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- Überlege dir, wie der Graph einer Funktion an einer Stelle aussehen muss, damit man dort keine eindeutige Tangente anlegen kann. - Was passiert mit dem Graphen einer Betragsfunktion wie \(|x|\) an der Stelle \(0\)? Wie kannst du das auf die Stelle \(2\) verschieben? - Damit eine abschnittsweise definierte Funktion an einer Nahtstelle stetig ist, müssen die Funktionswerte der beiden Teilfunktionen dort übereinstimmen. - Damit sie dort nicht differenzierbar ist, müssen sich die Steigungen der beiden Teilfunktionen an dieser Stelle unterscheiden.

1. Für die Betragsfunktion \(f\) bietet sich \(f(x) = |x - 2|\) an. Diese Funktion hat an der Stelle \(x = 2\) eine Knickstelle, da der Term im Betrag dort sein Vorzeichen wechselt. 2. Für die abschnittsweise definierte Funktion \(g\) muss gelten, dass die Funktionswerte von links und rechts gegen denselben Wert streben (Stetigkeit), aber die Steigungen unterschiedlich sind. Ein Beispiel ist: \(g(x) = \begin{cases} x & \text{für } x \le 2 \\ 2x - 2 & \text{für } x > 2 \end{cases}\) 3. Nachweis der Stetigkeit für \(g\): \(\lim_{x \to 2^-} g(x) = 2\) und \(\lim_{x \to 2^+} g(x) = 2 \cdot 2 - 2 = 2\). Der Funktionswert ist ebenfalls \(g(2) = 2\). 4. Nachweis der Nicht-Differenzierbarkeit: Die Steigung im linken Abschnitt ist konstant \(1\). Die Steigung im rechten Abschnitt ist konstant \(2\). Da die einseitigen Grenzwerte der Steigungen (\(1 \neq 2\)) nicht übereinstimmen, ist \(g\) an der Stelle \(x = 2\) nicht differenzierbar.

Mögliche Funktionen sind: \(f(x) = |x - 2|\) \(g(x) = \begin{cases} x & \text{für } x \le 2 \\ 2x - 2 & \text{für } x > 2 \end{cases}\) Begründung für \(g\): Die Funktion ist stetig, da beide Teilterme an der Stelle \(x = 2\) den Wert \(2\) liefern. Sie ist jedoch nicht differenzierbar, da die linksseitige Steigung \(1\) und die rechtsseitige Steigung \(2\) beträgt.

- Überlege dir, wie der Graph einer Funktion aussieht, die stetig, aber nicht glatt ist. - Kennst du eine Funktion, die an einer Stelle eine Spitze oder einen Knick hat? - Was bedeutet Differenzierbarkeit anschaulich für die Tangente an einem Punkt? - Ist jede durchgehende Linie automatisch überall glatt?

1. Die Eigenschaft „keinen Sprung machen“ entspricht der mathematischen Definition der Stetigkeit an einer Stelle \(x_0\). Dies bedeutet, dass der Funktionsgraph dort nicht unterbrochen ist. 2. Die Behauptung ist falsch. Stetigkeit ist zwar eine notwendige Voraussetzung für die Differenzierbarkeit, reicht jedoch alleine nicht aus (sie ist nicht hinreichend). 3. Ein klassisches Gegenbeispiel ist die Betragsfunktion \(f(x) = |x|\) an der Stelle \(x_0 = 0\). Die Funktion ist dort stetig (man kann den Graphen ohne Absetzen zeichnen), weist aber eine „Knickstelle“ auf. An einem solchen Knick ändert sich die Steigung abrupt (hier von \(-1\) auf \(1\)), weshalb kein eindeutiger Grenzwert des Differenzenquotienten existiert. Folglich kann an dieser Stelle keine eindeutige Tangente an den Graphen gelegt werden.

a) Damit ist die Stetigkeit der Funktion an der Stelle \(x_0\) gemeint. b) Die Behauptung ist falsch. c) Ein Gegenbeispiel ist \(f(x) = |x|\) an der Stelle \(x_0 = 0\). Die Funktion ist dort stetig, besitzt aber eine Knickstelle. Da die Steigungen links und rechts vom Nullpunkt unterschiedlich sind (\(-1\) und \(1\)), existiert kein eindeutiger Grenzwert für den Differenzenquotienten und somit keine Ableitung.

- Was ist die Voraussetzung dafür, dass eine Funktion an einer Stelle differenzierbar ist? - Überlege dir, wie der Graph der Betragsfunktion an der Stelle \(x_0 = 4\) aussieht. - Untersuche den Grenzwert der Steigung von links und von rechts separat. - Kann eine Funktion eine „Ecke“ haben und trotzdem differenzierbar sein?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten an der Stelle \(x_0 = 4\): \(\frac{f(4+h) - f(4)}{h} = \frac{|4+h-4| - |4-4|}{h} = \frac{|h|}{h}\). 2. Bestimmung des rechtsseitigen Grenzwerts für \(h \to 0^+\): Da \(h > 0\), gilt \(\frac{h}{h} = 1\). 3. Bestimmung des linksseitigen Grenzwerts für \(h \to 0^-\): Da \(h < 0\), gilt \(\frac{-h}{h} = -1\). 4. Da der linksseitige Grenzwert \(-1\) und der rechtsseitige Grenzwert \(1\) nicht übereinstimmen, existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle \(x_0 = 4\) nicht. 5. Die Aussage ist falsch; Stetigkeit ist eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung für Differenzierbarkeit.

Die Aussage ist falsch. Trotz der Stetigkeit an der Stelle \(x_0 = 4\) ist die Funktion dort nicht differenzierbar, da der linksseitige Grenzwert des Differenzenquotienten (\(-1\)) und der rechtsseitige Grenzwert (\(1\)) nicht identisch sind (Knickstelle).

- Was muss für die linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten gelten, damit eine Funktion an einer Stelle differenzierbar ist? - Überlege dir, wie du den Differenzenquotienten für Werte knapp unterhalb und knapp oberhalb der untersuchten Stelle aufstellen kannst. - Hilft es dir, den Betragsterm in eine abschnittsweise definierte Form ohne Betragsstriche umzuschreiben? - Was bedeutet ein „Knick“ im Graphen für die Steigung an dieser Stelle?

1. Bestimmung des Funktionswerts an der Stelle \(x_0 = 2\): \(f(2) = 2 \cdot 2 - 4 = 0\). 2. Berechnung des linksseitigen Grenzwerts des Differenzenquotienten für \(x \to 2^-\): \(\lim_{x \to 2^-} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2^-} \frac{-2x + 4 - 0}{x - 2} = \lim_{x \to 2^-} \frac{-2(x - 2)}{x - 2} = -2\). 3. Berechnung des rechtsseitigen Grenzwerts des Differenzenquotienten für \(x \to 2^+\): \(\lim_{x \to 2^+} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2^+} \frac{2x - 4 - 0}{x - 2} = \lim_{x \to 2^+} \frac{2(x - 2)}{x - 2} = 2\). 4. Vergleich der Grenzwerte: Da der linksseitige Grenzwert \(-2\) und der rechtsseitige Grenzwert \(2\) nicht übereinstimmen, existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle \(x_0 = 2\) nicht. 5. Schlussfolgerung: Die Funktion \(f\) ist an der Stelle \(x_0 = 2\) nicht differenzierbar.

Die Funktion \(f\) ist an der Stelle \(x_0 = 2\) nicht differenzierbar, da der linksseitige Grenzwert des Differenzenquotienten \(-2\) und der rechtsseitige Grenzwert \(2\) nicht übereinstimmen.

- Wie verhält sich der Betrag einer Zahl, wenn der Inhalt der Betragsstriche negativ oder positiv ist? - Untersuche den Grenzwert des Differenzenquotienten von beiden Seiten. - Kannst du die Funktion in der Nähe der Stelle ohne Betragsstriche schreiben?

1. Untersuchung an der Stelle \(x_1 = 5\): Der linksseitige Grenzwert des Differenzenquotienten \(\lim_{h \to 0^-} \frac{|5+h-5| - |5-5|}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1\) und der rechtsseitige Grenzwert \(\lim_{h \to 0^+} \frac{|5+h-5| - |5-5|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1\) sind nicht identisch. Somit ist \(f\) an der Stelle \(x_1 = 5\) nicht differenzierbar. 2. Untersuchung an der Stelle \(x_2 = 2\): In einer Umgebung von \(x_2 = 2\) gilt \(x - 5 < 0\), daher ist \(f(x) = -(x - 5) = -x + 5\). Die Ableitung einer linearen Funktion ist ihre Steigung, also gilt \(f'(2) = -1\).

An der Stelle \(x_1 = 5\) ist die Funktion nicht differenzierbar (Knickstelle). An der Stelle \(x_2 = 2\) ist die Funktion differenzierbar mit \(f'(2) = -1\).

- Woran erkennst du im Graphen einer Funktion anschaulich, dass sie an einer bestimmten Stelle nicht differenzierbar ist? - Suche nach Stellen, an denen der Graph einen Knick oder eine Unterbrechung aufweist. - Prüfe, ob der Graph an den Übergängen zwischen den einzelnen Abschnitten glatt verläuft. - Vergleiche dort jeweils die Steigung unmittelbar links und rechts der Übergangsstelle.

1. Kriterium für Nicht-Differenzierbarkeit: Der Graph besitzt beispielsweise einen Knick, einen Sprung oder eine vertikale Tangente. 2. Analyse des Graphen: - Bei \(x = -1\) geht die konstante Funktion \(y = 1\) in die Parabel \(y = x^2\) über. Die Steigung ändert sich von \(0\) auf \(-2\); somit liegt ein Knick vor. - Bei \(x = 2\) geht die Parabel in die fallende Gerade \(y = -x + 6\) über. Die Steigung ändert sich von \(4\) auf \(-1\); somit liegt ein Knick vor. - Bei \(x = 5\) geht die fallende Gerade in die steigende Gerade \(y = 2x - 9\) über. Die Steigung ändert sich von \(-1\) auf \(2\); somit liegt ein Knick vor. 3. Die Funktion ist an den Stellen \(x = -1\), \(x = 2\) und \(x = 5\) nicht differenzierbar.

Die Funktion \(f\) ist an den Stellen \(x = -1\), \(x = 2\) und \(x = 5\) nicht differenzierbar.

- Prüfe zuerst die beiden Randpunkte des geschlossenen Intervalls. - Suche im Inneren nach Sprüngen, Lücken, Ecken oder Spitzen. - Vergleiche an Knickstellen die einseitigen Steigungen.

1. An den Randpunkten \(x=-5\) und \(x=5\) ist keine zweiseitige Ableitung definiert, weil der Graph nur von jeweils einer Seite vorliegt. 2. Bei \(x=-2\) liegt ein Knick vor. Die linksseitige Steigung \(0{,}5\) und die rechtsseitige Steigung \(-1\) stimmen nicht überein. 3. Bei \(x=1\) liegt eine Sprungstelle vor. Da Differenzierbarkeit Stetigkeit voraussetzt, ist \(f\) dort nicht differenzierbar. 4. An allen übrigen inneren Stellen verläuft der Graph glatt oder linear; insbesondere besitzt er bei \(x=3\) eine eindeutige waagerechte Tangente.

Nicht differenzierbar ist \(f\) bei \(x=-5\), \(x=-2\), \(x=1\) und \(x=5\). Die Randpunkte besitzen keine zweiseitige Ableitung, bei \(x=-2\) liegt ein Knick und bei \(x=1\) eine Sprungstelle vor.

