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- Wie berechnet man allgemein eine Durchschnittsgeschwindigkeit, wenn die gesamte Strecke und die benötigte Zeit bekannt sind? - Kannst du die Position der Rakete am Anfang und am Ende des Zeitintervalls bestimmen? - Denke an den Differenzenquotienten.

1. Zurückgelegte Strecke zum Zeitpunkt \(t = 4\) berechnen: \(s(4) = 3 \cdot 4^2 = 48\). 2. Zurückgelegte Strecke zum Zeitpunkt \(t = 6\) berechnen: \(s(6) = 3 \cdot 6^2 = 108\). 3. Differenz der Strecken berechnen: \(\Delta s = 108 - 48 = 60\). 4. Differenz der Zeit berechnen: \(\Delta t = 6 - 4 = 2\). 5. Durchschnittsgeschwindigkeit \(v = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{60}{2} = 30\) km/min.

30 km/min

- Überlege dir, welche Werte in den Zähler und welche in den Nenner des Bruchs gehören. - Berechne zuerst alle benötigten Funktionswerte \(h(x)\). - Gehe Schritt für Schritt vor und achte auf die Rechenregeln bei der Subtraktion.

1. Berechnung der Funktionswerte für das Intervall \([0; 2]\): \(h(0) = -0^2 + 6 \cdot 0 - 5 = -5\) und \(h(2) = -2^2 + 6 \cdot 2 - 5 = -4 + 12 - 5 = 3\). Der Differenzenquotient lautet \(\frac{h(2) - h(0)}{2 - 0} = \frac{3 - (-5)}{2} = \frac{8}{2} = 4\). 2. Berechnung der Funktionswerte für das Intervall \([3; 5]\): \(h(3) = -3^2 + 6 \cdot 3 - 5 = -9 + 18 - 5 = 4\) und \(h(5) = -5^2 + 6 \cdot 5 - 5 = -25 + 30 - 5 = 0\). Der Differenzenquotient lautet \(\frac{h(5) - h(3)}{5 - 3} = \frac{0 - 4}{2} = -2\).

Im Intervall \([0; 2]\) ist der Differenzenquotient \(4\). Im Intervall \([3; 5]\) ist der Differenzenquotient \(-2\).

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der mittleren Änderungsrate und der Steigung einer Sekante. - Welche Werte musst du in den Differenzenquotienten einsetzen? - Überprüfe, ob du die Funktionswerte an den Stellen \(x=2\), \(x=4\) und \(x=2{,}5\) richtig berechnet hast.

1. Berechnung der Funktionswerte an den Intervallgrenzen: \(f(2) = 2 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2 = 0\), \(f(4) = 2 \cdot 4^2 - 4 \cdot 4 = 16\) und \(f(2{,}5) = 2 \cdot 2{,}5^2 - 4 \cdot 2{,}5 = 12{,}5 - 10 = 2{,}5\). 2. Anwendung des Differenzenquotienten \(\frac{f(b) - f(a)}{b - a}\) für das Intervall \([2; 4]\): \(\frac{16 - 0}{4 - 2} = \frac{16}{2} = 8\). 3. Anwendung des Differenzenquotienten für das Intervall \([2; 2{,}5]\): \(\frac{2{,}5 - 0}{2{,}5 - 2} = \frac{2{,}5}{0{,}5} = 5\).

a) Die mittlere Änderungsrate im Intervall \([2; 4]\) beträgt \(8\). b) Die mittlere Änderungsrate im Intervall \([2; 2{,}5]\) beträgt \(5\).

- Welche mathematische Größe berechnet man, um die durchschnittliche Veränderung über ein Intervall zu bestimmen? - Wie wählt man die passenden Wertepaare aus der Tabelle für ein gesuchtes Intervall aus? - Was bedeutet ein negatives Vorzeichen im Kontext der Temperaturentwicklung? - Achte darauf, die Differenz der Funktionswerte durch die Differenz der Zeitwerte zu teilen.

1. Intervall \([0; 24]\): Berechnung über \(\frac{T(24) - T(0)}{24 - 0} = \frac{7 - 5}{24} = \frac{2}{24} \approx 0{,}083\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{h}}\). 2. Intervall \([4; 8]\): Berechnung über \(\frac{T(8) - T(4)}{8 - 4} = \frac{6 - 2}{4} = \frac{4}{4} = 1\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{h}}\). 3. Intervall \([8; 16]\): Berechnung über \(\frac{T(16) - T(8)}{16 - 8} = \frac{19 - 6}{8} = \frac{13}{8} = 1{,}625\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{h}}\). 4. Intervall \([16; 24]\): Berechnung über \(\frac{T(24) - T(16)}{24 - 16} = \frac{7 - 19}{8} = -\frac{12}{8} = -1{,}5\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{h}}\).

a) \(\approx 0{,}083\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{h}}\) b) \(1\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{h}}\) c) \(1{,}625\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{h}}\) d) \(-1{,}5\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{h}}\)

- Erinnere dich an die Formel für den Differenzenquotienten. - Setze die Intervallgrenzen in die Funktion ein, um die benötigten Funktionswerte zu erhalten. - Wende beim Einsetzen von \( 2+h \) die binomischen Formeln an. - Versuche am Ende, den Parameter im Nenner durch Ausklammern und Kürzen zu eliminieren.

1. Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \( x_1 = 2 \): \( f(2) = 2 \cdot 2^2 - 2 = 6 \). 2. Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \( x_2 = 2+h \): \( f(2+h) = 2(2+h)^2 - (2+h) = 2(4 + 4h + h^2) - 2 - h = 8 + 8h + 2h^2 - 2 - h = 2h^2 + 7h + 6 \). 3. Aufstellen des Differenzenquotienten für das Intervall \( [2; 2+h] \): \( \frac{f(2+h) - f(2)}{(2+h) - 2} = \frac{(2h^2 + 7h + 6) - 6}{h} \). 4. Vereinfachen des Terms: \( \frac{2h^2 + 7h}{h} = \frac{h(2h + 7)}{h} = 2h + 7 \).

Die mittlere Änderungsrate beträgt \( 2h + 7 \).

- Überlege, wie man die Steigung einer Geraden durch zwei Punkte berechnet. - Was sagt das Ergebnis über die Änderung der Temperatur pro Zeiteinheit aus? - Was passiert mit der Temperatur des Getränks über die Zeit – steigt sie oder fällt sie? - Welchen Begriff verwendet man, wenn man beschreibt, wie schnell etwas kälter wird?

1. Berechnung der Differenzenquotienten: Für das erste Intervall \([0; 4]\) ergibt sich \(\frac{T(4) - T(0)}{4 - 0} = \frac{76 - 92}{4} = -4\). Für das zweite Intervall \([4; 20]\) berechnet man \(\frac{T(20) - T(4)}{20 - 4} = \frac{38 - 76}{16} = -2{,}375\). 2. Das negative Vorzeichen zeigt an, dass die Temperatur im Zeitverlauf sinkt, was den physikalischen Vorgang der Abkühlung beschreibt. 3. Die mittlere Änderungsrate der Temperatur wird fachsprachlich als (mittlere) Abkühlgeschwindigkeit oder Temperaturänderungsrate bezeichnet.

1. Die mittlere Änderungsrate beträgt im Intervall \([0; 4]\) genau \(-4\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\) und im Intervall \([4; 20]\) genau \(-2{,}375\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\). 2. Das negative Vorzeichen bedeutet, dass die Temperatur abnimmt (Abkühlung). 3. Eine übliche Bezeichnung ist die Abkühlgeschwindigkeit.

- Was gibt der Differenzenquotient in einem Sachkontext an? - Wie nennt man die Gerade, die zwei Punkte eines Funktionsgraphen verbindet? - Vergleiche die Ergebnisse der berechneten Raten für die verschiedenen Zeiträume.

1. Berechnung der Funktionswerte: \(h(0) = 5\), \(h(4) = -0{,}1 \cdot 4^2 + 2 \cdot 4 + 5 = 11{,}4\), \(h(8) = -0{,}1 \cdot 8^2 + 2 \cdot 8 + 5 = 14{,}6\). Mittlere Wachstumsrate im Intervall \([0; 4]\): \(\frac{h(4) - h(0)}{4 - 0} = \frac{11{,}4 - 5}{4} = 1{,}6\,\text{cm/Woche}\). Mittlere Wachstumsrate im Intervall \([4; 8]\): \(\frac{h(8) - h(4)}{8 - 4} = \frac{14{,}6 - 11{,}4}{4} = 0{,}8\,\text{cm/Woche}\). 2. Die mittlere Änderungsrate entspricht geometrisch der Steigung der Sekante, die durch die Punkte \(P(0 | 5)\) und \(Q(4 | 11{,}4)\) auf dem Graphen verläuft. 3. Da die mittlere Wachstumsrate von \(1{,}6\,\text{cm/Woche}\) auf \(0{,}8\,\text{cm/Woche}\) sinkt, wird das Wachstum der Pflanze im Zeitverlauf langsamer.

