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- Vergleiche die Richtung des Graphen unmittelbar links und rechts von jedem markierten Punkt. - Differenzierbarkeit verlangt eine eindeutige lokale Tangentensteigung.

1. Im Punkt \(A(0\mid0)\) besitzt der Graph einen Knick. Die Steigung von links und die Steigung von rechts sind dort verschieden, daher gibt es keine eindeutige Tangente. 2. Im Punkt \(B(2\mid2)\) liegt der Graph auf einem geraden Abschnitt mit eindeutiger Steigung. Dort ist \(f\) differenzierbar. 3. Somit ist \(f\) nur im markierten Punkt \(A\) nicht differenzierbar.

Im Punkt \(A(0\mid0)\) ist \(f\) nicht differenzierbar, weil der Graph dort einen Knick und keine eindeutige Tangentensteigung besitzt.

- Überlege dir, wie der Graph einer Funktion an einer Stelle aussehen muss, damit man dort keine eindeutige Tangente anlegen kann. - Was passiert mit dem Graphen einer Betragsfunktion wie \(|x|\) an der Stelle \(0\)? Wie kannst du das auf die Stelle \(2\) verschieben? - Damit eine abschnittsweise definierte Funktion an einer Nahtstelle stetig ist, müssen die Funktionswerte der beiden Teilfunktionen dort übereinstimmen. - Damit sie dort nicht differenzierbar ist, müssen sich die Steigungen der beiden Teilfunktionen an dieser Stelle unterscheiden.

1. Für die Betragsfunktion \(f\) bietet sich \(f(x) = |x - 2|\) an. Diese Funktion hat an der Stelle \(x = 2\) eine Knickstelle, da der Term im Betrag dort sein Vorzeichen wechselt. 2. Für die abschnittsweise definierte Funktion \(g\) muss gelten, dass die Funktionswerte von links und rechts gegen denselben Wert streben (Stetigkeit), aber die Steigungen unterschiedlich sind. Ein Beispiel ist: \(g(x) = \begin{cases} x & \text{für } x \le 2 \\ 2x - 2 & \text{für } x > 2 \end{cases}\) 3. Nachweis der Stetigkeit für \(g\): \(\lim_{x \to 2^-} g(x) = 2\) und \(\lim_{x \to 2^+} g(x) = 2 \cdot 2 - 2 = 2\). Der Funktionswert ist ebenfalls \(g(2) = 2\). 4. Nachweis der Nicht-Differenzierbarkeit: Die Steigung im linken Abschnitt ist konstant \(1\). Die Steigung im rechten Abschnitt ist konstant \(2\). Da die einseitigen Grenzwerte der Steigungen (\(1 \neq 2\)) nicht übereinstimmen, ist \(g\) an der Stelle \(x = 2\) nicht differenzierbar.

Mögliche Funktionen sind: \(f(x) = |x - 2|\) \(g(x) = \begin{cases} x & \text{für } x \le 2 \\ 2x - 2 & \text{für } x > 2 \end{cases}\) Begründung für \(g\): Die Funktion ist stetig, da beide Teilterme an der Stelle \(x = 2\) den Wert \(2\) liefern. Sie ist jedoch nicht differenzierbar, da die linksseitige Steigung \(1\) und die rechtsseitige Steigung \(2\) beträgt.

- Überlege, wie eine Funktion aussehen kann, deren Graph zwar zusammenhängend verläuft, aber an einer Stelle nicht glatt ist. - Suche nach einem Beispiel mit einer Ecke oder einem Knick. - Vergleiche an der kritischen Stelle die Steigungen von links und von rechts.

1. Die beschriebene Unterbrechungsfreiheit entspricht der Stetigkeit an der Stelle \(x_0\). 2. Die Behauptung ist falsch. Stetigkeit ist zwar eine notwendige Voraussetzung für Differenzierbarkeit, aber nicht hinreichend. 3. Ein Gegenbeispiel ist die Betragsfunktion \(f(x)=|x|\) an der Stelle \(x_0=0\). Die Funktion ist dort stetig, besitzt aber eine Knickstelle. Die Steigung ist links \(-1\) und rechts \(1\); daher existiert kein gemeinsamer Grenzwert des Differenzenquotienten und somit keine Ableitung an dieser Stelle.

a) Gemeint ist die Stetigkeit der Funktion an der Stelle \(x_0\). b) Die Behauptung ist falsch. c) Ein Gegenbeispiel ist \(f(x)=|x|\) bei \(x_0=0\). Die Funktion ist dort stetig, aber wegen der unterschiedlichen links- und rechtsseitigen Steigungen \(-1\) und \(1\) nicht differenzierbar.

- Was ist die Voraussetzung dafür, dass eine Funktion an einer Stelle differenzierbar ist? - Überlege dir, wie der Graph der Betragsfunktion an der Stelle \(x_0 = 4\) aussieht. - Untersuche den Grenzwert der Steigung von links und von rechts separat. - Kann eine Funktion eine „Ecke“ haben und trotzdem differenzierbar sein?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten an der Stelle \(x_0 = 4\): \(\frac{f(4+h) - f(4)}{h} = \frac{|4+h-4| - |4-4|}{h} = \frac{|h|}{h}\). 2. Bestimmung des rechtsseitigen Grenzwerts für \(h \to 0^+\): Da \(h > 0\), gilt \(\frac{h}{h} = 1\). 3. Bestimmung des linksseitigen Grenzwerts für \(h \to 0^-\): Da \(h < 0\), gilt \(\frac{-h}{h} = -1\). 4. Da der linksseitige Grenzwert \(-1\) und der rechtsseitige Grenzwert \(1\) nicht übereinstimmen, existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle \(x_0 = 4\) nicht. 5. Die Aussage ist falsch; Stetigkeit ist eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung für Differenzierbarkeit.

Die Aussage ist falsch. Trotz der Stetigkeit an der Stelle \(x_0 = 4\) ist die Funktion dort nicht differenzierbar, da der linksseitige Grenzwert des Differenzenquotienten \(-1\) und der rechtsseitige Grenzwert \(1\) ist.

- Welcher der beiden bereits angegebenen Teilfunktionsterme gilt unmittelbar links von \(x=2\), welcher unmittelbar rechts davon? - Setze für beide Seiten denselben Bezugspunkt \((2\mid f(2))\) in den Differenzenquotienten ein. - Welche Bedingung müssen die beiden einseitigen Grenzwerte erfüllen, damit eine Ableitung existiert?

1. Es gilt \(f(2)=0\). 2. Linksseitig erhält man \(\lim_{x\to2^-}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\lim_{x\to2^-}\frac{-2x+4}{x-2}=-2\). 3. Rechtsseitig erhält man \(\lim_{x\to2^+}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\lim_{x\to2^+}\frac{2x-4}{x-2}=2\). 4. Da die beiden einseitigen Grenzwerte verschieden sind, existiert der Differentialquotient an \(x_0=2\) nicht. Die Funktion ist dort nicht differenzierbar.

Die Funktion ist bei \(x_0=2\) nicht differenzierbar, da die einseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten \(-2\) und \(2\) sind.

- Wie verhält sich der Betrag einer Zahl, wenn der Inhalt der Betragsstriche negativ oder positiv ist? - Untersuche den Grenzwert des Differenzenquotienten von beiden Seiten. - Kannst du die Funktion in der Nähe der Stelle ohne Betragsstriche schreiben?

1. Untersuchung an der Stelle \(x_1 = 5\): Der linksseitige Grenzwert des Differenzenquotienten \(\lim_{h \to 0^-} \frac{|5+h-5| - |5-5|}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1\) und der rechtsseitige Grenzwert \(\lim_{h \to 0^+} \frac{|5+h-5| - |5-5|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1\) sind nicht identisch. Somit ist \(f\) an der Stelle \(x_1 = 5\) nicht differenzierbar. 2. Untersuchung an der Stelle \(x_2 = 2\): In einer Umgebung von \(x_2 = 2\) gilt \(x - 5 < 0\), daher ist \(f(x) = -(x - 5) = -x + 5\). Die Ableitung einer linearen Funktion ist ihre Steigung, also gilt \(f'(2) = -1\).

An der Stelle \(x_1 = 5\) ist die Funktion nicht differenzierbar (Knickstelle). An der Stelle \(x_2 = 2\) ist die Funktion differenzierbar mit \(f'(2) = -1\).

- Was bedeutet es anschaulich für den Verlauf des Graphen, wenn eine Funktion an einer Stelle differenzierbar ist? Wie sieht der Graph im Vergleich dazu an einer nicht differenzierbaren Stelle aus? - Welche besondere Eigenschaft hat die Tangente an einem glatten Hoch- oder Tiefpunkt? - Achte auf Stellen, an denen der Graph einen plötzlichen Richtungswechsel, also einen Knick, macht. - Überlege, ob es an jeder der markierten Stellen eindeutig eine einzige Tangente an den Graphen gibt.

1. Stelle \(x_1 = -2\): Der Graph verläuft hier glatt und besitzt einen Hochpunkt. An dieser Stelle gibt es eine eindeutige waagerechte Tangente. Somit ist die Funktion an der Stelle \(x_1 = -2\) differenzierbar mit \(f'(-2) = 0\). 2. Stelle \(x_2 = -1\): An dieser Stelle treffen die beiden Teilkurven aufeinander. Der Graph weist hier eine Knickstelle auf. Da die Steigungen links von \(x_2\) und rechts von \(x_2\) unterschiedlich sind, existiert kein eindeutiger Grenzwert des Differenzenquotienten. Die Funktion ist an der Stelle \(x_2 = -1\) nicht differenzierbar. 3. Stelle \(x_3 = 1\): Der Graph verläuft hier glatt und besitzt einen Tiefpunkt. Es gibt eine eindeutige waagerechte Tangente. Die Funktion ist an der Stelle \(x_3 = 1\) differenzierbar mit \(f'(1) = 0\).

Bei \(x_1 = -2\) und \(x_3 = 1\) ist \(f\) differenzierbar, weil der Graph dort glatt verläuft und jeweils eine eindeutige waagerechte Tangente besitzt; bei \(x_2 = -1\) ist \(f\) wegen der Knickstelle und der unterschiedlichen einseitigen Steigungen nicht differenzierbar.

- Suche zuerst nur die Übergangsstellen zwischen zwei Graphenstücken. - Kannst du an jeder Übergangsstelle gedanklich genau eine Tangente anlegen? - Ein sichtbarer Richtungswechsel der beiden angrenzenden Graphenteile weist auf unterschiedliche einseitige Steigungen hin.

1. Bei \(x=-3\), \(x=-1\) und \(x=1\) treffen jeweils zwei Graphenstücke mit sichtbar verschiedenen Richtungen aufeinander. Dort besitzt der Graph einen Knick und keine eindeutige Tangente. 2. Bei \(x=3\) gehen die beiden Graphenstücke dagegen ohne Richtungswechsel ineinander über; dort ist eine eindeutige Tangente erkennbar. 3. Somit ist \(f\) im Inneren des dargestellten Intervalls genau bei \(x=-3\), \(x=-1\) und \(x=1\) nicht differenzierbar.

a) \(x=-3\), \(x=-1\) und \(x=1\) b) An diesen drei Stellen besitzt der Graph jeweils einen Knick; bei \(x=3\) verläuft der Übergang dagegen glatt.

