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- Was ist die mathematische Bedeutung der Steigung einer Tangente an einer bestimmten Stelle? - Kannst du die Funktion schrittweise ableiten? - Was musst du tun, nachdem du die Ableitungsfunktion gefunden hast?

1. Ableitungsfunktion \(y'\) berechnen: \(y' = 0,4x + 5\). 2. Die Stelle \(x = 5\) in die Ableitungsfunktion einsetzen: \(m = 0,4 \cdot 5 + 5\). 3. Berechnung: \(m = 2 + 5 = 7\).

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- Was bedeutet eine waagerechte Tangente für den Wert der Ableitung? - Wie hängen die Steigung einer Funktion in einem Punkt und die Ableitungsfunktion zusammen? - Wie berechnet man die zweite Koordinate eines Punktes, wenn die x-Koordinate bekannt ist?

1. Ableitung mit der Potenz- und Summenregel bilden: \(f'(x) = -2x + 4\). 2. Bedingung für eine waagerechte Tangente ist eine Steigung von \(0\). Ansatz: \(f'(x_0) = 0\). 3. Gleichung lösen: \(-2x_0 + 4 = 0 \Rightarrow x_0 = 2\). 4. Funktionswert berechnen: \(f(2) = -(2)^2 + 4 \cdot 2 - 2 = -4 + 8 - 2 = 2\). Der Punkt ist \(P(2|2)\). 5. Für die Steigung \(6\) den Ansatz \(f'(q) = 6\) wählen: \(-2q + 4 = 6\). 6. Nach \(q\) auflösen: \(-2q = 2 \Rightarrow q = -1\). 7. Funktionswert berechnen: \(f(-1) = -(-1)^2 + 4 \cdot (-1) - 2 = -1 - 4 - 2 = -7\). Der Punkt ist \(Q(-1|-7)\).

a) \(f'(x) = -2x + 4\) b) \(P(2|2)\) c) \(Q(-1|-7)\)

- Wie findest du den zugehörigen \(y\)-Wert für eine gegebene Stelle auf dem Graphen? - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, die Steigung einer Kurve in einem bestimmten Punkt zu ermitteln? - Kennst du eine Formel, mit der man eine Gerade aufstellen kann, wenn ein Punkt und die Steigung bekannt sind? - Überlege, was die Tangente an einem Punkt grafisch und rechnerisch bedeutet.

1. Berechnung des Funktionswertes an der Berührstelle: \(f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 2 = 0\). Der Berührpunkt ist \(P(1|0)\). 2. Bestimmung der ersten Ableitung: \(f'(x) = 3x^2 - 6x\). 3. Berechnung der Tangentensteigung: \(m = f'(1) = 3 \cdot 1^2 - 6 \cdot 1 = -3\). 4. Aufstellen der Tangentengleichung mit der Punkt-Steigungs-Form: \(y = -3 \cdot (x - 1) + 0\). 5. Vereinfachen der Gleichung: \(y = -3x + 3\).

\(t(x) = -3x + 3\)

- Welche Informationen benötigst du, um die Gleichung einer Geraden eindeutig festzulegen? - Wie lässt sich die Steigung der Kurve in einem bestimmten Punkt mithilfe der Ableitung berechnen? - Welche Koordinaten hat der Punkt, an dem die Tangente den Graphen berührt? - Wie kannst du die berechnete Steigung und den Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzen?

1. Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x_0 = 2\): \(f(2) = 0{,}5 \cdot 2^4 - 3 \cdot 2^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0\). Der Berührpunkt ist \(P(2 | 0)\). 2. Bestimmung der Ableitungsfunktion: \(f'(x) = 2x^3 - 6x\). 3. Berechnung der Tangentensteigung \(m\): \(m = f'(2) = 2 \cdot 2^3 - 6 \cdot 2 = 16 - 12 = 4\). 4. Aufstellen der Tangentengleichung mit der Punkt-Steigungs-Form oder \(y = mx + n\): \(y = 4 \cdot (x - 2) + 0 = 4x - 8\).

Die Gleichung der Tangente lautet \(t(x) = 4x - 8\).

- Wie hängen die Ableitung einer Funktion an einer Stelle und die Steigung der Tangente dort zusammen? - Welche trigonometrische Beziehung besteht zwischen der Steigung \(m\) einer Geraden und ihrem Steigungswinkel \(\alpha\)? - Denk daran, deinen Taschenrechner auf das Gradmaß (DEG) einzustellen.

1. Bestimmung der ersten Ableitungsfunktion: \(f'(x) = -1{,}5x^2 + 4x\). 2. Berechnung der Tangentensteigung \(m\) an der Stelle \(x_0 = 1\): \(m = f'(1) = -1{,}5 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 = 2{,}5\). 3. Anwendung des Zusammenhangs zwischen Steigung und Steigungswinkel: \(\tan(\alpha) = m\), also \(\tan(\alpha) = 2{,}5\). 4. Berechnung des Winkels mittels der Arkustangens-Funktion: \(\alpha = \arctan(2{,}5) \approx 68{,}2^\circ\).

Der Steigungswinkel beträgt etwa \(68{,}2^\circ\).

- Was bedeutet es mathematisch, wenn zwei Linien „knickfrei“ ineinander übergehen? - Welche Informationen benötigst du, um eine Geradengleichung aufzustellen? - Wie kannst du die Steigung der Kurve an einem bestimmten Punkt berechnen? - Überlege dir, welche Koordinaten der Punkt hat, an dem der Weg die Kurve berührt.

1. Bestimmung des Funktionswerts an der Übergangsstelle \(x = 2\): \(f(2) = -0{,}2 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 + 1 = -0{,}8 + 4 + 1 = 4{,}2\). Der Berührpunkt ist \(P(2 \mid 4{,}2)\). 2. Berechnung der ersten Ableitung zur Bestimmung der Steigung: \(f'(x) = -0{,}4x + 2\). 3. Berechnung der Steigung an der Stelle \(x = 2\): \(m = f'(2) = -0{,}4 \cdot 2 + 2 = 1{,}2\). 4. Aufstellen der Geradengleichung \(y = m \cdot x + b\) mit \(m = 1{,}2\) und dem Punkt \(P(2 \mid 4{,}2)\): \(4{,}2 = 1{,}2 \cdot 2 + b \Rightarrow 4{,}2 = 2{,}4 + b \Rightarrow b = 1{,}8\). 5. Die Gleichung der Tangente lautet \(y = 1{,}2x + 1{,}8\).

Die Gleichung der Geraden lautet \(y = 1{,}2x + 1{,}8\).

- Wie hängen die Ableitung an einer Stelle und die Steigung der Tangente zusammen? - Welche allgemeine Formel für eine Geradengleichung kennst du, um die Tangente aufzustellen? - Überlege, welche trigonometrische Beziehung zwischen der Steigung einer Geraden und ihrem Neigungswinkel besteht.

1. Berechnung des Funktionswerts an der Stelle \(x_0 = 3\): \(f(3) = \frac{1}{3} \cdot 3^3 - 3^2 - 2 \cdot 3 = 9 - 9 - 6 = -6\). Der Berührpunkt ist \(P(3 | -6)\). 2. Bestimmung der Ableitungsfunktion: \(f'(x) = x^2 - 2x - 2\). 3. Berechnung der Steigung an der Stelle \(x_0 = 3\): \(m = f'(3) = 3^2 - 2 \cdot 3 - 2 = 1\). 4. Aufstellen der Tangentengleichung mit \(y = m \cdot (x - x_0) + f(x_0)\): \(y = 1 \cdot (x - 3) - 6 = x - 9\). 5. Berechnung des Steigungswinkels \(\alpha\): Aus \(\tan(\alpha) = m = 1\) folgt \(\alpha = \arctan(1) = 45^\circ\).

Die Gleichung der Tangente lautet \(y = x - 9\). Der Steigungswinkel beträgt \(45^\circ\).

- Welche Informationen benötigst du, um eine Geradengleichung aufzustellen? - Wie hängen die Steigung der Tangente und die Ableitung der Funktion zusammen? - Hast du bereits den vollständigen Punkt berechnet, an dem die Tangente den Graphen berührt? - Welche Formel für eine Gerade kennst du, in die du Punkt und Steigung direkt einsetzen kannst?

1. Berechnung des \(y\)-Werts des Berührpunkts: \(f(1) = 1^3 - 4 \cdot 1^2 + 5 = 2\). Der Punkt ist \(P(1 | 2)\). 2. Bestimmung der Ableitungsfunktion: \(f'(x) = 3x^2 - 8x\). 3. Berechnung der Tangentensteigung an der Stelle \(x_0 = 1\): \(m = f'(1) = 3 \cdot 1^2 - 8 \cdot 1 = -5\). 4. Aufstellen der Tangentengleichung mit der Punkt-Steigungs-Form oder durch Einsetzen in \(y = mx + c\): \(2 = -5 \cdot 1 + c \Rightarrow c = 7\). 5. Ergebnis: \(t: y = -5x + 7\).

\(t: y = -5x + 7\)

- Überlege zuerst, wie man den \(y\)-Wert des Punktes berechnet, durch den die Normale verläuft. - Wie hängen die Steigung der Tangente und die Steigung der Normalen in einem Punkt zusammen? - Erinnere dich an die allgemeine Form einer Geradengleichung \(y = m \cdot x + c\). - Du kannst die Punkt-Steigungs-Form nutzen, sobald du die Steigung der Normalen und den Punkt kennst.

1. Berechnung des \(y\)-Werts des Berührpunkts: \(f(3) = 3^2 - 4 \cdot 3 + 1 = 9 - 12 + 1 = -2\). Der Punkt ist \(P(3 | -2)\). 2. Berechnung der Ableitung: \(f'(x) = 2x - 4\). 3. Berechnung der Tangentensteigung an der Stelle \(x_0 = 3\): \(m_t = f'(3) = 2 \cdot 3 - 4 = 2\). 4. Bestimmung der Normalensteigung: \(m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{2} = -0{,}5\). 5. Aufstellen der Normalengleichung mit der Punkt-Steigungs-Form: \(n(x) = -0{,}5 \cdot (x - 3) - 2\). 6. Vereinfachen der Gleichung: \(n(x) = -0{,}5x + 1{,}5 - 2 = -0{,}5x - 0{,}5\).

\(n(x) = -0{,}5x - 0{,}5\)

- Was muss für die Funktionswerte an einer Stelle gelten, damit sich zwei Graphen dort treffen? - Welche Bedingung muss für die Ableitungen an dieser Stelle erfüllt sein, damit man von „Berühren“ statt nur von einem „Schnittpunkt“ spricht? - Erinnere dich an die allgemeine Punkt-Steigungs-Form einer Geradengleichung.

1. Zur Überprüfung des Berührens müssen Funktionswert und Steigung an der Stelle \(x_0 = 1\) übereinstimmen. Es gilt \(f(1) = 1^2 + 1 + 1 = 3\) und \(g(1) = -1^2 + 5 \cdot 1 - 1 = 3\). Da \(f(1) = g(1)\), schneiden sich die Graphen im Punkt \(P(1 | 3)\). Die Ableitungen lauten \(f'(x) = 2x + 1\) und \(g'(x) = -2x + 5\). An der Stelle \(x_0 = 1\) ergeben sich die Steigungen \(f'(1) = 2 \cdot 1 + 1 = 3\) und \(g'(1) = -2 \cdot 1 + 5 = 3\). Wegen \(f'(1) = g'(1)\) berühren sich die Graphen. 2. Die Tangentengleichung hat die Form \(t(x) = m \cdot (x - x_0) + y_0\). Mit der Steigung \(m = 3\) und dem Punkt \(P(1 | 3)\) folgt \(t(x) = 3 \cdot (x - 1) + 3\). Dies vereinfacht sich zu \(t(x) = 3x\).

Die Graphen berühren sich im Punkt \(P(1 | 3)\), da \(f(1) = g(1) = 3\) und \(f'(1) = g'(1) = 3\) gilt. Die Gleichung der gemeinsamen Tangente lautet \(t(x) = 3x\).

- Überlege zuerst, welchen y-Wert der Punkt auf dem Graphen an der gegebenen Stelle hat. - Wie hängen die Steigung der Tangente und die Steigung der Normalen in einem Punkt zusammen? - Du benötigst die erste Ableitung, um die Steigung des Graphen zu berechnen. - Setze die Steigung und die Koordinaten des Punktes in die allgemeine Geradengleichung ein.

1. Berechnung des Funktionswerts an der Stelle \(x_0 = 2\): \(f(2) = \frac{1}{2} \cdot 2^3 - 2 \cdot 2 = 4 - 4 = 0\). Der Berührpunkt ist \(P(2 | 0)\). 2. Bestimmung der Ableitungsfunktion: \(f'(x) = \frac{3}{2}x^2 - 2\). 3. Berechnung der Tangentensteigung an der Stelle \(x_0 = 2\): \(m_t = f'(2) = \frac{3}{2} \cdot 2^2 - 2 = 6 - 2 = 4\). 4. Bestimmung der Normalensteigung: \(m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{4} = -0{,}25\). 5. Aufstellen der Normalengleichung unter Verwendung des Punktes \(P(2 | 0)\): \(n(x) = -0{,}25 \cdot (x - 2) + 0 = -0{,}25x + 0{,}5\).

Die Gleichung der Normalen lautet \(n(x) = -0{,}25x + 0{,}5\).

- Was musst du berechnen, um den Berührpunkt einer Tangente zu finden, wenn nur die x-Koordinate gegeben ist? - Welche Beziehung besteht zwischen den Steigungen zweier Geraden, die senkrecht aufeinander stehen? - Wie berechnet man allgemein die Nullstelle einer linearen Funktion?

1. Funktionswert an der Stelle \(x = 4\): \(f(4) = \frac{1}{4} \cdot 4^2 - 4 - 3 = 4 - 4 - 3 = -3\). Berührpunkt ist \(B(4 | -3)\). Ableitung: \(f'(x) = \frac{1}{2}x - 1\). Steigung der Tangente: \(m_t = f'(4) = \frac{1}{2} \cdot 4 - 1 = 1\). Gleichung der Tangente: \(y = 1 \cdot (x - 4) - 3\), also \(t: y = x - 7\). 2. Für die Steigung \(m_n\) der Normalen gilt \(m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{1} = -1\). Die Normale verläuft durch \(B(4 | -3)\). Gleichung der Normalen: \(y = -1 \cdot (x - 4) - 3 = -x + 4 - 3\), also \(n: y = -x + 1\). 3. Schnittpunkt von \(t\) mit der \(x\)-Achse: Setze \(y = 0\) in \(y = x - 7\) ein. Es folgt \(0 = x - 7 \Rightarrow x = 7\). Der Schnittpunkt ist \(S(7 | 0)\).

1. \(t: y = x - 7\) 2. \(n: y = -x + 1\) 3. \(S(7 | 0)\)

- Welche Information über die Steigung der Tangente liefert die parallele Gerade? - Wie hängen die Steigung der Tangente und die Ableitung der Funktion zusammen? - An welcher Stelle hat die Funktion die gesuchte Steigung? - Wie lautet die allgemeine Form einer Geradengleichung?

1. Ableitungsfunktion bestimmen: \(f'(x) = 0{,}5x + 1\). 2. Bedingung für Parallelität nutzen (gleiche Steigung): \(f'(x) = 2\). 3. Berührstelle \(x_0\) berechnen: \(0{,}5x + 1 = 2 \implies 0{,}5x = 1 \implies x_0 = 2\). 4. \(y\)-Koordinate des Berührpunktes berechnen: \(f(2) = 0{,}25 \cdot 2^2 + 2 - 3 = 0\). 5. Tangentengleichung mit \(m = 2\) und \(P(2 | 0)\) aufstellen: \(y = 2 \cdot (x - 2) + 0\), vereinfacht zu \(y = 2x - 4\).

\(y = 2x - 4\)

- Wie kannst du überprüfen, ob ein Punkt auf einem Graphen liegt? - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle zu berechnen? - Was bedeutet es für die Ableitungsfunktion, wenn eine bestimmte Steigung vorgegeben ist? - Hängt die Steigung an jeder Stelle vom Parameter ab oder gibt es Ausnahmen?

1. Einsetzen des Punktes \(P(2 | 5)\) in die Funktionsgleichung: \(5 = a \cdot 2^2 - 4 \cdot 2 + 1\). Daraus folgt \(5 = 4a - 7\), also \(4a = 12\) und somit \(a = 3\). 2. Die Ableitungsfunktion lautet \(f_a'(x) = 2ax - 4\). Die Steigung an der Stelle \(x = 0\) ergibt sich durch Einsetzen: \(f_a'(0) = 2a \cdot 0 - 4 = -4\). 3. Die Bedingung für die Steigung an der Stelle \(x = 1\) lautet \(f_a'(1) = 10\). Einsetzen in die Ableitung ergibt \(2a \cdot 1 - 4 = 10\). Umformen führt zu \(2a = 14\), also \(a = 7\).

a) \(a = 3\) b) \(m = -4\) c) \(a = 7\)

- Wie hängen die erste Ableitung einer Funktion und die Steigung der Tangente zusammen? - Welche trigonometrische Funktion stellt die Verbindung zwischen einer Steigung und einem Winkel her? - Welche Informationen benötigst du, um eine Geradengleichung aufzustellen? - Erinnere dich an die allgemeine Form einer linearen Funktion \(y = m \cdot x + n\).

1. Die Ableitung der Funktion lautet \(f'(x) = -x\). Die Steigung an der Stelle \(x_0 = 1\) ergibt sich durch Einsetzen: \(m = f'(1) = -1\). 2. Der Zusammenhang zwischen Steigung \(m\) und Neigungswinkel \(\alpha\) ist durch \(m = \tan(\alpha)\) gegeben. Aus \(\tan(\alpha) = -1\) folgt für den Winkel im Bereich \([0^\circ; 180^\circ)\) der Wert \(\alpha = 135^\circ\). 3. Der Funktionswert an der Stelle \(x_0 = 1\) ist \(f(1) = -\frac{1}{2} \cdot 1^2 + 3 = 2{,}5\). Der Berührpunkt ist somit \(B(1|2{,}5)\). Mit der Punkt-Steigungs-Form \(y = m \cdot (x - x_0) + y_0\) ergibt sich: \(t(x) = -1 \cdot (x - 1) + 2{,}5 = -x + 1 + 2{,}5 = -x + 3{,}5\).

1. Die Steigung beträgt \(m = -1\). 2. Der Neigungswinkel beträgt \(\alpha = 135^\circ\). 3. Die Tangentengleichung lautet \(t(x) = -x + 3{,}5\).

- Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer Stelle \(a\)? - Welche Information liefert die erste Ableitung der Funktion für die Tangente? - Wie kannst du den \(y\)-Wert des Berührpunktes berechnen? - Setze die Ausdrücke für die Steigung und den Punkt in die Geradengleichung ein und fasse zusammen.

1. Bestimmung der Ableitungsfunktion von \(f(x) = 2x^2 - 5x\) mithilfe der Potenz- und Summenregel: \(f'(x) = 4x - 5\). 2. Berechnung der Steigung der Tangente an der Stelle \(a\): \(m = f'(a) = 4a - 5\). 3. Bestimmung des Funktionswertes an der Stelle \(a\): \(f(a) = 2a^2 - 5a\). 4. Aufstellen der Tangentengleichung mithilfe der Punkt-Steigungs-Form \(y = f'(a) \cdot (x - a) + f(a)\): \(y = (4a - 5) \cdot (x - a) + 2a^2 - 5a\) 5. Vereinfachen der Gleichung: \(y = (4a - 5)x - a(4a - 5) + 2a^2 - 5a\) \(y = (4a - 5)x - 4a^2 + 5a + 2a^2 - 5a\) \(y = (4a - 5)x - 2a^2\)

\(t_a: y = (4a - 5)x - 2a^2\)

- Was bedeutet es für die Steigung zweier Geraden, wenn diese parallel zueinander verlaufen? - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle zu berechnen? - Wie kannst du die Stelle finden, an der die Kurve genau die gesuchte Steigung besitzt? - Wenn du die Steigung und einen Punkt auf der Geraden kennst, wie berechnest du dann den Achsenabschnitt?

1. Bestimmung der Steigung der gegebenen Geraden \(g\): Da die Tangente parallel zu \(g\) sein soll, muss ihre Steigung \(m = 2\) betragen. 2. Ableitung der Funktion \(f\): \(f'(x) = 2x + 4\). 3. Bestimmung der \(x\)-Koordinate des Berührpunkts durch Gleichsetzen der Ableitung mit der Zielsteigung: \(2x + 4 = 2 \implies 2x = -2 \implies x = -1\). 4. Berechnung der \(y\)-Koordinate des Berührpunkts: \(f(-1) = (-1)^2 + 4 \cdot (-1) - 5 = 1 - 4 - 5 = -8\). Der Berührpunkt ist \(B(-1|-8)\). 5. Aufstellen der Tangentengleichung mit \(y = m \cdot x + n\): \(-8 = 2 \cdot (-1) + n \implies -8 = -2 + n \implies n = -6\). 6. Ergebnis: Die Tangentengleichung lautet \(t(x) = 2x - 6\).

\(t(x) = 2x - 6\)

- Wie hängen die Steigung der Tangente und die Ableitung der Funktion zusammen? - Kennst du eine Formel, um eine Geradengleichung aufzustellen, wenn ein Punkt und die Steigung bekannt sind? - Überlege, welche trigonometrische Funktion das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete im Steigungsdreieck beschreibt.

