Kostenlose Arbeitsblätter

- Was passiert mit dem Funktionswert, wenn der Nenner gegen Null geht? - Welchen Wert nimmt die Funktion für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte an? - Wie findet man mathematisch heraus, wo ein Graph die Achsen berührt oder kreuzt? - Erinnere dich an die Bedingung für eine Definitionslücke.

1. Bestimmung der Definitionsmenge durch Nullsetzen des Nenners: \(2x + 4 = 0 \Rightarrow x = -2\). Somit ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2\}\). 2. Da die Definitionslücke \(x = -2\) keine Nullstelle des Zählers ist (\(6 \cdot (-2) - 9 = -21 \neq 0\)), besitzt der Graph eine senkrechte Asymptote mit der Gleichung \(x = -2\). 3. Für das Verhalten im Unendlichen betrachtet man den Quotienten der Koeffizienten der höchsten Potenzen: \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{6x - 9}{2x + 4} = \frac{6}{2} = 3\). Die waagrechte Asymptote hat die Gleichung \(y = 3\). 4. Nullstelle berechnen durch Nullsetzen des Zählers: \(6x - 9 = 0 \Rightarrow x = 1{,}5\). Der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ist \(N(1{,}5 \mid 0)\). 5. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse durch Einsetzen von \(x = 0\): \(f(0) = \frac{-9}{4} = -2{,}25\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid -2{,}25)\).

Definitionsmenge: \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2\}\) Senkrechte Asymptote: \(x = -2\) Waagrechte Asymptote: \(y = 3\) Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(N(1{,}5 \mid 0)\) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 \mid -2{,}25)\)

- Überlege dir, welcher Teil des Bruchs (Zähler oder Nenner) für die Nullstellen verantwortlich ist. - Welche Auswirkung haben die Definitionslücken auf den Nennerterm? - Wie unterscheidet sich eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel von einer ohne Vorzeichenwechsel im Funktionsterm? - Wenn eine Funktion keine Nullstellen hat, was bedeutet das für den Zähler?

1. Eine Nullstelle bei \(x = 4\) wird durch den Linearfaktor \((x - 4)\) im Zähler realisiert. Die senkrechte Asymptote bei \(x = -1\) erfordert den Faktor \((x + 1)\) im Nenner. Ein möglicher Term ist \(f(x) = \frac{x - 4}{x + 1}\). 2. Die Definitionslücken bei \(x = 2\) und \(x = -2\) bedeuten, dass der Nenner die Faktoren \((x - 2)\) und \((x + 2)\) enthalten muss. Mit der Nullstelle \(x = 0\) (Faktor \(x\) im Zähler) ergibt sich \(f(x) = \frac{x}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x}{x^2 - 4}\). 3. Damit keine Nullstellen existieren, kann der Zähler als konstante Zahl ungleich Null gewählt werden, zum Beispiel \(1\). Eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei \(x = 5\) wird durch eine gerade Potenz des Faktors \((x - 5)\) im Nenner erreicht. Ein möglicher Term ist \(f(x) = \frac{1}{(x - 5)^2}\).

Mögliche Funktionsterme sind: a) \(f(x) = \frac{x - 4}{x + 1}\) b) \(f(x) = \frac{x}{x^2 - 4}\) c) \(f(x) = \frac{1}{(x - 5)^2}\)

- Prüfe, ob der Nenner für irgendein reelles \(x\) den Wert Null annehmen kann. - Erinnere dich an die Bedingungen für Achsen- oder Punktsymmetrie. - Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse findest du durch Nullsetzen des Zählers. - Wie verhält sich der Bruch, wenn \(x\) sehr groß wird? Dividiere Zähler und Nenner durch die höchste vorkommende Potenz.

1. Da \(x^2 + 2 \geq 2\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), wird der Nenner nie Null. Somit ist \(D_k = \mathbb{R}\). Wegen \(k(-x) = \frac{2(-x)^2 - 18}{(-x)^2 + 2} = k(x)\) liegt Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse vor. 2. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(k(0) = \frac{2 \cdot 0^2 - 18}{0^2 + 2} = -9\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid -9)\). Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse (Nullstellen): \(2x^2 - 18 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3\). Die Schnittpunkte sind \(N_1(-3 \mid 0)\) und \(N_2(3 \mid 0)\). 3. Für den Grenzwert im Unendlichen betrachten wir das Verhältnis der Leitkoeffizienten: \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x^2 - 18}{x^2 + 2} = 2\). Die waagrechte Asymptote ist \(y = 2\). 4. Berechnung der Werte: \(k(1) = \frac{2 \cdot 1^2 - 18}{1^2 + 2} = \frac{-16}{3} = -5\frac{1}{3}\). \(k(4) = \frac{2 \cdot 4^2 - 18}{4^2 + 2} = \frac{32 - 18}{16 + 2} = \frac{14}{18} = \frac{7}{9}\).

a) \(D_k = \mathbb{R}\); Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse. b) \(S_y(0 \mid -9)\), \(N_1(-3 \mid 0)\), \(N_2(3 \mid 0)\). c) \(\lim_{x \to \pm \infty} k(x) = 2\). d) \(k(1) = -\frac{16}{3}\); \(k(4) = \frac{7}{9}\).

- Überlege, was passiert, wenn du \(x\) durch \(-x\) ersetzt. Ändert sich der Term? - Setze die gegebenen Zahlen einfach für die Variable im Funktionsterm ein. - Was passiert mit dem Wert eines Bruchs, wenn der Nenner immer größer wird, während der Zähler gleich bleibt? - Wann genau ist ein Bruch gleich Null? Schau dir den Zähler an.

1. Symmetrieuntersuchung durch Einsetzen von \(-x\): \(f(-x) = \frac{12}{(-x)^2 + 3} = \frac{12}{x^2 + 3} = f(x)\). Da \(f(-x) = f(x)\) gilt, ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Berechnung der Funktionswerte: \(f(-3) = \frac{12}{(-3)^2 + 3} = \frac{12}{12} = 1\); \(f(0) = \frac{12}{0 + 3} = 4\); \(f(3) = \frac{12}{3^2 + 3} = \frac{12}{12} = 1\). 3. Grenzwertbetrachtung: Da der Grad des Nennerpolynoms (\(2\)) größer ist als der Grad des Zählerpolynoms (\(0\)), gilt \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 0\). Die waagerechte Asymptote hat die Gleichung \(y = 0\). 4. Ein Bruch wird nur dann Null, wenn der Zähler Null wird. Da der Zähler hier die Konstante \(12\) ist (\(12 \neq 0\)), hat die Funktion keine Nullstellen.

a) Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, da \(f(-x) = f(x)\). b) \(f(-3) = 1\), \(f(0) = 4\), \(f(3) = 1\). c) Für \(x \to \pm\infty\) gilt \(f(x) \to 0\). Die waagerechte Asymptote ist \(y = 0\). d) Da der Zähler \(12\) konstant und ungleich Null ist, kann der Funktionswert niemals Null werden.

- Überprüfe, ob der Nenner für irgendeinen reellen Wert Null werden kann. - Wie verhält sich der Bruch für sehr große \(x\)-Werte? - Setze den Zähler gleich Null, um die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse zu finden. - Ersetze jedes \(x\) durch \((-x)\) und vereinfache den Term.

1. Asymptoten: Der Nenner \(2x^2 + 10\) ist für alle \(x \in \mathbb{R}\) stets größer oder gleich 10, besitzt also keine Nullstellen. Daher gibt es keine senkrechten Asymptoten. Die waagrechte Asymptote ergibt sich aus dem Verhältnis der Koeffizienten der höchsten Potenzen zu \(y = \frac{1}{2} = 0{,}5\). 2. Nullstellen: Der Zähler wird Null für \(x^2 - 25 = 0\), also \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -5\). Die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse sind \(N_1(5 \mid 0)\) und \(N_2(-5 \mid 0)\). 3. Symmetrie: Es gilt \(g(-x) = \frac{(-x)^2 - 25}{2(-x)^2 + 10} = \frac{x^2 - 25}{2x^2 + 10} = g(x)\). Dies beweist die Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse. 4. \(y\)-Achsenabschnitt: Der Funktionswert an der Stelle \(x = 0\) ist \(g(0) = \frac{0 - 25}{0 + 10} = -2{,}5\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid -2{,}5)\).

a) Der Nenner \(2x^2 + 10\) hat keine reellen Nullstellen; waagrechte Asymptote: \(y = 0{,}5\) b) \(N_1(5 \mid 0)\) und \(N_2(-5 \mid 0)\) c) \(g(-x) = g(x)\) ist erfüllt. d) \(S_y(0 \mid -2{,}5)\)

- Überlege dir, welches Vorzeichen Quadrate reeller Zahlen immer haben. - Was passiert mit einem Bruch, wenn im Zähler und Nenner derselbe Parameter als Faktor steht? - Erinnere dich an die Regel für Grenzwerte bei rationalen Funktionen, wenn der Grad des Zählers gleich dem Grad des Nenners ist.

1. Da \(t > 0\) vorausgesetzt ist, ist der Ausdruck \(x^2 + 2t\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) stets größer als Null (\(x^2 \ge 0\) und \(2t > 0\)). Der Nenner wird nie Null, daher ist \(D = \mathbb{R}\). 2. Für Nullstellen müsste der Zähler \(2x^2 + t = 0\) sein. Dies führt auf \(x^2 = -0{,}5t\). Da \(t > 0\), ist \(-0{,}5t < 0\), was für reelle \(x\) nicht lösbar ist. Es existieren keine Nullstellen. 3. Einsetzen von \(x = 0\) ergibt \(g_t(0) = \frac{2 \cdot 0^2 + t}{0^2 + 2t} = \frac{t}{2t} = \frac{1}{2} = 0{,}5\). Da sich \(t\) kürzt, ist der \(y\)-Abschnitt für alle \(t\) identisch. 4. Zur Bestimmung des Grenzwerts wird \(x^2\) ausgeklammert: \(g_t(x) = \frac{x^2(2 + \frac{t}{x^2})}{x^2(1 + \frac{2t}{x^2})} = \frac{2 + \frac{t}{x^2}}{1 + \frac{2t}{x^2}}\). 5. Für \(x \to \pm \infty\) gehen die Terme \(\frac{t}{x^2}\) und \(\frac{2t}{x^2}\) gegen Null. Es bleibt \(\lim_{x \to \pm \infty} g_t(x) = \frac{2}{1} = 2\). Da das Verhältnis der Koeffizienten der höchsten Potenzen (\(2x^2\) zu \(1x^2\)) unabhängig von \(t\) ist, ist der Grenzwert für alle \(t\) gleich.

a) Nenner \(x^2 + 2t > 0\) für alle \(x\), da \(t > 0\). Zähler \(2x^2 + t > 0\), daher keine Nullstellen. b) \(g_t(0) = \frac{t}{2t} = 0{,}5\), unabhängig von \(t\). c) \(\lim_{x \to \pm \infty} g_t(x) = 2\). Der Grenzwert entspricht dem Verhältnis der Koeffizienten von \(x^2\), also \(\frac{2}{1}\), was unabhängig vom Parameter \(t\) ist.

- Wann ist ein Bruch gleich null? - Wie verhält sich der Funktionswert, wenn \(x\) sehr groß oder sehr klein wird? - Welchen Wert muss die Funktion an der Stelle eines Schnittpunkts mit der Asymptote annehmen?

1. Ansatz für die Nullstellen: Der Zähler des Funktionsterms muss null werden: \(x^2 - 6x = 0\). 2. Ausklammern liefert \(x \cdot (x - 6) = 0\), woraus die Nullstellen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 6\) folgen. 3. Bestimmung der waagrechten Asymptote: Da Zähler- und Nennergrad gleich sind, ergibt sich der Grenzwert für \(x \to \pm \infty\) aus dem Quotienten der Koeffizienten der jeweils höchsten \(x\)-Potenz: \(\frac{1}{2} = 0{,}5\). Die Gleichung der waagrechten Asymptote lautet somit \(y = 0{,}5\). 4. Ansatz für den Schnittpunkt mit der Asymptote: \(f(x) = 0{,}5\). 5. Gleichung lösen: \(\frac{x^2 - 6x}{2x^2 + 12} = 0{,}5 \Leftrightarrow x^2 - 6x = x^2 + 6 \Leftrightarrow -6x = 6 \Leftrightarrow x = -1\).

a) Nullstellen: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 6\); waagrechte Asymptote: \(y = 0{,}5\) b) \(x = -1\)

- Welche Werte kann eine quadratische Funktion annehmen, wenn ihr Scheitelpunkt bekannt ist? - Erinnere dich an die Bedingung für Achsensymmetrie: \(f(-x) = f(x)\). - Wie verändert sich der Wert eines Bruchs, wenn man den kleinstmöglichen Wert für den Nenner einsetzt? - Was passiert mit dem Graphen von \(g\), wenn \(x\) sehr groß wird?

1. Der Graph von \(f\) ist eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt \(S(0 \mid 2)\). Da \(2\) der kleinste Funktionswert ist und die Parabel nach oben unbegrenzt ist, gilt \(W_f = [2; \infty[\). Für \(g(x) = \frac{1}{0{,}5x^2 + 2}\) ist der größte Funktionswert \(g(0) = \frac{1}{2} = 0{,}5\). Da der Nenner stets positiv ist und für \(x \to \pm \infty\) gegen unendlich strebt, nähert sich \(g(x)\) der Null an, erreicht sie aber nie. Somit gilt \(W_g = ]0; 0{,}5]\). 2. Es gilt \(f(-x) = 0{,}5(-x)^2 + 2 = 0{,}5x^2 + 2 = f(x)\). Damit ist \(G_f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Da \(g(x) = \frac{1}{f(x)}\) ist, gilt auch \(g(-x) = \frac{1}{f(-x)} = \frac{1}{f(x)} = g(x)\). Somit ist auch \(G_g\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. \(f\) besitzt ein globales Minimum an der Stelle \(x=0\) mit \(f(0)=2\). Da der Nenner von \(g\) an dieser Stelle minimal ist, besitzt \(g\) dort ein globales Maximum mit \(g(0)=0{,}5\). Die Extremstellen liegen also bei beiden Funktionen an der gleichen x-Position (\(x=0\)), aber die Art des Extrempunktes kehrt sich um.

1. \(W_f = [2; \infty[\); \(W_g = ]0; 0{,}5]\). 2. Beide Graphen sind achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, da \(f(-x)=f(x)\) und somit auch \(g(-x)=g(x)\). 3. \(G_f\) hat einen Tiefpunkt bei \(T(0 \mid 2)\); \(G_g\) hat einen Hochpunkt bei \(H(0 \mid 0{,}5)\). Die Extremstelle ist identisch, die Art ist entgegengesetzt.

- Welchen mathematischen Ansatz wählt man, um gemeinsame Punkte von zwei Funktionen zu finden? - Wie lässt sich eine Gleichung mit einem Bruch vereinfachen? - Wenn du die x-Werte gefunden hast, wie erhältst du dann die vollständigen Koordinaten der Punkte? - Überprüfe, ob deine gefundenen x-Werte im Definitionsbereich der Funktionen liegen.

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(\frac{10}{x-3} = x\) 2. Multiplikation mit dem Nenner \((x-3)\) führt auf die Gleichung \(10 = x^2 - 3x\) (Bedingung \(x \neq 3\)) 3. Umformen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(x^2 - 3x - 10 = 0\) 4. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): \(x_{1,2} = \frac{3}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 10} = 1{,}5 \pm 3{,}5\). Daraus ergeben sich \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -2\) 5. Bestimmung der zugehörigen \(y\)-Koordinaten durch Einsetzen in \(g(x)\): \(y_1 = g(5) = 5\) und \(y_2 = g(-2) = -2\) 6. Angabe der Schnittpunkte: \(S_1(5 \mid 5)\) und \(S_2(-2 \mid -2)\)

Die Schnittpunkte der Graphen sind \(S_1(5 \mid 5)\) und \(S_2(-2 \mid -2)\).

- Du kannst die Potenzregel für negative Exponenten nutzen, um die Ableitungen schneller zu berechnen. - Vergleiche die Exponenten im Nenner der Ableitungen mit der Anzahl der Ableitungsschritte. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Ordnung einer Polstelle (gerade vs. ungerade) und dem grafischen Verlauf (mit oder ohne Vorzeichenwechsel).

1. Es ist \(f(x) = (x-1)^{-1}\). Die erste Ableitung lautet \(f'(x) = -1 \cdot (x-1)^{-2} = -\frac{1}{(x-1)^2}\). Die zweite Ableitung lautet \(f''(x) = (-1) \cdot (-2) \cdot (x-1)^{-3} = \frac{2}{(x-1)^3}\). 2. Für \(f\) ist die Ordnung 1. Für \(f'\) ist die Ordnung 2. Für \(f''\) ist die Ordnung 3. Allgemein lässt sich vermuten, dass die \(m\)-te Ableitung \(f^{(m)}\) einer Funktion mit einer Polstelle \(n\)-ter Ordnung eine Polstelle der Ordnung \(n+m\) besitzt. Hier ist \(n=1\), also hat \(f^{(m)}\) die Ordnung \(1+m\). 3. Die zweite Ableitung \(f''(x) = \frac{2}{(x-1)^3}\) hat an der Stelle \(x = 1\) eine Polstelle der Ordnung 3. Da die Ordnung 3 eine ungerade Zahl ist, liegt an der vertikalen Asymptote \(x = 1\) ein Vorzeichenwechsel vor. Für \(x \to 1^+\) gilt \(f''(x) \to \infty\), für \(x \to 1^-\) gilt \(f''(x) \to -\infty\).

1. \(f'(x) = -\frac{1}{(x-1)^2}\) und \(f''(x) = \frac{2}{(x-1)^3}\). 2. Ordnungen: \(f: 1\), \(f': 2\), \(f'': 3\). Vermutung: Die \(m\)-te Ableitung hat die Ordnung \(n+m\) (hier \(1+m\)). 3. Vertikale Asymptote bei \(x=1\) mit Vorzeichenwechsel, da die Polstelle von \(f''\) die ungerade Ordnung 3 hat.

- Welche Regel wendest du an, wenn im Zähler und im Nenner die Variable steht? - Wie vereinfachst du den Zähler deiner Ableitung, um die Nullstellen leichter zu finden? - Reicht die x-Koordinate aus, um die Lage eines Punktes vollständig zu beschreiben? - Wie kannst du sichergehen, dass es sich um ein Maximum oder Minimum handelt?

1. Ableiten der Funktion mit der Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{8 \cdot (x^2+4) - 8x \cdot 2x}{(x^2+4)^2} = \frac{32-8x^2}{(x^2+4)^2}\). 2. Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen: \(32-8x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x_1 = 2, x_2 = -2\). 3. Bestimmung der Funktionswerte: \(f(2) = \frac{16}{8} = 2\) und \(f(-2) = \frac{-16}{8} = -2\). 4. Bestimmung der Art (z. B. über die zweite Ableitung \(f''(x) = \frac{16x^3-192x}{(x^2+4)^3}\) oder das Vorzeichenwechselkriterium). 5. \(f''(2) = -0{,}5 < 0 \Rightarrow\) Hochpunkt \(HP(2|2)\). 6. \(f''(-2) = 0{,}5 > 0 \Rightarrow\) Tiefpunkt \(TP(-2|-2)\).

Die Extrempunkte des Graphen von \(f\) sind der Hochpunkt \(HP(2|2)\) und der Tiefpunkt \(TP(-2|-2)\).

- Kannst du den Parameter im Nenner ausklammern? - Erinnere dich an die Regeln für das Verhalten im Unendlichen bei rationalen Funktionen. - Wie hängen die Nullstellen des Nenners mit den senkrechten Asymptoten zusammen?

1. Definitionsmenge: \(kx^2 - 4k = 0 \Leftrightarrow k(x^2 - 4) = 0\). Da \(k \neq 0\), ist dies äquivalent zu \(x^2 - 4 = 0\), also \(x = \pm 2\). Somit ist \(D = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\) für alle \(k\). 2. Nullstelle: \(2x + 6 = 0 \Rightarrow x = -3\). Da \(-3 \in D\), ist \(x = -3\) die Nullstelle für alle \(k\). 3. Senkrechte Asymptoten: An den Stellen \(x = 2\) und \(x = -2\) liegen Polstellen vor, da der Zähler dort ungleich null ist (\(2(2)+6=10 \neq 0\) und \(2(-2)+6=2 \neq 0\)). Die Gleichungen sind \(x = 2\) und \(x = -2\). 4. Waagrechte Asymptote: Da der Grad des Zählers (\(1\)) kleiner als der Grad des Nenners (\(2\)) ist, gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} g_k(x) = 0\). Die waagrechte Asymptote ist \(y = 0\). Alle Asymptotengleichungen sind somit unabhängig von \(k\).

a) Die Definitionsmenge ist \(D = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\), da \(k\) als gemeinsamer Faktor im Nenner keinen Einfluss auf die Nullstellen des Nenners hat (\(k \neq 0\)). b) Die Nullstelle ist \(x = -3\). c) Senkrechte Asymptoten: \(x = 2\) und \(x = -2\); waagrechte Asymptote: \(y = 0\). Alle Gleichungen enthalten den Parameter \(k\) nicht.

- Wie prüft man eine Funktion auf Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse? - Untersuche die Nullstellen der ersten Ableitung für den Extrempunkt. - Setze die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein, um die Unbekannte zu berechnen. - Wann wird der Nenner eines Bruchs Null? Denke daran, dass \(m\) in diesem Teil negativ ist.

1. Es gilt \(g_{k, m}(-x) = \frac{k}{(-x)^2 + m} = \frac{k}{x^2 + m} = g_{k, m}(x)\). Damit ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Die Ableitung ist \(g_{k, m}'(x) = \frac{-2kx}{(x^2 + m)^2}\). Die einzige Nullstelle der Ableitung liegt bei \(x = 0\). Da \(m > 0\) ist, ist der Nenner nie Null. Der Funktionswert an der Stelle \(x = 0\) ist \(g_{k, m}(0) = \frac{k}{m}\). Der Extrempunkt hat somit die Koordinaten \((0 | \frac{k}{m})\). 3. Aus \(g_{1, m}(1) = \frac{1}{1^2 + m} = 0{,}25\) folgt \(\frac{1}{1 + m} = \frac{1}{4}\). Daraus ergibt sich \(1 + m = 4\), also \(m = 3\). 4. Senkrechte Asymptoten liegen an den Nullstellen des Nenners vor, sofern der Zähler dort ungleich Null ist. Die Gleichung \(x^2 + m = 0\) führt für \(m < 0\) auf \(x^2 = -m\). Da \(-m\) positiv ist, ergeben sich die zwei Lösungen \(x_1 = \sqrt{-m}\) und \(x_2 = -\sqrt{-m}\). Dies sind die Gleichungen der senkrechten Asymptoten.

a) Nachweis über \(g_{k, m}(-x) = g_{k, m}(x)\) b) \(E(0 | \frac{k}{m})\) c) \(m = 3\) d) \(x = \sqrt{-m}\) und \(x = -\sqrt{-m}\)

- Schreibe die Brüche als Potenzen mit negativen Exponenten um, um das Ableiten zu erleichtern. - Achte beim Krümmungswechsel besonders auf das Vorzeichen des Nenners bei negativen und positiven \(x\)-Werten. - Überlege, welchen Einfluss gerade und ungerade Exponenten auf das Vorzeichen eines Terms haben.

1. Die Ableitungen für \(g\) sind \(g'(x) = -x^{-2}\) und \(g''(x) = 2x^{-3} = \frac{2}{x^3}\). Für \(h\) gilt \(h'(x) = -2x^{-3}\) und \(h''(x) = 6x^{-4} = \frac{6}{x^4}\). Beide Zähler sind konstant ungleich Null, daher haben \(g''\) und \(h''\) keine Nullstellen. 2. Untersuchung von \(g\): Für \(x < 0\) ist \(g''(x) < 0\) (rechtsgekrümmt), für \(x > 0\) ist \(g''(x) > 0\) (linksgekrümmt). Es findet ein Wechsel des Krümmungsverhaltens an der Stelle \(x = 0\) statt. 3. Untersuchung von \(h\): Da \(x^4 > 0\) für alle \(x \neq 0\), ist \(h''(x) = \frac{6}{x^4} > 0\) für alle \(x \in D_h\). Der Graph ist im gesamten Definitionsbereich linksgekrümmt; es findet kein Krümmungswechsel statt.

a) \(g''(x) = \frac{2}{x^3} \neq 0\) und \(h''(x) = \frac{6}{x^4} \neq 0\) für alle \(x \neq 0\). b) Bei \(g\) ändert sich das Krümmungsverhalten an der Stelle \(x = 0\) von einer Rechtskrümmung (\(x < 0\)) zu einer Linkskrümmung (\(x > 0\)). Bei \(h\) liegt kein Krümmungswechsel vor, da der Graph für alle \(x \neq 0\) linksgekrümmt ist.

- Wann ist ein Bruch definiert? Überlege, welche Werte der Nenner nicht annehmen darf. - Wie löst man Gleichungen, in denen die Unbekannte im Exponenten einer Exponentialfunktion steht? - Ein Bruch ist genau dann null, wenn sein Zähler null ist. Prüfe danach, ob diese Werte auch im Definitionsbereich liegen.

1. Bestimmung der Definitionsmenge durch Nullsetzen des Nenners: \(e^{2x} - e^4 = 0 \iff e^{2x} = e^4 \iff 2x = 4 \iff x = 2\). Die maximale Definitionsmenge ist \(D = \mathbb{R} \setminus \{2\}\). 2. Bestimmung der Nullstellen durch Nullsetzen des Zählers: \(x^2 - 2x - 8 = 0\). 3. Anwendung der \(p-q\)-Formel oder Faktorisierung: \(x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{1^2 - (-8)} = 1 \pm 3\). Dies ergibt die Kandidaten \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -2\). 4. Abgleich mit der Definitionsmenge: Da sowohl \(4\) als auch \(-2\) in \(D\) enthalten sind (\(4 \neq 2\) und \(-2 \neq 2\)), sind beide Werte Nullstellen der Funktion.

\(D = \mathbb{R} \setminus \{2\}\); Nullstellen bei \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -2\)

- Kannst du den Bruch so aufteilen, dass du jeden Summanden im Zähler einzeln durch den Nenner teilst? - Was passiert mit den einzelnen Teilen des Terms, wenn \(x\) sehr groß wird? Welche Teile bleiben bedeutsam, welche werden vernachlässigbar klein? - Überlege dir, wie du den Abstand zwischen zwei Funktionswerten mathematisch ausdrücken kannst. - Schau dir das Vorzeichen der Differenz zwischen der Funktion und der Parabel an.

1. Durch gliedweise Division des Funktionsterms erhält man: \(f(x) = \frac{x^4}{x^2} - \frac{2x^2}{x^2} + \frac{5}{x^2} = x^2 - 2 + \frac{5}{x^2}\). Der ganzrationale Anteil liefert die Gleichung der Näherungsparabel \(p(x) = x^2 - 2\). 2. Die Differenzfunktion ist \(d(x) = f(x) - p(x) = \frac{5}{x^2}\). Es gilt der Grenzwert \(\lim_{x \to \pm \infty} d(x) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{5}{x^2} = 0\). Da der Grenzwert der Differenz Null ist, nähert sich der Graph von \(f\) der Parabel \(p\) beliebig nahe an. 3. Da der Term \(\frac{5}{x^2}\) für alle \(x \neq 0\) positiv ist (\(d(x) > 0\)), gilt stets \(f(x) > p(x)\). Der Graph von \(f\) verläuft somit im gesamten Definitionsbereich oberhalb der Parabel \(p\).

1. Die Gleichung der Parabel lautet \(p(x) = x^2 - 2\). 2. Der Nachweis erfolgt über den Grenzwert der Differenz: \(\lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - p(x)) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{5}{x^2} = 0\). 3. Der Graph von \(f\) verläuft oberhalb der Parabel \(p\), da \(d(x) = \frac{5}{x^2} > 0\) für alle \(x \in \mathbb{D}\).

- Was passiert mit dem Vorzeichen einer negativen Zahl, wenn du sie mit einer ungeraden Zahl potenzierst? - Überlege dir, ob der Ausdruck \((x-5)\) positiv oder negativ ist, wenn \(x\) ein klein wenig kleiner als 5 ist. - Erinnere dich an die Regel für Potenzen mit geraden Exponenten und was das für das Vorzeichen des Ergebnisses bedeutet.

1. Für ungerade \(n\) betrachtet man die Umgebung von \(x = 5\). Bei Annäherung von rechts (\(x > 5\)) ist die Basis \((x-5)\) positiv, woraus \((x-5)^n > 0\) und somit \(\lim_{x \to 5^+} f_n(x) = \infty\) folgt. Bei Annäherung von links (\(x < 5\)) ist die Basis \((x-5)\) negativ. Da \(n\) ungerade ist, bleibt die Potenz \((x-5)^n\) negativ, woraus \(\lim_{x \to 5^-} f_n(x) = -\infty\) folgt. Es liegt ein Pol mit Vorzeichenwechsel vor. 2. Ist \(n\) gerade, so ist die Potenz \((x-5)^n\) für alle \(x \neq 5\) aufgrund des geraden Exponenten stets positiv. Da der Zähler \(1\) ebenfalls positiv ist, gilt \(f_n(x) > 0\) für alle \(x \in \mathbb{D}\). Da der Nenner für \(x \to 5\) gegen \(0\) strebt und stets positiv bleibt, gilt \(\lim_{x \to 5} f_n(x) = \infty\).

1. \(\lim_{x \to 5^+} f_n(x) = \infty\) und \(\lim_{x \to 5^-} f_n(x) = -\infty\). 2. Da gerade Potenzen reeller Zahlen nie negativ sind und hier \(x \neq 5\) gilt, ist \((x-5)^n > 0\). Der Grenzwert ist \(\lim_{x \to 5} f_n(x) = \infty\).

- Was passiert, wenn du sowohl den Zähler als auch den Nenner in Faktoren zerlegst? - Prüfe, ob ein Faktor, der im Nenner eine Nullstelle erzeugt, auch im Zähler vorkommt. - Wie unterscheidet sich das Verhalten der Funktion an einer Stelle, an der man kürzen kann, von einer Stelle, an der nur der Nenner null wird? - Überlege dir, wie sich die Vorzeichen der Funktionswerte links und rechts von einer Polstelle verhalten, wenn der entsprechende Faktor im Nenner eine ungerade oder gerade Potenz hat.

1. Bestimmung der Definitionslücken durch Nullsetzen des Nenners: \(x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x_1 = 2, x_2 = -2\). 2. Untersuchung der Stelle \(x = 2\): Einsetzen in den Zähler ergibt \(2^2 - 5 \cdot 2 + 6 = 0\). Da die Nullstelle im Nenner durch Faktorisierung des Zählers \((x-2)(x-3)\) vollständig gekürzt werden kann (\(f(x) = \frac{x-3}{x+2}\) für \(x \neq 2\)), handelt es sich um eine hebbare Lücke. 3. Untersuchung der Stelle \(x = -2\): Einsetzen in den Zähler ergibt \((-2)^2 - 5 \cdot (-2) + 6 = 20 \neq 0\). Es liegt eine Polstelle vor. 4. Art der Polstelle: Da der verbleibende Nennerfaktor \((x+2)\) in der einfachen Form (ungerade Potenz) vorliegt, handelt es sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

Definitionslücke \(x = 2\): hebbare Lücke. Definitionslücke \(x = -2\): Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

- Woran erkennst du im Funktionsterm die Stellen, an denen der Graph gegen Unendlich strebt? - Wie verhält sich der Funktionswert, wenn \(x\) sehr große oder sehr kleine Werte annimmt? - Kannst du den Nenner in Faktoren zerlegen, um die Nullstellen leichter zu finden? - Welchen Einfluss hat eine Konstante, die zum Bruch addiert wird, auf das Verhalten im Unendlichen?

1. Für Teilaufgabe a): Die Polstelle liegt bei der Nullstelle des Nenners des Bruchs, also bei \(x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4\). Für \(x \to \pm \infty\) strebt der Bruch gegen \(0\), woraus die waagerechte Asymptote \(y = 2\) folgt. 2. Für Teilaufgabe b): Der Nenner wird faktorisiert zu \(x(x + 1)\). Die Polstellen liegen somit bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = -1\). Da der Grad des Zählers (1) kleiner ist als der Grad des Nenners (2), ist die \(x\)-Achse die waagerechte Asymptote, also \(y = 0\).

a) Polstelle: \(x = 4\); waagerechte Asymptote: \(y = 2\) b) Polstellen: \(x_1 = 0\), \(x_2 = -1\); waagerechte Asymptote: \(y = 0\)

- Wie kannst du einen Bruchterm so umschreiben, dass ein ganzrationaler Teil und ein echter Bruchrest entstehen? - Was sagt das Vorzeichen des Restterms über die Lage des Graphen relativ zur Näherungsfunktion aus? - Betrachte sehr große positive und sehr kleine negative Werte für \(x\).

1. Durchführung der Polynomdivision: \((3x^2 - 6x + 2) : (x - 2) = 3x\) Rest \(2\). 2. Die Funktion lässt sich somit schreiben als \(f(x) = 3x + \frac{2}{x - 2}\). 3. Die ganzrationale Näherungsfunktion ist der ganzrationale Anteil der Summe: \(g(x) = 3x\). 4. Betrachtung des Differenzterms \(d(x) = f(x) - g(x) = \frac{2}{x - 2}\) für das Grenzverhalten: - Für \(x \to +\infty\): Der Nenner \(x - 2\) wird positiv und sehr groß, somit ist \(d(x) > 0\). Der Graph nähert sich von oben an. - Für \(x \to -\infty\): Der Nenner \(x - 2\) wird negativ und betragsmäßig sehr groß, somit ist \(d(x) < 0\). Der Graph nähert sich von unten an.

Die Näherungsfunktion ist \(g(x) = 3x\). Für \(x \to +\infty\) nähert sich der Graph von oben an. Für \(x \to -\infty\) nähert sich der Graph von unten an.

- Welche Rolle spielt die Konstante am Ende des Funktionsterms für die Lage des Graphen? - Wie gehst du vor, um eine Gleichung zu lösen, bei der die Unbekannte im Nenner steht? - Kannst du den Term so umformen, dass der Koeffizient vor dem \(x\) im Nenner verschwindet? - Überlege, welche Werte für \(x\) nicht eingesetzt werden dürfen.

1. Definitionsmenge bestimmen: \(2x - 8 = 0 \Rightarrow x = 4\). Die senkrechte Asymptote (Polstelle) liegt bei \(x = 4\). 2. Waagrechte Asymptote: Für \(x \to \pm\infty\) geht der Bruch \(\frac{5}{2x - 8}\) gegen \(0\). Es bleibt der konstante Term \(-1{,}5\). Die waagrechte Asymptote ist \(y = -1{,}5\). 3. Nullstelle berechnen: \(\frac{5}{2x - 8} - 1{,}5 = 0 \Rightarrow \frac{5}{2x - 8} = 1{,}5\). Multiplikation mit dem Nenner ergibt \(5 = 1{,}5(2x - 8) \Rightarrow 5 = 3x - 12 \Rightarrow 17 = 3x \Rightarrow x = \frac{17}{3}\). Die Nullstelle liegt bei \(x = 5\frac{2}{3}\). 4. Transformation: Der Term kann umgeformt werden zu \(h(x) = \frac{2{,}5}{x - 4} - 1{,}5\). Dies entspricht einer Verschiebung der Hyperbel \(y = \frac{2{,}5}{x}\) um \(4\) Einheiten nach rechts und \(1{,}5\) Einheiten nach unten.

Asymptoten: \(x = 4\) und \(y = -1{,}5\) Nullstelle: \(x = \frac{17}{3}\) (bzw. \(x \approx 5{,}67\)) Transformation: Verschiebung um \(4\) Einheiten in positive \(x\)-Richtung und um \(1{,}5\) Einheiten in negative \(y\)-Richtung.

- Überlege, wie sich Faktoren im Nenner auf die Definitionsmenge auswirken. - Was muss für die Faktoren im Zähler und Nenner gelten, damit eine Definitionslücke „hebbar“ ist? - Wie hängen die Grade von Zähler- und Nennerpolynom mit dem Verhalten im Unendlichen zusammen? - Denke an den Unterschied zwischen Polstellen mit und ohne Vorzeichenwechsel.

1. Eine hebbare Definitionslücke bei \(x = 1\) erfordert den Faktor \((x - 1)\) sowohl im Zähler als auch im Nenner. 2. Eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei \(x = -2\) erfordert eine ungerade Vielfachheit der Nullstelle im Nenner, zum Beispiel den Faktor \((x + 2)\). 3. Eine waagerechte Asymptote bei \(y = 2\) setzt voraus, dass Zähler- und Nennerpolynom denselben Grad haben und das Verhältnis ihrer Leitkoeffizienten \(2\) beträgt. 4. Mit dem Nenner \(q(x) = (x - 1)(x + 2)\) ergibt sich ein Zähler der Form \(p(x) = 2 \cdot (x - 1) \cdot (x - a)\). Um den Grad anzugleichen und eine zusätzliche Nullstelle festzulegen, wählen wir \(a = 0\). 5. Dies führt zur Beispielfunktion \(f(x) = \frac{2x(x - 1)}{(x - 1)(x + 2)}\).

Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x) = \frac{2x(x - 1)}{(x - 1)(x + 2)}\) oder in ausmultiplizierter Form \(f(x) = \frac{2x^2 - 2x}{x^2 + x - 2}\).

- Wenn eine Funktion keine Definitionslücken hat, was bedeutet das für die Nullstellen des Nenners? - Erinnere dich daran, welche Form ein quadratischer Term haben muss, damit er für alle reellen Zahlen ungleich Null ist. - Wie wird eine doppelte Nullstelle im Funktionsterm dargestellt? - Nutze den Punkt auf der \(y\)-Achse, um den Streckfaktor oder fehlende Parameter zu bestimmen.

1. Eine doppelte Nullstelle bei \(x = -1\) bedeutet, dass das Zählerpolynom den Faktor \((x + 1)^2\) enthält: \(p(x) = a \cdot (x + 1)^2\). 2. Damit keine Definitionslücken existieren, darf das Nennerpolynom \(q(x)\) vom Grad 2 keine reellen Nullstellen besitzen. Ein einfacher Ansatz ist \(q(x) = x^2 + c\) mit \(c > 0\). 3. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse \(P(0 \mid 2)\) liefert die Bedingung \(f(0) = 2\). 4. Einsetzen in den Ansatz: \(f(0) = \frac{a \cdot (0 + 1)^2}{0^2 + c} = \frac{a}{c} = 2\). Daraus folgt \(a = 2c\). 5. Wählt man beispielsweise \(c = 1\), so ergibt sich \(a = 2\). Damit lautet der Funktionsterm \(f(x) = \frac{2(x + 1)^2}{x^2 + 1}\).

Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x) = \frac{2(x + 1)^2}{x^2 + 1}\).

- Wie hängen der Grad des Zählers und des Nenners mit dem Verhalten im Unendlichen (waagrechte Asymptote) zusammen? - Wenn ein Punkt auf dem Graphen gegeben ist, kannst du diesen nutzen, um einen unbekannten Streckungsfaktor im Funktionsterm zu bestimmen. - Was ist der Unterschied in der Vielfachheit der Nullstelle bei einem Schnittpunkt gegenüber einem Berührpunkt? - Erinnere dich, welche Gleichung die \(y\)-Achse im Koordinatensystem hat.

1. Die Nullstellen bei \(x = \pm 3\) erfordern im Zähler das Produkt \((x - 3)(x + 3) = x^2 - 9\). Für eine waagrechte Asymptote bei \(y = 2\) müssen Zähler und Nenner den gleichen Grad haben und das Verhältnis der Leitkoeffizienten muss 2 sein. Mit einem Nenner ohne reelle Nullstellen wie \(x^2 + 1\) ergibt sich \(g(x) = \frac{2(x^2 - 9)}{x^2 + 1} = \frac{2x^2 - 18}{x^2 + 1}\). 2. Keine Nullstellen bedeutet ein konstanter Zähler \(c\). Die Definitionslücke bei \(x = 1\) erfordert den Nennerfaktor \((x - 1)\). Aus der Punktprobe mit \(P(0 \mid 4)\) folgt \(4 = \frac{c}{0 - 1}\), also \(c = -4\). Der Term lautet \(g(x) = \frac{-4}{x - 1}\). 3. Ein Berührpunkt mit der \(x\)-Achse bei \(x = 2\) entspricht einer doppelten Nullstelle, also dem Faktor \((x - 2)^2\) im Zähler. Die \(y\)-Achse als senkrechte Asymptote entspricht der Polstelle \(x = 0\). Ein möglicher Term ist \(g(x) = \frac{(x - 2)^2}{x}\).