- Betrachte ausdrücklich nur innere Stellen des angegebenen Intervalls. - Suche nach Übergängen, an denen sich die Richtung des Graphen abrupt ändert. - Prüfe an jedem Übergang, ob links und rechts dieselbe Tangentenrichtung zu erwarten ist.

1. Bei \(x=-1\) geht ein waagerechter Abschnitt in eine Parabel über; der Richtungswechsel erzeugt einen Knick. 2. Bei \(x=2\) geht die Parabel in eine fallende Gerade über; auch dort ändern sich die einseitigen Steigungen sprunghaft. 3. Bei \(x=5\) treffen eine fallende und eine steigende Gerade aufeinander; dort liegt ebenfalls ein Knick vor. 4. Im Inneren des dargestellten Intervalls ist \(f\) daher genau bei \(x=-1\), \(x=2\) und \(x=5\) nicht differenzierbar.

\(x=-1\), \(x=2\) und \(x=5\)

- Prüfe zuerst die beiden Randpunkte des geschlossenen Intervalls. - Suche im Inneren nach Sprüngen, Lücken, Ecken oder Spitzen. - Vergleiche an Knickstellen die einseitigen Steigungen.

1. An den Randpunkten \(x=-5\) und \(x=5\) ist keine zweiseitige Ableitung definiert, weil der Graph nur von jeweils einer Seite vorliegt. 2. Bei \(x=-2\) liegt ein Knick vor. Die linksseitige Steigung \(0{,}5\) und die rechtsseitige Steigung \(-1\) stimmen nicht überein. 3. Bei \(x=1\) liegt eine Sprungstelle vor. Da Differenzierbarkeit Stetigkeit voraussetzt, ist \(f\) dort nicht differenzierbar. 4. An allen übrigen inneren Stellen verläuft der Graph glatt oder linear; insbesondere besitzt er bei \(x=3\) eine eindeutige waagerechte Tangente.

Nicht differenzierbar ist \(f\) bei \(x=-5\), \(x=-2\), \(x=1\) und \(x=5\). Die Randpunkte besitzen keine zweiseitige Ableitung, bei \(x=-2\) liegt ein Knick und bei \(x=1\) eine Sprungstelle vor.

- Achte an jeder markierten Stelle darauf, ob sich die Richtung des Graphen abrupt ändert. - Kannst du dort gedanklich genau eine Tangente anlegen? - Ein sichtbarer Knick bedeutet, dass die einseitigen Steigungen nicht übereinstimmen.

1. Bei \(x=2\) gehen die beiden Graphenstücke ohne sichtbaren Richtungswechsel ineinander über. Die Tangentenrichtung unmittelbar links und rechts von \(A\) stimmt überein; daher gibt es dort eine eindeutige Tangente und \(g\) ist differenzierbar. 2. Bei \(x=4\) treffen zwei Geradenstücke mit deutlich verschiedenen Richtungen aufeinander. Der Graph besitzt dort einen Knick; daher existiert keine eindeutige Tangente und \(g\) ist nicht differenzierbar.

Bei \(x=2\) ist \(g\) differenzierbar, weil der Übergang glatt verläuft. Bei \(x=4\) ist \(g\) wegen des Knicks nicht differenzierbar.

- Überlege dir, was es grafisch bedeutet, wenn eine Funktion an einer Stelle glatt verläuft. - Suche nach Punkten, an denen keine eindeutige Tangente existiert. - Stetigkeit ist eine notwendige Voraussetzung für Differenzierbarkeit. Was bedeutet das für Unterbrechungen im Graphen? - Achte auf abrupte Richtungsänderungen im Verlauf der Kurve.

1. Bei \(x = -1\) weist der Graph einen Knick auf. Die Steigung ändert sich dort sprunghaft, weshalb die Funktion nicht differenzierbar ist. 2. Bei \(x = 2\) liegt eine Sprungstelle vor. Da die Funktion dort nicht stetig ist, kann sie dort auch nicht differenzierbar sein. 3. Bei \(x = 4\) liegt ein weiterer Knick vor. Der Graph geht von einem Kurvenstück in ein Geradenstück mit einer anderen Steigung über. 4. Die Funktion ist somit bei \(x = -1\), \(x = 2\) und \(x = 4\) nicht differenzierbar.

Die Funktion \(f\) ist bei \(x = -1\) wegen eines Knicks, bei \(x = 2\) wegen einer Sprungstelle und bei \(x = 4\) wegen eines weiteren Knicks nicht differenzierbar.

- Prüfe Sprünge und Lücken für die Stetigkeit. - Suche nach Knicken für fehlende Differenzierbarkeit. - Berücksichtige bei der zweiseitigen Ableitung auch die Randpunkte des geschlossenen Bereichs.

1. Bei \(x=1\) liegt eine Sprungstelle vor: Der linksseitige Grenzwert ist \(1{,}5\), während der Funktionswert und der rechtsseitige Grenzwert \(3\) betragen. Daher ist \(f\) dort nicht stetig. 2. Bei \(x=4\) ist der Graph stetig, besitzt aber einen Knick. Die Steigung wechselt von \(0\) auf \(-1\), sodass keine Ableitung existiert. 3. An den Randpunkten \(x=-4\) und \(x=6\) ist \(f\) relativ zu ihrem Definitionsbereich stetig, aber eine zweiseitige Ableitung ist dort nicht definiert.

Nicht stetig ist \(f\) bei \(x=1\). Stetig, aber nicht zweiseitig differenzierbar ist sie bei \(x=-4\), \(x=4\) und \(x=6\).

- Betrachte nur innere Stellen des angegebenen Intervalls. - Prüfe zuerst auf Sprünge oder Lücken und anschließend auf abrupte Richtungswechsel. - An einer Knickstelle gibt es keine eindeutige Tangentensteigung.

1. Bei \(x=0\) liegt eine Sprungstelle vor. Der linksseitige Grenzwert ist \(1\), während der Funktionswert und der rechtsseitige Grenzwert \(2\) betragen. Daher ist \(f\) dort nicht stetig und somit nicht differenzierbar. 2. Bei \(x=2\), \(x=3\) und \(x=4\) besitzt der Graph jeweils einen Knick. Die Funktion ist dort stetig, aber die Tangentenrichtung wechselt abrupt.

Nicht differenzierbar ist \(f\) bei \(x=0\) wegen der Sprungstelle sowie bei \(x=2\), \(x=3\) und \(x=4\) wegen Knickstellen.

- Betrachte ausdrücklich nur innere Stellen des genannten Definitionsbereichs. - Prüfe, wo der Graph unterbrochen ist. - Suche zusätzlich nach einer scharfen Richtungsänderung, an der keine eindeutige Tangente existiert.

1. Bei \(x=-1\) liegt eine Sprungstelle vor. Die Funktion ist dort nicht stetig und daher auch nicht differenzierbar. 2. Bei \(x=1\) ist der Graph stetig, besitzt aber eine Spitze. Die einseitigen Tangentenrichtungen stimmen nicht überein; daher ist \(f\) dort nicht differenzierbar.

\(f\) ist bei \(x=-1\) wegen der Sprungstelle und bei \(x=1\) wegen der Spitze nicht differenzierbar.

- Was passiert mit den y-Werten, wenn sich x dem Wert 3 nähert? - Ist die Funktion an der Stelle \(x=3\) überhaupt definiert? - Kann eine Funktion differenzierbar sein, wenn sie an einer Stelle gegen Unendlich strebt?

1. Verhalten an der Stelle \(x=3\): Der Graph nähert sich von links und von rechts einer senkrechten Geraden (Asymptote). Die Funktionswerte streben gegen minus Unendlich bzw. plus Unendlich. 2. Schlussfolgerung: An der Stelle \(x=3\) liegt eine Polstelle vor. Da die Funktion dort nicht definiert ist und keinen endlichen Grenzwert besitzt, ist sie bei \(x=3\) weder stetig noch differenzierbar.

Die Funktion ist bei \(x=3\) weder stetig noch differenzierbar, da dort eine Polstelle (senkrechte Asymptote) vorliegt.

- Betrachte nur innere Stellen des angegebenen Definitionsbereichs. - Eine waagerechte Tangente erkennst du an einer glatten Stelle mit lokaler Steigung null. - Suche für fehlende Differenzierbarkeit nach Knicken oder Spitzen.

1. Eine waagerechte Tangente liegt am glatten Tiefpunkt bei \(x=0\) vor. 2. Bei \(x=2\) besitzt der Graph an der Nahtstelle einen Knick. Bei \(x=4\) liegt eine scharfe Spitze vor. An beiden Stellen existiert keine eindeutige Tangente.

1. \(x=0\) 2. \(x=2\) und \(x=4\)

- Bestimme die beiden Geradengleichungen getrennt aus Steigung und vorgegebenem Punkt. - Vergleiche anschließend die Werte, denen sich beide Geraden bei \(x=1\) nähern. - Welche notwendige Voraussetzung für Differenzierbarkeit ist an einer Sprungstelle verletzt?

1. Die linke Gerade hat die Steigung \(1\) und geht durch \(A(0\mid0)\). Daher lautet sie \(y=x\). 2. Die rechte Gerade hat die Steigung \(-1\) und geht durch \(B(2\mid3)\). Aus \(y-3=-(x-2)\) folgt \(y=-x+5\). 3. Eine passende Funktion ist \(f(x)=x\) für \(x<1\) und \(f(x)=-x+5\) für \(x\ge1\). 4. Für \(x\to1^-\) nähern sich die Funktionswerte der Zahl \(1\); von rechts und am Punkt selbst liegt der Wert bei \(4\). Damit hat \(f\) bei \(x=1\) eine Sprungstelle, ist dort nicht stetig und folglich nicht differenzierbar.

\(f(x)=\begin{cases}x&\text{für }x<1\\-x+5&\text{für }x\ge1\end{cases}\) Bei \(x=1\) springt der linksseitige Grenzwert von \(1\) auf den Funktionswert und rechtsseitigen Grenzwert \(4\); daher ist \(f\) dort nicht differenzierbar.

- Eine Gerade ist durch einen Punkt und ihre Steigung festgelegt; bestimme den linken und rechten Zweig getrennt. - Prüfe anschließend, ob beide Zweige am Übergang denselben Funktionswert liefern. - Für Differenzierbarkeit müssen zusätzlich die Steigungen von links und rechts übereinstimmen.

1. Die linke Gerade mit Steigung \(-1\) durch \(K(2|1)\) lautet \(y=-x+3\). Die rechte Gerade mit Steigung \(1\) durch \(K\) lautet \(y=x-1\). Somit kann man \(f(x)=|x-2|+1\) schreiben. 2. Beide Zweige liefern bei \(x=2\) den Wert \(1\); daher schließen sie stetig aneinander an. 3. Die linksseitige Steigung ist \(-1\), die rechtsseitige Steigung \(1\). Weil diese nicht übereinstimmen, besitzt der Graph in \(K\) keine eindeutige Tangente und \(f\) ist dort nicht differenzierbar.

a) Zum Beispiel \(f(x)=|x-2|+1\), äquivalent zu \(f(x)=\begin{cases}-x+3,&x<2,\\x-1,&x\ge2.\end{cases}\) b) Beide Zweige haben bei \(x=2\) den Wert \(1\). c) Links ist die Steigung \(-1\), rechts \(1\); daher liegt ein Knick vor und \(f\) ist bei \(x=2\) nicht differenzierbar.

