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- Unterscheide zwischen einer Änderung und einer Änderungsrate. - Welche Zeitspanne gehört zur Änderung von \(12\,\text{cm}\) auf \(18\,\text{cm}\)?

1. Die Änderung des Wasserstands beträgt \(18\,\text{cm}-12\,\text{cm}=6\,\text{cm}\). 2. Diese Änderung verteilt sich auf \(2\,\text{h}\). Daher beträgt die mittlere Änderungsrate \(6\,\text{cm}:2\,\text{h}=3\,\text{cm/h}\). 3. Mara nennt nur die absolute Änderung und lässt den Zeitabstand unberücksichtigt. Ihre Aussage ist daher falsch.

Maras Aussage ist falsch. Die mittlere Änderungsrate beträgt \(3\,\text{cm/h}\).

- Lies zuerst die beiden Funktionswerte an den Intervallenden aus der Abbildung ab. - Die mittlere Änderungsrate vergleicht die Änderung des Funktionswerts mit der Länge des Intervalls. - Prüfe am Verlauf der Sekante, ob dein Ergebnis positiv oder negativ sein muss.

1. Aus dem Graphen liest man \(f(1)=2\) und \(f(3)=6\) ab. 2. Die mittlere Änderungsrate ist \(\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{6-2}{2}=2\).

Die mittlere Änderungsrate beträgt \(2\).

- Trenne zunächst die gesamte Änderung der Größe von der Änderung pro Zeiteinheit. - Für eine mittlere Änderungsrate brauchst du sowohl eine Volumenänderung als auch eine Zeitspanne. - Achte bei der Aussage auf die Einheiten: Liter und Liter pro Minute bedeuten nicht dasselbe.

1. Die absolute Änderung ist \(18-12=6\,\text{L}\). 2. Die Zeitspanne beträgt \(4-1=3\,\text{min}\). Daher ist die mittlere Änderungsrate \(\frac{6\,\text{L}}{3\,\text{min}}=2\,\text{L/min}\). 3. Jules Aussage ist falsch: \(6\,\text{L}\) ist die gesamte Änderung, \(2\,\text{L/min}\) die Änderung pro Minute. 4. Man multipliziert die mittlere Änderungsrate mit der Zeitspanne und addiert diese Änderung zum Anfangsvolumen: \(12\,\text{L}+2\,\text{L/min}\cdot3\,\text{min}=18\,\text{L}\).

a) \(6\,\text{L}\). b) \(2\,\text{L/min}\). c) Nein. Die absolute Änderung und die mittlere Änderungsrate sind verschiedene Größen und haben verschiedene Einheiten. d) Anfangsvolumen plus mittlere Änderungsrate mal Zeitspanne ergibt das Endvolumen.

- Wie berechnet man allgemein eine Durchschnittsgeschwindigkeit, wenn die gesamte Strecke und die benötigte Zeit bekannt sind? - Kannst du die Position der Rakete am Anfang und am Ende des Zeitintervalls bestimmen? - Denke an den Differenzenquotienten.

1. Zurückgelegte Strecke zum Zeitpunkt \(t = 4\) berechnen: \(s(4) = 3 \cdot 4^2 = 48\). 2. Zurückgelegte Strecke zum Zeitpunkt \(t = 6\) berechnen: \(s(6) = 3 \cdot 6^2 = 108\). 3. Differenz der Strecken berechnen: \(\Delta s = 108 - 48 = 60\). 4. Differenz der Zeit berechnen: \(\Delta t = 6 - 4 = 2\). 5. Durchschnittsgeschwindigkeit \(v = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{60}{2} = 30\,\frac{\text{km}}{\text{min}}\).

\(30\,\frac{\text{km}}{\text{min}}\)

- Erinnere dich an die Formel für die mittlere Änderungsrate (den Differenzenquotienten). - Wie berechnet man den Funktionswert an einer bestimmten Stelle? - Achte beim Einsetzen negativer Zahlen in die Formel besonders auf die Vorzeichen. - Was bedeutet das Ergebnis geometrisch für die Sekante durch die beiden Punkte?

1. Zunächst werden die Funktionswerte an den Grenzen des ersten Intervalls berechnet: \(f(-2) = \frac{1}{2} \cdot (-2)^3 - 2 \cdot (-2) = -4 + 4 = 0\) und \(f(0) = \frac{1}{2} \cdot 0^3 - 2 \cdot 0 = 0\). Der Differenzenquotient ergibt sich zu \(\frac{f(0) - f(-2)}{0 - (-2)} = \frac{0 - 0}{2} = 0\). 2. Für das zweite Intervall berechnet man \(f(1) = \frac{1}{2} \cdot 1^3 - 2 \cdot 1 = -1{,}5\) und \(f(4) = \frac{1}{2} \cdot 4^3 - 2 \cdot 4 = 32 - 8 = 24\). Der Differenzenquotient ist \(\frac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \frac{24 - (-1{,}5)}{3} = \frac{25{,}5}{3} = 8{,}5\).

1. Die mittlere Änderungsrate im Intervall \([-2; 0]\) beträgt \(0\). 2. Die mittlere Änderungsrate im Intervall \([1; 4]\) beträgt \(8{,}5\).

- Überlege dir, welche Werte in den Zähler und welche in den Nenner des Bruchs gehören. - Berechne zuerst alle benötigten Funktionswerte \(h(x)\). - Gehe Schritt für Schritt vor und achte auf die Rechenregeln bei der Subtraktion.

1. Berechnung der Funktionswerte für das Intervall \([0; 2]\): \(h(0) = -0^2 + 6 \cdot 0 - 5 = -5\) und \(h(2) = -2^2 + 6 \cdot 2 - 5 = -4 + 12 - 5 = 3\). Der Differenzenquotient lautet \(\frac{h(2) - h(0)}{2 - 0} = \frac{3 - (-5)}{2} = \frac{8}{2} = 4\). 2. Berechnung der Funktionswerte für das Intervall \([3; 5]\): \(h(3) = -3^2 + 6 \cdot 3 - 5 = -9 + 18 - 5 = 4\) und \(h(5) = -5^2 + 6 \cdot 5 - 5 = -25 + 30 - 5 = 0\). Der Differenzenquotient lautet \(\frac{h(5) - h(3)}{5 - 3} = \frac{0 - 4}{2} = -2\).

Im Intervall \([0; 2]\) ist der Differenzenquotient \(4\). Im Intervall \([3; 5]\) ist der Differenzenquotient \(-2\).

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der mittleren Änderungsrate und der Steigung einer Sekante. - Welche Werte musst du in den Differenzenquotienten einsetzen? - Überprüfe, ob du die Funktionswerte an den Stellen \(x=2\), \(x=4\) und \(x=2{,}5\) richtig berechnet hast.

1. Berechnung der Funktionswerte an den Intervallgrenzen: \(f(2) = 2 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2 = 0\), \(f(4) = 2 \cdot 4^2 - 4 \cdot 4 = 16\) und \(f(2{,}5) = 2 \cdot 2{,}5^2 - 4 \cdot 2{,}5 = 12{,}5 - 10 = 2{,}5\). 2. Anwendung des Differenzenquotienten \(\frac{f(b) - f(a)}{b - a}\) für das Intervall \([2; 4]\): \(\frac{16 - 0}{4 - 2} = \frac{16}{2} = 8\). 3. Anwendung des Differenzenquotienten für das Intervall \([2; 2{,}5]\): \(\frac{2{,}5 - 0}{2{,}5 - 2} = \frac{2{,}5}{0{,}5} = 5\).

a) Die mittlere Änderungsrate im Intervall \([2; 4]\) beträgt \(8\). b) Die mittlere Änderungsrate im Intervall \([2; 2{,}5]\) beträgt \(5\).

- Wie lautet die allgemeine Formel für den Differenzenquotienten in einem Intervall \([a; b]\)? - Achte beim Einsetzen der Brüche in den Differenzenquotienten auf die Vorzeichen. - Könnte eine Skizze der Hyperbel helfen, das Vorzeichen des Ergebnisses zu plausibilisieren?

1. Bestimmung der benötigten Funktionswerte: \(g(1) = \frac{4}{1} = 4\), \(g(4) = \frac{4}{4} = 1\) und \(g(1{,}6) = \frac{4}{1{,}6} = 2{,}5\). 2. Berechnung der mittleren Änderungsrate für das Intervall \([1; 4]\) mittels \(\frac{g(4) - g(1)}{4 - 1}\): \(\frac{1 - 4}{3} = \frac{-3}{3} = -1\). 3. Berechnung der mittleren Änderungsrate für das Intervall \([1; 1{,}6]\) mittels \(\frac{g(1{,}6) - g(1)}{1{,}6 - 1}\): \(\frac{2{,}5 - 4}{0{,}6} = \frac{-1{,}5}{0{,}6} = -2{,}5\).

Im Intervall \([1; 4]\) beträgt die mittlere Änderungsrate \(-1\). Im Intervall \([1; 1{,}6]\) beträgt die mittlere Änderungsrate \(-2{,}5\).

- Welche mathematische Größe berechnet man, um die durchschnittliche Veränderung über ein Intervall zu bestimmen? - Wie wählt man die passenden Wertepaare aus der Tabelle für ein gesuchtes Intervall aus? - Was bedeutet ein negatives Vorzeichen im Kontext der Temperaturentwicklung? - Achte darauf, die Differenz der Funktionswerte durch die Differenz der Zeitwerte zu teilen.

1. Für \([0;24]\) gilt \(\frac{T(24)-T(0)}{24-0} = \frac{7-5}{24} = \frac{1}{12}\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{h}}\). 2. Für \([4;8]\) gilt \(\frac{T(8)-T(4)}{8-4} = \frac{6-2}{4} = 1\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{h}}\). 3. Für \([8;16]\) gilt \(\frac{T(16)-T(8)}{16-8} = \frac{19-6}{8} = 1{,}625\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{h}}\). 4. Für \([16;24]\) gilt \(\frac{T(24)-T(16)}{24-16} = \frac{7-19}{8} = -1{,}5\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{h}}\).

a) \(\frac{1}{12}\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{h}}\) b) \(1\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{h}}\) c) \(1{,}625\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{h}}\) d) \(-1{,}5\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{h}}\)

- Wie hängen Weg, Zeit und Durchschnittsgeschwindigkeit zusammen? - Erinnere dich an die Formel für die Steigung einer Sekante durch zwei Punkte eines Funktionsgraphen. - Überlege dir, welche Einheiten für die Geschwindigkeit hier sinnvoll sind. - Vergleiche die Ergebnisse der Teilaufgaben: Was lässt sich über die Entwicklung der Geschwindigkeit des Autos aussagen?

1. Intervall \([0; 4]\): Differenzenquotient \(\frac{s(4) - s(0)}{4 - 0} = \frac{12{,}8 - 0}{4} = 3{,}2\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 2. Intervall \([4; 8]\): Differenzenquotient \(\frac{s(8) - s(4)}{8 - 4} = \frac{51{,}2 - 12{,}8}{4} = \frac{38{,}4}{4} = 9{,}6\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 3. Intervall \([8; 10]\): Differenzenquotient \(\frac{s(10) - s(8)}{10 - 8} = \frac{80{,}0 - 51{,}2}{2} = \frac{28{,}8}{2} = 14{,}4\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 4. Intervall \([0; 10]\): Differenzenquotient \(\frac{s(10) - s(0)}{10 - 0} = \frac{80{,}0 - 0}{10} = 8{,}0\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\).

a) \(3{,}2\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) b) \(9{,}6\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) c) \(14{,}4\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) d) \(8{,}0\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\)

- Welche zwei Temperaturwerte gehören jeweils zu dem betrachteten Zeitintervall? - Wie wird der Differenzenquotient aus zwei Messpunkten gebildet? - Was bedeutet ein negatives Ergebnis für den Temperaturverlauf? - Wie kannst du „mittlere Änderungsrate“ sprachlich auf die gemessene Größe Temperatur beziehen?

1. Für \([0;4]\) gilt \(\frac{T(4)-T(0)}{4-0}=\frac{76-92}{4}=-4\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\). Für \([4;20]\) gilt \(\frac{T(20)-T(4)}{20-4}=\frac{38-76}{16}=-2{,}375\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\). 2. Das negative Vorzeichen zeigt, dass die Temperatur im Zeitverlauf sinkt. 3. Bezogen auf die Temperatur heißt die berechnete Größe mittlere Temperaturänderungsrate.

1. Auf \([0;4]\): \(-4\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\) Auf \([4;20]\): \(-2{,}375\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\) 2. Das negative Vorzeichen bedeutet, dass die Temperatur abnimmt. 3. Mittlere Temperaturänderungsrate.

- Was gibt der Differenzenquotient in einem Sachkontext an? - Wie nennt man die Gerade, die zwei Punkte eines Funktionsgraphen verbindet? - Vergleiche die Ergebnisse der berechneten Raten für die verschiedenen Zeiträume.

1. Es gilt \(h(0)=5\), \(h(4)=11{,}4\) und \(h(8)=14{,}6\). Damit ist die mittlere Wachstumsrate auf \([0;4]\) gleich \(\frac{11{,}4-5}{4}=1{,}6\,\frac{\text{cm}}{\text{Woche}}\) und auf \([4;8]\) gleich \(\frac{14{,}6-11{,}4}{4}=0{,}8\,\frac{\text{cm}}{\text{Woche}}\). 2. Die mittlere Änderungsrate auf \([0;4]\) ist die Steigung der Sekante durch \(P(0\mid5)\) und \(Q(4\mid11{,}4)\). 3. Da \(1{,}6>0{,}8\), wächst die Pflanze im Modell in den ersten vier Wochen im Mittel schneller als zwischen der 4. und 8. Woche.

1. \([0;4]:\ 1{,}6\,\frac{\text{cm}}{\text{Woche}}\); \([4;8]:\ 0{,}8\,\frac{\text{cm}}{\text{Woche}}\) 2. Die mittlere Änderungsrate ist die Steigung der Sekante durch die beiden Intervallendpunkte auf dem Graphen. 3. Im Intervall \([0;4]\) wächst die Pflanze im Mittel schneller.

- Überlege dir, wie sich die Funktionswerte an den Grenzen des Intervalls zueinander verhalten. - Was sagt die Differenz der Funktionswerte über die Steigung der Sekante aus? - Erinnere dich an die Formel für die mittlere Änderungsrate zwischen zwei Stellen. - Achte beim Einsetzen negativer Werte in den Zähler besonders auf die Vorzeichenregeln.

1. Berechnung der Funktionswerte an den Intervallgrenzen: \(f(1) = \frac{1}{2} \cdot 1^3 - 2 \cdot 1 = -1{,}5\) und \(f(3) = \frac{1}{2} \cdot 3^3 - 2 \cdot 3 = 13{,}5 - 6 = 7{,}5\). 2. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{7{,}5 - (-1{,}5)}{2}\). 3. Berechnung des Ergebnisses: \(\frac{9}{2} = 4{,}5\). Der Wert ist positiv, was die Vermutung (da der Funktionswert am rechten Rand deutlich größer ist als am linken Rand) bestätigt.

Der Differenzenquotient ist positiv. Die Rechnung ergibt: \(\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{7{,}5 - (-1{,}5)}{2} = 4{,}5\)

- Wie verändert sich der Wert eines Bruches, wenn der Nenner bei gleichbleibendem Zähler größer wird? - Welche Steigung hat eine Gerade, die zwei Punkte verbindet, bei denen der zweite Punkt tiefer liegt als der erste? - Setze die Werte in die Definition des Differenzenquotienten ein. - Denke daran, dass der Differenzenquotient der Steigung der Sekante durch die entsprechenden Punkte auf dem Graphen entspricht.

1. Bestimmung der Funktionswerte: \(g(1) = \frac{8}{1^2} = 8\) und \(g(4) = \frac{8}{4^2} = \frac{8}{16} = 0{,}5\). 2. Beurteilung des Vorzeichens: Da \(g(4) < g(1)\), fällt der Graph im Mittel ab, das Vorzeichen muss negativ sein. 3. Berechnung des Differenzenquotienten: \(\frac{g(4) - g(1)}{4 - 1} = \frac{0{,}5 - 8}{3}\). 4. Endergebnis: \(\frac{-7{,}5}{3} = -2{,}5\).

Das Vorzeichen ist negativ, da die Funktion in diesem Bereich fällt (\(g(4) < g(1)\)). Der berechnete Wert ist: \(\frac{g(4) - g(1)}{4 - 1} = \frac{0{,}5 - 8}{3} = -2{,}5\)

- Was gibt die Steigung einer Sekante zwischen zwei Punkten im Sachkontext an? - Achte auf die Einheiten der berechneten Werte. - Wie berechnet man den Quotienten aus der Differenz der Funktionswerte und der Differenz der Stellen? - Ein negativer Wert bedeutet hier eine Abnahme der Temperatur.

1. Für \([0;10]\) gilt \(\frac{T(10)-T(0)}{10}=\frac{62{,}0-85{,}0}{10}=-2{,}3\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\). 2. Für \([20;50]\) gilt \(\frac{T(50)-T(20)}{30}=\frac{23{,}0-46{,}0}{30}\approx-0{,}77\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\). 3. Die Raten der fünf Vergleichsintervalle sind der Reihe nach \(-2{,}5\), \(-2{,}1\), \(-1{,}6\), \(-1{,}1\) und \(-0{,}6\) in \(\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\). Der größte Betrag tritt auf \([0;5]\) auf.

a) \(-2{,}3\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\) b) \(-0{,}77\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\) c) Im Intervall \([0;5]\) mit \(-2{,}5\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\).

- Kannst du die Formel für den Differenzenquotienten (die mittlere Änderungsrate) in einem Intervall \([a; b]\) aufschreiben? - Welche Funktionswerte kannst du an den Grenzen der jeweiligen Intervalle aus dem Graphen ablesen? - Wie berechnest du die Differenz der Funktionswerte und die Differenz der Stellen? - Setze die abgelesenen Werte in deine Formel ein, um das Ergebnis zu berechnen.

