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- Wie ist der Differenzialquotient definiert? - Was passiert mit den konstanten Gliedern im Zähler, wenn du den Term vereinfachst? - Welche Form hat der Graph einer linearen Funktion? - Was gibt die Ableitung anschaulich an einem Graphen an? - Unterscheidet sich die Steigung einer Geraden an verschiedenen Stellen?

1. Berechnung von \(f'(-2)\): Der Differenzialquotient \(\lim_{h \to 0} \frac{f(-2+h) - f(-2)}{h}\) führt über \(\lim_{h \to 0} \frac{-1{,}5(-2+h) + 3 - (-1{,}5 \cdot (-2) + 3)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{3 - 1{,}5h + 3 - 6}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-1{,}5h}{h}\) zum Ergebnis \(-1{,}5\). 2. Berechnung von \(f'(4)\): Analog ergibt sich \(\lim_{h \to 0} \frac{-1{,}5(4+h) + 3 - (-1{,}5 \cdot 4 + 3)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-6 - 1{,}5h + 3 - (-3)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-1{,}5h}{h} = -1{,}5\). 3. Geometrische Interpretation: Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Die Ableitung an einer Stelle gibt die Steigung der Tangente an. Da eine Gerade in jedem Punkt die gleiche konstante Steigung \(m = -1{,}5\) besitzt, ist die Tangente in jedem Punkt mit der Geraden identisch. Daher ist der Wert der Ableitung an jeder Stelle gleich der Steigung der Geraden.

1. \(f'(-2) = -1{,}5\) und \(f'(4) = -1{,}5\). 2. Geometrisch entspricht die Ableitung der Steigung der Tangente. Da der Graph eine Gerade mit der konstanten Steigung \(m = -1{,}5\) ist, ist die Ableitung an jeder Stelle identisch mit dieser Steigung.

- Überlege dir zuerst, welchen Wert die Funktion an der vorgegebenen Stelle annimmt. - Setze den Term \(x_0 + h\) in die Funktionsgleichung ein und achte beim Ausmultiplizieren besonders auf die Vorzeichen und Klammern. - Versuche den Zähler des Differenzenquotienten so weit zu vereinfachen, dass du \(h\) ausklammern und kürzen kannst. - Was passiert mit dem verbleibenden Ausdruck, wenn \(h\) immer kleiner wird und gegen Null geht?

1. Funktionswert an der Stelle \(x_0 = 2\) berechnen: \(f(2) = 2 \cdot 2^2 - 5 \cdot 2 + 1 = 8 - 10 + 1 = -1\). 2. Differenzenquotienten für ein beliebiges \(h \neq 0\) aufstellen: \(\frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \frac{2(2+h)^2 - 5(2+h) + 1 - (-1)}{h}\). 3. Zähler durch Ausmultiplizieren und Zusammenfassen vereinfachen: \(\frac{2(4 + 4h + h^2) - 10 - 5h + 2}{h} = \frac{8 + 8h + 2h^2 - 10 - 5h + 2}{h} = \frac{2h^2 + 3h}{h}\). 4. Den Bruch durch \(h\) kürzen: \(2h + 3\). 5. Grenzwert für \(h \to 0\) bilden: \(\lim_{h \to 0} (2h + 3) = 3\). Somit ist \(f'(2) = 3\).

Die Ableitung an der Stelle \(x_0 = 2\) beträgt \(f'(2) = 3\).

- Was gibt die Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle geometrisch an? - Wie kannst du die Ableitungsfunktion \(f'(x)\) für diese Funktion bestimmen? - Was passiert, wenn du den Wert für \(x_0\) in die Ableitungsfunktion einsetzt? - Welche Bedeutung hat das Vorzeichen des Ergebnisses für die Steigung der Tangente?

1. Bestimmung der Ableitungsfunktion \(f'(x)\) mit der Potenz- und Summenregel: \(f'(x) = x - 4\) 2. Berechnung der Steigung an der Stelle \(x_0 = 3\): \(f'(3) = 3 - 4 = -1\) 3. Da der Wert der Ableitung negativ ist (\(f'(3) < 0\)), besitzt die Tangente eine negative Steigung.

Die Tangente besitzt eine negative Steigung, da der Wert der Ableitung an der Stelle \(x_0 = 3\) gleich \(-1\) ist.

- Überlege dir, wofür die Notation \(f(x)\) und \(f'(x)\) jeweils steht. - Welche Begriffe wie „Steigung“, „Änderungsrate“ oder „Funktionswert“ gehören zu welcher Notation? - Achte genau darauf, welche Zahl die Stelle (der \(x\)-Wert) und welche Zahl das Ergebnis (der \(y\)-Wert oder die Steigung) ist. - Ein Punkt auf dem Graphen hat immer die Form \((\text{Stelle} | \text{Funktionswert})\).

Die Aussagen lassen sich basierend auf ihrem mathematischen Gehalt in zwei Gruppen ordnen, während zwei Aussagen einzeln stehen bleiben: 1. Gruppe (Funktionswert an der Stelle 5): Die Aussagen A (\(f(5) = 2\)), D (sprachliche Beschreibung von \(f(5)=2\)) und F (Punktform \((x|f(x))\)) beschreiben alle, dass der Graph der Funktion an der Stelle \(x=5\) den \(y\)-Wert 2 besitzt. 2. Gruppe (Ableitung an der Stelle 2): Die Aussagen B (\(f'(2) = 5\)), C (geometrische Deutung der Ableitung als Tangentensteigung) und E (physikalisch-inhaltliche Deutung der Ableitung als momentane Änderungsrate) beschreiben alle, dass die Ableitung der Funktion an der Stelle \(x=2\) den Wert 5 hat. Die Aussagen G (\(f'(5) = 2\)) und H (\(f(2) = 5\)) beschreiben andere Sachverhalte (vertauschte Rollen von Stelle, Wert und Ableitung) und passen zu keiner der Gruppen.

Gruppe 1: A, D, F Gruppe 2: B, C, E Einzelstehend: G, H

- Überlege, wie man die Steigung einer Sekante zwischen zwei Punkten berechnet. - Was passiert mit der Sekante, wenn die zwei Punkte immer näher zusammenrücken? - Welche mathematische Operation hilft dir, den Wert eines Ausdrucks zu bestimmen, wenn eine Variable gegen Null geht? - Erinnerst du dich an den Unterschied zwischen einer mittleren und einer punktuellen Änderung?

1. Berechnung der Wegstrecken zu den Zeitpunkten \(t = 1\) und \(t = 3\): \(s(1) = 2 \cdot 1^2 + 5 \cdot 1 = 7\,\text{m}\) und \(s(3) = 2 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3 = 33\,\text{m}\). 2. Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeit als Differenzenquotient: \(\bar{v} = \frac{s(3) - s(1)}{3 - 1} = \frac{33 - 7}{2} = 13\,\text{m/s}\). 3. Aufstellen des Differenzenquotienten für die Momentangeschwindigkeit an der Stelle \(t = 1\): \(\frac{s(1+h) - s(1)}{h} = \frac{2(1+h)^2 + 5(1+h) - 7}{h} = \frac{2(1 + 2h + h^2) + 5 + 5h - 7}{h} = \frac{9h + 2h^2}{h} = 9 + 2h\). 4. Bestimmung des Grenzwerts für \(h \to 0\): \(v(1) = \lim_{h \to 0} (9 + 2h) = 9\,\text{m/s}\).

Die Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt \(13\,\text{m/s}\). Die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t = 1\) beträgt \(9\,\text{m/s}\).

- Überlege dir, welche Einheit das Ergebnis jeweils haben muss. - Was ist der Unterschied zwischen einem Zeitraum und einem Zeitpunkt? - Erinnere dich daran, dass die erste Ableitung eine Steigung bzw. Geschwindigkeit darstellt.

1. Der Funktionswert \(A(10) = 50\) bedeutet, dass die Algenfläche 10 Tage nach der ersten Messung genau \(50\,\text{m}^2\) beträgt. 2. Der Differenzenquotient \(\frac{A(10) - A(0)}{10} = 4\) gibt die mittlere Änderungsrate an: In den ersten 10 Tagen ist die Algenfläche im Durchschnitt um \(4\,\text{m}^2\) pro Tag gewachsen. 3. Die erste Ableitung \(A'(10) = 6\) beschreibt die momentane Änderungsrate: Am 10. Tag beträgt die momentane Wachstumsrate der Fläche \(6\,\text{m}^2\) pro Tag.

a) Nach 10 Tagen sind \(50\,\text{m}^2\) des Sees bedeckt. b) Die Fläche wuchs in den ersten 10 Tagen durchschnittlich um \(4\,\text{m}^2\) pro Tag. c) Am 10. Tag beträgt die momentane Wachstumsrate \(6\,\text{m}^2\) pro Tag.

- Wie hängen Weg und Geschwindigkeit mathematisch zusammen? - Achte auf den Unterschied zwischen dem Durchschnittswert über ein Intervall und dem Wert zu einem exakten Zeitpunkt. - Welche physikalische Größe erhält man, wenn man die Änderung des Weges pro Zeit betrachtet?

1. Der Wert \(s(4) = 40\) gibt die zurückgelegte Strecke an: Nach 4 Sekunden hat das Fahrzeug eine Strecke von \(40\,\text{m}\) zurückgelegt. 2. Der Ausdruck \(\frac{s(10) - s(0)}{10} = 25\) ist die Durchschnittsgeschwindigkeit über das Intervall \([0; 10]\): In den ersten 10 Sekunden betrug die mittlere Geschwindigkeit \(25\,\text{m/s}\). 3. Die Ableitung \(s'(10) = 45\) entspricht der Momentangeschwindigkeit: Zum Zeitpunkt \(t = 10\,\text{s}\) fährt das Fahrzeug mit \(45\,\text{m/s}\).

a) Nach 4 Sekunden ist das Auto \(40\,\text{m}\) weit gefahren. b) Die Durchschnittsgeschwindigkeit in den ersten 10 Sekunden beträgt \(25\,\text{m/s}\). c) Die Momentangeschwindigkeit nach 10 Sekunden beträgt \(45\,\text{m/s}\).

- Erinnere dich an die Definition der Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten. - Nutze die binomischen Formeln, um den Term \(f(x+h)\) zu entwickeln. - Achte darauf, dass im Zähler alle Terme ohne \(h\) wegfallen müssen, damit du \(h\) kürzen kannst. - Überlege dir, welche Bedeutung der Wert der Ableitung an einer Stelle für die Steigung hat.

1. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{1{,}5(x+h)^2 - 1{,}5x^2}{h}\) 2. Anwendung der ersten binomischen Formel und Vereinfachung des Zählers: \(\frac{1{,}5(x^2 + 2xh + h^2) - 1{,}5x^2}{h} = \frac{3xh + 1{,}5h^2}{h}\) 3. Kürzen des Bruchs durch \(h\): \(3x + 1{,}5h\) 4. Bestimmung des Grenzwerts für \(h \to 0\): \(f'(x) = 3x\) 5. Ansetzen der Gleichung \(f'(x_0) = 9\): \(3x_0 = 9\) 6. Auflösen nach \(x_0\): \(x_0 = 3\)

Die Ableitungsfunktion ist \(f'(x) = 3x\). Die gesuchte Stelle ist \(x_0 = 3\).

- Überlege dir, wie der Differenzenquotient für eine beliebige Stelle \(x\) definiert ist. - Setze den Ausdruck \((x+h)\) für \(x\) in die Funktionsgleichung ein und achte auf die binomische Formel. - Welche Terme im Zähler fallen weg, wenn du \(f(x)\) subtrahierst? - Was bleibt vom Term übrig, wenn du den gesamten Bruch durch \(h\) teilst?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten für eine beliebige Stelle \(x\): \(\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{(5 - 2(x+h)^2) - (5 - 2x^2)}{h}\) 2. Vereinfachen des Zählers durch Anwendung der ersten binomischen Formel und Auflösen der Klammern: \(\frac{5 - 2(x^2 + 2xh + h^2) - 5 + 2x^2}{h} = \frac{-4xh - 2h^2}{h}\) 3. Kürzen des Ausdrucks durch \(h\): \(-4x - 2h\) 4. Bestimmung des Grenzwerts für \(h \to 0\), um den Differentialquotienten zu erhalten: \(f'(x) = \lim_{h \to 0} (-4x - 2h) = -4x\)

\(f'(x) = -4x\)

- Was versteht man mathematisch unter der lokalen Änderungsrate an einer bestimmten Stelle? - Gibt es eine Funktion, die die Steigung an jeder beliebigen Stelle angibt? - Wie gehst du vor, wenn du die Steigung an einem ganz konkreten Punkt berechnen möchtest?

1. Bestimmung der Ableitungsfunktion mittels Potenz- und Summenregel: \(f'(x) = 6x^2 - 18x + 12\). 2. Einsetzen der Stelle \(x_0 = 2\) in die Ableitungsfunktion zur Berechnung der lokalen Änderungsrate: \(f'(2) = 6 \cdot 2^2 - 18 \cdot 2 + 12\). 3. Berechnung des Funktionswertes: \(f'(2) = 24 - 36 + 12 = 0\).

Die lokale Änderungsrate an der Stelle \(x_0 = 2\) beträgt \(0\).

- Was ist der Unterschied zwischen einer durchschnittlichen Änderung über eine Zeitspanne und der Änderung zu einem exakten Zeitpunkt? - Welche mathematische Größe entspricht der Steigung einer Sekante durch zwei Punkte eines Graphen? - Wie hängen die Ableitung einer Funktion und die momentane Steigung an einer Stelle zusammen? - Kannst du die Ableitungsfunktion für den gegebenen quadratischen Term aufstellen?

1. Zur Berechnung der mittleren Änderungsrate im Intervall \([0; 2]\) werden die Funktionswerte an den Intervallgrenzen bestimmt: \(T(0) = 0{,}5 \cdot 0^2 - 6 \cdot 0 + 25 = 25\) und \(T(2) = 0{,}5 \cdot 2^2 - 6 \cdot 2 + 25 = 2 - 12 + 25 = 15\). 2. Der Differenzenquotient ergibt sich zu \(\frac{T(2) - T(0)}{2 - 0} = \frac{15 - 25}{2} = -5\). Die mittlere Änderungsrate beträgt somit \(-5\,\frac{{}^\circ\text{C}}{\text{h}}\). 3. Für die momentane Änderungsrate wird die erste Ableitung der Funktion gebildet: \(T'(t) = t - 6\). 4. Die Bedingung \(T'(t) = -4{,}5\) führt zur Gleichung \(t - 6 = -4{,}5\). 5. Durch Umformen ergibt sich \(t = 1{,}5\). Der gesuchte Zeitpunkt ist also \(1{,}5\,\text{Stunden}\) nach Beginn der Messung.

a) Die mittlere Änderungsrate beträgt \(-5\,\frac{{}^\circ\text{C}}{\text{h}}\). b) Der Zeitpunkt ist \(t = 1{,}5\,\text{h}\).

- Wie berechnet man die Steigung einer Sekante zwischen zwei Punkten eines Graphen? - Welcher mathematische Operator liefert die Steigung einer Tangente an einem bestimmten Punkt? - Überlege, was der Unterschied zwischen einem Durchschnittswert über eine Zeitspanne und einem exakten Wert zu einem Zeitpunkt ist.

