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- Was bedeutet der Ausdruck \(f'(x_0)\) geometrisch? - Übertrage die angegebene Tangentensteigung direkt auf den Ableitungswert.

1. Der Ableitungswert an einer Stelle ist die Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen an dieser Stelle. 2. Daher gilt \(f'(3)=-2\). 3. Die Ableitungsfunktion \(f'\) ordnet jedem x-Wert, an dem \(f\) differenzierbar ist, die zugehörige Tangentensteigung von \(f\) zu.

\(f'(3)=-2\). Die Funktion \(f'\) ordnet einer Stelle \(x\) die Tangentensteigung des Graphen von \(f\) an dieser Stelle zu.

- Jeder Ableitungswert ist die Steigung der Tangente an derselben \(x\)-Stelle. - Nutze bei jeder Tangente zwei gut ablesbare Gitterpunkte. - Eine waagerechte Tangente hat eine besondere, besonders leicht erkennbare Steigung.

1. Die Tangente bei \(x=-2\) hat die Steigung \(-1\), also ist \(f'(-2)=-1\). 2. Die Tangente bei \(x=0\) ist waagerecht, also ist \(f'(0)=0\). 3. Die Tangente bei \(x=2\) hat die Steigung \(1\), also ist \(f'(2)=1\).

\(f'(-2)=-1\), \(f'(0)=0\), \(f'(2)=1\).

- Erinnere dich an die Definition der Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten. - Nutze die binomischen Formeln, um den Term \(f(x+h)\) zu entwickeln. - Achte darauf, dass im Zähler alle Terme ohne \(h\) wegfallen müssen, damit du \(h\) kürzen kannst. - Überlege dir, welche Bedeutung der Wert der Ableitung an einer Stelle für die Steigung hat.

1. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{1{,}5(x+h)^2 - 1{,}5x^2}{h}\) 2. Anwendung der ersten binomischen Formel und Vereinfachung des Zählers: \(\frac{1{,}5(x^2 + 2xh + h^2) - 1{,}5x^2}{h} = \frac{3xh + 1{,}5h^2}{h}\) 3. Kürzen des Bruchs durch \(h\): \(3x + 1{,}5h\) 4. Bestimmung des Grenzwerts für \(h \to 0\): \(f'(x) = 3x\) 5. Ansetzen der Gleichung \(f'(x_0) = 9\): \(3x_0 = 9\) 6. Auflösen nach \(x_0\): \(x_0 = 3\)

Die Ableitungsfunktion ist \(f'(x) = 3x\). Die gesuchte Stelle ist \(x_0 = 3\).

- Überlege dir, wie der Differenzenquotient für eine beliebige Stelle \(x\) definiert ist. - Setze den Ausdruck \((x+h)\) für \(x\) in die Funktionsgleichung ein und achte auf die binomische Formel. - Welche Terme im Zähler fallen weg, wenn du \(f(x)\) subtrahierst? - Was bleibt vom Term übrig, wenn du den gesamten Bruch durch \(h\) teilst?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten für eine beliebige Stelle \(x\): \(\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{(5 - 2(x+h)^2) - (5 - 2x^2)}{h}\) 2. Vereinfachen des Zählers durch Anwendung der ersten binomischen Formel und Auflösen der Klammern: \(\frac{5 - 2(x^2 + 2xh + h^2) - 5 + 2x^2}{h} = \frac{-4xh - 2h^2}{h}\) 3. Kürzen des Ausdrucks durch \(h\): \(-4x - 2h\) 4. Bestimmung des Grenzwerts für \(h \to 0\), um den Differentialquotienten zu erhalten: \(f'(x) = \lim_{h \to 0} (-4x - 2h) = -4x\)

\(f'(x) = -4x\)

- Ersetze jedes Vorkommen von \(x\) im Funktionsterm durch den Ausdruck \((x+h)\). - Multipliziere alle Klammern im Zähler vollständig aus und fasse gleiche Terme zusammen. - Kannst du \(h\) im Zähler ausklammern, um den Nenner zu eliminieren? - Was passiert mit den verbleibenden Termen, wenn \(h\) immer kleiner wird und schließlich gegen Null geht?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{(x+h)^2 + 6(x+h) - (x^2 + 6x)}{h}\) 2. Umformen und Zusammenfassen der Terme im Zähler: \(\frac{x^2 + 2xh + h^2 + 6x + 6h - x^2 - 6x}{h} = \frac{2xh + h^2 + 6h}{h}\) 3. Kürzen des Faktors \(h\) aus dem gesamten Bruch: \(2x + h + 6\) 4. Bestimmung des Grenzwerts des Terms für \(h \to 0\): \(f'(x) = 2x + 6\)

\(f'(x) = 2x + 6\)

- Erinnere dich an die Definition des Differenzenquotienten. - Setze den Term \(a+h\) für jedes \(x\) in die Funktionsgleichung ein. - Versuche den Zähler so weit zu vereinfachen, dass du \(h\) ausklammern und anschließend kürzen kannst. - Was passiert mit dem verbleibenden Ausdruck, wenn \(h\) immer kleiner wird und gegen Null geht?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten für \(f(x) = x^2 - 3x\): \(\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \frac{(a+h)^2 - 3(a+h) - (a^2 - 3a)}{h}\) 2. Ausmultiplizieren der Klammern im Zähler: \(\frac{a^2 + 2ah + h^2 - 3a - 3h - a^2 + 3a}{h}\) 3. Zusammenfassen und Vereinfachen des Zählers: \(\frac{2ah + h^2 - 3h}{h}\) 4. Kürzen des Bruchs durch \(h\): \(2a + h - 3\) 5. Bestimmen des Grenzwerts für \(h \to 0\): \(\lim_{h \to 0} (2a + h - 3) = 2a - 3\) Die Ableitung an der Stelle \(a\) ist \(f'(a) = 2a - 3\).

\(f'(a) = 2a - 3\)

- Welcher Funktionstyp hat an jeder Stelle die gleiche Steigung? - Wie berechnet man die Steigung einer Geraden, wenn zwei Punkte bekannt sind? - Überlege, was die Ableitung an einer Stelle \(x\) über das Wachstum der Funktion aussagt. - Welchen Wert der Funktionsgleichung kannst du direkt aus einem Punkt auf der \(y\)-Achse ablesen?

1. Da die Ableitungsfunktion \(f'\) konstant ist, muss \(f\) eine lineare Funktion der Form \(f(x) = mx + b\) sein. Die Ableitung entspricht der Steigung \(m\). Diese wird über das Steigungsdreieck der Punkte \(P\) und \(Q\) berechnet: \(c = m = \frac{9 - 1{,}5}{5 - 0} = \frac{7{,}5}{5} = 1{,}5\). 2. Der \(y\)-Achsenabschnitt \(b\) entspricht dem Funktionswert an der Stelle \(0\). Aus \(P(0|1{,}5)\) folgt \(b = 1{,}5\). Die Funktionsgleichung lautet somit \(f(x) = 1{,}5x + 1{,}5\). 3. Bei einer linearen Funktion gibt die Steigung (und damit der Wert der Ableitungsfunktion) an, um wie viel sich der Funktionswert ändert, wenn \(x\) um \(1\) erhöht wird. Da \(f'(x) = 1{,}5\), nehmen die Funktionswerte pro Einheit um \(1{,}5\) zu.

