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- Was gibt die Ableitung einer Weg-Zeit-Funktion physikalisch an? - Ändert sich die Position des Autos, wenn die Zeit vergeht? - Setze die konstanten Werte in die Definition der Ableitung ein. - Überlege, was ein Zähler von Null für den gesamten Bruch bedeutet, bevor du den Grenzwert betrachtest.

1. Berechnung des Differenzenquotienten an der Stelle \(t = 10\): \(\frac{s(10+h) - s(10)}{h} = \frac{15 - 15}{h} = 0\). Der Grenzwert der momentanen Änderungsrate ist \(s'(10) = \lim_{h \to 0} 0 = 0\). 2. Die Ableitung der Zeit-Ort-Funktion entspricht der Momentangeschwindigkeit \(v(t)\). Das Ergebnis \(s'(10) = 0\) bedeutet, dass die Geschwindigkeit des Autos zum Zeitpunkt \(t = 10\) genau \(0\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) beträgt, was konsistent mit der Beschreibung eines geparkten (stillstehenden) Fahrzeugs ist.

1. \(s'(10) = 0\) 2. Die Momentangeschwindigkeit ist \(0\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\), das Fahrzeug steht still.

- Welche Steigung hat eine lineare Funktion der Form \(mx+b\)? - Ändert sich die Steigung einer linearen Funktion von Stelle zu Stelle? - Die Tangente an eine Gerade ist die Gerade selbst.

1. Die Funktion \(f(x) = 0{,}8x - 5\) ist linear. 2. Eine lineare Funktion \(f(x) = mx + b\) hat überall dieselbe Steigung \(m\). 3. Hier ist \(m = 0{,}8\). Deshalb ist die Tangentensteigung sowohl bei \(x = 4\) als auch bei \(x = a\) gleich \(0{,}8\).

a) \(0{,}8\) b) \(0{,}8\)

- Die momentane Änderungsrate entspricht der Steigung der Tangente in diesem Punkt. - Wähle Punkte auf der roten Linie, die leicht abzulesen sind.

1. Wähle zwei Punkte auf der Tangente aus, zum Beispiel \(A(1 \mid 3)\) und \(B(3 \mid 1)\). 2. Die Differenz in \(y\)-Richtung ist \(1 - 3 = -2\), die Differenz in \(x\)-Richtung ist \(3 - 1 = 2\). 3. Die Steigung ist \(m = \frac{-2}{2} = -1\). Die momentane Änderungsrate im Punkt \(P\) ist \(-1\).

Die momentane Änderungsrate beträgt \(-1\).

- Der Ableitungswert entspricht der Steigung der Tangente im markierten Punkt. - Welche Steigung besitzt eine waagerechte Gerade?

1. Die Tangente \(t\) im Punkt \(P\) ist waagerecht. Ihre Steigung beträgt daher \(0\). 2. Somit gilt \(h'(3)=0\,\text{cm/min}\). 3. Das bedeutet: Genau nach \(3\,\text{min}\) steigt oder fällt der Wasserstand momentan nicht.

\(h'(3)=0\,\text{cm/min}\). Nach \(3\,\text{min}\) ändert sich der Wasserstand momentan nicht.

- Vergleiche, welcher zweite Punkt am nächsten bei \(P\) liegt. - Beobachte, welche Sekante dadurch der Tangente am ähnlichsten wird. - Denke daran, dass eine momentane Änderungsrate als Grenzwert von mittleren Änderungsraten verstanden wird.

1. \(Q_3\) liegt von den drei Punkten am nächsten bei \(P\). Die Sekante \(s_3\) verläuft daher am ähnlichsten zur Tangente \(t\). 2. Wenn der zweite Punkt gegen \(P\) rückt, nähert sich die Sekantensteigung der Tangentensteigung an. Dieser Grenzwert beschreibt die momentane Änderungsrate in \(P\).

a) \(s_3\). b) Die Sekantensteigung nähert sich der Tangentensteigung und damit der momentanen Änderungsrate in \(P\).

- Stelle an jeder der beiden Stellen den Differenzenquotienten auf. - Welche Terme bleiben nach dem Vereinfachen des Zählers übrig? - Der Grenzwert des Differenzenquotienten ist der Differentialquotient. - Was ist an der Steigung einer Geraden unabhängig vom betrachteten Punkt?

1. Für \(x_0=-2\) vereinfacht sich der Differenzenquotient \(\frac{f(-2+h)-f(-2)}{h}\) für \(h\ne0\) zu \(-1{,}5\). Sein Grenzwert für \(h\to0\) ist daher \(f'(-2)=-1{,}5\). 2. Für \(x_0=4\) vereinfacht sich der Differenzenquotient analog zu \(-1{,}5\). Somit ist \(f'(4)=-1{,}5\). 3. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade mit konstanter Steigung. Die Tangente stimmt in jedem Punkt mit dieser Geraden überein; deshalb ist der Ableitungswert überall \(-1{,}5\).

1. \(f'(-2)=-1{,}5\) und \(f'(4)=-1{,}5\) 2. Beide Werte sind gleich, weil die Gerade überall die konstante Steigung \(-1{,}5\) besitzt.

- Überlege dir zuerst, in welcher Einheit die Ausgangsgröße gemessen wird. - Die momentane Änderungsrate beschreibt, wie stark sich der Funktionswert ändert, wenn sich die Eingangsgröße (z. B. die Zeit oder eine Menge) minimal ändert. - Die Einheit der Änderungsrate ergibt sich immer aus dem Quotienten der Einheit der abhängigen Größe und der Einheit der unabhängigen Größe. - Welcher Fachbegriff beschreibt in der Physik oder Wirtschaft die Änderung der jeweiligen Größe?

Die Zuordnung erfolgt durch die logische Verknüpfung der Dimensionen und der physikalisch-ökonomischen Zusammenhänge: 1. Energie \(E(t)\): Einheit \(\text{J}\). Die zeitliche Änderung der Energie ist die Leistung (\(r\)), gemessen in Watt (\(\text{W}\)) bzw. \(\frac{\text{J}}{\text{s}}\). 2. Füllhöhe \(h(t)\): Einheit \(\text{cm}\). Die zeitliche Änderung der Höhe beschreibt die Steiggeschwindigkeit (\(r\)), gemessen in \(\frac{\text{cm}}{\text{min}}\). 3. Masse \(m(s)\): Einheit \(\text{kg}\). Da die Masse hier von der Länge \(s\) abhängt, ist die Änderungsrate die lineare Massendichte (\(r\)), gemessen in \(\frac{\text{kg}}{\text{m}}\). 4. Gewinn \(G(x)\): Einheit \(\text{€}\). Die Änderung des Gewinns in Abhängigkeit von der produzierten Stückzahl \(x\) ist der Grenzgewinn (\(r\)), gemessen in \(\frac{\text{€}}{\text{Stück}}\).

- Energie \(E(t)\): \(\text{J}\) \(\rightarrow\) Leistung \(\rightarrow\) \(\text{W}\) (bzw. \(\frac{\text{J}}{\text{s}}\)) - Füllhöhe \(h(t)\): \(\text{cm}\) \(\rightarrow\) Steiggeschwindigkeit \(\rightarrow\) \(\frac{\text{cm}}{\text{min}}\) - Masse \(m(s)\): \(\text{kg}\) \(\rightarrow\) lineare Massendichte \(\rightarrow\) \(\frac{\text{kg}}{\text{m}}\) - Gewinn \(G(x)\): \(\text{€}\) \(\rightarrow\) Grenzgewinn \(\rightarrow\) \(\frac{\text{€}}{\text{Stück}}\)

- Was gibt die Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle geometrisch an? - Wie kannst du die Ableitungsfunktion \(f'(x)\) für diese Funktion bestimmen? - Was passiert, wenn du den Wert für \(x_0\) in die Ableitungsfunktion einsetzt? - Welche Bedeutung hat das Vorzeichen des Ergebnisses für die Steigung der Tangente?

1. Bestimmung der Ableitungsfunktion \(f'(x)\) mit der Potenz- und Summenregel: \(f'(x) = x - 4\) 2. Berechnung der Steigung an der Stelle \(x_0 = 3\): \(f'(3) = 3 - 4 = -1\) 3. Da der Wert der Ableitung negativ ist (\(f'(3) < 0\)), besitzt die Tangente eine negative Steigung.

Die Tangente besitzt eine negative Steigung, da der Wert der Ableitung an der Stelle \(x_0 = 3\) gleich \(-1\) ist.

- Überlege dir, wofür die Notation \(f(x)\) und \(f'(x)\) jeweils steht. - Welche Begriffe wie „Steigung“, „Änderungsrate“ oder „Funktionswert“ gehören zu welcher Notation? - Achte genau darauf, welche Zahl die Stelle (der \(x\)-Wert) und welche Zahl das Ergebnis (der \(y\)-Wert oder die Steigung) ist. - Ein Punkt auf dem Graphen hat immer die Form \((\text{Stelle} | \text{Funktionswert})\).

Die Aussagen lassen sich basierend auf ihrem mathematischen Gehalt in zwei Gruppen ordnen, während zwei Aussagen einzeln stehen bleiben: 1. Gruppe (Funktionswert an der Stelle 5): Die Aussagen A (\(f(5) = 2\)), D (sprachliche Beschreibung von \(f(5)=2\)) und F (Punktform \((x|f(x))\)) beschreiben alle, dass der Graph der Funktion an der Stelle \(x=5\) den \(y\)-Wert 2 besitzt. 2. Gruppe (Ableitung an der Stelle 2): Die Aussagen B (\(f'(2) = 5\)), C (geometrische Deutung der Ableitung als Tangentensteigung) und E (physikalisch-inhaltliche Deutung der Ableitung als momentane Änderungsrate) beschreiben alle, dass die Ableitung der Funktion an der Stelle \(x=2\) den Wert 5 hat. Die Aussagen G (\(f'(5) = 2\)) und H (\(f(2) = 5\)) beschreiben andere Sachverhalte (vertauschte Rollen von Stelle, Wert und Ableitung) und passen zu keiner der Gruppen.

Gruppe 1: A, D, F Gruppe 2: B, C, E Einzelstehend: G, H

- Überlege dir, welche Einheit das Ergebnis jeweils haben muss. - Was ist der Unterschied zwischen einem Zeitraum und einem Zeitpunkt? - Erinnere dich daran, dass die erste Ableitung eine Steigung bzw. Geschwindigkeit darstellt.

1. Der Funktionswert \(A(10) = 50\) bedeutet, dass die Algenfläche 10 Tage nach der ersten Messung genau \(50\,\text{m}^2\) beträgt. 2. Der Differenzenquotient \(\frac{A(10) - A(0)}{10} = 4\) gibt die mittlere Änderungsrate an: In den ersten 10 Tagen ist die Algenfläche im Durchschnitt um \(4\,\text{m}^2\) pro Tag gewachsen. 3. Die erste Ableitung \(A'(10) = 6\) beschreibt die momentane Änderungsrate: Am 10. Tag beträgt die momentane Wachstumsrate der Fläche \(6\,\text{m}^2\) pro Tag.

a) Nach 10 Tagen sind \(50\,\text{m}^2\) des Sees bedeckt. b) Die Fläche wuchs in den ersten 10 Tagen durchschnittlich um \(4\,\text{m}^2\) pro Tag. c) Am 10. Tag beträgt die momentane Wachstumsrate \(6\,\text{m}^2\) pro Tag.

- Wie hängen Weg und Geschwindigkeit mathematisch zusammen? - Achte auf den Unterschied zwischen dem Durchschnittswert über ein Intervall und dem Wert zu einem exakten Zeitpunkt. - Welche physikalische Größe erhält man, wenn man die Änderung des Weges pro Zeit betrachtet?

1. Der Wert \(s(4) = 40\) gibt die zurückgelegte Strecke an: Nach 4 Sekunden hat das Fahrzeug eine Strecke von \(40\,\text{m}\) zurückgelegt. 2. Der Ausdruck \(\frac{s(10) - s(0)}{10} = 25\) ist die Durchschnittsgeschwindigkeit über das Intervall \([0; 10]\): In den ersten 10 Sekunden betrug die mittlere Geschwindigkeit \(25\,\text{m/s}\). 3. Die Ableitung \(s'(10) = 45\) entspricht der Momentangeschwindigkeit: Zum Zeitpunkt \(t = 10\,\text{s}\) fährt das Fahrzeug mit \(45\,\text{m/s}\).

a) Nach 4 Sekunden ist das Auto \(40\,\text{m}\) weit gefahren. b) Die Durchschnittsgeschwindigkeit in den ersten 10 Sekunden beträgt \(25\,\text{m/s}\). c) Die Momentangeschwindigkeit nach 10 Sekunden beträgt \(45\,\text{m/s}\).

- Welche Größe beschreibt die lokale Steigung des Graphen an einer vorgegebenen Stelle? - Bestimme zuerst die Ableitungsfunktion. - Welchen \(x\)-Wert musst du anschließend einsetzen?

1. Die Ableitungsfunktion lautet \(f'(x)=x^3-4x+3\). 2. An der Stelle \(x=2\) gilt \(f'(2)=2^3-4\cdot2+3=3\). 3. Damit beträgt die Steigung des Graphen im Punkt \(P\) genau \(3\).

Die Steigung im Punkt \(P\) beträgt \(3\).

- Wie hängt die Tangentensteigung mit der ersten Ableitung zusammen? - Bestimme den Term von \(g'\). - Achte beim Einsetzen von \(-2\) auf die Klammern bei Potenzen.

1. Die erste Ableitung lautet \(g'(x)=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x-1\). 2. Einsetzen von \(x=-2\) ergibt \(g'(-2)=\frac{1}{2}\cdot(-2)^2+\frac{1}{2}\cdot(-2)-1=0\). 3. Die Tangente hat daher an dieser Stelle die Steigung \(0\).

Die Steigung an der Stelle \(x=-2\) beträgt \(0\).

- Was gibt die erste Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle an? - Welche Regeln benötigst du, um eine Summe von Potenztermen abzuleiten? - Wie gehst du vor, wenn du die Steigung an einem konkreten Punkt wissen möchtest?

1. Bildung der Ableitungsfunktion \(f'\) unter Anwendung der Potenz-, Faktor- und Summenregel: \(f'(x) = 3 \cdot \frac{1}{6}x^2 - 2 \cdot 3x + 10 = \frac{1}{2}x^2 - 6x + 10\). 2. Einsetzen des gegebenen Wertes \(x_0 = 6\) in die Ableitungsfunktion: \(f'(6) = \frac{1}{2} \cdot 6^2 - 6 \cdot 6 + 10\). 3. Berechnung des Funktionswertes: \(f'(6) = 18 - 36 + 10 = -8\).

Die Steigung des Graphen an der Stelle \(x_0 = 6\) beträgt \(-8\).

- Wie hängt die Tangentensteigung mit der ersten Ableitung zusammen? - Bestimme zuerst \(h'\). - Achte beim Einsetzen von \(-1\) auf die unterschiedlichen Vorzeichen bei geraden und ungeraden Potenzen.

1. Die Ableitungsfunktion lautet \(h'(x)=2x^3-2x^2+1\). 2. Einsetzen von \(x_0=-1\) ergibt \(h'(-1)=2\cdot(-1)^3-2\cdot(-1)^2+1=-3\). 3. Damit beträgt die Tangentensteigung an der Stelle \(x_0=-1\) genau \(-3\).

Die Steigung der Tangente an der Stelle \(x_0=-1\) beträgt \(-3\).

- Was versteht man mathematisch unter der lokalen Änderungsrate an einer bestimmten Stelle? - Gibt es eine Funktion, die die Steigung an jeder beliebigen Stelle angibt? - Wie gehst du vor, wenn du die Steigung an einem ganz konkreten Punkt berechnen möchtest?

1. Bestimmung der Ableitungsfunktion mittels Potenz- und Summenregel: \(f'(x) = 6x^2 - 18x + 12\). 2. Einsetzen der Stelle \(x_0 = 2\) in die Ableitungsfunktion zur Berechnung der lokalen Änderungsrate: \(f'(2) = 6 \cdot 2^2 - 18 \cdot 2 + 12\). 3. Berechnung des Funktionswertes: \(f'(2) = 24 - 36 + 12 = 0\).

Die lokale Änderungsrate an der Stelle \(x_0 = 2\) beträgt \(0\).

- Welche beiden Temperaturwerte brauchst du für die mittlere Änderungsrate? - Wie unterscheidet sich eine mittlere Rate über ein Intervall von einer momentanen Rate an einem Zeitpunkt? - Für b) ist die Funktion der momentanen Änderungsrate bereits gegeben; welche Gleichung musst du lösen?

1. Es gilt \(T(0)=25\) und \(T(2)=15\). 2. Die mittlere Änderungsrate auf \([0;2]\) ist \(\frac{15-25}{2}=-5\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{h}}\). 3. Für b) löst man \(T'(t)=-4{,}5\), also \(t-6=-4{,}5\). 4. Daraus folgt \(t=1{,}5\,\text{h}\).

a) \(-5\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{h}}\) b) \(t=1{,}5\,\text{h}\)

- Welche zwei Volumenwerte brauchst du für die mittlere Zuflussrate? - Für b) ist die Funktion der momentanen Zuflussrate bereits gegeben. - Was unterscheidet einen Wert über ein ganzes Intervall von einem Wert zu genau einem Zeitpunkt?

1. Es gilt \(V(2)=6\,\text{L}\) und \(V(5)=22{,}5\,\text{L}\). 2. Die mittlere Zuflussrate ist \(\frac{22{,}5-6}{5-2}=5{,}5\,\frac{\text{L}}{\text{s}}\). 3. Die momentane Zuflussrate ist \(V'(4)=4+2=6\,\frac{\text{L}}{\text{s}}\). 4. Die mittlere Rate beschreibt den durchschnittlichen Volumenzuwachs pro Sekunde über das ganze Intervall, die momentane Rate dagegen den Volumenzuwachs genau bei \(t=4\,\text{s}\).

a) \(5{,}5\,\frac{\text{L}}{\text{s}}\) b) \(6\,\frac{\text{L}}{\text{s}}\) c) Die erste Rate ist ein Durchschnitt über ein Zeitintervall; die zweite beschreibt die Änderung zu einem einzelnen Zeitpunkt.

- Welche physikalische Größe wird durch eine Wegänderung pro Zeit beschrieben? - Setze den gegebenen Zeitpunkt in die Funktion \(s'\) ein. - Welche Einheit folgt aus Metern geteilt durch Sekunden?

1. Die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t=5\,\text{s}\) ist \(s'(5)=0{,}8\cdot5+3=7\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 2. \(s'(t)\) beschreibt die momentane Änderung des zurückgelegten Wegs pro Zeit und damit die Geschwindigkeit des Autos zum Zeitpunkt \(t\).

a) \(7\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) b) \(s'(t)\) ist die Momentangeschwindigkeit des Autos zum Zeitpunkt \(t\).

- Welche physikalische Größe lässt sich durch die erste Ableitung des Weges nach der Zeit bestimmen? - Wie ist die Beschleunigung mathematisch mit der Geschwindigkeit verknüpft? - Überlege, was ein negativer Wert für die Änderung einer Größe bedeutet. - Achte darauf, die Einheiten für Geschwindigkeit und Beschleunigung korrekt anzugeben.

1. Bestimmung der Geschwindigkeitsfunktion \(v(t)\) durch die erste Ableitung der Wegfunktion: \(v(t) = s'(t) = 0{,}06t^2 - 0{,}72t + 2{,}4\). 2. Berechnung der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t = 5\,\text{s}\): \(v(5) = 0{,}06 \cdot 5^2 - 0{,}72 \cdot 5 + 2{,}4 = 1{,}5 - 3{,}6 + 2{,}4 = 0{,}3\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 3. Bestimmung der Beschleunigungsfunktion \(a(t)\) durch die zweite Ableitung der Wegfunktion (bzw. erste Ableitung der Geschwindigkeit): \(a(t) = v'(t) = 0{,}12t - 0{,}72\). 4. Berechnung der Beschleunigung zum Zeitpunkt \(t = 5\,\text{s}\): \(a(5) = 0{,}12 \cdot 5 - 0{,}72 = 0{,}6 - 0{,}72 = -0{,}12\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\). 5. Interpretation des Vorzeichens: Da die Beschleunigung negativ ist (\(a < 0\)) und die Geschwindigkeit positiv ist, verringert der Roboter seine Geschwindigkeit (Bremsvorgang).

a) Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t = 5\,\text{s}\) beträgt \(v(5) = 0{,}3\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). b) Die Beschleunigung beträgt \(a(5) = -0{,}12\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\). Das negative Vorzeichen bedeutet, dass der Roboter zu diesem Zeitpunkt langsamer wird (Verzögerung).

- Wie hängen die Position (Höhe) und die Geschwindigkeit mathematisch zusammen? - Was lässt sich über die Geschwindigkeit eines Objekts sagen, wenn es seinen höchsten Punkt erreicht hat? - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, die Änderungsrate einer Funktion zu finden?

1. Bestimmung der Geschwindigkeitsfunktion durch Ableitung der Höhenfunktion: \(v(t) = h'(t) = -10t + 20\). 2. Berechnung der Geschwindigkeit für \(t = 1\): \(v(1) = -10 \cdot 1 + 20 = 10\). Die Geschwindigkeit beträgt \(10\,\text{m}\,\text{s}^{-1}\). 3. Der höchste Punkt wird erreicht, wenn die Momentangeschwindigkeit null ist: \(-10t + 20 = 0 \Rightarrow t = 2\). Der Ball erreicht nach \(2\,\text{s}\) den höchsten Punkt. 4. Berechnung der maximalen Höhe durch Einsetzen von \(t = 2\) in \(h(t)\): \(h(2) = -5 \cdot 2^2 + 20 \cdot 2 + 1{,}2 = -20 + 40 + 1{,}2 = 21{,}2\). Die maximale Höhe beträgt \(21{,}2\,\text{m}\).

a) Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t = 1\,\text{s}\) beträgt \(10\,\text{m}\,\text{s}^{-1}\). b) Der Ball erreicht nach \(2\,\text{s}\) seinen höchsten Punkt in einer Höhe von \(21{,}2\,\text{m}\).

- Was sagt der Wert der ersten Ableitung an einer Stelle über den Verlauf des Graphen aus? - Kannst du die Steigung an den gesuchten Stellen berechnen? - Was bedeutet ein positives oder negatives Vorzeichen der Steigung für das Wachstum der Funktion?

1. Bildung der ersten Ableitung: \(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9\). 2. Überprüfung an der Stelle \(x = -2\): Einsetzen in die Ableitungsfunktion ergibt \(f'(-2) = 3 \cdot (-2)^2 - 6 \cdot (-2) - 9 = 12 + 12 - 9 = 15\). Da \(f'(-2) > 0\), steigt der Graph an dieser Stelle. 3. Überprüfung an der Stelle \(x = 2\): Einsetzen ergibt \(f'(2) = 3 \cdot 2^2 - 6 \cdot 2 - 9 = 12 - 12 - 9 = -9\). Da \(f'(2) < 0\), fällt der Graph an dieser Stelle.

An der Stelle \(x = -2\) besitzt der Graph eine positive Steigung (\(f'(-2) = 15 > 0\)). An der Stelle \(x = 2\) besitzt der Graph eine negative Steigung (\(f'(2) = -9 < 0\)).

- Für a) brauchst du die Bestände an den beiden Intervallgrenzen. - Für b) setzt du den Zeitpunkt in die gegebene Funktion \(B'\) ein. - Was sagt die Gleichheit eines Durchschnittswerts und eines einzelnen Momentanwerts über die übrigen Zeitpunkte aus?

1. Es gilt \(B(2)=122\) und \(B(4)=168\), jeweils in Tausend Bakterien. 2. Die mittlere Wachstumsrate ist \(\frac{168-122}{4-2}=23\) Tausend Bakterien pro Stunde. 3. Die momentane Wachstumsrate ist \(B'(3)=6\cdot3+5=23\) Tausend Bakterien pro Stunde. 4. Die Werte stimmen hier überein. Das bedeutet nur, dass die momentane Rate bei \(t=3\) denselben Zahlenwert wie die mittlere Rate auf \([2;4]\) besitzt; daraus folgt nicht, dass die Rate im ganzen Intervall konstant ist.

a) \(23\) Tausend Bakterien pro Stunde b) \(23\) Tausend Bakterien pro Stunde c) Beide Werte sind hier gleich. Das bedeutet nicht, dass die Wachstumsrate während des gesamten Intervalls konstant ist.

- Welche zwei Funktionswerte brauchst du für die Sekantensteigung? - Stelle für die Tangentensteigung den Differenzenquotienten an \(x_0=0\) auf. - Vereinfache den Quotienten für \(h\ne0\), bevor du den Grenzwert bildest.

1. Es gilt \(f(-2)=0\) und \(f(2)=4\). Die Sekantensteigung ist \(\frac{4-0}{2-(-2)}=1\). 2. Der Differenzenquotient an \(x_0=0\) lautet \(\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{\frac{1}{2}h^2+h}{h}=\frac{1}{2}h+1\) für \(h\ne0\). 3. Der Grenzwert ist \(f'(0)=\lim_{h\to0}\left(\frac{1}{2}h+1\right)=1\). 4. Sekante und Tangente haben daher beide die Steigung \(1\).

1. Sekantensteigung: \(1\) 2. Tangentensteigung: \(f'(0)=1\). Beide Steigungen sind gleich.

- Stelle den Differenzenquotienten zunächst an einer allgemeinen Stelle \(x_0\) auf. - Löse die quadratische Klammer auf und fasse den Zähler zusammen. - Kürze erst für \(h\ne0\), bevor du den Grenzwert bildest. - Setze danach die beiden gefragten Stellen in das Ergebnis ein.

1. Für eine beliebige Stelle \(x_0\) ist der Differenzenquotient \(\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\frac{3-(x_0+h)^2-(3-x_0^2)}{h}\). 2. Für \(h\ne0\) vereinfacht er sich zu \(-2x_0-h\). Der Grenzwert für \(h\to0\) ist daher \(f'(x_0)=-2x_0\). 3. Damit gilt \(f'(2)=-4\) und \(f'(-1)=2\).

\(f'(2)=-4\) und \(f'(-1)=2\)

- Was gibt die erste Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle grafisch an? - Welche Gleichung kannst du aufstellen, wenn der Wert der Steigung an einer Stelle bekannt ist? - Kannst du die Ableitungsregeln für einfache Polynomfunktionen anwenden?

1. Bestimmung der ersten Ableitungsfunktion mittels Potenz- und Summenregel: \(f'(x) = 4x - 7\). 2. Gleichsetzen der Ableitungsfunktion mit der vorgegebenen Steigung an der Stelle \(a\): \(4a - 7 = 5\). 3. Auflösen der resultierenden linearen Gleichung: \(4a = 12 \Rightarrow a = 3\).

