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- Vergleiche Punkte des Graphen bei entgegengesetzten \(x\)-Werten. - Prüfe, ob sich die linke und rechte Graphenhälfte an der \(y\)-Achse spiegeln.

1. Die linke und die rechte Hälfte des Graphen sind Spiegelbilder an der \(y\)-Achse. Der Graph ist daher achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

- Welche \(x\)-Koordinate haben alle Punkte auf der \(y\)-Achse? - Setze diesen Wert in den Funktionsterm ein.

1. Auf der \(y\)-Achse gilt \(x=0\). Damit ist \(h(0)=\frac{2}{1}=2\), also liegt der Schnittpunkt bei \((0\mid2)\).

\((0\mid2)\)

- Für Definitionsmenge und senkrechte Asymptote genügt hier ein Blick auf den Nenner. - Für die Nullstelle genügt ein Blick auf den Zähler. - Für die waagrechte Asymptote vergleiche die Grade und Leitkoeffizienten von Zähler und Nenner.

1. Der Nenner wird bei \(x=-2\) null. Daher ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-2\}\) und \(x=-2\) die senkrechte Asymptote. 2. Der Zähler wird bei \(x=1\) null, also liegt dort die Nullstelle. 3. Zähler und Nenner haben denselben Grad und beide Leitkoeffizienten sind \(1\). Daher ist \(y=1\) die waagrechte Asymptote.

a) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-2\}\) b) \(x=1\) c) \(x=-2\) d) \(y=1\)

- Lies aus dem Term zuerst die Verschiebung in \(x\)- und \(y\)-Richtung ab. - Vergleiche danach nur noch die beiden Graphen mit der passenden senkrechten Asymptote. - Untersuche das Vorzeichen von \(\frac{1}{x-1}\) für \(x>1\).

1. Aus dem Term folgt die senkrechte Asymptote \(x=1\) und die waagrechte Asymptote \(y=2\). 2. Damit scheidet Graph c) aus, denn dort liegt die senkrechte Asymptote bei \(x=-1\). 3. Für \(x>1\) ist \(\frac{1}{x-1}>0\), also gilt \(f(x)>2\). Der rechte Ast muss oberhalb der waagrechten Asymptote liegen. 4. Das trifft nur auf Graph a) zu.

Graph a). Er hat die senkrechte Asymptote \(x=1\); für \(x>1\) liegt sein rechter Ast oberhalb der waagrechten Asymptote \(y=2\).

- Welche Nenner können null werden, und was bedeutet das für die Definitionsmenge? - Unter welcher Bedingung ist ein Bruch gleich null? - Welchen \(x\)-Wert setzt du für einen Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ein? - Vergleiche für die Erklärung Zähler und Nenner der beiden Funktionsterme.

1. Für \(h\) darf \(x+1\) nicht null werden. Daher ist \(D_h=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\). Für die lineare Funktion gilt \(D_k=\mathbb{R}\). 2. Beide Funktionsterme werden für \(x=3\) null, weil ihr gemeinsamer Zähler \(x-3\) dort null ist und die jeweiligen Nenner ungleich null sind. Daher gilt \(S_{x,h}=S_{x,k}=(3\mid0)\). 3. Es ist \(h(0)=-3\) und \(k(0)=-\frac{3}{2}\). Somit sind \(S_{y,h}(0\mid-3)\) und \(S_{y,k}(0\mid-\frac{3}{2})\). 4. Die gemeinsame Nullstelle folgt aus dem gemeinsamen Faktor \(x-3\) im Zähler. Für \(x=0\) liefern die verschiedenen Nenner dagegen verschiedene Funktionswerte.

a) \(D_h=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\), \(D_k=\mathbb{R}\) b) \(S_{x,h}=S_{x,k}=(3\mid0)\) c) \(S_{y,h}(0\mid-3)\), \(S_{y,k}(0\mid-\frac{3}{2})\) d) Die gemeinsame Nullstelle entsteht durch den gemeinsamen Zähler \(x-3\); bei \(x=0\) führen die verschiedenen Nenner zu verschiedenen Funktionswerten.

- Prüfe, ob der Nenner für irgendein reelles \(x\) den Wert Null annehmen kann. - Erinnere dich an die Bedingungen für Achsen- oder Punktsymmetrie. - Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse findest du durch Nullsetzen des Zählers. - Wie verhält sich der Bruch, wenn \(x\) sehr groß wird? Dividiere Zähler und Nenner durch die höchste vorkommende Potenz.

1. Da \(x^2 + 2 \geq 2\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), wird der Nenner nie Null. Somit ist \(D_k = \mathbb{R}\). Wegen \(k(-x) = \frac{2(-x)^2 - 18}{(-x)^2 + 2} = k(x)\) liegt Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse vor. 2. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(k(0) = \frac{2 \cdot 0^2 - 18}{0^2 + 2} = -9\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid -9)\). Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse (Nullstellen): \(2x^2 - 18 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3\). Die Schnittpunkte sind \(N_1(-3 \mid 0)\) und \(N_2(3 \mid 0)\). 3. Für den Grenzwert im Unendlichen betrachten wir das Verhältnis der Leitkoeffizienten: \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x^2 - 18}{x^2 + 2} = 2\). Die waagrechte Asymptote ist \(y = 2\). 4. Berechnung der Werte: \(k(1) = \frac{2 \cdot 1^2 - 18}{1^2 + 2} = \frac{-16}{3} = -5\frac{1}{3}\). \(k(4) = \frac{2 \cdot 4^2 - 18}{4^2 + 2} = \frac{32 - 18}{16 + 2} = \frac{14}{18} = \frac{7}{9}\).

a) \(D_k = \mathbb{R}\); Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse. b) \(S_y(0 \mid -9)\), \(N_1(-3 \mid 0)\), \(N_2(3 \mid 0)\). c) \(\lim_{x \to \pm \infty} k(x) = 2\). d) \(k(1) = -\frac{16}{3}\); \(k(4) = \frac{7}{9}\).

- Ersetze für die Symmetrieprüfung \(x\) durch \(-x\). - Setze die drei gefragten Werte direkt in den Funktionsterm ein. - Vergleiche für das Verhalten im Unendlichen die Grade von Zähler und Nenner. - Welche Bedingung muss der Zähler erfüllen, damit ein Bruch den Wert null annimmt?

1. Es gilt \(f(-x)=\frac{12}{(-x)^2+3}=f(x)\). Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Es ist \(f(-3)=1\), \(f(0)=4\) und \(f(3)=1\). 3. Weil der Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist, gilt \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0\). Die waagrechte Asymptote lautet \(y=0\). 4. Ein Bruch kann nur null sein, wenn sein Zähler null ist. Der konstante Zähler \(12\) ist nie null, also besitzt \(f\) keine Nullstellen.

a) Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse b) \(f(-3)=1\), \(f(0)=4\), \(f(3)=1\) c) \(f(x)\to0\) für \(x\to\pm\infty\); waagrechte Asymptote \(y=0\) d) Keine Nullstellen, da der Zähler konstant \(12\neq0\) ist.

- Überlege dir, welches Vorzeichen Quadrate reeller Zahlen immer haben. - Was passiert mit einem Bruch, wenn im Zähler und Nenner derselbe Parameter als Faktor steht? - Erinnere dich an die Regel für Grenzwerte bei rationalen Funktionen, wenn der Grad des Zählers gleich dem Grad des Nenners ist.

1. Für \(t>0\) ist \(x^2+2t>0\) für alle \(x\in\mathbb{R}\). Daher gilt \(D_{g_t}=\mathbb{R}\). 2. Auch \(2x^2+t>0\) für alle reellen \(x\). Deshalb besitzt \(g_t\) keine Nullstellen. 3. Es ist \(g_t(0)=\frac{t}{2t}=\frac12=0{,}5\). Somit verläuft jeder Graph durch \(S(0\mid0{,}5)\). 4. Durch Division von Zähler und Nenner durch \(x^2\) erhält man \(g_t(x)=\frac{2+t/x^2}{1+2t/x^2}\). Für \(x\to\pm\infty\) gehen die Bruchterme gegen \(0\), also gilt \(\lim_{x\to\pm\infty}g_t(x)=2\). Dieser Grenzwert ist unabhängig von \(t\), weil das Verhältnis der Leitkoeffizienten \(2:1\) parameterfrei ist.

a) \(D_{g_t}=\mathbb{R}\); keine Nullstellen b) \(g_t(0)=0{,}5\), also gemeinsamer Punkt \(S(0\mid0{,}5)\) c) \(\lim_{x\to\pm\infty}g_t(x)=2\); der Grenzwert ist wegen des parameterunabhängigen Leitkoeffizientenverhältnisses \(2:1\) für alle \(t\) gleich.

- Welche Werte kann eine quadratische Funktion annehmen, wenn ihr Scheitelpunkt bekannt ist? - Erinnere dich an die Bedingung für Achsensymmetrie: \(f(-x) = f(x)\). - Wie verändert sich der Wert eines Bruchs, wenn man den kleinstmöglichen Wert für den Nenner einsetzt? - Was passiert mit dem Graphen von \(g\), wenn \(x\) sehr groß wird?

1. Der Graph von \(f\) ist eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt \(S(0 \mid 2)\). Da \(2\) der kleinste Funktionswert ist und die Parabel nach oben unbegrenzt ist, gilt \(W_f = [2; \infty[\). Für \(g(x) = \frac{1}{0{,}5x^2 + 2}\) ist der größte Funktionswert \(g(0) = \frac{1}{2} = 0{,}5\). Da der Nenner stets positiv ist und für \(x \to \pm \infty\) gegen unendlich strebt, nähert sich \(g(x)\) der Null an, erreicht sie aber nie. Somit gilt \(W_g = ]0; 0{,}5]\). 2. Es gilt \(f(-x) = 0{,}5(-x)^2 + 2 = 0{,}5x^2 + 2 = f(x)\). Damit ist \(G_f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Da \(g(x) = \frac{1}{f(x)}\) ist, gilt auch \(g(-x) = \frac{1}{f(-x)} = \frac{1}{f(x)} = g(x)\). Somit ist auch \(G_g\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. \(f\) besitzt ein globales Minimum an der Stelle \(x=0\) mit \(f(0)=2\). Da der Nenner von \(g\) an dieser Stelle minimal ist, besitzt \(g\) dort ein globales Maximum mit \(g(0)=0{,}5\). Die Extremstellen liegen also bei beiden Funktionen an der gleichen x-Position (\(x=0\)), aber die Art des Extrempunktes kehrt sich um.

1. \(W_f = [2; \infty[\); \(W_g = ]0; 0{,}5]\). 2. Beide Graphen sind achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, da \(f(-x)=f(x)\) und somit auch \(g(-x)=g(x)\). 3. \(G_f\) hat einen Tiefpunkt bei \(T(0 \mid 2)\); \(G_g\) hat einen Hochpunkt bei \(H(0 \mid 0{,}5)\). Die Extremstelle ist identisch, die Art ist entgegengesetzt.

- Setze die Funktionsterme für einen Schnittpunkt gleich. - Beseitige den Nenner unter Beachtung der Definitionsmenge. - Nach dem Lösen der quadratischen Gleichung liefern die \(x\)-Werte mit \(g(x)=x\) direkt die \(y\)-Werte.

1. Schnittpunkte erfüllen \(\frac{10}{x-3}=x\) mit \(x\neq3\). 2. Multiplikation mit \(x-3\) ergibt \(10=x^2-3x\), also \(x^2-3x-10=0\). 3. Die Lösungen sind \(x=5\) und \(x=-2\); beide gehören zur Definitionsmenge von \(f\). 4. Wegen \(g(x)=x\) lauten die Schnittpunkte \(S_1(5\mid5)\) und \(S_2(-2\mid-2)\).

\(S_1(5\mid5)\) und \(S_2(-2\mid-2)\)

- Kannst du den Parameter im Nenner ausklammern? - Erinnere dich an die Regeln für das Verhalten im Unendlichen bei rationalen Funktionen. - Wie hängen die Nullstellen des Nenners mit den senkrechten Asymptoten zusammen?

1. Aus \(kx^2-4k=k(x^2-4)\) und \(k\neq0\) folgen die ausgeschlossenen Werte \(x=\pm2\). Somit ist \(D_{g_k}=\mathbb{R}\setminus\{-2;2\}\) für alle \(k\). 2. Aus \(2x+6=0\) folgt \(x=-3\). Da \(-3\in D_{g_k}\), ist dies die Nullstelle aller Scharfunktionen. 3. Bei \(x=\pm2\) ist der Zähler ungleich null, also liegen dort senkrechte Asymptoten \(x=-2\) und \(x=2\) vor. 4. Da der Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist, gilt \(\lim_{x\to\pm\infty}g_k(x)=0\). Die waagrechte Asymptote ist \(y=0\). Alle Asymptoten sind unabhängig von \(k\).

a) \(D_{g_k}=\mathbb{R}\setminus\{-2;2\}\) b) Nullstelle \(x=-3\) c) Senkrechte Asymptoten \(x=-2\) und \(x=2\); waagrechte Asymptote \(y=0\). Alle sind unabhängig von \(k\).

- Welche Linien beschreibt der Graph in der Nähe einer Definitionslücke beziehungsweise für große \(|x|\)? - Welche Koordinate muss für einen Achsenschnittpunkt jeweils null sein? - Für den Grenzwert kann es helfen, Zähler und Nenner durch \(x\) zu teilen.

1. Aus der Abbildung liest man die senkrechte Asymptote \(x=2\) und die waagrechte Asymptote \(y=2\) ab. 2. Aus \(2x-6=0\) folgt die Nullstelle \(x=3\), also \(N(3\mid0)\). Es ist \(f(0)=3\), also \(S_y(0\mid3)\). 3. Es gilt \(f(x)=\frac{2-6/x}{1-2/x}\). Für \(x\to\infty\) gehen \(6/x\) und \(2/x\) gegen \(0\), somit \(\lim_{x\to\infty}f(x)=2\).

a) Senkrechte Asymptote: \(x=2\); waagrechte Asymptote: \(y=2\) b) \(N(3\mid0)\), \(S_y(0\mid3)\) c) \(\lim_{x\to\infty}f(x)=2\)

- Welche Gerade scheint der Graph nahe der Unterbrechung immer stärker anzunähern? - Welchem \(y\)-Wert nähern sich beide Äste für große Beträge von \(x\)? - Welche Achsenschnittpunkte kannst du direkt am Koordinatensystem ablesen? - Prüfe die Kandidatenterme anschließend an genau diesen Grapheneigenschaften.

1. Aus dem Graphen liest man die senkrechte Asymptote \(x=1\) und die waagrechte Asymptote \(y=2\) ab. 2. Der Graph schneidet die \(y\)-Achse in \(S_y(0\mid-4)\) und die \(x\)-Achse bei \(x=-2\), also in \(N(-2\mid0)\). 3. Nur Term I erfüllt alle vier abgelesenen Eigenschaften: Der Nenner wird bei \(x=1\) null, der Quotient der führenden Koeffizienten ist \(2\), der Zähler wird bei \(x=-2\) null und \(f(0)=-4\). Daher beschreibt I den Graphen.

a) Senkrechte Asymptote: \(x=1\); waagrechte Asymptote: \(y=2\) b) \(S_y(0\mid-4)\); Nullstelle \(x=-2\), also \(N(-2\mid0)\) c) I) \(f(x)=\frac{2x+4}{x-1}\)

- Der Schnittpunkt mit der vertikalen Achse entspricht dem Funktionswert bei \(t=0\). - Was passiert mit dem Bruch, wenn die Zeit \(t\) immer größer wird? Betrachte die Koeffizienten der höchsten Potenzen von \(t\). - Überlege dir, welche Temperatur ein Gegenstand nach sehr langer Zeit in einem Zimmer annimmt.

a) Um die Graphen zuzuordnen, berechnet man die Funktionswerte an der Stelle \(t = 0\): Für \(g(t)\): \(g(0) = \frac{20 \cdot 0 + 180}{0 + 2} = \frac{180}{2} = 90\). Für \(h(t)\): \(h(0) = \frac{10 \cdot 0 + 160}{0 + 2} = \frac{160}{2} = 80\). Da der Graph \(k\) (blau) bei \(90\,^\circ\text{C}\) startet und der Graph \(m\) (rot) bei \(80\,^\circ\text{C}\), gehört Graph \(k\) zu Funktion \(g\) und Graph \(m\) zu Funktion \(h\). b) Das Langzeitverhalten wird durch den Grenzwert für \(t \to \infty\) bestimmt: Für \(g(t)\): \(\lim_{t \to \infty} \frac{20t + 180}{t + 2} = 20\). Die waagrechte Asymptote ist \(y = 20\). Für \(h(t)\): \(\lim_{t \to \infty} \frac{10t + 160}{t + 2} = 10\). Die waagrechte Asymptote ist \(y = 10\). Im Sachkontext stellt die waagrechte Asymptote die Umgebungstemperatur dar, an die sich die Flüssigkeit langfristig angleicht. Die Flüssigkeit \(g\) kühlt in einem Raum mit \(20\,^\circ\text{C}\) ab, die Flüssigkeit \(h\) in einem Raum mit \(10\,^\circ\text{C}\).

a) Graph \(k\) (blau) gehört zu \(g(t)\), da \(g(0)=90\). Graph \(m\) (rot) gehört zu \(h(t)\), da \(h(0)=80\). b) Die waagrechte Asymptote von \(g\) liegt bei \(T=20\,^\circ\text{C}\), die von \(h\) bei \(T=10\,^\circ\text{C}\). Diese Werte entsprechen den jeweiligen Umgebungstemperaturen der beiden Räume.

- Welche Eigenschaft liest du aus der Nennernullstelle ab? - Was sagt die Vielfachheit des Nennerfaktors über den Vorzeichenwechsel aus? - Welche führenden Terme bestimmen die waagrechte Asymptote? - Wo erscheinen diese algebraischen Eigenschaften im Graphen?

1. Der Nenner wird bei \(x=1\) null. Daher ist \(D_h=\mathbb{R}\setminus\{1\}\). 2. Der Zähler hat bei \(x=1\) den Wert \(2\neq0\). Somit liegt bei \(x=1\) eine einfache Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor. 3. Für die Nullstelle muss \(2x=0\) gelten, also \(x=0\). Zähler und Nenner haben denselben Grad; das Verhältnis der führenden Koeffizienten ist \(2:1\). Daher ist \(y=2\) die waagrechte Asymptote. 4. Im Graphen erkennt man die Polstelle an der Annäherung an die senkrechte Gerade \(x=1\), die Nullstelle am Schnitt mit der \(x\)-Achse und die waagrechte Asymptote an der Annäherung an \(y=2\) für große \(|x|\). Der Wechsel von \(-\infty\) zu \(+\infty\) zeigt den Vorzeichenwechsel an der Polstelle.

\(D_h=\mathbb{R}\setminus\{1\}\); Polstelle \(x=1\) mit Vorzeichenwechsel; Nullstelle \(x=0\); waagrechte Asymptote \(y=2\)

- Welche Eigenschaften lassen sich direkt aus der verschobenen Kehrwertform ablesen? - Welches Vorzeichen hat \(f(x)-1\) auf den beiden Seiten der Polstelle? - Welche markanten Punkte und Grenzrichtungen musst du in deiner verbalen Graphbeschreibung zusammenführen?

1. Der Nenner darf nicht \(0\) werden. Deshalb ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}\), und \(x=1\) ist die senkrechte Asymptote. 2. Für \(|x|\to\infty\) gilt \(\frac{2}{x-1}\to0\). Daher ist \(y=1\) die waagrechte Asymptote. 3. Für die Nullstelle gilt \(1+\frac{2}{x-1}=0\). Daraus folgt \(x=-1\). Außerdem ist \(f(0)=-1\), also \(S_y(0\mid-1)\). 4. Es gilt \(f(x)-1=\frac{2}{x-1}\). Für \(x<1\) ist dieser Ausdruck negativ, also liegt der linke Ast unterhalb von \(y=1\). Für \(x>1\) ist er positiv, also liegt der rechte Ast oberhalb von \(y=1\). 5. Es ist \(f(3)=2\). Der linke Ast verläuft durch \((-1\mid0)\) und \((0\mid-1)\), bleibt unterhalb von \(y=1\) und fällt an \(x=1\) nach \(-\infty\). Der rechte Ast verläuft durch \((3\mid2)\), bleibt oberhalb von \(y=1\), steigt an \(x=1\) nach \(+\infty\) und nähert sich für große \(x\) der Geraden \(y=1\).

a) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}\); Nullstelle \(x=-1\); \(S_y(0\mid-1)\); senkrechte Asymptote \(x=1\); waagrechte Asymptote \(y=1\) b) Für \(x<1\) liegt \(G_f\) unterhalb von \(y=1\), für \(x>1\) oberhalb von \(y=1\). c) \(f(3)=2\); der linke Ast bleibt links von \(x=1\) unterhalb von \(y=1\), der rechte Ast rechts von \(x=1\) oberhalb von \(y=1\); beide nähern sich den angegebenen Asymptoten entsprechend an.

- Nutze zuerst die Lage der senkrechten Asymptote, um einen Kandidaten auszuschließen. - Vergleiche danach die beiden verbleibenden Graphen bei \(x=0\). - Kontrolliere deine Wahl zusätzlich anhand der Nullstellen und des Verhaltens für große \(|x|\).

1. Graph c) scheidet aus, weil seine senkrechte Asymptote bei \(x=1\) liegt. 2. Die Graphen a) und b) besitzen beide die senkrechte Asymptote \(x=-1\), die waagrechte Asymptote \(y=0\) und keine Nullstelle. 3. Bei Graph a) gilt \(f(0)=1\), bei Graph b) dagegen \(f(0)=-1\). 4. Daher passt nur Graph a).

Graph a). Er besitzt insbesondere die senkrechte Asymptote \(x=-1\) und erfüllt \(f(0)=1\); außerdem hat er keine Nullstelle und nähert sich \(y=0\).

- Welche Stelle macht den Nenner null, und welchem Wert nähert sich der Restterm für große Beträge von \(x\)? - Wie groß ist der Abstand vom Mittelwert bis zu einem Rand eines Streifens der Gesamtbreite \(0{,}8\)? - Vergleiche die Abstände der beiden Funktionswerte zur waagrechten Asymptote mit diesem Grenzabstand.

1. Der Nenner wird bei \(x=1\) null, also ist \(x=1\) die senkrechte Asymptote. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(-\frac2{x-1}\to0\), daher ist \(y=1{,}5\) die waagrechte Asymptote. 2. Der Streifen hat den halben Breitenabstand \(0{,}4\). Damit gehören Funktionswerte aus \(]1{,}1;1{,}9[\) zum Streifen. 3. Es ist \(f(3)=0{,}5\). Der Abstand zu \(1{,}5\) beträgt \(1\) und ist größer als \(0{,}4\); der Punkt liegt außerhalb. 4. Es ist \(f(7)=1{,}5-\frac13=\frac76\approx1{,}17\). Der Abstand zu \(1{,}5\) beträgt \(\frac13<0{,}4\); der Punkt liegt innerhalb.

a) Senkrechte Asymptote \(x=1\); waagrechte Asymptote \(y=1{,}5\) b) Bei \(x=3\) liegt der Graph außerhalb, bei \(x=7\) innerhalb des Streifens.

- Welche Stelle macht den Nenner null, und welchem Wert nähert sich der Restterm für große Beträge von \(x\)? - Formuliere die verlangte Abweichung als Betrag einer Differenz zum Asymptotenwert. - Nutze beim Auflösen der Ungleichung die vorgegebene Bedingung \(x>-2\), um das Vorzeichen des Nenners festzulegen.

1. Die Nennernullstelle \(0{,}5x+1=0\) liefert die senkrechte Asymptote \(x=-2\). Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(g(x)\to-2\), daher ist \(y=-2\) die waagrechte Asymptote. 2. Gesucht ist für \(x>-2\) die Bedingung \(|g(x)+2|<0{,}1\). Damit folgt \(\left|\frac3{0{,}5x+1}\right|<0{,}1\). 3. Für \(x>-2\) ist \(0{,}5x+1>0\). Somit gilt \(\frac3{0{,}5x+1}<0{,}1\). 4. Daraus folgt \(3<0{,}05x+0{,}1\), also \(2{,}9<0{,}05x\) und schließlich \(x>58\).

a) Senkrechte Asymptote \(x=-2\); waagrechte Asymptote \(y=-2\) b) Für \(x>58\) beträgt die Abweichung weniger als \(0{,}1\).