Mögliche Funktionsterme sind: a) \(g(x) = \frac{2x^2 - 18}{x^2 + 1}\) (oder auch \(g(x) = \frac{2x^2 - 18}{x^2}\)) b) \(g(x) = \frac{-4}{x - 1}\) c) \(g(x) = \frac{(x - 2)^2}{x}\)

- Was darf man für \(x\) nicht einsetzen, damit der Nenner nicht null wird? - Wie berechnet man den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse und wie die Nullstellen einer gebrochen-rationalen Funktion? - Überlege, wie du den Zählerterm durch den Nennerterm teilen kannst (Stichwort: Polynomdivision). - Welcher Teil des Terms bestimmt das Verhalten der Funktion für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte?

1. Die Definitionsmenge \(D\) ergibt sich aus der Nullstelle des Nenners: \(x + 1 = 0 \implies x = -1\). Somit ist \(D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\). 2. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(f(0) = \frac{(0 - 2)^2}{0 + 1} = \frac{4}{1} = 4\). Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid 4)\). 3. Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: \((x - 2)^2 = 0 \implies x = 2\). Schnittpunkt ist \(N(2 \mid 0)\). 4. Umformung mittels Polynomdivision oder Zerlegung: \(\frac{x^2 - 4x + 4}{x + 1} = \frac{x^2 + x - 5x - 5 + 9}{x + 1} = \frac{x(x + 1) - 5(x + 1) + 9}{x + 1} = x - 5 + \frac{9}{x + 1}\). 5. Da der Term \(\frac{9}{x + 1}\) für \(x \to \pm \infty\) gegen \(0\) strebt, nähert sich der Graph \(G_f\) der Geraden \(g: y = x - 5\) beliebig an. Die Gleichung der schrägen Asymptote lautet somit \(y = x - 5\).

a) \(D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\); Schnittpunkte: \(S_y(0 \mid 4)\), \(N(2 \mid 0)\). b) Die schräge Asymptote hat die Gleichung \(y = x - 5\).

- Denke daran, dass eine Division durch null nicht definiert ist. - Nullstellen findest du dort, wo der Zähler null wird, solange diese Stellen im Definitionsbereich liegen. - Führe eine schriftliche Division von \((x^2 + 2x + 1)\) durch \((x - 1)\) durch. - Was passiert mit dem Restterm des Bruchs, wenn \(x\) immer größer wird?

1. Definitionsbereich: Der Nenner wird für \(x = 1\) null, also \(D = \mathbb{R} \setminus \{1\}\). 2. \(y\)-Achsenabschnitt: \(g(0) = \frac{(0 + 1)^2}{0 - 1} = -1\). Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid -1)\). 3. \(x\)-Achsenabschnitt: \((x + 1)^2 = 0 \implies x = -1\). Schnittpunkt ist \(N(-1 \mid 0)\). 4. Polynomdivision: \((x^2 + 2x + 1) : (x - 1)\). \((x^2 - x)\) subtrahieren ergibt \(3x + 1\). \((3x - 3)\) subtrahieren ergibt den Rest \(4\). Es folgt \(g(x) = x + 3 + \frac{4}{x - 1}\). Somit ist \(a = 1, b = 3, c = 4\). 5. Die Gerade \(y = x + 3\) ist die schräge Asymptote von \(G_g\), da \(\lim_{x \to \pm \infty} (g(x) - (x + 3)) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{4}{x - 1} = 0\).

a) \(D = \mathbb{R} \setminus \{1\}\); Achsenschnittpunkte: \(S_y(0 \mid -1)\), \(N(-1 \mid 0)\). b) \(a = 1, b = 3, c = 4\); Die Gerade \(y = x + 3\) ist die schräge Asymptote von \(G_g\).

- Wann kann ein Nenner einer gebrochen-rationalen Funktion niemals null werden? - Überprüfe, ob sich der Funktionsterm ändert, wenn du \(x\) durch \(-x\) ersetzt. - Wie findet man die Stellen, an denen ein Graph die Achsen berührt oder schneidet? - Was passiert mit den einzelnen Summanden im Zähler und Nenner, wenn \(x\) sehr groß wird?

1. Definitionsbereich und Polstellen: Da der Nenner \(0{,}5x^2 + 2\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) stets größer oder gleich \(2\) ist, besitzt er keine Nullstellen. Somit ist \(D_f = \mathbb{R}\) und es existieren keine senkrechten Asymptoten. 2. Symmetrie: Wegen \(f(-x) = \frac{4(-x)^2 - 16}{0{,}5(-x)^2 + 2} = \frac{4x^2 - 16}{0{,}5x^2 + 2} = f(x)\) ist der Graph \(G_f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. Schnittpunkte: Mit der \(y\)-Achse: \(f(0) = \frac{-16}{2} = -8 \implies S_y(0 \mid -8)\). Mit der \(x\)-Achse (Nullstellen): \(4x^2 - 16 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x_1 = -2, x_2 = 2 \implies N_1(-2 \mid 0), N_2(2 \mid 0)\). 4. Waagrechte Asymptote: Durch Ausklammern von \(x^2\) oder Vergleich der Koeffizienten der höchsten Potenzen ergibt sich \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{4x^2 - 16}{0{,}5x^2 + 2} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{4 - \frac{16}{x^2}}{0{,}5 + \frac{2}{x^2}} = \frac{4}{0{,}5} = 8\). Die waagrechte Asymptote hat die Gleichung \(y = 8\).

a) Der Nenner \(0{,}5x^2 + 2\) hat keine reellen Nullstellen, da \(x^2 \ge 0\). b) Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse, da \(f(-x) = f(x)\). c) \(S_y(0 \mid -8)\), \(N_1(-2 \mid 0)\), \(N_2(2 \mid 0)\). d) Waagrechte Asymptote \(y = 8\).

- Welche Potenzen von \(x\) kommen im Term vor? Was sagt das über die Symmetrie aus? - Setze einmal \(x=0\) ein und löse einmal die Gleichung \(Zähler = 0\). - Betrachte die Koeffizienten vor den höchsten Potenzen von \(x\). - Was bedeutet es für die Lage eines Punktes im Koordinatensystem, wenn der Funktionswert null ist?

1. Symmetrie: Im Funktionsterm treten nur gerade Potenzen von \(x\) auf (\(x^2\) und \(x^0\)), woraus die Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse folgt. 2. Schnittpunkte: \(g(0) = \frac{12{,}5}{6{,}25} = 2 \implies S_y(0 \mid 2)\). Nullstellen: \(12{,}5 - 2x^2 = 0 \implies 2x^2 = 12{,}5 \implies x^2 = 6{,}25 \implies x = \pm 2{,}5\). Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: \(N_1(-2{,}5 \mid 0)\) und \(N_2(2{,}5 \mid 0)\). 3. Grenzwert: \(\lim_{x \to \infty} \frac{12{,}5 - 2x^2}{x^2 + 6{,}25} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{12{,}5}{x^2} - 2}{1 + \frac{6{,}25}{x^2}} = -2\). Die waagrechte Asymptote ist \(y = -2\). 4. Spezieller Punkt: \(g(2{,}5) = \frac{12{,}5 - 2 \cdot (2{,}5)^2}{(2{,}5)^2 + 6{,}25} = \frac{12{,}5 - 2 \cdot 6{,}25}{6{,}25 + 6{,}25} = \frac{0}{12{,}5} = 0\). Geometrische Bedeutung: Der Graph \(G_g\) schneidet die \(x\)-Achse an der Stelle \(x = 2{,}5\).

a) Nur gerade Potenzen von \(x\) im Funktionsterm. b) \(S_y(0 \mid 2)\), \(N_1(-2{,}5 \mid 0)\), \(N_2(2{,}5 \mid 0)\). c) \(\lim_{x \to \infty} g(x) = -2\); waagrechte Asymptote \(y = -2\). d) \(g(2{,}5) = 0\); dies ist eine Nullstelle von \(g\).

- Wann ist der Nenner eines Bruches Null? Diese Stellen müssen ausgeschlossen werden. - Überprüfe, ob im Funktionsterm nur gerade oder nur ungerade Exponenten vorkommen. - Was müsste für den Zähler gelten, damit ein Bruch den Wert Null annimmt? - Betrachte für das Verhalten im Unendlichen die höchsten Potenzen im Zähler und Nenner. - Untersuche für die Polstellen das Vorzeichen des Nenners kurz oberhalb und unterhalb der kritischen Werte.

1. Zur Bestimmung der Definitionsmenge wird der Nenner gleich Null gesetzt: \(0{,}25x^2 - 4 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 16 \Leftrightarrow x = \pm 4\). Somit ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-4; 4\}\). 2. Da im Funktionsterm nur gerade Potenzen von \(x\) vorkommen, gilt \(f(-x) = \frac{(-x)^2 + 1}{0{,}25(-x)^2 - 4} = \frac{x^2 + 1}{0{,}25x^2 - 4} = f(x)\). Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. Eine Nullstelle erfordert \(x^2 + 1 = 0\). Da \(x^2 \geq 0\) für alle reellen Zahlen gilt, ist \(x^2 + 1 \geq 1\). Die Gleichung hat keine reelle Lösung, folglich gibt es keine Nullstellen. 4. Für \(x \to \pm \infty\) gilt: \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2 + 1}{0{,}25x^2 - 4} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{0{,}25 - \frac{4}{x^2}} = \frac{1}{0{,}25} = 4\). Die waagrechte Asymptote ist \(y = 4\). An den Polstellen: \(\lim_{x \to 4^+} f(x) = +\infty\) und \(\lim_{x \to 4^-} f(x) = -\infty\). Aufgrund der Achsensymmetrie gilt analog \(\lim_{x \to -4^-} f(x) = +\infty\) und \(\lim_{x \to -4^+} f(x) = -\infty\).

a) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-4; 4\}\) b) Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse c) Da \(x^2 + 1 > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), hat der Zähler keine Nullstellen. d) Waagrechte Asymptote \(y = 4\); Polstellen bei \(x = 4\) und \(x = -4\) mit Vorzeichenwechsel.

- Überlege dir, welcher Teil des Bruchs (Zähler oder Nenner) für die Nullstellen verantwortlich ist. - Wie muss die Potenz eines Faktors im Nenner beschaffen sein, damit an dieser Stelle kein Vorzeichenwechsel stattfindet? - Untersuche das Vorzeichen des Zählers in der Nähe der Polstelle, um den Grenzwert zu bestimmen.

1. Aus der Nullstelle \(x = 3\) folgt, dass der Zähler den Faktor \((x - 3)\) enthalten muss. Wir setzen den Zähler als \(p(x) = x - 3\). 2. Eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei \(x = -1\) erfordert eine gerade Potenz des Faktors \((x + 1)\) im Nenner. Wir wählen \(q(x) = (x + 1)^2\). 3. Die vorläufige Funktion \(f(x) = \frac{x - 3}{(x + 1)^2}\) wird auf das Grenzverhalten an der Polstelle geprüft: Für \(x \to -1\) strebt der Nenner gegen \(0^+\) (da er quadriert wird). Der Zähler strebt gegen \(-1 - 3 = -4\). 4. Der Grenzwert ergibt sich somit zu \(\frac{-4}{0^+} = -\infty\). Die Bedingung ist erfüllt.

Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x) = \frac{x - 3}{(x + 1)^2}\).

- Wann wird ein Bruch gleich null? - Schau dir die Nenner der Funktionen genau an. Was darf man für \(x\) nicht einsetzen? - Wie verändert sich ein Funktionswert, wenn die gesamte Gleichung mit einer Zahl multipliziert wird? - Vergleiche die Zähler der Funktionen, um die Nullstellen zu finden.

1. Definitionsmenge und Polstellen: Da der Nenner \(x^2 - 4\) für alle Funktionen gleich ist, gilt \(x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2\). Somit ist \(D = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\). Die senkrechten Asymptoten liegen bei \(x = -2\) und \(x = 2\). 2. Funktionswerte: Für \(x = 3\): \(f(3) = \frac{3}{5} = 0{,}6\); \(g(3) = \frac{12}{5} = 2{,}4\); \(h(3) = \frac{10}{5} = 2\). Für \(x = 0\): \(f(0) = 0\); \(g(0) = 0\); \(h(0) = \frac{1}{-4} = -0{,}25\). 3. Transformation: Da \(g(x) = 4 \cdot f(x)\), entsteht der Graph von \(g\) durch eine Streckung des Graphen von \(f\) in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\). 4. Nullstellen: \(f(x) = 0 \Rightarrow x = 0\); \(g(x) = 0 \Rightarrow 4x = 0 \Rightarrow x = 0\). Für \(h(x)\) gilt \(x^2 + 1 = 0\), was in \(\mathbb{R}\) keine Lösung besitzt; \(h\) hat keine Nullstellen.

a) \(D = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\); senkrechte Asymptoten: \(x = -2\) und \(x = 2\). b) \(f(3) = 0{,}6\), \(g(3) = 2{,}4\), \(h(3) = 2\); \(f(0) = 0\), \(g(0) = 0\), \(h(0) = -0{,}25\). c) Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\). d) Nullstelle von \(f\) und \(g\) bei \(x = 0\); \(h\) hat keine Nullstellen.

- Was passiert mit dem Vorzeichen von \(x\), wenn du es quadrierst? - Betrachte die Grade von Zähler- und Nennerpolynom für das Verhalten im Unendlichen. - Welche Auswirkung hat ein Minuszeichen vor dem gesamten Funktionsterm auf die Lage des Graphen im Koordinatensystem?

1. Symmetrie: Da in allen Funktionstermen \(x\) nur in geraden Potenzen (\(x^2\) und \(x^0\)) vorkommt, gilt \(p(-x) = p(x)\), \(q(-x) = q(x)\) und \(r(-x) = r(x)\). Die Graphen sind achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Waagerechte Asymptoten: Bei \(p(x)\) und \(q(x)\) ist der Grad des Zählers (0) kleiner als der Grad des Nenners (2), daraus folgt für \(x \to \pm \infty\), dass \(y = 0\) die waagerechte Asymptote ist. Bei \(r(x)\) ist der Grad des Zählers gleich dem des Nenners; der Grenzwert ergibt sich aus dem Verhältnis der Koeffizienten der höchsten Potenzen: \(\frac{2}{1} = 2\). Die waagerechte Asymptote ist \(y = 2\). 3. Zusammenhang \(p\) und \(q\): Es gilt \(q(x) = -p(x)\). Der Graph von \(q\) geht somit durch Spiegelung an der \(x\)-Achse aus dem Graphen von \(p\) hervor.

a) Alle drei Graphen sind achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. b) Waagerechte Asymptoten: \(p\) und \(q\): \(y = 0\); \(r\): \(y = 2\). c) Der Graph von \(q\) ist das Ergebnis einer Spiegelung des Graphen von \(p\) an der \(x\)-Achse.

- Erinnere dich an die Bedingung für Achsensymmetrie: \(f(-x) = f(x)\). - Für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse musst du einen bestimmten Wert für \(x\) einsetzen. Welcher ist das? - Betrachte den Nenner \(x^2 + 2\). Welches ist der kleinste Wert, den dieser Nenner annehmen kann? Was bedeutet das für den Gesamtwert des Bruchs? - Überlege, was mit dem gesamten Bruch passiert, wenn \(x\) immer weiter wächst.

1. Nachweis der Symmetrie: \(g(-x) = \frac{-10}{(-x)^2 + 2} = \frac{-10}{x^2 + 2} = g(x)\). Die Bedingung für Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse ist erfüllt. 2. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse (\(x=0\)): \(g(0) = \frac{-10}{0+2} = -5\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid -5)\). Funktionswert an der Stelle \(2\): \(g(2) = \frac{-10}{2^2+2} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3} \approx -1{,}67\). 3. Da \(x^2 \ge 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), ist der Nenner \(x^2 + 2 \ge 2\). Der kleinste Nennerwert ist \(2\) bei \(x=0\), was zum kleinsten Funktionswert \(\frac{-10}{2} = -5\) führt. Da der Zähler negativ und der Nenner stets positiv ist, gilt \(g(x) < 0\). Wenn \(x^2\) wächst, nähert sich der Bruch der \(0\). Somit gilt \(-5 \le g(x) < 0\). 4. Grenzwert für \(x \to \infty\): Da der Nennergrad höher als der Zählergrad ist, gilt \(\lim_{x \to \infty} g(x) = 0\).

a) \(g(-x) = \frac{-10}{(-x)^2 + 2} = \frac{-10}{x^2 + 2} = g(x)\), also liegt Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse vor. b) Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0 \mid -5)\). Der Funktionswert ist \(g(2) = -\frac{5}{3} \approx -1{,}67\). c) Da der Nenner \(x^2 + 2 \ge 2\) ist, ist der maximale Betrag des Bruchs \(\frac{10}{2} = 5\). Da der Zähler negativ ist, ist \(-5\) das Minimum. Da der Nenner stets positiv ist, bleibt \(g(x)\) immer negativ und nähert sich für große \(x\) der Null an. d) Für \(x \to \infty\) strebt \(g(x)\) gegen \(0\).

- Überlege dir, wie der Funktionsterm aufgebaut sein muss, damit er sich für sehr große \(x\)-Werte einer Geraden annähert. - Welcher Teil des Funktionsterms sorgt dafür, dass an einer bestimmten Stelle eine senkrechte Asymptote entsteht? - Wie kannst du den gegebenen Punkt nutzen, um eine unbekannte Konstante im Term zu berechnen?

1. Da die schiefe Asymptote \(y = 2x - 4\) und die senkrechte Asymptote \(x = 3\) bekannt sind, wird der Ansatz \(f(x) = 2x - 4 + \frac{a}{x - 3}\) gewählt. 2. Einsetzen der Koordinaten des Punktes \(P(4 \mid 6)\) in den Ansatz: \(6 = 2 \cdot 4 - 4 + \frac{a}{4 - 3}\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(6 = 4 + a\). 4. Bestimmung des Parameters \(a\): \(a = 2\). 5. Einsetzen von \(a\) in den Ansatz ergibt den Funktionsterm: \(f(x) = 2x - 4 + \frac{2}{x - 3}\).

\(f(x) = 2x - 4 + \frac{2}{x - 3}\) (oder in der Form \(f(x) = \frac{2x^2 - 10x + 14}{x - 3}\))

- Eine schiefe Asymptote deutet darauf hin, dass die Funktion aus einem linearen Teil und einem echt gebrochen-rationalen Teil besteht. - Wie muss der Nenner aussehen, damit bei \(x = 1\) eine Polstelle vorliegt? - Setze die Koordinaten des Punktes \(Q\) in deinen Ansatz ein, um den Zähler des Bruchs zu bestimmen.

1. Aufgrund der Asymptoten wird der Ansatz \(g(x) = -x + 5 + \frac{a}{x - 1}\) gewählt. 2. Einsetzen des Punktes \(Q(2 \mid 8)\) zur Bestimmung von \(a\): \(8 = -2 + 5 + \frac{a}{2 - 1}\). 3. Auflösen der Gleichung nach \(a\): \(8 = 3 + a \implies a = 5\). 4. Aufstellen des Funktionsterms: \(g(x) = -x + 5 + \frac{5}{x - 1}\). 5. Optionales Zusammenfassen auf einen Hauptnenner: \(g(x) = \frac{(-x + 5)(x - 1) + 5}{x - 1} = \frac{-x^2 + 6x}{x - 1}\).

\(g(x) = -x + 5 + \frac{5}{x - 1}\) (oder \(g(x) = \frac{-x^2 + 6x}{x - 1}\))

- Wie verhält sich der Funktionsterm, wenn du \( x \) durch \( -x \) ersetzt? - Was passiert mit dem Nenner an den Stellen, die nicht in der Definitionsmenge liegen? - Untersuche die Vielfachheit der Nullstellen im Nenner, um die Art der Polstelle zu bestimmen. - Welchen Einfluss haben die höchsten Potenzen im Zähler und Nenner auf den Grenzwert für sehr große \( x \)-Werte?

1. Symmetrie: Prüfung von \( f(-x) = \frac{-x}{(-x)^2 - 2{,}25} = \frac{-x}{x^2 - 2{,}25} = -f(x) \). Ergebnis: Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Funktionswerte: \( f(0) = \frac{0}{0 - 2{,}25} = 0 \); \( f(1) = \frac{1}{1^2 - 2{,}25} = \frac{1}{-1{,}25} = -0{,}8 \). 3. Definitionsmenge: Nullstellen des Nenners \( x^2 - 2{,}25 = 0 \) führen zu \( x_1 = -1{,}5 \) und \( x_2 = 1{,}5 \). Somit ist \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1{,}5; 1{,}5\} \). 4. Polstellen: Da \( x = -1{,}5 \) und \( x = 1{,}5 \) einfache Nullstellen des Nenners (und keine Nullstellen des Zählers) sind, handelt es sich um Polstellen mit Vorzeichenwechsel. 5. Grenzverhalten: Da der Grad des Zählerpolynoms (1) kleiner ist als der Grad des Nennerpolynoms (2), gilt \( \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0 \).

a) Punktsymmetrisch zum Ursprung; \( f(0) = 0 \), \( f(1) = -0{,}8 \). b) \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1{,}5; 1{,}5\} \); Polstellen bei \( x = -1{,}5 \) und \( x = 1{,}5 \), beide mit Vorzeichenwechsel. c) \( \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0 \).

- Welche Information liefert dir die senkrechte Asymptote für den Nenner des Funktionsterms? - Was bedeutet eine waagerechte Asymptote für das Verhältnis der Grade von Zähler- und Nennerpolynom? - Wie kannst du den gegebenen Punkt auf der \(y\)-Achse nutzen, um einen noch unbekannten Parameter zu berechnen? - Überlege dir zuerst einen allgemeinen Ansatz für den Funktionsterm.

1. Ansatz für eine einfache gebrochen-rationale Funktion mit senkrechter Asymptote bei \(x = 3\): \(f(x) = \frac{ax + b}{x - 3}\). 2. Bestimmung von \(a\) über die waagerechte Asymptote: Da der Grad von Zähler und Nenner gleich sein muss und der Grenzwert für \(x \to \infty\) den Wert \(-1\) hat, folgt \(\frac{a}{1} = -1\), also \(a = -1\). 3. Bestimmung von \(b\) über den \(y\)-Achsenabschnitt: Einsetzen von \(x = 0\) und \(f(0) = 2\) in den Term \(f(x) = \frac{-x + b}{x - 3}\) ergibt \(\frac{b}{-3} = 2\). 4. Auflösen nach \(b\): \(b = 2 \cdot (-3) = -6\). 5. Aufstellen des Funktionsterms: \(f(x) = \frac{-x - 6}{x - 3}\).

\(f(x) = \frac{-x - 6}{x - 3}\) (oder ein wertgleicher Term)

- Überlege, für welchen Wert der Nenner des Bruchs null wird. - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner immer größer wird, während der Zähler konstant bleibt? - Wie verhält sich die gesamte Funktion, wenn ein Teil verschwindend klein wird? - Wo auf dem Koordinatensystem liegen alle Punkte, die auf der y-Achse sind? Welchen Wert hat dort die x-Koordinate?

1. Der Nenner darf nicht null werden: \(x - 2 = 0 \implies x = 2\). Somit ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}\). Da der Zähler an dieser Stelle ungleich null ist (\(6 \neq 0\)), liegt eine Polstelle vor. Die senkrechte Asymptote hat die Gleichung \(x = 2\). 2. Für \(|x| \to \infty\) strebt der echte gebrochen-rationale Anteil \(\frac{6}{x - 2}\) gegen \(0\). Daher nähert sich der Graph der Geraden mit der Gleichung \(y = 1{,}5x - 3\) an. Dies ist die schräge Asymptote. 3. Für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to \infty\), da der lineare Term \(1{,}5x - 3\) gegen unendlich strebt. Analog gilt für \(x \to -\infty\), dass \(f(x) \to -\infty\). 4. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ergibt sich durch Einsetzen von \(x = 0\): \(f(0) = 1{,}5 \cdot 0 - 3 + \frac{6}{0 - 2} = -3 - 3 = -6\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid -6)\).

a) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}\); senkrechte Asymptote: \(x = 2\) b) \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\); \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\); schräge Asymptote: \(y = 1{,}5x - 3\) c) \(S_y(0 \mid -6)\)

- Überlege dir zuerst, welche Informationen dir etwas über den Nenner verraten. - Wie unterscheiden sich Polstellen und stetig behebbare Definitionslücken im Funktionsterm? - Was muss für die Grade von Zähler- und Nennerpolynom gelten, damit eine waagerechte Asymptote ungleich Null existiert? - Nutze den gegebenen Punkt, um einen noch unbekannten Parameter im Zähler zu berechnen.

1. Aus der senkrechten Asymptote bei \(x = 4\) folgt der Linearfaktor \((x - 4)\) im Nenner. 2. Die stetig behebbare Definitionslücke bei \(x = 1\) erfordert den Faktor \((x - 1)\) sowohl im Zähler als auch im Nenner. 3. Wegen der waagerechten Asymptote \(y = 2\) müssen Zähler- und Nennergrad übereinstimmen. Mit dem bisherigen Nenner \((x - 4)(x - 1)\) muss der Zähler die Form \(2 \cdot (x - x_0)(x - 1)\) haben. 4. Einsetzen des Punktes \(P(0 \mid 1)\) in den Ansatz \(h(x) = \frac{2(x - x_0)(x - 1)}{(x - 4)(x - 1)}\) zur Bestimmung von \(x_0\): \(1 = \frac{2(0 - x_0)(0 - 1)}{(0 - 4)(0 - 1)} = \frac{2x_0}{4} = 0{,}5x_0 \implies x_0 = 2\). 5. Ein möglicher Funktionsterm ist \(h(x) = \frac{2(x - 2)(x - 1)}{(x - 4)(x - 1)}\).

\(h(x) = \frac{2(x - 2)(x - 1)}{(x - 4)(x - 1)}\) (oder eine äquivalente Form)

- Welche Auswirkung hat die Achsensymmetrie zur y-Achse auf die Exponenten der Variable \(x\)? - Ein Berührpunkt auf der x-Achse ist eine besondere Form einer Nullstelle. Was bedeutet das für deren Vielfachheit? - Wie hängen die senkrechten Asymptoten mit den Nullstellen des Nenners zusammen? - Erinnere dich an die Regel für waagerechte Asymptoten bei gebrochen-rationalen Funktionen.

1. Die Achsensymmetrie zur y-Achse bedeutet, dass im Funktionsterm nur gerade Potenzen von \(x\) vorkommen dürfen (oder die Faktoren entsprechend symmetrisch liegen). 2. Die senkrechten Asymptoten bei \(x = \pm 3\) führen auf den Nenner \((x - 3)(x + 3) = x^2 - 9\). 3. Ein Berührpunkt mit der x-Achse im Ursprung bedeutet eine Nullstelle mit gerader Vielfachheit bei \(x = 0\), also den Zählerfaktor \(x^2\). 4. Die waagerechte Asymptote \(y = -1\) legt fest, dass das Verhältnis der Leitkoeffizienten von Zähler und Nenner \(-1\) sein muss. Da der Nenner mit \(x^2\) beginnt, muss der Zähler mit \(-x^2\) beginnen. 5. Durch Zusammenführen der Bedingungen ergibt sich der Term \(h(x) = \frac{-x^2}{x^2 - 9}\).

\(h(x) = \frac{-x^2}{x^2 - 9}\) (oder eine äquivalente Form)

- Wie verändert sich der Funktionsterm, wenn du \(x\) durch \(-x\) ersetzt? - Welchen Wert muss die Funktion an einer Nullstelle annehmen? - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Betrag des Nenners immer größer wird? - Wie berechnet man den Funktionswert an der Stelle \(x = 0\)?

1. Nachweis der Symmetrie: \(f(-x) = \frac{4}{(-x)^2 - 25} + 0{,}2 = \frac{4}{x^2 - 25} + 0{,}2 = f(x)\). Da \(f(-x) = f(x)\) gilt, ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Berechnung der Nullstellen: \(0 = \frac{4}{x^2 - 25} + 0{,}2 \Leftrightarrow -0{,}2 = \frac{4}{x^2 - 25} \Leftrightarrow -0{,}2(x^2 - 25) = 4 \Leftrightarrow -0{,}2x^2 + 5 = 4 \Leftrightarrow -0{,}2x^2 = -1 \Leftrightarrow x^2 = 5\). Daraus folgen die Nullstellen \(x_{1,2} = \pm \sqrt{5}\). 3. Punktprobe für \(P\): \(f(0) = \frac{4}{0^2 - 25} + 0{,}2 = -\frac{4}{25} + 0{,}2 = -0{,}16 + 0{,}2 = 0{,}04\). Somit liegt \(P(0 \mid 0{,}04)\) auf dem Graphen. 4. Grenzwerte: Für \(x \to \pm \infty\) geht der Nenner \(x^2 - 25\) gegen \(+\infty\), wodurch der Bruch \(\frac{4}{x^2 - 25}\) gegen \(0\) strebt. Es gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0 + 0{,}2 = 0{,}2\). Die waagerechte Asymptote hat die Gleichung \(y = 0{,}2\).

a) \(f(-x) = f(x)\), also liegt Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse vor. b) Nullstellen bei \(x = \pm \sqrt{5}\); Punktprobe: \(f(0) = 0{,}04\). c) \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0{,}2\); waagerechte Asymptote: \(y = 0{,}2\).

- Wann ist der Nenner eines Bruches Null? - Was passiert mit den Funktionswerten, wenn \(x\) sehr groß oder sehr klein wird? - Welche Bedingung muss für den Zähler gelten, damit eine Nullstelle vorliegt? - Vergleiche \(f(-x)\) mit \(f(x)\). Was stellst du fest?

1. Definitionsmenge und senkrechte Asymptoten: Die Nullstellen des Nenners \((2x - 4)(2x + 4) = 0\) liegen bei \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). Somit ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\). Da der Zähler an diesen Stellen ungleich Null ist, liegen senkrechte Asymptoten mit den Gleichungen \(x = 2\) und \(x = -2\) vor. 2. Waagrechte Asymptote: Da der Grad des Zählers gleich dem Grad des Nenners ist (beide Grad 2), ergibt sich die waagrechte Asymptote durch den Quotienten der Leitkoeffizienten. Mit \((2x - 4)(2x + 4) = 4x^2 - 16\) folgt \(y = \frac{3}{4} = 0{,}75\). 3. Nullstellen: Der Ansatz \(3x^2 + 9 = 0\) führt auf \(x^2 = -3\). Da diese Gleichung im Reellen keine Lösung besitzt, hat \(f\) keine Nullstellen. 4. Symmetrie und y-Schnittpunkt: Da \(f(-x) = \frac{3(-x)^2 + 9}{4(-x)^2 - 16} = \frac{3x^2 + 9}{4x^2 - 16} = f(x)\) gilt, ist \(G_f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(f(0) = \frac{9}{-16} = -0{,}5625\), also \(S_y(0 \mid -0{,}5625)\).

a) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\); senkrechte Asymptoten: \(x = 2\) und \(x = -2\) b) waagrechte Asymptote: \(y = 0{,}75\) c) \(3x^2 + 9 = 0\) hat keine reelle Lösung, da \(x^2 = -3\) nicht möglich ist. d) Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse; \(S_y(0 \mid -0{,}5625)\)

- Welche Informationen geben dir die senkrechten Asymptoten über die Nullstellen des Nenners? - Was kannst du aus der waagrechten Asymptote über das Verhältnis der Grade von Zähler und Nenner sowie über deren Leitkoeffizienten schließen? - Wie muss ein Zählerpolynom zweiten Grades aussehen, damit es nur eine einzige Nullstelle liefert? - Achte darauf, dass die gewählte Nullstelle des Zählers nicht gleichzeitig eine Nullstelle des Nenners ist.

1. Da der Graph senkrechte Asymptoten bei \(x = -2\) und \(x = 2\) hat, muss der Nenner \(D(x)\) an diesen Stellen Nullstellen besitzen. Ein möglicher Nenner ist \(D(x) = (x+2)(x-2) = x^2 - 4\). 2. Die waagrechte Asymptote \(y = 4\) (ungleich Null) erfordert, dass der Grad des Zählers \(N(x)\) gleich dem Grad des Nenners ist. Da der Nenner den Grad 2 hat, muss auch der Zähler den Grad 2 haben. 3. Das Verhältnis der Leitkoeffizienten von Zähler und Nenner muss dem Wert der waagrechten Asymptote entsprechen, also \(a/1 = 4\), woraus \(a = 4\) folgt. 4. Die Bedingung „genau eine Nullstelle“ bedeutet für ein Zählerpolynom zweiten Grades, dass eine doppelte Nullstelle vorliegen muss, die nicht mit den Definitionslücken zusammenfällt. Wählt man \(x = 0\) als Nullstelle, ergibt sich der Zähler \(N(x) = 4(x-0)^2 = 4x^2\). 5. Ein möglicher Funktionsterm ist somit \(f(x) = \frac{4x^2}{x^2 - 4}\).

Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x) = \frac{4x^2}{x^2 - 4}\).

- Wann ist ein Nenner gleich Null? - Erinnere dich an die Bedingungen für Achsen- und Punktsymmetrie. - Was passiert mit den Summanden des Funktionsterms, wenn \(x\) sehr groß wird? - Wie prüft man, ob ein Punkt auf einem Graphen liegt?

1. Die Definitionsmenge ergibt sich aus der Nullstelle des Nenners: \(3x = 0 \implies x = 0\), also \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). 2. Zur Symmetrie: \(f_k(-x) = \frac{k(-x)^2 - 9}{3(-x)} = \frac{kx^2 - 9}{-3x} = -f_k(x)\). Der Graph ist somit punktsymmetrisch zum Ursprung. 3. Da \(x = 0\) eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel ist (einfache Nullstelle im Nenner, Zählerwert \(-9 \neq 0\)), lautet die senkrechte Asymptote \(x = 0\). 4. Durch Polynomdivision oder Zerlegen des Bruchs erhält man \(f_k(x) = \frac{k}{3}x - \frac{3}{x}\). Für \(x \to \pm\infty\) geht \(\frac{3}{x} \to 0\), daher ist die schräge Asymptote \(y = \frac{k}{3}x\). 5. Punktprobe mit \(P(3 \mid 2)\): \(2 = \frac{k \cdot 3^2 - 9}{3 \cdot 3} = \frac{9k - 9}{9} = k - 1\). Daraus folgt \(k = 3\).

a) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}\); der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. b) Senkrechte Asymptote: \(x = 0\); schräge Asymptote: \(y = \frac{k}{3}x\). c) \(k = 3\).

- Wie verhält sich die Funktion für sehr große oder sehr kleine \(x\)? - Was passiert, wenn du den Funktionsterm mit dem Wert der Asymptote gleichsetzt? - Untersuche die Extrema der Funktion und das Verhalten an den Definitionslücken. - Überlege dir, welche Funktionswerte im Bereich zwischen den senkrechten Asymptoten und außerhalb davon angenommen werden.

1. Bestimmung der waagerechten Asymptote: Da der Grad des Zählers gleich dem Grad des Nenners ist, ergibt sich die Asymptote aus dem Verhältnis der Leitkoeffizienten: \(y = \frac{1}{1} = 1\). 2. Schnittpunktprüfung: Der Ansatz \(f(x) = 1\) führt auf \(\frac{x^2 + 5}{x^2 - 4} = 1\). Multiplikation mit dem Nenner ergibt \(x^2 + 5 = x^2 - 4\), was zur falschen Aussage \(5 = -4\) führt. Somit existiert kein Schnittpunkt. 3. Untersuchung der Wertemenge: - Für \(|x| > 2\) ist \(x^2 - 4 > 0\). Da \(x^2 + 5 > x^2 - 4\) für alle \(x\), gilt \(f(x) > 1\). Mit \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 1\) und \(\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty\) wird der Bereich \(]1; \infty[\) abgedeckt. - Für \(|x| < 2\) ist \(x^2 - 4 < 0\). Da \(x^2 + 5 > 0\), ist \(f(x)\) stets negativ. Die erste Ableitung \(f'(x) = \frac{-18x}{(x^2-4)^2}\) hat eine Nullstelle bei \(x = 0\). Der Funktionswert \(f(0) = \frac{5}{-4} = -1{,}25\) ist ein lokales Maximum. Mit \(\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty\) wird der Bereich \(]-\infty; -1{,}25]\) abgedeckt. 4. Die Vereinigung beider Bereiche ergibt \(W_f = ]-\infty; -1{,}25] \cup ]1; \infty[\), was der Menge \(\mathbb{R} \setminus ]-1{,}25; 1]\) entspricht.

a) Waagerechte Asymptote: \(y = 1\). Die Gleichung \(f(x) = 1\) führt auf einen Widerspruch (\(5 = -4\)), daher gibt es keinen Schnittpunkt. b) Die Wertemenge ist \(W_f = \mathbb{R} \setminus ]-1{,}25; 1]\).

- Welche besondere Bedeutung hat die Gerade \(y = 3\) für den Graphen der Funktion? - Was passiert rechnerisch, wenn du versuchst, den Schnittpunkt zu berechnen? - Skizziere grob den Verlauf an den Polstellen und im Unendlichen. - Gibt es einen Bereich von Funktionswerten, der nie erreicht wird?

1. Nachweis der Schnittpunktfreiheit: Die Gerade \(y = 3\) entspricht der waagerechten Asymptote von \(g\). Der Ansatz \(g(x) = 3\) führt auf \(\frac{3x^2}{x^2 - 1} = 3\). Durch Multiplikation mit \(x^2 - 1\) erhält man \(3x^2 = 3(x^2 - 1)\), also \(3x^2 = 3x^2 - 3\). Dies liefert den Widerspruch \(0 = -3\), womit kein Schnittpunkt existiert. 2. Bestimmung der Wertemenge: - Außerhalb der Definitionslücken \(x = \pm 1\): Für \(|x| > 1\) ist der Nenner positiv. Da \(3x^2 > 3(x^2 - 1)\), gilt \(g(x) > 3\). Da die Funktion für \(x \to \infty\) gegen \(3\) strebt und an den Polstellen gegen \(+\infty\) geht, ist das Teilintervall \(]3; \infty[\) in \(W_g\). - Zwischen den Polstellen: Für \(-1 < x < 1\) ist der Nenner \(x^2 - 1\) negativ und der Zähler \(3x^2 \ge 0\). Es gilt \(g(x) \le 0\). Das Maximum liegt bei \(g(0) = 0\). Da die Funktion an den Polstellen gegen \(-\infty\) geht, ist das Teilintervall \(]-\infty; 0]\) in \(W_g\). 3. Gesamte Wertemenge: \(W_g = ]-\infty; 0] \cup ]3; \infty[\) bzw. \(W_g = \mathbb{R} \setminus ]0; 3]\).

a) Die Gleichung \(g(x) = 3\) hat keine Lösung (\(0 = -3\)). b) \(W_g = \mathbb{R} \setminus ]0; 3]\) (oder \(W_g = ]-\infty; 0] \cup ]3; \infty[\)).

- Wann ist ein Bruch definiert und wann ist sein Wert gleich null? - Wie berechnet man allgemein den Schnittpunkt eines Graphen mit der vertikalen Achse? - Überlege dir, welcher Teil des Funktionsterms den Ausschlag gibt, wenn \(x\) sehr große oder sehr kleine Werte annimmt. - Hilft es dir, den Funktionsterm durch Ausklammern der höchsten Potenz von \(x\) zu vereinfachen?

1. Zur Bestimmung der Definitionsmenge wird der Nenner gleich Null gesetzt: \(x + k = 0 \implies x = -k\). Somit ist \(D_k = \mathbb{R} \setminus \{-k\}\). 2. Die Nullstellen ergeben sich aus dem Zähler: \(x^2 - 4k^2 = 0 \implies x^2 = 4k^2 \implies x_1 = 2k, x_2 = -2k\). Da \(k \neq 0\), gilt \(2k \neq -k\) und \(-2k \neq -k\), sodass beide Werte in der Definitionsmenge liegen. Die Nullstellen sind \(N_1(2k \mid 0)\) und \(N_2(-2k \mid 0)\). 3. Für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse wird \(x = 0\) in den Funktionsterm eingesetzt: \(f_k(0) = \frac{0^2 - 4k^2}{0 + k} = \frac{-4k^2}{k} = -4k\). Dies bestätigt den Punkt \(P(0 \mid -4k)\). 4. Für das Verhalten im Unendlichen betrachtet man die höchsten Potenzen von Zähler und Nenner: \(f_k(x) = \frac{x^2(1 - \frac{4k^2}{x^2})}{x(1 + \frac{k}{x})} = x \cdot \frac{1 - \frac{4k^2}{x^2}}{1 + \frac{k}{x}}\). Für \(x \to \pm \infty\) streben die Brüche gegen Null, sodass \(f_k(x) \approx x\). 5. Es gilt \(\lim_{x \to +\infty} f_k(x) = +\infty\) und \(\lim_{x \to -\infty} f_k(x) = -\infty\). Da der Koeffizient der höchsten Potenz im Ergebnis (\(1 \cdot x\)) positiv und unabhängig von \(k\) ist, ist das Grenzverhalten für alle \(k\) identisch.

a) \(D_k = \mathbb{R} \setminus \{-k\}\); Nullstellen bei \(x_1 = 2k\) und \(x_2 = -2k\). b) Nachweis durch Einsetzen: \(f_k(0) = -4k\). c) \(\lim_{x \to +\infty} f_k(x) = +\infty\) und \(\lim_{x \to -\infty} f_k(x) = -\infty\). Das Verhalten wird durch den Quotienten der höchsten Potenzen \(\frac{x^2}{x} = x\) bestimmt, dessen Vorfaktor \(1\) unabhängig von \(k\) ist.