- Setze für die Stetigkeitskontrolle den Übergangswert in beide Zweige ein. - Bei \(h<0\) und \(h>0\) wird \(1+h\) von unterschiedlichen Zweigen beschrieben. - Differenzierbarkeit verlangt, dass die beiden einseitigen Grenzwerte der Differenzenquotienten übereinstimmen.

1. Für den linken Zweig ergibt sich am Übergang der Wert \(1+1=2\); der rechte Zweig liefert \(f(1)=2\). Die Funktion ist dort stetig. 2. Für \(h<0\) gilt \(f(1+h)=2+h\). Der Quotient ist \(\frac{2+h-2}{h}=1\). 3. Für \(h>0\) gilt \(f(1+h)=2+2h\). Der Quotient ist \(\frac{2+2h-2}{h}=2\). 4. Die einseitigen Grenzwerte der Differenzenquotienten sind verschieden. Daher ist \(f\) bei \(x=1\) nicht differenzierbar.

a) Beide Zweige liefern am Übergang den Wert \(2\). b) Linksseitig erhält man \(1\), rechtsseitig \(2\). c) \(f\) ist bei \(x=1\) nicht differenzierbar.

- Bestimme die Steigung jedes linearen Astes getrennt. - Vergleiche die beiden Steigungen genau am Übergang. - Ein Punkt im Graphen von \(f'\) steht für einen tatsächlich existierenden Ableitungswert.

1. Links von \(x=1\) hat der lineare Abschnitt die Steigung \(0{,}5\); rechts davon die Steigung \(-1\). 2. Die beiden einseitigen Steigungen sind verschieden. Deshalb existiert keine gemeinsame Tangentensteigung und damit kein Ableitungswert \(f'(1)\). Im Ableitungsgraphen müssen die beiden konstanten Äste bei \(x=1\) offen enden. 3. Ein ausgefüllter Punkt würde behaupten, dass \(f'(1)\) einen bestimmten Wert besitzt. Das wäre wegen des Knicks falsch.

a) Links \(0{,}5\), rechts \(-1\). b) Wegen des Knicks ist \(f'(1)\) nicht definiert; deshalb hat der Ableitungsgraph dort eine Lücke. c) Ein ausgefüllter Punkt würde fälschlich einen existierenden Ableitungswert \(f'(1)\) anzeigen.

- Erinnere dich an die Definition der Differenzierbarkeit über den Grenzwert des Differenzenquotienten. - Was muss für den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert an der Nahtstelle gelten? - Setze den Funktionswert an der Stelle \(x_0\) korrekt in den Differenzenquotienten ein. - Überprüfe, ob die Annäherung von links und von rechts zum selben Ergebnis führt.

1. Bestimmung des linksseitigen Grenzwerts des Differenzenquotienten für \(h \to 0^-\) mit \(f(-2) = -4\): \(\lim_{h \to 0^-} \frac{f(-2+h) - f(-2)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{(-2+h)^2 + 4(-2+h) - (-4)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{4 - 4h + h^2 - 8 + 4h + 4}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{h^2}{h} = 0\). 2. Bestimmung des rechtsseitigen Grenzwerts des Differenzenquotienten für \(h \to 0^+\): \(\lim_{h \to 0^+} \frac{f(-2+h) - f(-2)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{-4(-2+h) - 12 - (-4)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{8 - 4h - 12 + 4}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{-4h}{h} = -4\). 3. Vergleich der einseitigen Grenzwerte: Da \(0 \neq -4\), existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle \(x_0 = -2\) nicht. 4. Ergebnis: Die Funktion \(f\) ist an der Stelle \(x_0 = -2\) nicht differenzierbar.

Die Funktion \(f\) ist an der Stelle \(x_0 = -2\) nicht differenzierbar, da der linksseitige Grenzwert des Differenzenquotienten \(0\) und der rechtsseitige Grenzwert \(-4\) beträgt.

- Betrachte das Verhalten der Steigung, wenn du dich dem Punkt von beiden Seiten näherst. - Nutze den Differenzenquotienten für beide Teilintervalle. - Was bedeutet es für die Steigung an der Stelle \(x=2\), wenn beide Grenzwerte gleich sind?

1. Berechnung des Funktionswerts an der Stelle \(x_0 = 2\): \(g(2) = \frac{1}{2} \cdot 2^2 + 1 = 3\). 2. Untersuchung des linksseitigen Differenzenquotienten für \(h \to 0^-\): \(\lim_{h \to 0^-} \frac{g(2+h) - g(2)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{\frac{1}{2}(2+h)^2 + 1 - 3}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{\frac{1}{2}(4 + 4h + h^2) - 2}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{2 + 2h + \frac{1}{2}h^2 - 2}{h} = \lim_{h \to 0^-} (2 + \frac{1}{2}h) = 2\). 3. Untersuchung des rechtsseitigen Differenzenquotienten für \(h \to 0^+\): \(\lim_{h \to 0^+} \frac{g(2+h) - g(2)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{2(2+h) - 1 - 3}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{4 + 2h - 4}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{2h}{h} = 2\). 4. Da beide einseitigen Grenzwerte übereinstimmen und den Wert \(2\) besitzen, ist die Funktion an der Stelle \(x_0 = 2\) differenzierbar.

Die Funktion \(g\) ist an der Stelle \(x_0 = 2\) differenzierbar. Der Grenzwert des Differenzenquotienten ist auf beiden Seiten gleich \(2\), folglich gilt \(g'(2) = 2\).

- Überlege dir, was der Betrag mit negativen Funktionswerten macht. - Für welche \(x\)-Werte ist der Ausdruck innerhalb des Betrags negativ? - Nutze die Definition des Differenzenquotienten \(\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\). - Betrachte beim Grenzwertprozess \(h \to 0\) getrennt die Fälle, in denen sich \(x_0\) von links oder von rechts genähert wird.

1. Der Graph von \(f\) entsteht aus dem Graphen von \(g\), indem alle Teile von \(G_g\), die unterhalb der \(x\)-Achse liegen (also im Intervall \((-2; 2)\)), an der \(x\)-Achse nach oben gespiegelt werden. 2. Bestimmung der Intervalle: \(x^2 - 4 \ge 0\) für \(x \le -2\) oder \(x \ge 2\). Somit gilt: \(f(x) = \begin{cases} x^2 - 4 & \text{für } x \le -2 \text{ oder } x \ge 2 \\ -x^2 + 4 & \text{für } -2 < x < 2 \end{cases}\) 3. Rechtsseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten an \(x_0 = 2\): \(\lim_{h \to 0^+} \frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{(2+h)^2-4-0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{4h+h^2}{h} = \lim_{h \to 0^+} (4+h) = 4\). 4. Linksseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten an \(x_0 = 2\): \(\lim_{h \to 0^-} \frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-(2+h)^2+4-0}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-4h-h^2}{h} = \lim_{h \to 0^-} (-4-h) = -4\). 5. Da der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert nicht übereinstimmen (\(-4 \neq 4\)), ist die Funktion an der Stelle \(x_0 = 2\) nicht differenzierbar.

a) Der Graph \(G_f\) entsteht durch Spiegelung der negativen Anteile von \(G_g\) an der \(x\)-Achse. \(f(x) = \begin{cases} x^2 - 4 & \text{für } |x| \ge 2 \\ -x^2 + 4 & \text{für } |x| < 2 \end{cases}\) b) Der rechtsseitige Grenzwert ist \(4\), der linksseitige \(-4\). Da diese ungleich sind, ist \(f\) bei \(x_0 = 2\) nicht differenzierbar.

- Wie verändert sich die Funktionsgleichung, wenn \(x\) negativ ist? - Setze den Punkt \(x_0 = 0\) direkt in den Differenzenquotienten ein. - Was muss für die einseitigen Grenzwerte gelten, damit eine Funktion an einer Stelle differenzierbar ist?

1. Fallunterscheidung für den Betrag \(|x|\): Für \(x \ge 0\) ist \(h(x) = x \cdot (x - 2) = x^2 - 2x\). Für \(x < 0\) ist \(h(x) = -x \cdot (x - 2) = -x^2 + 2x\). 2. Untersuchung der Differenzierbarkeit an \(x_0 = 0\) mithilfe des Differenzenquotienten: Rechtsseitiger Grenzwert (\(t \to 0^+\)): \(\lim_{t \to 0^+} \frac{h(0+t)-h(0)}{t} = \lim_{t \to 0^+} \frac{t^2-2t-0}{t} = \lim_{t \to 0^+} (t-2) = -2\). 3. Linksseitiger Grenzwert (\(t \to 0^-\)): \(\lim_{t \to 0^-} \frac{h(0+t)-h(0)}{t} = \lim_{t \to 0^-} \frac{-t^2+2t-0}{t} = \lim_{t \to 0^-} (-t+2) = 2\). 4. Ergebnis: Da die einseitigen Grenzwerte \(-2\) und \(2\) verschieden sind, existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten nicht; \(h\) ist bei \(x_0 = 0\) nicht differenzierbar.

a) \(h(x) = \begin{cases} x^2 - 2x & \text{für } x \ge 0 \\ -x^2 + 2x & \text{für } x < 0 \end{cases}\) b) Die einseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten an der Stelle \(0\) sind \(2\) (linksseitig) und \(-2\) (rechtsseitig). Da sie nicht identisch sind, ist \(h\) dort nicht differenzierbar.

- Überlege dir, welche bekannte Grundfunktion an einer bestimmten Stelle einen spitzen Punkt (Knick) im Graphen hat. - Wie kannst du eine Funktion entlang der \(x\)-Achse verschieben, um den Knick an eine andere Stelle zu setzen? - Kannst du zwei solcher Funktionen kombinieren, um mehrere Knickstellen zu erhalten?

1. Eine Basisfunktion, die an der Stelle \(x = 0\) stetig, aber nicht differenzierbar ist, ist die Betragsfunktion \(g(x) = |x|\). 2. Um eine weitere solche Stelle bei \(x = -4\) zu erzeugen, wird der Term um \(|x - (-4)| = |x + 4|\) ergänzt. 3. Die Addition beider Terme liefert die Funktion \(f(x) = |x + 4| + |x|\). Diese Funktion ist als Summe stetiger Funktionen überall stetig, besitzt aber an den Nullstellen der Betragsausdrücke (\(x = -4\) und \(x = 0\)) Knickstellen, an denen die einseitigen Grenzwerte der Differenzenquotienten nicht übereinstimmen.

\(f(x) = |x + 4| + |x|\) (oder ein vergleichbarer Term wie \(f(x) = |x + 4| \cdot |x|\))

- Was muss für die Funktionswerte und die Grenzwerte an einer Stelle gelten, damit eine Funktion dort stetig ist? - Erinnere dich an die Definition des Differenzenquotienten \(\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\). - Beachte beim rechtsseitigen Differenzenquotienten, dass du immer den Funktionswert an der Stelle \(x_0\) (also \(f(2)\)) verwenden musst, auch wenn die Funktionsvorschrift für \(x > 2\) anders lautet. - Wenn eine Funktion an einer Stelle nicht stetig ist, kann sie dort dann differenzierbar sein?

