Da der Zähler an dieser Stelle \( 2^2 - 3 \cdot 2 + 5 = 3 \neq 0 \) ist, ist \( x = 2 \) die Gleichung der senkrechten Asymptote. 2. Da der Grad des Zählers genau um eins größer ist als der Grad des Nenners, besitzt der Graph eine schräge Asymptote. Diese wird durch Polynomdivision bestimmt: \( (x^2 - 3x + 5) : (x - 2) = x - 1 + \frac{3}{x - 2} \). 3. Für \( x \to \pm \infty \) geht der Restterm \( \frac{3}{x - 2} \) gegen null. Der lineare Anteil der Division liefert die Gleichung der schrägen Asymptote: \( y = x - 1 \).

Senkrechte Asymptote: \( x = 2 \) Schräge Asymptote: \( y = x - 1 \)

- Wann ist ein Bruch mathematisch nicht definiert? - Wie verhält sich der Funktionsterm für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte? Eine Polynomdivision kann hier helfen. - Welche Art von Asymptote entsteht, wenn der Grad des Zählers genau um eins größer ist als der Grad des Nenners? - Setze für die Berechnung des Funktionswerts einfach die gegebene Zahl für die Variable ein.

1. Definitionsmenge bestimmen: Der Nenner darf nicht null werden. Aus \(x - 2 = 0\) folgt \(x = 2\). Somit ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}\). 2. Senkrechte Asymptote: Da die Definitionslücke \(x = 2\) keine Nullstelle des Zählers ist (\(2^2 - 3 \cdot 2 = -2 \neq 0\)), liegt eine Polstelle vor. Die Gleichung der senkrechten Asymptote lautet \(x = 2\). 3. Schräge Asymptote: Durch Polynomdivision ergibt sich \((x^2 - 3x) : (x - 2) = x - 1 - \frac{2}{x - 2}\). Für \(x \to \pm \infty\) nähert sich der Graph der Geraden mit der Gleichung \(y = x - 1\) an. 4. Funktionswert berechnen: \(f(4) = \frac{4^2 - 3 \cdot 4}{4 - 2} = \frac{16 - 12}{2} = \frac{4}{2} = 2\).

a) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}\) b) Senkrechte Asymptote: \(x = 2\); schräge Asymptote: \(y = x - 1\) c) \(f(4) = 2\)

- Untersuche zuerst die Stellen, für die die Funktion nicht definiert ist. - Vergleiche die Grade des Zähler- und des Nennerpolynoms, um den Typ der Asymptote (waagrecht oder schräg) zu bestimmen. - Erinnere dich an ein Rechenverfahren, mit dem man einen unecht gebrochen-rationalen Term in einen ganzrationalen Teil und einen Rest aufteilen kann. - Was bleibt vom Funktionsterm übrig, wenn man den Anteil betrachtet, der für sehr große \(x\) gegen null geht?

1. Bestimmung der senkrechten Asymptote: Der Nenner \(x + 2\) wird für \(x = -2\) null. Da der Zähler an dieser Stelle den Wert \(2 \cdot (-2)^2 + 5 \cdot (-2) - 1 = -3 \neq 0\) annimmt, liegt eine Polstelle vor. Die Gleichung der senkrechten Asymptote lautet \(x = -2\). 2. Bestimmung der schrägen Asymptote: Da der Grad des Zählerpolynoms um genau eins größer ist als der des Nennerpolynoms, wird eine Polynomdivision durchgeführt. 3. Ausführung der Division: \((2x^2 + 5x - 1) : (x + 2) = 2x + 1\) mit dem Rest \(-3\). 4. Zerlegung des Terms: Es gilt \(h(x) = 2x + 1 - \frac{3}{x + 2}\). Da der echte Bruchterm für \(|x| \to \infty\) gegen null strebt, nähert sich der Graph der Geraden mit der Gleichung \(y = 2x + 1\) an.

Senkrechte Asymptote: \(x = -2\); schräge Asymptote: \(y = 2x + 1\)

- Was passiert mit dem Funktionswert, wenn der Nenner gegen Null geht? - Vergleiche den Grad des Zählerpolynoms mit dem Grad des Nennerpolynoms. - Kannst du den Funktionsterm mithilfe einer Division in einen ganzrationalen Teil und einen Restbruch zerlegen? - Welcher Teil des Terms bestimmt das Verhalten der Funktion für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte?

1. Bestimmung der senkrechten Asymptote: Die Nullstelle des Nenners liegt bei \(x = -1\). Da der Zähler an dieser Stelle den Wert \(2(-1)^2 + 1 = 3 \neq 0\) annimmt, liegt eine Polstelle vor. Die Gleichung der senkrechten Asymptote lautet somit \(x = -1\). 2. Bestimmung der schrägen Asymptote: Da der Grad des Zählers genau um 1 größer ist als der Grad des Nenners, existiert eine schräge Asymptote. Diese wird durch Polynomdivision ermittelt: \((2x^2 + 0x + 1) : (x + 1) = 2x - 2 + \frac{3}{x + 1}\). 3. Für \(x \to \pm \infty\) nähert sich der Funktionsterm dem linearen Anteil an. Die Gleichung der schrägen Asymptote lautet \(y = 2x - 2\).

