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- Prüfe, ob der Nenner für irgendein reelles \(x\) den Wert Null annehmen kann. - Erinnere dich an die Bedingungen für Achsen- oder Punktsymmetrie. - Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse findest du durch Nullsetzen des Zählers. - Wie verhält sich der Bruch, wenn \(x\) sehr groß wird? Dividiere Zähler und Nenner durch die höchste vorkommende Potenz.

1. Da \(x^2 + 2 \geq 2\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), wird der Nenner nie Null. Somit ist \(D_k = \mathbb{R}\). Wegen \(k(-x) = \frac{2(-x)^2 - 18}{(-x)^2 + 2} = k(x)\) liegt Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse vor. 2. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(k(0) = \frac{2 \cdot 0^2 - 18}{0^2 + 2} = -9\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid -9)\). Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse (Nullstellen): \(2x^2 - 18 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3\). Die Schnittpunkte sind \(N_1(-3 \mid 0)\) und \(N_2(3 \mid 0)\). 3. Für den Grenzwert im Unendlichen betrachten wir das Verhältnis der Leitkoeffizienten: \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x^2 - 18}{x^2 + 2} = 2\). Die waagrechte Asymptote ist \(y = 2\). 4. Berechnung der Werte: \(k(1) = \frac{2 \cdot 1^2 - 18}{1^2 + 2} = \frac{-16}{3} = -5\frac{1}{3}\). \(k(4) = \frac{2 \cdot 4^2 - 18}{4^2 + 2} = \frac{32 - 18}{16 + 2} = \frac{14}{18} = \frac{7}{9}\).

a) \(D_k = \mathbb{R}\); Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse. b) \(S_y(0 \mid -9)\), \(N_1(-3 \mid 0)\), \(N_2(3 \mid 0)\). c) \(\lim_{x \to \pm \infty} k(x) = 2\). d) \(k(1) = -\frac{16}{3}\); \(k(4) = \frac{7}{9}\).

- Überlege, was passiert, wenn du \(x\) durch \(-x\) ersetzt. Ändert sich der Term? - Setze die gegebenen Zahlen einfach für die Variable im Funktionsterm ein. - Was passiert mit dem Wert eines Bruchs, wenn der Nenner immer größer wird, während der Zähler gleich bleibt? - Wann genau ist ein Bruch gleich Null? Schau dir den Zähler an.

1. Symmetrieuntersuchung durch Einsetzen von \(-x\): \(f(-x) = \frac{12}{(-x)^2 + 3} = \frac{12}{x^2 + 3} = f(x)\). Da \(f(-x) = f(x)\) gilt, ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Berechnung der Funktionswerte: \(f(-3) = \frac{12}{(-3)^2 + 3} = \frac{12}{12} = 1\); \(f(0) = \frac{12}{0 + 3} = 4\); \(f(3) = \frac{12}{3^2 + 3} = \frac{12}{12} = 1\). 3. Grenzwertbetrachtung: Da der Grad des Nennerpolynoms (\(2\)) größer ist als der Grad des Zählerpolynoms (\(0\)), gilt \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 0\). Die waagerechte Asymptote hat die Gleichung \(y = 0\). 4. Ein Bruch wird nur dann Null, wenn der Zähler Null wird. Da der Zähler hier die Konstante \(12\) ist (\(12 \neq 0\)), hat die Funktion keine Nullstellen.

a) Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, da \(f(-x) = f(x)\). b) \(f(-3) = 1\), \(f(0) = 4\), \(f(3) = 1\). c) Für \(x \to \pm\infty\) gilt \(f(x) \to 0\). Die waagerechte Asymptote ist \(y = 0\). d) Da der Zähler \(12\) konstant und ungleich Null ist, kann der Funktionswert niemals Null werden.

- Überlege dir, welches Vorzeichen Quadrate reeller Zahlen immer haben. - Was passiert mit einem Bruch, wenn im Zähler und Nenner derselbe Parameter als Faktor steht? - Erinnere dich an die Regel für Grenzwerte bei rationalen Funktionen, wenn der Grad des Zählers gleich dem Grad des Nenners ist.

1. Da \(t > 0\) vorausgesetzt ist, ist der Ausdruck \(x^2 + 2t\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) stets größer als Null (\(x^2 \ge 0\) und \(2t > 0\)). Der Nenner wird nie Null, daher ist \(D = \mathbb{R}\). 2. Für Nullstellen müsste der Zähler \(2x^2 + t = 0\) sein. Dies führt auf \(x^2 = -0{,}5t\). Da \(t > 0\), ist \(-0{,}5t < 0\), was für reelle \(x\) nicht lösbar ist. Es existieren keine Nullstellen. 3. Einsetzen von \(x = 0\) ergibt \(g_t(0) = \frac{2 \cdot 0^2 + t}{0^2 + 2t} = \frac{t}{2t} = \frac{1}{2} = 0{,}5\). Da sich \(t\) kürzt, ist der \(y\)-Abschnitt für alle \(t\) identisch. 4. Zur Bestimmung des Grenzwerts wird \(x^2\) ausgeklammert: \(g_t(x) = \frac{x^2(2 + \frac{t}{x^2})}{x^2(1 + \frac{2t}{x^2})} = \frac{2 + \frac{t}{x^2}}{1 + \frac{2t}{x^2}}\). 5. Für \(x \to \pm \infty\) gehen die Terme \(\frac{t}{x^2}\) und \(\frac{2t}{x^2}\) gegen Null. Es bleibt \(\lim_{x \to \pm \infty} g_t(x) = \frac{2}{1} = 2\). Da das Verhältnis der Koeffizienten der höchsten Potenzen (\(2x^2\) zu \(1x^2\)) unabhängig von \(t\) ist, ist der Grenzwert für alle \(t\) gleich.

a) Nenner \(x^2 + 2t > 0\) für alle \(x\), da \(t > 0\). Zähler \(2x^2 + t > 0\), daher keine Nullstellen. b) \(g_t(0) = \frac{t}{2t} = 0{,}5\), unabhängig von \(t\). c) \(\lim_{x \to \pm \infty} g_t(x) = 2\). Der Grenzwert entspricht dem Verhältnis der Koeffizienten von \(x^2\), also \(\frac{2}{1}\), was unabhängig vom Parameter \(t\) ist.

- Welche Werte kann eine quadratische Funktion annehmen, wenn ihr Scheitelpunkt bekannt ist? - Erinnere dich an die Bedingung für Achsensymmetrie: \(f(-x) = f(x)\). - Wie verändert sich der Wert eines Bruchs, wenn man den kleinstmöglichen Wert für den Nenner einsetzt? - Was passiert mit dem Graphen von \(g\), wenn \(x\) sehr groß wird?

1. Der Graph von \(f\) ist eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt \(S(0 \mid 2)\). Da \(2\) der kleinste Funktionswert ist und die Parabel nach oben unbegrenzt ist, gilt \(W_f = [2; \infty[\). Für \(g(x) = \frac{1}{0{,}5x^2 + 2}\) ist der größte Funktionswert \(g(0) = \frac{1}{2} = 0{,}5\). Da der Nenner stets positiv ist und für \(x \to \pm \infty\) gegen unendlich strebt, nähert sich \(g(x)\) der Null an, erreicht sie aber nie. Somit gilt \(W_g = ]0; 0{,}5]\). 2. Es gilt \(f(-x) = 0{,}5(-x)^2 + 2 = 0{,}5x^2 + 2 = f(x)\). Damit ist \(G_f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Da \(g(x) = \frac{1}{f(x)}\) ist, gilt auch \(g(-x) = \frac{1}{f(-x)} = \frac{1}{f(x)} = g(x)\). Somit ist auch \(G_g\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. \(f\) besitzt ein globales Minimum an der Stelle \(x=0\) mit \(f(0)=2\). Da der Nenner von \(g\) an dieser Stelle minimal ist, besitzt \(g\) dort ein globales Maximum mit \(g(0)=0{,}5\). Die Extremstellen liegen also bei beiden Funktionen an der gleichen x-Position (\(x=0\)), aber die Art des Extrempunktes kehrt sich um.

1. \(W_f = [2; \infty[\); \(W_g = ]0; 0{,}5]\). 2. Beide Graphen sind achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, da \(f(-x)=f(x)\) und somit auch \(g(-x)=g(x)\). 3. \(G_f\) hat einen Tiefpunkt bei \(T(0 \mid 2)\); \(G_g\) hat einen Hochpunkt bei \(H(0 \mid 0{,}5)\). Die Extremstelle ist identisch, die Art ist entgegengesetzt.

- Welchen mathematischen Ansatz wählt man, um gemeinsame Punkte von zwei Funktionen zu finden? - Wie lässt sich eine Gleichung mit einem Bruch vereinfachen? - Wenn du die x-Werte gefunden hast, wie erhältst du dann die vollständigen Koordinaten der Punkte? - Überprüfe, ob deine gefundenen x-Werte im Definitionsbereich der Funktionen liegen.

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(\frac{10}{x-3} = x\) 2. Multiplikation mit dem Nenner \((x-3)\) führt auf die Gleichung \(10 = x^2 - 3x\) (Bedingung \(x \neq 3\)) 3. Umformen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(x^2 - 3x - 10 = 0\) 4. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): \(x_{1,2} = \frac{3}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 10} = 1{,}5 \pm 3{,}5\). Daraus ergeben sich \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -2\) 5. Bestimmung der zugehörigen \(y\)-Koordinaten durch Einsetzen in \(g(x)\): \(y_1 = g(5) = 5\) und \(y_2 = g(-2) = -2\) 6. Angabe der Schnittpunkte: \(S_1(5 \mid 5)\) und \(S_2(-2 \mid -2)\)

Die Schnittpunkte der Graphen sind \(S_1(5 \mid 5)\) und \(S_2(-2 \mid -2)\).

- Kannst du den Parameter im Nenner ausklammern? - Erinnere dich an die Regeln für das Verhalten im Unendlichen bei rationalen Funktionen. - Wie hängen die Nullstellen des Nenners mit den senkrechten Asymptoten zusammen?

1. Definitionsmenge: \(kx^2 - 4k = 0 \Leftrightarrow k(x^2 - 4) = 0\). Da \(k \neq 0\), ist dies äquivalent zu \(x^2 - 4 = 0\), also \(x = \pm 2\). Somit ist \(D = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\) für alle \(k\). 2. Nullstelle: \(2x + 6 = 0 \Rightarrow x = -3\). Da \(-3 \in D\), ist \(x = -3\) die Nullstelle für alle \(k\). 3. Senkrechte Asymptoten: An den Stellen \(x = 2\) und \(x = -2\) liegen Polstellen vor, da der Zähler dort ungleich null ist (\(2(2)+6=10 \neq 0\) und \(2(-2)+6=2 \neq 0\)). Die Gleichungen sind \(x = 2\) und \(x = -2\). 4. Waagrechte Asymptote: Da der Grad des Zählers (\(1\)) kleiner als der Grad des Nenners (\(2\)) ist, gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} g_k(x) = 0\). Die waagrechte Asymptote ist \(y = 0\). Alle Asymptotengleichungen sind somit unabhängig von \(k\).

a) Die Definitionsmenge ist \(D = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\), da \(k\) als gemeinsamer Faktor im Nenner keinen Einfluss auf die Nullstellen des Nenners hat (\(k \neq 0\)). b) Die Nullstelle ist \(x = -3\). c) Senkrechte Asymptoten: \(x = 2\) und \(x = -2\); waagrechte Asymptote: \(y = 0\). Alle Gleichungen enthalten den Parameter \(k\) nicht.

- Kannst du den Bruch so aufteilen, dass du jeden Summanden im Zähler einzeln durch den Nenner teilst? - Was passiert mit den einzelnen Teilen des Terms, wenn \(x\) sehr groß wird? Welche Teile bleiben bedeutsam, welche werden vernachlässigbar klein? - Überlege dir, wie du den Abstand zwischen zwei Funktionswerten mathematisch ausdrücken kannst. - Schau dir das Vorzeichen der Differenz zwischen der Funktion und der Parabel an.

1. Durch gliedweise Division des Funktionsterms erhält man: \(f(x) = \frac{x^4}{x^2} - \frac{2x^2}{x^2} + \frac{5}{x^2} = x^2 - 2 + \frac{5}{x^2}\). Der ganzrationale Anteil liefert die Gleichung der Näherungsparabel \(p(x) = x^2 - 2\). 2. Die Differenzfunktion ist \(d(x) = f(x) - p(x) = \frac{5}{x^2}\). Es gilt der Grenzwert \(\lim_{x \to \pm \infty} d(x) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{5}{x^2} = 0\). Da der Grenzwert der Differenz Null ist, nähert sich der Graph von \(f\) der Parabel \(p\) beliebig nahe an. 3. Da der Term \(\frac{5}{x^2}\) für alle \(x \neq 0\) positiv ist (\(d(x) > 0\)), gilt stets \(f(x) > p(x)\). Der Graph von \(f\) verläuft somit im gesamten Definitionsbereich oberhalb der Parabel \(p\).

1. Die Gleichung der Parabel lautet \(p(x) = x^2 - 2\). 2. Der Nachweis erfolgt über den Grenzwert der Differenz: \(\lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - p(x)) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{5}{x^2} = 0\). 3. Der Graph von \(f\) verläuft oberhalb der Parabel \(p\), da \(d(x) = \frac{5}{x^2} > 0\) für alle \(x \in D_f\).

- Erinnere dich daran, dass Asymptoten Linien sind, an die sich der Graph für sehr große oder sehr kleine Werte (waagrecht) bzw. in der Nähe von Definitionslücken (senkrecht) annähert. - Um die Schnittpunkte mit den Achsen zu finden, überlege dir, welche Koordinate jeweils den Wert null annehmen muss. - Für den Grenzwert im Unendlichen kann es hilfreich sein, im Zähler und Nenner die höchste Potenz von \(x\) auszuklammern und zu kürzen.

1. **Asymptoten ablesen**: Aus der Abbildung lässt sich erkennen, dass sich der Graph der senkrechten Linie bei \(x = 2\) und der waagrechten Linie bei \(y = 2\) annähert. Die Gleichungen lauten somit: Senkrechte Asymptote: \(x = 2\) Waagrechte Asymptote: \(y = 2\) 2. **Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen**: - Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (Nullstelle): Wir setzen den Zähler des Bruchs gleich null: \(2x - 6 = 0 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3\) Der Schnittpunkt ist \(N(3 \mid 0)\). - Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: Wir berechnen den Funktionswert an der Stelle \(x = 0\): \(f(0) = \frac{2 \cdot 0 - 6}{0 - 2} = \frac{-6}{-2} = 3\) Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid 3)\). 3. **Grenzwertbetrachtung**: Um das Verhalten für \(x \to \infty\) zu untersuchen, klammern wir im Zähler und Nenner jeweils die höchste Potenz von \(x\) (hier \(x\)) aus: \(f(x) = \frac{x \cdot \left(2 - \frac{6}{x}\right)}{x \cdot \left(1 - \frac{2}{x}\right)} = \frac{2 - \frac{6}{x}}{1 - \frac{2}{x}}\) Für \(x \to \infty\) gehen die Brüche \(\frac{6}{x}\) und \(\frac{2}{x}\) gegen \(0\). Somit gilt: \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{2 - 0}{1 - 0} = 2\) Dies bestätigt rechnerisch die waagrechte Asymptote \(y = 2\).

a) Senkrechte Asymptote: \(x = 2\); waagrechte Asymptote: \(y = 2\) b) Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(N(3 \mid 0)\); Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 \mid 3)\) c) Durch Ausklammern von \(x\) erhält man \(f(x) = \frac{2 - \frac{6}{x}}{1 - \frac{2}{x}}\). Da \(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0\), folgt \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 2\).

- Der Schnittpunkt mit der vertikalen Achse entspricht dem Funktionswert bei \(t=0\). - Was passiert mit dem Bruch, wenn die Zeit \(t\) immer größer wird? Betrachte die Koeffizienten der höchsten Potenzen von \(t\). - Überlege dir, welche Temperatur ein Gegenstand nach sehr langer Zeit in einem Zimmer annimmt.

a) Um die Graphen zuzuordnen, berechnet man die Funktionswerte an der Stelle \(t = 0\): Für \(g(t)\): \(g(0) = \frac{20 \cdot 0 + 180}{0 + 2} = \frac{180}{2} = 90\). Für \(h(t)\): \(h(0) = \frac{10 \cdot 0 + 160}{0 + 2} = \frac{160}{2} = 80\). Da der Graph \(k\) (blau) bei \(90\,^\circ\text{C}\) startet und der Graph \(m\) (rot) bei \(80\,^\circ\text{C}\), gehört Graph \(k\) zu Funktion \(g\) und Graph \(m\) zu Funktion \(h\). b) Das Langzeitverhalten wird durch den Grenzwert für \(t \to \infty\) bestimmt: Für \(g(t)\): \(\lim_{t \to \infty} \frac{20t + 180}{t + 2} = 20\). Die waagrechte Asymptote ist \(y = 20\). Für \(h(t)\): \(\lim_{t \to \infty} \frac{10t + 160}{t + 2} = 10\). Die waagrechte Asymptote ist \(y = 10\). Im Sachkontext stellt die waagrechte Asymptote die Umgebungstemperatur dar, an die sich die Flüssigkeit langfristig angleicht. Die Flüssigkeit \(g\) kühlt in einem Raum mit \(20\,^\circ\text{C}\) ab, die Flüssigkeit \(h\) in einem Raum mit \(10\,^\circ\text{C}\).

a) Graph \(k\) (blau) gehört zu \(g(t)\), da \(g(0)=90\). Graph \(m\) (rot) gehört zu \(h(t)\), da \(h(0)=80\). b) Die waagrechte Asymptote von \(g\) liegt bei \(T=20\,^\circ\text{C}\), die von \(h\) bei \(T=10\,^\circ\text{C}\). Diese Werte entsprechen den jeweiligen Umgebungstemperaturen der beiden Räume.

- Suche zuerst nach den senkrechten Linien, denen sich der Graph annähert, ohne sie zu berühren. Das sind die Polstellen. - Markierungen wie kleine offene Kreise zeigen dir, wo eine hebbare Definitionslücke liegt. - Achte genau auf die Skalierung der x-Achse, um die exakten Werte für die Lücken und Pole abzulesen.

1. Funktion \(f\) in Abbildung a): senkrechte Asymptote bei \(x=2\) und hebbare Definitionslücke bei \(x=1\). Daher gehört \(f\) zu Eigenschaft 2. 2. Funktion \(g\) in Abbildung b): senkrechte Asymptote bei \(x=-2\) und hebbare Definitionslücke bei \(x=-1\). Daher gehört \(g\) zu Eigenschaft 1. 3. Funktion \(h\) in Abbildung c): senkrechte Asymptoten bei \(x=-2\) und \(x=2\) sowie eine hebbare Definitionslücke bei \(x=0\). Daher gehört \(h\) zu Eigenschaft 3.

\(f\) in Abbildung a) gehört zu Eigenschaft 2; \(g\) in Abbildung b) gehört zu Eigenschaft 1; \(h\) in Abbildung c) gehört zu Eigenschaft 3.

- Welche Rolle spielt die Konstante am Ende des Funktionsterms für die Lage des Graphen? - Wie gehst du vor, um eine Gleichung zu lösen, bei der die Unbekannte im Nenner steht? - Kannst du den Term so umformen, dass der Koeffizient vor dem \(x\) im Nenner verschwindet? - Überlege, welche Werte für \(x\) nicht eingesetzt werden dürfen.

1. Definitionsmenge bestimmen: \(2x - 8 = 0 \Rightarrow x = 4\). Die senkrechte Asymptote (Polstelle) liegt bei \(x = 4\). 2. Waagrechte Asymptote: Für \(x \to \pm\infty\) geht der Bruch \(\frac{5}{2x - 8}\) gegen \(0\). Es bleibt der konstante Term \(-1{,}5\). Die waagrechte Asymptote ist \(y = -1{,}5\). 3. Nullstelle berechnen: \(\frac{5}{2x - 8} - 1{,}5 = 0 \Rightarrow \frac{5}{2x - 8} = 1{,}5\). Multiplikation mit dem Nenner ergibt \(5 = 1{,}5(2x - 8) \Rightarrow 5 = 3x - 12 \Rightarrow 17 = 3x \Rightarrow x = \frac{17}{3}\). Die Nullstelle liegt bei \(x = 5\frac{2}{3}\). 4. Transformation: Der Term kann umgeformt werden zu \(h(x) = \frac{2{,}5}{x - 4} - 1{,}5\). Dies entspricht einer Verschiebung der Hyperbel \(y = \frac{2{,}5}{x}\) um \(4\) Einheiten nach rechts und \(1{,}5\) Einheiten nach unten.

Asymptoten: \(x = 4\) und \(y = -1{,}5\) Nullstelle: \(x = \frac{17}{3}\) (bzw. \(x \approx 5{,}67\)) Transformation: Verschiebung um \(4\) Einheiten in positive \(x\)-Richtung und um \(1{,}5\) Einheiten in negative \(y\)-Richtung.

- Was darf man für \(x\) nicht einsetzen, damit der Nenner nicht null wird? - Wie berechnet man den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse und wie die Nullstellen einer gebrochen-rationalen Funktion? - Überlege, wie du den Zählerterm durch den Nennerterm teilen kannst (Stichwort: Polynomdivision). - Welcher Teil des Terms bestimmt das Verhalten der Funktion für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte?

1. Die Definitionsmenge \(D\) ergibt sich aus der Nullstelle des Nenners: \(x + 1 = 0 \implies x = -1\). Somit ist \(D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\). 2. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(f(0) = \frac{(0 - 2)^2}{0 + 1} = \frac{4}{1} = 4\). Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid 4)\). 3. Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: \((x - 2)^2 = 0 \implies x = 2\). Schnittpunkt ist \(N(2 \mid 0)\). 4. Umformung mittels Polynomdivision oder Zerlegung: \(\frac{x^2 - 4x + 4}{x + 1} = \frac{x^2 + x - 5x - 5 + 9}{x + 1} = \frac{x(x + 1) - 5(x + 1) + 9}{x + 1} = x - 5 + \frac{9}{x + 1}\). 5. Da der Term \(\frac{9}{x + 1}\) für \(x \to \pm \infty\) gegen \(0\) strebt, nähert sich der Graph \(G_f\) der Geraden \(g: y = x - 5\) beliebig an. Die Gleichung der schrägen Asymptote lautet somit \(y = x - 5\).

a) \(D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\); Schnittpunkte: \(S_y(0 \mid 4)\), \(N(2 \mid 0)\). b) Die schräge Asymptote hat die Gleichung \(y = x - 5\).

- Wann kann ein Nenner einer gebrochen-rationalen Funktion niemals null werden? - Überprüfe, ob sich der Funktionsterm ändert, wenn du \(x\) durch \(-x\) ersetzt. - Wie findet man die Stellen, an denen ein Graph die Achsen berührt oder schneidet? - Was passiert mit den einzelnen Summanden im Zähler und Nenner, wenn \(x\) sehr groß wird?

1. Definitionsbereich und Polstellen: Da der Nenner \(0{,}5x^2 + 2\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) stets größer oder gleich \(2\) ist, besitzt er keine Nullstellen. Somit ist \(D_f = \mathbb{R}\) und es existieren keine senkrechten Asymptoten. 2. Symmetrie: Wegen \(f(-x) = \frac{4(-x)^2 - 16}{0{,}5(-x)^2 + 2} = \frac{4x^2 - 16}{0{,}5x^2 + 2} = f(x)\) ist der Graph \(G_f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. Schnittpunkte: Mit der \(y\)-Achse: \(f(0) = \frac{-16}{2} = -8 \implies S_y(0 \mid -8)\). Mit der \(x\)-Achse (Nullstellen): \(4x^2 - 16 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x_1 = -2, x_2 = 2 \implies N_1(-2 \mid 0), N_2(2 \mid 0)\). 4. Waagrechte Asymptote: Durch Ausklammern von \(x^2\) oder Vergleich der Koeffizienten der höchsten Potenzen ergibt sich \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{4x^2 - 16}{0{,}5x^2 + 2} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{4 - \frac{16}{x^2}}{0{,}5 + \frac{2}{x^2}} = \frac{4}{0{,}5} = 8\). Die waagrechte Asymptote hat die Gleichung \(y = 8\).

a) Der Nenner \(0{,}5x^2 + 2\) hat keine reellen Nullstellen, da \(x^2 \ge 0\). b) Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse, da \(f(-x) = f(x)\). c) \(S_y(0 \mid -8)\), \(N_1(-2 \mid 0)\), \(N_2(2 \mid 0)\). d) Waagrechte Asymptote \(y = 8\).

- Wann ist der Nenner eines Bruches Null? Diese Stellen müssen ausgeschlossen werden. - Überprüfe, ob im Funktionsterm nur gerade oder nur ungerade Exponenten vorkommen. - Was müsste für den Zähler gelten, damit ein Bruch den Wert Null annimmt? - Betrachte für das Verhalten im Unendlichen die höchsten Potenzen im Zähler und Nenner. - Untersuche für die Polstellen das Vorzeichen des Nenners kurz oberhalb und unterhalb der kritischen Werte.

1. Zur Bestimmung der Definitionsmenge wird der Nenner gleich Null gesetzt: \(0{,}25x^2 - 4 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 16 \Leftrightarrow x = \pm 4\). Somit ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-4; 4\}\). 2. Da im Funktionsterm nur gerade Potenzen von \(x\) vorkommen, gilt \(f(-x) = \frac{(-x)^2 + 1}{0{,}25(-x)^2 - 4} = \frac{x^2 + 1}{0{,}25x^2 - 4} = f(x)\). Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. Eine Nullstelle erfordert \(x^2 + 1 = 0\). Da \(x^2 \geq 0\) für alle reellen Zahlen gilt, ist \(x^2 + 1 \geq 1\). Die Gleichung hat keine reelle Lösung, folglich gibt es keine Nullstellen. 4. Für \(x \to \pm \infty\) gilt: \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2 + 1}{0{,}25x^2 - 4} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{0{,}25 - \frac{4}{x^2}} = \frac{1}{0{,}25} = 4\). Die waagrechte Asymptote ist \(y = 4\). An den Polstellen: \(\lim_{x \to 4^+} f(x) = +\infty\) und \(\lim_{x \to 4^-} f(x) = -\infty\). Aufgrund der Achsensymmetrie gilt analog \(\lim_{x \to -4^-} f(x) = +\infty\) und \(\lim_{x \to -4^+} f(x) = -\infty\).

a) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-4; 4\}\) b) Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse c) Da \(x^2 + 1 > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), hat der Zähler keine Nullstellen. d) Waagrechte Asymptote \(y = 4\); Polstellen bei \(x = 4\) und \(x = -4\) mit Vorzeichenwechsel.

- Wann wird ein Bruch gleich null? - Schau dir die Nenner der Funktionen genau an. Was darf man für \(x\) nicht einsetzen? - Wie verändert sich ein Funktionswert, wenn die gesamte Gleichung mit einer Zahl multipliziert wird? - Vergleiche die Zähler der Funktionen, um die Nullstellen zu finden.

1. Definitionsmenge und Polstellen: Da der Nenner \(x^2 - 4\) für alle Funktionen gleich ist, gilt \(x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2\). Somit ist \(D = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\). Die senkrechten Asymptoten liegen bei \(x = -2\) und \(x = 2\). 2. Funktionswerte: Für \(x = 3\): \(f(3) = \frac{3}{5} = 0{,}6\); \(g(3) = \frac{12}{5} = 2{,}4\); \(h(3) = \frac{10}{5} = 2\). Für \(x = 0\): \(f(0) = 0\); \(g(0) = 0\); \(h(0) = \frac{1}{-4} = -0{,}25\). 3. Transformation: Da \(g(x) = 4f(x)\), entsteht der Graph von \(g\) durch eine Streckung des Graphen von \(f\) in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\). 4. Nullstellen: \(f(x) = 0 \Rightarrow x = 0\); \(g(x) = 0 \Rightarrow 4x = 0 \Rightarrow x = 0\). Für \(h(x)\) gilt \(x^2 + 1 = 0\), was in \(\mathbb{R}\) keine Lösung besitzt; \(h\) hat keine Nullstellen.

a) \(D = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\); senkrechte Asymptoten: \(x = -2\) und \(x = 2\). b) \(f(3) = 0{,}6\), \(g(3) = 2{,}4\), \(h(3) = 2\); \(f(0) = 0\), \(g(0) = 0\), \(h(0) = -0{,}25\). c) Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\). d) Nullstelle von \(f\) und \(g\) bei \(x = 0\); \(h\) hat keine Nullstellen.