- Welche Asymptoten entstehen bei einer verschobenen und gestreckten Kehrwertfunktion? - Wie beeinflusst eine positive Streckung die Monotonierichtung der Grundfunktion \(\frac1x\)? - Formuliere den Abstand zur waagrechten Asymptote mithilfe eines Betrags und nutze die halbe Streifenbreite.

1. Aus dem Term liest man die senkrechte Asymptote \(x=8\) und die waagrechte Asymptote \(y=-2\) ab. 2. Die Grundfunktion \(x\mapsto\frac1x\) ist auf beiden Ästen streng fallend. Die positive Streckung mit Faktor \(10\) und die Verschiebungen ändern diese Monotonierichtung nicht. Daher ist \(f\) auf \(]-\infty;8[\) und \(]8;\infty[\) jeweils streng fallend. 3. Der Streifen reicht jeweils \(0{,}2\) über und unter \(y=-2\). Gefordert ist also \(|f(x)+2|<0{,}2\). 4. Es gilt \(\left|\frac{10}{x-8}\right|<0{,}2\), also \(|x-8|>50\). 5. Rechts von \(8\) folgt \(x>58\), daher ist \(x_0=58\). Links von \(8\) folgt \(x<-42\), daher ist \(x_1=-42\).

a) Senkrechte Asymptote \(x=8\); waagrechte Asymptote \(y=-2\). Auf \(]-\infty;8[\) und \(]8;\infty[\) ist \(f\) jeweils streng fallend. b) (1) \(x_0=58\) (2) \(x_1=-42\)

- Welche Rolle spielt die Konstante am Ende des Funktionsterms für die Lage des Graphen? - Wie gehst du vor, um eine Gleichung zu lösen, bei der die Unbekannte im Nenner steht? - Kannst du den Term so umformen, dass der Koeffizient vor dem \(x\) im Nenner verschwindet? - Überlege, welche Werte für \(x\) nicht eingesetzt werden dürfen.

1. Definitionsmenge bestimmen: \(2x - 8 = 0 \Rightarrow x = 4\). Die senkrechte Asymptote (Polstelle) liegt bei \(x = 4\). 2. Waagrechte Asymptote: Für \(x \to \pm\infty\) geht der Bruch \(\frac{5}{2x - 8}\) gegen \(0\). Es bleibt der konstante Term \(-1{,}5\). Die waagrechte Asymptote ist \(y = -1{,}5\). 3. Nullstelle berechnen: \(\frac{5}{2x - 8} - 1{,}5 = 0 \Rightarrow \frac{5}{2x - 8} = 1{,}5\). Multiplikation mit dem Nenner ergibt \(5 = 1{,}5(2x - 8) \Rightarrow 5 = 3x - 12 \Rightarrow 17 = 3x \Rightarrow x = \frac{17}{3}\). Die Nullstelle liegt bei \(x = 5\frac{2}{3}\). 4. Transformation: Der Term kann umgeformt werden zu \(h(x) = \frac{2{,}5}{x - 4} - 1{,}5\). Dies entspricht einer Verschiebung der Hyperbel \(y = \frac{2{,}5}{x}\) um \(4\) Einheiten nach rechts und \(1{,}5\) Einheiten nach unten.

Asymptoten: \(x = 4\) und \(y = -1{,}5\) Nullstelle: \(x = \frac{17}{3}\) (bzw. \(x \approx 5{,}67\)) Transformation: Verschiebung um \(4\) Einheiten in positive \(x\)-Richtung und um \(1{,}5\) Einheiten in negative \(y\)-Richtung.

- Bestimme zuerst die ausgeschlossene Nennernullstelle und die beiden Achsenschnittpunkte getrennt. - Um die vorgegebene Zerlegung zu prüfen, bringe ihre beiden Summanden auf einen gemeinsamen Nenner. - Für die Asymptote ist nur noch zu klären, was mit dem Restterm für große \(|x|\) geschieht.

1. Der Nenner wird bei \(x=-1\) null, also ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\). Es gilt \(f(0)=4\), daher ist \(S_y(0\mid4)\). Aus \((x-2)^2=0\) folgt die Nullstelle \(x=2\), also \(N(2\mid0)\). 2. Es gilt \(x-5+\frac{9}{x+1}=\frac{(x-5)(x+1)+9}{x+1}=\frac{x^2-4x+4}{x+1}=\frac{(x-2)^2}{x+1}\). Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(\frac{9}{x+1}\to0\). Daher ist \(y=x-5\) die schräge Asymptote.

a) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\); \(S_y(0\mid4)\), \(N(2\mid0)\) b) Schräge Asymptote: \(y=x-5\)

- Wann kann ein Nenner einer gebrochen-rationalen Funktion niemals null werden? - Überprüfe, ob sich der Funktionsterm ändert, wenn du \(x\) durch \(-x\) ersetzt. - Wie findet man die Stellen, an denen ein Graph die Achsen berührt oder schneidet? - Was passiert mit den einzelnen Summanden im Zähler und Nenner, wenn \(x\) sehr groß wird?

1. Da der Nenner \(0{,}5x^2 + 2\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) mindestens \(2\) ist, besitzt er keine Nullstellen. Somit ist \(D_f = \mathbb{R}\), und es gibt keine senkrechten Asymptoten. 2. Wegen \(f(-x)=f(x)\) ist \(G_f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. Es ist \(f(0)=-8\), also \(S_y(0\mid-8)\). Aus \(4x^2-16=0\) folgen \(x=\pm2\), also \(N_1(-2\mid0)\) und \(N_2(2\mid0)\). 4. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(f(x)=\frac{4-16/x^2}{0{,}5+2/x^2}\to8\). Daher lautet die waagrechte Asymptote \(y=8\).

a) \(D_f=\mathbb{R}\); keine senkrechten Asymptoten. b) Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse, da \(f(-x)=f(x)\). c) \(S_y(0 \mid -8)\), \(N_1(-2 \mid 0)\), \(N_2(2 \mid 0)\) d) Waagrechte Asymptote \(y = 8\)

- Bestimme zuerst die Nullstellen des Nenners. - Prüfe für die Symmetrie, was beim Ersetzen von \(x\) durch \(-x\) geschieht. - Für die Polstellen ist das Vorzeichen des Nenners unmittelbar links und rechts der kritischen Werte entscheidend. - Vergleiche für das Verhalten im Unendlichen die führenden Terme in Zähler und Nenner.

1. Aus \(0{,}25x^2-4=0\) folgen \(x=-4\) und \(x=4\). Somit ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-4;4\}\). 2. Es gilt \(f(-x)=f(x)\). Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. Eine Nullstelle würde \(x^2+1=0\) erfordern. Diese Gleichung besitzt keine reelle Lösung, also hat \(f\) keine Nullstellen. 4. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(f(x)\to4\). An den Polstellen gilt \(\lim_{x\to4^-}f(x)=-\infty\), \(\lim_{x\to4^+}f(x)=+\infty\), \(\lim_{x\to-4^-}f(x)=+\infty\) und \(\lim_{x\to-4^+}f(x)=-\infty\).

a) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-4;4\}\) b) Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse c) Keine Nullstellen d) \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=4\); \(\lim_{x\to4^-}f(x)=-\infty\), \(\lim_{x\to4^+}f(x)=+\infty\), \(\lim_{x\to-4^-}f(x)=+\infty\), \(\lim_{x\to-4^+}f(x)=-\infty\)

- Wann wird ein Bruch gleich null? - Schau dir die Nenner der Funktionen genau an. Was darf man für \(x\) nicht einsetzen? - Wie verändert sich ein Funktionswert, wenn die gesamte Gleichung mit einer Zahl multipliziert wird? - Vergleiche die Zähler der Funktionen, um die Nullstellen zu finden.

1. Der gemeinsame Nenner wird für \(x=\pm2\) null. Somit gilt \(D_f=D_g=D_h=\mathbb{R}\setminus\{-2;2\}\). Die senkrechten Asymptoten sind \(x=-2\) und \(x=2\). 2. Es ist \(f(3)=0{,}6\), \(g(3)=2{,}4\), \(h(3)=2\) sowie \(f(0)=0\), \(g(0)=0\) und \(h(0)=-0{,}25\). 3. Da \(g(x)=4f(x)\), entsteht \(G_g\) durch eine Streckung von \(G_f\) in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\). 4. \(f\) und \(g\) haben jeweils die Nullstelle \(x=0\). Für \(h\) müsste \(x^2+1=0\) gelten; daher hat \(h\) keine reelle Nullstelle.

a) \(D_f=D_g=D_h=\mathbb{R}\setminus\{-2;2\}\); senkrechte Asymptoten: \(x=-2\) und \(x=2\) b) \(f(3)=0{,}6\), \(g(3)=2{,}4\), \(h(3)=2\); \(f(0)=0\), \(g(0)=0\), \(h(0)=-0{,}25\) c) Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\) d) Nullstelle von \(f\) und \(g\) bei \(x=0\); \(h\) hat keine Nullstellen.

- Prüfe für die Symmetrie jeweils den Term bei \(-x\). - Vergleiche für die waagrechten Asymptoten Zähler- und Nennergrad. - Welche geometrische Wirkung hat ein Minuszeichen vor dem gesamten Funktionsterm?

1. Für alle drei Funktionen gilt beim Ersetzen von \(x\) durch \(-x\), dass sich der Term nicht ändert. Alle drei Graphen sind daher achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Bei \(p\) und \(q\) ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad. Daher gilt jeweils der Grenzwert \(0\) und die waagrechte Asymptote \(y=0\). 3. Bei \(r\) haben Zähler und Nenner denselben Grad. Das Verhältnis der führenden Koeffizienten ist \(2\), also lautet die waagrechte Asymptote \(y=2\). 4. Es gilt \(q(x)=-p(x)\). Der Graph von \(q\) entsteht aus dem Graphen von \(p\) durch Spiegelung an der \(x\)-Achse.

a) Alle drei Graphen sind achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. b) \(p\) und \(q\): \(y=0\); \(r\): \(y=2\) c) Der Graph von \(q\) ist die Spiegelung des Graphen von \(p\) an der \(x\)-Achse.

- Vergleiche \(g(-x)\) mit \(g(x)\). - Welcher \(x\)-Wert gehört zum Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse? - Welches Vorzeichen haben Zähler und Nenner für beliebige reelle \(x\)? - Vergleiche für das Verhalten im Unendlichen die Grade von Zähler und Nenner.

1. Es gilt \(g(-x)=\frac{-10}{(-x)^2+2}=\frac{-10}{x^2+2}=g(x)\). Daher ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Es ist \(g(0)=\frac{-10}{2}=-5\). Damit lautet der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse \(S_y(0\mid-5)\). Außerdem gilt \(g(2)=\frac{-10}{6}=-\frac{5}{3}\approx-1{,}67\). 3. Für alle \(x\in\mathbb{R}\) ist \(x^2+2>0\), während der Zähler \(-10<0\) ist. Daher gilt \(g(x)<0\) für alle \(x\), also liegt der gesamte Graph unterhalb der \(x\)-Achse. 4. Der Nennergrad ist größer als der Zählergrad. Daher gilt \(\lim_{x\to\pm\infty}g(x)=0\); der Graph nähert sich der \(x\)-Achse von unten.

a) \(g(-x)=g(x)\), also Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse b) \(S_y(0\mid-5)\); \(g(2)=-\frac{5}{3}\approx-1{,}67\) c) \(g(x)<0\) für alle \(x\in\mathbb{R}\); der Graph liegt vollständig unterhalb der \(x\)-Achse. d) \(\lim_{x\to\pm\infty}g(x)=0\)

- Wie verhält sich der Funktionsterm, wenn du \( x \) durch \( -x \) ersetzt? - Was passiert mit dem Nenner an den Stellen, die nicht in der Definitionsmenge liegen? - Untersuche die Vielfachheit der Nullstellen im Nenner, um die Art der Polstelle zu bestimmen. - Welchen Einfluss haben die höchsten Potenzen im Zähler und Nenner auf den Grenzwert für sehr große \( x \)-Werte?

1. Symmetrie: Prüfung von \( f(-x) = \frac{-x}{(-x)^2 - 2{,}25} = \frac{-x}{x^2 - 2{,}25} = -f(x) \). Ergebnis: Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Funktionswerte: \( f(0) = \frac{0}{0 - 2{,}25} = 0 \); \( f(1) = \frac{1}{1^2 - 2{,}25} = \frac{1}{-1{,}25} = -0{,}8 \). 3. Definitionsmenge: Nullstellen des Nenners \( x^2 - 2{,}25 = 0 \) führen zu \( x_1 = -1{,}5 \) und \( x_2 = 1{,}5 \). Somit ist \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1{,}5; 1{,}5\} \). 4. Polstellen: Da \( x = -1{,}5 \) und \( x = 1{,}5 \) einfache Nullstellen des Nenners (und keine Nullstellen des Zählers) sind, handelt es sich um Polstellen mit Vorzeichenwechsel. 5. Grenzverhalten: Da der Grad des Zählerpolynoms (1) kleiner ist als der Grad des Nennerpolynoms (2), gilt \( \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0 \).

a) Punktsymmetrisch zum Ursprung; \( f(0) = 0 \), \( f(1) = -0{,}8 \). b) \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1{,}5; 1{,}5\} \); Polstellen bei \( x = -1{,}5 \) und \( x = 1{,}5 \), beide mit Vorzeichenwechsel. c) \( \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0 \).

- Überprüfe die Bedingung \( g(-x) = g(x) \) für Achsensymmetrie. - Welche Werte darfst du für \( x \) nicht einsetzen, damit der Nenner nicht null wird? - Senkrechte Asymptoten treten an den Polstellen der Funktion auf. - Vergleiche die Koeffizienten der höchsten Potenzen von \( x \), um die waagrechte Asymptote zu finden. - Wann wird ein Bruch gleich null?

1. Symmetrienachweis: \( g(-x) = \frac{2(-x)^2 - 2}{9 - (-x)^2} = \frac{2x^2 - 2}{9 - x^2} = g(x) \). Da \( g(-x) = g(x) \), ist der Graph achsensymmetrisch zur \( y \)-Achse. 2. Definitionsmenge: Nennernullstellen \( 9 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3 \). Also \( D_g = \mathbb{R} \setminus \{-3; 3\} \). 3. Senkrechte Asymptoten: Die Polstellen liegen bei den Definitionslücken \( x = -3 \) und \( x = 3 \). Die Gleichungen der senkrechten Asymptoten lauten \( x = -3 \) und \( x = 3 \). 4. Waagrechte Asymptote: Untersuchung des Grenzwerts für \( x \to \pm \infty \). Da Zähler- und Nennergrad gleich sind, betrachtet man die Koeffizienten der höchsten Potenzen: \( \frac{2}{-1} = -2 \). Die waagrechte Asymptote hat die Gleichung \( y = -2 \). 5. Nullstellen: Zähler \( 2x^2 - 2 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \). Da diese Werte in \( D_g \) liegen, sind die Nullstellen \( x_1 = -1 \) und \( x_2 = 1 \).

a) \( g(-x) = g(x) \), daher achsensymmetrisch zur \( y \)-Achse. b) \( D_g = \mathbb{R} \setminus \{-3; 3\} \); senkrechte Asymptoten: \( x = -3 \) und \( x = 3 \). c) Waagrechte Asymptote: \( y = -2 \). d) Nullstellen: \( x_1 = -1 \), \( x_2 = 1 \).

- Überlege, für welchen Wert der Nenner des Bruchs null wird. - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner immer größer wird, während der Zähler konstant bleibt? - Wie verhält sich die gesamte Funktion, wenn ein Teil verschwindend klein wird? - Wo auf dem Koordinatensystem liegen alle Punkte, die auf der \(y\)-Achse sind? Welchen Wert hat dort die x-Koordinate?

1. Der Nenner darf nicht null werden: \(x - 2 = 0 \implies x = 2\). Somit ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}\). Da der Zähler an dieser Stelle ungleich null ist (\(6 \neq 0\)), liegt eine Polstelle vor. Die senkrechte Asymptote hat die Gleichung \(x = 2\). 2. Für \(|x| \to \infty\) strebt der echte gebrochen-rationale Anteil \(\frac{6}{x - 2}\) gegen \(0\). Daher nähert sich der Graph der Geraden mit der Gleichung \(y = 1{,}5x - 3\) an. Dies ist die schräge Asymptote. 3. Für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to +\infty\), da der lineare Term \(1{,}5x - 3\) gegen unendlich strebt. Analog gilt für \(x \to -\infty\), dass \(f(x) \to -\infty\). 4. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ergibt sich durch Einsetzen von \(x = 0\): \(f(0) = 1{,}5 \cdot 0 - 3 + \frac{6}{0 - 2} = -3 - 3 = -6\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid -6)\).

a) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}\); senkrechte Asymptote: \(x = 2\) b) \(\lim_{x \to \infty} f(x) = +\infty\); \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\); schräge Asymptote: \(y = 1{,}5x - 3\) c) \(S_y(0 \mid -6)\)

- Nutze für jede Teilaufgabe die Darstellung, in der die gesuchte Eigenschaft am deutlichsten sichtbar wird. - In der zweiten Darstellung ist der Restterm der Abstand zur linearen Komponente. - Für Nullstellen muss der Zähler der Bruchdarstellung null sein, während der Nenner ungleich null bleibt.

a) Der Nenner \(x-3\) wird bei \(x=3\) null. Daher ist \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{3\}\). b) In der zweiten Darstellung geht der Restterm \(-\frac{2}{x-3}\) für \(|x|\to\infty\) gegen \(0\). Daher ist \(y=x-2\) die schräge Asymptote. c) Der Zähler faktorisiert zu \(x^2-5x+4=(x-1)(x-4)\). Die Nullstellenkandidaten sind \(x=1\) und \(x=4\); beide liegen in \(D_g\). Somit sind beide Nullstellen der Funktion.

a) \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{3\}\) b) Schräge Asymptote: \(y=x-2\) c) Nullstellen: \(x=1\) und \(x=4\)

- Ersetze für die Symmetrieprüfung \(x\) durch \(-x\). - Setze für die Nullstellen den Funktionswert gleich null und beachte die Definitionsmenge. - Welche Termkomponente verschwindet für große Beträge von \(x\)?

1. Es gilt \(f(-x)=\frac4{(-x)^2-25}+0{,}2=f(x)\). Daher ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Aus \(0=\frac4{x^2-25}+0{,}2\) folgt \(x^2=5\). Damit sind \(x=-\sqrt5\) und \(x=\sqrt5\) die Nullstellen. 3. Es gilt \(f(0)=-\frac4{25}+0{,}2=0{,}04\), also liegt \(P\) auf dem Graphen. 4. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(\frac4{x^2-25}\to0\). Daher ist \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0{,}2\) und die waagrechte Asymptote lautet \(y=0{,}2\).

a) \(f(-x)=f(x)\); Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse b) Nullstellen \(x=\pm\sqrt5\); \(f(0)=0{,}04\) c) \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0{,}2\); waagrechte Asymptote \(y=0{,}2\)

- Wann ist der Nenner eines Bruches Null? - Was passiert mit den Funktionswerten, wenn \(x\) sehr groß oder sehr klein wird? - Welche Bedingung muss für den Zähler gelten, damit eine Nullstelle vorliegt? - Vergleiche \(f(-x)\) mit \(f(x)\). Was stellst du fest?

1. Definitionsmenge und senkrechte Asymptoten: Die Nullstellen des Nenners \((2x - 4)(2x + 4) = 0\) liegen bei \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). Somit ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\). Da der Zähler an diesen Stellen ungleich Null ist, liegen senkrechte Asymptoten mit den Gleichungen \(x = 2\) und \(x = -2\) vor. 2. Waagrechte Asymptote: Da der Grad des Zählers gleich dem Grad des Nenners ist (beide Grad 2), ergibt sich die waagrechte Asymptote durch den Quotienten der Leitkoeffizienten. Mit \((2x - 4)(2x + 4) = 4x^2 - 16\) folgt \(y = \frac{3}{4} = 0{,}75\). 3. Nullstellen: Der Ansatz \(3x^2 + 9 = 0\) führt auf \(x^2 = -3\). Da diese Gleichung im Reellen keine Lösung besitzt, hat \(f\) keine Nullstellen. 4. Symmetrie und y-Schnittpunkt: Da \(f(-x) = \frac{3(-x)^2 + 9}{4(-x)^2 - 16} = \frac{3x^2 + 9}{4x^2 - 16} = f(x)\) gilt, ist \(G_f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(f(0) = \frac{9}{-16} = -0{,}5625\), also \(S_y(0 \mid -0{,}5625)\).

a) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\); senkrechte Asymptoten: \(x = 2\) und \(x = -2\) b) waagrechte Asymptote: \(y = 0{,}75\) c) \(3x^2 + 9 = 0\) hat keine reelle Lösung, da \(x^2 = -3\) nicht möglich ist. d) Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse; \(S_y(0 \mid -0{,}5625)\)

- Bestimme zuerst die Nennernullstelle und prüfe die Symmetrie durch Einsetzen von \(-x\). - Kannst du die beiden Zählersummanden einzeln durch \(3x\) teilen? - Für die Punktbedingung müssen die Koordinaten die Funktionsgleichung erfüllen.

1. Der Nenner wird bei \(x=0\) null. Daher gilt \(D_{f_k}=\mathbb{R}\setminus\{0\}\). 2. Es gilt \(f_k(-x)=-f_k(x)\). Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. 3. Bei \(x=0\) bleibt der Zähler gleich \(-9\neq0\), also ist \(x=0\) die senkrechte Asymptote. 4. Durch direktes Aufteilen des Bruchs erhält man \(f_k(x)=\frac{k}{3}x-\frac3x\). Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(-\frac3x\to0\). Daher ist \(y=\frac{k}{3}x\) die schräge Asymptote. 5. Mit \(P(3\mid2)\) gilt \(2=\frac{9k-9}{9}=k-1\). Somit ist \(k=3\).

a) \(D_{f_k}=\mathbb{R}\setminus\{0\}\); Punktsymmetrie zum Ursprung b) Senkrechte Asymptote \(x=0\); schräge Asymptote \(y=\frac{k}{3}x\) c) \(k=3\)

- Welche besondere Bedeutung hat die Gerade \(y = 3\) für den Graphen der Funktion? - Was passiert rechnerisch, wenn du versuchst, den Schnittpunkt zu berechnen? - Skizziere grob den Verlauf an den Polstellen und im Unendlichen. - Gibt es einen Bereich von Funktionswerten, der nie erreicht wird?

1. Nachweis der Schnittpunktfreiheit: Die Gerade \(y = 3\) entspricht der waagerechten Asymptote von \(g\). Der Ansatz \(g(x) = 3\) führt auf \(\frac{3x^2}{x^2 - 1} = 3\). Durch Multiplikation mit \(x^2 - 1\) erhält man \(3x^2 = 3(x^2 - 1)\), also \(3x^2 = 3x^2 - 3\). Dies liefert den Widerspruch \(0 = -3\), womit kein Schnittpunkt existiert. 2. Bestimmung der Wertemenge: - Außerhalb der Definitionslücken \(x = \pm 1\): Für \(|x| > 1\) ist der Nenner positiv. Da \(3x^2 > 3(x^2 - 1)\), gilt \(g(x) > 3\). Da die Funktion für \(x \to \infty\) gegen \(3\) strebt und an den Polstellen gegen \(+\infty\) geht, ist das Teilintervall \(]3; \infty[\) in \(W_g\). - Zwischen den Polstellen: Für \(-1 < x < 1\) ist der Nenner \(x^2 - 1\) negativ und der Zähler \(3x^2 \ge 0\). Es gilt \(g(x) \le 0\). Das Maximum liegt bei \(g(0) = 0\). Da die Funktion an den Polstellen gegen \(-\infty\) geht, ist das Teilintervall \(]-\infty; 0]\) in \(W_g\). 3. Gesamte Wertemenge: \(W_g = ]-\infty; 0] \cup ]3; \infty[\) bzw. \(W_g = \mathbb{R} \setminus ]0; 3]\).

a) Die Gleichung \(g(x) = 3\) hat keine Lösung (\(0 = -3\)). b) \(W_g = \mathbb{R} \setminus ]0; 3]\) (oder \(W_g = ]-\infty; 0] \cup ]3; \infty[\)).