\(a = 3\)

- Welchen Wert hat die Funktion an der Stelle \(x_0\) und welchen an der Stelle \(x_0 + h\)? - Was passiert im Zähler des Differenzenquotienten, wenn die Funktionswerte identisch sind? - Wie sieht der Graph einer Funktion aus, deren Funktionswerte sich nie ändern? - Was sagt die Ableitung über die Steigung einer Geraden aus?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}\). Da \(f(x) = -8\) für alle \(x\) gilt, folgt \(\frac{-8 - (-8)}{h} = \frac{0}{h} = 0\) für \(h \neq 0\). Der Grenzwert für \(h \to 0\) ergibt \(f'(x_0) = \lim_{h \to 0} 0 = 0\). 2. Der Graph einer konstanten Funktion ist eine Gerade parallel zur \(x\)-Achse. Da diese Gerade überall die Steigung \(0\) besitzt (Steigungswinkel \(0^\circ\)), muss die Ableitung, welche die lokale Steigung repräsentiert, überall den Wert \(0\) annehmen.

1. \(f'(x_0) = 0\) 2. Da der Graph eine Parallele zur \(x\)-Achse ist, ist die Steigung überall gleich null.

- Schreibe den Betrag getrennt für positive und negative Werte von \(x\) um. - Welche linearen Terme entstehen in den beiden Fällen? - Die Steigung einer linearen Funktion liest du am Faktor vor \(x\) ab.

1. Für \(x > 0\) gilt \(|x| = x\). Dann ist \(g(x) = x + 2x = 3x\), also \(g'(x) = 3\). 2. Für \(x < 0\) gilt \(|x| = -x\). Dann ist \(g(x) = -x + 2x = x\), also \(g'(x) = 1\). 3. Daher beträgt die Tangentensteigung für \(a > 0\) den Wert \(3\) und für \(a < 0\) den Wert \(1\).

a) Für \(a > 0\): \(3\) b) Für \(a < 0\): \(1\)

- Überlege dir zuerst, welche physikalische Größe auf der y-Achse und welche auf der x-Achse abgetragen ist. - Was bedeutet es anschaulich, wenn man die Differenz zweier y-Werte bildet? - Welche Bedeutung hat das Teilen einer Differenz durch die zugehörige Zeitspanne? - Erinnere dich daran, wie die erste Ableitung mit der momentanen Änderungsrate zusammenhängt.

1. \(h(t+7) - h(t)\): Dieser Ausdruck beschreibt den absoluten Höhenzuwachs der Sonnenblume innerhalb einer Woche (7 Tage), ausgehend vom Zeitpunkt \(t\). Die Einheit ist \(\text{cm}\). 2. \(\frac{h(t+\Delta t) - h(t)}{\Delta t}\): Dies ist der Differenzenquotient, der die durchschnittliche Wachstumsrate der Pflanze im Zeitintervall von \(t\) bis \(t+\Delta t\) angibt. Die Einheit ist \(\frac{\text{cm}}{\text{d}}\). 3. \(h'(t)\): Die erste Ableitung an der Stelle \(t\) entspricht der momentanen Wachstumsrate der Pflanze zum Zeitpunkt \(t\). Die Einheit ist \(\frac{\text{cm}}{\text{d}}\).

a) Höhenzuwachs innerhalb einer Woche in \(\text{cm}\). b) Durchschnittliche Wachstumsrate im Zeitraum \(\Delta t\) in \(\frac{\text{cm}}{\text{d}}\). c) Momentane Wachstumsrate zum Zeitpunkt \(t\) in \(\frac{\text{cm}}{\text{d}}\).

- Stell dir vor, du fährst mit einem Auto: Was liest du auf dem Tacho ab und was berechnest du, wenn du die Gesamtstrecke durch die Gesamtzeit teilst? - Welche mathematischen Werkzeuge nutzt du für Durchschnittswerte und welche für Momentanwerte?

1. \(\frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1}\): Dieser Differenzenquotient stellt die Durchschnittsgeschwindigkeit des Fahrzeugs im Zeitintervall zwischen \(t_1\) und \(t_2\) dar. 2. \(s'(t)\): Die erste Ableitung der Weg-Zeit-Funktion gibt die Momentangeschwindigkeit des Fahrzeugs zum Zeitpunkt \(t\) an.

a) Durchschnittsgeschwindigkeit im Zeitintervall \([t_1; t_2]\). b) Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t\).

- Überlege dir, welche Einheiten die Zähler und Nenner der Brüche haben. - Was ist der Unterschied zwischen einem Zeitraum und einem exakten Zeitpunkt? - Erinnere dich an die physikalischen Begriffe für die Änderung des Ortes und die momentane Geschwindigkeit.

1. \(h(t) - h(t_0)\) beschreibt die Höhenänderung des Ballons zwischen den Zeitpunkten \(t_0\) und \(t\) in Metern. 2. \(\frac{h(t) - h(t_0)}{t - t_0}\) stellt den Differenzenquotienten dar und gibt die mittlere Steiggeschwindigkeit des Ballons im Zeitintervall \([t_0; t]\) in der Einheit \(\frac{\text{m}}{\text{min}}\) an. 3. \(h'(t_0)\) ist die erste Ableitung an der Stelle \(t_0\) und gibt die momentane Steiggeschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t_0\) in \(\frac{\text{m}}{\text{min}}\) an.

a) Höhenänderung im Intervall \([t_0; t]\) in \(\text{m}\). b) Mittlere Steiggeschwindigkeit im Intervall \([t_0; t]\) in \(\frac{\text{m}}{\text{min}}\). c) Momentane Steiggeschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t_0\) in \(\frac{\text{m}}{\text{min}}\).

- Wie hängen die Tangentensteigung und die Ableitung einer Funktion zusammen? - Stelle die Ableitungsfunktion auf. - Löse für jeden der gesuchten Werte eine lineare Gleichung.

1. Aufstellen der Ableitungsfunktion: \(f'(x) = 2x - 3\). 2. Da die Tangentensteigung dem Wert der Ableitung an der Stelle \(x\) entspricht, müssen die Gleichungen \(2x - 3 = k\) für die gegebenen Werte \(k\) gelöst werden. 3. Für \(0\): \(2x - 3 = 0 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = 1{,}5\). 4. Für \(1\): \(2x - 3 = 1 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2\). 5. Für \(-1\): \(2x - 3 = -1 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1\). 6. Für \(\frac{1}{2}\): \(2x - 3 = 0{,}5 \Rightarrow 2x = 3{,}5 \Rightarrow x = 1{,}75\). 7. Für \(-\frac{1}{2}\): \(2x - 3 = -0{,}5 \Rightarrow 2x = 2{,}5 \Rightarrow x = 1{,}25\).

Die Steigungswerte werden an folgenden Stellen erreicht: \(0\) bei \(x = 1{,}5\) \(1\) bei \(x = 2\) \(-1\) bei \(x = 1\) \(\frac{1}{2}\) bei \(x = 1{,}75\) \(-\frac{1}{2}\) bei \(x = 1{,}25\)

- Welche Funktion beschreibt die Steigung des Graphen an einer Stelle? - Setze die jeweilige Ableitungsfunktion gleich dem vorgegebenen Steigungswert. - Prüfe bei der quadratischen Gleichung in b), ob zwei symmetrische Lösungen möglich sind.

1. Die Ableitungsfunktionen lauten \(f'(x)=x-3\) und \(g'(x)=3x^2-3\). 2. Für a) gilt \(x-3=2\), also \(x=5\). 3. Für b) gilt \(3x^2-3=9\). Daraus folgt \(3x^2=12\), also \(x^2=4\) und damit \(x=-2\) oder \(x=2\).

a) \(x=5\) b) \(x=-2\) und \(x=2\)

- Setze das Einkommen in die gegebene Funktion \(S'\) ein. - Wie lässt sich der Dezimalwert als Prozentsatz schreiben? - Welche zwei Einheiten werden bei dieser momentanen Änderungsrate ins Verhältnis gesetzt?

1. Es gilt \(S'(30\,000)=0{,}000004\cdot30\,000+0{,}15=0{,}27\), also \(27\,\%\). 2. Der Wert \(0{,}27\) bedeutet: In der unmittelbaren Umgebung von \(30\,000\,\text{€}\) steigt die Steuer bei einer kleinen zusätzlichen Einkommensänderung näherungsweise um \(0{,}27\,\text{€}\) je zusätzlichem Euro Einkommen.

1. \(S'(30\,000)=0{,}27=27\,\%\) 2. Bei etwa \(30\,000\,\text{€}\) Einkommen steigt die Steuer näherungsweise um \(0{,}27\,\text{€}\) pro zusätzlichem Euro Einkommen.

- Setze die Ausdrücke \((100+h)\) und \(100\) sorgfältig in die Funktionsgleichung ein. - Achte beim Vereinfachen darauf, dass alle konstanten Terme im Zähler (die kein \(h\) enthalten) wegfallen müssen. - Der Grenzwert der Änderungsrate entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen in diesem Punkt. - Was sagt uns die Steigung darüber aus, wie stark die Kosten steigen, wenn wir \(x\) um eine kleine Einheit erhöhen?

1. Der Differenzenquotient lautet \(\frac{K(100+h) - K(100)}{h}\). Einsetzen ergibt: \(\frac{0{,}05(100+h)^2 + 10(100+h) + 500 - (0{,}05 \cdot 100^2 + 10 \cdot 100 + 500)}{h}\). Vereinfachung des Zählers: \(0{,}05(10\,000 + 200h + h^2) + 1000 + 10h + 500 - (500 + 1000 + 500) = 500 + 10h + 0{,}05h^2 + 1000 + 10h + 500 - 2000 = 20h + 0{,}05h^2\). Division durch \(h\) ergibt den vereinfachten Differenzenquotienten: \(20 + 0{,}05h\). 2. Für den Grenzübergang \(h \to 0\) betrachten wir den Grenzwert von \(20 + 0{,}05h\). Es ergibt sich \(K'(100) = \lim_{h \to 0} (20 + 0{,}05h) = 20\). 3. Die Grenzkosten an der Stelle \(x = 100\) geben die momentane Steigungsrate der Kostenkurve an. Im Sachkontext bedeutet dies, dass die Produktion einer weiteren Einheit (des 101. Stücks) näherungsweise \(20\,\text{€}\) an zusätzlichen Kosten verursacht.

1. Differenzenquotient: \(20 + 0{,}05h\) in \(\frac{\text{€}}{\text{Stück}}\). 2. Grenzkosten \(K'(100) = 20\,\frac{\text{€}}{\text{Stück}}\). 3. Das 101. Stück verursacht näherungsweise \(20\,\text{€}\) zusätzliche Kosten.

- Welcher geometrischen Größe entspricht ein Ableitungswert? - Nutze die Beschriftungen \(t_f\), \(t_g\) und \(t_h\), um die Tangenten eindeutig zuzuordnen. - Welche zwei gut ablesbaren Punkte kannst du auf jeder Tangente verwenden? - Welche Steigung besitzt eine waagerechte Gerade?

1. Der Ableitungswert entspricht jeweils der Steigung der zugehörigen Tangente. 2. \(t_f\) verläuft durch \((0|0)\) und \((2|2)\). Daher ist \(f'(2)=\frac{2-0}{2-0}=1\). 3. \(t_g\) ist waagerecht. Daher ist \(g'(2)=0\). 4. \(t_h\) verläuft beispielsweise durch \((1|3)\) und \((2|1)\). Daher ist \(h'(2)=\frac{1-3}{2-1}=-2\).

a) \(f'(2)=1\) b) \(g'(2)=0\) c) \(h'(2)=-2\)

- Erinnere dich daran, dass der Ableitungswert einer Funktion an einer Stelle der Steigung der Tangente an dieser Stelle entspricht. - Wie kannst du die Steigung einer Geraden bestimmen, wenn du zwei Punkte auf ihr kennst? - Nutze die markierten Kreuze auf den Tangenten, um die Koordinaten zweier Punkte abzulesen. - Teile den Höhenunterschied (Änderung in \(y\)-Richtung) durch den Breitenunterschied (Änderung in \(x\)-Richtung).

Um die Ableitungswerte grafisch zu bestimmen, liest man die Steigung der jeweiligen Tangente ab: 1. **Ableitung an der Stelle \(x = -2\):** Die orangefarbene Tangente berührt den Graphen bei \(x = -2\). Wir können zwei markierte Punkte auf dieser Geraden ablesen, zum Beispiel \((-3 \mid 1)\) und \((-1 \mid 3)\). Die Steigung beträgt: \(m = \frac{3 - 1}{-1 - (-3)} = \frac{2}{2} = 1\) Somit gilt: \(f'(-2) = 1\). 2. **Ableitung an der Stelle \(x = 0\):** Die grüne Tangente berührt den Graphen bei \(x = 0\). Wir wählen die markierten Punkte \((-1 \mid 2)\) und \((1 \mid -2)\). Die Steigung beträgt: \(m = \frac{-2 - 2}{1 - (-1)} = \frac{-4}{2} = -2\) Somit gilt: \(f'(0) = -2\). 3. **Ableitung an der Stelle \(x = 2\):** Die lila Tangente berührt den Graphen bei \(x = 2\). Wir wählen die markierten Punkte \((1 \mid -3)\) und \((3 \mid -1)\). Die Steigung beträgt: \(m = \frac{-1 - (-3)}{3 - 1} = \frac{2}{2} = 1\) Somit gilt: \(f'(2) = 1\).

a) \(f'(-2) = 1\); b) \(f'(0) = -2\); c) \(f'(2) = 1\).

- Wie hängen die Steigung eines Graphen in einem Punkt und die Steigung der Tangente in diesem Punkt zusammen? - Welche Formel hilft dir, die Steigung einer Geraden zu berechnen, wenn du zwei Punkte auf ihr kennst? - Suche auf den orangefarbenen Tangenten jeweils nach zwei Punkten, die genau auf den Gitterkreuzungen liegen. - Achte beim Ablesen der Koordinaten genau auf die Skalierung der Achsen (insbesondere der \(y\)-Achse in Teil c).

1. Bestimmung der Steigung der Tangente an Graph a): Zwei ablesbare Punkte auf der Tangente: \(P(2 \mid 0)\) und \(A(3 \mid 2)\). Berechnung des Differenzenquotienten: \(m_a = \frac{2 - 0}{3 - 2} = 2\). Die momentane Änderungsrate in \(P\) beträgt \(2\). 2. Bestimmung der Steigung der Tangente an Graph b): Zwei ablesbare Punkte auf der Tangente: \(P(2 \mid 1)\) und \(B(3 \mid 0)\). Berechnung des Differenzenquotienten: \(m_b = \frac{0 - 1}{3 - 2} = -1\). Die momentane Änderungsrate in \(P\) beträgt \(-1\). 3. Bestimmung der Steigung der Tangente an Graph c): Zwei ablesbare Punkte auf der Tangente: \(P(1 \mid 1)\) und \(C(3 \mid 2)\). Berechnung des Differenzenquotienten: \(m_c = \frac{2 - 1}{3 - 1} = 0{,}5\). Die momentane Änderungsrate in \(P\) beträgt \(0{,}5\).

a) \(2\); b) \(-1\); c) \(0{,}5\).

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Ableitung einer Funktion an einer Stelle und der Steigung der dortigen Tangente. - Suche auf der Tangente zwei Punkte, deren Koordinaten du exakt im Gitter ablesen kannst. - Berechne die Steigung der Tangente mit \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\).

1. Die Ableitung \(f'(1)\) entspricht der Steigung der Tangente \(t\) an den Graphen von \(f\) an der Stelle \(x_0 = 1\). 2. Um die Steigung der Tangente zu bestimmen, wählen wir zwei Punkte auf der Tangente aus, die sich leicht vom Gitter ablesen lassen. Aus der Abbildung können wir beispielsweise den Berührpunkt \(P(1 \mid -1)\) und den Schnittpunkt der Tangente mit der \(x\)-Achse \(Q(2 \mid 0)\) ablesen. 3. Mit diesen Punkten berechnen wir die Steigung \(m\) der Tangente: \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - (-1)}{2 - 1} = 1\) 4. Die Ableitung der Funktion an der Stelle \(x_0 = 1\) ist somit \(f'(1) = 1\).

\(f'(1) = 1\)

- Wie hängen der Verlauf des Graphen (steigend oder fallend) und das Vorzeichen der Steigung zusammen? - Stelle dir an jedem Punkt eine Tangente (eine berührende Gerade) vor. Verläuft diese von links nach rechts nach oben oder nach unten? - Wenn eine Kurve sehr steil nach unten verläuft, ist ihre Steigung besonders stark negativ (also sehr klein). - Vergleiche die Steigungen in den Punkten, an denen der Graph steigt: Welcher Punkt befindet sich in einem steileren Bereich?

1. Bestimmung der Vorzeichen der Steigungen: - Ein fallender Kurvenverlauf entspricht einer negativen Steigung, ein steigender Verlauf einer positiven Steigung. - Am Punkt \(A(-1 \mid -1{,}25)\) fällt der Graph (die Steigung ist negativ, ca. \(-0{,}65\)). - Am Punkt \(B(0 \mid -1)\) steigt der Graph (die Steigung ist positiv, ca. \(1{,}0\)). - Am Punkt \(C(2 \mid 2{,}2)\) steigt der Graph (die Steigung ist positiv, ca. \(1{,}6\)). - Am Punkt \(D(5 \mid 0{,}25)\) fällt der Graph steil ab (die Steigung ist negativ, ca. \(-4{,}25\)). - Somit ist die Steigung in den Punkten \(A\) und \(D\) negativ. 2. Ordnung der Steigungen von klein nach groß: - Die Steigungen an den Punkten betragen: \(f'(D) \approx -4{,}25\), \(f'(A) \approx -0{,}65\), \(f'(B) \approx 1{,}0\) und \(f'(C) \approx 1{,}6\). - Durch Vergleichen der Werte ergibt sich: \(-4{,}25 < -0{,}65 < 1{,}0 < 1{,}6\). - Die richtige Reihenfolge von der kleinsten (am stärksten negativen) zur größten Steigung lautet somit: \(D\), \(A\), \(B\), \(C\).

a) In den Punkten \(A\) und \(D\) ist die Steigung negativ. b) Von der kleinsten zur größten Steigung: \(D\), \(A\), \(B\), \(C\).

- Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle entspricht der Steigung der Tangente an dieser Stelle. - Bestimme die Steigung einer Tangente aus zwei gut ablesbaren Punkten. - Eine waagerechte Tangente hat die Steigung \(0\). - Das Vorzeichen der Ableitung zeigt, ob der Graph steigt oder fällt.

1. **Teilaufgabe a):** - Die Tangente bei \(x = 0\) verläuft durch \((0 \mid -1)\) und \((1 \mid -3)\). Daher ist \(f'(0) = \frac{-3-(-1)}{1-0} = -2\). - Bei \(x = 2\) liegt der Tiefpunkt \((2 \mid -3)\). Die Tangente ist waagerecht, also gilt \(f'(2) = 0\). - Die Tangente bei \(x = 4\) verläuft durch \((4 \mid -1)\) und \((5 \mid 1)\). Daher ist \(f'(4) = \frac{1-(-1)}{5-4} = 2\). 2. **Teilaufgabe b):** - Bei \(x = -1\) fällt der Graph, daher ist \(f'(-1) < 0\). - Bei \(x = 1\) fällt der Graph, daher ist \(f'(1) < 0\). - Bei \(x = 5\) steigt der Graph, daher ist \(f'(5) > 0\).

a) \(f'(0) = -2\), \(f'(2) = 0\), \(f'(4) = 2\); b) \(f'(-1) < 0\), \(f'(1) < 0\) und \(f'(5) > 0\).

- Die momentane Änderungsrate ist die Steigung der Tangente im markierten Punkt. - Wähle auf jeder Tangente zwei Punkte, deren Koordinaten am Raster eindeutig ablesbar sind. - Berechne die jeweilige Geradensteigung als Änderung in \(y\) geteilt durch Änderung in \(x\).

1. Die Tangente \(t_1\) verläuft zum Beispiel durch \((-3|-2)\) und \((1|0)\). Daher ist \(f'(-1)=\frac{0-(-2)}{1-(-3)}=0{,}5\). 2. Die Tangente \(t_2\) verläuft durch \((0|1)\) und \((1|4)\). Daher ist \(f'(0)=\frac{4-1}{1-0}=3\). 3. Die Tangente \(t_3\) verläuft durch \((2|5)\) und \((3|4)\). Daher ist \(f'(2)=\frac{4-5}{3-2}=-1\).

\(f'(-1)=0{,}5\), \(f'(0)=3\), \(f'(2)=-1\)

- Der Ableitungswert an \(x=1\) ist die Steigung der dort eingezeichneten Tangente. - Nutze pro Tangente zwei eindeutig ablesbare Rasterpunkte. - Achte beim Differenzenquotienten der Geraden besonders auf das Vorzeichen der Änderung in \(y\).

1. Graph \(A\): Die Tangente verläuft durch \((0|-4)\) und \((2|0)\). Ihre Steigung ist \(2\). 2. Graph \(B\): Die Tangente ist waagerecht. Ihre Steigung ist \(0\). 3. Graph \(C\): Die Tangente verläuft durch \((-1|-3)\) und \((3|1)\). Ihre Steigung ist \(1\). 4. Graph \(D\): Die Tangente verläuft durch \((1|1)\) und \((2|-1)\). Ihre Steigung ist \(-2\).

\(A: 2\), \(B: 0\), \(C: 1\), \(D: -2\)

- Die Ableitung \(f'(x)\) gibt die Steigung der Tangente im Punkt \((x \mid f(x))\) an. - Lies auf jeder farblich zugeordneten Tangente zwei gut erkennbare Punkte ab. - Berechne die Steigung mit \(m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\). - Achte auf das Vorzeichen der Steigung.

1. Bei \(x_1 = -2\) liegt der Scheitelpunkt der Parabel. Die orangefarbene Tangente ist waagerecht, daher ist \(f'(-2) = 0\). 2. Die grüne Tangente bei \(x_2 = 0\) verläuft zum Beispiel durch \((0 \mid 2)\) und \((1 \mid 0)\). Daher ist \(f'(0) = \frac{0 - 2}{1 - 0} = -2\). 3. Die lilafarbene Tangente bei \(x_3 = 2\) verläuft durch \((2 \mid -4)\) und \((1 \mid 0)\). Daher ist \(f'(2) = \frac{-4 - 0}{2 - 1} = -4\).

\(f'(-2) = 0\), \(f'(0) = -2\), \(f'(2) = -4\).

- Die Ableitung an einer Stelle \(x\) entspricht genau der Steigung der Tangente in diesem Punkt. - Lies auf den eingezeichneten Geraden zwei gut erkennbare Punkte ab und berechne \(m = \frac{\Delta y}{\Delta x}\). - Wenn der Graph an einer Stelle steigt, ist die Ableitung dort positiv; fällt er, ist sie negativ. - An lokalen Extrempunkten (Hoch- oder Tiefpunkten) ist die Steigung der Tangente immer null.

1. Zur Bestimmung von \(f'(-1)\) liest man die Steigung der Tangente im Punkt \(x = -1\) aus zwei gut erkennbaren Punkten ab: Geht man \(1\) Einheit nach rechts, geht man \(1\) Einheit nach oben. Somit ist \(f'(-1) = 1\). 2. Für \(f'(2)\) nutzt man die zweite Tangente: Geht man \(1\) Einheit nach rechts, geht man \(2\) Einheiten nach unten. Somit ist \(f'(2) = -2\). 3. Das Vorzeichen der Ableitung entspricht der Steigung des Graphen: Bei \(x = 0\) hat der Graph einen Hochpunkt, die Tangente wäre waagerecht, also \(f'(0) = 0\). Bei \(x = 3\) fällt der Graph, also ist \(f'(3) < 0\). Bei \(x = -2\) steigt der Graph, also ist \(f'(-2) > 0\). 4. Um \(f'(1)\) zu schätzen, betrachtet man den lokalen Verlauf bei \(x = 1\). Der Graph fällt dort; ein kleiner Schritt nach rechts führt zu einem etwa gleich großen Schritt nach unten, daher liegt der Wert bei etwa \(-1\).

a) \(f'(-1) = 1\) und \(f'(2) = -2\); b) \(f'(0) = 0\), \(f'(3) < 0\), \(f'(-2) > 0\); c) \(f'(1) \approx -1\).

- Die Steigung einer Tangente in einem Punkt ist der Wert der Ableitung der Funktion an dieser Stelle. - Suche dir auf den eingezeichneten Tangenten zwei Punkte, die genau auf Gitterkreuzungen liegen, um die Steigung zu berechnen. - Betrachte bei Teil b), wie der Graph in der unmittelbaren Umgebung der markierten Punkte verläuft.

1. Für \(f'(1)\) betrachten wir die Tangente im Punkt \((1 \mid -1{,}5)\). Sie verläuft auch durch den Punkt \((2{,}5 \mid 0)\). Die Steigung ist \(m = \frac{0 - (-1{,}5)}{2{,}5 - 1} = 1\). Somit ist \(f'(1) = 1\). 2. Für \(f'(-2)\) nutzen wir die Tangente im Punkt \((-2 \mid 0)\). Sie verläuft durch \((-1 \mid -2)\). Die Steigung ist \(m = \frac{-2 - 0}{-1 - (-2)} = -2\). Somit ist \(f'(-2) = -2\). 3. Im Punkt \(A(2 \mid 0)\) steigt der Graph steil. Bei einem Schritt nach rechts verläuft der Graph lokal etwa zwei Einheiten nach oben. Daher gilt näherungsweise \(f'(2) \approx 2\). 4. Im Punkt \(B(0 \mid -2)\) liegt der Tiefpunkt der Parabel. Die Tangente ist hier waagerecht. Daher ist \(f'(0) = 0\).

a) \(f'(1) = 1\) und \(f'(-2) = -2\); b) in \(A(2 \mid 0)\) gilt näherungsweise \(f'(2) \approx 2\), in \(B(0 \mid -2)\) gilt \(f'(0) = 0\).

- Erinnere dich daran, was die Ableitung an einer Stelle grafisch bedeutet. - Berechne die Steigung einer Tangente mithilfe zweier gut ablesbarer Punkte auf der Geraden. - Was ist das Besondere an der Steigung einer waagerechten Geraden?

Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle entspricht der Steigung der Tangente in diesem Punkt. 1. An der Stelle \(x_1 = 0\) hat der Punkt die Koordinaten \((0 \mid 1)\). Die Tangente verläuft zudem durch \((1 \mid 3)\). Die Steigung beträgt \(m = \frac{3 - 1}{1 - 0} = 2\). Somit ist \(f'(0) = 2\). 2. An der Stelle \(x_2 = 2\) liegt der Hochpunkt \((2 \mid 3)\). Die Tangente ist eine waagerechte Gerade mit der Steigung \(0\). Somit ist \(f'(2) = 0\). 3. An der Stelle \(x_3 = 4\) hat der Punkt die Koordinaten \((4 \mid 1)\). Die Tangente verläuft zudem durch \((5 \mid -1)\). Die Steigung beträgt \(m = \frac{-1 - 1}{5 - 4} = -2\). Somit ist \(f'(4) = -2\).

\(f'(0) = 2\), \(f'(2) = 0\), \(f'(4) = -2\)

- Die Ableitung entspricht der Steigung der Tangente im jeweiligen Berührpunkt. - Betrachte die Steigung der Tangente in \(A\) und \(C\). Welche besondere Lage haben diese Geraden? - Lies für die Tangente in \(B\) zwei gut erkennbare Punkte ab und berechne ihre Steigung.

Die Werte der Ableitung lassen sich durch Ablesen der Tangentensteigungen ermitteln: 1. Im Punkt \(A(-2 \mid 4)\) ist die Tangente waagerecht. Eine waagerechte Gerade hat die Steigung \(0\). Daraus folgt \(g'(-2) = 0\). 2. Im Punkt \(B(0 \mid 0)\) verläuft die Tangente durch den Ursprung und zum Beispiel durch den Punkt \((1 \mid -3)\). Die Steigung ist \(m = \frac{-3 - 0}{1 - 0} = -3\). Daraus folgt \(g'(0) = -3\). 3. Im Punkt \(C(2 \mid -4)\) ist die Tangente ebenfalls waagerecht. Somit ist die Steigung \(0\) und es gilt \(g'(2) = 0\).

\(g'(-2) = 0\), \(g'(0) = -3\), \(g'(2) = 0\)

- Welche Steigung hat eine waagerechte Tangente? - Bestimme zuerst \(f'\) und prüfe dann den Ableitungswert an der vorgegebenen Stelle. - Formuliere am Ende ausdrücklich, warum dein Ableitungswert die Behauptung bestätigt.

1. Ableiten ergibt \(f'(x)=3x^2-6x+3\). 2. Einsetzen von \(x_0=1\) liefert \(f'(1)=3-6+3=0\). 3. Eine Tangente mit Steigung \(0\) ist waagerecht. Daher besitzt der Graph bei \(x_0=1\) eine waagerechte Tangente.

\(f'(x)=3x^2-6x+3\) und \(f'(1)=0\). Somit besitzt der Graph bei \(x_0=1\) eine waagerechte Tangente.

- Lies den Schnittpunkt der Tangente mit der \(y\)-Achse und den Punkt \(P\) ab. - Wie viele Einheiten musst du nach rechts gehen, um eine Einheit nach oben zu steigen?

1. Zwei Punkte auf der Tangente sind \(A(0 \mid 1)\) und \(P(4 \mid 2)\). 2. Es gilt \(\Delta y = 2 - 1 = 1\) und \(\Delta x = 4 - 0 = 4\). 3. Daher ist \(m = \frac{1}{4} = 0{,}25\).

Die Steigung beträgt \(0{,}25\).

- Lass dich nicht von den großen Zahlen an den Achsen verunsichern, das Prinzip bleibt gleich. - Achte darauf, dass ein Kästchen in x-Richtung denselben Wert darstellt wie ein Kästchen in y-Richtung.

1. Wähle auf der Tangente die Punkte \(A(25 \mid 0)\) und \(B(75 \mid 50)\). 2. Es gilt \(\Delta y = 50-0 = 50\) und \(\Delta x = 75-25 = 50\). 3. Daher ist \(m = \frac{50}{50} = 1\). Trotz der großen Achsenwerte beträgt die Steigung \(1\).

Die Steigung beträgt \(1\).

- Überlege dir für jeden markierten Punkt, wie eine Tangente dort verlaufen würde. - Wie hängen „steigend“, „fallend“ oder „waagerecht“ mit dem Vorzeichen der Steigung zusammen? - Welcher Typ von Zahl (negativ, null, positiv) ist grundsätzlich der kleinste?

1. Der Wert der Ableitung \(g'(x)\) an einer Stelle \(x\) entspricht der Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen in diesem Punkt. 2. Im Punkt \(A\) fällt der Graph; die Tangente hat dort eine negative Steigung (\(g'(x_A) < 0\)). 3. Im Punkt \(B\) liegt ein lokales Minimum vor; die Tangente ist waagerecht, die Steigung ist also Null (\(g'(x_B) = 0\)). 4. Im Punkt \(C\) steigt der Graph; die Tangente hat dort eine positive Steigung (\(g'(x_C) > 0\)). 5. Da ein negativer Wert kleiner als Null und kleiner als ein positiver Wert ist, ist der Ableitungswert im Punkt \(A\) am kleinsten.

Im Punkt \(A\) ist der Wert der Ableitung am kleinsten. Dort fällt der Graph, sodass die Tangente eine negative Steigung hat. In \(B\) ist die Steigung Null und in \(C\) ist sie positiv.

- Erinnere dich daran, dass die Steigung in einem Hoch- oder Tiefpunkt immer einen ganz bestimmten Wert hat. - Vergleiche die Neigung der Kurve in den verschiedenen Punkten. Wo geht es am steilsten bergauf, wo am steilsten bergab? - Achte auf das Vorzeichen: Ein starkes Gefälle entspricht einer großen negativen Zahl, was mathematisch „kleiner“ ist als eine leichte Steigung.

1. Analyse der Änderungsraten: Die Steigung des Graphen entspricht der momentanen Änderungsrate. - Punkt \(Q\): Hier ist der Anstieg am steilsten (\(m \approx 1{,}6\)). - Punkt \(R\): Hier liegt ein Maximum vor, die Tangente ist waagerecht (\(m \approx 0\)). - Punkt \(P\): Der Graph befindet sich kurz vor einem Minimum, die Steigung ist leicht negativ (\(m \approx -0{,}05\)). - Punkt \(S\): Hier ist das Gefälle am stärksten (\(m \approx -1{,}6\)). 2. Kleinste Änderungsrate: Die kleinste Steigung (stärkster Abfall) liegt im Punkt \(S\) vor. 3. Ordnung nach Größe (absteigend): \(Q (1{,}6) > R (0) > P (-0{,}05) > S (-1{,}6)\). Die Reihenfolge ist \(Q, R, P, S\). 4. Steigung in \(R\): Da \(R\) ein Hochpunkt ist, ist die momentane Änderungsrate dort \(0\).

a) Im Punkt \(S\); b) die Reihenfolge lautet \(Q, R, P, S\); c) die Steigung im Punkt \(R\) ist \(0\), da dort ein lokales Maximum vorliegt.

- Wenn die Tangente durch den Koordinatenursprung verläuft, ist die Berechnung der Steigung besonders einfach. - Ist die Tangente eine steigende oder eine fallende Gerade? Das Vorzeichen der Ableitung muss dazu passen.

1. Die Ableitung \(f'(0)\) entspricht der Steigung der Tangente im Ursprung. 2. Ablesen von Punkten auf der Tangente: Die Gerade verläuft durch \((0 \mid 0)\) und \((1 \mid -1)\). 3. Berechnung der Steigung: \(m = \frac{-1 - 0}{1 - 0} = -1\). 4. Ergebnis: \(f'(0) = -1\).

\(f'(0) = -1\)

- Die Begriffe „Ableitung“ und „momentane Änderungsrate“ bezeichnen an einer Stelle \(x_0\) denselben mathematischen Wert. - Achte auf die Skalierung der Achsen, um die Koordinaten der Punkte richtig abzulesen.

1. Die momentane Änderungsrate ist der Wert der Ableitung \(f'(x_0)\), also die Steigung der Tangente. 2. Auf der Tangente liegen z. B. die Punkte \((2 \mid 1)\) und \((4 \mid 0)\). 3. Bestimmung des Steigungsdreiecks: Geht man \(2\) Einheiten nach rechts (\(\Delta x = 2\)), sinkt der \(y\)-Wert um \(1\) Einheit (\(\Delta y = -1\)). 4. Berechnung: \(m = \frac{-1}{2} = -0{,}5\). 5. Ergebnis: \(f'(2) = -0{,}5\).

\(f'(2) = -0{,}5\)

- Auch bei Kurven, die keine Parabeln sind, hilft die Tangente, die Steigung in einem einzigen Punkt exakt zu bestimmen. - Wähle Punkte auf der Geraden, die möglichst weit auseinander liegen, um Ablesefehler zu minimieren, sofern sie auf Gitterpunkten liegen.

1. Die Ableitung ist die Steigung der Tangente. 2. Ablesen von Punkten auf der Tangente: \(P_1(1 \mid 2)\) und \(P_2(2 \mid 3)\). 3. Berechnung der Steigung: \(m = \frac{3 - 2}{2 - 1} = 1\). 4. Ergebnis: \(f'(1) = 1\).

\(f'(x_0) = 1\)

- Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du Punkte im negativen Bereich der \(x\)-Achse abliest. - Eine Gerade, die von links oben nach rechts unten verläuft, hat immer eine negative Steigung.

1. Die Ableitung \(f'(-2)\) ist die Steigung der Tangente im Punkt \((-2 \mid 0)\). 2. Ablesen zweier Punkte auf der Tangente: \(A(-2 \mid 0)\) und \(B(-3 \mid 2)\). 3. Berechnung der Steigung: \(m = \frac{2 - 0}{-3 - (-2)} = \frac{2}{-1} = -2\). 4. Ergebnis: \(f'(-2) = -2\).

\(f'(-2) = -2\)

- Nutze das Gitter, um zwei Punkte auf der orangen Geraden zu finden, deren Koordinaten ganzzahlig sind. - Überprüfe dein Ergebnis: Da die Tangente fällt, muss der Wert der Ableitung negativ sein.

1. Die Ableitung \(f'(1)\) ist die Steigung der Tangente im Punkt \((1 \mid 2)\). 2. Ablesen zweier Punkte auf der Tangente: \(P_1(1 \mid 2)\) und \(P_2(2 \mid 0)\). 3. Berechnung der Steigung: \(m = \frac{0 - 2}{2 - 1} = -2\). 4. Ergebnis: \(f'(1) = -2\).

\(f'(1) = -2\)

- Überlege dir, welche Punkte auf dem Graphen zu den gesuchten Zeitpunkten gehören. - Der Differenzenquotient entspricht grafisch der Steigung einer Geraden durch zwei Punkte. Wie nennt man diese Gerade? - Was sagt eine Steigung über die Änderung einer Größe aus, wenn die Zeit auf der waagerechten Achse steht? - Lies zwei gut erkennbare Punkte auf der eingezeichneten Tangente ab und berechne daraus ihre Steigung.

1. Aus dem Graphen lassen sich die Funktionswerte direkt ablesen: \(T(0) = 4\) und \(T(6) = 7{,}6\). Die Temperaturen betragen also \(4\,{^\circ}\text{C}\) (um 6:00 Uhr) und \(7{,}6\,{^\circ}\text{C}\) (um 12:00 Uhr). 2. Einsetzen der Werte in den Differenzenquotienten: \(\frac{7{,}6 - 4}{6 - 0} = \frac{3{,}6}{6} = 0{,}6\). 3. Das Ergebnis \(0{,}6\,{^\circ}\text{C}/\text{h}\) gibt die mittlere (durchschnittliche) Temperaturänderung pro Stunde im Zeitraum von 6:00 Uhr bis 12:00 Uhr an. 4. Die Tangente verläuft beispielsweise durch die Punkte \((2 \mid 6)\) und \((7 \mid 10)\). Ihre Steigung beträgt \(\frac{10 - 6}{7 - 2} = \frac{4}{5} = 0{,}8\). Somit liegt die momentane Erwärmungsrate bei etwa \(0{,}8\,{^\circ}\text{C}/\text{h}\).

1. \(T(0) = 4\,{^\circ}\text{C}\) und \(T(6) = 7{,}6\,{^\circ}\text{C}\); 2. \(0{,}6\); 3. mittlere Erwärmungsrate von \(0{,}6\,{^\circ}\text{C}/\text{h}\) zwischen 6:00 Uhr und 12:00 Uhr; 4. \(T'(2) \approx 0{,}8\,{^\circ}\text{C}/\text{h}\).

- Bestimme jede lokale Änderungsrate aus der jeweils eingezeichneten Tangente, nicht aus der Form des Funktionsgraphen allein. - Wähle zwei gut ablesbare Punkte auf derselben Tangente und berechne deren Steigung. - Das Vorzeichen einer Steigung beschreibt im Kontext, ob die Höhe gerade ab- oder zunimmt.

1. Bei \(t=1\) kann man die Tangentenpunkte \((0{,}5\mid5)\) und \((1{,}5\mid4)\) verwenden; die Steigung ist \(-1\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\). 2. Bei \(t=2\) ist die Tangente waagerecht; die Änderungsrate ist \(0\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\). 3. Bei \(t=3\) kann man die Tangentenpunkte \((2{,}5\mid4)\) und \((3{,}5\mid5)\) verwenden; die Steigung ist \(1\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\). 4. Bei \(t=4\) verläuft die Tangente durch \((3{,}5\mid5)\) und \((4{,}5\mid7)\); die Steigung ist \(2\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\). 5. Negative Werte bedeuten Sinken, \(0\) bedeutet in diesem Moment keine Höhenänderung, positive Werte bedeuten Steigen.

a) \(h'(1)=-1\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\), \(h'(2)=0\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\), \(h'(3)=1\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\), \(h'(4)=2\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\) b) Bei \(t=1\) sinkt der Ballon, bei \(t=2\) ändert sich die Höhe momentan nicht, bei \(t=3\) und \(t=4\) steigt er.

- Welche Funktion beschreibt die Steigung des Graphen an einer Stelle? - Leite die Funktion vollständig ab, bevor du \(x=2\) einsetzt. - Achte beim Einsetzen auf die Reihenfolge von Potenz- und Multiplikationsrechnung.

1. Die Ableitungsfunktion lautet \(g'(x)=3x^2-8x\). 2. Einsetzen von \(x=2\) ergibt \(g'(2)=3\cdot4-16=-4\).

Die Steigung an der Stelle \(x_0=2\) beträgt \(g'(2)=-4\).

- Lies auf jeder gestrichelten Tangente zwei gut erkennbare Gitterpunkte ab und berechne daraus die Steigung. - Wenn eine Kurve ihren höchsten Punkt erreicht, wie groß ist dann dort ihre Steigung? - Überlege, wie man die Änderung der Geschwindigkeit pro Zeiteinheit nennt. - Achte auf das Vorzeichen der Steigung beim Bremsvorgang.

1. Die momentane Änderungsrate entspricht der Tangentensteigung. Die Tangente bei \(t = 0\,\text{s}\) verläuft beispielsweise durch \((0 \mid 0)\) und \((4 \mid 4)\). Daher beträgt ihre Steigung \(\frac{4 - 0}{4 - 0} = 1\,\text{m/s}^2\). 2. Die Tangente bei \(t = 20\,\text{s}\) verläuft beispielsweise durch \((16 \mid 4)\) und \((20 \mid 0)\). Daher beträgt ihre Steigung \(\frac{0 - 4}{20 - 16} = -1\,\text{m/s}^2\). 3. Die Änderungsrate ist null, wenn die Tangente waagerecht verläuft. Dies ist am Scheitelpunkt der Parabel bei \(t = 10\,\text{s}\) der Fall. Hier ist die Geschwindigkeit mit \(5\,\text{m/s}\) maximal. 4. In der Physik wird die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit als Beschleunigung bezeichnet.

a) Bei \(t = 0\,\text{s}\) beträgt die Änderungsrate \(1\,\text{m/s}^2\), bei \(t = 20\,\text{s}\) beträgt sie \(-1\,\text{m/s}^2\). b) Bei \(t = 10\,\text{s}\) ist die Änderungsrate null; dort ist die Geschwindigkeit mit \(5\,\text{m/s}\) maximal. c) Die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit heißt Beschleunigung.

- Die momentane Änderungsrate entspricht der Steigung der eingezeichneten Tangente. - Welche zwei gut ablesbaren Punkte liegen auf der Tangente? - Achte bei der Interpretation auf die Einheit Höhe pro Zeit.

1. Auf der Tangente lassen sich zum Beispiel die Punkte \((0\mid20)\) und \((10\mid45)\) ablesen. 2. Ihre Steigung ist \(\frac{45-20}{10-0}=2{,}5\). 3. Daher gilt \(h'(10)\approx2{,}5\,\text{m/s}\). Zum Zeitpunkt \(10\,\text{s}\) nimmt die Höhe der Drohne momentan um etwa \(2{,}5\,\text{m}\) pro Sekunde zu.

Die momentane Steiggeschwindigkeit beträgt etwa \(2{,}5\,\text{m/s}\); bei \(t=10\,\text{s}\) gewinnt die Drohne momentan etwa \(2{,}5\,\text{m}\) Höhe pro Sekunde.

- Überlege dir, in welcher Beziehung die Steigung einer Tangente zum Wert der Ableitung an dieser Stelle steht. - Lies zwei Punkte auf der Tangente ab, die genau auf Gitterkreuzen liegen. - Berechne aus diesen Punkten den Höhenunterschied und den waagerechten Abstand.

1. Identifikation des Berührpunkts: \(P(2 \mid 4)\). 2. Die Tangente verläuft durch die gut ablesbaren Gitterpunkte \((1 \mid 3)\) und \((2 \mid 4)\). 3. Berechnung der Steigung: \(m = \frac{4 - 3}{2 - 1} = 1\). 4. Da die Steigung der Tangente im Punkt \(x = 2\) dem Wert der Ableitung entspricht, gilt \(f'(2) = 1\).

\(f'(2) = 1\)

- Lies die zweite Spalte von oben nach unten und achte auf die Entwicklung der Werte. - Die momentane Änderungsrate entsteht als Grenzwert von Sekantensteigungen für immer kleinere Intervalle. - Suche die Zahl, der die Tabellenwerte immer näher kommen.

1. Je kleiner \(h\) wird, desto näher liegen die Sekantensteigungen bei \(4\): \(4{,}5\), \(4{,}25\), \(4{,}05\), \(4{,}005\). 2. Die Werte nähern sich von oben der Zahl \(4\). 3. Daher ist die momentane Änderungsrate bei \(x=3\) näherungsweise \(4\); tatsächlich gilt \(f'(3)=4\).

\(f'(3)\approx4\). Die Sekantensteigungen nähern sich für kleiner werdendes \(h\) der Zahl \(4\).

- Bestimme zuerst die y-Koordinaten der vier Punkte mit \(f(x)=x^2\). - Berechne jede Sekantensteigung mit demselben festen Punkt \(P\). - Betrachte anschließend, wohin sich die Steigungswerte entwickeln, wenn der zweite Punkt näher an \(P\) rückt.

1. Es gilt \(P(1\mid1)\), \(A(3\mid9)\), \(B(2\mid4)\), \(C(1{,}5\mid2{,}25)\) und \(D(1{,}25\mid1{,}5625)\). 2. Die Sekantensteigungen sind \(\frac{9-1}{3-1}=4\), \(\frac{4-1}{2-1}=3\), \(\frac{2{,}25-1}{1{,}5-1}=2{,}5\) und \(\frac{1{,}5625-1}{1{,}25-1}=2{,}25\). 3. Je näher der zweite Punkt an \(P\) rückt, desto näher kommt die Sekantensteigung der Zahl \(2\). Daher schätzt man \(f'(1)\approx2\).

Sekantensteigungen: \(4\), \(3\), \(2{,}5\), \(2{,}25\). Daraus folgt \(f'(1)\approx2\).

- Bestimme zuerst den festen Funktionswert \(f(2)\). - Jede Tabellenzeile liefert eine mittlere Änderungsrate zwischen \(2\) und \(2+h\). - Vergleiche die Werte für kleine positive und kleine negative \(h\): Auf welchen gemeinsamen Wert laufen sie zu?

1. Es ist \(f(2)=4\). Für \(h=-1\) ergibt sich \(\frac{1-4}{-1}=3\). 2. Für \(h=-0{,}5\) ergibt sich \(\frac{2{,}25-4}{-0{,}5}=3{,}5\). 3. Für \(h=-0{,}1\) ergibt sich \(\frac{3{,}61-4}{-0{,}1}=3{,}9\). 4. Für \(h=0{,}1\) ergibt sich \(\frac{4{,}41-4}{0{,}1}=4{,}1\); für \(h=0{,}5\) ergibt sich \(\frac{6{,}25-4}{0{,}5}=4{,}5\). 5. Von links und rechts nähern sich die Werte \(4\). Daher gilt \(f'(2)=4\).

a) \(3\), \(3{,}5\), \(3{,}9\), \(4{,}1\), \(4{,}5\). b) Die Differenzenquotienten nähern sich \(4\); also ist \(f'(2)=4\).

- Für die mittlere Geschwindigkeit brauchst du die Wegänderung zwischen den beiden Intervallenden. - Die momentane Geschwindigkeit liest du als Steigung der eingezeichneten Tangente ab. - Vergleiche die beiden Bedeutungen, bevor du die Aussage bewertest.

1. Aus dem Graphen liest man \(s(0)=0\,\text{m}\) und \(s(4)=16\,\text{m}\) ab. Die mittlere Geschwindigkeit ist \(\frac{16-0}{4-0}=4\,\text{m/s}\). 2. Die Tangente verläuft durch die gut ablesbaren Punkte \((2\mid3)\) und \((4\mid15)\). Ihre Steigung ist \(\frac{15-3}{4-2}=6\). Daher beträgt die momentane Geschwindigkeit bei \(t=3\,\text{s}\) \(6\,\text{m/s}\). 3. Die Aussage ist falsch. Eine mittlere Geschwindigkeit über ein Intervall und die momentane Geschwindigkeit an einer einzelnen Stelle können verschieden sein; hier sind es \(4\,\text{m/s}\) und \(6\,\text{m/s}\).

a) \(4\,\text{m/s}\). b) \(6\,\text{m/s}\). c) Die Aussage ist falsch; mittlere und momentane Geschwindigkeit beschreiben unterschiedliche Größen und sind hier nicht gleich.

- Welche Form hat der Differenzenquotient an einer festen Stelle \(x_0\)? - Vereinfache den Zähler so, dass sich der Faktor \(h\) erkennen lässt. - Der Differentialquotient entsteht erst durch den Grenzübergang \(h\to0\).

1. Es gilt \(f(-2)=-10\). 2. Für \(h\ne0\) lautet der Differenzenquotient \(\frac{f(-2+h)-f(-2)}{h}=\frac{-0{,}5(-2+h)^2+4(-2+h)+10}{h}\). 3. Der Zähler vereinfacht sich zu \(6h-0{,}5h^2\). 4. Damit ist der Differenzenquotient \(6-0{,}5h\). 5. Der Grenzwert dieses Differenzenquotienten ist der Differentialquotient: \(f'(-2)=\lim_{h\to0}(6-0{,}5h)=6\).

Die Tangentensteigung beträgt \(f'(-2)=6\).

- Stelle zuerst den Differenzenquotienten an \(x_0=3\) auf. - Vereinfache den Zähler und kürze erst, wenn ein Faktor \(h\) sichtbar ist. - Welcher Grenzwert des Differenzenquotienten beschreibt die momentane Änderungsrate?

1. Es gilt \(f(3)=7\). 2. Für \(h\ne0\) lautet der Differenzenquotient \(\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\frac{2(3+h)^2-4(3+h)+1-7}{h}\). 3. Der Zähler vereinfacht sich zu \(8h+2h^2\), also zum Differenzenquotienten \(8+2h\). 4. Durch den Grenzübergang erhält man den Differentialquotienten \(f'(3)=\lim_{h\to0}(8+2h)=8\).

Die momentane Änderungsrate beträgt \(f'(3)=8\).

- Überlege dir zuerst, welchen Wert die Funktion an der vorgegebenen Stelle annimmt. - Setze den Term \(x_0 + h\) in die Funktionsgleichung ein und achte beim Ausmultiplizieren besonders auf die Vorzeichen und Klammern. - Versuche den Zähler des Differenzenquotienten so weit zu vereinfachen, dass du \(h\) ausklammern und kürzen kannst. - Was passiert mit dem verbleibenden Ausdruck, wenn \(h\) immer kleiner wird und gegen Null geht?

1. Funktionswert an der Stelle \(x_0 = 2\) berechnen: \(f(2) = 2 \cdot 2^2 - 5 \cdot 2 + 1 = 8 - 10 + 1 = -1\). 2. Differenzenquotienten für ein beliebiges \(h \neq 0\) aufstellen: \(\frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \frac{2(2+h)^2 - 5(2+h) + 1 - (-1)}{h}\). 3. Zähler durch Ausmultiplizieren und Zusammenfassen vereinfachen: \(\frac{2(4 + 4h + h^2) - 10 - 5h + 2}{h} = \frac{8 + 8h + 2h^2 - 10 - 5h + 2}{h} = \frac{2h^2 + 3h}{h}\). 4. Den Bruch durch \(h\) kürzen: \(2h + 3\). 5. Grenzwert für \(h \to 0\) bilden: \(\lim_{h \to 0} (2h + 3) = 3\). Somit ist \(f'(2) = 3\).

Die Ableitung an der Stelle \(x_0 = 2\) beträgt \(f'(2) = 3\).

- Die momentane Änderungsrate entspricht genau der Ableitung der Funktion an dieser Stelle. - Nutze die binomischen Formeln, um den Ausdruck im Zähler korrekt auszumultiplizieren. - Vergiss nicht, den Funktionswert \(g(4)\) im Zähler abzuziehen. - Nach dem Kürzen von \(h\) kannst du den Wert bestimmen, dem sich der Ausdruck annähert, wenn \(h\) gegen Null läuft.

1. Funktionswert an der Stelle \(x_0 = 4\) bestimmen: \(g(4) = -0{,}5 \cdot 4^2 + 3 \cdot 4 = -8 + 12 = 4\). 2. Differenzenquotienten aufstellen: \(\frac{g(4+h) - g(4)}{h} = \frac{-0{,}5(4+h)^2 + 3(4+h) - 4}{h}\). 3. Zählerterm vereinfachen: \(\frac{-0{,}5(16 + 8h + h^2) + 12 + 3h - 4}{h} = \frac{-8 - 4h - 0{,}5h^2 + 12 + 3h - 4}{h} = \frac{-0{,}5h^2 - h}{h}\). 4. Durch \(h\) kürzen: \(-0{,}5h - 1\). 5. Grenzwertbetrachtung durchführen: \(\lim_{h \to 0} (-0{,}5h - 1) = -1\). Die momentane Änderungsrate ist somit \(-1\).