1. Zunächst wird der Funktionswert an der Stelle \(x_0 = 4\) berechnet: \(f(4) = \frac{1}{8} \cdot 4^2 = \frac{16}{8} = 2\). Der Berührpunkt ist somit \(P(4|2)\). Die Ableitungsfunktion lautet \(f'(x) = \frac{1}{4}x\). Die Steigung der Tangente ergibt sich durch Einsetzen von \(x_0\): \(m = f'(4) = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1\). Mit der Punkt-Steigungs-Formel \(y = m \cdot (x - x_0) + f(x_0)\) folgt: \(y = 1 \cdot (x - 4) + 2 = x - 2\). 2. Die Steigung \(m\) einer Geraden entspricht dem Tangens des Neigungswinkels \(\alpha\). Es gilt \(\tan(\alpha) = m = 1\). Daraus folgt \(\alpha = \arctan(1) = 45^\circ\).

1. Tangentengleichung: \(t: y = x - 2\) 2. Neigungswinkel: \(\alpha = 45^\circ\)

- Wie hängt der Neigungswinkel einer Geraden mit ihrer Steigung zusammen? - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, die Steigung einer Funktion in einem beliebigen Punkt zu bestimmen? - Denk daran, dass du sowohl den \(x\)-Wert als auch den \(y\)-Wert berechnen musst, um einen Punkt anzugeben. - Überlege, welchen Wert der Tangens für den angegebenen Winkel liefert.

1. Zusammenhang zwischen Steigungswinkel \(\alpha\) und Steigung \(m\) der Tangente nutzen: \(m = \tan(135^\circ) = -1\). 2. Ableitung der Funktion bestimmen: \(f'(x) = 2x - 5\). 3. Die Stelle \(x\) berechnen, an der die Steigung \(-1\) beträgt: \(2x - 5 = -1 \implies 2x = 4 \implies x = 2\). 4. Den zugehörigen Funktionswert an der Stelle \(x = 2\) berechnen: \(f(2) = 2^2 - 5 \cdot 2 + 2 = 4 - 10 + 2 = -4\). 5. Der gesuchte Punkt ist \(P(2 | -4)\).

\(P(2 | -4)\)

- Wie findet man die gemeinsame Stelle zweier Funktionen? - Welche Information liefert die erste Ableitung für die Tangente? - Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangente an einer bestimmten Stelle? - Kannst du die Eckpunkte des Dreiecks bestimmen, indem du die Achsenschnittpunkte der Tangenten berechnest? - Überlege, welche Seite des Dreiecks am einfachsten als Grundseite verwendet werden kann.

1. Gleichsetzen der Funktionsterme zur Bestimmung des Schnittpunkts: \(x^2 = (x-2)^2 \implies x^2 = x^2 - 4x + 4 \implies 4x = 4 \implies x = 1\). Einsetzen ergibt den Punkt \(P(1|1)\). 2. Ableitungen bilden: \(f'(x) = 2x\) und \(g'(x) = 2(x-2)\). 3. Steigungen in \(P\) berechnen: \(f'(1) = 2\) und \(g'(1) = -2\). 4. Tangentengleichungen aufstellen: \(t_f: y = 2(x-1) + 1 = 2x - 1\) und \(t_g: y = -2(x-1) + 1 = -2x + 3\). 5. Schnittpunkte der Tangenten mit der \(x\)-Achse (\(y=0\)): \(0 = 2x - 1 \implies x_1 = 0{,}5\) und \(0 = -2x + 3 \implies x_2 = 1{,}5\). 6. Flächeninhalt des Dreiecks mit der Grundseite auf der \(x\)-Achse (\(g = |1{,}5 - 0{,}5| = 1\)) und der Höhe \(h = y_P = 1\): \(A = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = 0{,}5\).

a) \(P(1|1)\) b) Die Tangenten schneiden die \(x\)-Achse bei \(x_1 = 0{,}5\) und \(x_2 = 1{,}5\). c) Der Flächeninhalt beträgt \(0{,}5\) Flächeneinheiten.

- Wie hängen die Ableitung an einer Stelle und die Steigung der Tangente dort zusammen? - Erinnere dich an die Formel für das Produkt der Steigungen orthogonaler Geraden. - Was erhältst du, wenn du die Steigungsausdrücke in diese Formel einsetzt?

1. Bestimmung der Ableitungen für beide Funktionen: \(f'(x) = 2x\) und \(g'(x) = 2x\). 2. Anwendung der Orthogonalitätsbedingung für die Steigungen an den gegebenen Stellen: \(f'(x_f) \cdot g'(x_g) = -1\). 3. Einsetzen der Terme: \(2x_f \cdot 2x_g = -1\). 4. Zusammenfassen der Gleichung zum gesuchten Zusammenhang: \(4 \cdot x_f \cdot x_g = -1\) bzw. \(x_f = -\frac{1}{4x_g}\).

\(4x_f x_g = -1\) oder \(x_f = -\frac{1}{4x_g}\)

- Welche Informationen benötigst du grundsätzlich, um eine Geradengleichung aufzustellen? - Wie lässt sich die Steigung des Graphen an einer bestimmten Stelle mithilfe der Differentialrechnung ermitteln? - In welchem Zusammenhang stehen die Steigung der Tangente und die Ableitung der Funktion an der Berührstelle? - Hast du den zugehörigen \(y\)-Wert des Punktes bereits berechnet?

1. Berechnung des Funktionswerts an der Stelle \(x_0 = 1\): \(f(1) = 0{,}25 \cdot 1^4 - 2 \cdot 1^2 + 5 = 3{,}25\). Der Berührpunkt ist \(P(1 | 3{,}25)\). 2. Bestimmung der Ableitungsfunktion: \(f'(x) = x^3 - 4x\). 3. Berechnung der Tangentensteigung \(m\): \(m = f'(1) = 1^3 - 4 \cdot 1 = -3\). 4. Aufstellen der Tangentengleichung mit der Punkt-Steigungs-Form: \(y = -3 \cdot (x - 1) + 3{,}25\). 5. Vereinfachen der Gleichung: \(y = -3x + 6{,}25\).

\(y = -3x + 6{,}25\)

- Wie kannst du mathematisch ausdrücken, dass ein Punkt für jeden beliebigen Wert des Parameters \(a\) auf dem Graphen liegt? - Was passiert mit dem Term, der den Parameter enthält, wenn du die \(x\)-Koordinate des gemeinsamen Punktes einsetzt? - Wie berechnet man die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle? - Welche Bedingung muss für die Ableitungsfunktion gelten, damit die Steigung nicht mehr vom Parameter abhängt?

1. Zur Bestimmung des gemeinsamen Punktes wird der Ansatz \(f_{a_1}(x) = f_{a_2}(x)\) für \(a_1 \neq a_2\) gewählt: \(a_1(x-5)^2 + 3x = a_2(x-5)^2 + 3x\). Dies führt auf \((a_1 - a_2)(x-5)^2 = 0\), woraus \(x = 5\) folgt. 2. Einsetzen von \(x = 5\) in die Funktionsgleichung ergibt den Funktionswert \(f_a(5) = a(5-5)^2 + 3 \cdot 5 = 15\). Alle Graphen verlaufen somit durch den Punkt \(P(5|15)\). 3. Die Ableitungsfunktion der Schar lautet \(f_a'(x) = 2a(x-5) + 3\). 4. Die Steigung an der Stelle \(x = 5\) ergibt sich zu \(f_a'(5) = 2a(5-5) + 3 = 3\). Da dieser Wert unabhängig vom Parameter \(a\) ist, besitzen alle Graphen im Punkt \(P\) dieselbe Steigung \(m = 3\).

Alle Graphen der Schar schneiden sich im Punkt \(P(5|15)\). Die Steigung an dieser Stelle beträgt für alle Graphen einheitlich \(f_a'(5) = 3\).

- Welche Eigenschaft haben die Steigungen von zwei Geraden, die parallel zueinander verlaufen? - Woher bekommt man die Steigung der Geraden \(h\)? - Welche Informationen benötigst du, um die Gleichung einer linearen Funktion (Tangente) aufzustellen?

1. Ableitung bilden: \(g'(x) = x - 3\). 2. Da die Tangente parallel zur Geraden \(h\) sein soll, müssen die Steigungen identisch sein. Die Steigung von \(h\) ist \(m = 2\). 3. Ansatz für die Stelle \(b\): \(g'(b) = 2\). 4. Gleichung lösen: \(b - 3 = 2 \Rightarrow b = 5\). 5. Funktionswert berechnen: \(g(5) = \frac{1}{2} \cdot 5^2 - 3 \cdot 5 = 12{,}5 - 15 = -2{,}5\). Der Punkt ist \(B(5|-2{,}5)\). 6. Tangentengleichung mit \(m = 2\) und \(B(5|-2{,}5)\) aufstellen: \(y = 2 \cdot (x - 5) - 2{,}5\). 7. Vereinfachen: \(y = 2x - 10 - 2{,}5 = 2x - 12{,}5\).

a) \(g'(x) = x - 3\) b) \(B(5|-2{,}5)\) c) \(y = 2x - 12{,}5\)

- Was sagt der Wert der Ableitungsfunktion an einer bestimmten Stelle über den Graphen aus? - Wenn zwei Geraden parallel sind, was weißt du dann über ihre Steigungen? - Wie hängen der Funktionswert und der Ableitungswert mit der Geradengleichung einer Tangente zusammen? - Um einen Punkt auf dem Graphen anzugeben, benötigst du sowohl den x-Wert als auch den y-Wert.

1. Einsetzen der Stellen in die Ableitungsfunktion: \(f'(-1) = 3 \cdot (-1)^2 - 12 = -9\) und \(f'(3) = 3 \cdot 3^2 - 12 = 15\). 2. Lösen der Gleichung \(f'(x_0) = 15\): \(3x_0^2 - 12 = 15 \Rightarrow 3x_0^2 = 27 \Rightarrow x_0^2 = 9\). Die Lösungen sind \(x_{0,1} = 3\) und \(x_{0,2} = -3\). 3. Die Steigung der parallelen Tangente muss \(m = -9\) sein. Gleichsetzen mit der Ableitung: \(3x^2 - 12 = -9 \Rightarrow 3x^2 = 3 \Rightarrow x^2 = 1\), also \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\). Die zugehörigen Funktionswerte sind \(f(1) = 1^3 - 12 \cdot 1 + 5 = -6\) und \(f(-1) = (-1)^3 - 12 \cdot (-1) + 5 = 16\). Die Punkte sind \(P_1(1|-6)\) und \(P_2(-1|16)\). 4. Bestimmung der Tangentengleichung \(y = f'(0) \cdot (x - 0) + f(0)\): Es gilt \(f(0) = 5\) und \(f'(0) = -12\). Die Gleichung lautet \(y = -12x + 5\).

a) \(f'(-1) = -9\) und \(f'(3) = 15\) b) \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\) c) \(P_1(1|-6)\) und \(P_2(-1|16)\) d) \(y = -12x + 5\)

- Wie kannst du die Steigung an einer Stelle berechnen, wenn die Ableitungsfunktion bekannt ist? - Welche Gleichung musst du lösen, um Stellen mit einer vorgegebenen Steigung zu finden? - Erinnere dich daran, dass die Steigung einer linearen Funktion \(y = mx + b\) durch den Faktor vor dem \(x\) gegeben ist. - Vergiss nicht, am Ende die y-Koordinaten der Punkte zu berechnen, indem du die x-Werte in die Ausgangsfunktion einsetzt.

1. Berechnung der Ableitungswerte: \(g'(-2) = (-2)^2 + 2 \cdot (-2) - 3 = 4 - 4 - 3 = -3\) und \(g'(1) = 1^2 + 2 \cdot 1 - 3 = 0\). 2. Bestimmung der Stellen mit Steigung 5: \(x^2 + 2x - 3 = 5 \Rightarrow x^2 + 2x - 8 = 0\). Mit der p-q-Formel oder Faktorisierung \((x+4)(x-2)=0\) ergeben sich \(x_1 = -4\) und \(x_2 = 2\). 3. Parallelität zur Geraden \(y = -3x + 10\) bedeutet \(g'(x) = -3\). Also \(x^2 + 2x - 3 = -3 \Rightarrow x^2 + 2x = 0 \Rightarrow x(x + 2) = 0\). Die Stellen sind \(x_3 = 0\) und \(x_4 = -2\). Die zugehörigen Funktionswerte sind \(g(0) = 0\) und \(g(-2) = \frac{1}{3}(-2)^3 + (-2)^2 - 3(-2) = -\frac{8}{3} + 4 + 6 = \frac{22}{3}\). Die gesuchten Punkte sind \(Q_1(0|0)\) und \(Q_2(-2|\frac{22}{3})\).

a) \(g'(-2) = -3\) und \(g'(1) = 0\) b) \(x_1 = -4\) und \(x_2 = 2\) c) \(Q_1(0|0)\) und \(Q_2(-2|\frac{22}{3})\)

- Bestimme zuerst den Punkt auf dem Graphen, durch den die Normale verlaufen soll. - Wie hängen die Steigung der Tangente und die Steigung der Normalen in demselben Punkt zusammen? - Welches Werkzeug nutzt du, um die lokale Steigung der Funktion zu berechnen? - Setze die gefundenen Werte für die Steigung und den Punkt in die allgemeine Geradengleichung ein.

1. Berechnung des Funktionswertes: \(f(4) = 0{,}5 \cdot 4^2 - 2 \cdot 4 + 4 = 8 - 8 + 4 = 4\). Der Punkt auf dem Graphen ist \(P(4|4)\). 2. Bestimmung der Ableitungsfunktion: \(f'(x) = x - 2\). 3. Berechnung der Tangentensteigung: \(m_t = f'(4) = 4 - 2 = 2\). 4. Bestimmung der Normalensteigung über die Bedingung \(m_n = -\frac{1}{m_t}\): \(m_n = -\frac{1}{2} = -0{,}5\). 5. Aufstellen der Normalengleichung: \(y = -0{,}5 \cdot (x - 4) + 4\). 6. Zusammenfassen der Gleichung: \(y = -0{,}5x + 6\).

\(n(x) = -0{,}5x + 6\)

- Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer bestimmten Stelle? - Welche Informationen benötigst du, um eine Gerade eindeutig zu beschreiben? - Wie hängen die Ableitung der Funktion und die Steigung der Tangente zusammen? - Was ist die Bedingung dafür, dass ein Punkt auf der \(x\)-Achse liegt?

1. Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x = 3\): \(f(3) = \frac{1}{2} \cdot 3^2 - 2 \cdot 3 + 1 = 4{,}5 - 6 + 1 = -0{,}5\). Somit ist der Berührpunkt \(P(3 \mid -0{,}5)\). 2. Bestimmung der Ableitungsfunktion: \(f'(x) = x - 2\). 3. Berechnung der Steigung der Tangente im Punkt \(P\): \(m = f'(3) = 3 - 2 = 1\). 4. Aufstellen der Tangentengleichung \(y = m \cdot (x - x_P) + y_P\): \(y = 1 \cdot (x - 3) - 0{,}5 = x - 3{,}5\). 5. Berechnung des Schnittpunktes mit der \(x\)-Achse (Nullstelle der Tangente): \(x - 3{,}5 = 0 \implies x = 3{,}5\). 6. Angabe des Schnittpunktes: \(S(3{,}5 \mid 0)\).

\(S(3{,}5 \mid 0)\)

- Bestimme zuerst den Punkt auf dem Graphen, an dem die Tangente anliegt. - Überlege, wie du die Steigung der Tangente mithilfe der Ableitungsfunktion berechnen kannst. - Stelle die Funktionsgleichung der Tangente auf. - Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse haben immer eine bestimmte Koordinate, die null ist. Welche ist das?

1. Ermittlung des Berührpunktes \(Q(1 \mid g(1))\): \(g(1) = 1^3 - 4 \cdot 1 = -3\). 2. Bildung der ersten Ableitung: \(g'(x) = 3x^2 - 4\). 3. Berechnung der Tangentensteigung an der Stelle \(x = 1\): \(m = g'(1) = 3 \cdot 1^2 - 4 = -1\). 4. Aufstellen der Geradengleichung für die Tangente: \(y = -1 \cdot (x - 1) + (-3) = -x + 1 - 3 = -x - 2\). 5. Bestimmung des Schnittpunktes mit der \(x\)-Achse durch Nullsetzen von \(y\): \(0 = -x - 2 \implies x = -2\). 6. Der gesuchte Punkt ist \(S(-2 \mid 0)\).

\(S(-2 \mid 0)\)

- Was unterscheidet eine Normale von einer Tangente im selben Punkt? - Wie hängen die Steigungen zweier Geraden zusammen, die rechtwinklig aufeinander stehen? - Hast du zuerst die Steigung der Tangente an dieser Stelle bestimmt? - Wie kannst du aus der Tangentensteigung die Steigung der Normalen ableiten?

1. Berechnung der \(y\)-Koordinate des Punktes \(P\): \(f(4) = \frac{1}{2} \cdot 4^2 - 3 \cdot 4 + 1 = 8 - 12 + 1 = -3\). Der Punkt ist \(P(4 | -3)\). 2. Bestimmung der Ableitungsfunktion: \(f'(x) = x - 3\). 3. Berechnung der Tangentensteigung an der Stelle \(x = 4\): \(f'(4) = 4 - 3 = 1\). 4. Bestimmung der Normalensteigung \(m_n\): Da die Normale senkrecht auf der Tangente steht, gilt \(m_n = -\frac{1}{f'(4)} = -\frac{1}{1} = -1\). 5. Aufstellen der Normalengleichung: \(y = -1 \cdot (x - 4) + (-3) = -x + 4 - 3 = -x + 1\).

Die Gleichung der Normalen lautet \(n(x) = -x + 1\).

- Welchen Wert hat die Steigung einer Geraden, wenn der Steigungswinkel \(135^\circ\) beträgt? - Wie kannst du die Steigung an einer unbekannten Stelle mithilfe der Funktionsgleichung ausdrücken? - Was musst du tun, um die Stelle zu finden, an der eine bestimmte Steigung vorliegt?

1. Bestimmung der Steigung \(m\) aus dem gegebenen Steigungswinkel: \(m = \tan(135^\circ) = -1\). 2. Bildung der ersten Ableitungsfunktion: \(f'(x) = \frac{1}{2}x + 1\). 3. Gleichsetzen der Ableitung mit der berechneten Steigung, da \(f'(x_0) = m\) gelten muss: \(\frac{1}{2}x_0 + 1 = -1\). 4. Lösen der linearen Gleichung nach \(x_0\): \(\frac{1}{2}x_0 = -2\) ergibt \(x_0 = -4\).

Die gesuchte Stelle ist \(x_0 = -4\).

- Überlege dir, welche Bedingung am Boden für die Höhe gilt, um die Stelle des Aufpralls zu finden. - Wie hängen die Steigung einer Kurve an einem Punkt und der Neigungswinkel an dieser Stelle zusammen? - Erinnere dich an die Definition des Steigungswinkels mithilfe einer trigonometrischen Funktion. - Die Ableitung an einer bestimmten Stelle gibt dir die Steigung der Tangente in diesem Punkt an.

1. Bestimmung des Aufprallpunkts: Die Nullstelle der Funktion \(h(x) = -0{,}1x^2 + 0{,}8x + 2\) wird für \(x > 0\) berechnet. Aus \(-0{,}1(x^2 - 8x - 20) = 0\) folgt mit der \(pq\)-Formel \(x = 4 + \sqrt{16 + 20} = 10\). Der Aufprallpunkt liegt bei \(x = 10\). 2. Berechnung der Steigung im Aufprallpunkt: Die Ableitungsfunktion lautet \(h'(x) = -0{,}2x + 0{,}8\). An der Stelle \(x = 10\) ergibt sich die Steigung \(m = h'(10) = -0{,}2 \cdot 10 + 0{,}8 = -1{,}2\). 3. Berechnung des Schnittwinkels: Der Betrag der Steigung entspricht dem Tangens des Winkels \(\alpha\). Es gilt \(\tan(\alpha) = |m| = 1{,}2\). Daraus folgt \(\alpha = \arctan(1{,}2) \approx 50{,}19^\circ\).

Die Kugel trifft in einem Winkel von ca. \(50{,}19^\circ\) auf dem Boden auf.

- Was sagt der Wert der ersten Ableitung über den Verlauf des Graphen an einer bestimmten Stelle aus? - Wie muss die Steigung an einer Stelle sein, damit eine Kurve flach bzw. horizontal verläuft? - Welche mathematische Beziehung besteht zwischen der Steigung \(m\) und dem zugehörigen Winkel?

1. Ableitung der Funktion: Die Ableitungsfunktion ist \(f'(x) = \frac{1}{4}x - 1\). 2. Winkel bei \(x = 0\): Die Steigung an dieser Stelle ist \(m_0 = f'(0) = -1\). Für den Winkel \(\alpha\) gilt \(\tan(\alpha) = |m_0| = 1\). Somit ist \(\alpha = \arctan(1) = 45^\circ\). 3. Nachweis für den Übergang bei \(x = 4\): Die Steigung an der Stelle \(x = 4\) ist \(m_4 = f'(4) = \frac{1}{4} \cdot 4 - 1 = 1 - 1 = 0\). Da die Steigung \(0\) ist, verläuft die Tangente horizontal, was einen knickfreien Übergang in die Bodenfläche bedeutet.

a) Der Winkel beträgt \(45^\circ\). b) Da die Ableitung \(f'(4) = 0\) ist, beträgt die Steigung am Boden null, was einem horizontalen und somit tangentialen Übergang entspricht.

- Eine tangentiale Fortsetzung bedeutet, dass die Gerade dieselbe Steigung und denselben Funktionswert wie die Kurve an dieser Stelle hat. - Bestimme zuerst die Ableitung der gegebenen Funktion. - Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer Stelle \(x_0\)? - Prüfe am Ende, ob deine Gerade tatsächlich durch den Punkt auf der Kurve verläuft.