- Nutze für Definitionsmenge und Nullstellen die Bruchdarstellung. - Für das Endverhalten ist die zweite Darstellung geeigneter, weil der Restterm dort getrennt sichtbar ist. - Unterscheide zwischen der Lage der Asymptote und der Richtung, in die der lineare Term für große positive beziehungsweise negative \(x\) läuft.

1. Der Nenner schließt \(x=-k\) aus, also ist \(D_{f_k}=\mathbb{R}\setminus\{-k\}\). Aus \(x^2-4k^2=(x-2k)(x+2k)\) folgen die Nullstellen \(x=2k\) und \(x=-2k\). Wegen \(k\neq0\) ist keine davon gleich \(-k\). 2. Es gilt \(f_k(0)=\frac{-4k^2}{k}=-4k\). Damit liegt \(P(0\mid-4k)\) auf jedem Graphen. 3. Der Restterm \(-\frac{3k^2}{x+k}\) geht für \(x\to\pm\infty\) gegen \(0\). Daher nähert sich der Graph der Geraden \(y=x-k\). Deren Achsenabschnitt \(-k\) hängt vom Parameter ab; die Steigung \(1\) und damit die Richtungen \(f_k(x)\to+\infty\) für \(x\to+\infty\) sowie \(f_k(x)\to-\infty\) für \(x\to-\infty\) sind unabhängig von \(k\).

a) \(D_{f_k}=\mathbb{R}\setminus\{-k\}\); Nullstellen \(x=2k\) und \(x=-2k\) b) \(f_k(0)=-4k\), also \(P(0\mid-4k)\) c) Schräge Asymptote \(y=x-k\): Ihr Achsenabschnitt \(-k\) ist parameterabhängig, ihre Steigung \(1\) und die Endrichtungen sind parameterunabhängig. Es gilt \(f_k(x)\to+\infty\) für \(x\to+\infty\) und \(f_k(x)\to-\infty\) für \(x\to-\infty\).

- Vergleiche für die waagrechte Asymptote die führenden Terme in Zähler und Nenner. - Welche Vorzeichenbedingung müsste \(\frac{18}{k}\) erfüllen, damit \(x^2=\frac{18}{k}\) reelle Lösungen besitzt? - Setze für Teil c) den vorgegebenen \(x\)-Wert in den Zähler ein und kontrolliere anschließend den Nenner.

1. Zähler und Nenner haben Grad \(2\). Das Verhältnis der führenden Koeffizienten ist \(k\), daher lautet die waagrechte Asymptote \(y=k\). 2. Nullstellen erfordern \(kx^2-18=0\). Für \(k=0\) ist dies unmöglich. Für \(k<0\) würde \(x^2=\frac{18}{k}<0\) gelten. Daher besitzt \(f_k\) für \(k\le0\) keine Nullstellen. 3. Für einen Schnitt bei \(x=1\) muss \(k-18=0\) gelten. Somit ist \(k=18\). Der Nenner ist bei \(x=1\) ungleich null, also ist \(x=1\) tatsächlich eine Nullstelle.

a) \(y=k\) b) Für \(k\le0\) keine Nullstellen. c) \(k=18\)

- Welche Information liefern bei gleichen Graden die führenden Koeffizienten? - Wann besitzt eine Gleichung der Form \(x^2=c\) genau zwei reelle Lösungen? - Prüfe für Teil c) die Nennernullstellen und ob der Zähler dort ungleich null bleibt.

1. Zähler und Nenner haben Grad \(2\). Das Verhältnis der führenden Koeffizienten ist \(2\). Daher besitzen alle Graphen die waagrechte Asymptote \(y=2\). 2. Nullstellen erfüllen \(2x^2+a=0\), also \(x^2=-\frac a2\). Genau zwei reelle Lösungen existieren für \(a<0\). Der ausgeschlossene Parameterwert \(a=-32\) gehört von vornherein nicht zur Schar, damit alle Terme vollständig gekürzt sind. 3. Für \(a=0\) lautet der Term \(g_0(x)=\frac{2x^2}{x^2-16}\). Der Nenner wird bei \(x=-4\) und \(x=4\) null, während der Zähler dort ungleich null ist. Daher lauten die senkrechten Asymptoten \(x=-4\) und \(x=4\).

a) Waagrechte Asymptote \(y=2\) b) \(a<0\) innerhalb der vorgegebenen Parametermenge, also \(a\in]-\infty;-32[\cup]-32;0[\) c) \(x=-4\) und \(x=4\)

- Was passiert mit der Gleichung, wenn auf beiden Seiten derselbe konstante Wert addiert wird? - Wie kannst du eine Gleichung mit Brüchen so umformen, dass die Nenner verschwinden? - Achte darauf, dass die gefundenen Lösungen auch in der Definitionsmenge beider Funktionen liegen. - Wie findest du den passenden Funktionswert, wenn du die Stelle \(x\) bereits kennst?

1. Gleichsetzen liefert \(\frac{1}{x-2}+2=2-\frac{1}{x^2}\). 2. Nach Subtraktion von \(2\) gilt \(\frac{1}{x-2}=-\frac{1}{x^2}\). Der gemeinsame zulässige Bereich ist \(D_f\cap D_g=\mathbb{R}\setminus\{0;2\}\). 3. Für zulässige \(x\) folgt \(x^2=-(x-2)\), also \(x^2+x-2=0\). 4. Die Lösungen sind \(x_1=1\) und \(x_2=-2\); beide liegen in \(D_f\cap D_g\). 5. Es ist \(f(1)=1\) und \(f(-2)=1{,}75\). Daher sind die Schnittpunkte \(S_1(1\mid1)\) und \(S_2(-2\mid1{,}75)\).

Die Schnittpunkte sind \(S_1(1 \mid 1)\) und \(S_2(-2 \mid 1{,}75)\).

- Welche Nennernullstellen bestimmen die senkrechten Asymptoten? - Was folgt bei gleichen Graden aus den Leitkoeffizienten? - Achte beim Gleichsetzen darauf, dass der Faktor \(x+1\) auch null sein kann. - Prüfe alle Lösungen gegen die Definitionsmengen.

1. Für \(h\) ist die senkrechte Asymptote \(x=1\); wegen gleicher Grade ist die waagrechte Asymptote \(y=1\). 2. Für \(k\) ist die senkrechte Asymptote \(x=-2\); wegen gleicher Grade ist die waagrechte Asymptote \(y=2\). 3. Schnittpunkte erfüllen \(\frac{x+1}{x-1}=\frac{2(x+1)}{x+2}\). 4. Für \(x=-1\) sind beide Funktionswerte \(0\), also ist \(S_1(-1\mid0)\) ein Schnittpunkt. 5. Für \(x\neq-1\) kann der Faktor \(x+1\) gekürzt werden. Dann gilt \(\frac{1}{x-1}=\frac{2}{x+2}\), also \(x+2=2x-2\) und damit \(x=4\). 6. Es ist \(h(4)=\frac{5}{3}\). Der zweite Schnittpunkt lautet \(S_2(4\mid\frac{5}{3})\).

a) \(h\): senkrechte Asymptote \(x=1\), waagrechte Asymptote \(y=1\); \(k\): senkrechte Asymptote \(x=-2\), waagrechte Asymptote \(y=2\) b) \(S_1(-1\mid0)\) und \(S_2(4\mid\frac{5}{3})\)

- Worauf musst du achten, wenn der Nenner einer Funktion null wird? - Wie verhält sich der Funktionswert, wenn die x-Werte sehr groß oder sehr klein werden? - Welchen Ansatz wählst du immer, um gemeinsame Punkte von zwei Funktionsgraphen zu finden? - Denk daran, dass bei der Berechnung der Schnittpunkte die Definitionsmengen beachtet werden müssen.

1. Bestimmung der Asymptoten von \(f\): Da der Grad des Zählers kleiner als der des Nenners ist, ist die x-Achse die waagrechte Asymptote mit \(y = 0\). Die Nullstelle des Nenners \(x - 3 = 0\) liefert die senkrechte Asymptote \(x = 3\). 2. Bestimmung der Asymptoten von \(g\): Da der Grad des Zählers kleiner als der des Nenners ist, ist die waagrechte Asymptote ebenfalls \(y = 0\). Die doppelte Nullstelle des Nenners \((x - 1)^2 = 0\) liefert die senkrechte Asymptote \(x = 1\). 3. Berechnung der Schnittpunkte: Gleichsetzen der Funktionsterme führt auf \(\frac{4}{x-3} = \frac{-4}{(x-1)^2}\). Division durch 4 und Multiplikation mit den Nennern ergibt \((x-1)^2 = -(x-3)\), was zu \(x^2 - 2x + 1 = -x + 3\) bzw. \(x^2 - x - 2 = 0\) vereinfacht wird. 4. Lösen der quadratischen Gleichung liefert \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -1\). 5. Einsetzen der x-Werte in \(f(x)\): \(f(2) = \frac{4}{2-3} = -4\) und \(f(-1) = \frac{4}{-1-3} = -1\). Die Schnittpunkte sind \(S_1(2 \mid -4)\) und \(S_2(-1 \mid -1)\).

a) \(G_f\): \(x = 3\) (senkrecht), \(y = 0\) (waagrecht); \(G_g\): \(x = 1\) (senkrecht), \(y = 0\) (waagrecht) b) \(S_1(2 \mid -4)\) und \(S_2(-1 \mid -1)\)

- Wie gehst du vor, um die gemeinsamen Punkte zweier Funktionsgraphen zu finden? - Achte darauf, die Gleichungen so umzuformen, dass sie keinen Nenner mehr enthalten. - Welche Rolle spielt die Definitionsmenge der Funktionen beim Lösen der Gleichungen? - Kannst du aus dem Ergebnis der vereinfachten Gleichung direkt auf die Anzahl der Lösungen schließen?

1. Teilaufgabe a: Gleichsetzen der Funktionsterme ergibt \(\frac{x^2-2x+3}{x-2} = 2x-1\). Multiplikation mit dem Nenner \((x-2)\) führt auf \(x^2-2x+3 = (2x-1)(x-2) = 2x^2-5x+2\). Durch Umformen erhält man die quadratische Gleichung \(x^2-3x-1=0\). Die Diskriminante ist \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 13\). Da \(D > 0\) und die Definitionslücke \(x=2\) keine Lösung der Gleichung ist (\(2^2-3 \cdot 2 - 1 = -3 \neq 0\)), existieren genau zwei Schnittpunkte. 2. Teilaufgabe b: Gleichsetzen ergibt \(\frac{2}{x-1} + 1 = \frac{x+3}{x+1}\). Zusammenfassen der linken Seite führt auf \(\frac{x+1}{x-1} = \frac{x+3}{x+1}\). Durch Überkreuzmultiplikation erhält man \((x+1)^2 = (x+3)(x-1)\), was ausmultipliziert \(x^2+2x+1 = x^2+2x-3\) ergibt. Dies führt auf den Widerspruch \(1 = -3\), woraus folgt, dass es keine Schnittpunkte gibt.

a) 2 Schnittpunkte b) 0 Schnittpunkte

- Setze für einen Schnittpunkt die beiden Funktionsterme gleich. - Welche Einschränkung enthält die Definitionsmenge von \(f\)? - Nach Beseitigen des Nenners entsteht eine quadratische Gleichung. - Prüfe am Ende, ob alle berechneten Werte zur Definitionsmenge gehören.

1. Schnittpunkte erfüllen \(\frac{x^2-4x+3}{x-2}=3x-9\). 2. Für \(f\) gilt \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\). 3. Multiplikation mit \(x-2\) führt auf \(x^2-4x+3=(3x-9)(x-2)\). 4. Nach dem Ausmultiplizieren ergibt sich \(2x^2-11x+15=0\). 5. Die Lösungen sind \(x_1=3\) und \(x_2=2{,}5\); beide gehören zur Definitionsmenge. 6. Es gilt \(g(3)=0\) und \(g(2{,}5)=-1{,}5\). 7. Somit sind die Schnittpunkte \(S_1(3\mid0)\) und \(S_2(2{,}5\mid-1{,}5)\).

\(S_1(3\mid0)\) und \(S_2(2{,}5\mid-1{,}5)\)

- Bestimme zuerst, welche \(x\)-Werte aufgrund von Nullstellen im Nenner ausgeschlossen werden müssen. - Suche nach einem gemeinsamen Nenner, um die Brüche aufzulösen. - Achte beim Auflösen der Klammern auf das Minuszeichen vor dem Term \((x^2 - 1)\). - Prüfe kritisch, ob jede rechnerisch gefundene Lösung tatsächlich ein Punkt auf beiden Graphen sein kann.

1. Gleichsetzen liefert \(\frac{2}{x^2-1}=\frac{1}{x-1}-1\). 2. Der gemeinsame zulässige Bereich ist \(D_f\cap D_g=\mathbb{R}\setminus\{-1;1\}\). 3. Multiplikation mit \((x-1)(x+1)\) ergibt \(2=(x+1)-(x^2-1)\). 4. Nach Umformen folgt \(x^2-x=0\), also \(x(x-1)=0\). Die Kandidaten sind \(x=0\) und \(x=1\). 5. Wegen \(1\notin D_f\cap D_g\) bleibt nur \(x=0\). Es ist \(g(0)=-2\). 6. Damit lautet der einzige Schnittpunkt \(S(0\mid-2)\).

Der einzige Schnittpunkt ist \(S(0 \mid -2)\).

- Nutze für jede Eigenschaft die Darstellung, in der sie direkt sichtbar oder leichter berechenbar ist. - Ein Schnittpunkt mit der schrägen Asymptote würde bedeuten, dass der Restterm null wird. - Für die \(x\)-Achse musst du den Zähler der Bruchdarstellung null setzen und anschließend die Definitionsmenge prüfen.

a) Der Nenner wird bei \(x=2\) null und der Zähler hat dort den Wert \(1\neq0\). Daher ist \(D_h=\mathbb{R}\setminus\{2\}\) und \(x=2\) die senkrechte Asymptote. b) Für \(|x|\to\infty\) geht \(\frac{1}{x-2}\) gegen \(0\). Deshalb ist \(y=2x+1\) die schräge Asymptote. c) Ein Schnittpunkt müsste \(\frac{1}{x-2}=0\) erfüllen. Das ist unmöglich, also gibt es keinen Schnittpunkt mit der schrägen Asymptote. d) Nullstellen erfüllen \(2x^2-3x-1=0\). Daraus folgt \(x=\frac{3\pm\sqrt{17}}{4}\). Beide Werte liegen in der Definitionsmenge.

a) \(D_h=\mathbb{R}\setminus\{2\}\); senkrechte Asymptote \(x=2\) b) Schräge Asymptote \(y=2x+1\) c) Kein Schnittpunkt mit der schrägen Asymptote d) \(N_1\left(\frac{3-\sqrt{17}}{4}\mid0\right)\), \(N_2\left(\frac{3+\sqrt{17}}{4}\mid0\right)\)

- Wie findet man die Definitionslücken bei einem Bruch? - Welches Verhalten zeigt die Funktion für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte? - Wie kann man einen Term mit einer Differenz auf einen gemeinsamen Nenner bringen? - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn man \(x\) durch \(-x\) ersetzt? - Wann ist ein Bruch mit negativem Zähler insgesamt positiv?

1. Bestimmung der Definitionslücken und Asymptoten: Der Nenner \(x^2 - 1 = 0\) liefert \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\). Da der Zähler dort nicht null ist, sind \(x = 1\) und \(x = -1\) senkrechte Asymptoten. \(D_k = \mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}\). Da Zähler- und Nennergrad gleich sind, ergibt der Grenzwert für \(x \to \pm \infty\) die waagrechte Asymptote \(y = 1\). 2. Nachweis der Termäquivalenz: \(1 - \frac{3}{x^2 - 1} = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 1} - \frac{3}{x^2 - 1} = \frac{x^2 - 1 - 3}{x^2 - 1} = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 1}\). 3. Symmetrieuntersuchung: Da im Funktionsterm nur gerade Potenzen von \(x\) vorkommen, gilt \(k(-x) = \frac{(-x)^2 - 4}{(-x)^2 - 1} = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 1} = k(x)\). Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 4. Lage zur Asymptote: Gesucht ist \(k(x) > 1\). Mit der Form aus b) folgt \(1 - \frac{3}{x^2 - 1} > 1 \iff -\frac{3}{x^2 - 1} > 0 \iff \frac{3}{x^2 - 1} < 0\). Dies ist erfüllt, wenn der Nenner negativ ist: \(x^2 - 1 < 0 \iff x^2 < 1 \iff -1 < x < 1\). Der Graph verläuft im Intervall \(]-1; 1[\) oberhalb der Asymptote.

a) \(D_k = \mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}\); senkrechte Asymptoten: \(x = -1, x = 1\); waagrechte Asymptote: \(y = 1\) b) Nachweis durch Hauptnennerbildung: \(\frac{x^2-1-3}{x^2-1} = \frac{x^2-4}{x^2-1}\) c) \(G_k\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, da \(k(-x) = k(x)\). d) Für \(x \in ]-1; 1[\) verläuft der Graph oberhalb der waagrechten Asymptote.

- Wie kannst du den Zähler als Vielfaches des Nenners plus einen Rest schreiben? - Welche Information über das Verhalten für große \(|x|\) steckt in der gewünschten Summenform? - Welche der beiden Darstellungen macht eine Nullstelle über den Zähler sichtbar?

1. Schreibe den Zähler als \(2x+7=2(x+3)+1\). Dann gilt \(f(x)=\frac{2(x+3)+1}{x+3}=2+\frac{1}{x+3}\). Damit sind \(a=1\), \(c=2\) und \(x_0=-3\). 2. Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x=-3\). Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(\frac{1}{x+3}\to0\), also ist \(y=2\) die waagrechte Asymptote. 3. Für die Nullstelle muss \(2x+7=0\) gelten. Daraus folgt \(x=-\frac72=-3{,}5\). 4. Die Zähler-Nenner-Form zeigt die Nullstelle unmittelbar über den Zähler. Die Summenform zeigt die waagrechte Asymptote unmittelbar über den konstanten Summanden.

a) \(f(x)=2+\frac{1}{x+3}\) b) Waagrechte Asymptote: \(y=2\); senkrechte Asymptote: \(x=-3\); Nullstelle: \(x=-3{,}5\) c) Die Nullstelle ist aus der Zähler-Nenner-Form unmittelbarer erkennbar; die waagrechte Asymptote aus der Summenform.

- Bringe die beiden Brüche auf einen gemeinsamen Nenner. - Welche Bedingung weist Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse nach? - Untersuche Nennernullstellen und das Verhalten für große Beträge von \(x\). - Welcher \(x\)-Wert gehört zum Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse?

1. Mit dem Hauptnenner \((x-2)(x+2)\) gilt \(f(x)=\frac{x+2-(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{4}{x^2-4}\). 2. Es gilt \(f(-x)=\frac{4}{(-x)^2-4}=\frac{4}{x^2-4}=f(x)\). Daher liegt Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse vor. 3. Die Nennernullstellen \(x=-2\) und \(x=2\) sind keine Zählernullstellen; dort liegen senkrechte Asymptoten. Da der Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist, ist \(y=0\) die waagrechte Asymptote. 4. Es gilt \(f(0)=-1\). Somit ist \(S_y(0\mid-1)\).

1. \(f(x)=\frac{4}{x^2-4}\) 2. \(f(-x)=f(x)\) 3. Senkrechte Asymptoten \(x=-2\) und \(x=2\); waagrechte Asymptote \(y=0\) 4. \(S_y(0\mid-1)\)

- Welche gemeinsame Nennerstruktur haben die beiden Brüche? - Welche Umformung verbindet \(x^2+4x\) mit einem verschobenen Quadrat? - Welche Bedingung muss der Zähler für eine Nullstelle erfüllen? - Welche Eigenschaften der vollständig gekürzten Darstellung bestimmen die Asymptoten?

1. Mit dem gemeinsamen Nenner \(x(x+4)\) gilt \(g(x)=\frac{x+4-x}{x(x+4)}=\frac{4}{x^2+4x}\). 2. Es gilt \((x+2)^2-4=x^2+4x\). Daher sind die beiden Darstellungen identisch. 3. Ein Bruch ist nur dann null, wenn sein Zähler null ist. Der Zähler ist konstant \(4\), also besitzt \(g\) keine Nullstelle. 4. Die Polstellen liegen bei \(x=0\) und \(x=-4\); dort befinden sich die senkrechten Asymptoten. Da der Grad des Zählers kleiner als der Grad des Nenners ist, gilt \(g(x)\to0\) für \(x\to\pm\infty\). Die waagrechte Asymptote ist \(y=0\).

1. \(g(x)=\frac{4}{x^2+4x}\) 2. \((x+2)^2-4=x^2+4x\) 3. Kein Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse 4. Senkrechte Asymptoten: \(x=0\) und \(x=-4\); waagrechte Asymptote: \(y=0\)

- Welche Nennerstelle ist aus der Definitionsmenge ausgeschlossen? - Welche Information liefern bei Zähler und Nenner gleichen Grades die führenden Koeffizienten? - Wie kannst du den Zähler als Vielfaches von \(x+1\) plus einen Rest schreiben? - Welcher Teil von \(h(x)\) bleibt für große \(|x|\) übrig?

1. Der Nenner wird für \(x=-1\) null. Daher ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\), und \(x=-1\) ist die senkrechte Asymptote. 2. Zähler und Nenner haben denselben Grad. Das Verhältnis der führenden Koeffizienten ist \(-2\), daher ist \(y=-2\) die waagrechte Asymptote. 3. Für die \(y\)-Achse gilt \(f(0)=6\), also \(S_y(0\mid6)\). Aus \(6-2x=0\) folgt die Nullstelle \(x=3\), also \(N(3\mid0)\). 4. Schreibe \(6-2x=-2(x+1)+8\). Dann ist \(f(x)=-2+\frac{8}{x+1}\) und damit \(h(x)=x-2+\frac{8}{x+1}\). 5. Die senkrechte Asymptote bleibt \(x=-1\). Für \(x\to\pm\infty\) verschwindet der Bruchterm, daher ist \(y=x-2\) die schräge Asymptote.

a) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\); senkrechte Asymptote: \(x=-1\); waagrechte Asymptote: \(y=-2\) b) \(S_y(0\mid6)\); \(N(3\mid0)\) c) Senkrechte Asymptote: \(x=-1\); schräge Asymptote: \(y=x-2\)

- Wie addiert man Brüche mit unterschiedlichen Nennern? - Denke an die Umrechnung von Dezimalstunden in Minuten: Ein Viertel einer Stunde sind wie viele Minuten? - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn der Nenner gegen Null geht? - Was bedeutet es physikalisch für das Vorankommen, wenn der Wind stärker ist als der eigene Antrieb?

1. Zur Termumformung wird der Hauptnenner \((x+40)(x-40) = x^2 - 1600\) gebildet. Erweitern der Brüche liefert \(\frac{600(x-40) + 600(x+40)}{x^2 - 1600}\). Vereinfachen des Zählers ergibt \(600x - 24\,000 + 600x + 24\,000 = 1200x\). Somit gilt \(T(x) = \frac{1200x}{x^2 - 1600}\). 2. Für \(x = 160\) ergibt sich \(T(160) = \frac{1200 \cdot 160}{160^2 - 1600} = \frac{192000}{24000} = 8\). Die Flugzeit beträgt \(8\,\text{h}\,0\,\text{min}\). 3. Für \(x = 200\) ergibt sich \(T(200) = \frac{1200 \cdot 200}{200^2 - 1600} = \frac{240000}{38400} = 6{,}25\). Da \(0{,}25 \cdot 60 = 15\), beträgt die Flugzeit \(6\,\text{h}\,15\,\text{min}\). 4. Die senkrechte Asymptote liegt an der Polstelle des Nenners im betrachteten Bereich, also bei \(x = 40\). Da der Grad des Zählers (1) kleiner ist als der Grad des Nenners (2), ist die waagrechte Asymptote die \(x\)-Achse mit der Gleichung \(y = 0\). 5. Im Sachzusammenhang bedeutet \(x < 40\), dass die Eigengeschwindigkeit des Flugzeugs geringer ist als die Windgeschwindigkeit. Das Flugzeug könnte nicht gegen den Wind anfliegen (die Geschwindigkeit über Grund \(x - 40\) wäre negativ), wodurch der Zielort nie erreicht würde. Mathematisch würde dies zu einer negativen Zeitdauer für einen Teil der Strecke führen.

a) Nachweis durch Erweitern auf den Hauptnenner \(x^2 - 1600\). b) Bei \(160\,\text{km/h}\): \(8\,\text{h}\,0\,\text{min}\); bei \(200\,\text{km/h}\): \(6\,\text{h}\,15\,\text{min}\). c) Senkrechte Asymptote: \(x = 40\); waagrechte Asymptote: \(y = 0\). d) Das Flugzeug ist langsamer als der Gegenwind (\(x - 40 < 0\)) und kann die Strecke nicht bewältigen.