- Wie verhält sich eine gebrochen-rationale Funktion für sehr große oder sehr kleine x-Werte, wenn Zähler- und Nennergrad gleich sind? - Überlege dir, ob die Gleichung im Zähler für bestimmte Werte von k überhaupt eine reelle Lösung haben kann. - Wann lässt sich ein Faktor im Nenner gegen einen Faktor im Zähler kürzen? - Wenn du die Funktion an einer Definitionslücke kürzen kannst, wie findest du dann den zugehörigen y-Wert?

1. Bestimmung der waagerechten Asymptote: Der Grad des Zählers und des Nenners ist jeweils 2. Für \(x \to \pm \infty\) nähert sich der Funktionsterm dem Verhältnis der Koeffizienten der höchsten Potenzen an: \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{kx^2 - 18}{x^2 - x - 6} = k\). Die Gleichung der waagerechten Asymptote lautet somit \(y = k\). 2. Untersuchung der Nullstellen: Nullstellen treten auf, wenn der Zähler null wird: \(kx^2 - 18 = 0 \Leftrightarrow kx^2 = 18\). Für \(k = 0\) ergibt sich die falsche Aussage \(-18 = 0\), also keine Nullstelle. Für \(k < 0\) ist \(x^2 = \frac{18}{k}\) eine negative Zahl, was für \(x \in \mathbb{R}\) nicht lösbar ist. Somit existieren für \(k \leq 0\) keine Nullstellen. 3. Stetig behebbare Definitionslücke: Damit bei \(x = 3\) eine hebbare Lücke vorliegt, muss \(x = 3\) auch eine Nullstelle des Zählers sein: \(k \cdot 3^2 - 18 = 0 \Rightarrow 9k = 18 \Rightarrow k = 2\). 4. Berechnung der Loch-Koordinaten: Für \(k = 2\) lässt sich der Funktionsterm kürzen: \(f_2(x) = \frac{2(x^2 - 9)}{(x - 3)(x + 2)} = \frac{2(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)(x + 2)} = \frac{2x + 6}{x + 2}\). Der Grenzwert an der Stelle \(x = 3\) ist \(\frac{2 \cdot 3 + 6}{3 + 2} = \frac{12}{5} = 2{,}4\). Das Loch hat die Koordinaten \((3 \mid 2{,}4)\).

a) \(y = k\) b) Der Ansatz \(kx^2 = 18\) liefert für \(k \leq 0\) keine reelle Lösung für \(x\). c) \(k = 2\); das Loch liegt bei \((3 \mid 2{,}4)\).

- Was passiert mit dem Parameter \(a\), wenn du den Grenzwert für \(x\) gegen Unendlich betrachtest? - Wann hat eine quadratische Gleichung der Form \(x^2 = c\) zwei verschiedene reelle Lösungen? - Denke daran, dass Nullstellen des Nenners bei einer gekürzten Funktion immer zu senkrechten Asymptoten führen. - Welche Werte darf \(a\) nicht annehmen, damit sich keine Faktoren im Bruch wegkürzen lassen?

1. Waagerechte Asymptote: Da Zähler- und Nennerpolynom den gleichen Grad (2) haben, ergibt sich die Asymptote aus dem Quotienten der Leitkoeffizienten: \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + a}{x^2 - 16} = \frac{2}{1} = 2\). Die Gleichung \(y = 2\) ist unabhängig von \(a\). 2. Nullstellen von \(g_a\): Der Zähler muss null werden: \(2x^2 + a = 0 \Leftrightarrow x^2 = -\frac{a}{2}\). Diese Gleichung hat genau zwei Lösungen, wenn \(-\frac{a}{2} > 0\), also \(a < 0\). 3. Bedingung für „vollständig gekürzt“: Die Nullstellen des Nenners sind \(x = 4\) und \(x = -4\). Diese dürfen keine Nullstellen des Zählers sein: \(2 \cdot (\pm 4)^2 + a \neq 0 \Rightarrow 32 + a \neq 0 \Rightarrow a \neq -32\). Somit muss \(a < 0\) und \(a \neq -32\) gelten. 4. Senkrechte Asymptoten für \(a = 0\): Die Funktion lautet \(g_0(x) = \frac{2x^2}{x^2 - 16}\). Die Nullstellen des Nenners liegen bei \(x = 4\) und \(x = -4\). Da der Zähler an diesen Stellen nicht null ist (\(2 \cdot 4^2 = 32 \neq 0\)), liegen dort Polstellen mit Vorzeichenwechsel vor. Die Gleichungen der senkrechten Asymptoten sind \(x = 4\) und \(x = -4\).

a) \(y = 2\) b) \(a < 0\) und \(a \neq -32\) c) \(x = 4\) und \(x = -4\)

- Was passiert mit der Gleichung, wenn auf beiden Seiten derselbe konstante Wert addiert wird? - Wie kannst du eine Gleichung mit Brüchen so umformen, dass die Nenner verschwinden? - Achte darauf, dass die gefundenen Lösungen auch in der Definitionsmenge beider Funktionen liegen. - Wie findest du den passenden Funktionswert, wenn du die Stelle \(x\) bereits kennst?

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(\frac{1}{x-2} + 2 = 2 - \frac{1}{x^2}\) 2. Subtraktion von \(2\) auf beiden Seiten führt zu: \(\frac{1}{x-2} = -\frac{1}{x^2}\) 3. Überkreuzmultiplikation (unter Beachtung der Definitionsmenge \(D = \mathbb{R} \setminus \{0; 2\}\)): \(x^2 = -(x-2)\) 4. Umformung in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(x^2 + x - 2 = 0\) 5. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der Mitternachtsformel oder dem Satz von Vieta): \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -2\) 6. Berechnung der zugehörigen \(y\)-Koordinaten durch Einsetzen in eine der Funktionsgleichungen: \(f(1) = \frac{1}{1-2} + 2 = -1 + 2 = 1\) \(f(-2) = \frac{1}{-2-2} + 2 = -0{,}25 + 2 = 1{,}75\) 7. Die Schnittpunkte sind \(S_1(1 \mid 1)\) und \(S_2(-2 \mid 1{,}75)\).

Die Schnittpunkte sind \(S_1(1 \mid 1)\) und \(S_2(-2 \mid 1{,}75)\).

- Worauf musst du achten, wenn der Nenner einer Funktion null wird? - Wie verhält sich der Funktionswert, wenn die x-Werte sehr groß oder sehr klein werden? - Welchen Ansatz wählst du immer, um gemeinsame Punkte von zwei Funktionsgraphen zu finden? - Denk daran, dass bei der Berechnung der Schnittpunkte die Definitionsmengen beachtet werden müssen.

1. Bestimmung der Asymptoten von \(f\): Da der Grad des Zählers kleiner als der des Nenners ist, ist die x-Achse die waagrechte Asymptote mit \(y = 0\). Die Nullstelle des Nenners \(x - 3 = 0\) liefert die senkrechte Asymptote \(x = 3\). 2. Bestimmung der Asymptoten von \(g\): Da der Grad des Zählers kleiner als der des Nenners ist, ist die waagrechte Asymptote ebenfalls \(y = 0\). Die doppelte Nullstelle des Nenners \((x - 1)^2 = 0\) liefert die senkrechte Asymptote \(x = 1\). 3. Berechnung der Schnittpunkte: Gleichsetzen der Funktionsterme führt auf \(\frac{4}{x-3} = \frac{-4}{(x-1)^2}\). Division durch 4 und Multiplikation mit den Nennern ergibt \((x-1)^2 = -(x-3)\), was zu \(x^2 - 2x + 1 = -x + 3\) bzw. \(x^2 - x - 2 = 0\) vereinfacht wird. 4. Lösen der quadratischen Gleichung liefert \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -1\). 5. Einsetzen der x-Werte in \(f(x)\): \(f(2) = \frac{4}{2-3} = -4\) und \(f(-1) = \frac{4}{-1-3} = -1\). Die Schnittpunkte sind \(S_1(2 \mid -4)\) und \(S_2(-1 \mid -1)\).

a) \(G_f\): \(x = 3\) (senkrecht), \(y = 0\) (waagrecht); \(G_g\): \(x = 1\) (senkrecht), \(y = 0\) (waagrecht) b) \(S_1(2 \mid -4)\) und \(S_2(-1 \mid -1)\)

- Gibt es einen Unterschied in der Bestimmung der waagrechten Asymptote, wenn der Zählergrad gleich dem Nennergrad ist? - Was passiert mit dem Term, wenn du nach dem Gleichsetzen die Nenner eliminierst? - Vergiss nicht, am Ende sowohl die x- als auch die y-Koordinaten für die Punkte anzugeben.

1. Asymptoten von \(h\): Senkrechte Asymptote bei der Polstelle \(x = 2\). Waagrechte Asymptote bei \(y = 0\), da der Zählergrad (0) kleiner als der Nennergrad (1) ist. 2. Asymptoten von \(k\): Senkrechte Asymptote bei der Polstelle \(x = 1\). Waagrechte Asymptote bei \(y = 1\), da Zähler- und Nennergrad gleich sind (Koeffizientenvergleich \(\frac{1}{1}\)). 3. Schnittpunktbestimmung: Ansatz \(h(x) = k(x) \implies \frac{4}{x-2} = \frac{x+2}{x-1}\). 4. Überkreuzmultiplikation ergibt \(4(x-1) = (x+2)(x-2)\), also \(4x - 4 = x^2 - 4\). 5. Umformen zur Gleichung \(x^2 - 4x = 0\) und Faktorisieren zu \(x(x-4) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 4\). 6. Berechnung der y-Koordinaten: \(h(0) = \frac{4}{-2} = -2\) und \(h(4) = \frac{4}{4-2} = 2\). Die Schnittpunkte liegen bei \(S_1(0 \mid -2)\) und \(S_2(4 \mid 2)\).

a) \(G_h\): \(x = 2\), \(y = 0\); \(G_k\): \(x = 1\), \(y = 1\) b) \(S_1(0 \mid -2)\) und \(S_2(4 \mid 2)\)

- Überlege dir, welche Teile des Funktionsterms für sehr große \(x\)-Werte dominieren. - Kannst du den Funktionsterm so umformen, dass du den Grenzwert direkt ablesen kannst? - Setze den Funktionsterm mit dem Asymptotenwert gleich, um nach \(x\) aufzulösen. - Denk daran, dass ein Punkt immer aus einer \(x\)- und einer \(y\)-Koordinate besteht.

1. Berechnung der Nullstellen: Setze den Zähler null: \(4x - x^2 = 0 \Rightarrow x(4 - x) = 0\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 4\). 2. Begründung der Asymptote: Der Zählergrad und der Nennergrad sind jeweils 2. Für \(x \to \pm \infty\) wird das Verhalten durch den Quotienten der Koeffizienten von \(x^2\) bestimmt: \(\frac{-1}{0{,}5} = -2\). Somit ist \(y = -2\) die waagrechte Asymptote. 3. Berechnung des Schnittpunkts: Setze \(g(x) = -2\). 4. Umformen der Gleichung: \(\frac{4x - x^2}{0{,}5x^2 + 4} = -2 \Rightarrow 4x - x^2 = -2 \cdot (0{,}5x^2 + 4) \Rightarrow 4x - x^2 = -x^2 - 8\). 5. Vereinfachen: \(4x = -8 \Rightarrow x = -2\). Da der Punkt auf der Asymptote liegt, ist die \(y\)-Koordinate \(-2\). Der Schnittpunkt ist \(S(-2 \mid -2)\).

a) Nullstellen: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 4\); Begründung über den Quotienten der Leitkoeffizienten (\(-1 : 0{,}5 = -2\)) b) \(S(-2 \mid -2)\)

- Überlege zuerst, welche festen Kosten und welche Rabatte für welche Gruppengrößen gelten. - Die Durchschnittskosten erhältst du, indem du die Gesamtsumme durch die Anzahl der Personen teilst. - Achte bei der Berechnung von Werten genau darauf, in welches Intervall die gegebene Personenzahl fällt. - Wenn du eine Gleichung für die Kosten pro Person löst, prüfe am Ende, ob dein Ergebnis im betrachteten Bereich für \(x\) liegt. - Manchmal kann es günstiger sein, eine Person mehr anzumelden, um in eine andere Preisstufe zu rutschen.

1. Aufstellen der Gesamtkostenfunktion: \[ K(x)= \begin{cases} 120x+1200, & x<50,\\ 120x+800, & 50 \le x<60,\\ 120x+680, & 60 \le x<100,\\ 120x+280, & 100 \le x<120,\\ 120x+40, & x \ge 120. \end{cases} \] Für die Kosten pro Person gilt \(k(x)=\frac{K(x)}{x}\) für \(x \in \mathbb{N}\) und \(x \ge 1\). 2. Für \(x=40\) gilt \(x < 50\), also \(K(40) = 120 \cdot 40 + 1200 = 6000\,\text{€}\). Die Kosten pro Person betragen \(k(40) = \frac{6000}{40} = 150\,\text{€}\). 3. Vergleich der Kosten: Für \(x=99\) (Intervall \(60 \le x < 100\)) ist \(K(99) = 120 \cdot 99 + 800 - 120 = 12\,560\,\text{€}\). Für \(x=100\) (Intervall \(100 \le x < 120\)) ist \(K(100) = 120 \cdot 100 + 400 - 120 = 12\,280\,\text{€}\). Eine größere Gruppe ist hier absolut günstiger als eine kleinere (\(280\,\text{€}\) Ersparnis), da die Pauschale bei \(100\) Personen deutlich sinkt. 4. Lösen von \(k(x) = 150\) für das erste Intervall: \(120 + \frac{1200}{x} = 150 \Rightarrow \frac{1200}{x} = 30 \Rightarrow x = 40\). Da \(40 < 50\), ist dies die gesuchte Lösung. 5. Untersuchung der Schwelle \(k(x) < 125\): In den Intervallen vor \(100\) Personen gilt stets \(k(x) \ge 125\). Im Intervall \(100 \le x < 120\) gilt \(k(x) = \frac{120x + 400 - 120}{x} = 120 + \frac{280}{x}\), also \(k(x) < 125 \iff x > 56\). Damit ist die Bedingung für alle \(x\) ab \(100\) erfüllt. Für \(x \ge 120\) gilt \(k(x)=120+\frac{40}{x}<125\). Daher sinken die Kosten ab \(x=100\) unter \(125\,\text{€}\) (konkret \(k(100) = 122{,}80\,\text{€}\)).

a) \(K(x)= \begin{cases} 120x+1200, & x<50,\\ 120x+800, & 50 \le x<60,\\ 120x+680, & 60 \le x<100,\\ 120x+280, & 100 \le x<120,\\ 120x+40, & x \ge 120 \end{cases}\), \(k(x)=\frac{K(x)}{x}\); \(k(40)=150\,\text{€}\). b) \(K(99) = 12\,560\,\text{€}\) und \(K(100) = 12\,280\,\text{€}\). Die größere Gruppe kostet insgesamt weniger. c) Bei \(x = 40\) Personen. d) Ab \(x = 100\) Personen.

- Die Durchschnittskostenfunktion hat die Form \(k(x) = 25 + \frac{C}{x}\), wobei \(C\) eine Konstante ist, die sich je nach Intervall ändert. - Was passiert mit dem Wert eines Bruchs, wenn der Nenner immer größer wird? - Achte auf die Sprungstellen der Funktion bei \(x=80\) und \(x=100\). - Überlege dir für Aufgabenteil d), ob die Kosten pro Person steigen oder sinken, wenn mehr Leute kommen.

1. Die Gesamtkostenfunktion \(K(x)\) ist abschnittsweise definiert: - \(K(x) = 25x + 600\) für \(x < 80\) - \(K(x) = 25x + 300\) für \(80 \le x < 100\) - \(K(x) = 25x + 300 - 150 = 25x + 150\) für \(x \ge 100\) Die Durchschnittskosten sind \(k(x) = \frac{K(x)}{x}\). 2. Berechnung für \(x=79\): \(k(79) = \frac{25 \cdot 79 + 600}{79} = 25 + \frac{600}{79} \approx 32{,}59\,\text{€}\). Berechnung für \(x=80\): \(k(80) = \frac{25 \cdot 80 + 300}{80} = 25 + \frac{300}{80} = 28{,}75\,\text{€}\). Der Unterschied beträgt \(32{,}59\,\text{€} - 28{,}75\,\text{€} = 3{,}84\,\text{€}\). 3. Ansatz \(k(x) = 35\). Test im ersten Intervall: \(25 + \frac{600}{x} = 35 \Rightarrow \frac{600}{x} = 10 \Rightarrow x = 60\). Da \(60 < 80\), ist dies die Lösung. 4. Für \(x \ge 100\) gilt \(k(x) = 25 + \frac{150}{x}\). Da die Funktion \(f(x) = \frac{150}{x}\) für steigende \(x\) streng monoton fallend ist, ist der höchste Wert in diesem Intervall bei \(x=100\). Es gilt \(k(100) = 25 + \frac{150}{100} = 26{,}50\,\text{€}\). Da \(26{,}50 < 27\), liegen alle weiteren Werte für \(x > 100\) ebenfalls unter \(27\,\text{€}\).

a) \(k(x) = 25 + \frac{600}{x}\) für \(x < 80\); \(k(x) = 25 + \frac{300}{x}\) für \(80 \le x < 100\); \(k(x) = 25 + \frac{150}{x}\) für \(x \ge 100\). b) Der Unterschied beträgt ca. \(3{,}84\,\text{€}\) pro Person. c) Bei \(x = 60\) Gästen. d) Da \(k(100) = 26{,}50\,\text{€}\) ist und die Funktion für \(x > 100\) weiter fällt, sind die Kosten immer unter \(27\,\text{€}\).

- Wie gehst du vor, um die gemeinsamen Punkte zweier Funktionsgraphen zu finden? - Achte darauf, die Gleichungen so umzuformen, dass sie keinen Nenner mehr enthalten. - Welche Rolle spielt die Definitionsmenge der Funktionen beim Lösen der Gleichungen? - Kannst du aus dem Ergebnis der vereinfachten Gleichung direkt auf die Anzahl der Lösungen schließen?

1. Teilaufgabe a: Gleichsetzen der Funktionsterme ergibt \(\frac{x^2-2x+3}{x-2} = 2x-1\). Multiplikation mit dem Nenner \((x-2)\) führt auf \(x^2-2x+3 = (2x-1)(x-2) = 2x^2-5x+2\). Durch Umformen erhält man die quadratische Gleichung \(x^2-3x-1=0\). Die Diskriminante ist \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 13\). Da \(D > 0\) und die Definitionslücke \(x=2\) keine Lösung der Gleichung ist (\(2^2-3 \cdot 2 - 1 = -3 \neq 0\)), existieren genau zwei Schnittpunkte. 2. Teilaufgabe b: Gleichsetzen ergibt \(\frac{2}{x-1} + 1 = \frac{x+3}{x+1}\). Zusammenfassen der linken Seite führt auf \(\frac{x+1}{x-1} = \frac{x+3}{x+1}\). Durch Überkreuzmultiplikation erhält man \((x+1)^2 = (x+3)(x-1)\), was ausmultipliziert \(x^2+2x+1 = x^2+2x-3\) ergibt. Dies führt auf den Widerspruch \(1 = -3\), woraus folgt, dass es keine Schnittpunkte gibt.

a) 2 Schnittpunkte b) 0 Schnittpunkte

- Wie gehst du vor, um die gemeinsamen Punkte zweier Graphen rechnerisch zu ermitteln? - Was musst du bei einer Gleichung mit einem Nenner im ersten Schritt tun, um diesen zu eliminieren? - Erinnere dich an Methoden zum Lösen quadratischer Gleichungen, sobald du die Gleichung vereinfacht hast. - Überprüfe am Ende, ob alle berechneten \(x\)-Werte auch im Definitionsbereich der Funktionen liegen.

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(\frac{x^2 - 4x + 3}{x - 2} = 3x - 9\) 2. Bestimmung der Definitionsmenge: \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}\) 3. Multiplikation der Gleichung mit dem Nenner \((x - 2)\): \(x^2 - 4x + 3 = (3x - 9)(x - 2)\) 4. Ausmultiplizieren der rechten Seite und Zusammenfassen zur quadratischen Normalform: \(2x^2 - 11x + 15 = 0\) 5. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der Mitternachtsformel): \(x_1 = 3\) und \(x_2 = 2{,}5\) 6. Einsetzen der \(x\)-Werte in eine der Funktionsgleichungen zur Bestimmung der \(y\)-Koordinaten: \(g(3) = 0\) und \(g(2{,}5) = -1{,}5\) 7. Angabe der Schnittpunkte: \(S_1(3 \mid 0)\) und \(S_2(2{,}5 \mid -1{,}5)\)

Die Schnittpunkte sind \(S_1(3 \mid 0)\) und \(S_2(2{,}5 \mid -1{,}5)\).

- Wie hängen Volumen, Grundfläche und Höhe bei einem Zylinder zusammen? - Überlege dir, aus welchen Einzelteilen die Oberfläche des offenen Tanks besteht und wie man die Fläche dieser Teile berechnet. - Was passiert mit der Form des Tanks, wenn der Radius bei gleichbleibendem Volumen immer kleiner (oder immer größer) wird?

1. Aufstellen der Höhenfunktion: Aus \(V = \pi \cdot r^2 \cdot h = 2\) folgt durch Umstellen \(h(r) = \frac{2}{\pi \cdot r^2}\) für \(r > 0\). 2. Aufstellen der Kostenfunktion: Die Kosten setzen sich aus Bodenfläche (\(30 \cdot \pi \cdot r^2\)) und Mantelfläche (\(20 \cdot 2\pi \cdot r \cdot h\)) zusammen. Einsetzen von \(h(r)\) ergibt \(K(r) = 30\pi r^2 + 40\pi r \cdot \frac{2}{\pi r^2} = 30\pi r^2 + \frac{80}{r}\). In Form einer gebrochen-rationalen Funktion: \(K(r) = \frac{30\pi r^3 + 80}{r}\). 3. Untersuchung der Grenzwerte: Für \(r \to 0^+\) gilt \(K(r) \to \infty\). Im Sachkontext bedeutet dies, dass bei extrem kleinem Radius die Höhe (und damit die Mantelfläche) gegen Unendlich geht, was die Kosten explodieren lässt. Für \(r \to \infty\) gilt ebenfalls \(K(r) \to \infty\). Hier steigen die Kosten quadratisch mit dem Radius an, da die Bodenfläche extrem groß wird.

a) \(h(r) = \frac{2}{\pi r^2}\) für \(r > 0\) b) \(K(r) = 30\pi r^2 + \frac{80}{r}\) für \(r > 0\) c) Für \(r \to 0^+\) und \(r \to \infty\) strebt \(K(r)\) gegen \(\infty\). Bei sehr kleinen Radien steigen die Kosten durch eine extrem hohe Seitenwand; bei sehr großen Radien steigen sie durch die riesige Bodenfläche.

- Wann haben zwei Funktionsgraphen einen gemeinsamen Punkt? - Achte auf den Definitionsbereich der gebrochen-rationalen Funktion. - Welche Bedingung muss für die Diskriminante einer quadratischen Gleichung gelten, damit sie genau eine Lösung hat? - Könnte es sein, dass eine rechnerische Lösung der Gleichung gar nicht im Definitionsbereich der Funktion liegt?

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(\frac{x + k}{x - 2} = x - 4\) mit der Definitionsbedingung \(x \neq 2\). 2. Multiplikation mit dem Nenner liefert die quadratische Gleichung: \(x + k = (x - 4)(x - 2) \Leftrightarrow x + k = x^2 - 6x + 8 \Leftrightarrow x^2 - 7x + 8 - k = 0\). 3. Fall 1: Die quadratische Gleichung hat genau eine Lösung (Diskriminante \(D = 0\)). Es gilt \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (8 - k) = 49 - 32 + 4k = 17 + 4k\). \(17 + 4k = 0 \Rightarrow k = -4{,}25\). Die Lösung \(x = 3{,}5\) liegt im Definitionsbereich. 4. Fall 2: Die quadratische Gleichung hat zwei Lösungen, wovon eine der ausgeschlossene Wert \(x = 2\) ist. Einsetzen von \(x = 2\) in \(x^2 - 7x + 8 - k = 0\): \(4 - 14 + 8 - k = 0 \Rightarrow k = -2\). Für \(k = -2\) ergibt sich \(x^2 - 7x + 10 = 0\) mit den Lösungen \(x_1 = 2\) (nicht im Definitionsbereich) und \(x_2 = 5\). Es existiert somit genau ein Schnittpunkt bei \(x = 5\). 5. Die gesuchten Werte sind \(k = -4{,}25\) und \(k = -2\).

Die Graphen haben für \(k = -4{,}25\) und \(k = -2\) genau einen Schnittpunkt.

- Wann ist eine gebrochen-rationale Funktion an einer Stelle nicht definiert? - Wie führt man eine Division von Polynomen durch, um den ganzrationalen Anteil zu finden? - Was bedeutet es für die Differenz zwischen Funktion und Asymptote, wenn sie sich schneiden würden? - Welcher Teil eines Bruches muss null sein, damit der gesamte Funktionswert null wird?

1. Bestimmung der Definitionsmenge und senkrechten Asymptote: Der Nenner wird für \(x = 2\) null. Da der Zähler \(2(2)^2 - 3(2) - 1 = 1 \neq 0\) ist, liegt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor. Somit ist \(D_h = \mathbb{R} \setminus \{2\}\) und die senkrechte Asymptote hat die Gleichung \(x = 2\). 2. Durchführung der Polynomdivision: \((2x^2 - 3x - 1) : (x - 2) = 2x + 1 + \frac{1}{x - 2}\). Die schräge Asymptote hat die Gleichung \(a(x) = 2x + 1\). 3. Untersuchung auf Schnittpunkte mit der Asymptote: Die Gleichung \(h(x) = a(x)\) führt auf \(2x + 1 + \frac{1}{x - 2} = 2x + 1\), woraus \(\frac{1}{x - 2} = 0\) folgt. Da dieser Ausdruck für kein \(x\) null wird, gibt es keine Schnittpunkte. 4. Berechnung der Nullstellen: Setze den Zähler null: \(2x^2 - 3x - 1 = 0\). Anwendung der Mitternachtsformel liefert \(x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}\). Die Schnittpunkte sind \(N_1(\frac{3 - \sqrt{17}}{4} \mid 0)\) und \(N_2(\frac{3 + \sqrt{17}}{4} \mid 0)\).

a) \(D_h = \mathbb{R} \setminus \{2\}\); senkrechte Asymptote: \(x = 2\) b) \(h(x) = 2x + 1 + \frac{1}{x - 2}\); schräge Asymptote: \(a(x) = 2x + 1\) c) Es gibt keine Schnittpunkte, da die Gleichung \(\frac{1}{x - 2} = 0\) keine Lösung besitzt. d) \(N_1\left(\frac{3 - \sqrt{17}}{4} \middle| 0\right) \approx (-0{,}28 \mid 0)\) und \(N_2\left(\frac{3 + \sqrt{17}}{4} \middle| 0\right) \approx (1{,}78 \mid 0)\)

- Wie findet man die Definitionslücken bei einem Bruch? - Welches Verhalten zeigt die Funktion für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte? - Wie kann man einen Term mit einer Differenz auf einen gemeinsamen Nenner bringen? - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn man \(x\) durch \(-x\) ersetzt? - Wann ist ein Bruch mit negativem Zähler insgesamt positiv?

1. Bestimmung der Definitionslücken und Asymptoten: Der Nenner \(x^2 - 1 = 0\) liefert \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\). Da der Zähler dort nicht null ist, sind \(x = 1\) und \(x = -1\) senkrechte Asymptoten. \(D_k = \mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}\). Da Zähler- und Nennergrad gleich sind, ergibt der Grenzwert für \(x \to \pm \infty\) die waagrechte Asymptote \(y = 1\). 2. Nachweis der Termäquivalenz: \(1 - \frac{3}{x^2 - 1} = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 1} - \frac{3}{x^2 - 1} = \frac{x^2 - 1 - 3}{x^2 - 1} = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 1}\). 3. Symmetrieuntersuchung: Da im Funktionsterm nur gerade Potenzen von \(x\) vorkommen, gilt \(k(-x) = \frac{(-x)^2 - 4}{(-x)^2 - 1} = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 1} = k(x)\). Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 4. Lage zur Asymptote: Gesucht ist \(k(x) > 1\). Mit der Form aus b) folgt \(1 - \frac{3}{x^2 - 1} > 1 \iff -\frac{3}{x^2 - 1} > 0 \iff \frac{3}{x^2 - 1} < 0\). Dies ist erfüllt, wenn der Nenner negativ ist: \(x^2 - 1 < 0 \iff x^2 < 1 \iff -1 < x < 1\). Der Graph verläuft im Intervall \(]-1; 1[\) oberhalb der Asymptote.

a) \(D_k = \mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}\); senkrechte Asymptoten: \(x = -1, x = 1\); waagrechte Asymptote: \(y = 1\) b) Nachweis durch Hauptnennerbildung: \(\frac{x^2-1-3}{x^2-1} = \frac{x^2-4}{x^2-1}\) c) \(G_k\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, da \(k(-x) = k(x)\). d) Für \(x \in ]-1; 1[\) verläuft der Graph oberhalb der waagrechten Asymptote.

- Wie kannst du den Zähler so umschreiben, dass ein Vielfaches des Nenners darin vorkommt? - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn der Nenner gegen Null geht oder wenn \(x\) sehr große Werte annimmt? - Wann wird ein Bruch gleich Null? - Welche Form zeigt die Verschiebung der Hyperbel in \(y\)-Richtung direkt an?

1. Umformung durch Polynomdivision oder Zerlegung des Zählers: \(\frac{2x+7}{x+3} = \frac{2(x+3)+1}{x+3} = \frac{2(x+3)}{x+3} + \frac{1}{x+3} = 2 + \frac{1}{x+3}\). Damit ist \(a=1\), \(c=2\) und \(x_0 = -3\). 2. Bestimmung der Asymptoten: Die senkrechte Asymptote liegt an der Definitionslücke bei \(x = -3\). Die waagerechte Asymptote ergibt sich aus dem Verhalten für \(x \to \pm \infty\) zu \(y = 2\). 3. Bestimmung der Nullstelle: Ansatz \(2x+7 = 0\) führt zu \(x = -3{,}5\). 4. Analyse der Darstellungen: In der Form \(f(x) = \frac{2x+7}{x+3}\) lässt sich die Nullstelle direkt durch Nullsetzen des Zählers (\(2x+7=0\)) finden. In der Form \(f(x) = 2 + \frac{1}{x+3}\) lässt sich die waagerechte Asymptote \(y=2\) direkt als Summand ablesen, da der Bruchterm für große \(x\) gegen Null strebt.

a) \(f(x) = 2 + \frac{1}{x+3}\) b) Waagerechte Asymptote: \(y = 2\); senkrechte Asymptote: \(x = -3\); Nullstelle: \(x = -3{,}5\) c) Die Nullstelle ist direkt aus der Zähler-Nenner-Form \(\frac{2x+7}{x+3}\) ablesbar. Die waagerechte Asymptote ist direkt aus der Summenform \(2 + \frac{1}{x+3}\) als konstanter Wert ablesbar.

- Was darf man für \(x\) nicht einsetzen, damit man nicht durch null teilt? - Wie verhält sich ein Bruch, wenn der Nenner immer größer wird? - Welcher Teil des Funktionsterms bestimmt das Verhalten für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte? - Was passiert mathematisch, wenn man die Funktionsgleichung und die Asymptotengleichung gleichsetzt?

1. Die Definitionsmenge \(D_f\) ergibt sich aus der Bedingung, dass der Nenner nicht null sein darf: \(x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3\). Somit ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3\}\). Die senkrechte Asymptote liegt an der Polstelle \(x = -3\) und hat die Gleichung \(x = -3\). 2. Für \(x \to \infty\) geht der Term \(\frac{4}{x+3}\) gegen \(0\). Da der lineare Teil \(\frac{1}{2}x - 1\) gegen \(\infty\) strebt, gilt \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\). Analog gilt für \(x \to -\infty\), dass \(f(x) \to -\infty\). Der Graph nähert sich der Geraden mit der Gleichung \(y = \frac{1}{2}x - 1\) an, welche die schräge Asymptote darstellt. 3. Zur Bestimmung der Schnittpunkte setzt man den Funktionsterm mit der Asymptotengleichung gleich: \(\frac{1}{2}x - 1 - \frac{4}{x+3} = \frac{1}{2}x - 1\). Dies vereinfacht sich zu \(-\frac{4}{x+3} = 0\). Da ein Bruch nur dann null ist, wenn sein Zähler null ist, und hier \( -4 \neq 0\) gilt, gibt es keine Lösung. Der Graph schneidet seine schräge Asymptote somit nicht.

a) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3\}\); senkrechte Asymptote: \(x = -3\) b) \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty\); schräge Asymptote: \(y = \frac{1}{2}x - 1\) c) Es gibt keinen Schnittpunkt, da die Gleichung \(-\frac{4}{x+3} = 0\) keine Lösung besitzt.

- Wie findet man einen gemeinsamen Nenner für zwei Brüche? - Welche mathematische Bedingung muss für die Achsensymmetrie zur Ordinatenachse gelten? - Was passiert mit den Funktionswerten, wenn die x-Werte sehr groß oder sehr klein werden? - An welchen Stellen im Definitionsbereich könnte der Graph senkrechte Linien als Schranken haben? - Welchen Wert musst du für \(x\) einsetzen, um einen Punkt auf der \(y\)-Achse zu finden?

1. Bringen der Brüche auf den Hauptnenner \((x-2)(x+2)\): \(f(x) = \frac{1 \cdot (x+2) - 1 \cdot (x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x+2-x+2}{x^2-4} = \frac{4}{x^2-4}\). 2. Überprüfung der Bedingung \(f(-x) = f(x)\): \(f(-x) = \frac{4}{(-x)^2 - 4} = \frac{4}{x^2 - 4} = f(x)\). Da die Bedingung erfüllt ist, liegt Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse vor. 3. Senkrechte Asymptoten an den Nullstellen des Nenners (da diese keine Nullstellen des Zählers sind): \(x = 2\) und \(x = -2\). Waagrechte Asymptote: Da der Grad des Zählers (0) kleiner als der Grad des Nenners (2) ist, gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0\). Die Gleichung der waagrechten Asymptote lautet somit \(y = 0\). 4. Berechnung des Funktionswerts an der Stelle \(x = 0\): \(f(0) = \frac{4}{0^2 - 4} = -1\). Der Schnittpunkt hat die Koordinaten \(S_y(0 \mid -1)\).

1. Nachweis durch Hauptnennerbildung: \(f(x) = \frac{x+2-(x-2)}{x^2-4} = \frac{4}{x^2-4}\). 2. Nachweis über \(f(-x) = f(x)\). 3. Senkrechte Asymptoten: \(x = -2\) und \(x = 2\); waagrechte Asymptote: \(y = 0\). 4. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \((0 \mid -1)\).

- Erinnere dich an das Verfahren zum Subtrahieren von Brüchen. - Wie lässt sich ein quadratischer Ausdruck im Nenner durch quadratische Ergänzung umformen? - Wann genau wird ein Bruch gleich Null? Schau dir dazu den Zähler an. - Was sagen die Definitionslücken über das Verhalten des Graphen aus? - Untersuche das Verhalten der Funktion für \(x\)-Werte, deren Betrag gegen unendlich strebt.

1. Subtraktion der Brüche durch Erweitern auf den gemeinsamen Nenner \(x(x+4)\): \(g(x) = \frac{x+4 - x}{x(x+4)} = \frac{4}{x^2 + 4x}\). 2. Anwendung der ersten binomischen Formel im Nenner: \((x+2)^2 - 4 = x^2 + 4x + 4 - 4 = x^2 + 4x\). Einsetzen ergibt die Identität der Terme. 3. Ein Bruch ist genau dann Null, wenn der Zähler Null ist. Da der Zähler hier die Konstante \(4\) ist (\(4 \neq 0\)), besitzt die Gleichung \(g(x) = 0\) keine Lösung. Somit gibt es keine Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse. 4. Die senkrechten Asymptoten liegen an den Definitionslücken (Polstellen ohne Hebung): \(x = 0\) und \(x = -4\). Da der Grad des Nennerpolynoms höher ist als der des Zählerpolynoms, ist die \(x\)-Achse die waagerechte Asymptote: \(y = 0\).

1. Nachweis durch Differenzbildung: \(g(x) = \frac{x+4-x}{x(x+4)} = \frac{4}{x^2+4x}\). 2. Nachweis durch Ausmultiplizieren: \((x+2)^2-4 = x^2+4x+4-4 = x^2+4x\). 3. Kein Schnittpunkt, da der Zähler \(4\) nie Null wird. 4. Senkrechte Asymptoten: \(x = 0\) und \(x = -4\); waagerechte Asymptote: \(y = 0\).

- Überlege, für welchen Wert der Nenner der Funktion Null wird. - Betrachte das Verhalten der Funktionswerte für sehr große und sehr kleine x-Werte. - Wie berechnet man den Schnittpunkt mit der y-Achse und wie findet man die Stellen, an denen der Funktionswert Null ist? - Wenn du zu einer Funktion einen linearen Term addierst, wie verändert das das langfristige Verhalten des Graphen? - Nutze die Zerlegung des Bruchs, um die schräge Asymptote direkt abzulesen.

1. Definitionsmenge: Der Nenner wird für \(x = -1\) Null, also \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\). 2. Senkrechte Asymptote: Da \(x = -1\) eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel ist, lautet die Gleichung \(x = -1\). 3. Waagrechte Asymptote: Der Grenzwert für \(x \to \pm \infty\) ergibt sich aus dem Verhältnis der Koeffizienten der höchsten Potenzen: \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{-2x+6}{x+1} = -2\). Die Gleichung ist \(y = -2\). 4. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(f(0) = \frac{6}{1} = 6 \implies S_y(0 \mid 6)\). 5. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(6 - 2x = 0 \implies x = 3 \implies N(3 \mid 0)\). 6. Asymptoten von \(h\): Durch Zerlegung von \(f(x)\) mittels Polynomdivision oder Termumformung erhält man \(f(x) = -2 + \frac{8}{x+1}\). Somit ist \(h(x) = x - 2 + \frac{8}{x+1}\). 7. Die senkrechte Asymptote bleibt bei \(x = -1\). Die schräge Asymptote ergibt sich aus dem linearen Teil der Summe zu \(y = x - 2\).

a) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\); senkrechte Asymptote: \(x = -1\); waagrechte Asymptote: \(y = -2\) b) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 \mid 6)\); Nullstelle: \(N(3 \mid 0)\) c) Senkrechte Asymptote: \(x = -1\); schräge Asymptote: \(y = x - 2\)

- Wie addiert man Brüche mit unterschiedlichen Nennern? - Denke an die Umrechnung von Dezimalstunden in Minuten: Ein Viertel einer Stunde sind wie viele Minuten? - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn der Nenner gegen Null geht? - Was bedeutet es physikalisch für das Vorankommen, wenn der Wind stärker ist als der eigene Antrieb?