1. Berechnung des Berührpunkts an der Stelle \(x = 2\): \(g(2) = 2^3 - 4 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2 = 8 - 16 + 10 = 2\). Der Punkt ist \(B(2 \mid 2)\). 2. Bestimmung der Ableitungsfunktion für die lokale Steigung: \(g'(x) = 3x^2 - 8x + 5\). 3. Berechnung der Steigung an der Übergangsstelle: \(m = g'(2) = 3 \cdot 2^2 - 8 \cdot 2 + 5 = 12 - 16 + 5 = 1\). 4. Einsetzen von \(m = 1\) und \(B(2 \mid 2)\) in die allgemeine Geradengleichung \(y = m \cdot (x - x_0) + y_0\): \(y = 1 \cdot (x - 2) + 2 = x - 2 + 2 = x\). 5. Die resultierende Funktionsgleichung ist \(y = x\).

Die Gleichung der Geraden lautet \(y = x\).

- Kannst du aus dem gegebenen Winkel direkt die Steigung der Tangente berechnen? - An welcher Stelle hat die Funktion die berechnete Steigung? Nutze dafür die Ableitungsfunktion. - Vergiss nicht, nach dem Finden der \(x\)-Stelle auch den zugehörigen Funktionswert zu berechnen, um den Punkt vollständig anzugeben.

1. Bestimmung der Steigung \(m\) aus dem Steigungswinkel \(\alpha = 135^\circ\): \(m = \tan(135^\circ) = -1\). 2. Bildung der ersten Ableitung: \(f'(x) = 2x - 4\). 3. Bestimmung der \(x\)-Koordinate des Berührpunktes durch Gleichsetzen der Ableitung mit der Steigung: \(2x - 4 = -1 \implies 2x = 3 \implies x = 1{,}5\). 4. Berechnung der \(y\)-Koordinate: \(f(1{,}5) = 1{,}5^2 - 4 \cdot 1{,}5 + 2 = 2{,}25 - 6 + 2 = -1{,}75\). Der Berührpunkt ist \(B(1{,}5 | -1{,}75)\). 5. Aufstellen der Tangentengleichung: \(y = -1 \cdot (x - 1{,}5) - 1{,}75 = -x + 1{,}5 - 1{,}75 = -x - 0{,}25\).

Der Berührpunkt ist \(B(1{,}5 | -1{,}75)\) und die Tangentengleichung lautet \(y = -x - 0{,}25\).

- Was bedeutet es für die Steigungen zweier Geraden, wenn diese parallel zueinander verlaufen? - Wie kannst du mithilfe der Ableitung die Stelle finden, an der eine bestimmte Steigung vorliegt? - Vergiss nicht, auch den Funktionswert an der gefundenen Stelle zu berechnen, um den Berührpunkt zu erhalten. - Wie gehst du vor, wenn du die Steigung und einen Punkt der Tangente kennst?

1. Identifikation der geforderten Steigung: Da die Tangente parallel zu \(g\) sein soll, muss ihre Steigung \(m = 2\) betragen. 2. Bestimmung der Ableitungsfunktion: \(h'(x) = x - 3\). 3. Berechnung der Stelle \(x_B\): Ansatz \(h'(x_B) = 2 \Rightarrow x_B - 3 = 2 \Rightarrow x_B = 5\). 4. Berechnung des Funktionswerts an der Stelle \(x_B = 5\): \(h(5) = \frac{1}{2} \cdot 5^2 - 3 \cdot 5 + 4 = 12{,}5 - 15 + 4 = 1{,}5\). Der Berührpunkt ist \(B(5 | 1{,}5)\). 5. Aufstellen der Tangentengleichung: \(1{,}5 = 2 \cdot 5 + c \Rightarrow c = -8{,}5\). 6. Ergebnis: \(s: y = 2x - 8{,}5\).

Berührpunkt \(B(5 | 1{,}5)\), Tangentengleichung \(s: y = 2x - 8{,}5\)

- Bestimme zunächst die Steigung des Graphen an der gegebenen Stelle mithilfe der Ableitung. - Die Normale steht senkrecht auf der Tangente. Was bedeutet das für das Produkt ihrer Steigungen? - Setze die gefundenen Werte in die Geradengleichung ein, um den Achsenabschnitt zu finden.

1. Berechnung der \(y\)-Koordinate von \(P\): \(f(2) = \frac{1}{4} \cdot 2^3 + 2 = \frac{8}{4} + 2 = 4\). Somit ist \(P(2 | 4)\). 2. Ableitungsfunktion bilden: \(f'(x) = \frac{3}{4}x^2 + 1\). 3. Tangentensteigung in \(P\) berechnen: \(m_t = f'(2) = \frac{3}{4} \cdot 2^2 + 1 = 3 + 1 = 4\). 4. Normalensteigung bestimmen: Da \(m_n \cdot m_t = -1\), folgt \(m_n = -\frac{1}{4} = -0{,}25\). 5. Normalengleichung aufstellen: \(y = -0{,}25 \cdot (x - 2) + 4\). 6. Ausmultiplizieren und zusammenfassen: \(n(x) = -0{,}25x + 0{,}5 + 4 = -0{,}25x + 4{,}5\).

\(n(x) = -0{,}25x + 4{,}5\)

- Wie findest du den y-Wert des Punktes, wenn nur die x-Koordinate gegeben ist? - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, die Steigung einer Kurve in einem Punkt zu bestimmen? - Erinnerst du dich an den Zusammenhang zwischen den Steigungen zweier Geraden, die senkrecht aufeinander stehen? - Wie hängen der Steigungswinkel einer Geraden und ihre Steigung zusammen?

1. Berechnung des Funktionswertes: \(f(4) = 0{,}5 \cdot 4^2 - 2 \cdot 4 = 8 - 8 = 0\). Der Berührpunkt ist \(P(4|0)\). 2. Bestimmung der Ableitung: \(f'(x) = x - 2\). 3. Berechnung der Tangentensteigung: \(m_t = f'(4) = 4 - 2 = 2\). 4. Aufstellen der Tangentengleichung: \(t(x) = 2 \cdot (x - 4) + 0 = 2x - 8\). 5. Berechnung der Normalensteigung: \(m_n = -\frac{1}{m_t} = -0{,}5\). 6. Aufstellen der Normalengleichung: \(n(x) = -0{,}5 \cdot (x - 4) + 0 = -0{,}5x + 2\). 7. Berechnung der Steigungswinkel: \(\alpha_t = \arctan(2) \approx 63{,}43^\circ\) und \(\alpha_n = \arctan(-0{,}5) + 180^\circ \approx 153{,}43^\circ\).

Tangente: \(t(x) = 2x - 8\) Normale: \(n(x) = -0{,}5x + 2\) Steigungswinkel: \(\alpha_t \approx 63{,}43^\circ\); \(\alpha_n \approx 153{,}43^\circ\)

- Setze die x-Koordinate in die Funktionsgleichung ein, um den vollständigen Punkt zu erhalten. - Die Steigung der Tangente entspricht dem Wert der ersten Ableitung an dieser Stelle. - Nutze die Punkt-Steigungs-Form, um die Geradengleichungen aufzustellen. - Denk an die Beziehung \(\tan(\alpha) = m\) für den Steigungswinkel.

1. Berechnung des y-Wertes: \(f(2) = -\frac{1}{4} \cdot 2^3 + 2 \cdot 2 = -2 + 4 = 2\). Der Punkt ist \(P(2|2)\). 2. Ableitungsfunktion bilden: \(f'(x) = -\frac{3}{4}x^2 + 2\). 3. Tangentensteigung ermitteln: \(m_t = f'(2) = -\frac{3}{4} \cdot 4 + 2 = -3 + 2 = -1\). 4. Tangentengleichung: \(y = -1 \cdot (x - 2) + 2 = -x + 4\). 5. Normalensteigung ermitteln: \(m_n = -\frac{1}{-1} = 1\). 6. Normalengleichung: \(y = 1 \cdot (x - 2) + 2 = x\). 7. Steigungswinkel berechnen: \(\alpha_t = \arctan(-1) = 135^\circ\) (da \(-45^\circ + 180^\circ = 135^\circ\)) und \(\alpha_n = \arctan(1) = 45^\circ\).

Tangente: \(y = -x + 4\) Normale: \(y = x\) Steigungswinkel: \(\alpha_t = 135^\circ\); \(\alpha_n = 45^\circ\)

- Überlege, welche Form die Gleichung einer Geraden hat, die den Graphen in einem Punkt nur berührt. - Wie hängen die Steigung der Geraden und die Ableitung der Funktion im Berührpunkt zusammen? - Du suchst eine Gerade, die durch einen festen Punkt außerhalb des Graphen geht und gleichzeitig eine Tangente ist. - Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes in deine allgemeine Geradengleichung ein.

1. Ableitungsfunktion bestimmen: \(f'(x) = \frac{1}{4}x\). 2. Allgemeine Tangentengleichung an der Stelle \(u\) aufstellen: \(t(x) = f'(u) \cdot (x - u) + f(u) = \frac{1}{4}u \cdot (x - u) + \frac{1}{8}u^2 + 2\). 3. Vereinfachung der Tangentengleichung: \(t(x) = \frac{1}{4}ux - \frac{1}{8}u^2 + 2\). 4. Bedingung für den Punkt \(O(0|0)\) einsetzen: \(0 = \frac{1}{4}u \cdot 0 - \frac{1}{8}u^2 + 2 \implies 0 = -\frac{1}{8}u^2 + 2\). 5. Gleichung nach \(u\) auflösen: \(u^2 = 16 \implies u = 4\) (da \(x > 0\)). 6. \(y\)-Koordinate berechnen: \(f(4) = \frac{1}{8} \cdot 4^2 + 2 = 4\). 7. Steigung berechnen: \(f'(4) = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1\).

Der Berührpunkt ist \(B(4|4)\) und die Steigung des Lichtstrahls beträgt \(m = 1\).

- Überlege zuerst, wo die Schnittpunkte der Parabel mit der \(x\)-Achse liegen. - Wie hängen die Steigungen der Tangenten mit der Ableitungsfunktion zusammen? - Der Schnittpunkt der Tangenten bildet die Spitze des Dreiecks. Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Dreiecks, wenn eine Seite auf einer Achse liegt? - Nutze die Symmetrie der Parabel, um die Lage des Schnittpunkts \(S\) leichter zu finden.

1. Bestimmung der Nullstellen von \(f_k\): \(x^2 - kx = x(x-k) = 0\) liefert \(x_1 = 0\) und \(x_2 = k\), also \(A(k|0)\). 2. Berechnung der Ableitung: \(f_k'(x) = 2x - k\). 3. Bestimmung der Tangentensteigungen: Im Ursprung ist \(m_1 = f_k'(0) = -k\), im Punkt \(A\) ist \(m_2 = f_k'(k) = 2k - k = k\). 4. Aufstellen der Tangentengleichungen: \(t_1: y = -kx\) und \(t_2: y = k(x-k) = kx - k^2\). 5. Berechnung des Schnittpunkts \(S\): Gleichsetzen \(-kx = kx - k^2\) ergibt \(2kx = k^2\), also \(x_S = \frac{k}{2}\). Einsetzen liefert \(y_S = -k \cdot \frac{k}{2} = -\frac{k^2}{2}\). Somit ist \(S(\frac{k}{2} | -\frac{k^2}{2})\). 6. Berechnung des Flächeninhalts: Die Grundseite \(OA\) hat die Länge \(k\), die zugehörige Höhe des Dreiecks ist \(h = |y_S| = \frac{k^2}{2}\). Die Fläche ist \(A = \frac{1}{2} \cdot k \cdot \frac{k^2}{2} = \frac{k^3}{4}\). 7. Lösung der Gleichung \(\frac{k^3}{4} = 16\): \(k^3 = 64\) führt zu \(k = 4\).

\(k = 4\)

- Welche mathematische Bedingung muss für die Steigungen zweier Geraden erfüllt sein, damit sie senkrecht aufeinander stehen? - Bestimme zunächst die Ableitung der Funktion, um die Steigungen an den gegebenen Stellen auszudrücken. - Setze die Ausdrücke für die Steigungen in die Bedingung für Rechtwinkligkeit ein und löse nach dem Parameter auf. - Achte darauf, dass nur positive Werte für den Parameter gesucht sind.

1. Berechnung der Ableitung der Funktionenschar: \(f_k'(x) = 2kx\). 2. Bestimmung der Steigungen der Tangenten in den Schnittpunkten mit der \(x\)-Achse: In \(P(-2|0)\) gilt \(m_1 = f_k'(-2) = -4k\). In \(Q(2|0)\) gilt \(m_2 = f_k'(2) = 4k\). 3. Da die Tangenten die Seiten \(PS\) und \(QS\) des Dreiecks bilden, muss für einen rechten Winkel bei \(S\) die Orthogonalitätsbedingung für die Steigungen erfüllt sein: \(m_1 \cdot m_2 = -1\). 4. Aufstellen und Lösen der Gleichung: \((-4k) \cdot (4k) = -1\) führt zu \(-16k^2 = -1\). 5. Umstellen nach \(k^2\): \(k^2 = \frac{1}{16}\). 6. Da laut Voraussetzung \(k > 0\) gilt, ergibt sich durch Wurzelziehen \(k = \frac{1}{4} = 0{,}25\).

\(k = 0{,}25\) (oder \(k = \frac{1}{4}\))

- Wie hängen die Steigung einer Tangente und die erste Ableitung an einer Stelle zusammen? - Welche Beziehung besteht zwischen den Steigungen einer Tangente und der dazugehörigen Normalen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Steigungswinkel \(\alpha\) und der Steigung \(m\). - Um zu prüfen, ob eine Gerade eine Tangente ist, musst du sowohl den Funktionswert als auch die Steigung an der gegebenen Stelle vergleichen.

1. Ableitung bilden: \(f'(x) = x - 3\). 2. Teilaufgabe a): Funktionswert \(f(4) = \frac{1}{2} \cdot 4^2 - 3 \cdot 4 + 1 = 8 - 12 + 1 = -3\) und Steigung \(f'(4) = 4 - 3 = 1\) berechnen. Tangentengleichung: \(y = 1 \cdot (x - 4) - 3 \Rightarrow y = x - 7\). Steigung der Normalen: \(m_n = -\frac{1}{f'(4)} = -1\). Normalengleichung: \(y = -1 \cdot (x - 4) - 3 \Rightarrow y = -x + 1\). 3. Teilaufgabe b): Der Steigungswinkel \(\alpha = 135^\circ\) entspricht der Steigung \(m = \tan(135^\circ) = -1\). Ansatz \(f'(x) = -1\) führt zu \(x - 3 = -1\), woraus \(x = 2\) folgt. 4. Teilaufgabe c): Funktionswert \(f(2) = \frac{1}{2} \cdot 2^2 - 3 \cdot 2 + 1 = 2 - 6 + 1 = -3\) und Steigung \(f'(2) = 2 - 3 = -1\) bestimmen. Aufstellen der Tangente: \(y = -1 \cdot (x - 2) - 3 = -x + 2 - 3 = -x - 1\). Da dies mit der Gleichung von \(g\) übereinstimmt, ist \(g\) die Tangente an der Stelle \(x = 2\).

a) Tangente \(t: y = x - 7\); Normale \(n: y = -x + 1\) b) Die Stelle ist \(x = 2\). c) Ja, \(g\) ist die Tangente an der Stelle \(x = 2\), da \(f(2) = -3\) und \(f'(2) = -1\) die Gleichung \(y = -1 \cdot (x - 2) - 3 = -x - 1\) ergeben.

- Was bedeutet es für die Steigung einer Geraden, wenn sie parallel zur \(x\)-Achse verläuft? - Wie berechnet man den \(y\)-Wert eines Punktes auf dem Graphen, wenn die Stelle \(x\) gegeben ist? - Welche Formel nutzt man, um die Steigung einer Normalen aus der Tangentensteigung zu gewinnen? - Nutze die Punkt-Steigungs-Form, um Geradengleichungen effizient aufzustellen.

1. Ableitung berechnen: \(f'(x) = x^2 - 1\). 2. Teilaufgabe a): Punktkoordinaten bestimmen: \(f(2) = \frac{1}{3} \cdot 2^3 - 2 = \frac{8}{3} - 2 = \frac{2}{3}\). Steigung berechnen: \(f'(2) = 2^2 - 1 = 3\). Tangentengleichung aufstellen: \(y = 3 \cdot (x - 2) + \frac{2}{3} = 3x - 6 + \frac{2}{3} = 3x - \frac{16}{3}\). 3. Teilaufgabe b): Eine Tangente parallel zur \(x\)-Achse hat die Steigung \(m = 0\). Ansatz \(f'(x) = 0\) liefert \(x^2 - 1 = 0\), also \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\). 4. Teilaufgabe c): Funktionswert \(f(0) = 0\) und Steigung \(f'(0) = -1\) berechnen. Die Steigung der Normalen ist \(m_n = -\frac{1}{f'(0)} = -\frac{1}{-1} = 1\). Die Normalengleichung lautet somit \(y = 1 \cdot (x - 0) + 0\), also \(y = x\).

a) \(y = 3x - \frac{16}{3}\) b) \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\) c) \(y = x\)

- An welcher Stelle verlässt der Fahrer die Rampe und welche Koordinaten hat dieser Punkt? - Wie hängen die Steigung der Rampe am Endpunkt und die Richtung des anschließenden Fluges zusammen? - Kannst du eine Geradengleichung für den Flugweg aufstellen? - Welchen Wert muss die Flugkurve erreichen, damit die Bedingung aus der Aufgabe erfüllt ist?

1. Berechnung des Funktionswertes an der Absprungstelle: \(f(10) = 0{,}01 \cdot 10^3 - 0{,}2 \cdot 10^2 + 1{,}5 \cdot 10 + 2 = 10 - 20 + 15 + 2 = 7\). 2. Bestimmung der Ableitungsfunktion: \(f'(x) = 0{,}03x^2 - 0{,}4x + 1{,}5\). 3. Berechnung der Steigung an der Stelle \(x = 10\): \(f'(10) = 0{,}03 \cdot 100 - 0{,}4 \cdot 10 + 1{,}5 = 3 - 4 + 1{,}5 = 0{,}5\). 4. Aufstellen der Tangentengleichung \(t(x) = m \cdot (x - x_0) + y_0\): \(t(x) = 0{,}5 \cdot (x - 10) + 7 = 0{,}5x + 2\). 5. Berechnung der gesuchten Position durch Gleichsetzen mit der Zielhöhe: \(12 = 0{,}5x + 2 \Rightarrow 10 = 0{,}5x \Rightarrow x = 20\,\text{m}\).

\(x = 20\,\text{m}\)

- Was bedeutet die Information, dass der Übergang „knickfrei“ erfolgt, für die Steigung der anschließenden Geraden? - Bestimme zuerst den Punkt und die Steigung an der Übergangsstelle. - Stelle eine lineare Gleichung für den Zeitraum nach den ersten 10 Minuten auf. - Achte am Ende genau auf die geforderte Zeiteinheit in der Fragestellung.

1. Bestimmung der Temperatur zum Zeitpunkt des Übergangs: \(T(10) = 0{,}1 \cdot 10^2 - 4 \cdot 10 + 80 = 10 - 40 + 80 = 50\). 2. Ableitung der Temperaturfunktion zur Bestimmung der Änderungsrate: \(T'(t) = 0{,}2t - 4\). 3. Berechnung der Steigung zum Zeitpunkt \(t = 10\): \(T'(10) = 0{,}2 \cdot 10 - 4 = -2\). 4. Aufstellen der linearen Funktion \(g(t)\) für den zweiten Teil: \(g(t) = -2 \cdot (t - 10) + 50 = -2t + 70\). 5. Berechnung des Zeitpunktes für \(25^\circ\text{C}\): \(25 = -2t + 70 \Rightarrow 2t = 45 \Rightarrow t = 22{,}5\). 6. Umrechnung der Zeit in Sekunden: \(22{,}5\,\text{min} \cdot 60\,\frac{\text{s}}{\text{min}} = 1350\,\text{s}\).

\(1350\,\text{s}\)

- Welchen \(x\)-Wert haben Punkte, die auf der \(y\)-Achse liegen? - Wie prüft man, ob zwei Kurven in einem Punkt die gleiche Steigung haben? - Welche Informationen benötigst du, um eine lineare Funktionsgleichung für die Tangente aufzustellen?

1. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(x_0 = 0\). Es gilt \(f(0) = 2\) und \(g(0) = 2\), somit ist \(P(0 | 2)\) der gemeinsame Punkt. Die Ableitungsfunktionen sind \(f'(x) = \frac{3}{4}x^2 - 2x + 1\) und \(g'(x) = -2x + 1\). Die Steigungen an der Stelle \(x_0 = 0\) sind \(f'(0) = 1\) und \(g'(0) = 1\). Da sowohl die Funktionswerte als auch die Ableitungswerte übereinstimmen, liegt ein Berührpunkt vor. 2. Die Tangente hat die Steigung \(m = 1\) und geht durch den Punkt \(P(0 | 2)\). In der Form \(y = mx + c\) ergibt sich direkt mit dem \(y\)-Achsenabschnitt \(c = 2\) die Gleichung \(t(x) = x + 2\).

Der Berührpunkt liegt bei \(P(0 | 2)\). Da \(f(0) = g(0) = 2\) und \(f'(0) = g'(0) = 1\) gilt, berühren sich die Graphen dort. Die gemeinsame Tangente hat die Gleichung \(t(x) = x + 2\).