1. \(c = 1{,}5\) 2. \(f(x) = 1{,}5x + 1{,}5\) 3. Die Funktionswerte nehmen jeweils um \(1{,}5\) zu.

- Bestimme zuerst beide Ableitungsfunktionen rechnerisch. - Vergleiche Funktionstyp, Achsenschnittpunkte und Nullstellen mit den vier Kandidaten. - Nutze die Symmetrie des kubischen Ableitungsgraphen als zusätzliche Kontrolle.

1. Es gilt \(f'(x)=2x-3\) und \(g'(x)=x^3-2x\). 2. \(f'\) ist eine Gerade mit Steigung \(2\), y-Achsenabschnitt \(-3\) und Nullstelle bei \(x=1{,}5\). Das ist Graph (1). 3. \(g'\) ist eine punktsymmetrische kubische Funktion mit Nullstellen bei \(x=-\sqrt2\), \(x=0\) und \(x=\sqrt2\). Das ist Graph (2).

\(f'(x)=2x-3\) gehört zu Graph (1). \(g'(x)=x^3-2x\) gehört zu Graph (2).

- Lies jede Tangentensteigung an zwei geeigneten Punkten der jeweiligen Geraden ab. - Ein Ableitungswert liefert einen Punkt \((x\mid f'(x))\) des Ableitungsgraphen. - Welche Gerade verläuft durch die drei so erhaltenen Punkte?

1. Die Tangente bei \(x=-2\) hat die Steigung \(-2\), die Tangente bei \(x=0\) die Steigung \(0\) und die Tangente bei \(x=2\) die Steigung \(2\). 2. Damit liegen die Punkte \((-2\mid-2)\), \((0\mid0)\) und \((2\mid2)\) auf dem Graphen von \(f'\). 3. Diese drei Punkte liegen auf der Geraden durch den Ursprung mit Steigung \(1\). Daher lautet die Ableitungsfunktion \(f'(x)=x\).

a) \(f'(-2)=-2\), \(f'(0)=0\), \(f'(2)=2\). b) \(f'(x)=x\).

- Prüfe jeden Summanden unabhängig von den anderen. - Achte besonders darauf, was beim Ableiten eines linearen Terms geschieht. - Vergleiche bei Potenzen jeweils sowohl den neuen Exponenten als auch den Vorfaktor.

1. Termweises Ableiten ergibt \((3x^4)'=12x^3\), \((-2x^2)'=-4x\), \((5x)'=5\) und \((-7)'=0\). 2. Damit ist A mit \(f'(x)=12x^3-4x+5\) korrekt. 3. In B wurde beim Term \(-2x^2\) zwar der Exponent vermindert, der Faktor \(x\) aber vollständig weggelassen; richtig ist dort \(-4x\), nicht \(-4\). 4. In C wurde \(5x\) nicht korrekt abgeleitet: Die Ableitung des linearen Terms ist die Konstante \(5\), nicht \(5x\).

A ist korrekt: \(f'(x)=12x^3-4x+5\). B ist falsch, weil \((-2x^2)'=-4x\) gilt. C ist falsch, weil \((5x)'=5\) gilt.

- Setze zuerst \(x+h\) in den gegebenen Funktionsterm ein. - Vereinfache den Differenzenquotienten, bevor du den Grenzwert betrachtest. - Vergleiche das Ergebnis mit der geometrischen Eigenschaft einer Geraden: Ändert sich ihre Steigung entlang des Graphen?

1. Es ist \(f(x+h)=3(x+h)-2=3x+3h-2\). 2. Der Differenzenquotient lautet \(\frac{3x+3h-2-(3x-2)}{h}=\frac{3h}{h}=3\) für \(h\ne0\). 3. Der Grenzwert für \(h\to0\) ist daher \(3\), also gilt \(f'(x)=3\) für alle \(x\). 4. Der Graph von \(f\) ist eine Gerade mit überall derselben Steigung \(3\); deshalb ist die Ableitungsfunktion konstant.

\(f'(x)=3\). Die Ableitung ist konstant, weil die Gerade \(f\) an jeder Stelle dieselbe Steigung besitzt.

- Vergleiche \(f(x+h)\) und \(f(x)\) termweise im Zähler. - Entscheidend ist, was nach dem Subtrahieren in der Differenz übrig bleibt. - Erst nach dem Kürzen des Faktors \(h\) solltest du den Grenzübergang betrachten.

1. Es ist \(f(x+h)=(x+h)^2+4=x^2+2xh+h^2+4\). 2. Damit wird der Differenzenquotient \(\frac{x^2+2xh+h^2+4-(x^2+4)}{h}=\frac{2xh+h^2}{h}=2x+h\). 3. Für \(h\to0\) folgt \(f'(x)=2x\). Der konstante Summand \(4\) hebt sich in der Differenz \(f(x+h)-f(x)\) vollständig auf. 4. Neles Vorschlag \(2x+4\) ist daher falsch.

Neles Behauptung ist falsch. Mit der Definition erhält man \(f'(x)=2x\). Der konstante Summand \(4\) verschwindet bereits in \(f(x+h)-f(x)\).

- Schau dir die Hoch- und Tiefpunkte des ursprünglichen Graphen an. Was muss dort für die Ableitung gelten? - Wenn eine Funktion steigt, welchen Wertbereich nimmt dann ihre Ableitung an? - Kannst du anhand der Anzahl der "Bögen" auf den Grad der jeweiligen Funktionen schließen?

1. Identifikation der lila Kurve als Graph \(F\). 2. Lokalisierung der Extremstellen von \(F\). 3. An diesen Stellen muss die Ableitungsfunktion \(F'\) Nullstellen haben. 4. Überprüfung des blauen Graphen \(D\): Er hat genau an diesen \(x\)-Werten seine Nullstellen. 5. Konsistenzprüfung des Steigungsverhaltens: Wo \(F\) steigt, ist \(D\) positiv; wo \(F\) fällt, ist \(D\) negativ. Dies bestätigt Graph \(D\) als Ableitung.