- Wie lautet die Bedingung für Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse bezüglich des Funktionsterms? - Was passiert mit dem Bruch, wenn \(x\) immer größer wird? Welcher Teil des Terms dominiert dann? - Wie kannst du eine Gleichung mit einem Bruch auflösen, um nach \(x\) freizustellen? - Denk daran, dass eine quadratische Gleichung \(x^2 = a\) zwei Lösungen haben kann.

1. Zur Überprüfung der Achsensymmetrie wird \(f(-x)\) berechnet: \(f(-x) = \frac{2(-x)^2}{(-x)^2 + 1} = \frac{2x^2}{x^2 + 1} = f(x)\). Da \(f(-x) = f(x)\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt, ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Für den Grenzwert betrachten wir den Funktionsterm für große \(x\): \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2}{x^2 + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{1 + \frac{1}{x^2}} = 2\). Die waagrechte Asymptote hat somit die Gleichung \(y = 2\). 3. Zur Lösung der Gleichung \(f(x) = 1{,}8\) setzen wir an: \(\frac{2x^2}{x^2 + 1} = 1{,}8\). Multiplikation mit dem Nenner liefert \(2x^2 = 1{,}8(x^2 + 1) = 1{,}8x^2 + 1{,}8\). Umformen nach \(x^2\) ergibt \(0{,}2x^2 = 1{,}8\), also \(x^2 = 9\). Daraus folgen die Lösungen \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\).

1. Nachweis über \(f(-x) = f(x)\). 2. \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 2\); waagrechte Asymptote: \(y = 2\). 3. \(x_1 = 3\); \(x_2 = -3\).

- Nutze für Definitionsmenge und Nullstellen zunächst die Bruchdarstellung. - Prüfe die vorgegebene zweite Darstellung, indem du ihre Summanden auf einen gemeinsamen Nenner bringst. - In der zweiten Darstellung ist der Restterm zugleich für die schräge Asymptote besonders hilfreich. - Für Symmetrie genügt der Vergleich von \(f(-x)\) mit \(f(x)\) und \(-f(x)\).

a) Der Nenner schließt \(x=1\) aus, also ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}\). Aus \(x^2-4=(x-2)(x+2)\) folgen die Nullstellen \(x=2\) und \(x=-2\). Außerdem ist \(f(0)=4\), also liegt der \(y\)-Achsenabschnitt bei \((0\mid4)\). b) Es gilt \(x+1-\frac{3}{x-1}=\frac{(x+1)(x-1)-3}{x-1}=\frac{x^2-4}{x-1}\). Damit ist die Darstellung bestätigt. c) Bei \(x=1\) liegt eine einfache Polstelle und damit eine senkrechte Asymptote \(x=1\) mit Vorzeichenwechsel vor. Der Restterm \(-\frac{3}{x-1}\) geht für \(|x|\to\infty\) gegen \(0\); die schräge Asymptote ist \(y=x+1\). d) Es gilt \(f(-x)=\frac{x^2-4}{-x-1}\). Dieser Ausdruck ist weder gleich \(f(x)\) noch gleich \(-f(x)\). Daher besteht weder \(y\)-Achsen- noch Ursprungssymmetrie.

a) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}\); \((-2\mid0)\), \((2\mid0)\), \((0\mid4)\) b) \(f(x)=x+1-\frac{3}{x-1}\) für \(x\neq1\) c) Senkrechte Asymptote \(x=1\); schräge Asymptote \(y=x+1\); Polstelle mit Vorzeichenwechsel d) Keine Symmetrie zum Ursprung und keine Symmetrie zur \(y\)-Achse

- Kann ein Ausdruck der Form \(x^2 + \text{positive Zahl}\) jemals null werden? - Du kannst den Bruch in zwei Teile zerlegen, um die Gleichung der schrägen Asymptote direkt abzulesen. - Erinnere dich an die Bedingung für Punktsymmetrie zum Ursprung: \(f(-x) = -f(x)\). - Setze für die Grenzwerte am Pol sehr kleine positive und negative Zahlen für \(x\) ein, um das Vorzeichen der Unendlichkeit zu bestimmen.

1. Definitionsmenge und Nullstellen: Da der Nenner \(2x\) für \(x = 0\) null wird, ist \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). Nullstellen existieren nur, wenn der Zähler \(x^2 + 3 = 0\) wird. Da \(x^2 + 3 \geq 3\) für alle reellen \(x\) gilt, gibt es keine Nullstellen. 2. Asymptoten: Eine senkrechte Asymptote liegt bei der Polstelle \(x = 0\). Durch Aufspalten des Bruchs erhält man \(g(x) = \frac{x^2}{2x} + \frac{3}{2x} = \frac{1}{2}x + \frac{1{,}5}{x}\). Die schräge Asymptote ist somit \(y = 0{,}5x\). 3. Symmetrie: Es gilt \(g(-x) = \frac{(-x)^2 + 3}{2(-x)} = \frac{x^2 + 3}{-2x} = -\frac{x^2 + 3}{2x} = -g(x)\). Somit ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. 4. Verhalten am Pol: Für \(x \to 0^+\) strebt der Zähler gegen \(3\) und der Nenner gegen \(0\) mit positiven Werten, also \(g(x) \to +\infty\). Für \(x \to 0^-\) strebt der Nenner gegen \(0\) mit negativen Werten, also \(g(x) \to -\infty\). Es liegt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor.

a) \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{0\}\); keine Nullstellen, da \(x^2 + 3 > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\). b) Senkrechte Asymptote: \(x = 0\); schräge Asymptote: \(y = 0{,}5x\). c) Der Graph \(G_g\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da \(g(-x) = -g(x)\). d) \(\lim_{x \to 0^+} g(x) = +\infty\) und \(\lim_{x \to 0^-} g(x) = -\infty\).

- Versuche den Zähler so umzuschreiben, dass er ein Vielfaches des Nenners enthält. - Welche Werte kann der Ausdruck \(x^2 + 2\) im Nenner annehmen? - Wie verhält sich ein Bruch, wenn sein Nenner immer größer wird, aber der Zähler konstant bleibt? - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn \(x\) sehr große positive oder negative Werte annimmt?

1. Forme den Funktionsterm so um, dass \(x\) nur noch an einer Stelle vorkommt: \(g(x) = \frac{x^2 + 2 - 6}{x^2 + 2} = 1 - \frac{6}{x^2 + 2}\). 2. Bestimme den Wertebereich des Nenners: Da \(x^2 \geq 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), gilt \(x^2 + 2 \geq 2\). Der Nenner nimmt also alle Werte im Intervall \([2; \infty[\) an. 3. Bestimme den Wertebereich des Bruchs \(\frac{6}{x^2 + 2}\): Wenn der Nenner von \(2\) bis unendlich läuft, nimmt der Quotient alle Werte im Intervall \(]0; 3]\) an (da \(\frac{6}{2} = 3\) und \(\lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^2+2} = 0\)). 4. Bestimme den Wertebereich der gesamten Funktion: Subtrahiere diese Werte von \(1\). Es ergibt sich \(1 - 3 \leq g(x) < 1 - 0\), also \(-2 \leq g(x) < 1\). Damit ist \(W_g = [-2; 1[\).

Durch die Umformung \(g(x) = 1 - \frac{6}{x^2 + 2}\) lässt sich zeigen, dass der Subtrahend \(\frac{6}{x^2 + 2}\) Werte im Intervall \(]0; 3]\) annimmt. Daraus ergibt sich für die Funktionswerte das Intervall \(W_g = [1 - 3; 1 - 0[ = [-2; 1[\).

- Wie kannst du die Scheitelpunktform der quadratischen Funktion nutzen? - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner immer größer wird? - Wenn ein Nenner an einer Stelle seinen kleinsten positiven Wert erreicht, was bedeutet das für den Gesamtwert des Bruchs? - Überlege dir, wie sich das Steigungsverhalten von \(f\) auf das von \(\frac{1}{f}\) überträgt.

1. Die Funktion \(f\) ist eine nach oben geöffnete Parabel. Durch quadratische Ergänzung ergibt sich \(f(x) = (x-3)^2 + 2\). Der Scheitelpunkt und somit das lokale Minimum liegt bei \(T(3 \mid 2)\). Da \(g(x) = \frac{1}{f(x)}\) ist, liegt die Extremstelle von \(g\) ebenfalls bei \(x=3\). Da \(f\) dort ihren kleinsten positiven Wert annimmt, nimmt der Kehrwert \(g\) dort seinen größten Wert an. Es liegt ein Hochpunkt bei \(H(3 \mid 0{,}5)\) vor. 2. Für \(x \to \pm \infty\) wachsen die Funktionswerte von \(f(x)\) gegen \(+\infty\). Da \(g(x)\) der Kehrwert von \(f(x)\) ist, streben die Funktionswerte von \(g(x)\) gegen \(0\). Die x-Achse ist somit eine waagerechte Asymptote für \(G_g\). 3. Wenn \(f(x) > 0\) ist, führt ein lokales Minimum von \(f\) an einer Stelle \(x_0\) dazu, dass der Nenner von \(g(x) = \frac{1}{f(x)}\) dort minimal ist. Ein minimaler Nenner bewirkt bei konstantem Zähler den maximalen Funktionswert für \(g\). Umgekehrt wird ein lokales Maximum von \(f\) zu einem lokalen Minimum von \(g\).

1. \(f\): Tiefpunkt \(T(3 \mid 2)\); \(g\): Hochpunkt \(H(3 \mid 0{,}5)\). 2. Für \(x \to \pm \infty\): \(f(x) \to +\infty\) und \(g(x) \to 0\). 3. Ein lokales Minimum von \(f\) entspricht einem lokalen Maximum von \(g\) (und umgekehrt), da der Kehrwert einer minimalen positiven Zahl maximal ist.

- Welche Stelle muss aus der Definitionsmenge ausgeschlossen werden? - Wie kannst du den Zähler mithilfe des Nenners schreiben, damit die Asymptoten sichtbar werden? - Wann ist ein Bruch gleich null? - Welche Gleichung erhältst du für die Schnittpunkte mit der Geraden \(y=x\)?

1. Wegen \(x-1\neq0\) gilt \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}\). Außerdem ist \(x+3=(x-1)+4\), also \(f(x)=1+\frac{4}{x-1}\). 2. Aus dieser Darstellung folgen die senkrechte Asymptote \(x=1\) und die waagrechte Asymptote \(y=1\). 3. Für die Nullstelle gilt \(x+3=0\), also \(x=-3\). 4. Für die Schnittpunkte mit \(y=x\) gilt \(\frac{x+3}{x-1}=x\). Multiplikation mit \(x-1\) liefert \(x+3=x^2-x\), also \(x^2-2x-3=0\). Damit ist \(x=3\) oder \(x=-1\). Die Punkte sind \(S_1(3\mid3)\) und \(S_2(-1\mid-1)\). Die Proben \(f(3)=3\) und \(f(-1)=-1\) bestätigen beide Punkte.

a) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}\); \(f(x)=1+\frac{4}{x-1}\) b) Senkrechte Asymptote: \(x=1\); waagrechte Asymptote: \(y=1\) c) Nullstelle: \(x=-3\) d) \(S_1(3\mid3)\) und \(S_2(-1\mid-1)\); Proben: \(f(3)=3\), \(f(-1)=-1\)

- Welche Stelle ist wegen des Nenners aus der Definitionsmenge ausgeschlossen? - Wie kannst du den Zähler als Ausdruck mit \(x+1\) plus einem Rest schreiben? - Welche Veränderungen an \(\frac{1}{x}\) liest du aus dem umgeformten Term ab?

1. Der Nenner wird bei \(x=-1\) null, daher ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\). 2. Aus \(x-2=0\) folgt die Nullstelle \(x=2\). 3. Die senkrechte Asymptote ist \(x=-1\). Wegen gleicher Grade von Zähler und Nenner ist die waagrechte Asymptote \(y=1\). 4. Es gilt \(f(x)=\frac{x+1-3}{x+1}=1-\frac{3}{x+1}\). Damit sind \(a=1\) und \(b=-3\). 5. Ausgehend von \(y=\frac{1}{x}\) wird der Graph in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(3\) gestreckt, an der \(x\)-Achse gespiegelt, um \(1\) nach links und um \(1\) nach oben verschoben.

a) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\); Nullstelle \(x=2\); senkrechte Asymptote \(x=-1\); waagrechte Asymptote \(y=1\) b) \(f(x)=1-\frac{3}{x+1}\) mit \(a=1\) und \(b=-3\) c) Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(3\), Spiegelung an der \(x\)-Achse, Verschiebung um \(1\) nach links und um \(1\) nach oben

- Wie verändert sich ein Funktionsterm bei einer Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts? - Vergleiche \(f(x-2)\) direkt mit \(g(x)\). - Welcher zusätzliche konstante Unterschied bleibt zwischen den beiden Termen?

1. Für \(f\) gilt \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}\). Die senkrechte Asymptote ist \(x=0\). Wegen \(\frac{4}{x}\to0\) für \(x\to\pm\infty\) ist \(y=x\) die schräge Asymptote. 2. Eine Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts liefert \(f(x-2)=(x-2)+\frac{4}{x-2}=x-2+\frac{4}{x-2}\). 3. Es gilt \(g(x)=f(x-2)+2\). Daher reicht die reine Verschiebung nach rechts nicht aus. 4. Der Graph wird um \(2\) Einheiten nach rechts und um \(2\) Einheiten nach oben verschoben. Somit ist \(\vec{v}=\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\).

a) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}\); senkrechte Asymptote \(x=0\); schräge Asymptote \(y=x\) b) Die Behauptung ist falsch; \(\vec{v}=\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\).

- Welche Terme verschwinden, wenn du Zähler und Nenner durch die höchste auftretende Potenz von \(x\) teilst? - Welches Vorzeichen hat \(x-1\) unmittelbar rechts beziehungsweise links von \(1\)? - Wie hängen die beiden Grenzwertaussagen mit den beiden Asymptoten zusammen?

1. Teile Zähler und Nenner durch \(x\): \(f(x)=\frac{2+\frac{4}{x}}{1-\frac{1}{x}}\). Für \(x\to\infty\) streben die Bruchterme gegen \(0\), also gilt \(\lim_{x\to\infty}f(x)=2\). 2. Für \(x\to1^+\) ist der Nenner positiv und nähert sich \(0\), während der Zähler gegen \(6\) strebt. Daher gilt \(\lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty\). 3. Für \(x\to1^-\) ist der Nenner negativ und nähert sich \(0\), während der Zähler gegen \(6\) strebt. Daher gilt \(\lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty\). 4. Somit ist \(x=1\) die senkrechte Asymptote und \(y=2\) die waagrechte Asymptote.

a) \(\lim_{x\to\infty}f(x)=2\) b) \(\lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty\); \(\lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty\) c) Waagrechte Asymptote: \(y=2\); senkrechte Asymptote: \(x=1\)

- Wie kannst du bei \(f_a\) die führenden Terme für große \(x\)-Werte sichtbar machen? - Welche Gleichung verbindet den Grenzwert mit der vorgegebenen waagrechten Asymptote? - Wie lässt sich \(g(x)\) in einen linearen Teil und einen Restterm zerlegen?

1. Teile Zähler und Nenner durch \(x\): \(f_a(x)=\frac{a+\frac{6}{x}}{2-\frac{4}{x}}\). Für \(x\to\infty\) folgt \(L=\frac{a}{2}\). 2. Für die waagrechte Asymptote \(y=5\) muss \(\frac{a}{2}=5\) gelten. Daraus folgt \(a=10\). 3. Es gilt \(g(x)=2x+3+\frac{1}{x}\). Daher ist \(g(x)-h(x)=\frac{1}{x}\to0\) für \(x\to\infty\). Beide Funktionen wachsen gegen \(+\infty\), und der Graph von \(g\) nähert sich der Geraden \(y=2x+3\) an.

a) \(L=\frac{a}{2}\) b) \(a=10\) c) \(g(x)-h(x)=\frac{1}{x}\to0\); beide Funktionen wachsen gegen \(+\infty\), und \(y=2x+3\) ist die schräge Asymptote von \(g\).

- Kann der Nenner \(x^2+1\) für reelle \(x\) null werden? - Forme für die Nullstellen die Gleichung \(f(x)=0\) um. - Prüfe am Ende, ob die Lösungen zur Definitionsmenge gehören.

1. Da \(x^2+1\ge1\) für alle \(x\in\mathbb{R}\) gilt, gibt es keine ausgeschlossenen Stellen. Somit ist \(D_f=\mathbb{R}\). 2. Daher besitzt \(f\) keine Polstellen. 3. Aus \(f(x)=0\) folgt \(\frac{x^2-5}{x^2+1}=-1\). Damit gilt \(x^2-5=-x^2-1\), also \(2x^2=4\) und \(x^2=2\). 4. Die Nullstellen sind \(x=\pm\sqrt2\).

\(D_f=\mathbb{R}\); keine Polstellen; Nullstellen \(x=\pm\sqrt2\)

- Wie gehst du vor, um die Ableitung eines Bruchs zu berechnen? - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner immer größer wird, während der Zähler konstant bleibt? - Wie beeinflusst der Exponent im Nenner das Verhalten des Graphen in der Nähe einer Definitionslücke? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Vielfachheit einer Nullstelle im Nenner und dem Vorzeichenwechsel.

1. Berechnung der Ableitungen: Mithilfe der Quotientenregel oder durch Umschreiben zu \(f(x) = 5 + \frac{17}{x - 3}\) ergibt sich die erste Ableitung \(f'(x) = -17 \cdot (x - 3)^{-2} = \frac{-17}{(x - 3)^2}\). Die zweite Ableitung lautet somit \(f''(x) = -17 \cdot (-2) \cdot (x - 3)^{-3} = \frac{34}{(x - 3)^3}\). 2. Untersuchung der Asymptote: Für \(x \to \pm \infty\) gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{34}{(x - 3)^3} = 0\). Da der Grenzwert Null ist, nähert sich der Graph \(G_{f''}\) der Geraden \(y = 0\) (der \(x\)-Achse) beliebig an. 3. Bestimmung der Polstelle: Die Polstelle von \(f''\) liegt an der Nullstelle des Nenners, also bei \(x = 3\). Da der Exponent des Linearfaktors im Nenner von \(f''(x)\) ungerade ist (Grad 3), handelt es sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

a) \(f''(x) = \frac{34}{(x - 3)^3}\) b) Wegen \(\lim_{x \to \pm \infty} f''(x) = 0\) ist die \(x\)-Achse waagrechte Asymptote. c) Polstelle bei \(x = 3\); Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

- Kannst du die Funktion umschreiben, um die Kettenregel einfacher anzuwenden? - Was bedeutet es für den Graphen, wenn der Funktionswert für extrem große \(x\)-Werte gegen Null geht? - Schau dir die Potenz im Nenner der zweiten Ableitung genau an – ist sie gerade oder ungerade? - Was sagt dir die Art der Polstelle über den Verlauf des Graphen links und rechts der Lücke?

1. Bestimmung der zweiten Ableitung: Die Funktion kann als \(g(x) = (x + 2)^{-2}\) geschrieben werden. Die erste Ableitung ist \(g'(x) = -2 \cdot (x + 2)^{-3} = \frac{-2}{(x + 2)^3}\). Die zweite Ableitung ergibt sich zu \(g''(x) = -2 \cdot (-3) \cdot (x + 2)^{-4} = \frac{6}{(x + 2)^4}\). 2. Grenzwertbetrachtung: Es gilt \(\lim_{x \to \infty} \frac{6}{(x + 2)^4} = 0\) und \(\lim_{x \to -\infty} \frac{6}{(x + 2)^4} = 0\). Da der Funktionswert für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte gegen Null strebt, ist die \(x\)-Achse (\(y = 0\)) die waagrechte Asymptote. 3. Analyse der Polstelle: Die Definitionslücke und damit die Polstelle von \(g''\) liegt bei \(x = -2\). Da der Nenner \((x + 2)^4\) einen geraden Exponenten besitzt, ändern die Funktionswerte an dieser Stelle ihr Vorzeichen nicht. Es handelt sich um eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

a) \(g''(x) = \frac{6}{(x + 2)^4}\) b) \(\lim_{x \to \pm \infty} g''(x) = 0\), daher ist die \(x\)-Achse Asymptote. c) Polstelle bei \(x = -2\); Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

- Prüfe zuerst Nennernullstellen und mögliche Zählernullstellen. - Eine Zerlegung in einen linearen Anteil und einen Restbruch macht die Asymptoten sichtbar. - Für die Krümmung ist das Vorzeichen der gegebenen zweiten Ableitung entscheidend. - Eine Polstelle kann kein Wendepunkt sein, weil dort kein Graphenpunkt existiert.

1. Der Nenner darf nicht null sein. Daher ist \(D=\mathbb{R}\setminus\{2\}\). 2. Der Zähler \(x^2-4x+7\) hat die Diskriminante \(16-28=-12<0\); es gibt keine reellen Nullstellen. 3. Es gilt \((x-2)^2+3=x^2-4x+7\). Damit folgt \(f(x)=x-2+\frac{3}{x-2}\). 4. Die senkrechte Asymptote ist \(x=2\), die schräge Asymptote ist \(y=x-2\). 5. Für \(x<2\) gilt \(f''(x)<0\), also ist der Graph rechtsgekrümmt. Für \(x>2\) gilt \(f''(x)>0\), also ist er linksgekrümmt. 6. \(f''\) besitzt keine Nullstelle, und \(x=2\) gehört nicht zum Definitionsbereich. Daher besitzt \(G_f\) keinen Wendepunkt.

a) \(D=\mathbb{R}\setminus\{2\}\); keine Nullstellen. b) Asymptoten: \(x=2\) und \(y=x-2\). c) Rechtsgekrümmt für \(x<2\), linksgekrümmt für \(x>2\); keine Wendepunkte.

- Bestimme zuerst Definitionsbereich und Ableitung. - Der quadrierte Nenner der Ableitung beeinflusst ihr Vorzeichen im Definitionsbereich nicht. - Unterscheide zwischen einer Nullstelle von \(f'\) und einer Stelle, an der \(f\) gar nicht definiert ist.

1. Es gilt \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\). 2. Mit der Quotientenregel erhält man \(f'(x)=\frac{x^2-4x+3}{(x-2)^2}=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-2)^2}\). 3. Da der Nenner im Definitionsbereich positiv ist, bestimmt der Zähler das Vorzeichen. Somit ist \(f'>0\) für \(x<1\) und \(x>3\), während \(f'<0\) für \(1<x<2\) und \(2<x<3\) gilt. 4. Daher ist \(f\) auf \(( -\infty;1)\) und \((3;\infty)\) streng steigend sowie auf \((1;2)\) und \((2;3)\) streng fallend. Bei \(x=1\) und \(x=3\) ändert sich die Monotonie; an der Polstelle \(x=2\) bleibt sie auf beiden Seiten fallend.

Monotoniewechsel bei \(x=1\) und \(x=3\); kein Monotoniewechsel an der Polstelle \(x=2\). Steigend auf \(( -\infty;1)\) und \((3;\infty)\), fallend auf \((1;2)\) und \((2;3)\).

- Prüfe den Nenner auf mögliche Nullstellen und teste anschließend \(f(-x)\). - Bei gleich hohen Graden von Zähler und Nenner bestimmt das Verhältnis der führenden Koeffizienten den Grenzwert. - Nutze für die Ableitungen Quotienten- und Kettenregel und untersuche anschließend ihre Vorzeichen. - Vorzeichenwechsel der Ableitungen entscheiden über Extrem- und Wendestellen.