- Überlege dir zuerst, welche mathematische Operation die lokale Steigung einer Kurve beschreibt. - Wie hängen der Steigungsfaktor \(m\), der Steigungswinkel \(\alpha\) und die prozentuale Steigung zusammen? - Welche Informationen benötigst du, um die Gleichung einer Geraden (Tangente) aufzustellen? - Denke an die allgemeine Geradengleichung \(y = mx + c\).

1. Ableitungsfunktion bilden: \(h'(x) = -0{,}006x^2 + 0{,}12x\). 2. Steigung bei \(x = 5\): \(h'(5) = -0{,}006 \cdot 25 + 0{,}12 \cdot 5 = -0{,}15 + 0{,}6 = 0{,}45\). Umrechnung in Prozent: \(0{,}45 \cdot 100\,\% = 45\,\%\). 3. Steigungswinkel bei \(x = 15\): \(h'(15) = -0{,}006 \cdot 225 + 0{,}12 \cdot 15 = -1{,}35 + 1{,}8 = 0{,}45\). Winkel berechnen: \(\alpha = \arctan(0{,}45) \approx 24{,}23^\circ\). 4. Tangente bei \(x = 25\): Steigung \(m = h'(25) = -0{,}006 \cdot 625 + 0{,}12 \cdot 25 = -3{,}75 + 3 = -0{,}75\). Funktionswert \(h(25) = -0{,}002 \cdot 15\,625 + 0{,}06 \cdot 625 + 10 = 16{,}25\). Punkt-Steigungs-Form: \(y = -0{,}75(x - 25) + 16{,}25\). Vereinfachen: \(y = -0{,}75x + 35\).

a) Die Steigung beträgt \(45\,\%\). b) Der Steigungswinkel beträgt ca. \(24{,}23^\circ\). c) Die Tangentengleichung lautet \(y = -0{,}75x + 35\).

- Was gibt der Wert der ersten Ableitung an einer bestimmten Stelle über den Graphen aus? - Wie ist die Beziehung zwischen der Steigung einer Tangente und der Steigung der dazugehörigen Normalen im selben Punkt? - Wenn eine Gerade eine Steigung von \(0\) hat, wie sieht ihre Funktionsgleichung dann aus? - Nutze die Punkt-Steigungs-Form für die Geradengleichungen.

1. Ableitungsfunktion bestimmen: \(f'(x) = x^3 - 4x\). 2. Steigung bei \(x = 1\): \(f'(1) = 1^3 - 4 \cdot 1 = -3\). 3. Tangente bei \(x = 2\): Steigung \(m_t = f'(2) = 2^3 - 4 \cdot 2 = 0\). Funktionswert \(f(2) = 0{,}25 \cdot 16 - 2 \cdot 4 + 5 = 1\). Da die Steigung null ist, ist die Tangente eine waagerechte Gerade: \(t(x) = 1\). 4. Normale bei \(x = -1\): Steigung der Tangente \(m_t = f'(-1) = (-1)^3 - 4(-1) = 3\). Steigung der Normalen \(m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{3}\). Funktionswert \(f(-1) = 0{,}25 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + 5 = 3{,}25\). Normalengleichung: \(y = -\frac{1}{3}(x - (-1)) + 3{,}25 = -\frac{1}{3}x - \frac{1}{3} + \frac{13}{4} = -\frac{1}{3}x + \frac{35}{12}\).

a) Die Steigung ist \(-3\). b) \(t(x) = 1\) c) \(n(x) = -\frac{1}{3}x + \frac{35}{12}\) (oder \(n(x) \approx -0{,}33x + 2{,}92\))

- Wenn die Steigung der Normalen bekannt ist, welche Steigung muss dann die Tangente in diesem Punkt haben? - Die Ableitung einer Funktion gibt die Tangentensteigung an jeder Stelle an. - Wie kannst du aus der Steigung und der Funktionsgleichung die gesuchte Stelle finden? - Vergiss nicht, auch den zugehörigen y-Wert zu berechnen, um die vollständige Geradengleichung aufzustellen.

1. Zusammenhang zwischen Normalensteigung und Tangentensteigung nutzen: \(m_t = -\frac{1}{m_n} = -\frac{1}{0{,}5} = -2\). 2. Ableitung der Funktion bilden: \(f'(x) = 2x - 4\). 3. Stelle \(x_0\) bestimmen, indem die Ableitung gleich der Tangentensteigung gesetzt wird: \(2x_0 - 4 = -2 \Rightarrow 2x_0 = 2 \Rightarrow x_0 = 1\). 4. Funktionswert an der Stelle \(x_0 = 1\) berechnen: \(f(1) = 1^2 - 4 \cdot 1 + 5 = 2\). Der Punkt ist \(P(1 | 2)\). 5. Normalengleichung mit \(m_n = 0{,}5\) und \(P(1 | 2)\) aufstellen: \(n(x) = 0{,}5 \cdot (x - 1) + 2 = 0{,}5x + 1{,}5\).

a) Die Stelle ist \(x_0 = 1\). b) Die Gleichung der Normalen lautet \(n(x) = 0{,}5x + 1{,}5\).

- Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Gerade senkrecht auf einer Kurve steht? - Wie kannst du die Steigung einer Kurve an einer bestimmten Stelle berechnen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Steigungen zweier Geraden, die orthogonal zueinander sind. - Welche Form hat eine Geradengleichung und welche Informationen brauchst du, um sie aufzustellen? - Wie findet man den Wert für \(x\), wenn der \(y\)-Wert bereits vorgegeben ist?

1. Berechnung der ersten Ableitung der Funktion \(f\): \(f'(x) = 0{,}4x\). 2. Bestimmung der Tangentensteigung im Punkt \(P(5|3)\): \(m_t = f'(5) = 2\). 3. Berechnung der Steigung der Normalen (Halterung) mit der Bedingung \(m_n = -\frac{1}{m_t}\): \(m_n = -0{,}5\). 4. Aufstellen der Normalengleichung unter Verwendung des Punktes \(P\): \(y = -0{,}5 \cdot (x - 5) + 3\), was zu \(y = -0{,}5x + 5{,}5\) führt. 5. Berechnung des Schnittpunktes mit der Geraden \(y = 7\): Gleichsetzen ergibt \(7 = -0{,}5x + 5{,}5\). 6. Auflösen nach \(x\): \(1{,}5 = -0{,}5x \Rightarrow x = -3\). 7. Der gesuchte Punkt ist \(Q(-3|7)\).

\(Q(-3|7)\)

- Überlege zuerst, wie du die Steigung der Parabel im Punkt \(A\) bestimmen kannst. - Wie erhältst du aus der Tangentensteigung die Steigung der zugehörigen Normalen? - Stelle eine lineare Funktionsgleichung für die Normale auf, die durch den Punkt \(A\) verläuft. - Um den gemeinsamen Punkt zweier Geraden zu finden, musst du deren Funktionsgleichungen gleichsetzen.

1. Ableitung der Funktion \(p\) bilden: \(p'(x) = 2x - 4\). 2. Steigung der Tangente im Punkt \(A\) berechnen: \(m_t = p'(3) = 2 \cdot 3 - 4 = 2\). 3. Steigung der Normalen \(n\) bestimmen: \(m_n = -\frac{1}{m_t} = -0{,}5\). 4. Gleichung der Normalen \(n\) durch den Punkt \(A(3|3)\) aufstellen: \(y = -0{,}5 \cdot (x - 3) + 3 \Rightarrow y = -0{,}5x + 4{,}5\). 5. Schnittpunkt \(S\) durch Gleichsetzen der Normalengleichung und der Geradengleichung \(g\) berechnen: \(-0{,}5x + 4{,}5 = x - 3\). 6. Nach \(x\) auflösen: \(7{,}5 = 1{,}5x \Rightarrow x = 5\). 7. \(y\)-Koordinate durch Einsetzen in eine der Gleichungen bestimmen: \(y = 5 - 3 = 2\). 8. Der Schnittpunkt ist \(S(5|2)\).

\(S(5|2)\)

- Wie berechnet man die Steigung einer Geraden, wenn zwei Punkte bekannt sind? - Welche Information liefert die erste Ableitung an einer Stelle \(a\) über den Graphen? - Stell dir vor, die Tangente ist eine spezielle Gerade. Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit eine Gerade durch einen bestimmten Punkt geht? - Überlege, wie die Steigung der Tangente in \(Q_a\) mit der Steigung der Strecke \(PQ_a\) zusammenhängen muss, wenn \(P\) auf der Tangente liegt.

1. Berechnung der Steigung \(m_a\) über den Differenzenquotienten mit den Punkten \(P(0|-5)\) und \(Q_a(a|a^2 - 1)\): \(m_a = \frac{f(a) - (-5)}{a - 0} = \frac{a^2 - 1 + 5}{a} = \frac{a^2 + 4}{a}\). 2. Bestimmung der Ableitungsfunktion von \(f\): \(f'(x) = 2x\). Die Steigung der Tangente \(t_a\) im Punkt \(Q_a\) entspricht \(f'(a) = 2a\). 3. Ansatz für Teilaufgabe b: Damit die Tangente durch \(P\) verläuft, muss ihre Steigung \(f'(a)\) gleich der Steigung \(m_a\) der Geraden \(PQ_a\) sein: \(2a = \frac{a^2 + 4}{a}\). 4. Lösen der Gleichung: Multiplikation mit \(a\) liefert \(2a^2 = a^2 + 4\), woraus \(a^2 = 4\) folgt. 5. Die gesuchten Werte sind \(a_1 = 2\) und \(a_2 = -2\).

a) \(m_a = \frac{a^2 + 4}{a}\) b) \(a \in \{-2; 2\}\)

- Erinnere dich an die Formel für die Steigung \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\). - Was bedeutet es geometrisch, wenn ein Punkt auf einer Tangente liegt, die an einer anderen Stelle den Graphen berührt? - Welchen Zusammenhang gibt es zwischen der Ableitung an einer Stelle und der Steigung der Tangente dort? - Du kannst die Tangentengleichung allgemein aufstellen und den Punkt \(R\) einsetzen, oder die Steigungen direkt vergleichen.

1. Aufstellen des Differenzenquotienten für die Punkte \(R(0|-4)\) und \(S_a(a|\frac{1}{2}a^3 + 4)\): \(m_a = \frac{\frac{1}{2}a^3 + 4 - (-4)}{a - 0} = \frac{\frac{1}{2}a^3 + 8}{a}\). Durch Erweitern mit \(2\) ergibt sich \(m_a = \frac{a^3 + 16}{2a}\). 2. Berechnung der Ableitung von \(g\): \(g'(x) = \frac{3}{2}x^2\). Die Steigung der Tangente \(t_a\) ist \(g'(a) = \frac{3}{2}a^2\). 3. Gleichsetzen der Tangentensteigung mit der Geradensteigung \(m_a\), da \(R\) auf der Tangente liegen soll: \(\frac{3}{2}a^2 = \frac{a^3 + 16}{2a}\). 4. Lösen der Gleichung nach \(a\): Multiplikation mit \(2a\) führt zu \(3a^3 = a^3 + 16\). Subtraktion von \(a^3\) ergibt \(2a^3 = 16\), also \(a^3 = 8\). 5. Ziehen der dritten Wurzel liefert das Ergebnis \(a = 2\).

a) \(m_a = \frac{a^3 + 16}{2a}\) b) \(a = 2\)

- Wie hängen die Steigung an einer Stelle und die Ableitungsfunktion zusammen? - Bestimme zuerst die \(x\)-Koordinaten der gesuchten Punkte, indem du eine Gleichung löst. - Setze die gefundenen \(x\)-Werte in die ursprüngliche Funktionsgleichung ein, um die \(y\)-Koordinaten zu erhalten. - Überlege dir, wie man den Flächeninhalt eines Dreiecks im Koordinatensystem berechnet, wenn die Eckpunkte bekannt sind.

1. Ableitungsfunktion bestimmen: \(f'(x) = x^2 - 2x - 2\). 2. Stellen mit Steigung \(m = 1\) berechnen: \(x^2 - 2x - 2 = 1 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -1\). 3. Zugehörige Funktionswerte berechnen: \(f(3) = \frac{1}{3} \cdot 27 - 9 - 6 = -6\) und \(f(-1) = \frac{1}{3} \cdot (-1)^3 - (-1)^2 - 2(-1) = \frac{2}{3}\). 4. Koordinaten der Punkte: \(P(3 \mid -6)\) und \(Q(-1 \mid \frac{2}{3})\). 5. Flächeninhalt des Dreiecks mit dem Ursprung bestimmen: \(A = \frac{1}{2} |x_P \cdot y_Q - x_Q \cdot y_P| = \frac{1}{2} |3 \cdot \frac{2}{3} - (-1) \cdot (-6)| = \frac{1}{2} |2 - 6| = 2\).

Der Flächeninhalt des Dreiecks \(OPQ\) beträgt \(2\,\text{FE}\) (Flächeneinheiten).

- Wie findet man die Koordinaten des Schnittpunkts eines Graphen mit der \(y\)-Achse? - Welchen Wert muss die Ableitung an einer Stelle haben, damit die Tangente dort waagerecht verläuft? - Wie hängen die Steigung der Tangente und der Wert der Ableitungsfunktion an der Berührstelle zusammen? - Erinnere dich an die allgemeine Formel für eine Geradengleichung oder die Punkt-Steigungs-Form.

1. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(x = 0\). Es gilt \(f(0) = 11\). Die Ableitungsfunktion ist \(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9\). Die Steigung an der Stelle \(x = 0\) beträgt \(f'(0) = -9\). Mit der Punkt-Steigungs-Form \(y = f'(0) \cdot (x - 0) + f(0)\) ergibt sich \(y = -9x + 11\). 2. Eine Tangente verläuft parallel zur \(x\)-Achse, wenn die Steigung null ist. Es ist \(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 0\). Division durch \(3\) führt auf \(x^2 - 2x - 3 = 0\). Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -1\). 3. Funktionswert: \(f(4) = 4^3 - 3 \cdot 4^2 - 9 \cdot 4 + 11 = 64 - 48 - 36 + 11 = -9\). Der Punkt ist \(P(4 | -9)\). Steigung: \(f'(4) = 3 \cdot 4^2 - 6 \cdot 4 - 9 = 48 - 24 - 9 = 15\). Tangentengleichung: \(y = 15 \cdot (x - 4) - 9 = 15x - 60 - 9 = 15x - 69\).

1. Nachweis durch \(f(0) = 11\) und \(f'(0) = -9\). 2. \(x_1 = 3\), \(x_2 = -1\) 3. \(t: y = 15x - 69\)

- Wie lautet die allgemeine Formel für eine lineare Funktion, wenn ein Punkt und die Steigung bekannt sind? - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, die Steigung einer Funktion in einem bestimmten Punkt zu ermitteln? - In welchem Zusammenhang stehen die Steigung \(m\) und der Steigungswinkel \(\alpha\)? - Denke daran, zuerst den \(y\)-Wert des Punktes \(P\) zu bestimmen, indem du den \(x\)-Wert in die Funktionsgleichung einsetzt.

1. Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x = 2\): \(f(2) = 2^3 - 2 \cdot 2^2 + 1 = 8 - 8 + 1 = 1\). Der Berührpunkt ist \(P(2 \mid 1)\). 2. Bildung der ersten Ableitung: \(f'(x) = 3x^2 - 4x\). 3. Berechnung der Tangentensteigung \(m\): \(m = f'(2) = 3 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2 = 12 - 8 = 4\). 4. Aufstellen der Tangentengleichung mit der Punkt-Steigungs-Form: \(y = 4 \cdot (x - 2) + 1\). Vereinfacht ergibt sich \(y = 4x - 7\). 5. Berechnung des Steigungswinkels \(\alpha\): \(\tan(\alpha) = 4 \Rightarrow \alpha = \arctan(4) \approx 75{,}96^\circ\).

Tangentengleichung: \(y = 4x - 7\) Steigungswinkel: \(\alpha \approx 75{,}96^\circ\)

- Was musst du tun, um die Steigung der Tangente an einer bestimmten Stelle \(x\) zu finden? - Wie kannst du den fehlenden \(y\)-Wert des Punktes \(P\) berechnen? - Gibt es eine trigonometrische Funktion, die das Verhältnis von Steigung und Winkel beschreibt? - Überprüfe am Ende, ob deine Tangentengleichung die Form \(y = mx + n\) hat.

1. Berechnung des \(y\)-Wertes des Punktes \(P\): \(f(1) = -0{,}25 \cdot 1^4 + 1^2 + 1 = -0{,}25 + 1 + 1 = 1{,}75\). Somit ist \(P(1 \mid 1{,}75)\). 2. Ableiten der Funktion: \(f'(x) = -x^3 + 2x\). 3. Berechnung der Steigung \(m\) an der Stelle \(x = 1\): \(m = f'(1) = -1^3 + 2 \cdot 1 = 1\). 4. Bestimmung der Tangentengleichung: \(y = 1 \cdot (x - 1) + 1{,}75 = x + 0{,}75\). 5. Bestimmung des Steigungswinkels \(\alpha\): \(\tan(\alpha) = 1 \Rightarrow \alpha = \arctan(1) = 45^\circ\).

Tangentengleichung: \(y = x + 0{,}75\) Steigungswinkel: \(\alpha = 45^\circ\)

- Wenn zwei Geraden parallel sind, was wissen wir dann über ihre Steigungen? - Wie kannst du die Stellen finden, an denen die Kurve eine ganz bestimmte Steigung hat? - Welche Koordinaten hat ein Punkt, an dem eine Tangente den Graphen berührt? - Kannst du eine Geradengleichung aufstellen, wenn du die Steigung und einen Punkt kennst?

1. Erste Ableitung bilden: \(f'(x) = x^2 - 4\). 2. Steigung der Geraden \(g\) identifizieren: \(m = 5\). 3. Ansatz \(f'(x) = 5\) zur Bestimmung der Berührstellen: \(x^2 - 4 = 5 \implies x^2 = 9\). 4. Berührstellen bestimmen: \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\). 5. Zugehörige Funktionswerte berechnen: \(f(3) = \frac{1}{3} \cdot 27 - 4 \cdot 3 + 2 = -1\) und \(f(-3) = \frac{1}{3} \cdot (-27) - 4 \cdot (-3) + 2 = 5\). 6. Gleichung für Tangente \(t_1\) an \(P_1(3 | -1)\): \(y = 5 \cdot (x - 3) - 1 = 5x - 16\). 7. Gleichung für Tangente \(t_2\) an \(P_2(-3 | 5)\): \(y = 5 \cdot (x + 3) + 5 = 5x + 20\).

\(y = 5x - 16\) und \(y = 5x + 20\)

- Wie leitest du eine Funktion ab, die einen Parameter enthält? Behandle den Parameter beim Ableiten wie eine normale Zahl. - Wenn die Steigung an einer Stelle \(x\) gegeben ist, was sagt das über den Wert der Ableitung \(g_k'(x)\) aus? - Um eine Tangentengleichung aufzustellen, benötigst du neben der Steigung auch die Koordinaten des Berührpunktes. - Erinnere dich an die allgemeine Form der Geradengleichung \(y = mx + n\).

1. Ableiten der Funktion mit der Potenz- und Faktorregel ergibt \(g_k'(x) = 3x^2 - 2kx\). 2. Die Steigung an der Stelle \(x = 2\) soll \(4\) betragen, also \(g_k'(2) = 4\). Einsetzen führt zu \(3 \cdot 2^2 - 2k \cdot 2 = 4\), vereinfacht \(12 - 4k = 4\). Auflösen nach \(k\) ergibt \(4k = 8\), also \(k = 2\). 3. Für \(k = 2\) ist der Funktionswert an der Stelle \(x = 2\): \(g_2(2) = 2^3 - 2 \cdot 2^2 + 4 = 8 - 8 + 4 = 4\). Der Berührpunkt ist \(B(2 | 4)\). Mit der Steigung \(m = 4\) ergibt sich die Tangentengleichung über \(y = mx + n\): \(4 = 4 \cdot 2 + n\), woraus \(n = -4\) folgt. Die Tangentengleichung lautet \(y = 4x - 4\).

a) \(g_k'(x) = 3x^2 - 2kx\) b) \(k = 2\) c) \(y = 4x - 4\)

- Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer Stelle \(x_0\)? - Welche Informationen benötigst du, um eine Geradengleichung vollständig zu bestimmen? - Wie hängen die Ableitung einer Funktion und die Steigung der Tangente zusammen? - Wie findet man rechnerisch den Schnittpunkt einer Geraden mit der vertikalen Achse?

1. Ableitungsfunktion bestimmen: \(f'(x) = x - 2\). 2. Funktionswert und Steigung an der Stelle \(x_0 = -1\) berechnen: \(f(-1) = 1{,}5\) und \(f'(-1) = -3\). 3. Tangentengleichung mithilfe der Punkt-Steigungs-Formel \(t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0)\) aufstellen: \(t(x) = -3 \cdot (x - (-1)) + 1{,}5 = -3x - 1{,}5\). 4. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse durch Einsetzen von \(x = 0\) ermitteln: \(t(0) = -1{,}5\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 | -1{,}5)\).

Tangente: \(t(x) = -3x - 1{,}5\) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 | -1{,}5)\)

- Bestimme zuerst den Funktionswert an der gegebenen Stelle, um den vollständigen Punkt zu erhalten. - Überlege dir, wie man die Steigung einer Kurve an einem bestimmten Punkt berechnet. - Was weißt du über das Produkt der Steigungen zweier Geraden, die senkrecht aufeinander stehen? - Nutze die Punkt-Steigungs-Form für beide Geradengleichungen.