- Was passiert mit dem Vorzeichen von \(x\), wenn du es quadrierst? - Betrachte die Grade von Zähler- und Nennerpolynom für das Verhalten im Unendlichen. - Welche Auswirkung hat ein Minuszeichen vor dem gesamten Funktionsterm auf die Lage des Graphen im Koordinatensystem?

1. Symmetrie: Da in allen Funktionstermen \(x\) nur in geraden Potenzen (\(x^2\) und \(x^0\)) vorkommt, gilt \(p(-x) = p(x)\), \(q(-x) = q(x)\) und \(r(-x) = r(x)\). Die Graphen sind achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Waagerechte Asymptoten: Bei \(p(x)\) und \(q(x)\) ist der Grad des Zählers (0) kleiner als der Grad des Nenners (2), daraus folgt für \(x \to \pm \infty\), dass \(y = 0\) die waagerechte Asymptote ist. Bei \(r(x)\) ist der Grad des Zählers gleich dem des Nenners; der Grenzwert ergibt sich aus dem Verhältnis der Koeffizienten der höchsten Potenzen: \(\frac{2}{1} = 2\). Die waagerechte Asymptote ist \(y = 2\). 3. Zusammenhang \(p\) und \(q\): Es gilt \(q(x) = -p(x)\). Der Graph von \(q\) geht somit durch Spiegelung an der \(x\)-Achse aus dem Graphen von \(p\) hervor.

a) Alle drei Graphen sind achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. b) Waagerechte Asymptoten: \(p\) und \(q\): \(y = 0\); \(r\): \(y = 2\). c) Der Graph von \(q\) ist das Ergebnis einer Spiegelung des Graphen von \(p\) an der \(x\)-Achse.

- Erinnere dich an die Bedingung für Achsensymmetrie: \(f(-x) = f(x)\). - Für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse musst du einen bestimmten Wert für \(x\) einsetzen. Welcher ist das? - Betrachte den Nenner \(x^2 + 2\). Welches ist der kleinste Wert, den dieser Nenner annehmen kann? Was bedeutet das für den Gesamtwert des Bruchs? - Überlege, was mit dem gesamten Bruch passiert, wenn \(x\) immer weiter wächst.

1. Nachweis der Symmetrie: \(g(-x) = \frac{-10}{(-x)^2 + 2} = \frac{-10}{x^2 + 2} = g(x)\). Die Bedingung für Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse ist erfüllt. 2. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse (\(x=0\)): \(g(0) = \frac{-10}{0+2} = -5\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid -5)\). Funktionswert an der Stelle \(2\): \(g(2) = \frac{-10}{2^2+2} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3} \approx -1{,}67\). 3. Da \(x^2 \ge 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), ist der Nenner \(x^2 + 2 \ge 2\). Der kleinste Nennerwert ist \(2\) bei \(x=0\), was zum kleinsten Funktionswert \(\frac{-10}{2} = -5\) führt. Da der Zähler negativ und der Nenner stets positiv ist, gilt \(g(x) < 0\). Wenn \(x^2\) wächst, nähert sich der Bruch der \(0\). Somit gilt \(-5 \le g(x) < 0\). 4. Grenzwert für \(x \to \infty\): Da der Nennergrad höher als der Zählergrad ist, gilt \(\lim_{x \to \infty} g(x) = 0\).

a) \(g(-x) = \frac{-10}{(-x)^2 + 2} = \frac{-10}{x^2 + 2} = g(x)\), also liegt Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse vor. b) Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0 \mid -5)\). Der Funktionswert ist \(g(2) = -\frac{5}{3} \approx -1{,}67\). c) Da der Nenner \(x^2 + 2 \ge 2\) ist, ist der maximale Betrag des Bruchs \(\frac{10}{2} = 5\). Da der Zähler negativ ist, ist \(-5\) das Minimum. Da der Nenner stets positiv ist, bleibt \(g(x)\) immer negativ und nähert sich für große \(x\) der Null an. d) Für \(x \to \infty\) strebt \(g(x)\) gegen \(0\).

- Wie verhält sich der Funktionsterm, wenn du \( x \) durch \( -x \) ersetzt? - Was passiert mit dem Nenner an den Stellen, die nicht in der Definitionsmenge liegen? - Untersuche die Vielfachheit der Nullstellen im Nenner, um die Art der Polstelle zu bestimmen. - Welchen Einfluss haben die höchsten Potenzen im Zähler und Nenner auf den Grenzwert für sehr große \( x \)-Werte?

1. Symmetrie: Prüfung von \( f(-x) = \frac{-x}{(-x)^2 - 2{,}25} = \frac{-x}{x^2 - 2{,}25} = -f(x) \). Ergebnis: Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Funktionswerte: \( f(0) = \frac{0}{0 - 2{,}25} = 0 \); \( f(1) = \frac{1}{1^2 - 2{,}25} = \frac{1}{-1{,}25} = -0{,}8 \). 3. Definitionsmenge: Nullstellen des Nenners \( x^2 - 2{,}25 = 0 \) führen zu \( x_1 = -1{,}5 \) und \( x_2 = 1{,}5 \). Somit ist \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1{,}5; 1{,}5\} \). 4. Polstellen: Da \( x = -1{,}5 \) und \( x = 1{,}5 \) einfache Nullstellen des Nenners (und keine Nullstellen des Zählers) sind, handelt es sich um Polstellen mit Vorzeichenwechsel. 5. Grenzverhalten: Da der Grad des Zählerpolynoms (1) kleiner ist als der Grad des Nennerpolynoms (2), gilt \( \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0 \).

a) Punktsymmetrisch zum Ursprung; \( f(0) = 0 \), \( f(1) = -0{,}8 \). b) \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1{,}5; 1{,}5\} \); Polstellen bei \( x = -1{,}5 \) und \( x = 1{,}5 \), beide mit Vorzeichenwechsel. c) \( \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0 \).

- Überprüfe die Bedingung \( g(-x) = g(x) \) für Achsensymmetrie. - Welche Werte darfst du für \( x \) nicht einsetzen, damit der Nenner nicht null wird? - Senkrechte Asymptoten treten an den Polstellen der Funktion auf. - Vergleiche die Koeffizienten der höchsten Potenzen von \( x \), um die waagrechte Asymptote zu finden. - Wann wird ein Bruch gleich null?

1. Symmetrienachweis: \( g(-x) = \frac{2(-x)^2 - 2}{9 - (-x)^2} = \frac{2x^2 - 2}{9 - x^2} = g(x) \). Da \( g(-x) = g(x) \), ist der Graph achsensymmetrisch zur \( y \)-Achse. 2. Definitionsmenge: Nennernullstellen \( 9 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3 \). Also \( D_g = \mathbb{R} \setminus \{-3; 3\} \). 3. Senkrechte Asymptoten: Die Polstellen liegen bei den Definitionslücken \( x = -3 \) und \( x = 3 \). Die Gleichungen der senkrechten Asymptoten lauten \( x = -3 \) und \( x = 3 \). 4. Waagrechte Asymptote: Untersuchung des Grenzwerts für \( x \to \pm \infty \). Da Zähler- und Nennergrad gleich sind, betrachtet man die Koeffizienten der höchsten Potenzen: \( \frac{2}{-1} = -2 \). Die waagrechte Asymptote hat die Gleichung \( y = -2 \). 5. Nullstellen: Zähler \( 2x^2 - 2 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \). Da diese Werte in \( D_g \) liegen, sind die Nullstellen \( x_1 = -1 \) und \( x_2 = 1 \).

a) \( g(-x) = g(x) \), daher achsensymmetrisch zur \( y \)-Achse. b) \( D_g = \mathbb{R} \setminus \{-3; 3\} \); senkrechte Asymptoten: \( x = -3 \) und \( x = 3 \). c) Waagrechte Asymptote: \( y = -2 \). d) Nullstellen: \( x_1 = -1 \), \( x_2 = 1 \).

- Überlege, für welchen Wert der Nenner des Bruchs null wird. - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner immer größer wird, während der Zähler konstant bleibt? - Wie verhält sich die gesamte Funktion, wenn ein Teil verschwindend klein wird? - Wo auf dem Koordinatensystem liegen alle Punkte, die auf der \(y\)-Achse sind? Welchen Wert hat dort die x-Koordinate?

1. Der Nenner darf nicht null werden: \(x - 2 = 0 \implies x = 2\). Somit ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}\). Da der Zähler an dieser Stelle ungleich null ist (\(6 \neq 0\)), liegt eine Polstelle vor. Die senkrechte Asymptote hat die Gleichung \(x = 2\). 2. Für \(|x| \to \infty\) strebt der echte gebrochen-rationale Anteil \(\frac{6}{x - 2}\) gegen \(0\). Daher nähert sich der Graph der Geraden mit der Gleichung \(y = 1{,}5x - 3\) an. Dies ist die schräge Asymptote. 3. Für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to +\infty\), da der lineare Term \(1{,}5x - 3\) gegen unendlich strebt. Analog gilt für \(x \to -\infty\), dass \(f(x) \to -\infty\). 4. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ergibt sich durch Einsetzen von \(x = 0\): \(f(0) = 1{,}5 \cdot 0 - 3 + \frac{6}{0 - 2} = -3 - 3 = -6\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid -6)\).

a) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}\); senkrechte Asymptote: \(x = 2\) b) \(\lim_{x \to \infty} f(x) = +\infty\); \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\); schräge Asymptote: \(y = 1{,}5x - 3\) c) \(S_y(0 \mid -6)\)

- Denke an die Bedingung für den Nenner eines Bruchs. - Erinnere dich an das Verfahren der schriftlichen Division für Terme. Welcher Teil des Ergebnisses beschreibt das Verhalten im Unendlichen? - Wann genau ist ein Bruch gleich Null? Reicht es, einen Teil des Bruches zu betrachten? - Überprüfe am Ende, ob deine gefundenen Werte für die Nullstellen auch wirklich im Definitionsbereich liegen.

1. Definitionsmenge: Der Nenner wird für \(x = 3\) null, also ist \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{3\}\). 2. Polynomdivision: \((x^2 - 5x + 4) : (x - 3) = x - 2 + \frac{-2}{x - 3}\). Der ganzrationale Anteil liefert die schräge Asymptote \(y = x - 2\). 3. Nullstellen: Ein Bruch ist null, wenn sein Zähler null ist. Lösen der quadratischen Gleichung \(x^2 - 5x + 4 = 0\) mittels Mitternachtsformel oder Satz von Vieta: \((x - 1)(x - 4) = 0\). 4. Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 4\). Beide Werte liegen in der Definitionsmenge.

a) \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{3\}\) b) \(y = x - 2\) c) \(x_1 = 1\); \(x_2 = 4\)

- Wie verändert sich der Funktionsterm, wenn du \(x\) durch \(-x\) ersetzt? - Welchen Wert muss die Funktion an einer Nullstelle annehmen? - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Betrag des Nenners immer größer wird? - Wie berechnet man den Funktionswert an der Stelle \(x = 0\)?

1. Nachweis der Symmetrie: \(f(-x) = \frac{4}{(-x)^2 - 25} + 0{,}2 = \frac{4}{x^2 - 25} + 0{,}2 = f(x)\). Da \(f(-x) = f(x)\) gilt, ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Berechnung der Nullstellen: \(0 = \frac{4}{x^2 - 25} + 0{,}2 \Leftrightarrow -0{,}2 = \frac{4}{x^2 - 25} \Leftrightarrow -0{,}2(x^2 - 25) = 4 \Leftrightarrow -0{,}2x^2 + 5 = 4 \Leftrightarrow -0{,}2x^2 = -1 \Leftrightarrow x^2 = 5\). Daraus folgen die Nullstellen \(x_{1,2} = \pm \sqrt{5}\). 3. Punktprobe für \(P\): \(f(0) = \frac{4}{0^2 - 25} + 0{,}2 = -\frac{4}{25} + 0{,}2 = -0{,}16 + 0{,}2 = 0{,}04\). Somit liegt \(P(0 \mid 0{,}04)\) auf dem Graphen. 4. Grenzwerte: Für \(x \to \pm \infty\) geht der Nenner \(x^2 - 25\) gegen \(+\infty\), wodurch der Bruch \(\frac{4}{x^2 - 25}\) gegen \(0\) strebt. Es gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0 + 0{,}2 = 0{,}2\). Die waagerechte Asymptote hat die Gleichung \(y = 0{,}2\).

a) \(f(-x) = f(x)\), also liegt Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse vor. b) Nullstellen bei \(x = \pm \sqrt{5}\); Punktprobe: \(f(0) = 0{,}04\). c) \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0{,}2\); waagerechte Asymptote: \(y = 0{,}2\).

- Wann ist der Nenner eines Bruches Null? - Was passiert mit den Funktionswerten, wenn \(x\) sehr groß oder sehr klein wird? - Welche Bedingung muss für den Zähler gelten, damit eine Nullstelle vorliegt? - Vergleiche \(f(-x)\) mit \(f(x)\). Was stellst du fest?

1. Definitionsmenge und senkrechte Asymptoten: Die Nullstellen des Nenners \((2x - 4)(2x + 4) = 0\) liegen bei \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). Somit ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\). Da der Zähler an diesen Stellen ungleich Null ist, liegen senkrechte Asymptoten mit den Gleichungen \(x = 2\) und \(x = -2\) vor. 2. Waagrechte Asymptote: Da der Grad des Zählers gleich dem Grad des Nenners ist (beide Grad 2), ergibt sich die waagrechte Asymptote durch den Quotienten der Leitkoeffizienten. Mit \((2x - 4)(2x + 4) = 4x^2 - 16\) folgt \(y = \frac{3}{4} = 0{,}75\). 3. Nullstellen: Der Ansatz \(3x^2 + 9 = 0\) führt auf \(x^2 = -3\). Da diese Gleichung im Reellen keine Lösung besitzt, hat \(f\) keine Nullstellen. 4. Symmetrie und y-Schnittpunkt: Da \(f(-x) = \frac{3(-x)^2 + 9}{4(-x)^2 - 16} = \frac{3x^2 + 9}{4x^2 - 16} = f(x)\) gilt, ist \(G_f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(f(0) = \frac{9}{-16} = -0{,}5625\), also \(S_y(0 \mid -0{,}5625)\).

a) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\); senkrechte Asymptoten: \(x = 2\) und \(x = -2\) b) waagrechte Asymptote: \(y = 0{,}75\) c) \(3x^2 + 9 = 0\) hat keine reelle Lösung, da \(x^2 = -3\) nicht möglich ist. d) Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse; \(S_y(0 \mid -0{,}5625)\)

- Wann ist ein Nenner gleich Null? - Erinnere dich an die Bedingungen für Achsen- und Punktsymmetrie. - Was passiert mit den Summanden des Funktionsterms, wenn \(x\) sehr groß wird? - Wie prüft man, ob ein Punkt auf einem Graphen liegt?

1. Die Definitionsmenge ergibt sich aus der Nullstelle des Nenners: \(3x = 0 \implies x = 0\), also \(D_{f_k} = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). 2. Zur Symmetrie: \(f_k(-x) = \frac{k(-x)^2 - 9}{3(-x)} = \frac{kx^2 - 9}{-3x} = -f_k(x)\). Der Graph ist somit punktsymmetrisch zum Ursprung. 3. Da \(x = 0\) eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel ist (einfache Nullstelle im Nenner, Zählerwert \(-9 \neq 0\)), lautet die senkrechte Asymptote \(x = 0\). 4. Durch Polynomdivision oder Zerlegen des Bruchs erhält man \(f_k(x) = \frac{k}{3}x - \frac{3}{x}\). Für \(x \to \pm\infty\) geht \(\frac{3}{x} \to 0\), daher ist die schräge Asymptote \(y = \frac{k}{3}x\). 5. Punktprobe mit \(P(3 \mid 2)\): \(2 = \frac{k \cdot 3^2 - 9}{3 \cdot 3} = \frac{9k - 9}{9} = k - 1\). Daraus folgt \(k = 3\).

a) \(D_{f_k} = \mathbb{R} \setminus \{0\}\); der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. b) Senkrechte Asymptote: \(x = 0\); schräge Asymptote: \(y = \frac{k}{3}x\). c) \(k = 3\).

- Wann ist ein Bruch definiert und wann ist sein Wert gleich null? - Wie berechnet man allgemein den Schnittpunkt eines Graphen mit der \(y\)-Achse? - Überlege dir, welcher Teil des Funktionsterms den Ausschlag gibt, wenn \(x\) sehr große oder sehr kleine Werte annimmt. - Hilft es dir, den Funktionsterm durch Ausklammern der höchsten Potenz von \(x\) zu vereinfachen?

1. Zur Bestimmung der Definitionsmenge wird der Nenner gleich Null gesetzt: \(x + k = 0 \implies x = -k\). Somit ist \(D_k = \mathbb{R} \setminus \{-k\}\). 2. Die Nullstellen ergeben sich aus dem Zähler: \(x^2 - 4k^2 = 0 \implies x^2 = 4k^2 \implies x_1 = 2k, x_2 = -2k\). Da \(k \neq 0\), gilt \(2k \neq -k\) und \(-2k \neq -k\), sodass beide Werte in der Definitionsmenge liegen. Die Nullstellen sind \(N_1(2k \mid 0)\) und \(N_2(-2k \mid 0)\). 3. Für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse wird \(x = 0\) in den Funktionsterm eingesetzt: \(f_k(0) = \frac{0^2 - 4k^2}{0 + k} = \frac{-4k^2}{k} = -4k\). Dies bestätigt den Punkt \(P(0 \mid -4k)\). 4. Durch Polynomdivision beziehungsweise Zerlegung erhält man \(x^2 - 4k^2 = (x + k)(x - k) - 3k^2\) und damit \(f_k(x) = x - k - \frac{3k^2}{x + k}\). 5. Für \(x \to \pm\infty\) strebt der Restterm \(-\frac{3k^2}{x + k}\) gegen \(0\). Daher besitzt der Graph die schräge Asymptote \(y = x - k\). Unabhängig von \(k\) gilt somit \(\lim_{x \to +\infty} f_k(x) = +\infty\) und \(\lim_{x \to -\infty} f_k(x) = -\infty\); lediglich der konstante Achsenabschnitt der Asymptote hängt von \(k\) ab.

a) \(D_k = \mathbb{R} \setminus \{-k\}\); Nullstellen bei \(x_1 = 2k\) und \(x_2 = -2k\). b) Nachweis durch Einsetzen: \(f_k(0) = -4k\). c) \(\lim_{x \to +\infty} f_k(x) = +\infty\) und \(\lim_{x \to -\infty} f_k(x) = -\infty\). Es gilt \(f_k(x) = x - k - \frac{3k^2}{x + k}\); daher hängt die schräge Asymptote \(y = x - k\) von \(k\) ab, nicht aber die Richtung des Grenzverhaltens.

- Wie verhält sich eine gebrochen-rationale Funktion für sehr große oder sehr kleine x-Werte, wenn Zähler- und Nennergrad gleich sind? - Überlege dir, ob die Gleichung im Zähler für bestimmte Werte von k überhaupt eine reelle Lösung haben kann. - Wann lässt sich ein Faktor im Nenner gegen einen Faktor im Zähler kürzen? - Wenn du die Funktion an einer Definitionslücke kürzen kannst, wie findest du dann den zugehörigen y-Wert?

1. Bestimmung der waagerechten Asymptote: Der Grad des Zählers und des Nenners ist jeweils 2. Für \(x \to \pm \infty\) nähert sich der Funktionsterm dem Verhältnis der Koeffizienten der höchsten Potenzen an: \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{kx^2 - 18}{x^2 - x - 6} = k\). Die Gleichung der waagerechten Asymptote lautet somit \(y = k\). 2. Untersuchung der Nullstellen: Nullstellen treten auf, wenn der Zähler null wird: \(kx^2 - 18 = 0 \Leftrightarrow kx^2 = 18\). Für \(k = 0\) ergibt sich die falsche Aussage \(-18 = 0\), also keine Nullstelle. Für \(k < 0\) ist \(x^2 = \frac{18}{k}\) eine negative Zahl, was für \(x \in \mathbb{R}\) nicht lösbar ist. Somit existieren für \(k \leq 0\) keine Nullstellen. 3. Stetig behebbare Definitionslücke: Damit bei \(x = 3\) eine hebbare Lücke vorliegt, muss \(x = 3\) auch eine Nullstelle des Zählers sein: \(k \cdot 3^2 - 18 = 0 \Rightarrow 9k = 18 \Rightarrow k = 2\). 4. Berechnung der Loch-Koordinaten: Für \(k = 2\) lässt sich der Funktionsterm kürzen: \(f_2(x) = \frac{2(x^2 - 9)}{(x - 3)(x + 2)} = \frac{2(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)(x + 2)} = \frac{2x + 6}{x + 2}\). Der Grenzwert an der Stelle \(x = 3\) ist \(\frac{2 \cdot 3 + 6}{3 + 2} = \frac{12}{5} = 2{,}4\). Das Loch hat die Koordinaten \((3 \mid 2{,}4)\).

a) \(y = k\) b) Der Ansatz \(kx^2 = 18\) liefert für \(k \leq 0\) keine reelle Lösung für \(x\). c) \(k = 2\); das Loch liegt bei \((3 \mid 2{,}4)\).

- Was passiert mit dem Parameter \(a\), wenn du den Grenzwert für \(x\) gegen Unendlich betrachtest? - Wann hat eine quadratische Gleichung der Form \(x^2 = c\) zwei verschiedene reelle Lösungen? - Denke daran, dass Nullstellen des Nenners bei einer gekürzten Funktion immer zu senkrechten Asymptoten führen. - Welche Werte darf \(a\) nicht annehmen, damit sich keine Faktoren im Bruch wegkürzen lassen?

1. Waagerechte Asymptote: Da Zähler- und Nennerpolynom den gleichen Grad (2) haben, ergibt sich die Asymptote aus dem Quotienten der Leitkoeffizienten: \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + a}{x^2 - 16} = \frac{2}{1} = 2\). Die Gleichung \(y = 2\) ist unabhängig von \(a\). 2. Nullstellen von \(g_a\): Der Zähler muss null werden: \(2x^2 + a = 0 \Leftrightarrow x^2 = -\frac{a}{2}\). Diese Gleichung hat genau zwei Lösungen, wenn \(-\frac{a}{2} > 0\), also \(a < 0\). 3. Bedingung für „vollständig gekürzt“: Die Nullstellen des Nenners sind \(x = 4\) und \(x = -4\). Diese dürfen keine Nullstellen des Zählers sein: \(2 \cdot (\pm 4)^2 + a \neq 0 \Rightarrow 32 + a \neq 0 \Rightarrow a \neq -32\). Somit muss \(a < 0\) und \(a \neq -32\) gelten. 4. Senkrechte Asymptoten für \(a = 0\): Die Funktion lautet \(g_0(x) = \frac{2x^2}{x^2 - 16}\). Die Nullstellen des Nenners liegen bei \(x = 4\) und \(x = -4\). Da der Zähler an diesen Stellen nicht null ist (\(2 \cdot 4^2 = 32 \neq 0\)), liegen dort Polstellen mit Vorzeichenwechsel vor. Die Gleichungen der senkrechten Asymptoten sind \(x = 4\) und \(x = -4\).

a) \(y = 2\) b) \(a < 0\) und \(a \neq -32\) c) \(x = 4\) und \(x = -4\)

- Was passiert mit der Gleichung, wenn auf beiden Seiten derselbe konstante Wert addiert wird? - Wie kannst du eine Gleichung mit Brüchen so umformen, dass die Nenner verschwinden? - Achte darauf, dass die gefundenen Lösungen auch in der Definitionsmenge beider Funktionen liegen. - Wie findest du den passenden Funktionswert, wenn du die Stelle \(x\) bereits kennst?

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(\frac{1}{x-2} + 2 = 2 - \frac{1}{x^2}\) 2. Subtraktion von \(2\) auf beiden Seiten führt zu: \(\frac{1}{x-2} = -\frac{1}{x^2}\) 3. Überkreuzmultiplikation (unter Beachtung der Definitionsmenge \(D = \mathbb{R} \setminus \{0; 2\}\)): \(x^2 = -(x-2)\) 4. Umformung in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(x^2 + x - 2 = 0\) 5. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der Mitternachtsformel oder dem Satz von Vieta): \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -2\) 6. Berechnung der zugehörigen \(y\)-Koordinaten durch Einsetzen in eine der Funktionsgleichungen: \(f(1) = \frac{1}{1-2} + 2 = -1 + 2 = 1\) \(f(-2) = \frac{1}{-2-2} + 2 = -0{,}25 + 2 = 1{,}75\) 7. Die Schnittpunkte sind \(S_1(1 \mid 1)\) und \(S_2(-2 \mid 1{,}75)\).

Die Schnittpunkte sind \(S_1(1 \mid 1)\) und \(S_2(-2 \mid 1{,}75)\).

- Worauf musst du achten, wenn der Nenner einer Funktion null wird? - Wie verhält sich der Funktionswert, wenn die x-Werte sehr groß oder sehr klein werden? - Welchen Ansatz wählst du immer, um gemeinsame Punkte von zwei Funktionsgraphen zu finden? - Denk daran, dass bei der Berechnung der Schnittpunkte die Definitionsmengen beachtet werden müssen.

1. Bestimmung der Asymptoten von \(f\): Da der Grad des Zählers kleiner als der des Nenners ist, ist die x-Achse die waagrechte Asymptote mit \(y = 0\). Die Nullstelle des Nenners \(x - 3 = 0\) liefert die senkrechte Asymptote \(x = 3\). 2. Bestimmung der Asymptoten von \(g\): Da der Grad des Zählers kleiner als der des Nenners ist, ist die waagrechte Asymptote ebenfalls \(y = 0\). Die doppelte Nullstelle des Nenners \((x - 1)^2 = 0\) liefert die senkrechte Asymptote \(x = 1\). 3. Berechnung der Schnittpunkte: Gleichsetzen der Funktionsterme führt auf \(\frac{4}{x-3} = \frac{-4}{(x-1)^2}\). Division durch 4 und Multiplikation mit den Nennern ergibt \((x-1)^2 = -(x-3)\), was zu \(x^2 - 2x + 1 = -x + 3\) bzw. \(x^2 - x - 2 = 0\) vereinfacht wird. 4. Lösen der quadratischen Gleichung liefert \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -1\). 5. Einsetzen der x-Werte in \(f(x)\): \(f(2) = \frac{4}{2-3} = -4\) und \(f(-1) = \frac{4}{-1-3} = -1\). Die Schnittpunkte sind \(S_1(2 \mid -4)\) und \(S_2(-1 \mid -1)\).

a) \(G_f\): \(x = 3\) (senkrecht), \(y = 0\) (waagrecht); \(G_g\): \(x = 1\) (senkrecht), \(y = 0\) (waagrecht) b) \(S_1(2 \mid -4)\) und \(S_2(-1 \mid -1)\)

- Wie gehst du vor, um die gemeinsamen Punkte zweier Funktionsgraphen zu finden? - Achte darauf, die Gleichungen so umzuformen, dass sie keinen Nenner mehr enthalten. - Welche Rolle spielt die Definitionsmenge der Funktionen beim Lösen der Gleichungen? - Kannst du aus dem Ergebnis der vereinfachten Gleichung direkt auf die Anzahl der Lösungen schließen?