1. Zur Termumformung wird der Hauptnenner \((x+40)(x-40) = x^2 - 1600\) gebildet. Erweitern der Brüche liefert \(\frac{600(x-40) + 600(x+40)}{x^2 - 1600}\). Vereinfachen des Zählers ergibt \(600x - 24\,000 + 600x + 24\,000 = 1200x\). Somit gilt \(T(x) = \frac{1200x}{x^2 - 1600}\). 2. Für \(x = 160\) ergibt sich \(T(160) = \frac{1200 \cdot 160}{160^2 - 1600} = \frac{192\,000}{24\,000} = 8\). Die Flugzeit beträgt \(8\,\text{h}\,0\,\text{min}\). 3. Für \(x = 200\) ergibt sich \(T(200) = \frac{1200 \cdot 200}{200^2 - 1600} = \frac{240\,000}{38\,400} = 6{,}25\). Da \(0{,}25 \cdot 60 = 15\), beträgt die Flugzeit \(6\,\text{h}\,15\,\text{min}\). 4. Die senkrechte Asymptote liegt an der Polstelle des Nenners im betrachteten Bereich, also bei \(x = 40\). Da der Grad des Zählers (1) kleiner ist als der Grad des Nenners (2), ist die waagrechte Asymptote die \(x\)-Achse mit der Gleichung \(y = 0\). 5. Im Sachzusammenhang bedeutet \(x < 40\), dass die Eigengeschwindigkeit des Flugzeugs geringer ist als die Windgeschwindigkeit. Das Flugzeug könnte nicht gegen den Wind anfliegen (die Geschwindigkeit über Grund \(x - 40\) wäre negativ), wodurch der Zielort nie erreicht würde. Mathematisch würde dies zu einer negativen Zeitdauer für einen Teil der Strecke führen.

a) Nachweis durch Erweitern auf den Hauptnenner \(x^2 - 1600\). b) Bei \(160\,\text{km/h}\): \(8\,\text{h}\,0\,\text{min}\); bei \(200\,\text{km/h}\): \(6\,\text{h}\,15\,\text{min}\). c) Senkrechte Asymptote: \(x = 40\); waagrechte Asymptote: \(y = 0\). d) Das Flugzeug ist langsamer als der Gegenwind (\(x - 40 < 0\)) und kann die Strecke nicht bewältigen.

- Wann ist ein mathematischer Ausdruck im Nenner eines Bruchs problematisch? - Erinnerst du dich an die Bedingung für Punktsymmetrie zum Ursprung bezüglich der Funktionswerte von \(x\) und \(-x\)? - Ein Bruch wird genau dann null, wenn welcher Teil des Bruchs null wird? - Welche besonderen Stellen im Definitionsbereich deuten auf senkrechte Geraden hin, denen sich der Graph annähert? - Wie verhält sich der Funktionswert, wenn \(x\) sehr große oder sehr kleine Werte annimmt?

1. Definitionsbereich: Der Nenner darf nicht null werden. \(x^2 - 9 = 0\) liefert \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\). Somit ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3; 3\}\). Symmetrie: Es wird \(f(-x)\) untersucht: \(f(-x) = \frac{12 \cdot (-x)}{(-x)^2 - 9} = \frac{-12x}{x^2 - 9} = -f(x)\). Damit ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Nullstelle: Der Zähler muss null werden. \(12x = 0\) ergibt \(x = 0\). Asymptoten: Die Polstellen ohne Hebung führen zu den senkrechten Asymptoten \(x = 3\) und \(x = -3\). Da der Grad des Zählers (\(1\)) kleiner als der Grad des Nenners (\(2\)) ist, gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0\), woraus die waagrechte Asymptote \(y = 0\) folgt.

1. \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3; 3\}\); Nachweis der Punktsymmetrie über \(f(-x) = -f(x)\). 2. Nullstelle: \(x = 0\); Asymptoten: \(x = 3\), \(x = -3\), \(y = 0\).

- Welche Werte darfst du für \(x\) nicht einsetzen, damit der Nenner nicht null wird? - Welche Eigenschaft muss für \(g(-x)\) im Vergleich zu \(g(x)\) gelten, damit Achsensymmetrie vorliegt? - Wie gehst du vor, um die Stellen zu finden, an denen der Funktionsgraph die \(x\)-Achse schneidet? - Was passiert mit dem Bruch, wenn die \(x\)-Werte extrem groß werden? Betrachte dazu die höchsten Potenzen im Zähler und Nenner.

1. Definitionsbereich: \(x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2\). Damit ist \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\). Symmetrie: \(g(-x) = \frac{2(-x)^2 - 18}{(-x)^2 - 4} = \frac{2x^2 - 18}{x^2 - 4} = g(x)\). Somit liegt Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse vor. 2. Nullstellen: \(2x^2 - 18 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x_1 = 3, x_2 = -3\). Da beide Werte in \(D_g\) liegen, sind dies die Nullstellen. 3. Asymptoten: Die Definitionslücken sind Polstellen, also sind \(x = 2\) und \(x = -2\) senkrechte Asymptoten. Da Zähler- und Nennergrad gleich sind, ergibt der Grenzwert für \(x \to \pm \infty\) den Quotienten der Leitkoeffizienten: \(\frac{2}{1} = 2\). Die waagrechte Asymptote lautet \(y = 2\).

1. \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\); \(G_g\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, da \(g(-x) = g(x)\). 2. Nullstellen: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -3\). 3. Senkrechte Asymptoten: \(x = 2\), \(x = -2\); waagrechte Asymptote: \(y = 2\).

- Wie lautet die Bedingung für Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse bezüglich des Funktionsterms? - Was passiert mit dem Bruch, wenn \(x\) immer größer wird? Welcher Teil des Terms dominiert dann? - Wie kannst du eine Gleichung mit einem Bruch auflösen, um nach \(x\) freizustellen? - Denk daran, dass eine quadratische Gleichung \(x^2 = a\) zwei Lösungen haben kann.

1. Zur Überprüfung der Achsensymmetrie wird \(f(-x)\) berechnet: \(f(-x) = \frac{2(-x)^2}{(-x)^2 + 1} = \frac{2x^2}{x^2 + 1} = f(x)\). Da \(f(-x) = f(x)\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt, ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Für den Grenzwert betrachten wir den Funktionsterm für große \(x\): \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2}{x^2 + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{1 + \frac{1}{x^2}} = 2\). Die waagrechte Asymptote hat somit die Gleichung \(y = 2\). 3. Zur Lösung der Gleichung \(f(x) = 1{,}8\) setzen wir an: \(\frac{2x^2}{x^2 + 1} = 1{,}8\). Multiplikation mit dem Nenner liefert \(2x^2 = 1{,}8(x^2 + 1) = 1{,}8x^2 + 1{,}8\). Umformen nach \(x^2\) ergibt \(0{,}2x^2 = 1{,}8\), also \(x^2 = 9\). Daraus folgen die Lösungen \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\).

1. Nachweis über \(f(-x) = f(x)\). 2. \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 2\); waagrechte Asymptote: \(y = 2\). 3. \(x_1 = 3\); \(x_2 = -3\).

- Erinnere dich an die Definition einer geraden Funktion. - Welchen Einfluss haben die höchsten Potenzen von \(x\) im Zähler und Nenner auf das Verhalten im Unendlichen? - Kannst du die Gleichung so umformen, dass kein Bruch mehr vorkommt? - Überprüfe am Ende, ob deine gefundenen \(x\)-Werte im Definitionsbereich der Funktion liegen.

1. Es wird \(g(-x)\) gebildet: \(g(-x) = \frac{5 - (-x)^2}{(-x)^2 + 1} = \frac{5 - x^2}{x^2 + 1} = g(x)\). Damit ist die Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse gezeigt. 2. Untersuchung des Grenzwerts: \(\lim_{x \to -\infty} \frac{5 - x^2}{x^2 + 1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{5}{x^2} - 1}{1 + \frac{1}{x^2}} = -1\). Die Funktionswerte nähern sich für sehr kleine \(x\) dem Wert \(-1\) an. 3. Ansatz \(g(x) = 2\): \(\frac{5 - x^2}{x^2 + 1} = 2\). Durch Multiplikation mit dem Nenner erhält man \(5 - x^2 = 2(x^2 + 1)\), also \(5 - x^2 = 2x^2 + 2\). Zusammenfassen ergibt \(3 = 3x^2\), woraus \(x^2 = 1\) folgt. Die gesuchten Stellen sind \(x = 1\) und \(x = -1\).

1. Nachweis über \(g(-x) = g(x)\). 2. \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = -1\). 3. \(x_1 = 1\); \(x_2 = -1\).

- Überlege, für welchen Wert der Nenner des Bruchs null wird, um die Definitionsmenge zu bestimmen. - Für die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse musst du den Zähler gleich null setzen. - Die alternative Darstellung des Terms findest du am besten durch eine Division des Zählers durch den Nenner. - Schau dir den Funktionsterm für sehr große \(x\)-Werte an, um die schräge Asymptote zu finden. - Prüfe für die Symmetrie, was passiert, wenn du \(x\) durch \(-x\) ersetzt.

1. Definitionsmenge: Der Nenner wird für \(x = 1\) null, daher ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}\). 2. Schnittpunkte mit den Achsen: Die Nullstellen ergeben sich aus \(x^2 - 4 = 0\), also \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). Die Schnittpunkte sind \(N_1(2 \mid 0)\) und \(N_2(-2 \mid 0)\). Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(f(0) = \frac{0^2 - 4}{0 - 1} = 4\), also \(S_y(0 \mid 4)\). 3. Termdarstellung: Durch Polynomdivision von \((x^2 - 4) : (x - 1)\) erhält man \(x + 1\) mit dem Rest \(-3\). Somit gilt \(f(x) = x + 1 + \frac{-3}{x - 1} = x + 1 - \frac{3}{x - 1}\). 4. Asymptoten: Die senkrechte Asymptote liegt an der Polstelle \(x = 1\). Da der Exponent des Linearfaktors im Nenner ungerade ist, handelt es sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel. Die schräge Asymptote ergibt sich aus dem ganzrationalen Teil der Zerlegung: \(y = x + 1\). 5. Symmetrie: \(f(-x) = \frac{(-x)^2 - 4}{-x - 1} = \frac{x^2 - 4}{-(x + 1)}\). Da \(f(-x) \neq f(x)\) und \(f(-x) \neq -f(x)\), liegt keine Symmetrie zur \(y\)-Achse oder zum Ursprung vor.

a) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}\); Nullstellen bei \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\), also \(N_1(2 \mid 0)\) und \(N_2(-2 \mid 0)\); \(y\)-Achsenabschnitt bei \(S_y(0 \mid 4)\). b) Nachweis durch Polynomdivision: \((x^2 - 4) : (x - 1) = x + 1\) Rest \(-3\). c) Senkrechte Asymptote: \(x = 1\); schräge Asymptote: \(y = x + 1\); Polstelle bei \(x = 1\) mit Vorzeichenwechsel. d) Keine Symmetrie zum Ursprung oder zur \(y\)-Achse.

- Kann ein Ausdruck der Form \(x^2 + \text{positive Zahl}\) jemals null werden? - Du kannst den Bruch in zwei Teile zerlegen, um die Gleichung der schrägen Asymptote direkt abzulesen. - Erinnere dich an die Bedingung für Punktsymmetrie zum Ursprung: \(f(-x) = -f(x)\). - Setze für die Grenzwerte am Pol sehr kleine positive und negative Zahlen für \(x\) ein, um das Vorzeichen der Unendlichkeit zu bestimmen.

1. Definitionsmenge und Nullstellen: Da der Nenner \(2x\) für \(x = 0\) null wird, ist \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). Nullstellen existieren nur, wenn der Zähler \(x^2 + 3 = 0\) wird. Da \(x^2 + 3 \geq 3\) für alle reellen \(x\) gilt, gibt es keine Nullstellen. 2. Asymptoten: Eine senkrechte Asymptote liegt bei der Polstelle \(x = 0\). Durch Aufspalten des Bruchs erhält man \(g(x) = \frac{x^2}{2x} + \frac{3}{2x} = \frac{1}{2}x + \frac{1{,}5}{x}\). Die schräge Asymptote ist somit \(y = 0{,}5x\). 3. Symmetrie: Es gilt \(g(-x) = \frac{(-x)^2 + 3}{2(-x)} = \frac{x^2 + 3}{-2x} = -\frac{x^2 + 3}{2x} = -g(x)\). Somit ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. 4. Verhalten am Pol: Für \(x \to 0^+\) strebt der Zähler gegen \(3\) und der Nenner gegen \(0\) mit positiven Werten, also \(g(x) \to +\infty\). Für \(x \to 0^-\) strebt der Nenner gegen \(0\) mit negativen Werten, also \(g(x) \to -\infty\). Es liegt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor.

a) \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{0\}\); keine Nullstellen, da \(x^2 + 3 > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\). b) Senkrechte Asymptote: \(x = 0\); schräge Asymptote: \(y = 0{,}5x\). c) Der Graph \(G_g\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da \(g(-x) = -g(x)\). d) \(\lim_{x \to 0^+} g(x) = +\infty\) und \(\lim_{x \to 0^-} g(x) = -\infty\).

- Welche Auswirkung hat eine Nullstelle auf den Zähler des Funktionsterms? - Wie unterscheiden sich Polstellen mit und ohne Vorzeichenwechsel in der Potenz des entsprechenden Faktors im Nenner? - Was sagt die Lage der waagrechten Asymptote über das Verhältnis der Grade von Zähler und Nenner aus? - Überprüfe am Ende, ob der Grad deines Nenners tatsächlich größer ist als der des Zählers, damit die \(x\)-Achse als Asymptote fungiert.

1. Aus der Nullstelle bei \(x = -3\) folgt, dass der Zähler den Faktor \((x + 3)\) enthalten muss. 2. Die Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei \(x = 2\) erfordert einen Faktor \((x - 2)\) im Nenner mit ungerader Vielfachheit (z. B. Exponent 1). 3. Die Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei \(x = -1\) erfordert einen Faktor \((x + 1)\) im Nenner mit gerader Vielfachheit (z. B. Exponent 2). 4. Da die \(x\)-Achse (\(y = 0\)) die waagrechte Asymptote ist, muss der Grad des Zählerpolynoms kleiner sein als der Grad des Nennerpolynoms. Mit dem Zählergrad 1 und dem Nennergrad 3 (Summe der gewählten Exponenten) ist diese Bedingung erfüllt. 5. Ein möglicher Funktionsterm lautet somit: \(f(x) = \frac{x + 3}{(x - 2) \cdot (x + 1)^2}\).

Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x) = \frac{x + 3}{(x - 2)(x + 1)^2}\).

- Wie kannst du die Scheitelpunktform der quadratischen Funktion nutzen? - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner immer größer wird? - Wenn ein Nenner an einer Stelle seinen kleinsten positiven Wert erreicht, was bedeutet das für den Gesamtwert des Bruchs? - Überlege dir, wie sich das Steigungsverhalten von \(f\) auf das von \(\frac{1}{f}\) überträgt.

1. Die Funktion \(f\) ist eine nach oben geöffnete Parabel. Durch quadratische Ergänzung ergibt sich \(f(x) = (x-3)^2 + 2\). Der Scheitelpunkt und somit das lokale Minimum liegt bei \(T(3 \mid 2)\). Da \(g(x) = \frac{1}{f(x)}\) ist, liegt die Extremstelle von \(g\) ebenfalls bei \(x=3\). Da \(f\) dort ihren kleinsten positiven Wert annimmt, nimmt der Kehrwert \(g\) dort seinen größten Wert an. Es liegt ein Hochpunkt bei \(H(3 \mid 0{,}5)\) vor. 2. Für \(x \to \pm \infty\) wachsen die Funktionswerte von \(f(x)\) gegen \(+\infty\). Da \(g(x)\) der Kehrwert von \(f(x)\) ist, streben die Funktionswerte von \(g(x)\) gegen \(0\). Die x-Achse ist somit eine waagerechte Asymptote für \(G_g\). 3. Wenn \(f(x) > 0\) ist, führt ein lokales Minimum von \(f\) an einer Stelle \(x_0\) dazu, dass der Nenner von \(g(x) = \frac{1}{f(x)}\) dort minimal ist. Ein minimaler Nenner bewirkt bei konstantem Zähler den maximalen Funktionswert für \(g\). Umgekehrt wird ein lokales Maximum von \(f\) zu einem lokalen Minimum von \(g\).

1. \(f\): Tiefpunkt \(T(3 \mid 2)\); \(g\): Hochpunkt \(H(3 \mid 0{,}5)\). 2. Für \(x \to \pm \infty\): \(f(x) \to \infty\) und \(g(x) \to 0\). 3. Ein lokales Minimum von \(f\) entspricht einem lokalen Maximum von \(g\) (und umgekehrt), da der Kehrwert einer minimalen positiven Zahl maximal ist.

- Wie lautet die mathematische Bedingung dafür, dass sich zwei Funktionsgraphen schneiden? - Versuche, die Gleichung so umzuformen, dass auf einer Seite eine Null steht. - Kannst du im entstandenen Term eine Struktur erkennen, die an binomische Formeln erinnert? - Überlege, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung in Abhängigkeit von ihrer Diskriminante haben kann. - Denke daran, am Ende zu prüfen, ob die gefundenen Stellen im Definitionsbereich der Funktionen liegen.

1. Ansatz für die Schnittstellen: \(f(x) = g(x)\) führt auf die Gleichung \(\frac{1}{x} + 2 = x^3 - x\). 2. Multiplikation mit \(x\) (da \(x \neq 0\)): \(1 + 2x = x^4 - x^2\). 3. Umformen in eine Polynomgleichung: \(x^4 - x^2 - 2x - 1 = 0\). 4. Erkennen einer binomischen Formel: \(x^4 - (x^2 + 2x + 1) = 0 \Rightarrow x^4 - (x+1)^2 = 0\). 5. Anwendung des Satzes über die Differenz von Quadraten (\(a^2 - b^2\)): \((x^2 - (x+1)) \cdot (x^2 + (x+1)) = 0\). 6. Untersuchung des ersten Faktors: \(x^2 - x - 1 = 0\). Die Diskriminante ist \(D_1 = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 5 > 0\). Dies liefert zwei reelle Lösungen (\(x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\)). 7. Untersuchung des zweiten Faktors: \(x^2 + x + 1 = 0\). Die Diskriminante ist \(D_2 = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0\). Dieser Faktor liefert keine reellen Lösungen. 8. Da beide gefundenen Stellen \(x_1\) und \(x_2\) ungleich der Definitionslücke \(0\) sind, gibt es genau zwei Schnittpunkte.

Die Graphen \(G_f\) und \(G_g\) besitzen genau zwei Schnittpunkte.

- Setze die beiden Funktionsterme gleich, um eine Gleichung für die x-Koordinaten zu erhalten. - Denke beim Auflösen der Klammern an die binomischen Formeln. - Eine quadratische Gleichung in Normalform lässt sich gut mit der p-q-Formel oder dem Satz von Vieta lösen. - Vergiss nicht, für jeden gefundenen x-Wert den passenden Funktionswert zu berechnen.

1. Ansatz durch Gleichsetzen: \(\frac{x + 5}{x - 1} = x - 1\) 2. Multiplikation der Gleichung mit dem Nenner \((x-1)\) ergibt \(x + 5 = (x - 1)^2\) für \(x \neq 1\) 3. Anwendung der binomischen Formel und Zusammenfassen: \(x + 5 = x^2 - 2x + 1 \Rightarrow x^2 - 3x - 4 = 0\) 4. Lösen der quadratischen Gleichung liefert die Stellen \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -1\) 5. Einsetzen der \(x\)-Werte in eine der Funktionsgleichungen (z. B. in \(g\)): \(g(4) = 4 - 1 = 3\) und \(g(-1) = -1 - 1 = -2\) 6. Daraus folgen die Koordinaten der Schnittpunkte: \(S_1(4 \mid 3)\) und \(S_2(-1 \mid -2)\)

Die Schnittpunkte der Graphen von \(f\) und \(g\) liegen bei \(S_1(4 \mid 3)\) und \(S_2(-1 \mid -2)\).

- Überlege dir, welcher Teil eines Bruchs Null werden muss, damit der gesamte Funktionswert Null ist. - Erinnere dich an die Quotientenregel, um die Ableitung zu bestimmen. - Eine Tangente ist eine Gerade; du benötigst die Steigung an der Stelle und die Koordinaten des Punktes. - Skizziere die Tangenten grob, um die Lage des Dreiecks und seine Grundseite sowie Höhe zu erkennen.

1. Berechnung der Nullstellen: Der Zähler \(x^2 - 4\) wird Null für \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). Die Schnittpunkte sind \(N_1(2|0)\) und \(N_2(-2|0)\). 2. Ableitung der Funktion mit der Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{2x(x^2+4) - (x^2-4) \cdot 2x}{(x^2+4)^2} = \frac{16x}{(x^2+4)^2}\). 3. Bestimmung der Tangentensteigungen: In \(N_1\) gilt \(m_1 = f'(2) = \frac{32}{64} = 0{,}5\). In \(N_2\) gilt \(m_2 = f'(-2) = -0{,}5\). 4. Aufstellen der Tangentengleichungen: \(t_1: y = 0{,}5(x-2) = 0{,}5x - 1\) und \(t_2: y = -0{,}5(x+2) = -0{,}5x - 1\). 5. Berechnung des Schnittpunkts \(S\): Gleichsetzen \(0{,}5x - 1 = -0{,}5x - 1\) ergibt \(x = 0\) und \(y = -1\), also \(S(0|-1)\). 6. Flächeninhalt des Dreiecks: Die Grundseite auf der x-Achse hat die Länge \(g = 2 - (-2) = 4\). Die Höhe entspricht dem Betrag der y-Koordinate von \(S\), also \(h = |-1| = 1\). Der Flächeninhalt ist \(A = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1 = 2\).

a) \(N_1(2|0)\), \(N_2(-2|0)\) b) \(t_1: y = 0{,}5x - 1\), \(t_2: y = -0{,}5x - 1\) c) \(S(0|-1)\); Flächeninhalt \(A = 2\)

- Überlege, für welchen Wert der Nenner eines Bruchs null wird. - Wie verhält sich der Funktionswert, wenn \(x\) gegen sehr große oder sehr kleine Werte strebt? - Versuche im Zähler den Ausdruck des Nenners künstlich zu erzeugen, um den Bruch aufzuspalten. - Erinnere dich daran, wie Parameter in der Form \(a \cdot f(x - c) + d\) den Graphen beeinflussen.

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Der Nenner wird bei \(x = -1\) null, daher ist \(D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\). 2. Bestimmung der Nullstellen: Aus \(x - 2 = 0\) folgt die Nullstelle bei \(x = 2\). 3. Analyse der Asymptoten: Die senkrechte Asymptote (Polstelle) liegt bei \(x = -1\). Da der Grad des Zählers gleich dem Grad des Nenners ist, ergibt sich die waagerechte Asymptote durch den Quotienten der Leitkoeffizienten zu \(y = \frac{1}{1} = 1\). 4. Termumformung: Durch Polynomdivision oder geschicktes Ergänzen erhält man \(f(x) = \frac{x+1-3}{x+1} = \frac{x+1}{x+1} - \frac{3}{x+1} = 1 - \frac{3}{x+1}\). Damit ist \(a = 1\) und \(b = -3\). 5. Beschreibung der Transformation: Der Graph von \(y = \frac{1}{x}\) wird zunächst mit dem Faktor \(3\) in \(y\)-Richtung gestreckt und an der \(x\)-Achse gespiegelt (Faktor \(-3\)). Anschließend erfolgt eine Verschiebung um \(1\) Einheit nach links und um \(1\) Einheit nach oben.

a) \(D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\); Nullstelle bei \(x = 2\); senkrechte Asymptote \(x = -1\); waagerechte Asymptote \(y = 1\). b) \(f(x) = 1 - \frac{3}{x+1}\) mit \(a = 1\) und \(b = -3\). c) Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(3\), Spiegelung an der \(x\)-Achse, Verschiebung um \(1\) nach links und um \(1\) nach oben.

- Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit ein Funktionswert genau auf oder über der \(x\)-Achse liegt? - Denke daran, dass sich das Vorzeichen einer gebrochen-rationalen Funktion nur an Nullstellen oder an Definitionslücken ändern kann. - Wie kannst du den Zähler und den Nenner in Linearfaktoren zerlegen, um die Vorzeichen einfacher zu bestimmen? - Achte darauf, ob die Randpunkte der Intervalle (Nullstellen und Definitionslücken) zur Lösungsmenge gehören dürfen.

1. Bestimmung der Nullstellen des Zählers: \(x^3 - 4x = 0 \iff x(x^2 - 4) = 0 \iff x(x-2)(x+2) = 0\). Die Nullstellen sind \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 2\). 2. Bestimmung der Definitionslücken (Nullstellen des Nenners): \(x^2 - 2x - 3 = 0 \iff (x-3)(x+1) = 0\). Die Definitionslücken liegen bei \(x = -1\) und \(x = 3\). 3. Aufstellen der Vorzeichentabelle oder Untersuchung der Intervalle zwischen den kritischen Stellen \(-2\), \(-1\), \(0\), \(2\) und \(3\). 4. Prüfung des Vorzeichens von \(h(x)\) in den Intervallen: - Für \(x \in ]-\infty; -2]\) ist \(h(x) \le 0\). - Für \(x \in [-2; -1[\) ist \(h(x) \ge 0\). - Für \(x \in ]-1; 0]\) ist \(h(x) \le 0\). - Für \(x \in [0; 2]\) ist \(h(x) \ge 0\). - Für \(x \in [2; 3[\) ist \(h(x) \le 0\). - Für \(x \in ]3; \infty[\) ist \(h(x) \ge 0\). 5. Zusammenfassung der Intervalle, in denen \(h(x) \ge 0\) gilt: \(x \in [-2; -1[ \cup [0; 2] \cup ]3; \infty[\).

a) Die Nullstellen sind \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 2\). b) Der Graph verläuft oberhalb oder auf der \(x\)-Achse für \(x \in [-2; -1[ \cup [0; 2] \cup ]3; \infty[\).

- Kannst du den Zähler der gebrochen-rationalen Funktion faktorisieren? - Welche Werte für \(x\) führen dazu, dass der Nenner Null wird? - Erstelle eine Vorzeichentabelle oder teste Werte aus den verschiedenen Intervallen, die durch die Null- und Polstellen entstehen. - Achte darauf, ob die Randpunkte der Intervalle (Nullstellen und Polstellen) zur Lösungsmenge gehören dürfen.

1. Faktorisierung des Zählers: \(x^2 - 2x - 8 = (x-4)(x+2)\) mit den Nullstellen \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 4\). 2. Bestimmung der Definitionslücke (Polstelle) durch den Nenner: \(x - 1 = 0 \Rightarrow x_3 = 1\). 3. Einteilung der reellen Achse in Testintervalle durch die kritischen Punkte \(-2\), \(1\) und \(4\). 4. Vorzeichenprüfung der Intervalle: Im Intervall \(]-\infty; -2[\) ist der Term negativ, in \(]-2; 1[\) positiv, in \(]1; 4[\) negativ und in \(]4; \infty[\) positiv; bei \(x=-2\) und \(x=4\) ist der Term gleich \(0\), während \(x=1\) ausgeschlossen ist. 5. Da die Ungleichung \(\ge 0\) fordert, werden die Intervalle mit positivem Vorzeichen inklusive der Nullstellen des Zählers gewählt: \(L = [-2; 1[ \cup [4; \infty[\).

\(L = [-2; 1[ \cup [4; \infty[\)

- Wann kann ein Nenner eines Bruches Null werden? - Überlege dir, ob die Summe aus einer Quadratzahl und einer positiven Zahl jemals Null sein kann. - Wie kannst du die Gleichung umformen, um den Bruch aufzulösen? - Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob deine berechneten Werte im Definitionsbereich liegen.

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Da der Nenner \(x^2 + 1\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) stets größer oder gleich \(1\) ist, gibt es keine Definitionslücken. Somit ist \(D = \mathbb{R}\). 2. Bestimmung der Polstellen: Da keine Definitionslücken existieren, besitzt die Funktion keine Polstellen. 3. Berechnung der Nullstellen: Ansatz \(f(x) = 0\) führt auf \(\frac{x^2 - 5}{x^2 + 1} = -1\). Multiplikation mit dem Nenner ergibt \(x^2 - 5 = -(x^2 + 1)\), also \(x^2 - 5 = -x^2 - 1\). 4. Lösen der Gleichung: \(2x^2 = 4 \implies x^2 = 2\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = \sqrt{2}\) und \(x_2 = -\sqrt{2}\).

\(D = \mathbb{R}\); keine Polstellen vorhanden; Nullstellen bei \(x_1 = \sqrt{2}\) und \(x_2 = -\sqrt{2}\).

- Wie gehst du vor, um die Ableitung eines Bruchs zu berechnen? - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner immer größer wird, während der Zähler konstant bleibt? - Wie beeinflusst der Exponent im Nenner das Verhalten des Graphen in der Nähe einer Definitionslücke? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Vielfachheit einer Nullstelle im Nenner und dem Vorzeichenwechsel.

1. Berechnung der Ableitungen: Mithilfe der Quotientenregel oder durch Umschreiben zu \(f(x) = 5 + \frac{17}{x - 3}\) ergibt sich die erste Ableitung \(f'(x) = -17 \cdot (x - 3)^{-2} = \frac{-17}{(x - 3)^2}\). Die zweite Ableitung lautet somit \(f''(x) = -17 \cdot (-2) \cdot (x - 3)^{-3} = \frac{34}{(x - 3)^3}\). 2. Untersuchung der Asymptote: Für \(x \to \pm \infty\) gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{34}{(x - 3)^3} = 0\). Da der Grenzwert Null ist, nähert sich der Graph \(G_{f''}\) der Geraden \(y = 0\) (der \(x\)-Achse) beliebig an. 3. Bestimmung der Polstelle: Die Polstelle von \(f''\) liegt an der Nullstelle des Nenners, also bei \(x = 3\). Da der Exponent des Linearfaktors im Nenner von \(f''(x)\) ungerade ist (Grad 3), handelt es sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

a) \(f''(x) = \frac{34}{(x - 3)^3}\) b) Wegen \(\lim_{x \to \pm \infty} f''(x) = 0\) ist die \(x\)-Achse waagrechte Asymptote. c) Polstelle bei \(x = 3\); Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

- Kannst du die Funktion umschreiben, um die Kettenregel einfacher anzuwenden? - Was bedeutet es für den Graphen, wenn der Funktionswert für extrem große \(x\)-Werte gegen Null geht? - Schau dir die Potenz im Nenner der zweiten Ableitung genau an – ist sie gerade oder ungerade? - Was sagt dir die Art der Polstelle über den Verlauf des Graphen links und rechts der Lücke?

1. Bestimmung der zweiten Ableitung: Die Funktion kann als \(g(x) = (x + 2)^{-2}\) geschrieben werden. Die erste Ableitung ist \(g'(x) = -2 \cdot (x + 2)^{-3} = \frac{-2}{(x + 2)^3}\). Die zweite Ableitung ergibt sich zu \(g''(x) = -2 \cdot (-3) \cdot (x + 2)^{-4} = \frac{6}{(x + 2)^4}\). 2. Grenzwertbetrachtung: Es gilt \(\lim_{x \to \infty} \frac{6}{(x + 2)^4} = 0\) und \(\lim_{x \to -\infty} \frac{6}{(x + 2)^4} = 0\). Da der Funktionswert für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte gegen Null strebt, ist die \(x\)-Achse (\(y = 0\)) die waagrechte Asymptote. 3. Analyse der Polstelle: Die Definitionslücke und damit die Polstelle von \(g''\) liegt bei \(x = -2\). Da der Nenner \((x + 2)^4\) einen geraden Exponenten besitzt, ändern die Funktionswerte an dieser Stelle ihr Vorzeichen nicht. Es handelt sich um eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

a) \(g''(x) = \frac{6}{(x + 2)^4}\) b) \(\lim_{x \to \pm \infty} g''(x) = 0\), daher ist die \(x\)-Achse Asymptote. c) Polstelle bei \(x = -2\); Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

- Wie bestimmt man die Ordnung einer Polstelle bei einer gebrochen-rationalen Funktion? - Nutze beim Ableiten die Quotientenregel und achte darauf, gemeinsame Faktoren im Zähler und Nenner vorzeitig zu kürzen. - Was muss für den Zählerwert an der Polstelle gelten, damit die Ordnung eindeutig durch den Exponenten im Nenner bestimmt ist? - Überlege dir beim allgemeinen Beweis, wie man einen Term im Zähler ausklammert, um den Bruch zu vereinfachen.

1. Die Polstelle liegt bei der Nullstelle des Nenners, also bei \(x = 2\). Da der Faktor \((x-2)\) im Nenner mit dem Exponenten 3 vorkommt und der Zähler für \(x=2\) den Wert \(2^2 + 1 = 5 \neq 0\) annimmt, handelt es sich um eine Polstelle 3. Ordnung. 2. Unter Verwendung der Quotientenregel (oder der Produktregel mit Kettenregel) ergibt sich für die Ableitung: \(f'(x) = \frac{2x \cdot (x-2)^3 - (x^2+1) \cdot 3(x-2)^2}{(x-2)^6}\). Durch Ausklammern und Kürzen von \((x-2)^2\) folgt: \(f'(x) = \frac{2x(x-2) - 3(x^2+1)}{(x-2)^4} = \frac{2x^2 - 4x - 3x^2 - 3}{(x-2)^4} = \frac{-x^2 - 4x - 3}{(x-2)^4}\). Der Zähler von \(f'\) hat an der Stelle \(x=2\) den Wert \(-(2)^2 - 4(2) - 3 = -15 \neq 0\). Damit ist \(x = 2\) eine Polstelle der Ordnung 4. 3. Für \(g(x) = \frac{u(x)}{(x-a)^n}\) liefert die Quotientenregel: \(g'(x) = \frac{u'(x) \cdot (x-a)^n - u(x) \cdot n(x-a)^{n-1}}{(x-a)^{2n}}\). Kürzen durch \((x-a)^{n-1}\) ergibt: \(g'(x) = \frac{u'(x)(x-a) - n \cdot u(x)}{(x-a)^{n+1}}\). Setzt man \(x = a\) in den neuen Zählerterm \(z(x) = u'(x)(x-a) - n \cdot u(x)\) ein, erhält man \(z(a) = u'(a) \cdot 0 - n \cdot u(a) = -n \cdot u(a)\). Da nach Voraussetzung \(u(a) \neq 0\) und \(n \geq 1\) gilt, ist \(z(a) \neq 0\). Somit liegt eine Polstelle der Ordnung \(n+1\) vor.

1. Polstelle \(x = 2\) mit der Ordnung 3. 2. \(f'(x) = \frac{-x^2 - 4x - 3}{(x-2)^4}\); Einsetzen von \(x=2\) in den Zähler ergibt \(-15 \neq 0\), Nenner hat Grad 4, also Ordnung 4. 3. \(g'(x) = \frac{u'(x)(x-a) - n \cdot u(x)}{(x-a)^{n+1}}\); der Zählerwert an der Stelle \(a\) ist \(-n \cdot u(a) \neq 0\).

- Prüfe, ob die Quotientenregel richtig angewendet wurde. - Schau dir die Umformung des Funktionsterms genau an. Ist sie mathematisch zulässig? - Achte beim Lösen von Gleichungen der Form \(u^2 = a\) darauf, wie viele Lösungen möglich sind. - Kontrolliere, ob alle gefundenen Werte im Definitionsbereich der Funktion liegen.

1. Analyse von Jonas' Lösung: Jonas verwendet die Quotientenregel korrekt. Die Ableitung \(f'(x) = \frac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2}\) ist richtig. Die Nullstellen des Zählers führen zu \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). Da beide Werte im Definitionsbereich \(D_f\) liegen, sind dies die korrekten Stellen für mögliche Extrema. 2. Analyse von Sarahs Lösung: Sarah formt den Funktionsterm durch Polynomdivision bzw. geschicktes Ergänzen korrekt um. Auch ihre Ableitung \(f'(x) = 1 - \frac{1}{(x - 1)^2}\) ist mathematisch richtig. Bei der Lösung der Gleich \((x - 1)^2 = 1\) vergisst sie jedoch die negative Wurzel: \(x - 1 = -1\) führt zu \(x = 0\). 3. Ergebnis: Jonas' Lösungsweg und Ergebnis sind vollständig und korrekt. Sarahs Lösungsweg ist elegant, aber ihr Ergebnis ist unvollständig, da sie eine Lösung der quadratischen Gleichung übersehen hat.

Jonas hat die Aufgabe vollständig und korrekt gelöst. Sarah hat zwar einen korrekten Rechenweg über eine Termumformung gewählt, aber beim Lösen der Gleich \((x - 1)^2 = 1\) die zweite Lösung \(x = 0\) übersehen. Beide Stellen, \(x = 0\) und \(x = 2\), sind mögliche Extremstellen.

- Was bedeutet die geometrische Bedingung „waagerechte Tangente“ für die Ableitung der Funktion? - Unterscheide klar zwischen den Nullstellen einer Funktion \(g(x)\) und den Nullstellen ihrer Ableitung \(g'(x)\). - Nutze die Quotientenregel, um die Steigungsfunktion zu bestimmen. - Wann genau ist ein Bruchterm gleich null?

1. Berechnung der Ableitung mit der Quotientenregel: \(g'(x) = \frac{2x \cdot (x^2 + 1) - (x^2 - 4) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}\). 2. Vereinfachung des Zählers: \(2x^3 + 2x - (2x^3 - 8x) = 2x^3 + 2x - 2x^3 + 8x = 10x\). 3. Aufstellen der Bedingung für waagerechte Tangenten: \(g'(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{10x}{(x^2 + 1)^2} = 0\). 4. Lösung der Gleichung: Ein Bruch ist null, wenn der Zähler null ist. \(10x = 0 \Rightarrow x = 0\). 5. Beurteilung der Behauptung: Die Nullstellen der Funktion (\(x = \pm 2\)) sind nicht identisch mit den Stellen waagerechter Tangenten. Die Behauptung des Schülers ist falsch, da er die Nullstellen der Funktion mit den Nullstellen der Ableitung verwechselt hat. Nur an der Stelle \(x = 0\) liegt eine waagerechte Tangente vor.

Die Behauptung ist falsch. Waagerechte Tangenten liegen nur an den Stellen vor, an denen die Ableitung null ist. Die Berechnung ergibt \(g'(x) = \frac{10x}{(x^2 + 1)^2}\). Die einzige Stelle mit waagerechter Tangente ist somit \(x = 0\). Die Stellen \(x = 2\) und \(x = -2\) sind lediglich die Nullstellen der Funktion selbst, an denen die Steigung jedoch \(g'(2) = 0{,}8\) bzw. \(g'(-2) = -0{,}8\) beträgt.

- Was musst du beim Ableiten eines Bruchs beachten? - Wie findest du die Stellen, an denen die Steigung der Tangente null ist? - Hast du daran gedacht, auch die y-Koordinaten der Punkte zu berechnen? - Welches Kriterium hilft dir zu entscheiden, ob ein Berg oder ein Tal vorliegt?

1. Bestimmung der ersten Ableitung mit der Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{(2x+2) \cdot (x+1) - (x^2+2x+10) \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{x^2+2x-8}{(x+1)^2}\). 2. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) liefert die Gleichung \(x^2+2x-8 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -4\). 3. Berechnung der zugehörigen Funktionswerte: \(f(2) = \frac{2^2+2\cdot 2+10}{2+1} = 6\) und \(f(-4) = \frac{(-4)^2+2\cdot(-4)+10}{-4+1} = -6\). 4. Überprüfung der Art mithilfe der zweiten Ableitung \(f''(x) = \frac{18}{(x+1)^3}\). 5. \(f''(2) = \frac{18}{27} > 0\), daraus folgt ein lokales Minimum bei \(TP(2|6)\). 6. \(f''(-4) = \frac{18}{-27} < 0\), daraus folgt ein lokales Maximum bei \(HP(-4|-6)\).

Der Graph der Funktion \(f\) besitzt einen Tiefpunkt bei \(TP(2|6)\) und einen Hochpunkt bei \(HP(-4|-6)\).

- Wann ist ein Bruch definiert und wann ist sein Wert gleich null? - Erinnere dich an die Polynomdivision oder versuche, den Zähler so umzuschreiben, dass du ihn teilweise durch den Nenner teilen kannst. - Welche Geraden nähern sich dem Graphen für sehr große \(x\)-Werte oder an den Definitionslücken an? - Was sagt das Vorzeichen der zweiten Ableitung über die Form der Kurve aus? - Überlege, welche Bedingung für die Existenz einer Wendestelle erfüllt sein muss und ob diese hier möglich ist.