1. Ableitungsfunktion bilden: \(g'(x) = x^2 - 2x\). 2. Funktionswert und Tangentensteigung an der Stelle \(x_0 = 3\) berechnen: \(g(3) = 2\) und \(m_t = g'(3) = 3^2 - 2 \cdot 3 = 3\). 3. Gleichung der Tangente \(t\) aufstellen: \(t(x) = 3 \cdot (x - 3) + 2 = 3x - 7\). 4. Steigung der Normalen \(m_n\) über die Beziehung \(m_n = -\frac{1}{m_t}\) bestimmen: \(m_n = -\frac{1}{3}\). 5. Gleichung der Normalen \(n\) im Punkt \(Q(3 | 2)\) aufstellen: \(n(x) = -\frac{1}{3} \cdot (x - 3) + 2 = -\frac{1}{3}x + 1 + 2 = -\frac{1}{3}x + 3\).

a) Tangente: \(t(x) = 3x - 7\) b) Normale: \(n(x) = -\frac{1}{3}x + 3\)

- Welche Informationen benötigst du, um eine Geradengleichung aufzustellen? - Wie hängen die Ableitung an einer Stelle und die Steigung der Tangente zusammen? - Was bedeutet es für die Gleichung einer Geraden, wenn sie durch den Punkt \((0|0)\) verläuft? - Erinnere dich daran, welche Werte eine Exponentialfunktion annehmen kann, wenn du eine Gleichung löst.

1. Ableitungsfunktion bestimmen: \(f'(x) = 0{,}5 e^{0{,}5x}\). 2. Einsetzen von \(a\), \(f(a) = e^{0{,}5a}\) und \(f'(a) = 0{,}5 e^{0{,}5a}\) in die allgemeine Tangentengleichung \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\). 3. Vereinfachung der Gleichung: \(y = 0{,}5 e^{0{,}5a} \cdot x - 0{,}5 a e^{0{,}5a} + e^{0{,}5a}\), woraus \(y = 0{,}5 e^{0{,}5a} \cdot x + (1 - 0{,}5a) e^{0{,}5a}\) folgt. 4. Bedingung für den Durchgang durch den Ursprung \((0|0)\): Der \(y\)-Achsenabschnitt muss null sein, also \((1 - 0{,}5a) e^{0{,}5a} = 0\). 5. Da die Exponentialfunktion \(e^{0{,}5a}\) stets größer als null ist, muss der Faktor \(1 - 0{,}5a = 0\) gelten. 6. Auflösen nach \(a\) ergibt \(a = 2\).

a) \(y = 0{,}5 e^{0{,}5a} \cdot x + (1 - 0{,}5a) e^{0{,}5a}\) b) \(a = 2\)

- Wie berechnest du die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle? - Nutze die allgemeine Formel für die Tangentengleichung \(y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)\). - Wenn die Steigung vorgegeben ist, welche Gleichung musst du dann lösen, um die \(x\)-Koordinate zu finden? - Achte bei der Lösung von Gleichungen immer auf den Definitionsbereich der Funktion.

1. Ableitungsfunktion bilden: \(g'(x) = x - \frac{1}{x}\). 2. Für Teilaufgabe a) Funktionswert \(g(1) = \frac{1}{2} \cdot 1^2 - \ln(1) = 0{,}5\) und Steigung \(g'(1) = 1 - \frac{1}{1} = 0\) berechnen. 3. Tangentengleichung aufstellen: \(y = 0 \cdot (x - 1) + 0{,}5\), vereinfacht \(y = 0{,}5\). 4. Für Teilaufgabe b) den Ansatz \(g'(x) = 1{,}5\) verwenden: \(x - \frac{1}{x} = 1{,}5\). 5. Umformen in eine quadratische Gleichung: \(x^2 - 1{,}5x - 1 = 0\). 6. Lösen der quadratischen Gleichung ergibt \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -0{,}5\). Da der Definitionsbereich \(x \in \mathbb{R}^+\) ist, entfällt \(x_2\). 7. \(y\)-Koordinate berechnen: \(g(2) = \frac{1}{2} \cdot 2^2 - \ln(2) = 2 - \ln(2)\). 8. Koordinaten des Punktes angeben: \(P(2 | 2 - \ln(2))\).

a) \(y = 0{,}5\) b) \(P(2 | 2 - \ln(2))\)

- Wie lautet die Regel für das Ableiten von Funktionen, bei denen ein Ausdruck in einer Potenz steht? - Was bedeutet der Begriff „Steigung“ im Zusammenhang mit der Ableitung einer Funktion? - Welche Eigenschaft hat die Ableitung an einer Stelle mit waagerechter Tangente? - In welcher Beziehung stehen der Steigungswinkel \(\alpha\) und die Steigung \(m\) einer Tangente? - Denk daran, dass für den vollständigen Punkt immer sowohl der \(x\)- als auch der \(y\)-Wert benötigt werden.

1. Ableitung der Funktion mit der Kettenregel bestimmen: \(f'(x) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot (0{,}5x + 1)^3 \cdot 0{,}5 = (0{,}5x + 1)^3\). 2. Berechnung der Steigung bei \(x = 2\): \(f'(2) = (0{,}5 \cdot 2 + 1)^3 = 2^3 = 8\). 3. Untersuchung auf waagerechte Tangenten durch Nullsetzen der Ableitung: \((0{,}5x + 1)^3 = 0 \implies 0{,}5x + 1 = 0 \implies x = -2\). Da eine Lösung existiert, besitzt der Graph an der Stelle \(x = -2\) eine waagerechte Tangente. 4. Bestimmung des Punktes mit Steigungswinkel \(45^\circ\): Die Steigung \(m\) entspricht \(\tan(45^\circ) = 1\). Gleichung \(f'(x) = 1\) lösen: \((0{,}5x + 1)^3 = 1 \implies 0{,}5x + 1 = 1 \implies x = 0\). 5. Zugehörigen \(y\)-Wert berechnen: \(f(0) = \frac{1}{2}(0{,}5 \cdot 0 + 1)^4 = 0{,}5\). Der gesuchte Punkt ist \(P(0 | 0{,}5)\).

a) Die Steigung beträgt \(8\). b) Ja, der Graph besitzt an der Stelle \(x = -2\) eine waagerechte Tangente (Punkt \(H(-2 | 0)\)). c) Der Punkt ist \(P(0 | 0{,}5)\).

- Wie hängen der Funktionswert und der Wert der Ableitung mit der Tangentengleichung zusammen? - Welche Steigung hat eine Gerade, die parallel zur \(x\)-Achse verläuft? - Wie berechnet man die Steigung aus einem gegebenen Winkel? - Achte beim Ableiten besonders auf das Vorzeichen der inneren Ableitung. - Gibt es bei quadratischen Gleichungen eventuell mehr als eine Lösung für \(x\)?

1. Ableitung mit Kettenregel bilden: \(f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot (2 - x)^2 \cdot (-1) = -(2 - x)^2\). 2. Für die Tangente bei \(x = 1\) Punkt und Steigung bestimmen: \(f(1) = \frac{1}{3}(2 - 1)^3 = \frac{1}{3}\) und \(f'(1) = -(2 - 1)^2 = -1\). Tangentengleichung: \(y = -1 \cdot (x - 1) + \frac{1}{3} = -x + \frac{4}{3}\). 3. Waagerechte Tangente bestimmen: \(f'(x) = 0 \implies -(2 - x)^2 = 0 \implies x = 2\). Funktionswert: \(f(2) = 0\). Punkt: \(S(2 | 0)\). 4. Punkte mit Steigungswinkel \(135^\circ\) finden: Die Steigung ist \(m = \tan(135^\circ) = -1\). Gleichung lösen: \(-(2 - x)^2 = -1 \implies (2 - x)^2 = 1\). Dies liefert \(2 - x = 1\) oder \(2 - x = -1\), also \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). 5. Koordinaten berechnen: \(f(1) = \frac{1}{3}\) und \(f(3) = \frac{1}{3}(2 - 3)^3 = -\frac{1}{3}\). Die Punkte sind \(P_1(1 | \frac{1}{3})\) und \(P_2(3 | -\frac{1}{3})\).

a) Die Tangentengleichung lautet \(y = -x + \frac{4}{3}\). b) Der Punkt mit waagerechter Tangente ist \(S(2 | 0)\). c) Die gesuchten Punkte sind \(P_1(1 | \frac{1}{3})\) und \(P_2(3 | -\frac{1}{3})\).

- Wie gehst du vor, um eine Gleichung zu lösen, in der die Unbekannte im Exponenten steht? - Welche Informationen benötigst du, um die Gleichung einer Tangente aufzustellen? - Wie findet man die Schnittpunkte einer Geraden mit der \(x\)-Achse und der \(y\)-Achse? - Was zeichnet ein gleichschenkliges Dreieck aus, das am Koordinatenursprung liegt?

1. Berechnung der Nullstelle: \(f(x) = 0 \Rightarrow 4 - e^{x-2} = 0 \Rightarrow e^{x-2} = 4\). Durch Logarithmieren ergibt sich \(x - 2 = \ln(4)\), also \(x = 2 + \ln(4)\) (bzw. \(x = 2 + 2\ln(2)\)). 2. Bestimmung der Tangentengleichung: Die Ableitung ist \(f'(x) = -e^{x-2}\). Die Steigung im Punkt \(P(2|3)\) beträgt \(m = f'(2) = -e^0 = -1\). Mit dem Punkt \(P\) ergibt sich die Tangente \(t(x) = -1 \cdot (x - 2) + 3 = -x + 5\). 3. Schnittpunkte mit den Achsen: Der \(y\)-Achsenabschnitt liegt bei \(S_y(0|5)\). Die Nullstelle der Tangente ergibt sich aus \(-x + 5 = 0 \Rightarrow x = 5\), also \(S_x(5|0)\). 4. Nachweis der Eigenschaft: Das Dreieck wird durch die Punkte \(O(0|0)\), \(S_x(5|0)\) und \(S_y(0|5)\) aufgespannt. Die Längen der Katheten auf den Koordinatenachsen betragen jeweils \(5\) Längeneinheiten. Da zwei Seiten gleich lang sind, ist das Dreieck gleichschenklig.

a) Die Nullstelle liegt bei \(x = 2 + \ln(4)\). b) Die Tangentengleichung lautet \(y = -x + 5\). Die Achsenschnittpunkte \(S_x(5|0)\) und \(S_y(0|5)\) haben denselben Abstand vom Ursprung, womit das Dreieck gleichschenklig ist.

- Denk an den Satz vom Nullprodukt, wenn du die Nullstelle berechnest. - Welche Ableitungsregel ist hier für den Funktionsterm hilfreich? - Wie hängen die Steigung der Tangente und die Achsenabschnitte mit der Form des Dreiecks zusammen? - Kannst du die Abstände der Schnittpunkte zum Nullpunkt berechnen?

1. Nullstelle bestimmen: Da die Exponentialfunktion \(e^x\) für alle \(x\) positiv ist, folgt aus \(g(x) = 0\) direkt \(x - 2 = 0\), also \(x = 2\). 2. Tangentengleichung aufstellen: Unter Verwendung der Produktregel ergibt sich die Ableitungsfunktion \(g'(x) = 1 \cdot e^x + (x-2) \cdot e^x = (x-1) \cdot e^x\). Die Steigung an der Stelle \(x = 0\) ist \(m = g'(0) = (0-1) \cdot e^0 = -1\). Die Tangente im Punkt \(Q(0|-2)\) lautet somit \(t(x) = -1 \cdot (x - 0) - 2 = -x - 2\). 3. Geometrie des Dreiecks: Die Schnittpunkte der Tangente mit den Achsen sind \(S_y(0|-2)\) und \(S_x(-2|0)\) (aus \(-x-2=0\)). Die Abstände dieser Punkte zum Ursprung \(O(0|0)\) betragen jeweils \(|-2| = 2\). Somit sind die beiden Schenkel des rechtwinkligen Dreiecks gleich lang, und das Dreieck ist gleichschenklig.

a) Die Nullstelle ist \(x = 2\). b) Die Tangente \(y = -x - 2\) schneidet die Achsen in \((-2|0)\) und \((0|-2)\). Beide Punkte sind \(2\) Einheiten vom Ursprung entfernt, woraus die Gleichschenkligkeit folgt.

- Wie gehst du vor, um den Schnittpunkt eines Graphen mit der x-Achse zu berechnen? - Erinnere dich an die allgemeine Formel für eine Tangente an einer bestimmten Stelle. - Welche besonderen Punkte einer Geraden benötigst du, um die Form eines Dreiecks zu untersuchen, das von den Koordinatenachsen begrenzt wird? - Was muss für die Längen der Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks gelten, wenn zwei Seiten auf den Achsen liegen?

1. Zur Bestimmung der Nullstelle wird die Gleichung \(2 - e^{2-x} = 0\) gelöst. Dies führt auf \(e^{2-x} = 2\) und durch Logarithmieren auf \(2 - x = \ln(2)\). Somit ergibt sich die Nullstelle \(x = 2 - \ln(2)\). 2. Für die Tangentengleichung im Punkt \(P(2|1)\) wird die Ableitung \(f'(x) = e^{2-x}\) benötigt. Die Steigung an der Stelle \(x = 2\) beträgt \(f'(2) = e^0 = 1\). 3. Die Tangentengleichung lautet \(y = 1 \cdot (x - 2) + 1\), vereinfacht \(y = x - 1\). 4. Die Schnittpunkte der Tangente mit den Koordinatenachsen sind \(S_y(0|-1)\) und \(S_x(1|0)\). 5. Die Abstände der Schnittpunkte zum Ursprung betragen jeweils \(1\) Längeneinheit. Da zwei Seiten des Dreiecks auf den Achsen liegen und gleich lang sind, ist das Dreieck gleichschenklig.

a) Die Nullstelle liegt bei \(x = 2 - \ln(2)\). b) Die Tangente hat die Gleichung \(y = x - 1\). Die Achsenschnittpunkte liegen bei \((0|-1)\) und \((1|0)\). Da die Abstände zum Ursprung mit jeweils \(1\) gleich groß sind, ist das Dreieck gleichschenklig.

- Wie isoliert man die Exponentialfunktion, um eine Gleichung nach \(x\) aufzulösen? - Welche Informationen benötigst du, um eine Geradengleichung (Tangente) aufzustellen? - Wie findet man die Schnittpunkte einer Geraden mit der x-Achse und der y-Achse? - Überlege dir, wie man den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet, dessen Eckpunkte auf den Koordinatenachsen und im Ursprung liegen.

1. Nullstelle berechnen: \(3 \cdot e^{0{,}5x} - 6 = 0 \implies e^{0{,}5x} = 2\). Logarithmieren ergibt \(0{,}5x = \ln(2)\), also \(x = 2\ln(2)\). 2. Ableitung bilden: \(g'(x) = 1{,}5 \cdot e^{0{,}5x}\). 3. Tangente bei \(x = 0\): Funktionswert \(g(0) = 3 \cdot 1 - 6 = -3\). Steigung \(g'(0) = 1{,}5 \cdot 1 = 1{,}5\). 4. Tangentengleichung: \(y = 1{,}5x - 3\). 5. Achsenschnittpunkte der Tangente: \(S_y(0|-3)\) und \(S_x(2|0)\), da \(1{,}5x - 3 = 0 \implies x = 2\). 6. Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks: \(A = \frac{1}{2} \cdot |x_{S_x}| \cdot |y_{S_y}| = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 3\).

a) Die Nullstelle ist \(x = 2\ln(2)\). b) Die Tangentengleichung lautet \(y = 1{,}5x - 3\). Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(3\) Flächeneinheiten.

- Welchen Wert hat der Tangens von \(45^\circ\)? - Wie kannst du die Stellen finden, an denen eine bestimmte Steigung vorliegt? - Was sagt das Vorzeichen eines Wertes aus, wenn du eine Gleichung der Form \(x^2 = c\) lösen möchtest? - Überlege, welchen Wertebereich die Funktion \(g'(x) = x^2 - 1\) hat. Was ist die kleinstmögliche Steigung?

1. Ein Neigungswinkel von \(45^\circ\) entspricht der Steigung \(m = \tan(45^\circ) = 1\). Die Ableitung von \(g\) ist \(g'(x) = x^2 - 1\). Setzt man die Ableitung gleich der geforderten Steigung, erhält man \(x^2 - 1 = 1\), also \(x^2 = 2\). Dies liefert die Stellen \(x_1 = \sqrt{2}\) und \(x_2 = -\sqrt{2}\). Die zugehörigen Funktionswerte sind \(g(\sqrt{2}) = \frac{1}{3}(\sqrt{2})^3 - \sqrt{2} = \frac{2}{3}\sqrt{2} - \sqrt{2} = -\frac{1}{3}\sqrt{2}\) und \(g(-\sqrt{2}) = \frac{1}{3}(-\sqrt{2})^3 - (-\sqrt{2}) = -\frac{2}{3}\sqrt{2} + \sqrt{2} = \frac{1}{3}\sqrt{2}\). Die Punkte sind \(P_1(\sqrt{2} | -\frac{1}{3}\sqrt{2})\) und \(P_2(-\sqrt{2} | \frac{1}{3}\sqrt{2})\). 2. Ein Neigungswinkel von \(120^\circ\) entspricht der Steigung \(m = \tan(120^\circ) = -\sqrt{3} \approx -1{,}732\). Die Bedingung \(g'(x) = m\) führt zu \(x^2 - 1 = -\sqrt{3}\), also \(x^2 = 1 - \sqrt{3}\). Da \(\sqrt{3} > 1\) ist, ergibt sich \(1 - \sqrt{3} < 0\). Da das Quadrat einer reellen Zahl \(x^2\) niemals negativ sein kann, gibt es keine reelle Lösung für \(x\) und somit keinen solchen Punkt auf dem Graphen.

1. Die gesuchten Punkte sind \(P_1(\sqrt{2} | -\frac{1}{3}\sqrt{2})\) und \(P_2(-\sqrt{2} | \frac{1}{3}\sqrt{2})\). 2. Die Steigung müsste \(\tan(120^\circ) = -\sqrt{3} \approx -1{,}73\) betragen. Da die Ableitungsfunktion \(g'(x) = x^2 - 1\) nur Werte größer oder gleich \(-1\) annehmen kann, ist diese Steigung nicht möglich.

- Erinnere dich daran, welche Teilfunktion bei Produkten aus ganzrationalen Funktionen und Exponentialfunktionen das Grenzverhalten dominiert. - Für die Wendetangente benötigst du zuerst die Koordinaten des Wendepunkts und die Steigung an dieser Stelle. - Wie hängen die Steigung einer Funktion in einem Punkt und der zugehörige Steigungswinkel zusammen? - Die Nullstelle einer Funktion findest du, indem du den Funktionsterm gleich null setzt.

1. Grenzverhalten bestimmen: Für \(x \to \infty\) strebt der Faktor \((x+2)\) gegen \(\infty\) und \(e^{-x}\) gegen \(0\). Da die Exponentialfunktion stärker fällt als das Polynom steigt, gilt \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 0\). Für \(x \to -\infty\) strebt \((x+2)\) gegen \(-\infty\) und \(e^{-x}\) gegen \(\infty\), also \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\). 2. Wendepunkt und Wendetangente: Ableitungen bilden: \(f'(x) = (-x - 1) \cdot e^{-x}\) und \(f''(x) = x \cdot e^{-x}\). Die notwendige Bedingung \(f''(x) = 0\) liefert \(x = 0\). Da \(f'''(x) = (1 - x) \cdot e^{-x}\) an der Stelle \(x = 0\) den Wert \(1 \neq 0\) hat, liegt ein Wendepunkt bei \(W(0 | 2)\) vor. Die Steigung der Tangente ist \(m = f'(0) = -1\). Mit dem Punkt \(W\) ergibt sich die Tangentengleichung \(y = -1 \cdot (x - 0) + 2 = -x + 2\). 3. Steigungswinkel an der Nullstelle: Die Nullstelle liegt bei \(x = -2\). Die Steigung dort beträgt \(f'(-2) = (-(-2) - 1) \cdot e^{-(-2)} = 1 \cdot e^2 = e^2 \approx 7{,}389\). Der Steigungswinkel \(\alpha\) berechnet sich über \(\tan(\alpha) = e^2\), woraus \(\alpha \approx 82{,}3^\circ\) folgt.

a) \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 0\); \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\) b) Wendepunkt bei \(W(0 | 2)\), Steigung \(m = -1\). Die Gleichung der Tangente lautet \(y = -x + 2\). c) Der Steigungswinkel an der Nullstelle \(x = -2\) beträgt ca. \(82{,}3^\circ\).

- Überlege dir, wie man ein Produkt zweier Funktionen mithilfe der Produktregel ableitet. - Der Wendepunkt ist die Stelle, an der die zweite Ableitung null wird und ihr Vorzeichen wechselt. - Eine Tangentengleichung hat immer die Form \(y = m \cdot x + c\). - Nutze die Arkustangens-Funktion deines Taschenrechners, um vom Steigungswert auf den Winkel zu schließen.