Die momentane Änderungsrate an der Stelle \(x_0 = 4\) beträgt \(-1\).

- Aus welchen beiden Einheiten setzt sich die Einheit einer Änderungsrate zusammen? - Welche physikalische Größe beschreibt eine Wegänderung pro Zeit? - Setze für Teil 3 den Zeitpunkt direkt in die gegebene Funktion \(s'\) ein.

1. Da \(s\) in Metern und \(t\) in Sekunden gemessen wird, hat die Änderungsrate die Einheit \(\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 2. \(s'(t)\) beschreibt die momentane Änderung des zurückgelegten Wegs pro Zeit, also die Momentangeschwindigkeit des Fahrzeugs zum Zeitpunkt \(t\). 3. Es gilt \(s'(4)=4+2=6\). Die Momentangeschwindigkeit beträgt daher \(6\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\).

1. \(\frac{\text{m}}{\text{s}}\) 2. \(s'(t)\) ist die Momentangeschwindigkeit des Fahrzeugs. 3. \(s'(4)=6\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\)

- Welcher mathematische Begriff ist gleichbedeutend mit der „momentanen Änderungsrate“? - Bestimme zuerst die allgemeine Ableitungsfunktion \(g'(x)\). - Setze die gegebene Stelle \(x_0\) in deine Ableitungsfunktion ein. - Achte bei der Berechnung auf die Reihenfolge der Rechenoperationen (Potenz vor Multiplikation).

1. Bestimmung der Ableitungsfunktion \(g'(x)\) zur Ermittlung der momentanen Änderungsrate: \(g'(x) = 6x^2 - 18x\) 2. Berechnung des Werts der Ableitung an der Stelle \(x_0 = 4\): \(g'(4) = 6 \cdot 4^2 - 18 \cdot 4 = 96 - 72 = 24\) 3. Da \(24 > 0\) gilt, ist das Vorzeichen der momentanen Änderungsrate positiv.

Das Vorzeichen der momentanen Änderungsrate ist positiv, da \(g'(4) = 24\) ist.

- Was bedeutet \(f'(4)\) im Unterschied zu \(f(4)\)? - Welche geometrische Größe entspricht einem Ableitungswert? - Welcher Begriff bezeichnet den Grenzwert der Differenzenquotienten an einer Stelle? - Welche Bedingung müssen parallele Geraden bezüglich ihrer Steigung erfüllen?

1. Die Bedingung \(f'(4)=-1\) bedeutet, dass die Ableitung und damit die Tangentensteigung bei \(x=4\) den Wert \(-1\) hat. 2. Aussage 1 ist daher direkt äquivalent. 3. Aussage 2 beschreibt den Funktionswert \(f(4)=-1\) und ist nicht äquivalent. 4. Aussage 3 ist wegen der geometrischen Bedeutung der Ableitung äquivalent. 5. Aussage 4 ist äquivalent, weil der Differentialquotient die Ableitung an der Stelle bezeichnet. 6. Aussage 5 ist äquivalent, weil die Gerade \(y=-x+10\) die Steigung \(-1\) besitzt und parallele Geraden dieselbe Steigung haben. 7. Aussage 6 beschreibt den Funktionswert \(f(-1)=4\) und ist nicht äquivalent.

Äquivalent sind 1, 3, 4 und 5: Sie beschreiben jeweils den Ableitungswert beziehungsweise die Tangentensteigung \(-1\) bei \(x=4\). Aussage 5 ist äquivalent, weil die Vergleichsgerade die Steigung \(-1\) hat. Die Aussagen 2 und 6 betreffen dagegen Funktionswerte und nicht die Ableitung.

- Überlege, wie man die Steigung einer Sekante zwischen zwei Punkten berechnet. - Was passiert mit der Sekante, wenn die zwei Punkte immer näher zusammenrücken? - Welche mathematische Operation hilft dir, den Wert eines Ausdrucks zu bestimmen, wenn eine Variable gegen Null geht? - Erinnerst du dich an den Unterschied zwischen einer mittleren und einer punktuellen Änderung?

1. Berechnung der Wegstrecken zu den Zeitpunkten \(t = 1\) und \(t = 3\): \(s(1) = 2 \cdot 1^2 + 5 \cdot 1 = 7\,\text{m}\) und \(s(3) = 2 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3 = 33\,\text{m}\). 2. Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeit als Differenzenquotient: \(\bar{v} = \frac{s(3) - s(1)}{3 - 1} = \frac{33 - 7}{2} = 13\,\text{m/s}\). 3. Aufstellen des Differenzenquotienten für die Momentangeschwindigkeit an der Stelle \(t = 1\): \(\frac{s(1+h) - s(1)}{h} = \frac{2(1+h)^2 + 5(1+h) - 7}{h} = \frac{2(1 + 2h + h^2) + 5 + 5h - 7}{h} = \frac{9h + 2h^2}{h} = 9 + 2h\). 4. Bestimmung des Grenzwerts für \(h \to 0\): \(v(1) = \lim_{h \to 0} (9 + 2h) = 9\,\text{m/s}\).

Die Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt \(13\,\text{m/s}\). Die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t = 1\) beträgt \(9\,\text{m/s}\).

- Setze den Ausdruck \((x_0 + h)\) für jedes \(x\) in die Funktionsgleichung ein. - Nutze die binomischen Formeln, um Klammern im Zähler aufzulösen. - Achte beim Vereinfachen besonders auf die Vorzeichen, wenn ein Minus vor der Klammer steht. - Nach dem Vereinfachen sollte sich \(h\) im Nenner wegkürzen lassen.

1. Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x_0 = 2\): \(f(2) = -(2)^2 + 6 \cdot 2 = -4 + 12 = 8\). 2. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \frac{-(2+h)^2 + 6(2+h) - 8}{h}\). 3. Vereinfachung des Zählers: \(-(4 + 4h + h^2) + 12 + 6h - 8 = -4 - 4h - h^2 + 12 + 6h - 8 = 2h - h^2\). 4. Kürzen durch \(h\): \(\frac{2h - h^2}{h} = 2 - h\). 5. Grenzwertbildung für \(h \to 0\): \(f'(2) = \lim_{h \to 0} (2 - h) = 2\).

a) Der vereinfachte Differenzenquotient lautet \(2 - h\). b) Die momentane Änderungsrate an der Stelle \(x_0 = 2\) beträgt \(2\).

- Setze den Term für \(3+h\) in die Funktionsgleichung ein und verwende die binomische Formel. - Was passiert mit dem Term, wenn \(h\) gegen null geht? - Überlege dir, wie man von einer Sekante zu einer Tangente gelangt.

1. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{s(3+h) - s(3)}{h} = \frac{0{,}8(3+h)^2 - 0{,}8 \cdot 3^2}{h}\). Vereinfachung: \(\frac{0{,}8(9 + 6h + h^2) - 7{,}2}{h} = \frac{7{,}2 + 4{,}8h + 0{,}8h^2 - 7{,}2}{h} = \frac{4{,}8h + 0{,}8h^2}{h} = 4{,}8 + 0{,}8h\). 2. Grenzwertbildung: \(\lim_{h \to 0} (4{,}8 + 0{,}8h) = 4{,}8\). Die Momentangeschwindigkeit beträgt \(4{,}8\,\text{m/s}\). 3. Die lokale Änderungsrate (Ableitung) an einer Stelle \(t_0\) ist definiert als der Grenzwert der mittleren Änderungsrate (Differenzenquotient) über einem Intervall \([t_0; t_0+h]\), wenn die Intervallbreite \(h\) gegen Null geht.

1. Der vereinfachte Differenzenquotient lautet \(4{,}8 + 0{,}8h\). 2. Die lokale Änderungsrate zum Zeitpunkt \(t = 3\) beträgt \(4{,}8\,\text{m/s}\). 3. Die lokale Änderungsrate ist der Grenzwert der mittleren Änderungsrate für eine gegen Null gehende Intervallbreite.

- Welche physikalische Größe beschreibt die Änderung des zurückgelegten Wegs pro Zeit? - Welche Einheit muss daher \(s'(t)\) besitzen? - Setze für jede Rechnung den Winkel und \(t=2\) in die gegebene Änderungsratenfunktion ein. - Achte beim Taschenrechner auf das Gradmaß.

1. \(s'(t)\) beschreibt die Momentangeschwindigkeit des Schlittens zum Zeitpunkt \(t\) in \(\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 2. Für \(\beta=30^\circ\) und \(t=2\,\text{s}\) gilt \(s'(2)=9{,}8\cos(30^\circ)\cdot2\approx16{,}97\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 3. Für \(\beta=50^\circ\) und \(t=2\,\text{s}\) gilt \(s'(2)=9{,}8\cos(50^\circ)\cdot2\approx12{,}60\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\).

\(s'(t)\) ist die Momentangeschwindigkeit des Schlittens. Für \(\beta=30^\circ\): \(s'(2)\approx16{,}97\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) Für \(\beta=50^\circ\): \(s'(2)\approx12{,}60\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\)

- Welche Größe beschreibt eine Änderung der Fläche pro Zeit? - Welche Einheit folgt aus Quadratmetern geteilt durch Stunden? - Setze die beiden Windgeschwindigkeiten getrennt in die gegebene Funktion \(A'\) ein. - Runde nur das nicht ganzzahlige Ergebnis.

1. \(A'(t)\) beschreibt, wie viele Quadratmeter Fläche der Ölfleck zum Zeitpunkt \(t\) momentan pro Stunde gewinnt. Die Einheit ist \(\frac{\text{m}^2}{\text{h}}\). 2. Für \(v=10\) und \(t=3\) gilt \(A'(3)=3\sqrt{10}\approx9{,}49\,\frac{\text{m}^2}{\text{h}}\). 3. Für \(v=25\) und \(t=3\) gilt \(A'(3)=3\sqrt{25}=15\,\frac{\text{m}^2}{\text{h}}\).

\(A'(t)\) ist die momentane Flächenwachstumsrate in \(\frac{\text{m}^2}{\text{h}}\). Bei \(v=10\,\frac{\text{km}}{\text{h}}\): \(A'(3)\approx9{,}49\,\frac{\text{m}^2}{\text{h}}\) Bei \(v=25\,\frac{\text{km}}{\text{h}}\): \(A'(3)=15\,\frac{\text{m}^2}{\text{h}}\)

- Wie hängen die Position und die Geschwindigkeit mathematisch zusammen? - Welche Eigenschaft hat die Geschwindigkeit an dem Punkt, an dem die Rakete umkehrt? - Was bedeutet „auf dem Boden aufschlagen“ für den Wert der Höhenfunktion? - Überlege dir, ob eine negative Geschwindigkeit beim Aufprall physikalisch sinnvoll ist.

1. Die momentane Geschwindigkeit ist die erste Ableitung der Höhenfunktion: \(v(t) = h'(t) = -10t + 30\). 2. Am höchsten Punkt ist die Geschwindigkeit Null: \(-10t + 30 = 0 \implies t = 3\,\text{s}\). Die maximale Höhe beträgt \(h(3) = -5 \cdot 3^2 + 30 \cdot 3 + 0{,}5 = -45 + 90 + 0{,}5 = 45{,}5\,\text{m}\). 3. Die Rakete schlägt auf dem Boden auf, wenn \(h(t) = 0\). Die Lösung der quadratischen Gleichung \(-5t^2 + 30t + 0{,}5 = 0\) ergibt (für \(t > 0\)) \(t \approx 6{,}017\,\text{s}\). Die Aufprallgeschwindigkeit berechnet sich durch Einsetzen in \(v(t)\): \(v(6{,}017) = -10 \cdot 6{,}017 + 30 \approx -30{,}17\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\).

a) \(v(t) = -10t + 30\) b) Zeitpunkt: \(3\,\text{s}\); maximale Höhe: \(45{,}5\,\text{m}\) c) Die Aufprallgeschwindigkeit beträgt ca. \(30{,}17\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) (nach unten gerichtet).

- Für a) brauchst du zwei Höhenwerte und den Differenzenquotienten über das gesamte Intervall. - Für b) liefert die gegebene Funktion \(v\) die momentane Geschwindigkeit direkt. - Was bedeutet das Vorzeichen einer vertikalen Geschwindigkeit? - Löse für c) die Gleichung, in der die gegebene Geschwindigkeitsfunktion den Wert \(2\) annimmt.

1. Es gilt \(s(0)=4\) und \(s(2)=4\). Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist daher \(\frac{s(2)-s(0)}{2-0}=0\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 2. Die momentane Geschwindigkeit ist \(v(1{,}5)=-10\cdot1{,}5+10=-5\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). Das negative Vorzeichen bedeutet Bewegung nach unten. 3. Aus \(-10t+10=2\) folgt \(t=0{,}8\,\text{s}\). Da \(v=2\,\frac{\text{m}}{\text{s}}>0\) ist, steigt der Ball in diesem Moment.

a) \(0\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) b) \(-5\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\); der Ball fällt. c) \(t=0{,}8\,\text{s}\); der Ball steigt.

- Überlege, wie man von einer Weg-Zeit-Funktion zur Funktion der Geschwindigkeit gelangt. - Was bedeutet die Steigung der Tangente an einem Punkt des Graphen physikalisch? - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, die Änderungsrate zu einem exakten Zeitpunkt zu bestimmen? - Wie kannst du eine Gleichung nutzen, um einen gesuchten Wert für die unabhängige Variable zu finden?

1. Berechnung der Position zum Zeitpunkt \(t = 2{,}5\): Einsetzen des Wertes in die Funktionsgleichung ergibt \(s(2{,}5) = 0{,}4 \cdot 2{,}5^3 = 6{,}25\,\text{m}\). 2. Bestimmung der Ableitungsfunktion für die Geschwindigkeit: \(v(t) = s'(t) = 1{,}2t^2\). 3. Berechnung der Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t = 2{,}5\): Einsetzen in die Ableitungsfunktion ergibt \(v(2{,}5) = 1{,}2 \cdot 2{,}5^2 = 7{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 4. Bestimmung des Zeitpunkts für eine vorgegebene Geschwindigkeit: Gleichung \(v(t) = 30\) aufstellen, also \(1{,}2t^2 = 30\). 5. Lösen der Gleichung: \(t^2 = 25\), woraus sich für den relevanten Zeitbereich \(t = 5\,\text{s}\) ergibt.

a) Die Position beträgt \(6{,}25\,\text{m}\) und die Momentangeschwindigkeit \(7{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). b) Die Geschwindigkeit beträgt nach genau \(5\,\text{s}\) den Wert \(30\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\).

- Was gibt der Funktionswert an einer bestimmten Stelle im Sachkontext an? - Welcher mathematische Begriff beschreibt die momentane Änderungsrate einer Größe? - Wie berechnet man die Ableitung einer Potenzfunktion? - Wenn eine Rate gegeben ist und die Zeit gesucht wird, welche Art von Gleichung musst du dann lösen?

1. Berechnung der Fläche nach \(4\,\text{Stunden}\): Einsetzen von \(t = 4\) in \(A(t)\) ergibt \(A(4) = 0{,}5 \cdot 4^3 + 10 = 42\,\text{mm}^2\). 2. Ermittlung der Ableitungsfunktion für die Wachstumsrate: \(A'(t) = 1{,}5t^2\). 3. Berechnung der Wachstumsrate zum Zeitpunkt \(t = 4\): Einsetzen in die Ableitungsfunktion ergibt \(A'(4) = 1{,}5 \cdot 4^2 = 24\,\frac{\text{mm}^2}{\text{h}}\). 4. Berechnung des gesuchten Zeitpunkts: Ansatz \(A'(t) = 54\), was zu \(1{,}5t^2 = 54\) führt. 5. Auflösen der Gleichung: Division durch \(1{,}5\) ergibt \(t^2 = 36\). Da \(t \ge 0\) sein muss, folgt \(t = 6\,\text{h}\).

a) Die Fläche beträgt \(42\,\text{mm}^2\) und die Wachstumsrate \(24\,\frac{\text{mm}^2}{\text{h}}\). b) Die Wachstumsrate erreicht nach \(6\,\text{Stunden}\) den Wert \(54\,\frac{\text{mm}^2}{\text{h}}\).

- Überlege zuerst, wie du den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse berechnest. - Wie findet man die Stellen, an denen der Graph die \(x\)-Achse berührt oder schneidet? - Welches Verfahren hilft dir, die Steigung an einer bestimmten Stelle zu berechnen? - Vergiss nicht, alle gefundenen \(x\)-Werte in die Ableitungsfunktion einzusetzen.

1. Berechnung der Ableitungsfunktion mit der Potenz-, Faktor- und Summenregel: \(f'(x) = 4x^3 - 15x^2 + 8x\). 2. Bestimmung des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse durch Einsetzen von \(x=0\): \(f(0) = 0^4 - 5 \cdot 0^3 + 4 \cdot 0^2 = 0\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid 0)\). 3. Bestimmung der Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse durch Lösen von \(f(x) = 0\): Aus \(x^2(x^2 - 5x + 4) = 0\) folgen die Nullstellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 4\). Die Punkte sind \(N_1(0 \mid 0)\), \(N_2(1 \mid 0)\) und \(N_3(4 \mid 0)\). 4. Berechnung der Steigungen durch Einsetzen der \(x\)-Werte in \(f'(x)\): \(f'(0) = 4 \cdot 0^3 - 15 \cdot 0^2 + 8 \cdot 0 = 0\) \(f'(1) = 4 \cdot 1^3 - 15 \cdot 1^2 + 8 \cdot 1 = -3\) \(f'(4) = 4 \cdot 4^3 - 15 \cdot 4^2 + 8 \cdot 4 = 256 - 240 + 32 = 48\)

In den Schnittpunkten mit den Achsen ergeben sich folgende Steigungen: An der Stelle \(x = 0\) (Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse und zugleich Nullstelle) ist die Steigung \(0\). An der Nullstelle \(x = 1\) ist die Steigung \(-3\). An der Nullstelle \(x = 4\) ist die Steigung \(48\).

- Beginne damit, die \(x\)-Koordinaten aller Schnittpunkte mit beiden Achsen zu bestimmen. - Welche Regel wendest du an, um die Steigungsfunktion zu erhalten? - Achte bei der Berechnung der Nullstellen auf die Vorzeichen. - Setze die gefundenen Stellen nacheinander in die Ableitung ein.

1. Bildung der Ableitungsfunktion: \(g'(x) = x - 2\). 2. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: Einsetzen von \(x=0\) ergibt \(g(0) = -6\). Die Steigung an dieser Stelle ist \(g'(0) = 0 - 2 = -2\). 3. Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: Lösen der quadratischen Gleichung \(0{,}5x^2 - 2x - 6 = 0\). Multiplikation mit \(2\) führt zu \(x^2 - 4x - 12 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 6\) und \(x_2 = -2\). 4. Steigungen an den Nullstellen: Einsetzen in \(g'(x)\) ergibt \(g'(6) = 6 - 2 = 4\) und \(g'(-2) = -2 - 2 = -4\).

Am Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse \((0 \mid -6)\) beträgt die Steigung \(-2\). An den Schnittpunkten mit der \(x\)-Achse beträgt die Steigung \(4\) (bei \(x = 6\)) bzw. \(-4\) (bei \(x = -2\)).

- Was weißt du über die Steigungen von zwei Geraden, die parallel zueinander verlaufen? - Welcher Teil der Geradengleichung gibt die Steigung an? - Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle entspricht der Steigung der Tangente an dieser Stelle. - Nach dem Ableiten und Gleichsetzen erhältst du eine quadratische Gleichung. Welche Lösungsverfahren kennst du dafür?

1. Bestimmung der Steigung der gegebenen Geraden aus der Form \(y = mx + b\): \(m = 8\). 2. Bildung der Ableitungsfunktion \(f'\) von \(f\): \(f'(x) = x^2 + x - 4\). 3. Da parallele Geraden die gleiche Steigung haben, muss \(f'(x) = 8\) gelten. 4. Aufstellen und Lösen der quadratischen Gleichung: \(x^2 + x - 4 = 8 \Leftrightarrow x^2 + x - 12 = 0\). 5. Anwendung der \(pq\)-Formel oder Faktorisierung \((x+4)(x-3) = 0\) ergibt die Stellen \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -4\).

\(x_1 = 3\) und \(x_2 = -4\)

- Was gibt die erste Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle an? - Wie kannst du eine Gleichung aufstellen, wenn nach einer ganz bestimmten Steigung gefragt ist? - Was bedeutet es für die Ableitungsfunktionen, wenn zwei Graphen an derselben Stelle dieselbe Steigung haben sollen? - Kannst du die Bedingung für gleiche Steigungen als eine neue Gleichung schreiben und nach \(x\) auflösen?

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = 2x - 4\) und \(g'(x) = x^2 - 4x + 1\). 2. Bedingung für a): \(f'(x) = 6 \implies 2x - 4 = 6 \implies 2x = 10 \implies x = 5\). Die gesuchte Stelle ist \(x = 5\). 3. Überprüfung für b): \(g'(5) = 5^2 - 4 \cdot 5 + 1 = 25 - 20 + 1 = 6\). Da \(f'(5) = 6\) und \(g'(5) = 6\), haben beide Graphen an der Stelle \(x = 5\) dieselbe Steigung. 4. Bedingung für c): Gleichsetzen der Ableitungen \(f'(x) = g'(x) \implies 2x - 4 = x^2 - 4x + 1\). 5. Gleichung lösen: \(x^2 - 6x + 5 = 0\). Mit der Mitternachtsformel oder dem Satz von Vieta ergeben sich die Lösungen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\). Die weitere Stelle ist somit \(x = 1\).

a) \(x = 5\) b) Ja, an der Stelle \(x = 5\) haben beide Graphen die Steigung \(m = 6\). c) Eine weitere Stelle ist \(x = 1\).

- Welchen Wert hat die Steigung einer Geraden, die parallel zur \(x\)-Achse verläuft? - Wie findet man die \(y\)-Koordinate eines Punktes, wenn die \(x\)-Koordinate bekannt ist? - Wenn zwei Funktionen dieselbe Steigung haben, was lässt sich dann über ihre Ableitungen sagen? - Erinnere dich an Verfahren wie die p-q-Formel, um quadratische Gleichungen zu lösen.

1. Ableitungen bestimmen: \(h'(x) = 3x^2 - 12x + 9\) und \(k'(x) = -3x + 3\). 2. Bedingung für a): Eine waagrechte Tangente hat die Steigung \(0\), also \(h'(x) = 0\). 3. Quadratische Gleichung lösen: \(3x^2 - 12x + 9 = 0 \implies x^2 - 4x + 3 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). 4. Punkte bestimmen: \(h(1) = 1^3 - 6 \cdot 1^2 + 9 \cdot 1 + 2 = 6\) und \(h(3) = 3^3 - 6 \cdot 3^2 + 9 \cdot 3 + 2 = 2\). Die Punkte sind \(P_1(1 \mid 6)\) und \(P_2(3 \mid 2)\). 5. Bedingung für b): \(h'(x) = k'(x) \implies 3x^2 - 12x + 9 = -3x + 3\). 6. Gleichung lösen: \(3x^2 - 9x + 6 = 0 \implies x^2 - 3x + 2 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 2\).

a) Die Punkte sind \(P_1(1 \mid 6)\) und \(P_2(3 \mid 2)\). b) Die Stellen sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 2\).

- Stelle für jede Funktion zunächst den Differenzenquotienten \(\frac{F(x+h)-F(x)}{h}\) auf. - Welche Terme bleiben nach dem Teilen durch \(h\) übrig, wenn \(h\) gegen 0 geht? - Welche geometrischen Größen beschreiben \(x^2\) und \(x^3\)? - Welche dünnen Flächen- beziehungsweise Volumenteile entstehen bei einer sehr kleinen Vergrößerung von \(x\)?

1. Für \(A\) gilt \(\frac{A(x+h)-A(x)}{h}=\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=2x+h\). Für \(h\to0\) folgt \(A'(x)=2x\). 2. Für \(V\) gilt \(\frac{V(x+h)-V(x)}{h}=\frac{(x+h)^3-x^3}{h}=3x^2+3xh+h^2\). Für \(h\to0\) folgt \(V'(x)=3x^2\). 3. \(A(x)\) ist der Flächeninhalt eines Quadrats mit Seitenlänge \(x\). Bei einer kleinen Verlängerung um \(h\) liefert der Term \(2xh\) den führenden Flächenzuwachs; deshalb beschreibt \(A'(x)=2x\) die momentane Flächenänderung pro Längenänderung. 4. \(V(x)\) ist das Volumen eines Würfels mit Kantenlänge \(x\). Bei einer kleinen Verlängerung um \(h\) liefern die drei dünnen Seitenschichten zusammen den führenden Zuwachs \(3x^2h\); deshalb beschreibt \(V'(x)=3x^2\) die momentane Volumenänderung pro Längenänderung.

1. \(A'(x)=2x\) und \(V'(x)=3x^2\) 2. \(A'\) beschreibt die momentane Änderung des Quadratflächeninhalts bezüglich der Seitenlänge; \(V'\) die momentane Änderung des Würfelvolumens bezüglich der Kantenlänge.

- Welche Buchstaben sind hier Variablen und welche sind Konstanten? - Erkennst du die Formel \(2\pi r\) aus der Kreisgeometrie wieder? - Wie verändert sich die Mantelfläche eines Zylinders, wenn man ihn einfach „höher“ macht? - Was passiert mit der Oberfläche einer Kugel, wenn man sie wie eine Zwiebel um eine extrem dünne Schicht vergrößert?

1. Für \(M(h) = 2\pi rh\) lautet die Ableitung nach \(h\): \(M'(h) = 2\pi r\). Geometrisch stellt \(M(h)\) die Mantelfläche des Zylinders dar. Die Ableitung \(2\pi r\) entspricht dem Umfang der Grundfläche des Zylinders. Sie gibt an, um wie viel die Mantelfläche wächst, wenn die Höhe um eine Einheit zunimmt. 2. Für \(O(r) = 4\pi r^2\) lautet die Ableitung nach \(r\): \(O'(r) = 8\pi r\). Geometrisch stellt \(O(r)\) die Oberfläche der Kugel dar. Die Ableitung \(8\pi r\) ist die momentane Änderungsrate des Oberflächeninhalts bezüglich des Radius (entspricht dem Vierfachen des Umfangs eines Großkreises).

a) \(M'(h) = 2\pi r\); Bedeutung: Umfang der Grundfläche des Zylinders. b) \(O'(r) = 8\pi r\); Bedeutung: Momentane Änderungsrate des Oberflächeninhalts der Kugel bei Radiusänderung.

- Für a) vergleichst du zwei Höhenwerte über ein Zeitintervall. - Für b) setzt du den Zeitpunkt direkt in die gegebene Funktion \(h'\) ein. - Für c) suchst du die Stellen, an denen \(h'\) den vorgegebenen Wert annimmt. - Berücksichtige nur Lösungen innerhalb des angegebenen Modellzeitraums.