1. Berechnung des Volumens zu den Zeitpunkten \(t_1 = 2\) und \(t_2 = 5\): \(V(2) = 0{,}5 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 = 2 + 4 = 6\,\text{l}\) \(V(5) = 0{,}5 \cdot 5^2 + 2 \cdot 5 = 12{,}5 + 10 = 22{,}5\,\text{l}\) 2. Berechnung der mittleren Zuflussrate über den Differenzenquotienten: \(\frac{\Delta V}{\Delta t} = \frac{V(5) - V(2)}{5 - 2} = \frac{22{,}5 - 6}{3} = \frac{16{,}5}{3} = 5{,}5\,\text{l/s}\) 3. Bestimmung der momentanen Zuflussrate durch die erste Ableitung: \(V'(t) = t + 2\) 4. Einsetzen des Zeitpunkts \(t = 4\): \(V'(4) = 4 + 2 = 6\,\text{l/s}\) 5. Interpretation: Die mittlere Zuflussrate von \(5{,}5\,\text{l/s}\) gibt den durchschnittlichen Volumenzuwachs pro Sekunde im Intervall \([2; 5]\) an. Die momentane Rate von \(6\,\text{l/s}\) beschreibt die Zuflussrate genau zum Zeitpunkt \(t = 4\,\text{s}\).

a) Die mittlere Zuflussrate beträgt \(5{,}5\,\text{l/s}\). b) Die momentane Zuflussrate beträgt \(6\,\text{l/s}\). c) Die mittlere Rate ist ein Durchschnittswert über ein Intervall, während die momentane Rate die Änderungsrate zu einem exakten Zeitpunkt beschreibt.

- Was gibt die erste Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle an? - Welche Informationen benötigst du, um die Gleichung einer Geraden (Tangente) aufzustellen? - Wie hängen die Steigung der Tangente und die Steigung der Kurve im Berührpunkt zusammen?

1. Ableitungsfunktion bilden: \(f'(x) = 4x - 8\). 2. Steigung an der Stelle \(x = 3\) berechnen: \(f'(3) = 4 \cdot 3 - 8 = 4\). 3. Funktionswert an der Stelle \(x = 3\) berechnen: \(f(3) = 2 \cdot 3^2 - 8 \cdot 3 + 5 = 18 - 24 + 5 = -1\). 4. Tangentengleichung \(y = m \cdot (x - x_0) + y_0\) mit \(m = 4\), \(x_0 = 3\) und \(y_0 = -1\) aufstellen: \(y = 4 \cdot (x - 3) - 1\). 5. Vereinfachen: \(y = 4x - 13\).

a) Die Steigung an der Stelle \(x = 3\) beträgt \(4\). b) Die Tangentengleichung lautet \(y = 4x - 13\).

- Was gibt die Steigung einer Weg-Zeit-Kurve in einem bestimmten Punkt an? - Wie hängen Weg, Zeit und Geschwindigkeit mathematisch zusammen? - Überlege, welche Einheit das Ergebnis der Ableitung haben muss, wenn \(s\) in Metern und \(t\) in Sekunden gemessen wird.

1. Die Momentangeschwindigkeit \(v(t)\) entspricht der ersten Ableitung der Weg-Zeit-Funktion \(s(t)\) nach der Zeit. 2. Ableitung bilden: \(s'(t) = 0{,}8t + 3\). 3. Berechnung für \(t = 5\): \(v(5) = s'(5) = 0{,}8 \cdot 5 + 3 = 4 + 3 = 7\). Die Geschwindigkeit beträgt \(7\,\text{m/s}\). 4. Die erste Ableitung \(s'(t)\) gibt die momentane Änderungsrate des Weges an, was physikalisch der Geschwindigkeit des Objekts zu einem exakten Zeitpunkt entspricht.

a) Die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t = 5\,\text{s}\) beträgt \(7\,\text{m/s}\). b) Die erste Ableitung \(s'(t)\) beschreibt die Momentangeschwindigkeit des Autos zum Zeitpunkt \(t\).

- Wie hängen Ort und Geschwindigkeit in der Differentialrechnung zusammen? - Was sagt das Vorzeichen der Geschwindigkeit über die Bewegungsrichtung aus? - Welche Bedingung muss für die Geschwindigkeit gelten, damit ein Objekt als „stillstehend“ betrachtet werden kann?

1. Die Geschwindigkeit \(v(t)\) ist die erste Ableitung der Ortsfunktion \(s(t)\): \(v(t) = s'(t) = t^2 - 8t + 12\). 2. Berechnung der Geschwindigkeit für \(t = 3\): \(v(3) = 3^2 - 8 \cdot 3 + 12 = 9 - 24 + 12 = -3\). Die Geschwindigkeit beträgt \(-3\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). Das negative Vorzeichen gibt an, dass sich das Fahrzeug in Richtung des Startpunkts (rückwärts) bewegt. 3. Stillstand tritt ein, wenn die Geschwindigkeit null ist: \(v(t) = 0 \Rightarrow t^2 - 8t + 12 = 0\). 4. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der pq-Formel): \(t_{1,2} = 4 \pm \sqrt{16 - 12} = 4 \pm 2\). Die Zeitpunkte sind \(t_1 = 2\,\text{s}\) und \(t_2 = 6\,\text{s}\).

a) Die Momentangeschwindigkeit beträgt \(-3\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). Das Fahrzeug bewegt sich rückwärts (bzw. entgegen der positiven Koordinatenrichtung). b) Das Fahrzeug steht nach \(2\,\text{Sekunden}\) und nach \(6\,\text{Sekunden}\) jeweils kurzzeitig still.

- Erinnerst du dich an die Formel für die Steigung einer Geraden durch zwei Punkte? - Wie hängen die erste Ableitung einer Funktion und die Steigung der Tangente zusammen? - Was genau gibt der Differenzenquotient in einem Intervall an?

1. Bestimmung der Funktionswerte an den Stellen \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\): \(f(-2) = \frac{1}{2}(-2)^2 + (-2) = 0\) und \(f(2) = \frac{1}{2}(2)^2 + 2 = 4\). 2. Berechnung der Sekantensteigung mittels Differenzenquotient: \(m_s = \frac{f(2) - f(-2)}{2 - (-2)} = \frac{4 - 0}{4} = 1\). 3. Bildung der ersten Ableitung der Funktion: \(f'(x) = x + 1\). 4. Berechnung der Tangentensteigung an der Stelle \(x_0 = 0\): \(f'(0) = 0 + 1 = 1\). 5. Vergleich der Ergebnisse: Da sowohl die Sekantensteigung als auch die Tangentensteigung den Wert \(1\) ergeben, ist die Behauptung bewiesen.

1. Die Steigung der Sekante beträgt \(1\). 2. Die Steigung der Tangente an der Stelle \(x_0 = 0\) ist \(f'(0) = 1\). Somit sind beide Steigungen identisch.

- Überlege, wie man die Steigung einer Funktion an einem bestimmten Punkt nennt. - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, die Steigung an einer Stelle \(x\) zu berechnen? - Erinnere dich an die Ableitungsregeln für Potenzfunktionen oder nutze den Grenzwert des Differenzenquotienten.

1. Bildung der Ableitungsfunktion \(f'(x)\) mithilfe der Potenzregel oder des Differentialquotienten: \(f'(x) = -2x\). 2. Einsetzen der Stelle \(x_1 = 2\) in die Ableitungsfunktion: \(f'(2) = -2 \cdot 2 = -4\). 3. Einsetzen der Stelle \(x_2 = -1\) in die Ableitungsfunktion: \(f'(-1) = -2 \cdot (-1) = 2\).

Die momentane Änderungsrate an der Stelle \(x_1 = 2\) beträgt \(-4\) und an der Stelle \(x_2 = -1\) beträgt sie \(2\).

- Erinnere dich an die Definition der momentanen Änderungsrate als Grenzwert. - Wie lässt sich ein Ausdruck der Form \((a+b)^3\) ausmultiplizieren? - Überlege, wie du den Bruch so vereinfachen kannst, dass \(h\) im Nenner verschwindet. - Was passiert mit den Termen, die noch ein \(h\) enthalten, wenn \(h\) gegen Null geht?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} = \frac{(x_0+h)^3 - x_0^3}{h}\) 2. Ausmultiplizieren des Zählers mit der binomischen Formel: \(\frac{x_0^3 + 3x_0^2h + 3x_0h^2 + h^3 - x_0^3}{h}\) 3. Vereinfachen des Zählers durch Subtraktion von \(x_0^3\): \(\frac{3x_0^2h + 3x_0h^2 + h^3}{h}\) 4. Kürzen des Bruchs durch \(h\): \(3x_0^2 + 3x_0h + h^2\) 5. Bestimmung des Grenzwerts für \(h \to 0\): \(\lim_{h \to 0} (3x_0^2 + 3x_0h + h^2) = 3x_0^2\)

Durch Anwendung des Differenzenquotienten \(\lim_{h \to 0} \frac{(x_0+h)^3 - x_0^3}{h}\) und anschließendes Kürzen von \(h\) ergibt sich nach der Grenzwertbetrachtung \(f'(x_0) = 3x_0^2\).

- Erinnere dich an die Definition des Differenzenquotienten. - Setze den Term \(a+h\) für jedes \(x\) in die Funktionsgleichung ein. - Versuche den Zähler so weit zu vereinfachen, dass du \(h\) ausklammern und anschließend kürzen kannst. - Was passiert mit dem verbleibenden Ausdruck, wenn \(h\) immer kleiner wird und gegen Null geht?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten für \(f(x) = x^2 - 3x\): \(\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \frac{(a+h)^2 - 3(a+h) - (a^2 - 3a)}{h}\) 2. Ausmultiplizieren der Klammern im Zähler: \(\frac{a^2 + 2ah + h^2 - 3a - 3h - a^2 + 3a}{h}\) 3. Zusammenfassen und Vereinfachen des Zählers: \(\frac{2ah + h^2 - 3h}{h}\) 4. Kürzen des Bruchs durch \(h\): \(2a + h - 3\) 5. Bestimmen des Grenzwerts für \(h \to 0\): \(\lim_{h \to 0} (2a + h - 3) = 2a - 3\) Die Ableitung an der Stelle \(a\) ist \(f'(a) = 2a - 3\).

\(f'(a) = 2a - 3\)

- Erinnere dich an die Definition des Differenzenquotienten. - Wie lässt sich der Term im Zähler vereinfachen, damit man das \(h\) im Nenner kürzen kann? - Was passiert mit den Termen, die noch ein \(h\) enthalten, wenn \(h\) gegen Null geht? - Nutze die binomischen Formeln für das Quadrat der Summe.

1. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \frac{2(a+h)^2 - 5(a+h) - (2a^2 - 5a)}{h}\) 2. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen des Zählers: \(2(a^2 + 2ah + h^2) - 5a - 5h - 2a^2 + 5a = 2a^2 + 4ah + 2h^2 - 5h - 2a^2 = 4ah + 2h^2 - 5h\) 3. Kürzen durch \(h\): \(\frac{h(4a + 2h - 5)}{h} = 4a + 2h - 5\) 4. Grenzwertbildung für \(h \to 0\): \(f'(a) = \lim_{h \to 0} (4a + 2h - 5) = 4a - 5\)

\(f'(a) = 4a - 5\)

- Welche Regel kennst du, um Potenzen abzuleiten? - Wie kannst du einen Bruch mit \(x\) im Nenner als Potenz mit negativem Exponenten schreiben? - Was bedeutet die Ableitung an einer bestimmten Stelle geometrisch für den Graphen? - Achte beim Einsetzen negativer Zahlen besonders auf die Klammersetzung und die Vorzeichenregeln bei Potenzen.

1. Für \(f(x) = x^5\) wird die Ableitungsfunktion \(f'(x) = 5x^4\) gebildet. Durch Einsetzen der Stellen ergeben sich die Werte: \(f'(1) = 5 \cdot 1^4 = 5\), \(f'(-2) = 5 \cdot (-2)^4 = 5 \cdot 16 = 80\) und \(f'(0) = 5 \cdot 0^4 = 0\). 2. Für \(g(x) = \frac{2}{x} = 2x^{-1}\) lautet die Ableitungsfunktion \(g'(x) = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^2}\). Die Berechnung an den Stellen liefert: \(g'(2) = -\frac{2}{2^2} = -0{,}5\) und \(g'(-4) = -\frac{2}{(-4)^2} = -\frac{2}{16} = -0{,}125\).

a) \(f'(1) = 5\); \(f'(-2) = 80\); \(f'(0) = 0\) b) \(g'(2) = -0{,}5\); \(g'(-4) = -0{,}125\)

- Was genau gibt der Differenzenquotient an, wenn \(h\) immer kleiner wird? - Setze den Term \(1+h\) für jedes \(x\) in die Funktionsgleichung ein. - Denke beim Auflösen von \((1+h)^2\) an die binomischen Formeln. - Wie kannst du den Bruch so vereinfachen, dass du \(h\) im Nenner kürzen kannst? - Was passiert mit dem Term, in dem noch ein \(h\) vorkommt, wenn \(h\) gegen Null geht?

1. Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x_0 = 1\): \(f(1) = 2 \cdot 1^2 - 1 = 1\). 2. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{2(1+h)^2 - (1+h) - 1}{h}\). 3. Vereinfachen des Zählers: \(2(1 + 2h + h^2) - 1 - h - 1 = 2 + 4h + 2h^2 - 2 - h = 3h + 2h^2\). 4. Kürzen des Bruchs durch \(h\): \(\frac{3h + 2h^2}{h} = 3 + 2h\). 5. Bestimmung des Grenzwerts für \(h \to 0\): \(\lim_{h \to 0} (3 + 2h) = 3\).

Die Steigung der Tangente an der Stelle \(x_0 = 1\) beträgt \(3\).

- Was gibt die erste Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle grafisch an? - Welche Gleichung kannst du aufstellen, wenn der Wert der Steigung an einer Stelle bekannt ist? - Kannst du die Ableitungsregeln für einfache Polynomfunktionen anwenden?

1. Bestimmung der ersten Ableitungsfunktion mittels Potenz- und Summenregel: \(f'(x) = 4x - 7\). 2. Gleichsetzen der Ableitungsfunktion mit der vorgegebenen Steigung an der Stelle \(a\): \(4a - 7 = 5\). 3. Auflösen der resultierenden linearen Gleichung: \(4a = 12 \Rightarrow a = 3\).

\(a = 3\)

- Welchen Wert hat die Funktion an der Stelle \(x_0\) und welchen an der Stelle \(x_0 + h\)? - Was passiert im Zähler des Differenzenquotienten, wenn die Funktionswerte identisch sind? - Wie sieht der Graph einer Funktion aus, deren Funktionswerte sich nie ändern? - Was sagt die Ableitung über die Steigung einer Geraden aus?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}\). Da \(f(x) = -8\) für alle \(x\) gilt, folgt \(\frac{-8 - (-8)}{h} = \frac{0}{h} = 0\) für \(h \neq 0\). Der Grenzwert für \(h \to 0\) ergibt \(f'(x_0) = \lim_{h \to 0} 0 = 0\). 2. Der Graph einer konstanten Funktion ist eine Gerade parallel zur \(x\)-Achse. Da diese Gerade überall die Steigung \(0\) besitzt (Steigungswinkel \(0^\circ\)), muss die Ableitung, welche die lokale Steigung repräsentiert, überall den Wert \(0\) annehmen.

1. \(f'(x_0) = 0\) 2. Da der Graph eine Parallele zur \(x\)-Achse ist, ist die Steigung überall gleich null.

- Welche Steigung hat eine lineare Funktion der Form \(mx+b\)? - Ändert sich die Steigung einer linearen Funktion von Stelle zu Stelle? - Die Tangente an eine Gerade ist die Gerade selbst.

1. Die Funktion \(f(x) = 0{,}8 \cdot x - 5\) ist linear. 2. Eine lineare Funktion \(f(x) = mx + b\) hat überall dieselbe Steigung \(m\). 3. Hier ist \(m = 0{,}8\). Deshalb ist die Tangentensteigung sowohl bei \(x = 4\) als auch bei \(x = a\) gleich \(0{,}8\).

a) \(0{,}8\) b) \(0{,}8\)

- Überlege dir zuerst, welche physikalische Größe auf der y-Achse und welche auf der x-Achse abgetragen ist. - Was bedeutet es anschaulich, wenn man die Differenz zweier y-Werte bildet? - Welche Bedeutung hat das Teilen einer Differenz durch die zugehörige Zeitspanne? - Erinnere dich daran, wie die erste Ableitung mit der momentanen Änderungsrate zusammenhängt.

