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- Welcher Teil eines Bruchs (Zähler oder Nenner) muss Null werden, damit der gesamte Funktionswert Null ist? - Was muss im Nenner passieren, damit eine Definitionslücke eine Polstelle ist? - Wie beeinflusst die Hochzahl (der Exponent) einer Klammer im Nenner, ob sich das Vorzeichen der Funktionswerte beim Überschreiten der Polstelle ändert? - Denke an den Unterschied zwischen Funktionen wie \(\frac{1}{x}\) und \(\frac{1}{x^2}\).

1. Eine Nullstelle bei \(x = 5\) erfordert den Faktor \((x - 5)\) im Zähler des Funktionsterms. 2. Eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei \(x = -3\) erfordert eine Nullstelle mit gerader Vielfachheit im Nenner, also einen Faktor der Form \((x + 3)^n\) mit einer geraden Zahl \(n \in \{2, 4, 6, \dots\}\). 3. Durch Kombination dieser Bedingungen ergibt sich ein möglicher Funktionsterm zu \(f(x) = \frac{x - 5}{(x + 3)^2}\).

Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x) = \frac{x - 5}{(x + 3)^2}\).

- Was muss im Nenner stehen, damit die Funktion bei \(x = 4\) nicht definiert ist? - Wie unterscheidet sich der Exponent eines Faktors im Nenner bei einer Polstelle mit Vorzeichenwechsel von einer ohne Vorzeichenwechsel? - Welche Bedingung müssen die Grade von Zähler- und Nennerpolynom erfüllen, damit eine waagrechte Asymptote ungleich Null existiert? - Wie hängen die Koeffizienten der höchsten Potenzen mit dem Wert der waagrechten Asymptote zusammen?

1. Bestimmung des Nenners: Da die Definitionsmenge \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{4\}\) ist und an der Stelle \(x = 4\) eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vorliegen soll, muss der Nenner den Faktor \((x - 4)\) in einer ungeraden Potenz enthalten. Wir wählen den einfachsten Fall: \((x - 4)^1\). 2. Bestimmung des Zählers für die Asymptote: Eine waagrechte Asymptote \(y = -2\) erfordert, dass der Grad des Zählers gleich dem Grad des Nenners ist und das Verhältnis der Leitkoeffizienten \(-2\) beträgt. 3. Aufstellen des Terms: Ein möglicher Zähler ist \(-2x\). Damit ergibt sich die Funktion \(f(x) = \frac{-2x}{x - 4}\). 4. Überprüfung der Polstelle: Da der Zähler an der Stelle \(x = 4\) den Wert \(-8 \neq 0\) annimmt, liegt tatsächlich eine Polstelle vor. Da die Vielfachheit der Nullstelle im Nenner ungerade ist, besitzt die Polstelle einen Vorzeichenwechsel.

\(f(x) = \frac{-2x}{x - 4}\) (oder auch \(f(x) = -2 + \frac{1}{x - 4}\))

- Welche Rolle spielt der Nenner bei der Festlegung des Definitionsbereichs? - Wie muss der Zähler aussehen, damit eine bestimmte Zahl eine Nullstelle ist? - Muss man aufpassen, dass sich Zähler- und Nennernullstellen nicht gegenseitig beeinflussen? - Gibt es nur eine richtige Lösung oder sind verschiedene Funktionsterme denkbar?

1. Festlegung des Nenners: Damit die Definitionsmenge \(\mathbb{R} \setminus \{3; 5\}\) ist, muss das Nennerpolynom \(q(x)\) genau an den Stellen \(3\) und \(5\) Nullstellen haben. Ein möglicher Nenner ist \(q(x) = (x - 3)(x - 5)\). 2. Festlegung des Zählers: Damit die Funktion an der Stelle \(x = -2\) eine Nullstelle hat, muss das Zählerpolynom \(p(x)\) dort eine Nullstelle besitzen. Ein möglicher Zähler ist \(p(x) = x + 2\). 3. Überprüfung der Bedingungen: Da \(-2\) nicht in der Menge der Definitionslücken \(\{3; 5\}\) enthalten ist, bleibt \(x = -2\) eine gültige Nullstelle der Funktion. 4. Aufstellen des Terms: Ein möglicher Funktionsterm ist somit \(g(x) = \frac{x + 2}{(x - 3)(x - 5)}\) bzw. \(g(x) = \frac{x + 2}{x^2 - 8x + 15}\).

Ein möglicher Funktionsterm ist \(g(x) = \frac{x + 2}{(x - 3)(x - 5)}\). Begründung: Der Nenner wird bei \(x=3\) und \(x=5\) null, was diese Werte aus der Definitionsmenge ausschließt. Der Zähler wird bei \(x=-2\) null, und da dieser Wert im Definitionsbereich liegt, ist er eine Nullstelle der Funktion.

- Welcher Teil der Funktionsgleichung bestimmt das Verhalten der Funktion für extrem große oder kleine \(x\)-Werte? - Was passiert mit dem Nenner an der Stelle, an der eine senkrechte Asymptote vorliegt? - Wie kannst du die Koordinaten eines gegebenen Punktes nutzen, um eine unbekannte Variable in einer Gleichung zu finden?

1. Aus der waagrechten Asymptote \(y = 4\) folgt direkt der Parameter \(y_0 = 4\), da dies der Grenzwert für \(|x| \to \infty\) ist. 2. Die senkrechte Asymptote liegt bei der Definitionslücke \(x = -1\). Aus der Bedingung \(x - x_0 = 0\) für \(x = -1\) ergibt sich \(-1 - x_0 = 0\), also \(x_0 = -1\). 3. Durch Einsetzen der bekannten Parameter in den Funktionsterm erhält man die Form \(f(x) = \frac{a}{x + 1} + 4\). 4. Die Punktprobe mit \(P(1 \mid 5)\) liefert die Gleichung \(5 = \frac{a}{1 + 1} + 4\). 5. Subtraktion von \(4\) auf beiden Seiten ergibt \(1 = \frac{a}{2}\), woraus \(a = 2\) folgt.

\(x_0 = -1\); \(y_0 = 4\); \(a = 2\); Funktionsterm: \(f(x) = \frac{2}{x + 1} + 4\)

- Überlege, wie sich Faktoren im Nenner auf die Definitionsmenge auswirken. - Was muss für die Faktoren im Zähler und Nenner gelten, damit eine Definitionslücke „hebbar“ ist? - Wie hängen die Grade von Zähler- und Nennerpolynom mit dem Verhalten im Unendlichen zusammen? - Denke an den Unterschied zwischen Polstellen mit und ohne Vorzeichenwechsel.

1. Eine hebbare Definitionslücke bei \(x = 1\) erfordert den Faktor \((x - 1)\) sowohl im Zähler als auch im Nenner. 2. Eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei \(x = -2\) erfordert eine ungerade Vielfachheit der Nullstelle im Nenner, zum Beispiel den Faktor \((x + 2)\). 3. Eine waagerechte Asymptote bei \(y = 2\) setzt voraus, dass Zähler- und Nennerpolynom denselben Grad haben und das Verhältnis ihrer Leitkoeffizienten \(2\) beträgt. 4. Mit dem Nenner \(q(x) = (x - 1)(x + 2)\) ergibt sich ein Zähler der Form \(p(x) = 2 \cdot (x - 1) \cdot (x - a)\). Um den Grad anzugleichen und eine zusätzliche Nullstelle festzulegen, wählen wir \(a = 0\). 5. Dies führt zur Beispielfunktion \(f(x) = \frac{2x(x - 1)}{(x - 1)(x + 2)}\).

Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x) = \frac{2x(x - 1)}{(x - 1)(x + 2)}\) oder in ausmultiplizierter Form \(f(x) = \frac{2x^2 - 2x}{x^2 + x - 2}\).

- Wenn eine Funktion keine Definitionslücken hat, was bedeutet das für die Nullstellen des Nenners? - Erinnere dich daran, welche Form ein quadratischer Term haben muss, damit er für alle reellen Zahlen ungleich Null ist. - Wie wird eine doppelte Nullstelle im Funktionsterm dargestellt? - Nutze den Punkt auf der \(y\)-Achse, um den Streckfaktor oder fehlende Parameter zu bestimmen.

1. Eine doppelte Nullstelle bei \(x = -1\) bedeutet, dass das Zählerpolynom den Faktor \((x + 1)^2\) enthält: \(p(x) = a \cdot (x + 1)^2\). 2. Damit keine Definitionslücken existieren, darf das Nennerpolynom \(q(x)\) vom Grad 2 keine reellen Nullstellen besitzen. Ein einfacher Ansatz ist \(q(x) = x^2 + c\) mit \(c > 0\). 3. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse \(P(0 \mid 2)\) liefert die Bedingung \(f(0) = 2\). 4. Einsetzen in den Ansatz: \(f(0) = \frac{a \cdot (0 + 1)^2}{0^2 + c} = \frac{a}{c} = 2\). Daraus folgt \(a = 2c\). 5. Wählt man beispielsweise \(c = 1\), so ergibt sich \(a = 2\). Damit lautet der Funktionsterm \(f(x) = \frac{2(x + 1)^2}{x^2 + 1}\).

Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x) = \frac{2(x + 1)^2}{x^2 + 1}\).

- Überlege dir, welcher Teil des Bruchs (Zähler oder Nenner) für die Nullstellen verantwortlich ist. - Welche Auswirkung haben die Definitionslücken auf den Nennerterm? - Wie unterscheidet sich eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel von einer ohne Vorzeichenwechsel im Funktionsterm? - Wenn eine Funktion keine Nullstellen hat, was bedeutet das für den Zähler?