1. Ablesen der benötigten Funktionswerte aus dem Graphen von \(f\): - Für Aufgabenteil a): \(f(-1) = -1\) und \(f(1) = 3\) - Für Aufgabenteil b): \(f(0) = 1\) und \(f(2) = -1\) 2. Berechnung des Differenzenquotienten für das Intervall \([-1; 1]\): \(\frac{f(1) - f(-1)}{1 - (-1)} = \frac{3 - (-1)}{1 - (-1)} = \frac{4}{2} = 2\) 3. Berechnung des Differenzenquotienten für das Intervall \([0; 2]\): \(\frac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = \frac{-1 - 1}{2 - 0} = \frac{-2}{2} = -1\)

a) Die mittlere Änderungsrate im Intervall \([-1; 1]\) beträgt \(2\). b) Die mittlere Änderungsrate im Intervall \([0; 2]\) beträgt \(-1\).

- Welche Information kannst du aus den Koordinaten der markierten Punkte auf dem Graphen ablesen? - Wie berechnet man allgemein das Verhältnis von Höhenänderung zur verstrichenen Zeitspanne? - Erinnere dich an die Formel für die Steigung einer Sekante durch zwei Punkte auf einem Funktionsgraphen. - Was bedeutet ein positives oder ein negatives Vorzeichen bei einer Änderungsrate für die Bewegung der Drohne?

1. Für Aufgabenteil a): Ablesen der Höhenwerte zu den Zeiten \(t_1 = 1\) und \(t_2 = 5\) aus dem Graphen: \(h(1) = 3\,\text{m}\) und \(h(5) = 17\,\text{m}\). 2. Berechnung der mittleren Änderungsrate im Intervall \([1; 5]\) als Differenzenquotient: \(\frac{h(5) - h(1)}{5 - 1} = \frac{17 - 3}{4} = \frac{14}{4} = 3{,}5\,\text{m/min}\). 3. Für Aufgabenteil b): Ablesen der Höhenwerte zu den Zeiten \(t_3 = 6\) und \(t_4 = 8\) aus dem Graphen: \(h(6) = 18\,\text{m}\) und \(h(8) = 10\,\text{m}\). 4. Berechnung der mittleren Änderungsrate im Intervall \([6; 8]\): \(\frac{h(8) - h(6)}{8 - 6} = \frac{10 - 18}{2} = \frac{-8}{2} = -4\,\text{m/min}\). 5. Interpretation des Vorzeichens: Das negative Vorzeichen gibt an, dass die Drohne in diesem Zeitraum im Durchschnitt sinkt (ihre Höhe nimmt ab), und zwar um durchschnittlich \(4\,\text{Meter}\) pro Minute.

a) Die mittlere Änderungsrate im Intervall \([1; 5]\) beträgt \(3{,}5\,\text{m/min}\). b) Die mittlere Änderungsrate im Intervall \([6; 8]\) beträgt \(-4\,\text{m/min}\). Das negative Vorzeichen bedeutet, dass die Drohne in diesem Zeitraum im Durchschnitt sinkt.

- Welche Funktionswerte liegen an den beiden Grenzen des jeweiligen Intervalls? - Welche geometrische Größe beschreibt der Differenzenquotient zwischen zwei Graphenpunkten? - Prüfe bei jedem Intervall sorgfältig die Länge des Intervalls im Nenner.

1. Aus dem Graphen liest man \(f(-1)=-3\), \(f(0)=1\), \(f(3)=1\), \(f(4)=2\) und \(f(5)=6\) ab. 2. Für \([-1;3]\) gilt \(\frac{f(3)-f(-1)}{3-(-1)}=\frac{1-(-3)}{4}=1\). 3. Für \([0;4]\) gilt \(\frac{f(4)-f(0)}{4}=\frac{2-1}{4}=0{,}25\). 4. Für \([3;5]\) gilt \(\frac{f(5)-f(3)}{2}=\frac{6-1}{2}=2{,}5\).

a) \(1\) b) \(0{,}25\) c) \(2{,}5\)

- Erinnere dich daran, wie man die Steigung einer Geraden durch zwei Punkte (die Sekante) berechnet. Welche Formel verwendet man für die mittlere Änderungsrate? - Lies die benötigten Funktionswerte für die jeweiligen Intervallgrenzen direkt am Graphen ab. - Was bedeutet die momentane Änderungsrate geometrisch? Wie hängen die Tangenten mit der Ableitung zusammen? - Um die Steigung einer Tangente zu bestimmen, kannst du zwei gut ablesbare Punkte auf der Tangente wählen.

1. Mittlere Änderungsrate im Intervall \([-1; 1]\): Die mittlere Änderungsrate wird über den Differenzenquotienten berechnet: \(m_1 = \frac{f(1) - f(-1)}{1 - (-1)}\) Aus der Abbildung lesen wir die Funktionswerte am Graphen ab: \(f(-1) = 0\) und \(f(1) = 3\). Einsetzen ergibt: \(m_1 = \frac{3 - 0}{1 + 1} = \frac{3}{2} = 1{,}5\). 2. Mittlere Änderungsrate im Intervall \([2; 4]\): Analog gilt für das Intervall \([2; 4]\): \(m_2 = \frac{f(4) - f(2)}{4 - 2}\) Wir lesen die Funktionswerte ab: \(f(2) = 6\) und \(f(4) = 0\). Einsetzen ergibt: \(m_2 = \frac{0 - 6}{4 - 2} = \frac{-6}{2} = -3\). 3. Momentane Änderungsrate (Ableitung) an den Stellen \(x = 0\) und \(x = 2\): Die momentane Änderungsrate entspricht der Steigung der jeweiligen Tangente. - An der Stelle \(x = 0\) ist die orangefarbene Tangente \(t_0\) eingezeichnet. Wir wählen zwei Punkte auf dieser Geraden, z. B. \((0 \mid 0)\) und \((1 \mid 2)\). Die Steigung ist: \(f'(0) = \frac{2 - 0}{1 - 0} = 2\). - An der Stelle \(x = 2\) ist die grün eingezeichnete Tangente \(t_2\) zu sehen. Sie geht durch den Berührpunkt \((2 \mid 6)\) und z. B. \((1 \mid 4)\). Die Steigung ist: \(f'(2) = \frac{6 - 4}{2 - 1} = 2\).

a) Die mittlere Änderungsrate im Intervall \([-1; 1]\) beträgt \(1{,}5\). b) Die mittlere Änderungsrate im Intervall \([2; 4]\) beträgt \(-3\). c) Die momentane Änderungsrate an der Stelle \(x = 0\) beträgt \(2\) (also \(f'(0) = 2\)) und an der Stelle \(x = 2\) beträgt sie ebenfalls \(2\) (also \(f'(2) = 2\)).

- Lies zuerst die zugehörigen Funktionswerte (Wasserhöhen) an den Grenzen der jeweiligen Intervalle vom Graphen ab. - Verwende zur Berechnung der mittleren Änderungsrate die Formel für den Differenzenquotienten: \(\frac{f(b) - f(a)}{b - a}\). - Achte auf die korrekten Einheiten im Sachzusammenhang, indem du die Einheit der Wasserhöhe durch die Einheit der Zeit teilst. - Überlege dir für die Interpretation, was eine positive Änderungsrate für das Steigen oder Fallen des Wasserstands bedeutet.

1. Ablesen der Werte aus dem Graphen: - Für das Intervall \([0; 6]\): Bei \(t = 0\,\text{h}\) beträgt die Wasserhöhe \(h(0) = 1\,\text{m}\). Bei \(t = 6\,\text{h}\) beträgt die Wasserhöhe \(h(6) = 7\,\text{m}\). - Für das Intervall \([2; 8]\): Bei \(t = 2\,\text{h}\) beträgt die Wasserhöhe \(h(2) = 2{,}5\,\text{m}\). Bei \(t = 8\,\text{h}\) beträgt die Wasserhöhe \(h(8) = 5{,}5\,\text{m}\). 2. Berechnung der mittleren Änderungsrate (Differenzenquotient): - Für das Intervall \([0; 6]\): \(\frac{h(6) - h(0)}{6 - 0} = \frac{7\,\text{m} - 1\,\text{m}}{6\,\text{h} - 0\,\text{h}} = \frac{6\,\text{m}}{6\,\text{h}} = 1\,\text{m/h}\) - Für das Intervall \([2; 8]\): \(\frac{h(8) - h(2)}{8 - 2} = \frac{5{,}5\,\text{m} - 2{,}5\,\text{m}}{8\,\text{h} - 2\,\text{h}} = \frac{3\,\text{m}}{6\,\text{h}} = 0{,}5\,\text{m/h}\) 3. Interpretation im Sachzusammenhang: Die mittlere Änderungsrate gibt an, um wie viel Meter die Wasserhöhe pro Stunde im Durchschnitt steigt. Im Intervall \([0; 6]\) steigt der Wasserstand im Durchschnitt um \(1\,\text{Meter}\) pro Stunde.

a) \(h(0) = 1\,\text{m}\), \(h(6) = 7\,\text{m}\); die mittlere Änderungsrate beträgt \(1\,\text{m/h}\). b) \(h(2) = 2{,}5\,\text{m}\), \(h(8) = 5{,}5\,\text{m}\); die mittlere Änderungsrate beträgt \(0{,}5\,\text{m/h}\). c) In den ersten 6 Stunden steigt die Wasserhöhe im Durchschnitt um \(1\,\text{Meter}\) pro Stunde.

- Lies zuerst die benötigten Funktionswerte an den Grenzen der jeweiligen Intervalle präzise aus dem Graphen ab. - Wie ist die Formel für die mittlere Änderungsrate (den Differenzenquotienten) zwischen zwei Punkten definiert? - Überlege für den zweiten Teil, unter welcher Bedingung ein Bruch den Wert Null annimmt. Was bedeutet das für die Funktionswerte an den Intervallgrenzen? - Suche im Graphen nach Punkten, die auf derselben Höhe liegen (also denselben \(y\)-Wert haben).

1. Ablesen der benötigten Funktionswerte aus dem Graphen: \(f(-2) = 1\) \(f(-1) = 3\) \(f(0) = 1\) \(f(1) = -1\) \(f(2) = 1\) 2. Berechnung der mittleren Änderungsrate für Teilaufgabe a): - Im Intervall \([-2; -1]\): \(\frac{f(-1) - f(-2)}{-1 - (-2)} = \frac{3 - 1}{1} = 2\) - Im Intervall \([-1; 1]\): \(\frac{f(1) - f(-1)}{1 - (-1)} = \frac{-1 - 3}{2} = -2\) 3. Bestimmung eines Intervalls für Teilaufgabe b): Die mittlere Änderungsrate ist genau dann \(0\), wenn die Funktionswerte an den Intervallgrenzen gleich sind, also \(f(a) = f(b)\) für \(a \neq b\). Aus den abgelesenen Werten gilt \(f(-2) = f(0) = f(2) = 1\). Mögliche Intervalle sind daher \([-2; 0]\), \([0; 2]\) oder \([-2; 2]\).

a) Im Intervall \([-2; -1]\) beträgt die mittlere Änderungsrate \(2\), im Intervall \([-1; 1]\) beträgt sie \(-2\). b) Ein mögliches Intervall ist \([-2; 0]\) (alternativ auch \([0; 2]\) oder \([-2; 2]\)).

- Erinnere dich daran, wie man die mittlere Änderungsrate (den Differenzenquotienten) einer Funktion in einem Intervall berechnet. - Lies zuerst die Funktionswerte für das Volumen \(V(t)\) an den jeweiligen Intervallgrenzen aus dem Graphen ab. - Bestimme die Differenz der Volumenwerte und teile sie durch die Länge des Zeitintervalls. - Achte darauf, die richtige Einheit für die durchschnittliche Änderungsrate anzugeben, indem du die Einheit des Volumens durch die Einheit der Zeit teilst.

Die mittlere Änderungsrate einer Funktion \(V\) im Intervall \([a; b]\) ist durch den Differenzenquotienten gegeben: \(\frac{\Delta V}{\Delta t} = \frac{V(b) - V(a)}{b - a}\) 1. Ablesen der Werte aus dem Graphen: - Für \(t = 0\) ist \(V(0) = 0\,\text{m}^3\) - Für \(t = 4\) ist \(V(4) = 12\,\text{m}^3\) - Für \(t = 8\) ist \(V(8) = 40\,\text{m}^3\) 2. Berechnung für Teilaufgabe a) im Intervall \(I_1 = [0; 4]\): \(\frac{V(4) - V(0)}{4 - 0} = \frac{12\,\text{m}^3 - 0\,\text{m}^3}{4\,\text{h}} = 3\,\text{m}^3/\text{h}\) 3. Berechnung für Teilaufgabe b) im Intervall \(I_2 = [4; 8]\): \(\frac{V(8) - V(4)}{8 - 4} = \frac{40\,\text{m}^3 - 12\,\text{m}^3}{4\,\text{h}} = \frac{28\,\text{m}^3}{4\,\text{h}} = 7\,\text{m}^3/\text{h}\)

a) \(3\,\text{m}^3/\text{h}\). b) \(7\,\text{m}^3/\text{h}\).

- Was ist die Definition des Differenzenquotienten (auch bekannt als mittlere Änderungsrate) einer Funktion in einem Intervall \([a; b]\)? - Welche mathematische Formel beschreibt die Steigung einer Geraden durch zwei Punkte? - Lies zuerst die Funktionswerte der jeweiligen Funktion an den Intervallgrenzen (den \(x\)-Werten) aus dem Graphen ab. Nutze dazu die mit Kreuzen markierten Punkte. - Setze diese Werte in die Formel ein und vereinfache den Bruch für jedes Intervall.

Der Differenzenquotient einer Funktion \(h\) im Intervall \([a; b]\) ist die Steigung der Sekante durch die Punkte \((a \mid h(a))\) und \((b \mid h(b))\) und wird mit \(m = \frac{h(b) - h(a)}{b - a}\) berechnet. 1. Lies die benötigten Funktionswerte an den markierten Stellen aus den Graphen ab: - Für die Funktion \(f\): \(f(2) = 3\), \(f(3) = 6\), \(f(4) = 3\), \(f(5) = 0\), \(f(6) = 3\) - Für die Funktion \(g\): \(g(2) = 0\), \(g(3) = 3\), \(g(4) = 4\), \(g(5) = 3\), \(g(6) = 0\) 2. Berechne die Differenzenquotienten für \(f\): - a) \(I_1 = [2; 4]\): \(\frac{f(4) - f(2)}{4 - 2} = \frac{3 - 3}{2} = 0\) - b) \(I_2 = [3; 5]\): \(\frac{f(5) - f(3)}{5 - 3} = \frac{0 - 6}{2} = -3\) - c) \(I_3 = [4; 6]\): \(\frac{f(6) - f(4)}{6 - 4} = \frac{3 - 3}{2} = 0\) - d) \(I_4 = [2; 6]\): \(\frac{f(6) - f(2)}{6 - 2} = \frac{3 - 3}{4} = 0\) 3. Berechne die Differenzenquotienten für \(g\): - a) \(I_1 = [2; 4]\): \(\frac{g(4) - g(2)}{4 - 2} = \frac{4 - 0}{2} = 2\) - b) \(I_2 = [3; 5]\): \(\frac{g(5) - g(3)}{5 - 3} = \frac{3 - 3}{2} = 0\) - c) \(I_3 = [4; 6]\): \(\frac{g(6) - g(4)}{6 - 4} = \frac{0 - 4}{2} = -2\) - d) \(I_4 = [2; 6]\): \(\frac{g(6) - g(2)}{6 - 2} = \frac{0 - 0}{4} = 0\)

**Werte für die Funktion \(f\):** a) \(0\) b) \(-3\) c) \(0\) d) \(0\) **Werte für die Funktion \(g\):** a) \(2\) b) \(0\) c) \(-2\) d) \(0\)

- Welche Wasserstände gehören zu den Endpunkten des jeweiligen Zeitintervalls? - Bilde für jedes Intervall den Differenzenquotienten aus Wasserstandsänderung und Zeitänderung. - Was bedeutet eine negative mittlere Änderungsrate für den Wasserstand? - Vergleiche für b) Anfangs- und Endwert und suche für c) den höchsten Punkt des Graphen.

1. Aus dem Graphen liest man \(h(0)=0\,\text{m}\), \(h(2)=5\,\text{m}\), \(h(6)=27\,\text{m}\), \(h(10)=25\,\text{m}\) und \(h(12)=0\,\text{m}\) ab. 2. Auf \([0;2]\) gilt \(\frac{5-0}{2-0}=2{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{h}}\). 3. Auf \([2;6]\) gilt \(\frac{27-5}{6-2}=5{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{h}}\). 4. Auf \([10;12]\) gilt \(\frac{0-25}{12-10}=-12{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{h}}\). 5. Auf \([0;12]\) beträgt die mittlere Änderungsrate \(0\,\frac{\text{m}}{\text{h}}\), weil Anfangs- und Endwasserstand übereinstimmen. 6. Der höchste Punkt des Graphen liegt bei \(t=8\,\text{h}\) mit \(h(8)=32\,\text{m}\).

a) 1. \(2{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{h}}\) 2. \(5{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{h}}\) 3. \(-12{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{h}}\) b) \(0\,\frac{\text{m}}{\text{h}}\); nach 12 Stunden liegt der Wasserstand wieder auf dem Ausgangsniveau. c) Nach \(8\,\text{h}\) ist der Wasserstand mit \(32\,\text{m}\) am höchsten.

- Erinnere dich daran, dass die mittlere Änderungsrate der Steigung der Sekante durch zwei Punkte entspricht. - Wie lautet die Formel zur Berechnung der Steigung zwischen zwei Punkten \((x_1|y_1)\) und \((x_2|y_2)\)? - Überprüfe die Vorzeichen deiner Ergebnisse: Fällt oder steigt der Graph im jeweiligen Intervall?