1. Prüfung der Stetigkeit bei \(x_0 = 2\): Der Funktionswert ist \(f(2) = 2^2 + 2 = 6\). Der linksseitige Grenzwert ist \(\lim_{x \to 2^-} (x^2 + x) = 6\). Der rechtsseitige Grenzwert ist \(\lim_{x \to 2^+} (2x + 1) = 2 \cdot 2 + 1 = 5\). Da \(6 \neq 5\), ist die Funktion an der Stelle \(x_0 = 2\) nicht stetig. 2. Linksseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten: \(\lim_{x \to 2^-} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2^-} \frac{x^2 + x - 6}{x - 2} = \lim_{x \to 2^-} \frac{(x - 2)(x + 3)}{x - 2} = \lim_{x \to 2^-} (x + 3) = 5\). 3. Rechtsseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten: \(\lim_{x \to 2^+} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2^+} \frac{2x + 1 - 6}{x - 2} = \lim_{x \to 2^+} \frac{2x - 5}{x - 2}\). Da der Zähler gegen \(-1\) und der Nenner gegen \(0^+\) strebt, geht der Grenzwert gegen \(-\infty\). 4. Da die einseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten nicht übereinstimmen (und einer davon nicht existiert), ist die Funktion an der Stelle \(x_0 = 2\) nicht differenzierbar.

a) Die Funktion ist bei \(x_0 = 2\) nicht stetig, da der linksseitige Grenzwert \(6\) und der rechtsseitige Grenzwert \(5\) nicht übereinstimmen. b) Der linksseitige Grenzwert des Differenzenquotienten beträgt \(5\). Der rechtsseitige Grenzwert des Differenzenquotienten existiert nicht (er strebt gegen \(-\infty\)). Somit ist die Funktion an der Stelle \(x_0 = 2\) nicht differenzierbar.

- Prüfe für die Stetigkeit, ob der „Sprung“ an der Nahtstelle null ist. - Nutze für den Differenzenquotienten die Formel \(\frac{h(x) - h(3)}{x - 3}\) für Werte knapp unterhalb und knapp oberhalb von \(3\). - Kannst du den Zähler des linksseitigen Differenzenquotienten faktorisieren, um den Term \((x-3)\) zu kürzen? - Was bedeutet es für die Steigung des Graphen, wenn die Grenzwerte des Differenzenquotienten unterschiedlich sind?

1. Nachweis der Stetigkeit: Funktionswert \(h(3) = -3^2 + 4 \cdot 3 = -9 + 12 = 3\). Linksseitiger Grenzwert \(\lim_{x \to 3^-} (-x^2 + 4x) = 3\). Rechtsseitiger Grenzwert \(\lim_{x \to 3^+} (2x - 3) = 2 \cdot 3 - 3 = 3\). Da Funktionswert und beide Grenzwerte übereinstimmen (\(3 = 3 = 3\)), ist \(h\) an der Stelle \(x_0 = 3\) stetig. 2. Linksseitiger Differenzenquotient: \(\lim_{x \to 3^-} \frac{h(x) - h(3)}{x - 3} = \lim_{x \to 3^-} \frac{-x^2 + 4x - 3}{x - 3} = \lim_{x \to 3^-} \frac{-(x - 3)(x - 1)}{x - 3} = \lim_{x \to 3^-} -(x - 1) = -2\). 3. Rechtsseitiger Differenzenquotient: \(\lim_{x \to 3^+} \frac{h(x) - h(3)}{x - 3} = \lim_{x \to 3^+} \frac{2x - 3 - 3}{x - 3} = \lim_{x \to 3^+} \frac{2(x - 3)}{x - 3} = 2\). 4. Da der linksseitige Grenzwert (\(-2\)) und der rechtsseitige Grenzwert (\(2\)) des Differenzenquotienten nicht gleich sind, ist die Funktion an der Stelle \(x_0 = 3\) nicht differenzierbar. Es liegt ein „Knick“ im Graphen vor.

a) \(h(3) = 3\), \(\lim_{x \to 3^-} h(x) = 3\) und \(\lim_{x \to 3^+} h(x) = 3\). Da der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert mit dem Funktionswert übereinstimmen, ist \(h\) stetig bei \(x_0 = 3\). b) Der linksseitige Grenzwert des Differenzenquotienten ist \(-2\), der rechtsseitige Grenzwert ist \(2\). Da diese nicht übereinstimmen, ist die Funktion an der Stelle \(x_0 = 3\) nicht differenzierbar.

- Erinnere dich an die Definition der Stetigkeit: Was muss für die Grenzwerte von links und rechts im Vergleich zum Funktionswert gelten? - Stelle den Differenzenquotienten für beide Seiten der Nahtstelle getrennt auf. - Was bedeutet es für die Differenzierbarkeit, wenn du beim Annähern von links ein anderes Ergebnis für die Steigung erhältst als von rechts?

1. Nachweis der Stetigkeit an der Stelle \(x_0 = 0\): Linksseitiger Limes: \(\lim_{x \to 0^-} (x^2 + 2x) = 0^2 + 2 \cdot 0 = 0\). Rechtsseitiger Limes: \(\lim_{x \to 0^+} x = 0\). Funktionswert: \(k(0) = 0\). Da linksseitiger Limes, rechtsseitiger Limes und Funktionswert übereinstimmen, ist \(k\) an der Stelle \(0\) stetig. 2. Untersuchung der Differenzierbarkeit mittels Differenzenquotient \(\frac{k(0+h) - k(0)}{h}\): Rechtsseitiger Grenzwert (\(h > 0\)): \(\lim_{h \to 0^+} \frac{h - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} 1 = 1\). Linksseitiger Grenzwert (\(h < 0\)): \(\lim_{h \to 0^-} \frac{(h^2 + 2h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} (h + 2) = 2\). 3. Da der linksseitige Grenzwert (\(2\)) und der rechtsseitige Grenzwert (\(1\)) des Differenzenquotienten nicht übereinstimmen, existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle \(x_0 = 0\) nicht. Die Funktion ist dort somit nicht differenzierbar.

Die Funktion ist stetig, da \(\lim_{x \to 0^-} k(x) = \lim_{x \to 0^+} k(x) = k(0) = 0\). Die Untersuchung des Differenzenquotienten ergibt: Rechtsseitig: \(\lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1\) Linksseitig: \(\lim_{h \to 0^-} \frac{h^2+2h}{h} = \lim_{h \to 0^-} (h+2) = 2\) Wegen \(1 \neq 2\) ist die Funktion an der Stelle \(x_0 = 0\) nicht differenzierbar.

- Wann genau nennt man eine Funktion an einer Stelle stetig? - Erinnere dich an die Bedingung für die Existenz eines Grenzwerts beim Differenzenquotienten. - Was muss für den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert gelten, damit eine Funktion differenzierbar ist? - Hilft es dir, die Steigungen der beiden Teilfunktionen direkt an der Stelle \(x_0 = 2\) zu vergleichen?

1. Prüfung der Stetigkeit: Der Funktionswert an der Stelle \(x_0 = 2\) ist \(f(2) = 0{,}5 \cdot 2^2 + 1 = 3\). Der linksseitige Grenzwert für \(x \to 2^-\) ergibt sich aus dem ersten Funktionsterm ebenfalls zu \(3\). Der rechtsseitige Grenzwert berechnet sich über den zweiten Term zu \(\lim_{x \to 2^+} (x + 1) = 3\). Da Funktionswert, linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen, ist \(f\) an der Stelle \(x_0 = 2\) stetig. 2. Untersuchung der Differenzierbarkeit: Der linksseitige Differenzenquotient für \(h \to 0^-\) ist \(\lim_{h \to 0^-} \frac{0{,}5(2+h)^2 + 1 - 3}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{0{,}5(4 + 4h + h^2) - 2}{h} = \lim_{h \to 0^-} (2 + 0{,}5h) = 2\). Der rechtsseitige Differenzenquotient für \(h \to 0^+\) ist \(\lim_{h \to 0^+} \frac{(2+h) + 1 - 3}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1\). Da der linksseitige Grenzwert (\(2\)) und der rechtsseitige Grenzwert (\(1\)) des Differenzenquotienten nicht übereinstimmen, existiert die Ableitung an der Stelle \(x_0 = 2\) nicht.

a) Ja, die Funktion ist an der Stelle \(x_0 = 2\) stetig, da der linksseitige Grenzwert, der rechtsseitige Grenzwert und der Funktionswert alle übereinstimmend \(3\) ergeben. b) Nein, die Funktion ist an der Stelle \(x_0 = 2\) nicht differenzierbar, da der linksseitige Grenzwert des Differenzenquotienten (\(2\)) nicht mit dem rechtsseitigen Grenzwert (\(1\)) übereinstimmt.

- Vergleiche für die Stetigkeit den Funktionswert mit den Grenzwerten von links und rechts. - Stelle für die Differenzierbarkeit den Differenzenquotienten mit \(x_0=2\) getrennt für \(h<0\) und \(h>0\) auf. - Achte darauf, für jede Seite die passende Teilfunktion einzusetzen. - Welche Bedingung müssen die beiden einseitigen Grenzwerte erfüllen, damit eine Ableitung existiert?

1. Der Funktionswert ist \(g(2) = \frac{4}{2} = 2\). Von links gilt \(\lim_{x \to 2^-}(-x^2+6)=2\), von rechts \(\lim_{x \to 2^+}\frac{4}{x}=2\). Damit ist \(g\) bei \(x=2\) stetig. 2. Für \(h<0\) gilt \(\frac{g(2+h)-g(2)}{h}=\frac{-(2+h)^2+6-2}{h}=\frac{-4h-h^2}{h}=-4-h\). Für \(h\to0^-\) ergibt sich der Grenzwert \(-4\). 3. Für \(h>0\) gilt \(\frac{g(2+h)-g(2)}{h}=\frac{\frac{4}{2+h}-2}{h}=\frac{-2h}{h(2+h)}=-\frac{2}{2+h}\). Für \(h\to0^+\) ergibt sich der Grenzwert \(-1\). 4. Da die einseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten verschieden sind, ist \(g\) bei \(x=2\) nicht differenzierbar.

Die Stetigkeit ist gegeben, da \(\lim_{x \to 2^-} g(x) = \lim_{x \to 2^+} g(x) = g(2) = 2\). Die Nicht-Differenzierbarkeit folgt aus den ungleichen einseitigen Ableitungen \(g'(2^-) = -4\) und \(g'(2^+) = -1\).

- Prüfe zuerst, ob beide Teilfunktionen an der Nahtstelle denselben Funktionswert liefern. - Setze für die linke Seite \(1+h\) mit \(h<0\) in den linken Funktionsterm ein. - Wiederhole den Differenzenquotienten für \(h>0\) mit dem rechten Funktionsterm. - Welche Bedingung müssen die beiden Grenzwerte erfüllen, damit die Ableitung existiert?

1. Zunächst gilt \(f(1)=3-1^2=2\). Auch der rechtsseitige Funktionswert strebt für \(x\to1^+\) gegen \(2\); die Funktion ist an der Nahtstelle stetig. 2. Für \(h<0\) gilt \(\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{3-(1+h)^2-2}{h}=\frac{-2h-h^2}{h}=-2-h\). Für \(h\to0^-\) ergibt sich \(-2\). 3. Für \(h>0\) gilt \(\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{2(1+h)^2-6(1+h)+6-2}{h}=\frac{-2h+2h^2}{h}=-2+2h\). Für \(h\to0^+\) ergibt sich ebenfalls \(-2\). 4. Da beide einseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten übereinstimmen, ist \(f\) bei \(x=1\) differenzierbar und \(f'(1)=-2\).

Die Funktion ist bei \(x=1\) differenzierbar. Beide einseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten sind \(-2\), also gilt \(f'(1)=-2\).

