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- Ein Punkt auf dem Graphen erfüllt die Funktionsgleichung. - Setze die beiden Koordinaten von \(P\) für \(x\) und \(f(x)\) ein.

1. Einsetzen von \(P(2\mid3)\) liefert \(3=\frac{a}{2}\). Daher ist \(a=6\).

\(a=6\)

- Die senkrechte Asymptote liegt dort, wo der Nenner null wird. - Vergleiche die Nullstelle von \(x-c\) mit der angegebenen Asymptote.

1. Der Nenner wird bei \(x=c\) null. Da die senkrechte Asymptote bei \(x=4\) liegt, gilt \(c=4\).

\(c=4\)

- Lies zuerst die beiden gestrichelten Asymptoten aus der Abbildung ab. - Vergleiche danach nur noch die Terme, die genau diese beiden Asymptoten besitzen. - Prüfe für \(x>1\), ob der Restterm positiv oder negativ ist.

1. Die gestrichelten Geraden zeigen die senkrechte Asymptote \(x=1\) und die waagrechte Asymptote \(y=-1\). Damit scheidet Term B aus. 2. Rechts von \(x=1\) liegt der dargestellte Graph oberhalb von \(y=-1\). Dafür muss der Bruchterm dort positiv sein. 3. Bei Term A ist \(\frac{2}{x-1}>0\) für \(x>1\), bei Term C ist der entsprechende Term negativ. 4. Daher gehört Term A zum Graphen.

A: \(\frac{2}{x-1}-1\)

- Übersetze die vorgegebene Nullstelle in einen Linearfaktor des Zählers. - Übersetze die vorgegebene Polstelle in einen Linearfaktor des Nenners. - Prüfe am Ende, dass Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Faktor besitzen.

1. Eine Nullstelle bei \(x=-2\) verlangt den Zählerfaktor \(x+2\). Damit scheidet Term B aus. 2. Eine einfache Polstelle bei \(x=3\) verlangt den Nennerfaktor \(x-3\). Damit scheidet Term C aus. 3. Term A erfüllt beide Bedingungen und ist vollständig gekürzt.

A: \(\frac{x+2}{x-3}\)

- Welcher Teil der Funktionsgleichung bestimmt das Verhalten der Funktion für extrem große oder kleine \(x\)-Werte? - Was passiert mit dem Nenner an der Stelle, an der eine senkrechte Asymptote vorliegt? - Wie kannst du die Koordinaten eines gegebenen Punktes nutzen, um eine unbekannte Variable in einer Gleichung zu finden?

1. Aus der waagrechten Asymptote \(y = 4\) folgt direkt der Parameter \(y_0 = 4\), da dies der Grenzwert für \(|x| \to \infty\) ist. 2. Die senkrechte Asymptote liegt bei der Definitionslücke \(x = -1\). Aus der Bedingung \(x - x_0 = 0\) für \(x = -1\) ergibt sich \(-1 - x_0 = 0\), also \(x_0 = -1\). 3. Durch Einsetzen der bekannten Parameter in den Funktionsterm erhält man die Form \(f(x) = \frac{a}{x + 1} + 4\). 4. Die Punktprobe mit \(P(1 \mid 5)\) liefert die Gleichung \(5 = \frac{a}{1 + 1} + 4\). 5. Subtraktion von \(4\) auf beiden Seiten ergibt \(1 = \frac{a}{2}\), woraus \(a = 2\) folgt.

\(x_0 = -1\); \(y_0 = 4\); \(a = 2\); Funktionsterm: \(f(x) = \frac{2}{x + 1} + 4\)

- Die vorgegebene Nullstelle legt einen Linearfaktor im Zähler nahe. - Für die Polstelle ist ein Nennerfaktor mit Nullstelle \(x=-3\) erforderlich. - Vergleiche das Verhalten von \(\frac1x\) und \(\frac1{x^2}\) an ihrer Polstelle, um den Vorzeichenwechsel zu beurteilen.

1. Die Nullstelle bei \(x=5\) wird durch den Faktor \((x-5)\) im Zähler erzeugt. 2. Eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei \(x=-3\) lässt sich im Rahmen einfacher gebrochen-rationaler Funktionen durch den doppelten Nennerfaktor \((x+3)^2\) erzeugen. 3. Ein möglicher Funktionsterm ist daher \(f(x)=\frac{x-5}{(x+3)^2}\). Der Zähler ist bei \(x=-3\) ungleich null, sodass die Polstelle erhalten bleibt.

Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x)=\frac{x-5}{(x+3)^2}\).

- Welcher Nennerfaktor erzeugt die vorgegebene Polstelle mit Vorzeichenwechsel? - Welche Beziehung zwischen den führenden Koeffizienten liefert die waagrechte Asymptote \(y=-2\)? - Prüfe am Ende, ob der Zähler an der Polstelle ungleich null ist.

1. Die Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei \(x=4\) lässt sich durch den einfachen Nennerfaktor \(x-4\) erzeugen. 2. Für die waagrechte Asymptote \(y=-2\) können Zähler und Nenner denselben Grad besitzen, wobei das Verhältnis der führenden Koeffizienten \(-2\) beträgt. 3. Wähle zum Beispiel den Zähler \(-2x\). Dann ist \(f(x)=\frac{-2x}{x-4}\). 4. Bei \(x=4\) ist der Zähler \(-8\neq0\); daher bleibt die einfache Polstelle erhalten und besitzt einen Vorzeichenwechsel. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(f(x)\to-2\).

Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x)=\frac{-2x}{x-4}\).

- Welche Information liefert die senkrechte Asymptote für den Nenner? - Wie bestimmt die waagrechte Asymptote das Verhältnis der Leitkoeffizienten? - Nutze den \(y\)-Achsenabschnitt für den noch offenen Parameter.

1. Ein passender Ansatz ist \(f(x)=\frac{ax+b}{x-3}\). 2. Die waagrechte Asymptote \(y=-1\) liefert über das Verhältnis der Leitkoeffizienten \(a=-1\). 3. Aus \(f(0)=2\) folgt \(\frac{b}{-3}=2\), also \(b=-6\). 4. Damit ist \(f(x)=\frac{-x-6}{x-3}\).

\(f(x)=\frac{-x-6}{x-3}\) oder ein wertgleicher Term

- Welche Informationen liefern die gestrichelten Linien und der Achsenschnittpunkt? - Wie hängen die Asymptoten mit den Parametern \(a\) und \(c\) zusammen? - Welchen Funktionswert hat \(f\) an einer Nullstelle? - Setze für Teil c) den bestimmten Term gleich dem vorgegebenen \(y\)-Wert.

1. Aus der Abbildung: senkrechte Asymptote \(x=2\), waagrechte Asymptote \(y=3\), Nullstelle \(x=-1\). 2. Damit sind \(a=3\) und \(c=2\). Aus \(f(-1)=0\) folgt \(3+\frac{b}{-3}=0\), also \(b=9\). Somit ist \(f(x)=3+\frac{9}{x-2}\). 3. Aus \(3+\frac{9}{x-2}=1\) folgt \(\frac{9}{x-2}=-2\), also \(x=-2{,}5\).

a) Waagrechte Asymptote \(y=3\); senkrechte Asymptote \(x=2\); Nullstelle \(x=-1\) b) \(f(x)=3+\frac{9}{x-2}\) c) \(x=-2{,}5\)

- Die gestrichelten Geraden geben die senkrechte und die waagrechte Asymptote an. - Wie hängen diese beiden Asymptoten mit \(d\) und \(e\) zusammen? - Setze anschließend den markierten Punkt ein, um \(a\) zu bestimmen.

1. Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x=-2\). Daher ist \(d=-2\). 2. Die waagrechte Asymptote liegt bei \(y=3\). Daher ist \(e=3\). 3. Damit ist \(f(x)=\frac{a}{x+2}+3\). 4. Mit \(P(2\mid2)\) gilt \(2=\frac{a}{4}+3\), also \(a=-4\). 5. Somit lautet der Funktionsterm \(f(x)=-\frac{4}{x+2}+3\).

a) \(d=-2\), \(e=3\) b) \(f(x)=-\frac{4}{x+2}+3\)

- Betrachte das Verhalten des Graphen an den Rändern des Koordinatensystems und an der Lücke, um die Asymptoten zu finden. - Wie hängen die Asymptoten einer gebrochen-rationalen Funktion mit den Parametern in ihrer Summenform zusammen? - Welchen Einfluss hat die Polstelle auf den Nenner des Bruchs? - Wie kannst du einen bekannten Punkt des Graphen nutzen, um eine unbekannte Variable in der Funktionsgleichung zu bestimmen? - Um einen Term mit einem Bruch und einer ganzen Zahl zusammenzufassen, hilft es, die Summanden auf denselben Nenner zu bringen.