1. Die mittlere Wachstumsrate beträgt \(1{,}6\,\text{cm/Woche}\) in den ersten 4 Wochen und \(0{,}8\,\text{cm/Woche}\) zwischen der 4. und 8. Woche. 2. Geometrisch entspricht sie der Steigung der Sekante durch die entsprechenden Punkte auf dem Graphen. 3. Das Wachstum wird langsamer, da die Änderungsrate abnimmt.

- Was ist der Unterschied zwischen einer durchschnittlichen Änderung über einen Zeitraum und der Änderung in einem ganz bestimmten Moment? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir, die Steigung einer Sekante zwischen zwei Punkten zu berechnen? - Wie hängen die Ableitung einer Funktion und die momentane Änderungsrate zusammen?

1. Berechnung der Bestände zu den Zeitpunkten \(t_1 = 2\) und \(t_2 = 4\): \(B(2) = 3 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2 + 100 = 122\) \(B(4) = 3 \cdot 4^2 + 5 \cdot 4 + 100 = 168\) 2. Berechnung der mittleren Wachstumsrate über den Differenzenquotienten: \(\frac{B(4) - B(2)}{4 - 2} = \frac{168 - 122}{2} = \frac{46}{2} = 23\) Die mittlere Wachstumsrate beträgt \(23\) Tausend Bakterien pro Stunde. 3. Bestimmung der momentanen Wachstumsrate durch die erste Ableitung: \(B'(t) = 6t + 5\) 4. Berechnung für \(t = 3\): \(B'(3) = 6 \cdot 3 + 5 = 23\) Die momentane Wachstumsrate zum Zeitpunkt \(t = 3\) beträgt \(23\) Tausend Bakterien pro Stunde.

a) Die mittlere Wachstumsrate beträgt \(23\) Tausend Bakterien pro Stunde. b) Die momentane Wachstumsrate zum Zeitpunkt \(t = 3\) beträgt \(23\) Tausend Bakterien pro Stunde.

- Wie berechnet man allgemein die Steigung einer Geraden durch zwei Punkte? - Setze die Funktionsvorschrift für den Punkt \(Q\) in die Steigungsformel ein. - Achte beim Subtrahieren negativer Werte auf die Vorzeichen. - Kannst du den Zähler faktorisieren, um den Bruch zu vereinfachen?

1. Die Koordinaten der Punkte sind \(P(-1|-1)\) und \(Q(x|2x^2 - 3)\). 2. Die Formel für die Sekantensteigung (Differenzenquotient) lautet \(m_s = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\). 3. Einsetzen der Werte ergibt \(m_s = \frac{(2x^2 - 3) - (-1)}{x - (-1)}\). 4. Vereinfachen des Zählers und Nenners führt zu \(m_s = \frac{2x^2 - 2}{x + 1}\). 5. Ausklammern der \(2\) im Zähler ergibt \(m_s = \frac{2(x^2 - 1)}{x + 1}\). 6. Anwendung der dritten binomischen Formel im Zähler: \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\). 7. Kürzen des Terms \((x + 1)\) liefert das Ergebnis \(m_s = 2(x - 1) = 2x - 2\) für \(x \neq -1\).

\(m_s = 2x - 2\) (für \(x \neq -1\))

- Was gibt die Steigung einer Sekante zwischen zwei Punkten im Sachkontext an? - Achte auf die Einheiten der berechneten Werte. - Wie berechnet man den Quotienten aus der Differenz der Funktionswerte und der Differenz der Stellen? - Ein negativer Wert bedeutet hier eine Abnahme der Temperatur.

1. Berechnung der mittleren Änderungsrate für \([0; 10]\): \(\frac{T(10) - T(0)}{10 - 0} = \frac{62{,}0 - 85{,}0}{10} = -2{,}3\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\). 2. Berechnung der mittleren Änderungsrate für \([20; 50]\): \(\frac{T(50) - T(20)}{50 - 20} = \frac{23{,}0 - 46{,}0}{30} \approx -0{,}767\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\). 3. Vergleich der Intervalle: - \([0; 5]\): \(\frac{72{,}5 - 85{,}0}{5} = -2{,}5\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\) - \([5; 10]\): \(\frac{62{,}0 - 72{,}5}{5} = -2{,}1\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\) - \([10; 20]\): \(\frac{46{,}0 - 62{,}0}{10} = -1{,}6\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\) - \([20; 30]\): \(\frac{35{,}0 - 46{,}0}{10} = -1{,}1\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\) - \([30; 50]\): \(\frac{23{,}0 - 35{,}0}{20} = -0{,}6\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\) Die Flüssigkeit kühlt im Intervall \([0; 5]\) am stärksten ab, da dort der Betrag der mittleren Änderungsrate mit \(2{,}5\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\) am größten ist.

a) \(-2{,}3\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\) b) \(\approx -0{,}77\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\) c) Im Intervall \([0; 5]\) mit \(-2{,}5\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\).

- Erinnere dich an die Formel für exponentielle Abnahme. Was ist der Unterschied zwischen prozentualer und absoluter Änderung? - Die mittlere Änderungsrate berechnest du mit dem Differenzenquotienten über das jeweilige Intervall. - Überlege dir, wie sich der Grundwert für die \(4\,\%\) über die Jahre verändert.

1. Funktionsgleichung: Der Anfangswert ist \(W_0 = 15\,000\). Bei einer Abnahme von \(4\,\%\) pro Jahr beträgt der Wachstumsfaktor \(a = 1 - 0{,}04 = 0{,}96\). Somit gilt \(W(t) = 15\,000 \cdot 0{,}96^t\). 2. Durchschnittlicher Wertverlust: Für \([0; 5]\) berechnet man \(W(0) = 15\,000\) und \(W(5) = 15\,000 \cdot 0{,}96^5 \approx 12\,230{,}59\). Die mittlere Änderungsrate ist \(\frac{12\,230{,}59 - 15\,000}{5} \approx -553{,}88\,\frac{\text{€}}{\text{Jahr}}\). Für \([10; 15]\) berechnet man \(W(10) = 15\,000 \cdot 0{,}96^{10} \approx 9\,972{,}49\) und \(W(15) = 15\,000 \cdot 0{,}96^{15} \approx 8\,131{,}30\). Die mittlere Änderungsrate ist \(\frac{8\,131{,}30 - 9\,972{,}49}{5} \approx -368{,}24\,\frac{\text{€}}{\text{Jahr}}\). 3. Vergleich und Begründung: Der absolute Wertverlust ist in den ersten Jahren deutlich höher (\(\approx 554\,\frac{\text{€}}{\text{Jahr}}\)) als in späteren Jahren (\(\approx 368\,\frac{\text{€}}{\text{Jahr}}\)). Dies liegt daran, dass sich die konstante prozentuale Abnahme von \(4\,\%\) immer auf den aktuell vorhandenen Restwert bezieht. Da dieser Restwert mit der Zeit sinkt, wird auch der absolute Betrag, der den \(4\,\%\) entspricht, immer kleiner.

a) \(W(t) = 15\,000 \cdot 0{,}96^t\) b) Intervall \([0; 5]\): \(\approx -553{,}88\,\frac{\text{€}}{\text{Jahr}}\); Intervall \([10; 15]\): \(\approx -368{,}24\,\frac{\text{€}}{\text{Jahr}}\). c) Der absolute Verlust sinkt, da die \(4\,\%\) auf eine immer kleiner werdende Basis (den Restwert) angewendet werden.

- Erinnere dich an die Formel für die mittlere Änderungsrate (den Differenzenquotienten). - Wie berechnet man den Funktionswert an einer bestimmten Stelle? - Achte beim Einsetzen negativer Zahlen in die Formel besonders auf die Vorzeichen. - Was bedeutet das Ergebnis geometrisch für die Sekante durch die beiden Punkte?

1. Zunächst werden die Funktionswerte an den Grenzen des ersten Intervalls berechnet: \(f(-2) = \frac{1}{2} \cdot (-2)^3 - 2 \cdot (-2) = -4 + 4 = 0\) und \(f(0) = \frac{1}{2} \cdot 0^3 - 2 \cdot 0 = 0\). Der Differenzenquotient ergibt sich zu \(\frac{f(0) - f(-2)}{0 - (-2)} = \frac{0 - 0}{2} = 0\). 2. Für das zweite Intervall berechnet man \(f(1) = \frac{1}{2} \cdot 1^3 - 2 \cdot 1 = -1{,}5\) und \(f(4) = \frac{1}{2} \cdot 4^3 - 2 \cdot 4 = 32 - 8 = 24\). Der Differenzenquotient ist \(\frac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \frac{24 - (-1{,}5)}{3} = \frac{25{,}5}{3} = 8{,}5\).