- Überlege dir, was es grafisch bedeutet, wenn eine Funktion an einer Stelle glatt verläuft. - Suche nach Punkten, an denen keine eindeutige Tangente existiert. - Stetigkeit ist eine notwendige Voraussetzung für Differenzierbarkeit. Was bedeutet das für Unterbrechungen im Graphen? - Achte auf abrupte Richtungsänderungen im Verlauf der Kurve.

1. Bei \(x = -1\) weist der Graph einen Knick auf. Die Steigung ändert sich dort sprunghaft, weshalb die Funktion nicht differenzierbar ist. 2. Bei \(x = 2\) liegt eine Sprungstelle vor. Da die Funktion dort nicht stetig ist, kann sie dort auch nicht differenzierbar sein. 3. Bei \(x = 4\) liegt ein weiterer Knick vor. Der Graph geht von einem Kurvenstück in ein Geradenstück mit einer anderen Steigung über. 4. Die Funktion ist somit bei \(x = -1\), \(x = 2\) und \(x = 4\) nicht differenzierbar.

Die Funktion \(f\) ist bei \(x = -1\) wegen eines Knicks, bei \(x = 2\) wegen einer Sprungstelle und bei \(x = 4\) wegen eines weiteren Knicks nicht differenzierbar.

- Prüfe Sprünge und Lücken für die Stetigkeit. - Suche nach Knicken für fehlende Differenzierbarkeit. - Berücksichtige bei der zweiseitigen Ableitung auch die Randpunkte des geschlossenen Bereichs.

1. Bei \(x=1\) liegt eine Sprungstelle vor: Der linksseitige Grenzwert ist \(1{,}5\), während der Funktionswert und der rechtsseitige Grenzwert \(3\) betragen. Daher ist \(f\) dort nicht stetig. 2. Bei \(x=4\) ist der Graph stetig, besitzt aber einen Knick. Die Steigung wechselt von \(0\) auf \(-1\), sodass keine Ableitung existiert. 3. An den Randpunkten \(x=-4\) und \(x=6\) ist \(f\) relativ zu ihrem Definitionsbereich stetig, aber eine zweiseitige Ableitung ist dort nicht definiert.

Nicht stetig ist \(f\) bei \(x=1\). Stetig, aber nicht zweiseitig differenzierbar ist sie bei \(x=-4\), \(x=4\) und \(x=6\).

- Was passiert mit den y-Werten, wenn sich x dem Wert 3 nähert? - Ist die Funktion an der Stelle \(x=3\) überhaupt definiert? - Kann eine Funktion differenzierbar sein, wenn sie an einer Stelle gegen Unendlich strebt?

1. Verhalten an der Stelle \(x=3\): Der Graph nähert sich von links und von rechts einer senkrechten Geraden (Asymptote). Die Funktionswerte streben gegen minus Unendlich bzw. plus Unendlich. 2. Schlussfolgerung: An der Stelle \(x=3\) liegt eine Polstelle vor. Da die Funktion dort nicht definiert ist und keinen endlichen Grenzwert besitzt, ist sie bei \(x=3\) weder stetig noch differenzierbar.

Die Funktion ist bei \(x=3\) weder stetig noch differenzierbar, da dort eine Polstelle (senkrechte Asymptote) vorliegt.

- Erinnere dich an die Definition der Differenzierbarkeit über den Grenzwert des Differenzenquotienten. - Was muss für den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert an der Nahtstelle gelten? - Setze den Funktionswert an der Stelle \(x_0\) korrekt in den Differenzenquotienten ein. - Überprüfe, ob die Annäherung von links und von rechts zum selben Ergebnis führt.

1. Bestimmung des linksseitigen Grenzwerts des Differenzenquotienten für \(h \to 0^-\) mit \(f(-2) = -4\): \(\lim_{h \to 0^-} \frac{f(-2+h) - f(-2)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{(-2+h)^2 + 4(-2+h) - (-4)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{4 - 4h + h^2 - 8 + 4h + 4}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{h^2}{h} = 0\). 2. Bestimmung des rechtsseitigen Grenzwerts des Differenzenquotienten für \(h \to 0^+\): \(\lim_{h \to 0^+} \frac{f(-2+h) - f(-2)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{-4(-2+h) - 12 - (-4)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{8 - 4h - 12 + 4}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{-4h}{h} = -4\). 3. Vergleich der einseitigen Grenzwerte: Da \(0 \neq -4\), existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle \(x_0 = -2\) nicht. 4. Ergebnis: Die Funktion \(f\) ist an der Stelle \(x_0 = -2\) nicht differenzierbar.

Die Funktion \(f\) ist an der Stelle \(x_0 = -2\) nicht differenzierbar, da der linksseitige Grenzwert des Differenzenquotienten \(0\) und der rechtsseitige Grenzwert \(-4\) beträgt.

- Betrachte das Verhalten der Steigung, wenn du dich dem Punkt von beiden Seiten näherst. - Nutze den Differenzenquotienten für beide Teilintervalle. - Was bedeutet es für die Steigung an der Stelle \(x=2\), wenn beide Grenzwerte gleich sind?

1. Berechnung des Funktionswerts an der Stelle \(x_0 = 2\): \(g(2) = \frac{1}{2} \cdot 2^2 + 1 = 3\). 2. Untersuchung des linksseitigen Differenzenquotienten für \(h \to 0^-\): \(\lim_{h \to 0^-} \frac{g(2+h) - g(2)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{\frac{1}{2}(2+h)^2 + 1 - 3}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{\frac{1}{2}(4 + 4h + h^2) - 2}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{2 + 2h + \frac{1}{2}h^2 - 2}{h} = \lim_{h \to 0^-} (2 + \frac{1}{2}h) = 2\). 3. Untersuchung des rechtsseitigen Differenzenquotienten für \(h \to 0^+\): \(\lim_{h \to 0^+} \frac{g(2+h) - g(2)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{2(2+h) - 1 - 3}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{4 + 2h - 4}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{2h}{h} = 2\). 4. Da beide einseitigen Grenzwerte übereinstimmen und den Wert \(2\) besitzen, ist die Funktion an der Stelle \(x_0 = 2\) differenzierbar.

Die Funktion \(g\) ist an der Stelle \(x_0 = 2\) differenzierbar. Der Grenzwert des Differenzenquotienten ist auf beiden Seiten gleich \(2\), folglich gilt \(g'(2) = 2\).

- Überlege dir, was der Betrag mit negativen Funktionswerten macht. - Für welche \(x\)-Werte ist der Ausdruck innerhalb des Betrags negativ? - Nutze die Definition des Differenzenquotienten \(\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\). - Betrachte beim Grenzwertprozess \(h \to 0\) getrennt die Fälle, in denen sich \(x_0\) von links oder von rechts genähert wird.

1. Der Graph von \(f\) entsteht aus dem Graphen von \(g\), indem alle Teile von \(G_g\), die unterhalb der \(x\)-Achse liegen (also im Intervall \((-2; 2)\)), an der \(x\)-Achse nach oben gespiegelt werden. 2. Bestimmung der Intervalle: \(x^2 - 4 \ge 0\) für \(x \le -2\) oder \(x \ge 2\). Somit gilt: \(f(x) = \begin{cases} x^2 - 4 & \text{für } x \le -2 \text{ oder } x \ge 2 \\ -x^2 + 4 & \text{für } -2 < x < 2 \end{cases}\) 3. Rechtsseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten an \(x_0 = 2\): \(\lim_{h \to 0^+} \frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{(2+h)^2-4-0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{4h+h^2}{h} = \lim_{h \to 0^+} (4+h) = 4\). 4. Linksseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten an \(x_0 = 2\): \(\lim_{h \to 0^-} \frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-(2+h)^2+4-0}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-4h-h^2}{h} = \lim_{h \to 0^-} (-4-h) = -4\). 5. Da der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert nicht übereinstimmen (\(-4 \neq 4\)), ist die Funktion an der Stelle \(x_0 = 2\) nicht differenzierbar.

a) Der Graph \(G_f\) entsteht durch Spiegelung der negativen Anteile von \(G_g\) an der \(x\)-Achse. \(f(x) = \begin{cases} x^2 - 4 & \text{für } |x| \ge 2 \\ -x^2 + 4 & \text{für } |x| < 2 \end{cases}\) b) Der rechtsseitige Grenzwert ist \(4\), der linksseitige \(-4\). Da diese ungleich sind, ist \(f\) bei \(x_0 = 2\) nicht differenzierbar.

- Wie verändert sich die Funktionsgleichung, wenn \(x\) negativ ist? - Setze den Punkt \(x_0 = 0\) direkt in den Differenzenquotienten ein. - Was muss für die einseitigen Grenzwerte gelten, damit eine Funktion an einer Stelle differenzierbar ist?

1. Fallunterscheidung für den Betrag \(|x|\): Für \(x \ge 0\) ist \(h(x) = x \cdot (x - 2) = x^2 - 2x\). Für \(x < 0\) ist \(h(x) = -x \cdot (x - 2) = -x^2 + 2x\). 2. Untersuchung der Differenzierbarkeit an \(x_0 = 0\) mithilfe des Differenzenquotienten: Rechtsseitiger Grenzwert (\(t \to 0^+\)): \(\lim_{t \to 0^+} \frac{h(0+t)-h(0)}{t} = \lim_{t \to 0^+} \frac{t^2-2t-0}{t} = \lim_{t \to 0^+} (t-2) = -2\). 3. Linksseitiger Grenzwert (\(t \to 0^-\)): \(\lim_{t \to 0^-} \frac{h(0+t)-h(0)}{t} = \lim_{t \to 0^-} \frac{-t^2+2t-0}{t} = \lim_{t \to 0^-} (-t+2) = 2\). 4. Ergebnis: Da die einseitigen Grenzwerte \(-2\) und \(2\) verschieden sind, existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten nicht; \(h\) ist bei \(x_0 = 0\) nicht differenzierbar.

a) \(h(x) = \begin{cases} x^2 - 2x & \text{für } x \ge 0 \\ -x^2 + 2x & \text{für } x < 0 \end{cases}\) b) Die einseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten an der Stelle \(0\) sind \(2\) (linksseitig) und \(-2\) (rechtsseitig). Da sie nicht identisch sind, ist \(h\) dort nicht differenzierbar.

- Überlege dir zuerst, in welchen Bereichen der Ausdruck innerhalb der Betragsstriche positiv oder negativ ist. - Wie verändert sich ein Term, wenn man den Betrag auflöst und das Innere negativ ist? - Eine Funktion ist an einer Stelle nur dann differenzierbar, wenn die Steigungen von links und von rechts kommend gleich sind. - Berechne die Ableitungen der Teilfunktionen und vergleiche deren Werte an der Nahtstelle.

