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- Erinnere dich an die Definition der Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten. - Nutze die binomischen Formeln, um den Term \(f(x+h)\) zu entwickeln. - Achte darauf, dass im Zähler alle Terme ohne \(h\) wegfallen müssen, damit du \(h\) kürzen kannst. - Überlege dir, welche Bedeutung der Wert der Ableitung an einer Stelle für die Steigung hat.

1. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{1{,}5(x+h)^2 - 1{,}5x^2}{h}\) 2. Anwendung der ersten binomischen Formel und Vereinfachung des Zählers: \(\frac{1{,}5(x^2 + 2xh + h^2) - 1{,}5x^2}{h} = \frac{3xh + 1{,}5h^2}{h}\) 3. Kürzen des Bruchs durch \(h\): \(3x + 1{,}5h\) 4. Bestimmung des Grenzwerts für \(h \to 0\): \(f'(x) = 3x\) 5. Ansetzen der Gleichung \(f'(x_0) = 9\): \(3x_0 = 9\) 6. Auflösen nach \(x_0\): \(x_0 = 3\)

Die Ableitungsfunktion ist \(f'(x) = 3x\). Die gesuchte Stelle ist \(x_0 = 3\).

- Überlege dir, wie der Differenzenquotient für eine beliebige Stelle \(x\) definiert ist. - Setze den Ausdruck \((x+h)\) für \(x\) in die Funktionsgleichung ein und achte auf die binomische Formel. - Welche Terme im Zähler fallen weg, wenn du \(f(x)\) subtrahierst? - Was bleibt vom Term übrig, wenn du den gesamten Bruch durch \(h\) teilst?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten für eine beliebige Stelle \(x\): \(\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{(5 - 2(x+h)^2) - (5 - 2x^2)}{h}\) 2. Vereinfachen des Zählers durch Anwendung der ersten binomischen Formel und Auflösen der Klammern: \(\frac{5 - 2(x^2 + 2xh + h^2) - 5 + 2x^2}{h} = \frac{-4xh - 2h^2}{h}\) 3. Kürzen des Ausdrucks durch \(h\): \(-4x - 2h\) 4. Bestimmung des Grenzwerts für \(h \to 0\), um den Differentialquotienten zu erhalten: \(f'(x) = \lim_{h \to 0} (-4x - 2h) = -4x\)

\(f'(x) = -4x\)

- Erinnere dich an die Definition der momentanen Änderungsrate als Grenzwert. - Wie lässt sich ein Ausdruck der Form \((a+b)^3\) ausmultiplizieren? - Überlege, wie du den Bruch so vereinfachen kannst, dass \(h\) im Nenner verschwindet. - Was passiert mit den Termen, die noch ein \(h\) enthalten, wenn \(h\) gegen Null geht?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} = \frac{(x_0+h)^3 - x_0^3}{h}\) 2. Ausmultiplizieren des Zählers mit der binomischen Formel: \(\frac{x_0^3 + 3x_0^2h + 3x_0h^2 + h^3 - x_0^3}{h}\) 3. Vereinfachen des Zählers durch Subtraktion von \(x_0^3\): \(\frac{3x_0^2h + 3x_0h^2 + h^3}{h}\) 4. Kürzen des Bruchs durch \(h\): \(3x_0^2 + 3x_0h + h^2\) 5. Bestimmung des Grenzwerts für \(h \to 0\): \(\lim_{h \to 0} (3x_0^2 + 3x_0h + h^2) = 3x_0^2\)

Durch Anwendung des Differenzenquotienten \(\lim_{h \to 0} \frac{(x_0+h)^3 - x_0^3}{h}\) und anschließendes Kürzen von \(h\) ergibt sich nach der Grenzwertbetrachtung \(f'(x_0) = 3x_0^2\).

- Erinnere dich an die Definition des Differenzenquotienten. - Setze den Term \(a+h\) für jedes \(x\) in die Funktionsgleichung ein. - Versuche den Zähler so weit zu vereinfachen, dass du \(h\) ausklammern und anschließend kürzen kannst. - Was passiert mit dem verbleibenden Ausdruck, wenn \(h\) immer kleiner wird und gegen Null geht?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten für \(f(x) = x^2 - 3x\): \(\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \frac{(a+h)^2 - 3(a+h) - (a^2 - 3a)}{h}\) 2. Ausmultiplizieren der Klammern im Zähler: \(\frac{a^2 + 2ah + h^2 - 3a - 3h - a^2 + 3a}{h}\) 3. Zusammenfassen und Vereinfachen des Zählers: \(\frac{2ah + h^2 - 3h}{h}\) 4. Kürzen des Bruchs durch \(h\): \(2a + h - 3\) 5. Bestimmen des Grenzwerts für \(h \to 0\): \(\lim_{h \to 0} (2a + h - 3) = 2a - 3\) Die Ableitung an der Stelle \(a\) ist \(f'(a) = 2a - 3\).