1. Die mittlere Änderungsrate im Intervall \([-2; 0]\) beträgt \(0\). 2. Die mittlere Änderungsrate im Intervall \([1; 4]\) beträgt \(8{,}5\).

- Wie lautet die allgemeine Formel für den Differenzenquotienten in einem Intervall \([a; b]\)? - Achte beim Einsetzen der Brüche in den Differenzenquotienten auf die Vorzeichen. - Könnte eine Skizze der Hyperbel helfen, das Vorzeichen des Ergebnisses zu plausibilisieren?

1. Bestimmung der benötigten Funktionswerte: \(g(1) = \frac{4}{1} = 4\), \(g(4) = \frac{4}{4} = 1\) und \(g(1{,}6) = \frac{4}{1{,}6} = 2{,}5\). 2. Berechnung der mittleren Änderungsrate für das Intervall \([1; 4]\) mittels \(\frac{g(4) - g(1)}{4 - 1}\): \(\frac{1 - 4}{3} = \frac{-3}{3} = -1\). 3. Berechnung der mittleren Änderungsrate für das Intervall \([1; 1{,}6]\) mittels \(\frac{g(1{,}6) - g(1)}{1{,}6 - 1}\): \(\frac{2{,}5 - 4}{0{,}6} = \frac{-1{,}5}{0{,}6} = -2{,}5\).

Im Intervall \([1; 4]\) beträgt die mittlere Änderungsrate \(-1\). Im Intervall \([1; 1{,}6]\) beträgt die mittlere Änderungsrate \(-2{,}5\).

- Welche Formel nutzt man, um die Steigung einer Sekante durch zwei Punkte eines Graphen zu bestimmen? - Überlege dir, welche Einheit das Ergebnis haben muss, wenn du die Änderung der Konzentration durch die Änderung der Zeit teilst. - Was bedeutet es für den Verlauf der Konzentration, wenn die Änderungsrate negativ ist? - Stelle dir vor, du verbindest die Punkte auf dem Graphen mit einer Geraden. Was sagt deren Steigung aus?

1. Berechnung der Funktionswerte an den Intervallgrenzen: \(k(0) = 16 \cdot 0{,}8^0 = 16\); \(k(2) = 16 \cdot 0{,}8^2 = 10{,}24\); \(k(6) = 16 \cdot 0{,}8^6 \approx 4{,}1943\). 2. Berechnung des Differenzenquotienten für \([0; 2]\): \(\frac{k(2) - k(0)}{2 - 0} = \frac{10{,}24 - 16}{2} = -2{,}88\). 3. Berechnung des Differenzenquotienten für \([2; 6]\): \(\frac{k(6) - k(2)}{6 - 2} \approx \frac{4{,}1943 - 10{,}24}{4} \approx -1{,}5114\). 4. Interpretation: Die Werte geben die durchschnittliche Abnahmegeschwindigkeit der Konzentration pro Stunde an. Das negative Vorzeichen verdeutlicht, dass die Konzentration sinkt. In den ersten zwei Stunden sinkt sie im Mittel um \(2{,}88\,\text{mg}/\text{l}\) pro Stunde, im späteren Intervall langsamer um ca. \(1{,}51\,\text{mg}/\text{l}\) pro Stunde.

a) Die mittlere Änderungsrate im Intervall \([0; 2]\) beträgt \(-2{,}88\,\frac{\text{mg}}{\text{l} \cdot \text{h}}\). Im Intervall \([2; 6]\) beträgt sie ca. \(-1{,}51\,\frac{\text{mg}}{\text{l} \cdot \text{h}}\). b) Die Werte beschreiben die durchschnittliche Abnahme der Medikamentenkonzentration pro Stunde in den jeweiligen Zeiträumen. Das negative Vorzeichen steht für den Abbau des Wirkstoffs.

- Wie berechnet man die Steigung zwischen zwei Punkten auf einer Kurve? - Achte auf die Einheiten: Das Volumen ändert sich über eine bestimmte Zeitspanne. - Was sagt ein Vergleich der Beträge der Änderungsraten über die Schnelligkeit des Prozesses aus? - Was passiert physikalisch mit der Abflussrate, wenn weniger Wasser im Tank ist?

1. Bestimmung der Volumina: \(V(0) = 200\); \(V(10) = 0{,}5 \cdot 10^2 - 20 \cdot 10 + 200 = 50 - 200 + 200 = 50\); \(V(20) = 0{,}5 \cdot 20^2 - 20 \cdot 20 + 200 = 200 - 400 + 200 = 0\). 2. Durchschnittliche Änderungsrate für \([0; 10]\): \(\frac{V(10) - V(0)}{10 - 0} = \frac{50 - 200}{10} = -15\). 3. Durchschnittliche Änderungsrate für \([10; 20]\): \(\frac{V(20) - V(10)}{20 - 10} = \frac{0 - 50}{10} = -5\). 4. Vergleich und Interpretation: Im ersten Intervall fließen durchschnittlich \(15\,\text{l}/\text{min}\) ab, im zweiten Intervall nur noch \(5\,\text{l}/\text{min}\). Da der Betrag der Änderungsrate abnimmt, verlangsamt sich der Leerungsvorgang mit der Zeit (vermutlich aufgrund des sinkenden Drucks).

a) Im Intervall \([0; 10]\) beträgt die durchschnittliche Änderungsrate \(-15\,\text{l}/\text{min}\). Im Intervall \([10; 20]\) beträgt sie \(-5\,\text{l}/\text{min}\). b) Die Abflussrate nimmt ab. Während in der ersten Phase im Schnitt \(15\) Liter pro Minute aus dem Tank fließen, sind es in der Endphase nur noch durchschnittlich \(5\) Liter pro Minute.

- Wie hängen Weg, Zeit und Durchschnittsgeschwindigkeit zusammen? - Erinnere dich an die Formel für die Steigung einer Sekante durch zwei Punkte eines Funktionsgraphen. - Überlege dir, welche Einheiten für die Geschwindigkeit hier sinnvoll sind. - Vergleiche die Ergebnisse der Teilaufgaben: Was lässt sich über die Entwicklung der Geschwindigkeit des Autos aussagen?

1. Intervall \([0; 4]\): Differenzenquotient \(\frac{s(4) - s(0)}{4 - 0} = \frac{12{,}8 - 0}{4} = 3{,}2\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 2. Intervall \([4; 8]\): Differenzenquotient \(\frac{s(8) - s(4)}{8 - 4} = \frac{51{,}2 - 12{,}8}{4} = \frac{38{,}4}{4} = 9{,}6\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 3. Intervall \([8; 10]\): Differenzenquotient \(\frac{s(10) - s(8)}{10 - 8} = \frac{80{,}0 - 51{,}2}{2} = \frac{28{,}8}{2} = 14{,}4\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 4. Intervall \([0; 10]\): Differenzenquotient \(\frac{s(10) - s(0)}{10 - 0} = \frac{80{,}0 - 0}{10} = 8{,}0\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\).

a) \(3{,}2\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) b) \(9{,}6\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) c) \(14{,}4\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) d) \(8{,}0\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\)

- Was darf man beim Einsetzen in einen Bruch für \(x\) nicht verwenden? - Wie berechnet man die Steigung einer Sekante durch zwei Punkte eines Graphen? - Welche Werte musst du zuerst berechnen, bevor du die Formel für die Änderungsrate anwenden kannst?

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Der Nenner darf nicht null werden, also \(x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2\). Somit ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}\). 2. Berechnung der Funktionswerte an den Intervallgrenzen: \(f(-4) = \frac{6}{-4-2} = -1\), \(f(-1) = \frac{6}{-1-2} = -2\) und \(f(1) = \frac{6}{1-2} = -6\). 3. Berechnung der mittleren Änderungsrate für \(I_1\): \(\frac{f(-1)-f(-4)}{-1-(-4)} = \frac{-2-(-1)}{3} = -\frac{1}{3}\). 4. Berechnung der mittleren Änderungsrate für \(I_2\): \(\frac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)} = \frac{-6-(-2)}{2} = -2\). 5. Berechnung der mittleren Änderungsrate für \(I_3\): \(\frac{f(1)-f(-4)}{1-(-4)} = \frac{-6-(-1)}{5} = -1\).

\(D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}\) Mittlere Änderungsrate in \(I_1\): \(-\frac{1}{3}\) Mittlere Änderungsrate in \(I_2\): \(-2\) Mittlere Änderungsrate in \(I_3\): \(-1\)

- Welche Bedingung muss für den Ausdruck unter einer Quadratwurzel gelten? - Erinnere dich an den Differenzenquotienten \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\). - Hilft es dir, die Funktionswerte an den Stellen \(x=0\), \(x=3\) und \(x=8\) zuerst einzeln aufzuschreiben?