1. Ablesen der Funktionswerte aus dem Graphen: \(f(-5) = 3\), \(f(0) = -2\) und \(f(5) = 3\). 2. Berechnung der mittleren Änderungsrate für \(I_1 = [-5; 0]\): \(m_1 = \frac{f(0) - f(-5)}{0 - (-5)} = \frac{-2 - 3}{5} = \frac{-5}{5} = -1\). 3. Berechnung der mittleren Änderungsrate für \(I_2 = [0; 5]\): \(m_2 = \frac{f(5) - f(0)}{5 - 0} = \frac{3 - (-2)}{5} = \frac{5}{5} = 1\). 4. Vergleich: Die Beträge der Änderungsraten sind gleich (\(1\)), aber die Vorzeichen sind verschieden. Dies liegt an der Symmetrie der Parabel zur \(y\)-Achse.

Die mittlere Änderungsrate im Intervall \([-5; 0]\) beträgt \(-1\). Im Intervall \([0; 5]\) beträgt sie \(1\). Die Ergebnisse haben den gleichen Betrag, aber entgegengesetzte Vorzeichen.

- Was muss für die Funktionswerte an den Intervallgrenzen gelten, damit die mittlere Änderungsrate genau \(0\) ist? - Schau dir die Symmetrie des Graphen an. - Kannst du zwei Punkte finden, die auf derselben Höhe liegen, also denselben \(y\)-Wert haben?

1. Zu a): Ablesen der Funktionswerte an den Intervallgrenzen: \(f(-4) = 2{,}4\) und \(f(4) = 2{,}4\). 2. Berechnung des Differenzenquotienten: \(m = \frac{f(4) - f(-4)}{4 - (-4)} = \frac{2{,}4 - 2{,}4}{8} = 0\). 3. Zu b): Damit die mittlere Änderungsrate \(0\) ist, müssen die Funktionswerte an beiden Grenzen gleich sein (\(f(a) = f(b)\)). Da der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist, gilt dies für jedes Intervall der Form \([-c; c]\). Ein mögliches Beispiel ist \([-2; 2]\), da hier \(f(-2) = 3{,}6\) und \(f(2) = 3{,}6\) gilt.

a) Die mittlere Änderungsrate im Intervall \([-4; 4]\) ist \(0\). b) Ein weiteres Intervall ist zum Beispiel \([-2; 2]\); wegen der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse gilt \(f(-2) = f(2)\), sodass die Sekante waagerecht verläuft.

- Was bedeuten die Achsenbeschriftungen in diesem Kontext? - Wie berechnet man die "durchschnittliche" Änderung über eine gewisse Zeitspanne? - Überlege, was es für den Wasserstand bedeutet, wenn die Änderungsrate negativ ist.

1. Bestimmung der Wertepaare aus dem Graphen: Zum Zeitpunkt \(t_1 = 2\,\text{h}\) beträgt die Höhe \(h(2) = 4{,}8\,\text{m}\). Zum Zeitpunkt \(t_2 = 6\,\text{h}\) beträgt die Höhe \(h(6) = 3{,}2\,\text{m}\). 2. Berechnung der mittleren Änderungsrate (Differenzenquotient): \(m = \frac{h(t_2) - h(t_1)}{t_2 - t_1} = \frac{3{,}2\,\text{m} - 4{,}8\,\text{m}}{6\,\text{h} - 2\,\text{h}} = \frac{-1{,}6\,\text{m}}{4\,\text{h}} = -0{,}4\,\text{m/h}\). 3. Interpretation: Das negative Vorzeichen zeigt an, dass der Wasserspiegel im Durchschnitt sinkt. Die Wasserhöhe nimmt pro Stunde um etwa \(0{,}4\,\text{m}\) ab.

Die durchschnittliche Änderungsrate beträgt \(-0{,}4\,\text{m/h}\). Das negative Vorzeichen gibt an, dass der Wasserspiegel im betrachteten Zeitraum sinkt.

- Überlege dir zuerst, welche zwei Punkte auf dem Graphen zu den Grenzen des jeweiligen Intervalls gehören. - Wie lautet die Formel für die Steigung einer Sekante durch zwei Punkte? - Achte beim Ablesen der Werte genau auf die Skalierung der Achsen.

1. Ablesen der Funktionswerte für das Intervall \([0; 2]\): Aus dem Graphen ergeben sich \(f(0) = 4\) und \(f(2) = 2\). 2. Berechnung des Differenzenquotienten für \(I = [0; 2]\): \(\frac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = \frac{2 - 4}{2} = -1\). 3. Ablesen der Funktionswerte für das Intervall \([-2; 0]\): Es gilt \(f(-2) = 2\) und \(f(0) = 4\). 4. Berechnung des Differenzenquotienten für \(I = [-2; 0]\): \(\frac{f(0) - f(-2)}{0 - (-2)} = \frac{4 - 2}{2} = 1\).

a) \(-1\); b) \(1\).

- Welche beiden Funktionswerte gehören jeweils zu den Intervallgrenzen? - Lies die Werte an den dafür beschrifteten Rasterpositionen ab. - Bilde anschließend den Differenzenquotienten aus Höhenänderung und Breite des Intervalls.

1. Für \([0;2]\) liest man \(g(0)=0\) und \(g(2)=0\) ab. Daher gilt \(\frac{g(2)-g(0)}{2-0}=0\). 2. Für \([1;3]\) liest man \(g(1)=-0{,}75\) und \(g(3)=3{,}75\) ab. 3. Damit gilt \(\frac{g(3)-g(1)}{3-1}=\frac{3{,}75-(-0{,}75)}{2}=2{,}25\).

a) \(0\) b) \(2{,}25\)

- Setze die Intervallgrenzen nacheinander in die Funktionsgleichung ein, um die \(y\)-Werte zu erhalten. - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn du Werte wie \(-1\) einsetzt oder subtrahierst. - Erinnere dich an die Definition der mittleren Änderungsrate als Quotient aus der Differenz der Funktionswerte und der Differenz der \(x\)-Werte.

1. Berechnung der Funktionswerte für das Intervall \([1; 3]\): \(h(1) = 3 \cdot 1^2 - 6 \cdot 1 + 2 = -1\) \(h(3) = 3 \cdot 3^2 - 6 \cdot 3 + 2 = 27 - 18 + 2 = 11\) 2. Berechnung des Differenzenquotienten für \(I = [1; 3]\): \(\frac{h(3) - h(1)}{3 - 1} = \frac{11 - (-1)}{2} = 6\). 3. Berechnung der Funktionswerte für das Intervall \([-1; 1]\): \(h(-1) = 3 \cdot (-1)^2 - 6 \cdot (-1) + 2 = 3 + 6 + 2 = 11\) \(h(1) = -1\) 4. Berechnung des Differenzenquotienten für \(I = [-1; 1]\): \(\frac{h(1) - h(-1)}{1 - (-1)} = \frac{-1 - 11}{2} = -6\).

a) \(6\); b) \(-6\).

- Berechne die Funktionswerte an den drei Intervallgrenzen und bilde für jedes Intervall den Differenzenquotienten. - Vergleiche anschließend Vorzeichen und Betrag der beiden Ergebnisse. - Betrachte die Lage der beiden Intervalle relativ zur Stelle \(x=2\), wenn du den Vergleich erklären möchtest.

1. Berechnung der Funktionswerte: \(k(0) = -0^2 + 4 \cdot 0 = 0\) \(k(2) = -2^2 + 4 \cdot 2 = -4 + 8 = 4\) \(k(4) = -4^2 + 4 \cdot 4 = -16 + 16 = 0\) 2. Mittlere Änderungsrate für \([0; 2]\): \(\frac{k(2) - k(0)}{2 - 0} = \frac{4 - 0}{2} = 2\). 3. Mittlere Änderungsrate für \([2; 4]\): \(\frac{k(4) - k(2)}{4 - 2} = \frac{0 - 4}{2} = -2\). 4. Vergleich: Die Beträge der Änderungsraten sind gleich (\(2\)), aber die Vorzeichen sind verschieden. Dies lässt sich durch die Symmetrie der Parabel zu ihrer Scheitelachse bei \(x = 2\) erklären.

a) \(2\); b) \(-2\). Die Änderungsraten haben den gleichen Betrag, aber entgegengesetzte Vorzeichen.

- Welche Graphenpunkte gehören zu den Grenzen des jeweiligen Zeitintervalls? - Welche Änderung steht im Zähler des Differenzenquotienten? - Welche Einheit ergibt sich aus Füllhöhe geteilt durch Zeit?

1. Aus dem Graphen liest man \(h(0)=0\), \(h(5)=5\) und \(h(15)=10\) ab. 2. Für \([0;5]\) gilt \(\frac{5-0}{5}=1\,\frac{\text{dm}}{\text{min}}\). 3. Für \([5;15]\) gilt \(\frac{10-5}{10}=0{,}5\,\frac{\text{dm}}{\text{min}}\). 4. Für \([0;15]\) gilt \(\frac{10-0}{15}=\frac{2}{3}\,\frac{\text{dm}}{\text{min}}\).

a) \(1\,\frac{\text{dm}}{\text{min}}\) b) \(0{,}5\,\frac{\text{dm}}{\text{min}}\) c) \(\frac{2}{3}\,\frac{\text{dm}}{\text{min}}\)

- Was ist der Unterschied zwischen einer mittleren und einer momentanen Änderungsrate? - Der Differenzenquotient entspricht der Steigung der Sekante durch die beiden Punkte auf dem Graphen. - Lies zuerst die y-Werte für die gegebenen x-Werte genau ab. - Verwende die Formel \(\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\).

Zuerst werden die Funktionswerte an den Intervallgrenzen aus dem Graphen abgelesen: \(h(0) = 0\), \(h(2) = -2\) und \(h(4) = 0\). 1. Für das Intervall \([0; 2]\) berechnet man den Differenzenquotienten als \(\frac{h(2)-h(0)}{2-0} = \frac{-2-0}{2} = -1\). 2. Für das Intervall \([2; 4]\) ergibt sich \(\frac{h(4)-h(2)}{4-2} = \frac{0-(-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1\). 3. Für das Intervall \([0; 4]\) ergibt sich \(\frac{h(4)-h(0)}{4-0} = \frac{0-0}{4} = 0\).

a) \(-1\) b) \(1\) c) \(0\)

- Die mittlere Änderungsrate ist die Steigung der Verbindungsgeraden zwischen zwei Punkten auf dem Graphen. - Achte beim Ablesen der Werte auf die Skalierung der Achsen. - Überlege dir, was eine mittlere Änderungsrate von \(0\) für den Verlauf des Graphen zwischen zwei Punkten bedeutet.

Die mittlere Änderungsrate im Intervall \([a; b]\) ist gegeben durch \(\frac{k(b)-k(a)}{b-a}\). Aus dem Graphen lassen sich folgende Werte ablesen: \(k(0) = 0\), \(k(2) = 2\), \(k(4) = 0\) und \(k(6) = -2\). 1. Intervall \([0; 2]\): \(\frac{k(2)-k(0)}{2-0} = \frac{2-0}{2} = 1\). 2. Intervall \([0; 4]\): \(\frac{k(4)-k(0)}{4-0} = \frac{0-0}{4} = 0\). 3. Intervall \([2; 6]\): \(\frac{k(6)-k(2)}{6-2} = \frac{-2-2}{4} = \frac{-4}{4} = -1\).

a) \(1\) b) \(0\) c) \(-1\)

- Überlege dir, was der Differenzenquotient anschaulich im Graphen bedeutet (z. B. die Steigung einer Sekante). - Lies zuerst die passenden \(y\)-Werte an den Grenzen der Intervalle auf der horizontalen Achse ab. - Achte beim Rechnen auf das Vorzeichen des Ergebnisses. Was bedeutet ein negatives Ergebnis für die Bewegung des Ballons? - Die Formel für die mittlere Änderungsrate im Intervall \([a; b]\) lautet \(\frac{h(b) - h(a)}{b - a}\).

1. Ablesen der Funktionswerte aus dem Graphen: \(h(0) = 100\,\text{m}\) \(h(1) = 160\,\text{m}\) \(h(4) = 100\,\text{m}\) 2. Berechnung der mittleren Änderungsrate für Intervall \(I_1 = [0; 1]\): \(m_1 = \frac{h(1) - h(0)}{1 - 0} = \frac{160 - 100}{1} = 60\,\text{m/min}\) 3. Berechnung der mittleren Änderungsrate für Intervall \(I_2 = [1; 4]\): \(m_2 = \frac{h(4) - h(1)}{4 - 1} = \frac{100 - 160}{3} = \frac{-60}{3} = -20\,\text{m/min}\)

a) Die mittlere Steigrate im Intervall \([0; 1]\) beträgt \(60\,\text{m/min}\). b) Die mittlere Änderungsrate im Intervall \([1; 4]\) beträgt \(-20\,\text{m/min}\); der Ballon sinkt durchschnittlich mit \(20\,\text{m/min}\).

- Der Differenzenquotient entspricht der Steigung der Geraden, die durch die beiden Punkte des Graphen an den Intervallgrenzen verläuft. - Ordne für beide Funktionen die \(x\)- und \(y\)-Werte an den Stellen \(-2\), \(0\) und \(4\) übersichtlich zu. - Achte beim Einsetzen in die Formel \(\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) besonders auf die Vorzeichen, wenn du negative Werte subtrahierst.

1. Ablesen der Funktionswerte für \(f\): \(f(-2) = 0\), \(f(0) = -1\), \(f(4) = 3\) 2. Berechnung der Differenzenquotienten für \(f\): Für \(I_1\): \(m_{f,1} = \frac{-1 - 0}{0 - (-2)} = -0{,}5\) Für \(I_2\): \(m_{f,2} = \frac{3 - (-1)}{4 - 0} = \frac{4}{4} = 1\) 3. Ablesen der Funktionswerte für \(g\): \(g(-2) = -2\), \(g(0) = 2\), \(g(4) = -2\) 4. Berechnung der Differenzenquotienten für \(g\): Für \(I_1\): \(m_{g,1} = \frac{2 - (-2)}{0 - (-2)} = \frac{4}{2} = 2\) Für \(I_2\): \(m_{g,2} = \frac{-2 - 2}{4 - 0} = \frac{-4}{4} = -1\)

a) Für \(f\): \(-0{,}5\); für \(g\): \(2\). b) Für \(f\): \(1\); für \(g\): \(-1\).

- Welche Volumenwerte liest du bei \(t=2\) und \(t=8\) ab? - Welche Einheit entsteht, wenn eine Volumenänderung durch eine Zeitspanne geteilt wird? - Beschreibe in der Interpretation nur das, was aus dem Volumengraphen tatsächlich folgt.

1. Aus dem Graphen liest man \(V(2)=10\) und \(V(8)=16\) ab. 2. Die mittlere Änderungsrate ist \(\frac{V(8)-V(2)}{8-2}=\frac{16-10}{6}=1\,\frac{\text{L}}{\text{min}}\). 3. Das Speichervolumen nimmt im betrachteten Zeitraum im Mittel um \(1\,\text{L}\) pro Minute zu. Aus dem Volumengraphen allein lässt sich nicht ableiten, wodurch diese Nettoänderung verursacht wird.

\(1\,\frac{\text{L}}{\text{min}}\). Das gespeicherte Volumen nimmt zwischen Minute 2 und Minute 8 im Mittel um \(1\,\text{L}\) pro Minute zu.

- Die durchschnittliche Änderungsrate entspricht der Steigung der Sekante durch zwei Punkte auf dem Graphen. - Überlege dir, welche Einheiten das Ergebnis haben muss (Volumen pro Zeit). - Schau dir die Steilheit der einzelnen Segmente im Graphen an, um eine erste Vermutung für Teilaufgabe b) aufzustellen. - Was bedeutet es physikalisch, wenn eine Menge, die in einem Gefäß gemessen wird, weniger wird?

1. Durchschnittliche Zuflussrate über \(10\) Minuten: Änderung des Volumens: \(\Delta V = 400\,\text{L} - 50\,\text{L} = 350\,\text{L}\). Zeitraum: \(\Delta t = 10\,\text{min} - 0\,\text{min} = 10\,\text{min}\). Durchschnittliche Rate: \(\frac{\Delta V}{\Delta t} = \frac{350}{10} = 35\,\text{L/min}\). 2. Vergleich der Intervalle: - \(0\) bis \(2\,\text{min}\): \(\frac{120 - 50}{2 - 0} = \frac{70}{2} = 35\,\text{L/min}\). - \(2\) bis \(5\,\text{min}\): \(\frac{200 - 120}{5 - 2} = \frac{80}{3} \approx 26{,}67\,\text{L/min}\). - \(5\) bis \(8\,\text{min}\): \(\frac{350 - 200}{8 - 5} = \frac{150}{3} = 50\,\text{L/min}\). - \(8\) bis \(10\,\text{min}\): \(\frac{400 - 350}{10 - 8} = \frac{50}{2} = 25\,\text{L/min}\). Die Rate war im Intervall von \(5\) bis \(8\) Minuten am höchsten (\(50\,\text{L/min}\)). 3. Interpretation einer negativen Steigung: Eine negative Steigung bedeutet, dass das Volumen mit der Zeit abnimmt. Das würde passieren, wenn die Wasserverluste durch Abfluss oder Verdunstung größer sind als der Zufluss.

a) Die durchschnittliche Zuflussrate beträgt \(35\,\text{L/min}\). b) Im Intervall von \(5\) bis \(8\) Minuten war sie mit \(50\,\text{L/min}\) am höchsten. c) Die Steigung wird negativ, wenn die Wasserverluste durch Abfluss oder Verdunstung größer als der Zufluss sind.

- Überlege dir zuerst, was der Differenzenquotient anschaulich am Graphen bedeutet. - Wie berechnet man die Steigung einer Sekante durch zwei Punkte? - Welche Werte nimmt die Funktion an den Rändern der angegebenen Intervalle an? - Wann ist die Steigung einer Geraden durch zwei Punkte auf dem Graphen genau null?