1. Da \(x^2+2>0\) für alle reellen \(x\) gilt, ist \(D_f=\mathbb{R}\). Aus \(8-2x^2=0\) folgen die Nullstellen \(x=-2\) und \(x=2\). 2. Wegen \(f(-x)=f(x)\) ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(f(x)\to-2\). 3. Die Quotientenregel liefert \(f'(x)=\frac{-24x}{(x^2+2)^2}\). Damit steigt \(f\) für \(x<0\) und fällt für \(x>0\). Es liegt der Hochpunkt \(H(0\mid4)\) vor. 4. Es gilt \(f''(x)=\frac{72x^2-48}{(x^2+2)^3}\). Aus \(72x^2-48=0\) folgt \(x=\pm\sqrt{\frac23}=\pm\frac{\sqrt6}{3}\). Dort ist \(f(x)=2{,}5\), und der Zähler von \(f''\) wechselt jeweils das Vorzeichen. 5. Die Wendepunkte sind daher \(W_1\left(-\frac{\sqrt6}{3}\mid2{,}5\right)\) und \(W_2\left(\frac{\sqrt6}{3}\mid2{,}5\right)\).

a) \(D_f=\mathbb{R}\); Nullstellen: \(x=-2\), \(x=2\) b) Achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse; \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=-2\) c) Hochpunkt \(H(0\mid4)\) d) \(W_{1,2}\left(\pm\frac{\sqrt6}{3}\mid2{,}5\right)\)

- Bestimme zuerst die Vorzeichen von \(x^2-1\) in den drei Definitionsintervallen. - Für den inneren Ast ist die Form \(1+\frac{3}{1-x^2}\) besonders hilfreich. - Frage dich, welchen kleinsten beziehungsweise größten Wert der positive Restbruch in den jeweiligen Bereichen annehmen kann.

1. Der Nenner wird bei \(x=-1\) und \(x=1\) null. Daher ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1;1\}\). 2. Für \(|x|>1\) ist \(x^2-1>0\). Damit gilt \(f(x)=1-\frac{3}{x^2-1}<1\). Für \(x\to\pm1\) von außen fällt \(f(x)\) gegen \(-\infty\), und für \(|x|\to\infty\) nähert sich \(f(x)\) dem Wert \(1\) von unten. Die äußeren Äste liefern daher alle Werte aus \(]-\infty;1[\). 3. Für \(|x|<1\) gilt \(1-x^2\in]0;1]\) und damit \(f(x)=1+\frac{3}{1-x^2}\). Weil \(\frac{3}{1-x^2}\geq3\), ist \(f(x)\geq4\); Gleichheit gilt bei \(x=0\). Für \(x\to\pm1\) von innen wächst \(f(x)\) gegen \(+\infty\). Der innere Ast liefert daher \([4;\infty[\). 4. Insgesamt ist \(W_f=]-\infty;1[\cup[4;\infty[\).

\(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1;1\}\) \(W_f=]-\infty;1[\cup[4;\infty[\)

- Beginne mit Definitionsbereich und Nennernullstellen. - Bei der Quotientenregel entscheidet nach dem Vereinfachen vor allem das Vorzeichen des Zählers. - Für die Tangente brauchst du Funktionswert und Ableitungswert bei \(x=0\).

1. Aus \(x^2-9=0\) folgen die senkrechten Asymptoten \(x=-3\) und \(x=3\). Wegen des höheren Nennergrades gilt \(f(x)\to0\) für \(x\to\pm\infty\); also ist \(y=0\) waagrechte Asymptote. 2. Mit der Quotientenregel erhält man \(f'(x)=-\frac{5(x^2+9)}{(x^2-9)^2}<0\) im gesamten Definitionsbereich. Daher ist \(f\) auf jedem der drei Definitionsintervalle streng fallend. 3. Es gilt \(f(0)=0\) und \(f'(0)=-\frac{5}{9}\). Die Tangente lautet \(y=-\frac{5}{9}x\).

a) Senkrechte Asymptoten: \(x=-3\), \(x=3\); waagrechte Asymptote: \(y=0\). b) \(f'(x)=-\frac{5(x^2+9)}{(x^2-9)^2}\); streng fallend auf allen drei Definitionsintervallen. c) \(y=-\frac{5}{9}x\)

- Wann kann der Nenner \(x^2+t\) für reelle \(x\) null werden? - Welche Gleichung prüft Punktsymmetrie zum Ursprung? - Welche Ableitungsregel brauchst du für \(f_t\), und wo kann das Vorzeichen von \(f_t'\) wechseln? - Wie drückst du die Höhe des Hochpunkts in Abhängigkeit von \(t\) aus?

1. Für \(D_t=\mathbb{R}\) darf \(x^2+t\) keine reelle Nullstelle besitzen. Das gilt genau für \(t>0\). 2. Es ist \(f_t(-x)=\frac{-tx}{x^2+t}=-f_t(x)\). Daher sind alle Graphen punktsymmetrisch zum Ursprung. 3. Mit der Quotientenregel erhält man \(f_t'(x)=\frac{t(t-x^2)}{(x^2+t)^2}\). Für \(t>0\) ist der Nenner positiv, und der Zähler wechselt bei \(x=\pm\sqrt{t}\) jeweils das Vorzeichen. Daher besitzt jeder Graph genau zwei lokale Extrempunkte. 4. Der Hochpunkt im ersten Quadranten liegt bei \(x=\sqrt{t}\). Dort gilt \(f_t(\sqrt{t})=\frac{\sqrt{t}}{2}\). Aus \(\frac{\sqrt{t}}{2}=1\) folgt \(t=4\).

a) \(t>0\) b) \(f_t(-x)=-f_t(x)\) c) Extremstellen bei \(x=\pm\sqrt{t}\) d) \(t=4\)

- Vergleiche für die Symmetrie die Funktionswerte bei \(x\) und \(-x\). - Für \(m>0\) hat der Nenner \(x^2+m\) einen eindeutig kleinsten Wert. - Setze bei der Punktbedingung die gegebenen Koordinaten direkt in den Funktionsterm ein. - Für senkrechte Asymptoten sind die reellen Nullstellen des Nenners entscheidend.

a) Es gilt \(g_{k,m}(-x)=\frac{k}{(-x)^2+m}=g_{k,m}(x)\). Daher ist jeder Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. b) Für \(m>0\) gilt \(x^2+m\geq m\), wobei Gleichheit nur bei \(x=0\) eintritt. Damit nimmt \(\frac{k}{x^2+m}\) bei \(x=0\) seinen einzigen Extremwert an: für \(k>0\) ein Maximum, für \(k<0\) ein Minimum. Der Extrempunkt ist \(E\left(0\mid\frac{k}{m}\right)\). c) Aus \(\frac{1}{1+m}=0{,}25=\frac14\) folgt \(1+m=4\) und damit \(m=3\). d) Senkrechte Asymptoten liegen bei den reellen Nullstellen des Nenners. Aus \(x^2+m=0\) folgt für \(m<0\): \(x=\pm\sqrt{-m}\).

a) \(g_{k,m}(-x)=g_{k,m}(x)\) b) \(E\left(0\mid\frac{k}{m}\right)\) c) \(m=3\) d) \(x=-\sqrt{-m}\) und \(x=\sqrt{-m}\)

- Schreibe den Zähler zunächst als Quadrat und nutze, dass der Nenner immer positiv ist. - Suche getrennt nach einer unteren und einer oberen Schranke für die Funktionswerte. - Prüfe für eine vermutete obere Schranke eine äquivalente Ungleichung ohne Bruch. - Kontrolliere, ob die Randwerte tatsächlich angenommen werden.

1. Wegen \(x^2+3>0\) gilt \(D_f=\mathbb{R}\). 2. Der Zähler ist \((x-3)^2\geq0\). Deshalb gilt \(f(x)\geq0\); bei \(x=3\) wird der Wert \(0\) angenommen. 3. Für die obere Schranke wird \(f(x)\leq4\) geprüft. Da der Nenner positiv ist, ist dies äquivalent zu \((x-3)^2\leq4(x^2+3)\). Nach dem Umformen ergibt sich \(0\leq3(x+1)^2\), also gilt die Ungleichung für alle \(x\). Bei \(x=-1\) wird Gleichheit erreicht, also ist \(4\) der größte Funktionswert. 4. Die Funktion ist auf \(\mathbb{R}\) stetig und nimmt daher zwischen den erreichten Randwerten \(0\) und \(4\) alle Zwischenwerte an. Somit ist \(W_f=[0;4]\).

\(W_f=[0;4]\)

- Versuche, den Funktionsterm als Konstante plus einen einfachen Bruch zu schreiben. - Welche kleinsten und größten Werte kann der Nenner \(x^2+1\) annehmen? - Unterscheide zwischen einem Wert, der tatsächlich erreicht wird, und einem Grenzwert, dem sich der Graph nur annähert.

1. Es gilt \(h(x)=1+\frac{3}{x^2+1}\). 2. Für alle reellen \(x\) ist \(x^2+1\geq1\). Deshalb gilt \(0<\frac{3}{x^2+1}\leq3\). 3. Somit ist \(1<h(x)\leq4\). Der Wert \(4\) wird bei \(x=0\) angenommen. 4. Der Wert \(1\) wird nie angenommen, weil der Restbruch stets positiv ist. Für \(x\to\pm\infty\) gilt jedoch \(\frac{3}{x^2+1}\to0\), also nähert sich \(h(x)\) dem Wert \(1\). 5. Daher ist \(W_h=]1;4]\).

\(W_h=]1;4]\)

- Bezeichne die unbekannte Berührstelle mit \(x_0\) und schreibe den zugehörigen Punkt auf dem Graphen auf. - Nutze die vorgegebene Ableitungsfunktion für die Tangentensteigung an dieser Stelle. - Stelle die Tangente zunächst mit \(x_0\) als Parameter auf. - Setze anschließend den Ursprung in die Tangentengleichung ein und löse nach \(x_0\).

1. Bezeichne die noch unbekannte Berührstelle mit \(x_0\neq0\). Dann ist \(B(x_0\mid 1+\frac{k}{x_0})\) und die Tangentensteigung beträgt \(m=f_k'(x_0)=-\frac{k}{x_0^2}\). 2. Die Tangente in \(B\) hat daher die Gleichung \(y=-\frac{k}{x_0^2}(x-x_0)+1+\frac{k}{x_0}\). 3. Weil die Tangente durch \(O(0\mid0)\) verlaufen soll, muss \(0=\frac{k}{x_0}+1+\frac{k}{x_0}=1+\frac{2k}{x_0}\) gelten. 4. Daraus folgt \(x_0=-2k\). Wegen \(k>0\) ist diese Stelle zulässig. 5. Der Funktionswert ist \(f_k(-2k)=1-\frac12=\frac12\). Somit lautet der Berührpunkt \(B\left(-2k\mid\frac12\right)\).

\(B\left(-2k\mid\frac12\right)\)

- Bestimme mögliche Wendestellen über die zweite Ableitung und prüfe anschließend ein hinreichendes Kriterium. - Für einen Sattelpunkt brauchst du zusätzlich eine waagerechte Tangente. - Beachte den Definitionsbereich der gebrochen-rationalen Funktion.

1. Es gilt \(f'(x)=x+\frac{4}{x^2}\), \(f''(x)=1-\frac{8}{x^3}\) und \(f'''(x)=\frac{24}{x^4}\). 2. Aus \(f''(x)=0\) folgt \(x^3=8\), also \(x=2\). 3. Es ist \(f'''(2)=\frac{24}{16}=1{,}5\neq0\). Daher liegt bei \(x=2\) tatsächlich eine Wendestelle vor. 4. Mit \(f(2)=0\) erhält man den Wendepunkt \(W(2\mid0)\). 5. Da \(f'(2)=3\neq0\), ist die Tangente im Wendepunkt nicht waagerecht. Somit liegt kein Sattelpunkt vor.

Wendepunkt: \(W(2\mid0)\) Kein Sattelpunkt.

- Beginne mit Eigenschaften, die sich direkt aus dem Funktionsterm ablesen lassen. - Für Extrempunkte untersuchst du Nullstellen und Vorzeichenwechsel von \(f'\). - Für Wendepunkte untersuchst du entsprechend \(f''\). - Nutze die Punktsymmetrie zur Kontrolle paarweise auftretender Punkte.

1. Da \(x^2+4>0\) für alle \(x\in\mathbb{R}\) gilt, ist \(D_f=\mathbb{R}\). 2. Es gilt \(f(-x)=-f(x)\). Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. 3. Die einzige Nullstelle und zugleich der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \((0\mid0)\). 4. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(f(x)\to0\); die waagerechte Asymptote ist \(y=0\). 5. Die Ableitungen lauten \(f'(x)=\frac{4(4-x^2)}{(x^2+4)^2}\) und \(f''(x)=\frac{8x(x^2-12)}{(x^2+4)^3}\). 6. Aus \(f'(x)=0\) folgen \(x=-2\) und \(x=2\). Das Vorzeichen wechselt bei \(-2\) von negativ zu positiv und bei \(2\) von positiv zu negativ. Daher liegen \(T(-2\mid-1)\) und \(H(2\mid1)\) vor. 7. Aus \(f''(x)=0\) folgen \(x=0\) und \(x=\pm2\sqrt3\). An allen drei Stellen wechselt \(f''\) das Vorzeichen. Die Wendepunkte sind \(W_1(0\mid0)\), \(W_2(-2\sqrt3\mid-\frac{\sqrt3}{2})\) und \(W_3(2\sqrt3\mid\frac{\sqrt3}{2})\).

\(D_f=\mathbb{R}\); punktsymmetrisch zum Ursprung; Achsenschnittpunkt \((0\mid0)\); waagerechte Asymptote \(y=0\); \(T(-2\mid-1)\), \(H(2\mid1)\); Wendepunkte \(W_1(0\mid0)\), \(W_2(-2\sqrt3\mid-\frac{\sqrt3}{2})\), \(W_3(2\sqrt3\mid\frac{\sqrt3}{2})\).

- Prüfe Definitionsbereich, Symmetrie und Asymptote zunächst direkt am Funktionsterm. - Vergleiche die Nullstellen der Funktion mit den Nullstellen der zweiten Ableitung. - Ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung bestätigt eine Wendestelle. - Für den Extrempunkt ist der Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung entscheidend.

1. Da \(x^2+3>0\) für alle \(x\in\mathbb{R}\) gilt, ist \(D_f=\mathbb{R}\). Wegen \(f(-x)=f(x)\) ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Aus \(x^2-1=0\) folgen die Nullstellen \(x=-1\) und \(x=1\). Wegen gleicher Zähler- und Nennergrade ist \(y=1\) eine waagerechte Asymptote. 3. Es gilt \(f'(x)=\frac{8x}{(x^2+3)^2}\) und \(f''(x)=\frac{24(1-x^2)}{(x^2+3)^3}\). Die zweite Ableitung wird bei \(x=-1\) und \(x=1\) null und wechselt dort jeweils das Vorzeichen. Daher sind \(W_1(-1\mid0)\) und \(W_2(1\mid0)\) Wendepunkte. 4. Die erste Ableitung wird nur bei \(x=0\) null und wechselt dort von negativ zu positiv. Daher liegt der Tiefpunkt \(T(0\mid-\frac13)\) vor.

1. \(D_f=\mathbb{R}\), achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse 2. Nullstellen \(x=-1\) und \(x=1\); waagerechte Asymptote \(y=1\) 3. \(W_1(-1\mid0)\) und \(W_2(1\mid0)\) 4. \(T(0\mid-\frac13)\)

- Vergleiche in a) die Funktion mit der angegebenen Geraden und untersuche nur den verbleibenden Restterm. - Welche Beziehung zwischen \(f(x)\) und \(f(-x)\) erzwingt Punktsymmetrie zum Ursprung? - Prüfe in c), wie sich Zähler und Nenner beim Ersetzen von \(x\) durch \(-x\) verändern.

1. a) Wahr. Es gilt \(f(x)-(mx+n)=\frac{c}{x-a}\). Dieser Restterm strebt für \(x\to\pm\infty\) gegen \(0\). Daher nähert sich der Graph der Geraden \(y=mx+n\). 2. b) Falsch. Punktsymmetrie zum Ursprung bedeutet \(f(-x)=-f(x)\). Endliche Grenzwerte für \(x\to\infty\) und \(x\to-\infty\) müssen deshalb entgegengesetzt sein. Derselbe endliche Grenzwert auf beiden Seiten ist nur bei \(0\) möglich. 3. c) Wahr. Der Zähler ist gerade und der Nenner ungerade: \(p(-x)=p(x)\) und \(q(-x)=-q(x)\). Somit gilt \(\frac{p(-x)}{q(-x)}=-\frac{p(x)}{q(x)}\). Wegen \(v\neq0\) haben Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Faktor \(x\).

a) Wahr b) Falsch c) Wahr

- Wie findest du die Definitionslücke und das Verhalten der Funktionswerte für sehr große \(x\)? - Welche Koordinaten hat der Punkt, in dem sich die beiden Geraden aus Aufgabenteil a) schneiden? - Erinnere dich an die Bedingung für Punktsymmetrie bezüglich eines beliebigen Punktes \(S(x_0\mid y_0)\).

1. Bei \(x=1\) wird der Nenner null. Wegen \(a\neq3\) ist der Zähler dort ungleich null. Daher ist \(x=1\) die senkrechte Asymptote. 2. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(f_a(x)\to a\). Die waagrechte Asymptote lautet \(y=a\). 3. Der Schnittpunkt der Asymptoten ist \(S(1\mid a)\). 4. Für \(h\neq0\) gilt \(f_a(1+h)=a+\frac{a-3}{h}\) und \(f_a(1-h)=a-\frac{a-3}{h}\). 5. Damit ist \(f_a(1+h)+f_a(1-h)=2a\). Dies ist die Punktsymmetriebedingung zum Punkt \(S(1\mid a)\).

a) Senkrechte Asymptote: \(x=1\); waagrechte Asymptote: \(y=a\) b) \(S(1\mid a)\) ist das Symmetriezentrum, denn \(f_a(1+h)+f_a(1-h)=2a\) für alle zulässigen \(h\).

- Welcher Teil des Terms bleibt für große \(|x|\) übrig? - Unter welcher Bedingung verschwindet der lineare Anteil vollständig? - Wie setzt du die Koordinaten von \(Q\) in die Schar ein, um \(k\) zu bestimmen?

1. Eine waagrechte Asymptote entsteht genau dann, wenn der lineare Anteil verschwindet. Daher ist \(k=0\). Weil \(\frac{9}{x-3}\to0\) für \(x\to\pm\infty\), lautet die waagrechte Asymptote \(y=6\). 2. Für \(k=1\) gilt \(f_1(x)=x+6+\frac{9}{x-3}\). Der Restterm strebt gegen \(0\), also ist \(y=x+6\) die schräge Asymptote. 3. Aus \(f_k(4)=4k+6+9=11\) folgt \(4k=-4\) und damit \(k=-1\).

a) \(k=0\), waagrechte Asymptote \(y=6\) b) \(y=x+6\) c) \(k=-1\)

- Welche Bedingung an den Nenner legt die Polstelle fest? - Welche Ableitungsregel brauchst du, nachdem der Nenner bestimmt ist? - Welche weiteren Nullstellen besitzt die erste Ableitung, und wie ändert sich dort ihr Vorzeichen? - Wie kannst du den Funktionsterm in eine lineare Funktion plus Restterm zerlegen?

1. Für eine Polstelle bei \(x=1\) muss \(1+b=0\) gelten. Daher ist \(b=-1\) und \(f(x)=\frac{x^2+a}{x-1}\). 2. Mit der Quotientenregel folgt \(f'(x)=\frac{x^2-2x-a}{(x-1)^2}\). Aus \(f'(3)=0\) ergibt sich \(a=3\). 3. Dann gilt \(f'(x)=\frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}\). Bei \(x=3\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv, also liegt \(T(3\mid6)\) vor. Bei \(x=-1\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ, also liegt \(H(-1\mid-2)\) vor. 4. Die senkrechte Asymptote ist \(x=1\). Durch Polynomdivision erhält man \(f(x)=x+1+\frac{4}{x-1}\); daher ist \(y=x+1\) die schräge Asymptote.

a) \(a=3\), \(b=-1\); Tiefpunkt \(T(3 \mid 6)\) b) Hochpunkt \(H(-1 \mid -2)\); Asymptoten \(x=1\) und \(y=x+1\)

- Die Punktbedingung und die Tangentenbedingung liefern zwei unabhängige Beziehungen für die Parameter. - Eine waagerechte Tangente bedeutet, dass die erste Ableitung an der betreffenden Stelle den Wert \(0\) hat. - Nach dem Bestimmen der Parameter hilft eine Darstellung als Gerade plus Restterm bei der Asymptote. - Für das Verhalten an der Polstelle genügt eine Vorzeichenanalyse unmittelbar links und rechts davon.

a) Aus \(f(4)=8\) folgt \(\frac{16a+4b}{2}=8\), also \(4a+b=4\). Die erste Ableitung ist \(f'(x)=\frac{ax^2-4ax-2b}{(x-2)^2}\). Eine waagerechte Tangente bei \(x=0\) bedeutet \(f'(0)=0\), also \(b=0\). Damit folgt aus \(4a+b=4\) der Wert \(a=1\). b) Für diese Parameter ist \(f(x)=\frac{x^2}{x-2}=x+2+\frac4{x-2}\). Weil der Restterm für \(x\to\pm\infty\) gegen \(0\) strebt, ist \(y=x+2\) die schräge Asymptote. An \(x=2\) ist der Zähler positiv. Der Nenner ist links von \(2\) negativ und rechts davon positiv. Deshalb gilt \(\lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty\) und \(\lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty\).

a) \(a=1\), \(b=0\) b) Schräge Asymptote \(y=x+2\); \(\lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty\), \(\lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty\)

- Behandle Zähler- und Nennernullstellen getrennt. - Wie hängt die Anzahl reeller Lösungen von \(x^2=a\) vom Parameter ab? - Prüfe an den Nennernullstellen, ob der Zähler für zulässige Parameter ebenfalls null werden kann. - Welche Vielfachheit besitzen die Nennerfaktoren?

1. Nullstellen entstehen durch \(a-x^2=0\), also durch \(x^2=a\). Für \(a<0\) gibt es keine reellen Nullstellen. Für \(a=0\) liegt bei \(x=0\) eine doppelte Nullstelle vor. Für \(a>0\) und \(a\neq9\) liegen die Nullstellen bei \(x=\pm\sqrt a\). 2. Der Nenner ist \((x-3)(x+3)\) und wird bei \(x=-3\) und \(x=3\) jeweils einfach null. An beiden Stellen hat der Zähler den Wert \(a-9\neq0\). 3. Daher liegen für jeden zulässigen Parameterwert bei \(x=-3\) und \(x=3\) einfache Polstellen mit Vorzeichenwechsel vor.

Für \(a<0\): keine Nullstellen. Für \(a=0\): doppelte Nullstelle \(x=0\). Für \(a>0\), \(a\neq9\): Nullstellen \(x=\pm\sqrt a\). Bei \(x=-3\) und \(x=3\) liegen stets einfache Polstellen mit Vorzeichenwechsel vor.

- Betrachte die Stellen, an denen die Graphen ins Unendliche streben. Welche Definitionslücken haben die Funktionsterme? - Achte darauf, ob der Graph an einer Definitionslücke sein Vorzeichen wechselt oder auf derselben Seite bleibt. - Untersuche das Verhalten für sehr große positive und negative \(x\)-Werte. - Bestimme markante Achsenschnittpunkte, um deine Zuordnung zu überprüfen.

1. Graph a besitzt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei \(x=1\), die waagrechte Asymptote \(y=1\), die Nullstelle \(x=-2\) und den \(y\)-Achsenabschnitt \((0\mid-2)\). Das passt zu \(f_1\). 2. Graph b besitzt die Polstelle \(x=-2\), die waagrechte Asymptote \(y=-1\) und verläuft durch den Ursprung. Das passt zu \(f_2\). 3. Graph c besitzt bei \(x=1\) eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel, liegt vollständig oberhalb der \(x\)-Achse und hat die waagrechte Asymptote \(y=0\). Das passt zu \(f_3\). 4. \(f_4\) hat eine Polstelle bei \(x=-1\) und eine Nullstelle bei \(x=2\); keiner der abgebildeten Graphen zeigt diese Kombination.