1. Eine Nullstelle bei \(x = 4\) wird durch den Linearfaktor \((x - 4)\) im Zähler realisiert. Die senkrechte Asymptote bei \(x = -1\) erfordert den Faktor \((x + 1)\) im Nenner. Ein möglicher Term ist \(f(x) = \frac{x - 4}{x + 1}\). 2. Die Definitionslücken bei \(x = 2\) und \(x = -2\) bedeuten, dass der Nenner die Faktoren \((x - 2)\) und \((x + 2)\) enthalten muss. Mit der Nullstelle \(x = 0\) (Faktor \(x\) im Zähler) ergibt sich \(f(x) = \frac{x}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x}{x^2 - 4}\). 3. Damit keine Nullstellen existieren, kann der Zähler als konstante Zahl ungleich Null gewählt werden, zum Beispiel \(1\). Eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei \(x = 5\) wird durch eine gerade Potenz des Faktors \((x - 5)\) im Nenner erreicht. Ein möglicher Term ist \(f(x) = \frac{1}{(x - 5)^2}\).

Mögliche Funktionsterme sind: a) \(f(x) = \frac{x - 4}{x + 1}\) b) \(f(x) = \frac{x}{x^2 - 4}\) c) \(f(x) = \frac{1}{(x - 5)^2}\)

- Wie hängen der Grad des Zählers und des Nenners mit dem Verhalten im Unendlichen (waagrechte Asymptote) zusammen? - Wenn ein Punkt auf dem Graphen gegeben ist, kannst du diesen nutzen, um einen unbekannten Streckungsfaktor im Funktionsterm zu bestimmen. - Was ist der Unterschied in der Vielfachheit der Nullstelle bei einem Schnittpunkt gegenüber einem Berührpunkt? - Erinnere dich, welche Gleichung die \(y\)-Achse im Koordinatensystem hat.

1. Die Nullstellen bei \(x = \pm 3\) erfordern im Zähler das Produkt \((x - 3)(x + 3) = x^2 - 9\). Für eine waagrechte Asymptote bei \(y = 2\) müssen Zähler und Nenner den gleichen Grad haben und das Verhältnis der Leitkoeffizienten muss 2 sein. Mit einem Nenner ohne reelle Nullstellen wie \(x^2 + 1\) ergibt sich \(g(x) = \frac{2(x^2 - 9)}{x^2 + 1} = \frac{2x^2 - 18}{x^2 + 1}\). 2. Keine Nullstellen bedeutet ein konstanter Zähler \(c\). Die Definitionslücke bei \(x = 1\) erfordert den Nennerfaktor \((x - 1)\). Aus der Punktprobe mit \(P(0 \mid 4)\) folgt \(4 = \frac{c}{0 - 1}\), also \(c = -4\). Der Term lautet \(g(x) = \frac{-4}{x - 1}\). 3. Ein Berührpunkt mit der \(x\)-Achse bei \(x = 2\) entspricht einer doppelten Nullstelle, also dem Faktor \((x - 2)^2\) im Zähler. Die \(y\)-Achse als senkrechte Asymptote entspricht der Polstelle \(x = 0\). Ein möglicher Term ist \(g(x) = \frac{(x - 2)^2}{x}\).

Mögliche Funktionsterme sind: a) \(g(x) = \frac{2x^2 - 18}{x^2 + 1}\) (oder auch \(g(x) = \frac{2x^2 - 18}{x^2}\)) b) \(g(x) = \frac{-4}{x - 1}\) c) \(g(x) = \frac{(x - 2)^2}{x}\)

- Was muss für die Grade von Zähler und Nenner gelten, damit die Funktion gegen Unendlich divergiert? - Wie hängen die Polstellen einer Funktion mit ihrem Funktionsterm zusammen? - Versuche, die Funktion zuerst als Summe aus einem linearen Teil und einem echten Bruchterm aufzuschreiben. - Wie kannst du sicherstellen, dass die Polstelle nicht durch eine Nullstelle im Zähler aufgehoben wird?

1. Da die Funktion für \(x \to \infty\) gegen \(-\infty\) divergiert, muss der Grad des Zählerpolynoms größer sein als der des Nennerpolynoms. Ein einfacher Ansatz ist eine Differenz der Grade von 1 mit einem negativen Leitkoeffizienten, was zu einer schrägen Asymptote führt. 2. Die senkrechte Asymptote bei \(x = 5\) lässt sich durch den Nennerterm \((x - 5)\) realisieren. 3. Ein möglicher Ansatz in Summenform ist \(f(x) = -x + \frac{1}{x - 5}\). Hierbei divergiert der Term \(-x\) gegen \(-\infty\) und der Bruchterm gegen \(0\). 4. Umformung in die Form \(\frac{p(x)}{q(x)}\): \(f(x) = \frac{-x(x - 5) + 1}{x - 5} = \frac{-x^2 + 5x + 1}{x - 5}\). 5. Überprüfung: Der Nenner hat bei \(x = 5\) eine Nullstelle, der Zähler hingegen nicht (\(-5^2 + 5 \cdot 5 + 1 = 1 \neq 0\)), womit die senkrechte Asymptote bestätigt ist.

Eine mögliche Funktion ist \(f(x) = \frac{-x^2 + 5x + 1}{x - 5}\).

- Welche Information über den Nenner erhältst du aus den senkrechten Asymptoten? - Was bedeutet eine waagrechte Asymptote für das Verhältnis der Grade von Zähler- und Nennerpolynom? - Wie nutzt du den Punkt \((0 \mid 0)\), um eine Unbekannte im Zähler zu bestimmen? - Achte darauf, dass die Polstellen tatsächlich „echte“ Pole sind und keine hebbaren Definitionslücken.

1. Da \(x = -1\) und \(x = 2\) senkrechte Asymptoten sind, muss der Nenner \(q(x)\) die Faktoren \((x + 1)\) und \((x - 2)\) enthalten. Ein möglicher Nenner ist \(q(x) = (x + 1)(x - 2) = x^2 - x - 2\). 2. Für eine waagrechte Asymptote bei \(y = 1{,}5\) müssen Zähler und Nenner den gleichen Grad besitzen. Das Verhältnis der Leitkoeffizienten muss \(1{,}5\) ergeben. Der Zähler hat also die Form \(p(x) = 1{,}5x^2 + bx + c\). 3. Da der Graph durch den Koordinatenursprung \((0 \mid 0)\) verläuft, muss \(f(0) = 0\) gelten. Daraus folgt \(p(0) = 0\), also \(c = 0\). 4. Mit der Wahl \(b = 0\) ergibt sich der Zähler \(p(x) = 1{,}5x^2\). 5. Der Funktionsterm lautet somit \(f(x) = \frac{1{,}5x^2}{x^2 - x - 2}\). 6. Eine Überprüfung zeigt, dass die Zählernullstelle \(x = 0\) nicht mit den Nennernullstellen identisch ist, sodass die senkrechten Asymptoten erhalten bleiben.

Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x) = \frac{1{,}5x^2}{x^2 - x - 2}\).

- Überlege dir, welcher Teil des Bruchs (Zähler oder Nenner) für die Nullstellen verantwortlich ist. - Wie muss die Potenz eines Faktors im Nenner beschaffen sein, damit an dieser Stelle kein Vorzeichenwechsel stattfindet? - Untersuche das Vorzeichen des Zählers in der Nähe der Polstelle, um den Grenzwert zu bestimmen.

1. Aus der Nullstelle \(x = 3\) folgt, dass der Zähler den Faktor \((x - 3)\) enthalten muss. Wir setzen den Zähler als \(p(x) = x - 3\). 2. Eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei \(x = -1\) erfordert eine gerade Potenz des Faktors \((x + 1)\) im Nenner. Wir wählen \(q(x) = (x + 1)^2\). 3. Die vorläufige Funktion \(f(x) = \frac{x - 3}{(x + 1)^2}\) wird auf das Grenzverhalten an der Polstelle geprüft: Für \(x \to -1\) strebt der Nenner gegen \(0^+\) (da er quadriert wird). Der Zähler strebt gegen \(-1 - 3 = -4\). 4. Der Grenzwert ergibt sich somit zu \(\frac{-4}{0^+} = -\infty\). Die Bedingung ist erfüllt.

Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x) = \frac{x - 3}{(x + 1)^2}\).

- Überlege dir, wie der Funktionsterm aufgebaut sein muss, damit er sich für sehr große \(x\)-Werte einer Geraden annähert. - Welcher Teil des Funktionsterms sorgt dafür, dass an einer bestimmten Stelle eine senkrechte Asymptote entsteht? - Wie kannst du den gegebenen Punkt nutzen, um eine unbekannte Konstante im Term zu berechnen?

1. Da die schräge Asymptote \(y = 2x - 4\) und die senkrechte Asymptote \(x = 3\) bekannt sind, wird der Ansatz \(f(x) = 2x - 4 + \frac{a}{x - 3}\) gewählt. 2. Einsetzen der Koordinaten des Punktes \(P(4 \mid 6)\) in den Ansatz: \(6 = 2 \cdot 4 - 4 + \frac{a}{4 - 3}\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(6 = 4 + a\). 4. Bestimmung des Parameters \(a\): \(a = 2\). 5. Einsetzen von \(a\) in den Ansatz ergibt den Funktionsterm: \(f(x) = 2x - 4 + \frac{2}{x - 3}\).

\(f(x) = 2x - 4 + \frac{2}{x - 3}\) (oder in der Form \(f(x) = \frac{2x^2 - 10x + 14}{x - 3}\))

- Welche Information liefert dir die senkrechte Asymptote für den Nenner des Funktionsterms? - Was bedeutet eine waagerechte Asymptote für das Verhältnis der Grade von Zähler- und Nennerpolynom? - Wie kannst du den gegebenen Punkt auf der \(y\)-Achse nutzen, um einen noch unbekannten Parameter zu berechnen? - Überlege dir zuerst einen allgemeinen Ansatz für den Funktionsterm.

