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- Überlege dir, wie der Graph einer Funktion an einer Stelle aussehen muss, damit man dort keine eindeutige Tangente anlegen kann. - Was passiert mit dem Graphen einer Betragsfunktion wie \(|x|\) an der Stelle \(0\)? Wie kannst du das auf die Stelle \(2\) verschieben? - Damit eine abschnittsweise definierte Funktion an einer Nahtstelle stetig ist, müssen die Funktionswerte der beiden Teilfunktionen dort übereinstimmen. - Damit sie dort nicht differenzierbar ist, müssen sich die Steigungen der beiden Teilfunktionen an dieser Stelle unterscheiden.

1. Für die Betragsfunktion \(f\) bietet sich \(f(x) = |x - 2|\) an. Diese Funktion hat an der Stelle \(x = 2\) eine Knickstelle, da der Term im Betrag dort sein Vorzeichen wechselt. 2. Für die abschnittsweise definierte Funktion \(g\) muss gelten, dass die Funktionswerte von links und rechts gegen denselben Wert streben (Stetigkeit), aber die Steigungen unterschiedlich sind. Ein Beispiel ist: \(g(x) = \begin{cases} x & \text{für } x \le 2 \\ 2x - 2 & \text{für } x > 2 \end{cases}\) 3. Nachweis der Stetigkeit für \(g\): \(\lim_{x \to 2^-} g(x) = 2\) und \(\lim_{x \to 2^+} g(x) = 2 \cdot 2 - 2 = 2\). Der Funktionswert ist ebenfalls \(g(2) = 2\). 4. Nachweis der Nicht-Differenzierbarkeit: Die Steigung im linken Abschnitt ist konstant \(1\). Die Steigung im rechten Abschnitt ist konstant \(2\). Da die einseitigen Grenzwerte der Steigungen (\(1 \neq 2\)) nicht übereinstimmen, ist \(g\) an der Stelle \(x = 2\) nicht differenzierbar.

Mögliche Funktionen sind: \(f(x) = |x - 2|\) \(g(x) = \begin{cases} x & \text{für } x \le 2 \\ 2x - 2 & \text{für } x > 2 \end{cases}\) Begründung für \(g\): Die Funktion ist stetig, da beide Teilterme an der Stelle \(x = 2\) den Wert \(2\) liefern. Sie ist jedoch nicht differenzierbar, da die linksseitige Steigung \(1\) und die rechtsseitige Steigung \(2\) beträgt.

- Überlege dir, wie der Graph einer Funktion aussieht, die stetig, aber nicht glatt ist. - Kennst du eine Funktion, die an einer Stelle eine Spitze oder einen Knick hat? - Was bedeutet Differenzierbarkeit anschaulich für die Tangente an einem Punkt? - Ist jede durchgehende Linie automatisch überall glatt?

1. Die Eigenschaft „keinen Sprung machen“ entspricht der mathematischen Definition der Stetigkeit an einer Stelle \(x_0\). Dies bedeutet, dass der Funktionsgraph dort nicht unterbrochen ist. 2. Die Behauptung ist falsch. Stetigkeit ist zwar eine notwendige Voraussetzung für die Differenzierbarkeit, reicht jedoch alleine nicht aus (sie ist nicht hinreichend). 3. Ein klassisches Gegenbeispiel ist die Betragsfunktion \(f(x) = |x|\) an der Stelle \(x_0 = 0\). Die Funktion ist dort stetig (man kann den Graphen ohne Absetzen zeichnen), weist aber eine „Knickstelle“ auf. An einem solchen Knick ändert sich die Steigung abrupt (hier von \(-1\) auf \(1\)), weshalb kein eindeutiger Grenzwert des Differenzenquotienten existiert. Folglich kann an dieser Stelle keine eindeutige Tangente an den Graphen gelegt werden.

a) Damit ist die Stetigkeit der Funktion an der Stelle \(x_0\) gemeint. b) Die Behauptung ist falsch. c) Ein Gegenbeispiel ist \(f(x) = |x|\) an der Stelle \(x_0 = 0\). Die Funktion ist dort stetig, besitzt aber eine Knickstelle. Da die Steigungen links und rechts vom Nullpunkt unterschiedlich sind (\(-1\) und \(1\)), existiert kein eindeutiger Grenzwert für den Differenzenquotienten und somit keine Ableitung.

- Was muss für eine Funktion an einer Stelle gelten, damit sie dort überhaupt differenzierbar sein kann? - Wie verhalten sich die Funktionswerte der beiden Teilabschnitte, wenn man sich der Nahtstelle nähert? - Untersuche die Steigungen der beiden Funktionsgraphen links und rechts von der Nahtstelle. - Was passiert mit dem Differenzenquotienten, wenn du ihn von links und von rechts gegen die Stelle laufen lässt?

1. Überprüfung der Stetigkeit an der Stelle \(x = 2\): Der linksseitige Grenzwert und Funktionswert ist \(f(2) = 2^2 - 1 = 3\). Der rechtsseitige Grenzwert ist \(\lim_{x \to 2^+} (2x - 1) = 2 \cdot 2 - 1 = 3\). Da beide Grenzwerte übereinstimmen, ist die Funktion an der Stelle \(x = 2\) stetig. 2. Untersuchung der einseitigen Ableitungen: Die Ableitung für den linken Abschnitt ist \(f'(x) = 2x\), woraus sich für \(x \to 2^-\) der Wert \(2 \cdot 2 = 4\) ergibt. Die Ableitung für den rechten Abschnitt ist \(f'(x) = 2\), woraus sich für \(x \to 2^+\) der konstante Wert \(2\) ergibt. 3. Vergleich: Da der linksseitige Grenzwert der Ableitung (\(4\)) nicht mit dem rechtsseitigen Grenzwert (\(2\)) übereinstimmt, ist die Funktion an der Nahtstelle \(x = 2\) nicht differenzierbar.

Die Funktion ist an der Stelle \(x = 2\) nicht differenzierbar, da der linksseitige Grenzwert der Ableitung (\(4\)) und der rechtsseitige Grenzwert der Ableitung (\(2\)) nicht übereinstimmen, obwohl die Funktion dort stetig ist.

- Was ist die Voraussetzung dafür, dass eine Funktion an einer Stelle differenzierbar ist? - Überlege dir, wie der Graph der Betragsfunktion an der Stelle \(x_0 = 4\) aussieht. - Untersuche den Grenzwert der Steigung von links und von rechts separat. - Kann eine Funktion eine „Ecke“ haben und trotzdem differenzierbar sein?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten an der Stelle \(x_0 = 4\): \(\frac{f(4+h) - f(4)}{h} = \frac{|4+h-4| - |4-4|}{h} = \frac{|h|}{h}\). 2. Bestimmung des rechtsseitigen Grenzwerts für \(h \to 0^+\): Da \(h > 0\), gilt \(\frac{h}{h} = 1\). 3. Bestimmung des linksseitigen Grenzwerts für \(h \to 0^-\): Da \(h < 0\), gilt \(\frac{-h}{h} = -1\). 4. Da der linksseitige Grenzwert \(-1\) und der rechtsseitige Grenzwert \(1\) nicht übereinstimmen, existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle \(x_0 = 4\) nicht. 5. Die Aussage ist falsch; Stetigkeit ist eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung für Differenzierbarkeit.