1. Ablesen der Asymptoten aus der Grafik: Senkrechte Asymptote bei \(x = 2\), waagrechte Asymptote bei \(y = 1\). 2. Bestimmen der Parameter \(d\) und \(c\): Polstelle bei \(x = 2 \implies d = 2\). Grenzwert für \(x \to \pm\infty\) ist \(1 \implies c = 1\). Somit gilt \(f(x) = \frac{a}{x - 2} + 1\). 3. Berechnen des Parameters \(a\): Einsetzen von \(P(3 \mid 3)\) ergibt \(3 = \frac{a}{3 - 2} + 1 \implies 3 = a + 1 \implies a = 2\). Der Funktionsterm lautet somit \(f(x) = \frac{2}{x - 2} + 1\). 4. Umformung durch Gleichnamigmachen: \(f(x) = \frac{2}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 2} = \frac{2 + x - 2}{x - 2} = \frac{x}{x - 2}\).

a) Senkrechte Asymptote: \(x = 2\); waagrechte Asymptote: \(y = 1\) b) \(d = 2\), \(c = 1\) und \(a = 2\). Damit ist \(f(x) = \frac{2}{x - 2} + 1\). c) \(f(x) = \frac{2}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 2} = \frac{2 + x - 2}{x - 2} = \frac{x}{x - 2}\)

- Welche Gerade scheint der Graph nahe der Unterbrechung immer stärker anzunähern? - Welchem \(y\)-Wert nähern sich beide Äste für große Beträge von \(x\)? - Welche Achsenschnittpunkte kannst du direkt am Koordinatensystem ablesen? - Prüfe die Kandidatenterme anschließend an genau diesen Grapheneigenschaften.

1. Aus dem Graphen liest man die senkrechte Asymptote \(x=1\) und die waagrechte Asymptote \(y=2\) ab. 2. Der Graph schneidet die \(y\)-Achse in \(S_y(0\mid-4)\) und die \(x\)-Achse bei \(x=-2\), also in \(N(-2\mid0)\). 3. Nur Term I erfüllt alle vier abgelesenen Eigenschaften: Der Nenner wird bei \(x=1\) null, der Quotient der führenden Koeffizienten ist \(2\), der Zähler wird bei \(x=-2\) null und \(f(0)=-4\). Daher beschreibt I den Graphen.

a) Senkrechte Asymptote: \(x=1\); waagrechte Asymptote: \(y=2\) b) \(S_y(0\mid-4)\); Nullstelle \(x=-2\), also \(N(-2\mid0)\) c) I) \(f(x)=\frac{2x+4}{x-1}\)

- Welcher Parameter wird direkt durch die waagrechte Asymptote festgelegt? - Suche anschließend einen Kurvenpunkt mit ganzzahligen Koordinaten. - Welche Gleichung entsteht, wenn du diesen Punkt in die vorgegebene Form einsetzt?

1. Die gestrichelte Gerade ist \(y=2\). Daher ist \(c=2\). 2. Der Graph verläuft durch \(P(1\mid3)\). Mit \(3=\frac{a}{1^2}+2\) folgt \(a=1\). 3. Somit lautet der Funktionsterm \(f(x)=\frac{1}{x^2}+2\).

\(a=1\) und \(c=2\)

- Die senkrechte Asymptote entspricht der Polstelle, also dem \(x\)-Wert, für den der Nenner null wird. - Die waagrechte Asymptote zeigt dir den Wert an, dem sich die Funktion für sehr große \(x\)-Werte annähert. - Wähle einen Punkt auf dem Graphen, dessen Koordinaten du exakt ablesen kannst, um den Streckfaktor \(a\) zu berechnen. - Achte beim Ablesen auf die Skalierung der Achsen.

1. Bestimmung der Asymptoten: Aus dem Graphen liest man die senkrechte Asymptote bei \(x = 2\) ab (Definitionslücke), woraus \(x_0 = 2\) folgt. Die waagrechte Asymptote liegt bei \(y = 1\), also ist \(c = 1\). Der Ansatz lautet somit \(g(x) = \frac{a}{x - 2} + 1\). 2. Berechnung von \(a\): Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \((-2 \mid 0)\) und die \(y\)-Achse bei \((0 \mid -1)\). Einsetzen von \((0 \mid -1)\) ergibt: \(-1 = \frac{a}{0 - 2} + 1 \Rightarrow -2 = \frac{a}{-2} \Rightarrow a = 4\). Die Funktionsgleichung ist \(g(x) = \frac{4}{x - 2} + 1\). 3. Funktionswert berechnen: Für \(x = 6\) gilt \(g(6) = \frac{4}{6 - 2} + 1 = \frac{4}{4} + 1 = 1 + 1 = 2\).

a) Senkrechte Asymptote: \(x = 2 \Rightarrow x_0 = 2\); waagrechte Asymptote: \(y = 1 \Rightarrow c = 1\). b) Mit dem Punkt \((0 \mid -1)\) ergibt sich \(a = 4\). Die Gleichung lautet \(g(x) = \frac{4}{x - 2} + 1\). c) Der Funktionswert an der Stelle \(x = 6\) ist \(g(6) = 2\).

- Welcher Parameter wird unmittelbar durch die senkrechte Asymptote festgelegt? - Was verrät die waagrechte Asymptote über das Verhältnis der führenden Koeffizienten? - Welchen gut ablesbaren Achsenschnittpunkt kannst du anschließend einsetzen, um den letzten Parameter zu bestimmen?

1. Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x=2\). Daher muss der Nenner bei \(x=2\) null werden, also ist \(c=2\). 2. Die waagrechte Asymptote ist \(y=3\). Zähler und Nenner haben denselben Grad, daher ist der Quotient der führenden Koeffizienten \(a:1=3\). Somit ist \(a=3\). 3. Der Graph schneidet die \(y\)-Achse bei \((0\mid2)\). Damit gilt \(2=\frac{b}{-2}\), also \(b=-4\). 4. Somit lautet der Funktionsterm \(f(x)=\frac{3x-4}{x-2}\).

\(a=3\), \(b=-4\) und \(c=2\)

- Welche Parameter lassen sich unmittelbar aus der Lage der beiden Asymptoten erschließen? - Welche Bedingung erfüllt der Zähler an einer Nullstelle der Funktion? - Nutze zum Prüfen einen gut ablesbaren Punkt auf der \(y\)-Achse.

1. Aus dem Graphen lassen sich die Asymptoten \(x=-1\) und \(y=2\) ablesen. Aus \(x=-1\) folgt \(c=1\). Wegen der waagrechten Asymptote und der gleichen Grade von Zähler und Nenner gilt \(a=2\). 2. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=2\). Daher gilt \(2a+b=0\). Mit \(a=2\) folgt \(b=-4\). 3. Damit ist \(f(x)=\frac{2x-4}{x+1}\). Zur Kontrolle gilt \(f(0)=-4\), passend zum ablesbaren \(y\)-Achsenabschnitt \((0\mid-4)\).

a) \(a=2\), \(b=-4\), \(c=1\) b) \(f(0)=-4\); der Wert stimmt mit dem \(y\)-Achsenabschnitt des Graphen überein.

- Welche beiden Asymptoten kannst du direkt aus der Abbildung ablesen? - Setze anschließend einen gut ablesbaren Punkt in den Ansatz ein. - Wie verändert eine Verschiebung nach unten die waagrechte Asymptote?

1. Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x=1\), daher ist \(b=1\). Die waagrechte Asymptote liegt bei \(y=2\), daher ist \(c=2\). 2. Der Ursprung \((0\mid0)\) liegt auf dem Graphen. Damit gilt \(0=\frac{a}{-1}+2\), also \(a=2\). 3. Eine Verschiebung um \(3\) Einheiten nach unten verschiebt auch die waagrechte Asymptote um \(3\) Einheiten nach unten. Sie lautet dann \(y=-1\).

a) \(b=1\), \(c=2\) b) \(a=2\) c) \(y=-1\)

- Welche Information über den Leitkoeffizienten im Zähler liefert die waagrechte Asymptote? - Lies anschließend die Koordinaten des markierten Punktes möglichst genau am Gitternetz ab. - Setze diesen Punkt in den Funktionsterm ein und prüfe am Ende beide graphischen Bedingungen.

1. Aus der Abbildung liest man die waagrechte Asymptote \(y=2\) ab. Zähler und Nenner haben denselben Grad, daher ist der Grenzwert für \(|x|\to\infty\) das Verhältnis der Leitkoeffizienten. Somit gilt \(a=2\). 2. Der markierte Punkt ist \(P(2\mid4)\). Daher gilt \(f(2)=4\), also \(\frac{4a+b}{3}=4\). 3. Mit \(a=2\) erhält man \(\frac{8+b}{3}=4\). Daraus folgt \(b=4\).

\(a=2\) und \(b=4\)

- Prüfe jede vorgegebene Eigenschaft getrennt; ein Term kann einige Bedingungen erfüllen und trotzdem insgesamt falsch sein. - Welche Parameter der gegebenen Form bestimmen die beiden Asymptoten unabhängig von \(a\)? - Nutze die Punktbedingung erst nach dieser Prüfung, um den noch freien Parameter zu bestimmen.

1. Der vorgeschlagene Term \(\frac{4}{x-2}+3\) besitzt tatsächlich die senkrechte Asymptote \(x=2\) und die waagrechte Asymptote \(y=3\). 2. Für den vorgegebenen Punkt ergibt sich jedoch \(f(4)=\frac{4}{2}+3=5\). Damit liegt \(P(4\mid4)\) nicht auf dem vorgeschlagenen Graphen. 3. Für den richtigen Parameter muss \(4=\frac{a}{4-2}+3\) gelten. Daraus folgt \(1=\frac{a}{2}\) und somit \(a=2\). 4. Der korrigierte Funktionsterm lautet \(f(x)=\frac{2}{x-2}+3\). Er besitzt beide geforderten Asymptoten und erfüllt \(f(4)=4\).