1. Ansatz für eine einfache gebrochen-rationale Funktion mit senkrechter Asymptote bei \(x = 3\): \(f(x) = \frac{ax + b}{x - 3}\). 2. Bestimmung von \(a\) über die waagerechte Asymptote: Da der Grad von Zähler und Nenner gleich sein muss und der Grenzwert für \(x \to \infty\) den Wert \(-1\) hat, folgt \(\frac{a}{1} = -1\), also \(a = -1\). 3. Bestimmung von \(b\) über den \(y\)-Achsenabschnitt: Einsetzen von \(x = 0\) und \(f(0) = 2\) in den Term \(f(x) = \frac{-x + b}{x - 3}\) ergibt \(\frac{b}{-3} = 2\). 4. Auflösen nach \(b\): \(b = 2 \cdot (-3) = -6\). 5. Aufstellen des Funktionsterms: \(f(x) = \frac{-x - 6}{x - 3}\).

\(f(x) = \frac{-x - 6}{x - 3}\) (oder ein wertgleicher Term)

- Überlege dir zuerst, welche Informationen dir etwas über den Nenner verraten. - Wie unterscheiden sich Polstellen und hebbare Definitionslücken im Funktionsterm? - Was muss für die Grade von Zähler- und Nennerpolynom gelten, damit eine waagerechte Asymptote ungleich Null existiert? - Nutze den gegebenen Punkt, um einen noch unbekannten Parameter im Zähler zu berechnen.

1. Aus der senkrechten Asymptote bei \(x = 4\) folgt der Linearfaktor \((x - 4)\) im Nenner. 2. Die hebbare Definitionslücke bei \(x = 1\) erfordert den Faktor \((x - 1)\) sowohl im Zähler als auch im Nenner. 3. Wegen der waagerechten Asymptote \(y = 2\) müssen Zähler- und Nennergrad übereinstimmen. Mit dem bisherigen Nenner \((x - 4)(x - 1)\) muss der Zähler die Form \(2 \cdot (x - x_0)(x - 1)\) haben. 4. Einsetzen des Punktes \(P(0 \mid 1)\) in den Ansatz \(h(x) = \frac{2(x - x_0)(x - 1)}{(x - 4)(x - 1)}\) zur Bestimmung von \(x_0\): \(1 = \frac{2(0 - x_0)(0 - 1)}{(0 - 4)(0 - 1)} = \frac{2x_0}{4} = 0{,}5x_0 \implies x_0 = 2\). 5. Ein möglicher Funktionsterm ist \(h(x) = \frac{2(x - 2)(x - 1)}{(x - 4)(x - 1)}\).

\(h(x) = \frac{2(x - 2)(x - 1)}{(x - 4)(x - 1)}\) (oder eine äquivalente Form)

- Wie kannst du durch eine geeignete Wahl gerader Potenzen die Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse sicherstellen? - Ein Berührpunkt auf der \(x\)-Achse ist eine besondere Form einer Nullstelle. Was bedeutet das für deren Vielfachheit? - Wie hängen die senkrechten Asymptoten mit den Nullstellen des Nenners zusammen? - Erinnere dich an die Regel für waagerechte Asymptoten bei gebrochen-rationalen Funktionen.

1. Für einen einfachen achsensymmetrischen Ansatz wählen wir einen geraden Funktionsterm, also einen Term, in dem nur gerade Potenzen von \(x\) vorkommen. 2. Die senkrechten Asymptoten bei \(x = \pm 3\) führen auf den Nenner \((x - 3)(x + 3) = x^2 - 9\). 3. Ein Berührpunkt mit der \(x\)-Achse im Ursprung bedeutet eine Nullstelle mit gerader Vielfachheit bei \(x = 0\), also den Zählerfaktor \(x^2\). 4. Die waagerechte Asymptote \(y = -1\) legt fest, dass das Verhältnis der Leitkoeffizienten von Zähler und Nenner \(-1\) sein muss. Da der Nenner mit \(x^2\) beginnt, muss der Zähler mit \(-x^2\) beginnen. 5. Durch Zusammenführen der Bedingungen ergibt sich der Term \(h(x) = \frac{-x^2}{x^2 - 9}\).

\(h(x) = \frac{-x^2}{x^2 - 9}\) (oder eine äquivalente Form)

- Die Durchschnittskostenfunktion hat die Form \(k(x) = 25 + \frac{C}{x}\), wobei \(C\) eine Konstante ist, die sich je nach Intervall ändert. - Was passiert mit dem Wert eines Bruchs, wenn der Nenner immer größer wird? - Achte auf die Sprungstellen der Funktion bei \(x=80\) und \(x=100\). - Überlege dir für Aufgabenteil d), ob die Kosten pro Person steigen oder sinken, wenn mehr Leute kommen.

1. Die Gesamtkostenfunktion \(K(x)\) ist für \(x \in \mathbb{N}\) mit \(x \ge 1\) abschnittsweise definiert: - \(K(x) = 25x + 600\) für \(x < 80\) - \(K(x) = 25x + 300\) für \(80 \le x < 100\) - \(K(x) = 25x + 300 - 150 = 25x + 150\) für \(x \ge 100\) Die Durchschnittskosten sind \(k(x) = \frac{K(x)}{x}\). 2. Berechnung für \(x=79\): \(k(79) = \frac{25 \cdot 79 + 600}{79} = 25 + \frac{600}{79} \approx 32{,}59\,\text{€}\). Berechnung für \(x=80\): \(k(80) = \frac{25 \cdot 80 + 300}{80} = 25 + \frac{300}{80} = 28{,}75\,\text{€}\). Der Unterschied beträgt \(32{,}59\,\text{€} - 28{,}75\,\text{€} = 3{,}84\,\text{€}\). 3. Ansatz \(k(x) = 35\). Test im ersten Intervall: \(25 + \frac{600}{x} = 35 \Rightarrow \frac{600}{x} = 10 \Rightarrow x = 60\). Da \(60 < 80\), ist dies die Lösung. 4. Für \(x \ge 100\) gilt \(k(x) = 25 + \frac{150}{x}\). Da die Funktion \(f(x) = \frac{150}{x}\) für steigende \(x\) streng monoton fallend ist, ist der höchste Wert in diesem Intervall bei \(x=100\). Es gilt \(k(100) = 25 + \frac{150}{100} = 26{,}50\,\text{€}\). Da \(26{,}50 < 27\), liegen alle weiteren Werte für \(x > 100\) ebenfalls unter \(27\,\text{€}\).

a) Für \(x \in \mathbb{N}\) mit \(x \ge 1\) gilt: \(k(x) = 25 + \frac{600}{x}\) für \(x < 80\); \(k(x) = 25 + \frac{300}{x}\) für \(80 \le x < 100\); \(k(x) = 25 + \frac{150}{x}\) für \(x \ge 100\). b) Der Unterschied beträgt ca. \(3{,}84\,\text{€}\) pro Person. c) Bei \(x = 60\) Gästen. d) Da \(k(100) = 26{,}50\,\text{€}\) ist und die Funktion für \(x > 100\) weiter fällt, sind die Kosten immer unter \(27\,\text{€}\).

- Wie hängen Volumen, Grundfläche und Höhe bei einem Zylinder zusammen? - Überlege dir, aus welchen Einzelteilen die Oberfläche des offenen Tanks besteht und wie man die Fläche dieser Teile berechnet. - Was passiert mit der Form des Tanks, wenn der Radius bei gleichbleibendem Volumen immer kleiner (oder immer größer) wird?

1. Aufstellen der Höhenfunktion: Aus \(V = \pi r^2h = 2\) folgt durch Umstellen \(h(r) = \frac{2}{\pi r^2}\) für \(r > 0\). 2. Aufstellen der Kostenfunktion: Die Kosten setzen sich aus Bodenfläche (\(30\pi r^2\)) und Mantelfläche (\(20 \cdot 2\pi \cdot r \cdot h\)) zusammen. Einsetzen von \(h(r)\) ergibt \(K(r) = 30\pi r^2 + 40\pi r \cdot \frac{2}{\pi r^2} = 30\pi r^2 + \frac{80}{r}\). In Form einer gebrochen-rationalen Funktion: \(K(r) = \frac{30\pi r^3 + 80}{r}\). 3. Untersuchung der Grenzwerte: Für \(r \to 0^+\) gilt \(K(r) \to +\infty\). Im Sachkontext bedeutet dies, dass bei extrem kleinem Radius die Höhe (und damit die Mantelfläche) gegen Unendlich geht, was die Kosten explodieren lässt. Für \(r \to \infty\) gilt ebenfalls \(K(r) \to +\infty\). Hier steigen die Kosten quadratisch mit dem Radius an, da die Bodenfläche extrem groß wird.

a) \(h(r) = \frac{2}{\pi r^2}\) für \(r > 0\) b) \(K(r) = 30\pi r^2 + \frac{80}{r}\) für \(r > 0\) c) Für \(r \to 0^+\) und \(r \to \infty\) strebt \(K(r)\) gegen \(+\infty\). Bei sehr kleinen Radien steigen die Kosten durch eine extrem hohe Seitenwand; bei sehr großen Radien steigen sie durch die riesige Bodenfläche.

- Welche Auswirkung hat eine Nullstelle auf den Zähler des Funktionsterms? - Wie unterscheiden sich Polstellen mit und ohne Vorzeichenwechsel in der Potenz des entsprechenden Faktors im Nenner? - Was sagt die Lage der waagrechten Asymptote über das Verhältnis der Grade von Zähler und Nenner aus? - Überprüfe am Ende, ob der Grad deines Nenners tatsächlich größer ist als der des Zählers, damit die \(x\)-Achse als Asymptote fungiert.