Die Aussage ist falsch. Trotz der Stetigkeit an der Stelle \(x_0 = 4\) ist die Funktion dort nicht differenzierbar, da der linksseitige Grenzwert des Differenzenquotienten (\(-1\)) und der rechtsseitige Grenzwert (\(1\)) nicht identisch sind (Knickstelle).

- Was muss für die linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten gelten, damit eine Funktion an einer Stelle differenzierbar ist? - Überlege dir, wie du den Differenzenquotienten für Werte knapp unterhalb und knapp oberhalb der untersuchten Stelle aufstellen kannst. - Hilft es dir, den Betragsterm in eine abschnittsweise definierte Form ohne Betragsstriche umzuschreiben? - Was bedeutet ein „Knick“ im Graphen für die Steigung an dieser Stelle?

1. Bestimmung des Funktionswerts an der Stelle \(x_0 = 2\): \(f(2) = 2 \cdot 2 - 4 = 0\). 2. Berechnung des linksseitigen Grenzwerts des Differenzenquotienten für \(x \to 2^-\): \(\lim_{x \to 2^-} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2^-} \frac{-2x + 4 - 0}{x - 2} = \lim_{x \to 2^-} \frac{-2(x - 2)}{x - 2} = -2\). 3. Berechnung des rechtsseitigen Grenzwerts des Differenzenquotienten für \(x \to 2^+\): \(\lim_{x \to 2^+} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2^+} \frac{2x - 4 - 0}{x - 2} = \lim_{x \to 2^+} \frac{2(x - 2)}{x - 2} = 2\). 4. Vergleich der Grenzwerte: Da der linksseitige Grenzwert \(-2\) und der rechtsseitige Grenzwert \(2\) nicht übereinstimmen, existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle \(x_0 = 2\) nicht. 5. Schlussfolgerung: Die Funktion \(f\) ist an der Stelle \(x_0 = 2\) nicht differenzierbar.

Die Funktion \(f\) ist an der Stelle \(x_0 = 2\) nicht differenzierbar, da der linksseitige Grenzwert des Differenzenquotienten \(-2\) und der rechtsseitige Grenzwert \(2\) nicht übereinstimmen.

- Wie verhält sich der Betrag einer Zahl, wenn der Inhalt der Betragsstriche negativ oder positiv ist? - Untersuche den Grenzwert des Differenzenquotienten von beiden Seiten. - Kannst du die Funktion in der Nähe der Stelle ohne Betragsstriche schreiben?

1. Untersuchung an der Stelle \(x_1 = 5\): Der linksseitige Grenzwert des Differenzenquotienten \(\lim_{h \to 0^-} \frac{|5+h-5| - |5-5|}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1\) und der rechtsseitige Grenzwert \(\lim_{h \to 0^+} \frac{|5+h-5| - |5-5|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1\) sind nicht identisch. Somit ist \(f\) an der Stelle \(x_1 = 5\) nicht differenzierbar. 2. Untersuchung an der Stelle \(x_2 = 2\): In einer Umgebung von \(x_2 = 2\) gilt \(x - 5 < 0\), daher ist \(f(x) = -(x - 5) = -x + 5\). Die Ableitung einer linearen Funktion ist ihre Steigung, also gilt \(f'(2) = -1\).

An der Stelle \(x_1 = 5\) ist die Funktion nicht differenzierbar (Knickstelle). An der Stelle \(x_2 = 2\) ist die Funktion differenzierbar mit \(f'(2) = -1\).

- Erinnere dich an die Definition der Differenzierbarkeit über den Grenzwert des Differenzenquotienten. - Was muss für den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert an der Nahtstelle gelten? - Setze den Funktionswert an der Stelle \(x_0\) korrekt in den Differenzenquotienten ein. - Überprüfe, ob die Annäherung von links und von rechts zum selben Ergebnis führt.

1. Bestimmung des linksseitigen Grenzwerts des Differenzenquotienten für \(h \to 0^-\) mit \(f(-2) = -4\): \(\lim_{h \to 0^-} \frac{f(-2+h) - f(-2)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{(-2+h)^2 + 4(-2+h) - (-4)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{4 - 4h + h^2 - 8 + 4h + 4}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{h^2}{h} = 0\). 2. Bestimmung des rechtsseitigen Grenzwerts des Differenzenquotienten für \(h \to 0^+\): \(\lim_{h \to 0^+} \frac{f(-2+h) - f(-2)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{-4(-2+h) - 12 - (-4)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{8 - 4h - 12 + 4}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{-4h}{h} = -4\). 3. Vergleich der einseitigen Grenzwerte: Da \(0 \neq -4\), existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle \(x_0 = -2\) nicht. 4. Ergebnis: Die Funktion \(f\) ist an der Stelle \(x_0 = -2\) nicht differenzierbar.

Die Funktion \(f\) ist an der Stelle \(x_0 = -2\) nicht differenzierbar, da der linksseitige Grenzwert des Differenzenquotienten \(0\) und der rechtsseitige Grenzwert \(-4\) beträgt.

- Betrachte das Verhalten der Steigung, wenn du dich dem Punkt von beiden Seiten näherst. - Nutze den Differenzenquotienten für beide Teilintervalle. - Was bedeutet es für die Steigung an der Stelle \(x=2\), wenn beide Grenzwerte gleich sind?

1. Berechnung des Funktionswerts an der Stelle \(x_0 = 2\): \(g(2) = \frac{1}{2} \cdot 2^2 + 1 = 3\). 2. Untersuchung des linksseitigen Differenzenquotienten für \(h \to 0^-\): \(\lim_{h \to 0^-} \frac{g(2+h) - g(2)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{\frac{1}{2}(2+h)^2 + 1 - 3}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{\frac{1}{2}(4 + 4h + h^2) - 2}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{2 + 2h + \frac{1}{2}h^2 - 2}{h} = \lim_{h \to 0^-} (2 + \frac{1}{2}h) = 2\). 3. Untersuchung des rechtsseitigen Differenzenquotienten für \(h \to 0^+\): \(\lim_{h \to 0^+} \frac{g(2+h) - g(2)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{2(2+h) - 1 - 3}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{4 + 2h - 4}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{2h}{h} = 2\). 4. Da beide einseitigen Grenzwerte übereinstimmen und den Wert \(2\) besitzen, ist die Funktion an der Stelle \(x_0 = 2\) differenzierbar.

Die Funktion \(g\) ist an der Stelle \(x_0 = 2\) differenzierbar. Der Grenzwert des Differenzenquotienten ist auf beiden Seiten gleich \(2\), folglich gilt \(g'(2) = 2\).

- Überlege dir, was der Betrag mit negativen Funktionswerten macht. - Für welche \(x\)-Werte ist der Ausdruck innerhalb des Betrags negativ? - Nutze die Definition des Differenzenquotienten \(\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\). - Betrachte beim Grenzwertprozess \(h \to 0\) getrennt die Fälle, in denen sich \(x_0\) von links oder von rechts genähert wird.