1. \(h(t+7) - h(t)\): Dieser Ausdruck beschreibt den absoluten Höhenzuwachs der Sonnenblume innerhalb einer Woche (7 Tage), ausgehend vom Zeitpunkt \(t\). Die Einheit ist \(\text{cm}\). 2. \(\frac{h(t+\Delta t) - h(t)}{\Delta t}\): Dies ist der Differenzenquotient, der die durchschnittliche Wachstumsrate der Pflanze im Zeitintervall von \(t\) bis \(t+\Delta t\) angibt. Die Einheit ist \(\frac{\text{cm}}{\text{d}}\). 3. \(h'(t)\): Die erste Ableitung an der Stelle \(t\) entspricht der momentanen Wachstumsrate der Pflanze zum Zeitpunkt \(t\). Die Einheit ist \(\frac{\text{cm}}{\text{d}}\).

a) Höhenzuwachs innerhalb einer Woche in \(\text{cm}\). b) Durchschnittliche Wachstumsrate im Zeitraum \(\Delta t\) in \(\frac{\text{cm}}{\text{d}}\). c) Momentane Wachstumsrate zum Zeitpunkt \(t\) in \(\frac{\text{cm}}{\text{d}}\).

- Stell dir vor, du fährst mit einem Auto: Was liest du auf dem Tacho ab und was berechnest du, wenn du die Gesamtstrecke durch die Gesamtzeit teilst? - Welche mathematischen Werkzeuge nutzt du für Durchschnittswerte und welche für Momentanwerte?

1. \(\frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1}\): Dieser Differenzenquotient stellt die Durchschnittsgeschwindigkeit des Fahrzeugs im Zeitintervall zwischen \(t_1\) und \(t_2\) dar. 2. \(s'(t)\): Die erste Ableitung der Weg-Zeit-Funktion gibt die Momentangeschwindigkeit des Fahrzeugs zum Zeitpunkt \(t\) an.

a) Durchschnittsgeschwindigkeit im Zeitintervall \([t_1; t_2]\). b) Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t\).

- Überlege dir, welche Einheiten die Zähler und Nenner der Brüche haben. - Was ist der Unterschied zwischen einem Zeitraum und einem exakten Zeitpunkt? - Erinnere dich an die physikalischen Begriffe für die Änderung des Ortes und die momentane Geschwindigkeit.

1. \(h(t) - h(t_0)\) beschreibt die Höhenänderung des Ballons zwischen den Zeitpunkten \(t_0\) und \(t\) in Metern. 2. \(\frac{h(t) - h(t_0)}{t - t_0}\) stellt den Differenzenquotienten dar und gibt die mittlere Steiggeschwindigkeit des Ballons im Zeitintervall \([t_0; t]\) in der Einheit \(\frac{\text{m}}{\text{min}}\) an. 3. \(h'(t_0)\) ist die erste Ableitung an der Stelle \(t_0\) und gibt die momentane Steiggeschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t_0\) in \(\frac{\text{m}}{\text{min}}\) an.

a) Höhenänderung im Intervall \([t_0; t]\) in \(\text{m}\). b) Mittlere Steiggeschwindigkeit im Intervall \([t_0; t]\) in \(\frac{\text{m}}{\text{min}}\). c) Momentane Steiggeschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t_0\) in \(\frac{\text{m}}{\text{min}}\).

- Erinnere dich an die Ableitungsregeln für Potenzfunktionen. - Was gibt die Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle über das Verhalten der Funktion in der unmittelbaren Umgebung dieser Stelle aus? - Wie hängen „Grenzrate“ und „momentane Änderungsrate“ zusammen?

1. Ableitung der Steuerfunktion: Zur Bestimmung des Grenzsteuersatzes wird die erste Ableitung von \(S(x)\) gebildet. Es gilt \(S'(x) = 0{,}00004x + 0{,}15\). 2. Berechnung an der Stelle \(30\,000\): Einsetzen des Wertes ergibt \(S'(30\,000) = 0{,}00004 \cdot 30\,000 + 0{,}15 = 1{,}2 + 0{,}15 = 1{,}35\). Dies entspricht einem Steuersatz von \(135\,\%\) in diesem (mathematisch konstruierten) Modell. 3. Interpretation: Der Wert \(S'(30\,000) = 1{,}35\) gibt die momentane Änderungsrate der Steuerlast an der Stelle \(x = 30\,000\) an. Er beschreibt näherungsweise, um wie viel Euro die Steuer steigt, wenn das Einkommen um einen weiteren Euro (den \(30\,001\). Euro) erhöht wird. In diesem Modell würde die Steuerlast für diesen zusätzlichen Euro theoretisch um \(1{,}35\,\text{€}\) steigen.

1. \(S'(x) = 0{,}00004x + 0{,}15\) 2. \(S'(30\,000) = 1{,}35\) (bzw. \(135\,\%\)) 3. Der Wert gibt an, dass bei einem Einkommen von \(30\,000\,\text{€}\) die Steuerlast für den nächsten hinzuverdienten Euro näherungsweise um \(1{,}35\,\text{€}\) ansteigt.

- Setze die Ausdrücke \((100+h)\) und \(100\) sorgfältig in die Funktionsgleichung ein. - Achte beim Vereinfachen darauf, dass alle konstanten Terme im Zähler (die kein \(h\) enthalten) wegfallen müssen. - Der Grenzwert der Änderungsrate entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen in diesem Punkt. - Was sagt uns die Steigung darüber aus, wie stark die Kosten steigen, wenn wir \(x\) um eine kleine Einheit erhöhen?

1. Der Differenzenquotient lautet \(\frac{K(100+h) - K(100)}{h}\). Einsetzen ergibt: \(\frac{0{,}05(100+h)^2 + 10(100+h) + 500 - (0{,}05 \cdot 100^2 + 10 \cdot 100 + 500)}{h}\). Vereinfachung des Zählers: \(0{,}05(10\,000 + 200h + h^2) + 1\,000 + 10h + 500 - (500 + 1\,000 + 500) = 500 + 10h + 0{,}05h^2 + 1\,000 + 10h + 500 - 2\,000 = 20h + 0{,}05h^2\). Division durch \(h\) ergibt den vereinfachten Differenzenquotienten: \(20 + 0{,}05h\). 2. Für den Grenzübergang \(h \to 0\) betrachten wir den Grenzwert von \(20 + 0{,}05h\). Es ergibt sich \(K'(100) = \lim_{h \to 0} (20 + 0{,}05h) = 20\). 3. Die Grenzkosten an der Stelle \(x = 100\) geben die momentane Steigungsrate der Kostenkurve an. Im Sachkontext bedeutet dies, dass die Produktion einer weiteren Einheit (des 101. Stücks) näherungsweise \(20\,\text{€}\) an zusätzlichen Kosten verursacht.

1. Differenzenquotient: \(20 + 0{,}05h\) in \(\frac{\text{€}}{\text{Stück}}\). 2. Grenzkosten \(K'(100) = 20\,\frac{\text{€}}{\text{Stück}}\). 3. Das 101. Stück verursacht näherungsweise \(20\,\text{€}\) zusätzliche Kosten.

- Welche Formel für den Differenzenquotienten kennst du? - Setze den gegebenen Wert für \(x_0\) in die Definition ein. - Versuche, den Term im Zähler so weit wie möglich zu vereinfachen, bis du \(h\) ausklammern kannst. - Was passiert mit dem Ausdruck, wenn \(h\) immer kleiner wird und gegen Null geht?

1. Bestimmung des Funktionswertes an der Stelle \(x_0 = -2\): \(f(-2) = -0{,}5 \cdot (-2)^2 + 4 \cdot (-2) = -2 - 8 = -10\). 2. Aufstellen des Differenzenquotienten für ein beliebiges \(h\): \(\frac{f(-2+h) - f(-2)}{h} = \frac{-0{,}5(-2+h)^2 + 4(-2+h) - (-10)}{h}\). 3. Vereinfachung des Zählers: \(-0{,}5(4 - 4h + h^2) - 8 + 4h + 10 = -2 + 2h - 0{,}5h^2 - 8 + 4h + 10 = 6h - 0{,}5h^2\). 4. Kürzen des Bruchs durch \(h\): \(\frac{6h - 0{,}5h^2}{h} = 6 - 0{,}5h\). 5. Grenzwertbetrachtung für \(h \to 0\): \(f'(-2) = \lim_{h \to 0} (6 - 0{,}5h) = 6\).

Die Steigung der Tangente an der Stelle \(x_0 = -2\) beträgt \(f'(-2) = 6\).

- Erinnere dich daran, dass die momentane Änderungsrate der Ableitung an dieser Stelle entspricht. - Kannst du den Differenzenquotienten aufstellen und vereinfachen? - Achte beim Quadrieren von Klammern auf die binomischen Formeln. - Überlege, welcher Wert übrig bleibt, wenn der variable Teil des Terms gegen Null geht.

1. Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x_0 = 3\): \(f(3) = 2 \cdot 3^2 - 4 \cdot 3 + 1 = 18 - 12 + 1 = 7\). 2. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(3+h) - f(3)}{h} = \frac{2(3+h)^2 - 4(3+h) + 1 - 7}{h}\). 3. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen des Zählers: \(2(9 + 6h + h^2) - 12 - 4h - 6 = 18 + 12h + 2h^2 - 12 - 4h - 6 = 8h + 2h^2\). 4. Division durch \(h\): \(\frac{8h + 2h^2}{h} = 8 + 2h\). 5. Bestimmung des Grenzwerts (Differenzialquotient): \(f'(3) = \lim_{h \to 0} (8 + 2h) = 8\).

Die momentane Änderungsrate an der Stelle \(x_0 = 3\) beträgt \(8\).

- Setze den Term \((1+h)\) für \(x\) in die Funktionsgleichung ein und achte auf die binomische Formel. - Welche Informationen benötigst du, um die Gleichung einer Geraden (Tangente) aufzustellen? - Wie verhält sich die Steigung einer Kurve im Vergleich zur Steigung einer Geraden? - Was sagt die Ableitungsfunktion über die Steigung an verschiedenen Stellen aus?

1. Berechnung von \(f'(1)\): Der Ansatz \(\lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{((1+h)^2 - 1) - (1^2 - 1)}{h}\) ergibt vereinfacht \(\lim_{h \to 0} \frac{1 + 2h + h^2 - 1 - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (2 + h)\). Der Grenzwert ist \(f'(1) = 2\). 2. Tangentengleichung: Die Steigung ist \(m = f'(1) = 2\). Der Berührpunkt ist \(P(1|f(1))\) mit \(f(1) = 0\). Einsetzen in die Punkt-Steigungs-Form \(y = m \cdot (x - x_0) + y_0\) ergibt \(t(x) = 2 \cdot (x - 1) + 0\), also \(t(x) = 2x - 2\). 3. Vergleich: Bei einer linearen Funktion ist die Steigung überall gleich, weshalb die Ableitung einen konstanten Wert besitzt. Bei der quadratischen Funktion \(f(x) = x^2 - 1\) ändert sich die lokale Steigung des Graphen von Stelle zu Stelle, sodass die Ableitungswerte von \(x\) abhängen.

1. \(f'(1) = 2\). 2. Die Tangentengleichung lautet \(t(x) = 2x - 2\). 3. Während die Ableitung einer linearen Funktion konstant ist (da die Steigung der Geraden überall gleich ist), hängt die Ableitung bei \(f(x) = x^2 - 1\) vom \(x\)-Wert ab, da sich die Steigung der Parabel ständig ändert.

- Die momentane Änderungsrate entspricht genau der Ableitung der Funktion an dieser Stelle. - Nutze die binomischen Formeln, um den Ausdruck im Zähler korrekt auszumultiplizieren. - Vergiss nicht, den Funktionswert \(g(4)\) im Zähler abzuziehen. - Nach dem Kürzen von \(h\) kannst du den Wert bestimmen, dem sich der Ausdruck annähert, wenn \(h\) gegen Null läuft.

1. Funktionswert an der Stelle \(x_0 = 4\) bestimmen: \(g(4) = -0{,}5 \cdot 4^2 + 3 \cdot 4 = -8 + 12 = 4\). 2. Differenzenquotienten aufstellen: \(\frac{g(4+h) - g(4)}{h} = \frac{-0{,}5(4+h)^2 + 3(4+h) - 4}{h}\). 3. Zählerterm vereinfachen: \(\frac{-0{,}5(16 + 8h + h^2) + 12 + 3h - 4}{h} = \frac{-8 - 4h - 0{,}5h^2 + 12 + 3h - 4}{h} = \frac{-0{,}5h^2 - h}{h}\). 4. Durch \(h\) kürzen: \(-0{,}5h - 1\). 5. Grenzwertbetrachtung durchführen: \(\lim_{h \to 0} (-0{,}5h - 1) = -1\). Die momentane Änderungsrate ist somit \(-1\).

Die momentane Änderungsrate an der Stelle \(x_0 = 4\) beträgt \(-1\).

- Überlege dir zuerst, in welcher Einheit die Ausgangsgröße gemessen wird. - Die momentane Änderungsrate beschreibt, wie stark sich der Funktionswert ändert, wenn sich die Eingangsgröße (z. B. die Zeit oder eine Menge) minimal ändert. - Die Einheit der Änderungsrate ergibt sich immer aus dem Quotienten der Einheit der abhängigen Größe und der Einheit der unabhängigen Größe. - Welcher Fachbegriff beschreibt in der Physik oder Wirtschaft die Änderung der jeweiligen Größe?

Die Zuordnung erfolgt durch die logische Verknüpfung der Dimensionen und der physikalisch-ökonomischen Zusammenhänge: 1. Energie \(E(t)\): Einheit \(\text{J}\). Die zeitliche Änderung der Energie ist die Leistung (\(r\)), gemessen in Watt (\(\text{W}\)) bzw. \(\text{J/s}\). 2. Füllhöhe \(h(t)\): Einheit \(\text{cm}\). Die zeitliche Änderung der Höhe beschreibt die Steiggeschwindigkeit (\(r\)), gemessen in \(\text{cm/min}\). 3. Masse \(m(s)\): Einheit \(\text{kg}\). Da die Masse hier von der Länge \(s\) abhängt, ist die Änderungsrate die lineare Massendichte (\(r\)), gemessen in \(\text{kg/m}\). 4. Gewinn \(G(x)\): Einheit \(\text{€}\). Die Änderung des Gewinns in Abhängigkeit von der produzierten Stückzahl \(x\) ist der Grenzgewinn (\(r\)), gemessen in \(\text{€/Stück}\).

- Energie \(E(t)\): \(\text{J}\) \(\rightarrow\) Leistung \(\rightarrow\) \(\text{W}\) (bzw. \(\text{J/s}\)) - Füllhöhe \(h(t)\): \(\text{cm}\) \(\rightarrow\) Steiggeschwindigkeit \(\rightarrow\) \(\text{cm/min}\) - Masse \(m(s)\): \(\text{kg}\) \(\rightarrow\) lineare Massendichte \(\rightarrow\) \(\text{kg/m}\) - Gewinn \(G(x)\): \(\text{€}\) \(\rightarrow\) Grenzgewinn \(\rightarrow\) \(\text{€/Stück}\)

- Wie berechnet man allgemein die Steigung einer Tangente an einem Punkt? - Was gibt die Änderung des Ortes pro Zeitspanne physikalisch an? - Erinnere dich an die Regel für das Ableiten von Potenzfunktionen. - Welche Einheiten kennst du für Geschwindigkeiten?

1. Die Einheit der Ableitung \(s'(t)\) ist allgemein \(\frac{\text{Einheit von } s(t)}{\text{Einheit von } t}\). Hier ist \(s\) in \(\text{m}\) und \(t\) in \(\text{s}\) gegeben, woraus die Einheit \(\frac{\text{m}}{\text{s}}\) folgt. 2. Die erste Ableitung des Weges nach der Zeit entspricht der momentanen Änderungsrate des Weges, also der Momentangeschwindigkeit des Fahrzeugs zum Zeitpunkt \(t\). 3. Die Ableitungsfunktion lautet \(s'(t) = t + 2\). Einsetzen von \(t = 4\) ergibt \(s'(4) = 4 + 2 = 6\). Unter Berücksichtigung der Einheit beträgt die Momentangeschwindigkeit \(6\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\).