1. Teilaufgabe a: Gleichsetzen der Funktionsterme ergibt \(\frac{x^2-2x+3}{x-2} = 2x-1\). Multiplikation mit dem Nenner \((x-2)\) führt auf \(x^2-2x+3 = (2x-1)(x-2) = 2x^2-5x+2\). Durch Umformen erhält man die quadratische Gleichung \(x^2-3x-1=0\). Die Diskriminante ist \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 13\). Da \(D > 0\) und die Definitionslücke \(x=2\) keine Lösung der Gleichung ist (\(2^2-3 \cdot 2 - 1 = -3 \neq 0\)), existieren genau zwei Schnittpunkte. 2. Teilaufgabe b: Gleichsetzen ergibt \(\frac{2}{x-1} + 1 = \frac{x+3}{x+1}\). Zusammenfassen der linken Seite führt auf \(\frac{x+1}{x-1} = \frac{x+3}{x+1}\). Durch Überkreuzmultiplikation erhält man \((x+1)^2 = (x+3)(x-1)\), was ausmultipliziert \(x^2+2x+1 = x^2+2x-3\) ergibt. Dies führt auf den Widerspruch \(1 = -3\), woraus folgt, dass es keine Schnittpunkte gibt.

a) 2 Schnittpunkte b) 0 Schnittpunkte

- Wie gehst du vor, um die gemeinsamen Punkte zweier Graphen rechnerisch zu ermitteln? - Was musst du bei einer Gleichung mit einem Nenner im ersten Schritt tun, um diesen zu eliminieren? - Erinnere dich an Methoden zum Lösen quadratischer Gleichungen, sobald du die Gleichung vereinfacht hast. - Überprüfe am Ende, ob alle berechneten \(x\)-Werte auch im Definitionsbereich der Funktionen liegen.

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(\frac{x^2 - 4x + 3}{x - 2} = 3x - 9\) 2. Bestimmung der Definitionsmenge: \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}\) 3. Multiplikation der Gleichung mit dem Nenner \((x - 2)\): \(x^2 - 4x + 3 = (3x - 9)(x - 2)\) 4. Ausmultiplizieren der rechten Seite und Zusammenfassen zur quadratischen Normalform: \(2x^2 - 11x + 15 = 0\) 5. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der Mitternachtsformel): \(x_1 = 3\) und \(x_2 = 2{,}5\) 6. Einsetzen der \(x\)-Werte in eine der Funktionsgleichungen zur Bestimmung der \(y\)-Koordinaten: \(g(3) = 0\) und \(g(2{,}5) = -1{,}5\) 7. Angabe der Schnittpunkte: \(S_1(3 \mid 0)\) und \(S_2(2{,}5 \mid -1{,}5)\)

Die Schnittpunkte sind \(S_1(3 \mid 0)\) und \(S_2(2{,}5 \mid -1{,}5)\).

- Wann ist eine gebrochen-rationale Funktion an einer Stelle nicht definiert? - Wie führt man eine Division von Polynomen durch, um den ganzrationalen Anteil zu finden? - Was bedeutet es für die Differenz zwischen Funktion und Asymptote, wenn sie sich schneiden würden? - Welcher Teil eines Bruches muss null sein, damit der gesamte Funktionswert null wird?

1. Bestimmung der Definitionsmenge und senkrechten Asymptote: Der Nenner wird für \(x = 2\) null. Da der Zähler \(2(2)^2 - 3(2) - 1 = 1 \neq 0\) ist, liegt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor. Somit ist \(D_h = \mathbb{R} \setminus \{2\}\) und die senkrechte Asymptote hat die Gleichung \(x = 2\). 2. Durchführung der Polynomdivision: \((2x^2 - 3x - 1) : (x - 2) = 2x + 1 + \frac{1}{x - 2}\). Die schräge Asymptote hat die Gleichung \(a(x) = 2x + 1\). 3. Untersuchung auf Schnittpunkte mit der Asymptote: Die Gleichung \(h(x) = a(x)\) führt auf \(2x + 1 + \frac{1}{x - 2} = 2x + 1\), woraus \(\frac{1}{x - 2} = 0\) folgt. Da dieser Ausdruck für kein \(x\) null wird, gibt es keine Schnittpunkte. 4. Berechnung der Nullstellen: Setze den Zähler null: \(2x^2 - 3x - 1 = 0\). Anwendung der Mitternachtsformel liefert \(x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}\). Die Schnittpunkte sind \(N_1(\frac{3 - \sqrt{17}}{4} \mid 0)\) und \(N_2(\frac{3 + \sqrt{17}}{4} \mid 0)\).

a) \(D_h = \mathbb{R} \setminus \{2\}\); senkrechte Asymptote: \(x = 2\) b) \(h(x) = 2x + 1 + \frac{1}{x - 2}\); schräge Asymptote: \(a(x) = 2x + 1\) c) Es gibt keine Schnittpunkte, da die Gleichung \(\frac{1}{x - 2} = 0\) keine Lösung besitzt. d) \(N_1\left(\frac{3 - \sqrt{17}}{4} \middle| 0\right) \approx (-0{,}28 \mid 0)\) und \(N_2\left(\frac{3 + \sqrt{17}}{4} \middle| 0\right) \approx (1{,}78 \mid 0)\)

- Wie findet man die Definitionslücken bei einem Bruch? - Welches Verhalten zeigt die Funktion für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte? - Wie kann man einen Term mit einer Differenz auf einen gemeinsamen Nenner bringen? - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn man \(x\) durch \(-x\) ersetzt? - Wann ist ein Bruch mit negativem Zähler insgesamt positiv?

1. Bestimmung der Definitionslücken und Asymptoten: Der Nenner \(x^2 - 1 = 0\) liefert \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\). Da der Zähler dort nicht null ist, sind \(x = 1\) und \(x = -1\) senkrechte Asymptoten. \(D_k = \mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}\). Da Zähler- und Nennergrad gleich sind, ergibt der Grenzwert für \(x \to \pm \infty\) die waagrechte Asymptote \(y = 1\). 2. Nachweis der Termäquivalenz: \(1 - \frac{3}{x^2 - 1} = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 1} - \frac{3}{x^2 - 1} = \frac{x^2 - 1 - 3}{x^2 - 1} = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 1}\). 3. Symmetrieuntersuchung: Da im Funktionsterm nur gerade Potenzen von \(x\) vorkommen, gilt \(k(-x) = \frac{(-x)^2 - 4}{(-x)^2 - 1} = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 1} = k(x)\). Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 4. Lage zur Asymptote: Gesucht ist \(k(x) > 1\). Mit der Form aus b) folgt \(1 - \frac{3}{x^2 - 1} > 1 \iff -\frac{3}{x^2 - 1} > 0 \iff \frac{3}{x^2 - 1} < 0\). Dies ist erfüllt, wenn der Nenner negativ ist: \(x^2 - 1 < 0 \iff x^2 < 1 \iff -1 < x < 1\). Der Graph verläuft im Intervall \(]-1; 1[\) oberhalb der Asymptote.

a) \(D_k = \mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}\); senkrechte Asymptoten: \(x = -1, x = 1\); waagrechte Asymptote: \(y = 1\) b) Nachweis durch Hauptnennerbildung: \(\frac{x^2-1-3}{x^2-1} = \frac{x^2-4}{x^2-1}\) c) \(G_k\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, da \(k(-x) = k(x)\). d) Für \(x \in ]-1; 1[\) verläuft der Graph oberhalb der waagrechten Asymptote.

- Wie kannst du den Zähler so umschreiben, dass ein Vielfaches des Nenners darin vorkommt? - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn der Nenner gegen Null geht oder wenn \(x\) sehr große Werte annimmt? - Wann wird ein Bruch gleich Null? - Welche Form zeigt die Verschiebung der Hyperbel in \(y\)-Richtung direkt an?

1. Umformung durch Polynomdivision oder Zerlegung des Zählers: \(\frac{2x+7}{x+3} = \frac{2(x+3)+1}{x+3} = \frac{2(x+3)}{x+3} + \frac{1}{x+3} = 2 + \frac{1}{x+3}\). Damit ist \(a=1\), \(c=2\) und \(x_0 = -3\). 2. Bestimmung der Asymptoten: Die senkrechte Asymptote liegt an der Definitionslücke bei \(x = -3\). Die waagerechte Asymptote ergibt sich aus dem Verhalten für \(x \to \pm \infty\) zu \(y = 2\). 3. Bestimmung der Nullstelle: Ansatz \(2x+7 = 0\) führt zu \(x = -3{,}5\). 4. Analyse der Darstellungen: In der Form \(f(x) = \frac{2x+7}{x+3}\) lässt sich die Nullstelle direkt durch Nullsetzen des Zählers (\(2x+7=0\)) finden. In der Form \(f(x) = 2 + \frac{1}{x+3}\) lässt sich die waagerechte Asymptote \(y=2\) direkt als Summand ablesen, da der Bruchterm für große \(x\) gegen Null strebt.

a) \(f(x) = 2 + \frac{1}{x+3}\) b) Waagerechte Asymptote: \(y = 2\); senkrechte Asymptote: \(x = -3\); Nullstelle: \(x = -3{,}5\) c) Die Nullstelle ist direkt aus der Zähler-Nenner-Form \(\frac{2x+7}{x+3}\) ablesbar. Die waagerechte Asymptote ist direkt aus der Summenform \(2 + \frac{1}{x+3}\) als konstanter Wert ablesbar.

- Wie findet man einen gemeinsamen Nenner für zwei Brüche? - Welche mathematische Bedingung muss für die Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse gelten? - Was passiert mit den Funktionswerten, wenn die x-Werte sehr groß oder sehr klein werden? - An welchen Stellen im Definitionsbereich könnte der Graph senkrechte Linien als Schranken haben? - Welchen Wert musst du für \(x\) einsetzen, um einen Punkt auf der \(y\)-Achse zu finden?

1. Bringen der Brüche auf den Hauptnenner \((x-2)(x+2)\): \(f(x) = \frac{1 \cdot (x+2) - 1 \cdot (x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x+2-x+2}{x^2-4} = \frac{4}{x^2-4}\). 2. Überprüfung der Bedingung \(f(-x) = f(x)\): \(f(-x) = \frac{4}{(-x)^2 - 4} = \frac{4}{x^2 - 4} = f(x)\). Da die Bedingung erfüllt ist, liegt Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse vor. 3. Senkrechte Asymptoten an den Nullstellen des Nenners (da diese keine Nullstellen des Zählers sind): \(x = 2\) und \(x = -2\). Waagrechte Asymptote: Da der Grad des Zählers (0) kleiner als der Grad des Nenners (2) ist, gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0\). Die Gleichung der waagrechten Asymptote lautet somit \(y = 0\). 4. Berechnung des Funktionswerts an der Stelle \(x = 0\): \(f(0) = \frac{4}{0^2 - 4} = -1\). Der Schnittpunkt hat die Koordinaten \(S_y(0 \mid -1)\).

1. Nachweis durch Hauptnennerbildung: \(f(x) = \frac{x+2-(x-2)}{x^2-4} = \frac{4}{x^2-4}\). 2. Nachweis über \(f(-x) = f(x)\). 3. Senkrechte Asymptoten: \(x = -2\) und \(x = 2\); waagrechte Asymptote: \(y = 0\). 4. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \((0 \mid -1)\).

- Erinnere dich an das Verfahren zum Subtrahieren von Brüchen. - Wie lässt sich ein quadratischer Ausdruck im Nenner durch quadratische Ergänzung umformen? - Wann genau wird ein Bruch gleich Null? Schau dir dazu den Zähler an. - Was sagen die Definitionslücken über das Verhalten des Graphen aus? - Untersuche das Verhalten der Funktion für \(x\)-Werte, deren Betrag gegen unendlich strebt.

1. Subtraktion der Brüche durch Erweitern auf den gemeinsamen Nenner \(x(x+4)\): \(g(x) = \frac{x+4 - x}{x(x+4)} = \frac{4}{x^2 + 4x}\). 2. Anwendung der ersten binomischen Formel im Nenner: \((x+2)^2 - 4 = x^2 + 4x + 4 - 4 = x^2 + 4x\). Einsetzen ergibt die Identität der Terme. 3. Ein Bruch ist genau dann Null, wenn der Zähler Null ist. Da der Zähler hier die Konstante \(4\) ist (\(4 \neq 0\)), besitzt die Gleichung \(g(x) = 0\) keine Lösung. Somit gibt es keine Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse. 4. Die senkrechten Asymptoten liegen an den Definitionslücken (Polstellen ohne Hebung): \(x = 0\) und \(x = -4\). Da der Grad des Nennerpolynoms höher ist als der des Zählerpolynoms, ist die \(x\)-Achse die waagerechte Asymptote: \(y = 0\).

1. Nachweis durch Differenzbildung: \(g(x) = \frac{x+4-x}{x(x+4)} = \frac{4}{x^2+4x}\). 2. Nachweis durch Ausmultiplizieren: \((x+2)^2-4 = x^2+4x+4-4 = x^2+4x\). 3. Kein Schnittpunkt, da der Zähler \(4\) nie Null wird. 4. Senkrechte Asymptoten: \(x = 0\) und \(x = -4\); waagerechte Asymptote: \(y = 0\).

- Überlege, für welchen Wert der Nenner der Funktion Null wird. - Betrachte das Verhalten der Funktionswerte für sehr große und sehr kleine x-Werte. - Wie berechnet man den Schnittpunkt mit der y-Achse und wie findet man die Stellen, an denen der Funktionswert Null ist? - Wenn du zu einer Funktion einen linearen Term addierst, wie verändert das das langfristige Verhalten des Graphen? - Nutze die Zerlegung des Bruchs, um die schräge Asymptote direkt abzulesen.

1. Definitionsmenge: Der Nenner wird für \(x = -1\) Null, also \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\). 2. Senkrechte Asymptote: Da \(x = -1\) eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel ist, lautet die Gleichung \(x = -1\). 3. Waagrechte Asymptote: Der Grenzwert für \(x \to \pm \infty\) ergibt sich aus dem Verhältnis der Koeffizienten der höchsten Potenzen: \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{-2x+6}{x+1} = -2\). Die Gleichung ist \(y = -2\). 4. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(f(0) = \frac{6}{1} = 6 \implies S_y(0 \mid 6)\). 5. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(6 - 2x = 0 \implies x = 3 \implies N(3 \mid 0)\). 6. Asymptoten von \(h\): Durch Zerlegung von \(f(x)\) mittels Polynomdivision oder Termumformung erhält man \(f(x) = -2 + \frac{8}{x+1}\). Somit ist \(h(x) = x - 2 + \frac{8}{x+1}\). 7. Die senkrechte Asymptote bleibt bei \(x = -1\). Die schräge Asymptote ergibt sich aus dem linearen Teil der Summe zu \(y = x - 2\).

a) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\); senkrechte Asymptote: \(x = -1\); waagrechte Asymptote: \(y = -2\) b) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 \mid 6)\); Nullstelle: \(N(3 \mid 0)\) c) Senkrechte Asymptote: \(x = -1\); schräge Asymptote: \(y = x - 2\)

- Wie addiert man Brüche mit unterschiedlichen Nennern? - Denke an die Umrechnung von Dezimalstunden in Minuten: Ein Viertel einer Stunde sind wie viele Minuten? - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn der Nenner gegen Null geht? - Was bedeutet es physikalisch für das Vorankommen, wenn der Wind stärker ist als der eigene Antrieb?

1. Zur Termumformung wird der Hauptnenner \((x+40)(x-40) = x^2 - 1600\) gebildet. Erweitern der Brüche liefert \(\frac{600(x-40) + 600(x+40)}{x^2 - 1600}\). Vereinfachen des Zählers ergibt \(600x - 24\,000 + 600x + 24\,000 = 1200x\). Somit gilt \(T(x) = \frac{1200x}{x^2 - 1600}\). 2. Für \(x = 160\) ergibt sich \(T(160) = \frac{1200 \cdot 160}{160^2 - 1600} = \frac{192000}{24000} = 8\). Die Flugzeit beträgt \(8\,\text{h}\,0\,\text{min}\). 3. Für \(x = 200\) ergibt sich \(T(200) = \frac{1200 \cdot 200}{200^2 - 1600} = \frac{240000}{38400} = 6{,}25\). Da \(0{,}25 \cdot 60 = 15\), beträgt die Flugzeit \(6\,\text{h}\,15\,\text{min}\). 4. Die senkrechte Asymptote liegt an der Polstelle des Nenners im betrachteten Bereich, also bei \(x = 40\). Da der Grad des Zählers (1) kleiner ist als der Grad des Nenners (2), ist die waagrechte Asymptote die \(x\)-Achse mit der Gleichung \(y = 0\). 5. Im Sachzusammenhang bedeutet \(x < 40\), dass die Eigengeschwindigkeit des Flugzeugs geringer ist als die Windgeschwindigkeit. Das Flugzeug könnte nicht gegen den Wind anfliegen (die Geschwindigkeit über Grund \(x - 40\) wäre negativ), wodurch der Zielort nie erreicht würde. Mathematisch würde dies zu einer negativen Zeitdauer für einen Teil der Strecke führen.

a) Nachweis durch Erweitern auf den Hauptnenner \(x^2 - 1600\). b) Bei \(160\,\text{km/h}\): \(8\,\text{h}\,0\,\text{min}\); bei \(200\,\text{km/h}\): \(6\,\text{h}\,15\,\text{min}\). c) Senkrechte Asymptote: \(x = 40\); waagrechte Asymptote: \(y = 0\). d) Das Flugzeug ist langsamer als der Gegenwind (\(x - 40 < 0\)) und kann die Strecke nicht bewältigen.

- Wie lautet die Bedingung für Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse bezüglich des Funktionsterms? - Was passiert mit dem Bruch, wenn \(x\) immer größer wird? Welcher Teil des Terms dominiert dann? - Wie kannst du eine Gleichung mit einem Bruch auflösen, um nach \(x\) freizustellen? - Denk daran, dass eine quadratische Gleichung \(x^2 = a\) zwei Lösungen haben kann.

1. Zur Überprüfung der Achsensymmetrie wird \(f(-x)\) berechnet: \(f(-x) = \frac{2(-x)^2}{(-x)^2 + 1} = \frac{2x^2}{x^2 + 1} = f(x)\). Da \(f(-x) = f(x)\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt, ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Für den Grenzwert betrachten wir den Funktionsterm für große \(x\): \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2}{x^2 + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{1 + \frac{1}{x^2}} = 2\). Die waagrechte Asymptote hat somit die Gleichung \(y = 2\). 3. Zur Lösung der Gleichung \(f(x) = 1{,}8\) setzen wir an: \(\frac{2x^2}{x^2 + 1} = 1{,}8\). Multiplikation mit dem Nenner liefert \(2x^2 = 1{,}8(x^2 + 1) = 1{,}8x^2 + 1{,}8\). Umformen nach \(x^2\) ergibt \(0{,}2x^2 = 1{,}8\), also \(x^2 = 9\). Daraus folgen die Lösungen \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\).

1. Nachweis über \(f(-x) = f(x)\). 2. \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 2\); waagrechte Asymptote: \(y = 2\). 3. \(x_1 = 3\); \(x_2 = -3\).

- Überlege, für welchen Wert der Nenner des Bruchs null wird, um die Definitionsmenge zu bestimmen. - Für die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse musst du den Zähler gleich null setzen. - Die alternative Darstellung des Terms findest du am besten durch eine Division des Zählers durch den Nenner. - Schau dir den Funktionsterm für sehr große \(x\)-Werte an, um die schräge Asymptote zu finden. - Prüfe für die Symmetrie, was passiert, wenn du \(x\) durch \(-x\) ersetzt.

1. Definitionsmenge: Der Nenner wird für \(x = 1\) null, daher ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}\). 2. Schnittpunkte mit den Achsen: Die Nullstellen ergeben sich aus \(x^2 - 4 = 0\), also \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). Die Schnittpunkte sind \(N_1(2 \mid 0)\) und \(N_2(-2 \mid 0)\). Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(f(0) = \frac{0^2 - 4}{0 - 1} = 4\), also \(S_y(0 \mid 4)\). 3. Termdarstellung: Durch Polynomdivision von \((x^2 - 4) : (x - 1)\) erhält man \(x + 1\) mit dem Rest \(-3\). Somit gilt \(f(x) = x + 1 + \frac{-3}{x - 1} = x + 1 - \frac{3}{x - 1}\). 4. Asymptoten: Die senkrechte Asymptote liegt an der Polstelle \(x = 1\). Da der Exponent des Linearfaktors im Nenner ungerade ist, handelt es sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel. Die schräge Asymptote ergibt sich aus dem ganzrationalen Teil der Zerlegung: \(y = x + 1\). 5. Symmetrie: \(f(-x) = \frac{(-x)^2 - 4}{-x - 1} = \frac{x^2 - 4}{-(x + 1)}\). Da \(f(-x) \neq f(x)\) und \(f(-x) \neq -f(x)\), liegt keine Symmetrie zur \(y\)-Achse oder zum Ursprung vor.

a) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}\); Nullstellen bei \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\), also \(N_1(2 \mid 0)\) und \(N_2(-2 \mid 0)\); \(y\)-Achsenabschnitt bei \(S_y(0 \mid 4)\). b) Nachweis durch Polynomdivision: \((x^2 - 4) : (x - 1) = x + 1\) Rest \(-3\). c) Senkrechte Asymptote: \(x = 1\); schräge Asymptote: \(y = x + 1\); Polstelle bei \(x = 1\) mit Vorzeichenwechsel. d) Keine Symmetrie zum Ursprung oder zur \(y\)-Achse.

- Kann ein Ausdruck der Form \(x^2 + \text{positive Zahl}\) jemals null werden? - Du kannst den Bruch in zwei Teile zerlegen, um die Gleichung der schrägen Asymptote direkt abzulesen. - Erinnere dich an die Bedingung für Punktsymmetrie zum Ursprung: \(f(-x) = -f(x)\). - Setze für die Grenzwerte am Pol sehr kleine positive und negative Zahlen für \(x\) ein, um das Vorzeichen der Unendlichkeit zu bestimmen.

1. Definitionsmenge und Nullstellen: Da der Nenner \(2x\) für \(x = 0\) null wird, ist \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). Nullstellen existieren nur, wenn der Zähler \(x^2 + 3 = 0\) wird. Da \(x^2 + 3 \geq 3\) für alle reellen \(x\) gilt, gibt es keine Nullstellen. 2. Asymptoten: Eine senkrechte Asymptote liegt bei der Polstelle \(x = 0\). Durch Aufspalten des Bruchs erhält man \(g(x) = \frac{x^2}{2x} + \frac{3}{2x} = \frac{1}{2}x + \frac{1{,}5}{x}\). Die schräge Asymptote ist somit \(y = 0{,}5x\). 3. Symmetrie: Es gilt \(g(-x) = \frac{(-x)^2 + 3}{2(-x)} = \frac{x^2 + 3}{-2x} = -\frac{x^2 + 3}{2x} = -g(x)\). Somit ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. 4. Verhalten am Pol: Für \(x \to 0^+\) strebt der Zähler gegen \(3\) und der Nenner gegen \(0\) mit positiven Werten, also \(g(x) \to +\infty\). Für \(x \to 0^-\) strebt der Nenner gegen \(0\) mit negativen Werten, also \(g(x) \to -\infty\). Es liegt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor.

a) \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{0\}\); keine Nullstellen, da \(x^2 + 3 > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\). b) Senkrechte Asymptote: \(x = 0\); schräge Asymptote: \(y = 0{,}5x\). c) Der Graph \(G_g\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da \(g(-x) = -g(x)\). d) \(\lim_{x \to 0^+} g(x) = +\infty\) und \(\lim_{x \to 0^-} g(x) = -\infty\).

- Wie kannst du die Scheitelpunktform der quadratischen Funktion nutzen? - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner immer größer wird? - Wenn ein Nenner an einer Stelle seinen kleinsten positiven Wert erreicht, was bedeutet das für den Gesamtwert des Bruchs? - Überlege dir, wie sich das Steigungsverhalten von \(f\) auf das von \(\frac{1}{f}\) überträgt.

1. Die Funktion \(f\) ist eine nach oben geöffnete Parabel. Durch quadratische Ergänzung ergibt sich \(f(x) = (x-3)^2 + 2\). Der Scheitelpunkt und somit das lokale Minimum liegt bei \(T(3 \mid 2)\). Da \(g(x) = \frac{1}{f(x)}\) ist, liegt die Extremstelle von \(g\) ebenfalls bei \(x=3\). Da \(f\) dort ihren kleinsten positiven Wert annimmt, nimmt der Kehrwert \(g\) dort seinen größten Wert an. Es liegt ein Hochpunkt bei \(H(3 \mid 0{,}5)\) vor. 2. Für \(x \to \pm \infty\) wachsen die Funktionswerte von \(f(x)\) gegen \(+\infty\). Da \(g(x)\) der Kehrwert von \(f(x)\) ist, streben die Funktionswerte von \(g(x)\) gegen \(0\). Die x-Achse ist somit eine waagerechte Asymptote für \(G_g\). 3. Wenn \(f(x) > 0\) ist, führt ein lokales Minimum von \(f\) an einer Stelle \(x_0\) dazu, dass der Nenner von \(g(x) = \frac{1}{f(x)}\) dort minimal ist. Ein minimaler Nenner bewirkt bei konstantem Zähler den maximalen Funktionswert für \(g\). Umgekehrt wird ein lokales Maximum von \(f\) zu einem lokalen Minimum von \(g\).

1. \(f\): Tiefpunkt \(T(3 \mid 2)\); \(g\): Hochpunkt \(H(3 \mid 0{,}5)\). 2. Für \(x \to \pm \infty\): \(f(x) \to +\infty\) und \(g(x) \to 0\). 3. Ein lokales Minimum von \(f\) entspricht einem lokalen Maximum von \(g\) (und umgekehrt), da der Kehrwert einer minimalen positiven Zahl maximal ist.

- Wie lautet die mathematische Bedingung dafür, dass sich zwei Funktionsgraphen schneiden? - Versuche, die Gleichung so umzuformen, dass auf einer Seite eine Null steht. - Kannst du im entstandenen Term eine Struktur erkennen, die an binomische Formeln erinnert? - Überlege, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung in Abhängigkeit von ihrer Diskriminante haben kann. - Denke daran, am Ende zu prüfen, ob die gefundenen Stellen im Definitionsbereich der Funktionen liegen.

1. Ansatz für die Schnittpunkte: \(f(x) = g(x)\) führt auf die Gleichung \(\frac{1}{x} + 2 = x^3 - x\). 2. Multiplikation mit \(x\) (da \(x \neq 0\)): \(1 + 2x = x^4 - x^2\). 3. Umformen in eine Polynomgleichung: \(x^4 - x^2 - 2x - 1 = 0\). 4. Erkennen einer binomischen Formel: \(x^4 - (x^2 + 2x + 1) = 0 \Rightarrow x^4 - (x+1)^2 = 0\). 5. Anwendung des Satzes über die Differenz von Quadraten (\(a^2 - b^2\)): \((x^2 - (x+1)) \cdot (x^2 + (x+1)) = 0\). 6. Untersuchung des ersten Faktors: \(x^2 - x - 1 = 0\). Die Diskriminante ist \(D_1 = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 5 > 0\). Dies liefert zwei reelle Lösungen (\(x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\)). 7. Untersuchung des zweiten Faktors: \(x^2 + x + 1 = 0\). Die Diskriminante ist \(D_2 = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0\). Dieser Faktor liefert keine reellen Lösungen. 8. Da beide gefundenen Stellen \(x_1\) und \(x_2\) ungleich der Definitionslücke \(0\) sind, gibt es genau zwei Schnittpunkte.

Die Graphen \(G_f\) und \(G_g\) besitzen genau zwei Schnittpunkte.

- Überlege, für welchen Wert der Nenner eines Bruchs null wird. - Wie verhält sich der Funktionswert, wenn \(x\) gegen sehr große oder sehr kleine Werte strebt? - Versuche im Zähler den Ausdruck des Nenners künstlich zu erzeugen, um den Bruch aufzuspalten. - Erinnere dich daran, wie Parameter in der Form \(af(x - c) + d\) den Graphen beeinflussen.