1. Der Graph von \(f\) entsteht aus dem Graphen von \(g\), indem alle Teile von \(G_g\), die unterhalb der \(x\)-Achse liegen (also im Intervall \((-2; 2)\)), an der \(x\)-Achse nach oben gespiegelt werden. 2. Bestimmung der Intervalle: \(x^2 - 4 \ge 0\) für \(x \le -2\) oder \(x \ge 2\). Somit gilt: \(f(x) = \begin{cases} x^2 - 4 & \text{für } x \le -2 \text{ oder } x \ge 2 \\ -x^2 + 4 & \text{für } -2 < x < 2 \end{cases}\) 3. Rechtsseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten an \(x_0 = 2\): \(\lim_{h \to 0^+} \frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{(2+h)^2-4-0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{4h+h^2}{h} = \lim_{h \to 0^+} (4+h) = 4\). 4. Linksseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten an \(x_0 = 2\): \(\lim_{h \to 0^-} \frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-(2+h)^2+4-0}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-4h-h^2}{h} = \lim_{h \to 0^-} (-4-h) = -4\). 5. Da der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert nicht übereinstimmen (\(-4 \neq 4\)), ist die Funktion an der Stelle \(x_0 = 2\) nicht differenzierbar.

a) Der Graph \(G_f\) entsteht durch Spiegelung der negativen Anteile von \(G_g\) an der \(x\)-Achse. \(f(x) = \begin{cases} x^2 - 4 & \text{für } |x| \ge 2 \\ -x^2 + 4 & \text{für } |x| < 2 \end{cases}\) b) Der rechtsseitige Grenzwert ist \(4\), der linksseitige \(-4\). Da diese ungleich sind, ist \(f\) bei \(x_0 = 2\) nicht differenzierbar.

- Wie verändert sich die Funktionsgleichung, wenn \(x\) negativ ist? - Setze den Punkt \(x_0 = 0\) direkt in den Differenzenquotienten ein. - Was muss für die einseitigen Grenzwerte gelten, damit eine Funktion an einer Stelle differenzierbar ist?

1. Fallunterscheidung für den Betrag \(|x|\): Für \(x \ge 0\) ist \(h(x) = x \cdot (x - 2) = x^2 - 2x\). Für \(x < 0\) ist \(h(x) = -x \cdot (x - 2) = -x^2 + 2x\). 2. Untersuchung der Differenzierbarkeit an \(x_0 = 0\) mithilfe des Differenzenquotienten: Rechtsseitiger Grenzwert (\(t \to 0^+\)): \(\lim_{t \to 0^+} \frac{h(0+t)-h(0)}{t} = \lim_{t \to 0^+} \frac{t^2-2t-0}{t} = \lim_{t \to 0^+} (t-2) = -2\). 3. Linksseitiger Grenzwert (\(t \to 0^-\)): \(\lim_{t \to 0^-} \frac{h(0+t)-h(0)}{t} = \lim_{t \to 0^-} \frac{-t^2+2t-0}{t} = \lim_{t \to 0^-} (-t+2) = 2\). 4. Ergebnis: Da die einseitigen Grenzwerte \(-2\) und \(2\) verschieden sind, existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten nicht; \(h\) ist bei \(x_0 = 0\) nicht differenzierbar.

a) \(h(x) = \begin{cases} x^2 - 2x & \text{für } x \ge 0 \\ -x^2 + 2x & \text{für } x < 0 \end{cases}\) b) Die einseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten an der Stelle \(0\) sind \(2\) (linksseitig) und \(-2\) (rechtsseitig). Da sie nicht identisch sind, ist \(h\) dort nicht differenzierbar.

- Überlege dir zuerst, in welchen Bereichen der Ausdruck innerhalb der Betragsstriche positiv oder negativ ist. - Wie verändert sich ein Term, wenn man den Betrag auflöst und das Innere negativ ist? - Eine Funktion ist an einer Stelle nur dann differenzierbar, wenn die Steigungen von links und von rechts kommend gleich sind. - Berechne die Ableitungen der Teilfunktionen und vergleiche deren Werte an der Nahtstelle.

1. Bestimmung der Intervalle durch Nullstellen von \(x^2 - 1\): \(x_1 = -1\), \(x_2 = 1\). Da die Parabel nach oben geöffnet ist, gilt \(x^2 - 1 \ge 0\) für \(|x| \ge 1\) und \(x^2 - 1 < 0\) für \(-1 < x < 1\). 2. Aufstellen der abschnittsweisen Funktion: \(f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{für } x \le -1 \text{ oder } x \ge 1 \\ 1 - x^2 & \text{für } -1 < x < 1 \end{cases}\) 3. Untersuchung der Differenzierbarkeit an \(x = 1\) über die einseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten oder der Ableitungsfunktionen: - Rechtsseitig (\(x \to 1^+\)): \(f'(x) = 2x \to 2 \cdot 1 = 2\). - Linksseitig (\(x \to 1^-\)): \(f'(x) = -2x \to -2 \cdot 1 = -2\). 4. Da die einseitigen Grenzwerte (\(2\) und \(-2\)) nicht übereinstimmen, ist die Funktion an der Stelle \(x = 1\) nicht differenzierbar.

a) \(f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{für } x \le -1 \text{ oder } x \ge 1 \\ 1 - x^2 & \text{für } -1 < x < 1 \end{cases}\) b) \(f\) ist an der Stelle \(x = 1\) nicht differenzierbar, da die einseitigen Grenzwerte der Ableitung (\(-2\) und \(2\)) verschieden sind.

- Wann kehrt die Betragsfunktion das Vorzeichen des Terms um? - Nutze die Nullstellen des Terms im Betrag, um die Intervalle für die abschnittsweise Definition zu finden. - Untersuche das Verhalten der Steigung unmittelbar links und rechts von der kritischen Stelle. - Wenn du zwei verschiedene Steigungswerte erhältst, was bedeutet das für die Differenzierbarkeit?

1. Berechnung der Nullstellen des inneren Terms: \(8 - 0{,}5x^2 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 16 \Leftrightarrow x = \pm 4\). 2. Bestimmung der Vorzeichenbereiche: \(8 - 0{,}5x^2 \ge 0\) für \(-4 \le x \le 4\); sonst negativ. 3. Definition der abschnittsweisen Funktion: \(g(x) = \begin{cases} 0{,}5x^2 - 8 & \text{für } x < -4 \text{ oder } x > 4 \\ 8 - 0{,}5x^2 & \text{für } -4 \le x \le 4 \end{cases}\) 4. Berechnung der einseitigen Ableitungen an \(x = -4\): - Linksseitig (\(x < -4\)): \(g'(x) = x \implies \lim_{x \to -4^-} g'(x) = -4\). - Rechtsseitig (\(x > -4\)): \(g'(x) = -x \implies \lim_{x \to -4^+} g'(x) = -(-4) = 4\). 5. Vergleich der Ergebnisse: Da \(-4 \neq 4\), existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten nicht; \(g\) ist an \(x = -4\) nicht differenzierbar.

a) \(g(x) = \begin{cases} 0{,}5x^2 - 8 & \text{für } x < -4 \text{ oder } x > 4 \\ 8 - 0{,}5x^2 & \text{für } -4 \le x \le 4 \end{cases}\) b) \(g\) ist an der Stelle \(x = -4\) nicht differenzierbar, da der linksseitige Grenzwert der Ableitung \(-4\) und der rechtsseitige Grenzwert \(4\) beträgt.

- Überlege dir, welche bekannte Grundfunktion an einer bestimmten Stelle einen spitzen Punkt (Knick) im Graphen hat. - Wie kannst du eine Funktion entlang der \(x\)-Achse verschieben, um den Knick an eine andere Stelle zu setzen? - Kannst du zwei solcher Funktionen kombinieren, um mehrere Knickstellen zu erhalten?