D

- Wie hängen die Steigungen paralleler Geraden zusammen? - Achte beim Subtrahieren von \(f(x)\) im Zähler besonders auf die Vorzeichen innerhalb der Klammer. - Kannst du den Zähler so umformen, dass du \(h\) im Nenner eliminieren kannst? - Was passiert mit den Termen, die nach dem Kürzen noch ein \(h\) enthalten, wenn \(h\) gegen Null geht?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{4(x+h) - (x+h)^2 - (4x - x^2)}{h}\) 2. Ausmultiplizieren der Klammern im Zähler: \(\frac{4x + 4h - (x^2 + 2xh + h^2) - 4x + x^2}{h}\) 3. Zusammenfassen und Vereinfachen des Zählers: \(\frac{4h - 2xh - h^2}{h}\) 4. Kürzen durch \(h\) und Grenzwertbildung für \(h \to 0\): \(f'(x) = \lim_{h \to 0} (4 - 2x - h) = 4 - 2x\) 5. Bestimmung der Zielsteigung: Da die Tangente parallel zu \(y = -2x + 5\) sein soll, muss \(f'(x_0) = -2\) gelten. 6. Lösen der Gleichung: \(4 - 2x_0 = -2 \implies -2x_0 = -6 \implies x_0 = 3\)

Die Ableitungsfunktion lautet \(f'(x) = 4 - 2x\). Die Tangente verläuft an der Stelle \(x_0 = 3\) parallel zur gegebenen Geraden.

- Erinnere dich daran, welche Bedingung für \(f(-x)\) gelten muss, damit Achsensymmetrie oder Punktsymmetrie vorliegt. - Was passiert mit den Exponenten einer Potenzfunktion \(x^n\), wenn man sie ableitet? - Betrachte die Vorzeichen der Terme, nachdem du \(-x\) für \(x\) eingesetzt hast.

1. Überprüfung der Symmetrie von \(f\): Es gilt \(f(-x) = -(-x)^4 + 4(-x)^2 - 2 = -x^4 + 4x^2 - 2 = f(x)\). Da \(f(-x) = f(x)\) erfüllt ist, ist der Graph von \(f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Berechnung der Ableitung: Unter Verwendung der Potenz- und Summenregel ergibt sich \(f'(x) = -4x^3 + 8x\). 3. Überprüfung der Symmetrie von \(f'\): Es gilt \(f'(-x) = -4(-x)^3 + 8(-x) = -4(-x^3) - 8x = 4x^3 - 8x = -( -4x^3 + 8x ) = -f'(x)\). Da \(f'(-x) = -f'(x)\) erfüllt ist, ist der Graph von \(f'\) punktsymmetrisch zum Ursprung. 4. Zusammenhang: Die Ableitungsfunktion einer achsensymmetrischen ganzrationalen Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Dies liegt daran, dass beim Ableiten die geraden Exponenten zu ungeraden Exponenten werden und die Konstante (Exponent 0) wegfällt.

a) Der Graph von \(f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, da \(f(-x) = f(x)\). b) Die Ableitungsfunktion lautet \(f'(x) = -4x^3 + 8x\). Ihr Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da \(f'(-x) = -f'(x)\). c) Wenn eine ganzrationale Funktion achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist, dann ist ihre Ableitungsfunktion punktsymmetrisch zum Ursprung.

- Überlege dir, welche Exponenten bei Punktsymmetrie zum Ursprung erlaubt sind und welche nicht. - Wähle für das Beispiel einfache Koeffizienten, um die Ableitung leicht berechnen zu können. - Untersuche, wie sich die Parität (gerade/ungerade) einer Zahl \(k\) ändert, wenn man \(k-1\) betrachtet.

1. Eigenschaft der Exponenten: Bei einer zum Ursprung punktsymmetrischen ganzrationalen Funktion treten nur ungerade Exponenten auf. Ein Beispiel für den Grad 3 wäre \(g(x) = x^3 + 2x\). 2. Ableitung und Symmetrie des Beispiels: Für \(g(x) = x^3 + 2x\) ist \(g'(x) = 3x^2 + 2\). Da nur gerade Exponenten (2 und 0) vorkommen, gilt \(g'(-x) = 3(-x)^2 + 2 = 3x^2 + 2 = g'(x)\). Der Graph von \(g'\) ist somit achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. Allgemeine Begründung: Eine punktsymmetrische ganzrationale Funktion \(g\) besteht nur aus Termen der Form \(a_kx^k\) mit ungeradem \(k\). Beim Ableiten wird daraus \(ka_kx^{k-1}\). Da \(k\) ungerade ist, ist der neue Exponent \(k-1\) gerade. Eine ganzrationale Funktion mit nur geraden Exponenten ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

a) Die Exponenten müssen alle ungerade sein. Beispiel: \(g(x) = x^3 + 2x\). b) \(g'(x) = 3x^2 + 2\). Der Graph von \(g'\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. c) Da \(g\) nur ungerade Exponenten hat, haben alle Terme von \(g'\) nach der Potenzregel \(nx^{n-1}\) nur noch gerade Exponenten. Funktionen mit ausschließlich geraden Exponenten sind achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

- Prüfe jede Aussage unabhängig und suche nach der jeweils einschlägigen Ableitungsregel oder geometrischen Bedeutung der Ableitung. - Welche Wirkung hat die Potenzregel auf den höchsten Exponenten eines Polynoms? - Was folgt für die Differenz zweier Funktionen, wenn ihre Ableitungen überall gleich sind? - Ist das Produkt der Ableitungen zweier Faktoren dasselbe wie die Ableitung ihres Produkts?

1. Aussage a) ist wahr. Beim Ableiten des führenden Terms \(ax^n\) entsteht nach der Potenzregel \(nax^{n-1}\); der Grad sinkt daher um eins. 2. Aussage b) ist wahr. Aus \(g'(x)=h'(x)\) folgt für \(d(x)=g(x)-h(x)\), dass \(d'(x)=0\) gilt. Damit ist \(d\) konstant und somit \(g(x)=h(x)+c\). 3. Aussage c) ist falsch. Die Ableitungen der Faktoren dürfen nicht einfach multipliziert werden. Hier kann man zuerst ausmultiplizieren: \(p(x)=x^5+x^3\). Daher ist \(p'(x)=5x^4+3x^2\), nicht \(6x^3\). 4. Aussage d) ist wahr. An einem inneren differenzierbaren Tiefpunkt ist die Tangente waagerecht, also gilt \(f'(x_0)=0\).

a) Wahr: Der Grad sinkt nach der Potenzregel um eins. b) Wahr: Gleiche Ableitungen bedeuten, dass sich die Funktionen nur um eine Konstante unterscheiden. c) Falsch: \(p'(x)=5x^4+3x^2\), nicht \(6x^3\). d) Wahr: An einem inneren differenzierbaren Tiefpunkt gilt \(f'(x_0)=0\).

- Vergleiche bei a) die Tangenten an zwei Stellen, die spiegelbildlich zur \(y\)-Achse liegen. - Kann ein Graph vollständig oberhalb der \(x\)-Achse liegen und trotzdem an manchen Stellen fallen? - Was ändert sich an einer Tangente, wenn der ganze Graph nur senkrecht verschoben wird? - Unterscheide bei d) sorgfältig zwischen der Höhe eines Graphenpunkts und der Steigung der Tangente.