Aikos Term erfüllt die beiden Asymptotenbedingungen, aber nicht die Punktbedingung, denn er liefert \(f(4)=5\). Richtig ist \(a=2\) und damit \(f(x)=\frac{2}{x-2}+3\).

- Beginne mit dem Nenner, den die beiden vorgegebenen Polstellen erzwingen. - Nutze die waagrechte Asymptote, um Grad und Leitkoeffizient des Zählers festzulegen. - Überlege, welche Form der Zähler wegen der Geradheit der Funktion haben muss, und nutze anschließend den \(y\)-Achsenabschnitt.

1. Die beiden einfachen Polstellen liefern für einen normierten Nenner \((x+2)(x-2)=x^2-4\). 2. Wegen der waagrechten Asymptote \(y=1\) muss der Zähler ebenfalls Grad \(2\) mit Leitkoeffizient \(1\) haben. 3. Da die Funktion gerade sein soll, darf im Zähler kein linearer Term auftreten. Damit hat der Zähler die Form \(x^2+a\). 4. Aus \(f(0)=2\) folgt \(\frac{a}{-4}=2\), also \(a=-8\). 5. Somit ist \(f(x)=\frac{x^2-8}{x^2-4}\). Bei \(x=\pm2\) ist der Zähler jeweils \(-4\), daher ist der Term vollständig gekürzt.

\(f(x)=\frac{x^2-8}{x^2-4}\)

- Welche Form muss ein Funktionsterm haben, damit er achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist? - Was bedeutet eine waagrechte Asymptote für das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen \(x\)-Werten? - Wie hängen die Grade von Zähler und Nenner bei einer waagrechten Asymptote zusammen? - Wie nutzt man die Koordinaten eines Punktes, um Parameter in einem Funktionsterm zu bestimmen?

1. Ein einfacher Ansatz für eine zur \(y\)-Achse achsensymmetrische rationale Funktion verwendet im Zähler und Nenner nur gerade Potenzen von \(x\): \(f(x) = \frac{ax^2 + b}{x^2 + c}\). 2. Damit die Gerade \(y = 3\) eine waagrechte Asymptote ist, muss der Grenzwert für \(x \to \infty\) den Wert \(3\) ergeben. Dies wird erreicht, wenn das Verhältnis der Koeffizienten der höchsten Potenzen \(3\) ist, also \(a = 3\) bei einem Nennerkoeffizienten von \(1\). 3. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \(y = 1\) bedeutet \(f(0) = 1\). Einsetzen in den Ansatz mit \(a = 3\) ergibt \(\frac{3 \cdot 0^2 + b}{0^2 + c} = \frac{b}{c} = 1\), woraus \(b = c\) folgt. Wählt man beispielsweise \(b = c = 1\), erhält man den Term \(f(x) = \frac{3x^2 + 1}{x^2 + 1}\).

Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x) = \frac{3x^2 + 1}{x^2 + 1}\).

- Welche Faktoren im Nenner erzeugen die beiden ausgeschlossenen Werte der Definitionsmenge? - Welcher Zählerfaktor erzeugt die gewünschte Nullstelle? - Prüfe, ob Zähler und Nenner einen gemeinsamen Faktor besitzen.

1. Für die ausgeschlossenen Werte \(3\) und \(5\) kann der Nenner als \((x-3)(x-5)\) gewählt werden. 2. Für die Nullstelle \(x=-2\) kann der Zählerfaktor \(x+2\) gewählt werden. 3. Keiner der Zähler- und Nennerfaktoren stimmt überein, also ist der Term vollständig gekürzt. 4. Ein möglicher Funktionsterm ist \(g(x)=\frac{x+2}{(x-3)(x-5)}\).

Ein möglicher Funktionsterm ist \(g(x)=\frac{x+2}{(x-3)(x-5)}\).

- Wie muss der Zähler aufgebaut sein, damit eine Nullstelle doppelt vorkommt? - Welche Eigenschaft muss ein quadratischer Nenner besitzen, damit die Definitionsmenge ganz \(\mathbb{R}\) ist? - Welche Gleichung liefert der vorgegebene Punkt auf der \(y\)-Achse für die noch freien Parameter?

1. Eine doppelte Nullstelle bei \(x=-1\) bedeutet, dass das Zählerpolynom den Faktor \((x+1)^2\) enthält. Setze daher \(p(x)=a(x+1)^2\). 2. Damit \(D_f=\mathbb{R}\) gilt, darf das quadratische Nennerpolynom keine reelle Nullstelle besitzen. Ein möglicher Ansatz ist \(q(x)=x^2+c\) mit \(c>0\). 3. Aus \(P(0\mid2)\) folgt \(f(0)=2\), also \(\frac{a}{c}=2\). Daher gilt \(a=2c\). 4. Wähle zum Beispiel \(c=1\). Dann ist \(a=2\), und ein möglicher Funktionsterm lautet \(f(x)=\frac{2(x+1)^2}{x^2+1}\).

Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x)=\frac{2(x+1)^2}{x^2+1}\).

- Überlege dir, welcher Teil des Bruchs (Zähler oder Nenner) für die Nullstellen verantwortlich ist. - Welche Auswirkung haben die Definitionslücken auf den Nennerterm? - Wie unterscheidet sich eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel von einer ohne Vorzeichenwechsel im Funktionsterm? - Wenn eine Funktion keine Nullstellen hat, was bedeutet das für den Zähler?

1. Eine Nullstelle bei \(x = 4\) wird durch den Linearfaktor \((x - 4)\) im Zähler realisiert. Die senkrechte Asymptote bei \(x = -1\) erfordert den Faktor \((x + 1)\) im Nenner. Ein möglicher Term ist \(f(x) = \frac{x - 4}{x + 1}\). 2. Die Definitionslücken bei \(x = 2\) und \(x = -2\) bedeuten, dass der Nenner die Faktoren \((x - 2)\) und \((x + 2)\) enthalten muss. Mit der Nullstelle \(x = 0\) (Faktor \(x\) im Zähler) ergibt sich \(f(x) = \frac{x}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x}{x^2 - 4}\). 3. Damit keine Nullstellen existieren, kann der Zähler als konstante Zahl ungleich Null gewählt werden, zum Beispiel \(1\). Eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei \(x = 5\) wird durch eine gerade Potenz des Faktors \((x - 5)\) im Nenner erreicht. Ein möglicher Term ist \(f(x) = \frac{1}{(x - 5)^2}\).

Mögliche Funktionsterme sind: a) \(f(x) = \frac{x - 4}{x + 1}\) b) \(f(x) = \frac{x}{x^2 - 4}\) c) \(f(x) = \frac{1}{(x - 5)^2}\)

- Wie hängen der Grad des Zählers und des Nenners mit dem Verhalten im Unendlichen (waagrechte Asymptote) zusammen? - Wenn ein Punkt auf dem Graphen gegeben ist, kannst du diesen nutzen, um einen unbekannten Streckungsfaktor im Funktionsterm zu bestimmen. - Was ist der Unterschied in der Vielfachheit der Nullstelle bei einem Schnittpunkt gegenüber einem Berührpunkt? - Erinnere dich, welche Gleichung die \(y\)-Achse im Koordinatensystem hat.

1. Die Nullstellen bei \(x = \pm 3\) erfordern im Zähler das Produkt \((x - 3)(x + 3) = x^2 - 9\). Für eine waagrechte Asymptote bei \(y = 2\) müssen Zähler und Nenner den gleichen Grad haben und das Verhältnis der Leitkoeffizienten muss 2 sein. Mit einem Nenner ohne reelle Nullstellen wie \(x^2 + 1\) ergibt sich \(g(x) = \frac{2(x^2 - 9)}{x^2 + 1} = \frac{2x^2 - 18}{x^2 + 1}\). 2. Keine Nullstellen bedeutet ein konstanter Zähler \(c\). Die Definitionslücke bei \(x = 1\) erfordert den Nennerfaktor \((x - 1)\). Aus der Punktprobe mit \(P(0 \mid 4)\) folgt \(4 = \frac{c}{0 - 1}\), also \(c = -4\). Der Term lautet \(g(x) = \frac{-4}{x - 1}\). 3. Ein Berührpunkt mit der \(x\)-Achse bei \(x = 2\) entspricht einer doppelten Nullstelle, also dem Faktor \((x - 2)^2\) im Zähler. Die \(y\)-Achse als senkrechte Asymptote entspricht der Polstelle \(x = 0\). Ein möglicher Term ist \(g(x) = \frac{(x - 2)^2}{x}\).