1. Bestimmung der Intervalle durch Nullstellen von \(x^2 - 1\): \(x_1 = -1\), \(x_2 = 1\). Da die Parabel nach oben geöffnet ist, gilt \(x^2 - 1 \ge 0\) für \(|x| \ge 1\) und \(x^2 - 1 < 0\) für \(-1 < x < 1\). 2. Aufstellen der abschnittsweisen Funktion: \(f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{für } x \le -1 \text{ oder } x \ge 1 \\ 1 - x^2 & \text{für } -1 < x < 1 \end{cases}\) 3. Untersuchung der Differenzierbarkeit an \(x = 1\) über die einseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten oder der Ableitungsfunktionen: - Rechtsseitig (\(x \to 1^+\)): \(f'(x) = 2x \to 2 \cdot 1 = 2\). - Linksseitig (\(x \to 1^-\)): \(f'(x) = -2x \to -2 \cdot 1 = -2\). 4. Da die einseitigen Grenzwerte (\(2\) und \(-2\)) nicht übereinstimmen, ist die Funktion an der Stelle \(x = 1\) nicht differenzierbar.

a) \(f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{für } x \le -1 \text{ oder } x \ge 1 \\ 1 - x^2 & \text{für } -1 < x < 1 \end{cases}\) b) \(f\) ist an der Stelle \(x = 1\) nicht differenzierbar, da die einseitigen Grenzwerte der Ableitung (\(-2\) und \(2\)) verschieden sind.

- Wann kehrt die Betragsfunktion das Vorzeichen des Terms um? - Nutze die Nullstellen des Terms im Betrag, um die Intervalle für die abschnittsweise Definition zu finden. - Untersuche das Verhalten der Steigung unmittelbar links und rechts von der kritischen Stelle. - Wenn du zwei verschiedene Steigungswerte erhältst, was bedeutet das für die Differenzierbarkeit?

1. Berechnung der Nullstellen des inneren Terms: \(8 - 0{,}5x^2 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 16 \Leftrightarrow x = \pm 4\). 2. Bestimmung der Vorzeichenbereiche: \(8 - 0{,}5x^2 \ge 0\) für \(-4 \le x \le 4\); sonst negativ. 3. Definition der abschnittsweisen Funktion: \(g(x) = \begin{cases} 0{,}5x^2 - 8 & \text{für } x < -4 \text{ oder } x > 4 \\ 8 - 0{,}5x^2 & \text{für } -4 \le x \le 4 \end{cases}\) 4. Berechnung der einseitigen Ableitungen an \(x = -4\): - Linksseitig (\(x < -4\)): \(g'(x) = x \implies \lim_{x \to -4^-} g'(x) = -4\). - Rechtsseitig (\(x > -4\)): \(g'(x) = -x \implies \lim_{x \to -4^+} g'(x) = -(-4) = 4\). 5. Vergleich der Ergebnisse: Da \(-4 \neq 4\), existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten nicht; \(g\) ist an \(x = -4\) nicht differenzierbar.

a) \(g(x) = \begin{cases} 0{,}5x^2 - 8 & \text{für } x < -4 \text{ oder } x > 4 \\ 8 - 0{,}5x^2 & \text{für } -4 \le x \le 4 \end{cases}\) b) \(g\) ist an der Stelle \(x = -4\) nicht differenzierbar, da der linksseitige Grenzwert der Ableitung \(-4\) und der rechtsseitige Grenzwert \(4\) beträgt.

- Überlege dir, welche bekannte Grundfunktion an einer bestimmten Stelle einen spitzen Punkt (Knick) im Graphen hat. - Wie kannst du eine Funktion entlang der \(x\)-Achse verschieben, um den Knick an eine andere Stelle zu setzen? - Kannst du zwei solcher Funktionen kombinieren, um mehrere Knickstellen zu erhalten?

1. Eine Basisfunktion, die an der Stelle \(x = 0\) stetig, aber nicht differenzierbar ist, ist die Betragsfunktion \(g(x) = |x|\). 2. Um eine weitere solche Stelle bei \(x = -4\) zu erzeugen, wird der Term um \(|x - (-4)| = |x + 4|\) ergänzt. 3. Die Addition beider Terme liefert die Funktion \(f(x) = |x + 4| + |x|\). Diese Funktion ist als Summe stetiger Funktionen überall stetig, besitzt aber an den Nullstellen der Betragsausdrücke (\(x = -4\) und \(x = 0\)) Knickstellen, an denen die einseitigen Grenzwerte der Differenzenquotienten nicht übereinstimmen.

\(f(x) = |x + 4| + |x|\) (oder ein vergleichbarer Term wie \(f(x) = |x + 4| \cdot |x|\))

- Was muss für die Funktionswerte und die Grenzwerte an einer Stelle gelten, damit eine Funktion dort stetig ist? - Erinnere dich an die Definition des Differenzenquotienten \(\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\). - Beachte beim rechtsseitigen Differenzenquotienten, dass du immer den Funktionswert an der Stelle \(x_0\) (also \(f(2)\)) verwenden musst, auch wenn die Funktionsvorschrift für \(x > 2\) anders lautet. - Wenn eine Funktion an einer Stelle nicht stetig ist, kann sie dort dann differenzierbar sein?

1. Prüfung der Stetigkeit bei \(x_0 = 2\): Der Funktionswert ist \(f(2) = 2^2 + 2 = 6\). Der linksseitige Grenzwert ist \(\lim_{x \to 2^-} (x^2 + x) = 6\). Der rechtsseitige Grenzwert ist \(\lim_{x \to 2^+} (2x + 1) = 2 \cdot 2 + 1 = 5\). Da \(6 \neq 5\), ist die Funktion an der Stelle \(x_0 = 2\) nicht stetig. 2. Linksseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten: \(\lim_{x \to 2^-} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2^-} \frac{x^2 + x - 6}{x - 2} = \lim_{x \to 2^-} \frac{(x - 2)(x + 3)}{x - 2} = \lim_{x \to 2^-} (x + 3) = 5\). 3. Rechtsseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten: \(\lim_{x \to 2^+} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2^+} \frac{2x + 1 - 6}{x - 2} = \lim_{x \to 2^+} \frac{2x - 5}{x - 2}\). Da der Zähler gegen \(-1\) und der Nenner gegen \(0^+\) strebt, geht der Grenzwert gegen \(-\infty\). 4. Da die einseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten nicht übereinstimmen (und einer davon nicht existiert), ist die Funktion an der Stelle \(x_0 = 2\) nicht differenzierbar.

a) Die Funktion ist bei \(x_0 = 2\) nicht stetig, da der linksseitige Grenzwert \(6\) und der rechtsseitige Grenzwert \(5\) nicht übereinstimmen. b) Der linksseitige Grenzwert des Differenzenquotienten beträgt \(5\). Der rechtsseitige Grenzwert des Differenzenquotienten existiert nicht (er strebt gegen \(-\infty\)). Somit ist die Funktion an der Stelle \(x_0 = 2\) nicht differenzierbar.

- Prüfe für die Stetigkeit, ob der „Sprung“ an der Nahtstelle null ist. - Nutze für den Differenzenquotienten die Formel \(\frac{h(x) - h(3)}{x - 3}\) für Werte knapp unterhalb und knapp oberhalb von \(3\). - Kannst du den Zähler des linksseitigen Differenzenquotienten faktorisieren, um den Term \((x-3)\) zu kürzen? - Was bedeutet es für die Steigung des Graphen, wenn die Grenzwerte des Differenzenquotienten unterschiedlich sind?

1. Nachweis der Stetigkeit: Funktionswert \(h(3) = -3^2 + 4 \cdot 3 = -9 + 12 = 3\). Linksseitiger Grenzwert \(\lim_{x \to 3^-} (-x^2 + 4x) = 3\). Rechtsseitiger Grenzwert \(\lim_{x \to 3^+} (2x - 3) = 2 \cdot 3 - 3 = 3\). Da Funktionswert und beide Grenzwerte übereinstimmen (\(3 = 3 = 3\)), ist \(h\) an der Stelle \(x_0 = 3\) stetig. 2. Linksseitiger Differenzenquotient: \(\lim_{x \to 3^-} \frac{h(x) - h(3)}{x - 3} = \lim_{x \to 3^-} \frac{-x^2 + 4x - 3}{x - 3} = \lim_{x \to 3^-} \frac{-(x - 3)(x - 1)}{x - 3} = \lim_{x \to 3^-} -(x - 1) = -2\). 3. Rechtsseitiger Differenzenquotient: \(\lim_{x \to 3^+} \frac{h(x) - h(3)}{x - 3} = \lim_{x \to 3^+} \frac{2x - 3 - 3}{x - 3} = \lim_{x \to 3^+} \frac{2(x - 3)}{x - 3} = 2\). 4. Da der linksseitige Grenzwert (\(-2\)) und der rechtsseitige Grenzwert (\(2\)) des Differenzenquotienten nicht gleich sind, ist die Funktion an der Stelle \(x_0 = 3\) nicht differenzierbar. Es liegt ein „Knick“ im Graphen vor.

a) \(h(3) = 3\), \(\lim_{x \to 3^-} h(x) = 3\) und \(\lim_{x \to 3^+} h(x) = 3\). Da der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert mit dem Funktionswert übereinstimmen, ist \(h\) stetig bei \(x_0 = 3\). b) Der linksseitige Grenzwert des Differenzenquotienten ist \(-2\), der rechtsseitige Grenzwert ist \(2\). Da diese nicht übereinstimmen, ist die Funktion an der Stelle \(x_0 = 3\) nicht differenzierbar.

- Erinnere dich an die Definition der Stetigkeit: Was muss für die Grenzwerte von links und rechts im Vergleich zum Funktionswert gelten? - Stelle den Differenzenquotienten für beide Seiten der Nahtstelle getrennt auf. - Was bedeutet es für die Differenzierbarkeit, wenn du beim Annähern von links ein anderes Ergebnis für die Steigung erhältst als von rechts?

1. Nachweis der Stetigkeit an der Stelle \(x_0 = 0\): Linksseitiger Limes: \(\lim_{x \to 0^-} (x^2 + 2x) = 0^2 + 2 \cdot 0 = 0\). Rechtsseitiger Limes: \(\lim_{x \to 0^+} x = 0\). Funktionswert: \(k(0) = 0\). Da linksseitiger Limes, rechtsseitiger Limes und Funktionswert übereinstimmen, ist \(k\) an der Stelle \(0\) stetig. 2. Untersuchung der Differenzierbarkeit mittels Differenzenquotient \(\frac{k(0+h) - k(0)}{h}\): Rechtsseitiger Grenzwert (\(h > 0\)): \(\lim_{h \to 0^+} \frac{h - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} 1 = 1\). Linksseitiger Grenzwert (\(h < 0\)): \(\lim_{h \to 0^-} \frac{(h^2 + 2h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} (h + 2) = 2\). 3. Da der linksseitige Grenzwert (\(2\)) und der rechtsseitige Grenzwert (\(1\)) des Differenzenquotienten nicht übereinstimmen, existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle \(x_0 = 0\) nicht. Die Funktion ist dort somit nicht differenzierbar.

Die Funktion ist stetig, da \(\lim_{x \to 0^-} k(x) = \lim_{x \to 0^+} k(x) = k(0) = 0\). Die Untersuchung des Differenzenquotienten ergibt: Rechtsseitig: \(\lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1\) Linksseitig: \(\lim_{h \to 0^-} \frac{h^2+2h}{h} = \lim_{h \to 0^-} (h+2) = 2\) Wegen \(1 \neq 2\) ist die Funktion an der Stelle \(x_0 = 0\) nicht differenzierbar.

- Wann genau nennt man eine Funktion an einer Stelle stetig? - Erinnere dich an die Bedingung für die Existenz eines Grenzwerts beim Differenzenquotienten. - Was muss für den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert gelten, damit eine Funktion differenzierbar ist? - Hilft es dir, die Steigungen der beiden Teilfunktionen direkt an der Stelle \(x_0 = 2\) zu vergleichen?