\(f'(a) = 2a - 3\)

- Erinnere dich an die Definition des Differenzenquotienten. - Wie lässt sich der Term im Zähler vereinfachen, damit man das \(h\) im Nenner kürzen kann? - Was passiert mit den Termen, die noch ein \(h\) enthalten, wenn \(h\) gegen Null geht? - Nutze die binomischen Formeln für das Quadrat der Summe.

1. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \frac{2(a+h)^2 - 5(a+h) - (2a^2 - 5a)}{h}\) 2. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen des Zählers: \(2(a^2 + 2ah + h^2) - 5a - 5h - 2a^2 + 5a = 2a^2 + 4ah + 2h^2 - 5h - 2a^2 = 4ah + 2h^2 - 5h\) 3. Kürzen durch \(h\): \(\frac{h(4a + 2h - 5)}{h} = 4a + 2h - 5\) 4. Grenzwertbildung für \(h \to 0\): \(f'(a) = \lim_{h \to 0} (4a + 2h - 5) = 4a - 5\)

\(f'(a) = 4a - 5\)

- Welcher Funktionstyp hat an jeder Stelle die gleiche Steigung? - Wie berechnet man die Steigung einer Geraden, wenn zwei Punkte bekannt sind? - Überlege, was die Ableitung an einer Stelle \(x\) über das Wachstum der Funktion aussagt. - Welchen Wert der Funktionsgleichung kannst du direkt aus einem Punkt auf der \(y\)-Achse ablesen?

1. Da die Ableitungsfunktion \(f'\) konstant ist, muss \(f\) eine lineare Funktion der Form \(f(x) = mx + b\) sein. Die Ableitung entspricht der Steigung \(m\). Diese wird über das Steigungsdreieck der Punkte \(P\) und \(Q\) berechnet: \(c = m = \frac{9 - 1{,}5}{5 - 0} = \frac{7{,}5}{5} = 1{,}5\). 2. Der \(y\)-Achsenabschnitt \(b\) entspricht dem Funktionswert an der Stelle \(0\). Aus \(P(0|1{,}5)\) folgt \(b = 1{,}5\). Die Funktionsgleichung lautet somit \(f(x) = 1{,}5x + 1{,}5\). 3. Bei einer linearen Funktion gibt die Steigung (und damit der Wert der Ableitungsfunktion) an, um wie viel sich der Funktionswert ändert, wenn \(x\) um \(1\) erhöht wird. Da \(f'(x) = 1{,}5\), nehmen die Funktionswerte pro Einheit um \(1{,}5\) zu.

1. \(c = 1{,}5\) 2. \(f(x) = 1{,}5x + 1{,}5\) 3. Die Funktionswerte nehmen jeweils um \(1{,}5\) zu.

- Schau dir die Hoch- und Tiefpunkte des ursprünglichen Graphen an. Was muss dort für die Ableitung gelten? - Wenn eine Funktion steigt, welchen Wertbereich nimmt dann ihre Ableitung an? - Kannst du anhand der Anzahl der "Bögen" auf den Grad der jeweiligen Funktionen schließen?

1. Identifikation der lila Kurve als Graph \(F\). 2. Lokalisierung der Extremstellen von \(F\). 3. An diesen Stellen muss die Ableitungsfunktion \(F'\) Nullstellen haben. 4. Überprüfung des blauen Graphen \(D\): Er hat genau an diesen \(x\)-Werten seine Nullstellen. 5. Konsistenzprüfung des Steigungsverhaltens: Wo \(F\) steigt, ist \(D\) positiv; wo \(F\) fällt, ist \(D\) negativ. Dies bestätigt Graph \(D\) als Ableitung.