Mögliche Funktionsterme sind: a) \(g(x) = \frac{2x^2 - 18}{x^2 + 1}\) (oder auch \(g(x) = \frac{2x^2 - 18}{x^2}\)) b) \(g(x) = \frac{-4}{x - 1}\) c) \(g(x) = \frac{(x - 2)^2}{x}\)

- Was muss für die Grade von Zähler und Nenner gelten, damit die Funktion gegen Unendlich divergiert? - Wie hängen die Polstellen einer Funktion mit ihrem Funktionsterm zusammen? - Versuche, die Funktion zuerst als Summe aus einem linearen Teil und einem echten Bruchterm aufzuschreiben. - Wie kannst du sicherstellen, dass die Polstelle nicht durch eine Nullstelle im Zähler aufgehoben wird?

1. Da die Funktion für \(x \to \infty\) gegen \(-\infty\) divergiert, muss der Grad des Zählerpolynoms größer sein als der des Nennerpolynoms. Ein einfacher Ansatz ist eine Differenz der Grade von 1 mit einem negativen Leitkoeffizienten, was zu einer schrägen Asymptote führt. 2. Die senkrechte Asymptote bei \(x = 5\) lässt sich durch den Nennerterm \((x - 5)\) realisieren. 3. Ein möglicher Ansatz in Summenform ist \(f(x) = -x + \frac{1}{x - 5}\). Hierbei divergiert der Term \(-x\) gegen \(-\infty\) und der Bruchterm gegen \(0\). 4. Umformung in die Form \(\frac{p(x)}{q(x)}\): \(f(x) = \frac{-x(x - 5) + 1}{x - 5} = \frac{-x^2 + 5x + 1}{x - 5}\). 5. Überprüfung: Der Nenner hat bei \(x = 5\) eine Nullstelle, der Zähler hingegen nicht (\(-5^2 + 5 \cdot 5 + 1 = 1 \neq 0\)), womit die senkrechte Asymptote bestätigt ist.

Eine mögliche Funktion ist \(f(x) = \frac{-x^2 + 5x + 1}{x - 5}\).

- Welche Faktoren im Nenner erzeugen die beiden senkrechten Asymptoten? - Wie bestimmt die waagrechte Asymptote das Verhältnis der Leitkoeffizienten? - Was folgt aus dem Punkt \((0\mid0)\) für den Zähler? - Prüfe zum Schluss, ob Zähler und Nenner einen gemeinsamen Faktor besitzen.

1. Die senkrechten Asymptoten liefern den Nenner \(q(x)=(x+1)(x-2)=x^2-x-2\). 2. Für die waagrechte Asymptote \(y=1{,}5\) müssen Zähler und Nenner denselben Grad besitzen; das Verhältnis der Leitkoeffizienten muss \(1{,}5\) sein. Daher kann der Zähler als \(p(x)=1{,}5x^2+bx+c\) angesetzt werden. 3. Wegen \(f(0)=0\) muss \(c=0\) gelten. 4. Mit der einfachen Wahl \(b=0\) ergibt sich \(p(x)=1{,}5x^2\). 5. Damit ist \(f(x)=\frac{1{,}5x^2}{x^2-x-2}\). Zähler und Nenner besitzen keinen gemeinsamen Faktor; der Term ist vollständig gekürzt.

Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x)=\frac{1{,}5x^2}{x^2-x-2}\).

- Überlege dir, welcher Teil des Bruchs (Zähler oder Nenner) für die Nullstellen verantwortlich ist. - Wie muss die Potenz eines Faktors im Nenner beschaffen sein, damit an dieser Stelle kein Vorzeichenwechsel stattfindet? - Untersuche das Vorzeichen des Zählers in der Nähe der Polstelle, um den Grenzwert zu bestimmen.

1. Aus der Nullstelle \(x = 3\) folgt, dass der Zähler den Faktor \((x - 3)\) enthalten muss. Wir setzen den Zähler als \(p(x) = x - 3\). 2. Eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei \(x = -1\) erfordert eine gerade Potenz des Faktors \((x + 1)\) im Nenner. Wir wählen \(q(x) = (x + 1)^2\). 3. Die vorläufige Funktion \(f(x) = \frac{x - 3}{(x + 1)^2}\) wird auf das Grenzverhalten an der Polstelle geprüft: Für \(x \to -1\) strebt der Nenner gegen \(0^+\) (da er quadriert wird). Der Zähler strebt gegen \(-1 - 3 = -4\). 4. Der Grenzwert ergibt sich somit zu \(\frac{-4}{0^+} = -\infty\). Die Bedingung ist erfüllt.

Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x) = \frac{x - 3}{(x + 1)^2}\).

- Die beiden vorgegebenen Nullstellen bestimmen zwei Linearfaktoren im Zähler. - Überlege, welche Vielfachheit der Nennernullstelle einen Pol ohne Vorzeichenwechsel erzeugt. - Für einen von null verschiedenen waagrechten Grenzwert sollten Zähler und Nenner denselben Grad haben. - Der Grenzwert legt anschließend das Verhältnis der Leitkoeffizienten fest.

1. Die Nullstellen \(-5\) und \(3\) liefern im Zähler die Faktoren \((x+5)\) und \((x-3)\). 2. Eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei \(x=0\) wird durch den doppelten Nennerfaktor \(x^2\) erzeugt. Der Zähler ist bei \(x=0\) gleich \(-15\) und damit nicht null. 3. Zähler und Nenner haben nun beide Grad \(2\). Damit der Grenzwert im Unendlichen \(4\) beträgt, wird der Zähler mit \(4\) multipliziert. 4. Ein möglicher Term ist \(f(x)=\frac{4(x+5)(x-3)}{x^2}\). Das Verhältnis der Leitkoeffizienten ist \(4:1\), also gilt auf beiden Seiten \(f(x)\to4\).

Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x)=\frac{4(x+5)(x-3)}{x^2}\).

- Wie muss die Potenz im Nenner beschaffen sein, damit an einer Polstelle kein Vorzeichenwechsel auftritt? - Wie kannst du eine waagrechte Asymptote \(y = c\) direkt in einen Funktionsterm der Form \(f(x) = c + \dots\) einbauen? - Hast du eine Idee, wie du die Information über den Punkt \(P(2 \mid 2)\) nutzen kannst, um einen noch unbekannten Parameter im Term zu berechnen? - Überprüfe am Ende, ob deine Funktion für \(x = 0\) tatsächlich eine Polstelle hat (Zähler darf dort nicht null sein).

1. Festlegung des Nenners: Eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei \(x = 0\) erfordert einen Faktor \(x^n\) im Nenner, wobei \(n\) eine gerade natürliche Zahl sein muss. Wir wählen \(x^2\). 2. Ansatz für die waagrechte Asymptote: Damit \(y = 1\) die waagrechte Asymptote ist, wählen wir den Ansatz \(h(x) = 1 + \frac{a}{x^2}\). Dies stellt sicher, dass der Grenzwert für \(x \to \infty\) den Wert \(1\) ergibt und der Nennergrad gleich dem Zählergrad ist. 3. Bestimmung des Parameters \(a\): Einsetzen der Koordinaten des Punktes \(P(2 \mid 2)\) in die Gleichung: \(2 = 1 + \frac{a}{2^2}\). Daraus folgt \(1 = \frac{a}{4}\), also \(a = 4\). 4. Aufstellen des fertigen Terms: Durch Einsetzen von \(a = 4\) in den Ansatz erhält man \(h(x) = 1 + \frac{4}{x^2}\). Dies kann zu \(h(x) = \frac{x^2 + 4}{x^2}\) zusammengefasst werden.

\(h(x) = \frac{x^2 + 4}{x^2}\)

- Wie kannst du durch gerade Potenzen die Achsensymmetrie sicherstellen? - Was bedeutet eine Berührung der \(x\)-Achse für die Vielfachheit einer Nullstelle? - Welche Nennerfaktoren gehören zu den beiden senkrechten Asymptoten? - Wie wirkt sich die waagrechte Asymptote auf die Leitkoeffizienten aus?

1. Für die Achsensymmetrie wird ein gerader Funktionsterm gewählt. 2. Die senkrechten Asymptoten bei \(x=\pm3\) führen auf den Nenner \((x-3)(x+3)=x^2-9\). 3. Die Berührung der \(x\)-Achse im Ursprung verlangt eine Nullstelle gerader Vielfachheit bei \(x=0\), also den Zählerfaktor \(x^2\). 4. Die waagrechte Asymptote \(y=-1\) verlangt das Leitkoeffizientenverhältnis \(-1\). Daher wird der Zähler \(-x^2\) gewählt. 5. Ein passender Term ist \(h(x)=\frac{-x^2}{x^2-9}\).

\(h(x)=\frac{-x^2}{x^2-9}\) oder eine äquivalente Form

- Welche Koordinaten des Symmetriezentrums entsprechen der senkrechten und der waagrechten Asymptote? - Nutze den Punkt \(P\), um \(k\) zu bestimmen. - Bringe für Teil b) beide Terme auf einen Nenner. - Für Achsenschnittpunkte setzt du jeweils \(x=0\) beziehungsweise \(h(x)=0\).