1. Prüfung der Stetigkeit: Der Funktionswert an der Stelle \(x_0 = 2\) ist \(f(2) = 0{,}5 \cdot 2^2 + 1 = 3\). Der linksseitige Grenzwert für \(x \to 2^-\) ergibt sich aus dem ersten Funktionsterm ebenfalls zu \(3\). Der rechtsseitige Grenzwert berechnet sich über den zweiten Term zu \(\lim_{x \to 2^+} (x + 1) = 3\). Da Funktionswert, linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen, ist \(f\) an der Stelle \(x_0 = 2\) stetig. 2. Untersuchung der Differenzierbarkeit: Der linksseitige Differenzenquotient für \(h \to 0^-\) ist \(\lim_{h \to 0^-} \frac{0{,}5(2+h)^2 + 1 - 3}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{0{,}5(4 + 4h + h^2) - 2}{h} = \lim_{h \to 0^-} (2 + 0{,}5h) = 2\). Der rechtsseitige Differenzenquotient für \(h \to 0^+\) ist \(\lim_{h \to 0^+} \frac{(2+h) + 1 - 3}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1\). Da der linksseitige Grenzwert (\(2\)) und der rechtsseitige Grenzwert (\(1\)) des Differenzenquotienten nicht übereinstimmen, existiert die Ableitung an der Stelle \(x_0 = 2\) nicht.

a) Ja, die Funktion ist an der Stelle \(x_0 = 2\) stetig, da der linksseitige Grenzwert, der rechtsseitige Grenzwert und der Funktionswert alle übereinstimmend \(3\) ergeben. b) Nein, die Funktion ist an der Stelle \(x_0 = 2\) nicht differenzierbar, da der linksseitige Grenzwert des Differenzenquotienten (\(2\)) nicht mit dem rechtsseitigen Grenzwert (\(1\)) übereinstimmt.

- Überprüfe zuerst, ob die Funktionswerte an der Übergangsstelle übereinstimmen. - Berechne die Ableitungsfunktionen für beide Bereiche getrennt. - Betrachte das Verhalten der Steigung, wenn du dich der Stelle von beiden Seiten näherst. - Erinnerst du dich an die geometrische Bedeutung der Differenzierbarkeit (Stichwort: glatter Verlauf)?

1. Nachweis der Stetigkeit bei \(x = 2\): Der Funktionswert ist \(g(2) = \frac{4}{2} = 2\). Der rechtsseitige Grenzwert beträgt ebenfalls \(2\). Der linksseitige Grenzwert berechnet sich über \(\lim_{x \to 2^-} (-x^2 + 6) = -2^2 + 6 = 2\). Da Funktionswert und beide einseitigen Grenzwerte übereinstimmen, ist \(g\) an der Stelle \(x = 2\) stetig. 2. Berechnung der einseitigen Ableitungen: Für \(x < 2\) gilt \(g'(x) = -2x\), also ist der linksseitige Grenzwert der Ableitung \(-2 \cdot 2 = -4\). Für \(x > 2\) gilt \(g'(x) = -\frac{4}{x^2}\), also ist der rechtsseitige Grenzwert der Ableitung \(-\frac{4}{2^2} = -1\). 3. Schlussfolgerung: Da die einseitigen Ableitungen \(-4\) und \(-1\) voneinander verschieden sind, existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle \(x = 2\) nicht. Die Funktion besitzt dort einen „Knick“ und ist somit nicht differenzierbar.

Die Stetigkeit ist gegeben, da \(\lim_{x \to 2^-} g(x) = \lim_{x \to 2^+} g(x) = g(2) = 2\). Die Nicht-Differenzierbarkeit folgt aus den ungleichen einseitigen Ableitungen \(g'(2^-) = -4\) und \(g'(2^+) = -1\).

- Überprüfe zuerst, ob die Funktion an der fraglichen Stelle stetig ist, also keinen Sprung aufweist. - Wie berechnet man die Steigung einer Funktion links und rechts von einem bestimmten Punkt? - Was muss für die Steigungen von beiden Seiten gelten, damit es keinen „Knick“ im Graphen gibt? - Du kannst die Ableitungsregeln für die einzelnen Funktionsterme separat anwenden.

1. Prüfung der Stetigkeit an der Stelle \(x = 1\): Der linksseitige Grenzwert sowie der Funktionswert betragen \(f(1) = 3 - 1^2 = 2\). Der rechtsseitige Grenzwert ist \(\lim_{x \to 1^+} (2x^2 - 6x + 6) = 2 \cdot 1^2 - 6 \cdot 1 + 6 = 2\). Da beide Grenzwerte übereinstimmen, ist die Funktion an der Stelle \(x = 1\) stetig. 2. Bestimmung der einseitigen Ableitungen: Für \(x < 1\) gilt \(f'(x) = -2x\), woraus die linksseitige Ableitung \(f'(1^-) = -2 \cdot 1 = -2\) folgt. Für \(x > 1\) gilt \(f'(x) = 4x - 6\), woraus die rechtsseitige Ableitung \(f'(1^+) = 4 \cdot 1 - 6 = -2\) folgt. 3. Vergleich der Ableitungen: Da die linksseitige und die rechtsseitige Ableitung an der Stelle \(x = 1\) mit \(-2\) übereinstimmen, ist die Funktion \(f\) an dieser Stelle differenzierbar.

Die Funktion \(f\) ist an der Stelle \(x = 1\) differenzierbar, da sie dort stetig ist und die einseitigen Ableitungen übereinstimmen (\(f'(1^-) = f'(1^+) = -2\)).

- Prüfe zuerst, ob die Funktion an der Nahtstelle überhaupt stetig ist. - Nutze den Differenzenquotienten getrennt für Werte kleiner als Null und Werte größer als Null. - Vergleiche die berechneten Grenzwerte der Steigungen von beiden Seiten. - Was müsste gelten, damit die Funktion an der Stelle \(x_0 = 0\) „glatt“ verläuft?

1. Prüfung der Stetigkeit an der Stelle \(x_0 = 0\): Funktionswert \(g(0) = 0^2 + 1 = 1\). Linksseitiger Grenzwert \(\lim_{x \to 0^-} (x^2 + 1) = 1\). Rechtsseitiger Grenzwert \(\lim_{x \to 0^+} (x + 1) = 1\). Da beide Grenzwerte mit dem Funktionswert übereinstimmen, ist die Funktion stetig. 2. Berechnung des linksseitigen Differenzenquotienten: \(\lim_{h \to 0^-} \frac{g(0+h) - g(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{(h^2+1) - 1}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{h^2}{h} = \lim_{h \to 0^-} h = 0\). 3. Berechnung des rechtsseitigen Differenzenquotienten: \(\lim_{h \to 0^+} \frac{g(0+h) - g(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{(h+1) - 1}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1\). 4. Vergleich der Grenzwerte: Da der linksseitige Grenzwert \(0\) und der rechtsseitige Grenzwert \(1\) verschieden sind, existiert die Ableitung an der Stelle \(x_0 = 0\) nicht.

Die Funktion \(g\) ist an der Stelle \(x_0 = 0\) nicht differenzierbar. Zwar ist sie dort stetig, aber die einseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten stimmen mit \(0\) (linksseitig) und \(1\) (rechtsseitig) nicht überein.

- Welche zwei Bedingungen müssen erfüllt sein, damit eine Funktion an einer Stelle differenzierbar ist? - Überlege zuerst, was für die Stetigkeit an der Übergangsstelle gelten muss. - Wie berechnest du die Ableitungen der beiden Teilfunktionen? - Was muss für die Steigungen links und rechts der Nahtstelle gelten?

1. Damit die Funktion an der Stelle \(x = 3\) differenzierbar sein kann, muss sie dort zunächst stetig sein. Es muss also gelten: \(f(3) = \lim_{x \to 3^+} f(x)\). 2. Berechnung des Funktionswerts: \(f(3) = a \cdot 3^2 - 3 = 9a - 3\). 3. Berechnung des rechtsseitigen Grenzwerts: \(\lim_{x \to 3^+} (12x - 21) = 12 \cdot 3 - 21 = 36 - 21 = 15\). 4. Gleichsetzen für Stetigkeit: \(9a - 3 = 15 \implies 9a = 18 \implies a = 2\). 5. Prüfung der Differenzierbarkeit: Die linksseitige Ableitung ist \(f'(x) = 2ax\), also für \(x = 3\) und \(a = 2\): \(f'(3^-) = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12\). Die rechtsseitige Ableitung (Steigung der Geraden) ist \(f'(3^+) = 12\). Da beide Werte übereinstimmen, ist die Funktion für \(a = 2\) differenzierbar.

\(a = 2\)

- Was muss für die Grenzwerte des Differenzenquotienten von links und rechts gelten, damit eine Funktion differenzierbar ist? - Überprüfe bei abschnittsweise definierten Funktionen zuerst, ob sie an der Nahtstelle überhaupt stetig sind. - Was passiert mit dem Bruch \(\frac{\sqrt{t}}{t}\), wenn \(t > 0\) gegen \(0\) geht?

1. Untersuchung von \(g\) an der Stelle \(x_0 = 1\): Zuerst Prüfung der Stetigkeit: \(g(1) = 1^2 + 2 \cdot 1 = 3\). Der rechtsseitige Grenzwert ist \(\lim_{x \to 1^+} (4x - 1) = 3\). Die Funktion ist stetig. Linksseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten: \(\lim_{t \to 0^-} \frac{(1+t)^2 + 2 \cdot (1+t) - 3}{t} = \lim_{t \to 0^-} \frac{1 + 2t + t^2 + 2 + 2t - 3}{t} = \lim_{t \to 0^-} (4 + t) = 4\). Rechtsseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten: \(\lim_{t \to 0^+} \frac{4 \cdot (1+t) - 1 - 3}{t} = \lim_{t \to 0^+} \frac{4t}{t} = 4\). Da beide Grenzwerte übereinstimmen, ist \(g\) differenzierbar mit \(g'(1) = 4\). 2. Untersuchung von \(h\) an der Stelle \(x_0 = 4\): Der Differenzenquotient für \(t > 0\) lautet \(\frac{\sqrt{4+t-4} - \sqrt{4-4}}{t} = \frac{\sqrt{t}}{t} = \frac{1}{\sqrt{t}}\). Für \(t \to 0^+\) geht dieser Ausdruck gegen \(+\infty\). Da der Grenzwert nicht endlich ist (vertikale Tangente am Rand des Definitionsbereichs), ist \(h\) an der Stelle \(x_0 = 4\) nicht differenzierbar.

a) \(g\) ist an der Stelle \(x_0 = 1\) differenzierbar mit \(g'(1) = 4\). b) \(h\) ist an der Stelle \(x_0 = 4\) nicht differenzierbar.

- Prüfe zuerst, ob der Graph an der Stelle \(x_0 = 0\) überhaupt zusammenhängt (stetig ist). - Was sagt die Stetigkeit über die Existenz einer Tangente aus? - Untersuche das Verhalten des Differenzenquotienten getrennt für Werte kleiner als \(0\) und Werte größer als \(0\). - Könntest du an einer Stelle, an der der Graph einen Sprung macht, eine eindeutige Tangente zeichnen?