1. Grenzverhalten: Für \(x \to \infty\) dominiert der Faktor \(e^{-0{,}5x}\), daher gilt \(\lim_{x \to \infty} g(x) = 0\). Für \(x \to -\infty\) strebt \(4x\) gegen \(-\infty\) und \(e^{-0{,}5x}\) gegen \(\infty\), also \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = -\infty\). 2. Wendetangente: Die Ableitungen lauten \(g'(x) = (4 - 2x) \cdot e^{-0{,}5x}\) und \(g''(x) = (x - 4) \cdot e^{-0{,}5x}\). Aus \(g''(x) = 0\) folgt die Wendestelle \(x = 4\). Der Funktionswert ist \(g(4) = 16 \cdot e^{-2} \approx 2{,}165\) und die Steigung \(g'(4) = -4 \cdot e^{-2} \approx -0{,}541\). Die Tangentengleichung lautet \(y = -4e^{-2} \cdot (x - 4) + 16e^{-2} = -4e^{-2}x + 32e^{-2}\). 3. Steigungswinkel im Ursprung: Die Steigung im Punkt \((0|0)\) ist \(g'(0) = (4 - 0) \cdot e^0 = 4\). Für den Steigungswinkel \(\alpha\) gilt \(\tan(\alpha) = 4\). Dies ergibt \(\alpha \approx 76{,}0^\circ\).

a) \(\lim_{x \to \infty} g(x) = 0\); \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = -\infty\) b) \(y = -4e^{-2}x + 32e^{-2}\) (oder näherungsweise \(y \approx -0{,}54x + 4{,}33\)) c) Der Steigungswinkel im Ursprung beträgt ca. \(76{,}0^\circ\).

- Nutze die Produktregel und die Kettenregel für die Ableitungen. - Erinnere dich daran, dass die Exponentialfunktion \(e^x\) für sehr kleine \(x\) schneller gegen Null geht als jede Potenz von \(x\) gegen Unendlich. - Für die Normale gilt der Zusammenhang \(m_t \cdot m_n = -1\) für die Steigungen. - Überlege dir für die Art des Extrempunktes, was das Vorzeichen der zweiten Ableitung an dieser Stelle aussagt.

1. Ableitungen berechnen: \(f'(x) = -x \cdot e^{0{,}5x}\) und \(f''(x) = (-1 - 0{,}5x) \cdot e^{0{,}5x}\). 2. Extrempunkt: \(f'(x) = 0 \Rightarrow x = 0\). Überprüfung mit der zweiten Ableitung: \(f''(0) = -1 < 0\). Somit liegt ein Hochpunkt bei \(H(0 | 4)\) vor. 3. Wendepunkt: \(f''(x) = 0 \Rightarrow -1 - 0{,}5x = 0 \Rightarrow x = -2\). Funktionswert berechnen: \(f(-2) = 8 \cdot e^{-1} \approx 2{,}94\). Der Wendepunkt ist \(W(-2 | 8e^{-1})\). 4. Grenzverhalten: Für \(x \to \infty\) strebt \(e^{0{,}5x} \to \infty\) und \((4 - 2x) \to -\infty\), also \(f(x) \to -\infty\). Für \(x \to -\infty\) strebt der Exponentialterm schneller gegen \(0\) als der lineare Term gegen \(\infty\), also \(f(x) \to 0\). 5. Normale in \(x = 2\): Steigung der Tangente ist \(f'(2) = -2 \cdot e^1 = -2e\). Die Steigung der Normalen ist \(m_n = -\frac{1}{f'(2)} = \frac{1}{2e}\). Mit dem Punkt \((2 | 0)\) ergibt sich die Gleichung \(y = \frac{1}{2e}(x - 2)\) bzw. \(y = \frac{1}{2e}x - \frac{1}{e}\).

a) Hochpunkt \(H(0 | 4)\), Wendepunkt \(W(-2 | 8e^{-1})\). b) \(\lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty\); \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\). c) \(y = \frac{1}{2e}x - \frac{1}{e}\)

- Wie bestimmt man allgemein den Schnittpunkt eines Graphen mit der vertikalen Achse? - Welche Bedingung muss für die Funktionswerte \(f(x)\) und \(f(-x)\) gelten, damit Achsensymmetrie vorliegt? - Erinnere dich an die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer bestimmten Stelle. - Wie berechnet man die Nullstelle einer linearen Funktion? - Nutze die Umkehroperation der Exponentialfunktion, um nach der Variablen im Exponenten aufzulösen.

1. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse berechnen: \(f(0) = 4 \cdot e^0 = 4\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0|4)\). 2. Symmetrie prüfen: Es gilt \(f(-x) = 4 \cdot e^{-0{,}125(-x)^2} = 4 \cdot e^{-0{,}125x^2} = f(x)\). Da \(f(-x) = f(x)\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), ist \(G_f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. Ableitung bilden: \(f'(x) = 4 \cdot e^{-0{,}125x^2} \cdot (-0{,}25x) = -x \cdot e^{-0{,}125x^2}\). 4. Tangentengleichung an der Stelle \(x = 2\): - Funktionswert: \(f(2) = 4 \cdot e^{-0{,}5}\) - Steigung: \(f'(2) = -2 \cdot e^{-0{,}5}\) - Gleichung: \(t(x) = f'(2) \cdot (x - 2) + f(2) = -2e^{-0{,}5}(x - 2) + 4e^{-0{,}5} = -2e^{-0{,}5}x + 8e^{-0{,}5}\). 5. Nullstelle der Tangente: \(0 = -2e^{-0{,}5}x + 8e^{-0{,}5} \Rightarrow 2e^{-0{,}5}x = 8e^{-0{,}5} \Rightarrow x = 4\). Der Schnittpunkt ist \(N(4|0)\). 6. Gleichung lösen: \(4 \cdot e^{-0{,}125c^2} = 2 \Rightarrow e^{-0{,}125c^2} = 0{,}5\). 7. Logarithmieren: \(-0{,}125c^2 = \ln(0{,}5) \Rightarrow c^2 = \frac{\ln(0{,}5)}{-0{,}125} = 8 \cdot \ln(2)\). 8. Ergebnis: \(c = \sqrt{8 \cdot \ln(2)} \approx 2{,}35\).

a) \(S_y(0|4)\); Nachweis durch \(f(-x) = f(x)\). b) Tangentengleichung: \(t(x) = -2e^{-0{,}5}x + 8e^{-0{,}5}\); Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \((4|0)\). c) \(c = \sqrt{8 \ln(2)} \approx 2{,}35\).

- Überlege, wie man die Steigung einer Tangente an einem bestimmten Punkt berechnet. - Welcher mathematische Zusammenhang besteht zwischen der Steigung einer Geraden und ihrem Neigungswinkel? - Was sagt das Vorzeichen der ersten Ableitung über den Verlauf des Graphen aus? - Untersuche die Funktionswerte an den Rändern des Definitionsbereichs und an den Extremstellen, um den Bereich aller möglichen \(y\)-Werte zu finden.

1. Berechnung des Funktionswerts und der Ableitung an der Stelle \(x = 1\): \(f(1) = \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot (3 - 2 \ln 1) = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1{,}5\). Die Ableitung lautet \(f'(x) = x \cdot (3 - 2 \ln x) + \frac{1}{2}x^2 \cdot \left(-\frac{2}{x}\right) = 3x - 2x \ln x - x = 2x \cdot (1 - \ln x)\). Damit ist \(f'(1) = 2 \cdot 1 \cdot (1 - \ln 1) = 2\). 2. Aufstellen der Tangentengleichung: \(y = f'(1) \cdot (x - 1) + f(1) = 2 \cdot (x - 1) + 1{,}5 = 2x - 0{,}5\). 3. Berechnung des Schnittwinkels \(\alpha\): \(\tan \alpha = f'(1) = 2 \implies \alpha = \arctan(2) \approx 63{,}43^\circ\). 4. Monotonieverhalten: \(f'(x) = 0 \iff 1 - \ln x = 0 \iff x = e\). Für \(0 < x < e\) ist \(f'(x) > 0\) (Graph streng monoton steigend). Für \(x > e\) ist \(f'(x) < 0\) (Graph streng monoton fallend). 5. Wertemenge: Der Hochpunkt liegt bei \(H(e | 0{,}5e^2)\), da \(f(e) = \frac{1}{2}e^2(3 - 2 \ln e) = 0{,}5e^2\). Wegen \(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{2}x^2 (3 - 2 \ln x) = -\infty\) (da \(x^2 \to \infty\) und \(3 - 2 \ln x \to -\infty\)) und dem globalen Maximum bei \(x = e\) ist die Wertemenge \(W_f = ]-\infty; 0{,}5e^2]\).

a) Tangentengleichung: \(y = 2x - 0{,}5\); Schnittwinkel: \(\alpha \approx 63{,}43^\circ\). b) Der Graph ist für \(0 < x \le e\) streng monoton steigend und für \(x \ge e\) streng monoton fallend. Die Wertemenge ist \(W_f = ]-\infty; 0{,}5e^2]\).

- Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer Stelle \(x_0\)? - Welche Informationen benötigst du von der Funktion, um die Steigung der Tangente zu berechnen? - Denke daran, zuerst den Funktionswert an der gegebenen Stelle zu bestimmen, um den Berührpunkt zu erhalten. - Wie hängen die Ableitung an einer Stelle und die Steigung der Tangente dort zusammen?

1. Ableitungsfunktion bestimmen: \(f'(x) = 3x^2 - 4x\). 2. Für \(x_1 = 2\): Funktionswert \(f(2) = 2^3 - 2 \cdot 2^2 = 0\) und Steigung \(f'(2) = 3 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2 = 4\). Tangentengleichung \(t_1(x) = 4(x - 2) + 0 = 4x - 8\). 3. Für \(x_2 = 1\): Funktionswert \(f(1) = 1^3 - 2 \cdot 1^2 = -1\) und Steigung \(f'(1) = 3 \cdot 1^2 - 4 \cdot 1 = -1\). Tangentengleichung \(t_2(x) = -1(x - 1) - 1 = -x\).

a) \(t_1(x) = 4x - 8\) b) \(t_2(x) = -x\)

- Bestimme zuerst die Koordinaten des Punktes \(P\), indem du den x-Wert in die Funktion einsetzt. - Die Steigung der Tangente entspricht dem Wert der ersten Ableitung an der Berührstelle. - Wie ist die Steigung einer Normalen mit der Steigung der Tangente im selben Punkt verknüpft? - Nutze die Punkt-Steigungs-Form, um die Geradengleichungen aufzustellen.

1. Punkt bestimmen: \(f(2) = \frac{1}{2} \cdot 2^2 + 2 = 4\), also \(P(2 | 4)\). 2. Ableitung berechnen: \(f'(x) = x\). 3. Tangentensteigung bestimmen: \(m_t = f'(2) = 2\). 4. Tangentengleichung aufstellen: \(y = 2(x - 2) + 4 = 2x\). 5. Normalensteigung bestimmen: \(m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{2}\). 6. Normalengleichung aufstellen: \(y = -\frac{1}{2}(x - 2) + 4 = -\frac{1}{2}x + 5\).

Tangente: \(t(x) = 2x\) Normale: \(n(x) = -\frac{1}{2}x + 5\)

- Wie hängen die Steigung der Tangente und die Ableitung der Funktion zusammen? - Welche Steigung hat eine Gerade, die parallel zur x-Achse verläuft? - Nutze die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer Stelle \(u\). - Denke beim Vereinfachen von Termen mit Variablen an das Ausmultiplizieren von Klammern.

1. Ableitung bilden: \(f'(x) = 3x^2 - 3\). 2. Zu a): Punkt berechnen: \(f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2 = 2 \rightarrow P(2|2)\). Steigung berechnen: \(f'(2) = 3 \cdot 2^2 - 3 = 9\). In Punkt-Steigungs-Form einsetzen: \(y = 9 \cdot (x - 2) + 2 = 9x - 18 + 2 = 9x - 16\). 3. Zu b): Bedingung für waagerechte Tangente ist \(f'(x) = 0\). \(3x^2 - 3 = 0 \Leftrightarrow 3x^2 = 3 \Leftrightarrow x^2 = 1 \Leftrightarrow x_1 = 1, x_2 = -1\). 4. Zu c): Punkt \(B(u|u^3 - 3u)\) und Steigung \(m = f'(u) = 3u^2 - 3\) verwenden. Einsetzen in \(y = f'(u) \cdot (x - u) + f(u)\): \(y = (3u^2 - 3) \cdot (x - u) + u^3 - 3u = (3u^2 - 3)x - 3u^3 + 3u + u^3 - 3u = (3u^2 - 3)x - 2u^3\).

a) \(y = 9x - 16\) b) \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\) c) Nachweis durch Einsetzen von \(f(u) = u^3 - 3u\) und \(f'(u) = 3u^2 - 3\) in die allgemeine Tangentengleichung \(y = f'(u)(x - u) + f(u)\) und anschließendes Vereinfachen.

- Wie berechnet man die Steigung einer Normalen, wenn die Tangentensteigung bekannt ist? - Erinnere dich an die Achsenschnittpunkte einer linearen Funktion. - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks, das an den Koordinatenursprung grenzt? - Skizziere die Situation im Kopf: Wo schneidet die Gerade die x-Achse und die y-Achse?

1. Ableitung bilden: \(f'(x) = x\). 2. Punkt und Steigung bestimmen: \(f(2) = \frac{1}{2} \cdot 4 - 2 = 0 \rightarrow B(2|0)\). Steigung \(m_t = f'(2) = 2\). 3. Tangentengleichung: \(y = 2 \cdot (x - 2) + 0 = 2x - 4\). 4. Normalengleichung: Steigung \(m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{2}\). Einsetzen: \(y = -\frac{1}{2} \cdot (x - 2) + 0 = -0{,}5x + 1\). 5. Schnittpunkte der Tangente mit den Achsen: Schnittpunkt mit x-Achse ist \(B(2|0)\), da \(y=0\) für \(x=2\). Schnittpunkt mit y-Achse ist \(S_y(0|-4)\), da \(y=-4\) für \(x=0\). 6. Flächeninhalt: Das Dreieck ist rechtwinklig mit den Kathetenlängen \(g = 2\) und \(h = 4\). \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4\).

a) Tangente \(t: y = 2x - 4\); Normale \(n: y = -0{,}5x + 1\) b) \(A = 4\,\text{FE}\) (Flächeneinheiten)

- Überlege zuerst, welche Steigung die Tangenten haben müssen, um parallel zur Geraden \(h\) zu sein. - Wie hängen die Ableitungsfunktion und die Steigung der Tangente zusammen? - Kann eine quadratische Gleichung mehr als eine Lösung für die Berührstelle liefern? - Verwende die Punkt-Steigungs-Form oder die allgemeine Geradengleichung, um die fertigen Funktionen aufzustellen.

1. Bestimmung der geforderten Steigung: Da die Tangenten parallel zu \(h(x) = 3x + 4\) sind, gilt für die Steigung \(m = 3\). 2. Bildung der ersten Ableitung: \(f'(x) = x^2 - 1\). 3. Berechnung der Berührstellen durch Lösen der Gleichung \(f'(x) = 3\): \(x^2 - 1 = 3 \implies x^2 = 4 \implies x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). 4. Bestimmung der Berührpunkte: \(f(2) = \frac{1}{3} \cdot 2^3 - 2 = \frac{8}{3} - \frac{6}{3} = \frac{2}{3} \implies B_1(2 | \frac{2}{3})\). \(f(-2) = \frac{1}{3} \cdot (-2)^3 - (-2) = -\frac{8}{3} + \frac{6}{3} = -\frac{2}{3} \implies B_2(-2 | -\frac{2}{3})\). 5. Aufstellen der Geradengleichungen (\(y = m \cdot x + n\)): Für \(B_1\): \(\frac{2}{3} = 3 \cdot 2 + n_1 \implies n_1 = \frac{2}{3} - 6 = -\frac{16}{3}\). Für \(B_2\): \(-\frac{2}{3} = 3 \cdot (-2) + n_2 \implies n_2 = -\frac{2}{3} + 6 = \frac{16}{3}\). 6. Die Tangentengleichungen lauten \(t_1(x) = 3x - \frac{16}{3}\) und \(t_2(x) = 3x + \frac{16}{3}\).

\(t_1(x) = 3x - \frac{16}{3}\) und \(t_2(x) = 3x + \frac{16}{3}\)

- Wie lautet die allgemeine Form einer Geradengleichung? - Welche mathematische Bedeutung hat die erste Ableitung an einer bestimmten Stelle im Hinblick auf den Graphen? - Welche Informationen benötigst du, um eine Gerade eindeutig festzulegen? - Wie kannst du den \(y\)-Wert des Punktes bestimmen, an dem die Tangente den Graphen berührt?

1. Berechnung des Funktionswertes an der Berührstelle: \(f(-2) = 0{,}5 \cdot (-2)^4 - (-2)^2 = 8 - 4 = 4\). Der Berührpunkt ist \(P(-2|4)\). 2. Bestimmung der Ableitungsfunktion: \(f'(x) = 2x^3 - 2x\). 3. Berechnung der Steigung an der Stelle \(x_0 = -2\): \(m = f'(-2) = 2 \cdot (-8) - 2 \cdot (-2) = -16 + 4 = -12\). 4. Aufstellen der Tangentengleichung mit der Punkt-Steigungs-Formel: \(y = -12 \cdot (x - (-2)) + 4\). 5. Vereinfachen der Gleichung: \(y = -12x - 24 + 4 = -12x - 20\).

\(y = -12x - 20\)

- Erinnere dich daran, wie man Potenzen im Nenner umschreibt, um die Ableitungsregeln leichter anzuwenden. - Welchen Wert hat die Steigung der Tangente in einem Punkt des Graphen? - Wenn du die Steigung und einen Punkt der Geraden kennst, wie berechnest du dann den Achsenabschnitt?

1. Berechnung des \(y\)-Wertes des Berührpunktes: \(f(1) = \frac{2}{1} + 1 = 3\). Der Punkt ist \(P(1|3)\). 2. Bestimmung der Ableitungsfunktion: Umschreiben zu \(f(x) = 2x^{-1} + x\) ergibt \(f'(x) = -2x^{-2} + 1 = -\frac{2}{x^2} + 1\). 3. Berechnung der Tangentensteigung: \(m = f'(1) = -\frac{2}{1^2} + 1 = -2 + 1 = -1\). 4. Einsetzen von \(m = -1\) und \(P(1|3)\) in die Geradengleichung \(y = m \cdot x + n\): \(3 = -1 \cdot 1 + n\). 5. Auflösen nach dem \(y\)-Achsenabschnitt: \(n = 4\). Die Tangentengleichung lautet \(y = -x + 4\).

\(y = -x + 4\)

- Berechne zuerst die Steigungen der beiden Tangenten mithilfe der Ableitung. - Wie kann man aus der Steigung einer Geraden ihren Steigungswinkel zur \(x\)-Achse berechnen? - Wenn du die Winkel der beiden Geraden zur \(x\)-Achse kennst, wie findest du dann den Winkel zwischen den Geraden selbst? - Gibt es eine besondere Bedingung für Steigungen, wenn Geraden in einem speziellen Winkel (z. B. \(90^\circ\)) zueinander stehen?

1. Ableitungsfunktion bestimmen: \(g'(x) = 2x - 3\). 2. Steigungen der Tangenten berechnen: \(m_1 = g'(1) = 2 \cdot 1 - 3 = -1\) und \(m_2 = g'(2) = 2 \cdot 2 - 3 = 1\). 3. Steigungswinkel der Tangenten zur \(x\)-Achse bestimmen: \(\tan(\alpha_1) = -1 \implies \alpha_1 = 135^\circ\) und \(\tan(\alpha_2) = 1 \implies \alpha_2 = 45^\circ\). 4. Der Schnittwinkel \(\gamma\) zwischen zwei Geraden ergibt sich aus der Differenz der Steigungswinkel: \(\gamma = |\alpha_2 - \alpha_1| = |45^\circ - 135^\circ| = 90^\circ\). Alternativ erkennt man über das Produkt der Steigungen \(m_1 \cdot m_2 = -1 \cdot 1 = -1\), dass die Tangenten orthogonal zueinander stehen.

Der Schnittwinkel der beiden Tangenten beträgt \(\gamma = 90^\circ\).

- Wie findest du die fehlende \(y\)-Koordinate eines Punktes, wenn der \(x\)-Wert bekannt ist? - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, die Steigung einer Kurve in einem bestimmten Punkt zu berechnen? - Kennst du eine Formel für eine Gerade, in die du die Steigung und einen Punkt einsetzen kannst? - Was gibt die erste Ableitung an einer bestimmten Stelle grafisch an?

1. Berechnung der \(y\)-Koordinate des Berührpunktes: \(f(3) = 3^3 - 3 \cdot 3^2 + 2 = 27 - 27 + 2 = 2\). Der Punkt lautet \(P(3 | 2)\). 2. Bestimmung der Ableitungsfunktion: \(f'(x) = 3x^2 - 6x\). 3. Berechnung der Steigung \(m\) der Tangente an der Stelle \(x_0 = 3\): \(m = f'(3) = 3 \cdot 3^2 - 6 \cdot 3 = 27 - 18 = 9\). 4. Bestimmung des \(y\)-Achsenabschnitts \(c\) der Tangentengleichung \(t(x) = m \cdot x + c\) durch Einsetzen von \(P(3 | 2)\): \(2 = 9 \cdot 3 + c \implies 2 = 27 + c \implies c = -25\). Die Tangentengleichung lautet \(t(x) = 9x - 25\).

\(t(x) = 9x - 25\)

- Bestimme zuerst den vollständigen Punkt auf dem Graphen. - Erinnere dich an die Ableitungsregeln für Potenzfunktionen. - Die Steigung der Tangente entspricht der Ableitung an der Berührstelle. - Nutze die allgemeine Geradengleichung, um den Achsenabschnitt zu berechnen.