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Der Nenner wird bei \(x = -1\) null, daher ist \(D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\). 2. Bestimmung der Nullstellen: Aus \(x - 2 = 0\) folgt die Nullstelle bei \(x = 2\). 3. Analyse der Asymptoten: Die senkrechte Asymptote (Polstelle) liegt bei \(x = -1\). Da der Grad des Zählers gleich dem Grad des Nenners ist, ergibt sich die waagerechte Asymptote durch den Quotienten der Leitkoeffizienten zu \(y = \frac{1}{1} = 1\). 4. Termumformung: Durch Polynomdivision oder geschicktes Ergänzen erhält man \(f(x) = \frac{x+1-3}{x+1} = \frac{x+1}{x+1} - \frac{3}{x+1} = 1 - \frac{3}{x+1}\). Damit ist \(a = 1\) und \(b = -3\). 5. Beschreibung der Transformation: Der Graph von \(y = \frac{1}{x}\) wird zunächst mit dem Faktor \(3\) in \(y\)-Richtung gestreckt und an der \(x\)-Achse gespiegelt (Faktor \(-3\)). Anschließend erfolgt eine Verschiebung um \(1\) Einheit nach links und um \(1\) Einheit nach oben.

a) \(D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\); Nullstelle bei \(x = 2\); senkrechte Asymptote \(x = -1\); waagerechte Asymptote \(y = 1\). b) \(f(x) = 1 - \frac{3}{x+1}\) mit \(a = 1\) und \(b = -3\). c) Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(3\), Spiegelung an der \(x\)-Achse, Verschiebung um \(1\) nach links und um \(1\) nach oben.

- Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit ein Funktionswert genau auf oder über der \(x\)-Achse liegt? - Denke daran, dass sich das Vorzeichen einer gebrochen-rationalen Funktion nur an Nullstellen oder an Definitionslücken ändern kann. - Wie kannst du den Zähler und den Nenner in Linearfaktoren zerlegen, um die Vorzeichen einfacher zu bestimmen? - Achte darauf, ob die Randpunkte der Intervalle (Nullstellen und Definitionslücken) zur Lösungsmenge gehören dürfen.

1. Bestimmung der Nullstellen des Zählers: \(x^3 - 4x = 0 \iff x(x^2 - 4) = 0 \iff x(x-2)(x+2) = 0\). Die Nullstellen sind \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 2\). 2. Bestimmung der Definitionslücken (Nullstellen des Nenners): \(x^2 - 2x - 3 = 0 \iff (x-3)(x+1) = 0\). Die Definitionslücken liegen bei \(x = -1\) und \(x = 3\). 3. Aufstellen der Vorzeichentabelle oder Untersuchung der Intervalle zwischen den kritischen Stellen \(-2\), \(-1\), \(0\), \(2\) und \(3\). 4. Prüfung des Vorzeichens von \(h(x)\) in den Intervallen: - Für \(x \in ]-\infty; -2]\) ist \(h(x) \le 0\). - Für \(x \in [-2; -1[\) ist \(h(x) \ge 0\). - Für \(x \in ]-1; 0]\) ist \(h(x) \le 0\). - Für \(x \in [0; 2]\) ist \(h(x) \ge 0\). - Für \(x \in [2; 3[\) ist \(h(x) \le 0\). - Für \(x \in ]3; \infty[\) ist \(h(x) \ge 0\). 5. Zusammenfassung der Intervalle, in denen \(h(x) \ge 0\) gilt: \(x \in [-2; -1[ \cup [0; 2] \cup ]3; \infty[\).

a) Die Nullstellen sind \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 2\). b) Der Graph verläuft oberhalb oder auf der \(x\)-Achse für \(x \in [-2; -1[ \cup [0; 2] \cup ]3; \infty[\).

- Kannst du den Zähler der gebrochen-rationalen Funktion faktorisieren? - Welche Werte für \(x\) führen dazu, dass der Nenner Null wird? - Erstelle eine Vorzeichentabelle oder teste Werte aus den verschiedenen Intervallen, die durch die Null- und Polstellen entstehen. - Achte darauf, ob die Randpunkte der Intervalle (Nullstellen und Polstellen) zur Lösungsmenge gehören dürfen.

1. Faktorisierung des Zählers: \(x^2 - 2x - 8 = (x-4)(x+2)\) mit den Nullstellen \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 4\). 2. Bestimmung der Definitionslücke (Polstelle) durch den Nenner: \(x - 1 = 0 \Rightarrow x_3 = 1\). 3. Einteilung der reellen Achse in Testintervalle durch die kritischen Punkte \(-2\), \(1\) und \(4\). 4. Vorzeichenprüfung der Intervalle: Im Intervall \(]-\infty; -2[\) ist der Term negativ, in \(]-2; 1[\) positiv, in \(]1; 4[\) negativ und in \(]4; \infty[\) positiv; bei \(x=-2\) und \(x=4\) ist der Term gleich \(0\), während \(x=1\) ausgeschlossen ist. 5. Da die Ungleichung \(\ge 0\) fordert, werden die Intervalle mit positivem Vorzeichen inklusive der Nullstellen des Zählers gewählt: \(L = [-2; 1[ \cup [4; \infty[\).

\(L = [-2; 1[ \cup [4; \infty[\)

- Was fällt dir an der Struktur des Zählers auf, wenn du ihn faktorisierst? Kann dieser Ausdruck jemals negativ werden? - Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit ein Bruch kleiner oder gleich Null ist? - Untersuche separat, wann der Zähler Null wird und wann der Nenner ein negatives Vorzeichen hat. - Vergiss nicht, die Werte auszuschließen, für die der Nenner Null wird.

1. Analyse des Zählers: \(x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2\). Der Zähler ist für alle \(x \in \mathbb{R}\) stets \(\ge 0\) und hat bei \(x = 2\) eine doppelte Nullstelle. 2. Faktorisierung des Nenners: \(x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)\). Der Nenner hat einfache Nullstellen (Polstellen) bei \(x = -2\) und \(x = 3\). 3. Bestimmung des Definitionsbereichs: \(D = \mathbb{R} \setminus \{-2; 3\}\). 4. Untersuchung des Vorzeichens: Da der Zähler niemals negativ ist, kann der gesamte Bruch nur dann \(\le 0\) sein, wenn entweder der Zähler gleich \(0\) ist (\(x=2\)) oder der Nenner negativ ist (\((x-3)(x+2) < 0\)). 5. Der Nenner ist zwischen seinen Nullstellen negativ, also für \(x \in ]-2; 3[\). Da die Nullstelle des Zählers \(x=2\) in diesem Intervall liegt, ist die Ungleichung für alle \(x\) in diesem Bereich erfüllt. 6. Ergebnis: \(L = ]-2; 3[\).

\(L = ]-2; 3[\)

- Wann kann ein Nenner eines Bruches Null werden? - Überlege dir, ob die Summe aus einer Quadratzahl und einer positiven Zahl jemals Null sein kann. - Wie kannst du die Gleichung umformen, um den Bruch aufzulösen? - Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob deine berechneten Werte im Definitionsbereich liegen.

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Da der Nenner \(x^2 + 1\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) stets größer oder gleich \(1\) ist, gibt es keine Definitionslücken. Somit ist \(D = \mathbb{R}\). 2. Bestimmung der Polstellen: Da keine Definitionslücken existieren, besitzt die Funktion keine Polstellen. 3. Berechnung der Nullstellen: Ansatz \(f(x) = 0\) führt auf \(\frac{x^2 - 5}{x^2 + 1} = -1\). Multiplikation mit dem Nenner ergibt \(x^2 - 5 = -(x^2 + 1)\), also \(x^2 - 5 = -x^2 - 1\). 4. Lösen der Gleichung: \(2x^2 = 4 \implies x^2 = 2\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = \sqrt{2}\) und \(x_2 = -\sqrt{2}\).

\(D = \mathbb{R}\); keine Polstellen vorhanden; Nullstellen bei \(x_1 = \sqrt{2}\) und \(x_2 = -\sqrt{2}\).

- Wie gehst du vor, um die Ableitung eines Bruchs zu berechnen? - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner immer größer wird, während der Zähler konstant bleibt? - Wie beeinflusst der Exponent im Nenner das Verhalten des Graphen in der Nähe einer Definitionslücke? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Vielfachheit einer Nullstelle im Nenner und dem Vorzeichenwechsel.

1. Berechnung der Ableitungen: Mithilfe der Quotientenregel oder durch Umschreiben zu \(f(x) = 5 + \frac{17}{x - 3}\) ergibt sich die erste Ableitung \(f'(x) = -17 \cdot (x - 3)^{-2} = \frac{-17}{(x - 3)^2}\). Die zweite Ableitung lautet somit \(f''(x) = -17 \cdot (-2) \cdot (x - 3)^{-3} = \frac{34}{(x - 3)^3}\). 2. Untersuchung der Asymptote: Für \(x \to \pm \infty\) gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{34}{(x - 3)^3} = 0\). Da der Grenzwert Null ist, nähert sich der Graph \(G_{f''}\) der Geraden \(y = 0\) (der \(x\)-Achse) beliebig an. 3. Bestimmung der Polstelle: Die Polstelle von \(f''\) liegt an der Nullstelle des Nenners, also bei \(x = 3\). Da der Exponent des Linearfaktors im Nenner von \(f''(x)\) ungerade ist (Grad 3), handelt es sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

a) \(f''(x) = \frac{34}{(x - 3)^3}\) b) Wegen \(\lim_{x \to \pm \infty} f''(x) = 0\) ist die \(x\)-Achse waagrechte Asymptote. c) Polstelle bei \(x = 3\); Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

- Kannst du die Funktion umschreiben, um die Kettenregel einfacher anzuwenden? - Was bedeutet es für den Graphen, wenn der Funktionswert für extrem große \(x\)-Werte gegen Null geht? - Schau dir die Potenz im Nenner der zweiten Ableitung genau an – ist sie gerade oder ungerade? - Was sagt dir die Art der Polstelle über den Verlauf des Graphen links und rechts der Lücke?

1. Bestimmung der zweiten Ableitung: Die Funktion kann als \(g(x) = (x + 2)^{-2}\) geschrieben werden. Die erste Ableitung ist \(g'(x) = -2 \cdot (x + 2)^{-3} = \frac{-2}{(x + 2)^3}\). Die zweite Ableitung ergibt sich zu \(g''(x) = -2 \cdot (-3) \cdot (x + 2)^{-4} = \frac{6}{(x + 2)^4}\). 2. Grenzwertbetrachtung: Es gilt \(\lim_{x \to \infty} \frac{6}{(x + 2)^4} = 0\) und \(\lim_{x \to -\infty} \frac{6}{(x + 2)^4} = 0\). Da der Funktionswert für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte gegen Null strebt, ist die \(x\)-Achse (\(y = 0\)) die waagrechte Asymptote. 3. Analyse der Polstelle: Die Definitionslücke und damit die Polstelle von \(g''\) liegt bei \(x = -2\). Da der Nenner \((x + 2)^4\) einen geraden Exponenten besitzt, ändern die Funktionswerte an dieser Stelle ihr Vorzeichen nicht. Es handelt sich um eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

a) \(g''(x) = \frac{6}{(x + 2)^4}\) b) \(\lim_{x \to \pm \infty} g''(x) = 0\), daher ist die \(x\)-Achse Asymptote. c) Polstelle bei \(x = -2\); Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

- Wann ist ein Bruch definiert und wann ist sein Wert gleich null? - Erinnere dich an die Polynomdivision oder versuche, den Zähler so umzuschreiben, dass du ihn teilweise durch den Nenner teilen kannst. - Welche Geraden nähern sich dem Graphen für sehr große \(x\)-Werte oder an den Definitionslücken an? - Was sagt das Vorzeichen der zweiten Ableitung über die Form der Kurve aus? - Überlege, welche Bedingung für die Existenz einer Wendestelle erfüllt sein muss und ob diese hier möglich ist.

1. Definitionsmenge bestimmen: Der Nenner darf nicht null werden, also \(x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2\). Somit ist \(D = \mathbb{R} \setminus \{2\}\). 2. Nullstellen bestimmen: Der Zähler \(x^2 - 4x + 7\) hat die Diskriminante \(\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 - 28 = -12\). Da \(\Delta < 0\), gibt es keine reellen Nullstellen. 3. Termumformung prüfen: \((x - 2) \cdot (x - 2) + 3 = x^2 - 4x + 4 + 3 = x^2 - 4x + 7\). Division durch \((x - 2)\) ergibt die geforderte Form \(x - 2 + \frac{3}{x - 2}\). 4. Asymptoten identifizieren: Die senkrechte Asymptote liegt an der Definitionslücke \(x = 2\). Die schräge Asymptote ergibt sich aus dem linearen Teil der Zerlegung zu \(y = x - 2\). 5. Krümmungsverhalten: Für \(x > 2\) ist der Nenner von \(f''(x)\) positiv, also \(f''(x) > 0\) (Linkskrümmung). Für \(x < 2\) ist der Nenner negativ, also \(f''(x) < 0\) (Rechtskrümmung). 6. Wendepunkte: Ein Wendepunkt erfordert \(f''(x) = 0\). Da der Zähler der zweiten Ableitung konstant \(6\) ist, hat die Gleichung keine Lösung. Die Stelle \(x = 2\) gehört nicht zur Definitionsmenge.

a) \(D = \mathbb{R} \setminus \{2\}\); keine Nullstellen. b) Asymptoten: \(x = 2\) und \(y = x - 2\). c) \(G_f\) ist für \(x < 2\) rechtsgekrümmt und für \(x > 2\) linksgekrümmt. Es gibt keine Wendepunkte, da \(f''(x) \neq 0\) für alle \(x \in D\).

- Überlege zuerst, für welche Werte die Funktion überhaupt definiert ist. - Welche mathematische Bedingung muss für die Ableitung erfüllt sein, damit ein Monotoniewechsel stattfinden kann? - Untersuche nicht nur die Nullstellen der Ableitung, sondern schaue dir auch das Verhalten an der Definitionslücke genau an. - Hilft dir eine Vorzeichentabelle der Ableitung, um die Intervalle übersichtlich darzustellen?

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Die Funktion ist für \(x = 2\) nicht definiert, also \(D = \mathbb{R} \setminus \{2\}\). 2. Berechnung der ersten Ableitung mittels Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{2x(x-2) - (x^2-3) \cdot 1}{(x-2)^2} = \frac{x^2 - 4x + 3}{(x-2)^2}\). 3. Bestimmung der kritischen Stellen durch \(f'(x) = 0\): Die Nullstellen des Zählers \(x^2 - 4x + 3 = 0\) liegen bei \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). 4. Analyse des Vorzeichens von \(f'(x)\): Da der Nenner \((x-2)^2\) für alle \(x \in D\) positiv ist, hängt das Vorzeichen nur vom Zähler ab. Der Zähler ist eine nach oben geöffnete Parabel mit Nullstellen bei \(1\) und \(3\). 5. Monotonieintervalle: Für \(x < 1\) ist \(f'(x) > 0\) (streng monoton steigend), für \(1 < x < 2\) ist \(f'(x) < 0\) (streng monoton fallend), für \(2 < x < 3\) ist \(f'(x) < 0\) (streng monoton fallend) und für \(x > 3\) ist \(f'(x) > 0\) (streng monoton steigend). 6. Ergebnis: Das Monotonieverhalten ändert sich bei \(x = 1\) (Hochpunkt) und \(x = 3\) (Tiefpunkt). An der Polstelle \(x = 2\) ändert es sich nicht, da das Vorzeichen von \(f'\) links und rechts der Stelle negativ bleibt.

Das Monotonieverhalten von \(f\) ändert sich an den Stellen \(x = 1\) und \(x = 3\). Begründung: - Bei \(x = 1\) und \(x = 3\) liegen Nullstellen der ersten Ableitung mit Vorzeichenwechsel vor (Extremstellen). - An der Polstelle \(x = 2\) ändert sich das Monotonieverhalten nicht, da die erste Ableitung \(f'(x) = \frac{(x-1)(x-3)}{(x-2)^2}\) in einer Umgebung von \(x = 2\) (sowohl für \(x < 2\) als auch für \(x > 2\)) negative Werte annimmt.

- Überlege dir, unter welchen Bedingungen der Nenner eines Bruches null werden könnte. - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn du \(x\) durch \(-x\) ersetzt? - Erinnere dich an die Regel für Grenzwerte rationaler Funktionen, wenn der Grad des Zählers gleich dem Grad des Nenners ist. - Nutze die Quotientenregel für die Ableitungen und achte auf die Kettenregel beim Ableiten der Nennerpotenzen. - Wie hängen das Vorzeichen der ersten Ableitung und die Art des Extrempunktes zusammen?

1. Definitionsbereich und Nullstellen: Da der Nenner \(x^2+2\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) stets größer oder gleich \(2\) ist, gibt es keine Definitionslücken, woraus \(D_f = \mathbb{R}\) folgt. Die Nullstellen ergeben sich aus \(8-2x^2=0\), woraus \(x^2=4\) und somit \(x_1 = -2\) sowie \(x_2 = 2\) folgen. 2. Symmetrie und Grenzwerte: Wegen \(f(-x) = \frac{8-2(-x)^2}{(-x)^2+2} = \frac{8-2x^2}{x^2+2} = f(x)\) ist der Graph \(G_f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Für die Grenzwerte gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{8-2x^2}{x^2+2} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{8}{x^2}-2}{1+\frac{2}{x^2}} = -2\). 3. Extrempunkt: Die erste Ableitung lautet \(f'(x) = \frac{-4x(x^2+2) - (8-2x^2) \cdot 2x}{(x^2+2)^2} = \frac{-24x}{(x^2+2)^2}\). Die einzige horizontale Tangente liegt bei \(x=0\) vor. Da \(f'(x) > 0\) für \(x < 0\) und \(f'(x) < 0\) für \(x > 0\), liegt ein lokaler Hochpunkt bei \(H(0|4)\) vor. 4. Wendepunkte: Die zweite Ableitung ist \(f''(x) = \frac{-24(x^2+2)^2 - (-24x) \cdot 2(x^2+2) \cdot 2x}{(x^2+2)^4} = \frac{72x^2-48}{(x^2+2)^3}\). Nullsetzen von \(72x^2-48=0\) liefert \(x^2 = \frac{2}{3}\), also \(x_{W1,2} = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} = \pm \frac{1}{3}\sqrt{6} \approx \pm 0{,}82\). Einsetzen in \(f\) ergibt \(f(\pm \sqrt{2/3}) = \frac{8-4/3}{2/3+2} = \frac{20/3}{8/3} = 2{,}5\). Die Wendepunkte sind \(W_1(-\frac{1}{3}\sqrt{6}|2{,}5)\) und \(W_2(\frac{1}{3}\sqrt{6}|2{,}5)\).

a) \(D_f = \mathbb{R}\); Nullstellen bei \(x = -2\) und \(x = 2\). b) Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse; \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = -2\). c) Hochpunkt \(H(0|4)\). d) Wendepunkte \(W_{1,2}(\pm \frac{1}{3}\sqrt{6}|2{,}5)\).

- Welche Werte darf die Variable im Nenner nicht annehmen? - Wie verhält sich die Funktion, wenn die x-Werte sehr groß oder sehr klein werden? - Was passiert mit den Funktionswerten in der Nähe der Definitionslücken? - Gibt es Stellen, an denen die Steigung der Funktion null ist? - Skizziere gedanklich den Verlauf der einzelnen Äste des Graphen.

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Die Nullstellen des Nenners \(x^2 - 1 = 0\) führen auf \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 1\), woraus \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}\) folgt. 2. Untersuchung der Symmetrie: Wegen \(f(-x) = f(x)\) ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. Grenzwerte: Für \(x \to \pm \infty\) gilt \(f(x) \to 1\). An den Polstellen gilt \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = \infty\) (da Zähler negativ und Nenner negativ gegen Null) und \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = -\infty\) (da Zähler negativ und Nenner positiv gegen Null). 4. Ableitung und Extrempunkte: \(f'(x) = \frac{2x(x^2-1) - 2x(x^2-4)}{(x^2-1)^2} = \frac{6x}{(x^2-1)^2}\). Die einzige Nullstelle ist \(x = 0\) mit \(f(0) = 4\). Da der Graph im Intervall \(]-1; 1[\) von \(\infty\) kommt, bei \(x=0\) den Wert \(4\) annimmt und wieder gegen \(\infty\) strebt, liegt bei \(T(0 \mid 4)\) ein lokales Minimum für diesen Ast vor. 5. Wertemenge: In den äußeren Intervallen \(]-\infty; -1[\) und \(]1; \infty[\) nimmt die Funktion alle Werte im Bereich \(]-\infty; 1[\) an. Im inneren Intervall \(]-1; 1[\) werden alle Werte im Bereich \([4; \infty[\) angenommen. 6. Ergebnis: \(W_f = \mathbb{R} \setminus [1; 4[\).

\(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}\) \(W_f = ]-\infty; 1[ \cup [4; \infty[ = \mathbb{R} \setminus [1; 4[\)

- Überlege dir, welche Bedingung ein \(x\)-Wert erfüllen muss, um nicht in der Definitionsmenge zu sein. - Wann ist eine Nullstelle des Zählers tatsächlich eine Nullstelle der gesamten Funktion? - Was passiert mit einer Definitionslücke, wenn der zugehörige Faktor auch im Zähler vorkommt?

1. Nennernullstellen bestimmen: \(x^2-x-6 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+2) = 0\), also \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -2\). Somit ist \(D = \mathbb{R} \setminus \{-2; 3\}\). 2. Nullstelle der Schar: Der Zähler wird für \(x = a\) null. Damit \(x = a\) eine Nullstelle ist, muss \(a \in D\) gelten. Für \(a \in \mathbb{R} \setminus \{-2; 3\}\) ist die Nullstelle \(x = a\). Für \(a = -2\) oder \(a = 3\) besitzt die Funktion keine Nullstelle, da diese Werte nicht in \(D\) liegen. 3. Senkrechte Asymptoten: Senkrechte Asymptoten liegen an den Polstellen vor. Normalerweise gibt es zwei (\(x=3\) und \(x=-2\)). Genau eine senkrechte Asymptote existiert, wenn eine der Definitionslücken hebbar ist. Dies ist der Fall, wenn der Zählerfaktor \((x-a)\) mit einem Nennerfaktor identisch ist. Für \(a = 3\) kürzt sich \((x-3)\), und es bleibt nur die Polstelle bei \(x = -2\). Für \(a = -2\) kürzt sich \((x+2)\), und es bleibt nur die Polstelle bei \(x = 3\). Also für \(a \in \{-2; 3\}\).

a) \(D = \mathbb{R} \setminus \{-2; 3\}\) b) Für \(a \in \mathbb{R} \setminus \{-2; 3\}\) ist die Nullstelle \(x = a\); für \(a = -2\) oder \(a = 3\) gibt es keine Nullstelle. c) Für \(a = 3\) oder \(a = -2\), da in diesen Fällen eine der Definitionslücken hebbar ist und somit nur eine Polstelle (senkrechte Asymptote) verbleibt.

- Was passiert mit dem Funktionswert, wenn der Nenner gegen Null geht? - Wie verhält sich ein Bruch, bei dem der Nenner wesentlich schneller wächst als der Zähler? - Nutze die Quotientenregel für die Ableitung und achte auf das Vorzeichen des Zählers im Ergebnis. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der ersten Ableitung und dem Steigungsverhalten des Graphen. - Für eine Tangente benötigst du einen Punkt auf dem Graphen und die Steigung an dieser Stelle.

1. Bestimmung der Nullstellen des Nenners: \(x^2 - 9 = 0 \Leftrightarrow x = 3 \lor x = -3\). Da die Zählerwerte an diesen Stellen ungleich Null sind, liegen senkrechte Asymptoten bei \(x = -3\) und \(x = 3\) vor. 2. Grenzwertbetrachtung für \(x \to \pm \infty\): Da der Grad des Zählerpolynoms (1) kleiner ist als der des Nennerpolynoms (2), gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0\). Somit ist die Gerade \(y = 0\) (die \(x\)-Achse) waagrechte Asymptote. 3. Berechnung der ersten Ableitung mit der Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{5 \cdot (x^2 - 9) - 5x \cdot 2x}{(x^2 - 9)^2} = \frac{5x^2 - 45 - 10x^2}{(x^2 - 9)^2} = \frac{-5x^2 - 45}{(x^2 - 9)^2} = -\frac{5(x^2 + 9)}{(x^2 - 9)^2}\). 4. Da \(x^2 + 9 > 0\) und \((x^2 - 9)^2 > 0\) für alle \(x \in D_f\), gilt stets \(f'(x) < 0\). Die Funktion \(f\) ist somit in jedem der Intervalle \(]-\infty; -3[\), \(]-3; 3[\) und \(]3; \infty[\) streng monoton fallend. 5. Tangentengleichung im Ursprung: \(f(0) = \frac{0}{-9} = 0\). Steigung \(m = f'(0) = -\frac{5(0 + 9)}{(0 - 9)^2} = -\frac{45}{81} = -\frac{5}{9}\). Mit dem Ansatz \(y = mx + t\) folgt wegen \(P(0|0)\) direkt \(t = 0\), also \(y = -\frac{5}{9}x\).

a) Senkrechte Asymptoten: \(x = -3\) und \(x = 3\). Da der Nennergrad höher als der Zählergrad ist, ist \(y = 0\) die waagrechte Asymptote. b) \(f'(x) = -\frac{5(x^2 + 9)}{(x^2 - 9)^2}\). Die Funktion ist in den Intervallen \(]-\infty; -3[\), \(]-3; 3[\) und \(]3; \infty[\) jeweils streng monoton fallend. c) Die Tangentengleichung lautet \(y = -\frac{5}{9}x\).

- Überlege dir, unter welcher Bedingung eine quadratische Gleichung der Form \(x^2 + c = 0\) keine Lösung besitzt. - Erinnere dich an die Definitionen für Achsen- und Punktsymmetrie bei Funktionen. - Nutze die Quotientenregel, um die Ableitung zu bestimmen. - Wann hat eine Gleichung der Form \(x^2 = a\) genau zwei Lösungen? - Setze die \(x\)-Koordinate der Extremstelle in den Funktionsterm ein, um die \(y\)-Koordinate zu erhalten.

1. Die Definitionsmenge ist \(\mathbb{R}\), wenn der Nenner \(x^2 + t\) für kein \(x \in \mathbb{R}\) den Wert Null annimmt. Dies ist genau dann der Fall, wenn \(t > 0\) gilt. 2. Zur Symmetrieprüfung wird \(f_t(-x)\) untersucht: \(f_t(-x) = \frac{t(-x)}{(-x)^2 + t} = \frac{-tx}{x^2 + t} = -f_t(x)\). Damit liegt für alle \(t\) eine Punktsymmetrie zum Ursprung vor. 3. Die erste Ableitung lautet nach der Quotientenregel: \(f_t'(x) = \frac{t \cdot (x^2 + t) - tx \cdot 2x}{(x^2 + t)^2} = \frac{t^2 - tx^2}{(x^2 + t)^2} = \frac{t(t - x^2)}{(x^2 + t)^2}\). Für \(t > 0\) liefert die Bedingung \(f_t'(x) = 0\) die Gleichung \(x^2 = t\), also \(x_{1,2} = \pm \sqrt{t}\). Da der Nenner stets positiv ist und der Zähler eine nach unten geöffnete Parabel darstellt (für \(t > 0\)), findet an beiden Stellen ein Vorzeichenwechsel statt, was die Existenz von genau zwei Extrempunkten beweist. 4. Der Hochpunkt im ersten Quadranten liegt bei \(x = \sqrt{t}\). Die \(y\)-Koordinate ist \(f_t(\sqrt{t}) = \frac{t \cdot \sqrt{t}}{(\sqrt{t})^2 + t} = \frac{t\sqrt{t}}{2t} = \frac{\sqrt{t}}{2}\). Aus \(\frac{\sqrt{t}}{2} = 1\) folgt \(\sqrt{t} = 2\) und somit \(t = 4\).

a) \(t > 0\) b) Nachweis über \(f_t(-x) = -f_t(x)\) c) Ableitung \(f_t'(x) = \frac{t(t - x^2)}{(x^2 + t)^2}\) mit Nullstellen bei \(x = \pm \sqrt{t}\) d) \(t = 4\)

- Wie prüft man eine Funktion auf Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse? - Untersuche die Nullstellen der ersten Ableitung für den Extrempunkt. - Setze die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein, um die Unbekannte zu berechnen. - Wann wird der Nenner eines Bruchs Null? Denke daran, dass \(m\) in diesem Teil negativ ist.