1. Die Einheit von \(s'(t)\) ist \(\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 2. \(s'(t)\) stellt die Momentangeschwindigkeit des Fahrzeugs zum Zeitpunkt \(t\) dar. 3. \(s'(4) = 6\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\).

- Welcher mathematische Begriff ist gleichbedeutend mit der „momentanen Änderungsrate“? - Bestimme zuerst die allgemeine Ableitungsfunktion \(g'(x)\). - Setze die gegebene Stelle \(x_0\) in deine Ableitungsfunktion ein. - Achte bei der Berechnung auf die Reihenfolge der Rechenoperationen (Potenz vor Multiplikation).

1. Bestimmung der Ableitungsfunktion \(g'(x)\) zur Ermittlung der momentanen Änderungsrate: \(g'(x) = 6x^2 - 18x\) 2. Berechnung des Werts der Ableitung an der Stelle \(x_0 = 4\): \(g'(4) = 6 \cdot 4^2 - 18 \cdot 4 = 96 - 72 = 24\) 3. Da \(24 > 0\) gilt, ist das Vorzeichen der momentanen Änderungsrate positiv.

Das Vorzeichen der momentanen Änderungsrate ist positiv, da \(g'(4) = 24\) ist.

- Was bedeutet das „Strich-Symbol“ in \(f'(x)\) im Gegensatz zu \(f(x)\)? - Erinnere dich an die verschiedenen Namen für die Ableitung an einer Stelle. - Wie hängen die Steigung einer Tangente und die Ableitungsfunktion zusammen? - Wann sind zwei Geraden parallel zueinander? Schau dir die Steigung der Geraden in Aussage 5 an.

1. Schritt: Identifikation der Bedeutung von \(f'(4) = -1\). Die Gleichung besagt, dass die erste Ableitung (Steigung) an der Stelle \(x=4\) den Wert \(-1\) hat. 2. Schritt: Prüfung der Aussagen. - Aussage 1 ist die direkte fachsprachliche Benennung der Notation. (Korrekt) - Aussage 2 beschreibt einen Funktionswert \(f(4)=-1\), nicht die Ableitung. (Falsch) - Aussage 3 nutzt die geometrische Interpretation der Ableitung als Steigung der Tangente. (Korrekt) - Aussage 4 verwendet den Fachbegriff Differentialquotient als Synonym für die momentane Änderungsrate bzw. Ableitung an einer Stelle. (Korrekt) - Aussage 5: Die Gerade \(y = -x + 10\) hat die Steigung \(m = -1\). Da parallele Geraden die gleiche Steigung besitzen, entspricht dies der Bedingung \(f'(4) = -1\). (Korrekt) - Aussage 6 beschreibt einen Punkt auf dem Graphen, wobei zudem \(x\)- und \(y\)-Werte vertauscht wurden. (Falsch)

Die Aussagen 1, 3, 4 und 5 sind äquivalent zu \(f'(4) = -1\).

- Setze den Ausdruck \((x_0 + h)\) für jedes \(x\) in die Funktionsgleichung ein. - Nutze die binomischen Formeln, um Klammern im Zähler aufzulösen. - Achte beim Vereinfachen besonders auf die Vorzeichen, wenn ein Minus vor der Klammer steht. - Nach dem Vereinfachen sollte sich \(h\) im Nenner wegkürzen lassen.

1. Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x_0 = 2\): \(f(2) = -(2)^2 + 6 \cdot 2 = -4 + 12 = 8\). 2. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \frac{-(2+h)^2 + 6(2+h) - 8}{h}\). 3. Vereinfachung des Zählers: \(-(4 + 4h + h^2) + 12 + 6h - 8 = -4 - 4h - h^2 + 12 + 6h - 8 = 2h - h^2\). 4. Kürzen durch \(h\): \(\frac{2h - h^2}{h} = 2 - h\). 5. Grenzwertbildung für \(h \to 0\): \(f'(2) = \lim_{h \to 0} (2 - h) = 2\).

a) Der vereinfachte Differenzenquotient lautet \(2 - h\). b) Die momentane Änderungsrate an der Stelle \(x_0 = 2\) beträgt \(2\).

- Setze den Term für \(3+h\) in die Funktionsgleichung ein und verwende die binomische Formel. - Was passiert mit dem Term, wenn \(h\) gegen null geht? - Überlege dir, wie man von einer Sekante zu einer Tangente gelangt.

1. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{s(3+h) - s(3)}{h} = \frac{0{,}8(3+h)^2 - 0{,}8 \cdot 3^2}{h}\). Vereinfachung: \(\frac{0{,}8(9 + 6h + h^2) - 7{,}2}{h} = \frac{7{,}2 + 4{,}8h + 0{,}8h^2 - 7{,}2}{h} = \frac{4{,}8h + 0{,}8h^2}{h} = 4{,}8 + 0{,}8h\). 2. Grenzwertbildung: \(\lim_{h \to 0} (4{,}8 + 0{,}8h) = 4{,}8\). Die Momentangeschwindigkeit beträgt \(4{,}8\,\text{m/s}\). 3. Die lokale Änderungsrate (Ableitung) an einer Stelle \(t_0\) ist definiert als der Grenzwert der mittleren Änderungsrate (Differenzenquotient) über einem Intervall \([t_0; t_0+h]\), wenn die Intervallbreite \(h\) gegen Null geht.

1. Der vereinfachte Differenzenquotient lautet \(4{,}8 + 0{,}8h\). 2. Die lokale Änderungsrate zum Zeitpunkt \(t = 3\) beträgt \(4{,}8\,\text{m/s}\). 3. Die lokale Änderungsrate ist der Grenzwert der mittleren Änderungsrate für eine gegen Null gehende Intervallbreite.

- Überlege dir, welche physikalische Größe durch die Änderung des Weges pro Zeit beschrieben wird. - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, die Steigung einer Funktion in einem bestimmten Punkt zu bestimmen? - Beachte, dass der Ausdruck mit dem Winkel für ein festes \(\beta\) lediglich ein konstanter Vorfaktor ist. - Stelle sicher, dass dein Taschenrechner auf das richtige Winkelmaß (Gradmaß) eingestellt ist.

1. Die lokale Änderungsrate \(s'(t)\) beschreibt im Sachzusammenhang die Momentangeschwindigkeit des Schlittens zum Zeitpunkt \(t\) in der Einheit \(\text{m/s}\). 2. Bildung der ersten Ableitung nach der Zeit \(t\) unter Anwendung der Potenzregel, wobei \(4{,}9 \cdot \cos(\beta)\) als konstanter Faktor behandelt wird: \(s'(t) = 9{,}8 \cdot \cos(\beta) \cdot t\). 3. Berechnung für \(\beta = 30^\circ\) bei \(t = 2\,\text{s}\): \(s'(2) = 9{,}8 \cdot \cos(30^\circ) \cdot 2 \approx 16{,}97\,\text{m/s}\). 4. Berechnung für \(\beta = 50^\circ\) bei \(t = 2\,\text{s}\): \(s'(2) = 9{,}8 \cdot \cos(50^\circ) \cdot 2 \approx 12{,}60\,\text{m/s}\).

Die lokale Änderungsrate entspricht der Momentangeschwindigkeit des Schlittens in \(\text{m/s}\). Für \(\beta = 30^\circ\) beträgt die Geschwindigkeit nach \(2\,\text{s}\) etwa \(16{,}97\,\text{m/s}\). Für \(\beta = 50^\circ\) beträgt sie etwa \(12{,}60\,\text{m/s}\).

- Was sagt dir die Ableitung einer Flächenfunktion über die Geschwindigkeit aus, mit der die Fläche größer wird? - Welche Variable ist hier die Zeit, nach der abgeleitet werden muss? - Überlege, wie du mit dem Term \(\sqrt{v}\) beim Ableiten umgehst, wenn \(v\) ein fester Parameter ist. - Achte bei der Angabe des Ergebnisses auf die korrekte zusammengesetzte Einheit aus Fläche und Zeit.

1. Die lokale Änderungsrate \(A'(t)\) gibt die momentane Wachstumsgeschwindigkeit der Fläche des Ölflecks zum Zeitpunkt \(t\) an. Die Einheit ist \(\text{m}^2/\text{h}\). 2. Ableitung der Funktion \(A\) nach \(t\) mit der Potenzregel: \(A'(t) = 2 \cdot 0{,}5 \cdot \sqrt{v} \cdot t^1 = \sqrt{v} \cdot t\). 3. Einsetzen der Werte für \(v = 10\) und \(t = 3\): \(A'(3) = \sqrt{10} \cdot 3 \approx 9{,}49\,\text{m}^2/\text{h}\). 4. Einsetzen der Werte für \(v = 25\) und \(t = 3\): \(A'(3) = \sqrt{25} \cdot 3 = 5 \cdot 3 = 15\,\text{m}^2/\text{h}\).

Die lokale Änderungsrate beschreibt die momentane Wachstumsgeschwindigkeit der Fläche in \(\text{m}^2/\text{h}\). Bei \(v = 10\,\text{km/h}\) beträgt sie nach \(3\,\text{h}\) etwa \(9{,}49\,\text{m}^2/\text{h}\). Bei \(v = 25\,\text{km/h}\) beträgt sie zum selben Zeitpunkt genau \(15\,\text{m}^2/\text{h}\).

- Wie hängen die Steigungen paralleler Geraden zusammen? - Achte beim Subtrahieren von \(f(x)\) im Zähler besonders auf die Vorzeichen innerhalb der Klammer. - Kannst du den Zähler so umformen, dass du \(h\) im Nenner eliminieren kannst? - Was passiert mit den Termen, die nach dem Kürzen noch ein \(h\) enthalten, wenn \(h\) gegen Null geht?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{4(x+h) - (x+h)^2 - (4x - x^2)}{h}\) 2. Ausmultiplizieren der Klammern im Zähler: \(\frac{4x + 4h - (x^2 + 2xh + h^2) - 4x + x^2}{h}\) 3. Zusammenfassen und Vereinfachen des Zählers: \(\frac{4h - 2xh - h^2}{h}\) 4. Kürzen durch \(h\) und Grenzwertbildung für \(h \to 0\): \(f'(x) = \lim_{h \to 0} (4 - 2x - h) = 4 - 2x\) 5. Bestimmung der Zielsteigung: Da die Tangente parallel zu \(y = -2x + 5\) sein soll, muss \(f'(x_0) = -2\) gelten. 6. Lösen der Gleichung: \(4 - 2x_0 = -2 \implies -2x_0 = -6 \implies x_0 = 3\)

Die Ableitungsfunktion lautet \(f'(x) = 4 - 2x\). Die Tangente verläuft an der Stelle \(x_0 = 3\) parallel zur gegebenen Geraden.

- Was ist der Unterschied zwischen der mittleren Änderung über einen Zeitraum und der Änderung zu einem exakten Zeitpunkt? - Erinnere dich an die Definition des Differenzenquotienten für die Durchschnittsgeschwindigkeit. - Wie interpretierst du positive und negative Werte bei einer vertikalen Bewegung?

1. Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist der Differenzenquotient: \(\bar{v} = \frac{s(2) - s(0)}{2 - 0}\). Mit \(s(2) = -5(2^2) + 10(2) + 4 = 4\) und \(s(0) = 4\) ergibt sich \(\bar{v} = \frac{4 - 4}{2} = 0\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 2. Die momentane Geschwindigkeit ist \(v(t) = s'(t) = -10t + 10\). Zum Zeitpunkt \(t = 1{,}5\) gilt \(v(1{,}5) = -10(1{,}5) + 10 = -5\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). Das negative Vorzeichen bedeutet, dass sich der Ball nach unten bewegt (er fällt). 3. Setze \(v(t) = 2\): \(-10t + 10 = 2 \implies -10t = -8 \implies t = 0{,}8\,\text{s}\). Da die Geschwindigkeit positiv ist, steigt der Ball zu diesem Zeitpunkt.

a) \(0\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) b) \(v(1{,}5) = -5\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). Das negative Vorzeichen zeigt an, dass der Ball fällt. c) Zum Zeitpunkt \(t = 0{,}8\,\text{s}\); der Ball steigt, da die Geschwindigkeit positiv ist.

- Ersetze jedes Vorkommen von \(x\) im Funktionsterm durch den Ausdruck \((x+h)\). - Multipliziere alle Klammern im Zähler vollständig aus und fasse gleiche Terme zusammen. - Kannst du \(h\) im Zähler ausklammern, um den Nenner zu eliminieren? - Was passiert mit den verbleibenden Termen, wenn \(h\) immer kleiner wird und schließlich gegen Null geht?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{(x+h)^2 + 6(x+h) - (x^2 + 6x)}{h}\) 2. Umformen und Zusammenfassen der Terme im Zähler: \(\frac{x^2 + 2xh + h^2 + 6x + 6h - x^2 - 6x}{h} = \frac{2xh + h^2 + 6h}{h}\) 3. Kürzen des Faktors \(h\) aus dem gesamten Bruch: \(2x + h + 6\) 4. Bestimmung des Grenzwerts des Terms für \(h \to 0\): \(f'(x) = 2x + 6\)

\(f'(x) = 2x + 6\)

- Überlege, wie man von einer Weg-Zeit-Funktion zur Funktion der Geschwindigkeit gelangt. - Was bedeutet die Steigung der Tangente an einem Punkt des Graphen physikalisch? - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, die Änderungsrate zu einem exakten Zeitpunkt zu bestimmen? - Wie kannst du eine Gleichung nutzen, um einen gesuchten Wert für die unabhängige Variable zu finden?

1. Berechnung der Position zum Zeitpunkt \(t = 2{,}5\): Einsetzen des Wertes in die Funktionsgleichung ergibt \(s(2{,}5) = 0{,}4 \cdot 2{,}5^3 = 6{,}25\,\text{m}\). 2. Bestimmung der Ableitungsfunktion für die Geschwindigkeit: \(v(t) = s'(t) = 1{,}2t^2\). 3. Berechnung der Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t = 2{,}5\): Einsetzen in die Ableitungsfunktion ergibt \(v(2{,}5) = 1{,}2 \cdot 2{,}5^2 = 7{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 4. Bestimmung des Zeitpunkts für eine vorgegebene Geschwindigkeit: Gleichung \(v(t) = 30\) aufstellen, also \(1{,}2t^2 = 30\). 5. Lösen der Gleichung: \(t^2 = 25\), woraus sich für den relevanten Zeitbereich \(t = 5\,\text{s}\) ergibt.

a) Die Position beträgt \(6{,}25\,\text{m}\) und die Momentangeschwindigkeit \(7{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). b) Die Geschwindigkeit beträgt nach genau \(5\,\text{s}\) den Wert \(30\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\).

- Was gibt der Funktionswert an einer bestimmten Stelle im Sachkontext an? - Welcher mathematische Begriff beschreibt die momentane Änderungsrate einer Größe? - Wie berechnet man die Ableitung einer Potenzfunktion? - Wenn eine Rate gegeben ist und die Zeit gesucht wird, welche Art von Gleichung musst du dann lösen?

1. Berechnung der Fläche nach \(4\,\text{Stunden}\): Einsetzen von \(t = 4\) in \(A(t)\) ergibt \(A(4) = 0{,}5 \cdot 4^3 + 10 = 42\,\text{mm}^2\). 2. Ermittlung der Ableitungsfunktion für die Wachstumsrate: \(A'(t) = 1{,}5t^2\). 3. Berechnung der Wachstumsrate zum Zeitpunkt \(t = 4\): Einsetzen in die Ableitungsfunktion ergibt \(A'(4) = 1{,}5 \cdot 4^2 = 24\,\frac{\text{mm}^2}{\text{h}}\). 4. Berechnung des gesuchten Zeitpunkts: Ansatz \(A'(t) = 54\), was zu \(1{,}5t^2 = 54\) führt. 5. Auflösen der Gleichung: Division durch \(1{,}5\) ergibt \(t^2 = 36\). Da \(t \ge 0\) sein muss, folgt \(t = 6\,\text{h}\).

a) Die Fläche beträgt \(42\,\text{mm}^2\) und die Wachstumsrate \(24\,\frac{\text{mm}^2}{\text{h}}\). b) Die Wachstumsrate erreicht nach \(6\,\text{Stunden}\) den Wert \(54\,\frac{\text{mm}^2}{\text{h}}\).