1. Definitionsmenge bestimmen: Der Nenner darf nicht null werden, also \(x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2\). Somit ist \(D = \mathbb{R} \setminus \{2\}\). 2. Nullstellen bestimmen: Der Zähler \(x^2 - 4x + 7\) hat die Diskriminante \(D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 - 28 = -12\). Da \(D < 0\), gibt es keine reellen Nullstellen. 3. Termumformung prüfen: \((x - 2) \cdot (x - 2) + 3 = x^2 - 4x + 4 + 3 = x^2 - 4x + 7\). Division durch \((x - 2)\) ergibt die geforderte Form \(x - 2 + \frac{3}{x - 2}\). 4. Asymptoten identifizieren: Die senkrechte Asymptote liegt an der Definitionslücke \(x = 2\). Die schräge Asymptote ergibt sich aus dem linearen Teil der Zerlegung zu \(y = x - 2\). 5. Krümmungsverhalten: Für \(x > 2\) ist der Nenner von \(f''(x)\) positiv, also \(f''(x) > 0\) (Linkskrümmung). Für \(x < 2\) ist der Nenner negativ, also \(f''(x) < 0\) (Rechtskrümmung). 6. Wendepunkte: Ein Wendepunkt erfordert \(f''(x) = 0\). Da der Zähler der zweiten Ableitung konstant \(6\) ist, hat die Gleichung keine Lösung. Die Stelle \(x = 2\) gehört nicht zur Definitionsmenge.

a) \(D = \mathbb{R} \setminus \{2\}\); keine Nullstellen. b) Asymptoten: \(x = 2\) und \(y = x - 2\). c) \(G_f\) ist für \(x < 2\) rechtsgekrümmt und für \(x > 2\) linksgekrümmt. Es gibt keine Wendepunkte, da \(f''(x) \neq 0\) für alle \(x \in D\).

- Nullstellen einer rationalen Funktion findest du, indem du den Zähler gleich null setzt. - Für die Asymptoten betrachtest du das Verhalten an der Definitionslücke und für \(x \to \pm \infty\). - Die Zerlegung in einen linearen Teil und einen Restbruch hilft dir, die schräge Asymptote direkt abzulesen. - Untersuche das Vorzeichen der zweiten Ableitung in den Bereichen links und rechts der Definitionslücke. - Achte darauf, ob ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung an einer Stelle im Definitionsbereich stattfindet.

1. Definitionsmenge: \(x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1\), also \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{1\}\). 2. Nullstellen: \(2x^2 - 4x - 1 = 0\). Mit der Mitternachtsformel: \(x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{6}}{2}\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 \approx 2{,}22\) und \(x_2 \approx -0{,}22\). 3. Termumformung: \((2x - 2)(x - 1) - 3 = 2x^2 - 2x - 2x + 2 - 3 = 2x^2 - 4x - 1\). Division durch \((x - 1)\) bestätigt \(2x - 2 - \frac{3}{x - 1}\). 4. Asymptoten: Senkrechte Asymptote bei \(x = 1\), schräge Asymptote bei \(y = 2x - 2\). 5. Krümmung: Für \(x < 1\) ist \((x - 1)^3 < 0\), daraus folgt \(g''(x) > 0\) (Linkskrümmung). Für \(x > 1\) ist \((x - 1)^3 > 0\), daraus folgt \(g''(x) < 0\) (Rechtskrümmung). 6. Wendestellen: Da \(g''(x)\) niemals null wird und die einzige Änderung des Krümmungsverhaltens an der Definitionslücke \(x = 1\) stattfindet, gibt es keine Wendestellen.

a) \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{1\}\); Nullstellen bei \(x = 1 \pm \frac{\sqrt{6}}{2}\). b) Senkrechte Asymptote: \(x = 1\); schräge Asymptote: \(y = 2x - 2\). c) Linksgekrümmt für \(x \in ]-\infty; 1[\), rechtsgekrümmt für \(x \in ]1; \infty[\). Anzahl der Wendestellen: \(0\).

- Überlege zuerst, für welche Werte die Funktion überhaupt definiert ist. - Welche mathematische Bedingung muss für die Ableitung erfüllt sein, damit ein Monotoniewechsel stattfinden kann? - Untersuche nicht nur die Nullstellen der Ableitung, sondern schaue dir auch das Verhalten an der Definitionslücke genau an. - Hilft dir eine Vorzeichentabelle der Ableitung, um die Intervalle übersichtlich darzustellen?

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Die Funktion ist für \(x = 2\) nicht definiert, also \(D = \mathbb{R} \setminus \{2\}\). 2. Berechnung der ersten Ableitung mittels Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{2x(x-2) - (x^2-3) \cdot 1}{(x-2)^2} = \frac{x^2 - 4x + 3}{(x-2)^2}\). 3. Bestimmung der kritischen Stellen durch \(f'(x) = 0\): Die Nullstellen des Zählers \(x^2 - 4x + 3 = 0\) liegen bei \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). 4. Analyse des Vorzeichens von \(f'(x)\): Da der Nenner \((x-2)^2\) für alle \(x \in D\) positiv ist, hängt das Vorzeichen nur vom Zähler ab. Der Zähler ist eine nach oben geöffnete Parabel mit Nullstellen bei \(1\) und \(3\). 5. Monotonieintervalle: Für \(x < 1\) ist \(f'(x) > 0\) (streng monoton steigend), für \(1 < x < 2\) ist \(f'(x) < 0\) (streng monoton fallend), für \(2 < x < 3\) ist \(f'(x) < 0\) (streng monoton fallend) und für \(x > 3\) ist \(f'(x) > 0\) (streng monoton steigend). 6. Ergebnis: Das Monotonieverhalten ändert sich bei \(x = 1\) (Hochpunkt) und \(x = 3\) (Tiefpunkt). An der Polstelle \(x = 2\) ändert es sich nicht, da das Vorzeichen von \(f'\) links und rechts der Stelle negativ bleibt.

Das Monotonieverhalten von \(f\) ändert sich an den Stellen \(x = 1\) und \(x = 3\). Begründung: - Bei \(x = 1\) und \(x = 3\) liegen Nullstellen der ersten Ableitung mit Vorzeichenwechsel vor (Extremstellen). - An der Polstelle \(x = 2\) ändert sich das Monotonieverhalten nicht, da die erste Ableitung \(f'(x) = \frac{(x-1)(x-3)}{(x-2)^2}\) in einer Umgebung von \(x = 2\) (sowohl für \(x < 2\) als auch für \(x > 2\)) negative Werte annimmt.

- Überlege dir, unter welchen Bedingungen der Nenner eines Bruches null werden könnte. - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn du \(x\) durch \(-x\) ersetzt? - Erinnere dich an die Regel für Grenzwerte rationaler Funktionen, wenn der Grad des Zählers gleich dem Grad des Nenners ist. - Nutze die Quotientenregel für die Ableitungen und achte auf die Kettenregel beim Ableiten der Nennerpotenzen. - Wie hängen das Vorzeichen der ersten Ableitung und die Art des Extrempunktes zusammen?

1. Definitionsbereich und Nullstellen: Da der Nenner \(x^2+2\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) stets größer oder gleich \(2\) ist, gibt es keine Definitionslücken, woraus \(D_f = \mathbb{R}\) folgt. Die Nullstellen ergeben sich aus \(8-2x^2=0\), woraus \(x^2=4\) und somit \(x_1 = -2\) sowie \(x_2 = 2\) folgen. 2. Symmetrie und Grenzwerte: Wegen \(f(-x) = \frac{8-2(-x)^2}{(-x)^2+2} = \frac{8-2x^2}{x^2+2} = f(x)\) ist der Graph \(G_f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Für die Grenzwerte gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{8-2x^2}{x^2+2} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{8}{x^2}-2}{1+\frac{2}{x^2}} = -2\). 3. Extrempunkt: Die erste Ableitung lautet \(f'(x) = \frac{-4x(x^2+2) - (8-2x^2) \cdot 2x}{(x^2+2)^2} = \frac{-24x}{(x^2+2)^2}\). Die einzige horizontale Tangente liegt bei \(x=0\) vor. Da \(f'(x) > 0\) für \(x < 0\) und \(f'(x) < 0\) für \(x > 0\), liegt ein lokaler Hochpunkt bei \(H(0|4)\) vor. 4. Wendepunkte: Die zweite Ableitung ist \(f''(x) = \frac{-24(x^2+2)^2 - (-24x) \cdot 2(x^2+2) \cdot 2x}{(x^2+2)^4} = \frac{72x^2-48}{(x^2+2)^3}\). Nullsetzen von \(72x^2-48=0\) liefert \(x^2 = \frac{2}{3}\), also \(x_{W1,2} = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} = \pm \frac{1}{3}\sqrt{6} \approx \pm 0{,}82\). Einsetzen in \(f\) ergibt \(f(\pm \sqrt{2/3}) = \frac{8-4/3}{2/3+2} = \frac{20/3}{8/3} = 2{,}5\). Die Wendepunkte sind \(W_1(-\frac{1}{3}\sqrt{6}|2{,}5)\) und \(W_2(\frac{1}{3}\sqrt{6}|2{,}5)\).

a) \(D_f = \mathbb{R}\); Nullstellen bei \(x = -2\) und \(x = 2\). b) Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse; \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = -2\). c) Hochpunkt \(H(0|4)\). d) Wendepunkte \(W_{1,2}(\pm \frac{1}{3}\sqrt{6}|2{,}5)\).

- Wie berechnet man die Ableitung einer Funktion, bei der die Variable im Nenner steht? - Was sagt das Vorzeichen der ersten Ableitung über den Verlauf des Graphen aus? - Erinnere dich daran, wie sich Brüche verhalten, wenn der Nenner immer größer oder immer kleiner (negativ) wird. - Überlege dir, ob eine Kurve immer weiter steigen kann, ohne dabei über eine bestimmte „Schranke“ hinauszugehen.

1. Die erste Ableitung der Funktion \(f(x) = 3 - 2 \cdot (x-1)^{-1}\) lautet \(f'(x) = 2 \cdot (x-1)^{-2} = \frac{2}{(x-1)^2}\). Da das Quadrat \((x-1)^2\) für alle \(x \in D_f\) positiv ist, gilt \(f'(x) > 0\) für alle \(x \neq 1\). Somit ist die Funktion \(f\) auf den Intervallen \(]-\infty; 1[\) und \(]1; \infty[\) jeweils streng monoton steigend. 2. Für die Grenzwerte im Unendlichen betrachtet man den Term \(\frac{2}{x-1}\). Da dieser für \(x \to \pm \infty\) gegen \(0\) konvergiert, gilt: \(\lim_{x \to \infty} \left( 3 - \frac{2}{x-1} \right) = 3 - 0 = 3\) \(\lim_{x \to -\infty} \left( 3 - \frac{2}{x-1} \right) = 3 - 0 = 3\) 3. Die Aussage des Schülers ist falsch. Wie in Schritt 1 und 2 gezeigt, ist die Funktion zwar streng monoton steigend, nähert sich jedoch einer waagerechten Asymptote bei \(y = 3\) an. Strenge Monotonie auf den Definitionsintervallen einer gebrochen-rationalen Funktion impliziert also nicht zwangsläufig unendliche Grenzwerte im Unendlichen.

1. \(f'(x) = \frac{2}{(x-1)^2} > 0\); die Funktion ist auf \(]-\infty; 1[\) und \(]1; \infty[\) streng monoton steigend. 2. \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 3\) und \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 3\). 3. Die Aussage ist falsch, da die Funktion trotz strenger Monotonie eine waagerechte Asymptote besitzt und gegen den endlichen Wert \(3\) konvergiert.

- Welche Werte darf die Variable im Nenner nicht annehmen? - Wie verhält sich die Funktion, wenn die x-Werte sehr groß oder sehr klein werden? - Was passiert mit den Funktionswerten in der Nähe der Definitionslücken? - Gibt es Stellen, an denen die Steigung der Funktion null ist? - Skizziere gedanklich den Verlauf der einzelnen Äste des Graphen.

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Die Nullstellen des Nenners \(x^2 - 1 = 0\) führen auf \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 1\), woraus \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}\) folgt. 2. Untersuchung der Symmetrie: Wegen \(f(-x) = f(x)\) ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. Grenzwerte: Für \(x \to \pm \infty\) gilt \(f(x) \to 1\). An den Polstellen gilt \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = \infty\) (da Zähler negativ und Nenner negativ gegen Null) und \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = -\infty\) (da Zähler negativ und Nenner positiv gegen Null). 4. Ableitung und Extrempunkte: \(f'(x) = \frac{2x(x^2-1) - 2x(x^2-4)}{(x^2-1)^2} = \frac{6x}{(x^2-1)^2}\). Die einzige Nullstelle ist \(x = 0\) mit \(f(0) = 4\). Da der Graph im Intervall \(]-1; 1[\) von \(\infty\) kommt, bei \(x=0\) den Wert \(4\) annimmt und wieder gegen \(\infty\) strebt, liegt bei \(H(0|4)\) ein lokales Minimum für diesen Ast vor. 5. Wertemenge: In den äußeren Intervallen \(]-\infty; -1[\) und \(]1; \infty[\) nimmt die Funktion alle Werte im Bereich \(]-\infty; 1[\) an. Im inneren Intervall \(]-1; 1[\) werden alle Werte im Bereich \([4; \infty[\) angenommen. 6. Ergebnis: \(W_f = \mathbb{R} \setminus [1; 4[\).

\(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}\) \(W_f = ]-\infty; 1[ \cup [4; \infty[ = \mathbb{R} \setminus [1; 4[\)

- Überlege dir, welche Bedingung ein \(x\)-Wert erfüllen muss, um nicht in der Definitionsmenge zu sein. - Wann ist eine Nullstelle des Zählers tatsächlich eine Nullstelle der gesamten Funktion? - Was passiert mit einer Definitionslücke, wenn der zugehörige Faktor auch im Zähler vorkommt?

1. Nennernullstellen bestimmen: \(x^2-x-6 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+2) = 0\), also \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -2\). Somit ist \(D = \mathbb{R} \setminus \{-2; 3\}\). 2. Nullstelle der Schar: Der Zähler wird für \(x = a\) null. Damit \(x = a\) eine Nullstelle ist, muss \(a \in D\) gelten. Für \(a \in \mathbb{R} \setminus \{-2; 3\}\) ist die Nullstelle \(x = a\). Für \(a = -2\) oder \(a = 3\) besitzt die Funktion keine Nullstelle, da diese Werte nicht in \(D\) liegen. 3. Senkrechte Asymptoten: Senkrechte Asymptoten liegen an den Polstellen vor. Normalerweise gibt es zwei (\(x=3\) und \(x=-2\)). Genau eine senkrechte Asymptote existiert, wenn eine der Definitionslücken stetig hebbar ist. Dies ist der Fall, wenn der Zählerfaktor \((x-a)\) mit einem Nennerfaktor identisch ist. Für \(a = 3\) kürzt sich \((x-3)\), und es bleibt nur die Polstelle bei \(x = -2\). Für \(a = -2\) kürzt sich \((x+2)\), und es bleibt nur die Polstelle bei \(x = 3\). Also für \(a \in \{-2; 3\}\).

a) \(D = \mathbb{R} \setminus \{-2; 3\}\) b) Für \(a \in \mathbb{R} \setminus \{-2; 3\}\) ist die Nullstelle \(x = a\); für \(a = -2\) oder \(a = 3\) gibt es keine Nullstelle. c) Für \(a = 3\) oder \(a = -2\), da in diesen Fällen eine der Definitionslücken stetig hebbar ist und somit nur eine Polstelle (senkrechte Asymptote) verbleibt.

- Was passiert mit dem Funktionswert, wenn der Nenner gegen Null geht? - Wie verhält sich ein Bruch, bei dem der Nenner wesentlich schneller wächst als der Zähler? - Nutze die Quotientenregel für die Ableitung und achte auf das Vorzeichen des Zählers im Ergebnis. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der ersten Ableitung und dem Steigungsverhalten des Graphen. - Für eine Tangente benötigst du einen Punkt auf dem Graphen und die Steigung an dieser Stelle.

1. Bestimmung der Nullstellen des Nenners: \(x^2 - 9 = 0 \Leftrightarrow x = 3 \lor x = -3\). Da die Zählerwerte an diesen Stellen ungleich Null sind, liegen senkrechte Asymptoten bei \(x = -3\) und \(x = 3\) vor. 2. Grenzwertbetrachtung für \(x \to \pm \infty\): Da der Grad des Zählerpolynoms (1) kleiner ist als der des Nennerpolynoms (2), gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0\). Somit ist die Gerade \(y = 0\) (die \(x\)-Achse) waagrechte Asymptote. 3. Berechnung der ersten Ableitung mit der Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{5 \cdot (x^2 - 9) - 5x \cdot 2x}{(x^2 - 9)^2} = \frac{5x^2 - 45 - 10x^2}{(x^2 - 9)^2} = \frac{-5x^2 - 45}{(x^2 - 9)^2} = -\frac{5(x^2 + 9)}{(x^2 - 9)^2}\). 4. Da \(x^2 + 9 > 0\) und \((x^2 - 9)^2 > 0\) für alle \(x \in D_f\), gilt stets \(f'(x) < 0\). Die Funktion \(f\) ist somit in jedem der Intervalle \(]-\infty; -3[\), \(]-3; 3[\) und \(]3; \infty[\) streng monoton fallend. 5. Tangentengleichung im Ursprung: \(f(0) = \frac{0}{-9} = 0\). Steigung \(m = f'(0) = -\frac{5(0 + 9)}{(0 - 9)^2} = -\frac{45}{81} = -\frac{5}{9}\). Mit dem Ansatz \(y = mx + t\) folgt wegen \(P(0|0)\) direkt \(t = 0\), also \(y = -\frac{5}{9}x\).

a) Senkrechte Asymptoten: \(x = -3\) und \(x = 3\). Da der Nennergrad höher als der Zählergrad ist, ist \(y = 0\) die waagrechte Asymptote. b) \(f'(x) = -\frac{5(x^2 + 9)}{(x^2 - 9)^2}\). Die Funktion ist in den Intervallen \(]-\infty; -3[\), \(]-3; 3[\) und \(]3; \infty[\) jeweils streng monoton fallend. c) Die Tangentengleichung lautet \(y = -\frac{5}{9}x\).

- Überlege dir, unter welcher Bedingung eine quadratische Gleichung der Form \(x^2 + c = 0\) keine Lösung besitzt. - Erinnere dich an die Definitionen für Achsen- und Punktsymmetrie bei Funktionen. - Nutze die Quotientenregel, um die Ableitung zu bestimmen. - Wann hat eine Gleichung der Form \(x^2 = a\) genau zwei Lösungen? - Setze die \(x\)-Koordinate der Extremstelle in den Funktionsterm ein, um die \(y\)-Koordinate zu erhalten.

1. Die Definitionsmenge ist \(\mathbb{R}\), wenn der Nenner \(x^2 + t\) für kein \(x \in \mathbb{R}\) den Wert Null annimmt. Dies ist genau dann der Fall, wenn \(t > 0\) gilt. 2. Zur Symmetrieprüfung wird \(f_t(-x)\) untersucht: \(f_t(-x) = \frac{t \cdot (-x)}{(-x)^2 + t} = \frac{-tx}{x^2 + t} = -f_t(x)\). Damit liegt für alle \(t\) eine Punktsymmetrie zum Ursprung vor. 3. Die erste Ableitung lautet nach der Quotientenregel: \(f_t'(x) = \frac{t \cdot (x^2 + t) - tx \cdot 2x}{(x^2 + t)^2} = \frac{t^2 - tx^2}{(x^2 + t)^2} = \frac{t(t - x^2)}{(x^2 + t)^2}\). Für \(t > 0\) liefert die Bedingung \(f_t'(x) = 0\) die Gleichung \(x^2 = t\), also \(x_{1,2} = \pm \sqrt{t}\). Da der Nenner stets positiv ist und der Zähler eine nach unten geöffnete Parabel darstellt (für \(t > 0\)), findet an beiden Stellen ein Vorzeichenwechsel statt, was die Existenz von genau zwei Extrempunkten beweist. 4. Der Hochpunkt im ersten Quadranten liegt bei \(x = \sqrt{t}\). Die \(y\)-Koordinate ist \(f_t(\sqrt{t}) = \frac{t \cdot \sqrt{t}}{(\sqrt{t})^2 + t} = \frac{t\sqrt{t}}{2t} = \frac{\sqrt{t}}{2}\). Aus \(\frac{\sqrt{t}}{2} = 1\) folgt \(\sqrt{t} = 2\) und somit \(t = 4\).

a) \(t > 0\) b) Nachweis über \(f_t(-x) = -f_t(x)\) c) Ableitung \(f_t'(x) = \frac{t(t - x^2)}{(x^2 + t)^2}\) mit Nullstellen bei \(x = \pm \sqrt{t}\) d) \(t = 4\)

- Überlege zuerst, welche Werte für \(x\) im Nenner problematisch sein könnten. - Nutze die Quotientenregel oder die Kettenregel für die Ableitungen. - Erinnere dich daran, wie das Vorzeichen der zweiten Ableitung mit der Rechts- oder Linkskrümmung zusammenhängt. - Ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung kann nicht nur an Nullstellen, sondern auch an anderen markanten Stellen vorkommen. - Überlege, was die Definition eines Wendepunkts voraussetzt.

1. Der Nenner \(x^2-1\) wird Null für \(x = 1\) und \(x = -1\), also ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}\). Die Ableitungen lauten \(f'(x) = -2x \cdot (x^2-1)^{-2}\) und \(f''(x) = \frac{6x^2+2}{(x^2-1)^3}\). 2. Die Gleichung \(6x^2+2 = 0\) hat in \(\mathbb{R}\) keine Lösung, da \(6x^2+2 \geq 2\) für alle \(x\) gilt. Somit hat \(f''\) keine Nullstellen. 3. Das Vorzeichen von \(f''(x)\) hängt nur vom Nenner \((x^2-1)^3\) ab. Für \(|x| > 1\) ist \(x^2-1 > 0\), also \(f''(x) > 0\) (linksgekrümmt). Für \(|x| < 1\) ist \(x^2-1 < 0\), also \(f''(x) < 0\) (rechtsgekrümmt). Intervalle: linksgekrümmt in \(]-\infty; -1[\) und \(]1; \infty[\), rechtsgekrümmt in \(]-1; 1[\). 4. Das Krümmungsverhalten ändert sich an den Polstellen \(x = -1\) und \(x = 1\), da der Term \((x^2-1)\) dort sein Vorzeichen wechselt. Es liegen keine Wendepunkte vor, da diese Stellen nicht zum Definitionsbereich der Funktion gehören.

1. \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}\); \(f''(x) = \frac{6x^2+2}{(x^2-1)^3}\) 2. \(6x^2+2 > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), daher keine Nullstellen. 3. Linksgekrümmt für \(x \in ]-\infty; -1[\) und \(x \in ]1; \infty[\); rechtsgekrümmt für \(x \in ]-1; 1[\). 4. Der Vorzeichenwechsel von \(f''\) erfolgt an den Polstellen (Nennernullstellen). Da diese nicht in \(D_f\) liegen, existieren dort keine Punkte des Graphen und somit keine Wendepunkte.

- Überlege zuerst, für welche \( x \)-Werte die Funktion überhaupt definiert ist. - Erinnere dich an die Quotientenregel zur Ableitung gebrochen-rationaler Funktionen. - Wann hat eine quadratische Gleichung zwei, eine oder gar keine Lösung? - Denke daran, dass eine Nullstelle der Ableitung nur dann eine Extremstelle ist, wenn dort ein Vorzeichenwechsel stattfindet und die Stelle im Definitionsbereich liegt.

1. Bestimmung des Definitionsbereichs: \( D = \mathbb{R} \setminus \{1\} \). 2. Bildung der ersten Ableitung mit der Quotientenregel: \( f_a'(x) = \frac{2x(x-1) - (x^2+a) \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x - a}{(x-1)^2} \). 3. Notwendige Bedingung für Extremstellen: \( f_a'(x) = 0 \). Dies führt auf die quadratische Gleichung \( x^2 - 2x - a = 0 \). 4. Berechnung der Diskriminante: \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a) = 4 + 4a \). 5. Fallunterscheidung nach der Anzahl der Nullstellen der Ableitung: - Wenn \( a < -1 \), ist \( D < 0 \). Es gibt keine reellen Nullstellen der Ableitung und somit keine Extremstellen. - Wenn \( a = -1 \), ist \( D = 0 \). Die einzige Nullstelle ist \( x = 1 \). Da dieser Wert nicht im Definitionsbereich liegt, gibt es keine Extremstellen. (Zudem liegt bei einer doppelten Nullstelle der Ableitung kein Vorzeichenwechsel vor). - Wenn \( a > -1 \), ist \( D > 0 \). Die Gleichung hat zwei verschiedene Lösungen \( x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4+4a}}{2} = 1 \pm \sqrt{1+a} \). Da \( a > -1 \), ist \( \sqrt{1+a} \neq 0 \), also sind beide Stellen ungleich \( 1 \) und liegen im Definitionsbereich. Da die Zählerfunktion eine Parabel mit zwei einfachen Nullstellen ist, findet jeweils ein Vorzeichenwechsel statt. Es existieren genau zwei Extremstellen.

Für \( a \le -1 \) besitzt die Funktion \( f_a \) keine Extremstellen. Für \( a > -1 \) besitzt die Funktion \( f_a \) genau zwei Extremstellen.

- Wie verhält sich die Funktion für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte? - Welche besonderen Punkte des Graphen könnten die Grenzen der Wertemenge festlegen? - Ist die Funktion überall definiert und stetig? - Hilft es dir, die lokalen Maxima und Minima zu berechnen?

Zunächst wird der Definitionsbereich bestimmt; da die Diskriminante des Nenners negativ ist (\(x^2 + 3 > 0\)), ist \(D_f = \mathbb{R}\). Zur Bestimmung der Wertemenge werden die Extrema berechnet. Die erste Ableitung lautet \(f'(x) = \frac{6x^2 - 12x - 18}{(x^2 + 3)^2}\). Die notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) führt auf die quadratische Gleichung \(x^2 - 2x - 3 = 0\) mit den Lösungen \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -1\). Die zugehörigen Funktionswerte sind \(f(3) = 0\) (lokales Minimum) und \(f(-1) = 4\) (lokales Maximum). Anschließend wird das Verhalten im Unendlichen untersucht: Es gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 1\). Da die Funktion auf ganz \(\mathbb{R}\) stetig ist, nimmt sie alle Werte zwischen dem globalen Minimum \(0\) und dem globalen Maximum \(4\) an. Da der Grenzwert \(1\) innerhalb dieses Intervalls liegt, ergibt sich die Wertemenge zu \(W_f = [0; 4]\).

\(W_f = [0; 4]\)

- Was passiert mit den Funktionswerten, wenn \(x\) gegen Unendlich strebt? - Gibt es Stellen, an denen die Funktion nicht definiert ist? - Wie findest du die höchsten und tiefsten Punkte des Graphen? - Warum ist es wichtig zu wissen, ob der Grenzwert im Unendlichen innerhalb oder außerhalb der Extremwerte liegt?

Die Funktion ist für alle \(x \in \mathbb{R}\) definiert. Zur Bestimmung des Wertebereichs wird die Ableitung \(g'(x) = \frac{-4x^2 + 4}{(x^2 + 1)^2}\) gebildet. Die Nullstellen der Ableitung liegen bei \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\). Durch Einsetzen in die Funktionsgleichung erhält man die Extremwerte \(g(1) = \frac{1+4+1}{1+1} = 3\) und \(g(-1) = \frac{1-4+1}{1+1} = -1\). Die Untersuchung des Grenzwerts ergibt \(\lim_{x \to \pm \infty} g(x) = 1\). Da die Funktion stetig ist und der Grenzwert \(1\) zwischen dem Minimum \(-1\) und dem Maximum \(3\) liegt, werden alle Werte im abgeschlossenen Intervall zwischen den Extrema angenommen. Die Wertemenge ist somit \(W_g = [-1; 3]\).

\(W_g = [-1; 3]\)

- Welche Einschränkungen gelten für den Logarithmus \(\ln(x)\)? - Gibt es Werte, für die der Nenner null wird? - Wenn ein Wert sowohl den Zähler als auch den Nenner null werden lässt, gehört er dann zur Definitionsmenge? - Erinnere dich an den Satz vom Nullprodukt, um den Zähler zu untersuchen.

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Die Logarithmusfunktion \(\ln(x)\) erfordert \(x > 0\). Zusätzlich darf der Nenner nicht null werden: \(x^2 - 1 = 0 \iff x = 1\) oder \(x = -1\). Da \(-1\) nicht im Bereich \(x > 0\) liegt, ist nur \(x = 1\) als Ausschlusswert relevant. Somit ist \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 0 \text{ und } x \neq 1\}\) bzw. \(D = ]0; 1[ \cup ]1; \infty[\). 2. Bestimmung der Nullstellen: Der Zähler wird null, wenn \((x-5) \cdot \ln(x) = 0\). Nach dem Satz vom Nullprodukt muss \(x-5 = 0\) oder \(\ln(x) = 0\) gelten. 3. Dies liefert die Kandidaten \(x_1 = 5\) und \(x_2 = 1\). 4. Prüfung der Definitionsmenge: Der Wert \(x = 5\) liegt in \(D\). Der Wert \(x = 1\) liegt jedoch nicht in \(D\), da dort der Nenner der Funktion null wird. Die einzige Nullstelle ist somit \(x = 5\).

\(D = ]0; 1[ \cup ]1; \infty[\) oder \(D = \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}\); Nullstelle bei \(x = 5\)

- Welche Ableitungsregel ist bei einem Bruch am besten geeignet? - Denke daran, dass die Exponentialfunktion niemals den Wert Null annimmt. - Wie kannst du ohne die zweite Ableitung feststellen, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt? - Vergiss nicht, am Ende auch die \(y\)-Koordinate des Punktes zu berechnen.

1. Ableitung mit der Quotientenregel bestimmen: \(f'(x) = \frac{e^x \cdot x^2 - e^x \cdot 2x}{x^4} = \frac{e^x \cdot x \cdot (x - 2)}{x^4} = \frac{e^x \cdot (x - 2)}{x^3}\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema \(f'(x) = 0\) anwenden: \(e^x \cdot (x - 2) = 0\). Da \(e^x > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), folgt die einzige Nullstelle der Ableitung bei \(x = 2\). 3. Art des Extrempunkts durch Untersuchung des Vorzeichenwechsels von \(f'\) bestimmen: Für \(x \in (0; 2)\) ist \(x-2 < 0\) und \(x^3 > 0\), also \(f'(x) < 0\). Für \(x > 2\) ist \(x-2 > 0\) und \(x^3 > 0\), also \(f'(x) > 0\). Da die Ableitung an der Stelle \(x = 2\) ihr Vorzeichen von Minus nach Plus wechselt, liegt ein lokales Minimum vor. 4. Funktionswert berechnen: \(f(2) = \frac{e^2}{2^2} = \frac{e^2}{4}\). Der Extrempunkt ist ein Tiefpunkt mit den Koordinaten \((2 \mid \frac{e^2}{4})\).

Der Graph von \(f\) besitzt einen Tiefpunkt an der Stelle \(x = 2\) mit den Koordinaten \((2 \mid \frac{e^2}{4})\).

- Wann ist ein Bruch definiert und wann wird sein Wert null? - Gibt es einen Wert für \(x\), bei dem man durch null teilen würde? - Kannst du den Zähler durch eine Ersetzung (Substitution) in eine bekanntere Form bringen? - Überprüfe am Ende unbedingt, ob deine berechneten Nullstellen im Definitionsbereich der Funktion liegen.

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Der Nenner darf nicht null werden. \(x - \ln(2) = 0 \iff x = \ln(2)\). Da keine weiteren Einschränkungen (wie Wurzeln oder Logarithmen im Funktionsterm) vorliegen, gilt \(D = \mathbb{R} \setminus \{\ln(2)\}\). 2. Bestimmung der Nullstellen: Ein Bruch wird null, wenn der Zähler null ist. Setze \(e^{2x} - 5e^x + 6 = 0\). 3. Substitution \(u = e^x\) führt auf die quadratische Gleichung \(u^2 - 5u + 6 = 0\). 4. Lösen der quadratischen Gleichung ergibt \(u_1 = 2\) und \(u_2 = 3\). 5. Resubstitution: \(e^x = 2 \implies x_1 = \ln(2)\) und \(e^x = 3 \implies x_2 = \ln(3)\). 6. Abgleich mit der Definitionsmenge: Der Wert \(x_1 = \ln(2)\) ist nicht in \(D\) enthalten. Somit ist die einzige Nullstelle \(x = \ln(3)\).

\(D = \mathbb{R} \setminus \{\ln(2)\}\) Nullstelle: \(x = \ln(3)\)

- Wie gehst du vor, um die Steigung einer Funktion zu untersuchen? - Welche Regel ist beim Ableiten eines Bruchs besonders hilfreich? - Was sagt das Vorzeichen der ersten Ableitung über den Verlauf des Graphen aus? - Wie kannst du mithilfe der Ableitung feststellen, ob ein Punkt ein Maximum oder ein Minimum ist? - Vergiss nicht, die \(y\)-Koordinaten der gefundenen Stellen zu berechnen.

1. Berechnung der ersten Ableitung mit der Quotientenregel: \(g'(x) = \frac{3 \cdot (x^2 + 9) - 3x \cdot 2x}{(x^2 + 9)^2} = \frac{27 - 3x^2}{(x^2 + 9)^2}\). 2. Bestimmung der Nullstellen von \(g'(x)\): \(27 - 3x^2 = 0 \iff x^2 = 9 \iff x_1 = -3; x_2 = 3\). 3. Analyse des Vorzeichens von \(g'(x)\): Da der Nenner stets positiv ist, hängt das Vorzeichen vom Zähler \(27 - 3x^2\) ab. Dieser ist eine nach unten geöffnete Parabel mit Nullstellen bei \(-3\) und \(3\). 4. Monotonieintervalle: \(g\) ist streng monoton fallend für \(x \in ]-\infty; -3]\), streng monoton steigend für \(x \in [-3; 3]\) und erneut streng monoton fallend für \(x \in [3; \infty[\). 5. Extrempunkte: Bei \(x = -3\) liegt ein Vorzeichenwechsel von \(-\) nach \(+\) vor, also ein lokaler Tiefpunkt \(T(-3 \mid g(-3)) = T(-3 \mid -0{,}5)\). Bei \(x = 3\) liegt ein Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\) vor, also ein lokaler Hochpunkt \(H(3 \mid g(3)) = H(3 \mid 0{,}5)\).

\(g\) ist streng monoton fallend in \(]-\infty; -3]\) und \([3; \infty[\) sowie streng monoton steigend in \([-3; 3]\). Tiefpunkt: \(T(-3 \mid -0{,}5)\) Hochpunkt: \(H(3 \mid 0{,}5)\)

- Was passiert mit den Funktionswerten, wenn \(x\) sehr groß oder sehr klein wird? - Gibt es einen höchsten oder tiefsten Punkt, den der Graph erreicht? - Wie hilft dir die erste Ableitung dabei, den höchsten Punkt zu finden? - Überlege, ob die Grenzwerte selbst zur Wertemenge gehören oder nur eine Schranke darstellen.

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(h'(x) = \frac{2x(x^2+1) - (x^2+4) \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^3 + 2x - 2x^3 - 8x}{(x^2+1)^2} = \frac{-6x}{(x^2+1)^2}\). 2. Untersuchung der Monotonie: Die einzige Nullstelle der Ableitung liegt bei \(x = 0\). Für \(x < 0\) ist \(h'(x) > 0\) (streng monoton steigend), für \(x > 0\) ist \(h'(x) < 0\) (streng monoton fallend). 3. Bestimmung des Extremums: Bei \(x = 0\) liegt ein globales Maximum vor. Der Funktionswert ist \(h(0) = \frac{0^2+4}{0^2+1} = 4\). 4. Grenzwertbetrachtung: \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2+4}{x^2+1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} = 1\). 5. Schlussfolgerung für die Wertemenge: Da der Graph stetig ist, vom Grenzwert \(1\) (der nie erreicht wird) ansteigt bis zum Maximum \(4\) und dann wieder gegen \(1\) fällt, umfasst die Wertemenge alle Zahlen größer als \(1\) bis einschließlich \(4\).

\(\mathbb{W}_h = ]1; 4]\)

- Wann kann ein Bruch den Wert null annehmen? - Überlege, für welche Werte der Nenner undefiniert ist. - Wie verhält sich eine Exponentialfunktion im Vergleich zu einer ganzrationalen Funktion für sehr große \(x\)? - Nutze die Quotientenregel für die Ableitung. - Untersuche das Vorzeichen der ersten Ableitung um die Extremstelle herum.

1. Nullstellen: Da \(e^{0{,}5x} > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), kann der Zähler der Funktion nie null werden. Somit besitzt \(f\) keine Nullstellen. 2. Definitionsbereich: Da der Nenner für \(x = -1\) null wird, ist \(D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\). 3. Grenzwerte an den Rändern: \(\lim_{x \to -\infty} \frac{e^{0{,}5x}}{x+1} = 0\), da \(e^{0{,}5x} \to 0\) und \((x+1) \to -\infty\). \(\lim_{x \to -1^-} f(x) = \frac{e^{-0{,}5}}{0^-} = -\infty\). \(\lim_{x \to -1^+} f(x) = \frac{e^{-0{,}5}}{0^+} = \infty\). \(\lim_{x \to \infty} \frac{e^{0{,}5x}}{x+1} = \infty\), da die Exponentialfunktion stärker wächst als jede lineare Funktion. 4. Ableitung: \(f'(x) = \frac{0{,}5 e^{0{,}5x}(x+1) - e^{0{,}5x} \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{e^{0{,}5x}(0{,}5x - 0{,}5)}{(x+1)^2}\). 5. Extrempunkt: \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow 0{,}5x - 0{,}5 = 0 \Leftrightarrow x = 1\). 6. Art des Extrempunkts: Da der Nenner \((x+1)^2\) und \(e^{0{,}5x}\) immer positiv sind, bestimmt der lineare Term \(0{,}5x - 0{,}5\) das Vorzeichen. Bei \(x = 1\) erfolgt ein Vorzeichenwechsel von minus nach plus, woraus ein lokaler Tiefpunkt folgt. 7. Koordinaten: \(f(1) = \frac{e^{0{,}5}}{2} = \frac{\sqrt{e}}{2} \approx 0{,}82\). Tiefpunkt \(T(1 | 0{,}5\sqrt{e})\).

a) Da \(e^{0{,}5x} > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), hat der Bruch keine Nullstellen. b) \(D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\); \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\); \(\lim_{x \to -1^-} f(x) = -\infty\); \(\lim_{x \to -1^+} f(x) = \infty\); \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\). c) Tiefpunkt \(T(1 | 0{,}5\sqrt{e})\).

- Überprüfe immer zuerst, ob sich der Funktionsterm kürzen lässt, bevor du Polstellen klassifizierst. - Wie hängen die Vielfachheit einer Nullstelle im Nenner und das Vorhandensein eines Vorzeichenwechsels zusammen? - Was sagt das Vorzeichen der Ableitungsfunktion über das Monotonieverhalten aus? - Überlege dir, wie sich der Exponent im Nenner einer gebrochen-rationalen Funktion beim Ableiten verändert.

1. Vereinfachung des Funktionsterms: \(f(x) = \frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)^2} = \frac{x-3}{x+3}\) für \(x \neq -3\). 2. Bestimmung der Polstelle von \(f\): Da der Faktor \((x+3)\) nach dem Kürzen mit einfacher Ordnung im Nenner verbleibt, liegt bei \(x = -3\) eine Polstelle 1. Ordnung mit Vorzeichenwechsel vor. Laras Aussage ist somit falsch, da sie das Kürzen nicht berücksichtigt hat. 3. Berechnung der Ableitung: Mit der Quotientenregel oder durch Umformung zu \(f(x) = \frac{x+3-6}{x+3} = 1 - 6(x+3)^{-1}\) ergibt sich \(f'(x) = 6(x+3)^{-2} = \frac{6}{(x+3)^2}\). 4. Analyse der Polstelle von \(f'\): Der Nenner von \(f'\) hat an der Stelle \(x = -3\) eine zweifache Nullstelle, also eine Polstelle 2. Ordnung (ohne Vorzeichenwechsel). 5. Untersuchung der Monotonie: Da \(f'(x) > 0\) für alle \(x \in \mathbb{D}_f\), ist die Funktion in den Intervallen \((-\infty; -3)\) und \((-3; \infty)\) jeweils streng monoton steigend. Das Monotonieverhalten ändert sich beim Übergang über die Polstelle nicht. Toms Aussage ist korrekt.

Laras Aussage ist falsch, da \(f\) nach dem Kürzen eine Polstelle 1. Ordnung mit Vorzeichenwechsel besitzt. Toms Aussage ist korrekt, da die Ableitung \(f'(x) = \frac{6}{(x+3)^2}\) an der Stelle \(x = -3\) eine Polstelle 2. Ordnung (ohne Vorzeichenwechsel) hat und somit ihr Vorzeichen nicht ändert, was ein gleichbleibendes Monotonieverhalten bedeutet.

- Schreibe die Funktion zuerst um, um das Ableiten zu erleichtern. - Erinnere dich daran, dass eine Tangente durch den Ursprung die Form \(y = m \cdot x\) hat. - Setze die Koordinaten des Ursprungs in deine allgemeine Tangentengleichung ein, um die Berührstelle zu finden. - Vergiss nicht, am Ende sowohl den \(x\)- als auch den \(y\)-Wert des Punktes anzugeben.