1. Es gilt \(g_{k, m}(-x) = \frac{k}{(-x)^2 + m} = \frac{k}{x^2 + m} = g_{k, m}(x)\). Damit ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Die Ableitung ist \(g_{k, m}'(x) = \frac{-2kx}{(x^2 + m)^2}\). Die einzige Nullstelle der Ableitung liegt bei \(x = 0\). Da \(m > 0\) ist, ist der Nenner nie Null. Der Funktionswert an der Stelle \(x = 0\) ist \(g_{k, m}(0) = \frac{k}{m}\). Der Extrempunkt hat somit die Koordinaten \((0 | \frac{k}{m})\). 3. Aus \(g_{1, m}(1) = \frac{1}{1^2 + m} = 0{,}25\) folgt \(\frac{1}{1 + m} = \frac{1}{4}\). Daraus ergibt sich \(1 + m = 4\), also \(m = 3\). 4. Senkrechte Asymptoten liegen an den Nullstellen des Nenners vor, sofern der Zähler dort ungleich Null ist. Die Gleichung \(x^2 + m = 0\) führt für \(m < 0\) auf \(x^2 = -m\). Da \(-m\) positiv ist, ergeben sich die zwei Lösungen \(x_1 = \sqrt{-m}\) und \(x_2 = -\sqrt{-m}\). Dies sind die Gleichungen der senkrechten Asymptoten.

a) Nachweis über \(g_{k, m}(-x) = g_{k, m}(x)\) b) \(E(0 | \frac{k}{m})\) c) \(m = 3\) d) \(x = \sqrt{-m}\) und \(x = -\sqrt{-m}\)

- Wie verhält sich die Funktion für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte? - Welche besonderen Punkte des Graphen könnten die Grenzen der Wertemenge festlegen? - Ist die Funktion überall definiert und stetig? - Hilft es dir, die lokalen Maxima und Minima zu berechnen?

Zunächst wird der Definitionsbereich bestimmt: Da \(x^2 + 3 > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt, ist \(D_f = \mathbb{R}\). Zur Bestimmung der Wertemenge werden die Extrema berechnet. Die erste Ableitung lautet \(f'(x) = \frac{6x^2 - 12x - 18}{(x^2 + 3)^2}\). Die notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) führt auf die quadratische Gleichung \(x^2 - 2x - 3 = 0\) mit den Lösungen \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -1\). Die zugehörigen Funktionswerte sind \(f(3) = 0\) (lokales Minimum) und \(f(-1) = 4\) (lokales Maximum). Anschließend wird das Verhalten im Unendlichen untersucht: Es gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 1\). Da die Funktion auf ganz \(\mathbb{R}\) stetig ist, nimmt sie alle Werte zwischen dem globalen Minimum \(0\) und dem globalen Maximum \(4\) an. Da der Grenzwert \(1\) innerhalb dieses Intervalls liegt, ergibt sich die Wertemenge zu \(W_f = [0; 4]\).

\(W_f = [0; 4]\)

- Was passiert mit den Funktionswerten, wenn \(x\) sehr groß oder sehr klein wird? - Gibt es einen höchsten oder tiefsten Punkt, den der Graph erreicht? - Wie hilft dir die erste Ableitung dabei, den höchsten Punkt zu finden? - Überlege, ob die Grenzwerte selbst zur Wertemenge gehören oder nur eine Schranke darstellen.

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(h'(x) = \frac{2x(x^2+1) - (x^2+4) \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^3 + 2x - 2x^3 - 8x}{(x^2+1)^2} = \frac{-6x}{(x^2+1)^2}\). 2. Untersuchung der Monotonie: Die einzige Nullstelle der Ableitung liegt bei \(x = 0\). Für \(x < 0\) ist \(h'(x) > 0\) (streng monoton steigend), für \(x > 0\) ist \(h'(x) < 0\) (streng monoton fallend). 3. Bestimmung des Extremums: Bei \(x = 0\) liegt ein globales Maximum vor. Der Funktionswert ist \(h(0) = \frac{0^2+4}{0^2+1} = 4\). 4. Grenzwertbetrachtung: \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2+4}{x^2+1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} = 1\). 5. Schlussfolgerung für die Wertemenge: Da der Graph stetig ist, vom Grenzwert \(1\) (der nie erreicht wird) ansteigt bis zum Maximum \(4\) und dann wieder gegen \(1\) fällt, umfasst die Wertemenge alle Zahlen größer als \(1\) bis einschließlich \(4\).

\(W_h = ]1; 4]\)

- Schreibe die Funktion zuerst um, um das Ableiten zu erleichtern. - Erinnere dich daran, dass eine Tangente durch den Ursprung die Form \(y = mx\) hat. - Setze die Koordinaten des Ursprungs in deine allgemeine Tangentengleichung ein, um die Berührstelle zu finden. - Vergiss nicht, am Ende sowohl den \(x\)- als auch den \(y\)-Wert des Punktes anzugeben.

1. Funktion vereinfachen und ableiten: \(f_k(x) = 1 + \frac{k}{x}\), woraus \(f_k'(x) = -\frac{k}{x^2}\) folgt. 2. Tangentengleichung im Berührpunkt \(x_0\) ansetzen: \(y = -\frac{k}{x_0^2} \cdot (x - x_0) + 1 + \frac{k}{x_0}\). 3. Ursprungsbedingung \(O(0 | 0)\) einsetzen: \(0 = -\frac{k}{x_0^2} \cdot (0 - x_0) + 1 + \frac{k}{x_0}\). 4. Gleichung vereinfachen: \(0 = \frac{k}{x_0} + 1 + \frac{k}{x_0} = 1 + \frac{2k}{x_0}\). 5. Nach \(x_0\) auflösen: \(\frac{2k}{x_0} = -1 \implies x_0 = -2k\). Da \(k > 0\), ist \(x_0 \neq 0\) stets im Definitionsbereich. 6. \(y\)-Koordinate berechnen: \(f_k(-2k) = \frac{-2k + k}{-2k} = \frac{-k}{-2k} = 0{,}5\).

Der Berührpunkt hat die Koordinaten \(B(-2k | 0{,}5)\).

- Schreibe den Bruchterm als Potenz mit negativem Exponenten um, um die Ableitungsregeln leichter anzuwenden. - Prüfe nach dem Finden der Wendestelle, ob dort die erste Ableitung den Wert null annimmt. - Achte auf den Definitionsbereich der Funktion.

1. Ableitungen berechnen: \(f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 4x^{-1}\), daraus folgt \(f'(x) = x + 4x^{-2} = x + \frac{4}{x^2}\), \(f''(x) = 1 - 8x^{-3} = 1 - \frac{8}{x^3}\) und \(f'''(x) = 24x^{-4} = \frac{24}{x^4}\). 2. Notwendige Bedingung für Wendestellen: \(f''(x) = 0 \Rightarrow 1 - \frac{8}{x^3} = 0 \Rightarrow x^3 = 8 \Rightarrow x = 2\). 3. Hinreichende Bedingung prüfen: \(f'''(2) = \frac{24}{16} = 1{,}5 \neq 0\). Es existiert eine Wendestelle bei \(x = 2\). 4. Sattelpunktprüfung: \(f'(2) = 2 + \frac{4}{4} = 3 \neq 0\). Da die Steigung an der Wendestelle nicht null ist, liegt kein Sattelpunkt vor. 5. Koordinaten berechnen: \(f(2) = \frac{1}{2} \cdot 2^2 - \frac{4}{2} = 2 - 2 = 0\). Der Wendepunkt ist \(W(2 \mid 0)\).

Wendepunkt: \(W(2 \mid 0)\) Es liegt kein Sattelpunkt vor.

- Kann der Nenner jemals null werden? Überlege, was das für den Definitionsbereich bedeutet. - Wie verändert sich das Vorzeichen des Funktionswerts, wenn du \(x\) durch \(-x\) ersetzt? - Welche Regel benötigst du, um einen Bruch abzuleiten? - Was passiert mit dem Wert des Bruchs, wenn die Zahlen im Nenner viel schneller wachsen als im Zähler?

1. Definitionsbereich: Da der Nenner \(x^2 + 4\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) positiv ist, gilt \(D_f = \mathbb{R}\). 2. Symmetrie: Wegen \(f(-x) = \frac{4(-x)}{(-x)^2 + 4} = -\frac{4x}{x^2 + 4} = -f(x)\) ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. 3. Achsenschnittpunkte: Die Nullstelle liegt bei \(4x = 0 \Rightarrow x = 0\). Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist somit ebenfalls \((0 \mid 0)\). 4. Verhalten im Unendlichen: Da der Grad des Nenners größer als der des Zählers ist, gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0\). Die \(x\)-Achse (\(y = 0\)) ist waagerechte Asymptote. 5. Ableitungen: Mit der Quotientenregel ergibt sich \(f'(x) = \frac{4(x^2+4) - 4x(2x)}{(x^2+4)^2} = \frac{16-4x^2}{(x^2+4)^2}\) und \(f''(x) = \frac{-8x(x^2+4)^2 - (16-4x^2) \cdot 2(x^2+4) \cdot 2x}{(x^2+4)^4} = \frac{8x^3-96x}{(x^2+4)^3} = \frac{8x(x^2-12)}{(x^2+4)^3}\). 6. Extrempunkte: \(f'(x) = 0 \Rightarrow 16-4x^2 = 0 \Rightarrow x_{1,2} = \pm 2\). Einsetzen ergibt \(f(2) = 1\) und \(f(-2) = -1\). Mit \(f''(2) = \frac{-128}{8^3} < 0\) liegt ein Hochpunkt bei \(H(2 \mid 1)\) vor, aus Symmetriegründen ein Tiefpunkt bei \(T(-2 \mid -1)\). 7. Wendepunkte: \(f''(x) = 0 \Rightarrow 8x(x^2-12) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_{2,3} = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}\). Die Wendepunkte liegen bei \(W_1(0 \mid 0)\) und \(W_{2,3}(\pm 2\sqrt{3} \mid \pm \frac{\sqrt{3}}{2})\).

\(D_f = \mathbb{R}\); Punktsymmetrie zum Ursprung; Nullstelle bei \(x = 0\); waagerechte Asymptote \(y = 0\); \(T(-2 \mid -1)\), \(H(2 \mid 1)\); Wendepunkte \(W_1(0 \mid 0)\), \(W_{2,3}(\pm 2\sqrt{3} \mid \pm \frac{\sqrt{3}}{2})\).

- Überlege dir, wie man die Asymptote berechnet, wenn der Zählergrad höher ist als der Nennergrad. - Was bedeutet Punktsymmetrie zum Ursprung für die Grenzwerte der Funktion im Unendlichen? - Wie verhalten sich gerade und ungerade Funktionen bei der Division?

1. Aussage a ist wahr: Durch Polynomdivision von \(p(x)\) durch \(q(x)\) ergibt sich ein linearer Term \(mx + c\) plus ein Restterm, der für \(x \to \pm \infty\) gegen Null strebt. Da der Gradunterschied genau \(1\) beträgt, ist \(m \neq 0\), was eine schräge Asymptote definiert. 2. Aussage b ist falsch: Würde \(y = 2\) eine waagrechte Asymptote sein, so gälte \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} f(x) = 2\). Bei Punktsymmetrie zum Ursprung gilt jedoch \(f(-x) = -f(x)\), sodass endliche Grenzwerte im Unendlichen entgegengesetzt sein müssen. Ein gemeinsamer endlicher Grenzwert ist daher nur für \(0\) möglich; \(y = 2\) ist ausgeschlossen. 3. Aussage c ist wahr: Ein Polynom mit nur geraden Potenzen ist eine gerade Funktion (\(p(-x) = p(x)\)), eines mit nur ungeraden Potenzen ist eine ungerade Funktion (\(q(-x) = -q(x)\)). Es folgt \(f(-x) = \frac{p(-x)}{q(-x)} = \frac{p(x)}{-q(x)} = -f(x)\), was das Kriterium für Punktsymmetrie zum Ursprung erfüllt.

a) Wahr b) Falsch c) Wahr

- Wie findest du die Definitionslücken und das Verhalten der Funktionswerte für sehr große \(x\)? - Welche Koordinaten hat der Punkt, in dem sich die beiden Geraden aus Aufgabenteil a schneiden? - Erinnere dich an die Bedingung für Punktsymmetrie bezüglich eines beliebigen Punktes \(S(x_0|y_0)\).

1. Senkrechte Asymptote: Die Definitionslücke liegt bei \(x - 1 = 0\), also \(x = 1\). Da für \(a \neq 3\) der Zähler \(a \cdot 1 - 3 \neq 0\) ist, handelt es sich um eine Polstelle und somit ist \(x = 1\) die Gleichung der senkrechten Asymptote. 2. Waagrechte Asymptote: Der Grenzwert für \(x \to \pm \infty\) ergibt sich aus dem Verhältnis der Koeffizienten der höchsten Potenzen: \(\lim_{x \to \infty} \frac{ax-3}{x-1} = a\). Die waagrechte Asymptote lautet somit \(y = a\). 3. Symmetriezentrum: Der Schnittpunkt der Asymptoten ist \(S(1|a)\). 4. Nachweis der Punktsymmetrie: Es ist zu zeigen, dass \(\frac{f_a(1+h) + f_a(1-h)}{2} = a\) bzw. \(f_a(1+h) - a = -(f_a(1-h) - a)\) gilt. 5. Einsetzen: \(f_a(1+h) = \frac{a(1+h)-3}{(1+h)-1} = \frac{a+ah-3}{h} = a + \frac{a-3}{h}\). 6. Analog gilt: \(f_a(1-h) = \frac{a(1-h)-3}{(1-h)-1} = \frac{a-ah-3}{-h} = a - \frac{a-3}{h}\). 7. Die Bedingung \(f_a(1+h) + f_a(1-h) = (a + \frac{a-3}{h}) + (a - \frac{a-3}{h}) = 2a\) ist erfüllt, womit die Punktsymmetrie zu \(S(1|a)\) bewiesen ist.

a) Senkrechte Asymptote: \(x = 1\); waagrechte Asymptote: \(y = a\). b) Der Nachweis erfolgt über die Symmetriebedingung \(f(1+h) + f(1-h) = 2a\), welche nach Einsetzen der Funktionsterme bestätigt wird.

- Wann ist eine Nullstelle des Nenners „hebbar“? Betrachte dazu den Zähler. - Wie kannst du eine Funktion in einen ganzrationalen Teil und einen echt gebrochen-rationalen Teil zerlegen? - Vergleiche die höchsten Potenzen von Zähler und Nenner, um das Verhalten im Unendlichen zu bestimmen. - Was passiert mit dem Grad des Zählers, wenn der Parameter \(k\) den Wert \(0\) annimmt?

1. Teilaufgabe a): Eine hebbare Lücke bei \(x=3\) liegt vor, wenn der Zähler an dieser Stelle ebenfalls eine Nullstelle hat. Bedingung: \(k \cdot 3^2 + 6 \cdot 3 = 0\). Dies führt zu \(9k + 18 = 0\), also \(k = -2\). 2. Teilaufgabe b): Für \(k=1\) lautet die Funktion \(f_1(x) = \frac{x^2 + 6x}{x-3}\). Mittels Polynomdivision ergibt sich \((x^2 + 6x) : (x-3) = x + 9 + \frac{27}{x-3}\). Die Gleichung der schrägen Asymptote lautet somit \(y = x + 9\). 3. Teilaufgabe c): Eine waagerechte Asymptote existiert, wenn der Grad des Zählers höchstens so groß wie der des Nenners ist. Da der Nenner den Grad \(1\) hat, muss für den Zähler \(k = 0\) gelten, damit der quadratische Term entfällt. Für \(k = 0\) ist \(f_0(x) = \frac{6x}{x-3}\). Der Grenzwert für \(x \to \pm \infty\) ist \(\frac{6}{1} = 6\). Die waagerechte Asymptote lautet \(y = 6\).

a) \(k = -2\) b) \(y = x + 9\) c) Für \(k = 0\) besitzt der Graph die waagerechte Asymptote \(y = 6\).

- Welche Bedingung muss für den Nenner an einer Polstelle gelten? - Wie hängen die Steigung der Tangente und die erste Ableitung an einer Extremstelle zusammen? - Erinnerst du dich, wie man eine gebrochenrationale Funktion in einen ganzrationalen Teil und einen Restterm zerlegt? - Wie findest du die Nullstellen des Zählers der Ableitungsfunktion?

1. Eine Polstelle an der Stelle \(x = 1\) erfordert eine Nullstelle des Nenners: \(1 + b = 0 \implies b = -1\). Die Funktion lautet somit \(f(x) = \frac{x^2 + a}{x - 1}\). 2. Die erste Ableitung berechnet sich zu \(f'(x) = \frac{2x \cdot (x - 1) - (x^2 + a) \cdot 1}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - a}{(x - 1)^2}\). 3. Die Bedingung für eine Extremstelle bei \(x = 3\) ist \(f'(3) = 0\): \(3^2 - 2 \cdot 3 - a = 0 \implies a = 3\). Da der Zähler der Ableitung dann \((x-3)(x+1)\) lautet und bei \(x=3\) sein Vorzeichen von negativ zu positiv wechselt, liegt dort tatsächlich ein Tiefpunkt vor. 4. Die weitere Nullstelle der Ableitung ist \(x = -1\). Dort wechselt das Vorzeichen von positiv zu negativ, also liegt ein Hochpunkt vor. Die Funktionswerte sind \(f(3)=6\) und \(f(-1)=-2\). 5. Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = 1\). Durch Polynomdivision von \(f(x) = \frac{x^2 + 3}{x - 1}\) erhält man \(f(x) = x + 1 + \frac{4}{x - 1}\). Die schräge Asymptote hat somit die Gleichung \(y = x + 1\).

a) \(a = 3\), \(b = -1\); bei \(x = 3\) liegt der Tiefpunkt \(T(3 \mid 6)\). b) Die weitere Extremstelle ist \(x = -1\) mit dem Hochpunkt \(H(-1 \mid -2)\). Asymptoten: \(x = 1\) und \(y = x + 1\).

- Setze die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein, um eine erste Gleichung für die Parameter zu erhalten. - Was bedeutet eine waagerechte Tangente für den Wert der Ableitungsfunktion an dieser Stelle? - Nutze die Polynomdivision, um das Verhalten der Funktion für sehr große \(x\)-Werte zu untersuchen. - Betrachte die Vorzeichen von Zähler und Nenner, wenn sich \(x\) der Polstelle nähert.

1. Der Punkt \(P(4|8)\) führt zur Gleichung \(f(4) = \frac{a \cdot 4^2 + b \cdot 4}{4 - 2} = 8\). Dies vereinfacht sich zu \(16a + 4b = 16\) bzw. \(4a + b = 4\). 2. Die Ableitung der Funktion lautet \(f'(x) = \frac{(2ax + b)(x - 2) - (ax^2 + bx) \cdot 1}{(x - 2)^2} = \frac{ax^2 - 4ax - 2b}{(x - 2)^2}\). 3. Eine waagerechte Tangente bei \(x = 0\) bedeutet \(f'(0) = 0\). Einsetzen ergibt \(\frac{-2b}{4} = 0 \implies b = 0\). 4. Aus \(4a + 0 = 4\) folgt \(a = 1\). Die Funktionsgleichung ist \(f(x) = \frac{x^2}{x - 2}\). 5. Durch Polynomdivision ergibt sich \(x^2 : (x - 2) = x + 2 + \frac{4}{x - 2}\). Die schräge Asymptote ist \(y = x + 2\). 6. An der Polstelle \(x = 2\) gilt: Für \(x \to 2^-\) (von links) strebt \(f(x) \to -\infty\), da der Zähler positiv und der Nenner negativ ist. Für \(x \to 2^+\) (von rechts) strebt \(f(x) \to +\infty\).

a) \(a = 1\), \(b = 0\) b) Schräge Asymptote: \(y = x + 2\). Verhalten an der Polstelle: \(\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty\).

- Wann wird ein Bruch gleich null? Überlege, welche Bedingung der Zähler erfüllen muss. - Denke daran, dass eine potenzielle Nullstelle nur dann eine ist, wenn sie auch im Definitionsbereich der Funktion liegt. - Welche Werte für \(a\) führen dazu, dass sich der Funktionsterm vereinfachen lässt? - Was passiert graphisch an einer Definitionslücke, wenn sowohl Zähler als auch Nenner null werden?

1. Nullstellen bestimmen: Der Zähler \(a - x^2\) wird null für \(x^2 = a\). - Für \(a < 0\) gibt es keine reellen Lösungen, also keine Nullstellen. - Für \(a = 0\) ergibt sich die doppelte Nullstelle \(x = 0\). - Für \(a > 0\) ergeben sich \(x_1 = \sqrt{a}\) und \(x_2 = -\sqrt{a}\). Dabei ist zu beachten, dass diese Werte im Definitionsbereich liegen müssen (\(x \neq \pm 3\)). Dies ist für \(a \neq 9\) der Fall. - Für \(a = 9\) gilt \(f_9(x) = \frac{9 - x^2}{x^2 - 9} = -1\) für alle \(x \in D = \mathbb{R} \setminus \{-3; 3\}\), somit gibt es keine Nullstellen. 2. Definitionslücken untersuchen: Die Nennernullstellen liegen bei \(x = 3\) und \(x = -3\). - Falls \(a \neq 9\), sind der Zähler und der Nenner an den Stellen \(x = \pm 3\) nicht gleichzeitig Null. Es liegen Polstellen (mit Vorzeichenwechsel) vor. - Falls \(a = 9\), lässt sich der Funktionsterm zu \(f_9(x) = -1\) kürzen. Die Grenzwerte an den Stellen \(x = \pm 3\) existieren (\(-1\)), daher liegen hebbare Definitionslücken vor.

Nullstellen: - \(a < 0\) oder \(a = 9\): keine Nullstellen. - \(a = 0\): eine doppelte Nullstelle bei \(x = 0\). - \(a > 0\) und \(a \neq 9\): zwei Nullstellen bei \(x = \pm\sqrt{a}\). Definitionslücken bei \(x = 3\) und \(x = -3\): - Für \(a \neq 9\): Polstellen mit Vorzeichenwechsel. - Für \(a = 9\): hebbare Definitionslücken.

- Betrachte die Stellen, an denen die Graphen ins Unendliche streben (die senkrechten Asymptoten). Welche Definitionslücken haben die Funktionsterme? - Achte darauf, ob der Graph an einer Definitionslücke sein Vorzeichen wechselt oder auf derselben Seite bleibt. Was sagt das über die Potenz im Nenner aus? - Untersuche das Verhalten der Graphen für sehr große positive und negative \(x\)-Werte (waagerechte Asymptoten). Welchem Wert nähert sich der Funktionsterm an? - Bestimme markante Punkte wie die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen (Nullstellen und \(y\)-Achsenabschnitte), um deine Zuordnung zu überprüfen.

1. **Untersuchung von Graph A (blau):** - Der Graph besitzt eine senkrechte Asymptote (Polstelle mit Vorzeichenwechsel) bei \(x = 1\). Dies schließt \(f_2\) (Polstelle bei \(x = -2\)) und \(f_4\) (Polstelle bei \(x = -1\)) aus. - Für \(x \to \pm\infty\) nähert sich der Graph der waagerechten Asymptote \(y = 1\) an, da \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x+2}{x-1} = 1\). - Der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (Nullstelle) liegt bei \(x = -2\) und der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \((0 \mid -2)\). - Dies entspricht der Funktionsgleichung \(f_1(x)\). 2. **Untersuchung von Graph B (rot):** - Der Graph besitzt eine senkrechte Asymptote bei \(x = -2\). Dies passt nur zur Definitionslücke von \(f_2(x)\). - Für \(x \to \pm\infty\) nähert sich der Graph der waagerechten Asymptote \(y = -1\) an, da \(\lim_{x \to \pm\infty} -\frac{x}{x+2} = -1\). - Der Graph verläuft durch den Koordinatenursprung \((0 \mid 0)\), was durch \(f_2(0) = 0\) bestätigt wird. - Dies entspricht der Funktionsgleichung \(f_2(x)\). 3. **Untersuchung von Graph C (grün):** - Der Graph besitzt eine senkrechte Asymptote ohne Vorzeichenwechsel (Pol mit gerader Ordnung) bei \(x = 1\). Dies deutet auf ein Quadrat im Nenner hin, was zu \(f_3(x)\) passt. - Da der Zähler stets positiv ist und der Nenner quadratisch, verläuft der gesamte Graph oberhalb der \(x\)-Achse (\(y > 0\)). - Die waagerechte Asymptote ist die \(x\)-Achse (\(y = 0\)). - Der \(y\)-Achsenabschnitt liegt bei \((0 \mid 1)\). - Dies entspricht der Funktionsgleichung \(f_3(x)\). 4. **Überzählige Funktion:** - Die Funktion \(f_4(x)\) besitzt eine Polstelle bei \(x = -1\) und eine Nullstelle bei \(x = 2\). Keine der Kurven zeigt dieses Verhalten.

Graph A (blau) gehört zu \(f_1(x) = \frac{x+2}{x-1}\); Graph B (rot) gehört zu \(f_2(x) = -\frac{x}{x+2}\); Graph C (grün) gehört zu \(f_3(x) = \frac{1}{(x-1)^2}\); \(f_4(x)\) hat keinen zugehörigen Graphen.

- Wie kannst du die Definitionslücken (Polstellen) einer gebrochen-rationalen Funktion rechnerisch ermitteln und wie zeigen sie sich im Graphen? - Welche Rolle spielen die Nullstellen des Zählers für den Verlauf des Funktionsgraphen? - Wie verhalten sich die Funktionswerte für sehr große positive und negative \(x\)-Werte? Welche Asymptote lässt sich daraus ableiten? - Welche \(x\)-Werte müssen aus der Definitionsmenge ausgeschlossen werden und welche Funktionswerte \(y\) können nicht erreicht werden?

1. Zuordnung: Untersuchung der Nullstellen und Polstellen. Für \(f(x) = \frac{2x + 4}{x - 1}\) liegt die Nullstelle bei \(x = -2\) und die Polstelle bei \(x = 1\), was mit dem grünen Graphen \(G_1\) übereinstimmt. Für \(g(x) = \frac{x - 3}{x + 2}\) liegt die Nullstelle bei \(x = 3\) und die Polstelle bei \(x = -2\), was mit dem blauen Graphen \(G_2\) übereinstimmt. 2. Asymptoten bestimmen: Für \(G_1\) (Funktion \(f\)) ist die senkrechte Asymptote \(x = 1\) und die waagrechte Asymptote \(y = 2\) (Grenzwert für \(x \to \pm\infty\)). Für \(G_2\) (Funktion \(g\)) ist die senkrechte Asymptote \(x = -2\) und die waagrechte Asymptote \(y = 1\). 3. Mengen angeben: Definitionsmenge schließt die Polstellen aus: \(\mathbb{D}_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}\) und \(\mathbb{D}_g = \mathbb{R} \setminus \{-2\}\). Wertemenge schließt den Funktionswert der waagrechten Asymptote aus: \(\mathbb{W}_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}\) und \(\mathbb{W}_g = \mathbb{R} \setminus \{1\}\).

a) \(G_1\) gehört zu \(f(x)\), da \(f\) eine Nullstelle bei \(x = -2\) und eine Polstelle bei \(x = 1\) besitzt; \(G_2\) gehört zu \(g(x)\), da \(g\) eine Nullstelle bei \(x = 3\) und eine Polstelle bei \(x = -2\) besitzt. b) \(G_1\) (\(f\)): senkrechte Asymptote \(x = 1\), waagrechte Asymptote \(y = 2\); \(G_2\) (\(g\)): senkrechte Asymptote \(x = -2\), waagrechte Asymptote \(y = 1\). c) \(\mathbb{D}_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}\), \(\mathbb{W}_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}\); \(\mathbb{D}_g = \mathbb{R} \setminus \{-2\}\), \(\mathbb{W}_g = \mathbb{R} \setminus \{1\}\).