1. Es gilt \(h(0)=5\) und \(h(5)=17{,}5\). Damit ist die mittlere Wachstumsrate \(\frac{17{,}5-5}{5}=2{,}5\,\frac{\text{cm}}{\text{Tag}}\). 2. Für \(t=10\) ist \(h'(10)=-0{,}06\cdot100+1{,}2\cdot10=6\,\frac{\text{cm}}{\text{Tag}}\). 3. Für c) löst man \(-0{,}06t^2+1{,}2t=4{,}5\). Dies ist äquivalent zu \(t^2-20t+75=0\), also \((t-5)(t-15)=0\). 4. Im Modellzeitraum ergeben sich \(t=5\) und \(t=15\).

a) \(2{,}5\,\frac{\text{cm}}{\text{Tag}}\) b) \(6\,\frac{\text{cm}}{\text{Tag}}\) c) Nach \(5\) Tagen und nach \(15\) Tagen.

- Wie wirkt sich der Parameter beim Ableiten aus? - Kannst du eine allgemeine Formel für die Steigung in Abhängigkeit von \(k\) aufstellen? - Welche Gleichung ergibt sich, wenn du die Information über die Änderungsrate an der Stelle 3 nutzt?

1. Ableiten der Funktionsschar \(h_k\) nach \(x\), wobei \(k\) als Konstante behandelt wird: \(h_k'(x) = 3x^2 - 2kx\). 2. Aufstellen der Bedingungsgleichung für die lokale Änderungsrate an der Stelle \(x = 3\): \(h_k'(3) = 15\). 3. Einsetzen der Stelle in die Ableitung: \(3 \cdot 3^2 - 2k \cdot 3 = 15\), was zu \(27 - 6k = 15\) führt. 4. Lösen der linearen Gleichung nach \(k\): \(-6k = -12\), woraus \(k = 2\) folgt.

Der Parameterwert ist \(k = 2\).

- Wie berechnet man den Wert einer Größe zu einem bestimmten Zeitpunkt, wenn die Funktion die Gesamtsumme angibt? - Erinnere dich an den Unterschied zwischen der durchschnittlichen Steigung in einem Intervall und der Steigung in einem Punkt. - Welcher mathematische Fachbegriff beschreibt die „Steigung der Steigung“ und wo findet man die steilste Stelle einer Kurve? - Überlege, welche Ableitung die Änderungsrate einer Funktion darstellt.

1. Berechnung der Gesamtmenge zum Zeitpunkt \(t = 20\): \(G(20) = -0{,}05 \cdot 20^3 + 1{,}5 \cdot 20^2 + 10 \cdot 20 = -400 + 600 + 200 = 400\). In den ersten \(20\) Stunden wurden insgesamt \(400\,\text{m}^3\) Gas produziert. 2. Berechnung der durchschnittlichen Änderungsrate im Intervall \([4; 12]\) mithilfe des Differenzenquotienten: \(G(12) = -0{,}05 \cdot 12^3 + 1{,}5 \cdot 12^2 + 10 \cdot 12 = 249{,}6\) und \(G(4) = -0{,}05 \cdot 4^3 + 1{,}5 \cdot 4^2 + 10 \cdot 4 = 60{,}8\). Die mittlere Rate beträgt \(\frac{G(12) - G(4)}{12 - 4} = \frac{249{,}6 - 60{,}8}{8} = \frac{188{,}8}{8} = 23{,}6\). Die durchschnittliche Produktionsrate liegt bei \(23{,}6\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\). 3. Die momentane Produktionsrate wird durch die erste Ableitung \(G'(t) = -0{,}15t^2 + 3t + 10\) beschrieben. Ihr Maximum liegt an der Wendestelle von \(G\). Bestimmung der zweiten Ableitung: \(G''(t) = -0{,}3t + 3\). Nullsetzen der zweiten Ableitung: \(-0{,}3t + 3 = 0 \Rightarrow t = 10\). Überprüfung mit der dritten Ableitung: \(G'''(t) = -0{,}3\). Da \(G'''(10) < 0\), liegt an der Stelle \(t = 10\) ein Maximum der Steigung vor. Die Produktionsrate ist nach \(10\) Stunden am größten.

a) Es wurden insgesamt \(400\,\text{m}^3\) Gas produziert. b) Die durchschnittliche Produktionsrate beträgt \(23{,}6\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\). c) Die momentane Produktionsrate ist zum Zeitpunkt \(t = 10\,\text{h}\) am größten.

- Für a) brauchst du den Differenzenquotienten der Wegfunktion auf dem angegebenen Intervall. - Für b) liefert \(s'\) die Geschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt. - Welche Gleichung entsteht, wenn die Momentangeschwindigkeit den Wert \(12\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) haben soll?

1. Es gilt \(s(1)=6\) und \(s(4)=36\). 2. Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist \(\frac{36-6}{4-1}=10\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 3. Für b) löst man \(2t+5=12\). 4. Daraus folgt \(t=3{,}5\,\text{s}\).

a) \(10\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) b) \(t=3{,}5\,\text{s}\)

- Erinnere dich an die binomischen Formeln, um die Ausdrücke im Zähler zu vereinfachen. - Überlege, was passiert, wenn man in einem Bruch den Nenner Null werden lässt. - Wie unterscheiden sich die beiden Intervalle in ihrer Beschreibung der Annäherung an den Punkt? - Achte darauf, den Faktor 2 bei der Quadrierung korrekt zu berücksichtigen.

1. Der Differenzenquotient nach der \(h\)-Methode lautet: \(\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{2(1+h)^2 - 2 \cdot 1^2}{h} = \frac{2(1 + 2h + h^2) - 2}{h} = \frac{2 + 4h + 2h^2 - 2}{h} = \frac{4h + 2h^2}{h} = 4 + 2h\). Der Grenzwert für \(h \to 0\) ergibt \(f'(1) = 4\). 2. Der Differenzenquotient für \(x \to 1\) lautet: \(\frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \frac{2x^2 - 2}{x - 1} = \frac{2(x^2 - 1)}{x - 1}\). Durch Anwendung der dritten binomischen Formel ergibt sich \(\frac{2(x-1)(x+1)}{x-1} = 2(x+1)\). Der Grenzwert für \(x \to 1\) ergibt \(2(1+1) = 4\). 3. Beide Ansätze führen zum selben Ergebnis \(f'(1) = 4\). Ohne die Grenzwertbetrachtung würde man bei direktem Einsetzen von \(h = 0\) oder \(x = 1\) einen mathematisch nicht definierten Ausdruck der Form \(\frac{0}{0}\) erhalten, da eine Division durch Null nicht zulässig ist. Der Grenzwert erlaubt es, das Verhalten der Steigung „unendlich nahe“ an der Stelle zu untersuchen, ohne tatsächlich durch Null zu teilen.

1. \(f'(1) = \lim_{h \to 0} (4 + 2h) = 4\) 2. \(f'(1) = \lim_{x \to 1} 2(x+1) = 4\) 3. Ein direktes Einsetzen von \(h=0\) oder \(x=1\) führt zur Division durch Null (\(\frac{0}{0}\)), was mathematisch nicht definiert ist.

- Überlege dir, welche physikalische Größe durch die erste Ableitung einer Weg-Zeit-Funktion beschrieben wird. - Wie hängen Geschwindigkeit und Beschleunigung mathematisch zusammen? - Setze den gegebenen Zeitwert in die entsprechende Funktionsgleichung ein, um einen Momentanwert zu erhalten. - Wenn ein Wert wie die Beschleunigung vorgegeben ist, musst du die zugehörige Gleichung nach der Zeit lösen.

1. Die Geschwindigkeit \(v(t)\) entspricht der ersten Ableitung der Weg-Zeit-Funktion: \(v(t) = s'(t) = 1{,}5t^2 - 6t + 10\). Die Beschleunigung \(a(t)\) entspricht der zweiten Ableitung der Weg-Zeit-Funktion bzw. der ersten Ableitung der Geschwindigkeit: \(a(t) = v'(t) = s''(t) = 3t - 6\). 2. Einsetzen von \(t = 2\) in die Geschwindigkeitsfunktion: \(v(2) = 1{,}5 \cdot 2^2 - 6 \cdot 2 + 10 = 6 - 12 + 10 = 4\). Die Geschwindigkeit beträgt \(4\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 3. Nullstellen der Beschleunigungsfunktion bestimmen: \(a(t) = 0 \implies 3t - 6 = 0 \implies 3t = 6 \implies t = 2\). Zum Zeitpunkt \(t = 2\,\text{s}\) ist die Beschleunigung \(0\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\).

1. \(v(t) = 1{,}5t^2 - 6t + 10\); \(a(t) = 3t - 6\) 2. \(4\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) 3. \(t = 2\,\text{s}\)

- Wie findet man die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle? - Erinnere dich daran, dass die Momentangeschwindigkeit die Änderungsrate des Weges ist. - Die Beschleunigung gibt an, wie schnell sich die Geschwindigkeit ändert. - Um Zeitpunkte mit gleichen Eigenschaften zu finden, hilft oft das Gleichsetzen von Funktionsausdrücken.

1. Berechnung der Geschwindigkeitsfunktionen durch Ableiten: \(v_1(t) = s_1'(t) = 12t + 2\) und \(v_2(t) = s_2'(t) = 3t^2 + 6t + 5\). Auswertung zum Startzeitpunkt \(t = 0\): \(v_1(0) = 2\,\frac{\text{cm}}{\text{s}}\) und \(v_2(0) = 5\,\frac{\text{cm}}{\text{s}}\). Da \(5 > 2\), hat Auto 2 zum Startzeitpunkt die höhere Geschwindigkeit. 2. Berechnung der Beschleunigungsfunktionen durch erneutes Ableiten: \(a_1(t) = v_1'(t) = 12\) und \(a_2(t) = v_2'(t) = 6t + 6\). Gleichsetzen der Funktionen: \(a_1(t) = a_2(t) \implies 12 = 6t + 6\). Lösen nach \(t\): \(6 = 6t \implies t = 1\). Nach \(1\,\text{s}\) ist die Beschleunigung beider Autos identisch.

1. Auto 2 ist mit \(5\,\frac{\text{cm}}{\text{s}}\) schneller als Auto 1 mit \(2\,\frac{\text{cm}}{\text{s}}\). 2. Zum Zeitpunkt \(t = 1\,\text{s}\).

- Was bedeutet "Wachstumsrate" im Kontext der Ableitung einer Bestandsfunktion? - Wie unterscheidet sich die Berechnung für ein Zeitintervall von der für einen Zeitpunkt? - Wenn du die größte Wachstumsrate suchst, suchst du das Maximum der Steigungsfunktion. Welches Werkzeug nutzt man zur Extremwertbestimmung?

1. Berechnung der mittleren Wachstumsrate im Intervall \([0; 5]\): \(B(0) = 100\) \(B(5) = 100 + 20 \cdot 5^2 - 5^3 = 100 + 500 - 125 = 475\) \(\frac{B(5) - B(0)}{5 - 0} = \frac{475 - 100}{5} = \frac{375}{5} = 75\,\frac{\text{Bakterien}}{\text{h}}\) 2. Berechnung der momentanen Wachstumsrate mittels der ersten Ableitung: \(B'(t) = 40t - 3t^2\) \(B'(5) = 40 \cdot 5 - 3 \cdot 5^2 = 200 - 75 = 125\,\frac{\text{Bakterien}}{\text{h}}\) 3. Bestimmung des Maximums der Wachstumsrate \(B'(t)\): Untersuchung der zweiten Ableitung \(B''(t) = 40 - 6t\). Setze \(B''(t) = 0 \implies 40 - 6t = 0 \implies t = \frac{40}{6} = \frac{20}{3} \approx 6{,}67\). Da \(B'(t) = 40t - 3t^2\) eine nach unten geöffnete Parabel ist, liegt bei \(t = \frac{20}{3}\) das globale Maximum der Wachstumsrate im Modellintervall vor.

a) Die mittlere Wachstumsrate beträgt \(75\,\frac{\text{Bakterien}}{\text{h}}\). b) Die momentane Wachstumsrate beträgt \(125\,\frac{\text{Bakterien}}{\text{h}}\). c) Die momentane Wachstumsrate ist zum Zeitpunkt \(t = \frac{20}{3}\,\text{h} \approx 6{,}67\,\text{h}\) am größten. Dies entspricht dem Maximum der ersten Ableitung (Wendepunkt der Bestandsfunktion).

- Was gibt die erste Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle an? - Welchen Wert muss die Ableitung an den gesuchten Stellen annehmen? - Wie kannst du eine Gleichung lösen, in der die Unbekannte im Quadrat vorkommt? - Hast du alle Lösungen der Gleichung gefunden?

1. Bestimmung der ersten Ableitungsfunktion \(f'\) mittels Potenz- und Summenregel: \(f'(x) = x^2 - 2x - 5\). 2. Gleichsetzen der Ableitung mit der geforderten Steigung: \(x^2 - 2x - 5 = 3\). 3. Umformen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(x^2 - 2x - 8 = 0\). 4. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): \(x_{1,2} = \frac{2}{2} \pm \sqrt{(\frac{2}{2})^2 + 8} = 1 \pm \sqrt{1 + 8} = 1 \pm 3\). 5. Ermittlung der Stellen: \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -2\).

Die Stellen sind \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -2\).

- Setze die beiden Zeitpunkte in die gegebene Änderungsratenfunktion ein. - Was bedeutet das Vorzeichen einer Temperaturänderungsrate? - Welchen Wert muss die momentane Änderungsrate haben, wenn die Temperatur weder steigt noch fällt?

1. Es gilt \(T'(2)=8\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\) und \(T'(8)=-4\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\). 2. Bei \(t=2\) steigt die Temperatur momentan, bei \(t=8\) sinkt sie momentan. 3. Weder Steigen noch Fallen bedeutet \(T'(t)=0\). Aus \(-2t+12=0\) folgt \(t=6\,\text{min}\).

a) \(T'(2)=8\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\) und \(T'(8)=-4\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\) b) Positiv bedeutet momentanes Erwärmen, negativ momentanes Abkühlen. c) \(t=6\,\text{min}\)

- Wie hängen Ort und Geschwindigkeit in der Differentialrechnung zusammen? - Was sagt das Vorzeichen der Geschwindigkeit über die Bewegungsrichtung aus? - Welche Bedingung muss für die Geschwindigkeit gelten, damit ein Objekt als „stillstehend“ betrachtet werden kann?

1. Die Geschwindigkeit \(v(t)\) ist die erste Ableitung der Ortsfunktion \(s(t)\): \(v(t) = s'(t) = t^2 - 8t + 12\). 2. Berechnung der Geschwindigkeit für \(t = 3\): \(v(3) = 3^2 - 8 \cdot 3 + 12 = 9 - 24 + 12 = -3\). Die Geschwindigkeit beträgt \(-3\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). Das negative Vorzeichen gibt an, dass sich das Fahrzeug in Richtung des Startpunkts (rückwärts) bewegt. 3. Stillstand tritt ein, wenn die Geschwindigkeit null ist: \(v(t) = 0 \Rightarrow t^2 - 8t + 12 = 0\). 4. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der pq-Formel): \(t_{1,2} = 4 \pm \sqrt{16 - 12} = 4 \pm 2\). Die Zeitpunkte sind \(t_1 = 2\,\text{s}\) und \(t_2 = 6\,\text{s}\).

a) Die Momentangeschwindigkeit beträgt \(-3\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). Das Fahrzeug bewegt sich rückwärts (bzw. entgegen der positiven Koordinatenrichtung). b) Das Fahrzeug steht nach \(2\,\text{Sekunden}\) und nach \(6\,\text{Sekunden}\) jeweils kurzzeitig still.

- Wie erhältst du aus der Ortsfunktion Geschwindigkeit und Beschleunigung? - Welche notwendige Bedingung gilt für ein Minimum der Geschwindigkeitsfunktion? - Wie kannst du anschließend prüfen, dass der gefundene Zeitpunkt wirklich ein Minimum liefert?

1. Die Geschwindigkeit ist \(v(t)=s'(t)=0{,}6t^2-3t+4\). Daher ist \(v(5)=4\,\text{m}\,\text{s}^{-1}\). 2. Die Beschleunigung ist \(a(t)=v'(t)=1{,}2t-3\). Aus \(a(t)=0\) folgt \(t=2{,}5\,\text{s}\). 3. Da \(v''(t)=1{,}2>0\) gilt, liegt bei \(t=2{,}5\,\text{s}\) tatsächlich ein Minimum der Geschwindigkeit vor. 4. Zu diesem Zeitpunkt ist \(a(2{,}5)=0\,\text{m}\,\text{s}^{-2}\).

a) \(v(5)=4\,\text{m}\,\text{s}^{-1}\). b) Die Geschwindigkeit ist bei \(t=2{,}5\,\text{s}\) minimal; dort gilt \(a=0\,\text{m}\,\text{s}^{-2}\).

- Was muss für die Geschwindigkeit gelten, damit ein Objekt stillsteht? - Welche Information liefert das Vorzeichen der Beschleunigung, wenn die Geschwindigkeit null ist? - Wie findet man die Nullstellen einer quadratischen Funktion? - Überlege dir, wie du von der Wegfunktion zur Beschleunigungsfunktion gelangst.

1. Bestimmung der Ableitungsfunktionen: \(v(t) = s'(t) = \frac{1}{2}t^2 - 4t + 6\) und \(a(t) = v'(t) = t - 4\). 2. Berechnung für \(t = 2\): \(v(2) = \frac{1}{2} \cdot 2^2 - 4 \cdot 2 + 6 = 2 - 8 + 6 = 0\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). Die Beschleunigung ist \(a(2) = 2 - 4 = -2\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\). Da \(v(2) = 0\), befindet sich das Objekt im Momentan-Stillstand (Umkehrpunkt). 3. Ansatz für Stillstand: \(v(t) = 0 \implies \frac{1}{2}t^2 - 4t + 6 = 0\). Multiplikation mit \(2\) ergibt \(t^2 - 8t + 12 = 0\). 4. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der pq-Formel): \(t_{1,2} = 4 \pm \sqrt{16 - 12} = 4 \pm 2\). Die Lösungen sind \(t_1 = 2\) (bekannt) und \(t_2 = 6\). 5. Der gesuchte Zeitpunkt ist \(t = 6\,\text{s}\). Die Beschleunigung dort beträgt \(a(6) = 6 - 4 = 2\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\).

a) Zum Zeitpunkt \(t = 2\,\text{s}\) ist die Geschwindigkeit \(0\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) und die Beschleunigung \(-2\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\). Das Objekt steht momentan still. b) Ein weiterer Stillstand tritt bei \(t = 6\,\text{s}\) auf. Die Beschleunigung beträgt dann \(2\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\).

- Wann ist die Geschwindigkeit eines Objekts gleich Null? - Wie kannst du die Beschleunigung aus der Geschwindigkeitsfunktion herleiten? - Was sagt ein negatives Vorzeichen bei der Beschleunigung über die Änderung der Geschwindigkeit aus? - Stell dir den Graphen der Geschwindigkeitsfunktion vor – was passiert an den Nullstellen mit Vorzeichenwechsel?

1. Bildung der Geschwindigkeitsfunktion: \(v(t) = s'(t) = 3t^2 - 18t + 24\). 2. Stillstand bedeutet \(v(t) = 0\). Lösen der quadratischen Gleichung \(3t^2 - 18t + 24 = 0 \Leftrightarrow t^2 - 6t + 8 = 0\). 3. Anwendung der p-q-Formel oder Faktorisierung ergibt \((t-2)(t-4) = 0\), also \(t_1 = 2\,\text{s}\) und \(t_2 = 4\,\text{s}\). 4. Bildung der Beschleunigungsfunktion: \(a(t) = v'(t) = 6t - 18\). 5. Berechnung der Beschleunigungswerte: \(a(2) = 6 \cdot 2 - 18 = -6\,\text{m}\,\text{s}^{-2}\) und \(a(4) = 6 \cdot 4 - 18 = 6\,\text{m}\,\text{s}^{-2}\). 6. Interpretation: Bei \(t = 2\) ist die Beschleunigung negativ, das Objekt kehrt von einer positiven in eine negative Bewegungsrichtung um. Bei \(t = 4\) ist die Beschleunigung positiv, das Objekt kehrt von einer negativen in eine positive Bewegungsrichtung um.

a) Das Objekt steht bei \(t_1 = 2\,\text{s}\) und \(t_2 = 4\,\text{s}\) momentan still. b) Die Beschleunigung beträgt \(a(2) = -6\,\text{m}\,\text{s}^{-2}\) und \(a(4) = 6\,\text{m}\,\text{s}^{-2}\). c) Bei \(t = 2\,\text{s}\) findet ein Wechsel von positiver zu negativer Geschwindigkeit statt (Bremsvorgang/Umkehr), bei \(t = 4\,\text{s}\) ein Wechsel von negativer zu positiver Geschwindigkeit.

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung in der Differentialrechnung. - Wie rechnet man eine Geschwindigkeit von Metern pro Sekunde in Kilometer pro Stunde um? - Was gibt die Steigung der Tangente an der Stelle \(t\) im Zeit-Weg-Diagramm an?

1. Bildung der ersten Ableitung zur Bestimmung der Geschwindigkeit: \(v(t) = s'(t) = 0{,}015t^2 + 0{,}12t\). 2. Berechnung der Geschwindigkeit bei \(t = 20\,\text{s}\): \(v(20) = 0{,}015 \cdot 20^2 + 0{,}12 \cdot 20 = 0{,}015 \cdot 400 + 2{,}4 = 6 + 2{,}4 = 8{,}4\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 3. Umrechnung der Geschwindigkeit in \(\frac{\text{km}}{\text{h}}\): \(8{,}4 \cdot 3{,}6 = 30{,}24\,\frac{\text{km}}{\text{h}}\). 4. Bildung der zweiten Ableitung zur Bestimmung der Beschleunigung: \(a(t) = s''(t) = 0{,}03t + 0{,}12\). 5. Berechnung der Beschleunigung bei \(t = 20\,\text{s}\): \(a(20) = 0{,}03 \cdot 20 + 0{,}12 = 0{,}6 + 0{,}12 = 0{,}72\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\).

a) Die Geschwindigkeit nach \(20\) Sekunden beträgt \(8{,}4\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\), was \(30{,}24\,\frac{\text{km}}{\text{h}}\) entspricht. b) Die Beschleunigung zum Zeitpunkt \(t = 20\,\text{s}\) beträgt \(0{,}72\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\).

- Überlege, wie die Geschwindigkeit und die Beschleunigung mathematisch mit der Wegfunktion zusammenhängen. - Welche Bedingung muss für die Geschwindigkeiten zum gesuchten Zeitpunkt gelten? - Beachte, dass negative Zeitwerte in diesem physikalischen Kontext meist keine Rolle spielen.

1. Bestimmung der Geschwindigkeitsfunktionen durch die ersten Ableitungen der Wegfunktionen: \(v_1(t) = s_1'(t) = \frac{1}{2}t^2 + 4t + 4\) und \(v_2(t) = s_2'(t) = 2t + 10\). 2. Gleichsetzen der Geschwindigkeiten zur Bestimmung des Zeitpunkts: \(\frac{1}{2}t^2 + 4t + 4 = 2t + 10 \Rightarrow \frac{1}{2}t^2 + 2t - 6 = 0\). 3. Lösen der quadratischen Gleichung \(t^2 + 4t - 12 = 0\) liefert \(t_1 = 2\) und \(t_2 = -6\). Da \(t \ge 0\), ist der relevante Zeitpunkt \(t = 2\,\text{s}\). 4. Bestimmung der Beschleunigungsfunktionen durch die zweiten Ableitungen: \(a_1(t) = v_1'(t) = t + 4\) und \(a_2(t) = v_2'(t) = 2\). 5. Berechnung der Beschleunigungen zum Zeitpunkt \(t = 2\): \(a_1(2) = 2 + 4 = 6\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\) und \(a_2(2) = 2\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\).

Zum Zeitpunkt der gleichen Geschwindigkeit (\(t = 2\,\text{s}\)) beträgt die Beschleunigung des ersten Fahrzeugs \(a_1 = 6\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\) und die des zweiten Fahrzeugs \(a_2 = 2\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\).

- Was gibt die erste Ableitung einer Weg-Zeit-Funktion an, und was die zweite? - Wie kannst du mathematisch ausdrücken, dass eine Eigenschaft zu einem bestimmten Zeitpunkt „gleich“ ist? - Um Geschwindigkeiten zu vergleichen, musst du den zuvor gefundenen Zeitpunkt in die entsprechenden Funktionen einsetzen.

1. Bestimmung der Beschleunigungsfunktionen über die zweiten Ableitungen: Für Objekt A: \(v_A(t) = \frac{1}{4}t^2 + t + 2\) und \(a_A(t) = \frac{1}{2}t + 1\). Für Objekt B: \(v_B(t) = \frac{3}{2}t + 3\) und \(a_B(t) = \frac{3}{2} = 1{,}5\). 2. Gleichsetzen der Beschleunigungen für Teilaufgabe a): \(\frac{1}{2}t + 1 = 1{,}5 \Rightarrow 0{,}5t = 0{,}5 \Rightarrow t = 1\,\text{s}\). 3. Berechnung der Geschwindigkeiten zum Zeitpunkt \(t = 1\) für Teilaufgabe b): \(v_A(1) = \frac{1}{4} \cdot 1^2 + 1 + 2 = 3{,}25\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). \(v_B(1) = \frac{3}{2} \cdot 1 + 3 = 4{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 4. Vergleich: Da \(4{,}5 > 3{,}25\), bewegt sich Objekt B zum fraglichen Zeitpunkt schneller.

a) Die Beschleunigungen sind zum Zeitpunkt \(t = 1\,\text{s}\) gleich. b) Zum Zeitpunkt \(t = 1\,\text{s}\) ist Objekt B mit \(v_B = 4{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) schneller als Objekt A mit \(v_A = 3{,}25\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\).

- Wie kannst du \(V(4+h)\) aus der gegebenen Funktionsgleichung bestimmen? - Welche Terme bleiben nach dem Kürzen noch von \(h\) abhängig? - Welche Einheit hat eine Volumenänderung pro Minute?