1. Aussage a) ist wahr. Bei Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse besitzen die Tangenten an den spiegelbildlichen Stellen \(x\) und \(-x\) entgegengesetzte Steigungen. Daher gilt \(f'(-x)=-f'(x)\). 2. Aussage b) ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist \(f(x)=(x-1)^2+1\), denn \(f(x)>0\) für alle \(x\). Am Punkt \(x_0=0\) liefert der Differentialquotient \(\frac{f(h)-f(0)}{h}=h-2\), also \(f'(0)=-2<0\). 3. Aussage c) ist wahr. Eine Verschiebung des gesamten Graphen nach oben verändert an keiner Stelle die Tangentenrichtung und damit auch keine Tangentensteigung. Deshalb bleibt \(f'\) unverändert. 4. Aussage d) ist falsch. Für die Gerade \(f(x)=2x+1\) gilt beispielsweise \(f(0)=1\), während ihre Tangentensteigung an jeder Stelle \(2\) beträgt.

a) Wahr. b) Falsch; Gegenbeispiel: \(f(x)=(x-1)^2+1\) mit \(f'(0)=-2\). c) Wahr; eine reine Verschiebung nach oben verändert keine Tangentensteigung. d) Falsch; bei \(f(x)=2x+1\) gilt \(f(0)=1\), aber \(f'(0)=2\).

- Betrachte für die Symmetrie die Exponenten der Potenzfunktionen und wie sie sich beim Ableiten verändern. - Überlege dir bei der Gleichheit von Funktionen, ob die Steigung allein die Position eines Graphen im Koordinatensystem festlegt. - Suche nach einfachen Beispielen wie Geraden oder Parabeln, um die Aussagen zu prüfen. - Was bedeutet eine Nullstelle geometrisch und was bedeutet eine Nullstelle der Ableitung?

1. Eine zum Ursprung punktsymmetrische ganzrationale Funktion \(f\) enthält nur ungerade Exponenten. Durch die erste Ableitung \(f'\) verringern sich diese Exponenten um \(1\), wodurch sie alle gerade werden (der Graph von \(f'\) ist achsensymmetrisch). Die zweite Ableitung \(f''\) verringert die Exponenten erneut um \(1\), sodass sie wieder alle ungerade sind. Somit ist der Graph von \(f''\) ebenfalls punktsymmetrisch zum Ursprung. Die Aussage ist wahr. 2. Wenn \(f'(x) = g'(x)\) gilt, unterscheiden sich die Funktionen nur um eine additive Konstante \(c\) (Verschiebung in \(y\)-Richtung), also \(f(x) = g(x) + c\). Sind sie nicht verschoben (\(c=0\)), sind sie identisch, andernfalls nicht. Beispiel: \(f(x) = x^2\) und \(g(x) = x^2 + 1\) haben beide die Ableitung \(2x\), sind aber verschieden. Die Aussage ist falsch. 3. Eine Nullstelle von \(f\) bedeutet \(f(x_0) = 0\). Dies impliziert keine Bedingung für die Steigung \(f'(x_0)\). Beispiel: \(f(x) = x\) hat bei \(x_0 = 0\) eine Nullstelle, aber die Ableitung ist \(f'(x) = 1\), also \(f'(0) = 1 \neq 0\). Die Aussage ist falsch.

a) wahr b) falsch c) falsch

- Erinnere dich an die allgemeine Formel für die Ableitung von \(x^n\). - Unterscheide sorgfältig zwischen dem Funktionswert \(f(x_0)\) und der Tangentensteigung \(f'(x_0)\). - Welche Exponenten treten bei achsensymmetrischen ganzrationalen Funktionen auf, und was passiert mit ihnen beim Ableiten? - Was muss für die Ableitung an einer Stelle gelten, damit dort eine waagerechte Tangente vorliegt?

1. Eine ganzrationale Funktion \(n\)-ten Grades hat die Form \(f(x) = a_n x^n + \dots + a_0\) mit \(a_n \neq 0\). Nach der Potenzregel lautet der höchste Term der Ableitung \(n a_n x^{n-1}\). Da \(n \geq 1\) und \(a_n \neq 0\), ist der Koeffizient \(n a_n \neq 0\), und der Grad ist exakt \(n-1\). Die Aussage ist wahr. 2. Aus \(f'(x_0)=0\) folgt nur, dass die Tangente an dieser Stelle waagerecht ist. Über den Funktionswert folgt daraus nichts. Zum Beispiel gilt für \(f(x)=x^2+1\) an der Stelle \(x_0=0\): \(f'(0)=0\), aber \(f(0)=1\). Die Aussage ist falsch. 3. Eine achsensymmetrische ganzrationale Funktion besitzt nur gerade Exponenten. Ihre Ableitungsfunktion besitzt folglich nur ungerade Exponenten. Setzt man \(x = 0\) ein, ergibt jeder Term den Wert null. Damit ist \(f'(0) = 0\), was einer waagerechten Tangente entspricht. Die Aussage ist wahr.

a) wahr b) falsch c) wahr

- Stelle für jede Funktion zunächst den Differenzenquotienten \(\frac{F(x+h)-F(x)}{h}\) auf. - Welche Terme bleiben nach dem Teilen durch \(h\) übrig, wenn \(h\) gegen 0 geht? - Welche geometrischen Größen beschreiben \(x^2\) und \(x^3\)? - Welche dünnen Flächen- beziehungsweise Volumenteile entstehen bei einer sehr kleinen Vergrößerung von \(x\)?

1. Für \(A\) gilt \(\frac{A(x+h)-A(x)}{h}=\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=2x+h\). Für \(h\to0\) folgt \(A'(x)=2x\). 2. Für \(V\) gilt \(\frac{V(x+h)-V(x)}{h}=\frac{(x+h)^3-x^3}{h}=3x^2+3xh+h^2\). Für \(h\to0\) folgt \(V'(x)=3x^2\). 3. \(A(x)\) ist der Flächeninhalt eines Quadrats mit Seitenlänge \(x\). Bei einer kleinen Verlängerung um \(h\) liefert der Term \(2xh\) den führenden Flächenzuwachs; deshalb beschreibt \(A'(x)=2x\) die momentane Flächenänderung pro Längenänderung. 4. \(V(x)\) ist das Volumen eines Würfels mit Kantenlänge \(x\). Bei einer kleinen Verlängerung um \(h\) liefern die drei dünnen Seitenschichten zusammen den führenden Zuwachs \(3x^2h\); deshalb beschreibt \(V'(x)=3x^2\) die momentane Volumenänderung pro Längenänderung.

1. \(A'(x)=2x\) und \(V'(x)=3x^2\) 2. \(A'\) beschreibt die momentane Änderung des Quadratflächeninhalts bezüglich der Seitenlänge; \(V'\) die momentane Änderung des Würfelvolumens bezüglich der Kantenlänge.