- Wie bestimmst du die Definitionsmenge einer gebrochen-rationalen Funktion? Welche Werte darf die Variable \(x\) im Nenner nicht annehmen? - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn \(x\) sich einer Definitionslücke nähert, und was bedeutet das für den Verlauf des Graphen? - Wie verhält sich der Funktionsterm für sehr große oder sehr kleine Werte von \(x\) (also für \(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\))? - Um die Nullstellen zu finden, kannst du die Gleichung \(f(x) = 0\) nach \(x\) auflösen. - Vergleiche die berechneten Asymptoten, Nullstellen und eventuell den \(y\)-Achsenabschnitt \(f(0)\) mit den Besonderheiten der vier abgebildeten Graphen.

1. Zur Bestimmung der Definitionsmenge setzen wir den Nenner gleich Null: \(x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1\). Daher ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}\). 2. Da der Zähler an den Stellen \(x = \pm 1\) ungleich Null ist, liegen hier Polstellen vor. Die Gleichungen der senkrechten Asymptoten lauten somit \(x = -1\) und \(x = 1\). Für das Verhalten im Unendlichen betrachten wir den Grenzwert: \(\lim_{x \to \pm\infty} \left(1 - \frac{4}{x^2 - 1}\right) = 1 - 0 = 1\). Die Gleichung der waagrechten Asymptote lautet somit \(y = 1\). 3. Für die Nullstellen setzen wir den Funktionsterm gleich Null: \(1 - \frac{4}{x^2 - 1} = 0 \implies \frac{4}{x^2 - 1} = 1 \implies x^2 - 1 = 4 \implies x^2 = 5 \implies x = \pm\sqrt{5} \approx \pm 2{,}24\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = -\sqrt{5}\) und \(x_2 = \sqrt{5}\). 4. Zuordnung des Graphen: - Wegen der senkrechten Asymptoten bei \(x = \pm 1\) scheidet der Graph \(G_3\) aus, da dieser seine senkrechten Asymptoten bei \(x = \pm 2\) hat. - Wegen der waagrechten Asymptote bei \(y = 1\) scheidet der Graph \(G_4\) aus, da sich dieser für \(x \to \pm\infty\) der Geraden \(y = -1\) nähert. - Zur Unterscheidung zwischen \(G_1\) und \(G_2\) betrachten wir den \(y\)-Achsenabschnitt: \(f(0) = 1 - \frac{4}{0 - 1} = 5\). Der Graph \(G_1\) schneidet die \(y\)-Achse bei \((0 \mid 5)\) und besitzt Nullstellen bei ca. \(\pm 2{,}2\), während \(G_2\) die \(y\)-Achse bei \((0 \mid -3)\) schneidet und im Bereich \([-1; 1]\) keine Nullstellen besitzt. Somit gehört der Graph \(G_1\) zur Funktion \(f\).

a) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}\); senkrechte Asymptoten: \(x = -1\) und \(x = 1\); waagrechte Asymptote: \(y = 1\). b) Nullstellen bei \(x_1 = -\sqrt{5} \approx -2{,}24\) und \(x_2 = \sqrt{5} \approx 2{,}24\). c) Der Graph \(G_1\) gehört zur Funktion \(f\). Begründung: \(G_3\) hat falsche senkrechte Asymptoten bei \(x = \pm 2\), \(G_4\) hat eine falsche waagrechte Asymptote bei \(y = -1\) und \(G_2\) hat den falschen \(y\)-Achsenabschnitt \((0 \mid -3)\) statt \((0 \mid 5)\).

- Betrachte das Verhalten der Graphen an den Stellen, an denen sie steil nach oben oder unten weglaufen, um die senkrechten Asymptoten zu finden. - Schau dir an, welchem konstanten Wert sich die Graphen für sehr große positive oder negative \(x\)-Werte annähern, um die waagrechten Asymptoten zu bestimmen. - Ein Vorzeichenwechsel an einer Polstelle bedeutet, dass der Graph auf einer Seite nach \(+\infty\) und auf der anderen Seite nach \(-\infty\) verläuft. - Nutze markante Punkte wie den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \(x = 0\), um zwischen ähnlichen Funktionstermen zu entscheiden. - Überlege, wie sich das Vorzeichen des Bruchs im Funktionsterm auf das Verhalten nahe der Polstelle (nach oben oder nach unten geöffnet) auswirkt.

1. Bestimmung der Asymptoten: - Für Graph A (\(f\)) schmiegt sich der Graph der vertikalen Linie bei \(x = 1\) an. Für sehr große positive und negative \(x\)-Werte nähert sich der Graph der horizontalen Linie \(y = 1\). Die Asymptoten lauten also \(x = 1\) (senkrecht) und \(y = 1\) (waagrecht). - Für Graph B (\(g\)) schmiegt sich der Graph der vertikalen Linie bei \(x = -2\) an. Für sehr große positive und negative \(x\)-Werte nähert sich der Graph der horizontalen Linie \(y = 2\). Die Asymptoten lauten also \(x = -2\) (senkrecht) und \(y = 2\) (waagrecht). 2. Bestimmung der Polstellen: - Graph A hat eine Definitionslücke bei \(x = 1\). Da der Graph links der Stelle gegen \(-\infty\) und rechts davon gegen \(+\infty\) verläuft, liegt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor. - Graph B hat eine Definitionslücke bei \(x = -2\). Da der Graph auf beiden Seiten der Stelle gegen \(-\infty\) verläuft, liegt eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vor. 3. Zuordnung der Funktionsterme: - Graph A gehört zu \(t_1(x) = \frac{x+1}{x-1}\). Da die Polstelle bei \(x = 1\) liegt, kommen nur \(t_1\) und \(t_2\) infrage. Der Schnittpunkt von Graph A mit der \(y\)-Achse liegt bei \((0 \mid -1)\). Einsetzen von \(x = 0\) liefert \(t_1(0) = \frac{0+1}{0-1} = -1\), während \(t_2(0) = \frac{1}{0-1} + 1 = 0\) ist. - Graph B gehört zu \(t_3(x) = -\frac{1}{(x+2)^2} + 2\). Da die Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei \(x = -2\) liegt, kommen nur \(t_3\) und \(t_4\) infrage. Da der Graph für \(x \to -2\) nach unten (gegen \(-\infty\)) verläuft, muss der Koeffizient vor dem quadratischen Glied negativ sein, was auf \(t_3\) zutrifft.

a) Graph A: senkrechte Asymptote \(x = 1\), waagrechte Asymptote \(y = 1\). Graph B: senkrechte Asymptote \(x = -2\), waagrechte Asymptote \(y = 2\). b) Graph A: Definitionslücke bei \(x = 1\), Polstelle mit Vorzeichenwechsel. Graph B: Definitionslücke bei \(x = -2\), Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. c) Graph A gehört zu \(t_1(x)\) (da \(t_1(0) = -1\) dem \(y\)-Achsenabschnitt von Graph A entspricht). Graph B gehört zu \(t_3(x)\) (da der negative Vorfaktor bewirkt, dass der Graph an der Polstelle \(x = -2\) nach unten verläuft).

- Kannst du die senkrechten und waagerechten Linien erkennen, denen sich der blaue Graph nähert? - Wie lässt sich ein gegebener Punkt auf dem Graphen nutzen, um einen unbekannten Parameter in einer Funktionsgleichung zu bestimmen? - Welche mathematische Operation führt man durch, um die gemeinsamen Punkte (Schnittpunkte) zweier Funktionsgraphen zu finden? - Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Funktion keine Nullstellen besitzt, und wie hängt das mit dem Nenner eines Bruchs zusammen?

1. Asymptoten ablesen: Aus der Grafik lässt sich die senkrechte Asymptote bei \(x = 2\) und die waagerechte Asymptote bei \(y = 1\) ablesen. Somit ist \(d = 2\) und \(e = 1\). 2. Funktionsterm bestimmen: Einsetzen von \(d = 2\) und \(e = 1\) in den Ansatz liefert \(f(x) = \frac{a}{x-2} + 1\). Einsetzen des Punktes \(P(1 \mid 3)\) ergibt: \(3 = \frac{a}{1-2} + 1 \implies 3 = -a + 1 \implies a = -2\). Der Funktionsterm lautet somit \(f(x) = \frac{-2}{x-2} + 1\). 3. Schnittpunkte berechnen: Gleichsetzen der Terme: \(\frac{-2}{x-2} + 1 = -x + 2\). Subtraktion von \(1\) auf beiden Seiten liefert \(\frac{-2}{x-2} = -x + 1\). Multiplikation mit \((x-2)\) (für \(x \neq 2\)) ergibt \(-2 = -x^2 + 3x - 2 \implies -x^2 + 3x = 0 \implies x(-x + 3) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 3\). Einsetzen in \(g(x)\) liefert die y-Koordinaten: \(y_1 = g(0) = 2 \implies S_1(0 \mid 2)\) \(y_2 = g(3) = -1 \implies S_2(3 \mid -1)\). 4. Begründung für die Nullstellenfreiheit: Rechnerischer Weg: \(h(x) = f(x) - 1 = \frac{-2}{x-2}\). Da ein Bruch mit einem konstanten Zähler ungleich Null (\(-2\)) niemals den Wert Null annehmen kann, hat \(h\) keine Nullstellen. Geometrischer Weg: Da die waagerechte Asymptote von \(G_f\) bei \(y = 1\) liegt und der Graph diese Gerade nie schneidet, nimmt \(f(x)\) niemals den Wert \(1\) an. Folglich kann \(f(x) - 1\) niemals null sein.

a) Senkrechte Asymptote bei \(x = 2\), waagerechte Asymptote bei \(y = 1\). b) \(f(x) = \frac{-2}{x-2} + 1\). c) Schnittpunkte: \(S_1(0 \mid 2)\) und \(S_2(3 \mid -1)\). d) Rechnerisch gilt \(h(x) = \frac{-2}{x-2}\). Da der Zähler ungleich Null ist, hat die Funktion keine Nullstellen (alternativ: geometrische Argumentation über die waagerechte Asymptote bei \(y=1\)).

- Erinnere dich daran, welche mathematische Beziehung für eine Funktion gilt, deren Graph symmetrisch zur \(y\)-Achse ist. Was musst du für \(g(-x)\) zeigen? - Wie verhalten sich die einzelnen Summanden im Zähler und Nenner, wenn \(x\) sehr große Werte annimmt? Welcher Term dominiert jeweils? - Setze für den letzten Aufgabenteil die Funktionsgleichung gleich \(2{,}4\) und multipliziere mit dem Nenner, um die Gleichung nach \(x\) aufzulösen. - Achte beim Lösen einer quadratischen Gleichung darauf, ob es mehr als eine Lösung gibt.

1. Symmetrie nachweisen: Wir prüfen die Bedingung für Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse, also \(g(-x) = g(x)\): \(g(-x) = \frac{3(-x)^2 - 12}{(-x)^2 + 4} = \frac{3x^2 - 12}{x^2 + 4} = g(x)\). Da die Bedingung für alle \(x \in \mathbb{R}\) erfüllt ist, ist der Graph \(G_g\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Verhalten für \(x \to \infty\) und Asymptote: Wir bestimmen den Grenzwert der Funktion für \(x \to \infty\): \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 12}{x^2 + 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{12}{x^2}}{1 + \frac{4}{x^2}} = \frac{3 - 0}{1 + 0} = 3\). Der Funktionswert nähert sich für sehr große \(x\)-Werte der Zahl \(3\) an. Die Gleichung der waagrechten Asymptote lautet somit \(y = 3\). 3. Gleichung lösen: Wir setzen die Funktionsgleichung gleich \(2{,}4\) und lösen nach \(x\) auf: \(\frac{3x^2 - 12}{x^2 + 4} = 2{,}4\) Multiplikation mit dem Nenner \((x^2 + 4)\): \(3x^2 - 12 = 2{,}4 \cdot (x^2 + 4)\) \(3x^2 - 12 = 2{,}4x^2 + 9{,}6\) Subtraktion von \(2{,}4x^2\) und Addition von \(12\): \(0{,}6x^2 = 21{,}6\) Division durch \(0{,}6\): \(x^2 = 36\) Daraus ergeben sich die beiden Lösungen: \(x_1 = 6\) und \(x_2 = -6\).

a) \(g(-x) = \frac{3(-x)^2 - 12}{(-x)^2 + 4} = \frac{3x^2 - 12}{x^2 + 4} = g(x)\); damit ist \(G_g\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. b) Für \(x \to \infty\) gilt \(g(x) \to 3\); die waagrechte Asymptote hat die Gleichung \(y = 3\). c) Die gesuchten \(x\)-Werte sind \(x = 6\) und \(x = -6\).

- Faktorisiere zuerst die Zähler- und Nennerpolynome beider Funktionen vollständig. Welche Faktoren treten in beiden auf? - Denke daran, dass eine Definitionslücke dort vorliegt, wo der Nenner null wird. Wann ist eine solche Lücke eine Polstelle und wann ist sie hebbar (ein „Loch“)? - Um den Funktionswert (die y-Koordinate) einer hebbaren Definitionslücke zu berechnen, kannst du den gemeinsamen Faktor im Zähler und Nenner kürzen und dann den entsprechenden x-Wert in den gekürzten Term einsetzen. - Vergleiche die Lage der Asymptoten (waagrecht und senkrecht) sowie markante Punkte wie Nullstellen oder das Loch im Graphen mit den Zeichnungen, um die Zuordnung vorzunehmen.

1. **Definitionsmenge und Asymptoten (Teil a):** - Für \(f(x) = \frac{x^2 - x - 2}{x^2 - 4}\): Der Nenner wird null für \(x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2\). Somit ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\). Durch Faktorisieren erhält man \(f(x) = \frac{(x-2)(x+1)}{(x-2)(x+2)}\). Die Definitionslücke bei \(x = -2\) ist eine Polstelle. Die senkrechte Asymptote lautet \(x = -2\). Die Definitionslücke bei \(x = 2\) ist hebbar, da der Faktor \((x-2)\) gekürzt werden kann. Da Zähler und Nenner denselben Grad und denselben Leitkoeffizienten haben, lautet die waagrechte Asymptote \(y = 1\). - Für \(g(x) = \frac{2x^2 - 4x}{x^2 - x - 2}\): Der Nenner wird null für \(x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1) = 0\), also für \(x = 2\) oder \(x = -1\). Somit ist \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{-1; 2\}\). Durch Faktorisieren erhält man \(g(x) = \frac{2x(x-2)}{(x-2)(x+1)}\). Die Definitionslücke bei \(x = -1\) ist eine Polstelle. Die senkrechte Asymptote lautet \(x = -1\). Die Definitionslücke bei \(x = 2\) ist hebbar. Da das Verhältnis der Leitkoeffizienten \(2:1\) beträgt, lautet die waagrechte Asymptote \(y = 2\). 2. **Hebbare Definitionslücken (Teil b):** - Für \(f\) gilt nach dem Kürzen \(\tilde f(x) = \frac{x+1}{x+2}\). Daher ist \(\tilde f(2) = \frac{3}{4} = 0{,}75\). Die hebbare Definitionslücke liegt bei \(L_f(2 \mid 0{,}75)\). - Für \(g\) gilt nach dem Kürzen \(\tilde g(x) = \frac{2x}{x+1}\). Daher ist \(\tilde g(2) = \frac{4}{3}\). Die hebbare Definitionslücke liegt bei \(L_g(2 \mid \frac{4}{3})\). 3. **Zuordnung der Graphen (Teil c):** - Graph A gehört zu \(f\): senkrechte Asymptote \(x = -2\), waagrechte Asymptote \(y = 1\), hebbare Lücke \(L_f(2 \mid 0{,}75)\) und Nullstelle \(x = -1\). - Graph B gehört zu \(g\): senkrechte Asymptote \(x = -1\), waagrechte Asymptote \(y = 2\), hebbare Lücke \(L_g(2 \mid \frac{4}{3})\) und Nullstelle \(x = 0\).

a) \(f\): \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\), senkrechte Asymptote \(x = -2\), waagrechte Asymptote \(y = 1\); \(g\): \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{-1; 2\}\), senkrechte Asymptote \(x = -1\), waagrechte Asymptote \(y = 2\). b) Hebbare Definitionslücke von \(f\) bei \(L_f(2 \mid 0{,}75)\); hebbare Definitionslücke von \(g\) bei \(L_g(2 \mid \frac{4}{3})\). c) Graph A gehört zu \(f\) (senkrechte Asymptote \(x = -2\), waagrechte Asymptote \(y = 1\), Loch bei \((2 \mid 0{,}75)\), Nullstelle \(x = -1\)); Graph B gehört zu \(g\) (senkrechte Asymptote \(x = -1\), waagrechte Asymptote \(y = 2\), Loch bei \((2 \mid \frac{4}{3})\), Nullstelle \(x = 0\)).

- Welche Eigenschaften des Graphen geben uns Aufschluss über den Nenner der Funktion? - Wie hängt das Verhalten des Graphen für sehr große positive und negative \(x\)-Werte mit der waagerechten Asymptote zusammen? - Wie kannst du die Koordinaten der markierten Punkte nutzen, um die noch fehlenden Parameter im Funktionsterm zu berechnen? - Denke daran, dass ein Bruch genau dann null ist, wenn sein Zähler null ist und der Nenner ungleich null ist.

1. Aus dem Graphen lässt sich ablesen, dass senkrechte Asymptoten bei \(x = -1\) und \(x = 1\) vorliegen. Daher ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}\). Die waagrechte Asymptote liegt bei \(y = 2\). 2. Zur Bestimmung der Parameter: - Aus den senkrechten Asymptoten bei \(x = \pm 1\) folgt \(x^2-c=0\) für \(x=\pm1\), also \(c=1\). - Für \(x \to \pm\infty\) gilt \(f(x) \to a\). Aus der waagrechten Asymptote \(y=2\) folgt \(a=2\). - Die markierten Punkte haben die Koordinaten \(A(0 \mid 8)\) und \(B(2 \mid 0)\). - Einsetzen von \(A\) in \(f(x)=\frac{2x^2+b}{x^2-1}\) ergibt \(8=\frac{b}{-1}\), also \(b=-8\). Damit lautet der Funktionsterm \(f(x)=\frac{2x^2-8}{x^2-1}\). - Kontrolle mit \(B\): \(f(2)=\frac{2\cdot2^2-8}{2^2-1}=\frac{0}{3}=0\). Somit erfüllt auch \(B(2 \mid 0)\) den bestimmten Funktionsterm. 3. Für die Achsenschnittpunkte: - Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0 \mid 8)\). - Für die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse gilt \(2x^2-8=0 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm2\). Beide Werte liegen in der Definitionsmenge. Daher sind die Schnittpunkte \(S_{x_1}(2 \mid 0)\) und \(S_{x_2}(-2 \mid 0)\).

a) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}\); senkrechte Asymptoten: \(x=-1\) und \(x=1\); waagrechte Asymptote: \(y=2\). b) \(A(0 \mid 8)\), \(B(2 \mid 0)\); \(a=2\), \(b=-8\), \(c=1\); \(f(x)=\frac{2x^2-8}{x^2-1}\). Der Punkt \(B\) bestätigt den Term durch \(f(2)=0\). c) \(S_y(0 \mid 8)\), \(S_{x_1}(2 \mid 0)\) und \(S_{x_2}(-2 \mid 0)\).

- Überlege dir zuerst, für welche Werte der Nenner einer gebrochen-rationalen Funktion null wird und was das für die Definitionsmenge bedeutet. - Wie verhält sich ein Bruch, wenn der Nenner sehr groß wird? - Betrachte den Graphen von \(g\) rechts von der Stelle \(x = 2\). Sind die Funktionswerte dort positiv oder negativ? Was bedeutet das für den Kehrwert? - Welche Symmetrieeigenschaft hat der Graph von \(g\)? Wie überträgt sich diese Eigenschaft rechnerisch auf die Funktion \(f\)?

1. **Aussage 1 ist wahr.** Die Funktion \(f(x) = \frac{1}{g(x)}\) ist überall dort nicht definiert, wo der Nenner null wird, also bei den Nullstellen von \(g\). Aus dem Graphen von \(g\) lassen sich die Nullstellen bei \(x = -2\) und \(x = 2\) ablesen. Daher müssen diese beiden Werte aus der Definitionsmenge ausgeschlossen werden: \(\mathbb{D}_{\text{max}} = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\). 2. **Aussage 2 ist wahr.** Für \(x \to \pm\infty\) wachsen die Funktionswerte von \(g(x)\) unbegrenzt gegen unendlich (\(g(x) \to \infty\)). Für den Kehrwert gilt demnach \(f(x) = \frac{1}{g(x)} \to 0\). Somit nähert sich der Graph von \(f\) für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte der \(x\)-Achse an. Die Gleichung der waagerechten Asymptote lautet somit \(y = 0\). 3. **Aussage 3 ist falsch.** Wenn sich \(x\) dem Wert \(2\) von rechts nähert (\(x > 2\)), sind die Funktionswerte von \(g(x)\) positiv und werden beliebig klein (sie gehen gegen \(0\)). Der Kehrwert \(f(x) = \frac{1}{g(x)}\) nimmt somit positive, beliebig große Werte an. Es gilt also \(f(x) \to +\infty\) und nicht \(-\infty\). 4. **Aussage 4 ist wahr.** Der abgebildete Graph von \(g\) ist eine Parabel mit dem Scheitelpunkt auf der \(y\)-Achse bei \(x = 0\) mit dem Wert \(-2\). Der Graph von \(g\) ist somit achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, was bedeutet, dass \(g(-x) = g(x)\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt. Für die Funktion \(f\) folgt daraus: \(f(-x) = \frac{1}{g(-x)} = \frac{1}{g(x)} = f(x)\) für alle \(x \in \mathbb{D}_{\text{max}}\). Damit ist auch der Graph von \(f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

Aussagen 1, 2 und 4 sind **wahr**. Aussage 3 ist **falsch** (richtig wäre \(f(x) \to +\infty\) für \(x \to 2\) von rechts).

- Bestimme zuerst die Definitionslücken der Funktionen, indem du prüfst, für welche \(x\)-Werte der Nenner Null wird. Wie viele senkrechte Asymptoten (Polstellen) hat der jeweilige Graph? - Untersuche das Verhalten für sehr große positive und negative \(x\)-Werte (\(x \to \pm\infty\)). Welche waagerechte Asymptote lässt sich daraus für den Graphen ableiten? - Berechne den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse, indem du \(x = 0\) in die Funktionsterme einsetzt. - Achte auf Symmetrien: Welche der Funktionen enthält nur gerade Potenzen von \(x\) und ist daher achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse?

1. Untersuchung von \(h(x) = \frac{2}{x^2 + 1}\): Der Nenner \(x^2 + 1\) ist für alle reellen Zahlen ungleich Null. Daher besitzt die Funktion \(h\) keine Definitionslücken und der Graph hat keine vertikalen Asymptoten. Dies trifft ausschließlich auf Graph 1 zu. Für \(x \to \pm\infty\) nähert sich der Graph der \(x\)-Achse (\(y = 0\)). Der \(y\)-Achsenabschnitt liegt bei \(h(0) = 2\). Somit gehört \(h\) zu Graph 1. 2. Untersuchung von \(f(x) = \frac{2x - 4}{x - 1}\): Die Definitionslücke liegt bei \(x = 1\) (Nullstelle des Nenners). Da der Zähler an dieser Stelle ungleich Null ist (\(2 \cdot 1 - 4 = -2\)), handelt es sich um eine Polstelle (vertikale Asymptote bei \(x = 1\)). Für \(x \to \pm\infty\) gilt \(f(x) \to 2\) (waagerechte Asymptote bei \(y = 2\)). Die Nullstelle liegt bei \(x = 2\). Diese Eigenschaften passen exakt zu Graph 2. Somit gehört \(f\) zu Graph 2. 3. Untersuchung von \(g(x) = \frac{2x^2}{x^2 - 1}\): Die Definitionslücken liegen bei \(x = 1\) und \(x = -1\) (Nullstellen des Nenners). Da der Zähler dort ungleich Null ist, liegen zwei vertikale Asymptoten bei \(x = -1\) und \(x = 1\) vor. Der Graph verläuft durch den Ursprung \((0 \mid 0)\) und ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, da \(g(-x) = g(x)\). Dies entspricht genau Graph 3. Somit gehört \(g\) zu Graph 3.

\(f(x) = \frac{2x - 4}{x - 1}\) gehört zu Graph 2; \(g(x) = \frac{2x^2}{x^2 - 1}\) gehört zu Graph 3; \(h(x) = \frac{2}{x^2 + 1}\) gehört zu Graph 1.

- Die vertikale Asymptote findest du dort, wo der Funktionswert nicht definiert ist. - Für die horizontale Asymptote schau dir den Grenzwert für \(x \to \pm\infty\) an. - Die Nullstelle ist der Punkt, an dem der Zähler des Funktionsterms null wird. - Setze \(x = 0\) in die Funktionsterme ein, um den \(y\)-Achsenabschnitt rechnerisch zu prüfen.

1. Asymptoten bestimmen: - Vertikale Asymptote (Polstelle): \(x = 1\). - Horizontale Asymptote (Verhalten im Unendlichen): \(y = 2\). 2. Achsenschnittpunkte ablesen: - Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 \mid -4)\). - Nullstelle (Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse): \(x = -2\), also \(N(-2 \mid 0)\). 3. Funktionsvorschrift prüfen: - Zu I): \(f(1)\) nicht definiert (passt). \(f(x) = \frac{2(x-1)+6}{x-1} = 2 + \frac{6}{x-1}\), horizontale Asymptote \(y=2\) (passt). Nullstelle: \(2x+4=0 \Rightarrow x=-2\) (passt). \(y\)-Achsenabschnitt: \(f(0) = \frac{4}{-1} = -4\) (passt). - Ergebnis: Vorschrift I) ist korrekt.

a) Vertikale Asymptote: \(x = 1\); horizontale Asymptote: \(y = 2\). b) \(y\)-Achsenabschnitt: \(S_y(0 \mid -4)\); Nullstelle: \(x = -2\). c) Die richtige Funktionsvorschrift ist I) \(f(x) = \frac{2x + 4}{x - 1}\).

- Überlege dir, bei welchen x-Werten der Nenner eines Bruchs Null wird. Was passiert dort mit dem Graphen? - Wo schneidet der Graph die x-Achse? Das passiert, wenn der Zähler des Bruchs Null wird. - Schau dir an, welchen Wert die Funktion für sehr große oder sehr kleine x-Werte annimmt. - Achte auf Symmetrien im Graphen. Welche Terme in der Funktionsgleichung könnten darauf hindeuten?

1. Zuordnung und Begründung: - Der Graph \(G_1\) gehört zur Funktion \(f(x) = \frac{2x - 2}{x + 1}\). Begründung: \(f\) hat eine Polstelle bei \(x = -1\) (Nennernullstelle) und eine Nullstelle bei \(x = 1\) (Zählernullstelle). Zudem ist die waagerechte Asymptote \(y = 2\), da der Grad von Zähler und Nenner gleich ist und der Quotient der Leitkoeffizienten \(\frac{2}{1} = 2\) beträgt. - Der Graph \(G_2\) gehört zur Funktion \(g(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 4}\). Begründung: \(g\) hat zwei Polstellen bei \(x = 2\) und \(x = -2\) und zwei Nullstellen bei \(x = 1\) und \(x = -1\). Die waagerechte Asymptote liegt bei \(y = 1\). Da nur \(x^2\)-Terme vorkommen, ist der Graph zudem achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Grenzverhalten von \(f\): - Für \(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\) nähern sich die Funktionswerte von \(f(x) = \frac{2x - 2}{x + 1}\) dem Wert \(2\) an. Rechnerisch: \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2 - \frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = 2\). - Geometrisch bedeutet dies, dass der Graph \(G_1\) eine waagerechte Asymptote mit der Gleichung \(y = 2\) besitzt.