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Der Radikand muss größer oder gleich null sein, also \(x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1\). Somit ist \(D_f = [-1; \infty[\). 2. Berechnung der Funktionswerte an den relevanten Stellen: \(f(0) = \sqrt{0+1} = 1\), \(f(3) = \sqrt{3+1} = 2\) und \(f(8) = \sqrt{8+1} = 3\). 3. Mittlere Änderungsrate für \(I_1\): \(\frac{f(3)-f(0)}{3-0} = \frac{2-1}{3} = \frac{1}{3}\). 4. Mittlere Änderungsrate für \(I_2\): \(\frac{f(8)-f(3)}{8-3} = \frac{3-2}{5} = \frac{1}{5} = 0{,}2\). 5. Mittlere Änderungsrate für \(I_3\): \(\frac{f(8)-f(0)}{8-0} = \frac{3-1}{8} = \frac{2}{8} = 0{,}25\).

\(D_f = [-1; \infty[\) Mittlere Änderungsrate in \(I_1\): \(\frac{1}{3}\) Mittlere Änderungsrate in \(I_2\): \(0{,}2\) Mittlere Änderungsrate in \(I_3\): \(0{,}25\)

- Wie verändert ein prozentuales Wachstum den Wert über die Zeit? - Welche mathematische Struktur beschreibt den Durchschnittswert einer Änderung in einem Intervall? - Was gibt die Steigung einer Sekante durch zwei Punkte eines Graphen an? - Überlege, welche Einheit das Ergebnis der Berechnung haben muss.

1. Aufstellen der Funktionsgleichung: Da das Kapital jährlich um \(4\,\%\) wächst, lautet der Wachstumsfaktor \(1{,}04\). Die Funktion ist \(K(t) = 1\,000 \cdot 1{,}04^t\). 2. Berechnung für \(I_1 = [0; 10]\): Der Differenzenquotient ergibt sich aus \(\frac{K(10) - K(0)}{10 - 0}\). Mit \(K(10) = 1\,000 \cdot 1{,}04^{10} \approx 1\,480{,}24\) und \(K(0) = 1\,000\) folgt \(\frac{1\,480{,}24 - 1\,000}{10} \approx 48{,}02\). 3. Berechnung für \(I_2 = [20; 30]\): Der Differenzenquotient lautet \(\frac{K(30) - K(20)}{30 - 20}\). Mit \(K(30) = 1\,000 \cdot 1{,}04^{30} \approx 3\,243{,}40\) und \(K(20) = 1\,000 \cdot 1{,}04^{20} \approx 2\,191{,}12\) folgt \(\frac{3\,243{,}40 - 2\,191{,}12}{10} \approx 105{,}23\). 4. Interpretation: Die mittlere Änderungsrate gibt den durchschnittlichen jährlichen Zuwachs des Kapitals in Euro pro Jahr im jeweiligen Zeitraum an. Da das Kapital durch die Zinseszinsen exponentiell wächst, ist der absolute Zuwachs in späteren Jahren bei gleichem Prozentsatz deutlich höher.

a) \(K(t) = 1\,000 \cdot 1{,}04^t\) b) (1) ca. \(48{,}02\,\text{€/Jahr}\); (2) ca. \(105{,}23\,\text{€/Jahr}\) c) Die Werte geben den durchschnittlichen jährlichen Wertzuwachs in Euro an. Der Unterschied rührt vom Zinseszinseffekt her: Da das Gesamtkapital über die Zeit steigt, führen die gleichbleibenden \(4\,\%\) Zinsen zu immer größeren absoluten Euro-Beträgen.

- Erinnere dich an die Formel für den Differenzenquotienten. - Was bedeutet ein negatives Ergebnis bei einer Änderungsrate für den Verlauf der Kurve? - Betrachte die absoluten Mengen, die in den jeweiligen Zeiträumen verschwinden. - Hängt die Geschwindigkeit des Abbaus von der noch vorhandenen Menge ab?

1. Berechnung für \(I_1 = [0; 2]\): Differenzenquotient \(\frac{C(2) - C(0)}{2 - 0}\). Mit \(C(2) = 200 \cdot 0{,}8^2 = 128\) und \(C(0) = 200\) folgt \(\frac{128 - 200}{2} = -36\). 2. Berechnung für \(I_2 = [4; 6]\): Differenzenquotient \(\frac{C(6) - C(4)}{6 - 4}\). Mit \(C(6) = 200 \cdot 0{,}8^6 \approx 52{,}43\) und \(C(4) = 200 \cdot 0{,}8^4 = 81{,}92\) folgt \(\frac{52{,}43 - 81{,}92}{2} \approx -14{,}75\). 3. Interpretation Vorzeichen: Das negative Vorzeichen gibt an, dass die Konzentration über die Zeit abnimmt. 4. Vergleich und Begründung: Der Betrag der Änderungsrate ist im ersten Intervall deutlich höher (\(36\,\frac{\text{mg}}{\text{l} \cdot \text{h}}\) gegenüber ca. \(14{,}75\,\frac{\text{mg}}{\text{l} \cdot \text{h}}\)). Dies liegt daran, dass bei einem exponentiellen Abbau pro Zeiteinheit immer ein fester Prozentsatz des *aktuell vorhandenen* Wertes abgebaut wird. Da zu Beginn mehr Wirkstoff vorhanden ist, ist auch die absolute Abnahme pro Stunde am Anfang am größten.

a) \(I_1\): \(-36\,\frac{\text{mg}}{\text{l} \cdot \text{h}}\); \(I_2\): ca. \(-14{,}75\,\frac{\text{mg}}{\text{l} \cdot \text{h}}\) b) Das negative Vorzeichen signalisiert eine Abnahme der Wirkstoffkonzentration. c) Im ersten Intervall ist der Abbau pro Stunde absolut gesehen stärker, da die Ausgangskonzentration höher ist. Da stündlich \(20\,\%\) der Restmenge abgebaut werden, sinkt die absolute Änderungsrate, je weniger Wirkstoff noch vorhanden ist.

- Achte darauf, alle Zeitangaben in dieselbe Einheit (Sekunden) umzurechnen, bevor du mit der Geschwindigkeit rechnest. - Was gibt der Differenzenquotient grafisch an, wenn du zwei Punkte eines Graphen verbindest? - Überlege dir, ob ein Objekt während eines Zeitraums immer exakt mit seiner Durchschnittsgeschwindigkeit fahren muss.

1. Berechnung der Zeitdifferenz in Sekunden: \(\Delta t = (28 - 12) \cdot 60\,\text{s} = 16 \cdot 60\,\text{s} = 960\,\text{s}\). 2. Berechnung des Höhenunterschieds mittels der mittleren Änderungsrate (Geschwindigkeit): \(\Delta h = \bar{v} \cdot \Delta t = 3{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 960\,\text{s} = 3\,360\,\text{m}\). 3. Bestimmung der Anfangshöhe \(h(t_1)\): \(h(t_1) = h(t_2) - \Delta h = 7\,450\,\text{m} - 3\,360\,\text{m} = 4\,090\,\text{m}\). 4. Geometrische Interpretation: Bei einer Zeitachse in Sekunden entspricht die mittlere Steiggeschwindigkeit der Steigung der Sekante durch die beiden Messpunkte. Sind die Zeitwerte wie in der Aufgabenstellung in Minuten eingetragen, beträgt die Sekantensteigung \(210\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\), was \(3{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) entspricht. 5. Begründung zur Unbestimmtheit: Da die mittlere Geschwindigkeit nur eine Durchschnittsangabe über das Intervall ist, kann die Momentangeschwindigkeit variieren. Ohne Kenntnis der genauen Funktion \(h(t)\) ist der Verlauf des Graphen zwischen den Messpunkten unbekannt (die Sekante muss nicht mit dem tatsächlichen Funktionsgraphen übereinstimmen).

a) Die Höhe zum Zeitpunkt \(t_1\) betrug \(4\,090\,\text{m}\). b) Geometrisch entspricht die mittlere Steiggeschwindigkeit der Sekantensteigung. Bei einer Zeitachse in Minuten beträgt diese \(210\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\), entsprechend \(3{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). Da die Geschwindigkeit zwischen \(t_1\) und \(t_2\) nicht konstant sein muss, kann die reale Höhe zu einem Zwischenzeitpunkt nicht aus der Durchschnittsgeschwindigkeit allein bestimmt werden.

- Wie hängen die mittlere Änderungsrate, die Zeitdifferenz und die Änderung der Messgröße zusammen? - Erinnere dich an die Definition des Differenzenquotienten als Bruch. - Was ist der grafische Unterschied zwischen einer Sekante und einer Tangente?