- Überlege, wie man die Steigung einer Geraden durch zwei Punkte auf einem Graphen berechnet. - Welcher mathematische Begriff beschreibt die Steigung der Tangente an einem Punkt des Graphen? - Erinnere dich an die Ableitungsregeln für Potenzfunktionen. - Wenn eine Wachstumsgeschwindigkeit gesucht ist, musst du eine Gleichung für die Ableitungsfunktion lösen.

1. Berechnung der mittleren Änderungsrate im Intervall \([0; 5]\) über den Differenzenquotienten: \(\frac{h(5) - h(0)}{5 - 0} = \frac{17{,}5 - 5}{5} = \frac{12{,}5}{5} = 2{,}5\). Die mittlere Wachstumsrate beträgt \(2{,}5\,\frac{\text{cm}}{\text{Tag}}\). 2. Bestimmung der ersten Ableitungsfunktion für die momentane Rate: \(h'(t) = -0{,}06t^2 + 1{,}2t\). 3. Berechnung der momentanen Wachstumsgeschwindigkeit für \(t = 10\): \(h'(10) = -0{,}06 \cdot 100 + 1{,}2 \cdot 10 = -6 + 12 = 6\). Die Geschwindigkeit beträgt \(6\,\frac{\text{cm}}{\text{Tag}}\). 4. Ansatz für Teilaufgabe c) durch Gleichsetzen der Ableitung mit dem Zielwert: \(-0{,}06t^2 + 1{,}2t = 4{,}5\). 5. Umformung zur quadratischen Gleichung \(t^2 - 20t + 75 = 0\) und Lösung mittels \(pq\)-Formel oder Faktorisierung \((t-5)(t-15)=0\) ergibt die Zeitpunkte \(t_1 = 5\) und \(t_2 = 15\).

a) Die mittlere Wachstumsrate beträgt \(2{,}5\,\frac{\text{cm}}{\text{Tag}}\). b) Die momentane Wachstumsgeschwindigkeit beträgt \(6\,\frac{\text{cm}}{\text{Tag}}\). c) Die Wachstumsgeschwindigkeit beträgt nach \(5\) Tagen und nach \(15\) Tagen genau \(4{,}5\,\frac{\text{cm}}{\text{Tag}}\).

- Wie wirkt sich der Parameter beim Ableiten aus? - Kannst du eine allgemeine Formel für die Steigung in Abhängigkeit von \(k\) aufstellen? - Welche Gleichung ergibt sich, wenn du die Information über die Änderungsrate an der Stelle 3 nutzt?

1. Ableiten der Funktionsschar \(h_k\) nach \(x\), wobei \(k\) als Konstante behandelt wird: \(h_k'(x) = 3x^2 - 2kx\). 2. Aufstellen der Bedingungsgleichung für die lokale Änderungsrate an der Stelle \(x = 3\): \(h_k'(3) = 15\). 3. Einsetzen der Stelle in die Ableitung: \(3 \cdot 3^2 - 2k \cdot 3 = 15\), was zu \(27 - 6k = 15\) führt. 4. Lösen der linearen Gleichung nach \(k\): \(-6k = -12\), woraus \(k = 2\) folgt.

Der Parameterwert ist \(k = 2\).

- Wie berechnet man die Steigung zwischen zwei festen Punkten auf einer Kurve? - Welcher mathematische Begriff beschreibt die Geschwindigkeit in einem ganz bestimmten Augenblick? - Erinnerst du dich an die Potenzregel, um die Steigungsfunktion (Ableitung) zu finden? - Wie gehst du vor, wenn du einen Funktionswert der Ableitung kennst und das zugehörige \(t\) suchst?

1. Die Durchschnittsgeschwindigkeit entspricht der mittleren Änderungsrate im Intervall \([1; 4]\). Es werden die Funktionswerte \(s(1) = 1^2 + 5 \cdot 1 = 6\) und \(s(4) = 4^2 + 5 \cdot 4 = 16 + 20 = 36\) berechnet. 2. Die mittlere Änderungsrate ist \(\frac{s(4) - s(1)}{4 - 1} = \frac{36 - 6}{3} = 10\). Die Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt \(10\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 3. Die Momentangeschwindigkeit ist die erste Ableitung der Weg-Zeit-Funktion: \(s'(t) = 2t + 5\). 4. Um den Zeitpunkt für eine Geschwindigkeit von \(12\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) zu finden, wird die Gleichung \(s'(t) = 12\) aufgestellt: \(2t + 5 = 12\). 5. Lösen der Gleichung: \(2t = 7 \implies t = 3{,}5\). Der Zeitpunkt ist \(3{,}5\,\text{s}\).

a) Die Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt \(10\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). b) Der Zeitpunkt ist \(t = 3{,}5\,\text{s}\).

- Erinnere dich an die binomischen Formeln, um die Ausdrücke im Zähler zu vereinfachen. - Überlege, was passiert, wenn man in einem Bruch den Nenner Null werden lässt. - Wie unterscheiden sich die beiden Intervalle in ihrer Beschreibung der Annäherung an den Punkt? - Achte darauf, den Faktor 2 bei der Quadrierung korrekt zu berücksichtigen.

1. Der Differenzenquotient nach der \(h\)-Methode lautet: \(\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{2(1+h)^2 - 2 \cdot 1^2}{h} = \frac{2(1 + 2h + h^2) - 2}{h} = \frac{2 + 4h + 2h^2 - 2}{h} = \frac{4h + 2h^2}{h} = 4 + 2h\). Der Grenzwert für \(h \to 0\) ergibt \(f'(1) = 4\). 2. Der Differenzenquotient für \(x \to 1\) lautet: \(\frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \frac{2x^2 - 2}{x - 1} = \frac{2(x^2 - 1)}{x - 1}\). Durch Anwendung der dritten binomischen Formel ergibt sich \(\frac{2(x-1)(x+1)}{x-1} = 2(x+1)\). Der Grenzwert für \(x \to 1\) ergibt \(2(1+1) = 4\). 3. Beide Ansätze führen zum selben Ergebnis \(f'(1) = 4\). Ohne die Grenzwertbetrachtung würde man bei direktem Einsetzen von \(h = 0\) oder \(x = 1\) einen mathematisch nicht definierten Ausdruck der Form \(\frac{0}{0}\) erhalten, da eine Division durch Null nicht zulässig ist. Der Grenzwert erlaubt es, das Verhalten der Steigung „unendlich nahe“ an der Stelle zu untersuchen, ohne tatsächlich durch Null zu teilen.

1. \(f'(1) = \lim_{h \to 0} (4 + 2h) = 4\) 2. \(f'(1) = \lim_{x \to 1} 2(x+1) = 4\) 3. Ein direktes Einsetzen von \(h=0\) oder \(x=1\) führt zur Division durch Null (\(\frac{0}{0}\)), was mathematisch nicht definiert ist.

- Welche Steigung hat eine Gerade, die parallel zur \(x\)-Achse verläuft? - Wie berechnet man die Steigung einer Kurve an einer beliebigen Stelle? - Was bedeutet „Steilheit“ im mathematischen Sinne, wenn man positive und negative Steigungen vergleicht?

1. Erste Ableitung bilden: \(g'(x) = x^2 - 4x + 3\). 2. Bedingung für waagerechte Tangenten (\(g'(x) = 0\)) anwenden: \(x^2 - 4x + 3 = 0\). 3. Quadratische Gleichung lösen (z. B. mit p-q-Formel): \(x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{4 - 3}\), daraus folgt \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). 4. Steigung an der Stelle \(x = 0\) berechnen: \(g'(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 + 3 = 3\). 5. Steigung an der Stelle \(x = 4\) berechnen: \(g'(4) = 4^2 - 4 \cdot 4 + 3 = 16 - 16 + 3 = 3\). 6. Vergleich: Da \(|g'(0)| = |g'(4)|\), ist die Steilheit an beiden Stellen identisch.

a) Die waagerechten Tangenten befinden sich an den Stellen \(x = 1\) und \(x = 3\). b) Die Steilheit an den Stellen \(x = 0\) und \(x = 4\) ist mit einem Betrag von \(3\) jeweils gleich groß.

- Wie berechnet man die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle? - Was bedeutet eine positive oder negative Steigung für den Verlauf der Temperatur? - Wenn eine Größe weder zunimmt noch abnimmt, welchen Wert muss ihre Änderungsrate dann haben?

1. Die momentane Änderungsrate wird durch die erste Ableitung \(T'(t)\) bestimmt. 2. Ableitungsfunktion bilden: \(T'(t) = -2t + 12\). 3. Werte berechnen: \(T'(2) = -2 \cdot 2 + 12 = 8\) und \(T'(8) = -2 \cdot 8 + 12 = -4\). 4. Interpretation: Da \(T'(2) > 0\), steigt die Temperatur zum Zeitpunkt \(t=2\) an (Erwärmung). Da \(T'(8) < 0\), sinkt die Temperatur zum Zeitpunkt \(t=8\) (Abkühlung). 5. Zeitpunkt ohne momentane Temperaturänderung bestimmen: Setze \(T'(t) = 0\). Daraus folgt \(-2t + 12 = 0\), also \(2t = 12\) und somit \(t = 6\). Nach 6 Minuten ändert sich die Temperatur momentan nicht.

a) Die Änderungsrate beträgt \(8\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\) bei \(t=2\) und \(-4\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\) bei \(t=8\). b) Ein positiver Wert bedeutet, dass die Temperatur steigt; ein negativer Wert bedeutet, dass sie sinkt. c) Zum Zeitpunkt \(t = 6\,\text{min}\) ändert sich die Temperatur momentan nicht.

- Überlege, wie die Geschwindigkeit und die Beschleunigung mathematisch mit der Wegfunktion zusammenhängen. - Welche Bedingung muss für die Geschwindigkeiten zum gesuchten Zeitpunkt gelten? - Beachte, dass negative Zeitwerte in diesem physikalischen Kontext meist keine Rolle spielen.

1. Bestimmung der Geschwindigkeitsfunktionen durch die ersten Ableitungen der Wegfunktionen: \(v_1(t) = s_1'(t) = \frac{1}{2}t^2 + 4t + 4\) und \(v_2(t) = s_2'(t) = 2t + 10\). 2. Gleichsetzen der Geschwindigkeiten zur Bestimmung des Zeitpunkts: \(\frac{1}{2}t^2 + 4t + 4 = 2t + 10 \Rightarrow \frac{1}{2}t^2 + 2t - 6 = 0\). 3. Lösen der quadratischen Gleichung \(t^2 + 4t - 12 = 0\) liefert \(t_1 = 2\) und \(t_2 = -6\). Da \(t \ge 0\), ist der relevante Zeitpunkt \(t = 2\,\text{s}\). 4. Bestimmung der Beschleunigungsfunktionen durch die zweiten Ableitungen: \(a_1(t) = v_1'(t) = t + 4\) und \(a_2(t) = v_2'(t) = 2\). 5. Berechnung der Beschleunigungen zum Zeitpunkt \(t = 2\): \(a_1(2) = 2 + 4 = 6\,\text{m/s}^2\) und \(a_2(2) = 2\,\text{m/s}^2\).

Zum Zeitpunkt der gleichen Geschwindigkeit (\(t = 2\,\text{s}\)) beträgt die Beschleunigung des ersten Fahrzeugs \(a_1 = 6\,\text{m/s}^2\) und die des zweiten Fahrzeugs \(a_2 = 2\,\text{m/s}^2\).

- Wie hängt die Tangentensteigung mit der Ableitung der Funktion zusammen? - Es kann hilfreich sein, den Funktionsterm zuerst mithilfe der binomischen Formeln umzuformen. - Was musst du tun, um die Steigung an einer ganz konkreten Stelle zu finden?

1. Umformen der Funktionsgleichung durch Auflösen der Klammer (1. Binomische Formel): \(g(x) = x^2 + 2x + 1\). 2. Bestimmen der Ableitungsfunktion \(g'(x)\): \(g'(x) = 2x + 2\). 3. Berechnung der Steigung an der Stelle \(x_1 = 1\): \(g'(1) = 2 \cdot 1 + 2 = 4\). 4. Berechnung der Steigung an der Stelle \(x_2 = -3\): \(g'(-3) = 2 \cdot (-3) + 2 = -4\).

Die Steigung der Tangente beträgt an der Stelle \(x_1 = 1\) genau \(4\) und an der Stelle \(x_2 = -3\) genau \(-4\).

- Setze die gegebenen Werte in die Formel für den Differenzenquotienten ein. - Kannst du den Zähler im Bruch so zerlegen, dass du mit dem Nenner kürzen kannst? - Denk an die dritte binomische Formel, um höhere Potenzen schrittweise zu zerlegen. - Welchen Wert erhältst du, wenn du für \(x\) die Zahl \(2\) in den vereinfachten Term einsetzt?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten für die Stelle \(x_0 = 2\): \(\frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = \frac{x^4 - 2^4}{x - 2} = \frac{x^4 - 16}{x - 2}\) 2. Faktorisieren des Zählers mithilfe der binomischen Formeln: \(x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)\) 3. Kürzen des Faktors \((x - 2)\) im Bruch: \((x + 2)(x^2 + 4)\) 4. Berechnung des Grenzwerts für \(x \to 2\): \(\lim_{x \to 2} (x + 2)(x^2 + 4) = (2 + 2) \cdot (2^2 + 4) = 4 \cdot 8 = 32\)

Die Steigung der Tangente an der Stelle \(x = 2\) beträgt \(32\).

- Wie kannst du die beiden Brüche im Zähler auf einen gemeinsamen Nenner bringen? - Versuche, den resultierenden Bruch so weit wie möglich zu vereinfachen, bevor du den Grenzwert betrachtest. - Achte darauf, dass \(h\) im Nenner des Differenzenquotienten weggekürzt werden muss. - Was bleibt übrig, wenn du im vereinfachten Term \(h = 0\) einsetzt?

1. Ansatz des Differenzenquotienten: \(\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \frac{\frac{3}{a+h} - \frac{3}{a}}{h}\) 2. Umformung des Zählers durch Hauptnennerbildung: \(\frac{3}{a+h} - \frac{3}{a} = \frac{3a - 3(a+h)}{a(a+h)} = \frac{3a - 3a - 3h}{a(a+h)} = \frac{-3h}{a(a+h)}\) 3. Vereinfachung des gesamten Doppelbruchs: \(\frac{-3h}{a(a+h) \cdot h} = \frac{-3}{a(a+h)}\) 4. Bestimmung des Grenzwerts für \(h \to 0\): \(f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{-3}{a(a+h)} = -\frac{3}{a^2}\)

\(f'(a) = -\frac{3}{a^2}\)

- Erinnere dich daran, welcher mathematische Begriff mit der „momentanen Änderungsrate“ gemeint ist. - Wie lässt sich eine Quadratwurzel als Potenz schreiben, um die Potenzregel anzuwenden? - Was passiert mit einem konstanten Faktor beim Ableiten einer Funktion? - Überprüfe, ob deine Ergebnisse für die Steigung an den Stellen zum Verlauf der bekannten Funktionsgraphen passen.