1. Aus der Nullstelle bei \(x = -3\) folgt, dass der Zähler den Faktor \((x + 3)\) enthalten muss. 2. Die Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei \(x = 2\) erfordert einen Faktor \((x - 2)\) im Nenner mit ungerader Vielfachheit (z. B. Exponent 1). 3. Die Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei \(x = -1\) erfordert einen Faktor \((x + 1)\) im Nenner mit gerader Vielfachheit (z. B. Exponent 2). 4. Da die \(x\)-Achse (\(y = 0\)) die waagrechte Asymptote ist, muss der Grad des Zählerpolynoms kleiner sein als der Grad des Nennerpolynoms. Mit dem Zählergrad 1 und dem Nennergrad 3 (Summe der gewählten Exponenten) ist diese Bedingung erfüllt. 5. Ein möglicher Funktionsterm lautet somit: \(f(x) = \frac{x + 3}{(x - 2) \cdot (x + 1)^2}\).

Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x) = \frac{x + 3}{(x - 2)(x + 1)^2}\).

- Wenn eine Funktion keine Polstellen haben darf, welche Eigenschaft muss dann der Nennerterm besitzen? - Wie sieht der Funktionsterm aus, wenn man die schräge Asymptote bereits kennt? - Nutze den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse, um den Zähler des Restterms festzulegen. - Welcher einfache quadratische Ausdruck im Nenner hat niemals den Wert Null?

1. Da die Funktion für alle \(x \in \mathbb{R}\) definiert sein soll, darf der Nenner keine reellen Nullstellen besitzen. Ein geeigneter Ansatz ist \(g(x) = -x + 1 + \frac{a}{x^2+1}\). 2. Verwendung des \(y\)-Achsenabschnitts \(S_y(0|2)\) zur Bestimmung von \(a\): \(g(0) = -0 + 1 + \frac{a}{0^2+1} = 1 + a = 2 \Rightarrow a = 1\). 3. Zusammenfassen zu einem einzigen Bruch: \(g(x) = \frac{(-x+1)(x^2+1) + 1}{x^2+1} = \frac{-x^3 - x + x^2 + 1 + 1}{x^2+1} = \frac{-x^3 + x^2 - x + 2}{x^2+1}\). 4. Verifikation: Der Nenner \(x^2+1\) ist stets positiv, somit existieren keine Polstellen. Die Asymptote ergibt sich direkt aus der Zerlegung.

\(g(x) = \frac{-x^3 + x^2 - x + 2}{x^2+1}\) (oder in der Form \(g(x) = -x + 1 + \frac{1}{x^2+1}\))

- Wie kannst du die Lage der Asymptoten im Graphen erkennen? - Welche Parameter in der allgemeinen Form \(y = d + \frac{a}{x - x_0}\) hängen direkt mit der waagrechten und senkrechten Asymptote zusammen? - Wenn du die Asymptoten bestimmt hast, wie kannst du den verbleibenden Parameter mithilfe eines Punktes auf dem Graphen berechnen? - Achte darauf, Punkte mit ganzzahligen Koordinaten zu wählen, um das Rechnen zu erleichtern.

1. Bestimmung der Asymptoten für den Graphen \(G_f\) (blau): - Aus dem Verlauf des Graphen und den gestrichelten Linien lässt sich die senkrechte Asymptote (Polstelle) bei \(x = -1\) und die waagrechte Asymptote bei \(y = 1\) ablesen. 2. Aufstellen des Funktionsterms für \(f(x)\): - Die senkrechte Asymptote bestimmt die Verschiebung in \(x\)-Richtung: \(x_0 = -1\). - Die waagrechte Asymptote bestimmt die Verschiebung in \(y\)-Richtung: \(d = 1\). - Damit lautet der Ansatz: \(f(x) = 1 + \frac{a}{x + 1}\). - Um \(a\) zu bestimmen, setzen wir einen gut ablesbaren Punkt ein, z. B. den Achsenschnittpunkt \(P(2 \mid 0)\): \(0 = 1 + \frac{a}{2 + 1} \implies 0 = 1 + \frac{a}{3} \implies \frac{a}{3} = -1 \implies a = -3\). - Der Funktionsterm lautet somit: \(f(x) = 1 - \frac{3}{x + 1}\). 3. Bestimmung der Asymptoten für den Graphen \(G_g\) (grün): - Aus dem Verlauf des Graphen und den gestrichelten Linien lässt sich die senkrechte Asymptote bei \(x = 2\) und die waagrechte Asymptote bei \(y = -2\) ablesen. 4. Aufstellen des Funktionsterms für \(g(x)\): - Mit der Polstelle bei \(x = 2\) gilt \(x_0' = 2\). - Mit der waagrechten Asymptote bei \(y = -2\) gilt \(d' = -2\). - Der Ansatz lautet: \(g(x) = -2 + \frac{b}{x - 2}\). - Zur Bestimmung von \(b\) setzen wir einen Punkt ein, z. B. \(T(4 \mid 0)\): \(0 = -2 + \frac{b}{4 - 2} \implies 0 = -2 + \frac{b}{2} \implies \frac{b}{2} = 2 \implies b = 4\). - Der Funktionsterm lautet somit: \(g(x) = -2 + \frac{4}{x - 2}\).

a) Für \(f\): senkrechte Asymptote \(x = -1\), waagrechte Asymptote \(y = 1\). Für \(g\): senkrechte Asymptote \(x = 2\), waagrechte Asymptote \(y = -2\). b) \(f(x) = 1 - \frac{3}{x + 1}\) und \(g(x) = -2 + \frac{4}{x - 2}\).

- Welche Informationen kannst du direkt aus dem Verlauf des Graphen und den gestrichelten Linien ablesen? - Wie hängen die Lagen der Asymptoten mit den Parametern \(a\) und \(c\) in der Funktionsgleichung zusammen? - Welchen Funktionswert hat eine Funktion an ihrer Nullstelle? Setze diesen Punkt in deine Gleichung ein, um den verbleibenden Parameter zu bestimmen. - Setze für den letzten Aufgabenteil den ermittelten Funktionsterm mit dem gegebenen \(y\)-Wert gleich und löse die Gleichung nach \(x\) auf.

1. Ablesen der Asymptoten und der Nullstelle: - Senkrechte Asymptote bei \(x = 2\) - Waagerechte Asymptote bei \(y = 3\) - Nullstelle bei \(x = -1\) 2. Bestimmung des Funktionsterms: - Einsetzen der Asymptoten in den Ansatz \(f(x) = a + \frac{b}{x - c}\) ergibt \(a = 3\) und \(c = 2\). - Einsetzen der Nullstelle \(f(-1) = 0\): \(3 + \frac{b}{-1 - 2} = 0 \implies 3 - \frac{b}{3} = 0 \implies b = 9\) - Der Funktionsterm lautet \(f(x) = 3 + \frac{9}{x - 2}\). 3. Berechnung des Schnittpunkts mit \(y = 1\): - Gleichung aufstellen: \(3 + \frac{9}{x - 2} = 1 \implies \frac{9}{x - 2} = -2 \implies x - 2 = -4{,}5 \implies x = -2{,}5\)

a) Waagerechte Asymptote: \(y = 3\), senkrechte Asymptote: \(x = 2\), Nullstelle: \(x = -1\). b) \(f(x) = 3 + \frac{9}{x - 2}\). c) \(x = -2{,}5\).

- Bestimme zuerst die Positionen der beiden Asymptoten (die gestrichelten Linien) im Koordinatensystem. - Überlege, wie die Verschiebung einer Standardhyperbel in \(x\)- und \(y\)-Richtung mit den Parametern \(d\) und \(e\) zusammenhängt. - Welche Rolle spielt der Nenner eines Bruchs bei der senkrechten Asymptote? - Wenn du die Asymptoten bestimmt hast, kannst du die Koordinaten des markierten Punktes in die Gleichung einsetzen, um den verbleibenden Parameter zu berechnen.

1. Aus der Abbildung lässt sich die senkrechte Asymptote bei \(x = -2\) ablesen. Da der Nenner der Funktion an dieser Stelle null wird, gilt \(x - d = 0 \implies -2 - d = 0\), woraus \(d = -2\) folgt. 2. Die waagerechte Asymptote liegt bei \(y = 3\). Für große Beträge von \(x\) nähert sich der Bruchterm der Null, sodass sich der Funktionswert dem Wert \(e\) nähert. Somit ist \(e = 3\). 3. Mit \(d = -2\) und \(e = 3\) lautet der vorläufige Funktionsterm: \(f(x) = \frac{a}{x + 2} + 3\) 4. Um \(a\) zu bestimmen, wird die Punktprobe mit \(P(2 \mid 2)\) durchgeführt: \(2 = \frac{a}{2 + 2} + 3 \implies 2 = \frac{a}{4} + 3 \implies -1 = \frac{a}{4} \implies a = -4\) 5. Der vollständige Funktionsterm lautet somit \(f(x) = -\frac{4}{x + 2} + 3\) (oder gleichwertig \(f(x) = 3 - \frac{4}{x + 2}\)).

a) \(d = -2\) und \(e = 3\). b) \(f(x) = -\frac{4}{x + 2} + 3\) (bzw. \(f(x) = 3 - \frac{4}{x + 2}\)).

- Betrachte das Verhalten des Graphen an den Rändern des Koordinatensystems und an der Lücke, um die Asymptoten zu finden. - Wie hängen die Asymptoten einer gebrochen-rationalen Funktion mit den Parametern in ihrer Summenform zusammen? - Welchen Einfluss hat die Polstelle auf den Nenner des Bruchs? - Wie kannst du einen bekannten Punkt des Graphen nutzen, um eine unbekannte Variable in der Funktionsgleichung zu bestimmen? - Um einen Term mit einem Bruch und einer ganzen Zahl zusammenzufassen, hilft es, die Summanden auf denselben Nenner zu bringen.