1. Es gilt \(V(4)=40\) und \(V(4+h)=0{,}5(4+h)^3+2(4+h)=40+26h+6h^2+0{,}5h^3\). 2. Damit ist \(\frac{V(4+h)-V(4)}{h}=\frac{26h+6h^2+0{,}5h^3}{h}=26+6h+0{,}5h^2\). 3. Für \(h\to0\) folgt \(\lim_{h\to0}(26+6h+0{,}5h^2)=26\). Die momentane Zuflussrate beträgt \(26\,\text{L/min}\). 4. Der Wert gibt an, wie schnell das Wasservolumen genau nach 4 Minuten zunimmt. Geometrisch ist er die Tangentensteigung am Graphen von \(V\) bei \(t=4\).

a) \(26+6h+0{,}5h^2\) b) \(26\,\text{L/min}\) c) Das Wasservolumen nimmt zum Zeitpunkt \(t=4\,\text{min}\) momentan mit \(26\,\text{L}\) pro Minute zu.

- Überlege dir, wie die Beschleunigung mit der Position verknüpft ist. - Welche mathematische Operation hilft dir, von einer Bestandsgröße zur momentanen Änderungsrate zu gelangen? - Du benötigst die Beschleunigung zu einem ganz bestimmten Zeitpunkt. - Achte auf die Einheiten, damit das Ergebnis in Newton angegeben werden kann.

1. Bestimmung der Geschwindigkeitsfunktion \(v(t)\) durch die erste Ableitung der Wegfunktion: \(v(t) = s'(t) = \frac{1}{4}t^2 + 2t + 5\). 2. Bestimmung der Beschleunigungsfunktion \(a(t)\) durch die zweite Ableitung der Wegfunktion: \(a(t) = s''(t) = \frac{1}{2}t + 2\). 3. Berechnung der Beschleunigung zum Zeitpunkt \(t = 4\,\text{s}\): \(a(4) = \frac{1}{2} \cdot 4 + 2 = 4\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\). 4. Berechnung der wirkenden Kraft mittels \(F = m \cdot a\): \(F = 1200\,\text{kg} \cdot 4\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} = 4800\,\text{N}\).

Die auf das Fahrzeug wirkende Kraft zum Zeitpunkt \(t = 4\,\text{s}\) beträgt \(4800\,\text{N}\).

- Die Kraft ist direkt proportional zur Beschleunigung. Wie findest du die Beschleunigung aus der Wegfunktion? - „Keine Kraft“ bedeutet mathematisch, dass der Wert der Kraftfunktion gleich Null ist. - Denke daran, dass für die Geschwindigkeit die erste Ableitung der Wegfunktion relevant ist. - Achte beim Einsetzen der Zeit in die Geschwindigkeitsfunktion auf das Vorzeichen des Ergebnisses.

1. Ableiten der Wegfunktion \(s(t)\) zur Geschwindigkeitsfunktion \(v(t)\): \(v(t) = s'(t) = 2t^2 - 12t + 10\). 2. Ableiten der Geschwindigkeitsfunktion zur Beschleunigungsfunktion \(a(t)\): \(a(t) = v'(t) = 4t - 12\). 3. Aufstellen der Kraftfunktion \(F(t) = m \cdot a(t)\): \(F(t) = 0{,}5(4t - 12) = 2t - 6\). 4. Bestimmung des Zeitpunkts, an dem keine Kraft wirkt: \(F(t) = 0 \Rightarrow 2t - 6 = 0 \Rightarrow t = 3\,\text{s}\). 5. Berechnung der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t = 3\,\text{s}\): \(v(3) = 2 \cdot 3^2 - 12 \cdot 3 + 10 = 18 - 36 + 10 = -8\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\).

a) \(F(t) = 2t - 6\) (in Newton) b) Zum Zeitpunkt \(t = 3\,\text{s}\) wirkt keine Kraft auf das Objekt. c) Die Geschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt beträgt \(-8\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\).

- Stelle die Sekantensteigung zunächst in Abhängigkeit von \(a\) auf. - Welche Gleichung entsteht aus der vorgegebenen Sekantensteigung \(4\)? - In Teil 2 suchst du die Stelle, an der die gegebene Änderungsratenfunktion den Wert \(4\) annimmt.

1. Die Sekantensteigung ist \(\frac{f_a(3)-f_a(1)}{3-1}=\frac{9a-a}{2}=4a\). Aus \(4a=4\) folgt \(a=1\). 2. Für \(a=1\) ist \(f_1'(x)=2x\) gegeben. Aus \(2x=4\) folgt \(x=2\).

1. \(a=1\) 2. \(x=2\)

- Wie hängt die Tangentensteigung mit der Ableitung der Funktion zusammen? - Es kann hilfreich sein, den Funktionsterm zuerst mithilfe der binomischen Formeln umzuformen. - Was musst du tun, um die Steigung an einer ganz konkreten Stelle zu finden?

1. Umformen der Funktionsgleichung durch Auflösen der Klammer (1. Binomische Formel): \(g(x) = x^2 + 2x + 1\). 2. Bestimmen der Ableitungsfunktion \(g'(x)\): \(g'(x) = 2x + 2\). 3. Berechnung der Steigung an der Stelle \(x_1 = 1\): \(g'(1) = 2 \cdot 1 + 2 = 4\). 4. Berechnung der Steigung an der Stelle \(x_2 = -3\): \(g'(-3) = 2 \cdot (-3) + 2 = -4\).

Die Steigung der Tangente beträgt an der Stelle \(x_1 = 1\) genau \(4\) und an der Stelle \(x_2 = -3\) genau \(-4\).

- Setze die gegebenen Werte in die Formel für den Differenzenquotienten ein. - Kannst du den Zähler im Bruch so zerlegen, dass du mit dem Nenner kürzen kannst? - Denk an die dritte binomische Formel, um höhere Potenzen schrittweise zu zerlegen. - Welchen Wert erhältst du, wenn du für \(x\) die Zahl \(2\) in den vereinfachten Term einsetzt?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten für die Stelle \(x_0 = 2\): \(\frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = \frac{x^4 - 2^4}{x - 2} = \frac{x^4 - 16}{x - 2}\) 2. Faktorisieren des Zählers mithilfe der binomischen Formeln: \(x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)\) 3. Kürzen des Faktors \((x - 2)\) im Bruch: \((x + 2)(x^2 + 4)\) 4. Berechnung des Grenzwerts für \(x \to 2\): \(\lim_{x \to 2} (x + 2)(x^2 + 4) = (2 + 2) \cdot (2^2 + 4) = 4 \cdot 8 = 32\)

Die Steigung der Tangente an der Stelle \(x = 2\) beträgt \(32\).

- Welche geometrische Bedeutung hat der Wert \(f'(x)\)? - Welche Werte kann \(x^2\) für reelle \(x\) annehmen? - Bestimme daraus den kleinsten möglichen Wert von \(f'(x)\) und deute dessen Vorzeichen.

1. Es gilt \(f'(x)=3x^2+3\). 2. Da \(x^2\ge0\) für alle \(x\in\mathbb{R}\) gilt, ist \(f'(x)=3x^2+3\ge3\). Somit nimmt die Tangentensteigung nur Werte aus \([3;\infty)\) an; alle Werte \(m<3\) kommen nicht vor. 3. Der Graph besitzt überall eine positive Steigung und ist daher auf \(\mathbb{R}\) streng monoton zunehmend. Es gibt weder eine waagerechte Tangente noch eine Stelle mit negativer Steigung. Die kleinste Tangentensteigung ist \(3\) bei \(x=0\).

1. \(f'(x)=3x^2+3\). 2. Alle Tangentensteigungen \(m<3\) kommen nicht vor. 3. Der Graph ist auf \(\mathbb{R}\) streng monoton zunehmend; seine kleinste Tangentensteigung ist \(3\) bei \(x=0\).

- Was genau gibt der Differenzenquotient an, wenn \(h\) immer kleiner wird? - Setze den Term \(1+h\) für jedes \(x\) in die Funktionsgleichung ein. - Denke beim Auflösen von \((1+h)^2\) an die binomischen Formeln. - Wie kannst du den Bruch so vereinfachen, dass du \(h\) im Nenner kürzen kannst? - Was passiert mit dem Term, in dem noch ein \(h\) vorkommt, wenn \(h\) gegen Null geht?

1. Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x_0 = 1\): \(f(1) = 2 \cdot 1^2 - 1 = 1\). 2. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{2(1+h)^2 - (1+h) - 1}{h}\). 3. Vereinfachen des Zählers: \(2(1 + 2h + h^2) - 1 - h - 1 = 2 + 4h + 2h^2 - 2 - h = 3h + 2h^2\). 4. Kürzen des Bruchs durch \(h\): \(\frac{3h + 2h^2}{h} = 3 + 2h\). 5. Bestimmung des Grenzwerts für \(h \to 0\): \(\lim_{h \to 0} (3 + 2h) = 3\).

Die Steigung der Tangente an der Stelle \(x_0 = 1\) beträgt \(3\).

- Kannst du den Term \((2+h)^3\) schrittweise ausmultiplizieren, zum Beispiel als \((2+h)^2 \cdot (2+h)\)? - Achte darauf, den Faktor \(\frac{1}{2}\) auf alle Teile des ausmultiplizierten Terms anzuwenden. - Nach dem Subtrahieren von \(f(2)\) sollten im Zähler nur noch Terme stehen, die ein \(h\) enthalten. - Was bedeutet es für die Steigung, wenn die restlichen \(h\)-Terme verschwinden?

1. Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x_0 = 2\): \(f(2) = \frac{1}{2} \cdot 2^3 + 1 = 5\). 2. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \frac{0{,}5(2+h)^3 + 1 - 5}{h}\). 3. Ausmultiplizieren des Terms \((2+h)^3\): \((2+h)^3 = 8 + 12h + 6h^2 + h^3\). 4. Vereinfachen des Zählers: \(0{,}5(8 + 12h + 6h^2 + h^3) - 4 = 4 + 6h + 3h^2 + 0{,}5h^3 - 4 = 6h + 3h^2 + 0{,}5h^3\). 5. Kürzen durch \(h\): \(\frac{6h + 3h^2 + 0{,}5h^3}{h} = 6 + 3h + 0{,}5h^2\). 6. Grenzwertbetrachtung für \(h \to 0\): \(\lim_{h \to 0} (6 + 3h + 0{,}5h^2) = 6\).

Die momentane Änderungsrate an der Stelle \(x_0 = 2\) beträgt \(6\).

- Überlege zuerst, wie man die Durchschnittsgeschwindigkeit über einen kleinen Zeitraum berechnet. - Was passiert mit diesem Zeitraum, wenn man die Geschwindigkeit genau in einem Moment wissen möchte? - Setze die Funktionsvorschrift in die Formel für die Steigung einer Sekante ein. - Kannst du den Ausdruck so umformen, dass du den Zeitunterschied im Nenner kürzen kannst?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten für das Intervall \([4; 4+h]\): \(\frac{s(4+h) - s(4)}{h}\). 2. Einsetzen der Funktionswerte: \(s(4) = 0{,}5 \cdot 4^2 = 8\) und \(s(4+h) = 0{,}5 \cdot (4+h)^2 = 0{,}5 \cdot (16 + 8h + h^2) = 8 + 4h + 0{,}5h^2\). 3. Vereinfachen des Quotienten: \(\frac{8 + 4h + 0{,}5h^2 - 8}{h} = \frac{4h + 0{,}5h^2}{h} = 4 + 0{,}5h\). 4. Definition der Momentangeschwindigkeit als Grenzwert (Differentialquotient): \(v(4) = \lim_{h \to 0} (4 + 0{,}5h)\). 5. Berechnung des Grenzwerts: \(v(4) = 4\). Die Momentangeschwindigkeit beträgt \(4\,\text{m/s}\).

Die Momentangeschwindigkeit wird als Grenzwert des Differenzenquotienten für \(h \to 0\) definiert: \(v(t_0) = \lim_{h \to 0} \frac{s(t_0+h) - s(t_0)}{h}\). Für \(t_0 = 4\) ergibt sich ein Wert von \(4\,\text{m/s}\).

- Welche Bedeutung hat eine Volumenänderung geteilt durch die zugehörige Zeitänderung? - Vereinfache \(V(5+h)-V(5)\), bevor du durch \(h\) kürzt. - Welche Terme verschwinden beim Grenzübergang \(h\to0\)?

1. Der Differenzenquotient \(\frac{V(5+h)-V(5)}{h}\) beschreibt die mittlere Volumenänderung pro Minute im Intervall \([5;5+h]\). 2. Es gilt \(V(5)=45\) und \(V(5+h)=45+8h-0{,}2h^2\). 3. Damit vereinfacht sich der Differenzenquotient zu \(\frac{8h-0{,}2h^2}{h}=8-0{,}2h\). 4. Für \(h\to0\) folgt \(\lim_{h\to0}(8-0{,}2h)=8\). Die momentane Änderungsrate beträgt \(8\,\text{L/min}\).

Der Differenzenquotient \(\frac{V(5+h)-V(5)}{h}\) beschreibt die mittlere Volumenänderung pro Minute im Intervall \([5;5+h]\). Die momentane Änderungsrate bei \(t=5\,\text{min}\) beträgt \(8\,\text{L/min}\).

- Überlege dir, was der Differenzenquotient geometrisch an einer Kurve darstellt. - Wie verändert sich der Wert des Quotienten, wenn du das Zeitintervall immer kleiner wählst? - Stell dir den Flug des Balles bildlich vor: Wann bewegt er sich nach oben, wann nach unten? - Was passiert mit der Geschwindigkeit genau in dem Moment, in dem der Ball aufhört zu steigen und anfängt zu fallen?

1. Berechnung der näherungsweisen Momentangeschwindigkeiten mit dem vorwärts gerichteten Differenzenquotienten für \(\Delta t = 0{,}001\): Für \(t = 1\): \(\frac{h(1{,}001) - h(1)}{0{,}001} \approx 9{,}995\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) (exakter Grenzwert: \(10\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\)). Für \(t = 2\): \(\frac{h(2{,}001) - h(2)}{0{,}001} \approx -0{,}005\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) (exakter Grenzwert: \(0\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\)). Für \(t = 3\): \(\frac{h(3{,}001) - h(3)}{0{,}001} \approx -10{,}005\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) (exakter Grenzwert: \(-10\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\)). 2. Interpretation der Vorzeichen: Der positive Näherungswert bei \(t = 1\) bedeutet, dass der Ball steigt. Bei \(t = 3\) ist der Wert negativ, also fällt der Ball. Der kleine negative Näherungswert bei \(t = 2\) entsteht, weil der vorwärts gerichtete Differenzenquotient das Intervall unmittelbar nach dem höchsten Punkt verwendet; die exakte Momentangeschwindigkeit ist dort \(0\). 3. Bestimmung des Umkehrpunktes: Die Momentangeschwindigkeit ist die Ableitung \(h'(t) = -10t + 20\). Setze \(h'(t) = 0 \implies -10t + 20 = 0 \implies t = 2\,\text{s}\). Die maximale Höhe bei \(t = 2\) beträgt \(h(2) = -5(2)^2 + 20(2) + 1 = -20 + 40 + 1 = 21\,\text{m}\).

a) \(v(1) \approx 9{,}995\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\), \(v(2) \approx -0{,}005\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\), \(v(3) \approx -10{,}005\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). b) Positiv: Der Ball steigt. Negativ: Der Ball fällt. Der kleine negative Näherungswert bei \(t=2\) stammt vom vorwärts gerichteten Differenzenquotienten; exakt ist die Geschwindigkeit am höchsten Punkt null. c) Zeitpunkt \(t = 2\,\text{s}\), maximale Höhe \(h = 21\,\text{m}\).

- Was bedeutet eine Differenz von Funktionswerten im Hinblick auf die Kosten? - Ein Bruch aus Kostenänderung und Mengenänderung gibt Kosten pro Mengeneinheit an. Welches Wort beschreibt diesen Durchschnitt? - In der Wirtschaftswissenschaft nennt man die Ableitung der Kostenfunktion oft „Grenzkosten“. Was sagt dieser Wert aus?

1. \(K(x) - K(x_0)\) gibt die Änderung der Kosten in \(\text{€}\) an, wenn sich die gereinigte Schadstoffmenge von \(x_0\) auf \(x\) ändert. Für \(x > x_0\) sind dies die zusätzlichen Kosten. 2. \(\frac{K(x) - K(x_0)}{x - x_0}\) beschreibt die durchschnittliche Kostenänderung pro Kilogramm Schadstoff zwischen \(x_0\) und \(x\) in der Einheit \(\frac{\text{€}}{\text{kg}}\). 3. \(K'(x_0)\) bezeichnet die Grenzkosten an der Stelle \(x_0\). Sie geben näherungsweise an, wie viel die Reinigung eines weiteren Kilogramms Schadstoff kostet, wenn bereits \(x_0\,\text{kg}\) gereinigt wurden. Die Einheit ist \(\frac{\text{€}}{\text{kg}}\).

a) Kostenänderung bei einer Änderung der Reinigungsmenge von \(x_0\) auf \(x\) in \(\text{€}\). b) Durchschnittliche Kostenänderung pro Kilogramm im Intervall \([x_0; x]\) in \(\frac{\text{€}}{\text{kg}}\). c) Grenzkosten bei einer Menge von \(x_0\); sie geben die momentane Änderungsrate der Kosten in \(\frac{\text{€}}{\text{kg}}\) an.

- Wie berechnet man die durchschnittliche Steigung einer Funktion in einem Intervall? - Was ist der Unterschied zwischen einer Durchschnittsrate und einer Momentanrate? - Welche physikalische Größe erhält man, wenn man die Änderung der Geschwindigkeit pro Zeit betrachtet? - Überlege, wie Geschwindigkeit und Ort zusammenhängen und was passiert, wenn man diesen Zusammenhang noch einen Schritt weiterführt.

1. Berechnung der mittleren Beschleunigung \(\bar{a}\) als Differenzenquotient der Geschwindigkeit: \(v(2) = 0{,}5 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 = 6\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) und \(v(4) = 0{,}5 \cdot 4^2 + 2 \cdot 4 = 16\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). Damit ergibt sich \(\bar{a} = \frac{v(4) - v(2)}{4 - 2} = \frac{16 - 6}{2} = 5\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\). 2. Bestimmung der Momentanbeschleunigung \(a(t)\) als Ableitung \(v'(t)\): \(v'(t) = t + 2\). Einsetzen von \(t_0 = 2\) liefert \(a(2) = 2 + 2 = 4\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\). 3. Die Beschleunigung \(a(t)\) ist die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit \(v(t)\). Da die Geschwindigkeit wiederum die Ableitung der Weg-Zeit-Funktion \(s(t)\) ist (\(v(t) = s'(t)\)), entspricht die Beschleunigung der zweiten Ableitung der Weg-Zeit-Funktion: \(a(t) = s''(t)\).

1. Die mittlere Beschleunigung beträgt \(5\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\). 2. Die Momentanbeschleunigung zum Zeitpunkt \(t_0 = 2\,\text{s}\) beträgt \(4\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\). 3. Die Beschleunigungsfunktion \(a\) ist die zweite Ableitung der Weg-Zeit-Funktion \(s\), also \(a(t) = s''(t)\).

- Wie hängen Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung über Ableitungen zusammen? - Für welchen Zeitpunkt nimmt die Beschleunigungsfunktion den Wert null an? - Wie berechnest du eine mittlere Änderung der Geschwindigkeit über ein Zeitintervall? - Vergleiche erst nach beiden Rechnungen die mittlere mit der momentanen Beschleunigung.

1. Die Momentangeschwindigkeit ist \(v(t)=s'(t)=3t^2-12t+12\). 2. Die Momentanbeschleunigung ist \(a(t)=v'(t)=6t-12\). 3. Aus \(6t-12=0\) folgt \(t=2\,\text{s}\). 4. Es gilt \(v(3)=3\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) und \(v(1)=3\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). Damit ist die mittlere Beschleunigung \(\bar a=\frac{v(3)-v(1)}{3-1}=0\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\). Außerdem ist \(a(2)=0\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\), also stimmen beide Werte in diesem Beispiel überein.

1. \(v(t)=3t^2-12t+12\) 2. \(a(t)=6t-12\) 3. \(t=2\,\text{s}\) 4. \(\bar a=0\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\) und \(a(2)=0\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\)

- Welche zwei Funktionswerte brauchst du für die mittlere Änderungsrate? - Wie verändert sich die Sekante, wenn der zweite Zeitpunkt an \(t_0=1\) heranrückt? - Welche geometrischen Geraden gehören zu mittlerer beziehungsweise momentaner Änderungsrate?

1. Es gilt \(V(1)=6\) und \(V(4)=36\). Daher ist die mittlere Änderungsrate \(\frac{V(4)-V(1)}{4-1}=10\,\text{L/min}\). 2. Für die momentane Änderungsrate gilt \(\lim_{h\to0}\frac{V(1+h)-V(1)}{h}=\lim_{h\to0}(7+h)=7\,\text{L/min}\). 3. Die mittlere Änderungsrate ist die Steigung der Sekante durch \(P(1\mid6)\) und \(Q(4\mid36)\). Die momentane Änderungsrate ist die Steigung der Tangente im Punkt \(P(1\mid6)\).

1. \(10\,\text{L/min}\) 2. \(7\,\text{L/min}\) 3. Die mittlere Änderungsrate ist eine Sekantensteigung, die momentane Änderungsrate eine Tangentensteigung.

- Was bedeutet „Geschwindigkeit“ im Kontext einer Ort-Zeit-Funktion mathematisch gesehen? - Wie berechnet man die Steigung einer Kurve in einem ganz bestimmten Moment? - Stell dir vor, das Zeitintervall wird immer kleiner – was passiert dann mit der Durchschnittsgeschwindigkeit? - In der Physik entspricht die Steigung im \(s\)-\(t\)-Diagramm der Geschwindigkeit.

1. Die Durchschnittsgeschwindigkeit entspricht der mittleren Änderungsrate im Intervall \([0; 5]\): \(\frac{s(5) - s(0)}{5 - 0}\). Mit \(s(5) = 30 \cdot 5 - 5^2 = 125\) und \(s(0) = 0\) folgt \(\frac{125 - 0}{5} = 25\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 2. Die Momentangeschwindigkeit ist die Ableitung \(s'(2)\): \(\lim_{h \to 0} \frac{s(2+h) - s(2)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{30(2+h) - (2+h)^2 - (30 \cdot 2 - 2^2)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{60 + 30h - (4 + 4h + h^2) - 56}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{26h - h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (26 - h) = 26\). Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t = 2\) beträgt \(26\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 3. Die mittlere Änderungsrate gibt die durchschnittliche Veränderung über ein Zeitintervall an. Lässt man die Intervallbreite \(h\) gegen Null gehen, so nähert sich die mittlere Änderungsrate der momentanen Änderungsrate an. Mathematisch gesehen ist die momentane Änderungsrate der Grenzwert des Differenzenquotienten (der Differentialquotient).

1. Durchschnittsgeschwindigkeit: \(25\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 2. Momentangeschwindigkeit: \(26\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 3. Die momentane Änderungsrate ist der Grenzwert der mittleren Änderungsrate für ein gegen Null gehendes Zeitintervall.

- Überlege dir zuerst, welche mathematische Funktion die Steigung eines Graphen beschreibt. - Wie gehst du vor, wenn du prüfen möchtest, ob eine Funktion einen bestimmten Wert erreichen kann? - Was weißt du über die Ergebnisse von Quadratzahlen im Bereich der reellen Zahlen?

1. Die Steigung der Tangente an einer Stelle \(x\) wird durch die erste Ableitungsfunktion \(f'\) berechnet. Unter Anwendung der Potenz-, Summen- und Faktorregel ergibt sich \(f'(x) = 3x^2 + 3\). 2. Um zu prüfen, ob die Steigung \(2\) vorkommen kann, setzt man die Ableitung mit diesem Wert gleich: \(3x^2 + 3 = 2\). 3. Durch Umformung erhält man \(3x^2 = -1\) bzw. \(x^2 = -\frac{1}{3}\). 4. Da das Quadrat einer reellen Zahl niemals negativ sein kann (\(x^2 \geq 0\)), besitzt diese Gleichung keine reelle Lösung. Somit tritt der Wert \(2\) als Tangentensteigung nicht auf.

Die Ableitungsfunktion lautet \(f'(x) = 3x^2 + 3\). Da \(3x^2 \geq 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt, ist die kleinstmögliche Steigung \(f'(0) = 3\). Der Wert \(2\) liegt unterhalb dieses Minimums und wird daher nicht angenommen.

- Überlege dir zuerst, an welcher Stelle \(x\) der Rand des Beckens liegt, wenn die Gesamtbreite gegeben ist. - Wie lässt sich eine prozentuale Steigung mathematisch als Wert für die Ableitung ausdrücken? - Welche Information liefert dir die erste Ableitung an einer bestimmten Stelle? - Wie hängen der Randpunkt und die Tiefe des Beckens zusammen?

1. Da die Gesamtbreite \(12\,\text{m}\) beträgt, liegt der rechte Rand des Beckens bei \(x = 6\) (Symmetrie zur \(y\)-Achse). 2. Die Steigung am rechten Rand beträgt \(120\,\%\), also \(f'(6) = 1{,}2\). 3. Aus \(f(x) = ax^2\) folgt die Ableitung \(f'(x) = 2ax\). 4. Einsetzen der Randbedingung: \(2 \cdot a \cdot 6 = 1{,}2 \implies 12a = 1{,}2 \implies a = 0{,}1\). Die Gleichung lautet \(f(x) = 0{,}1x^2\). 5. Die Tiefe entspricht dem Funktionswert an der Stelle \(x = 6\): \(f(6) = 0{,}1 \cdot 6^2 = 0{,}1 \cdot 36 = 3{,}6\,\text{m}\).

a) \(f(x) = 0{,}1x^2\) b) Das Becken ist \(3{,}6\,\text{m}\) tief.

- Wenn die Oberkante auf der \(x\)-Achse liegt, welche Koordinaten haben dann die Randpunkte? - Was bedeutet eine Steigung von \(50\,\%\) für den Wert der Ableitung? - Wie kannst du den tiefsten Punkt einer Parabel finden, wenn die Gleichung bekannt ist? - Achte darauf, dass die Tiefe als positiver Längenwert angegeben wird.

1. Die Breite von \(20\,\text{m}\) bedeutet, dass die Ränder bei \(x = 10\) und \(x = -10\) liegen. Da die Oberkante auf der \(x\)-Achse liegt, gilt \(f(10) = 0\). 2. Die Steigung am rechten Rand ist \(f'(10) = 0{,}8\). Mit \(f'(x) = 2ax\) folgt: \(2 \cdot a \cdot 10 = 0{,}8 \implies 20a = 0{,}8 \implies a = 0{,}04\). 3. Bestimmung von \(c\) durch Einsetzen in \(f(10) = 0\): \(0{,}04 \cdot 10^2 + c = 0 \implies 4 + c = 0 \implies c = -4\). Die Gleichung lautet \(f(x) = 0{,}04x^2 - 4\). 4. Die maximale Tiefe liegt bei \(x = 0\) vor: \(|f(0)| = |-4| = 4\,\text{m}\). 5. Für die Steigung von \(50\,\%\) setze \(f'(x) = 0{,}5\): \(0{,}08x = 0{,}5 \implies x = 6{,}25\). Die Entfernung beträgt \(6{,}25\,\text{m}\).

a) \(f(x) = 0{,}04x^2 - 4\) b) Die maximale Tiefe beträgt \(4\,\text{m}\). c) In einer Entfernung von \(6{,}25\,\text{m}\) von der Mitte.