1. Überprüfung der Stetigkeit an der Stelle \(x_0 = 0\): Der Funktionswert ist \(f(0) = 1\). Der linksseitige Grenzwert der Funktion ist \(\lim_{x \to 0^-} (x + 2) = 2\). 2. Feststellung der Unstetigkeit: Da der linksseitige Grenzwert (\(2\)) nicht mit dem Funktionswert (\(1\)) übereinstimmt, liegt bei \(x_0 = 0\) eine Sprungstelle vor. 3. Folgerung für die Differenzierbarkeit: Eine Funktion, die an einer Stelle nicht stetig ist, kann dort auch nicht differenzierbar sein. 4. Betrachtung des Differenzenquotienten: Der rechtsseitige Grenzwert des Differenzenquotienten ist \(\lim_{h \to 0^+} \frac{1 - 1}{h} = 0\). Der linksseitige Grenzwert \(\lim_{h \to 0^-} \frac{(h+2) - 1}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{h+1}{h}\) existiert nicht als reelle Zahl (er strebt gegen \(-\infty\)). 5. Ergebnis: Da keine eindeutige Ableitung existiert, hat der Graph an der Stelle \(x_0 = 0\) keine Tangente.

Der Graph besitzt an der Stelle \(x_0 = 0\) keine Tangente, da die Funktion dort aufgrund einer Sprungstelle nicht stetig (und damit nicht differenzierbar) ist.

- Setze die Funktion in die Formel für den Differenzenquotienten ein. - Versuche den Ausdruck so weit wie möglich zu vereinfachen, bevor du den Grenzwert betrachtest. - Prüfe, ob der Grenzwert des vereinfachten Terms für Annäherung von beiden Seiten denselben Wert ergibt. - Was passiert mit dem Betrag von \(h\), wenn \(h\) gegen Null geht?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten an der Stelle \(x_0 = 0\): \(\frac{g(0+h) - g(0)}{h} = \frac{|h| \cdot h + 3h - 0}{h}\). 2. Vereinfachen des Terms durch Kürzen von \(h\): \(\frac{h(|h| + 3)}{h} = |h| + 3\). 3. Bildung des Grenzwerts für \(h \to 0\): \(\lim_{h \to 0} (|h| + 3) = 0 + 3 = 3\). 4. Da der Grenzwert eindeutig existiert, ist die Funktion an der Stelle \(x_0 = 0\) differenzierbar. Die Ableitung entspricht dem Grenzwert.

Die Funktion \(g\) ist an der Stelle \(x_0 = 0\) differenzierbar mit \(g'(0) = 3\).

- Welche Funktionsvorschrift musst du für Werte kleiner als \(1\) verwenden, und welche für Werte größer als \(1\)? - Setze den Funktionsterm für den jeweiligen Bereich in den Differenzenquotienten ein und vereinfache den Bruch, bevor du den Grenzwert betrachtest. - Was bedeutet es für den Grenzwert des Differenzenquotienten, wenn man sich von links beziehungsweise von rechts der Stelle \(1\) nähert? - Vergleiche die beiden einseitigen Grenzwerte. Wann ist eine Funktion an einer Stelle differenzierbar?

1. Linksseitiger Grenzwert für \(h \to 0\) mit \(h < 0\): \(\lim_{h \to 0^-} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{(1+h)^2 - 1}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{2h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0^-} (2 + h) = 2\) 2. Rechtsseitiger Grenzwert für \(h \to 0\) mit \(h > 0\): \(\lim_{h \to 0^+} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{-(1+h) + 2 - 1}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{-h}{h} = -1\) 3. Begründung der Nicht-Differenzierbarkeit: Der linksseitige Grenzwert \(2\) und der rechtsseitige Grenzwert \(-1\) des Differenzenquotienten an der Stelle \(x_0 = 1\) stimmen nicht überein. Daher existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten insgesamt nicht, und \(f\) ist an der Stelle \(x_0 = 1\) nicht differenzierbar.

a) Der linksseitige Grenzwert ist \(2\). b) Der rechtsseitige Grenzwert ist \(-1\). c) Da die beiden einseitigen Grenzwerte nicht übereinstimmen, ist \(f\) bei \(x_0 = 1\) nicht differenzierbar.

- Was bedeutet es anschaulich für den Verlauf des Graphen, wenn eine Funktion an einer Stelle differenzierbar ist? Wie sieht der Graph im Vergleich dazu an einer nicht differenzierbaren Stelle aus? - Welche besondere Eigenschaft hat die Tangente an einem glatten Hoch- oder Tiefpunkt? - Achte auf Stellen, an denen der Graph einen plötzlichen Richtungswechsel, also einen Knick, macht. - Überlege, ob es an jeder der markierten Stellen eindeutig eine einzige Tangente an den Graphen gibt.

1. Stelle \(x_1 = -2\): Der Graph verläuft hier glatt und besitzt einen Hochpunkt. An dieser Stelle gibt es eine eindeutige waagerechte Tangente. Somit ist die Funktion an der Stelle \(x_1 = -2\) differenzierbar mit \(f'(-2) = 0\). 2. Stelle \(x_2 = -1\): An dieser Stelle treffen die beiden Teilkurven aufeinander. Der Graph weist hier eine Knickstelle auf. Da die Steigungen links von \(x_2\) und rechts von \(x_2\) unterschiedlich sind, existiert kein eindeutiger Grenzwert des Differenzenquotienten. Die Funktion ist an der Stelle \(x_2 = -1\) nicht differenzierbar. 3. Stelle \(x_3 = 1\): Der Graph verläuft hier glatt und besitzt einen Tiefpunkt. Es gibt eine eindeutige waagerechte Tangente. Die Funktion ist an der Stelle \(x_3 = 1\) differenzierbar mit \(f'(1) = 0\).

Bei \(x_1 = -2\) und \(x_3 = 1\) ist \(f\) differenzierbar, weil der Graph dort glatt verläuft und jeweils eine eindeutige waagerechte Tangente besitzt; bei \(x_2 = -1\) ist \(f\) wegen der Knickstelle und der unterschiedlichen einseitigen Steigungen nicht differenzierbar.

- Prüfe an jeder Stelle, ob der Graph ohne Sprung oder Lücke durchgehend verläuft. - Wenn eine Funktion an einer Stelle nicht stetig ist, kann sie dort differenzierbar sein? - Betrachte für die Differenzierbarkeit die Steigung des Graphen kurz vor und kurz nach der jeweiligen Stelle. Ändert sich die Steigung fließend oder gibt es einen abrupten Knick?

1. Untersuchung an der Stelle \(x = 0\): - Die linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwerte stimmen mit dem Funktionswert überein: \(\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 2\). Die Funktion ist somit stetig. - Der Graph weist an dieser Stelle einen Knick auf. Die Steigung ändert sich sprunghaft von \(1\) auf \(2\). Da die einseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten nicht übereinstimmen, ist die Funktion an der Stelle \(x = 0\) nicht differenzierbar. 2. Untersuchung an der Stelle \(x = 3\): - Der Graph besitzt eine Sprungstelle. Der linksseitige Grenzwert beträgt \(-1\), während der rechtsseitige Grenzwert \(1\) ist: \(\lim_{x \to 3^-} f(x) \neq \lim_{x \to 3^+} f(x)\). Die Funktion ist an der Stelle \(x = 3\) nicht stetig. - Da Stetigkeit eine notwendige Bedingung für Differenzierbarkeit ist, ist die Funktion an der Stelle \(x = 3\) auch nicht differenzierbar. 3. Untersuchung an der Stelle \(x = 5\): - Die Grenzwerte von links und rechts stimmen mit dem Funktionswert überein: \(\lim_{x \to 5^-} f(x) = \lim_{x \to 5^+} f(x) = f(5) = 1\). Die Funktion ist stetig. - Der Graph weist an dieser Stelle einen Knick auf. Die Steigung ändert sich von \(0\) auf \(1{,}2\). Da die einseitigen Ableitungen nicht übereinstimmen, ist die Funktion an der Stelle \(x = 5\) nicht differenzierbar.

a) Bei \(x = 0\) und \(x = 5\) ist \(f\) stetig; bei \(x = 3\) ist \(f\) wegen der Sprungstelle nicht stetig. b) An allen drei Stellen ist \(f\) nicht differenzierbar: bei \(x = 0\) und \(x = 5\) wegen der Knicke, bei \(x = 3\) wegen der Unstetigkeit.

- Kannst du die Stellen im Graphen identifizieren, an denen der Funktionsgraph „Knicke“ oder „Ecken“ aufweist? - Was bedeutet die Differenzierbarkeit einer Funktion anschaulich für die Tangente an einem solchen Punkt? - Wie verhält sich der Term innerhalb des Betrags in den verschiedenen Abschnitten zwischen und außerhalb der Nullstellen? - Bestimme die Ableitungsfunktionen für die einzelnen Abschnitte der abschnittsweise definierten Funktion separat. - Vergleiche die Steigungen von links und von rechts, wenn du dich den Übergangsstellen annäherst.

1. Bestimmung der Intervalle für die betragsfreie Darstellung: Die Nullstellen des Terms im Betrag \(0{,}5x^2 - x - 1{,}5 = 0\) liegen bei \(x = -1\) und \(x = 3\). Da die Parabel nach oben geöffnet ist, ist der Term für \(x < -1\) oder \(x > 3\) positiv und für \(-1 \le x \le 3\) negativ oder null. Somit gilt: \(f(x) = \begin{cases} 0{,}5x^2 - x - 1{,}5 & \text{für } x < -1 \text{ oder } x > 3 \\ -0{,}5x^2 + x + 1{,}5 & \text{für } -1 \le x \le 3 \end{cases}\) 2. Untersuchung auf Differenzierbarkeit an der Stelle \(x = -1\): Die Ableitung der ersten Teilfunktion \(f_1(x) = 0{,}5x^2 - x - 1{,}5\) lautet \(f_1'(x) = x - 1\). Die linksseitige Ableitung an der Stelle \(-1\) beträgt \(f_1'(-1) = -2\). Die Ableitung der zweiten Teilfunktion \(f_2(x) = -0{,}5x^2 + x + 1{,}5\) lautet \(f_2'(x) = -x + 1\). Die rechtsseitige Ableitung an der Stelle \(-1\) beträgt \(f_2'(-1) = 2\). Da die einseitigen Ableitungen nicht übereinstimmen, ist \(f\) an der Stelle \(x = -1\) nicht differenzierbar. 3. Untersuchung auf Differenzierbarkeit an der Stelle \(x = 3\): Die linksseitige Ableitung an der Stelle \(3\) ergibt sich aus \(f_2'(3) = -2\). Die rechtsseitige Ableitung an der Stelle \(3\) ergibt sich aus \(f_1'(3) = 2\). Da die einseitigen Ableitungen nicht übereinstimmen, ist \(f\) an der Stelle \(x = 3\) nicht differenzierbar.

a) \(f(x) = \begin{cases} 0{,}5x^2 - x - 1{,}5 & \text{für } x < -1 \text{ oder } x > 3 \\ -0{,}5x^2 + x + 1{,}5 & \text{für } -1 \le x \le 3 \end{cases}\). b) \(f\) ist bei \(x = -1\) und \(x = 3\) nicht differenzierbar, da die einseitigen Ableitungen dort jeweils \(-2\) und \(2\) betragen.

- Kannst du den Unterschied zwischen einer Sprungstelle und einer Knickstelle im Graphen beschreiben? - Denke daran, dass eine Funktion an einer Stelle nur dann differenzierbar sein kann, wenn sie dort auch stetig ist. - Prüfe zunächst, an welchen Übergängen der Graph unterbrochen ist. - Untersuche anschließend die zusammenhängenden Übergänge darauf, ob die einseitigen Steigungen übereinstimmen.