1. Zuordnung: \(f \mapsto G_1\) und \(g \mapsto G_2\). Begründung: \(f\) hat eine Polstelle bei \(x = -1\) und eine waagerechte Asymptote bei \(y = 2\). \(g\) hat Polstellen bei \(x = \pm 2\), Nullstellen bei \(x = \pm 1\) und ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Grenzverhalten von \(f\): \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 2\). Dies entspricht der waagerechten Asymptote \(y = 2\).

- Überprüfe, ob eine Funktion Definitionslücken hat. Wie würde sich das im Graphen zeigen? - Für die Wertemenge: Was ist der höchste Punkt des Graphen? Welchen Wert erreicht er fast, wenn man weit nach links oder rechts geht? - Nullstellen findest du, indem du den Zähler gleich Null setzt. - Achte darauf, ob ein Graph eine Symmetrie aufweist und ob die Funktionsgleichung dazu passt.

1. Zuordnung: - Der Graph \(G_a\) (rot, glockenförmig) gehört zu \(h(x) = \frac{4}{x^2 + 1} - 1\). Begründung: Der Nenner \(x^2 + 1\) wird nie Null, daher hat der Graph keine Polstellen (Definitionslücken). Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. - Der Graph \(G_b\) (blau, Hyperbel) gehört zu \(k(x) = \frac{x - 1}{x - 2}\). Begründung: Bei \(x = 2\) liegt eine Polstelle vor, was typisch für eine Hyperbelform ist. 2. Mengen für \(h\): - Definitionsmenge: Da \(x^2 + 1 \geq 1\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), ist der Nenner nie Null. Somit ist \(\mathbb{D}_h = \mathbb{R}\). - Wertemenge: Der größte Wert liegt bei \(x = 0\) mit \(h(0) = \frac{4}{0+1} - 1 = 3\). Für sehr große \(|x|\) nähert sich der Bruch Null an, sodass die Funktionswerte gegen \(-1\) streben, diesen Wert aber nie erreichen. Aus dem Graphen liest man ab: \(\mathbb{W}_h = ]-1; 3]\). 3. Nullstellen von \(k\): - Eine gebrochen-rationale Funktion ist Null, wenn ihr Zähler Null ist (und der Nenner ungleich Null). - \(x - 1 = 0 \implies x = 1\). - Da \(1 \neq 2\), ist \(x = 1\) die einzige Nullstelle von \(k\).

1. \(h \mapsto G_a\) (keine Polstellen, Symmetrie), \(k \mapsto G_b\) (Polstelle bei \(x = 2\)). 2. \(\mathbb{D}_h = \mathbb{R}\); \(\mathbb{W}_h = \{y \in \mathbb{R} \mid -1 < y \leq 3\} = ]-1; 3]\). 3. Nullstelle von \(k\): \(x = 1\).

- Schau dir zuerst an, gegen welchen Wert die Funktionswerte für sehr große oder sehr kleine \(x\) streben. Das verrät dir die waagrechte Asymptote. - Wo schneiden die Graphen die \(x\)-Achse? Setze die Zähler der Funktionsterme gleich null, um die Nullstellen zu finden. - Überprüfe, ob ein Graph bei der Annäherung an die senkrechte Asymptote von oben oder von unten kommt. - Ein einzelner Punkt, wie zum Beispiel der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \(x=0\), kann helfen, eine Vermutung zu bestätigen.

1. Alle drei Funktionen haben eine Polstelle (senkrechte Asymptote) bei \(x = 3\), da dort der Nenner null wird. 2. Die waagrechten Asymptoten ergeben sich aus dem Verhalten für \(x \to \pm \infty\). Für \(f_1\) und \(f_3\) ist dies \(y = 1\), für \(f_2\) ist es \(y = 2\). Graph \(g\) nähert sich für große \(x\)-Werte der Geraden \(y = 2\) an, daher gehört er zu \(f_2(x)\). Die Nullstelle von \(f_2\) liegt bei \(x = 1\) (\(2x - 2 = 0\)), was zum Graphen \(g\) passt. 3. Die Graphen \(f\) und \(h\) haben beide die waagrechte Asymptote \(y = 1\). 4. Die Nullstelle von \(f_1\) liegt bei \(x = 2\) (\(x - 2 = 0\)). Dies entspricht dem Graphen \(f\). Zudem verläuft \(f\) für \(x > 3\) oberhalb der Asymptote \(y = 1\). 5. Die Nullstelle von \(f_3\) liegt bei \(x = 4\) (\(x - 4 = 0\)). Dies entspricht dem Graphen \(h\). Hier nähert sich der Graph für \(x > 3\) von unten an die Asymptote \(y = 1\) an. Ergebnis: Graph \(f\) gehört zu \(f_1\), Graph \(g\) zu \(f_2\) und Graph \(h\) zu \(f_3\).

Graph \(f\) gehört zu \(f_1(x) = \frac{x - 2}{x - 3}\); Graph \(g\) gehört zu \(f_2(x) = \frac{2x - 2}{x - 3}\); Graph \(h\) gehört zu \(f_3(x) = \frac{x - 4}{x - 3}\).

- Wo schneiden sich die Graphen der beiden genannten Funktionen im Diagramm? - Überlege dir, welche der Funktionsgleichungen zu den markierten Punkten \(A\) und \(B\) passen könnten. - Wie hängen die Schnittstellen von zwei Graphen mit der Gleichsetzung ihrer Funktionsterme zusammen? - Erinnere dich daran, dass ein Produkt zweier Terme genau dann null wird, wenn einer der Faktoren null ist.

1. Zur Lösung von \(f(x) = i(x)\) sucht man den Schnittpunkt der Graphen \(G_f\) (hyperbelförmig) und \(G_i\) (Gerade). Im Bereich \(x > 0\) schneiden sie sich an der Stelle \(x = 2\). 2. Die Punkte \(A\) und \(B\) liegen auf den Graphen von \(g\) (Parabel) und \(h\) (Gerade). Um ihre \(x\)-Koordinaten zu finden, setzt man die Funktionsterme gleich: \(0{,}5x^2 - 2 = x - 2\). 3. Die Nullstelle von \(h\) liegt bei \(x = 2\), da \(h(2) = 2 - 2 = 0\). Die Nullstelle von \(i\) liegt bei \(x = 4\), da \(i(4) = -4 + 4 = 0\). Eine Funktion mit genau diesen Nullstellen ist das Produkt \(k(x) = h(x)i(x) = (x - 2)(-x + 4)\).

a) \(x = 2\) b) \(0{,}5x^2 - 2 = x - 2\) c) \(k(x) = (x - 2)(-x + 4)\)

- Nutze für die Parabel den Ansatz \(y = a(x - x_s)^2 + y_s\). - Achte beim Ablesen der Schnittpunkte auf die Gitterlinien. - Wie prüft man allgemein, ob ein Punkt auf einem Funktionsgraphen liegt? - Ein Schnittpunkt ist ein Punkt, der die Bedingungen beider Funktionsgleichungen gleichzeitig erfüllt.

1. Bestimmung von \(g(x)\): Der Ansatz in Scheitelpunktform lautet \(g(x) = a(x - 2)^2 + 3\). Einsetzen von \(A(0 \mid -1)\) ergibt \(-1 = a(0 - 2)^2 + 3 = 4a + 3\). Daraus folgt \(4a = -4\), also \(a = -1\). Die Gleichung lautet \(g(x) = -(x - 2)^2 + 3\). 2. Ablesen der Schnittpunkte: Aus der Grafik lassen sich drei Schnittpunkte erkennen: \(S_1(0 \mid -1)\), \(S_2(2 \mid 3)\) und \(S_3(3 \mid 2)\). 3. Rechnerische Überprüfung von \(Q(3 \mid 2)\): - Für \(f\): \(f(3) = \frac{2}{3 - 1} + 1 = \frac{2}{2} + 1 = 1 + 1 = 2\). Der Punkt liegt auf \(G_f\). - Für \(g\): \(g(3) = -(3 - 2)^2 + 3 = -(1)^2 + 3 = -1 + 3 = 2\). Der Punkt liegt auf \(G_g\). Da beide Funktionswerte für \(x = 3\) den Wert \(2\) ergeben, ist \(Q(3 \mid 2)\) ein Schnittpunkt.

a) \(g(x) = -(x - 2)^2 + 3\) b) Die Schnittpunkte sind \((0 \mid -1)\), \((2 \mid 3)\) und \((3 \mid 2)\). c) \(f(3) = 2\) und \(g(3) = 2\). Da beide Funktionswerte gleich sind, ist \(Q(3 \mid 2)\) ein Schnittpunkt.

- Überlege, für welche \(x\)-Werte der Nenner des Bruchs Null wird. - Ersetze \(x\) durch \(-x\) im Funktionsterm, um die Symmetrie zu prüfen. - Was passiert mit den Funktionswerten, wenn \(x\) sehr groß oder sehr klein wird? - Ein Bruch ist genau dann Null, wenn sein Zähler Null ist.

1. Der Nenner wird null für \(x^2 - 9 = 0\), also für \(x = 3\) oder \(x = -3\). Damit ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3; 3\}\). Für die Symmetrie gilt \(f(-x) = \frac{2(-x)^2}{(-x)^2 - 9} = \frac{2x^2}{x^2 - 9} = f(x)\). Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Die Definitionslücken bei \(x = 3\) und \(x = -3\) sind Polstellen. Die senkrechten Asymptoten lauten \(x = 3\) und \(x = -3\). Für \(x \to \pm\infty\) nähert sich der Funktionsterm dem Verhältnis der Leitkoeffizienten \(2:1\). Die waagrechte Asymptote lautet \(y = 2\). 3. Für die \(y\)-Achse gilt \(f(0)=0\). Für die \(x\)-Achse gilt \(2x^2=0 \Rightarrow x=0\). Beide Achsenschnittpunkte fallen im Ursprung \(O(0 \mid 0)\) zusammen.

1. \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3; 3\}\); der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Senkrechte Asymptoten: \(x=-3\) und \(x=3\); waagrechte Asymptote: \(y=2\). 3. Der einzige Achsenschnittpunkt ist der Ursprung \(O(0 \mid 0)\).

- Überprüfe, ob du den Funktionsterm durch Kürzen vereinfachen kannst. - Was passiert mit dem Graphen an einer Stelle, an der sowohl Zähler als auch Nenner null werden? - Woran erkennst du im Funktionsterm, ob eine senkrechte Asymptote oder ein Punkt mit einem „Loch“ vorliegt? - Um den y-Wert einer hebbaren Definitionslücke zu finden, kannst du den x-Wert in den gekürzten Term einsetzen.

1. Analyse der Definitionslücken: Beide Funktionen haben eine Definitionslücke bei \(x = 3\), da der Nenner dort null wird. 2. Untersuchung von \(f(x)\): Durch Ausklammern im Zähler ergibt sich \(f(x) = \frac{x^2(x - 3)}{x - 3}\). Für \(x \neq 3\) lässt sich der Term zu \(f(x) = x^2\) kürzen. Es liegt eine hebbare Definitionslücke vor. Der Graph ist eine Parabel mit einem Loch. Dies entspricht Abbildung 2. 3. Untersuchung von \(g(x)\): Der Zähler \(x + 1\) ist für \(x = 3\) ungleich null (\(3 + 1 = 4\)). Es liegt eine Polstelle (mit Vorzeichenwechsel) vor. Der Graph hat eine senkrechte Asymptote bei \(x = 3\). Dies entspricht Abbildung 1. 4. Koordinaten des Lochs für \(f\): Einsetzen von \(x = 3\) in den gekürzten Term \(y = x^2\) ergibt \(y = 3^2 = 9\). Das Loch befindet sich bei \((3 \mid 9)\).

a) Abbildung 1 gehört zu \(g(x)\), da dort eine Polstelle bei \(x = 3\) vorliegt. Abbildung 2 gehört zu \(f(x)\), da sich der Term für \(x \neq 3\) zu \(x^2\) vereinfachen lässt, was einer Parabel mit einer hebbaren Definitionslücke (Loch) entspricht. b) Das Loch im Graphen von \(f\) liegt bei \((3 \mid 9)\).

- Vergleiche die Lage des Maximums der beiden Funktionen. - Was passiert mit dem Wert des Bruchs, wenn die Variable \(x\) extrem große positive oder negative Werte annimmt? - Denke an die allgemeine Symmetriebedingung für Graphen, die horizontal verschoben wurden.

1. Es gilt \(f(x) = 2g(x-5) + 1\). Der Graph entsteht somit durch eine Verschiebung um 5 Einheiten nach rechts, eine Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor 2 und eine Verschiebung um 1 Einheit nach oben. 2. Für \(x \to \pm \infty\) geht der Nenner \(1 + (x-5)^2\) gegen unendlich, wodurch der Bruchterm \(\frac{2}{1+(x-5)^2}\) gegen 0 strebt. Es gilt also \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 1 + 0 = 1\). Die waagrechte Asymptote ist \(y = 1\). 3. Aufgrund der Verschiebung in \(x\)-Richtung liegt die Symmetrieachse bei \(x = 5\). Der rechnerische Nachweis erfolgt über \(f(5-h) = 1 + \frac{2}{1+(-h)^2} = 1 + \frac{2}{1+h^2}\) und \(f(5+h) = 1 + \frac{2}{1+h^2}\). Da \(f(5-h) = f(5+h)\) für alle \(h \in \mathbb{R}\) gilt, ist der Graph achsensymmetrisch zu \(x = 5\).

1. Verschiebung um 5 nach rechts, Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor 2, Verschiebung um 1 nach oben. 2. \(y = 1\). 3. Achsensymmetrie zu \(x = 5\).

- Untersuche, bei welchem \(x\)-Wert der Graph ohne Schranke wächst oder fällt. - Beobachte, welchem \(y\)-Wert sich der Graph für sehr große positive und negative \(x\)-Werte nähert. - Überlege dir einen Grundansatz für die Funktionsgleichung, der die gefundenen Asymptoten bereits enthält. - Nutze die Koordinaten der markierten Punkte, um noch unbekannte Parameter in deiner Gleichung zu berechnen.

1. Der Graph besitzt bei \(x=2\) eine Polstelle. Daher ist die senkrechte Asymptote \(x=2\) und \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\). 2. Für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte nähert sich der Graph der Geraden \(y=2\). Dieser Wert wird nicht erreicht. Daher ist die waagrechte Asymptote \(y=2\) und \(W_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\). 3. Ein passender Ansatz lautet \(f(x)=\frac{a}{x-2}+2\). 4. Mit \(A(0 \mid 1{,}5)\) gilt \(1{,}5=\frac{a}{-2}+2\), also \(a=1\). 5. Der Term lautet \(f(x)=\frac{1}{x-2}+2=\frac{2x-3}{x-2}\). 6. Kontrolle mit \(B(1{,}5 \mid 0)\): \(f(1{,}5)=\frac{1}{-0{,}5}+2=-2+2=0\).

a) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\); \(W_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\). b) Senkrechte Asymptote: \(x=2\); waagrechte Asymptote: \(y=2\). c) Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x)=\frac{2x-3}{x-2}\). Beide Punkte \(A\) und \(B\) erfüllen den Term.

- Untersuche, bei welchen \(x\)-Werten der Graph ohne Schranke wächst oder fällt. - Beobachte, welchem \(y\)-Wert sich der Graph für sehr große positive und negative \(x\)-Werte nähert. - Wenn die waagrechte Asymptote nicht bei Null liegt, was sagt das über die Exponenten im Zähler und Nenner aus? - Setze einen bekannten Punkt in deinen Ansatz ein, um den genauen Streckungsfaktor oder fehlende Konstanten zu finden.

1. Der Graph besitzt senkrechte Asymptoten bei \(x=-2\) und \(x=2\) sowie die waagrechte Asymptote \(y=2\). 2. Daher ist \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{-2;2\}\). 3. Wegen der Symmetrie zur \(y\)-Achse und der Pole bei \(\pm2\) wählen wir den einfachen Ansatz \(g(x)=\frac{2x^2+b}{x^2-4}\). Das Verhältnis der Leitkoeffizienten \(2:1\) erzeugt die waagrechte Asymptote \(y=2\). 4. Mit \(S_y(0 \mid -0{,}5)\) gilt \(-0{,}5=\frac{b}{-4}\), also \(b=2\). 5. Ein möglicher Funktionsterm lautet \(g(x)=\frac{2x^2+2}{x^2-4}\).

a) \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\); Senkrechte Asymptoten: \(x = -2\), \(x = 2\); Waagrechte Asymptote: \(y = 2\) b) Ein möglicher Funktionsterm ist \(g(x) = \frac{2x^2 + 2}{x^2 - 4}\).

- Welche Informationen kannst du direkt aus dem Verhalten des Graphen nahe seiner Definitionslücke und für große Beträge von \(x\) gewinnen? - Nutze einen markanten Punkt auf dem Graphen, um den Streckfaktor \(a\) zu berechnen. - Überlege, wie das Vorzeichen des Bruchterms den Verlauf des Graphen in den verschiedenen Quadranten beeinflusst. - Denke daran, dass das Monotonieverhalten an der Definitionslücke unterbrochen wird.

1. Bestimmung der Parameter aus den Asymptoten: Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = 2\), woraus \(b = 2\) folgt. Die waagerechte Asymptote liegt bei \(y = 1\), woraus \(c = 1\) folgt. 2. Berechnung von \(a\) durch Einsetzen eines Punktes, z. B. \(P(3 \mid 2)\): \(2 = \frac{a}{3-2} + 1 \implies 2 = a + 1 \implies a = 1\). Der Funktionsterm ist \(f(x) = \frac{1}{x-2} + 1\). 3. Die maximale Definitionsmenge ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}\). Asymptoten: \(x = 2\) (senkrecht) und \(y = 1\) (waagerecht). 4. Analyse der Monotonie: Die Ableitung \(f'(x) = -\frac{1}{(x-2)^2}\) ist für alle \(x \in D_f\) stets negativ. Folglich ist die Funktion \(f\) in den Intervallen \(]-\infty; 2[\) und \(]2; \infty[\) jeweils streng monoton fallend.

a) \(f(x) = \frac{1}{x-2} + 1\) b) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}\); waagerechte Asymptote: \(y = 1\); senkrechte Asymptote: \(x = 2\). c) \(f\) ist in den Intervallen \(]-\infty; 2[\) und \(]2; \infty[\) jeweils streng monoton fallend.

- Untersuche, wie sich der Funktionswert ändert, wenn du \(x\) durch \(-x\) ersetzt. - Schau dir die Stellen an, an denen die Kurve ihre Richtung ändert, um die Extrempunkte zu finden. - Überlege dir, was mit dem Wert des Bruchs passiert, wenn \(x\) immer größer wird. Vergleiche dazu die Stärke des Wachstums von Zähler und Nenner.

1. Symmetrieprüfung: \(g(-x) = \frac{3(-x)}{(-x)^2 + 1} = \frac{-3x}{x^2 + 1} = -g(x)\). Da \(g(-x) = -g(x)\) gilt, ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Ablesen der Extrempunkte: Der Graph hat einen Hochpunkt bei \(H(1 \mid 1{,}5)\) und einen Tiefpunkt bei \(T(-1 \mid -1{,}5)\). 3. Grenzwertbetrachtung: Da der Grad des Nenners (2) größer ist als der Grad des Zählers (1), nähert sich der Funktionswert für sehr große \(x\)-Werte der Null an: \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x}{x^2 + 1} = 0\). 4. Asymptote bestimmen: Die waagrechte Asymptote hat somit die Gleichung \(y = 0\).

a) Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da \(g(-x) = -g(x)\) gilt. b) Die Extrempunkte liegen bei \(H(1 \mid 1{,}5)\) und \(T(-1 \mid -1{,}5)\). c) Die waagrechte Asymptote ist die \(x\)-Achse mit der Gleichung \(y = 0\), da der Nenner für \(x \to \infty\) stärker wächst als der Zähler.

- Bestimme zuerst die Polstellen, indem du die Nullstellen der Nenner suchst. - Überprüfe das Verhalten für sehr große Beträge von \(x\), um die waagerechten oder schrägen Asymptoten zu finden. - Setze \(x = 0\) ein, um den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse zu bestimmen. - Schau dir an, ob der Graph an einer Polstelle das Vorzeichen wechselt oder nicht.

1. Graph \(a\) gehört zu \(g_1\): Er besitzt eine Polstelle bei \(x = 0\) (die \(y\)-Achse ist vertikale Asymptote) und nähert sich für große Beträge von \(x\) der schrägen Asymptote \(y = x\) an. Die Nullstellen liegen bei \(x = \pm 1\). 2. Graph \(b\) gehört zu \(g_2\): Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, hat keine Polstellen und besitzt ein Maximum bei \((0 \mid 2)\). Für große Beträge von \(x\) nähert er sich der \(x\)-Achse (\(y = 0\)) an. 3. Graph \(c\) gehört zu \(g_3\): Es gibt eine Polstelle bei \(x = -2\) und eine Nullstelle bei \(x = 2\). Die waagerechte Asymptote liegt bei \(y = 1\). 4. Graph \(d\) gehört zu \(g_4\): Der Graph verläuft vollständig oberhalb der \(x\)-Achse und besitzt eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei \(x = 1\).

Die Zuordnung lautet: \(g_1 \to a\), \(g_2 \to b\), \(g_3 \to c\), \(g_4 \to d\).

- Wann führt eine Definitionslücke zu einer senkrechten Asymptote? - Wie kann man einen Bruch aufspalten, um das Verhalten im Unendlichen besser zu sehen? - Vergleiche die Bestandteile der allgemeinen Asymptotengleichung mit der vorgegebenen Geraden. - Was passiert mit dem Bruch, wenn die höchste Potenz im Zähler und Nenner gleich ist?

1. Der Nenner wird bei \(x = 0\) null. Setzt man \(x = 0\) in den Zähler ein, erhält man \(a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + 4 = 4\). Da der Zähler ungleich null ist, liegt bei \(x = 0\) stets eine Polstelle und damit eine senkrechte Asymptote vor. 2. Zerlegung des Funktionsterms: \(g_{a,b}(x) = \frac{a}{2}x + \frac{b}{2} + \frac{2}{x}\). Der lineare Anteil entspricht der schrägen Asymptote: \(y = \frac{a}{2}x + \frac{b}{2}\). 3. Koeffizientenvergleich mit \(y = 1{,}5x + 2\): \(\frac{a}{2} = 1{,}5 \implies a = 3\) und \(\frac{b}{2} = 2 \implies b = 4\). 4. Für \(a = 0\) ist \(g_{0,b}(x) = \frac{bx + 4}{2x}\). Der Grenzwert für \(x \to \pm\infty\) ist \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{bx + 4}{2x} = \lim_{x \to \pm\infty} (\frac{b}{2} + \frac{2}{x}) = \frac{b}{2}\). Die waagrechte Asymptote lautet somit \(y = \frac{b}{2}\).

a) Da der Zähler an der Stelle \(x=0\) den Wert \(4 \neq 0\) annimmt, liegt eine Polstelle vor. b) \(a = 3\) und \(b = 4\). c) Die waagrechte Asymptote ist \(y = \frac{b}{2}\), da \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{bx + 4}{2x} = \frac{b}{2}\).

- Wie hängen die Nullstellen des Nenners mit den senkrechten Asymptoten zusammen? - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn \(x\) sehr groß oder sehr klein wird? - Kannst du beim Gleichsetzen der Terme einen gemeinsamen Faktor im Zähler entdecken? - Denke bei Gleichungen daran, dass ein Produkt null ist, wenn einer der Faktoren null ist.

1. Asymptoten von \(h\): Senkrechte Asymptote bei der Nullstelle des Nenners \(x = 1\); waagrechte Asymptote durch Betrachtung des Grenzwerts für \(x \to \pm\infty\): \(y = 1\). 2. Asymptoten von \(k\): Senkrechte Asymptote bei \(x = -2\); waagrechte Asymptote durch Koeffizientenvergleich der höchsten Potenzen: \(y = \frac{2}{1} = 2\). 3. Schnittpunkte durch Gleichsetzen: \(\frac{x+1}{x-1} = \frac{2x+2}{x+2}\). 4. Ausklammern im Zähler von \(k(x)\): \(\frac{x+1}{x-1} = \frac{2(x+1)}{x+2}\). 5. Fallunterscheidung: Fall 1: \(x+1 = 0 \implies x_1 = -1\). Einsetzen ergibt \(h(-1) = 0\), also \(S_1(-1 \mid 0)\). Fall 2: \(x+1 \neq 0\). Kürzen durch \((x+1)\) führt zu \(\frac{1}{x-1} = \frac{2}{x+2}\). 6. Lösen der linearen Gleichung: \(x+2 = 2(x-1) \implies x+2 = 2x-2 \implies x_2 = 4\). 7. Berechnung des \(y\)-Werts: \(h(4) = \frac{4+1}{4-1} = \frac{5}{3}\). 8. Die gemeinsamen Punkte sind \(S_1(-1 \mid 0)\) und \(S_2(4 \mid \frac{5}{3})\).

a) \(h\): senkrechte Asymptote \(x=1\), waagrechte Asymptote \(y=1\); \(k\): senkrechte Asymptote \(x=-2\), waagrechte Asymptote \(y=2\). b) Die gemeinsamen Punkte sind \(S_1(-1 \mid 0)\) und \(S_2(4 \mid \frac{5}{3})\).

- Setze die Funktionsterme gleich und versuche, eine quadratische Gleichung in \(x\) zu erhalten. - Überlege, welches Werkzeug dir hilft, die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung zu bestimmen. - Vergiss nicht, dass der Wert des Parameters die Anzahl der Lösungen beeinflussen kann. - Gibt es einen speziellen Wert für \(x\), der nicht als Lösung infrage kommt? Prüfe, ob dieser für bestimmte \(a\) auftreten würde.

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(\frac{2a}{x+1} = x-2\). 2. Multiplikation mit dem Nenner \((x+1)\) ergibt \(2a = (x-2)(x+1) = x^2-x-2\). 3. Umformen zur quadratischen Gleichung \(x^2-x-2-2a = 0\). 4. Bestimmung der Diskriminante: \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2-2a) = 1 + 8 + 8a = 9 + 8a\). 5. Untersuchung der Diskriminante: \(D < 0 \iff a < -1{,}125\) (keine Lösung), \(D = 0 \iff a = -1{,}125\) (eine Lösung), \(D > 0 \iff a > -1{,}125\) (zwei Lösungen). 6. Prüfung der Definitionslücke \(x = -1\): Einsetzen in die quadratische Gleichung ergibt \((-1)^2 - (-1) - 2 - 2a = 0 \iff -2a = 0 \iff a = 0\). Für \(a = 0\) entfällt somit eine Lösung, da sie nicht im Definitionsbereich liegt. 7. Ergebnis: Für \(a < -1{,}125\) gibt es 0 Schnittpunkte; für \(a = -1{,}125\) oder \(a = 0\) gibt es 1 Schnittpunkt; für \(a > -1{,}125\) mit \(a \neq 0\) gibt es 2 Schnittpunkte.

Für \(a < -1{,}125\): 0 Schnittpunkte Für \(a = -1{,}125\) oder \(a = 0\): 1 Schnittpunkt Für \(a > -1{,}125\) und \(a \neq 0\): 2 Schnittpunkte

- Bestimme zuerst, welche \(x\)-Werte aufgrund von Nullstellen im Nenner ausgeschlossen werden müssen. - Suche nach dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner, um die Brüche aufzulösen. - Achte beim Auflösen der Klammern auf das Minuszeichen vor dem Term \((x^2 - 1)\). - Prüfe kritisch, ob jede rechnerisch gefundene Lösung tatsächlich ein Punkt auf beiden Graphen sein kann.