1. Aus dem Symmetriezentrum folgen die Asymptoten \(x=4\) und \(y=3\). Damit ist \(h(x)=\frac{k}{x-4}+3\). 2. Mit \(P(2\mid5{,}5)\) gilt \(5{,}5=\frac{k}{-2}+3\), also \(k=-5\). 3. Somit ist \(h(x)=\frac{-5}{x-4}+3=\frac{3x-17}{x-4}\). 4. Es gilt \(h(0)=\frac{17}{4}=4{,}25\), also \(S_y(0\mid4{,}25)\). 5. Für den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse gilt \(3x-17=0\), also \(x=\frac{17}{3}\). Damit ist \(S_x(\frac{17}{3}\mid0)\).

a) \(h(x)=\frac{-5}{x-4}+3\) b) \(h(x)=\frac{3x-17}{x-4}\) c) \(S_y(0\mid4{,}25)\), \(S_x(\frac{17}{3}\mid0)\)

- Welcher Parameter in der gegebenen Form beeinflusst direkt die Lage der Definitionslücke? - Was passiert mit dem Bruchterm, wenn x gegen Unendlich strebt? Welcher Parameter bleibt übrig? - Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes in die Funktionsgleichung ein, um den letzten unbekannten Parameter zu finden. - Setze den gesamten Funktionsterm gleich Null und löse nach x auf. - Kombiniere die Funktion k mit dem zusätzlichen linearen Term, um die neue Asymptotengleichung zu identifizieren.

1. Parameter \(b\): Die senkrechte Asymptote liegt bei der Definitionslücke des Nenners, also \(b = 2\). 2. Parameter \(c\): Die waagrechte Asymptote entspricht dem konstanten Summanden für \(x \to \pm \infty\), also \(c = 3\). 3. Parameter \(a\): Einsetzen von \(P(3 \mid 5)\) in \(5 = \frac{a}{3-2} + 3\) führt zu \(5 = a + 3\), woraus \(a = 2\) folgt. Die Funktion lautet \(k(x) = \frac{2}{x-2} + 3\). 4. Nullstelle: Ansatz \(k(x) = 0 \implies \frac{2}{x-2} = -3 \implies 2 = -3(x-2) \implies 2 = -3x + 6 \implies 3x = 4 \implies x = \frac{4}{3}\). 5. Asymptoten von \(m\): Es gilt \(m(x) = -3x + 3 + \frac{2}{x-2}\). 6. Die senkrechte Asymptote von \(m\) liegt weiterhin bei \(x = 2\). 7. Die schräge Asymptote von \(m\) wird durch den linearen Anteil \(y = -3x + 3\) beschrieben, da der Restterm \(\frac{2}{x-2}\) für \(x \to \pm \infty\) gegen Null geht.

a) \(a = 2\), \(b = 2\), \(c = 3\) b) Nullstelle bei \(x = \frac{4}{3}\) c) Senkrechte Asymptote: \(x = 2\); schräge Asymptote: \(y = -3x + 3\)

- Welche beiden Parameter der verschobenen Kehrwertform werden unmittelbar durch die Asymptoten festgelegt? - Wähle in jedem getrennten Graphen einen gut ablesbaren Punkt, um den verbleibenden Zählerparameter zu bestimmen. - Prüfe den erhaltenen Term anschließend an Nullstelle oder Achsenschnittpunkt.

1. Für \(G_f\) liest man die senkrechte Asymptote \(x=-1\) und die waagrechte Asymptote \(y=1\) ab. Damit hat \(f\) die Form \(f(x)=1+\frac{a}{x+1}\). Der ablesbare Punkt \((2\mid0)\) liefert \(0=1+\frac{a}{3}\), also \(a=-3\). Somit ist \(f(x)=1-\frac{3}{x+1}\). 2. Für \(G_g\) liest man die senkrechte Asymptote \(x=2\) und die waagrechte Asymptote \(y=-2\) ab. Damit hat \(g\) die Form \(g(x)=-2+\frac{b}{x-2}\). Der ablesbare Punkt \((4\mid0)\) liefert \(0=-2+\frac{b}{2}\), also \(b=4\). Somit ist \(g(x)=-2+\frac{4}{x-2}\).

a) \(f\): \(x=-1\), \(y=1\); \(g\): \(x=2\), \(y=-2\) b) \(f(x)=1-\frac{3}{x+1}\); \(g(x)=-2+\frac{4}{x-2}\)

- Lies zuerst die senkrechte und die waagrechte Asymptote ab; sie bestimmen zwei Parameter direkt. - Nutze anschließend einen gut ablesbaren Punkt für den verbleibenden Parameter. - Vergleiche den gefundenen Term mit \(\frac{1}{x^2}\). - Setze für die Nullstellen den Funktionsterm gleich \(0\).

1. Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x=2\). Daher gilt \(d=2\). Die waagrechte Asymptote liegt bei \(y=-1\), also ist \(c=-1\). 2. Der Graph enthält den Punkt \((0\mid0)\). Einsetzen ergibt \(0=\frac{a}{4}-1\), also \(a=4\). Somit ist \(f(x)=\frac{4}{(x-2)^2}-1\). 3. Ausgehend von \(g(x)=\frac{1}{x^2}\) wird der Graph um \(2\) Einheiten nach rechts verschoben, in \(y\)-Richtung mit Faktor \(4\) gestreckt und um \(1\) Einheit nach unten verschoben. 4. Für die Nullstellen gilt \(\frac{4}{(x-2)^2}-1=0\). Daraus folgt \((x-2)^2=4\), also \(x=0\) oder \(x=4\).

a) \(a=4\), \(c=-1\), \(d=2\); \(f(x)=\frac{4}{(x-2)^2}-1\) b) \(2\) Einheiten nach rechts, Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(4\), \(1\) Einheit nach unten c) \(x=0\) und \(x=4\)

- Welche Information über den Nenner liefert die senkrechte Asymptote jedes einzelnen Graphen? - Welche Information über den Zähler liefert die jeweilige Nullstelle? - Nutze die waagrechte Asymptote als Kontrolle der führenden Koeffizienten und den \(y\)-Achsenabschnitt als zweite Probe.

1. Für \(f\) sind die Asymptoten \(x=1\) und \(y=1\); die Nullstelle ist \(x=-2\). Für \(g\) sind die Asymptoten \(x=-2\) und \(y=1\); die Nullstelle ist \(x=1\). 2. Bei einem Term \(\frac{x+b}{x+c}\) liefert die Nullstelle den Zählerfaktor und die senkrechte Asymptote den Nennerfaktor. Daher passen \(f(x)=\frac{x+2}{x-1}\) und \(g(x)=\frac{x-1}{x+2}\). Beide besitzen wegen gleicher Leitkoeffizienten die waagrechte Asymptote \(y=1\). 3. Es gilt \(f(0)=-2\) und \(g(0)=-\frac12=-0{,}5\). Diese Werte stimmen mit den \(y\)-Achsenabschnitten der beiden getrennten Graphen überein.

a) \(f\): Asymptoten \(x=1\), \(y=1\), Nullstelle \(x=-2\); \(g\): Asymptoten \(x=-2\), \(y=1\), Nullstelle \(x=1\) b) \(f(x)=\frac{x+2}{x-1}\); \(g(x)=\frac{x-1}{x+2}\) c) \(f(0)=-2\); \(g(0)=-0{,}5\)

- Welche Eigenschaften des Graphen geben Aufschluss über den Nenner? - Wie hängt die waagrechte Asymptote mit dem Parameter \(a\) zusammen? - Wie kannst du einen markierten Punkt nutzen, um den verbleibenden Parameter zu bestimmen? - Wann ist ein Bruch gleich null?

1. Aus dem Graphen liest man senkrechte Asymptoten bei \(x=-1\) und \(x=1\). Daher ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1;1\}\). Die waagrechte Asymptote ist \(y=2\). 2. Aus \(x=\pm1\) folgt \(c=1\), aus \(y=2\) folgt \(a=2\). Die markierten Punkte sind \(A(0\mid8)\) und \(B(2\mid0)\). Aus \(A\) folgt \(8=\frac{b}{-1}\), also \(b=-8\). Damit ist \(f(x)=\frac{2x^2-8}{x^2-1}\). Der Punkt \(B\) bestätigt den Term. 3. Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(S_y(0\mid8)\). Aus \(2x^2-8=0\) folgen \(x=\pm2\). Daher sind die \(x\)-Achsenabschnitte \((2\mid0)\) und \((-2\mid0)\).

a) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1;1\}\); senkrechte Asymptoten \(x=-1\), \(x=1\); waagrechte Asymptote \(y=2\) b) \(A(0\mid8)\), \(B(2\mid0)\); \(a=2\), \(b=-8\), \(c=1\); \(f(x)=\frac{2x^2-8}{x^2-1}\) c) \(S_y(0\mid8)\), \((2\mid0)\), \((-2\mid0)\)

- Die senkrechte Asymptote legt direkt die Nullstelle des linearen Nenners fest. - Eine Nullstelle der Funktion liefert eine Gleichung für die Koeffizienten des Zählers. - Ein weiterer Punkt des Graphen liefert eine zweite unabhängige Gleichung. - Löse die beiden Beziehungen anschließend gemeinsam nach \(a\) und \(b\) auf.

a) Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x=1\). Daher ist \(d=1\) und \(f(x)=\frac{ax^2+bx}{x-1}\). b) Wegen der Nullstelle bei \(x=3\) gilt \(9a+3b=0\), also \(b=-3a\). Der Punkt \(P(2\mid-2)\) liefert \(-2=\frac{4a+2b}{1}=4a+2b\). Mit \(b=-3a\) folgt \(-2=4a-6a=-2a\), also \(a=1\). Damit ist \(b=-3\). c) Der Funktionsterm lautet \(f(x)=\frac{x^2-3x}{x-1}\).

a) \(d=1\) b) \(a=1\), \(b=-3\) c) \(f(x)=\frac{x^2-3x}{x-1}\)

- Welche Information liefert die schräge Asymptote über den Anteil des Funktionsterms, der für große \(|x|\) dominiert? - Welche zusätzliche Struktur muss ein Term besitzen, damit bei \(x=2\) eine senkrechte Asymptote entsteht, ohne das Verhalten im Unendlichen zu verändern? - Wie kannst du den gegebenen Punkt nutzen, sobald nur noch ein Parameter unbekannt ist?