1. Die momentane Änderungsrate entspricht der Ableitung. Für \(h(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\) ist die Ableitungsfunktion \(h'(x) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\). Einsetzen ergibt: \(h'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1}} = 0{,}5\) und \(h'(9) = \frac{1}{2\sqrt{9}} = \frac{1}{6}\). 2. Für \(k(x) = \frac{1}{3}x^3\) ergibt sich die Ableitungsfunktion \(k'(x) = 3 \cdot \frac{1}{3}x^2 = x^2\). Die Werte an den Stellen sind: \(k'(3) = 3^2 = 9\) und \(k'(-1) = (-1)^2 = 1\).

a) \(h'(1) = 0{,}5\); \(h'(9) = \frac{1}{6}\) b) \(k'(3) = 9\); \(k'(-1) = 1\)

- Was gibt die Ableitungsfunktion \(f'\) an einer Stelle \(x\) geometrisch an? - Welche Werte kann der Ausdruck \(x^2\) für verschiedene reelle Zahlen annehmen? - Überlege dir, was der kleinste mögliche Wert des Terms \(3x^2 + 3\) ist. - Was bedeutet es für den Verlauf eines Graphen, wenn die Steigung einen bestimmten Mindestwert nicht unterschreitet?

1. Unter Verwendung der Potenz- und Summenregel ergibt sich für die Ableitungsfunktion \(f'(x) = 3x^2 + 3\). 2. Die Tangentensteigung \(m\) an einer Stelle \(x\) entspricht dem Funktionswert der Ableitung \(f'(x)\). Da der Term \(x^2\) für alle reellen Zahlen stets größer oder gleich Null ist (\(x^2 \ge 0\)), folgt für den Term der Ableitungsfunktion: \(3x^2 + 3 \ge 3\). Somit können für die Steigung nur Werte im Bereich \([3; \infty)\) angenommen werden. Alle Steigungswerte \(m < 3\) kommen für den Graphen von \(f\) nicht vor. 3. Geometrisch bedeutet dies, dass der Graph der Funktion \(f\) überall eine positive Steigung besitzt und somit streng monoton steigend verläuft. Es gibt keine Stellen mit waagerechter Tangente oder negativer Steigung; die geringste Steigung des Graphen beträgt \(3\) (im Punkt \((0|0)\)).

Die Ableitungsfunktion lautet \(f'(x) = 3x^2 + 3\). Da \(3x^2 \ge 0\) gilt, ist \(f'(x) \ge 3\) für alle \(x \in \mathbb{R}\). Somit kommen alle Steigungen \(m < 3\) (insbesondere negative Steigungen und die Steigung Null) nicht vor. Geometrisch bedeutet dies, dass der Graph der Funktion überall steigt (streng monoton steigend ist) und an keiner Stelle eine flachere Steigung als \(3\) aufweist.

- Schreibe die Funktion zuerst als Potenz mit negativem Exponenten um, um die Ableitung leichter zu berechnen. - Untersuche das Vorzeichen des Nenners der Ableitungsfunktion in Abhängigkeit von \(x\). - Kann ein Bruch mit einer Konstanten im Zähler jemals den Wert Null ergeben? - Was sagt das Vorzeichen der Ableitung über das Steigungsverhalten des Graphen aus?

1. Die Ableitungsfunktion wird mit der Potenzregel für \(g(x) = -x^{-2}\) bestimmt: \(g'(x) = 2x^{-3} = \frac{2}{x^3}\). 2. Für \(x < 0\) (negative Werte) ist auch \(x^3\) negativ. Daher ist die Steigung \(g'(x) = \frac{2}{x^3} < 0\). Der Graph fällt in diesem Bereich. 3. Für \(x > 0\) (positive Werte) ist \(x^3\) positiv. Daher ist die Steigung \(g'(x) = \frac{2}{x^3} > 0\). Der Graph steigt in diesem Bereich. 4. Da der Zähler des Bruchs \(\frac{2}{x^3}\) konstant \(2\) ist, kann der Wert des Bruchs niemals Null werden. Somit ist die Steigung \(m = 0\) ausgeschlossen. 5. Zusammenfassend: Da die Ableitung für sehr große oder sehr kleine \(x\) gegen Null strebt, aber nie Null erreicht, und für \(x\) nahe Null beliebig große positive oder negative Werte annimmt, ist lediglich der Steigungswert \(m = 0\) exakt ausgeschlossen.

Die Ableitungsfunktion ist \(g'(x) = \frac{2}{x^3}\). Für \(x < 0\) ist die Steigung stets negativ, für \(x > 0\) stets positiv. Der Steigungswert \(m = 0\) kommt niemals vor, da die Gleichung \(\frac{2}{x^3} = 0\) keine Lösung besitzt. Geometrisch bedeutet dies, dass der Graph für negative \(x\) streng monoton fällt und für positive \(x\) streng monoton steigt, wobei er an keiner Stelle eine waagerechte Tangente besitzt.

- Kannst du den Term \((2+h)^3\) schrittweise ausmultiplizieren, zum Beispiel als \((2+h)^2 \cdot (2+h)\)? - Achte darauf, den Faktor \(\frac{1}{2}\) auf alle Teile des ausmultiplizierten Terms anzuwenden. - Nach dem Subtrahieren von \(f(2)\) sollten im Zähler nur noch Terme stehen, die ein \(h\) enthalten. - Was bedeutet es für die Steigung, wenn die restlichen \(h\)-Terme verschwinden?

1. Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x_0 = 2\): \(f(2) = \frac{1}{2} \cdot 2^3 + 1 = 5\). 2. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \frac{0{,}5(2+h)^3 + 1 - 5}{h}\). 3. Ausmultiplizieren des Terms \((2+h)^3\): \((2+h)^3 = 8 + 12h + 6h^2 + h^3\). 4. Vereinfachen des Zählers: \(0{,}5(8 + 12h + 6h^2 + h^3) - 4 = 4 + 6h + 3h^2 + 0{,}5h^3 - 4 = 6h + 3h^2 + 0{,}5h^3\). 5. Kürzen durch \(h\): \(\frac{6h + 3h^2 + 0{,}5h^3}{h} = 6 + 3h + 0{,}5h^2\). 6. Grenzwertbetrachtung für \(h \to 0\): \(\lim_{h \to 0} (6 + 3h + 0{,}5h^2) = 6\).

Die momentane Änderungsrate an der Stelle \(x_0 = 2\) beträgt \(6\).

- Was gibt die Ableitung einer Weg-Zeit-Funktion physikalisch an? - Ändert sich die Position des Autos, wenn die Zeit vergeht? - Setze die konstanten Werte in die Definition der Ableitung ein. - Überlege, was ein Zähler von Null für den gesamten Bruch bedeutet, bevor du den Grenzwert betrachtest.

1. Berechnung des Differenzenquotienten an der Stelle \(t = 10\): \(\frac{s(10+h) - s(10)}{h} = \frac{15 - 15}{h} = 0\). Der Grenzwert der momentanen Änderungsrate ist \(s'(10) = \lim_{h \to 0} 0 = 0\). 2. Die Ableitung der Zeit-Ort-Funktion entspricht der Momentangeschwindigkeit \(v(t)\). Das Ergebnis \(s'(10) = 0\) bedeutet, dass die Geschwindigkeit des Autos zum Zeitpunkt \(t = 10\) genau \(0\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) beträgt, was konsistent mit der Beschreibung eines geparkten (stillstehenden) Fahrzeugs ist.

1. \(s'(10) = 0\) 2. Die Momentangeschwindigkeit ist \(0\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\), das Fahrzeug steht still.

- Schreibe den Betrag getrennt für positive und negative Werte von \(x\) um. - Welche linearen Terme entstehen in den beiden Fällen? - Die Steigung einer linearen Funktion liest du am Faktor vor \(x\) ab.

1. Für \(x > 0\) gilt \(|x| = x\). Dann ist \(g(x) = x + 2x = 3x\), also \(g'(x) = 3\). 2. Für \(x < 0\) gilt \(|x| = -x\). Dann ist \(g(x) = -x + 2x = x\), also \(g'(x) = 1\). 3. Daher beträgt die Tangentensteigung für \(a > 0\) den Wert \(3\) und für \(a < 0\) den Wert \(1\).

a) Für \(a > 0\): \(3\) b) Für \(a < 0\): \(1\)

- Überlege zuerst, wie man die Durchschnittsgeschwindigkeit über einen kleinen Zeitraum berechnet. - Was passiert mit diesem Zeitraum, wenn man die Geschwindigkeit genau in einem Moment wissen möchte? - Setze die Funktionsvorschrift in die Formel für die Steigung einer Sekante ein. - Kannst du den Ausdruck so umformen, dass du den Zeitunterschied im Nenner kürzen kannst?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten für das Intervall \([4; 4+h]\): \(\frac{s(4+h) - s(4)}{h}\). 2. Einsetzen der Funktionswerte: \(s(4) = 0{,}5 \cdot 4^2 = 8\) und \(s(4+h) = 0{,}5 \cdot (4+h)^2 = 0{,}5 \cdot (16 + 8h + h^2) = 8 + 4h + 0{,}5h^2\). 3. Vereinfachen des Quotienten: \(\frac{8 + 4h + 0{,}5h^2 - 8}{h} = \frac{4h + 0{,}5h^2}{h} = 4 + 0{,}5h\). 4. Definition der Momentangeschwindigkeit als Grenzwert (Differentialquotient): \(v(4) = \lim_{h \to 0} (4 + 0{,}5h)\). 5. Berechnung des Grenzwerts: \(v(4) = 4\). Die Momentangeschwindigkeit beträgt \(4\,\text{m/s}\).

Die Momentangeschwindigkeit wird als Grenzwert des Differenzenquotienten für \(h \to 0\) definiert: \(v(t_0) = \lim_{h \to 0} \frac{s(t_0+h) - s(t_0)}{h}\). Für \(t_0 = 4\) ergibt sich ein Wert von \(4\,\text{m/s}\).

- Was gibt das Verhältnis von Volumenänderung zu Zeitänderung im Allgemeinen an? - Welche Einheit hat das Ergebnis, wenn das Volumen in Litern und die Zeit in Minuten gemessen wird? - Nutze die binomischen Formeln, um den Zähler des Bruchs zu vereinfachen. - Was bleibt übrig, wenn der Abstand zwischen den Zeitpunkten gegen Null geht?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{V(5+h) - V(5)}{h}\). Dieser beschreibt die mittlere Änderungsrate des Volumens (durchschnittliche Zufluss- oder Abflussrate) im Zeitraum von \(5\) bis \(5+h\) Minuten in \(\text{l/min}\). 2. Berechnung der Funktionswerte: \(V(5) = 10 \cdot 5 - 0{,}2 \cdot 25 = 50 - 5 = 45\). 3. \(V(5+h) = 10(5+h) - 0{,}2(5+h)^2 = 50 + 10h - 0{,}2(25 + 10h + h^2) = 50 + 10h - 5 - 2h - 0{,}2h^2 = 45 + 8h - 0{,}2h^2\). 4. Einsetzen und Kürzen: \(\frac{45 + 8h - 0{,}2h^2 - 45}{h} = \frac{8h - 0{,}2h^2}{h} = 8 - 0{,}2h\). 5. Grenzwertbildung für \(h \to 0\): \(\lim_{h \to 0} (8 - 0{,}2h) = 8\). Die momentane Änderungsrate beträgt \(8\,\text{l/min}\).

Der Differenzenquotient \(\frac{V(5+h) - V(5)}{h}\) entspricht der mittleren Änderungsrate des Volumens im Intervall \([5; 5+h]\). Die momentane Änderungsrate zum Zeitpunkt \(t = 5\,\text{min}\) beträgt \(8\,\text{l/min}\).

- Überlege dir, was der Differenzenquotient geometrisch an einer Kurve darstellt. - Wie verändert sich der Wert des Quotienten, wenn du das Zeitintervall immer kleiner wählst? - Stell dir den Flug des Balles bildlich vor: Wann bewegt er sich nach oben, wann nach unten? - Was passiert mit der Geschwindigkeit genau in dem Moment, in dem der Ball aufhört zu steigen und anfängt zu fallen?

1. Berechnung der näherungsweisen Momentangeschwindigkeiten mit dem vorwärts gerichteten Differenzenquotienten für \(\Delta t = 0{,}001\): Für \(t = 1\): \(\frac{h(1{,}001) - h(1)}{0{,}001} \approx 9{,}995\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) (exakter Grenzwert: \(10\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\)). Für \(t = 2\): \(\frac{h(2{,}001) - h(2)}{0{,}001} \approx -0{,}005\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) (exakter Grenzwert: \(0\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\)). Für \(t = 3\): \(\frac{h(3{,}001) - h(3)}{0{,}001} \approx -10{,}005\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) (exakter Grenzwert: \(-10\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\)). 2. Interpretation der Vorzeichen: Der positive Näherungswert bei \(t = 1\) bedeutet, dass der Ball steigt. Bei \(t = 3\) ist der Wert negativ, also fällt der Ball. Der kleine negative Näherungswert bei \(t = 2\) entsteht, weil der vorwärts gerichtete Differenzenquotient das Intervall unmittelbar nach dem höchsten Punkt verwendet; die exakte Momentangeschwindigkeit ist dort \(0\). 3. Bestimmung des Umkehrpunktes: Die Momentangeschwindigkeit ist die Ableitung \(h'(t) = -10t + 20\). Setze \(h'(t) = 0 \implies -10t + 20 = 0 \implies t = 2\,\text{s}\). Die maximale Höhe bei \(t = 2\) beträgt \(h(2) = -5(2)^2 + 20(2) + 1 = -20 + 40 + 1 = 21\,\text{m}\).

a) \(v(1) \approx 9{,}995\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\), \(v(2) \approx -0{,}005\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\), \(v(3) \approx -10{,}005\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). b) Positiv: Der Ball steigt. Negativ: Der Ball fällt. Der kleine negative Näherungswert bei \(t=2\) stammt vom vorwärts gerichteten Differenzenquotienten; exakt ist die Geschwindigkeit am höchsten Punkt null. c) Zeitpunkt \(t = 2\,\text{s}\), maximale Höhe \(h = 21\,\text{m}\).

- Was bedeutet eine Differenz von Funktionswerten im Hinblick auf die Kosten? - Ein Bruch aus Kostenänderung und Mengenänderung gibt Kosten pro Mengeneinheit an. Welches Wort beschreibt diesen Durchschnitt? - In der Wirtschaftswissenschaft nennt man die Ableitung der Kostenfunktion oft „Grenzkosten“. Was sagt dieser Wert aus?

1. \(K(x) - K(x_0)\) gibt die Änderung der Kosten in \(\text{€}\) an, wenn sich die gereinigte Schadstoffmenge von \(x_0\) auf \(x\) ändert. Für \(x > x_0\) sind dies die zusätzlichen Kosten. 2. \(\frac{K(x) - K(x_0)}{x - x_0}\) beschreibt die durchschnittliche Kostenänderung pro Kilogramm Schadstoff zwischen \(x_0\) und \(x\) in der Einheit \(\frac{\text{€}}{\text{kg}}\). 3. \(K'(x_0)\) bezeichnet die Grenzkosten an der Stelle \(x_0\). Sie geben näherungsweise an, wie viel die Reinigung eines weiteren Kilogramms Schadstoff kostet, wenn bereits \(x_0\,\text{kg}\) gereinigt wurden. Die Einheit ist \(\frac{\text{€}}{\text{kg}}\).

a) Kostenänderung bei einer Änderung der Reinigungsmenge von \(x_0\) auf \(x\) in \(\text{€}\). b) Durchschnittliche Kostenänderung pro Kilogramm im Intervall \([x_0; x]\) in \(\frac{\text{€}}{\text{kg}}\). c) Grenzkosten bei einer Menge von \(x_0\); sie geben die momentane Änderungsrate der Kosten in \(\frac{\text{€}}{\text{kg}}\) an.

- Wie berechnet man die durchschnittliche Steigung einer Funktion in einem Intervall? - Was ist der Unterschied zwischen einer Durchschnittsrate und einer Momentanrate? - Welche physikalische Größe erhält man, wenn man die Änderung der Geschwindigkeit pro Zeit betrachtet? - Überlege, wie Geschwindigkeit und Ort zusammenhängen und was passiert, wenn man diesen Zusammenhang noch einen Schritt weiterführt.