1. Berechnung der \(y\)-Koordinate: \(f(-2) = \frac{1}{4} \cdot (-2)^4 - (-2)^2 = \frac{1}{4} \cdot 16 - 4 = 0\). Der Berührpunkt ist \(P(-2 | 0)\). 2. Bildung der Ableitungsfunktion: \(f'(x) = x^3 - 2x\). 3. Berechnung der Tangentensteigung \(m\): \(m = f'(-2) = (-2)^3 - 2 \cdot (-2) = -8 + 4 = -4\). 4. Aufstellen der Geradengleichung mit der Punkt-Steigungs-Form oder durch Einsetzen in \(y = m \cdot x + c\): \(0 = -4 \cdot (-2) + c \implies 0 = 8 + c \implies c = -8\). Die Gleichung der Tangente ist \(t(x) = -4x - 8\).

\(t(x) = -4x - 8\)

- Erinnere dich an die geometrische Bedeutung der ersten Ableitung. - Wie kannst du den Anstiegswinkel in eine Steigung umrechnen? - Wenn du die Stellen (\(x\)-Werte) gefunden hast, wie kommst du dann zu den vollständigen Koordinaten der Punkte? - Es könnten hier mehrere Stellen existieren, die die Bedingung erfüllen.

1. Die Steigung \(m\) der Tangente aus dem Winkel \(\alpha = 45^\circ\) bestimmen: \(m = \tan(45^\circ) = 1\). 2. Ableitungsfunktion \(f'\) bilden: \(f'(x) = x^2 - x - 1\). 3. Bedingung für die gesuchten Stellen aufstellen: \(f'(x) = 1 \implies x^2 - x - 1 = 1 \implies x^2 - x - 2 = 0\). 4. Quadratische Gleichung lösen (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -1\). 5. Funktionswerte an diesen Stellen berechnen: \(f(2) = \frac{1}{3} \cdot 2^3 - \frac{1}{2} \cdot 2^2 - 2 = \frac{8}{3} - 2 - 2 = -\frac{4}{3}\). \(f(-1) = \frac{1}{3} \cdot (-1)^3 - \frac{1}{2} \cdot (-1)^2 - (-1) = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{6}\). 6. Die resultierenden Punkte sind \(P_1(2 | -\frac{4}{3})\) und \(P_2(-1 | \frac{1}{6})\).

\(P_1(2 | -\frac{4}{3})\) und \(P_2(-1 | \frac{1}{6})\)

- Wie findet man die Stellen, an denen sich zwei Funktionsgraphen treffen? - Was gibt die erste Ableitung an einer bestimmten Stelle geometrisch an? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Steigung einer Geraden und ihrem Neigungswinkel zur x-Achse. - Wie berechnet man den Winkel zwischen zwei Geraden, wenn deren Steigungen bekannt sind?

1. Zur Bestimmung der Schnittpunkte wird der Ansatz \(f(x) = g(x)\) verwendet: \(x^2 - 2x + 2 = -x^2 + 4x - 2\). Dies führt auf die quadratische Gleichung \(2x^2 - 6x + 4 = 0\) bzw. \(x^2 - 3x + 2 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 2\). Die zugehörigen Funktionswerte sind \(f(1) = 1\) und \(f(2) = 2\). Die Schnittpunkte lauten somit \(S_1(1|1)\) und \(S_2(2|2)\). 2. Die Ableitungsfunktionen sind \(f'(x) = 2x - 2\) und \(g'(x) = -2x + 4\). Für \(S_1(1|1)\): Die Steigungen sind \(m_1 = f'(1) = 0\) und \(m_2 = g'(1) = 2\). Mit der Formel \(\tan(\gamma) = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 \cdot m_2} \right|\) ergibt sich \(\tan(\gamma) = \left| \frac{2 - 0}{1 + 0 \cdot 2} \right| = 2\). Der Schnittwinkel beträgt \(\gamma = \arctan(2) \approx 63{,}43^\circ\). Für \(S_2(2|2)\): Die Steigungen sind \(m_1 = f'(2) = 2\) und \(m_2 = g'(2) = 0\). Analog ergibt sich \(\tan(\gamma) = \left| \frac{0 - 2}{1 + 2 \cdot 0} \right| = 2\), woraus ebenfalls \(\gamma \approx 63{,}43^\circ\) folgt.

Die Schnittpunkte sind \(S_1(1|1)\) und \(S_2(2|2)\). In beiden Punkten schneiden sich die Graphen unter einem Winkel von \(\gamma \approx 63{,}43^\circ\).

- Berechne zuerst die Steigungen beider Funktionen an den gegebenen x-Stellen. - Was bedeutet es für den Winkel, wenn zwei Graphen an einer Stelle dieselbe Steigung haben? - Nutze die Formel für den Tangens des Differenzwinkels oder bestimme die einzelnen Neigungswinkel.

1. Zunächst werden die Ableitungen gebildet: \(f'(x) = 3x^2 - 1\) und \(g'(x) = 2x\). 2. Untersuchung im Punkt \(P(-1|0)\): Die Steigungen sind \(m_f = f'(-1) = 3(-1)^2 - 1 = 2\) und \(m_g = g'(-1) = 2(-1) = -2\). Der Schnittwinkel \(\gamma\) berechnet sich über \(\tan(\gamma) = \left| \frac{m_f - m_g}{1 + m_f \cdot m_g} \right| = \left| \frac{2 - (-2)}{1 + 2 \cdot (-2)} \right| = \left| \frac{4}{-3} \right| = \frac{4}{3}\). Damit ist \(\gamma = \arctan\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53{,}13^\circ\). 3. Untersuchung im Punkt \(Q(1|0)\): Die Steigungen sind \(m_f = f'(1) = 3(1)^2 - 1 = 2\) und \(m_g = g'(1) = 2(1) = 2\). Da die Steigungen identisch sind (\(m_f = m_g\)), verlaufen die Tangenten parallel bzw. identisch. Der Schnittwinkel beträgt somit \(\gamma = 0^\circ\). Die Graphen berühren sich in diesem Punkt.

Im Punkt \(P(-1|0)\) beträgt der Schnittwinkel \(\gamma \approx 53{,}13^\circ\). Im Punkt \(Q(1|0)\) beträgt der Schnittwinkel \(\gamma = 0^\circ\) (Berührpunkt).

- Wie hängen die Steigungen einer Tangente und der zugehörigen Normalen zusammen? - Welche Informationen benötigst du, um eine Geradengleichung aufzustellen? - Was bedeutet eine Steigung von 0 für den Verlauf einer Geraden und was bedeutet das für die darauf senkrecht stehende Normale? - Erinnere dich an die Definition einer Funktion: Kann ein \(x\)-Wert mehreren \(y\)-Werten zugeordnet werden?

1. Funktionswert und Ableitung berechnen: \(f(1) = 2 \cdot 1^2 - 4 = -2\) und \(f'(x) = 4x\), also \(f'(1) = 4\). 2. Steigung der Normalen bestimmen: \(m_n = -\frac{1}{f'(1)} = -\frac{1}{4}\). 3. Normalengleichung aufstellen: \(y = -\frac{1}{4}(x - 1) - 2 = -\frac{1}{4}x - \frac{7}{4}\). 4. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(x=0\) einsetzen ergibt \(S_y(0 \mid -1{,}75)\). 5. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(0 = -\frac{1}{4}x - \frac{7}{4} \Rightarrow x = -7\), also \(S_x(-7 \mid 0)\). 6. Untersuchung für \(x = 0\): Da \(f'(0) = 0\) ist, verläuft die Tangente horizontal. Die Normale steht senkrecht darauf und ist somit eine vertikale Gerade durch den Punkt \((0 \mid -4)\). Die Gleichung einer vertikalen Geraden lautet \(x = 0\). Da einem \(x\)-Wert unendlich viele \(y\)-Werte zugeordnet wären, liegt keine Funktion vor, weshalb die Form \(y = m \cdot x + c\) nicht möglich ist.

a) \(n: y = -0{,}25x - 1{,}75\) b) \(S_y(0 \mid -1{,}75)\) und \(S_x(-7 \mid 0)\) c) Die Normale ist die \(y\)-Achse (\(x = 0\)). Eine vertikale Gerade hat keine definierte Steigung \(m\) und ist keine Funktion.

- Was bedeutet es für die Steigung zweier Geraden, wenn diese parallel zueinander sind? - Wie lässt sich die Steigung eines Funktionsgraphen an einer bestimmten Stelle mathematisch ausdrücken? - Setze die Ausdrücke für die Steigungen gleich und löse die entstandene Gleichung nach \(x\) auf.

1. Bestimmung der Ableitungsfunktionen: \(f'(x) = x^2 - 4\) und \(g'(x) = 2x - 1\). 2. Bedingung für parallele Tangenten: Die Steigungen müssen gleich sein, also \(f'(x) = g'(x)\). 3. Gleichung aufstellen: \(x^2 - 4 = 2x - 1\). 4. Umformen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(x^2 - 2x - 3 = 0\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): \(x_{1,2} = \frac{2}{2} \pm \sqrt{(\frac{2}{2})^2 - (-3)} = 1 \pm \sqrt{1 + 3} = 1 \pm 2\). 6. Ergebnisse: \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\).

Die Tangenten sind an den Stellen \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\) parallel zueinander.

- Wie lautet die allgemeine Gleichung einer Tangente an einem beliebigen Punkt \(u\)? - Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit eine Tangente durch einen bestimmten Punkt \(P\) verläuft? - Erinnere dich an die Formel für den Mittelpunkt einer Strecke zwischen zwei Punkten. - Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten, die auf einer vertikalen Linie liegen?

1. Aufstellen der allgemeinen Tangentengleichung an der Stelle \(u\): \(y = f'(u) \cdot (x - u) + f(u)\). Mit \(f'(x) = 2x\) ergibt sich \(y = 2u \cdot (x - u) + u^2 - 2 = 2ux - u^2 - 2\). 2. Einsetzen der Koordinaten von \(P(0 \mid -3)\) in die Tangentengleichung zur Bestimmung der Berührstellen: \(-3 = 2u \cdot 0 - u^2 - 2 \Rightarrow -3 = -u^2 - 2 \Rightarrow u^2 = 1\). Daraus folgen \(u_1 = 1\) und \(u_2 = -1\). 3. Berechnung der Berührungspunkte: \(f(1) = -1\) und \(f(-1) = -1\). Somit sind \(B_1(1 \mid -1)\) und \(B_2(-1 \mid -1)\). 4. Aufstellen der Tangentengleichungen: Für \(u_1 = 1\) ist \(m_1 = 2\), woraus \(t_1: y = 2x - 3\) folgt. Für \(u_2 = -1\) ist \(m_2 = -2\), woraus \(t_2: y = -2x - 3\) folgt. 5. Berechnung des Mittelpunkts \(M\): \(M\left(\frac{1 + (-1)}{2} \mid \frac{-1 + (-1)}{2}\right) = (0 \mid -1)\). 6. Berechnung des Abstands \(d(M, P)\): Da beide Punkte auf der \(y\)-Achse liegen, ist \(d = |-1 - (-3)| = 2\).

a) \(B_1(1 \mid -1)\) und \(B_2(-1 \mid -1)\) b) \(t_1: y = 2x - 3\) und \(t_2: y = -2x - 3\) c) Mittelpunkt \(M(0 \mid -1)\); der Abstand zum Punkt \(P\) beträgt \(2\) Längeneinheiten.

- Überprüfe die Punktlage durch Einsetzen des \(x\)-Wertes in die Funktionsgleichung. - Nutze die Tangentengleichung \(y = f'(u)(x-u) + f(u)\) und setze den gegebenen Punkt \(Q\) für \(x\) und \(y\) ein. - Überlege dir, wie man aus den gefundenen Stellen \(u\) die Steigungen und die endgültigen Geradengleichungen erhält. - Der Mittelpunkt zweier \(x\)-Werte ist einfach deren arithmetisches Mittel.

1. Überprüfung der Punktlage: \(g(1) = -1^2 + 2 \cdot 1 = 1\). Da \(1 \neq 2\), liegt \(Q(1 \mid 2)\) nicht auf dem Graphen. 2. Ableitung bilden: \(g'(x) = -2x + 2\). 3. Tangentengleichung im Berührpunkt \(B(u \mid g(u))\) aufstellen: \(y = (-2u + 2) \cdot (x - u) - u^2 + 2u\). Vereinfacht: \(y = (-2u + 2)x + 2u^2 - 2u - u^2 + 2u = (-2u + 2)x + u^2\). 4. Punktprobe mit \(Q(1 \mid 2)\): \(2 = (-2u + 2) \cdot 1 + u^2 \Rightarrow 2 = -2u + 2 + u^2 \Rightarrow u^2 - 2u = 0\). 5. Lösen der Gleichung: \(u(u - 2) = 0\) liefert die Berührstellen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). 6. Tangentengleichungen bestimmen: Für \(u = 0\) ist \(t_1: y = 2x\). Für \(u = 2\) ist \(t_2: y = -2x + 4\). 7. Vergleich der \(x\)-Koordinaten: Die Berührungspunkte sind \(B_1(0 \mid 0)\) und \(B_2(2 \mid 0)\). Der Mittelpunkt hat die \(x\)-Koordinate \(x_M = \frac{0 + 2}{2} = 1\). Dies entspricht exakt der \(x\)-Koordinate von \(Q\).

a) Nachweis durch \(g(1) = 1 \neq 2\). b) Die Berührstellen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). c) Die Tangentengleichungen lauten \(t_1: y = 2x\) und \(t_2: y = -2x + 4\). d) Die \(x\)-Koordinate des Mittelpunkts ist \(1\); sie ist identisch mit der \(x\)-Koordinate von \(Q\).

- Verwende die Potenzregeln für das Ableiten von Wurzel- und Bruchfunktionen. - Erinnere dich an die Punkt-Steigungs-Form für Geradengleichungen. - Wo genau liegt die Grundseite des Dreiecks, wenn es von der \(y\)-Achse begrenzt wird? - Welche Koordinate des Punktes \(P\) gibt den Abstand zur \(y\)-Achse an?

1. Ableitungen bestimmen: \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\) und \(g'(x) = -\frac{1}{x^2}\). 2. Steigungen im Punkt \(P(1|1)\) berechnen: \(m_f = f'(1) = 0{,}5\) und \(m_g = g'(1) = -1\). 3. Tangentengleichungen aufstellen: \(t_f: y = 0{,}5(x-1) + 1 = 0{,}5x + 0{,}5\) und \(t_g: y = -1(x-1) + 1 = -x + 2\). 4. Schnittpunkte mit der \(y\)-Achse (\(x=0\)): \(y_{f,0} = 0{,}5\) und \(y_{g,0} = 2\). 5. Grundseite des Dreiecks auf der \(y\)-Achse berechnen: \(g = |2 - 0{,}5| = 1{,}5\). 6. Höhe des Dreiecks entspricht dem \(x\)-Wert des Schnittpunkts \(P\): \(h = 1\). 7. Flächeninhalt berechnen: \(A = \frac{1}{2} \cdot 1{,}5 \cdot 1 = 0{,}75\).

a) \(t_f: y = 0{,}5x + 0{,}5\) und \(t_g: y = -x + 2\) b) Der Flächeninhalt beträgt \(0{,}75\) Flächeneinheiten.

- Wie hängen die Steigungen einer Tangente und einer Normalen im selben Punkt zusammen? - Überlege dir eine Gleichung für die Normale an einer allgemeinen Stelle \(u\). - Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit ein Punkt auf einer Geraden liegt? - Denke an den Spezialfall, in dem die Tangente parallel zur x-Achse verläuft.

1. Berechnung der Ableitung: \(f'(x) = 2x\). 2. Bestimmung der Normalensteigung \(m_n\) in Abhängigkeit von \(u\): Für \(u \neq 0\) gilt \(m_n = -\frac{1}{f'(u)} = -\frac{1}{2u}\). 3. Aufstellen der Normalengleichung: \(y - u^2 = -\frac{1}{2u}(x - u)\). 4. Einsetzen des Punktes \(A(0|1{,}5)\) in die Normalengleichung: \(1{,}5 - u^2 = -\frac{1}{2u}(0 - u)\). 5. Lösen der Gleichung: \(1{,}5 - u^2 = 0{,}5 \Rightarrow u^2 = 1 \Rightarrow u_1 = 1; u_2 = -1\). Die zugehörigen Punkte sind \(P_1(1|1)\) und \(P_2(-1|1)\). 6. Untersuchung des Falls \(u = 0\): Da \(f'(0) = 0\), ist die Tangente im Ursprung horizontal (die x-Achse). Die Normale ist somit die y-Achse (\(x = 0\)). Da der Punkt \(A(0|1{,}5)\) auf der y-Achse liegt, ist auch \(P_3(0|0)\) eine Lösung.

Die möglichen Koordinaten für den Punkt \(P\) sind \(P_1(1|1)\), \(P_2(-1|1)\) und \(P_3(0|0)\).

- Überlege zuerst, wie man die Steigung einer Tangente an einer bestimmten Stelle berechnet. - Welche Bedingung muss für die Steigungen zweier Geraden gelten, damit diese senkrecht aufeinander stehen? - Stelle eine Gleichung auf, in der die x-Koordinaten beider Berührpunkte vorkommen. - Versuche, die Gleichung so umzuformen, dass eine Koordinate durch die andere ausgedrückt wird.

1. Berechnung der ersten Ableitungen der Funktionen: \(f'(x) = x\) und \(g'(x) = -\frac{1}{x^2}\). 2. Aufstellen der Bedingung für Orthogonalität (senkrechtes Schneiden) der Tangentensteigungen: \(f'(x_1) \cdot g'(x_2) = -1\). 3. Einsetzen der Ableitungsfunktionen in die Bedingung: \(x_1 \cdot \left(-\frac{1}{x_2^2}\right) = -1\). 4. Umformen der Gleichung zur Darstellung des Zusammenhangs: \(\frac{x_1}{x_2^2} = 1\), woraus \(x_1 = x_2^2\) folgt.

\(x_1 = x_2^2\) (mit \(x_2 \neq 0\))

- Wie findet man rechnerisch heraus, wo sich zwei Funktionsgraphen treffen? - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, die Steigung einer Tangente zu bestimmen? - Wenn zwei Geraden die gleiche Steigung haben, was bedeutet das für ihre Ableitungswerte? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Steigung einer Tangente und der Steigung der zugehörigen Normalen im selben Punkt.

1. Zur Berechnung der Schnittpunkte werden die Funktionsterme gleichgesetzt: \(x^2 + 3x = -x^2 + 5\). Dies führt auf die quadratische Gleichung \(2x^2 + 3x - 5 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -2{,}5\). Durch Einsetzen in einen der Funktionsterme ergeben sich die Schnittpunkte \(S_1(1 \mid 4)\) und \(S_2(-2{,}5 \mid -1{,}25)\). 2. Für die Steigungen werden die Ableitungen \(f'(x) = 2x + 3\) und \(g'(x) = -2x\) gebildet. Gleichsetzen der Steigungen \(2x + 3 = -2x\) ergibt \(4x = -3\), also \(x = -0{,}75\). 3. Für die Normale an \(g\) bei \(x = 2\) wird zuerst der Funktionswert \(g(2) = -2^2 + 5 = 1\) und die Tangentensteigung \(g'(2) = -2 \cdot 2 = -4\) berechnet. Die Steigung der Normalen ist der negative Kehrwert \(m_n = -\frac{1}{-4} = 0{,}25\). Die Normalengleichung lautet \(y = 0{,}25 \cdot (x - 2) + 1\), vereinfacht \(y = 0{,}25x + 0{,}5\).

a) Schnittpunkte: \(S_1(1 \mid 4)\) und \(S_2(-2{,}5 \mid -1{,}25)\) b) Stelle \(x = -0{,}75\) c) Normalengleichung: \(y = 0{,}25x + 0{,}5\)

- Was gibt die erste Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle an? - Welche Gleichung musst du lösen, wenn die Steigung der Tangente vorgegeben ist? - Wie findest du die passenden \(y\)-Werte zu deinen gefundenen \(x\)-Werten? - Kennst du eine Formel für die Geradengleichung, in die du Punkt und Steigung direkt einsetzen kannst?

1. Ableitung der Funktion bilden: \(f'(x) = 3x^2 - 6x - 6\). 2. Ansatz zur Bestimmung der \(x\)-Stellen mit Steigung \(3\): \(f'(x) = 3\), also \(3x^2 - 6x - 6 = 3\). 3. Umformen und Lösen der quadratischen Gleichung: \(3x^2 - 6x - 9 = 0 \implies x^2 - 2x - 3 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -1\). 4. Berechnung der \(y\)-Koordinaten: \(f(3) = 3^3 - 3 \cdot 3^2 - 6 \cdot 3 + 2 = -16\) und \(f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 6(-1) + 2 = 4\). Die gesuchten Punkte sind \(P_1(3|-16)\) und \(P_2(-1|4)\). 5. Aufstellen der Tangentengleichungen mit \(y = m \cdot (x - x_0) + y_0\): Für \(P_1\): \(t_1(x) = 3(x - 3) - 16 = 3x - 25\). Für \(P_2\): \(t_2(x) = 3(x + 1) + 4 = 3x + 7\).

Die Punkte sind \(P_1(3|-16)\) und \(P_2(-1|4)\). Die Tangentengleichungen lauten \(t_1: y = 3x - 25\) und \(t_2: y = 3x + 7\).

- Wie findet man die gemeinsamen Punkte zweier Funktionsgraphen? - Welche Bedingung muss für die Steigungen zweier Geraden gelten, damit sie senkrecht aufeinanderstehen? - Wie hängen die Tangentensteigungen an einem Schnittpunkt mit der Orthogonalität der Graphen zusammen? - Wie prüft man, ob ein bestimmter Punkt auf dem Graphen einer Funktion liegt?