1. Ablesen der Funktionswerte vom Graphen: \(f(0) = 4\), \(f(1) = 3\), \(f(-2) = 0\). 2. Berechnung des Differenzenquotienten für das Intervall \([0; 1]\): \(m = \frac{f(1) - f(0)}{1 - 0} = \frac{3 - 4}{1} = -1\). 3. Berechnung für das Intervall \([-2; 0]\): \(m = \frac{f(0) - f(-2)}{0 - (-2)} = \frac{4 - 0}{2} = 2\). 4. Ein Differenzenquotient von \(0\) liegt vor, wenn die Funktionswerte an den Intervallgrenzen gleich sind. Aus dem Graphen ist ersichtlich, dass \(f(-1) = 3\) und \(f(1) = 3\) gilt. Somit hat der Differenzenquotient im Intervall \([-1; 1]\) den Wert \(0\).

a) Im Intervall \([0; 1]\) beträgt der Differenzenquotient \(-1\), im Intervall \([-2; 0]\) beträgt er \(2\). b) Ein mögliches Intervall mit dem Differenzenquotienten \(0\) ist \([-1; 1]\).

- Die mittlere Änderungsrate entspricht der Steigung der Sekante zwischen zwei Punkten auf dem Graphen. - Lies die \(y\)-Werte für die gegebenen \(x\)-Stellen so genau wie möglich aus dem Gitternetz ab. - Erinnere dich an die Formel für die Steigung: „Unterschied der \(y\)-Werte geteilt durch Unterschied der \(x\)-Werte“. - Suchst du ein Intervall mit Änderungsrate \(0\), musst du zwei Punkte auf gleicher Höhe finden.

1. Ablesen der Funktionswerte: \(g(-1) = 2\), \(g(1) = -2\), \(g(2) = 2\). 2. Mittlere Änderungsrate in \([-1; 1]\): \(m = \frac{g(1) - g(-1)}{1 - (-1)} = \frac{-2 - 2}{2} = -2\). 3. Mittlere Änderungsrate in \([1; 2]\): \(m = \frac{g(2) - g(1)}{2 - 1} = \frac{2 - (-2)}{1} = 4\). 4. Für eine mittlere Änderungsrate von \(0\) müssen die Funktionswerte an den Intervallgrenzen identisch sein. Da \(g(-2) = -2\) und \(g(1) = -2\), ist dies im Intervall \([-2; 1]\) der Fall.

a) In \([-1; 1]\) ist die mittlere Änderungsrate \(-2\), in \([1; 2]\) beträgt sie \(4\). b) Ein mögliches Intervall mit der mittleren Änderungsrate \(0\) ist \([-2; 1]\).

- Berechne zuerst die Funktionswerte an den vier Intervallgrenzen. - Bilde für jedes Intervall die Änderung des Funktionswerts geteilt durch die Änderung von \(x\). - Prüfe am Vorzeichen, ob das Ergebnis zum fallenden Verlauf von \(g\) für \(x>0\) passt.

1. Es gilt \(g(1)=6\), \(g(3)=2\), \(g(2)=3\) und \(g(5)=1{,}2\). 2. Für \([1;3]\) ist der Differenzenquotient \(\frac{2-6}{3-1}=-2\). 3. Für \([2;5]\) ist der Differenzenquotient \(\frac{1{,}2-3}{5-2}=-0{,}6\).

Auf \([1;3]\): \(-2\) Auf \([2;5]\): \(-0{,}6\)

- Kannst du die Temperaturwerte für den Anfang und das Ende des jeweiligen Zeitabschnitts aus dem Graphen ablesen? - Erinnere dich daran, wie man die Steigung einer Geraden (Sekante) durch zwei Punkte berechnet. - Überlege dir, welche Einheiten das Ergebnis haben muss, wenn du eine Temperaturänderung durch eine Zeitspanne teilst. - Was bedeutet das Vorzeichen deines Ergebnisses für die Temperaturentwicklung?

Um die mittlere Änderungsrate im Intervall \([a; b]\) zu bestimmen, berechnet man den Differenzenquotienten \(\frac{T(b) - T(a)}{b - a}\). 1. Intervall \(I_1 = [0; 20]\): Aus dem Graphen liest man die Werte \(T(0) = 60\,\text{°C}\) und \(T(20) = 40\,\text{°C}\) ab. Die mittlere Änderungsrate beträgt: \(\frac{40 - 60}{20 - 0} = \frac{-20}{20} = -1\,\text{°C/min}\). 2. Intervall \(I_2 = [20; 40]\): Aus dem Graphen liest man die Werte \(T(20) = 40\,\text{°C}\) und \(T(40) = 30\,\text{°C}\) ab. Die mittlere Änderungsrate beträgt: \(\frac{30 - 40}{40 - 20} = \frac{-10}{20} = -0{,}5\,\text{°C/min}\). Die Ergebnisse zeigen, dass der Tee am Anfang schneller abkühlt als später.

a) Die mittlere Änderungsrate im Intervall \([0; 20]\) beträgt \(-1\,\text{°C/min}\). b) Im Intervall \([20; 40]\) beträgt sie \(-0{,}5\,\text{°C/min}\).

- Bestimme zunächst die Höhe der Pflanze zu den Zeitpunkten \(t = 0\), \(t = 10\) und \(t = 20\) aus dem Diagramm. - Wie berechnet man die Zunahme der Höhe in einem bestimmten Zeitraum? - Teile die Höhenzunahme durch die Anzahl der vergangenen Wochen, um den Durchschnittswert zu erhalten. - Achte auf die Einheiten auf den Achsen.

Die durchschnittliche Wachstumsrate wird mithilfe des Differenzenquotienten \(\frac{h(t_2) - h(t_1)}{t_2 - t_1}\) berechnet. 1. Zeitraum \(t \in [0; 10]\): Abgelesene Werte: \(h(0) = 50\,\text{cm}\) und \(h(10) = 200\,\text{cm}\). Wachstumsrate: \(\frac{200 - 50}{10 - 0} = \frac{150}{10} = 15\,\text{cm/Woche}\). 2. Zeitraum \(t \in [10; 20]\): Abgelesene Werte: \(h(10) = 200\,\text{cm}\) und \(h(20) = 250\,\text{cm}\). Wachstumsrate: \(\frac{250 - 200}{20 - 10} = \frac{50}{10} = 5\,\text{cm/Woche}\). Die Pflanze wächst in der ersten Phase deutlich schneller als in der zweiten Phase.

a) Die durchschnittliche Wachstumsrate in den ersten 10 Wochen beträgt \(15\,\text{cm/Woche}\). b) In den Wochen 10 bis 20 beträgt sie \(5\,\text{cm/Woche}\).

- Überlege dir zuerst, welche Werte auf der waagerechten und der senkrechten Achse abgetragen sind. - Die mittlere Änderungsrate entspricht grafisch der Steigung einer Sekante durch zwei Punkte des Graphen. - Achte beim Berechnen auf die Differenz der Funktionswerte im Zähler und die Differenz der Zeitwerte im Nenner. - Was bedeutet eine positive, eine negative oder die Änderungsrate Null für den Inhalt der Tonne?

1. Beschreibung des Verlaufs: In den ersten 4 Stunden steigt der Wasserstand deutlich an. Von Stunde 4 bis 8 bleibt der Pegel konstant auf dem Höchstwert. In den letzten 4 Stunden sinkt der Wasserstand wieder ab. 2. Berechnung der mittleren Änderungsraten mit dem Differenzenquotienten \(\frac{\Delta h}{\Delta t}\): - Intervall \([0; 4]\): \(\frac{40 - 10}{4 - 0} = \frac{30}{4} = 7{,}5\,\text{cm/h}\). - Intervall \([4; 8]\): \(\frac{40 - 40}{8 - 4} = 0\,\text{cm/h}\). - Intervall \([8; 12]\): \(\frac{20 - 40}{12 - 8} = -5\,\text{cm/h}\). 3. Interpretation: - \(7{,}5\,\text{cm/h}\): Der positive Wert steht für eine positive Nettozufuhr, etwa durch Regen. - \(0\,\text{cm/h}\): Der Wasserstand bleibt im Mittel konstant. Es gibt keine Nettoänderung; mögliche Zu- und Abflüsse können sich ausgleichen. - \(-5\,\text{cm/h}\): Der negative Wert steht für eine deutliche Nettoentnahme oder einen Abfluss, etwa durch Gießen, Ablassen oder ein Leck. Der Pegel sinkt im Mittel um \(5\,\text{cm}\) pro Stunde.

a) Der Wasserstand steigt zunächst an, bleibt dann konstant und sinkt anschließend wieder. b) \([0; 4]\): \(7{,}5\,\text{cm/h}\); \([4; 8]\): \(0\,\text{cm/h}\); \([8; 12]\): \(-5\,\text{cm/h}\). c) Positiv bedeutet Nettozufuhr, null keine Nettoänderung und negativ Nettoentnahme oder Abfluss.

- Überlege dir, welche Punkte auf dem Graphen zu den gesuchten Zeitpunkten gehören. - Der Differenzenquotient entspricht grafisch der Steigung einer Geraden durch zwei Punkte. Wie nennt man diese Gerade? - Was sagt eine Steigung über die Änderung einer Größe aus, wenn die Zeit auf der waagerechten Achse steht? - Lies zwei gut erkennbare Punkte auf der eingezeichneten Tangente ab und berechne daraus ihre Steigung.

1. Aus dem Graphen lassen sich die Funktionswerte direkt ablesen: \(T(0) = 4\) und \(T(6) = 7{,}6\). Die Temperaturen betragen also \(4\,{^\circ}\text{C}\) (um 6:00 Uhr) und \(7{,}6\,{^\circ}\text{C}\) (um 12:00 Uhr). 2. Einsetzen der Werte in den Differenzenquotienten: \(\frac{7{,}6 - 4}{6 - 0} = \frac{3{,}6}{6} = 0{,}6\). 3. Das Ergebnis \(0{,}6\,{^\circ}\text{C}/\text{h}\) gibt die mittlere (durchschnittliche) Temperaturänderung pro Stunde im Zeitraum von 6:00 Uhr bis 12:00 Uhr an. 4. Die Tangente verläuft beispielsweise durch die Punkte \((2 \mid 6)\) und \((7 \mid 10)\). Ihre Steigung beträgt \(\frac{10 - 6}{7 - 2} = \frac{4}{5} = 0{,}8\). Somit liegt die momentane Erwärmungsrate bei etwa \(0{,}8\,{^\circ}\text{C}/\text{h}\).

1. \(T(0) = 4\,{^\circ}\text{C}\) und \(T(6) = 7{,}6\,{^\circ}\text{C}\); 2. \(0{,}6\); 3. mittlere Erwärmungsrate von \(0{,}6\,{^\circ}\text{C}/\text{h}\) zwischen 6:00 Uhr und 12:00 Uhr; 4. \(T'(2) \approx 0{,}8\,{^\circ}\text{C}/\text{h}\).

- Welche beiden Höhenwerte brauchst du für den Abschnitt von \(x=1\) bis \(x=4\)? - Wie wird die mittlere Steigung aus Höhenänderung und horizontaler Entfernung gebildet? - Was bedeutet ein negatives Ergebnis für das Profil der Rinne?

1. Es gilt \(h(1)=-0{,}2+5=4{,}8\) und \(h(4)=-0{,}2\cdot16+5=1{,}8\). 2. Die mittlere Steigung ist \(\frac{h(4)-h(1)}{4-1}=\frac{1{,}8-4{,}8}{3}=-1\). 3. Die Höhe nimmt auf diesem Abschnitt im Mittel um \(1\,\text{m}\) je \(1\,\text{m}\) horizontaler Strecke ab. Das negative Vorzeichen beschreibt das Gefälle.

Die mittlere Steigung beträgt \(-1\). Die Rinne verliert auf diesem Abschnitt im Mittel \(1\,\text{m}\) Höhe pro \(1\,\text{m}\) horizontaler Entfernung.

- Welche Temperaturen liest du jeweils an den beiden Intervallgrenzen ab? - Bilde die Temperaturänderung geteilt durch die jeweilige Zeitspanne. - Für den Vergleich von Zu- und Abnahme in b) sind die Beträge der Änderungsraten entscheidend.

1. Von 4:00 Uhr bis 12:00 Uhr gilt \(\frac{22-8}{12-4}=1{,}75\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{h}}\). 2. Von 12:00 Uhr bis 20:00 Uhr gilt \(\frac{14-22}{20-12}=-1\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{h}}\). 3. Auf \([8;10]\) gilt \(\frac{19-14}{10-8}=2{,}5\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{h}}\). Auf \([18;20]\) gilt \(\frac{14-18}{20-18}=-2\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{h}}\). 4. Wegen \(2{,}5>2\) ist der Betrag der mittleren Änderungsrate auf \([8;10]\) größer.

a) 4:00–12:00 Uhr: \(1{,}75\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{h}}\) 12:00–20:00 Uhr: \(-1\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{h}}\) b) \([8;10]\): \(2{,}5\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{h}}\) \([18;20]\): \(-2\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{h}}\). Auf \([8;10]\) ist die Temperaturänderung im Mittel stärker.

- Suche zuerst die Punkte auf dem Graphen, die zu den Grenzen des jeweiligen Intervalls gehören. - Der Differenzenquotient entspricht der Steigung der Geraden (Sekante), die diese beiden Punkte verbindet. - Überlege dir, wie man die Steigung zwischen zwei Punkten \((x_1 \mid y_1)\) und \((x_2 \mid y_2)\) berechnet. - Achte beim Einsetzen in die Formel besonders auf die Vorzeichen, wenn Funktionswerte negativ sind.

1. Für das Intervall \([1; 3]\) werden die Funktionswerte an den Stellen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\) abgelesen: \(g(1) = -2\) und \(g(3) = 4\). Der Differenzenquotient berechnet sich zu \(\frac{g(3) - g(1)}{3 - 1} = \frac{4 - (-2)}{2} = \frac{6}{2} = 3\). 2. Für das Intervall \([-2; 0]\) werden die Funktionswerte \(g(-2) = 4\) und \(g(0) = 1\) abgelesen. Der Differenzenquotient ergibt sich zu \(\frac{g(0) - g(-2)}{0 - (-2)} = \frac{1 - 4}{2} = \frac{-3}{2} = -1{,}5\).

a) Der Differenzenquotient im Intervall \([1; 3]\) beträgt \(3\). b) Im Intervall \([-2; 0]\) beträgt er \(-1{,}5\).

- Welche Wegänderung gehört jeweils zu den betrachteten Zeitabschnitten? - Vergleiche in Teil 2 die Steigungen der beiden Sekanten über den vollständigen Teilintervallen. - Welche Größe beschreibt eine Sekante durch Start- und Endpunkt eines Zeit-Weg-Diagramms?

1. Die Durchschnittsgeschwindigkeit für die gesamte Wanderung beträgt \(\frac{22{,}4\,\text{km}}{8\,\text{h}}=2{,}8\,\text{km/h}\). 2. Auf \([0;4]\) gilt \(\frac{12{,}8}{4}=3{,}2\,\text{km/h}\). Auf \([4;8]\) gilt \(\frac{22{,}4-12{,}8}{4}=2{,}4\,\text{km/h}\). Daher war der Wanderer im ersten Abschnitt im Durchschnitt schneller. Grafisch entspricht das der größeren Steigung der Sekante über \([0;4]\) im Vergleich zur Sekante über \([4;8]\). 3. Die Sekante durch Start- und Endpunkt hat die Steigung \(2{,}8\,\text{km/h}\); sie stellt die Durchschnittsgeschwindigkeit der gesamten Wanderung dar.

1. Die Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt \(2{,}8\,\text{km/h}\). 2. Im Abschnitt \([0; 4]\) war der Wanderer mit \(3{,}2\,\text{km/h}\) schneller als im Abschnitt \([4; 8]\) mit \(2{,}4\,\text{km/h}\); dort ist der Graph steiler. 3. Die Steigung der Sekante durch \(P\) und \(Q\) entspricht der Durchschnittsgeschwindigkeit der gesamten Wanderung.

- Welche Gerade verbindet die beiden Punkte, die zu den Intervallgrenzen gehören? - Berechne die Steigung aus den Koordinaten von \(A\) und \(B\). - Überlege, welche Gerade nur die Steigung an einem einzigen Berührpunkt beschreibt.

1. Die mittlere Änderungsrate auf \([0;2]\) wird durch die Sekante durch die beiden Intervallendpunkte dargestellt. Das ist die Gerade \(s\). 2. Es gilt \(A(0\mid0)\) und \(B(2\mid2)\). Daher ist die Sekantensteigung \(\frac{2-0}{2-0}=1\). 3. Die Sekantensteigung \(1\) beschreibt die mittlere Änderung über das ganze Intervall. Die Tangentensteigung in \(B\) beschreibt dagegen die momentane Änderungsrate an der einzelnen Stelle \(x=2\); aus dem Graphen ergibt sich dafür die Steigung \(2\).

a) Die Sekante \(s\). b) \(1\). c) \(1\) ist die mittlere Änderungsrate auf \([0;2]\); die Tangentensteigung \(2\) ist die momentane Änderungsrate bei \(x=2\).

- Welche zwei Volumenwerte gehören jeweils zu dem betrachteten Zeitintervall? - Wie wird eine mittlere Änderungsrate aus zwei Funktionswerten und zwei Zeitpunkten gebildet? - Was bedeutet das negative Vorzeichen für das verbleibende Wasservolumen? - Wie hängt die negative Änderungsrate des Tankinhalts mit einer positiv angegebenen Abflussrate zusammen?