Graph a gehört zu \(f_1(x)=\frac{x+2}{x-1}\); Graph b zu \(f_2(x)=-\frac{x}{x+2}\); Graph c zu \(f_3(x)=\frac{1}{(x-1)^2}\). \(f_4\) hat keinen zugehörigen Graphen.

- Welche Nullstellen und Polstellen ergeben sich unmittelbar aus den beiden Funktionstermen? - Welchen konstanten Werten nähern sich die Funktionen für große \(|x|\)? - Welche Rolle spielt die Vielfachheit des Nennerfaktors für den Vorzeichenwechsel an einer Polstelle?

1. Für \(f\) liegt die Nullstelle bei \(x=-2\) und die Polstelle bei \(x=1\); dies entspricht Graph a. Für \(g\) liegt die Nullstelle bei \(x=3\) und die Polstelle bei \(x=-2\); dies entspricht Graph b. 2. Für \(f\) sind \(x=1\) die senkrechte und \(y=2\) die waagrechte Asymptote. Für \(g\) sind \(x=-2\) die senkrechte und \(y=1\) die waagrechte Asymptote. 3. Bei \(f\) ist die Polstelle \(x=1\) einfach, da der Nennerfaktor \(x-1\) nur einfach vorkommt und der Zähler dort ungleich null ist. Daher liegt ein Vorzeichenwechsel vor. Entsprechend ist \(x=-2\) bei \(g\) ebenfalls eine einfache Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

a) Graph a gehört zu \(f\), Graph b zu \(g\). b) \(f\): senkrechte Asymptote \(x=1\), waagrechte Asymptote \(y=2\); \(g\): senkrechte Asymptote \(x=-2\), waagrechte Asymptote \(y=1\) c) Beide Polstellen besitzen einen Vorzeichenwechsel.

- Welche Werte schließen die Nennernullstellen aus der Definitionsmenge aus? - Welche Nullstellen und welche Asymptoten muss der gesuchte Graph gleichzeitig besitzen? - Vergleiche die vier Kandidaten nacheinander mit diesen Eigenschaften; du musst nicht alle Kurven gleichzeitig überblicken.

1. Aus \(x^2-1=0\) folgen \(x=-1\) und \(x=1\). Damit ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1;1\}\), und die senkrechten Asymptoten sind \(x=-1\) und \(x=1\). Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(f(x)\to1\); die waagrechte Asymptote ist \(y=1\). 2. Aus \(1-\frac{4}{x^2-1}=0\) folgt \(x^2=5\). Die Nullstellen sind \(x=\pm\sqrt5\approx\pm2{,}24\). 3. Kandidat c scheidet wegen der senkrechten Asymptoten bei \(x=\pm2\) aus; d wegen der waagrechten Asymptote \(y=-1\). Kandidat b hat zwar dieselben Asymptoten wie a, aber keine Nullstellen bei \(x=\pm\sqrt5\). Daher ist Kandidat a der Graph \(G_f\).

a) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1;1\}\); senkrechte Asymptoten \(x=-1\), \(x=1\); waagrechte Asymptote \(y=1\) b) \(x_1=-\sqrt5\approx-2{,}24\), \(x_2=\sqrt5\approx2{,}24\) c) Kandidat a ist \(G_f\).

- Betrachte das Verhalten der Graphen an den Stellen, an denen sie steil nach oben oder unten weglaufen, um die senkrechten Asymptoten zu finden. - Schau dir an, welchem konstanten Wert sich die Graphen für sehr große positive oder negative \(x\)-Werte annähern, um die waagrechten Asymptoten zu bestimmen. - Ein Vorzeichenwechsel an einer Polstelle bedeutet, dass der Graph auf einer Seite nach \(+\infty\) und auf der anderen Seite nach \(-\infty\) verläuft. - Nutze markante Punkte wie den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \(x = 0\), um zwischen ähnlichen Funktionstermen zu entscheiden. - Überlege, wie sich das Vorzeichen des Bruchs im Funktionsterm auf das Verhalten nahe der Polstelle (nach oben oder nach unten geöffnet) auswirkt.

1. Bestimmung der Asymptoten: - Für Graph A (\(f\)) schmiegt sich der Graph der vertikalen Linie bei \(x = 1\) an. Für sehr große positive und negative \(x\)-Werte nähert sich der Graph der horizontalen Linie \(y = 1\). Die Asymptoten lauten also \(x = 1\) (senkrecht) und \(y = 1\) (waagrecht). - Für Graph B (\(g\)) schmiegt sich der Graph der vertikalen Linie bei \(x = -2\) an. Für sehr große positive und negative \(x\)-Werte nähert sich der Graph der horizontalen Linie \(y = 2\). Die Asymptoten lauten also \(x = -2\) (senkrecht) und \(y = 2\) (waagrecht). 2. Bestimmung der Polstellen: - Graph A hat eine Definitionslücke bei \(x = 1\). Da der Graph links der Stelle gegen \(-\infty\) und rechts davon gegen \(+\infty\) verläuft, liegt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor. - Graph B hat eine Definitionslücke bei \(x = -2\). Da der Graph auf beiden Seiten der Stelle gegen \(-\infty\) verläuft, liegt eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vor. 3. Zuordnung der Funktionsterme: - Graph A gehört zu \(t_1(x) = \frac{x+1}{x-1}\). Da die Polstelle bei \(x = 1\) liegt, kommen nur \(t_1\) und \(t_2\) infrage. Der Schnittpunkt von Graph A mit der \(y\)-Achse liegt bei \((0 \mid -1)\). Einsetzen von \(x = 0\) liefert \(t_1(0) = \frac{0+1}{0-1} = -1\), während \(t_2(0) = \frac{1}{0-1} + 1 = 0\) ist. - Graph B gehört zu \(t_3(x) = -\frac{1}{(x+2)^2} + 2\). Da die Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei \(x = -2\) liegt, kommen nur \(t_3\) und \(t_4\) infrage. Da der Graph für \(x \to -2\) nach unten (gegen \(-\infty\)) verläuft, muss der Koeffizient vor dem quadratischen Glied negativ sein, was auf \(t_3\) zutrifft.

a) Graph A: senkrechte Asymptote \(x = 1\), waagrechte Asymptote \(y = 1\). Graph B: senkrechte Asymptote \(x = -2\), waagrechte Asymptote \(y = 2\). b) Graph A: Definitionslücke bei \(x = 1\), Polstelle mit Vorzeichenwechsel. Graph B: Definitionslücke bei \(x = -2\), Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. c) Graph A gehört zu \(t_1(x)\) (da \(t_1(0) = -1\) dem \(y\)-Achsenabschnitt von Graph A entspricht). Graph B gehört zu \(t_3(x)\) (da der negative Vorfaktor bewirkt, dass der Graph an der Polstelle \(x = -2\) nach unten verläuft).

- Welche senkrechte und waagrechte Gerade nähert der blaue Graph an? - Welche Parameter der vorgegebenen Form werden durch die beiden Asymptoten festgelegt? - Wie liefert der Punkt \(P\) den noch fehlenden Parameter? - Welche Bedingung müsste der Zähler von \(h\) für eine Nullstelle erfüllen?

1. Aus der Grafik liest man die senkrechte Asymptote \(x=2\) und die waagrechte Asymptote \(y=1\) ab. Somit sind \(d=2\) und \(e=1\). 2. Einsetzen in den Ansatz ergibt \(f(x)=\frac{a}{x-2}+1\). Mit \(P(1\mid3)\) folgt \(3=\frac{a}{-1}+1\), also \(a=-2\). Daher ist \(f(x)=-\frac{2}{x-2}+1\). 3. Aus \(-\frac{2}{x-2}+1=-x+2\) folgt für \(x\neq2\) die Gleichung \(-2=(-x+1)(x-2)=-x^2+3x-2\). Damit gilt \(x(x-3)=0\), also \(x=0\) oder \(x=3\). Mit \(g(0)=2\) und \(g(3)=-1\) erhält man \(S_1(0\mid2)\) und \(S_2(3\mid-1)\). 4. Es gilt \(h(x)=f(x)-1=-\frac{2}{x-2}\). Da der Zähler konstant und ungleich null ist, besitzt \(h\) keine Nullstellen. Geometrisch entspricht dies der Tatsache, dass \(G_f\) die waagrechte Asymptote \(y=1\) nicht schneidet.

a) Senkrechte Asymptote \(x=2\); waagrechte Asymptote \(y=1\) b) \(f(x)=-\frac{2}{x-2}+1\) c) \(S_1(0\mid2)\), \(S_2(3\mid-1)\) d) \(h(x)=-\frac{2}{x-2}\) hat keine Nullstelle.

- Welche Beziehung kennzeichnet Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse? - Welche Terme bestimmen den Grenzwert bei gleichen Graden von Zähler und Nenner? - Setze für Teil c) die Funktion gleich dem vorgegebenen Wert und löse die entstehende Gleichung. - Achte beim Lösen einer quadratischen Gleichung auf beide reellen Lösungen.

1. Es gilt \(g(-x)=g(x)\), also ist \(G_g\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Durch Division von Zähler und Nenner durch \(x^2\) erhält man \(\lim_{x\to\infty}g(x)=3\). Die waagrechte Asymptote lautet \(y=3\). 3. Aus \(\frac{3x^2-12}{x^2+4}=2{,}4\) folgt \(0{,}6x^2=21{,}6\), also \(x^2=36\). Daher \(x=\pm6\).

a) \(g(-x)=g(x)\); Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse b) \(\lim_{x\to\infty}g(x)=3\); waagrechte Asymptote \(y=3\) c) \(x=-6\) und \(x=6\)

- Welche Eigenschaften des Graphen geben Aufschluss über den Nenner? - Wie hängt die waagrechte Asymptote mit dem Parameter \(a\) zusammen? - Wie kannst du einen markierten Punkt nutzen, um den verbleibenden Parameter zu bestimmen? - Wann ist ein Bruch gleich null?

1. Aus dem Graphen liest man senkrechte Asymptoten bei \(x=-1\) und \(x=1\). Daher ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1;1\}\). Die waagrechte Asymptote ist \(y=2\). 2. Aus \(x=\pm1\) folgt \(c=1\), aus \(y=2\) folgt \(a=2\). Die markierten Punkte sind \(A(0\mid8)\) und \(B(2\mid0)\). Aus \(A\) folgt \(8=\frac{b}{-1}\), also \(b=-8\). Damit ist \(f(x)=\frac{2x^2-8}{x^2-1}\). Der Punkt \(B\) bestätigt den Term. 3. Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(S_y(0\mid8)\). Aus \(2x^2-8=0\) folgen \(x=\pm2\). Daher sind die \(x\)-Achsenabschnitte \((2\mid0)\) und \((-2\mid0)\).

a) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1;1\}\); senkrechte Asymptoten \(x=-1\), \(x=1\); waagrechte Asymptote \(y=2\) b) \(A(0\mid8)\), \(B(2\mid0)\); \(a=2\), \(b=-8\), \(c=1\); \(f(x)=\frac{2x^2-8}{x^2-1}\) c) \(S_y(0\mid8)\), \((2\mid0)\), \((-2\mid0)\)

- Für welche Werte wird der Nenner der Kehrwertfunktion null? - Wie verhält sich ein Bruch, wenn sein Nenner betragsmäßig sehr groß wird? - Welches Vorzeichen hat \(g(x)\) rechts von \(x=2\)? - Wie überträgt sich die Symmetrie von \(g\) rechnerisch auf \(1/g\)?

1. Aussage 1 ist wahr. Die Nullstellen von \(g\) liegen bei \(x=-2\) und \(x=2\); dort ist \(f=1/g\) nicht definiert. Somit ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-2;2\}\). 2. Aussage 2 ist wahr. Für \(|x|\to\infty\) wächst \(g(x)\) unbegrenzt, daher gilt \(1/g(x)\to0\). 3. Aussage 3 ist falsch. Rechts von \(x=2\) ist \(g(x)>0\) und nähert sich \(0\). Daher gilt \(f(x)\to+\infty\). 4. Aussage 4 ist wahr. Der Graph von \(g\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, also \(g(-x)=g(x)\). Damit gilt für alle \(x\in D_f\): \(f(-x)=1/g(-x)=1/g(x)=f(x)\).

Aussagen 1, 2 und 4 sind wahr. Aussage 3 ist falsch; richtig ist \(f(x)\to+\infty\) für \(x\to2\) von rechts.

- Vergleiche zunächst das einseitige Verhalten beider Terme an \(x=1\). - Welches Vorzeichen besitzt \(f'(x)\) auf beiden Seiten der Polstelle? - Welche Grenzwerte haben die beiden Restterme für große \(|x|\)?

1. Bei \(f\) liegt bei \(x=1\) eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor: Für \(x\to1^-\) gilt \(f(x)\to-\infty\), für \(x\to1^+\) gilt \(f(x)\to+\infty\). Das passt zu Abbildung 1. 2. Für \(f'(x)=-\frac{2}{(x-1)^2}\) gilt auf beiden Seiten der Polstelle \(f'(x)\to-\infty\). Außerdem ist \(f'(x)<0\) für alle \(x\neq1\). Das passt zu Abbildung 2. 3. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(\frac{2}{x-1}\to0\). Daher ist \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=-1\), also lautet die waagrechte Asymptote \(y=-1\). 4. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(-\frac{2}{(x-1)^2}\to0\). Daher lautet die waagrechte Asymptote von \(f'\) \(y=0\).

a) Abbildung 1 zeigt \(f\), Abbildung 2 zeigt \(f'\). b) Für \(f\): \(y=-1\); für \(f'\): \(y=0\)

- Wie viele reelle Nennernullstellen besitzt jeder der drei Terme? - Welche waagrechte Asymptote ergibt sich jeweils aus dem Verhalten für große \(|x|\)? - Welche Symmetrie oder welcher Achsenschnittpunkt kann die Zuordnung zusätzlich absichern?

1. Für \(h(x)=\frac{2}{x^2+1}\) wird der Nenner nie null. Der Graph besitzt keine senkrechte Asymptote, ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, verläuft durch \((0\mid2)\) und nähert sich für \(x\to\pm\infty\) der Geraden \(y=0\). Das ist Graph 1. 2. Für \(f(x)=\frac{2x-4}{x-1}\) liegt die Polstelle bei \(x=1\), die senkrechte Asymptote also bei \(x=1\). Wegen gleicher Grade ist \(y=2\) die waagrechte Asymptote. Die Nullstelle liegt bei \(x=2\). Das ist Graph 2. 3. Für \(g(x)=\frac{2x^2}{x^2-1}\) liegen Polstellen und senkrechte Asymptoten bei \(x=-1\) und \(x=1\). Außerdem ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und verläuft durch den Ursprung. Das ist Graph 3.

\(f\) gehört zu Graph 2; \(g\) gehört zu Graph 3; \(h\) gehört zu Graph 1.

- Prüfe zuerst, bei welchen der drei Terme überhaupt reelle Nullstellen möglich sind. - Vergleiche bei den beiden Differenzen die Vorzeichen für einen einfachen positiven \(x\)-Wert. - Für große positive \(x\) wird \(\frac{2}{x}\) klein. Welcher Term bestimmt dann hauptsächlich den Verlauf? - Welche Beziehung besteht zwischen \(f(x)-g(x)\) und \(g(x)-f(x)\)?

1. Für \(s(x) = x + \frac{2}{x}\) führt die Nullstellengleichung nach Multiplikation mit \(x\neq 0\) auf \(x^2+2=0\). Es gibt also keine reelle Nullstelle. Das passt zu Graph a). 2. Für \(d_1(x) = x - \frac{2}{x}\) gilt bei einer Nullstelle \(x^2=2\), also \(x=\pm\sqrt{2}\). Für große positive \(x\) ist \(\frac{2}{x}\) klein, daher verhält sich \(d_1(x)\) ähnlich wie \(x\) und liegt unterhalb von \(y=x\). Das passt zu Graph b). 3. Für \(d_2(x) = \frac{2}{x} - x\) liegen die Nullstellen ebenfalls bei \(x=\pm\sqrt{2}\). Außerdem gilt \(d_2(x)=-d_1(x)\), sodass sein Graph die Spiegelung des Graphen von \(d_1\) an der \(x\)-Achse ist. Das passt zu Graph c).

Graph a) gehört zu \(s(x) = f(x) + g(x)\), Graph b) zu \(d_1(x) = f(x) - g(x)\) und Graph c) zu \(d_2(x) = g(x) - f(x)\).

- Bei welchen \(x\)-Werten werden die Nenner null? - Wo liegen die Nullstellen der Zähler? - Welchen Wert nähern sich die Funktionen für große \(|x|\) an? - Welche Symmetrie ist bei einem Term mit nur geraden Potenzen zu erwarten?

1. Graph a gehört zu \(f\): Polstelle \(x=-1\), Nullstelle \(x=1\), waagrechte Asymptote \(y=2\). Graph b gehört zu \(g\): Polstellen \(x=\pm2\), Nullstellen \(x=\pm1\), waagrechte Asymptote \(y=1\) und Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse. 2. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(f(x)\to2\). Daher besitzt Graph a die waagrechte Asymptote \(y=2\).

1. \(f\mapsto\) Graph a; \(g\mapsto\) Graph b. 2. \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=2\); waagrechte Asymptote \(y=2\).

- Welche der beiden Funktionen kann aufgrund ihres Nenners eine Polstelle besitzen? - Was passiert mit dem Bruchterm von \(h\) für große \(|x|\)? - Welche Gleichung musst du für die Nullstellen von \(h\) beziehungsweise \(k\) lösen?

1. Graph a gehört zu \(h\), da \(x^2+1\) nie null wird und der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist. Graph b gehört zu \(k\), das bei \(x=2\) eine Polstelle besitzt. 2. Für \(h\) gilt \(D_h=\mathbb{R}\). Da \(\frac{4}{x^2+1}\to0\) für \(x\to\pm\infty\), ist \(y=-1\) die waagrechte Asymptote. Für die Nullstellen gilt \(\frac{4}{x^2+1}-1=0\), also \(x^2=3\). Daher sind \(x=-\sqrt3\) und \(x=\sqrt3\) die Nullstellen. 3. Aus \(x-1=0\) folgt \(x=1\); dieser Wert liegt in der Definitionsmenge von \(k\).

1. \(h\mapsto\) Graph a; \(k\mapsto\) Graph b 2. \(D_h=\mathbb{R}\); waagrechte Asymptote \(y=-1\); Nullstellen \(x=\pm\sqrt3\) 3. Nullstelle von \(k\): \(x=1\)

- Welche Nennernullstellen erzeugen die senkrechten Asymptoten? - Welche Gleichung müsste für einen Schnittpunkt mit \(y=3\) lösbar sein? - Was erhältst du, wenn du im Funktionsterm \(x\) durch \(-x\) ersetzt? - Welche Bedingung gilt für einen Schnittpunkt mit der \(x\)- beziehungsweise \(y\)-Achse?

1. Aus \(x^2-9=0\) folgen die senkrechten Asymptoten \(x=-3\) und \(x=3\). Wegen gleicher Grade ist \(y=3\) die waagrechte Asymptote. 2. Ein Schnittpunkt mit \(y=3\) müsste \(\frac{3x^2}{x^2-9}=3\) erfüllen. Dies führt auf \(3x^2=3x^2-27\), also auf den Widerspruch \(0=-27\). Daher gibt es keinen Schnittpunkt mit der waagrechten Asymptote. 3. Es gilt \(g(-x)=\frac{3(-x)^2}{(-x)^2-9}=g(x)\); daher ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Aus \(3x^2=0\) folgt die Nullstelle \(x=0\). Zugleich ist \(g(0)=0\), sodass der einzige Achsenschnittpunkt der Ursprung \((0\mid0)\) ist.

a) Senkrechte Asymptoten: \(x=-3\), \(x=3\); waagrechte Asymptote: \(y=3\) b) Kein Schnittpunkt mit \(y=3\) c) Achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse; einziger Achsenschnittpunkt \((0\mid0)\)

- Welche Information liefern die führenden Koeffizienten von Zähler und Nenner für die waagrechte Asymptote? - Welche Punktbedingung entsteht aus dem abgelesenen Schnittpunkt mit der Asymptote? - Welche Bedingung muss der Zähler für die vorgegebene Nullstelle erfüllen?

1. Zähler und Nenner haben denselben Grad und denselben Leitkoeffizienten. Daher ist \(y=1\) die waagrechte Asymptote. Aus der Abbildung liest man den Schnittpunkt \(S(4\mid1)\) ab. 2. Einsetzen von \(S\) ergibt \(\frac{16+4k}{12}=1\). Daraus folgt \(16+4k=12\), also \(k=-1\). 3. Für eine Nullstelle bei \(x=-1\) muss der Zähler null sein. Es gilt \((-1)^2+k(-1)=1-k\). Daher ist \(k=1\). Der Nenner ist bei \(x=-1\) ungleich null, und \(k=1\) ist zulässig.

a) Waagrechte Asymptote \(y=1\); Schnittpunkt \(S(4\mid1)\) b) \(k=-1\) c) \(k=1\)

- Welche Kandidaten haben dieselbe waagrechte Asymptote und können deshalb damit noch nicht unterschieden werden? - Welche Kandidaten haben dieselbe Nullstelle und können deshalb allein über die Nullstelle noch nicht unterschieden werden? - Kombiniere beide Merkmale für jeden Graphen, statt nur eines davon zu verwenden.

1. Alle drei Terme besitzen die senkrechte Asymptote \(x=3\); diese Eigenschaft unterscheidet die Kandidaten nicht. 2. Für \(f_1\) und \(f_3\) ist die waagrechte Asymptote \(y=1\), für \(f_2\) ist sie \(y=2\). Daher muss Graph \(g\), der sich \(y=2\) nähert, zu \(f_2\) gehören. 3. Die Nullstellen von \(f_1\) und \(f_2\) liegen beide bei \(x=2\); die Nullstelle von \(f_3\) liegt bei \(x=4\). Damit bestätigt die Nullstelle \(x=2\) die Zuordnung \(g\leftrightarrow f_2\), reicht allein aber nicht aus. 4. Die Graphen \(f\) und \(h\) haben beide die waagrechte Asymptote \(y=1\). Graph \(f\) hat die Nullstelle \(x=2\), also gehört er zu \(f_1\). Graph \(h\) hat die Nullstelle \(x=4\), also gehört er zu \(f_3\).

\(f\leftrightarrow f_1(x)=\frac{x-2}{x-3}\) \(g\leftrightarrow f_2(x)=\frac{2x-4}{x-3}\) \(h\leftrightarrow f_3(x)=\frac{x-4}{x-3}\)

- Für a) brauchst du nur den gemeinsamen Punkt der Graphen \(f\) und \(i\) rechts der \(y\)-Achse. - Für b) setzt du die beiden angegebenen Funktionsterme gleich und beachtest \(x\neq0\). - Wann ist eine Differenzfunktion gleich null?

1. Aus der Abbildung liest man für den Schnittpunkt von \(f\) und \(i\) im Bereich \(x>0\) den Wert \(x=2\) ab. 2. Für die Schnittpunkte von \(G_f\) und \(G_g\) gilt \(\frac{4}{x}=x\) mit \(x\neq0\). Dies ist äquivalent zu \(x^2=4\). Daher sind die \(x\)-Koordinaten \(x=-2\) und \(x=2\). 3. Die Differenzfunktion lautet \(k(x)=\frac{4}{x}-x\) mit \(x\neq0\). Ihre Nullstellen erfüllen \(f(x)-g(x)=0\), also genau \(f(x)=g(x)\). Daher sind \(x=-2\) und \(x=2\) genau die \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte von \(G_f\) und \(G_g\).

a) \(x=2\) b) \(\frac{4}{x}=x\), also \(x=-2\) und \(x=2\) c) \(k(x)=\frac{4}{x}-x\); die Nullstellen von \(k\) sind genau die \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte von \(G_f\) und \(G_g\).

- An welcher \(x\)-Stelle läuft der jeweilige Graph betragsmäßig unbegrenzt? - Zeigen die beiden Äste an der Polstelle in dieselbe oder in entgegengesetzte Richtungen? - Welcher waagrechten Geraden nähert sich der Graph für große \(|x|\)?