D

- Wie hängen die Steigungen paralleler Geraden zusammen? - Achte beim Subtrahieren von \(f(x)\) im Zähler besonders auf die Vorzeichen innerhalb der Klammer. - Kannst du den Zähler so umformen, dass du \(h\) im Nenner eliminieren kannst? - Was passiert mit den Termen, die nach dem Kürzen noch ein \(h\) enthalten, wenn \(h\) gegen Null geht?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{4(x+h) - (x+h)^2 - (4x - x^2)}{h}\) 2. Ausmultiplizieren der Klammern im Zähler: \(\frac{4x + 4h - (x^2 + 2xh + h^2) - 4x + x^2}{h}\) 3. Zusammenfassen und Vereinfachen des Zählers: \(\frac{4h - 2xh - h^2}{h}\) 4. Kürzen durch \(h\) und Grenzwertbildung für \(h \to 0\): \(f'(x) = \lim_{h \to 0} (4 - 2x - h) = 4 - 2x\) 5. Bestimmung der Zielsteigung: Da die Tangente parallel zu \(y = -2x + 5\) sein soll, muss \(f'(x_0) = -2\) gelten. 6. Lösen der Gleichung: \(4 - 2x_0 = -2 \implies -2x_0 = -6 \implies x_0 = 3\)

Die Ableitungsfunktion lautet \(f'(x) = 4 - 2x\). Die Tangente verläuft an der Stelle \(x_0 = 3\) parallel zur gegebenen Geraden.

- Ersetze jedes Vorkommen von \(x\) im Funktionsterm durch den Ausdruck \((x+h)\). - Multipliziere alle Klammern im Zähler vollständig aus und fasse gleiche Terme zusammen. - Kannst du \(h\) im Zähler ausklammern, um den Nenner zu eliminieren? - Was passiert mit den verbleibenden Termen, wenn \(h\) immer kleiner wird und schließlich gegen Null geht?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{(x+h)^2 + 6(x+h) - (x^2 + 6x)}{h}\) 2. Umformen und Zusammenfassen der Terme im Zähler: \(\frac{x^2 + 2xh + h^2 + 6x + 6h - x^2 - 6x}{h} = \frac{2xh + h^2 + 6h}{h}\) 3. Kürzen des Faktors \(h\) aus dem gesamten Bruch: \(2x + h + 6\) 4. Bestimmung des Grenzwerts des Terms für \(h \to 0\): \(f'(x) = 2x + 6\)

\(f'(x) = 2x + 6\)

- Erinnere dich daran, welche Bedingung für \(f(-x)\) gelten muss, damit Achsensymmetrie oder Punktsymmetrie vorliegt. - Was passiert mit den Exponenten einer Potenzfunktion \(x^n\), wenn man sie ableitet? - Betrachte die Vorzeichen der Terme, nachdem du \(-x\) für \(x\) eingesetzt hast.

1. Überprüfung der Symmetrie von \(f\): Es gilt \(f(-x) = -(-x)^4 + 4(-x)^2 - 2 = -x^4 + 4x^2 - 2 = f(x)\). Da \(f(-x) = f(x)\) erfüllt ist, ist der Graph von \(f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Berechnung der Ableitung: Unter Verwendung der Potenz- und Summenregel ergibt sich \(f'(x) = -4x^3 + 8x\). 3. Überprüfung der Symmetrie von \(f'\): Es gilt \(f'(-x) = -4(-x)^3 + 8(-x) = -4(-x^3) - 8x = 4x^3 - 8x = -( -4x^3 + 8x ) = -f'(x)\). Da \(f'(-x) = -f'(x)\) erfüllt ist, ist der Graph von \(f'\) punktsymmetrisch zum Ursprung. 4. Zusammenhang: Die Ableitungsfunktion einer achsensymmetrischen ganzrationalen Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Dies liegt daran, dass beim Ableiten die geraden Exponenten zu ungeraden Exponenten werden und die Konstante (Exponent 0) wegfällt.

a) Der Graph von \(f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, da \(f(-x) = f(x)\). b) Die Ableitungsfunktion lautet \(f'(x) = -4x^3 + 8x\). Ihr Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da \(f'(-x) = -f'(x)\). c) Wenn eine ganzrationale Funktion achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist, dann ist ihre Ableitungsfunktion punktsymmetrisch zum Ursprung.

- Überlege dir, welche Exponenten bei Punktsymmetrie zum Ursprung erlaubt sind und welche nicht. - Wähle für das Beispiel einfache Koeffizienten, um die Ableitung leicht berechnen zu können. - Untersuche, wie sich die Parität (gerade/ungerade) einer Zahl \(k\) ändert, wenn man \(k-1\) betrachtet.