1. Bestimme die Volumina: \(V(0) = 200\), \(V(10) = 0{,}5 \cdot 10^2 - 20 \cdot 10 + 200 = 50\) und \(V(20) = 0\). 2. Für \([0;10]\) gilt \(\frac{V(10)-V(0)}{10-0} = \frac{50-200}{10} = -15\,\frac{\text{L}}{\text{min}}\). 3. Für \([10;20]\) gilt \(\frac{V(20)-V(10)}{20-10} = \frac{0-50}{10} = -5\,\frac{\text{L}}{\text{min}}\). 4. Das negative Vorzeichen beschreibt die Abnahme des verbleibenden Wasservolumens. Als positive Abflussraten ergeben sich daher im Mittel \(15\,\frac{\text{L}}{\text{min}}\) beziehungsweise \(5\,\frac{\text{L}}{\text{min}}\). Der Tank leert sich im ersten Zeitabschnitt im Mittel schneller.

a) Auf \([0;10]\): \(-15\,\frac{\text{L}}{\text{min}}\) Auf \([10;20]\): \(-5\,\frac{\text{L}}{\text{min}}\) b) Die mittleren Abflussraten betragen \(15\,\frac{\text{L}}{\text{min}}\) beziehungsweise \(5\,\frac{\text{L}}{\text{min}}\). Im ersten Zeitabschnitt fließt im Mittel mehr Wasser pro Minute ab.

- Was darf man beim Einsetzen in einen Bruch für \(x\) nicht verwenden? - Wie berechnet man die Steigung einer Sekante durch zwei Punkte eines Graphen? - Welche Werte musst du zuerst berechnen, bevor du die Formel für die Änderungsrate anwenden kannst?

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Der Nenner darf nicht null werden, also \(x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2\). Somit ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}\). 2. Berechnung der Funktionswerte an den Intervallgrenzen: \(f(-4) = \frac{6}{-4-2} = -1\), \(f(-1) = \frac{6}{-1-2} = -2\) und \(f(1) = \frac{6}{1-2} = -6\). 3. Berechnung der mittleren Änderungsrate für \(I_1\): \(\frac{f(-1)-f(-4)}{-1-(-4)} = \frac{-2-(-1)}{3} = -\frac{1}{3}\). 4. Berechnung der mittleren Änderungsrate für \(I_2\): \(\frac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)} = \frac{-6-(-2)}{2} = -2\). 5. Berechnung der mittleren Änderungsrate für \(I_3\): \(\frac{f(1)-f(-4)}{1-(-4)} = \frac{-6-(-1)}{5} = -1\).

\(D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}\) Mittlere Änderungsrate in \(I_1\): \(-\frac{1}{3}\) Mittlere Änderungsrate in \(I_2\): \(-2\) Mittlere Änderungsrate in \(I_3\): \(-1\)

- Welche Bedingung muss für den Ausdruck unter einer Quadratwurzel gelten? - Erinnere dich an den Differenzenquotienten \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\). - Hilft es dir, die Funktionswerte an den Stellen \(x=0\), \(x=3\) und \(x=8\) zuerst einzeln aufzuschreiben?

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Der Radikand muss größer oder gleich null sein, also \(x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1\). Somit ist \(D_f = [-1; \infty[\). 2. Berechnung der Funktionswerte an den relevanten Stellen: \(f(0) = \sqrt{0+1} = 1\), \(f(3) = \sqrt{3+1} = 2\) und \(f(8) = \sqrt{8+1} = 3\). 3. Mittlere Änderungsrate für \(I_1\): \(\frac{f(3)-f(0)}{3-0} = \frac{2-1}{3} = \frac{1}{3}\). 4. Mittlere Änderungsrate für \(I_2\): \(\frac{f(8)-f(3)}{8-3} = \frac{3-2}{5} = \frac{1}{5} = 0{,}2\). 5. Mittlere Änderungsrate für \(I_3\): \(\frac{f(8)-f(0)}{8-0} = \frac{3-1}{8} = \frac{2}{8} = 0{,}25\).

\(D_f = [-1; \infty[\) Mittlere Änderungsrate in \(I_1\): \(\frac{1}{3}\) Mittlere Änderungsrate in \(I_2\): \(0{,}2\) Mittlere Änderungsrate in \(I_3\): \(0{,}25\)

- Wie verändert ein prozentuales Wachstum den Wert über die Zeit? - Welche mathematische Struktur beschreibt den Durchschnittswert einer Änderung in einem Intervall? - Was gibt die Steigung einer Sekante durch zwei Punkte eines Graphen an? - Überlege, welche Einheit das Ergebnis der Berechnung haben muss.

1. Aufstellen der Funktionsgleichung: Da das Kapital jährlich um \(4\,\%\) wächst, lautet der Wachstumsfaktor \(1{,}04\). Die Funktion ist \(K(t) = 1000 \cdot 1{,}04^t\). 2. Berechnung für \(I_1 = [0; 10]\): Der Differenzenquotient ergibt sich aus \(\frac{K(10) - K(0)}{10 - 0}\). Mit \(K(10) = 1000 \cdot 1{,}04^{10} \approx 1480{,}24\) und \(K(0) = 1000\) folgt \(\frac{1480{,}24 - 1000}{10} \approx 48{,}02\). 3. Berechnung für \(I_2 = [20; 30]\): Der Differenzenquotient lautet \(\frac{K(30) - K(20)}{30 - 20}\). Mit \(K(30) = 1000 \cdot 1{,}04^{30} \approx 3243{,}40\) und \(K(20) = 1000 \cdot 1{,}04^{20} \approx 2191{,}12\) folgt \(\frac{3243{,}40 - 2191{,}12}{10} \approx 105{,}23\). 4. Interpretation: Die mittlere Änderungsrate gibt den durchschnittlichen jährlichen Zuwachs des Kapitals in Euro pro Jahr im jeweiligen Zeitraum an. Da das Kapital durch die Zinseszinsen exponentiell wächst, ist der absolute Zuwachs in späteren Jahren bei gleichem Prozentsatz deutlich höher.

a) \(K(t) = 1000 \cdot 1{,}04^t\) b) (1) ca. \(48{,}02\,\frac{\text{€}}{\text{Jahr}}\); (2) ca. \(105{,}23\,\frac{\text{€}}{\text{Jahr}}\) c) Die Werte geben den durchschnittlichen jährlichen Wertzuwachs in Euro an. Der Unterschied rührt vom Zinseszinseffekt her: Da das Gesamtkapital über die Zeit steigt, führen die gleichbleibenden \(4\,\%\) Zinsen zu immer größeren absoluten Euro-Beträgen.

- Erinnere dich an die Formel für den Differenzenquotienten. - Was bedeutet ein negatives Ergebnis bei einer Änderungsrate für den Verlauf der Kurve? - Betrachte die absoluten Mengen, die in den jeweiligen Zeiträumen verschwinden. - Hängt die Geschwindigkeit des Abbaus von der noch vorhandenen Menge ab?

1. Für \(I_1\) gilt \(C(0)=200\) und \(C(2)=128\). Damit ist \(\frac{C(2)-C(0)}{2}=-36\,\frac{\text{mg}}{\text{L}\cdot\text{h}}\). 2. Für \(I_2\) gilt \(C(4)=81{,}92\) und \(C(6)=52{,}4288\). Damit ist \(\frac{C(6)-C(4)}{2}=-14{,}7456\,\frac{\text{mg}}{\text{L}\cdot\text{h}}\). 3. Das negative Vorzeichen zeigt, dass die Konzentration abnimmt. 4. Im ersten Intervall ist der Betrag der mittleren Änderungsrate größer. Bei einem festen prozentualen Abbau ist die absolute Abnahme größer, solange die vorhandene Konzentration größer ist.

a) \(I_1:\ -36\,\frac{\text{mg}}{\text{L}\cdot\text{h}}\) \(I_2:\ -14{,}7456\,\frac{\text{mg}}{\text{L}\cdot\text{h}}\) b) Das negative Vorzeichen bedeutet, dass die Wirkstoffkonzentration abnimmt. c) Der Betrag ist im ersten Intervall größer, weil bei demselben prozentualen Abbau von einer höheren Konzentration mehr Wirkstoff absolut abgebaut wird.

- Achte darauf, alle Zeitangaben in dieselbe Einheit (Sekunden) umzurechnen, bevor du mit der Geschwindigkeit rechnest. - Was gibt der Differenzenquotient grafisch an, wenn du zwei Punkte eines Graphen verbindest? - Überlege dir, ob ein Objekt während eines Zeitraums immer exakt mit seiner Durchschnittsgeschwindigkeit fahren muss.

1. Berechnung der Zeitdifferenz in Sekunden: \(\Delta t = (28 - 12) \cdot 60\,\text{s} = 16 \cdot 60\,\text{s} = 960\,\text{s}\). 2. Berechnung des Höhenunterschieds mittels der mittleren Änderungsrate (Geschwindigkeit): \(\Delta h = \bar{v} \cdot \Delta t = 3{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 960\,\text{s} = 3360\,\text{m}\). 3. Bestimmung der Anfangshöhe \(h(t_1)\): \(h(t_1) = h(t_2) - \Delta h = 7450\,\text{m} - 3360\,\text{m} = 4090\,\text{m}\). 4. Geometrische Interpretation: Bei einer Zeitachse in Sekunden entspricht die mittlere Steiggeschwindigkeit der Steigung der Sekante durch die beiden Messpunkte. Sind die Zeitwerte wie in der Aufgabenstellung in Minuten eingetragen, beträgt die Sekantensteigung \(210\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\), was \(3{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) entspricht. 5. Begründung zur Unbestimmtheit: Da die mittlere Geschwindigkeit nur eine Durchschnittsangabe über das Intervall ist, kann die Momentangeschwindigkeit variieren. Ohne Kenntnis der genauen Funktion \(h(t)\) ist der Verlauf des Graphen zwischen den Messpunkten unbekannt (die Sekante muss nicht mit dem tatsächlichen Funktionsgraphen übereinstimmen).

a) Die Höhe zum Zeitpunkt \(t_1\) betrug \(4090\,\text{m}\). b) Geometrisch entspricht die mittlere Steiggeschwindigkeit der Sekantensteigung. Bei einer Zeitachse in Minuten beträgt diese \(210\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\), entsprechend \(3{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). Da die Geschwindigkeit zwischen \(t_1\) und \(t_2\) nicht konstant sein muss, kann die reale Höhe zu einem Zwischenzeitpunkt nicht aus der Durchschnittsgeschwindigkeit allein bestimmt werden.

- Wie hängen die mittlere Änderungsrate, die Zeitdifferenz und die Änderung der Messgröße zusammen? - Erinnere dich an die Definition des Differenzenquotienten als Bruch. - Was ist der grafische Unterschied zwischen einer Sekante und einer Tangente?

1. Die Zeitspanne beträgt \(10\,\text{min}\). Die gesamte Temperaturänderung ist daher \(-1{,}8\,\frac{\text{K}}{\text{min}}\cdot10\,\text{min}=-18\,\text{K}\). 2. Damit gilt \(T(5)=42{,}5\,^\circ\text{C}-(-18\,\text{K})=60{,}5\,^\circ\text{C}\). 3. Der Differenzenquotient ist \(\frac{T(15)-T(5)}{15-5}=\frac{42{,}5-60{,}5}{10}=-1{,}8\,\frac{\text{K}}{\text{min}}\). 4. Dieser Wert beschreibt die mittlere Temperaturänderung über das ganze Intervall. \(T'(10)\) beschreibt dagegen die momentane Temperaturänderung bei \(t=10\). Aus der mittleren Änderungsrate allein lässt sich \(T'(10)\) nicht bestimmen; beide Werte können übereinstimmen, müssen es aber nicht.

a) \(60{,}5\,^\circ\text{C}\) b) \(\frac{T(15)-T(5)}{15-5}=-1{,}8\,\frac{\text{K}}{\text{min}}\). Dieser Wert bestimmt \(T'(10)\) nicht eindeutig; mittlere und momentane Änderungsrate können gleich sein, müssen es aber nicht.

- Erinnere dich an die Formel für den Differenzenquotienten. - Setze die Intervallgrenzen in die Funktion ein, um die benötigten Funktionswerte zu erhalten. - Wende beim Einsetzen von \( 2+h \) die binomischen Formeln an. - Versuche am Ende, den Parameter im Nenner durch Ausklammern und Kürzen zu eliminieren.

1. Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \( x_1 = 2 \): \( f(2) = 2 \cdot 2^2 - 2 = 6 \). 2. Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \( x_2 = 2+h \): \( f(2+h) = 2(2+h)^2 - (2+h) = 2(4 + 4h + h^2) - 2 - h = 8 + 8h + 2h^2 - 2 - h = 2h^2 + 7h + 6 \). 3. Aufstellen des Differenzenquotienten für das Intervall \( [2; 2+h] \): \( \frac{f(2+h) - f(2)}{(2+h) - 2} = \frac{(2h^2 + 7h + 6) - 6}{h} \). 4. Vereinfachen des Terms: \( \frac{2h^2 + 7h}{h} = \frac{h(2h + 7)}{h} = 2h + 7 \).

Die mittlere Änderungsrate beträgt \( 2h + 7 \).

- Die Steigung einer Sekante entspricht der mittleren Änderungsrate im entsprechenden Intervall. - Was musst du beim Rechnen mit Brüchen im Zähler beachten? - Kannst du den Term im Zähler so zusammenfassen, dass du den Faktor im Nenner herauskürzen kannst? - Achte auf die Vorzeichen beim Auflösen der Klammern.

1. Bestimmung der Funktionswerte: \( g(1) = \frac{3}{1} = 3 \) und \( g(1+a) = \frac{3}{1+a} \). 2. Aufstellen der Formel für die Sekantensteigung (Differenzenquotient): \( m_s = \frac{g(1+a) - g(1)}{(1+a) - 1} = \frac{\frac{3}{1+a} - 3}{a} \). 3. Umformung des Zählers durch Hauptnennerbildung: \( \frac{3}{1+a} - 3 = \frac{3 - 3(1+a)}{1+a} = \frac{3 - 3 - 3a}{1+a} = \frac{-3a}{1+a} \). 4. Division durch \( a \) zur Bestimmung der Steigung: \( m_s = \frac{-3a}{1+a} \cdot \frac{1}{a} = -\frac{3}{1+a} \).

Die Steigung der Sekante ist \( -\frac{3}{1+a} \).

- Verwende die Formel für den Differenzenquotienten: \(\frac{h(x_2) - h(x_1)}{x_2 - x_1}\). - Welche Größe erhält man, wenn man eine zurückgelegte Höhendifferenz durch die benötigte Zeit teilt? - Stelle für den dritten Teil eine Gleichung auf, in der die linke Seite der Definition der mittleren Änderungsrate entspricht. - Kannst du den Term im Zähler durch \(b\) teilen, um die Gleichung zu vereinfachen?

1. Berechnung des Differenzenquotienten im Intervall \([0{,}5; 1{,}5]\): Zuerst werden die Funktionswerte \(h(1{,}5) = -5 \cdot 1{,}5^2 + 20 \cdot 1{,}5 + 2 = 20{,}75\) und \(h(0{,}5) = -5 \cdot 0{,}5^2 + 20 \cdot 0{,}5 + 2 = 10{,}75\) bestimmt. Der Quotient ergibt \(\frac{20{,}75 - 10{,}75}{1{,}5 - 0{,}5} = \frac{10}{1} = 10\). 2. Die mittlere Änderungsrate der Position (Höhe) über der Zeit entspricht der Durchschnittsgeschwindigkeit. Die Einheit ist \(\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 3. Zur Bestimmung von \(b\) wird der Ansatz \(\frac{h(b) - h(0)}{b - 0} = 10\) genutzt. Mit \(h(0) = 2\) folgt \(\frac{-5b^2 + 20b + 2 - 2}{b} = 10\). Durch Kürzen von \(b\) erhält man \(-5b + 20 = 10\). Auflösen nach \(b\) ergibt \(5b = 10\), also \(b = 2\).

1. Die mittlere Änderungsrate beträgt \(10\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 2. Die Größe ist die Durchschnittsgeschwindigkeit in der Einheit \(\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 3. Der gesuchte Zeitpunkt ist \(b = 2\,\text{s}\).

- Was gibt das Verhältnis von zurückgelegter Strecke zur benötigten Zeit an? - Welche Werte aus der Tabelle musst du wählen, um eine Änderung über einen bestimmten Zeitraum zu berechnen? - Wie berechnet man die Steigung einer Sekante zwischen zwei Punkten im Zeit-Weg-Diagramm? - Achte darauf, welche Zeitpunkte den Beginn und das Ende der jeweils gefragten Intervalle markieren.

1. Berechnung der mittleren Geschwindigkeit für das gesamte Intervall \([0; 80]\) mittels Differenzenquotient: \(\frac{s(80) - s(0)}{80 - 0} = \frac{80\,\text{km} - 0\,\text{km}}{80\,\text{min} - 0\,\text{min}} = 1\,\frac{\text{km}}{\text{min}}\). 2. Berechnung für die erste Teilphase \([0; 30]\): \(\frac{s(30) - s(0)}{30 - 0} = \frac{25 - 0}{30} \approx 0{,}83\,\frac{\text{km}}{\text{min}}\). 3. Berechnung für die zweite Teilphase \([30; 80]\): \(\frac{s(80) - s(30)}{80 - 30} = \frac{80 - 25}{50} = \frac{55}{50} = 1{,}1\,\frac{\text{km}}{\text{min}}\). 4. Vergleich der Randintervalle: Für \([0; 10]\) ergibt sich \(\frac{15 - 0}{10} = 1{,}5\,\frac{\text{km}}{\text{min}}\). Für \([65; 80]\) ergibt sich \(\frac{80 - 55}{80 - 65} = \frac{25}{15} \approx 1{,}67\,\frac{\text{km}}{\text{min}}\). Die mittlere Geschwindigkeit im letzten Intervall ist höher.

a) Die mittlere Geschwindigkeit beträgt \(1\,\frac{\text{km}}{\text{min}}\). b) Erste \(30\,\text{min}\): \(\approx 0{,}83\,\frac{\text{km}}{\text{min}}\); restliche Zeit: \(1{,}1\,\frac{\text{km}}{\text{min}}\). c) Erste \(10\,\text{min}\): \(1{,}5\,\frac{\text{km}}{\text{min}}\); letzte \(15\,\text{min}\): \(\approx 1{,}67\,\frac{\text{km}}{\text{min}}\). Die Geschwindigkeit in den letzten \(15\,\text{min}\) ist größer.