1. Beim Graphen von \(f\) liegt die senkrechte Asymptote bei \(x=-4\), also befindet sich dort die Polstelle. Links der Polstelle strebt der Graph gegen \(-\infty\), rechts gegen \(+\infty\); daher liegt ein Vorzeichenwechsel vor. Für \(|x|\to\infty\) nähert sich der Graph der Geraden \(y=-3\), der waagrechten Asymptote. 2. Beim Graphen von \(g\) liegt die senkrechte Asymptote bei \(x=3\), also befindet sich dort die Polstelle. Auf beiden Seiten strebt der Graph gegen \(+\infty\); daher liegt kein Vorzeichenwechsel vor. Für \(|x|\to\infty\) nähert sich der Graph der Geraden \(y=1\), der waagrechten Asymptote.

\(f\): Polstelle bei \(x=-4\) mit Vorzeichenwechsel; waagrechte Asymptote \(y=-3\) \(g\): Polstelle bei \(x=3\) ohne Vorzeichenwechsel; waagrechte Asymptote \(y=1\)

- Welche Form hat eine Parabel, wenn ihr Scheitelpunkt bereits bekannt ist? - Nutze \(A\), um den noch unbekannten Streckfaktor zu bestimmen. - Suche für b) nur nach dem zusätzlichen Schnittpunkt, der nicht bereits durch \(A\) und \(S\) markiert ist. - Wie prüfst du rechnerisch, ob ein Punkt auf beiden Graphen liegt?

1. Der Ansatz lautet \(g(x)=a(x-2)^2+3\). Mit \(A(0\mid-1)\) folgt \(-1=4a+3\), also \(a=-1\). Damit ist \(g(x)=-(x-2)^2+3\). 2. Aus der Zeichnung liest man als weiteren gemeinsamen Punkt \(Q(3\mid2)\) ab. 3. Für \(f\) gilt \(f(3)=\frac{2}{2}+1=2\). Für \(g\) gilt \(g(3)=-(3-2)^2+3=2\). Damit liegt \(Q(3\mid2)\) auf beiden Graphen.

a) \(g(x)=-(x-2)^2+3\) b) \(Q(3\mid2)\) c) \(f(3)=2\) und \(g(3)=2\); der Punkt ist damit als gemeinsamer Punkt bestätigt.

- Für welche \(x\)-Werte wird der Nenner null? - Welche Beziehung zwischen \(f(-x)\) und \(f(x)\) weist Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse nach? - Welches Verhältnis bestimmt bei gleichen Graden die waagrechte Asymptote? - Welche Bedingung muss für einen Achsenschnittpunkt erfüllt sein?

1. Der Nenner wird für \(x=-3\) und \(x=3\) null. Daher ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-3;3\}\). Es gilt \(f(-x)=f(x)\), also ist \(G_f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Die senkrechten Asymptoten sind \(x=-3\) und \(x=3\). Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(f(x)\to2\); die waagrechte Asymptote ist \(y=2\). 3. Es gilt \(f(0)=0\), und \(2x^2=0\) liefert ebenfalls \(x=0\). Beide Achsenschnittpunkte fallen im Ursprung \(O(0\mid0)\) zusammen.

1. \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-3;3\}\); Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse 2. Senkrechte Asymptoten: \(x=-3\), \(x=3\); waagrechte Asymptote: \(y=2\) 3. \(O(0\mid0)\)

- Vergleiche die Lage des Maximums der beiden Funktionen. - Was passiert mit dem Wert des Bruchs, wenn die Variable \(x\) extrem große positive oder negative Werte annimmt? - Denke an die allgemeine Symmetriebedingung für Graphen, die horizontal verschoben wurden.

1. Es gilt \(f(x) = 2g(x-5) + 1\). Der Graph entsteht somit durch eine Verschiebung um 5 Einheiten nach rechts, eine Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor 2 und eine Verschiebung um 1 Einheit nach oben. 2. Für \(x \to \pm \infty\) geht der Nenner \(1 + (x-5)^2\) gegen unendlich, wodurch der Bruchterm \(\frac{2}{1+(x-5)^2}\) gegen 0 strebt. Es gilt also \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 1 + 0 = 1\). Die waagrechte Asymptote ist \(y = 1\). 3. Aufgrund der Verschiebung in \(x\)-Richtung liegt die Symmetrieachse bei \(x = 5\). Der rechnerische Nachweis erfolgt über \(f(5-h) = 1 + \frac{2}{1+(-h)^2} = 1 + \frac{2}{1+h^2}\) und \(f(5+h) = 1 + \frac{2}{1+h^2}\). Da \(f(5-h) = f(5+h)\) für alle \(h \in \mathbb{R}\) gilt, ist der Graph achsensymmetrisch zu \(x = 5\).

1. Verschiebung um 5 nach rechts, Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor 2, Verschiebung um 1 nach oben. 2. \(y = 1\). 3. Achsensymmetrie zu \(x = 5\).

- Vergleiche die höchste Potenz im Zähler mit der höchsten Potenz im Nenner, um das Verhalten im Unendlichen zu bestimmen. - Wie berechnet man den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse? Was muss man für \(x\) einsetzen? - Erinnere dich, dass ein Bruch genau dann null ist, wenn sein Zähler null ist. - Multipliziere die Gleichung mit dem Nenner, um sie nach \(x\) aufzulösen.

1. Globales Verhalten: Da Zähler- und Nennergrad gleich sind (\(2\)), wird der Grenzwert durch das Verhältnis der Koeffizienten der höchsten Potenzen bestimmt: \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2 - 4}{x^2 + 1} = \frac{2}{1} = 2\). Die waagrechte Asymptote ist \(y = 2\). 2. Schnittpunkte mit den Achsen: \(y\)-Achse: \(g(0) = \frac{2 \cdot 0^2 - 4}{0^2 + 1} = -4 \Rightarrow S_y(0 \mid -4)\). \(x\)-Achse: \(g(x) = 0 \iff 2x^2 - 4 = 0 \iff x^2 = 2 \iff x = \pm \sqrt{2}\). Die Nullstellen liegen bei \(N_1(-\sqrt{2} \mid 0)\) und \(N_2(\sqrt{2} \mid 0)\). 3. Berechnung der Stellen für \(y = 1{,}4\): \(\frac{2x^2 - 4}{x^2 + 1} = 1{,}4 \iff 2x^2 - 4 = 1{,}4(x^2 + 1) \iff 2x^2 - 4 = 1{,}4x^2 + 1{,}4 \iff 0{,}6x^2 = 5{,}4 \iff x^2 = 9\). Die Lösungen sind \(x_1 = -3\) und \(x_2 = 3\).

a) Es gilt \(\lim_{x \to \pm\infty} g(x) = 2\). Der Graph nähert sich der waagrechten Geraden \(y = 2\) an. b) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 \mid -4)\). Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: \(N_1(-\sqrt{2} \mid 0) \approx (-1{,}41 \mid 0)\) und \(N_2(\sqrt{2} \mid 0) \approx (1{,}41 \mid 0)\). c) Die gesuchten Stellen sind \(x = -3\) und \(x = 3\).

- Bei welchem \(x\)-Wert wächst der Graph ohne Schranke? - Welchem \(y\)-Wert nähert sich der Graph für große Beträge von \(x\)? - Welcher einfache Ansatz enthält beide Asymptoten bereits? - Wie kannst du den markierten Punkt nutzen, um den verbleibenden Parameter zu bestimmen?

1. Der Graph besitzt bei \(x=2\) eine Polstelle. Daher ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\), und die senkrechte Asymptote ist \(x=2\). 2. Für \(x\to\pm\infty\) nähert sich der Graph der Geraden \(y=2\). Daher ist die waagrechte Asymptote \(y=2\). 3. Ein passender Ansatz ist \(f(x)=2+\frac{a}{x-2}\). Mit \(A(0\mid1{,}5)\) folgt \(1{,}5=2-\frac{a}{2}\), also \(a=1\). 4. Damit ist \(f(x)=2+\frac{1}{x-2}=\frac{2x-3}{x-2}\).

a) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\) b) Senkrechte Asymptote \(x=2\); waagrechte Asymptote \(y=2\) c) Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x)=\frac{2x-3}{x-2}\).

- Bei welchen \(x\)-Werten wächst der Graph ohne Schranke? - Welchem \(y\)-Wert nähert sich der Graph für große \(|x|\)? - Wie kannst du die Achsensymmetrie im Aufbau eines einfachen Terms berücksichtigen? - Welcher bekannte Punkt bestimmt den noch fehlenden Parameter?

1. Der Graph besitzt senkrechte Asymptoten bei \(x=-2\) und \(x=2\) sowie die waagrechte Asymptote \(y=2\). Daher ist \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{-2;2\}\). 2. Wegen der Symmetrie zur \(y\)-Achse und der Pole bei \(\pm2\) ist \(g(x)=\frac{2x^2+b}{x^2-4}\) ein einfacher Ansatz. Das Verhältnis der Leitkoeffizienten erzeugt die waagrechte Asymptote \(y=2\). 3. Mit \(S_y(0\mid-0{,}5)\) gilt \(-0{,}5=\frac{b}{-4}\), also \(b=2\). 4. Ein möglicher Funktionsterm lautet \(g(x)=\frac{2x^2+2}{x^2-4}\).

a) \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{-2;2\}\); senkrechte Asymptoten \(x=-2\), \(x=2\); waagrechte Asymptote \(y=2\) b) Ein möglicher Funktionsterm ist \(g(x)=\frac{2x^2+2}{x^2-4}\).

- Setze den Funktionsterm gleich einer Variablen \(y\) und löse die entstehende Gleichung nach \(x\) auf. - Bei welchem Wert von \(y\) scheitert dieses Auflösen? - Prüfe zusätzlich, ob der berechnete \(x\)-Wert jemals die ausgeschlossene Definitionsstelle \(-4\) sein kann. - Was ergibt die ursprüngliche Gleichung direkt für den besonderen Wert, bei dem das Auflösen scheitert?

1. Setze \(y=\frac{3x}{x+4}\) und untersuche, für welche Werte von \(y\) die Gleichung nach \(x\) lösbar ist. 2. Aus \(y(x+4)=3x\) folgt \(yx+4y=3x\) und damit \(x(y-3)=-4y\). 3. Für \(y\neq 3\) erhält man \(x=\frac{-4y}{y-3}\). 4. Dieser Wert ist für jedes \(y\neq 3\) reell und niemals \(-4\): Die Annahme \(-4=\frac{-4y}{y-3}\) würde auf \(12=0\) führen. 5. Für \(y=3\) ergibt die ursprüngliche Gleichung \(3(x+4)=3x\), also den Widerspruch \(12=0\). Daher wird \(3\) nicht angenommen, jeder andere reelle Wert dagegen schon. 6. Somit gilt \(W_h=\mathbb{R}\setminus\{3\}\).

Aus \(y=\frac{3x}{x+4}\) folgt für \(y\neq 3\) der zulässige Wert \(x=\frac{-4y}{y-3}\). Für \(y=3\) entsteht ein Widerspruch. Daher ist \(W_h=\mathbb{R}\setminus\{3\}\).

- Die beiden Asymptoten legen die Verschiebung des Grundgraphen \(\frac1x\) fest. - Ein markierter Punkt bestimmt anschließend den noch fehlenden Streckungsfaktor. - Vergleiche für die Monotonie den erhaltenen Graphen mit dem bekannten Grundgraphen der Kehrwertfunktion. - Verschiebungen ändern die Monotonierichtung auf den entsprechenden Intervallen der Definitionsmenge nicht.

1. Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x=2\), also ist \(b=2\). Die waagrechte Asymptote liegt bei \(y=1\), also ist \(c=1\). 2. Der Punkt \(P(3\mid2)\) liefert \(2=\frac{a}{3-2}+1\), daher ist \(a=1\). Somit gilt \(f(x)=\frac{1}{x-2}+1\). 3. Die maximale Definitionsmenge ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\). Die Asymptoten sind \(x=2\) und \(y=1\). 4. Der Grundgraph \(r(x)=\frac1x\) ist auf \(]-\infty;0[\) und \(]0;\infty[\) jeweils streng monoton fallend. Die Verschiebung um \(2\) nach rechts und \(1\) nach oben ändert dieses Verhalten nicht. Daher ist \(f\) auf \(]-\infty;2[\) und \(]2;\infty[\) jeweils streng monoton fallend.

a) \(f(x)=\frac{1}{x-2}+1\) b) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\); Asymptoten \(x=2\) und \(y=1\) c) Streng monoton fallend auf \(]-\infty;2[\) und \(]2;\infty[\)

- Untersuche, wie sich der Funktionswert ändert, wenn du \(x\) durch \(-x\) ersetzt. - Schau dir die Stellen an, an denen die Kurve ihre Richtung ändert, um die Extrempunkte zu finden. - Überlege dir, was mit dem Wert des Bruchs passiert, wenn \(x\) immer größer wird. Vergleiche dazu die Stärke des Wachstums von Zähler und Nenner.

1. Symmetrieprüfung: \(g(-x) = \frac{3(-x)}{(-x)^2 + 1} = \frac{-3x}{x^2 + 1} = -g(x)\). Da \(g(-x) = -g(x)\) gilt, ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Ablesen der Extrempunkte: Der Graph hat einen Hochpunkt bei \(H(1 \mid 1{,}5)\) und einen Tiefpunkt bei \(T(-1 \mid -1{,}5)\). 3. Grenzwertbetrachtung: Da der Grad des Nenners (2) größer ist als der Grad des Zählers (1), nähert sich der Funktionswert für sehr große \(x\)-Werte der Null an: \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x}{x^2 + 1} = 0\). 4. Asymptote bestimmen: Die waagrechte Asymptote hat somit die Gleichung \(y = 0\).

a) Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da \(g(-x) = -g(x)\) gilt. b) Die Extrempunkte liegen bei \(H(1 \mid 1{,}5)\) und \(T(-1 \mid -1{,}5)\). c) Die waagrechte Asymptote ist die \(x\)-Achse mit der Gleichung \(y = 0\), da der Nenner für \(x \to \infty\) stärker wächst als der Zähler.

- Vergleiche zuerst Anzahl und Lage der Polstellen der vier Terme mit den vier getrennten Graphen. - Welche Funktionen besitzen Nullstellen, und wo müssten diese im Graphen liegen? - Unterscheide anschließend waagrechte und schräge Asymptoten sowie mögliche Symmetrien.

1. Graph a gehört zu \(g_1\): Der Graph besitzt eine Polstelle bei \(x=0\), Nullstellen bei \(x=-1\) und \(x=1\) sowie die schräge Asymptote \(y=x\). 2. Graph b gehört zu \(g_2\): Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, besitzt keine Polstelle, verläuft durch \((0\mid2)\) und nähert sich für \(|x|\to\infty\) der Geraden \(y=0\). 3. Graph c gehört zu \(g_3\): Die Polstelle liegt bei \(x=-2\), die Nullstelle bei \(x=2\), und die waagrechte Asymptote ist \(y=1\). 4. Graph d gehört zu \(g_4\): Bei \(x=1\) liegt eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel; der Graph liegt vollständig oberhalb der \(x\)-Achse und nähert sich für \(|x|\to\infty\) der Geraden \(y=0\).

\(g_1\to a\), \(g_2\to b\), \(g_3\to c\), \(g_4\to d\)

- Welche Werte kann der Nenner \(x^2+2\) annehmen? - Welcher Nennerwert erzeugt den größten Funktionswert, und was passiert für große \(|x|\)? - Welche Beziehung zwischen \(h(-x)\) und \(h(x)\) kennzeichnet Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse?

1. Da \(x^2+2\ge2\) für alle \(x\in\mathbb{R}\) gilt, wird der Nenner nie null. Somit ist \(D_h=\mathbb{R}\). 2. Der Nenner ist bei \(x=0\) minimal und hat dort den Wert \(2\). Deshalb ist \(h(0)=3\) der größte Funktionswert. Für \(x\to\pm\infty\) wächst der Nenner unbegrenzt, sodass \(h(x)\to0\), ohne dass der Wert \(0\) angenommen wird. Daher ist \(W_h=]0;3]\). 3. Es gilt \(h(-x)=\frac{6}{(-x)^2+2}=\frac{6}{x^2+2}=h(x)\). Damit ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

a) \(D_h=\mathbb{R}\); \(W_h=]0;3]\) b) \(h(-x)=h(x)\); daher Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse

- Faktorisiere Zähler und Nenner getrennt und prüfe, ob gemeinsame Faktoren vorliegen. - Nutze die Vielfachheit der Nennerfaktoren, um das Verhalten an den Polstellen zu beurteilen. - Vergleiche für die waagrechte Asymptote die höchsten Potenzen in Zähler und Nenner. - Untersuche für Teil c) das Vorzeichen von \(h(x)-1\) in den drei durch die Polstellen getrennten Bereichen.

1. Der Nenner faktorisiert zu \(x^2-x-2=(x+1)(x-2)\). Daher ist \(D_h=\mathbb{R}\setminus\{-1;2\}\). 2. Der Zähler faktorisiert zu \(x^2-x-6=(x+2)(x-3)\). Er ist weder bei \(x=-1\) noch bei \(x=2\) null. Beide ausgeschlossenen Stellen sind daher einfache Polstellen. Wegen der ungeraden Vielfachheit des jeweiligen Nennerfaktors findet an beiden Polstellen ein Vorzeichenwechsel statt. 3. Aus dem faktorisierten Zähler folgen die Nullstellen \(x=-2\) und \(x=3\). Außerdem ist \(h(0)=3\), also \(S_y(0\mid3)\). 4. Die senkrechten Asymptoten sind \(x=-1\) und \(x=2\). Zähler und Nenner haben denselben Grad und denselben Leitkoeffizienten, daher ist \(y=1\) die waagrechte Asymptote. 5. Es gilt \(h(x)-1=-\frac{4}{(x+1)(x-2)}\). Für \(x<-1\) und \(x>2\) ist der Nenner positiv, also liegt der Graph unterhalb von \(y=1\). Für \(-1<x<2\) ist der Nenner negativ, also liegt der Graph oberhalb von \(y=1\).

a) \(D_h=\mathbb{R}\setminus\{-1;2\}\); einfache Polstellen mit Vorzeichenwechsel bei \(x=-1\) und \(x=2\) b) Nullstellen \(x=-2\) und \(x=3\); \(S_y(0\mid3)\); senkrechte Asymptoten \(x=-1\), \(x=2\); waagrechte Asymptote \(y=1\) c) Für \(x<-1\) und \(x>2\) liegt der Graph unterhalb von \(y=1\); für \(-1<x<2\) liegt er oberhalb von \(y=1\).

- Für die Nullstellen ist die Darstellung als ein einziger Bruch hilfreich. - Das Vorzeichen des Restterms in der Nähe von \(x=2\) bestimmt das einseitige Polverhalten. - Für die schräge Asymptote ist die bereits sichtbare lineare Komponente entscheidend. - Dasselbe Vorzeichen des Restterms zeigt die Lage relativ zur Asymptote.

1. Es gilt \(f(x)=\frac{(x+2)(x-2)+3}{x-2}=\frac{x^2-1}{x-2}\). Daher ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\). 2. Aus \(x^2-1=(x-1)(x+1)\) folgen die Nullstellen \(x=-1\) und \(x=1\). 3. Bei \(x=2\) ist der Zähler \(3\neq0\). Links von \(2\) ist der Nenner negativ, rechts positiv. Daher gilt \(\lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty\) und \(\lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty\). 4. In der gegebenen Darstellung ist \(f(x)-(x+2)=\frac{3}{x-2}\). Dieser Restterm strebt für \(x\to\pm\infty\) gegen \(0\). Daher lautet die schräge Asymptote \(y=x+2\). 5. Für \(x<2\) ist \(\frac{3}{x-2}<0\), also liegt der Graph unterhalb der Asymptote. Für \(x>2\) ist der Restterm positiv, also liegt der Graph oberhalb der Asymptote.

a) \(f(x)=\frac{x^2-1}{x-2}\); \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\); Nullstellen \(x=-1\) und \(x=1\) b) Senkrechte Asymptote \(x=2\); \(\lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty\), \(\lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty\) c) Schräge Asymptote \(y=x+2\) d) Für \(x<2\) liegt der Graph unterhalb, für \(x>2\) oberhalb der schrägen Asymptote.

- Setze für einen Schnittpunkt die beiden Funktionsterme gleich und beachte die Definitionsmenge von \(f\). - Vergleiche die Dezimalwerte deiner exakten Lösungen mit den angegebenen Softwareausgaben. - Überlege für die Softwarekontrolle, welche Darstellung oder Gleichung genau die gemeinsamen Punkte sichtbar macht.

1. Schnittpunkte erfüllen \(\frac{x+1}{x-2}=x\) mit \(x\neq2\). 2. Multiplikation mit \(x-2\) ergibt \(x+1=x^2-2x\), also \(x^2-3x-1=0\). 3. Die Lösungen sind \(x_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}\). Weil \(g(x)=x\), lauten die Schnittpunkte \(S_1\left(\frac{3-\sqrt{13}}{2}\middle|\frac{3-\sqrt{13}}{2}\right)\) und \(S_2\left(\frac{3+\sqrt{13}}{2}\middle|\frac{3+\sqrt{13}}{2}\right)\). 4. Numerisch gilt \(\frac{3-\sqrt{13}}{2}\approx-0{,}303\) und \(\frac{3+\sqrt{13}}{2}\approx3{,}303\). Damit stimmen die Softwareausgaben mit den exakten Lösungen überein. 5. Bei \(x=2\) ist \(f\) nicht definiert. Dieser Wert kann deshalb kein Schnittpunkt sein. 6. Eine geeignete Softwarekontrolle besteht darin, die Graphen von \(f\) und \(g\) gemeinsam darzustellen und deren Schnittpunkte bestimmen zu lassen oder die Gleichung \(f(x)=g(x)\) numerisch zu lösen.

a) \(S_1\left(\frac{3-\sqrt{13}}{2}\middle|\frac{3-\sqrt{13}}{2}\right)\), \(S_2\left(\frac{3+\sqrt{13}}{2}\middle|\frac{3+\sqrt{13}}{2}\right)\) b) Die Näherungen \(-0{,}303\) und \(3{,}303\) gehören zu den beiden exakten Lösungen; \(x=2\) ist wegen der Definitionslücke kein Schnittpunkt. c) Geeignet ist die gemeinsame Darstellung beider Graphen mit Schnittpunktbestimmung oder das numerische Lösen von \(f(x)=g(x)\).

- Setze für Teil a) den gegebenen Zielwert direkt für \(R(n)\) ein. - Für die waagrechte Asymptote sind die höchsten Potenzen in Zähler und Nenner entscheidend. - Vergleiche die mathematische Polstelle mit der im Text festgelegten zulässigen Menge für \(n\).

1. Aus \(\frac{600+30n}{n+5}=60\) folgt \(600+30n=60n+300\). Damit ist \(300=30n\) und \(n=10\). 2. Zähler und Nenner haben denselben Grad. Das Verhältnis der Leitkoeffizienten ist \(30\). Daher lautet die waagrechte Asymptote \(y=30\). 3. Im Modell bedeutet dies: Bei sehr großer Zahl aktiver Testgeräte nähert sich die modellierte mittlere Datenrate pro Gerät \(30\,\text{Mbit/s}\) an. 4. Der Nenner wird bei \(n=-5\) null. Diese Polstelle liegt außerhalb des Sachbereichs \(n\ge 1\) und kann keine Gerätezahl darstellen.

a) \(n=10\) b) \(y=30\); für sehr große \(n\) nähert sich die modellierte mittlere Datenrate pro Gerät \(30\,\text{Mbit/s}\) an. c) Die Polstelle liegt bei \(n=-5\) und damit außerhalb des Sachbereichs \(n\ge 1\).

- Wann führt eine Definitionslücke zu einer senkrechten Asymptote? - Wie kann man einen Bruch aufspalten, um das Verhalten im Unendlichen besser zu sehen? - Vergleiche die Bestandteile der allgemeinen Asymptotengleichung mit der vorgegebenen Geraden. - Was passiert mit dem Bruch, wenn die höchste Potenz im Zähler und Nenner gleich ist?