1. Eigenschaft der Exponenten: Bei einer zum Ursprung punktsymmetrischen ganzrationalen Funktion treten nur ungerade Exponenten auf. Ein Beispiel für den Grad 3 wäre \(g(x) = x^3 + 2x\). 2. Ableitung und Symmetrie des Beispiels: Für \(g(x) = x^3 + 2x\) ist \(g'(x) = 3x^2 + 2\). Da nur gerade Exponenten (2 und 0) vorkommen, gilt \(g'(-x) = 3(-x)^2 + 2 = 3x^2 + 2 = g'(x)\). Der Graph von \(g'\) ist somit achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. Allgemeine Begründung: Eine punktsymmetrische ganzrationale Funktion \(g\) besteht nur aus Termen der Form \(a_kx^k\) mit ungeradem \(k\). Beim Ableiten wird daraus \(ka_kx^{k-1}\). Da \(k\) ungerade ist, ist der neue Exponent \(k-1\) gerade. Eine ganzrationale Funktion mit nur geraden Exponenten ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

a) Die Exponenten müssen alle ungerade sein. Beispiel: \(g(x) = x^3 + 2x\). b) \(g'(x) = 3x^2 + 2\). Der Graph von \(g'\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. c) Da \(g\) nur ungerade Exponenten hat, haben alle Terme von \(g'\) nach der Potenzregel \(nx^{n-1}\) nur noch gerade Exponenten. Funktionen mit ausschließlich geraden Exponenten sind achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

- Überlege dir bei jeder Aussage, welche Ableitungsregeln für Summen, Potenzen und konstante Faktoren du bereits kennst. - Was bedeutet die Ableitung geometrisch für den Verlauf des Graphen? - Probiere bei formalen Aussagen einfache Beispiele wie \(f(x) = x^2\) aus, um die Behauptung zu prüfen. - Denke an den Unterschied zwischen der Steigung an einem Punkt und dem Funktionswert an diesem Punkt.

1. Aussage a) ist wahr. Nach der Potenzregel wird beim Ableiten eines Terms \(ax^n\) der Exponent um 1 verringert (\(nax^{n-1}\)). Der höchste Exponent \(n\) der Funktion bestimmt den Grad \(n-1\) der Ableitung. 2. Aussage b) ist wahr. Wenn \(g'(x) = h'(x)\) für alle \(x\) gilt, ist die Differenzfunktion \(d(x) = g(x) - h(x)\) konstant, da ihre Ableitung \(d'(x) = 0\) ist. Somit gilt \(g(x) = h(x) + c\). 3. Aussage c) ist falsch. Man darf die Ableitungen der Faktoren nicht einfach multiplizieren. In diesem Fall kann man zuerst ausmultiplizieren: \(p(x) = (x^2 + 1) \cdot x^3 = x^5 + x^3\). Damit ergibt sich \(p'(x) = 5x^4 + 3x^2\). Das Produkt der einzelnen Ableitungen wäre \(2x \cdot 3x^2 = 6x^3\) und führt nicht zum richtigen Ergebnis. 4. Aussage d) ist wahr. An einem lokalen Extrempunkt (Tiefpunkt) verläuft die Tangente waagerecht, was bedeutet, dass die Steigung und damit der Wert der Ableitungsfunktion \(f'(x_0) = 0\) ist.

a) Wahr b) Wahr c) Falsch d) Wahr

- Stelle dir den Graphen bildlich vor: Wenn eine Kurve oberhalb der \(x\)-Achse verläuft, muss sie dann auch zwangsläufig steigen? - Was passiert mit der Steigung einer Kurve, wenn man sie starr im Koordinatensystem nach oben oder unten schiebt? - Erinnere dich an die Definition der Ableitung als lokale Steigung. - Nutze Symmetrieeigenschaften: Wie verhält sich die Steigung einer Parabel links und rechts von der \(y\)-Achse?