- Bearbeite die beiden Nahtstellen getrennt und prüfe jeweils zuerst die Stetigkeit. - Verwende bei \(x=2\) links den konstanten und rechts den quadratischen Funktionsterm. - Verwende bei \(x=4\) links den quadratischen und rechts den linearen Funktionsterm. - Entscheidend ist jeweils, ob die beiden einseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten übereinstimmen.

1. Bei \(x=2\) stimmen die Funktionswerte beider angrenzenden Teilstücke mit \(4\) überein. Für \(h<0\) ist \(\frac{g(2+h)-g(2)}{h}=0\). Für \(h>0\) gilt \(\frac{-(2+h)^2+4(2+h)-4}{h}=-h\). Beide Grenzwerte sind \(0\), also ist \(g\) bei \(x=2\) differenzierbar. 2. Bei \(x=4\) stimmen die Funktionswerte beider angrenzenden Teilstücke mit \(0\) überein. Für \(h<0\) gilt \(\frac{-(4+h)^2+4(4+h)}{h}=-4-h\), also ist der linksseitige Grenzwert \(-4\). 3. Für \(h>0\) gilt \(\frac{-2(4+h)+8}{h}=-2\). Der rechtsseitige Grenzwert ist daher \(-2\). 4. Da \(-4\ne-2\), ist \(g\) bei \(x=4\) nicht differenzierbar; dort liegt ein Knick vor.

Bei \(x=2\) ist \(g\) differenzierbar; beide einseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten sind \(0\). Bei \(x=4\) ist \(g\) nicht differenzierbar; die Grenzwerte sind links \(-4\) und rechts \(-2\).

- Welche notwendige Bedingung muss an der Nahtstelle schon vor der Differenzierbarkeit erfüllt sein? - Welche Gleichung erhältst du, wenn du den Funktionswert bei \(x=3\) mit dem rechtsseitigen Grenzwert vergleichst? - Prüfe nach der Parameterbestimmung den Differenzenquotienten einmal für \(h<0\) und einmal für \(h>0\). - Wann liefern die beiden Seiten zusammen eine eindeutige Tangentensteigung?

1. Differenzierbarkeit setzt Stetigkeit voraus. Es gilt \(f(3)=9a-3\), während der rechte Funktionsterm für \(x\to3^+\) gegen \(15\) strebt. Daher muss \(9a-3=15\) gelten, also \(a=2\). 2. Für \(a=2\) ist \(f(3)=15\). Links gilt für \(h<0\): \(\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\frac{2(3+h)^2-3-15}{h}=\frac{12h+2h^2}{h}=12+2h\). Der Grenzwert für \(h\to0^-\) ist \(12\). 3. Rechts gilt für \(h>0\): \(\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\frac{12(3+h)-21-15}{h}=12\). Der Grenzwert für \(h\to0^+\) ist ebenfalls \(12\). 4. Die beiden einseitigen Grenzwerte stimmen überein. Somit ist \(f\) für \(a=2\) bei \(x=3\) differenzierbar.

\(a=2\). Dann sind beide einseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten an \(x=3\) gleich \(12\).

- Was muss für die Grenzwerte des Differenzenquotienten von links und rechts gelten, damit eine Funktion differenzierbar ist? - Überprüfe bei abschnittsweise definierten Funktionen zuerst, ob sie an der Nahtstelle überhaupt stetig sind. - Was passiert mit dem Bruch \(\frac{\sqrt{t}}{t}\), wenn \(t > 0\) gegen \(0\) geht?

1. Untersuchung von \(g\) an der Stelle \(x_0 = 1\): Zuerst Prüfung der Stetigkeit: \(g(1) = 1^2 + 2 \cdot 1 = 3\). Der rechtsseitige Grenzwert ist \(\lim_{x \to 1^+} (4x - 1) = 3\). Die Funktion ist stetig. Linksseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten: \(\lim_{t \to 0^-} \frac{(1+t)^2 + 2 \cdot (1+t) - 3}{t} = \lim_{t \to 0^-} \frac{1 + 2t + t^2 + 2 + 2t - 3}{t} = \lim_{t \to 0^-} (4 + t) = 4\). Rechtsseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten: \(\lim_{t \to 0^+} \frac{4 \cdot (1+t) - 1 - 3}{t} = \lim_{t \to 0^+} \frac{4t}{t} = 4\). Da beide Grenzwerte übereinstimmen, ist \(g\) differenzierbar mit \(g'(1) = 4\). 2. Untersuchung von \(h\) an der Stelle \(x_0 = 4\): Der Differenzenquotient für \(t > 0\) lautet \(\frac{\sqrt{4+t-4} - \sqrt{4-4}}{t} = \frac{\sqrt{t}}{t} = \frac{1}{\sqrt{t}}\). Für \(t \to 0^+\) geht dieser Ausdruck gegen \(+\infty\). Da der Grenzwert nicht endlich ist (vertikale Tangente am Rand des Definitionsbereichs), ist \(h\) an der Stelle \(x_0 = 4\) nicht differenzierbar.

a) \(g\) ist an der Stelle \(x_0 = 1\) differenzierbar mit \(g'(1) = 4\). b) \(h\) ist an der Stelle \(x_0 = 4\) nicht differenzierbar.

- Prüfe zuerst, ob der Graph an der Stelle \(x_0 = 0\) überhaupt zusammenhängt (stetig ist). - Was sagt die Stetigkeit über die Existenz einer Tangente aus? - Untersuche das Verhalten des Differenzenquotienten getrennt für Werte kleiner als \(0\) und Werte größer als \(0\). - Könntest du an einer Stelle, an der der Graph einen Sprung macht, eine eindeutige Tangente zeichnen?

1. Überprüfung der Stetigkeit an der Stelle \(x_0 = 0\): Der Funktionswert ist \(f(0) = 1\). Der linksseitige Grenzwert der Funktion ist \(\lim_{x \to 0^-} (x + 2) = 2\). 2. Feststellung der Unstetigkeit: Da der linksseitige Grenzwert (\(2\)) nicht mit dem Funktionswert (\(1\)) übereinstimmt, liegt bei \(x_0 = 0\) eine Sprungstelle vor. 3. Folgerung für die Differenzierbarkeit: Eine Funktion, die an einer Stelle nicht stetig ist, kann dort auch nicht differenzierbar sein. 4. Betrachtung des Differenzenquotienten: Der rechtsseitige Grenzwert des Differenzenquotienten ist \(\lim_{h \to 0^+} \frac{1 - 1}{h} = 0\). Der linksseitige Grenzwert \(\lim_{h \to 0^-} \frac{(h+2) - 1}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{h+1}{h}\) existiert nicht als reelle Zahl (er strebt gegen \(-\infty\)). 5. Ergebnis: Da keine eindeutige Ableitung existiert, hat der Graph an der Stelle \(x_0 = 0\) keine Tangente.

Der Graph besitzt an der Stelle \(x_0 = 0\) keine Tangente, da die Funktion dort aufgrund einer Sprungstelle nicht stetig (und damit nicht differenzierbar) ist.

- Setze die Funktion in die Formel für den Differenzenquotienten ein. - Versuche den Ausdruck so weit wie möglich zu vereinfachen, bevor du den Grenzwert betrachtest. - Prüfe, ob der Grenzwert des vereinfachten Terms für Annäherung von beiden Seiten denselben Wert ergibt. - Was passiert mit dem Betrag von \(h\), wenn \(h\) gegen Null geht?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten an der Stelle \(x_0 = 0\): \(\frac{g(0+h) - g(0)}{h} = \frac{|h| \cdot h + 3h - 0}{h}\). 2. Vereinfachen des Terms durch Kürzen von \(h\): \(\frac{h(|h| + 3)}{h} = |h| + 3\). 3. Bildung des Grenzwerts für \(h \to 0\): \(\lim_{h \to 0} (|h| + 3) = 0 + 3 = 3\). 4. Da der Grenzwert eindeutig existiert, ist die Funktion an der Stelle \(x_0 = 0\) differenzierbar. Die Ableitung entspricht dem Grenzwert.

Die Funktion \(g\) ist an der Stelle \(x_0 = 0\) differenzierbar mit \(g'(0) = 3\).

- Was bedeutet es anschaulich, wenn ein Punkt ein „Gipfel“ (Maximum) oder ein „Tal“ (Minimum) ist? - Vergleiche den Funktionswert an der Stelle \(x = 0\) mit Werten, die ganz nah links und ganz nah rechts davon liegen. - Kann ein Punkt eine Extremstelle sein, wenn es in seiner unmittelbaren Nähe sowohl größere als auch kleinere Werte gibt? - Untersuche die beiden Teilfunktionen separat für Werte nahe Null.

1. Funktionswert an der Stelle bestimmen: Es gilt \(f(0) = 0^2 + 1 = 1\). 2. Umgebung rechts von \(0\) betrachten: Für alle \(x > 0\) gilt \(f(x) = x^2 + 1\). Da \(x^2 > 0\) für \(x \neq 0\), ist \(f(x) > 1\) für alle \(x > 0\). In jeder Rechtsumgebung von \(0\) gibt es also Werte, die größer als \(f(0)\) sind. 3. Umgebung links von \(0\) betrachten: Für alle \(x < 0\) gilt \(f(x) = x\). Da \(x < 0\), ist \(f(x) < 0\) und damit insbesondere \(f(x) < 1\). In jeder Linksumgebung von \(0\) gibt es also Werte, die kleiner als \(f(0)\) sind. 4. Schlussfolgerung: Da in jeder noch so kleinen Umgebung um \(x = 0\) sowohl Funktionswerte existieren, die größer als \(f(0)\) sind, als auch Funktionswerte, die kleiner als \(f(0)\) sind, kann \(f(0)\) weder ein lokales Maximum noch ein lokales Minimum sein. Somit liegt bei \(x = 0\) keine Extremstelle vor.

An der Stelle \(x = 0\) ist \(f(0) = 1\). Für \(x > 0\) sind die Funktionswerte stets größer als \(1\) (\(x^2 + 1 > 1\)), während sie für \(x < 0\) stets kleiner als \(1\) sind (da \(x < 0\)). Da in jeder Umgebung von \(x = 0\) sowohl größere als auch kleinere Werte als \(f(0)\) vorkommen, liegt laut Definition kein lokales Extremum vor.

- Welche Funktionsvorschrift musst du für Werte kleiner als \(1\) verwenden, und welche für Werte größer als \(1\)? - Setze den Funktionsterm für den jeweiligen Bereich in den Differenzenquotienten ein und vereinfache den Bruch, bevor du den Grenzwert betrachtest. - Was bedeutet es für den Grenzwert des Differenzenquotienten, wenn man sich von links beziehungsweise von rechts der Stelle \(1\) nähert? - Vergleiche die beiden einseitigen Grenzwerte. Wann ist eine Funktion an einer Stelle differenzierbar?

1. Linksseitiger Grenzwert für \(h \to 0\) mit \(h < 0\): \(\lim_{h \to 0^-} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{(1+h)^2 - 1}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{2h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0^-} (2 + h) = 2\) 2. Rechtsseitiger Grenzwert für \(h \to 0\) mit \(h > 0\): \(\lim_{h \to 0^+} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{-(1+h) + 2 - 1}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{-h}{h} = -1\) 3. Begründung der Nicht-Differenzierbarkeit: Der linksseitige Grenzwert \(2\) und der rechtsseitige Grenzwert \(-1\) des Differenzenquotienten an der Stelle \(x_0 = 1\) stimmen nicht überein. Daher existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten insgesamt nicht, und \(f\) ist an der Stelle \(x_0 = 1\) nicht differenzierbar.

a) Der linksseitige Grenzwert ist \(2\). b) Der rechtsseitige Grenzwert ist \(-1\). c) Da die beiden einseitigen Grenzwerte nicht übereinstimmen, ist \(f\) bei \(x_0 = 1\) nicht differenzierbar.