- Kannst du den Funktionsterm zuerst vereinfachen, indem du die Klammern auflöst? - Überlege dir, welche Variable die Ableitungsvariable ist und welche als konstante Zahl (Parameter) behandelt wird. - Erinnere dich an die grundlegenden Ableitungsregeln für Summen und Potenzen. - Wie gehst du vor, wenn du den Wert der Steigung an einer ganz bestimmten Stelle berechnen möchtest?

1. Ausmultiplizieren des Funktionsterms mithilfe der binomischen Formel: \(f(x) = x^2 + 4kx + 4k^2 - k^2x\). 2. Zusammenfassen der linearen Glieder: \(f(x) = x^2 + (4k - k^2)x + 4k^2\). 3. Bilden der Ableitungsfunktion unter Anwendung der Potenz-, Summen- und Faktorregel: \(f'(x) = 2x + 4k - k^2\). 4. Einsetzen von \(x = 0\) in die Ableitungsfunktion: \(f'(0) = 2 \cdot 0 + 4k - k^2 = 4k - k^2\).

\(f'(x) = 2x + 4k - k^2\) \(f'(0) = 4k - k^2\)

- Es ist oft hilfreich, Produkte erst auszumultiplizieren, bevor man mit dem Ableiten beginnt. - Achte beim Zusammenfassen darauf, nur Terme mit derselben Potenz der Variablen zu kombinieren. - Was passiert mit Termen, die kein \(t\) enthalten, wenn du nach \(t\) ableitest? - Was passiert mit dem Parameter \(a\), wenn er als Vorfaktor vor einer Potenz von \(t\) steht?

1. Auflösen der Klammer durch Multiplikation mit \(t\): \(g(t) = at^3 - 2t^2 + a^2t - \frac{1}{2}at^3\). 2. Zusammenfassen der Terme mit \(t^3\): \(g(t) = \frac{1}{2}at^3 - 2t^2 + a^2t\). 3. Ableiten nach der Variablen \(t\) unter Beachtung des Parameters \(a\): \(g'(t) = \frac{3}{2}at^2 - 4t + a^2\). 4. Bestimmung des Wertes an der Stelle \(0\): \(g'(0) = \frac{3}{2}a(0)^2 - 4(0) + a^2 = a^2\).

\(g'(t) = \frac{3}{2}at^2 - 4t + a^2\) \(g'(0) = a^2\)

- Wie gehst du vor, um die Ableitung eines Bruchs zu berechnen? - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner immer größer wird, während der Zähler konstant bleibt? - Wie beeinflusst der Exponent im Nenner das Verhalten des Graphen in der Nähe einer Definitionslücke? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Vielfachheit einer Nullstelle im Nenner und dem Vorzeichenwechsel.

1. Berechnung der Ableitungen: Mithilfe der Quotientenregel oder durch Umschreiben zu \(f(x) = 5 + \frac{17}{x - 3}\) ergibt sich die erste Ableitung \(f'(x) = -17 \cdot (x - 3)^{-2} = \frac{-17}{(x - 3)^2}\). Die zweite Ableitung lautet somit \(f''(x) = -17 \cdot (-2) \cdot (x - 3)^{-3} = \frac{34}{(x - 3)^3}\). 2. Untersuchung der Asymptote: Für \(x \to \pm \infty\) gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{34}{(x - 3)^3} = 0\). Da der Grenzwert Null ist, nähert sich der Graph \(G_{f''}\) der Geraden \(y = 0\) (der \(x\)-Achse) beliebig an. 3. Bestimmung der Polstelle: Die Polstelle von \(f''\) liegt an der Nullstelle des Nenners, also bei \(x = 3\). Da der Exponent des Linearfaktors im Nenner von \(f''(x)\) ungerade ist (Grad 3), handelt es sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

a) \(f''(x) = \frac{34}{(x - 3)^3}\) b) Wegen \(\lim_{x \to \pm \infty} f''(x) = 0\) ist die \(x\)-Achse waagrechte Asymptote. c) Polstelle bei \(x = 3\); Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

- Kannst du die Funktion umschreiben, um die Kettenregel einfacher anzuwenden? - Was bedeutet es für den Graphen, wenn der Funktionswert für extrem große \(x\)-Werte gegen Null geht? - Schau dir die Potenz im Nenner der zweiten Ableitung genau an – ist sie gerade oder ungerade? - Was sagt dir die Art der Polstelle über den Verlauf des Graphen links und rechts der Lücke?

1. Bestimmung der zweiten Ableitung: Die Funktion kann als \(g(x) = (x + 2)^{-2}\) geschrieben werden. Die erste Ableitung ist \(g'(x) = -2 \cdot (x + 2)^{-3} = \frac{-2}{(x + 2)^3}\). Die zweite Ableitung ergibt sich zu \(g''(x) = -2 \cdot (-3) \cdot (x + 2)^{-4} = \frac{6}{(x + 2)^4}\). 2. Grenzwertbetrachtung: Es gilt \(\lim_{x \to \infty} \frac{6}{(x + 2)^4} = 0\) und \(\lim_{x \to -\infty} \frac{6}{(x + 2)^4} = 0\). Da der Funktionswert für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte gegen Null strebt, ist die \(x\)-Achse (\(y = 0\)) die waagrechte Asymptote. 3. Analyse der Polstelle: Die Definitionslücke und damit die Polstelle von \(g''\) liegt bei \(x = -2\). Da der Nenner \((x + 2)^4\) einen geraden Exponenten besitzt, ändern die Funktionswerte an dieser Stelle ihr Vorzeichen nicht. Es handelt sich um eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

a) \(g''(x) = \frac{6}{(x + 2)^4}\) b) \(\lim_{x \to \pm \infty} g''(x) = 0\), daher ist die \(x\)-Achse Asymptote. c) Polstelle bei \(x = -2\); Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

- Erinnere dich an die Definition der momentanen Änderungsrate als Grenzwert. - Wie lässt sich ein Ausdruck der Form \((a+b)^3\) ausmultiplizieren? - Überlege, wie du den Bruch so vereinfachen kannst, dass \(h\) im Nenner verschwindet. - Was passiert mit den Termen, die noch ein \(h\) enthalten, wenn \(h\) gegen Null geht?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} = \frac{(x_0+h)^3 - x_0^3}{h}\) 2. Ausmultiplizieren des Zählers mit der binomischen Formel: \(\frac{x_0^3 + 3x_0^2h + 3x_0h^2 + h^3 - x_0^3}{h}\) 3. Vereinfachen des Zählers durch Subtraktion von \(x_0^3\): \(\frac{3x_0^2h + 3x_0h^2 + h^3}{h}\) 4. Kürzen des Bruchs durch \(h\): \(3x_0^2 + 3x_0h + h^2\) 5. Bestimmung des Grenzwerts für \(h \to 0\): \(\lim_{h \to 0} (3x_0^2 + 3x_0h + h^2) = 3x_0^2\)

Durch Anwendung des Differenzenquotienten \(\lim_{h \to 0} \frac{(x_0+h)^3 - x_0^3}{h}\) und anschließendes Kürzen von \(h\) ergibt sich nach der Grenzwertbetrachtung \(f'(x_0) = 3x_0^2\).