1. Eine Basisfunktion, die an der Stelle \(x = 0\) stetig, aber nicht differenzierbar ist, ist die Betragsfunktion \(g(x) = |x|\). 2. Um eine weitere solche Stelle bei \(x = -4\) zu erzeugen, wird der Term um \(|x - (-4)| = |x + 4|\) ergänzt. 3. Die Addition beider Terme liefert die Funktion \(f(x) = |x + 4| + |x|\). Diese Funktion ist als Summe stetiger Funktionen überall stetig, besitzt aber an den Nullstellen der Betragsausdrücke (\(x = -4\) und \(x = 0\)) Knickstellen, an denen die einseitigen Grenzwerte der Differenzenquotienten nicht übereinstimmen.

\(f(x) = |x + 4| + |x|\) (oder ein vergleichbarer Term wie \(f(x) = |x + 4| \cdot |x|\))

- Was muss für die Funktionswerte und die Grenzwerte an einer Stelle gelten, damit eine Funktion dort stetig ist? - Erinnere dich an die Definition des Differenzenquotienten \(\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\). - Beachte beim rechtsseitigen Differenzenquotienten, dass du immer den Funktionswert an der Stelle \(x_0\) (also \(f(2)\)) verwenden musst, auch wenn die Funktionsvorschrift für \(x > 2\) anders lautet. - Wenn eine Funktion an einer Stelle nicht stetig ist, kann sie dort dann differenzierbar sein?

1. Prüfung der Stetigkeit bei \(x_0 = 2\): Der Funktionswert ist \(f(2) = 2^2 + 2 = 6\). Der linksseitige Grenzwert ist \(\lim_{x \to 2^-} (x^2 + x) = 6\). Der rechtsseitige Grenzwert ist \(\lim_{x \to 2^+} (2x + 1) = 2 \cdot 2 + 1 = 5\). Da \(6 \neq 5\), ist die Funktion an der Stelle \(x_0 = 2\) nicht stetig. 2. Linksseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten: \(\lim_{x \to 2^-} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2^-} \frac{x^2 + x - 6}{x - 2} = \lim_{x \to 2^-} \frac{(x - 2)(x + 3)}{x - 2} = \lim_{x \to 2^-} (x + 3) = 5\). 3. Rechtsseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten: \(\lim_{x \to 2^+} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2^+} \frac{2x + 1 - 6}{x - 2} = \lim_{x \to 2^+} \frac{2x - 5}{x - 2}\). Da der Zähler gegen \(-1\) und der Nenner gegen \(0^+\) strebt, geht der Grenzwert gegen \(-\infty\). 4. Da die einseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten nicht übereinstimmen (und einer davon nicht existiert), ist die Funktion an der Stelle \(x_0 = 2\) nicht differenzierbar.

a) Die Funktion ist bei \(x_0 = 2\) nicht stetig, da der linksseitige Grenzwert \(6\) und der rechtsseitige Grenzwert \(5\) nicht übereinstimmen. b) Der linksseitige Grenzwert des Differenzenquotienten beträgt \(5\). Der rechtsseitige Grenzwert des Differenzenquotienten existiert nicht (er strebt gegen \(-\infty\)). Somit ist die Funktion an der Stelle \(x_0 = 2\) nicht differenzierbar.

- Prüfe für die Stetigkeit, ob der „Sprung“ an der Nahtstelle null ist. - Nutze für den Differenzenquotienten die Formel \(\frac{h(x) - h(3)}{x - 3}\) für Werte knapp unterhalb und knapp oberhalb von \(3\). - Kannst du den Zähler des linksseitigen Differenzenquotienten faktorisieren, um den Term \((x-3)\) zu kürzen? - Was bedeutet es für die Steigung des Graphen, wenn die Grenzwerte des Differenzenquotienten unterschiedlich sind?

1. Nachweis der Stetigkeit: Funktionswert \(h(3) = -3^2 + 4 \cdot 3 = -9 + 12 = 3\). Linksseitiger Grenzwert \(\lim_{x \to 3^-} (-x^2 + 4x) = 3\). Rechtsseitiger Grenzwert \(\lim_{x \to 3^+} (2x - 3) = 2 \cdot 3 - 3 = 3\). Da Funktionswert und beide Grenzwerte übereinstimmen (\(3 = 3 = 3\)), ist \(h\) an der Stelle \(x_0 = 3\) stetig. 2. Linksseitiger Differenzenquotient: \(\lim_{x \to 3^-} \frac{h(x) - h(3)}{x - 3} = \lim_{x \to 3^-} \frac{-x^2 + 4x - 3}{x - 3} = \lim_{x \to 3^-} \frac{-(x - 3)(x - 1)}{x - 3} = \lim_{x \to 3^-} -(x - 1) = -2\). 3. Rechtsseitiger Differenzenquotient: \(\lim_{x \to 3^+} \frac{h(x) - h(3)}{x - 3} = \lim_{x \to 3^+} \frac{2x - 3 - 3}{x - 3} = \lim_{x \to 3^+} \frac{2(x - 3)}{x - 3} = 2\). 4. Da der linksseitige Grenzwert (\(-2\)) und der rechtsseitige Grenzwert (\(2\)) des Differenzenquotienten nicht gleich sind, ist die Funktion an der Stelle \(x_0 = 3\) nicht differenzierbar. Es liegt ein „Knick“ im Graphen vor.

a) \(h(3) = 3\), \(\lim_{x \to 3^-} h(x) = 3\) und \(\lim_{x \to 3^+} h(x) = 3\). Da der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert mit dem Funktionswert übereinstimmen, ist \(h\) stetig bei \(x_0 = 3\). b) Der linksseitige Grenzwert des Differenzenquotienten ist \(-2\), der rechtsseitige Grenzwert ist \(2\). Da diese nicht übereinstimmen, ist die Funktion an der Stelle \(x_0 = 3\) nicht differenzierbar.

- Erinnere dich an die Definition der Stetigkeit: Was muss für die Grenzwerte von links und rechts im Vergleich zum Funktionswert gelten? - Stelle den Differenzenquotienten für beide Seiten der Nahtstelle getrennt auf. - Was bedeutet es für die Differenzierbarkeit, wenn du beim Annähern von links ein anderes Ergebnis für die Steigung erhältst als von rechts?

1. Nachweis der Stetigkeit an der Stelle \(x_0 = 0\): Linksseitiger Limes: \(\lim_{x \to 0^-} (x^2 + 2x) = 0^2 + 2 \cdot 0 = 0\). Rechtsseitiger Limes: \(\lim_{x \to 0^+} x = 0\). Funktionswert: \(k(0) = 0\). Da linksseitiger Limes, rechtsseitiger Limes und Funktionswert übereinstimmen, ist \(k\) an der Stelle \(0\) stetig. 2. Untersuchung der Differenzierbarkeit mittels Differenzenquotient \(\frac{k(0+h) - k(0)}{h}\): Rechtsseitiger Grenzwert (\(h > 0\)): \(\lim_{h \to 0^+} \frac{h - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} 1 = 1\). Linksseitiger Grenzwert (\(h < 0\)): \(\lim_{h \to 0^-} \frac{(h^2 + 2h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} (h + 2) = 2\). 3. Da der linksseitige Grenzwert (\(2\)) und der rechtsseitige Grenzwert (\(1\)) des Differenzenquotienten nicht übereinstimmen, existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle \(x_0 = 0\) nicht. Die Funktion ist dort somit nicht differenzierbar.