1. Der Nenner wird bei \(x = 0\) null. Der Zähler hat dort den Wert \(4\neq0\). Daher liegt für alle Parameter eine Polstelle und damit die senkrechte Asymptote \(x=0\) vor. 2. Es gilt \(g_{a,b}(x)=\frac{a}{2}x+\frac{b}{2}+\frac{2}{x}\). Der lineare Anteil ist daher die schräge Asymptote \(y=\frac{a}{2}x+\frac{b}{2}\). 3. Aus \(\frac{a}{2}=1{,}5\) und \(\frac{b}{2}=2\) folgen \(a=3\) und \(b=4\). 4. Für \(a=0\) ist \(g_{0,b}(x)=\frac{b}{2}+\frac{2}{x}\). Damit gilt \(\lim_{x\to\pm\infty}g_{0,b}(x)=\frac{b}{2}\), also lautet die waagrechte Asymptote \(y=\frac{b}{2}\).

a) Senkrechte Asymptote: \(x=0\) b) \(a = 3\) und \(b = 4\) c) Waagrechte Asymptote: \(y = \frac{b}{2}\), da \(\lim_{x \to \pm\infty} g_{0,b}(x)=\frac{b}{2}\)

- Setze die beiden Funktionsterme gleich und forme auf eine quadratische Gleichung in \(x\) um. - Welche Größe entscheidet bei einer quadratischen Gleichung über die Anzahl der reellen Lösungen? - Berücksichtige zusätzlich die Definitionsmenge der rationalen Funktion und die vorgegebene Parametermenge.

1. Aus \(\frac{2a}{x+1}=x-2\) folgt für \(x\neq-1\) die Gleichung \(2a=(x-2)(x+1)=x^2-x-2\). 2. Damit ist \(x^2-x-2-2a=0\). Die Diskriminante lautet \(D=1+8+8a=9+8a\). 3. Für \(a<-\frac98\) ist \(D<0\), also gibt es keine Schnittpunkte. 4. Für \(a=-\frac98\) ist \(D=0\), also gibt es genau einen Schnittpunkt. 5. Für \(a>-\frac98\) ist \(D>0\), also besitzt die quadratische Gleichung zwei verschiedene Lösungen. Der ausgeschlossene Parameterwert \(a=0\), bei dem eine dieser Lösungen \(x=-1\) wäre, gehört nicht zur Schar. Für alle zulässigen \(a>-\frac98\) entstehen daher zwei Schnittpunkte.

Für \(a<-\frac98\): 0 Schnittpunkte Für \(a=-\frac98\): 1 Schnittpunkt Für \(a>-\frac98\) mit \(a\neq0\): 2 Schnittpunkte

- Drücke zuerst die Höhe der bedruckten Fläche über den festen Flächeninhalt aus. - Addiere die Ränder zu Breite und Höhe, bevor du die Gesamtfläche bildest. - Für die schräge Asymptote ist die Form \(ax+b+\frac{c}{x}\) besonders aussagekräftig. - Prüfe die Lösungen der Flächengleichung gegen die sachlich relevante Definitionsmenge \(x>0\).

1. Aus \(xy=18\) folgt für die Höhe der bedruckten Fläche \(y=\frac{18}{x}\). Mit den Rändern ist die Gesamthöhe \(H(x)=\frac{18}{x}+2\). 2. Die Gesamtbreite ist \(x+1\). Daher gilt \(A(x)=(x+1)(\frac{18}{x}+2)=2x+20+\frac{18}{x}=\frac{2x^2+20x+18}{x}\). 3. Im mathematischen Term ist \(x=0\) ausgeschlossen; am Rand der sachlich relevanten Definitionsmenge \(x>0\) liegt die senkrechte Asymptote \(x=0\). Aus \(A(x)=2x+20+\frac{18}{x}\) folgt die schräge Asymptote \(y=2x+20\). 4. Aus \(45=\frac{2x^2+20x+18}{x}\) folgt \(2x^2-25x+18=0\). Damit ist \(x=\frac{25\pm\sqrt{481}}{4}\), also \(x\approx0{,}77\) oder \(x\approx11{,}73\). Beide Werte sind positiv.

a) \(H(x)=\frac{18}{x}+2\) b) \(A(x)=\frac{2x^2+20x+18}{x}\) c) Senkrechte Asymptote \(x=0\); schräge Asymptote \(y=2x+20\) d) \(x\approx0{,}77\,\text{m}\) oder \(x\approx11{,}73\,\text{m}\)

- Setze die beiden Funktionsterme gleich und forme auf eine quadratische Gleichung in \(x\) um. - Welche Bedingung an die Diskriminante liefert genau eine reelle Lösung? - Prüfe abschließend, ob die gefundene Lösung in der Definitionsmenge liegt.

1. Aus \(\frac{x+k}{x-2}=x-4\) folgt für \(x\neq2\) die quadratische Gleichung \(x^2-7x+8-k=0\). 2. Genau eine reelle Lösung liegt vor, wenn die Diskriminante null ist. Es gilt \(D=49-4(8-k)=17+4k\). 3. Aus \(17+4k=0\) folgt \(k=-\frac{17}{4}\). 4. Die zugehörige doppelte Lösung ist \(x=\frac72\) und liegt in der Definitionsmenge. Damit gibt es genau einen Schnittpunkt. 5. Der ausgeschlossene Parameterwert \(k=-2\) gehört nicht zur Schar, weil dann Zähler und Nenner denselben Faktor besitzen würden.

\(k=-\frac{17}{4}\)

- Welche Stelle ist wegen des Nenners ausgeschlossen, und wie wirkt sich die vorgegebene Parametermenge auf mögliche Sonderfälle aus? - Wie lässt sich die Schnittpunktbedingung als Gleichung in \(x\) formulieren? - Welche Bedingung muss eine quadratische Gleichung erfüllen, damit genau eine reelle Lösung entsteht?

1. Es gilt \(D_{f_k}=\mathbb{R}\setminus\{1\}\). Die Nullstelle von \(g\) liegt bei \(x=1\). Für \(f_k\) folgt aus \(2x+k=0\) die Nullstelle \(x=-\frac{k}{2}\). Wegen \(k\neq-2\) ist diese Stelle nie gleich der ausgeschlossenen Stelle \(x=1\). 2. Für \(k=6\) führt \(f_6(x)=g(x)\) auf \(\frac{2x+6}{x-1}=x-1\) und damit auf \(x^2-4x-5=0\). Daraus folgen \(x_1=5\) und \(x_2=-1\). Mit \(g(5)=4\) und \(g(-1)=-2\) erhält man \(S_1(5\mid4)\) und \(S_2(-1\mid-2)\). 3. Die Gleichung \(f_k(x)=g(x)\) ist äquivalent zu \(d_k(x)=0\). Daher sind die zulässigen \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte genau die Nullstellen von \(d_k\). 4. Die Schnittpunktgleichung lautet \(x^2-4x+1-k=0\). Genau ein gemeinsamer Punkt entsteht bei einer doppelten reellen Lösung. Die Diskriminante ist \(D=16-4(1-k)=12+4k\). Aus \(D=0\) folgt \(k=-3\). Die doppelte Lösung ist \(x=2\) und liegt in der Definitionsmenge.

a) \(D_{f_k}=\mathbb{R}\setminus\{1\}\); Nullstelle von \(g\): \(x=1\); Nullstelle von \(f_k\): \(x=-\frac{k}{2}\) b) \(S_1(5\mid4)\), \(S_2(-1\mid-2)\) c) Die zulässigen \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte sind die Nullstellen der Differenzfunktion \(d_k\). d) \(k=-3\)

- Welche Stelle ist durch den Nenner ausgeschlossen, und welcher Parameterwert würde einen gemeinsamen Faktor erzeugen? - Formuliere die Schnittpunktbedingung als quadratische Gleichung in \(x\). - Welche Aussage über die Diskriminante entspricht dem Fall „kein gemeinsamer Punkt“?

1. Es gilt \(D_{h_a}=\mathbb{R}\setminus\{1\}\). Für \(a=-6\) wird der Zähler bei \(x=2\) null; damit ist \(x=2\) die Nullstelle. 2. Für \(a=-5\) liefert \(h_{-5}(x)=l(x)\) die Gleichung \(\frac{3x-5}{x-1}=x-1\), also \(x^2-5x+6=0\). Daraus folgen \(x_1=2\) und \(x_2=3\). Mit \(l(2)=1\) und \(l(3)=2\) erhält man \(S_1(2\mid1)\) und \(S_2(3\mid2)\). 3. Allgemein führt die Schnittpunktbedingung auf \(x^2-5x+1-a=0\). Die Diskriminante ist \(D=25-4(1-a)=21+4a\). Keine reellen Lösungen liegen genau dann vor, wenn \(D<0\), also \(a<-\frac{21}{4}\). Der ausgeschlossene Parameterwert \(a=-3\) liegt nicht in diesem Bereich und verändert das Ergebnis nicht.

a) \(D_{h_a}=\mathbb{R}\setminus\{1\}\); Nullstelle für \(a=-6\): \(x=2\) b) \(S_1(2\mid1)\), \(S_2(3\mid2)\) c) \(a<-\frac{21}{4}\)

- Was muss für ein beliebiges \(y\) gelten, damit es Element der Wertemenge ist? - Kannst du die Funktionsgleichung so umstellen, dass eine quadratische Gleichung in \(x\) entsteht? - Überlege, unter welcher Bedingung eine quadratische Gleichung mindestens eine reelle Lösung besitzt. - Vergiss nicht zu prüfen, ob der Fall \(y = 0\) eine Sonderrolle spielt.

1. Setze \(y = f(x)\) und multipliziere mit dem Nenner: \(y(x^2 - 4) = 3x\). 2. Forme die Gleichung in eine quadratische Form bezüglich \(x\) um: \(yx^2 - 3x - 4y = 0\). 3. Betrachte den Fall \(y = 0\): Die Gleichung vereinfacht sich zu \(-3x = 0\), woraus \(x = 0\) folgt. Da \(0 \in D_f\), ist \(0 \in W_f\). 4. Betrachte den Fall \(y \neq 0\): Die Diskriminante der quadratischen Gleichung ist \(D = (-3)^2 - 4 \cdot y \cdot (-4y) = 9 + 16y^2\). 5. Da \(16y^2 \geq 0\) für alle reellen Zahlen \(y\) gilt, ist \(D \geq 9 > 0\). Somit existiert für jedes \(y \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\) mindestens eine reelle Lösung für \(x\). 6. Eine Überprüfung zeigt, dass die Lösungen \(x = \frac{3 \pm \sqrt{9+16y^2}}{2y}\) niemals die Definitionslücken \(\pm 2\) erreichen (Eingesetzt in die Gleichung ergibt \(x = \pm 2\) stets den Widerspruch \(\pm 6 = 0\)). Folglich ist jeder Wert \(y \in \mathbb{R}\) ein Funktionswert.

Durch das Aufstellen der Gleichung \(y = f(x)\) und die Untersuchung der Diskriminante \(D = 9 + 16y^2\) der resultierenden quadratischen Gleichung in \(x\) zeigt sich, dass für jedes reelle \(y\) ein Urbild \(x\) existiert. Da die Definitionslücken von \(f\) dabei nicht als Lösungen auftreten, ist die Wertemenge \(W_f = \mathbb{R}\).

- Was passiert, wenn du die Gleichung nach dem Gleichsetzen mit dem Nenner multiplizierst? - Wie verhält sich ein Polynom dritten Grades bezüglich seiner Nullstellen? - Kannst du mithilfe der Ableitung des entstandenen Polynoms etwas über dessen Monotonie aussagen? - Warum ist es wichtig, den Wert der Definitionslücke in die entstandene Gleichung einzusetzen?

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(\frac{x+2}{x-1} = x^2 + 2\). 2. Multiplikation mit dem Nenner \(x-1\): \(x+2 = (x^2+2)(x-1) = x^3 - x^2 + 2x - 2\). 3. Zusammenfassen zu einer kubischen Gleichung: \(x^3 - x^2 + x - 4 = 0\). 4. Untersuchung der Funktion \(k(x) = x^3 - x^2 + x - 4\) auf Nullstellen: Die Ableitung \(k'(x) = 3x^2 - 2x + 1\) hat die Diskriminante \(D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = -8 < 0\). 5. Da \(k'(x) > 0\) für alle \(x\) gilt, ist die Funktion \(k\) streng monoton zunehmend. 6. Aufgrund der Grenzwerte \(\lim_{x \to -\infty} k(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to \infty} k(x) = \infty\) besitzt \(k\) genau eine reelle Nullstelle. 7. Prüfung der Definitionslücke: Da \(k(1) = 1 - 1 + 1 - 4 = -3 \neq 0\), liegt die Nullstelle nicht bei \(x=1\). 8. Es existiert somit genau ein Schnittpunkt und damit genau ein gemeinsamer Punkt.

Die Graphen \(G_h\) und \(G_p\) haben genau einen gemeinsamen Punkt.

- Prüfe zunächst die Symmetrie durch Einsetzen von \(-x\) und das Grenzverhalten des Quotienten. - Für Extrempunkte brauchst du die Nullstellen und Vorzeichenwechsel von \(h'\). - Für Wendepunkte untersuchst du entsprechend \(h''\). - Die Quotientenregel ist hier der zentrale Ableitungsweg.

1. Es gilt \(h(-x)=-h(x)\); der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Außerdem gilt \(h(x)\to0\) für \(x\to\pm\infty\), also ist \(y=0\) eine waagrechte Asymptote. 2. Die Quotientenregel liefert \(h'(x)=\frac{3-x^2}{(x^2+3)^2}\). Die Nullstellen sind \(x=\pm\sqrt3\). Der Vorzeichenwechsel ergibt den Tiefpunkt \(T(-\sqrt3\mid-\frac{\sqrt3}{6})\) und den Hochpunkt \(H(\sqrt3\mid\frac{\sqrt3}{6})\). 3. Es gilt \(h''(x)=\frac{2x^3-18x}{(x^2+3)^3}=\frac{2x(x^2-9)}{(x^2+3)^3}\). Die Nullstellen sind \(x=-3\), \(x=0\) und \(x=3\). Der Zähler wechselt an jeder dieser einfachen Nullstellen das Vorzeichen. 4. Damit liegen die Wendepunkte bei \(W_1(-3\mid-0{,}25)\), \(W_2(0\mid0)\) und \(W_3(3\mid0{,}25)\).

a) Punktsymmetrisch zum Ursprung; waagrechte Asymptote \(y=0\). b) Tiefpunkt \(T(-\sqrt3\mid-\frac{\sqrt3}{6})\); Hochpunkt \(H(\sqrt3\mid\frac{\sqrt3}{6})\). c) Wendepunkte \(W_1(-3\mid-0{,}25)\), \(W_2(0\mid0)\), \(W_3(3\mid0{,}25)\).

- Prüfe für die Symmetrie die Beziehung zwischen \(g(-x)\) und \(g(x)\). - Nach der Quotientenregel sind Zähler und Nenner von \(g'\) so aufgebaut, dass ihr Vorzeichen direkt erkennbar ist. - Für den Wertebereich im mittleren Ast sind die einseitigen Grenzwerte an beiden Polstellen entscheidend.

1. Es gilt \(g(-x)=-g(x)\); daher ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. Wegen des höheren Nennergrades gilt \(\lim_{x\to\infty}g(x)=0\). 2. Die Quotientenregel liefert \(g'(x)=\frac{2x^2+2}{(1-x^2)^2}>0\) für alle \(x\in D_g\). Somit steigt \(g\) auf jedem Definitionsintervall streng. 3. Im Ursprung ist \(g'(0)=2\). Außerdem gilt \(g(x)\to-\infty\) für \(x\to-1^+\) und \(g(x)\to+\infty\) für \(x\to1^-\). Da \(g\) auf \((-1;1)\) stetig und streng steigend ist, nimmt sie dort jeden reellen Wert genau einmal an.

a) Punktsymmetrisch zum Ursprung; \(\lim_{x\to\infty}g(x)=0\). b) \(g'(x)=\frac{2x^2+2}{(1-x^2)^2}>0\); streng steigend auf jedem Definitionsintervall. c) Tangentensteigung \(2\); im Intervall \((-1;1)\) ist der Wertebereich \(\mathbb{R}\).

- Kannst du den Nenner der Funktion so umformen, dass die Symmetrie deutlicher wird? - Erinnere dich an die Methode der quadratischen Ergänzung. - Wenn du rechnerisch vorgehst, vergleiche die Funktionswerte an den Stellen \(1+h\) und \(1-h\). - Multipliziere die Klammern im Nenner sorgfältig aus und fasse alle Zahlen zusammen.

1. Anwendung des Kriteriums für Achsensymmetrie \(f(1+h) = f(1-h)\). 2. Berechnung des Terms für \(f(1+h)\): \(\frac{8}{(1+h)^2 - 2(1+h) + 5} = \frac{8}{1 + 2h + h^2 - 2 - 2h + 5} = \frac{8}{h^2 + 4}\). 3. Berechnung des Terms für \(f(1-h)\): \(\frac{8}{(1-h)^2 - 2(1-h) + 5} = \frac{8}{1 - 2h + h^2 - 2 + 2h + 5} = \frac{8}{h^2 + 4}\). 4. Vergleich der Ausdrücke: Da \(f(1+h)\) und \(f(1-h)\) für alle \(h\) denselben Wert \(\frac{8}{h^2+4}\) ergeben, ist der Graph achsensymmetrisch zur Geraden \(x = 1\). Alternativer Weg: Durch quadratische Ergänzung im Nenner erhält man \(f(x) = \frac{8}{(x-1)^2 + 4}\), woran die Symmetrie zur Stelle \(x=1\) direkt ablesbar ist.

Die Symmetrie wird durch \(f(1+h) = f(1-h)\) nachgewiesen. Beide eingesetzten Werte führen nach Vereinfachung des Nenners auf den identischen Term \(\frac{8}{h^2 + 4}\). Somit ist der Graph achsensymmetrisch zur Geraden \(x = 1\).

- Welche Symmetriebedingung kannst du direkt am Funktionsterm prüfen? - Welche Ableitungsregel brauchst du für den gebrochen-rationalen Term? - Wie beeinflusst das Vorzeichen von \(k\) die Art der beiden Extrempunkte? - Wie helfen Extremwerte und Grenzverhalten bei der Wertemenge?

1. Es gilt \(f_k(-x)=-f_k(x)\). Daher ist jeder Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Mit der Quotientenregel folgt \(f_k'(x)=\frac{k(4-x^2)}{(x^2+4)^2}\). Die stationären Stellen sind \(x=\pm2\). Es gilt \(f_k(-2)=-\frac{k}{4}\) und \(f_k(2)=\frac{k}{4}\). Für \(k>0\) ist der linke Punkt ein Tiefpunkt und der rechte ein Hochpunkt; für \(k<0\) vertauschen sich die Rollen. 3. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(f_k(x)\to0\). 4. Die Extremwerte begrenzen die Funktionswerte, daher ist \(W_{f_k}=\left[-\frac{|k|}{4};\frac{|k|}{4}\right]\).

1. Punktsymmetrisch zum Ursprung 2. Extrempunkte bei \(\left(-2\mid-\frac{k}{4}\right)\) und \(\left(2\mid\frac{k}{4}\right)\), deren Art vom Vorzeichen von \(k\) abhängt 3. \(\lim_{x\to\pm\infty}f_k(x)=0\) 4. \(W_{f_k}=\left[-\frac{|k|}{4};\frac{|k|}{4}\right]\)

- Wo befindet sich der höchste Punkt des Graphen? Das ist oft ein guter Hinweis auf eine Symmetrieachse. - Setze für \(x_0\) den Wert ein, den du an der x-Achse als Zentrum der Symmetrie identifiziert hast. - Beim Vereinfachen der Nenner hilft es, die Klammern mit der zweiten bzw. ersten binomischen Formel aufzulösen.

1. Ablesen der Symmetrieachse: Aus dem Graphen ist erkennbar, dass der Hochpunkt bei \(x = 3\) liegt und der Graph dort gespiegelt erscheint. Die Vermutung lautet \(x_0 = 3\). 2. Aufstellen der Symmetriebedingung: \(h(3 - a) = h(3 + a)\). 3. Berechnung der linken Seite: \(h(3 - a) = \frac{2}{(3 - a)^2 - 6(3 - a) + 10} = \frac{2}{9 - 6a + a^2 - 18 + 6a + 10} = \frac{2}{a^2 + 1}\) 4. Berechnung der rechten Seite: \(h(3 + a) = \frac{2}{(3 + a)^2 - 6(3 + a) + 10} = \frac{2}{9 + 6a + a^2 - 18 - 6a + 10} = \frac{2}{a^2 + 1}\) 5. Vergleich: Da beide Seiten gleich sind, ist die Achsensymmetrie zur Geraden \(x = 3\) bewiesen.

a) Die Symmetrieachse hat die Gleichung \(x = 3\). b) Durch Einsetzen von \(3 - a\) und \(3 + a\) in den Funktionsterm erhält man in beiden Fällen den vereinfachten Ausdruck \(\frac{2}{a^2 + 1}\). Damit ist die Achsensymmetrie zur Geraden \(x = 3\) nachgewiesen.

- Lies in jedem Koordinatensystem zuerst die senkrechte und die waagrechte beziehungsweise schräge Asymptote ab. - Welcher Zusatzterm kann eine senkrechte Asymptote erzeugen und zugleich für große Beträge von \(x\) gegen null gehen? - Nutze danach den markierten Punkt des jeweiligen Graphen, um nur noch den verbleibenden Parameter zu bestimmen.

1. Für \(f\) liest man die senkrechte Asymptote \(x=-3\) und die waagrechte Asymptote \(y=2\) ab. Daher hat \(f\) die Form \(f(x)=2+\frac{k}{x+3}\). 2. Mit dem markierten Punkt \((-2\mid3)\) folgt \(3=2+k\), also \(k=1\). Damit ist \(f(x)=2+\frac{1}{x+3}=\frac{2x+7}{x+3}\). 3. Für \(g\) liest man die senkrechte Asymptote \(x=4\) und die schräge Asymptote durch \((0\mid1)\) und \((2\mid0)\) ab. Sie lautet \(y=-0{,}5x+1\). Daher hat \(g\) die Form \(g(x)=-0{,}5x+1+\frac{c}{x-4}\). 4. Mit dem markierten Punkt \((5\mid-2)\) folgt \(-2=-1{,}5+c\), also \(c=-0{,}5\). Somit ist \(g(x)=-0{,}5x+1-\frac{0{,}5}{x-4}\).

\(f(x)=2+\frac{1}{x+3}\), äquivalent \(f(x)=\frac{2x+7}{x+3}\) \(g(x)=-0{,}5x+1-\frac{0{,}5}{x-4}\), äquivalent \(g(x)=\frac{-0{,}5x^2+3x-4{,}5}{x-4}\)

- Prüfe zuerst, welchen kleinsten Wert der Zähler annehmen kann und ob dieser Funktionswert tatsächlich erreicht wird. - Schreibe den Funktionsterm so um, dass eine Konstante minus ein positiver Bruch entsteht. - Um zu zeigen, dass kein Wert zwischen den Grenzen fehlt, setze \(k(x)=y\) und löse nach \(x^2\) auf. - Für welche Werte von \(y\) ist der dabei entstehende Ausdruck nichtnegativ?

1. Da \(x^2\ge 0\) und \(x^2+1>0\) für alle \(x\in\mathbb{R}\) gelten, ist \(k(x)\ge 0\). Für \(x=0\) gilt \(k(0)=0\), also wird der Wert \(0\) angenommen. 2. Durch Umformen erhält man \(k(x)=2-\frac{2}{x^2+1}\). Da \(\frac{2}{x^2+1}>0\) gilt, ist stets \(k(x)<2\). Für große Beträge von \(x\) kann der Bruch beliebig klein werden, sodass die Funktionswerte beliebig nahe an \(2\) herankommen. 3. Sei nun \(y\in[0;2[\). Aus \(y=\frac{2x^2}{x^2+1}\) folgt \(y(x^2+1)=2x^2\) und damit \(x^2=\frac{y}{2-y}\). 4. Wegen \(0\le y<2\) ist \(\frac{y}{2-y}\ge 0\). Daher existiert mindestens ein reelles \(x\) mit \(x^2=\frac{y}{2-y}\), also wird jeder Wert aus \([0;2[\) angenommen. 5. Somit gilt genau \(W_k=[0;2[\).

Es gilt \(0\le k(x)<2\). Umgekehrt besitzt jedes \(y\in[0;2[\) ein Urbild, denn aus \(y=\frac{2x^2}{x^2+1}\) folgt \(x^2=\frac{y}{2-y}\ge 0\). Daher ist \(W_k=[0;2[\).