Senkrechte Asymptote: \(x = -1\) Schräge Asymptote: \(y = 2x - 2\)

- Untersuche für jede Aussage die betreffende Funktion einzeln. - Wie findet man senkrechte Asymptoten bei gebrochen-rationalen Funktionen? Achte auf die Definitionslücken. - Wann genau entsteht eine schräge Asymptote? - Prüfe die Grenzwerte für \(x \to \infty\) sorgfältig durch Vergleich der Leitkoeffizienten oder durch Überlegen, welcher Teil des Terms dominiert.

1. Aussage a: Der Zählergrad von \(h\) ist 1, der Nennergrad ist 2. Da \(1 < 2\), ist \(\lim_{x \to \infty} h(x) = 0\). Die x-Achse (\(y=0\)) ist die waagrechte Asymptote. Die Aussage ist wahr. 2. Aussage b: Mittels Polynomdivision gilt \((x^2 + 1) : (x - 1) = x + 1 + \frac{2}{x - 1}\). Der lineare Anteil \(y = x + 1\) ist die schräge Asymptote. Die Aussage ist wahr. 3. Aussage c: Für \(f\): Eine senkrechte Asymptote bei \(x = -3\) (Nullstelle des Nenners, keine des Zählers) und eine waagrechte bei \(y = -2\) (da \(n=m=1\)). Insgesamt 2 Asymptoten. Für \(h\): Keine senkrechte Asymptote (da \(x^2 + 2 > 0\)) und eine waagrechte bei \(y = 0\). Insgesamt 1 Asymptote. Die Aussage ist falsch. 4. Aussage d: \(\lim_{x \to \infty} f(x) = -2\), \(g(x) \to +\infty\) für \(x \to \infty\) (kein endlicher reeller Grenzwert), \(\lim_{x \to \infty} h(x) = 0\). Das Grenzverhalten ist verschieden. Die Aussage ist falsch.

a) Wahr b) Wahr c) Falsch (\(f\) hat zwei, \(h\) hat eine Asymptote) d) Falsch (für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to -2\), \(g(x) \to +\infty\) und \(h(x) \to 0\))

- Wie muss die Potenz im Nenner beschaffen sein, damit an einer Polstelle kein Vorzeichenwechsel auftritt? - Wie kannst du eine waagrechte Asymptote \(y = c\) direkt in einen Funktionsterm der Form \(f(x) = c + \dots\) einbauen? - Hast du eine Idee, wie du die Information über den Punkt \(P(2 \mid 2)\) nutzen kannst, um einen noch unbekannten Parameter im Term zu berechnen? - Überprüfe am Ende, ob deine Funktion für \(x = 0\) tatsächlich eine Polstelle hat (Zähler darf dort nicht null sein).

1. Festlegung des Nenners: Eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei \(x = 0\) erfordert einen Faktor \(x^n\) im Nenner, wobei \(n\) eine gerade natürliche Zahl sein muss. Wir wählen \(x^2\). 2. Ansatz für die waagrechte Asymptote: Damit \(y = 1\) die waagrechte Asymptote ist, wählen wir den Ansatz \(h(x) = 1 + \frac{a}{x^2}\). Dies stellt sicher, dass der Grenzwert für \(x \to \infty\) den Wert \(1\) ergibt und der Nennergrad gleich dem Zählergrad ist. 3. Bestimmung des Parameters \(a\): Einsetzen der Koordinaten des Punktes \(P(2 \mid 2)\) in die Gleichung: \(2 = 1 + \frac{a}{2^2}\). Daraus folgt \(1 = \frac{a}{4}\), also \(a = 4\). 4. Aufstellen des fertigen Terms: Durch Einsetzen von \(a = 4\) in den Ansatz erhält man \(h(x) = 1 + \frac{4}{x^2}\). Dies kann zu \(h(x) = \frac{x^2 + 4}{x^2}\) zusammengefasst werden.

\(h(x) = \frac{x^2 + 4}{x^2}\)

- Welches der beiden Polynome „wächst“ schneller, wenn \( x \) sehr groß wird? - Wie kannst du einen unecht gebrochen-rationalen Term in einen ganzrationalen Teil und einen echt gebrochen-rationalen Teil zerlegen? - Welches Verfahren kennst du, um Brüche von Polynomen zu vereinfachen? - Wie verhält sich der Restterm nach einer Division, wenn \( x \) gegen unendlich geht?

1. Da der Grad des Zählers (2) um genau eins größer ist als der Grad des Nenners (1), strebt die Funktion für \( x \to \infty \) gegen \( \infty \) und für \( x \to -\infty \) gegen \( -\infty \). Dies liegt daran, dass das Verhalten für große \( x \) durch den Quotienten der Leitteile \( \frac{0{,}5x^2}{x} = 0{,}5x \) bestimmt wird. 2. Zur Bestimmung der schrägen Asymptote wird eine Polynomdivision durchgeführt: \( (0{,}5x^2 + 2x - 1) : (x - 2) = 0{,}5x + 3 \) Rest \( 5 \). Damit lässt sich die Funktion schreiben als \( k(x) = 0{,}5x + 3 + \frac{5}{x - 2} \). Da der Restterm \( \frac{5}{x - 2} \) für \( x \to \pm \infty \) gegen \( 0 \) strebt, nähert sich der Graph der Geraden \( y = 0{,}5x + 3 \) an. Dies ist die Gleichung der schrägen Asymptote.

1. \( \lim_{x \to \infty} k(x) = \infty \) und \( \lim_{x \to -\infty} k(x) = -\infty \) 2. Schräge Asymptote: \( y = 0{,}5x + 3 \)