1. Gleichsetzen von \(f(x)\) und \(g(x)\): \(x^2 = -0{,}25x^2 + 1{,}25 \iff 1{,}25x^2 = 1{,}25 \iff x^2 = 1\). Da der Punkt im ersten Quadranten liegt, ist \(x_S = 1\). Einsetzen ergibt \(y_S = f(1) = 1^2 = 1\). Der Schnittpunkt ist \(S(1|1)\). 2. Ableitungen bilden: \(f'(x) = 2x\) und \(g'(x) = -0{,}5x\). Steigungen an der Stelle \(x_S = 1\) berechnen: \(f'(1) = 2\) und \(g'(1) = -0{,}5\). Prüfung der Orthogonalitätsbedingung: \(f'(1) \cdot g'(1) = 2 \cdot (-0{,}5) = -1\). Die Graphen schneiden sich orthogonal. 3. Punktprobe für \(h\): \(h(1) = -\frac{1}{6} \cdot 1^3 + \frac{7}{6} = \frac{6}{6} = 1\). Da \(h(1) = f(1)\), verläuft \(h\) durch \(S\). Ableitung von \(h\): \(h'(x) = -0{,}5x^2\). Steigung an der Stelle \(x_S = 1\): \(h'(1) = -0{,}5\). Da \(f'(1) \cdot h'(1) = 2 \cdot (-0{,}5) = -1\), ist der Schnitt von \(f\) und \(h\) ebenfalls orthogonal.

1. Der Schnittpunkt im ersten Quadranten ist \(S(1|1)\). 2. Die Steigungen sind \(f'(1) = 2\) und \(g'(1) = -0{,}5\). Wegen \(2 \cdot (-0{,}5) = -1\) ist der Schnitt orthogonal. 3. Es gilt \(h(1) = 1\) und \(h'(1) = -0{,}5\). Da der Funktionswert mit \(f(1)\) übereinstimmt und das Produkt der Steigungen \(f'(1) \cdot h'(1) = -1\) ergibt, schneidet auch \(h\) die Funktion \(f\) in \(S\) orthogonal.

- Eine Tangente an der Stelle \(u\) hat die Steigung \(h'(u)\). - Nutze die Punkt-Steigungs-Form der Geradengleichung für den Berührpunkt. - Da die Tangente durch \(P(2|0)\) verlaufen muss, kannst du diese Koordinaten nutzen, um die unbekannte Stelle \(u\) zu finden. - Es kann mehr als eine Lösung für die Berührstelle geben.

1. Ableitung bilden: \(h'(x) = 2x - 4\). 2. Tangentengleichung im Punkt \(B(u|h(u))\) ansetzen: \(y = (2u - 4)(x - u) + u^2 - 4u + 5\). 3. Punkt \(P(2|0)\) in die Gleichung einsetzen: \(0 = (2u - 4)(2 - u) + u^2 - 4u + 5\). 4. Terme ausmultiplizieren und zusammenfassen: \(0 = 4u - 2u^2 - 8 + 4u + u^2 - 4u + 5 \implies 0 = -u^2 + 4u - 3\). 5. Quadratische Gleichung lösen: \(u^2 - 4u + 3 = 0 \implies u_1 = 1\) und \(u_2 = 3\). 6. Berührpunkte bestimmen: \(h(1) = 2 \implies B_1(1|2)\) und \(h(3) = 2 \implies B_2(3|2)\). 7. Tangentengleichungen aufstellen: Für \(u_1 = 1\) ist \(h'(1) = -2\), also \(t_1(x) = -2(x - 2) = -2x + 4\). Für \(u_2 = 3\) ist \(h'(3) = 2\), also \(t_2(x) = 2(x - 2) = 2x - 4\).

Die Berührpunkte sind \(B_1(1|2)\) und \(B_2(3|2)\). Die zugehörigen Tangentengleichungen lauten \(t_1(x) = -2x + 4\) und \(t_2(x) = 2x - 4\).

- Was bedeutet die Bedingung einer waagerechten Tangente für den Wert der Ableitung? - Nachdem du die \(x\)-Werte gefunden hast, benötigst du die vollständigen Koordinaten der Punkte auf dem Graphen. - Skizziere die Lage der Punkte im Koordinatensystem gedanklich. Liegen zwei Punkte vielleicht auf einer Parallelen zu einer der Achsen? - Nutze die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks: Grundseite mal Höhe durch zwei.

1. Ableitungsfunktion bilden: \(f'(x) = x^3 - 4x\). 2. Stellen mit waagerechter Tangente (\(f'(x) = 0\)) bestimmen: \(x(x^2 - 4) = 0\) liefert \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\). 3. Funktionswerte berechnen: \(f(0) = 1\), \(f(2) = \frac{1}{4} \cdot 16 - 2 \cdot 4 + 1 = -3\) und \(f(-2) = \frac{1}{4} \cdot 16 - 2 \cdot 4 + 1 = -3\). 4. Punkte koordinatenweise angeben: \(C(0 \mid 1)\), \(B(2 \mid -3)\) und \(A(-2 \mid -3)\). 5. Geometrie des Dreiecks analysieren: Die Seite \(AB\) liegt auf der Geraden \(y = -3\) und hat die Länge \(g = 2 - (-2) = 4\). Die Höhe des Dreiecks bezüglich dieser Seite ist die Differenz der \(y\)-Werte von \(C\) und der Geraden \(AB\), also \(h = 1 - (-3) = 4\). 6. Flächeninhalt berechnen: \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8\).

Der Flächeninhalt des Dreiecks \(ABC\) beträgt \(8\,\text{FE}\).

- Schreibe den Bruchterm zuerst als Potenz mit negativem Exponenten um, um die Ableitungsregeln leichter anwenden zu können. - Überlege dir, was \(f'(a)\) und \(f(a)\) in Abhängigkeit von \(a\) sind. - Nutze die Punkt-Steigungs-Form einer Geraden. - Achte beim Vereinfachen besonders auf die Gesetze der Potenzrechnung und das Kürzen von Brüchen.

1. Umschreiben der Funktion in Potenzschreibweise: \(f(x) = 4 \cdot x^{-2}\). 2. Bilden der Ableitungsfunktion: \(f'(x) = -8 \cdot x^{-3} = -\frac{8}{x^3}\). 3. Bestimmung der Tangentensteigung \(m\) und des Punktes \(P\): \(m = f'(a) = -\frac{8}{a^3}\) und \(f(a) = \frac{4}{a^2}\). 4. Einsetzen in die allgemeine Tangentengleichung \(y = f'(a) \cdot (x - a) + f(a)\): \(y = -\frac{8}{a^3} \cdot (x - a) + \frac{4}{a^2}\) 5. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen der Terme: \(y = -\frac{8}{a^3}x + \frac{8a}{a^3} + \frac{4}{a^2}\) \(y = -\frac{8}{a^3}x + \frac{8}{a^2} + \frac{4}{a^2}\) \(y = -\frac{8}{a^3}x + \frac{12}{a^2}\)

\(y = -\frac{8}{a^3}x + \frac{12}{a^2}\)

- Welche Eigenschaft teilen zwei Geraden, die im Koordinatensystem parallel zueinander verlaufen? - Wie berechnest du die Steigung einer Tangente an einer Stelle \(a\)? - Nachdem du die Ableitung mit der Steigung der Geraden gleichgesetzt hast, welches Verfahren hilft dir beim Lösen der entstandenen Gleichung? - Überprüfe, ob es mehr als eine Stelle geben kann, die die Bedingung erfüllt.

1. Berechnung der Ableitungsfunktion: \(f'(x) = x^2 + 2x - 6\). 2. Identifikation der Steigung der Referenzgeraden aus der Form \(y = mx + b\), hier ist \(m = 2\). 3. Da die Tangente parallel zur Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein, also \(f'(a) = 2\). 4. Aufstellen der quadratischen Gleichung: \(a^2 + 2a - 6 = 2\) und Umformung in die Normalform \(a^2 + 2a - 8 = 0\). 5. Anwendung der p-q-Formel zur Bestimmung der Lösungen: \(a_{1,2} = -1 \pm \sqrt{1^2 - (-8)} = -1 \pm 3\). Dies liefert die gesuchten Stellen \(a_1 = 2\) und \(a_2 = -4\).

\(a_1 = 2\) und \(a_2 = -4\)

- Nutze die allgemeine Formel für die Normalengleichung an einer Stelle \(a\). - Wie lautet die Ableitung der Wurzelfunktion? - Um den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse zu finden, musst du die Normalengleichung gleich null setzen. - Überlege am Ende, was es mathematisch bedeutet, wenn eine Differenz zweier Werte nicht mehr von der Variablen \(a\) abhängt.

1. Ableitung bilden: \(f(x) = x^{0{,}5} \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\). 2. Normalensteigung an der Stelle \(a\): \(m_n = -\frac{1}{f'(a)} = -2\sqrt{a}\). 3. Normalengleichung aufstellen: \(y = -2\sqrt{a}(x - a) + \sqrt{a}\). 4. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse berechnen: Setze \(y = 0\). \(0 = -2\sqrt{a}(x - a) + \sqrt{a}\) \(2\sqrt{a}(x - a) = \sqrt{a}\) Da \(a > 0\), kann durch \(\sqrt{a}\) dividiert werden: \(2(x - a) = 1 \Rightarrow x - a = 0{,}5\). 5. Die \(x\)-Koordinate von \(S_x\) ist somit \(x_S = a + 0{,}5\). 6. Differenz bilden: \(x_S - a = (a + 0{,}5) - a = 0{,}5\). Dieser Wert ist konstant und unabhängig von \(a\).

a) \(n_a: y = -2\sqrt{a} \cdot x + 2a\sqrt{a} + \sqrt{a}\) b) Der Schnittpunkt liegt bei \(x_S = a + 0{,}5\). Die Differenz \(x_S - a = 0{,}5\) ist konstant.

- Die Steigung eines Graphen entspricht dem Wert der ersten Ableitung an dieser Stelle. - Wenn zwei Graphen die gleiche Steigung haben sollen, musst du ihre Ableitungen gleichsetzen. - Erinnere dich an die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung: \(y = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0)\). - Für die Tangentengleichungen benötigst du die Stelle, die Steigung an dieser Stelle und den jeweiligen Funktionswert.

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = 3x^2 - 6x\) und \(g'(x) = 6x - 9\). 2. Gleichsetzen für Teilaufgabe a): \(3x^2 - 6x = 6x - 9 \Rightarrow 3x^2 - 12x + 9 = 0\). 3. Division durch 3 führt zu \(x^2 - 4x + 3 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). 4. Für Teilaufgabe b) ist \(x = 1\) die kleinere Stelle. 5. Berechnung der Steigung an der Stelle \(x = 1\): \(m = f'(1) = 3 \cdot 1^2 - 6 \cdot 1 = -3\). 6. Berechnung der Funktionswerte: \(f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 5 = 3\) und \(g(1) = 3 \cdot 1^2 - 9 \cdot 1 + 2 = -4\). 7. Aufstellen der Tangentengleichungen mit \(y = m(x - x_0) + y_0\): \(t_f: y = -3(x - 1) + 3 = -3x + 6\) \(t_g: y = -3(x - 1) - 4 = -3x - 1\)

a) Die Graphen besitzen an den Stellen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\) dieselbe Steigung. b) Die Tangentengleichungen an der Stelle \(x = 1\) lauten \(t_f: y = -3x + 6\) und \(t_g: y = -3x - 1\).

- Nutze die Potenzregel, um die Ableitung von \(f(x) = x^{-1}\) zu finden. - Erinnere dich an die Beziehung zwischen der Tangentensteigung und der Normalensteigung. - Stelle eine allgemeine Gleichung für die Normale auf und setze die Koordinaten des Ursprungs ein. - Wie viele reelle Lösungen hat die Gleichung \(a^4 = 1\)?

1. Ableitung der Funktion bilden: \(f(x) = x^{-1} \Rightarrow f'(x) = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}\). 2. Steigung der Normalen an der Stelle \(a\) bestimmen: \(m_n = -\frac{1}{f'(a)} = -\frac{1}{-1/a^2} = a^2\). 3. Punkt-Steigungs-Form der Normalengleichung im Punkt \(P(a|\frac{1}{a})\) aufstellen: \(y - \frac{1}{a} = a^2(x - a)\). 4. Da die Normale durch \(O(0|0)\) verläuft, Koordinaten einsetzen: \(0 - \frac{1}{a} = a^2(0 - a)\). 5. Gleichung lösen: \(-\frac{1}{a} = -a^3 \Rightarrow 1 = a^4\). 6. Reelle Lösungen für \(a\) bestimmen: \(a_1 = 1\) und \(a_2 = -1\). 7. Koordinaten der Punkte berechnen: Für \(a=1\) ist \(f(1)=1\), also \(P_1(1|1)\). Für \(a=-1\) ist \(f(-1)=-1\), also \(P_2(-1|-1)\).

Die Werte sind \(a_1 = 1\) und \(a_2 = -1\). Die zugehörigen Punkte auf dem Graphen sind \(P_1(1|1)\) und \(P_2(-1|-1)\).

- Bestimme zuerst die Ableitung, um die Steigung der Tangente zu finden. - Setze die Differenz aus der Funktionsgleichung und der Tangentengleichung an. - Achte beim Lösen der Ungleichung mit dem Quadrat darauf, dass beim Wurzelziehen Betragsstriche entstehen. - Das Intervall wird durch die Werte begrenzt, an denen die Abweichung genau den vorgegebenen Wert erreicht.

1. Funktionswert: \(f(3) = 3^2 - 4 \cdot 3 + 5 = 2\). Ableitung: \(f'(x) = 2x - 4\). Steigung: \(f'(3) = 2 \cdot 3 - 4 = 2\). Tangentengleichung: \(t(x) = 2 \cdot (x - 3) + 2 = 2x - 4\). 2. Die Abweichung ist \(d(x) = |f(x) - t(x)| = |(x^2 - 4x + 5) - (2x - 4)| = |x^2 - 6x + 9|\). Mithilfe der binomischen Formel folgt \(d(x) = |(x - 3)^2| = (x - 3)^2\). Die Bedingung \(d(x) \le 0{,}04\) führt auf die Ungleichung \((x - 3)^2 \le 0{,}04\). Wurzelziehen ergibt \(|x - 3| \le 0{,}2\). Daraus folgt \(2{,}8 \le x \le 3{,}2\). Das gesuchte Intervall ist \([2{,}8; 3{,}2]\).

1. \(t(x) = 2x - 4\) 2. \(I = [2{,}8; 3{,}2]\)

- Welche Steigung hat eine Gerade, die parallel zur waagerechten Achse liegt? - Nutze die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer Stelle \(x_0\). - Wie geht man vor, wenn man eine Gleichung nicht für eine konkrete Zahl, sondern für einen Platzhalter wie \(a\) aufstellen soll? - Wie bestimmt man bei einer linearen Funktion den Schnittpunkt mit der senkrechten Achse?

1. Eine Tangente verläuft parallel zur \(x\)-Achse, wenn die Steigung null ist. Mit der Ableitung \(h'(x) = \frac{1}{2}x - 1\) folgt aus \(h'(x) = 0\) die Stelle \(x = 2\). Der Funktionswert ist \(h(2) = \frac{1}{4} \cdot 4 - 2 = -1\). Der gesuchte Punkt ist \(P(2 \mid -1)\). 2. An der Stelle \(a\) ist der Funktionswert \(h(a) = \frac{1}{4}a^2 - a\) und die Steigung \(h'(a) = \frac{1}{2}a - 1\). Die Tangentengleichung lautet \(y = (\frac{1}{2}a - 1) \cdot (x - a) + \frac{1}{4}a^2 - a\). Ausmultiplizieren ergibt \(y = (\frac{1}{2}a - 1)x - \frac{1}{2}a^2 + a + \frac{1}{4}a^2 - a\), was zu \(y = (\frac{1}{2}a - 1)x - \frac{1}{4}a^2\) vereinfacht wird. 3. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse wird durch Einsetzen von \(x = 0\) in die Tangentengleichung bestimmt. Es ergibt sich \(y = - \frac{1}{4}a^2\), woraus der Punkt \(S(0 \mid -\frac{1}{4}a^2)\) folgt.

a) \(P(2 \mid -1)\) b) \(t_a: y = (\frac{1}{2}a - 1)x - \frac{1}{4}a^2\) c) Einsetzen von \(x = 0\) in \(t_a\) ergibt \(y = -\frac{1}{4}a^2\), also \(S(0 \mid -\frac{1}{4}a^2)\).

- Was bedeutet „horizontale Tangente“ für den Wert der Steigung? - Wie kannst du eine Gleichung höheren Grades wie \(x^3 - 4x = 0\) durch Ausklammern lösen? - Erinnerst du dich daran, wie die Gleichung einer waagerechten Geraden aussieht? - Überlege, ob mehrere Punkte dieselbe Tangente haben können.

1. Ableitung bestimmen: \(g'(x) = \frac{4}{8}x^3 - 2x = \frac{1}{2}x^3 - 2x\). 2. Bedingung für horizontale Tangenten: Die Steigung muss null sein, also \(g'(x) = 0\). 3. Gleichung lösen: \(\frac{1}{2}x^3 - 2x = 0 \implies \frac{1}{2}x(x^2 - 4) = 0\). Die Nullstellen sind \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\). 4. Funktionswerte berechnen: \(g(0) = 2 \implies P_1(0|2)\) \(g(2) = \frac{1}{8} \cdot 16 - 4 + 2 = 0 \implies P_2(2|0)\) \(g(-2) = \frac{1}{8} \cdot 16 - 4 + 2 = 0 \implies P_3(-2|0)\) 5. Tangentengleichungen: Da die Steigung \(0\) ist, haben die Tangenten die Form \(y = c\). Für \(P_1\): \(y = 2\). Für \(P_2\) und \(P_3\): \(y = 0\).

Die Tangente verläuft an den Stellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\) horizontal. Die Punkte sind \(P_1(0|2)\), \(P_2(2|0)\) und \(P_3(-2|0)\). Die Tangentengleichungen lauten \(y = 2\) und \(y = 0\).

- Was bedeutet es für den Funktionswert, wenn ein Graph die \(x\)-Achse an einer bestimmten Stelle schneidet? - Erinnere dich an die Regel für die Ableitung von Potenzfunktionen, auch für Brüche wie \(\frac{1}{x}\). - Wann genau bilden zwei Kurven in einem Punkt einen rechten Winkel? - Nutze das Produkt der Ableitungen an der betrachteten Stelle, um die Orthogonalität zu bestätigen.

1. Nullstelle von \(f\): \(0{,}5x^2 - 2 = 0 \iff x^2 = 4 \iff x = \pm 2\). Die positive Nullstelle ist \(x_0 = 2\). 2. Funktionswerte an der Stelle \(x_0 = 2\) prüfen: \(g(2) = -0{,}125 \cdot 2^2 + 0{,}5 = -0{,}5 + 0{,}5 = 0\). \(h(2) = \frac{2}{2} - 1 = 1 - 1 = 0\). Beide Graphen schneiden die \(x\)-Achse bei \(x_0 = 2\). 3. Ableitungen bestimmen: \(f'(x) = x\), \(g'(x) = -0{,}25x\) und \(h'(x) = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^2}\). Steigungen bei \(x_0 = 2\): \(f'(2) = 2\), \(g'(2) = -0{,}25 \cdot 2 = -0{,}5\) und \(h'(2) = -\frac{2}{2^2} = -0{,}5\). Orthogonalität prüfen: \(f'(2) \cdot g'(2) = 2 \cdot (-0{,}5) = -1\) und \(f'(2) \cdot h'(2) = 2 \cdot (-0{,}5) = -1\). Beide Graphen schneiden den Graphen von \(f\) orthogonal.

1. Die positive Nullstelle ist \(x_0 = 2\). 2. Ja, da \(g(2) = 0\) und \(h(2) = 0\) gilt, schneiden alle drei Graphen die \(x\)-Achse im Punkt \((2|0)\). 3. Ja, beide schneiden \(f\) orthogonal, da die Steigungen \(f'(2) = 2\) und \(g'(2) = h'(2) = -0{,}5\) die Bedingung \(2 \cdot (-0{,}5) = -1\) erfüllen.

- Wenn zwei Graphen im selben Punkt dieselbe Tangente haben, was muss dann für ihre Funktionswerte und ihre Ableitungswerte an dieser Stelle gelten? - Wie findest du Stellen \(x\), an denen der Funktionswert völlig unabhängig vom Parameter \(k\) ist? - Erinnere dich an die allgemeine Form einer Geradengleichung für die Tangente. Welche Informationen benötigst du dafür?

1. Gemeinsame Punkte finden: Der Ansatz \(k_1(x-2)^3 + x^2 + 1 = k_2(x-2)^3 + x^2 + 1\) führt für \(k_1 \neq k_2\) auf \((x-2)^3 = 0\), also \(x = 2\). 2. Funktionswert berechnen: \(g_k(2) = k(2-2)^3 + 2^2 + 1 = 5\). Alle Graphen gehen durch den Punkt \(B(2|5)\). 3. Ableitungsfunktion bestimmen: \(g_k'(x) = 3k(x-2)^2 + 2x\). 4. Steigung an der Stelle \(x = 2\) prüfen: \(g_k'(2) = 3k(2-2)^2 + 2 \cdot 2 = 4\). Die Steigung ist für alle \(k\) identisch \(m = 4\). 5. Tangentengleichung \(y = mx + n\) mit \(m = 4\) und \(B(2|5)\) aufstellen: \(5 = 4 \cdot 2 + n \implies n = -3\). Die gemeinsame Tangente ist \(t(x) = 4x - 3\).

Im Punkt \(B(2|5)\) besitzen alle Graphen der Schar dieselbe Tangente. Die Gleichung der Tangente lautet \(y = 4x - 3\).