1. Funktion vereinfachen und ableiten: \(f_k(x) = 1 + \frac{k}{x}\), woraus \(f_k'(x) = -\frac{k}{x^2}\) folgt. 2. Tangentengleichung im Berührpunkt \(x_0\) ansetzen: \(y = -\frac{k}{x_0^2} \cdot (x - x_0) + 1 + \frac{k}{x_0}\). 3. Ursprungsbedingung \(O(0 | 0)\) einsetzen: \(0 = -\frac{k}{x_0^2} \cdot (0 - x_0) + 1 + \frac{k}{x_0}\). 4. Gleichung vereinfachen: \(0 = \frac{k}{x_0} + 1 + \frac{k}{x_0} = 1 + \frac{2k}{x_0}\). 5. Nach \(x_0\) auflösen: \(\frac{2k}{x_0} = -1 \implies x_0 = -2k\). Da \(k > 0\), ist \(x_0 \neq 0\) stets im Definitionsbereich. 6. \(y\)-Koordinate berechnen: \(f_k(-2k) = \frac{-2k + k}{-2k} = \frac{-k}{-2k} = 0{,}5\).

Der Berührpunkt hat die Koordinaten \(B(-2k | 0{,}5)\).

- Welche Werte darfst du für \(x\) in die Logarithmusfunktion einsetzen? - Ein Bruch ist genau dann null, wenn sein Zähler null ist. - Nutze die Quotientenregel für die Ableitung. - Überlege dir, wie sich der Zähler und der Nenner verhalten, wenn \(x\) gegen null oder gegen unendlich strebt.

1. Der Definitionsbereich ist \(D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\}\), da das Argument des Logarithmus positiv sein muss. 2. Nullstellen: \(f(x) = 0 \Leftrightarrow \ln(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1\). Die Nullstelle liegt bei \(N(1 \mid 0)\). 3. Extremstellen: Die erste Ableitung ist \(f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^2 - \ln(x) \cdot 2x}{x^4} = \frac{1 - 2\ln(x)}{x^3}\). 4. \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow 1 - 2\ln(x) = 0 \Leftrightarrow \ln(x) = 0{,}5 \Leftrightarrow x = \sqrt{e}\). 5. Die zweite Ableitung ist \(f''(x) = \frac{-2 \cdot \frac{1}{x} \cdot x^3 - (1 - 2\ln(x)) \cdot 3x^2}{x^6} = \frac{-5 + 6\ln(x)}{x^4}\). Einsetzen von \(\sqrt{e}\) ergibt \(f''(\sqrt{e}) = \frac{-2}{e^2} < 0\), somit liegt ein Hochpunkt vor. 6. Koordinaten des Hochpunkts: \(f(\sqrt{e}) = \frac{0{,}5}{e} = \frac{1}{2e}\). Der Hochpunkt ist \(H(\sqrt{e} \mid \frac{1}{2e})\). 7. Asymptoten: Für \(x \to 0^+\) gilt \(f(x) \to -\infty\) (da \(\ln(x) \to -\infty\) und \(x^2 \to 0^+\)). Die senkrechte Asymptote ist \(x = 0\). 8. Für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to 0\) (nach der Regel von de l'Hospital oder aufgrund des Wachstumsverhaltens). Die waagerechte Asymptote ist \(y = 0\).

a) \(D_f = ]0; \infty[\); Nullstelle: \(N(1 \mid 0)\); Hochpunkt: \(H(\sqrt{e} \mid \frac{1}{2e})\) b) Senkrechte Asymptote: \(x = 0\); waagerechte Asymptote: \(y = 0\)

- Wann ist der natürliche Logarithmus definiert und wann ist ein Bruch definiert? - Überlege, welche Ableitungsregeln für diesen Funktionstyp kombiniert werden müssen. - In welchem Quadranten sind sowohl der x- als auch der y-Wert negativ? - Wie weist man nach, ob eine Stelle mit waagrechter Tangente ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt ist?

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Da das Argument des Logarithmus \(x^2 > 0\) sein muss und der Nenner \(x \neq 0\), gilt \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). 2. Ableitung mit der Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{\frac{1}{x^2} \cdot 2x \cdot x - \ln(x^2) \cdot 1}{x^2} = \frac{2 - \ln(x^2)}{x^2}\). 3. Nullstellen der Ableitung: \(2 - \ln(x^2) = 0 \iff \ln(x^2) = 2 \iff x^2 = e^2\). Dies liefert \(x_1 = e\) und \(x_2 = -e\). 4. Auswahl des Punktes im III. Quadranten: Für \(x_2 = -e\) ist \(f(-e) = \frac{\ln((-e)^2)}{-e} = \frac{2}{-e} = -\frac{2}{e}\). Da sowohl \(x < 0\) als auch \(y < 0\), liegt der Punkt \(T(-e \mid -\frac{2}{e})\) im III. Quadranten. 5. Nachweis der Art des Extremums: \(f''(x) = \frac{-\frac{2}{x} \cdot x^2 - (2 - \ln(x^2)) \cdot 2x}{x^4} = \frac{-2x - 4x + 2x\ln(x^2)}{x^4} = \frac{2\ln(x^2) - 6}{x^3}\). Einsetzen von \(x = -e\): \(f''(-e) = \frac{2 \cdot 2 - 6}{(-e)^3} = \frac{-2}{-e^3} = \frac{2}{e^3} > 0\). Es handelt sich um einen Tiefpunkt.

\(D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}\); Tiefpunkt \(T(-e \mid -\frac{2}{e})\)

- Überlege, für welche Werte der natürliche Logarithmus definiert ist und wann ein Nenner null wird. - Ein Bruch ist genau dann null, wenn sein Zähler null ist. - Was passiert mit dem Logarithmus, wenn die Werte immer näher an null rücken? - An welchen Stellen ist die Steigung einer Funktion gleich null? - Nutze die Quotientenregel für die Ableitung.

1. Bestimmung des Definitionsbereichs: Aufgrund des Logarithmus muss das Argument \(x > 0\) sein. Da zudem der Nenner für \(x = 0\) null würde, ergibt sich \(D = ]0; \infty[\). 2. Berechnung der Nullstelle: Der Zähler muss null werden, also \(2 - \ln x = 0\). Dies führt zu \(\ln x = 2\) und somit \(x = e^2\). 3. Untersuchung des Grenzwerts: Für \(x \to 0\) gilt \(\ln x \to -\infty\). Damit strebt der Zähler \(2 - \ln x\) gegen \(+\infty\). Da der Nenner \(x^2\) gegen \(0\) strebt und positiv ist, gilt \(\lim_{x \to 0} f(x) = \infty\). 4. Bestimmung der waagrechten Tangente: Erforderlich ist die erste Ableitung mithilfe der Quotientenregel. \(f'(x) = \frac{-\frac{1}{x} \cdot x^2 - (2 - \ln x) \cdot 2x}{(x^2)^2} = \frac{-x - 4x + 2x \ln x}{x^4} = \frac{2x \ln x - 5x}{x^4} = \frac{2 \ln x - 5}{x^3}\). 5. Setzen der Ableitung gleich null: \(2 \ln x - 5 = 0 \implies \ln x = 2{,}5 \implies x = e^{2{,}5}\).

a) \(D = ]0; \infty[\); Nullstelle bei \(x = e^2\); \(\lim_{x \to 0} f(x) = \infty\) b) \(x = e^{2{,}5}\)

- Welche Einschränkungen gibt es für die \(x\)-Werte in der Funktion? - Ein Bruch ist null, wenn sein Zähler null wird. Löse die Gleichung nach \(x\) auf. - Schau dir das Verhalten von Zähler und Nenner getrennt an, wenn \(x\) sehr klein wird. - Welche Ableitungsregel ist bei einem Quotienten zweier Funktionen anzuwenden? - Was muss für die Ableitung an einer Stelle mit waagrechter Tangente gelten?

1. Definitionsbereich: Wegen des Logarithmus im Zähler und der Variable im Nenner muss \(x > 0\) gelten. Somit ist \(D = ]0; \infty[\). 2. Nullstelle: Setze den Zähler gleich null: \(\ln x + 3 = 0 \implies \ln x = -3 \implies x = e^{-3}\). 3. Grenzwert für \(x \to 0\): Da \(\lim_{x \to 0} (\ln x + 3) = -\infty\) und der Nenner gegen \(0\) strebt (von rechts), folgt \(\lim_{x \to 0} g(x) = -\infty\). 4. Ableitung zur Bestimmung des Extrempunktes: Anwendung der Quotientenregel liefert \(g'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - (\ln x + 3) \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x - 3}{x^2} = \frac{-2 - \ln x}{x^2}\). 5. Bedingung für Extremstellen: \(g'(x) = 0 \implies -2 - \ln x = 0 \implies \ln x = -2 \implies x = e^{-2}\).

a) \(D = ]0; \infty[\); Nullstelle bei \(x = e^{-3}\); \(\lim_{x \to 0} g(x) = -\infty\) b) \(x = e^{-2}\)

- Kann der Nenner jemals null werden? Überlege, was das für den Definitionsbereich bedeutet. - Wie verändert sich das Vorzeichen des Funktionswerts, wenn du \(x\) durch \(-x\) ersetzt? - Welche Regel benötigst du, um einen Bruch abzuleiten? - Was passiert mit dem Wert des Bruchs, wenn die Zahlen im Nenner viel schneller wachsen als im Zähler?

1. Definitionsbereich: Da der Nenner \(x^2 + 4\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) positiv ist, gilt \(D_f = \mathbb{R}\). 2. Symmetrie: Wegen \(f(-x) = \frac{4(-x)}{(-x)^2 + 4} = -\frac{4x}{x^2 + 4} = -f(x)\) ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. 3. Achsenschnittpunkte: Die Nullstelle liegt bei \(4x = 0 \Rightarrow x = 0\). Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist somit ebenfalls \((0|0)\). 4. Verhalten im Unendlichen: Da der Grad des Nenners größer als der des Zählers ist, gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0\). Die x-Achse (\(y = 0\)) ist waagerechte Asymptote. 5. Ableitungen: Mit der Quotientenregel ergibt sich \(f'(x) = \frac{4(x^2+4) - 4x(2x)}{(x^2+4)^2} = \frac{16-4x^2}{(x^2+4)^2}\) und \(f''(x) = \frac{-8x(x^2+4)^2 - (16-4x^2) \cdot 2(x^2+4) \cdot 2x}{(x^2+4)^4} = \frac{8x^3-96x}{(x^2+4)^3} = \frac{8x(x^2-12)}{(x^2+4)^3}\). 6. Extrempunkte: \(f'(x) = 0 \Rightarrow 16-4x^2 = 0 \Rightarrow x_{1,2} = \pm 2\). Einsetzen ergibt \(f(2) = 1\) und \(f(-2) = -1\). Mit \(f''(2) = \frac{-128}{8^3} < 0\) liegt ein Hochpunkt bei \(HP(2|1)\) vor, aus Symmetriegründen ein Tiefpunkt bei \(TP(-2|-1)\). 7. Wendepunkte: \(f''(x) = 0 \Rightarrow 8x(x^2-12) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_{2,3} = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}\). Die Wendepunkte liegen bei \(WP_1(0|0)\) und \(WP_{2,3}(\pm 2\sqrt{3} | \pm \frac{\sqrt{3}}{2})\).

\(D_f = \mathbb{R}\); Punktsymmetrie zum Ursprung; Nullstelle bei \(x = 0\); waagerechte Asymptote \(y = 0\); \(TP(-2|-1)\), \(HP(2|1)\); Wendepunkte \(WP_1(0|0)\), \(WP_{2,3}(\pm 2\sqrt{3} | \pm \frac{\sqrt{3}}{2})\).

- Wie ist eine rationale Funktion mathematisch definiert? Versuche, den Ausdruck auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner immer größer wird, während der Zähler konstant bleibt? - Betrachte die einzelnen Bestandteile der Summe getrennt voneinander für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte. - Wenn der Abstand zwischen einer Kurve und einer Geraden gegen Null geht, wie nennt man diese Gerade?

1. Eine rationale Funktion lässt sich als Quotient zweier Polynome darstellen. Durch Hauptnennerbildung ergibt sich \(f(x) = \frac{(5-x)(x+1) + 3}{x+1} = \frac{-x^2 + 4x + 8}{x+1}\). Da Zähler und Nenner Polynome sind, ist \(f\) eine rationale Funktion. 2. Für \(x \to \infty\) strebt der Term \(\frac{3}{x+1}\) gegen \(0\). Da der lineare Teil \(5-x\) gegen \(-\infty\) strebt, gilt \(f(x) \to -\infty\). Analog strebt für \(x \to -\infty\) der Term \(\frac{3}{x+1}\) gegen \(0\) und der lineare Teil gegen \(\infty\), also gilt \(f(x) \to \infty\). 3. Die Differenz zwischen dem Funktionswert \(f(x)\) und dem Wert der linearen Funktion \(y = -x + 5\) wird für betragsmäßig große \(x\) beliebig klein. Dies bedeutet, dass sich der Graph von \(f\) der Geraden mit der Gleichung \(y = -x + 5\) (schräge Asymptote) beliebig genau annähert.

1. \(f(x) = \frac{-x^2 + 4x + 8}{x+1}\) ist ein Quotient zweier Polynome. 2. Für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to -\infty\); für \(x \to -\infty\) gilt \(f(x) \to \infty\). 3. Der Graph nähert sich für \(x \to \pm \infty\) der schrägen Asymptote mit der Gleichung \(y = -x + 5\) an.

- Kannst du den Bruch in mehrere Brüche aufteilen, die alle denselben Nenner \(x\) haben? - Welcher Teil des Terms bestimmt das Verhalten für sehr große \(x\), und welcher Teil wird vernachlässigbar klein? - Vergleiche den Funktionswert \(g(x)\) direkt mit dem Wert des linearen Teils \(2x + 3\). Ist die Differenz positiv oder negativ?

1. Durch gliedweise Division des Zählers durch den Nenner erhält man \(g(x) = \frac{2x^2}{x} + \frac{3x}{x} - \frac{4}{x} = 2x + 3 - \frac{4}{x}\). 2. Für \(x \to \infty\) nähert sich der Term \(-\frac{4}{x}\) von unten der Null an. Da der lineare Teil \(2x+3\) gegen \(\infty\) strebt, gilt \(g(x) \to \infty\). Für \(x \to -\infty\) nähert sich \(-\frac{4}{x}\) von oben der Null an und der lineare Teil strebt gegen \(-\infty\), also gilt \(g(x) \to -\infty\). 3. Die Asymptote ist die Gerade \(y = 2x + 3\). Für \(x \to \infty\) ist der Restterm \(-\frac{4}{x}\) negativ. Da \(g(x) = (2x + 3) - \frac{4}{x}\), sind die Funktionswerte kleiner als die Werte der Asymptote. Somit verläuft der Graph für \(x \to \infty\) unterhalb der Asymptote.

1. \(g(x) = 2x + 3 - \frac{4}{x}\) 2. Für \(x \to \infty\) gilt \(g(x) \to \infty\); für \(x \to -\infty\) gilt \(g(x) \to -\infty\). 3. Der Graph verläuft unterhalb der Asymptote \(y = 2x + 3\), da der Restterm \(-\frac{4}{x}\) für positive \(x\) negativ ist.

- Welchen Einfluss hat ein Vorzeichenwechsel auf die Vielfachheit der Nullstelle im Nenner? - Was muss für die Grade von Zähler und Nenner gelten, damit eine waagerechte Asymptote ungleich Null existiert? - Wie kannst du eine Information über einen Punkt auf dem Graphen nutzen, um einen unbekannten Parameter zu finden?

1. Eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei \(x = -2\) erfordert einen Faktor \((x + 2)^n\) im Nenner mit ungeradem \(n\). Wähle \(n = 1\). 2. Eine waagerechte Asymptote \(y = 3\) erfordert, dass Zähler- und Nennergrad gleich sind und das Verhältnis der Leitkoeffizienten \(3\) beträgt. 3. Ansatz für die Funktion: \(g(x) = \frac{3x + a}{x + 2}\). 4. Einsetzen der Koordinaten des Punktes \(P(0|1)\) zur Bestimmung von \(a\): \(1 = \frac{3 \cdot 0 + a}{0 + 2}\). 5. Auflösen der Gleichung: \(1 = \frac{a}{2} \implies a = 2\). 6. Einsetzen des Parameters in den Ansatz ergibt \(g(x) = \frac{3x + 2}{x + 2}\).

\(g(x) = \frac{3x + 2}{x + 2}\)

- Überlege, welcher Teil der Funktion für sehr große \(x\)-Werte gegen Null strebt. - Wie kannst du den Unterschied zwischen dem Funktionswert und dem Wert der Asymptote berechnen? - Was sagt das Vorzeichen des Restterms über die Lage des Graphen relativ zur Asymptote aus?

1. Durchführung der Polynomdivision: \((x^2 + 2x - 5) : (x + 3)\). Der erste Schritt \(x^2 : x = x\) ergibt den ersten Teil des Quotienten. Multiplikation und Subtraktion liefern \((x^2 + 2x - 5) - (x^2 + 3x) = -x - 5\). Der zweite Schritt \(-x : x = -1\) ergibt den zweiten Teil. Subtraktion von \(-1 \cdot (x + 3) = -x - 3\) ergibt den Rest \(-2\). Somit gilt \(f(x) = x - 1 - \frac{2}{x + 3}\). 2. Die schiefe Asymptote entspricht dem ganzrationalen Anteil der Zerlegung, also \(y = x - 1\). 3. Für \(x \to \infty\) wird der Nenner des Restterms \(x + 3\) positiv und sehr groß. Der gesamte Restterm \(-\frac{2}{x + 3}\) ist somit negativ. Da die Funktionswerte von \(f\) um diesen negativen Wert kleiner sind als die Werte der Asymptote, nähert sich der Graph von unten an die Asymptote an.

1. \(f(x) = x - 1 - \frac{2}{x + 3}\) 2. Asymptotengleichung: \(y = x - 1\) 3. Der Graph nähert sich für \(x \to \infty\) von unten an.

- Betrachte das Vorzeichen des Nenners für \(x < -1\). Wie ändert es sich in Abhängigkeit von \(k\)? - Welchen Einfluss hat die Zahl \(-2\) im Zähler auf das Gesamtvorzeichen des Bruchs? - Unterscheide klar zwischen dem Verhalten des Nenners und dem Vorzeichen des gesamten Bruchs.

1. Annäherung von links (\(x < -1\)): Der Ausdruck \((x+1)\) ist negativ. 2. Fall \(k\) ungerade: Eine negative Basis mit ungeradem Exponenten ergibt einen negativen Wert für den Nenner \((x+1)^k\). Da der Zähler \(-2\) ebenfalls negativ ist, ergibt der Quotient \(\frac{\text{negativ}}{\text{negativ}}\) ein positives Vorzeichen. Somit gilt \(\lim_{x \to -1^-} g_k(x) = \infty\). 3. Fall \(k\) gerade: Eine negative Basis mit geradem Exponenten ergibt einen positiven Wert für den Nenner \((x+1)^k\). Der Quotient \(\frac{-2}{\text{positiv}}\) ist negativ. Somit gilt \(\lim_{x \to -1^-} g_k(x) = -\infty\). Der negative Zähler bewirkt jeweils eine Umkehrung des Vorzeichens im Vergleich zu einer Funktion mit positivem Zähler.

Für ungerade \(k\) gilt \(\lim_{x \to -1^-} g_k(x) = \infty\). Für gerade \(k\) gilt \(\lim_{x \to -1^-} g_k(x) = -\infty\). Der negative Zähler dreht das Vorzeichen des gesamten Bruchs um, da \(\frac{-2}{\text{Vorzeichen Nenner}}\) betrachtet wird.

- Kannst du den Nenner so umschreiben, dass er als Produkt von Faktoren da steht? - Schau dir die Hochzahlen der Faktoren im Nenner an, nachdem du ihn vollständig faktorisiert hast. - Was bedeutet eine gerade oder ungerade Hochzahl für den Verlauf des Graphen an der Polstelle? - Überprüfe zur Sicherheit, ob der Zähler an den Nullstellen des Nenners ebenfalls null wird.

1. Den Nenner der Funktion faktorisieren: \(x^3 - 6x^2 + 9x = x \cdot (x^2 - 6x + 9) = x \cdot (x-3)^2\). 2. Die Nullstellen des Nenners bestimmen: \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 3\). 3. Prüfen, ob der Zähler an diesen Stellen ungleich null ist: \(0+5 = 5 \neq 0\) und \(3+5 = 8 \neq 0\). Somit sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 3\) Polstellen. 4. Die Vielfachheit der Polstellen untersuchen: Die Stelle \(x_1 = 0\) tritt mit der Potenz 1 auf (ungerade Vielfachheit), die Stelle \(x_2 = 3\) tritt mit der Potenz 2 auf (gerade Vielfachheit). 5. Schlussfolgerung: Bei \(x_1 = 0\) liegt ein Pol mit Vorzeichenwechsel vor, bei \(x_2 = 3\) liegt ein Pol ohne Vorzeichenwechsel vor.

Polstelle bei \(x = 0\) mit Vorzeichenwechsel; Polstelle bei \(x = 3\) ohne Vorzeichenwechsel.

- Erinnerst du dich an die binomischen Formeln, um den Ausdruck in der Klammer weiter zu zerlegen? - Wie wirkt sich die äußere Potenz auf die einzelnen Faktoren im Nenner aus? - Was sagt die Vielfachheit einer Polstelle über den Vorzeichenwechsel aus?

1. Die Nullstellen des Nenners durch Lösen der Gleichung \((x^2 - 1)^3 = 0\) finden: Dies führt auf \(x^2 - 1 = 0\), woraus \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\) folgen. 2. Den Funktionsterm mithilfe der dritten binomischen Formel weiter zerlegen: \(g(x) = \frac{1}{((x-1)(x+1))^3} = \frac{1}{(x-1)^3 \cdot (x+1)^3}\). 3. Da der Zähler konstant 1 ist, sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\) Polstellen der Funktion. 4. Die Ordnung (Vielfachheit) beider Polstellen bestimmen: Sowohl der Faktor \((x-1)\) als auch der Faktor \((x+1)\) besitzen den Exponenten 3. 5. Da die Ordnung 3 ungerade ist, handelt es sich bei beiden Stellen um Polstellen mit Vorzeichenwechsel.

Polstellen bei \(x = 1\) und \(x = -1\); beide sind Pole mit Vorzeichenwechsel.

- Überlege dir, wie du den Funktionsterm so umformen kannst, dass ein linearer Teil und ein Restterm entstehen. - Welcher Teil des Funktionsterms bestimmt das Verhalten für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte? - Die Abweichung entspricht genau dem Betrag des Restterms der Division. - Denke bei der Ungleichung daran, dass der Nenner eine Variable enthält und beachte die Fallunterscheidung für den Betrag.

1. Durchführung der Polynomdivision: \((3x^2 + x - 2) : (x + 2) = 3x - 5\) Rest \(8\). Daraus ergibt sich die Funktionsdarstellung \(f(x) = 3x - 5 + \frac{8}{x + 2}\). Die Gleichung der schrägen Asymptote lautet somit \(a(x) = 3x - 5\). 2. Die Bedingung für die Abweichung lautet \(|f(x) - a(x)| < 0{,}4\). Einsetzen der Differenz ergibt \(|\frac{8}{x + 2}| < 0{,}4\). Da der Betrag positiv ist, gilt \(\frac{8}{|x + 2|} < \frac{4}{10}\), was zu \(20 < |x + 2|\) umgeformt wird. 3. Fallunterscheidung für den Betrag: Fall 1: \(x + 2 > 20 \implies x > 18\) Fall 2: \(x + 2 < -20 \implies x < -22\) Die Funktionswerte unterscheiden sich für \(x \in (-\infty; -22) \cup (18; \infty)\) um weniger als \(0{,}4\) von der Asymptote.

1. Die Gleichung der Asymptote ist \(a(x) = 3x - 5\). 2. Die Bedingung ist für \(x < -22\) oder \(x > 18\) erfüllt.

- Wie verhält sich der Funktionswert, wenn \(x\) gegen Unendlich strebt? - Stelle einen Ausdruck für den Unterschied zwischen dem Funktionswert und dem Asymptotenwert auf. - Vereinfache den Differenzterm durch Bilden eines Hauptnenners, bevor du die Ungleichung löst. - Wann ist ein Bruch betragsmäßig sehr klein? Was muss dann für den Nenner gelten?

1. Da der Grad des Zählers gleich dem Grad des Nenners ist, ergibt sich die waagerechte Asymptote durch den Quotienten der Leitkoeffizienten: \(y = \frac{1}{2} = 0{,}5\). 2. Bestimmung der Differenz: \(|f(x) - 0{,}5| = |\frac{x^2 + 4}{2x^2 - 8} - \frac{x^2 - 4}{2x^2 - 8}| = |\frac{8}{2x^2 - 8}| = |\frac{4}{x^2 - 4}|\). 3. Lösen der Ungleichung \(|\frac{4}{x^2 - 4}| < 0{,}01\): Dies entspricht \(|x^2 - 4| > 400\). 4. Fallunterscheidung: Fall 1: \(x^2 - 4 > 400 \implies x^2 > 404 \implies |x| > \sqrt{404} \approx 20{,}10\). Fall 2: \(x^2 - 4 < -400 \implies x^2 < -396\), was keine reelle Lösung besitzt. Die Bedingung ist für \(x < -\sqrt{404}\) oder \(x > \sqrt{404}\) erfüllt.

1. Die waagerechte Asymptote hat die Gleichung \(y = 0{,}5\). 2. Der Abstand ist kleiner als \(0{,}01\) für \(|x| > \sqrt{404}\) (bzw. \(x < -20{,}10\) oder \(x > 20{,}10\)).

- Überlege dir, wie man die Asymptote berechnet, wenn der Zählergrad höher ist als der Nennergrad. - Was bedeutet Punktsymmetrie zum Ursprung für die Grenzwerte der Funktion im Unendlichen? - Wie verhalten sich gerade und ungerade Funktionen bei der Division?

1. Aussage a ist wahr: Durch Polynomdivision von \(p(x)\) durch \(q(x)\) ergibt sich ein linearer Term \(mx + c\) plus ein Restterm, der für \(x \to \pm \infty\) gegen Null strebt. Da der Gradunterschied genau \(1\) beträgt, ist \(m \neq 0\), was eine schräge Asymptote definiert. 2. Aussage b ist falsch: Für eine rationale Funktion ist der Grenzwert für \(x \to \infty\) derselbe wie für \(x \to -\infty\), bezeichne diesen mit \(L\). Bei Punktsymmetrie zum Ursprung muss \(f(-x) = -f(x)\) gelten, woraus im Unendlichen \(L = -L\) folgt. Dies ist nur für \(L = 0\) erfüllt, sodass \(y = 2\) als Asymptote ausgeschlossen ist. 3. Aussage c ist wahr: Ein Polynom mit nur geraden Potenzen ist eine gerade Funktion (\(p(-x) = p(x)\)), eines mit nur ungeraden Potenzen ist eine ungerade Funktion (\(q(-x) = -q(x)\)). Es folgt \(f(-x) = \frac{p(-x)}{q(-x)} = \frac{p(x)}{-q(x)} = -f(x)\), was das Kriterium für Punktsymmetrie zum Ursprung erfüllt.

a) Wahr b) Falsch c) Wahr

- Wie findest du die Definitionslücken und das Verhalten der Funktionswerte für sehr große \(x\)? - Welche Koordinaten hat der Punkt, in dem sich die beiden Geraden aus Aufgabenteil a schneiden? - Erinnere dich an die Bedingung für Punktsymmetrie bezüglich eines beliebigen Punktes \(S(x_0|y_0)\).

1. Senkrechte Asymptote: Die Definitionslücke liegt bei \(x - 1 = 0\), also \(x = 1\). Da für \(a \neq 3\) der Zähler \(a \cdot 1 - 3 \neq 0\) ist, handelt es sich um eine Polstelle und somit ist \(x = 1\) die Gleichung der senkrechten Asymptote. 2. Waagrechte Asymptote: Der Grenzwert für \(x \to \pm \infty\) ergibt sich aus dem Verhältnis der Koeffizienten der höchsten Potenzen: \(\lim_{x \to \infty} \frac{ax-3}{x-1} = a\). Die waagrechte Asymptote lautet somit \(y = a\). 3. Symmetriezentrum: Der Schnittpunkt der Asymptoten ist \(S(1|a)\). 4. Nachweis der Punktsymmetrie: Es ist zu zeigen, dass \(\frac{f_a(1+h) + f_a(1-h)}{2} = a\) bzw. \(f_a(1+h) - a = -(f_a(1-h) - a)\) gilt. 5. Einsetzen: \(f_a(1+h) = \frac{a(1+h)-3}{(1+h)-1} = \frac{a+ah-3}{h} = a + \frac{a-3}{h}\). 6. Analog gilt: \(f_a(1-h) = \frac{a(1-h)-3}{(1-h)-1} = \frac{a-ah-3}{-h} = a - \frac{a-3}{h}\). 7. Die Bedingung \(f_a(1+h) + f_a(1-h) = (a + \frac{a-3}{h}) + (a - \frac{a-3}{h}) = 2a\) ist erfüllt, womit die Punktsymmetrie zu \(S(1|a)\) bewiesen ist.

a) Senkrechte Asymptote: \(x = 1\); waagrechte Asymptote: \(y = a\). b) Der Nachweis erfolgt über die Symmetriebedingung \(f(1+h) + f(1-h) = 2a\), welche nach Einsetzen der Funktionsterme bestätigt wird.

- Überlege dir zuerst, welche Faktoren im Nenner stehen müssen, um die gewünschten Definitionslücken oder Polstellen zu erzeugen. - Wie beeinflussen die Grade von Zähler- und Nennerpolynom das Verhalten der Funktion im Unendlichen? - Eine hebbare Definitionslücke entsteht, wenn ein Faktor sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommt. - Für eine Funktion, die überall definiert ist, muss ein Nenner gewählt werden, der für kein \(x\) null wird.

1. Teilaufgabe a): Eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel erfordert eine gerade Potenz des Binoms im Nenner, also \((x-3)^2\). Für die waagerechte Asymptote \(y=2\) müssen Zähler- und Nennergrad gleich sein, wobei das Verhältnis der Leitkoeffizienten \(2\) beträgt. Ein möglicher Ansatz ist \(f(x) = \frac{2(x-3)^2 + 1}{(x-3)^2}\) oder vereinfacht \(f(x) = \frac{2x^2 - 12x + 19}{x^2 - 6x + 9}\). 2. Teilaufgabe b): Damit die Funktion überall definiert ist, darf der Nenner keine Nullstellen besitzen, z. B. \(x^2 + 1\). Die schräge Asymptote \(y = x - 1\) wird durch Addition eines entsprechenden Terms zu einem echten gebrochen-rationalen Anteil erreicht: \(f(x) = x - 1 + \frac{1}{x^2 + 1}\). Zusammengefasst ergibt dies \(f(x) = \frac{(x-1)(x^2+1)+1}{x^2+1} = \frac{x^3 - x^2 + x}{x^2 + 1}\). 3. Teilaufgabe c): Der Ansatz für die Funktion mit Polstelle bei \(x=-2\) und hebbarer Lücke bei \(x=1\) lautet \(f(x) = \frac{a \cdot (x-1)}{(x+2)(x-1)}\). Da die x-Achse Asymptote ist, muss der Zählergrad kleiner als der Nennergrad sein (hier \(1 < 2\)). Einsetzen von \(P(0|2)\): \(2 = \frac{a \cdot (0-1)}{(0+2)(0-1)} = \frac{-a}{-2} = \frac{a}{2}\). Daraus folgt \(a = 4\). Die Funktion ist \(f(x) = \frac{4(x-1)}{(x+2)(x-1)} = \frac{4x-4}{x^2+x-2}\).

Mögliche Funktionen sind: a) \(f(x) = \frac{2x^2 - 12x + 19}{x^2 - 6x + 9}\) b) \(f(x) = \frac{x^3 - x^2 + x}{x^2 + 1}\) c) \(f(x) = \frac{4x-4}{x^2+x-2}\)

- Wann ist eine Nullstelle des Nenners „hebbar“? Betrachte dazu den Zähler. - Wie kannst du eine Funktion in einen ganzrationalen Teil und einen echt gebrochen-rationalen Teil zerlegen? - Vergleiche die höchsten Potenzen von Zähler und Nenner, um das Verhalten im Unendlichen zu bestimmen. - Was passiert mit dem Grad des Zählers, wenn der Parameter \(k\) den Wert \(0\) annimmt?

1. Teilaufgabe a): Eine hebbare Lücke bei \(x=3\) liegt vor, wenn der Zähler an dieser Stelle ebenfalls eine Nullstelle hat. Bedingung: \(k \cdot 3^2 + 6 \cdot 3 = 0\). Dies führt zu \(9k + 18 = 0\), also \(k = -2\). 2. Teilaufgabe b): Für \(k=1\) lautet die Funktion \(f_1(x) = \frac{x^2 + 6x}{x-3}\). Mittels Polynomdivision ergibt sich \((x^2 + 6x) : (x-3) = x + 9 + \frac{27}{x-3}\). Die Gleichung der schrägen Asymptote lautet somit \(y = x + 9\). 3. Teilaufgabe c): Eine waagerechte Asymptote existiert, wenn der Grad des Zählers höchstens so groß wie der des Nenners ist. Da der Nenner den Grad \(1\) hat, muss für den Zähler \(k = 0\) gelten, damit der quadratische Term entfällt. Für \(k = 0\) ist \(f_0(x) = \frac{6x}{x-3}\). Der Grenzwert für \(x \to \pm \infty\) ist \(\frac{6}{1} = 6\). Die waagerechte Asymptote lautet \(y = 6\).

a) \(k = -2\) b) \(y = x + 9\) c) Für \(k = 0\) besitzt der Graph die waagerechte Asymptote \(y = 6\).

- Welche Bedingung muss für den Nenner an einer Polstelle gelten? - Wie hängen die Steigung der Tangente und die erste Ableitung an einer Extremstelle zusammen? - Erinnerst du dich, wie man eine gebrochenrationale Funktion in einen ganzrationalen Teil und einen Restterm zerlegt? - Wie findest du die Nullstellen des Zählers der Ableitungsfunktion?

1. Eine Polstelle an der Stelle \(x = 1\) erfordert eine Nullstelle des Nenners: \(1 + b = 0 \implies b = -1\). Die Funktion lautet somit \(f(x) = \frac{x^2 + a}{x - 1}\). 2. Die erste Ableitung berechnet sich zu \(f'(x) = \frac{2x \cdot (x - 1) - (x^2 + a) \cdot 1}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - a}{(x - 1)^2}\). 3. Die Bedingung für eine Extremstelle bei \(x = 3\) ist \(f'(3) = 0\): \(3^2 - 2 \cdot 3 - a = 0 \implies 9 - 6 - a = 0 \implies a = 3\). 4. Zur Bestimmung weiterer Extremstellen wird der Zähler der Ableitung nullgesetzt: \(x^2 - 2x - 3 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -1\). Die weitere Extremstelle liegt also bei \(x = -1\). 5. Die senkrechte Asymptote liegt an der Polstelle \(x = 1\). Durch Polynomdivision von \(f(x) = \frac{x^2 + 3}{x - 1}\) erhält man \(f(x) = x + 1 + \frac{4}{x - 1}\). Die schräge Asymptote hat somit die Gleichung \(y = x + 1\).

a) \(a = 3\), \(b = -1\) b) Weitere Extremstelle bei \(x = -1\); Asymptoten: \(x = 1\) (senkrecht) und \(y = x + 1\) (schräg).

- Setze die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein, um eine erste Gleichung für die Parameter zu erhalten. - Was bedeutet eine waagerechte Tangente für den Wert der Ableitungsfunktion an dieser Stelle? - Nutze die Polynomdivision, um das Verhalten der Funktion für sehr große \(x\)-Werte zu untersuchen. - Betrachte die Vorzeichen von Zähler und Nenner, wenn sich \(x\) der Polstelle nähert.

1. Der Punkt \(P(4|8)\) führt zur Gleichung \(f(4) = \frac{a \cdot 4^2 + b \cdot 4}{4 - 2} = 8\). Dies vereinfacht sich zu \(16a + 4b = 16\) bzw. \(4a + b = 4\). 2. Die Ableitung der Funktion lautet \(f'(x) = \frac{(2ax + b)(x - 2) - (ax^2 + bx) \cdot 1}{(x - 2)^2} = \frac{ax^2 - 4ax - 2b}{(x - 2)^2}\). 3. Eine waagerechte Tangente bei \(x = 0\) bedeutet \(f'(0) = 0\). Einsetzen ergibt \(\frac{-2b}{4} = 0 \implies b = 0\). 4. Aus \(4a + 0 = 4\) folgt \(a = 1\). Die Funktionsgleichung ist \(f(x) = \frac{x^2}{x - 2}\). 5. Durch Polynomdivision ergibt sich \(x^2 : (x - 2) = x + 2 + \frac{4}{x - 2}\). Die schräge Asymptote ist \(y = x + 2\). 6. An der Polstelle \(x = 2\) gilt: Für \(x \to 2^-\) (von links) strebt \(f(x) \to -\infty\), da der Zähler positiv und der Nenner negativ ist. Für \(x \to 2^+\) (von rechts) strebt \(f(x) \to +\infty\).

a) \(a = 1\), \(b = 0\) b) Schräge Asymptote: \(y = x + 2\). Verhalten an der Polstelle: \(\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty\).

- Wann wird ein Bruch gleich null? Überlege, welche Bedingung der Zähler erfüllen muss. - Denke daran, dass eine potenzielle Nullstelle nur dann eine ist, wenn sie auch im Definitionsbereich der Funktion liegt. - Welche Werte für \(a\) führen dazu, dass sich der Funktionsterm vereinfachen lässt? - Was passiert graphisch an einer Definitionslücke, wenn sowohl Zähler als auch Nenner null werden?

1. Nullstellen bestimmen: Der Zähler \(a - x^2\) wird Null für \(x^2 = a\). - Für \(a < 0\) gibt es keine reellen Lösungen, also keine Nullstellen. - Für \(a = 0\) ergibt sich die doppelte Nullstelle \(x = 0\). - Für \(a > 0\) ergeben sich \(x_1 = \sqrt{a}\) und \(x_2 = -\sqrt{a}\). Dabei ist zu beachten, dass diese Werte im Definitionsbereich liegen müssen (\(x \neq \pm 3\)). Dies ist für \(a \neq 9\) der Fall. - Für \(a = 9\) gilt \(f_9(x) = \frac{9 - x^2}{x^2 - 9} = -1\) für alle \(x \in \mathbb{D}\), somit gibt es keine Nullstellen. 2. Definitionslücken untersuchen: Die Nennernullstellen liegen bei \(x = 3\) und \(x = -3\). - Falls \(a \neq 9\), sind der Zähler und der Nenner an den Stellen \(x = \pm 3\) nicht gleichzeitig Null. Es liegen Polstellen (mit Vorzeichenwechsel) vor. - Falls \(a = 9\), lässt sich der Funktionsterm zu \(f_9(x) = -1\) kürzen. Die Grenzwerte an den Stellen \(x = \pm 3\) existieren (\(-1\)), daher liegen hebbare Definitionslücken vor.

Nullstellen: - \(a < 0\) oder \(a = 9\): keine Nullstellen. - \(a = 0\): eine Nullstelle bei \(x = 0\). - \(a > 0\) und \(a \neq 9\): zwei Nullstellen bei \(x = \pm\sqrt{a}\). Definitionslücken bei \(x = 3\) und \(x = -3\): - Für \(a \neq 9\): Polstellen. - Für \(a = 9\): hebbare Definitionslücken.

- Welche zwei mathematischen Bedingungen müssen an einem Punkt erfüllt sein, damit er ein Extrempunkt mit einem bestimmten \(y\)-Wert ist? - Stelle ein Gleichungssystem mit den beiden Parametern auf. - Wie kannst du mit der zweiten Ableitung oder dem Vorzeichenwechselkriterium prüfen, ob es ein Hoch- oder Tiefpunkt ist?