1. Berechnung der Zeitspanne: \(\Delta t = 15\,\text{min} - 5\,\text{min} = 10\,\text{min}\). 2. Berechnung der gesamten Temperaturänderung: \(\Delta T = -1{,}8\,\frac{\text{K}}{\text{min}} \cdot 10\,\text{min} = -18\,\text{K}\). 3. Berechnung der Temperatur zum Zeitpunkt \(t=5\): \(T(5) = T(15) - \Delta T = 42{,}5\,^\circ\text{C} - (-18\,\text{K}) = 60{,}5\,^\circ\text{C}\). (Ein Temperaturunterschied in Kelvin hat denselben Zahlenwert wie ein Temperaturunterschied in Grad Celsius.) 4. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{T(15) - T(5)}{15 - 5} = \frac{42{,}5 - 60{,}5}{10} = -1{,}8\). 5. Erläuterung des Unterschieds: Der Differenzenquotient gibt die durchschnittliche Abkühlung über das gesamte Intervall an (Sekantensteigung). Die momentane Änderungsrate \(T'(10)\) beschreibt die Abkühlungsrate zu einem bestimmten Zeitpunkt (Tangentensteigung). Beide Werte sind nur identisch, wenn die Temperatur linear sinkt.

a) Die Temperatur zum Zeitpunkt \(t = 5\,\text{min}\) betrug \(60{,}5\,^\circ\text{C}\). b) Der Differenzenquotient lautet \(\frac{T(15) - T(5)}{15 - 5} = -1{,}8\,\frac{\text{K}}{\text{min}}\). Er beschreibt die Steigung der Sekante über dem Intervall, während \(T'(10)\) die Steigung der Tangente und damit die momentane Abkühlungsrate zum Zeitpunkt \(t = 10\) darstellt.

- Die Steigung einer Sekante entspricht der mittleren Änderungsrate im entsprechenden Intervall. - Was musst du beim Rechnen mit Brüchen im Zähler beachten? - Kannst du den Term im Zähler so zusammenfassen, dass du den Faktor im Nenner herauskürzen kannst? - Achte auf die Vorzeichen beim Auflösen der Klammern.

1. Bestimmung der Funktionswerte: \( g(1) = \frac{3}{1} = 3 \) und \( g(1+a) = \frac{3}{1+a} \). 2. Aufstellen der Formel für die Sekantensteigung (Differenzenquotient): \( m_s = \frac{g(1+a) - g(1)}{(1+a) - 1} = \frac{\frac{3}{1+a} - 3}{a} \). 3. Umformung des Zählers durch Hauptnennerbildung: \( \frac{3}{1+a} - 3 = \frac{3 - 3(1+a)}{1+a} = \frac{3 - 3 - 3a}{1+a} = \frac{-3a}{1+a} \). 4. Division durch \( a \) zur Bestimmung der Steigung: \( m_s = \frac{-3a}{1+a} \cdot \frac{1}{a} = -\frac{3}{1+a} \).

Die Steigung der Sekante ist \( -\frac{3}{1+a} \).

- Verwende die Formel für den Differenzenquotienten: \(\frac{h(x_2) - h(x_1)}{x_2 - x_1}\). - Welche Größe erhält man, wenn man eine zurückgelegte Höhendifferenz durch die benötigte Zeit teilt? - Stelle für den dritten Teil eine Gleichung auf, in der die linke Seite der Definition der mittleren Änderungsrate entspricht. - Kannst du den Term im Zähler durch \(b\) teilen, um die Gleichung zu vereinfachen?

1. Berechnung des Differenzenquotienten im Intervall \([0{,}5; 1{,}5]\): Zuerst werden die Funktionswerte \(h(1{,}5) = -5 \cdot 1{,}5^2 + 20 \cdot 1{,}5 + 2 = 20{,}75\) und \(h(0{,}5) = -5 \cdot 0{,}5^2 + 20 \cdot 0{,}5 + 2 = 10{,}75\) bestimmt. Der Quotient ergibt \(\frac{20{,}75 - 10{,}75}{1{,}5 - 0{,}5} = \frac{10}{1} = 10\). 2. Die mittlere Änderungsrate der Position (Höhe) über der Zeit entspricht der Durchschnittsgeschwindigkeit. Die Einheit ist \(\text{m/s}\). 3. Zur Bestimmung von \(b\) wird der Ansatz \(\frac{h(b) - h(0)}{b - 0} = 10\) genutzt. Mit \(h(0) = 2\) folgt \(\frac{-5b^2 + 20b + 2 - 2}{b} = 10\). Durch Kürzen von \(b\) erhält man \(-5b + 20 = 10\). Auflösen nach \(b\) ergibt \(5b = 10\), also \(b = 2\).

1. Die mittlere Änderungsrate beträgt \(10\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 2. Die Größe ist die Durchschnittsgeschwindigkeit in der Einheit \(\text{m/s}\). 3. Der gesuchte Zeitpunkt ist \(b = 2\,\text{s}\).

- Erinnere dich an die Formel für die mittlere Änderungsrate (Differenzenquotient). - Was passiert mit dem Mittelpunkt eines Intervalls, wenn man es an beiden Seiten um denselben Wert \(k\) verlängert? - Nutze für den allgemeinen Beweis die binomischen Formeln oder das Ausklammern, um den Term im Nenner zu kürzen. - Überlege dir, wie Sekanten im Koordinatensystem liegen müssen, wenn sie dieselbe Steigung haben.

1. Berechnung der mittleren Änderungsrate für \(I_1\): \(\frac{f(5) - f(1)}{5 - 1} = \frac{(25 - 20) - (1 - 4)}{4} = \frac{5 - (-3)}{4} = \frac{8}{4} = 2\). 2. Berechnung der mittleren Änderungsrate für \(I_2\): \(\frac{f(6) - f(0)}{6 - 0} = \frac{(36 - 24) - 0}{6} = \frac{12}{6} = 2\). 3. Allgemeiner Differenzenquotient auf \([a; b]\): \(\frac{b^2 - 4b - (a^2 - 4a)}{b - a} = \frac{(b - a)(b + a) - 4(b - a)}{b - a} = a + b - 4\). 4. Differenzenquotient auf \([a - k; b + k]\): Die Intervallbreite ist \((b + k) - (a - k) = b - a + 2k\). Die Funktionswertdifferenz ist \(f(b + k) - f(a - k) = ((b + k)^2 - 4(b + k)) - ((a - k)^2 - 4(a - k))\). Vereinfachung ergibt \(((b + k) - (a - k))((b + k) + (a - k)) - 4((b + k) - (a - k)) = (b - a + 2k)(a + b - 4)\). Division durch die Breite ergibt \(a + b - 4\). 5. Geometrische Deutung: Die Sekanten durch die entsprechenden Punktpaare verlaufen parallel zueinander. Dies liegt daran, dass beide Intervalle denselben Mittelpunkt \(\frac{a + b}{2}\) besitzen und die Parabel achsensymmetrisch zu ihrer Scheitelpunktsgeraden ist.

a) In beiden Intervallen beträgt die mittlere Änderungsrate \(2\). b) Der Differenzenquotient ergibt in beiden Fällen vereinfacht \(a + b - 4\). c) Die Sekanten sind parallel. Bei quadratischen Funktionen hängt die Sekantensteigung nur von der Lage des Intervallmittelpunkts ab.

- Was bedeutet „symmetrisch um die Stelle 3“ für die Grenzen des Intervalls? - Setze die allgemeinen Ausdrücke \(3+h\) und \(3-h\) in die Funktionsgleichung ein und achte auf die Vorzeichen beim Subtrahieren. - Welche Rechenregel kennst du, um die Steigung der Tangente (momentane Änderungsrate) direkt zu bestimmen? - Vergleiche den konstanten Wert aus Aufgabenteil b) mit dem Ergebnis aus c).