1. Berechnung der mittleren Beschleunigung \(\bar{a}\) als Differenzenquotient der Geschwindigkeit: \(v(2) = 0{,}5 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 = 6\,\text{m/s}\) und \(v(4) = 0{,}5 \cdot 4^2 + 2 \cdot 4 = 16\,\text{m/s}\). Damit ergibt sich \(\bar{a} = \frac{v(4) - v(2)}{4 - 2} = \frac{16 - 6}{2} = 5\,\text{m/s}^2\). 2. Bestimmung der Momentanbeschleunigung \(a(t)\) als Ableitung \(v'(t)\): \(v'(t) = t + 2\). Einsetzen von \(t_0 = 2\) liefert \(a(2) = 2 + 2 = 4\,\text{m/s}^2\). 3. Die Beschleunigung \(a(t)\) ist die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit \(v(t)\). Da die Geschwindigkeit wiederum die Ableitung der Weg-Zeit-Funktion \(s(t)\) ist (\(v(t) = s'(t)\)), entspricht die Beschleunigung der zweiten Ableitung der Weg-Zeit-Funktion: \(a(t) = s''(t)\).

1. Die mittlere Beschleunigung beträgt \(5\,\text{m/s}^2\). 2. Die Momentanbeschleunigung zum Zeitpunkt \(t_0 = 2\,\text{s}\) beträgt \(4\,\text{m/s}^2\). 3. Die Beschleunigungsfunktion \(a\) ist die zweite Ableitung der Weg-Zeit-Funktion \(s\), also \(a(t) = s''(t)\).

- Wie hängen Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung über Ableitungen zusammen? - Was bedeutet es für die Geschwindigkeit, wenn die Beschleunigung Null ist? - Erinnere dich an die Formel für den Differenzenquotienten, um die mittlere Änderung zu bestimmen. - Kannst du eine Vermutung aufstellen, warum die mittlere Beschleunigung und die Momentanbeschleunigung in der Mitte hier gleich sind?

1. Die Momentangeschwindigkeit ist die erste Ableitung der Weg-Zeit-Funktion: \(v(t) = s'(t) = 3t^2 - 12t + 12\). 2. Die Momentanbeschleunigung ist die Ableitung der Geschwindigkeit: \(a(t) = v'(t) = 6t - 12\). 3. Nullsetzen der Beschleunigungsfunktion: \(6t - 12 = 0 \Rightarrow 6t = 12 \Rightarrow t = 2\,\text{s}\). 4. Mittlere Beschleunigung \(\bar{a} = \frac{v(3) - v(1)}{3 - 1}\). Berechnung der Werte: \(v(3) = 3(3)^2 - 12(3) + 12 = 27 - 36 + 12 = 3\,\text{m/s}\) und \(v(1) = 3(1)^2 - 12(1) + 12 = 3\,\text{m/s}\). Daraus folgt \(\bar{a} = \frac{3 - 3}{2} = 0\,\text{m/s}^2\). Der Vergleich zeigt, dass die mittlere Beschleunigung im Intervall \([1; 3]\) exakt der Momentanbeschleunigung in der Mitte des Intervalls (\(a(2) = 0\,\text{m/s}^2\)) entspricht.

1. \(v(t) = 3t^2 - 12t + 12\) 2. \(a(t) = 6t - 12\) 3. Die Beschleunigung ist bei \(t = 2\,\text{s}\) gleich Null. 4. Die mittlere Beschleunigung im Intervall \([1; 3]\) beträgt \(0\,\text{m/s}^2\). Sie ist identisch mit der Momentanbeschleunigung zum Zeitpunkt \(t = 2\,\text{s}\).

- Überlege dir, wie man die Steigung zwischen zwei festen Punkten auf einer Kurve berechnet. - Erinnerst du dich an den Ansatz, bei dem man einen Punkt immer näher an einen anderen heranrücken lässt? - Welche geometrischen Linien (Geraden) verbinden zwei Punkte einer Kurve bzw. berühren sie in nur einem Punkt? - Achte bei den Einheiten darauf, dass eine Änderungsrate immer eine Größe pro Zeiteinheit ist.

1. Zur Berechnung der mittleren Änderungsrate im Intervall \([1; 4]\) wird der Differenzenquotient gebildet: \(\frac{V(4) - V(1)}{4 - 1}\). Mit \(V(4) = 4^2 + 5 \cdot 4 = 36\) und \(V(1) = 1^2 + 5 \cdot 1 = 6\) ergibt sich \(\frac{36 - 6}{3} = \frac{30}{3} = 10\). Die mittlere Änderungsrate beträgt \(10\,\frac{\text{l}}{\text{min}}\). 2. Die momentane Änderungsrate an der Stelle \(t_0 = 1\) ist der Grenzwert des Differenzenquotienten für \(h \to 0\): \(\lim_{h \to 0} \frac{V(1+h) - V(1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(1+h)^2 + 5(1+h) - 6}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1 + 2h + h^2 + 5 + 5h - 6}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{7h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (7 + h) = 7\). Die momentane Änderungsrate beträgt \(7\,\frac{\text{l}}{\text{min}}\). 3. Die mittlere Änderungsrate entspricht der Steigung der Sekante durch die Punkte \(P(1|6)\) und \(Q(4|36)\) auf dem Graphen von \(V\). Die momentane Änderungsrate entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen im Punkt \(P(1|6)\).

1. Mittlere Änderungsrate: \(10\,\frac{\text{l}}{\text{min}}\). 2. Momentane Änderungsrate: \(7\,\frac{\text{l}}{\text{min}}\). 3. Die mittlere Änderungsrate ist die Sekantensteigung, die momentane Änderungsrate ist die Tangentensteigung am Graphen von \(V\).

- Was bedeutet „Geschwindigkeit“ im Kontext einer Ort-Zeit-Funktion mathematisch gesehen? - Wie berechnet man die Steigung einer Kurve in einem ganz bestimmten Moment? - Stell dir vor, das Zeitintervall wird immer kleiner – was passiert dann mit der Durchschnittsgeschwindigkeit? - In der Physik entspricht die Steigung im \(s\)-\(t\)-Diagramm der Geschwindigkeit.

1. Die Durchschnittsgeschwindigkeit entspricht der mittleren Änderungsrate im Intervall \([0; 5]\): \(\frac{s(5) - s(0)}{5 - 0}\). Mit \(s(5) = 30 \cdot 5 - 5^2 = 125\) und \(s(0) = 0\) folgt \(\frac{125 - 0}{5} = 25\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 2. Die Momentangeschwindigkeit ist die Ableitung \(s'(2)\): \(\lim_{h \to 0} \frac{s(2+h) - s(2)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{30(2+h) - (2+h)^2 - (30 \cdot 2 - 2^2)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{60 + 30h - (4 + 4h + h^2) - 56}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{26h - h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (26 - h) = 26\). Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t = 2\) beträgt \(26\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 3. Die mittlere Änderungsrate gibt die durchschnittliche Veränderung über ein Zeitintervall an. Lässt man die Intervallbreite \(h\) gegen Null gehen, so nähert sich die mittlere Änderungsrate der momentanen Änderungsrate an. Mathematisch gesehen ist die momentane Änderungsrate der Grenzwert des Differenzenquotienten (der Differentialquotient).

1. Durchschnittsgeschwindigkeit: \(25\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 2. Momentangeschwindigkeit: \(26\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 3. Die momentane Änderungsrate ist der Grenzwert der mittleren Änderungsrate für ein gegen Null gehendes Zeitintervall.

- Was beschreibt der Differenzenquotient im Vergleich zum Differentialquotienten? - Wie berechnet man die Steigung einer Sekante durch zwei Punkte eines Graphen? - Welche mathematische Operation hilft dir, die Steigung in einem exakten Punkt zu bestimmen? - Denk an die Ableitungsregeln für Exponentialfunktionen der Form \(a^x\).

1. Berechnung der mittleren Änderungsrate im Intervall \([0; 1]\) über den Differenzenquotienten: \(\frac{m(1) - m(0)}{1 - 0} = \frac{20 \cdot 0{,}9^1 - 20 \cdot 0{,}9^0}{1} = \frac{18 - 20}{1} = -2\). Die mittlere Änderungsrate beträgt \(-2\,\text{g/h}\). 2. Bestimmung der momentanen Änderungsrate durch die Ableitung \(m'(t)\). Es gilt \(m'(t) = 20 \cdot \ln(0{,}9) \cdot 0{,}9^t\). 3. Einsetzen von \(t = 2\): \(m'(2) = 20 \cdot \ln(0{,}9) \cdot 0{,}9^2 = 20 \cdot \ln(0{,}9) \cdot 0{,}81 \approx -1{,}7068\). 4. Die momentane Änderungsrate zum Zeitpunkt \(t = 2\,\text{h}\) beträgt gerundet \(-1{,}71\,\text{g/h}\).

a) Die mittlere Änderungsrate beträgt \(-2\,\text{g/h}\). b) Die momentane Änderungsrate beträgt ca. \(-1{,}71\,\text{g/h}\).

- Was bedeutet der Begriff „Grenzkosten“ im mathematischen Sinne? - Wie berechnet man den Zuwachs einer Funktion, wenn sich das Argument um genau eine Einheit erhöht? - Überlege, ob eine Tangentensteigung an einem Punkt immer exakt denselben Wert liefert wie die Steigung einer Sekante über ein Intervall der Länge 1. - Sind lineare und quadratische Funktionen in diesem Zusammenhang unterschiedlich zu bewerten?

1. Berechnung der Grenzkosten: Die Ableitungsfunktion ist \(K'(x) = 0{,}1x + 10\). An der Stelle \(x = 100\) ergibt sich \(K'(100) = 0{,}1 \cdot 100 + 10 = 20\). Die momentane Änderungsrate beträgt also \(20\,\frac{\text{€}}{\text{ME}}\). 2. Berechnung der tatsächlichen Kosten der 101. Einheit: Es gilt \(K(100) = 0{,}05 \cdot 100^2 + 10 \cdot 100 + 200 = 1700\) und \(K(101) = 0{,}05 \cdot 101^2 + 10 \cdot 101 + 200 = 1720{,}05\). Die Differenz beträgt \(K(101) - K(100) = 20{,}05\,\text{€}\). 3. Bewertung: Der Vergleich zeigt, dass \(K'(100) = 20\) und die tatsächlichen Kosten \(20{,}05\) sehr nah beieinander liegen, aber nicht identisch sind. Die Aussage des Mitarbeiters ist mathematisch gesehen nur eine gute Näherung. Die Grenzkosten geben die Steigung der Tangente an, während die Kosten der nächsten Einheit einer Sekantensteigung über dem Intervall \([100; 101]\) entsprechen.

1. \(K'(100) = 20\,\frac{\text{€}}{\text{ME}}\) 2. \(K(101) - K(100) = 20{,}05\,\text{€}\) 3. Die Aussage ist näherungsweise richtig, aber mathematisch nicht exakt, da die Ableitung die momentane Änderung beschreibt und die Kosten der nächsten Einheit eine durchschnittliche Änderung über ein Intervall der Länge 1 darstellen.

- Überlege zuerst, in welchen Bereich der Funktionsdefinition der jeweilige Einkommenswert fällt. - Wie verändert sich ein Bruch, wenn der Nenner immer größer wird, während der Zähler im Vergleich dazu langsamer wächst oder eine Konstante abgezogen wird? - Erinnere dich an die binomischen Formeln, um den Differenzenquotienten zu vereinfachen. - Was passiert mit Termen, in denen noch ein \(h\) steht, wenn man \(h\) gegen Null laufen lässt?

1. Für \(x = 10\,000\) gilt der erste Teil der Funktion: \(T(10\,000) = 0{,}000005 \cdot 10\,000^2 + 0{,}1 \cdot 10\,000 = 500 + 1\,000 = 1\,500\,\text{€}\). Die Durchschnittsbelastung ist \(d(10\,000) = \frac{1\,500}{10\,000} = 0{,}15\), also \(15\,\%\). Für \(x = 40\,000\) gilt der zweite Teil: \(T(40\,000) = 0{,}3 \cdot 40\,000 - 2\,000 = 12\,000 - 2\,000 = 10\,000\,\text{€}\). Die Durchschnittsbelastung ist \(d(40\,000) = \frac{10\,000}{40\,000} = 0{,}25\), also \(25\,\%\). 2. Für \(x > 20\,000\) ist \(d(x) = \frac{0{,}3x - 2\,000}{x} = 0{,}3 - \frac{2\,000}{x}\). Für \(x \to \infty\) geht der Term \(\frac{2\,000}{x}\) gegen \(0\). Somit strebt die Durchschnittsbelastung gegen \(0{,}3\), was \(30\,\%\) entspricht. 3. Der Differenzenquotient bei \(x_0 = 10\,000\) lautet: \(\frac{T(x_0+h) - T(x_0)}{h} = \frac{0{,}000005(10\,000+h)^2 + 0{,}1(10\,000+h) - 1\,500}{h}\). Ausmultiplizieren ergibt \(\frac{0{,}000005(100\,000\,000 + 20\,000h + h^2) + 1\,000 + 0{,}1h - 1\,500}{h} = \frac{500 + 0{,}1h + 0{,}000005h^2 + 1\,000 + 0{,}1h - 1\,500}{h} = \frac{0{,}2h + 0{,}000005h^2}{h} = 0{,}2 + 0{,}000005h\). Der Grenzwert für \(h \to 0\) ist \(0{,}2\). Der Grenzsteuersatz beträgt somit \(20\,\%\).

1. \(15\,\%\) bei \(10\,000\,\text{€}\); \(25\,\%\) bei \(40\,000\,\text{€}\). 2. Die Durchschnittsbelastung strebt gegen \(30\,\%\). 3. Der Grenzsteuersatz bei \(10\,000\,\text{€}\) beträgt \(20\,\%\) (bzw. \(0{,}2\)).

- Was gibt die erste Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle im ökonomischen Kontext an? - Wie berechnet man den Anteil der Steuer am Gesamteinkommen? - Vergleiche, wie viel von einem zusätzlich verdienten Euro übrig bleibt im Vergleich zum bisherigen Durchschnitt. - Überlege dir, was passiert, wenn die Ableitung einer Funktion größer ist als der Durchschnittswert der Funktion.

1. Die Ableitung der Steuerfunktion lautet \(T'(x) = 0{,}15 + 0{,}000008x\). Für \(x = 35\,000\) ergibt sich \(T'(35\,000) = 0{,}15 + 0{,}28 = 0{,}43\). Der Grenzsteuersatz beträgt somit \(43\,\%\). 2. Der Durchschnittssteuersatz ist \(s(x) = 0{,}15 + 0{,}000004x\). Für \(x = 35\,000\) ergibt sich \(s(35\,000) = 0{,}15 + 0{,}14 = 0{,}29\), also \(29\,\%\). Der Grenzsteuersatz (\(43\,\%\)) liegt deutlich über dem Durchschnittssteuersatz (\(29\,\%\)). 3. Da der Grenzsteuersatz \(T'(x)\) höher ist als der Durchschnittssteuersatz \(s(x)\), wird jeder zusätzlich verdiente Euro stärker besteuert als der bisherige Durchschnitt. Die momentane Änderungsrate des Nettoeinkommens \(N'(x) = 1 - T'(x)\) ist kleiner als der bisherige Nettoanteil \(\frac{N(x)}{x} = 1 - s(x)\). Da \(0{,}57 < 0{,}71\), wächst das Nettoeinkommen unterproportional zum Bruttoeinkommen.

1. \(T'(x) = 0{,}15 + 0{,}000008x\); \(T'(35\,000) = 0{,}43\). 2. \(s(35\,000) = 0{,}29\). Der Grenzsteuersatz ist höher als der Durchschnittssteuersatz. 3. Da \(T'(x) > s(x)\), wird der Zuwachs stärker besteuert als das bisherige Einkommen, wodurch das Nettoeinkommen prozentual langsamer steigt als das Bruttoeinkommen.