Die Funktion ist stetig, da \(\lim_{x \to 0^-} k(x) = \lim_{x \to 0^+} k(x) = k(0) = 0\). Die Untersuchung des Differenzenquotienten ergibt: Rechtsseitig: \(\lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1\) Linksseitig: \(\lim_{h \to 0^-} \frac{h^2+2h}{h} = \lim_{h \to 0^-} (h+2) = 2\) Wegen \(1 \neq 2\) ist die Funktion an der Stelle \(x_0 = 0\) nicht differenzierbar.

- Wann genau nennt man eine Funktion an einer Stelle stetig? - Erinnere dich an die Bedingung für die Existenz eines Grenzwerts beim Differenzenquotienten. - Was muss für den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert gelten, damit eine Funktion differenzierbar ist? - Hilft es dir, die Steigungen der beiden Teilfunktionen direkt an der Stelle \(x_0 = 2\) zu vergleichen?

1. Prüfung der Stetigkeit: Der Funktionswert an der Stelle \(x_0 = 2\) ist \(f(2) = 0{,}5 \cdot 2^2 + 1 = 3\). Der linksseitige Grenzwert für \(x \to 2^-\) ergibt sich aus dem ersten Funktionsterm ebenfalls zu \(3\). Der rechtsseitige Grenzwert berechnet sich über den zweiten Term zu \(\lim_{x \to 2^+} (x + 1) = 3\). Da Funktionswert, linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen, ist \(f\) an der Stelle \(x_0 = 2\) stetig. 2. Untersuchung der Differenzierbarkeit: Der linksseitige Differenzenquotient für \(h \to 0^-\) ist \(\lim_{h \to 0^-} \frac{0{,}5(2+h)^2 + 1 - 3}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{0{,}5(4 + 4h + h^2) - 2}{h} = \lim_{h \to 0^-} (2 + 0{,}5h) = 2\). Der rechtsseitige Differenzenquotient für \(h \to 0^+\) ist \(\lim_{h \to 0^+} \frac{(2+h) + 1 - 3}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1\). Da der linksseitige Grenzwert (\(2\)) und der rechtsseitige Grenzwert (\(1\)) des Differenzenquotienten nicht übereinstimmen, existiert die Ableitung an der Stelle \(x_0 = 2\) nicht.

a) Ja, die Funktion ist an der Stelle \(x_0 = 2\) stetig, da der linksseitige Grenzwert, der rechtsseitige Grenzwert und der Funktionswert alle übereinstimmend \(3\) ergeben. b) Nein, die Funktion ist an der Stelle \(x_0 = 2\) nicht differenzierbar, da der linksseitige Grenzwert des Differenzenquotienten (\(2\)) nicht mit dem rechtsseitigen Grenzwert (\(1\)) übereinstimmt.

- Überprüfe zuerst, ob die Funktionswerte an der Übergangsstelle übereinstimmen. - Berechne die Ableitungsfunktionen für beide Bereiche getrennt. - Betrachte das Verhalten der Steigung, wenn du dich der Stelle von beiden Seiten näherst. - Erinnerst du dich an die geometrische Bedeutung der Differenzierbarkeit (Stichwort: glatter Verlauf)?

1. Nachweis der Stetigkeit bei \(x = 2\): Der Funktionswert und rechtsseitige Grenzwert ist \(g(2) = \frac{4}{2} = 2\). Der linksseitige Grenzwert berechnet sich über \(\lim_{x \to 2^-} (-x^2 + 6) = -2^2 + 6 = 2\). Da beide Werte gleich sind, ist \(g\) an der Stelle \(x = 2\) stetig. 2. Berechnung der einseitigen Ableitungen: Für \(x < 2\) gilt \(g'(x) = -2x\), also ist der linksseitige Grenzwert der Ableitung \(-2 \cdot 2 = -4\). Für \(x > 2\) gilt \(g'(x) = -\frac{4}{x^2}\), also ist der rechtsseitige Grenzwert der Ableitung \(-\frac{4}{2^2} = -1\). 3. Schlussfolgerung: Da die einseitigen Ableitungen \(-4\) und \(-1\) voneinander verschieden sind, existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle \(x = 2\) nicht. Die Funktion besitzt dort einen „Knick“ und ist somit nicht differenzierbar.

Die Stetigkeit ist gegeben, da \(\lim_{x \to 2^-} g(x) = \lim_{x \to 2^+} g(x) = g(2) = 2\). Die Nicht-Differenzierbarkeit folgt aus den ungleichen einseitigen Ableitungen \(g'(2^-) = -4\) und \(g'(2^+) = -1\).

- Überprüfe zuerst, ob die Funktion an der fraglichen Stelle stetig ist, also keinen Sprung aufweist. - Wie berechnet man die Steigung einer Funktion links und rechts von einem bestimmten Punkt? - Was muss für die Steigungen von beiden Seiten gelten, damit es keinen „Knick“ im Graphen gibt? - Du kannst die Ableitungsregeln für die einzelnen Funktionsterme separat anwenden.

1. Prüfung der Stetigkeit an der Stelle \(x = 1\): Der linksseitige Grenzwert sowie der Funktionswert betragen \(f(1) = 3 - 1^2 = 2\). Der rechtsseitige Grenzwert ist \(\lim_{x \to 1^+} (2x^2 - 6x + 6) = 2 \cdot 1^2 - 6 \cdot 1 + 6 = 2\). Da beide Grenzwerte übereinstimmen, ist die Funktion an der Stelle \(x = 1\) stetig. 2. Bestimmung der einseitigen Ableitungen: Für \(x < 1\) gilt \(f'(x) = -2x\), woraus die linksseitige Ableitung \(f'(1^-) = -2 \cdot 1 = -2\) folgt. Für \(x > 1\) gilt \(f'(x) = 4x - 6\), woraus die rechtsseitige Ableitung \(f'(1^+) = 4 \cdot 1 - 6 = -2\) folgt. 3. Vergleich der Ableitungen: Da die linksseitige und die rechtsseitige Ableitung an der Stelle \(x = 1\) mit \(-2\) übereinstimmen, ist die Funktion \(f\) an dieser Stelle differenzierbar.

Die Funktion \(f\) ist an der Stelle \(x = 1\) differenzierbar, da sie dort stetig ist und die einseitigen Ableitungen übereinstimmen (\(f'(1^-) = f'(1^+) = -2\)).

- Prüfe zuerst, ob die Funktion an der Nahtstelle überhaupt stetig ist. - Nutze den Differenzenquotienten getrennt für Werte kleiner als Null und Werte größer als Null. - Vergleiche die berechneten Grenzwerte der Steigungen von beiden Seiten. - Was müsste gelten, damit die Funktion an der Stelle \(x_0 = 0\) „glatt“ verläuft?

1. Prüfung der Stetigkeit an der Stelle \(x_0 = 0\): Funktionswert \(g(0) = 0^2 + 1 = 1\). Linksseitiger Grenzwert \(\lim_{x \to 0^-} (x^2 + 1) = 1\). Rechtsseitiger Grenzwert \(\lim_{x \to 0^+} (x + 1) = 1\). Da beide Grenzwerte mit dem Funktionswert übereinstimmen, ist die Funktion stetig. 2. Berechnung des linksseitigen Differenzenquotienten: \(\lim_{h \to 0^-} \frac{g(0+h) - g(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{(h^2+1) - 1}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{h^2}{h} = \lim_{h \to 0^-} h = 0\). 3. Berechnung des rechtsseitigen Differenzenquotienten: \(\lim_{h \to 0^+} \frac{g(0+h) - g(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{(h+1) - 1}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1\). 4. Vergleich der Grenzwerte: Da der linksseitige Grenzwert \(0\) und der rechtsseitige Grenzwert \(1\) verschieden sind, existiert die Ableitung an der Stelle \(x_0 = 0\) nicht.