- Wie kannst du die beiden Brüche im Zähler auf einen gemeinsamen Nenner bringen? - Versuche, den resultierenden Bruch so weit wie möglich zu vereinfachen, bevor du den Grenzwert betrachtest. - Achte darauf, dass \(h\) im Nenner des Differenzenquotienten weggekürzt werden muss. - Was bleibt übrig, wenn du im vereinfachten Term \(h = 0\) einsetzt?

1. Ansatz des Differenzenquotienten: \(\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \frac{\frac{3}{a+h} - \frac{3}{a}}{h}\) 2. Umformung des Zählers durch Hauptnennerbildung: \(\frac{3}{a+h} - \frac{3}{a} = \frac{3a - 3(a+h)}{a(a+h)} = \frac{3a - 3a - 3h}{a(a+h)} = \frac{-3h}{a(a+h)}\) 3. Vereinfachung des gesamten Doppelbruchs: \(\frac{-3h}{a(a+h) \cdot h} = \frac{-3}{a(a+h)}\) 4. Bestimmung des Grenzwerts für \(h \to 0\): \(f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{-3}{a(a+h)} = -\frac{3}{a^2}\)

\(f'(a) = -\frac{3}{a^2}\)

- Wenn die Änderungsrate überall gleich ist, welche Form muss der Graph dann haben? - Wie hängen die Steigung einer Geraden und ihre Ableitungsfunktion zusammen? - Welche Information liefert der Punkt \((4\mid2)\) für den noch unbekannten Achsenabschnitt? - Was passiert mit allen Tangentensteigungen, wenn ein Graph nur nach oben verschoben wird?

1. Da die Ableitung überall konstant ist, handelt es sich um eine lineare Funktion. Da der Wert negativ ist, ist der Graph eine fallende Gerade. 2. Mit \(h(x)=-0{,}5x+n\) und \(h(4)=2\) gilt \(2=-0{,}5\cdot4+n=-2+n\). Somit ist \(n=4\) und \(h(x)=-0{,}5x+4\). 3. Die Graphen von \(g\) und \(h\) unterscheiden sich nur durch eine Verschiebung um \(10\) Einheiten nach oben. Eine solche Verschiebung verändert keine Steigung. Daher gilt an jeder Stelle \(g'(x)=h'(x)=-0{,}5\).

1. Lineare Funktion; der Graph ist eine fallende Gerade. 2. \(h(x)=-0{,}5x+4\) 3. \(g'(x)=h'(x)=-0{,}5\). Die vertikale Verschiebung verändert keine Steigung.

- Stelle zunächst \(\frac{V(r+\Delta r)-V(r)}{\Delta r}\) auf. - Welche Terme bleiben nach dem Teilen durch \(\Delta r\) und dem Grenzübergang übrig? - Setze für den Vergleich die feste Höhe in die Mantelflächenformel ein. - Welche dünne geometrische Schicht entsteht bei einer sehr kleinen Radiusvergrößerung?

1. Der Differenzenquotient lautet \(\frac{V(r+\Delta r)-V(r)}{\Delta r}=\frac{10\pi(r+\Delta r)^2-10\pi r^2}{\Delta r}\). 2. Für \(\Delta r\ne0\) vereinfacht er sich zu \(20\pi r+10\pi\Delta r\). Im Grenzübergang \(\Delta r\to0\) folgt \(V'(r)=20\pi r\). 3. Für \(h=10\,\text{cm}\) ist \(M(r)=2\pi r\cdot10=20\pi r\). Daher gilt \(V'(r)=M(r)\). 4. Bei einer kleinen Radiusvergrößerung entsteht näherungsweise eine dünne Mantelschicht. Der zusätzliche Volumenterm höherer Ordnung wird im Verhältnis zur Radiusänderung im Grenzübergang vernachlässigbar.

a) \(V'(r)=20\pi r\) b) Für \(h=10\,\text{cm}\) gilt \(V'(r)=M(r)\). c) Eine sehr kleine Radiusvergrößerung erzeugt im führenden Anteil eine dünne Mantelschicht; deren Volumen pro Radiusänderung nähert sich der Mantelfläche.

- Was genau ist mit der Sekantensteigung gemeint, wenn die Punkte auf dem Graphen immer näher zusammenrücken? - Wie kannst du die beiden Brüche im Zähler so kombinieren, dass nur noch ein Bruch im Zähler steht? - Gibt es eine Möglichkeit, den Term im Zähler so zu faktorisieren, dass sich der Nenner kürzen lässt? - Was passiert mit dem verbleibenden Ausdruck, wenn \(x\) gegen \(a\) strebt?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten für \(x \to a\): \(\frac{f(x) - f(a)}{x - a} = \frac{\frac{1}{x^2} - \frac{1}{a^2}}{x - a}\). 2. Zusammenfassen der Brüche im Zähler durch den Hauptnenner \(x^2 a^2\): \(\frac{a^2 - x^2}{x^2 a^2 (x - a)}\). 3. Anwendung der Identität im Zähler: \(\frac{-(x^2 - a^2)}{x^2 a^2 (x - a)} = \frac{-(x - a)(x + a)}{x^2 a^2 (x - a)}\). 4. Kürzen des Faktors \((x - a)\): \(\frac{-(x + a)}{x^2 a^2}\). 5. Berechnung des Grenzwerts für \(x \to a\): \(\lim_{x \to a} \frac{-(x + a)}{x^2 a^2} = \frac{-(a + a)}{a^2 \cdot a^2} = \frac{-2a}{a^4} = -\frac{2}{a^3}\).

\(f'(a) = -\frac{2}{a^3}\)

- Bestimme zuerst rechnerisch die Ableitungsfunktionen \(f'(x)\) und \(g'(x)\). - Welche charakteristischen Eigenschaften haben die Graphen (z. B. Symmetrie, Grad der Funktion, Achsenschnittpunkte oder Extrempunkte)? - Überlege, welcher Graph zu einer linearen Funktion (Gerade) und welche zu quadratischen Funktionen (Parabeln) gehören. - Wie hängen die Extrempunkte einer Funktion mit den Nullstellen ihrer Ableitungsfunktion zusammen?