1. Aussage a) ist wahr. Bei Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse gilt \(f(-x) = f(x)\). Die Steigung an der Stelle \(x\) ist dann genau der negative Wert der Steigung an der Stelle \(-x\), also \(f'(-x) = -f'(x)\), was Punktsymmetrie zum Ursprung entspricht. 2. Aussage b) ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist \(f(x) = (x-1)^2 + 1\). Für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt \(f(x) > 0\), aber die Ableitung \(f'(x) = 2x - 2\) nimmt zum Beispiel bei \(x = 0\) den negativen Wert \(f'(0) = -2\) an. 3. Aussage c) ist wahr. Eine Verschiebung nach oben entspricht \(g(x) = f(x) + 5\). Da die Ableitung einer Konstanten null ist, gilt nach der Summenregel \(g'(x) = f'(x) + 0 = f'(x)\). 4. Aussage d) ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist \(f(x) = x^2\) an der Stelle \(x_0 = 3\). Der Funktionswert ist \(f(3) = 9\), aber die Steigung (Ableitung) ist \(f'(3) = 2 \cdot 3 = 6\). Funktionswert und Steigung sind im Allgemeinen verschiedene Größen.

a) Wahr b) Falsch (Gegenbeispiel: \(f(x) = (x-1)^2 + 1\)) c) Wahr d) Falsch (Gegenbeispiel: \(f(x) = x^2\) bei \(x=3\))

- Betrachte für die Symmetrie die Exponenten der Potenzfunktionen und wie sie sich beim Ableiten verändern. - Überlege dir bei der Gleichheit von Funktionen, ob die Steigung allein die Position eines Graphen im Koordinatensystem festlegt. - Suche nach einfachen Beispielen wie Geraden oder Parabeln, um die Aussagen zu prüfen. - Was bedeutet eine Nullstelle geometrisch und was bedeutet eine Nullstelle der Ableitung?

1. Eine zum Ursprung punktsymmetrische ganzrationale Funktion \(f\) enthält nur ungerade Exponenten. Durch die erste Ableitung \(f'\) verringern sich diese Exponenten um \(1\), wodurch sie alle gerade werden (der Graph von \(f'\) ist achsensymmetrisch). Die zweite Ableitung \(f''\) verringert die Exponenten erneut um \(1\), sodass sie wieder alle ungerade sind. Somit ist der Graph von \(f''\) ebenfalls punktsymmetrisch zum Ursprung. Die Aussage ist wahr. 2. Wenn \(f'(x) = g'(x)\) gilt, unterscheiden sich die Funktionen nur um eine additive Konstante \(c\) (Verschiebung in \(y\)-Richtung), also \(f(x) = g(x) + c\). Sind sie nicht verschoben (\(c=0\)), sind sie identisch, andernfalls nicht. Beispiel: \(f(x) = x^2\) und \(g(x) = x^2 + 1\) haben beide die Ableitung \(2x\), sind aber verschieden. Die Aussage ist falsch. 3. Eine Nullstelle von \(f\) bedeutet \(f(x_0) = 0\). Dies impliziert keine Bedingung für die Steigung \(f'(x_0)\). Beispiel: \(f(x) = x\) hat bei \(x_0 = 0\) eine Nullstelle, aber die Ableitung ist \(f'(x) = 1\), also \(f'(0) = 1 \neq 0\). Die Aussage ist falsch.

a) wahr b) falsch c) falsch

- Erinnere dich an die allgemeine Formel für die Ableitung von \(x^n\). - Gibt es Funktionen, die immer weiter nach oben gehen, aber zwischendurch kurz „flach“ werden? - Welche Exponenten treten bei achsensymmetrischen Funktionen auf und was passiert mit ihnen beim Ableiten? - Was muss für die Ableitung an einer Stelle gelten, damit dort eine waagerechte Tangente vorliegt?

1. Eine ganzrationale Funktion \(n\)-ten Grades hat die Form \(f(x) = a_n x^n + \dots + a_0\) mit \(a_n \neq 0\). Nach der Potenzregel lautet der höchste Term der Ableitung \(n \cdot a_n x^{n-1}\). Da \(n \geq 1\) und \(a_n \neq 0\), ist der Koeffizient \(n \cdot a_n \neq 0\), und der Grad ist exakt \(n-1\). Die Aussage ist wahr. 2. Für streng monotones Wachstum muss die Steigung zwar fast überall positiv sein, sie darf aber an isolierten Stellen den Wert Null annehmen. Ein klassisches Gegenbeispiel ist \(f(x) = x^3\). Diese Funktion ist auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton steigend, ihre Ableitung \(f'(x) = 3x^2\) hat jedoch an der Stelle \(x = 0\) den Wert \(0\). Die Aussage ist falsch. 3. Eine achsensymmetrische ganzrationale Funktion (gerade Funktion) besitzt nur gerade Exponenten. Ihre Ableitungsfunktion besitzt folglich nur ungerade Exponenten. Setzt man \(x = 0\) in eine Summe von Termen mit ungeraden Exponenten (wie \(x^1, x^3, \dots\)) ein, ergibt jeder Term Null. Damit ist \(f'(0) = 0\), was einer waagerechten Tangente entspricht. Die Aussage ist wahr.

a) wahr b) falsch c) wahr

- Kannst du den Funktionsterm zuerst vereinfachen, indem du die Klammern auflöst? - Überlege dir, welche Variable die Ableitungsvariable ist und welche als konstante Zahl (Parameter) behandelt wird. - Erinnere dich an die grundlegenden Ableitungsregeln für Summen und Potenzen. - Wie gehst du vor, wenn du den Wert der Steigung an einer ganz bestimmten Stelle berechnen möchtest?