- Die mittlere Beschleunigung entspricht der mittleren Änderungsrate der Geschwindigkeit. - Nutze die Formel für den Differenzenquotienten \(\frac{\Delta v}{\Delta t}\). - Identifiziere für jedes Teilproblem die korrekten Zeitwerte \(t_1\) und \(t_2\) sowie die zugehörigen Geschwindigkeitswerte. - Was bedeutet es für die Beschleunigung, wenn sich die Geschwindigkeit in einem Zeitraum gar nicht ändert?

1. Mittlere Beschleunigung im Intervall \([0; 20]\): \(\frac{v(20) - v(0)}{20 - 0} = \frac{30 - 0}{20} = 1{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\). 2. Mittlere Beschleunigung für \([0; 10]\): \(\frac{12 - 0}{10} = 1{,}2\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\). 3. Mittlere Beschleunigung für \([10; 20]\): \(\frac{30 - 12}{20 - 10} = \frac{18}{10} = 1{,}8\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\). 4. Vergleich der Intervalle: Für \([0; 4]\) gilt \(\frac{12 - 0}{4} = 3\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\). Für \([18; 20]\) gilt \(\frac{30 - 25}{20 - 18} = \frac{5}{2} = 2{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\). Die mittlere Beschleunigung im ersten Intervall \([0; 4]\) ist somit größer.

a) Die mittlere Beschleunigung beträgt \(1{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\). b) Erste Hälfte: \(1{,}2\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\); zweite Hälfte: \(1{,}8\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\). c) Im Intervall \([0; 4]\) ist sie mit \(3\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\) größer als im Intervall \([18; 20]\) mit \(2{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\).

- Erinnere dich an die Formel für die Steigung einer Geraden durch zwei Punkte. - Kannst du im Zähler einen gemeinsamen Faktor ausklammern? - Schau dir den Zähler nach dem Ausklammern genau an – erkennst du eine binomische Formel? - Was passiert, wenn du den Bruch kürzt?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(m_s = \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = \frac{0{,}5x^2 + 2 - 4}{x - 2} = \frac{0{,}5x^2 - 2}{x - 2}\) 2. Vereinfachung des Terms: Durch Ausklammern von \(0{,}5\) im Zähler erhält man \(\frac{0{,}5(x^2 - 4)}{x - 2}\). Anwendung der dritten binomischen Formel ergibt \(\frac{0{,}5(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = 0{,}5(x + 2)\) für \(x \neq 2\). 3. Berechnung für \(x = 2{,}2\): Einsetzen des Wertes in den vereinfachten Term ergibt \(0{,}5 \cdot (2{,}2 + 2) = 0{,}5 \cdot 4{,}2 = 2{,}1\)

a) \(m_s = \frac{0{,}5x^2 - 2}{x - 2}\) für \(x \neq 2\) b) \(m_s = 0{,}5x + 1\) für \(x \neq 2\) c) \(2{,}1\)

- Setze die entsprechenden Ausdrücke für die Stellen \(x_0 + h\) und \(x_0\) in die Funktionsgleichung ein. - Achte beim Subtrahieren der Funktionswerte besonders auf die Vorzeichen in der Klammer. - Nutze die erste binomische Formel zum Auflösen der Klammer. - Kannst du im Zähler \(h\) ausklammern, um den Bruch zu vereinfachen?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{g(x_0 + h) - g(x_0)}{h} = \frac{((x_0 + h)^2 - 5(x_0 + h)) - (x_0^2 - 5x_0)}{h}\) 2. Vereinfachung des Terms: Ausmultiplizieren ergibt \(\frac{x_0^2 + 2x_0h + h^2 - 5x_0 - 5h - x_0^2 + 5x_0}{h}\). Zusammenfassen der Terme im Zähler führt zu \(\frac{2x_0h + h^2 - 5h}{h}\). Durch Kürzen mit \(h\) erhält man \(2x_0 + h - 5\) 3. Berechnung für \(x_0 = 3\) und \(h = 0{,}1\): Einsetzen der Werte ergibt \(2 \cdot 3 + 0{,}1 - 5 = 6 + 0{,}1 - 5 = 1{,}1\)

a) \(\frac{(x_0 + h)^2 - 5(x_0 + h) - (x_0^2 - 5x_0)}{h}\) für \(h > 0\) b) \(2x_0 + h - 5\) c) \(1{,}1\)

- Wie berechnet man allgemein die Steigung einer Geraden durch zwei Punkte? - Setze die Funktionsvorschrift für den Punkt \(Q\) in die Steigungsformel ein. - Achte beim Subtrahieren negativer Werte auf die Vorzeichen. - Kannst du den Zähler faktorisieren, um den Bruch zu vereinfachen?

1. Die Koordinaten der Punkte sind \(P(-1 \mid -1)\) und \(Q(x \mid 2x^2 - 3)\). 2. Die Formel für die Sekantensteigung (Differenzenquotient) lautet \(m_s = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\). 3. Einsetzen der Werte ergibt \(m_s = \frac{(2x^2 - 3) - (-1)}{x - (-1)}\). 4. Vereinfachen des Zählers und Nenners führt zu \(m_s = \frac{2x^2 - 2}{x + 1}\). 5. Ausklammern von \(2\) im Zähler ergibt \(m_s = \frac{2(x^2 - 1)}{x + 1}\). 6. Anwendung der dritten binomischen Formel im Zähler: \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\). 7. Kürzen des Terms \((x + 1)\) liefert das Ergebnis \(m_s = 2(x - 1) = 2x - 2\) für \(x \neq -1\).

\(m_s = 2x - 2\) (für \(x \neq -1\))

- Überlege dir, wie du die Änderung der Anzahl durch die Anzahl der Jahre teilst. - Was bedeutet es für die Population, wenn das Ergebnis der Rechnung negativ ist? - Vergleiche die Ergebnisse der einzelnen Zeitabschnitte, um das Maximum zu finden. - Achte darauf, dass die Zeitabstände zwischen den Messungen nicht immer gleich groß sind.

1. Gesamter Zeitraum \([2015; 2023]\): \(\frac{2100 - 1200}{2023 - 2015} = \frac{900}{8} = 112{,}5\,\frac{\text{Tiere}}{\text{Jahr}}\). 2. Zeitraum \([2017; 2018]\): \(\frac{1820 - 1550}{1} = 270\,\frac{\text{Tiere}}{\text{Jahr}}\). 3. Zeitraum \([2018; 2020]\): \(\frac{1740 - 1820}{2020 - 2018} = \frac{-80}{2} = -40\,\frac{\text{Tiere}}{\text{Jahr}}\). 4. Interpretation: Das negative Vorzeichen im Zeitraum 2018 bis 2020 bedeutet, dass der Bestand der Wildtierpopulation in diesem Zeitraum durchschnittlich abgenommen hat. 5. Vergleich der Teilintervalle: - \([2015; 2017]\): \(\frac{1550 - 1200}{2} = 175\,\frac{\text{Tiere}}{\text{Jahr}}\) - \([2017; 2018]\): \(270\,\frac{\text{Tiere}}{\text{Jahr}}\) - \([2018; 2020]\): \(-40\,\frac{\text{Tiere}}{\text{Jahr}}\) - \([2020; 2023]\): \(\frac{2100 - 1740}{3} = \frac{360}{3} = 120\,\frac{\text{Tiere}}{\text{Jahr}}\) Das größte durchschnittliche jährliche Wachstum liegt im Zeitraum 2017 bis 2018 vor.

a) \(112{,}5\,\frac{\text{Tiere}}{\text{Jahr}}\) b) \(270\,\frac{\text{Tiere}}{\text{Jahr}}\) und \(-40\,\frac{\text{Tiere}}{\text{Jahr}}\) c) Negative Änderungsrate bedeutet Bestandsabnahme. d) Im Zeitraum 2017 bis 2018 mit \(270\,\frac{\text{Tiere}}{\text{Jahr}}\).

- Was ist die Definition der mittleren Geschwindigkeit im Zusammenhang mit dem zurückgelegten Weg? - Erinnerst du dich an die Formel für den Differenzenquotienten? - Gibt es eine binomische Formel, mit der du den Bruch vereinfachen kannst? - Achte beim Einsetzen der Werte auf die korrekte Reihenfolge der Rechenschritte.

1. Berechnung des Differenzenquotienten für \(s(t)\): \(\frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1} = \frac{\frac{1}{2} a t_2^2 - \frac{1}{2} a t_1^2}{t_2 - t_1}\) 2. Ausklammern des konstanten Faktors \(\frac{1}{2} a\): \(\frac{\frac{1}{2} a \cdot (t_2^2 - t_1^2)}{t_2 - t_1}\) 3. Anwendung der dritten binomischen Formel auf den Zähler: \(\frac{\frac{1}{2} a \cdot (t_2 - t_1)(t_2 + t_1)}{t_2 - t_1}\) 4. Kürzen des Terms \((t_2 - t_1)\) ergibt den allgemeinen Term: \(v_m = \frac{1}{2}a(t_1 + t_2)\) 5. Einsetzen der gegebenen Werte \(a = 2{,}4\), \(t_1 = 5\) und \(t_2 = 15\): \(v_m = \frac{1}{2} \cdot 2{,}4 \cdot (5 + 15) = 1{,}2 \cdot 20 = 24\) 6. Die mittlere Geschwindigkeit beträgt \(24\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\).

a) \(v_m = \frac{1}{2}a(t_1 + t_2)\) b) \(24\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\)

- Wie hängen die Begriffe „Sekantensteigung“ und „mittlere Änderungsrate“ zusammen? - Setze die gegebenen Punkte in die Formel für die Steigung \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) ein. - Für den zweiten Teil kannst du eine Gleichung aufstellen, in der die gesuchte Stelle \(x_2\) die Unbekannte ist. - Kannst du den Term im Bruch vereinfachen, bevor du die Gleichung löst?

1. Berechnung der Funktionswerte für Teil a): \(f(2) = 0{,}2 \cdot 2^2 + 3 = 3{,}8\) und \(f(7) = 0{,}2 \cdot 7^2 + 3 = 12{,}8\) 2. Berechnung der Sekantensteigung (Differenzenquotient): \(m_s = \frac{f(7) - f(2)}{7 - 2} = \frac{12{,}8 - 3{,}8}{5} = \frac{9}{5} = 1{,}8\) 3. Aufstellen der Gleichung für die mittlere Änderungsrate in Teil b): \(\frac{f(x_2) - f(0)}{x_2 - 0} = 1{,}6\) 4. Einsetzen der Funktionsvorschrift: \(\frac{(0{,}2x_2^2 + 3) - (0{,}2 \cdot 0^2 + 3)}{x_2} = 1{,}6\) 5. Vereinfachen des Zählers: \(\frac{0{,}2x_2^2}{x_2} = 1{,}6\) 6. Kürzen durch \(x_2\) (da \(x_2 > 0\)): \(0{,}2x_2 = 1{,}6\) 7. Auflösen nach \(x_2\): \(x_2 = \frac{1{,}6}{0{,}2} = 8\)

a) \(1{,}8\) b) \(x_2 = 8\)

- Wie übersetzt man eine prozentuale Zunahme in einen Wachstumsfaktor \(b\)? - Was genau gibt der Wert \(a\) in der Funktionsgleichung an? - Erinnere dich an die Formel für die Steigung einer Sekante zwischen zwei Punkten auf einem Graphen. - Achte darauf, welche Einheiten für die Änderungsrate sinnvoll sind.

1. Bestimmung der Parameter: Der Anfangswert ist \(a = 2\). Der Wachstumsfaktor \(b\) ergibt sich aus der Zunahme von \(25\,\%\) zu \(b = 1 + 0{,}25 = 1{,}25\). Die Funktionsgleichung lautet \(A(t) = 2 \cdot 1{,}25^t\). 2. Berechnung der Flächenwerte: Nach \(4\) Wochen beträgt die Fläche \(A(4) = 2 \cdot 1{,}25^4 \approx 4{,}8828\,\text{m}^2\). Nach \(8\) Wochen beträgt sie \(A(8) = 2 \cdot 1{,}25^8 \approx 11{,}9209\,\text{m}^2\). 3. Mittlere Änderungsrate im Intervall \([0; 4]\): Differenzenquotient \(m_1 = \frac{A(4) - A(0)}{4 - 0} = \frac{4{,}8828 - 2}{4} \approx 0{,}7207\,\frac{\text{m}^2}{\text{Woche}}\). 4. Mittlere Änderungsrate im Intervall \([4; 8]\): Differenzenquotient \(m_2 = \frac{A(8) - A(4)}{8 - 4} = \frac{11{,}9209 - 4{,}8828}{4} \approx 1{,}7595\,\frac{\text{m}^2}{\text{Woche}}\).

a) \(A(t) = 2 \cdot 1{,}25^t\) b) Nach \(4\) Wochen: ca. \(4{,}88\,\text{m}^2\); nach \(8\) Wochen: ca. \(11{,}92\,\text{m}^2\). c) Erste \(4\) Wochen: ca. \(0{,}72\,\frac{\text{m}^2}{\text{Woche}}\); Wochen \(4\) bis \(8\): ca. \(1{,}76\,\frac{\text{m}^2}{\text{Woche}}\).

- Welcher Faktor \(b\) beschreibt eine Abnahme um einen bestimmten Prozentsatz? - Was bedeutet eine negative Änderungsrate im Sachzusammenhang? - Wie berechnet man den Durchschnittswert einer Änderung über ein Zeitintervall? - Überlege, warum der Betrag der Änderung bei kleiner werdenden Grundwerten ebenfalls sinkt.

1. Aufstellen der Funktion: Der Anfangswert ist \(a = 5000\). Bei einem Verlust von \(15\,\%\) bleibt ein Restwertfaktor von \(b = 1 - 0{,}15 = 0{,}85\). Somit gilt \(V(t) = 5000 \cdot 0{,}85^t\). 2. Werte für b): \(V(0) = 5000\) und \(V(2) = 5000 \cdot 0{,}85^2 = 3612{,}5\). Mittlere Änderungsrate im Intervall \([0; 2]\): \(\frac{3612{,}5 - 5000}{2 - 0} = -693{,}75\,\frac{\text{€}}{\text{Jahr}}\). 3. Werte für c): \(V(5) = 5000 \cdot 0{,}85^5 \approx 2218{,}53\) und \(V(7) = 5000 \cdot 0{,}85^7 \approx 1602{,}89\). Mittlere Änderungsrate im Intervall \([5; 7]\): \(\frac{1602{,}89 - 2218{,}53}{7 - 5} \approx -307{,}82\,\frac{\text{€}}{\text{Jahr}}\). 4. Vergleich/Interpretation: Der absolute Wertverlust pro Jahr nimmt ab, obwohl der Prozentsatz gleich bleibt. Dies liegt daran, dass sich die \(15\,\%\) im späteren Zeitraum auf einen deutlich geringeren Restwert beziehen als unmittelbar nach dem Kauf.

a) \(V(t) = 5000 \cdot 0{,}85^t\) b) Der durchschnittliche Wertverlust beträgt \(693{,}75\,\text{€}\) pro Jahr (Änderungsrate: \(-693{,}75\,\frac{\text{€}}{\text{Jahr}}\)). c) Zwischen Jahr \(5\) und \(7\) beträgt die mittlere Änderungsrate ca. \(-307{,}82\,\frac{\text{€}}{\text{Jahr}}\). Der absolute Wertverlust ist geringer, da der Bezugswert (Restwert) über die Zeit sinkt.

- Erinnere dich an die Formel für exponentielle Abnahme. Was ist der Unterschied zwischen prozentualer und absoluter Änderung? - Die mittlere Änderungsrate berechnest du mit dem Differenzenquotienten über das jeweilige Intervall. - Überlege dir, wie sich der Grundwert für die \(4\,\%\) über die Jahre verändert.

1. Funktionsgleichung: Der Anfangswert ist \(W_0 = 15\,000\). Bei einer Abnahme von \(4\,\%\) pro Jahr beträgt der Wachstumsfaktor \(a = 1 - 0{,}04 = 0{,}96\). Somit gilt \(W(t) = 15\,000 \cdot 0{,}96^t\). 2. Mittlere jährliche Änderungsrate: Für \([0; 5]\) berechnet man \(W(0) = 15\,000\) und \(W(5) = 15\,000 \cdot 0{,}96^5 \approx 12\,230{,}59\). Die mittlere Änderungsrate ist \(\frac{12230{,}59 - 15000}{5} \approx -553{,}88\,\frac{\text{€}}{\text{Jahr}}\). Für \([10; 15]\) berechnet man \(W(10) = 15\,000 \cdot 0{,}96^{10} \approx 9972{,}49\) und \(W(15) = 15\,000 \cdot 0{,}96^{15} \approx 8131{,}30\). Die mittlere Änderungsrate ist \(\frac{8131{,}30 - 9972{,}49}{5} \approx -368{,}24\,\frac{\text{€}}{\text{Jahr}}\). 3. Vergleich und Begründung: Der absolute Wertverlust ist in den ersten Jahren deutlich höher (\(\approx 554\,\frac{\text{€}}{\text{Jahr}}\)) als in späteren Jahren (\(\approx 368\,\frac{\text{€}}{\text{Jahr}}\)). Dies liegt daran, dass sich die konstante prozentuale Abnahme von \(4\,\%\) immer auf den aktuell vorhandenen Restwert bezieht. Da dieser Restwert mit der Zeit sinkt, wird auch der absolute Betrag, der den \(4\,\%\) entspricht, immer kleiner.

a) \(W(t) = 15\,000 \cdot 0{,}96^t\) b) Intervall \([0; 5]\): \(\approx -553{,}88\,\frac{\text{€}}{\text{Jahr}}\); Intervall \([10; 15]\): \(\approx -368{,}24\,\frac{\text{€}}{\text{Jahr}}\). c) Der absolute Verlust sinkt, da die \(4\,\%\) auf eine immer kleiner werdende Basis (den Restwert) angewendet werden.