- Stelle zunächst \(\frac{V(r+\Delta r)-V(r)}{\Delta r}\) auf. - Welche Terme bleiben nach dem Teilen durch \(\Delta r\) und dem Grenzübergang übrig? - Setze für den Vergleich die feste Höhe in die Mantelflächenformel ein. - Welche dünne geometrische Schicht entsteht bei einer sehr kleinen Radiusvergrößerung?

1. Der Differenzenquotient lautet \(\frac{V(r+\Delta r)-V(r)}{\Delta r}=\frac{10\pi(r+\Delta r)^2-10\pi r^2}{\Delta r}\). 2. Für \(\Delta r\ne0\) vereinfacht er sich zu \(20\pi r+10\pi\Delta r\). Im Grenzübergang \(\Delta r\to0\) folgt \(V'(r)=20\pi r\). 3. Für \(h=10\,\text{cm}\) ist \(M(r)=2\pi r\cdot10=20\pi r\). Daher gilt \(V'(r)=M(r)\). 4. Bei einer kleinen Radiusvergrößerung entsteht näherungsweise eine dünne Mantelschicht. Der zusätzliche Volumenterm höherer Ordnung wird im Verhältnis zur Radiusänderung im Grenzübergang vernachlässigbar.

a) \(V'(r)=20\pi r\) b) Für \(h=10\,\text{cm}\) gilt \(V'(r)=M(r)\). c) Eine sehr kleine Radiusvergrößerung erzeugt im führenden Anteil eine dünne Mantelschicht; deren Volumen pro Radiusänderung nähert sich der Mantelfläche.

- Setze für Teil 1 das Einkommen in die gegebene Funktion \(T'\) ein. - Der Durchschnittssteuersatz vergleicht die gesamte Steuer mit dem gesamten Einkommen. - Wie viel von einem zusätzlichen Euro bleibt bei einem Grenzsteuersatz von \(43\,\%\) übrig? - Vergleiche diesen lokalen Nettoanteil mit dem bisherigen durchschnittlichen Nettoanteil.

1. Es gilt \(T'(35000)=0{,}15+0{,}000008\cdot35000=0{,}43\), also \(43\,\%\). 2. \(T(35000)=0{,}15\cdot35000+0{,}000004\cdot35000^2=10150\,\text{€}\). Daher ist \(s(35000)=\frac{10150}{35000}=0{,}29=29\,\%\). 3. Vom zusätzlichen Einkommen bleiben lokal näherungsweise \(1-0{,}43=0{,}57\), also \(57\,\%\), als zusätzliches Nettoeinkommen übrig. Vom bisherigen Bruttoeinkommen bleiben im Durchschnitt \(1-0{,}29=0{,}71\), also \(71\,\%\), netto. Deshalb wächst das Nettoeinkommen bei einer kleinen Erhöhung prozentual langsamer.

1. \(43\,\%\) 2. Durchschnittssteuersatz: \(29\,\%\); der Grenzsteuersatz ist höher. 3. Lokal bleiben von zusätzlichem Einkommen nur etwa \(57\,\%\) netto, während der bisherige durchschnittliche Nettoanteil \(71\,\%\) beträgt.

- Was bedeutet es für die Steigung einer Geraden, wenn sie parallel zur \(x\)-Achse liegt? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei, die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle zu berechnen? - Welche Bedingung muss die Ableitung an den gesuchten Stellen erfüllen? - Wie kommst du von einer \(x\)-Stelle zu einem vollständigen Punkt auf dem Graphen?

1. Anwendung der Potenz-, Faktor- und Summenregel zur Bestimmung der Ableitungsfunktion: \(f'(x) = x^2 - 4x + 3\) 2. Ansatz der Bedingung für waagerechte Tangenten (Steigung gleich Null): \(f'(x) = 0\) 3. Lösen der quadratischen Gleichung \(x^2 - 4x + 3 = 0\) ergibt die Stellen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\) 4. Berechnung der zugehörigen Funktionswerte durch Einsetzen in \(f(x)\): \(f(1) = \frac{1}{3} \cdot 1^3 - 2 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 + 5 = \frac{19}{3}\) und \(f(3) = \frac{1}{3} \cdot 3^3 - 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3 + 5 = 5\) 5. Angabe der Punkte: \(P_1(1 \mid \frac{19}{3})\) und \(P_2(3 \mid 5)\)

Die gesuchten Punkte sind \(P_1(1 \mid \frac{19}{3})\) und \(P_2(3 \mid 5)\).

- Welcher mathematische Zusammenhang besteht zwischen dem zurückgelegten Weg und der Geschwindigkeit? - Die Ableitung einer Funktion gibt die momentane Änderungsrate an. - Wenn du das Maximum einer Größe suchst, musst du deren Ableitung untersuchen. - Achte auf die Einheiten und die Umrechnung von \(\frac{\text{m}}{\text{s}}\) in \(\frac{\text{km}}{\text{h}}\).

1. Bestimmung der Geschwindigkeit: Die Geschwindigkeit ist die erste Ableitung des Weges nach der Zeit. \( v(t) = s'(t) = -0{,}15t^2 + 1{,}8t \). 2. Berechnung für \( t = 4 \): \( v(4) = -0{,}15 \cdot 4^2 + 1{,}8 \cdot 4 = -2{,}4 + 7{,}2 = 4{,}8\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \). 3. Zeitpunkt der maximalen Geschwindigkeit: Die Beschleunigung (Ableitung der Geschwindigkeit) muss Null sein. \( v'(t) = a(t) = s''(t) = -0{,}3t + 1{,}8 \). Nullsetzen: \( -0{,}3t + 1{,}8 = 0 \implies 0{,}3t = 1{,}8 \implies t = 6\,\text{s} \). Da \( v''(t) = -0{,}3 < 0 \), liegt ein Maximum vor. 4. Berechnung der maximalen Geschwindigkeit: \( v(6) = -0{,}15 \cdot 6^2 + 1{,}8 \cdot 6 = -5{,}4 + 10{,}8 = 5{,}4\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \). 5. Umrechnung in \(\frac{\text{km}}{\text{h}}\): \( 5{,}4 \cdot 3{,}6 = 19{,}44\,\frac{\text{km}}{\text{h}} \).

a) \( v(t) = -0{,}15t^2 + 1{,}8t \); nach \( 4\,\text{s} \) beträgt die Geschwindigkeit \( 4{,}8\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \). b) Die maximale Geschwindigkeit wird zum Zeitpunkt \( t = 6\,\text{s} \) erreicht. c) Die maximale Geschwindigkeit beträgt \( 5{,}4\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \), was \( 19{,}44\,\frac{\text{km}}{\text{h}} \) entspricht.

- Lies zuerst die Koordinaten zweier Punkte auf der Tangente \(t\) ab, um die Steigung zu bestimmen. - Berechne den Unterschied in \(y\)-Richtung geteilt durch den Unterschied in \(x\)-Richtung. - Setze für die rechnerische Lösung den Term \(3+h\) für \(x\) in die Funktionsgleichung ein und vereinfache den Zähler des Differenzenquotienten. - Kürze den Differenzenquotienten durch \(h\), bevor du den Grenzwert für \(h \to 0\) bestimmst.

1. Grafische Bestimmung: Um die Steigung der Tangente \(t\) grafisch zu bestimmen, wählt man zwei gut ablesbare Punkte auf der Tangente, beispielsweise den Berührpunkt \(A(3 \mid 0)\) und den Punkt \(P(4 \mid 2)\). Die Steigung beträgt: \(m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2 - 0}{4 - 3} = 2\) Die grafisch bestimmte momentane Änderungsrate an der Stelle \(x_0 = 3\) beträgt somit \(2\). 2. Rechnerische Bestimmung: Wir stellen den Differenzenquotienten für \(x_0 = 3\) auf: \(\frac{f(3+h) - f(3)}{h}\) Da \(f(3) = 3^2 - 4 \cdot 3 + 3 = 0\), bestimmen wir zunächst \(f(3+h)\): \(f(3+h) = (3+h)^2 - 4(3+h) + 3 = 9 + 6h + h^2 - 12 - 4h + 3 = h^2 + 2h\) Einsetzen in den Differenzenquotienten liefert: \(\frac{h^2 + 2h - 0}{h} = \frac{h(h + 2)}{h} = h + 2\) (für \(h \neq 0\)) Nun führen wir den Grenzübergang \(h \to 0\) durch: \(f'(3) = \lim_{h \to 0} (h + 2) = 2\) Beide Methoden führen somit übereinstimmend zum Ergebnis \(2\).

a) Die grafisch bestimmte momentane Änderungsrate beträgt \(2\). b) Die rechnerische Bestimmung liefert ebenfalls \(2\).

- Ein Ableitungswert ist die Steigung der Tangente an der betreffenden Stelle. - Nutze die Beschriftungen \(t_1\) und \(t_2\), um die eingezeichneten Tangenten eindeutig zuzuordnen. - Wenn keine Tangente eingezeichnet ist, schätze die lokale Steigung aus dem Verlauf in unmittelbarer Umgebung. - Welche Symmetrie des Graphen hilft dir bei \(x=2\)?

1. Auf \(t_1\) liegen zum Beispiel \((-4|0)\) und \((-2|-2)\). Daher ist \(f'(-2)=\frac{-2-0}{-2-(-4)}=-1\). 2. Auf \(t_2\) liegen \((0|0)\) und \((1|2)\). Daher ist \(f'(0)=2\). 3. Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung; die lokale Steigung bei \(x=2\) entspricht daher der bei \(x=-2\). Somit ist \(f'(2)=-1\). 4. Bei \(x=1\) ist der Graph steigend. Aus dem lokalen Verlauf ergibt sich näherungsweise \(f'(1)\approx1{,}25\); Werte zwischen \(1\) und \(1{,}5\) sind als Ableseschätzung plausibel.

a) \(f'(-2)=-1\) und \(f'(0)=2\) b) \(f'(2)=-1\) und \(f'(1)\approx1{,}25\); für \(f'(1)\) sind graphisch begründete Näherungen zwischen \(1\) und \(1{,}5\) plausibel.

- Wie hängen die Steigung der Tangente an einem Punkt des Graphen und die momentane Änderungsrate zusammen? - Lies zwei gut erkennbare Punkte auf der eingezeichneten Tangente ab und berechne deren Steigung. - Was ist der Unterschied zwischen der mittleren Änderungsrate (Sekantensteigung) und der momentanen Änderungsrate (Tangentensteigung)? - Wie verändert sich der Verlauf einer Kurve, wenn ihre Steigung immer kleiner wird?

1. Grafische Bestimmung der momentanen Wachstumsgeschwindigkeit bei \(t = 4\): - Ablesen zweier gut ablesbarer Punkte auf der orangefarbenen Tangente, zum Beispiel \(A(2 \mid 3{,}0)\) und \(B(7 \mid 6{,}0)\). - Berechnung der Steigung: \(m = \frac{6{,}0 - 3{,}0}{7 - 2} = \frac{3}{5} = 0{,}6\). Die momentane Wachstumsgeschwindigkeit am 4. Tag beträgt somit etwa \(0{,}6\,\text{cm/Tag}\). 2. Berechnung der mittleren Wachstumsgeschwindigkeit im Intervall \([0; 4]\): - Bestimmung der Funktionswerte: \(h(0) = 1\) und \(h(4) = 4{,}2\). - Berechnung des Differenzenquotienten: \(\frac{h(4) - h(0)}{4 - 0} = \frac{4{,}2 - 1}{4} = \frac{3{,}2}{4} = 0{,}8\). Die mittlere Wachstumsgeschwindigkeit in den ersten 4 Tagen beträgt \(0{,}8\,\text{cm/Tag}\). Sie ist größer als die momentane Wachstumsgeschwindigkeit am 4. Tag von \(0{,}6\,\text{cm/Tag}\). 3. Erkennen der abnehmenden Wachstumsgeschwindigkeit am Graphen: - Der Graph verläuft von links nach rechts immer flacher. - Die Steigung der Tangenten an den Graphen nimmt mit zunehmender Zeit \(t\) kontinuierlich ab.

a) Die momentane Wachstumsgeschwindigkeit am 4. Tag beträgt etwa \(0{,}6\,\text{cm/Tag}\); aus den Tangentenpunkten \((2 \mid 3)\) und \((7 \mid 6)\) ergibt sich \(m = \frac{6 - 3}{7 - 2} = 0{,}6\). b) Die mittlere Wachstumsgeschwindigkeit in \([0; 4]\) beträgt \(0{,}8\,\text{cm/Tag}\) und ist größer als die momentane am 4. Tag. c) Der Graph wird von links nach rechts immer flacher, daher werden die Tangentensteigungen kleiner.

- Berechne jede Sekantensteigung aus der Änderung der Funktionswerte geteilt durch die Änderung der \(x\)-Werte. - Vergleiche, wie sich die Werte verändern, wenn der zweite Punkt näher an \(P\) rückt. - Eine Vermutung aus endlich vielen Sekantenwerten ist noch kein Beweis; bestätige sie mit dem Grenzwert des Differenzenquotienten.

1. Für \(P(2\mid2)\) und \(Q(4\mid5)\) ist die Sekantensteigung \(\frac{5-2}{4-2}=1{,}5\). 2. Es gilt \(f(3)=3{,}25\). Daher beträgt die Sekantensteigung durch \(P\) und \(Q_1\) gleich \(\frac{3{,}25-2}{3-2}=1{,}25\). 3. Es gilt \(f(2{,}5)=2{,}5625\). Somit ist die Sekantensteigung durch \(P\) und \(Q_2\) gleich \(\frac{2{,}5625-2}{2{,}5-2}=1{,}125\). 4. Die Werte \(1{,}5\), \(1{,}25\) und \(1{,}125\) stützen die Vermutung, dass die Sekantensteigungen bei Annäherung an \(x=2\) gegen \(1\) gehen. 5. Rechnerisch gilt \(f(2+h)=2+h+0{,}25h^2\). Daher ist \(\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=1+0{,}25h\) für \(h\ne0\), und somit \(f'(2)=\lim_{h\to0}(1+0{,}25h)=1\).

a) \(1{,}5\) b) \(1{,}25\) c) Die weitere Sekantensteigung beträgt \(1{,}125\). Daraus ist \(f'(2)=1\) eine plausible Vermutung; die \(h\)-Methode bestätigt \(f'(2)=1\).

- Überlege dir, welche physikalische Bedeutung die Steigung einer Kurve hat, wenn auf der vertikalen Achse die Höhe in Metern und auf der horizontalen Achse die Zeit in Stunden aufgetragen ist. - Wie kannst du die Steigung einer Kurve in einem bestimmten Punkt geometrisch veranschaulichen? Welche eingezeichnete Gerade im Punkt \(A\) hilft dir dabei? - Erinnere dich daran, welche Steigung eine waagerechte Gerade besitzt. - Vergleiche für Punkt \(D\) den Verlauf in seiner unmittelbaren Umgebung mit der besonders steilen Abwärtsstelle bei \(C\).

1. **Bedeutung im Sachzusammenhang**: Die momentane Änderungsrate gibt an, wie schnell sich der Wasserstand zu einem bestimmten Zeitpunkt \(t\) ändert. Sie beschreibt die Steig- bzw. Sinkgeschwindigkeit des Wassers. Da die Höhe in Metern und die Zeit in Stunden angegeben sind, lautet die Einheit Meter pro Stunde (\(\text{m/h}\)). 2. **Bestimmung der Änderungsraten**: - Im Punkt \(A(3 \mid 5)\) ist die Tangente bereits eingezeichnet. Aus zwei gut ablesbaren Punkten, beispielsweise näherungsweise bei \(t = 1\) und \(t = 5\), ergibt sich \(\frac{8{,}1 - 1{,}9}{5 - 1} = \frac{6{,}2}{4} \approx 1{,}55\,\text{m/h}\). Die momentane Änderungsrate beträgt somit etwa \(1{,}6\,\text{m/h}\); Werte im Bereich von \(1{,}5\,\text{m/h}\) bis \(1{,}7\,\text{m/h}\) sind plausibel. - Im Punkt \(B(6 \mid 8)\) liegt ein Hochpunkt vor. Hier verläuft die Tangente waagerecht, weshalb die Steigung und damit die momentane Änderungsrate genau \(0\,\text{m/h}\) beträgt. 3. **Beurteilung von Toms Aussage**: - Aus dem Verlauf in der unmittelbaren Umgebung von \(D(10 \mid 3{,}5)\) ergibt sich näherungsweise eine Änderungsrate von \(-1{,}4\,\text{m/h}\). Das Wasser sinkt dort also mit etwa \(1{,}4\,\text{m/h}\). Toms Schätzung von \(2\,\text{m/h}\) ist daher deutlich zu hoch. - Zudem sinkt das Wasser bei \(t = 10\) nicht am schnellsten. Die maximale Sinkgeschwindigkeit wird im Punkt \(C(9 \mid 5)\) erreicht, wo die Änderungsrate etwa \(-1{,}6\,\text{m/h}\) beträgt. Toms Aussage ist daher in beiden Punkten falsch.

a) Die momentane Änderungsrate beschreibt die Steig- oder Sinkgeschwindigkeit des Wassers und hat die Einheit \(\text{m/h}\). b) In \(A\) beträgt sie etwa \(1{,}6\,\text{m/h}\) (plausibel: \(1{,}5\) bis \(1{,}7\,\text{m/h}\)), in \(B\) \(0\,\text{m/h}\). c) Toms Aussage ist falsch: Bei \(D\) beträgt die Sinkrate etwa \(1{,}4\,\text{m/h}\), und am schnellsten sinkt das Wasser bei \(C\) mit etwa \(1{,}6\,\text{m/h}\).

- Welche Geradensteigung beschreibt eine mittlere Änderungsrate über ein Intervall? - Was bedeutet eine waagerechte Tangente für die momentane Änderungsrate? - Nutze in c) zwei gut ablesbare Punkte der eingezeichneten Tangente.

1. Aus dem Graphen liest man \(h(0)=2\), \(h(4)=10\) und \(h(6)=2\). Daher beträgt die mittlere Änderungsrate in \([0;4]\) gleich \(\frac{10-2}{4}=2\,\text{m/h}\). 2. Für \([4;6]\) ergibt sich \(\frac{2-10}{2}=-4\,\text{m/h}\). 3. Bei \(t=4\) ist der Graph lokal waagerecht. Daher ist die momentane Änderungsrate \(0\,\text{m/h}\); der Wasserstand ändert sich in diesem Moment nicht. 4. Die Tangente \(t\) durch \((0\mid0)\) und \(P(2\mid6)\) hat die Steigung \(\frac{6-0}{2-0}=3\,\text{m/h}\). Das ist die momentane Änderungsrate bei \(t=2\,\text{h}\).

a) In \([0;4]\): \(2\,\text{m/h}\); in \([4;6]\): \(-4\,\text{m/h}\) b) \(0\,\text{m/h}\); der Wasserstand ändert sich bei \(t=4\,\text{h}\) momentan nicht. c) Bei \(t=2\,\text{h}\) beträgt die momentane Änderungsrate \(3\,\text{m/h}\).

- Achte auf das Vorzeichen: Wenn eine Gerade von links oben nach rechts unten verläuft, ist ihre Steigung negativ. - Für die Bestimmung der Steigung in den Punkten \(C\) und \(D\) hilft es, sich vorzustellen, wie eine Tangente dort verlaufen würde. - Prüfe deine Ergebnisse auf Plausibilität: Ist der Graph in \(C\) wirklich steiler als in \(D\)?

1. Die Tangente bei \(P(2 \mid 2)\) schneidet die Achsen bei \((4 \mid 0)\) und \((0 \mid 4)\). Die Steigung ist \(m = \frac{0 - 4}{4 - 0} = -1\). Somit ist \(f'(2) = -1\). 2. Die Tangente bei \(Q(-2 \mid -2)\) verläuft durch \((0 \mid -4)\) und \((-4 \mid 0)\). Die Steigung ist \(m = \frac{-4 - 0}{0 - (-4)} = -1\). Somit ist \(f'(-2) = -1\). 3. Im Punkt \(C(1 \mid 4)\) fällt der Graph sehr steil. Eine gedachte Tangente zeigt, dass man für eine Einheit nach rechts etwa vier Einheiten nach unten gehen muss. Daher gilt näherungsweise \(f'(1) \approx -4\). 4. Im Punkt \(D(4 \mid 1)\) fällt der Graph flach. Für vier Einheiten nach rechts geht man etwa eine Einheit nach unten. Daher gilt näherungsweise \(f'(4) \approx -0{,}25\).

a) \(f'(2) = -1\) und \(f'(-2) = -1\); b) in \(C(1 \mid 4)\) gilt näherungsweise \(f'(1) \approx -4\), in \(D(4 \mid 1)\) gilt \(f'(4) \approx -0{,}25\).

- Berechne zunächst \(f(1)\) und \(f(1+h)\). - Vereinfache den Zähler des Differenzenquotienten vollständig. - Kürze erst für \(h\ne0\), bevor du den Grenzwert bildest.

1. Der Differenzenquotient an \(x_0=1\) lautet \(\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\). 2. Es gilt \(f(1)=5\) und \(f(1+h)=h^2+6h+5\). 3. Für \(h\ne0\) vereinfacht sich der Differenzenquotient zu \(\frac{h^2+6h}{h}=h+6\). 4. Daher ist \(f'(1)=\lim_{h\to0}(h+6)=6\).

\(f'(1)=6\)

- Stelle den Differenzenquotienten an \(x_0=-1\) auf. - Achte beim Quadrieren von \(-1+h\) auf alle Terme. - Kürze den Quotienten für \(h\ne0\), bevor du den Grenzwert bildest.

1. Der Differenzenquotient lautet \(\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}\). 2. Es gilt \(f(-1)=1\) und \(f(-1+h)=3h^2-6h+1\). 3. Für \(h\ne0\) vereinfacht sich der Quotient zu \(3h-6\). 4. Daher ist \(f'(-1)=\lim_{h\to0}(3h-6)=-6\).

Die Tangentensteigung beträgt \(-6\).

- Lies an der gestrichelten Tangente ein geeignetes Steigungsdreieck ab. - Überlege geometrisch, was eine reine Verschiebung nach oben oder unten mit der Neigung eines Graphen macht. - Bei einer horizontalen Verschiebung wandert eine Stelle mit einer bestimmten Graphenform zusammen mit dem Graphen.

1. Die Steigung der eingezeichneten Tangente erhält man aus dem Steigungsdreieck. Bei \(\Delta x=1\) steigt die Tangente um \(\Delta y=1\). Daher ist die momentane Steigung \(f'(3)=\frac{1}{1}=1\). 2. Der Graph von \(g\) ist nur vertikal verschoben. Dadurch ändern sich die Tangentenrichtungen an gleichen \(x\)-Stellen nicht. Deshalb gilt \(g'(3)=f'(3)=1\). 3. Der Graph von \(h\) ist um \(2\) Einheiten nach rechts verschoben. Damit wandert auch die Stelle mit derselben Tangentensteigung um \(2\) Einheiten nach rechts: von \(x=3\) zu \(x=5\). Die zweite gestrichelte Tangente bestätigt dies.

1. \(f'(3)=1\) 2. Eine vertikale Verschiebung ändert die Tangentensteigung an derselben \(x\)-Stelle nicht; daher gilt \(g'(3)=1\). 3. Bei \(x=5\).

- Wie hängen die Steigung einer Kurve und die Änderungsrate zusammen? - Lies zwei gut erkennbare Punkte auf der eingezeichneten Tangente ab. - Betrachte die Form des Graphen: Wird er mit der Zeit steiler oder flacher? - Überlege, was die Steigung einer Tangente in diesem Sachzusammenhang bedeutet.

1. Zur Bestimmung der momentanen Änderungsrate bei \(t = 10\) wird die Steigung der eingezeichneten Tangente bestimmt. 2. Auf der Tangente liegen näherungsweise die gut ablesbaren Punkte \((0 \mid 69)\) und \((20 \mid 25)\). 3. Die Tangentensteigung ist \(m \approx \frac{25 - 69}{20 - 0} = -2{,}2\). 4. Die momentane Temperaturänderungsrate beträgt somit \(T'(10) \approx -2{,}2\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\). Die Temperatur sinkt also mit einer Abkühlgeschwindigkeit von etwa \(2{,}2\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\). 5. Dass die Abkühlung langsamer wird, erkennt man daran, dass der Graph im Zeitverlauf immer flacher wird. Der Betrag der negativen Tangentensteigung nimmt ab.

a) Die momentane Temperaturänderungsrate nach \(10\,\text{min}\) beträgt etwa \(-2{,}2\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\); der Kaffee kühlt somit mit etwa \(2{,}2\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\) ab. b) Der Graph wird mit zunehmender Zeit immer flacher; der Betrag der negativen Steigung und damit die Abkühlgeschwindigkeit nimmt ab.

- Welche Geradensteigung entspricht der momentanen Zuflussrate? - Nutze zwei gut ablesbare Punkte der Tangente. - Vergleiche die lokale Steilheit des Graphen zu früheren und späteren Zeiten.

1. Die momentane Zuflussrate bei \(t=4\) ist die Steigung der eingezeichneten Tangente. 2. Auf der Tangente liegen die Punkte \((0\mid5)\) und \((12\mid20)\). 3. Daher ist die Steigung \(\frac{20-5}{12-0}=\frac{15}{12}=1{,}25\). Die momentane Zuflussrate beträgt \(1{,}25\,\text{L/min}\). 4. Der Graph wird mit zunehmender Zeit immer flacher. Deshalb werden die lokalen Steigungen und damit die Zuflussraten kleiner.

a) \(1{,}25\,\text{L/min}\) b) Die Zuflussrate nimmt ab, weil der Graph mit der Zeit flacher wird.

- Für die mittlere Änderungsrate benötigst du nur den Start- und Endpunkt des Intervalls. - Schau dir den Verlauf des Graphen bei \(x = 3\) genau an. Gibt es dort eine Besonderheit? - Erinnere dich an die Begriffe Sekante und Tangente. - Wo geht es am steilsten „bergauf“?