1. Aus der schrägen Asymptote \(y=2x-3\) und der senkrechten Asymptote \(x=2\) ergibt sich der Ansatz \(f(x)=2x-3+\frac{k}{x-2}\). 2. Mit \(P(1\mid0)\) folgt \(0=2\cdot1-3+\frac{k}{1-2}=-1-k\). Daher ist \(k=-1\). 3. Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x)=2x-3-\frac{1}{x-2}\). 4. Als einzelner Bruch lautet derselbe Term \(f(x)=\frac{2x^2-7x+5}{x-2}\).

Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x)=2x-3-\frac{1}{x-2}\), äquivalent \(f(x)=\frac{2x^2-7x+5}{x-2}\).

- Welche Asymptoten kannst du im Graphen erkennen? - Wo schneidet der Graph die \(x\)-Achse und die \(y\)-Achse? - Wie hängen die Asymptoten mit den Leitkoeffizienten und der Nennernullstelle zusammen?

1. Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x=1\), daher passt ein Nenner \(x-1\). Die waagrechte Asymptote liegt bei \(y=2\), daher kann man \(f(x)=\frac{2x+b}{x-1}\) ansetzen. 2. Der Graph hat die Nullstelle \(x=-2\). Damit gilt \(2\cdot(-2)+b=0\), also \(b=4\). 3. Zur Kontrolle ist \(f(0)=\frac4{-1}=-4\), passend zum Graphen. 4. Somit ist \(f(x)=\frac{2x+4}{x-1}\).

\(f(x)=\frac{2x+4}{x-1}\)

- Welche Information liefern die symmetrisch liegenden Polstellen über den Nenner? - Welcher leicht ablesbare Punkt auf der \(y\)-Achse bestimmt den verbleibenden Parameter? - Passt das Verhalten für große \(|x|\) zu deinem gefundenen Term?

1. Der Graph besitzt Polstellen bei \(x=-1\) und \(x=1\). Aus \(1^2+b=0\) folgt \(b=-1\). Der Nenner ist also \(x^2-1\). 2. Der Graph verläuft durch \((0\mid-1)\). Damit gilt \(\frac{a}{-1}=-1\), also \(a=1\). 3. Wegen gleicher Leitkoeffizienten nähert sich der Graph für große \(|x|\) der Geraden \(y=1\), wie in der Abbildung. 4. Somit ist \(f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-1}\).

\(f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-1}\)

- Welche Kandidaten haben dieselbe waagrechte Asymptote und können deshalb damit noch nicht unterschieden werden? - Welche Kandidaten haben dieselbe Nullstelle und können deshalb allein über die Nullstelle noch nicht unterschieden werden? - Kombiniere beide Merkmale für jeden Graphen, statt nur eines davon zu verwenden.

1. Alle drei Terme besitzen die senkrechte Asymptote \(x=3\); diese Eigenschaft unterscheidet die Kandidaten nicht. 2. Für \(f_1\) und \(f_3\) ist die waagrechte Asymptote \(y=1\), für \(f_2\) ist sie \(y=2\). Daher muss Graph \(g\), der sich \(y=2\) nähert, zu \(f_2\) gehören. 3. Die Nullstellen von \(f_1\) und \(f_2\) liegen beide bei \(x=2\); die Nullstelle von \(f_3\) liegt bei \(x=4\). Damit bestätigt die Nullstelle \(x=2\) die Zuordnung \(g\leftrightarrow f_2\), reicht allein aber nicht aus. 4. Die Graphen \(f\) und \(h\) haben beide die waagrechte Asymptote \(y=1\). Graph \(f\) hat die Nullstelle \(x=2\), also gehört er zu \(f_1\). Graph \(h\) hat die Nullstelle \(x=4\), also gehört er zu \(f_3\).

\(f\leftrightarrow f_1(x)=\frac{x-2}{x-3}\) \(g\leftrightarrow f_2(x)=\frac{2x-4}{x-3}\) \(h\leftrightarrow f_3(x)=\frac{x-4}{x-3}\)

- Wie legen die senkrechte und die waagrechte Asymptote die Verschiebungsparameter fest? - Nutze anschließend den Punkt \(P\) für den verbleibenden Parameter. - Bestimme die Geradengleichung aus den beiden Achsenschnittpunkten. - Für Schnittpunkte müssen beide Funktionswerte gleich sein.

1. Aus dem Graphen liest man die Asymptoten \(x=1\) und \(y=1\) ab. Damit ist \(f(x)=\frac{a}{x-1}+1\). 2. Mit \(P(3\mid3)\) gilt \(3=\frac{a}{2}+1\), also \(a=4\). Somit ist \(f(x)=\frac{4}{x-1}+1\). 3. Aus den Achsenschnittpunkten der Geraden folgt \(g(x)=-x+7\). 4. Gleichsetzen ergibt \(\frac{4}{x-1}+1=-x+7\). Daraus folgt \(x^2-7x+10=0\), also \(x=2\) oder \(x=5\). 5. Die zugehörigen \(y\)-Werte sind \(5\) und \(2\). Somit lauten die Schnittpunkte \(S_1(2\mid5)\) und \(S_2(5\mid2)\).

a) \(f(x)=\frac{4}{x-1}+1\) b) \(g(x)=-x+7\) c) \(S_1(2\mid5)\), \(S_2(5\mid2)\)

- Bei welchem \(x\)-Wert wächst der Graph ohne Schranke? - Welchem \(y\)-Wert nähert sich der Graph für große Beträge von \(x\)? - Welcher einfache Ansatz enthält beide Asymptoten bereits? - Wie kannst du den markierten Punkt nutzen, um den verbleibenden Parameter zu bestimmen?

1. Der Graph besitzt bei \(x=2\) eine Polstelle. Daher ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\), und die senkrechte Asymptote ist \(x=2\). 2. Für \(x\to\pm\infty\) nähert sich der Graph der Geraden \(y=2\). Daher ist die waagrechte Asymptote \(y=2\). 3. Ein passender Ansatz ist \(f(x)=2+\frac{a}{x-2}\). Mit \(A(0\mid1{,}5)\) folgt \(1{,}5=2-\frac{a}{2}\), also \(a=1\). 4. Damit ist \(f(x)=2+\frac{1}{x-2}=\frac{2x-3}{x-2}\).

a) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\) b) Senkrechte Asymptote \(x=2\); waagrechte Asymptote \(y=2\) c) Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x)=\frac{2x-3}{x-2}\).

- Bei welchen \(x\)-Werten wächst der Graph ohne Schranke? - Welchem \(y\)-Wert nähert sich der Graph für große \(|x|\)? - Wie kannst du die Achsensymmetrie im Aufbau eines einfachen Terms berücksichtigen? - Welcher bekannte Punkt bestimmt den noch fehlenden Parameter?

1. Der Graph besitzt senkrechte Asymptoten bei \(x=-2\) und \(x=2\) sowie die waagrechte Asymptote \(y=2\). Daher ist \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{-2;2\}\). 2. Wegen der Symmetrie zur \(y\)-Achse und der Pole bei \(\pm2\) ist \(g(x)=\frac{2x^2+b}{x^2-4}\) ein einfacher Ansatz. Das Verhältnis der Leitkoeffizienten erzeugt die waagrechte Asymptote \(y=2\). 3. Mit \(S_y(0\mid-0{,}5)\) gilt \(-0{,}5=\frac{b}{-4}\), also \(b=2\). 4. Ein möglicher Funktionsterm lautet \(g(x)=\frac{2x^2+2}{x^2-4}\).

a) \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{-2;2\}\); senkrechte Asymptoten \(x=-2\), \(x=2\); waagrechte Asymptote \(y=2\) b) Ein möglicher Funktionsterm ist \(g(x)=\frac{2x^2+2}{x^2-4}\).

- Welchen Geraden nähert sich der Graph für große Beträge der Variablen an? Das sind die Asymptoten. - Wie hängen die Polstelle (Nennernullstelle) und die senkrechte Asymptote zusammen? - Wähle einen gut ablesbaren Gitterpunkt des Graphen, um den Zähler des Bruchs zu berechnen.