1. Ausmultiplizieren des Funktionsterms mithilfe der binomischen Formel: \(f(x) = x^2 + 4kx + 4k^2 - k^2x\). 2. Zusammenfassen der linearen Glieder: \(f(x) = x^2 + (4k - k^2)x + 4k^2\). 3. Bilden der Ableitungsfunktion unter Anwendung der Potenz-, Summen- und Faktorregel: \(f'(x) = 2x + 4k - k^2\). 4. Einsetzen von \(x = 0\) in die Ableitungsfunktion: \(f'(0) = 2 \cdot 0 + 4k - k^2 = 4k - k^2\).

\(f'(x) = 2x + 4k - k^2\) \(f'(0) = 4k - k^2\)

- Es ist oft hilfreich, Produkte erst auszumultiplizieren, bevor man mit dem Ableiten beginnt. - Achte beim Zusammenfassen darauf, nur Terme mit derselben Potenz der Variablen zu kombinieren. - Was passiert mit Termen, die kein \(t\) enthalten, wenn du nach \(t\) ableitest? - Was passiert mit dem Parameter \(a\), wenn er als Vorfaktor vor einer Potenz von \(t\) steht?

1. Auflösen der Klammer durch Multiplikation mit \(t\): \(g(t) = at^3 - 2t^2 + a^2t - \frac{1}{2}at^3\). 2. Zusammenfassen der Terme mit \(t^3\): \(g(t) = \frac{1}{2}at^3 - 2t^2 + a^2t\). 3. Ableiten nach der Variablen \(t\) unter Beachtung des Parameters \(a\): \(g'(t) = \frac{3}{2}at^2 - 4t + a^2\). 4. Bestimmung des Wertes an der Stelle \(0\): \(g'(0) = \frac{3}{2}a(0)^2 - 4(0) + a^2 = a^2\).

\(g'(t) = \frac{3}{2}at^2 - 4t + a^2\) \(g'(0) = a^2\)

- Wie kannst du die beiden Brüche im Zähler auf einen gemeinsamen Nenner bringen? - Versuche, den resultierenden Bruch so weit wie möglich zu vereinfachen, bevor du den Grenzwert betrachtest. - Achte darauf, dass \(h\) im Nenner des Differenzenquotienten weggekürzt werden muss. - Was bleibt übrig, wenn du im vereinfachten Term \(h = 0\) einsetzt?

1. Ansatz des Differenzenquotienten: \(\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \frac{\frac{3}{a+h} - \frac{3}{a}}{h}\) 2. Umformung des Zählers durch Hauptnennerbildung: \(\frac{3}{a+h} - \frac{3}{a} = \frac{3a - 3(a+h)}{a(a+h)} = \frac{3a - 3a - 3h}{a(a+h)} = \frac{-3h}{a(a+h)}\) 3. Vereinfachung des gesamten Doppelbruchs: \(\frac{-3h}{a(a+h) \cdot h} = \frac{-3}{a(a+h)}\) 4. Bestimmung des Grenzwerts für \(h \to 0\): \(f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{-3}{a(a+h)} = -\frac{3}{a^2}\)

\(f'(a) = -\frac{3}{a^2}\)

- Wenn die Änderungsrate überall gleich ist, welche Form muss der Graph dann haben? - Wie hängen die Steigung einer Geraden und ihre Ableitungsfunktion zusammen? - Was passiert mit der Steigung einer Kurve oder Geraden, wenn man sie im Koordinatensystem nur nach oben oder unten verschiebt? - Erinnere dich an die Ableitungsregeln für konstante Summanden.