1. Mittlere Änderungsrate auf \([2; 4]\): \(\frac{g(4) - g(2)}{4 - 2} = \frac{(\frac{1}{2} \cdot 16 + 2) - (\frac{1}{2} \cdot 4 + 2)}{2} = \frac{10 - 4}{2} = 3\). 2. Mittlere Änderungsrate auf \([1; 5]\): \(\frac{g(5) - g(1)}{5 - 1} = \frac{(\frac{1}{2} \cdot 25 + 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1 + 2)}{4} = \frac{14{,}5 - 2{,}5}{4} = \frac{12}{4} = 3\). 3. Allgemeiner Nachweis für \([3 - h; 3 + h]\): Der Differenzenquotient ist \(\frac{g(3 + h) - g(3 - h)}{(3 + h) - (3 - h)} = \frac{[\frac{1}{2}(3 + h)^2 + 2] - [\frac{1}{2}(3 - h)^2 + 2]}{2h}\). Zähler vereinfachen: \(\frac{1}{2}(9 + 6h + h^2) - \frac{1}{2}(9 - 6h + h^2) = 3h - (-3h) = 6h\). Quotient: \(\frac{6h}{2h} = 3\). 4. Momentane Änderungsrate: \(g'(x) = x\). An der Stelle \(x = 3\) gilt \(g'(3) = 3\). 5. Zusammenhang: Bei quadratischen Funktionen entspricht die mittlere Änderungsrate über einem Intervall genau der momentanen Änderungsrate am Mittelpunkt des Intervalls.

a) Die mittlere Änderungsrate beträgt in beiden Fällen \(3\). b) Der Differenzenquotient ergibt für jedes \(h > 0\) den Wert \(3\). c) Die momentane Änderungsrate bei \(x = 3\) ist \(g'(3) = 3\). Sie stimmt mit den mittleren Änderungsraten aus symmetrischen Intervallen um \(x = 3\) überein.

- Überlege dir, wie sich die Funktionswerte an den Grenzen des Intervalls zueinander verhalten. - Was sagt die Differenz der Funktionswerte über die Steigung der Sekante aus? - Erinnere dich an die Formel für die mittlere Änderungsrate zwischen zwei Stellen. - Achte beim Einsetzen negativer Werte in den Zähler besonders auf die Vorzeichenregeln.

1. Berechnung der Funktionswerte an den Intervallgrenzen: \(f(1) = \frac{1}{2} \cdot 1^3 - 2 \cdot 1 = -1{,}5\) und \(f(3) = \frac{1}{2} \cdot 3^3 - 2 \cdot 3 = 13{,}5 - 6 = 7{,}5\). 2. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{7{,}5 - (-1{,}5)}{2}\). 3. Berechnung des Ergebnisses: \(\frac{9}{2} = 4{,}5\). Der Wert ist positiv, was die Vermutung (da der Funktionswert am rechten Rand deutlich größer ist als am linken Rand) bestätigt.

Der Differenzenquotient ist positiv. Die Rechnung ergibt: \(\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{7{,}5 - (-1{,}5)}{2} = 4{,}5\)

- Wie verändert sich der Wert eines Bruches, wenn der Nenner bei gleichbleibendem Zähler größer wird? - Welche Steigung hat eine Gerade, die zwei Punkte verbindet, bei denen der zweite Punkt tiefer liegt als der erste? - Setze die Werte in die Definition des Differenzenquotienten ein. - Denke daran, dass der Differenzenquotient der Steigung der Sekante durch die entsprechenden Punkte auf dem Graphen entspricht.

1. Bestimmung der Funktionswerte: \(g(1) = \frac{8}{1^2} = 8\) und \(g(4) = \frac{8}{4^2} = \frac{8}{16} = 0{,}5\). 2. Beurteilung des Vorzeichens: Da \(g(4) < g(1)\), fällt der Graph im Mittel ab, das Vorzeichen muss negativ sein. 3. Berechnung des Differenzenquotienten: \(\frac{g(4) - g(1)}{4 - 1} = \frac{0{,}5 - 8}{3}\). 4. Endergebnis: \(\frac{-7{,}5}{3} = -2{,}5\).

Das Vorzeichen ist negativ, da die Funktion in diesem Bereich fällt (\(g(4) < g(1)\)). Der berechnete Wert ist: \(\frac{g(4) - g(1)}{4 - 1} = \frac{0{,}5 - 8}{3} = -2{,}5\)

- Was gibt das Verhältnis von zurückgelegter Strecke zur benötigten Zeit an? - Welche Werte aus der Tabelle musst du wählen, um eine Änderung über einen bestimmten Zeitraum zu berechnen? - Wie berechnet man die Steigung einer Sekante zwischen zwei Punkten im Zeit-Weg-Diagramm? - Achte darauf, welche Zeitpunkte den Beginn und das Ende der jeweils gefragten Intervalle markieren.

1. Berechnung der mittleren Geschwindigkeit für das gesamte Intervall \([0; 80]\) mittels Differenzenquotient: \(\frac{s(80) - s(0)}{80 - 0} = \frac{80\,\text{km} - 0\,\text{km}}{80\,\text{min} - 0\,\text{min}} = 1\,\text{km/min}\). 2. Berechnung für die erste Teilphase \([0; 30]\): \(\frac{s(30) - s(0)}{30 - 0} = \frac{25 - 0}{30} \approx 0{,}83\,\text{km/min}\). 3. Berechnung für die zweite Teilphase \([30; 80]\): \(\frac{s(80) - s(30)}{80 - 30} = \frac{80 - 25}{50} = \frac{55}{50} = 1{,}1\,\text{km/min}\). 4. Vergleich der Randintervalle: Für \([0; 10]\) ergibt sich \(\frac{15 - 0}{10} = 1{,}5\,\text{km/min}\). Für \([65; 80]\) ergibt sich \(\frac{80 - 55}{80 - 65} = \frac{25}{15} \approx 1{,}67\,\text{km/min}\). Die mittlere Geschwindigkeit im letzten Intervall ist höher.

a) Die mittlere Geschwindigkeit beträgt \(1\,\text{km/min}\). b) Erste \(30\,\text{min}\): \(\approx 0{,}83\,\text{km/min}\); restliche Zeit: \(1{,}1\,\text{km/min}\). c) Erste \(10\,\text{min}\): \(1{,}5\,\text{km/min}\); letzte \(15\,\text{min}\): \(\approx 1{,}67\,\text{km/min}\). Die Geschwindigkeit in den letzten \(15\,\text{min}\) ist größer.

- Die mittlere Beschleunigung entspricht der mittleren Änderungsrate der Geschwindigkeit. - Nutze die Formel für den Differenzenquotienten \(\frac{\Delta v}{\Delta t}\). - Identifiziere für jedes Teilproblem die korrekten Zeitwerte \(t_1\) und \(t_2\) sowie die zugehörigen Geschwindigkeitswerte. - Was bedeutet es für die Beschleunigung, wenn sich die Geschwindigkeit in einem Zeitraum gar nicht ändert?

1. Mittlere Beschleunigung im Intervall \([0; 20]\): \(\frac{v(20) - v(0)}{20 - 0} = \frac{30 - 0}{20} = 1{,}5\,\text{m/s}^2\). 2. Mittlere Beschleunigung für \([0; 10]\): \(\frac{12 - 0}{10} = 1{,}2\,\text{m/s}^2\). 3. Mittlere Beschleunigung für \([10; 20]\): \(\frac{30 - 12}{20 - 10} = \frac{18}{10} = 1{,}8\,\text{m/s}^2\). 4. Vergleich der Intervalle: Für \([0; 4]\) gilt \(\frac{12 - 0}{4} = 3\,\text{m/s}^2\). Für \([18; 20]\) gilt \(\frac{30 - 25}{20 - 18} = \frac{5}{2} = 2{,}5\,\text{m/s}^2\). Die mittlere Beschleunigung im ersten Intervall \([0; 4]\) ist somit größer.

a) Die mittlere Beschleunigung beträgt \(1{,}5\,\text{m/s}^2\). b) Erste Hälfte: \(1{,}2\,\text{m/s}^2\); zweite Hälfte: \(1{,}8\,\text{m/s}^2\). c) Im Intervall \([0; 4]\) ist sie mit \(3\,\text{m/s}^2\) größer als im Intervall \([18; 20]\) mit \(2{,}5\,\text{m/s}^2\).

- Erinnerst du dich an die binomischen Formeln oder wie man einen Ausdruck der Form \((a+b)^3\) ausmultipliziert? - Was passiert mit den Termen, die noch ein \(h\) enthalten, wenn \(h\) gegen Null geht? - Welche Einheit muss eine Änderungsrate haben, wenn das Volumen in Litern und die Zeit in Minuten gemessen wird?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(V(4) = 0{,}5 \cdot 4^3 + 2 \cdot 4 = 32 + 8 = 40\) \(V(4+h) = 0{,}5(4+h)^3 + 2(4+h) = 0{,}5(64 + 48h + 12h^2 + h^3) + 8 + 2h = 32 + 24h + 6h^2 + 0{,}5h^3 + 8 + 2h = 40 + 26h + 6h^2 + 0{,}5h^3\) 2. Vereinfachen des Quotienten: \(\frac{V(4+h) - V(4)}{h} = \frac{40 + 26h + 6h^2 + 0{,}5h^3 - 40}{h} = \frac{26h + 6h^2 + 0{,}5h^3}{h} = 26 + 6h + 0{,}5h^2\) 3. Grenzwertbildung für \(h \to 0\): \(\lim_{h \to 0} (26 + 6h + 0{,}5h^2) = 26\) Die momentane Zuflussrate beträgt \(26\,\text{l}/\text{min}\). 4. Interpretation: Der Wert gibt an, wie schnell das Wasser genau nach \(4\) Minuten in den Tank fließt. Er entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen von \(V\) an der Stelle \(t = 4\).

a) Der vereinfachte Differenzenquotient lautet \(26 + 6h + 0{,}5h^2\). b) Die momentane Zuflussrate beträgt \(26\,\text{l}/\text{min}\). c) Der Wert gibt die Geschwindigkeit an, mit der das Wasservolumen zum Zeitpunkt \(t = 4\) zunimmt.