1. Aufstellen der Bedingungen für den Tiefpunkt: \(f_{a,b}(-2) = -1\) und \(f_{a,b}'(-2) = 0\). 2. Einsetzen von \(x = -2\) in die Funktionsgleichung: \(\frac{-2a + b}{(-2)^2 + 1} = -1 \implies -2a + b = -5 \implies b = 2a - 5\). 3. Ableitung bilden: \(f_{a,b}'(x) = \frac{a(x^2 + 1) - (ax + b)(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-ax^2 - 2bx + a}{(x^2 + 1)^2}\). 4. Einsetzen von \(x = -2\) in die Ableitung: \(\frac{-4a + 4b + a}{25} = 0 \implies -3a + 4b = 0\). 5. Lösen des Gleichungssystems: \(-3a + 4(2a - 5) = 0 \implies 5a = 20 \implies a = 4\). Daraus folgt \(b = 2(4) - 5 = 3\). 6. Nachweis der Art des Extremums: Mit \(a=4, b=3\) ist \(f'(x) = \frac{-4x^2 - 6x + 4}{(x^2 + 1)^2}\). Die zweite Ableitung an der Stelle \(x = -2\) ergibt \(f''(-2) = \frac{(-8(-2) - 6) \cdot 25 - 0}{25^2} = \frac{10}{25} = 0{,}4 > 0\). Es liegt somit ein lokales Minimum (Tiefpunkt) vor.

Die Parameter sind \(a = 4\) und \(b = 3\).

- Forme den Funktionsterm zuerst in eine Summe aus Potenzen um, um das Ableiten zu erleichtern. - Was ist die notwendige Bedingung für eine Wendestelle? - Überprüfe, ob die gefundene Stelle für alle \(k > 0\) existiert und ob dort tatsächlich ein Krümmungswechsel stattfindet. - Welche besondere Eigenschaft hat die Steigung in einem Sattelpunkt?

1. Ableitungen bilden: - \(f_k(x) = x + \frac{3}{x} + \frac{k}{x^2} = x + 3x^{-1} + kx^{-2}\). - \(f_k'(x) = 1 - 3x^{-2} - 2kx^{-3} = 1 - \frac{3}{x^2} - \frac{2k}{x^3}\). - \(f_k''(x) = 6x^{-3} + 6kx^{-4} = \frac{6}{x^3} + \frac{6k}{x^4} = \frac{6x + 6k}{x^4}\). 2. Wendepunkt nachweisen: - Notwendige Bedingung \(f_k''(x) = 0 \Rightarrow 6x + 6k = 0 \Rightarrow x_W = -k\). Da \(k > 0\), ist \(x_W \neq 0\) im Definitionsbereich enthalten. - Hinreichende Bedingung: Der Zähler \(6x + 6k\) ist eine lineare Funktion mit einer einfachen Nullstelle bei \(x = -k\). Da der Nenner \(x^4\) für alle \(x \neq 0\) positiv ist, findet an der Stelle \(x_W = -k\) ein Vorzeichenwechsel von \(f_k''\) statt. Jede Funktion hat also genau einen Wendepunkt. 3. Sattelpunktbedingung: - Ein Wendepunkt ist ein Sattelpunkt, wenn zusätzlich \(f_k'(x_W) = 0\) gilt. - Einsetzen von \(x_W = -k\) in die erste Ableitung: \(f_k'(-k) = 1 - \frac{3}{(-k)^2} - \frac{2k}{(-k)^3} = 1 - \frac{3}{k^2} + \frac{2k}{k^3} = 1 - \frac{3}{k^2} + \frac{2}{k^2} = 1 - \frac{1}{k^2}\). - Gleichung lösen: \(1 - \frac{1}{k^2} = 0 \Rightarrow k^2 = 1\). Da laut Voraussetzung \(k > 0\) gilt, folgt \(k = 1\).

Jede Funktion hat genau eine Wendestelle bei \(x = -k\). Der Wendepunkt ist ein Sattelpunkt für \(k = 1\).

- Wie lässt sich eine rationale Funktion mithilfe ihrer schrägen Asymptote und eines Restterms darstellen? - Was bedeutet ein Vorzeichenwechsel für die Vielfachheit der Nullstelle im Nenner? - Wie kannst du einen gegebenen Punkt nutzen, um eine noch unbekannte Konstante in deiner Funktionsgleichung zu berechnen? - Erinnere dich an die Darstellung \(f(x) = a \cdot x + b + \frac{r(x)}{q(x)}\).

1. Aufstellen eines Ansatzes für die Funktion unter Berücksichtigung der schrägen Asymptote und der Polstelle: \(f(x) = 2x + 4 + \frac{a}{x-1}\). Die Polstelle erster Ordnung im Nenner sorgt für den geforderten Vorzeichenwechsel. 2. Bestimmung des Parameters \(a\) durch Einsetzen des Punktes \(O(0|0)\): \(0 = 2 \cdot 0 + 4 + \frac{a}{0-1} \Rightarrow 0 = 4 - a \Rightarrow a = 4\). 3. Zusammenfassen der Teilbrüche auf einen gemeinsamen Nenner: \(f(x) = \frac{(2x+4)(x-1) + 4}{x-1} = \frac{2x^2 - 2x + 4x - 4 + 4}{x-1} = \frac{2x^2 + 2x}{x-1}\). 4. Überprüfung der Polstelle: Da der Zähler an der Stelle \(x = 1\) den Wert \(4 \neq 0\) annimmt, liegt tatsächlich eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor.

\(f(x) = \frac{2x^2 + 2x}{x-1}\) (oder in der Form \(f(x) = 2x + 4 + \frac{4}{x-1}\))

- Wenn eine Funktion keine Polstellen haben darf, welche Eigenschaft muss dann der Nennerterm besitzen? - Wie sieht der Funktionsterm aus, wenn man die schräge Asymptote bereits kennt? - Nutze den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse, um den Zähler des Restterms festzulegen. - Welcher einfache quadratische Ausdruck im Nenner hat niemals den Wert Null?

1. Da die Funktion für alle \(x \in \mathbb{R}\) definiert sein soll, darf der Nenner keine reellen Nullstellen besitzen. Ein geeigneter Ansatz ist \(g(x) = -x + 1 + \frac{a}{x^2+1}\). 2. Verwendung des \(y\)-Achsenabschnitts \(S_y(0|2)\) zur Bestimmung von \(a\): \(g(0) = -0 + 1 + \frac{a}{0^2+1} = 1 + a = 2 \Rightarrow a = 1\). 3. Zusammenfassen zu einem einzigen Bruch: \(g(x) = \frac{(-x+1)(x^2+1) + 1}{x^2+1} = \frac{-x^3 - x + x^2 + 1 + 1}{x^2+1} = \frac{-x^3 + x^2 - x + 2}{x^2+1}\). 4. Verifikation: Der Nenner \(x^2+1\) ist stets positiv, somit existieren keine Polstellen. Die Asymptote ergibt sich direkt aus der Zerlegung.

\(g(x) = \frac{-x^3 + x^2 - x + 2}{x^2+1}\) (oder in der Form \(g(x) = -x + 1 + \frac{1}{x^2+1}\))

- Welche Bedingung muss für die Grade von Zähler- und Nennerpolynom gelten, damit die Funktion eine waagerechte Asymptote bei \(y = 4\) hat? - Wie beeinflusst die Vielfachheit einer Nullstelle im Nenner das Verhalten des Graphen an der Polstelle? - Du kannst Faktoren im Zähler oder Nenner auch quadrieren, um den Gesamtgrad der Funktion anzupassen, ohne neue Nullstellen oder Polstellen einzuführen.

1. Die Nullstellen \(x = -5\) und \(x = 3\) erfordern die Faktoren \((x + 5)\) und \((x - 3)\) im Zähler. 2. Eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei \(x = 0\) erfordert eine ungerade Potenz von \(x\) im Nenner (z. B. \(x^1\) oder \(x^3\)). 3. Für einen Grenzwert ungleich Null im Unendlichen müssen Zähler- und Nennergrad übereinstimmen. 4. Da wir zwei Nullstellen haben, muss der Zähler mindestens den Grad 2 haben. Um den Grad von Zähler und Nenner anzugleichen und gleichzeitig nur die gegebenen Nullstellen und die eine Polstelle zu erhalten, nutzen wir höhere Potenzen oder zusätzliche Faktoren ohne reelle Nullstellen. 5. Ein Ansatz wäre \(f(x) = \frac{4(x - 3)(x + 5)^2}{x^3}\). Hier ist der Zählergrad 3 und der Nennergrad 3. Der Leitkoeffizient des Zählers ist 4, der des Nenners 1, woraus der Grenzwert \(4\) folgt. Die Nullstellen sind exakt \(-5\) und \(3\), die Polstelle bei \(0\) hat wegen der ungeraden Potenz einen Vorzeichenwechsel.

Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x) = \frac{4(x - 3)(x + 5)^2}{x^3}\).

- Überprüfe die Bedingung \( g(-x) = g(x) \) für Achsensymmetrie. - Welche Werte darfst du für \( x \) nicht einsetzen, damit der Nenner nicht null wird? - Senkrechte Asymptoten treten an den Polstellen der Funktion auf. - Vergleiche die Koeffizienten der höchsten Potenzen von \( x \), um die waagrechte Asymptote zu finden. - Wann wird ein Bruch gleich null?

1. Symmetrienachweis: \( g(-x) = \frac{2(-x)^2 - 2}{9 - (-x)^2} = \frac{2x^2 - 2}{9 - x^2} = g(x) \). Da \( g(-x) = g(x) \), ist der Graph achsensymmetrisch zur \( y \)-Achse. 2. Definitionsmenge: Nennernullstellen \( 9 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3 \). Also \( D_g = \mathbb{R} \setminus \{-3; 3\} \). 3. Senkrechte Asymptoten: Die Polstellen liegen bei den Definitionslücken \( x = -3 \) und \( x = 3 \). Die Gleichungen der senkrechten Asymptoten lauten \( x = -3 \) und \( x = 3 \). 4. Waagrechte Asymptote: Untersuchung des Grenzwerts für \( x \to \pm \infty \). Da Zähler- und Nennergrad gleich sind, betrachtet man die Koeffizienten der höchsten Potenzen: \( \frac{2}{-1} = -2 \). Die waagrechte Asymptote hat die Gleichung \( y = -2 \). 5. Nullstellen: Zähler \( 2x^2 - 2 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \). Da diese Werte in \( D_g \) liegen, sind die Nullstellen \( x_1 = -1 \) und \( x_2 = 1 \).

a) \( g(-x) = g(x) \), daher achsensymmetrisch zur \( y \)-Achse. b) \( D_g = \mathbb{R} \setminus \{-3; 3\} \); senkrechte Asymptoten: \( x = -3 \) und \( x = 3 \). c) Waagrechte Asymptote: \( y = -2 \). d) Nullstellen: \( x_1 = -1 \), \( x_2 = 1 \).

- Wenn ein Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist, welche Potenzen von \(x\) dürfen dann im Zähler und im Nenner vorkommen? - Was sagt die Existenz einer schrägen Asymptote über den Grad des Zählers im Vergleich zum Nenner aus? - Wie hängen die senkrechten Asymptoten mit dem Nennerpolynom zusammen? - Erinnere dich daran, wie man eine schräge Asymptote mittels Polynomdivision bestimmt.

1. Festlegung des Nenners: Die senkrechten Asymptoten bei \(x = \pm 2\) deuten auf die Nullstellen des Nenners hin. Ein geeigneter Nenner ist \(x^2 - 4\). 2. Symmetriebetrachtung: Da der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist und der Nenner \(x^2 - 4\) achsensymmetrisch zur y-Achse ist (nur gerade Exponenten), muss der Zähler punktsymmetrisch zum Ursprung sein (nur ungerade Exponenten). 3. Asymptotenbetrachtung: Eine schräge Asymptote \(y = x\) bedeutet, dass der Zählergrad um genau 1 höher ist als der Nennergrad. Der Ansatz lautet \(g(x) = x + \frac{r(x)}{x^2 - 4}\), wobei der Restterm \(\frac{r(x)}{x^2 - 4}\) für \(x \to \infty\) gegen 0 gehen muss. 4. Kombination der Bedingungen: Damit \(g(x)\) punktsymmetrisch bleibt, muss auch der Restterm punktsymmetrisch sein. Wählt man im einfachsten Fall \(g(x) = \frac{x^3}{x^2 - 4}\), so ergibt die Polynomdivision \(x^3 : (x^2 - 4) = x\) mit Rest \(4x\), also \(g(x) = x + \frac{4x}{x^2 - 4}\). Die Symmetrie ist erfüllt, da \(\frac{(-x)^3}{(-x)^2 - 4} = \frac{-x^3}{x^2 - 4} = -g(x)\).

\(g(x) = \frac{x^3}{x^2 - 4}\) (oder ein wertgleicher Term)

- Denke an die Bedingung für den Nenner eines Bruchs. - Erinnere dich an das Verfahren der schriftlichen Division für Terme. Welcher Teil des Ergebnisses beschreibt das Verhalten im Unendlichen? - Wann genau ist ein Bruch gleich Null? Reicht es, einen Teil des Bruches zu betrachten? - Überprüfe am Ende, ob deine gefundenen Werte für die Nullstellen auch wirklich im Definitionsbereich liegen.

1. Definitionsmenge: Der Nenner wird für \(x = 3\) null, also ist \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{3\}\). 2. Polynomdivision: \((x^2 - 5x + 4) : (x - 3) = x - 2 + \frac{-2}{x - 3}\). Der ganzrationale Anteil liefert die schräge Asymptote \(y = x - 2\). 3. Nullstellen: Ein Bruch ist null, wenn sein Zähler null ist. Lösen der quadratischen Gleichung \(x^2 - 5x + 4 = 0\) mittels Mitternachtsformel oder Satz von Vieta: \((x - 1)(x - 4) = 0\). 4. Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 4\). Beide Werte liegen in der Definitionsmenge.

a) \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{3\}\) b) \(y = x - 2\) c) \(x_1 = 1\); \(x_2 = 4\)

- Wann ist ein Bruch mathematisch nicht definiert? - Betrachte für die Annäherung an eine Definitionslücke Werte, die ganz nah an der Zahl liegen (z. B. \(3{,}9\) oder \(4{,}1\)). Welches Vorzeichen hat der Nenner dann? - Was passiert mit dem Bruchterm, wenn \(x\) extrem große Werte annimmt?

1. Definitionsmenge: Der Nenner darf nicht Null werden. \(x^2 - 16 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 16 \Leftrightarrow x = \pm 4\). Somit ist \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{-4; 4\}\). 2. Verhalten an den Polstellen: Für \(x \to 4^-\) ist \(x^2 < 16\), also \(x^2 - 16 \to 0^-\). Der Bruch \(\frac{9}{x^2 - 16} \to -\infty\), also \(g(x) = 1 - (-\infty) \to +\infty\). Für \(x \to 4^+\) ist \(x^2 > 16\), also \(x^2 - 16 \to 0^+\). Der Bruch \(\frac{9}{x^2 - 16} \to +\infty\), also \(g(x) = 1 - \infty \to -\infty\). Aufgrund der Achsensymmetrie (\(g(-x) = g(x)\)) gilt: \(\lim_{x \to -4^+} g(x) = \lim_{x \to 4^-} g(x) = +\infty\) und \(\lim_{x \to -4^-} g(x) = \lim_{x \to 4^+} g(x) = -\infty\). 3. Waagerechte Asymptote: Für \(x \to \pm \infty\) strebt \(x^2 - 16 \to \infty\), also \(\frac{9}{x^2 - 16} \to 0\). Es folgt \(\lim_{x \to \pm \infty} g(x) = 1 - 0 = 1\). Die waagerechte Asymptote ist \(y = 1\).

a) \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{-4; 4\}\). b) \(\lim_{x \to -4^-} g(x) = -\infty\), \(\lim_{x \to -4^+} g(x) = +\infty\), \(\lim_{x \to 4^-} g(x) = +\infty\), \(\lim_{x \to 4^+} g(x) = -\infty\). c) Waagerechte Asymptote: \(y = 1\).

- Wenn die waagrechte Asymptote nicht \(y=0\) ist, was sagt das über die Grade von Zähler und Nenner aus? - Wie viele Nullstellen muss der Zähler mindestens haben, wenn die Funktion zwei Nullstellen besitzt? - Wenn es nur eine senkrechte Asymptote gibt, der Nenner aber den gleichen Grad wie der Zähler haben muss, wie könnte die Nullstelle des Nenners beschaffen sein? - Wie verhinderst du, dass eine Nullstelle des Zählers durch eine Nullstelle des Nenners aufgehoben wird?

1. Da die waagrechte Asymptote \(y = -0{,}5\) nicht die x-Achse ist und die Funktion zwei Nullstellen besitzt, muss der Zählergrad mindestens 2 sein. Damit eine waagrechte Asymptote existiert, muss der Nennergrad gleich dem Zählergrad sein (beide Grad 2). 2. Für die einzige senkrechte Asymptote bei \(x = 3\) muss der Nenner eine Nullstelle bei 3 haben. Da der Nenner Grad 2 hat, wählen wir eine doppelte Nullstelle: \(D(x) = (x-3)^2 = x^2 - 6x + 9\). 3. Die waagrechte Asymptote \(y = -0{,}5\) legt das Verhältnis der Leitkoeffizienten fest. Bei einem Nenner-Leitkoeffizienten von 1 muss der Zähler den Leitkoeffizienten \(a = -0{,}5\) haben. 4. Für genau zwei Nullstellen wählen wir zwei beliebige Werte für \(x\), die ungleich 3 sind, zum Beispiel \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 1\). Der Zähler lautet dann \(N(x) = -0{,}5 \cdot (x-0) \cdot (x-1) = -0{,}5x^2 + 0{,}5x\). 5. Die Funktionsgleichung lautet \(h(x) = \frac{-0{,}5x^2 + 0{,}5x}{x^2 - 6x + 9}\).

Ein möglicher Funktionsterm ist \(h(x) = \frac{-0{,}5x^2 + 0{,}5x}{x^2 - 6x + 9}\).

- Wann führt eine Definitionslücke zu einer senkrechten Asymptote? - Wie kann man einen Bruch aufspalten, um das Verhalten im Unendlichen besser zu sehen? - Vergleiche die Bestandteile der allgemeinen Asymptotengleichung mit der vorgegebenen Geraden. - Was passiert mit dem Bruch, wenn die höchste Potenz im Zähler und Nenner gleich ist?

1. Der Nenner wird bei \(x = 0\) null. Setzt man \(x = 0\) in den Zähler ein, erhält man \(a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + 4 = 4\). Da der Zähler ungleich null ist, liegt bei \(x = 0\) stets eine Polstelle und damit eine senkrechte Asymptote vor. 2. Zerlegung des Funktionsterms: \(g_{a,b}(x) = \frac{a}{2}x + \frac{b}{2} + \frac{2}{x}\). Der lineare Anteil entspricht der schrägen Asymptote: \(y = \frac{a}{2}x + \frac{b}{2}\). 3. Koeffizientenvergleich mit \(y = 1{,}5x + 2\): \(\frac{a}{2} = 1{,}5 \implies a = 3\) und \(\frac{b}{2} = 2 \implies b = 4\). 4. Für \(a = 0\) ist \(g_{0,b}(x) = \frac{bx + 4}{2x}\). Der Grenzwert für \(x \to \pm\infty\) ist \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{bx + 4}{2x} = \lim_{x \to \pm\infty} (\frac{b}{2} + \frac{2}{x}) = \frac{b}{2}\). Die waagrechte Asymptote lautet somit \(y = \frac{b}{2}\).

a) Da der Zähler an der Stelle \(x=0\) den Wert \(4 \neq 0\) annimmt, liegt eine Polstelle vor. b) \(a = 3\) und \(b = 4\). c) Die waagrechte Asymptote ist \(y = \frac{b}{2}\), da \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{bx + 4}{2x} = \frac{b}{2}\).

- Wie hängen die Nullstellen des Nenners mit den senkrechten Asymptoten zusammen? - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn \(x\) sehr groß oder sehr klein wird? - Kannst du beim Gleichsetzen der Terme einen gemeinsamen Faktor im Zähler entdecken? - Denke bei Gleichungen daran, dass ein Produkt null ist, wenn einer der Faktoren null ist.

1. Asymptoten von \(h\): Senkrechte Asymptote bei der Nullstelle des Nenners \(x = 1\); waagrechte Asymptote durch Betrachtung des Grenzwerts für \(x \to \pm\infty\): \(y = 1\). 2. Asymptoten von \(k\): Senkrechte Asymptote bei \(x = -2\); waagrechte Asymptote durch Koeffizientenvergleich der höchsten Potenzen: \(y = \frac{2}{1} = 2\). 3. Schnittpunkte durch Gleichsetzen: \(\frac{x+1}{x-1} = \frac{2x+2}{x+2}\). 4. Ausklammern im Zähler von \(k(x)\): \(\frac{x+1}{x-1} = \frac{2(x+1)}{x+2}\). 5. Fallunterscheidung: Fall 1: \(x+1 = 0 \implies x_1 = -1\). Einsetzen ergibt \(h(-1) = 0\), also \(S_1(-1 \mid 0)\). Fall 2: \(x+1 \neq 0\). Kürzen durch \((x+1)\) führt zu \(\frac{1}{x-1} = \frac{2}{x+2}\). 6. Lösen der linearen Gleichung: \(x+2 = 2(x-1) \implies x+2 = 2x-2 \implies x_2 = 4\). 7. Berechnung des \(y\)-Werts: \(h(4) = \frac{4+1}{4-1} = \frac{5}{3}\). 8. Die gemeinsamen Punkte sind \(S_1(-1 \mid 0)\) und \(S_2(4 \mid \frac{5}{3})\).

a) \(h\): senkrechte Asymptote \(x=1\), waagrechte Asymptote \(y=1\); \(k\): senkrechte Asymptote \(x=-2\), waagrechte Asymptote \(y=2\). b) Die gemeinsamen Punkte sind \(S_1(-1 \mid 0)\) und \(S_2(4 \mid \frac{5}{3})\).

- Setze die Funktionsterme gleich und versuche, eine quadratische Gleichung in \(x\) zu erhalten. - Überlege, welches Werkzeug dir hilft, die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung zu bestimmen. - Vergiss nicht, dass der Wert des Parameters die Anzahl der Lösungen beeinflussen kann. - Gibt es einen speziellen Wert für \(x\), der nicht als Lösung infrage kommt? Prüfe, ob dieser für bestimmte \(a\) auftreten würde.

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(\frac{2a}{x+1} = x-2\). 2. Multiplikation mit dem Nenner \((x+1)\) ergibt \(2a = (x-2)(x+1) = x^2-x-2\). 3. Umformen zur quadratischen Gleichung \(x^2-x-2-2a = 0\). 4. Bestimmung der Diskriminante: \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2-2a) = 1 + 8 + 8a = 9 + 8a\). 5. Untersuchung der Diskriminante: \(D < 0 \iff a < -1{,}125\) (keine Lösung), \(D = 0 \iff a = -1{,}125\) (eine Lösung), \(D > 0 \iff a > -1{,}125\) (zwei Lösungen). 6. Prüfung der Definitionslücke \(x = -1\): Einsetzen in die quadratische Gleichung ergibt \((-1)^2 - (-1) - 2 - 2a = 0 \iff -2a = 0 \iff a = 0\). Für \(a = 0\) entfällt somit eine Lösung, da sie nicht im Definitionsbereich liegt. 7. Ergebnis: Für \(a < -1{,}125\) gibt es 0 Schnittpunkte; für \(a = -1{,}125\) oder \(a = 0\) gibt es 1 Schnittpunkt; für \(a > -1{,}125\) mit \(a \neq 0\) gibt es 2 Schnittpunkte.

Für \(a < -1{,}125\): 0 Schnittpunkte Für \(a = -1{,}125\) oder \(a = 0\): 1 Schnittpunkt Für \(a > -1{,}125\) und \(a \neq 0\): 2 Schnittpunkte

- Bestimme zuerst, welche \(x\)-Werte aufgrund von Nullstellen im Nenner ausgeschlossen werden müssen. - Suche nach dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner, um die Brüche aufzulösen. - Achte beim Auflösen der Klammern auf das Minuszeichen vor dem Term \((x^2 - 1)\). - Prüfe kritisch, ob jede rechnerisch gefundene Lösung tatsächlich ein Punkt auf beiden Graphen sein kann.

1. Ansatz durch Gleichsetzen der Funktionsterme: \(\frac{2}{x^2 - 1} = \frac{1}{x - 1} - 1\) 2. Festlegen der Definitionsmenge: \(D = \mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}\) 3. Multiplikation der gesamten Gleichung mit dem Hauptnenner \((x - 1)(x + 1) = x^2 - 1\): \(2 = (x + 1) - (x^2 - 1)\) 4. Vereinfachen und Umstellen der Gleichung: \(x^2 - x = 0\) 5. Faktorisieren der Gleichung: \(x(x - 1) = 0\), woraus die potenziellen Lösungen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 1\) folgen 6. Abgleich mit der Definitionsmenge: Da \(x_2 = 1\) nicht in \(D\) enthalten ist, bleibt nur \(x = 0\) als gültige Lösung 7. Berechnung der zugehörigen \(y\)-Koordinate: \(g(0) = \frac{1}{0 - 1} - 1 = -2\) 8. Ergebnis als Punkt: \(S(0 \mid -2)\)

Der einzige Schnittpunkt ist \(S(0 \mid -2)\).

- Zeichne dir eine Skizze des Banners mit der bedruckten Fläche und den Rändern auf. - Wie hängen die Seitenlängen der bedruckten Fläche zusammen, wenn ihr Produkt feststeht? - Denke daran, dass die Gesamtmaße des Banners die Maße der bedruckten Fläche plus die Ränder auf beiden Seiten sind. - Für die schräge Asymptote ist es hilfreich, den Funktionsterm in der Form \(a \cdot x + b + \frac{c}{x}\) zu betrachten.

1. Gesamthöhe: Die bedruckte Fläche ist \(x \cdot y = 18\), also ist die Höhe des bedruckten Teils \(y = \frac{18}{x}\). Die Gesamthöhe inklusive Ränder ist \(H(x) = \frac{18}{x} + 2 \cdot 1 = \frac{18}{x} + 2\). 2. Gesamtfläche: Die Gesamtbreite ist \(B(x) = x + 2 \cdot 0{,}5 = x + 1\). Der Flächeninhalt ist \(A(x) = (x + 1) \cdot (\frac{18}{x} + 2) = 18 + 2x + \frac{18}{x} + 2 = 2x + 20 + \frac{18}{x}\). Gleichnamig machen ergibt \(A(x) = \frac{2x^2 + 20x + 18}{x}\). 3. Asymptoten: Die senkrechte Asymptote liegt bei der Definitionslücke \(x = 0\). Da \(A(x) = 2x + 20 + \frac{18}{x}\), ist \(y = 2x + 20\) die Gleichung der schrägen Asymptote. 4. Gleichung lösen: \(45 = \frac{2x^2 + 20x + 18}{x} \implies 45x = 2x^2 + 20x + 18 \implies 2x^2 - 25x + 18 = 0\). Anwendung der Mitternachtsformel: \(x_{1,2} = \frac{25 \pm \sqrt{(-25)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 18}}{2 \cdot 2} = \frac{25 \pm \sqrt{481}}{4}\). Dies ergibt \(x_1 \approx 11{,}73\) und \(x_2 \approx 0{,}77\).

a) \(H(x) = \frac{18}{x} + 2\) b) Nachweis durch Multiplikation von Gesamtbreite \((x+1)\) und Gesamthöhe \((\frac{18}{x}+2)\). c) Senkrechte Asymptote: \(x = 0\); schräge Asymptote: \(y = 2x + 20\). d) Die Breiten der bedruckten Fläche betragen etwa \(0{,}77\,\text{m}\) oder \(11{,}73\,\text{m}\).

- Setze die Funktionsterme gleich und versuche, die Gleichung so umzuformen, dass kein Bruch mehr vorkommt. - Überlege, in welchen Fällen eine quadratische Gleichung effektiv nur eine gültige Lösung für den Schnittpunkt liefert. - Vergiss nicht, den Definitionsbereich der Funktion \(h_c\) zu berücksichtigen. - Was passiert mit dem Graphen von \(h_c\), wenn der Parameter \(c\) den Wert \(0\) annimmt?

1. Schnittbedingung aufstellen: \(1 + \frac{c}{x + 3} = 2 - x\) mit \(x \neq -3\). 2. Umformen zur quadratischen Gleichung: \(\frac{c}{x + 3} = 1 - x \Rightarrow c = (1 - x)(x + 3) \Rightarrow c = -x^2 - 2x + 3 \Leftrightarrow x^2 + 2x + c - 3 = 0\). 3. Bedingung für genau eine Lösung über die Diskriminante \(D\): \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 3) = 4 - 4c + 12 = 16 - 4c\). \(16 - 4c = 0 \Rightarrow c = 4\). Die zugehörige Lösung \(x = -1\) ist im Definitionsbereich enthalten. 4. Bedingung für den Fall, dass eine der zwei potenziellen Lösungen dem Pol \(x = -3\) entspricht: Einsetzen von \(x = -3\) in die Gleichung \(x^2 + 2x + c - 3 = 0\): \((-3)^2 + 2(-3) + c - 3 = 0 \Rightarrow 9 - 6 + c - 3 = 0 \Rightarrow c = 0\). Für \(c = 0\) lautet die Gleichung \(x^2 + 2x - 3 = 0\) mit \(x_1 = -3\) (entfällt) und \(x_2 = 1\). Es gibt also genau einen Schnittpunkt. 5. Die gesuchten Werte sind \(c = 4\) und \(c = 0\).

Die Graphen haben für \(c = 4\) und \(c = 0\) genau einen Schnittpunkt.

- Welche Koordinaten des Symmetriezentrums entsprechen der senkrechten und der waagerechten Asymptote? - Wie kannst du einen Punkt nutzen, um eine unbekannte Konstante in einer Gleichung zu berechnen? - Um zwei Terme zu addieren, von denen einer ein Bruch ist, musst du sie auf denselben Nenner bringen. - Wie berechnet man allgemein die Schnittpunkte mit den Achsen?

1. Bestimmung der Parameter aus dem Symmetriezentrum: Da das Symmetriezentrum bei \(Z(4 \mid 3)\) liegt, sind die Asymptoten \(x=4\) und \(y=3\). Daraus folgt \(x_0 = 4\) und \(c = 3\). Der Ansatz lautet \(h(x) = \frac{k}{x-4} + 3\). 2. Bestimmung von \(k\) mit Punkt \(P(2 \mid 5{,}5)\): \(5{,}5 = \frac{k}{2-4} + 3 \Rightarrow 2{,}5 = \frac{k}{-2} \Rightarrow k = -5\). Somit ist \(h(x) = \frac{-5}{x-4} + 3\). 3. Umformung in einen Bruch: \(h(x) = \frac{-5 + 3(x-4)}{x-4} = \frac{3x-17}{x-4}\). 4. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(h(0) = \frac{3 \cdot 0 - 17}{0 - 4} = \frac{-17}{-4} = 4{,}25\). Punkt \(S_y(0 \mid 4{,}25)\). 5. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (Nullstelle): \(3x-17 = 0 \Rightarrow x = \frac{17}{3} = 5\frac{2}{3}\). Punkt \(N(5\frac{2}{3} \mid 0)\).

a) \(h(x) = \frac{-5}{x-4} + 3\) b) \(h(x) = \frac{3x-17}{x-4}\) c) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 \mid 4{,}25)\); Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(N(\frac{17}{3} \mid 0)\), wobei \(x \approx 5{,}67\).

- Wie findet man heraus, ob die Funktionswerte an einer Lücke gegen plus oder minus Unendlich gehen? - Erinnere dich an das Verfahren der Polynomdivision, um einen Bruchterm in einen ganzrationalen Teil und einen echten Bruchrest zu zerlegen. - Welcher Teil des Ergebnisses der Polynomdivision beschreibt die Gerade, der sich der Graph annähert? - Wenn eine Funktion die Form \(g(x) = \text{Gerade} + \text{Restterm}\) hat, unter welcher Bedingung könnte sie dann die Gerade schneiden?

1. Die Definitionslücke liegt bei \(x = 1\), also \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{1\}\). Untersuchung der Grenzwerte: Für \(x \to 1^+\) strebt der Zähler gegen \(4\) und der Nenner gegen \(0^+\), also \(g(x) \to \infty\). Für \(x \to 1^-\) strebt der Nenner gegen \(0^-\), also \(g(x) \to -\infty\). Es liegt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor. 2. Die Polynomdivision \((2x^2 - 3x + 5) : (x - 1)\) ergibt \(2x - 1\) mit dem Rest \(4\). Somit lässt sich die Funktion schreiben als \(g(x) = 2x - 1 + \frac{4}{x-1}\). Die Gleichung der schrägen Asymptote lautet \(y = 2x - 1\). 3. Ein Schnittpunkt mit der Asymptote läge vor, wenn \(g(x) = 2x - 1\) gelte. Dies führt auf die Gleichung \(2x - 1 + \frac{4}{x-1} = 2x - 1\), woraus \(\frac{4}{x-1} = 0\) folgt. Da der Zähler konstant \(4\) ist, besitzt diese Gleichung keine Lösung. Der Graph hat keinen Punkt mit der Asymptote gemeinsam.

a) \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{1\}\); \(\lim_{x \to 1^+} g(x) = \infty\) und \(\lim_{x \to 1^-} g(x) = -\infty\) b) Schräge Asymptote: \(y = 2x - 1\) c) Der Ansatz \(g(x) = 2x - 1\) führt auf den Widerspruch \(4 = 0\), daher gibt es keine Schnittpunkte.

- Welcher Parameter in der gegebenen Form beeinflusst direkt die Lage der Definitionslücke? - Was passiert mit dem Bruchterm, wenn x gegen Unendlich strebt? Welcher Parameter bleibt übrig? - Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes in die Funktionsgleichung ein, um den letzten unbekannten Parameter zu finden. - Setze den gesamten Funktionsterm gleich Null und löse nach x auf. - Kombiniere die Funktion k mit dem zusätzlichen linearen Term, um die neue Asymptotengleichung zu identifizieren.

1. Parameter \(b\): Die senkrechte Asymptote liegt bei der Definitionslücke des Nenners, also \(b = 2\). 2. Parameter \(c\): Die waagrechte Asymptote entspricht dem konstanten Summanden für \(x \to \pm \infty\), also \(c = 3\). 3. Parameter \(a\): Einsetzen von \(P(3 \mid 5)\) in \(5 = \frac{a}{3-2} + 3\) führt zu \(5 = a + 3\), woraus \(a = 2\) folgt. Die Funktion lautet \(k(x) = \frac{2}{x-2} + 3\). 4. Nullstelle: Ansatz \(k(x) = 0 \implies \frac{2}{x-2} = -3 \implies 2 = -3(x-2) \implies 2 = -3x + 6 \implies 3x = 4 \implies x = \frac{4}{3}\). 5. Asymptoten von \(m\): Es gilt \(m(x) = -3x + 3 + \frac{2}{x-2}\). 6. Die senkrechte Asymptote von \(m\) liegt weiterhin bei \(x = 2\). 7. Die schräge Asymptote von \(m\) wird durch den linearen Anteil \(y = -3x + 3\) beschrieben, da der Restterm \(\frac{2}{x-2}\) für \(x \to \pm \infty\) gegen Null geht.

a) \(a = 2\), \(b = 2\), \(c = 3\) b) Nullstelle bei \(x = \frac{4}{3}\) c) Senkrechte Asymptote: \(x = 2\); schräge Asymptote: \(y = -3x + 3\)

- Erinnere dich daran, wie man den Graphen einer Grundfunktion wie \(y = \frac{1}{x^2}\) verschieben kann, um Asymptoten zu erzeugen. - Wie muss der Nenner aussehen, damit bei \(x = 3\) kein Vorzeichenwechsel stattfindet? - Nutze den gegebenen Punkt, um einen Streckungsfaktor oder eine noch unbekannte Konstante im Term zu berechnen. - Überlege dir, welcher Ansatz für die waagrechte Asymptote am einfachsten zu handhaben ist (z. B. eine additive Konstante).

1. Eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei \(x = 3\) bedeutet, dass im Nenner der Faktor \((x - 3)\) mit einer geraden Potenz vorkommen muss, beispielsweise \((x - 3)^2\). 2. Die waagrechte Asymptote \(y = 2\) kann durch einen Ansatz der Form \(f(x) = \frac{a}{(x - 3)^2} + 2\) realisiert werden, da der Bruch für \(x \to \infty\) gegen Null strebt. 3. Um den Parameter \(a\) zu bestimmen, wird die Koordinate des Punktes \(P(0 \mid 1)\) in die Gleichung eingesetzt: \(1 = \frac{a}{(0 - 3)^2} + 2\). 4. Die Gleichung wird nach \(a\) aufgelöst: \(1 = \frac{a}{9} + 2 \implies -1 = \frac{a}{9} \implies a = -9\). 5. Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x) = \frac{-9}{(x - 3)^2} + 2\). Durch Zusammenfassen auf einen Hauptnenner ergibt sich alternativ \(f(x) = \frac{2(x - 3)^2 - 9}{(x - 3)^2} = \frac{2x^2 - 12x + 9}{(x - 3)^2}\).

Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x) = \frac{-9}{(x - 3)^2} + 2\) oder \(f(x) = \frac{2x^2 - 12x + 9}{(x - 3)^2}\).

- Was passiert, wenn du die Gleichung nach dem Gleichsetzen mit dem Nenner multiplizierst? - Wie verhält sich ein Polynom dritten Grades bezüglich seiner Nullstellen? - Kannst du mithilfe der Ableitung des entstandenen Polynoms etwas über dessen Monotonie aussagen? - Warum ist es wichtig, den Wert der Definitionslücke in die entstandene Gleichung einzusetzen?

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(\frac{x+2}{x-1} = x^2 + 2\). 2. Multiplikation mit dem Nenner \(x-1\): \(x+2 = (x^2+2)(x-1) = x^3 - x^2 + 2x - 2\). 3. Zusammenfassen zu einer kubischen Gleichung: \(x^3 - x^2 + x - 4 = 0\). 4. Untersuchung der Funktion \(k(x) = x^3 - x^2 + x - 4\) auf Nullstellen: Die Ableitung \(k'(x) = 3x^2 - 2x + 1\) hat die Diskriminante \(D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = -8 < 0\). 5. Da \(k'(x) > 0\) für alle \(x\) gilt, ist die Funktion \(k\) streng monoton steigend. 6. Aufgrund der Grenzwerte \(\lim_{x \to -\infty} k(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to \infty} k(x) = \infty\) besitzt \(k\) genau eine reelle Nullstelle. 7. Prüfung der Definitionslücke: Da \(k(1) = 1 - 1 + 1 - 4 = -3 \neq 0\), liegt die Nullstelle nicht bei \(x=1\). 8. Es existiert somit genau eine Schnittstelle und damit genau ein gemeinsamer Punkt.

Die Graphen \(G_h\) und \(G_p\) haben genau einen gemeinsamen Punkt.

- Was passiert mit der Funktionsgleichung, wenn man das Argument \(x\) durch \((x - x_0)\) ersetzt? - Vergleiche die schrägen Asymptoten der beiden Funktionen. Geben sie dir einen Hinweis auf eine vertikale Verschiebung? - Setze die transformierte Funktion \(f(x - x_0) + y_0\) mit \(g(x)\) gleich und löse nach den Unbekannten auf.

1. Analyse von \(f(x)\): Der Definitionsbereich ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = 0\). Da der Term \(\frac{4}{x}\) für \(x \to \pm\infty\) gegen \(0\) strebt, ist die schräge Asymptote \(y = x\). 2. Prüfung der horizontalen Verschiebung: Eine Verschiebung von \(f\) um \(2\) Einheiten nach rechts entspricht der Funktion \(h(x) = f(x-2) = (x-2) + \frac{4}{x-2} = x - 2 + \frac{4}{x-2}\). 3. Vergleich mit \(g(x)\): Es gilt \(g(x) = x + \frac{4}{x-2}\). Der Vergleich zeigt \(g(x) - h(x) = (x + \frac{4}{x-2}) - (x - 2 + \frac{4}{x-2}) = 2\). Die Behauptung ist also falsch, da zusätzlich eine vertikale Verschiebung vorliegt. 4. Bestimmung des Verschiebungsvektors: Da \(g(x) = h(x) + 2 = f(x-2) + 2\), wurde der Graph um \(2\) Einheiten nach rechts (\(x_0 = 2\)) und um \(2\) Einheiten nach oben (\(y_0 = 2\)) verschoben. Der Vektor lautet \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}\).

a) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}\); senkrechte Asymptote \(x = 0\); schräge Asymptote \(y = x\). b) Die Behauptung ist falsch. Der korrekte Verschiebungsvektor ist \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}\).

- Es ist oft hilfreich, alle Terme auf eine Seite zu bringen, sodass auf der anderen Seite eine Null steht. - Warum darf man eine Ungleichung nicht einfach mit einem Term multiplizieren, der das Argument \(x\) enthält? - Was passiert mit dem Ungleichheitszeichen, wenn man mit einer negativen Zahl multipliziert? Wie vermeidet man dieses Problem durch geschicktes Umformen? - Überlege dir, was die Ungleichung \(f(x) \ge g(x)\) grafisch für die Position der beiden Funktionsgraphen bedeutet.