Die Funktion \(g\) ist an der Stelle \(x_0 = 0\) nicht differenzierbar. Zwar ist sie dort stetig, aber die einseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten stimmen mit \(0\) (linksseitig) und \(1\) (rechtsseitig) nicht überein.

- Welche zwei Bedingungen müssen erfüllt sein, damit eine Funktion an einer Stelle differenzierbar ist? - Überlege zuerst, was für die Stetigkeit an der Übergangsstelle gelten muss. - Wie berechnest du die Ableitungen der beiden Teilfunktionen? - Was muss für die Steigungen links und rechts der Nahtstelle gelten?

1. Damit die Funktion an der Stelle \(x = 3\) differenzierbar sein kann, muss sie dort zunächst stetig sein. Es muss also gelten: \(f(3) = \lim_{x \to 3^+} f(x)\). 2. Berechnung des Funktionswerts: \(f(3) = a \cdot 3^2 - 3 = 9a - 3\). 3. Berechnung des rechtsseitigen Grenzwerts: \(\lim_{x \to 3^+} (12x - 21) = 12 \cdot 3 - 21 = 36 - 21 = 15\). 4. Gleichsetzen für Stetigkeit: \(9a - 3 = 15 \implies 9a = 18 \implies a = 2\). 5. Prüfung der Differenzierbarkeit: Die linksseitige Ableitung ist \(f'(x) = 2ax\), also für \(x = 3\) und \(a = 2\): \(f'(3^-) = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12\). Die rechtsseitige Ableitung (Steigung der Geraden) ist \(f'(3^+) = 12\). Da beide Werte übereinstimmen, ist die Funktion für \(a = 2\) differenzierbar.

\(a = 2\)

- Erinnere dich daran, dass Differenzierbarkeit immer Stetigkeit voraussetzt. - Bestimme zunächst den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert an der Stelle \(x = 2\). - Bilde die Ableitungen der beiden Funktionsabschnitte. - Vergleiche die Ergebnisse für die Steigung an der Nahtstelle.

1. Bedingung für Stetigkeit an der Nahtstelle \(x = 2\): Der linksseitige Grenzwert \(f(2) = 2^2 + a \cdot 2 = 4 + 2a\) muss dem rechtsseitigen Grenzwert \(\lim_{x \to 2^+} (7x - 4) = 7 \cdot 2 - 4 = 10\) entsprechen. 2. Lösen der Gleichung für Stetigkeit: \(4 + 2a = 10 \implies 2a = 6 \implies a = 3\). 3. Prüfung der Differenzierbarkeit: Die linksseitige Ableitungsfunktion ist \(f'(x) = 2x + a\). An der Stelle \(x = 2\) ergibt sich mit \(a = 3\): \(f'(2^-) = 2 \cdot 2 + 3 = 7\). 4. Die rechtsseitige Ableitung ist die Steigung der Geraden, also \(f'(2^+) = 7\). 5. Da sowohl die Funktionswerte als auch die Ableitungswerte an der Stelle \(x = 2\) für \(a = 3\) übereinstimmen, ist die Funktion dort differenzierbar.

\(a = 3\)

- Prüfe zuerst, ob die Funktion an der Stelle überhaupt stetig ist, da Stetigkeit eine notwendige Bedingung für Differenzierbarkeit ist. - Nutze die Definition des Differenzenquotienten \(\frac{g(x_0+h) - g(x_0)}{h}\) und betrachte die Fälle \(h < 0\) und \(h > 0\) separat. - Welche Teilfunktion musst du jeweils für den linksseitigen und welche für den rechtsseitigen Grenzwert verwenden? - Vergleiche die Ergebnisse der beiden Grenzprozesse. Was folgt daraus für die Differenzierbarkeit?

1. Prüfung der Stetigkeit an der Stelle \(x_0 = 2\): Der Funktionswert ist \(g(2) = 2^2 - 1 = 3\). Der linksseitige Grenzwert ist \(\lim_{x \to 2^-} (x^2 - 1) = 3\). Der rechtsseitige Grenzwert ist \(\lim_{x \to 2^+} (3x - 3) = 3 \cdot 2 - 3 = 3\). Da beide Grenzwerte mit dem Funktionswert übereinstimmen, ist die Funktion an der Stelle \(x_0 = 2\) stetig. 2. Aufstellen und Berechnen des linksseitigen Differenzenquotienten für \(h \to 0^-\): \(\lim_{h \to 0^-} \frac{g(2+h) - g(2)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{(2+h)^2 - 1 - 3}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{4 + 4h + h^2 - 4}{h} = \lim_{h \to 0^-} (4 + h) = 4\). 3. Aufstellen und Berechnen des rechtsseitigen Differenzenquotienten für \(h \to 0^+\): \(\lim_{h \to 0^+} \frac{g(2+h) - g(2)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{3 \cdot (2+h) - 3 - 3}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{6 + 3h - 6}{h} = \lim_{h \to 0^+} 3 = 3\). 4. Da der linksseitige Grenzwert \(4\) nicht mit dem rechtsseitigen Grenzwert \(3\) übereinstimmt, ist die Funktion \(g\) an der Stelle \(x_0 = 2\) nicht differenzierbar.

Die Funktion \(g\) ist an der Stelle \(x_0 = 2\) nicht differenzierbar, da die Grenzwerte des Differenzenquotienten linksseitig \(4\) und rechtsseitig \(3\) betragen.

- Was muss für die Grenzwerte des Differenzenquotienten von links und rechts gelten, damit eine Funktion differenzierbar ist? - Überprüfe bei abschnittsweise definierten Funktionen zuerst, ob sie an der Nahtstelle überhaupt stetig sind. - Was passiert mit dem Bruch \(\frac{\sqrt{t}}{t}\), wenn \(h\) immer kleiner wird?

1. Untersuchung von \(g\) an der Stelle \(x_0 = 1\): Zuerst Prüfung der Stetigkeit: \(g(1) = 1^2 + 2 \cdot 1 = 3\). Der rechtsseitige Grenzwert ist \(\lim_{x \to 1^+} (4x - 1) = 3\). Die Funktion ist stetig. Linksseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten: \(\lim_{t \to 0^-} \frac{(1+t)^2 + 2 \cdot (1+t) - 3}{t} = \lim_{t \to 0^-} \frac{1 + 2t + t^2 + 2 + 2t - 3}{t} = \lim_{t \to 0^-} (4 + t) = 4\). Rechtsseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten: \(\lim_{t \to 0^+} \frac{4 \cdot (1+t) - 1 - 3}{t} = \lim_{t \to 0^+} \frac{4t}{t} = 4\). Da beide Grenzwerte übereinstimmen, ist \(g\) differenzierbar mit \(g'(1) = 4\). 2. Untersuchung von \(h\) an der Stelle \(x_0 = 4\): Der Differenzenquotient für \(t > 0\) lautet \(\frac{\sqrt{4+t-4} - \sqrt{4-4}}{t} = \frac{\sqrt{t}}{t} = \frac{1}{\sqrt{t}}\). Für \(t \to 0^+\) geht dieser Ausdruck gegen \(+\infty\). Da der Grenzwert nicht endlich ist (vertikale Tangente am Rand des Definitionsbereichs), ist \(h\) an der Stelle \(x_0 = 4\) nicht differenzierbar.

a) \(g\) ist an der Stelle \(x_0 = 1\) differenzierbar mit \(g'(1) = 4\). b) \(h\) ist an der Stelle \(x_0 = 4\) nicht differenzierbar.