1. Da die Ableitung überall konstant ist, handelt es sich um eine lineare Funktion. Da der Wert negativ ist (\(-0{,}5\)), ist der Graph eine fallende Gerade. 2. Ansatz \(h(x) = mx + n\) mit \(m = -0{,}5\). Einsetzen des Punktes \((4|2)\): \(2 = -0{,}5 \cdot 4 + n \implies 2 = -2 + n \implies n = 4\). Die Gleichung lautet \(h(x) = -0{,}5x + 4\). 3. Die Ableitungsfunktionen sind identisch: \(g'(x) = h'(x) = -0{,}5\). Geometrisch bedeutet die Addition von \(10\), dass der Graph von \(h\) um \(10\) Einheiten nach oben verschoben wird. Eine vertikale Verschiebung ändert die Steigung der Tangenten (bzw. der Geraden) an keiner Stelle.

1. Lineare Funktion; der Graph ist eine fallende Gerade. 2. \(h(x) = -0{,}5x + 4\) 3. \(g'(x) = h'(x) = -0{,}5\). Eine vertikale Verschiebung des Graphen lässt die Steigung an jeder Stelle unverändert.

- Was genau ist mit der Sekantensteigung gemeint, wenn die Punkte auf dem Graphen immer näher zusammenrücken? - Wie kannst du die beiden Brüche im Zähler so kombinieren, dass nur noch ein Bruch im Zähler steht? - Gibt es eine Möglichkeit, den Term im Zähler so zu faktorisieren, dass sich der Nenner kürzen lässt? - Was passiert mit dem verbleibenden Ausdruck, wenn \(x\) gegen \(a\) strebt?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten für \(x \to a\): \(\frac{f(x) - f(a)}{x - a} = \frac{\frac{1}{x^2} - \frac{1}{a^2}}{x - a}\). 2. Zusammenfassen der Brüche im Zähler durch den Hauptnenner \(x^2 a^2\): \(\frac{a^2 - x^2}{x^2 a^2 (x - a)}\). 3. Anwendung der Identität im Zähler: \(\frac{-(x^2 - a^2)}{x^2 a^2 (x - a)} = \frac{-(x - a)(x + a)}{x^2 a^2 (x - a)}\). 4. Kürzen des Faktors \((x - a)\): \(\frac{-(x + a)}{x^2 a^2}\). 5. Berechnung des Grenzwerts für \(x \to a\): \(\lim_{x \to a} \frac{-(x + a)}{x^2 a^2} = \frac{-(a + a)}{a^2 \cdot a^2} = \frac{-2a}{a^4} = -\frac{2}{a^3}\).

\(f'(a) = -\frac{2}{a^3}\)

- Setze den Ausdruck \((x+h)\) für jedes \(x\) in die Funktionsgleichung ein. - Nutze die erste binomische Formel, um den Term \((x+h)^2\) auszumultiplizieren. - Achte darauf, dass sich im Zähler alle Terme ohne \(h\) gegenseitig aufheben müssen. - Nachdem du \(h\) ausgeklammert und gekürzt hast, kannst du \(h = 0\) einsetzen, um den Grenzwert zu finden.

1. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{(0{,}5(x+h)^2 + 2) - (0{,}5x^2 + 2)}{h}\) 2. Vereinfachen des Zählers: \(\frac{0{,}5(x^2 + 2xh + h^2) + 2 - 0{,}5x^2 - 2}{h} = \frac{0{,}5x^2 + xh + 0{,}5h^2 - 0{,}5x^2}{h} = \frac{xh + 0{,}5h^2}{h}\) 3. Kürzen durch \(h\) (für \(h \neq 0\)): \(\frac{h(x + 0{,}5h)}{h} = x + 0{,}5h\) 4. Grenzwertbildung für \(h \to 0\): \(f'(x) = \lim_{h \to 0} (x + 0{,}5h) = x\) Ergebnis: Die Ableitungsfunktion lautet \(f'(x) = x\).

Durch Anwendung der h-Methode ergibt sich: \(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{0{,}5(x+h)^2 + 2 - (0{,}5x^2 + 2)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0{,}5x^2 + xh + 0{,}5h^2 + 2 - 0{,}5x^2 - 2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{xh + 0{,}5h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (x + 0{,}5h) = x\). Die Ableitungsfunktion ist somit \(f'(x) = x\).

- Setze den gesamten Term \((x+h)\) in Klammern überall dort ein, wo in der Originalfunktion ein \(x\) steht. - Vergiss beim Subtrahieren von \(f(x)\) nicht die Klammern um den gesamten Funktionsterm, damit sich die Vorzeichen richtig ändern. - Das Ziel ist es, den Bruch so zu vereinfachen, dass du das \(h\) im Nenner wegkürzen kannst.