1. Ablesen der Asymptoten aus der Grafik: Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = 3\), die waagrechte Asymptote bei \(y = 1\). 2. Ansatz für den Funktionsterm einer einfach verschobenen Hyperbel: \(f(x) = \frac{a}{x - 3} + 1\). 3. Ablesen eines Punktes vom Graphen zur Bestimmung von \(a\). Der Punkt \(P(4 \mid 3)\) ist gut erkennbar. 4. Einsetzen von \(P(4 \mid 3)\) in den Ansatz: \(3 = \frac{a}{4 - 3} + 1 \Rightarrow 3 = a + 1 \Rightarrow a = 2\). 5. Der Funktionsterm lautet \(f(x) = \frac{2}{x - 3} + 1\).

Die Asymptoten sind \(x = 3\) und \(y = 1\). Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x) = \frac{2}{x - 3} + 1\).

- Betrachte die gestrichelte Linie. Welche Steigung hat sie und wo schneidet sie die Achsen? - Der Graph nähert sich für große Beträge von \(x\) dieser Geraden an. Das ist der lineare Teil deines Funktionsterms. - Wo befindet sich die Definitionslücke der Funktion? - Wie kannst du den verbleibenden Parameter mithilfe eines gut ablesbaren Punktes bestimmen?

1. Die schräge Asymptote verläuft durch den Ursprung \((0 \mid 0)\) und hat die Steigung \(1\), da sie auch durch \((1 \mid 1)\), \((2 \mid 2)\) usw. geht. Ihre Gleichung ist somit \(y = x\). 2. Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = 0\). Der Funktionsterm hat also die Form \(f(x) = x + \frac{k}{x}\). 3. Zur Bestimmung von \(k\) wählen wir einen gut ablesbaren Punkt auf dem Graphen, zum Beispiel \(P(1 \mid 3)\). 4. Einsetzen des Punktes: \(3 = 1 + \frac{k}{1} \Rightarrow 3 = 1 + k \Rightarrow k = 2\). 5. Der Funktionsterm ist \(f(x) = x + \frac{2}{x}\).

Die schräge Asymptote hat die Gleichung \(y = x\). Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x) = x + \frac{2}{x}\).

- Die beiden Asymptoten legen die Verschiebung des Grundgraphen \(\frac1x\) fest. - Ein markierter Punkt bestimmt anschließend den noch fehlenden Streckungsfaktor. - Vergleiche für die Monotonie den erhaltenen Graphen mit dem bekannten Grundgraphen der Kehrwertfunktion. - Verschiebungen ändern die Monotonierichtung auf den entsprechenden Intervallen der Definitionsmenge nicht.

1. Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x=2\), also ist \(b=2\). Die waagrechte Asymptote liegt bei \(y=1\), also ist \(c=1\). 2. Der Punkt \(P(3\mid2)\) liefert \(2=\frac{a}{3-2}+1\), daher ist \(a=1\). Somit gilt \(f(x)=\frac{1}{x-2}+1\). 3. Die maximale Definitionsmenge ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\). Die Asymptoten sind \(x=2\) und \(y=1\). 4. Der Grundgraph \(r(x)=\frac1x\) ist auf \(]-\infty;0[\) und \(]0;\infty[\) jeweils streng monoton fallend. Die Verschiebung um \(2\) nach rechts und \(1\) nach oben ändert dieses Verhalten nicht. Daher ist \(f\) auf \(]-\infty;2[\) und \(]2;\infty[\) jeweils streng monoton fallend.

a) \(f(x)=\frac{1}{x-2}+1\) b) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\); Asymptoten \(x=2\) und \(y=1\) c) Streng monoton fallend auf \(]-\infty;2[\) und \(]2;\infty[\)

- Nutze Nullstelle und Asymptoten des Graphen, um einen passenden Term für \(k\) zu finden. - Welche Vorzeichenbedingung muss das Argument eines natürlichen Logarithmus erfüllen? - Teile die Zahlengerade an den Stellen auf, an denen Zähler oder Nenner von \(k\) null werden.

1. Der Graph zeigt eine senkrechte Asymptote bei \(x=2\), eine Nullstelle bei \(x=5\) und eine waagerechte Asymptote bei \(y=1\). Ein passender Funktionsterm ist daher \(k(x)=\frac{x-5}{x-2}\). 2. Für den Logarithmus muss \(k(x)>0\) gelten. Zu lösen ist also \(\frac{x-5}{x-2}>0\). 3. Für \(x<2\) sind Zähler und Nenner beide negativ, also ist der Quotient positiv. Für \(2<x<5\) haben Zähler und Nenner verschiedene Vorzeichen, also ist der Quotient negativ. Für \(x>5\) sind beide positiv. 4. Damit ist \(D_g=]-\infty;2[\cup]5;\infty[\). Das ist genau \(\mathbb{R}\setminus[2;5]\).

Ein möglicher Funktionsterm ist \(k(x)=\frac{x-5}{x-2}\). Es gilt \(D_g=]-\infty;2[\cup]5;\infty[=\mathbb{R}\setminus[2;5]\).

- Welche Parameterbedingung folgt aus der senkrechten Asymptote? - Welche zweite Beziehung zwischen \(a\) und \(b\) liefert die Nullstelle \(x=2\)? - Wende die Quotientenregel auf Zähler- und Nennerfunktion an und setze erst danach die bekannte Stelle für die Steigung ein.

1. Aus der senkrechten Asymptote \(x=-2\) folgt \(-2+c=0\), also \(c=2\). 2. Weil \(x=2\) eine Nullstelle ist, gilt \(4a+2b=0\). Daher ist \(b=-2a\) und damit \(f(x)=\frac{ax^2-2ax}{x+2}\). 3. Mit der Quotientenregel erhält man \(f'(x)=\frac{(2ax-2a)(x+2)-(ax^2-2ax)}{(x+2)^2}=\frac{ax^2+4ax-4a}{(x+2)^2}\). 4. Einsetzen von \(x=2\) ergibt \(f'(2)=\frac{8a}{16}=\frac{a}{2}\). Aus \(\frac{a}{2}=0{,}5\) folgt \(a=1\). 5. Somit ist \(b=-2\), \(c=2\) und \(f(x)=\frac{x^2-2x}{x+2}\).

\(a=1\), \(b=-2\), \(c=2\); \(f(x)=\frac{x^2-2x}{x+2}\)

- Übersetze Nullstellen und Polstellen getrennt in Faktoren von Zähler und Nenner. - Lass zunächst einen konstanten Faktor vor dem Bruch offen und nutze dann die waagrechte Asymptote. - Für die Softwarekontrolle müssen alle vorgegebenen strukturellen Merkmale sichtbar überprüfbar sein. - Ein engerer \(y\)-Bereich um die vermutete Asymptote macht die Annäherung besser erkennbar.

1. Die Nullstellen erzwingen im Zähler die Faktoren \(x+1\) und \(x-4\). Die Polstellen erzwingen im Nenner die Faktoren \(x+2\) und \(x-3\). 2. Damit hat der Term die Form \(f(x)=a\frac{(x+1)(x-4)}{(x+2)(x-3)}\). 3. Zähler und Nenner haben beide Grad \(2\). Die waagrechte Asymptote ist daher \(y=a\). Aus \(y=-2\) folgt \(a=-2\). 4. Somit ist \(f(x)=-2\frac{(x+1)(x-4)}{(x+2)(x-3)}\). Es gibt keinen gemeinsamen Faktor, also ist der Term vollständig gekürzt. 5. Zu kontrollieren sind die Nullstellen \(x=-1\) und \(x=4\), die Polstellen \(x=-2\) und \(x=3\) sowie die waagrechte Asymptote \(y=-2\). 6. Fenster B ist für die Beurteilung der Asymptote geeigneter, weil der relevante Bereich um \(y=-2\) deutlich feiner sichtbar ist; Fenster A komprimiert diesen Bereich stark. 7. Der Tabellenwert \(f(50)\approx-1{,}920\) liegt nahe bei \(-2\) und ist daher mit der Annäherung an die waagrechte Asymptote \(y=-2\) vereinbar.

a) \(f(x)=-2\frac{(x+1)(x-4)}{(x+2)(x-3)}\) b) Zu prüfen: Nullstellen \(-1\) und \(4\), Polstellen \(-2\) und \(3\), waagrechte Asymptote \(y=-2\); geeignet ist Fenster B. c) \(f(50)\approx-1{,}920\) liegt nahe bei \(-2\) und stützt damit die erwartete Annäherung.

- Wenn die waagrechte Asymptote nicht \(y=0\) ist, was sagt das über die Grade von Zähler und Nenner aus? - Wie viele Nullstellen muss der Zähler mindestens haben, wenn die Funktion zwei Nullstellen besitzt? - Wenn es nur eine senkrechte Asymptote gibt, der Nenner aber den gleichen Grad wie der Zähler haben muss, wie könnte die Nullstelle des Nenners beschaffen sein? - Wie verhinderst du, dass eine Nullstelle des Zählers durch eine Nullstelle des Nenners aufgehoben wird?