- Wie lautet die mathematische Definition für ein lokales Minimum und ein lokales Maximum? - Muss eine Funktion an einer Stelle unbedingt differenzierbar sein, damit dort ein Extrempunkt existieren kann? - Betrachte die Funktionswerte in einer kleinen Umgebung direkt links und rechts von jedem der drei Punkte. Sind sie alle größer, alle kleiner oder teils größer und teils kleiner? - Wenn die Steigung an einer Stelle null ist, handelt es sich dann immer automatisch um eine Extremstelle?

Um zu beurteilen, ob an den Stellen lokale Extremstellen vorliegen, nutzen wir die Definitionen von lokalen Extrema und untersuchen das Verhalten der Funktion in einer offenen Umgebung um die jeweiligen Stellen: 1. Stelle \(x_1 = -2\) (Punkt \(A\)): An dieser Stelle hat der Graph einen „Knick“, was bedeutet, dass die Funktion \(f\) an der Stelle \(x_1 = -2\) nicht differenzierbar ist. Dennoch gilt in einer kleinen offenen Umgebung um \(x_1\), dass alle Funktionswerte größer oder gleich dem Funktionswert \(f(-2) = 0{,}1\) sind. Da \(f(x) \ge f(-2)\) in dieser Umgebung gilt, liegt bei \(x_1 = -2\) ein lokales Minimum vor. Dieses Beispiel zeigt, dass Differenzierbarkeit keine notwendige Voraussetzung für die Existenz eines lokalen Extremums ist. 2. Stelle \(x_2 = 0\) (Punkt \(B\)): Der Graph verläuft hier glatt und erreicht einen Hochpunkt. In einer offenen Umgebung um \(x_2 = 0\) gilt \(f(x) \le f(0) = 3{,}5\). Da die Funktion hier differenzierbar ist, ist die notwendige Bedingung für ein Extremum erfüllt: Die Steigung der Tangente ist null (\(f'(0) = 0\)). Da die Steigung zudem von positiv links von \(0\) auf negativ rechts von \(0\) wechselt, liegt bei \(x_2 = 0\) ein lokales Maximum vor. 3. Stelle \(x_3 = 2\) (Punkt \(C\)): An dieser Stelle verläuft die Tangente an den Graphen ebenfalls waagerecht, es gilt also \(f'(2) = 0\). Allerdings ist die Funktion in einer offenen Umgebung um \(x_3 = 2\) streng monoton fallend; die Steigung ist sowohl links als auch rechts von \(x_3\) negativ. Es gilt also \(f(x) > f(2) = 3{,}3\) für \(x < 2\) und \(f(x) < f(2) = 3{,}3\) für \(x > 2\) in der nahen Umgebung. Somit liegt bei \(x_3 = 2\) kein lokales Extremum, sondern ein Sattelpunkt vor. Dies zeigt, dass die Bedingung \(f'(x) = 0\) für differenzierbare Funktionen zwar notwendig, aber nicht hinreichend ist.

Bei \(x_1 = -2\) (Punkt \(A\)) liegt trotz der Nichtdifferenzierbarkeit ein lokales Minimum vor; bei \(x_2 = 0\) (Punkt \(B\)) liegt ein lokales Maximum vor; bei \(x_3 = 2\) (Punkt \(C\)) liegt keine Extremstelle, sondern ein Sattelpunkt vor.

- Prüfe an jeder Stelle, ob der Graph ohne Sprung oder Lücke durchgehend verläuft. - Wenn eine Funktion an einer Stelle nicht stetig ist, kann sie dort differenzierbar sein? - Betrachte für die Differenzierbarkeit die Steigung des Graphen kurz vor und kurz nach der jeweiligen Stelle. Ändert sich die Steigung fließend oder gibt es einen abrupten Knick?

1. Untersuchung an der Stelle \(x = 0\): - Die linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwerte stimmen mit dem Funktionswert überein: \(\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 2\). Die Funktion ist somit stetig. - Der Graph weist an dieser Stelle einen Knick auf. Die Steigung ändert sich sprunghaft von \(1\) auf \(2\). Da die einseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten nicht übereinstimmen, ist die Funktion an der Stelle \(x = 0\) nicht differenzierbar. 2. Untersuchung an der Stelle \(x = 3\): - Der Graph besitzt eine Sprungstelle. Der linksseitige Grenzwert beträgt \(-1\), während der rechtsseitige Grenzwert \(1\) ist: \(\lim_{x \to 3^-} f(x) \neq \lim_{x \to 3^+} f(x)\). Die Funktion ist an der Stelle \(x = 3\) nicht stetig. - Da Stetigkeit eine notwendige Bedingung für Differenzierbarkeit ist, ist die Funktion an der Stelle \(x = 3\) auch nicht differenzierbar. 3. Untersuchung an der Stelle \(x = 5\): - Die Grenzwerte von links und rechts stimmen mit dem Funktionswert überein: \(\lim_{x \to 5^-} f(x) = \lim_{x \to 5^+} f(x) = f(5) = 1\). Die Funktion ist stetig. - Der Graph weist an dieser Stelle einen Knick auf. Die Steigung ändert sich von \(0\) auf \(1{,}2\). Da die einseitigen Ableitungen nicht übereinstimmen, ist die Funktion an der Stelle \(x = 5\) nicht differenzierbar.

a) Bei \(x = 0\) und \(x = 5\) ist \(f\) stetig; bei \(x = 3\) ist \(f\) wegen der Sprungstelle nicht stetig. b) An allen drei Stellen ist \(f\) nicht differenzierbar: bei \(x = 0\) und \(x = 5\) wegen der Knicke, bei \(x = 3\) wegen der Unstetigkeit.

- An welchen Stellen wird der Ausdruck innerhalb des Betrags null? - Welche Vorzeichen hat der Ausdruck innerhalb und außerhalb des Intervalls zwischen diesen Nullstellen? - Verwende an jeder kritischen Stelle denselben Funktionswert im links- und rechtsseitigen Differenzenquotienten. - Was folgt, wenn die beiden einseitigen Grenzwerte verschieden sind?

1. Die Nullstellen des Terms im Betrag sind \(x=-1\) und \(x=3\). Außerhalb des Intervalls \([-1;3]\) ist der Term nichtnegativ, dazwischen nichtpositiv. Somit gilt \(f(x)=\begin{cases}0{,}5x^2-x-1{,}5&\text{für }x<-1\text{ oder }x>3\\-0{,}5x^2+x+1{,}5&\text{für }-1\le x\le3\end{cases}\). 2. Bei \(x_0=-1\) ist \(f(-1)=0\). Links gilt \(\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}=-2+0{,}5h\to-2\), rechts gilt \(\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}=2-0{,}5h\to2\). Die Grenzwerte sind verschieden; \(f\) ist bei \(-1\) nicht differenzierbar. 3. Bei \(x_0=3\) ist \(f(3)=0\). Links gilt \(\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=-2-0{,}5h\to-2\), rechts gilt \(\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=2+0{,}5h\to2\). Auch hier stimmen die Grenzwerte nicht überein.

a) \(f(x)=\begin{cases}0{,}5x^2-x-1{,}5&\text{für }x<-1\text{ oder }x>3\\-0{,}5x^2+x+1{,}5&\text{für }-1\le x\le3\end{cases}\) b) Bei \(x=-1\) und \(x=3\) ist \(f\) nicht differenzierbar; die einseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten sind jeweils \(-2\) und \(2\).

- Kannst du den Unterschied zwischen einer Sprungstelle und einer Knickstelle im Graphen beschreiben? - Denke daran, dass eine Funktion an einer Stelle nur dann differenzierbar sein kann, wenn sie dort auch stetig ist. - Prüfe zunächst, an welchen Übergängen der Graph unterbrochen ist. - Untersuche anschließend die zusammenhängenden Übergänge darauf, ob die einseitigen Steigungen übereinstimmen.

1. Untersuchung auf Stetigkeit: - An der Stelle \(x = 1\) liegt eine Sprungstelle vor, da der linksseitige Grenzwert \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2\) ungleich dem rechtsseitigen Grenzwert \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = 0\) ist. Somit ist \(f\) bei \(x = 1\) nicht stetig. - An allen anderen Stellen im Intervall \((-3; 5)\) verläuft der Graph ohne Unterbrechung. Insbesondere gilt bei \(x = 3\): \(\lim_{x \to 3} f(x) = f(3) = 0\). 2. Untersuchung auf Differenzierbarkeit: - Da eine Funktion an einer Unstetigkeitsstelle nicht differenzierbar sein kann, ist \(f\) an der Stelle \(x = 1\) nicht differenzierbar. - An der Stelle \(x = 3\) ist die Funktion stetig, aber der Graph weist einen Knick auf. Die linksseitige Steigung beträgt \(2\), während die rechtsseitige Steigung \(-1\) beträgt. Wegen der unterschiedlichen einseitigen Steigungen ist \(f\) bei \(x = 3\) nicht differenzierbar. - An allen anderen Stellen im Inneren des Definitionsbereichs ist der Graph glatt und somit differenzierbar.

1. Nicht stetig ist \(f\) nur bei \(x = 1\), weil dort eine Sprungstelle vorliegt. 2. Nicht differenzierbar ist \(f\) bei \(x = 1\) wegen der Unstetigkeit und bei \(x = 3\) wegen des Knicks.

- Prüfe zuerst, ob die beiden Graphenteile denselben Punkt bei \(x=1\) erreichen. - Verwende für \(h<0\) den linken und für \(h>0\) den rechten Funktionsterm. - Was folgt aus zwei verschiedenen einseitigen Grenzwerten des Differenzenquotienten?

1. Beide Graphenteile treffen sich im Punkt \((1\mid2)\); es gibt dort weder Sprung noch Lücke. Der sichtbare Knick zeigt jedoch, dass keine eindeutige Tangente existiert. 2. Es gilt \(f(1)=2\). Für \(h<0\) ist \(\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{-(1+h)^2+2(1+h)+1-2}{h}=-h\), also ist der linksseitige Grenzwert \(0\). 3. Für \(h>0\) gilt \(\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{2(1+h)-2}{h}=2\). Der rechtsseitige Grenzwert ist \(2\). 4. Da \(0\ne2\), existiert kein gemeinsamer Grenzwert des Differenzenquotienten. Die Funktion ist bei \(x=1\) nicht differenzierbar.

a) Der Graph ist bei \(x=1\) verbunden, besitzt dort aber einen Knick. b) Links ergibt sich der Grenzwert \(0\), rechts \(2\); daher ist \(f\) bei \(x=1\) nicht differenzierbar.

- Erinnere dich an die allgemeine Definition eines lokalen Extremums: Muss eine Funktion an dieser Stelle glatt verlaufen? - Was passiert mit den Funktionswerten links und rechts von \(x_1\)? - Betrachte den Bereich um \(x_2\): Verändern sich die Werte dort überhaupt? - Schau dir an, welche Bedingungen für ein lokales Maximum oder Minimum erfüllt sein müssen.