- Was genau ist mit der Sekantensteigung gemeint, wenn die Punkte auf dem Graphen immer näher zusammenrücken? - Wie kannst du die beiden Brüche im Zähler so kombinieren, dass nur noch ein Bruch im Zähler steht? - Gibt es eine Möglichkeit, den Term im Zähler so zu faktorisieren, dass sich der Nenner kürzen lässt? - Was passiert mit dem verbleibenden Ausdruck, wenn \(x\) gegen \(a\) strebt?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten für \(x \to a\): \(\frac{f(x) - f(a)}{x - a} = \frac{\frac{1}{x^2} - \frac{1}{a^2}}{x - a}\). 2. Zusammenfassen der Brüche im Zähler durch den Hauptnenner \(x^2 a^2\): \(\frac{a^2 - x^2}{x^2 a^2 (x - a)}\). 3. Anwendung der Identität im Zähler: \(\frac{-(x^2 - a^2)}{x^2 a^2 (x - a)} = \frac{-(x - a)(x + a)}{x^2 a^2 (x - a)}\). 4. Kürzen des Faktors \((x - a)\): \(\frac{-(x + a)}{x^2 a^2}\). 5. Berechnung des Grenzwerts für \(x \to a\): \(\lim_{x \to a} \frac{-(x + a)}{x^2 a^2} = \frac{-(a + a)}{a^2 \cdot a^2} = \frac{-2a}{a^4} = -\frac{2}{a^3}\).

\(f'(a) = -\frac{2}{a^3}\)

- Wie unterscheidet sich die Berechnung einer Durchschnittsgeschwindigkeit von der einer Momentangeschwindigkeit? - Die Ableitung einer Weg-Zeit-Funktion gibt die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt an. - Achte beim Lösen der Gleichung in Teil c) auf die korrekte Anwendung der Lösungsformel für quadratische Gleichungen. - Prüfe, ob deine berechneten Zeitpunkte im vorgegebenen Definitionsbereich liegen.

1. Berechnung der Funktionswerte an den Intervallgrenzen: \(H(2) = \frac{124}{3} \approx 41{,}33\) und \(H(5) = \frac{475}{3} \approx 158{,}33\). 2. Berechnung der durchschnittlichen Geschwindigkeit über den Differenzenquotienten: \(\frac{H(5) - H(2)}{5 - 2} = \frac{117}{3} = 39\). Die Rate beträgt \(39\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 3. Bildung der Ableitungsfunktion für die momentane Geschwindigkeit: \(H'(t) = -t^2 + 12t + 10\). 4. Einsetzen von \(t = 4\) in die Ableitung: \(H'(4) = -16 + 48 + 10 = 42\). Die Geschwindigkeit beträgt \(42\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 5. Lösen der Gleichung \(H'(t) = 43\): \(-t^2 + 12t + 10 = 43 \iff t^2 - 12t + 33 = 0\). 6. Anwendung der \(pq\)-Formel liefert \(t = 6 \pm \sqrt{3}\). Dies ergibt die Zeitpunkte \(t_1 \approx 4{,}27\,\text{s}\) und \(t_2 \approx 7{,}73\,\text{s}\).

a) Die durchschnittliche Steiggeschwindigkeit beträgt \(39\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). b) Die momentane Steiggeschwindigkeit beträgt \(42\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). c) Die Steiggeschwindigkeit beträgt nach etwa \(4{,}27\,\text{s}\) und nach etwa \(7{,}73\,\text{s}\) genau \(43\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\).

- Was muss für die Geschwindigkeit gelten, damit ein Objekt stillsteht? - Welche Information liefert das Vorzeichen der Beschleunigung, wenn die Geschwindigkeit null ist? - Wie findet man die Nullstellen einer quadratischen Funktion? - Überlege dir, wie du von der Wegfunktion zur Beschleunigungsfunktion gelangst.

1. Bestimmung der Ableitungsfunktionen: \(v(t) = s'(t) = \frac{1}{2}t^2 - 4t + 6\) und \(a(t) = v'(t) = t - 4\). 2. Berechnung für \(t = 2\): \(v(2) = \frac{1}{2} \cdot 2^2 - 4 \cdot 2 + 6 = 2 - 8 + 6 = 0\,\text{m/s}\). Die Beschleunigung ist \(a(2) = 2 - 4 = -2\,\text{m/s}^2\). Da \(v(2) = 0\), befindet sich das Objekt im Momentan-Stillstand (Umkehrpunkt). 3. Ansatz für Stillstand: \(v(t) = 0 \implies \frac{1}{2}t^2 - 4t + 6 = 0\). Multiplikation mit \(2\) ergibt \(t^2 - 8t + 12 = 0\). 4. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der pq-Formel): \(t_{1,2} = 4 \pm \sqrt{16 - 12} = 4 \pm 2\). Die Lösungen sind \(t_1 = 2\) (bekannt) und \(t_2 = 6\). 5. Der gesuchte Zeitpunkt ist \(t = 6\,\text{s}\). Die Beschleunigung dort beträgt \(a(6) = 6 - 4 = 2\,\text{m/s}^2\).

a) Zum Zeitpunkt \(t = 2\,\text{s}\) ist die Geschwindigkeit \(0\,\text{m/s}\) und die Beschleunigung \(-2\,\text{m/s}^2\). Das Objekt steht momentan still. b) Ein weiterer Stillstand tritt bei \(t = 6\,\text{s}\) auf. Die Beschleunigung beträgt dann \(2\,\text{m/s}^2\).

- Kannst du eine allgemeine Gleichung für die Steigung zwischen zwei Punkten aufstellen, wenn noch eine Unbekannte \(a\) enthalten ist? - Was ist mit dem Begriff „lokale Änderungsrate“ gemeint? - Wie gehst du vor, wenn eine Steigung vorgegeben ist und du die passende Stelle auf dem Graphen suchst?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten in Abhängigkeit von \(a\): \(m_s = \frac{f_a(3) - f_a(1)}{3 - 1} = \frac{a \cdot 3^2 - a \cdot 1^2}{2} = \frac{9a - a}{2} = 4a\). 2. Gleichsetzen mit der gegebenen Steigung: \(4a = 4\) führt zu \(a = 1\). 3. Ableitung der Funktion \(f_1(x) = x^2\) bilden: \(f_1'(x) = 2x\). 4. Bestimmung der Stelle \(x\) für die lokale Änderungsrate (Tangentensteigung) \(4\): \(2x = 4\) ergibt \(x = 2\).

1. Der Parameter ist \(a = 1\). 2. Die lokale Änderungsrate hat an der Stelle \(x = 2\) den Wert \(4\).

- Setze die gegebenen Werte in die Formel für den Differenzenquotienten ein. - Um Brüche im Zähler zu subtrahieren, musst du sie auf einen gemeinsamen Nenner bringen. - Achte beim Auflösen der Klammern im Zähler besonders auf das Minuszeichen. - Nach dem Kürzen von \(h\) kannst du den Grenzübergang durchführen.

1. Bestimmen der Funktionswerte an der Stelle \(a=1\) und \(a+h\): \(f(1) = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}\) und \(f(1+h) = \frac{1}{1+h+1} = \frac{1}{2+h}\) 2. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{\frac{1}{2+h} - \frac{1}{2}}{h}\) 3. Vereinfachen des Zählers durch Erweitern auf den Hauptnenner \(2 \cdot (2+h)\): \(\frac{2 - (2+h)}{2 \cdot (2+h)} = \frac{-h}{2 \cdot (2+h)}\) 4. Einsetzen in den gesamten Bruch und Kürzen von \(h\): \(\frac{-h}{2 \cdot (2+h) \cdot h} = \frac{-1}{2 \cdot (2+h)}\) 5. Grenzwertbildung für \(h \to 0\): \(\lim_{h \to 0} \frac{-1}{2 \cdot (2+h)} = \frac{-1}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{4}\) Die Tangentensteigung an der Stelle \(a = 1\) beträgt \(f'(1) = -0{,}25\).

\(f'(1) = -\frac{1}{4} = -0{,}25\)

- Erinnere dich an die binomischen Formeln, um den Ausdruck \((t+h)^2\) zu vereinfachen. - Was passiert mit den Termen, die kein \(h\) im Zähler haben? Sie sollten sich idealerweise wegkürzen. - Die momentane Änderungsrate gibt an, wie steil die Tangente an der Temperaturkurve ist. - Was sagt das Vorzeichen der Steigung über das Steigen oder Fallen der Temperatur aus?

1. Aufstellen und Vereinfachen des Differenzenquotienten für \(T(t) = 0{,}2t^2 - 8t + 100\): \(\frac{T(t+h) - T(t)}{h} = \frac{0{,}2(t+h)^2 - 8(t+h) + 100 - (0{,}2t^2 - 8t + 100)}{h}\) \(= \frac{0{,}2(t^2 + 2th + h^2) - 8t - 8h + 100 - 0{,}2t^2 + 8t - 100}{h}\) \(= \frac{0{,}4th + 0{,}2h^2 - 8h}{h} = 0{,}4t + 0{,}2h - 8\). Der Grenzwert für \(h \to 0\) ergibt die Ableitungsfunktion \(T'(t) = 0{,}4t - 8\). 2. Berechnung der Raten für \(t = 5\) und \(t = 15\): \(T'(5) = 0{,}4 \cdot 5 - 8 = 2 - 8 = -6\,^\circ\text{C}/\text{min}\). \(T'(15) = 0{,}4 \cdot 15 - 8 = 6 - 8 = -2\,^\circ\text{C}/\text{min}\). 3. Zeitpunkt für eine Rate von \(-2\,^\circ\text{C}/\text{min}\): Aus der Rechnung in Schritt 2 folgt direkt \(t = 15\,\text{min}\). 4. Interpretation: Die Änderungsrate \(T'(t) = 0{,}4t - 8\) ist für \(0 \le t < 20\) negativ und bei \(t = 20\) gleich null. Das bedeutet, dass die Temperatur bis zum Randpunkt sinkt; am Randpunkt ist die momentane Änderungsrate null.

a) \(T'(5) = -6\,^\circ\text{C}/\text{min}\) und \(T'(15) = -2\,^\circ\text{C}/\text{min}\). b) Nach \(t = 15\,\text{min}\). c) Die negative Rate bedeutet, dass die Temperatur kontinuierlich sinkt (Abkühlung). Da \(T'(t) < 0\) für \(0 \le t < 20\) und \(T'(20)=0\), sinkt die Temperatur bis zum Randpunkt; dort ist die momentane Änderungsrate null.

- Was sagt dir das Vorzeichen einer Änderungsrate über die Bestandsentwicklung (Zunahme oder Abnahme)? - Wie verändert sich die Steigung einer abnehmenden Exponentialfunktion im Zeitverlauf? - Stell dir die Sekante zwischen zwei Punkten und die Tangente am Anfangspunkt vor – welche Linie fällt steiler ab?

1. Berechnung des Differenzenquotienten für \([0; 10]\): \(\frac{N(10) - N(0)}{10 - 0} = \frac{10^6 \cdot e^{-0{,}5} - 10^6}{10} \approx \frac{606\,530{,}66 - 1\,000\,000}{10} \approx -39\,346{,}93\). Die mittlere Änderungsrate beträgt ca. \(-39\,346{,}93\,\text{Atome/Jahr}\). 2. Berechnung der Ableitung \(N'(t) = 10^6 \cdot (-0{,}05) \cdot e^{-0{,}05t}\). 3. Bestimmung der momentanen Änderungsrate bei \(t = 0\): \(N'(0) = -50\,000 \cdot e^0 = -50\,000\). Der Wert beträgt \(-50\,000\,\text{Atome/Jahr}\). 4. Interpretation: Das negative Vorzeichen gibt an, dass die Anzahl der Atome abnimmt (Zerfall). Da die Zerfallsgeschwindigkeit bei einem exponentiellen Prozess proportional zum Bestand ist, ist sie zu Beginn am höchsten und nimmt stetig ab. Daher ist der Anfangswert der momentanen Rate (\(-50\,000\)) betragsmäßig größer als der Durchschnittswert (\(\approx -39\,347\)) über den folgenden Zeitraum.

a) Die mittlere Änderungsrate beträgt ca. \(-39\,346{,}93\,\text{Atome/Jahr}\). b) Die momentane Änderungsrate beträgt \(-50\,000\,\text{Atome/Jahr}\). c) Das negative Vorzeichen bedeutet eine Abnahme der Atomzahl. Die momentane Rate ist zu Beginn betragsmäßig am größten, da die Zerfallsgeschwindigkeit mit abnehmender Atomzahl ebenfalls sinkt.

- Setze die gegebenen Funktionen für das Einkommen und das Preisniveau in die Formel für das reale Einkommen ein. - Versuche den Bruch zu vereinfachen, indem du im Zähler ausklammerst. - Was bedeutet eine negative Steigung für den Verlauf der Kaufkraft über die Zeit? - Beachte, dass das Preisniveau \(P(t)\) im Nenner steht und die Inflation repräsentiert.

1. Einsetzen von \(E(t)\) in \(T(E)\): \(T(E(t)) = 0{,}000002 \cdot [50\,000(1+0{,}02t)]^2 = 0{,}000002 \cdot 2\,500\,000\,000 \cdot (1+0{,}02t)^2 = 5\,000 \cdot (1+0{,}02t)^2\). Einsetzen in \(R(t)\): \(R(t) = \frac{50\,000(1+0{,}02t) - 5\,000(1+0{,}02t)^2}{1+0{,}02t}\). Kürzen durch \((1+0{,}02t)\) ergibt \(R(t) = 50\,000 - 5\,000(1+0{,}02t)\). 2. Ableiten nach \(t\): \(R(t) = 50\,000 - 5\,000 - 100t = 45\,000 - 100t\). Die Ableitung ist \(R'(t) = -100\). 3. Da \(R'(t) = -100 < 0\), sinkt das reale Einkommen kontinuierlich. Obwohl das Bruttoeinkommen die Preissteigerung ausgleicht (\(E(t)/P(t) = \text{konst.}\)), führt die progressive Steuer (quadratischer Term) dazu, dass die Steuerlast überproportional steigt und somit die reale Kaufkraft abnimmt.

1. Durch Einsetzen und Kürzen von \((1+0{,}02t)\) erhält man \(R(t) = 50\,000 - 5\,000(1+0{,}02t)\). 2. \(R'(t) = -100\). 3. Da \(R'(t) < 0\), nimmt die Kaufkraft trotz Inflationsausgleich beim Bruttoeinkommen ab, da die Steuerlast schneller steigt als das Einkommen.

- Wie sieht der Differenzenquotient für diese Funktion aus? - Wie kannst du den Doppelbruch vereinfachen? - Schau dir den Zähler genau an – wie hilft dir der mathematische Hinweis dabei, den störenden Faktor \((x-a)\) im Nenner loszuwerden? - Wenn du gekürzt hast, kannst du für jedes \(x\) einfach \(a\) einsetzen.

1. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(x) - f(a)}{x - a} = \frac{\frac{1}{x^4} - \frac{1}{a^4}}{x - a}\). 2. Erweitern auf den Hauptnenner \(x^4 a^4\): \(\frac{a^4 - x^4}{x^4 a^4 (x - a)}\). 3. Faktorisieren des Zählers mit dem Hinweis: \(\frac{-(x^4 - a^4)}{x^4 a^4 (x - a)} = \frac{-(x - a)(x^3 + x^2a + xa^2 + a^3)}{x^4 a^4 (x - a)}\). 4. Kürzen von \((x - a)\): \(\frac{-(x^3 + x^2a + xa^2 + a^3)}{x^4 a^4}\). 5. Grenzwertbildung \(x \to a\): Im Zähler ergibt sich \(-(a^3 + a^3 + a^3 + a^3) = -4a^3\). Im Nenner ergibt sich \(a^4 \cdot a^4 = a^8\). 6. Endergebnis: \(\frac{-4a^3}{a^8} = -\frac{4}{a^5}\).

\(f'(a) = -\frac{4}{a^5}\)