- Erinnere dich an die allgemeine Struktur eines Differenzenquotienten. Was bedeuten die Zahlen im Nenner und im Zähler? - Die Zahlen im Nenner geben die Grenzen des Intervalls auf der x-Achse an. Welche Intervalle kannst du aus den beiden Ausdrücken ablesen? - Schaue dir nun für jedes Intervall die zugehörigen Funktionswerte (y-Werte) auf den Graphen an. Stimmen sie mit den Zahlen im Zähler überein? - Wenn du die passende Zuordnung gefunden hast, vereinfache den Bruch Schritt für Schritt, um den Wert der mittleren Änderungsrate zu berechnen.

1. Zuordnung und Begründung: - Der Differenzenquotient I hat die Form \(\frac{f(b) - f(a)}{b - a}\) mit \(a = 1\) und \(b = 3\). Auf dem linken Graphen der Funktion \(f\) liegen die Punkte \((1 \mid -1{,}5)\) und \((3 \mid 2{,}5)\). Der Differenzenquotient I gehört somit zum Graphen von \(f\) im Intervall \([1; 3]\). - Der Differenzenquotient II hat die Form \(\frac{g(b) - g(a)}{b - a}\) mit \(a = 0\) und \(b = 2\). Auf dem rechten Graphen der Funktion \(g\) liegen die Punkte \((0 \mid 1)\) und \((2 \mid 0)\). Der Differenzenquotient II gehört somit zum Graphen von \(g\) im Intervall \([0; 2]\). 2. Berechnung der mittleren Änderungsraten: - Für die Funktion \(f\): \(\frac{2{,}5 - (-1{,}5)}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2\) - Für die Funktion \(g\): \(\frac{0 - 1}{2 - 0} = \frac{-1}{2} = -0{,}5\)

1. Der Differenzenquotient I gehört zur Funktion \(f\) im Intervall \([1; 3]\) (Punkte \((1 \mid -1{,}5)\) und \((3 \mid 2{,}5)\)). Der Differenzenquotient II gehört zur Funktion \(g\) im Intervall \([0; 2]\) (Punkte \((0 \mid 1)\) und \((2 \mid 0)\)). 2. Die mittlere Änderungsrate für \(f\) beträgt \(2\). Die mittlere Änderungsrate für \(g\) beträgt \(-0{,}5\).

- Erinnere dich daran, wie ein Differenzenquotient \(\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) aufgebaut ist. Welche Koordinaten kannst du daraus ablesen? - Finde für jedes Kärtchen die zwei Punkte \((x_1 \mid y_1)\) und \((x_2 \mid y_2)\), die im Zähler und Nenner verwendet werden. - Suche auf den drei Graphen nach genau diesen Punktpaaren. Welcher Graph verläuft durch beide Punkte eines Kärtchens? - Achte besonders auf die Vorzeichen im Zähler und Nenner, um die korrekten Punktkoordinaten zu bestimmen.

Der Differenzenquotient auf einem Intervall \([x_1; x_2]\) ist allgemein definiert als \(\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\), wobei \(P_1(x_1 \mid y_1)\) und \(P_2(x_2 \mid y_2)\) zwei Punkte auf dem Graphen der Funktion sind. 1. Für **Kärtchen A**: Der Ausdruck \(\frac{1 - 1}{4 - 0}\) entspricht den Punkten \(P_1(0 \mid 1)\) und \(P_2(4 \mid 1)\). Betrachtet man die Graphen, so verläuft nur der Graph (1) (Parabel \(G_f\)) durch diese beiden Punkte, da \(f(0) = 1\) und \(f(4) = 1\). Somit gehört Kärtchen A zu Graph (1). 2. Für **Kärtchen B**: Der Ausdruck \(\frac{1 - (-1)}{3 - (-1)}\) entspricht den Punkten \(P_1(-1 \mid -1)\) und \(P_2(3 \mid 1)\). Nur der Graph (2) (Gerade \(G_g\)) verläuft durch diese Punkte, da \(g(-1) = -1\) und \(g(3) = 1\). Somit gehört Kärtchen B zu Graph (2). 3. Für **Kärtchen C**: Der Ausdruck \(\frac{-1 - 0}{2 - 0}\) entspricht den Punkten \(P_1(0 \mid 0)\) und \(P_2(2 \mid -1)\). Nur der Graph (3) (Hyperbel \(G_h\)) verläuft durch diese Punkte, da \(h(0) = 0\) und \(h(2) = -1\). Somit gehört Kärtchen C zu Graph (3).

Graph (1) gehört zu Kärtchen A (Punkte: \((0 \mid 1)\) und \((4 \mid 1)\)); Graph (2) gehört zu Kärtchen B (Punkte: \((-1 \mid -1)\) und \((3 \mid 1)\)); Graph (3) gehört zu Kärtchen C (Punkte: \((0 \mid 0)\) und \((2 \mid -1)\)).

- Welche Höhenwerte gehören zu den Endpunkten des jeweils betrachteten Abschnitts? - Wie erhältst du aus Höhenänderung und horizontaler Entfernung eine Steigung? - Was bedeutet das negative Vorzeichen bei einem Höhenprofil? - Welche Information über einzelne Teilstücke geht beim Bilden eines Durchschnittswerts verloren?

1. Aus der Abbildung liest man \(h(0)=1300\,\text{m}\), \(h(800)=940\,\text{m}\) und \(h(1600)=820\,\text{m}\) ab. 2. Für die gesamte Strecke gilt \(\frac{820-1300}{1600-0}=-0{,}30=-30\,\%\). 3. Für die erste Hälfte gilt \(\frac{940-1300}{800-0}=-0{,}45=-45\,\%\). 4. Für die zweite Hälfte gilt \(\frac{820-940}{1600-800}=-0{,}15=-15\,\%\). 5. Die erste Hälfte hat damit im Mittel das betragsmäßig dreimal so große Gefälle. 6. Eine mittlere Steigung beschreibt nur den Höhenunterschied zwischen den Intervallenden pro horizontaler Strecke. Einzelne Teilstücke können deutlich steiler sein und durch flachere Teilstücke ausgeglichen werden.

a) \(-30\,\%\) b) Erste Hälfte: \(-45\,\%\); zweite Hälfte: \(-15\,\%\). Das mittlere Gefälle ist in der ersten Hälfte betragsmäßig dreimal so groß. c) Aus einer durchschnittlichen Steigung folgt keine obere Schranke für lokale Steigungen. Einzelne Teilstücke können daher steiler als \(-50\,\%\) sein.

- Kannst du beschreiben, was die Achsen des Diagramms darstellen und welche Einheiten verwendet werden? - Wie berechnet man die durchschnittliche Steigung (mittlere Änderungsrate) zwischen zwei Punkten auf einem Graphen? Erinnere dich an das Steigungsdreieck. - Was bedeutet eine negative Änderungsrate im Kontext einer Ballonfahrt? - Überlege für den letzten Aufgabenteil: Bewegt sich der Ballon mit einer gleichbleibenden (konstanten) Geschwindigkeit nach oben? - Ist eine durchschnittliche Geschwindigkeit dasselbe wie die tatsächliche Geschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt?

1. **Beschreibung des Verlaufs:** - Im Intervall \([0; 20]\) steigt der Ballon von einer Anfangshöhe von \(100\,\text{m}\) auf \(400\,\text{m}\). Der Aufstieg beginnt langsam, wird zur Mitte hin steiler und flacht zum Ende hin wieder ab. - Im Intervall \([20; 40]\) verweilt der Ballon auf einer konstanten Höhe von \(400\,\text{m}\) (Schwebephase). - Im Intervall \([40; 60]\) sinkt der Ballon wieder auf seine Endhöhe von \(100\,\text{m}\) ab, wobei der Sinkflug ebenfalls erst langsam, dann steiler und zum Schluss wieder flacher verläuft. 2. **Berechnung der mittleren Änderungsraten (Differenzenquotient \(m = \frac{h(t_2) - h(t_1)}{t_2 - t_1}\)):** - Für das Intervall \([0; 20]\): \(m_1 = \frac{400\,\text{m} - 100\,\text{m}}{20\,\text{min} - 0\,\text{min}} = \frac{300}{20} = 15\,\text{m/min}\). Der Ballon steigt in den ersten \(20\) Minuten durchschnittlich um \(15\,\text{m}\) pro Minute. - Für das Intervall \([20; 40]\): \(m_2 = \frac{400\,\text{m} - 400\,\text{m}}{40\,\text{min} - 20\,\text{min}} = 0\,\text{m/min}\). Die mittlere vertikale Geschwindigkeit ist in diesem Intervall null. - Für das Intervall \([40; 60]\): \(m_3 = \frac{100\,\text{m} - 400\,\text{m}}{60\,\text{min} - 40\,\text{min}} = \frac{-300}{20} = -15\,\text{m/min}\). Der Ballon sinkt in diesem Zeitraum durchschnittlich um \(15\,\text{m}\) pro Minute. 3. **Stellungnahme zur Behauptung:** - Aus dem Diagramm lässt sich ablesen, dass die tatsächliche Höhe nach \(10\) Minuten tatsächlich genau \(250\,\text{m}\) beträgt. - Die Argumentation des Beobachters ist dennoch fehlerhaft (Trugschluss). Seine Rechnung (\(100 + 10 \cdot 15 = 250\)) setzt voraus, dass sich der Ballon mit einer konstanten Geschwindigkeit (linear) bewegt. Da der Aufstieg jedoch ungleichmäßig verläuft (gekrümmter Graph), darf man nicht linear interpolieren. Dass der Wert exakt übereinstimmt, liegt an der Symmetrie der Kurve, nicht an einer konstanten Steiggeschwindigkeit.

a) \([0; 20]\): Aufstieg von \(100\,\text{m}\) auf \(400\,\text{m}\) (anfangs langsam, dann steiler, dann wieder flacher); \([20; 40]\): Schweben auf konstanter Höhe von \(400\,\text{m}\); \([40; 60]\): Sinkflug von \(400\,\text{m}\) auf \(100\,\text{m}\) (anfangs langsam, dann steiler, am Ende flacher). b) \([0; 20]\): \(15\,\text{m/min}\) (durchschnittliche Steiggeschwindigkeit); \([20; 40]\): \(0\,\text{m/min}\) (keine vertikale Bewegung im Durchschnitt); \([40; 60]\): \(-15\,\text{m/min}\) (durchschnittliche Sinkgeschwindigkeit von \(15\,\text{m/min}\)). c) Der tatsächliche Wert im Diagramm beträgt bei \(t = 10\) zwar genau \(250\,\text{m}\), aber die Argumentation des Beobachters ist fehlerhaft: Sie nimmt eine konstante Steiggeschwindigkeit an, obwohl der tatsächliche Aufstieg ungleichmäßig verläuft.

- Erinnere dich daran, wie man Funktionswerte für ein gegebenes \(x\) am Graphen abliest: Gehe auf der horizontalen Achse zum Wert und lies den zugehörigen Wert auf der vertikalen Achse ab. - Die mittlere Änderungsrate in einem Intervall \([a; b]\) ist definiert als der Differenzenquotient \(\frac{f(b) - f(a)}{b - a}\). Überlege, welche geometrische Linie zwei Punkte auf einem Graphen verbindet. - Die momentane Änderungsrate an einer Stelle \(x\) entspricht der Ableitung \(f'(x)\). Wie verhält sich eine Linie, die den Graphen in genau einem Punkt berührt und dort die gleiche Steigung hat? - Lies zwei gut erkennbare Punkte auf der Tangente ab und berechne daraus ihre Steigung.

1. Ablesen der Funktionswerte: Durch Ablesen am Graphen bei den entsprechenden \(x\)-Werten erhält man: \(f(0) = 1\) \(f(6) = 4\) 2. Berechnung der mittleren Änderungsrate: Die mittlere Änderungsrate im Intervall \([0; 6]\) wird über den Differenzenquotienten berechnet: \(\frac{f(6) - f(0)}{6 - 0} = \frac{4 - 1}{6 - 0} = \frac{3}{6} = 0{,}5\) Geometrische Bedeutung: Dieser Wert entspricht der Steigung der Sekante durch die beiden Punkte \(A(0 \mid 1)\) und \(B(6 \mid 4)\) auf dem Graphen von \(f\). 3. Bestimmung der momentanen Änderungsrate: Die momentane Änderungsrate \(f'(2)\) an der Stelle \(x = 2\) entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen im Punkt \((2 \mid 4)\). Legt man an dieser Stelle eine Tangente an, so verläuft diese durch die Punkte \((0 \mid 2)\) und \((2 \mid 4)\). Die Steigung beträgt somit: \(f'(2) = \frac{4 - 2}{2 - 0} = 1\) Geometrische Bedeutung: Dieser Wert entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen von \(f\) im Punkt \(P(2 \mid f(2))\).

a) \(f(0) = 1\) und \(f(6) = 4\). b) Die mittlere Änderungsrate beträgt \(0{,}5\); geometrisch entspricht sie der Steigung der Sekante durch \((0 \mid 1)\) und \((6 \mid 4)\). c) Die momentane Änderungsrate beträgt \(f'(2) = 1\); geometrisch entspricht sie der Steigung der Tangente im Punkt \((2 \mid 4)\).

- Achte auf die unterschiedlichen Einheiten auf den beiden Achsen (Kilometer und Meter). Wie rechnest du sie um, um eine Steigung in Prozent anzugeben? - Wie berechnet man die Steigung zwischen zwei Punkten allgemein? Welche Formel für die mittlere Änderungsrate kennst du? - Was bedeutet eine negative Steigung im Sachzusammenhang? - Überlege dir für den Aufgabenteil b), ob ein Läufer auf einer flachen, konstant ansteigenden Straße genauso viel Kraft benötigt wie auf einer Strecke mit steilen Bergen und Tälern.

1. Umrechnung der Einheiten: Da die horizontale Entfernung in Kilometern (\(\text{km}\)) und die Höhe in Metern (\(\text{m}\)) angegeben ist, müssen die horizontalen Distanzen in Meter umgerechnet werden (\(1\,\text{km} = 1000\,\text{m}\)). Jeder der drei Abschnitte hat eine horizontale Länge von \(\Delta x = 4\,\text{km} = 4000\,\text{m}\). Die Gesamtstrecke hat eine Länge von \(\Delta x_{\text{gesamt}} = 12\,\text{km} = 12\,000\,\text{m}\). 2. Berechnung der durchschnittlichen Steigungen (Differenzenquotienten \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\)) in Prozent: - Abschnitt 1 (Start bis \(B\)): \(\Delta y = 260\,\text{m} - 100\,\text{m} = 160\,\text{m}\). Die durchschnittliche Steigung beträgt \(\frac{160\,\text{m}}{4000\,\text{m}} = 0{,}04 = 4\,\%\). - Abschnitt 2 (\(B\) bis \(C\)): \(\Delta y = 180\,\text{m} - 260\,\text{m} = -80\,\text{m}\). Die durchschnittliche Steigung beträgt \(\frac{-80\,\text{m}}{4000\,\text{m}} = -0{,}02 = -2\,\%\) (Gefälle). - Abschnitt 3 (\(C\) bis Ziel): \(\Delta y = 420\,\text{m} - 180\,\text{m} = 240\,\text{m}\). Die durchschnittliche Steigung beträgt \(\frac{240\,\text{m}}{4000\,\text{m}} = 0{,}06 = 6\,\%\). 3. Berechnung für die gesamte Strecke: - \(\Delta y_{\text{gesamt}} = 420\,\text{m} - 100\,\text{m} = 320\,\text{m}\). - Die durchschnittliche Gesamtsteigung beträgt \(\frac{320\,\text{m}}{12000\,\text{m}} \approx 0{,}0267 = 2{,}67\,\%\), exakt \(2\frac{2}{3}\,\%\). 4. Beurteilung: Die durchschnittliche Gesamtsteigung von ca. \(2{,}67\,\%\) spiegelt die Anstrengung des Laufs nicht gut wider. Da sich Steigungen und Gefälle gegenseitig ausgleichen, wird die tatsächliche Anstrengung des welligen Profils, insbesondere des Schlussanstiegs mit \(6\,\%\), unterschätzt.

a) 1. \(4\,\%\); 2. \(-2\,\%\); 3. \(6\,\%\). b) Die durchschnittliche Gesamtsteigung beträgt \(\approx 2{,}67\,\%\) (exakt \(2\frac{2}{3}\,\%\)). Dieser Wert spiegelt die Anstrengung nicht gut wider, weil sich Anstiege und Gefälle im Mittel teilweise ausgleichen.

- Welche Funktionswerte gehören zu den Grenzen des jeweiligen Intervalls? - Wie lautet der Differenzenquotient für ein Intervall \([a;b]\)? - Was bedeutet ein negatives Ergebnis für den Wasserstand?

1. Berechne die benötigten Funktionswerte: \(h(0)=3\), \(h(1)=2\), \(h(5)=4\), \(h(6)=3\) und \(h(8)=-5\). 2. Für \([1;5]\) gilt \(\frac{h(5)-h(1)}{5-1}=0{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{h}}\). 3. Für \([0;6]\) gilt \(\frac{h(6)-h(0)}{6-0}=0\,\frac{\text{m}}{\text{h}}\). 4. Für \([5;8]\) gilt \(\frac{h(8)-h(5)}{8-5}=-3\,\frac{\text{m}}{\text{h}}\).

a) \(0{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{h}}\) b) \(0\,\frac{\text{m}}{\text{h}}\) c) \(-3\,\frac{\text{m}}{\text{h}}\)

- Welche Streckenänderung und welche Zeitspanne gehören jeweils zum betrachteten Intervall? - Achte darauf, Minuten in Stunden umzuwandeln, bevor du die Geschwindigkeit in \(\text{km/h}\) angibst. - Nutze in b) die beiden ausdrücklich angegebenen Näherungswerte aus dem Graphen.