- Überlege, wie sich die Betragsfunktion auf den Term \(x^2 - 1\) in der Nähe von \(1\) auswirkt. - Was passiert mit dem Differenzenquotienten, wenn du dich der Stelle einmal von links und einmal von rechts näherst? - Damit eine Tangente existiert, muss der Grenzwert des Differenzenquotienten von beiden Seiten denselben eindeutigen Wert ergeben. - Skizziere den Graphen grob – was fällt dir bei \(x = 1\) auf?

1. Bestimmung des Funktionswertes: \(f(1) = |1^2 - 1| = 0\). 2. Untersuchung des rechtsseitigen Grenzwertes des Differenzenquotienten für \(h \to 0^+\): Da für kleine positive \(h\) der Ausdruck \((1+h)^2 - 1 = 2h + h^2 > 0\) ist, gilt \(\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{2h + h^2}{h} = 2 + h\). Der Grenzwert ist \(2\). 3. Untersuchung des linksseitigen Grenzwertes des Differenzenquotienten für \(h \to 0^-\): Da für kleine negative \(h\) der Ausdruck \(2h + h^2 < 0\) ist, gilt \(\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{-(2h + h^2)}{h} = -2 - h\). Der Grenzwert ist \(-2\). 4. Da der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert des Differenzenquotienten nicht übereinstimmen (\(-2 \neq 2\)), ist die Funktion an der Stelle \(x_0 = 1\) nicht differenzierbar. 5. Ergebnis: Es kann keine eindeutige Steigung bestimmt werden; der Graph besitzt an dieser Stelle keine Tangente (Knickstelle).

Es existiert keine Tangente an der Stelle \(x_0 = 1\), da der linksseitige Grenzwert des Differenzenquotienten (\(-2\)) und der rechtsseitige Grenzwert (\(2\)) nicht übereinstimmen.

- Prüfe zuerst, ob der Graph an der Stelle \(x_0 = 0\) überhaupt zusammenhängt (stetig ist). - Was sagt die Stetigkeit über die Existenz einer Tangente aus? - Untersuche das Verhalten des Differenzenquotienten getrennt für Werte kleiner als \(0\) und Werte größer als \(0\). - Könntest du an einer Stelle, an der der Graph einen Sprung macht, eine eindeutige Tangente zeichnen?

1. Überprüfung der Stetigkeit an der Stelle \(x_0 = 0\): Der Funktionswert ist \(f(0) = 1\). Der linksseitige Grenzwert der Funktion ist \(\lim_{x \to 0^-} (x + 2) = 2\). 2. Feststellung der Unstetigkeit: Da der linksseitige Grenzwert (\(2\)) nicht mit dem Funktionswert (\(1\)) übereinstimmt, liegt bei \(x_0 = 0\) eine Sprungstelle vor. 3. Folgerung für die Differenzierbarkeit: Eine Funktion, die an einer Stelle nicht stetig ist, kann dort auch nicht differenzierbar sein. 4. Betrachtung des Differenzenquotienten: Der rechtsseitige Grenzwert des Differenzenquotienten ist \(\lim_{h \to 0^+} \frac{1 - 1}{h} = 0\). Der linksseitige Grenzwert \(\lim_{h \to 0^-} \frac{(h+2) - 1}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{h+1}{h}\) existiert nicht als reelle Zahl (er strebt gegen \(-\infty\)). 5. Ergebnis: Da keine eindeutige Ableitung existiert, hat der Graph an der Stelle \(x_0 = 0\) keine Tangente.

Der Graph besitzt an der Stelle \(x_0 = 0\) keine Tangente, da die Funktion dort aufgrund einer Sprungstelle nicht stetig (und damit nicht differenzierbar) ist.

- Überlege dir, an welchen Stellen der Graph einen Knick oder einen Sprung haben könnte. - Erinnere dich daran, dass eine Funktion an einer Stelle nur dann differenzierbar sein kann, wenn sie dort auch stetig ist. - Bei abschnittsweise definierten Funktionen solltest du die einseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten an den Übergangsstellen vergleichen. - Was passiert mit der Steigung einer Tangente, wenn der Graph an einer Stelle senkrecht verläuft?

1. Für \(f(x) = |x^2 - 4|\): Die Betragsfunktion hat potenzielle Knickstellen an den Nullstellen des Terms im Betrag. Diese liegen bei \(x^2 - 4 = 0\), also \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). Da die links- und rechtsseitigen Ableitungen an diesen Stellen betragsmäßig gleich, aber im Vorzeichen verschieden sind (\(\pm 4\)), ist die Funktion bei \(x = 2\) und \(x = -2\) nicht differenzierbar. 2. Für \(g(x) = \sqrt{|x|}\): An der Stelle \(x = 0\) ist die Funktion zwar stetig, aber der Differenzenquotient \(\frac{\sqrt{|h|}}{h}\) strebt für \(h \to 0^+\) gegen \(+\infty\) und für \(h \to 0^-\) gegen \(-\infty\). Da kein endlicher Grenzwert existiert, ist die Funktion bei \(x = 0\) nicht differenzierbar. 3. Für \(h(x)\): Zuerst wird die Stetigkeit an der Nahtstelle \(x = 2\) geprüft. Es gilt \(\lim_{x \to 2^-} x^2 = 4\) und \(h(2) = 2 \cdot 2 = 4\), die Funktion ist also stetig. Die linksseitige Ableitung an der Stelle \(2\) ist \(\lim_{x \to 2^-} (2x) = 4\), die rechtsseitige Ableitung ist jedoch konstant \(2\). Da die einseitigen Ableitungen nicht übereinstimmen, ist die Funktion bei \(x = 2\) nicht differenzierbar.

a) \(x = 2\) und \(x = -2\) b) \(x = 0\) c) \(x = 2\)

- Überlege dir, wie du den Differenzenquotienten für diese Funktion an der gegebenen Stelle aufschreiben kannst. - Erinnere dich daran, wie die Betragsfunktion für positive und negative Werte definiert ist. - Untersuche das Verhalten des Bruchs getrennt für Werte, die etwas größer und etwas kleiner als die betrachtete Stelle sind. - Wann genau spricht man davon, dass ein Grenzwert an einer Stelle existiert?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten an der Stelle \(x_0 = 1\): \(\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{|(1+h) - 1| + 2 - (|1 - 1| + 2)}{h} = \frac{|h|}{h}\). 2. Bestimmung des rechtsseitigen Grenzwerts (\(h \to 0^+\)): Da \(h > 0\), ist \(|h| = h\). Somit gilt \(\lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1\). 3. Bestimmung des linksseitigen Grenzwerts (\(h \to 0^-\)): Da \(h < 0\), ist \(|h| = -h\). Somit gilt \(\lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1\). 4. Da der rechtsseitige und der linksseitige Grenzwert nicht übereinstimmen (\(1 \neq -1\)), existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten für \(h \to 0\) nicht. Die Funktion ist an der Stelle \(x_0 = 1\) nicht differenzierbar.