1. Ansatz durch Gleichsetzen der Funktionsterme: \(\frac{2}{x^2 - 1} = \frac{1}{x - 1} - 1\) 2. Festlegen der Definitionsmenge: \(D = \mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}\) 3. Multiplikation der gesamten Gleichung mit dem Hauptnenner \((x - 1)(x + 1) = x^2 - 1\): \(2 = (x + 1) - (x^2 - 1)\) 4. Vereinfachen und Umstellen der Gleichung: \(x^2 - x = 0\) 5. Faktorisieren der Gleichung: \(x(x - 1) = 0\), woraus die potenziellen Lösungen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 1\) folgen 6. Abgleich mit der Definitionsmenge: Da \(x_2 = 1\) nicht in \(D\) enthalten ist, bleibt nur \(x = 0\) als gültige Lösung 7. Berechnung der zugehörigen \(y\)-Koordinate: \(g(0) = \frac{1}{0 - 1} - 1 = -2\) 8. Ergebnis als Punkt: \(S(0 \mid -2)\)

Der einzige Schnittpunkt ist \(S(0 \mid -2)\).

- Zeichne dir eine Skizze des Banners mit der bedruckten Fläche und den Rändern auf. - Wie hängen die Seitenlängen der bedruckten Fläche zusammen, wenn ihr Produkt feststeht? - Denke daran, dass die Gesamtmaße des Banners die Maße der bedruckten Fläche plus die Ränder auf beiden Seiten sind. - Für die schräge Asymptote ist es hilfreich, den Funktionsterm in der Form \(ax + b + \frac{c}{x}\) zu betrachten.

1. Gesamthöhe: Die bedruckte Fläche ist \(xy = 18\), also ist die Höhe des bedruckten Teils \(y = \frac{18}{x}\). Für \(x > 0\) ist die Gesamthöhe inklusive Ränder \(H(x) = \frac{18}{x} + 2 \cdot 1 = \frac{18}{x} + 2\). 2. Gesamtfläche: Die Gesamtbreite ist \(B(x) = x + 2 \cdot 0{,}5 = x + 1\). Der Flächeninhalt ist \(A(x) = (x + 1)(\frac{18}{x} + 2) = 18 + 2x + \frac{18}{x} + 2 = 2x + 20 + \frac{18}{x}\). Gleichnamig machen ergibt \(A(x) = \frac{2x^2 + 20x + 18}{x}\) für \(x > 0\). 3. Asymptoten: Im sachlich relevanten Bereich \(x > 0\) liegt am Rand des Definitionsbereichs die senkrechte Asymptote \(x = 0\). Da \(A(x) = 2x + 20 + \frac{18}{x}\), ist \(y = 2x + 20\) die Gleichung der schrägen Asymptote. 4. Gleichung lösen: \(45 = \frac{2x^2 + 20x + 18}{x} \implies 45x = 2x^2 + 20x + 18 \implies 2x^2 - 25x + 18 = 0\). Anwendung der Mitternachtsformel: \(x_{1,2} = \frac{25 \pm \sqrt{(-25)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 18}}{2 \cdot 2} = \frac{25 \pm \sqrt{481}}{4}\). Dies ergibt \(x_1 \approx 11{,}73\) und \(x_2 \approx 0{,}77\). Beide Lösungen erfüllen \(x > 0\).

a) \(H(x) = \frac{18}{x} + 2\) für \(x > 0\) b) Nachweis durch Multiplikation von Gesamtbreite \((x+1)\) und Gesamthöhe \((\frac{18}{x}+2)\); \(A(x) = \frac{2x^2 + 20x + 18}{x}\) für \(x > 0\). c) Senkrechte Asymptote: \(x = 0\); schräge Asymptote: \(y = 2x + 20\). d) Die Breiten der bedruckten Fläche betragen etwa \(0{,}77\,\text{m}\) oder \(11{,}73\,\text{m}\).

- Wann haben zwei Funktionsgraphen einen gemeinsamen Punkt? - Achte auf den Definitionsbereich der gebrochen-rationalen Funktion. - Welche Bedingung muss für die Diskriminante einer quadratischen Gleichung gelten, damit sie genau eine Lösung hat? - Könnte es sein, dass eine rechnerische Lösung der Gleichung gar nicht im Definitionsbereich der Funktion liegt?

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(\frac{x + k}{x - 2} = x - 4\) mit der Definitionsbedingung \(x \neq 2\). 2. Multiplikation mit dem Nenner liefert die quadratische Gleichung: \(x + k = (x - 4)(x - 2) \Leftrightarrow x + k = x^2 - 6x + 8 \Leftrightarrow x^2 - 7x + 8 - k = 0\). 3. Fall 1: Die quadratische Gleichung hat genau eine Lösung (Diskriminante \(D = 0\)). Es gilt \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (8 - k) = 49 - 32 + 4k = 17 + 4k\). \(17 + 4k = 0 \Rightarrow k = -4{,}25\). Die Lösung \(x = 3{,}5\) liegt im Definitionsbereich. 4. Fall 2: Die quadratische Gleichung hat zwei Lösungen, wovon eine der ausgeschlossene Wert \(x = 2\) ist. Einsetzen von \(x = 2\) in \(x^2 - 7x + 8 - k = 0\): \(4 - 14 + 8 - k = 0 \Rightarrow k = -2\). Für \(k = -2\) ergibt sich \(x^2 - 7x + 10 = 0\) mit den Lösungen \(x_1 = 2\) (nicht im Definitionsbereich) und \(x_2 = 5\). Es existiert somit genau ein Schnittpunkt bei \(x = 5\). 5. Die gesuchten Werte sind \(k = -4{,}25\) und \(k = -2\).

Die Graphen haben für \(k = -4{,}25\) und \(k = -2\) genau einen Schnittpunkt.

- Was passiert, wenn du die Gleichung nach dem Gleichsetzen mit dem Nenner multiplizierst? - Wie verhält sich ein Polynom dritten Grades bezüglich seiner Nullstellen? - Kannst du mithilfe der Ableitung des entstandenen Polynoms etwas über dessen Monotonie aussagen? - Warum ist es wichtig, den Wert der Definitionslücke in die entstandene Gleichung einzusetzen?

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(\frac{x+2}{x-1} = x^2 + 2\). 2. Multiplikation mit dem Nenner \(x-1\): \(x+2 = (x^2+2)(x-1) = x^3 - x^2 + 2x - 2\). 3. Zusammenfassen zu einer kubischen Gleichung: \(x^3 - x^2 + x - 4 = 0\). 4. Untersuchung der Funktion \(k(x) = x^3 - x^2 + x - 4\) auf Nullstellen: Die Ableitung \(k'(x) = 3x^2 - 2x + 1\) hat die Diskriminante \(D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = -8 < 0\). 5. Da \(k'(x) > 0\) für alle \(x\) gilt, ist die Funktion \(k\) streng monoton steigend. 6. Aufgrund der Grenzwerte \(\lim_{x \to -\infty} k(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to \infty} k(x) = \infty\) besitzt \(k\) genau eine reelle Nullstelle. 7. Prüfung der Definitionslücke: Da \(k(1) = 1 - 1 + 1 - 4 = -3 \neq 0\), liegt die Nullstelle nicht bei \(x=1\). 8. Es existiert somit genau eine Schnittpunkt und damit genau ein gemeinsamer Punkt.

Die Graphen \(G_h\) und \(G_p\) haben genau einen gemeinsamen Punkt.

- Was passiert mit der Funktionsgleichung, wenn man das Argument \(x\) durch \((x - x_0)\) ersetzt? - Vergleiche die schrägen Asymptoten der beiden Funktionen. Geben sie dir einen Hinweis auf eine vertikale Verschiebung? - Setze die transformierte Funktion \(f(x - x_0) + y_0\) mit \(g(x)\) gleich und löse nach den Unbekannten auf.

1. Analyse von \(f(x)\): Der Definitionsbereich ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = 0\). Da der Term \(\frac{4}{x}\) für \(x \to \pm\infty\) gegen \(0\) strebt, ist die schräge Asymptote \(y = x\). 2. Prüfung der horizontalen Verschiebung: Eine Verschiebung von \(f\) um \(2\) Einheiten nach rechts entspricht der Funktion \(h(x) = f(x-2) = (x-2) + \frac{4}{x-2} = x - 2 + \frac{4}{x-2}\). 3. Vergleich mit \(g(x)\): Es gilt \(g(x) = x + \frac{4}{x-2}\). Der Vergleich zeigt \(g(x) - h(x) = (x + \frac{4}{x-2}) - (x - 2 + \frac{4}{x-2}) = 2\). Die Behauptung ist also falsch, da zusätzlich eine vertikale Verschiebung vorliegt. 4. Bestimmung des Verschiebungsvektors: Da \(g(x) = h(x) + 2 = f(x-2) + 2\), wurde der Graph um \(2\) Einheiten nach rechts (\(x_0 = 2\)) und um \(2\) Einheiten nach oben (\(y_0 = 2\)) verschoben. Der Vektor lautet \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}\).

a) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}\); senkrechte Asymptote \(x = 0\); schräge Asymptote \(y = x\). b) Die Behauptung ist falsch. Der korrekte Verschiebungsvektor ist \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}\).

- Es ist oft hilfreich, alle Terme auf eine Seite zu bringen, sodass auf der anderen Seite eine Null steht. - Warum darf man eine Ungleichung nicht einfach mit einem Term multiplizieren, der das Argument \(x\) enthält? - Was passiert mit dem Ungleichheitszeichen, wenn man mit einer negativen Zahl multipliziert? Wie vermeidet man dieses Problem durch geschicktes Umformen? - Überlege dir, was die Ungleichung \(f(x) \ge g(x)\) grafisch für die Position der beiden Funktionsgraphen bedeutet.

1. Umformung der Ungleichung: \(\frac{3}{x-2} - x \ge 0\). 2. Bringen auf einen gemeinsamen Nenner: \(\frac{3 - x(x-2)}{x-2} \ge 0 \implies \frac{3 - x^2 + 2x}{x-2} \ge 0 \implies \frac{-(x^2 - 2x - 3)}{x-2} \ge 0\). 3. Bestimmung der kritischen Punkte: Zähler-Nullstellen von \(-x^2 + 2x + 3 = 0\) ergeben \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\). Die Definitionslücke des Nenners ist \(x = 2\). 4. Vorzeichenuntersuchung der rationalen Funktion \(T(x) = \frac{-(x-3)(x+1)}{x-2}\): - Für \(x \le -1\) ist \(T(x) \ge 0\). - Für \(-1 < x < 2\) ist \(T(x) < 0\). - Für \(2 < x \le 3\) ist \(T(x) \ge 0\). - Für \(x > 3\) ist \(T(x) < 0\). 5. Lösungsmenge: \(L = ]-\infty; -1] \cup ]2; 3]\). 6. Geometrische Interpretation: In den ermittelten Intervallen liegt der Graph der Funktion \(f(x) = \frac{3}{x-2}\) oberhalb des Graphen der Geraden \(g(x) = x\) oder schneidet diesen (an den Stellen \(x = -1\) und \(x = 3\)).

a) Die Lösungsmenge ist \(L = ]-\infty; -1] \cup ]2; 3]\). b) Geometrisch bedeutet dies, dass der Graph von \(f(x) = \frac{3}{x-2}\) für \(x \in ]-\infty; -1] \cup ]2; 3]\) nicht unterhalb der Geraden \(g(x) = x\) verläuft. Die Schnittpunkte der Graphen liegen bei \(x = -1\) und \(x = 3\).

- Was passiert, wenn sowohl der Zähler als auch der Nenner an derselben Stelle Null werden? - Unterscheide zwischen Polstellen und hebbaren Definitionslücken. - Prüfe nach der Berechnung der Zählernullstellen immer, ob diese Werte tatsächlich zur Definitionsmenge gehören. - Kannst du den Funktionsterm vereinfachen, indem du Zähler und Nenner faktorisierst?

1. Definitionsmenge: Nennernullstellen bestimmen durch \(x^2 - 4 = 0 \implies x_1 = 2, x_2 = -2\). Somit ist \(D = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\). 2. Polstellen: Prüfung der Definitionslücken im Zähler. Für \(x = -2\) ist der Zähler \((-2)^2 - (-2) - 2 = 4 \neq 0\), daher liegt eine Polstelle bei \(x = -2\) vor. Für \(x = 2\) ist der Zähler \(2^2 - 2 - 2 = 0\). Durch Faktorisieren \(\frac{(x-2)(x+1)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x+1}{x+2}\) erkennt man, dass bei \(x = 2\) eine hebbare Definitionslücke (Lücke) und keine Polstelle vorliegt. 3. Nullstellen: Zählernullstellen berechnen mit \(x^2 - x - 2 = 0\), was \(x = 2\) oder \(x = -1\) ergibt. 4. Abgleich mit \(D\): Da \(2 \notin D\), ist nur \(x = -1\) eine Nullstelle der Funktion.

\(D = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\); Polstelle bei \(x = -2\); Nullstelle bei \(x = -1\).

- Prüfe die Bedingungen für Punkt- und Achsensymmetrie. - Vergleiche die Wachstumsgeschwindigkeiten von Zähler und Nenner für sehr große \(x\)-Werte. - Verwende die Quotientenregel zur Berechnung der Ableitungen. - Setze die berechneten \(x\)-Werte in die ursprüngliche Funktion ein, um die \(y\)-Koordinaten zu erhalten. - Beachte, dass ein Wendepunkt ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung erfordert.

1. Symmetrie und Asymptote: Wegen \(h(-x) = \frac{-x}{(-x)^2+3} = -\frac{x}{x^2+3} = -h(x)\) ist \(G_h\) punktsymmetrisch zum Ursprung. Da der Grad des Nenners größer als der des Zählers ist, gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} h(x) = 0\). Die waagrechte Asymptote ist die \(x\)-Achse mit der Gleichung \(y = 0\). 2. Extrempunkte: Die erste Ableitung ist \(h'(x) = \frac{1 \cdot (x^2+3) - x \cdot 2x}{(x^2+3)^2} = \frac{3-x^2}{(x^2+3)^2}\). Nullstellen von \(h'\) sind \(x_{1,2} = \pm \sqrt{3}\). Mit \(h(\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{6}\) und \(h(-\sqrt{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{6}\) sowie der Punktsymmetrie ergibt sich: Tiefpunkt \(T(-\sqrt{3}|-\frac{1}{6}\sqrt{3})\) und Hochpunkt \(H(\sqrt{3}|\frac{1}{6}\sqrt{3})\). 3. Wendepunkte: Die zweite Ableitung ist \(h''(x) = \frac{-2x(x^2+3)^2 - (3-x^2) \cdot 2(x^2+3) \cdot 2x}{(x^2+3)^4} = \frac{2x^3-18x}{(x^2+3)^3}\). Nullstellen von \(h''\) sind \(x \cdot (2x^2-18) = 0\), also \(x_3 = 0\), \(x_4 = 3\) und \(x_5 = -3\). Da \(h''\) an diesen Stellen das Vorzeichen wechselt (einfache Nullstellen des Zählers), liegen Wendepunkte vor. Die Koordinaten sind \(W_1(0|0)\), \(W_2(3|0{,}25)\) und \(W_3(-3|-0{,}25)\).

a) Punktsymmetrie zum Ursprung; waagrechte Asymptote \(y = 0\). b) Tiefpunkt \(T(-\sqrt{3}|-\frac{1}{6}\sqrt{3})\), Hochpunkt \(H(\sqrt{3}|\frac{1}{6}\sqrt{3})\). c) Wendepunkte bei \(W_1(0|0)\), \(W_2(3|0{,}25)\) und \(W_3(-3|-0{,}25)\).

- Überprüfe die Bedingung für Punktsymmetrie zum Ursprung: \(f(-x) = -f(x)\). - Was passiert mit dem Bruch, wenn die Variable \(x\) extrem groß wird? - Achte beim Ableiten auf die Vorzeichen im Zähler, besonders beim Nachdifferenzieren des Nenners. - Betrachte die Grenzwerte der Funktion an den Rändern des Intervalls \(]-1; 1[\). - Wenn eine stetige Funktion von „ganz weit unten“ bis „ganz weit oben“ verläuft, welche Werte deckt sie dann ab?

1. Nachweis der Punktsymmetrie: \(g(-x) = \frac{2(-x)}{1 - (-x)^2} = \frac{-2x}{1 - x^2} = -g(x)\). Damit ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Grenzwert für \(x \to \infty\): \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{1 - x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{1}{x^2} - 1} = \frac{0}{-1} = 0\). 3. Erste Ableitung: \(g'(x) = \frac{2(1 - x^2) - 2x(-2x)}{(1 - x^2)^2} = \frac{2 - 2x^2 + 4x^2}{(1 - x^2)^2} = \frac{2x^2 + 2}{(1 - x^2)^2}\). 4. Da \(2x^2 + 2 > 0\) und \((1 - x^2)^2 > 0\) für alle \(x \in D_g\), ist \(g'(x) > 0\). Daraus folgt die strenge Monotonie (steigend) in den Intervallen \(]-\infty; -1[\), \(]-1; 1[\) und \(]1; \infty[\). 5. Tangentensteigung im Ursprung: \(g'(0) = \frac{2 \cdot 0^2 + 2}{(1 - 0^2)^2} = 2\). 6. Wertebereich in \(]-1; 1[\): Es gilt \(\lim_{x \to -1^+} g(x) = \frac{-2}{0^+} = -\infty\) und \(\lim_{x \to 1^-} g(x) = \frac{2}{0^+} = +\infty\). Da die Funktion in diesem Intervall stetig und streng monoton steigend ist, werden alle Werte von \(-\infty\) bis \(+\infty\) angenommen (Zwischenwertsatz).

a) Punktsymmetrie, da \(g(-x) = -g(x)\). Grenzwert: \(\lim_{x \to \infty} g(x) = 0\). b) \(g'(x) = \frac{2x^2 + 2}{(1 - x^2)^2}\). Daher ist \(g\) auf jedem der Intervalle \(]-\infty; -1[\), \(]-1; 1[\) und \(]1; \infty[\) streng monoton steigend. c) Die Steigung im Ursprung ist \(2\). Da \(\lim_{x \to -1^+} g(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to 1^-} g(x) = +\infty\) gilt und die Funktion im Intervall stetig ist, nimmt sie dort jeden reellen Wert an.

- Wann ist ein Bruch gleich null? Betrachte dazu nur den Zähler. - Vergleiche die höchsten Potenzen von \(x\) im Zähler und Nenner, um das Verhalten im Unendlichen zu bestimmen. - Für den Nachweis der Wendepunkte musst du zeigen, dass die zweite Ableitung an den Stellen der Nullstellen ebenfalls null ist. - Nutze die Symmetrie der Funktion, um deine Ergebnisse für die Extrem- und Wendepunkte zu überprüfen.

1. Definitionsbereich und Symmetrie: Da \(x^2 + 3 > 0\) für alle \(x\), ist \(D_f = \mathbb{R}\). Wegen \(f(-x) = \frac{(-x)^2 - 1}{(-x)^2 + 3} = f(x)\) ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Nullstellen und Asymptote: \(x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x_{1,2} = \pm 1\). Da Zähler- und Nennergrad gleich sind, gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{1 \cdot x^2 - 1}{1 \cdot x^2 + 3} = 1\). Waagerechte Asymptote: \(y = 1\). 3. Wendepunkte: Ableitungen bilden: \(f'(x) = \frac{2x(x^2+3) - (x^2-1)2x}{(x^2+3)^2} = \frac{8x}{(x^2+3)^2}\) und \(f''(x) = \frac{8(x^2+3)^2 - 8x \cdot 2(x^2+3) \cdot 2x}{(x^2+3)^4} = \frac{24-24x^2}{(x^2+3)^3}\). Die Bedingung \(f''(x) = 0\) führt auf \(24(1-x^2) = 0 \Rightarrow x_{1,2} = \pm 1\). Da der Nenner positiv ist und der Zähler \(24(1-x^2)\) an beiden einfachen Nullstellen sein Vorzeichen wechselt, liegen dort Wendepunkte bei \(W_1(-1 \mid 0)\) und \(W_2(1 \mid 0)\). 4. Extrempunkt: \(f'(x) = 0 \Rightarrow 8x = 0 \Rightarrow x = 0\). Mit \(f''(0) = \frac{24}{27} > 0\) ist dies ein lokales Minimum. Der Tiefpunkt liegt bei \(T(0 \mid -\frac{1}{3})\).

1. \(D_f = \mathbb{R}\), achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Nullstellen \(x_{1,2} = \pm 1\), waagerechte Asymptote \(y = 1\). 3. Die zweite Ableitung wechselt bei \(x = -1\) und \(x = 1\) das Vorzeichen; daher sind \(W_1(-1 \mid 0)\) und \(W_2(1 \mid 0)\) Wendepunkte. 4. \(T(0 \mid -\frac{1}{3})\).

- Prüfe die Bedingung für Achsen- oder Punktsymmetrie durch Einsetzen von \(-x\). - Die Quotientenregel hilft dir beim Ableiten von Brüchen. - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner viel schneller wächst als der Zähler? - Die Wertemenge umfasst alle möglichen Ergebnisse der Funktion – schaue dir dafür die Extrema an.

1. \(f_k(-x) = \frac{k(-x)}{(-x)^2 + 4} = \frac{-kx}{x^2 + 4} = -f_k(x)\). Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Ableitung mit Quotientenregel: \(f_k'(x) = k \cdot \frac{1 \cdot (x^2 + 4) - x \cdot 2x}{(x^2 + 4)^2} = k \cdot \frac{4 - x^2}{(x^2 + 4)^2}\). \(f_k'(x) = 0 \implies x^2 = 4 \implies x_1 = 2, x_2 = -2\). Funktionswerte: \(f_k(2) = \frac{2k}{8} = \frac{k}{4}\) und \(f_k(-2) = -\frac{k}{4}\). Für \(k > 0\) ist \(H(2 \mid \frac{k}{4})\) Hochpunkt und \(T(-2 \mid -\frac{k}{4})\) Tiefpunkt. Für \(k < 0\) kehren sich die Rollen um. 3. Da der Grad des Nenners größer ist als der Grad des Zählers, gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} f_k(x) = 0\). 4. Da die Funktion stetig ist, für \(x \to \pm \infty\) gegen 0 strebt und genau zwei Extremstellen besitzt, liegen alle Funktionswerte zwischen den \(y\)-Koordinaten der Extrema. Die Wertemenge ist \(W = [-\frac{|k|}{4}; \frac{|k|}{4}]\).

1. Punktsymmetrie zum Ursprung \((0 \mid 0)\). 2. Extrempunkte bei \((2 \mid \frac{k}{4})\) und \((-2 \mid -\frac{k}{4})\). 3. \(\lim_{x \to \infty} f_k(x) = 0\) und \(\lim_{x \to -\infty} f_k(x) = 0\). 4. \(W = [-\frac{|k|}{4}; \frac{|k|}{4}]\).

- Bestimme zuerst die Gleichungen der Asymptoten aus der Zeichnung. - Nutze die Position der senkrechten Asymptote für den Nenner und die waagrechte oder schräge Asymptote für den ganzrationalen Teil des Terms. - Suche dir einen gut ablesbaren Punkt auf dem Graphen, um den Zähler des Bruchteils zu berechnen.

1. Analyse von \(f\) (blau): - Senkrechte Asymptote bei \(x = -3\). - Waagrechte Asymptote bei \(y = 2\). - Ansatz: \(f(x) = 2 + \frac{k}{x + 3}\). - Der Graph verläuft durch \((-2 \mid 3)\): \(3 = 2 + \frac{k}{-2 + 3} \Rightarrow k = 1\). - Ergebnis: \(f(x) = 2 + \frac{1}{x + 3} = \frac{2x + 7}{x + 3}\). 2. Analyse von \(g\) (grün): - Senkrechte Asymptote bei \(x = 4\). - Schräge Asymptote durch \((2 \mid 0)\) und \((0 \mid 1)\) mit Steigung \(m = \frac{1 - 0}{0 - 2} = -0{,}5\), also \(y = -0{,}5x + 1\). - Ansatz: \(g(x) = -0{,}5x + 1 + \frac{c}{x - 4}\). - Der Graph verläuft durch \((5 \mid -2)\): \(-2 = -0{,}5 \cdot 5 + 1 + \frac{c}{5 - 4} \Rightarrow -2 = -1{,}5 + c \Rightarrow c = -0{,}5\). - Ergebnis: \(g(x) = -0{,}5x + 1 - \frac{0{,}5}{x - 4}\).

\(f(x) = 2 + \frac{1}{x + 3}\) (oder \(f(x) = \frac{2x + 7}{x + 3}\)). \(g(x) = -0{,}5x + 1 - \frac{0{,}5}{x - 4}\) (oder \(g(x) = \frac{-0{,}5x^2 + 3x - 4{,}5}{x - 4}\)).

- Erinnere dich daran, wie man Polstellen und das Grenzverhalten für \(x \to \pm \infty\) bestimmt. - Um einen Schnittpunkt mit einer Asymptote zu finden, musst du den Funktionsterm mit dem Wert der Asymptote gleichsetzen. - Betrachte die Hoch- und Tiefpunkte sowie das Verhalten an den Rändern der Definitionsbereiche, um die Wertemenge zu finden.

1. Asymptoten: Senkrechte Asymptoten liegen bei den Nullstellen des Nenners: \(x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x_1 = -3, x_2 = 3\). Da der Zählergrad gleich dem Nennergrad ist, liegt die waagerechte Asymptote bei dem Verhältnis der Leitkoeffizienten: \(y = \frac{3}{1} = 3\). 2. Schnittpunkt mit der waagerechten Asymptote: Ansatz \(g(x) = 3 \Rightarrow \frac{3x^2}{x^2 - 9} = 3 \Rightarrow 3x^2 = 3(x^2 - 9) \Rightarrow 3x^2 = 3x^2 - 27 \Rightarrow 0 = -27\). Diese Gleichung hat keine Lösung, also gibt es keinen Schnittpunkt. 3. Wertemenge: Aus dem Graphen ist ersichtlich, dass der mittlere Ast sein lokales Maximum bei \((0 \mid 0)\) hat und nach unten gegen \(-\infty\) strebt. Die äußeren Äste kommen von \(+\infty\) und nähern sich von oben der Asymptote \(y = 3\) an. Die Funktionswerte zwischen \(0\) (exklusive) und \(3\) (inklusive) werden nicht angenommen. Somit ist \(W = \{y \in \mathbb{R} \mid y \le 0 \lor y > 3\}\) bzw. \(W = \mathbb{R} \setminus ]0; 3]\).

a) Senkrechte Asymptoten: \(x = -3\) und \(x = 3\); waagerechte Asymptote: \(y = 3\) b) Kein Schnittpunkt, da die Gleichung \(0 = -27\) unlösbar ist. c) \(W = \mathbb{R} \setminus ]0; 3]\)

- Wie bestimmt man die waagerechte Asymptote, wenn die Grade von Zähler und Nenner gleich sind? - Nutze einen deutlich erkennbaren Punkt auf der Asymptote, um den Parameter zu berechnen. - Was muss für den Zähler gelten, damit eine Definitionslücke des Nenners „gehoben“ werden kann?

1. Waagerechte Asymptote und Schnittpunkt: Da Zähler- und Nennergrad gleich sind, ist die waagerechte Asymptote \(y = \frac{1}{1} = 1\). Dem Graphen entnimmt man den Schnittpunkt \(S(4 \mid 1)\). 2. Berechnung von \(k\): Setze den Punkt \(S\) in die Funktionsgleichung ein: \(h_k(4) = 1 \Rightarrow \frac{4^2 + k \cdot 4}{4^2 - 4} = 1 \Rightarrow \frac{16 + 4k}{12} = 1 \Rightarrow 16 + 4k = 12 \Rightarrow 4k = -4 \Rightarrow k = -1\). 3. Hebbare Definitionslücke: Eine hebbare Lücke bei \(x = 2\) liegt vor, wenn der Zähler an dieser Stelle ebenfalls null wird (und die Vielfachheit der Nullstelle im Zähler mindestens so groß ist wie im Nenner). \(x^2 + kx = 0\) für \(x = 2 \Rightarrow 2^2 + k \cdot 2 = 0 \Rightarrow 4 + 2k = 0 \Rightarrow k = -2\).

a) Waagerechte Asymptote: \(y = 1\); Schnittpunkt: \(S(4 \mid 1)\) b) \(k = -1\) c) \(k = -2\)