1. Untersuchung auf Stetigkeit: - An der Stelle \(x = 1\) liegt eine Sprungstelle vor, da der linksseitige Grenzwert \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2\) ungleich dem rechtsseitigen Grenzwert \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = 0\) ist. Somit ist \(f\) bei \(x = 1\) nicht stetig. - An allen anderen Stellen im Intervall \((-3; 5)\) verläuft der Graph ohne Unterbrechung. Insbesondere gilt bei \(x = 3\): \(\lim_{x \to 3} f(x) = f(3) = 0\). 2. Untersuchung auf Differenzierbarkeit: - Da eine Funktion an einer Unstetigkeitsstelle nicht differenzierbar sein kann, ist \(f\) an der Stelle \(x = 1\) nicht differenzierbar. - An der Stelle \(x = 3\) ist die Funktion stetig, aber der Graph weist einen Knick auf. Die linksseitige Steigung beträgt \(2\), während die rechtsseitige Steigung \(-1\) beträgt. Wegen der unterschiedlichen einseitigen Steigungen ist \(f\) bei \(x = 3\) nicht differenzierbar. - An allen anderen Stellen im Inneren des Definitionsbereichs ist der Graph glatt und somit differenzierbar.

1. Nicht stetig ist \(f\) nur bei \(x = 1\), weil dort eine Sprungstelle vorliegt. 2. Nicht differenzierbar ist \(f\) bei \(x = 1\) wegen der Unstetigkeit und bei \(x = 3\) wegen des Knicks.

- Was bedeutet es anschaulich für den Verlauf des Graphen, wenn eine Funktion an einer Stelle nicht differenzierbar ist? - Suche nach markanten Stellen wie Ecken oder Knicken im Graphen. - Untersuche die Übergänge zwischen den verschiedenen Abschnitten des Graphen genau. - Vergleiche an den Übergangsstellen die Steigung von links und von rechts.

1. Eine Funktion ist an einer Stelle \(x\) anschaulich differenzierbar, wenn ihr Graph dort glatt verläuft und die linksseitige und die rechtsseitige Ableitung übereinstimmen. 2. Untersuchung der Übergangsstellen: - Bei \(x = -3\) treffen eine Gerade mit der Steigung \(1\) und eine Parabel mit der rechtsseitigen Steigung \(4\) aufeinander. Da sich die Steigungen unterscheiden, entsteht ein Knick. - Bei \(x = -1\) treffen die Parabel mit der linksseitigen Steigung \(-4\) und eine Gerade mit der Steigung \(-1\) aufeinander. Es entsteht ein Knick. - Bei \(x = 1\) treffen die Gerade mit der Steigung \(-1\) und eine Parabel mit der rechtsseitigen Steigung \(-4\) aufeinander. Es entsteht ein Knick. - Bei \(x = 3\) geht die Parabel in eine Gerade über. Die linksseitige Steigung der Parabel beträgt \(4 \cdot (3 - 2) = 4\), und die Steigung der Geraden rechts davon beträgt ebenfalls \(4\). Daher verläuft der Graph dort glatt. 3. Somit ist die Funktion an den Stellen \(x = -3\), \(x = -1\) und \(x = 1\) nicht differenzierbar.

a) \(f\) ist bei \(x = -3\), \(x = -1\) und \(x = 1\) nicht differenzierbar. b) An diesen Stellen weist der Graph jeweils einen Knick mit unterschiedlichen einseitigen Steigungen auf; bei \(x = 3\) stimmen die einseitigen Steigungen dagegen überein.

- Was bedeutet es anschaulich für den Graphen, wenn eine Funktion an einer Stelle stetig ist? Gibt es dort Lücken oder Sprünge? - Woran erkennst du grafisch, ob eine Funktion an einer Stelle glatt verläuft oder einen Knick hat? - Wie hängen ein Knick im Graphen und die Existenz einer eindeutigen Tangente an dieser Stelle zusammen? - Bestimme die Ableitungen der beiden Teilfunktionen und vergleiche ihre Werte an der Übergangsstelle.

1. Geometrische Begründung: Stetigkeit liegt vor, da der Graph an der Stelle \(x = 1\) weder einen Sprung noch eine Lücke aufweist; beide Kurventeile treffen sich im Punkt \((1 \mid 2)\). Die fehlende Differenzierbarkeit ist am Knick des Graphen bei \(x = 1\) erkennbar, da dort keine eindeutige Tangente existiert. 2. Rechnerischer Nachweis: Für den linken Funktionsteil gilt \(f'(x) = -2x + 2\), also beträgt die linksseitige Ableitung bei \(x = 1\) den Wert \(0\). Für den rechten Funktionsteil gilt \(f'(x) = 2\), also beträgt die rechtsseitige Ableitung bei \(x = 1\) den Wert \(2\). Da die einseitigen Ableitungen nicht übereinstimmen, ist \(f\) an der Stelle \(x = 1\) nicht differenzierbar.

a) Der Graph ist bei \(x = 1\) ohne Sprung oder Lücke verbunden und daher stetig, besitzt dort aber einen Knick und ist deshalb nicht differenzierbar. b) Die linksseitige Ableitung beträgt \(0\), die rechtsseitige Ableitung \(2\); wegen der unterschiedlichen Werte ist \(f\) bei \(x = 1\) nicht differenzierbar.

- Muss eine Funktion an einer lokalen Extremstelle zwingend differenzierbar sein? - Wie verhalten sich die Funktionswerte direkt neben der Spitze bei \(x_1\)? - Betrachte die Öffnungsrichtung und den Scheitelpunkt des Parabelstücks bei \(x_2\).

1. Untersuchung bei \(x_1 = -1\): Der Graph zeigt an dieser Stelle eine Spitze in V-Form. Für alle \(x\) in einer Umgebung von \(-1\) gilt \(f(x) \ge f(-1) = 0\). Da der Funktionswert dort der kleinste in der Umgebung ist, liegt eine lokale Minimalstelle vor. Die Funktion ist dort zwar nicht differenzierbar, ein Extremum ist jedoch über die Funktionswerte definiert. 2. Untersuchung bei \(x_2 = 3\): Der Graph verläuft hier glatt. Da es sich um den Scheitelpunkt einer nach unten geöffneten Parabel handelt, ist die Steigung \(f'(3) = 0\), und die Funktion wechselt von steigend zu fallend. Somit liegt bei \(x_2 = 3\) ein lokales Maximum vor.

a) Bei \(x_1 = -1\) liegt trotz fehlender Differenzierbarkeit eine lokale Minimalstelle vor, weil \(f(-1)\) in einer Umgebung der kleinste Funktionswert ist. b) Bei \(x_2 = 3\) liegt ein lokales Maximum vor.

- Überlege dir zuerst, wie du den Betrag auflösen kannst, wenn du dich der Stelle \(x=2\) von links oder von rechts näherst. - Erinnere dich an die Definition der Differenzierbarkeit: Der Grenzwert des Differenzenquotienten muss von beiden Seiten her gleich sein. - Was bedeutet eine unterschiedliche Steigung von links und rechts für den Verlauf des Graphen an diesem Punkt?

1. Der Funktionswert ist \(f(2) = |0{,}5 \cdot 2^2 - 2| = |2 - 2| = 0\). 2. Zur Untersuchung der Differenzierbarkeit betrachten wir den Grenzwert des Differenzenquotienten \(\frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \frac{|0{,}5 \cdot (2+h)^2 - 2| - 0}{h} = \frac{|2 + 2h + 0{,}5h^2 - 2|}{h} = \frac{|2h + 0{,}5h^2|}{h}\). Für \(h > 0\) (rechtsseitig) gilt \(2h + 0{,}5h^2 > 0\), also \(\lim_{h \to 0^{+}} \frac{2h + 0{,}5h^2}{h} = \lim_{h \to 0^{+}} (2 + 0{,}5h) = 2\). Für \(h < 0\) (linksseitig) ist \(2h + 0{,}5h^2\) für betragsmäßig kleine \(h\) negativ, also \(\lim_{h \to 0^{-}} \frac{-(2h + 0{,}5h^2)}{h} = \lim_{h \to 0^{-}} (-2 - 0{,}5h) = -2\). 3. Da der linksseitige Grenzwert (\(-2\)) und der rechtsseitige Grenzwert (\(2\)) nicht übereinstimmen, existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten nicht. Die Funktion ist an der Stelle \(x = 2\) nicht differenzierbar; es existiert dort keine eindeutige Tangente.

Der Funktionswert ist \(f(2) = 0\). Die Untersuchung der Grenzwerte des Differenzenquotienten ergibt rechtsseitig den Wert \(2\) und linksseitig den Wert \(-2\). Da diese Werte nicht gleich sind, ist die Funktion an der Stelle \(x = 2\) nicht differenzierbar. Es gibt dort keine eindeutige Tangente, was sich im Graphen als Spitze äußert.

- Vergleiche den linksseitigen und den rechtsseitigen Grenzwert bei \(x=0\). - Für eine Tangente als Grenzlage von Sekanten muss der zweite Graphpunkt \(Q\) tatsächlich gegen den Berührpunkt \(P\) streben. - Untersuche den Abstand zwischen \(P(0\mid0)\) und Punkten auf den beiden waagerechten Graphteilen.

1. Bei \(x=0\) hat der Graph eine Sprungstelle: Links liegt er bei \(y=-1\), rechts bei \(y=1\), während \(s(0)=0\) gilt. 2. Es ist \(\lim_{x\to0^-}s(x)=-1\) und \(\lim_{x\to0^+}s(x)=1\). Da die einseitigen Grenzwerte nicht übereinstimmen, ist \(s\) bei \(x=0\) nicht stetig. 3. Eine Tangente in \(P(0\mid0)\) müsste als Grenzlage von Sekanten \(PQ\) entstehen, wobei der zweite Graphpunkt \(Q\) gegen \(P\) strebt. Das ist hier unmöglich: Für jeden anderen Graphpunkt \(Q(x\mid s(x))\) gilt \(|s(x)|=1\), sodass der Abstand von \(Q\) zu \(P\) beim Grenzübergang \(x\to0\) nicht gegen \(0\), sondern gegen \(1\) geht. Es gibt daher keine Folge anderer Graphpunkte, die sich \(P\) nähert, und keine Tangente als Grenzlage von Sekanten.

Die Funktion hat bei \(x=0\) eine Sprungstelle und ist dort nicht stetig. Im isolierten Graphpunkt \(P(0\mid0)\) gibt es keine Tangente als Grenzlage von Sekanten, weil kein anderer Graphpunkt \(Q\) gegen \(P\) streben kann.

- Überlege dir, was es grafisch bedeutet, wenn eine Funktion an einer Stelle differenzierbar ist. Wie müsste der Übergang dort aussehen? - Vergleiche die Steigung kurz vor der Stelle \(x_e\) mit der Steigung kurz nach \(x_e\). - Erinnere dich an die Definition der Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten. - Gilt das Kriterium \(f'(x) = 0\) für jede Art von Extrempunkt oder gibt es Voraussetzungen an die Funktion selbst?

1. Der Graph der Funktion \(f\) besitzt an der Stelle \(x_e = 2\) eine sogenannte „Knickstelle“. Das bedeutet, dass die Steigung der Funktion links von dieser Stelle (hier \(+1\)) einen anderen Wert hat als unmittelbar rechts davon (hier \(-1\)). Da der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert des Differenzenquotienten nicht übereinstimmen, ist die Funktion an dieser Stelle nicht differenzierbar; die Ableitung \(f'(2)\) existiert somit nicht. 2. Das notwendige Kriterium \(f'(x) = 0\) setzt voraus, dass die Funktion an der betrachteten Stelle differenzierbar ist. Da dies bei \(x_e = 2\) nicht der Fall ist, kann die Gleichung \(f'(x) = 0\) für diese Stelle gar nicht erst aufgestellt werden. Das Maximum lässt sich also nicht über die Nullstelle der Ableitung finden.