- Erinnere dich an die Formel für die Steigung einer Geraden durch zwei Punkte. - Kannst du im Zähler einen gemeinsamen Faktor ausklammern? - Schau dir den Zähler nach dem Ausklammern genau an – erkennst du eine binomische Formel? - Was passiert, wenn du den Bruch kürzt?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(m_s = \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = \frac{0{,}5x^2 + 2 - 4}{x - 2} = \frac{0{,}5x^2 - 2}{x - 2}\) 2. Vereinfachung des Terms: Durch Ausklammern von \(0{,}5\) im Zähler erhält man \(\frac{0{,}5(x^2 - 4)}{x - 2}\). Anwendung der dritten binomischen Formel ergibt \(\frac{0{,}5(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = 0{,}5(x + 2)\) für \(x \neq 2\). 3. Berechnung für \(x = 2{,}2\): Einsetzen des Wertes in den vereinfachten Term ergibt \(0{,}5 \cdot (2{,}2 + 2) = 0{,}5 \cdot 4{,}2 = 2{,}1\)

a) \(m_s = \frac{0{,}5x^2 - 2}{x - 2}\) für \(x \neq 2\) b) \(m_s = 0{,}5x + 1\) für \(x \neq 2\) c) \(2{,}1\)

- Überlege dir, wie du die Änderung der Anzahl durch die Anzahl der Jahre teilst. - Was bedeutet es für die Population, wenn das Ergebnis der Rechnung negativ ist? - Vergleiche die Ergebnisse der einzelnen Zeitabschnitte, um das Maximum zu finden. - Achte darauf, dass die Zeitabstände zwischen den Messungen nicht immer gleich groß sind.

1. Gesamter Zeitraum \([2015; 2023]\): \(\frac{2100 - 1200}{2023 - 2015} = \frac{900}{8} = 112{,}5\,\frac{\text{Tiere}}{\text{Jahr}}\). 2. Zeitraum \([2017; 2018]\): \(\frac{1820 - 1550}{1} = 270\,\frac{\text{Tiere}}{\text{Jahr}}\). 3. Zeitraum \([2018; 2020]\): \(\frac{1740 - 1820}{2020 - 2018} = \frac{-80}{2} = -40\,\frac{\text{Tiere}}{\text{Jahr}}\). 4. Interpretation: Das negative Vorzeichen im Zeitraum 2018 bis 2020 bedeutet, dass der Bestand der Wildtierpopulation in diesem Zeitraum durchschnittlich abgenommen hat. 5. Vergleich der Teilintervalle: - \([2015; 2017]\): \(\frac{1550 - 1200}{2} = 175\,\frac{\text{Tiere}}{\text{Jahr}}\) - \([2017; 2018]\): \(270\,\frac{\text{Tiere}}{\text{Jahr}}\) - \([2018; 2020]\): \(-40\,\frac{\text{Tiere}}{\text{Jahr}}\) - \([2020; 2023]\): \(\frac{2100 - 1740}{3} = \frac{360}{3} = 120\,\frac{\text{Tiere}}{\text{Jahr}}\) Das größte durchschnittliche jährliche Wachstum liegt im Zeitraum 2017 bis 2018 vor.

a) \(112{,}5\,\frac{\text{Tiere}}{\text{Jahr}}\) b) \(270\,\frac{\text{Tiere}}{\text{Jahr}}\) und \(-40\,\frac{\text{Tiere}}{\text{Jahr}}\) c) Negative Änderungsrate bedeutet Bestandsabnahme. d) Im Zeitraum 2017 bis 2018 mit \(270\,\frac{\text{Tiere}}{\text{Jahr}}\).

- Was ist die Definition der mittleren Geschwindigkeit im Zusammenhang mit dem zurückgelegten Weg? - Erinnerst du dich an die Formel für den Differenzenquotienten? - Gibt es eine binomische Formel, mit der du den Bruch vereinfachen kannst? - Achte beim Einsetzen der Werte auf die korrekte Reihenfolge der Rechenschritte.

1. Berechnung des Differenzenquotienten für \(s(t)\): \(\frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1} = \frac{\frac{1}{2} a t_2^2 - \frac{1}{2} a t_1^2}{t_2 - t_1}\) 2. Ausklammern des konstanten Faktors \(\frac{1}{2} a\): \(\frac{\frac{1}{2} a \cdot (t_2^2 - t_1^2)}{t_2 - t_1}\) 3. Anwendung der dritten binomischen Formel auf den Zähler: \(\frac{\frac{1}{2} a \cdot (t_2 - t_1)(t_2 + t_1)}{t_2 - t_1}\) 4. Kürzen des Terms \((t_2 - t_1)\) ergibt den allgemeinen Term: \(v_m = \frac{1}{2} a \cdot (t_1 + t_2)\) 5. Einsetzen der gegebenen Werte \(a = 2{,}4\), \(t_1 = 5\) und \(t_2 = 15\): \(v_m = \frac{1}{2} \cdot 2{,}4 \cdot (5 + 15) = 1{,}2 \cdot 20 = 24\) 6. Die mittlere Geschwindigkeit beträgt \(24\,\text{m/s}\).

a) \(v_m = \frac{1}{2} a \cdot (t_1 + t_2)\) b) \(24\,\text{m/s}\)

- Wie hängen die Begriffe „Sekantensteigung“ und „mittlere Änderungsrate“ zusammen? - Setze die gegebenen Punkte in die Formel für die Steigung \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) ein. - Für den zweiten Teil kannst du eine Gleichung aufstellen, in der die gesuchte Stelle \(x_2\) die Unbekannte ist. - Kannst du den Term im Bruch vereinfachen, bevor du die Gleichung löst?

1. Berechnung der Funktionswerte für Teil a): \(f(2) = 0{,}2 \cdot 2^2 + 3 = 3{,}8\) und \(f(7) = 0{,}2 \cdot 7^2 + 3 = 12{,}8\) 2. Berechnung der Sekantensteigung (Differenzenquotient): \(m_s = \frac{f(7) - f(2)}{7 - 2} = \frac{12{,}8 - 3{,}8}{5} = \frac{9}{5} = 1{,}8\) 3. Aufstellen der Gleichung für die mittlere Änderungsrate in Teil b): \(\frac{f(x_2) - f(0)}{x_2 - 0} = 1{,}6\) 4. Einsetzen der Funktionsvorschrift: \(\frac{(0{,}2x_2^2 + 3) - (0{,}2 \cdot 0^2 + 3)}{x_2} = 1{,}6\) 5. Vereinfachen des Zählers: \(\frac{0{,}2x_2^2}{x_2} = 1{,}6\) 6. Kürzen durch \(x_2\) (da \(x_2 > 0\)): \(0{,}2x_2 = 1{,}6\) 7. Auflösen nach \(x_2\): \(x_2 = \frac{1{,}6}{0{,}2} = 8\)

a) \(1{,}8\) b) \(x_2 = 8\)

- Wie übersetzt man eine prozentuale Zunahme in einen Wachstumsfaktor \(b\)? - Was genau gibt der Wert \(a\) in der Funktionsgleichung an? - Erinnere dich an die Formel für die Steigung einer Sekante zwischen zwei Punkten auf einem Graphen. - Achte darauf, welche Einheiten für die Änderungsrate sinnvoll sind.