1. Berechnung der Ableitungsfunktionen: Durch Anwendung der Ableitungsregeln erhält man: \(f'(x) = x\) \(g'(x) = -0{,}6x^2 + 1{,}5\) 2. Zuordnung von \(f\) und \(f'\): - Graph (3) zeigt eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt \((0 \mid -2)\). Dies entspricht der quadratischen Funktion \(f(x) = 0{,}5x^2 - 2\). - Die zugehörige Ableitungsfunktion \(f'(x) = x\) ist eine Gerade durch den Ursprung mit der Steigung \(1\). Dies entspricht genau Graph (1). 3. Zuordnung von \(g\) und \(g'\): - Graph (2) stellt eine punktsymmetrische Kurve dritten Grades dar, die für große \(x\)-Werte gegen \(-\infty\) strebt. Dies entspricht der Funktion \(g(x) = -0{,}2x^3 + 1{,}5x\). - Die zugehörige Ableitungsfunktion \(g'(x) = -0{,}6x^2 + 1{,}5\) beschreibt eine nach unten geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt \((0 \mid 1{,}5)\). Dies entspricht Graph (4).

Graph (1) gehört zu \(f'\); Graph (2) gehört zu \(g\); Graph (3) gehört zu \(f\); Graph (4) gehört zu \(g'\).

- Berechne zunächst die Ableitungen \(f'(x)\) und \(g'(x)\). - Achte auf den Grad der resultierenden Funktionen: Die Ableitung einer Funktion 3. Grades ist quadratisch, die einer Funktion 4. Grades kubisch. - Nutze die Symmetrieeigenschaften: Funktionen mit ausschließlich geraden Exponenten sind achsensymmetrisch, solche mit ungeraden Exponenten punktsymmetrisch. - Bestimme die Nullstellen der Ableitungen und vergleiche sie mit den Schnittpunkten auf der \(x\)-Achse in den Abbildungen.

1. Bestimmung der Ableitungen: Durch Anwendung der Potenzregel erhält man: \(f'(x) = x^2 - 1\) \(g'(x) = x^3 - 4x\) 2. Analyse von \(f'\): Die Funktion \(f'(x) = x^2 - 1\) ist eine quadratische Funktion. Ihr Graph ist eine nach oben geöffnete, achsensymmetrische Parabel mit dem Scheitelpunkt \((0 \mid -1)\). Die Nullstellen liegen bei \(x = 1\) und \(x = -1\). Diese Merkmale finden sich in Graph A. 3. Analyse von \(g'\): Die Funktion \(g'(x) = x^3 - 4x = x(x^2 - 4)\) ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades. Sie ist punktsymmetrisch zum Ursprung und besitzt drei Nullstellen: bei \(x = 0\), \(x = 2\) und \(x = -2\). Diese Eigenschaften werden durch Graph B korrekt dargestellt.

Die Ableitungsfunktion \(f'\) wird durch Graph A dargestellt, die Ableitungsfunktion \(g'\) durch Graph B.

- Beginne in a) wirklich beim Graphen: Wo hat \(f\) waagerechte Tangenten, und wo nimmt \(f\) zu beziehungsweise ab? - Beobachte die Krümmung links und rechts von \(x=0\): Der Graph wechselt von Rechtskrümmung zu Linkskrümmung. - Vergleiche erst danach deine qualitative Erwartung mit den algebraisch berechneten Ableitungen.

1. Aus dem Graphen von \(f\) erkennt man zunächst einen Hochpunkt bei etwa \(x=-2\) und einen Tiefpunkt bei etwa \(x=2\). Daher muss \(f'\) dort Nullstellen besitzen. Zwischen diesen Stellen nimmt \(f\) ab, außerhalb nimmt \(f\) zu; \(f'\) ist also zwischen den Nullstellen negativ und außerhalb positiv. Qualitativ passt dazu eine nach oben geöffnete Parabel. 2. Links von \(x=0\) ist der Graph von \(f\) rechtsgekrümmt, rechts von \(x=0\) linksgekrümmt. Daher ist \(f''\) links von \(0\) negativ, bei \(0\) null und rechts von \(0\) positiv. Qualitativ passt dazu eine steigende Gerade durch den Ursprung. 3. Rechnerisch ist \(f'(x)=0{,}6x^2-2{,}4\). 4. Die zweite Ableitung lautet \(f''(x)=1{,}2x\). 5. Aus \(f'(x)=0\) folgt \(x^2=4\), also \(x=-2\) und \(x=2\). Diese Werte bestätigen die aus dem Graphen erwarteten stationären Stellen. 6. Es gilt \(f''(0)=0\). Damit schneidet \(G_{f''}\) die \(y\)-Achse im Ursprung \(S_y(0|0)\); dies bestätigt den Krümmungswechsel von \(f\) bei \(x=0\).

a) \(G_{f'}\) ist qualitativ eine nach oben geöffnete Parabel mit Nullstellen bei etwa \(x=-2\) und \(x=2\); \(G_{f''}\) ist qualitativ eine steigende Gerade durch den Ursprung. b) \(f'(x)=0{,}6x^2-2{,}4\), \(f''(x)=1{,}2x\) c) Nullstellen von \(f'\): \(x=-2\) und \(x=2\); Schnittpunkt von \(G_{f''}\) mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0|0)\)

- Leite die Schar zunächst so ab, dass die Parameter \(a\) und \(b\) erhalten bleiben. - Die beiden vorgegebenen Ableitungswerte liefern zwei Bedingungen für dieselben Parameter. - Löse die beiden Bedingungen gemeinsam und setze die gefundenen Werte anschließend in die Ableitungsfunktion ein.

1. Es gilt \(f'_{a,b}(x)=3ax^2+2bx-4\). 2. Aus \(f'_{a,b}(1)=5\) folgt \(3a+2b-4=5\), also \(3a+2b=9\). 3. Aus \(f'_{a,b}(-1)=1\) folgt \(3a-2b-4=1\), also \(3a-2b=5\). 4. Addieren der beiden Gleichungen ergibt \(6a=14\), also \(a=\frac{7}{3}\). Danach folgt aus \(3a+2b=9\) die Gleichung \(7+2b=9\), also \(b=1\). 5. Damit lautet die Ableitungsfunktion \(f'_{a,b}(x)=7x^2+2x-4\).

\(a=\frac{7}{3}\), \(b=1\) und \(f'_{a,b}(x)=7x^2+2x-4\).

- Die für den Funktionsterm benötigten Werte stehen nur in der Abbildung: Lies zuerst Nullstellen und markierten Punkt ab. - Zwei Nullstellen legen die faktorisierte Form bis auf einen Faktor fest. - Der markierte Punkt bestimmt den noch fehlenden Faktor. - Für c) setzt du den gefundenen Term gleich der vorgegebenen lokalen Änderungsrate.