1. Definition einer lokalen Extremstelle: Ein Punkt \(x_0\) ist eine lokale Extremstelle, wenn es eine Umgebung um \(x_0\) gibt, in der alle Funktionswerte entweder kleiner oder gleich (Maximum) bzw. größer oder gleich (Minimum) als der Funktionswert \(f(x_0)\) sind. 2. Untersuchung an der Stelle \(x_1 = -2\): Der Funktionswert \(f(-2) = 4\) ist der höchste Punkt in einer kleinen Umgebung. Da alle benachbarten Werte kleiner sind, liegt hier ein lokales Maximum vor. Dass die Funktion dort einen „Knick“ hat (nicht differenzierbar ist), spielt für die Existenz eines Extremums keine Rolle. 3. Untersuchung an der Stelle \(x_2 = 1{,}5\): Die Funktion ist im Intervall \([0; 3]\) konstant mit \(f(x) = 1\). In einer Umgebung von \(1{,}5\) gilt daher sowohl \(f(x) \le f(1{,}5)\) als auch \(f(x) \ge f(1{,}5)\). Nach der mathematischen Definition ist somit jeder Punkt in einem konstanten Abschnitt sowohl eine lokale Minimalstelle als auch eine lokale Maximalstelle.

An der Stelle \(x_1 = -2\) liegt ein lokales Maximum vor, da der Funktionswert dort in einer Umgebung am größten ist. An der Stelle \(x_2 = 1{,}5\) liegt sowohl ein lokales Maximum als auch ein lokales Minimum vor, da die Funktion in diesem Bereich konstant verläuft und somit die Bedingungen für beide Extremumstypen erfüllt sind.

- Muss eine Funktion an einer lokalen Extremstelle zwingend differenzierbar sein? - Wie verhalten sich die Funktionswerte direkt neben der Spitze bei \(x_1\)? - Betrachte die Öffnungsrichtung und den Scheitelpunkt des Parabelstücks bei \(x_2\).

1. Untersuchung bei \(x_1 = -1\): Der Graph zeigt an dieser Stelle eine Spitze in V-Form. Für alle \(x\) in einer Umgebung von \(-1\) gilt \(f(x) \ge f(-1) = 0\). Da der Funktionswert dort der kleinste in der Umgebung ist, liegt eine lokale Minimalstelle vor. Die Funktion ist dort zwar nicht differenzierbar, ein Extremum ist jedoch über die Funktionswerte definiert. 2. Untersuchung bei \(x_2 = 3\): Der Graph verläuft hier glatt. Da es sich um den Scheitelpunkt einer nach unten geöffneten Parabel handelt, ist die Steigung \(f'(3) = 0\), und die Funktion wechselt von steigend zu fallend. Somit liegt bei \(x_2 = 3\) ein lokales Maximum vor.

a) Bei \(x_1 = -1\) liegt trotz fehlender Differenzierbarkeit eine lokale Minimalstelle vor, weil \(f(-1)\) in einer Umgebung der kleinste Funktionswert ist. b) Bei \(x_2 = 3\) liegt ein lokales Maximum vor.

- Überlege dir zuerst, wie du den Betrag auflösen kannst, wenn du dich der Stelle \(x=2\) von links oder von rechts näherst. - Erinnere dich an die Definition der Differenzierbarkeit: Der Grenzwert des Differenzenquotienten muss von beiden Seiten her gleich sein. - Was bedeutet eine unterschiedliche Steigung von links und rechts für den Verlauf des Graphen an diesem Punkt?

1. Der Funktionswert ist \(f(2) = |0{,}5 \cdot 2^2 - 2| = |2 - 2| = 0\). 2. Zur Untersuchung der Differenzierbarkeit betrachten wir den Grenzwert des Differenzenquotienten \(\frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \frac{|0{,}5 \cdot (2+h)^2 - 2| - 0}{h} = \frac{|2 + 2h + 0{,}5h^2 - 2|}{h} = \frac{|2h + 0{,}5h^2|}{h}\). Für \(h > 0\) (rechtsseitig) gilt \(2h + 0{,}5h^2 > 0\), also \(\lim_{h \to 0^{+}} \frac{2h + 0{,}5h^2}{h} = \lim_{h \to 0^{+}} (2 + 0{,}5h) = 2\). Für \(h < 0\) (linksseitig) ist \(2h + 0{,}5h^2\) für betragsmäßig kleine \(h\) negativ, also \(\lim_{h \to 0^{-}} \frac{-(2h + 0{,}5h^2)}{h} = \lim_{h \to 0^{-}} (-2 - 0{,}5h) = -2\). 3. Da der linksseitige Grenzwert (\(-2\)) und der rechtsseitige Grenzwert (\(2\)) nicht übereinstimmen, existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten nicht. Die Funktion ist an der Stelle \(x = 2\) nicht differenzierbar; es existiert dort keine eindeutige Tangente.

Der Funktionswert ist \(f(2) = 0\). Die Untersuchung der Grenzwerte des Differenzenquotienten ergibt rechtsseitig den Wert \(2\) und linksseitig den Wert \(-2\). Da diese Werte nicht gleich sind, ist die Funktion an der Stelle \(x = 2\) nicht differenzierbar. Es gibt dort keine eindeutige Tangente, was sich im Graphen als Spitze äußert.

- Vergleiche den linksseitigen und den rechtsseitigen Grenzwert bei \(x=0\). - Für eine Tangente als Grenzlage von Sekanten muss der zweite Graphpunkt \(Q\) tatsächlich gegen den Berührpunkt \(P\) streben. - Untersuche den Abstand zwischen \(P(0\mid0)\) und Punkten auf den beiden waagerechten Graphteilen.

1. Bei \(x=0\) hat der Graph eine Sprungstelle: Links liegt er bei \(y=-1\), rechts bei \(y=1\), während \(s(0)=0\) gilt. 2. Es ist \(\lim_{x\to0^-}s(x)=-1\) und \(\lim_{x\to0^+}s(x)=1\). Da die einseitigen Grenzwerte nicht übereinstimmen, ist \(s\) bei \(x=0\) nicht stetig. 3. Eine Tangente in \(P(0\mid0)\) müsste als Grenzlage von Sekanten \(PQ\) entstehen, wobei der zweite Graphpunkt \(Q\) gegen \(P\) strebt. Das ist hier unmöglich: Für jeden anderen Graphpunkt \(Q(x\mid s(x))\) gilt \(|s(x)|=1\), sodass der Abstand von \(Q\) zu \(P\) beim Grenzübergang \(x\to0\) nicht gegen \(0\), sondern gegen \(1\) geht. Es gibt daher keine Folge anderer Graphpunkte, die sich \(P\) nähert, und keine Tangente als Grenzlage von Sekanten.

Die Funktion hat bei \(x=0\) eine Sprungstelle und ist dort nicht stetig. Im isolierten Graphpunkt \(P(0\mid0)\) gibt es keine Tangente als Grenzlage von Sekanten, weil kein anderer Graphpunkt \(Q\) gegen \(P\) streben kann.

- Überlege dir, was es grafisch bedeutet, wenn eine Funktion an einer Stelle differenzierbar ist. Wie müsste der Übergang dort aussehen? - Vergleiche die Steigung kurz vor der Stelle \(x_e\) mit der Steigung kurz nach \(x_e\). - Erinnere dich an die Definition der Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten. - Gilt das Kriterium \(f'(x) = 0\) für jede Art von Extrempunkt oder gibt es Voraussetzungen an die Funktion selbst?

1. Der Graph der Funktion \(f\) besitzt an der Stelle \(x_e = 2\) eine sogenannte „Knickstelle“. Das bedeutet, dass die Steigung der Funktion links von dieser Stelle (hier \(+1\)) einen anderen Wert hat als unmittelbar rechts davon (hier \(-1\)). Da der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert des Differenzenquotienten nicht übereinstimmen, ist die Funktion an dieser Stelle nicht differenzierbar; die Ableitung \(f'(2)\) existiert somit nicht. 2. Das notwendige Kriterium \(f'(x) = 0\) setzt voraus, dass die Funktion an der betrachteten Stelle differenzierbar ist. Da dies bei \(x_e = 2\) nicht der Fall ist, kann die Gleichung \(f'(x) = 0\) für diese Stelle gar nicht erst aufgestellt werden. Das Maximum lässt sich also nicht über die Nullstelle der Ableitung finden.

Die Funktion ist bei \(x_e = 2\) nicht differenzierbar, da der Graph dort einen Knick hat (die linksseitige Steigung unterscheidet sich von der rechtsseitigen). Da die Ableitung \(f'(2)\) nicht existiert, kann das notwendige Kriterium \(f'(x) = 0\), welches Differenzierbarkeit voraussetzt, nicht angewendet werden.

- Eine Funktion ist an einer Stelle nur dann differenzierbar, wenn ihr Graph dort glatt und ohne Knicke oder Sprünge verläuft. - Schau dir den Übergang der Kurve bei \(x = 0\) genau an. Wie verhält sich die Steigung kurz vor der \(y\)-Achse? - Prüfe, ob an den Nahtstellen der verschiedenen Teilstücke die Steigung von links und von rechts gleich ist.

1. Untersuchung bei \(x = 0\): Der Graph nähert sich von links mit einer immer steiler werdenden, gegen unendlich gehenden Steigung an; dort liegt eine vertikale Tangente vor. Von rechts schließt sich eine Gerade mit der Steigung \(1\) an. Da keine eindeutige endliche Tangentensteigung existiert, ist \(g\) bei \(x = 0\) nicht differenzierbar. 2. Untersuchung bei \(x = 2\): Hier treffen zwei Geradenstücke mit unterschiedlichen Steigungen aufeinander; links beträgt die Steigung \(1\), rechts \(-2\). Wegen dieses Knicks ist \(g\) bei \(x = 2\) nicht differenzierbar. 3. Die Stellen der Nicht-Differenzierbarkeit sind \(x = 0\) und \(x = 2\).

Die Funktion \(g\) ist bei \(x = 0\) wegen der vertikalen Tangente und bei \(x = 2\) wegen des Knicks nicht differenzierbar.

- Berücksichtige bei einem geschlossenen Intervall auch die Randpunkte. - Wo besitzt der Graph keine eindeutige Tangente? - Vergleiche an Übergängen die Steigungen links und rechts.

1. An den Randpunkten \(x=0\) und \(x=10\) ist keine zweiseitige Ableitung definiert. 2. Bei \(x=3\) besitzt der Graph eine Spitze beziehungsweise einen scharfen Knick; die einseitigen Steigungen stimmen nicht überein. 3. Bei \(x=7\) wechselt der Graph abrupt von einem waagerechten Abschnitt zu einem linearen Anstieg. Daher liegt ebenfalls ein Knick vor. 4. An den übrigen inneren Stellen ist der Graph glatt oder innerhalb eines linearen Abschnitts differenzierbar.

Die zweiseitige Ableitung existiert bei \(x=0\), \(x=3\), \(x=7\) und \(x=10\) nicht. \(0\) und \(10\) sind Randpunkte; bei \(3\) und \(7\) liegen Knicke vor.

- Überlege dir zuerst, wo die Funktion \(x^2 - 2x\) negative Werte annimmt. Was macht der Betrag mit diesen Werten? - Ein Knick im Graphen deutet darauf hin, dass dort keine eindeutige Tangente existiert. - Für Differenzierbarkeit müssen die einseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten übereinstimmen. - Nutze für den rechnerischen Nachweis \(\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\) und betrachte \(h \to 0\) von beiden Seiten.