Die Funktion ist bei \(x_e = 2\) nicht differenzierbar, da der Graph dort einen Knick hat (die linksseitige Steigung unterscheidet sich von der rechtsseitigen). Da die Ableitung \(f'(2)\) nicht existiert, kann das notwendige Kriterium \(f'(x) = 0\), welches Differenzierbarkeit voraussetzt, nicht angewendet werden.

- Eine Funktion ist an einer Stelle nur dann differenzierbar, wenn ihr Graph dort glatt und ohne Knicke oder Sprünge verläuft. - Schau dir den Übergang der Kurve bei \(x = 0\) genau an. Wie verhält sich die Steigung kurz vor der \(y\)-Achse? - Prüfe, ob an den Nahtstellen der verschiedenen Teilstücke die Steigung von links und von rechts gleich ist.

1. Untersuchung bei \(x = 0\): Der Graph nähert sich von links mit einer immer steiler werdenden, gegen unendlich gehenden Steigung an; dort liegt eine vertikale Tangente vor. Von rechts schließt sich eine Gerade mit der Steigung \(1\) an. Da keine eindeutige endliche Tangentensteigung existiert, ist \(g\) bei \(x = 0\) nicht differenzierbar. 2. Untersuchung bei \(x = 2\): Hier treffen zwei Geradenstücke mit unterschiedlichen Steigungen aufeinander; links beträgt die Steigung \(1\), rechts \(-2\). Wegen dieses Knicks ist \(g\) bei \(x = 2\) nicht differenzierbar. 3. Die Stellen der Nicht-Differenzierbarkeit sind \(x = 0\) und \(x = 2\).

Die Funktion \(g\) ist bei \(x = 0\) wegen der vertikalen Tangente und bei \(x = 2\) wegen des Knicks nicht differenzierbar.

- Achte darauf, ob der Graph an der Stelle einen „Knick“ macht oder ob er „glatt“ verläuft. - Überlege, ob du an der markierten Stelle eine eindeutige Tangente anlegen könntest. - Vergleiche die Steigung des Graphen unmittelbar links und unmittelbar rechts von der markierten Stelle.

1. Analyse bei \(x=2\) (Punkt \(A\)): Der Übergang zwischen dem quadratischen Teil (\(0{,}5x^2\)) und dem linearen Teil ist glatt. Die Steigung der Parabel nähert sich von links dem Wert 2 an (\(g'(x)=x \implies g'(2)=2\)), was genau der Steigung der anschließenden Geraden entspricht. Da kein Knick vorliegt und die Steigungen übereinstimmen, ist die Funktion bei \(x=2\) differenzierbar. 2. Analyse bei \(x=4\) (Punkt \(B\)): An dieser Stelle treffen zwei Geradenstücke mit unterschiedlichen Steigungen aufeinander. Das linke Stück hat eine positive Steigung von 2, das rechte Stück eine negative Steigung von -1. Es ist ein deutlicher Knick im Graphen erkennbar. Daher ist die Funktion bei \(x=4\) nicht differenzierbar.

An der Stelle \(x=2\) ist die Funktion differenzierbar, da der Übergang glatt verläuft und die Steigungen von links und rechts übereinstimmen (beide sind 2). An der Stelle \(x=4\) ist die Funktion nicht differenzierbar, da der Graph dort einen Knick aufweist (die Steigung springt von 2 auf -1).

- Berücksichtige bei einem geschlossenen Intervall auch die Randpunkte. - Wo besitzt der Graph keine eindeutige Tangente? - Vergleiche an Übergängen die Steigungen links und rechts.

1. An den Randpunkten \(x=0\) und \(x=10\) ist keine zweiseitige Ableitung definiert. 2. Bei \(x=3\) besitzt der Graph eine Spitze beziehungsweise einen scharfen Knick; die einseitigen Steigungen stimmen nicht überein. 3. Bei \(x=7\) wechselt der Graph abrupt von einem waagerechten Abschnitt zu einem linearen Anstieg. Daher liegt ebenfalls ein Knick vor. 4. An den übrigen inneren Stellen ist der Graph glatt oder innerhalb eines linearen Abschnitts differenzierbar.

Die zweiseitige Ableitung existiert bei \(x=0\), \(x=3\), \(x=7\) und \(x=10\) nicht. \(0\) und \(10\) sind Randpunkte; bei \(3\) und \(7\) liegen Knicke vor.

- Überlege dir zuerst, wo die Funktion \(x^2 - 2x\) negative Werte annimmt. Was macht der Betrag mit diesen Werten? - Ein Knick im Graphen deutet darauf hin, dass dort keine eindeutige Tangente existiert. - Für Differenzierbarkeit müssen die einseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten übereinstimmen. - Nutze für den rechnerischen Nachweis \(\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\) und betrachte \(h \to 0\) von beiden Seiten.

1. Geometrische Beschreibung: Der Graph \(G_f\) entsteht aus dem Graphen der Parabel \(g(x) = x^2 - 2x\), indem alle Teile unterhalb der \(x\)-Achse an der \(x\)-Achse nach oben gespiegelt werden. 2. Abschnittsweise Definition: Da \(x^2 - 2x = x(x-2)\) im Intervall \((0; 2)\) negativ ist, gilt \(f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x & \text{für } x \le 0 \text{ oder } x \ge 2 \\ -x^2 + 2x & \text{für } 0 < x < 2 \end{cases}\). 3. Nicht differenzierbare Stellen: Der Graph weist an den Nullstellen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\) Knicke auf. 4. Rechnerischer Nachweis für \(x = 0\): Linksseitig gilt \(\lim_{h \to 0^-} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} (h - 2) = -2\). Rechtsseitig gilt \(\lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} (-h + 2) = 2\). Da die einseitigen Grenzwerte nicht übereinstimmen, ist \(f\) bei \(x = 0\) nicht differenzierbar.

a) \(G_f\) entsteht, indem die unterhalb der \(x\)-Achse liegenden Teile von \(G_g\) an der \(x\)-Achse gespiegelt werden; \(f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x & \text{für } x \le 0 \text{ oder } x \ge 2 \\ -x^2 + 2x & \text{für } 0 < x < 2 \end{cases}\). b) \(f\) ist bei \(x = 0\) und \(x = 2\) wegen der Knicke nicht differenzierbar; bei \(x = 0\) sind die einseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten \(-2\) und \(2\).

- Treffen die beiden Funktionsabschnitte an der Nahtstelle im selben Punkt zusammen? - Was bedeutet ein Knick für die Existenz einer eindeutigen Tangente? - Berechne die Ableitungen der beiden Funktionsterme separat und vergleiche ihre Werte an der Nahtstelle.

1. Stetigkeit an der Stelle \(x = 2\): Die beiden Teilgraphen treffen sich im Punkt \((2 \mid 3)\), denn \(0{,}5 \cdot 2^2 + 1 = 3\) und \(-2 + 5 = 3\). Der Graph besitzt dort keine Lücke oder Sprungstelle. 2. Der Graph hat bei \(x = 2\) einen Knick; die Steigung ändert sich dort abrupt. 3. Für den linken Funktionsteil gilt \(f_1'(x) = x\), also beträgt die linksseitige Ableitung bei \(x = 2\) den Wert \(2\). Für den rechten Funktionsteil gilt \(f_2'(x) = -1\). Da die einseitigen Ableitungen nicht übereinstimmen, ist \(f\) bei \(x = 2\) nicht differenzierbar.

a) \(f\) ist bei \(x = 2\) stetig, weil beide Teilgraphen im Punkt \((2 \mid 3)\) zusammentreffen. b) Der Graph besitzt dort einen Knick und keine eindeutige Tangente. c) Die linksseitige Ableitung beträgt \(2\), die rechtsseitige \(-1\); daher ist \(f\) bei \(x = 2\) nicht differenzierbar.

- Was passiert mit dem Funktionswert, wenn du dich von links und von rechts der Stelle \(x = 1\) näherst? - Ein „Knick“ im Graphen ist ein optisches Anzeichen für ein bestimmtes mathematisches Verhalten der Ableitung. - Erinnere dich an die Bedingung: Eine Funktion ist an einer Stelle differenzierbar, wenn der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert der Ableitung dort gleich sind.

1. Grafische Analyse: Der Graph zeigt bei \(x = 1\) einen durchgehenden Verlauf (keine Lücke), aber einen deutlichen Knick. Dies deutet auf Stetigkeit, aber fehlende Differenzierbarkeit hin. 2. Rechnerische Stetigkeit: \(g_1(1) = -1^2 + 4 = 3\) und \(g_2(1) = 0{,}5 \cdot 1 + 2{,}5 = 3\). Die Funktionswerte stimmen überein, die Funktion ist stetig. 3. Rechnerische Differenzierbarkeit: - Ableitung links: \(g_1'(x) = -2x \Rightarrow g_1'(1) = -2\). - Ableitung rechts: \(g_2'(x) = 0{,}5 \Rightarrow g_2'(1) = 0{,}5\). - Da \(-2 \neq 0{,}5\), ist die Funktion an der Stelle \(x = 1\) nicht differenzierbar.

Die Funktion \(g\) ist an der Stelle \(x = 1\) stetig, da \(g_1(1) = g_2(1) = 3\) gilt. Sie ist dort jedoch nicht differenzierbar, da die Steigung von links (\(-2\)) nicht mit der Steigung von rechts (\(0{,}5\)) übereinstimmt, was sich im Graphen als Knick äußert.

- Prüfe den Graphen zunächst auf Sprünge oder Lücken. - Suche anschließend nach Ecken oder abrupten Änderungen der Steigung. - Differenzierbarkeit setzt Stetigkeit voraus.

1. Bei \(x = 0\) liegt eine Sprungstelle vor. Der Graph nähert sich von links dem Wert \(1\), während der Funktionswert und der rechtsseitige Grenzwert \(2\) betragen. Da \(f\) dort nicht stetig ist, ist sie auch nicht differenzierbar. 2. Bei \(x = 2\), \(x = 3\) und \(x = 4\) weist der Graph Knickstellen auf. An diesen Stellen ändert sich die Steigung sprunghaft, sodass keine eindeutige Tangentensteigung existiert. Die Funktion ist dort jeweils stetig, aber nicht differenzierbar.

Nicht differenzierbar ist \(f\) bei \(x = 0\) wegen der Sprungstelle sowie bei \(x = 2\), \(x = 3\) und \(x = 4\) wegen der Knickstellen.

- Prüfe, an welchen Stellen der Graph unterbrochen ist. - Suche nach scharfen Richtungsänderungen oder Spitzen. - Überlege, ob an jeder Stelle eine eindeutige Tangente existiert.

1. Bei \(x = -1\) liegt eine Sprungstelle vor; der Graph wechselt von \(y = -1\) zu \(y = 1\). Die Funktion ist dort nicht stetig und daher auch nicht differenzierbar. 2. Bei \(x = 1\) ist der Graph stetig, weist aber eine Spitze auf. Die einseitigen Steigungen stimmen nicht überein, sodass \(f\) dort nicht differenzierbar ist.