1. Umformung der Ungleichung: \(\frac{3}{x-2} - x \ge 0\). 2. Bringen auf einen gemeinsamen Nenner: \(\frac{3 - x(x-2)}{x-2} \ge 0 \implies \frac{3 - x^2 + 2x}{x-2} \ge 0 \implies \frac{-(x^2 - 2x - 3)}{x-2} \ge 0\). 3. Bestimmung der kritischen Punkte: Zähler-Nullstellen von \(-x^2 + 2x + 3 = 0\) ergeben \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\). Die Definitionslücke des Nenners ist \(x = 2\). 4. Vorzeichenuntersuchung der rationalen Funktion \(T(x) = \frac{-(x-3)(x+1)}{x-2}\): - Für \(x \le -1\) ist \(T(x) \ge 0\). - Für \(-1 < x < 2\) ist \(T(x) < 0\). - Für \(2 < x \le 3\) ist \(T(x) \ge 0\). - Für \(x > 3\) ist \(T(x) < 0\). 5. Lösungsmenge: \(L = ]-\infty; -1] \cup ]2; 3]\). 6. Geometrische Interpretation: In den ermittelten Intervallen liegt der Graph der Funktion \(f(x) = \frac{3}{x-2}\) oberhalb des Graphen der Geraden \(g(x) = x\) oder schneidet diesen (an den Stellen \(x = -1\) und \(x = 3\)).

a) Die Lösungsmenge ist \(L = ]-\infty; -1] \cup ]2; 3]\). b) Geometrisch bedeutet dies, dass der Graph von \(f(x) = \frac{3}{x-2}\) für \(x \in ]-\infty; -1] \cup ]2; 3]\) nicht unterhalb der Geraden \(g(x) = x\) verläuft. Die Schnittpunkte der Graphen liegen bei \(x = -1\) und \(x = 3\).

- Was fällt dir an der Struktur des Zählers auf, wenn du ihn faktorisierst? Kann dieser Ausdruck jemals negativ werden? - Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit ein Bruch kleiner oder gleich Null ist? - Untersuche separat, wann der Zähler Null wird und wann der Nenner ein negatives Vorzeichen hat. - Vergiss nicht, die Werte auszuschließen, für die der Nenner Null wird.

1. Analyse des Zählers: \(x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2\). Der Zähler ist für alle \(x \in \mathbb{R}\) stets \(\ge 0\) und hat bei \(x = 2\) eine doppelte Nullstelle. 2. Faktorisierung des Nenners: \(x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)\). Der Nenner hat einfache Nullstellen (Polstellen) bei \(x = -2\) und \(x = 3\). 3. Bestimmung des Definitionsbereichs: \(D = \mathbb{R} \setminus \{-2; 3\}\). 4. Untersuchung des Vorzeichens: Da der Zähler niemals negativ ist, kann der gesamte Bruch nur dann \(\le 0\) sein, wenn entweder der Zähler gleich \(0\) ist (\(x=2\)) oder der Nenner negativ ist (\((x-3)(x+2) < 0\)). 5. Der Nenner ist zwischen seinen Nullstellen negativ, also für \(x \in ]-2; 3[\). Da die Nullstelle des Zählers \(x=2\) in diesem Intervall liegt, ist die Ungleichung für alle \(x\) in diesem Bereich erfüllt. 6. Ergebnis: \(L = ]-2; 3[\).

\(L = ]-2; 3[\)

- Was passiert, wenn sowohl der Zähler als auch der Nenner an derselben Stelle Null werden? - Unterscheide zwischen Polstellen und behebbaren Definitionslücken. - Prüfe nach der Berechnung der Zählernullstellen immer, ob diese Werte tatsächlich zur Definitionsmenge gehören. - Kannst du den Funktionsterm vereinfachen, indem du Zähler und Nenner faktorisierst?

1. Definitionsmenge: Nennernullstellen bestimmen durch \(x^2 - 4 = 0 \implies x_1 = 2, x_2 = -2\). Somit ist \(D = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\). 2. Polstellen: Prüfung der Definitionslücken im Zähler. Für \(x = -2\) ist der Zähler \((-2)^2 - (-2) - 2 = 4 \neq 0\), daher liegt eine Polstelle bei \(x = -2\) vor. Für \(x = 2\) ist der Zähler \(2^2 - 2 - 2 = 0\). Durch Faktorisieren \(\frac{(x-2)(x+1)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x+1}{x+2}\) erkennt man, dass bei \(x = 2\) eine stetig behebbare Definitionslücke (Lücke) und keine Polstelle vorliegt. 3. Nullstellen: Zählernullstellen berechnen mit \(x^2 - x - 2 = 0\), was \(x = 2\) oder \(x = -1\) ergibt. 4. Abgleich mit \(D\): Da \(2 \notin D\), ist nur \(x = -1\) eine Nullstelle der Funktion.

\(D = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\); Polstelle bei \(x = -2\); Nullstelle bei \(x = -1\).

- Achte beim Ableiten besonders auf die Vereinfachung des Bruchs, um die Vorzeichenanalyse zu erleichtern. - Denke daran, dass sich das Vorzeichen eines Bruchs ändert, wenn entweder der Zähler oder der Nenner (mit ungerader Potenz) sein Vorzeichen wechselt. - Was unterscheidet eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel von einer ohne Vorzeichenwechsel im Hinblick auf die Ableitung?

1. Definitionsbereich festlegen: \(D = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). 2. Erste Ableitung berechnen: \(g'(x) = \frac{1 \cdot x^2 - (x-1) \cdot 2x}{x^4} = \frac{x^2 - 2x^2 + 2x}{x^4} = \frac{-x^2 + 2x}{x^4} = \frac{2-x}{x^3}\). 3. Nullstellen der Ableitung finden: \(g'(x) = 0 \implies 2-x = 0 \implies x = 2\). 4. Vorzeichenuntersuchung von \(g'(x) = \frac{2-x}{x^3}\): - Für \(x < 0\): Zähler \(2-x > 0\), Nenner \(x^3 < 0 \implies g'(x) < 0\) (streng monoton fallend). - Für \(0 < x < 2\): Zähler \(2-x > 0\), Nenner \(x^3 > 0 \implies g'(x) > 0\) (streng monoton steigend). - Für \(x > 2\): Zähler \(2-x < 0\), Nenner \(x^3 > 0 \implies g'(x) < 0\) (streng monoton fallend). 5. Analyse der Polstelle \(x = 0\): Da der Nenner \(x^3\) eine ungerade Potenz ist, findet an der Polstelle ein Vorzeichenwechsel der Ableitung statt, was zu einer Änderung des Monotonieverhaltens führt.

Die Funktion \(g\) ist: - streng monoton fallend für \(x < 0\) und für \(x > 2\). - streng monoton steigend für \(0 < x < 2\). An der Polstelle \(x = 0\) ändert sich das Monotonieverhalten von fallend zu steigend. Dies liegt daran, dass die Ableitung \(g'(x) = \frac{2-x}{x^3}\) aufgrund der ungeraden Potenz im Nenner an der Stelle \(x = 0\) einen Vorzeichenwechsel von minus nach plus vollzieht. An der Stelle \(x = 2\) liegt ein lokales Maximum vor, weshalb die Monotonie dort von steigend zu fallend wechselt.

- Prüfe die Bedingungen für Punkt- und Achsensymmetrie. - Vergleiche die Wachstumsgeschwindigkeiten von Zähler und Nenner für sehr große \(x\)-Werte. - Verwende die Quotientenregel zur Berechnung der Ableitungen. - Setze die berechneten \(x\)-Werte in die ursprüngliche Funktion ein, um die \(y\)-Koordinaten zu erhalten. - Beachte, dass ein Wendepunkt ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung erfordert.

1. Symmetrie und Asymptote: Wegen \(h(-x) = \frac{-x}{(-x)^2+3} = -\frac{x}{x^2+3} = -h(x)\) ist \(G_h\) punktsymmetrisch zum Ursprung. Da der Grad des Nenners größer als der des Zählers ist, gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} h(x) = 0\). Die waagrechte Asymptote ist die \(x\)-Achse mit der Gleichung \(y = 0\). 2. Extrempunkte: Die erste Ableitung ist \(h'(x) = \frac{1 \cdot (x^2+3) - x \cdot 2x}{(x^2+3)^2} = \frac{3-x^2}{(x^2+3)^2}\). Nullstellen von \(h'\) sind \(x_{1,2} = \pm \sqrt{3}\). Mit \(h(\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{6}\) und \(h(-\sqrt{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{6}\) sowie der Punktsymmetrie ergibt sich: Tiefpunkt \(T(-\sqrt{3}|-\frac{1}{6}\sqrt{3})\) und Hochpunkt \(H(\sqrt{3}|\frac{1}{6}\sqrt{3})\). 3. Wendepunkte: Die zweite Ableitung ist \(h''(x) = \frac{-2x(x^2+3)^2 - (3-x^2) \cdot 2(x^2+3) \cdot 2x}{(x^2+3)^4} = \frac{2x^3-18x}{(x^2+3)^3}\). Nullstellen von \(h''\) sind \(x \cdot (2x^2-18) = 0\), also \(x_3 = 0\), \(x_4 = 3\) und \(x_5 = -3\). Da \(h''\) an diesen Stellen das Vorzeichen wechselt (einfache Nullstellen des Zählers), liegen Wendepunkte vor. Die Koordinaten sind \(W_1(0|0)\), \(W_2(3|0{,}25)\) und \(W_3(-3|-0{,}25)\).

a) Punktsymmetrie zum Ursprung; waagrechte Asymptote \(y = 0\). b) Tiefpunkt \(T(-\sqrt{3}|-\frac{1}{6}\sqrt{3})\), Hochpunkt \(H(\sqrt{3}|\frac{1}{6}\sqrt{3})\). c) Wendepunkte bei \(W_1(0|0)\), \(W_2(3|0{,}25)\) und \(W_3(-3|-0{,}25)\).

- Nutze die Quotientenregel für die Ableitung. - Wann ist ein Bruch negativ, wenn der Nenner bereits ein Quadrat ist? - Wie bestimmt man den Grenzwert im Unendlichen bei gebrochen-rationalen Funktionen? Vergleiche die höchsten Potenzen im Zähler und Nenner. - Überlege dir den Grad des Zählers und des Nenners bei der gegebenen Funktionsform.

1. Mit der Quotientenregel: \(u(x) = ax+4\), \(u'(x) = a\); \(v(x) = x+2\), \(v'(x) = 1\). \(g_a'(x) = \frac{a(x+2) - 1(ax+4)}{(x+2)^2} = \frac{ax+2a-ax-4}{(x+2)^2} = \frac{2a-4}{(x+2)^2}\). 2. Damit \(g_a\) streng monoton fallend ist, muss \(g_a'(x) < 0\) gelten. Da der Nenner \((x+2)^2\) für \(x \neq -2\) stets positiv ist, muss der Zähler negativ sein: \(2a-4 < 0 \Rightarrow 2a < 4 \Rightarrow a < 2\). (Der Fall \(a=2\) führt zu einer konstanten Funktion). 3. Der Grenzwert im Unendlichen einer linear-gebrochenen Funktion entspricht dem Verhältnis der Koeffizienten von \(x\): \(\lim_{x \to \infty} \frac{ax+4}{x+2} = \lim_{x \to \infty} \frac{a+\frac{4}{x}}{1+\frac{2}{x}} = a\). Für \(a < 2\) ist dieser Grenzwert eine endliche reelle Zahl \(a\). 4. Nein. Eine Funktion der Form \(y = \frac{ax+b}{cx+d}\) mit \(c \neq 0\) besitzt für \(x \to \pm \infty\) immer einen endlichen Grenzwert (waagerechte Asymptote bei \(y = \frac{a}{c}\)). Unendliche Grenzwerte treten bei gebrochen-rationalen Funktionen nur auf, wenn der Grad des Zählerpolynoms größer ist als der des Nennerpolynoms. In diesem Fall (linear durch linear) ist das jedoch nicht möglich.

1. Nachweis via Quotientenregel: \(g_a'(x) = \frac{a(x+2)-(ax+4)}{(x+2)^2} = \frac{2a-4}{(x+2)^2}\). 2. \(a < 2\). 3. \(\lim_{x \to \infty} g_a(x) = a\). 4. Nein, solche Funktionen besitzen stets eine waagerechte Asymptote \(y = \frac{a}{c}\) und streben somit gegen einen endlichen Wert, niemals gegen \(\pm \infty\).

- Für welche x-Werte ist der Ausdruck im Nenner gleich null? - Untersuche das Verhalten der Exponentialfunktion für sehr kleine und sehr große x-Werte. - Wie wirkt sich das Vorzeichen der ersten Ableitung auf die möglichen Funktionswerte aus? - Kannst du ausschließen, dass bestimmte Intervalle auf der y-Achse erreicht werden?

1. Definitionsbereich: Der Nenner wird null für \(e^x = 2\), also \(x = \ln(2)\). Somit ist \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{\ln(2)\}\). 2. Grenzwerte berechnen: \(\lim_{x \to -\infty} \frac{e^x + 2}{e^x - 2} = \frac{0 + 2}{0 - 2} = -1\). \(\lim_{x \to \infty} \frac{e^x + 2}{e^x - 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + 2e^{-x}}{1 - 2e^{-x}} = 1\). \(\lim_{x \to \ln(2)^-} g(x) = -\infty\) (Zähler positiv, Nenner strebt von unten gegen Null). \(\lim_{x \to \ln(2)^+} g(x) = \infty\) (Zähler positiv, Nenner strebt von oben gegen Null). 3. Monotonie: Die Ableitung \(g'(x) = \frac{e^x(e^x - 2) - e^x(e^x + 2)}{(e^x - 2)^2} = \frac{-4e^x}{(e^x - 2)^2}\) ist für alle \(x \in D_g\) negativ. Die Funktion ist also in den Intervallen \(]-\infty; \ln(2)[\) und \(]\ln(2); \infty[\) jeweils streng monoton fallend. 4. Bestimmung der Wertemenge: Im Intervall \(]-\infty; \ln(2)[\) fällt die Funktion von \(-1\) gegen \(-\infty\), deckt also den Bereich \(]-\infty; -1[\) ab. Im Intervall \(]\ln(2); \infty[\) fällt die Funktion von \(\infty\) gegen \(1\), deckt also den Bereich \(]1; \infty[\) ab. 5. Gesamtergebnis: \(W_g = \mathbb{R} \setminus [-1; 1]\).

\(W_g = ]-\infty; -1[ \cup ]1; \infty[ = \mathbb{R} \setminus [-1; 1]\)

- Überprüfe die Bedingung für Punktsymmetrie zum Ursprung: \(f(-x) = -f(x)\). - Was passiert mit dem Bruch, wenn die Variable \(x\) extrem groß wird? - Achte beim Ableiten auf die Vorzeichen im Zähler, besonders beim Nachdifferenzieren des Nenners. - Betrachte die Grenzwerte der Funktion an den Rändern des Intervalls \(]-1; 1[\). - Wenn eine stetige Funktion von „ganz weit unten“ bis „ganz weit oben“ verläuft, welche Werte deckt sie dann ab?

1. Nachweis der Punktsymmetrie: \(g(-x) = \frac{2(-x)}{1 - (-x)^2} = \frac{-2x}{1 - x^2} = -g(x)\). Damit ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Grenzwert für \(x \to \infty\): \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{1 - x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{1}{x^2} - 1} = \frac{0}{-1} = 0\). 3. Erste Ableitung: \(g'(x) = \frac{2(1 - x^2) - 2x(-2x)}{(1 - x^2)^2} = \frac{2 - 2x^2 + 4x^2}{(1 - x^2)^2} = \frac{2x^2 + 2}{(1 - x^2)^2}\). 4. Da \(2x^2 + 2 > 0\) und \((1 - x^2)^2 > 0\) für alle \(x \in D_g\), ist \(g'(x) > 0\). Daraus folgt die strenge Monotonie (steigend) in den Intervallen \(]-\infty; -1[\), \(]-1; 1[\) und \(]1; \infty[\). 5. Tangentensteigung im Ursprung: \(g'(0) = \frac{2 \cdot 0^2 + 2}{(1 - 0^2)^2} = 2\). 6. Wertebereich in \(]-1; 1[\): Es gilt \(\lim_{x \to -1^+} g(x) = \frac{-2}{0^+} = -\infty\) und \(\lim_{x \to 1^-} g(x) = \frac{2}{0^+} = +\infty\). Da die Funktion in diesem Intervall stetig und streng monoton steigend ist, werden alle Werte von \(-\infty\) bis \(+\infty\) angenommen (Zwischenwertsatz).

a) Punktsymmetrie, da \(g(-x) = -g(x)\). Grenzwert: \(\lim_{x \to \infty} g(x) = 0\). b) \(g'(x) = \frac{2x^2 + 2}{(1 - x^2)^2}\). Da \(g'(x) > 0\), ist \(g\) überall in \(D_g\) streng monoton steigend. c) Die Steigung im Ursprung ist \(2\). Da \(\lim_{x \to -1^+} g(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to 1^-} g(x) = +\infty\) gilt und die Funktion im Intervall stetig ist, ist die Bildmenge \(W = \mathbb{R}\).

- Überlege dir, ob der Zähler einer Funktion jemals null werden kann, um Nullstellen zu finden. - Erinnere dich daran, welche Funktionstypen bei sehr großen oder sehr kleinen x-Werten „stärker“ sind. - Für die senkrechten Asymptoten solltest du die Stellen untersuchen, an denen der Nenner null wird. - Nutze die Quotientenregel für die Ableitung und untersuche das Vorzeichen der ersten Ableitung für die Art der Extrempunkte.

1. Nullstellen: Da \(e^x > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), hat die Gleichung \(f(x) = 0\) keine Lösung. Senkrechte Asymptoten liegen an den Definitionslücken vor: \(x^2 - 2x = 0 \implies x(x-2) = 0\), also bei \(x = 0\) und \(x = 2\). 2. Verhalten für \(x \to +\infty\): Da die Exponentialfunktion \(e^x\) für große \(x\) stärker wächst als jede Ganzrationale Funktion, gilt \(\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^2 - 2x} = +\infty\). 3. Waagrechte Asymptote: Für \(x \to -\infty\) strebt \(e^x \to 0\) und der Nenner \(x^2 - 2x \to +\infty\). Somit gilt \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\), was die \(x\)-Achse als waagrechte Asymptote bestätigt. 4. Extrempunkte: Die Ableitung lautet \(f'(x) = \frac{e^x \cdot (x^2 - 2x) - e^x \cdot (2x - 2)}{(x^2 - 2x)^2} = \frac{e^x(x^2 - 4x + 2)}{(x^2 - 2x)^2}\). Die Nullstellen von \(f'\) liegen bei \(x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}\). 5. Art der Extrema: Der Zählerterm \(x^2 - 4x + 2\) ist eine nach oben geöffnete Parabel. Somit findet bei \(x_1 = 2 - \sqrt{2} \approx 0{,}59\) ein Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\) statt (Hochpunkt) und bei \(x_2 = 2 + \sqrt{2} \approx 3{,}41\) von \(-\) nach \(+\) (Tiefpunkt). 6. Koordinaten: \(H(2 - \sqrt{2} \mid \frac{e^{2-\sqrt{2}}}{2-2\sqrt{2}}) \approx (0{,}59 \mid -2{,}17)\) und \(T(2 + \sqrt{2} \mid \frac{e^{2+\sqrt{2}}}{2+2\sqrt{2}}) \approx (3{,}41 \mid 6{,}30)\).

a) Keine Nullstellen, da \(e^x \neq 0\); senkrechte Asymptoten: \(x = 0\) und \(x = 2\). b) \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\). c) \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\), da \(e^x \to 0\) und \(x^2 - 2x \to \infty\). d) Hochpunkt \(H(2 - \sqrt{2} \mid \frac{e^{2-\sqrt{2}}}{2-2\sqrt{2}})\), Tiefpunkt \(T(2 + \sqrt{2} \mid \frac{e^{2+\sqrt{2}}}{2+2\sqrt{2}})\).

- Welche Bedingungen müssen für den Logarithmus erfüllt sein, damit er definiert ist? - Achte darauf, dass der gesamte Nenner nicht den Wert null annehmen darf. - Welche \(x\)-Werte machen den Zähler zu null? - Sind alle diese \(x\)-Werte auch in der Menge der erlaubten Eingabewerte enthalten?

1. Definitionsmenge des Logarithmus: Das Argument muss positiv sein, also \(x + 3 > 0 \iff x > -3\). 2. Ausschluss der Nullstellen des Nenners: \(\ln(x + 3) = 0 \iff x + 3 = e^0 \iff x + 3 = 1 \iff x = -2\). 3. Zusammenführung der Bedingungen: \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid x > -3 \text{ und } x \neq -2\}\) bzw. \(D = ]-3; \infty[ \setminus \{-2\}\). 4. Bestimmung der Nullstellen: Der Zähler muss null sein. \(x^2 - 4 = 0 \iff x^2 = 4 \iff x = 2 \text{ oder } x = -2\). 5. Abgleich mit der Definitionsmenge: Der Wert \(x = -2\) ist gemäß Schritt 2 nicht im Definitionsbereich enthalten. Der Wert \(x = 2\) liegt im Intervall \(]-3; \infty[\) und ist ungleich \(-2\). 6. Ergebnis: Die einzige Nullstelle der Funktion ist \(x = 2\).

\(D = ]-3; \infty[ \setminus \{-2\}\) Nullstelle: \(x = 2\)

- Erinnere dich an die Regel: Eine Polstelle hat genau dann einen Vorzeichenwechsel, wenn ihre Ordnung ungerade ist. - Wie verändert sich die Ordnung einer Polstelle beim Ableiten einer Potenzfunktion mit negativem Exponenten? - Teste die Aussagen an einfachen Beispielen wie \(f(x) = \frac{1}{x}\) oder \(f(x) = \frac{1}{x^2}\).

1. Zusammenhang der Polstellenordnungen: Sei \(x_0\) eine Polstelle \(k\)-ter Ordnung von \(f\). Dann verhält sich die Funktion lokal wie \(\frac{1}{(x-x_0)^k}\). Die Ableitung verhält sich lokal wie \(\frac{-k}{(x-x_0)^{k+1}}\), besitzt dort also eine Polstelle der Ordnung \(k+1\). 2. Analyse von Sarahs Aussage: Ein Vorzeichenwechsel (VZW) bei \(f\) bedeutet, dass \(k\) ungerade ist. Dann ist \(k+1\) gerade. Eine Polstelle gerader Ordnung hat keinen VZW. Sarahs Aussage ist somit korrekt. 3. Analyse von Leos Aussage: Ein fehlender VZW bei \(f'\) bedeutet, dass die Ordnung \(k+1\) gerade ist. Daraus folgt, dass die Ordnung \(k\) der ursprünglichen Funktion \(f\) ungerade sein muss. Eine ungerade Ordnung \(k\) bedeutet jedoch, dass die Funktion \(f\) an dieser Stelle einen Vorzeichenwechsel besitzt. Leos Aussage ist somit falsch.

Sarahs Aussage ist korrekt, da eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel eine ungerade Ordnung \(k\) hat, woraus eine gerade Ordnung \(k+1\) für die Ableitung folgt (kein VZW). Leos Aussage ist falsch, da ein fehlender Vorzeichenwechsel in der Ableitung (gerade Ordnung \(k+1\)) bedeutet, dass die ursprüngliche Funktion eine ungerade Ordnung \(k\) und damit einen Vorzeichenwechsel haben muss.

- Wann ist ein Bruch gleich null? Betrachte dazu nur den Zähler. - Vergleiche die höchsten Potenzen von \(x\) im Zähler und Nenner, um das Verhalten im Unendlichen zu bestimmen. - Für den Nachweis der Wendepunkte musst du zeigen, dass die zweite Ableitung an den Stellen der Nullstellen ebenfalls null ist. - Nutze die Symmetrie der Funktion, um deine Ergebnisse für die Extrem- und Wendepunkte zu überprüfen.

1. Definitionsbereich und Symmetrie: Da \(x^2 + 3 > 0\) für alle \(x\), ist \(D_f = \mathbb{R}\). Wegen \(f(-x) = \frac{(-x)^2 - 1}{(-x)^2 + 3} = f(x)\) ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse. 2. Nullstellen und Asymptote: \(x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x_{1,2} = \pm 1\). Da Zähler- und Nennergrad gleich sind, gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{1 \cdot x^2 - 1}{1 \cdot x^2 + 3} = 1\). Waagerechte Asymptote: \(y = 1\). 3. Wendepunkte: Ableitungen bilden: \(f'(x) = \frac{2x(x^2+3) - (x^2-1)2x}{(x^2+3)^2} = \frac{8x}{(x^2+3)^2}\) und \(f''(x) = \frac{8(x^2+3)^2 - 8x \cdot 2(x^2+3) \cdot 2x}{(x^2+3)^4} = \frac{24-24x^2}{(x^2+3)^3}\). Die Bedingung \(f''(x) = 0\) führt auf \(24(1-x^2) = 0 \Rightarrow x_{1,2} = \pm 1\). Da dies die Nullstellen von \(f\) sind, liegen dort Wendepunkte bei \(WP(\pm 1 | 0)\). 4. Extrempunkt: \(f'(x) = 0 \Rightarrow 8x = 0 \Rightarrow x = 0\). Mit \(f''(0) = \frac{24}{27} > 0\) ist dies ein lokales Minimum. Der Tiefpunkt liegt bei \(TP(0 | -\frac{1}{3})\).

1. \(D_f = \mathbb{R}\), achsensymmetrisch zur y-Achse; 2. Nullstellen \(x_{1,2} = \pm 1\), waagerechte Asymptote \(y = 1\); 3. \(f''(\pm 1) = 0\) und \(f'''(\pm 1) \neq 0\); 4. \(TP(0 | -\frac{1}{3})\).

- Was bedeutet ein fehlender Vorzeichenwechsel für den Exponenten im Nenner? - Wie hängen der Grad des Zählers und des Nenners bei einer schrägen Asymptote zusammen? - Du kannst die Funktion als Summe aus dem Asymptotenterm und einem Restbruch ansetzen. - Stelle sicher, dass der Restbruch für sehr große x-Werte verschwindet.

1. Eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei \(x = 4\) erfordert einen Faktor \((x - 4)^n\) im Nenner, wobei \(n\) eine gerade natürliche Zahl ist. Wähle \(n = 2\). 2. Eine schräge Asymptote \(y = 2x - 1\) bedeutet, dass sich die Funktion als Summe aus diesem linearen Teil und einer echten gebrochenrationalen Funktion darstellen lässt, die für \(x \to \pm\infty\) gegen Null strebt. 3. Ansatz wählen: \(f(x) = 2x - 1 + \frac{k}{(x - 4)^2}\) mit einer Konstanten \(k \neq 0\). 4. Mit \(k = 1\) ergibt sich durch Hauptnennerbildung: \(f(x) = \frac{(2x - 1)(x - 4)^2 + 1}{(x - 4)^2}\). 5. Ausmultiplizieren des Zählers: \((2x - 1)(x^2 - 8x + 16) + 1 = 2x^3 - 16x^2 + 32x - x^2 + 8x - 16 + 1 = 2x^3 - 17x^2 + 40x - 15\). 6. Resultierender Funktionsterm: \(f(x) = \frac{2x^3 - 17x^2 + 40x - 15}{x^2 - 8x + 16}\).

Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x) = \frac{2x^3 - 17x^2 + 40x - 15}{x^2 - 8x + 16}\).

- Erinnere dich daran, dass bei der Polynomdivision der Grad des Restpolynoms kleiner sein muss als der Grad des Divisors. - Wann ist ein Bruch gleich Null? - Welche Information liefert der Restterm über die Differenz zwischen Funktion und Asymptote?

1. Durchführung der Polynomdivision: \((2x^3 - x^2 + 2x + 1) : (x^2 + 2)\). Der erste Term ist \(2x^3 : x^2 = 2x\). Multiplikation \(2x(x^2 + 2) = 2x^3 + 4x\) und Subtraktion ergibt \(-x^2 - 2x + 1\). Der nächste Term ist \(-x^2 : x^2 = -1\). Multiplikation \(-1(x^2 + 2) = -x^2 - 2\) und Subtraktion ergibt den Rest \(-2x + 3\). Die Zerlegung lautet \(g(x) = 2x - 1 + \frac{-2x + 3}{x^2 + 2}\). 2. Die Gleichung der schiefen Asymptote ist \(y = 2x - 1\). 3. Ein Schnittpunkt liegt vor, wenn der Restterm Null wird: \(\frac{-2x + 3}{x^2 + 2} = 0\). Dies führt auf \(-2x + 3 = 0\), woraus \(x = 1{,}5\) folgt. 4. Einsetzen von \(x = 1{,}5\) in die Asymptotengleichung (oder die Funktion) ergibt \(y = 2 \cdot 1{,}5 - 1 = 2\). Der Schnittpunkt liegt bei \(S(1{,}5 | 2)\).

Asymptotengleichung: \(y = 2x - 1\); Schnittpunkt mit der Asymptote: \(S(1{,}5 | 2)\).

- Erinnere dich daran, dass \(e^x\) niemals null wird. - Kannst du den Nenner mithilfe einer binomischen Formel faktorisieren, um Gemeinsamkeiten mit dem Zähler zu finden? - Wenn du eine Lücke durch Kürzen „entfernen“ kannst, was sagt das über die Art der Lücke aus? - Untersuche das Verhalten des Nenners in der Nähe der Polstelle: Ändert der Term im Nenner dort sein Vorzeichen?

1. Definitionslücken identifizieren: Der Nenner \(x^2 - 1\) wird null für \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\). 2. Klassifizierung von \(x = 1\): Der Zähler \((x-1) \cdot e^x\) wird an dieser Stelle ebenfalls null. Durch Kürzen des Faktors \((x-1)\) erhält man den vereinfachten Term \(\frac{e^x}{x+1}\). Da der Grenzwert \(\lim_{x \to 1} \frac{e^x}{x+1} = \frac{e}{2}\) existiert, ist die Lücke bei \(x = 1\) hebbar. 3. Klassifizierung von \(x = -1\): Der Zähler ergibt \((-1-1) \cdot e^{-1} = -2 \cdot e^{-1} \neq 0\). Da nur der Nenner null wird, ist \(x = -1\) eine Polstelle. 4. Vorzeichenwechsel: Im vereinfachten Term steht der Faktor \((x+1)\) mit der Potenz 1 im Nenner. Da dies eine ungerade Potenz ist, liegt bei \(x = -1\) eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor.

Die Definitionslücken sind \(x = 1\) (hebbare Lücke) und \(x = -1\) (Polstelle mit Vorzeichenwechsel).

- Was passiert mit dem Graphen einer rationalen Funktion, wenn der Zählergrad genau um eins größer ist als der Nennergrad? - Welches Rechenverfahren hilft dir dabei, einen unecht gebrochen-rationalen Term in einen ganzrationalen Anteil und einen Restbruch zu zerlegen? - Betrachte bei Teilaufgabe b) die beiden Summanden getrennt. Wie verhält sich der Bruchterm für sehr große \(x\)-Werte?

1. Für Teilaufgabe a): Die Polstelle liegt bei \(x = -1\). Durch Polynomdivision ergibt sich \(g(x) = (x^2 + 3) : (x + 1) = x - 1 + \frac{4}{x + 1}\). Da der Restterm \(\frac{4}{x + 1}\) für \(x \to \pm \infty\) gegen \(0\) strebt, ist die schräge Asymptote \(y = x - 1\). 2. Für Teilaufgabe b): Die Polstelle liegt bei \(x = 2\). Der Funktionsterm wird umgeformt, indem der Bruchterm untersucht wird: \(\frac{2x}{x - 2} = \frac{2(x - 2) + 4}{x - 2} = 2 + \frac{4}{x - 2}\). Eingesetzt in die Funktion ergibt sich \(g(x) = \frac{1}{3}x - 2 - \frac{4}{x - 2}\). Die schräge Asymptote lautet somit \(y = \frac{1}{3}x - 2\).

a) Polstelle: \(x = -1\); schräge Asymptote: \(y = x - 1\) b) Polstelle: \(x = 2\); schräge Asymptote: \(y = \frac{1}{3}x - 2\)

- Nutze die Polynomdivision, um die Funktion in einen ganzrationalen Teil und einen Restbruch zu zerlegen. - Die Näherungsfunktion entspricht dem Ergebnis der Division ohne den Rest. - Untersuche das Vorzeichen des Restbruchs für extrem große und extrem kleine \(x\)-Werte. - Welcher Teil des Restbruchs bestimmt das Vorzeichen, wenn \(x\) gegen Unendlich geht?

1. Anwendung der Polynomdivision: \((x^4 - 2x^2 + 3x) : (x^2 + 1) = x^2 - 3\) Rest \(3x + 3\). 2. Darstellung der Funktion als \(f(x) = x^2 - 3 + \frac{3x + 3}{x^2 + 1}\). 3. Identifikation der ganzrationalen Näherungsfunktion: \(g(x) = x^2 - 3\). 4. Analyse des Restterms \(r(x) = \frac{3x + 3}{x^2 + 1}\) für \(x \to \pm\infty\): - Für \(x \to \infty\): Der Zähler \(3x + 3\) ist positiv, der Nenner \(x^2 + 1\) ist stets positiv. Da \(r(x) > 0\), erfolgt die Annäherung von oben. - Für \(x \to -\infty\): Der Zähler \(3x + 3\) ist negativ, der Nenner \(x^2 + 1\) bleibt positiv. Da \(r(x) < 0\), erfolgt die Annäherung von unten.

Die Näherungsfunktion ist \(g(x) = x^2 - 3\). Für \(x \to \infty\) nähert sich der Graph von oben an. Für \(x \to -\infty\) nähert sich der Graph von unten an.

- Prüfe die Bedingung für Achsen- oder Punktsymmetrie durch Einsetzen von \(-x\). - Die Quotientenregel hilft dir beim Ableiten von Brüchen. - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner viel schneller wächst als der Zähler? - Die Wertemenge umfasst alle möglichen Ergebnisse der Funktion – schaue dir dafür die Extrema an.

1. \(f_k(-x) = \frac{k \cdot (-x)}{(-x)^2 + 4} = \frac{-kx}{x^2 + 4} = -f_k(x)\). Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Ableitung mit Quotientenregel: \(f_k'(x) = k \cdot \frac{1 \cdot (x^2 + 4) - x \cdot 2x}{(x^2 + 4)^2} = k \cdot \frac{4 - x^2}{(x^2 + 4)^2}\). \(f_k'(x) = 0 \implies x^2 = 4 \implies x_1 = 2, x_2 = -2\). Funktionswerte: \(f_k(2) = \frac{2k}{8} = \frac{k}{4}\) und \(f_k(-2) = -\frac{k}{4}\). Für \(k > 0\) ist \(H(2 \mid \frac{k}{4})\) Hochpunkt und \(T(-2 \mid -\frac{k}{4})\) Tiefpunkt. Für \(k < 0\) kehren sich die Rollen um. 3. Da der Grad des Nenners größer ist als der Grad des Zählers, gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} f_k(x) = 0\). 4. Da die Funktion stetig ist, für \(x \to \pm \infty\) gegen 0 strebt und genau zwei Extremstellen besitzt, liegen alle Funktionswerte zwischen den \(y\)-Koordinaten der Extrema. Die Wertemenge ist \(W = [-\frac{|k|}{4}; \frac{|k|}{4}]\).

1. Punktsymmetrie zum Ursprung \((0 \mid 0)\). 2. Extrempunkte bei \((2 \mid \frac{k}{4})\) und \((-2 \mid -\frac{k}{4})\). 3. \(\lim_{x \to \infty} f_k(x) = 0\) und \(\lim_{x \to -\infty} f_k(x) = 0\). 4. \(W = [-\frac{|k|}{4}; \frac{|k|}{4}]\).

- Überprüfe \(h_k(-x)\), um auf Symmetrie zu schließen. - Nutze die Quotientenregel für die erste Ableitung und vereinfache den Zähler so weit wie möglich. - Beachte, dass der Faktor \((4+k)\) im Zähler der Ableitung das Vorzeichen und die Nullstellen beeinflusst. - Was passiert mit der Funktion, wenn der Zähler der ursprünglichen Funktion genau dem Nenner entspricht?

1. Symmetrie: Da im Funktionsterm nur gerade Potenzen von \(x\) vorkommen, gilt \(h_k(-x) = \frac{(-x)^2 + k}{(-x)^2 - 4} = \frac{x^2 + k}{x^2 - 4} = h_k(x)\). Die Graphen sind für alle \(k \in \mathbb{R}\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Ableitung berechnen: Mit der Quotientenregel ergibt sich \(h_k'(x) = \frac{2x(x^2 - 4) - (x^2 + k)(2x)}{(x^2 - 4)^2} = \frac{2x^3 - 8x - 2x^3 - 2kx}{(x^2 - 4)^2} = \frac{-2x(4 + k)}{(x^2 - 4)^2}\). 3. Extremstellen: \(h_k'(x) = 0 \iff -2x(4 + k) = 0\). - Fall \(k = -4\): \(h_{-4}(x) = 1\) für \(x \neq \pm 2\). Die Funktion ist konstant, es gibt keine Extrempunkte. - Fall \(k \neq -4\): Die einzige potenzielle Extremstelle liegt bei \(x = 0\). Der Funktionswert ist \(h_k(0) = \frac{k}{-4} = -0{,}25k\). 4. Art der Extrema: Die zweite Ableitung an der Stelle \(0\) ist \(h_k''(0) = \frac{-2(4 + k) \cdot (-4)^2 - 0}{(-4)^4} = \frac{-32(4 + k)}{256} = -\frac{4 + k}{8}\). - Für \(k > -4\) ist \(h_k''(0) < 0\), also liegt ein Hochpunkt \(H(0 \mid -0{,}25k)\) vor. - Für \(k < -4\) ist \(h_k''(0) > 0\), also liegt ein Tiefpunkt \(T(0 \mid -0{,}25k)\) vor.

a) Die Graphen von \(h_k\) sind für alle \(k \in \mathbb{R}\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. b) Extrempunkte: - Für \(k > -4\): Hochpunkt \(H(0 \mid -0{,}25k)\). - Für \(k < -4\): Tiefpunkt \(T(0 \mid -0{,}25k)\). - Für \(k = -4\): keine Extrempunkte (konstante Funktion \(h_{-4}(x) = 1\)).

- Untersuche den Zähler der ersten Ableitung. Wann ist eine quadratische Gleichung linear? - Wovon hängt die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion ab? - Überlege, ob die Diskriminante für bestimmte Werte von \(a\) und \(b\) null oder negativ werden kann. - Vergiss nicht zu prüfen, ob an den Nullstellen der Ableitung auch ein Vorzeichenwechsel vorliegt.

1. Bestimmung der Ableitung: \(g_{a,b}'(x) = \frac{(2x + a)(x^2 + 1) - (x^2 + ax + b)(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-ax^2 + 2(1 - b)x + a}{(x^2 + 1)^2}\). 2. Zu Teil a): Damit genau ein Extremum existiert, muss der Zähler \(N(x) = -ax^2 + 2(1 - b)x + a\) genau eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel haben. Fall \(a = 0\): \(N(x) = 2(1 - b)x\). Für \(b \neq 1\) ist dies eine Gerade mit einer Nullstelle bei \(x = 0\) und Vorzeichenwechsel. Somit hat \(g_{0,b}\) für \(b \neq 1\) genau ein Extremum. 3. Zu Teil b): Für \(a \neq 0\) ist der Zähler eine quadratische Funktion. Die Diskriminante der Gleichung \(-ax^2 + 2(1 - b)x + a = 0\) lautet \(D = (2(1 - b))^2 - 4(-a)(a) = 4(1 - b)^2 + 4a^2\). 4. Da \(a \neq 0\), ist \(4a^2 > 0\). Da zudem \(4(1 - b)^2 \geq 0\) für alle \(b\), gilt stets \(D > 0\). 5. Eine quadratische Funktion mit \(D > 0\) hat zwei verschiedene reelle Nullstellen, an denen jeweils ein Vorzeichenwechsel stattfindet. Da der Nenner der Ableitung stets positiv ist, besitzt \(g_{a,b}\) für \(a \neq 0\) genau zwei Extremstellen.

a) Ja, für \(a = 0\) und \(b \neq 1\) besitzt die Funktion genau ein lokales Extremum (an der Stelle \(x = 0\)). b) Für \(a \neq 0\) ist die Diskriminante des Zählers der Ableitung \(D = 4(1 - b)^2 + 4a^2\). Da \(a^2 > 0\) und \((1 - b)^2 \geq 0\), ist \(D\) immer positiv, was zwei Extremstellen garantiert.