1. Einsetzen in den Differenzenquotienten: \(\frac{( (x+h)^2 - 3(x+h) ) - (x^2 - 3x)}{h}\) 2. Terme ausmultiplizieren: \(\frac{x^2 + 2xh + h^2 - 3x - 3h - x^2 + 3x}{h}\) 3. Zähler zusammenfassen: \(\frac{2xh + h^2 - 3h}{h}\) 4. \(h\) ausklammern und kürzen: \(\frac{h(2x + h - 3)}{h} = 2x + h - 3\) 5. Grenzübergang \(h \to 0\): \(f'(x) = \lim_{h \to 0} (2x + h - 3) = 2x - 3\) Ergebnis: \(f'(x) = 2x - 3\).

Durch Einsetzen in den Differentialquotienten erhält man: \(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - 3(x+h) - (x^2 - 3x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - 3x - 3h - x^2 + 3x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2 - 3h}{h} = \lim_{h \to 0} (2x + h - 3) = 2x - 3\). Die Ableitungsfunktion lautet \(f'(x) = 2x - 3\).

- Überlege dir, welche Steigung der Graph an den Hoch- und Tiefpunkten hat. Was bedeutet das für den Wert der Ableitung an diesen Stellen? - Wo ist die Steigung des Graphen am steilsten oder am flachsten? - Achte auf die Krümmung: Wo ändert der Graph seine Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung? - Erinnere dich an die Potenzregel beim Ableiten von Polynomen.

1. Ableitungsregeln anwenden: \(f'(x) = 0{,}2 \cdot 3x^2 - 2{,}4 = 0{,}6x^2 - 2{,}4\). 2. Zweite Ableitung bilden: \(f''(x) = 0{,}6 \cdot 2x - 0 = 1{,}2x\). 3. Nullstellen von \(f'\) bestimmen: \(0{,}6x^2 - 2{,}4 = 0 \Rightarrow 0{,}6x^2 = 2{,}4 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x_1 = -2; x_2 = 2\). Diese entsprechen den Stellen der lokalen Extrema von \(f\). 4. Schnittpunkt von \(G_{f''}\) mit der \(y\)-Achse: \(f''(0) = 1{,}2 \cdot 0 = 0\). Dies entspricht der Wendestelle von \(f\).

a) Skizze: \(G_{f'}\) ist eine nach oben geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt auf der \(y\)-Achse bei \((0|{-2{,}4})\) und Nullstellen bei \(x = \pm 2\). \(G_{f''}\) ist eine Ursprungsgerade mit der Steigung \(1{,}2\). b) \(f'(x) = 0{,}6x^2 - 2{,}4\) und \(f''(x) = 1{,}2x\). c) Die Nullstellen von \(f'\) liegen bei \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\). Der Schnittpunkt von \(G_{f''}\) mit der \(y\)-Achse ist der Ursprung \(S_y(0|0)\).

- Wie sieht der Differenzenquotient für diese Funktion aus? - Wie kannst du den Doppelbruch vereinfachen? - Schau dir den Zähler genau an – wie hilft dir der mathematische Hinweis dabei, den störenden Faktor \((x-a)\) im Nenner loszuwerden? - Wenn du gekürzt hast, kannst du für jedes \(x\) einfach \(a\) einsetzen.

1. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(x) - f(a)}{x - a} = \frac{\frac{1}{x^4} - \frac{1}{a^4}}{x - a}\). 2. Erweitern auf den Hauptnenner \(x^4 a^4\): \(\frac{a^4 - x^4}{x^4 a^4 (x - a)}\). 3. Faktorisieren des Zählers mit dem Hinweis: \(\frac{-(x^4 - a^4)}{x^4 a^4 (x - a)} = \frac{-(x - a)(x^3 + x^2a + xa^2 + a^3)}{x^4 a^4 (x - a)}\). 4. Kürzen von \((x - a)\): \(\frac{-(x^3 + x^2a + xa^2 + a^3)}{x^4 a^4}\). 5. Grenzwertbildung \(x \to a\): Im Zähler ergibt sich \(-(a^3 + a^3 + a^3 + a^3) = -4a^3\). Im Nenner ergibt sich \(a^4 \cdot a^4 = a^8\). 6. Endergebnis: \(\frac{-4a^3}{a^8} = -\frac{4}{a^5}\).

\(f'(a) = -\frac{4}{a^5}\)