1. Aus der Abbildung liest man die Nullstellen \(t=1\) und \(t=5\) sowie \(P(3|2)\) ab. Daher hat \(V'\) die Form \(V'(t)=a(t-1)(t-5)\). 2. Mit \(P(3|2)\) gilt \(2=a(3-1)(3-5)=-4a\), also \(a=-0{,}5\). Damit ist \(V'(t)=-0{,}5(t-1)(t-5)\). 3. \(V'(3)=2\,\text{L/min}\) bedeutet: Nach \(3\,\text{min}\) nimmt das Wasservolumen momentan mit \(2\,\text{L}\) pro Minute zu. 4. Für \(V'(t)=1{,}5\) gilt \(-0{,}5(t-1)(t-5)=1{,}5\). Daraus folgt \(t^2-6t+8=0\), also \(t=2\) oder \(t=4\).

a) Abgelesen: Nullstellen \(1\) und \(5\), Punkt \(P(3|2)\); \(V'(t)=-0{,}5(t-1)(t-5)\) b) Bei \(t=3\,\text{min}\) nimmt das Volumen momentan mit \(2\,\text{L/min}\) zu. c) Bei \(t=2\,\text{min}\) und \(t=4\,\text{min}\).

- Woran erkennst du bei einem vollständig gekürzten Bruch die Ordnung einer Polstelle? - Vereinfache die Ableitung so, dass die Potenz von \(x-a\) im Nenner sichtbar wird. - Welche Bedingung muss der neue Zähler an \(x=a\) erfüllen, damit keine weitere Kürzung möglich ist?

1. Bei \(x=2\) verschwindet der Nenner in dritter Ordnung, während der Zähler den Wert \(5\neq0\) hat. Daher besitzt \(f\) dort eine Polstelle 3. Ordnung. 2. Mit der Quotientenregel folgt \(f'(x)=\frac{2x(x-2)^3-(x^2+1)3(x-2)^2}{(x-2)^6}=\frac{-x^2-4x-3}{(x-2)^4}\). Der neue Zähler hat bei \(x=2\) den Wert \(-15\neq0\), also liegt eine Polstelle 4. Ordnung vor. 3. Für \(g\) gilt \(g'(x)=\frac{u'(x)(x-a)^n-u(x)n(x-a)^{n-1}}{(x-a)^{2n}}=\frac{u'(x)(x-a)-nu(x)}{(x-a)^{n+1}}\). Der Zähler nimmt bei \(x=a\) den Wert \(-nu(a)\neq0\) an. Damit hat \(g'\) bei \(x=a\) eine Polstelle der Ordnung \(n+1\).

1. Polstelle \(x=2\) der Ordnung 3. 2. \(f'(x)=\frac{-x^2-4x-3}{(x-2)^4}\); bei \(x=2\) ist der Zähler \(-15\neq0\), also hat \(f'\) dort eine Polstelle 4. Ordnung. 3. \(g'(x)=\frac{u'(x)(x-a)-nu(x)}{(x-a)^{n+1}}\) und der Zählerwert bei \(x=a\) ist \(-nu(a)\neq0\); daher steigt die Polordnung von \(n\) auf \(n+1\).

- Du kannst die Potenzregel für negative Exponenten nutzen, um die Ableitungen schneller zu berechnen. - Vergleiche die Exponenten im Nenner der Ableitungen mit der Anzahl der Ableitungsschritte. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Ordnung einer Polstelle (gerade vs. ungerade) und dem grafischen Verlauf (mit oder ohne Vorzeichenwechsel).

1. Es ist \(f(x) = (x-1)^{-1}\). Die erste Ableitung lautet \(f'(x) = -1 \cdot (x-1)^{-2} = -\frac{1}{(x-1)^2}\). Die zweite Ableitung lautet \(f''(x) = (-1) \cdot (-2) \cdot (x-1)^{-3} = \frac{2}{(x-1)^3}\). 2. Für \(f\) ist die Ordnung 1. Für \(f'\) ist die Ordnung 2. Für \(f''\) ist die Ordnung 3. Allgemein lässt sich vermuten, dass die \(m\)-te Ableitung \(f^{(m)}\) einer Funktion mit einer Polstelle \(n\)-ter Ordnung eine Polstelle der Ordnung \(n+m\) besitzt. Hier ist \(n=1\), also hat \(f^{(m)}\) die Ordnung \(1+m\). 3. Die zweite Ableitung \(f''(x) = \frac{2}{(x-1)^3}\) hat an der Stelle \(x = 1\) eine Polstelle der Ordnung 3. Da die Ordnung 3 eine ungerade Zahl ist, liegt an der senkrechten Asymptote \(x = 1\) ein Vorzeichenwechsel vor. Für \(x \to 1^+\) gilt \(f''(x) \to +\infty\), für \(x \to 1^-\) gilt \(f''(x) \to -\infty\).

1. \(f'(x) = -\frac{1}{(x-1)^2}\) und \(f''(x) = \frac{2}{(x-1)^3}\). 2. Ordnungen: \(f: 1\), \(f': 2\), \(f'': 3\). Vermutung: Die \(m\)-te Ableitung hat die Ordnung \(n+m\) (hier \(1+m\)). 3. Senkrechte Asymptote bei \(x=1\) mit Vorzeichenwechsel, da die Polstelle von \(f''\) die ungerade Ordnung 3 hat.

- Erinnere dich an die Regel: Eine Polstelle hat genau dann einen Vorzeichenwechsel, wenn ihre Ordnung ungerade ist. - Wie verändert sich die Ordnung einer Polstelle beim Ableiten einer Potenzfunktion mit negativem Exponenten? - Teste die Aussagen an einfachen Beispielen wie \(f(x) = \frac{1}{x}\) oder \(f(x) = \frac{1}{x^2}\).

1. Zusammenhang der Polstellenordnungen: Sei \(x_0\) eine Polstelle \(k\)-ter Ordnung von \(f\). Dann verhält sich die Funktion lokal wie \(\frac{1}{(x-x_0)^k}\). Die Ableitung verhält sich lokal wie \(\frac{-k}{(x-x_0)^{k+1}}\), besitzt dort also eine Polstelle der Ordnung \(k+1\). 2. Analyse von Sarahs Aussage: Ein Vorzeichenwechsel (VZW) bei \(f\) bedeutet, dass \(k\) ungerade ist. Dann ist \(k+1\) gerade. Eine Polstelle gerader Ordnung hat keinen VZW. Sarahs Aussage ist somit korrekt. 3. Analyse von Leos Aussage: Ein fehlender VZW bei \(f'\) bedeutet, dass die Ordnung \(k+1\) gerade ist. Daraus folgt, dass die Ordnung \(k\) der ursprünglichen Funktion \(f\) ungerade sein muss. Eine ungerade Ordnung \(k\) bedeutet jedoch, dass die Funktion \(f\) an dieser Stelle einen Vorzeichenwechsel besitzt. Leos Aussage ist somit falsch.

Sarahs Aussage ist korrekt, da eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel eine ungerade Ordnung \(k\) hat, woraus eine gerade Ordnung \(k+1\) für die Ableitung folgt (kein VZW). Leos Aussage ist falsch, da ein fehlender Vorzeichenwechsel in der Ableitung (gerade Ordnung \(k+1\)) bedeutet, dass die ursprüngliche Funktion eine ungerade Ordnung \(k\) und damit einen Vorzeichenwechsel haben muss.