1. Da die waagrechte Asymptote \(y = -0{,}5\) nicht die \(x\)-Achse ist und die Funktion zwei Nullstellen besitzt, muss der Zählergrad mindestens 2 sein. Für einen einfachen Ansatz wählen wir Zähler und Nenner jeweils vom Grad 2; bei einer waagrechten Asymptote ungleich \(0\) müssen beide Grade übereinstimmen. 2. Für die einzige senkrechte Asymptote bei \(x = 3\) muss der Nenner eine Nullstelle bei 3 haben. Da der Nenner Grad 2 hat, wählen wir eine doppelte Nullstelle: \(D(x) = (x-3)^2 = x^2 - 6x + 9\). 3. Die waagrechte Asymptote \(y = -0{,}5\) legt das Verhältnis der Leitkoeffizienten fest. Bei einem Nenner-Leitkoeffizienten von 1 muss der Zähler den Leitkoeffizienten \(a = -0{,}5\) haben. 4. Für genau zwei Nullstellen wählen wir zwei beliebige Werte für \(x\), die ungleich 3 sind, zum Beispiel \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 1\). Der Zähler lautet dann \(N(x) = -0{,}5 \cdot (x-0) \cdot (x-1) = -0{,}5x^2 + 0{,}5x\). 5. Die Funktionsgleichung lautet \(h(x) = \frac{-0{,}5x^2 + 0{,}5x}{x^2 - 6x + 9}\).

Ein möglicher Funktionsterm ist \(h(x) = \frac{-0{,}5x^2 + 0{,}5x}{x^2 - 6x + 9}\).

- Welche Gesamtkosten gelten in den drei durch die Schwellenwerte bestimmten Bereichen? - Wie erhältst du aus den Gesamtkosten die durchschnittlichen Kosten pro Gast? - Prüfe bei einer gefundenen Gästezahl, ob sie zum Bereich der verwendeten Formel gehört. - Wie verändert sich ein positiver Bruch mit festem Zähler, wenn sein Nenner wächst?

1. Die Gesamtkosten sind \(K(x)=25x+600\) für \(x<80\), \(K(x)=25x+300\) für \(80\le x<100\) und \(K(x)=25x+150\) für \(x\ge100\). Durch Division durch \(x\) erhält man die durchschnittlichen Kosten. 2. Daher gilt \(k(x)=25+\frac{600}{x}\) für \(x<80\), \(k(x)=25+\frac{300}{x}\) für \(80\le x<100\) und \(k(x)=25+\frac{150}{x}\) für \(x\ge100\). 3. Es ist \(k(79)=25+\frac{600}{79}\approx32{,}59\,\text{€}\) und \(k(80)=25+\frac{300}{80}=28{,}75\,\text{€}\). Der Unterschied beträgt gerundet \(3{,}84\,\text{€}\). 4. Im ersten Bereich ergibt \(25+\frac{600}{x}=35\) die Lösung \(x=60\); sie ist mit \(60<80\) zulässig. Im zweiten Bereich würde \(25+\frac{300}{x}=35\) zu \(x=30\) führen, doch \(30\) liegt nicht im Bereich \(80\le x<100\). Im dritten Bereich würde \(25+\frac{150}{x}=35\) zu \(x=15\) führen, doch \(15\) liegt nicht im Bereich \(x\ge100\). Damit ist \(x=60\) die einzige passende Gästezahl. 5. Für \(x\ge100\) gilt \(k(x)=25+\frac{150}{x}\). Mit wachsendem \(x\) wird der positive Bruch kleiner. Daher ist in diesem Bereich \(k(100)=26{,}50\,\text{€}\) der größte Wert und somit stets \(k(x)<27\,\text{€}\).

a) \(k(x)=25+\frac{600}{x}\) für \(x<80\); \(k(x)=25+\frac{300}{x}\) für \(80\le x<100\); \(k(x)=25+\frac{150}{x}\) für \(x\ge100\) b) \(3{,}84\,\text{€}\) pro Person c) Nur \(x=60\); die rechnerischen Kandidaten \(x=30\) und \(x=15\) aus den anderen Tarifbereichen sind dort nicht zulässig. d) Für \(x\ge100\) gilt \(k(x)\le k(100)=26{,}50\,\text{€}<27\,\text{€}\).

- Lies in jedem Koordinatensystem zuerst die senkrechte und die waagrechte beziehungsweise schräge Asymptote ab. - Welcher Zusatzterm kann eine senkrechte Asymptote erzeugen und zugleich für große Beträge von \(x\) gegen null gehen? - Nutze danach den markierten Punkt des jeweiligen Graphen, um nur noch den verbleibenden Parameter zu bestimmen.

1. Für \(f\) liest man die senkrechte Asymptote \(x=-3\) und die waagrechte Asymptote \(y=2\) ab. Daher hat \(f\) die Form \(f(x)=2+\frac{k}{x+3}\). 2. Mit dem markierten Punkt \((-2\mid3)\) folgt \(3=2+k\), also \(k=1\). Damit ist \(f(x)=2+\frac{1}{x+3}=\frac{2x+7}{x+3}\). 3. Für \(g\) liest man die senkrechte Asymptote \(x=4\) und die schräge Asymptote durch \((0\mid1)\) und \((2\mid0)\) ab. Sie lautet \(y=-0{,}5x+1\). Daher hat \(g\) die Form \(g(x)=-0{,}5x+1+\frac{c}{x-4}\). 4. Mit dem markierten Punkt \((5\mid-2)\) folgt \(-2=-1{,}5+c\), also \(c=-0{,}5\). Somit ist \(g(x)=-0{,}5x+1-\frac{0{,}5}{x-4}\).

\(f(x)=2+\frac{1}{x+3}\), äquivalent \(f(x)=\frac{2x+7}{x+3}\) \(g(x)=-0{,}5x+1-\frac{0{,}5}{x-4}\), äquivalent \(g(x)=\frac{-0{,}5x^2+3x-4{,}5}{x-4}\)

- Welche Bedingung muss der innere Funktionsterm erfüllen, damit der natürliche Logarithmus definiert ist? - Welche graphischen Merkmale helfen dir, die geforderte Definitionsmenge mit den beiden Kandidaten zu vergleichen? - Wenn du dich für einen Graphen entschieden hast: Welche ablesbaren Eigenschaften reichen aus, um einen passenden gebrochen-rationalen Term zu rekonstruieren?

1. Für \(D_g=]-4;2[\) muss \(k(x)>0\) genau für \(-4<x<2\) gelten. 2. Graph A liegt zwischen seiner Nullstelle bei \(x=-4\) und seiner Polstelle bei \(x=2\) oberhalb der \(x\)-Achse; außerhalb dieses Intervalls ist er negativ. Graph B besitzt nicht dieses Vorzeichenmuster. Daher ist Graph A gesucht. 3. Nullstelle und Polstelle führen zum Ansatz \(k(x)=a\frac{x+4}{2-x}\). Der Graph enthält den Punkt \(P(0\mid2)\). Damit gilt \(2=a\frac{4}{2}=2a\), also \(a=1\). 4. Somit ist \(k(x)=\frac{x+4}{2-x}\). Für diesen Term gilt \(k(x)>0\) genau auf \(]-4;2[\).

Graph A ist korrekt. Ein passender Funktionsterm ist \(k(x)=\frac{x+4}{2-x}\).

- Übersetze Nullstelle, Polstelle und waagrechte Asymptote jeweils in eine Bedingung an Zähler, Nenner oder Leitkoeffizienten. - Prüfe genau, ob in der Aufgabenstellung zusätzliche Nullstellen oder Polstellen ausgeschlossen werden. - Kontrolliere jeden konstruierten Term an allen drei vorgegebenen Eigenschaften und vergleiche anschließend die beiden Terme.

1. Für eine lineare Lösung müssen der Zähler bei \(x=1\) und der Nenner bei \(x=-2\) verschwinden. Ein Ansatz ist daher \(f_1(x)=\frac{k(x-1)}{x+2}\). Damit die waagrechte Asymptote \(y=2\) entsteht, muss das Verhältnis der Leitkoeffizienten \(2\) sein. Also ist \(k=2\) und \(f_1(x)=\frac{2(x-1)}{x+2}\). 2. Für eine quadratische Lösung können zusätzliche, voneinander verschiedene Faktoren gewählt werden, solange die drei geforderten Eigenschaften erhalten bleiben. Zum Beispiel ist \(f_2(x)=\frac{2(x-1)(x-3)}{(x+2)(x-4)}\). 3. Bei \(f_2\) ist \(x=1\) eine Nullstelle, weil dort nur der Zähler verschwindet. Bei \(x=-2\) verschwindet nur der Nenner, also liegt dort eine Polstelle. Zähler und Nenner haben Grad \(2\), und das Verhältnis ihrer Leitkoeffizienten ist \(2\); daher ist \(y=2\) die waagrechte Asymptote. 4. Die Bedingungen verbieten keine weiteren Nullstellen oder Polstellen. Bei \(f_2\) kommen beispielsweise die Nullstelle \(x=3\) und die Polstelle \(x=4\) hinzu. Deshalb bestimmen die drei Angaben keinen eindeutigen Funktionsterm.

a) Zum Beispiel \(f_1(x)=\frac{2(x-1)}{x+2}\) b) Zum Beispiel \(f_2(x)=\frac{2(x-1)(x-3)}{(x+2)(x-4)}\) c) Die Vorgaben legen nur bestimmte Eigenschaften fest und schließen zusätzliche Nullstellen oder Polstellen nicht aus. Daher sind mehrere verschiedene Funktionsterme möglich.