Die Funktion \(f\) ist an der Stelle \(x_0 = 1\) nicht differenzierbar.

- Setze die Funktion in die Formel für den Differenzenquotienten ein. - Versuche den Ausdruck so weit wie möglich zu vereinfachen, bevor du den Grenzwert betrachtest. - Prüfe, ob der Grenzwert des vereinfachten Terms für Annäherung von beiden Seiten denselben Wert ergibt. - Was passiert mit dem Betrag von \(h\), wenn \(h\) gegen Null geht?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten an der Stelle \(x_0 = 0\): \(\frac{g(0+h) - g(0)}{h} = \frac{|h| \cdot h + 3h - 0}{h}\). 2. Vereinfachen des Terms durch Kürzen von \(h\): \(\frac{h(|h| + 3)}{h} = |h| + 3\). 3. Bildung des Grenzwerts für \(h \to 0\): \(\lim_{h \to 0} (|h| + 3) = 0 + 3 = 3\). 4. Da der Grenzwert eindeutig existiert, ist die Funktion an der Stelle \(x_0 = 0\) differenzierbar. Die Ableitung entspricht dem Grenzwert.

Die Funktion \(g\) ist an der Stelle \(x_0 = 0\) differenzierbar mit \(g'(0) = 3\).

- Schau dir den Ausdruck unter der Wurzel genau an. Erinnert er dich an eine binomische Formel? - Was ergibt die Quadratwurzel aus einem Quadrat, zum Beispiel \(\sqrt{a^2}\)? - Untersuche die Stellen, an denen die Ausdrücke innerhalb der Betragsstriche null werden. - Prüfe, ob die Steigung des Graphen links und rechts von diesen kritischen Stellen gleich bleibt oder sich sprunghaft ändert.

1. Vereinfachung des Terms unter der Wurzel mithilfe der zweiten binomischen Formel: \(\sqrt{x^2 - 10x + 25} = \sqrt{(x - 5)^2} = |x - 5|\). 2. Der Funktionsterm lautet somit \(h(x) = |x - 5| + |x|\). 3. Die Funktion ist als Summe von Betragsfunktionen überall stetig. 4. Mögliche Stellen der Nicht-Differenzierbarkeit sind die Nullstellen der Beträge: \(x_1 = 5\) und \(x_2 = 0\). 5. Untersuchung der Steigungen (einseitige Grenzwerte der Ableitung): Für \(x < 0\) ist \(h'(x) = -2\); für \(0 < x < 5\) ist \(h'(x) = 0\); für \(x > 5\) ist \(h'(x) = 2\). 6. An \(x = 0\) unterscheiden sich linksseitige (\(-2\)) und rechtsseitige Steigung (\(0\)). 7. An \(x = 5\) unterscheiden sich linksseitige (\(0\)) und rechtsseitige Steigung (\(2\)). 8. Ergebnis: Die Funktion ist an den Stellen \(x = 0\) und \(x = 5\) nicht differenzierbar.

Die Funktion ist an den Stellen \(x = 0\) und \(x = 5\) stetig, aber nicht differenzierbar.

- Gehe für jede Nahtstelle einzeln vor. - Eine Funktion kann nur differenzierbar sein, wenn sie an der Stelle auch stetig ist. Prüfe dies als Erstes. - Bestimme die Ableitungen der Teilfunktionen und setze die entsprechenden \(x\)-Werte ein. - Vergleiche die Ergebnisse der einseitigen Ableitungen. Was bedeutet ein Unterschied für den Verlauf des Graphen?

1. Untersuchung an der Stelle \(x = 2\): Stetigkeit: \(g(2) = 4\) und \(\lim_{x \to 2^+} (-x^2 + 4x) = -4 + 8 = 4\). Die Funktion ist stetig. Ableitungen: Linksseitig ist \(g'(x) = 0\), also \(g'(2^-) = 0\). Rechtsseitig ist \(g'(x) = -2x + 4\), also \(g'(2^+) = -2 \cdot 2 + 4 = 0\). Da \(0 = 0\), ist \(g\) bei \(x = 2\) differenzierbar. 2. Untersuchung an der Stelle \(x = 4\): Stetigkeit: \(g(4) = -16 + 16 = 0\) und \(\lim_{x \to 4^+} (-2x + 8) = -8 + 8 = 0\). Die Funktion ist stetig. Ableitungen: Linksseitig ist \(g'(x) = -2x + 4\), also \(g'(4^-) = -2 \cdot 4 + 4 = -4\). Rechtsseitig ist \(g'(x) = -2\), also \(g'(4^+) = -2\). 3. Ergebnis: Da \(-4 \neq -2\), liegt bei \(x = 4\) ein Knick vor; die Funktion ist dort nicht differenzierbar.

Die Funktion \(g\) ist an der Stelle \(x = 2\) differenzierbar (beide einseitigen Ableitungen sind \(0\)). An der Stelle \(x = 4\) ist sie nicht differenzierbar, da die linksseitige Ableitung \(-4\) und die rechtsseitige Ableitung \(-2\) beträgt.

- Achte genau darauf, ob die gesuchten Stellen im Definitionsbereich liegen müssen. - Überprüfe bei Wurzelfunktionen besonders die Ränder des Definitionsbereichs. - Wo genau liegen die Sprungstellen der Gaußklammerfunktion, wenn das Argument verschoben ist? - Wenn eine Funktion an einer Stelle nicht stetig ist, kann sie dort auch nicht differenzierbar sein.

1. Für \(f(x) = |0{,}5x - 2|\): Die Funktion hat eine Knickstelle dort, wo der lineare Term im Betrag Null wird. \(0{,}5x - 2 = 0 \implies x = 4\). An allen anderen Stellen ist die Funktion als lineare Funktion differenzierbar. Somit ist \(f\) differenzierbar für \(x \in \mathbb{R} \setminus \{4\}\). 2. Für \(g(x) = \sqrt{x}\): Im Inneren des Definitionsbereichs (\(x > 0\)) ist die Funktion differenzierbar mit \(g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\). An der Randstelle \(x = 0\) existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten \(\frac{\sqrt{h}-0}{h} = \frac{1}{\sqrt{h}}\) für \(h \to 0^+\) nicht im Reellen (er geht gegen \(+\infty\)). Die Funktion ist also für \(x \in ]0; \infty[\) differenzierbar. 3. Für \(h(x) = \lfloor x + 0{,}5 \rfloor\): Die Gaußklammerfunktion hat Sprungstellen überall dort, wo das Argument \(x + 0{,}5\) eine ganze Zahl ist. \(x + 0{,}5 = k \in \mathbb{Z} \implies x = k - 0{,}5\). An diesen Stellen ist die Funktion nicht stetig und damit nicht differenzierbar. An allen anderen Stellen ist sie lokal konstant und somit differenzierbar (Ableitung \(0\)). Die Menge der differenzierbaren Stellen ist \(\mathbb{R} \setminus \{x \mid x = k - 0{,}5; k \in \mathbb{Z}\}\).

a) \(\mathbb{R} \setminus \{4\}\) b) \(]0; \infty[\) (oder \(\{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\}\)) c) \(\mathbb{R} \setminus \{ \dots; -1{,}5; -0{,}5; 0{,}5; 1{,}5; \dots \}\) (oder \(\mathbb{R} \setminus \{k - 0{,}5 \mid k \in \mathbb{Z}\}\))