1. Ablesen der Asymptoten aus der Grafik: Senkrechte Asymptote bei \(x = 2\), waagrechte Asymptote bei \(y = 1\). 2. Bestimmen der Parameter \(d\) und \(c\): Polstelle bei \(x = 2 \implies d = 2\). Grenzwert für \(x \to \pm\infty\) ist \(1 \implies c = 1\). Somit gilt \(f(x) = \frac{a}{x - 2} + 1\). 3. Berechnen des Parameters \(a\): Einsetzen von \(P(3 \mid 3)\) ergibt \(3 = \frac{a}{3 - 2} + 1 \implies 3 = a + 1 \implies a = 2\). Der Funktionsterm lautet somit \(f(x) = \frac{2}{x - 2} + 1\). 4. Umformung durch Gleichnamigmachen: \(f(x) = \frac{2}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 2} = \frac{2 + x - 2}{x - 2} = \frac{x}{x - 2}\).

a) Senkrechte Asymptote: \(x = 2\); waagrechte Asymptote: \(y = 1\) b) \(d = 2\), \(c = 1\) und \(a = 2\). Damit ist \(f(x) = \frac{2}{x - 2} + 1\). c) \(f(x) = \frac{2}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 2} = \frac{2 + x - 2}{x - 2} = \frac{x}{x - 2}\)

- Überlege dir, wie der Funktionsterm aufgebaut sein muss, damit er eine schräge und eine senkrechte Asymptote hat. - Eine Funktion der Form \(f(x) = g(x) + \frac{k}{x - a}\) hat die Gerade \(y = g(x)\) als Asymptote. - Wie kannst du die Information über den Punkt \(P\) nutzen, um den noch unbekannten Parameter im Funktionsterm zu finden?

1. Aus der schrägen Asymptote \(y = 2x - 3\) und der Polstelle bei \(x = 2\) ergibt sich der Ansatz \(f(x) = 2x - 3 + \frac{k}{x - 2}\). 2. Einsetzen des Punktes \(P(1 \mid 0)\) zur Bestimmung von \(k\): \(0 = 2 \cdot 1 - 3 + \frac{k}{1 - 2}\) \(0 = -1 - k \Rightarrow k = -1\) 3. Der Funktionsterm lautet somit \(f(x) = 2x - 3 - \frac{1}{x - 2}\). 4. In allgemeiner Form: \(f(x) = \frac{(2x - 3)(x - 2) - 1}{x - 2} = \frac{2x^2 - 7x + 5}{x - 2}\).

Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x) = 2x - 3 - \frac{1}{x - 2}\) oder in ausmultiplizierter Form \(f(x) = \frac{2x^2 - 7x + 5}{x - 2}\).

- Welche besonderen Linien (Asymptoten) kannst du im Graphen erkennen? - Wo schneidet der Graph die \(x\)-Achse und die \(y\)-Achse? - Wie hängen die Asymptoten mit dem Aufbau des Funktionsterms (Zählergrad, Nennergrad, Nullstellen des Nenners) zusammen?

1. Bestimmung der Asymptoten aus dem Graphen: Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = 1\), was auf einen Nenner der Form \(x - 1\) hindeutet. Die waagerechte Asymptote liegt bei \(y = 2\), woraus folgt, dass das Verhältnis der Koeffizienten der höchsten Potenzen \(2\) ist. Ein Ansatz wäre \(f(x) = \frac{2x + b}{x - 1}\). 2. Bestimmung der Nullstelle: Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x = -2\). Einsetzen in den Zähler: \(2 \cdot (-2) + b = 0 \Rightarrow b = 4\). 3. Überprüfung mit dem \(y\)-Achsenabschnitt: \(f(0) = \frac{4}{-1} = -4\). Dies stimmt mit dem Graphen überein. 4. Ergebnis: \(f(x) = \frac{2x + 4}{x - 1}\).

\(f(x) = \frac{2x + 4}{x - 1}\)

- Nutze die Symmetrie und die Lage der Polstellen, um Informationen über den Nenner zu erhalten. - Welcher Punkt auf der \(y\)-Achse ist besonders leicht abzulesen? - Überprüfe am Ende, ob das Verhalten für sehr große \(x\)-Werte (waagerechte Asymptote) zu deinem Term passt.

1. Bestimmung der senkrechten Asymptoten: Der Graph besitzt Polstellen bei \(x = -1\) und \(x = 1\). Da der Nenner die Form \(x^2 + b\) hat, folgt aus \(1^2 + b = 0\), dass \(b = -1\) ist. Der Nenner lautet somit \(x^2 - 1\). 2. Bestimmung des Parameters \(a\): Der Graph verläuft durch den Punkt \((0 \mid -1)\). Einsetzen in den Funktionsterm: \(f(0) = \frac{0^2 + a}{0^2 - 1} = \frac{a}{-1} = -1\). Daraus folgt \(a = 1\). 3. Überprüfung der waagerechten Asymptote: Für große \(x\) nähert sich der Graph der Geraden \(y = 1\) an, da die Koeffizienten vor \(x^2\) im Zähler und Nenner jeweils \(1\) sind. Dies passt zum Graphen. 4. Ergebnis: \(f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}\).

\(f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}\)

- Wie beeinflussen die Asymptoten die Parameter in der Grundform einer gebrochen-rationalen Funktion? - Erinnere dich an die allgemeine Form einer Geradengleichung und wie man Steigung und Achsenabschnitt bestimmt. - Wenn zwei Graphen sich schneiden, müssen ihre Funktionswerte an dieser Stelle gleich sein. Welche Gleichung musst du also aufstellen? - Um eine Gleichung mit einem Bruch aufzulösen, kannst du beide Seiten mit dem Nenner multiplizieren.

1. Bestimmung von \(f(x)\): Aus dem Graphen lassen sich die Asymptoten \(x = 1\) und \(y = 1\) ablesen. Damit ergibt sich der Ansatz \(f(x) = \frac{a}{x - 1} + 1\). Einsetzen von \(P(3 \mid 3)\) liefert \(3 = \frac{a}{3 - 1} + 1\), woraus \(a = 4\) folgt. Der Funktionsterm lautet \(f(x) = \frac{4}{x - 1} + 1\). 2. Bestimmung von \(g(x)\): Mit den Achsenschnittpunkten \((0 \mid 7)\) und \((7 \mid 0)\) ergibt sich der \(y\)-Achsenabschnitt \(n = 7\) und die Steigung \(m = \frac{0 - 7}{7 - 0} = -1\). Die Gleichung lautet \(g(x) = -x + 7\). 3. Berechnung der Schnittpunkte: Gleichsetzen der Funktionsterme: \(\frac{4}{x - 1} + 1 = -x + 7 \Rightarrow \frac{4}{x - 1} = -x + 6\). Multiplikation mit \((x - 1)\) führt auf \(4 = (-x + 6)(x - 1) = -x^2 + 7x - 6\). Umformen ergibt die quadratische Gleichung \(x^2 - 7x + 10 = 0\). 4. Lösen der quadratischen Gleichung: Mit der \(p\)-\(q\)-Formel ergeben sich \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 5\). 5. Bestimmung der \(y\)-Koordinaten: \(g(2) = -2 + 7 = 5\) und \(g(5) = -5 + 7 = 2\). Die Schnittpunkte sind \(S_1(2 \mid 5)\) und \(S_2(5 \mid 2)\).

a) \(f(x) = \frac{4}{x - 1} + 1\). b) \(g(x) = -x + 7\). c) Die Schnittpunkte sind \(S_1(2 \mid 5)\) und \(S_2(5 \mid 2)\).

- Schau dir an, an welcher Stelle der Graph betragsmäßig unbegrenzt wächst. Das ist deine senkrechte Asymptote. - Eine hebbare Definitionslücke erkennst du an einem kleinen Kreis im Graphen, der anzeigt, dass dort ein einzelner Punkt fehlt. - Wo schneidet der Graph die \(x\)-Achse? Diese Stelle liefert dir einen Faktor für den Zähler. - Um die Lücke „einzubauen“, muss derselbe Faktor sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommen.

1. Senkrechte Asymptote: Der Graph wächst bei \(x = 1\) betragsmäßig unbegrenzt. Die Gleichung der senkrechten Asymptote lautet \(x = 1\). 2. Hebbare Definitionslücke: Der offene Kreis liegt bei \(P(3 \mid 2)\). Damit liegt bei \(x = 3\) eine hebbare Definitionslücke vor. 3. Nullstelle und waagerechte Asymptote: Die Nullstelle liegt bei \(x = -1\). Für große Beträge von \(x\) nähert sich der Graph der Geraden \(y = 1\). 4. Funktionsterm aufstellen: Ein Term, der die Polstelle \(x = 1\), die Nullstelle \(x = -1\) und die hebbare Definitionslücke bei \(x = 3\) berücksichtigt, ist \(f(x) = \frac{(x + 1)(x - 3)}{(x - 1)(x - 3)}\).

a) Senkrechte Asymptote: \(x = 1\); hebbare Definitionslücke bei \(x = 3\) mit dem fehlenden Punkt \(P(3 \mid 2)\). b) Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x) = \frac{(x + 1)(x - 3)}{(x - 1)(x - 3)}\).

- Welchen Geraden nähert sich der Graph für große Beträge der Variablen an? Das sind die Asymptoten. - Wie hängen die Polstelle (Nennernullstelle) und die senkrechte Asymptote zusammen? - Wähle einen gut ablesbaren Gitterpunkt des Graphen, um den Zähler des Bruchs zu berechnen.