Die Funktion ist bei \(x = -1\) wegen der Sprungstelle und bei \(x = 1\) wegen der Knickstelle nicht differenzierbar.

- Wo besitzt der Graph eine glatte waagerechte Tangente? - Suche nach Stellen, an denen der Graph einen Knick oder eine scharfe Ecke aufweist. - Berücksichtige bei der üblichen zweiseitigen Ableitung auch die Randstellen des abgeschlossenen Intervalls.

1. Eine Ableitung von null liegt an einer glatten Stelle mit waagerechter Tangente vor. Im Graphen ist dies beim Maximum bei \(x = -2\) der Fall. 2. An den Randstellen \(x = -5\) und \(x = 5\) ist keine zweiseitige Ableitung definiert. Außerdem besitzt der Graph bei \(x = 1\) einen Knick beim Übergang von der Kurve zur Geraden und bei \(x = 3\) eine Spitze.

a) \(x = -2\). b) \(x = -5\), \(x = 1\), \(x = 3\) und \(x = 5\).

- Eine waagerechte Tangente findest du an einem glatten Hoch- oder Tiefpunkt. - Nicht differenzierbare Stellen erkennst du grafisch an Ecken, Spitzen oder Sprüngen. - Prüfe alle Übergänge zwischen den einzelnen Graphabschnitten.

1. Eine waagerechte Tangente liegt am glatten Tiefpunkt bei \(x = 0\) vor. Dort ist die Steigung null. 2. Bei \(x = 2\) befindet sich an der Nahtstelle ein Knick. Bei \(x = 4\) besitzt der Graph eine scharfe Spitze. Daher ist die Funktion an diesen beiden Stellen nicht differenzierbar.

1. \(x = 0\). 2. \(x = 2\) und \(x = 4\).

- Schau dir den Ausdruck unter der Wurzel genau an. Erinnert er dich an eine binomische Formel? - Was ergibt die Quadratwurzel aus einem Quadrat, zum Beispiel \(\sqrt{a^2}\)? - Untersuche die Stellen, an denen die Ausdrücke innerhalb der Betragsstriche null werden. - Prüfe, ob die Steigung des Graphen links und rechts von diesen kritischen Stellen gleich bleibt oder sich sprunghaft ändert.

1. Vereinfachung des Terms unter der Wurzel mithilfe der zweiten binomischen Formel: \(\sqrt{x^2 - 10x + 25} = \sqrt{(x - 5)^2} = |x - 5|\). 2. Der Funktionsterm lautet somit \(h(x) = |x - 5| + |x|\). 3. Die Funktion ist als Summe von Betragsfunktionen überall stetig. 4. Mögliche Stellen der Nicht-Differenzierbarkeit sind die Nullstellen der Beträge: \(x_1 = 5\) und \(x_2 = 0\). 5. Untersuchung der Steigungen (einseitige Grenzwerte der Ableitung): Für \(x < 0\) ist \(h'(x) = -2\); für \(0 < x < 5\) ist \(h'(x) = 0\); für \(x > 5\) ist \(h'(x) = 2\). 6. An \(x = 0\) unterscheiden sich linksseitige (\(-2\)) und rechtsseitige Steigung (\(0\)). 7. An \(x = 5\) unterscheiden sich linksseitige (\(0\)) und rechtsseitige Steigung (\(2\)). 8. Ergebnis: Die Funktion ist an den Stellen \(x = 0\) und \(x = 5\) nicht differenzierbar.

Die Funktion ist an den Stellen \(x = 0\) und \(x = 5\) stetig, aber nicht differenzierbar.

- Gehe für jede Nahtstelle einzeln vor. - Eine Funktion kann nur differenzierbar sein, wenn sie an der Stelle auch stetig ist. Prüfe dies als Erstes. - Bestimme die Ableitungen der Teilfunktionen und setze die entsprechenden \(x\)-Werte ein. - Vergleiche die Ergebnisse der einseitigen Ableitungen. Was bedeutet ein Unterschied für den Verlauf des Graphen?

1. Untersuchung an der Stelle \(x = 2\): Stetigkeit: \(g(2) = 4\) und \(\lim_{x \to 2^+} (-x^2 + 4x) = -4 + 8 = 4\). Die Funktion ist stetig. Ableitungen: Linksseitig ist \(g'(x) = 0\), also \(g'(2^-) = 0\). Rechtsseitig ist \(g'(x) = -2x + 4\), also \(g'(2^+) = -2 \cdot 2 + 4 = 0\). Da \(0 = 0\), ist \(g\) bei \(x = 2\) differenzierbar. 2. Untersuchung an der Stelle \(x = 4\): Stetigkeit: \(g(4) = -16 + 16 = 0\) und \(\lim_{x \to 4^+} (-2x + 8) = -8 + 8 = 0\). Die Funktion ist stetig. Ableitungen: Linksseitig ist \(g'(x) = -2x + 4\), also \(g'(4^-) = -2 \cdot 4 + 4 = -4\). Rechtsseitig ist \(g'(x) = -2\), also \(g'(4^+) = -2\). 3. Ergebnis: Da \(-4 \neq -2\), liegt bei \(x = 4\) ein Knick vor; die Funktion ist dort nicht differenzierbar.

Die Funktion \(g\) ist an der Stelle \(x = 2\) differenzierbar (beide einseitigen Ableitungen sind \(0\)). An der Stelle \(x = 4\) ist sie nicht differenzierbar, da die linksseitige Ableitung \(-4\) und die rechtsseitige Ableitung \(-2\) beträgt.

- Überlege dir, an welchen Stellen der Graph einen Knick oder einen Sprung haben könnte. - Erinnere dich daran, dass eine Funktion an einer Stelle nur dann differenzierbar sein kann, wenn sie dort auch stetig ist. - Bei abschnittsweise definierten Funktionen solltest du die einseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten an den Übergangsstellen vergleichen. - Was passiert mit der Steigung einer Tangente, wenn der Graph an einer Stelle senkrecht verläuft?

1. Für \(f(x) = |x^2 - 4|\): Die Betragsfunktion hat potenzielle Knickstellen an den Nullstellen des Terms im Betrag. Diese liegen bei \(x^2 - 4 = 0\), also \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). Da die links- und rechtsseitigen Ableitungen an diesen Stellen betragsmäßig gleich, aber im Vorzeichen verschieden sind (\(\pm 4\)), ist die Funktion bei \(x = 2\) und \(x = -2\) nicht differenzierbar. 2. Für \(g(x) = \sqrt{|x|}\): An der Stelle \(x = 0\) ist die Funktion zwar stetig, aber der Differenzenquotient \(\frac{\sqrt{|h|}}{h}\) strebt für \(h \to 0^+\) gegen \(+\infty\) und für \(h \to 0^-\) gegen \(-\infty\). Da kein endlicher Grenzwert existiert, ist die Funktion bei \(x = 0\) nicht differenzierbar. 3. Für \(h(x)\): Zuerst wird die Stetigkeit an der Nahtstelle \(x = 2\) geprüft. Es gilt \(\lim_{x \to 2^-} x^2 = 4\) und \(h(2) = 2 \cdot 2 = 4\), die Funktion ist also stetig. Die linksseitige Ableitung an der Stelle \(2\) ist \(\lim_{x \to 2^-} (2x) = 4\), die rechtsseitige Ableitung ist jedoch konstant \(2\). Da die einseitigen Ableitungen nicht übereinstimmen, ist die Funktion bei \(x = 2\) nicht differenzierbar.

a) \(x = 2\) und \(x = -2\) b) \(x = 0\) c) \(x = 2\)

- Achte genau darauf, ob die gesuchten Stellen im Definitionsbereich liegen müssen. - Überprüfe bei Wurzelfunktionen besonders die Ränder des Definitionsbereichs. - Wo genau liegen die Sprungstellen der Gaußklammerfunktion, wenn das Argument verschoben ist? - Wenn eine Funktion an einer Stelle nicht stetig ist, kann sie dort auch nicht differenzierbar sein.

1. Für \(f(x) = |0{,}5x - 2|\): Die Funktion hat eine Knickstelle dort, wo der lineare Term im Betrag Null wird. \(0{,}5x - 2 = 0 \implies x = 4\). An allen anderen Stellen ist die Funktion als lineare Funktion differenzierbar. Somit ist \(f\) differenzierbar für \(x \in \mathbb{R} \setminus \{4\}\). 2. Für \(g(x) = \sqrt{x}\): Im Inneren des Definitionsbereichs (\(x > 0\)) ist die Funktion differenzierbar mit \(g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\). An der Randstelle \(x = 0\) existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten \(\frac{\sqrt{h}-0}{h} = \frac{1}{\sqrt{h}}\) für \(h \to 0^+\) nicht im Reellen (er geht gegen \(+\infty\)). Die Funktion ist also für \(x \in ]0; \infty[\) differenzierbar. 3. Für \(h(x) = \lfloor x + 0{,}5 \rfloor\): Die Gaußklammerfunktion hat Sprungstellen überall dort, wo das Argument \(x + 0{,}5\) eine ganze Zahl ist. \(x + 0{,}5 = k \in \mathbb{Z} \implies x = k - 0{,}5\). An diesen Stellen ist die Funktion nicht stetig und damit nicht differenzierbar. An allen anderen Stellen ist sie lokal konstant und somit differenzierbar (Ableitung \(0\)). Die Menge der differenzierbaren Stellen ist \(\mathbb{R} \setminus \{x \mid x = k - 0{,}5; k \in \mathbb{Z}\}\).

a) \(\mathbb{R} \setminus \{4\}\) b) \(]0; \infty[\) (oder \(\{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\}\)) c) \(\mathbb{R} \setminus \{ \dots; -1{,}5; -0{,}5; 0{,}5; 1{,}5; \dots \}\) (oder \(\mathbb{R} \setminus \{k - 0{,}5 \mid k \in \mathbb{Z}\}\))

- Wo sieht der Graph spitz aus? Das sind mögliche Stellen ohne eindeutige Tangente. - Finde für die Umgebung von \(x = 1\) zuerst den passenden Funktionsterm ohne Betragsstriche. - Die Ableitung einer Betragsfunktion kann an den Nullstellen des inneren Terms ihr Vorzeichen wechseln. - Vergleiche die einseitigen Ableitungen an der fraglichen Stelle.

1. Die Knickstellen liegen bei den Nullstellen der inneren Funktion \(1 - 0{,}25x^2 = 0\), also bei \(x = -2\) und \(x = 2\). 2. In einer Umgebung von \(x = 1\) gilt \(g(x) = 1 - 0{,}25x^2\), da der innere Term dort positiv ist. 3. Die Ableitung lautet in diesem Bereich \(g'(x) = -0{,}5x\). Daher ist \(g'(1) = -0{,}5\). 4. Links von \(x = 2\) gilt \(g'(x) = -0{,}5x\), also beträgt die linksseitige Ableitung \(-1\). Rechts von \(x = 2\) gilt \(g(x) = 0{,}25x^2 - 1\) und damit \(g'(x) = 0{,}5x\), also beträgt die rechtsseitige Ableitung \(1\). 5. Da die einseitigen Ableitungen nicht übereinstimmen, ist \(g\) bei \(x = 2\) nicht differenzierbar.

a) \(g\) ist bei \(x = -2\) und \(x = 2\) nicht differenzierbar. b) Die Steigung bei \(x = 1\) beträgt \(-0{,}5\). c) Bei \(x = 2\) sind die einseitigen Ableitungen \(-1\) und \(1\); daher ist \(g\) dort nicht differenzierbar.