1. Bestimmung der Parameter: Der Anfangswert ist \(a = 2\). Der Wachstumsfaktor \(b\) ergibt sich aus der Zunahme von \(25\,\%\) zu \(b = 1 + 0{,}25 = 1{,}25\). Die Funktionsgleichung lautet \(A(t) = 2 \cdot 1{,}25^t\). 2. Berechnung der Flächenwerte: Nach \(4\) Wochen beträgt die Fläche \(A(4) = 2 \cdot 1{,}25^4 \approx 4{,}8828\,\text{m}^2\). Nach \(8\) Wochen beträgt sie \(A(8) = 2 \cdot 1{,}25^8 \approx 11{,}9209\,\text{m}^2\). 3. Mittlere Änderungsrate im Intervall \([0; 4]\): Differenzenquotient \(m_1 = \frac{A(4) - A(0)}{4 - 0} = \frac{4{,}8828 - 2}{4} \approx 0{,}7207\,\text{m}^2/\text{Woche}\). 4. Mittlere Änderungsrate im Intervall \([4; 8]\): Differenzenquotient \(m_2 = \frac{A(8) - A(4)}{8 - 4} = \frac{11{,}9209 - 4{,}8828}{4} \approx 1{,}7595\,\text{m}^2/\text{Woche}\).

a) \(A(t) = 2 \cdot 1{,}25^t\) b) Nach \(4\) Wochen: ca. \(4{,}88\,\text{m}^2\); nach \(8\) Wochen: ca. \(11{,}92\,\text{m}^2\). c) Erste \(4\) Wochen: ca. \(0{,}72\,\text{m}^2/\text{Woche}\); Wochen \(4\) bis \(8\): ca. \(1{,}76\,\text{m}^2/\text{Woche}\).

- Welcher Faktor \(b\) beschreibt eine Abnahme um einen bestimmten Prozentsatz? - Was bedeutet eine negative Änderungsrate im Sachzusammenhang? - Wie berechnet man den Durchschnittswert einer Änderung über ein Zeitintervall? - Überlege, warum der Betrag der Änderung bei kleiner werdenden Grundwerten ebenfalls sinkt.

1. Aufstellen der Funktion: Der Anfangswert ist \(a = 5000\). Bei einem Verlust von \(15\,\%\) bleibt ein Restwertfaktor von \(b = 1 - 0{,}15 = 0{,}85\). Somit gilt \(V(t) = 5000 \cdot 0{,}85^t\). 2. Werte für b): \(V(0) = 5000\) und \(V(2) = 5000 \cdot 0{,}85^2 = 3612{,}5\). Mittlere Änderungsrate im Intervall \([0; 2]\): \(\frac{3612{,}5 - 5000}{2 - 0} = -693{,}75\,\text{€}/\text{Jahr}\). 3. Werte für c): \(V(5) = 5000 \cdot 0{,}85^5 \approx 2218{,}53\) und \(V(7) = 5000 \cdot 0{,}85^7 \approx 1602{,}89\). Mittlere Änderungsrate im Intervall \([5; 7]\): \(\frac{1602{,}89 - 2218{,}53}{7 - 5} \approx -307{,}82\,\text{€}/\text{Jahr}\). 4. Vergleich/Interpretation: Der absolute Wertverlust pro Jahr nimmt ab, obwohl der Prozentsatz gleich bleibt. Dies liegt daran, dass sich die \(15\,\%\) im späteren Zeitraum auf einen deutlich geringeren Restwert beziehen als unmittelbar nach dem Kauf.

a) \(V(t) = 5000 \cdot 0{,}85^t\) b) Der durchschnittliche Wertverlust beträgt \(693{,}75\,\text{€}\) pro Jahr (Änderungsrate: \(-693{,}75\,\text{€}/\text{Jahr}\)). c) Zwischen Jahr \(5\) und \(7\) beträgt die mittlere Änderungsrate ca. \(-307{,}82\,\text{€}/\text{Jahr}\). Der absolute Wertverlust ist geringer, da der Bezugswert (Restwert) über die Zeit sinkt.

- Was passiert mit einem Wert, wenn er um einen bestimmten Prozentsatz sinkt? Mit welchem Faktor multiplizierst du? - Überlege dir bei den Differenzen, welche Einheiten die Zähler und Nenner haben. Das hilft oft bei der Deutung. - Die mittlere Änderungsrate entspricht mathematisch der Steigung einer Sekante durch zwei Punkte des Graphen. - Achte darauf, dass die Zeit \(t\) in Stunden und der Wachstumsfaktor \(a\) passend zueinander definiert sind.

1. Bestimmung der Parameter: Der Anfangswert ist \(c = 200\). Da die Menge alle \(4\) Stunden um \(15\,\%\) sinkt, gilt \(f(4) = 200 \cdot 0{,}85\). Aus \(200 \cdot a^4 = 200 \cdot 0{,}85\) folgt \(a = \sqrt[4]{0{,}85} \approx 0{,}9601\). Die Funktionsvorschrift lautet exakt \(f(t) = 200 \cdot 0{,}85^{\frac{t}{4}}\) bzw. näherungsweise \(f(t) \approx 200 \cdot 0{,}9601^t\). 2. Interpretation: \(f(t) - f(t_0)\) ist die absolute Änderung der Wirkstoffmenge im Zeitraum von \(t_0\) bis \(t\) in \(\text{mg}\). Der Differenzenquotient \(\frac{f(t) - f(t_0)}{t - t_0}\) gibt die mittlere Abbaurate im Intervall \([t_0; t]\) in \(\frac{\text{mg}}{\text{h}}\) an. 3. Mittlere Änderungsrate: Im Intervall \([0; 4]\) ist \(f(0) = 200\) und \(f(4) = 170\). Die Rate ist \(\frac{170 - 200}{4 - 0} = -7{,}5\,\frac{\text{mg}}{\text{h}}\). Im Intervall \([12; 16]\) ist \(f(12) = 200 \cdot 0{,}85^3 = 122{,}825\) und \(f(16) = 200 \cdot 0{,}85^4 = 104{,}40125\). Die Rate ist \(\frac{104{,}40125 - 122{,}825}{16 - 12} \approx -4{,}6059\,\frac{\text{mg}}{\text{h}}\).

a) \(c = 200\); \(a = \sqrt[4]{0{,}85} \approx 0{,}9601\); exakt \(f(t) = 200 \cdot 0{,}85^{\frac{t}{4}}\), näherungsweise \(f(t) \approx 200 \cdot 0{,}9601^t\) b) \(f(t) - f(t_0)\): absolute Bestandsänderung in \(\text{mg}\); \(\frac{f(t) - f(t_0)}{t - t_0}\): mittlere Abbaurate in \(\frac{\text{mg}}{\text{h}}\) c) Intervall \([0; 4]\): \(-7{,}5\,\frac{\text{mg}}{\text{h}}\); Intervall \([12; 16]\): \(\approx -4{,}6059\,\frac{\text{mg}}{\text{h}}\).

- Setze die entsprechenden Ausdrücke für die Stellen \(x_0 + h\) und \(x_0\) in die Funktionsgleichung ein. - Achte beim Subtrahieren der Funktionswerte besonders auf die Vorzeichen in der Klammer. - Nutze die erste binomische Formel zum Auflösen der Klammer. - Kannst du im Zähler \(h\) ausklammern, um den Bruch zu vereinfachen?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{g(x_0 + h) - g(x_0)}{h} = \frac{((x_0 + h)^2 - 5(x_0 + h)) - (x_0^2 - 5x_0)}{h}\) 2. Vereinfachung des Terms: Ausmultiplizieren ergibt \(\frac{x_0^2 + 2x_0h + h^2 - 5x_0 - 5h - x_0^2 + 5x_0}{h}\). Zusammenfassen der Terme im Zähler führt zu \(\frac{2x_0h + h^2 - 5h}{h}\). Durch Kürzen mit \(h\) erhält man \(2x_0 + h - 5\) 3. Berechnung für \(x_0 = 3\) und \(h = 0{,}1\): Einsetzen der Werte ergibt \(2 \cdot 3 + 0{,}1 - 5 = 6 + 0{,}1 - 5 = 1{,}1\)

a) \(\frac{(x_0 + h)^2 - 5(x_0 + h) - (x_0^2 - 5x_0)}{h}\) b) \(2x_0 + h - 5\) c) \(1{,}1\)

- Nutze die Definition des Differenzenquotienten für die Steigung zwischen zwei Punkten. - Erinnere dich daran, wie man Differenzen von Potenzen (wie \(x^3 - a^3\)) faktorisieren kann. - Hilft dir eine Polynomdivision weiter, wenn du weißt, dass der Term im Nenner eine Nullstelle des Zählers ist?

1. Die Punkte sind \(A(2|10)\) und \(B(x|x^3 + 2)\). 2. Der Differenzenquotient wird aufgestellt: \(m_s = \frac{g(x) - g(2)}{x - 2}\). 3. Einsetzen der Funktionsterme ergibt \(m_s = \frac{(x^3 + 2) - 10}{x - 2} = \frac{x^3 - 8}{x - 2}\). 4. Um den Bruch zu vereinfachen, wird der Zähler \(x^3 - 8\) faktorisiert oder eine Polynomdivision durchgeführt. 5. Es gilt die Identität \(x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)\). 6. Durch Kürzen des Faktors \((x - 2)\) erhält man die Sekantensteigung \(m_s = x^2 + 2x + 4\) für \(x \neq 2\).

\(m_s = x^2 + 2x + 4\) (für \(x \neq 2\))