1. Für die gesamte Fahrt beträgt die Zeit \(10\,\text{min}=\frac{1}{6}\,\text{h}\) und die Strecke \(4\,\text{km}\). Daher ist die mittlere Geschwindigkeit \(\frac{4}{1/6}=24\,\text{km/h}\). 2. Von \(t=2\) bis \(t=8\) werden ungefähr \(3{,}4-0{,}6=2{,}8\,\text{km}\) in \(6\,\text{min}=0{,}1\,\text{h}\) zurückgelegt. Damit beträgt die mittlere Geschwindigkeit ungefähr \(28\,\text{km/h}\).

a) \(24\,\text{km/h}\) b) \(\approx28\,\text{km/h}\)

- Welches Punktpaar aus einem Kärtchen findest du jeweils in einem der Graphen wieder? - Ein Differenzenquotient beschreibt die Steigung der Sekante durch die beiden zugehörigen Punkte. - Achte besonders auf die Vorzeichen der Höhenänderungen. - Kontrolliere deine Zuordnung, indem du den Differenzenquotienten aus den abgelesenen Koordinaten selbst bildest.

1. Graph (1) verläuft durch \((-2|-0{,}2)\) und \((3|0{,}8)\). Damit ist die mittlere Änderungsrate \(\frac{0{,}8-(-0{,}2)}{3-(-2)}=0{,}2\). Das ist Kärtchen A. 2. Graph (2) verläuft durch \((1|2)\) und \((4|0{,}5)\). Damit ist die mittlere Änderungsrate \(\frac{0{,}5-2}{4-1}=-0{,}5\). Das ist Kärtchen B. 3. Graph (3) verläuft durch \((0|0)\) und \((2|2)\). Damit ist die mittlere Änderungsrate \(\frac{2-0}{2-0}=1\). Das ist Kärtchen C.

Graph (1): Kärtchen A, mittlere Änderungsrate \(0{,}2\) Graph (2): Kärtchen B, mittlere Änderungsrate \(-0{,}5\) Graph (3): Kärtchen C, mittlere Änderungsrate \(1\)

- Schau dir die Nenner der Brüche an. Sie geben die Differenz der \(x\)-Werte an, also die Breite des betrachteten Intervalls. - Die Zähler der Brüche geben die Differenz der zugehörigen \(y\)-Werte an. - Eine mittlere Änderungsrate von \(0\) bedeutet, dass die Endpunkte des Intervalls denselben Funktionswert haben. - Überprüfe bei jedem Graphen, ob die Steigung der Verbindungslinie (Sekante) positiv, negativ oder null ist, um Kärtchen auszuschließen.

1. Graph (1): Es handelt sich um eine Gerade. Wir wählen die Punkte \((0 \mid -1)\) und \((2 \mid 2)\). Der Differenzenquotient ist \(\frac{2 - (-1)}{2 - 0} = 1{,}5\). Ergebnis: Kärtchen A. 2. Graph (2): Der Graph ist eine nach unten geöffnete Parabel. Wir betrachten das Intervall \([0; 2]\) mit den Punkten \((0 \mid 3)\) und \((2 \mid 1)\). Die mittlere Änderungsrate ist \(\frac{1 - 3}{2 - 0} = -1\). Ergebnis: Kärtchen B. 3. Graph (3): Der Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel. Im Intervall \([1; 3]\) liegen beide Punkte \((1 \mid 0)\) und \((3 \mid 0)\) auf der \(x\)-Achse. Die Steigung der Sekante ist \(\frac{0 - 0}{3 - 1} = 0\). Ergebnis: Kärtchen C. 4. Graph (4): Der Graph zeigt eine Wurzelfunktion. Im Intervall \([-1; 3]\) ergeben sich die Punkte \((-1 \mid 0)\) und \((3 \mid 2)\). Der Differenzenquotient lautet \(\frac{2 - 0}{3 - (-1)} = \frac{2}{4} = 0{,}5\). Ergebnis: Kärtchen D.

Graph (1) \(\rightarrow\) Kärtchen A; Graph (2) \(\rightarrow\) Kärtchen B; Graph (3) \(\rightarrow\) Kärtchen C; Graph (4) \(\rightarrow\) Kärtchen D.

- Was bedeutet die Steigung in einem Weg-Zeit-Diagramm physikalisch? - Wie berechnet man die Steigung einer Geraden durch zwei gegebene Punkte auf einer Kurve? - Vergleiche die Steilheit des Graphen in den beiden genannten Zeiträumen. - Achte beim Ablesen der Werte genau auf die Skalierung der Achsen.

1. Für das Intervall \([0; 10]\) werden die Punkte \((0 \mid 0)\) und \((10 \mid 5)\) aus dem Graphen abgelesen. Die Durchschnittsgeschwindigkeit entspricht der Steigung der Sekante: \(v_1 = \frac{5\,\text{m} - 0\,\text{m}}{10\,\text{s} - 0\,\text{s}} = 0{,}5\,\text{m/s}\). 2. Für das Intervall \([10; 20]\) werden die Punkte \((10 \mid 5)\) und \((20 \mid 20)\) abgelesen. Die Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt hier: \(v_2 = \frac{20\,\text{m} - 5\,\text{m}}{20\,\text{s} - 10\,\text{s}} = \frac{15}{10} = 1{,}5\,\text{m/s}\). 3. Vergleich und Begründung: Die Durchschnittsgeschwindigkeit im zweiten Intervall (\(1{,}5\,\text{m/s}\)) ist dreimal so hoch wie im ersten (\(0{,}5\,\text{m/s}\)). Im Graphen erkennt man dies daran, dass die Kurve im Bereich von \(t = 10\) bis \(t = 20\) deutlich steiler verläuft als zu Beginn. Das Auto beschleunigt also.

a) Die Durchschnittsgeschwindigkeit im Intervall \([0; 10]\) beträgt \(0{,}5\,\text{m/s}\). b) Im Intervall \([10; 20]\) beträgt sie \(1{,}5\,\text{m/s}\). c) Der zweite Wert ist größer, weil der Graph dort steiler verläuft; der nach oben gekrümmte Verlauf zeigt, dass das Auto beschleunigt.

- Überlege dir, welche Koordinaten \(x_1, y_1\) und \(x_2, y_2\) im Zähler und Nenner der Brüche stehen. - Suche auf den Graphen nach Punkten, die genau diese Koordinatenpaare haben. - Der Wert des Differenzenquotienten entspricht der Steigung einer Geraden (Sekante), die zwei Punkte auf dem Graphen verbindet. - Achte darauf, ob der Graph im betrachteten Bereich steigt, fällt oder waagerecht verläuft.

1. Kärtchen A gehört zu Graph (1). Der Differenzenquotient berechnet die Steigung der Sekante durch die Punkte \(P_1(0 \mid 0)\) und \(P_2(5 \mid 5)\). Diese Punkte liegen auf dem Graphen der Funktion \(f(x) = 0{,}2x^2\), da \(f(0) = 0\) und \(f(5) = 0{,}2 \cdot 25 = 5\). 2. Kärtchen B gehört zu Graph (2). Hier wird die Steigung der Sekante zwischen \(P_3(-2 \mid 2)\) und \(P_4(2 \mid 2)\) berechnet. Da beide Punkte den gleichen \(y\)-Wert haben, ist die Steigung \(0\). Dies passt zum symmetrischen Graphen der Funktion \(g(x) = 4 - 0{,}5x^2\). 3. Kärtchen C gehört zu Graph (3). Der Ausdruck beschreibt die Steigung zwischen \(P_5(1 \mid 4)\) und \(P_6(4 \mid 1)\). Die Steigung ist \(\frac{1 - 4}{4 - 1} = \frac{-3}{3} = -1\). Diese Punkte liegen auf der Hyperbel \(h(x) = \frac{4}{x}\).

Kärtchen A gehört zu Graph (1) mit den Punkten \((0 \mid 0)\) und \((5 \mid 5)\); Kärtchen B gehört zu Graph (2) mit \((-2 \mid 2)\) und \((2 \mid 2)\); Kärtchen C gehört zu Graph (3) mit \((1 \mid 4)\) und \((4 \mid 1)\).

- Welche x-Werte aus den Nennern der Kärtchen findest du in den Graphen wieder? - Die Werte im Zähler müssen die zugehörigen Funktionswerte an diesen Stellen sein. - Nutze zunächst das Vorzeichen der mittleren Änderungsrate, um steigenden und fallenden Graphen zu unterscheiden. - Kontrolliere danach die beiden Punktkoordinaten am Raster.

1. Kärtchen A gehört zu Graph (1). Die Punkte \((2|1{,}5)\) und \((4|6)\) liefern die mittlere Änderungsrate \(\frac{6-1{,}5}{4-2}=2{,}25\). 2. Kärtchen B gehört zu Graph (2). Die Punkte \((0|2)\) und \((3|1)\) liefern die mittlere Änderungsrate \(\frac{1-2}{3-0}=-\frac{1}{3}\).

Graph (1): Kärtchen A mit mittlerer Änderungsrate \(2{,}25\) Graph (2): Kärtchen B mit mittlerer Änderungsrate \(-\frac{1}{3}\)

- Welche Streckenänderung und welche Zeitspanne gehören zu jedem Intervall? - Die gesuchte Einheit ist \(\text{km/h}\). Welche Umrechnung zwischen Minuten und Stunden brauchst du dafür? - Vergleiche in b) die Steigungen der Sekanten über den drei Intervallen. - Welche Annahme über das künftige Tempo steckt in der Behauptung aus c)?

1. Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeiten als Steigungen der Sekanten: - Intervall \([0; 20]\): \(\frac{3{,}5 - 0}{20 - 0} = 0{,}175\,\text{km/min}\). Umrechnung: \(0{,}175 \cdot 60 = 10{,}5\,\text{km/h}\). - Intervall \([20; 30]\): \(\frac{4{,}5 - 3{,}5}{30 - 20} = 0{,}1\,\text{km/min}\). Umrechnung: \(0{,}1 \cdot 60 = 6\,\text{km/h}\). - Intervall \([30; 40]\): \(\frac{6{,}0 - 4{,}5}{40 - 30} = 0{,}15\,\text{km/min}\). Umrechnung: \(0{,}15 \cdot 60 = 9\,\text{km/h}\). 2. Vergleich: Der Jogger war im Intervall \([0; 20]\) mit \(10{,}5\,\text{km/h}\) im Durchschnitt am schnellsten. Ohne Rechnung erkennt man dies daran, dass die Verbindungsgerade zwischen den beiden Intervallendpunkten dort die größte Steigung besitzt. 3. Stellungnahme: Die Aussage des Freundes setzt voraus, dass das bisherige Durchschnittstempo über die doppelte Strecke beibehalten wird. Der Graph zeigt jedoch deutliche Geschwindigkeitsunterschiede. Eine proportionale Hochrechnung ist daher nicht gesichert.

a) \([0; 20]\): \(10{,}5\,\text{km/h}\); \([20; 30]\): \(6\,\text{km/h}\); \([30; 40]\): \(9\,\text{km/h}\). b) Im Intervall \([0; 20]\) war der Jogger im Durchschnitt am schnellsten, da die Sekante durch die Intervallendpunkte dort die größte Steigung hat. c) Die Aussage ist nur eine Hochrechnung; da die Geschwindigkeit laut Graph variiert, sind exakt 80 Minuten für \(12\,\text{km}\) nicht gesichert.

- Bringe Höhenunterschied und horizontale Entfernung vor der Prozentrechnung in dieselbe Einheit. - Welche zwei Punkte bestimmen jeweils die durchschnittliche Steigung eines Abschnitts? - Vergleiche in b) die sichtbare Steilheit verschiedener Teilstücke mit der einen mittleren Steigung über den ganzen Abschnitt.

1. Berechnung der durchschnittlichen Steigung als Quotient aus Höhenunterschied und horizontaler Distanz; dabei gilt \(1\,\text{km} = 1000\,\text{m}\). - Abschnitt \([0; 4]\): \(\Delta y = 310\,\text{m} - 150\,\text{m} = 160\,\text{m}\), \(\Delta x = 4000\,\text{m}\). Daher \(m_1 = \frac{160}{4000} = 4\,\%\). - Abschnitt \([4; 7]\): \(\Delta y = 220\,\text{m} - 310\,\text{m} = -90\,\text{m}\), \(\Delta x = 3000\,\text{m}\). Daher \(m_2 = \frac{-90}{3000} = -3\,\%\). - Abschnitt \([7; 11]\): \(\Delta y = 550\,\text{m} - 220\,\text{m} = 330\,\text{m}\), \(\Delta x = 4000\,\text{m}\). Daher \(m_3 = \frac{330}{4000} = 8{,}25\,\%\). 2. Die mittlere Steigung betrachtet nur Anfangs- und Endpunkt. Im Abschnitt von Kilometer \(7\) bis Kilometer \(11\) verläuft der Graph nicht überall gleich steil; insbesondere zwischen Kilometer \(9\) und Kilometer \(10\) steigt er deutlich stärker als im übrigen Abschnitt. Daher kann ein kurzer Teil wesentlich steiler sein als der Durchschnittswert für den gesamten Abschnitt.

a) Von \(0\) bis \(4\,\text{km}\): \(4\,\%\); von \(4\) bis \(7\,\text{km}\): \(-3\,\%\); von \(7\) bis \(11\,\text{km}\): \(8{,}25\,\%\). b) Die Durchschnittssteigung glättet lokale Schwankungen; zwischen Kilometer \(9\) und Kilometer \(10\) ist der Graph deutlich steiler als im Gesamtabschnitt.

- Berechne für a) jeweils den Differenzenquotienten aus den beiden Randpunkten des Intervalls. - Welche Größe bleibt gleich, wenn das linke Intervallende um \(k\) nach links und das rechte um \(k\) nach rechts verschoben wird? - Vereinfache in b) Zähler und Nenner zunächst getrennt, bevor du kürzt. - Was bedeutet es geometrisch, wenn zwei Sekanten dieselbe Steigung besitzen?

1. Für \(I_1\) gilt \(\frac{f(5)-f(1)}{5-1}=\frac{5-(-3)}{4}=2\). 2. Für \(I_2\) gilt \(\frac{f(6)-f(0)}{6-0}=\frac{12-0}{6}=2\). 3. Für \(a<b\) ist der Differenzenquotient auf \([a;b]\): \(\frac{b^2-4b-(a^2-4a)}{b-a}=a+b-4\). 4. Auf \([a-k;b+k]\) ist die Intervallbreite \(b-a+2k>0\). Die Funktionswertdifferenz lässt sich zu \((b-a+2k)(a+b-4)\) vereinfachen. Daher ist auch dieser Differenzenquotient \(a+b-4\). 5. Beide Sekanten haben somit dieselbe Steigung und sind parallel. Die beiden Intervalle haben denselben Mittelpunkt \(\frac{a+b}{2}\).

a) In beiden Intervallen beträgt die mittlere Änderungsrate \(2\). b) Beide Differenzenquotienten vereinfachen sich zu \(a+b-4\). c) Die zugehörigen Sekanten sind parallel.

- Wie lautet die Steigung einer Geraden durch zwei gegebene Punkte? - Welche algebraischen Umformungen können einen Bruchterm mit Polynomen vereinfachen? - Welche Beziehung zwischen Zähler und Nenner zeigt sich, wenn du die ausgeschlossene Stelle \(x=2\) betrachtest?

1. Die Punkte sind \(A(2 \mid 10)\) und \(B(x \mid x^3 + 2)\). 2. Der Differenzenquotient wird aufgestellt: \(m_s = \frac{g(x) - g(2)}{x - 2}\). 3. Einsetzen der Funktionsterme ergibt \(m_s = \frac{(x^3 + 2) - 10}{x - 2} = \frac{x^3 - 8}{x - 2}\). 4. Um den Bruch zu vereinfachen, wird der Zähler \(x^3 - 8\) faktorisiert oder eine Polynomdivision durchgeführt. 5. Es gilt die Identität \(x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)\). 6. Durch Kürzen des Faktors \((x - 2)\) erhält man die Sekantensteigung \(m_s = x^2 + 2x + 4\) für \(x \neq 2\).

\(m_s = x^2 + 2x + 4\) (für \(x \neq 2\))

- Was passiert mit einem Wert, wenn er um einen bestimmten Prozentsatz sinkt? Mit welchem Faktor multiplizierst du? - Überlege dir bei den Differenzen, welche Einheiten die Zähler und Nenner haben. Das hilft oft bei der Deutung. - Die mittlere Änderungsrate entspricht mathematisch der Steigung einer Sekante durch zwei Punkte des Graphen. - Achte darauf, dass die Zeit \(t\) in Stunden und der Wachstumsfaktor \(a\) passend zueinander definiert sind.

1. Es gilt \(c=200\). Aus \(a^4=0{,}85\) folgt \(a=\sqrt[4]{0{,}85}\approx0{,}9602\). Somit ist \(f(t)=200(\sqrt[4]{0{,}85})^t\). 2. \(f(t)-f(t_0)\) ist die absolute Änderung der Wirkstoffmenge zwischen \(t_0\) und \(t\) in Milligramm. Der Quotient \(\frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}\) ist die mittlere Änderungsrate in \(\frac{\text{mg}}{\text{h}}\). 3. Auf \([0;4]\) gilt \(\frac{170-200}{4}=-7{,}5\,\frac{\text{mg}}{\text{h}}\). 4. Auf \([12;16]\) gilt \(f(12)=122{,}825\) und \(f(16)=104{,}40125\). Daher ist die mittlere Änderungsrate \(\frac{104{,}40125-122{,}825}{4}=-4{,}6059375\,\frac{\text{mg}}{\text{h}}\).

a) \(c=200\), \(a=\sqrt[4]{0{,}85}\approx0{,}9602\); \(f(t)=200(\sqrt[4]{0{,}85})^t\) b) \(f(t)-f(t_0)\): absolute Änderung in \(\text{mg}\); \(\frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}\): mittlere Änderungsrate in \(\frac{\text{mg}}{\text{h}}\) c) \([0;4]:\ -7{,}5\,\frac{\text{mg}}{\text{h}}\); \([12;16]:\ -4{,}6059375\,\frac{\text{mg}}{\text{h}}\)