1. Ablesen der Asymptoten aus der Grafik: Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = 3\), die waagrechte Asymptote bei \(y = 1\). 2. Ansatz für den Funktionsterm einer einfach verschobenen Hyperbel: \(f(x) = \frac{a}{x - 3} + 1\). 3. Ablesen eines Punktes vom Graphen zur Bestimmung von \(a\). Der Punkt \(P(4 \mid 3)\) ist gut erkennbar. 4. Einsetzen von \(P(4 \mid 3)\) in den Ansatz: \(3 = \frac{a}{4 - 3} + 1 \Rightarrow 3 = a + 1 \Rightarrow a = 2\). 5. Der Funktionsterm lautet \(f(x) = \frac{2}{x - 3} + 1\).

Die Asymptoten sind \(x = 3\) und \(y = 1\). Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x) = \frac{2}{x - 3} + 1\).

- Welche Merkmale des Graphen (Nullstelle und Asymptoten) helfen dir, den Funktionsterm aufzustellen? - Welche Bedingung muss das Argument eines Logarithmus erfüllen? - Überlege dir, wie man eine Ungleichung der Form \(\frac{A}{B} > 0\) löst.

1. Termbestimmung für \(k\): Der Graph zeigt eine senkrechte Asymptote bei \(x = 2\), eine Nullstelle bei \(x = 5\) und eine waagerechte Asymptote bei \(y = 1\). Damit ergibt sich der Funktionsterm \(k(x) = \frac{x - 5}{x - 2}\). 2. Definitionsmenge von \(g\): Es muss \(k(x) > 0\) gelten, also \(\frac{x - 5}{x - 2} > 0\). Dies ist der Fall, wenn Zähler und Nenner gleiches Vorzeichen haben. Fall 1: \(x - 5 > 0\) und \(x - 2 > 0 \implies x > 5\) und \(x > 2 \implies x > 5\). Fall 2: \(x - 5 < 0\) und \(x - 2 < 0 \implies x < 5\) und \(x < 2 \implies x < 2\). 3. Zusammenfassung: \(D_g = ]-\infty; 2[ \cup ]5; \infty[\). Dies entspricht genau der Menge \(\mathbb{R} \setminus [2; 5]\).

Ein möglicher Funktionsterm ist \(k(x) = \frac{x-5}{x-2}\). Die maximale Definitionsmenge von \(g\) ist \(D_g = ]-\infty; 2[ \cup ]5; \infty[\), was identisch ist mit \(\mathbb{R} \setminus [2; 5]\).

- Wo befindet sich die Definitionslücke der Funktion und was bedeutet das für den Nenner? - Welchem Wert nähert sich die Funktion, wenn die \(x\)-Werte sehr groß oder sehr klein werden? - Kannst du einen Punkt auf der \(y\)-Achse oder einen anderen markanten Punkt auf dem Gitter ablesen?

1. Die vertikale Asymptote liegt bei \(x = 2\). Da dies die Nullstelle des Nenners sein muss, folgt \(2 - c = 0\), also \(c = 2\). 2. Die horizontale Asymptote für \(x \to \pm\infty\) liegt bei \(y = 3\). Da der Grad von Zähler und Nenner gleich ist, entspricht dieser Wert dem Quotienten der Koeffizienten der höchsten Potenzen: \(\frac{a}{1} = 3\), woraus \(a = 3\) folgt. 3. Der \(y\)-Achsenabschnitt liegt bei \(y = 2\). Einsetzen von \(x = 0\) in die Funktionsgleichung ergibt: \(f(0) = \frac{3 \cdot 0 + b}{0 - 2} = \frac{b}{-2} = 2\). Daraus folgt \(b = -4\). Die Parameter sind \(a = 3\), \(b = -4\) und \(c = 2\).

\(a = 3\), \(b = -4\) und \(c = 2\)

- Schau dir zuerst an, wo der Graph gegen unendlich geht (senkrechte Asymptote) und welchem Wert er sich für große Beträge von \(x\) nähert (waagerechte Asymptote). - Wie hängen die Koeffizienten eines Bruchs mit den Asymptoten zusammen? - Welche Information liefert dir die Nullstelle der Funktion für den Zähler? - Du kannst Punkte, die genau auf dem Gitternetz liegen, nutzen, um Parameter zu berechnen oder deine Gleichungen zu prüfen.

1. Aus dem Graphen lassen sich die Asymptoten ablesen: Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = -1\), woraus \(c = 1\) folgt (Nullstelle des Nenners). Die waagerechte Asymptote liegt bei \(y = 2\), was dem Grenzwert für \(x \to \pm\infty\) entspricht. Da der Grad von Zähler und Nenner gleich ist, gilt \(\frac{a}{1} = 2\), also \(a = 2\). 2. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x = 2\). Einsetzen in den Zähler ergibt \(2 \cdot 2 + b = 0\), woraus \(b = -4\) folgt. Der Funktionsterm lautet somit \(f(x) = \frac{2x - 4}{x + 1}\). 3. Überprüfung mit dem \(y\)-Achsenabschnitt: \(f(0) = \frac{2 \cdot 0 - 4}{0 + 1} = -4\). Dies stimmt mit dem im Graphen sichtbaren \(y\)-Achsenabschnitt \((0 \mid -4)\) überein.

a) \(a = 2\), \(b = -4\), \(c = 1\). b) \(f(0) = -4\); der Wert stimmt mit dem \(y\)-Achsenabschnitt des Graphen überein.

- Die Asymptoten teilen das Koordinatensystem in Bereiche auf, in denen sich die Hyperbeläste befinden. - Der Parameter \(b\) verschiebt die Polstelle entlang der \(x\)-Achse. - Der Parameter \(c\) gibt an, um wie viel der Graph in \(y\)-Richtung verschoben wurde. - Wähle einen Punkt auf dem Graphen, der genau auf einer Gitterkreuzung liegt, um \(a\) zu berechnen.

1. Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = 1\), daher ist \(b = 1\). Die waagerechte Asymptote liegt bei \(y = 2\), daher ist \(c = 2\). 2. Ein gut ablesbarer Punkt ist der Ursprung \((0 \mid 0)\). Einsetzen in \(f(x) = \frac{a}{x - 1} + 2\) ergibt \(0 = \frac{a}{0 - 1} + 2\), also \(0 = -a + 2\), woraus \(a = 2\) folgt. Der Funktionsterm ist \(f(x) = \frac{2}{x - 1} + 2\). 3. Eine Verschiebung um \(3\) Einheiten nach unten subtrahiert \(3\) vom gesamten Funktionsterm. Die waagerechte Asymptote verschiebt sich ebenfalls um \(3\) Einheiten nach unten: \(y = 2 - 3 = -1\).

a) \(b = 1\), \(c = 2\). b) \(a = 2\). c) \(y = -1\).

- Welche Informationen kannst du direkt aus dem Graphen für den Punkt \(P\) ablesen? - Wie kannst du die Steigung an einer bestimmten Stelle mathematisch ausdrücken? - Welche Ableitungsregel ist für diesen Funktionsterm am besten geeignet? - Versuche, aus den gegebenen Bedingungen ein System von Gleichungen für die unbekannten Parameter aufzustellen.

1. Aus dem Graphen lässt sich der Punkt \(P(2 \mid 4)\) ablesen. Einsetzen in den Funktionsterm ergibt: \(f(2) = \frac{a \cdot 2^2 + b}{2^2 - 1} = \frac{4a + b}{3} = 4 \Rightarrow 4a + b = 12\). 2. Die Ableitung der Funktion wird mit der Quotientenregel berechnet: \(f'(x) = \frac{2ax \cdot (x^2 - 1) - (ax^2 + b) \cdot 2x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{2ax^3 - 2ax - 2ax^3 - 2bx}{(x^2 - 1)^2} = \frac{-2x(a + b)}{(x^2 - 1)^2}\). 3. Verwenden der Steigung an der Stelle \(x = 2\): \(f'(2) = \frac{-4(a + b)}{(2^2 - 1)^2} = \frac{-4(a + b)}{9} = -\frac{8}{3}\). Daraus folgt: \(-4(a + b) = -24 \Rightarrow a + b = 6\). 4. Lösen des Gleichungssystems: I. \(4a + b = 12\) II. \(a + b = 6 \Rightarrow b = 6 - a\) Einsetzen von II in I: \(4a + (6 - a) = 12 \Rightarrow 3a = 6 \Rightarrow a = 2\). Dann ist \(b = 6 - 2 = 4\).

Die Parameter sind \(a = 2\) und \(b = 4\).

- Welche Bedingung muss für die Grade von Zähler- und Nennerpolynom gelten, damit die Funktion eine waagerechte Asymptote bei \(y = 4\) hat? - Wie beeinflusst die Vielfachheit einer Nullstelle im Nenner das Verhalten des Graphen an der Polstelle? - Du kannst Faktoren im Zähler oder Nenner auch quadrieren, um den Gesamtgrad der Funktion anzupassen, ohne neue Nullstellen oder Polstellen einzuführen.

1. Die Nullstellen \(x = -5\) und \(x = 3\) erfordern die Faktoren \((x + 5)\) und \((x - 3)\) im Zähler. 2. Eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei \(x = 0\) erfordert eine ungerade Potenz von \(x\) im Nenner (z. B. \(x^1\) oder \(x^3\)). 3. Für einen Grenzwert ungleich Null im Unendlichen müssen Zähler- und Nennergrad übereinstimmen. 4. Da wir zwei Nullstellen haben, muss der Zähler mindestens den Grad 2 haben. Um den Grad von Zähler und Nenner anzugleichen und gleichzeitig nur die gegebenen Nullstellen und die eine Polstelle zu erhalten, nutzen wir höhere Potenzen oder zusätzliche Faktoren ohne reelle Nullstellen. 5. Ein Ansatz wäre \(f(x) = \frac{4(x - 3)(x + 5)^2}{x^3}\). Hier ist der Zählergrad 3 und der Nennergrad 3. Der Leitkoeffizient des Zählers ist 4, der des Nenners 1, woraus der Grenzwert \(4\) folgt. Die Nullstellen sind exakt \(-5\) und \(3\), die Polstelle bei \(0\) hat wegen der ungeraden Potenz einen Vorzeichenwechsel.

Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x) = \frac{4(x - 3)(x + 5)^2}{x^3}\).

- Wie muss die Potenz im Nenner beschaffen sein, damit an einer Polstelle kein Vorzeichenwechsel auftritt? - Wie kannst du eine waagrechte Asymptote \(y = c\) direkt in einen Funktionsterm der Form \(f(x) = c + \dots\) einbauen? - Hast du eine Idee, wie du die Information über den Punkt \(P(2 \mid 2)\) nutzen kannst, um einen noch unbekannten Parameter im Term zu berechnen? - Überprüfe am Ende, ob deine Funktion für \(x = 0\) tatsächlich eine Polstelle hat (Zähler darf dort nicht null sein).

1. Festlegung des Nenners: Eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei \(x = 0\) erfordert einen Faktor \(x^n\) im Nenner, wobei \(n\) eine gerade natürliche Zahl sein muss. Wir wählen \(x^2\). 2. Ansatz für die waagrechte Asymptote: Damit \(y = 1\) die waagrechte Asymptote ist, wählen wir den Ansatz \(h(x) = 1 + \frac{a}{x^2}\). Dies stellt sicher, dass der Grenzwert für \(x \to \infty\) den Wert \(1\) ergibt und der Nennergrad gleich dem Zählergrad ist. 3. Bestimmung des Parameters \(a\): Einsetzen der Koordinaten des Punktes \(P(2 \mid 2)\) in die Gleichung: \(2 = 1 + \frac{a}{2^2}\). Daraus folgt \(1 = \frac{a}{4}\), also \(a = 4\). 4. Aufstellen des fertigen Terms: Durch Einsetzen von \(a = 4\) in den Ansatz erhält man \(h(x) = 1 + \frac{4}{x^2}\). Dies kann zu \(h(x) = \frac{x^2 + 4}{x^2}\) zusammengefasst werden.

\(h(x) = \frac{x^2 + 4}{x^2}\)

- Welche Bedingung muss \(g(-x)\) für Punktsymmetrie zum Ursprung erfüllen? - Was sagt die Existenz einer schrägen Asymptote über den Grad des Zählers im Vergleich zum Nenner aus? - Wie hängen die senkrechten Asymptoten mit dem Nennerpolynom zusammen? - Erinnere dich daran, wie man eine schräge Asymptote mittels Polynomdivision bestimmt.

1. Festlegung des Nenners: Die senkrechten Asymptoten bei \(x = \pm 2\) deuten auf die Nullstellen des Nenners hin. Ein geeigneter Nenner ist \(x^2 - 4\). 2. Symmetriebetrachtung: Da der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist und der Nenner \(x^2 - 4\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist (nur gerade Exponenten), muss der Zähler punktsymmetrisch zum Ursprung sein (nur ungerade Exponenten). 3. Asymptotenbetrachtung: Eine schräge Asymptote \(y = x\) bedeutet, dass der Zählergrad um genau 1 höher ist als der Nennergrad. Der Ansatz lautet \(g(x) = x + \frac{r(x)}{x^2 - 4}\), wobei der Restterm \(\frac{r(x)}{x^2 - 4}\) für \(x \to \infty\) gegen 0 gehen muss. 4. Kombination der Bedingungen: Damit \(g(x)\) punktsymmetrisch bleibt, muss auch der Restterm punktsymmetrisch sein. Wählt man im einfachsten Fall \(g(x) = \frac{x^3}{x^2 - 4}\), so ergibt die Polynomdivision \(x^3 : (x^2 - 4) = x\) mit Rest \(4x\), also \(g(x) = x + \frac{4x}{x^2 - 4}\). Die Symmetrie ist erfüllt, da \(\frac{(-x)^3}{(-x)^2 - 4} = \frac{-x^3}{x^2 - 4} = -g(x)\).

\(g(x) = \frac{x^3}{x^2 - 4}\) (oder ein wertgleicher Term)

- Wenn die waagrechte Asymptote nicht \(y=0\) ist, was sagt das über die Grade von Zähler und Nenner aus? - Wie viele Nullstellen muss der Zähler mindestens haben, wenn die Funktion zwei Nullstellen besitzt? - Wenn es nur eine senkrechte Asymptote gibt, der Nenner aber den gleichen Grad wie der Zähler haben muss, wie könnte die Nullstelle des Nenners beschaffen sein? - Wie verhinderst du, dass eine Nullstelle des Zählers durch eine Nullstelle des Nenners aufgehoben wird?

1. Da die waagrechte Asymptote \(y = -0{,}5\) nicht die \(x\)-Achse ist und die Funktion zwei Nullstellen besitzt, muss der Zählergrad mindestens 2 sein. Für einen einfachen Ansatz wählen wir Zähler und Nenner jeweils vom Grad 2; bei einer waagrechten Asymptote ungleich \(0\) müssen beide Grade übereinstimmen. 2. Für die einzige senkrechte Asymptote bei \(x = 3\) muss der Nenner eine Nullstelle bei 3 haben. Da der Nenner Grad 2 hat, wählen wir eine doppelte Nullstelle: \(D(x) = (x-3)^2 = x^2 - 6x + 9\). 3. Die waagrechte Asymptote \(y = -0{,}5\) legt das Verhältnis der Leitkoeffizienten fest. Bei einem Nenner-Leitkoeffizienten von 1 muss der Zähler den Leitkoeffizienten \(a = -0{,}5\) haben. 4. Für genau zwei Nullstellen wählen wir zwei beliebige Werte für \(x\), die ungleich 3 sind, zum Beispiel \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 1\). Der Zähler lautet dann \(N(x) = -0{,}5 \cdot (x-0) \cdot (x-1) = -0{,}5x^2 + 0{,}5x\). 5. Die Funktionsgleichung lautet \(h(x) = \frac{-0{,}5x^2 + 0{,}5x}{x^2 - 6x + 9}\).

Ein möglicher Funktionsterm ist \(h(x) = \frac{-0{,}5x^2 + 0{,}5x}{x^2 - 6x + 9}\).

- Welche Koordinaten des Symmetriezentrums entsprechen der senkrechten und der waagerechten Asymptote? - Wie kannst du einen Punkt nutzen, um eine unbekannte Konstante in einer Gleichung zu berechnen? - Um zwei Terme zu addieren, von denen einer ein Bruch ist, musst du sie auf denselben Nenner bringen. - Wie berechnet man allgemein die Schnittpunkte mit den Achsen?

1. Bestimmung der Parameter aus dem Symmetriezentrum: Da das Symmetriezentrum bei \(Z(4 \mid 3)\) liegt, sind die Asymptoten \(x=4\) und \(y=3\). Daraus folgt \(x_0 = 4\) und \(c = 3\). Der Ansatz lautet \(h(x) = \frac{k}{x-4} + 3\). 2. Bestimmung von \(k\) mit Punkt \(P(2 \mid 5{,}5)\): \(5{,}5 = \frac{k}{2-4} + 3 \Rightarrow 2{,}5 = \frac{k}{-2} \Rightarrow k = -5\). Somit ist \(h(x) = \frac{-5}{x-4} + 3\). 3. Umformung in einen Bruch: \(h(x) = \frac{-5 + 3(x-4)}{x-4} = \frac{3x-17}{x-4}\). 4. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(h(0) = \frac{3 \cdot 0 - 17}{0 - 4} = \frac{-17}{-4} = 4{,}25\). Punkt \(S_y(0 \mid 4{,}25)\). 5. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (Nullstelle): \(3x-17 = 0 \Rightarrow x = \frac{17}{3} = 5\frac{2}{3}\). Punkt \(N(5\frac{2}{3} \mid 0)\).

a) \(h(x) = \frac{-5}{x-4} + 3\) b) \(h(x) = \frac{3x-17}{x-4}\) c) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 \mid 4{,}25)\); Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(N(\frac{17}{3} \mid 0)\), wobei \(x \approx 5{,}67\).

- Welcher Parameter in der gegebenen Form beeinflusst direkt die Lage der Definitionslücke? - Was passiert mit dem Bruchterm, wenn x gegen Unendlich strebt? Welcher Parameter bleibt übrig? - Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes in die Funktionsgleichung ein, um den letzten unbekannten Parameter zu finden. - Setze den gesamten Funktionsterm gleich Null und löse nach x auf. - Kombiniere die Funktion k mit dem zusätzlichen linearen Term, um die neue Asymptotengleichung zu identifizieren.