1. Geometrische Beschreibung: Der Graph \(G_f\) entsteht aus dem Graphen der Parabel \(g(x) = x^2 - 2x\), indem alle Teile unterhalb der \(x\)-Achse an der \(x\)-Achse nach oben gespiegelt werden. 2. Abschnittsweise Definition: Da \(x^2 - 2x = x(x-2)\) im Intervall \((0; 2)\) negativ ist, gilt \(f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x & \text{für } x \le 0 \text{ oder } x \ge 2 \\ -x^2 + 2x & \text{für } 0 < x < 2 \end{cases}\). 3. Nicht differenzierbare Stellen: Der Graph weist an den Nullstellen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\) Knicke auf. 4. Rechnerischer Nachweis für \(x = 0\): Linksseitig gilt \(\lim_{h \to 0^-} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} (h - 2) = -2\). Rechtsseitig gilt \(\lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} (-h + 2) = 2\). Da die einseitigen Grenzwerte nicht übereinstimmen, ist \(f\) bei \(x = 0\) nicht differenzierbar.

a) \(G_f\) entsteht, indem die unterhalb der \(x\)-Achse liegenden Teile von \(G_g\) an der \(x\)-Achse gespiegelt werden; \(f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x & \text{für } x \le 0 \text{ oder } x \ge 2 \\ -x^2 + 2x & \text{für } 0 < x < 2 \end{cases}\). b) \(f\) ist bei \(x = 0\) und \(x = 2\) wegen der Knicke nicht differenzierbar; bei \(x = 0\) sind die einseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten \(-2\) und \(2\).

- Treffen die beiden Teilgraphen an der Nahtstelle im selben Punkt zusammen? - Verwende bei \(h<0\) den Parabelterm und bei \(h>0\) den Geradenterm. - Welche Bedingung müssen die beiden Grenzwerte des Differenzenquotienten erfüllen, damit Differenzierbarkeit vorliegt?

1. Grafisch treffen beide Teilgraphen bei \(x=1\) ohne Lücke zusammen, besitzen dort aber einen sichtbaren Knick. 2. Rechnerisch gilt links \(-1^2+4=3\) und rechts \(0{,}5\cdot1+2{,}5=3\). Damit ist \(g\) bei \(x=1\) stetig. 3. Mit \(g(1)=3\) ergibt sich für \(h<0\): \(\frac{g(1+h)-g(1)}{h}=\frac{-(1+h)^2+4-3}{h}=-2-h\to-2\). 4. Für \(h>0\) gilt \(\frac{g(1+h)-g(1)}{h}=\frac{0{,}5(1+h)+2{,}5-3}{h}=0{,}5\). 5. Da die einseitigen Grenzwerte \(-2\) und \(0{,}5\) verschieden sind, ist \(g\) bei \(x=1\) nicht differenzierbar.

Die Funktion ist bei \(x=1\) stetig, aber nicht differenzierbar. Die einseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten sind links \(-2\) und rechts \(0{,}5\).

- Wo besitzt der Graph eine glatte waagerechte Tangente? - Suche nach Stellen, an denen der Graph einen Knick oder eine scharfe Ecke aufweist. - Berücksichtige bei der üblichen zweiseitigen Ableitung auch die Randstellen des abgeschlossenen Intervalls.

1. Eine Ableitung von null liegt an einer glatten Stelle mit waagerechter Tangente vor. Im Graphen ist dies beim Maximum bei \(x = -2\) der Fall. 2. An den Randstellen \(x = -5\) und \(x = 5\) ist keine zweiseitige Ableitung definiert. Außerdem besitzt der Graph bei \(x = 1\) einen Knick beim Übergang von der Kurve zur Geraden und bei \(x = 3\) eine Spitze.

a) \(x = -2\). b) \(x = -5\), \(x = 1\), \(x = 3\) und \(x = 5\).

- Schau dir den Ausdruck unter der Wurzel genau an. Erinnert er dich an eine binomische Formel? - Was ergibt die Quadratwurzel aus einem Quadrat, zum Beispiel \(\sqrt{a^2}\)? - Untersuche die Stellen, an denen die Ausdrücke innerhalb der Betragsstriche null werden. - Prüfe, ob die Steigung des Graphen links und rechts von diesen kritischen Stellen gleich bleibt oder sich sprunghaft ändert.

1. Vereinfachung des Terms unter der Wurzel mithilfe der zweiten binomischen Formel: \(\sqrt{x^2 - 10x + 25} = \sqrt{(x - 5)^2} = |x - 5|\). 2. Der Funktionsterm lautet somit \(h(x) = |x - 5| + |x|\). 3. Die Funktion ist als Summe von Betragsfunktionen überall stetig. 4. Mögliche Stellen der Nicht-Differenzierbarkeit sind die Nullstellen der Beträge: \(x_1 = 5\) und \(x_2 = 0\). 5. Untersuchung der Steigungen (einseitige Grenzwerte der Ableitung): Für \(x < 0\) ist \(h'(x) = -2\); für \(0 < x < 5\) ist \(h'(x) = 0\); für \(x > 5\) ist \(h'(x) = 2\). 6. An \(x = 0\) unterscheiden sich linksseitige (\(-2\)) und rechtsseitige Steigung (\(0\)). 7. An \(x = 5\) unterscheiden sich linksseitige (\(0\)) und rechtsseitige Steigung (\(2\)). 8. Ergebnis: Die Funktion ist an den Stellen \(x = 0\) und \(x = 5\) nicht differenzierbar.

Die Funktion ist an den Stellen \(x = 0\) und \(x = 5\) stetig, aber nicht differenzierbar.

- Suche zuerst nur die Stellen, an denen sich der Funktionsterm strukturell ändert oder eine besondere Graphform entsteht. - Bei Beträgen sind die Nullstellen des Ausdrucks im Betrag besonders wichtig. - Stelle an jeder kritischen Stelle den Differenzenquotienten getrennt für die Annäherung von links und rechts auf. - Ein unendlicher oder auf beiden Seiten verschiedener Grenzwert verhindert die Differenzierbarkeit.

1. Bei \(f\) kommen nur die Nullstellen des Betragsinneren als Knickstellen infrage: \(x=\pm2\). Bei \(x_0=2\) liefert der Differenzenquotient links \(-4-h\to-4\) und rechts \(4+h\to4\). Bei \(x_0=-2\) erhält man links \(-4+h\to-4\) und rechts \(4-h\to4\). Daher ist \(f\) genau bei \(x=\pm2\) nicht differenzierbar. 2. Bei \(g\) ist nur \(x=0\) kritisch. Dort lautet der Differenzenquotient \(\frac{\sqrt{|h|}}{h}\). Für \(h\to0^+\) wächst er gegen \(+\infty\), für \(h\to0^-\) gegen \(-\infty\). Daher ist \(g\) bei \(x=0\) nicht differenzierbar. 3. Bei \(h\) ist nur die Nahtstelle \(x=2\) zu prüfen. Es gilt \(h(2)=4\). Links ist \(\frac{(2+h)^2-4}{h}=4+h\to4\), rechts ist \(\frac{2(2+h)-4}{h}=2\). Die Grenzwerte sind verschieden, also ist \(h\) bei \(x=2\) nicht differenzierbar.

a) \(x=-2\) und \(x=2\) b) \(x=0\) c) \(x=2\)

- Achte genau darauf, ob die gesuchten Stellen im jeweiligen Definitionsbereich liegen. - Bei der Wurzelfunktion kannst du den Differenzenquotienten durch Erweitern mit dem konjugierten Ausdruck vereinfachen. - Untersuche bei \(\sqrt{x}\) den Randpunkt \(0\) getrennt von positiven Stellen. - Wo liegen die Sprungstellen der verschobenen Gaußklammerfunktion, und wie verhält sie sich zwischen zwei Sprüngen?

1. Bei \(f(x)=|0{,}5x-2|\) liegt die einzige Knickstelle dort, wo \(0{,}5x-2=0\), also bei \(x=4\). Auf beiden Seiten ist \(f\) linear. Daher ist \(f\) auf \(\mathbb{R}\setminus\{4\}\) differenzierbar. 2. Für einen festen Punkt \(x_0>0\) ergibt der Differenzenquotient von \(g(x)=\sqrt{x}\): \(\frac{\sqrt{x_0+h}-\sqrt{x_0}}{h}=\frac{1}{\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}}\). Für \(h\to0\) besitzt er den endlichen Grenzwert \(\frac{1}{2\sqrt{x_0}}\). Am Randpunkt \(x_0=0\) ist der rechtsseitige Differenzenquotient \(\frac{\sqrt{h}}{h}=\frac{1}{\sqrt{h}}\), der für \(h\to0^+\) gegen \(+\infty\) strebt. Somit ist \(g\) genau für \(x>0\) differenzierbar. 3. Bei \(h(x)=\lfloor x+0{,}5\rfloor\) liegen Sprungstellen genau dort, wo \(x+0{,}5\) ganzzahlig ist, also bei \(x=k-0{,}5\) mit \(k\in\mathbb{Z}\). Zwischen zwei solchen Stellen ist die Funktion lokal konstant und damit differenzierbar mit Ableitung \(0\). Daher ist sie auf \(\mathbb{R}\setminus\{k-0{,}5\mid k\in\mathbb{Z}\}\) differenzierbar.

a) \(\mathbb{R} \setminus \{4\}\) b) \(]0; \infty[\) (oder \(\{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\}\)) c) \(\mathbb{R} \setminus \{ \dots; -1{,}5; -0{,}5; 0{,}5; 1{,}5; \dots \}\) (oder \(\mathbb{R} \setminus \{k - 0{,}5 \mid k \in \mathbb{Z}\}\))

- Welche Stellen des Graphen besitzen sichtbar einen Knick? - Prüfe vor dem Differentialquotienten bei \(x=1\), welches Vorzeichen der Ausdruck im Betrag in einer kleinen Umgebung hat. - Bei \(x=2\) ändert der Ausdruck im Betrag sein Vorzeichen; behandle \(h<0\) und \(h>0\) getrennt. - Vergleiche anschließend die beiden einseitigen Grenzwerte.

1. Im Graphen sind Knicke bei \(x=-2\) und \(x=2\) erkennbar. 2. In einer Umgebung von \(x=1\) ist \(1-0{,}25x^2>0\). Daher gilt \(g(1)=0{,}75\) und \(\frac{g(1+h)-g(1)}{h}=\frac{-0{,}5h-0{,}25h^2}{h}=-0{,}5-0{,}25h\). Für \(h\to0\) ergibt sich \(g'(1)=-0{,}5\). 3. Bei \(x=2\) ist \(g(2)=0\). Für \(h<0\) gilt \(\frac{g(2+h)-g(2)}{h}=-1-0{,}25h\to-1\). Für \(h>0\) gilt \(\frac{g(2+h)-g(2)}{h}=1+0{,}25h\to1\). 4. Da die einseitigen Grenzwerte \(-1\) und \(1\) verschieden sind, ist \(g\) bei \(x=2\) nicht differenzierbar.

a) \(x=-2\) und \(x=2\) b) \(g'(1)=-0{,}5\) c) Bei \(x=2\) sind die einseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten \(-1\) und \(1\); daher ist \(g\) dort nicht differenzierbar.