1. Ablesen der Punkte: \(g(0) = 3\) und \(g(5) = 5\). Die mittlere Änderungsrate (Sekantensteigung) ist \(m_s = \frac{5 - 3}{5 - 0} = \frac{2}{5} = 0{,}4\). 2. An der Stelle \(x = 3\) hat der Graph einen lokalen Tiefpunkt. Die Tangente verläuft dort waagerecht, daher ist die momentane Änderungsrate (Ableitung) \(g'(3) = 0\). 3. Der Wert aus (1) ist die Steigung der Sekante durch die Punkte \((0 \mid 3)\) und \((5 \mid 5)\). Der Wert aus (2) ist die Steigung der Tangente an den Graphen an der Stelle \(x = 3\). 4. Die momentane Änderungsrate ist dort am größten, wo der Graph am steilsten ansteigt. Im betrachteten Intervall ist dies am rechten Rand bei \(x = 5\) der Fall.

1. \(0{,}4\); 2. \(0\); 3. (1) ist die Sekantensteigung, (2) ist die Tangentensteigung; 4. bei \(x = 5\), da der Graph dort die größte positive Steigung aufweist.

- Nutze für jede Sekante die Steigung aus den Koordinaten von \(P\) und \(Q\). - Vergleiche, wie sich die Sekantensteigungen verändern, wenn \(a\) näher an \(1\) rückt. - Unterscheide zwischen einer aus endlich vielen Werten begründeten Vermutung und einem exakt nachgewiesenen Grenzwert.

1. Berechnung der Sekantensteigungen mit \(m_s = \frac{f(a) - f(1)}{a - 1}\): Für \(a = 2\): \(m_s = \frac{1{,}8 - 1{,}1}{2 - 1} = 0{,}7\) Für \(a = 1{,}5\): \(m_s = \frac{1{,}3375 - 1{,}1}{1{,}5 - 1} = \frac{0{,}2375}{0{,}5} = 0{,}475\) Für \(a = 1{,}1\): \(m_s = \frac{1{,}1331 - 1{,}1}{1{,}1 - 1} = \frac{0{,}0331}{0{,}1} = 0{,}331\) 2. Mit kleiner werdendem Abstand zwischen \(a\) und \(1\) fallen die Sekantensteigungen von \(0{,}7\) über \(0{,}475\) auf \(0{,}331\). Die Werte legen deshalb eine Tangentensteigung von ungefähr \(0{,}3\) nahe. 3. Die drei berechneten Sekantensteigungen stützen die Vermutung \(m_t \approx 0{,}3\); einen exakten Nachweis des Grenzwerts liefern sie allein noch nicht.

a) Für \(a = 2\): \(m_s = 0{,}7\) Für \(a = 1{,}5\): \(m_s = 0{,}475\) Für \(a = 1{,}1\): \(m_s = 0{,}331\) b) Die Werte legen als Tangentensteigung \(m_t \approx 0{,}3\) nahe. Aus den drei Sekantensteigungen allein folgt der exakte Grenzwert noch nicht.

- Welche Bedeutung haben die beiden Achsen für die Einheit einer lokalen Änderungsrate? - Welche zwei markierten Punkte liegen auf der Tangente im Punkt \(P\)? - Wie lässt sich eine Steigung in \(\frac{\text{m}}{\text{km}}\) in einen prozentualen Höhenunterschied umrechnen? - Was verraten steigende beziehungsweise waagerechte Graphenabschnitte über das Vorzeichen der Tangentensteigung?

1. Die lokale Änderungsrate im Punkt \(P\) beschreibt die momentane Steigung des Geländes an dieser Stelle, also die Änderung der Höhe pro horizontal zurückgelegtem Kilometer. 2. Auf der Tangente sind \(P(2\mid130)\) und \(Q(4\mid250)\) markiert. Damit ist \(m=\frac{250-130}{4-2}=60\,\frac{\text{m}}{\text{km}}\). 3. Eine Steigung von \(60\,\text{m}\) auf \(1000\,\text{m}\) horizontaler Strecke entspricht \(\frac{60}{1000}=0{,}06=6\,\%\). 4. Bei \(s=1\,\text{km}\) steigt der Graph, daher ist die lokale Änderungsrate positiv. Am höchsten Punkt verläuft die Tangente waagerecht, daher ist die lokale Änderungsrate dort null.

a) Die lokale Änderungsrate beschreibt die momentane Steigung der Radstrecke im Punkt \(P\). b) \(60\,\frac{\text{m}}{\text{km}}\), also \(6\,\%\) c) Bei \(s=1\,\text{km}\) ist die lokale Änderungsrate positiv; am höchsten Punkt ist sie null.

- Die durchschnittliche Änderungsrate berechnet man aus der Differenz der End- und Anfangswerte geteilt durch die Länge des Zeitintervalls. - Für die momentane Änderungsrate liest du zwei gut erkennbare Punkte auf der eingezeichneten Tangente ab. - Je steiler der Graph nach oben verläuft, desto schneller nimmt das Volumen zu.

1. Durchschnittliche Änderungsrate im Intervall \([0; 20]\): \(m_{\text{mittel}} = \frac{V(20) - V(0)}{20 - 0} = \frac{160 - 0}{20} = 8\,\frac{\text{L}}{\text{min}}\). 2. Lokale Änderungsrate bei \(t = 10\): Die eingezeichnete Tangente im Punkt \((10 \mid 100)\) verläuft durch die gut ablesbaren Punkte \((0 \mid 20)\) und \((20 \mid 180)\). Damit ergibt sich \(V'(10) = \frac{180 - 20}{20 - 0} = 8\,\frac{\text{L}}{\text{min}}\). 3. Vergleich der Zuflussraten: Bei \(t = 5\) ist der Graph steiler als bei \(t = 25\). Daher ist die momentane Zuflussrate bei \(t = 5\) größer.

a) Die durchschnittliche Zuflussrate beträgt \(8\,\frac{\text{L}}{\text{min}}\); b) die lokale Änderungsrate zum Zeitpunkt \(t = 10\,\text{min}\) beträgt \(8\,\frac{\text{L}}{\text{min}}\); c) bei \(t = 5\) fließt das Wasser schneller in den Tank, da der Graph dort eine größere Steigung als bei \(t = 25\) aufweist.

- Überlege dir, wie die Steigung einer gedachten Tangente den lokalen Verlauf des Graphen beschreibt. - Das Maximum findest du dort, wo der Graph seinen höchsten Punkt hat. - Die momentane Änderungsrate ist negativ, wenn der Graph fällt. Wo fällt er besonders steil? - Was passiert mit der Steigung genau am „Gipfel“ des Graphen?

1. Aus dem Graphen lässt sich das Maximum bei \(t = 2\,\text{min}\) mit einer Temperatur von \(45\,{}^\circ\text{C}\) ablesen. 2. Die momentane Änderungsrate entspricht der Steigung einer gedachten Tangente. Aus dem lokalen Verlauf ergibt sich bei \(t = 4\) etwa \(-3\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\). Bei \(t = 6\) beträgt die Steigung etwa \(-2\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\). 3. Das schnellste Abkühlen findet dort statt, wo der Graph am steilsten nach unten verläuft. Dies ist bei etwa \(t \approx 3{,}5\,\text{min}\) der Fall. 4. Zum Zeitpunkt \(t = 2\,\text{min}\) ist die Steigung der Tangente null. Das bedeutet, dass die Temperatur in diesem Moment weder steigt noch fällt; dort erreicht sie ihren höchsten Wert.

a) Die maximale Temperatur beträgt \(45\,{}^\circ\text{C}\) nach \(2\,\text{min}\). b) Bei \(t = 4\,\text{min}\) beträgt die Rate etwa \(-3\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\), bei \(t = 6\,\text{min}\) etwa \(-2\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\). c) Die Substanz kühlt bei etwa \(t \approx 3{,}5\,\text{min}\) am schnellsten ab, weil der Graph dort am steilsten nach unten verläuft. d) Die Änderungsrate ist bei \(t = 2\,\text{min}\) null; die Temperatur erreicht dort ihren höchsten Wert.

- Beschleunigung ist hier die Tangentensteigung des Geschwindigkeitsgraphen. - Lies für Teil b zwei Punkte der eingezeichneten Tangente ab. - Suche für Teil c die Stelle mit der größten positiven Steilheit. - Das Vorzeichen der Steigung zeigt, ob die Geschwindigkeit gerade zu- oder abnimmt.

1. Der höchste Punkt des Graphen liegt bei \(t=20\,\text{s}\). Dort beträgt die Geschwindigkeit \(10\,\text{m/s}\). 2. Die Tangente bei \(t=10\,\text{s}\) verläuft zum Beispiel durch \((6\mid2)\) und \((10\mid5)\). Ihre Steigung ist \((5-2):(10-6)=0{,}75\). Die Beschleunigung beträgt daher \(0{,}75\,\text{m/s}^2\). 3. Der Graph steigt bei \(t=10\,\text{s}\) am steilsten. Daher ist dort die positive momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit und damit die Beschleunigung am größten. 4. Bei \(t=5\,\text{s}\) ist die Steigung positiv; der Radfahrer wird schneller. Bei \(t=25\,\text{s}\) ist die Steigung negativ; er wird langsamer.

a) Nach \(20\,\text{s}\) mit \(10\,\text{m/s}\). b) \(0{,}75\,\text{m/s}^2\). c) Bei \(t=10\,\text{s}\). d) Bei \(5\,\text{s}\) nimmt die Geschwindigkeit zu; bei \(25\,\text{s}\) nimmt sie ab.

- Für a) nutze zwei gut ablesbare Punkte auf der eingezeichneten Tangente. - Die Tangente in a) liegt absichtlich nicht an der Stelle der größten Änderungsrate. - Vergleiche für b) die lokale Steilheit des blauen Graphen vor und nach der Mitte des Anstiegs. - Eine momentane Änderungsrate von \(0\) entspricht einer waagerechten Tangente.

1. Die Tangente bei \(t=3\,\text{h}\) verläuft durch \((2|2)\) und \((4|8)\). Daher beträgt ihre Steigung \(\frac{8-2}{4-2}=3\,\text{m/h}\). 2. Die lokalen Tangenten werden bis etwa \(t=6\,\text{h}\) immer steiler und danach wieder flacher. Daher ist die momentane Änderungsrate bei \(t=6\,\text{h}\) am größten. 3. Im Inneren des dargestellten Zeitbereichs ist der Graph bei \(t=12\,\text{h}\) waagerecht. Dort ist die momentane Änderungsrate \(0\,\text{m/h}\); die Füllhöhe ist in diesem Moment maximal und ändert sich momentan nicht.

a) \(3\,\text{m/h}\) b) Bei \(t=6\,\text{h}\); dort ist der Graph lokal am steilsten. c) Bei \(t=12\,\text{h}\); dort ändert sich die Füllhöhe momentan nicht und erreicht einen Höchststand.

- In b) und c) wird jeweils ein Steigungswert vorgegeben; übersetze ihn in eine Gleichung mit \(f'(x)\). - Parallele Geraden besitzen dieselbe Steigung. - Wenn du eine gesuchte \(x\)-Koordinate gefunden hast, setze sie in \(f\) ein, um die Punktkoordinate zu vervollständigen.

1. Ableiten ergibt \(f'(x)=2x-2\). 2. Für die Steigung \(2\) gilt \(2x-2=2\), also \(x=2\). Mit \(f(2)=-1\) folgt \(P(2\mid-1)\). 3. Eine zu \(h\) parallele Tangente muss die Steigung \(-4\) besitzen. Aus \(2x-2=-4\) folgt \(x=-1\). Mit \(f(-1)=2\) ergibt sich \(Q(-1\mid2)\).

a) \(f'(x)=2x-2\) b) \(P(2\mid-1)\) c) \(Q(-1\mid2)\)

- Übersetze „waagerechte Tangente“ in eine Bedingung an \(f'\). - Welche Steigung hat die Gerade \(g(x)=x\), und was bedeutet Parallelität für die Tangentensteigung? - Ergänze nach jeder gefundenen \(x\)-Koordinate den zugehörigen Funktionswert.

1. Ableiten ergibt \(f'(x)=-x+3\). 2. Für eine waagerechte Tangente gilt \(f'(x)=0\). Aus \(-x+3=0\) folgt \(x=3\). Mit \(f(3)=4{,}5\) ergibt sich \(S(3\mid4{,}5)\). 3. Die Gerade \(g(x)=x\) hat die Steigung \(1\). Aus \(f'(x_0)=1\) folgt \(-x_0+3=1\) und damit \(x_0=2\). Mit \(f(2)=4\) ergibt sich \(R(2\mid4)\).

a) \(f'(x)=-x+3\) b) \(S(3\mid4{,}5)\) c) \(x_0=2\); \(R(2\mid4)\)

- Wie hängen die Steigung einer Tangente und die Momentangeschwindigkeit zusammen? - Lies zwei gut erkennbare Punkte auf der orangefarbenen Tangente ab und berechne ihre Steigung. - Wie rechnet man Meter pro Sekunde in Kilometer pro Stunde um? - Vergleiche, wie steil der Graph zu verschiedenen Zeitpunkten verläuft.

1. Auf der eingezeichneten Tangente lassen sich beispielsweise die Punkte \((6\mid20)\) und \((10\mid50)\) ablesen. Ihre Steigung beträgt \(m\approx\frac{50-20}{10-6}=7{,}5\,\text{m/s}\). 2. Umrechnung: \(7{,}5\,\text{m/s}\cdot3{,}6=27\,\text{km/h}\). 3. Der Weg-Zeit-Graph wird mit zunehmender Zeit immer steiler. Damit werden auch die Tangentensteigungen und somit die Momentangeschwindigkeiten größer. Die Geschwindigkeit nimmt während der ersten \(10\) Sekunden zu.

1. Die Momentangeschwindigkeit beträgt näherungsweise \(7{,}5\,\text{m/s}\). 2. Das entspricht näherungsweise \(27\,\text{km/h}\). 3. Die Geschwindigkeit nimmt zu, weil der Weg-Zeit-Graph mit zunehmender Zeit immer steiler verläuft.

- Nutze zwei gut ablesbare Punkte auf der gestrichelten Linie, um deren Steigung zu ermitteln. - Überlege, wie sich die Sekante verändert, wenn man den Punkt \(P\) entlang der Kurve immer näher an \(O\) heranrückt. - Der Term im Grenzwert ist genau der Differenzenquotient der Funktion an der Stelle \(0\).

1. Berechnung der Sekantensteigung: \(m_s = \frac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = \frac{1 - 0}{3} = \frac{1}{3}\). 2. Ablesen der Tangentensteigung: Die Tangente verläuft durch den Ursprung und den Punkt \((2 \mid 1)\). Die Steigung ist somit \(m_t = \frac{1 - 0}{2 - 0} = 0{,}5\). 3. Zusammenhang von Sekante und Tangente: Der Differenzenquotient \(\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}\) entspricht der Steigung einer Sekante durch \(O\) und einen Punkt \(P(x \mid f(x))\). Für \(x \to 0\) nähert sich diese Sekante der Tangente im Ursprung an. Der Grenzwert ist also gleich der Tangentensteigung: \(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = 0{,}5\).

a) \(m_s = \frac{1}{3}\). b) \(m_t = 0{,}5\). c) Der Grenzwert ist gleich der Tangentensteigung im Ursprung, also \(0{,}5\).

- Berechne für jede Funktion zuerst die mittlere Änderungsrate aus den beiden Intervallendpunkten. - Bestimme die momentane Änderungsrate bei \(x_0=2\) unabhängig davon mit dem Differentialquotienten. - Ein Beispiel mit übereinstimmenden Werten reicht nicht aus, um eine allgemeine Behauptung zu beweisen.

1. Für \(f(x)=x^2\) ist die mittlere Änderungsrate auf \([1;3]\) gleich \(\frac{9-1}{3-1}=4\). Die momentane Änderungsrate bei \(x_0=2\) folgt direkt aus dem Differentialquotienten: \(\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{(2+h)^2-4}{h}=4+h\). Für \(h\to0\) ergibt sich \(f'(2)=4\). Hier stimmen beide Werte überein. 2. Für \(g(x)=x^3\) ist die mittlere Änderungsrate \(\frac{27-1}{3-1}=13\). Für die momentane Änderungsrate gilt \(\frac{g(2+h)-g(2)}{h}=\frac{(2+h)^3-8}{h}=12+6h+h^2\). Für \(h\to0\) ergibt sich \(g'(2)=12\). Hier stimmen die Werte nicht überein. 3. Damit ist Leons allgemeine Behauptung falsch. Die Übereinstimmung beim quadratischen Beispiel ist keine allgemeine Regel.

a) Mittlere Änderungsrate \(4\), außerdem \(f'(2)=4\). b) Mittlere Änderungsrate \(13\), aber \(g'(2)=12\). Leons Behauptung ist allgemein falsch.

- Verwende für jedes Intervall dieselbe Sekantensteigungsformel. - Vergleiche, wie weit die Endpunkte der drei Intervalle jeweils von \(x=1\) entfernt sind. - Beobachte, welcher Zahl sich die drei Steigungen annähern.

1. Auf \([0;2]\) ist die Sekantensteigung \(\frac{8-0}{2-0}=4\). 2. Auf \([0{,}5;1{,}5]\) ist sie \(\frac{3{,}375-0{,}125}{1}=3{,}25\). 3. Auf \([0{,}9;1{,}1]\) ist sie \(\frac{1{,}331-0{,}729}{0{,}2}=3{,}01\). 4. Die dritte Sekante verwendet die Endpunkte, die am nächsten bei \(x=1\) liegen. Sie ist deshalb von den drei Sekanten die beste Näherung an die Tangentensteigung. 5. Die Werte nähern sich \(3\); daher ist \(f'(1)\approx3\).

a) \(4\), \(3{,}25\), \(3{,}01\). b) Die Sekante über \([0{,}9;1{,}1]\), weil ihre Endpunkte am nächsten bei \(x=1\) liegen. c) \(f'(1)\approx3\).

- Für a) vergleichst du zwei Höhenwerte über ein Zeitintervall. - Für b) setzt du den Zeitpunkt in die gegebene Funktion \(H'\) ein. - Für c) suchst du die Stellen, an denen \(H'\) den vorgegebenen Geschwindigkeitswert annimmt. - Prüfe anschließend, ob beide Lösungen im angegebenen Zeitintervall liegen.

1. Es gilt \(H(2)=\frac{124}{3}\) und \(H(5)=\frac{475}{3}\). 2. Die durchschnittliche Steiggeschwindigkeit ist \(\frac{H(5)-H(2)}{5-2}=39\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 3. Für \(t=4\) gilt \(H'(4)=-16+48+10=42\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 4. Für c) löst man \(-t^2+12t+10=43\), also \(t^2-12t+33=0\). 5. Daraus folgen \(t=6-\sqrt{3}\) und \(t=6+\sqrt{3}\). Beide Werte liegen im Modellintervall.

a) \(39\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) b) \(42\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) c) \(t_1=6-\sqrt{3}\,\text{s}\) und \(t_2=6+\sqrt{3}\,\text{s}\)

- Setze die gegebenen Werte in die Formel für den Differenzenquotienten ein. - Um Brüche im Zähler zu subtrahieren, musst du sie auf einen gemeinsamen Nenner bringen. - Achte beim Auflösen der Klammern im Zähler besonders auf das Minuszeichen. - Nach dem Kürzen von \(h\) kannst du den Grenzübergang durchführen.

1. Bestimmen der Funktionswerte an der Stelle \(a=1\) und \(a+h\): \(f(1) = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}\) und \(f(1+h) = \frac{1}{1+h+1} = \frac{1}{2+h}\) 2. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{\frac{1}{2+h} - \frac{1}{2}}{h}\) 3. Vereinfachen des Zählers durch Erweitern auf den Hauptnenner \(2 \cdot (2+h)\): \(\frac{2 - (2+h)}{2 \cdot (2+h)} = \frac{-h}{2 \cdot (2+h)}\) 4. Einsetzen in den gesamten Bruch und Kürzen von \(h\): \(\frac{-h}{2 \cdot (2+h) \cdot h} = \frac{-1}{2 \cdot (2+h)}\) 5. Grenzwertbildung für \(h \to 0\): \(\lim_{h \to 0} \frac{-1}{2 \cdot (2+h)} = \frac{-1}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{4}\) Die Tangentensteigung an der Stelle \(a = 1\) beträgt \(f'(1) = -0{,}25\).

\(f'(1) = -\frac{1}{4} = -0{,}25\)

- Vereinfache zunächst den Differenzenquotienten für einen inneren Zeitpunkt \(t\). - Welche Funktion der Zeit erhältst du nach dem Grenzübergang \(h\to0\)? - Für b) setzt du diese Änderungsratenfunktion gleich dem vorgegebenen Wert. - In c) geht es am rechten Rand um die Annäherung von links, nicht um eine zweiseitige Ableitung außerhalb des angegebenen Modellbereichs.

1. Für \(h\ne0\) ist \(\frac{T(t+h)-T(t)}{h}=0{,}4t+0{,}2h-8\). 2. Für innere Zeitpunkte des Modellintervalls folgt durch \(h\to0\) die Änderungsratenfunktion \(T'(t)=0{,}4t-8\). 3. Damit ist \(T'(5)=-6\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\) und \(T'(10)=-4\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\). 4. Aus \(0{,}4t-8=-2\) folgt \(t=15\,\text{min}\). 5. Für \(0<t<20\) gilt \(T'(t)<0\), also sinkt die Temperatur. Für \(t\to20^-\) nähert sich \(T'(t)\) dem Wert \(0\). Der Graph flacht beim Annähern an den rechten Rand des Modellintervalls ab.

a) \(T'(5)=-6\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\) und \(T'(10)=-4\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\) b) \(t=15\,\text{min}\) c) Im Inneren des Modellintervalls ist die Änderungsrate negativ, daher kühlt die Substanz ab. Für \(t\to20^-\) nähert sich die Tangentensteigung \(0\); der Temperaturgraph flacht zum rechten Rand hin ab.

- Leite die allgemeine Funktion \(f_n(x)\) nach \(x\) ab. - Wie viele Lösungen hat eine Gleichung der Form \(x^k = c\) in Abhängigkeit davon, ob \(k\) gerade oder ungerade ist? - Überlege dir, welchen Einfluss der Exponent in der Ableitung auf die Symmetrie und die Anzahl der Schnittpunkte mit einer horizontalen Geraden hat. - Vergiss nicht, den Spezialfall \(n=1\) separat zu prüfen.

1. Die Ableitung der Funktionen lautet allgemein \(f_n'(x) = nx^{n-1}\). Die Bedingung für die Steigung lautet \(nx^{n-1} = 10\), was zu \(x^{n-1} = \frac{10}{n}\) umgeformt werden kann. 2. Da \(n\) eine positive natürliche Zahl ist, ist der Wert \(\frac{10}{n}\) stets positiv. 3. Eine Gleichung der Form \(x^k = a\) mit \(a > 0\) hat im Reellen genau dann zwei Lösungen, wenn der Exponent \(k\) eine gerade Zahl ungleich Null ist (z. B. \(x^2 = 4\) oder \(x^4 = 16\)). Ist \(k\) ungerade, gibt es nur eine Lösung. Ist \(k=0\), gibt es entweder keine oder unendlich viele Lösungen. 4. Hier ist der Exponent \(k = n-1\). Damit \(n-1\) gerade ist, muss \(n\) ungerade sein. 5. Prüfung der ungeraden Werte aus der Menge: Für \(n=1\) gilt \(f_1'(x) = 1\). Die Gleichung \(1 = 10\) hat keine Lösung. Für \(n=3\) gilt \(3x^2 = 10 \implies x^2 = \frac{10}{3}\), was zwei Lösungen liefert (\(x = \pm \sqrt{\frac{10}{3}}\)). Für \(n=5\) gilt \(5x^4 = 10 \implies x^4 = 2\), was ebenfalls zwei Lösungen liefert (\(x = \pm \sqrt[4]{2}\)). 6. Für gerade \(n\) (\(2, 4, 6\)) ist der Exponent \(n-1\) ungerade, weshalb es jeweils nur eine Lösung gibt.

Die Bedingung ist für \(n = 3\) und \(n = 5\) erfüllt.

- Setze zunächst \(E(t)\) in die Steuerfunktion ein und klammere im Zähler gemeinsame Faktoren aus. - Welche einfache Funktionsart erhältst du nach dem Vereinfachen von \(R(t)\)? - Welche momentane Änderungsrate besitzt eine lineare Funktion mit konstanter Steigung? - Was bedeutet ein negativer Wert für die Entwicklung der Kaufkraft?

1. Es gilt \(T(E(t))=5000(1+0{,}02t)^2\). Daher ist \(R(t)=\frac{50000(1+0{,}02t)-5000(1+0{,}02t)^2}{1+0{,}02t}=50000-5000(1+0{,}02t)\). 2. Damit ist \(R(t)=45000-100t\) eine lineare Funktion. Ihre Steigung und damit ihre momentane Änderungsrate ist überall \(R'(t)=-100\,\frac{\text{€}}{\text{Jahr}}\). 3. Das negative Vorzeichen bedeutet, dass das reale Einkommen in diesem Modell jährlich sinkt. Die progressive Steuerbelastung wächst stärker als der bloße Inflationsausgleich des Bruttoeinkommens.

1. \(R(t)=50000-5000(1+0{,}02t)=45000-100t\) 2. \(R'(t)=-100\,\frac{\text{€}}{\text{Jahr}}\) 3. Das reale Einkommen sinkt trotz des nominalen Inflationsausgleichs.

- Erinnere dich an die Definition der Steigung einer Geraden durch zwei Punkte. - Überlege, was passiert, wenn man zwei Punkte auf einer Kurve immer näher zusammenschiebt. - Lies zwei gut erkennbare Punkte auf der Tangente ab, um ihre Steigung zu bestimmen. - Der Grenzwert des Differenzenquotienten an einer Stelle entspricht geometrisch der Steigung der Kurve in diesem Punkt.

1. Berechnung der Sekantensteigung über den Differenzenquotienten: \(m_s = \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \frac{\sin(x) - \sin(0)}{x - 0} = \frac{\sin(x)}{x}\). 2. Bestimmung der Tangentensteigung durch Ablesen: Die Tangente verläuft durch \((0 \mid 0)\) und \((1 \mid 1)\), woraus die Steigung \(m_t = 1\) folgt. 3. Geometrische Interpretation: Wenn \(x\) gegen \(0\) geht, nähert sich der Punkt \(P\) dem Ursprung \(O\) an. Die Sekante \(s\) geht dabei in die Tangente \(t\) über. Da die Tangentensteigung \(1\) beträgt, konvergieren auch die Sekantensteigungen gegen \(1\), also \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1\).

1. \(m_s = \frac{\sin(x)}{x}\). 2. Die Steigung der Tangente beträgt \(1\). 3. Die Sekante nähert sich der Tangente an; daher gilt \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1\).