1. Parameter \(b\): Die senkrechte Asymptote liegt bei der Definitionslücke des Nenners, also \(b = 2\). 2. Parameter \(c\): Die waagrechte Asymptote entspricht dem konstanten Summanden für \(x \to \pm \infty\), also \(c = 3\). 3. Parameter \(a\): Einsetzen von \(P(3 \mid 5)\) in \(5 = \frac{a}{3-2} + 3\) führt zu \(5 = a + 3\), woraus \(a = 2\) folgt. Die Funktion lautet \(k(x) = \frac{2}{x-2} + 3\). 4. Nullstelle: Ansatz \(k(x) = 0 \implies \frac{2}{x-2} = -3 \implies 2 = -3(x-2) \implies 2 = -3x + 6 \implies 3x = 4 \implies x = \frac{4}{3}\). 5. Asymptoten von \(m\): Es gilt \(m(x) = -3x + 3 + \frac{2}{x-2}\). 6. Die senkrechte Asymptote von \(m\) liegt weiterhin bei \(x = 2\). 7. Die schräge Asymptote von \(m\) wird durch den linearen Anteil \(y = -3x + 3\) beschrieben, da der Restterm \(\frac{2}{x-2}\) für \(x \to \pm \infty\) gegen Null geht.

a) \(a = 2\), \(b = 2\), \(c = 3\) b) Nullstelle bei \(x = \frac{4}{3}\) c) Senkrechte Asymptote: \(x = 2\); schräge Asymptote: \(y = -3x + 3\)

- Was bedeutet ein fehlender Vorzeichenwechsel für den Exponenten im Nenner? - Wie hängen der Grad des Zählers und des Nenners bei einer schrägen Asymptote zusammen? - Du kannst die Funktion als Summe aus dem Asymptotenterm und einem Restbruch ansetzen. - Stelle sicher, dass der Restbruch für sehr große x-Werte verschwindet.

1. Eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei \(x = 4\) erfordert einen Faktor \((x - 4)^n\) im Nenner, wobei \(n\) eine gerade natürliche Zahl ist. Wähle \(n = 2\). 2. Eine schräge Asymptote \(y = 2x - 1\) bedeutet, dass sich die Funktion als Summe aus diesem linearen Teil und einer echten gebrochenrationalen Funktion darstellen lässt, die für \(x \to \pm\infty\) gegen Null strebt. 3. Ansatz wählen: \(f(x) = 2x - 1 + \frac{k}{(x - 4)^2}\) mit einer Konstanten \(k \neq 0\). 4. Mit \(k = 1\) ergibt sich durch Hauptnennerbildung: \(f(x) = \frac{(2x - 1)(x - 4)^2 + 1}{(x - 4)^2}\). 5. Ausmultiplizieren des Zählers: \((2x - 1)(x^2 - 8x + 16) + 1 = 2x^3 - 16x^2 + 32x - x^2 + 8x - 16 + 1 = 2x^3 - 17x^2 + 40x - 15\). 6. Resultierender Funktionsterm: \(f(x) = \frac{2x^3 - 17x^2 + 40x - 15}{x^2 - 8x + 16}\).

Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x) = \frac{2x^3 - 17x^2 + 40x - 15}{x^2 - 8x + 16}\).

- Kannst du die senkrechte Asymptote (die gestrichelte rote Linie) im Koordinatensystem ablesen? Was bedeutet diese für den Nenner der Funktion? - Wenn eine Funktion an einer Stelle \(x\) eine Nullstelle hat, welchen Wert nimmt der Funktionswert dort an? - Wie lautet die Bedingung für die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle? Welche Ableitungsregel hilft dir beim Ableiten einer gebrochen-rationalen Funktion? - Versuche, die Informationen nacheinander in Gleichungen zu übersetzen, um die unbekannten Parameter Schritt für Schritt zu berechnen.

1. Polstelle und Parameter \(d\) bestimmen: Die rote gestrichelte Linie zeigt die senkrechte Asymptote bei \(x = 1\). An dieser Stelle ist der Nenner der Funktion null: \(x - d = 0 \implies 1 - d = 0 \implies d = 1\). Damit lautet der Funktionsterm: \(f(x) = \frac{ax^2 + bx}{x - 1}\). 2. Nullstelle nutzen: Da der Graph die \(x\)-Achse bei \(x = 3\) schneidet, gilt \(f(3) = 0\). Da der Nenner für \(x = 3\) ungleich null ist, muss der Zähler null sein: \(a \cdot 3^2 + b \cdot 3 = 0 \implies 9a + 3b = 0 \implies b = -3a\). Somit gilt: \(f(x) = \frac{ax^2 - 3ax}{x - 1}\). 3. Ableitung und Steigung nutzen: Mithilfe der Quotientenregel bestimmen wir die Ableitungsfunktion \(f'(x)\): \(f'(x) = \frac{(2ax - 3a)(x - 1) - (ax^2 - 3ax) \cdot 1}{(x - 1)^2} = \frac{ax^2 - 2ax + 3a}{(x - 1)^2}\). Die Steigung bei \(x = 3\) beträgt \(\frac{3}{2}\), also \(f'(3) = 1{,}5\): \(f'(3) = \frac{a \cdot 3^2 - 2a \cdot 3 + 3a}{(3 - 1)^2} = \frac{9a - 6a + 3a}{4} = \frac{6a}{4} = 1{,}5a\). Da \(f'(3) = 1{,}5\), folgt: \(1{,}5a = 1{,}5 \implies a = 1\). 4. Parameter \(b\) berechnen und Term aufstellen: Aus \(b = -3a\) folgt mit \(a = 1\): \(b = -3\). Der gesuchte Funktionsterm lautet: \(f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x - 1}\).

a) \(d = 1\) b) \(a = 1\), \(b = -3\) c) \(f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x - 1}\)

- Die senkrechte Asymptote entspricht der Polstelle, also dem \(x\)-Wert, für den der Nenner null wird. - Die waagrechte Asymptote zeigt dir den Wert an, dem sich die Funktion für sehr große \(x\)-Werte annähert. - Wähle einen Punkt auf dem Graphen, dessen Koordinaten du exakt ablesen kannst, um den Streckfaktor \(a\) zu berechnen. - Achte beim Ablesen auf die Skalierung der Achsen.

1. Bestimmung der Asymptoten: Aus dem Graphen liest man die senkrechte Asymptote bei \(x = 2\) ab (Definitionslücke), woraus \(x_0 = 2\) folgt. Die waagrechte Asymptote liegt bei \(y = 1\), also ist \(c = 1\). Der Ansatz lautet somit \(g(x) = \frac{a}{x - 2} + 1\). 2. Berechnung von \(a\): Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \((-2 \mid 0)\) und die \(y\)-Achse bei \((0 \mid -1)\). Einsetzen von \((0 \mid -1)\) ergibt: \(-1 = \frac{a}{0 - 2} + 1 \Rightarrow -2 = \frac{a}{-2} \Rightarrow a = 4\). Die Funktionsgleichung ist \(g(x) = \frac{4}{x - 2} + 1\). 3. Funktionswert berechnen: Für \(x = 6\) gilt \(g(6) = \frac{4}{6 - 2} + 1 = \frac{4}{4} + 1 = 1 + 1 = 2\).

a) Senkrechte Asymptote: \(x = 2 \Rightarrow x_0 = 2\); waagrechte Asymptote: \(y = 1 \Rightarrow c = 1\). b) Mit dem Punkt \((0 \mid -1)\) ergibt sich \(a = 4\). Die Gleichung lautet \(g(x) = \frac{4}{x - 2} + 1\). c) Der Funktionswert an der Stelle \(x = 6\) ist \(g(6) = 2\).

- Betrachte die gestrichelte Linie. Welche Steigung hat sie und wo schneidet sie die Achsen? - Der Graph nähert sich für große Beträge von \(x\) dieser Geraden an. Das ist der lineare Teil deines Funktionsterms. - Wo befindet sich die Definitionslücke der Funktion? - Wie kannst du den verbleibenden Parameter mithilfe eines gut ablesbaren Punktes bestimmen?

1. Die schräge Asymptote verläuft durch den Ursprung \((0 \mid 0)\) und hat die Steigung \(1\), da sie auch durch \((1 \mid 1)\), \((2 \mid 2)\) usw. geht. Ihre Gleichung ist somit \(y = x\). 2. Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = 0\). Der Funktionsterm hat also die Form \(f(x) = x + \frac{k}{x}\). 3. Zur Bestimmung von \(k\) wählen wir einen gut ablesbaren Punkt auf dem Graphen, zum Beispiel \(P(1 \mid 3)\). 4. Einsetzen des Punktes: \(3 = 1 + \frac{k}{1} \Rightarrow 3 = 1 + k \Rightarrow k = 2\). 5. Der Funktionsterm ist \(f(x) = x + \frac{2}{x}\).

Die schräge Asymptote hat die Gleichung \(y = x\). Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x) = x + \frac{2}{x}\).

- In welchem Bereich müssen die Graphen oberhalb der \(x\)-Achse liegen, damit der Logarithmus definiert ist? - Achte auf die Lage der Nullstellen und Polstellen in Bezug auf das geforderte Intervall. - Wie ändert sich das Vorzeichen einer rationalen Funktion an einer Polstelle oder Nullstelle?

1. Analyse der Bedingung: Für \(D_g = ]-4; 2[\) muss \(k\) genau im Intervall \(]-4; 2[\) positive Werte annehmen. Außerhalb dieses Intervalls sowie an seinen Randstellen darf \(\ln(k(x))\) nicht definiert sein. 2. Graphenvergleich: Graph A zeigt eine Funktion, die zwischen ihrer Nullstelle bei \(x = -4\) und ihrer Polstelle bei \(x = 2\) oberhalb der \(x\)-Achse verläuft. Für \(x < -4\) und \(x > 2\) sind die Funktionswerte negativ. Graph B ist dagegen für \(x < -4\) und \(x > 2\) positiv. Somit ist Graph A gesucht. 3. Termbestimmung für Graph A: Nullstelle bei \(-4\), Polstelle bei \(2\). Ansatz: \(k(x) = a \cdot \frac{x + 4}{2 - x}\). Da der Punkt \(P(0 \mid 2)\) auf dem Graphen liegt, gilt \(2 = a \cdot \frac{4}{2} \implies a = 1\). Der Term lautet \(k(x) = \frac{x + 4}{2 - x}\).

Graph A ist korrekt, da die Funktion nur im Intervall \(]-4; 2[\) positive Werte besitzt. Ein passender Funktionsterm ist \(k(x) = \frac{x + 4}{2 - x}\).